DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS - ACADEMIA VIRTUAL TUTOR LUIS MIGUEL
TRABAJO : Otimización Entera
CLIENTE: Jesús Saldaña
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS - ACADEMIA VIRTUAL TUTOR LUIS MIGUEL
PROBLEMA 1
Definamos por 𝑁 = (𝑉, 𝐴) el grafo compuesto por tantos vértices (𝑉) como aristas
(A) posea el diagrama dado en el enunciado del problema. Denotemos por 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑉 la fuente
y el destino del flujo. Entonces, para cada arista (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴 tenemos que el problema que
modela nuestra situación es:
𝑀𝑎𝑥
∑
𝑣:(𝑠,𝑣)∈𝐴
𝑓𝑠𝑣
𝑓𝑢𝑣 ≤ 𝑐𝑢𝑣 , para todo (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴
𝑠. 𝑎
∑ 𝑓𝑢𝑣 − ∑ 𝑓𝑣𝑤 = 0, para cada 𝑣 ∈ 𝑉\{𝑠, 𝑡}
𝑢
𝑤
𝑓𝑢𝑣 ≥ 0, para todo (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸
donde 𝑐𝑢𝑣 , 𝑓𝑢𝑣 representan el valor de la capacidad y del flujo en la arista (𝑢, 𝑣)
respectivamente.
Para resolver el problema usando MS Solver, primeramente definamos las
siguientes tablas que indican la dirección de flujo así como la capacidad de cada una de las
aristas del grafo en cuestión respectivamente.
Tabla de Capacidad del Grafo
DESDE/HASTA
A
B
C
D
E
F
A
0
9
3
0
0
0
B
0
0
0
7
2
0
C
0
0
0
4
6
0
D
0
0
0
0
3
6
E
0
0
0
0
0
9
F
0
0
0
0
0
0
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Tabla de Flujos del Grafo
DESDE/HASTA
A
B
C
D
E
F
Suma por
Filas
A
0
0
0
0
0
0
0
B
0
0
0
0
0
0
0
C
0
0
0
0
0
0
0
D
0
0
0
0
0
0
0
E
0
0
0
0
0
0
0
F
0
0
0
0
0
0
0
Suma por
Columnas
0
0
0
0
0
0
Ahora bien, trasladando a MS Solver las restricciones del problema obtenemos que:
DESDE/HASTA
A
B
C
D
E
F
Suma por
Filas
A
0
9
3
0
0
0
12
B
0
0
0
7
2
0
9
C
0
0
0
0
3
0
3
D
0
0
0
0
1
6
7
E
0
0
0
0
0
6
6
F
0
0
0
0
0
0
0
Suma por
Columnas
0
9
3
7
6
12
con lo que encontramos que el flujo máximo del grafo es de 12.
Basados en los valores de las variables sabemos que el grafo resultante es tal que:
De A a B se transportan 9 unidades de capacidad.
De A a C solo 3.
De B a D se transportan 7 unidades de capacidad.
De B a E solo 2.
De C a E se transportan 3 unidades de capacidad.
De D a E solo 1 unidad de capacidad.
De E a F se transportan 7 unidades de capacidad.
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PROBLEMA 2
Considerando las notaciones utilizadas en el problema 1 y definiendo 𝑎𝑢𝑣 el costo de
ir de 𝑢 a 𝑣, entonces podemos definir el problema de costo mínimo como:
𝑀𝑖𝑛
∑
(𝑠,𝑣)∈𝐴
𝑎𝑠𝑣𝑓𝑠𝑣
𝑓𝑢𝑣 ≤ 𝑐𝑢𝑣 , para todo (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴
𝑠. 𝑎
𝑓𝑢𝑣 ≤− 𝑓𝑣𝑢 , para todo (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴
∑ 𝑓𝑣𝑤 = 0, para cada 𝑣 ∈ 𝑉\{𝑠, 𝑡}
𝑤
∑ 𝑓𝑠𝑤 = 𝑑
𝑤
∑ 𝑓𝑤𝑡 = 𝑑
𝑤
donde 𝑑 es el flujo requerido.
Primeramente, si listamos los nodos y los flujos asociados a cada uno de los vértices
obtenemos la siguiente tabla
Tabla de Flujos en Nodos
Nodos
Oferta/Demanda
Flujo
A
125
B
200
C
0
D
-175
E
-150
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También podemos construir una tabla donde se identifiquen las rutas de la siguiente
forma
Rutas y Capacidad
Desde
Hasta
Transportes
Capacidad
Costo Unitario
A
D
A
C
6
B
A
2
B
C
3
B
E
C
D
5
C
E
8
100
9
100
8
Notemos que la ruta es una ruta balanceada pues los flujos sobre todos los nodos
suman cero. Así, podemos usar estas tablas para encontrar la solución con MS Solver. ASí,
obtenemos que
Desde
Hasta
Transportes
Capacidad
Costo Unitario
A
D
100
A
C
25
6
B
A
0
2
B
C
100
3
B
E
100
C
D
75
5
C
E
50
8
100
100
9
8
Por tanto para lograr el costo mínimo de 2925, es necesario que de A se transporten
100 unidades a D, de A a C solo 25, de B a C 100 unidades, de B a E 100 unidades, y como
C actúa como centro de redistribución, entonces esta distribuye 75 y 50 unidades a D y E
respectivamente.
