CARTILLA 4TO FISICA

CARTILLA DE FJSICA
CUARTO DE SECUNDARIA
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cca -aocv
Lic. Ana Laura Loayza
Lic.Neyza Mollo
Lic. Marcefas Loayza
INDICE
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU) ........................................................................................ 5
ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO. ....................................... 5
Grâficas del M.R.U. ........................................................................................................................................ 8
PROBLEMAS DE ENCUENTRO.................................................................................................................. 9
ACTIVIDAD............................................................................................................................................. 11
EVALUACION. ...................................................................................................................................... 14
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMENTE VARIADO (M.R.U.V) .................................................... 16
CLASIFICACION DE MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO. ..................................... 16
UNIDADES: ................................................................................................................................................. 17
GRAFICAS DE M.R.U.A. ............................................................................................................................ 17
ACTIVIDAD............................................................................................................................................. 21
EVALUACION. ...................................................................................................................................... 24
DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION: LANZAMIENTO VERTICAL Y CAIDA
LIBRE. .............................................................................................................................................................. 26
CARACTERISTICAS. ................................................................................................................................. 26
ACELERACION DE LA GRAVEDAD ....................................................................................................... 26
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE VERTICAL. ................................................... 27
ACTIVIDAD............................................................................................................................................. 30
EVALUACION. ........................................................................................................................................ 33
NOCIONES BASICAS DE TRIGONOMETRIA ............................................................................................. 35
TIPOS DE TRI
GULOS: .......................................................................................................................... 35
TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SUS LADOS ...................................................................................... 35
TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SUS ANGULOS ................................................................................. 36
TABLA DE LOS TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SU TIPO ................................................................ 37
TRIANGULO RECTANGULO. ................................................................................................................... 37
LADOS DE UN TRI
GULO RECTANGULO: ....................................................................................... 38
TRIANGULOS OBLICUANGULOS: ......................................................................................................... 39
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Lic.Neyza Mollo
Lic. Marcelas Loayza
ACTIVIDAD............................................................................................................................................. 43
EVALUACION. ...................................................................................................................................... 47
VECTORES ...................................................................................................................................................... 49
INTRODUCCIéN. ........................................................................................................................................ 49
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. ................................................................................... 49
VECTORES. ............................................................................................................ 49
TIPOS DE VECTORES. .............................................................................................................................. 50
REPRESENTACION Y FORMA GRAFICA DE UN VECTOR. .............................................................. 51
CAMBIO DE UNA REPRESENTACION VECTORIAL A OTRA ........................................................... 52
SUMA DE VECTORES POR DIFERENTES METODOS: GRAFICOS Y ANALITICOS. ..................... 53
METODOS GRAFICOS. ............................................................................................................................. 53
METODOS ANALITICOS. ......................................................................................................................... 55
ADICION VECTORIAL POR MEDIO DE COMPONENTES. ................................................................. 58
ACTIVIDAD............................................................................................................................................. 58
EVALUACION. ...................................................................................................................................... 58
”
”
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2
Liz. Ana Laura Loayza
Lic.Neym Mello
INTRODUCCION
La educacion actualmente va atravesando cambios importantes, e1 cual nos invita a construir
nuevos conocimientos a partir de nuestras experiencias para llevar a la concrecion del modelo
educativo. El desarrollo cientifico alcanzado por e1 hombre en las ultimas décadas ha propiciado
que la sociedad se caracterice por la introduccion y expansion vertiginosa de las Tecnologias de
la Informacion y la Comunicacion (TIC). Estas constituyen un factor esencial en e1 desempeño
de los multiples escenarios donde se desarrolla la educacion, acompañada de procesos de
enseñanza-aprendizaje que exigen una constante actualizacion de los contenidos y las
competencias que se deben adquirir e1 colegio para lograr una formacion académica.
Esta necesidad del despliegue tecnologico y del saber ha influenciado notablemente en e1 campo
de la educacion. Como plantea (Chiappe), se necesitan contenidos educativos digitales diseñados
y elaborados de manera que respondan adecuadamente a los retos tecnologicos, comunicativos
y pedagogicos y a la actualizacion tematica demandada por una educacion que se desarrolla en
e1 marco de dicha sociedad. Desde este punto de vista, uno de los elementos que puede facilitar
tales exigencias es saber incorporar metodologias y estrategias de innovacion, con los recursos
tecnologicos disponibles propios en cada ârea para desarrollar una educacion virtual que apoye
los procesos de formacion de los estudiantes.
En e1 caso de la educacion virtual, para lograr su eficacia se debe organizar desde e1 diseño de
materiales didacticos virtuales adaptativos con enfoques flexibles, interactivos y que se adapten
a las caracteristicas y preferencias de los estudiantes. El presente material tiene como objetivo
fortalecer e1 proceso de enseñanza-aprendizaje del ârea de Fisica -Quimica en los maestros y
estudiantes de la ciudad de Yacuiba.
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CINEMATICA
ATICA
MOVIL
SISTEMA DE
REFERENCIA
TRAYECTORIA
DESPLAZAMIENTO
MOVIMIENTO RECTILINEO
UNIFORME (M.R.M
MOVIMIENTO RECTILINEO
UNIFORMEMENTE VARIADO
IM.R.U.V.)
ECUACION DEL
MOVIMIENTO DE CAIDA
DE LOS CUERPOS
La cinematica es una rama de la fisica dedicada a1 estudio del
movimiento de los cuerpos en e1 espacio, sin atender a las causas
que lo producen (lo que llamamos fuerzas)
tanto, la cinematica solo estudia e1 movimiento en st, a diferencia
de la dinamica que estudia las interacciones o causas que lo
producen.
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MOVIMIENTO RECTILINEO
UNIFORME (MRU)
¿QUE ES MOVIMIENTO?
