Subido por Alexander Casas

CLASE 1 2 EST (1) (1)

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES
PROMEDIOS II
PCR2022-I
DESARROLLO DEL TEMA
•
•
•
TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es una forma de comparar dos cantidades
tomando a una de ellas como proporcional a 100.
El siguiente ejemplo mostrará dos perspectivas distintas:
A
32
16
27
200
400
300
.............................
.............................
.............................
Las siguientes fracciones nos ayudarán en cuanto a la
velocidad y agilizarán nuestros cálculos:
Porcentaje
• 1/2 = ....................................
• 1/8 = ....................................
• 1/5 = ....................................
• 1/10 = ..................................
• 1/3 = ....................................
• 1/6 = ....................................
B
l.
Asumiendo que A es como 100, diremos que B es como
200. (B es 200% de A)
II. Asumiendo que B es como 100, diremos que A es como
50. (A es 50% de B)
VARIACIÓN PORCENTUAL
Uno de los objetivos de esta clase es dejar claro. Así el
concepto de variación porcentual solo existe cuando una
misma variable es comparada en dos momentos diferentes.
No existe una variación porcentual cuando comparamos dos
variables diferentes en un mismo momento.
Unidades
En la segunda perspectiva, notamos que A resultó el 50%
de B dado que A es la mitad de B. Esto matemáticamente
se expresa:
1 x 100% = 50%
2
72
En general:
A x 100%
B
60
Por ejemplo:
En cada caso determinar, qué porcentaje es A de B.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A
B
13
99
14
22
31
4
7
8
15
100
100
50
50
25
25
20
10
10
Antes
•
•
•
Representa
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
Después
El aumento en unidades es: .............
El aumento en fracción es: ..............
El aumento porcentual es: ..............
Unidades
48
40
Antes
1
Después
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2
GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES
PROMEDIOS II
•
•
•
La disminución en unidades es: .............
La disminución en fracción es: .............
La disminución en porcentual es: .............
y la cantidad final; y nos piden la cantidad inicial.
Unidades
72
20%
Situación 1
En las siguientes gráficas, nos dan la cantidad inicial y la
variación porcentual y nos piden la cantidad final.
Unidades
Antes
30%
•
•
60
Aumento en unidades: .....................
Cantidad inicial: .....................
Unidades
Antes
•
•
Después
12
,5%
Después
49
Aumento en unidades: .....................
Cantidad final: .....................
Unidades
Antes
12
48
,5%
•
•
Después
Disminución en unidades: .....................
Cantidad inicial: .....................
Unidades
Antes
•
•
10
%
Después
Disminución en unidades: .....................
Cantidad final: .....................
36
Unidades
Antes
25
80
%
•
•
Después
Aumento en unidades: .....................
Cantidad inicial: .....................
Unidades
Antes
•
•
Después
56
%
33,3
Disminución en unidades: .....................
Cantidad final: .....................
Unidades
Antes
35%
40
Antes
•
•
•
Aumento en unidades: .....................
•
Cantidad inicial: .....................
GRÁFICOS CIRCULARES
Después
Se aplican ususlamente cuando se necesita indicar la
Aumento en unidades: .....................
Cantidad final: .....................
participación de varios rubros en un determinado ámbito,
como por ejemplo, las preferencias de la población electoral, el reparto de utilidades, la distribución de la riqueza
Situación 2
En esta segunda situación, se nos da la variación porcentual
PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
Después
por sectores, etc.
2
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADS | 1-2
GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES
PROMEDIOS II
1. 100%
360°
13
a
50% <>
10% <>
20% <>
.
.
.
180°
36°
72°
.
.
.
Total = 52
2
%=
1
f=
3
a=
En un gráfico circular son tres elementos básicos a calcular:
2. 18
a
9
6
a
Total = 90
Total =
2
2
%=
1
f=
%=
1
3
f=
a=
3
a=
Nota:
Como puedes observar, el cálculo fundamental es la fracción
3. del sector que estudiamos respecto al total. Obtener el
porcentaje o el ángulo correspondiente obedece a cálculos
35
semejantes.
a
Total = 42
Ejemplo:
2
Si la fracción es:
%=
1
f= 2
5
f=
3
a=
El porcentaje se clacula así:
Total en porcentaje
2
%=
x 100% = ........................
5
4. 13
a
El ángulo corresponde así:
22
% = 2 x 36% = ........................
5
Total en ángulos sexagesimales
Total = 60
2
1
Ejercicios
Calcular la fracción, el porcentaje y el ángulo que corresponde en cada caso:
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2
7
%=
f=
3
a=
3
PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES
PROMEDIOS II
PROMEDIOS II
I.
