ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE BOLIVIA GRUPO 5 LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES DE HORMIGÓN PRESFORZADO LA PAZ- 2022 ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE BOLIVIA GRUPO 5 LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES DE HORMIGÓN PRESFORZADO INTEGRANTE: POMA APAZA ADRIANA RAMOS MAMANI MARIFER SAAVEDRA CONDE MEISON JOEL Exposición grupal Ingeniería civil Octavo “A” DOCENTE: M. SC. ING. E. JAHDIEL VILLAFUERTE OPORTO LA PAZ- 2022 2|Página CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................................4 2. OBJETIVOS .......................................................................................................................................4 3. 2.1. Objetivo general .........................................................................................................................4 2.2. Objetivos específicos ...................................................................................................................4 MARCO TEÓRICO...........................................................................................................................5 3.1. Tipos de acero utilizado en losas presforzadas .........................................................................5 3.2. Tipos de anclaje ..........................................................................................................................5 3.3. Losas armadas en dos direcciones presforzadas ......................................................................6 3.4. Sistemas de losas presforzadas en dos direcciones ...................................................................6 3.4.1. Comportamiento de las losas en dos direcciones ..................................................................8 3.4.2. Balanceo de cargas en dos direcciones para losas soportadas en sus bordes ...................10 3.4.3. Análisis practico de cargas desbalanceadas ........................................................................15 3.4.4. Deflexión de losas con refuerzo en dos direcciones ............................................................18 3.4.5. Resistencia máxima de las losas con refuerzo en dos direcciones .....................................22 3.4.6. Método de Franjas ................................................................................................................24 3.5. Losas postensadas .....................................................................................................................25 3.5.1. Procedimiento de postensionado .........................................................................................25 3.5.2. Aplicaciones ..........................................................................................................................25 3.6. Diseño por resistencia a la flexión ...........................................................................................26 3.7. Esfuerzos admisibles en el acero de presforzado ....................................................................27 3.8. Perdidas de presfuerzo .............................................................................................................28 3.9. Ventajas y desventajas de losas postesadas. ...........................................................................28 5.1. Ejemplo de aplicación 1 ...........................................................................................................31 5.2. Ejemplo de aplicación 2 ...........................................................................................................34 5.3. Ejemplo de aplicación 3 ...........................................................................................................42 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..............................................................................54 7. BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................................54 3|Página LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES DE HORMIGÓN PRESFORZADO 1. INTRODUCCIÓN La losa presforzada de dos sentidos es aquella cuyos aceros de presfuerzo en dos direcciones perpendiculares sirven ambos para transmitir la carga hacia los apoyos. Así una losa de dos sentidos descansa en apoyos continuos en la forma de vigas o paredes que corren en dos direcciones Existen dos formas en las que se puede presforzar una losa, que son: 2. 1. Método Pretensado 2. Método Postensado OBJETIVOS 2.1. Objetivo general Elaborar un documento para las consideraciones en el diseño de losas armadas en dos direcciones de hormigón presforzado que sirva para orientar acerca del método de diseño con la normativa seleccionada y puesta en servicio de las losas. 2.2. Objetivos específicos Desarrollar el estudio de las losas armadas en dos direcciones de hormigón presforzado analizando sus principales características y propiedades estructurales Realizar el cálculo de losas armada en dos direcciones de hormigón presforzado además de las ventajas y desventajas de la utilización del mismo. 4|Página 3. MARCO TEÓRICO El presfuerzo es la creación de esfuerzo intencionales en una estructura o elementos de esta, con la intención de mejorar su comportamiento elástico y aumentar la resistencia ultima de elemento a compresión bajo condiciones de servicio, para esto es importante que exista adherencia suficientemente resistente entre los dos materiales, esta depende de la rugosidad de la superficie de las varillas, torones o tendones. Las condiciones del hormigón para losas presforzadas deben estar comprendido entre 28 y 35 kN/m² y acero especial como se muestra a continuación (Bertin, 2009). 3.1. Tipos de acero utilizado en losas presforzadas Alambres redondos Cable trenzado o torón 3.2. Tipos de anclaje Las cabezas de anclaje son muy diversas según la necesidad del proyecto y se pueden clasificar en dos grandes tipos, anclajes móviles los cuales son muy útiles en el tensado de cables y anclajes fijos. El anclaje más utilizado en losas presforzadas es el anclaje móvil tipo B, formado por un disco roscado dentro de una trompeta, en el cual la cabeza de anclaje se apoya por intermedio de una tuerca sobre una placa que queda embebida en el hormigón. 5|Página Figura 1: Sistema de cuñas monotorón y Sistema de cuñas multitorón 3.3. Losas armadas en dos direcciones presforzadas La losa presforzada de dos sentidos es aquella cuyos aceros de presfuerzo en dos direcciones perpendiculares sirven ambos para transmitir la carga hacia los apoyos. Así una losa de dos sentidos descansa en apoyos continuos en la forma de vigas o paredes que corren en dos direcciones perpendiculares. 3.4. Sistemas de losas presforzadas en dos direcciones Los sistemas de losas apoyadas son usualmente construidos de hormigón reforzado colado en el lugar. Losas y placas reforzadas en ambos sentidos son aquellos paneles en el cual la relación dimensional de largo a ancho es menor que 2.0. El análisis y el diseño de sistemas pisos losa encierran más que un aspecto de tales sistemas. El presente estado del conocimiento permite una evaluación razonable de (1) Capacidad de Momento, (2) La capacidad de cortante losa columna, y (3) comportamiento bajo condiciones de servicio, como las determinadas por el control de la deflexión y el control del agrietamiento. Para el análisis de los sistemas de placas de hormigones pres esforzado en ambos sentidos, se emplean esencialmente los mismos principios usados en el de sistemas de placas de c 6|Página hormigón reforzado. Sin embargo, las técnicas de construcción difieren y es comúnmente insatisfactorio que solo las consideraciones económicas sean las que justifiquen el uso de los tipos de sistemas de losas pres esforzadas en ambos sentidos. El pre esfuerzo es normalmente pos tensado después de que las placas armadas en ambos sentidos, son coladas. Algunas veces, las losas armadas en ambos sentidos pre coladas en sitio, llamadas losas ligeras, son usadas como un sistema estructural distinto que es más