El movimiento es el cambio de posicion
en funcion del tiempo que experimenta
un objeto o particula con respecto a un
sistema o punto de referencia.
ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO.
Mñvil. Es un cuerpo que se halla en movimiento. Esto permite que se puedan analizar las
fuerzas que actuan sobre él y su trayectoria.
Las caracteristicas principales de este movimiento son:
La velocidad. - que permanece constante en modulo, direccion y sentido.
-
La aceleracion. - es nula o sea igual a cero.
La distancia. - recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado
Rapidez. - Es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con e1
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tiempo.
Velocidad. - Expresa el desplazamiento de un cuerpo en el tiempo transcurrido. Es una
magnitud vectorial.
Si e1 movimiento es rectilineo, sin que cambie la direccion, los términos velocidad y
rapidez se pueden usar indistintamente.
Distancia. - Es el espacio recorrido por un cuerpo sin importar la direccion. Es una
magnitud escalar.
Desplazamiento. - Es el espacio recorrido por un cuerpo en determinada direccion. Es
una magnitud vectorial movimiento rectilineo uniforme (M.R.U).
Una dimensiñn. - Cuando un objeto se mueve por una recta, realiza un movimiento en
una dimension. Para determinar su posicion solo necesitamos indicar a qué distancia de1
origen se encuentra.
Trayectoria. - Es la linea recta o curva que une todos los puntos del espacio por los que
transita el movil.
Distancia y desplazamiento. - El desplazamiento puede ser positivo, nulo o negativo
dependiendo de la posicion relativa entre e1 instante final e inicial.
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Velocidad. - Es e1 cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en
recorrerla:
FORMULAS DEL M.R.U
V
d
—
t
v= velocidad
d= distancia
t= tiempo
d
V
UNIDADES
SISTEMAS
v
t
d
Sistema Internacional (S.I.)
mls
s
m
Sistema Cegesimal (SGC)
CM S
S
cm
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Velocidad media. - La velocidad media de un movil es la distancia total
recorrida en un intervalo de tiempo empleado.
Velocidad media =
Desplazamiento
Tiempo empleado
Velocidad instantanea. - es la velocidad que se presenta en un intervalo de tiempo.
La rapidez. - Es el modulo de la velocidad.
d
Calculo de la rapidez:
'
Calculo de la distancia:
d=v.t
Calculo del tiempo transcurrido:
t=
Graficas del M.R.U.- Supongamos que un automovil se mueve a 2 mls.
GRAFICA DESPLAZAMIENTO — TIEMPO:
GRAFICA VELOCIDAD — TIEMPO:
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PROBLEMAS DE ENCUENTRO. - Para el caso de dos moviles que van con M. R. U. se tienen dos
casos:
a) Dos moviles (A y B) separados una distancia “x”, parten en e1 mismo sentido, se
encuentran después de un tiempo (t)
d
dB
VB
t=
VA
Vg
b) | Dos mfiviles (A y B) separados uaafiistancia “x”, parten en sentidos contraries, se
encuentran después de un tiempo (t):
dA
dB
VA
VB
A
B
d
t=
EJEMPLO 1: Una motocicleta se mueve con movimiento uniforme a razon de 80 Km/h. ¿Que
distancia recorre en 0,25 h?
Datos
Formula:
V= 80 Km/h
V=d/t
d=?
Despejar d:
t= 0,25 h
d —— v .t
Reemplazando datos:
d = 80 KB/ h . 0,15 h
d = 24 Km
EJEMPLO 2: ¿Cual es la velocidad de un movil que con movimiento rectilineo uniforme ha
empleado 10 s para recorrer una distancia de 2,50m?
Datos
d= 100m
t= 10 s
V=?
Formula:
V
d
t
Reemplazando datos:
P= 100m .10 s
K = 10 mfs
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EJEMPLO 3: ¿Calcular el tiempo que demora un automovil en recorrer 800 m, con una rapidez
media de 20 mls?
Formula:
Datos
Reemplazando datos:
t = 800
20
d= 800m
Despejar t:
v= 20m/s
i=
t = 40 s
d
V
EJEMPLO 4: dos automoviles parten al mismo tiempo desde montero a Santa Cruz de la Sierra,
con una velocidad de 90 Km/h y 65320 plg/min; ¿Cual de los autos llega primero a Santa Cruz de
la Sierra?
Considerando que la distancia entre las dos ciudades es 50 Km.
Datos
vz = 65320 plg/min
plg/min
vi = 90 Km/h
V2 = 65320
vi = 90 Km/h
x = 50 Km
ti = ?
tz = ?
50 Km
transformaciones:
X - 50 Jfñ1. 1 0 a
vi= 90
formula
1 000 m lJf
W ’
v2 = 65320
I K
= 25
’ 3 60 0s
2,54nñ
r0/ñ ’
Para movil 1
v=—
= 5000m
S
1tn 1w<n
Para mñvil 2
t2 —
vi
1
X
*2
50000
V
S
transformar los segundos a minutos
ti = 2000a . lmin
601
ti = 33,33 min
25 os
ti = 2000 s
X
= 27,65
1 g ’ l00crh ’ 60s
X
ti= —
t=
t2 = 1808,32
lmin
60 s
t2 = 30,14 min
tz = 1808,32 s
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RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
1. Se muestra un ciclista y un camion se mueven con velocidad constante. Si inicialmente
estan juntos, determine la distancia de separacion (en m) después de 20 segundos
A) 14
B) 140
C) 125
D) 130
E) 135
2. Se muestra un motociclista con M.R.U. Determine e1 modulo de la velocidad
constante (en m/s):
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
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3. Se muestra dos esferas en movimiento. Si la rapidez de1 sonido en e1 aire es 340 mls. A
partir del instante mostrado, ¿después de qué intervalo de tiempo e1 hombre escuchara el
sonido del choque entre las esferas?
