GEOMETRIA FINAL

Geometría
TEMA 1: GEOMETRÍA EUCLIDIANA - TEMA 1: GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.1 Conceptos fundamentales
La geometría es la ciencia que estudia las formas espaciales del mundo, está basada en un conjunto de
preposiciones que estudia la forma, propiedades y medida de las figuras y cuerpos geométricos. (G.Calvache,
Rosero, & Yaselga, 2006, pág. 1)
Conceptos Fundamentales
Antes de empezar el estudio de la geometría plana es importante conocer algunos conceptos
básicos que resultan ser abstractos y existen solo en la mente del observador, por ejemplo al mirar
un tanque de reserva se lo puede relacionar con un cilindro, sin importar el material, color, peso,
tamaño, etc; Se lo llega a relacionar con esta forma ya que el cerebro humano crea ideas abstractas
el cual permite dar un nombre a los diferentes objetos.
En la geometría existen términos complejos de definir, ya que representan un elemento abstracto y
cada persona puede llegar a tener una interpretación diferente de acuerdo a su nivel cognitivo,
algunos de los términos no definidos son: plano, punto, recta, espacio, medida.
a. Plano. Al ser un concepto abstracto al plano se lo puede relacionar con una superficie que toma
una forma determinada, como por ejemplo un paralelogramo. Posee dos dimensiones longitud y
altura. Se lo representa por medio de una letra mayúscula ubicada en el interior de su representación.
b. Punto. Según Euclides: “Punto es lo que no tiene partes”, es decir carece de altura, anchura y
longitud, pero si tiene posición, para una mejor comprensión de este término al punto se lo puede
relacionar como la marca que deja un esfero al presionarlo sobre un papel, también se lo encuentra
en la intersección de dos rectas.
Su representación está dada por medio de una marca ( . o x ), conjuntamente con una letra
mayúscula escrita cerca de la representación gráfica, por ejemplo:
Línea recta. Se defina como la sucesión infinita de puntos, que siguen la siguiente forma:
Una recta está determinada por dos puntos como se observa en la figura y se la representa por
medio de los dos puntos, o de un punto de la recta.
c. Semirrecta. Si se fija un punto A, el conjunto de puntos que le siguen o preceden del mismo
lado de A y B excluyendo A se llama semirrecta.
d. Segmento. Es la figura geométrica de puntos colineales limitada por dos puntos A y B que forman
los extremos del segmento.
e. Curva. Es aquella que no tiene puntos rectos como se muestra en la figura. (Pearson educación,
2009)
f. Arco. Porción de una curva limitado por dos puntos no coincidentes como se muestra en la figura.
g. Figura geométrica. Es un conjunto no vacío de puntos, es decir una extensión limitada por puntos,
líneas y superficies.
h. Cuerpo sólido. Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee altura, longitud, anchura.
i. Proposición. Es el enunciado de una verdad, de un principio, de una propiedad por resolver o
demostrar.
Axioma. Es la proposición, que siendo evidente no necesita demostración, por ejemplo:


Dos puntos diferentes determinan una recta y solo una.
Sobre cualquier recta hay al menos dos puntos diferentes.
Postulado. Son proposiciones, cuya verdad, aunque no tenga la evidencia de un axioma, se lo
acepta sin demostración, por ejemplo:




Por dos puntos distintos pasa solo una recta.
Toda recta puede prolongarse indefinidamente en los dos sentidos.
Por tres puntos dados no colineales pasa un plano y solo uno.
Se puede trazar un círculo con centro y radio dados.
Teorema. Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada, si se logra demostrar un teorema
se lo puede utilizar como base de demostraciones de otros teoremas, un teorema se divide en dos
partes; Hipótesis que son las condiciones y datos del teorema; Tesis: Es la propiedad a demostrarse,
por ejemplo:



Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
La suma de los ángulos internos de un triángulo son 180º.
Todos los puntos de la mediatriz de un segmento, equidistan de sus extremos.
Corolario. Es una proposición resultado de la demostración de un teorema por lo cual no requiere
demostración.

Del postulado de Euclides: “Por un punto exterior a una recta, pasa solo una paralela a esa
recta”. Se obtiene el siguiente corolario: “Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas
entre sí” (Pearson educación, 2009)
Problema. Es una situación particular que requiere una resolución.
Operaciones
Como se describió anteriormente un segmento es una figura geométrica limitada por dos puntos AB
que forman sus extremos, los puntos que se encuentran entre A y B se los denomina puntos
interiores, o simplemente puntos del segmento AB.
Propiedades de un segmento
1. Dados los puntos colineales A, B y C; B está entre A y C, si AB+BC=AC.
2. Dados los puntos colineales A, M y C; M es el punto medio del segmento , si AM=MC.
Operaciones con segmentos
1. Suma de segmentos. Consiste en sumar la longitud de los segmentos dados, para encontrar la
longitud total del segmento que los contiene, para entender de mejor manera se lo va a realizar de
manera gráfica:
2. Resta de segmentos. Consiste en restar la longitud del segmento menor del mayor, para
encontrar la longitud del tercer segmento, para entender de mejor manera se lo va a realizar de
manera gráfica:
3. Multiplicación de un segmento por un número. Consiste en encontrar la longitud total del
segmento, en base a la longitud de un segmento dado multiplicado por el número deseado, para
entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica:
4. División de un segmento por un número. Consiste en encontrar la longitud total del segmento,
en base a la multiplicación del número dado por la longitud de cada segmento, para entender de
mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica:
5. División interna de un segmento. Consiste en encontrar el punto situado en un segmento, tal
que formen segmentos que están a una razón dada m/n, para entender de mejor manera se lo va a
realizar de manera gráfica:
6. División externa de un segmento. Consiste en encontrar el punto situado en la prolongación de
un segmento, tal que formen segmentos que están a una razón dada m/n, para entender de mejor
manera se lo va a realizar de manera gráfica:
Siendo K el punto que divide externamente al segmento cumple la siguiente relación:
7. División armónica de un segmento. Consiste en dividir un segmento interna y externamente en
una misma razón, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica:
Si X y Z dividen armónicamente el segmento , Se cumple que:
8. División en media y extrema razón de un segmento. Consiste en dividir un segmento interna o
externamente en dos segmentos tales que uno de ellos es media proporcional entre el segmento
dado y el otro de la división, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica:
Si Q divide internamente en media y extrema razón del segmento , se cumple:
Si R divide externamente en media y extrema razón del segmento , se cumple:
RETROALIMENTACION
Ejercicios resueltos
1. Demostrar que 2PM=PA+PB si se sabe que el segmento AM=MB
Solución:
2PM= PA+PB
2PM= AM + MB + PB + PB
Si AM=MB;



2(MB + PB) = MB + MB + 2PB
2MB + 2PB = 2MB + 2PB
0=0
Por lo tanto se demuestra que 2PM = PA + PB
2. Hallar el valor de BQ si se sabe que AP*BQ = PB*AQ, AP = BQ y PB = 3,3 u
3. Halle el valor del segmento DE si se sabe:
Ángulos
El ángulo es una figura geométrica que está formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen
y forman una abertura, es decir estas semirrectas no son paralelas en un mismo plano para que
pueda formar el ángulo.
La unidad de medida de un ángulo está dada en grado sexagesimal o radianes.
Radián (rad): Es la medida del ángulo cuya longitud de arco subtendido es igual al radio del círculo.
Grado sexagesimal: Es la representación de una revolución completa dividida en 360 partes iguales,
a cada una de estas partes se la denomina grado (º).
360º = 2π rad
Conversión de grados a radianes y de radianes a grados
Clasificación de los ángulos
a. Por su medida
Agudo. Cuando la medida es menor a 90º.
Recto. Cuando la medida es igual a 90º.
Obtuso. Cuando la mediad es mayo a 90º y menor a 180º
Ángulo llano. Se llama también ángulo plano, y su medida es igual a 180º.
Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus valores es
90º. El complemento de un ángulo ∡a se obtiene restando 90º-∡a
Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus valores es 180º.
El suplemento de un ángulo ∡a se obtiene restando 180º-∡a
b. Por su posición
Adyacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común.
Consecutivos. Son ángulos que tienen un lado común y se forman siguiendo el mismo sentido.
Opuestos por el vértice. Son dos ángulos no adyacentes, formados cuando dos rectas se
intersecan.
Ángulos formados por una transversal o secante. Cuando dos rectas pertenecientes al mismo
plano son cortadas por una transversal o secante se originan 8 ángulos que se mencionan a
continuación:







