FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Asignatura: Álgebra lineal Número de la guı́a: 3 Tema: Determinantes. Introducción: En esta guı́a se ilustrán las propiedades básicas de los determinantes. Los determinantes nos proporcionan un método para el cálculo de la matriz inversa de una dada (en caso de existir) y un criterio para estudiar si una matriz es o no invertible. Sus aplicaciones son múltiples en todas las ramas de las ciencias que tratan problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto, determinantes. Objetivo: El estudiante estará en capacidad de reconocer las propiedades básicas de los determinante y aplicarlas en el cálculo del determinante de una matriz. Desarrollo Temático: Determinantes Dada una matriz cuadrada A, se le puede asignar un número real denominado el determinante de A y denotado por det(A) o por |A| y se definirá de manera inductiva, es decir, se usará lo que se sabe de un determinante de una matriz de 2 × 2 para definir el determinante de una matriz de 3 × 3, que a su vez se usará para el determinante de 4 × 4, y ası́ sucesivamente.. Si A es de tamaño 1 × 1 entonces det(A) = |a11 | = a11 . Si A es de tamaño 2 × 2 entonces det(A) = a11 a21 a12 a22 = a11 a22 − a12 a21 . (Como en la guı́a 2). Si A es de tamaño 3 × 3 entonces det(A) = a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 = a11 a22 a32 a23 a33 − a12 a21 a31 a23 a33 + a13 a21 a31 a22 a32 . Resulta que el cálculo del determinante de una matriz de 3 × 3 como se definió anteriormente no es única. A continuación se definirá el determinante de una matriz A ∈ Mn (R). Definición. El determinante de una matriz A ∈ Mn (R) es una función det : Mn (R) → R definida por ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain , desarrollo por la fila i; A 7→ det(A) = |A| = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj , desarrollo por la columna j. donde Aij = (−1)i+j |Mij | y Mij es la matriz que resulta de A al quitar la fila i y la columna j. El término Aij se denomina el cofactor ij de A y Mij se llama menor ij de A. 1 2 3 Ejemplo 1. Si A = 4 5 6 entonces 2 0 1 5 6 2 3 2 3 M11 = M21 = M31 = 0 1 0 1 5 6 4 6 1 3 1 3 M12 = M22 = M32 = 2 1 2 1 4 6 1 4 2 M13 = 5 0 M23 = 1 2 2 0 M33 = 1 4 2 5 El cálculo del determinante por la primera fila es |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = A11 + 2A12 + 3A13 = (−1)1+1 |M11 | + 2(−1)1+2 |M12 | + 3(−1)1+3 |M13 | 5 0 1+1 = (−1) 6 1 + 2 (−1) 1+2 4 2 6 1 + 3 (−1) 4 2 1+3 5 0 = 5 + 2(8) + 3(−10) = −9. 1 0 Ejemplo 2. Sea A = 1 0 2 1 0 0 4 3 el cálculo del determinante por la primera fila es 2 2 3 2 3 1 |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 = A11 + 2A12 + 3A13 + 4A14 =4+2−6+4 = 4; ya que A11 = (−1) 2 A13 = (−1) 4 1 0 0 0 1 0 2 3 1 1 0 0 3 2 2 3 2 2 = = 1 0 0 0 1 0 2 3 1 1 0 0 3 2 2 3 2 2 = 4, A12 = (−1) = −2, A14 = (−1) 3 5 0 2 3 1 3 2 0 1 2 0 1 2 1 0 3 0 0 1 0 2 3 =− 1 3 2 0 1 2 0 1 2 =− 1 0 3 0 0 1 = 1, = 1. Nota: Según la definición de determinante, un camino que facilita el cálculo de este, es tomando la fila o columna con mayor número de ceros. Propiedades de los determinantes 1. |AT | = |A|. 