Guía Reforzamiento Raíces

Fichas de Reforzamiento
FICHA 1: Concepto de raíz n-ésima
RECORDAR:
• Definición de raíz n-ésima:
n
a = x ⇔ xn = a
• Caso particular de simplificación:
n
xn = x
(Añadir estas fórmulas al formulario, junto con la lista de los 20 primeros
cuadrados perfectos que indicará el profesor)
1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora):
a)
9=
i)
4
=
25
c) 49 =
j)
d) 100=
e) 1=
p)
74 =
16
=
100
q)
36
=
25
k)
−4 =
r)
121=
l)
64 =
s)
169=
t)
400=
u)
144 =
v)
196 =
b) 25 =
f)
0=
g)
1
=
4
1
h)
=
9
m) 214 =
n)
o)
510 =
6
3 =
w)
2500 =
2. Calcular, o bien aplicando mentalmente la definición de raíz, o bien pasando previamente a fracción.
(sin calculadora):
a)
0,25=
b)
0,49=
c)
0,09=
d)
0,0025 =
e)
0,64=
f)
0,04=
g)
⌢
0,1 =
h)
2,25=
i)
⌢
2,7 =
j)
0,16 =
(Una vez resueltos, se recomienda comprobar cada apartado con la calculadora…)
3. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no vale calculadora):
a)
b)
3
3
c)
3
d)
3
8=
64 =
1000 =
3
−1 =
f)
3
−125 =
3
3
− 27 =
CONSECUENCIA:
i)
1
8
27=
e)
g)
h)
=
m)
1
3
125
n)
=
o)
j)
3
27
64
l)
3
3
−8 =
3
2
3
−
8
=
Potencia de exponente fraccionario:
n
=
64
3
a =
q)
3
− 64 =
r)
3
− 1000 =
125
15
1000
=
p)
k)
3
=
9
125 =
x m = x m/n
4. Calcular, o bien aplicando mentalmente la definición de raíz, o bien pasando previamente a fracción generatriz
(sin calculadora):
a)
3
0,001 =
b)
3
0 ,008 =
c)
3
− 0,027 =
d)
3
0 ,125 =
e)
3
0 ,216 =
f)
3
− 0,06 4 =
(Una vez resueltos, se recomienda comprobar cada apartado con la calculadora…)
5. Calcular, factorizando previamente el radicando cuando sea necesario (no vale calculadora):
=
6
3
a)
t)
1296 =
b) 3 729 =
u)
14161 =
729 =
c)
d)
v)
3
16 =
4
− 243 =
5
x)
4
⌢
)
−0,4 =
−8 =
3
6
i)
− 32 =
j)
4
81 =
5 =
2
k)
25
=
81
l)
z)
3
39 =
α)
5
−
1=
5
m) 6 2
6
5
1
=
32
β)
484 =
γ)
⌢
1,7 =
(Sol :
± 1,3
⌢
)
δ)
⌢
5,4 =
(Sol :
± 2,3
)
ε)
900 =
=
⌢
( Sol :
± 30 )
ζ)
4
1
=
16
η)
5
520 =
( Sol : 119 )
3 15 =
θ)
3
−1 =
( Sol : 119 )
i)
81
n) 4
=
256
o)
± 0,6
1764 =
y)
h)
(Sol :
−8 =
f)
g)
8
=
27
⌢
0,4 =
w)
e)
−
( Sol : 119 )
p)
3
0 ,064 =
q)
4
0,0001 =
r)
6
1 000 000 =
s)
4
1296 =
31,36 =
(Una vez resueltos, se recomienda comprobar cada apartado con la calculadora…)
(Sol :
(Sol :
± 1 / 2)
± 5,6 )
6. Utilizar la calculadora para hallar, con cuatro cifras decimales bien aproximadas (véase el ejemplo):
a)
4
8 ≅ ±1,6818
b)
5
c)
6
d)
3
9
e)
5
− 15
i)
6
52
f)
6
− 40
j)
8
256
3
64
25
g)
4
23
k)
h)
5
32
l)
10
1315
