! "#"# # $% $ # % #"# &" %"' # % # %$ #( # %%" #( # $ ) # % #( & & # % # * # # %! %$ * "# + # " ,% $#"- & "& #" &" * & $ # .$ # & # # $% $ # / #"# " # % # / "% #0 / / % %"' $ # $% $ # .$" ( /$ #( # / # ! "#"# * "# + #/ % "- & 1 & * 2 " "% %" # # # $% $ # 3"/ # ! "% # % &/$ # # / &$ #( / % # * % $& # % & & # - "% # /"# ( * / -" # * # # % & & # 3 ") # /"# " %" # # $% $ # "# # ! "% # % & -" # * # # #"&/ & / * #( &" %"' # $ ) #" # / # & * " "%$ ( - $! # / .$" " " # ! "% ( # 3"/ # ! "% # % & /' "% # 4% $ -" # * % $& #5 * # # # # & # % " $ # .$ .$" % " " # "%" #( #( % & " # $ " # * ," # 4 "# #" #5 / &" %"' #$# $ ) #" # %' " & & .$" .$ # 3 / & " 2 !# "% 4# / %" ( ##( 6 "5 &7 # & "%" # % & " %"' % &7 $ #"# %" 8 "& 1 # & # " "-" $ # $ /' "% # $% $ "# + # / % & " %"' % # &!# # .$ /$ #/ # ) & .$ %$ $ #$ -" 8 " 49: + #5 1 # & & #( % # * $ ) # ," # " # # / $% / % % & " % # &$ # / & #( -"- # # % * #"#& 4-" ( "&/ % % 50 # % & " %" # &2 "& # # / # $ # & "# + ;:<: 1 # & & #( # $ ) # % # * %%" # &!,"& # %$ %$ # $% $ #! & % ( .$ # - " "% # # & %" # $ /"# % " $ # &$ # # " & # ,"' " # %$ " # 3"/' #"# % (% $ # %$ # % #" # / &" # & & #( % # * %%" # &!,"& #( # / % # # % %" % & %" % # " .$ % % # % / & 4&$ 5 %$ # # & # $% # # # % "%" # % # & & # "- # * / #" "- # &!,"& # # / * # * % $)( & & # &!,"& # % $& #( # %%" # &!,"& # / 7# #( * # # $ ) # % # &!,"& # -" # %" " #"&/ " "% %" = > ? @ 9 < 1 % ! "#"# !# "% ( / / $ # #$ %" # * # "$ # & # #"&/ & / * # # " " # #$# / * # # #$&" ! " $ #$ $) " &!# / & #" &/ .$ # & .$ "# %" # # / * # % # % " ( # & ! 8 "& %! %$ & & # % $& # " # % # ( # /$ #$&" .$ #$# , & # # #! &/ # 1 " %" #& & # # , & # -" #( # ! / " % $& "- #$/ " * % $& "- " " / / %"' #$# " " % # * % "%" # / * ! "#"# & # % " $ #( $) % & # ! " $ "# %" # # / * # * # % $& # # % #" ! &/ # #$# , & # /$ # # 4 # % $& # /"# #$/ " " " "- % #" 5 "# + ( # & & # # / * # # & # # " " # % # / ! # $%" # &! # % / * 1 # # # # " " # % #$# / * # * % $% # & # .$ ?& / ! # ") # % & & # % " $ # % & "/ %$%3" *% $% # " $ # $) " & ( #/ %" ( # & ( %3 -" # $ .$" % " " .$ # #$& / # "& " " ) # & # ( * # ,"' #"' ( ! # & " ! "#"# $# # &7 # .$ # $%" # & &! "% # , % # ! "#"# # $% $ # % % # # $ & % # " &$%3 # % # #0 #" & & "7 &$%3 # % # # % " # # " #$ "%" / ,"& %"' % &/ &7 # / ,"& # %' " 4 ;:<:5 / / $ &7 / ,"& / %! %$ # & & #* $ ) #% # ! " #$ % # & ( .$ #$ # # "# % " # # &7 $# # # & %$ # %$&/ # % "%" # #" $" # = > 1 -" # % % # &!# & # 1 # $% # " # * % # " " "$ &!# A% #/ % $) & 1 %"' % -"- 4# % 5 % &$ 4/ & # & * ? 4 B≤? 