∡a, ∡b, ∡g, ∡h ángulos externos.
∡c, ∡d, ∡e, ∡f ángulos internos.
∡c y ∡f, ∡d y ∡e ángulos alternos internos.
∡b y ∡g, ∡a y ∡h ángulos alternos externos.
∡a y ∡e, ∡b y ∡f, ∡c y ∡g, ∡d y ∡h ángulos correspondientes.
∡c y ∡e, ∡d y ∡f ángulos conjugados internos.
∡a y ∡g, ∡b y ∡h ángulos conjugados externos.
Propiedades de los ángulos
A. Si dos rectas paralelas en un mismo plano son cortadas por una trasversal o secante se cumple
que la suma de los ángulos internos conjugados es igual a 180º.
∡c + ∡e = 180º
b. Si dos rectas no paralelas en un mismo plano son cortadas por una trasversal o secante se
cumple que la suma de los ángulos internos conjugados no es igual a 180º.
c. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
d. Los ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes, formados en dos rectas
paralelas cortadas por una secante son congruentes:
e. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares entre sí.
f. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.
Definición
Es una figura geométrica formada por 3 lados, que se intersecan en tres puntos no colineales
llamados vértices. La forma de representar un triángulo es por sus vértices: ΔBAC.
Clasificación
Es una figura geométrica formada por 3 lados, que se intersecan en tres puntos no colineales
llamados vértices. La forma de representar un triángulo es por sus vértices: ΔBAC.
Los triángulos se clasifican por la longitud de los lados y la magnitud de los ángulos.
a. Por sus lados
Triángulo equilátero. Todos sus lados son iguales.
Triangulo isósceles. Tiene dos lados iguales y uno desigual.
Triangulo escaleno. Tiene todos sus lados desiguales.
b. Por sus ángulos
Triángulo equiángulo. Si sus tres ángulos internos son iguales.
Triángulo acutángulo. Si sus tres ángulos internos son agudos.
Triángulo obtusángulo. Si uno de sus ángulos internos es obtuso.
Triángulo rectángulo. Si uno de sus ángulos internos mide 90º.
Líneas y puntos notables
a. La base de un triángulo puede ser cualquiera de sus tres lados.
b. Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto.
c. Es el punto donde se intersecan las alturas del triángulo. Para un triángulo rectángulo se lo
ubica en el vértice del ángulo recto, y en un triángulo obtusángulo en su parte externa.
d. Se denomina al segmento que une al vértice con el punto medio del lado opuesto.
e. Es el punto de intersección de las tres medianas, y es el centro de gravedad del triángulo. El
baricentro siempre está ubicado en la parte interna del triángulo. El baricentro forma en cada
mediana dos segmentos, uno doble de otro; El del vértice es el doble del otro segmento, para
entenderlo de mejor manera se lo verá gráficamente.
f. Bisectriz. Es el segmento que divide al ángulo interno o externo de un triángulo en dos
ángulos de la misma medida.
g. Incentro. Es el punto de intersección de las tres bisectrices internas y es el centro del círculo
inscrito en el triángulo (círculo tangente a sus tres lados).
h. Excentro. Es el punto de intersección de dos bisectrices externas y una interna del triángulo,
y es el centro del circulo externo del triángulo.
i.
j.
Mediatriz. Es la recta perpendicular trazada en el punto medio de un lado del triángulo.
Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres mediatices, y es el centro del circulo
circunscrito al triángulo.
1.2.2 Ángulos en el triángulo, congruencia de triángulos. Postulados
Teoremas Fundamentales
1. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos internos es 180º.
2. En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los
ángulos no adyacentes al ángulo.
3. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 360º.
4. Ángulo formado por dos bisectrices interiores. Su medida es igual a los 90º más la mitad de la
medida del tercer ángulo.
5. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores. Su medida es igual a 90º menos la mitad de la
medida del tercer ángulo interior.
6. Ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior, su medida es igual a la mitad del tercer
ángulo interior.
7. Ángulo forado por una altura y una bisectriz relativas a un mismo lado. Su medida es igual a la
semisustracción de las medidas de los ángulos restantes del triángulo.
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si tienen igual forma e igual tamaño. Es decir sus ángulos interiores
de igual medida y sus lados opuestos de igual longitud respectivamente.
Postulados de congruencia
1. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo
comprendido.
2. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruente un lado y dos ángulos.
3. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes 3 lados.
4. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto
al lado mayor.
RETROALIMENTACION
Ejercicios resueltos
1. Halle el valor del ∡BAC, si se sabe que: ∡BDC = 70º, ∡ABC = 80º
2. Halle el valor del ángulo X si se sabe:
3. Determine el valor del ángulo X si se sabe que:
1. Triángulo isósceles
1. Triángulo isósceles
Si dos lados de un mismo triángulo son congruentes entre sí, los ángulos opuestos a dichos lados
también son congruentes.



Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados puestos a estos ángulos
también son congruentes.
La bisectriz de un ángulo desigual del triángulo isósceles, es también mediana, altura y
mediatriz de dicho triángulo
La suma de las distancias de un punto de la base de un triángulo isósceles a sus lados
congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

La sustracción de las distancias de un punto tomado en la prolongación de la base de un
triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas iguales.
2. Triángulos equiláteros
2. Triángulos equiláteros

La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sis tres lados es
igual a cualquiera de las alturas congruentes.

Si desde un punto situado desde el exterior de un triángulo equilátero se trazan
perpendiculares a sus lados, la suma de las perpendiculares externas menos la longitud de la
perpendicular intermedia es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
3. Triángulos rectángulos
3. Triángulos rectángulos

El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices del triángulo rectángulo.


Si una mediana de un triángulo es igual a los dos segmentos que forma en el lado del
triángulo, el triángulo es rectángulo.
El ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la diferencia de los ángulos agudos.
Semejanza
Un triángulo es semejante a otro cuando sus ángulos internos son respectivamente congruentes, es
decir cada lado de un triángulo tiene un lado similar en el otro triángulo y estos mantienen una
proporcionalidad entre ellos por lo cual mantienen la misma forma pero la medida de sus lados
puede ser mayor o menor, manteniendo el valor de los ángulos.
Postulados de semejanza
a. Triángulos escalenos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos congruentes.



Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, da origen a otro triángulo semejante.
Dos triángulos son semejantes si tienen lados respectivamente paralelos o perpendiculares.
Si los lados correspondientes de dos triángulos son respectivamente proporcionales, los dos
triángulos son semejantes.

Si en dos triángulos, dos lados homólogos son proporcionales y los ángulos comprendidos
son congruentes, los triángulos son semejantes.

Los perímetros de dos triángulos semejantes, están en la misma relación que los lados
homólogos.
b. Triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo correspondiente
congruente.
Propiedad del baricentro
El baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos, tales que uno es el doble del
otro.

La longitud del segmento perpendicular trazado desde el baricentro de un triángulo a uno de
sus lados, es igual a la tercera parte de la altura relativa al mismo lado.
Relaciones métricas
Relaciones métricas




Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección en la hipotenusa.
La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina la
hipotenusa.
El producto de los catetos es igual al producto entre la hipotenusa y su altura relativa.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Relaciones trigonométricas
a.
De un ángulo agudo
b.
De ángulos complementarios
Relaciones trigonométricas
Ley de senos. Los lados de un triángulo son proporcionales a las funciones seno de los ángulos
opuestos.
Ley de cosenos. El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados, por el coseno del ángulo que lo forman.
CÍRCULO , POLIGONONOS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
Círculo
Antes de iniciar con el estudio del círculo es importante entender la diferencia entre círculo y
circunferencia.
Circunferencia. Es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro y su
longitud representa el perímetro del círculo.
Círculo. Se define como la superficie limitada por una circunferencia.
La línea entre cortada representa la circunferencia, mientras que el área sombreada representa el
círculo.
Arco. Nombre que recibe una parte de la circunferencia y se lo representa: ͡
Semicircunferencia. Es un arco igual a la mitad de la medida de la circunferencia.
Líneas y puntos notables
Líneas y puntos notables
a.
Cuerda: es el segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia.
b. Diámetro: es la cuerda que contiene el centro del círculo, es la mayor de las cuerdas e igual al
doble del radio.
c.
Secante: es una recta que conrea a la circunferencia en dos puntos.
d. Tangente: es una recta que interseca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de
tangencia o punto de contacto.
e. Flecha o sagita: es la perpendicular trazada de un punto de la circunferencia al punto medio de
la cuerda.
Porciones en el círculo
a.
Sector circular: porción de círculo comprendida entre dos radios.
b.
Segmento circular: porción de círculo comprendida entre un arco y su cuerda.
c. Semicírculo: porción de círculo entre la semicircunferencia y su diámetro, es decir es la mitad
de un círculo.
2.1.2 Ángulos en el círculo. Teoremas
2.1.2 Ángulos en el círculo. Teoremas
a. Ángulo central ∡ α: es el ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y sus lados son radios, la
medida de un ángulo central es la medida del arco comprendida entre sus lados.
b. Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son
cuerdas del círculo, la medida de su ángulo es la mitad del arco comprendido por sus lados.
Todo ángulo inscrito en un semicírculo, es un ángulo recto.
c. Ángulo semi-inscrito: tiene su vértice en un punto de la circunferencia y lo forman una cuerda y
una tangente, la medida de este ángulo es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
d. Ángulo interior: es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan, la medida de este ángulo es
igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y los lados de su ángulo
opuesto por el vértice.
e. Ángulo exterior: tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y lo forman 2 secantes, la
medida de este ángulo es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.
f. Ángulo circunscrito: Es el ángulo formado por el cruce de dos tangentes trazadas desde un punto
exterior a la circunferencia, la medida de este ángulo es igual a la semidiferencia de los arcos que
comprendidos entre sus lados.
Teoremas

Si dos ángulos centrales del mismo círculo o de círculos congruentes son congruentes, entonces sus arcos
intersecados son congruentes.