rápido de construir y quizá más económico que las losas presforzadas en ambos sentidos y coladas en el sitio. Sin embargo, la técnica de construcción de losas ligeras, y la ausencia de la experiencia requerida para tal construcción, puede crear una condición peligrosa que pueden traer como resultado la perdida de estabilidad y el colapso estructural. a) Piso de losas planas en dos direcciones 7|Página b) Piso de losa en dos direcciones sobre vigas c) Piso de losas reticulares Figura 2: Sistemas de losas 3.4.1. Comportamiento de las losas en dos direcciones Los sistemas de losas con refuerzos de dos direcciones se pueden apoyar en muros o en vigas relativamente rígidas en los cuatro lados de cada panel, mientras que las losas con refuerzos 8|Página en una dirección se deforman por las cargas según una superficie cilíndrica, una losa con refuerzo en dos direcciones apoyada en sus bordes se flexionará en forma de plato. En cualquier punto la losa esta curvada en las dos direcciones principales y, por lo tanto, existen momentos en dos direcciones. Los tendones de refuerzos se colocan en dos direcciones, paralelas a los bordes de la losa y cada juego proporciona su contribución para contrarrestar las cargas que se aplican. Figura 3: Losa con refuerzo en dos direcciones apoyadas en cuatro bordes. Se puede observar que el momento de flexión en la dirección corta es mayor que el de la dirección más larga. Más aun, la curvatura del claro corto es menor cerca de los bordes cortos del panel que al centro de la losa. En consecuencia, existe una variación de los momentos de claro corto a través del ancho de la losa, reduciéndose marcadamente los momentos a medida en que se alcanzan los bordes de apoyo. Se presenta un comportamiento similar en la dirección larga. Las cargas aplicadas en una losa con refuerzo en dos direcciones producen momentos de torsión, así como momentos de flexión. Un estudio indica que las franjas de la losa se deben torsionar con el objeto de acomodarse a las rotaciones por flexión en la dirección perpendicular. 9|Página Los momentos torsionantes internos desarrollados en las losas con refuerzo en dos direcciones tienden a reducir los momentos de flexión que deben de ser resistidos. 3.4.2. Balanceo de cargas en dos direcciones para losas soportadas en sus bordes Balanceo de cargas en dos direcciones para losas soportadas en sus bordes, es una herramienta muy útil para el análisis y diseño de losas con refuerzos en dos direcciones apoyadas en muros. El objetivo del balanceo de cargas para losas es proporcionar una carga equivalente hacia arriba mediante los tendones curvos, tal que balancee exactamente a la carga hacia abajo especificada. El balanceo de cargas bidireccional para losas difiere del balanceo con el balanceo de otra estructura en que la carga equivalente en la losa producida por los tendones en una dirección puede bien agregar o disminuir la carga equivalente de los tendones en la dirección perpendicular. Los fundamentos del balanceo de cargas bidireccional se demostrarán dentro del contexto de la losa rectangular apoyada sobre muros. La carga a ser balanceada es generalmente carga muerta, y es uniformemente distribuida. Esto naturalmente conduce a escoger perfiles parabólicos para el tendón en cada dirección según se muestra. A su vez los bordes simplemente apoyados, en cada dirección conducen a la selección de excentricidad nula sobre los muros. La carga equivalente hacia arriba uniformemente distribuida, aplicada a la losa por los tendones parabólicos en la dirección del claro corto es: 𝑤𝑝𝑎 = 8𝑃𝑎 𝑦𝑎 𝑙𝑎 2 (1𝑎) Donde: 10 | P á g i n a 𝑤𝑝𝑎 : Es la carga haca arriba en una función de la fuerza por unidad de área de la fuerza por unidad de área de la superficie de la losa. 𝑃𝑎 : es la fuerza pretensora efectiva después de las pérdidas en la dirección 𝑙𝑎 por unidad de longitud a lo largo del lado 𝑙𝑏 . 𝑦𝑎 : es la excentricidad máxima de aquellos tendones con respecto al punto medio del peralte de la losa. Similarmente los tendones en la dirección 𝑙𝑏 producen carga equivalente hacia arriba de: 𝑤𝑝𝑏 = 8𝑃𝑏 𝑦𝑏 𝑙𝑏 2 (1𝑏) Para fines del diseño, se establece que la carga a ser balanceada es la suma de las dos componentes hacia arriba: 𝑤𝑏 = 8 𝑃𝑎 𝑦𝑎 𝑙𝑎 2 +8 𝑃𝑏 𝑦𝑏 𝑙𝑏 2 (2) Y las fuerzas pretensoras requeridas 𝑃𝑎 y 𝑃𝑏 se determinan de manera consecuente. 11 | P á g i n a Figura 4: Losa apoyada en muros con tendones en dos direcciones Nótese que muchas combinaciones de 𝑙𝑎 y 𝑙𝑏 satisfacerán el requerimiento de la estática de la ecuación (2). En general para los paneles rectangulares, la alternativa indicada por la economía consiste en soportar la mayoría de la carga en la dirección corta. Sin embargo, es usualmente deseable mantener un cierto mínimo grado de presión en la dirección larga, para controlar el agrietamiento, y permitir una mejor distribución de cualquier carga aplicable localmente. Esto se puede usar para disminuir el pre esfuerzo requerido en la dirección corta en la cantidad 𝑤𝑝𝑏 de la ecuación (1b). Bajo la acción de las fuerzas pretensoras 𝑃𝑎 y 𝑃𝑏 más la carga aplicada 𝑤𝑏 la losa se encontrará en un estado de compresión uniforme 𝑃𝑎 /𝑏ℎ en la dirección de 𝐼𝑎 y 𝑃𝑏 /𝑏ℎ en la dirección de 𝐼𝑏 , donde ℎ es el espesor de la losa y 𝑏 es el ancho de una franja 12 | P á g i n a unitaria, en las unidades apropiadas. Teóricamente, la losa debe estar completamente nivelada para este caso especial de carga, aun cuando este estado solamente se encontrará de manera aproximada en la práctica. Esto es debido a las incertidumbres relacionadas con las pérdidas y debido a los efectos dependientes del tiempo en las deflexiones. Si la losa está sujeta a una carga incremental por encima de la carga balanceada, los momentos debidos a la porción desbalanceada de la carga se pueden determinar empleando los métodos clásicos de la elasticidad, o mediante los métodos aproximados descritos en el artículo 10.5. Los esfuerzos resultantes en la losa (dentro del rango elástico) se hallan mediante la superposición de la compresión uniforme proveniente de las cargas balanceadas y los esfuerzos de flexión asociados con los momentos debidos a la carga desbalanceada. En la dirección de 𝑙𝑎 : 𝑓1 = − 𝑃𝑎 𝑀𝑎 ℎ − (3𝑎) 𝑏ℎ 2𝑙𝑐 𝑓2 = − 𝑃𝑎 𝑀𝑎 ℎ + 𝑏ℎ 2𝑙𝑐 En la cara superior e inferior de la losa. Respectivamente, mientras que la dirección de 𝑙𝑏 : 𝑓1 = − 𝑓2 = − 𝑃𝑏 𝑀𝑏 ℎ − (3𝑏) 𝑏ℎ 2𝐼𝑐 𝑃𝑏 𝑀𝑏 ℎ + 𝑏ℎ 2𝐼𝑐 Donde: 𝑀𝑎 y 𝑀𝑏 : Son los momentos asociados con porción desbalanceada de la carga en las dos direcciones 𝑙𝑎 y 𝑙𝑏 respectivamente, por franjas de losas 13 | P á g i n a 𝐼𝑐 : Es el momento de inercia de una franja unitaria de la sección de la losa, la cual se supone sin agrietar. Los esfuerzos en el estado descargado, y los esfuerzos bajo la totalidad de la carga de servicio, se pueden hallar de esta manera y compararse con los límites especificados. El arreglo de tendones sugerido en la figura 10.4 no es la única posibilidad, ni la mejor, si se toman en cuenta otros puntos de vista diferentes del balanceo de cargas. Si se aplica una carga adicional, por ejemplo, la totalidad de la carga viva de servicio, la losa se deflexionará hacia abajo, obteniéndose el comportamiento descrito en el artículo 10.3. Para tal carga sería más racional y económica una mayor concentración de tendones en la banda central en ambas direcciones, aun cuando una losa diseñada con los tendones en banda no constituiría una superficie a nivel si es que se remueve la carga viva. Un arreglo con los tendones en banda produciría una losa con una mayor reserva, de resistencia, en el caso de que fuera sobrecargada, que la que tendría una con el mismo número de tendones espaciados uniformemente. En las losas con refuerzo en dos direcciones puede surgir el problema práctico originado por la interferencia de los tendones que se cruzan en direcciones perpendiculares en ciertas regiones. Por ejemplo, en el panel simplemente apoyado en la figura 10.4, tal interferencia de tendones ocurrirá en la región central y en las esquinas. Para las losas más gruesas, es suficientemente exacto usar en los cálculos de cada dirección la excentricidad promedio; debiéndose redistribuir las cargas de acuerdo con esto, en caso de existir una sobrecarga severa. Para las losas más delgadas, en las que el diámetro del tendón representa una fricción más substancial del peralte de la losa, es recomendable usar las excentricidades reales, reconociendo la inevitabilidad del amontonamiento. 