Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas UPIICSA FISICA GENERAL EXPERIMENTAL 1INV11 EXPERIMENTO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME PRACTICA 1 PRÁCTICA 1 EXPERIMENTO DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. INTRODUCCIÓN. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. Cuando un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria rectilínea. Si la velocidad de una partícula es constante, su velocidad instantánea durante un intervalo de tiempo es la misma que la velocidad media durante el intervalo. Esto es 𝑉⃗→ = 𝑉⃗→𝑚 MOVIMIENTO RECTILÍNEO EN X (ESCALAR) La velocidad media de una partícula se define como el desplazamiento ∆𝑟 de la partícula dividido con respecto el intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que ocurre dicho desplazamiento. La velocidad instantánea es igual al valor límite de la proporción ∆𝑟⁄∆𝑡 conforme ∆𝑡 tiende a cero. La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de su velocidad instantánea. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN Para un proyecto de investigación se considera una hipótesis aquella o aquellas guías específicas de lo que se está investigando, aquello que el investigador está buscando y que será el nuevo conocimiento o también todo aquello que una vez concluido se podrá probar. Pueden considerarse también como predicados tentativos o frases del fenómeno o cosa investigada, pero que solo proponen algo, es decir, su característica esencial es que ya terminadas (las hipótesis) no deben ni de afirmar ni de negar el fenómeno o cosa que se está investigando, recordar que las hipótesis se van a confrontar al final, por lo cual, debe ser susceptible de verificarse, de tener un poder de predictivo o explicativo y ser sencilla; el proyecto de investigación con las conclusiones que son el resultado del proyecto. INTRODUCCION Medición. La medición es la acción de medir, o sea, determinar mediante instrumentos o mediante una relación o fórmula previa un resultado dentro de los parámetros escogidos. La medición deriva del verbo medir que a su vez viene de la palabra latina metriri que significa “comparar un resultado o cantidad con una unidad de medida previa”. La medición sirve para determinar magnitudes de un objeto en relación a otro objeto que sirve de patrón, que es definido antes por un consenso. Hoy en día, estos modelos de comparación que usamos todos los días como, por ejemplo, el kilo, la temperatura y los centímetros, están unificados en lo que se conoce como el Sistema internacional de medidas (SI). Errores de medición Error aleatorio Los errores aleatorios son aquellos que se dan cuando se hacen medidas consecutivas de un mismo objeto o fenómeno, obteniendo valores diferentes en cada caso. En las ciencias sociales los errores aleatorios están representados por condiciones que afecten de manera particular a un miembro de la muestra que está siendo analizada. Error sistemático A diferencia de los errores aleatorios, los errores sistemáticos dependen directamente del sistema que se está empleando para realizar la medición. Por este motivo, son errores constantes. Si se emplean instrumentos descalibrados, estos arrojarán medidas erróneas. El error se va a presentar incluso si se repite el proceso de medición. En las ciencias sociales, el error sistemático se produce cuando hay una condición que afecte de manera general el desempeño de todos los individuos de la muestra. Error despreciativo Es aquel error que, por ser mínimo, no constituye un problema para las mediciones que se están llevando a cabo. Error significativo El error significativo es aquel que representa un problema para el trabajo que se está realizando. Si la diferencia de medidas es muy grande, evidentemente se tratará de un error significativo. Hay casos en los que la diferencia es mínima pero igualmente significativa. Error por defectos en el instrumento empleado Muchos de los errores que se cometen al momento de hacer mediciones pueden ser atribuidos a los