5 1 #% # # $ " & & / " # 1 # & # # / "#&! "% # ? @ 9 >: 5 ' 1 #& & # % #* $ ) #% ## $ %"' / "% (% 4 5( $) " # & # 4 )5 * 4 )5 # ! " $ $) " / / * & & # / #" "- # * $ ) # % #( * / & " # # & # * % # / %! %$ # & & # ' &$ # / /$ # # # % 8 "& # % "%" # %! %$ # $% # " # "- # 1 # • Momento positivo (a) Tramos extremos El extremo discontinuo no está restringido ............................. El extremo discontinuo es monolítico con el apoyo ............... (1/11) wu (1/14) wu 2 (b) Tramos interiores ............................................................... (1/16) wu 2 (1/ 9) wu (1/10) wu 2 • Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior (a) Dos tramos: ................................................................ (b) Más de dos tramos: &&.................................................. • Momento negativo en las demás caras de apoyos interiores&&(1/11) wu 2 2 2 • Momento negativo en la cara de todos los apoyos para losas con luces que no excedan de 3 m y vigas en las cuales el cociente entre la suma de las rigideces de las columnas y la rigidez de la viga exceda de 8 en cada extremo del tramo: ...........................................&&&&. (1/12) wu 2 • Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores para los elementos construidos monolíticamente con sus apoyos: Cuando el apoyo es una viga de borde: ..............................(1/ 24) wu Cuando el apoyo es una columna: ................................. (1/16) wu 2 2 • Fuerza Cortante Cara exterior del primer apoyo interior: ........&.&&&&& 1.5 (1/ 2) wu Caras de todos los demás apoyos: ....................................... (1/ 2) wu El valor de es la luz libre del tramo. Para el cálculo de los momentos negativos en las caras de los apoyos interiores, se tomará como el promedio de las luces libres adyacentes. * + * + * * * + + # ,% & $ # %$ " # # #$ % / %" " %$ #" " !# "% 4 $% " " 5( # / &" # % %" " #/ "# " $%"' # $ ) # / /" # $% $ .$ 1 "# " $%"' 4& & 5 # # %%" # %%" # & # # ) #" # # %%" # .$7 %" % # " & %"' 1 & $ % #" .$ 2 !# "% # / ! $& # #$ ) # # % / %" # # &!# # ) # $ # $% $ #( & .$ $ # %%"' # % * % # /$ & % "%" # # & % "#& # ' $ # / !# "% # % # .$ %" ( # 4 / C5 # % "# " $%"' & & # # & & # "- # % %$ # / & " # / * # # & # % " $ # #$ # ,"' ( "#&" $" &!# -. /0 1 ρ 1 ρ)2 ρ, A4 * .$ # & & # "- # #2 & " "% #& & #* $ ) #" # %$ .$" 1 % #" "# " $%"' & & %$ # $% & & # & " $ .45ρ ρ, ," %$&/ " % 4ρ ρ 1 ρ)3 ≤ .$ ,% $ %$ 2 # # / % 5 ! $# # / % %$ # %%"' & !3 % # # & %$ # %%"' ( # "# + & .$ ρ 4ρ ρ 1 ρ)3# ," %" # #2#&"% # #/ (* # .45ρ ρ,( * 3 #' # " "% $ $ ) : :>9 & # # $% $ # %$* # "& #" # % &/ %"' % #$ / % & # / # #% %# $ $ %"' % #"# #&" " # % # % # ( /"# &" (# % * ".$ 2 3 %" " & 2 " % # % # #"#& & % &/ &" $ " & % /"# .