UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CURSO 2010/2011 PROFESORES: ROBERTO HORNERO SÁNCHEZ MARÍA GARCÍA GADAÑÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Curso 2010/2011 Profesores: Roberto Hornero Sánchez (despacho 2D087) e-mail: robhor@tel.uva.es María García Gadañón (despacho 2D082) e-mail: margar@tel.uva.es DESCRIPCIÓN En esta asignatura se estudia la base de los sistemas de comunicación analógicos y digitales. En una primera parte se enseñan las diferentes modulaciones en amplitud y las modulaciones angulares, y se profundizará en el efecto del ruido sobre estas modulaciones. En una segunda parte se introducirán las modulaciones digitales y sus sistemas de transmisión banda base y paso banda. Entre ambas partes hay un tema intermedio sobre la modulación analógica y digital de pulsos. Este contenido teórico se completa con la realización de problemas de cada tema y con tres bloques de prácticas en el entorno MATLAB donde se simularán los distintos conceptos explicados en teoría, y ver cuáles son sus implicaciones prácticas. OBJETIVOS Los objetivos de esta asignatura son: ¾ Conocer los distintos sistemas de comunicación existentes (analógicos y digitales) y comprender las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos. ¾ Saber cuáles son los parámetros que se pueden modificar en cada caso, así cómo evaluar sus prestaciones. ¾ Identificar cuándo se debe utilizar cada una de las diferentes soluciones existentes para transmitir información a través de un medio entre dos puntos diferentes. ¾ Simular correctamente en el entorno MATLAB los distintos conceptos explicados en teoría, y ver cuáles son sus implicaciones prácticas. TEORÍA TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN. 1.1. INTRODUCCIÓN. 1.2. CARACTERIZACIÓN TEMPORAL 1.3. CARACTERIZACIÓN ESPECTRAL 1.4. CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS 1.5. DENSIDAD ESPECTRAL 1.6. ANCHO DE BANDA DE UNA SEÑAL 1.7. MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE 1.8. RETARDOS DE FASE Y GRUPO 1.9. TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL ALEATORIA A TRAVÉS DE UN SISTEMA 1.10. ANÁLISIS DE RUIDO TEMA 2: MODULACIONES DE AMPLITUD 2.1. INTRODUCCIÓN 2.2. MODULACIÓN AM 2.3. MODULACIÓN DSB-SC 2.4. MODULACIÓN QAM 2.5. FILTRADO DE BANDAS LATERALES 2.6. MODULACIÓN VSB 2.7. MODULACIÓN SSB 2.8. TRASLACIÓN EN FRECUENCIA 2.9. MULTIPLEXACIÓN POR DIVISIÓN EN FRECUENCIA (FDM) TEMA 3: MODULACIONES ANGULARES 3.1. MODULACIÓN DE FASE (PM) Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA (FM) 3.2. MODULACIÓN EN FRECUENCIA DE UN TONO SIMPLE 3.3. ANCHO DE BANDA DE SEÑALES FM 3.4. GENERACIÓN DE SEÑALES FM 3.5. DEMODULACIÓN DE FM 3.6. EFECTOS NO LINEALES EN SISTEMAS FM TEMA 4: RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 4.1. INTRODUCCIÓN: SNR y FOM 4.2. RUIDO EN MODULACIONES DE AMPLITUD 4.3. RUIDO EN MODULACIONES DE FRECUENCIA 4.4. RESUMEN TEMA 5: MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 5.1. INTRODUCCIÓN 5.2. TEOREMA DE MUESTREO 5.3. MODULACIÓN DE PULSOS EN AMPLITUD: PAM 5.4. MODULACIÓN DE PULSOS EN EL TIEMPO: PDM y PPM 5.5. MODULACIÓN DIGITAL DE PULSOS: PCM 5.5. CÓDIGOS DE LÍNEA TEMA 6: TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE 6.1. INTRODUCCIÓN 6.2. INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS 6.3. CRITERIOS DE DECISIÓN 6.4. FILTRO ADAPTADO 6.5. DECISIÓN MEDIANTE UMBRAL. CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE ERROR TEMA 7: TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA 7.1. TIPOS BÁSICOS DE MODULACIONES DIGITALES 7.2. REPRESENTACIÓN Y ANÁLISIS VECTORIAL 7.3. RECEPTORES COHERENTES E INCOHERENTES 7.4. ANÁLISIS DE LOS TIPOS DE MODULACIÓN LABORATORIO TUTORIAL DE MATLAB® PRÁCTICA 1: INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN DE SEÑALES Y SISTEMAS • VISUALIZACIÓN EN TIEMPO Y FRECUENCIA DE SEÑALES CONTINUAS • MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE • FILTRADO • SEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO PRÁCTICA 2: MODULACIÓN EN AMPLITUD. MODULACIÓN EN FRECUENCIA. RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS • MODULACIÓN AM, SSB Y QAM. • MODULACIÓN FM DE BANDA ESTRECHA • RUIDO EN MODULACIÓN AM CONVENCIONAL PRÁCTICA 3: MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS. CUANTIFICACIÓN. TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE Y PASO BANDA • MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS • CUANTIFICACIÓN UNIFORME Y NO UNIFORME • INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS EN TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE • MODULACIÓN DIGITAL PASO BANDA BIBLIOGRAFÍA A) BIBLIOGRAFÍA BÁSICA [1] [2] [3] [4] [5] “Communication Systems”. Simon Haykin. Ed. John Wiley & Sons, 4ª edición, 2001. “Communications Systems. Analysis and Design”. Harold P..E. Stern, Samy A. Mahmoud. Ed. Pearson, Prentice Hall, 2004. “Sistemas de Comunicaciones”. Marcos Faúndez Zanuy. Ed. Marcombo Boixareu, 2001. “Modern Digital and Analog Communication Systems”. B. P. Lathi, Ed. Oxford University Press, 3ª edición, 1998. “Digital Communications”. John G. Proakis. Ed. McGraw Hill, 5ª edición, 2007. B) BIBLIOGRAFÍA AVANZADA [6] [7] [8] [9] “Digital Communications: Fundamentals and Applications”. Bernard Sklar. Ed. Prentice Hall, 2ª edición, 2001. “Communication Systems Using MATLAB and Contemporary Simulink”. John G. Proakis, Masoud Salehi, Gerhard Bauch. Ed. Thomson Engineering, 2004. “Communication Systems”. A. Bruce Carson, Paul Crilly, Janet Rutledge. Ed. McGraw Hill, 4ª edición, 2001. “Digital Communication”. John R. Barry, Edward A. Lee, David G. Messerschmitt. Ed. Kluwer Academic Pub, 3ª edición, 2003. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tema 1: Introducción a los Sistemas de Comunicación Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 TEMA I : Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1.-Introducción 1.2.-Caracterización temporal 1.3.-Caracterización frecuencial 1.4.-Caracterización de sistemas 1.5.-Densidad espectral 1.6.-Ancho de banda de una señal Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 TEMA I : Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.-Modelado paso bajo equivalente 1.8.-Retardos de fase y grupo 1.9.-Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema 1 10 A áli i de 1.10.-Análisis d ruido id 1 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Proceso de comunicación La comunicación lleva implícita la transmisión de la información de un punto a otro mediante la sucesión de los siguientes procesos: Generación de la información Descripción de la información mediante un conjunto de símbolos Codificación de los símbolos de una manera que sea apta para la transmisión Transmisión de los símbolos codificados al destino deseado Decodificación y reproducción de los símbolos originales Recreación de la información. Puede haber una degradación en la calidad debido a imperfecciones en el sistema de comunicación Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Los elementos básicos del sistema de comunicación son: Transmisor Canal Receptor Fuente de información Tx Rx Usuario de la información i f ió Canal 2 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Señales banda base y paso banda E lla T d bbase, lla bbanda d dde ttransmisión i ió del d l canall se En Tx bbanda ajusta a la banda de frecuencia ocupada por la señal transmitida Señal banda base: señal generada por fuente de información En la Tx paso banda, la banda de transmisión del canal es m cho mayor mucho ma or que q e la mayor ma or componente frecuencial frec encial de la señal Señal paso banda: proceso de modulación (traslación en frecuencia) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Ejemplo de señal banda base f (Hz) Ejemplo de señal paso banda f (Hz) 3 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Proceso de comunicación: naturaleza probabilística I tid b en lla señal ñ l recibida ibid Incertidumbre Mayor fuente de incertidumbre: ruido Señales recibidas descritas en términos de sus propiedades estadísticas TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Proceso de modulación L modulación d l ió sirve i d j La para adecuar ell mensaje original a su transmisión por el canal (Transmisor) Se varía algún parámetro de la portadora de acuerdo con el mensaje a transmitir En la demodulación restauramos el mensaje original a partir de la versión degradada de la señal recibida tras propagarse por el canal (Receptor) Hay varios tipos de modulación: más o menos sensibles a efectos de ruido, distorsión, etc 4 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Clasificación modulación: De onda continua (modulación analógica) Modulación de amplitud Modulación angular: Modulación de frecuencia (FM) Modulación de fase (PM) Modulación de pulsos Analógica Modulación de amplitud de pulsos (PAM) Modulación de duración de pulsos (PDM) Modulación de posición de pulsos (PPM) Digital Modulación de pulsos codificados (PCM) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción La multiplexación va a permitirnos combinar varios mensajes para ser transmitidos simultáneamente por el mismo canal Multiplexación por división en frecuencia (FDM) Multiplexación por división en el tiempo (TDM) Multiplexación por división en longitud de onda (WDM) 5 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.1. Introducción Recursos de comunicación Pi i l t dos: d Principalmente Potencia transmitida Ancho de banda del canal (B) Debemos usar ambos eficientemente Además: SNR : cuantificación del efecto del ruido C (capacidad de información): máximo rango en que la información puede ser transmitida sin error. El teorema de la capacidad de información: C = B ⋅ log 2(1 + SNR) (bits/seg) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Definición de señal U señal ñ l es una función f ió del d l tiempo ti t ú i Una t que toma un único valor en cada punto y que representa una información (voz, imagen, tensión o corriente, conjunto de símbolos, etc.) Clasificación: Continua, discreta y digital Señal continua o analógica: puede tomar cualquier valor en cualquier instante de tiempo (continua en tiempo y amplitud) Señal discreta: definida únicamente en instantes enteros o discretos de tiempo, pero puede tomar cualquier valor en esos instantes 6 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Señal discreta en amplitud: definida en todo instante de tiempo, pero sólo puede tomar ciertos valores de amplitud prefijados (continua en tiempo - discreta en amplitud) Señal digital: señal discreta en tiempo y amplitud 3 4 2.8 3.5 2.6 3 ampllitud ampllitud 2.4 2.5 2 1.5 2.2 2 1.8 1.6 1 1.4 0.5 1.2 0 0 1 2 tiempo 3 4 5 1 6 7 8 9 10 0 1 tiempo 2 Señal continua 3 4 5 6 7 8 9 10 Señal discreta Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal 4 3 3.5 2.5 3 2 amplitud amplitud 2.5 1.5 1 2 1.5 1 0.5 0.5 0 0 0 2 4 6 tiempo 8 10 12 14 16 Señal discreta en amplitud 18 20 0 1 2 3 tiempo 4 5 6 7 8 9 10 Señal digital 7 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Periódicas y no periódicas Señal periódica: Э To g(t) = g(t+ To) ∀t Señal no periódica: NO existe To Deterministas y aleatorias Deterministas: señal completamente definida en el tiempo. No hay incertidumbre de su valor pasado, presente o futuro Aleatorias: hay un grado de incertidumbre sobre valores de la señal Señales definidas en potencia y energia Sistema eléctrico: v(t), R , i(t) ¾ Potencia instantánea: p(t ) = v(t ) 2 R = R ⋅ i(t ) 2 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Si R=1 Ω : p(t)= |v(t)|2 = |i(t)|2 = |g(t)|2 Energía total: T E = lim T → ∞ ∫ ∞ 2 g ( t ) dt = −T ∫ 2 g ( t ) dt −∞ Potencia promedio: P = lim T → ∞ 1 2T T ∫ 2 g ( t ) dt −T Señal definida en energía: 0<E<∞ Señal definida en potencia 0<P<∞ 8 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Son mutuamente excluyentes: y Las señales de energía tienen potencia media cero Las señales de potencia tienen energía infinita En general: Señales de potencia: ¾ Señales periódicas ¾ Señales l aleatorias l i Señales de energía: ¾ Señales deterministas ¾ Señales no-periódicas Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Unidades logarítmicas S comparaciones i t magnitudes it d del d l mismo i ti Son entre tipo Son relativas y adimensionales Las respuestas de nuestros sentidos son proporcionales a los logaritmos de la excitación Facilitan cálculos g k ⋅ logg n 2 Representación p ggeneral: g1 n: base del logaritmo; k: factor de proporcionalidad; g: valores de magnitudes consideradas en puntos distintos o niveles 9 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Decibelio (dB): A = 10 log P2 dB P1 A > 0: ganancia en potencia A < 0: atenuación en potencia V2 = I 2 ⋅ R; R P V I A = 10 log 2 = 20 log 2 = 20 log 2 P1 V1 I1 P = Si se comparan potencias en dos cargas distintas R1 , R2: P A = 10 log 2 = 10 log P1 V 22 R2 V12 R1 = 20 log V2 R + 10 log 1 V1 R2 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Decibelio (dB): 3 dB -3 dB 10 dB 20 dB g=2 g=1/2 g=10 g=100 Sistema en cascada de ganancias g1 y g2: ¾ g=g2·g1 <==> g (dB)=g2 (dB)+ g1 (dB) 10 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Neper(N) A = ln V2 1 P N = ln 2 N 2 V1 P1 Relación con dB: log VV12 V2 ln = ⇒ A ( dB ) = 20 log( V1 log e = 20 log e ⋅ ln( V2 V1 ) ≅ 8 . 7 ln( V2 V1 V2 V1 )= ) A ( dB ) = 8 . 7 A ( N ) ⇒ 1 N ≈ 8 . 7 dB Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.2.Caracterización temporal Niveles: valores logarítmicos que toma una magnitud en un ppunto L = k ⋅ log g2 dBx g1 g2: valores de una magnitud en un punto g1: valor de referencia de dicha magnitud L: nivel absoluto de g2 representado en dBx, donde x indica la unidad utilizada Las dos unidades de referencia más utilizadas en sistemas de comunicación: ¾ dBm: P1 = 1mw: L(dBm) = 10logP(mw) L(dBw) = 10logP(w) ¾ dBw: P1 = 1w: L(dBm) = 10logP(mw) = 10log[103 P(w)] = L(dBw) + 30 11 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Transformada de Fourier (T. F.) S g(t) (t) una señal ñ l no periódica iódi determinista, d t i i t su T. T F. F es: Sea ∞ G( f ) = ∫ g (t ) exp(− j 2πft )dt −∞ frecuencia angular w = 2π f La T. T F. F inversa es: ∞ g (t ) = ∫ G( f ) exp( j 2πft )df −∞ Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Para que exista T. F., es suficiente con que se cumplan las condiciones de Dirichlet Nº finito de discontinuidades Valor único para cada t Nº finito de máximos y mínimos Absolutamente integrable Representación par transformado de Fourier g (t ) ⇔ G ( f ) F [g ( t ) ] = G ( f ) F −1 [G ( f ) ] = g (t ) 12 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial general G(f) es una función compleja: En general, G ( f ) = G ( f ) exp[ jθ ( f )] |G(f)|: amplitud del espectro continuo θ ( f ): fase del espectro continuo Si g(t) (t) es una ffunción ió real: l ⎧⇒ G ( f ) = G (− f ) G ( f ) = G * (− f )⎨ ⎩⇒ θ ( f ) = −θ (− f ) Par Impar Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Propiedades de la T. F. Li lid d Linealidad ag1 (t ) + bg 2 (t ) ⇔ aG1 ( f ) + bG 2 ( f ) ( a y b son constantes ) Escalado en el tiempo g ( at ) ⇔ 1 f G( ) a a ( a e s u n a co n stan te ) Dualidad Si g (t ) ⇔ G ( f ) entonces G ( t ) ⇔ g ( − f ) 13 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Desplazamiento temporal g ( t − t o ) ⇔ G ( f ) exp(( − j 2π ft o ) Desplazamiento frecuencial exp( j 2πf c t ) g (t ) ⇔ G ( f − f c ) Área bajo g(t): ∫ ∞ −∞ g ( t ) dt = G ( 0 ) Área bajo G(f): g (0) = ∫ ∞ −∞ G ( f ) df Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Derivación en el dominio del tiempo d g ( t ) ⇔ j 2 π fG ( f ) dt Integración en el dominio del tiempo ∫ t −∞ g (τ ) d τ ⇔ 1 G (0) G( f ) + δ(f) j 2π f 2 Funciones conjugadas Si g ( t ) ⇔ G ( f ); entonces g * ( t ) ⇔ G * ( − f ) 14 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Multiplicación en el tiempo ⇒ convolución en frecuencia g 1 (t ) g 2 (t ) ⇔ ∫ ∞ −∞ G1 ( λ )G 2 ( f − λ ) d λ Convolución en el tiempo ⇒ multiplicación en frecuencia ∫ ∞ −∞ g 1 (τ ) g 2 ( t − τ ) d τ ⇔ G 1 ( f ) G 2 ( f ) Ejemplo (de una señal y su T.F.): t x(t ) = A AΠ Π ( ) ⇔ X ( f ) = Aτ sinc i ( fτ ) τ X(f) A -τ/2 Aτ τ/2 t (s) 1/τ f (Hz) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Función delta de Dirac L función f ió ddelta lt dde Di i l unidad id d se ddefine fi La Dirac o impulso como: δ ( t ) = 0 , t ≠ 0 ∫ ∞ -∞ δ ( t ) dt = 1 Propiedad de extracción: ∫ ∞ ∫ ∞ −∞ −∞ g (t )δ (t ) dt d = g ( 0) g (t )δ (t − t o )dt = g (t o ) g (t )δ (t − t o ) = g (t o )δ (t − t o ) 15 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Propiedad de replicación: δ (t ) ∗ g (t ) = g (t ) ⇒ δ (t ) es la l función f ió identidad id tid d en el oper ador convo lución δ (t-t o ) ∗ g (t ) = g (t − t o ) F[δ (t)] = 1 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Transformada de Fourier de señales periódicas S gp(t) una señal ñ l periódica iódi de d período í d To; se define: d fi Sea − To T ⎧ ≤t≤ o ⎪ g p ( t ), g (t ) = ⎨ 2 2 ⎪⎩ 0 , resto ⇒ Señal de energía, existe T. F. Se cumple: g p (t ) = ∞ ∑ g(t − mT ) m=−∞ o 16 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Suma de Poisson (se cumple para toda función de energía): ∞ ∞ ∑ 1 g ( t − mT o ) = To exp( j 2πnt n )⇔δ(f − ) To To m = −∞ ∑ G( n = −∞ n j 2 π nt ) exp( ) T0 T0 como ∞ 1 g p (t ) = ∑ g (t − mTo ) ⇔ To m = −∞ ∞ n n = −∞ o ∑ G(T )δ ( f − n ) To Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.3.Caracterización frecuencial Entonces, la T. F. de una señal periódica es un tren de deltas a frecuencias 0,±fo, ± 2fo, . . . donde fo=1/ 1/ To Periodicidad (tiempo) ⇔ Discretización (frecuencia) Ejemplo (tomaremos una señal sinusoidal): t (s) f (Hz) 17 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.4.Caracterización de sistemas Un sistema es un dispositivo físico que proporciona una señal de salida a partir de una de entrada x(t) T[ ] y(t) y(t)=T[x(t)] Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.4.Caracterización de sistemas Propiedades de los sistemas: Li lid d ay1(t) + by b 2(t) = T[ax T[ 1(t) + bx b 2(t)] Linealidad: Invarianza temporal: y(t-to) = T[x(t-to)] Estabilidad: Si |x(t)| < M ⇒ y(t) = T[x(t)] < N Sistema sin memoria ⇒ la salida en un instante depende de la entrada en ese instante: » y( y(to) = f [x(t [ ( o)] Causalidad: la salida depende del pasado y del presente de la entrada: » y(to) = f [x(τ)]; ∀τ ≤ to 18 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.4.Caracterización de sistemas Respuesta al impulso de un sistema it LTI h(t) es la l respuesta t all impulso i l Si en un sistema LTI, (h(t) = T[δ(t)] ); entonces podemos calcular la salida convolucionando la respuesta al impulso con la señal de entrada, es decir: y (t ) = ∫ ∞ −∞ x (τ ) h ( t − τ ) d τ = x ( t ) ∗ h ( t ) Si el sistema es L.T.I. y causal ⇒ h(t) = 0, si t < 0 Si el sistema es L.T.I. y estable: ∫ ∞ −∞ h (τ ) d τ < ∞ Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.4.Caracterización de sistemas Respuesta en frecuencia L función f ió de d transferencia t f i o respuesta t en frecuencia f i viene i La dada por: ∞ H ( f ) = ∫ h(t ) exp(− j 2πft )dt −∞ ∞ h(t ) = ∫ H ( f ) exp( j 2πft )df −∞ Si el sistema es LTI ⇒ y(t ) = x(t ) ∗ h(t ) ⇔ Y ( f ) = X ( f ) H ( f ) En general, l la l función f i de d transferencia f i de d un sistema i LTI, será una función compleja: H ( f ) = H ( f ) exp [ j β ( f ) ] H(f) : respuesta β(f): respuesta en amplitud del sistema en fase 19 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.4.Caracterización de sistemas Filtros E un dispositivo di iti selectivo l ti de d frecuencias f i que se emplea l Es para limitar el espectro de una señal a unas bandas específicas de frecuencia Su respuesta en frecuencia se caracteriza por: Bandas de paso: frecuencias transmitidas con nula o pequeña distorsión Bandas eliminadas: frecuencias rechazadas por el sistema Si el filtro es ideal, en las bandas de paso la respuesta es la unidad y en las eliminadas cero Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.4.Caracterización de sistemas Los tipos de filtros ideales son: P bbajo j ideal: id l únicamente ú i t deja d j pasar las l bajas b j frecuencias f i Paso Paso alto ideal: únicamente deja pasar las altas frecuencias Paso banda ideal: solo deja pasar las frecuencias entre dos intervalos dados Banda eliminada ideal: deja pasar todas las frecuencias excepto las comprendidas dentro de un intervalo dado 20 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.4.Caracterización de sistemas 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 -1 0 10 f (Hz) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 6 8 Paso alto ideal Paso bajo ideal 10 f (Hz) 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 -1 0 10 f (Hz) -8 -6 -4 -2 0 2 4 10 f (Hz) Banda eliminada ideal Paso banda ideal Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.5.Densidad espectral Señales definidas en energía S g(t) (t) una señal ñ l de d energía, í y G(f) su T. T F. F : Sea Teorema de la energía de Rayleigh : E= ∫ ∞ −∞ 2 g (t ) dt = ∫ ∞ −∞ 2 G ( f ) df Densidad espectral de energía (D.E.E.) : Ψ g ( f) = G ( f ) E= ∫ ∞ -∞ 2 Ψ g ( f )df 21 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.5.Densidad espectral Relación con la función de autocorrelación: R g (τ ) = ∫ ∞ −∞ g ( t + τ ) g * ( t ) dt ⎡ ∞ g ( t + τ ) g * ( t ) dt ⎤ exp( − j 2π f τ ) d τ = ⎥⎦ −∞ ⎢ ⎣ ∫− ∞ ( ⇒ hacemos t + τ = ψ ; d τ = d ψ ) F [ R g (τ )] = = ∫ ∞ −∞ g * (t ) ∫ ∫ ∞ ∞ −∞ g (ψ ) exp(( − j 2πψ f ) exp(( j 2π tf ) d ψ dt = 2 = G ( f )G * ( f ) = G ( f ) ≡ D .E .E . R g (τ ) ⇔ Ψ g ( f ) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.5.Densidad espectral Señales periódicas S gp(t) una señal ñ l periódica iódi de d período í d To Sea La potencia media es: P = g (t ) 2 1 = To = ( hacemos c n = To 2 ∫ T − o 2 1 g p ( t ) dt = 2 To 2 1 n G ( )) = To To ∞ ∑ n = −∞ ∞ ∑ n = −∞ cn n G( ) To 2 = 2 ⇒ Tª de potencia de Parseval 22 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.5.Densidad espectral Densidad espectral de potencia: función de la frecuencia cuya área es igual a la potencia media de la señal ∞ P = ∫ S gp ( f )df −∞ 1 S gp ( f ) = 2 To 2 ∞ ∞ n n n 2 G f cn δ ( f − ) ( ) ( ) δ − = ∑ ∑ To To To n = −∞ n = −∞ La D.E.P. es una función discreta de la frecuencia debido a la periodicidad temporal Relacionado con la función de autocorrelación: Rgp (τ ) ⇔ S gp ( f ) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.5.Densidad espectral Relación entrada-salida en un LTI D id d espectral: t l Densidad x(t) h(t) y(t) ⇒Y( f ) = H(f)X(f) Con módulos: Y(f) 2 2 = X(f) H(f) 2 2 Señales de energía: Ψ y ( f ) = H ( f ) Ψ x ( f ) Señales de potencia: S y ( f ) = H ( f ) 2 S x ( f ) ⇒La relación entre la densidad espectral a la salida y la entrada sólo depende de la respuesta en amplitud del sistema 23 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.6.Ancho de banda de una señal Es la banda en la q que se encuentra la mayor y parte p de la potencia (energía) de la señal Hay varias definiciones, y por ello varias formas de cuantificar el ancho de banda de una señal: Ancho de banda equivalente Ancho de banda a 3dB Ancho de banda del 90% Ancho de banda del primer nulo Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.6.Ancho de banda de una señal Ancho de banda equivalente S x(t) (t) una señal ñ l banda b d base b d (f) se define d fi Sea con d.e.p. Sx(f), ancho de banda equivalente como el que tendría una señal estrictamente limitada en banda cuya potencia fuese la de x(t) pero con d.e.p. uniforme y de valor el máximo de Sx(f) Px = 2S x ( f ) max a ⋅ weq weq = Px 2S x ( f ) max ∫ = ∞ −∞ S x ( f )df 2S x ( f ) max 24 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.6.Ancho de banda de una señal Ejemplo: pulso rectangular (amplitud A, anchura total τ). Ψx ( f ) A A2τ2 -τ/2 τ/2 1/τ t (s) f (Hz) t x (t ) = AΠ ( ) ⇔ X ( f ) = Aτ sinc ( fτ ) τ Ψx ( f ) = A τ 2sinc 2 ( fτ ) ⇒ max[ Ψx ( f )] = A 2τ 2 2 Ex weq = = 2 A 2τ 2 ∫ ∞ 2 −∞ x (t ) dt 2 A 2τ 2 = A 2τ 1 = 2 2 2A τ 2τ Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.6.Ancho de banda de una señal Ancho de banda a 3dB A ll frecuencia f i para la l que la l d.e.p. d di i l Aquella disminuye a la mitad de su valor máximo S x ( fc ) = S x ( f ) max ⇒ w 3 dB = f c 2 Para el ejemplo anterior: S x ( f ) = A2τ 2 sinc2 ( fτ ) ⇒ sinc2 ( f cτ ) = fc = 0.443 τ ⇒ w3dB = 0.443 τ = 1 2 1 2.26τ 25 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.6.Ancho de banda de una señal Ancho de banda del 90% C ti d la l potencia/energía t i / í de d la l señal ñ l Contiene ell 90% de Ejemplo : 2 ∫ w0.9 0 A 2τ 2 sin c 2 ( fτ ) df = 0.9 A 2τ Resolviend o numéricamente : 1.25 w0 .9 ≈ τ Ancho de banda del primer nulo w = 1 τ Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.6.Ancho de banda de una señal f (H (Hz)) Señales paso banda: los anchos son el doble que los obtenidos para la misma señal paso bajo. 26 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Queremos disponer de una herramienta que permita analizar las señales independientemente de la frecuencia central en la que trabajemos Transformada de Hilbert 1 ∧ g (t ) = π ∫ ∞ −∞ 1 g (τ ) d τ = g (t ) ∗ t −τ πt Transformada de Hilbert inversa: g(t ) = − 1 π ∧ ∫ ∞ −∞ ∧ g (τ ) 1 d τ = − g (τ ) ∗ πt t −τ Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Como: ∧ 1 ⇔ − jjsign g ( f ) ⇒ G ( f ) = − jjsign g ( f )G ( f ) πt Introduce desfase de -90º para frecuencias positivas y 90º para frecuencias negativas La amplitud no se modifica Nos servirá para ciertos tipos de modulaciones y para representar señales ñ l paso banda b d 27 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente La respuesta en fase de la T. H. es : Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Ejemplo de T. H. : g ( t ) = cos( 2π f c t ) = exp( j 2π f c t ) + exp( − j 2π f c t ) 2 1 [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] 2 ∧ − j G ( f ) = − jsign ( f ) G ( f ) = sign ( f )[ δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] = 2 − j 1 = [δ ( f − f c ) − δ ( f + f c )] = [δ ( f − f c ) − δ ( f + f c )] 2 2j ∧ exp( j 2π f c t ) − exp( − j 2π f c t ) π g (t ) = = sin ( 2π f c t ) ⇒ desfase de 2j 2 G( f ) = 28 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente π π π π g (t − ) = cos(2πf ct − ) = cos(2πf ct ) cos( ) + sin(2πf ct )sin( ) = 2 2 2 2 = sin(2πf ct ) La transformada inversa de Hilbert retrasa otros π/2 radianes y cambia signo. Ejemplo: H −1 ∧ [ g ( t )] = − sin ( 2 π f c t − = cos( 2 π f c t ) π 2 ) = − [ − cos( 2 π f c t )] = Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Propiedades de la transformada de Hilbert: Las señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma densidad espectral: La señal g(t) está limitada en banda ⇒ ĝ(t) también Tanto g(t) como ĝ(t) tienen la misma energía o potencia Las señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma función de autocorrelación Si g(t) ∈ ℜ ⇒ g(t) ┴ ĝ(t) R ∧ gg (τ = 0 ) = 0 H[ H(g(t)) ] = -g(t) 29 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Señal analítica D d g(t) (t) ∈ ℜ , la l señal ñ l analítica líti positiva, iti se define: d fi Dado ∧ g + (t ) = g (t ) + j g (t ) ⇒ g (t ) = ℜe[ g + (t )] ⎧2G ( f ) si f > 0 ⎪ G+ ( f ) = G ( f ) + j[− jsign( f )]G ( f ) = ⎨G (0) si f = 0 ⎪0 si f < 0 ⎩ ∞ ⇒ g + (t ) = 2∫ G ( f ) exp( j 2πft )df 0 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Señal analítica negativa: ∧ g − (t ) = g (t ) − j g (t ) ⎧2G ( f ) si f < 0 ⎪ G− ( f ) = G ( f ) − j[− jsign( f )]G ( f ) = ⎨G (0) si f = 0 ⎪0 si f > 0 ⎩ 0 ⇒ g − (t ) = 2∫ G ( f ) exp( p( j 2πft f )dff −∞ Señal original: g (t ) = 1 [ g + ( t ) + g − ( t )] 2 30 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente G(f) f (Hz) G+(f) G-(f) f (Hz) f (Hz) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Señales paso banda S g(t) (t) una señal ñ l paso banda, b d con ancho h de d banda b d 2w 2 Sea centrada en ± fc . En la mayoría de los sistemas de comunicación fc >> 2w, por lo que se denominan también señales banda estrecha Se define la envolvente compleja como: ~ g ( t ) = g + ( t ) exp( − j 2π f c t ) Señal analítica positiva: ~ g + ( t ) = g ( t ) exp( j 2π f c t ) 31 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente La señal g+(t) está limitada en banda (fc - w) ≤ f ≤ (fc + w) ~ G ( f ) = G+ ( f ) ∗ δ ( f + f c ) = G+ ( f + f c ) ~ ⇒ G (f) está limitada en -w ≤ f ≤ w ⇒ la envolvente compleja es una señal paso bajo En general: ~ g (tt)) ∈ C ~ g (t ) = g c (t ) + jg s (t ) g c (t ) ,g s (t ) ∈ ℜ, son señales paso bajo Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Por definición, una señal g(t): ~ g (t ) = ℜe[ g + (t )] = ℜe[ g (t ) exp( j 2πf c t )] = = g c (t ) cos( 2πf c t ) − g s (t ) sin( 2πf c t ) ⇒ Representa ción en forma canónica de la señal g c (t ) ≡ componente en fase g s (t ) ≡ componente en cuadra tura ~ j s (t ) R Recopilando, il d la l envolvente l t compleja: l j g (t ) = g c (t ) + jg Es una señal paso bajo Contiene toda la información relevante de g(t) salvo la frecuencia central a la que se encuentra Por tanto, es una señal paso bajo equivalente a g(t) 32 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Interpretación geométrica: fasor variante en el tiempo ~ g ( t ) = g c ( t ) + jg s ( t ) ~ g ( t ) = a ( t ) exp a (t ) = [ jφ (t ) ] g c2 ( t ) + g s2 ( t ) φ ( t ) = tag -1 ⎡ g s (t ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ g c (t ) ⎦ envolvente natural gs a(t) φ(t) Eje real gc Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Además : ~ g + ( t ) = g ( t ) exp( j 2π f c t ) * El plano g c g s rota a una velocidad 2 πf c rad/s * g ( t ) = ℜ e[ g + ( t )] * La envolvente compleja trata de no prestar atención al movimiento del plano g c g s gs(t) g+(t) a(t) φ(t) g(t) gc(t) 2πfct Eje real 33 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Obtención de las componentes: g (t ) = g c (t ) cos( 2πf c t ) − g s (t ) sin( 2πf c t ) 1 + cos( 4πf c t ) sin( 4πf c t ) − g s (t ) 2 2 1 − cos( 4πf c t ) sin( 4πf c t ) − g s (t ) g (t ) sin( 2πf c t ) = g c (t ) 2 2 ⇒ Si filtramos paso bajo, obtenemos g c (t ) y g s (t ) g (t ) cos( 2πf c t ) = g c (t ) salvo un factor de escala Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente El esquema es: ⊗ g(t) LPF cos(2 π fct) (1/2) c(t) () (1/2)g osc. -π/2 ⊗ Y además: LPF gc(t) osc. ⊗ cos(2 π fct) -π/2 gs(t) -(1/2)gs(t) + Σ - g(t) ⊗ 34 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Sistemas paso banda L visto i t hasta h t ahora h i l t incompleto i l t sii no Lo es operacionalmente contamos con una herramienta que nos permita manejar envolventes complejas para simular el efecto canal Siendo cierto: h(t) x(t) y(t) Todas paso banda ??? Todas paso bajo Nos gustaría operar: ~ ~ x (t ) h (t ) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente Se demuestra: ~ ∞ ~ ~ ~ ~ 2 y (t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ = h(t ) ∗ x(t ) −∞ ~ y (t ) = ℜe[ y (t ) exp( j 2πf ct )] ⇒ Podemos trabajar con señales exclusivamente paso bajo Pero nos puede obligar a realizar 4 convoluciones: ~ ~ ~ 2 y (t ) = h (t ) ∗ x (t ) = [ hc (t ) + jh s (t )] ∗ [ x c (t ) + jx s (t )] = = [ hc (t ) ∗ x c (t ) − hs (t ) ∗ x s (t )] + j[ hc (t ) ∗ x s (t ) + hs (t ) ∗ x c (t )] 2 y c (t ) = hc (t ) ∗ x c (t ) − hs (t ) ∗ x s (t ) 2 y s (t ) = hs (t ) ∗ x c (t ) + hc (t ) ∗ x s (t ) 35 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.7.Modelado paso bajo equivalente En definitiva, para la evaluación de un sistema paso-banda se realizan los siguientes pasos: ~ 1. x(t ) se reemplaza por x(t ); ~ x(t ) = ℜe[ x(t ) exp( j 2πf c t )] ~ 2. h(t ) se reemplaza por h(t ) ~ ~ ~ 3. Se obtiene 2 y (t ) = h(t )∗ x(t ) ~ 4. Se calcula y (t ) = ℜe[ y (t )exp( j 2πf c t )] Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.8.Retardos de fase y grupo Retardo de fase del canal: retardo de una señal sinusoidal (portadora) Retardo de grupo: retardo de la señal de información Un canal dispersivo en fase se puede modelar como: H ( f ) = k exp[ jβ ( f )] k : constante β ( f ):función no lineal de la frecuencia Sea una señal banda estrecha: x ( t ) = x c ( t ) cos( 2 πf c t ) x c ( t ) señal paso bajo / X c ( f ) = 0 f >ω 2 w << f c 36 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.8.Retardos de fase y grupo Realizamos una expansión en serie de Taylor en torno a fc con los 2 primeros términos)) ((aproximamos p p β ( f ) ≈ β ( fc ) + ( f − fc ) Se define: Retardo de fase: τ p = − Retado de grupo: τg = − dβ ( f ) df f = fc β ( fc ) 2π f c 1 dβ ( f ) 2π df f = fc Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.8.Retardos de fase y grupo Por tanto: β ( f ) ≈ − 2 π f cτ p − 2 π ( f − f c )τ g H ( f ) = k exp[ − j 2 π f cτ p − j 2 π ( f − f c )τ g ] Envolventes complejas: ~ H ( f ) = H + ( f + f c ) = 2H ( f + f c ) f >0 ~ H ( f ) = 2k exp(− j 2πf cτ p − j 2πfτ g ) ~ X ( f ) = Xc( f ) ~ ~ 1 ~ Y ( f ) = [ H ( f ) X ( f )] = k exp(− j 2πf cτ p ) exp(− j 2πfτ g ) X c ( f ) 2 37 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.8.Retardos de fase y grupo Como xc (t − τ g ) ⇔ exp(− j 2πfτ g ) X c ( f ) ~ y (t ) = kx k c (t − τ g ) exp((− j 2πf cτ p ) y (t ) = kxc (t − τ g ) cos[2πf c (t − τ p )] ⎡~ ⎤ Recordemos : y(t ) = ℜe ⎢ y (t ) exp( j 2πf ct )⎥ ⎣ ⎦ Por ello, la transmisión de x(t) por un canal dispersivo tiene 2 efectos: L señal La ñ l portadora d se retarda d τp (retardo ( d de d fase f o portadora) La envolvente xc(t) se retarda τg (retardo de grupo) ⇒ retardo de la señal de información Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.8.Retardos de fase y grupo Si β(f) = -22πfto (fase lineal) τ p = − β ( fc ) = to 2π f c τ g = − 1 dβ ( f ) df 2π ⇒ Retardo = to f = fc de fase y de grupo iguales 38 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema Sea un sistema LTI cuya entrada es un proceso estocástico X(t); queremos conocer las características del proceso de salida Y(t) (media, autocorrelación, d.e.p., . . .) h(t) X(t) Media di Y(t) ∞ mY (t ) = E[Y (t )] = E ⎡ ∫ h(τ ) X (t − τ )dτ ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ −∞ ∞ Nota : E[ g ( x)] = ∫ g ( x) f X ( x)dx −∞ f X ( x) ≡ f .d . p. (función de densidad de probabilidad) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema Si lla media di de d X(t) X( ) es finita fi i y ell sistema i es estable: bl ∞ ∞ −∞ −∞ mY (t) = ∫ h(τ )E[ X (t −τ )]dτ =∫ h(τ )mX (t −τ )dτ mY (t) = h(t ) ∗ mX (t ) Si X(t) es estacionario en sentido amplio (WSS) ⇒ mX = cte m Y (t ) = m X ∫ ∞ −∞ h (τ ) d τ = H ( 0 )m X 39 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema Autocorrelación R Y ( t , u ) = E [ Y ( t ) Y ( u )] = = E[∫ ∞ −∞ h (τ 1 ) X ( t − τ 1 ) d τ 1 ∫ ∞ −∞ h (τ 2 ) X ( u − τ 2 ) d τ 2 ] Si el sistema es estable, y el valor cuadrático medio de la señal de entrada es finito ∀t: R Y (t, u ) = R X (t, u ) ∗ h (t ) ∗ h (u ) (1) Si X(t) es WSS ⇒ la autocorrelación depende de la diferencia de tiempos τ = t-u R Y (τ ) = R X (τ ) ∗ h (τ ) ∗ h ( − τ ) (2) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema Correlación cruzada: Suponemos sistema estable y valor cuadrático medio de la señal de entrada finito R XY ( t , u ) = R X ( t , u ) ∗ h ( u ) R YX ( t , u ) = R X ( t , u ) ∗ h ( t ) Por (1) ⇒ R Y ( t , u ) = R XY ( t , u ) ∗ h ( t ) R Y ( t , u ) = R YX ( t , u ) ∗ h ( u ) Si además X(t) es WSS, por (2): R XY (τ ) = R X (τ ) ∗ h ( − τ ) ⇒ R Y (τ ) = R XY (τ ) ∗ h (τ ) R YX (τ ) = R X (τ ) ∗ h (τ ) ⇒ R Y (τ ) = R YX (τ ) ∗ h ( − τ ) Similares deducciones para valor cuadrático medio, covarianzas y autocovarianzas. 40 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema D id d espectral Densidad t l de d potencia t i (d.e.p.) (d ) Ahora trabajamos en el dominio de la frecuencia Suponemos sistema LTI estable y X(t) proceso WSS La densidad espectral de potencia es: S X ( f ) = ∫ ∞ −∞ R X ( τ ) exp( − j 2 π f τ ) d τ Propiedades: 1. Relaciones de Wiener - Khintchine : ∞ S X ( f ) = ∫ R X (τ ) exp( − j 2πfτ ) dτ −∞ ∞ R X (τ ) = ∫ S X (τ ) exp( j 2πfτ ) df ⇒ Par transf ormado −∞ Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema 2. S X ( 0 ) = ∫ ∞ −∞ R X (τ ) d τ 3. R X (0) = E [ X 2 ] = ∫ ∞ −∞ S X ( f ) df 4. S X ( − f ) = S X ( f ) ⇒ Función par de la frecuencia . 5. S X ( f ) ≥ 0 ∀f Relación entrada-salida en un sistema LTI estable y con X(t) proceso WSS 2 SY ( f ) = H ( f ) S X ( f ) E [Y 2 ] = RY ( 0 ) = ∫ ∞ −∞ S Y ( f ) df = ∫ ∞ −∞ 2 H ( f ) S X ( f ) df 41 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema Procesos gaussianos La función densidad de probabilidad es conocida a priori: f X (x) = 1 2π σ X ⎡ (x − m X )2 ⎤ exp ⎢ − ⎥ 2 σ X2 ⎣ ⎦ Independencia ⇒ Incorrelación (siempre) En gaussianos: Incorrelación ⇒ Independencia Se conserva el carácter gaussiano al atravesar un sistema lineal ⇒ sólo habrá que calcular medias y varianzas Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido El ruido es toda señal no deseada que aparece en los sistemas de comunicación y sobre la que no tenemos ningún control Tipos de ruido Ruido externo al sistema: ruido atmosférico, producido por el hombre, galáctico, etc Ruido interno al sistema: el más importante es debido a las fluctuaciones aleatorias de las portadoras en los dispositivos utilizados. Los más comunes son: Ruido impulsivo o shot: ruido cuya intensidad aumenta bruscamente durante un intervalo de tiempo muy pequeño. Ruido térmico: ruido producido por el movimiento aleatorio de los electrones en los elementos integrantes de los circuitos 42 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido El análisis del ruido en los sistemas de comunicación se basa en una forma idealizada de ruido: ruido blanco Su densidad espectral de potencia es constante y no depende de la frecuencia N Sw ( f ) = o 2 -1 Autocorrelación (F de la d.e.p.): Rw (τ ) = No δ (τ ) 2 Entonces dos señales cualesquiera de ruido Entonces, blanco están incorreladas (ya que la correlación es cero ∀τ excepto τ = 0 ) Si además el ruido es gaussiano ⇒ 2 señales cualesquiera son estadísticamente independientes Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Ruido blanco Densidad espectral Autocorrelación Modelo físicamente no realizable: buena aproximación cuando el ancho de banda de ruido es notablemente superior al del sistema 43 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Ancho de banda equivalente de ruido o rectangular Aplicación del ancho de banda equivalente En un sistema paso bajo, para calcular el ancho de banda equivalente, reemplazamos dicho sistema paso-bajo por un filtro ideal paso-bajo con ancho de banda el que se desea calcular y con amplitud el valor de la función de transferencia en el origen de modo que la potencia de ruido a la salida sea la misma cuando a la entrada hay ruido blanco Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Si la densidad espectral de ruido a la entrada es Sw(f)=No/2 ⇒ la potencia de ruido a la salida es: ∞ N ∞ 2 2 PNo = o ∫ H ( f ) df = No ∫ H ( f ) df − ∞ 0 2 Si tenemos la misma fuente de ruido y un filtro ideal pasobajo con ancho de banda ‘B’ y amplitud en el origen la misma que el sistema H(0) ⇒ la potencia de ruido a la salida es: 2 PNo = N o B H (0) La potencia de ruido de salida de un sistema paso-bajo con ancho de banda de ruido o rectangular B, cuando la entrada es ruido blanco, es proporcional a dicho ancho de banda 44 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Si igualamos ambas expresiones: ∫ B= ∞ 0 2 H ( f ) df H (0) 2 ≡ ancho de banda equivalente de ruido Si el sistema es paso banda: B' ∫ = ∞ 0 2 H ( f ) df H ( fc ) 2 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido De forma gráfica (para sistemas paso bajo): |H(f)|2 |H(0)|2 0 f (Hz) 45 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Para sistemas paso banda: |H(f)|2 |H(fc)|2 -fc 0 fc f (Hz) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Ruido de banda estrecha En eel receptor comunicaciones ecep o de los os sistemas s s e s de co u c c o es que uutilizan portadora: La señal y el ruido se filtran de forma selectiva Se deja pasar sólo la banda de frecuencias que interesa, no el ruido fuera de esa banda Un filtro de este tipo es un filtro banda estrecha (fc >> B) El ruido tras el filtrado es un ruido banda estrecha Vamos a estudiar como cualquier ruido de banda estrecha se puede modelar como la salida de cierto sistema al que se le aplica a su entrada un ruido blanco 46 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Sea n(t) el ruido a la salida de un filtro paso-banda de banda estrecha como respuesta a un ruido blanco, gaussiano, de media cero y d.e.p. unidad; ω(t) h(t) ω(t) SN ( f ) = H ( f ) ∧ T.H.[n(t)]: n(t ) = 1 π ⋅t 2 n(t) (la d.e.p. de ω (t ) es la unidad) * n(t ) Sea fc la frecuencia central de la banda de ruido Señal analítica positiva de ruido: ∧ n+ (t ) = n(t ) + j n (t ) Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Envolvente compleja: ~ n(t ) = n+ (t ) exp(− j 2πf ct ) (ruido paso bajo equivalente) ~ n(t ) = nc (t ) + jns (t ) nc (t ) es la componente en fase ns (t ) es la componente en cuadratura Si se desarrollan n+(t) y exp(-j2π fct), deducir: ^ n c ( t ) = n ( t ) cos( 2 π f c t ) + n ( t ) sin ( 2 π f c t ) ^ n s ( t ) = n ( t ) cos( 2 π f c t ) − n ( t ) sin ( 2 π f c t ) ⇒ n ( t ) = n c ( t ) cos( 2 π f c t ) − n s ( t ) sin ( 2 π f c t ) (forma canónica del ruido banda estrecha) 47 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Propiedades de las componentes en fase y cuadratura: 1) Si n(t) tiene media cero cero, nc(t) y ns(t) también ^ ⎧E[nc (t )] = 0 Si E[n(t)] = 0 ⇒ E[n(t )] = 0 ⇒ ⎨ ⎩E[ns (t)] = 0 2) Si n(t) es gaussiano ⇒ nc(t) y ns(t) son gaussianas cada una de ellas y conjuntamente gaussianas 3) Si n(t) es WSS y E[n(t)]=0 ⇒ nc(t) y ns(t) son WSS y son conjuntamente WSS 4) Las componentes nc(t) y ns(t) tienen la misma d.e.p. : ⎧S ( f − f c ) + S N ( f + f c ) S Nc ( f ) = S Ns ( f ) = ⎨ N ⎩0 donde S N ( f ) definido f c − B ≤ f ≤ f c + B −B≤ f ≤ B re sto Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido 5) Si n(t) tiene media cero ⇒ nc(t) y ns(t) tienen la misma varianza que n(t) 6) La densidad espectral cruzada de las componentes en fase y cuadratura son imaginarias puras y vienen dadas por: ⎧ j[ S ( f + f c ) − S N ( f − f c )] S Nc N s ( f ) = −S N s Nc ( f ) = ⎨ N ⎩= 0 −B≤ f ≤ B resto ∞ NOTA : S xy ( f ) = ∫ Rxy (τ ) exp(− j 2πfτ )dτ −∞ 7) Si un ruido paso banda n(t) es gaussiano, de media cero y su d.e.p. SN(f) es localmente simétrica alrededor de ±fc⇒ nc(t) y ns(t) son estadísticamente independientes; por lo que su f.d.p. es : 48 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido f Nc (tk ) Ns (tk ) (nc , ns ) = f Nc (tk ) (nc ) f Ns (tk ) (ns ) = = n2 n2 nc2 + ns2 1 1 1 − exp(− c 2 ) exp(− s 2 ) = exp( ) 2σ 2σ 2πσ 2 2σ 2 2π σ 2π σ Resumen de propiedades: si n(t) es un ruido blanco banda estrecha, de media nula, WSS y gaussiano: nc((t)) y ns((t)) tienen media nula Son WSS y conjuntamente estacionarios Son gaussianos y conjuntamente gaussianos Si la d.e.p. SN(f) es localmente simétrica respecto a ±fc⇒ nc(t) y ns(t) son estadísticamente independientes 1.10. Análisis de ruido – Representación de un ruido banda estrecha en función de su envolvente y fase • Podemos poner: n(t) = r(t)cos[2πfct + ψ (t)]; donde: r (t ) = nc2 (t ) + n s2 (t ) ⎡ n s (t ) ⎤ ⎥ ⎣ n c (t ) ⎦ ψ (t ) = tag −1 ⎢ por otro lado : nc (t ) = r (t ) cos[ψ (t )] n s (t ) = r (t ) sin[ψ (t )] n(t) ns r ψ nc 49 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Si n(t) es gaussiano y de media cero, y SN(f) es localmente simétrica alrededor de ±fc ⇒ nc(t) y ns(t) son gaussianas y de media cero: 2 2 f N c , N s (nc , ns ) = 1 2πσ 2 exp(− nc + ns ) 2σ 2 - cambio de variable : nc = r cos ψ ⇒ r = nc2 + ns2 ⎡n ⎤ ns = r sin ψ ⇒ ψ = tag −1 ⎢ s ⎥ ⎣ nc ⎦ dnc dns = rdrdψ ⇒ f R ,ψ (r ,ψ ) = r 2πσ 2 exp(− r2 ) = f R (r ) fψ (ψ ) 2σ 2 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Esto sugiere: ⎧1 ⎪ fψ (ψ ) = ⎨ 2π ⎪⎩0 0 ≤ ψ ≤ 2π ⇒ uniforme r esto ⎧ r r2 ) ⎪ 2 exp( − f R ( r ) = ⎨σ 2σ 2 ⎪0 ⎩ r≥0 ⇒ distribuci ón de Rayl eigh resto Normalizamos: ν = r /σ ⎧ ν2 ⎪ν exp( − ) fV (ν ) = σ f R(r) = ⎨ 2 ⎪0 ⎩ ν>0 rest o 50 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido La f.d.p. de una variable Rayleigh dada por la ecuación anterior es la que se muestra a continuación (el máximo se produce para ν = 1 , donde la función vale fV (ν ) = 0.607) fV(ν) ν Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Envolvente de una señal sinusoidal con ruido de banda estrecha x(t ) = A cos(2πf ct ) + n(t ) = nc' (t ) cos(2πf ct ) − ns (t ) sin(2πf ct ) donde nc' (t ) = nc (t ) + A Si n(t) es gaussiano, de media cero, varianza σ 2, y se cumple que SN(f) es simétrica respecto a ± fc: Las señales nc´(t) (t) y ns(t) son gaussianas e independientes Las medias son E[nc´(t)] = A; E[ns(t)] = 0 Las varianzas son Var[nc´(t)] = Var[ns(t)] = σ2 51 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Por ello: f N ' , N (nc' , ns ) = c s ⎡ (nc' − A) 2 + ns2 ⎤ exp ⎢− ⎥ 2σ 2 2πσ 2 ⎣ ⎦ 1 2 - cambio de variable : r (t ) = nc' (t ) + ns2 (t ) ; nc' (t ) = r (t ) cos[ψ (t )] ⎡ n (t ) ⎤ ψ (t ) = tag −1 ⎢ s' ⎥; ns (t ) = r (t ) sin[ψ (t )] ⎣ nc (t ) ⎦ ⎡ r 2 + A2 − 2 Ar cosψ ⎤ exp⎢− ⇒ f R ,ψ (r ,ψ ) = ⎥ 2πσ 2 2σ 2 ⎦ ⎣ donde R y ψ no son independientes (salvo para A = 0) debido al término rcosψ . r Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido La f.d.p. de R vendrá dada por: f R (r ) = ∫ 2π 0 f R , Ψ ( r ,ψ ) d ψ = ⎛ r 2 + A 2 ⎞ ⎡ 2π Ar ⎤ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎢ ∫ exp( 2 cos ψ ) d ψ ⎥ exp 2 2 0 σ 2 πσ 2σ ⎦ ⎝ ⎠⎣ donde el término entre corchetes es la función de Bessel modificada de 1ª clase y orden cero. = r Si hacemos x = Ar /σ 2: ⇒ I o ( x) = f R (r ) = r σ2 1 2π ∫ 2π 0 exp(− exp( x cosψ ) dψ r 2 + A2 Ar ) I 0 ( 2 ) ≡ distribución de Rician. 