Autoria y edicion
Secretaria editorial
Pablo Effenberger
Lidia Chico
Lectura critica y correcciones matematicas
Produccion industrial
Lidia Lindenbaum
Lidia Chico
Leticia Groizard
Correccion de estilo
Pilar Flaster
Fotografia
Diagramacion
Shutterstock.com.
Pablo Cerrolaza
Edicion grofica
Florencia Cortelletti
Tratamiento de imagenes,
arcbiuo y preimpresion
Liana Agrasar
© Estacion Mand1oca de ed1ciones s.a.
Jose Bonifacio 2524 (C1406GYD) Buenos Aires - Argentina
Tel./Fax: ( +54) 11 4637-9001
ISBN: 978-987-4113-12-2
Queda hecho el dep6sito que dispone la Ley 11723.
lmpreso e Argentina. Printed in Argentina.
Primera edici6n: marzo de 2017.
lmagenes utilizadas conforme a la licencia de
Effenberger, Pablo
Matematica 2 I Pablo Effenberger. - 1a. edici6n para el alum no Ciudad Aut6noma de Buenos Aires: Estacion Mandioca, 2017.
176 p. ; 28 x 22 cm. - (Llaves)
ISBN 978-987-4113-12-2
1. Matematica. I. Titulo.
CDD 507
Este l1bro no puede se reproducido total ni parcialmente per
ningun medic, tratam1ento o procedim1ento, ya sea mediante
reprografia, fotocop1a, microfilmac16n o m1meografia, o cualqu1er
otro sistema mecan1co, electr6nico, fotoquimico, magnetico,
informatico o electro6ptico. Cualqu1er reproducci6n no autarizada
par las editores viola derechas reservadas, es ilegal y constituye
un delito.
Numeros naturales
7
Numeracion decimal ....................................... 7
v Lectura y escritura de numeros ................. 8
vla recta numerica ............................................. 9
vMultiplicacion y division ..............................10
v(alculos combinados .................................... 11
v Potenciacion y radicacion ........................... 12
v(alculos combinados .................................... 13
v Lenguaje coloquial y simbolico................14
v Ecuaciones .......................................................... 15
• Revision final ....................................................16
v
CAPiTUL002
Numeros enteros
17
El conj unto de las numeros enteros ..... 17
enteros ..18
v El cero como referencia ............................... 19
v Reeta numerica y orden de los
numeros enteros ............................................ 20
v Modulo. Enteros opuestos y
consecutivos ...................................................... 21
v Adici6n y sustraccion.....................................22
v Sumas algebraicas ..........................................23
v Supresion de parentesis..............................24
• Revision parcial ............................................... 25
v
v Reconocimiento de numeros
v Multiplicacion
y division ............................. 26
vCalculos combinados .................................... 27
v Potenciacion de enteros ............................. 28
v Propiedades de la potenciacion ..............29
vRadicaci6n de enteros ................................. 30
v Propiedades de la radicacion ................... 31
vCalculos combinados ....................................32
• R ev1s1on
• . , parc1a
. l ...............................................33
• Revision final ................................................... 34
Ecuaciones e inecuaciones
35
Lenguaje coloquial y simbolico................35
vTraduccion del lenguaje coloquial al
simb6lico y viceversa ................................... 36
v Expresiones algebraicas. Sucesiones .... 37
v Ecuaciones ......................................................... 38
v Resolucion de ecuaciones ......................... 39
v Problemas que se resuelven
planteando una ecuacion .......................... 40
• Revision parciat ............................................... 41
v
v Ecuaciones
con raices ...................................42
v Ecuaciones con potencias ..........................43
v Ecuaciones con dos inc6gnitas.
Sistemas de ecuaciones ............................. 44
v Resoluci6n anal1tica de un sistema...... 45
v lnecuaciones..................................................... 46
• Revision parcial ............................................... 47
• Revision final ................................................... 48
101
v Cuadrilateros. Elementos .......................... 101
v Clasificaci6n de los cuadrilateros ........ 102
v Construcciones .............................................. 103
v Propiedades de los cuadrilateros........ 104
v Problemas de aplicaci6n .......................... 105
v Superficie de figuras ................................... 106
• Revision parcial .............................................107
v Cuerpos poliedros y redondos .............. 108
v Elementos de un poliedro ....................... 109
v Poliedros regulares ......................................110
v Superficie lateral y total de
un poliedro ....................................................... 111
v Superficie lateral y total de
los cuerpos redondos ................................. 112
v Unidades de volumen ................................. 113
vVolumen de un cuerpo ............................... 114
v Capacidad y volumen ..................................115
v Equivalencias entre la capacidad
y el volumen .................................................... 116
. .,
. '
............................................. 117
• Rev1s1on parc1a,
• Revision final ..................................................118
Probabilidad y estadistica
119
v Sucesos aleatorios.
Espacio muestral ...........................................119
v Sucesos seguros, probables
e imposibles.................................................... 120
v Diagramas de arbol ...................................... 121
v Calculo combinatorio ..................................122
v Probabilidad simple .....................................123
v Calculo de probabilidades ........................124
• Revision parcial.............................................125
v Estad1stica. Poblaciones
y variables ........................................................ 126
v Variables cuantitativas
y cualitativas .................................................... 127
v Frecuencia absoluta, relativa y
porcentual ........................................................ 128
v Promedio, moda y mediana .....................129
v Graficos de barras ........................................ 130
v Graficos circulares o de torta .................. 131
v lntervalos de clase. Histogramas .......... 132
• Revision pardal .............................................133
• Revision final ................................................. 134
135
• Capitulo 1 ......................................................... 136
• Capitulo 2 ......................................................... 139
• Capitulo 3 ......................................................... 145
• Capitulo 4 ......................................................... 149
• Capitulo 5 ..........................................................153
• Capitulo 6 .......................................................... 161
• Capitulo 7 ......................................................... 168
• Capitulo 8..........................................................171
Capitulo
r
01
NUmeros naturales
T Secuencia de contenidos
ti
ti
ti
ti
ti
ti
ti
ti
ti
ti
.I
.;
Numeraci6n decimal.
Lectura y escritura de numeros.
Descomposici6n en potencias de 10.
Reeta numerica.
Multiplicaci6n.
Division.
Cociente y resto.
Potenciaci6n y radicaci6n.
Calculos combinados.
Problemas de aplicaci6n .
Lenguaje coloquial y simb6lico.
Ecuaciones.
�'(
ntli"'"? f,01-10 T€ fut "=,., cl t:x,<11c,.i S<Jd��
,.,,..Tv121-,a.s ?
t>e f'€,-,t::.1: ... � cos ,.._,.;,..1:�or ,-J"T"t'-Al!:S .so,-., esos <()t.,,E
r-'Ur1C�oS
µ,o ll,!,VM.J A l>.-r,vo.r O COr,.>Sl:�VA>.J/l!S A�ri f'ici"'. lcs y
Tc 'l)l,JA.., f:l ff::lo /JA(/J/i!./,,l' SUAV€ y Sl!o Do S<, ?
esT'= ... /'JO.
... E,.,rorJ(l:S HA.l.
Numeraci6n decimal
1. Escribi c6mo se lee cada numero.
a. 708 560:
b. 3 057 014:
C.
250 603 800:
d. 94 070 247:
e. 4 520 801 500:
\.
2. Escribi los siguientes numeros.
a. Dos millones cincuenta mil trescientos nueve:
'--
b. Ochocientos cuatro mil doscientos trece:
c. Ciento dos millones veinte mil sesenta y uno:
d. Cincuenta mil treinta millones siete mil catorce:
e. Dos billones setenta y dos mil millones novecientos mil cincuenta:
[CAPITULO 01] • 7 •
d . deSfOmposicion
/
Po Lo b�Lo�e: numeros
ec1moles
3. Marca con una X la opci6n correcta.
a. Treinta y ocho mil noventa.
D
30 800 090
D
38 090
b. Ocho millones ocho mil ocho.
8 080 008
D
8 800 008
D
c. Doscientos cuatro millones cien mil.
240 100 ooo
D
204 101 ooo
d. Cinco mil un millones.
5001 ooo ooo
D
4 ooo ooo 700 ooo
D
4 007
8 008 008
D
5100 ooo ooo
e. Cuatro billones siete mil millones.
D
38 ooo 090
204 100 ooo
D
ooo ooo ooo
D
D
5ooo ooo 001
D
D
4 ooo 007 ooo ooo
D
4. Escribi cada uno de los siguientes numeros.
a. 5 ooo ooo + 30 ooo + 7 ooo + 60 =
b. 600 + 400 000 + 8 + 20 000 000 =
c. 90 + 80 000 + 100 + 300 000 + 700 000 000 =
f.
5,8 mil:
h. 1,23 miles de millones:
9. 0,75 millones:
i. 4,69 billones:
5. Completa la tabla.
Cien mil mas
Mil mas
Numero
Mil menos
Cien mil menos
300 000
1 999 000
400 000
805 000
1 612 000
• 8 • [MATEMATICA II]
I"
orden millones recto numerico
Reeta numerica
I
6. Escribi el numero que corresponde a cada letra.
A
0
a.
l
A=[
F
0
b.
B
F=�----
D =[
c=r
B=l
G
D
C
100
H
2 000
E=[
I
R
M
G = ('--____,
7. Elegi una escala adecuada y representa Los siguientes numeros en la recta.
2 500
12 500
10 000
I
6 500
4 000
0
8. Marca el Oen la siguiente recta.
3 600
1 200
I
9. Tacha Los numeros rojos que esten mal ubicados y ubicalos correctamente.
0
600
200
750
1 000
1 300
I
\.
10. Coloca v (verdadero) o F (falso) segun corresponda.
F
L
L,
L
L,
L,
T
(I.
s = 10
b. F
6
= 550 000
D
D
w
z
1,5 millones
8. 10 5
l
\,_..
s
p
D
d. P = o, 75 millones 0
c.
z>
2.10 6
e. T
< 1 200 ooo
f,
= 1,4
W
millones
0
0
I
I
[CAPITULO 01] • 9 •
I,
1_.-
1--
I/
Po Lo btld�e:
diuisi6n calculo mental
multiplicaci6n
Multiplicaci6n y division
11. Para un acto escolar, se colocan 12 filas iguales con 21 sillas en cada una .
Calcula y responde.
a. iCuantas sillas se colocaron?
b. [Cuantas filas con 9 sillas se pueden armar con esa cantidad de sillas?
c. LY cuantas sillas por fila se deben colocar si se arman 18filas?
12. Plantea la multiplicacion que permita calcular la cantidad de cubos que forman el
prisma y resolvela.
13. Com pleta Los casilleros.
a. (0+4). 7=3s+O=Oc. {12-0).0=60-0=20
b.0.(9+3)=36+0=0 d. 6.(0-0)=0-4s=1s
14. Calcula mentalmente el cociente y el resto de cada division.
b. 709:100
a. 48:10
Cociente:
Resto:
J
Cociente:
Resto:
C.
_J
Cociente:
___=1
d. 3 184 :100
583 :10
Resto:
}
Cociente:
Resto:
:J
�
15. Coloca la cifra que corresponda para que las siguientes divisiones sean exactas.
a.ru:7
b.GTIIJ:9
C.
�:11
d.@ill:12
16. Resolve mentalmente las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva.
d. 3 060:30 =
C. 8.102 =
b. 520:5 =
0. 29.4 =
• 10 • [MATEMATICA II]
res to
cociente
propiedad distributiua
17. Un camion trasporta 198 cajas con 15 paquetes cada una y cada paquete pesa 7 kg.
Plantea y resolve.
a. LCuantos paquetes trasporta el camion? b. LCuanto pesa la carga?
18. En un supermercado, reciben 237 botellas vacias y las colocan en cajones para
12 botellas.
Plantea y resolve.
a. LCuantos cajones se llenan?
b. LCuantas faltan para llenar otro cajon?
19. Marca con una X el o Los calculos que permiten conocer la cantidad total de cuadrados
rojos.
[4.13-2.8
20. Resolve Los siguientes calculos.
_
�13-2.50
0. 8 + 10: 2 + 7 =
C� 9.4 + 5-15: 3=
e. 36:(12-5.2)=
b. 20 : 5 + 8 - 3. 2=
d. (20 + 8: 4). 5=
f. 60-4.(9 + 2. 3)=
\
(CAPITULO 01] • 11 •
productos potenc1a. ra'i-z
o
Po ob���e:
Potenciaci6n y radicaci6n
21.
Expresa Los siguientes productos como una potencia.
a. 6.6.6 =
b. 3. 3.3. 3. 3
22.
C. 15 .15 =
e. 2.2.2.2.2.2 =
d. 7. 7. 7. 7 =
f. 13.13.13 =
=
Calcula las siguientes potencias.
a. 17 2 =
b. 8
3
c. 34 =
=
d. 23
=
°
5
2 =
e. 7 3 =
g.
f.
h. 10
4
5 =
6
=
23. Calcula las siguientes raices.
a. [49 =
b.
C.
/i21 =
ifii =
d. V216 =
e. �144 =
g. '{/256 =
f.
h. V64 =
ef81 =
24. Escribi entre que numeros naturales consecutivos se encuentra cada raiz.
0
-
C<
v'4s <O
b.O< m <O
25.
c. �< .J200 <O
d.C< rss <O
e. O<
V42 <O
f. O< V300 <O
Escribi el numero que corresponda.
a. )[...___) = 13
b. [�___.)
3
=
512
C.
d.
0)64 = 2
3 0 = 243
2
___.J) = 361
f. ..__[ _
26. Coloca V (verdadero) o F (falso) segun corresponda.
D
b. /9+-tis= /36 D
a. 5 3 .5 = 5 4
• 12 • [MATEMATICA II]
D e. (2 )2 = 2
D
d. 14. Jw = l64
D r. /9+/9 =2/9 D
c. 43 =3 2
3
5
r
c6Lculos
combinados
27. Resolve los siguientes calculos combinados.
,,.
I
a. 6 . 2 2 - ../4 . 25 +7 . 3 =
3
b. (24:3-5) +../S0-7 ° =
c. ..J9 . 4 - 11
I
+ 4 2 : ( 7 . 2 - 6) =
I
[CAPITULO 01] • 13
lenguaje coloquial
.
Sim b O, L.ICO
Lenguaje coloquial y simb6lico
28. Expresa en lenguaje simbolico y resolve.
o. La diferencia entre trece y nueve.
d.
El doble del siguiente de quince.
El producto entre ocho y dace.
e. La mitad del anterior a diecinueve.
c. El cociente entre sesenta y cuatro.
f. El siguiente del cuadrado de siete.
b.
29. Expresa en lenguaje coloquial.
o. 3 . ( 16 - 1) �
b. 4.8+1 �
c.
(9+1)
2
�
d. 20:5-1 �
e.
(14+1): �
3
30. Marca con una X la opci6n correcta.
o. El doble del anterior de un numero.
I 2x - 1
b.
:J '
2 (x-1) [ )
El siguiente del doble de un numero.
[ 2x+1 [ )
'i(x+1):0
c. La tercera parte del siguiente de un
numero.
)
� :3 (
b. 8X + 3 - X + 1
G2-1r)
• 14 • [MATEMATICA II]
C. 9 + 7X - 4 - 3X
=
: x:3+1 l
1
d. El anterior de la mitad de un numero.
31. Halla la minima expresion.
o. 2x+ x+5x =
1
=
d. 6 ( X + 1) + X - 2 =
,(x-1):20
ecuac1ones
uolor x
perimetro
Ecuaciones
,.
32.
Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
� x
=
(
C. x:2+1
b. 3x-2 = 10 � x
=
[
d. 15-x
0. X+8
33.
=
13
Resolve las siguientes ecuaciones.
a.
4x+3 = 15
b. sx = 2x+18
c. 3x-7
=
x+3
d. 6x-2x
=
6 � x= [
=
=
� x
9
=
(
g. x 2+5 = 30
21 -13
e. 3(x-2) = 18
h. ,/x+3
f.
i. 2x 3 - 30
4(x+1)+3x = 25
=
7
=
24
34.
Tradud al lenguaje simbolico y halla el numero que cumple con cada condicion.
35.
Calcula el perimetro de cada figura.
a.
a.
Su triple es igual a la mitad de
cuarenta y dos.
b. El doble de su siguiente es treinta y
cuatro.
\.
\.
L,
L
l�
L...,
L,
L,;
L,
L;
G
�o
3x-3cm
b.
... - -�·
'.-��-.
.
4x-3cm
u
..,:t-
+
X
,,
•'
-··"
'
'.-
�
.,,·
'
.
2x+ 9cm
[CAPITULO 01] • 15 •
i
,�
I:
-
"·
Reuisi6n final
36.
42.
Ordena de menor a mayor Los
siguientes numeros.
Completa Los casilleros vacios.
a.
��ei-nte mil�
0 3 = 343 c. )D= 11
i0,45 mil millones 1
�o ooo +90 ooo ooo J
43. Resolve Los siguientes calculos.
[ 7 .10 +8 .10 +5 .10 J
7
5
6
a. 12 : (3 . 5-11)+ J62 +7 . 4 -2 3 =
'360-000-�oo]
2
37. lndica el valor de R, S y T en la recta.
0,75 mil
38.
Sabiendo que 24. 30 = 720, calcula:
c.12.15
d. 24 . 3
Completa Los casilleros vacios.
a.
(s +
b.
6.(
I= 56 + 63 = ]
) .
]-L
) = 54-LJ= 12
40. Plantea y resolve.
a.Hernan compra 8 gaseosas, paga
con un billete de$ 500 y recibe
$ 52 de vuelto. ;_Cuanto cuesta
cada gaseosa?
b. Comprar 7 pilas grandes de$ 36
cada una cuesta lo mismo que
comprar 9 pilas chicas. tCuanto
cuesta cada pila chica?
41.
Calcula mentalmente el resto de cada
division.
a.385: 2
a. La diferencia entre el doble de trece
y la tercera parte de cincuenta y uno.
b. El triple de la cuarta parte de la
suma entre catorce y cincuenta.
T
a. 12 . 30
b.24.60
39.
44. Traduci al lenguaje simbolico y resolve.
2 000
s
R
b. v'11 2 -40+5 ° +(4.5-17) =
b. 5 694: 10
c.12 637: 100
45.
46.
Expresa en lenguaje simbolico.
a.La mitad del anterior de un numero.
b. El siguiente del triple de un numero.
Resolve las siguientes ecuaciones.
o. 5x +4=2x +25
b. 3x-5+x=19
2 (X+5)=32
d. 7X+3= 2 ( X+7)+9
2
e. ( 2x +3) =81
f. 3 y'X - 4 = 12
C.
47. Plantea la ecuacion y resolve.
a. El triple del siguiente de un numero
es 102. lcual es el numero?
b.La suma de dos numeros
consecutivos es 113. iCuales son
los numeros?
c. Axel y Ezequiel tienen$ 84. Si Axel
tiene$ 12 mas que Ezequiel, tcuanto
dinero tiene cada uno?
d. El doble de la edad que Fernanda
tendra dentro de tres anos es 60.
;.Que edad tiene Fernanda?
r
r
r
r
Capitulo
02
NUmeros enteros
� 2 /<.t fot.>�(c Al
TE
1,-., GR�tJtc t)E'
'!///,
T Secuencio de contenidos
El conjunto de los numeros
enteros.
Representacion en la recta
numerica.
Orden de los numeros enteros.
Enteros consecutivos y opuestos.
Modulo de un entero.
Adicion y sustraccion.
Supresion de parentesis.
Multiplicacion y division.
Potenciacion. Propiedades.
Radicacion. Propiedades.
Calculos combinados.
De
fc?
loS
LA. "is�NDA.
M
H/�.it Arico..t"
<f11E lo A.S.A.l
El conjunto de los numeros enteros
--------------------------------------· -......-- ------- --------- ------ ----- ------ -- -- ------------------ -- -- ------------ -- ---------------- ---
Los numeros naturales (N) se utilizan para contar y designar cantidades.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... }
Pero por ejemplo, para designar subsuelos de un edifico o deudas, no son suficientes y es
necesario agregar los numeros negativos.
Los numeros naturales, el cero y los numeros negatives forman el conjunto de los numeros
enteros
(Z).
Z = { ... - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, l, 2, 3, 4, 5 ...}
El cero (0) no es negativo ni positivo, como tampoco es par o impar, es el numero que
establece una referencia entre los positivos y los negativos.
Para distinguir, por ejemplo, temperaturas de S ° C sabre o bajo cero, se utlliza S ° C y - 8 ° C,
respect1vamente.
-- - -- ---.. ---
---· - -------------------------------------.. -------..------------------..... ----.. -------------------------- - -------- --------------[CAPITULO 02] • 17 •
cero
0 u.( : 0ctar ue: no t uro L esenteros
1. Escribi un numero entero que represente cada situacion.
� [_____}
a. Un alpinista esta a doscientos cincuenta metros de altura.
b. Se hace un retire de quinientos pesos de una cuenta bancaria.
� [�---)
._J]
� [,...____
c. Un hecho ocurri6 noventa y cinco anos antes de Cristo.
d. Un ascensor esta en el cuarto subsuelo.
� (�---,--')
e. Un buzo se encuentra a cuarenta y tres metros de profundidad. � [
f.
----J
._..J}
� [..___
Un avian esta a siete mil metros de altura.
g. Se realiza un dep6sito de dos mil pesos en una cuenta bancaria. � (�---,,--']
� ( __ )
.._
___,
h. Un freezer tiene una temperatura de quince grados bajo cero.
2.
Un submarine esta a ochenta metros de profundidad.
Pensa y responde.
a. lcuantos metros debe bajar para llegar a los cien de profundidad?
b. ly cuantos debe subir desde ahi para estar a cuarenta de profundidad?
3.
Un ascensor esta en el cuarto piso.
Pensa y responde.
a. lcuantos pisos debe bajar para llegar al tercer subsuelo?
b. ly cuantos debe subir desde ese subsuelo hasta el novene piso?
4.
Ezequiel tiene $ 500 en su cuenta bancaria el 07/09.
Completa la tabla con Los movimientos de su cuenta.
Fecha
Operacion
a.
08/09
Extracci6n de $ 700
b.
09/09
Dep6sito de $ 600
c.
10/09
- $100
d.
11 /09
$ 300
• 18 • [MATEMATICA II]
Saldo
. )
r
,
ser1e
positiuos
negotiuos
5.
Escribi los terminos que faltan en cada serie.
6.
La amplitud termica es la cantidad de grados que varia la temperatura en un dia.
Completa la tabla con la amplitud termica de cada dia de la semana en una ciudad.
Dia de la semana
Temperatura minima
Temperatura maxima
Lunes
°
°
a.
b.
Martes
-1 c
6oc
C.
Miercoles
- 3° c
7° c
Ju eves
2° c
11° c
Viernes
- 60(
0° C
Sabado
- 8° C
_ ,oc
Domingo
- 5° c
3° c
d.
e.
f.
g.
1 c
Amplitud termica
8 C
°
Pensa y responde.
h. Si la amplitud termica es de 8 ° C y la temperatura minima de - 3° C, iCUal es la
temperatura maxima?
i. Si la amplitud termica es de 6 ° C y la temperatura maxima de 4° C, iCual es la
temperatura minima?
7.
Los paquetes de galletitas de una misma marca tienen un peso promedio de 300 g.
En la tabla, se muestra cuantos gramos mas o menos tiene cada paquete respecto del
peso promedio.
Sabor
Peso
\...
Chocolate
+
50
Limon
0
Vainilla
- 20
Coco
+
30
Naranja
- 50
Salva do
-4 0
Avena
+
10
Observa la tabla y responde.
a. iCuanto pesa un paquete de galletitas de vainilla?
b. i_Y cuanto un paquete de galletitas de avena?
c. i_Y un paquete de galletitas de lim6n?
d. i_Oue paquete pesa 250 g?
e. i_Cual pesa 330 g?
f. i_Y cual 260 g?
g. i_Cual es la diferencia de peso entre el paquete de galletitas de naranja y el de
chocolate?
[CAPITULO 02] • 19 •
or den
recto numerico
claue:
�
�
enteros
Reeta numerica y orden de los enteros
Para ubicar numeros enteros en la recta numerica. se toma el cero coma referencia.
Los numeros positivos se colocan a la derecha y los negativos a la izquierda siempre
a la misma distancia uno de otro.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
2
0
• El orden de los numeros enteros depende de su ubicaci6n
en la recta numerica. Cualquier numero ubicado a la
derecha es mayor que cualquiera ubicado a la izquierda.
-6<-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<6
• Cualquier numero positivo es mayor que cualquier
negativo y cualquier negativo es menor que cualquier
positivo. El O es mayor que cualquier negativo y menor
que cualquier positivo.
3
5
4
6
• Cuando se
representa
una recta de
manera vertical.
los numeros
positivos se
colocan arriba
del O; y los
negativos.
debajo.
3
2
1
0
-1
-2
-3
8. Escribi Los numeros que corresponden a Los puntos rojos en cada recta.
I
-3
a.
2
10
0
b.
9. Ubica Los numeros - 180, - 50, - 230, - 70 y - 110 en la recta.
-100
0
10. CoLoca > o < segun corresponda.
m
r
a
p
0
s
b
e
I
I
a. s
b
C.
0
r
e. e
b
g. a
s
b. p
a
d. r
m
f. m
0
h. p
r
• 20 • [MATEMATICA II]
'
op estos
alor absolu o
m6dulo
consecutiuos
,-
Modulo. Enteros opuestos y consecutivos
-- --------- -----------. ---·--.. -..--- -------------------- -------.....------... --- ---- --------------------------- - --------............... ----------------'
• El modulo o valor absoluto de un numero entero es su distancia al O en la recta numerica.
Es siempre positivo, y el modulo de un numero x se simboliza Ix 1-7
9
0
/9/=9
l-7/=7
• Dos numeros enteros son opuestos cuando, en la recta numerica, estan a la rnisma distancia
del O y tienen distinto signo. Es decir, tienen el mismo modulo, pero clistinto signo.
-8
8
0
I - 8 I = I 8 I � - 8 y 8 son opuestos.
• Un numero es el siguiente de otro cuando esta inmediatamente a su derecha en la recta
numerica; y es el antenor cuando esta inmediatamente a su izquierda.
-7
-6
-5
0
• Un numero y su siguiente o un numero y su anterior se denominan consecutivos.
3 y - 4 0 y 1 o 8 y - 9 son numeros consecutivos.
---- ----------------------- -----..
---.............-----..-----------------------....... -..-.... ------------------------..... ---------------......... -.. ---- .. ------
11. Escribi el numero que corresponda.
a. El opuesto de 7:
c. El siguiente de - 11:
b. El opuesto de - 9:
d. El anterior a - 4:
I
12. Coloca > o < segfm corresponda.
a.
\..
\. I,....,
sO l-91
b. I-SI
O -5
c.
oO l-31
d.
I -7I D I -6 I
13. Escribi todos Los numeros que cumplen con cada condicion.
a. Su modulo es menor que 4.
b. Es mayor que - 2 y menor que 5.
I
I
c. Es negativo y su modulo es menor que 6.
d. Su modulo es mayor que 7 y menor que 10.
[CAPITULO 02] • 21
I
I
•
rr1 o �or r: 16 d u lo
adici6n
menor modulo
Adici6n y sustracci6n
.. --------------------------------·-···-----·-----·--------------------------- .................................................................................................................................. ..
Para sumar y restar numeros enteros, hay que tener en cuenta los signos de cada numero.
• Si tienen distinto signo, al de mayor modulo, se le resta el de menor modulo. El resultado
lleva el signo del numero de mayor modulo.
+5 8= 3
+7
3=+4
12 + 4 = 8
3+10=+7
• Si ambos son negativos, se suman sus modulos, y el resultado es negativo.
1
6=
-9
7
4=
--------------------------------------- -----------------· - -----
13
2 7 5 = 14
- ------------------------
-· --------------------·--·------------------
14. Un, cada calculo con su resultado.
o.
2-4
b. -2+ 4
C.
2
d. -2-4
e.
-4+2
\ -2
4-2
6
(-6
f. -4-2
15. Resolve las siguientes operaciones.
o.3-8=[___j
d.5-6= �
g.13-18=�
b.-7+5= �
e.-2 +7=CJ
h. -11
c.-9-1 =0
f.-4-6=�
i.
+4=0
-19+25=0
16. Completa el signo y el numero para que se cumplan las igualdades.
o. s00=-3
b.-400=5
C.
-2 00=-7
d.00+6=-2
9.-2000=0
f. 00-3=-9
i.
e. 00-8=4
h.o00=-1s
17. Resolve las siguientes operaciones.
0.
I - 6 I+ I - s 1 =
• 22 • [MATEMATICA II]
b. 4 -1- 9 I=
C.
-700=-10
l-31-1-71=
pro ie�ad cancelatiua
r
,..
sustracci6n sumo al9ebra1ca
Sumas algebraicas
----- - - - --- -- --- --- --..-------------- - -------- - ---- -------- -- - -- -----.... -------- -- --- ----- - -- ---- -- -- -------------- - -------- ... ------
--- ------
Una suma algebraica es una sucesi6n de sumas y restas.
Para resolver una suma algebraica, a la suma de todos los positives, se le resta la suma de
todos los .
- +6-'>+2�6+2-( + )=8-
=-1
En una suma algebraica, se puede aplicar la propiedad cancelativa para simplificar su
resoluci6n.
-------- -.. ----------------- ------------ - --- - ----- - - - - ------- ..------..-------------------------- - --- - ------------------- ------- - ------------
18. Observa cada suma algebraica y, sin resolverla, escribi si el resultado es POSITIVO
o NEGATIVO.
a. - 2 -5 -7-1 """7 [_______
___]
C.
b. 1 + 9 + 8-5 """7[
d. -8 + 7 - 4 + 8 + 4 """7 [_______
_____,
,....--==============)
6-3 + 5 -6 """7 [�-------'
19. Resolve cada suma algebraica y aplica la propiedad cancelativa cuando sea posible.
a. -9 + 4-7 + 2 -3 =
C.
b. 10-6 -15 + 8 + 6 =
d. -18 + 20 -30-20 + 13 =
20. Plantea el calculo y resolve.
a. Un buzo esta a 24 m de profundidad,
desciende 17 m mas, asciende 34 m
y vuelve a descender 28 m. lA que
profundidad se encuentra?
-11 + 7-10 + 27 =
b. Lautaro abre una cuenta corriente
y deposita $ 253, luego retira $ 472,
deposita $ 96 y retira $ 357. lCual es
su saldo actual?
l..,
L
G
L,
(_,
L..,
[CAPITULO 02] • 23 •
suprimir parentesis
Polob���e:
s1gnos
Supresion de parentesis
Para suprimir un parentesis, se debe considerar el signo que esta adelante.
• Si el signo es un +, se suprime el parentesis, y el o los signos dentro del parentesis NO SE
CAMBIAN.
+(+ 5) = + 5
+( 7)= 7
+(+ 3 8) = + 3 - 8
+ (-
2 6) = 2 6
• Si el signo es un , se suprime el parentesis, y el o los signos dentro del parentesis SE
CAMBIAN por el signo contrario.
( 1)= + 1
(+ 4) = 4
- (+ 9
2) = 9 + 2
( 5 + 7) = + 5- 7
21. Suprimi Los parentesis y resolve.
a. +(+5)-(+ 3) =
d. +(-9)-(-9) =
b. -(+ 8 )-(-4) =
e. +(+1)+(-6)=
-(-2)+(-5)=
f.