14 | P á g i n a 3.4.3. Análisis practico de cargas desbalanceadas Si la carga aplicada a una losa apoyada en sus bordes difiere de la carga balanceada, la losa se deflexionará bien sea hacia arriba o hacia abajo, debiéndose hallar los momentos reconociendo la naturaleza indeterminada aun del caso simple de un solo panel rectangular simplemente apoyado. La situación más frecuente es la aplicación de las cargas vivas produciendo deflexión hacia abajo, o la consideración de las sobrecargas. En tanto que los métodos clásicos de análisis elástico proporcionan soluciones para las situaciones bastante ideales, de complicación, aun cuando sólo sea de manera simplificada. Tal vez el procedimiento más racional y comprensivo sea el que se conoce como Método 3, publicado en el Apéndice de la edición 1963 del Código ACI El método se aplica a losas apoyadas en los 4 lados en muros o vigas relativamente rígidas. La relación del lado corto al largo de un panel puede variar entre 1.0 y 0.5. Las losas que tengan esta relación de lados menor que 0.5 se pueden diseñar para acción en una sola dirección. Las condiciones de restricción en los bordes a considerarse son simplemente apoyadas (resistencia torsional despreciable) y continua a través o empotrado en los apoyos. Se incluyen nueve condiciones separadas de restricción. Para cada juego de variables dentro de los rangos establecidos, se dan coeficientes que permiten el cálculo directo de los momentos. Estos coeficientes se basan en el análisis elástico, pero también toman en cuenta la redistribución inelástica de momentos. Los momentos de diseño en las dos direcciones se calculan de las expresiones 𝑀𝑎 = 𝐶𝑎 𝑤𝑙𝑎 2 (4𝑎) 𝑀𝑏 = 𝐶𝑏 𝑤𝑙𝑏 2 (4𝑏) donde 15 | P á g i n a 𝐶𝑎 y 𝐶𝑏 : Son coeficientes de momento tabulados. 𝑤: Es la carga uniformemente distribuida por m2 𝑙𝑎 y 𝑙𝑏 : Es longitud del claro libre en las direcciones corta y larga, respectivamente, en metros. El método estipula que cada panel sea dividido, en ambas direcciones, en una franja central cuyo ancho sea la mitad del panel y en dos franjas de columnas cuyo ancho sea la cuarta parte del ancho del panel. Según se indicó en el artículo 10.3, los momentos en ambas direcciones son mayores en la región central de la losa que en las regiones cercanas a los bordes. De acuerdo a esto, el método 3 estipula que toda la franja central se diseñe para la totalidad de los momentos de diseño calculados con los coeficientes tabulados. En las franjas de columnas se supone que este momento decrece desde su valor total en el borde de la franja central hasta un tercio de este valor en el borde del panel La figura 3 muestra una porción de piso de una losa con refuerzo en dos direcciones apoyada en vigas, con las franjas central y de columnas indicadas para el panel 3. La fuerza también ilustra algunas de las posibles condiciones de borde. Por ejemplo, el panel 1 tiene dos bordes exteriores adyacentes discontinuos, mientras que los otros bordes son continuos con los paneles vecinos. 16 | P á g i n a Figura 5: Losa con refuerzo en dos direcciones apoyada en vigas. El panel 2 tiene un borde discontinuo y 3 continuos. El panel interior 3 tiene todos sus bordes continuos. Las tablas 10.1 a 10.4, reproducidas del Código ACI de 1963, dan los coeficientes de los momentos y los cortantes para paneles de losas con refuerzo en dos direcciones. En las tablas se diferencian los efectos de las cargas muertas en los efectos de las cargas vivas. La razón para esto es que las cargas muertas se encuentran siempre presentes en todos los paneles de un sistema de piso, mientras que las cargas vivas pueden o no actuar, debiéndose posicionar para obtener el máximo efecto. La tabla 10.1 da los coeficientes de momento para los momentos negativos en los bordes continuos. Los momentos negativos máximos en los bordes se obtienen cuando ambos paneles 17 | P á g i n a adyacentes a un borde en particular llevan la totalidad de las cargas muerta y viva. El momento se calcula para esta carga total. Lógicamente, se aplican los mismos coeficientes para calcular los momentos máximos negativos debidos sólo a la carga muerta, o sólo a la carga viva, suponiendo que actúan en ambos paneles adyacentes. El método 3 estipula que los momentos negativos en los bordes discontinuos deben de suponerse igual a 1/3 de los momentos positivos en la misma dirección. Se debe de diseñar para tales momentos debido al cierto grado de restricción que proporcionan los bordes discontinuos, mediante la rigidez torsional de la viga, o mediante el muro de apoyo. Para los momentos positivos, si existiera, habrá muy pequeña rotación de los bordes continuos cuando sólo actúa la carga muerta, debido a que las cargas en ambos paneles adyacentes tienden a producir rotaciones opuestas que se can celan o casi cancelan. Por lo tanto, para esta condición los bordes continuos pueden considerarse empotrados, y los coeficientes apropiados para momentos por carga muerta, están dados en la tabla 10.2. Por otro lado, los máximos momentos por carga viva se obtienen cuando la carga viva se coloca sólo en el pánel en particular y no en ninguno de los adyacentes. En este caso ocurrirá alguna rotación en todos los bordes continuos. A manera de aproximación se supone que existe el 50 por ciento de restricción para el cálculo de los momentos por cargas vivas, y los coeficientes correspondientes se dan en la tabla 10.3. Finalmente, para el cálculo del cortante en la losa y las cargas sobre las vigas de apoyo, la tabla 104 de las fracciones de la carga total w que son transmitidos en las dos direcciones. 3.4.4. Deflexión de losas con refuerzo en dos direcciones Las losas apoyadas en sus bordes son típicamente delgadas en relación con sus claros, y cuando son cargadas, pueden presentar deflexiones excesivamente grandes, aun cuando sean 18 | P á g i n a satisfactorias en todos los otros aspectos. Al inicio del diseño, se debe seleccionar un peralte tentativo para la losa tal que sea poco probable la necesidad de revisar posteriormente las restricciones de las deflexiones. Para losas continuas sobre sus bordes apoyados, presforzadas en dos direcciones, la relación del claro promedio al peralte total se estima que está entre 45 y 55. Siempre se deben calcular las deflexiones de la losa, y comparar los resultados con los valores límite. Suponiendo que la losa ha sido diseñada para un estado balanceado bajo la acción combinada del pre esfuerzo más toda la carga muerta, se puede hallar la deflexión para cualquier otro estado de carga dentro del rango eléctrico, tal como toda la carga de servicio, considerando sólo la carga incremental por encima del estado de carga balanceada. Las losas presforzadas apoyadas en sus bordes están en su mayoría sin agrietar para o por debajo del estado de cargas de servicio, y pueden emplearse las propiedades de la sección transversal total de hormigón en los cálculos sin incurrir en serio error. En los casos prácticos los métodos clásicos para el cálculo de deflexiones son de uso muy limitado, debido generalmente a que los bordes de los paneles, no son ni completamente empotrados ni perfectamente articulados, sino que tienen algún grado intermedio de fijación el cual depende de la carga y de las condiciones de los claros en los paneles adyacente y de la restricción torsional proporcionada por las vigas de borde o muros de apoyo. Sin embargo, se pueden calcular las deflexiones basándose en los coeficientes aproximados de momento del artículo 10.5, los cuales incluyen el reconocimiento de tales efectos de una manera auto consistente. Aquí se justifica plenamente tal método aproximado, debido a que es solamente la deflexión incremental, y no la total, la que debe