instrumentos que se emplean. Existen algunos instrumentos que requieren ser calibrados para que las medidas obtenidas sean precisas. Los termómetros deben ser sometidos a mantenimiento y calibración cada cierto tiempo, para que no existan errores significativos en las medidas de la temperatura. Error causado por la persona que toma la medida El ser humano es imperfecto. Por lo tanto, cuando un individuo es el encargado de tomar las mediciones, existe un margen de probabilidades de que se cometa un error. Error debido a las condiciones ambientales Las temperaturas, el sonido y otros estímulos del ambiente también afectan las mediciones. Notación científica. La notación científica, también denominada notación exponencial, es una forma de escribir los números basada en potencias de 10, lo que resulta especialmente útil para la representación de valores muy grandes o pequeños, así como para el cálculo con ellos. Esto es particularmente cierto en física y química en que estos valores son frecuentes, por lo que esta notación resulta adecuada para mostrar claramente las cifras significativas y permitir inmediatas comparaciones de magnitud. Por ejemplo, en valores aproximados: masa del electrón 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 = 9.11 × 10-31 kg constante de Avogadro (cantidad de materia: mol) 602 000 000 000 000 000 000 000 = 6.02 × 1023 entidades elementales mayor distancia observable del universo: 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m = 7.4 x 1026 m masa del protón: 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 kg = 1.67 x 10-27 kg El exponente indica los lugares que debe desplazarse la coma para pasar de notación científica a notación decimal: a la derecha si es positivo y hacia la izquierda si es negativo. Cuando se trata de convertir un número a notación científica el proceso es a la inversa. Cifras significativas Las cifras significativas de una medida son las que aportan alguna información. Representan el uso de una o más escalas de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Por ejemplo, se dice que 4,7 tiene dos cifras significativas, mientras que 4,07 tiene tres. Para distinguir los llamados significativos de los que no son, estos últimos suelen indicarse como potencias por ejemplo 5000 será 5x103 con una cifra significativa. También, cuando una medida debe expresarse con determinado número de cifras significativas y se tienen más cifras, deben seguirse las siguientes reglas: Primera: si se necesita expresar una medida con tres cifras significativas, a la tercera cifra se le incrementa un número si el que le sigue es mayor que 5 o si es 5 seguido de otras cifras diferentes de cero. Ejemplo: 53,6501 consta de 6 cifras y para escribirlo con 3 queda 53,7; aunque al 5 le sigue un cero, luego sigue un 1 por lo que no se puede considerar que al 5 le siga cero (01 no es igual a 0). Segunda: siguiendo el mismo ejemplo de tres cifras significativas: si la cuarta cifra es menor de 5, el tercer dígito se deja igual. Ejemplo: 53,649 consta de cinco cifras, como se necesitan 3 el 6 queda igual ya que la cifra que le sigue es menor de 5; por lo que queda 53,6. Tercera: cuando a la cifra a redondear le sigue un 5 , siempre se redondea hacia arriba. Ejemplo: si el número es 3,7500 se redondearía a 3,8.2 Hipótesis científica La palabra “hipótesis” deriva del hipo: bajo, y tesis: posición o situación. Ateniéndose a sus raíces etimológicas, hipótesis significa una explicación supuesta que ésta bajo ciertos hechos, a los que sirve de soporte. La hipótesis es aquella explicación anticipada que le permite al científico asomarse a la realidad. Otra definición de hipótesis que amplía la anterior, nos dice: Una hipótesis es una suposición que permite establecer relaciones entre hechos. El valor de una hipótesis reside en su capacidad para establecer esas relaciones entre los hechos, y de esa manera explicarnos por qué se produce Contrastación empírica La contrastabilidad es la propiedad metodológica, que permite determinar si una hipótesis es verdadera o falsa. Existen dos formas de contrastar una hipótesis, la formal y la empírica. La contrastación formal consiste en fundamentar las hipótesis con bases teóricas ya establecidas, en cambio la contrastación empírica se apoya en los hechos. Es la contrastación empírica la que se utiliza en la física experimental y al procedimiento para constatar una hipótesis se le conoce como Experimentación. Este procedimiento está formado por los siete pasos siguientes: 1. Definición de Variables.