2 2σ σ 52 Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido Normalizamos ν = r / σ ; a = A / σ : fV (ν ) = σf R ( r ) fV (ν ) = ν exp( − ν 2 + a2 2 ) I o ( aν ) La f.d.p. de una variable aleatoria Rician es : fV(ν) a=0 a=1 a=22 a=3 a=4 a=5 ν Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación 1.10. Análisis de ruido ⇒ Para a = 0, 0 tenemos una distribuci ón Rayleigh ⇒ Para un entorno de ν = a y para valores grandes de a , la distribuci ón se aproxima a una variable aleatoria gaussiana (el que a sea grande implica que A es grande respecto a σ , es decir, la portadora es grande frente al ruido) NOTAS: NOTAS Anexo con tablas de pares transformados, relaciones trigonométricas y funciones tabuladas Utilizar: http://www.gib.tel.uva.es/tc 53 ANEXO TABLAS DE PARES TRANSFORMADOS, RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TABULADAS Resumen de las propiedades de la transformada de Fourier Propiedad 1. Linealidad 2. Escalado temporal 3. Dualidad 4. Desplazamiento en tiempo 5. Desplazamiento en frecuencia 6. Área bajo g(t) 7. Área bajo G(f) 8. Diferenciación en tiempo 9. Integración en tiempo 10. Funciones conjugadas 11. Multiplicación en tiempo 12. Convolución en tiempo Descripción matemática a ⋅ g 1 (t ) + b ⋅ g 2 (t ) ⇔ a ⋅ G1 ( f ) + b ⋅ G 2 ( f ) , siendo a y b constantes 1 f g (a ⋅ t ) ⇔ ⋅ G siendo a constate a a Si: g (t ) ⇔ G ( f ) , entonces: G (t ) ⇔ g (− f ) g (t − t 0 ) ⇔ G ( f ) ⋅ exp(− j 2πft 0 ) g (t ) ⋅ exp( j 2πf c t ) ⇔ G ( f − f c ) +∞ ∫ g (t )dt = G(0) g (0 ) = ∫ G ( f )df −∞ +∞ −∞ dg (t ) ⇔ j 2πf ⋅ G ( f ) dt t 1 G (0 ) ∫−∞ g (τ )dτ ⇔ j 2πf ⋅ G( f ) + 2 ⋅ δ ( f ) g (t ) ⇔ G ( f ) , Si: entonces: g * (t ) ⇔ G * (− f ) +∞ g 1 (t ) ⋅ g 2 (t ) ⇔ G1 ( f ) ∗ G 2 ( f ) = ∫ G1 (λ ) ⋅ G 2 ( f − λ )dλ −∞ +∞ g 1 (t ) ∗ g 2 (t ) = ∫ g 1 (τ ) ⋅ g 2 (t − τ )dτ ⇔ G1 ( f ) ⋅ G 2 ( f ) −∞ 1 Pares transformados de Fourier Función en tiempo t Π T Transformada de Fourier sin c(2Wt ) 1 f ⋅ Π 2W 2W 1 a + j 2πf 2a T ⋅ sin c( fT ) exp(− at ) ⋅ u (t ) , a > 0 exp(− a t ) , a > 0 ( a 2 + (2πf ) exp − πf 2 2 ) ( exp − πt 2 t Λ T δ (t ) 1 δ (t − t 0 ) exp( j 2πf c t ) ) T ⋅ sin c 2 ( fT ) 1 δ(f ) exp(− j 2πft 0 ) δ ( f − fc ) 1 ⋅ [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] 2 1 ⋅ [δ ( f − f c ) − δ ( f + f c )] 2j 1 jπf cos(2πf c t ) sin (2πf c t ) sign(t ) 1 πt − j ⋅ sign( f ) u (t ) 1 1 ⋅δ( f )+ 2 j 2πf 1 +∞ n ⋅ ∑ δ f − T0 n = −∞ T0 +∞ ∑ δ (t − iT0 ) i = −∞ NOTAS: u(t): Función escalón unidad δ(t): Función delta de Dirac T t 1 , t < 2 Π = T 0 , t ≥ T 2 t t 1 − , t <T Λ = T T 0 , t ≥T 1 ,t > 0 sign(t ) = 0 , t = 0 − 1 , t < 0 2 Pares transformados de Hilbert Función en tiempo m(t ) ⋅ cos(2πf c t ) (1) m(t ) ⋅ sin (2πf c t ) cos(2πf c t ) sin (2πf c t ) sin (t ) t Transformada de Hilbert m(t ) ⋅ sin (2πf c t ) − m(t ) ⋅ cos(2πf c t ) sin (2πf c t ) − cos(2πf c t ) 1 − cos(t ) t 1 t− 1 2 − ⋅ log 1 π t+ 2 1 πt t 1+ t2 (1) t Π T δ (t ) 1 1+ t2 1 t − π ⋅ δ (t ) (1) En los dos primeros pares, se asume que m(t) es una señal limitada en banda, en el intervalo: -W ≤ f ≤ W, siendo: fc > W. NOTAS: δ(t): Función delta de Dirac T t 1 , t < 2 Π = T 0 , t ≥ T 2 log: logaritmo natural Identidades trigonométricas exp(± jθ ) = cos(θ ) ± j ⋅ sin (θ ) 1 cos(θ ) = ⋅ [exp( jθ ) + exp(− jθ )] 2 1 sin (θ ) = ⋅ [exp( jθ ) − exp(− jθ )] 2j 2 ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) = sin (2θ ) sin (a ± b ) = sin (a ) ⋅ cos(b ) ± cos(a ) ⋅ sin (b ) cos(a ± b ) = cos(a ) ⋅ cos(b ) m sin (a ) ⋅ sin (b ) tan (a ) ± tan (b ) tan (a ± b ) = 1 m tan (a ) ⋅ tan (b ) 1 sin (a ) ⋅ sin (b ) = ⋅ [cos(a − b ) − cos(a + b )] 2 1 cos(a ) ⋅ cos(b ) = ⋅ [cos(a − b ) + cos(a + b )] 2 1 sin (a ) ⋅ cos(b ) = ⋅ [sin (a − b ) + sin (a + b )] 2 sin 2 (θ ) + cos 2 (θ ) = 1 cos 2 (θ ) − sin 2 (θ ) = cos(2θ ) 1 cos 2 (θ ) = ⋅ [1 + cos(2θ )] 2 1 sin 2 (θ ) = ⋅ [1 − cos(2θ )] 2 3 Funciones de Bessel Jn(x) n\x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.5 1 2 3 4 6 8 10 12 0.9385 0.2423 0.0306 0.0026 0.0002 0.7652 0.4401 0.1149 0.0196 0.0025 0.0002 0.2239 0.5767 0.3528 0.1289 0.0340 0.0070 0.0012 0.0002 -0.2601 0.3391 0.4861 0.3091 0.1320 0.0430 0.0114 0.0025 0.0005 0.0001 -0.3971 -0.0660 0.3641 0.4302 0.2811 0.1321 0.0491 0.0152 0.0040 0.0009 0.0002 0.1506 -0.2767 -0.2429 0.1148 0.3576 0.3621 0.2458 0.1296 0.0565 0.0212 0.0070 0.0020 0.0005 0.0001 0.1717 0.2346 -0.1130 -0.2911 -0.1054 0.1858 0.3376 0.3206 0.2235 0.1263 0.0608 0.0256 0.0096 0.0033 0.0010 -0.2459 0.0435 0.2546 0.0584 -0.2196 -0.2341 -0.0145 0.2167 0.3179 0.2919 0.2075 0.1231 0.0634 0.0290 0.0120 0.0477 -0.2234 -0.0849 0.1951 0.1825 -0.0735 -0.2437 -0.1703 0.0451 0.2304 0.3005 0.2704 0.1953 0.1201 0.0650 Función de error u 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 erf(u) 0.00000 0.05637 0.11246 0.16800 0.22270 0.27633 0.32863 0.37938 0.42839 0.47548 0.52050 0.56332 0.60386 0.64203 0.67780 0.71116 0.74210 0.77067 0.79691 0.82089 0.84270 0.86244 u 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.50 3.00 3.30 4 erf(u) 0.88021 0.89612 0.91031 0.92290 0.93401 0.94376 0.95229 0.95970 0.96611 0.97162 0.97635 0.98038 0.98379 0.98667 0.98909 0.99111 0.99279 0.99418 0.99532 0.99959 0.99998 0.999998 TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CUESTIONES TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN 1.- Indicar los principales canales de comunicación utilizados en la actualidad. 2.- Tipos de señales. Explicar cada uno de ellos. 3.- ¿Cómo se define la energía o la potencia media de una señal? 4.- ¿Cómo se definen y por qué se utilizan las unidades logarítmicas? 5.- Que tenga periodicidad una señal en el dominio del tiempo, ¿qué implicación tiene en el dominio de la frecuencia? 6.- Ecuación síntesis y análisis de la transformada de Fourier. ¿Cuáles son las condiciones para que una señal tenga trasformada de Fourier? 7.- ¿Cómo se puede calcular a simple vista al área bajo g(t) o bajo G(f)? 8.- Definición y propiedades de los sistemas. 9.- En el caso de sistemas LTI, ¿qué condición debe cumplir la respuesta al impulso para que el sistema sea i) sin memoria, ii) causal, y iii) estable? 10.- ¿Cuál es la respuesta en amplitud y en fase? ¿Cómo se relacionan con la función de transferencia? ¿Cuál es la ganancia del sistema y su relación con la respuesta en amplitud? 11.- ¿Qué es un filtro? Tipos de filtros ideales. 12.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de energía y la transformada de Fourier para una señal de energía? 13.- Dar una expresión para la energía en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia. 14.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de potencia y los coeficientes de la serie compleja de Fourier para una señal periódica? 15.- ¿Cómo se puede calcular la densidad espectral a la salida de un sistema a partir de la densidad espectral a la entrada tanto para señales de energía como de potencia? 16.- ¿Cómo se puede calcular la correlación de la señal de entrada y la señal de salida de un sistema? ¿Cómo se puede calcular la autocorrelación de la señal de salida? 17.- Dar al menos tres criterios para calcular en la práctica el ancho de banda. 18.- ¿Cuál es la ecuación análisis y síntesis para la transformada de Hilbert? La transformada de Hilbert de una señal se puede calcular haciendo pasar a ésta por un sistema LTI. ¿Cuál es la respuesta al impulso de ese sistema que recibe el nombre de transformador de Hilbert? ¿Cuál es la respuesta en amplitud de dicho sistema? ¿Cuál es la relación entre la señal y su transformada de Hilbert en el dominio de la frecuencia? 19.- ¿Cómo se calcula la señal analítica positiva y la señal analítica negativa de una señal cualquiera en el dominio del tiempo y de la frecuencia? 20.- Para una señal paso banda, ¿cómo se calcula la envolvente compleja en el dominio del tiempo y de la frecuencia? 21.- ¿Cómo se definen las componentes en fase y en cuadratura de una señal paso banda? ¿Cuál es la forma canónica de una señal paso banda? 22.- ¿Cómo se puede calcular una señal a partir de sus componentes en fase y en cuadratura y al revés?. Poner los diagramas de bloques. 23.- Hacer un diagrama fasorial de una señal paso banda, indicando la envolvente natural, la fase, la componente en fase y la componente en cuadratura. 24.- Si se tiene la envolvente compleja de la señal a la entrada de un sistema LTI paso banda y la envolvente compleja del sistema, ¿cómo se calcula la envolvente compleja de la señal a la salida? 25.- ¿Cuál es la definición del retardo de fase y de grupo? ¿Cuál es el sentido físico de cada uno y cómo se puede aplicar al caso de señales y sistemas paso banda? 26.- ¿Cuál es la expresión, en el caso estacionario, de la media y la autocorrelación a la salida de un sistema LTI en función de la media y la autocorrelación a la entrada y la respuesta al impulso del sistema? 27.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de potencia y la autocorrelación?. ¿Cómo se define la densidad espectral cruzada? 28.- ¿Cuál es la expresión de la densidad espectral de potencia a la salida de un sistema LTI en función de la densidad espectral de potencia a la entrada y la función de transferencia del sistema? 29.- ¿Cómo es la distribución de la salida de un sistema LTI cuya entrada es gaussiana? 30.- ¿Cuál es la densidad espectral de potencia y la autocorrelación para un ruido blanco gaussiano y de media cero? 31.- ¿Cuál es la forma canónica de un ruido de banda estrecha? 32.- ¿Qué se puede decir de las componentes en fase y en cuadratura de un ruido de banda estrecha con media cero, gaussiano y estacionario? 33.- ¿Cómo se puede calcular la densidad espectral de potencia de las componentes en fase y en cuadratura de un ruido de banda estrecha a partir de la densidad espectral de potencia de ese ruido? 34.- ¿Cuál es la distribución de la envolvente natural de un ruido de banda estrecha gaussiano con media cero? 35.- ¿Cuál es la distribución de la envolvente natural de un ruido de banda estrecha gaussiano con media cero junto con una señal sinusoidal? TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PROBLEMAS TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN 1.- Clasifica las siguientes señales como señales de energía o de potencia. Calcula en cada caso la potencia o la energía de dichas señales: a) x ( t ) = A cos( 2 π f 0 t ) para - ∞ < t < ∞ para - T0 / 2 ≤ t ≤ T0 / 2, donde T0 = 1/ f 0 ⎧ A cos( 2 π f 0 t ) b) x ( t ) = ⎨ 0 para el resto ⎩ para t > 0 y a > 0 ⎧ A exp( −at ) c) x ( t ) = ⎨ 0 para el resto ⎩ d) x ( t ) = cos( t ) + 5 cos( 2t ) para - ∞ < t < ∞ 2.a) Calcular la transformada de Fourier del pulso medio-coseno mostrado en la figura: g(t) A -T/2 0 T/2 t b) Aplicar la propiedad de desplazamiento temporal para que a partir del resultado obtenido en el apartado anterior calcular la transformada de Fourier del pulso medio-seno mostrado en la figura: g(t) A 0 T t c) ¿Cuál es la transformada de Fourier del pulso medio-seno de duración aT? d) ¿Cuál es la transformada de Fourier del pulso medio-seno negativo de la siguiente figura? g(t) -T 0 t -A e) Calcular el espectro del pulso seno de la siguiente figura: g(t) A -T 0 T t -A 3.- Una señal x(t) de energía finita es aplicada a un dispositivo cuadrático cuya salida y(t) está relacionada con la entrada x(t) mediante la expresión: y(t) = x2(t) El espectro de x(t) está limitado al intervalo de frecuencias -W ≤ f ≤ W. Mostrar entonces que el espectro de y(t) está limitado al intervalo -2W ≤ f ≤ 2W. 4.- Considerar una función g(t) que sea un pulso formado por un número finito de segmentos de línea recta. Supongamos que dicha función g(t) es diferenciable con respecto al tiempo dos veces, de modo que puede generarse un tren de deltas ponderadas de la siguiente forma: d 2 g(t) = ∑ k i δ( t - t i ) dt 2 i donde los ki están relacionados con las pendientes de los segmentos de línea recta. a) Dados los valores de ki y de ti, mostrar que la transformada de Fourier de g(t) viene dada por: G(f) = - 1 4 π 2f 2 ∑k i exp( − j2 πf t i ) i b) Utilizando este procedimiento, mostrar que la transformada de Fourier del pulso trapezoidal mostrado en la figura: g(t) A -tb -ta 0 ta tb t es: G(f) = A sin[π f ( t b − t a )]sin[π f ( t b + t a )] π f (tb − ta ) 2 2 5.- Calcular la densidad espectral de potencia del pulso RF de la figura: g(t) 1/fc ... ... 2A t T0/2 T0/2 6.- Mostrar que la densidad espectral de energía del pulso: g(t) A -T/2 y la del pulso: 0 T/2 t g(t) A 0 T t es la misma y tiene un valor: Ψ g ( f) = 4A 2T 2 cos 2 (π T f) π 2 (1 − 4T 2 f 2 ) 2 7.- Considere un sistema receptor formado por cinco secciones como se muestra en la siguiente figura: 1 2 Entrada 3 4 5 Salida sabiendo que la primera sección, la tercera y la quinta son atenuadores iguales de 5 dB y que introducen una potencia de ruido de -100 dBm, -50 dBm y -20 dBm respectivamente al final de esa sección. Sabiendo además que las secciones segunda y cuarta son amplificadores de 20 y 50 dB respectivamente que además introducen un ruido de -50 dBm y -20 dBm respectivamente al final de esa sección. Con esos datos y suponiendo que a la entrada hay una potencia de señal de -50 dBm y de ruido de -100 dBm, determinar: a) El valor de la SNR a la entrada en dB. b) La potencia de señal a la salida en dBm. c) La potencia de ruido a la salida en dBm. d) El valor de la SNR a la salida en dB. e) La relación entre el valor de la SNR a la entrada y el valor de la SNR a la salida medida en dB. 8.- Una señal periódica xp(t) de período T0 se aplica a un filtro lineal e invariante en el tiempo de respuesta al impulso h(t). Utiliza la representación en serie de Fourier Compleja de xp(t) y la integral de convolución para evaluar la respuesta del filtro a dicha entrada. 9. Respecto la señal x ( t ) = k 0 e − k1t u ( t ) , donde k0 , k1 > 0 , se pide: a) Ancho de banda a 3 dB b) Ancho de banda equivalente c) Ancho de banda del 90% d) Ancho de banda del primer nulo 10.a) Considerar una señal g(t) limitada a la banda de frecuencias -B ≤ f ≤ B. Esta señal se aplica a un filtro paso bajo con amplitud no constante y fase lineal dado por: f ⎧ ⎪ a + a 1 cos( π ) para f ≤ B H(f) = ⎨ 0 B ⎪⎩0 para f > B y por: ⎧- 2 π t 0f para f ≤ B β( f) = ⎨ para f > B ⎩0 Determinar la salida del filtro resultante. b) Supóngase ahora el caso contrario para el que la amplitud es constante y la fase no lineal: ⎧a 0 para f ≤ B H(f) = ⎨ ⎩ 0 para f > B y por: f ⎧ ⎪- 2 π t 0f + b1 sin( π ) para f ≤ B β( f) = ⎨ B para f > B ⎪⎩ 0 Determinar la salida del filtro resultante suponiendo que la constante b1 es lo suficientemente pequeña como para poder utilizar la aproximación: πf ⎤ πf ⎡ exp⎢ jb1 sin( )⎥ ≅ 1 + jb1 sin( ) B ⎦ B ⎣ 11.- Determina la señal analítica positiva g+(t) la señal analítica negativa g-(t), la envolvente compleja ~ g ( t) , la componente en fase gc(t), la componente en cuadratura gs(t), la envolvente natural a(t) y la fase φ(t) para las siguientes señales: a) g(t) = sinc(t). b) g(t) = [1 + k cos(2πfmt)] cos(2πfct). 12.- Una señal de banda estrecha se puede expresar de la forma: g(t) = gc(t)cos(2πfct)-gs(t)sin(2πfct) Utilizando G+(f) para denotar la transformada de Fourier de la señal analítica positiva de g(t), mostrar que las transformadas de Fourier de las componentes en fase gc(t) y en cuadratura gs(t) vienen dadas por: [ ] [ ] G c (f) = 1 G + (f + f c ) + G +* (-f + f c ) 2 G s (f) = 1 G + (f + f c ) - G +* (-f + f c ) 2j Se ha estudiado un diagrama de bloque que ilustra el método para obtener la componente en fase gc(t) y en cuadratura gs(t) a partir de la señal g(t). Ayudados por este diagrama de bloques, y dado que el espectro de g(t) está limitado en la banda f c − W ≤ f ≤ f c + W , demostrar las siguientes expresiones de las transformadas de Fourier de las componentes en fase gc(t) y en cuadratura gs(t): ⎧G(f - f c ) + G(f + f c ) G c (f) = ⎨ 0 ⎩ −W ≤f ≤ W resto ⎧j[G(f - f c ) − G(f + f c )] G s (f) = ⎨ 0 ⎩ −W ≤f ≤ W resto 13.- Dada la siguiente señal paso banda: g(t) A -T/2 T/2 -A 1/fc t y el sistema paso banda: 2 ⎧1 1 ⎡ π T(f - f c ) ⎤ ≤ para f f c ⎪ 2 + 2 cos⎢ ⎥⎦ 2 T ⎣ ⎪ 2 ⎪1 1 ⎡ π T(f + f c ) ⎤ para f + f c ≤ H(f) = ⎨ + cos⎢ ⎥ 2 T ⎣ ⎦ ⎪2 2 para el resto ⎪ 0 ⎪⎩ a) Determinar la transformada de Fourier de la señal de entrada X(f). b) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la señal de entrada ~(f) . X c) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la respuesta al ~ (f) . impulso del sistema H d) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la señal de salida ~ Y(f) . e) Determinar la transformada de Fourier de la señal de salida Y(f). e) Determinar la señal de salida y(t). 14.- Si de un sistema de fase no lineal se sabe que una buena aproximación de su respuesta en fase β(f) se puede calcular desarrollando dicha respuesta en fase en serie de Taylor en torno a una frecuencia fc = 1 MHz y quedándose con los dos primeros términos de dicho desarrollo, puesto que se sabe que la no linealidad de la fase no es muy grande. Si la expresión para dicha aproximación es β(f) ≈ 7 - 10-5f, calcular: a) El valor del retardo de fase τp. b) El valor del retardo de grupo τg. 15.- Si a la entrada de un sistema lineal e invariante en el tiempo dado por: H(f) = K y por: β (f) = - 2π f c τ p − 2 π (f - f c )τ g se aplica una señal de banda estrecha dada por: x(t) = xc(t)cos(2πfct)-xs(t)sin(2πfct) calcular la expresión de la señal de salida y(t) en función de K, xc(t), xs(t), fc, τp y τg. 16.- La densidad espectral de potencia de un proceso estocástico X(t) es la siguiente: SX(f) δ(f) 1 -f0 0 f0 f Determina y dibuja la función de autocorrelación RX(τ). 17.- Un par de procesos ruidosos n1(t) y n2(t) están relacionados por: n2(t) = n1(t) cos(2πfct + θ) - n1(t) sin(2πfct + θ) donde fc es una constante y θ es una variable aleatoria definida por: ⎧⎪ 1 f Θ ( θ) = ⎨ 2π ⎪⎩ 0 para 0 ≤ θ ≤ 2 π para el resto El proceso de ruido n1(t) es estacionario en sentido amplio y su densidad espectral de potencia es: SN1(f) a -W 0 W f Encontrar y dibujar la densidad espectral de potencia de n2(t). 18.- Considerar un proceso de ruido blanco gaussiano de media cero y densidad espectral de potencia N0/2 que se aplica a la entrada del sistema que se muestra en la siguiente figura: Ruido Blanco Filtro paso banda H1(f) X Filtro paso bajo H2(f) Señal de Salida cos (2πfct) siendo el filtro paso banda: H 1 ( f) 2B 1.0 0 -fc fc y el filtro paso bajo: H 2 ( f) 1.0 0 f 2B a) Encontrar la densidad espectral de potencia del proceso de salida del sistema. b) ¿Cuál es la media y la varianza de este proceso de salida? f TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN 1. a. Señal definida en potencia: b. Señal definida en energía: c. Señal definida en energía: d. Señal definida en potencia: A2 Px = 2 A 2 T0 Ex = 2 2 A Ex = 2a Px = 13 2. ⎡ 1⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⋅ ⎢sin c⎜ fT − ⎟ + sin c⎜ fT + ⎟⎥ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ A⋅T ⎡ 1⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ ⎛ b. G a ( f ) = ⋅ ⎢sin c⎜ fT − ⎟ + sin c⎜ fT + ⎟⎥ ⋅ exp(− jπfT ) 2 ⎣ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ c. G c ( f ) = a ⋅ Gb (af ) a. Ga ( f ) = A⋅T 2 A⋅T ⎡ 1⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⋅ ⎢sin c⎜ fT − ⎟ + sin c⎜ fT + ⎟⎥ ⋅ exp( jπfT ) 2 ⎣ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ e. G e ( f ) = Gb ( f ) + G d ( f ) Es una demostración. Son demostraciones. ⎛ A 2 ⎪⎧ + ∞ n⎞ n ⎞⎤ ⎫⎪ ⎛n⎞ ⎡ ⎛ Sg ( f )= ⋅ ⎨ ∑ sin c 2 ⎜ ⎟ ⋅ ⎢δ ⎜⎜ f − f c − ⎟⎟ + δ ⎜⎜ f + f c − ⎟⎟⎥ ⎬ 16 ⎪⎩n = −∞ T0 ⎠ T0 ⎠⎥⎦ ⎪⎭ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎝ Es una demostración. d. G a ( f ) = − 3. 4. 5. 6. 7. a. b. c. d. e. 8. y (t ) = SNRentrada = 50 dB S salida = 5 dBm N salida = −3.68 dBm SNR salida = 8.68 dB SNRentrada (dB ) = 41.32 dB SNR salida +∞ ∑a n = −∞ n +∞ ⎛ 2πnt ⎞ ⎛ ⎛ 2πnt ⎞ n⎞ ⎟⎟ ; a n = c n ⋅ ∫ h(τ ) ⋅ exp⎜⎜ − j ⎟⎟ ⋅ dτ = c n ⋅ H ⎜⎜ f = ⎟⎟ ⋅ exp⎜⎜ j − ∞ T0 ⎠ T0 ⎠ ⎝ T0 ⎠ ⎝ ⎝ 1 9. k1 2π k b. weq = 1 4 c. w90% ≈ 1.005 ⋅ k1 a. w3dB = d. w pn → ∞ 10. a. b. ⎡ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ ⋅ ⎢g⎜ t − t0 + ⎟ + g⎜ t − t0 − ⎟ 2B ⎠ 2 B ⎠⎥⎦ ⎝ ⎣ ⎝ a ⋅b ⎡ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ y (t ) = a 0 ⋅ g (t − t 0 ) + 0 1 ⋅ ⎢ g ⎜ t − t 0 + ⎟ − g⎜ t − t0 − ⎟ 2 2B ⎠ 2 B ⎠⎥⎦ ⎝ ⎣ ⎝ y (t ) = a 0 ⋅ g (t − t 0 ) + a1 2 11. ⎛t⎞ ⎛ π ⎞ g + (t ) = g~ (t ) ⋅ exp( j 2πf c t ) = sin c⎜ ⎟ ⋅ exp⎜ j t ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ π ⎞ ⎛ ⎛t⎞ g − (t ) = sin c⎜ ⎟ ⋅ exp⎜ − j t ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝2⎠ ⎛t⎞ g~ (t ) = sin c⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛t⎞ g c (t ) = sin c⎜ ⎟ ; g s (t ) = 0 ⎝2⎠ ⎛t⎞ a(t ) = sin c⎜ ⎟ ; φ (t ) = 0 ⎝2⎠ b. g + (t ) = [1 + k ⋅ cos(2πf m t )] ⋅ exp( j 2πf c t ) g − (t ) = [1 + k ⋅ cos(2πf m t )] ⋅ exp(− j 2πf c t ) g~ (t ) = 1 + k ⋅ cos(2πf m t ) g c (t ) = 1 + k ⋅ cos(2πf m t ) ; g s (t ) = 0 a(t ) = 1 + k ⋅ cos(2πf m t ) ; φ (t ) = 0 12. Son demostraciones. 13. AT a. X ( f ) = ⋅ {sin c[( f − f c ) ⋅ T ] − sin c[( f + f c ) ⋅ T ]} 2j b. X~ ( f ) = − jAT ⋅ sin c( fT ) 2 2 ~ ⎛ πfT ⎞ c. H ( f ) = 1 + cos⎜ − ≤ f ≤ ⎟ T T ⎝ 2 ⎠ jAT ⎡ 3 ⎛1 ⎞⎤ ⎛3 ⎞ 1 d. Y~ ( f ) = − ⋅ ⎢sin c( fT ) + ⋅ sin c⎜ ⋅ fT ⎟ + ⋅ sin c⎜ ⋅ fT ⎟⎥ 2 ⎣ 4 ⎝2 ⎠⎦ ⎝2 ⎠ 4 3 A ⎡ ⎛1 ⎞⎤ δ ( f − f c ) − δ ( f + f c ) ⎛3 ⎞ 1 e. Y ( f ) = ⋅ ⎢T ⋅ sin c( fT ) + ⋅ T ⋅ sin c⎜ ⋅ fT ⎟ + ⋅ T ⋅ sin c⎜ ⋅ fT ⎟⎥ ∗ 2 ⎣ 4 2j ⎝2 ⎠⎦ ⎝2 ⎠ 4 a. 2 f. y (t ) = A ⎡ ⎛ t ⎞ 1 ⎛ 2t ⎞ 1 ⎛ 2t ⎞⎤ ⋅ Π⎜ ⎟ + ⋅ Π ⎜ ⎟ + ⋅ Π⎜ ⎟ ⋅ sen(2πf c t ) 2 ⎢⎣ ⎝ T ⎠ 2 ⎝ 3T ⎠ 2 ⎝ T ⎠⎥⎦ 14. 3 μs 2π 10 b. τ g = μs 2π 15. y (t ) = k ⋅ x c (t − τ g ) ⋅ cos 2πf c (t −τ a. τ p = 16. R x (τ ) = 1 + f 0 ⋅ sin c 17. S N 2 ( f ) = [ 2 ( f 0τ ) [ p )] − k ⋅ x (t − τ ) ⋅ sen[2πf (t −τ )] s ] 1 ⋅ S N1 ( f − f c ) + S N1 ( f + f c ) 2 18. ⎧ N0 ⎪ S salida ( f ) = ⎨ 4 , f ≤ B ⎪⎩ 0 , resto b. Media = 0 N B Varianza = 0 2 a. 3 g c p UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tema 2: Modulaciones de Amplitud Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 TEMA II : Modulaciones de Amplitud 22.1.-Introducción 1 I t d ió 2.2.-Modulación AM 2.3.-Modulación DSB-SC 2.4.-Modulación QAM 2.5.-Filtrado de bandas laterales 2 6 M d l ió VSB 2.6.-Modulación 2.7.-Modulación SSB 2.8.-Translación en frecuencia 2.9.-Multiplexación por división en frecuencia (FDM) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.1. Introducción El objetivo de un sistema de comunicación es transmitir señales ñ l de d información i f ió a través t é de d un canall de d comunicación, que separa el transmisor y el receptor El término banda-base se utiliza para denominar las bandas de frecuencias que representa la señal original que lleva información La utilización eficiente del canal de comunicación requiere desplazar las frecuencias ‘banda-base’ a otro rango de frecuencias más adecuado para la transmisión ⇒ MODULACIÓN 1 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.1. Introducción Modulación: se define como el proceso por el cual alguna de las características de una portadora se modifica de acuerdo con la señal de información: Señal banda-base de información ⇒ señal moduladora Señal resultante del proceso de modulación ⇒ señal modulada En recepción, normalmente, se requiere restaurar o devolver la señal modulada a su forma original ⇒ DEMODULACIÓN (proceso inverso a la modulación) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.1. Introducción Veremos dos tipos de modulación de onda continua: Modulación de amplitud (AM): la amplitud de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora Modulación angular: el ángulo de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora Modulación de fase (PM): la fase de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora Modulación de frecuencia ((FM): ) la frecuencia de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora 2 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Generación de una señal AM Consideremos la señal portadora c(t): c(t ) = Ac cos(2πf ct ) Ac : amplitud de la portadora f c : frecuencia de la portadora Por simplificación asumimos que la fase de la portadora es cero : φc = 0 Sea m(t) S ( ) una señall banda-base b d b que contiene i la l información i f ió (señal moduladora), con ancho de banda ω. La portadora c(t) es independiente de m(t) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM La modulación de amplitud (AM) se define como el de la pportadora c(t) pproceso ppor el cual la amplitud p ( ) varía en torno a un valor medio de forma lineal con la señal moduladora m(t) La expresión de la señal modulada en AM es: s(t ) = Ac [1 + ka m(t )] cos(2πf ct ) ka : constante denominada sensibilidad en amplitud del modulador Para que la envolvente de la señal modulada en AM siga la forma de la señal banda-base m(t) se deben satisfacer 2 condiciones: 3 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM 1º) | kam(t) | < 1 ∀t Si | kam(t) | < 1: Aseguramos que 1+ kam(t) > 0 Envolvente de la señal s(t): Ac[1+ kam(t)] Relación unívoca entre la envolvente de la señal AM y la señal moduladora Si | kam(t) | > 1: Puede que 1+ kam(t) < 0; ⇒ la fase de la señal se invierte siempre que 1+ kam(t) cambie de signo ⇒ Distorsión en la envolvente Ö sobremodulación Porcentaje de modulación: el valor absoluto máximo de kam(t) multiplicado por 100 Ö max | kam(t) | x 100 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM ( )S (a) Señal ñ l banda b d base b m(t) () (b) Señal AM con |kam(t)| < 1 ∀t (c) Señal AM con |kam(t)| > 1 para algún t 4 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM 2º) La frecuencia de la señal portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t): fc >> ω (ω es el ancho de banda de m(t)) Calculamos la T.F. de la señal AM: S( f ) = Ac k A [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] + a c [ M ( f − f c ) + M ( f + f c )] 2 2 Suponiendo que la señal moduladora m(t) está limitada en un rango de frecuencias -ω ≤ f ≤ ω : f (Hz) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Representación S ( f ) : f (Hz) 5 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Del gráfico deducimos: La condición fc > ω asegura que las bandas laterales inferiores no se solapen En frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + ω, y la componente frecuencial inferior fc - ω El ancho de banda de transmisión de la señal AM se define como la diferencia entre ambas: BT = 2ω Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Modulación de un tono simple S ñ l moduladora: d l d t i l Señal tono simple m ( t ) = Am cos( 2π f m t ) Am : amplitud de la señal moduladora f m : frecuencia de la señal moduladora Señal modulada AM: s(t ) = Ac [1 + μ cos(2πf mt )] cos(2πf c t ) donde μ = k a Am ⇒ factor de modulación ⇒ si se expresa en % ⇒ porcentaje de modulación ⇒ μ < 1 ⇒ evitar sobremodulación 6 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Ejemplo (dominio del tiempo): Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Si μ < 1 (no sobremodulación): Amax Ac (1 + μ ) A − Amin = ⇒ μ = max Amin Ac (1 − μ ) Amax + Amin Desarrollando la señal: s ( t ) = Ac [1 + μ cos( 2π f m t )] cos( 2π f c t ) s ( t ) = Ac cos( 2π f c t ) + + 1 μ Ac cos[ 2π ( f c + f m ) t ] + 2 1 μ Ac cos[ 2π ( f c − f m ) t ] 2 7 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Su T.F. : S( f ) = 1 1 Ac [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] + μAc [δ ( f − f c − f m ) + δ ( f + f c + f m )] + 2 4 1 μAc [δ ( f − f c + f m ) + δ ( f + f c − f m )] 4 ⇒ deltas en ± f c , f c ± f m , -f c ± f m + Diferenciamos tres componentes: Portadora: ± fc B d llaterall superior Banda i (USB): (USB) + fc + fm ; - fc - fm Banda lateral inferior (LSB): fc - fm ; - fc + fm Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM En frecuencia: |M(f) | |C(f) | f (Hz) -fm 0 fm f (Hz) |S(f) | 2fm -fc 0 -fc 0 fc 2fm fc f (Hz) 8 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Potencia media de una señal x(t): ∞ Px = ∫ Gx ( f )df −∞ Gx ( f ) = ∞ ∑c n = −∞ n 2 Gx ( f ) ≡ D.E.P. x(t ) δ ( f − nf o ) cn : coeficientes de Fourier de x(t ) Potencia de la componente portadora: Ac [δ ( f − f c ) + δ 2 1 Gc( f ) = A c2 δ ( f − f c ) + 4 ∞ A c2 P c = ∫ G c ( f ) df = + −∞ 4 C ( f ) = ( f + f c )] 1 A c2 δ ( f + f c ) 4 A c2 A c2 = 4 2 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Potencia de la banda lateral superior (USB): 1 1 μ A cδ ( f − f c − f m ) + μ A cδ ( f + f c + f m ) 4 4 1 1 G U SB ( f ) = μ 2 A c2 δ ( f − f c − f m ) + μ 2 A c2 δ ( f + f c + f m ) 16 16 1 1 μ 2 A c2 PU S B = μ 2 A c2 + μ 2 A c2 = 16 16 8 U SB( f ) = Potencia de la banda lateral inferior (LSB): 1 1 μ A cδ ( f − f c + f m ) + μ A cδ ( f + f c − f m ) 4 4 1 1 G LSB ( f ) = μ 2 A c2 δ ( f − f c + f m ) + μ 2 A c2 δ ( f + f c − f m ) 16 16 μ 2 A c2 PL SB = 8 L SB( f ) = 9 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Se define la eficiencia en potencia: η = PSB PT PSB : Potencia en bandas PT : Potencia μ 2 A c2 η = laterales total + μ 2 A c2 μ2 8 8 = A c2 μ 2 A c2 μ 2 A c2 2+ μ + + 2 8 8 2 Si por ejemplo se utiliza 100% porcentaje de modulación (μ = 1), es decir, se utiliza la máxima potencia en bandas laterales: La potencia utilizada en la información transmitida es sólo 1/3 de la potencia total 1 1 η = = 1+ 2 3 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM 1 0.9 Portadora 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 Bandas laterales 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Factor de modulación 10 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Transparencia: para μ < 0.2 la potencia en bandas laterales es menor del 1% de la potencia de la señal AM ⇒ se desperdicia gran cantidad de potencia Resumen AM: 1) BT = 2ω 2) ηmax = 1/3 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Modulador en cuadratura: generar señal AM S requiere: i Se Sumar portadora y señal moduladora Elemento no lineal (diodos y transistores) Filtrado paso-banda para extraer los productos de modulación deseados (circuitos simple o doblemente sintonizado) m(t) Elemento li l no lineal RL c(t) v1(t) v2(t) Circuito sintonizado a fc 11 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Detector de envolvente Idealmente produce una señal de salida que sigue la envolvente de la señal de entrada Demodular señal AM Se requiere señal de entrada de banda estrecha y que no se produzca sobremodulación: μ<1 fc >> ω Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.2.Modulación AM Las señal s(t) es: Y la salida del detector de envolvente: 12 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Modulación DSB-SC (Double Side Band-Supressed Carrier) La señal portadora c(t) es independiente de la señal moduladora m(t) Transmitir la portadora significa desperdicio de potencia ⇒ sólo una parte de la potencia transmitida de la señal AM lleva información S l ió suprimir Solución: i i la l componente t de d la l portadora t d ⇒ DSB-SC Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Generación de una señal DSB-SC i i la l portadora, d l señal ñ l modulada d l d es proporcional i l Al suprimir la al producto de la portadora por la señal moduladora: s ( t ) = c ( t ) m ( t ) = A c cos( 2 π f c t ) m ( t ) La señal modulada s(t) presenta cambio de fase cuando m(t) cruce por cero ⇒ ahora la envolvente de la señal DSBSC no sigue a la señal moduladora Modulador producto se representa: m(t) Modulador producto s(t) = m(t)c(t) fc > ω OSC c(t) 13 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Ejemplo de señal DSBSC: Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC En frecuencia: S( f ) = 1 Ac [ M ( f − f c ) + M ( f + f c )] 2 f (Hz) 14 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC |S(f) | AcM(0)/2 ( ) 2ω 2ω f (Hz) DSB: 1) BT = 2ω 2) η = PSB/PT = (PUSB + PLSB )/(PUSB + PLSB ) = 1 ⇒ toda la potencia se consume en transmitir la señal de información Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Modulación de un tono simple S ñ l moduladora d l d i id l Señal sinusoidal: m ( t ) = A m cos( 2 π f m t ) Señal modulada: s ( t ) = m ( t ) c ( t ) = A c A m cos( 2 π f c t ) cos( 2 π f m t ) = = 1 1 A c A m cos[( 2 π ( f c + f m ) t )] + A c A m cos[( 2 π ( f c − f m ) t )] 2 2 Su T T.F. F : 1 A c A m [δ ( f − f c − f m ) + δ ( f + f c + f m ) + 4 + δ ( f − f c + f m ) + δ ( f + f c − f m )] S( f ) = ⇒ deltas en − f c ± f m , fc ± fm . 15 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Detección coherente La señal moduladora m(t) puede ser recuperada multiplicando la señal DSBSC s(t) por una señal sinusoidal generada de forma local y filtrando el resultado Asumiendo que el oscilador local está perfectamente sincronizado en fase y frecuencia con la señal portadora c(t) ⇒ detección coherente s(t) Modulador v(t) producto A’ccos(2πfct) Filtrado paso bajo vo(t) Oscilador local Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Demodulación DSB-SC de un tono simple: D t ió coherente: h t asumimos i i i f t Detección sincronismo perfecto en fase y frecuencia entre transmisor y receptor v(t ) = s(t )c ' (t ) = Ac Ac' Am cos[2π ( f c + f m )t ]cos(2π f c t ) + 2 Ac Ac' Am cos[2π ( f c − f m )t ]cos(2π f c t ) ; 2 NOTA:c ' (t ) = Ac' cos(2πf c t ) + v( t ) = Ac Ac' Am {cos[2π (2 f c − f m )t ] + cos[2π (2 f c + f m )t ] + cos((2π f mt ) + cos(2π f mt )} 4 16 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Los términos a frecuencia 2fc ± fm son eliminados mediante filtrado paso-bajo, paso bajo, obteniendo vo(t) v o (t ) = Ac Ac' A m [cos( 2π f m t ) + cos( 2π f m t )] 4 Los dos términos son proporcionales a la señal de información, uno procede de la banda lateral superior y otro de la banda lateral inferior Como hemos visto, hemos recuperado la señal moduladora multiplicando s(t) por c’(t) y filtrando paso bajo Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Estudiemos un caso más general: frecuencia fc y fase φ arbitraria: v (t ) = Ac' cos(( 2π f c t + φ ) s (t ) = Ac Ac' cos(( 2π f c t + φ ) cos(( 2π f c t ) m (t ) = = 1 1 Ac Ac' cos( 4π f c t + φ ) m (t ) + Ac Ac' cos( φ ) m (t ) 2 2 Con un filtrado paso bajo se puede recuperar la señal de información: v o (t ) = 1 Ac Ac' m ( t ) cos( φ ) 2 Si φ(t) es constante ⇒ vo(t) es proporcional a m(t) ⇒ versión no distorsionada de la señal moduladora Si φ = 0 ⇒ amplitud máxima Si φ = π/2 ⇒ vo(t) = 0 ⇒ efecto nulo en cuadratura 17 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC En la práctica el error de fase varía de forma aleatoria debido a variaciones del canal de comunicación, por ello: Se debe proveer una circuitería extra para que el oscilador local esté en perfecto sincronismo en fase y frecuencia con la señal portadora transmitida Mayor complejidad del receptor: precio a pagar por eliminar portadora para ahorrar potencia Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Bucle de Costas é d para mantener all receptor sincronizado i i d Método El sistema consiste en 2 detectores coherentes alimentados con la misma señal de entrada s(t), pero con la señal procedente del oscilador local en cuadratura La frecuencia del oscilador local se ajusta para que sea la misma fc ((conocida a ppriori)) Canal superior: detector coherente en fase o canal I Canal inferior: detector coherente en cuadratura o canal Q 18 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Esquema del bucle de Costas: ((1/2)A ) ccos((φ))m(t) () s(t)=Accos(2πfct)m(t) Señal DSBSC Modulador producto cos(2πfct+φ) LPF Comparador de fases VCO Desfasador -90º sin(2πfct+φ) Modulador producto LPF (1/2)Acsin(φ)m(t) VCO: oscilador controlado por tensión. Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Comparador de fases: multiplica y filtra paso bajo Si φ = 0 (hay sincronismo): Canal I: Acm(t)/2 Canal Q: 0 Por ello, la salida del discriminador de fase es cero ⇒ la entrada al VCO es cero ⇒ seguimos con la misma fase Si φ > 0 (φ ≅ 0): Canal I: ≅ Acm(t)/2 Canal Q: ≅ Ac φ m(t)/2. NOTA: sinφ ≅ φ cuando φ→0 Por ello, la entrada al VCO es positiva ⇒ se ajusta disminuyendo la fase Si φ < 0 (al contrario) ⇒ aumenta fase 19 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.3. Modulación DSB-SC Canal en cuadratura: para ajustar la fase C l en fase: f d d l la l señal ñ l Canal demodular El control de fase en recepción se detiene con la modulación, y el enganche de fase debe reestablecerse cuando vuelve a aparecer la modulación ⇒ No es problema para voz, pues el proceso de sincronización es t rápido tan á id quee no see percibe e ibe distorsión di t ió Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.4. Modulación QAM Modulación o multiplexación de amplitud en cuadratura ladas en DSBSC de 2 Permite transmitir dos señales mod moduladas fuentes independientes ocupando el mismo ancho de banda de transmisión y permitiendo su separación en el receptor Es un esquema ahorrador de ancho de banda Modulador Se emplean S l 2 moduladores d l d producto d t para cada d señal ñ l que son alimentados con la portadora a misma frecuencia pero diferenciadas en fase de 90º 20 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.4. Modulación QAM Esquema: Señal m1(t) Modulador producto Accos(2πfct) + Σ Desfasador -90 90º s(t) señal QAM + Acsin(2πfct) Señal m2(t) Modulador producto Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.4. Modulación QAM La señal QAM: s (t ) = Ac cos(( 2πf c t ) m1 (t ) + Ac sin ( 2πf c t ) m2 (t ) donde m1(t) y m2(t) son dos señales diferentes aplicadas a los moduladore s productos Si ω es el ancho de banda de m1(t) y m2(t) ⇒ el ancho de banda de s(t) es 2ω y centrado en fc Las componentes en fase y cuadratura de s(t) son: sc (t) = Ac m1(t) ss (t) = − Acm2 (t) 21 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.4. Modulación QAM Demodulador E Esquema: (1/2)AcA’cm1(t) Modulador producto LPF Señal A’ccos(2πfct) QAM Desfasador -90º A’csin(2πfct) Modulador producto LPF (1/2)AcA’cm2(t) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.4. Modulación QAM Para que el sistema funcione correctamente es importante sincronizar correctamente la portadora del oscilador en emisión y recepción La técnica QAM se usa para la difusión de la TV en color, enviándose además un pulso de sincronismo para mantener el oscilador local del receptor a la frecuencia y fase correcta respecto a la del emisor 22 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales Vamos a estudiar métodos para procesar señales DSB-SC y generar modulación VSB y SSB (se explicarán en los apartados siguientes) Método discriminador de frecuencia Esquema: m(t) Modulador producto u(t) Filtrado paso banda H(f) Accos(2πfct) s(t) Señal modulada Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales u ( t ) = A c m ( t ) cos( 2 π f c t ) : señal DSBSC Ac S ( f ) = U ( f )H ( f ) = [ M ( f − f c ) + M ( f + f c )] H ( f ) 2 Donde M(f) es la T.F. de m(t) Problema: determinar las condiciones de H( f ) para que m(t) pueda ser recuperada a partir de s(t) usando un detector coherente. s(t) Señal modulada Modulador producto A’ccos(2πfct) v(t) Filtrado paso bajo vo(t) Señal demodulada 23 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales v ( t ) = Ac' s ( t ) cos( 2π f c t ) A c' [ S ( f − f c ) + S ( f + f c )] 2 Sustituyendo en S( f ): A A' V ( f ) = c c M ( f )[ H ( f − f c ) + H ( f + f c )] + 4 Ac Ac' + [ M ( f − 2 f c ) H ( f − f c ) + M ( f + 2 f c ) H ( f + f c )] 4 V(f)= Tras el filtrado paso-bajo: Vo ( f ) = A c A c' M ( f )[ H ( f − f c ) + H ( f + f c )] 4 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales Requerimos que Vo( f ) sea una versión escalada de M( f ) (así vo(t) α m(t) ); lo que se puede cumplir si: H ( f − fc ) + H ( f + fc ) = 2H ( fc ) Si M( f ) está definida en -ω ≤ f ≤ ω sólo necesitamos que se cumpla lo anterior en el intervalo -ω ≤ f ≤ ω Por ejemplo, si H( fc ) = 1/2 : H ( f − fc ) + H ( f + fc ) = 1 -ω ≤ f ≤ ω ⇒ gran flexibilidad en la elección de H ( f ) para satisfacer esa condición 24 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales Método discriminador de fase S ñ l s(t) (t) es paso banda b d ⇒ representación t ió en forma f Señal canónica: s ( t ) = s I ( t ) cos( 2π f c t ) − s Q sin( 2π f c t ) s I ( t ) : componente en fase s Q ( t ) : componente en cuadratura Componente p en fase (p (problema 1.12): ) -ω ≤ f ≤ ω ⎧S ( f − f c ) + S ( f + f c ) SI ( f ) = ⎨ 0 resto ⎩ A donde S ( f ) = c [ M ( f − f c ) + M ( f + f c )] H ( f ) 2 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales Ac A M ( f )[ H ( f − f c ) + H ( f + f c )] = c M ( f ) ; 2 2 cuando H ( f − f c ) + H ( f + f c ) = 1 ⇒ SI ( f ) = ⇒ s I (t ) = -ω ≤ f ≤ ω 1 Ac m (t ) 2 Componente en cuadratura (problema 1.12): ⎧ j[ S ( f − f c ) − S ( f + f c )] SQ ( f ) = ⎨ ⎩0 -ω ≤ f ≤ ω resto Se deduce: SQ ( f ) = j Ac M ( f )[ H ( f − f c ) − H ( f + f c )] 2 -ω ≤ f ≤ ω 25 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales Entonces, se puede generar sQ(t), excepto por un factor de escala, pasando m(t) a través de un filtro con función de transferencia: H Q ( f ) = j[ H ( f − f c ) − H ( f + f c )] -ω ≤ f ≤ ω Sea m’(t) la salida de este filtro con entrada m(t): s q (t ) = 1 Ac m ' (t ) 2 Representación en forma canónica: s (t ) = 1 1 A c m ( t ) cos( 2 π f c t ) − A c m ' ( t ) sin ( 2 π f c t ) 2 2 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales Con ello, se deduce el esquema del método discriminador en fase (salvo factor de escala 1/2): m(t) Modulador producto Accos(2πfct) HQ(f) m’(t) OSC Desfasador D f d -90º + Σ s(t) - Acsin(2πfct) Modulador producto 26 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.5. Filtrado de bandas laterales Observamos: La componente en fase es independiente del filtro paso banda H( f ) H( f ) afecta sólo a la componente en cuadratura El papel de la componente en cuadratura es interferir con la componente en fase para reducir o eliminar potencia en una de las bandas laterales de s(t) Estos métodos se usan en la modulación VSB y SSB Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.6. Modulación VSB Vestigial Side Band Modulation (Modulación en banda lateral residual) Se transmite completamente una banda lateral (superior o inferior) y una pequeña parte de la otra banda (banda residual) Método discriminador de frecuencia Para generar una señal modulada VSB que contenga un residuo de la banda lateral inferior (LVSB) usaremos el siguiente filtro normalizado (sólo se han representado las frecuencias positivas): 27 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.6. Modulación VSB |H(f)| 1 0.5 f (Hz) 0 fc-fv fc fc+ fv fc+ω Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.6. Modulación VSB La respuesta en frecuencia del filtro en torno a fc tiene q que cumplir: p p H ( f − fc ) + H ( f + fc ) = 1 −ω ≤ f ≤ ω Como fv es el ancho de banda de la banda residual ⇒ BT = ω + fv Método discriminador en fase: HQ ( f ) = j[H( f − fc ) − H( f + fc )] −ω ≤ f ≤ ω 28 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.6. Modulación VSB HQ(f)/j 1 fv f (Hz) -fv -1 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.6. Modulación VSB Aplicación a la señal de televisión: La circuiteria para demodular la señal debería ser lo más sencilla posible (receptores baratos) ⇒ detector de envolvente ⇒ añadir portadora a señal VSB Se transmite la banda lateral superior (USB), el 25% de la banda lateral inferior (LSB) y la portadora (hay portadora tanto de imagen como de sonido) En la transmisión de la señal de TV, no se transmite la señal VSB debido a