2. Si An×n es una matriz triangular entonces, el determinante de A es el producto de los elementos de la diagonal. Es decir, |A| = a11 a22 · · · ann 3. Sean A, B, C tres matrices iguales excepto por la i-ésima fila, es decir, a11 a21 .. . A= ai1 . .. an1 a12 a22 .. . a13 a23 .. . ... ... .. . a1j a2j .. . ... ... .. . a1n a2n .. . ai2 .. . ai3 .. . ... .. . aij .. . ... .. . ain .. . an2 an3 ... anj ... ann ; B= bi1 . .. an1 2 a11 a21 .. . a12 a22 .. . a13 a23 .. . ... ... .. . a1j a2j .. . ... ... .. . a1n a2n .. . bi2 .. . bi3 .. . ... .. . bij .. . ... .. . bin .. . an2 an3 ... anj ... ann a11 a21 .. . C= ai1 + bi1 .. . an1 a12 a22 .. . a13 a23 .. . ... ... .. . a1j a2j .. . ... ... .. . a1n a2n .. . ai2 + bi2 .. . ai3 + bi3 .. . ... .. . aij + bij .. . ... .. . ain + bin .. . an2 an3 ... anj ... ann + Entonces |C| = |A| + |B| . Ejemplo 3. a+b h+l 3 c+d e f g+k 4 5 = a h+l 3 c f 4 e g+k 5 = a h 3 e g 5 + c f 4 a c l 0 3 4 b h+l 3 d f 4 0 g+k 5 e k 5 b h 3 d f 4 + 0 g 5 + b d l 0 3 4 0 k 5 4. Si una matriz tiene una fila (o columna) nula entonces su determinante es cero. Ejemplo 4. 1 5 0 1 A= 2 6 0 2 3 7 0 3 4 0 0 4 = (0)A31 + (0)A32 + (0)A33 + (0)A34 = 0. 5. Si una fila de una matriz A se multiplica por un número diferente de cero, entonces su determinante queda multiplicado por ese número. Es decir, a11 a21 .. . a12 a22 .. . ··· ··· .. . a1n a2n .. . kai1 .. . kai2 .. . ··· .. . kain .. . an1 an2 ··· ann =k a11 a21 .. . a12 a22 .. . ··· ··· .. . a1n a2n .. . ai1 .. . ai2 .. . ··· .. . ain .. . an1 an2 ··· ann Ésta propiedad se puede generalizar por |kAn×n | = k n |A|. a b c Ejemplo 5. Si A = d e f y |A| = 4 entonces g h i a) b) 2a 2b 2d 2e g h −a −b −d −e −g −h 2c a b c a b c 2f = 2 2d 2e 2f = 22 d e f = 4|A| = 16 i g h i g h i −c −f = (−1) (−1) (−1) 4 = (−1)3 4 = −4 −i 6. Si se intercambian dos filas cualesquiera en una matriz, su determinante cambia de signo. 3 0 0 6 = 18, 0 3 6 0 = −18 3 7. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, entonces su determinante es cero. 8. Si una fila (columna) de una matriz es múltiplo de otra fila (columna), entonces el determinante de la matriz es cero. 9. Si una fila (columna) de una matriz se multiplica por un número diferente de cero y se le suma a otra fila (columna), su determinante no varı́a. Ejemplo 6. a d h b e i c f l = a b 2a + d 2b + e h i = a 2a h 2R1 +R2 b c 2b 2c i l a a h =2 b b i c c l =0+ a d h b e i a d h b e i c f l = c 2c + f l a d h + + a d h c f l b e i b e i c f l c f l (por propiedad 2) (por propiedad 5) (por propiedad 7) 10. |AB| = |A||B|. Determinantes e inversas Si A es invertible, entonces |A| = 6 0y |A−1 | = 1 |A| La adjunta de una matriz A cofactores de A ası́, A11 A12 A21 A22 adj(A) = . .. .. . An1 denotada por adj(A) se define como la transpuesta de la matriz de los An2 ··· ··· .. . A1n A2n .. . ··· Ann T = A11 A12 .. . A21 A22 .. . ··· ··· .. . An1 An2 .. . A1n A2n ··· Ann Además, A(adj(A)) = (adj(A))A = |A|I que da como resultado, siempre que |A| = 6 0, entonces A−1 = 1 adj(A) |A| 1 Ejemplo 7. Sea A = 0 0 3 2 0 4 1 , entonces |A| = 6. Por otro lado, los cofactores de A son 3 A11 = (−1)1+1 2 0 1 3 = 6, A21 = (−1)2+1 3 0 4 3 = −9, A12 = (−1)1+2 A22 = (−1)2+2 4 0 0 1 3 1 0 = 0, 4 3 = 3, A13 = (−1)1+3 A23 = (−1)2+3 0 0 2 0 1 0 =0 3 0 =0 3 2 A31 = (−1)3+1 4 1 1 0 A32 = (−1)3+2 = −5, 4 1 A33 = (−1)3+3 = −1, 1 0 3 2 ası́ A11 A12 adj(A) = A13 A21 A22 A23 A31 6 A32 = 0 A33 0 −5 −1 2 −9 3 0 además 1 A(adj(A)) = 0 0 4 6 1 ∗ 0 3 0 3 2 0 −9 3 0 −5 6 −1 = 0 2 0 0 6 0 0 1 0 = 6 0 6 0 0 1 0 0 0 1 y A−1 6 1 0 = 6 0 −9 3 0 −5 1 −1 = 0 2 0 −5/6 −1/6 1/3 −3/2 1/2 0 Ejercicios. 1. Evalúe el determinante 2. Si a d g b e h a) 2a 3d g b) g a d c f i 5 1 0 2 −1 −6 −7 0 1 5 8 0 6 0 4 0 5 1 3 0 c) a+g d g d) −a d g = −6 hallar 2b 3e h h b e 2 0 0 0 4 2c 3f i i c f b+h e h c+i f i −b −c e f h i e) a b c d e f f) 5a 5d 5b 5e 5c 5f g h i 5g 5h 5i 3. Si A3×3 y |A| = 2, calcular b) A−1 . a) |2A| . 4. Demostrar que b+c a 1 c+a b 1 5. Demostrar que a1 a2 a3 6. Demostrar que a+b b+c 1 1 b+1 c+1 7. Demostrar que a−b−c 2b 2c b1 + ta1 b2 + ta2 b3 + ta3 b+a c 1 c) 2A−1 . = 0. c1 + rb1 + sa1 c2 + rb2 + sa2 c3 + rb3 + sa3 c+d 1 d+1 d ) (2A)−1 . a b 1 1 b c = 2a 2a b−c−a 2b 2c c−a−b 5 a1 a2 a3 = b1 b2 b3 c1 c2 c3 c 1 d = (a + b + c) 3 =2 8. Una matriz A se llama ortogonal entonces det(A) = ±1 3 9. Considere la matriz A = −2 5 si A es invertible y A−1 = At . Demuestre que si A es ortogonal, 1 0 4 3 Hallar 4 −2 b) adj(A−1 ) a) adj(A) 1 10. Determine si la matriz 0 0 c) (adj(A))−1 d ) A adj(A). 1 1 0 1 1 es invertible. 1 α −3 11. Para que valores de α la matriz es no invertible? 4 1−α −a a − 1 a + 1 2 3 tiene inversa? 12. Para que valores de a la matriz A = 1 2−a a+3 a+7 n 13. Demostrar que |An | = |A| . 14. Si A y B son invertibles de orden n, demostrar que: a) adj(adj(A)) = |A|n−2 A b) adj(kA) = k n−1 adj(A) donde k es un escalar. n−1 15. Demostrar que |adjA| = |A| . 16. Demostrar que adj(AB) = adj(B)adj(A). Autoevaluación: Desarrollar la autoevaluación de las secciones 2.1 y 2.2 y 2.4 en el texto: ÁLGEBRA LINEAL, Stanley I. Grossman, sexta edición. Páginas 177, 194 y 209. Recursos: Material bibliográfico presentado en el programa académico de la asignatura que puede consultar en la biblioteca. Programa Winplot que se descarga de forma gratuita por internet, tener acceso al programa DERIVE y/o MATLAB. Material de apoyo y lista de páginas Web que puede consultar en el curso que administra el profesor mediante la plataforma MOODLE. 6