- Definir las cantidades relevantes y de interés del fenómeno. En esta etapa de desarrollo metodológico, se considera solo dos cantidades físicas que pueden cuantificarse directamente (cantidades físicas que sean posible medir). 2. Diseño del Dispositivo.- Diseñar un dispositivo donde sea posible controlar y cuantificar alguna de las dos variables y ésta considerarla como la variable independiente (X) y al mismo tiempo sea posible cuantificar la otra variable considerada como variable dependiente (Y). La variable independiente es aquella que será posible cambiarla en forma controlada (Causa o Estímulo) y la variable dependiente es aquella que se considerará como Respuesta o Efecto. 3. Reproductividad del Fenómeno.- Este paso consiste en reproducir varias veces el fenómeno físico cambiando los valores de la cantidad física independiente y registrando los valores de la cantidad física dependiente. Es importante destacar que es necesario mantener durante este proceso de repetición, las condiciones externas sin variación Método gráfico para un fenómeno lineal El método gráfico es una forma fácil y rápida para la solución de problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible. Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas y función objetivo. Método de mínimos cuadrados Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos. Este método se utiliza comúnmente para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada. La creación del método de mínimos cuadrados generalmente se le acredita al matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien lo planteó en 1794 pero no lo publicó sino hasta 1809. El matemático francés Andrien-Marie Legendre fue el primero en publicarlo en 1805, este lo desarrolló de forma independiente. Coeficiente de correlación lineal El coeficiente de correlación lineal es un tipo de medida de regresión que se emplea para conocer el grado de variación entre dos variables determinadas. Por lo tanto, se trata de una magnitud estadística que permite cuantificar la dependencia entre dos variables y, en este caso en particular, establecer una correlación lineal entre ellas. El coeficiente de correlación lineal (CCL) es una medida que fue desarrollada por el matemático inglés Karl Pearson, uno de los padres fundadores de la estadística matemática. En el presente caso, se trata de una de las medidas de regresión más utilizadas para determinar la relación de índole lineal que se produce entre dos variables. Movimiento rectilíneo uniforme En física, un movimiento es rectilíneo uniforme cuando un «objeto» (por ejemplo) viaja en una trayectoria recta a una velocidad constante, dado que su aceleración es nula. El movimiento rectilíneo uniforme se designa frecuentemente con el acrónimo MRU, aunque en algunos países es MRC, por movimiento rectilíneo constante. El movimiento rectilíneo puede ser también no uniforme, y en ese caso la relación entre la posición y el tiempo también tiene una aceleración y puede variar su velocidad (MRUA). DESARROLLO Objetivos: Comprobar que los parámetros fueron correctamente calculados Graficar la línea recta de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión y así observar que dicha línea pasa por los puntos experimentales Materiales: -Riel para colchón de Aire. -Deslizador -Compresor -Procedimiento de Medición. Montaje: 1.- Ensamble el riel para colchón de aire y las terminales de la compresora como indica la 2.