que la forma en región de transmisión no se controla de forma rígida, en su lugar se inserta filtro VSB en recepción (ver diapositivas siguientes) 29 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.6. Modulación VSB Máximo campo radiado relativo a la portadorra de imagen Espectro ideal de una señal de TV: 1.25 0.5 4.5 (MHz) 0.25 0.75 Portadora Portadora de imagen de sonido f (Mhz) 0 54 56 58 60 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.6. Modulación VSB Respuesta en amplitud de un filtro VSB en el receptor: respuesta normalizada Ancho de banda del canal (6 MHz) 1 0.5 Portadora Portadora de imagen de sonido 0 f (Mhz) 54 56 58 60 30 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Single Side Band Modulation (banda lateral única) Sólo se transmite una banda lateral (superior o inferior) Sea m(t) banda base con M(f) definida entre -ω ≤ f ≤ ω como: f (Hz) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Señal DSBSC: |S(f) | 2ω 2ω AcM(0)/2 f (Hz) 31 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Señal SSB con banda lateral superior : |S(f)| AcM(0)/2 -fc- ω fc -fc f (Hz) fc+ ω Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Señal SSB con banda lateral inferior: |S(f)| AcM(0)/2 f (Hz) -fc -fc+ ω fc- ω fc 32 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Ventajas: 1) BT = ω 2) η = 1 Desventajas: mayor coste y complejidad En la realidad, la señal M(f) debe ser nula en torno al origen ⇒ gap de energía. Este requerimiento se satisface por la señal de voz, con un gap de energía de ancho 600 Hz (-300 Hz a 300 Hz) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Espectro de una señal m(t) con un gap de energía centrado en el origen |M(f)| gap de energía f (Hz) -fb -fa 0 fa fb 33 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Espectro de una señal SSB con banda lateral superior: |S(f)| f (Hz) -fc -fb -fc -fa -fc 0 fc fc +fa fc +fb Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Requerimientos de filtro paso-banda: L banda b d lateral l t l deseada d d esté té dentro d t de d la l banda b d de d paso La del filtro La banda lateral a eliminar esté dentro de la banda eliminada o de rechazo del filtro Este discriminador de frecuencia puede lograrse utilizando filtros altamente selectivos en frecuencia que pueden d ser realizados li d por resonadores d de d cristal i l 34 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Modulación señal SSB Método discriminador en frecuencias |H(f)| -fc- ω fc+ω fc 0 -fc H ( f − fc ) + H ( f + fc ) = 1 f (Hz) −ω ≤ f ≤ ω Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Método discriminador de fase: HQ( f )=j[H( f-fc )-H( f+fc )] ; -ω≤f≤ω HQ(f)/j f (Hz) H Q ( f ) = − jsign ( f ) ⇒ función de transferen cia de la transforma da de Hilbert ^ ⇒ m (t ) = m (t ) ' m' (t ) es la T. Hilbert de m (t ) 35 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Señal SSB con banda lateral superior s (t ) = ^ 1 1 Ac m (t ) cos( 2π f c t ) − Ac m (t ) sin ( 2πf c t ) 2 2 Señal SSB con banda lateral inferior: se cambia el signo ‘-’ por ‘+’ El modulador para generar la señal SSB según el diagrama de bloques del método discriminador de fase se llama modulador de Hartley (ver diapositiva siguiente) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Modulador de Hartley: m(t) Modulador producto Accos(2πfct) Transformador de Hilbert ^ m(t ) OSC Desfasador D f d -90º + Σ s(t) - Acsin(2πfct) Modulador producto 36 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Demodulación señal SSB D d l ió mediante di t detección d t ió coherente: h t Demodulación s(t) Señal modulada Modulador producto v(t) Filtrado paso bajo Ac’cos(2πfct) vo(t) Señal demodulada Suponiendo que se transmite la banda superior: ^ 1 1 Ac m (t ) cos( 2πf c t ) − Ac m (t ) sin ( 2πf c t ) 2 2 ^ 1 ' v (t ) = Ac Ac cos( 2πf c t )[ m (t ) cos( 2πf c t ) − m (t ) sin ( 2πf c t )] = 2 s (t ) = Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB = ^ 1 1 A c A c' m ( t ) + A c A c' [ m ( t ) cos( 4 π f c t ) − m ( t ) sin ( 4 π f c t )] 4 4 Eliminado con filtro paso bajo 1 v o (t ) = A c A c' m ( t ) 4 Para que sea realizable, necesitamos en recepción una señal sinusoidal sincronizada en fase y frecuencia con la portadora transmitida. Para ello hay dos métodos: 1º) Transmitimos una portadora piloto junto a la señal SSB 2º) Utilizamos en recepción un oscilador muy estable en frecuencia 37 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB Con 2º método: estudio distorsión por fase Ac’cos(2πfct+φ) ^ 1 Ac Ac' cos(( 2πf c t + φ )[ m (t ) cos(( 2πf c t ) − m (t ) sin ( 2πf c t )] = 2 ^ ^ 1 ⎤ ⎡ = Ac Ac' ⎢ m (t ) cos( 4πf c t + φ ) + m (t ) cos( φ ) + m (t ) sin (φ ) − m (t ) sin ( 4πf c t + φ ) ⎥ 4 ⎦ ⎣ ^ 1 vo (t ) = Ac Ac' [ m (t ) cos( φ ) + m (t ) sin (φ )] 4 v (t ) = Su T.F. : ^ 1 A c A c' [ M ( f ) cos( φ ) + M ( f ) sin ( φ )] 4 Vo ( f ) = ^ donde M ( f ) = − jsign ( f ) M ( f ) ⎧1 ' ⎪⎪ 4 A c A c M ( f ) exp( − j φ ) ; Vo ( f ) = ⎨ ⎪ 1 A c A c' M ( f ) exp( j φ ) ; ⎪⎩ 4 f > 0 f < 0 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.7. Modulación SSB ⇒ Error de fase en oscilador da lugar a una distorsión de fase Este desfase no suele ser problema para la voz, ya que el oído humano es relativamente insensible a la distorsión en fase. Se corre el riesgo de producirse el llamado efecto voz del pato Donald En el caso de la música o el vídeo, la distorsión de fase es inaceptable 38 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.8. Translación en frecuencia Cuando es necesario trasladar una señal modulada en una banda de frecuencias a otra banda de frecuencias Se consigue usando un mezclador: multiplicador + filtro paso banda s1(t) Modulador producto Señal modulada a f1 Filtrado paso banda v(t) Aecos(2πfet) s2(t) Señal modulada a f2 Señal s1(t): modulada DSB-SC a f1 s1 ( t ) = Ac m ( t ) cos( 2π f 1t ) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.8. Translación en frecuencia Si m(t) está limitada en banda | f | < ω ⇒ s1(t) está limitada entre f1- ω < | f | < f1+ ω : |S1(f) | 2ω 2ω f (Hz) -f1-ω -f1 -f1+ω f1-ω f1 f1+ω 39 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.8. Translación en frecuencia Si queremos trasladar a una frecuencia mayor f2 > f1: f 2 = f1 + f e ⇒ f e = f 2 − f1 v ( t ) = s1 (t ) Ae cos( 2π f e t ) = Ac Ae m (t ) cos( 2π f1t ) cos( 2π f e t ) = = Ac Ae A A m ( t ) cos[ 2π ( f 1 − f e ) t ] + c e m ( t ) cos[ 2π ( f1 + f e )t ] 2 2 DSB-SC a f1-fe DSB-SC a f1+fe Si f2 = f1 + fe es la señal buscada: filtro paso banda centrado en f2 y ancho de banda 2ω s 2 (t ) = Ac Ae A A m (t ) cos[ 2π ( f1 + f e )t ] = c e m (t ) cos( 2π f 2 t ) 2 2 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.8. Translación en frecuencia 2ω 2ω |V(f) | 2ω 2ω f (Hz) -f1-fe -f1+fe f1-fe f1+fe 40 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.8. Translación en frecuencia ||S2(f) | 2ω 2ω f (Hz) -f1-fe f1+fe Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.8. Translación en frecuencia Condición: no se solapen espectros f1 − f e + ω < f1 + f e − ω ⇒ ω < f e ⇒ ω < f 2 − f1 Para disminuir frecuencia: f2 = f1 - fe ⇒ fe = f1 - f2 ⇒ condición global: ω < |f1 - f2| 41 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM) Multiplexación: proceso por el cual varias señales independientes de características similares se pueden combinar de algún modo para ser transmitidas de forma conjunta por el mismo canal de comunicación Tipos de multiplexación FDM (Multiplexación por división en frecuencia) TDM (Multiplexación por división en el tiempo) WDM (Multiplexación por división en longitud de onda) Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM) Diagrama g de bloques q de un sistema FDM: Entradas Filtros paso bajo Moduladores Transmisor Filtros paso banda Filtros paso banda Demoduladores Filtros paso bajo Salidas Receptor 42 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM) FDM: Aunque se suponen señales paso bajo, se emplean filtros paso bajo para eliminar componentes no deseadas a altas frecuencias Se aplica al modulador una portadora adecuada para ocupar intervalos de frecuencia mutuamente excluyentes ⇒ generador de portadora Los métodos de modulación que se emplean son algunos de los estudiados. estudiados Por ejemplo: para las señales de voz provenientes de las conversaciones telefónicas se usa SSB con ancho aproximado de 4 KHz para cada canal de entrada Filtro paso banda (BP) para restringir la banda de cada señal modulada a su rango asignado Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM) En recepción se usan los mismos filtros paso banda y se recupera la señal en demoduladores individuales Este sistema funciona sólo en un sentido ⇒ habrá que utilizar otro similar en el sentido inverso Ejemplo: caso telefónico con conversaciones de voz. Esquema (diapositiva siguiente) Normalmente FDM suele requerir varias etapas de modulación y demodulación. La primera etapa combina 12 señales de voz en un grupo básico Banda de voz: 4 KHz Valores de portadora: fc = 60 + 4n KHz; n = 1,2, . . .,12 Se seleccionan mediante filtros paso banda las 12 bandas laterales inferiores ⇒ ocupando rango: 60 → 108 KHz (modulación SSB) 43 Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM) Pasos a seguir para la modulación en un sistema FDM: frecuencias portadoras (KHz) de las señales de voz frecuencias portadoras (KHz) de los grupos Super-grupo de 5 grupos Señal de voz Grupo básico de 12 señales de voz Tema II: Modulaciones de Amplitud 2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM) Super-grupo: se combinan 5 grupos básicos con: fc = 372 + 48n KHz ; n = 1,2, . . .,5 Se seleccionan las 5 bandas laterales inferiores con el rango 312 KHz → 552 KHz Obtenemos 60 conversaciones independientes Los super-grupos se pueden combinar y así sucesivamente Con SSB necesitamos sincronismo de portadora entre el transmisor y el receptor para la detección coherente. Se transmite una frecuencia portadora piloto. Dicha portadora piloto modula el generador de portadora y obtenemos todas las portadoras necesarias 44 TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CUESTIONES TEMA 2 MODULACIONES DE AMPLITUD 1.- Definir modulación, señal moduladora, señal portadora y señal modulada. Tipos de modulación. ¿Qué es demodular una señal? 2.- Expresión de una señal AM. ¿Cuál es la sensibilidad en amplitud? 3.- ¿Cuándo hay sobremodulación en AM?, ¿por qué no es deseable y cómo se puede evitar? 4.- ¿Cuáles son las tres componentes en frecuencia de una señal AM?, ¿cuál es el ancho de banda de la señal modulada en función del ancho de banda de la señal moduladora? 5.- ¿Cómo se define el índice de modulación?. ¿Cuál es su rango de valores para que no tengamos sobremodulación? 6.- ¿Cuál es la eficiencia en potencia máxima en AM? 7.- ¿Cuál es la expresión de una señal DSBSC?. ¿Cuál es su ancho de banda en función del ancho de banda de la señal moduladora?. ¿Cuál es su eficiencia en potencia? 8.- Explicar el esquema de detector coherente. ¿Cuándo se dice que ocurre el efecto nulo en cuadratura? 9.- Explicar el Bucle de Costas. 10.- Esquema modulador y demodulador de QAM. 11.- Expresión de una señal SSB. ¿Qué dos tipos de SSB existen (caracterizarlos cualitativamente en frecuencia)?. Ancho de banda y eficiencia en potencia. 12.- Filtrado de bandas laterales: método discriminador de frecuencias y método discriminador de fase. 13.- Demodulador coherente de SSB. Efecto de un error de fase en la recuperación de la portadora. 14.- Expresión de una señal VSB. ¿Qué dos tipos de VSB existen (caracterizarlos cualitativamente en frecuencia)?. Ancho de banda y eficiencia en potencia. 15.- Componentes en fase y cuadratura para los diferentes tipos de modulación en amplitud. 16.- ¿Qué es un mezclador y para qué sirve?. Diagrama de bloques. 17.- Multiplexación por división en frecuencia (FDM). TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PROBLEMAS TEMA 2 MODULACIONES DE AMPLITUD 1.- Para un diodo de unión p-n, la relación entre la corriente que pasa a través de dicho diodo y la tensión aplicada en sus bornas viene dada por: ⎡ ⎛ v i = I 0 ⎢exp⎜⎜ ⎣ ⎝ VT ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ ⎠ ⎦ donde I0 es la corriente inversa de saturación y VT es la tensión equivalente de temperatura definida por: VT = kT e donde k es la constante de Bolzmann en Julios por grados Kelvin, T es la temperatura absoluta en grados Kelvin y e es la carga del electrón en C. A temperatura ambiente VT = 0.026 V. a) Realizar la expansión de i en serie de potencias de v, hasta el término de orden v3. b) Sea: v(t)=0.01 cos( 2 πf m t) + 0.01 cos( 2 πf c t) Volts donde fm = 1 KHz y fc = 100 KHz. Determina el espectro de la corriente i(t) resultante. c) Especificar las características del filtro paso banda requerido para extraer de la corriente del diodo i(t) una señal AM a la frecuencia fc. d) ¿Cuál es el tanto por ciento de modulación de esta señal AM? 2.- En este problema se va a estudiar el funcionamiento del modulador AM en cuadratura. Este modulador consta de un determinado dispositivo no-lineal seguido por un filtro pasobanda. El dispositivo no lineal está representado por la siguiente ley cuadrática: v 0 (t ) = a1vi (t ) + a 2 vi2 (t ) donde a1 y a 2 son constantes, vi (t ) es la señal de entrada, y v0 (t ) es la señal de salida. La señal de entrada vi (t ) es la suma de una señal moduladora m(t ) y una señal portadora c(t ) . Sea m(t ) la señal moduladora limitada en frecuencia en el intervalo entre − W ≤ f ≤ W , y c(t ) la portadora a frecuencia f c y amplitud Ac . a) Evaluar la salida v0 (t ) del dispositivo no-lineal b) Evaluar la salida en frecuencia V0 ( f ) del dispositivo no lineal en función de la transformada de Fourier de la señal moduladora M ( f ) , y representarla en frecuencia para un espectro de la señal moduladora de forma triangular, indicando a qué corresponde cada uno de los diferentes términos. c) Especificar las características del filtro paso-banda y las condiciones necesarias para que a la salida del filtro tengamos la señal AM deseada. ¿Qué sensibilidad en amplitud tiene la señal AM modulada? 3.- Supóngase que se dispone de dispositivos no lineales para los que la relación entre la corriente de salida io y la tensión de entrada vi es la siguiente: i o = a 1 v i + a 3 v 3i donde a1 y a3 son constantes. Explicar como se puede utilizar dichos dispositivos para obtener: a) un modulador producto. b) un modulador de amplitud. 1 de modo que 1 + kam(t) sea ka mayor que cero para todo t. Suponer que el espectro de m(t) es cero para f > W . Sea: 4.- Considerar una señal moduladora m(t) con m(t) ≤ s(t) = A c [1 + ka m ( t )]cos( 2 πf c t ) donde fc > W. a) La señal modulada s(t) se aplica a un rectificador de onda completa, cuya salida es: v 1 ( t) = s(t) Determinar el espectro de v1(t). b) Si la salida del rectificador v1(t) se pasa a través de un filtro paso bajo ideal definido por la función de transferencia: ⎧1 H(f) = ⎨ ⎩0 para f < W para f > W mostrar que si la salida es v2(t), está relacionada con m(t) por: v 2 ( t) = 2A c [1 + k a m(t)] π 5.- ¿Cómo puede recuperarse la señal de información m(t) de una señal AM que está sobremodulada? Justifica la respuesta de forma analítica y gráfica. 6.- Suponiendo que se demodula una señal DSBSC utilizando un detector coherente: a) Evaluar el efecto de un error en la frecuencia del oscilador local del detector de Δf, medido con respecto a la frecuencia portadora de la señal DSBSC. b) Para el caso de una señal moduladora sinusoidal, mostrar como por causa de este error, la señal demodulada presenta un efecto de batido a la frecuencia error Δf. Ilustrar la respuesta dibujando la señal demodulada. 7.- Considerar la señal DSBSC: s(t) = A c cos(2πf c t) m(t) donde Accos(2πfct) es la señal portadora y m(t) es la señal moduladora. Esta señal modulada se aplica a un detector de ley cuadrática caracterizada por: y(t) = s2(t) La salida y(t) se aplica a un filtro de banda estrecha con amplitud en la banda de paso unidad, centrado en la frecuencia 2fc y con ancho de banda Δf. Supongamos que Δf es suficientemente pequeño como para considerar el espectro de y(t) esencialmente constante dentro de la banda de paso del filtro. a) Determinar el espectro de la señal de salida del dispositivo con ley cuadrática y(t). b) Mostrar que la salida del filtro v(t) es aproximadamente sinusoidal, y viene dada por: v(t) ≅ A c2 E Δf cos(4 πf c t) 2 donde E es la energía de la señal m(t). 8.- Considerar un sistema QAM emisor y otro receptor. Si la señal de salida del emisor QAM s(t) se transmite por un canal de comunicaciones con función global de transferencia H(f), probar que la condición: H(fc + f) = H*(fc - f) para f ≤ W es necesaria para que las señales recuperadas en el receptor QAM sean proporcionales a m1(t) y m2(t) que son las señales originales de información del canal I y del Q respectivamente, donde fc es la frecuencia de la portadora y W es el ancho de banda de las señales que llevan información m1(t) y m2(t). 9.- Considerar la siguiente señal modulada: s(t) = A c cos(2 πf c t) + m(t)cos(2πf c t) - m̂(t)sin(2πf c t) que representa una señal SSB con portadora, donde m(t) es la señal moduladora y m̂(t) su transformada de Hilbert. Determinar bajo que condiciones la salida de un detector de envolvente ideal, si la entrada es s(t), es una buena aproximación para la señal moduladora m(t). 10.- Sea una señal moduladora sinusoidal m(t) = Am cos(2πfmt) que se utiliza para generar una señal VSB: 1 1 s(t) = aAm Ac cos[2π ( f c + f m )t ] + Am Ac (1 - a)cos[2π ( f c − f m )t ] 2 2 donde a es una constante menor que la unidad, que representa la atenuación de la banda lateral superior. a) Encontrar la componente en fase y la componente en cuadratura de la señal VSB así definida. b) Esta señal VSB junto con la portadora Ac cos(2πfct) se pasa a través de un detector de envolvente. Determinar la distorsión producida por la componente en cuadratura. c) ¿Cuál es el valor de la constante a para el cual la distorsión afecta en menor grado? 11.- Considerar un sistema múltiplex en el cual cuatro señales de entrada m1(t), m2(t), m3(t) y m4(t) son multiplicadas por las cuatro portadoras siguientes: [cos(2 π f a t) + cos(2 π f b t)] [cos(2 π f a t + α 1 ) + cos(2 π f b t + β 1 )] [cos(2 π f a t + α 2 ) + cos(2 π f b t + β 2 )] [cos(2 π f a t + α 3 ) + cos(2 π f b t + β 3 )] y las señales DSBSC resultantes se suman para transmitir el resultado por el mismo canal de comunicaciones. En el extremo receptor, la demodulación se hace multiplicando la señal suma transmitida por las cuatro portadoras separadamente utilizadas en el transmisor, y después filtrando para eliminar las componentes no deseadas. a) Determinar que condiciones deben satisfacer α1, α2, α3 y β1, β2, β3 de modo que la salida del demodulador k sea proporcional a mk(t) para k = 1, 2, 3, 4. b) Determinar la mínima separación de las frecuencia portadoras fa y fb en relación con el ancho de banda de las señales moduladoras mk(t) de modo que el funcionamiento del sistema sea el correcto. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 2 MODULACIONES DE AMPLITUD 1. 2 a. b. c. d. 3 i v 1 ⎛ v ⎞ 1 ⎛ v ⎞ ≈− + ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ I0 VT 2 ⎝ VT ⎠ 6 ⎝ VT ⎠ i ≈ 0.074 − 0.406 ⋅ [cos(2πf m t ) + cos(2πf c t )] + I0 + 0.037 ⋅ {cos(4πf m t ) + cos(4πf c t ) + 2 ⋅ cos[2π ( f c + f m )t ] + 2 ⋅ cos[2π ( f c − f m )t ]} − − 0.0016 ⋅ [cos(6πf m t ) + cos(6πf c t )] − − 0.0071 ⋅ {cos[2π ( f c + 2 f m )t ] + cos[2π ( f c − 2 f m )t ] + + cos[2π (2 f c + f m )t ] + cos[2π (2 f c − f m )t ]} f c = 100 KHz ; BW = 2 KHz i ≈ −0.406 ⋅ [1 − 0.362 ⋅ cos(2πf m t )] ⋅ cos(2πf c t ) ⇒ μ = 0.362 ⇒ % Modulación : 36.2% I0 2. a. b. ⎡ 2a ⎤ a A2 v 0 (t ) = a1 ⋅ m(t ) + a1 Ac ⋅ ⎢1 + 2 ⋅ m(t )⎥ ⋅ cos(2πf c t ) + a 2 ⋅ m 2 (t ) + 2 c ⋅ [1 + cos(4πf c t )] a1 2 ⎣ ⎦ 1 2 3 4 c. El filtro paso-banda tiene que estar centrado en: fc, con un ancho de banda: 2w, de forma que se cumpla: fc >3w. 2a La sensibilidad en amplitud es: K a = 2 a1 1 3. a. Señal DSB-SC Dispositivo no lineal Filtro paso banda (fc, 2w) Ac ⋅ cos (πf c t ) s (t ) = m(t ) 3 ⋅ a 3 Ac2 ⋅ m (t ) ⋅ cos (2πf c t ) 2 f c > 6w b. Señal AM Dispositivo no lineal Filtro paso banda (fc, 2w) Ac ⋅ cos (πf c t ) m(t ) + ∑ + A0 3a 3 Ac2 s (t ) = ⋅ [A0 + m (t )] ⋅ cos (2πf c t ) 2 f c > 6w Ac ⋅ cos (πf c t ) Dispositivo no lineal 4. a. V1 ( f ) = 2 π +∞ ⋅∑ Filtro paso banda (fc, 2w) (− 1)n ⋅ {S [ f + (2n + 1) f ] + S [ f − (2n + 1) f ]} c c 2n + 1 b. Es una demostración. 5. Se puede utilizar un detector coherente, con un filtro paso-bajo de ancho de banda: w. Ac Ac' ( ) v0 t = ⋅ [1 + K a m(t )] 2 6. A A' a. Tras el filtrado paso-bajo: v o (t ) = c c ⋅ m(t ) ⋅ cos(2πΔft ) 2 Ac Ac' Am A A' A ⋅ cos[2π ( f m + Δf )t ] + c c m ⋅ cos[2π ( f m − Δf )t ] b. v o (t ) = 4 4 n =0 La señal moduladora m(t), a frecuencia fm, es modulada por una señal sinusoidal a frecuencia Δf, por lo que se produce un “efecto de batido”, como se ilustra en la figura. 2 7. +∞ Ac2 + ∞ A2 ⋅ ∫ M (λ ) ⋅ M ( f − λ ) ⋅ dλ + c ⋅ ⎡ ∫ M (λ ) ⋅ M ( f − 2 f c − λ ) ⋅ dλ 2 −∞ 4 ⎢⎣ − ∞ +∞ + ∫ M (λ ) ⋅ M ( f + 2 f c − λ ) ⋅ dλ ⎤ ⎥⎦ −∞ 2 2 A E A b. Y (2 f c ) = Y (− 2 f c ) = c ⇒ v(t ) ≈ c ⋅ E ⋅ Δf ⋅ cos 4πf c t 4 2 8. Es una demostración, planteando el esquema completo de modulación, transmisión y demodulación, para las señales QAM. a. Y ( f ) = ( ) H ( f + f c ) = H * ( f c − f ) , f < w ⇒ si h(t ) ∈ ℜ ⇒ H ( f + f c ) = H ( f − f c ) , ⎣ f ⎦ < w 9. La expresión de la envolvente natural es: a(t ) = Ac2 + m 2 (t ) + 2 Ac ⋅ m(t ) + mˆ 2 (t ) ⎧ A >> m(t ) ⇒ a(t ) ≈ Ac + m(t ) En caso de que: ⎨ c ⎩ Ac >> mˆ (t ) Para llegar a este resultado se han tenido en cuenta las siguientes aproximaciones b b para b << 1: 1 + b ≈ 1 + y 1− b ≈1− 2 2 10. a. s c (t ) = 1 ⋅ Am Ac ⋅ cos(2πf m t ) 2 1 s s (t ) = − ⋅ Am Ac ⋅ (1 − 2a ) ⋅ sen(2πf m t ) 2 2 ⎤ ⎡1 ⎢ 2 ⋅ Am ⋅ (1 − 2a ) ⋅ sen(2πf m t ) ⎥ b. Distorsión: d (t ) = 1 + ⎢ ⎥ ⎢ 1 + 1 ⋅ Am ⋅ cos(2πf m t ) ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 c. La distorsión: d(t) es mayor cuando: a=0; mientras que esta es menor (d(t)=1) cuando: a=1/2. 3 11. ⎧2 , i = k a. cos(α k −1 − α i −1 ) + cos(β k −1 − β i −1 ) = ⎨ ⎩0 , i ≠ k b. f a − f b > 2w 4 , para : i, k = 1,2,3,4 , y : α 0 = β 0 = 0 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tema 3: Modulaciones Angulares Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 TEMA III . Modulaciones angulares 3 1 M d l ió de d fase f d l ió de d 3.1.-Modulación (PM) y modulación frecuencia (FM) 3.2.-Modulación en frecuencia de un tono simple 3.3.-Ancho de banda de señales FM 3.4.-Generación de señales FM 3.5.-Demodulación FM 3.6.-Efectos no lineales en sistemas FM Tema III: Modulaciones Angulares Introducción Estudiaremos un tipo de modulación donde el ángulo de la señal portadora se modifica siguiendo las variaciones de la señal moduladora Una característica muy importante de estas modulaciones angulares es que se puede discriminar más fácilmente el ruido y las interferencias que en modulaciones de amplitud ⇒ conlleva aumento del ancho de banda En las modulaciones angulares hay mecanismos por los que se puede intercambiar ancho de banda y prestaciones frente al ruido (no en modulaciones de amplitud) Hay 2 tipos: modulación en frecuencia (FM) y modulación en fase (PM) Nos centraremos en FM (la más utilizada) Son similares y están relacionados 1 Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) Sea θi(t) ell ángulo S á l de d una portadora, t d la l cuall lleva ll información: s (t ) = Ac cos[θ i (t )] ; Ac ≡ amplitud de la portadora Una oscilación completa sucede cuando θi(t) cambia 2π radianes. Si θi(t) crece de forma monótona con el tiempo, la frecuencia promedio, en el intervalo t y t + Δt: f Δt (t ) = θ i (t + Δt ) − θ i (t ) 2πΔt Se define la frecuencia instantánea de la señal modulada angularmente: f i (t ) = lim f Δt (t ) = lim Δt → 0 Δt → 0 θ i (t + Δt ) − θ i (t ) 1 dθ i (t ) = 2πΔt 2π dt Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) Se puede S d iinterpretar s(t) ( ) como un fasor f rotante de d amplitud li d Ac, fase θi(t) y velocidad angular dθi(t)/dt En el caso de una portadora sin modular: θ i (t ) = 2πf c t + φc ⇒ fasor que gira a una velocidad angular constante 2πf c , y donde φc es la fase para t = 0 Hay muchas formas de hacer que varíe θi(t) de acuerdo con m(t), vamos a considerar 2 métodos: PM y FM 2 Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) Modulación de fase (PM): el ángulo de la señal modulada θi(t) varía de forma lineal con la señal banda base m(t) θ i (t ) = 2πf c t + k p m(t ) 2πfct: ángulo de la portadora sin modular kp: sensibilidad en fase del modulador: si m(t) está en Voltios, kp se da en rad/Volt Supuesto φc = 0 Forma de la señal modulada en fase: s (t ) = Ac cos[2πf c t + k p m(t )] ⇒ la señal moduladora aparece en el ángulo de la señal modulada y no hay relación lineal entre ambas Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) Modulación de frecuencia (FM): la frecuencia instantánea de la señal modulada fi(t) varía de forma lineal con la señal banda base m(t) f i (t ) = f c + k f m(t ) fc: frecuencia de la portadora sin modular kf: sensibilidad del modulador en frecuencia: si m(t) está en Voltios, kf se da en Hz/Volt Integrando en el tiempo y multiplicando por 2π (recordemos que fi(t) = (1/2π)dθi(t)/d t ) t θ i (t ) = 2πf c t + 2πk f ∫ m(t )dt 0 Señal modulada en frecuencia (ahora no hay relación lineal): t s (t ) = Ac cos[2πf c t + 2πk f ∫ m(t )dt ] 0 3 Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) Diferencia de PM y FM frente a AM: No hay regularidad respecto a cruces por cero en FM y PM En PM y FM, la envolvente es constante e igual a la amplitud de la portadora Las señales PM y FM sólo se pueden distinguir cuando se conoce m(t) Ver diapositiva siguiente: a) Portadora b) Señal moduladora sinusoidal c) Señal modulada en amplitud d) Señal modulada en fase e) Señal modulada en frecuencia Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) 4 Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) Relación entre PM y FM: S puede d generar una señal ñ l FM iintegrando t d m(t) (t) y modulando d l d en Se fase m(t) Integrador Modulador PM s(t) Accos(2πfct) Se ppuede ggenerar una señal PM derivando m(t) ( ) y modulando en frecuencia m(t) Diferenciador Modulador FM s(t) Accos(2πfct) Tema III: Modulaciones Angulares 3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM) Las propiedades para señales PM se pueden derivar directamente de las propiedades de FM y viceversa Nos centraremos en FM por ser la más utilizada 5 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple La señal s(t) es una función no lineal de la señal moduladora m(t), lo que hace que la modulación en frecuencia sea un proceso no lineal A diferencia de AM, en FM el espectro de s(t) no está relacionado de forma sencilla con el espectro de m(t) En el análisis espectral consideraremos el caso más sencillo, con que será un tono simple. p una señal moduladora q Objetivo: obtener una relación empírica entre el ancho de banda de la señal FM y el ancho de banda de la señal m(t) Sea: m(t ) = Am cos(2πf mt ) Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple La frecuencia instantánea: f i (t ) = f c + k f Am cos( 2πf m t ) = f c + Δf cos( 2πf m t ) La desviación en frecuencia es Δf = kf Am : Representa la desviación máxima de la frecuencia instantánea respecto de la portadora No depende de la frecuencia de la portadora, sino de la amplitud de la señal moduladora Ell ángulo á l será: á t θ i ( t ) = 2π ∫ f i ( t ) dt = 2π f c t + 0 Δf sin( 2π f m t ) fm El índice de modulación β se define como el cociente entre la desviación en frecuencia y la frecuencia de la señal moduladora. 6 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple β = Δf fm [rad] θ i ( t ) = 2 π f c t + β sin ( 2 π f m t ) Representa la máxima desviación en fase respecto a la fase de la portadora sin modular Señal FM: s ( t ) = A c cos [2π f c t + β sin ( 2π f m t ) ] Dependiendo del valor del índice de modulación β, vamos a diferenciar dos tipos de modulación en frecuencia: a) FM de banda estrecha, para β pequeño ( β < 1 rad ) b) FM de banda ancha, para β elevado Para FM de banda estrecha, el ancho de banda de s(t) es aproximadamente 2 veces el de m(t). Para FM de banda ancha, excede este valor Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Modulación en frecuencia de banda estrecha Expandimos la expresión de la señal FM s (t ) = Ac cos( 2πf c t ) cos[βsin ( 2πf m t )] − − Ac sin ( 2πf c t ) sin[βsin ( 2πf m t )] Suponiendo β pequeño comparado con 1 radian ( β << 1 radian), se pueden hacer las siguientes aproximaciones: cos[βsin i (2πf m t )] ≈ 1 sin[βsin ( 2πf m t )] ≈ βsin ( 2πf m t ) s (t ) ≈ Ac cos( 2πf c t ) − βAc sin ( 2πf c t ) sin ( 2πf m t ) Tendremos: Esta ecuación nos da la forma aproximada de señal FM de banda estrecha modulada por Amcos(2πfmt) 7 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Diagrama de bloques del modulador FM de banda estrecha: m(t) señal Integrador Modulador producto - Σ s(t) + moduladora Desfasador -90º Accos(2πfct) portadora modulador de fase de banda estrecha Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Idealmente, la señal FM: Tiene envolvente constante Si la señal moduladora es sinusoidal de frecuencia fm ⇒ el ángulo θ i(t) es también sinusoidal con la misma frecuencia El diagrama de bloques estudiado introduce distorsión: La envolvente contiene una modulación de amplitud residual Para una señal moduladora sinusoidal ⇒ el ángulo θ i(t) contiene distorsión armónica de los armónicos de 3er orden y mayor orden de la frecuencia fm Si β ≤ 0.3 radianes ⇒ el efecto de la modulación en amplitud y la distorsión armónica de la fase están limitados a valores despreciables 8 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple La expresión de s(t) p ( ) se ppuede expandir: p s (t ) = Ac cos( 2πf c t ) + 1 βAc {cos[2π ( f c + f m )t ] − cos[2π ( f c − f m )t ]} 2 Esta expresión es parecida a la de AM: 1 s AM (t ) = Ac cos(2πf c t ) + μAc {cos[2π ( f c + f m )t ] + cos[2π ( f c − f m )t ]} 2 La diferencia está en el signo negativo de la banda lateral inferior ⇒ la señal FM de banda estrecha tiene un ancho de banda que es esencialmente el mismo que para AM Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Podemos representar p en diagrama g fasorial la señal FM de banda estrecha, utilizando el fasor de la portadora como referencia: Suma de bandas laterales -fm Portadora Banda lateral inferior fm Banda lateral superior La señal suma de las bandas laterales está en cuadratura respecto la portadora La resultante es un fasor con aproximadamente la misma amplitud que la portadora, pero con fase diferente 9 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple La representación fasorial de AM: fm Portadora Banda lateral superior Suma de bandas laterales -fm Banda lateral inferior La resultante está en fase con la portadora, mientras la amplitud varía Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Modulación en frecuencia de banda ancha Ahora determinaremos el espectro de una señal de FM modulada por un tono simple para un valor arbitrario del índice β Señal FM: s (t ) = Ac cos[2πf c t + βsin ( 2πf m t ) ] En general, esta señal no es periódica, a menos que la frecuencia portadora fc sea un múltiplo de fm P d Podemos poner s(t) ( ) (suponiendo ( i d fc >> ancho h bbanda d señal ñ l FM): FM) { ~ } s ( t ) = ℜ e { Ac exp [ j 2π f c t + j β sin( 2π f m t )]} = ℜ e s ( t )exp( j 2π f c t ) ~ s ( t ) = Ac exp [ j β sin( 2π f m t )] es la envolvente compleja de la señal FM s ( t ) 10 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Ahora, la envolvente compleja de la señal FM s(t) es función periódica del tiempo con frecuencia fundamental fm, por lo que se puede expandir como una serie compleja de Fourier ∞ ~ ∑c s (t ) = n = −∞ n exp( j 2 π nf m t ) Los coeficientes complejos de Fourier: 1 Recordemos : c n = T 1 2 fm ∫ cn = f m − T 2 ~ n ∫ s (t ) exp( − j 2π T t ) dt − T 2 ~ s (t ) exp( − j 2πnf m t ) dt = f m Ac 1 2 fm 1 2 fm ∫ exp [ jβ sin( 2πf − m t ) − j 2πnf m t ]dt 1 2 fm Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple cambio de variable : x = 2π f m t ; t = Ac 2π π ∫ exp [ j ( β dx 2 πf m 1 ⇒ x =π 2 fm t = − cn = dx = 2 π f m dt ⇒ dt = 1 ⇒ x = −π 2 fm sin x − nx ) ]dx −π Esta integral no se puede evaluar directamente y se conoce con el nombre de función de Bessel de primera clase, argumento β y orden ‘n’, se denota: J n (β ) = 1 2π π ∫ exp [ j ( β sinx − nx ) ]dx −π 11 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Por tanto: c n = Ac J n ( β ) La serie de Fourier compleja queda: ~ s ( t ) = Ac ∞ ∑ n = −∞ J n ( β ) exp( j 2 π nf m t ) Expresión s(t): ∞ ⎡~ ⎤ s (t ) = ℜe ⎢ s (t ) exp( j 2πf c t )⎥ = Ac ∑ J n ( β ) cos[2π ( f c + nf m )t ] ⎣ ⎦ n = −∞ Esta es la representación en serie de Fourier de una señal FM modulada por un tono a frecuencia fm para un valor arbitrario de β Su espectro (T.F.): S( f ) = Ac 2 ∞ ∑J n = −∞ n ( β )[δ ( f − f c − nf m ) + δ ( f + f c + nf m )] Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Funciones de Bessel: Jn(β) Jo(β) J1(β) J2(β) J3(β) J4(β) β 12 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Tabla de las funciones de Bessel: Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Propiedades: Para n par: Jn(β) = J-n(β) Para n impar: Jn(β) = -J-n(β) Ö Jn(β) = (-1)n J-n(β) Para pequeños valores de β Jo (β ) ≈ 1 J1 ( β ) ≈ β 2 J n (β ) ≈ 0 n >1 Además: ∞ ∑ n = −∞ J 2 n (β ) = 1 13 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Con estas propiedades y la forma de Jn(β) tenemos: 1. El espectro FM consiste en una componente portadora y un número infinito de bandas laterales colocadas de forma simétrica a frecuencias fm, 2fm, 3fm, . . . en torno a la portadora. Esta es una diferencia importante frente a AM, donde sólo hay 2 bandas laterales. 2. En el caso de que β sea pequeño comparado con la unidad ⇒ sólo los coeficientes Jo(β) y J1(β) son significativos ⇒ la señal modulada está p formada p por la componente de la pportadora y 2 bandas laterales a frecuencias fc ± fm ⇒ caso especial de FM de banda estrecha. 3. La amplitud de la portadora varía con β de acuerdo con Jo(β): Diferencia respecto AM (en FM la amplitud de portadora depende del índice de modulación) Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Cuando la portadora se modula para generar FM, FM la potencia de las bandas laterales aparece a expensas de quitar potencia a la portadora, haciendo que la amplitud de la portadora dependa del índice de modulación β s (t ) = Ac P= Ac2 2 ∞ ∑J n = −∞ ( β ) cos[2π ( f c + nf m )t ] ∞ ∑ J n2 ( β ) = n = −∞ ∞ Recuerda: n ∑ n = −∞ J 2 n Ac2 2 (β ) = 1 14 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Ejemplos: vamos a estudiar qué ocurre con la señal modulada FM para variaciones de la amplitud y la frecuencia de la señal moduladora Ejemplo 1: fijamos fm, variamos la amplitud de la señal moduladora → variamos la desviación máxima en frecuencia Δf = kf Am Fijamos fm ⇒ β = Δf / fm para β = 1,2,5. En la diapositiva siguiente (ejemplo 1) se muestra el espectro de la señal FM normalizada respecto a la amplitud de la portadora Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple 1.0 Δf=fm Δf=2fm 1.0 2Δf 2Δf β=1.0 β=2.0 2Δf f (Hz) f (Hz) 10 1.0 Δf=5fm 2Δf Ejemplo 1 β=5.0 fc fm f (Hz) 15 Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple Ejemplo 2: fijamos Am (Δf → constante) y variamos fm 125 ⇒ β = 1,2,5. Según aumentamos β con Δf fijo hay un mayor número de deltas en el intervalo fc - Δf < | f | < fc + Δf. Cuando β → ∞ el ancho de banda de la señal viene limitado por 2Δf. Tema III: Modulaciones Angulares 3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple 1.0 1.0 2Δf β=2.0 β=1.0 2Δf f (Hz) f (Hz) 10 1.0 2Δf Ejemplo 2 β=5.0 fc fm f (Hz) 16 Tema III: Modulaciones Angulares 3.3.- Ancho de banda de señales FM En teoría, la señal FM tiene un número infinito de bandas laterales, con lo que el ancho de banda absoluto es infinito En la práctica, se puede considerar un número finito de bandas laterales compatible con una cantidad fijada de distorsión, así pues, hablaremos de un ancho de banda efectivo de transmisión (BT) Consideremos una señal FM modulada por un tono fm: las bandas laterales están separadas por fm Aquellas bandas laterales por encima de Δf decrecen rápidamente a cero. Entonces: Ancho de banda algo mayor que 2Δf Si β → ∞ ⇒ ancho de banda próximo a 2Δf Si β → 0 (FM banda estrecha) ⇒ ancho de banda determinado por 2fm Por ello, la regla práctica para el cálculo del ancho de banda es: B T ≈ 2 Δ f + 2 f m = 2 Δ f (1 + 1 β ) ≡ REGLA DE CARSON Tema III: Modulaciones Angulares 3.3.- Ancho de banda de señales FM Una definición más precisa de BT: aquel ancho de banda que contiene el máximo número significativo de bandas laterales cuya amplitud sea mayor de un valor dado. Un valor conveniente suele ser el 1% de la amplitud de la portadora sin modular Se define el ancho de banda del 1% (ancho de banda de Tx de la señal FM) como la separación entre las 2 frecuencias fuera de las cuales ninguna banda lateral tiene una amplitud mayor que el 1% de la amplitud de la portadora sin modular BT = 2 n max f m = 2 n max Δ f β f m : frecuencia señal moduladora n max : máximo valor que satisface J n ( β ) > 0 . 01 17 Tema III: Modulaciones Angulares 3.3.- Ancho de banda de señales FM El valor nmax depende del índice de modulación β y se puede determinar a ppartir de ggráficos de Bessel: El BT puede calcularse utilizando este procedimiento de forma general, y normalizado respecto a Δf y dibujado respecto a β B T Δ f = 2 n β max Tema III: Modulaciones Angulares 3.3.- Ancho de banda de señales FM Se obtiene una curva universal interpolando valores de la tabla anterior: Para β >> ⇒ BT/Δf ≅ 2 ⇒ BT ≅ 2Δf 18 Tema III: Modulaciones Angulares 3.3.- Ancho de banda de señales FM Consideremos m(t) arbitrario, con ancho de banda ω d estimar i id d un tono para ell peor caso. El BT se puede considerando Primero se determina la relación de desviación (D): La relación de desviación D es el cociente entre la desviación en frecuencia (Δf) y su máxima componente frecuencial (ω) D= Δf ω ; Δf = k f Amax Este factor D juega el mismo papel para una modulación no sinusoidal que el índice de modulación β para modulación sinusoidal Cambiando β por D y fm por ω en la regla de Carson o ancho de banda del 1%, se determina el ancho de banda de las señales FM NOTA: la regla de Carson estima por debajo el ancho de banda, mientras que la del 1% da un valor mayor ⇒ en la práctica se usa un valor comprendido entre ambos (valor medio) Tema III: Modulaciones Angulares 3.3.- Ancho de banda de señales FM Ejemplo: en Norteamérica se fija Δf = 75 KHz para difusión de FM comercial y ω = 15 KHz la máxima frecuencia de audio de interés en comercial, transmisiones FM; por ello: Relación de desviación D = 75/15 = 5 Regla de Carson: BT = 2(75 + 15) = 180 KHz Regla del 1%: BT = 2nmaxfm = 2nmax ω = 16*15 = 240 KHz (como D = 5 ⇒ 2nmax = 16) Por ejemplo: BT = (180+240)/2 = 210 KHz 19 Tema III: Modulaciones Angulares 3.4.- Generación de señales FM Hay 2 métodos para generar señales moduladas en frecuencia: FM directo y FM indirecto En el método FM indirecto se emplea modulación FM de banda estrecha y multiplicación de frecuencia para incrementar el nivel de desviación de frecuencia hasta el valor deseado En el método FM directo la portadora varía directamente su frecuencia de acuerdo a la señal de entrada banda base (moduladora), esto es, la frecuencia instantánea de la portadora se varía de forma directa con la variación temporal de la señal banda base ⇒ se utiliza un dispositivo oscilador controlado por tensión: VCO (Voltage Controller Oscilator) m(t) VCO s(t) SEÑAL FM Tema III: Modulaciones Angulares 3.4.- Generación de señales FM Método FM indirecto Diagrama de bloques: m(t) Integrador Señal moduladora banda base Modulador de fase s1(t) Multiplicador banda estrecha de frecuencia s(t) Señal FM Oscilador de cristal controlado f1 La señal banda base se integra y se emplea para el modulador de fase un oscilador de cristal controlado que da estabilidad en frecuencia Para minimizar la distorsión de fase inherente en el modulador el valor de β debe mantenerse pequeño (β ≤ 0.3) Se utiliza un multiplicador de frecuencia para dar lugar a la señal FM de banda ancha 20 Tema III: Modulaciones Angulares 3.4.- Generación de señales FM Salida del modulador de fase de banda estrecha: t s1 (t ) = A1 cos ⎡2πf1t + 2πk f ∫ m(t )dt d⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 f1 : frecuencia del cristal controlado k f : constante (sensibili dad en fase del modulador) Si la señal moduladora es sinusoidal: m(t) = Amcos(2πfmt) s1 ( t ) = A1 cos [2π f 1t + β 1 sin( 2π f m t ) ] β 1 < 0 . 3 rad ⇒ evitar la distorsión La salida del modulador de fase es multiplicada en frecuencia por n veces con el “multiplicador de frecuencia” para dar lugar a la señal FM de banda ancha t s (t ) = Ac cos ⎡2πnf1t + 2πk f n ∫ m(t )dt ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 Tema III: Modulaciones Angulares 3.4.- Generación de señales FM Si m(t) es sinusoidal: s (t ) = Ac cos[2πf c t + βsin i (2πf mt )] donde β = nβ1 ; f c = nf1 Por ello, eligiendo de forma apropiada el valor n se obtiene el índice de modulación deseado β y frecuencia fc Problema: ajustamos fc y β con un único parámetro n ⇒ hay un único grado de libertad ⇒Solución: usamos 2 multiplicadores de frecuencia (ver diapositiva siguiente) 21 Tema III: Modulaciones Angulares 3.4.- Generación de señales FM m(t) Integrador Señal moduladora banda base n1β1, n1f1 Modulador de fase β1, banda estrecha f1 Accos(2πf1t) Multiplicador p de frecuencia x n1 Oscilador de cristal controlado n1β1, f2-n1f1 Multiplicador Mezclador de frecuencia x n2 Ac’cos(2πf2t) Oscilador de cristal controlado Señal FM Banda Ancha β, fc β = n 1 n 2 β1 fc = n2(f2-n1f1) Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM La demodulación en frecuencia es el pproceso qque ppermite recuperar la p señal moduladora de la señal FM La salida del demodulador FM será una señal proporcional a la frecuencia instantánea de la señal de entrada Hay 2 esquemas básicos de demodulación: Discriminador de frecuencia Bucle enganchado en fase (PLL) 22 Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM Discriminador de frecuencia Idealmente es un derivador seguido de un detector de envolvente Consiste en un circuito pendiente seguido de un detector de envolvente El circuito pendiente se caracteriza por una función de transferencia que es imaginaria pura (simetría impar) y varía de forma lineal dentro del intervalo de frecuencias dado: H1(f)/j -fc-BT/2 -fc+BT/2 f (Hz) fc-BT/2 fc+BT/2 Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM Función de transferencia: ⎧ BT ⎛ ⎪ j 2π a ⎜ f − f c + 2 ⎝ ⎪ ⎪ B ⎛ H 1 ( f ) = ⎨ j 2π a ⎜ f + f c − T 2 ⎝ ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩ a : constante ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ fc − BT B < f < fc + T 2 2 -f c − BT B < f < − fc + T 2 2 resto Evaluemos la salida de este sistema con entrada señal FM centrada en fc y ancho de banda BT Suponemos que el espectro de s(t) es cero fuera del intervalo fc - BT/2 < | f | < fc + BT/2 ~ ~ Es conveniente utilizar la representación paso bajo equivalente: H 1 ( f ) , s (t ) ~ H 1 ( f ) :función de transferencia del filtro paso bajo equivalente del circuito pendiente H1(f) 23 Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM ~ Pendiente:4πa H 1( f ) / j f (Hz) -BT/2 BT/2 ~ H 1( f − fc ) = 2 H1( f ) ⎧ BT ⎞ ⎛ ~ ⎟ ⎪ j 4π a ⎜ f + H 1( f ) = ⎨ 2 ⎠ ⎝ ⎪0 ⎩ BT B < f < T 2 2 resto − Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM Señal FM de entrada: s ( t ) = Ac cos ⎡ 2π f c t + 2π k f ⎢⎣ ∫ t 0 m ( t ) dt ⎤ ⎥⎦ Envolvente compleja: ~ ~ Si s ( t ) = Ac exp ⎡ j 2π k f ⎢⎣ ∫ t 0 m ( t ) dt ⎤ ⎥⎦ s1 (t ) es la envolvente compleja de la respuesta del circuito pendiente: ⎧ BT ⎞ ~ B B ⎛ ~ − T < f < T ⎟ S( f ) 1 ~ ⎪ j 2π a ⎜ f + S1( f ) = H 1( f ) S ( f ) = ⎨ 2 ⎠ 2 2 ⎝ 2 ⎪0 resto ⎩ ~ Entonces s1 (t ) : (aplicamos la propiedad de la T. F. que nos dice que multiplicar en frecuencia por j2πf equivale a derivar en el dominio del ~ tiempo): 24 Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM ⎡ ~ ⎤ ~ ~ d s (t ) + jπ BT s (t ) ⎥ s 1 (t ) = a ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ ~ ⎡ 2 k f m (t ) ⎤ ⎡ s 1 ( t ) = j π B T aA c ⎢1 + ⎥ exp ⎢ j 2π k f B T ⎦ ⎣ ⎣ La señal paso banda de salida del circuito pendiente: ⎡~ ⎤ s 1 ( t ) = ℜ e ⎢ s 1 ( t ) exp( j 2 π f c t ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎤ t ∫ m ( t ) dt ⎥⎦ 0 se deduce por cos(a+π/2)=-sina 2 k f m (t ) ⎤ ⎡ s 1 ( t ) = π B T aA c ⎢1 + ⎥ cos BT ⎣ ⎦ ⎡ ⎢ 2π f c t + 2π k f ⎣ t ∫ m ( t ) dt + 0 π ⎤ ⎥ 2⎦ La señal s1(t) presenta una modulación híbrida: la amplitud y frecuencia de la señal portadora varía de acuerdo con m(t) Podemos utilizar un detector de envolvente para demodular la señal, para ello: 2k f BT m(t ) < 1 ∀t ⇒ evitar sobremodulación Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM La salida del detector de envolvente: ~ ⎡ 2k ⎤ s1 (t ) = πBT aAc ⎢1 + f m(t )⎥ BT ⎣ ⎦ → tenemos la señal moduladora salvo un término de continua El término de continua es proporcional a la pendiente de la función de transferencia del circuito La componente de continua se puede eliminar restando a la salida del detector de envolvente la salida de un segundo detector de envolvente precedido de un circuito pendiente complementario con función de transferencia H2( f ) H2(f)/j -fc-BT/2 Pendiente:-2πa f (Hz) -fc+BT/2 fc-BT/2 fc+BT/2 25 Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM Las funciones de transferencia complejas están relacionadas por: ~ ~ H 2 ( f ) = H 1 (− f ) Si s2(t) es la respuesta del segundo circuito pendiente, cuya entrada es la señal FM s(t), la envolvente compleja de s2(t): ~ ⎡ 2k ⎤ s 2 (t ) = πBT aAc ⎢1 − f m(t )⎥ BT ⎣ ⎦ La diferencia de las envolventes: ~ ~ s o ( t ) = s 1 ( t ) − s 2 ( t ) = 4π k f aA c m ( t ) N tiene No i componente continua i El discriminador de frecuencia serían dos circuitos pendiente complementarios seguidos de detector de envolvente y un sumador ⇒ discriminador de frecuencia balanceado (ver diapositiva siguiente) Tema III: Modulaciones Angulares 3.5.