En una circunferencia de cuerdas iguales se subtienden arcos iguales y viceversa.

Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Una recta que pasa por el centro del círculo, y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco.

Una recta tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.

Dos cuerdas trazadas en un círculo y que equidistan del centro, son congruentes.

Las tangentes trazadas desde un punto externo del círculo son congruentes y forman ángulos congruentes con la
recta que pasa por el centro y dicho punto.

Si dos cuerdas se intersecan en el interior de un círculo, el producto de la medida de los segmentos de una
cuerda, es igual al producto de las medidas de los segmentos de las otras.

Si desde un punto exterior a un círculo se traza una tangente y una secante, la medida de la tangente es media
proporcional entre la medida de la secante y su segmento externo.

Si desde un punto exterior se traza dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su
segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por su segmento exterior.
RETROALIMENTACION
Ejercicios resueltos
1. Determina el valor del ∡B, aplicando los teoremas de ángulos en el círculo.
2. Determina el valor del ∡B, aplicando los teoremas de ángulos en el círculo.
3. Determine el valor del ∡X, aplicando los teoremas de ángulos en el círculo.
Polígonos y Cuadriláteros
Se llama polígono a una figura geométrica plana cerrada, delimitada por segmentos de recta, se
clasifican de acuerdo a la medida de sus ángulos y sus lados
2.2.1 Definición, elementos, clasificación, propiedades
Se llama polígono a una figura geométrica plana cerrada, delimitada por segmentos de recta, se
clasifican de acuerdo a la medida de sus ángulos y sus lados, los cuales cumplen las siguientes
condiciones:


Ningún par de segmentos se intersecan excepto en los puntos extremos.
Ningún par de segmentos con extremos comunes son colineales.
La siguiente figura representa un polígono:
Clasificación
Los polígonos se clasifican por sus lados y por su magnitud de los ángulos interiores
Por sus lados
Regulares: tienen todos sus lados iguales, por lo tanto, se lo considera equilátero y equiángular.
Irregulares: tiene la medida de sus lados diferentes.
Por sus ángulos
Convexo: los ángulos interiores son todos menores de 180º
Cóncavo: uno de sus ángulos interiores es mayor a 180º
Por su número de lados
Elementos






Vértices: es el punto donde concurren dos lados.
Lados: son los segmentos que unen los puntos coplanares dados.
Perímetro: es la suma de las longitudes de los lados del polígono.
Diagonales: es la recta que une dos vértices no adyacentes.
Ángulos internos: son los ángulos formados por dos lados de un polígono.
Ángulos externos: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro lado
consecutivo.
Congruencia de polígonos
Dos polígonos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus lados y ángulos.
Semejanza de polígonos
Dos polígonos son semejantes si tienen respectivamente sus lados proporcionales y sus ángulos
congruentes.
Teoremas

Los perímetros de dos polígonos semejantes son entre sí como dos lados homólogos.

Si dos polígonos son semejantes se pueden descomponer en un mismo número de triángulos
semejantes, semejantemente dispuestos.

Las áreas de los polígonos semejantes están en la misma relación que el cuadrado de sus
lados.
Número de diagonales
El número de diagonales trazadas desde un mismo vértice es igual a n - 3, donde n representa al
número de lados del polígono.
El total de diagonales trazadas en un polígono es igual
Ángulos del polígono
Las magnitudes de los diferentes ángulos de un polígono se obtienen de las siguientes fórmulas:
Suma de ángulos interiores (Si) de cualquier polígono.
Si=180 (n-2)
Suma de ángulos exteriores (Se) de cualquier polígono
Se=360
Ángulo interior (i) de un polígono regular:
Ángulo exterior (e) de un polígono regular:
Cuadriláteros
Es todo polígono que tiene cuatro lados, estos se clasifican en:
Paralelogramo: es aquel que tiene sus lados opuestos paralelos. (a)
Cuadrado: es el paralelogramo que tiene sus lados iguales y sus ángulos son rectos. (b)
Rectángulo: es el paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales y sus ángulos rectos. (c)
Rombo: es el paralelogramo que tiene sus lados iguales y sus ángulos contiguos desiguales. (d)
Trapecio: es aquel que tiene 2 de sus lados paralelos. (e)
Trapecio rectángulo: es aquel que tiene 2 de sus ángulos rectos. (f)
Trapecio isósceles: Es aquel que tiene 2 de sus lados no paralelos iguales. (g)
Trapecio escaleno: es aquel que tiene 2 de sus lados no paralelos desiguales. (h)
Trapezoide: es aquel que no tiene ningún lado paralelo a su opuesto. (i)
Teoremas

La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360º

El área de un cuadrilátero es igual a la mitad del producto de dos diagonales por el seno del
ángulo comprendido.

El ángulo formado por las bisectrices de los ángulos obtenidos al prolongar los lados de un
cuadrilátero e igual a la semisuma de los ángulos opuestos a este ángulo formado.
Propiedades del paralelogramo
a.
Las diagonales forman triángulos congruentes.
b.
Las diagonales se bisecan mutuamente.
c. El área de un paralelogramo es igual al producto de dos lados no paralelos por el seno del
ángulo comprendido.
d. El área de un paralelogramo es igual al producto de un lado por la altura correspondiente.
Propiedades del rombo
a.
Las diagonales son perpendiculares entre sí.
b.
Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos.
c. El rombo es un cuadrilátero circunscriptible, el centro del círculo inscrito es el punto de
intersección de las diagonales.
d.
El área de un rombo es igual a la mitad del producto de las diagonales.
e. El área de un rombo es igual a la longitud de un lado al cuadrado por el seno de un ángulo.
Propiedades del rectángulo
a.
Las diagonales son iguales.
b.
Los cuatro segmentos formados en las diagonales son iguales.
c. El rectángulo es un cuadrilátero inscriptible, el centro del círculo circunscrito es el punto de
intersección de las diagonales.
d.
La superficie del rectángulo es igual al producto de sus lados no paralelos.
Propiedades del cuadrado
a.
Tiene todas las propiedades de los polígonos regulares.
b.
La superficie de un cuadrado es igual a la longitud de un lado elevado al cuadrado.
Propiedades del trapecio
a. El segmento que une los lados medios de los lados no paralelos, es paralelo a las bases e igual
a la semisuma de la misma.
b. El segmento que une los puntos medios de las diagonales es paralelo a las bases e igual a la
semidiferencia de las mismas.
c.
El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura.
d. El área de un trapecio es igual al producto de uno de sus lados no paralelos por la longitud de la
perpendicular bajada desde el punto medio del lado opuesto al primero.
RETROALIMENTACION
Ejercicios resueltos
1. ¿De cuántos lados es el polígono que tiene 170 diagonales en total?
Para resolver el ejercicio utilizamos la siguiente formula:
solución:
2. Determinar la superficie del siguiente cuadrilátero.
3. Determinar la superficie del siguiente paralelogramo.
Cuerpos Geométricos
Cuando nos referimos a los cuerpos geométricos estamos haciendo alusión a aquellos objetos
tridimensionales que tienen ciertas particularidades, ciertas formas más sencillas, más elementales,
más regulares; por ejemplo, los que presentan caras externas constituidas por polígonos o círculos,
o los que tienen una forma parcial o totalmente redonda... En este grupo quedan los objetos que
tienen la apariencia de cajas, pirámides, cilindros, conos, esferas, etc.
Los cuerpos geométricos también suelen ser denominados como sólidos. Esta denominación es
válida, aunque no debe sugerir la idea de que tales cuerpos tienen que estar “llenos” interiormente, o
tienen que ser “duros”; una caja de zapatos vacía y cerrada es también un ejemplo de cuerpo
geométrico. (Zabala, 2007)
Los cuerpos geométricos se clasifican en:
Poliedros: son cuerpos geométricos limitados por polígonos como por ejemplo el prisma, pirámide,
etc.
Cuerpos redondos: son cuerpos geométricos resultantes de la rotación de una figura plana alrededor
de su eje como por ejemplo el cilindro, cono, esfera.
2.3.1 Cilindros, área lateral, área total, volumen
Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno
de sus lados. La recta en la que se sitúa el lado sobre el que gira se denomina eje de rotación y el
lado paralelo a él es la generatriz. En un cilindro distinguimos la superficie lateral y dos bases que
son dos círculos iguales. La altura del cilindro es la distancia entre las dos bases. En un cilindro recto
la altura y la generatriz miden lo mismo
Elementos
Clasificación:
Propiedades

En todo cilindro circular se puede inscribir y circunscribir prismas que tengan por aristas
laterales las generatrices del cilindro y por bases, polígonos inscritos y circunscritos a las
bases por consiguiente se puede considerar al cilindro como un prisma de infinito número de
caras.

El área lateral de un cilindro circular es igual al producto del perímetro de una sección por la
generatriz.

El área lateral del cilindro de revolución es igual al producto del perímetro de la base por la
generatriz.