de hallarse. Se recuerda que el método de los coeficientes de momentos del artículo 10.5 se usa para hallar los valores máximos de los momentos positivos y negativos en las secciones críticas de las 19 | P á g i n a losas. Los coeficientes de momentos de las tablas 10.1 a 10.3 se han establecido considerando la posibilidad de que las cargas actúen en paneles alternados y según otros arreglos. En consecuencia, en los cálculos de deflexiones sería incorrecto suponer que aquellos momentos puedan actuar simultáneamente en las secciones críticas positivas y negativas. Debido a que la máxima deflexión al centro de un panel de losa se obtendrá normalmente cuando la carga viva actúa en dicho panel, y no en los paneles adyacentes, el cálculo de las deflexiones se debe basar en los máximos momentos positivos calculados con los coeficientes de la tabla 10.3, junto con los momentos negativos de los apoyos que sean estáticamente consistentes. Esto se ilustrará considerando la franja central de ancho unitario en la dirección larga de un panel, según se muestra en la figura 5a. La variación del momento para la carga uniformemente distribuida es parabólica, y por estática, la suma del momento positivo y del 1 ̅ , donde 𝑤 promedio de los dos momentos negativos debe de ser igual 8 𝑤 ̅ 𝑙𝑏 2 = 𝑀 ̅ es la fracción de la carga transmitida en la dirección larga del panel. Si se tuvieran apoyos totalmente rígidos, 1 2 ̅ , y el momento positivo sería 1 𝑤 los momentos negativos serían 12 𝑤 ̅ 𝑙𝑏 2 , o sea 3 𝑀 ̅ 𝑙𝑏 2 , o sea 24 1 3 ̅ . Pero se ha señalado anteriormente que los coeficientes para los máximos momentos 𝑀 positivos se derivaron suponiendo que no existía una rigidez del 100 por ciento en los apoyos, sino sólo del 50 por ciento. De acuerdo con esto, la línea base de momentos asociada con el momento máximo positivo 𝑀𝑚𝑎𝑥 es tal como se muestra en la figura 5c, y los momentos negativos en los apoyos estáticamente consistentes son 𝑀𝑚𝑎𝑥 /2. Así los cálculos de deflexión se basan en una curva parabólica de momentos, con una ordenada máxima en el centro del claro, y los momentos extremos iguales a la mitad de aquel máximo. 20 | P á g i n a La deflexión d al centro del claro de la franja de losa mostrada en la figura 5b se puede hallar fácilmente empleando el diagrama de momentos de la figura 5c, juntamente con los principios del área de momentos Para la losa mostrada, con todos los bordes continuos: 3 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑙𝑏 2 𝑑= (5) 32 𝐸𝑐 𝐼𝑐 Donde 𝑀𝑚𝑎𝑥 : Es el momento positivo por carga viva obtenido empleando los coeficientes de la tabla10.3. 𝐸𝑐 : Es el módulo de elasticidad del hormigón. 𝐼𝑐 : Es el momento de inercia de la sección transversal de hormigón de anchi unitario supuesto sin grietas. Mientras la ecuación (5) se basa en una franja unitaria con claro en la dirección larga del panel, se hubiera podido fácilmente efectuar un cálculo similar en la dirección corta, las deflexiones resultantes deben ser las mismas, aun cuando en general se obtendrán pequeñas diferencias debido a la naturaleza aproximada del cálculo de los momentos. Un procedimiento razonable consiste en calcular la deflexión para cada dirección y promediar los resultados. La ecuación (5) se derivó para un panel interior típico con momentos iguales de estricción en cada extremo de la franja de la losa. Se pueden fácil. mente derivar ecuaciones similares cuando uno o ambos bordes son discontinuos. Teniendo en mente que, de acuerdo con el método aproximado de análisis de momentos, los momentos negativos mínimos en los bordes discontinuos generalmente se deben tomar igual a 1/3 del momento positivo en la misma dirección, es claro que las ecuaciones resultantes diferirán muy poco de la ecuación (5). Para el caso especial en que todos los bordes se encuentran libres completamente de restricción, como 21 | P á g i n a por ejemplo ocurriría al estar la losa apoyada en muros de mampostería, la deflexión en el centro del claro es 5 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑙𝑏 2 𝑑= (6) 48 𝐸𝑐 𝐼𝑐 Si la losa se encuentra apoyada en vigas de borde para las cuales la deflexión es significativa, la deflexión al centro del claro de las vigas en el lado corto del panel de la losa se puede agregar a la deflexión central de una franja unitaria de losa en la dirección larga, para obtener la deflexión total al centro del panel. Debería obtenerse aproximadamente el mismo resultado sumando la deflexión del claro corto de la losa a la deflexión de la viga en el claro largo. Las deflexiones calculadas mediante las ecuaciones de arriba son las de flexiones elásticas iniciales, que resultan inmediatamente después de la aplicación de las cargas de corta duración. Como los efectos sostenidos del pre esfuerzo y la carga muerta han sido tomados en cuenta por separado mediante el balanceo de cargas, por lo general sólo se requiere la deflexión de corta duración asociada con la carga viva. Sin embargo, si toda o parte de la carga incremental es de naturaleza sostenida, se debe estimar la deflexión adicional de larga duración multiplicando la deflexión inmediata producida por la carga sostenida por un factor apropiado. A menudo se ha empleado un valor de 2.5, aun cuando en algunos casos éste puede no ser conservador. 3.4.5. Resistencia máxima de las losas con refuerzo en dos direcciones Para las losas, al igual que para otros miembros presforzados, el mantener los esfuerzos dentro de los límites aceptables en los estados descargado y de carga de servicio no garantiza un grado de seguridad adecuado contra el colapso. Se deberá siempre determinar la resistencia última de las losas para el estado de sobrecarga. 22 | P á g i n a La resistencia al corte de las losas apoyadas en sus bordes generalmente no es crítica, aun cuando la capacidad al cortante de las franjas unitarias se puede revisar usando las ecuaciones ordinarias, y compararla con la resistencia requerida al cortante, basándose en los coeficientes de la tabla 10.4. Es más probable que sea la resistencia última a la flexión la que rija el diseño de losas. Se ha propuesto el uso de la teoría de las líneas de fluencia del análisis por carga última para el diseño de las losas de hormigón presforzadas. Siendo ésta básicamente una versión bidimensional del análisis al límite, tal como a veces se usa en vigas y pórticos, la teoría de las líneas de fluencia asume la formación de un número suficiente de rótulas plásticas según un arreglo tal que se forme un mecanismo, el cual conduce al colapso de la losa. La formación de tales rótulas, o líneas de fluencia, viene acompañada con una redistribución de momentos de manera que quedan modificadas las relaciones de los momentos elásticos (Ref. 10.3). Han surgido dudas respecto a la aplicabilidad del análisis al límite aún para el hormigón reforzado, sobre la base de que puede no ser disponible la necesaria capacidad de rotación. El Código- ACI permite al diseñador asumir solamente una modesta cantidad de redistribución de momentos. El acero de presfuerzos menos dúctil que las varillas de refuerzo, y los miembros de hormigón presforzado presentan menor rotación en las secciones críticas en la falla que los miembros de hormigón presforzado. Mientras que la aplicación de la teoría de las líneas de falla a las losas presforzadas constituye una atractiva posibilidad, puede concluirse que todavía no existe una suficiente base experimental para hacerlo. Se recomienda que los momentos de falla se calculen mediante la aplicación de los factores de carga usuales a los momentos hallados del análisis elástico, o de los coeficientes de las tablas 10.1 a 10.3. 