- Demodulación de FM Diagrama de bloques: discriminador de frecuencias balanceado Señal FM Circuito pendiente H1 ( f ) Detector de envolvente + Σ Circuito pendiente di t H2( f ) - Señal banda base Detector de envolvente 26 Tema III: Modulaciones Angulares 3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM Supongamos un sistema de comunicación cuya función de transferencia está definida por la relación no lineal: vo (t ) = a1vi (t ) + a2 vi2 (t ) + a3vi3 (t ) vi (t ) : señal de entrada vo (t ) : señal de salida a1,a2 ,a3 : constantes Se supone que el sistema no tiene memoria ⇒ vo(t) es una función instantánea de vi(t) Deseamos determinar el efecto de transmitir la señal FM a través de este canal: vi(t) → señal FM v i ( t ) = A c cos [2 π f c t + φ ( t ) ] φ ( t ) = 2π k f t ∫ m ( t ) dt o Tema III: Modulaciones Angulares 3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM v o ( t ) = a1 Ac cos [2π f c t + φ ( t ) ] + a 2 Ac2 cos 2 [2π f c t + φ ( t ) ] + + a 3 Ac3 cos 3 [2π f c t + φ ( t ) ] Expandiendo y tomando factor común: vo (t ) = a1 Ac cos[2πf c t + φ (t )] + a2 Ac2 [1 + cos(4πf ct + 2φ (t ))] + 2 a3 Ac3 {cos[2πf ct + φ (t )]⋅ [1 + cos((4πf ct + 2φ (t ))]} 2 a A2 a A3 vo (t ) = 2 c + (a1 Ac + 3 c ) cos[2πf c t + φ (t )] + 2 2 2 a A a A3 + 2 c cos[4πf ct + 2φ (t )] + 3 c {cos[6πf c t + 3φ (t )] + cos[2πf ct + φ (t )]} 2 4 + 27 Tema III: Modulaciones Angulares 3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM a 2 A c2 3 + ( a 1 A c + a 3 A c3 ) cos [2 π f c t + φ ( t ) ] + 2 4 1 a A3 2 + a 2 A c cos[ 4 π f c t + 2 φ ( t )] + 3 c cos [6 π f c t + 3φ ( t ) ] 2 4 v o (t ) = La salida tiene una componente continua y 3 componentes moduladas en frecuencia con portadoras fc, 2fc, 3fc Para poder extraer la señal FM de la señal de salida vo(t) es necesario separar la señal FM a frecuencia fc de la señal FM a frecuencia más próxima Si Δf es la desviación en frecuencia de vi(t), y ω el ancho de banda de la señal moduladora m(t); aplicando la regla de Carson (BT ≅ 2Δf + 2fm = 2Δf + 2ω) y teniendo en cuenta que la desviación en frecuencia de la señal FM a frecuencia 2fc es 2Δf, la condición necesaria para separarlas es: Tema III: Modulaciones Angulares 3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM BT B' < 2 fc − T 2 2 fc + Δf + ω < 2 fc − (2Δf + ω ) fc + ⇒ f c > 3 Δ f + 2ω |Vo(f)| BT fc fc+Δf+ω 2fc-2Δf-ω BT’ 2fc BT’’ 3fc f (Hz) 28 Tema III: Modulaciones Angulares 3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM Utilizando un filtro paso banda centrado en fc , y ancho de banda 2Δf + 2ω , la señal de salida es: v o' ( t ) = ( a 1 A c + 3 a 3 A c3 ) cos [2 π f c t + φ ( t ) ] 4 Conclusiones: El único efecto de pasar una señal FM a través de un canal con nolinealidades en amplitud, si filtramos de un modo adecuado, es simplemente modificar la amplitud A diferencia dif i de d lo l que ocurre con AM, la l señall FM no se ve afectada f d por la distorsión debida a no-linealidades de la amplitud del canal Esta es la razón por la que FM se utiliza de forma amplia en enlaces de microondas y satélites, debido a que permite el uso de amplificadores de potencia altamente no lineales Tema III: Modulaciones Angulares 3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM Sin embargo, FM es muy sensible a no-linealidades de fase, y un tipo muy común de no-linealidad no linealidad de fase en los enlaces de microondas es la denominada conversión AM→PM. Esto es debido a que las características de fase de los amplificadores y repetidores empleados en los sistemas depende de la amplitud instantánea de la señal de entrada En la práctica, esta conversión AM→PM se caracteriza por una constante K medida en [grados/dB], y debe interpretarse como el cambio de fase de pico a la salida para un cambio de 1dB en la envolvente de entrada Cuando la señal FM se transmite a través de un enlace de radio, recoge variaciones aleatorias en amplitud debido al ruido e interferencias durante su propagación, y cuando dicha señal se pasa por un repetidor con conversión AM→PM, la salida tendrá modulación no deseada de fase dando lugar a la distorsión ⇒ En los repetidores FM, es muy importante mantener la conversión AM→PM a un nivel bajo, típicamente, K < 2 grados / dB 29 TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CUESTIONES TEMA 3 MODULACIONES ANGULARES 1.- Definición de fase y frecuencia instantánea. ¿Cómo están relacionadas?. ¿Cuál es la fase y la frecuencia instantánea para PM y FM? 2.- ¿Cuál es la expresión de una señal FM y de una señal PM?. ¿Se pueden distinguir a simple vista en un osciloscopio?. ¿Se pueden distinguir de una señal AM? 3.- ¿Cómo se puede generar una señal FM con un modulador de PM y al revés? 4.- ¿Cuál es la definición de desviación en frecuencia e índice de modulación cuando la moduladora es sinusoidal?. Poner la expresión en ese caso de la señal modulada FM utilizando ambos parámetros por separado. 5.- ¿Cómo se diferencia FM de banda ancha y FM de banda estrecha?. ¿Cuál es la expresión aproximada para FM de banda estrecha? 6.- ¿Cómo se puede generar FM de banda estrecha? 7.- Hacer un diagrama fasorial de AM y otro de FM de banda estrecha. ¿Cuál es la diferencia fundamental? 8.- ¿Cuál es el procedimiento para obtener el espectro de una señal FM de banda ancha puesto que al no ser periódica no se puede calcular directamente la serie de Fourier? 9.- ¿Cuál es la expresión del espectro de una señal FM?. ¿Por qué tipo de funciones viene determinada la altura relativa de las deltas? 10.- ¿Cuál es la relación entre la potencia de la señal modulada y la de la portadora?. ¿Varía la amplitud de componente a la frecuencia portadora de la señal modulada con el índice de modulación? 11.- ¿Cuál es la separación entre las deltas en el espectro de una señal FM? 12.- ¿Cuál es el ancho de banda absoluto de una señal FM? 13.- ¿Cuales son las dos reglas para la determinación del ancho de banda de forma aproximada en el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal?. ¿Cuál de las dos reglas da un ancho de banda menor del utilizado en la práctica y cuál uno mayor? 14.- En el caso de tener una señal moduladora arbitraria con ancho de banda W, ¿cómo se define la relación de desviación D?. ¿Cuáles son ahora las dos reglas para la determinación del ancho de banda? 15.- Explicar el método de generación de FM indirecto. 16.- Explicar el esquema del discriminador de frecuencias para demodular la señal FM. 17.- Explicar el diagrama de bloques completo del discriminador de frecuencias balanceado. 18.- Explicar los efectos no lineales en FM. ¿Cómo se recupera la señal FM original tras el sistema no lineal? 19.- ¿En qué consiste la conversión AM a PM en sistemas FM?. ¿Por qué no es deseable y cómo es posible evitarla? TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PROBLEMAS TEMA 3 MODULACIONES ANGULARES 1.- Sea una señal sinusoidal moduladora: m(t) = Am cos (2πfmt) que se aplica a un modulador de fase con sensibilidad de fase kp. La señal portadora tiene amplitud Ac y frecuencia fc. a) Determinar el espectro de la señal resultante modulada en fase, suponiendo que el máximo valor de la desviación de fase β p = kpAm no excede 0.3 radianes. b) Construir un diagrama fasorial para esta señal modulada en fase y compáralo con el correspondiente a una señal FM de banda estrecha. 2.- Una señal FM con índice de modulación β = 1 se transmite a través de un filtro paso banda ideal con frecuencia central fc y ancho de banda 5fm, donde fc es la frecuencia de la señal portadora y fm es la frecuencia de la señal moduladora que es sinusoidal. Determinar la amplitud del espectro a la salida de dicho filtro. 3.- Considerar la señal moduladora cuadrada de la siguiente figura: m(t) +1 0 t -1 T0/2 T0/2 que se utiliza para modular una señal portadora Ac cos (2πfct). Suponer que la sensibilidad en frecuencia es kf Hz por Voltio. a) Determinar la forma de la señal que define la frecuencia instantánea de la señal FM resultante. b) Determinar la forma de la señal que define la fase instantánea de la señal FM resultante. c) Evaluar la envolvente compleja de la señal FM. Mostrar entonces que la señal FM se puede expandir como sigue: ∞ s(t)= A c ∑α n= −∞ n 2 nπ t cos 2π f c t + T0 donde: α n= 1 β- n β + n n sinc + ( −1 ) sinc 2 2 2 β = k f T0 siendo T0 el período de la señal cuadrada. 4.- Determinar el espectro de la siguiente señal FM multitono y explicar las diferentes componentes que forman dicho espectro: s(t) = Accos[2πfct + β 1sin(2πf1t) + β 2sin(2πf2t)] 5.- Una señal portadora de frecuencia 100 MHz es modulada en frecuencia por una señal moduladora sinusoidal de amplitud 20 Volts. y frecuencia 100 KHz. La sensibilidad en frecuencia del modulador es 25 KHz por voltio. a) Determinar el ancho de banda aproximado de la señal FM resultante utilizando la regla de Carson. b) Determinar el ancho de banda en el caso de que se transmitan únicamente aquellas componentes que excedan el 1 % de la amplitud de la portadora sin modular. Utilizar la curva universal. c) Repetir los cálculos suponiendo que la amplitud de la señal moduladora es el doble. d) Repetir los cálculos suponiendo que la frecuencia de la señal moduladora es el doble. 6.- El diagrama de bloques siguiente representa el sistema FM transmisor de una señal de audio estereofónica: l(t) + Modulador Producto ∑ _ Doblador de frecuencia + r(t) + ∑ Fuente de portadora m(t) Modulador en frecuencia + Señal FM estereofónica + + ∑ Las señales de entrada l(t) y r(t) representan las señales procedentes del canal izquierdo y del canal derecho, respectivamente. Esas señales se han sumado y restado para obtener l(t) + r(t) y l(t) - r(t). La señal diferencia se utiliza para generar una señal DSBSC con frecuencia central 38 KHz. La señal portadora necesaria se obtiene utilizando una fuente de portadora a 19 KHz y un sistema que dobla la frecuencia. La señal DSBSC, la señal l(r) + r(t) y el piloto de 19 KHz se suman para obtener la señal m(t). El piloto de 19 KHz se transmite por razones de sincronismo. La señal moduladora m(t) se utiliza para modular en frecuencia una señal a la frecuencia fc, resultando una señal FM que es la que se transmite. a) Dibujar la amplitud del espectro de la señal compuesta m(t), suponiendo que la amplitud del espectro de las señales l(t) y r(t) es el siguiente: |L(f)| f1 |R(f)| f2 f f1 f2 donde f1 = 40 Hz y f2 = 15 KHz. b) Suponiendo que la desviación en frecuencia es de 75 KHz, determina el ancho de banda de transmisión de la señal. c) Desarrolla un diagrama de bloques en el receptor para recuperar los canales izquierdo y derecho de la señal FM. d) Determinar cual es la señal de salida en el caso de que el receptor sea monofónico. f 7.- Una señal FM se aplica a un dispositivo con ley cuadrática cuya tensión de salida v2(t) está relacionada con la tensión de entrada v1(t) por la expresión: v 2 (t) = a v 21 ( t) donde a es una constante. Explicar cómo este dispositivo puede ser utilizado para obtener una señal FM con una desviación de frecuencia mayor que la de la señal FM de entrada. 8.- Considerar el esquema demodulador de FM mostrado en la siguiente figura: Señal FM Linea de retardo _ Detector de envolvente ∑ Señal de salida + en el cual la señal FM de entrada s(t) se pasa a través de un bloque que introduce un retardo de modo que a la frecuencia portadora el desfase sea de π/2 radianes. La salida del bloque que introduce el retardo se resta de la señal FM original, y la señal resultante se pasa a través de un detector de envolvente. Este demodulador tiene aplicación en la demodulación de señales FM para microondas. Supóngase que la expresión de la señal modulada es: s(t) = Ac cos[2πfct + β sin(2πfmt)] Analizar el funcionamiento de este demodulador cuando el índice de modulación β es menor que la unidad y el retardo T introducido por la línea de retardo es suficientemente pequeño para justificar las aproximaciones: y cos(2πfmT) ≈ 1 sin(2πfmT) ≈ 2πfmT 9.- Supongamos que la señal recibida en un sistema FM contiene una modulación de amplitud residual dada por la amplitud positiva a(t), de modo que: s(t) = a(t) cos[2πfct + φ(t)] donde fc es la frecuencia portadora. La fase φ(t) está relacionada con la señal moduladora m(t) de la forma: t φ (t) = 2 π k f ∫ m ( t )dt 0 donde kf es una constante. Supongamos que la señal s(t) está restringida a la banda de frecuencias centrada en fc y de ancho de banda BT, donde BT es el ancho de banda de transmisión de la señal FM en ausencia de modulación de amplitud. Suponer también que la variación de a(t) es lenta comparada con φ(t). Mostrar que la salida de un discriminador de frecuencia ideal cuya entrada es s(t) es proporcional a a(t)m(t). 10.- Si la señal s(t) del problema anterior se aplica a un limitador, cuya señal de salida z(t) está relacionada con la entrada por: +1 z(t) = sgn[s(t)]= − 1 para s(t) > 0 para s(t)< 0 a) Mostrar que la señal de salida del limitador puede expresarse como una serie de Fourier: z(t) = 4 ∞ ( −1 )n cos[2 π f c t(2n + 1) + (2n + 1)φ (t)] ∑ π n=0 2 n + 1 b) Suponer que la señal de salida del limitador se aplica a un filtro paso banda cuya amplitud en la banda de paso es unidad, con ancho de banda BT y centrada en la frecuencia portadora fc, donde BT es el ancho de banda de transmisión de la señal FM en ausencia de modulación de amplitud. Suponiendo que fc es mucho mayor que BT, mostrar que la señal de salida resultante tras el filtro es: 4 y(t)= cos[2 π f ct + φ (t)] π Comparar esta señal con s(t) a la hora de demodular la señal y comentar la utilidad del limitador en este caso. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 3 MODULACIONES ANGULARES 1. 1 1 Ac [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] − β p Ac [δ ( f − f c − f m ) − δ ( f + f c + f m )] − 2 4j 1 − β p Ac [δ ( f − f c + f m ) − δ ( f + f c − f m )] 4j b. ⇒ Diferencia de fases a. S( f ) ≈ a. f i (t ) = f c + k f ⋅ m (t ) 2. 3. 1 b. ϑi (t ) = 2πf c t + φ (t ) φ (t ) = 2πk f ⋅ ∫ m(t ) ⋅ dt t 0 c. Es una demostración. ∞ ∞ A 4. S ( f ) = c ⋅ ∑ ∑ J m (β 1 ) ⋅ J n (β 2 ) ⋅ [δ ( f − f c − mf1 − nf 2 ) + δ ( f + f c + mf 1 + nf 2 )] 2 m= −∞ n= −∞ Se pueden distinguir cuatro componentes: i. Portadora a frecuencia f c, de amplitud: J0 (β 1 )⋅J0 (β 2 ) ii. Conjunto de bandas laterales a frecuencia: f c±m⋅f 1 (m=1,2,3,…), y amplitud: Jm (β 1 )⋅J0 (β2 ) 2 iii. Conjunto de bandas laterales a frecuencia: f c±n⋅f 2 (n=1,2,3,…), y amplitud: J0 (β1 )⋅Jn (β2 ) iv. Términos de modulación cruzada a frecuencia: f c±m⋅f 1 ±n⋅f 2 (m=1,2,3,…; n=1,2,3,…), y amplitud: Jm (β1 )⋅Jn (β2 ) 5. a. BT CARSON = 1.2 MHz b. BT CARSON = 1.6 MHz c. BT CARSON = 2.2 MHz BT 1% d. BT BT 6. = 2 .8 MHz CARSON 1% = 1.4 MHz = 2 MHz a. b. c. = 256 KHz ⇒ BT = 375 KHz BT CARSON BT 1% MEDIA ≈ 315 KHz d. 3 7. t v1 (t ) = Ac ⋅ cos 2πf 1t + 2πk f1 ∫ m(t ) ⋅ dt 0 t a v 0 (t ) = ⋅ Ac2 ⋅ cos 2π (2 f 1 )t + 2π (2k f1 )∫ m (t ) ⋅ dt 0 2 8. Salida del detector de envolvente: a (t ) ≈ 2 ⋅ Ac ⋅ [1 + π ⋅ ∆f ⋅ T ⋅ cos(2πf m t )] 9. Salida del detector de envolvente del discriminador de frecuencias ideal: s 0 (t ) ≈ 2 ⋅ π ⋅ k f ⋅ a(t ) ⋅ m(t ) 10. a. Es una demostración. 4 ⋅ cos(2πf c t + φ (t )) π ⇒Utilizando el limitador seguido del filtro paso banda, se elimina el efecto de la variación de amplitud en la señal modulada. b. Término k=0, con: f c>>BT : y (t ) = 4 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas. 4.1.- Introducción: SNR y FOM. Se necesita una medida útil para medir la calidad de una señal en el receptor, para ello se usa la relación señal a ruido de salida: SNRo = Potencia media de la señal demodulada a la salida del receptor Potencia media de ruido a la salida del receptor Es una medida intuitiva para describir la calidad para el proceso de demodulación en el receptor en presencia de ruido. Vamos a suponer que la señal de información recuperada y el ruido deben aparecer aditivamente a la salida del demodulador: • • Condición válida cuando se emplea recepción con detección coherente. En caso de usar detección de envolvente, ésta condición es aproximada, siempre y cuando el nivel de ruido sea pequeño comparado con el de la señal. Además, el valor de la SNRo depende de varios factores: • • Del tipo de modulación empleada en el transmisor. Del tipo de demodulación empleada en el receptor. Sería interesante comparar la SNRo para diferentes esquemas de modulación y demodulación, pero para que sea válido se debería cumplir: • • La señal modulada: s(t), transmitida por cada sistema, tiene que tener la misma potencia media. El ruido del receptor: ω(t), tiene que tener la misma potencia media, medida en el ancho de banda w de la señal de información. Se define así la SNR para el canal, como: SNRc = Potencia media de la señal modulada a la entrada del receptor Potencia media de ruido del canal en la banda de la señal de información Para comparar diferentes esquemas de modulación y demodulación, vamos a normalizar la SNRo por la SNRc. Así se define la FOM (Figure Of Merit), como: FOM = 1 SNRo SNRc Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Otros parámetros de calidad que también se estiman en los sistemas de comunicación son los siguientes: SNRi = Potencia media de la señal modulada a la entrada del receptor Potencia media de ruido en la banda de la señal modulada a la entrada del receptor La relación: SNRo SNRi Y la relación portadora a ruido: CNR = Potencia media de la portadora Potencia media de ruido en la banda de la señal modulada 4.2.- Ruido en modulaciones de amplitud. Vamos a ver un caso de estudio común en los sistemas de comunicación: • • Analizaremos los efectos del ruido en el funcionamiento del receptor. Compararemos el comportamiento de los diferentes esquemas de modulación y demodulación frente al ruido: o Hay que definir criterios objetivos que describan cómo se comportan estos sistemas frente al ruido. o En modulaciones analógicas se va a estimar la SNRo y FOM. Vamos a suponer que tenemos a la entrada del receptor un ruido aditivo, blanco, gaussiano (AWGN), y de media nula. En concreto estudiaremos las modulaciones: • • DSB-SC con detección coherente. AM con detección de envolvente. 4.2.1.- Receptor de amplitud. Modelo funcional. Los receptores de AM se denominan superheterodinos, y su esquema general se representa en la siguiente figura: Señal AM + Ruido Sección de radiofrecuencia (RF) Sección de frecuencia intermedia (IF) Mezclador Demodulador Oscilador local Figura 1. Esquema funcional de un receptor de amplitud. 2 Señal a la salida Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación La señal captada por las antenas se amplificaría en la sección de radiofrecuencia (RF), donde además se realiza un primer filtrado paso banda. Esta estaría sintonizada a la frecuencia de portadora (fc). A continuación el conversor de frecuencia convertiría la frecuencia de entrada, cuyo valor es variable, a una frecuencia intermedia (fIF) fija y menor. f IF = f RF − f LO La sección de frecuencia intermedia (IF) amplificaría la señal a su entrada, en un entorno de fIF, y filtraría en función del tipo de modulación de amplitud. Es de notar que este bloque es el que da la mayor parte de la ganancia y la selectividad del sistema. Por último, el demodulador recuperaría la señal de información original m(t). El esquema simplificado del receptor de amplitud para el análisis de ruido es el siguiente: s(t) + Σ + BPF equivalente h(t) x(t) Demodulador y(t) ω(t) Figura 2. Modelo de receptor de amplitud para análisis de ruido. Inicialmente la señal modulada s(t) se sumaría con ω(t), que es ruido blanco, aditivo, gaussiano (AWGN), de media cero, y densidad espectral de potencia: Sω(f)=No/2. Después pasaría por un filtro paso banda equivalente, cuya respuesta es h(t), que representa las secciones de RF e IF en cascada del modelo funcional. En el caso de modulaciones AM y DSB-SC, su respuesta normalizada en frecuencia se muestra en la Figura 3, donde: fc = fIF (frecuencia portadora a la salida del mezclador), y BT es el ancho de banda de la señal transmitida. |H(f)| BT 1 f -fc fc Figura 3. Respuesta normalizada del filtro paso banda equivalente para AM y DSB-SC. Sea x(t) la señal a la salida del filtro h(t), la cual se podrá descomponer en dos términos: uno referente a la señal modulada [s(t)], y otro relacionado con el ruido de banda limitada o paso banda [n(t)]. En el caso de este último, su densidad espectral de potencia vendrá dada por: B B ⎧⎪ N 0 , fc − T ≤ f ≤ fc + T SN ( f ) = ⎨ 2 2 2 ⎪⎩ 0 , resto O con su representación gráfica: 3 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación SN(f) BT No/2 f -fc fc Figura 4. Densidad espectral de potencia de ruido a la salida del filtro paso banda equivalente. Supondremos que este ruido paso banda n(t), será un ruido de banda estrecha, ya que se cumplirá: fc >> BT. El último bloque del modelo de receptor AM para análisis de ruido sería un demodulador, el cual obtendría la señal de información de salida y(t). 4.2.2.- Análisis de ruido para detección coherente con modulación DSB-SC. En el caso de que la modulación empleada en el transmisor fuera DSB-SC, en el lado del receptor tendríamos el siguiente modelo simplificado para analizar el efecto del ruido: s(t) + Σ + BPF equivalente h(t) x(t) Modulador producto v(t) LPF y(t) ω(t) Oscilador local Figura 5. Modelo de receptor DSB-SC, con detección coherente, para análisis de ruido. Para simplificar el estudio, vamos a tomar las siguientes consideraciones: • • Supondremos que la señal del oscilador local tiene amplitud unitaria (normalizada). Además supondremos que existe sincronismo, es decir, que la señal generada por el oscilador local en el receptor está sincronizada en fase y en frecuencia con la portadora transmitida. A continuación, vamos a ir definiendo las potencias promedio en cada bloque, para poder calcular los parámetros definidos en el primer apartado. Así, a la entrada del sistema tendremos la señal modulada, s(t), de la forma: s (t ) = Ac ⋅ cos(2 ⋅ π ⋅ f c ⋅ t ) ⋅ m(t ) 4 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Vamos a considerar a la señal moduladora, m(t), como una función muestra de un proceso estacionario, de media cero, densidad espectral de potencia SM(f), y ancho de banda w. SM(f) Área: P = w −w S M ( f ) ⋅ df f w -w ∫ Figura 6. Densidad espectral de potencia de la señal moduladora m(t). El área bajo esta curva será la potencia promedio (P), y nos será útil a la hora de calcular los parámetros definidos en la introducción del tema. P = ∫ S M ( f ) ⋅ df w −w Además, vamos a asumir que la señal portadora es estadísticamente independiente de la señal moduladora. Para indicar esto, se incluye en la portadora una fase aleatoria (θ), con distribución uniforme entre 0 y 2π radianes: s (t ) = Ac ⋅ cos(2 ⋅ π ⋅ f c ⋅ t + θ ) ⋅ m(t ) Si hallamos la densidad espectral de potencia de s(t) (ver problema 18 del primer tema), obtendríamos: Ss ( f ) = Ac2 Área: ⋅P 4 Ac2 ⋅ [S M ( f − f c ) + S M ( f + f c )] 4 SS(f) Área: Ac2 ⋅P 4 f -fc-w -fc -fc+w fc-w fc fc+w Figura 7. Densidad espectral de potencia de la señal modulada s(t). Observando la figura, se deduce que el ancho de banda de s(t) es BT=2w, y su A2 ⋅ P potencia promedio c 2 Respecto al ruido, w(t), AWGN, de media nula, y densidad espectral de potencia No/2, distinguiremos dos situaciones. La primera para su valor de potencia promedio en 5 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación el ancho de banda de la señal de información m(t), y la segunda ese mismo valor, pero en el ancho de banda de la señal modulada s(t). Área: No/2 2⋅ w⋅ No = w ⋅ No 2 f w -w Figura 8. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal de información m(t). Área: No/2 4⋅ w⋅ No = 2 ⋅ w ⋅ No 2 f -fc-w -fc -fc+w fc-w fc fc+w Figura 9. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal modulada s(t). Con estos valores, ya podemos calcular las siguientes relaciones señal a ruido: • • SNRc , DSB − SC SNRi , DSB − SC Ac2 ⋅P Ac2 ⋅ P = = 2 w ⋅ No 2 ⋅ w ⋅ No Ac2 ⋅P Ac2 ⋅ P 2 = = 2 ⋅ w ⋅ No 4 ⋅ w ⋅ No Para calcular la relación señal a ruido a la salida, tendremos que deducir la señal a la salida del receptor. Así en primer lugar, calculamos la señal x(t) a la salida del filtro paso banda equivalente: x(t ) = s (t ) + n(t ) = Ac ⋅ cos(2πf c t ) ⋅ m(t ) + n c (t ) ⋅ cos(2πf c t ) − n s (t ) ⋅ sen(2πf c t ) A la salida del modulador producto, y teniendo en cuenta las siguientes relaciones trigonométricas: 1 cos a ⋅ cos b = ⋅ [cos(a + b ) + cos(a − b )] 2 1 sena ⋅ cos b = ⋅ [sen(a + b ) + sen(a − b )] 2 Obtenemos: 6 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas v(t ) = x(t ) ⋅ cos(2πf c t ) = Teoría de la Comunicación 1 1 1 1 ⋅ Ac ⋅ m(t ) + ⋅ nc (t ) + ⋅ [ Ac ⋅ m(t ) + nc (t )] ⋅ cos(4πf c t ) − ⋅ n s (t ) ⋅ sen(4πf c t ) 2 2 2 2 Por último, aplicamos el filtrado paso bajo, para eliminar las componentes a alta frecuencia (2fc): y (t ) = 1 1 ⋅ Ac ⋅ m(t ) + ⋅ nc (t ) 2 2 Esta fórmula nos indica que la señal moduladora m(t) y la componente en fase del ruido nc(t), se suman a la salida; mientras el detector coherente rechaza la componente en cuadratura del ruido ns(t). Una vez que deducimos a la salida la componente de señal y la componente de ruido, vamos a estimar la potencia media de cada una, para hallar la relación señal a ruido a la salida: 1 • Señal de información a la salida: ⋅ Ac ⋅ m(t ) , con una potencia promedio 2 2 A asociada de c ⋅ P , siendo P la potencia promedio de m(t). 4 1 • Ruido a la salida: ⋅ nc (t ) . En el primer tema vimos la relación entre la 2 densidad espectral de ruido y sus componentes en fase y en cuadratura para banda estrecha. ⎧S ( f − f c ) + S N ( f + f c ) , − w ≤ f ≤ w S Nc ( f ) = S Ns ( f ) = ⎨ N 0, resto ⎩ SN(f) No/2 f -fc-w -fc -fc+w fc-w No fc fc+w SNc(f)= SNs(f) f w -w Figura 10. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal modulada, y de sus componentes en fase y cuadratura. 7 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación 2 w ⋅ No ⎛1⎞ Así la potencia promedio de ruido a la salida, será: ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⋅ w ⋅ N o = 2 ⎝2⎠ Recopilando ideas, los parámetros que nos quedan por calcular, serán: Ac2 ⋅P Ac2 ⋅ P 4 = • SNRo , DSB − SC = w ⋅ No 2 ⋅ w ⋅ No 2 SNRo , DSB − SC • FOM = =1 SNRc , DSB − SC • SNRo , DSB − SC SNRi , DSB − SC =2 4.2.3.- Análisis de ruido para detección de envolvente en AM. Ahora vamos a particularizar el modelo de análisis de ruido general para el caso de una modulación AM, donde el módulo de demodulación del receptor será un detector de envolvente. En este caso, sustituimos el bloque demodulador del esquema estudiado por un detector de envolvente. Señal AM + BPF equivalente h(t) Σ + x(t) Detector de envolvente y(t) ω(t) Figura 11. Esquema de análisis de ruido para una detección de envolvente en AM. La señal modulada en AM estará formada por dos bandas laterales y una portadora: s(t ) = Ac ⋅ [1 + k a ⋅ m(t )] ⋅ cos(2πf c t ) Siendo ka la sensibilidad en amplitud, que es una constante que determina el porcentaje de modulación. Analizando esta expresión, obtenemos la potencia promedio A2 ⋅ k 2 A2 de la portadora ( c ), y de las bandas laterales ( c a ⋅ P ), siendo P la potencia 2 2 promedio de la señal de información m(t). Sumando estos valores se calcularía la Ac2 ⋅ (1 + k a2 ⋅ P ) potencia promedio de la señal: 2 El siguiente paso consiste en calcular la potencia de ruido, que en el ancho de banda de la señal moduladora m(t) será wNo,; y en el ancho de banda de la señal modulada s(t) es 2wNo. 8 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Con estos valores vamos a poder definir la relación señal a ruido en el canal, y a la entrada del receptor: • • SNRc , AM SNRi , AM Ac2 ⋅ (1 + k a2 ⋅ P ) Ac2 ⋅ (1 + k a2 ⋅ P ) 2 = = w ⋅ No 2 ⋅ w ⋅ No Ac2 ⋅ 1 + k a2 ⋅ P A 2 ⋅ 1 + k a2 ⋅ P = 2 = c 2 ⋅ w ⋅ No 4 ⋅ w ⋅ No ( ) ( ) En el caso de la relación señal a ruido a la salida, al igual que pasaba con DSBSC con detección coherente, debemos deducir la señal de salida del receptor. La señal a la salida del filtro paso banda equivalente: x(t ) = s(t ) + n(t ) = Ac ⋅ [1 + k a ⋅ m(t )] ⋅ cos(2πf c t ) + n c (t ) ⋅ cos(2πf c t ) − n s (t ) ⋅ sen(2πf c t ) = = [ Ac + Ac ⋅ k a ⋅ m(t ) + n c (t )] ⋅ cos(2πf c t ) −n s (t ) ⋅ sen(2πf c t ) Si hacemos la representación fasorial de esta señal, donde tomamos como referencia la componente de la señal: ns(t) RESULTANTE Ac+Ac.ka.m(t) nc(t) Figura 12. Representación fasorial de la señal AM con ruido aditivo a la salida del filtro paso banda equivalente. De esta forma, a la salida del detector de envolvente: y (t ) = [Ac + Ac ⋅ k a ⋅ m(t ) + n c (t )]2 + ns2 (t ) Esta expresión es bastante compleja, por lo que vamos a simplificarla para poder extraer conclusiones. En principio, vamos a suponer que la potencia de la señal es mucho mayor que la potencia de ruido (CNR >> 1), por lo que vamos a aproximar: y (t ) ≈ Ac + Ac ⋅ k a ⋅ m(t ) + n c (t ) El primer término Ac es una componente de continua, generada por el proceso de demodulación de la portadora transmitida. Esta componente continua no tiene relación directa con la señal de interés. El segundo término Ac ⋅ ka ⋅ m(t ) es la parte de señal que llega a la salida, y su potencia promedio será entonces: Ac2 ⋅ k a2 ⋅ P . El último término nc(t) es la componente de ruido, y su potencia media es 2wNo, ya que tendremos: 9 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación ⎧S ( f − f c ) + S N ( f + f c ) , S Nc ( f ) = S Ns ( f ) = ⎨ N 0, ⎩ −w ≤ f ≤ w resto Por tanto, ya podremos calcular el resto de parámetros que nos faltaban: Ac2 ⋅ k a2 ⋅ P 2 ⋅ w ⋅ No SNRo , AM k a2 ⋅ P = = SNRc , AM (1 + k a2 ⋅ P ) • SNRo , AM ≈ • FOM AM • SNRo , AM SNRi , AM = 2 ⋅ k a2 ⋅ P (1 + k a2 ⋅ P ) En relación a la SNRo,AM deducida, tenemos que destacar que será válida si y sólo si el ruido en el receptor es pequeño comparado con la señal (CNR>>1), y si ka se ajusta para que el porcentaje de modulación sea menor o igual que 100% (así no habría sobremodulación). Al comparar con las expresiones que se obtenían para el caso de DSB-SC, ahora se ve que la FOMAM será siempre menor que la unidad. ¾ Ejercicio: Deducir la FOMAM cuando la señal de información es un tono simple y calcular su valor para el máximo porcentaje de modulación. Comparar con la FOMDSB-SC. (Solución FOM AM = μ2 ) 2 + μ2 A continuación, vamos a ver qué pasa cuando la relación portadora a ruido (CNR) es pequeña en comparación con la unidad, ya que en ese caso el ruido será predominante. En esta situación se va a dar el denominado efecto umbral, que como veremos cambiará totalmente el análisis y el funcionamiento del receptor. Vamos a cambiar la representación del ruido, ahora emplearemos su envolvente y su fase. n(t ) = r (t ) ⋅ cos[2πf c t + ψ (t )] A la salida del filtro paso banda equivalente, tendremos la contribución del ruido y de la señal modulada, filtrados: y (t ) = s(t ) + n(t ) = Ac ⋅ [1 + k a ⋅ m(t )] ⋅ cos(2πf c t ) + r (t ) ⋅ cos[2πf c t + ψ (t )] Si dibujamos el diagrama de fase para la entrada al detector, donde utilizamos como referencia el ruido, obtenemos la siguiente figura. En ella se puede ver cómo el ruido es dominante. Al fasor n(t) le añadimos el fasor con módulo Ac ⋅ [1 + k a ⋅ m(t )] y ángulo ψ(t). 10 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Ac.[1+ka.m(t)] RESULTANTE Ψ(t) r(t) Figura 13. Diagrama fasorial a la entrada al detector de envolvente. Dado que la amplitud del ruido es mayor que la de la señal modulada, vamos a poder aproximar y(t) por el fasor proyectado en el eje de la referencia. y (t ) ≈ r (t ) + Ac ⋅ cos[ψ (t )] + Ac ⋅ k a ⋅ m(t ) ⋅ cos[ψ (t )] Analizando la expresión podemos ver cómo cuando la CNR es baja, a la salida del detector no hay ningún término directamente proporcional a m(t). Aparece m(t) multiplicado por cos[ψ(t)], y como el ruido de banda estrecha tiene una fase uniformemente distribuida entre 0 y 2π. Por tanto, hay una pérdida total de información. Esta situación se denomina efecto umbral, entendiéndose por umbral al valor de la CNR, por debajo del cual el funcionamiento del detector frente al ruido se deteriora mucho más rápido que en proporción a la CNR. Para concluir, simplemente tres ideas: • Cualquier detector no lineal tiene efecto umbral, a diferencia del detector coherente. • En AM con detector de envolvente con un valor de CNR > 6.6 dB podemos asegurar que se está fuera de la zona umbral. • Por tanto, el efecto umbral no suele ser muy importante en recepción AM con detector de envolvente, ya que sólo se precisa de ese nivel de CNR > 6.6 dB para asegurar que estamos fuera de la zona umbral. 4.3.- Ruido en modulaciones de frecuencia. 4.3.1.- Modelo funcional de receptores FM. Los receptores FM se denominan heterodinos. En primer lugar vamos a ver el esquema funcional para un receptor FM. Señal FM + Ruido Sección de radiofrecuencia (RF) Mezclador Sección de frecuencia intermedia (IF) Limitador Discriminador Oscilador local Figura 14. Modelo funcional para un receptor FM. 11 LPF Señal a la salida Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación La señal captada por las antenas se amplificaría y filtraría en la sección de radiofrecuencia (RF). A continuación, con el mezclador controlado por el oscilador local, se traslada la señal a frecuencia intermedia (IF), siendo su salida amplificada y filtrada a fIF en la sección de frecuencia intermedia. El limitador elimina la variación de envolvente, recortando la entrada al mismo, y filtrando la señal cuadrada resultante mediante un filtro paso banda, que la suaviza eliminando los armónicos de la frecuencia portadora. El siguiente bloque sería un discriminador que, como se vio en el tema anterior, consta de un circuito pendiente (genera una modulación híbrida de amplitud y frecuencia), seguido de un detector de envolvente (extrae la modulación de amplitud de la señal modulada híbrida, donde está contenida la señal moduladora). Por último, se aplica un filtro paso bajo o filtro de post-detección, que elimina el ruido fuera del ancho de banda de la señal de información original m(t). Para realizar el análisis de ruido vamos a simplificar el esquema anterior, dando lugar al siguiente diagrama de bloques: s(t) + Σ + BPF equivalente hIF(t) x(t) v(t) Limitador LPF Discriminador ω(t) Figura 15. Modelo de receptor FM para análisis de ruido, con ruido aditivo. A la señal modulada FM, trasladada en frecuencia a fc y con ancho de banda BT, se le añade el ruido ω(t), que será AWGN, de media nula y densidad espectral de N potencia: S ω ( f ) = o . A continuación, la señal suma se filtra con el filtro paso banda 2 equivalente, que representa una cascada de secciones de RF e IF, las cuales permiten pasar la señal FM sin distorsión. Su respuesta ideal se ilustra a continuación. |HIF(f)| BT 1 f -fc fc Figura 16. Respuesta en frecuencia del filtro paso banda equivalente. Tras el filtrado tenemos ruido de banda estrecha, ya que fc >> BT, y entonces la señal a la salida del filtro paso banda equivalente queda: x(t ) = s (t ) + n(t ) El siguiente paso consiste en aplicar a esta señal el limitador y el discriminador, para su resultado pasarlo por el filtro de post-detección. Este último, consideraremos que es un filtro paso bajo ideal, con ancho de banda w. Su respuesta normalizada en frecuencia se muestra en la siguiente figura: 12 y(t) Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación |HPD(f)| 1 -w f w Figura 17. Respuesta normalizada en frecuencia del filtro de post-detección. 4.3.2.- SNR y FOM en receptores FM. En primer lugar vamos a realizar un análisis de ruido en estos receptores suponiendo que la potencia de señal es mucho mayor que la potencia de ruido (CNR >> 1). Así, a la salida del filtro IF tenemos ruido de banda estrecha, por lo que lo podremos representar de la forma: n(t ) = nc (t ) ⋅ cos(2πf c t ) − n s (t ) ⋅ sen(2πf c t ) = r (t ) ⋅ cos[2πf c t + ψ (t )] * r (t ) = nc2 (t ) + n s2 (t ) → Distribución Rayleigh ⎡ n (t ) ⎤ * ψ (t ) = tag −1 ⎢ s ⎥ ⎣ nc (t ) ⎦ → Distribución uniforme entre 0 y 2π La señal FM: t s (t ) = Ac ⋅ cos ⎡2πf ct + 2πk f ∫ m(t ) ⋅ df ⎤ = Ac ⋅ cos[2πf ct + φ (t )] ⎢⎣ ⎥⎦ 0 Sumando los dos términos (señal y ruido), a la salida del filtro IF equivalente obtendríamos: x(t ) = s (t ) + n(t ) = Ac ⋅ cos[2πf c t + φ (t )] + r (t ) ⋅ cos[2πf c t + ψ (t )] La representación fasorial de esta expresión, donde se toma como referencia la componente de señal s(t): RESULTANTE r(t) ψ(t) – φ(t) φ(t) θ(t) Figura 18. Diagrama fasorial a la salida del filtro IF equivalente. r (t ) ⋅ sen[ψ (t ) − φ (t )] ⎤ ⎥ ⎣ Ac + r (t ) ⋅ cos[ψ (t ) − φ (t )]⎦ ⎡ θ (t ) = φ (t ) + tag −1 ⎢ 13 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación A diferencia que en las modulaciones en amplitud, ya no interesa la envolvente de x(t), pues sus variaciones son eliminadas por el limitador. Lo que interesa conocer es la fase θ(t), donde va la señal de información. Vamos a asumir que el discriminador es ideal, de esta manera a su salida se obtendrá: v(t ) = 1 dθ (t ) ⋅ 2π dt La expresión de θ(t) es compleja por lo que la simplificaremos para poder extraer conclusiones. Supondremos que la CNR >> 1, a la entrada del discriminador; y denominamos por R a la variable aleatoria obtenida observando el proceso envolvente, cuya función muestra es r(t). La mayor parte del tiempo R << Ac, por lo que podremos aproximar la fase como: tag −1[θ (t )] ≈ θ (t ), si θ (t ) → 0 ⇓ r (t ) θ (t ) ≈ φ (t ) + ⋅ sen[ψ (t ) − φ (t )] Ac A la salida del discriminador: v(t ) = Siendo nd (t ) = 1 dθ (t ) ⋅ ≈ k f ⋅ m(t ) + nd (t ) 2π dt 1 d ⋅ {r (t ) ⋅ sen[ψ (t ) − φ (t )]} 2πAc dt Si CNR >> 1, la salida será la señal moduladora multiplicada por kf, y una componente aditiva de ruido nd(t). Vamos a simplificar la componente ruidosa nd(t). Para ello, partimos de que ψ(t) sigue una distribución uniforme entre 0 y 2π. • Asumiremos entonces que ψ(t)-φ(t) seguirá también una distribución uniforme entre 0 y 2π. • Además el ruido nd(t) va a ser independiente de la señal moduladora, y dependiente de las características de la portadora y del ruido de banda estrecha. nd (t ) ≈ 1 d ⋅ {r (t ) ⋅ sen[ψ (t )]} 2πAc dt Como: cos(a + b ) = cos(a ) ⋅ cos(b ) − sen(a ) ⋅ sen(b ) , entonces el ruido queda: n(t ) = r (t ) ⋅ cos[2πf c t + ψ (t )] = r (t ) ⋅ cos[ψ (t )] ⋅ cos(2πf c t ) − r (t ) ⋅ sen[ψ (t )] ⋅ sen(2πf c t ) * nc (t ) = r (t ) ⋅ cos[ψ (t )] ⇒ Componente en fase del ruido * n s (t ) = r (t ) ⋅ sen[ψ (t )] ⇒ Componente en cuadratura del ruido 14 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación 1 dn s (t ) ⋅ , nd(t) depende de la amplitud de la 2πAc dt portadora (Ac), y de la componente en cuadratura del ruido de banda estrecha. Identificando términos: n d (t ) ≈ Respecto la componente de señal k f ⋅ m(t ) , la potencia promedio de señal a la salida tras el discriminador será k f ⋅ P . El filtro paso bajo que hay a continuación no le afectará. En cuanto a la potencia promedio de ruido a la salida, la componente de ruido a 1 dn s (t ) la salida del discriminador era n d (t ) ≈ ⋅ , lo cual es equivalente al siguiente 2πAc dt esquema: ns(t) nd(t) h(t) Figura 19. Representación equivalente de la componente de ruido nd(t). Siendo la transformada de Fourier de la respuesta del filtro: H(f ) = 1 f ⋅ j 2πf = j ⋅ 2πAc Ac Y por tanto, la densidad espectral de potencia: f2 S Nd ( f ) = 2 ⋅ S Ns ( f ) Ac Si a la entrada del receptor tenemos ruido AWGN, de media cero, y densidad N espectral de potencia S ω ( f ) = o , y si el filtro IF equivalente tiene características 2 ideales, a su salida la densidad espectral de ruido será: BT SN(f) No/2 f -fc-BT/2 -fc+BT/2 fc-BT/2 fc+BT/2 Figura 20. Densidad espectral de ruido a la salida del filtro IF equivalente. Y su componente en cuadratura quedará: 15 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación SNs(f) No f -BT/2 BT/2 Figura 21. Densidad espectral de la componente en cuadratura de ruido, a la salida del filtro IF equivalente. Propagando esta componente a la salida del discriminador, obtenemos la densidad espectral de nd(t). ⎧ No ⋅ f 2 B ⎪ , f < T 2 S Nd (t ) = ⎨ Ac 2 ⎪ 0 , resto ⎩ SNd(f) f -BT/2 BT/2 Figura 22. Densidad espectral de ruido a la salida del discriminador. El siguiente bloque después del discriminador será el filtro paso bajo, con ancho de banda w, que lo que hace es recortar el ancho de banda de la densidad espectral de ruido SNd(f), ya que en los sistemas FM: w << BT/2. Así la densidad espectral de ruido a la salida no(t), quedará: ⎧ No ⋅ f 2 , f <w ⎪ S No (t ) = ⎨ Ac2 ⎪ 0 , resto ⎩ SNo(f) f w -w Figura 23. Densidad espectral de ruido a la salida. 16 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Por tanto, la potencia promedio de ruido a la salida será el área bajo SNo(f): PNo = No w 2 2 ⋅ w3 ⋅ N o ⋅ f ⋅ df = Ac2 ∫− w 3 ⋅ Ac2 De esta expresión, podemos decir que si aumentamos la potencia de la portadora 2 c A , el ruido a la salida disminuye. 2 Una vez que ya tenemos las potencias de señal y de ruido en las diferentes partes del sistema, podemos deducir las expresiones de las relaciones señal a ruido. • • • • • SNRo , FM = SNRc , FM SNRi , FM SNRo , FM SNRi , FM FOM = k 2f ⋅ P 2 ⋅ w3 ⋅ N o 3 ⋅ Ac2 = 3 ⋅ Ac2 ⋅ k 2f ⋅ P 2 ⋅ w3 ⋅ N o Ac2 Ac2 2 = = w ⋅ No 2 ⋅ w ⋅ No Ac2 Ac2 = 2 = BT ⋅ N o 2 ⋅ BT ⋅ N o 3 ⋅ Ac2 ⋅ k 2f ⋅ P 2 ⋅ BT ⋅ N o 3 ⋅ k 2f ⋅ BT ⋅ P = ⋅ = 2 ⋅ w3 ⋅ N o Ac2 w3 SNRo , FM SNRc , FM = 3 ⋅ k 2f ⋅ P w2 En el tema 2 vimos que: Δf=kf.Amáx ⇒ Δf es proporcional a kf Δf • D= ⇒ FOM es proporcional a D2 w • En FM de banda ancha: BT es proporcional a D Como conclusión podemos decir que cuando la CNR >> 1, un incremento en el ancho de banda de transmisión (BT), da lugar a un incremento cuadrático en la SNRo o en el valor de FOM. Por tanto, en FM existe un mecanismo para intercambiar ancho de banda por una mejora frente al ruido. ¾ Ejercicio: Deducir la FOMFM cuando la señal de información es un tono 3⋅ β 2 simple. (Solución: FOM FM = ) 2 17 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación 4.3.3.