V=0
1 2m/s
900m
A) 10 s
8 m/s
200 m
B) 3 s
C) 13 s
D) 14 s
E) 16 s
4. Dos automoviles distan 25Km uno del otro, marchan en sentido contrario a 70km/h y
30km/h, respectivamente. ¿cuanto tardara en cruzarse y que distancia recorren los moviles?
VA = 70 Km/h
VB =
30 Km/h
a) 4,37km; 5,6km; 0,52h
b) 3,37km; 6,6km; 0,26km
c) 17,5km; 7,5km;0,25h
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”“'"“" •“
5. En este capitulo podremos saber qué tiempo emplearan 2 moviles para alcanzar e1 uno al
otro y el tiempo que emplearian para poder encontrarse
Tiempo de Encuentr0 (IE)
T iem a de Al‹ance (t,)
Como ves son formulas sencillas, asi que ponle ganas y mucho empeño.
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Marca la opcion correcta:
1.- Cambio de posicion en el espacio que experimentan los cuerpos de un sistema con respecto a
ellos mismos o a otro cuerpo que se toma como referencia
A) Velocidad
B) Movimiento
C) Espacio
D) Distancia
2.- Magnitud fisica de caracter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad
de tiempo.
A) Rapides
B) Espacio
C) Tiempo
D) Velocidad
3. Un auto se mueve con velocidad constante de 60 mls. Calcula e1 espacio recorrido en 15 s.
A) 960m
B) 600m
C) 900m
D) 690m
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4. Un movil viaja con velocidad de 21 mls una distancia de 1.5 km. ¿Cual es el tiempo requerido?
A) 64,25s
B) 71,42s
C) 74,12s
D) 72,14s
5. Maria y Lucas parten a1 mismo tiempo de dos puntos diferentes separados 10.000m. Van a1
encuentro (sentido contrario). Maria con velocidad de 2 mls y Lucas a 1,5 m/s.Que distancia los
separa a1 cabo de 45 minutos?
A) 550m
B) 250m
C) 450m
D) 350m
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MOVIMIENTO RECTILINEO
UNIFORMENTE VARIADO (M.R.U.V)
El movimiento rectilineo uniformemente variado, es aquel movimiento cuya trayectoria es una
recta y cuya velocidad varia en forma uniforme.
El M.R.U.V. se caracteriza porque e1 movil se mueve en linea recta y su velocidad aumenta o
disminuye cantidades iguales en intervalos de tiempos iguales.
Aceleraciñn. - Es una magnitud vectorial que nos indica la variacion de velocidad por unidad de
tiempo.
Este movimiento se caracteriza por:
- La aceleracion permanece constante en valor, direccion y sentido.
- En tiempos iguales se recorren espacios diferentes,
- Para tiempos iguales ocurren cambios de velocidades iguales
- Se utiliza las siguientes formulas:
V f —— Vi + n › t
Pf 2 = Vt -2 + 2 ›
d
d = vi
t
+ a •t 2
Z
CLASIFICACION DE MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO.
a) Movimiento rectilineo uniforme acelerado (M.R.U.A).- Se trabaja con el signo positivo (+)
por que la velocidad aumenta.
b) Movimiento rectilineo uniforme retardado (M.R.U.R).- se trabaja con signo negativo (-) por
que la velocidad disminuye.
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UNIDADES:
SISTEMAS
UNIDADES
V
t
d
a
Sistema Internacional
m/seg
Seg
m
m/seg2
Sistema Cegesimal
Cm/seg
Seg
Cm
Cm/seg 2
G FICAS DE M.R.U.A.
Grafica posicion-tiempo (x-I): la grafica posicion-tiempo (x-i) de un movimiento rectilineo
uniformemente acelerado (m r u a ) o movimiento rectilineo uniformemente variado
(m.r.u.v.) representa en el eje horizontal (eje x) el tiempo y en el eje vertical (eje y) la posicion.
Observa como la posicion (normalmente la coordenada x) aumenta (o disminuye) de manera no
uniforme con el paso del tiempo. Esto se debe a que, a medida que este pasa, e1 modulo de la
velocidad varia. Podemos distinguir dos casos, cuando la aceleracion es positiva o negativa:
Grñfica velocidad-tiempo (v-t): La grafica velocidad-tiempo (v-t) de un movimiento rectilineo
uniformemente
acelerado
(m.r.u.a.)
o
movimiento
rectilineo
uniformemente
variado
(m.r.u.v.) representa en el eje horizontal (eje x) e1 tiempo y en el eje vertical (eje y) la velocidad.
Observa como la velocidad aumenta (o disminuye) de manera uniforme con el paso de1 tiempo.
Esto se debe a la accion de la aceleracion. De nuevo, podemos distinguir dos casos:
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Grafica aceleraciñn-tiempo (a-t): La grafica aceleracion-tiempo (a-t) de un movimiento
rectilineo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilineo uniformemente variado
(m.r.u.v.) muestra que la aceleracion permanece constante a lo largo del tiempo. Se trata de
la aceleraciân media, que en e1 caso de m.r.u.a., coincide con la ore/ernrion instantânea. De
nuevo, podemos distinguir dos casos:
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EJEMPLO 1
Un tren de alta velocidad en reposo comienza su trayecto en linea recta con una aceleracion
constante de a=0.5m/s2. Calcular la velocidad (en kilometros por hora) que alcanza e1 tren a los 3
minutos.
Datos
Formula: V f——vi+a t
Vi= 0 m/seg
Reemplazando datos:
a= 0,5m/s2
U/=0+0,5
Vf= ? Km/h
180 s
Uf=0+90
t= 3min = l80seg
UJ=90—
Convirtiendo a Km/h:
m
Um
90
s 1000 m
3600 s
km
= 324
1h
V f—— 324
EJEMPLO 2
Calcular la aceleracion que aplica un tren que circula por una via recta a una velocidad de 216km/h
si tarda 4 minutos en detenerse desde que acciona el freno.