23 | P á g i n a Al investigar la carga última en losas, ya no resulta apropiado superponer los efectos de las cargas, cancelándose el efecto del levante producido por el pre esfuerzo con toda o parte de las cargas de la superficie, según se hace en el estado de carga balanceada. Es probable que tanto el hormigón como el acero se esfuercen hasta su rango no lineal, invalidando la superposición. La fuerza pretensora cambia a medida en que se sobrecarga la losa, y el incremento generalmente no es uniforme a lo largo de la longitud de los tendones. A medida en que la losa se deflexiona bajo sobrecargas pesadas, la distribución lateral de los momentos a través de las secciones críticas cambia, invalidando aún más el método del balanceo de cargas. Los momentos ultimos resistentes requeridos se deben hallar mediante la aplicación de factores de sobrecarga a la carga muerta total incluyendo el peso propio de la losa, asi como la carga viva total incluyendo el peso propio de la losa, asi este debe ser incluido, usando un factor de carga de 1.0. 3.4.6. Método de Franjas El método de franjas fue propuesto por Hillerborg, al intentar ajustar el refuerzo a las áreas de las franjas. Debido a que las consideraciones prácticas requieren que el hormigón reforzado sea colocado en direcciones ortogonales. Hillerborg pone momentos torsionantes iguales a cero y transforma la losa en franjas de viga que se intersecan, de aquí el nombre “Método de Franjas”. A excepción de la Teoría de Líneas de Fluencia de Johansen la mayoría de las otras soluciones son los límites inferiores. La solución del límite superior de Johansen puede dar las cargas más altas al colapso tanto como un mecanismo es usado para predecir la carga de colapso. 24 | P á g i n a 3.5. Losas postensadas 3.5.1. Procedimiento de postensionado 1) Se introduce el cable en el ducto respectivo (puede existir más de un ducto en la pieza). Los torones deben estar limpios y aislados de sustancias que puedan perjudicar la adherencia contra el hormigón, además de encontrarse libres de corrosión. 2) Colocar el bloque de postención, así como las cuñas de cada torón. 3) Proceder con la maniobra del tensado. Se deben registrar las elongaciones obtenidas para diferentes etapas de carga. Estas mediciones se deben verificar contra los valores teóricos para asegurar que la maniobra se está realizando correctamente. Para llevar este control, el encargado de la operación debe contar con la “tabla de tensado”, en la cual se presenta la información necesaria para que se vaya revisando en sitio los valores obtenidos contra los teóricos, según AASTHO los valores no deben diferir entre si más de un 5% en cables demás 15m o un 7% en cables de menos de 15m. 3.5.2. Aplicaciones Este postensado puede emplearse tanto como para elementos fabricados en planta, a pie de obra o colocados en sitio. Las aplicaciones más usuales son para vigas de grandes dimensiones, dovelas para puentes, losas con pretensado bidireccional, vigas hiperestáticas y tanques de agua entre otros. La flexibilidad del sistema ofrece mejores posibilidades creativas para el diseño, permitiendo mayores luces, plantas libres y estructuras más livianas. La utilización del postensado en losas supone una cierta limitación en las actuaciones, una vez terminada la estructura: su uso requiere que se haya definido, con cierta precisión, el paso de instalaciones para, de esta forma, poder plantear una disposición de cables compatible, que evite actuaciones 25 | P á g i n a posteriores. Sin embargo, siempre es posible plantear un trazado de cables concentrado sobre pilares, por ejemplo, que permita dejar extensas áreas libres de cables, y consecuentemente, susceptibles de ser perforadas. El empleo de estas losas postensadas nos ayudará a aumentar la capacidad resistente de las losas, lo que permite aumentar los espacios libres y reducir el número de elementos verticales en la estructura. En consecuencia, se produce un ahorro estimado de materiales y una notable mejora arquitectónica por la posibilidad de disponer mayor superficie útil y más facilidad para distribuirla, ya que se obtendrán grandes e ininterrumpidos espacios que podrán ser adaptados posteriormente según las necesidades. También el empleo del postensado nos permitirá reducir aproximadamente hasta un 30% el peralte de la losa en comparación con una solución tradicional de losa armada sin tener que disminuir su capacidad, esto significa también una buena reducción de cantidad de materiales. 3.6. Diseño por resistencia a la flexión Los elementos presforzados a flexión deben clasificarse como Clase U, Clase T o Clase C en función de 𝑓𝑡 (𝑓1, 𝑓2) correspondiente al esfuerzo calculado en la fibra extrema en tracción en la zona precomprimida en tracción, calculada para cargas de servicio, de la siguiente forma: • Clase U: 𝑓𝑡 ≤ 2√𝑓´𝑐 • Clase T: 2√𝑓´𝑐 < 𝑓𝑡 ≤ 3.2√𝑓´𝑐 • Clase C: 𝑓𝑡 > 3.2 √𝑓´𝑐 Los sistemas de losas presforzadas en dos direcciones deben ser diseñadas como clase U con 𝑓𝑡 ≤ 1.6 √𝑓´𝑐 Requisitos de funcionamiento elementos sometidos a flexión: 26 | P á g i n a Esfuerzos en el 1.60√𝑓´𝑐 hormigón inmediatamente después de la aplicación del presforzado (antes de las pérdidas de presforzado que dependen del tiempo). • El esfuerzo en la fibra extrema en compresión, excepto lo permitido en (b), no debe exceder 0.60𝑓´𝑐𝑖 • El esfuerzo en la fibra extrema en compresión en los extremos de elementos simplemente apoyados no debe exceder 0.70𝑓´𝑐𝑖 • Donde los esfuerzos de tracción calculados, 𝑓𝑡 excedan de 1.60√𝑓´𝑐 en los extremos de elementos simplemente apoyados, o 0.80√𝑓´𝑐 en otras ubicaciones, debe colocarse refuerzo adicional adherido (no presforzado o presforzado) en la zona de tracción, para resistir la fuerza total de tracción en el hormigón, calculada con la suposición de sección no fisurada. Para los elementos presforzados sometidos a flexión Clase U y Clase T, los esfuerzos en el hormigón bajo las cargas de servicio (después de que han ocurrido todas las pérdidas de presforzado) no deben exceder los siguientes valores: • Esfuerzo en la fibra extrema en compresión debido al presforzado y a las cargas permanentes en el tiempo 0.45 𝑓´𝑐 • Esfuerzo en la fibra extrema en compresión debida al presforzado ya todas las cargas 0.60 𝑓´𝑐 3.7. Esfuerzos admisibles en el acero de presforzado Los esfuerzos de tracción en el acero de presforzado no deben exceder: • Debido a la fuerza del gato de presforzado 0.94 𝑓𝑝𝑦, pero no mayor que el mínimo entre 0.80 𝑓𝑝𝑢 y el máximo valor recomendado por el fabricante del acero de presforzado o de los dispositivos de anclaje. 27 | P á g i n a • Inmediatamente después de perder de la transferencia del presfuerzo 0.82 𝑓𝑝𝑦, pero no mayor que 0.74 𝑓𝑝𝑢 Tendones de postensado, en anclajes y acoples, inmediatamente después de la transferencia 0.70 𝑓𝑝𝑢 3.8. Perdidas de presfuerzo Para determinar el esfuerzo efectivo en el acero de presfuerzo fse, deben considerarse las siguientes perdidas de presfuerzo. • Asentamiento del acero de presfuerzo durante la transferencia. • Acortamiento elástico del hormigón • Flujo plástico del hormigón • Retracción del hormigón • Relajación de esfuerzo en el acero de presfuerzo • Perdidas por fricción debidas a la curvatura intencional o accidental de los tendones de postensado. 3.9. Ventajas y desventajas de losas postesadas. Ventajas. Algunas de las ventajas inherentes al empleo de losas postensadas con cables no adheridos son las siguientes: 1. El espesor de las losas postensadas es un tercio menor que el de losas sin presfuerzo. Esto se traduce en un 20 o 30% de reducción del peso total del edificio. A su vez este decremento significa fuerzas sísmicas menores y menor costo de construcción. 28 | P á g i n a 2. Para una misma altura libre de entrepiso, las alturas de piso con losas postensadas son aproximadamente 5 cm menores que para un edificio con losas convencionales. Además, la diferencia es mayor para edificios con vigas y losas. 3. Según la práctica de diseño, se supone que las losas trabajan como diafragmas rígidos, transmitiendo las fuerzas sísmicas del piso a los elementos resistentes a cargas laterales sin agrietarse. 4. En el proyecto existe una mayor separación entre apoyos, con lo que se tiene una mayor y mejor distribución de espacios. 5. Las losas planas, sin trabes, permiten una mayor altura libre de entrepisos, con la posibilidad de construir más niveles en una altura máxima determinada. 6. Al existir losas más ligeras, se obtienen secciones de columnas más esbeltas. 