-Efecto umbral en FM. La fórmula de la SNRo,FM es válida si la CNR >> 1 a la entrada del discriminador. Experimentalmente, conforme aumenta el ruido, la CNR disminuye, y el receptor FM deja de funcionar. Primero aparecen impulsos ruidosos y si la CNR decrece más, aparece un mayor número de impulsos ruidosos hasta tener finalmente una señal ruidosa. De esta manera, se define el efecto umbral como el mínimo valor de la CNR, que da lugar a una SNRo no muy diferente del valor predicho mediante la SNRo,FM, suponiendo bajo ruido. Vamos a realizar un análisis cualitativo de este efecto, para lo cual supondremos que no existe modulación. Es decir, sólo tenemos portadora y ruido. Así, a la entrada del discriminador tendremos: x(t ) = Ac cos(2πf ct ) + n(t ) = [Ac + nc (t )] ⋅ cos(2πf ct ) − ns (t ) ⋅ sen(2πf ct ) La representación fasorial de esta fórmula se ilustra a continuación. ns(t) RESULTANTE O Ac P r(t) θ(t) Q nc(t) Figura 24. Representación fasorial del efecto umbral en FM. nc(t) y ns(t) son señales aleatorias, por lo que el punto P varía también de manera aleatoria alrededor del punto Q. Si la CNR tiene un valor elevado, es decir, nc(t) y ns(t) son la mayor parte del tiempo mucho menores que Ac, entonces: • • La mayor parte del tiempo la variación de P será muy cercana a Q. n (t ) Además: θ (t ) ≈ s , dentro de un múltiplo de 2π radianes. Ac En caso de que la CNR sea pequeña, el punto P pasará ocasionalmente alrededor del punto O. Así, θ(t) aumenta o decrece 2π radianes. 18 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Figura 25. Componentes impulsivas en θ’(t)=d θ(t)/dt, producidas por cambios de 2π en θ(t); (a) y (b) son los gráficos de θ(t) y θ’(t), respectivamente. Cuando el número de impulsos ruidosos es apreciable, estamos en el umbral. Experimentalmente se demuestra que apenas hay impulsos ruidosos para una CNR ≥ 13 dB (o 20 en unidades naturales), es decir, que estaríamos fuera de la zona umbral. Por lo tanto, a la salida del discriminador no perdemos señal si: Ac2 Ac2 CNR = ⇒ ≥ 20 ≥ 20 ⋅ BT ⋅ N o 2 ⋅ BT ⋅ N o 2 Esto se puede ver en la siguiente figura. 19 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación Figura 26. Dependencia de la SNRo frente a la CNR. En la curva I, se calcula la potencia promedio de ruido asumiendo una portadora sin modular. En la curva II, la potencia media de ruido a la salida se calcula asumiendo una señal FM modulada por un tono simple. 20 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación 4.3.4.- Redes de pre-énfasis y de-énfasis. El ruido a la salida del detector FM tiene una dependencia cuadrática con la frecuencia, tal y como se ha deducido. SNo(f) f -w w Figura 27. Ruido a la salida del detector FM. En cuanto a la densidad espectral de potencia típica de una señal de audio o vídeo. SM(f) f w -w Figura 28. Densidad espectral de potencia típica de una señal de audio o vídeo. Se puede ver como la densidad espectral de potencia cae apreciablemente a altas frecuencias. Por otra parte, la densidad espectral de potencia del ruido de salida SNo(f) crece rápidamente con la frecuencia. Cerca de ±w la potencia de ruido es elevada y la de señal es baja. Por tanto, no se está utilizando la banda de señal de forma eficiente frente al ruido. Una idea es reducir el ancho de banda del filtro de post-detección. Así se elimina la mayor cantidad posible de ruido, perdiendo a cambio una potencia pequeña de señal. Sin embargo, es una solución no satisfactoria porque la distorsión de la señal debido a la reducción del ancho de banda, aunque sea pequeña, no es tolerable. Otra solución más satisfactoria es utilizar una red de pre-énfasis en el transmisor, y otra de de-énfasis en el receptor. • Red de pre-énfasis. a. Enfatiza artificialmente las componentes a frecuencias elevadas de la señal, antes de la modulación y antes de que se introduzca ruido en el receptor. b. El efecto que consigue es ecualizar la señal de información, de forma que la potencia se reparta por igual en toda la banda permitida. • Red de de-énfasis. a. Se vuelve a repartir la potencia como estaba originalmente en la señal original. 21 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación b. La potencia de ruido a altas frecuencias, a la salida del discriminador, se reduce considerablemente. Así se incrementa la SNRo. Las redes de pre-énfasis y de de-énfasis se utilizan de forma generalizada en transmisores y receptores de FM. En el siguiente diagrama de bloques se puede ver su disposición. Filtro de pre-énfasis Hpe(f) m(t) Transmisor FM + + Σ Filtro de de-énfasis Hde(f) Receptor FM Señal + Ruido ω(t) Figura 29. Esquema de comunicación usando redes de pre-énfasis y de de-énfasis. La señal de salida no tendrá distorsión, si los filtros de pre-énfasis y de deénfasis son inversos: H de ( f ) = 1 H pe ( f ) Así, la densidad espectral independientemente de estos procesos. de ,− w ≤ f ≤ w potencia de la señal detectada es Deducción del factor de mejora con las redes de pre-énfasis y de-énfasis: El factor de mejora en la SNRo viene dado por la siguiente expresión: I= SNRO con pre − énfasis y de − énfasisi SNRO sin pre − énfasis y de − énfasisi = Potencia media de ruido de salida sin pre − énfasis y de − énfasis Potencia media de ruido de salida con pre − énfasis y de − énfasis La densidad espectral de potencia de ruido sin pre-énfasis y de-énfasis ya se ha 2 ⋅ N o ⋅ w3 deducido anteriormente, cuyo valor era . 3 ⋅ Ac2 Por otro lado, también hemos deducido la densidad espectral de potencia de ruido antes del filtro de post-detección para una CNR >> 1: ⎧ No ⋅ f 2 B , f ≤ T ⎪ S Nd ( f ) = ⎨ Ac2 2 ⎪ 0 , resto ⎩ Por tanto, la densidad espectral de potencia de ruido a la salida del filtro de deénfasis será: 2 H de ( f ) ⋅ S Nd ( f ) Como el filtro de post-detección tiene un ancho de banda w << BT/2, la potencia promedio de ruido a la salida con una red de de-énfasis será: 22 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación No w 2 2 ⋅ f ⋅ H de ( f ) ⋅ df 2 ∫− w Ac De esta forma, la mejora en la SNRo quedaría: I= 2 ⋅ w3 3 ⋅ ∫ f 2 ⋅ H de ( f ) ⋅ df w 2 −w A modo de ejemplo, para la FM comercial: fo=2.1 KHz., w=15 KHz, y las redes típicas de pre-énfasis y de-énfasis, el factor de mejora en la SNRo es de I=22 (13 dB). 4.4.- Resumen. En este apartado vamos a comparar diferentes esquemas estudiados, para lo cual vamos a suponer: • La señal moduladora es sinusoidal. • Todos los sistemas aportan el mismo valor de SNRc. • Hay que tener en cuenta el ancho de banda de cada sistema, por lo que definiremos un ancho de banda normalizado: BT w Bn = Siendo BT el ancho de banda de s(t), y w el ancho de banda de m(t). En la siguiente figura se muestra una comparación para diferentes esquemas de modulación: I. AM con detección de envolvente. SNRo = II. μ2 ⋅ SNRc , siendo μ el porcentaje de modulación. 2+ μ2 - En la curva I: μ=1, y hay efecto umbral AM - Como se transmiten dos bandas: Bn=2. DSB-SC y SSB con detección coherente. SNRo = SNRc III. - En la curva II se puede ver como estos esquemas son superiores a AM en 4.8 dB, y no existe el efecto umbral. - Ahora los anchos de banda serían: Bn,DSB-SC=2, y: Bn,SSB=1. FM con discriminador. 3 SNRo = ⋅ β 2 ⋅ SNRc , siendo β el índice de modulación. 2 23 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas • • • Teoría de la Comunicación En la curva III: β=2 con efecto umbral. Se produce una mejora de 20.8 dB al comparar con SSB. Siendo el ancho de banda normalizado, según la regla del 1%: Bn=8. En la curva IV: β=5, con efecto umbral. Se produce una mejora de 8 dB, respecto a FM con: β=2. En cuanto al ancho de banda normalizado, según la regla del 1%, será: Bn=16. En ambas curvas se incluye una mejora de 13 dB, con las redes de preénfasis y de de-énfasis. Así se produce una mejora clara de FM de banda ancha, respecto a AM. El precio a pagar sería un aumento del ancho de banda de transmisión (mecanismo en FM de intercambiar ancho de banda frente a SNR). Figura 30. Comparación de la mejora de la SNR de varios sistemas de modulación analógicos. Curva I: AM, con μ=1. Curva II: DSB-SC y SSB. Curva III: FM, con β=2. Curva IV: FM, con β=5. (Las curvas III y IV incluyen una mejora de 13 dB por las redes de pre-énfasis y de-énfasis). 24 Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación 4.5.- Bibliografía. [1] [2] [3] Simon Haykin, Communications Systems, Ed. John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001. Marcos Faúndez Zanuy, Sistemas de Comunicaciones,. Ed. Marcombo Boixareu, 2001. John G. Proakis, Digital Communications, Ed. McGraw Hill, 3ª edición, 1995. 25 TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CUESTIONES TEMA 4 RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 1.- ¿Cómo se define (SNR)o, (SNR)c, CNR, (SNR)i y FOM? 2.- Modelo funcional de un receptor de modulación de amplitud para el análisis del ruido. 3.- Si el ruido es AWGN con media cero y densidad espectral de potencia N0/2 a la entrada del receptor, ¿cómo es el ruido a la salida del filtro paso banda equivalente? 4.- Deducir el valor de FOM y (SNR)o/(SNR)i para DSBSC con detección coherente 5.- Deducir el valor de FOM para AM con detector de envolvente cuando el valor de CNR es elevado. ¿Cuál es el valor máximo en el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal? 6.- ¿Qué se entiende por el efecto umbral en AM?. Aproximadamente, ¿para qué valor de CNR el receptor está por encima del umbral?. ¿Es necesario tener en cuenta el efecto umbral en AM? 7.- Modelo de un receptor de FM con discriminador. ¿Por qué se introduce el limitador?. ¿Cuál es la función del filtro de postdetección? 8.- Modelo de un receptor de FM para el análisis del ruido. 9.- Si el valor de CNR es elevado, deducir la expresión del término de ruido presente en la señal a la salida del discriminador. ¿Depende de la componente en fase del ruido a la salida del filtro de frecuencia intermedia?. ¿Cuál es la densidad espectral de potencia de este ruido y cuál es la del ruido a la salida del filtro de postdetección? 10.- Deducir el valor de FOM para el caso FM. En el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal, ¿cuál es entonces el valor de FOM? 11.- ¿Qué se entiende por efecto umbral en FM?. 12.- Comparar la curva real de (SNR)o en función del valor de CNR, ρ, con la expresión calculada para CNR elevado. ¿Cuál es el valor de ρ para el que el sistema está trabajando fuera del alcance del efecto umbral?. 13.- ¿Por qué surge la necesidad de redes de pre-énfasis y de-énfasis? 14.- ¿Cuál es el diagrama de un sistema FM que utiliza redes de pre-énfasis y de-énfasis?. ¿Cuál es la relación entre las funciones de transferencia de ambas redes? 15.- ¿Cómo se define el factor de mejora debido a las redes de pre-énfasis y de-énfasis I?. Deducir su expresión en función del ancho de banda de la señal moduladora W y de Hde(f) función de transferencia del filtro de de-énfasis. ¿Cuál es un valor típico para el factor de mejora I? 16.- Dibujar y comparar las curvas de (SNR)o en función (SNR)c para AM, DSBSC y FM. Para estos tipos de modulación, ¿cuál es el valor de Bn (ancho de banda de señal modulada normalizado al ancho de banda de señal moduladora)? TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PROBLEMAS TEMA 4 RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 1.- Realizar el análisis de ruido para la modulación SSB, donde se transmite la banda lateral inferior, y en el receptor se utiliza una detección coherente. Suponer un ruido aditivo, blanco, gaussiano con media cero y densidad espectal de potencia N0/2, y que la señal moduladora m(t) es una función muestra de un proceso estacionario de media cero y su densidad espectral de potencia tiene un ancho de banda W. Deducir la SNRc, SNRi, SNRo, y FOM. 2.- En un receptor que utiliza detección coherente, la señal sinusoidal generada por el oscilador local tiene un error de fase θ(t) con respecto a la portadora cos(2πfct). Supóngase que θ(t) es una función muestra de un proceso gaussiano de media cero y varianza σ Θ2 , y que la mayor parte del tiempo el valor máximo de θ(t) es pequeño comparado con la unidad. Encontrar el error cuadrático medio de la salida del receptor para: a) modulación DSBSC b) modulación SSB donde se transmite la banda lateral superior El error cuadrático medio está definido como el valor esperado del cuadrado de la diferencia entre la salida del receptor y la componente moduladora de la salida del receptor. 3.- El siguiente diagrama de bloques muestra un sistema de modulación SSB con una señal piloto que está armónicamente relacionada con la portadora: Ruido blanco gaussiano Señal de entrada Modulador SSB + ∑ Multiplicador de frecuencia Portadora fuente Canal + ∑ + + Fltro de predetección Detector coherente Señal de salida Señal piloto Filtro paso banda piloto Portadora local Divisor de frecuencia En el receptor se utiliza un filtro paso banda de ancho Δf para extraer la señal piloto de la señal recibida ruidosa. A continuación se divide en frecuencia dicha señal piloto para obtener la portadora local para demodulación. Se incluye un filtro de predetección para limitar el espectro a la entrada del detector coherente a la mínima banda posible de frecuencias. El ruido blanco aditivo a la entrada del receptor tiene media cero y densidad espectral de potencia N0/2. Suponiendo que la SNR es grande, determinar la varianza del error de fase de la portadora local aplicada al detector coherente. 4.- Una señal modulada SSB se transmite por un canal ruidoso, cuya densidad espectral de potencia es: SN(f) (W/Hz) 10-6 -400 0 400 f (KHz) El ancho de banda de la señal moduladora es 4 KHz y la frecuencia portadora es 200 KHz. Suponiendo que únicamente se transmite la banda lateral superior, que la amplitud de la portadora es 1 vol., y que la potencia media de la señal moduladora es de 10 W, determinar la SNR a la salida del receptor suponiendo que el filtro de predetección es ideal. 5.- Considerar un sistema modulador de fase (PM), que tiene la siguiente señal modulada: s(t) = Ac cos [2πfct + kpm(t)] donde kp es una constante y m(t) es la señal moduladora. El sistema tiene ruido aditivo a la entrada del detector de fase: n(t) = nc(t)cos(2πfct) - ns(t)sin(2πfct) Suponiendo que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad a la entrada del detector, determinar: a) el valor de SNR a la salida b) el valor de FOM del sistema Comparar los resultados con los obtenidos para el caso FM con modulación sinusoidal. 6.- La señal de entrada de un receptor FM consiste en una portadora sin modular acompañada de una señal sinusoidal interferente. El nivel de la señal interferente está 20 dB por debajo del nivel de la señal portadora, siendo la separación entre ambas señales de 15 KHz. Suponiendo que el receptor utilice un discriminador ideal de frecuencias con sensibilidad de 0.2 V/KHz, determinar la tensión de salida del receptor. 7.- Suponer que el espectro de la señal moduladora ocupa el intervalo de frecuencias f1 ≤ f ≤ f 2 . Para acomodar esta señal, el receptor de un sistema FM (sin pre-énfasis y deénfasis) utiliza un filtro paso banda ideal de postdetección conectado a la salida del discriminador de frecuencia; el filtro deja pasar la banda de señales comprendidas en el intervalo de la señal moduladora, es decir, f1 ≤ f ≤ f 2 . Determinar el valor de SNR a la salida y FOM del sistema en presencia de ruido aditivo, blanco, gaussiano, de media cero y densidad espectral de potencia N0/2. Suponer que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad. 8.- Un sistema FDM utiliza modulación SSB para combinar 12 señales de voz de fuentes independientes. Luego utiliza modulación en frecuencia para transmitir la señal banda base compuesta. Cada señal de voz tiene una potencia media P y ocupa la banda de frecuencias de 300 a 3400 Hz; el sistema FDM considera que el ancho de banda es de 4 KHz. Para cada señal de voz, sólo se transmite la banda lateral inferior. Las subportadoras utilizadas para el primer nivel de modulación son (f0=4 KHz.): ck(t) = Ak cos(2πkf0t) para 1 ≤ k ≤ 12 La señal recibida está formada por la señal FM transmitida sumada a ruido blanco gaussiano de media cero y de densidad espectral de potencia N0/2. a) Dibujar la densidad espectral de potencia de la señal a la salida del discriminador de frecuencias, mostrando por un lado la componente de señal y por otro la componente de ruido. Suponer CNR elevado comparado con la unidad. b) Encontrar el valor de las amplitudes de las subportadoras Ak de modo que las señales de voz demoduladas tengan igual valor de SNR. 9.- Sea el filtro de pre-énfasis mostrado en la siguiente figura: C Amplificador Señal de entrada r R Señal de salida donde R << r y 2πfCR << 1 en la banda de interés. El parámetro de este filtro es f0=1/(2πCr), siendo su función de transferencia: H pe ( f) = 1 + jf f0 Si dicho filtro se utiliza con señales moduladoras de voz, el transmisor FM da lugar a una señal que es esencialmente modulada en frecuencia por las bajas frecuencias de la señal de voz y modulada en fase por las altas frecuencias de la señal de voz. Explicar las razones de este fenómeno. 10.- Suponer que las funciones de transferencia para el par de filtros de pre-énfasis y deénfasis de un sistema FM se escalan como sigue: ⎛ jf ⎞ H pe ( f) = k ⎜⎜ 1 + ⎟⎟ ⎝ f0 ⎠ ⎛ ⎜ 1⎜ 1 H de ( f) = k ⎜ 1 + jf ⎜ f0 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ El factor de escala k se elige de modo que la potencia media de la señal moduladora enfatizada sea la misma que la potencia media de m(t). a) Encontrar el valor de k que satisface este requisito cuando la densidad espectral de potencia de la señal moduladora m(t) sea: ⎧ S0 2 ⎪⎪ ⎛f ⎞ S M ( f) = ⎨ 1 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ f0 ⎠ ⎪⎩ 0 para - W ≤ f ≤ W para el resto b) ¿Cuál es el valor I correspondiente a la mejora de prestaciones en la SNR gracias a la utilización de este par de filtros de pre-énfasis y de-énfasis? Comparar este resultado con el obtenido sin factor de escala. 11.- Un sistema de modulación de fase (PM) utiliza un par de filtros de pre-énfasis y deénfasis definidos por las funciones de transferencia: H pe ( f) = 1 + jf f0 H de ( f) = 1 1+ jf f0 Mostrar que la mejora de prestaciones en la SNR0 debido a la utilización de estos filtros es: W f0 I= ⎛W⎞ tan -1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ f0 ⎠ Evaluar esta mejora cuando W = 15 KHz y f0 = 2.1 KHz y compáralo con el valor correspondiente para el caso FM. Suponer que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 4 RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 1. a) SNRc , SSB = SNRi , SSB = SNRo , SSB 2. Ac2 ⋅ P = 4 ⋅ω ⋅ N0 FOM SSB = 1 Para. s (t ) = Ac ⋅ m1 (t ) ⋅ cos(2πf c t ) − Ac ⋅ m2 (t ) ⋅ sen(2πf c t ) ε (t ) = ] { } Ac2 Ac2 σ N2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ E m1 t ⋅ E [1 − cos[θ t ]] + ⋅ E m2 t ⋅ E sen [θ t ] + 4 4 4 [ [ ] [ ] a) En el caso de la modulación DSB-SC. m1 (t ) = m(t ) ; m2 (t ) = 0 ; P = E m12 (t ) 3 ⋅ Ac2 ⋅ P ⋅ σ Θ4 σ N2 ε≈ + 16 4 [ ] b) Para la modulación SSB. 1 1 m1 (t ) = ⋅ m(t ) ; m2 (t ) = mˆ (t ) ; P = 4 ⋅ E m12 (t ) = 4 ⋅ E m22 (t ) 2 2 2 2 2 A ⋅ P ⋅σ Θ σ N + ε≈ c 16 4 ∆f ⋅ N 3. σ φ2 = 2 '20 n ⋅ Ac [ 4. SNRo ≈ 6.31 ⋅ 10 2 ⇒ SNRo (dB ) ≈ 28 dB 5. a) SNRo , PM = k p2 ⋅ Ac2 ⋅ P 2 ⋅ω ⋅ N0 b) FOM PM = k p2 ⋅ P En el caso de una modulación sinusoidal: 3 • FM: FOM FM = ⋅ β 2 2 • 6. PM: FOM PM = β p2 2 v0 (t ) = 0.3 ⋅ cos 2 ⋅ π ⋅ 15 ⋅ 10 ⋅ t (Volt.) ( 3 ) 1 ] [ ] 7. SNRo = FOM = 3 ⋅ Ac2 ⋅ k 2f ⋅ P ( 2 ⋅ N 0 ⋅ f 23 − f 13 ) 3 ⋅ k 2f ⋅ P ⋅ ( f 2 − f1 ) f 23 − f 13 8. a) Densidad espectral de potencia de la señal banda base. Densidad espectral de potencia de la componente de señal a la salida del discriminador, para frecuencias positivas (f > 0). Densidad espectral de potencia de la componente de ruido a la salida del discriminador, para frecuencias positivas (f > 0). b) Ak = A ⋅ 3 ⋅ k 2 − 3 ⋅ k + 1 , k = 1,2,K12 , A: constante R 9. A bajas frecuencias: H ( f ) ≈ ⇒ FM r dv (t ) A altas frecuencias: H ( f ) ≈ j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ R ⋅ C ⇒ v o (t ) ≈ R ⋅ C ⋅ i ⇒ PM dt 10. a) k = ω ⋅ tag −1 ω f0 f0 2 ω ω ⋅ tag −1 f f0 b) Con factor de escala: I ' = 0 ω ω 3 ⋅ − tag −1 f 0 f0 2 Sin factor de escala: I = ω f0 ω I FM = f0 ω tag −1 f0 ⇒ I PM ≈ 7 dB ω f0 3 ω ω 3 ⋅ − tag −1 f0 f0 3 ω ω 3 ⋅ − tag −1 f0 f0 11. Es una demostración. I PM = ⇒ I FM ≈ 13 dB 3 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tema 5: Modulación Analógica y Digital de Pulsos Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 TEMA V. Modulación analógica y digital de pulsos 5.1.-Teorema de muestreo 5.2.-Modulación de pulsos en amplitud (PAM) 5.3.-Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM) 5.4.-Modulación digital de pulsos (PCM) 5.5.-Códigos de línea Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos Introducción Hasta ahora hemos visto como una señal analógica varía de forma continua un parámetro de una portadora sinusoidal (amplitud, fase y frecuencia) En este tema vamos a considerar un tren de pulsos que se ve modificado por las características de la señal moduladora (señal de información) Hay 2 tipos: Modulación analógica de pulsos. Se modifica algún parámetro del tren de pulsos (amplitud, posición, duración) M d l ió digital Modulación di it l de d pulsos. l La L señal ñ l a transmitir t iti se discretiza di ti en tiempo y amplitud ¾ Se envía una secuencia de pulsos codificados Los dos tipos de modulaciones utilizan muestras de la señal a transmitir Teorema de muestreo 1 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo El proceso de muestreo consiste en obtener t discretas di t de d una señal ñ l continua ti ti muestras en tiempo ¾Partimos de la señal de energía finita: g(t) ¾Suponemos que muestreamos g(t) a una tasa uniforme cada TS segundos ¾Obtenemos una secuencia de números espaciados TS segundos: g {g[nTS ]} n : Valor entero TS : Periodo de muestreo fS = 1 : Frecuencia de muestreo TS Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo E proceso lo Este l podemos d ver como: g (t ) × g (t ) t δ T (t ) = S gδ (t ) = g (t ) ⋅ δ TS (t ) = +∞ ∑ g (nT )⋅ δ (t − nT ) n = −∞ S S gδ (t ) +∞ ∑ δ (t − nT ) n = −∞ S Es de notar la dualidad: t Señal periódica en tiempo ⇔ Muestras en tiempo (tren de deltas en tiempo) Tren de deltas en frecuencia (muestras de la TF de un período de la señal) ⇔ Señal periódica en frecuencia 2 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo Una cuestión importante consiste en ver si a partir de las muestras [gδ(t)] vamos a poder recuperar la señal original [g(t)] ¾Dependerá de la banda de frecuencia de la señal y de la tasa de muestreo ¾Vamos a analizar la señal en el dominio de la frecuencia ¾Partimos de la señal muestreada: gδ(t)=g(t) ⋅δTS(t), y hallamos su transformada de Fourier Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo ¾ Hallamos la T.F. del tren de deltas δ T (t ) = S ⎛ n⎞ 1 ∑ δ (t − nT ) ⇔ δ ( f ) = T ∑ δ ⎜⎜ f − T ⎟⎟ +∞ +∞ S n = −∞ TS S n = −∞ ⎝ S ⎠ (Señal periódica) ¾ La T.F. de la señal muestreada Gδ ( f ) = G ( f ) ∗ Gδ ( f ) = 1 TS +∞ ⎛ n = −∞ ⎝ 1 TS +∞ ⎛ n = −∞ ⎝ n⎞ ⎟⎟ S ⎠ ∑ δ ⎜⎜ f − T +∞ n⎞ ⎟⎟ = f S ∑ G ( f − nf S ) n = −∞ S ⎠ ∑ G⎜⎜ f − T (Repetición periódica del espectro de la señal original) 3 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo |G(f) | A -w 0 w f |Gδ(f) | A⋅ fS ... -w -fS ... 0 w f fS ¾ El proceso de muestreo uniforme de una señal en el dominio del tiempo da lugar a un espectro periódico en el dominio de la frecuencia, con periodo igual a la frecuencia de muestreo Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo ¾ También puede obtenerse la T.F. de gδ(t) de forma directa, a partir d sus muestras de t gδ (t ) = +∞ +∞ ∑ g (nT )⋅ δ (t − nT ) ⇔ Gδ ( f ) = ∑ g (nT )e n = −∞ S S n = −∞ − j 2πfnTS S ¾ Agrupando las ideas anteriores se puede concluir que si a) G(f) = 0, para | f | ≥ w b)) fS ≥ 2w (fS = 2w: frecuencia de Nyquist) yq ) 9 Entonces: G(f) = (1/fS) ⋅ Gδ(f), para | f | ≤ w Donde Gδ(f) es función exclusiva de g(nTS), es decir, de muestras de la señal original 4 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo Teorema de muestreo ¾Una señal limitada en banda, de energía finita, que no tiene componentes en frecuencia mayores de w (Hz), está completamente descrita especificando los valores de la señal en instantes de tiempo separados 1/(2w) seg. ¾Una señal limitada en banda, de energía finita, sin componentes co po e tes een frecuencia ecue c a mayores ayo es de w ((Hz), ), puede ser recuperada totalmente a partir de muestras tomadas a una tasa de 2w muestras por segundos Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo Reconstrucción de la señal +∞ ⎧ ⎫ ⎪Gδ ( f ) = ∑ g (nTS )e − j 2πfnTS ⎪ ⎨ ⎬ n = −∞ ⎪⎩ ⎪⎭ f S = 2w +∞ +w −∞ −w g (t ) = ∫ G ( f )e j 2πft df = ∫ 1 +∞ ⎛ n ⎞ − j =∫ ∑ g ⎜ ⎟e − w 2w n = −∞ ⎝ 2 w ⎠ 1 Gδ ( f )e j 2πft df = fS πnf +∞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 1 + w j 2πf ⎜⎝ t − 2 w ⎟⎠ e df = ∑ g ⎜ df = ⎟ ∫−w e n = −∞ ⎝ 2 w ⎠ 2 w +∞ ⎛ n ⎞ sen(2πwt − nπ ) + ∞ ⎛ n ⎞ = ∑ g⎜ = ∑ g⎜ ⎟ sinc(2 wt − n ) ⎟ 2πwt − nπ n = −∞ ⎝ 2 w ⎠ n = −∞ ⎝ 2 w ⎠ +w w j 2πft 5 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo Ecuación de interpolación ¾ Sirve para reconstruir la señal original a partir de las muestras de {g(n/2w)}, usando como funciones de interpolación sinc(2wt) g (t ) = +∞ ⎛ n ⎞ ∑ g ⎜⎝ 2w ⎟⎠ sin c(2wt − n) n = −∞ Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.1.- Teorema de muestreo Si fS < 2w, 2 se produce d solapamiento l i (aliasing) ( l ) espectrall ¾Las réplicas desplazadas en frecuencia se solapan |Gδ(f) | ... ... -2fS -fS -w 0 w fS 2fS f Para combatir el efecto del solapamiento ¾Antes de muestrear se utiliza un filtro paso bajo anti-aliasing ¾Muestrear la señal filtrada por encima de la frecuencia de Nyquist 6 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud En la modulación de pulsos en amplitud (PAM) se varía la amplitud de unos pulsos esquiespaciados, en función de los valores muestreados de la señal continua de información, m(t) s(t ) m(t ) t t T0 TS Para generar las señales PAM intervienen dos procesos ¾ Muestrear la señal m(t) cada TS (TS = 1/fS) segundos, de manera que SAMPLE ⇐ fS verifique el teorema de muestreo & HOLD ¾ Mantener la duración de cada pulso un tiempo T 0 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud En el proceso sample & hold intervienen las siguientes señales: ¾ m(t): Señal que contiene la información ¾ h(t): Pulso base ⎧1 ,0 < t < T0 h(t ) ⎪1 h(t ) = ⎨ , t = 0, t = T0 ⇔ H ( f ) = T0 ⋅ sin c( f ⋅ T0 ) ⋅ e − jπfT0 2 ⎪ t ⎩ 0 , resto T0 ¾ p(t): Onda pulsada p(t ) t T0 TS Así podemos escribir la señal PAM: s(t ) = +∞ ∑ m(nT ) ⋅ h(t − nT ) n = −∞ S S 7 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud Operando: O d +∞ +∞ s(t ) = h(t ) ∗ ∑ m(t ) ⋅ δ (t − nTS ) = h(t ) ∗ ∑ m(nTS ) ⋅ δ (t − nTS ) n = −∞ n = −∞ Versión muestreada de m(t) ⇒ mδ(t) s(t ) = h(t ) ∗ mδ (t ) En el dominio de la frecuencia: S ( f ) = H ( f )⋅ M δ ( f ) Como: Mδ ( f ) = fS +∞ ∑ M ( f − kf ) k = −∞ S Obtenemos: S ( f ) = H ( f )⋅ f S +∞ ⎛ k = −∞ ⎝ k ⎞ ⎟⎟ S ⎠ ∑ M ⎜⎜ f − T Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud Una vez planteado U l t d cómo ó es la l señal ñ l modulada d l d s(t), vamos a ver cómo recuperar la señal de información m(t): 1) Interpolar la señal pulsada s(t) 2) Muestrear la señal pulsada e interpolar 3) Promediar la señal pulsada, pulsada muestrear e interpolar 8 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud 1) Interpolar la señal modulada s(t) ¾ S Suponemos que m(t) (t) está tá limitada li it d en banda b d entre t ± w y que muestreamos a una frecuencia fS ≥ 2w ¾ Tenemos una versión distorsionada del espectro de m(t), ya que aparece distorsión debido a H(f) |H(f) | S ( f ) = f S ⋅ H ( f )⋅ M ( f ) , f ≤ w H ( f ) = T0 ⋅ sin c( fT0 ) ⋅ e − jπfT0 -1/T0 1/T0 f ¾ Si T0 << TS (1/T0 >> 1/TS), prácticamente no hay distorsión ¾ Práctica: T0 = TS/10 |Mδ(f) | |H(f) | |M(f) | ... ... -1/T0 -2fS -1/TS -w w 1/TS 2fS 1/T0 f Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud 2) Muestrear la señal pulsada e interpolar ¾ Eliminamos la distorsión debida a H(f) s (t ) ... ... t ¾ Habría problemas si la señal recibida está contaminada con ruido ((suponemos p ruido de media nula)) 9 Tenemos varios valores que muestrear: mi(nT0)+ni s (t ) ... ... t 9 Posible solución: promediar esos valores 9 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud 3) Promediar, muestrear e interpolar ¾ Promediando 1 T0 1 1 ∫ s(t )dt = T ∫ [m(nT ) + n(t )]dt = m(nT ) + T ∫ n(t )dt T0 0 T0 S S 0 T0 La varianza del ruido a la salida es menor que a la entrada del integrador ¾ El integrador es análogo a convolucionar con un filtro de respuesta al impulso rectangular, de anchura T0 1/T0 h(t ) T0 t ¾ El filtro que utilizamos es proporcional a los pulsos que empleamos para transmitir la señal ¾ Filtro adaptado. Se emplea un filtro que coincide con los pulsos de la señal que se envía (se estudia en el tema 6) Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud ¾ Esta tercera posibilidad contiene a las dos anteriores, anteriores añadiendo un filtrado inicial de la señal para minimizar el ruido s(t ) Filtro de promediado Muestreo k ⋅ TS Interpolador m̂(t ) 10 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud Utilid d de Utilidad d lo l comentado t d anteriormente: t i t 1) Multiplexación por división en el tiempo (TDM) ¾ Muestreamos cada TS, pero transportamos información únicamente durante T0 segundos ¾ El resto del tiempo se puede transmitir otras señales: m1(t), m2(t), … m1(t) 0 T0 TS t m2(t) t … Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.2.- Modulación de pulsos en amplitud 2) Justificación del uso de arquitecturas digitales ¾ La señal llega contaminada con ruido 1 [m(nTS ) + n(t )]dt m(nTS) T0 ∫ T0 ⇒ Cuando promediamos disminuimos el ruido, pero no lo eliminamos ¾ Si tuviéramos un conjunto finito de amplitudes que enviar: A1, A2, …,, An, las muestras sólo ppodrán tomar esos valores ⎧ A1 + n(t )⎫ ⎪ A + n(t )⎪ ⎪ ⎪ m(nTS ) = ⎨ 2 ⎬ = An + nˆ (t ) M ⎪ ⎪ ⎪⎩ An + n(t )⎪⎭ ⇒ Si el ruido es suficientemente pequeño, se puede decidir correctamente qué símbolo An se ha transmitido, eliminando totalmente el ruido 11 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.3.- Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM) H Hemos visto: it ¾PAM (Modulación por amplitud de pulsos) 9 La amplitud de los pulsos se varía en función de los valores muestreados de la señal de información m(t) Pero también podemos tener: ¾PDM ((Modulación ppor duración de ppulsos)) 9 La duración de los pulsos se varía en función de los valores muestreados de la señal de información m(t) ¾PPM (Modulación por posición de pulsos) 9 La posición de los pulsos se varía dependiendo de los valores muestreados de m(t) Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.3.- Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM) P d Podemos variar: i A ¾PAM 9 Ti = 0; T0 = constante; A = A[m(nTS)] ¾PDM 0 Ti TS t T0 9 Ti = constante; T0 = T0[m(nTS)]; A = constante 9 Modulamos la anchura de los pulsos 9 También se denomina modulación de anchura de pulsos o modulación de longitud de pulsos ¾PPM 9 Ti = Ti[m(nTS)]; T0 = constante; A = constante 9 Modulamos el punto de inicio del pulso, es decir, su fase 12 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.3.- Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM) Las modulaciones L d l i PDM y PPM tienen ti mejor j comportamiento frente al ruido que la PAM ¾El ruido se superpone en amplitud Sin embargo, con niveles elevados de ruido podemos perder toda la información ¾Ef t umbral ¾Efecto b l Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Si en un sistema de comunicación enviamos una señal de variación continua, el ruido hará imposible la recuperación perfecta del mensaje Si enviamos una sucesión de estados discretos, el detector tendrá que decidir qué estado de los posibles se ha enviado ¾ Si las perturbaciones son tales que no confunden al decisor, la información se recupera de forma perfecta p ¾ Inconveniente: la discretización de la información es un proceso inherentemente ruidoso PCM (Pulse Code Modulation) ¾ Procesos para su generación 9 Muestreo: discretizamos la señal en tiempo 9 Cuantificación: discretizamos la señal en amplitud 9 Codificación: asignamos un código a cada muestra 13 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Cuantificación Es el proceso por el cual se transforman valores continuos de amplitud, muestreados en tiempo m(nTS), en un conjunto finito y discreto de amplitudes x(t) x̂(t ) Q(x) ⇒ Tenemos N posibles valores ¾Asumiremos cuantificación sin memoria: la salida en un instante depende de la entrada en ese instante Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Una posible función de transferencia x̂(t ) ymax=y4 ⇒ Tenemos 8 posibles salidas o niveles de cuantificación y3 y2 x-max max=x-44 x-33 x-22 x-11 y1 y-1 x1 x2 x3 x(t) () x4=xmax y-2 y-3 y-4=y-max 14 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Al cuantificar tifi la l señal ñ l se distorsiona di t i ¾Rangos continuos transformados en un único valor ¾La degradación es controlable, se puede hacer que sea inapreciable (CD de audio) ¾Trataremos que la ventaja de poder eliminar el ruido en p al inconveniente de degradar g la transmisión sea superior la señal de información Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Parámetros relevantes en la cuantificación ¾ Margen dinámico ¾ Rango de valores de entrada del cuantificador: [xmax - (-xmax)] = 2xmax ¾ Niveles de cuantificación (L) ¾ Número de niveles en que cuantificamos: L = 2n (n: número de bits) ¾ Escalón de cuantificación ([xi, xi+1]) ¾ Ancho de cada intervalo de cuantificación 2 xmax ¾ Si todos son iguales tenemos un “cuantificador uniforme”: Δ = ¾ Posición de los niveles de cuantificación (yi) L ¾ Valor por el que se cuantifica ¾ Normalmente se asigna el punto medio del intervalo que se cuantifica 15 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Error en la cuantificación uniforme: xx̂ e = x − xˆ x ⇒En el margen dinámico del cuantificador los errores están acotados ⇓ Error e Δ/2 x̂ … Error de saturación -Δ/2 Error granular ⇒Fuera del margen dinámico los errores crecen sin límite … Error de saturación Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾Tipos de error 9 Error granular: Está acotado entre -Δ/2 y Δ/2 Aparece cuando la señal está en el margen dinámico del cuantificador 9 Error de saturación: No tiene límite Aparece al introducir valores fuera del rango No lo consideraremos, ya que supondremos que las señales estarán ajustadas al rango dinámico del cuantificador 16 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) P t i de Potencia d error SNR = Potencia señal P x2 = x = 2 Potencia de ruido del cuantificador Prc e +∞ − xmax −∞ −∞ e 2 = ∫ e 2 f e (e )de = ∫ (x − y−max )2 f x (x )dx + Error de E d saturación t ió +∑∫ k xk +1 xk +∞ (x − yk )2 f x (x )dx + ∫x (x − ymax )2 f x (x )dx max Error granular Error de saturación Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾Ruido granular 9 Suponemos que la señal se reparte de manera más o menos homogénea por todos los niveles de cuantificación 9 El error granular se comporta como una variable uniforme entre ±Δ/2 Δ Δ ⎧⎪ 1 9 Función densidad de probabilidad: f e (e) = ⎨ Δ ,− 2 ≤ e ≤ 2 ⎩⎪ 0 , resto 9 Consideramos la media nula y la potencia de error queda: σ e2 = E{e2 } = ∫ e2 f e (e)de = Δ 2 −Δ 2 1 Δ2 2 Δ2 = e de 12 Δ ∫−Δ 2 17 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾Ejemplo: señal aleatoria a la entrada x(ϑ ) = xmax ⋅ cos(ω0t + ϑ ) Px = +∞ SNR = x 2max 2 Δ= 2 xmax ⇒ Cuantificador uniforme L con L niveles 2 2 Px ∫−∞ x f x (x)dx xmax 2 xmax 2 3 = = = = ⋅ L2 2 2 2 2 Δ 12 Δ 12 4 ⋅ xmax L ⋅12 2 Prc 2 ¾También suele expresarse la SNR en función de n: L L=22n 3 SNR = ⋅ L2 = 3 ⋅ 22n−1 2 ( ) SNR (dB) = 10 ⋅ log 3 ⋅ 22n−1 = 10 ⋅ log 3 + (2n −1) ⋅10 ⋅ log 2 ≈ ≈ 1.76 + 6 ⋅ n (dB) Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Cuantificación no-uniforme En la cuantificación uniforme hemos tomado como hipótesis que la señal se reparte más o menos por igual en todos los niveles de cuantificación ¾Problema con señales que no se reparten uniformemente La cuantificación óptima sería aquella que redujese la potencia de ruido para una señal de entrada arbitraria x 2 e 2 = ∑ ∫ (x − yk ) f x ( x)dx x k +1 k k 18 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) E t t i para minimizar Estrategias i i i ell error ¾Variar xk e yk en función de x para minimizar el error ⎧ ∂e 2 ⎪⎪ ∂x = 0 2 , ∀k min e = ⎨ k2 xk , yk ⎪ ∂e = 0 ⎪⎩ ∂yk ⇒ Esto es bastante complejo ¾Analizar cómo es la señal (tipo de distribución) y redistribuir la señal para repartirla uniformemente 9 Técnica de compansión 9 Sistema simple y con prestaciones aceptables Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) 9 Caso particular para las señales de voz para transmitir por telefonía Los niveles de baja intensidad tienen mayor probabilidad Aparecen niveles altos de intensidad con menor probabilidad Laplaciana Gaussiana Distribución típica de señales de voz para telefonía 19 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Mét d de Método d compansión ió 1) Preprocesar los datos para que se distribuyan de forma aproximadamente uniforme: C(x) 2) Cuantificar uniformemente: Q(x) 3) Pos-procesar los datos para devolverlos a su estado ( ) inicial: C-1(x) Cuantificador C(x) … Q(x) C-1(x) Receptor Transmisor Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾ Funciones de compansión Cuantificación uniforme C(x) Cuantificación no-uniforme C(x) xmax xmax ΔC(x) ΔC(x) x Δx xmax x xmax ⇒ Todos los niveles se tratan igual Δx ⇒ Expansión de los niveles más bajos ⇒ ΔC(x) = Δx ⇒ ΔC(x) >> Δx 20 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾ Efecto conjunto de expandir y cuantificación uniforme: ¾ Aparecen más niveles para los valores bajos de la señal de entrada y menos niveles para los valores más altos x̂(t ) ⇒Sentido vertical, L niveles de altura: Δ = 2⋅xmax/L xmax -xmax xmax x(t) ⇒Sentido horizontal,, cada escalón mide: Δk, k = 1, 2, …, L ⇒ Por tanto (L↑↑): dC( x) Δ ≈ dx Δk -xmax Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) A áli i de Análisis d ruido id en cuantificación tifi ió no-uniforme if ¾ Supondremos que el ruido granular se distribuye uniformemente en cada uno de los intervalos, ya que la señal expandida se distribuye de forma más o menos uniforme por todos los intervalos ⇒ Utilización homogénea de los intervalos de cuantificación ¾ El error para cada intervalo será: ek2 ≈ Δ2k 12 21 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾ Aglutinando todos los intervalos: Probabilidad de caer en un intervalo u otro e2 = ∑ k dC(x) Δ ≈ dx Δk 2 xk +1 Δ Δ2k k ⋅ P(x ∈ I k ) = ∑ ∫ f x (x)dx = xk 12 12 k 2 ⎡ ⎤ ⎢ Δ ⎥ ⎢ dC(x) ⎥ ⎥ ⎢ 2 xk +1 dx ⎦ f (x)dx = xmax Δ ⋅ f x (x ) dx Potencia de ruido para un ⎣ = ∑∫ x ∫−xmax 12 ⎡ dC(x)⎤ 2 cuantificador no-uniforme xk 12 k ⎢⎣ dx ⎥⎦ Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) R l ió señal Relación ñ l a ruido id ¾ Para cuantificación uniforme: eCU2 = P P Δ2 ⇒ SNRCU = 2x = 2 x 12 eCU Δ 12 ¾ Para cuantificación no-uniforme Δ2 xmax f x (x ) Px dx ⇒ SNRCNU = 2 ⋅∫ 2 − x x max Δ f x (x) max 12 ⎡ dC(x) ⎤ ⋅ dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ 12 ∫− xmax ⎡ dC(x )⎤ 2 1 ⎢⎣ dx ⎥⎦ SNRCNU = SNRCU ⋅ x f x (x) max ∫−xmax ⎡ dC(x)⎤ 2 dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ 2 eCNU = 22 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) G Ganancia i dde compansión ió ¾ Ganancia en la relación señal a ruido para señales de entrada con amplitud pequeña GC2 = lim x→0 ∫ 1 f x (x) xmax − xmax ⎡ dC( x)⎤ ⎢⎣ dx d ⎥⎦ 2 dx ¾ Sólo para valores pequeños: x → 0 ⇒ fx(x) ≈ δ(x) ∫ xmax − xmax g (x) ⋅ δ ( x)dx = g (0) dC(x) ⎡ dC(x) ⎤ ⇒ GC ≈ GC2 ≈ ⎢ ⎥ dx x=0 ⎣ dx ⎦ x=0 2 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾ Este parámetro se suele expresar en unidades logarítmicas ⎡ dC(x ) ⎤ GC (dB) = 20 ⋅ log⎢ ⎥ ⎣ dx x=0 ⎦ ¾ Da una idea de la ganancia en la relación señal a ruido para señales de entrada con amplitud pequeña SNRCNU ≈ GC2 ⋅ SNRCU ( x→0 ) SNRCNU (dB) = 20 ⋅ log(GC )+ SNRCU (dB) ( x→0 ) 23 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Di ñ de Diseño d la l función f ió de d compansión ió C(x) C( ) ¾ Objetivo. Queremos independizar la SNRCNU con respecto a la señal de entrada. Es decir, que la SNRCNU sea constante en un rango amplio de la señal de entrada: SNRCNU = Px f x (x) Δ2 xmax ⋅ dx 12 ∫− xmax ⎡ dC(x )⎤ 2 ⎢⎣ dx ⎥⎦ = ∫ xmax − xmax x 2 f x (x)dx Δ2 xmax f x (x ) ⋅ dx 12 ∫− xmax ⎡ dC(x) ⎤ 2 ⎢⎣ dx ⎥⎦ ¾ La condición equivale a que: ⎡⎢ dC(x)⎤⎥ = ⎛⎜ k ⎞⎟ 2 ⎣ dx ⎦ 2 ⎝ x⎠ Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) dC(x ) k ⎡ dC(x )⎤ ⎛ k ⎞ ⎢⎣ dx ⎥⎦ = ⎜⎝ x ⎟⎠ ⇒ dx = x ⇒ xmax xmax k xmax ⎛x ⎞ ⎟ ∫x dC(x) = ∫x x dx = k ⋅ ln x x ⇒ C(xmax ) − C(x) = k ⋅ ln⎜⎝ max x ⎠ 2 2 ¾ Por tanto, un compansor ideal debería cumplir: ⎛ x ⎞ ⎟⎟ C(x ) = C(xmax ) + k ⋅ ln⎜⎜ ⎝ xmax ⎠ 9 Esto sería teóricamente, en la práctica no se usa pues: ln(x) → −∞ x→0 24 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾ Para poder usarlo en la práctica, práctica ponemos ciertas restricciones a C(x): 1) C(0) = 0 2) C(xmax ) = xmax ⎫ ⎬ ⇒ Mantenemos el rango dinámico C(− xmax ) = − xmax ⎭ 3) Que C(x) tenga una forma logarítmica posible para que se pparezca a la función teórica Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾ Funciones prácticas: 9 Ley A (estándar europeo) ⎧ A⋅ x x 1 ⋅ sign(x) ≤ ,0 ≤ ⎪ xmax A ⎪⎪1 + ln A ⎛ A⋅ x ⎞ C(x ) = ⎨ ⎟ 1 + ln⎜⎜ ⎪ xmax ⎟⎠ x 1 ⎝ ⎪xmax ⋅ ⋅ sign(x ) , ≤ ≤1 ⎪⎩ A xmax 1 + ln A 9 La función es lineal en un tramo y logarítmica en otro. Los tramos vienen determinados por el valor de A. 25 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) 9 Función de compasión A=87.5 ⇒ Al aumentar A, aumentamos el carácter no lineal A=5 ⇒ Valor típico: A = 87.5 xmax C(x) A=1 xmax -xmax x -xmax Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) 9 Ganancia de compasión GC = dC( x) A = dx x=0 1 + ln A Valor típico: A = 87.5 GC A=87.6 ≈ 24.09 dB Ganancia de compansión para valores pequeños de la señal Con señales de amplitud grande la compansión no mejora la SNRCU, incluso es peor 26 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) SNRCNU y SNRCU para varios valores de L con ley A x(ϑ ) = B ⋅ sin(ω0t + ϑ ) Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾ Funciones prácticas: 9 Ley μ (estándar americano) ⎛ x ⎞ ⎟ ln⎜⎜1 + μ ⋅ xmax ⎟⎠ ⎝ C(x ) = xmax ⋅ ⋅ sign(x) ln(1 + μ ) 27 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) 9 Función de compasión μ=255 ⇒ Al aumentar μ, aumentamos el carácter no lineal μ=5 ⇒ Valor típico: μ = 255 xmax C(x) xmax -xmax x -xmax Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) 9 Ganancia de compasión GC = μ ln(1 + μ ) Valor típico: μ = 255 GC μ =255 ≈ 33.25 dB Ganancia de compansión para valores pequeños de la señal Con señales de amplitud grande la compansión no mejora la SNRCU, incluso es peor 28 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) SNRCNU y SNRCU para varios valores de L con ley μ x(ϑ ) = B ⋅ sin(ω0t + ϑ ) GC μ =200 ≈ 31.53 dB Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Codificación Los niveles cuantificados son susceptibles de ser enviados mediante un código ¾El número de bits del código (n) será función del número de niveles del cuantificador (L): L = 2n x̂ˆ y4 y3 10 01 00 y2 y1 11 x 00 → y1 01 → y2 10 → y3 11 → y4 29 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Modulación delta Alternativa a la cuantificación Ahora la cuantificación no es independiente entre muestras ¾Al muestrear más rápido la diferencia entre las muestras es menor ¾La señal diferencia tiene un rango dinámico menor que la señal original ⇒ menos niveles de cuantificación e(nTS ) = x(nTS ) − x[(n − 1)TS ] Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Modulación d l ió delta d l con dos d niveles i l +Δ + Δ → Bit 1 - Δ → Bit 0 -Δ ¾En función de si tenemos un error positivo o negativo subimos o bajamos un escalón Δ + Δ → Bit 1 - Δ → Bit 0 t ¾Así transmitimos un bit por muestra, en lugar de n bits 30 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) ¾P iimplementar ¾Para l esta modulación d l ió 9 Transmisor: x(nTS) + - + xq[(n-1)TS] e(nTS) q(x) eq(nTS) xq[(n-1)TS] + + Δ → Bit 1 - Δ → Bit 0 + + Retardo TS xq(nTS) e(nTS ) = x(nTS ) − xq [(n −1)TS ] eq (nTS ) = q[e(nTS )] Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) 9 Receptor: R t eq(nTS) + + + xq[(n-1)TS] LPF xq(nTS) Retardo TS x(nTS ) = x[(n − 1)TS ] + e(nTS ) ¾Ventajas de la modulación delta 9 En la cuantificación n bits tienen significado propio 9 En la modulación delta 1 bit tiene significado propio 31 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM) Errores en la l modulación d l ió delta d l ¾Error granular: 9 Propio de toda cuantificación: x(nTS)-xq(nTS) ó e(nTS)-eq(nTS) ¾Error de sobrecarga de pendiente 9 Con señales de pendientes muy grandes, la modulación delta no puede seguir la variación dx(t ) Δ 9 Existe E i una limitación li i ió en su velocidad l id d de d variación: i ió máx á ≤ dt TS t Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea Los niveles de cuantificación se direccionan con un conjunto de dígitos binarios Esta información binaria (lógica) hay que darle el soporte de una señal física para que se pueda transmitir ¾ Códigos de línea Estudiaremos varios tipos P compararlos Para l se recurre a varias i características: t í ti ¾ Capacidad de mantenimiento del sincronismo ¾ Existencia de una componente continua (espectro a f = 0) ¾ Ancho de banda ¾ Potencia de transmisión y probabilidad de error 32 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea Tipos de códigos de línea (Non Return to Zero) Códigos NRZ (Non-Return UNIPOLAR A “1” POLAR A “1” TS “0” TS “0” -A ¾Códigos polares más robustos frente al ruido pero se requiere mayor potencia Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea Códigos RZ (Return to Zero) UNIPOLAR A “1” “0” POLAR A “1” TS/2 “0” TS/2 TS -A ¾Ahora el pulso no está activado todo el periodo de muestreo 33 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea ¾Ventajas de los códigos RZ frente a los NRZ: 9 Los códigos RZ tienen capacidad de sincronismo, ya que mantienen la alineación temporal 9 En caso de que muchos bits sean iguales, con los códigos NRZ se puede perder el sincronismo Con los códigos RZ forzamos las transiciones NRZ “1” “1” “1” RZ “1” “1” “1” “1” “1” ¾Inconvenientes de los códigos RZ: mayor ancho de banda Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea Códigos bipolares ¾Símbolo “0”: A = 0 ¾Símbolo “1”: transición de valor ± A “1” “1” “0” “1” “0” “1” A -A TS ¾No aparece componente continua 34 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea 802 3) Código Manchester (estándar IEEE 802.3) ¾Símbolo “0”: flanco de bajada ¾Símbolo “1”: flanco de subida “1” “0” A A -A -A TS TS ¾No aparece componente continua, capacidad de sincronismo Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea Múltiplex PCM de canales telefónicos Ejemplo de sistema utilizado en la práctica Recomendación ITU-T G.732 TDM de 30 canales de voz con ley de compasión A y codificados con palabras de 8 bits Canales vocales muestreados a 8 KHz ¾Tasa de cada canal de 64 Kbps 300 3400 f (Hz) Se selecciona una banda de frecuencias entre 300 y 3400 Hz, donde la voz es inteligible 35 Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos 5.5.