$ # % " $ #/ ) &" % "- 6 41 $ 5 1 # # % " " %%" ; ; # % ") / .$ # ; 1 # # " " %%" # ; ; % & / # / /" # -" #( * % & .$ # $ $& # * &$ # # ; 5 "- & % ") / .$ # " %") # # # / * > " # # %") # / * # / " %"/ #$ / 2& # 4@ #5 # % % ") / .$ & * .$ #( / " %%"' % 3 %" 4 1 # # # & %") # & # $ %"' # "& #" # .$ & * / % # # -" # / * " %%"' # * %3 # #&" 1 %%"' # $% $ $ # & $ " %%"' /$ -"#$ ") # 7 &" # & #$/ "%" % 1 " &$ # $ # % $ #"&/ & / * , #"' #$# # # # /$ # # * " %$ .$" # / # # # % # " # / "% $ % $ " & & "# " $" #$/ "%" ( & % # !% & .$ " "% # 2 # #' " # 1 # %$ - $ # * % # %$ %" ( # & & # % ## # &"#& # # # # .$ # , " " %%"' % # # / * #( &" # .$ 3 * %$ - $ * / % #" $" ( ,"# & & # % #/ # # # / # "%3 # # 1 #$/ "%" .$ # & # %" 2 "% % # ! "#"# * "# + ( $ # $ " " %%" /$ % #" # % & -" # / % / * %3 $ " " #/ # # # # "& / %$ ( # "# % # .$"#" # &2 "& # / % ," #( "%" & #/ # # # "& # & .$ % % #! % / %" #"# " / #2 # # #$ ) # % ( /$ # # $# &/ $ ) #- # # # $ " " %%" # "# + # # & %") # -" #( &!# # / %"# % %%"' * &/ $ ( %$ # ! & * .$ %& 1 & $ / " %"/ &/ $ & # $ " %%"' # #"&" % #" "# " $%"' $ #2 % & #/ %" &" &!,"& 4 #- % # #/ # # "& * &2 "& ( " &"#& %$ 2 .$ + '% #7 6 # # & " $6 # # & " # #$ ) # # # % & " # 7 &"% # 4 &/ $ 5( # .$ / $ %" #0 / -" # '& $ ) ( &" $ ) / "# + ) / / D;D <5 .$ @9 $ ) %# 4 / D; D =:5 1 # # # # ! / % %%"' $ * # " % #" " &" # # .$" $ %" % " &/ $ $ ) &2 "& / % %%"' * &/ $ ( .$ # % % / / "%$ $ ) / ,"' # # $ " %%"' ( .$ # &2 "& ," " / # # " %%" # # # #" & #( %$&/ " % # #" $" # 2&" # ; ; ; 1 1 1 & 1 ; # # # #% # #% % # #% # $# #% #% # #% # "# # # * E @>:: F G%&> # * H @>:: F G%&> $ $ $ # : ::>9 3 : ::>: 3 : ::=I 3 : ::=I 4@>::G *5 3 & : ::=@ 3 > * J @>:: F G%& / $ ) / % %%"' * &/ $ / ! % % # $ # % # & / " #/ # 7# ( * #/ %" &" &!,"& # ! & * .$ %" % - % # #/ # # " & * .$ @9 %& 6 ; ; ; 9 # $8 $ & 6 # 1 # # #"&/ & / * # 1 # #% / * # "#% " $ # 1 # #% # / * #% " $ # # ' 3 H G>: 3 H G>@ 3 H G>I # # 4 1 # # # & %") #( % & * # " "%'( # "# + # % & -" # %3 $ " " # "/ # $% $ # # % - " # #" # # - $% # #( /$ # #$ &$* / # * " % '&"% # " / % " " ) * -" & #" ( " #$ / % / ( .$" &$%3 $ ) "$ " 1 # # # - # #! % # " $" # / $ #"# & / .$ + # -" # ( & # - $ # -" $ #( $ " # -7# $ # " $ #/ # .$ -" # # # # " / % / # % &/ %"' # # # & %") # * #$ " " ) # .$"( .$ # / &" # &!# "%" # / %$ " # $% # " # / " # # % #$/ "%" " " $ " & ( # #/ %" # - %2 # % " # 3$ % # & " # ! #( # "/ # % %" % & # " *# $# &$* % &8 " "% %" # * # % '&"% # / 3 % % .$ # "# + # "& % & K H =D %& K H >: %& K H >9 %& K H ?: %& K H ?9 %& 1 # -" $ 6 # # " $8 $ :1 $ # # " # % ><: F G&> ?:: F G&> ?9: F G&> @:: F G&> @9: F G&> $ %3 #/ # " #( # # "/ / # / /" # /$ 1 " => %&0 1 " =9 %&0 1 " >: %&0 1 " >9 %&0 1 " ?: %&0 # 9 %& # 9 %& # 9 %& # 9 %& # =: %& =: %& # /$ # # "& 6 # % :;< # ' =-. > =-5 ? $6 % # "# + $ # & %") ( % #" # #" $" > > ".