-(-7)-(-8)=
g. - 7 +(- 8 + 3) - 10 =
i.
12 - ( - 8 + 15 - 3 + 7)
h. -(5 + 4 - 3) + 6 - 9 =
j. 6 +(-11 +5 -4) - ( 8 -5) =
C.
22. Completa Los casilleros y coloca parentesis cuando sea necesario.
a. 7+[
b. - 2 +[
c. 4 -{
]
)
=2
1
=-
=7
)
d. -1 -[
8
e. 6 +[
f. - 9-(
]
=
]
=
=
3
-1
= -20
23. Escribi Los numeros que faltan en cada suma algebraica.
0
.
-0 + 5 - 3 + 9 = 4
b.-s-(-7+0)
• 24 • [MATEMATICA II]
= -3
C.
-(2 - 9 + 4 -0)
=
d.-(-7+3)+1-0
8
= -2
r
r
r
Reuisi6n parcial...
24.
26.
El precio promedio de una pizza
es$ 120.
Pensa y responde.
Escribi el numero entero que
represente cuanto mas o menos del
precio promedio cuesta una pizza en
diferentes pizzerias.
a. $ 118
d. $ 132
b. $ 125
e. $ 120
C.
$ 107
a. lQue temperatura hab1a a las 13:00
si had a 5 ° C mas?
b. lQue temperatura a las 20:00 si hizo
4° C menos?
C.
f. $ 143
j. -11
h. -6
k. +19
i. +15
L -28
27.
0
b. Si dos numeros distintos tienen 0
a. El modulo de un numero es
mayor o igual a cero.
igual modulo son opuestos.
L
l
L,
0
d. Si un numero es mayor que otro 0
c. Entre dos numeros siempre es
mayor el de mayor modulo.
SU
modulo tambien es mayor.
e. El anterior de un numero tiene
mayor modulo que el numero.
80
- 60
-20
45
-5
28. Coloca >, < o = segun corresponda.
corresponda.
c..,
Elegi una escala adecuada y
representa los siguientes numeros en
una recta numerica.
- 35
25. Coloca v (verdadero) o F (fatso) segun
l
l
l.
l(uantos grados mas hubo el dia
anterior si la temperatura fue de
-10(?
d. lcuantos grados menos hubo al
otro dia si la temperatura fue de
- 15° (?
Escribi el precio de una pizza segun el
entero que lo representa.
g. +3
Un dia en la Antartida, la temperatura
era de - 7 ° C a las 16:00.
D
D -12
b. 1-91 D -s
a. -8
C.701-71
d. -4
D 1-41
29. Resolve las siguientes operaciones.
a. -9+13 =
b. 7-15=
C. -4-8 =
d. -16+11 =
e. 8-19 =
f. -5-7=
g. -3+12-20+7 =
h. 5-11+8-5+3 =
i. -6 +(-8) =
j. -(-9)-5 =
k. -2+(-8+3)-( 6+4-3)=
L 11-( 6-2+9+7)-(-3-4)=
l..,
w
L;
L,
[ CAPITULO 02] • 25 •
d i U id i r
enteros
Multiplicaci6n y division
multi licar
-----------------------------------·------------------··---------------------------------------------------------------------------------Para multiplicar o dividir dos numeros enteros, se aplica una regla que establece el signo del
producto o cociente a partir de los signos de los factores.
• Silos signos de cada factor son distintos, el signo del producto o cociente es negativo.
6. (-4) = - 24
18: (- 3) = - 6
- 7. 5 = - 35
- 36: 9 = - 4
• Si los signos de cada factor son iguales, el signo del producto o cociente es positivo.
- 7. ( - 8) = 56
- 5 . (- 11) = 55
-40: (- 5) = 8
- 21 : (- 3) = 7
Para resolver mas de dos multiplicaciones y/o divisiones, se deb e respetar el orden de
resoluci6n de izquierda a derecha.
30: (- 5). 2 = - 6. 2 = -12
- 7. 6: (- 3) = -42: (- 3) = 14
--------------------------------------------·---------------------------------------------------------------------------------------------
30. Resolve Las siguientes operaciones.
a. 20:(-4)=
O
b. -9.5=0
O
-4.(-9):6 = O
c. -56:7 = 0
d.
g. 21:(-3).5=
h.
7.(-3)=0
e. -72:(-9)=
CJ
f. -6.(-8)=0
O
j. -5.(-6).(-5)= O
i. 72:(-6):(-4)=
31. Completa los casilleros.
O = - 28
6 . O = 30
b. - 60 : O =- 12 d. 32 : O =- 8
g.o. (4 -0)=- 28+0=21
h. (- 3+ 8) . O = 0- 40 =O
a. 4 .
c. -
32. Resolve Los siguientes calculos.
0. - 6 . ( 2 -7)
=
b. (- 8 - 12) : 5 =
• 26 • [MATEMATICA II]
C. ( - 5 + 13) . ( - 6)
d. - 72 : ( 4 - 10) =
=
e.0 . 5=-45
f. 0:(-7)=5
e. (3 - 11 ) . (-4 + 6) =
f. (-14+5):(7-10)=
operac1ones
(
r
r
negatiuos
positiuos
parentesis
33. Completa los casilleros y coloca parentesis cuando sea necesario.
r
a.
-1.
b.
2.
C.
-20:
+2=7
e.
-- -5=-13
-2.
f. 3.
I +2= 6
g. - 7 +2.
d.l__ :(-4)-1=2
h.
34. Resolve los siguientes calculos combinados.
L
+1=9
+10=-8
=-15
:(-3)+2=0
a. 60:(-9-6)-54:( 3-3.4)-8=
d. ( 14-5.8).3-(-35+77):( 3-10)=
b. ( 24-7.8):8.( 5-12)-48:(-10-2)=
e. ( 7.5+7):(-7)+28:(-14)-63:(-9)=
C. - 28:(-4).
(-2)-(-42+70):(-4)+25 =
f. ( 17-5. 4).6:2+( 5. 4 -6). (-5+7)-20 =
\.
I...-,
L
L
35. Escribi tres pares de numeros enteros a y b que cumplen con cada condici6n.
a. - 4 :5 a . b
<O
b.
- 1 o < a . b :5 - 6
c. - 2 :5 a : b
<
O
L,
L,
L,
L..,
L.,
L..,
[CAPITULO 02] • 27 •
exponenle
potencia
base
r.r1
l /' bctaue:
Potenciaci6n de enteros
La potenciaci6n es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales.
a.a .a .a.a.a .. a
n veces
=
exponente
an
base�
a_j, =_Q � potenc1a
j
Cuando la base es un numero negativo, se debe aplicar la regla de las signos.
(-2)3 =(-2).(-2) (-2)
(-2) =(-2) (-2)
+4
(-2)5 = (-2) (-2). (-2). (-2) (-2)
4
(-2) = (-2).(-2).(-2) .(-2)
+4
;l
8
+lr
32
En conclusion:
Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva.
Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa.
Tener en cuentaque-2 2 =- 2.2 =-4
� r -2 1 1=(-2t J
36. Caloca P (positiva) o N (negativa) a cada potencia seg(m corresponda.
a.
(-1)
b.
-s 5
8
D
D
0
1 D
d. -s
C.
(-6)
9
e. (-9)
r.
(-1)
0
2°
D
D
g. -4
h. -1
o
12
37. Calcula las siguientes potencias.
a. (-5) =
d. -9 0 =
2
g. (-11) =
b. -10 2 =
e. (-2) 6 =
h. -63 =
f.
i. (-1) =
3
C.
4
(-3) =
38. Resolve Los siguientes calculos.
2
a. -24 +(-3) =
• 28 • [MATEMATICA II]
-1 8 =
2
b. (-7) -(-4) 3 =
13
C.
8 - 5 2 + ( -1 )
7
=
D
D
-
(-"'>
multiplicaci6n
diuision
distributiua
r
r
adici6n
sust.rocci6n
Propiedades de la potenciaci6n
(
r
--- ------------------ -.. - .. --- .. ---.. -------- -------------------- -- -------------------- -- --- - ----- - -- -- - --.... ---- - -- -- ---------- - -- - ---- ------
/'
a la multiplicaci6n.
• La potenciaci6n es distributiva con respecto ,
� a la division.
I
[ (a. b )" = a". b 0 )
( (a: b )" = a: : b 11 ]
• No es distributiva con respecto a la adici6n y a la sustracci6n.
(5-3}\t: 5 -3 1
22 125-9
4 I 16
(3+2tt3 +2·
5- =J 9 + 4
25 -I 13
I
• Producto de dos potencias de igual base.
• Cociente de dos potencias de igual base.
I
[(an)m=anm]
• Potencia de otra potencia.
- ---- -- ------- .. -- .. ---------- --- - ---------- ------ ----
---.. ------------------ ..- ------ - ---- --- - ---------------- ----------------------- .. -----...
39, Resolve aplicando La propiedad distribituva cuando sea posible.
2
2
( -12: 3 ) =
a. (-2+5) =
C.
b. (-2. 3) 3 =
d. (5- 7) =
2
40. Resolve aplicando propiedades.
l
l
l.,
L,
L.
l
L,
L.,
l...,
L..,
(_
a. (-5) 5 :(-5) 3 =
3
c. (-2) . (-2 ) . ( -2) =
b. ( - 3 ) 2 . (- 3) 2 =
d. ((-4) ) =
f.
(
3 )5
( - 6)
8 (
. ( -6) : ( - 6)
2 2
2 )10
I
=
41. Reduci a La minima expresion.
a. a2 • a. a3 =
4
2
7
d. (d ) , d =
5
9
e. ( e 6 ) : ( e 3 ) =
f.
6
(g s .g 6 :g 9 ) =
[CAPITULO 02] • 29
•
'
base
olobttd�e:
ind ice
Radicaci6n de enteros
---------------------------------------------------------------------------------------------------·---------·---------------------------La radicaci6n es una operaci6n en la que hay que
encontrar un numero (raiz) que, elevado al indice, sea
igual a la base.
/49 = 7 porque 7 2 = 49
V-64 = - 4 porque ( - 4) = - 64
3
indice �
w;f. = 3 porque 3 4 = 81
1a
J,
= c
J,
base
=
en = a
raiz
5J- 32 = - 2 porque ( - 2) = - 32
5
Las raices de indice par y base negativa NO tienen soluci6n en el conjunto de los numeros
enteros, ya que no existe ningun numero negativo que, elevado a un exponente par, de un
resultado positivo .
.J- 25 y '!./- 81 no tiene soluci6n.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------·--------------
42. Calcula las siguientes rakes.
a. V-216 =
d. VITT=
g. V-32
b. ../144 =
e. V-512=
h. y-1 =
C.
'V-243=
a.)����
{
] = 13
=
= - 9 g. �����
[
) = - 10
l = - 2 )I
l = 14
i. �[
J= 2
J= 1
d. �[
)
����
I= s e. �l
I= - 4 r. �l
�I
c. �I
b.
i. V-343
f. if16 =
43. Escribi la base de cada raiz.
=
h.
44. Escribi entre que numeros enteros consecutivos se encuentra cada raiz.
45. Calcula las siguientes rakes.
a. ../(24 -8. 5) . ( 1 -2) =
b.
C•
v-
5. 15 + 47 . ( -3)=
../12.8+25.4 =
d. 'v'-57:3 + 2.(8 .5 + 5.2) =
• 30 • [MATEMATICA II)
,---
res tadiuisi6n
su m0
propiedad distributiua
multiplicaci6n
Propiedades de la radicaci6n
-------------------------------------------------------------------------------·-----·---------------------------------------------------a la multiplicaci6n.
[ efaJ5 == efa. eff5 ]
/'
• La radicaci6n es distributiva con respecto
,
� a la division.
[ 'iaT5 == 'fa: eff5
• No es distributiva con respecto a la adici6n y a la sustracci6n.
Jg + 16 i= Jg+ /f6
fi5
t=
t=
J100 - 64 # J100 -
/36110-8
3+4
7
./64
6:;62
---]
• Rafz de otra rafz.
[ � == n efa_
----- ---- - - - --------- -------- ---- -- -------- ---------- -- ------------- -- ----- ---- -- ------- - - ------------ - -------- -------------- -------- -- --5
1
46.
Coloca V (verdadero) o F (fatso} seg(m corresponda.
vx + rx = Vx
-rr.-rr =Vr
D
f. Vb:Vb =O
D
g. ffn =Vn
D
h. IP. IP. IP= [3p D
D
b. 1v.1v =y
D
��frn = 61m
D
d. rs+ 1s + 1s = 3 . 1s D
a.
e.
C.
47. Resolve aplicando las propiedades de La radicaci6n.
a. V1 000:(-s)=
d. V-64:s =
b. /./625 =
e. �144:9 =
C.
48.
\.-,
49.
3J/64 =
Escribi el numero que corresponda en cada caso.
o.
'-
f.
�100.16 =
j2.
J
-�}=6
b.J�
-]=3
c. )100
:
J
=5
Factorea las bases, aplica propiedades y halla cada raiz.
o. �1 296
b. °V4096 =
C.
V20736 =
L
L
L
L,
L,
L
L,
[CAPITULO 02] • 31 •
· 0 0 b���e:
-z
ro
'1
o
potenc1a
ccilculos combinados
•
Calculos combinados
50. Resolve los siguientes calculos combinados.
d. (-24: 3-7 ° ). 2 +
• 32 • [MATEMATICA II]
-/7. ffs +(12-2
4
)
3
=
3
2
3
3
j. -144:(-2) :(-3) +(1 .2 -60) + V2401: V7 =
rr
Reuisi6n parcial...
51. Resolve aplicando la propiedad distributiva.
52..
53.
a. -8 . (-3+7)=
�- (-42+66): (-6)=
b. ( 35-75):(-5)=
d. (-6+10) . (-7) =
Resolve las siguientes operaciones.
o. (-104+68): (-24+30) =
c. (-75+66).(-4-8) =
b. ( 74-85).(-4-9)=
d. ( 58-103):(-14+23)=
Resolve los calculos combinados.
o. ( 24-7. 8): 8. (-7)-56: ( 1-8)+48: (-10-2)=
b. -64: (-4): (-2)-(-42+70):(-4)-( 12-4.9). (-2)=
C.
60: (-9-6)-54:( 3-3.4)+( 32-8.9):(-5). (-1+7)=
d. ( 14-5 . 8).3-(-35+77): ( 3-10)-72: (-3) :(-2)=
54.
Resolve las potencias y raices.
5
a. ( 13.5-4.17) =
d. V-37.8-18.12 =
b. V-68.7-11.23 =
e. ( 17.6-26.4/=
6
c. ( 9.5-141:3) =
f.
V-781:11-29.5=
(.
/3.
55.. Resolve aplicando propiedades.
o. 32• 33• 3: 3 4 =
[48 =
d. V 5oo : 3fi+ =
56.
Resolve Los calculos combinados.
2
2
2
a.(-8 +5 ): �5 3 +2 2 • -,/10 +3. 7 +ffi. fii =
4
3
l
l
l
( ...
Lr
L.,
G
L,
b. �24.(-3) -(-3) +(-8 ° -8 2):J10 2 +23.3 =
c. (-2)1
d.
3
2) -72 - 48: (-4 ) . (-19+7. 2)=
2
8
rs. m+(-8
e. (-5)1
f.
: (-
/54.
3
: (-
2
-
2
3
): �4
3
+2 3 • -J92 +57 = 3
5) -32 - 48:(-2) .(-17+6 2)
1°
3
2
=
=
2
/6 -(-7 +(-9) ): �11 -3. J13 2 +3.2 6
2
=
3
g. 360:(-2) :(-3) +( 5.3 -6.23) -V4 374 :V6
3
2
4
=
Lr ............................................................................��
l...,
L,
[CAPITULO 02] • 33 •
Reuisi6n final
: 61.
57. Plantea y resolve.
58.
o. Un ascensor subi6 9 pisos y lleg6 al
piso 7. iDe cual parti6?
a.
b. Despues de realizar un dep6sito de
$ 720, el saldo es$ 480. iCual era el
saldo anterior al dep6sito?
C. - 5 .(-6+13)
c. La amplitud termica en un dia fue
11° c y la temperatura minima, - 3 ° C.
lcual fue la temperatura maxima?
e. -3.12:(-4)=
Halla y representa Los siguientes
numeros en un misma recta.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
59.
El anterior a - 9.
El opuesto de 7.
El siguiente de -13.
El opuesto de - 10.
De modulo 4.
Entre - 2 y 3.
=
d. ( 13-28):(-1-4)=
f. 30:(-2).5=
62.
Resolve las siguientes operaciones.
a. 20:(-4)-4+(-18:6-7):2=
b. 63:(-7-2)+28:(-10-4)=
c. 7+(4-9).( 7-5. 3)+ 6 =
d. 5.(-6) :(-4-6)-8-42:6=
63.
Resolve Los siguientes calculos.
a. 22-( 1-3 ) =
3
Resolve las siguientes operaciones.
b. 7 . 3+(-3) 3 =
b. 9-20 =
C.
(8-11).(-7)=
b. -12:(-5+3) =
a. -8+13 =
C.
3
-28-( 2-6) =
d. -7 2 - .fffi =
-7-2 =
e.
d. -14+ 6=
f.
e. -8+(-5 +1 ) =
64.
f. -(-6+10+7)+3=
Coloca Los parentesis necesarios
para que se cumplan las siguientes
igualdades.
1 = 89
a.
107 - 7 + 10
b.
95 - 2 . 3 + 2 = 85
3J- 64 -9 =
( - 5) 3J- 125 =
°
2
-
Resolve las siguientes calculos
combinados.
a.
g. 12-8-(5+2-10)=
60.
Resolve Los siguientes calculos.
..ffi. . ./8-(-7 2+ 9 2 ) =
b. J11 2 - 3 . '113 2+3 .2 6
c. ( - 6 )
15: ( -
6)
12
-
72 =
=
d. 56:(-2) .(-18+8 2)=
3
2
e. (-17+2 2 -2) :9:5=
f. V112+s 3 .2_3 3 _3,,:(3 3) 3=
r
r
r,
r
r •
03
Copitulo
Ecuaciones e inecuaciones
... Secuencia de contenidos
.I
.I
.I
.I
.I
.I
.I
.I
Lenguaje coloquial y
simb6lico.
Sucesi6n de numeros enteros.
Ecuaciones. Conjunto
soluci6n.
Aplicaci6n de la propiedad
distributiva.
Ecuaciones con potencias y
raices
Sistemas de ecuaciones.
Resoluci6n analitica.
lnecuaciones. Conjunto
soluci6n.
itx:>cTc:,1<, tJO
f>uft>o
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·'ii Sufreo
De iNSOHt-JiO //
fe�o M ,· t\MiGo .. · U Ht I) c .S (J IJ G,IV\,J
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Fi1vA.l Mc t°Asc Dcsf: c�fo
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f>�o(!,(. EHA.S /
Lenguaje coloquial y simb6Iico
----- - ------------- - ------- - --- - - --------- -- - - ---- --- -------------- -- -------- ----------- ----------- ---- --- .. - - ·--- - ------------- ....-------,.
El lenguaje coloquial es el que utiliza palabras y el lenguaje simb6lico es el que utiliza
simbolos matematicos.
(
L
l-
L
"\..
L,
L.
l.
L,
-L,
L
Lenguaje coloquial
La suma entre siete y menos nueve
La d1ferencia entre menos tres y cinco
El producto entre ocho y menos dos
El cociente entre menos veinte y menos cuatro
El triple de menos seis
La mitad de cincuenta y cuatro
El cuadrado de menos tres
La raiz cubica de menos ocho
El anterior a menos diez
El siguiente de menos dos
El opuesto de menos cinco
El modulo de menos siete
Lenguaje simb6lico
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
7 + (-9)
-3-5
8. (- 2)
-20: (-4)
3 . (- 6)
54: 2
(-3)
J-8
-10 - 1
-2 + 1
- (-5)
-71
------..- ---------- ---------------- - ----------- ... ------------------ ----------- - - ------------------------ --- -- - --------- - - --- ......----------- .....
[CAPITULO 03) • 35 •
r
Polobcr oue:
coloquial
Lenquoje simb6Lico
1. Expresa en lenguaje simbolico y resolve.
a. La diferencia entre seis y menos once.
e. La suma entre nueve y menos catorce.
b. El producto entre menos dace y cinco.
f..
c. El cubo de menos cuatro.
g. El siguiente de menos treinta.
d. El cociente entre cincuenta y menos dos.
h. El opuesto de menos diecisiete.
La cuarta parte de menos treinta y dos.
------------------------------------------------------------.-----.----------------------------------- ..---- .. -------------------------------Hay exp resiones que combinan varias operaciones.
( Lenguaje coloquial
]
Lenguaje simb6lico
�
El doble del siguiente de menos cuatro
2. (-4 + 1)
g
�
2. (- 7) + 1
El s1 uiente del doble de menos siete
�.
El tnple de la suma entre menos dos y cinco
3, (- 2 + 5)
p
(1 - 10): 3
La terce.ra arte de la diferencia entre uno y diez �
�
( -12 - 1f
El cuadrado del anter:im a menos dace
�100 - 1
�
El anterior de la raiz de cien
-----------------------------------------------------------------------------------·-------------------------------------------·----------
2. Expresa en lenguaje coloquial.
a. 4.(-8-1) �
b. -12:2+1 �
C. (-6+1).3 �
3
d. (-2) -1 �
3. Expresa en lenguaje simbolico y resolve.
a. El siguiente de la suma entre menos once y menos trece.
b. La mitad de la diferencia entre menos nueve y once.
c. El triple del cociente entre el anterior a menos quince y menos dos.
d. El cubo del siguiente de menos nueve.
• 36 • [MATEMATICA II]
r
r
r
(
.,
suces1on
4.
(
formula general
I
Marca con una X el o Los pares de numeros que cumplan con cada condicion.
0. X + y=-3
6y-3
C.
x:y>-2
10 y5
o
7 y-10
D
-8y-5
D
-1 y4
D
-11 y8
D
0
8y-3
D
-4y-3
D
-9y2
D
7 y-1
D
D
8y-4
D
-9y9
D
21 y-3
D
-24y-8Q
b. X. y < -10
S y-2
r
,
I
S. Coloca V (verdadero) o F (fatso) segun corresponda.
0
a. x+ x+ x=3x
0
D
b. 7x-7x=x
c. x:x=O
0
d. X. X=2X
e. 8x:x =8
f� 10x:10 =x
j. Resolve correctamente Los que son falsos.
g. 2x+Sx=7x2
0
h. 4x. Sx=20x
0
i. x-2x=-x
0
0
0
I
---------------------------------------..-------------------------------------------------------------------------------------------------Una sucesi6n es un conjunto ordenado de numeros con una regla de formaci6n, que es una
formula general para generar todos sus terminos.
n=1
n=4
n=2
n=3
J,
J,
J,
11 ... � 3n - 1
5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.
Escribi Los primeros cinco terminos de cada sucesion.
a.
l
l
L
L
L,
L
l-,
l-,
L;
I.....
l,_;
b.
I
I
2n
-:=_
5
1- 4n
c.J-� 2 +2
(
(
(
]�[
J�(
J�[
l�l
)�[
l�[
7. Halla la formula de cada una de las sucesiones.
CD
b. CD
0
GJ
B 0 GJ
a . [�
�
�
C. �
�
�
...
�
�
...
�
...
�
[TI
I
J�[
)�[
)�[
(
[
[
l�[
l�[
I
I
I
I
J�[
I
[CAPITULO 03] • 37 •
.
ecuoc1on
/
conjunto soluci6n
Ecuaciones
------------------------·-··--------... ··----------------------------·--··---·----·--··-------------------------------------------·---... ----Una ecuaci6n es una igualdad con, por lo menos, un valor desconocido (inc6gnita).
El conjunto soluci6n de una ecuaci6n es el o los valores de la inc6gnita que verifican la
igualdad.
• Las ecuaciones con soluci6n l'.mica son aquellas donde existe un numero entero que las verifica.
x +2=7
--"7 x = 5 porque 5 + 2 = 7
ConJunto soluci6n: x = 5 o S = {5}
2(x - 3) = 12 --"7 x = 9 porque 2(9 - 3) = 12
Conjunto soluci6n: x = 9 o S = {9}
• Las ecuaciones que no tienen soluci6n son las que ningun numero entero verifica.
x = x - 1 --"7 ningun numero es igual a su anterior
Con1unto soluci6n:
2
x = - 4 --"7 ningun numero entero elevado al cuadrado es negativo
S=0
• Existen ecuaciones que las verifica cualquier numero entero.
2(x + 1) = 2x + 2 --"7 cualquier numero verifica la ecuaci6n
x + x + x = 3x --"7 cualquier numero verifica la ecuaci6n
Con1unto soluci6n.
S=Z
----------------------------------------------------------·-------------------------------------------------------------------------------
8. Marca con una X el valor que verifica cada ecuaci6n.
a. 5 (x - 3) =2X+3
--"7 x=2
b. X2 +X=30
--"7 x=4
(x+2) 2 = 9
--"7 x=O
C.
d. (x+2){x-3)
=0
e. ../13 -X+X= 7
--"7 x=1
D
D
D
D
--"7 x=-20
x=-30
x=6
D
x=O
x=S
D
D
x =4
x= 3
D
D
o
x=-30
x=-50
x=-30
x=-20
x=2
x=-1
x=O
x=-1
x=4
D
o
D
D
9. Uni cada ecuaci6n con su conjunto soluci6n.
a.
2x+x=3x
c. x-x = O
b. x-x=1
d.
X :X = 0
e. x:x=1
f.
X. X=X2
10. Escribi una ecuaci6n que cumpla con cada condici6n.
a. Con soluci6n (mica.
• 38 • [MATEMATICA II]
b. Que no tenga soluci6n.
S= 0
S=Z
c. Que cualquier numero la
verifique.
r
,.
r
Le� uniforme
cancelatiua
igualdad
Resoluci6n de ecuaciones
--
- ---
-..-..... -.. ------- ---------------- --------------------------- - -....------ - ----------- - - - - - ----- - ....... --------------------------------- - -- --Para resolver una ecuaci6n, se aplica la ley uniforme y la cancelativa.
2x=-8
2x: 2 = - 8: 2
X=-4
3x=21
- 3x: (- 3) = 21: (- 3)
X=-7
• Cuando una ecuaci6n no tiene soluci6n,
surge una contradicci6n.
x+1=x+5
x-x =5-1
0=4 � FALSO
S= 0
-4x=-20
-4x: {- 4) = - 20: (- 4)
X=5
• Cuando una ecuaci6n se verifica para
cualquier valor, surge una igualdad.
= 3x
3x-3x = 0
0=0 � VERDADERO
S=Z
X +X +X
11. Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
o. x+2 =-5 � x = [
b. 4-x=9
�
x= (
c. x:2 = -3 � x = [
l
d. -3x = 12
l
�
e. x:(-4) = 2
f.
-sx = 20
12. Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
x=(
�
�
x= (
x= [
)
l
a. 2x - 9 = -17
c. 4-2x -19 +7x = 5
e. 4-Sx -2x+20 = x
b. Sx + 3 - x = 27
d. 6x+7 - x = Sx+3
f. - 6x+3 +4x = 3 - 2x
13. Plantea la ecuacion y decidi si existe uno, todos o ning(m numero que cumpla con
cada enunciado.
1.._.,
a. La diferencia con su anterior es cuatro.
c. Su anterior es igual a su siguiente.
b. Su triple es igual a su siguiente
aumentado en cinco.
d. La suma de su anterior y su siguiente
es igual a su doble.
L
L,
L
L,
L.,
L.,
I....,
L.,
[ CAPITULO 03] • 39 •
� Po Lo b���e:
�
doble
diferencia
opuesto
anterior
14. Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
a. 1-2(x-2)=3(x-5)
d. 7x-20=5(2x-3)-(3x-7)
b. 8(x -2)=6x-3(1-Sx)
e. 4(3x-2 )=5(3x-7)-3 (x-9)
c. 3x -2( 4x-3) = 7(x + 6 )
f.
5(x-4) =2 ( X + 5)-3 ( 4 + X)
15. Plantea la ecuacion y halla el numero que cumpla con cada condicion.
a. La suma con el doble de su anterior es
c. La suma entre su doble y el opuesto de
b. La diferencia entre su quintuplo y el
triple de su siguiente es nueve.
d. La diferencia con el triple de su anterior
es diecisiete.
diecinueve.
su anterior es quince.
16. Plantea la ecuacion y resolve.
a. Si el doble de la edad que tendra Ezequiel dentro de cinco arias es treinta y cuatro,
lque edad tiene Ezequiel?
b. En un rectangulo, la base es 8 cm menor que el doble de la altura. Si el perimetro
es 26 cm, lcual es la longitud de cada lado?
• 40 • [MATEMATICA II]
r
Reuisi6n parcial...
22.
17. Plantea el calculo y resolve.
18.
19.
X=
5 I\ y =
b.
X=
- 7 I\ y = 2 � ( X+ y) . (X - y) =
C.
X
= -10 I\ y = -6 �
�X 2 -y 2
0.
X+y < 0
b. x-y
= -3
c. -S<x.y<-2
=
Expresa en lenguaje simbolico y halla
la minima expresi6n.
d. X: y = -1
23.
Halla el conjunto solucion de cada
ecuac1on.
a. La suma entre un numero y su
consecutivo.
b. La diferencia entre el qu1ntuplo y el
doble de un numero.
c. El doble del anterior de un numero.
d. El consecutivo del cuadruplo de un
numero.
e. La diferencia entre el triple y el
doble del anterior de un numero.
a. -4x+x=-2+14
Expresa en lenguaje coloquial.
f.
6(x-4)-9x= x+ 8
X - 5 ( X + 8)
a. n+1
b.
20.
- 3 � 2 . ( X - y) =
O.
Escribi 3 pares de numeros que
cumplan con cada condici6n.
b. 3x+7 = Sx - 9
c. -6x+4x = 5-2x
d. 8- lx-2 = x-3x-14
e. Sx+ 4-4x= 3+ x+1
= 20
C. 3( n +1) = 21
g.
=7
d. n(n -1) = 35
h. -2-4(3x-5)= 6(3-2x)
2n -1
Escribi Los primeros cinco terminos de
cada sucesi6n.
a. 3- 2n
b. n 2 - n
21. Halla la formula de cada una de las
sucesiones.
24.
= 2 ( X - 2)
Plantea la ecuaci6n y resolve.
a. [Cual es el nCtmero que sumado
al triple de su anterior es igual a
diecisiete?
b. La diferencia entre el doble de
un nCtmero y el qu1ntuplo de su
siguiente es dieciseis. [De que
numero se trata?
c. Si la suma de tres numeros
consecutivos es 84, f CUales son
esos numeros?
d. En un triangulo isosceles de 54 cm
de per1metro, cada lado igual es
3 cm mayor que el lado desigual.
f Cual es la longitud de cada lado
del triangulo?
[CAPITULO 031 • 41 •
inc6gnita
..
soluc1on
Ecuaciones con raices
Si la inc6gnita esta afectada por una raiz � ' ('ix)"= x )
Jx + 6 = 7
2
( Jx + 6 ) = 7 2
( ffx/ = 6 2
2x= 36
X = 18
X + 6 =49
X =43
25.
J
=
b. Vx-1 =-2 � x
C.
27.
x-4=8
X = 12
Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
a. /ix=4 � x
26.