7. Reducción de cantidades de hormigón, acero y cimbra de contacto lo que conlleva a tener una cimentación de menor magnitud. Desventajas. El empleo de losas postensadas también representa algunas objeciones para su uso, dentro de las desventajas están las siguientes: 1. El uso de sistemas de postensados sujetos a flexión con cables no adheridos en zonas de alta sismicidad, ha sido discutido en ocasiones, ya que los cables no pueden ser esforzados más allá del intervalo elástico, como puede requerirse en un sismo intenso y, por tal motivo, no se cuenta con capacidad para disipar mucha energía con deformación inelástica. 2. La falla en los anclajes es otro de los argumentos en contra del uso de losas postensadas en zonas sísmicas debido a que estas pueden fallar por cargas cíclicas. Para tal 29 | P á g i n a motivo deben de satisfacer requisitos de comportamiento estático y dinámico más severos que las cargas que puedan ocurrir en sismos de alta intensidad. 3. Las losas postensadas son susceptibles al colapso progresivo debido a cargas extraordinarias. Este caso se asocia al no emplear acero de refuerzo necesario en los elementos postensados. 4. Es necesario realizar el suministro, colocación y tensado del acero de presfuerzo por personal capacitado. 30 | P á g i n a 4. MARCO PRÁCTICO 4.1. Ejemplo de aplicación 1 EJERCICIO 1 Una losa plana simple de 12.19 m por 9.14 m está apoyada por cuatro columnas. La losa de hormigón de 15.2 cm pesa 367.5 kg/m2 y soporta una carga viva del techo de 98 kg/cm2; f’c = 281.2 kg/cm2; 4 alambres de 0.35 mm cada uno, por cable, se van a usar para presforzar la losa en dos direcciones. Los cables engrasados y cubiertos con papel, no están adheridos al hormigón. La resistencia de los alambres a la ruptura es de 17 578 kg/cm2 con un pre esfuerzo Inicial de 10 547 kg/cm2 y un pre esfuerzo efectivo de 8 789 kg/cm2. El mínimo de cubierta para los cables es de 1.90 cm, que es equivalente a una protección de 3.2 cm medida desde la línea central de los cables. Calcular el número de cables de 12.19 m de longitud, que se requiere por losa. 12.19 2.44 7.31 2.44 1.52 6.10 9.14 1.52 [m] Solución. 𝐶𝑀 = 368 𝐶𝑉 = 98 𝑘𝑔 𝑚2 𝑘𝑔 𝑚2 31 | P á g i n a 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 368 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑘𝑔 + 98 2 = 466 2 2 𝑚 𝑚 𝑚 En la dirección de los 12.19 m, el momento en el cantilever es de 𝑘𝑔 2 𝑤𝐿2 466 𝑚2 ∙ (2.44𝑚) = 2 2 𝑤𝐿2 2 = 425.6 𝑘𝑔 − 𝑚/𝑚 de ancho y el momento positivo máximo en el centro del claro vale 𝑘𝑔 466 2 ∙ (7.3𝑚)2 𝑤𝐿2 𝑚 − 425.6425.6 𝑘𝑔 𝑚/𝑚 = − 425.6 𝑘𝑔 𝑚/𝑚 8 8 = 532 𝑘𝑔 − 𝑚/𝑚 de ancho Para el ancho completo de 9.14 m el momento es de 532 𝑘𝑔 𝑚/𝑚 ∙ 9.14 𝑚 = 4862.5 𝑘𝑔 𝑚 El momento resistente lo proporciona el acero con un brazo de palanca de 7.0 cm, medido al punto superior del núcleo, sin admitir tensión en el hormigón. 7.31 2.44 2.44 0.152 [m] "M" 532 425.6 425.6 [kg-m] 32 | P á g i n a 5.10 7.00 T 3.20 [cm] Por lo tanto, el pre esfuerzo total requerido, controlado por el momento positivo máximo +M es 𝑀𝑚𝑎𝑥 = (4862.5 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 30.5 𝑚) = 211580 𝑘𝑔 7.0 Cada cable tiene 4 alambres con una área 𝐴 = 0.32 𝑐𝑚2 cada uno, y una área 𝐴, por cable de 1.28 𝑐𝑚2 . Con un pre esfuerzo efectivo de 8798 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 cada cable tiene un pre esfuerzo total de 1.28 ∙ 8 789 = 11 250 𝑘𝑔. El número de cables que se requiere es de 211580 = 19.9 11250 Se usará 20 cables. 33 | P á g i n a 4.2. Ejemplo de aplicación 2 EJERCICIO 2 Se tiene una losa rectangular, la cual mide 20x30 [pies] en planta apoyada sobre muros en sus cuatro lados, ofreciendo una resistencia despreciable a la rotación. La losa se tendrá que diseñar para soportar una carga muerta de 9 [lb/pie2] en forma adicional a su propio peso, y estará sujeta a una carga viva de servicio 50 [lb/pie2]. La condición de deflexión nula se especifica cuando actúa la totalidad de la carga muerta. Se usará concreto que tenga una comprensión a los 28 de días de 4000 [lb/pulg2] y Ec= 3.6x106 [lb/pulg2]. Se usarán tendones no adheridos con cables trenzado postensado, y la perdida después del anclaje pueden tomarse como el 15% de la fuerza pretensora inicial (Ia= 6.09 [m], Ib= 9.14 [m], Wd= 9.43 [kN/m2], W1= 2.40 [kN/m2], f´c=280 [kg/m2], y Ec= 24.8 [kN/mm2]). Se selecciona un espesor tentativo para la losa basándose en una relación claro/peralte de 45. La longitud del claro promedio puede ser empleada para este propósito. ℎ= (20 + 30) ∗ 12 = 6.67[𝑝𝑢𝑙𝑔] 2 ∗ 45 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛 ℎ = 6.5[𝑝𝑢𝑙𝑔] = 16.5 [𝑚𝑚] 34 | P á g i n a Puesto que se desea una deflexión nula para el estado de la totalidad de la carga muerta, se iniciará el diseño empleando el método del balanceo de cargas para tal estado, todos los otros estados significativos deberán revisarse para el peralte tentativo de la losa, el peso propio es de 81 [lb/pie2], y de esta manera la carga muerta total a balancearse es Wp= 81+9 = 90 [lb/pie2] =4.3 [kN/m2] . Es económico soportar la mayoría de la carga en la dirección corta. Sin embargo, se usará una comprensión uniforme mínima de 150 [lb/pulg2] en el concreto de la dirección larga para asegurar que no se presenten grietas en la estructura. Como la carga balanceada uniformemente distribuida se usan tendones parabólicos en ambas direcciones, con excentricidad nula en los bordes apoyados. Ya que se debe de tener un recubrimiento de ¾ [pulg] por debajo de los tendones más bajos, y suponiendo que los tendones envueltos tendrán un diámetro exterior de poco más o menos de ½ [pulg], se usara una distancia promedio desde la parte inferior de la losa al centroide de tendón de 1 ¼ [pulg] para los cálculos. Esto da una flecha máxima para los tendones de 2 [pulg] desde el centroide de la losa de 6.5 [pulg] de peralte. 35 | P á g i n a Para mantener la comprensión promedio deseada de 150 [lb/pulg2] en la dirección larga de la losa, se requiere una fuerza pretensora efectiva de: 𝑃𝑏 = 150 ∗ 6.5 ∗ 12 = 11700 [ 𝑙𝑏 ] 𝑝𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 Correspondiendo a un valor inicial de 13800 [lb/pie de franja], con el perfil de tendón mostrado, esta produce un levante de: 8𝑃𝑏𝑌𝑏 8 ∗ 11700 ∗ 2 𝑙𝑏 = = 17 [ ] 𝑙𝑏 2 302 ∗ 12 𝑝𝑖𝑒 2 𝑊𝑝𝑏 = En consecuencia, los tendones deben proporcionar un levante de Wpa=90-17=73[lb/pie2] en la dirección corta. 𝑊𝑝𝑎 ∗ 𝐼𝑎2 73 ∗ 202 ∗ 12 𝑙𝑏 𝑃𝑎 = = = 21.900 [ ] 8𝑌𝑎 8 ∗ 12 𝑝𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 Después de las perdidas, requiriéndose una fuerza pretensora inicial de 25.800 [lb/pie de franja]. Después de las perdidas, esta producirá una comprensión promedio en el concreto en la dirección corta de: 𝑃𝑎 21900 𝑙𝑏 = = 280 [ ] 𝑏ℎ 12 ∗ 6.5 𝑝𝑢𝑙𝑔2 Se seleccionan para cada dirección cables envueltos no adheridos de grado 270 con un diámetro de 0.600 [pulg] y se tensa hasta su valor total permitido de tal manera que se produzca una fuerza inicial de 41000 [lb] por tendón, con 0.70 Fpu, después del anclaje del cable. El espaciamiento requerido en la dirección corta es: 𝑆𝑎 = 41000 = 1.59[𝑝𝑖𝑒] = 19[𝑝𝑢𝑙𝑔] = 483[𝑚𝑚] 25800 36 | P á g i n a Y en la dirección larga es: 𝑆𝑏 = 41000 = 2.97 [𝑝𝑖𝑒] = 36[𝑝𝑢𝑙𝑔] = 914[𝑚𝑚] 13800 Estos espaciamientos corresponden a 3 y 5.5 veces el espesor de la losa, respectivamente, lo cual afirma que las elecciones hechas en el diseño hasta este punto son razonables. Adicionalmente a los tendones, se agregará refuerzos sin presfuerzo en los extremos de anclaje para evitar la fracturación del concreto. Se colocarán dos varillas del N°4 horizontalmente alrededor del perímetro justamente dentro de los anclajes para este fin. Con totalidad de la carga muerta actuando, y la fuerza pretensora y el arreglo según se ha indicado, se obtendrá una losa a nivel muy aproximadamente. Ahora se aplica la carga viva de 50 [lb/pie2] y se revisan los esfuerzos en el concreto y la deflexión de la losa. Usando los coeficientes de momentos del Método 3 del ACI, con Ia/Ib= 20/30 = 0.67. Así los momentos para una franja de 12 [pulg] en las direcciones