1.-LEYES DE EXPONENTES

Álgebra
1
Las matemáticas son fáciles
Leyes de
exponentes
̅
√
⃗
Nivel UNI
Christiam Huertas
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Í
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Potenciación 03
Radicación 08
Ecuación exponencial 12
Enunciado de los problemas resueltos 13
Solución de los problemas 21
Enunciado de los problemas propuestos 41
Claves 48
𝒙−14
2
Christiam Huertas
ℍ𝜇𝑒𝑟𝜏𝛼𝕤
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Definiciones
Leyes de exponentes
Es un conjunto de definiciones y teoremas
que permiten estudiar a los exponentes y
Exponente natural
1
radicales a través de las operaciones de
potenciación y radicación en los
diferentes conjuntos numéricos.
Potenciación
Es decir:
⏟
Es aquella operación matemática donde,
dados dos elementos llamados base ( ) y
veces
exponentes ( ) se calcula un tercer
elemento llamado potencia ( ).
donde
Notación:
Ejemplo
(
(
(
3.

)
{
.
)
)


(
)
(
)(
)(
)(
)
En este ejemplo, la base es
Ejemplo
1.
Recuerde que:
{
Ley de signos:
( )( )
( )( )
Ejemplo
2.
( )( )
Supongamos que:
( )( )
{

En este ejemplo, la base es

(
)

Christiam Huertas
3
LEYES DE EXPONENTES

(

⏟
)
(
(

)(
)(
)
) veces
Álgebra
3
Exponente negativo
Si
es un número real no nulo y
es un
entero positivo, entonces
⏟
veces
Ejemplo
2
Exponente cero
Si
es cualquier número real no nulo,
(
entonces:
Ejemplo
)
6.
(
)
4.
(
)
√
Teoremas de potenciación
( )
1
Recuerde que:
Multiplicación de bases iguales
no está definido
Para multiplicar dos potencias del mismo número,
Ejemplo
sume los exponentes.
5.
Calcule el valor de
Ejemplo
(
)
Resolución.
(
)
(
Este resultado no está definido.
4
Christiam Huertas
)
7.
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el
numerador y denominador a la potencia.
División de bases iguales
2
10.
Ejemplo
( )
Para dividir dos potencias del mismo número, reste los
( )
exponentes.
( )
8.
Ejemplo
(
(
(
)
)
(
(
)
)
)
Potencia de potencia
5
(
)
(
)
Para elevar una potencia a una nueva potencia,
Potencia de una multiplicación
3
(
multiplique los exponentes.
)
Para elevar un producto a una potencia, eleve cada
factor a la potencia
( )
(
9.
Ejemplo
(
( √
)
(
)
(
)
)
)
√
(
11.
Ejemplo
( )
(
)
Ejemplo
)
(
12.
Halle el exponente de
4
)
en la expresión:
Potencia de una división
( )
Resolución.
Christiam Huertas
5
LEYES DE EXPONENTES
Acomodamos
expresión:
convenientemente
la
Álgebra
Ejemplo
15.
4
( )
⏟
⏟
Pues,
−1
−1
−1
(
)
Ejemplo
−1
Por lo tanto, el exponente es
16.
Halle el valor de la expresión
.
Resolución.
Observaciones
Este tipo de expresiones (exponentes
sucesivos) lo calculamos operando de
arriba hacia abajo.
1
( )
( )
Por lo tanto,
⏟
2
1
.
veces
Ejemplo
(
3
17.
Reduzca la siguiente expresión.
)
13.
Ejemplo
( )
Resolución
( )
Recuerde que:
Ejemplo
14.
Luego, la expresión
⏟
se puede expresar
como:
veces
⏟
veces (
)
Factorizamos
(
6
Christiam Huertas
:
)
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
(
−
)
Reemplazamos los datos:
Simplificamos séptima:
( )
√
Por lo tanto,
.
Por lo tanto,
−
Ejemplo
Si
18.
20.
Ejemplo
equivale a , halle el valor de
1
Si se sabe que
(
Resolución.
Acomodamos
1
expresión
convenientemente
la
para que aparezca
y
reemplazarlo por .
)
halle la suma de las cifras de .
Resolución
Operamos de arriba hacia abajo:
1
Se tiene la igualdad
1
(
(
)
Elevamos a la :
)
Reemplazamos el equivalente de
:
( )
(
Ejemplo
)
19.
⏟
Si se sabe que
⏟
Factorizo
halle el valor de
−
Factorizo
(
)
Cancelamos
:
.
(
)
Resolución
de donde
Nos piden hallar
−
−
.
Por lo tanto, la suma de cifras de
Christiam Huertas
es .
7
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Exponente fraccionario
Radicación en
Es aquella operación matemática que
proviene de una potencia con exponente
fraccionario. Esta operación se expresa
Sea
un número real y
positivo (
un entero
). Se define:
√
con el símbolo √ .
En general:
Definición
√
√
donde
donde
√
es una fracción irreductible.
es el radicando
es el índice (
es la raíz enésima de
La condición
22.
Ejemplo
)
( es única)
quiere decir que
√
y
√
deben ser del mismo signo.
√
Ejemplo
21.
√
, pues
√
(
, pues
√
√
√
)
Ejemplo
23.
, pues
√
no existe en , pues no existe un
√
√
número real de modo que:
√
OBS.
√
Ejemplo
√
√
√
√
4
√
√
24.
Reduzca la expresión
√
en
no existen en
.
Resolución.
Se tiene la expresión:
8
Christiam Huertas
√
4
√
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
√
1
4
√
√
Ejemplo
√