Vx -4 = 2
<Vx - 4 )3 = 2 3
ffx = 6
Vx+1
=
3 � x
=
=
d. .fx-1
I
=
2 �x
e. 2.fx = 10 �
f.
=
X=
Vx-3=0 � x
=
Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
a. 5 ../x+7 = 20
C.
(../3x+ 1): 2+ 5 = 9
e. 10=3Vx+3+4
b. V3x+1 = -2
d.
V4x+41+2=s
f.
9-2v'x+1=3
Aplica propiedades y halla el conjunto solucion.
a.
../3 . .fx = 6
• 42 • [MATEMATICA II]
b. 3fi..Vx+3 = 2
C.
)../x-5 = 3
d. Vx.x
=4
r
r
r
r
r
propiedades
potencia
calculo mental
Ecuaciones con potencias
r
r
x3 = - 125
x2 = 49
lxl
=
x=
x4
w
if?= 3J- 125
R= /49
x=-5
7
±7
/71- x sin es impar
vY!1
Si la inc6gnita esta afectada por una potencia �
lxl
=
=
=
x=
� Ix I si n es impar
x5 = 32
81
Vx5 = 3/32
1/Bf
x= 2
3
±3
28. Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
a. x2 +3 = 28 �
3 =
b. (x+2)
C.
l
[
X=
27 � x= (
2X 2 = 200 �
X=
(
I
5
d. x -32
=
0 � x= {
e. 8+x3 = 0 � x = (
f.
l
x2 :4 = 9 � x = {
l
29. Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
o. 3x2 -7 = 5
C.
4(x2 -2) = 28
e. 2(3x 2 -5)-5 = 9
b. 5 +2x3 = 21
d.
(x 5 + 50): 3 = 6
f.
(30 +3x3 ): 2 = 3
\_
\
30. Aplica propiedades y halla el conjunto solucion.
2
O. X. X
= -216
b.
7
5
X :X
= 121
4
7
d. (x3 ) : x
= - 32
[CAPITULO 03] • 43 •
Polobt��e: uolores descoroci9os
I ncog n I tas
Sistema
Ecuaciones con dos inc6gnitas
Una ecuaci6n con dos inc6gnitas tiene dos valores desconocidos y su conjunto soluci6n son
todos los pares de numeros que la verifican, que son infinitos.
X + y = 5 � S = { ( 2; 3) , ( 4; 1) , ( 5; 0), ( - 2; 7), ( 8; - 3), ... }
31. Escribi cinco pares de numeros enteros que verifiquen cada ecuacion.
a. x+y=1 �
b.
x-y=3 �
c. 2x+y = O �
32. Escribi dos ecuaciones distintas que tengan por solucion cada uno de Los pares.
a. ( 5 ; 7)
b. ( 4 ; 3)
Sistemas de ecuaciones
3
Un sistema son dos ecuaciones con dos inc6gnitas � {x + y =
x-y= 5
Resolverlo es encontrar el par de numeros que verifican ambas ecuaciones.
{X + y = 3
x-y=5
� S = {(1;2),(0;3),(-2;5),(4;-1),(-6;3), ... }
� S = {(6;1),(4;-1),(5;0),(2-3),(7; 2). ... }
(4 ;-1) verifica ambas ecuaciones � S = {( 4 ;-1)}
33. Marca con una X la solucion de cada sistema.
{X +3y=2
5={(2;0)}
0
5={(5;-1)}
b. {3x-4y = 10
-x+Sy = -7
5={(6;2)}
D
5 = {(3;2)}
0.
2x-y = 11
J
D
34. Escribi un sistema que tenga la solucion pedida en cada caso.
a. 5 = { ( 2 ; 5)}
• 44 • lMATEMATICA II)
b. 5
= { ( - 1 ; - 4)}
5 = {(6;1)}
0
5={(2;-1)}
j
r
sustituci6n
analiticamente
uariables
Resoluci6n analitica de un sistema
Uno de los metodos analiticos para resolver un sistema de ecuaciones es el de sustituci6n.
• Se despeja una de las variables de alguna de las ecuaciones.
X + y = 9 � X = 9-y
{
x-2y = 3
• Se reemplaza ese valor en la otra ecuaci6n y se obtiene el valor de una de las inc6gnitas.
X - 2y = 3 � 9 -y - 2y = 3 � 9 - 3y = 3 � - 3y = - 6 � y = 2
• Se reemplaza el valor obtenido de la inc6gnita en cualquiera de las ecuaciones y se
obtiene el valor de la otra inc6gnita.
X=9-y � X=9-2 � X=7 � S = {(7;2)}
35. Resolve analiticamente cada sistema.
Q. {X +y = 8
x-y=2
b. 2x+y= 5
{
x-y=7
36.. Plantea el sistema de ecuaciones y resolve.
c.
4x+y= O
{
y- X = 10
d. 3x-2y= 3
{
y-4x = 1
o. La suma de dos numeros es doce y su
diferencia es dos. tDe que numeros se
trata?
c. Si el perimetro de un rectangulo es
26 cm y la base supera a la altura en
3 cm, tcuanto mide cada lado?
b. Dos amigos tienen juntas$ 130, y uno
de ellos tiene$ 20 masque el otro.
tCuanto tiene cada uno?
d. Dos angulos complementarios difieren
en 18 ° . tCual es la amplitud de cada
angulo?
[CAPITULO 03] • 45 •
r.r1c:
0 0claue:
.
.
1necuoc1on
/
desigualdad
Inecuaciones
Una inecuaci6n es una desigualdad en la que hay por lo menos un valor desconocido, y su
conjunto soluci6n son todos los valores que verifican la desigualdad.
X < 2 � S = {1;0;-1;-2;-3; ... }
X > -8 � S = {-7;-6;-5;-4;-3; ... }
X.'.S -3 � 8 = {-3;-4;-5;-6;-7;... }
X 2: 5 � S = {5;6;7;8;9; .. }
37. Marca con una X la o las inecuaciones que corresponden a cada conjunto solucion.
D
D
a. S = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ... }
�
x<3
b. S = {-1 ;-2 ; - 3 ; - 4 ; ... }
�
x>-sO
x<-1
c. S={-6;-5;-4;-3;-2; ... } �
x�-60
x>-70
x� 3
x> 2
o
x� -1
x�-1
D
o
o
x�2
x<O
D
D
x�-20
38. Escribi todos los numeros que cumplen con cada una de las siguientes condiciones.
O. 2< X < 9
C. 1 < X � 6
b. -3 �
X
<2
1
L
d. -5 � X � 0
Una inecuaci6n se resuelve igual que una ecuaci6n, salvo que se multipliquen o dividan ambos
miembros por un numero negativo; en ese caso, se invierte el sentido de la desigualdad.
-3x + 1 :S 10
-3x :S 10 - 1
-3x : ( -3) 2: 9: ( -3)
X 2: -3
( 2x -3) : ( -5} > -7
( 2x - 3) : ( - 5) . ( - 5) < -7 ( - 5)
2x < 35 + 3
X < 38·2
X
<
19
39. Halla el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones.
o.17-7x> 1-3x
c. -6+4x<6(x+1)+8
e. 4-3(x-2)<3+2(x+6)
b. Sx + 3 - Bx � - 8. ( - 3)
d. (2x-1 ) : (-3)� 5 -3x
f. 2x + 11 � (2x -4) : (-2)
• 46 • [MATEMATICA HJ
I_
I
I
l_
r
r
Reuisi6n parcial...
r(
40. Calcula mentalmente el conjunto
solucion.
a. x + 5 =-3 ----? x= D
3
b. 2x 2= 32 ----? x= D
c.
.Jx+15 = 6
----? x=
D
d. vx+3= 0----? x=D
44. Resolve analiticamente los sistemas.
o. {x+y= 3
3x+2y= 1
b.
2x-y= 10
{
3x+y= 5
45. Halla el conjunto solucion.
2
e. (2x) = 144 ----? x= D
o. 3(x-2)-1 > 5x+9
f.
b. 4 - 5 ( X+3) :S X+ 1
4/x= 20 ----? x= D
41. Resolve aplicando propiedades.
a.
ffx= 5
Vfi. . 3fx= - 6
4
d. (x ) : X 10= 169
3
42. Halla el conjunto solucion.
0.
3+2 JX+1
=9
b. 3 ( X+ 4 ) + 1 = 25
3
C.
(.J2X-5 -15) : 2=-6
d. 3+2 (X 2 - 3) = 15
o. lcual es el per1metro de un
cuadrado de 144 cm2 de superficie?
b. Si la ra1z cuadrada del anterior del
doble de un numero es 7, lde que
numero se trata?
c. La cuarta parte del cubo del
siguiente de un numero es 54.
lcual es el numero?
d. Si la suma de dos numeros es 20 y
uno es seis unidades menor que el
otro, iCuales son esos numeros?
e. La suma de las edades de dos
chicos es 29, y uno es 5 anos mayor
que el otro. iOue edad tiene cada
uno?
43. Escribi cinco pares de numeros que
verifiquen cada ecuacion.
a. x+y=-2
b. 2x-y= 10
2 ( X - 7)+ 8 < 5 - 3 ( X+2)
46. Plantea y resolve.
b. X 5 • X 7 : X 8= 81
c.
C.
f.
En una alcanda, hay 16 monedas
de $ 1 y de $ 5. Si hay en total $ 52,
iCuantas monedas de cada valor hay?
[CAPITULO 03] • 47 •
Reuisi6n final
47. Expresa en lenguaje simbolico y
resolve.
a. El triple de la suma entre nueve y el
opuesto de veinte.
b. El producto entre el anterior a trece
y la mitad del opuesto de catorce.
c. La diferencia entre los cuadrados de
siete y nueve.
d. El cubo de la diferencia entre ocho
y trece.
48. Expresa en lenguaje simbolico y reduci
a la minima expresion.
a. La suma de tres numeros
consecutivos.
b. El producto entre el anterior y el
doble de un numero.
c. La diferencia entre el triple de un
numero y su siguiente.
49. Escribi Los primeros cinco terminos de
cada sucesion.
a. 3n-8
2
b. (n-2)
50. Calcula mentalmente el conjunto
solucion.
O. (X+5) : 3= 4
b. 3(X - 6)=15
2
C. X -9= 40
d. '}jx+3 =-1
51. Halla el conjunto solucion de cada
ecuacion.
a. 3x-7+5x=1+11x-14
b. 6x-13-11x+ 4=7-Sx
c. -4x-17-7x+30 =6-11x+7
d. 6(X-3)-5( X+2)=4X+5
e. 7x-5-4(3x-5)=5(3-x)
f. 9x2-2(7-3x)-6=1 o(2x+3)
g. (x - 1): 4=6
h. 3�7x+8=24
i. 7=2+(x 3+2):(-5)
j. (Vx-20 -13): s =-2
52. Plantea la ecuacion y halla el numero
que cumple con cada condicion.
a. La suma entre su doble y el
quintuplo de su opuesto es
cincuenta y uno.
b. La diferencia entre su anterior y el
triple de su consecutivo es veinte.
c. La cuarta parte del cubo de su
anterior es dieciseis.
d. El triple de la raTz cuadrada de su
siguiente es nueve.
53. Plantea la ecuacion y resolve.
a. Si la base y la altura de un
rectangulo de 30 cm de perimetro
son numeros consecutivos, lcual es
la superficie del rectangulo?
b. La suma entre la edad de Pablo y el
triple de la que tenTa hace 5 af\os es
85. lQue edad tiene Pablo?
54. Resolve analiticamente Los sistemas.
a. fx+y=5
l2x+3y=4
b.
-y=10
r
3x+y=2
55. Halla el conjunto solucion.
a. 7-3(x-4) 2:: 1+3x
b.
2(3x+7)-x < 7(x+6)
56. Plantea y resolve.
a. La diferencia entre dos numeros es
tres. Si el doble del mayor supera
en dos al triple del menor, lcuales
son los numeros?
b. El perimetro de un triangulo
isosceles es 35 cm. Si la diferencia
entre cada lado igual y el desigual
es 4 cm, lcuanto miden los lados
del triangulo?
r
r
r
r
04
Copitulo
Geometria I
T Secuencia de contenidos
fr T(Goi?4S Ii iv TeotefrlA.. Jc,l1,(>(: {t>S
1'T(!,(l.AVO '
tt.i'A'>JGv<.os tr a�i(lA�rc !
i Th�tHA.. ?. .. �LIM, N<:> lo IIA8,'� l"t.vr�t>o
... €,.i ttf:A c./t...._1) e�Tl\�Pi �tf'A..rA,,,,t>o ,c.s
fLiH!)o;; PA�/\. /.(�re� <A �U"A. <f11c
.( Angulos c6ncavos y convexos.
.( Clasificaci6n de angulos.
.( Angulos complementarios
y suplementarios.
.( Angulos adyacentes
y opuestos por el vertice.
H.c. t,-;JE ,:;A1<0""
e,.i fl cl,N('SQ ct O.A.iGI\Mi'.
.( Angulos entre dos rectas
paralelas cortadas por
una transversal.
.( Triangulos. Propiedad
triangular.
.( Clasificaci6n de triangulos.
.( Propiedad pitag6rica.
.( Criterios de igualdad.
.( Puntos notables.
------
.( Construcci6n de triangulos.
Angulos concavos y convexos
- -- - - ---------------- - - - - - ----- ---------------
- ------ - -
- - --
-....--------- -- ----- -- - ----- -- ------------ ----------- - ------- -------- .. --- - ------
Un angulo es cada una de las regiones del plano determinada
por dos semirrectas con el origen en comun.
l
• Las semirrectas
y r es su vertice.
mi y rs son los lados del
m"rs (c6ncavo)
angulo,
r
• Ouedan determinados un angulo convexo y uno c6ncavo.
l
\...
-L
L
"\.
L.
• Los angulos convexos son los que miden menos de 180 ° .
• Los c6ncavos, los que miden mas de 180 ° .
- --.. ---- - ----- -
--
m
mrs
----------- ---------- ---- - --- .. ------------ ------ - -- - --------------------- - - - - -- -- ... ---------- - ----- - --- - - ---------------[ CAPITULO 04] • 49 •
�
��
1. Marca cada angulo en la figura.
.
conuexos
angulos �
Po Lo btfaue:
concauos
m___-- -,
"
./ Con roJo el sra.
0
,I Con verde el mar (c6ncavo).
"
./ Con azul el amp .
"
.I Con a'laranJaao el ipa .
./ Con violeta el rap (c6ncavo).
2. Marca y nombra en la poligonal.
a. Tres angulos convexos.
b. Tres angulos c6ncavos.
b
t
Clasificaci6n de angulos
----------------------·--------------------------------------------------------------------------·---------------------------------------Los angulos se clasifican segun su amplitud.
• Angulos convexos.
llano
obtuso
recto
agudo
nulo
a
m
mam = 0
°
L
0 < a < 90
°
°
�
90
°
90 < y < 180
°
°
r
I
0
I
p
I ),
rop = 180 °
• Angulos c6ncavos: miden mas de 180 ° y menos de 360 °.
----- -- -- - -- - -- - - - -- - --------..------------ --- ----- - -- -- - - -- - ----------------- ------ - ---- - -- - --- - - - ------- .. -.. -------- --- - ------- - - -- -------
3. Observa la figura y clasifica cada uno de Los angulos.
a. rog�
b. mop�
"
C.
hoi�
d.
par�
"
"
e. sos�
• 50 • [MATEMATICA II)
agudo
r
r
r
4.
recto
llano
Observa la figura y nombra el angulo pedido.
obtuso
I
e
n
a. Nulo:
(
(
b. Agudo:
(
c. Recto:
d. Obtuso:
e. Llano:
f.
C6ncavo:
0
5. Completa con <, > o = seg(m corresponda.
D 2�
b. a es nano y � agudo� a D 2�
g. a es abtusay � abtuso � a+�
C. a es obtusoy � llano� 2a
h. a es nuloy � agudo� a+� 090 °
a. a es uanoy � recto� a
6.
f.
O�
a es llanoy � agudo � a: 2
D�
O 1so
d. a es agudoy � recto� a+� 0180 °
i. a es rectoy � nulo� a+� 090 °
e. a es agudoy � agudo� a+ �
j. a es rectoy � recto � a+�
D 1so
0
O 1ao
0
0
Resolve y clasifica cada angulo.
a. a = 87 ° 27' 48" + 92 ° 22' 12"
/\
C.
6 = 4. 19° 47' + 10 ° 52'
I..
I..
l
L.
b.
f3 =
132 ° 25' 17"- 47 ° 38' 53"
d. w = 107 ° 18' 30": 5 - 21 ° 27' 42"
/\
L
l
L
L,
L
\....;
L..
L.,
[CAPITULO 04] • 51
•
<
/1
J
I
amplitud
suplementaric
complementario
PolobtQ�e:
Angulos complementarios y suplementarios
• Dos angulos son complementarios cuando • Dos angulos son suplementarios cuando la
la suma de sus amplitudes es 90 ° .
suma de sus amplitudes es 180 ° .
a y � con complementarios.
a es el complemento de � .
� es el complemento de a .
I\
I\
6 y y son suplementanos
6 es el suplemento de y .
y es el suplemento de 6 .
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
7. Observa la figura y uni cada par de angulos con su propiedad.
I\
/\
/\
d. ock y ekm
I\
d
/\
SUPLEMENTARIOS
___,
/\
dmfy omk
f.
8. Calcula.
e
COMPLEMENTARIOS 1
e. ack y hoe
/\
/\
/\
°
� = 3x-25 °
• 52 • [MATEMATICA II]
f
ade y bdm
k
b. El quintuplo del suplemento de
107° 41' 18".
9. Plantea la ecuacion y halla la amplitud de cada angulo.
{� = 2x-15
0
/\
a. La tercera parte del complemento de
19 ° 37' 42".
a.
C
/\
b. oef y fed
c.
b
a
a. chb y bho
b.
{Y
= 3x-20 °
£ = x+10 °
r
opuestos por el uertice
�r consecutiuos
adyacentes
Angulos adyacentes y opuestos por el vertice
--------------- -- ---------- ---------------- ---- - ------------------ ---- ----- - -- --------------- ------------ - --- ------ - ---------------------• Dos angulos son adyacentes
cuando tienen un lado en comun
y los otros dos son semirrectas
opuestas.
Los angulos adyacentes son
suplementarios.
• Dos angulos son
consecutivos
cuando tienen
un lado y el
vertice en
comun.
• Dos angulos son opuestos
por el vertice cuando
sus lados son semirrectas
opuestas.
Los angulos opuestos por el
vertice son iguales.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I
I
I
10. Observa La figura y completa el cuadro.
Angulo
Opuesto por
el vertice
Adyacente
A
omq
A
ymt
A
pmr
11. Calcula La amplitud de Los angulos desconocidos.
a.
� = 40 ° 23' 41"
b.
{� = 46° 18' 21"
°
1l = 39 16' 53"
C.
� = 21° 46' 28"
I
L
<..
l
L.,
L
L
L
L...
L.,
G
L.,
12. Coloca V (verdadero) o F (falso) seg(m corresponda.
a.
b,
c.
d.
e.
f.
Dos angulos adyacentes pueden ser iguales.
Dos angulos opuestos por el vertice pueden ser complementarios.
Dos angulos agudos pueden ser suplementarios.
Un angulo recto no tiene complemento.
El suplemento de un angulo obtuso es obtuso.
El complemento de un angulo agudo es agudo.
[CAPITULO 04] • 53 •
' l
',
Po Lo bt@�e:
amplitud
ecuac1ones
6ngulos
13. Plantea la ecuacion y calcula la amplitud de cada angulo desconocido.
a.
b.
=3x-2 °
{�
� = Bx-5 °
5°
=4x+1
{�
y =2x+45 °
C.
I\
{
°
E=Sx+2
y=4x+16 °
• 54 • [MATEMATICA II]
d.
°
� = 3x+3
{ a = 4x+2 °
y+ 6 = 61 °
I\
e.
I\
� = 2X+6
{ a=6x-13 °
lp =X+14 °
°
I\
f.
�=x+18 °
{ a= sx-1 °
TT=3X-2 °
I\
r
r
alternos
.
conjugados
correspond1entes
Anguios determinados por dos rectas cortadas por una transversal
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dos rectas coplanares (A y B) cortadas por una transversal (C) determinan ocho angulos.
Intemos
Altemos {
Extemos
j�
j ��YE
Y�
y y lfJ
Intemos
.
ConJugados {
j � Y"
""
j
Y
WYlfJ
Extern as
Extemos � Y;
�y I\
Y�
ayy
I\
I\
I\
Intern as
Correspondientes 6yE
I\
I\
I\
�y w
I\
lfJ y I\
I\
Extern as
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14. Escribi el nombre de cada par de angulos.
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
a. Eyw �
'----.---,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.-,-�
b. Ay8�
C.
yyn�
d. f3yy�
I\
I\
e. nyw �
f.
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
'----.---,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.--,--,.__,.__,
Ayo�
g. OyE�
i. f3ya�
j. Syn�
k. f3y8�
I\
I\
L EYY�
[ CAPITULO 04] • 55 •
Po Lo btP �e. para Le Las
tou .
atternos iguates
conjugodos suplementorios
,
Angulos entre rectas paralelas
----.----------·--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Si las rectas A y B son paralelas, entonces:
• los angulos correspondientes son iguales,
• los angulos alternos son iguales y
• los angulos conjugados son suplementarios.
---------------------------------------------· .. --------------------------------·-----------------------------------------------·----------
15. Calcula la amplitud de Los angulos desconocidos en cada figura.
a.
b.
a=95 ° 37' 52"
A
TI=74 ° 28' 15"
D
A
B
R
C
M // R
A // B // C
16. Plantea la ecuacion y halla la amplitud de Los angulos de cada figura.
Q.
b.
°
� = 5x+17
{ '3 =2x+ 68°
A//B
°
� =3x-9
{ E = 5x-3 °
M//N
• 56 • [M�TEMATICA II]
C
A
c.
a=2x+8 °
E = 4x-62 °
{"R//SAP//Q
A
B
d.
°
�=3x+10
{ E = 4X +37°
A//B
R
s
�
p
C
r
r
r
(
Reuisi6n parcial...
17. Nombra y marca en la figura un par de
angulos:
a. opuestos par el vertice.
b. complementarios.
c. adyacentes.
d. suplementarios no adyacentes.
21.
Halla la amplitud de los angulos
desconocidos.
o. a
b. a
=
=
51° 28' 47"
62° 19· 41"
C
A// B
E
s
a
R
18. Calcula la amplitud de Los angulos
desconocidos.
n
19.
l
l.
(._
L
l
l
G
(._
G
L,
G
L,
l_;
20.
=
37° 28' 42"
E // R
22. Plantea la ecuacion y halla la amplitud
o.1 �
de los angulos de cada figura.
= Bx+23°
� = 3x-8°
A //B
Halla.
a. La cuarta parte del suplemento de
124° 29' 48".
b. El triple del complemento de
38° 26' 54".
b.
°
T = 9x-29
{ n = 5x+41°
M//R
o. a y � son complementarios.
c.
°
� = 10x-3
1 w = 11x-6°
Calcula la amplitud de a y �.
A
/\
a
=
a
=
a
=
/\
x+16° y �
/\
=
2x-10°
b. a y � son adyacentes.
/\
/\
/\
3x-35 ° y � = 4x+5°
/\
c. a y � son opuestos por el vertice.
/\
2x+35° y �
/\
=
6x-5°
C
A
5//W//X
d.
i\. = 7x+ 33°
/\
�
=
12x-32°
D //E
F //K
[ CAPITULO 04 J • 57 •
equilotero
escoleno
Triangulos
is6sceles
b
Propiedad triangular
• Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos.
ac<�+bc
ab<ac+bc
bc<ac+ab
• A mayor lado, se opone mayor angulo; a menor lado, menor
angulo; y a igual lado, igual angulo.
be > ac > ab � a > b > c
-
-
I\
/\
I\
Clasificaci6n de triangulos
I
Escaleno
/
Los
tres lados distintos.
Segun sus lados ]
c
� Isosceles
. ,
I Por lo menos, dos lados iguales. � Eqmlatero
Los tres lados iguales.
Rectangulo
Tiene un angulo recto .
Segun SUS angulos .
Acutangulo
. '
� j Obhcua�gulo
/ I Los tres angulos agudos.
No t1ene angulos rectos.
� Obtusangulo
1 Un angulo obtuso.
I
l/I
23. a. Medi y escribi la longitud de cada segmento.
Coloca una P (posible) o I (imposible) a cada uno de los siguientes triangulos.
d
c
b.D
24.
D
.v
D
f
·v··D
D
-v
D
D
Escribi las posibles longitudes del lado lie en cada triangulo.
a.
b.
b
a
15 cm
C
LJcm<bc<LJcm
• 58 • [MATEMATICA II]
b
C
cm<be<
cm
r'
r
(
recto n g u Lo
oblicuanguLo
hipotenusa
acutClngulo
obtusOngulo
25. Ordena las medidas de cada Lado o angulo seg(m corresponda.
a.
b.
m
26. Nombra cada uno de Los siguientes triangulos.
a.
b.
c.
d.
e.
Isosceles obtusangulo:
Equilatero:
Escaleno acutangulo:
Rectangulo:
Escaleno obtusangulo:
i
27. Responde y justifica la respuesta.
a. tPuede un triangulo ser rectangulo
isosceles?
A
d
b
g
e
b. ly puede ser obtusangulo equilatero?
I
I
Propiedad pitagorica
------------------------------------------------- - -- ------ ------------------ --- -- ----------- -------- - ------------------------------ - ----- En un triangulo rectangulo, el lado opuesto al angulo recto
es la hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos.
En todo triangulo rectangulo, se verifica la propiedad pitag6rica:
el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los catetos.
r
[os'=or'+rs']
�
0
+-I
(l)
+-I
<1:1
u
cateto
----------------- - ---- - -----------... - - ------------ - -------- ------------ - -------- -- --- --------- - --------------------------------- -- ------- -\
L
l
l_
28. Calcula la longitud del segmento
a.
b.
C
l_.,
a6 en cada figura.
a
b
d
C
0
C.
a
b
L,
L
S
a
L,
L,
L,
L
L,
[CAPiTULO 04) • 59 •
1-, \
IJ I
)
tri6ngulos
Polob���e:
ongulos interiores
exteriores
Propiedades de los angulos de un triangulo
--------------·--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------• La suma de los angulos interiores es 180 ° y la de los exteriores es 360 ° .
[ bac + abc + acb = 180 °
1
[ a + § + 6 = 360 l
°
• Cada angulo interior es suplementario con su exterior
correspondiente.
[ bac +a= 180 °J
[ abc + § = 180 ° J
[ & = abc + acb ]
[ § = bac + acb )
a
( acb + 6 = 180 °
• Cada angulo exterior es igual a la suma de los dos interiores
no adyacentes con el.
l
[ g = bac + abc]
----------------------- -- -------------- ----- -- ...--- --------------------------------------..... -----..----- ---------------- - --- -- ----- ... - -- ------
29•
/::,.
En el triangulo abc, a= 58 ° 42' 17" y b= 97 ° 36' 54" .
A
A
Calcula la amplitud del angulo
C.
30. Plantea y resolve.
a. Uno de los angulos agudos de un
triangulo rectangulo mide 73 28' 46".
iCuanto mide el otro angulo agudo?
°
d. Uno de los angulos exteriores de un
triangulo rectangulo mide 124 ° 39' 51".
l(uanto miden SUS angulos agudos?
b. El angulo opuesto al lado desigual de
un triangulo isosceles mide 74 ° 49' 12".
lcuanto mide cada angulo igual?
e. El angulo exterior de uno de los angulos
c. Cada uno de los angulos iguales de un
f.
triangulo isosceles mide 53 24' 37".
lcuanto mide el angulo desigual?
°
• 60 • [MATEMATICA II]
iguales de un triangulo isosceles mide
108° 34' 19". iCuanto miden los angulos
interiores?
El angulo exterior del angulo opuesto al
lado desigual de un triangulo isosceles
mide 116° 45' 6". icuanto miden los
angulos interiores?
r
od�ocentes
suplementarios
r
(
(
(
(
(
j�
31. Plantea la ecuacion y halla la amplitud de los angulos interiores de cada triangulo.
a.
d.
a = 3x+5 °
{ � = 2x+45 °
c = 9x-10 °
I\
(
(
(
b.
x+102 °
� = 2x-18 °
v= 2x
=
I\
C
e.
=6x+10
{�
r =10x-22 °
°
C.
I
s<J
I\
f.
=2x+12 °
�
{
°
y = X +23
0=15x-73
{a= Sx-3 °
b=3x+19 °
a
°
�-
a= Bx-6 °
{ � = 6x-1 °
6 = 7x-11 °
I..
L
(.
l
L
L
l
L,
L....
L,
L,
L.,
32. Calcula la amplitud de los angulos
{i
=4x+12 °
� =2x+30 °
a=10x-2 °
I
a, �, v y r.
A
B
I
A// B // C
r: .,,
[CAPITULO 04] • 61 •
.I
Polob���e:
mediotri!
incentro
bisectri;s circuncentro
Puntos notables de un triangulo
------.. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------• La mediatriz correspondiente al lado de
un triangulo es la recta que equidista de los
extremos del lado.
El punto de intersecci6n de las mediatrices es
el circuncentro del triangulo y es el centro
de la circunferencia circunscripta en el.
• La bisectriz correspondiente al angulo
interior de un triangulo es la semirrecta que
equidista de los lados del angulo.
El punto de intersecci6n de las bisectrices es
el incentro del triangulo y es el centro de la
circunferencia inscripta en el.
b
am es la bisectriz de a
bp es la bisectriz de b
er es la bisectriz de c
M es la mediatriz de ac
N es la mediatriz de be
p es la mediatriz de an
o es el circuncentro
o es el incentro
C
a
circunferencia
inscripta
circunferencia
circunscripta
33. Traza La circunferencia circunscripta en cada triangulo.
a.
b.
a
b
m
C
34. Traza la circunferencia inscripta en cada triangulo.
a
�
f
m
n
r
g
• 62 • [MATEMATICA II]
r
(
baricentro
ortocentro
mediana
r
(
O Ltu ro
oblicuangulo
--- - ----- - -- -.. --------- --- ----- ----- ---- - -- - - ------------- ---- ----- - - ---- ---- -------- - -------- - ------ ----- --------.. -------- ..---------- - --• La altura correspondiente al lado de un
triangulo es el segmento perpendicular al
lado, o a su prolongaci6n, cuyo extrema es el
vertice opuesto.
• La mediana correspondiente al lado de un
triangulo es el segmento que une el punto
medio del lado y el vertice opuesto.
(
r
El punto de intersecci6n de las medianas es
el baricentro y es el centro de gravedad del
triangulo.
a
-
El punto de intersecci6n de las alturas, o de
sus prolongaciones, es el ortocentro del
triangulo.
b
bs es la mediana de ac
ar es la med1ana de be
cm es la mediana de ab
o es el baricentro
I
C
rd es la altura
correspondiente a pm
sp es la altura
correspondiente a rm
em es la altura
correspondiente a pr
o es el ortocentro
m
------------- - -- ----- ---- -- -- --------------- --- ---- - -------- .. --- --- - ---- - --- - ----- - - - -- .. -------- - -- .. --- -- --- -- -------------------- ----- --
35. Traza el baricentro de cada triangulo.
a.
b.
a
r
g
d
0
e
36. Traza el ortocentro de cada triangulo.
a.
\
b.
C
b
(
\.
l­
s
L
L,
L
L,
L
L,
L,
l-,
f
h
....