corta y larga, respectivamente, resultante de la aplicación de la carga viva de 50 [lb/pie2] son 37 | P á g i n a 𝑙𝑏 𝑀𝑎 = 0.072 ∗ 50 ∗ 202 = 1440 [ ] 𝑝𝑖𝑒 𝑀𝑏 = 0.014 ∗ 50 ∗ 302 = 630 [ 𝑙𝑏 ] 𝑝𝑖𝑒 El momento de inercia de una franja de losa de 12pulg es igual a: 1 1 ∗ 𝑏 ∗ ℎ3 = ∗ 12 ∗ 6.53 = 275[𝑝𝑢𝑙𝑔4 ] 12 12 Los refuerzos de flexión que se suponen al ya existente esfuerzo de compresión uniforme en la losa balanceada son: 𝑓𝑏 = 1440 ∗ 12 ∗ 3.25 𝑙𝑏 = 204 [ ] , 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 275 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑓𝑏 = 630 ∗ 12 ∗ 3.25 𝑙𝑏 = 89 [ ] , 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎 275 𝑝𝑢𝑙𝑔2 Los esfuerzos resultantes son: 𝑙𝑏 𝑓1 = −280 − 204 = −484 [ ] 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑓2 = −280 + 204 = −76 [ 𝑙𝑏 ] 𝑝𝑢𝑙𝑔2 En la superficies superiores e inferiores en la dirección corta 𝑓1 = −150 − 89 = −239 [ 𝑓2 = −150 + 89 = −61 [ 𝑙𝑏 ] 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑙𝑏 ] 𝑝𝑢𝑙𝑔2 38 | P á g i n a En seguida se determinará la resistencia a la flexión de la losa para confirma que existe un adecuado factor de seguridad. Para una franja de 12 [pulg] en la dirección corta, la resistencia requerida, basándose en los factores de carga del ACI, debe ser por lo menos de: 𝑙𝑏 𝐾𝑁 𝑀𝑢 = 0.072(90 ∗ 14 + 50 ∗ 1.7)202 = 6080 [ ] = 8.24 [ ] 𝑝𝑖𝑒 𝑚 En el presente caso el esfuerzo no produce momentos secundarios, ya que todos los bordes se encuentran simplemente apoyados. Se hallará el momento resistente de la franja usando el método aproximado del ACI. Con Ap = 0.217 pulg2 a 1.59 pies entre centros. 𝑓𝑝𝑒 = 21900 ∗ 1.59 𝑙𝑏 = 160000 [ ] 0.217 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝜌𝑏 = 0.217 = 0.0022 1.59 ∗ 12 ∗ 5.25 Y en la ecuación: 𝑓𝑝𝑠 = 𝑓𝑝𝑒 + 10000 + 𝑓`𝑐 𝑙𝑏 = 160000 + 10000 + 18200 = 188200 [ ] 1000𝑝𝑦 𝑝𝑢𝑙𝑔2 De las ecuaciones: 𝑎= 𝐴𝑝𝑓𝑝𝑠 0.217 ∗ 188200 = = 0.63 0.75𝑓`𝑐𝑏 1.59 ∗ 0.85 ∗ 4000 ∗ 12 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴𝑝 ∗ 𝑓𝑝𝑠 ∗ (𝑑 − ) 2 = 0.217 1 ∗ 188200(5.25 − 0.32) ∗ = 10600[𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒] = 14.37[𝑘𝑁 − 𝑚] 1.59 12 Introduciendo el factor de reducción de resistencia, la resistencia de diseño es: 39 | P á g i n a ∅𝑀𝑛 = 0.90 ∗ 10600 = 9540[𝑝𝑖𝑒 − 𝑙𝑏] = 12.94[𝑘𝑁 − 𝑚] Este valor se encuentra bastante por encima del valor requerido de 6080[lb-pie]. Cálculos similares para la dirección larga indican que se requiere una capacidad de momento de 2660 [lb-pie], teniéndose un momento resistente disponible de 5640 [lb-pie]. Finalmente, se comparará la resistencia al cortante de la losa con la capacidad requerida. Usando los coeficientes, con la carga total en la losa de: 𝑊 = (90 ∗ 1.4 + 50 ∗ 1.7)20 ∗ 30 = 126600[𝑙𝑏] La fuerza cortante aplicada a lo largo del borde largo es: 𝑉𝑚 = 126600 ∗ 0.83 𝑙𝑏 = 1750 [ ] 2 ∗ 30 𝑝𝑖𝑒 Y a lo largo del borde corto es: 𝑉𝑚 = 126600 ∗ 0.17 𝑙𝑏 = 538 [ ] 2 ∗ 20 𝑝𝑖𝑒 Usando la ecuación aproximada del ACI para la resistencia al cortante: 𝑉𝑐 = (0.6√𝑓 ′ 𝑐 + 700 𝑉𝑢 𝑑 ) 𝑏𝑤 𝑑 𝑝𝑒𝑟𝑜 ≥ 2√𝑓 ′ 𝑐𝑏𝑤 𝑑 𝑌 ≤ 5√𝑓 ′ 𝑐𝑏𝑤 𝑑 𝑀𝑢 𝑙𝑏 Aquí rige la última disposición y ∅𝑉𝑐 = 0.85 ∗ 5√4000 ∗ (12 ∗ 5.25) = 16900 [𝑝𝑖𝑒] Resulta que la losa no es critica al cortante. El peralte de la losa se escogió basándose en una relación claro/peralte y se postenso para alcanzar una condición de deflexión nula para la totalidad de la carga muerta. Se obtiene una muy baja compresión uniforme en la losa en cada dirección para esta condición. Cuando se superpuso toda la carga viva de servicio, lo esfuerzos de el hormigón permanecieron muy bajos y no se produjo esfuerzos de tensión, La deflexión al 40 | P á g i n a centro del panel fue extremadamente pequeña, Las resistencias a la flexión y al cortante se encuentran bastante por encima de lo requerido, Se puede concluir que el espesor de la losa podría reducirse ligeramente sin causar dificultad en ninguno de los estados limites significativos. Sin embargo, la fuerza pretensora requerida para balancear la carga especifica se incrementaría como consecuencia de esto, Debe investigarse la economía total en un diseño alternativo. 41 | P á g i n a 4.3. Ejemplo de aplicación 3 EJERCICIO 3 Planta Tipo para el Diseño de la Losa Pos tensada La planta tipo mostrada en la Fig. Pertenece al edificio “Venus” ubicado en la Plazuela Colón en la ciudad de Cochabamba, Bolivia. En este ejemplo se mostrará paso a paso el diseño de una franja de diseño de losa pos tensado. Como se puede ver, toda la losa es nervada en dos direcciones. En las zonas de las columnas se previeron ábacos para resistir los esfuerzos de corte perimetral y corte unidireccional. 1. Pre dimensionamiento Es necesario realizar el pre dimensionamiento de la losa pos tensado nervado en dos direcciones siguiendo los criterios del Postensioning Manual del Precast Concrete Institute (PCI). La Tabla 1 nos muestra las relaciones Claro/Peralte sugeridas por el PCI para una relación CV/CM<1 (carga viva/carga muerta), que en este caso se cumple ya que la carga viva para 42 | P á g i n a nuestro proyecto será de 2 KN/m2. (Según las tablas de la ASCM-07 (2002) la carga viva para estructuras de uso residencial es de 1,95 KN/m2). Tabla 1 – Relaciones Claro/Peralte en Losas Pos tensadas (Postensioning Institute) Relaciones Claro/Peralte Sugeridas en Losas Pos tensadas (CV/CM <1) Losa llena en una dirección con vigas 4 8 Losa plana en dos direcciones sin vigas 4 5 Losa plana en dos direcciones con ábacos 5 0 Losa llena en dos direcciones con vigas en ambas direcciones 5 5 Losa nervada en dos direcciones sin vigas 3 5 Losa nervada en una dirección con vigas 4 0 Siguiendo estos parámetros se puede ver que: ℎ= (8.55𝑚 + 7.5𝑚) 0.5 = 0,22 𝑚 35 Adoptando un peralte de 0,20m para optimizar la altura de la losa así como también para realizar un ejemplo de diseño más completo y menos cercano a los valores mínimos de diseño que nos exige la norma ACI 318 (2005). En una iteración previa se tomo un peralte de 0,25m. Se comprobó que con este peralte no se llegaba a una compresión aceptable en el hormigón ya que se requerían menor cantidad de cables y una mayor cantidad de acero de refuerzo convencional. 43 | P á g i n a 2. Propiedades de Los Materiales y Propiedades de La Sección Transversal de la Losa Las propiedades de los materiales a ser utilizados en este ejemplo de diseño son los siguientes: Hormigón de resistencia nominal a la compresión de 28 N/mm2. Mínimo requerido para el diseño y construcción de losas pos tensadas. Acero de Pre-esfuerzo de ½” o 12,7mm. Acero convencional de construcción con un límite nominal de fluencia de 500 N/mm2. En relación a las cargas gravitacionales: Carga Muerta (DL): 5 KN/m2 Carga Viva (LL): 2 KN/m2 La sección transversal de la losa se muestra en la Fig. 2: Sección transversal de la losa b hf h Yb Yt bw Considerando la simbología de la Fig. 2, se adoptó: 𝑏𝑤 = 100 [𝑚𝑚] ℎ𝑓 = 50 [𝑚𝑚] ℎ = 200 [𝑚𝑚] 𝑏 = 500 [𝑚𝑚] 𝑦𝑡 = 137,50 [𝑚𝑚] 44 | P á g i n a 𝑦𝑏 = 62,50 [𝑚𝑚] Asumiendo un metro de ancho, se tiene 𝐴 = 40000 [𝑚𝑚2 ] 𝑆 = 11066700 [𝑚𝑚3 ] 3. Parámetros de Diseño Los parámetros de diseño seguirán los criterios de la norma ACI 318 (2005) asumiendo una sección no fisurada. Tensiones admisibles: La tensión admisible de servicio será de −2,0√𝑓 `𝑐 = −3,35 𝑁/𝑚𝑚2 La compresión admisible bajo cargas de servicio será de 0.45 𝑓 `𝑐 = −12,6 𝑁/𝑚𝑚2 la recomendada por el PTI (Instituto de postensado) (2004). Límites de compresión: Compresión mínima = 0,8 𝑁/𝑚𝑚2 Compresión máxima = 3,5 𝑁/𝑚𝑚2 45 | P á g i n a Figura 3 – Franjas de diseño de la planta tipo. 4. Parámetros de Pos tensado El ejemplo de diseño se realizará sobre la franja 4 mostrada en la Fig. 3. Esta es una franja central con un ancho de 8,30m. Consta de 4 tramos, dos centrales de 7,50m y dos volados exteriores de 1,10m. La carga a ser balanceada por el pos tensado será del 100% de la carga muerta: 𝑤𝑏 = 100% 𝐷𝐿 5 𝑘𝑁/𝑚2 Debido a que el recubrimiento en el hormigón será de 30 mm, el a máximo (que es la distancia entre el punto inferior de la trayectoria del perfil del cable al punto superior en un tramo determinado) será: 𝑎 = 200 − 2 𝑥 30 = 140 𝑚𝑚 Una vez determinados el ancho de la franja de diseño y la carga a ser balanceada se puede calcular la fuerza efectiva en el cable de postensado. Para esto se utilizará tendones de baja 46 | P á g i n a relajación de 1,3 cm de diámetro con una resistencia nominal 𝑓𝑝𝑠 = 1890 𝑁/𝑚𝑚2 con pérdidas a largo plazo de 210 𝑁/ 𝑚𝑚2 𝐹𝑠𝑒 = 𝐴𝑝𝑠 (0,7 𝑓𝑝𝑠 − 210) = 99(0,7 𝑥 1890 − 210) = 110,187 𝑘𝑁 La fuerza de pos tensado necesaria será: 𝑤𝑏 𝐿2 5 𝑥 7.52 𝐹= = = 251,12 𝑘𝑁/𝑚 8𝑎 8 𝑥 0,14 El numero de cables para el ancho de banda diseñado: #𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 = 8,3 𝑥 251,12 = 18,9 = 19 110,187 Se comprueba la fuerza de pos tensado sobre el área de la franja de diseño: 𝐹 19 𝑥 110,187 𝑥 1000 = = 3,153 𝑁/𝑚𝑚2 𝐴 8,3 𝑥 80000 Se ajusta el perfil del tendón para tener una carga balanceada uniforme en toda la franja de 5 𝑘𝑁/𝑚2 Para los tramos centrales (7,50m) 𝑎= 5. 