GUÍA N°3 – Matemática – Segundo Medio Nombre: ______________________________________________PUNTAJE IDEAL: 27 puntos Objetivo: Instrucciones: OA 11. Utilizar permutaciones y la combinatoria sencilla para calcular probabilidades de eventos y resolver problemas. • • La presente guía debe ser contestada en una hoja donde realice el desarrollo, este se debe enviar en formato PDF o Imágenes. Esta guía se promediará con las siguientes y tiene carácter de EVALUACIÓN FORMATIVA. ANÁLISIS COMBINATORIO El objeto del análisis combinatorio es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos. TÉCNICAS DE CONTEO Son aquellas que proporcionan información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado, es decir son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si una acción puede realizarse de 𝒏𝒏𝟏𝟏 maneras diferentes y una segunda opción puede realizarse de 𝒏𝒏𝟐𝟐 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de 𝒏𝒏𝟏𝟏 ⋅ 𝒏𝒏𝟐𝟐 maneras diferentes. Este principio se puede generalizar para cualquier número de acciones, es decir si una primera etapa ocurre de 𝒏𝒏𝟏𝟏 maneras diferentes, una segunda de 𝒏𝒏𝟐𝟐 maneras diferentes, una tercera de 𝒏𝒏𝟑𝟑 maneras diferentes… y una r – ésima etapa puede ocurrir de 𝒏𝒏𝒓𝒓 maneras distintas, entonces las r acciones se pueden hacer de 𝒏𝒏𝟏𝟏 ⋅ 𝒏𝒏𝟐𝟐 ⋅ 𝒏𝒏𝟑𝟑 ⋅ … 𝒏𝒏𝒓𝒓 maneras diferentes. PRINCIPIO ADITIVO Si los eventos 𝑬𝑬𝟏𝟏 y 𝑬𝑬𝟐𝟐 no pueden ocurrir a la vez, y el evento 𝑬𝑬𝟏𝟏 puede ocurrir en 𝒎𝒎 formas y un segundo evento 𝑬𝑬𝟐𝟐 puede ocurrir en 𝒏𝒏 formas, entonces uno de ellos puede ocurrir de 𝒎𝒎 + 𝒏𝒏 formas diferentes. Ejemplos: 1. Si Jorge dispone de 3 camisas diferentes y 5 corbatas también diferentes, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede ponerse una camisa y una corbata? A) 3 B) 5 C) 8 D) 15 E) 35 2. A) 2 Para comprar un desodorante, Mario debe elegir entre 5 marcas, cada una de ellas tiene 2 presentaciones (barra y spray). ¿De cuántas maneras Mario puede comprar su desodorante B) 5 C) 10 D) 20 E) 52 3. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden agrupar las posibilidades que se dan al lanzar un dado y una moneda? A) 2 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24 4. Si Don Tito dispone de 5 autos y 3 camionetas, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede movilizarse un día cualquiera? A) 25 B) 20 C) 15 D) 9 E) 8 1 FACTORIALES Para proseguir el estudio de análisis combinatorio es necesario manejar cálculo y propiedades referentes al factorial de un número natural. El factorial de 𝒏𝒏 o 𝒏𝒏 factorial (𝒏𝒏!) se define como el producto de los primeros 𝒏𝒏 números naturales. La expresión 𝒏𝒏! se lee, factorial de 𝒏𝒏 o 𝒏𝒏 factorial. Así: Con lo anterior se puede deducir que: 𝒏𝒏! = 𝒏𝒏 ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏) ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟐𝟐) ⋅ … ⋅ 𝟒𝟒 ⋅ 𝟑𝟑 ⋅ 𝟐𝟐 ⋅ 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏! = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟗𝟗 ⋅ 𝟖𝟖 ⋅ 𝟕𝟕 ⋅ 𝟔𝟔 ⋅ 𝟓𝟓 ⋅ 𝟒𝟒 ⋅ 𝟑𝟑 ⋅ 𝟐𝟐 ⋅ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟗𝟗! = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟗𝟗 ⋅ 𝟖𝟖 ⋅ 𝟕𝟕! Observaciones • • • • • El factorial de un número negativo no está definido. El factorial de 𝟎𝟎 es 𝟏𝟏, es decir, 𝟎𝟎! = 𝟏𝟏 El factorial de 𝟏𝟏 es 𝟏𝟏, es decir, 𝟏𝟏! = 𝟏𝟏 𝒏𝒏! = 𝒏𝒏 ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)! 𝒏𝒏! 𝒏𝒏 ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)! = = (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)! 𝒏𝒏 𝒏𝒏 Ejemplos: 1. 