Dos cilindros circulares rectos son semejantes si son desarrollados por rectángulos
semejantes.
Las áreas laterales o totales de dos cilindros circulares rectos semejantes son entre si como
los cuadrados de sus lados homólogos, y sus volúmenes como el cubo de sus lados
homólogos.
ü El volumen de un cilindro es igual al producto de su base por su altura.
ü Dos cilindros circulares rectos son semejantes si son desarrollados por rectángulos semejantes.
2.3.2 Conos, tronco de cono, área lateral, área total, volumen
Un cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor
de uno de los catetos. La recta en la que se sitúa el lado sobre el que gira se denomina eje de
rotación y la hipotenusa es la generatriz. En un cono distinguimos la superficie lateral y la base que
es un círculo. El punto donde convergen las generatrices es el vértice. La altura del cono recto es la
distancia del vértice a la base.
Elementos
Clasificación
Propiedades


En todo cono circular se puede inscribir y circunscribir pirámides que tengan por aristas
laterales las generatrices del cono, y por base, polígonos inscritos y circunscritos a la base,
por lo tanto, se puede considerar al cono circular como una pirámide de infinito número de
caras.
El área lateral de un cono de revolución es igual al producto del semi-perímetro de la base
por su generatriz.

El volumen de un cono circular es igual a un tercio del producto de su base por su altura.

Las áreas laterales o totales de dos conos circulares semejantes son entre si como los
cuadrados de sus lados homólogos, y sus volúmenes como el cubo de sus lados homólogos.
Tronco de cono
Propiedades

El área lateral de un tronco cono es igual al producto de la semisuma de los perímetros de las
bases por su generatriz.

El volumen de un tronco de cono es igual.
2.3.3 Esferas, áreas y volúmenes
La esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo (o un círculo) alrededor
del diámetro. La recta en la que se sitúa éste es el eje de revolución y la semicircunferencia la
generatriz. La superficie esférica no es desarrollable en el plano.
Elementos
Figuras esféricas y zonas esféricas
Casquete esférico: se obtiene al dividir la superficie esférica en dos partes, mediante un plano, si
este pasa por el centro de la esfera los casquetes son iguales.
Segmento esférico: es el espacio que limita el casquete esférico y el círculo base.
Zona esférica: es aquella superficie esférica limitada por dos planos.
Rebanada esférica: es el espacio que limita dos planos paralelos y la zona correspondiente.
Huso esférico: es la porción de superficie esférica que se obtiene con dos planos que concurren en
un diámetro.
Cuña esférica: es la porción de espacio que limitan dos planos que concurren en un diámetro y el
uso esférico correspondiente.
Área y volumen de la esfera
RETROALIMENTACION
Ejercicios resueltos
1. Determina el área y el volumen del casquete esférico, si h = 2 u, R = 5 u, r = 10 u.
2. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base, si la altura
mide 189 u, calcula el área y el volumen del cilindro.
3. Calcula el área lateral y volumen de un cono cuya generatriz mide 20 m y el radio de la
base
4 m.
1. Calcula el área lateral y volumen de un cono cuya generatriz mide 20 m y el radio de la
base
4 m.
TEMA: 2 GEOMETRÍA ANÁLITICA 1. SISTEMAS DE COORDENADAS LINEALES
1.1 Sistemas de coordenadas lineales
Las coordenadas son puntos representados en el plano cartesiano que describen una posición, estos
puntos son dados en relación al eje X (abscisas) y al eje Y (ordenadas).
Un sistema coordenado lineal, no es más que el establecimiento de una correspondencia uno a uno,
entre los puntos de la línea recta y los números reales. (Iñiguez, 2020)
En la figura se puede observar que se ha colocado el punto O, el cual representa el punto 0, a la
derecha de este punto se colocan los números positivos y a la izquierda se colocan los números
negativos, por ejemplo, el punto X1 toma un valor de 2.
En este caso se puede definir como coordenada del punto, al número real representado que indica la
distancia dirigida que hay desde el cero al punto, el sentido positivo de la recta es universal y se lo
toma de izquierda a derecha.
Para determinar la magnitud entre dos puntos definidos se debe aplicar el siguiente teorema:
En un sistema coordenado lineal, la magnitud de un segmento dirigido que une dos puntos dados, se
obtiene, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.
1.2 Segmentos rectilíneos dirigidos
Una recta dirigida es una recta en la cual una dirección se escoge como positiva y la
dirección opuesta como negativa. Un segmento de la recta, formado por dos puntos
cualesquiera y la parte entre ellos, se llama segmento de recta dirigido. El sentido de un
segmento dirigido se indica escribiendo primero el origen y luego el extremo.
A diferencia de la geometría plana en la geometría analítica el segmento además de tener
magnitud también tiene dirección.
A la longitud con signo, se la denomina magnitud del segmento, y la designamos por AB. La
longitud del segmento es igual al valor absoluto de su magnitud.
Si los puntos del segmento coinciden, diremos que el segmento AB es nulo, ya que su
magnitud es igual a cero.
Los segmentos dirigidos siguen el siguiente teorema:
Si A, B Y C son tres puntos de una recta dirigida, entonces la distancia dirigida determinada
por estos puntos satisface las ecuaciones:
Ejercicios resueltos:
1. El punto medio de un segmento dirigido tiene por coordenadas (-3), si el segmento tiene 8
unidades de longitud, hallar las coordenadas de los
extremos.
2. Uno de los extremos del segmento dirigido, está en el punto de coordenada (-3). Si su
punto medio tiene por coordenada 5, hallar la coordenada
del otro extremo.
3. Un segmento vertical dirigido se divide en tres partes iguales, las coordenadas de
trisección son (-2) y (4). Calcular las coordenadas de los
extremos.
1.3 Sistema coordenado rectangular
El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto matemático
formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano llamadas "ejes", la recta
horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. El plano queda dividido en cuatro partes
llamados cuadrantes.
Las coordenadas de un punto, será entonces, pares ordenados de la forma (X, Y) en los
cuales X es la distancia dirigida del eje Y al punto, la cual toma el nombre de abscisa, de la
misma manera Y es la distancia dirigida del eje X al punto y se denomina ordenada.
Para graficar puntos en este sistema podemos seguir los siguientes pasos:
ü Escoger la escala en la cual se pretende graficar los puntos.
ü Medir sobre el eje X (abscisas) las unidades que se indiquen ya sean positivas o
negativas.
ü Medir sobre el eje Y (ordenadas) las unidades que se indiquen ya sean positivas o
negativas.
ü Trazamos paralelas del eje X e Y desde el punto que se midió en los apartados anteriores
hasta que se crucen.
ü El corte es el punto deseado.
Ejercicios resueltos:
1.
Grafique los siguientes puntos: A(1, 5); B(-5, -2); C(-4, 3); D(3, -3)
1.4 Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos cualesquiera, o la longitud del segmento de recta que los une,
se pueden calcular a partir de las coordenadas de los puntos. Un segmento de recta (o una
recta) se clasificará como horizontal, vertical o inclinado dependiendo de si el segmento es
paralelo al eje x, al eje y o a ningún eje.
En vista de que a menudo se requieren las longitudes de los segmentos, sin importar su
dirección, se enuncia una regla que da resultados en cantidades positivas.
ü La longitud de un segmento de recta horizontal que une dos puntos es la abscisa del
punto de la derecha menos la abscisa del punto de la izquierda.
ü La longitud de un segmento de recta vertical que une dos puntos es la ordenada del punto
superior menos la ordenada del punto inferior.
Para encontrar la distancia entre dos puntos, se suma el cuadrado de la diferencia de las
abscisas con el cuadrado de la diferencia de las ordenadasy se obtiene la raíz cuadrada
Ejercicios resueltos:
1. Halle el perímetro del triángulo, cuyos vértices son: A(-3, -4); B(2, 5); C(3, -2)
2. Determine las coordenadas de un punto perteneciente al eje X, que se caracteriza por
ser equidistante de los puntos A (3, -2) y B (-7, 4).
Dibuje el triángulo que tiene los siguientes vértices A(6, 2); B(2, -3); C(-2, 2). Determine si el
triángulo es isósceles.
1.5 Área de triángulos
Existen varios métodos para obtener el área de un triángulo, en esta ocasión se aprenderá a
calcular el área por las coordenadas de los vértices, para la aplicación se debe tomar en
cuenta el siguiente teorema.
El área de un triángulo que tiene por vértices los puntos P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3),
está dada por el determinante:
Desarrollando el determinante se obtiene la siguiente expresión:
Operando:
El área del triángulo puede ser positivo o negativo, esto depende del sentido y del orden que
se tomen los vértices, para evitar errores se debe tomar los vértices en sentido antihorario
es decir de derecha a izquierda, así las áreas obtenidas siempre serán positivas, por lo que
no tomaremos el valor absoluto del determinante.
Ejercicios resueltos:
1.
Los vértices de un triángulo son los puntos A(3,5); B(-4,3) y C(-6.-5), calcular su área.
El área de un triángulo es de 3u2 , dos de sus vértices tienen por coordenadas A(2,1) y B(1,3) si el tercer vértice del triángulo esta sobre el eje OX, hallar su coordenada.
Dos de los tres vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-1; 1), B(3; 1), hallar las
coordenadas del tercer vértice y su área.
1.6 División de un segmento en una razón dada
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se
llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones
por cociente o geométricas.
En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se
trata de segmentos de recta dirigidos.
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que
contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, AP y PB, están en la relación r:
Principios fundamentales:






El punto que causa la división de un segmento, debe ser interior o exterior a éste. Si
es exterior, pertenecerá a la prolongación del segmento.
El número r no depende del modo en que se ha tomado la dirección positiva de la
recta L.
El número r no depende de la unidad elegida para la medida de las longitudes de los
segmentos definidos.
Si los segmentos tienen la misma dirección, la razón definida por la proporción es
positiva, si son de sentidos contrarios, es negativa.
Si el punto P, se aproxima al punto A, el número r se aproxima a cero; si el
punto P, coincide con A, la razón vale cero.
Si el punto P, se aproxima al punto B, el número r, crece indefinidamente o tiende al
infinito si P coincide con el punto B, decimos que la razón es infinita.