4

√ √
√
√
√

√ √

4

√
√
√

1
√
4
√ √
√
√
√
2
√
√

√

√

√
28.
4
√
√
√
√
√
√
29.
Halle el valor de
si se sabe que
√
√
√
√
Resolución.
√
Por dato:
26.
√
√
√
√
√
√
Por lo tanto,
√
.
5
√
√
√
√
Ejemplo
3
√
√
Ejemplo
4
√ √
√
√
25.
4
Ejemplo
1
√
√
Ejemplo
Ejemplo
4
4
Teoremas de radicación
1
27.
√
√

4
√
30.
√
4
√
√
Christiam Huertas
1
√
9
LEYES DE EXPONENTES

√
√
√
1
√
Álgebra
Ejemplo
√
√
√
6
4
33.
4
√
√
4
√
√
(
(
)
)
4
√
Ejemplo
31.

√
√
√

√
√
√
√
{
| |
√
7
Regla práctica 2
(
√
Ejemplo
√
4
Recuerde que:
34.
4
√
4
| |
4
√
{
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
√
Regla práctica 3
√
|
√
4
32.
Ejemplo
)
√
−1
√
−1
√
|
Ejemplo
| |
√
35.
√
√
Teoremas
(Reglas prácticas)
Regla práctica 4
Regla práctica 1
√
10
√
Christiam Huertas
√
(
)
√
1
√
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Ejemplo
36.
√
1
√
√
4
√
Cancelamos el factor
en el índice y
el exponente:
√
4
√
Regla práctica 5
Por lo tanto,
.
√
Ejemplo
Ejemplo
39.
Calcule el producto de los dígitos del valor
37.
de la expresión
√
√
√
√
√
√
√
Resolución
√
Se tiene la expresión
Ejemplo
38.
Halle el valor de
√
si
1
√(√
√
√
)
√
√
√
√ √
√
√
√
√
Resolución
√
Recuerde que:
√
√
√
√
√
√
√√
Luego,
1
(
)
Por lo tanto, el producto de dígitos del
resultado es
.
Christiam Huertas
11
LEYES DE EXPONENTES
Ecuación exponencial
Álgebra
Por dato:
(
)
1−
1
(
)
1−
1
Una ecuación exponencial es aquella
ecuación en la que la incógnita aparece en
el exponente.
1−
1
Como las base son iguales, entonces
Teorema
Consideremos
y
, entonces
Por lo tanto,
.
40.
Ejemplo
Ejemplo
Resuelva la ecuación
42.
Si se sabe que
Resolución.
y
Se tiene la ecuación:
valor de (
Busquemos una base común:
Resolución
(
)
( )
(
)
(
es un número entero, entonces, halle el
).
Se tiene la igualdad
)
Como las bases son iguales, entonces
Factorizamos
:
(
Ejemplo
(
{ }
Por lo tanto,
)
)
(
41.
Halle el valor de
(
si se sabe que
)
1−
1
Por lo tanto,
(
Resolución.
12
Christiam Huertas
)
)
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Enunciado de los
problemas resueltos
Problema 4.
Si
, halle el valor de la expresión .
1
Problema 1.
A) 3
Dados los números
D) 2
B) √
C) 1
E) √
Problema 5.
( ).
calcule el valor de
Si se cumple que
, halle el valor de
sabiendo además que
A)
−1
B)
−1
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D) 1
E) 4
Problema 2.
Calcule el valor de la siguiente expresión.
(
(
)
)
A) 1
( )
( )
B)
D)
Problema 6.
Si
( )
(donde
), halle el valor de
la siguiente expresión.
(
C) 2
)
−
(
(
)
)
E)
A) 3
Problema 3.
B)
C)
D)
E)
Si se sabe que
halle el valor de
Problema 7.
.
Si
A) 32
D) 8
B) 16
C) 4
E) 2
(
)
Calcular
√
√
√
√
Christiam Huertas
13
LEYES DE EXPONENTES
A) 6
B) 7
D) 9
Álgebra
C) 8
Problema 11.
E) 10
Calcule el valor de la expresión siguiente
cuando
e
.
Problema 8.
√