5! − 3! = A) 2 B) 2! C) 3 ⋅ 19 D) 3! ⋅ 19 E) 117 2. A) 5 (𝑛𝑛 + 3)! Si (𝑛𝑛 + 1)! = 156, entonces 𝑛𝑛 = B) 10 C) 20 D) 30 E) 40 3. ¿Cuál es el valor de A) 2.730 15! 13! ⋅ 2! ? B) 1.365 C) 210 D) 105 E) 52,5 2 PERMUTACIÓN Se llama permutación de 𝒏𝒏 elementos a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden hacer con esos elementos, en las permutaciones importa el orden de los elementos. PERMUTACIONES SIN ELEMENTOS REPETIDOS El número de ordenaciones en fila de 𝒏𝒏 elementos, en los cuales no hay ninguno repetido, se determina según la relación: 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝑛𝑛! PERMUTACIONES CIRCULARES Para determinar el número de ordenaciones en círculo de 𝒏𝒏 elementos distintos, se debe fijar uno de ellos, así el número de ordenaciones circulares de 𝒏𝒏 elementos se determina por la relación: PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = (𝑛𝑛 − 1)! La ordenación de 𝒏𝒏 elementos, de los cuales hay uno que se repite 𝒌𝒌𝟏𝟏 veces, otro 𝒌𝒌𝟐𝟐 veces, otro 𝒌𝒌𝟑𝟑 veces… el número de formas de permutarse entre ellos es 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = . 𝑛𝑛! 𝑘𝑘1 ! ⋅ 𝑘𝑘2 ! ⋅ 𝑘𝑘3 ! … Ejemplos: 1. A) 4 ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila? B) 16 C) 24 D) 64 E) 216 2. A) 5 ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar cinco niños alrededor de una mesa circular con 5 sillas? B) 10 C) 15 D) 24 E) 25 3. A) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar cuatro libros de física, tres de química y cinco de matemáticas en un estante lineal, si los libros de cada asignatura deben estar siempre juntos? 4! ⋅ 3! ⋅ 5! B) 4! ⋅ 3! ⋅ 5! ⋅ 3! C) 4! ⋅ 3! ⋅ 5! ⋅ 3 D) 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 3 E) 12! 4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMATICA? A) 6! B) 10! C) D) 10! 2! ⋅ 3! 10! 7! 10! E) 2! ⋅ 2! ⋅ 3! 3 VARIACIONES O ARREGLOS En un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, se denominan variaciones o arreglos a diferentes ordenaciones que se pueden formar con 𝒌𝒌 elementos (𝒌𝒌 ≤ 𝒏𝒏). VARIACIONES SIN REPETICIÓN Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de ordenaciones diferentes de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, sin repetir, está dada por: VARIACIONES CON REPETICIÓN 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑛𝑛! (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de ordenaciones diferentes de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, en los cuales se puede repetir uno o más de ellos, está dada por: Observaciones 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑘𝑘 En las variaciones o arreglos simples podemos encontrar las siguientes características: 1. Interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir, 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 ≠ 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 (Se consideran como 𝟐𝟐 casos diferentes). 2. Las variaciones o arreglos son subconjuntos ordenados. Ejemplos: 1. ¿Cuál es el valor de 𝑉𝑉57 ? A) 5.040 B) 2.520 C) 1.760 D) 35 E) Ninguna de las anteriores 2. A) 9 B) 9! ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? C) 99 D) 504 E) 729 3. A) 9 B) 9! ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? C) 99 D) 504 E) 729 4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido, se pueden formar con tres letras de la palabra CAMPEON? A) 24 B) 120 C) 210 D) 840 E) 5.040 4 COMBINACIONES Son los diferentes grupos que se pueden formar con un total de 𝒏𝒏 elementos de modo que cada grupo tenga 𝒌𝒌 elementos, no interesando el orden de éstos. COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de conjuntos de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, sin repetición, está dada por: COMBINACIÓN CON REPETICIÓN 𝐶𝐶𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑛𝑛! 