[ CAPITULO 04] • 63 •
,
,�.
/
,___,
__1-1
./
Polob���e:
Lado elementos
angulo
com pas
Construcci6n de triangulos
---------------------------------------------------------------------·---------------- ... -------------------------------- ...-----------------Un triangulo se puede construir a partir de tres de sus elementos.
• Dados los tres lados.
- Trazar el primer lado.
- Abrir el compas con la medida del segundo lado, pinchar en uno
de los extremos del primer lado y marcar un arco.
''
''
- Abrir el compas con la medida del tercer lado, pinchar en el otro
extrema del primer lado y trazar otro arco.
- Donde se cortan los dos areas, trazar los lados del triangulo.
• Dados dos de sus angulos y el lado comprendido.
- Trazar el lado comprendido.
- Trazar uno de los angulos en uno de los extremos del lado.
- Trazar el otro angulo en el otro de los extremos.
- Donde se cortan los lados de los angulos, queda determinado el
tercer vertice del triangulo.
• Dado dos de sus lados y el angulo comprendido.
- Trazar el angulo.
- Abrir el compas con la medida de uno de los lados, pinchar
en el vertice del angulo y trazar un arco que carte a uno
de los lados del angulo.
- Abrir el compas con la medida del otro lado, pinchar en el vertice
del angulo y trazar un arco que carte el otro lado del angulo.
- El segmento que une los extremos de ambos lados determina el
triangulo.
------
-------.. ------------------- --- - --- -- -----...... ----------- - ...----------- ----- - --- ... - -- -- --------- ----------- ---- ----........ -------- ----------
37. Construi los siguientes triangulos.
a. Rectangulo cuyos catetos miden
6 cm y 4 cm.
• 64 • !MATEMATICA II]
b. Equilatero de 15 cm de per1metro.
figura
r
r
onOLisis
construcci6n
triangulos
I
I
I
38. Construi Los siguientes triangulos.
r
r-
r
39. Observa la figura de analisis y construi Los siguientes triangulos.
a.
C.
I
h�o/\
�
7cm
I
...
\.
\..
b.p
'-0§ 70 °
45 °
�
L
L
C-
(_,
L.,
L
G
L,
�
[ CAPITULO 04 t • 65 •
--
J
Po Lo bttdae: tri6ngulos
criterios igualdad
Criterios de igualdad de tria.ngulos
Dos triangulos son iguales cuando sus tres lados y sus tres angulos son iguales.
Existen tres criterios para determinar si dos triangulos son iguales sin necesidad de conocer
sus tres lados y sus tres angulos.
Criterio lado - lado - lado
Criterio angulo - lado Criterio lado - angulo (LLL)
_angulo (ALA)
lado (LAL)
Si dos triangulos tienen
Si dos triangulos tienen
Si dos triangulos tienen dos
las tres lados iguales, son
lados iguales y el angulo
un lado igual y las angulos
iguales.
comprendido igual, son
adyacentes a el iguales, son
iguales.
iguales.
40. lndica por cuaL de Los criterios son iguaLes Los siguiente pares de triangulos.
C
�
�
C
a
d ____ e
il
4 cm
b
V
b
f
5 cm
c
a
41. Coloca V (verdadero) o F (falso) seg(m corresponda.
Dos triangulos rectangulos son iguales si
a. tienen los catetos iguales.
0
b. tienen los angulos agudos iguales.O
c. tienen un angulo agudo y un cateto igual.O
d. la hipotenusa y un cateto iguales.
0
42. Justifica que mtrn = nip en cada caso.
o.
I A//B l mn= rp
• 66 • !MATEMATICA II]
b.
mo=op
{
no= or
m
r
�
o
n
p
r
Reuisi6n parcial...
43.
r
,
,
b. 8 cm, 2 cm y 8 cm
c. 7 cm, 5 cm y 12 cm
d. 4 cm, 6 cm y 8 cm
"
a.
47° 25' 18"
b.
b
C.
48.
Traza en cada triangulo:
a. la circunferencia inscripta.
27 ° 41' 16"
103 ° 24' 16"
Clasifica cada triangulo seg(m SUS
lados y angulos.
45.
lndica si los pares de triangulos son
iguales.
a
b.
..
49.
32 ° 47' 39"
38 ° 17' 52"
b
� = 107 °
C
62 ° 18' 44"
r
= 3x-12 °
� = 2x+34°
Completa la tabla correspondiente
ti
a los angulos interiores del abc .
"
Calcula los angulos interiores del
triangulo.
b
D
D
D
D
a. 10 cm, 6 cm y 3 cm
44.
47.
Marca con una X los trios de
segmentos con los que se puede
construir un triangulo.
b. la circunferencia circunscripta.
Calcula la longitud de los lados del
triangulo.
ab= x+4cm
{ bc = 3x-6cm
PerTmetro: 25 cm
46.
Determina cual de los rectangulos
tiene mayor diagonal.
u
50.
Observa la figura de analisis y construi
los siguientes triangulos.
0.
b
C.
u
°'
co
11 cm
10 cm
[ CAPITULO 04 J • 67 •
Reuisi6n final
51. Plantea y calcula.
La cuarta parte de la diferencia entre
el suplernento de 107 ° 35' 46" y el
complemento de 51 ° 12' 38".
52.
Halla la amplitud de Los angulos de
cada figura.
A
a. a= 23 ° 51'47"
A
b. � =94 ° 15'38"
R
N
53.
d.
c. M // N
55. En un rectangulo, la base mide 36 cm y
la diagonal 39 cm.
Calcula el perimetro del rectangulo.
56.
Calcula Los angulos interiores del
triangulo.
{A
b
b = 2x
Plantea la ecuacion y calcula Los
angulos de cada figura.
a=x-3 °
a= 120 °
a. {� =3x-8 °
57. lndica si Los pares de triangulos son
iguales.
b.
a.
� =5x-60 °
b.
a
{A
y =6x-28°
� =2x+ 100 °
C.
�=5x-113 °
{
� =2x+22 °
d.
�=3x+ 25 °
{
� =2x-15 °
A// B
5
A
B\
XT
�_,_\A II B
54. Calcula Los angulos interiores de cada
triangulo.
0. SU//
rt
b.
a
58. Traza en cada triangulo:
a. el baricentro.
b. el ortocentro.
59.
Observa la figura de analisis y construi
��s siguientes trian!�los.
�
c§:
Cb
700
9cm
80 °
)
r
(
r
r
Copitulo
05
Funciones
• Secuencio de contenidos
./ Ejes cartesianos.
./ Pares ordenados y cuadrantes.
./ lnterpretaci6n de graficos.
./ Tablas y graficos.
./ Noci6n de funci6n .
./ Grafico de una funci6n.
./ Funciones definidas por formula .
./ Funci6n lineal.
./ Sistemas de ecuaciones.
./ Resoluci6n grafica de un sistema.
./ Funci6n cuadratica.
/AW'i,-JO /IAY 1-,!Ai)A.
otJAII. €µ l>t!
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cpvl: ii:
S/612./!td /A.RA
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Pa.o/!,LcHM
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"(
Ol
f-,',.,AtJ c1't.!!.¢S i::,e Tu
6MPtt.6SA ;,Jo, <fvtRi!:iO ?
Ejes cartesianos
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Para ubicar puntos en un plano, se utilizan como referencia los ejes cartesianos, que son
dos rectas perpendiculares que dividen al plano en cuatro cuadrantes.
• La recta horizontal se
denomina eje x o de las
abscisas.
• La vertical, eje y o de las
y
n
ordenadas.
• Cada punto del plano se
representa mediante un
par ordenado.
( X
l
L
L
L
"\..
L
t
abscisa
y )
t
ordenada
b
C
I
5
3 ___________ .,a
I
•---------------- 2
I
-7
d
-4
-2
e
I
3
5
X
�cuadrante I
-4 -- ----•
�sobre el eje y
�cuadrante II
•---- -6
�sobre el eje x
f
�origen de
IV
III
coordenadas
f = (-2; -6)�cuadrante III
g = (3 ; - 4) �cuadrante N
------------------------------------------- ----------------------------------------------.. -------------------------------------------·---a= (5; 3)
b = (0; 5)
C = (- 7; 2)
d = (- 4; 0)
e = (0; 0)
[CAPITULO 05j • 69 •
Po Lo btld�e:
abscisas
ejes cartesianos
1. Escribi las coordenadas de Los
siguientes puntos.
.
I
ordenadas
y
- --- - - - - -
t
I
------------------•
p
I
I
I
----------- 1I - •
I
X
I
I
I
I
V
e
----- ------ •
•-------------
2. Ubica Los siguientes puntos.
a= (4; 2)
b
= (- 3; 1)
f=
y
(- 9; 0)
g = (5; 5)
= (0; 7)
C = (2; - 3)
h
d = (0; - 4)
i
= (- 2; - 6)
e = (- 6; - 1)
j
= (7; 0)
X
3. Escribi dos pares de puntos que cumpLan con cada condicion.
a. La suma de sus coordenadas es uno.
b. Pertenece al cuadrante Ill.
c. Sus coordenadas son numeros opuestos.
d. Pertenece al eje de las ordenadas.
e. La abscisa es la mitad de la ordenada.
• 70 • [MATEMATICA II]
(0;0)y(0;0)
(0;0)y(0;0)
(0;0)y(0;0)
(0;0)y(0;0)
(0;0)y(0;0)
r
r
r
r
r
(
r
(
decreciente crec1ente
constante
Interpretacion de graficos
Una grafica es
• creciente cuando, al aumentar los
valores de x, aumentan los valores
dey.
• decreciente cuando, al aumentar
los valores de x, disminuyen los
valores dey.
• constante cuando, al aumentar
los valores de x, los valores dey no
varian.
y
5
---------------
3
6
Creciente: - 5 < x < - 2 v 4 < x < 6
Constante: - 2 < x < 1 v 6 < x < 8
Decreciente: 1 < x < 4
8
X
-4
4. a. Pinta la grafica siguiendo las consignas.
I
I
�J
y
r
./ De azul la parte creciente.
./ De rojo la constante.
./ De verde la decreciente.
X
Completa Los puntos del grafico.
(
(0 ;
b. 4;
C.
l
l
l
L
L.,
L
L,
G
L
G
L,
Lt
)
)
d.
(- 6 ;
e.(6;
f.
)
)
g.
(3 ;
(- 7;
)
)
Coloca CR (creciente), DE (decreciente) o CO (constante) seg(m corresponda.
h.-1<x<O
i. 6 <x<7
0
D
j. -3<x<-2
k. O<x<1
D
0
Escribi Los intervalos donde la grafica es
q. decreciente:
p. creciente:
L 2<x<3
m.7<x<8
0
0
r.
0
o. -6<x<-s D
n. 5<x<6
constante:
[CAPITULO 05] • 71 •
Po Lo btfcl�e:
puntos
gr6ficos
5. Traza una grafica que cumpla
y
con las siguientes condiciones.
.I Pasa por los puntos:
(- 7; 0), (0; 6) y (5; 0)
.I Creciente: - 9 < x < - 3
X
.I Constante: - 3 < x < 1
.I Decreciente: 1 < x < 8
6. En el grafico, se representa
distancia en km
la distancia recorrida por
un autom6vil a medida que
trascurre el tiempo.
Observa el grafico y responde.
a. lcuantos kil6metros
recorri6 en la primera hora?
b. tY en las ultimas dos?
c. lcuanto tiempo estuvo
detenido?
d. lcuantos kil6metros
recorri6 en total?
e. ly cuanto tard6 en
recorrerlos?
300
225
200
150
100
50
tiempo
en h
0
2
3
4
5
7
6
8
7. Una pileta se vada mediante una bomba que arroja siempre la misma cantidad de agua.
a. lndica cual de Los graficos representa esa situacion.
Eje x: tiempo transcurrido.
Eje y: cantidad de agua en la pileta.
y
y
y
X
III
X
b. Explica que situaci6n representan Los otros tres graficos.
• 72 • [MATEMATICA II]
y
X
X
r
r
r
r
r
tiempo
distancia peso
r
8.
r
El grafico muestra el peso de una persona en un ano.
Observa el grafico y responde.
peso en kg
a. icuanto vari6 su peso durante el ano?
66 _________________ _
b. iEn que mes alcanz6 su menor peso?
65
c. icual fue el menor peso?
I
64
d. iEn que mes alcanz6 su mayor peso?
63
e. icual fue el mayor peso?
f.
iDurante cuantos meses su peso no vari6?
g. iDurante cuantos meses aument6 de peso?
60
h. iDurante cuantos meses baj6 de peso?
9.
F
E
A S 0
M A M
D
meses
Axel sali6 dos veces de su casa entre las 10:00 y las 23:00. A la manana, fue al banco;
a la tarde, al supermercado; y despues, a la casa de un amigo.
Observa el grafico y responde.
distancia en cuadras
50 ------------------------------------
40
I
I
I
I
I
- - L - - - - ,- - ----
20
1
I
I
5
0
\.
<..
L,
l
L
L
L,
L,
L
L.,
w
L,;
G
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
horario
a. iA que hora sali6 de su casa para ir al banco?
b. iA cuantas cuadras esta el banco y cuanto tiempo estuvo alli?
c. iA que hara volvi6 a la casa y cuanto tiempo se qued6 hasta volver a salir?
d. iA que hara lleg6 al supermercado y a que hara sali6?
e. iA cuantas cuadras del supermercado esta la casa de su amigo?
f.
icuanto tiempo se qued6 en esa casa y a que hara se fue?
!
g. iCuanto tiempo estuvo en su casa entre las 10:00 y las 23:00?
[CAPITULO 05) • 73
_/
" J '
Po Lo bt£d�e:
.
,
funcion
1magen
dominio
codominio
Noci6n de funci6n
----- - - - ----- - ------- -------· .. -- ------ - - ---- -- ----------- - - -- --- - - ------ -- - -- --------- --------------- - - --- ---------........... --- ... ----- -- ------• Una grafica relaciona puntos del plano y puede estar representada por una recta o una curva.
En la grafica, se representa la relaci6n de los valores entre x1 y x2 con los valores entre Y1 e y2 .
• Para que una grafica sea una funci6n, todos los valores de x deben relacionarse con un
uni co valor de y.
- 6 es la irnagen de 5
5 es la preirnagen de - 6
El dominio (Df) es el conjunto formado por
todos los valores de x que intervienen en la
funci6n y el codominio (Cf) o imagen son
todos los valores de y.
=>
I
y
Una funci6n es un conjunto de pares ordenados.
Y es la irnagen de x
(x; y) => f (x) = Y {
x es la preirnagen de y
(- 6 ·. 5)
I_
I_
f ( _ 6) = 5 {
3
-6
4
X
-4 --------
Df� - 6 � x � 4
Cf� -4 � y � 5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. lndica si las siguientes graficas son o no funciones para - 2 � x � 5.
�
�
y
�
y
5 -----
-2
X
11. Calcula.
o. lcual es el dominio y el codominio de la funci6n?
Completa con el valor que corresponda.
b. La imagen de 1 es
0
O.
0
0
c. La preimagen de 8 es
g. f(-5)=0
D
h. f(O)=
d. La imagen de - 6 es
i.
f(0)=6
e. La preimagen de - 4 es
j.
f. f(4)=0
k.
f(O)=a
• 74 • [MATEMATICA II]
f(D=-2
X
r
r
Reuisi6n parcial...
12. lndica en que cuadrante o sobre que eje se encuentra el punto (x; y).
c. x>OAy<O
o.x<OAy<O
b.x=O/\y>O
e.
f.
d.x<O/\y>O
13. Observa el grafico y escribi las
y
b •---- ------------
coordenadas de Los puntos que se
indican.
'
m:abscisa igual a la del punto a y
ordenada igual a la del punto b.
n: abscisa opuesta a la del punto c
yordenada igual a la del punto e.
r: abscisa igual al doble de la del
punto d yordenada opuesta a la
del punto e.
o: abscisayordenada tres unidades
menores que las del punto f.
14..
El grafico representa la distancia
recorrida par el autom6vil de una
familia de Rosario que va a pasar
sus vacaciones a Carlos Paz.
Observa el grafico y responde.
l
l
l
L
l
L
L,
l..,
L
L,
L,
L,
< 0 I\ y= 0
x>OAy>O
X
a
C
X
----------------·
f
•-- ----
distancia en km
�o -----------------------------
400
300
200
o. ;_Cual es la distancia entre
100
Rosario yCarlos Paz ycuanto
9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00
horario
dur6 todo el viaje?
b. ;,,A que hara partieron ya que
hara llegaron a Carlos Paz?
c. ;_A que hora realizaron la primera paradaycuanto tiempo estuvieron detenidos?
d. ;_Cuanto tardaron en recorrer las primeros 200 km?
e. ;_A que hara se detuvieron por segunda vez ya que distancia de Carlos Paz
estaban?
15.
Observa la funci6n.
y
Escribi.
a. El dominio yla imagen.
b. Los intervalos donde es creciente,
decreciente yconstante.
Halla el valor de la funci6n.
c. f(7)
d. f(- 8)
e. f(O)
f. f(10)
-11
9. f(- 4)
-5
-2
-2
10 1213 X
h. f(3)
[CAPITULO 05] • 75 •
Po Lo bftd�e:
funci6n lineal
f6rmula
Funci6n lineal
Una funci6n es lineal cuando todos sus
puntos pertenecen a una misma recta.
y = 2x - 1
Las funciones lineales tienen por formula:
X
-1
1
2
3
3
5
a. Escribi la funcion lineal que permita calcular el costo y de un viaje de x km.
b. El costo de cada viaje de 36 km.
c. La distancia de un viaje que cuesta$ 2 000.
En un rectangulo, la base es 7 cm mayor que la altura.
a. Escribi la funcion lineal del perimetro y de un rectangulo cuya altura mide x cm.
Calcula.
b. El perimetro de un rectangulo de 8 cm
de alto.
18.
-3
Un flete cobra$ 600 fijos y$ 50 por kil6metro recorrido.
Calcula.
17.
-7
-5
-1
0
1
y=ax+b
16.
y
X
-3
-2
c. La altura de un rectangulo de 62 cm de
perimetro.
En un tanque, hay 1 890 l de agua y se vacia con una canilla que arroja 45 l por minuto.
a. Escribi la funcion lineal que permita calcular la cantidad y de litros que quedan en
el tanque despues de x minutos.
Calcula.
b. Cuanta agua queda en el tanque despues de 18 minutos.
c. Despues de cuantos minutos quedan 540 litros.
d. Cuanto tarda en vaciarse el tanque.
• 76 • [MATEMATICA II]
recto
r
r
19.
r
(
grafica
ualores
I
Una ruta tiene asfaltados 80 km, y el resto es de tierra. Se comienza una obra para
asfaltar 20 km par mes.
a. Escribi la funcion lineal que permita conocer la cantidad total y de km de asfalto
que tiene la ruta despues de x meses de comenzada la obra.
b. Completa la tabla.
c. Grafica la situacion.
kil6metros de asfalto
y
X
0
1
2
3
4
5
6
20
20.
meses
Completa la tabla y grafica cada recta de distinto color.
O.
y = X+ 2
X
C.
y
X
-7
-6
-4
-3
-2
3
6
6
b. y =- x- 5
d. y = - 2x + 3
-8
-5
y
0
0
X
y
-9
-9
l
l
l
l_
L,
L
L
L.,
L.,
y = X: 3 - 4
y
X
I
X
y
-3
-1
-1
0
0
1
1
2
2
5
I
L­
L,
l-
-,�
I
[CAPITULO 05) • 77
1,
Po Lo btfcl�e: soluci6n
sistema
paralelas
Sistemas de dos ecuaciones lineales
-- ... -----------·------------------------------------------------------------------------------·-------------------------------------------Un sistema de dos ecuaciones lineales esta formado por dos rectas. Para resolverlo
graficamente, se representa cada una de las rectas.
La soluci6n del sistema es el punto donde se cortan ambas rectas. Pero si las rectas son
paralelas, el sistema no tiene soluci6n.
{X + y = 5 => y
= - X+ 5
2x - y = 1 => y 2 = 2x -1
1
X
Y1
Y2
-1
6
0
5
4
-3
1
-1
y - X = 2 => y 1 = X + 2
{
x-y= 1=>y 2 X-1
1
=
X
Y1
-1
1
0
2
1
3
Y2
-2
-1
0
I
,3
I
X
-1
X
I
I
I
No tiene soluci6n
S= 0
----- -- -- - ------ - --- - -- -- - - - ------ .. ------- - --- - - - - - - - - ----- -- -- - - - - - ------.... --------- - -- -- - - - ----- -- - - - - - - - - - - ------.. ------ ---- -- -- -- - ... -- X
=2
I\
y=3
=>
S = 1(2; 3)}
21. a. Grafica las tres rectas de distintos colores.
y 1 = 3x- 7
y 2 = - 2x + 3
y3 = 3x + 8
Escribi la solucion de cada sistema.
b.
{Y,
Y2
d. {
�:
• 78 • [MATEMATICA II]
X
r
r
ecuaciones Lineales
22. Resolve graficamente Los siguientes sistemas.
a.
{
b.
x+y =3
2x + y = 8
y
grClfico
I
Y -x = 7
{
3x + y = - 9
I
y
X
X
I
I
23. Plantea el sistema y resolve graficamente.
a. La suma de dos numeros es diez y su
diferencia es cuatro. iDe que numeros
se trata?
b. En una caja hay siete billetes de$ 2
y de$ 5. Si en total son$ 23, icuantos
billetes de cada valor hay?
y
y
I
\_
l
l
l
L
X
X
�
L
L,
L
G
L,
L
Gi
[CAPITULO 05) • 79
•
,
__\
--y /
Po Lo b�£o�e:
parClbola
funci6n cuadr6tica
Funci6n cuadratica
Una funci6n es cuadratica cuando la variable independiente x esta elevada al cuadrado.
El grafico de una funci6n cuadratica es una parabola.
X
24.
y
=
xz
y
------
y
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
-3 -2 -1
1
2
3
X
Completa la tabla y grafica cada parabola.
a.
y = x2 + 2
X
c. y = x2 -1
y
y
X
-2
-3
-1
-2
0
-1
1
0
2
y
y
1
X
X
2
I
3
b. y = - x2
X
d. y = - x2 + 4
y
X
y
-2
y
T
-2
X
-1
1
0
2
1
2
3
• 80 • [MATEMATICA II]
y
-3
-1
0
r
X
Reuisi6n parcial...
(
r
25. lndica cuales de las siguientes
27. Completa las siguientes tablas y
formulas corresponden a alguna de
las funciones graficadas.
(
(
y=-x-4 J
y = - x2 +
4J
y = -x+Q
a.
y = x2
-
4
J
y = X -4
grafica cada recta.
a. y= 2x - 7
b. y= - 3x + 8
X
]
-3
y=-x2 -�
y
-4
-7
14
-1
-1
-4
-1
c. y
Y
X
y
1
2
-7
3
: 28. a. Marca los puntos (- 2 ; - 7) y (4 ; 5).
b.
d.
y
4
X
26.
L
l
l
l
l
l
G
l
L,
L
L.,
L
L
L,
L.,
y
-2
\ 14
2
�
X
Se entregaron 45 casas nuevas de un
plan de viviendas yen los siguientes
meses, se entregan otras 15 por mes.
a. Escribi la funcion lineal que permita
calcular la cantidad total y de casas
entregadas en los siguientes x
meses.
b. Representa la funcion para los
primeros 8 meses.
Calcula y responde.
Traza la recta que pasa por ambos
puntos.
b. Escribi otros 3 puntos que
pertenezcan a la recta.
c. Escribi la formula de la recta.
d. Decidi si los siguientes puntos
pertenecen o no a la recta.
c. iCuantas casas se habran entregado
despues de un ario?
d. lEn cuantos meses se habran
entregado 300 casas?
a = (- 10;-23)
b = (-8;-20)
I
I
C = (15;25)
d=(20;37)
29• Resolve graficamente los siguientes
sistemas.
a. {x-y = 7
3x+y = 1
b.
y+x = -6
{y-2x = 6
30. Completa las siguientes tablas y
grafica cada parabola.
b. y= - x2 + 1
a. y= x2 + 3
X
-3
-2
-1
y
X
y
-3
-2
-1
0
0
1
1
2
2
3
3
[CAPITULO 05J • 81 •
Reuisi6n final
31.
Escribi Los puntos azules en el orden
en que se deben unir para formar cada
numero.
vt
•
a. 2
34.
gasto en$
•
400
300
200
c. 6
X
-6
-4
-2 -1
5
4
X
-5
35.
Uni cada funci6n con el punto que
pertenece a ella.
2
(- 2; - 3)
a. y= x
C.
2
y= x - 1
d. y= x3
y= - 5x + 7
1- -
- - - - - - - - - - - - - - - -
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
-�--�-!-J--�-l-�--1-I
I
1
I
I
-r I
E
I
!
I
I
I
F M A M
I
J
I
I
I
I
I
I
I
J
I
I
I
I
I
I
I
1
I
I
I )
A S O N D
meses del aiio
(2; - 3)
(- 2; - 8)
(- 4; 16)
(- 4; - 5)
(- 3; 8)
Resolve graficamente los siguientes
sistemas.
o. {x+y= O
b. {2x+y = 2
2x - y = 12
3x+y = -1
36.
Plantea el sistema y resolve.
La suma de las edades de Axel y
Ezequiel es 40 anos. Si Axel es 8 anos
mayor que Ezequiel, [que edad tiene
cada uno?
37.
Completa las tablas y grafica las
siguiente funciones.
a. y = - 2x + 5
b. y = - x2 - 1
a. El dominio y la imagen.
b. Los intervalos donde la funci6n es
creciente, decreciente y constante.
b. y= 2x +1
= L--�--_ �- _....____
- _I - - !._ - .J - - l- -
Observa el grafico y responde.
En que mes/es:
a. el gasto fue menor a$ 400.
b. el gasto fue mayor a$ 500.
c. el gasto no vari6.
d. el gasto fue de$ 450.
e. se gast6 menos.
f. se gast6 mas.
g. Calcula el promedio del gasto anual.
32. Observa la funci6n y halla.
---------�
= �= =:
600 - --l- -r500 - -' - _,_ -
b. 5
33.
El grafico muestra el gasto del telefono
fijo de una casa en un ano.
X
-2
y
13
-1
-1
5
X
-3
-2
-1
0
1
2
-7
3
y
)
r
r
r
r
r
(
(
06
Capitulo
NUmeros racionales
,,. Secuencia de contenidos
.f EL conjunto Q.
./ Fracciones y expresiones decimates.
.f Representacion de fracciones.
.f Fracciones equivalentes.
./ Fracciones decimates.
.f Orden en Q.
./ Representaci6n grafica de racionales.
.f Adicion y sustracci6n.
.I Multiplicacion y division de fracciones.
.f Potenciacion y radicacion .
./ Operaciones combinadas .
.f Lenguaje coloquial y simbolico.
.f Ecuaciones.
i ft'.t'<.o cpvt�t't>o I ;s; Si!Erf.r?{(t Kc. o;JiSTE 111c CN
/,A oFr'c,',JA DA,S {U 1.00 % (
Si ' UtJ 3o % <=L lf.J}.)ES I ll,.J 20 7o E:l /t".({UJ',
VN
1.5 '(o
El 11./t:rernlcS. o�o 1S-% U.
�IJ<=VtS y uN 2o •/o El \Jt't:��[S.
El conjunto de los ntimeros racionales
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Un numero es racional cuando puede ser expresado como un cociente entre dos numeros
enteros.
� EO /\ aEZ /\ bEZ-{O}
Los numeros racionales se expresan mediante una fracci6n o una expresi6n decimal.
• En una fracci6n, el denominador indica el numero de
partes iguales en que se divide el entero; y el numerador,
cuantas de esas partes se deben considerar.
-\.
a � nurnerador
b � denominador
• La expresi6n decimal de un numero racional se obtiene a partir del cociente entre el
nurnerador y el denorninador de una fracci6n.
7 == 7:3 == 2,33333 ... == 2,3�
4 == 4:5 == 0, 8
5 == 5:18 == 0,2777... == 0,27�
18
3
5
Para representar un numero racional en la recta numerica, se lo expresa mediante una
fracci6n y se divide el entero en la misma cantidad de partes que el denominador.
1
2 y-0 8
L
-L
L
0
-1
1
-08=-_§_
'
10
----· --------------------.... -------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------[CAPITULO 06) • 83 •
denominador
Polob���e:
numerodor
racionales
•••• •
1. Escribi la fraccion y la expresion decimal que representa cada color.
C.
a.
b.
,J
•
B
=[\...--____..
2. Representa las siguientes fracciones.
a.
3
4
b.
2
5
c. 32
3. Uni cada fraccion con su expresion decimal.
a. �
J
C.
2
3
9
b.
101
d. .lQ_
9
0,9
e. 5
4
1,25
0,6
a I
f. 15
0,75
0,53
0,375
4. Representa cada numero racional en la recta numerica.
5
-9
11
a. T
C.
b. 0,6
d. -1,2
• 84 • [MATEMATICA II]
1,1
r
r
equiuolente
r
r
(
(
(
(
{
s i m p Li fi co r
irreducible
Fracciones equivalentes
- -- -- ----- - - - -----.. --- --------- --------- -- ----- - -- -- ----------------- -- -------- -- -- ----- ..... ------------------------------ -- - - ---------- - - -• Las fracciones equivalentes son las que representan la misma parte del entero.
Para obtener fracciones equivalentes, se multiplica o divide el numeradar y el denominadar
de una fracci6n par un mismo numero distinto de 0.
20 20 : 5 4
7 7 . 3 21
60 60 : 4 15
2 . 5 10
2
25 = 25: 5 = 5
24 = 24: 4 = 6
4 = 4. 3 = 12
3 = 3. 5 = 15
• Una fracci6n es irreducible cuando no existe ningun numero natural distinto de 1 par el que
se puedan dividir el numerador y el denominadar.
.
9
1 10
Son fracc1ones me
. duc1'bles: 5 , 13 Y 1o
• Simplificar una fracci6n es hallar su equivalente irreducible.
------ - -- - ------------- - ------ -- ---------- - ----------- ----- - -------- -- -- ----------- -------------------- ---- - - ------ ---- - ------------------
5. Marca con una X La o Las fracciones equivalentes de cada fraccion dada.
44
r 4' �
20
28
a. 5
�
D
-1§_
D
1�
55 D
35
30
20
l_.::!..
�o
.;
b
CR
�
. '"1?
iO
60
90
D
6. Expresa como fraccion irreducible.
a. Quince
minutas �
de una hara
l
I.
l
l
l
L,
L,
L..
L,
L
�
L,
G
L,
b. Ocha
haras de �
un dTa
D
D
D
D
c.. Nueve
meses de �
un afia
d. Veinte
meses de �
un afia
D
D
D
D
�o
D
36
54 D
e. Seis dTas
�
de tres
semanas
f. Cuarenta
arias de
un sigla
�
D
D
D
D
7. Representa Las fracciones en La misma recta.
Q.
1
2'
3
13
s Y -10
8. Completa La fraccion equivalente y halla La irreducible.
o.
12 = 24 = L...J
15
L--1 o
b
_6__ 24
6
3
• _.J -
_L_J
-0
C.
60 = r----i =
D
45 15 0
[CAPITULO 06] • 85 •
Po lo btfclae: Frocciones
orden
desigualdad
Orden de los numeros racionales
--------------------------------------------------------------------------------·---------------------·----------------------------------• Orden de fracciones
Si dos fracciones positivas tienen igual denominador, es mayor la de mayor numerador.