Simplifique la siguiente expresión.
√
√
√
A) √
√
√
C) √
4
E) √
D) 1
Problema 9.
−1
)
(
−1
)
A)
A)
C) √
B) 2
D) √
E) √
(
)
¿Qué valor debe tomar
para que se
verifique la igualdad?
−1
(
]
Problema 12.
Calcule
(
√
[
B) 2
√
−1
)
√(
B)
√(
)
)
√
C)
D)
E)
)
)
)
)
)
Problema 10.
Problema 13.
Dada la ecuación
,
Calcule el valor de
,
Si
.
√
A)
B) √
D) √
es un número positivo tal que
C)
√
(
E) √
)
(
halle el valor de
A) 4
14
Christiam Huertas
4 −1
( )
√
)
.
B) 6
C) 5
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
D) 3
E) 7
Problema 17.
Si se sabe que
Problema 14.
entonces, halle el valor de .
Se sabe que
√
si
A)
√
B) 3
D)
C) 2
E)
, calcule el valor de
√
√
Problema 18.
A) 10
B) 7
C) 133
D) 3
Calcule el valor de
si se sabe que
E) 9
A)
Problema 15.
B) 225
D) 625
Si se sabe que
(
C) 125
E) 325
)
determine el valor de .
Problema 19.
(
A) 10
B)
D) 8
)
Resuelva la ecuación exponencial
C) 5
calcule el valor de
E) 15
A) 112
Problema 16.
B) 64
D) 32
C) 128
E) 256
En la ecuación
con
, halle el valor positivo de .
Problema 20.
Si
A) 2
D) 6
B) 1
( )
C) 3
E) 5
y se verifica
{
entonces, se puede afirmar que
Christiam Huertas
15
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
donde
A)
es un número positivo. Calcule
B)
C) | |
(
| |
D)
)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Problema 21.
Si se sabe que
Problema 24.
Si se sabe que
y
donde
, halle el valor de .
A) 1
B) 2
halle el valor de (
C)
E) √
D) √
)
A)
B)
C)
D)
E)
Problema 22.
Problema 25.
Si se sabe que
(
)
Si se sabe que
{
halle
(
el
valor
de
la
expresión
.
calcule el valor de la expresión
(
B) √
A) 3
)(
)
(
)(
)
(
C) 5
D) √
)
)(
E) √
A)
B)
C)
Problema 23.
D)
Dada la sucesión
√ ;
16
√ ;
Christiam Huertas
√
√ ;…
E)
)
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Problema 26.
E) √
D) 125
Si se sabe que
(
y √
halle el valor de
Problema 30.
)
Al resolver
.
A) 48
B) 96
D) 99
C) 66
se obtiene la fracción irreductible
E) 44
halle
Problema 27.
.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Resuelva la ecuación
(
,
E) 6
)
luego calcule el valor de
Problema 31.
.
Calcule el valor de .
)
)
)
)
)
A) 12
Problema 28.
B) 14
C) 16
D) 18
E) 22
Dada la igualdad
(
con
)
Problema 32.
, halle el valor de (
).
Dada la ecuación
√
A)
B)
D) 2
E)
(
Problema 29.
A)
Se sabe que
D) 4
halle el valor de (
A) √
√
C) 3
B)
B) 2
)
C) 1
E) 16
)
√
C) 25
Christiam Huertas
17
LEYES DE EXPONENTES
Universidad Nacional
Álgebra
A) 3
B) 1/3
C) 1/9
D) 1
E) 9
del Callao (UNAC)
UNAC 2007 – II
Problema 36.
Problema 33.
Sean
e
dos números reales distintos de
cero. Indique la expresión equivalente de
Sea
. Si
( )
( )
( ),
y
son tales que
se puede afirmar que
.
A)
(
) (
)
B)
C)
D)
)
)
)
)
E)
UNAC 2010 – II
)
UNAC 2002 – I
Problema 37.
Dada la ecuación
Problema 34.
¿Para qué valor de
[
(
(
se cumple que