Datos:
Formula:
V f——vi+a›t
a= ?
Despejando a:
Vi= 216km/h = 60 mls
a=V f—Vi * t
t= 4min = 240 s
a=0-60m/s240 s
Vf= 0
a=0-60m/s240 s
a=—0,25 m/s 2
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EJEMPLO 3
Un maleante, viaja en un automovil con una rapidez de 60km/h en una zona residencial. Cuando
pasa frente a una motocicleta de carabineros, este sigue a1 delincuente partiendo del reposo con una
aceleracion de 160km/h 2. Para la situacion planteada:
a) Determine e1 tiempo que tarda e1 policia en alcanzar al delincuente.
b) La rapidez que lleva e1 policia a1 momento de alcanzar a1 delincuente.
1
ag
t 2 = 80 t 2
60 t = 80 t 2
60t — 80 t 2 = 0
(60 — 80t)t = 0
Las soluciones de esta ecuacion son:
t=0
t = 0,75 h E1 tiempo que tarda el policia en pillar a1 delincuente es 0,75 h o 45 min.
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EN LA
ENCER
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SIGUIENTE
NDOLAS.
SOPA
DE
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LETRAS
ENCUENTRA
•
•
•
•
•
•
•
•
LAS
PALABRAS
1. VELOCIDAD
2. TIEMPO
3. ACELERACION
4. VELOCIDADFINAL
5. RAPIDEZ
6. DISTANCIA
7. DESPLAZAMIENTO
8. VELOCIDAD INICIAL
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
1. Un movil se mueve con una velocidad constante de 15 km/h. A partir de un
determinado momento t=0 comienza a acelerar y 15 segundos después su velocidad
es
de
50
km/h.
¿Cual es su aceleracion a partir de t=0?
a) 6,48 m/s2
b) 0,648 mls°
c) 0.48 mls'
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2. Un movil viaja a 40 km/h y comienza a reducir su velocidad a partir del instante t=0.
Al cabo de 6 segundos se detiene completamente.
¿Cual fue aceleracion durante e1 periodo en e1 que redujo su velocidad?
b) 0,648 m/s2 c) 0.48 m/s2
a) 1,85 m/s2
3. Un tren viaja a 60 km/h. Inmediatamente después de pasar una señal en rojo comienza
a
detenerse.
Se
detiene
completamente
a
los
150
metros.
Determinar su aceleracisn.
a) 6,48 m/s2
b) 0,648 m/s2 c) 0.93 m/s2
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4. Un tren viaja a una velocidad constante de 70 km/h y pasa una señal en rojo. A 60
metros de pasar la señal comienza a reducir su velocidad a razon de 2 m/s2.
¿A que distancia de la señal se detiene por completo? ¿Cuanto tarda en hacerlo a partir
del momento en e1 que pasa la señal?
b) 124,48 m; 10 s
a) 154,48 m, 12,81 s
c) 134,48 m; 2,81 s
5. Dos vehiculos separados por 10 km parten a1 encuentro en e1 instante t=0. El primero
lo hace con una velocidad inicial constante de 10 km/h. El segundo parte desde e1
reposo
y
con
una
aceleracion
de
0,5
m/s2.
¿A que distancia de la salida del primer vehiculo se encuentran?
a) 1s4,48 m
b) 540,77m
c) 134,48 m
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1. La aceleracion es
A) Cambio de magnitud en la unidad de tiempo
B) Cambio de espacio en la unidad de tiempo
C) Cambio de velocidad en la unidad de tiempo
D) Cambio de direccion en la unidad de tiempo
2. La principal caracteristica de un movimiento uniforme variado, es
A) La variacion de la velocidad es nula
B) La aceleracion aumenta uniformemente.
C) La variacion de la velocidad es la misma en intervalos iguales de tiempo
D) E1 tiempo es el mismo para variacion de espacios recorrido.
3. Si un ciclista se mueve a una velocidad de 5 mls y acelera 1 m/s2, a los 10 segundos su velocidad
sera de:
a) 10 mls
b) 12 mls
c) 15 mls
d) 20 mls
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4. Un coche marcha a 36 km/h y a1 cabo de 30 segundos su velocidad es de 72 km/h. ¿Cual
ha sido su aceleracion?:
a) 0,33 m/s2
b) 1,2 m/s2
c) 36 m/s2
d) 0,5 m/s2
5. Un coche circula a una velocidad de 72 km/h y apretando e1 acelerador logra que a los 20 s
e1 indicador de velocidad marque 144 km/h. ¿Que espacio ha recorrido en ese tiempo?:
a) 500 m
b) 600 m
c) 144 m
d) 2000 m
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DESCRIPCION DEL MOVJMIENTO
EN UNA DIMENSION:
CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilineo uniformemente
variado (M.R.U.V.) cuya trayectoria es una linea recta vertical y que
se debe a la presencia de1 campo de gravedad. La unica fuerza que
actua sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la
GALILEO GALILEI
(1564 - 1642)
Gran ftsico y astrânomo italiano
que por primera ver empleâ el
método
experimental
de
investigaciân en la Ciencia.
Estudiâ las leyes de la caida de
los cuerpos y del movimiento de
éstos por un plano inclinado.
Fue el primero en la historia de
la humanidad en dirigir al cielo
el telescopio.
“Todos los cuerpos que se dejan caer desde una mlsma
altura, caen a la mlsma velocidad en el vacio”
GALILEO GALILEI
CARACTERISTICAS.
— Es otro tipo de MRUV.
— Esta afectado por la aceleracifin de la gravedad
— Su trayectoria es vertical.
-
En las ecuaciones cinematicas no se considera la masa ni la fuerza resultante.
-
Este tipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo,
o simplemente es soltado.