- Coloque el riel para colchón de aire en una posición inclinada como indica la figura 1.2 3.- Coloque el deslizador en la posición de 100 cm. utilizando la escala del riel de colchón de aire. 4.- Accione el compresor y deje deslizar libremente el deslizador 5.- Registre la distancia máxima alcanzada por el deslizador después del primer rebote (denótela por X1) y después del segundo rebote (denótela por X2 ). Efectúe este procedimiento cada integrante del grupo de trabajo. Anote sus mediciones en la cinta marcada. Diagrama: Se registraron los tiempos y desplazamientos correspondientes al experimento de movimiento rectilíneo uniforme. Tiempos y desplazamientos. Tabla 1 1 2 3 4 5 6 7 8 T(s) 0.033 0.0833 0.1566 0.2733 0.3933 0.5266 0.6333 0.7566 0.8633 0.98 D(cm) 1 2.5 4.7 8.2 11.8 15.8 19 22.7 9 25.9 10 29.4 Se establece una hipótesis de acuerdo a las variables del fenómeno. Ejemplos: •La velocidad permanece constante 𝑉 = 𝐶𝑇𝐸 •El desplazamiento transcurrido ∆𝑟𝛼 𝑡 es directamente proporcional al tiempo Se puede establecer una hipótesis de acuerdo a la relación lineal que presenta el fenómeno. A partir de la ecuación de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 •𝑆 = 𝑚𝑡 + 𝑏 Hipótesis “El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo” Método gráfico. Método grafico Consiste en construir una gráfica de dispersión bidimensional formadas por puntos en un plano que son determinados por las parejas ordenadas de la tabla de resultados (tabla 1). En el eje horizontal se gráfica la cantidad física independiente y en el eje de las ordenas la cantidad física dependiente. En esta etapa ya es posible observas en formar general el tipo de interrelación que existe entre las dos cantidades físicas. Este tipo de interrelación puede ser de relación directa cuando el aumento de la cantidad física independiente ocasiona un aumento de la cantidad física dependiente. Sí en una gráfica de dispersión se observa una relación de proporcionalidad directa en las variables graficadas, entonces una forma sencilla de expresar está relación de proporcionalidad es por medio de una ecuación de una línea recta que represente el comportamiento del fenómeno. Si nuestro fenómeno es lineal se presentará una gráfica como la siguiente. Donde se observa la trayectoria del fenómeno a analizar. Ahora queremos conocer el valor de la ordenada al origen (b) y para esto necesitamos recordar que b siempre coincide con el valor de Y correspondiente al valor de 𝑋 = 0, esta sería nuestra primera coordenada (𝑋0, 𝑌0), entonces 𝑌0 = 𝑏, 𝑋0 = 0. Se sustituye nuestros puntos iniciales en nuestra ecuación de la pendiente. Ahora despejamos la ordenada al origen. Donde X, Y son la segunda coordenada. Realizaremos un análisis de unidades para comprobar que nuestros resultados son correctos. De acuerdo a nuestra gráfica tenemos en el eje "x" el tiempo y en el eje "y" el desplazamiento, se sustituye solo las unidades en la ecuación principal de la pendiente. Ahora la ordenada Grafica donde el desplazamiento es dependiente y el tiempo es independiente Cálculo de la pendiente y ordenada. (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )= (0.03333[s], 1[cm]) (𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 )=(1,9233333[s], 57.7 [cm]) m= 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 Sustituyendo valores de los puntos iniciales y finales. 𝑚= (57.7[𝑐𝑚]) − (1[𝑐𝑚]) (1.92333[𝑠]) − (0.03333[𝑠]) 𝑚= 56.7[𝑐𝑚] 𝑐𝑚 = 30 1.89[𝑠] 𝑠 Para la ordenada: 𝑏 = 𝑌𝑓 − 𝑚 𝑋𝑓 Sustituyendo valores: 𝑐𝑚 ) (1.92333[𝑠]) 𝑠 𝑏 = 57.7[𝑐𝑚] − 57.6999[𝑐𝑚] 𝑏 = (57.7[𝑐𝑚]) − (30 𝑏 = 1𝑥10−4 [𝑐𝑚 ] Método de mínimos. El propósito de esta interpretación analítica es la misma que la interpretación gráfica, pero aquí utilizamos conceptos matemáticos que pertenecen a calculo diferencial para obtener los parámetros de la línea de mejor ajuste. Para realizar el método de mínimos cuadrados necesitamos las sumatorias de ∑𝑥, ∑𝑦, ∑𝑥𝑦, ∑𝑥2, ∑𝑦2, por lo tanto, sustituimos en “x” y “y” la simbología de nuestras variables, ∑𝑡, ∑𝑆, ∑𝑡𝑆, ∑𝑡2, ∑𝑆2. Por el método de mínimos cuadrados