)
el valor de
]
A) 4/9
es
B) 9/4
D) 25/16
A)
B) 2
C) 16/25
E) 2/3
UNAC 2011 – I
C) 1
D) 3
)
E)
UNAC 2004 – I
Problema 38.
La suma de las raíces de la ecuación
Problema 35.
Si los números enteros
e
satisfacen la
es
ecuación
A) 7
el valor de
es
D) 2
B) 3
C) 4
E) 6
UNAC 2011 – II
18
Christiam Huertas
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Problema 39.
Problema 42.
Simplifique la siguiente expresión.
√
Donde
Determine el valor de la expresión
[(
[(
A) 45
4
√
]
]
)
)
√
B) 75
D) 125
4
(
√
√
1
C) 115
A)
B) √
E) 25
D) √
E)
√
−1
)
C)
UNAC 2011 – II
Problema 43.
Problema 40.
Sea
Si el producto
Simplifique la siguiente expresión.
√
(
[
√ √
√
un número positivo tal que
)
.
]
tiene infinitos factores, cuyos exponentes
están en progresión geométrica, su valor es
igual a
A) √
B) √
D) √
E) √
C) √
UNAC 2013 – I
A)
B)
D)
E)
Problema 44.
Halle el valor de la expresión
que
Problema 41.
1
√
√
√
√
A)
B)
D)
D)
B) 4
√
)
1
√
A) 2
si se sabe
.
√( √
√
Si
, determine el valor de la
expresión .
4 1−
C)
C)
E)
C) 1
E)
Christiam Huertas
19
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
UNI 2012 – II
Problema 45.
Si
es positivo, simplifique la expresión
Problema 48.
1
√
√
4
√
4
√
Calcule el valor de la siguiente expresión.
1
√
1
√
[
A)
B)
E) 1
Problema 46.
Halle el exponente final de
siguiente expresión.
√
1
1
√
1
en la
A)
B) √
D)
E)
C) √
Problema 49.
Dada la ecuación:
√
4
√
√
B) 14/91
E) 11/81
1− √
( )
Halle el valor de
A) 10/81
D) 1/9
]
( )
√
C)
D)
1
√ (1−√ )
4
√
.
C) 9/100
Universidad Nacional
de Ingeniería (UNI)
A)
B)
D)
E)
C)
Problema 50.
Sean
e
dos números reales tal que:
Halle el valor de
Problema 47.
Determine las veces que aparece el número
cinco al efectuar la suma:
(
)
(
)
(
B) 2
D) 4
20
)
C) 3
E) 5
Christiam Huertas
[
√
)−1
]
1
√
)
(
A) 1
(
1
A)
B)
D)
E)
C) √
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Resolución de los
problemas
Resolución 2.
Se tiene la expresión
(
(
Resolución 1.
Para la expresión :
Cancelamos
)
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
:
Para la expresión :
Rpta: B
Resolución 3.
Por dato
Cancelamos
:
⏟
(
)
Nos piden hallar
( )
Nos piden
Por lo tanto,
.
Rpta: B
Rpta: D
Christiam Huertas
21
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
De donde
Resolución 4.
Se tiene la expresión
1
Busquemos
Lo reemplazamos en ( ):
para reemplazarlo por :
1
√
(
)
( )
Por lo tanto,
( )
(
)
( )
( )
Rpta: C
( )
Resolución 6.
√
√
Por lo tanto,
Nos piden calcular
√
(
√ .
)
−
(
(
)
)
Rpta: E
Reemplazamos
( )
Resolución 5.
Por dato:
…( )
−1
⏟
(
(
)
)
formar
(
)
convenientemente
:
−1
−1
−1
−1
−1
(
)
(
(
Como las bases son iguales, entonces
)
…( )
Lo reemplazamos en ( ):
(
)
Como las bases son iguales, entonces
Christiam Huertas
(
)
)
( )
( )
De donde
)
Reemplazamos
(
22
por :
Acomodamos