ACELERACION DE LA GRAVEDAD. Es la aceleracion con la que caen los cuerpos. Su valor
depende del lugar.
El valor promedio de la gravedad en la Tierra es g = 9,8
10
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cuerpo sube: - 9,8
- 10
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2
el cuerpo baja: + 9,8—s 2- 10 —
s2
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE VERTICAL. Analiticamente e1
movimiento de caida libre es un caso es especial del M.R.U.V., donde la distancia se reemplaza
por la altura y la aceleracion lineal por la aceleracion de la gravedad.
CUA
CUERPO
BAJA
EL CUERPO
SUBE
1. V f —— Vi + g • t
1. V f —— Vi — g • t
2. h —— Vi › t + -*
2. h —— Vi › t - -*
g*t 2
2
3. V f 2 —— P i 2 + 2 • g
h
CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE SITUACION:
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EJERCICIOS RESUELTOS.
EJEMPLO 1: Se muestra el lanzamiento vertical de dos esferas simultaneamente con rapideces
de Uq= 80 m/s y <B — 30m/s. ¿Después de cuantos segundos las esferas se encuentran a la misma
altura? (g = 1Wg2 )
Cuando dos particulas son lanzadas simultaneamente, en la misma direccion, de diferentes
posiciones, en una misma linea vertical; e1 tiempo de alcance es:
Datos:
A 80 m/S
B —— 30m/s
H = 100 m
t=?
8= 10s—2
H = Vi • t +
2
Formula:
p•t2
Del grafico tenemos la siguiente ecuaciñn:
A•t
1
1
2
Simplificando tenemos:
A•t
B •t —— H
Despejar t (tiempo de alcance):
t=
Reemplazando datos:
Los moviles estan separados inicialmente 100 metros en la vertical. Aplicando la formula
practica de tiempo de alcance:
t=
o
.
80i
30 s
t = 2s
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EJEMPLO 2: Dejamos caer una moneda desde una altura de 122 5 metros. Calcular el tiempo
que tarda en posarse sobre el suelo. La gravedad es g=9.8
Formula:
Datos:
Vl=0
h= 122,5 m
t=?
g= 9.8g 2
h —— Vi
i -l- *
2
Despejar t:
h—0 t+
2
2*h
9
p
g
2
Reemplazando datos:
t2
g
t2
.
2 122,5m
'
i2
2
25s
—t
EJEMPLO 3: Analicemos el caso, cuando e1 cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo. El
enésimo segundo esta comprendido entre los instantes t = n-l y t = n. Entonces la distancia que
recorre en e1 enésimo segundo se determina restando las distancias que recorre e1 movil en los
primeros n segundos y en los (n-1) segundos.
DE LA FORMULA
1
-* p
•t
2
PARA t = n
PARA t = (n-1)
/i2 = P' • (n-1)
2
9 * (rt — 1)
2
RESTANDO
OBTENEMOS QUE:
2
• p • (2n- l)
* Si /iq es positivo el
o se desplaza verticalmente hacia arriba.
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a) Un cuerpo se deja caer desde lo alto de una torre, ¿qué distancia recorre en el tercer
segundo de su movimiento? (g = IQ)
Datos:
Formula:
p (2n-1)
Vi= 0
h= ?
n=3
g= 10
Reemplazando datos:
2
2
2
g
(2n-1)
10 • (2x3-1)
li ft = 25m
DEL SIGUIENTE CUESTIONARIO MARCA CON UNA “X” SI ES VERDADERA O
FALSA CADA ASEVERACION.
CUESTIONARIO
a) En la caida libre de los cuerpos, la velocidad inicial tiene un valor
de cero.
b) El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada
c) Cuando el cuerpo alcanza su altura maxima su velocidad es
diferente de cero.
d) La velocidad con la que es lanzado dicho cuerpo sera igual con la
que llega al mismo punto de donde fue lanzado.
e) Se denomina tiempo de vuelo, a1 tiempo que e1 objeto permanece
en el aire.
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RESUELVE Y MARCA LA OPCION CORRECTA:
1. Un cuerpo se deja caer desde cierta altura, ¿Cua1 es la velocidad que tiene dicho cuerpo
después de 5s?
a) 49,1—
b) 34,1—
c) 9,1—
2. ¿Que tiempo dura en e1 aire un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 48—?
a) 9,78s
b) 3,78s
c) 7,88s
3. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 15 —. Calcular la altura maxima que
alcanza el cuerpo.
a) 11,5m
b) 11,5m
c) 11,5m
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4. Por e1 orificio de un tubo vertical cae cada segundo una gota de agua, en el momento en e1
que va caer la curta gota:
¿Que distancia separa la primera de la segunda gota?
¿Que velocidad posee la tercera gota?
(PARA ESTE PROBLEMA UTILIZAR g=10
a) 25m; 10
b) 5m; 9 —
S
)
c) 35m; 12 —
5. Un cuerpo se deja caer desde una altura de 200m. Determinar a que altura su velocidad es
la mitad de la velocidad con la que llega al suelo.
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1. Si dejamos caer dos cuerpos de diferentes pesos a la vez desde la misma altura. ¿Cua1 llega
primero al piso? ¿Por que?
2. Si se deja caer un cuerpo libremente solo por la propia accion de su peso. ¿Cual es la
velocidad con que inicia el movimiento?
a) 9,8 mls
b) 0 mls
c) -9,8 mls
d) no hay forma de saberlo
e) ninguna opcion es correcta
3. Si un cuerpo se deja caer desde 100 m de altura, al llegar al suelo su velocidad es...
a) igual que a1 comenzar e1 movimiento
b) distinta de cero
c) igual a cero
d) ninguna respuesta anterior
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4. Desde un edificio se deja caer un objeto que tarda 7 segundos en llegar al suelo. ¿Cua1
es la altura del edificio?
a) 480,2 m
b) 487,2 m
c) 240,1 m
d) 247,1 m
5. Se dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 500 mls.
¿Cuanto tiempo tarda la subida?
a) 51 segundos
b) 99,8 segundos
c) 500 segundos
d) 9,8 segundos
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NOCIONES BASICAS DE
Es una rama de la matematica que estudia las relaciones entre los lados y los angulos de los
triangulos.