Si el sentido del segmento a ser dividido está definido existe una única forma de
hacerlo, pero si este no está definido, se puede ubicar de dos maneras diferentes.

Como se mencionó, antes se busca en determinar las coordenadas del punto P
desconocido, para ello se aplica el siguiente teorema.


Si el punto P(Xp, Yp) divide al segmento AB en la razón dada:
coordenadas están definidas por:

sus
Ejercicios resueltos:
Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento A(8, 2) y B(-5, 7) en la
razón r = 3/4.
Dados los puntos: A(1, 1); B(7, 4); hallar en la recta los puntos que determinan P, si se
encuentra entre A y B, y esta dos veces más cercano al punto A que al punto B
1.7 Pendiente de una recta
Se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto
de la horizontal (la tangente inversa del valor de la pendiente "m" es el ángulo en grados o
radianes).
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección
positiva del eje de abscisas.
Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2), dos puntos de una recta, no paralela al eje Y como muestra la
figura.
La pendiente m de una recta que pasa por dos puntos dados P1 y P2 es igual a la diferencia
de las ordenadas dividida entre la diferencia de las abscisas tomadas en el mismo orden;
esto es,
La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo m =
tan(α).




Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva.
Si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa.
Si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (X) del plano cartesiano
Si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (Y) del plano cartesiano
Ejercicios resueltos:
Halla la pendiente de la recta y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos
A(3, 2) y B(-4, -1)
Dado los puntos A (-1, -1), B (5, 0), C (4, 3), D (-2, 2) demuestre que los puntos dados
forman un paralelogramo
¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos (5, 5) y (4, 2)?
1.8 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Si dos rectas son paralelas, el ángulo que forman entre ellas es de 0º o de 180º, según que
sus direcciones sean iguales u opuestas, en ambos casos la tangente de estos ángulos vale
cero, por lo que:
La condición necesaria y suficiente, para que dos rectas sean paralelas, es que sus
pendientes sean iguales.
Si las rectas son perpendiculares, el ángulo formado por ellas es de 90º, como la tan(90º)
no está definida, se debe usar su expresión racional que es: 1/ctg
Para que dos rectas sean perpendiculares entre sí, es condición necesaria y suficiente que
el producto de sus pendientes sea igual a -1.
1.9 Ángulo entre dos rectas
Dos rectas que se intersecan forman dos pares de ángulos iguales, y un ángulo de un par es
el suplemento de un ángulo del otro par. Se mostrará cómo encontrar una medida de cada
ángulo en función de las pendientes de las rectas.
Para calcular el valor de los ángulos θ y β, cuando conocemos las pendientes m1 y m2 de
las rectas que lo forman, se aplica el siguiente teorema:
Un ángulo especifico θ, formado por dos rectas al cortarse, se define mediante la relación:
Hallar el ángulo formado, por el eje de las ordenadas y la recta que pasa por los puntos
A(1,1) y B(-4, 5).
Una recta de pendiente -1/2 pasa por el punto: (2, 0), otra recta de pendiente 1 pasa por el
punto (-2, 0), ¿en qué punto se cortan las dos rectas?
2. RECTA Y CÓNICAS
2.1 Formas de la ecuación de la recta
Para definir la recta analíticamente se debe tener en claro el concepto de lugar geométrico
que es el conjunto de todos los puntos y solamente de aquellos, cuyas coordenadas
satisfacen la o las condiciones dadas.
Por lo tanto se puede definir a la recta como el lugar geométrico de todos los puntos tales
que: tomados de dos en dos y en forma diferente, siempre se obtenga una pendiente
constante.
La ecuación de la línea recta, que es un lugar geométrico, queda perfectamente definida si
se conoce dos condiciones que deben cumplir los puntos pertenecientes a ella. Los
diferentes nombres de las ecuaciones dependen del tipo de condición dados.
Ecuación de la recta punto pendiente
Se puede obtener la ecuación de la recta, si se conocen las coordenadas de uno de sus
puntos y su ángulo de inclinación (por lo tanto, su pendiente), aplicando el siguiente teorema:
La recta que pasa por el punto dado P(x1,y1) y pendiente dada m, tiene por ecuación:
Se puede obtener la ecuación de una recta paralela al eje y aplicando el siguiente teorema:
Toda recta paralela al eje y, tiene una ecuación de la forma x = k, siendo k la distancia
dirigida del eje Y a la recta.
Forma: Pendiente y ordenada al origen
Si la recta corta en el eje de las abscisas en el punto A(a, 0) se dice que el número a, es la
abscisa en el origen de la recta, de igual forma el número b, corta en el eje de las ordenadas,
se lo denomina ordenada en el origen de la recta.
Por lo tanto la ecuación de la recta está definida por:
Un caso particular ocurre si la recta pasa por el origen de coordenadas en este caso b = 0
por lo tanto:
La ecuación de una recta en su forma simétrica es aquella que está dada en términos de las
distancias de los puntos de intersección de la recta al origen del sistema coordenado.
La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los puntos (a, 0),
siendo a la abscisa en el origen y (0, b), siendo b la ordenada en
La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las
rectas: horizontales, verticales e inclinadas.
En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación de una recta dada. Por ejemplo,
en el caso de la ecuación de la recta en la forma simétrica, en caso de que cualquiera de las
intersecciones fuera, bien a = 0, bien b = 0, la ecuación simétrica no puede escribirse.
Cualquier ecuación de primer grado en las variables x e y se puede escribir en la forma:
La cual se conoce como ecuación general de la recta, donde A, B, C son números reales.
A partir de la ecuación general de la recta se puede encontrar la pendiente de la recta que
es igual a:
De igual manera a partir de la forma general se puede determinar la ordenada al origen b.
Así:
Forma normal
La ecuación de una recta y su posición en el plano queda perfectamente definida si se
conocen dos condiciones, la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado desde el
origen, y el ángulo que esta forma con el eje de las x positivas.
La forma normal de la recta es importante por sus aplicaciones, ya que permite obtener la
distancia de un punto a una recta, así como las ecuaciones de las bisectrices.
La ecuación normal de la recta está definida de la siguiente manera:
Para poder reducir la ecuación general de la recta a la ecuación normal se puede seguir los
siguientes lineamientos:
Si se tiene la ecuación general de la recta dada en forma: Ax + By + C = 0 y queremos
transformar a la forma xcos(w) + ysen(w) – p = 0, basta con multiplicar cada uno de los
términos, por la constante de proporcionalidad k, debiendo escoger el signo delante del
radical de la siguiente forma:
Si C ≠ 0 este es opuesto al signo de C,
Si C = 0, el signo debe ser el mismo de B.
La constante de proporcionalidad es igual:
Ejercicios resueltos
1. Hallar la ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1, 4) y son paralelas y
perpendiculares a la recta 3x - 2y + 40 = 0.
Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto A(5, 4), si la suma de sus coordenadas
al origen es igual a -3.
Una interpretación gráfica se presenta a continuación.
Hallar la ecuación de la recta en la forma normal, si esta pasa por los puntos A(5,1) y B(1, 5)
2.2 Distancia de un punto a una recta
Para hallar la distancia de un punto a una recta, dada en la forma general, tomamos el valor
absoluto de la expresión que resulta de: remplazar las coordenadas del punto, en la
ecuación de la recta y multiplicarla por la constante de proporcionalidad k
Si se desea la distancia con signo se debe seguir las siguientes reglas:
Cuando la recta no pasa por el origen de coordenadas:
a. Si el punto desde el cual queremos calcular la distancia y el origen de coordenadas
están de lados opuestos de la recta, la distancia es positiva.
Si el punto y el origen están del mismo lado de la recta, la distancia es negativa.
b.
Cuando la recta pasa por el origen de coordenadas:
a.
La distancia es positiva, si el punto está sobre la recta.
b.
La distancia es negativa, si el punto está debajo de la recta.
La distancia con signo se usa principalmente en la determinación de las ecuaciones de las
bisectrices de un ángulo formado por dos rectas al cortarse, problemas de circunferencias
tangentes a rectas dadas.
Para calcular la distancia de un punto a la recta se utiliza la siguiente expresión
Remplazando la constante de proporcionalidad en la ecuación anterior, se obtiene:
2.3 Distancia entre rectas
La distancia entre dos rectas L1 y L2, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de L1
y un punto cualquiera de L2.

Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es, evidentemente, cero
Es decir, d(L1, L2)=0.

Si las rectas son paralelas, la distancia entre L1 y L2 es la distancia de un punto de
cualquiera de las dos rectas a la otra.
Para encontrar la expresión analítica de la distancia de L1 a L2, supondremos que tenemos:
L1: Ax + By + C = 0 y L2: A′x + B′y + C′ = 0.
Como las rectas han de tener vectores directores paralelos, en particular podemos suponer
que tienen el mismo y por eso A = A′ y B = B′.
Como las rectas no pueden ser coincidentes evidentemente tendremos C ≠ C′.
Entonces para hallar la distancia entre dos rectas seguimos el siguiente procedimiento:


Hallamos un punto en L1, y trazamos una perpendicular a L2.
Hallamos la distancia del punto a la recta utilizando la fórmula aprendida en el
apartado anterior.
Ejercicios resueltos
Hallar la distancia dirigida, del punto(6, 4) a la recta:
Dados los puntos A(4, 5) y la recta x + 2y – 4 = 0, determinar sobre la recta los puntos B y C,
tales que, al unirlos con el punto A formen un triángulo equilátero.
Dados los puntos A(4, 5) y la recta x + 2y – 4 = 0, determinar sobre la recta los puntos B y C,
tales que, al unirlos con el punto A formen un triángulo equilátero.
2.4 Ecuación de la bisectriz
En los capítulos anteriores se ha estudiado la bisectriz, recordando su definición se sabe
que la bisectriz es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los lados de un
ángulo.
Para hallar la ecuación de la bisectriz se debe seguir el siguiente procedimiento:


Graficamos las ecuaciones de las rectas dadas.
Tomamos un punto cualquiera P(x, y) perteneciente a la bisectriz, cuya ecuación
deseamos definir.


Hallamos las distancias desde este punto a las rectas que forman los lados del ángulo.
Igualamos estas distancias tomando en cuenta sus signos, obtendremos como
resultado la ecuación de la bisectriz deseada.
Ejercicios resueltos
Hallar las ecuaciones de las bisectrices, que las rectas forman al cortarse, se conoce que:
L1: 2x + y – 4 = 0,
L2: 6x – 3y + 12 = 0.
Hallar las ecuaciones de las bisectrices, de los ángulos formados por las rectas L1 y L2 al
cortarse, L1: 3x - 4x + 6 = 0, L2: 2y – 3 = 0.
Hallar la distancia del punto (-7, -8) a la bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas
L1: 2x - 2y + 8 = 0; L2: x - 4y – 7 = 0.
2.5 Familia de rectas
Una recta cumple solo una condición, no es una recta única, por lo que existe una infinidad
de rectas que satisfacen dicha condición y tiene una propiedad en común.
Una familia de rectas es un conjunto de rectas que tienen algo en común entre sí, todas las
rectas que satisfacen una y sólo una condición geométrica forman una familia o haz de
rectas.
Las líneas rectas pueden pertenecer a dos tipos de familia: donde la pendiente es la misma
(figura a), y, las rectas que pasan por el mismo punto común (figura b).
Si se conoce por ejemplo que la pendiente debe valer 3, la ecuación de la familia es: y = 3x
+ b, las ecuaciones particulares de cada una de las rectas que forma esta familia, las
obtendremos, cuando definamos de alguna manera el valor de la ordenada en el origen b,
que recibe el nombre de parámetro de la familia de rectas.
Todas las rectas que pasan por un punto, por ejemplo el punto (3, 2), representan otra
familia de rectas cuya ecuación es: y – 2 = m(x - 3). De igual forma, para los diferentes
valores de la pendiente.
Para hallar la ecuación de la familia de rectas se puede seguir el siguiente procedimiento:



Luego de analizar los datos del problema, planteamos la ecuación de la familia, la
que se caracterizará por estar en función de un único parámetro.
Con los datos dados en el problema, definimos el valor del parámetro, lo que siempre
será factible de hacerlo, si el problema está bien concebido.
Reemplazamos el valor del parámetro en la ecuación de la familia y obtenemos la
recta particular buscada.
Familia de rectas que pasa por el punto de corte de dos rectas dadas
Para definir la ecuación de la familia de rectas que pasa por el punto de intersección de dos
rectas dadas, multiplicamos la ecuación de una de las rectas en la forma general, por el
parámetro k, le sumamos la ecuación de la otra recta e igualamos a cero.
Sean las rectas Ax + By + C = 0, A`x + B`y + C`= 0, y sea P(x1, y1) el punto de intersección
de la ecuación se tiene que:
Ejercicios resueltos
Una recta corta a los ejes coordenados, formado un triángulo de área 24 u2, si su pendiente es -3/4,
hallar su ecuación.
Hallar la recta de la familia de centro ( 2, 3/2) y que pasa por ( 0, 3 )
Escriba la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de 2x - y - 1 = 0
y 3x + 2y - 12 = 0.
Encuentre el miembro de la familia que pasa por (-2, 1).
2.6 La circunferencia, definición, ecuaciones, parámetros
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto en el plano, que se mueve de tal
manera, que está siempre a una distancia constante (radio), respecto de un punto fijo
(centro) también del plano.
La circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables.
Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en
determinadas condiciones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada
si se conocen su centro y su radio.
Si se denomina por (h, k) a las coordenadas del centro y por r al radio, se puede establecer
la ecuación de la circunferencia conocida como forma ordinaria o canónica.
Si el centro se encuentra en el origen de coordenadas es decir h = k = 0, la ecuación de la
circunferencia quedaría:
Bajo esta ecuación se puede determinar las coordenadas del centro y la longitud del radio
mediante las siguientes ecuaciones:
Si la ecuación dada se encuentra en esta forma se deberá comprobar si la ecuación forma
una circunferencia para esto podemos tomar las siguientes consideraciones:
Ejercicios resueltos
Una circunferencia de centro en el origen, es tangente a la recta 4x - 3y + 5 = 0, hallar su
ecuación.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (1, -4) y es concéntrica con la
circunferencia x2 + y2 – x + 10y + 18 = 0.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(6,2) y B(8,0), si su centro
está sobre la ecuación 3x+7y+2=0.
2.7 Traslación de ejes
La transformación de coordenadas, es un artificio que permite simplificar ecuaciones de
curvas dadas, para poder estudiarlas fácilmente. Mediante este artificio cambiamos una
relación, expresión o figura en otra, siguiendo una ley dada que analíticamente se conoce
como ecuaciones de transformación.
Las transformaciones principales son: la traslación y rotación de ejes.
La traslación de ejes consiste en mover los ejes X e Y de forma paralela de tal manera que
se obtiene un nuevo punto de referencia O´, y por lo tanto un nuevo sistema de ejes X´ e Y´,
cualquier punto trazado en el plano se puede expresar en coordenadas de X e Y ó de X´,Y´.
Sea un punto P de coordenadas (x, y) con respecto a los ejes rectangulares X e Y, Vamos a
obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x´, y´) del mismo punto P con
respecto al nuevo referencial rectangular.
Si se trasladan los ejes coordenados en forma paralela, a un nuevo origen O´(h, k) y si las
coordenadas de cualquier punto P, antes y después de la traslación son: (x, y) y (x´, y´)
respectivamente, las ecuaciones de transformación al nuevo sistema son:
2.8 La Parábola, definición ecuaciones, parámetros
La parábola es un lugar geométrico, de un punto que se mueve en el plano, de tal manera
que su distancia no dirigida a una recta fija llamada directriz siempre es igual a su distancia
no dirigida respecto de un punto fijo llamado foco.
De acuerdo a la definición, siempre se cumplirá que |d1|=|d2| para cualquier punto de la
parábola.
Ecuaciones de la parábola
La parábola tiene varias formas de ecuación, las que dependen de su posición con respecto
a los ejes coordenados o de su presentación.
Parábolas de vértice en (0,0) y eje coincidente con el eje X
Su ecuación está definida por la siguiente expresión, se la conoce como ecuación canónica
de la parábola:
Esta ecuación cumple con las siguientes características:


Si p es positiva, “x” será también positiva y la curva se abrirá hacia la derecha.
Si p es negativa, “x” será también negativa y la curva se abrirá hacia la izquierda.
Parábolas de vértice en (0,0) y eje coincidente con el eje Y
Las coordenadas del foco para este caso son f(0, p) y la ecuación de la directriz paralela al
eje x es y = -p, aplicando la definición de lugar geométrico se obtiene la ecuación de la
parábola conocida como 2da ecuación canónica.
Analizando la ecuación se pude enunciar las siguientes conclusiones







