ECUACIONES DIFERENCIALES SEMANA 5 APLICACIONES DE LAS EDO DE PRIMER ORDEN SESIÓN 2: MEZCLAS– LEY DE LA CONTINUIDAD Clase # 14 Orlando Raúl Pomalaza Romero Propósito de la Clase Plantea y formula modelos matemáticos de mezclas mediante ecuaciones diferenciales y su resolución Mezclas Mezclas Una ecuación de continuidad es una ecuación de la física matemática que expresa la ley conservación ya sea de forma integral o bien de forma diferencial; con ella se construyen modelos de fenómenos en diferentes áreas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuación de continuidad nos dice que la tasa de acumulación de una variable x en un recipiente (el cual puede ser un tanque, un órgano humano, una ciudad, un banco, un sistema ecológico, etc.) es igual a su tasa de entrada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes o variables. Mezclas Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en un tanque a una velocidad v1 litros de salmuera/minuto y con una concentración de c1 gramos de sal por litro de salmuera (gr sal/ l de salmuera). Inicialmente un tanque tiene Q litros de salmuera con P gr de sal disuelta. La mezcla bien homogenizada abandona el tanque a una velocidad de v2 litros de salmuera/min. Figura. Dilución de una salmuera Mezclas Sean x(t) los gramos de sal disueltos en el tanque en cualquier instante t. Entonces dx tasa de acumulación = Tasa de entrada de soluto - Tasa de salida de soluto dt dx l de sol. g de soluto l de sol. g de soluto v1 c1 v2 c2 dt min l de sol min l de sol x v1c1 v2 Q v1 v2 t dx x Para obtener la ED de la forma: dt v1c1 v2 Q v v t 1 2 Mezclas Ejemplo Una solución de salmuera fluye a razón constante de 4L/min hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 100L de agua. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a razón de 3L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0,2kg/L, determina la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de ”t” minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el depósito será de 0,1kg/L? Ejercicio N°1 Un tanque de 400 galones de capacidad contiene la cuarta parte de su capacidad de salmuera, en la que se han disuelto 500kg de sal. Se inyecta salmuera al tanque con concentración de 1 kg/gal y a razón de 5 gal/min. La salmuera, debidamente agitada y homogeneizada en el tanque, fluye a razón de Q gal /min. Si se sabe que al cabo de dos horas y media el tanque alcanza su máxima capacidad, determine el caudal de salida Q y la concentracion de la solución cuando alcanza su máxima capacidad Solución: Ejercicio N°2 Un depósito de 3000 litros de capacidad contiene 400 litros de agua pura, en un momento dado entrará agua que contiene sal a razón de 1/8 kg/l, a la vez que saldrá por su parte inferior la nueva mezcla a razón de 4 litros /minuto; si la mezcla de agua con sal la hace a razón de 8 litros/minuto, calcular: a) La cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros b) La concentración al cabo de una hora de iniciado el proceso Solución: Ejercicio N°3 Un recipiente de 120 litros de capacidad contiene 90 litros de salmuera con una concentración de 1g/L. Al recipiente Ingresa salmuera de 2g/l de concentración a una rapidez de “V” litros/minuto. La mezcla debidamente agitada y homogenizada fluye hacia el exterior con una rapidez de 3 litros/minuto. Si el contenido del recipiente comienza a desbordarse exactamente a los 30 minutos, determine, a) El valor de “V” b) La cantidad de sal en el recipiente cuando se llena Solución: Ejercicio N°4 Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene k gramos de sal por litro, a razón de 1.5 litros por minuto. La mezcla bien homogenizada, sale del tanque a razón de un litro por minuto. Si la concentración es 20 gr/litro al cabo de 20 minutos. Hallar el valor de k Solución: ¿Qué aprendimos hoy? • Mezclas Referencias Bibliográficas • Larson, R. y Edwards, B. (2016). Cálculo. México: Cengage Learning. • Zill Dennis (2015). Ecuaciones Diferenciales. Tempranas. México. Editorial Mc Graw Hill. Trascendentes • Stewart James. (2008) Cálculo: Trascendentes Tempranas 6ta ed. México. Cengage Learning