TIPOS DE TRIANGULOS: Un triangulo es un poligono, es decir, una figura geométrica plana
que consta de tres lados, tres vertices y tres angulos, los cuales suman 180°. Los triangulos se
clasifican de acuerdo a sus caracteristicas, esto es, segun el tamano de sus lados y a la amplitud
de sus angulos.
TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SUS LADOS
Triangulo equilatero
El triangulo equilatero es aquel que se caracteriza por tener todos los lados iguales. En
consecuencia, todos los angulos de un triangulo equilatero tienen 60°. El triangulo equilatero es
un poligono regular.
Triangulo isosceles
Los triangulos isosceles se caracterizan por tener dos lados iguales y uno diferente. En
consecuencia, también tiene dos angulos iguales.
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Triangulo escaleno
Un triangulo escaleno es aquel que se caracteriza por tener todos sus lados y angulos desiguales,
es decir, diferentes entre st.
TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SUS ANGULOS
Triangulo rectangulo
no de sus angulos es de 90°. Los otros dos son agudos (menores de 90°).
Triangulo oblicuangulo: no tiene ningun angulo recto (90°). Son triangulos oblicuangulos los
triangulos acutangulos y los triangulos obtusangulos.
Triangulo acutangulo: los tres angulos son agudos (menores de 90°).
Triangulo obtusangulo: uno de sus angulos es mayor a 90°. Los otros dos son agudos (menores
de 90°).
2.
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TABLA DE LOS TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SU TIPO
A continuacion, mostramos una tabla de los triangulos segun sus angulos y lados.
TRIANGULO RECTANGULO.- Es un poligono de tres lados que tiene uno de sus angulos
recto (o=90°).
Los dos angulos menores (§ y y) suman 90°.
Los elementos de un triñngulo rectñngulo son: los dos lados
contiguos a1 angulo recto, o y b (cada uno de ellos es un cateto), y
el lado mayor c, opuesto al angulo recto, que es la hipotenusa.
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El Teorema de Pitñgoras enuncia que:
Todos los triangulos rectangulos cumplen que la hipotenusa a1
cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos a1 angulo recto
(catetos) al cuadrado. Es decir:
LADOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO:
CATETO OPUESTO: es el cateto que se encuentra en e1 lado opuesto o a1 frente del angulo en
cuestion.
CATETO ADYACENTE: es el cateto que forma e1 angulo en cuestion junto con la hipotenusa.
HIPOTENUSA: lado mas largo del triangulo.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS: importantes en trigonometria son el seno, e1 coseno y
la tangente.
Para e1 angulo 8 .
Funcion seno: sin(d) = Opuesto / Hipotenusa
Funcion coseno: cos(B) = Adyacente / Hipotenusa
Funcion tangente:
tan(6) = Opuesto / Adyacente
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TRIANGULOS OBLICUANGULOS: son aquellos angulos en los cuales ningun angulo forma
o es igual a 90°, es decir todos los angulos diferentes de 90°. Para la resolucion donde intervienen
triangulos oblicuangulos, es necesario la aplicacion de los siguientes teoremas:
Teorema del seno.- Sea un triangulo cualquiera con lados a, b y c y con angulos
interiores o, § y y (son los angulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumple
la relacion
Teorema del coseno. - Sea un triangulo cualquiera con lados a, b y c y con angulos
interiores o, § y y (son los angulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumplen
las relaciones
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EJEMPLO 1
Calcular la hipotenusa del triangulo rectangulo de lados 3cm y 4cm.
Los lados son:
a=3cm , b=4cm
Aplicando el teorema de Pitagoras,
Por tanto, la hipotenusa mide 5cm.
EJEMPLO 2
Calcular la hipotenusa del triangulo rectangulo cuyos lados miden
l
Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa ñ (no importa el nombre que le demos a cada cateto).
Sabemos que
Por el teorema de Pitagoras, sabemos que
Sustituimos en la ecuacion los valores conocidos (o y b), obteniendo:
Recordamos que el cuadrado de una raiz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raiz), por
tanto,
Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24.
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EJEMPLO 3
En e1 siguiente triangulo de lados n = 8cm y h = 7cm. Calcular cuanto mide el angulo Q sabiendo
que e1 angulo y mide 45°.
Como conocemos los lados a y b y el angulo o, aplicamos el teorema del seno:
Por tanto,
Despejamos el seno de §:
Finalmente, despejamos § utilizando la inversa del seno (arcoseno):
Luego el angulo es
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EJEMPLO 4
Se tiene un triangulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo angulo o mide
47°. Hallar cuanto mide el lado n del triangulo.
Como queremos calcular el lado n del triangulo, aplicamos la siguiente formula del teorema del
coseno:
Tenemos los datos necesarios para calcular o, es decir, tenemos b, c y al angulo o. Por tanto,
sustituyendo los datos y haciendo la raiz cuadrada obtenemos:
Luego el lado o mide aproximadamente 48.27 cm.
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EJEMPLO 5
Calcular el valor de x de cada figura utilizando las razones trigonométricas.
Conocemos la hipotenusa y el angulo. Como queremos calcular
el lado opuesto, utilizamos el seno:
Despejamos la incognita:
El lado mide, aproximadamente, 16.900.
1. MARCA LA RESPUESTA CORRECTA:
•
Un angulo recto es...
b) Un angulo de 45 grados.
c) Un angulo de 90 grados.
d) Un angulo de 180 grados.