- Códigos de línea Se multiplexan los 30 canales formando la siguiente trama de 32 intervalos 0 8 bits x̂1 x̂2 x̂15 1 2 15 16 x̂16 x̂30 17 31 8 bits ¾ Intervalo 0: información de alineación (cuándo empieza y termina la trama) ¾ Intervalo 16: información de señalización Régimen binario total: Rs = 32 ⋅ 64 Kbps = 2048 Kbps 36 TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CUESTIONES TEMA 5 MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 1.- ¿Qué se entiende por muestreo? ¿Cuál es su expresión en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia? 2.- Enunciar el teorema de muestreo. 3.- ¿Qué es interpolar una señal? ¿Cómo se reconstruye la señal original a partir de sus muestras? 4.- ¿Qué se tiene que cumplir para que no haya pérdida de información en las muestras de una señal respecto a la señal original? 5.- ¿Cómo se puede ver en el dominio de la frecuencia la reconstrucción de una señal a partir de sus muestras? 6.- ¿En qué consiste el aliasing y qué dos procesos se pueden hacer para evitarlo? 7.- Deducir la señal PAM en el dominio del tiempo y la frecuencia. 8.- ¿Qué dos procesos intervienen en la generación de la señal PAM? 9.- Explicar las tres posibilidades de detectar la señal de información m(t) a partir de la señal PAM s(t). 10.- ¿En qué consiste la multiplexación por división en el tiempo (TDM)? 11.- Explicar las modulaciones de pulsos en el tiempo: PDM y PPM. 12.- ¿Cómo se comportan las modulaciones PDM y PPM frente al ruido en comparación a la modulación PAM? 13.- ¿En qué consiste el proceso de cuantificación? ¿Qué parámetros caracterizan a un cuantificador? 14.- ¿Qué tipos de errores existen en el proceso de cuantificación? 15.- ¿Por qué son necesarios los cuantificadores no uniformes? ¿En qué consisten y cómo se implementan en la práctica? 16.- Deducir la relación existente entre la SNR para cuantificadores uniformes y cuantificadores no uniformes. 17.- ¿Qué es la ganancia de compansión? 18.- Deducir la expresión que debe cumplir un compansor ideal. 19.- ¿Qué proceso realiza el codificador tras el cuantificador? 20.- Explicar la modulación delta. Indicar las ventajas de esta modulación. 21.- ¿Cómo se implementa en la práctica la modulación delta en transmisión y recepción?. Mostrar los diagramas de bloque. 22.- Explicar los tipos de errores de la modulación delta. 23.- ¿Qué son los códigos de línea?. Citar algunos ejemplos. ¿Cuáles son las características deseables de un código de línea? 24.- Explicar el sistema utilizado en la práctica: multiplex PCM de canales telefónicos (recomendación ITW-T G-732). TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PROBLEMAS TEMA 5 MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 1.- Las señales: g1(t) = 10⋅cos(100πt), y: g2(t) = 10⋅cos(50πt), se muestrean a una tasa de 75 muestras por segundo. Demostrar que las muestras de ambas señales son iguales, y explicar la causa. 2.- La señal: g1(t) = 10⋅cos(60πt)⋅cos2(160πt), se muestrea a una tasa de 400 muestras por segundo. Determine cuál es el rango de posibles frecuencias de corte para un filtro de reconstrucción ideal. 3.- Sea E la energía de una señal estrictamente limitada en banda, g(t). Mostrar que E puede expresarse en términos de las muestras de g(t), tomadas a la frecuencia de Nyquist, según la expresión: 1 +∞ ⎛ n ⎞ E= ⋅ ∑ g⎜ ⎟ 2w n = −∞ ⎝ 2w ⎠ 2 donde w es el ancho de banda de g(t). 4.- Se crea un múltiplex por división en el tiempo de 24 señales vocales, muestreadas mediante pulsos de anchura 1 μs. El múltiplex incluye un pulso adicional (que se empleará para sincronización de trama) de la misma duración que los anteriores. Considere que la componente de frecuencia más elevada en la señal vocal es de 3.4 KHz a) Considerando una frecuencia de muestreo de 8 KHz, calcule el espacio entre dos pulsos consecutivos en la señal múltiplex. b) Repita los cálculos para una frecuencia de muestreo igual a la de Nyquist. 5.- Deducir el espectro de una señal PAM generada por una señal moduladora: m(t) = Am⋅cos(2πfmt), suponiendo un factor de modulación: μ = Ka⋅Am < 1, una frecuencia: fm = 0.25 Hz, un período de muestreo: Ts = 1 s, y una duración para el pulso base: T = 0.45 s. Tener en cuenta que la señal generada se puede representar por la siguiente expresión: s (t ) = ∑ [1 + K a ⋅ m(n ⋅ Ts )] ⋅ g (t − n ⋅ Ts ) n Utilizando un filtro de reconstrucción ideal, dibujar el espectro a la salida del filtro. Compare este resultado con el que se obtendría si el pulso base tuviera una duración prácticamente nula. 6.- La señal: m(t) = 6⋅sen(2πt), se transmite utilizando un esquema PCM. El cuantificador empleado es de tipo Mid-Riser, con un tamaño de escalón unidad. Dibuje la señal resultante del proceso de cuantificación para un ciclo completo de la señal de entrada. Suponga que la frecuencia de muestreo es de 4 muestras por segundo, muestreándose en los instantes: t = ± 1/8, ± 3/8, ± 5/8, … 7.- La función de densidad de probabilidad de las muestras de una señal es: fX(x) = 4⋅e-8⋅⎪x⎜. Esta señal se aplica a un cuantificador de 4 niveles cuyo margen dinámico es ± 1 voltio. Calcule el valor cuadrático medio del error, distinguiendo los términos granular y de saturación. Compare con el valor del error obtenido en el caso en que la señal sea uniforme en el margen dinámico del cuantificador. 8.- Considere la ley de compansión μ. Demuestre que para L grande se cumple: Δ a) max ≈ 1 + μ Δ min L ⎧ , si x es grande ⎪ x ⎪ 2 ⋅ ln (1 + μ ) ≈⎨ b) L⋅μ ⋅ x Δk ⎪ , si x es pequeña ⎪⎩ x max ⋅ 2 ⋅ ln (1 + μ ) 9.- Se dispone de un codificador PCM de 8 bits, con margen dinámico ± 1 voltio. Se aplica a dicho codificador muestras de la señal, de valores: 1.117314, 0.086726 y 0.714236. En la cuantificación uniforme de tipo MID-RISER los niveles positivos se numeran del 0 al L − 1 , con el bit más significativo a 0. Los negativos se numeran de forma equivalente, 2 salvo el bit más significativo, que se fija a 1. a) Indique para cada muestra su nivel de cuantificación, los errores absoluto y relativo y la palabra código correspondiente. b) Repita los cálculos en el caso de realizar una compansión con ley A (A = 87.6). 10.- Para evaluar un codificador Delta-Lineal se utiliza un tono de prueba normalizado de frecuencia fm. Si la transmisión en línea se efectúa a cuatro niveles: A, B, C y D, y al receptor llega el mensaje: ABCBBDDBACA, se pide: a) Secuencia de dígitos binarios enviada. b) Dibuje la forma de onda recuperada. c) Obtenga la máxima frecuencia del tono para que este cuantificador pueda ser utilizado. Considere que: Δ = 0.1 voltios, que un cero lógico equivale a una bajada de tamaño Δ, que un uno lógico equivale a una subida de tamaño Δ, A = 01, B = 00, C = 10, D = 11, y que el régimen de símbolos es RS = 50300 símbolos/s. 11.- Un múltiplex PCM tiene un caudal de 354 Kbps y está constituido por 14 canales de información, más uno de señalización. El régimen binario de este último es de 1200 bps. Cada canal PCM es la salida de un conversor analógico-digital con cuantificación uniforme de tipo Mid-Riser, y margen dinámico de entrada de ± 2 voltios. El número de niveles de cuantificación (L) es el apropiado para que la SNR de cuantificación de una sinusoide de amplitud 2 voltios sea igual a 38 dB. Los niveles positivos se numeran del 0 al L − 1 , con el 2 bit más significativo a 0. Los negativos se numeran de forma equivalente, salvo el bit más significativo que se fija a 1. Si las señales analógicas se muestrean a 1.4 veces la frecuencia de Nyquist, determine: a) El número de niveles de cuantificación (ajuste a la potencia de 2 más cercana). b) El ancho de banda máximo aceptable de las señales analógicas. Se incluye un compasor de ley A, cuya ganancia de compansión es igual a 23.44 dB. Se pide: c) Calcular las palabras código correspondientes a las muestras con amplitudes: z1 = -0.0018 V y z2 = 1.325 V. d) Calcular el rango de valores de entrada correspondientes al nivel de cuantificación positivo 8. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 5 MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 1. Es una demostración, hay que darse cuenta de que g1(t) está muestreada por debajo de la frecuencia de Nyquist. 2. 190 Hz < f CORTE < 210 Hz 3. Es una demostración. 4. a) ∆T = 4 µs b) ∆T = 4.88 µs 5. 1 +∞ µ S ( f ) = T ⋅ sin c( f ⋅ T ) ⋅ exp (− j πfT ) ⋅ ⋅ ∑ δ ( f − n ⋅ f s ) + ⋅ [δ ( f − f m − n ⋅ f s ) + δ ( f + f m − n ⋅ f s )] TS n =−∞ 2 El espectro a la salida del filtro quedaría: Cuando T → 0, el espectro a la salida del filtro sería: Cuando T → 0: T ' = T ⋅ sin c( f ⋅ T ) ⋅ T’ ≈ T (TS = 1 s) 6. Señal resultante del proceso de cuantificación. 1 1 TS 7. Error de cuantificación para una señal de entrada con función densidad de probabilidad Laplaciana: f X (x ) = 4 ⋅ e −8⋅ x e 2 = e g2 + es2 = 0.028 + 5.2 ⋅10 −4 + 5.2 ⋅ 10 −5 ≈ 0.029 Error granular Error de saturación Error de cuantificación para una señal de entrada con función densidad de probabilidad con distribución uniforme (ahora sólo hay error granular). e 2 = e 2g ≈ 0.02 8. 9. Son unas demostraciones. a) x 1.117314 0.086726 0.714236 x̂ 0.99609 0.08984 0.71484 Nivel 127 11 91 ErrorABS 0.1212 0.0031 6⋅10-4 ErrorREL 10.85 % 3.6 % 0.085 % Palabra código 01111111 00001011 01011011 b) x 1.117314 0.086726 0.714236 C(x) Nivel x̂ 1 127 0.99609 0.55324 70 0.55078 0.938506 120 0.941460 C-1 (x) 0.9789 0.08556 0.72566 ErrorABS 0.1384 1.16⋅10-3 0.01143 ErrorREL 12.38 % 1.33 % 1.6 % 10. a) A 01 B 00 C 10 B 00 B 00 D 11 D 11 b) c) fmax ≈ 800.5 Hz 11. a) L = 64 b) fmax = 1500 Hz c) z1 = -0.0018 V ⇒ Palabra código: 100000 z2 = 1.325 V ⇒ Palabra código: 011101 2 B 00 A 01 C 10 A 01 Palabra código 01111111 01000110 01111000 d) Rango de valores de entrada al nivel de cuantificación 8: x 8min = 0.0353 ⇒ [0.0353, 0.0414] x 8max = 0.0414 3 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tema 6: Transmisión digital banda base Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 TEMA VI. Transmisión digital en banda base 6.1.-Interferencia entre símbolos 6.2.-Criterios de decisión 6.3.-Filtro adaptado 6.4.-Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base Introducción En el tema anterior estudiamos técnicas para convertir información analógica en información digital Muestreo + Cuantificación + Codificación En este tema estudiaremos la transmisión digital de datos a través de un canal banda base Habrá dos fuentes principales de error Ruido ¾ Inherente al canal ¾ En sistemas digitales puede combatirse su efecto por completo ¾ También puede equivocarse: hay una probabilidad de error Interferencia entre símbolos (ISI) ¾ Debido a que un símbolo puede estar afectado por símbolos adyacentes 1 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos Esq ema de unn sistema digital banda base Esquema … Transmisor ak Datos binarios Conversor de formato Canal Receptor … y(t) s(t) … g(t) h(t) + c(t) Filtro TS Decisor âk ω(t) receptor Pulso que tomamos como forma básica Ruido AWGN s(t ) = ∑ ak ⋅ g (t − kTS ) k Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos No confundir el envío de bits con el envío de símbolos ⇒ se envían símbolos ¾Los símbolos pueden tener tantos bits como deseamos Símbolos de 1 bit → 2 niveles Símbolos de 2 bits → 4 niveles Símbolos de n bits → 2n niveles ¾Hay que diferenciar ¾ Tiempo de duración de 1 bit: Tb ¾ Tiempo de duración del símbolo ¾ Símbolos 1 bit: TS = Tb ¾ Símbolos 2 bits: TS = 2Tb 2 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos El transmisor emite la señal: s(t ) = ∑ ak ⋅ g (t − kTS ) k Señal a la salida del filtro receptor: y (t ) = s (t ) ∗ h(t ) ∗ c(t ) + ω (t ) ∗ c(t ) Agrupamos: p(t ) = g (t ) ∗ h(t ) ∗ c(t ) n(t ) = ω (t ) ∗ c(t ) Obtenemos: y(t ) = ∑ ak ⋅ p(t − kTS ) + n(t ) k Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos Muestreamos para ddecidir M idi quéé símbolo í b l recibimos ibi en cada d instante iTS: y (iT ) = a ⋅ p(iT − kT ) + n(iT ) = S ∑ k S S S k = ai ⋅ p(0 ) + ∑ ak ⋅ p[(i − k )TS ] + n(iTS ) k ≠i ISI ¾ En el sumatorio reside la interferencia entre símbolos ((ISI), ), yya qque si los p[(i-k)TS] no son nulos, se estarán superponiéndose al símbolo i ¾ No tendremos ahora presente el efecto del ruido, por lo que la expresión a la entrada del decisor quedaría: y (iTS ) = ai ⋅ p(0) + ∑ ak ⋅ p[(k − i )TS ] k ≠i 3 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos Teóricamente T ói se puede d eliminar li i la l ISI sii se cumple: l cumple: ⎧1 p(mTS ) = ⎨ ⎩0 m=0 m≠0 ¾ De esta manera al muestrear no tienen influencia el resto de los símbolos Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos En el dominio de la frecuencia pδ (t ) = p(t ) ⋅ δ TS (t ) = p(t ) ⋅ ∑ δ (t − mTS ) = ∑ p(mTS ) ⋅ δ (t − mTS ) m m 1 Pδ ( f ) = ⋅ ∑ P( f − mf S ) = ∑ p(mTS ) ⋅ e − j 2πmfTS TS m m ¾Para m = 0 es la única muestra que debe tener aportación Pδ ( f ) = 1 +∞ ⋅ ∑ P( f − mf S ) = 1 TS m =−∞ 9 Este es el criterio para evitar la interferencia entre símbolos 9 Los filtros que cumplan esta condición pueden eliminar la ISI 4 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos ¾Ej ¾Ejemplo l 1: 1 filtro fil paso bajo b j ideal, id l w = fS/2 P(f) T S f -fS/2 Pδ ( f ) = fS/2=w 1 +∞ ⋅ ∑ P( f − mf S ) = 1 TS m =−∞ ⎛ t 9 En el dominio del tiempo: p(t ) = sinc⎜⎜ ⎝ TS ⎞ ⎟⎟ = sinc(t ⋅ f S ) = sinc(2 wt ) ⎠ ⎧1 p(mTS ) = ⎨ ⎩0 m=0 m≠0 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos 9 La L señal ñ l a la l entrada t d del d l decisor d i es: y (t ) = ∑ ak ⋅ p(t − kTS ) k 9 Si muestreamos justo cada TS segundos, en cada instante conseguimos recuperar el valor del pulso adecuado Al muestrear en t = 0, sólo tenemos la contribución de a0 Al muestrear en t = TS sólo tenemos la contribución de a1 ... 5 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos ¾Ej ¾Ejemplo l 2: 2 señal ñ l triangular, i l w = fS P(f) TS Pδ ( f ) = f -fS 1 +∞ ⋅ ∑ P( f − mf S ) = 1 TS m =−∞ fS=w 0 Pδ(f) TS f -2fS -fS fS=w 0 2fS 9 En relación al ejemplo anterior el ancho de banda es el doble Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos ¾Fil ¾Filtros de d coseno alzado l d (raised ( d cosine)) 9 Familia paramétrica de filtros que cumplen la condición impuesta para evitar la ISI ⎧ 1 ,0 ≤ f ≤ f1 ⎪ 2w ⎪ ⎡ π ( f − w)⎤ ⎫⎪ ⎪ 1 ⎧⎪ ⋅ ⎨1 − sen ⎢ P( f ) = ⎨ ⎥ ⎬ , f1 ≤ f ≤ 2 w − f1 ⎣ 2 w − 2 f1 ⎦ ⎪⎭ ⎪ 4 w ⎪⎩ ⎪0 , resto ⎪ ⎩ w= R 1 = S 2TS 2 RS: Régimen o tasa de símbolos 6 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos 9 Ancho A h dde bbanda d dde ttransmisión: i ió BT = 2 w − f1 = w(1 + α ) ⇒ α = 1 − f1 w 9 Parámetros de la familia f1: frecuencia a partir de la cual comienza a caer el filtro α (‘Factor de redondeo o rolloff’): representa el exceso de ancho de banda frente a la banda mínima necesaria 0 ≤ α ≤1 α = 0 ⇒ Filtro ideal α ↑↑ ⇒ Se ocupa más ancho de banda ⇒ Disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos 9 Dominio D i i de d la l frecuencia: f i filtros filt de d coseno alzado l d α=0 α = 0.5 α=1 7 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos cos(2παwt ) 1 − 16α 2 w2t 2 α = 0 ⇒ p(t ) = sin c(2wt ) p(t ) = sin i c(2wt ) ⋅ 9 Dominio D i i del d l tiempo: ti α ↑↑ ⇒Se ocupa más ancho de banda ⇒Disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios ⇒Menor sensibilidad frente a pequeños errores en el muestreo α = 0.8 α=0 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos Comentarios al criterio de eliminación de la ISI ¾ La L solución l ió anterior t i es ideal, id l ya que ell canall h(t) h( ) es incontrolable i t l bl p(t ) = g (t ) ∗ h(t ) ∗ c(t ) 9 ⇒p(t) no podrá ser perfecto para evitar la ISI ¾ Solución práctica: “ecualización” o “igualación” y(t) … c(t) Ecualizador TS Decisor âk Filtro receptor 9 Se estudian las interferencias entre símbolos vecinos con una señal de referencia 8 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos ¾Di ¾Diagrama de d bloques bl de d un ecualizador li d para cancelar l ISI a’k-2 Retardo TS ω1 Referencia TS a’k-1 TS ω2 a’k TS ω3 Comparador a’k+ 1 TS ω4 a’k+ 2 ω5 Salida âk Error Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.1.- Interferencia entre símbolos 9 Tenemos T un conjunto j t de d muestras t vecinas i que procesamos de d forma conjunta y comparamos con la referencia Se obtiene una señal de error En función del error se varían los pesos (ωi) para que éste vaya disminuyendo ⇒Ajustamos p(t) 9 Necesitamos una referencia Información de sincronismo que se envía con la información vocal 9 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.2.- Criterios de decisión El sistema it decisor d i tiene ti que disponer di de d una herramienta para decidir cuál de los M símbolos posibles se ha enviado a partir de una observación ruidosa y H0 H1 M → y → Di H M −1 ¾Hay que decidir cuál de las posibles hipótesis Hi ha generado la observación y: Di ¾Se recurre a los test de hipótesis Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.2.- Criterios de decisión ¾Hi ót i binarias ¾Hipótesis bi i H0 → “1” H1 → “0” ¾Hipótesis múltiples -A A H0 → “00” A/2 H1 → “01” A H2 → “10” -A H3 → “11” -A/2 ¾Vamos a plantear varios criterios para tomar estas decisiones Supondremos hipótesis binarias 10 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.2.- Criterios de decisión Criterio de Bayes y Trata de tomar decisiones de forma que se minimice el riesgo medio en las decisiones Concepto de riesgo ¾Asociado a cada una de las hipótesis: RH y RH ¾Los riesgos se definen a partir de los costes de las decisiones acertadas o falladas 0 1 Cij: Coste asociado a la decisión i cuando es cierta la hipótesis j C00 H0 D0 H1 D1 C11 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.2.- Criterios de decisión ¾Riesgos asociados a cada hipótesis ( H0 )+ C ⋅ p(D ) ( H1 )+ C ⋅ p(D ) RH 0 = C00 ⋅ p D0 RH1 = C01 ⋅ p D0 10 ¾Definición de riesgo: ¾Terminología 11 1 H0 1 H1 R = RH 0 ⋅ p (H 0 ) + RH1 ⋅ p(H1 ) ⎧ p (H 0 ) ⎨ ⎩ p (H1 ) ⎧f y Funciones de verosimilitud ⎪ Y H 0 ⎨ ⎪⎩ fY y H1 Probabilidades a posteriori ⎧ p (H 0 y ) ⎨ ⎩ p(H1 y ) Probabilidad a priori ( ) ( ) 11 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.2.- Criterios de decisión El criterio de Bayes trata de minimizar el riesgo medio ¾Trata de definir una frontera de decisión que minimice el riesgo medio ( ) ( ) H0 fY y H 0 > p(H1 ) ⋅ [C01 − C11 ] fY y H1 < p(H 0 ) ⋅ [C10 − C00 ] H1 ¾Es de notar que el umbral para decidir H0 aumenta: Cuanto más probable sea H1 ( ↑ p(H1)) Cuanto mayor sea el coste asociado a decidir “0” cuando sea cierto “1” (↑ C01) Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.2.- Criterios de decisión Criterio de máximo a pposteriori ((MAP)) Compara las probabilidades a posteriori y se selecciona la hipótesis que maximiza la probabilidad a posteriori p (H 0 y ) p(H 0 y ) = p(H1 y ) = ( ) H0 > < p (H1 y ) H1 fY y H 0 ⋅ p (H 0 ) fY ( y ) ( ) f Y y H1 ⋅ p ( H 1 ) fY ( y ) ⇒ ( ) ( ) H0 f Y y H 0 > p (H1 ) f Y y H1 < p ( H 0 ) H1 Caso particular del criterio de Bayes cuando: [C01-C11] = [C10-C00] 12 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.2.- Criterios de decisión Criterio de máxima verosimilitud ((ML)) Compara las funciones de verosimilitud y escoge la hipótesis que maximiza la función de verosimilitud H0 ( ) <> f (y ) fY y H 0 Y H1 H1 ⇒ ( ) ( ) H0 fY y H 0 > 1 f Y y H1 < Caso particular del criterio de Bayes cuando: p (H ) = p (H ) ⎧ 1 0 ⎨ [ ] [ C C C C00 ] − = − 11 10 ⎩ 01 H1 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.3.- Filtro adaptado Esquema del receptor y(t) s(t) Canal … + c(t) k ⋅ TS Decisor âk Filtro ω(t) receptor Ruido AWGN − Media nula − Sω ( f ) = N0 2 Objetivo: diseñar c(t) con un criterio de ruido ¾No confundir con la cancelación de ISI, donde se diseña g(t) para que se cumplan las condiciones de eliminar ISI p(t ) = g (t ) ∗ h(t ) ∗ c(t ) 13 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.3.- Filtro adaptado Diseño de c(t) con un criterio de ruido ¾Intentar maximizar la SNR a la entrada del “decisor” para facilitar la decisión y (t ) = s (t ) ∗ c(t ) + ω (t ) ∗ c(t ) y (t ) = g 0 (t ) + n(t ) ¾A la entrada del muestreador: SNR m = ¾A la entrada del decisor: SNR d = Pg 0 Pn Pg 0 (TS ) Pn (TS ) = g 0 (TS ) n(TS ) 2 2 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.3.- Filtro adaptado 9 Luego: SNR d = Pg 0 (TS ) Pn (TS ) = g 0 (TS ) n(TS ) 2 2 = ∫ +∞ −∞ S ( f ) ⋅ C ( f ) ⋅ e j 2πfTS df n(TS ) 2 2 Hay que maximizar la SNR|d Aplicamos la desigualdad de Schwarz: ∫ +∞ −∞ 2 +∞ +∞ φ1 (x ) ⋅ φ2 ( x )dx ≤ ∫ φ1 (x ) dx ⋅ ∫ φ2 (x ) dx −∞ 2 2 −∞ 14 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.3.- Filtro adaptado El numerador de la SNR|d estará acotado según la expresión anterior, alcanzándose la cota cuando se produce la igualdad de factores: φ1 (x ) = k ⋅ φ2* (x ) Por tanto, para maximizar la SNR|d: C ( f ) = k ⋅ S * ( f ) ⋅ e − j 2πfTS ⇔ c(t ) = k ⋅ s * (TS − t ) g * (t ) ⇔ G * (− f ) Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.3.- Filtro adaptado k=1 ¾F ¾Forma dde c(t) () c(t) = k ⋅ s*(TS-t) = s*(TS-t) s(t) ⇒ A A t 0 t TS 0 TS 9 Se S convolucionan: l i s(t) (t) ∗ c(t) (t) A 0 t T S t ⇒ El mayor encaje (máximo valor de la convolución) se da cuando: t = TS ⇒ Se maximiza la contribución de la señal en los valores muestreados 15 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.3.- Filtro adaptado ¾E ¾Esquema del d l filtro fil adaptado d d c(t) () y(t) k ⋅ s*(TS - t) s(t) Decisor TS âk 9 Es equivalente a un correlador (a la entrada del decisor) s(t) ∫ × TS 0 dt Decisor TS âk c(t) 9 El receptor puede recibir varios pulsos ⇒ c(t) para estos pulsos es el mismo: c(t ) = k ⋅ s * (TS − t ) ⇒ El filtro está adaptado a la forma del pulso con con independencia de su polaridad A -A Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error Esquema del receptor y(t) s(t) Canal … + ω(t) Decisor: c(t) y k ⋅ TS Decisor âk Ruido AWGN − Media nula − Sω ( f ) = N0 2 ¾Cálculo del umbral de decisión (λ) 9 Depende del criterio seleccionado ¾Hay una probabilidad de error asociada a λ 9 p(e) ≡ BER (Bit Error Rate) 16 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error Cálculo del umbral de decisión ¾Supongamos que tenemos un código polar NRZ y filtro c(t) adaptado “1” “0” A t 0 1/TS 0 TS t TS 0 -A TS c(t ) = k ⋅ s * (TS − t ) y = y (TS ) = [s (t ) ∗ c(t ) + ω (t ) ∗ c(t )]t =TS y= 1 TS 1 TS ⋅ ∫ (± A)dt + ⋅ ∫ ω (t )dt 0 TS TS 0 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error ¾R ibi ¾Recibiremos: 9 Hay que calcular un umbral de decisión (λ), de modo que amplitudes superiores correspondan a un “1” y amplitudes inferiores a un “0” ¾Decidimos sobre la variable y A -A 9 ¿q ¿qué es yy…? y H0 = − A + 1 TS ⋅ ω (t )dt TS ∫0 y H1 = + A + 1 TS ⋅ ω (t )dt TS ∫0 9 y es una variable aleatoria gaussiana ω(t) es la realización de un proceso estocástico gaussiano 17 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error 9 Caracterización C t i ió de d y (variable ( i bl aleatoria l t i gaussiana) i ) Media: E Y H0 = − A { } E {Y }= + A H1 Varianza: σ 2 Y H0 σ Y2 H1 ⎧ = E ⎨⎛⎜ Y ⎩⎝ H0 ⎧ = E ⎨⎛⎜ Y ⎩⎝ H1 {[ 2 ⎫ − mY ⎞⎟ ⎬ = E Y H0 ⎠ ⎭ − (− A) H1 − (+ A) {[ 2 ⎞⎟ ⎫ = E Y ⎬ H1 ⎠ ⎭ − mY ]} H0 2 ⎧⎪⎡ 1 = E ⎨⎢ ⎪⎩⎣ TS ∫ 0 ] }= E ⎪⎨⎡⎢T1 ∫ 2 ⎧ ⎪⎩⎣ S TS TS 0 ⎤ ω (t )dt ⎥ ⎦ 2 ⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ 2 ⎤ ⎫⎪ ω (t )dt ⎥ ⎬ ⎦ ⎪⎭ Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error σ Y2 H0 = σ Y2 H1 ⎧⎪⎡ 1 = E ⎨⎢ ⎪⎩⎣ TS ∫ TS 0 2 ⎤ ⎫⎪ ω (t )dt ⎥ ⎬ = ⎦ ⎪⎭ 1 TS2 TS TS 0 0 ∫ ∫ E{ω (t1 ) ⋅ ω (t 2 )}dt1dt 2 Rω (t1 − t 2 ) = σ 2 = σ Y2 Y H0 = σ Y2 = H1 N0 ⋅ δ (t1 − t 2 ) 2 N 1 N0 ⋅ ⋅ TS = 0 2 TS 2 2TS Luego: ( ) ( ) y H 0 → N − A, σ Y2 y H1 → N + A, σ Y2 18 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error ¾Frontera de decisión (apartado 6.2) 9 Según el criterio bayesiano: ( ) ( ) H0 fY y H 0 > p(H1 ) ⋅ [C01 − C11 ] p(H1 ) ⋅ [C01 − C11 ] ⇒ λBAYES = ( ) (H 0 ) ⋅ [C10 − C00 ] p H ⋅ [ C − C ] p f Y y H1 < 0 10 00 H1 9 Según el criterio MAP ( ) ( ) H0 f Y y H 0 > p (H 1 ) p (H 1 ) ⇒ λMAP A = p (H 0 ) f Y y H1 < p (H 0 ) H1 9 Según el criterio ML ( ) ( ) H0 fY y H 0 > 1 ⇒ λML = 1 f Y y H1 < H1 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error ¾O ¾Operamos para ddespejar j y: ( )= σ f (y ) fY y H 0 Y H1 − 1 2π Y 1 σ Y 2π ⋅e ( y + A )2 2σ Y2 − − ⋅e ( y − A )2 =e ( y 2 + A2 + 2 Ay − y 2 + A2 − 2 Ay ) 2σ Y2 2σ Y2 − =e ⎧λBAYES ⎪ λi ⎨ λMAP < ⎪ H1 ⎩ λML 2 Ay H 0 σ Y2 > 9 Tomamos T logaritmos: l it H0 H0 H1 H1 < σY 2 Ay > − 2 ln λi ⇒ y − ln λi σY < > 2A 2 Umbral sobre la λ’ ⇒ observación ‘y’ 19 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error 9 Caso C particular ti l para ell criterio it i ML (λML = 1) C01 − C11 p(H1 ) = p(H 0 ); =1 ⇒ C10 − C00 H0 y < > 0 H1 A 0 ⇒ Menor que cero ⇒ “0” Mayor que cero ⇒ “1” -A Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error Cálculo de la probabilidad de error ¾Nos fijamos en las funciones de verosimilitud ( ) p(e ) = p(H ) ⋅ p(y < λ ')+ p(H ) ⋅ p(y ( ) p(e ) = p e H1 ⋅ p(H1 ) + p e H 0 ⋅ p(H 0 ) 1 H1 0 H0 > λ' ) ⇒ El error aparece representado como el área rayada debajo de las curvas 20 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error ¾E ¾Expresión ió generall para calcular l l ell error − λ' 1 −∞ σ Y 2π p(e ) = p(H1 ) ⋅ ∫ ( y − A )2 ⋅e +∞ dy + p(H 0 ) ⋅ ∫ 2σ Y2 − 1 σ Y 2π λ' ⋅e ¾Caso particular: criterio ML ( y + A )2 2σ Y2 dy p (H1 ) = p (H 0 ) 9 Símbolos equiprobables: ⎧ < ⎨ ⇒ y 0 9 Costes iguales g : > ⎩[C01 − C11 ] = [C10 − C00 ] H0 H1 ( ) ( ) p e H1 = p e H 0 = p 1 p (H 1 ) = p (H 0 ) = 2 ⇒ ( ) ( ) 1 1 p(e ) = p ⋅ + p ⋅ = p ⇒ p(e ) = p e H1 = p e H 0 2 2 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error ( ) 9 Calculamos: C l l p e H0 = ∫ +∞ 0 1 σ Y 2π − ( y + A )2 ⋅e d dy y+A σY 2 dy dτ = τ= 9 Realizamos un cambio de variable: ( ) 2σ Y2 σY 2 p e H0 = ∫ +∞ A σY 2 1 σ Y 2π ⋅e −τ 2 ⋅ σ Y ⋅ 2dτ = ∫ +∞ A σY 2 1 π ⋅ e −τ dτ 2 9 Se suele poner esta expresión de la p(e) en función del error complementario: 2 + ∞ −τ 2 erfc(u ) = ∫ e dτ ( ) 1 +∞ p(e ) = p e H 0 = ⋅ ∫ A 2 σY 2 π u ⎛ A ⎞ 2 −τ 1 ⎟ ⋅ e dτ = ⋅ erfc⎜⎜ ⎟ 2 π ⎝ σY 2 ⎠ 2 21 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error 9 Comentarios: C t i El cociente A/σY representa una relación entre la señal (A) y el ruido (σY) Cuanto mayor A/σ sea menor será el error La p(e) se suele expresar en función de Eb/N0 Eb A= ⎫ Tb A ⎪ N ⇒ ⇒ = Pn = σ Y2 = 0 ⎬ N σY 2 0 2Tb ⎪⎭ σ Y = 2Tb Eb = A2Tb ⎛ Eb ⎞ 1 ⎟ p(e ) = ⋅ erfc⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ N0 ⎠ Eb N0 ⇒ Expresión comúnmente utilizada Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error Evolución E l ió de d la l p(e) ( ) con Eb/N0 ⇒ En relativamente pocos decibelios conseguimos reducir bastante el orden de magnitud de p(e) p( ) 22 Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base 6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error ¾Ejercicio: ¾Ej i i cálculo ál l del d l umbral b l de d decisión d i ió y de d la l probabilidad de error para un código unipolar NRZ “1” “0” A 0 TS 0 TS y H1 → N (+ A, σ Y2 ) y H 0 → N (0, σ Y2 ) 9 La distancia entre símbolos es ahora A, por lo tanto la p(e) será más grande, pues los símbolos están más próximos 23 TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CUESTIONES TEMA 6 TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE 1.- Explicar el modelo de un sistema de transmisión digital banda base. 2.- ¿En qué consiste la ISI? ¿Qué condición debe cumplir p(t) para que la ISI se reduzca a cero? 3.- ¿Qué tipos de filtro P(f) se pueden utilizar para eliminar la ISI?. Ventajas e inconvenientes de cada uno. 4.- ¿Qué es el factor de redondeo (rolloff) a de un pulso de espectro con forma de coseno alzado?. Dibujar p(t) y P(f). ¿Qué ocurre en p(t) cuando a = 0? 5.- Explicar la ecualización utilizada en la práctica para reducir la ISI. 6.- Describir los diferentes criterios de decisión estudiados. 7.- ¿Para qué se utilizan los filtros adaptados? Deducir la expresión del filtro adaptado c(t) en función de los pulsos de entrada s(t) que están contaminados con un ruido AWGN. 8. ¿Qué tareas tiene el decisor? ¿Qué es la probabilidad de error? 9.- Para un código polar deducir los umbrales de decisión según los tres criterios estudiados. 10.- Deducir la probabilidad de error P(e) para un código polar según el criterio de máxima verosimilitud (ML) en función de E b/N0. 11. Ventajas e inconvenientes de un código polar frente un código unipolar. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PROBLEMAS TEMA 6 TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE 1.- Demuestre que, para el caso de codificación unipolar NRZ, la regla de decisión óptima en sentido MAP es: H1 > A σ 2 p0 x + ln < 2 A p1 H0 donde x es la observación, A la amplitud del pulso ideal, σ 2 la potencia de ruido a la entrada del decisor, y p i la probabilidad a priori de la hipótesis H i . Nota: Se utiliza filtro adaptado con amplitud 1/Ts y duración Ts. 2.- Un ordenador tiene una tasa binaria de salida de 56 Kbits/sg. Esta señal se transmite utilizando un sistema PAM binario en banda base que ha sido diseñado para tener el espectro de pulso con forma de coseno alzado. Determinar el ancho de banda de transmisión para los factores de redondeo del filtro a={0.25, 0.5, 0.75, 1}. 3.- Repetir el problema anterior considerando que el sistema envía símbolos formados por grupos de tres bits. 4.- Una señal binaria se transmite por un canal paso bajo con un ancho de banda de 75 KHz. La duración de cada bit es de 10 µs. Determine el espectro del canal en coseno alzado que satisface estos requerimientos. 5.a) Se diseña 1 un sistema binario polar en banda base para transmitir datos a una tasa de 4800 bps, a través de un canal paso bajo ideal cuya función de transferencia viene dada por: 1 si f ≤ 4.8 Khz. H c (f) = resto 0 Se han elegido los filtros de transmisión y recepción de forma que contribuyan por igual a la formación del pulso necesario, y para minimizar la probabilidad de error media. Suponiendo que se utiliza un pulso cuyo espectro tiene forma de coseno alzado, especifique la respuesta en frecuencia de dichos filtros. b) En el caso de que el ruido a la entrada del filtro receptor sea blanco, aditivo, gaussiano, con media cero y con densidad espectral de potencia N0/2, con N0=10-10 W/Hz., calcule la varianza del ruido resultante a la salida del filtro. c) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcule el valor de pico de la potencia requerida para tener un valor de probabilidad de error media de 10-5. Consulte el apartado 9.3 (Optimun transmitting and receiving filters for noise immunity) entregado junto el enunciado de los problemas. 1 6.- Suponga un sistema banda base M-ario, es decir, que envía uno de los M símbolos posibles de su alfabeto, con símbolos, en este caso, equiprobables. Considérese que la amplitud de los símbolos recibidos es: A Ak = + k ⋅ A 2 con k = 0 , ± 1, ± 2 , ... Considere, asimismo, que la potencia del ruido a la entrada del decisor es σ 2n , y que los umbrales de decisión se sitúan en los puntos medios entre los símbolos. Demuestre que, en estas condiciones, la probabilidad de error del símbolo es igual a: 1 A Pe = 1 − erfc M 2 2σ n 7.- Algunos sistemas de radio sufren distorsión multitrayecto, que es debida a la existencia de más de un camino de propagación entre el transmisor y el receptor. Considerar un canal con tal distorsión, que tenga una función de transferencia dada por la siguiente expresión: x(t)= K 1 s(t - t01 ) + K 2 s(t - t02 ) donde K1 y K2 son constantes, K1>>K2,, y t01 y t02 representan retardos de transmisión, con t01 < t02. a) Obtenga la respuesta en frecuencia de este canal. b) Para cancelar el eco se propone utilizar un filtro transversal como el de la figura 1, donde T= t02 - t01. Obtenga los valores de wi, i={0, 1, 2} en función de los parámetros del canal. Retardo T Entrada w0 X w1 Retardo T X ∑ Salida Figura 1. Filtro de cancelación de eco. w2 X 8.- En relación con la señal de la figura 2: a) Represente la respuesta al impulso de un filtro adaptado a esa señal. b) Determine la salida del filtro adaptado cuando la entrada es la señal de la figura. Indique el instante óptimo de muestreo, así como la amplitud de salida del filtro en dicho instante. s(t) A/2 T T/2 t -A/2 Figura 2. Señal de soporte del símbolo 9.- Se propone realizar un filtro adaptado mediante un filtro basado en una línea de retardo con N+1 coeficientes w k , k={0, 1,..., N}. Asumiendo que la señal s( t ) a la que tiene que estar adaptada el filtro tiene una duración de T segundos, encuentre el valor de los pesos w k . Asuma que la señal se muestrea uniformemente. 10.- Dada una señal binaria, que utiliza señalización polar NRZ, siendo la amplitud de los símbolos igual a 1 voltio. Esta señal se aplica a un filtro paso bajo RC con función de transferencia: H(f) = 1 1+ jf f0 Suponer una tasa binaria de 2 f0 bits por segundo, construir el diagrama de ojos centrado en Tb y anchura Tb para la señal a la salida del filtro con las siguientes secuencias: a) Alternancia de unos y ceros. b) Una larga secuencia de unos seguida de una larga secuencia de ceros. c) Una larga secuencia de unos seguida por un único cero y después otra larga secuencia de unos. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 6 TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE 1. Es una demostración. 2. α = 0.25 ⇒ BT = 35 KHz α = 0.5 ⇒ BT = 42 KHz α = 0.75 ⇒ BT = 49 KHz α = 1 ⇒ BT = 56 KHz 3. α = 0.25 ⇒ BT = 11.67 KHz α = 0.5 ⇒ BT = 14 KHz α = 0.75 ⇒ BT = 16.33 KHz α = 1 ⇒ BT = 18.67 KHz 4. α = 0.5; f1 = 25 KHz 5. a) H TX ( f ) = P( f ) ⋅ e j 2πft0 H RX ( f ) = P( f ) ⋅ e − j 2πft0 N 0 10 −10 = W 2 2 c) Valor pico de potencia: A2 = 9⋅10-10 W 6. Es una demostración. 7. a) H ( f ) = K 1 ⋅ e − j 2πft01 + K 2 ⋅ e − j 2πft02 b) σ N2 = K2 K 22 1 ; ω1 = − 2 ; ω1 = 3 b) ω 0 = K1 K1 K1 y (t ) = s (t − t 01 ) + K 23 ⋅ s(t − 3 ⋅ t 02 + 2 ⋅ t 01 ) ≈ s (t − t 01 ) K 13 K1 >> K2 8. a) c(t ) = s(T − t ) 1 b) y (t ) = s (t ) ∗ s (T − t ) Instante óptimo de muestreo: t=T Amplitud en dicho instante: A2 ⋅ T ( ) yT = 4 T⎞ ⎛ 9. ω k = s (T − k ⋅ TS ) = s⎜ T − k ⋅ ⎟ N⎠ ⎝ 10. ⎧ 1 − 2 ⋅ e −2πf 0t ,0 < t < Tb ⇒Señal periódica con período 2⋅Tb a) y (t ) = ⎨ − 2πf 0 (t −Tb ) −1 , Tb < t < 2 ⋅ Tb ⎩2 ⋅ e Diagrama de ojos de anchura Tb y centrado en Tb. ⎧1 b) y (t ) = ⎨ − 2πf 0t −1 ⎩2 ⋅ e ,t < 0 ,t > 0 Diagrama de ojos de anchura Tb y centrado en Tb. 2 ,t < 0 ⎧ 1 ⎪ − 2πf 0t c) y (t ) = ⎨ 2 ⋅ e −1 ,0 < t < Tb − 2 π f ( t − T ) ⎪1 − 2 ⋅ e 0 b , t > T b ⎩ Diagrama de ojos de anchura Tb y centrado en Tb. 3 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tema 7: Transmisión digital paso banda Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 TEMA VII. Transmisión digital paso banda 7.1.-Tipos básicos de modulaciones digitales 7.2.-Representación y análisis vectorial 7.3.-Receptores coherentes e incoherentes 7.4.-Análisis de los tipos de modulación Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda Introducción En el tema anterior estudiamos los sistemas de transmisión digital banda base En este tema estudiaremos la transmisión digital de datos a través de un canal paso banda Centramos el espectro de s(t) en torno a una frecuencia no nula (fc) Ventajas de la transmisión paso banda 1 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales Hay tres tipos básicos: 1) ASK (Amplitude Shift Keying) 2) PSK (Phase Shift Keying) 3) FSK (Frequency Shift Keying) Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales ¾ ASK 9 A cada símbolo le asignamos una amplitud s (t ) = ai ⋅ cos(2πf c t ) 0 ≤ t ≤ T T: Tiempo de símbolo 9 La frecuencia fc se suele poner como múltiplo de la frecuencia del símbolo: fc = n T f s= 1 frecuencia del símbolo T 9 Ejemplo: ⎧"0" → a0 = 1 V M =2 ⎨ ⎩ "1" → a1 = 2 V 2 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales ¾PSK 9 Asignamos a cada símbolo una fase inicial si (t ) = a ⋅ cos(2πf ct + ϑi ) 0 ≤ t ≤ T ϑi = π M ⋅ (2i + 1) , i = 0,K, M − 1 9 Ejemplo: ⎧ "0" → ϑ0 = π 2 M =2 ⎨ ⎩ "1" → ϑ1 = 3π 2 ⎧ ⎪ ⎪ M =4 ⎨ ⎪ ⎪⎩ "00" → ϑ0 = π 4 "01" → ϑ1 = 3π 4 "10" → ϑ2 = 5π 4 "11" → ϑ3 = 7π 4 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales ¾FSK 9 Asignamos a cada símbolo una frecuencia distinta s (t ) = a ⋅ cos(2πf i t ) 0 ≤ t ≤ T 9 En FSK las frecuencias desplazadas son múltiplos enteros de fs, respecto a fc: n+i 1 = fc + i ⋅ f S f s= frecuencia del símbolo T T 9 Para PSK y FSK se normaliza la amplitud a fi = ⎧ a 2 2E T E 2E ⎪ PS = = = ⇒⎨ a= 2 2 T T ⎪⎩ ES = PS ⋅ T = E T: tiempo de símbolo E: energía de símbolo 3 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales ¾Ej ¾Ejemplos l de d forma f de d onda d 9 ASK 0 T 2T 3T 0 T 2T 3T 0 T 2T 3T 9 PSK 9 FSK Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial Carácter vectorial de las señales Estudiaremos una base teórica para las señales anteriores Las señales si(t) pueden ser expresadas como: N si (t ) = ∑ sij ⋅ φ j (t ) 0 ≤ t ≤ T ; i = 1, ... , M j =1 ¾ Ejemplo: PSK s i (t ) = a ⋅ cos(2πf c t + ϑi ) = a ⋅ cos(ϑi ) ⋅ cos(2πf c t ) − a ⋅ sen(ϑi ) ⋅ sen(2πf c t ) φ1 (t ) φ2 (t ) 4 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial conj nto de M señales Vamos a representar el conjunto {si(t)} como combinación lineal de N funciones que deben ser ortonormales para formar base ( ⇒ ortogonalización de Grand-Schmidt) ¾Ortogonalidad: φi (t ), φ j (t ) = 0 ∀ i ≠ j ¾Norma unitaria: φi (t ), φi (t ) = 1 ∀ i Trabajamos con símbolos de duración T ¾Producto escalar (orto-normalidad): ⎧0 i ≠ j ⎩1 i = j φi (t ), φ j (t ) = ∫ φi (t ) ⋅ φ j (t )dt = δ [i − j ] = ⎨ T 0 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial L coeficientes Los fi i t sij se pueden d obtener: bt ⎡ ∫ s (t )⋅ φ (t )dt = ∫ ⎢⎣∑ s T 0 N T i j 0 N T k =1 0 k =1 ik ⎤ ⋅ φk (t )⎥ ⋅ φ j (t )dt = ⎦ = ∑ sik ⋅ ∫ φk (t ) ⋅ φ j (t )dt = sij δ [k-j] ⇒ sij = ∫ s (t ) ⋅φ (t )dt T 0 i j 5 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial ¾Ejemplo j p 1: PSK ⇒ necesitamos como máximo 2 funciones base φ1 (t ) = 2 ⋅ cos(2πf c t ) T Son ortonormales 2 φ2 (t ) = ⋅ sen(2πf c t ) T si (t ) = 2E ⋅ cos(2πf c t + ϑi ) 0 ≤ t ≤ T T ⇒ si (t ) = E ⋅ cos(ϑi ) ⋅ 2 2 ⋅ cos(2πf c t ) − E ⋅ sen(ϑi ) ⋅ ⋅ sen(2πf ct ) T T φ2 (t ) φ1 (t ) 9 Cada símbolo si(t) podemos verlo como un vector en ℜ2 si (t ) ⇒ [ E ⋅ cos(θ i ) , E ⋅ sen(θ i ) ] Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial 9 Caso C particular: ti l M = 4 φ2(t) 1 2 ϑ2 0 ϑ1 φ1(t) ⇒ Con estas dos funciones base podemos representar todos los símbolos que podamos tener en PSK 3 6 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial ¾Ej ¾Ejemplo l 2: 2 ASK ⇒ necesitamos i sólo ól 1 función f ió base b si (t ) = ai ⋅ 2 ⋅ cos(2πf c t ) T a1 a2 φ1(t) a3 ¾Ejemplo 3: FSK ⇒ necesitamos tantas funciones base como símbolos haya φ3(t) 9M = 3 si (t ) = E 2E ⋅ cos(2πf i t ) T E E φ1(t) φ2(t) Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial í b l enviados i d podemos d l como Los símbolos verlos puntos en un espacio ¾Generados por una base de N funciones ortonormales ¾Tendremos vectores en ℜN Para la detección del símbolo: x(t) = si(t) + ω(t) ¾Hay que definir regiones asociadas a cada símbolo para tomar decisiones ¾Para ello vamos a estudiar sus coordenadas 7 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial Análisis de las coordenadas Tenemos: N si (t ) = ∑ sij ⋅ φ j (t ) 0 ≤ t ≤ T j =1 Siendo las coordenadas: T sij = ∫ si (t ) ⋅ φ j (t )dt 0 Sin embargo, realmente recibimos: ⇒ Suponemos ω(t) → AWGN x(t ) = si (t ) + ω (t ) − Media cero: ηω = 0 − Sω ( f ) = N0 2 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial Para obtener las coordenadas del símbolo ¾Asumimos sincronismo: detección coherente × ∫ T ∫ T 0 dt x1 = si1 + n1 dt x2 = si2 + n2 dt xN = siN + nN φ1(t) x(t) = si(t) + ω(t) × 0 φ2(t) × φN(t) ∫ T 0 Coordenada i-ésima del símbolo 8 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xN ⎦ 9 ω(t): Ruido gaussiano a la entrada ⇒ el ruido a la salida también será gaussiano ⇒ Las observaciones xj serán variables aleatorias gaussianas ¾Obtenemos un vector de variables aleatorias: Xj Hi ( → N η j , σ 2j ) Para describir estas variables calcularemos su media y varianza Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial 9 Media { ηj = E X j { Hi }= E{s ij + n j } = sij + E{n j } = sij } E{n j } = E ∫ ω (t ) ⋅ φ j (t )dt = 0 { E Xj Hi T 0 }= s ⇒ Ya que el ruido a la entrada tiene media nula ij 9 Varianza (matriz de covarianzas) c jk = E {(X j − η j )⋅ ( X k − η k )} X j = sij + n j ⎫ ⎬ ⇒ c jk = E{n j ⋅ nk } η j = sij ⎭ 9 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial 9 Varianza ((matriz de covarianzas)) c jk = E =∫ {∫ ω (t )⋅φ (t )dt ⋅ ∫ ω (t )⋅φ (t )dt }= T T T 0 j 1 0 1 1 j 2 T 1 0 j 2 1 k 2 N0 ⋅ δ (t1 − t 2 ) 2 1 T 2 ⇒ Ruido blanco de media nula j≠k ⎧⎪ 0 N0 ⋅ φ j (t1 ) ⋅ φk (t1 )dt1 = ⎨ N 0 0 2 ⎪⎩ 2 N = 0 j = 1,K, N 2 c jk = ∫ 2 ∫ E{ω (t )⋅ ω (t )}⋅ φ (t )⋅ φ (t )dt dt Rω (t1 − t 2 ) = σ X2 k 2 0 j=k ⇒ Matriz de covarianzas diagonal Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial ⇒ Xj N ⎞ ⎛ → N ⎜ s ij , 0 ⎟ 2 ⎠ ⎝ Hi Las observaciones son gaussianas, incorreladas, y tienen todas la misma varianza ⇒ Tenemos N observaciones independientes 9 Función de verosimilitud para cualquier hipótesis ( ) N ( f X x Hi = ∏ f X j x j ( ) f X x Hi j =1 Hi ) N − 2 ⋅∑ ( x j − sij ) 2σ j =1 ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⋅e σ 2 π ⎝ ⎠ N 1 2 σ= N0 2 10 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial ¾Reglas de decisión para 2 hipótesis 9 Criterio MAP ( ) ( ) H0 H0 f X x H 0 > p (H1 ) > p (H 0 x ) p (H1 x ) ⇔ f X x H1 < p (H 0 ) < H1 H1 9 Criterio ML ( ) f X x H0 H0 ( ) ( ) ( ) H0 f X x H0 > > f X x H1 ⇔ 1 f X x H1 < < H1 H1 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial ¾Reglas de decisión para M hipótesis 9 Criterio MAP Maximiza la probabilidad a posteriori mˆ = arg máx[ p (H m x )] m = 1,K, M 9 Criterio ML Maximiza la función de verosimilitud [ ( )] mˆ = arg máx f X x H m m = 1,K , M 11 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.2.- Representación y análisis vectorial ¾Observamos: x = [x1 , K, xN ] , y tratamos de decidir cuál de los M símbolos es el posible [ ( )] 9 Criterio ML: máx f X x H i ( ) f X x Hi N − 2 ⋅∑ ( x j − sij ) 2σ j =1 ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⋅e ⎝ σ 2π ⎠ N 1 2 [ ( )] ⎧N 2⎫ máx f X x H i ⇔ mín⎨∑ (x j − sij ) ⎬ ⎩ j =1 ⎭ Lo que hacemos es calcular la distancia de la observación x a todos los símbolos en ℜN, y quedarnos con aquel que está más cerca de la observación Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.3.