Si tienen distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes de igual denominador.
• Orden de expresiones decimales
Para comparar dos expresiones decimales, se debe comparar cada una de las cifras con el
mismo valor posicional de izquierda a derecha.
- 1,407 < - 1,405
0,003 > 0,0027
0,83 < 0,86
- 5,1 > - 5,3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. Coloca < o > seg(m corresponda.
b.
4
9
c. -0,37
2
0,25
d.
3
--=r =1- �
5
e.
1,55
_J-0,38
f.
3
o. 0,025
-
1
,..._
'-
3
-2 u-1,6
g.
1,5
h. -0,78
0,32
i.
5
--=r
]-�
]-0,715
10. Escribi un numero que verifique cada desigualdad.
5
0.6
<
5
0
c.
1
10
D
<---rs
11. Encontra y escribi una expresion decimal que cumpla con cada condicion.
a. o,5<(
]<o,51
b. -0,4<{...____,)<- 0,3
c. 1,3<[
)< 1,3
d. -0,65<{...____,]<-0,64
e. o,99<[
f. - 0,01<[________.)<0
12. Escribi todas las fracciones que cumplan con cada condicion.
o. Positivas, con denominador 5 y menores que 1.
b. Negativas, con denominador 3 y mayores que - 2.
• 86 • IMATEMATICA II]
}<1
r
r
(
(
r
r
(
(
sumos
operoc1ones
Adici6n y sustracci6n de fracciones
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para sumar o restar fracciones, se buscan fracciones equivalentes de igual denominador.
1. + 2 = _]_ + 1§_ = 8 + 15 = 11
12
12
3 4 12 12
_ 2 + ..1 _ 1. __ 1§_ + 21._ _ 1_1 = -15 + 24 - 14 = _ _§_
18
18
6 3 9 - 18 18 18
r
(
(
restas
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(
13. Resolve las siguientes operaciones.
a.
2
s-1 =
8
C. 1- 7 =
14. Completa con la fracci6n que corresponda.
D
· s D
D = 94
b.1-
0
3 +--=1
-
D
D
1 +- =
- 1
C. --
2
o
'(_
L
15. Plantea y resolve.
a. Si se recorren las tres septimas partes de un camino, ;_cuanto mas se debe recorrer
para llegar a la mitad?
l
L
L,
L
l
b. De un tanque lleno de gasolina, se consumen las tres octavas partes y, luego, las
dos quintas partes. ;_Que parte del combustible queda en el tanque?
L,
L,
L
L,
G
[CAPITULO 06] • 87 •
Po Lo b[Gl�e: numero entero
multiplicacion
frocci6n
Producto entre una fracci6n y un numero entero
--------------------------·------------------------------------- ... ------------------------------------------------------.------------------Para multiplicar un numero entero (n) por una fracci6n,
se multiplica el entero por el numerador de la fracci6n.
3_.z_5 _ _LJ
5 _
- _§_5
4
-4·]_
7_
- - 7. 3 _
- __g
7
n.a
n-�=
b
b
-5·(-i)= -5.�-4) = 290
Una parte de una cantidad es la fracci6n que la representa multiplicada por la cantidad.
La cuarta parte de 120:
120 = l�O = 30
1·
3
Las dos terceras partes de 150: � · 150 = 2 · J50 = �0 :;: 100
---- -- - - - ---------- ---------- .....--- ...----- - -------------------- ---- - .. ---------- - - - ------- - - - - - ------- - -- ------- - - - - ------- - --- - -----.. -------
16. Calcula mentalmente.
a. La mitad de 90:
b.
-----
[
�----'
La cuarta parte de 100:(.____
c. La quinta parte de 150:{.....---
17. Halla Los siguientes productos.
Q,
b.
9
8 · 20 =
7
-5 · 15
=
e. La decima parte de 700:
f. La septima parte de 420:
3
40 · 16 =
C.
d.
d. La sexta parte de 300:
3 · (�
+ t)+ � =
b.
f. - 24· (- !o ) =
5 · ( -1 2)
-1a
=
18. Resolve Los siguientes calculos.
o.
e. 20 . (- 125 ) =
( �-j ) · 4 - � =
c.
7-6·(� + l)=
19. De un trayecto de 360 km, se recorren las tres octavas partes y, luego, 80 km.
Plantea y resolve.
o. LCuantos kil6metros se recorrieron?
b.
LCuantos falta recorrer?
20. MatTas tiene $ 420. Gasta la tercera parte en la carnicerTa y la cuarta parte del resto
en la verduleria.
Plantea y resolve.
o. LCuanto gasta en total?
• 88 • [MATEMATICA II]
b.
LCuanto dinero le queda?
r
r
(
r
(
(
Reuisi6n parcial...
21.
Escribi La fraccion irreducible que
representa cada color del entero.
27.. Coloca < o > seg(m corresponda.
D s3
c. 0,05
2
-�04
3
d. - 1
o. 7
9
b·
""'O 201
D -o,34
28 .. Escribi La fraccion irreducible que
corresponda.
22.
Representa Las siguientes fracciones.
9
b. -7;
G. 8
�
23 .. Halla La fraccion irreducible que
representa cada situacion.
o. Se utilizaron 20 de las 45 litros de
un tanque de combustible.
b. Se recorren 160 de las 300 km de un
trayecto.
c. Se compran 18 de las 150 numeros
de un sorteo.
24..
l
l
l
l
l.
L,
l
L
L,
L..,
G
1..­
l..,
4
2
; 0,7; 5
-5
y - 1,3.
25.. Completa Los casilleros.
0. 7;
b.
=
21
0
D
36 =-763
c.
=
12
D
=
30
45
0
d.18
84
� 189
15
20
26 .. Halla la fraccion irreducible.
54
CL 90
D = 4-3045 =- 4130
D
D _ -1412+15 =-121
o-
_1-+
6
29.. Resolve Los siguientes calculos.
3
5
4
a 10 - 2+ 5 =
7
5
c. -4 · 12+ 18. 3 =
c1.(�-�)-3+2=
30. Calcula.
a. La tercera parte de doscientos siete.
b. Las dos septimas partes de
trescientos veintinueve.
Marca en La misma recta.
3
2
G. 15-
168
c.. 48
31.. Plantea y resolve.
o. Dace bolitas rojas pesan lo mismo
que nueve azules. lQue pesa mas,
cinco bolitas azules o siete rojas?
b. Las cinco novenas partes de una
ruta estan asfaltadas y aun quedan
240 km sin asfaltar. lcuantos
kil6metros tiene la ruta?
c. De un tanque con 750 l de agua,
se utilizan las tres quintas partes
y, luego, las cinco sextas partes del
resto. lcuantos litros quedan en
el tanque?
[CAPITULO 06) • 89 •
Po Lo bttd�e:
u r
racciones
:
di idi
i
i
l
l
ca
t
mu p
Multiplicaci6n y division de fracciones
-------------------------------------------------------------------------------------------------·---------------------------------------• Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los
denominadores entre si. Simplificando previamente cuando sea posible.
-� ·
1 = -�
[ %·% = -HJ
4 2
.�
J f�
2 0 . � = 2:
= �
9
3 1
=-
• Para clividir dos fracciones, hay que multiplicar
el dividendo por la fracci6n inversa del divisor.
8.· = 8 1
-5
3 - 5. = - 185
3
�:(-�)= �-(-�)=-3s5
---------------·--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
32. Resolve las siguientes multiplicaciones y divisiones simplificando previamente
cuando sea posible.
28. 49
b. 27·13 =
C.
� . ( - 290 ) =
6
e. -12·9=
d·
_ .2_4:·(-11)
=
10
6
f. 45 · ( -75) =
15
32 ·
5
1
33. Uni cada operaci6n con la parte del entero que representa.
1
a. La mitad de la tercera parte.
b.
c.
La quinta parte de la mitad.
Las dos terceras partes de la cuarta parte.
d. Las tres cuartas partes de las ocho novenas partes.
e.
f.
La sexta parte de las tres quintas partes.
Las tres decimas partes de las cinco sextas partes.
34. Completa Los casilleros vacios.
D
1s
3
a. 4·
0 = 2a
b
1
2.D = 25a
· s·o
• 90 • [MATEMATICA II]
3
1
c6Lculos
r
r
r
r
r
35.
(
r
,
combinados
En un colegio, hay 648 alumnos; las cinco novenas partes son varones. Las tres
quintas partes de las varones y las tres octavas partes de las mujeres practican algun
deporte.
Calcula y responde.
a. LOue parte de las varones practica algun deporte?
I
b. LCuantos varones son?
c. LOue parte de las mujeres practica algun deporte?
d. LCuantas mujeres son?
36.
Resolve Los siguientes calculos.
)=
1-_ 26 ··(- .J..Q_
3
b· 5
_ 1.Q_ · (d· _z_
2 n
_g_)
· 2 _ 1. =
s · 4 3
g'
1.7 - (j_4 _ 1.)
. (.1 + 1.) =
3 · 2 3
.1Z_. (- 2-)-7 · (- li) =
e· _l
3 · 4
2
·
3
. .l _ (1. -.1)
5 .. .1!t.
5 +2 =
I,
3
3
3
4
I
--
[CAPITULO 06] • 91
•
Pa La bttci�e: porcentoje portes
c1en
•
Porcentaje
El porcentaje de una cantidad es cuantas partes de las cien en que se divide la cantidad se
deben considerar.
El 100% es el total y el 1% es uno de cada cien del total.
El 8% representa 8 de cada 100.
El 15% representa 15 de cada 100.
Para calcular el porcentaje, se multiplica la cantidad por un numero racional.
El 5% de 400 es 400. 5/100 = 400. 0.05 = 20
El 20% de 300 es 300. 20/100 = 300. 0,2 = 60
37. Calcula cada porcentaje.
a. El 4% de 150.
b. El 9% de 400.
a
c. El 18% de 350.
e. El 72% de 500.
d. El 35% de 420.
f.
a
El 150% de 280.
a
38. Escribi La fraccion irreducible que representa cada porcentaje.
a. 8% """"7
b. 20% """"7
C. 60% """"7
Escribi el porcentaje que representa cada fraccion.
39. Plantea y resolve.
a Se compra un celular de$ 6 750 con un descuento del 6%. LCuanto se paga?
b. Una camisa de$ 640 tiene un recargo del 4% si se paga con tarjeta. LCuanto cuesta
comprar la camisa con tarjeta?
c. Un LCD de$ 24 850 tiene un recargo del 12% si se paga en 8 cuotas. LCual es el
valor de cada cuota?
• 92 • [MATEMATICA II]
r
recorgo
prec10
/'
/'
r
r
r
r
r
r
descuento
Calculo directo
• Calcular directarnente el precio con descuento o con recargo.
Sise compra con un 4% de recargo, se paga el104% de su valor.
$ 500con un recargo del 4% es 500. 104 1
/ 00 = 500. 1,04 = 520
Sise compra con un 4% de descuento ,se paga el 96% de su valor.
$ 500con un descuento del 4% es 500. 96/100= 500. 0,96 = 480
• Calcular el porcentaje de recargo o de descuento.
Un articulo de $ 650se paga $ 598.
$ 650. x = $ 598� x = 598: 650 = 0,92 � El descuento el del 8%
Un articulo de $ 600se paga $ 684.
$ 600. x = $ 684 � x = 684: 600 = 1,14 � El recargo el del 14%
40. Calcula directamente el precio con descuento o con recargo.
a. $ 800 con un recargo del 7%.
c. $ 2 400 con un descuento del 18%.
b. $ 1 500 con un descuento del 9%.
d. $ 4 300 con un recargo del 24%.
41. Calcula directamente el porcentajededescuento ode recargo.
o. Una remera de$ 520 se compra a$ 494.
b. Un pantal6n de$ 1 200 se paga$ 1 296.
c. Una heladera de$ 9 600 se abona en 3 cuotas de$ 3 392.
(_
l
L
L
L..
L
C
l..,
Li,
L.,
Li,
42. Completa la tabla.
Precio
a.
b.
C.
$900
$1 100
Porcentaje
del descuento
------
Valor del
descuento
$117
Porcentaje
del recargo
------
Valor del
recargo
------
------
------
------
$165
d.
8%
------
------
e.
16%
12%
$192
------
------
17%
$ 391
f.
------
------
Total a pagar
$1 518
$2 088
[CAPITULO 06] • 93 •
Pa Lo bt@�e: potencio
fracciones
exponente
Potenciaci6n de fracciones
[(%f = fn)
( -1 t -1: == - 31
• Para elevar una fracci6n a un exponente entero positivo,
se eleva el numerador y el denominador a ese exponente.
(- �
t
= �: =
§i ( - � f = - �: = - f1� ( - l f = !: == z8s16
• El exponente entero negativo se define como:
T2 - _..1_2 -- _1_
49
7
1
( -6 )-2 ==(- )2
6
==
_ _§_ 2 _ 1§_
(_§_)
5 -2 ( 8 ) -64
1
36
i
-3-2 = - z
==
==
[ (% r
n
= (�
r}
(-2r 3 == _1 _3 == __1
8
(-2)
-�
2 _JU_
)
1L
-(
-2
(-1-)
9 - 4 - 16
43. Resolve las siguientes potencias.
a.
(- � f =
3
f. (-Sf =
f
b. (- � =
c.
(-jf=
d.
(- � t =
L
(- � r
2
=
h. -10- 2 =
j.
3
( s)
-2
=
44. Coloca V (verdadero) o F (fatso) seg(m corresponda.
D
D
c. (-
d.
)-2 =100 D
10
1
(- 3 r 1 = - 3
g. Resolve correctamente las que son falsas.
• 94 • [MATEMATICA II]
D
e.
f.
4 -1
4
(3) =-3
- 51-2 = -36
D
D
r
c6Lculos ind ice
r
r
r
r
r
r
r
Radicaci6n de fracciones
Para hallar la raiz de indice n de una fracci6n, se busca la
raiz del numerador y del denorninador.
I
125_/25_�
- 136- 6
y35
r
r
45. Resolve las siguientes raices.
a.
-vm =
.
b
VT6 =
3J8
{sf
c.
v-m =
4/81
e. \/255
=
d.
f-J; =
f.�=
3�
I
I
46. Completa Los casilleros vacios.
/CJ
a.�0
3;n
b.�=v
c.
D
-2
=
=
1
11
4
o
1
= 100
d. ( �
)o = i
1
e. 2 D = 64
. ([r iJJ-
f
�===:
3
= 27
g.
011
1
h.
(:::===1
= 169
==:;:r
\/128 -2
[
. CJD =
I.
I
1
36
47. CalcuLa el Lado desconocido de Los siguientes trianguLos rectanguLos.
�
a
l
L
l
l
L
L
l...,
G
L,
L,
L
G
I
[CAPITULO 06) • 95 •
-
�
cO Leu Los
48.
combinados
Resolve Los siguientes calculos combinados.
b
..1§..(-1-)-1+
3CT _1_=
8
-v-s
5
• 15 ·
( 2 )- + 7;·
5 ( -5+3
4 ) -2
h. 3
• 96 • [MATEMATICA II]
2
�
-1
=
r
r
r
,...
r
r
r
a
c
n
i
i
ere
f
d
d
a
1
t
·
m
ecuociones
fracciones
Ecuaciones con fracciones
- --------- - ------- ------------------- - ------- - -------- - ----.. -- - - -- .. -- ------------ - -------- - - -- - -- -- -- --- - - - -- ---- - -----------------------Las ecuaciones con fracciones se resuelven igual que las ecuaciones con numeros enteros.
.lx + ]._ = ]._x + _1
5
4 5
2
4 3
3
1
2X - 5X = 5- 4
r
,-
1
1
-wx = 20
x = z1o : ( X
= -�
lo )
x + 3 + 2x + 5 _
3 2
5
3 2
1
2 X + 2 + 3X + 3 =
2
1
2 x + 3X - x =
_§_ +
12 X
5
TI + x
3 5
5
-2
TI
-3
J x = - �1
X=
_11
6
4 .. .1
I
I
I
I
X = _ 33
2
49. Plantea la ecuacion y halla el numero que cumple con cada condicion.
a. Las tres cuartas partes de su siguiente
es quince.
50. Resolve las siguientes ecuaciones.
0•
\..
5
1 5
3
3+4X-5=2x
b. La diferencia entre su mitad y su
tercera parte es seis.
_§._)
_ _i = .l(..!§.x _
d · 1-x
4
3
5
15
9
e.
3x+1
5 3
9
2 = 6( 10 X+ 25 )
f.
x+2 x-1 3-x
-5---2-=-4-
\.
I
I
I
l
L
l
L,_
l
L.,
L
l..,
G
G
L,
L,
I
I ·-
[-
[CAPITULO 06] • 97 •
>
I
I
Po Lo bt@�e:
51.
52.
planteosoluc1on
., ecuaciones
La tercera parte de la suma de dos numeros consecutivos es diecisiete.
Plantea la ecuaci6n y halla Los numeros.
Nicolas gasta las dos quintas partes del dinero que tenfa en el quiosco; las tres
decimas partes, en la librerfa; y le quedan $ 75.
a. Plantea la ecuaci6n y calcula cuanto dinero tenia.
Calcula y responde.
b. ;_Cuanto gast6 en el quiosco?
53.
Un viaje se realiza en tres dfas. El primer d1a, se recorren las tres octavas partes; el
segundo, las cuatro novenas partes del resto; y el tercero, los ultimas 250 km.
a. Plantea la ecuaci6n y calcula la distancia total del viaje.
Calcula y responde.
b. ;_Cuantos km se recorren el primer dia?
54.
c. ;_Y cuanto, en la libreria?
c. ;_Y cuantos, el segundo?
Plantea la ecuaci6n y resolve.
a. Daniel es 7 afios mayor que Federico. Si c. Las dos terceras partes del anterior de
Federico tiene las dos terceras partes de la un numero es igual al siguiente de sus
edad de Daniel, ;_que edad tiene cada uno? tres quintas partes. ;_Cual es el numero?
,I
I
d. De un tanque Ueno de agua, se utilizan
b. Si en un rectangulo de 70 cm de
120 l; luego, las cuatro quintas partes
perimetro, la altura es igual a las tres
del resto; y aun, quedan 112 l. ;_Cuanta
cuartas partes de la base, ;_cuanto mide
agua tenia el tanque?
la base y la altura?
I
r
• 98 • [MATEMATICA II]
l
I
r
Reuisi6n parcial...
55. Resolve las siguientes operaciones.
r,'"\
r
_ ± )a. 2.(122 4 9 b.
1(1-_
· 16 3 8 )-�-
_
C. -1+R.�_1_ 4
25
8
2
1
8
d. � :(-3)-1:(- l)=
56. Las cuatro novenas partes de los 252
alumnos de un colegio son varones.
Las tres cuartas partes de los varones
y las tres quintas partes de las
mujeres estudian ingles.
Plantea y responde.
a. 2.0ue parte de los varones estudia
ingles?
b. 2.0ue parte de las mujeres no
estudia ingles?
c. 2.Cuantos varones no estudian
ingles?
d. 2.Cuantas mujeres estudian ingles?
57. Calcula el porcentaje que representa
a. 3 de cada 5.
b. 7 de cada 20.
\.
l
l
(.
(_ J
G
L,
G
l...>
G
G
c. 12 de cada 25.
d. 18 de cada 50.
58. Plantea y resolve.
a. Se compra un lavarropas de $ 8 400
en 12 cuotas con un recargo del 8%.
LCual es el valor de cada cuota?
b. Se compra un celular de $ 7 280 y se
paga $ 6 188. 2.Cual es el porcentaje
de descuento?
59. Calcula las potencias y las raices.
2
a. ( �) =
b.
(-
tt
=
c. (-2r =
4
3
d. (-�) =
e. fW=
8
�- j�� =
f.
60. Resolve Los calculos combinados.
1
1o. �(-1+
5 -1f
· 3 (-1
4 3) -n+
1 1
b. (1 +3) +3.2 2 +
C.
g
-32
=
�(� - �):1-(� -r 2):5-1=
61. Resolve las siguientes ecuaciones.
3
7
5
1
a. -x+---x=2
4 10
8
1-(
b· 3 2-x
4
8)-2x=1-x
4 _1-
c.
2x-3
6
6x-4
= 10
62. Plantea la ecuacion y resolve.
a. Las tres quintas partes del siguiente
de un numero son iguales al
anterior de sus dos terceras partes.
2.De que numero se trata?
b. Del combustible de un tanque, se
consumen las cinco octavas partes
y, luego, las cuatro novenas partes
de lo que queda. Si aun hay 15 l
en el tanque, 2.cuanto combustible
tenfa?
[ CAPITULO 06) • 99 •
Reuisi6n final
63.
Representa y escribi la expresi6n
decimal de cada fracci6n.
3
b.
o. 8
64.
36
66.
72
b. 192
C.
144
d. 5
� 1 + �( i +
64
· 3
Coloca < o > seg(m corresponda.
]_4 D 2-5
0- �
C.
'"'O - 4
- 0,25
d.
1
g D o,89
De los 48 alumnos de segundo ano,
las tres octavas partes llegan al
colegio caminando; la tercera parte,
en autom6vil; yel resto, en trasporte
publico.
Plantea y resolve.
o. [Que parte de los alumnos viaja en
trasporte publico?
b. [Cuantos son esos alumnos?
Plantea y resolve.
o. Se compra un pantal6n con un 6%
de descuento yse paga$ 89 3 . [Cual
es el precio del pantal6n?
b. Un celular de$ 8600 se paga en
cuotas con un recargo de$ 1 978.
[Cual es el porcentaje de recargo?
69. Resolve los siguientes calculos
combinados.
3
o. �� : 10 . (- �)- 10
1 - �
=
j ) : 11 + 3
1 -(
1-�) =
70. Resolve las siguientes ecuaciones.
10 �( x - 2-)- 1-x - 2x _ l.
4
-5; 0,6; 5 y- 0,9
1
b. - �
68.
11
3
Representa en una misma recta.
0·
67.
C.
Escribi la fracci6n irreducible.
0
· 90
65.
7
5
2
8
3
-6
b'
Sx -2 +1-x--JL
3
5
15
c.
5--2-=-
7
X+3
8
8-2X
3
1- 1.- sx)- - 1- l.x + _2_ · +
) 5
(
d 54
5
3 (2
2
'
71. Plantea y resolve.
o. La edad que ten,a Nadia hace seis
anos es igual a las dos terceras
partes de su edad actual. [Que edad
tiene?
b. La suma entre la sexta parte de un
numero yel triple de su consecutivo
es sesenta. [(Ual es el numero?
c. Una biblioteca tiene tres estantes.
En el de arriba, estan las tres
octavas partes de los libros; en el
del media, las dos quintas partes;
yen el de abajo, 9. [Cuantos libros
hayen total?
d. Marcos gasta las cinco novenas
partes del dinero que tiene y, luego,
las tres cuartas partes de lo que le
queda. Si aun tiene$ 90, [CUanto
dinero tenia?
)
07
,
Copitulo
,-
'
Geometr1a 11
...
-
-
• Secuencio de contenidos
�---
---·
�---
�-
� i' KOY l/1->l)A. lAc P1'ttAt1il)c, t<tof'J
... f� �o Me {'Af�.t(c <:fut: �G'€� 1 A.J' HI\Nl::\11.�
,/ Cuadrilateros. Elementos.
,/ Clasificaci6n de las
cuadrilateros.
,/ Construcciones.
,/ Propiedades de los
paralelogramos, trapecios y
romboide.
,/ Superficie de figuras.
,/ Cuerpos poliedros y redondos.
,/ Poliedros regulares.
,/ Superficie lateral y total.
,/ Volumen de un cuerpo.
,/ Relacion entre capacidad
yvolumen.
(<f_ViSA� lo� flA,-!O!.
Cuadrilateros. Elementos
Un cuadrilatero es un poligono de cuatro lados.
Pares de lados opuestos: mr y sp - rs y pm
Pares de angulos opuestos:
y
p y
Diagonales: ms y pr
m s-
r
m
La suma de los angulos interiores es 360 ° .
m + s + 0 + r = 360
°
s
p
1. Observa el cuadrilatero y nombra.
a. Los pares de lados opuestos.
l
\.
l
0
b. Los pares de-angulos opuestos.
s
c. Las diagonales.
d
[CAPITULO 07] • 101 •
.·.
Po Lo btfcl�e: porolel gro trape�oide
o mo trapecio
�
�
�
i
Clasificaci6n de los cuadrilateros
Los cuadrilateros se clasifican segun la cantidad de lados opuestos paralelos.
• Paralelogramo: dos pares de lados opuestos paralelos.
Rectangulo
Paralelogramo
Cuadrado
Rambo
• Trapecio: un par de lados opuestos paralelos.
Trapecio/
I
\
�
Trapezoide
2. Observa la figura y nombra.
a. Un rectangulo:
b. Un cuadrado:
c. Un rombo no cuadrado:
I
d. Un paralelogramo no rectangulo ni rombo:
e. Un trapecio escaleno:
f.
, 1:
� Trapecio rectangulo
�
• Trapezoide: ningun par de lados opuestos paralelos.
I
I
Trapecio isosceles
�
Un trapecio rectangulo:
• 102 • [MATEMATICA II]
Romboide
\
J\
r
r
r
(
(
(
(
(
C LI ad rad O
rombo
rec.tOngulo
rombo1de
3. Coloca V (verdadero) o F (fatso) seg(m corresponda.
a. Un cuadrado es un rectangulo.
b. Un rombo es un cuadrado.
c. Un rectangulo es un trapecio.
D
D
D
d. Un cuadrado es un rombo.
e. Un rectangulo es un cuadrado.
f.
Un rombo es un romboide.
4. Termina de construir los siguientes cuadrilateros.
a. Cuadrado.
b. Romboide.
5. Construi los siguientes cuadrilateros.
D
D
D
c. Trapecio isosceles.
c.�
�
l
l
L
L
L
L
L,
d. �
�
8cm
\
G
L,
l..,.
L.,
[ CAPITULO 07] • 103 •
Po Lo btfcl�e:
cuodrilateros
propiedades
Lo dos
Propiedades de los cuadrilateros
• Propiedades de los paralelogramos
- Los lados opuestos son iguales.
- Los angulos consecutivos son suplementarios y
los opuestos son iguales.
ID+ I= I+p=p+s =s +m=180 °
m=p y s= r
I\
I\
I\
I\
s
- Las diagonales se cortan en su punto medio.
Paralelogramos especiales
- Rectangulo: todos los angulos y
las diagonales son iguales.
- Rombo: todos los lados son iguales y
las diagonales son perpendiculares.
-
Cuadrado: todos los lados y los angulos
son iguales. Las diagonales son iguales
y perpendiculares.
• Propiedades del trapecio
- Los angulos consecutivos que no comparten la
misma base son suplementarios.
I\
a
I\
- La base media de un trapecio es el segmento
que une los puntos medias de los lados no
paralelos. La base media es igual a la rnitad de
la suma de las otras bases.
[sm= aE � ca J
• Propiedades del romboide
Base me dia
s ---------------------------m
C
.__����������---'d
Base mayor
s
- La diagonal principal op es bisectriz de los
angulos 8 y p .
- Los angulos s y g son iguales.
- Las diagonales son perpendiculares.
• 104 • [MATEMATICA II]
b
A
a+ C = b + d = 180 °
I\
Base menor
g
r
r
diogonoles
media
Ongulos
base
men or
f
mayor
6. Calcula la longitud de cada lado de los siguientes cuadrilateros.
o.
r = 4x-1cm
r
rab= 3x-2cm
Perrmetro: 64 cm
a
b.
°"' = 6x-1cm
oo
pm
dc=1
=
3x+2 cm
= 2x+15cm
b
o
m
p
1. Halla los angulos interiores de los siguientes cuadrilateros.
o.
b.
=
7x+10
°
�
{
s = 4x+38 °
s
!
a = 2x+ 7 °
I
°
� = 4x+36
eA = 7x-39 °
8. Calcula la longitud de cada base del trapecio.
-2_x_+_4_c_m_ c
__._
1--
e '--------->d
I..
Sx- 33 cm
(
L.
L
L
9.
En un trapecio isosceles, la base media mide 17 cm, y cada uno de los lados iguales 14 cm.
Calcula el perimetro del trapecio.
L,
L
L
L
L,
L
w
I
_ _ ,_
�
---...
[CAPITULO 07) • 105 •
·a
t ri 6 n g u Los cuadri�citeros
formulas
superficie
Superficie de figuras
Formulas para calcular la superficie del triangulo y de los cuadrilateros
h
h:'
'
b
Cuadrado: (1.1 =lJ
Triangulo: [ b2h ]
---
d1
--- - -,-:' - - - - - - '
jd
,
,
,
,,
2
d dz
Rombo: [ 12 ]
Rectangulo: �
b,
--- d,__ �------,
,
,
,
.-
,
hi
:d
2
d dz
Romboide: [ i 2
J
(b + b ). h
Trapecio: 1 1 2 2
10. Calcula La superficie de cada figura.
r____ _
Circulo: �
e.
c.
a.
b
I
I
'
,,
I
: 16 cm
8cm
30 cm
f.
d.
b.
18cm
�
,,
E
u
,,
CX)
'<"""
12 cm
• 106 • [MATEMATICA II]
,Y' ',
"
'' ' '
28cm
�
''
i
�''
,,
, --+-----+-- '
24 cm
r
Reuisi6n parcial...
11. Nombra todos Los cuadrilateros que
a. Los cuatro angulos son iguales.
b. Los cuatro [ados son iguales.
c. Dos pares de lados opuestos
iguales.
d. Un solo par de lados opuestos
iguales.
e. Las diagonales son perpendiculares.
f. Las diagonales son iguales.
cumplan con cada condicion.
I
I
1
14. Calcula Los angulos interiores de cada
cuadrilatero.
12. Calcula la amplitud de Los angulos
a.
interiores de cada cuadrilatero.
b
15.
C
� = 4X +3
{
t=3x+ 2 °
b.
°
�=7x-14
1n= 4x + 40 °
e=3x-1 °
°
b
e
0
n
En un rectangulo de 46 cm de
perimetro, la base es 5 cm menor que
el triple de la altura.
Plantea la ecuaci6n y calcula la
superficie del rectangulo.
d
b.
G.
m
16. Calcula la superfice de Los siguientes
o. Un cuadrado cuya diagonal mide
8 cm.
b. Un rombo tiene 60 cm de perimetro
y una de sus diagonales mide
24 cm.
c. Un trapecio isosceles de 50 cm
de perimetro cuyas bases miden
9 cm y 21 cm.
cuadrilateros.
s
C.
p
e
f
0
w
13. Construi Los siguientes cuadrilateros.
L..,
a. Un rectangulo cuyos lados miden
7 cm y 11 cm.
b. Un paralelogramo cuyos lados
miden 6 cm y 9 cm; y el angulo
entre ellos, 70 ° .
c. Un romboide cuyos lados iguales
miden 5 cm y 12 cm; y el angulo
entre ellos, 120 ° .
17. Calcula la superficie de la figura.
12 cm
[CAPITULO 07] • 107 •
f ) J Lo b���e:
pr1smos
poliedros
•
redon dos
Cuerpos poliedros y redondos
• Los poliedros son cuerpos cuyas caras son poligonos y se clasifican en prismas y piramides.
Un prisma tiene dos poligonos paralelos e iguales como bases y las caras laterales son
rectangulos.