𝑤𝑏 𝐿2 5 𝑥 1,12 = 𝑥1000 = 3 𝑚𝑚 8𝐹 8 𝑥 251,12 Parámetros de Postensado Los momentos obtenidos debido a la carga no balanceada por el pos tensado se calculan Sumando algebraicamente el momento obtenido por la carga total (CV + CM) y el momento obtenido por la carga balanceada por el pos tensado. 47 | P á g i n a Carga Figura 4 – Diagrama de Momentos por Carga no Balanceada de la Franja 4 Por la Fig. 4 se puede resumir en la Tabla 2 los momentos máximos obtenidos junto a las caras de las columnas. Tabla 2 – Momentos Máximos por Carga no Balanceada de la Franja 4 Tramo Izq. Central Derecha KN-m KN-m KN-m 1 - - -1,170 2 -16,620 8,450 -32,750 3 -30,800 7,200 -14,750 4 -20,00 - - A partir de estos momentos de cargas de servicio no balanceadas se puede calcular las tensiones de tracción (-) y compresión (+) netas en el hormigón. 48 | P á g i n a 𝑓𝑐𝑠,𝑡𝑠 = 𝐹 𝑀𝑎𝑏 ± 𝐴 𝑆 Para las tensiones de tracción: Tabla 3 – Esfuerzos de Tracción en la Franja 4 Tramo Izq. N/𝒎𝒎𝟐 Central Derecha N/𝒎𝒎𝟐 N/ 𝒎𝒎𝟐 1 - - 3,259 2 4,655 2,389 6,112 3 5,936 2,502 4,486 4 3,334 - - Para las tensiones de compresión: Tabla 4 – Esfuerzos de Compresión en la Franja 4 Tramo Izq. N/𝒎𝒎𝟐 Central Derecha N/ 𝒎𝒎𝟐 N/ 𝒎𝒎𝟐 1 - - 3,047 2 1,651 3,916 0,194 3 0,370 3,804 1,820 4 2,972 - - Como se puede observar en los valores obtenidos toda la sección de la losa está sometida a compresión debido a la tensión de los cables de postensado. Los esfuerzos de tracción son computados en las fibras superiores en los extremos de cada tramo y en las fibras inferiores en el centro del tramo y los esfuerzos de compresión son computados en las fibras inferiores en los extremos de cada tramo y en las fibras superiores en el centro del tramo. Los parámetros admisibles para tracción y compresión en el hormigón son los siguientes: Tracción admisible: 49 | P á g i n a −2,0√𝑓 `𝑐 = −3,347 𝑁/𝑚𝑚2 0.45 𝑓 `𝑐 = −12,6 𝑁/𝑚𝑚2 6. Calculo del acero de refuerzo para condiciones de servicio Ya que los resultados obtenidos para las tensiones de tracción y compresión no son mayores a los admisibles el acero de refuerzo se calcula como sigue a continuación. Para los momentos negativos: 𝐴𝑠 = 0,004𝐴 = 0,004 (52500𝑚𝑚2 ) = 210 𝑚𝑚2 /𝑚 Y para los momentos positivos: 𝐴𝑠 = 0,004𝐴 = 0,004 (27500𝑚𝑚2 ) = 110 𝑚𝑚2 /𝑚 La Fig. 5 detalla esta situación: A A A A Figura 5 – Armadura Adherente Mínima para Elementos Solicitados a Flexión 7. Calculo del Acero no Pos tensado con Cargas de Diseño La combinación de cargas para obtener los esfuerzos más desfavorables para una losa pos tensada es: 𝑀𝑢 = 1,2𝐶𝑀 + 1,6𝐶𝑉 + 1,0 𝑀2 50 | P á g i n a En la expresión anterior son los momentos secundarios producidos debido a las 𝑀2 deformaciones causadas por las cargas que el pos tensado de los cables aplica al hormigón. 𝑀2 = 𝑀𝑏𝑎𝑙 𝐹 𝑥 𝑒 donde: Mbal= es el momento producido por la carga balanceada de los cables de pos tensado. F = es la fuerza de pos tensado. e = es la distancia entre el centroide de la sección transversal del elemento y el centro de gravedad del cable de postensado. Los momentos máximos obtenidos en la cara de la columna para las cargas ultimas de diseño (1,2CM + 1,6CV) están resumidos en la Tabla 5. Los momentos secundarios obtenidos se muestran en la Tabla 6 y los momentos últimos de diseño se pueden observar en la Tabla Tabla 5 – Momentos Máximos en la Franja 4 para 1,2CM + 1,6CV Tramo Izq. Central Derecha (CN-m) (CN-m) (CN-m) 1 - - -4,000 2 77,00 3,880 -149,000 3 141,00 33,500 -67,800 4 -7,790 - - Tabla 6 – Momentos secundarios en la Franja 4 51 | P á g i n a Tramo Izq. Central Derecha (CN-m) (CN-m) (CN-m) 1 - - - 2 33,439 5,895 73,439 3 68,839 8,995 28,539 4 - - - Tabla 7 – Momentos últimos de diseño en la Franja 4 (1,2𝐶𝑀 + 1,6𝐶𝑉 + 1,0 𝑀2 ) Tramo Izq. Central Derecha (CN-m) (CN-m) (CN-m) 1 - - -4,000 2 43,561 44,695 -75,561 3 -72,161 42,495 -39,261 4 -0,7790 - - Para efectos de este ejemplo de diseño se calculara paso a paso la armadura necesaria para el tramo número 1 de la franja 4 y se mostraran los resultados obtenidos para los tramos siguientes en la Tabla 8. Se calcula el área de la armadura de postensado en el ancho de la franja 4. 𝐴𝑝𝑠 19 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑥 99 𝑚𝑚2 /𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 = = 226,63𝑚𝑚2 /𝑚 8,3𝑚𝑚 As =Acero existente mínimo calculado anteriormente= 210 𝑚𝑚2 /𝑚 Luego se calcula la cuantía del refuerzo de postensado. 𝑃𝑝 = 𝐴𝑝𝑠 226,63 = = 0,0028 𝐴𝑔 80000 52 | P á g i n a Se calcula la tensión en la armadura de postensado a la resistencia nominal 𝑓𝑝𝑠 = 𝑓𝑠𝑒 + 70 + 𝑓 `𝑐 28 = 1101,87 + 70 + = 1270,71 𝑁/𝑚𝑚2 100 𝑃𝑝 100 𝑥 0,0028 Siendo el esfuerzo de compresión final en el tendón después de las pérdidas de 𝑓𝑠𝑒 tensión en la armadura de postensado y la resistencia nominal del hormigón a compresión𝑓 `𝑐 𝑎= 𝐴𝑝𝑠 𝑓𝑝𝑠 + 𝐴𝑠 𝑓𝑦 226,63 𝑥 1270,71 + 210 𝑥 500 = = 16,51 𝑚𝑚 0,85𝑓 `𝑐 𝑐 𝑥 𝑏 0,85 𝑥 28 𝑥 1000 Calculamos la altura del bloque rectangular de tensiones equivalentes, a. Se comprueba que la deformación específica neta de tracción en el acero sea mayor al límite inferior establecido por el ACI para secciones controladas por tracción. 𝑐= 𝑎 16,51 = = 19,41 𝛽𝑡 0,85 entonces: 𝜀𝑡 = 𝜀𝑡 = 0,003 (170 − 19,41) 19,41 0,003 (𝑑 − 𝑐) 𝑐 = 0,023 > 0,005 Controlada por tracción. Y finalmente se verifica que la resistencia nominal al momento de esta sección sea mayor al momento último de diseño. En el caso de losas postensadas se obtiene la resistencia nominal de la sección transversal de la losa tomando en cuenta la armadura postensada y no postensada. 𝑎 ∅𝑀𝑛 = 0,9 (𝐴𝑝𝑠 𝑓𝑝𝑠 + 𝐴𝑠 𝑓𝑦 )(𝑑 − ) 2 ∅𝑀𝑛 = 0,9 16,51 (226,63 𝑥 1270,71 + 210 𝑥 500)(170 − ) = 59,77 𝐾𝑛 − 𝑚 1000 2 53 | P á g i n a 𝑀𝑢 4 = = 0,067 ∅𝑀𝑛 59,770 En el caso de que la ultima comprobación no sea cumplida es necesario aumentar la sección de armadura no postensada para que la resistencia nominal de la sección transversal de la losa multiplicada por el factor de minoración sea mayor al momento ultimo de diseño. 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Se logró elaborar el documento que contiene la teoría de losas armadas en dos direcciones de hormigón pres forzado, según diferentes autores y al mismo tiempo consideraciones de diseño según la norma ACI 318-05. Con los ejemplos desarrollados, extraídos de la bibliografía expuesta y la teoría se pudo desarrollar una seria de casos para el cálculo de losas en dos direcciones según sus ventajas y desventajas. 6. BIBLIOGRAFÍA PROPUESTA DE PERALTE DE LOSAS POSTENSADAS COMO PARTE DEL SISTEMA LATERAL PARA EDIFICIOS ALTOS CON NÚCLEO RÍGIDO (TESIS), González Fernández Alejandro Sebástian y Herbozo Girón Luis Fernando. DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO PRESFORZADO, Arthur H. Nilson DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO PRESFORZADO, T. Y. Lin. DISEÑO DE LOSAS PREESFORZADAS DE CONCRETO LIGERO PARA VIVIENDAS DE INTERÉS SOCIAL, Raymundo Ibañez Vargas. ANALISIS Y DISEÑO DE EDIFICIO HABITACIONAL A BASE DE LOSAS POSTENSADAS, De Jesus Delfina Juan y Sanchez Carreon Sergio Manuel. 54 | P á g i n a DISEÑO Y APLICACIÓN DE SISTEMAS DE POSTENSADO DE LOSAS CON TENDONES NO ADHERIDOS EN ESTRUCTURAS DE USO HABITACIONAL Y COMERCIAL, de Mario Andrés Montaño León 55 | P á g i n a