- Receptores coherentes e incoherentes Hasta ahora hemos supuesto una detección coherente ¾La señal observada está perfectamente en fase con cada una de las señales base ⇒ están sincronizadas N si (t ) = ∑ sij ⋅ φ j (t ) j =1 φ j (t ) Sincronizadas ¾Pero hay receptores que no precisan de este sincronismo 12 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.3.- Receptores coherentes e incoherentes ¾De esta manera, manera se distinguen 9 Sistemas coherentes Hay un tiempo previo para engancharse en fase, sincronizare y, luego, empezar a procesar Son sistemas más complejos ¾ Sistemas incoherentes No necesitan sincronismo Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.3.- Receptores coherentes e incoherentes ¾Ejemplo: FSK FSK, con M = 2 9 Recibimos: x(t ) = φ1 (t ) = 2 ⋅ cos(2πf1t ) T 2 φ2 (t ) = ⋅ cos(2πf 2t ) T 2E ⋅ cos(2πf1t + ϑ ) T φ2(t) ϑ : desconocido (error de fase) ϑ φ1(t) Queremos obtener la coordenada del símbolo asociada a f1 ⇒ E E 13 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.3.- Receptores coherentes e incoherentes 9 Esquema q del detector incoherente a frecuencia fi 2E x(t ) = ⋅ cos(2πf i t + ϑ ) = T ⎡ 2 ⎤ 2 = E ⋅⎢ ⋅ cos(2πf i t ) ⋅ cos(ϑ ) − ⋅ sen(2πf i t ) ⋅ sen(ϑ )⎥ T ⎣ T ⎦ × x(t) ∫ T 0 dt E ⋅ cos(ϑ ) 2 ⋅ cos(2πf i t ) T × ∫ T 0 ( )2 yc2 + + dt − E ⋅ sen(ϑ ) ( )2 + E ys2 2 ⋅ sen(2πf i t ) T Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.3.- Receptores coherentes e incoherentes ¾Los sistemas incoherentes son más sencillos, sencillos pero tienen alguna desventaja frente a los sistemas coherentes: 9 El ruido tiene dos componentes: fase y cuadratura n(t ) = nc (t ) ⋅ cos(2πf i t ) − ns (t ) ⋅ sen(2πf i t ) Con un sistema incoherente pasan las dos componentes, por lo que se complica el análisis de ruido Con un sistema coherente filtramos una de las dos componentes 14 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación Vamos a estudiar los siguientes esquemas: ¾Coherentes ¾ PSK binario ¾ FSK binario ¾ PSK cuaternario (QPSK) ¾Incoherentes FSK S bi binario i PSK diferencial (DPSK) Para comparar los esquemas: probabilidad de error Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación PSK binario, binario con detección coherente Tenemos 2 símbolos distintos (M = 2), cada uno con su fase asociada H1 ≡ s1 (t ) = 2E ⋅ cos(2πf c t ) 0 ≤ t ≤ T T H 0 ≡ s0 (t ) = 2E 2E ⋅ cos(2πf c t + π ) = − ⋅ cos(2πf c t ) 0 ≤ t ≤ T T T Sólo es necesario una función base φ (t ) = 2 ⋅ cos(2πf ct ) T 15 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación En recepción tendremos: Región Z0 − E Región Z1 Si aplicamos el criterio ML ⇒ El umbral será el punto medio de las distancias entre ambos φ(t) 0 E σ2 σ2 ¾Esquema del detector: criterio ML x(t) = s(t) + ω(t) × φ(t) ∫ T 0 dt “1” x 0 λ=0 “0” Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Probabilidad de error 9 Si usamos el criterio ML, será la misma que la de un sistema polar banda base A σ2 -A σ2 Ahora: ⎧ A = E ⎪ ⎨σ 2 = N 0 ⎪⎩ 2 1 ⎛ A ⎞ p(e ) = ⋅ erfc⎜ ⎟ 2 ⎝σ 2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 E ⎟ p(e ) = ⋅ erfc⎜ ⎜ N0 ⎟ 2 ⋅ 2⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ 16 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 Por lo qque la probabilidad p de error queda: q ⎛ E ⎞ 1 ⎟ p(e ) = ⋅ erfc⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ N0 ⎠ p(e) ⇒ La probabilidad de erorr disminuye cuanto mayor sea la energía respecto a la variabilidad introducida por el ruido Eb/N0 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación FSK binario, binario con detección coherente FSK: si (t ) = fi = 2E ⋅ cos(2πf i t ) 0 ≤ t ≤ T T n+i i = fc + T T ⎧f →H 1 M =2 ⇒⎨ 1 Con dos C d símbolos: í b l ⎩ f0 → H 0 Necesitamos dos funciones base: 2 φ1 (t ) = ⋅ cos(2πf1t ) T 2 φ0 (t ) = ⋅ cos(2πf 0t ) T ⇒ Son ortonormales 17 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación En el receptor: ¾La constelación queda: criterio ML φ0(t) x1 = x0 Región Z0 E ⇒ Umbral: Bisectriz del pprimer y tercer cuadrante Región Z1 φ1(t) E Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Esquema del detector: criterio ML × x(t) ∫ T ∫ T 0 dt φ1(t) × 0 dt φ0((t)) ¾Criterio de decisión: x1 + - + “1” L 0 λ=0 x0 “0” H1 H1 H0 H0 > > x1 x0 ⇒ l = x1 − x0 0 < < 9 L = X1 - X0: Diferencia de variables aleatorias X1 y X0 son gaussianas e incorreladas Ö independientes ⇒ L gaussiana 18 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 L es una v. a. ggaussiana y para p describirla: Media { } { }− E{x }= 0 − E L H 0 = E x1 H0 0 H0 { } { }− E{x }= E L H1 = E x1 H1 E =− E E −0 = E 0 H1 Varianza σ L2 H0 = σ L2 H1 = σ x21 + σ x20 = N0 N0 + = N0 2 2 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Probabilidad de error 9 La regla de decisión se plantea sobre L Región Z0 Región Z1 l − E N0 0 E ⇒ Estamos de nuevo en el caso polar (criterio ML), con: A = E σ 2 = N0 N0 ⎛ E 1 ⎛ A ⎞ 1 p(e ) = ⋅ erfc⎜ ⎟ = ⋅ erfc⎜⎜ 2 ⎝σ 2 ⎠ 2 ⎝ 2N0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 19 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 Esta p probabilidad de error es mayor y qque en PSK p(e) FSK ⇒ Para una misma relación: Eb/N0, la p(e) es mayor en FSK PSK Eb/N0 9 Intuitivamente: PSK: Símbolos polares s0 − E FSK: Símbolos ortogonales s1 0 E E E En PSK los símbolos están más separados, por lo que la probabilidad de error será menor Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación PSK cuaternario (QPSK), (QPSK) con detección coherente Ahora tenemos cuatro símbolos: M = 4 si (t ) = 2E 2i + 1 ⎞ ⎛ ⋅ cos⎜ 2πf c t + π ⎟ 0 ≤ t ≤ T ; i = 0,1, 2, 3 T 4 ⎠ ⎝ Harán falta 2 funciones base: φ1 (t ) = 2 ⋅ cos(2πf c t ) T φ2 (t ) = 2 ⋅ sen(2πf c t ) T 20 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación La constelación quedará: φ2(t) s1 − E E E − E E 2 − E s2 ¾Con coordenadas: s0 2 2 E 2 φ1(t) s3 − E ⎡ E⎤ ⎢± ⎥ 2⎥ sij = ⎢ ⎢± E ⎥ 2 ⎥⎦ ⎣⎢ Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación En el receptor: criterio ML ¾Las regiones para cada símbolo estarán limitadas por los ejes φ2(t) Región Z1 s1 Región Z0 s0 φ1(t) s2 Región Z2 s3 Región Z3 21 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Esquema del detector: criterio ML × x(t) = si(t) + ω(t) ∫ T 0 dt x1 1/0 φ1(t) × MUX ∫ T 0 dt x2 “00” “01” “10” “11” 1/0 φ2(t) Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Probabilidad de error: criterio ML 3 ( ) p(e ) = ∑ p e H i ⋅ p(H i ) i =0 9 Símbolos equiprobables: p(H i ) = 1 4 ( ) 9 Los p e H i son iguales para todos los símbolos, símbolos ya que hay simetría total p(e ) = ( ) ( ) 1 ⋅ 4 ⋅ p e Hi = p e Hi 4 , ∀ i = 0,1, 2, 3 22 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 Habrá error de símbolo si: p(e ) = p(ea ∪ eo ) = p(ea ) + p(eo ) − p(ea ∩ eo ) Error en abscisa Error en ordenada 9 Los ruidos son independientes en cada eje: p(e ) = p(ea ) + p(eo ) − p(ea ) ⋅ p(eo ) 9 Los ejes son iguales: p(ea ) = p(eo ) ⇒ p(e ) = 2 ⋅ p(eo ) − p 2 (eo ) Normalmente: p(e) = 10-4, 10-5, … ⇒ p2(eo) despreciable frente a 2⋅p(eo), luego: p(e ) ≅ 2 ⋅ p(eo ) Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 Calculamos p( p(eo)): E − E 2 N0 2 2 N0 2 ⇒ Estamos de nuevo en el caso polar (criterio ML), con: A = E 2 σ 2 = N0 2 ⎛ E2 ⎞ 1 ⎟ ⋅ erfc⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ N0 2 ⋅ 2 ⎠ 9 Por lo tanto la probabilidad de error de símbolo queda: ⎛ E ⎞ ⎟ p(eS ) = erfc⎜⎜ ⎟ ⎝ 2N 0 ⎠ p(eo ) = 23 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 En Q QPSK no hay y igualdad g entre símbolo y bit 2 bits ≡ 1 símbolo ( ) ( ) ( ) ( p(es ) = p eb1 ∪ eb2 = p eb1 + p eb2 − p eb1 ∩ eb2 ⎛ E 1 p(es ) ≅ 2 ⋅ p(eb ) ⇒ ⋅ erfc⎜⎜ 2 ⎝ 2N0 ) 0 ⎞ ⎟ = p(eb ) ⎟ ⎠ − E ≡ Energía de símbolo − E = 2 ⋅ Eb ⇒ Eb = E/2 ≡ Energía de bit ⎛ Eb ⎞ 1 ⇒ Probabilidad de ⎟ ⋅ erfc⎜⎜ ⎟ 2 error de bit (BER) ⎝ N0 ⎠ 9 En QPSK tenemos la misma BER que en PSK binario, pero ahora la tasa binaria se ha duplicado (transmitimos al doble de velocidad) p(eb ) = Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación FSK binario, binario con detección incoherente En los sistemas con detección incoherente el transmisor y el receptor no están sincronizados ¾⇒ si(t) y φi(t) no están alineados temporalmente si (t ) = 2E ⋅ cos(2πf i t + ϑ ) T φi (t ) = 2 ⋅ cos(2πf i t ) T ϑ : Desconocido (error de fase) Solución: Operar con las envolventes 24 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Al operar con la envolvente, envolvente mientras que las proyecciones en fase y cuadratura (x e y) dependen de θ, la envolvente es constante y = E ⋅ sen(ϑ ) x 2 (ϑ ) + y 2 (ϑ ) = E ≡ cte. ∀ ϑ E ϑ φ1(t) x = E ⋅ cos(ϑ ) Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación En el receptor: ¾Detector de envolvente a frecuencia fi × x(t) = si(t) + ω(t) ∫ T 0 dt ( )2 2 ⋅ cos(2πf i t ) T × ∫ T 0 + + dt ( )2 E + 2 ⋅ sen(2πf i t ) T 25 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Si esperamos 2 símbolos posibles (M = 2), 2) calculamos las envolventes a las frecuencias f1 y f2, y comprobamos cuál es mayor ¾Esquema del detector 9 Suponemos que se aplica el criterio ML x(t) = si(t) + ω(t) r1 Detector de envolvente a f1 “1” + - Detector de envolvente a f2 + λ=0 r2 “0” Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Probabilidad de error: criterio ML 9 Suponemos que se envía el símbolo H1 (f1) El detector de envolvente a f2 sólo recibe ruido ⇒ La envolvente de un ruido gaussiano sigue una distribución Rayleigh ( )= σ r2 → f R2 r2 r2 H1 2 ⋅e − r22 2σ 2 r2 > 0 El detector de envolvente a f1 recibe señal y ruido ⇒ La envolvente de una señal sinusoidal y un ruido gaussiano sigue una distribución Rician ( )= σ r1 → f R1 r1 H1 r1 2 ⋅e − r12 + A2 2σ 2 ⎛ A⋅ r ⎞ ⋅ I 0 ⎜ 2 1 ⎟ r1 > 0 ⎝ σ ⎠ ⎧⎪ A = E ⎨σ 2 = N 0 ⎪⎩ 2 26 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 Expresamos p la probabilidad p de error como: ( ) ( ) p(e ) = p e H1 ⋅ p(H1 ) + p e H 0 ⋅ p(H 0 ) Los símbolos son equiprobables: p(H 0 ) = p(H1 ) = 1 2 ( ) ( ) p e H 0 = p e H1 Por la simetría del problema: Por lo que la probabilidad de error se simplifica en: p(e ) = [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 ⋅ p e H 0 + p e H 1 = p e H 0 = p e H1 2 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ( ) ( Calculamos: p e H1 = p r2 > r1 r2 H1 H1 ) r2 = r1 R r1 r1 r1 ( ) ( ) p(e ) = p e H1 = p R H1 = ∫ +∞ 0 ∫ +∞ r1 ( f R1R2 r1 , r2 H1 )dr dr 2 1 27 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación Las variables aleatorias qque representan p el ruido son gaussianas e incorreladas ( ) y f (r ) independientes ⇒ f R1 r1 H1 R2 2 H1 ⇒ El ruido en un canal es ortogonal al del otro ( f R1R2 r1 , r2 ( ) H1 ) = f (r )⋅ f (r ) R1 r12 + 1 H1 R2 2 H1 ( E) 2 2 ⎛ E ⋅ r1 ⎞ +∞ r2 − 2rσ2 2 ⎜ ⎟⎟ ∫ ⋅ I ⋅e dr2 dr1 0⎜ 2 2 0 σ2 r ⎝ σ ⎠ 1 σ 9 Y la probabilidad de error queda: ⇒ p(e ) = p e H1 = ∫ +∞ r1 E 1 − p(e ) = ⋅ e 2 N 0 2 ⋅e − 2σ 2 ⇒ Expresión diferente a las anteriores, ya que tenemos otras fX(x) ⇒ Sigue siendo una función decreciente con E/N0 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación PSK diferencial ((DPSK)) De forma aproximada se puede ver como un sistema PSK con detección incoherente (no es correcto) ¾QPSK con detección coherente si (t ) = 2E ⋅ cos(2πf c t + ϑi ) T Información en la fase: ϑi ⎧ 2 ⋅ cos(2πf c t ) ⎪φ1 (t ) = 9 Necesitamos dos funciones base: ⎪ T ⎨ φ2(t) ⎪φ2 (t ) = 2 ⋅ sen(2πf c t ) si ⎪⎩ T ϑi φ1(t) ⇒ El argumento ϑi lo usamos para tener que decidir entre los posibles símbolos 28 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾QPSK con detección incoherente 2E ⋅ cos(2πf c t + ϑi +ψ ) ψ : Desconocido T (error de fase) 9 Ahora los símbolos no están alineados temporalmente con las funciones base si (t ) = QPSK-Coherente ϑ1 ϑ2 QPSK-Incoherente ϑ0 ϑ0 ϑ1 ϑ3 ⇒ Todo está girado un ángulo desconocido ψ ψ ϑ3 ϑ2 9 Si mantenemos las decisiones como con detección coherente, la P(e) será muy elevada 9 En PSK es muy importante estar sincronizado en fase ⇒ PSK con detección incoherente no tiene sentido Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación Sin embargo embargo, se puede aprovechar la diferencia entre las fases de los símbolos consecutivos ¾Ejemplo: PSK, con M = 2 “0” → Fase ϑ0 = π “1” → Fase ϑ1 = 0 BPSK-Coherente “0” 0 ϑ0 BPSK-Incoherente “1” ψ “1” 1 ϑ1 − ϑ0 = π ϑ1 “0” ϑ1 − ϑ0 = π 9 Se mantiene la diferencia de fases ¾DPSK consiste en enviar la información sobre la diferencia de fases, y no sobre las fases absolutas 29 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Ejemplo DPSK: 9 Queremos enviar: {bk} = {10010011} 9 Esta información la codificamos con una secuencia intermedia: d k = d k −1 O.L. bk Operación lógica Caso particular: Si bk = 1 ⇒ dk = dk-11 Si bk = 0 ⇒ dk = d k −1 9 Tomamos el primer valor de dk arbitrariamente a “1” {bk} = {1 0 0 1 0 0 1 1} {dk} = {1 1 0 1 1 0 1 1 1} Fase = 0 0 π 0 0 π 0 0 0 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 Codificamos {dk} como PSK ordinario 9 Tenemos como resultado neto en {dk}: Cambio de fase: si se ha enviado “0” Se mantiene la fase: si se ha enviado “1” 30 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación En recepción: criterio ML ¾Se reciben dos símbolos consecutivos y se comprueba si cambia su fase o no 9 Tendremos dos situaciones posibles φ2(t) φ2(t) s(i-1) s(i) s(i) () ψ ψ φ1(t) φ1(t) s(i-1) No cambia la fase ⇒ “1” Cambia la fase ⇒ “0” Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Para decidir si hay cambio de fase, fase habría que realizar el producto escalar entre los dos símbolos consecutivos y comprobar el signo s (i ) ⋅ s (i − 1) = s (i ) ⋅ s (i − 1) ⋅ cos(ϑ ) ϑ = 0 : No cambia la fase ⇒ s (i ) ⋅ s (i − 1) > 0 →"1" ϑ = π : Cambia la fase ⇒ s (i ) ⋅ s (i − 1) < 0 →"0" 9 Decisión: s (i )c ⋅ s (i − 1)c + s (i )s ⋅ s(i − 1)s H1 > < 0 H0 31 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Esquema del detector: criterio ML × x(t) ∫ T 0 dt sc(i) 2 ⋅ cos(2πf c t ) T × ∫ T 0 2 ⋅ sen(2πf ct ) T × Retardo T sc(i-1) dt ss(i) × + “1” + + λ=0 “0” Retardo T ss(i-1) Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación ¾Probabilidad de error 9 Su cálculo es más complicado que en los esquemas anteriores Hay que tener en cuenta la correlación entre dos símbolos en las decisiones 9 Cualitativamente: E − Para un sistema incoherente: p(e ) = 1 ⋅ e 2 N 0 2 Ahora tenemos dos símbolos para decidir: ES = 2 ⋅ Eb ⇒ Podemos aproximar la p(e) en DPSK Eb 1 − p(e ) ≅ ⋅ e N 0 2 32 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 9 No es del todo correcta Los símbolos no son totalmente independientes Los errores en un bit se propagan durante un tiempo (propagación por ráfagas) Cada cierto tiempo se re-sincroniza para evitar que esas ráfagas se extiendan en el tiempo Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación Comparación entre esquemas de modulación PSK y QPSK coherentes: p(e ) = ⎛ Eb ⎞ 1 ⎟ ⋅ erfc⎜⎜ ⎟ 2 N 0 ⎝ ⎠ FSK coherente: p(e ) = ⎛ Eb 1 ⋅ erfc⎜⎜ 2 ⎝ 2N0 DPSK: p(e ) ≈ 1 − N0 ⋅e 2 FSK incoherente: p(e ) = 1 − 2 N0 ⋅e 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Eb Eb 33 Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda 7.4.- Análisis de los tipos de modulación 34 TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN CUESTIONES TEMA 7 TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA 1.- Tipos de modulación digital paso banda. 2.- Diagramas de bloques que relacionan {sij} y {si(t)} con i = 1, ..., M y j = 1, ..., N. 3.- Si X(t) = si(t) + W(t) es la entrada al banco de correladores, con W(t) un ruido blanco, gaussiano, con media cero y densidad espectral de potencia N0/2. ¿Cuánto vale Xj que es la salida de cada uno de ellos?. ¿Cuál es la distribución estadística de las variables aleatorias Xj?. Deducir la media y la varianza de esas variables aleatorias. 4.- ¿Cuál es la correlación cruzada de las variables aleatorias Xj y Xk con j≠k?. ¿Son Xj y Xk independientes? 5. Deducir la expresión de la función densidad de probabilidad de X, vector de las variables aleatorias {Xj}, condicionado a haber transmitido el símbolo mi. 6.- ¿Cuál es la regla de decisión de máxima probabilidad a posteriori? 7.- ¿Cuál es la regla final de decisión de máxima verosimilitud? 8.- ¿Qué diferencia hay entre detección coherente e incoherente? 9.- Determinar {si(t)}, {φ j(t)}, {sij}, esquema del detector, y expresión de la probabilidad de error media para BPSK coherente y BFSK coherente. 10.- Diagrama de bloques para la detección incoherente en BFSK. Deducir la expresión de su probabilidad de error. 11.- Determinar {si(t)}, {φ j(t)}, {sij}, espacio de señales transmitidas {Zi}, esquema del detector, y expresión de la probabilidad de error para la modulación QPSK coherente. 12.- Explicar la modulación DPSK, y mostrar el diagrama de bloques del detector. 13.- Comparar las curvas de Pe en función de E/N0 para BPSK coherente, BFSK coherente y BFSK no coherente. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PROBLEMAS TEMA 7 TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA 1.- Un transmisor envía uno de los mensajes siguientes: ⎡ ⎛ Δf ⎞ ⎤ ⎫ s 0 (t ) = A ⋅ cos ⎢2π ⎜ f c + ⎟t ⎪ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎣ ⎝ ⎬ 0 < t < Tb ⎡ ⎛ Δf ⎞ ⎤ ⎪ s1 (t ) = A ⋅ cos ⎢2π ⎜ f c − ⎟t 2 ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎣ ⎝ de manera equiprobable. Sobre las señales enviadas se superpone un ruido gaussiano, de media cero y densidad espectral de potencia No/2. Suponga que la duración de los símbolos es de Tb segundos, así como que fc >> 1/Tb. El receptor correla las señales recibidas con las funciones φj(t) = cos(2πfjt), siendo fj igual, en cada caso, a las frecuencias asociadas a cada símbolo. Definiendo el coeficiente de correlación ρ entre s0(t) y s1(t) como ρ= ∫ Tb 0 s 0 (t ) ⋅ s1 (t ) ⋅ dt ⎡ Tb s 2 (t ) ⋅ dt ⎤ ⋅ ⎡ Tb s 2 (t ) ⋅ dt ⎤ ⎢⎣ ∫0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ ∫0 1 ⎥⎦ obtenga la probabilidad de error de bit del sistema como función de los parámetros que figuran en el enunciado del problema. 2.- Una universidad desea establecer un radioenlace entre dos de sus edificios. La calidad del enlace deber ser tal que la probabilidad de error de bit no puede superar 10-4. La potencia máxima que se permite transmitir es de 30 dBW, y la atenuación del canal es de 30 dB. El ruido que se superpone a la comunicación es blanco gaussiano, con densidad espectral de potencia de nivel N0/2, con N0 = -78 dBW/Hz. Se plantean dos situaciones: • Suponiendo que el sistema emplea QPSK bajo las condiciones del criterio ML: a) Calcule el máximo régimen binario que puede mantenerse en el enlace. b) Dibuje la constelación de la señal modulada a la entrada del receptor. c) Indique la estructura del receptor óptimo, así como las regiones de decisión correspondientes a cada símbolo. d) Calcule la eficiencia espectral (régimen binario dividido por ancho de banda ocupado) tomando como ancho de banda el mínimo teórico. • Suponiendo que el sistema emplea una modulación BFSK ortogonal coherente, obtenga el umbral de decisión óptimo sabiendo que la probabilidad a priori del símbolo “0” es 0.7. Exprese el resultado en función de Eb y No. 3.- La secuencia binaria {1100100010} se aplica a un transmisor DPSK que emplea como referencia el dígito binario “1”. Esquematice en un cuadro la secuencia original, la secuencia intermedia, las fases enviadas, las componentes en fase y cuadratura y las polaridades de los productos escalares de ambas, así como la secuencia de símbolos recibida (asuma ausencia de ruido). 4.- Sea un sistema PSK coherente binario, que emite uno de los dos posibles símbolos: s1 (t ) = 2 Eb 2 Eb ⋅ k ⋅ sin( 2πf c t ) + 1 − k 2 ⋅ cos(2πf c t ) Tb Tb 0 ≤ t ≤ Tb s o (t ) = 2 Eb 2 Eb ⋅ k ⋅ sin( 2πf c t ) − 1 − k 2 ⋅ cos(2πf c t ) Tb Tb 0 ≤ t ≤ Tb Supongamos que los símbolos se transmiten de forma equiprobables y que la señal llega contaminada al receptor con un ruido blanco, gaussiano, media nula y densidad espectral de potencia S w ( f ) = N 0 / 2 .Deduzca la probabilidad de error en función del error complementario de E b , k y N 0 . Compare con la probabilidad de error del sistema convencional BPSK con detección coherente para símbolos equiprobables. Suponga k ≤ 1. TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 7 TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA ⎡ A T ⋅ (1 − ρ ) ⎤ 1 ⎡ Eb ⋅ (1 − ρ ) ⎤ 1 ⋅ erfc ⎢ ⋅ b ⎥ = ⋅ erfc ⎢ ⎥ 2 N0 2 ⋅ N0 ⎦ ⎣2 ⎦ 2 ⎣ 2. Haciendo uso de una modulación QPSK: a) Rb ≤ 10 Mbps b) 1. p(e ) = CONSTELACIÓN c) RECEPTOR ÓPTIMO 1 d) η = 2 Usando BFSK ortogonal coherente: H1 y > N0 ⋅ 0.42 < Eb H0 3. Secuencia original Secuencia intermedia Fase Componente en fase (xc) Componente en fase retardada (xc-1) Componente en cuadratura (xs) Componente en cuadratura retardada (xs-1) xc⋅xc-1 xs⋅xs-1 xc⋅xc-1+ xs⋅xs-1 Secuencia recibida 1 1 0 + + + + + + + 1 1 0 + + 4. ⎛ Eb (1 − k 2 ) ⎞ 1 ⎟ P(e) = erfc⎜ ⎜ ⎟ 2 N0 ⎝ ⎠ 2 1 1 0 + + + + + + + 1 0 0 π + + 0 0 1 0 + + 0 1 1 0 + + + + + + + 1 0 0 π + 0 0 1 0 + + 0 0 0 π + 0 1 0 π + + + + 1 0 1 0 + + 0 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN PRÁCTICAS DE LABORATORIO CURSO 2010/2011 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Tutorial de Introducción a Matlab ® Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® 1. OBTENCIÓN DE AYUDA Y GUÍAS DE REFERENCIA Matlab® es un conjunto de herramientas de cálculo basadas en matrices especialmente diseñado para resolver problemas numéricos como los que se dan en aplicaciones científicas o de ingeniería. A continuación se detallan varios sistemas de ayuda que permiten obtener información de las diferentes funcionalidades de Matlab®. Se recomienda que el alumno se familiarice con ellos y con la información que proporcionan: • • • Ayuda on line de Matlab®: accesible a través de los comandos helpwin, help o lookfor. helpdesk nos proporciona la ayuda en su versión web. Un buen punto de partida para introducirse en Matlab® es el Enlace “getting started”. Demostraciones de Matlab® accesibles a través del comando demo. Además, también serán elementos de ayuda para el desarrollo del laboratorio: • • The Mathworks, manual de usuario de Matlab® en formato “.pdf”, accesible a través de la ayuda en formato “.html”. Su página web: http://www.mathworks.com/ 2. ACCESO A MATLAB® Para acceder a Matlab® basta con hacer uso del icono que encontraremos en el escritorio de cada uno de los PCs del laboratorio. También se puede iniciar una sesión accediendo al ejecutable a través del menú Programas. Inicio de sesión La pantalla inicial de Matlab® muestra una ventana con un aspecto similar a: To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo. For product information, type tour or visit www.mathworks.com. » o a: To get started, select MATLAB Help or Demos from the Help menu. » El símbolo “»” indica que el programa está listo para que introduzcamos nuestras instrucciones. Si se desea abandonar la sesión de Matlab® basta con ejecutar: » quit o 1 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® » exit Configuración del path Una vez iniciado Matlab®, conviene configurar el directorio de ejecución actual de los programas. Para ello, se accede al menú: File -> Set path -> Add folder, y se selecciona la carpeta en la que estén contenido los programas. Una vez hecho ya se podrán ejecutar los programas de nuestro directorio, tecleando su nombre en la línea de comandos. Igualmente, puede hacer que el directorio de trabajo sea el correspondiente a su cuenta de laboratorio sin más que seleccionarlo en Current Directory. 3. INTRODUCCIÓN DE MATRICES Los elementos de trabajo fundamentales en Matlab® son las matrices. Si se pretende representar un escalar se hará a través de una matriz 1x1; las matrices con una sola fila, 1xN, o con una sola columna, Nx1, representan vectores. Además hay que tener en cuenta que los elementos de una matriz pueden ser complejos, es decir, constar de parte real y parte imaginaria. En Matlab® se suele trabajar asignando estas matrices a variables con un determinado nombre. Así, para introducir una matriz 3x3 y asignarla a una variable denominada A podemos hacer: » A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] o bien: » 1 4 7 A 2 5 8 = [ 3 6 9] Los elementos de una fila de la matriz se separan por espacios en blanco, aunque también se pueden usar comas. Para separar cada una de las filas se utilizará punto y coma. Se debe ser cuidadoso con el uso de espacios en blanco. Para identificar a cada uno de los elementos de una matriz se indicará la fila y columna correspondiente al valor deseado: » a=A(2,2) a = 5 De esta manera se ha identificado el elemento que se encuentra en la segunda fila y segunda columna de la matriz A. Si se hubiera definido un vector bastaría con utilizar un único índice para referenciar el elemento de interés. Estos índices que identifican los elementos de una matriz deben ser siempre números enteros positivos. 2 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® 4. FUNCIONES PARA CONSTRUIR MATRICES Para construir matrices de una forma más sencilla Matlab® dispone de muchas funciones. Algunos ejemplos con los que se recomienda experimentar son: eye zeros ones diag triu tril rand randn hilb magic toeplitz Matriz identidad Matriz de ceros Matriz de unos Ver help diag Parte triangular superior de una matriz Parte triangular inferior de una matriz Matriz de elementos aleatorios (distribución uniforme) Matriz de elementos aleatorios (distribución gaussiana) Matriz de Hilbert Matriz mágica Ver help toeplitz Si x es un vector, diag(x) es la matriz diagonal con x en su diagonal; si A es una matriz cuadrada, entonces diag(A) es un vector formado por la diagonal de A. Las matrices se pueden construir por bloques. Por ejemplo si A es una matriz 3x3: » B=[A, zeros(3,2); zeros(2,3), eye(2)] B = 1 4 7 0 0 2 5 8 0 0 3 6 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 5. OPERACIONES CON MATRICES Las operaciones que se pueden realizar son: + * ^ ‘ \ / Suma Resta Multiplicación Potenciación Transposición División izquierda División derecha Todas estas operaciones se pueden aplicar sobre matrices [NxM] o escalares [1x1]. En el caso de que las dimensiones de las matrices sean incompatibles con la operación que se pretende realizar, Matlab® mostrará un mensaje de error. No obstante, determinadas operaciones se realizan de forma particular. Así, si a una matriz [NxM] se le resta o suma un escalar, esta operación se realiza sobre cada uno de los elementos de la matriz: 3 Tutorial de Introducción a Matlab® Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 » A+1 ans = 2 5 8 3 6 9 4 7 10 Es posible utilizar los operadores para realizar operaciones por coordenadas, es decir, elemento a elemento entre las matrices involucradas en la operación. Para realizar este tipo de operaciones se usa el operador “.”. Así, si un operador aparece precedido de un punto ( .^, .*, .\, ./ ) la operación se realizará elemento a elemento, como en el siguiente ejemplo, en el que se eleva al cuadrado cada valor de la matriz: » A.^2 ans = 1 16 49 4 25 64 9 36 81 6. EXPRESIONES, VARIABLES Y SESIONES Matlab® es un lenguaje de expresiones. Éstas son interpretadas y evaluadas. Como se ha visto en los ejemplos previos las expresiones en Matlab® son del tipo: » variable = expresión o » expresión Una expresión estará compuesta por operadores, funciones y nombres de variables. El resultado de evaluar una expresión es una matriz, que se mostrará por pantalla y se almacenará en la variable indicada para su posterior uso. Si se omiten la variable y el signo “=” se crea una variable llamada ans a la que se le asigna el resultado de la expresión. Una instrucción termina con un retorno de carro. Si se desea continuar con ella en la siguiente línea basta con escribir tres (o más) puntos al final, antes del retorno de carro, como se ilustra a continuación: >> A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 10; 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20] A = 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 10 20 >> Para agrupar varias instrucciones en una línea se separarán éstas por comas o puntos y comas; aquéllas que finalicen con “;” no muestran el resultado por pantalla. 4 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® Es necesario indicar que Matlab® es sensible al uso de mayúsculas y minúsculas, tanto en los nombres de variables como en los de instrucciones y funciones. Para saber qué variables hay almacenadas en nuestro espacio de trabajo se utiliza la instrucción who: » who Your variables are: A F G S Si se desea eliminar una variable de la memoria se hará: » clear variable Para eliminar todas las variables no permanentes bastará con teclear clear. Es posible almacenar las variables de la sesión actual de Matlab® para utilizarlas en una sesión posterior con la instrucción save, que genera un fichero en el disco con el nombre matlab.mat guardando los datos de nuestra sesión. Para recuperar estos datos en una sesión posterior se hará uso de la instrucción load. Si se desea, es posible asignar un nombre diferente al archivo en el que se almacenan los datos de la sesión o seleccionar qué variables guardar, tal como se explica en la ayuda del comando save. Matlab® es un lenguaje de programación interpretado, es decir, los programas no necesitan una compilación o enlazado previos a su funcionamiento y las expresiones que componen una determinada secuencia de instrucciones o programa se ejecutan de manera secuencial. 7. BUCLES. OPERADORES RELACIONALES Matlab® tiene instrucciones para el control de flujo de los programas que actúan de forma similar al resto de los lenguajes. for La forma general de un bucle for es: for contador instrucciones end Veamos un ejemplo para un valor determinado de una variable n que actúa como límite del bucle, en concreto generaremos un vector con cuatro elementos: » n = 4; » x=[];for i = 1:n, x=[x,i^2], end x = 1 5 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® x = 1 4 1 4 9 1 4 9 x = x = 16 Lo anterior sería equivalente a escribir: » x=[]; » for i = 1:n x=[x,i^2] end x = 1 x = 1 4 1 4 9 1 4 9 x = x = 16 En un bucle for se puede indicar la cantidad que queremos que se incremente la variable contador (i en este caso) en cada iteración del bucle. Por defecto i será incrementada en una unidad por iteración. Así podemos tener un bucle for como: » for i = n:-1:1, x=[x,i^2],end x = 16 x = 16 9 16 9 4 16 9 4 x = x = 1 Una anidación de bucles for puede usarse para construir una matriz, como en el siguiente ejemplo, que proporciona la matriz Hilbert m x n. Puesto que se usa el “;” no se muestran los resultados intermedios. El uso de H al final muestra la variable resultado. » m=10 m = 10 » n=5 n = 6 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® 5 » for i =1:m for j= 1:n H(i,j)=1/(i+j-1); end end » H H = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 while La forma general de un bucle while es: while relacion Instrucciones end Las instrucciones se ejecutarán mientras se cumpla la relación. Por ejemplo: » while 2^n < a n=n+1; end » n este bucle se repetirá hasta que la relación: 2n < a, no sea satisfecha. if, else, elseif La forma general de una instrucción if es: if relación instrucciones elseif relación instrucciones else instrucciones end De esta forma se puede alterar el flujo secuencial de un programa. Las instrucciones dentro del bucle if sólo se ejecutarán una vez y sólo si la relación es cierta. Es posible tener ramificaciones múltiples: » if n<0 paridad=0; elseif rem(n,2) == 0 paridad=2; 7 Tutorial de Introducción a Matlab® Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 else paridad=1; end Relaciones en Matlab® Los operadores relacionales en Matlab® son: < > <= >= == ~= Menor que Mayor que Menor o igual que Mayor o igual que Igual Distinto Es importante tener en cuenta que el signo “=” se usa en las asignaciones de valor mientras que el “==” se usa en las relaciones. Para conectar relaciones o cuantificar las mismas se usan operadores lógicos: & | ~ AND OR NOT Las relaciones entre escalares, es decir, entre matrices 1x1, devuelven un escalar, que será 1 ó 0 dependiendo de si la relación es verdadera o falsa: » 1 > 0, 1 < 0, 1 == 0, 1 ~= 0 ans = 1 ans = 0 ans = 0 ans = 1 Si la relación se aplica a matrices del mismo orden, la evaluación de ésta da lugar a una matriz de ceros y unos, valores correspondientes a calcular la relación entre los distintos elementos de cada matriz. Es importante observar el correcto uso de la relación entre matrices en un bucle while o una sentencia condicional if. Por ejemplo, en » if a==b instrucciones end 8 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® las instrucciones se ejecutarán si todos los elementos de la matriz a son iguales a los de b. Pero, si se desea ejecutar las mismas instrucciones sólo si a y b son distintas hay que recurrir a » if any(any(a~=b)) instrucciones end o más sencillo: » if a==b else instrucciones end ya que la expresión » if a~=b instrucciones end sólo se ejecutará si todos los elementos de a son distintos a los de b. Las funciones any y all pueden utilizarse para reducir relaciones entre matrices a relaciones entre vectores y escalares. En el ejemplo anterior se requieren dos any porque éste es un operador vectorial. 8. FUNCIONES ESCALARES Las funciones más comunes de Matlab® que operan sobre magnitudes escalares o sobre matrices elemento a elemento son: sin cos tan asin acos atan rem log exp abs sqrt sign ceil floor round Se puede obtener más información sobre cada una de estas funciones escalares con el comando help. 9. FUNCIONES VECTORIALES Otras funciones operan sobre vectores fila o columna, o sobre matrices mxn (con m ≥ 2). En este último caso operan columna a columna y proporcionan como resultado un vector fila cuyos elementos son las evaluaciones de la operación sobre cada columna. El siguiente ejemplo hace uso del comando mean, que calcula la media de los elementos de un vector. a = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.7621 0.4565 0.0185 0.8214 0.4447 0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 » mean(a) 9 0.4057 0.9355 0.9169 0.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 0.0099 0.1389 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® ans = 0.6331 0.5006 0.6487 0.7124 0.2745 0.5006 0.6487 0.7124 0.2745 » mean(a,1) ans = 0.6331 El resultado de los comandos mean(a) y mean(a,1) es el mismo debido a que el segundo argumento de mean se refiere a la dimensión sobre la que se efectuará la operación. En el caso de operar sobre las columnas el escalar valdrá 1, mientras que si actuamos sobre las filas su valor será 2. Si se desea aplicar la operación a las filas basta con usar la matriz traspuesta – por ejemplo mean(a')' nos proporciona un vector columna con las medias calculadas para cada fila – o el comando mean(a,2): » mean(a') ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090 » mean(a')' ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090 » mean(a,2) ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090 Algunas de las funciones vectoriales empleadas con mayor frecuencia son: max min sum prod median mean any all sort std Se puede obtener más información sobre cada una de estas funciones vectoriales con el comando help. 10. FUNCIONES MATRICIALES Matlab® dispone de multitud de funciones matriciales. Es conveniente tener en cuenta que los argumentos de salida para una función en Matlab® pueden ser simples o múltiples. Por ejemplo: y = eig(A), o simplemente eig(A) 10 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® proporciona un vector columna con los autovalores de A. Mientras que [U,D] = eig(A) genera una matriz U cuyas columnas son los autovectores de A y una matriz diagonal D con los autovalores de A en su diagonal. 11. SUBMATRICES Y NOTACIÓN DE DOS PUNTOS Los vectores y submatrices son utilizados a menudo en Matlab® para conseguir efectos de manipulación bastante complejos. La “notación de dos puntos” se utiliza para generar vectores o submatrices. El uso conjunto de esta notación con la adecuada indexación por vectores son claves para realizar cálculos en Matlab® de forma eficiente, minimizando el número de bucles, que hacen la ejecución de los programas más lenta. Además, las instrucciones parecen más sencillas y legibles. Veamos un ejemplo de “notación de dos puntos”: » 1:5 ans = 1 2 3 4 5 Resulta que 1:5 es en realidad el vector mostrado en la variable ans. Los números pueden no ser enteros y el incremento diferente de la unidad. Por ejemplo: » 0:0.2:1 ans = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 El siguiente ejemplo muestra cómo generar una función sinusoidal sin usar un bucle for con una variable haciendo de contador: » x=[0.0:0.1:2*pi]’ » y=sin(x) » plot(x,y) Mediante la notación de dos puntos se puede acceder a submatrices. Por ejemplo, A(1:4,3) es el vector columna con las cuatro primeras entradas de la tercera columna de A. Dos puntos sin más especificación denotan una fila o columna completa. Así, es la tercera columna de A y A(1:4,:) serán las cuatro primeras filas. Igualmente, se pueden usar como índices vectores enteros arbitrarios. Por ejemplo, A(:,[2 4]) serán las columnas segunda y cuarta de A. Otro ejemplo más elaborado podría ser A(:, [2 4 5]) = B(:,1:3), que reemplaza las columnas 2, 4 y 5 de A por las tres primeras de B, asignando el resultado a la matriz A. A(:,3) Podemos usar esta notación para trabajar con submatrices de forma eficiente y sin utilizar bucles. Así, la instrucción A(:,[2,4])=A(:,[2,4])*[1 2;3 4] multiplica 11 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® las columnas 2 y 4 de A por una matriz 2x2 y el resultado se asigna de nuevo a la matriz completa. 12. ARCHIVOS .m En Matlab® es posible ejecutar una secuencia de instrucciones almacenadas en un archivo de disco. Estos archivos se denominan “archivos .m” porque su extensión debe ser “.m”. Pueden ser de dos tipos: de funciones y de instrucciones. Archivos de instrucciones. Scripts Estos archivos “.m” consisten en una sucesión de instrucciones normales de Matlab .Si tuviéramos un archivo denominado nombre.m, las instrucciones del archivo pueden ser ejecutadas sin más que escribir nombre. Las variables en un archivo de este tipo se consideran como globales y por lo tanto alterarán los valores de las variables del espacio de trabajo. ® Los archivos de instrucciones se utilizan para cargas de datos en matrices de tamaño considerable, o cuando estas cargas son repetitivas, ya que es sencillo corregir errores sin tener que repetir todo el trabajo. Por ejemplo el archivo datos.m que incluye el siguiente contenido: a=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 ]; hará que al ejecutar datos se cargue la variable a con el valor especificado en el espacio de trabajo. Además este archivo puede hacer referencia a otros. Resulta muy habitual emplear los archivos de instrucciones es como scripts. Los scripts no aceptan ningún tipo de argumento de entrada ni devuelven ningún argumento de salida y trabajan con datos situados en el espacio de trabajo (workspace). Los scripts son muy útiles dado que, al invocarlos, Matlab® simplemente ejecuta los comandos presentes en el fichero. Los scripts pueden trabajar con datos existentes en el espacio de trabajo o pueden crear nuevos datos con los que operar. Aunque hemos mencionado que los scripts no devuelven argumentos de salida, cualquier variable creada por ellos permanece en el espacio de trabajo, por lo que puede emplearse en cálculos posteriores. La utilidad de los scripts podrá comprobarse a lo largo de las prácticas de la asignatura. Archivos de funciones Mediante estos archivos Matlab® extiende sus capacidades de cálculo, creando funciones específicas para la resolución de tareas concretas. Estas funciones tendrán el mismo rango que cualquier otra de las existentes en el sistema. En este caso las variables empleadas serán locales a cada función, y si se pretende usar una variable como global habrá que declararla como tal explícitamente. Veamos un ejemplo sencillo con el archivo ental.m, cuyo contenido es 12 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® function a = ental(m,n) %ENTAL Matriz generada aleatoriamente % ental(m,n) produce una matriz con mxn entradas % enteras entre 0 y 9 a = floor(10*rand(m,n)); Una versión más general de esta función es: function a = ental(m,n,b,c) %ENTAL Matriz generada aleatoriamente % ental(m,n) produce una matriz con mxn entradas % enteras entre 0 y 9 % ental(m,n,b,c) da las entradas de la matriz entre b y c if nargin < 3, b=0; c=9; end a = floor((c-b+1)*rand(m,n))+b; La primera línea del archivo ental.m contiene el nombre de la función, así como los argumentos de entrada y de salida de la misma. Sin esta línea el archivo se consideraría como uno de instrucciones. Así la instrucción z = ental(4,5) hará que los números 4 y 5 pasen a las variables m y n en el archivo de función. El resultado se asignará a la variable z. Como las variables en un archivo de función son locales, sus nombres son independientes de los que se encuentren en el espacio de trabajo. El uso de nargin (número de argumentos de entrada) permite asignar un valor por defecto a una variable de entrada que se omita, como b y c en el ejemplo. Los argumentos de salida también pueden ser múltiples. Por ejemplo: function [w,ierr] = bessel(nu,z) %BESSEL Bessel functions of various kinds. % Bessel functions are solutions to Bessel's differential % equation of order NU: % 2 2 2 % x * y'' + x * y' + (x - nu ) * y = 0 % % There are several functions available to produce solutions to % Bessel's equations. These are: % % BESSELJ(NU,Z) Bessel function of the first kind % BESSELY(NU,Z) Bessel function of the second kind % BESSELI(NU,Z) Modified Bessel function of the first kind % BESSELK(NU,Z) Modified Bessel function of the second kind % BESSELH(NU,K,Z) Hankel function % AIRY(K,Z) Airy function % % See the help for each function for more details. % % Copyright (c) 1984-98 by The MathWorks, Inc. $Revision: 5.8 $ $Date: 1997/11/21 23:45:04 $ [w,ierr] = besselj(nu,z); En el caso de que se usen argumentos de salida múltiples también es posible hacer asignaciones simples al primero de los parámetros de salida. El símbolo % indica que el resto de la línea es un comentario; así Matlab® lo ignorará durante la ejecución del código. Las primeras líneas de comentarios de un 13 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® archivo de función pueden consultarse con la instrucción help. Es imprescindible incluir esta documentación en cada archivo para una correcta clasificación y reutilización de nuestras propias funciones. Matlab® dispone de funciones internas, construidas en el propio código del programa, y otras que se entregan como archivos “.m”. Se recomienda la inspección de dichos archivos, que pueden servir al alumno como fuente de inspiración a la hora de crear sus propias funciones. Para ver un archivo desde la línea de comandos de Matlab® usando el editor integrado en la aplicación basta teclear edit funcion.m. Las ventajas de crear funciones propias podrán comprobarse a lo largo de las prácticas de la asignatura. 13. CADENAS DE TEXTO, MENSAJES DE ERROR, INPUT Las cadenas de texto se introducen entre comillas simples. Por ejemplo: s = ‘Esto es una cadena de texto de prueba’ Las cadenas de texto pueden mostrarse con la instrucción disp: disp(‘Esto es un mensaje’) Para el caso en el que se desee mostrar algún tipo de mensaje de error resulta más aconsejable emplear la función error: error(‘Lo siento, esto es un mensaje de error’) La diferencia entre las dos opciones consiste en que al emplear error se finaliza la ejecución del archivo “.m”. Para la introducción de datos de manera interactiva se usa input. Si Matlab® encuentra la instrucción input durante la ejecución de un script o de un archivo de función, mostrará la cadena de texto asociada y parará la ejecución hasta que el usuario introduzca los datos. Estos se asignarán a la variable correspondiente tras el retorno de carro, continuando inmediatamente con la ejecución del programa. 