La curva pasa por el origen de coordenadas.
La curva es simétrica al eje de las Y
Si p es positivo la curva se abre hacia arriba.
Si p es negativo la curva se abre hacia abajo.
La curva resultante es de longitud infinita.
La curva carece de asíntotas.
La magnitud del lado recto es igual a valor absoluto de 4p.
Parábolas de vértice en (h, k) y ejes paralelos a los ejes coordenados.
Para obtener la ecuación con respecto a los ejes originales, usamos las ecuaciones de
traslación de ejes, mediante la cual se obtiene la ecuación ordinaria paralela al eje X.
De igual manera se puede obtener la ecuación de las parábolas de vértice (h, k) y paralelo al
eje Y.
Ecuaciones generales de las parábolas en posiciones ordinarias
La formas generalas de la parábolas están representadas de la siguiente manera cuando el
eje es paralelo al eje Y, vértice en (h, k)
Cuando el eje es paralelo al eje X, y vértice en (h, k) se tiene:
Ejercicios resueltos
Hallar la ecuación de la parábola de foco en (2, 1) y vértice sobre la recta: 3x + 7y + 1 = 0 si
se sabe que su directriz es horizontal:
Hallar la ecuación de la parábola, de vértice en el punto (3,-1) si su directriz es la recta y = 2.
Hallar el valor de la pendiente para que la recta y = mx + 5, sea tangente y no corte la
parábola y2 = 6x.
2.9 La elipse, definición ecuaciones, parámetros
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La elipse se define como
el conjunto de puntos P(x,y) del plano tales que la suma de su distancia a F1
con su
distancia a F2 es igual a 2a. Es decir:
A F1 y
elipse.
F2 se les denomina focos de la elipse
y es la longitud del semieje mayor de la
Ecuación canónica de la elipse
Con eje focal horizontal
Consideremos las coordenadas de los focos F1 (C,0) y F2 (-C,0) analicemos el siguiente
gráfico.
De la definición de la elipse tenemos:
Que es la ecuación de la elipse con centro (0, 0) y eje focal horizontal. IMG
Notas:

a es la longitud del semi eje mayor.

b es la longitud del semi eje menor

El lado recto tiene dimensión

La dirección del eje focal está indicada por el término que tiene el mayor denominador,
en este caso es a > b y por ello se dice que la elipse es de eje mayor horizontal.
Elipse con C(h, k) y eje paralelo al eje x
Supongamos, que el vértice es el centro C (h, k), y el eje focal es paralelo al eje horizontal o
eje de las equis x, entonces la ecuación de la elipse se determina como:
Con eje focal vertical
De manera análoga se puede encontrar la ecuación la elipse con centro C(0, 0) y eje focal el
eje vertical y
En este caso b > a, la ecuación de la elipse es:
Ejercicio resuelto
2.10 La hipérbola, definición ecuaciones, parámetros
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La hipérbola se define
como el conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su
distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a. Es decir:
A F1 y F2 se les denomina focos de la hipérbola.
Ecuación canónica de la hipérbola

Con eje focal horizontal
Consideremos las coordenadas de los focos
gráfico.
analicemos el siguiente
Hipérbola con C(h, k) y eje paralelo al eje x
Supongamos, que el centro es C(h, k), y el eje focal es paralelo al eje horizontal o eje de las
equis x, entonces la ecuación de la hipérbola se determina como:
Hipérbola con eje focal vertical
De manera análoga se puede encontrar la ecuación la hiperbola con centro C(0, 0) y eje
focal el eje vertical .
En este caso la ecuación de la hipérbola es:
Su gráfica es:
Ejercicio resuelto.
El gráfico de esta hipérbola es:
Actividades de aprendizaje autónomo
Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas A(-8) y B(-12) si el segmento está
dirigido desde A hacia B.
1.
2. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos de coordenadas es (-2), hallar
la coordenada del otro punto.
3. Los extremos de un segmento son de coordenadas: (-6) y (9). Hallar las coordenadas
de los puntos de trisección del segmento.
4. Las coordenadas de tres puntos son: A(-3, -5), B(4, -3) y C(6,3). Hallar el perímetro y su
área.
5. Demostrar que los puntos (6, 5), (3, 7) y (2, -1) son los vértices de un triángulo
rectángulo y calcular su área.
6. Tres de los cuatro vértices de un rectángulo, son los puntos de coordenadas A(2, 1), B(7,
-1) y C(7, 3). Hallar las coordenadas de los cuatro vértices y el área del rectángulo.
7. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8), si el punto medio del segmento
es de coordenadas (4, 3). Hallar las coordenadas del otro extremo.
8. Determinar el valor de M, para que los puntos A(2, 5), B(-4, -2) y C(0, M) sean los
vértices de un triángulo rectángulo.
9. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos: A(6, -4) y B(-2, -2), si el tercer vértice
C, esta sobre el eje OY y el área del triángulo que forma es 16 u2. Hallar las coordenadas del
vértice C.
10. Hallar el valor de q para que los puntos (1,1), (0, -2) Y (-2, Q) sean colineales.
11. Determine si los puntos (-5, 6), (2, 5) Y (1, -2) tienen la misma distancia con respecto al
punto (-2, 2).
12. Una tabla plana se apoya contra un muro. El lado superior está a 6 metros sobre el piso
y el lado inferior se halla a 2 m de distancia del muro. ¿Cuál es la pendiente de la tabla?
13. Una escalera de 3 m de largo se apoya contra un muro, tocándolo a 2.4 m sobre el piso.
¿Cuál es la pendiente de la escalera? ¿Es posible que una persona de 1,80 m de estatura
pase bajo la escalera a 0,3 m del muro? ¿Es posible que la misma persona pase bajo la
escalera a 0,6 m del muro?
14. Una sección transversal de una cabaña de 5,5 m de ancho es un triángulo isósceles. Si
la pendiente de un lado es 1,5, encuentre la altura de la cabaña.
15. La recta que pasa por los puntos (3, 4) y (-5, 0) interseca la recta que pasa por los
puntos (0,0) y (-5, 0). Encuentre los ángulos de intersección.
16. Dos rectas que pasan por (3, 2) forman un ángulo de 45°. Si la pendiente de una de las
rectas es 1, encuentre la pendiente de la otra recta (hay dos soluciones).
17. Una cámara de televisión se coloca a 1 m de la línea lateral de una cancha de
baloncesto de 28,65 m de largo. La cámara se encuentra a 2,4 m del centro. ¿Qué ángulo
debe abarcar para captar toda la acción de la cancha?
18. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo
cuyos vértices son (2, 2), (6, 3) y (5, 7), luego, muestre que
el punto medio de la
hipotenusa equidista de los tres vértices.
19. El segmento de recta que une A(2, 4) y B(-3, -5) se extiende por ambos extremos en una
distancia igual al doble de su longitud original.
Encuentre las coordenadas de
los nuevos extremos.
20. El punto (7, 3) biseca el segmento de recta que une (X1, 6) y (9, Y2). Encuentre los
valores de X1 y Y2
21. Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 6).
22. Halla la ecuación de la recta paralela a y=(1/2)x que pasa por el punto (4, 4).
23. Dados los puntos A (2, -1) y B (3, 4), halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes: a)
Pasa por A y es paralela a AB b) Pasa por B y es paralela a AB.
24. Encontrar la ecuación cartesiana ordinaria de la recta cuya ordenada al origen es −5 y
cuya abscisa al origen es 3.
25. Encontrar la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa al origen suman 21 y su
pendiente es 2.
26. Encontrar la ecuación de una recta que pase por (1, 3) y sea paralela a 2x − 5y + 7 = 0.
27. Si A(−1, 3), B(3, 7), C(7, 3) son los vértices de un triángulo
a) Determinar las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados.
b) Determinar las ecuaciones de las rectas que contienen a las medianas.
c) Determinar las ecuaciones de las rectas que contienen a las alturas.
28. Obtener la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por las rectas x + 2y − 5 = 0 y 4x
+ 2y + 3 = 0.
29. Calcular la distancia que hay entre las rectas
a) 3x − y − 8 = 0 y 3x − y − 15 = 0
b) 15x − 5y − 8 = 0 y 12x − 4y + 5 = 0
30. Encontrar las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las condiciones que se
indican:
a) r = 5 y concéntrica con x 2 + y 2 − 4x − 2 = 0
b) Centro (3, −1) y tangente al eje y
c) De radio 6 y tangente a los dos ejes coordenados.
d) Un diámetro es el segmento entre (2, −3), (−4, 5)
e) Que pase por los puntos (−4, 1), (3, 0), (5, 4)
f ) Que pase por (11, 1), (3, −3) y que sea tangente a la recta 3x + 4y + 13 = 0
g) Tiene su centro en la recta 2x − y − 10 = 0 y pasa por (1, 3), (5, −3)
31. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(11, 4) y es tangente a la
circunferencia x2 + y2 − 8x − 6y = 0.
32. Encontrar las ecuaciones de las siguientes parábolas:
a) V (2, 3), parámetro p = 4, concavidad hacia arriba.
b) V (1, −4), F(−5, −4)
33. Encontrar las ecuaciones de la parábola con foco (3, 4) y directriz 2x − y + 3 = 0.
34. Los puntos A(-2, 3), B(6, -5), C(8, 5) son los vértices de un triángulo. Encuentre las
ecuaciones de las medianas.
35. Los lados de un triángulo se encuentran sobre las rectas x - 2y + 1 = 0, 3x - y - 13 = 0
y 2x + y - 13 = 0. Encuentre los vértices.
36. Una circunferencia tiene su centro en (-4, -2) y es tangente a la recta 3x + 4y - 5 = 0.
¿Cuál es el radio de la circunferencia? ¿Cuál es la ecuación del diámetro que es
perpendicular a la recta?
37. Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos agudos y también la ecuación del
bisector de los ángulos obtusos formados por las rectas 7x - 24y = 8 y 3x + 4y = 12.
38. Los vértices de un triángulo están en A(-3, -2), B(2, 1) y C(6, 5). Encuentre la longitud de
la altura del vértice C al lado AB. A continuación, calcule el área del triángulo.
39. La ecuación de una línea de gas es 2x + y = 2. Una fábrica localizada en (6, 7) se
conectará perpendicularmente con la línea de gas. Encuentre
la ecuación de la línea
de conexión y la longitud de la tubería requerida, si las unidades son en kilómetros.
40. La recta 3x + 2y + 4 = 0 se halla a la mitad entre dos rectas paralelas que distan 4
unidades entre sí. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas.
41. Los lados de un triángulo se encuentran a lo largo de las rectas x - 2y = 0, 5x - 2y = 8 y
3x + 2y = 24. Encuentre la ecuación de la circunferencia que circunscribe al triángulo.
42. Un cable suspendido por soportes que se encuentran a la misma altura y que distan 240
m entre sí, cuelga en el centro 30 m. Si el cable cuelga en forma de parábola, encuentre su
ecuación colocando el origen en el punto más bajo.
43. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones. Indique
todos sus elementos:
44. Si los focos de una elipse son los puntos y el perímetro del triángulo cuyos vértices son
los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuación de la elipse.
45. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones. Indique
todos sus elementos
46. Determine la ecuación de las asíntotas de la hipérbola definida por:
2.1. LONGITUD DE ARCO
Un radián es el tamaño del ángulo central subtendido por un arco que tiene la longitud del radio
del círculo.
Dos radianes son, el tamaño del ángulo central subtendido por un arco que mide el doble del
radio del círculo.
Un ángulo central subtendido por un arco es un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y
cuyos lados pasan por los puntos extremos del arco.
Una vuelta completa alrededor del círculo es subtendida por un arco de igual longitud que la
circunferencia del círculo.
circunferencia =2 π r
Por lo tanto, el ángulo que subtiende la circunferencia del círculo es 2π radianes.
longitud de arco = circunferencia =2 π r
Cualquier ángulo central del círculo es una fracción de por lo tanto, podemos calcular la longitud
de arco del ángulo subtendido como una fracción de una circunferencia.
Donde r es el radio y θ es el ángulo central medido en radianes.
De manera similar, la fórmula para el área de un círculo es área= π r2 . El área de un sector
circular con un ángulo central θ será una fracción del área del círculo.
2.2. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de su origen en un mismo plano,
desde una posición inicial a otra posición final. Cuando la rotación es en sentido antihorario, se
generan ángulos trigonométricos positivos y cuando la rotación es en sentido horario se generan
ángulos trigonométricos negativos. La rotación del rayo que genera el ángulo trigonométrico no
está limitada, esto quiere decir que un ángulo trigonométrico puede asumir cualquier valor.
Sistemas de Medidas Angulares