−
por :
( )
para
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
√
Resolución 7.
√
√
√
Aplicamos la definición del operador
Rpta: A
para calcular la expresión
√
√
(√
√
)
Resolución 9.
√
√
(√
√
)
Se pide reducir la expresión
(
(
)
)
−1
)
(
−1
)
−1
(
( )
( )
(
(
(
)
)
−1
−1
(
)
( )
)
(
(
(
)
)
)
( )
Por lo tanto,
( )
.
Rpta: C
(
)
Recuerde que:
( )
√
√
(
)
√
( √ )
√
√
(√ )
√
√
( )√
√
√
√
√
√
√
Le damos
( )
√
Se tiene la expresión:
√
√
( )
Resolución 8.
√
( )
√
√
√
√
Por lo tanto,
.
Rpta: B
forma para encontrar la
alternativa correcta:
Christiam Huertas
23
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
√
√
Resolución 10.
Se tiene la ecuación:
[
Aplicamos producto de extremos entre
producto de medios:
Elevamos al cuadrado:
(
)
[
Factorizamos
√
√
]
√
:
(
)
Cancelamos
]
√
Simplificamos las :
:
[
√
]
√
Nos piden calcular:
[
√
√
√
]
Rpta: A
[
]
Resolución 11.
Se tiene la expresión
√
√
Por lo tanto, para
√ √
√
se obtiene
.
Rpta: A
[
√
√
]
[
√
]
Resolución 12.
Se tiene la igualdad
4
4
√
[
24
Christiam Huertas
√
√(
]
)
√(
)
√
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
√(
√(
)
√
)
√
Segundo dato:
√
(
√
√(
)
√
( )
⏟
⏟
√
√
Lo expresamos en una sola raíz:
(
)
)
(
)
(
)
√
Como las bases son iguales, entonces
Como las bases son iguales, entonces
Rpta: A
Resolución 13.
Primer dato:
√
√
Por lo tanto,
√
4 −1
( )
Rpta: C
√
4
√
4
(
4 −1
( )
)
4
Resolución 14.
Hallemos el valor de :
√
√
Como las bases son iguales, entonces
Es decir,
Christiam Huertas
25
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
√
Elevamos al cuadrado:
Igualdad que se cumple solo cuando
.
Cancelamos , pues es positivo:
Lo reemplazamos en :
Hallemos el valor de
√
(
:
√
√
(
)
)
√
Es decir,
Por lo tanto,
.
√
Rpta: A
De donde
Resolución 16.
Por lo tanto,
.
Recuerde que:
Rpta: D
√
Resolución 15.
Se tiene la ecuación:
Por dato se tiene
(
(
( )
( )
(
(
)
)
(
)
)
(
(
⏟
)
)(
)
)
Como las bases son iguales, entonces
Como los factores son iguales, entonces
es un trinomio cuadrado perfecto; es
De aquí, los numeradores deben ser
decir:
iguales:
(
)
De donde
26
Christiam Huertas
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Resolución 18.
Se tiene la ecuación
(
)(
)
( )
o
Por lo tanto, el valor positivo de
es .
De donde
Rpta: B
Elevamos al cuadrado:
(
Resolución 17.
)
Por dato:
Por lo tanto, el valor de
es
Rpta: B
Buscamos bases iguales para poder
igualar los exponentes:
(
)
( )
Como son potencia de
multiplicamos los exponentes:
.
Resolución 19.
potencia,
Como las bases son iguales, igualamos los
exponentes:
Se tiene la ecuación
(
)
(
(
)
)
Multiplico por :
Igualdad que se cumple solo cuando
(
)
(
(
Cancelamos
Por lo tanto,
)
)
en ambos lados:
.
Rpta: E
De donde,
Nos piden calcular
Christiam Huertas
27
LEYES DE EXPONENTES
Rpta: A
Álgebra
Recuerde que:
Resolución 20.
En la primera ecuación:
( )
( )
(
)
Factorizamos
:
(
)
Multiplicamos por
De donde,
:
(
.
)
(
Simplificamos
En la segunda ecuación:
( )
)
:
Como las bases son iguales, entonces
√
Como las bases son iguales, entonces
Por lo tanto, el valor positivo de
es √ .
Rpta: E
De donde
Como
y
, entonces la única
alternativa que se cumple es la
). Es
Resolución 22.
De la segunda ecuación:
⏟
decir,
⏟
(
Rpta: D
(
)
Es un trinomio cuadrado perfecto:
Resolución 21.
Se tiene la ecuación
)
((
)
(
)
)
De donde
( )
28
Christiam Huertas
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
√
De la primera ecuación:
(
(
√
)
)
Entonces,
⏟
(
(
√
)
)
Luego,
(
(
⏟
)⏟
(
)
De aquí:
Nos piden calcular
)
(
)
Es decir,
De donde
( )
⏟
Rpta: B
De ( ):
Resolución 24.
, entonces
Nos piden el valor de
Nos piden calcular
(
( )
)
(
Rpta: C
Resolución 23.
)
(
)
(
)
Por dato:
√