7. Acotar
los siguientes radicales entre dos enteros consecutivos, razonando el porqué (Véanse los dos
primeros ejemplos; no vale usar calculadora, salvo para comprobar los resultados):
4
h)
<
≅
3
i)
<
0
1
-
<
≅
<
7
5
3
3
f)
<
0
0
1
7
1
<
<
6
6
1
=
2
4
y
9
=
2
3
q
p
.
.
.
,
3
3
1
<
e)
g)
3
9
0
4
4
=
2
2
y
1
=
2
1
q
p
2
<
3
<
1
≅
b)
c)
≅
d)
a)
FICHA 2: Radicales equivalentes. Simplificación de radicales
RECORDAR:
• Simplificación de radicales:
n
xm =
n/ p
xm /p
• Amplificación de radicales:
n
xm =
n⋅p
x m⋅p
• Casos particulares de simplificación:
n
xn = x
( x)
n
n
=x
(Añadir estas fórmulas al formulario)
1.
Simplificar los siguientes radicales (y comprobar el resultado con la calculadora, cuando proceda); véase el
primer ejemplo:
54
c)
9
27
d)
5
1024
e)
6
f)
9
5
x 10
s)
15
243
8
22 34
t)
4
k)
81
u)
12
v)
6
l)
9
m)
8
n)
64
o)
g)
h)
i)
8
ab
6
10
4 6
12
12
5
p)
15
q)
10
16a4b8
y)
1444
(Sol : 38 )
z)
1600
(Sol : 40 )
12
2
a
8
8
12
8
512
3
x9
x
212
6
w)
x)
6
64
a b
81
r)
2.
3
6
8
j)
=
9
3
3
2
b)
3
2
/
=
2
/
4
2
3
4
=
2
3
a)
a 4b8
α)
β)
12
256
748
Estudiar si los siguientes radicales son equivalentes; comprobar después con la calculadora:
a)
2,
6
8,
10
32
(Sol : 28 )
b)
9,
3
27 ,
c)
3,
4
9,
6
4
81 ,
27 ,
8
5
243
729
3.
Indicar tres radicales equivalentes a
4.
Simplificar los siguientes radicales e indicar los que son equivalentes y los que son irreducibles:
3
52 =
9
125 =
6
625 =
3
5=
5 por amplificación, y comprobar con la calculadora.
(Sol: El 1º y el 4º son irreducibles; el 1º es equivalente al 3º, así como el 2º y 4º)
FICHA 3: Producto y cociente de radicales
RECORDAR:
• Propiedades de las raíces:
n
a · n b = n a·b
n
a
n
b
=n
( a)
n
mn
m
a
b
= n am
a = m·n a
• Introducir/extraer factores: x· n a = n x n ·a
(Añadir estas fórmulas al formulario)
1.
Multiplicar los siguientes radicales del mismo índice, simplificando siempre que sea posible (véase el
primer ejemplo):
a)
2 32 = 64 = 8
b)
2 15 =
c)
3
2
d)
4=
27 =
3
e)
f)
3
3
3
4=
235=
32 8 =
g)
(Sol : 16 )
h) 13 13 =
i)
3
9 3 81 =
j)
2 8 16 =
k)
12 3 =
(Sol : 9 )
(Sol : 16 )
(Sol : 6 )
l) 2 18 ·3 2 =
(Sol : 36 )
2x =
(Sol : 2x )
6 18
(Sol : 36 )
m)
n)
2x 3
12
2
o) 2 2
(
)
2
=
(Sol: 8)
(
)
2
=
(Sol: 45)
p) 3 5
2.
Multiplicar los siguientes radicales de distinto índice, simplificando siempre que sea posible (véase el
primer ejemplo):
a)
b)
2
4
64 = 2
9
3
9=
6
26 = 2
23 = 2 4 = 2 2 = 4
(Sol : 3 )
c)
4
x10
6
x9 =
(Sol : x )
d)
6
710
3
49 =
 Sol : 3 77 