tenemos la siguiente tabla 2. t(s) 0,03333 0,08333 0,15667 0,27333 0,39333 0,52667 0,63333 0,75667 0,86333 0,98000 1,08000 1,18667 1,28333 1,38667 1,47000 1,56667 1,66333 1,75000 1,82667 1,92333 ∑(sumatoria) 19,83667 S(cm) 1,000 2,500 4,700 8,200 11,800 15,800 19,00000 22,70000 25,90000 29,40000 32,40000 35,60000 38,50000 41,60000 44,10000 47,00000 49,90000 52,50000 54,80000 57,70000 ∑(sumatoria) 595,10000 t²(s²) 0,001 0,007 0,025 0,075 0,155 0,277 0,40111 0,57254 0,74534 0,96040 1,16640 1,40818 1,64694 1,92284 2,16090 2,45444 2,76668 3,06250 3,33671 3,69921 ∑(sumatoria) 26,84361 S²(cm²) 1,000 6,250 22,090 67,240 139,240 249,640 361,00000 515,29000 670,81000 864,36000 1049,76000 1267,36000 1482,25000 1730,56000 1944,81000 2209,00000 2490,01000 2756,25000 3003,04000 3329,29000 ∑(sumatoria) 24159,25000 tS(scm) 0,033 0,208 0,736 2,241 4,641 8,321 12,03333 17,17633 22,36033 28,81200 34,99200 42,24533 49,40833 57,68533 64,82700 73,63333 83,00033 91,87500 100,10133 110,97633 ∑(sumatoria) 805,30833 De las siguientes ecuaciones obtendremos la ecuación de la pendiente y la ordenada. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝐸𝑐. (1) 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑚 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏(𝑛) = ∑ 𝑦𝑖 (2) 𝑖=1 𝑖=1 Despejando b de la Ec. (1) y la Ec. (2) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 𝑏= ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑖=1 𝐸𝑐. (3) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑚 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏(𝑛) = ∑ 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑏= 𝐸𝑐. (4) 𝑛 Por el método de igualación, igualamos la Ec. (3) y la Ec. (4) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑛) ∗ (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 ) = (∑ 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖 ) ∗ (∑ 𝑥𝑖 ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑛𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 = (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (𝑚 ∑ 𝑥𝑖 ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 (∑ 𝑥𝑖 ) (𝑚 ∑ 𝑥𝑖 ) − 𝑛𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 = (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 (𝑚) ((∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 ) − 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑛 = (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑖=1 Ecuación de la pendiente 𝑚= (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 Para la ordenada despejamos m de las ecuaciones (1) y (2) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 + = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑚= 𝐸𝑐. (5) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 𝑛 𝑛 𝑚 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛) 𝑖=1 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛) 𝑚= 𝐸𝑐. (6) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 Igualamos la Ec. (5) y la Ec. (6) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 Desarrollando la ecuación. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛)) (∑ 𝑥𝑖2 ) 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (𝑏 ∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑥𝑖2 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − (𝑏(𝑛) ∑ 𝑥𝑖2 ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑏(𝑛) ∑ 𝑥𝑖2 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (𝑏 ∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑥𝑖2 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑏 (((𝑛) ∑ 𝑥𝑖2 ) 𝑖=1 2 − (∑ 𝑥𝑖 ) ) = 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 (∑ 𝑥𝑖2 ) (∑ 𝑦𝑖 ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) ((𝑛) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) 2 Análisis de unidades De la ecuación de la pendiente. 𝑚= Sustituyendo con unidades. 𝑛 − (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) Ecuación de la ordenada. 