(
√
Entonces,
√
)
( )
(
)
( )
Por lo tanto,
(
)
( )
( )
Christiam Huertas
29
LEYES DE EXPONENTES
Rpta: A
Álgebra
Resolución 26.
Primer dato:
Resolución 25.
Por dato
(
Multiplico por
( )
)
:
(
De donde
)
Segundo dato:
(
√
( )
(
)
)
Elevamos al cubo:
(
(
⏟
)⏟
(
)
Es decir,
)
((
) )
(
)
(
)
(
)
(
)
De donde
Por lo tanto,
De donde
Rpta: C
Nos piden calcular
(
)(
)
(
)(
(
Reemplazamos
Resolución 27.
)
Se tiene la ecuación
)(
)
(
:
((
(
)
)
) )
(
)
Recuerde que:
(
(
⏟
)
Rpta: E
Es decir,
30
Christiam Huertas
)⏟
(
)
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Rpta: B
Resolución 29.
Por dato
( )
( )
( )
De donde
Multiplicamos por :
Por lo tanto,
⏟
Rpta: A
Sacamos tercia:
(
Resolución 28.
)
Por dato se tiene
(
Luego,
)
⏟
(
Multiplicamos el lado derecho por
arriba y abajo:
(
(
Nos piden
(
)
(
)
( )
)
√
)
Rpta: A
)
(
) (
(
)
)
Resolución 30.
Se tiene la ecuación
Por simple comparación se obtiene:
Busquemos una base en común:
(
)
( )
De donde
Como las bases son iguales, entonces
Por lo tanto,
Christiam Huertas
31
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Resolución 32.
Como las bases
y
no tienen nada en
común, entonces la igualdad se verifica
Por dato:
√
solo cuando el exponente común es cero;
es decir,
√
√
Como las bases son iguales, entonces
√
Por dato
( )
( )
Por lo tanto,
.
Rpta: B
Como las bases son iguales, entonces
Resolución 31.
Se tiene la expresión
Nos piden hallar el valor de
(
Cancelamos
arriba y abajo:
)
De lo anterior, se sabe que
(
(
Por lo tanto,
:
)
)
.
Rpta: C
Por lo tanto,
.
Rpta: C
32
Christiam Huertas
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Resolución 33.
[
]
(
)
Se tiene la expresión
Como las bases son iguales, entonces
(
) (
)
Rpta: C
El signo negativo sale por tener exponente
impar:
( )( ) (
) (
)
Resolución 35.
Por dato:
Simplificando arriba y abajo:
( ) ( )
Simplificando arriba y abajo:
Rpta: D
Esta igualdad solo se cumple si:
y
y
Resolución 34.
Por lo tanto,
Se tiene la ecuación
[
(
)
[
Rpta: A
]
]
Resolución 36.
Se tiene la expresión
Cancelamos
arriba y abajo:
[
]
( )
Por dato:
( )
[
( )
]
⏟
[
]
Luego,
Christiam Huertas
33
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
(
Sacamos tercia:
)
(
)
(
)
Sacamos mitad:
(
)
Rpta: B
Resolución 37.
(
)(
Se tiene la ecuación
o
(
)
o
(son las raíces de la ecuación)
Elevamos a la :
(
)
(
)
( )
(
)
)
(
(
Por lo tanto, la suma de raíces es .
Rpta: C
)
Resolución 39.
)
Queremos hallar el valor de la expresión
(
)(
⏟
[(
[(
)
]
]
Cancelamos
o ⏟
( )
)
)
[( )
[( )
]
]
:
[( )
[( )
Absurdo
]
]
[
[
]
]
[ ]
[ ]
Rpta: B
[
]
[( ) ]
Resolución 38.
Reemplazamos el dato:
Se tiene la ecuación
[(√ ) ]
⏟
(
(
34
[ ]
)
)
(
)
Christiam Huertas
(
)
Rpta: D
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Resolución 40.
4
1
4
√
√ √
√
1
√
Se tiene el producto infinito:
√
4
4
1
4
√
Recuerde que:
√
(
4
√
√
( )
4
√
√
√
√
√
√
)
4
√
√
Cancelamos índice
con exponente :
Por lo tanto, el valor de es .
Rpta: A
En el exponente se ha formado una
progresión geométrica de razón
:
Resolución 42.
Tenga en cuenta que:
Reemplazando:
4
√
1
√
√
1
√
Simplifiquemos la expresión :
4
4
√
(
√
√
Rpta: C
1
1
(
√
1
4 1−
1
para
1
√
Cancelamos (
(
1
1
√
√
√
1
(
)
√ )
√
)
1
4 1−
4 1−
√
√ ):
√
4
1
1
1
)
√
√
√
−1
√
1
1
√
Resolución 41.
Busquemos la expresión
en
reemplazarlo por su equivalente .
√
1
1
( √ )
√
1
1
√
√
Christiam Huertas
35
LEYES DE EXPONENTES
Nos piden calcular
Álgebra
Resolución 44.
Se tiene la expresión
Por lo tanto,
.
Rpta: E
√( √
√
√
√
√
√
√( √
√
√
)
Resolución 43.
Se quiere reducir la expresión:
(
[
)
Reemplazamos
)
Tenga en cuenta que: (
)
[
]
√(
]
)
√(
)
√(
)
Operamos en el numerador y denominador:
√(
(
)
√(