Prisma
triangular
Prisma
cuadrangular
Prism a
rectangular
Prism a
pentagonal
Prisma
hexagonal
Una piramide tiene un poligono regular como base y las caras laterales son triangulos
isosceles iguales que concurren en un punto llamado cuspide.
Piramide
triangular
Piramide
pentagonal
Piramide
cuadrangular
Piramide
hexagonal
• Los cuerpos redondos tienen, al menos, una cara no plana y pueden rodar en alguna posici6n.
Cano
Esfera
Cilindro
Elementos de un poliedro
En todo poliedro, hay una relaci6n entre la cantidad de caras (C), la cantidad de vertices (V) y
la cantidad de aristas (A).
I C +V =A + 2
• 108 • [MATEMATICA II]
J � Propiedad de Euler
r
r
r
r
r
(
(
bases
oristos
coros
18. Escribi el nombre de los cuerpos que forman cada cuerpo.
b.
0.
C.
uertices
I
d.
(
I
,-
(
19. Completa el cuadro y verifica la propiedad de Euler.
CUERPO
CANTIDAD
DE CARAS
NOMBRE
CANTIDAD
CANTIDAD
DE VERTICES DE ARISTAS
a.
b.
20. Escribi el nombre de las caras que forman cada cuerpo.
0.
b.
C.
21. Escribi el nombre del cuerpo que corresponde a cada desarrollo.
e.
I
I
I
[CAPITULO 07] • 109
�,;
regulares
tetraedro
Poliedros regulares
octaedro
cubo
------------------.---..--... ------------------------------------------·----------------------------------------------------·-------------·--Los poliedros regulares tienen todas sus caras iguales y solo hay cinco.
• Tetraedro
Las caras son
4 triangulos equilateros.
• Hexaedro
o cubo
Las caras son
6 cuadrados.
• Octaedro
Las caras son
8 triangulos equilateros.
• Dodecaedro
Las caras son
12 pentagonos regulares.
• Icosaedro
Las caras son
20 triangulos equilateros.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22.
Escribi la cantidad de aristas y vertices del octaedro y verifica la propiedad de Euler.
23.
Calcula y responde.
a. Si un dodecaedro tiene 30 aristas,
icuantos vertices tiene?
• 110 • [MATEMATICA II]
b. Si un icosaedro tiene 12 vertices,
lcuantas aristas tiene?
r
r
r
r
(
r
p n s ma superficie
lateral
pirOmide
Superficie lateral y total de los cuerpos poliedros
La superficie lateral de un poliedro es la superficie de sus caras laterales y la superficie
total es la suma de la superficie lateral y la superficie de sus bases.
I'
• En un prisma, las caras laterales son
rectangulos y las bases son poligonos
regulares.
• En una piramide, las caras laterales
son triangulos isosceles y la base es un
poligono regular.
24. Calcula la superficie lateral y total de Los siguientes cuerpos.
a.
C.
N
-:t
25 crn
l
l
b.
1,<o
(,�
d.
I..
l
l
L
L,
12 cm
L
l..,
L..
L
G
G
[CAPITULO 07] • 111 •
esfero
cono
cilindro
Superficie lateral y total de los cuerpos redondos
• En un cilindro, la cara lateral es un rectangulo
y las bases son circulos.
Superficie lateral: { 2TI . r . h }
h
Superficie de las bases: [ 2TI . r2 ]
Superficie total: 2TI . r . h + 2TI . r2 = [ 2TI . r (h + r) )
• En un cono, la cara lateral es un sector circular
y la base es un circulo.
Superficie lateral: ( TI . r . g ]
Superficie de la base:
G2J
Superficie total: TI . r . g + TI . r2 = [ n . r (g + r) ]
• La superficie total de una esfera se cubre
con cuatro de sus circulos maximos.
Superficie total: { 4n . r2 ]
circulo
maxi mo
25.
Calcula La superficie total de cada cuerpo.
a.
• 112 • [MATEMATICA II]
b.
r
r
(
(
(
(
(
Unidades de volumen
--
------.. ------ ... --- - ----- - -- -- ......---...
-- .-- --------- -- .. ------ ---- -------- -- ---- ----------..---- - - ---......
... ._ ..
--- ...........-------------.. -----------
La unidad de volumen es el metro cubico (m3),
que es el volumen de un cubo de un metro de arista.
(
r
E
"O
(
[ 1 m 3 = 1 000 dm3
(
]
Los multiplos y submultiplos del m3 se obtienen
multip.1caI1dolo o dividiendolo sucesivamente por 1 000 .
. 1 000
. 1 000
. 1 000
. 1 000
. 1 000
. 1 000
"-._/
"-._/
"-._/
"-._/
"-._/
"-._/
������
m3
hm3
dam3
dm3
km3
cm3 j mm3
I
l
I
I
I
-- - --..... ---- ------- - -- - ---- -- - - ---..--- .. ------------- -----------......-- .. ----- -- ----- -- ------------ --- ------ - -- -----...... ----------- - ---- ........---: 1 000
26.
: 1 000
: 1 000
: 1 000
: 1 000
: 1 000
El cubo verde tiene un volumen de 1 cm3 •
Pinta los cuerpos pedidos.
a. Un cubo de 64 cm3 •
b. Un prisma cuadrangular de 45 cm3 •
\
l
l
L
L
L
l
Li
L
L.,.
L,
L
L,
L,
�
27. Calcula en m3 el volumen de cada cuerpo.
a.
�
Jo d
rn
[CAPITULO 07] • 113 •
l
pirOmide
1 �ctoue: uo umen
cilindro
prisn10
con 0
Volumen de un cuerpo
-.. --- - -- - - - - - - - - -- --- - - - - ------------ ---------- - - --- - -- - - -------- - - - --- - - -- - ---- -- -------- - -- -- ------ - - - - - -- - ------- ------------ -- - - --
- -- -
• El volumen de un prisma o de un cilindro
es igual al producto de la superficie de la
base por la altura.
• El volumen de una piramide o de un cono
es la tercera parte del producto entre la
superficie de la base y la altura.
Volumen: I
Volumen: ( Superficie de la base . Altura J
t·
Superficie de la base · Altura}
h
h
V=a.b.h
V
• El volumen de una piramide es la tercera
parte del volumen de un prisma con igual
superficie de la base y la altura.
=
1·
m2 • h
• El volumen de un cono es la tercera parte
del volumen de un cilindro con igual
superficie de la base y la
h
1
1
V
V
3v
3v
• Si un cono tiene igual base que el circulo maxima de una esfera y su altura es igual al radio
de la esfera, el volumen de la esfera es cuatro veces el volumen del cono.
Volumen de la esfera: [ 4 ·
t·
n · r2 · h =
t·
n · r3 ]
--- - --- - - -- - - ---- - - -- - -- ---- - -- - - - - ------ -- ---.. -- .. - --- - - ---- - ------- -- --- - - - - - -------- -- -------- ---- --- - ------ - - -- - -- --- - - - - --- ---------V
..,
28. Calcula el volumen de cada cuerpo.
o.
b.
<.O
• 114 • [MATEMATICA II]
(
r
r
unidodes
r
r
(
r
Litro
capacidad
(
Capacidad y volumen
La unidad de capacidad es el litro (1).
r
• Las unidades menores que el litro resultan de dividirlo por 10, 100 y 1000.
11 0,11
11 = 0,011
11 = 0,0011
1 di = 10
1 cl = 100
1 ml = 1 000
=
r
r
• Las unidades mayores que el litro resultan de multiplicarlo por 10, 100 y 1000.
r
1 dal
=
11 . 10 = 10 I
1 kl = 1 1 . 1 000 = 1 000 I
1 hi = 1 1. 100 = 100 I
Para reducir unidades de capacidad, se multiplica o divide por 10 segun corresponda .
. 10
. 10
kl
I
"--"'
.10
�
�
hl
:10
I
"--"'
:10
dal
I
�
"--"'
:10
"--"'
:10
�
dl
I
"--"'
:10
Equivalencia entre las unidades de capacidad y volumen
Un litro es la capacidad de un cubo de un decimetro de arista.
3
[ 11 = 1 dm ]
I CAPACIDAD
I VOLUMEN
1 kl
1 l
1 ml
1 m3
1 dm3
1 cm3
29. Coloca <, > o = seg(m corresponda.
O 20 ml
b. 30 cl D o,3 1
c. 600 dt D o,6 kl
a.. 0,2 l
l
l
L
l
L
l
L
l
L
L
L,
L,
L,,
30. Plantea y resolve.
D 90 cl
e. o,5 kl D 50 t
f. 4 000 ml O 4 dal
d. o,o9 da1
. 10
. 10
. 10
�
�
cl
I
"--"'
ml
:10
-o
I
1l
1 drn
"o�
D 80 l
h. 100 dal D 1 kl
i. 7 ooo cl D 7 hl
9• 0,08 hl
i
a. Si un vaso tiene una capacidad de 25 cl, c. lcuantos frascos de 75 ml se pueden
llenar con 0,27 dal de perfume?
iCuantos se llenan con 5 botellas de l?
t
b. La cuarta parte de un tanque contiene
1,2 hl. lcual es su capacidad en litros?
d. Una canilla arroja 350 dl por minuto.
iCuantos kilolitres arroja en media hara?
[ CAPITULO 07] • 115 •
Ir
,_
,_
j
a Ltu ro
capacidad
r.n
0 � bctoue:
cilindro
31.
Escribi la capacidad de cada cilindro en la unidad pedida.
C.
0.
b.
0,025 m 3
7,4 dm 3
dl
] cl
'----�
32.
Calcula el valor de la arista de Los siguientes cubos.
�
�
21,6 cl
33.
arista
Calcula.
a. Los litros de agua de la pecera.
0,518 kl
b. Los kilolitros de agua del tanque.
E
N
M�
34. Calcula la altura de cada cuerpo.
a. Un cilindro de un metro de diametro
que tiene una capacidad de 471 l.
• 116 • [MATEMATICA II]
b. Un prisma de base cuadrangular de
48 cm de per1metro y una capacidad
de 3 600 ml.
r
r
r
r
r
(
r
Reuisi6n parcial...
35. Escribi el nombre de cada cuerpo.
a.
d.
37. Calcula la superficie de carton
necesaria para construir la caja.
r
r
_.
<.n
n
e.
b.
38. Calcula el volumen del cuerpo.
f.
C.
39. Una pecera tiene 1,8 m de largo,
500 mm de profundidad y 90 cm de
altura.
Calcula.
36. Marca el desarrollo correcto del
prisma.
(
b.
a.
L
(.
l
w
40. Plantea y resolve.
Una esfera y un cilindro tienen igual
volumen. El radio de la esfera es de
12 cm y el del cilindro es 16 cm.
;_Cual es la altura del cilindro?
41. El prisma rectangular tiene una
l
(...,
a. El volumen de la pecera.
b. Los litros de agua que contiene
hasta 6 cm del borde.
D
(,
D
capacidad de 1 620 l.
Calcula la altura.
L.,
l
w
w
L,
L;
l.J
L;
[CAPITULO 07] • 117 •
Reuisi6n final
48. Calcula la superficie lateral y total.
42. Construi el siguiente rombo.
43. Calcula la amplitud de los angulos
interiores desconocidos.
o.
p
e
b.
l
49. Calcula el volumen de la piramide.
a
d
78 err,
50. Observa los cuerpos y responde.
m
44. Halla el perimetro del rectangulo.
as= Sx -12cm
sp = 3x-2cm
tp = 2x+9cm
0
s
t
p
45. Calcula las bases del trapecio.
ro = 3x+2cm
j� = 2x+ 11cm
st= Sx
s
46. Halla la superficie de la figura.
t
o. LOue parte del volumen del cilindro
representa el volumen de la
semiesfera?
3
b. Si el volumen del cilindro es 150 cm ,
Lcual es el de la semiesfera?
c. Si el volumen de la semiesfera es
240 cm3 . Lcual es el del cilindro?
51. Calcula y responde.
12 cm
18 cm
47. Calcula la cantidad de caras, aristas y
vertices de cada cuerpo.
o. Prisma pentagonal.
b. Piramide hexagonal.
o. LCuantos litros de agua contiene la
b.
pecera?
Si por cada 0,08 m3 se deben
agregar s ml de anticloro, Lcuantos
dl de anticloro necesita la pecera?
r
r
(
r
,
08
Copitulo
(
..
- ..
Probabilidad y estadistica
-
--� . �
,;-
.
- ____ ,,____
T Secuencio de contenidos
r
.(
.(
.(
.(
.(
.(
.(
.(
.(
.(
.(
.(
.(
Sucesos aleatorios.
Espacio muestral.
Suceso seguro, probable e imposible.
Diagramas de arbol.
Calculo combinatorio.
Probabilidad simple.
Estadistica. Poblacion y muestra .
Variables cualitativas y cuantitativas .
Frecuencia absoluta, relativa y
porcentual.
Promedio, moda y mediana .
Graficos de barras y de torta .
lntervalos de clase .
Histogramas.
--
�-
..
Y l\l ft'iJAL T)(;c-(D1' AS,'sTc'ta A "!1ATcf'1(Tt'cos
Aµ�,._; (/'10.S ,, (7At'f,'.,
HE. AYuDl:N /'o. Svt"cteAI(
Mi
I\ Di° cct'c;j
�,<
cfve
lA S MA rcMA.-,rc /\ S .
/ { ! i<= ,-) / � y VA s /1liY .ScGo/Do .?
'.2.. )(
3.
Sucesos aleatorios
• Un suceso aleatorio es un hecho que depende exclusivamente del azar y del que no se
puede anticipar su resultado.
Por ejemplo, al arrojar un dado no se puede predecir que numero va a salir.
• El espacio muestral esta formado por todos los resultados posibles de un suceso aleatorio.
Por ejemplo, el espacio muestral de arrojar un dado es 1, 2. 3, 4, 5 y 6.
• Cuando los resultados posibles de un suceso abarcan todo el espacio muestral, es un suceso
seguro.
\,
Por ejemplo, que salga un numero menor que 8 al arrojar un dado es un suceso seguro.
• Cuando un suceso no abarca ningun resultado del espacio muestral, es un suceso
imposible.
Por ejemplo, que salga un 7 al arrojar un dado es un suceso imposible.
• Y cuando los resultados posibles abarcan algunos de los resultados del espacio muestral, es
un suceso probable.
Par ejemplo, que salga un 5 al arrojar un dado es un suceso probable.
l
L
'
l...
• Cuantos mas resultados posibles tenga un suceso, mas probable sera.
Por eiemplo, sacar un numero impar al arroiar un dado es mas probable que sacar un 6
[CAPITULO 08J • 119 •
r
rnr sucesos
Polobclaue:
aleatorios 060 resultados
1.
Marca con una X Los sucesos aleatorios.
a.
b.
c.
d.
e.
2.
Conocer el nombre de la pr6xima persona que pase.
Saber que dia de la semana sera Navidad.
Decir que numero va a salir en la loteria.
Saber que edad tenia una persona hace 5 anos.
Conocer la ultima letra de la patente del pr6ximo auto que pase.
Escribi el espacio muestral de cada suceso.
a. El palo de una carta espanola que se saca de un mazo mezclado.
b. El ultimo numero de un DNI elegido al azar.
c. La suma de arrojar dos dados.
d. El estado civil de una persona elegida al azar.
3.
Se mezclan las siguientes cartas y se saca una sin mirar.
Observa las cartas y escribi.
a. Un suceso seguro:
b. Un suceso imposible:
Responde.
c. iES mas probable sacar una carta de bastos o de copas?
d. iES mas probable sacar una carta de oros o de espadas?
e. iES mas probable sacar un uno o una figura?
f,
tEs mas probable sacar una carta mayor o menor que seis?
Escribi.
g. Un suceso muy probable.
h. Dos sucesos que tengan la misma probabilidad.
I. Un suceso muy poco probable.
• 120 • [MATEMATICA II]
r
r
r
r
r
r
r
espacio muestral, diagrama de Clrbol
Diagramas de arbol
Para hallar el espacio muestral de un suceso, a veces, es necesario ordenar los casos posibles
y, para ello, se utilizan tecnicas de conteo, como el diagrama de arbol.
--- 5 -- 8 � 258
2
Escribir todos los numeros de 3 cifras
--- 8 -- 5 � 285
distintas que se pueden armar con 2, 5 y 8.
--- 2 -- 8 � 528
5
--- 8 -- 2 � 582
--- 2 -- 5 � 825
8
--- 5 -- 2 � 852
4. Arma el diagrama de arbol y escribi todos los resultados posibles.
a. Los numeros de 4 cifras distintas que se pueden armar con 1, 3, 7 y 9.
b. Las distintas claves de 3 digitos que tengan una letra seguida de dos numeros,
con las letras A y By los numeros 1, 2 y 3.
l
(._
<..
C, Las diferentes banderas de 3 colores distintos con los colores azul, verde, rojo,
negro y blanco.
<..
L
L.,
L..
L
l...
L..
L.,
G
Lt
[CAPITULO 08] • 121 •
o.
r.n � caclcul
Po lobctaue:
omb1nator10
conteo
posibilidades
Calculo combinatorio
Para calcular la cantidad de casos posibles de un suceso, se recurre al producto de cada
posibilidad.
--- F-- M� APFM
lDe cuantas maneras distintas
p ----M-- F�APMF
/
se pueden colocar Axel (A),
---P -- M�AFPM
6.4
A "" F
Pablo (P), Fernanda (F) y
..___ M-- P�AFMP
Marcela (M) en una fila?
"'- ---P--F�AMPF
M
..___ F -- P�AMFP
I
�
,l,
"'
1
hay 4 elecciones
3 para
para el 1. 0 lugar el 2. 0
4
3
2 para
el 3. 0
2
1 para
el 4. 0
1
=
24
5. Calcula la cantidad de casos posibles de cada suceso.
a. Dar vuelta en orden cada una de estas cartas.
b. Sacar de a una estas fichas de una balsa.
c. Sacar de a uno estos billetes de una billetera.
•••••
6. Arma el diagrama de arbol y calcula todas las maneras posibles de sortear el 1.
y 3. 0 premio entre Ezequiel, Ramiro, Lucia, Cristina, Andrea y German.
• 122 • [MATEMATICA II]
0
,
2. 0
C SOS
probabilidad simple
fauorables
Probabilidad simple
,-
r
• La probabilidad de que un suceso ocurra surge de dividir la cantidad de casos favorables a
ese suceso por la cantidad de casos posibles, yes un numero entre O y 1.
r
Probab.lid
1 ad de un suceso:
r
Cantidad de casos posibles
Cantidad de casos favorables
Cuando el resultado es 1, significa que existe la misma cantidad de casos favorables que
posibles, por lo tanto, es un suceso seguro.
En cambio, si el resultado es 0, significa que no existen casos favorables, yes un suceso imposible.
Todos los demas resultados, entre O y 1, indican un suceso probable. Mientras mas cercano a
0 sea ese numero, el suceso sera menos probable; y cuanto mas cercano a 1, el suceso sera mas
probable.
r
• La probabilidad se puede expresar mediante una fracci6n o una expresi6n decimal.
• El porcentaje de probabilidad es la probabilidad multiplicada por 100.
•,:.••••.•.• .,:,::.
Por ejemplo, se colocan estos papeles en una balsa yse saca uno sin mirar.
La probabilidad de sacar un papel de cada color es:
I
� Casas favorables = 0 45 � 45%
,
� Casas posibles
� Casas favorables = 0 25 � Zfi%
� Casas pos1bles
� Casas favorables
P(verde) = _§_
20 � Casas pos1bles = 0 3 � 30%
P(azul) = JL
20
P(rojo) = _1_
20
7. Calcula la probabilidad de cada suceso.
I
Elegir un numero del 1 al 10 y que sea
\
<.
L.,
L
L,
�
L
8.
a. siete.
d. multiplo de 3.
b. par.
e. divisible por 4.
c. primo.
f.
menor que 5.
c.
3
Se arroja un dado.
Escribi un suceso cuya probabilidad sea
a.
1
2
5
b. 6
2
d. 1
[CAPITULO 08] • 123 •
'-,
Polobttd�:
sucesos probables
,. •
porcenLaJes
9. Se mezclan las siguientes billetes, se colocan en una balsa y se saca uno sin mirar.
S
::
�..o"""
.......
,.�
s. ,;�....
5
10
,, -�"--"
,o
· W-,10
.5
:'.iill--'"'"·'
Calcula la expresion decimal de la probabilidad de sacar un billete y que
a. sea de$ 5.
d. sea de$ 5 o$ 50
b. sea de$ 100.
e. sea de mas de$ 10.
c. sea de$ 10 o$ 20.
f. no sea de$ 10.
I
r
I
10.
Se mezcla un mazo de 50 cartas espafiolas y se saca una sin mirar.
Calcula el porcentaje de probabilidad de sacar una carta y que
a. sea de espadas.
c. sea una figura.
b. no sea de oros.
d. no sea un comodin.
11.
En una reunion, hay 42 mujeres y 33 varones.
Calcula la probabilidad de elegir una persona al azar y que sea una mujer.
12.
En una urna, hay 25 bolitas rojas y blancas, y la probabilidad de sacar sin mirar una
bolita roja es 0,64.
Calcula cuantas bolitas de cada color hay en la urna.
• 124 • [MATEMATICA II]
r
r
r
r�
r
r
(
Reuisi6n parcial...
17.
13. Calcula la cantidad de resultados
posibles de cada suceso.
Elegir una persona al azar y adivinar
a. la provincia en la que naci6.
b. su estado civil.
c. su signo del zodiaco.
d. la fecha de su cumpleafios.
e. las 3 ultimas cifras de su DNI.
(
r
r
(
r
14.
o_r_a�]
-L1cu-a-d
J
)
[
LCD 40" J
[ LCD 52" J
[ Batidora
]
[-P-ro-c-es-a-do-ra-]
a. un LCD.
b. un O km.
c. una licuadora o una cafetera.
d. un electrodomestico.
19.
Se realiza un sorteo con las tres
ultimas cifras del DNI de una persona.
Calcula el porcentaje de probabilidad
de que salga un numero
a. que termine en 3 o 5.
\.
G
1
Calcula la expresion decimal de la
probabilidad de ganar
En un estante, se colocan 6 libros de
diferentes colores.
Calcula de cuantas maneras diferentes
se pueden ubicar.
a. Con las cifras 1, 3, 5, y 9.
b. Con las cifras 0, 2, 6 y 8.
c. Con las cifras 1, 4, 5, 7 y 9.
0 km
]
[ Cafetera
e. Arma un diagrama de arbol y
calcula todas las maneras posibles
de darlas vuelta de a una.
cifras distintas se pueden formar.
9
En un juego, cada participante levanta
sin mirar una tarjeta con un premio.
G;_cn 32"
d. seguro.
16. Calcula cuantos numeros de cuatro
E
b. un numero primo.
c. una consonante.
d. un numero par.
b. poco probable.
L
L
l
L,
2
Calcula la probabilidad de sacar un
papel que tenga
a. una letra.
Se mezclan estas cinco cartas boca
abajo y se da vuelta una.
c. muy probable.
(. .,
u s
3
Escribi un suceso que sea
a. imposible.
I..
G
l
7
R
A
18.
15.
En una urna, se colocan papeles con
letras y con numeros y se saca uno sin
mirar.
b. mayor que 249.
c. menor que 600.
d. con todas las cifras iguales.
I
I
I
I
I
20.
En un curso, hay 40 alumnos. La
probabilidad de elegir un alumna al
azar y que sea var6n es 0,45.
Calcula cuantos varones y mujeres hay
en el curso.
G
L,.
L..,
[CAPITULO 08] • 125 •
>o l
] )�fclue:
estadistica poblaci6nmues tra
Estadistica. Variables
La estadistica es una rama de la matematica que recopila, ardena, analiza y muestra
datos sabre alguna caracteristica que posea un determinado grupo de personas, animales u
objetos.
A ese grupo se lo denomina poblaci6n, pero cuando es muy grande o imposible de analizar,
se toma un grupo mas pequefi.o y representativo de esa poblaci6n denominado muestra.
• Cada una de las caracteristicas de esa poblaci6n es una variable estadistica que tiene
diferentes valores.
De los habitantes de una ciudad, se podrian analizar diferentes variables, coma par
ejemplo, la cantidad de hijos, las ingresos mensuales, las condiciones de la vivienda, el
nivel educativo, etcetera.
Para la cantidad de hijos, las valores seran 0, 1, 2, 3, 4, 5, .. etcetera.
• Las variables estadisticas se clasifican en cuantitativas o cualitativas.
Una variable es cualitativa cuando se expresa mediante una cualidad.
Por ejemplo, el color de un autom6vil, el media de transporte, la opinion sabre un
espectaculo, etcetera.
Una variable es cuantitativa cuando se expresa mediante una cantidad.
Si la cantidad es un numero entero. es una variable discreta. Par ejemplo. la edad. la
cantidad de hermanos, etcetera.
Si la cantidad es un numero dentro de un intervalo. es una variable continua. Par ejemplo, el
peso. la altura, etcetera.
21. Decidi si se analiza una poblacion (P) o una muestra (M).
o. Se realiza un censo en una ciudad para conocer la cantidad de
habitantes.
b. Se eligen al azar mil casas de un barrio para conocer sus ingresos
mensuales.
c. Se le pregunta a todos los alumnos de un colegio sobre el deporte que
practican.
d. Se llama a todos los clientes de una compafiTa de celulares para conocer
su opinion sobre el servicio.
e. Se detiene a uno de cada cinco autom6viles que circulan por una ciudad
para verificar su estado.
0
0
0
0
0
22. lndica y explica por que La muestra elegida es o no representativa de cada poblacion.
o. Para conocer los ingresos mensuales de los empleados de una empresa, se
consulta a todos los gerentes de la empresa.
b. Para conocer la altura de los alumnos de una escuela, se consulta a todos los
alumnos de segundo afio.
• 126 • [MATEMATICA II]
r
r
r
r
r
r
variablescuan t·I tat·1uas cuoliloliuos
d.1scre t as
23.
continuos
Escribi una variable cualitativa y una cuantitativa de cada poblacion.
a. Los alumnos de un colegio.
d. Las obras de un teatro.
b. Los cuadros de una exposici6n.
e. Las mascotas de una familia.
c. Las viviendas de una ciudad.
f.
("
r
r
24.
Coloca CL (cualitativa), CD (cuantitativa discreta) o CC (cuantitativa continua).
a. Los ingresos mensuales de
una familia.
b. La bebida preferida de una
persona.
c. La duraci6n de una lampara.
d. El peso de los paquetes de
un dep6sito.
25.
Las prendas de vestir.
D
D
D
D
e. La cantidad de espectadores
de un espectaculo.
f.
La opinion sabre un servicio
de cable.
g. El precio de un
electrodomestico.
h. El largo de cada cuadra de
una calle.
D
D
D
D
Escribi cuatro valores de cada una de las siguientes variables.
a. El peso de un perro:
d. El estado civil de una persona:
b. Las mascotas de una familia:
e. La altura de una persona:
c. El sabor de un helado:
f.
Las flares de un jard1n:
\
26.
Escribi dos poblaciones que tengan alguna de estas variables.
a. Ser de color azul:
b. Tener dos patas:
L..,
c. Vivir en el campo:
d. Medir menos de 1 m:
e. Funcionar a electricidad:
[CAPITULO 08] • 127 •
�
rn � frecuencia
re La ti ua
Po Lobclaue:
porcentual
absoluta
Frecuencia absoluta, relativa y porcentual
• La frecuencia absoluta (f8) es la cantidad de veces que se repite cada valor
de variable.
• La frecuencia relativa (f1) es el cociente entre la frecuencia absoluta yel
total de valores (n).
• La frecuencia porcentual (fp) es la frecuencia relativa multiplicada par 100
yes el porcentaje de cada valor de variable.
Se les pregunt6 a 25 personas
la cantidad de hermanos que
tenian. Las respuestas fueron:
27.
28.
�
�
Cantidad de
hermanos
f.
f,
fp
0
6
6
25= 0,24
24%
1 0 2 1 3 0 2 1
1
7
25= 0,28
28%
0 3 4 2 3 1 0 2
3 4 1 0 4 3 1 0 1
2
4
4
25= 0,16
16%
3
5
5
25= 0,2
20%
4
3
25=0,12
12%
Total
25
1
100%
La tabla muestra la opinion de 75 espectadores de una pelkula.
Calcula la frecuencia relativa y la porcentual.
Opinion
f.
a.
Mala
9
b.
Regular
24
C.
Buena
21
d.
Muy buena
15
e.
Excelente
6
Total
75
f,
fp
1
100%
La tabla muestra los resultados de arrojar un dado 200 veces.
Completa la tabla con los valores que faltan.
Numero
f.
1
30
2
f,
fp
0,19
11%
3
4
5
17%
6
Total
• 128 • [MATEMATICA II]
200
1
100%
r
r-
r
(
mediaar,tmet,ca
.
>
•
mod a
media no
Promedio, moda y mediana
(
Hay ciertos para.metros que permiten conocer la distribuci6n de un conjunto de valores.
• El promedio o media aritmetica ( x) es el cociente de la suma entre todos los valores
de una variable y la cantidad total de valores (n).
• La moda (M0) es el valor de variable con mayor frecuencia absoluta y puede no ser l'.mica.
• La mediana (Me) es el valor central de los valores de una variable ordenados de menor a
mayor si la cantidad de valores es impar, o el promedio de los dos valores centrales si la
cantidad de valores es par.
(
(
(
r
El peso en kilogramos de 9 personas es 98. 76, 85, 98, 81, 93, 78, 84 y 90.
• La moda es pesar 98 kg, ya que es el valor con mayor frecuencia absoluta.
• S1 se ordenan de menor a mayor resulta:
76 - 78 - 81 - 84 85 - 90 - 93 - 98 - 98
La mediana es 85 kg.
I
I
I
• promect·10: 76 + 78 + 81 + 84 + 985 + 90 + 93 + 2 . 98 = 783
9 = 87
El peso promedio es 87 kg
29. Calcula el promedio, la moda y la mediana de Los siguientes grupos de datos.
I
o. 18 - 22 - 32 - 26 - 18 - 32 - 26 - 18 - 25 - 19 - 20 - 25 - 31
b. 103 - 95 - 120 - 87 - 95 - 96 - 105 - 112 - 87 - 103 - 95 - 102
\.
c..
l
(.
L
L
L
L
G
L
L,
L
L,
30.
I
I
Se averigua el precio de una pelota de futbol en 5 negocios distintos.
.I El precio promedio es$ 234.
.I El menor precio es$ 216 y el mayor,$ 249.
.I La moda de los precios es$ 230.
Halla el precio de la pelota en Los cinco negocios.
I
I
[CAPITULO 08] • 129
•
I�\I
,.-.)
I/ I
I
rrn�
ra, f.ICOS
Po L a bctaue·
. g es ta d'IS t·ICOS
barras
tablas
Graficos de barras
Para mostrar los resultados de un estudio estadistico, se utilizan distintos tipos de graficos
para los diferentes tipos de informaci6n.
Los graficos de barras comparan mediante rectangulos de distintas alturas las frecuencias
absolutas de cada uno de los valores de una variable.
cantidad de votos
En un curso, se realiz6 una votaci6n para elegir el
color del buzo de egresados entre el rojo, el verde,
8
el azul y el amarillo.
7
Los resultados se volcaron en la tabla.
6
---------
Votos
Color
Azul
Verde
Rojo
Amarillo
Total
31.