𝑏= 𝑖=1 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 𝑖=1 𝑚= 𝑚= (𝑠)(𝑐𝑚) − 𝑠𝑐𝑚 (𝑠)(𝑠) − 𝑠² 𝑠𝑐𝑚 − 𝑠𝑐𝑚 𝑠𝑐𝑚 𝑐𝑚 = = 𝑠 𝑠² − 𝑠² 𝑠² De la ecuación de la ordenada 𝑏= (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) ((𝑛) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) 2 Sustituyendo con unidades (𝑠 2 )(𝑐𝑚) − (𝑠)(𝑠𝑐𝑚) 𝑏= (𝑠 2 ) − (𝑠)2 𝑠 2 𝑐𝑚 − 𝑠 2 𝑐𝑚 𝑠 2 𝑐𝑚 𝑏= = = 𝑐𝑚 𝑠2 − 𝑠2 𝑠2 Cálculo de la pendiente y la ordenada. De la ecuación de la pendiente 𝑚= (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 Sustituyendo valores 𝑚= (19,83667𝑠)(595,10000𝑐𝑚) − (20)(805,30833𝑠𝑐𝑚) (19,83667𝑠²)(19,83667𝑠) − (20)(26,84361𝑠²) 11804.80232𝑠𝑐𝑚 − 16106.1666 𝑠𝑐𝑚 393.49347𝑠 2 − 536.8722𝑠 2 −4301.36428 𝑠𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝑚 = = 30 −143.37873𝑠 2 𝑠 𝑚= De la ecuación de la ordenada. 𝑏= Sustituyendo valores (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) ((𝑛) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) 2 𝑏 = (26,84361𝑠 2 )(595,10000𝑐𝑚) − (19,83667𝑠)(805,30833𝑠𝑐𝑚) ((20)26,84361𝑠 2 ) − (19.83667𝑠)2 15974.63231𝑠 2 𝑐𝑚 − 15974.63559𝑠²𝑐𝑚 𝑏 = 536.8722𝑠 2 − 393.49347𝑠 2 −4.38𝑥10−3 𝑠 2 𝑐𝑚 𝑏 = = − 3.05484𝑥10−5 𝑐𝑚 2 143.37873𝑠 Coeficiente de correlación. Un coeficiente de correlación expresa la situación relativa de un número de sucesos respecto a dos variables. Una de sus características, es la referente a que esta entidad se determina en el espacio de dos variables aleatorias (x, y) donde establece una función de distribución conjunta que establece una dependencia entre las dos variables. Se puede demostrar que, si la variable aleatoria “y” es directamente proporcional a la variable aleatoria “x”, entonces el coeficiente de correlación es igual a 1. Sí la variable aleatoria “y” es inversamente proporcional a la variable “x”, entonces el coeficiente de correlación es igual a -1; en conclusión, son números cuyo valor varía entre los límites de +1 y -1 y su magnitud se refiere al grado de asociación entre las variables. Es de mucha importancia determinar si la variación observada por la cantidad física dependiente es atribuida a la variación de la cantidad física independiente y no es debida a un proceso fortuito. El parámetro que permite conocer estos efectos de variación es el llamado coeficiente de determinación 𝑟 2 , el cual especifica la proporción de la variación observada en la cantidad física dependiente que es atribuida a la variación de la cantidad física independiente. 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 = (𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ón) ² = 𝒓² (19.83667𝑐𝑚)(595.100𝑠) 2 ] 20𝑛 2 𝑅 = 2 (19.83667𝑐𝑚)2 2 ) − (595.100𝑠) ) (26.84361(𝑐𝑚2 ) − )(24159.25(𝑠 20𝑛 20𝑛 [805.3083(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) − 𝑅2 = (805.3083(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) − 590.22018( 𝑐𝑚 ∗ 𝑠 2 𝑛 )) 𝑐𝑚2 𝑠2 (24.8436(𝑐𝑚2 ) − 19.6733( 𝑛 ))(24159.25(𝑠 2 ) − 17707.2005( 𝑛 )) (𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠) 2 )) 𝑛 𝑅2 = 𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 𝑠2𝑛 − 𝑠2 (7.1703( ))(6425.0495( )) 𝑛 𝑛 (215.088112( (𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠) 2 ] 𝑛 𝑅 = (𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 ) 46069.53243( ) 𝑛2 2 46262.89592[ 𝑅 = √1.0041(1) 𝑅 = 1.0020(1) Se acepta que existe una relación lineal entre las variables, cuando su coeficiente de determinación es de por lo menos de 0.985. Sí el coeficiente de determinación es 0.985 o mayor se puede establecer una ecuación empírica (modelo matemático, ley física) que explique tal fenómeno. ANALISIS DE UNIDADES DEL COEFICIENTE DE RELACION (𝑐𝑚)(𝑠) 2 ] 𝑛 𝑟2 = (𝑐𝑚)2 (𝑠)2 2 2 [(𝑐𝑚 ) − ][(𝑠 ) − ] 𝑛 𝑛 [(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) − Hacemos las restas que corresponden al denominador (𝑐𝑚)2 𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 (𝑐𝑚 ) − = 𝑛 𝑛 2 (𝑠)2 𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 (𝑠 ) − = 𝑛 𝑛 2 Ahora hacemos el producto del resultado de las restas del denominador 𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 (𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 ) ∗ = 𝑛 𝑛 𝑛2 Se procederá hacer la ley de extremos por extremos y medios por medios (𝑐𝑚)(𝑠) 2 [(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) − ] 𝑛 1 (𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 ) 𝑛2 (𝑐𝑚)(𝑠) 2 2 ] (𝑛 ) 𝑛 (𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 ) [(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) − Realizamos la resta que se encuentra en el numerador y agrupamos ambos términos que están elevados al cuadrado para tener un solo termino al cuadrado y realizamos su multiplicación (𝑐𝑚 ∗ 𝑠) − (𝑐𝑚)(𝑠) (𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠) = 𝑛 𝑛 (𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠) ∗ 𝑛 = [(𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛)] − [(𝑐𝑚)(𝑠)]2 𝑛 Factorizamos los términos del numerador y denominador de tal manera que queden así (𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 ) = 𝑐𝑚2 (𝑛 − 1) (𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 ) = 𝑠 2 (𝑛 − 1) [(𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛)] − [(𝑐𝑚)(𝑠)] = (𝑐𝑚)(𝑠)[𝑛 − 1] Y la ecuación quedara así [(𝑐𝑚)(𝑠)[𝑛 − 1]]2 [𝑐𝑚2 (𝑛 − 1)][𝑠 2 (𝑛 − 1)] Haciendo las operaciones correspondientes para eliminar los “cm” y los “s” le ecuación quedara así (𝑛 − 1)2 =1 (𝑛 − 1)(𝑛 − 1) Por lo tanto el coeficiente de relación es correcta ya que no depende de ninguna unidad de medida. A partir de la ecuación de la línea recta se obtiene la ecuación empírica del experimento. Ecuación de la línea recta 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 Ecuación empírica 𝑠 = 𝑚 𝑡 + 𝑏 Obteniendo la ecuación empírica y sustituyendo Ecuación empírica Xf=v(t)+xo Sustitución Si sabemos que 𝑣 = 57.7cm= 30.00006 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑐𝑚 𝑠 (1.933333s) + -2.28727x-5cm y nuestra ecuación empírica es la posición con respecto al tiempo, entonces obtenemos lo siguiente: Por lo tanto 𝑣 = 𝑚 Se tiene el conocimiento teórico de movimiento rectilíneo uniforme MRU en donde se conoce la siguiente ecuación 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 , la comparamos con nuestra ecuación empírica: Ecuación teórica 𝑥 = 𝑣𝑡 + 𝑥0 Ecuación empírica 𝑠 = 𝑚𝑡 + 𝑏 Se puede observar directamente la relación que tiene la pendiente con la rapidez del móvil y la ordenada con la posición inicial del móvil. Entonces se puede obtener la posición final del móvil en cualquier tiempo con nuestra ecuación empírica. Desarrollando la derivada Cm=m(t)+b cm= 30.00006 𝑐𝑚 𝑠 (1.933333(s) + -2.28727x10-5cm Desarrollando la derivada con respecto al tiempo V=30.00006 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑐𝑚 𝑠 Obteniendo la posición del móvil en el tiempo de 2s. Xf=v(t)+xo Xf=30.00006 𝑐𝑚 𝑠 (2s) +(-2.28727x10-5cm) Xf=60.00009 cm Conclusión: El desplazamiento es directamente proporcional tiempo debido a que entre mas grande sea el desplazamiento se requerirá mas tiempo mientras los valores sean constantes como se demuestro en el experimento. Con la siguiente formula y los datos obtenidos en el experimento se demuestra que si se inserta una cantidad de tiempo grande el desplazamiento será igual de grande Ultima posición=30.00006(velocidad)(tiempo)+-2.28727x10-5(primera posición) Bibliografía https://www.keyence.com.mx/ss/products/measure-sys/measurement-selection/basic/about.j sp https://www.lifeder.com/tipos-errores-medicion/ https://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_cient%C3%ADfica https://metroquimica.net/blogs/news/cifras-significativas https://www.aulafacil.com/cursos/investigacion/ciencia-y-metodo-cientifico-ii/definicion-dehip otesis-cientifica-l21261 https://www.redalyc.org/pdf/844/84421585014.pdf https://invdoperaciones.wordpress.com/metodo-grafico/ https://miprofe.com/minimoscuadrados/ https://www.sdelsol.com/glosario/coeficiente-de-correlacion-lineal/ https://es.khanacademy.org/science/fisica-pe-pre-u/x4594717deeb98bd3:cinematica-de-una particula-en-una-y-dos-dimensiones/x4594717deeb98bd3:movimiento-rectilineouniformemru/a/movimiento-rectilneo-uniforme