14. DEPURACIÓN DE FUNCIONES Matlab® dispone de herramientas para depurar funciones en archivos “.m”. Algunas de éstas son: dbstop dbclear dbcont dbdown dbstack dbstatus dbstep dbtype Fija un breakpoint Elimina un breakpoint Reanuda la ejecución Cambia el contexto de ejecución local Indica desde donde se llamó a una función Lista todos los breakpoints Ejecuta una o más líneas Lista un fichero “.m” con números de línea 14 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 dbup Tutorial de Introducción a Matlab® Cambia el contexto de ejecución local 15. GRÁFICOS E INTERFACES GRÁFICAS Matlab® permite dibujar gráficos planos y de malla de superficies tridimensionales. Gráficos planos La función plot crea gráficos en el plano XY; si x e y son vectores de la misma longitud, la orden plot(x,y) accede a la pantalla gráfica y realiza un gráfico plano de los elementos de y frente a los elementos de x. Intente dibujar de esta forma la función seno sobre el intervalo [-2*π,2*π], con un paso de 0.01, teniendo en cuenta que la función sin es vectorial. Si realiza un nuevo gráfico, éste se dibujará sobre el anterior. Si desea mantener el primer gráfico se debe emplear la función hold; con hold on y hold off congela y libera la pantalla gráfica actual. La instrucción grid dibujará una cuadrícula de referencia sobre el gráfico. Puede emplear el comando figure para realizar representaciones en diferentes ventanas. Como prueba, muestre un gráfico de la función y = e − x con un paso de 0.01 sobre el intervalo [-1.5,1.5]. 2 Para poner títulos, etiquetas y comentarios en los ejes de los gráficos se emplean los comandos title, xlabel, ylabel, gtext, text. Experimente con ellos. La escala de los ejes se ajusta automáticamente al pintar el gráfico, por lo que si desea fijar los ejes con unos valores determinados deberá usar el comando axis. La entrada de axis es un vector de 4 elementos de la forma [xmin, xmax, ymin, ymax]. El uso de axis congela el escalado para los siguientes gráficos que muestre. Para volver al escalado automático se emplea la función axis sin argumentos. Puede ver más utilidades de este comando con help axis. En Matlab® también puede obtener gráficos de funciones múltiples formando una matriz con los valores de dichas funciones como columnas. El siguiente ejemplo representa tres funciones sinusoidales: x=0:.01:2*pi; Y=[sin(x)’,sin(2*x)’,sin(4*x)’]; plot(x,Y) Otra de las características de las representaciones gráficas en Matlab® es la posibilidad de realizar cambios en los tipos de línea y de punto asignados por defecto. Teclee help plot y experimente con ello. Para finalizar, el comando subplot permite visualizar varios gráficos a la vez en la pantalla. Este comando divide la ventana de representación de figuras en una matriz mxn. Posteriormente es necesario seleccionar la posición concreta en la que se quiere representar cada figura. La ayuda de Matlab® proporciona ejemplos ilustrativos acerca del uso combinado de plot y subplot. 15 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab® Interfaces gráficas Es posible construir interfaces gráficas para permitir al usuario una interacción más fácil con las herramientas desarrolladas. Proporcionar las nociones básicas del manejo de elementos gráficos está fuera de los objetivos de este tutorial. No obstante, puede ser interesante para el alumno aprender a manejar esta característica de Matlab® con el fin de presentar más fácilmente los resultados obtenidos en los ejercicios y realizar una programación estructurada en la resolución de cada uno de ellos. BIBLIOGRAFÍA [1] The Mathworks, Manual de usuario de Matlab®. 16 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Práctica 1: Introducción a la simulación de señales y sistemas Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1 1. OBJETIVOS Con esta primera práctica se pretende que el alumno sea capaz de simular los conocimientos teóricos adquiridos sobre señales y sistemas lineales. Para ello deberá realizar una serie de programas de Matlab® que le permitirán: 1. 2. 3. 4. Calcular transformadas de Fourier. Ver e interpretar espectros de señales. Obtener el equivalente paso bajo de señales paso banda. Trabajar con procesos aleatorios. Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio. Asimismo, con el objetivo de facilitar la comprensión de los conceptos de Teoría de la Comunicación, complementando las explicaciones teóricas y las prácticas de laboratorio, se encuentra disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc un tutorial vía web. Cada tema de la asignatura tiene una serie de applets de Java que permiten simular diferentes conceptos teóricos, evaluando la importancia de los diferentes parámetros que entran en juego. Cada applet se identifica como TemaxApplety.html, siendo x el número del tema e y el número del applet. A lo largo del enunciado de las prácticas de laboratorio se mencionarán los applets que pueden resultar útiles en cada caso. Es necesario instalar JRE 1.5 para poder utilizarlo (disponible en la web de la asignatura alojada en http://www.tel.uva.es). 2. SEÑALES EN TIEMPO Y EN FRECUENCIA En este primer apartado se pretende que el alumno sea capaz de generar y visualizar correctamente señales en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia, haciendo uso de las funciones que proporciona Matlab®. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de las categorías ‘Waveform Generation’ y ‘Transforms’. Considere las siguientes señales definidas en el tiempo: • • • • • x1 (t ) = cos(2πf c t ) x2(t) = sinc(at) x3 (t ) = Λ (t ) t − t0 x 4 (t ) = Λ T 0 t t − t0 x5 (t ) = Π + b ⋅ Π T1 T2 (1) (2) (3) (4) (5) 1 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1 Los parámetros de las mismas vienen dados por: fc = 200 Hz, a = 0.5, t0 = 0.1 s, T0 = 0.01 s, T1 = 0.05 s, T2 = 0.025 s y b = 2 V. Además: t 1 − , t < τ Λ( ) = τ τ 0, resto t • • (6) Genere un vector de tiempos, a partir de una frecuencia de muestreo (fs) que considere adecuada para cada señal. La opción más recomendable consiste en definir el vector de la forma t = [tinicial:1/fs:tfinal], donde tinicial y tfinal representan los extremos del intervalo temporal de trabajo y fs es la frecuencia de muestreo1. De este modo el vector tendrá un determinado número de muestras N = length(t) que dependerá de los valores de tinicial, tfinal y fs. Visualice en tiempo las señales anteriores, mediante el comando plot. Para escalar convenientemente la señal puede resultar útil el comando axis. Una vez definidas las señales en el tiempo, se va a calcular el espectro de las mismas, para lo cual se hará uso de la transformada de Fourier. Ha de tener en cuenta que en Matlab® se trabaja con señales discretas x[n], es decir, con secuencias de N muestras, separadas TS (período de muestreo). El primer paso para obtener una señal de este tipo consiste en tomar muestras de la señal continua en instantes de tiempo separados TS: xδ (t ) = ∞ ∑ x(nTS )δ (t − nTS ) (7) n = −∞ Si se calcula la transformada de Fourier de la misma se obtiene: Xδ ( f ) = 1 TS ∞ ∑ n = −∞ X(f − n ) TS (8) En el caso de que se parta directamente de una secuencia discreta, x[n], como ocurre en Matlab®, la expresión de la transformada de Fourier discreta (DFT, Discrete Fourier Transform) es: Xd (f ) = ∞ ∑ x[n]⋅ e − j 2πfnT S (9) n = −∞ Para reducir la carga computacional asociada, Matlab® implementa la DFT mediante el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform). El comando correspondiente es fft, que suele combinarse con la función fftshift. La frecuencia más alta con significado físico real visible mediante el comando fft es la mitad de la frecuencia de muestreo. Esto hay que tenerlo en cuenta cuando se vayan a representar los espectros. 1 Para la mayor parte de las señales que analizaremos a lo largo del curso es recomendable emplear para así tener un intervalo simétrico con respecto a t = 0. tinicial = -tfinal 2 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 • • • Práctica 1 Calcule de manera analítica la transformada de Fourier de las señales x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t). Visualice en el dominio de la frecuencia las expresiones obtenidas con el comando plot. Para generar el vector de frecuencias correspondiente puede resultar útil el comando linspace. Partiendo de las señales en el tiempo del apartado anterior (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t)) y de la frecuencia de muestreo seleccionada, calcule numéricamente los espectros de las mismas. Represente el valor absoluto de los resultados, utilizando las funciones abs y plot. ¿Por qué piensa que ha de tomarse el valor absoluto de la transformada de Fourier? Compare los espectros obtenidos de forma analítica con los obtenidos de manera numérica. En caso de que no coincidan, indique si es necesario introducir algún factor de escala en el cálculo numérico, teniendo en cuenta si las señales están definidas en energía o en potencia. Si ha definido el vector de tiempos de la manera indicada anteriormente, su programa tan sólo dependerá de dos variables: la frecuencia de muestreo y el número de muestras del vector de tiempos. Con el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema1Applet1.html es posible estudiar diferentes propiedades de la transformada de Fourier (escalado, desplazamiento en tiempo y desplazamiento en frecuencia) de una función sinc para así comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado. De manera análoga en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema1Applet2.html se puede calcular la transformada de Fourier de varias señales tipo (coseno, sinc y pulso rectangular) para contrastar las figuras con los resultados obtenidos con Matlab®. Para cuantificar la distribución en frecuencia de la energía o la potencia de una señal se recurre a una magnitud denominada densidad espectral. • • • Calcule analíticamente la densidad espectral de las señales anteriores. Calcule numéricamente y represente la densidad espectral de las señales anteriores (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t)), teniendo en cuenta si están definidas en energía o en potencia antes de realizar los cálculos. Para generar la función de autocorrelación puede resultar útil el comando xcorr. Compare los espectros obtenidos de forma analítica con los obtenidos de manera numérica. 3. MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE En este apartado se va a estudiar la representación equivalente paso bajo de una señal paso banda. Para ello, se hará uso de la transformada de Hilbert, que puede realizarse en Matlab® con el comando hilbert, si bien el mismo merece especial atención. Por ello, se recomienda consultar la ayuda de esta función antes de emplearla. Sean x 6 (t ) y x 7 (t ) las señales definidas como: • x 6 (t ) = 3 ⋅ sen(10πt) ⋅ cos(2π ⋅ 500 t ) 5πt 3 (10) Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 • Práctica 1 x7 (t ) = 25 ⋅ Λ(10t) ⋅ cos(2π ⋅ 400t ) (11) Suponiendo que la frecuencia de muestreo es programa de Matlab® para calcular y representar: f S = 2000 Hz , realice un • Las señales x 6 (t ) y x 7 (t ) . • Los módulos del espectro de cada señal, es decir, X 6 ( f ) y X 7 ( f ) . • • • • La densidad de espectral de x 6 (t ) y x 7 (t ) . Los módulos de los espectros de las señales analíticas positivas y negativas correspondientes a cada una de las dadas. Los espectros de las señales equivalentes paso bajo. Las componentes en fase y cuadratura de x 6 (t ) y x 7 (t ) . • La envolvente natural de x 6 (t ) y x 7 (t ) . Las funciones angle, real e imag, además de la ya mencionada hilbert, pueden resultarle útiles en la resolución del problema. Consulte la ayuda para saber el modo de empleo de cada una de ellas. 4. PROCESOS ALEATORIOS PASO BANDA En este último apartado se van a analizar los procesos aleatorios, estudiando dos formas de ruido: el ruido blanco gaussiano y el ruido de banda estrecha. El ruido blanco gaussiano se caracteriza porque su densidad espectral de potencia es constante: SW ( f ) = N0 2 (12) SW ( f ) vendrá dada en W/Hz. Dado que SW ( f ) es constante y no depende de la frecuencia, la función de autocorrelación del ruido blanco es una delta en el origen, cuya magnitud es la de la densidad espectral de potencia. Para generar ruido blanco gaussiano, se puede usar la función wgn. La siguiente línea de código permite crear un vector fila de ruido blanco gaussiano con media nula especificando la densidad espectral de potencia: Ruido_blanco = wgn(1,N,N0/2,’linear’,’real’); Otra opción consiste en utilizar la función randn, que genera datos gaussianos de media nula y varianza (σ2) unidad. Es posible emplearla para generar un vector fila de datos gaussianos con diferente media y varianza como sigue: Datos_gaussianos = media+sqrt(varianza)*randn(1,N); 4 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1 Si se aproxima la varianza del ruido blanco gaussiano por el valor de la densidad espectral de potencia, podremos generar un vector de media nula y varianza igual a N0/2 con la siguiente línea de código: Ruido_blanco = sqrt(N0/2)*randn(1,N); • • Genere un vector de ruido blanco gaussiano de media cero, N0 = 10 W/Hz y 10000 muestras con las dos opciones especificadas anteriormente. Visualice la función de autocorrelación (asuma que la frecuencia de muestreo es fs = 4000 Hz) y la densidad espectral de potencia de los procesos de ruido generados. Analice los resultados. Cuando el proceso de ruido tiene un espectro en potencia mucho mayor en las frecuencias en torno a una central (± fc), que en el resto, se dice que el proceso es paso banda. Por ello, al igual que las señales paso banda deterministas, puede representarse en su forma canónica. Si además se cumple que su ancho de banda es suficientemente pequeño en relación a esta frecuencia central (fc >> B), podemos decir que el proceso de ruido es de banda estrecha. Una forma de generar un proceso de ruido de este tipo consiste en aplicar un filtro paso banda, de anchura B en un entorno de fc, a un proceso de ruido blanco. • • Analice la respuesta del filtro paso banda, especificado por los coeficientes a y b2. ¿Cuál es la frecuencia central del mismo (fc), así como el ancho de banda correspondiente (B), teniendo en cuenta que la frecuencia de muestreo es: fs = 4000 Hz? Para ello se recomienda consultar la función fvtool. Genere un ruido de banda estrecha centrado en fc con ancho de banda B, a partir del proceso de ruido blanco generado anteriormente. Calcule y visualice su densidad espectral de potencia. Para filtrar el ruido blanco emplee la función de Matlab® filter(b,a,n), siendo a y b los vectores de coeficientes del punto anterior y n el vector que contiene las muestras de la señal ruidosa. Otra forma alternativa para generar ruido de banda estrecha consiste en emplear procesos ruidosos paso bajo. Al igual que en el caso de las señales deterministas, un proceso aleatorio paso banda puede representarse como: X (t ) = X C (t ) cos(2πf 0t ) − X S (t ) sen(2πf 0t ) , (13) donde X C (t ) y X S (t ) son las componentes en fase y en cuadratura de X (t ) . Los procesos aleatorios X C (t ) y X S (t ) son paso bajo. BIBLIOGRAFÍA [1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001. 2 Los vectores de coeficientes, están disponibles en la página web de la asignatura (alojada dentro del dominio www.tel.uva.es), en el archivo coeficientes.mat. Para cargarlos en el espacio de trabajo debe emplear el comando load. 5 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1 [2] A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989. [3] The Mathworks, Manual de usuario de Matlab®. 6 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Práctica 2: Modulación en amplitud. Modulación en frecuencia. Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2 1. OBJETIVOS Con esta segunda práctica se pretende que el alumno comprenda los conceptos teóricos fundamentales de las modulaciones analógicas. Para ello se simularán la modulación AM convencional, la modulación SSB, la influencia del sincronismo en la modulación DSB-SC y la distorsión en FM de banda estrecha. Asimismo, también se estudiará la influencia del ruido en la modulación AM convencional. Antes de comenzar la realización de la práctica se recomienda consultar el toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Specialized Operations’. Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio. 2. MODULACIÓN EN AMPLITUD 2.1. Modulación AM convencional Sea m(t) la señal de datos que se quiere transmitir y c(t) una señal portadora, es decir, c(t ) = Ac cos(2πf c t ) . Si modulamos la señal de datos m(t) con AM convencional con sensibilidad ka, la señal modulada s(t) vendrá dada por la expresión: s (t ) = Ac [1 + ka m(t )]cos(2πf c t ) (1) La envolvente de la señal s(t) tiene la misma forma que m(t) siempre que k a m(t ) < 1 . En caso contrario se produce sobremodulación. La transformada de Fourier de la señal s(t) es: S( f ) = Ac [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] + k a Ac [M ( f − f c ) + M ( f + f c )] 2 2 (2) La potencia de la señal modulada es: Ps = [ Ac2 1 + k a2 P 2 ] (3) En la expresión (3), P es la potencia de la señal moduladora. La eficiencia en potencia de la modulación se obtiene como el cociente entre la potencia empleada para transmitir el mensaje de datos y la potencia total en la señal modulada. Para el caso de una señal modulada con AM convencional: η= k a2 P 1 + k a2 P 1 (4) Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2 Sea la señal: m(t ) = Am cos(2πf m t ) (5) Considere que k a = 0.85 , Am = 1 V, fm = 100 Hz y que la frecuencia de la portadora c(t) es de 250Hz. Suponiendo que no hay ruido en el canal de comunicaciones, realice las siguientes tareas con Matlab®: • • • • • • Obtenga la señal s(t) con la fórmula (1) a partir de m(t), c(t) y ka. Tenga en cuenta que Ac = 1 V . ¿Hay sobremodulación? Represente m(t) y s(t) en el intervalo 0 ≤ t ≤ 0.15 s 1. Calcule las transformadas de Fourier de m(t) y s(t) y represéntelas. Para ello, tenga en cuenta todas las consideraciones respecto al cálculo de los espectros y a la visualización de señales de la práctica anterior. Determine la potencia de m(t) y s(t). Para ello puede resultarle útil la función xcorr. Calcule la eficiencia de la modulación. Recupere la señal m(t) a partir de s(t) con un detector de envolvente. Utilice las líneas de código del programa que crease en la práctica 1 para el cálculo de la envolvente natural de señales. Tenga en cuenta que, una vez obtenida la envolvente de s(t), su expresión será similar a v(t ) = Ac [1 + k a m(t )] . Si Ac = 1, puede eliminar la componente de continua y recuperar la señal moduladora con la siguiente expresión, en la que env hace referencia a la envolvente previamente calculada: dem1=(env-1)/k_a; • • ¿Qué sucedería si la señal moduladora fuera m2 (t ) = 3m(t ) ? Repita los pasos anteriores empleando adecuadamente las funciones modulate y ® demod de Matlab . ¿Qué método ha de seleccionar para realizar la modulación AM con el comando modulate? ¿Es posible realizar la demodulación con un detector de envolvente empleando el comando demod? En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema2Applet1.html es posible estudiar la modulación AM con dos señales moduladoras diferentes (coseno y sinc) y así comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado. 2.2. Modulación SSB En la modulación SSB sólo se transmite una banda lateral de las dos que componen la modulación DSB-SC, introducida de manera implícita en el segundo ejercicio de la práctica anterior. Así se consigue ocupar un menor ancho de banda en la transmisión de la señal. La expresión general de la señal SSB es: 1 Se recomienda emplear un intervalo temporal de mayor duración para definir las señales y, posteriormente, ajustar la representación con axis. 2 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 s (t ) = Práctica 2 1 1 ^ Ac m(t ) cos(2πf c t ) ± Ac m(t ) sin (2πf c t ) 2 2 (6) Cuando en (6) se emplea el signo menos, la banda transmitida es la superior. De manera análoga, cuando se utiliza el signo más, lo que se transmite es la banda inferior. Considere la señal: m(t ) = Am cos(2πf m t ) , (7) con Am = 4 V y f m = 100 Hz . • • • • Obtenga la señal s(t) para modulación SSB con banda lateral superior y con banda lateral inferior a partir de (7). Considere que Ac = 1 V y f c = 200 Hz . Represente m(t) y s(t) (para los dos tipos de modulación SSB) en el intervalo −1≤ t ≤1 s . Calcule las transformadas de Fourier de m(t) y s(t) y represéntelas correctamente (es decir, tenga en cuenta que todo lo visto en la primera práctica acerca del cálculo y visualización de transformadas de Fourier con Matlab® sigue siendo aplicable aquí). Compruebe que se está transmitiendo la banda adecuada en cada caso. Repita los pasos anteriores empleando adecuadamente la función modulate de Matlab®.¿Qué método ha de seleccionar para realizar la modulación AM con el comando modulate? ¿Es posible simular la transmisión de la banda lateral inferior con este comando? ¿Y la transmisión de la banda lateral superior? 2.3. Modulación QAM En este apartado simularemos la modulación QAM, que permite transmitir dos señales de información diferentes, de ancho de banda W, ocupando un ancho de banda total de 2W. La señal transmitida viene dada por la expresión: s (t ) = Ac m1 (t ) cos(2πf c t ) + Ac m 2 (t ) sin (2πf c t ) (8) Considere las señales m(t) y m’(t), que van a ser las moduladoras que empleemos, con Am = 1V, fm = 50Hz, Am' = 2V y f m' = 100 Hz : m(t ) = Am cos(2πf m t ) ( m ' (t ) = Am' sin 2πf m' t ) (9) (10) Suponga que la frecuencia portadora es fc = 800 Hz y que Ac = 1V. Con estos parámetros: 3 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 • • • • • • Práctica 2 Genere la señal s(t) a partir de la ecuación (8). Considere como componente en fase m(t), y como componente en cuadratura m’(t). Represente s(t) en el intervalo 0 ≤ t ≤ 0.05 s . Calcule la transformada de Fourier de s(t) y represéntela para el intervalo de frecuencias [-1000, 1000] Hz. Para ello, tenga en cuenta todas las consideraciones respecto al cálculo de los espectros y a la visualización de señales de la práctica anterior. Compare los resultados con los que se obtendrían empleando el comando de Matlab® modulate a la hora de generar s(t). Recupere las señales de información m(t) y m’(t), a partir de la señal modulada anteriormente, haciendo uso del comando demod. Represente m(t) y m’(t) en el intervalo 0 ≤ t ≤ 0.1 s .Visualice también en frecuencia las señales demoduladas en el intervalo [-500, 500] Hz. 3. MODULACIÓN EN FRECUENCIA 3.1. Modulación FM de banda estrecha La modulación en frecuencia FM es no lineal. En este caso la amplitud de la señal es constante y la señal de datos m(t) se emplea para modificar la fase de la portadora. La expresión general de la señal modulada FM es: s (t ) = Ac cos 2πf c t + 2πk f ∫ m(t )dt t 0 (11) El término kf representa la sensibilidad en frecuencia del modulador. La frecuencia instantánea es: f i (t ) = f c + k f m(t ) (12) Cuando la señal moduladora es un tono ( m(t ) = Am cos(2πf m t ) ), la ecuación (12) se transforma en: f i (t ) = f c + k f Am cos(2πf m t ) = f c + ∆f cos(2πf m t ) (13) La fase θ i (t ) será: t θ i (t ) = 2πf c t + 2πk f ∫ m(t )dt = 2πf c t + 0 ∆f sen(2πf m t ) = 2πf c t + βsen(2πf m t ) fm (14) β es el índice de modulación: β= ∆f k f Am = fm fm 4 (15) Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2 Por lo tanto, la señal FM modulada por un tono puede expresarse como: s (t ) = Ac cos[2πf c t + β ⋅ sen(2πf m t )] (16a) En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema3Applet1.html se puede simular la modulación FM cuando se emplea un tono como señal moduladora, siendo posible visualizar la señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia. Empleando fórmulas trigonométricas, la ecuación (16a) se transforma en: s (t ) = Ac cos(2πf c t ) cos[β ⋅ sen(2πf m t )] − Ac sen(2πf c t ) sen[β ⋅ sen(2πf m t )] (16b) Si consideramos que el índice de modulación es pequeño con respecto a un radián, pueden realizarse varias aproximaciones en la ecuación (16b): cos[β ⋅ sen(2πf m t )] ≈ 1 y sen[β ⋅ sen(2πf m t )] ≈ β ⋅ sen(2πf m t ) ⇒ FM de banda estrecha. Entonces, s (t ) ≈ Ac cos(2πf c t ) − Ac sen(2πf c t ) β ⋅ sen(2πf m t ) (17) Esta aproximación presenta dos problemas: 1. La envolvente contiene una modulación en amplitud residual, por lo que no es constante. 2. La fase presenta distorsión armónica. Es posible desarrollar la ecuación (17) con fórmulas trigonométricas: s (t ) ≈ Ac cos(2πf c t ) + Ac β Aβ cos[2π ( f c + f m )t ] − c cos[2π ( f c − f m )t ] 2 2 (18) Para poder ilustrar la distorsión que aparece en FM de banda estrecha, suponga los siguientes parámetros: • Frecuencia de muestreo f s = 200kHz . • Frecuencia de la portadora f c = 5000 Hz . • Frecuencia de la moduladora f m = 1000 Hz . • Amplitud de la portadora Ac = 7 V . • Amplitud de la moduladora Am = 3 V . • • • Índice de modulación β = 2 rad . Número de muestras 10001. Intervalo temporal [0, 0.05] s. Deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente: 5 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 • • • • • • • • • Práctica 2 Mostrar la señal moduladora y la señal FM (obtenida con el comando de Matlab 2 modulate ) en el intervalo temporal [0.001, 0.005] s (emplee el comando axis para ajustar la representación). Mostrar el módulo de la transformada de Fourier de la señal moduladora y de la señal FM anteriores (emplee el comando axis para ajustar su representación a un intervalo que muestre claramente el espectro de ambas señales). Demodular la señal FM con el comando de Matlab demod y representar la señal obtenida en el intervalo [0.001, 0.005] s. Representar el módulo de la transformada de Fourier de la señal demodulada. Generar la señal modulada con la expresión (17) (aproximación de FM de banda estrecha) y representarla en el intervalo [0.001, 0.005] s. Mostrar el módulo de la transformada de Fourier de la señal modulada obtenida con la aproximación de FM de banda estrecha. Demodular con el comando de Matlab demod la señal modulada (FM de banda estrecha) y representarla en el intervalo [0.001, 0.005] s. ¿Aparece distorsión? Representar la transformada de Fourier de la señal demodulada en el punto anterior para el intervalo de frecuencias [-10000, 10000] Hz. ¿Qué armónicos de la señal moduladora están presentes? Repita los pasos anteriores variando el índice de modulación. Con el objetivo de complementar esta práctica sobre la modulación FM de banda estrecha, en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema3Applet2.html se puede simular vía web dicho tipo de modulación paso a paso. El applet permite observar, tanto en tiempo como en frecuencia, la señal moduladora, la señal resultante antes y después del modulador producto y, finalmente, la señal modulada. 4. ESTUDIO DEL RUIDO 4.1. Ruido en modulación AM convencional Como se ha visto en la parte teórica de la asignatura, la relación señal a ruido a la salida de un receptor AM que emplea detector de envolvente es, aproximadamente, ( SNR) O , AM ≈ Ac2 k a2 P 2WN 0 (19) Se asume que la señal transmitida está contaminada con ruido aditivo, blanco, gaussiano y de media nula, con densidad espectral de potencia N0/2 y que W es el ancho de banda de m(t). La ecuación (19) es válida si la potencia de ruido es pequeña con respecto a la potencia media de la portadora a la entrada del detector de envolvente y si no hay sobremodulación. Teniendo esto en cuenta, vamos a simular el efecto del ruido en la modulación AM convencional. Supondremos que ( SNR ) O , AM = 20dB y que m(t) es la señal moduladora del primer ejercicio de esta práctica (ecuación (5)). 2 El parámetro OPT de la función modulate para el caso que estamos considerando de modulación de un tono viene dado por la expresión: k= 2πβf m f s Am 6 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2 • Obtenga la relación señal a ruido en unidades naturales. Como ya ha calculado anteriormente la potencia P, puede determinar 2WN0 sin más que despejar en (19). En este caso3, coincide con σ N2 , la varianza del ruido. • Calcule la desviación típica del ruido a partir de σ N2 y construya un vector que represente el ruido blanco, gaussiano, aditivo y de media nula que estamos considerando. Sume el ruido a la señal modulada, dando lugar a un vector que represente a r (t ) = s (t ) + w(t ) . Represente r(t). Recupere la señal m(t) a partir de r(t) con un detector de envolvente. Utilice las mismas líneas de código que en el caso anterior en el que no había ruido. Repita los pasos anteriores con distintos valores de la relación señal a ruido con el objetivo de ver la variación de la señal demodulada. • • • • Se puede complementar los conocimientos adquiridos con esta práctica sobre ruido en modulación AM convencional ejecutando el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema4Applet2.html. En dicho applet se puede simular vía web dicho tipo de modulación paso a paso en presencia de ruido blanco gaussiano, aditivo y de media nula. El applet permite observar, tanto en tiempo como en frecuencia, la señal modulada, la señal modulada con ruido, la señal a la salidad del filtro IF y, finalmente, la señal a la salida del demodulador. BIBLIOGRAFÍA [1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001. [2] The Mathworks, Manual de usuario de MATLAB. 3 Recuerde que estamos trabajando con ruido blanco gaussiano, aditivo y de media nula. 7 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Práctica 3: Modulación analógica de pulsos. Cuantificación. Transmisión digital banda base y paso banda Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 3 1. OBJETIVOS Con esta última práctica de laboratorio de Teoría de la Comunicación se pretende que el alumno sea capaz de simular los conocimientos teóricos adquiridos sobre modulaciones analógicas y digitales de pulsos, así como algunos fundamentos básicos de la transmisión digital banda base y paso banda. Para ello deberá realizar una serie de programas de Matlab® que le permitirán: 1. Estudiar cómo puede simularse la modulación de pulsos en el tiempo. 2. Entender el concepto de cuantificación y aprender en qué situaciones hay que aplicar la cuantificación uniforme o la no uniforme. 3. Estudiar el concepto de interferencia entre símbolos en la transmisión digital y analizar las maneras de eliminarla. 4. Simular distintos esquemas de modulación digital paso banda. Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio. 2. MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS En este primer apartado se pretende que el alumno sea capaz de simular la modulación analógica de pulsos, según dos esquemas vistos en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Specialized Operations’. La modulación analógica de pulsos consiste en variar las características de un pulso en función de la señal moduladora. El esquema de modulación analógica de pulsos más sencillo es PAM o modulación de pulsos en amplitud. Consiste en hacer variar la amplitud de los pulsos en función de la señal de información m(t). En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema5Applet2.html puede simular dicho esquema de modulación. Sin embargo, en un sistema de modulación por pulsos es posible emplear el ancho de banda extra consumido por los pulsos para mejorar el comportamiento frente al ruido de PAM. Esto puede conseguirse representando los valores muestreados de las señales con alguna propiedad del pulso distinta de su amplitud. Simularemos dos esquemas de modulación diferentes: • • Modulación por duración de pulsos (PDM). Modulación por posición de pulsos (PPM). 2.1. Modulación por duración de pulsos (PDM) En la modulación por duración de pulsos (PDM), en ocasiones denominada modulación por anchura de pulsos (PWM o pulse-width modulation), las muestras de la señal de información se emplean para variar la duración de los pulsos en la portadora. La función de Matlab® que permite simular este tipo de modulación es modulate, ya 1 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 3 estudiada en la práctica anterior. El método que implementa la modulación PDM es ‘pwm’. Suponga que la frecuencia de muestreo es f s = 5000 Hz , la frecuencia portadora f c = 200 Hz y que − 3 ≤ t ≤ 3 s . Con el objetivo de ilustrar el funcionamiento de la modulación PDM, deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente: • • • • Genere una señal moduladora m1(t) formada por datos comprendidos entre 0 y 1 para el vector temporal mencionado anteriormente. La función rand puede resultarle útil a la hora de definir m1(t). Genere una señal modulada PDM a partir de la señal m1(t). Represente los cinco primeros pulsos de la señal PDM. Tenga presente que el vector que contenga las muestras de la señal PDM tiene una longitud igual a length(x)*fs/fc. Repita los pasos anteriores empleando la opción ‘centered’ en la modulación PDM. 2.2. Modulación por posición de pulsos (PPM) En la modulación por posición de pulsos (PPM) se varía la posición de un pulso con respecto a su posición original en función de la señal de información m(t). Al igual que sucede con la modulación PDM, la función de Matlab® que permite simular PPM es modulate. En esta ocasión, el método que implementa la modulación PPM es ‘ppm’. Suponga que la frecuencia de muestreo, la frecuencia portadora y el intervalo temporal de trabajo son los mismos que en el apartado anterior. Para ilustrar el funcionamiento de la modulación PPM, deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente: • • • • • Genere una señal moduladora m2(t) = 0.2 m1(t). Genere una señal modulada PPM a partir de la señal m2(t). Los valores de la señal moduladora determinan la posición de los pulsos en cada periodo. Represente los cinco primeros pulsos de la señal PPM. Tenga presente que el vector que contenga las muestras de la señal PPM tiene una longitud igual a length(x)*fs/fc. Repita los pasos anteriores variando opt con el objetivo de modificar la longitud de los pulsos empleados en la modulación PPM. Repita también el ejercicio empleando m1(t) como señal moduladora. 3. CUANTIFICACIÓN UNIFORME Y NO UNIFORME En este apartado se pretende que el alumno sea capaz de generar una señal cuantificada, según los distintos esquemas vistos en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Source Coding’. 2 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 3 Es posible distinguir dos tipos de cuantificación de señales: uniforme y no uniforme. La primera funciona adecuadamente cuando la señal de entrada se reparte uniformemente por todos los niveles de cuantificación. Sin embargo, hay aplicaciones en las que es preferible emplear cuantificación no uniforme por las características de la señal de entrada. Considere las siguientes señales, definidas en el intervalo − 1 ≤ t ≤ 1 : x1 (t ) = sen(2πt ) x 2 (t ) = t (1) (2) ¿Cuál sería el rango dinámico de un cuantificador uniforme adecuado para las señales anteriores? Empleando la función de Matlab® quantiz diseñe un cuantificador uniforme de 2, 4, 8, 16 y 32 niveles para x1 (t ) y x 2 (t ) . Considere f s = 1000 Hz . Para utilizar quantiz necesitará definir dos vectores: partition y codebook. El primero se usa para dividir el rango de la señal de entrada en N regiones. Tendrá, por lo tanto, N–1 elementos. El segundo asigna un valor de cuantificación a cada región definida con partition. La relación general entre ambos vectores es: codebook (1) ≤ partition(1) ≤ codebook (2) ≤ K ≤ partition( N − 1) ≤ codebook ( N ) (3) Si mmax es el valor máximo de la señal de entrada al cuantificador, la anchura de cada intervalo de cuantificación será: ∆= 2mmax N º de niveles (4) Puede definir los vectores partition y codebook en función de ∆ y mmax como: partition = [-mmax+delta:delta:mmax-delta]; codebook = [-mmax+(delta/2):delta:mmax-(delta/2)]; Una vez diseñado el cuantificador uniforme: • • • • • Represente la señal x1 (t ) y su versión cuantificada en la misma figura. Represente el error de cuantificación, definido como la diferencia entre el valor real de la señal x1 (t ) y su valor cuantificado, y determine la distorsión. Represente la señal x 2 (t ) y su versión cuantificada en la misma figura. Represente el error de cuantificación, definido como la diferencia entre el valor real de la señal x 2 (t ) y su valor cuantificado, y determine la distorsión. ¿Cómo varían los resultados al aumentar el número de niveles de cuantificación? Hemos comentado que el rango dinámico del cuantificador ha de adecuarse a los valores de entrada de las señales. Con el objetivo de ilustrar la importancia de este aspecto, repita los apartados anteriores – sin modificar ninguna característica en el cuantificador uniforme – con x3 (t ) = 2 ⋅ x1 (t ) y x 4 (t ) = 2 ⋅ x 2 (t ) . ¿Qué cambios hay en el error de cuantificación y la distorsión? 3 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 3 En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema5Applet3.html se encuentra disponible un applet que permite simular la cuantificación uniforme de varias señales (coseno, sinc y pulso rectangular). Puede emplearlo para ver la importancia que tiene la adecuación del rango dinámico del cuantificador a la señal que se pretende cuantificar y para comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® son correctos. El uso de un cuantificador uniforme no es adecuado cuando la señal original no se reparte uniformemente por todos los niveles de cuantificación. En estos casos se emplea cuantificación no uniforme. Para comprobar la utilidad de esta técnica considere la señal x5 (t ) definida en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4 : x 5 (t ) = 0,78 ⋅ e −2⋅t sin (8πt ) (5) Emplee el cuantificador uniforme diseñado antes y represente la señal x5 (t ) y su versión cuantificada en la misma figura. ¿Se aprovechan adecuadamente los intervalos de cuantificación? ¿Cuál es la distorsión? Represente también el error de cuantificación. La función de Matlab® compand permite realizar la compresión y expansión de la señal con las leyes A y µ. Para ver cómo cambia el número de intervalos de cuantificación con ellas, realice la compresión de la señal x5 (t ) con los valores A = 87,6 y µ = 255 . Tras ello utilice el cuantificador uniforme. Represente la señal comprimida con cada ley y su versión cuantificada en la misma figura. ¿Qué diferencias observa con respecto a emplear únicamente cuantificación uniforme? 4. INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS EN TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE A continuación se va a analizar el efecto de la interferencia entre símbolos (ISI) en los sistemas de comunicación digital banda base. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’. Cuando se transmiten datos digitales a través de un canal banda base hay que considerar dos fuentes principales de error: a) El ruido introducido por el canal. b) La interferencia entre símbolos, que se debe a que un pulso (símbolo) puede verse afectado por los adyacentes. Si suponemos que ak son los símbolos (con valores +1 ó –1) transmitidos cada Tb y g(t) el pulso que se toma como forma básica, la señal a la salida del transmisor es: s (t ) = ∑ a k g (t − kTb ) (6) k Si h(t) representa el canal, w(t) el ruido y c(t) el filtro receptor, la señal recibida vendrá dada por la siguiente expresión: 4 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 3 y (t ) = µ ∑ ak p(t − kTb ) + n(t ) (7) k donde: µp(t ) = g (t ) ∗ h(t ) ∗ c(t ) (8) (9) n(t ) = w(t ) ∗ c(t ) La señal y(t) es la que se muestrea para decidir el símbolo que se recibe en cada instante iTb: y (iTb ) = µ ∑ a k p (iTb − kTb ) + n(iTb ) = µa i p (0) + µ ∑ a k p[(i − k )Tb ] + n(iTb ) (10) k ≠i k Para evitar la ISI (representada por el término µ ∑ a k p[(i − k )Tb ] ) ha de k ≠i cumplirse que: 1, m = 0 p (mTb ) = 0, m ≠ 0 (11) Empleando filtros de coseno alzado se puede eliminar la ISI. En frecuencia: 1 P( f ) = 4W 1 , 2W 0 ≤ f ≤ f1 π ( f − W ) 1 − sen , 2 W − 2 f 1 0, f 1 ≤ f ≤ 2W − f 1 (12) resto En el dominio del tiempo: p (t ) = cos(2παWt ) sinc(2Wt) 1 − 16α 2W 2 t 2 (13) El parámetro α se denomina factor de redondeo y está comprendido entre 0 y 1. W está relacionado con el régimen o tasa de símbolos Rb según la expresión: R 1 = b 2Tb 2 (14) BT = W (1 + α ) (15) W= El ancho de banda es: Realice las siguientes tareas con Matlab®: 5 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 • • Práctica 3 1 s y que f s = 2000 Hz .Represente en el dominio del 200 tiempo el filtro de coseno alzado (emplee la ecuación (13) para ello) con α = 0 , α = 0.3 , α = 0.6 y α = 1 . Ajuste el eje x para poder ver los datos en el intervalo temporal [–0.02, 0.02]. Represente los filtros calculados anteriormente en el dominio de la frecuencia, ajustando el eje x al intervalo comprendido entre − 1.5BT y 1.5BT . Considere que Tb = En el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema6Applet1.html se puede estudiar cómo cambia un filtro de coseno alzado, tanto en el dominio temporal como en el de la frecuencia, cuando se varían W y α. De este modo se puede comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado. Suponga que se transmiten cuatro símbolos ( a 0 = 1 , a1 = −1 , a 2 = 1 y a 3 = 1 ) con la tasa Rb especificada anteriormente, que se emplea un filtro de coseno alzado y que, además, µ = 1 . Asumiendo nulo el ruido: • • • Represente la señal recibida. Tendrá que multiplicar cada símbolo por el filtro de coseno alzado ( p (t ) en el caso del primer símbolo transmitido, p (t − Tb ) para el segundo, y así sucesivamente) y realizar la suma de las distintas contribuciones. Emplee el comando axis para ajustar los ejes de la manera que crea más conveniente. Compruebe si existe interferencia entre símbolos representando en una misma figura la señal recibida y la componente correspondiente a cada uno de los símbolos. t ). ¿Existe en esta ocasión Repita el proceso anterior con un filtro p(t)=sinc( 2Tb interferencia entre símbolos? Repita los dos puntos anteriores variando los símbolos transmitidos. 5. MODULACIÓN DIGITAL PASO BANDA En este último apartado simularemos conceptos relacionados con algunos esquemas de modulación digital paso banda explicados en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Digital Modulation/Demodulation’. 5.1. Modulación BPSK y QPSK sin ruido Con este ejercicio se pretende ilustrar cómo es posible implementar las modulaciones BPSK y QPSK con Matlab®. La función que permite simular estas modulaciones es pskmod(x,m), donde x es la señal de información y m el número de símbolos a emplear. Teniendo esto en cuenta, realice las siguientes tareas con Matlab®: • Genere una secuencia de 5000 símbolos que formarán la señal de datos. Para ello es aconsejable utilizar la función randint, con el campo RANGE ajustado al número de símbolos del alfabeto empleado en BPSK. 6 Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 • • • • • Práctica 3 Obtenga la señal BPSK con el comando pskmod. Represente la constelación BPSK. Puede emplear para ello el comando scatterplot. Recupere la señal de datos original con el comando pskdemod. Obtenga la probabilidad de error de bit con la función biterr. Repita los pasos anteriores para la modulación QPSK. El applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema7Applet2.html permite simular la modulación PSK y puede resultar útil para visualizar en el tiempo cómo cambia la fase de la portadora en función del símbolo transmitido. 5.2. Modulación BPSK y QPSK en presencia de ruido AWGN Con este ejercicio se pretende mostrar el efecto que tiene el ruido en la transmisión de señales BPSK y QPSK. Para añadir ruido blanco, gaussiano y aditivo a la señal transmitida deberá emplear la función awgn. Teniendo esto en cuenta, realice las siguientes tareas con Matlab®: • • • Genere una secuencia de 5000 símbolos que formarán la señal de datos. Para ello es aconsejable utilizar la función randint, con las mismas consideraciones acerca del campo RANGE que en el apartado anterior. Obtenga la señal BPSK con el comando pskmod. Transmita la señal a través de un canal que añade ruido blanco gaussiano. Emplee para ello la siguiente línea de código yruidosa = awgn(y,SNR); • • • • • Suponga que la SNR es de 15dB por muestra. Represente la constelación BPSK. Recupere la señal de datos original con el comando pskdemod. Obtenga la probabilidad de error de bit con la función biterr. Repita los pasos anteriores para distintos valores de SNR Vuelva a realizar el ejercicio para la modulación QPSK. BIBLIOGRAFÍA [1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001. [2] The Mathworks, Manual de usuario de MATLAB. 7