•
Para aplicar el teorema de Pitagoras...
a) Es necesario tener un angulo obtuso.
b) Es necesario tener un angulo recto.
c) Es necesario tener un triangulo equilatero.
d) Todas las opciones anteriores son falsas.
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2. EN LA SIGUIENTE SOPA DE LETRAS ENCUENTRA LAS PALABRAS
INDICADAS:
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
1. Si la hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 2cm y uno de sus lados mide lcm, ¿cuanto
mide e1 otro lado? Resp. l,73cm
2. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la
pared si la parte inferior la situamos a 70 centimetros de ésta. Resp. 2,92m
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3. Calcular la altura de la torre de refrigeracion de una central nuclear si se sabe que su sombra
mide 271 metros cuando los rayos solares forman un angulo de 30°.
4. Las ciudades A, B y C son los vértices de un triangulo rectangulo:
Calcular la distancia entre las ciudades A y C y entre las ciudades B y C si la
ciudad B se encuentra a l00km de la ciudad A y la carretera que una A con
B forma un angulo de 35° con la carretera que une A con C. Resp. 70,08km
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5. En el siguiente triangulo con lado b — 2cm y angulos o = 57° y y = 47°, ¿cuanto mide el
lado a? Resp. 1.73 cm.
6. ¿Cual es el valor del angulo y del siguiente triangulo si se sabe que los lados a, b y c miden
6, 8 y 12 cm respectivamente? Resp. I 17,28°
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1. Resolver el triangulo conociendo a=415
m y b=280 calculamos el cateto faltante
y los dos angulos agudos
2. Resolver e1 triangulo conociendo b=33 m
y c=21m. Calculamos la hipotenusa y los
dos angulos agudos
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”“'"“" •“
3. Resolver e1 triangulo conociendo a=45 m
y B=22°. Calculamos el angulo agudo
restante y los catetos
b
B
A
4. Resolver el triangulo conociendo b=5.2 m y
B=37°.Calculamos e1 angulo agudo,
el cateto restante y la hipotenusa
B
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ECTORES
INTRODUCCION.
Uno de los elementos mas usados por la fisica en e1 desarrollo de sus leyes y conceptos
fundamentales son los vectores, pues ellos facilitan la comprension de diversos fenomenos fisicos
y permiten desarrollarlos matematicamente.
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Magnitudes escalares. - son aquellas
magnitudes fisicas que para estar bien
definidas necesitan de un nuero y una
unidad fisica, o sea, basta conocer su valor
o modulo.
b) Magnitudes vectoriales. - son aquellas
magnitudes fisicas que, ademas de tener su
valor, necesitan de una direcciñn, un
sentido y un punto de aplicacion para
ouedar bien definidas.
VECTORES.
Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores. Un vector es un segmento
de linea orientada y que esta determinada por un modulo, una direccion y un sentido.
Notaciñn de vectores: Los vectores se representan con una letra encima una flecha hacia la
derecha, también con cualquier letra en negrilla.
V
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TIPOS DE VECTORES.
a) Colineales. - Si se encuentran sobre la misma linea de accion.
son
colineales.
Linea de
Accion
b) Concurrentes. - Si sus lineas de accion concurren en un mismo punto.
A, B y C son
concurrentes
c) Paralelos. - Cuando las lineas de accion son paralelas.
=r
B y 6
n paralelas.
d) V. Opuestos. - Son iguales en tamaño (modulo) pero sentidos opuestos.
paralelos.
e) V. Opuestos.
Si sus tres elementos son iguales en modulo, direccion y sentido.
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A=B
A | = I BI
e=0
Sentido de = Sentido de
A
B
REPRESENTACION Y FORMA GRAFICA DE UN VECTOR.
Los vectores pueden representarse de tres maneras diferentes:
a) Representacion grafica; mediante una flecha.
b) Representacion rectangular; trazando la flecha del origen al punto del par ordenado
indicado.
c) Representacion polar; trazando la flecha a partir del modulo y en angulo indicados.
R. Rectangular ar
orde ado (
)
A = (4;3)
Aq -— 4 (Abscisa)
Ap —- 3 (Ordenada)
(
R. POLAR
(Modulo; angulo del ve or)
B = (13: 23°)
)
(
)
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CAMBIO DE UNA REPRESENTACION VECTORIAL A OTRA.
Cambio de la forma rectangular a la forma polar: Los vectores representados en forma
rectangular pueden ser representados en forma polar o viceversa.
ejemplo: A = (3cm; 4cm)
Para hallar su tamaño o mâdulo del
vector aplicamos el Teorema de
Pitâgoras.
A = (3cm; 4cm)
\/
}/'
A = /(A )
2 _|_
2+
2
(Am}
2
A = / (3cm) 2 + (4cm)
2
A = / 9cm2 + 16cm2
A=2c2
A = Scm
Ahora calcularemos la direcciân y
sentido.
A
tan 0 = ’
A
0= mug
3
forma polar del vector serâ:
A = (5cm; 53,13°)
6 -53,16° ’
Cambio de la forma rectangular a la forma polar: Después de representar el modulo y la
direccion de un vector, ahora deseaos saber cuales son sus coordenadas (componentes
rectangulares) sobre los ejes X y Y.
Ejemplo: A = (5cm; 53,13°)
rma rectangular de nuestro vector serâ:
A = (3cm;4cm)
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SUMA DE VECTORES POR DIFERENTES METODOS: GRAFICOS Y
ANALITICOS.
Sistema de vectores. - Se denomina sistema de vectores, al conjunto de ellos que actuan
simultaneamente sobre un mismo cuerpo; cada uno de esos vectores recibe el nombre de
componentes del sistema. Todo sistema de vectores puede ser sustituido por un solo vector
que realice el miso efecto fisico que e1 conjunto de los componentes. Este vector unico se
denomina vector suma o vector resultante del sistema.
La suma de vectores se puede realizar por el método grâfico y analltico
METODOS G
FICOS.