5
5
8
6
7
color
26
El grafico muestra el trasporte utilizado por los empleados de una fabrica.
Observa el grafico y responde.
b. icuantos utilizan el trasporte publico?
12
10
9
7
c. icuantos van a pie o en bicicleta?
5
3
a. icuantos empleados tiene la fabrica?
•a pie
bicicleta
autom6vil
colectivo
•subte
tren
d. iCuantos no llegan en autom6vil?
32.
Se realiz6 una encuesta a un grupo de personas para conocer su estado civil y las
respuestas fueron:
S C V S D C S V S C D C S V D S D V C S D S C S C
a. Completa la tabla.
Estado civil
Soltero/ a (S)
Casado/a (C)
Divorciado/a (D)
Viudo/a (V)
Total
• 130 • [MATEMATICA II]
Frecuencia absoluta
b. Realiza el grafico de barras.
r
r
(
circulares
(
r
(
{
r
r
r
tor ta
Ongulo
cen1ral
porcentaje
Graficos circulares ode torta
-------- --------- - ------- - --- - ----- -------------------- - - - ----- -- - - -- -------------------------------- - ------------------- ------ ----------Los graficos circulares o de torta son circulos divididos en sectores circulares que
comparan las distintas frecuencias porcentuales de cada valor de la variable.
Para construir un grafico circular, se debe calcular el angulo central ( a )
de cada sector circular, que es el producto entre la frecuencia relativa de
cada valor y 360 ° .
Durante un mes en una ciudad, se registraron los dias de sol,
los nublados y los de lluvia.
Estado del
tiempo
Cantidad
de dias
Con sol
18
Nublado
3
Con lluvia
Total
Frecuencia
relativa
Angulo central
Porcentaje
0,6 . 360 ° = 216 °
60%
0,1 . 360 ° = 36 °
10%
9
18
= 0,6
30
3
= 0,1
30
9
= 0,3
30
0,3 . 360° = 108 °
30%
30
1
360°
100%
[ a= t .360 J
°
l
nublado
36°
lluvia
30%
0o8J
216o
so l
60%
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
33. Construi el grafico correspondiente a Los colores de_ cada bandera.
�
�
I
I
I
34. En el grafico, se muestra la opinion de 500 espectadores de una pelicula.
Observa el grafico y completa la tabla.
l
l
l
L
l_
L,
L
l.,
Opinion
Cantidad de
espectadores
Angulo central
Mala
Regular
excelente
10%
Muy buena
t
buena
25%
regular
20%
Buena
I
muy buena
Excelente
Total
mala
15%
30%
500
360°
F
�
[CAPITULO 08) • 131
•
r,
interualos
histogramas
uariobles continuas
Intervalos de clase. Histogramas
_.,.
________ .. ., ...................................................................................................................................................................................................................................................._........................................................................................
Los datos que corresponden a variables cuantitativas continuas se agrupan en
intervalos de clase.
Para representar intervalos de clase, se utiliza el histograma.
Las alturas en centimetros de los 18 alumnos de un curso son:
150 cm 162 cm 155 cm 171 cm 156 cm 159 cm 165 cm 175 cm 173 cm
148 cm 158 cm 168 cm 172 cm 160 cm 174 cm 149 cm 166 cm 145 cm
lntervalo
r145;151)
r 151;157)
[157;163)
r163;169)
[169;1751
Frecuencia
absoluta
4
2
4
3
5
Frecuencia
acumulada
4
6
10
13
18
Valor medio
del intervalo
148
154
160
165
172
---------------------
5
4
3
2
1�
1�
1�
1�
1�
us
Para calcular el promedio, la moda y la mediana se utiliza el valor medio del intervalo.
+ 5. 172 = 2 895 :::: 161
1 8
Promedio· 4. 4 + 2. 154 + 4.18160 + 3 .165
18 La moda es el valor con mayor frecuencia absoluta: 172
La mediana es el promedio del lugar 9 y 10: 160.
----------------·--------------------------------------------------------------------------------·----------------------------------------
35.
La tabla muestra el peso en kilogramos de los alumnos de un curso.
a. Completa la tabla.
Frecuencia Valor medio
lntervalo Frecuencia
absoluta acumulada del intervalo
4
[ 40;44)
6
r44;48)
5
r48;52)
3
[52;56)
2
[56;601
36.
b. Calcula el peso promedio.
c. Halla la mediana.
d. La moda es[ __
_
.....
El histograma esta referido a los ingresos en pesos de 25 familias.
Observa el grafico y responde.
a. icual es el ingreso promedio?
b. icual es la mediana de los sueldos?
8 _______________ _
5
--------
4
3
I
r
c. iCuantas familias ganan mas de$ 6 600?
5000
• 132 • [MATEMATICA II]
5800
6600
7400
8200
9000
r
(
r,
r
(
(
r
Reuisi6n parcial...
37. Escribi una poblaci6n y tres valores
para cada variable.
o. La temperatura. c. Una opinion.
b. El color del pelaje. d. La distancia.
38. Decidi cuales variables son
cuantitativas y cuales cuantitativas.
o. La duraci6n de una pel1eula.
b. La vigencia de una promoci6n.
c. El tiempo de cocci6n de una comida.
d. La calidad de un jab6n.
39. Las edades de los alumnos de un
curso de ingreso a la facultad son:
2119 23 20 22 20 19 23 22 22 20 19
20 2123 2122 19 2120 22 2123 20 22
a. Completa la tabla.
Edad
19
f
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
42.
Observa el grafico y responde.
a. tCuantos turistas tiene la agencia?
b. lcual es la epoca preferida para
viajar?
c. tCuantos viajan en primavera o
verano?
d. tCuantos no viajan en verano?
El grafico muestra el porcentaje de
socios de un club que practican cada
deporte.
voley
22%
futbol
34%
L
f
Frecuencia absoluta
21
Futbol
22
Basquet
23
Total
b. Calcula el promedio de edad.
c. Halla la moda y la mediana.
40. Un colegio tiene alumnos en los tres
niveles.
Completa la tabla.
Nivel
f,
t
f.
20%
lnicial
Primario
Secundario
Total
basquet
28%
Completa la tabla.
20
\
ten is
16%
680
41. El grafico muestra la cantidad de
turistas de una agencia de viajes
que viajan al exterior en las distintas
epocas del afio.
-----------------
verano invierno
otoiio primavera
I
I
I
I
I
: 43.
Voley
Tenis
350
Total
Se prob6 la duraci6n continua en
minutos de 20 bater1as de celular y las
resultados fueron:
682 786 516 795 384 627 734 628
805 415 536 791 754 568 692 631
756 536 883 752
a. Completa la tabla.
lntervalo
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Valor medio
del intervalo
[300; 420)
[420; 540)
[540; 660)
[660; 780)
[780; 900]
b. Calcula el promedio
c. Halla la moda y la mediana.
[CAPITULO 08J • 133 •
Reuisi6n final
44. Calcula la cantidad de resultados
posibles de cada suceso.
a. Arrojar cinco dados y sumar sus
valores.
b. Elegir al azar una letra del alfabeto.
c. Adivinar las 4ultimas numeros del
DNI de una persona elegida al azar.
I
1
Cantidad
de hijos
45. Calcula.
a. lDe cuantas maneras se pueden
apilar 4 libros?
b. lcuantas claves de una letra y tres
numeros se pueden armar?
c. lcuantos numeros de 5 cifras
distintas se pueden formar con2,3,
5, 7 y 8?
$20
$50
$ 100
9
10
12
5
8
6
Calcula la probabilidad de sacar uno
sm m1rar y que
a. sea de$ 50.
b. no sea de$10.
c. sea mayor a$10.
d. sea de$2 o$20.
e. no sea de$ 5 ni de$100.
48. Escribi tres valores de cada variable
estadistica.
o. El nivel educativo de una persona.
b. La raza de un perro.
c. El color de un pajaro.
)
)
2
)
3
)
4
Total
b. Realiza el grafico de barras.
50. La tabla muestra la temperatura de
una ciudad en cinco dias.
distintos valores.
$ 10
)
1
47. En una balsa, hay 50 billetes de
$5
fp
f,
f.
0
46. En una caja, hay25 papeles iguales de
distintos colores: 8 rojos, 4amarillos,
7 azules y 6 verdes.
Escribi un suceso
a. imposible.
b. cuya probabilidad sea 0,24.
c. cuya probabilidad sea mayor al 60%.
$2
49. Se consult6 a los matrimonios de una
reunion sabre la cantidad de hijos que
tenfan y las respuestas fueron:
12 0 123 031 4121
0 43 2 0 0 12 1 0 4 1
a. Completa la tabla.
I I
I
I
I
I
I
Tarde
Noche
Dia
Mariana
Lunes
°
9 (
13 (
8 °(
Martes
10 °(
14 ° (
9 °(
Miercoles
1 °c
8 °(
6 °(
Jueves
5 °(
9 °(
4 °c
Viernes
9 °(
11 °(
13 ° (
°
Calcula el promedio de la temperatura
a. de cada dfa.
b. de las mananas
c. de las tardes.
d. en general.
e. Halla la moda y la mediana de las
temperaturas.
51. Completa la tabla y construi el grafico
circular.
Color
Porcentaje
Rojo
35%
Verde
20%
Azul
15%
Amarillo
30%
Angulo central
)
Capitulo 1. Numeros naturales
1.
a. Setecientos ocho mil quinientos
b.
c.
d.
e.
2.
I
I
sesenta.
Tres millones cincuenta y siete mil
catorce.
Doscientos cincuenta millones
seiscientos tres mil ochocientos.
Noventa y cuatro millones setenta mil
doscientos cuarenta y siete.
Cuatro mil quinientos veinte millones
ochocientos un mil quinientos.
4.
e.
f.
g.
h.
i.
I
I
\
J
)
{� )
)
)
)
I
I
2 500 4 000
I
6500
10 000
12 500
)
0
)
)
8.
1 200
0
3 600
)
)
)
9.
0
5 037 060
20 400 608
700 380 190
8 030 504
29 305 000
5 800
750 000
1 230 000 000
4 690 000 000 000
3f
)
600
I
I
200
750
I
1 000
I
)
Yf°1 )
1300
�-)
10.
)
a. V
b. F
c. F
)
\
I
)
d. V
e. F
f.
�
V
Mil mas
Cien mil
Numero Mil menos me nos
400 000
301000
300 000
299 000
200 000
2 100 000 2 001000 2 000 000 1 999 000 1900 000
600 000
501000
500 000
499 000
400 000
)
904000
805 000
804000
80 3 000
704000
1 612 000 1513 000 1512 000 1511000 1412 000
)
a. 252
b. 28
c. 14
12.
13.
)
)
11.
Cien mil
mas
• 136 • [MATEMATICA II]
\
7.
I
d.
)
= 500
G = 1 250
H = 3 500
M = 5 000
R = 6 750
I
I
I
I
I
a. 38 090
b. 8 008 008
c. 204 100 000
d. 5 001 000 000
e. 4 007 000 000 000
a.
b.
)
b. F
I
a. 2 050 309
b. 804 213
c.
5.
a. A= 20
B= 60
C = 130
D = 200
E = 260
I
c. 102 020 061
d. 50 030 007 014
e. 2 072 000 900 050
3.
6.
5. 4. 9
= 180
a. (5 + 4). 7 = 35 + 28 = 63
b. 4 . (9 + 3) = 36 + 12 = 48
C. (12 - 8). 5 = 60 - 40 = 20
d. 6. (11 - 8) = 66 - 48 = 18
r
r
r
r
r
,,
(
r
r
(
14.
a.
b.
c.
d.
15.
a.
b.
C.
d.
16.
a.
b.
C.
d.
Cociente 4 y resto 8.
Cociente 7 y resto 9.
Cociente 58 y resto 3.
Cociente 31 y resto 84.
4
8
7
2
116
104
816
102
a. 2 970 paquetes.
b. 20 790 kg.
18.
a. 19 cajones
b. 3 botellas
19.
2 . (13 + 8) y 4. 13 - 2. 5
I.
\.
l
(_
L,
L
l
L
L
L,
G
L
L,
a.
b.
c.
d.
e.
f.
21.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
b.
C.
d.
e.
289
512
81
1
343
.f 625
g. 32
h. 1 000 000
23.
17.
20.
22.
20
6
36
110
18
0
63
35
15 2
1'
6
2
a.
b.
C.
d.
e.
f.
7
11
3
6
12
3
g. 4
h. 2
24.
a. Entre 6 y 7.
b. Entre 8 y 9.
c. Entre 14 y 15.
d. Entre 7 y 8.
e. Entre 3 y 4.
f. Entre 6 y 7.
25.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
169
8
6
5
125
19
26.
a. V
b. F
c. F
d. V
e. F
f. V
[CONTROL DE RESULTADOS] • 137 •
27.
o. 13
b. 34
c. 7
d. 19
e. 5
f.
27
g. 19
h. 19
28.
o. 13 -9 = 4
b. 8. 12 = 96
C. 60: 4 = 15
d. 2. (15 + 1) = 32
e. (19 - 1 ): 2 = 9
f. ?2 + 1 = 50
29.
o. El triple del anterior a dieciseis.
b. El siguiente del cuadruplo y ocho.
c. El cuadrado del siguiente de nueve.
d. El anterior de la quinta parte de
veinte.
e. La tercera parte del siguiente de
catorce.
30.
o. 2(x -1)
b. 2x + 1
c. (x + 1): 3
d. X: 2 -1
31.
o.
b.
C.
d.
32.
o.
b.
C.
d.
8x
7x + 4
4X + 5
7x + 4
x=5
X
X
=4
= 10
x=6
• 138 • [MATEM.ATICA II]
33.
0.
b.
C.
d.
X
=3
x=6
X=
X
5
=2
e. x = 8
f. X = 3
g. X = 5
h. X = 46
i. X = 3
34.
o. 3x = 42: 2
x=7
b. 2(x
X=
+ 1) = 34
16
35.
o. 48 cm
b. 62 cm
36.
7
7. 10 + 8. 10 + 5. 10
8 000 000 + 90 000 000
6
5
Ciento veinte millones
360 000 000
0,45 mil millones
37.
R=O
S = 1 000
T = 2 500
38.
o. 360
b. 1 440
C. 180
d. 72
39.
o. (8 + 9). 7 = 56 + 63 = 119
b. 6 . (9 - 7) = 54 - 42 = 12
40.
o. $ 56
b. $ 28
r
rr
r
(
(
(
(
(
(
(
r
Capitulo 2: Numeros enteros
41.
1.
a. 1
b. 4
C. 37
b. -500
c. -95
d. - 4
e. -43
f. 7 000
g. 2 000
h. -15
42.
a. 7
b. 7
c. 289
d. 512
2.
43.
a. 3
b. 19
44.
3.
=9
so) : 4 . 3 = 48
45.
4.
a. (x-1): 2
b. 3x + 1
46.
0. X = 7
b. x = 6
C. X = 11
d. X = 4
e. X = 3
f. X = 20
a. 7 pisos
b. 12 pisos
a. -$ 200
c. Extracci6n de $ 500
Dep6sito de $ 400
d.
s.
a. -9�7�-7�5
b. -8�9�-10�11
C. -4� -6�-8�-10
6.
a. 7 ° C
7° c
10 ° C
9° c
6° C
f. 7 ° c
g. 8 ° C
h. 5 ° C
i. -2 ° c
b.
C.
d.
e.
a. 33
l
L
L
l,
L_
L,
L,
L
L
L,
L
L
m
b. $ 400
47.
l
a. 20 m
b. 60
a. 2 . 13 -51 : 3
b. ( 14 +
a. 250
b. 56 y 57
c. $ 36 y $ 48
d. 27 anos
7.
a. 280 g
b. 310 g
C. 300 g
d. El de naranja.
e. El de coco.
f. El de salvado.
g. 100 g
[CONTROL DE RESULTADOS] • 139 •
I 8.
I
a.
I
-5
b.
- 42
-4
-3
- 32
-2
- 26
-1
0
-14
-180
-110
10.
a. <
b. >
c.
>
d. >
e. >
f.
<
g. <
h. >
11.
a. -7
b. 9
c. -10
d. -5
12.
a. <
b. >
c. <
d. >
13.
I
I
� .,,
a. - 3, - 2, -1, 0, 1, 2 y 3
b. - 1, 0, 1, 2, 3 y 4
C. - 1, - 2, - 3, - 4 y-5
d. 8, 9, -8 y - 9
10
a. - 2
b. 2
C. -2
d. - 6
e. 2
f. - 6
0
-70 -50
a. -5
b. - 2
C. -10
d. -1
e. 5
f. -10
g. -5
h. -7
i. 6
16.
a. -8
b.
+9
5
-8
+ 12
-6
+ 20
-15
-3
C. -
d.
e.
f.
g.
h.
i.
17.
0, 11
b. -5
C. -4
18.
a. NEGATIVO
b. POSITIVO
c. POSITIVO
d. POSITIVO
19.
a. -13
b. 3
c. 13
d. -35
:!
• 140 • [MATEMATICA II]
._
0
-100
-230
I
-6
4
15.
9.
!
2
14.
r
r
(
r
r
(
(
(
(
(
(
I
20.
a. -35 m
b. - $480
21.
a. 2
b. -4
C. -3
d. 0
e. -5
f. 15
g. -22
h. -9
i. 1
j. -7
22.
a. (-5)
b. (- 6)
(-3)
d. (-4)
e. (-7)
f. 11
C.
23.
a. 7
b. 2
5
d. 7
C.
24.
a. -2
b. + 5
l
I...
l
l
l
l
L
l
L
L.
L,
L.
L..
c. -13
d. + 12
e. O
f. + 23
g. $123
h. $114
i. $135
j. $109
k. $139
L $92
25.
l
a. V
I
b. V
C.
F
d. F
e. F
26.
a. -2 ° (
b. -11 ° (
°
C. 6 ( mas
d. 8 ° C menos
28.
a.
>
C.
=
b. >
d. <
29.
I
a. 4
b. -8
-12
d. -5
e. -11
f. - 12
g. -4
h. 0
i. -14
j. 4
k. -14
L -2
C.
30.
(
a. -5
b. -45
C. -8
d. -21
e. 8
f. 48
9· -35
h. 6
i. 3
j. -150
I
I
I
<'�..... � I
[CONTROL DE RESULTADOSJ • 141 •
11
31.
a.
b.
C.
d.
e.
(-7)
5
(-5)
(-4)
-9
f. -35
g. - 7 . (4 -7) = - 28 + 49 = 21
h. (-3 + 8). (- 5) = 15- 40 = -25
32.
a. 30
b. -4
C. -48
d. 12
e. -16
f. 3
33.
a. (-5)
(-4)
(-5)
-12
(-4)
f. (-6)
g. (-4)
h. 6
b.
C.
d.
e.
a.
b.
C.
d.
-6
32
18
-72
e. -1
f. -1
35.
Algunas posibles soluciones.
a. -4 y 1
2y-2
2y-1
b. -4 y 2
'
<,,.
LIi
I
a. P
b.
C.
d.
e.
f.
N
N
N
P
p
g. N
h. N
37.
a. -125
b. -100
C. 81
d. -1
e. 64
f. -1
g. 121
h. -216
i. -1
38.
a. -7
b. 113
C. -18
39.
a. 9
34.
I
36.
-1y7
-3y3
C. - 4 y 2
-2y1
3y-3
• 142 • [MATEMATICA II]
b. -216
C. 16
d. 4
40.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
25
81
-32
256
4
-216
41.
a. a 6
8
b. b
14
c. (
d. d15
e. e3
1
f.
g12
r
r
(
r
(
(
(
(
(
(
(
I
42.
47.
a. -6
b. 12
C. -3
d. 3
e. -8
f. 2
g. -2
h. -1
i. -7
a.
b.
c.
d.
e.
f.
48.
a. 18
b. 729
C. 4
43.
a. 169
b. 625
c. - 64
d. -729
e. -128
f. 343
g. -1 000
h. 196
i. 64
49.
so.
a.
b.
c.
d.
e.
a. Entre -2 y -1
b. Entre -4 y -3
c. Entre -3 y -2
f.
g.
h.
45.
i.
4
b. -6
C. 14
d. 3
Q.
Q.
b. V
I..
l
L
l
l
L
c. F
d. V
e. F
f.
j.
k.
l.
I
F
F
g. V
h. F
I
a. 36
b. 16
C. 12
44.
46.
-5
5
40
-2
4
2
I
-12
-63
82
-68
-47
- 21
-22
-22
-8
-55
-116
-2
51.
a. -32
b. 8
C. -4
d. -28
52.
a. -6
b. 143
C. 108
d. -5
I
L,
I
L,
l..
L,
L
[CONTROL DE RESULTADOS] • 143
-
•
�
)
'
53.
a.
b.
C.
d.
32
-49
50
-84
54.
a. -243
b. -9
C. 64
d. -8
e. -128
f. - 6
55.
a. 9
b. 25
C. 12
d. 5
I
I
56.
<"''
'-
a.
b.
C.
d.
e.
f.
60.
a. 107 -(7 + 10) - 1 = 89
b. 95 -2 . (3 + 2) = 85
61.
a. 21
b. 6
C. -35
d. 3
e. 9
f. -75
: 62.
g. 67
63.
57.
a. -2
b. - $ 240
C. 8 ° (
58.
a. -10
b. -7
c. -12
d. 10
e. 4 y-4
f. - 1, 0, 1 y 2
• 144 • [MATEMATICA II]
5
-11
-9
-8
-12
-8
g. 7
a. 15
b. -14
C. -66
d. 10
e. -20
f. 14
I
I
59.
a. -14
b. -9
C. 53
d. -12
a. 30
b. -6
C. 36
d. -60
e. -5
f. 30
64.
a. -16
b. 8
-265
d. -322
e. 5
f. -1
C.
r
r
r
r
rr
Capitulo 3: Ecuaciones e inecuaciones
1.
r
r
2.
3.
4.
5.
I..
l
l
L
L
L,
L,
L,
w
L,
L,
L.,
6.
6 -(-11) = 17
-12 . 5 = - 60
3
(-4) = - 64
50 : (-2) = - 25
9 + (-14) = - 5
f. - 32: 4 = - 8
g. -30 + 1 = - 29
h. -(-17) = 17
o.
b.
C.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
8.
El cuadruplo del anterior a menos ocho.
El siguiente de la mitad de menos dace.
El triple del siguiente a menos seis.
El anterior del cubo de menos dos.
a. -11 + (-13) + 1 = - 23
b. (-9 -11): 2 = - 10
C. 3. (-15 -1): (-2) = 24
d. (-9 + 1)3 = - 512
a. 7 y-10
-11 y 8
b. 8 y-3
-9y2
C. 10 y5
-9y9
-24 y-8
a.
b.
c.
d.
e.
7.
9.
a. n(n + 1)
b. n2 + 1
3
C. (n - 3)
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
V
f. V
g. F
h. F
i. V
j. 7x-7x= O
=1
=X
2x+ 5x= 7x
X: X
2
4x. 5x= 2ox2
=Z
5=0
S=Z
S=0
S=Z
10.
Algunas posibles soluciones.
0. X -1
=7
b. X = X- 3
C. X + X + 1 =
a.
b.
c.
d.
e.
F
F
F
x= 6
x= 5
x= - 5
x= - 2
X= 4
f s=z
11.
V
X. X
I
a. -3�-1�1�3�5
b. -3� -7�-11� -15�-19
C. 1�-2�-7�-14�-23
f.
2X +
1
-7
-5
-6
-4
-8
-4
12.
X=-4
b. x= 6
0.
C. X= 4
d. S= 0
e. X = 3
f. s = z
[CONTROL DE RESULTADOS) • 145 •
I
13.
I
I
I
I
I
I
I
a. Ninguno
b. Uno
c. Ninguno
d. Todos
14.
0.
b.
C.
a.
b.
c.
d.
X =2
Algunas posibles soluciones
a. -5y 2
-3y-6
Oy-4
b. 5y8
-1y2
1y4
C. 8y- 8
7
6
14
-7
-sys
3y-3
23.
0.
19.
a. El siguiente de un numero es veinte.
b. El anterior del doble de un numero es
siete.
c. El triple del siguiente de un numero es
veintiuno.
d. El producto de un numeroy su
anterior es treintay cinco.
• 146 • [MATEMATICA II)
=-4
e. 5 = Z
a. 16
b. 45
C. 8
x + x + 1 = 2x + 1
Sx -2x = 3x
2(x -1) = 2x -2
4x + 1
3(x -1) -2(x -1) = x - 1
X
b. x=8
c. 5 = 0
d. x=4
17.
�
LI
22.
= -1
X = -3
X
a. 12 anos.
b. Altura 7 cmy base 6 cm.
a.
b.
c.
d.
e.
a. 1�-1�-3�-5�-7
b. 0�2�6�12�20
a. 2n 2
b. 2n - 3
16.
18.
20.
21.
d. 5=0
e. 5=Z
f. X = 3
15.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
f.
x=-8
g. X = - 6
h. X = Z
24.
1
1
a.
b.
C.
d.
5
-7
27, 28y 29
16 cm, 19 cmy19 cm
I
: 25.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
8
-7
80
9
25
27
r
r
r
r
,.
26.
a. x=9
b. X =
C. X
-3
= 21
d. X = 10
e. x=5
f.
27.
X
=8
X
= 12
C. X
= 86
Q.
b. X = 1
d. x=8
28.
32.
Algunas posibles soluciones.
Q. X + y = 12
2x-y=3
b. X + y = 7
x-y=1
33.
a. S = {( 5;-1)}
b. S = {( 2;-1)}
34.
±10
e. -2
b.
35.
f. ± 6
b.
C.
= ±2
X=2
X = ±3
X
d. X
=-2
e. x= ± 2
f. X = - 2
30.
Q.
X
b. X
=-6
= ±11
c. x = ±3
d. X =
\.
\
l
\..
L
l
L
L
L.,
L,
L,
LJ
Li
31.
I
I
Algunas posibles soluciones.
d. 2
a.
!
{y-x=3
b. 1
29.
I
a. 2x+y=9
a. ± 5
C.
I
I
-2
Algunas posibles soluciones.
Q. (3 ;-2)I ( 6 ; - 5)I ( - 3 ;4)I ( - 1 ;2)
y(9;-8)
b. (5 ;2), (7 ;4), (2 ;-1), (-4 ;-7)
y(15 ;12)
C. (2 ;-4), (3 ;-6), (-5 ; 10), ( 1 ;-2)
y(-2 ;4)
a. S
b. S
C.
I
x-y= 3
{y-4X=0
= {(5 ;3)}
= {(4 ;-3)}
5 = {( - 2 ;8)}
d. S = { ( - 1 ;-3)}
36.
a. 5 y 7
b. $ 55 y $ 75
c. Altura 5 cm y base 8 cm
°
°
d. 54 y36
37.
Q.
X�
3 yX > 2
b. X < 0
C. X � -
6 yX > -7
38.
a.
s = {3·, 4·, 5·, 6·, 7·, 8}
b S = {- 3·, - 2·, - 1·, O·, 1}
C. 5 = {2;3;4;5; 6}
d. S = {- 5·, -4·, -3·, -2·, -1·, O}
.
-
-·�
[CONTROL DE RESULTADOSJ • 147 •
/
39.
46.
40.
47.
<4
b. X � -7
C. X > -10
d. X � 2
e. x>-1
f. X::; - 3
0. X
=-2
b. X = ± 4
0. X
= 21
d. x= -27
e. x = ±6
f. X= 25
C. X
41.
= 625
b. X = ± 3
C. X = -18
d. X = ± 13
0. X
42.
o. x = 8
b. X = - 2
C. X = 7
d. X = ± 3
43.
Algunas posibles soluciones.
o. (-4; 2), (-1; -1), (-5; 3), (1; -3)
y(-2;0)
b. (2; - 6) I ( 15 ; 20) I ( 0; -10) I (5; 0)
y(3;-4)
44.
S = { ( - 5; 8)}
b. S = {( 3; - 4)}
0.
45.
O.X <-8
b. X � - 2
C. X <1
• 148 • [MATEMATICA II]
o.48 cm
b. 25
c. 5
d. 13 y 7
e. 12 y 17 afios
f. 7 de $ 1 y 9 de $ 5
o. - 33
b. -84
C. -32
d. -125
48.
o. 3x + 3
2
b.2x - 2x
C. 2X -1
49.
o. -5�-2�1�4�7
b.1�0�1�4�9
50.
=7
b. X = 11
C. X = ±7
d. X = - 4
0. X
51.
o. x = 2
b. S= 0
c. S=Z
d. X = -11
e. S=Z
f. X = -10
g. X = ± 5
h. X = 8
i. X = - 3
j. X = - 7
52.
o. -17
b.-12
C. 5
d. 8
r
r
r
Capitulo 4: Geometria I
r
53.
r
54.
r
,
r
a. 56 cm 2
b. 25 aiios
1.
a. S = {(11, -6)}
b. S
= {(3, -7)}
55.
a. x�3
b. X > -14
56.
2.
a. 4 y 7
b.
Algunas posibles soluciones.
9 cm, 13 cm y 13 cm
A
r
A
a. ebt, ben y ntb
(concave)
'b.
"
ntb (c6ncavo)
,;;, t (concave)
3.
4.
�
\.
L
l
l.,
l...
L
l
L.
L,
L,
L,
L
a. Recto
b. Llano
c. Agudo
d. Obtuse
e. Nulo
Algunas posibles soluciones.
"
a. nan
b. arb
C. nab
d. brs
e. orb
f. ebr (concave)
A
A
A
A
[CONTROL DE RESULTADOS) • 149 •
I
5.
a. =
b. >
C. >
I
I
11.
a.
b.
A
h. <
C.
i. =
j. =
6.
I
I
I
i
8.
'
9.
I
a.
b.
c.
d.
e.
A
f.
I
I
12.
A
A
a.
b.
c.
d.
e.
I
f.
Suplementarios
Complementarios
Complementarios
Complementarios
Suplementarios
Suplementarios
13.
= 73 ° y 13 = 107 °
A
A
y = 55 ° y E = 35 °
Opuesto por
el vertice
"
pmt
I
i<:-
I
L..
A
I\
A
A
A
A
A
A
A
A
13 = 28 °
A
"
omq
"
qmr
"
omr
I
A
<.p = 25 °
Angulo
I
A
e. a = 53°
I 10.
I
A
13 = y = 27 °
A
a. a
A
A
a. 23 27' 26"
b. 361 ° 33' 30"
A
V
V
F
F
F
V
a. a = y = 49 °
l3 = TI = 131 °
b. a = 35°
°
y = 55
°
C. E =TI= 92
13 = y = 88 °
d. a = 5 = 34 °
°
b.
I
A
A
A
7.
A
A
a = 179 ° 50'. Obtuso
b. 13 = 84° 46' 24". Agudo
c. 5 = 90 ° . Recto
d. w = 0 ° . Nulo
a.
A
A
g. >
I
36' 19"
°
A
f. >
I
°
= 40 23' 41"
TI = 139 ° 36' 19"
13 = 94° 24' 46"
y = 46 ° 18' 21"
E = 133 ° 41' 39"
a = E = 68 ° 13' 32"
y = 21 ° 46' 28"
TI = 90 °
E
d. <
e. <
!
I
a= 49
A
I
• 150 • [MATEMATICA II]
"
ymt
"
mp
y
Adyacente
"
"
omtoqmp
" "
rmsoqmg
"
pmr
f. a= 49 °
E =TI= 28 °
13 = 139°
A
A
A
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(
r
14.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
15.