)
)
Por dato:
Cancelamos (
(
)
(
)
Luego,
√(
):
√(
Rpta: D
36
)
:
(
[
]
Christiam Huertas
)
)
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Por lo tanto,
.
Vemos que el resultado es siempre ; es
Rpta: E
decir, no depende de .
Por lo tanto,
.
Rpta: E
Resolución 45.
Analicemos la expresión
casos particulares:
Para
para algunos
Resolución 46.
Recuerde que:
:
√
1
√
( )
√
√
√
√
Luego, la expresión se puede desdoblar de
la siguiente manera:
1
√
1 4
1
1
√
4
4
Para
Ahora calculemos el valor del exponente
que es una serie (aritmético – geométrico):
:
1
√
√
( )
Multiplicamos por
:
1
1
√
√
√
Restamos:
⏟
Para
:
1
√
√
4
√
( )
Christiam Huertas
37
LEYES DE EXPONENTES
Por lo tanto, el exponente final de
.
Álgebra
es
Rpta: E
Rpta: B
Resolución 48.
Se quiere reducir la expresión:
1
Universidad Nacional de
√
[
Ingeniería (UNI)
1
(
√ (1−√ ) √
)
]
Multiplicamos en el exponente:
Resolución
47.
(
)
(
)
(
)
(
(
)
√
[
(
)
√
[
Factorizamos
:
√
(
⏟
)
√
−√
−4
−
)
Por lo tanto, el número
−√
√ −4−√
√
(
−√
]
√ −4
√
)
]
√
√ −4
√
√
√
√ −√1
)
)
]
)
(
(
√
[
Se tiene la expresión
(
√ −√ √
aparece dos
4
√
veces.
Tenga en cuenta que:
Rpta: E
( )
Resolución 49.
Se tiene la ecuación:
4
√
38
Christiam Huertas
1
4
√
( )
1− √
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Recuerde que:
√
√
√
( )
√
Por simple comparación:
1
√
( )√
√
√
√
1
4
( )
√
4
4
4
√
√
4
4
4
√
√
Elevamos a la cuarta:
4
√
√
4
√
[( ) ]
√
√
Nos piden calcular:
4
√
(
4
√
√
4
√
√
4
√
√
)
4
4
[( ) ]
( )
√( )
√
( )
[( ) ]
Rpta: A
Por simple comparación:
√
4
√
( )
Resolución
4
Tomamos √ :
4
√
Se quiere reducir la expresión:
4
4
√
√( )
√
√
[
4
√
4
√
√
1
√
4
√
(
√
[
√
(
√√
[
)(
)
]
1
√
√
]
1
4
)−1
(
1
√
4
50.
)(
)
]
√
4
√
4
√
√
√
Christiam Huertas
39
LEYES DE EXPONENTES
Recuerde que:
[
(
)(
)
(
)(
)
]
(
)
Operamos el exponente:
(
(
)
(
)
(
(
(
(
)(
(
(
)(
)(
(
(
)(
)
)
(
)
)
(
(
)
)(
)
)(
)
)
(
)
)(
)
)
(
⏟
Cancelamos (
)(
)
)
)
(
)
)
)
)(
)(
)
(
)(
(
(
(
)(
)
):
⏞
Cancelamos (
):
Es decir, el exponente es
. Luego:
√
Rpta: B
40
Christiam Huertas
Álgebra
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Enunciado de los
problemas propuestos
Problema 4.
Calcule el valor de (
que
) si se sabe
es un número natural que verifica la
igualdad:
Problema 1.
⏞
⏟
Calcule el valor de .
4
14
A)
B)
D)
E)
C)
A) 15
B) 8
D) 3
E) 24
C) 1
Problema 5.
Problema 2.
Se sabe que:
y
Calcule el valor de la expresión
determine el valor de a expresión:
1
si se sabe que:
A)
B)
D)
E)
C)
A)
B)
D)
E)
C)
Problema 6.
Calcule el valor de la expresión
sabe que
si se
.
Problema 3.
Halle el exponente de
luego de
simplificar la expresión .
(
A)
)
A) 1
B) 0
D) 5
E) 10
C)
B)
D)
C)
E)
Problema 7.
Calcule el valor de √ si se sabe que
Christiam Huertas
41
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
A) 2
B)
C)
D)
A)
B) 1
D)
E) 9
E)
Problema 11.
C)
Simplifique la expresión siguiente.
((
(
Problema 8.
) )
)
(
Considere
[
)
) ]
(
.
Dados los números
A)
B)
C)
D)
E)
Problema 12.
halle el valor de
.
A) 1
B) 3
D) 2
E) 9
Calcule el valor de .
(
√
(
C)
) (
)
) (
)
Problema 9.
Simplifique la siguiente expresión.
(
)
( )
( )
(
)
A) 3
B) 9
C) 27
D) 81
E) 243
Problema 13.
A)
B)
D)
E)
C)
Luego de reducir la expresión
(
)
(
Problema 10.
(
)
)
Indique el exponente final de 2.
Simplifique la expresión
A)
⏞
[( ) ]
[( ) ] ( ((
D)
) )
)
De como respuesta el exponente de .
42
Christiam Huertas
B)
C) 1
E)
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Problema 14.
Simplifique la expresión
(
)
A)
B) √
D) √
E) √
4
C) √
Problema 18.
si se sabe que:
Calcule el valor de
(
A)
B)
D)
E)
C)
)
4
(
)
si se sabe que
√
(√
√
√
)
Problema 15.
Simplifique la expresión
si se sabe que
−
A) 4
B)
D)
E) 0