A) Suma de vectores colineales y paralelos.
1) Colineales del mismo sentido y sentido diferente.
2) Vectores paralelos
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B) Suma de vectores coplanares y concurrentes.
1) Método del paralelogramo. - Valido solo para dos vectores concurrentes. Se dibujan
los dos vectores componentes haciendo coincidir sus origenes, luego se trazan paralelas
para formar un paralelogramo, e1 vector resultante estara en una de sus diagonales y su
punto de aplicacion coincidira con e1 origen de los vectores.
mar los siguientes vectores:
R=A+B
A = (3cm; 60°)
B= (10cm; 150°)
2) Método del triangulo. - Valido solo para dos vectores concurrentes. Se trazan los
vectores uno a continuacion del otro para luego formar un triangulo, e1 vector resultante
se encontrara en la linea que forma e1 triangulo y su punto de aplicacion coincidira el
origen del primer vector.
r los siguientes vectores:
R=E+F
E = (600N; 30°)
F = (350N; 250°)
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3) Método del poligono. - Es una continuacion del método del triangulo, valido para dos
o mas vectores concurrentes y coplanares. Se trazan los vectores uno a continuacion de
otro y luego formar un poligono con una recta, el vector resultante se encontrara en la
linea que forma e1 poligono y su punto de aplicacion coincidira con el origen del primer
vector.
mar los siguientes vectores:
VR = A + B + C + D
METODOS ANALITICOS.
A) SUMA DE VECTORES COLINEALES POR EL METODO ANALITICO.
La resultante se determina mediante la suma algebraica de los modulos de los vectores.
Ejemplo: Dados los vectores A, B, C y D hallar la resultante.
- La resultante de dos vectores es maxima cuando estos se encuentran en la misma direccion y
sentido (8 = 0°)
- La resultante de dos vectores es minima, cuando estos se encuentran en la misma direccion;
pero de sentidos contrarios (B = 180°)
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B) SUMA DE VECTORES CONCURRENTES Y COPLANARES POR EL
METODO ANALITICO.
Para sumar dos vectores coplanares o concurrentes por e1 método analitico se emplean
las siguientes formulas trigonométricas:
Para hallar la resultante:
Teorema de los cosenos:
ONDE:
——
+ B + 2AB cosa
R = Resultante del sistema
A y B = Vectores componentes del sistema.
a = Angulo que forman los vectores A y B
Teorema de Pitagoras:
A + B2
Teorema de los senos:
EJEMPLO 1: Se tiene dos vectores perpendiculares, A
la resultante y su direccion.
20 m y B 30 m. Calcular el modulo de
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EJEMPLO 2: Dos vectores A = 200 km y B = 300 km forman 60° entre st. Calcular e1 modulo de
la resultante y su direccion.
Datos:
A = 200 km
B = 300 km
a = 60°
R=?
0= ?
Fârmulas a utilizar:
R = JA 2 + B 2 + 2AB cosa
Para hallar la direcciân:
R
A
Sena
Sen 8
EJEMPLO 3: Se tienen dos vectores cuyos modulos son U = 35 kp y V = 50 kp y que forman
120°. Calcular el modulo de la resultante y su direccion.
Datos:
U = 35 kp
V = 50 kp
a = 120°
R=?
Fârmulas a utilizar:
R = t/° + 7° + 2t/P cosa
Para hallar la direcciân:
R
U
Sen a
Sen 8
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ADICION VECTORIAL POR MEDIO DE COMPONENTES.
La descomposicion vectorial es un procedimiento que se utiliza para sumar dos o mas vectores.
Cuando se desea sumar varios vectores, se los debe descomponer cada uno de ellos en sus
componentes horizontal y vertical es decir cada vector se debe proyectar sobre el eje X y eje Y
de un sistema de coordenadas cartesianas.
Todos los componentes en X se debe swmar obteniendo Hue sumatoria de vectores en el eje X
Lo mismo se debe hacer con los componentes en Y obteniendo una sumatoria de vectores en el
eje Y (fVg).
C
PONENTE
HORIZONTAL
ONENTE VERTICAL
Pp = V • Sen 8
Vq -— V • Cos 8
EOREMA DE PITAGORAS
Calculo del vector resultante
NCION TANGENTE
Calculo de la direccion y sentido del
vector resultante.
tan 0 =
R= (
) +(
)
1*x
Ejemplo: Se aplican dos vectores A y B, sobre un cuerpo en un mismo punto (los cuales estan
graficados sobre un eje de coordenadas tal como indica la figura), hallar el vector resultante de los
dos vectores ademas de la direccion y sentido que forman con el eje X positivo.
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Câlculo de la direcciân:
tan 0 =
tan 0 = 5,3 3
0,63
El vector resultante serâ:
R = (5,33u; 83,26°)
0 = Invtan 8,46
0 = 83,26°
1. ¿cual es la resultante de un par de fuerzas, una de 100N hacia arriba y una de 75N hacia
abajo. (solucion grafica y analitica).
2. Se tienen dos fuerzas iguales de 10N y forman 60° entre si, determinar el valor de su
resultante.
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”“'"“" •“
3. Hallar la intensidad (modulo), direccion y sentido de la resultante.
4. Sumar los siguientes vectores:
A=8
B=7
C=4,3
D=7,8
B
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1. Graficar los siguientes vectores y calcula su modulo:
a) e = (0,3)
b) f = (9,2)
2. Calcular el modulo de C", a partir del grafico.
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”“'" ' •
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3. Calcular el modulo y la direccion de v.
r
f2‹ 23? J
0 .
1
2
3
4. Graficar el vector resultante R en cada uno
de los casos:
i ii) G rafica r e I veczo r reset tanEe R:
D —— zfi -J- Z-I -I- C
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"“'" ’"•
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BIBLIOGRAFIA
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