$ 2 H =:: F G& % % # "# &" H =:: F G& 0 > > > ?:: F G& 0 / L%H >=: F G%& ( * H @>:: F G%& : ?: = @ I: *# $ & %") # / : ?: $ & # & 3≥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← 4N5 H =G=@ , = @9> , 4@ I:5 > H > ?C ;& H =G=@ , = @9> , 49 ::5 > H > 9C ;& @4 % #" $ # 4 & # ? %& %$ "&" N "!& ! %$ H =D ; ? H =@ %& ρ &!, H : 9:ρ #" - " H : :=:< ω H ρ * H : >=> L% $Hφ ω > % 4=;: #" 9Cω5 H: C,=::4=@5> ,: >=,: >=>4=;: 9C, : >=>5 H <ID ;%& H < ID ;& J ? ID ;& #" ρ &!, H : D9ρ H : :=9C ω H ρ * H : ?=I L% $Hφ > ω % 4=;: 9Cω5 H: C,=::4=@5> ,: >=,: ?=I4=;: 9C , : ?=I5 H C9< ;%& H C 9< ;& J ? ID ;& & # .$ & #% # # &!,"& & & %$ % &/ &" 8% " & & #"# # # & * .$ # % # # # " 9 % M" 3 *5 ! # % H ƒ* : I9 L% # # '% #7 4$# %! $ # ' &$ # 4=5 * 4>5 # # / "% H @>:: # H : >?9? # : I9, >=: ,=:: $H φ # * 4 ; G>5 → $H ;& 1 & .$"&" ;:<: " "% #H - $ H =:9 $ φ * 4 ; G>5 : C,@>:: 4=@; G>5 &2 "& # 4=5 4>5 # H : ::=I 3 # &2 H : ::=I , =:: , =D H ? :< %&> $ H = @: O & 0 # &2 $ H > ?C O & 0 # &2 H= # H > D@? H : <@99 # H > D:D H: <?D= # H > D:D %&> J # ⇒ # H ? :< %&> H> # H @ I< H = =@ # H @ D:I H= =:D # H @ D:> %&> E # ⇒ # H @ D:> %&> $ H ? ID O & 0 H> H = I9? H= I@> # &2 E $ H > 9C O & 0 H= # H 9 :D9 H = =C # H 9 == H= > # H 9 == %&> E # ⇒ # H 9 == %&> # &2 $ H = 9> O & 0 # &2 J ? :< # H D ID9 # H D I? # H D I? %&> # ⇒ # H D I? %&> H : <: # H > C?9 H : <C # H > C@@ H : <C> # H > C@ %&> # ⇒ # H ? :< %&> D I? @ D:> ? :< 9 == & %3 ' &$ H# / HP #HP # 1 #! # % % %$ # # / =& # 1 # / %"' $ ) # % %$ % H =:: # %"' %& 0 ≤ ?3 0 ≤ @5 $ - " % / =& # # &2 "& 4 #H? :<5 6 " " φ H ?GIQ 0 H : D= %&> H =:: , : D= H >? ?> %& ? :< > # H ? :< %& ⇒ # =φ ?GIQ R : >: 6 " B #H D D? %&> % > φ ?GIQH = @= % & # H =:: , = @> H =I =? %& D D? = φ SQN =φ ?GIQH = CI H =:: , = CI H >9 ? %& D D? # ⇒ = φ SQN =φ ?GIQ R : >9 # $ B # H @ D %&> % > φ ?GIQH = @= % H =:: , = @> H ?: > %& @D = φ SQH = >D H =:: , = >D H >< I %& @D # ⇒ = φ SQN Q R : >9 # $ B # H 9 == %&> % = φ SQH = >D H =:: , = >D H >@ <9 %& 9 == # ⇒ = φ SQN Q R : >9 + '% #7 # % & $ ) # &/ % $ % ! $ ) &2 "& .$ # -" ! # H : ::=I 3 #H : ::=I , =:: , =D H? :< # H ? :< %&> ⇒ #=φ =G@Q R : >: < ; C% 6 # # B$ H = =9 M$ > H = =9 , = @9> , 9 H @ D > B H B$ H @ D H 9 9? φ : I9 #"# %" % % B%H : 9? √ L% T H : 9? , √>=: , =:: , =@ H =:(D9> F B% J B =: D9 J 9 9? 6 ? $6 % # "# + $ # " ( % #" # > ".