C) 2
Problema 19.
.
Determine el valor reducido de .
A) 1
B) 8
C) 5
D) 4
E) 16
(
)
Problema 16.
A)
B)
Determine el valor de la expresión .
D)
E)
C)
−1
( )
Problema 20.
−1
[( )
Sean
]
e
1
A)
B)
D) 2010
√
√
√
C) 1
√
√
E)
Problema 17.
Halle el valor de √
dos números tales que
A) 1
si se sabe que
B)
D)
C)
E)
Christiam Huertas
43
LEYES DE EXPONENTES
Problema 21.
Álgebra
Considere
.
Simplifique la siguiente expresión.
(
)
√
ℍ
−
B) √
A)
C)
4
D) √
E)
√
Problema 25.
A) √
B)
D) √
E)
C) √
Sea
{ } tal que
halle el valor de la expresión
Problema 22.
√
√
Calcule el valor de la expresión .
−
4
A)
(
)
B)
C) 0
D) 1
E)
A)
B)
D)
E)
C)
Problema 26.
Calcule el valor de
si se sabe que
Problema 23.
Calcule el valor de .
−
− −1
[(
)
A) 4
B) 8
D) 32
E) 2
√
− −1
]
C) 1
A) 1
B) 2
D) 14
E)
C) 4
Problema 27.
Simplifique la expresión .
1 1 −
−( )( )
4
Problema 24.
( )( )( )
( )( )( )
Simplifique la expresión .
√
√
4
(
44
√
Christiam Huertas
)
A)
B)
D)
E)
C)
√
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Problema 28.
Problema 31.
Simplifique la expresión
Halle el exponente de
.
a partir de la
siguiente expresión.
√
(
√
.
A) 40
B) 20
A)
D) 10
B)
C)
E)
C) 15
Problema 32.
E) 5
Dadas las expresiones:
√
Problema 29.
Dados los números
√
)
√
4
4
√
4
√
Halle el valor de
√
−1
)
D)
Considere
√
1−
(
4
√
si se sabe que
.
√
Calcule el valor aproximado de
.
B) √
A) 20
A)
B)
D)
E)
C)
C) √
D) 10
Problema 33.
E) 3
Simplifique la siguiente expresión.
Problema 30.
−
Determine el valor de (
)
si se sabe
√
que:
(
√
)
además,
(
√
.
)
donde
A)
B)
D)
A)
B)
D)
E)
C)
E)
C)
1
Christiam Huertas
45
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Problema 34.
{
Considere
√(
1
A) √
4
4
√
4
[ √
car la siguiente expresión.
−1
√
} para simplifi-
(
−
√ )(
√
4
√
√ )
]
1
)
B)
A)
B)
D) √
E)
C)
C)
D)
E)
Problema 38.
Calcule el valor de
si se sabe que
Problema 35.
Determine el valor de
√
si se sabe que
−1
√
A) 19
B) 17
D) 16
E) 20
A) 1
B) 3
D) 9
E) 0
C)
C) 18
Problema 39.
Si se sabe que
Problema 36.
(
Determine el valor de la expresión
sabe que
si se
) (
(
)
halle el valor de
)(
.
.
−1
−
(
)
( 4
−4 )
A) 0,06
B) 0,01
C) 0,05
D) 0,02
A) √
B) 3
D)
E) 4
E) 0,03
C) 9
Problema 40.
Determine uno de los valores de
Problema 37.
(
A)
Christiam Huertas
si se
sabe que
Simplifique la siguiente expresión.
46
)
)
−
B)
( )
C) 1
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
D) 2
(
E) 4
)
Problema 41.
Determine el valor de
de la siguiente
Considere
.
ecuación.
1
A)
B)
D)
E)
−
C)
A)
B)
D)
E)
C)
Problema 45.
Dada la igualdad:
Problema 42.
(
Si al reducir la expresión
)(
1−
(
)
)
halle el equivalente de la expresión:
( )
)
[(
se obtiene
( )
( )
]
, halle el valor de
A)
B)
D)
E)
.
A)
B)
D)
E)
C)
C)
Problema 46.
Simplifique la siguiente expresión.
Problema 43.
Halle el valor de
si se
1
( √
1
)
(
(
−1 −1
)
)
sabe que
1
Considere
(
)(
4
)
.
A)
B)
D)
E)
A)
B)
D)
E)
C)
C)
Problema 47.
Simplifique la siguiente expresión.
Problema 44.
Luego de resolver la ecuación:
Christiam Huertas
47
LEYES DE EXPONENTES
Álgebra
Problema 50.
(
)
Calcule el valor de
si se
sabe que:
[(
(
)
)
{
Considere
1
(
]
√ )
√ (
)
1
}.
A) √
A)
B)
D)
E)
C) √
4
√
D)
Problema 48.
B)
√
E)
√
C)
Claves
Determine la solución de la siguiente
ecuación.
( √
)
√
A)
B)
D)
E)
C)
Problema 49.
Calcule el valor de
si se
sabe que:
1
1
−1
√
[
√ 1
1
√
A) 0
B) 4
D) 3
E) 8
48
√ 1
Christiam Huertas
]
C) 6
01 D
18
35 A
02 D
19 E
36 C
03 D
20 B
37 C
04 A
21 E
38 E
05 D
22 C
39 D
06 D
23 E
40 E
07 E
24 E
41 D
08 A
25 A
42 B
09 B
26 C
43 B
10 D
27 C
44 A
11 E
28 E
45 D
12 A
29 A
46 C
13 D
30 D
47 E
14 B
31 E
48 C
15 D
32 D
49 C
16 C
33 D
50 C
17 B
34 B
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