𝑘𝑘! ⋅ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de conjuntos de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, con repetición, está dada por: Observaciones 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝐶𝐶𝑘𝑘𝑛𝑛+𝑘𝑘−1 En las combinaciones podemos encontrar las siguientes características: 1. No interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir, 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 (Se consideran como 𝟏𝟏 solo caso). 2. Las combinaciones son subconjuntos en los cuales no importa el orden de los elementos elegidos. Ejemplos: 1. ¿Cuál es el valor de 𝐶𝐶79 ? A) 16 B) 36 C) 63 D) 72 E) Ninguna de las anteriores 2. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una solo saluda una vez a cada una de las otras? A) 11 B) 12 C) 24 D) 66 E) 144 3. Si en una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? A) 13 B) 40 C) 56 D) 168 E) 336 4. En una tienda hay camisas de 5 colores diferentes. ¿Cuántos grupos de 4 camisas podemos formar? A) 5 B) 20 C) 70 D) 120 E) 625 5 Actividad Resuelve los siguientes ejercicios de selección múltiple, cada ejercicio debe tener desarrollo, ya sea matemático o por definición de conceptos matemáticos, además de marcar o enunciar la alternativa correcta. Cada ejercicio equivale a 3 puntos, en total 27 puntos. 1. A) 4 En un centro comercial todos los LED están con descuento. Aprovechando esta oferta, Carlitos decide comprar uno, pero debe elegir entre las siguientes marcas: Sony, Samsung, LG y Panasonic. El LED Sony se encuentra en 4 tamaños y 2 colores, el Samsung está en 5 tamaños y 3 colores, el LG está en 2 tamaños y 3 colores y el LED Panasonic está en 7 tamaños y un solo color. ¿De cuántas maneras puede comprar su LED Carlitos? B) 9 C) 24 D) 36 E) 162 2. Una comisión de 16 delegados de la sociedad Negro y Negro debe escoger su directiva, conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuántas maneras se puede conformar tal directiva? A) 𝑉𝑉416 B) 𝑉𝑉316 C) 𝑉𝑉415 D) 𝑉𝑉315 E) 𝑉𝑉516 3. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6? A) 720 B) 216 C) 120 D) 20 E) 18 4. El número de formas distintas en que se pueden sentar 6 concejales de un municipio en los tres primeros asientos de la sala de reuniones, considerando que el primer asiento está reservado para el Alcalde, es A) 18 B) 30 C) 36 D) 72 E) 216 5. Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se han de enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24 Usando todas las letras de la palabra CORTINA, ¿cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar? A) 49 6. B) 128 C) 1.260 D) 2.520 E) 5.040 6 En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir tres botellas? A) 10 B) 15 7. C) 35 D) 60 E) 120 Siete libros (todos con tapas de distintos colores) se deben ubicar uno al lado del otro en un estante. Si el libro de tapa roja se debe colocar en uno de los extremos, y el libro de tapa verde en el otro extremo, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar los libros? A) 35 B) 120 C) 240 8. D) 720 E) 1.440 En un hospital se debe determinar un turno de tres enfermeras. Si hay 12 enfermeras disponibles, ¿cuántos turnos es posible establecer? A) 36 B) 110 C) 220 9. D) 440 E) 1.320 7