$ 2 H =:: F G&> #" $" #% # "# &" H =:: F G& 0 % >:: F G&> 0 / L%H =D9 F G%&> ( * H @>:: F G%&> : >9 = 9 :: *# " : >9 $ $ & # #/ 9 :: 8 & 3≥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φ H SQ #" # 4N5 H=G=@ ,: @@@, 49 ::5 > H : DC? ;& H =G=< , = ==: , 49 ::5> H = D?@ ;& E4 4;5 "%" H=G>@ , = ==:,49 ::5 > H = =9< ;& H=G=: ,= ==:, 49 ::5 > H > DD9 ;& % H=G== , = ==:,49 :: 5> H > 9>> ;& $ "- # % H=G=< ,: @@@, 49 ::5 > H : <C@ ;& 4 %$ "&" N "!& H >: O 4> N φG>5 H =D ? %& ρ &!, H : D9ρ #" ωH ρ * - " H : :=?>I H : ?=I L% $Hφ > ω %4=;: 9Cω5H: C,4=:,> 954=D ?5>,: =D9,: ?=I4=;: 9C,: ?=I5 H ?:@ ;%& H ? :@ ;& J > DD9 ;& & # > "- & ρ H # 0 # ' &$ # H ⇒ H ρ ƒ* # ƒ* : I9 L% : I9 L% H : :=?>I,@>::,=D ? H < @I %& : I9 , =D9 H : I9 L% 4 ; G>5 0 $ Hφ H: I9, < @D , >9 ,=D9 4=D ? O < @IG>5 H ? ?I ;& $ H: C , ? ?I H ? :@ ;& J> DD ;& & # .$ & #% # # &!,"& & & %$ % &/ &" 8% " -" $ #" = #"# # ρ &!, H : D9ρ #" ωH ρ & & * # & * .$ # % # # # " H : :=?>I H : ?=I L% > $Hφ ω %4=;: 9Cω5H: C,=: 4=D ?5>,: =D9,: ?=I4=;: 9C,: ?=I5 H =>= D ;%& H = >=D ;& J = == ;& > "- & ρ H # 0 # ' &$ # H ⇒ H ρ ƒ* # ƒ* : I9 L% : I9 L% H : :=?>I,@>::,=D ? H < @I %& : I9 , =D9 H : I9 L% 4 ; G>5 0 $ Hφ H: I9, < @D , =: ,=D9 4=D ? O < @IG>5 H = ?9 ;& $ H: C , ? ?I H = >= ;& J= == ;& C % M" 3 *5 ! # % # '% #7 4$# %! $ # ' &$ # 4=5 * 4>5 # # / "% H .$"&" ƒ* : I9 L% # 4=5 # $H φ # * 4 ; G>5 → # H $ H $ 4>5 φ * 4 ; G>5 : C,@>:: 4=D ?; G>5> 9 1 & ;:<: " "% - &2 "& # # H : D√ L% T * # &2 H : D , √=D9 ,=: ,=D ? H : ?I %& @>:: > & / * # "- # / $ H ==9 <: O%&0 -" $ ≈ G< ≅ ? # H : DD %&> # J # &2 ⇒ # H : DD %&> ⇒ =φ ?GIQ / * $ H >DD 9 O%&0 # &2 E H? H 9 >@ # H = I< # H > :: %&> # ⇒ # H > :: %&> ⇒ =φ =G>QN=φ ?GIQ / * $ H>9> >D O%&0 # &2 E & # % & # H = I= %&> H? # ⇒ # H = I= %&> ⇒ =φ S QN=φ ?GIQ #" "- # / % $ -" $ -" #" ! - " "% #" -" $ & # 3 H 9 %&# H & $ H =CI > O%& 0 H9 ⇒ # H = @> ⇒ ρ H : ::>:@I %H = =DC %& E 9 %& ⇒ B" % $ TH: @: 1$ H=: # H = >9 H: ID # H = >9 %&> # &2 E # ⇒ # H = >9 %&> ⇒ =φ SQ & $ H = D? @ O%&0 H = :: # H = :C %&> # &2 E # ⇒ # H = :C %&> ⇒ =φ SQ : DD > :: = I= = >9 + '% #7 # % & $ ) = :C % # &/ % ! $ ) &2 "& .$ # -" ! # H : ::=I 3 $ #H : ::=I , =:: , 9 H: C %&> ⇒ #=φ ?GIQ R : >9 4 < ; C% 6 # !,"& % #$ ) ≤9 B$ H = =9 M$ H = =9 , ===: , 9 H ?=C= >9F > > % / * B% 2 H B&!, O T B% 2 H?=C= >9;===: ,: =D? H >CCC >> F &" H B% 2 H >CCC >> H I =< F G%&> φ : I9,>9,=D ? &"#" " % & "# " $%"' % % =: A # % H: 9?,√=D9 ,= =HD D=F G%&>0 % E 1 ' ≤ @9 %&#5 # #$ ) % F # / #" / &" " &!, "$ # %3 , H B$ ;φ B$% M$ %H #"# : 9? √ L% , = =:F %" -" $ ⇒ 3 * .$ % % # # %3 / -" $ # H ?=C=; >I?9 H : ?> & ===: φ B$% H : I9,D D=,=D ?,>9 H >I?9 F %3 U$" % % # " & " # -" $ H B$ φ % H ?=C= H== ><≅ => %& : I9, D D=,=D ?,> 9 " / % -" $ # 1 -" $ / # ( .$ T H : =: #" $ $ TH : >9 & "