e)
4
1024
6
8=
(Sol : 8 )
f)
4
4a 2
8a =
(Sol : 4a )
g)
h)
i)
3.
4
6
4
29
(Sol : 3 )
27 =
6
3
4
4
25
(Sol : 16 )
1024 =
25
(Sol : 25 )
5=
Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el primer ejemplo):
32
a)
2
8
b)
2
c)
3
=
81
3
9
15
d)
3
27
e)
3
f)
3
16
3
2
= 16 = 4
256
=
729
g)
(Sol : 2 ) h)
21
(Sol :
=
2 7
=
i)
=
j)
3
125
=
512
k)
4
16
=
625
=
=
(Sol : 3 )
(Sol : 2 )
l)
3 /2
33
=
3
2
8
32
=
(Sol : 1/ 2 )
)
2
m)
3
6

3
o)   :  1 +

 2 
2

8a 3
=
2a
n)
4.
(Sol : 1)
=
(Sol : 2a )
1
8
+
7
16
−
2
3   2

+ 1 =
 :  −
2   3

(Sol : 2a )
Dividir los siguientes radicales de distinto índice, simplificando siempre que sea posible (véase el primer
ejemplo):
128
27
27
=
=
= 2 6 = 23 = 8
6
6 3
8
2
2
a)
b)
4
64
6
c)
3
27
6
81
55
d)
e)
8
4
56
4
a14
6
9
(Sol : 2 )
=
(Sol : 3 )
=
(Sol : 5 )
3
=
(Sol : a )
73
=
49
(Sol : 7 )
6
x15
10
x15
(Sol : x )
a
f)
4
g)
=
=
a 3b 5
h)
ab 3
4
i)
4
j)
4
4
=
(Sol : ab )
=
(Sol : 1)
=
(Sol : 2 )
81
9 3
4 2
6
k)
2
8
x2 · x3
x · 6 x9
l)
(Sol : 1)
=
(Sol : 5 )
125
=
25
4
m) 36
3
125 −
3
8
16
=
(Sol : 59/2 )
FICHA 4: Potencia de un radical; radical de un radical; introducir/extraer factores
1.
Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el primer ejemplo):
a)
( 4)
2
=  3 2 2  = 3 2 4 = 3 16


b)
( 2)
4
=
c)
 3x 3 y  =


d)
( 2)
e)
( 5)
3
2
(Sol : 4 )
3
3
2
(Sol : 2 )
2=
3
5
(Sol : 5 )
=
53
6
(Sol : a 4 )
 3 a 2  =


f)
(Sol :
2
g)  6 ab 2  =


8
h)
3
i)
2.
( 3)
4
9
25
6
3
5
54
3
=
=
3
ab 2
)
(Sol : 3 )
( Sol : 25 )
Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el primer ejemplo):
2 =42
a)
b)
c)
3=
3
3
25 =
d)
2 =
e)
256 =
f)
g)
3
729 =
12 =
(Sol : 5 )
3
( Sol : 2 )
(Sol : 3 )
8
h) 


2 =

( Sol : 2 )
( Sol : x )
i)
3 4
x5 x7 =
j)
3 4
x15 =
7



k)  3
l)
m)
(Sol :
(

8x  =

7
3
( x)
x
)
6
32
)
6
3
=
=
a5 · 4 a5
n)
( a)
3
3.
(Sol :
x5
)
2x
)
3
3 4
(
4
( Sol : x )
(Sol :
4
32
)
( Sol : a )
Introducir factores y simplificar (véase el primer ejemplo):
a) 2 2 = 2 2 2 = 2 3 = 8
b) 2 3 =
=
3 2
2
c)
(Sol : 6 )
d) 3 2 =
e) 3
2
=
27
(Sol :
2/3
)
(Sol :
15
)
f) 3 3 3 =
g) 6
5
=
12
h) 3 4 5 =
c
i) ab
ab 3
=

 Sol :

ac 

b 
(Sol :
6ac
j) 3 7 =
k) 2a
l)
4.
3c
=
2a
(Sol :
x x =
m)
2· 2 =
n)
2· 2 · 4 2 =
4
(Sol :
3
)
)
x3
4)
3
(Sol : 2 )
Extraer factores y simplificar cuando proceda (véase el primer ejemplo):
(Sol : 3 3 )
27 =
n)
a)
8 = 23 = 2 2 2 = 2 2
b)
18 =
(Sol : 3 2 )
o)
3
3 455 =
c)
98 =
(Sol : 7 2 )
p)
4
80 =
d)
32 =
(Sol : 4 2 )
q)
3
2592 =
e)
60 =
(Sol : 2 15 )
f)
72 =
(Sol : 6 2 )
3
500 =
3
32x 4 =
g)
12 =
(Sol : 2 3 )
s)
128 =
(Sol : 8 2 )
t)
h)
i)
48 =
(Sol : 4 3 )
u)
686 =
j)
108 =
(Sol : 6 3 )
v)
1936 =
k)
162 =
(Sol : 9 2 )
w)
l)
75 =
(Sol : 5 3 )
m) 200 =
(Sol : 10 2 )
75
)
4
2  =