¿Cuánto como mínimo debe obtener en Filosofía
para aprobar con un promedio mayor o igual a 15?
CONCEPTO
El promedio de un conjunto de cantidades es un
valor representativo, el cual puede pertenecer o no al
conjunto en mención.
Nota:
Para obtener la nota final del curso se aproxima el
promedio ponderado. El medio punto favorece al
alumno.
Solución:
II. TIPOS DE PROMEDIOS
Solución:
A. Promedio aritmético o media aritmética
(MA)
Ejemplo:
El promedio de 8 números es 40 y el promedio de
otros 12 números es 30. Calcular el promedio de
los 20 números.
C. Promedio geométrico o media geométrica
(MG)
Solución:
Ejemplo:
Sean las siguientes las notas obtenidas en un ciclo
de la universidad.
• Matemática: 14
(peso 3)
Importante:
1. Si a todos los valores de la variable se les suma
un mismo número, el promedio aritmético queda
aumentado en dicho número.
2. Si todos los valores de la variable se multiplican
por un mismo número el promedio aritmético
queda multiplicado por dicho número.
B.
(peso 2)
•
Realidad social: 18
(peso 2)
•
Filosofía: x
(peso 3)
PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
(peso 2)
•
Realidad social: 18
(peso 2)
•
Filosofía: x
(peso 3)
Nota:
Para obtener la nota final del curso se aproxima el
promedio ponderado. El medio punto favorece al
alumno.
Solución:
C. Promedio geométrico o media geométrica
(MG)
Ejemplo:
Sean las siguientes las notas obtenidas en un ciclo
de la universidad.
• Matemática: 14
(peso 3)
Psicología: 16
Psicología: 16
¿Cuánto como mínimo debe obtener en Filosofía
para aprobar con un promedio mayor o igual a 15?
Promedio ponderado (PP)
Es aquel promedio que no surge de sumar todos los
valores y dividirlos por el número total de valores,
sino de asignarle un peso (de allí ponderado) a
cada valor para que algunos valores influyan más
en el resultado que otros. Siendo a1; a2; a3; a4;
...; an las cantidades dadas promediadas y w1;
w2; w3; w4; ...; wn los pesos de dichas cantidades
respectivamente, entonces:
•
•
Se tiene una balanza con los brazos desiguales, se
observa que cuando un objeto se coloca en el platillo
de la derecha, pesa 36 g pero cuando se le coloca
en el platillo de la izquierda, pesa 25 g. ¿Cuál es el
peso real del objeto?
4
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADS | 1-2
GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES
PROMEDIOS II
Solución:
2. Se suele utilizar para promediar velocidades,
tiempos, rendimientos, etc.
A considerar:
1. Si los números son diferentes:
Importante:
1. Solo es relevante la media geométrica si todos
los números son positivos. Como hemos visto
si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0.
2. La media geométrica es relevante cuando varias
cantidades son multiplicadas para producir un
total.
2. Si los números son iguales:
3. Para dos números a y b:
;
;
Como consecuencia:
D. Promedio armónico o media armónica
(MH)
y
Ejemplo:
Un automovilista recorre la primera vuelta de un
circuito a 50 km/h; la segunda vuelta a 100 km/h;
la tercera 150 km/h y la cuarta a 200 km/h. ¿Cuál
fue la velocidad promedio del automovilista en sus
4 vueltas?
4. El promedio aritmético de una progresión
aritmética es la semisuma del primer y último
término.
Solución:
5. La velocidad promedio es el promedio armónico
de las velocidades aplicadas a distancias iguales.
Importante:
1. La inversa de la media armónica es la media
aritmética de las inversas de los valores de la
variable.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2
6. El promedio es un valor representativo de un
conjunto de valores.
5
PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES
PROMEDIOS II
EJERCICIOS DE CLASE
Gráfico 1
Las ventas de los cuatro productos de una empresa, A, B,
C y D, durante los años 1999 y 2000, están dados en el
siguiente gráfico:
Cantidad
2200
2000
1800
1700
1500
1200
1200
A
800
B
A
B
D
C
D
C
1999
2000
A. 120°
C. 94°
B. 126°
D. 135°
5. Si 21 personas estudian francés, ¿cuántos estudian
inglés y cuántos alemán, respectivamente?
A. 34, 10
C. 24, 15
B. 15, 24
D. 15, 18
6. Si el 15% de los que estudian inglés son 12 personas,
¿cuántas personas tiene el instituto?
