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MÉTODO DE OSTROGRADSKI
BIOGRAFÍA
Ostrogradski, Mikhail Vasilevich (1801 - 1862).
1862) .
Matemático ruso. Sus trabajos versaron sobre la elasticidad y la teoría del
calor. Demostró el teorema de Green, independientemente de éste, y
estimuló el desarrollo de la escuela matemática de San Petersburgo.
DESCRIPCION
Si en una integral racional el denominador del integrando tiene raíces
múltiples, es posible hallar la integral mediante un método desarrollado por
el matemático ruso M.V. Ostrogradski , en lugar de descomponer en varias
fracciones parciales
OBJETIVO:
Este método permite separar la parte racional de la integral sin necesidad
de descomponer el integrando en fracciones simples.
PROCEDIMIENTO
∫  dx
Para hallar integrales de la forma
, donde P(x) y Q(x) son polinomios y, el grado de Q(x) tiene
raíces múltiples se procede de la siguiente manera:
Método de Ostrogradski
1.- Se halla la derivada de Q(x)
2.- Se halla el máximo común divisor, Q1 (x) de Q(x)y Q´(x)
maximo común divisor
El M.C.D. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
3.- Se halla el cociente entre Q(x) y Q1 (x) :
Qx
Qx= Q1x
Px
Mx
Nx
 Qx dx= Q1x +  Q2x dx
4.- Se aplica la siguiente fórmula:
con M(x) y N(x) : de grados una unidad
menor que los de Q1 (x) y Q2 (x)
respectivamente.
5.- Se deriva
Px
Mx
Nx
 Qx dx= Q1x +  Q2x dx
6.- Se determinan los valores de los coeficientes de M(x) y N(x) mediante
la identidad que resulta del paso anterior.
7.- Se resuelve la integral del segundo miembro y se adiciona la constante
de integración.
EJERCICIOS
 + 
′=2
= ++72
7
= + 7
 + 7

 =  + 7
 =  + 7
 + 7 = + ++ 7 +  +
 + 7
+ + 7
1  = ++  + 7 − + +  + 7′ + +
 + 7 − 
 +7+ + 7  + 7
11=
= +7 +7−2
+
+


2
2

+


+
7
 −2+ +7+ + 7
1=− +7−2+ +7+ + 7
 =0 →
=0
 =0 → −+ == 
=0 → −2+7 0 = −2 +7
+7 →  = 0
=1 → 7+7 1=7+7 → =   = 
1
1
14+ 7 +  14+ 7 

1
1

+
14 + 7 14  + 7

1
1
1

(

+
14 + 7 14 √7 √7)+
1   1 + 1  (  ) +
14  + 7 √7 √7
 −+

  −  
 =  − 1
 = 2 − 122
= − 1 = 
=
 − 1 


 =  − 1 =  − 1
 − 1 = +
 −+ 1 +  +
 − 1
−4+4
−4+4



 − 1
  − 1 −+
 − 1 +


+

+
−+

+  − 1
 − 1
 − 1 =
 −4+4= −−2 −2+ +  −−
:1=
:0=−+
:4=−2−
C:4=−−
1=
4=−2−1
3=−2
 = − 32
32  − 2
−2−
 − 1 +   − 1


−
2

− 24+3
+

 − 1  − 1  − 1
− 24+3
 − 1 + 12  2− 1 − 2  − 1
1

−
1

|
|
− 24+3
+
l
n

−
1
−
l
n

 − 1 2
 + 1 + 