3
3
(Sol : 2 5 )
10
r) 

(Sol : 15
(Sol : 6
3
12
)
(Sol : 4 2 )
(Sol : 5 4 )
3
(Sol : 2x
3
4x
)
(Sol : 7 14 )
(Sol : 44 )
81a 3b5c =
 Sol : 3ab 3 3b 2 c 


x)
5
64 =
(Sol : 2 2 )
5
y)
z)
3
(Sol : 2x
16x 6 =
2 3
)
2
11 132
=
132
δ)
28x 5
=
75y 3
ε)

 Sol : 2x

5y

2
7x
3y




ζ)
α) 11 132 =
132
5.
)
(Sol : 5
5 /2
)
25
=
4
12 · 3 · 50 =
33 / 6
)
η) 5
3
3
2
3
4
=
81
5

 Sol :
3

396
=
66
(Sol :
γ)
3 /6
(Sol : 30 2 )
(Sol :
β)
25 +
(Sol :
3a 2
=
4
)
11 / 11
θ)
3
3

2

(Sol : 4 6 )
3
384
a


3
 Sol :
2


Sumar los siguientes radicales, reduciéndolos previamente a radicales semejantes (véase el primer ejemplo):
a)
2 + 8 + 18 - 32 = 2 + 23 + 3 2 2 - 25 = 2 + 2 2 + 3 2 - 22 2 = 2 + 2 2 + 3 2 - 4 2 = 2 2
FACTORIZAMOS
RADICANDOS
EXTRAEMOS
FACTORES
SUMAMOS
RADICALES
SEMEJANTES
b)
5 + 45 + 180 − 80 =
(Sol: 6 5 )
c)
24 − 5 6 + 486 =
(Sol: 6 6 )
d) 27 3 − 5 27 − 9 12 =
(Sol: - 6 3 )
e) 2 8 + 5 72 − 7 18 −
50 =
32 + 2 3 − 8 + 2 − 2 12 =
f)
(Sol: 8 2 )
(Sol: 3 2 - 2 3 )
g) 3 24 − 1 54 + 150 =
3
(Sol: 10 6 )
54 − 2 ⋅ 3 16 =
(Sol: - 3 2 )
h)
3
i) 5 2 + 4 8 + 3 18 + 2 32 +
50 =
j) 2 108 − 75 − 27 − 12 − 3 =
k)
128 + 5 12 − 2 18 − 3 27 − 2 =
(Sol: 35 2 )
(Sol:
(Sol:
3 )
2+ 3 )
FICHA 5: Clasificación de los números reales
1.
Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más conveniente en cada
caso, el porqué (véase el primer ejemplo):
1
∈ Q pq es un cociente de enteros
8
13
0,1
π
3
⌢
6, 4
5
534
2,666...
1,414213...
0
1,414213
(Soluc: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I; Q)
−3
−
2.
25
3
Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números (IN, Ζ, Q o I); en caso
de ser Q o Ι, razonar el porqué:
π
2
5
6
∩
3
2, 3
4
2,020020002...
0,0015
4
−10
−16
3.
Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué:
3,629629629....
7,129292929...
0,130129128...
4,101001000...
5,216968888...
(Soluc: Q; I; Q; I; Q; I)
0,123456789...
Ejercicios libro: pág. 44: 20; pág. 53: 72 y 74
4.
5.
¿V o F? Razonar la respuesta:
a)
2+ 3 = 5
(Sol: F)
b)
16 + 9 = 16 + 9 = 4 + 3 = 7
(Sol: F)
c)
16 ·9 = 16 · 9 = 4 ·3 = 12
(Sol: V)
d) Todo número real es racional.
(Sol: F)
e) Todo número natural es entero.
(Sol: V)
f) Todo número entero es racional.
(Sol: V)
g) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional.
(Sol: V)
h) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional.
(Sol: F)
Para cada uno de los siguientes números, indicar razonadamente si pertenecen a Q o I:
1,010010001... ∈
1,010010001
1,0101010101...
−101
1
11
⌢
2,3 ∈
2,3
2,303303330...
−23
23
6.
Completar la siguiente tabla (no vale repetir ejemplos):
Ejemplo:
¿A qué conjunto
pertenece?
¿Por qué?
( Q o I)
⌢
2,6
∈I
Porque es una fracción de enteros
2
∈Q