Años
A. 50
C. 150
B. 90
D. 200
7. Si 10 personas dejan de estudiar alemán para estudiar
inglés, siendo ahora el nuevo porcentaje de personas
que estudian alemán en 20%, hallar cuántas personas
tiene el instituto.
1. ¿Cuánto se vendió del producto C en total durante los
años 1999 y 2000?
A. 3900
C. 3800
B. 2700
D. 2000
2. De acuerdo al gráfico, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
I. La proporción de las ventas, en el año 1999, del
producto D con respecto al total de ventas de ese
año es 1/5.
II. El único producto que en el año 2000 se vendió
menos que en el año 1999 es A.
III. En el año 2000 las ventas de los productos A y D
superan, cada una, el 25% de las ventas totales de
ese año.
A. Solo I
C. Solo I y II
B. Solo II
D. Solo I y III
A. 100
C. 180
B. 150
D. 200
Gráfico 3
El gráfico siguiente muestra las notas mensuales de Carlos
y Fernando en los meses de Abril a Noviembre correspondientes al curso de MATEMÁTICA.
Nota
Carlos
18
Fernando
16
14
12
10
08
06
04
02
Meses
0
A M J
J A S O N D
3. ¿En cuál de los productos la empresa tuvo la menor
variación porcentual en las ventas en los años 1999 al
2000?
A. A
C. C
B. B
D. D
8. ¿Cuál fue la nota más baja obtenida por Fernando?
Gráfico 2
Un instituto que enseña tres idiomas elaboró la siguiente
gráfica circular de estudiantes por idioma:
A. 10
C. 08
B. 12
D. 14
9. ¿Cuál es el mes donde obtuvieron la misma nota ambos
estudiantes?
Francés
Inglés
40%
Alemán
25%
C. Noviembre
B. Mayo
D. Septiembre
10. ¿Cuál fue la calificación obtenida por Fernando el mes
en que Carlos obtiene su mínima nota?
4. ¿Qué ángulo corresponde a las personas que estudian
francés?
PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
A. Agosto
6
A. 11
C. 10
B. 12
D. 08
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADS | 1-2
GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES
PROMEDIOS II
11. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase
A es 68,4 kg y de todos los estudiantes de la clase B es
71,2 kg. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 kg y el número de estudiantes de la clase B
excede a la de A en 16 kg. ¿Cuántos estudiantes tiene
la clase B?
A. 64
C. 24
B. 40
D. 48
16. En una clase por cada nota 18 hay tres notas 10. Si
solo se obtuvieron dichas notas, ¿cuál es el promedio
de la clase?
II. El producto de dichos números es cero.
III. El último término es impar.
A. I y II son verdaderas.
B. 12
D. 15
A. 48 cm
C. 52 cm
B. 50 cm
D. 55 cm
18. La edad promedio de 15 personas es 28 años. Si ninguna tiene menos de 25 años, ¿cuál es la máxima edad
que podrían tener 3 de ellas en común?
B. I y III son verdaderas.
C. II y III son verdaderas.
D. Todas son verdaderas.
13. Calcular la media geométrica de 21; 36; 42 y 98.
A. 56
C. 9
B. 28
D. 42
D. 48
C. 46
B. 40
D. 56
A. 2 000
C. 1 800
B. 1 600
D. 2 800
20. Si el promedio de los "n" primeros múltiplos positivos
de 3 es 57 y el promedio de los "m" primeros impares
positivos es 53 entonces (m + n) es:
15. La media geométrica de tres números pares consecutivos es aproximadamente 19,93. ¿Cuál es el número
mayor?
A. 18
C. 22
D. 24
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2
A. 32
19. Cinco personas caminaron en promedio 1 000 km cada
uno. Si dos de ellos caminaron 800 km en promedio,
y los tres restantes no se detuvieron antes de recorrer
900 km. ¿Cómo máximo cuánto habrá recorrido una
de las personas?
14. Dos números son entre sí como 4 es a 9, si la media
aritmética de dichos números es 39, ¿cuál es la media
geométrica de los números?
A. 36
C. 45
B. 20
C. 16
17. Se tiene 4 varillas de metal cuyo promedio de longitudes
es 65 cm. Si cada una tiene una medida que a lo más
es 70 cm, ¿cuál puede ser la mínima longitud de una
de ellas?
12. Si diecinueve números consecutivos suman cero, entonces son verdaderas:
I. El promedio de dichos números es cero.
B. 30
A. 10
7
A. 80
C. 90
B. 85
D. 95
PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
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