19.
Alternos externos.
Conjugados internos.
Alternos externos.
Correspondientes.
Conjugados externos.
Alternos internos.
Correspondientes.
Correspondientes.
Conjugados internos.
Correspondientes.
Alternos internos.
Conjugados externos.
:
I
I\
I\
I\
I\
I\
a. a = � = 102
TI= 78 °
y = 105
I\
°
31' 45"
I\
°
I\
I\
I\
b. TI = 5 = 63
°
I\
E = 117 °
I\
C. a = �
I\
=
I\
E
= 78 °
I\
TI = 102 °
I\
d. a = � = 67 °
I\
I\
E = 113 °
L,
L
L
L
L
L
L
= y = 51 ° 28' 47"
� = 128 ° 31' 13"
b. w = 117 ° 40' 19"
� = 27 ° 40' 19"
I\
I\
22.
a. a = 143 ° y � = 37 °
b. TI = 101 ° y lp = 79 °
C. E = W = 27 ° y 5 = 153°
d. � = l\ = 124° y a = 56 °
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
23.
a. Rojo: 6 cm
Azul: 2 cm
Verde: 4 cm
Anaranjado: 3 cm
b. I
c. I
d. p
e. P
f. I
17.
L..
I\
I\
p = 74 ° 28' 15"
I\
L,
I\
I\
I\
b. a = � = E =
(.
I\
0. E
I\
I\
I\
(.
I\
I\
I\
I\
\
\.
"
21.
y = TI = 5 = 95 ° 37' 52"
\
: 20. "
a. a = 44° y � = 46 °
b. a = 55 ° y � = 125°
C. a = 55 ° y � = 55 °
0. � = E = W = p = 84° 22' 8"
16.
a. 13 ° 52' 33"
b. 154° 39' 18"
Algunas posibles soluciones.
a. arm y ors
I\
I\
I\
I\
b. spt y tpa
c. ret y tes
d. oam y amt
I\
I\
I\
I\
18.
I\
a = 142 ° 31' 18"
24.
a. 4 cm < be < 26 cm
b.
o cm < bc < 14 cm
25.
a. em< de< dm
b. s < p < r
I\
I\
I\
� = 37 ° 28' 42"
I\
5 = 52 ° 31' 18"
I\
[CONTROL DE RESULTADOS] • 151 •
I
I
I
I
26.
Algunas de las posibles soluciones.
I
I
I
I
I!,
I\
b. abr
I!,
I\
c. sar
I!,
d. rgb
40.
I!,
e. ear
a. ALA
b. LLL
c. LAL
I
I
I
i�I
I
!
I
41.
a. V
28.
b. F
C. V
d. V
a. 15 cm
b. 24 cm
c. 30 cm
42.
29.
a. r = n par alternos internos entre
paralelas.
p = m par alternos internos entre
paralelas.
Son iguales par ALA
b. o = o par opuestos por el vertice.
Son iguales par LAL
C = 23 ° 40' 49"
I\
I\
I\
30.
16 ° 31' 14"
52 ° 35' 24"
73 ° 10' 46"
55 ° 20' 9"
34° 39' 51''
e. 71 ° 25' 41"
71 ° 25' 41"
37° 8' 38"
f. 63 ° 14' 54"
58 ° 22' 33"
58 ° 22' 33"
a.
b.
C.
d.
31.
�
= 52 °
y = 56 °
£ = 72 0
a. aor
a Si
b. No
I
a = 108°
I\
I!,
27.
i
32.
I\
I\
I\
b. yd.
44.
a. 2 = 99 ° 47' 3"
Escaleno obtusangulo
b. a = 90 °
Escaleno rectangulo
C. b = 38 ° 17' 52"
Isosceles obtusangulo
I\
I\
I\
I\
I\
c. a = 88 ° , n = 31 ° y y = 61 °
d. � = 46 ° , y = 64° y £ = 70 °
e. a = 62 ° , b = 58 ° y c = 60 °
f. m = 42 ° , r = 65 ° y s = 73 °
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
43.
a. a = 35 ° , b = 65 ° y c = 80 °
b. r = m = 58 ° y s = 64°
I\
I\
I\
I\
45.
ab = bc
= 9 cm y ac = 7 cm
46.
El rectangulo rojo.
47.
I\
a = 68 ° , b = 39 ° y C = 73 °
I\
• 152 • [MATEMATICA II]
I\
r
r
Capitulo 5: Funciones
1.
48.
a. Si. LAL
r
r
r
,
,
b. Si. LAL
51.
8° 24' 13"
52.
I\
£ = 6 6 ° 8' 13"
lp = 113° 51' 47"
b. lp = � = 94° 15' 38"
°
W = TI = a = 85 44' 22"
a. �
=
I\
r = (8;3)
s = (-4;5)
t = (0;6 )
p=(-8;0)
u = (- 6;-9)
e = (0;-4)
n = (5;- 6 )
v = (6 ;-2)
I\
53.
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
54.
I\
I\
I\
I\
I\
I\
I\
2
f
-9
I\
I
3.
I\
I\
I\
I\
I\
I\
55.
Per1metro: 102 cm.
\.
l
l
l
l.,
L,
L,
L
G
L,
56.
a
I\
=
I\
38 ° , b = 82 ° y
C =6
I\
1
I
j •---
I\
I\
I\
-------•
�----=-3_�--- -1
: -4
g
2
:
I
I
I
4 5
7
X
---•c
d
I
I\
I\
e
I
I\
=
-6
� --2- : -3
81° , t = 33 ° y r = 6 6 °
b. a = 82 ° , b = 38 ° y C = 6 0 °
c. s = 52 ° , t = 75 ° y r = 53 °
d. a = � = 71 ° y y = 38 °
I\
7
5 --------•
I\
I\
a. s
y
h
I\
a. a = £ = 85 °
� = y = 95°
b. a = £ = 16 °
� = y = 16 4°
c. a = £ = � = 112 °
y = TI= 6 8 °
d. a = y = w = 127°
� = TI = 53°
I\
2.
4.
-6
Algunas posibles soluciones.
a. ( O ; 1) y (- 3 ; 4)
b. (-2;-3)y (- 1;-7)
c. (-3 ; 3) y (8 ; - 8)
d. ( 0 ; 5) y ( 0 ; - 4)
e. (2;4)y (-1;-2)
a.
y
0°
57.
X
a. Si. LLL
b. Si. LAL
b. -1
C. 2
d. 3
e. -2
L
L,
L,
[CONTROL DE RESULTADOS] • 153 •
f.
8.
0
g. 5
h. co
i. CR
j. CR
k. co
l. DE
m.CR
n. CO
o. DE
p. -3 < X <- 2
6<x<8
q. -7<X<-3
1<x<5
r. -2<X<1
5<x<6
I
5.
9.
Una de las posibles soluciones.
6
y
I
I
a. No
b. 51
c. No
I
I
I
11.
6.
I
I
a. Sali6 a las 10:30.
b. A 40 cuadras.
Estuvo 1 h 30 min.
c. Volvi6 a las 13:00.
Se qued6 2 h 30 min.
d. Lleg6 a las 16:30.
Sali6 a las 17:30.
e. A 30 cuadras.
f. Se qued6 2 h.
Se fue a las 20:00.
g. Estuvo 5 h 30 min.
10.
, x
I
a. 6 kg
b. Marzo
C. 60 kg
d. Agosto
e. 66 kg
f. 4 meses
g. 4 meses
h. 3 meses
7.
a. 50 km
b. 75 km
C. 3 h
d. 300 km
e. 8 h
a. Ill
b. I: En la pileta, siempre hay la misma
cantidad de agua.
II: La pileta se esta llenando.
IV: La pileta se vacia, pero no siempre
sale la misma cantidad de agua.
/I
• 154 • [MATEMATICA II]
a. Df : -7 :5 X :5 5
Cf: -12 :5 y :5 12
b. 4
c. 3
d. -10
e. -3
f. 10
g. - 8
h. 2
i. 2
j. -1
k. -2
I
r
I
I
,--.
r'
r
r
,-
r
r
r
.,.
12.
a. Cuadrante Ill
b. Sabre el eje y
c. Cuadrante IV
d. Cuadrante II
e. Sabre el eje x
f. Cuadrante I
13.
m =(5;4)
n =(5;-5)
r =(-6;5)
0=(4;-5)
14.
a. La distancia es de 450 km.
Dur6 5 h 15 min.
b. Partieron 9:30.
Llegaron 14:45.
c. A las 11:00.
Estuvieron detenidos 45 min.
d. Tardaron 2 h 45 min.
e. Se detuvieron a las 13:00.
Estaban a 150 km.
I
I
17.
a. y = 4x + 14
b. 46 cm
c. 12 cm
18.
a.
b.
c.
d.
l
l...
L,
L
L
L
L,
L..
G
L..,
16.
a. y = SOX + 6 00
b. $ 2 400
C. 28 km
I
I
19.
a. y = 20x + 80
b.
1
2
3
4
5
6
C.
y
X
0
80
100
120
140
160
180
200
kil6metros de asfalto
200
180
160
140
120
100
80
15.
a. Df : -11 :5 X :5 13
Cf: -2 :5 y :5 7
b. Creciente:
3<X<10
12<X <13
Decreciente:
-11<X<-5
-2<x<3
Constante:
-S<x<-2
10<X<12
C. 2
d. 5
e. 1
f. 5
g. 3
h. -2
y = 1 890 -45x
1 080 l
30 min
42 min
20
2
20.
a.
X
-9
-7
-4
-2
0
6
y
-7
-5
-2
3
b.
4
5
X
-8
-5
-1
0
0
2
8
2
1
6 meses
y
3
0
-4
-5
-6
-7
'
[CONTROL DE RESULTADOSJ • 155 •
Ir- '
,_
1-...
......
C.
X
-9
-6
-3
0
3
6
y
d.
X
-7
-3
-4
-3
-2
2
-1
5
-7
-6
-5
b. S = {(2; - 1)}
5 = {( - 1; 5)}
d. S= 0
y
C.
9
-1
5
0
3
1
1
22.
a.
X
X
b.
21.
a.
X
23.
a.
X
• 156 • [MATEMATICA II]
r
r'
r
,-.
,--
b.
C.
X
-3
-2
r
V
8
3
(
-1
0
0
-1
r
1
0
2
3
3
8
r
24.
a.
V
X
-2
6
-1
3
0
2
1
3
2
6
X
d.
2
-2 -1
b.
2
X
-1
3
0
0
4
1
3
2
3
-5
0
y
-1
l_..,
y
-5
-4
-1
-2
l
l
X
X
-3
-2
0
0
1
-1
-4
2
y
-2 -1
2
L
L
L
L,
L,
l-
[CONTROL DE RESULTADOS] • 157 •
25
b.
-X+4
b. y = - x2 + 4
c. y = x- 4
d. y = x2 - 4
0. y =
X
-4
-2
-1
4
26.
1
5
o. y= 15x + 45
b. cantidad de casas
y
20
14
11
-4
5
-7
165
150
135
120
105
90
75
60
45
15
2
I
4
3
7
meses
c. 225 casas.
d. 17 meses.
-4
27.
o.
X
-3
0
-1
3
2
5
3
-7
y
-13
28.
-7
-9
0.
-1
-3
3
y
X
-1
)
5 X
-3
' ,..,
f
b. Algunas posibles soluciones.
(0; - 3), (-1; - 5)y (3; 3)
C. y = 2X - 3
d. El punto ayd pertenecen a la recta.
El punto by c no pertenecen a la recta.
11
• 158 • [MATEMATICA II]
r
r
r
29.
y
a.
- - - - -1f -----2
(
r
X
r
r-
r
-5
r
S = {(2 ;- 5)}
-3 -2 -1
b.
b.
X
V
-3
-8
-1
0
-2
X
2
1
X
-3
0
1
1
0
2
-3
-8
3
y
X
I
S = {(- 4 ;- 2)}
30.
a.
X
y
-3
12
-1
4
0
3
1
4
2
7
-2
l
l
L
l...
L,
L,
L,
L­
L.,
L
L
3
7
12
31.
a. (- 3;5), (1 ; 5), (1 ;1), (-3;1), (-3;-3)
y(1 ;-3)
b. (1 ;5), (-3; 5), (-3;1), (1 ;1), (1 ;-3)
y(- 3;- 3)
C. (- 3; 5), (- 3;- 3), (1 ;- 3), (1 ;1)
y(- 3;1)
[CONTROL DE RESULTADOS] • 159 •
'
.
--;1
/
I
'
32.
a. Df: - 6 :5 x :5 4
Cf: - 5 :5 y :5 5
b. Creciente: - 1 < x < 1 v 2 < x < 4
Decreciente: - 4 < x < - 2 v 1 < x < 2
Constante: - 6 < x < - 4 v - 2 < x < - 1
b.
33.
a. (- 4; 16)
b. (- 2; - 3)
3; 8)
X
C. (-
d. (- 2; - 8)
e. (2; - 3)
S={(-3;8)}
34.
36.
a.
b.
c.
d.
e.
Junia, julio, agosto y septiembre.
Enero, febrero, marzo y diciembre.
Marzo, julio y agosto.
Mayo.
Septiembre.
f. Febrero y marzo.
g. Aproximadamente $ 454,17.
Axel tiene 24 arias y Ezequiel, 16.
37.
a . .------.---·-.
-2
-4
35.
a.
y
9
13
-1
7
3
-1
5
-5
-7
6
X
y
5
\
S = {(4; - 4)}
-4
X
-7
• 160 • [MATEMATICA II]
r
r
{
r
(
(
(
r
r
Capitulo 6: Numeros racionales
b.
1.
y
-3
-10
-1
-2
-s
-2
0
-1
1
-2
7 = 1,75
c. 4
-s
2
3
2.
-10
-3 -2 -1
:-1
1
2
7 0,7
o. 10
=
,.._
5
b. g=0,5
o.
3
X
b.
-10
C.
I,,_
l
\..
l
l
L
L
L
I
3.
o. 0,375
b. 0,9
C. 0,6
d. 1, 1
e. 1,25
f. 0,53
l..,
L,
L..
[CONTROL DE RESULTADOS] • 161 •
l
I
4.
9.
a.
0
c. >
d. >
e. <
f. >
g. >
h. <
i. >
11
1
T
b.
0
0,6
1
C.
-1
I
I
I
Algunas posibles soluciones.
a. 3
-1,2
5·
I
6.
11.
16
20'
44
28
55 Y 35
36
6 60
b. 9,
Y
54
90
a.
4
d.
b.
1
2
e. 7
Algunas posibles soluciones.
1
3
a. 0,502
b. - 0,35
C. 1,31
d. - 0,645
e. 0,995
f. - 0,003
5
3
1
2
f. 5
4
-1
3
0
-5
1
2
b.
4
-1
-3
· a.
12
15
6
=
24
30
24
=
4
s
2
b. 9 = 35 = 3
4
60
20
c. 45 =15 = 3
• 162 • [MATEMATICA II]
�-
3
-4
12•
1
2
3
4
O. 5' 5' 5 y 5
5
4
3
2
1
b. - 3 • - 3 ' - ' - 3 y - 3
3
a.
13
8
b. 5
C. 13
d. 7
0
0•
C.
1.
-1
-1o
I
10.
0
d.
I
a.<
b. <
0
1
13.
a.
3
-5
b.
4
9·
c.
--=r
7
-u
2
h. 5
-15
J. -3
d.
e.
7
13
5
f. -3
i.
.
43
20
3
--z;
5
r
r
,
I
I
I
14.
5
a. 8
5
b. 9
r
(
I
: 20.
a. $ 210
b. $ 210
10
e.
T
f.
1
8
15.
1
a.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
17.
0.
14
L
G
L
L,
L,
L
G
L.
L.
5
U
Azul:
1
3
i
1
22.
a.
45
25
30
50
70
60
18
5
7
-3
c.
5
6
b.
24.
b. -2
3
C. -2
_2.. -2
4
0
-1
4
a. 9
8
-3
a. 5
1
23.
C.
18.
8
b.
d. 1Q_
3
f. 5
1.
0
-3
27
-
.
ROJO:
Amarillo:
b.
e.
\.
21.
Verd e.. J_
6
9
b. 40
16.
a. 215 km
b. 145 km
I
3
c. 2
7
d. 5
(
19.
8
ls
3
25
-1,3
25.
a.
b.
c.
d.
-1 _!!...
0
2
5
0,7
1
28
4
16
12
[CONTROL DE RESULTADOS] • 163 •
I
26.
a.
I
3
5
I
4
27.
3
2
b.
5
29.
a.
4
7
-5
1
-2
30.
a. 69
b. 94
31
a. 7 rojas
b. 540 km
C. 50 l
0·
15
28
5
5
b.
4
C.
4
1
e.
45
8
5
f. 4
35.
1
a. 3
b. 216
C.
1
6
d. 108
36.
5
a.
18
b.
20
C.
15
d.
17
2
7
2
23
b.
8
21
C.
-6
f. - 3
d.
14
g. 14
5
15
35
e. -12
10
f. -3
• 164 • [MATEMATICA II]
L-_II
10
5
1
d. -7;
32.
e.
d. 3
b. 11
6
c.
b. 10
a. 7
a.
I
3
34 .
a.>
b. <
C. >
d. >
2
d.
1
c. 6
C.
2
28.
1
. 6
Q
1
b. 9
7
:
33.
e. 18
9
h.
.
I.
9
-10
5
12
1
f. 41
r
r
r
r
r
{
(
(
(
(
(
37.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
6
36
63
147
360
420
38. 2
a. 25
3
c. 5
g.
16
e. 10%
i.
1
f.
j.
25%
41.
L,
�
L,
L,
a. 5% de descuento
b. 8% de recargo
c. 6% de recargo
42.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
13% y $ 783
15% y $ 1 265
$ 1 650 y $ 132
$ 1 800 y $ 288
$ 1 600 y $ 1 408
$ 2 300 y $ 2 691
I
-75
64
l.
b. $ 1 365
C. $ 1 968
d. $ 5 332
L,
1
h. -100
h. 75%
a. $ 856
L
1
k. 64
40.
l
e.
g. 50%
a. $ 6 345
b. $ 665,60
c. $ 3 479
L
64
b. -34
3
1
C.
-243
1
d. 64
f.
39.
L,
25
sf
1
5
17
d. 20
l.
I
I
I
I
I
I
I
I
a.
1
36
1
-125
b.
L
43.
!!2.
4
216
m. -125
n. 81
44.
a. F
b. F
c. V
d. F
e. F
f. V
g.
2 -1
5
=2
1
3- = 1
(s)
2 5
(-3
)-1
1
= -3
(�3 )-1 -_]_4
[CONTROL DE RESULTADOSJ • 16 5·
I
Capitulo 7: Geometria II
69.
-6
b.
-12
c.
d.
70.
� 1.
13
a.
I
I
I
1
I\
4
15
I\
X
b.
X=
C.
2.
9
1
14
C. X= �
41
d. x=-s
71.
a.
b.
C.
d.
I\
d y m
= - 20
a.
I\
b. 0 y S
I
I
I
-1s
OS
ms y od
I
7
0. Om y
3.
18 anos
18
40
$ 810
OS y dm
Algunas posibles soluciones.
a. mpcr
b. reda
c. pedr
d, pegh
e. hier
f. mper
a.
b.
c.
d.
e.
V
F
V
V
F
f. V
6.
a. ar = ab = 19 cm
ab= r5 = 13 cm
b. om= pm = 23 cm
oa =op= 14 cm
7.
o. r = p = 94°
0 = s = 86 °
b. g = e = 136 °
a = 57 °
I\
I\
I\
I\
I\
I\
e = 31 °
I\
8.
a6 = 26 cm
fc = 34 cm
ecf = 42 cm
• 168 • [MATEMATICA II]
r
r
r
(
(
(
(
r
(
(
(
9.
62 cm
10.
a. 13,76 cm2
b. 33,48 cm2
c. 657,92 cm2
d. 259,83 cm2
e. 325 cm2
f. 23,28 cm2
11.
a. Cuadrado y rectangulo.
b. Cuadrado y rombo.
c. Cuadrado, rombo, rectangulo y
paralelogramo.
d. Trapecio isosceles.
e. Cuadrado, rombo y romboide.
f. Cuadrado, rectangulo y trapecio
isosceles.
12.
"
"
"
0. C = 36 ° y b = d = 144°
"
"
b. r = 108 ° y p = 72°
"
"
°
°
c. 0 = 84 y w = 115
14.
"
"
" "
t = r = 103 °
"
"
b. b = n = 112 °
"
e = 53 °
"
°
a. m = s = 77 °
\..
\
0 = 83
15.
112 cm2
\...
I.._
L
G
l
L
L
16.
a. 32 cm2
b. 216 cm2
c. 120 cm2
17.
30,96 cm2
18.
a. Prisma rectangular.
Semicilindro.
b. Prisma cuadrangular.
Piramide cuadrangular.
c. Cano.
Semiesfera.
d. Prisma triangular.
Piramide triangular
II
19.
a. Prisma pentagonal.
7 caras, 10 vertices y 15 aristas.
b. Piramide hexagonal.
7 caras, 7 vertices y 12 aristas.
20.
a. Cuadrado y triangulo isosceles.
b. Hexagono y rectangulo.
c. Circulo y rectangulo.
21.
a. Piramide pentagonal.
b. Prisma triangular.
c. Piramide triangular.
d. Prisma hexagonal.
e. Cilindro.
I
22.
8 caras, 6 vertices y 12 aristas.
23.
a. 20
b. 30
24.
a. Superficie lateral: 4 284 cm2 •
Superficie total: 5 584 cm2 •
2
b. Superficie lateral: 1 235 cm •
Superficie total: 2 015 cm2 •
c. Superficie lateral: 839,65 cm2 •
Superficie total: 1163,65 cm2 •
d. Superficie lateral: 779,4 cm2•
Superficie total: 1 261,44 cm2 •
I
L,
L
L
L,
L.,
'\
[CONTROL DE RESULTADOS] • 169 •
'-17 /
/'
25.
30.
a. 678,24 cm2
b. 1 017,36 cm2
a.
b.
c.
d.
26.
o.
15 vasos.
480 l
36 frascos.
1,05 kl
31.
a. 5,1 cl
b. 74 dl
C. 2,5 dal
32.
a. 6 cm
b. 8 dm
33.
a. 1 020 l
b. 40,192 kl
b.
34.
a. 60 cm
b. 25 cm
35.
a. Piramide cuadrangular.
b. Prisma triangular.
c. Prisma pentagonal.
d. Octaedro.
e. Dodecaedro.
f. Tetraedro.
27.
36.
a. 1,152 m 3
b. 1,944 m3
El b.
37.
28.
a. 2 512 cm3
b. 1 500 cm 3
29.
a.
b.
C.
d.
e.
>
3 152
38.
I
=
I
I
=
I
<
>
f. <
g. <
h. =
i. <
• 170 • [MATEMATICA II]
cm2
:
4 823,04 cm3
39.
a. 810 dm3
b. 756 l
40.
9cm
r
r
(
r
r
r
(
(
(
(
(
r
Capitulo 8: Probabilidad y estadistica
41.
I
90 cm
43.
2.
a = s = 107
p = r = 73 °
b. m = e = 124°
o.
I\
I\
I\
I\
I\
°
I\
44.
84 cm
45.
ro
1.
Son aleatorios a, c y e.
a. Bastos, oros, copas y espadas.
b. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
c. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
d. Soltero/a, casado/a, divorciado/a y
viudo/a.
3.
= 17 cm
st= 25 cm
np
= 21 cm
46.
94,88 cm2
Algunas posibles soluciones.
g. Sacar una carta que no sea de copas.
h. Sacar una carta de bastos o, una de
espadas.
i. Sacar una carta de oros.
47.
o. 7 caras, 10 vertices y 15 aristas.
b. 7 caras, 7 vertices y 12 aristas.
48.
2
Superficie lateral: 753,6 cm •
Superficie total: 1 067,6 cm2•
4.
49.
1 296 cm3
so.
5.
2
a. 3
b. 100 cm3
l
I...
l
<..
L,
L.
(
L.
L
L
L,
L
L
c. 360 cm3
51.
a. 1520 l
b. 9,5 dl
o. Sacar una carta con un numero menor
que 20.
b. Sacar el dos de bastos.
c. De bastos.
d. De espadas.
e. Una figura.
f. Mayor que seis.
6.
7.
I
I
o. 24 numeros.
b. 12 combinaciones.
c. 20 banderas.
a. 6
b. 120
C. 720
120
a. 0,1
b. 0,5
c. 0,4
d. 0,3
e. 0,2
f. 0,4
I
.,,...--[CONTROL DE RESULTADOS] • 171 •
�· I
I I
8.
9.
Algunas posibles soluciones.
a. Que salga un numero par.
b. Que no salga un 6.
c. Que salga un numero mayor que 2.
d. Que salga un numero de una cifra.
a. 0,2
b. 0,25
C. 0,4
d. 0,35
e. 0,5
f. 0,7
10.
a. 24%
b. 76%
C. 24%
d. 96%
11.
0,56
12.
16 rojas y 9 blancas.
13.
a. 24
b. 4
C. 12
d. 366
e. 1 ooo
14.
Algunas posibles soluciones
a. Dar vuelta un 1.
b. Dar vuelta un 3.
c. Dar vuelta un numero menor que 8.
d. Dar vuelta un numero menor que 10.
e. 120
15.
720
• 172 • [MATEMATICA II]
16.
a. 24
b. 18
C. 120
17.
a.
b.
c.
d.
0,5
0,3
0,2
0,1
18.
a. 0,375
b. 0,125
C. 0,25
d. 0,5
19.
a. 20%
b. 50%
c. 40%
d. 1%
20.
18 varones y 22 mujeres.
21.
a. P
b. M
C. p
d. p
e. M
22.
a. No es representativa.
b. No es representativa.
23.
Algunas posibles soluciones.
a. El desempeno escolar y el numero del
DNI.
b. El nombre del pintor y su valor.
c. El estado de la vivienda y la direcci6n.
d. La opinion sabre la obra y la cantidad
de actores.
e. El tipo de mascota y la edad de cada
una.
f. El color y el talle.
r
r
n
(
('
r
r
r
(
(
(
(
(
r
r
24.
29.
a. CD
b. CL
a. Promedio: 24
Moda: 18
Mediana: 25
b. Promedio: 100
Moda: 95
Mediana: 99
cc
d. cc
c.
e. CD
f. CL
g. CD
h.
cc
30.
$ 216, $ 230, $ 230, $ 245 y $ 249.
25.
Algunas posibles soluciones.
a. 10 kg, 12 kg, 18 kg o 25 kg.
b. Peces, perros, gatos o canaries.
c. Vainilla, frutilla, chocolate o lim6n.
d. Soltero/a, casado/a, divorciado/a o
viudo/a.
e. 1,65 m, 1,70 m, 1,82 m o 1,95 m.
f. Rosas, claveles, margaritas o calas.
31.
J
I
I
32.
a.
26.
Algunas posibles soluciones.
a. Las lapiceras o los autom6viles.
b. Las aves o los zancos.
c. Los caballos o las vacas.
d. Los lapices y las celulares.
27.
a.
b.
C.
d.
e.
l
l
L
l
L
(_
l­
L
L
I
a. 46
b. 25
c. 14
d. 39
b.
0,12 y 12%
0,32 y 32%
0,28 y 28%
0,2 y 20%
0,08 y 8%
Estado civil
Frecuencia absoluta
Soltero/a (S)
9
Casado/a (C)
7
Divorciado/a (D)
5
Viudo/a (V)
4
Total
25
9
I
7
5
4
28.
f.
f,
1
2
3
30
0,15
15%
38
0,19
19%
22
0,11
11%
4
40
5
34
0,17
17%
6
36
0,18
18%
Total
200
1
100%
1
,'"
C
fn
Numero
20%
D
V
33.
a.
L.,.
L
L
L
[CONTROL DE RESULTADOS] • 173 •
' J
--
I
38.
b.
o.
b.
c.
d.
I
Cuantitativa.
Cuantitativa.
Cuantitativa.
Cualitativa.
39.
o.
34.
Opinion
Cantidad de
espectadores
Angulo central
75
54°
100
720
Mala
Regular
Buena
Muy buena
Excelente
Total
I
125
90°
150
108°
so
360°
lntervalo
Frecuencia Frecuencia Valor rnedio
absoluta acurnulada del intervalo
[40; 44)
4
4
42
[44; 48)
6
10
46
[48; 52)
5
15
[52; 56)
3
18
54
[56; 60]
2
20
58
b. 48,6 kg
C. 48 kg
d. 46 kg
I
36.
a. $ 7 160
b. $ 7 800
c. 16
37.
I
Algunas posibles soluciones.
a. Los seres humanos.
35 ° C, 36° C o 37 ° C.
b. Los caballos.
Blanco, negro o marr6n.
c. Las obras de teatro.
Regular, buena o muy buena.
d. Las ciudades de una provincia.
50 km, 80 km o 150 km.
�
L .r>
.
I;
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f,
fD
4
0,16
16%
20
6
0,24
24%
21
5
0,2
20%
22
6
0,24
24%
23
4
0,16
16%
Total
25
1
100%
40.
I 35.
a.
f.
19
b. 21 afios.
c. La moda es 20 y 22 afios.
La mediana es 21 afios.
36 °
500
Edad
• 1 74 • [MATEMATICA IT]
so
Nivel
f.
f,
fp
lnicial
136
0,2
20%
9
Primario
306
20
45%
Secundario
238
0,35
35%
Total
680
1
100%
41.
o.
b.
c.
d.
2 200
El verano
1 300
1 500
42.
Frecuencia absoluta
Futbol
Basquet
Voley
Tenis
119
Total
350
98
n
56
r
r
0
r
r
r
r
a.
r
0
(1
(1
r
r
(
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(
(
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(_
l
l�
L
L
L,
u
L.,
u
u
Li
L,
49.
43.
lntervalo
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Valor medio
del intervalo
[300; 420)
2
2
360
a.
Cantidad
de hiios
f.
f,
fp
0
6
0,24
24%
[420; 540)
3
5
480
1
8
0,32
32%
[540; 660)
4
9
600
2
5
0,2
20%
[660; 780)
6
15
720
3
3
0,12
12%
[780; 900]
5
20
840
4
3
0,12
12%
Total
25
1
100%
b. 654 min.
c. La moda es 720 min.
La mediana es 720 min.
b.
8
I
I
-------
44.
a. 26
b. 27
C. 10 000
I
45.
I
a. 24
b. 27 000
C.
120
46.
Algunas posibles soluciones.
a. Sacar un papel violeta.
b. Sacar un papel verde.
c. Sacar un papel que no sea amarillo.
47.
a. 0,16
b. 0,76
c. 0,38
d. 0, 28
e. 0, 68
48.
Algunas posibles soluciones.
a. Primario, secundario o terciario.
b. Labrador, ovejero o caniche
c. Amarillo, marr6n o negro.
0
2
3
4
50.
a. Lunes: 10 ° c
Martes: 11° c
Miercoles: 7 ° (
Jueves: 6° (
Viernes: 11° c
b. 8 ° (
c. 11° c
d. 9 ° c
e. La moda es 9 ° C.
La mediana es 9 ° C.
51.
Color
Rojo
Verde
Azul
Amarillo
Porcentaje
Angulo central
35%
126°
20%
no
15%
54°
30%
108°
I
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L,
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f
I-1-:J
[CONTROL DE RESULTADOS] • 175 •
...
...
-
1)