Sistema Sexagesimal
Sistema Centesimal
Sistema Circular

Sistema Sexagesimal




Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada grado se considera
dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales
llamadas segundos.
1° equivale a 60´
1´ equivale a 60"
1° equivale a 3600"
Sistema Centesimal
Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado
tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales".



1g equivale a 100m
1m equivale a 100s
1g equivale a 10000s

Sistema Circular

En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián es el ángulo
cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

· Como la longitud de una circunferencia es 2π radianes, es decir 6.28 radianes,
dándole a r el valor de 3.14

·

Ángulos en Posición Estándar
Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2π )

Ángulo en posición estándar es aquel que tiene vértice en el origen del sistema de
coordenadas y cuyo lado inicial está sobre el eje "x" positivo.
Ángulos Coterminales
1. Los ángulos coterminales son ángulos en posición estándar (ángulos con el lado inicial
en el eje positivo de las x) que tienen un lado terminal común
Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y
restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes.
Ángulos de Referencia
1. Un ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo que representa un ángulo θ de cualquier
medida. Este es el ángulo más pequeño formado entre el lado terminal de θ y el eje x. Siempre
utilizamos este último como su marco de referencia y el procedimiento para medirlo dependerá del
cuadrante en el que se encuentre θ.
θr se mide en base de la posición de un ángulo dado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un
plano rectangular:

Cuadrante I
θr= θ

Cuadrante II
θr= 180° - θ
θr= π - θ

Cuadrante III
θr= θ - 180°
θr= θ - π

Cuadrante IV
θr= 360° - θ
θr= 2π - θ
Ángulos de Referencia y las Funciones Trigonométricas
Ejemplo
Usando ángulos de referencia determinar el valor exacto de sin θ , cos θ y tan θ si:
Para el primer ángulo:
Para el segundo ángulo:
Definición General de Funciones Trigonométricas
Estas seis fracciones se usan como las de niciones generales de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo θ , en
cualquier cuadrante.
Ejemplo
Calcular y/x usando el diagrama siguiente. Con rmar que es lo mismo que el valor de tan 30° .
√
√
Relaciones Trigonométricas: De Ángulos Positivos y Negativos
Usar la de nición del coseno. Sustituir el valor de la coordenada x que se encontró
anteriormente:
Usar la de nición de la secante. Sustituir el valor de la coordenada x que se encontró
anteriormente. Observar que, al igual que con los ángulos agudos, la secante y el coseno son
recíprocos.
El procedimiento es el mismo incluso si el ángulo es negativo. Se debe recordar que un ángulo
negativo es simplemente un ángulo con dirección a favor de las manecillas del reloj.
Entonces el procedimiento para encontrar el valor de la función trigonométrica se simpli ca a lo
siguiente:
Determinar el ángulo de referencia.
Calcular el valor de la función trigonométrica para el ángulo de referencia.
Determinar si el valor de la función es positivo o negativo.
Determinando el Signo de las Funciones Trigonométricas
Podemos resumir esta información por cuadrante:




Cuadrante I: el seno, el coseno y la tangente son positivos.
Cuadrante II: el seno es positivo (el coseno y la tangente son negativos).
Cuadrante III: la tangente es positiva (el seno y el coseno son negativos).
Cuadrante IV: el coseno es positivo (el seno y la tangente son negativos).
Hay una regla nemotécnica sencilla para recordar esto usando la frase “TODAS SIN TACOS” y
se desglosa de la siguiente forma: En el primer cuadrante “todas” son positivas. En el segundo
cuadrante sólo es positivo el “seno” (sin en inglés). En el tercer cuadrante sólo es positiva la
“tangente”. En el cuarto cuadrante sólo es positivo el “coseno”.
Esto funciona para las funciones seno, coseno y tangente. Las otras tres funciones
trigonométricas son recíprocas de éstas. Se debe recordar el hecho básico de que el recíproco
de un número positivo es positivo, y el recíproco de un número negativo es negativo. Esto
implica que el seno y la cosecante tienen el mismo signo, el coseno y la secante tienen el mismo
signo, y la tangente y la cotangente tienen el mismo signo. Entonces si quieres conocer el signo
de la cosecante, la secante, o la cotangente, encuentra el signo respectivo del seno, del coseno,
o la tangente.
TRIANGULO RECTÁNGULO, COFUNCIONES, REDUCCIÓN
Triangulo Rectángulo
Razones Trigonométricas
Aplicaciones de la Trigonometría
Teorema del Seno
Trigonometríaía del Triángulo Rectángulo
Comencemos por observar el triángulo rectángulo, con vértices en los puntos A, B y C. los
ángulos que se forman en los vértices son
, respectivamente.
El lado AB, el lado opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa del triángulo rectángulo.
En este triángulo, vemos que el lado rotulado a (lado BC) es el lado opuesto a
el lado rotulado
b (lado AC) es el lado opuesto a
, y el lado rotulado c (lado AB) es el lado opuesto a
conveniente nombrar los lados en relación con sus ángulos opuestos.
Razones Trigonométricas
. Es
Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona
con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se
encuentra enfrente de este.
Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:
Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden
representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una
línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los
ángulos.
Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas
se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus
ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.
Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de
los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son
recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:
α
α
α
α
α
Aplicaciones de la Trigonometría del Triangulo Rectángulo
En esta sección, veremos cómo aplicar las razones trigonométricas para resolver problemas en situaciones
cotidianas.
Comenzaremos con algo de terminología.
El ángulo de elevación es el ángulo “por encima” de la recta
horizontal.
El ángulo de depresión es el ángulo “por debajo de la recta
horizontal.
Los ángulos de elevación y depresión se usan frecuentemente en problemas verbales de trigonometría, así que
vale la pena conocer sus significados.
Ejemplo
Un observador se encuentra en la base de un edificio. El ángulo de elevación de la parte superior del edificio es
65°. ¿Cuál es la altura del edificio, medida al metro más próximo?
Comenzar por dibujar un diagrama. Sea O la posición del observador en la tierra, B la base del edificio y T la
parte superior. Marcar el ángulo de elevación de 65°.
Por lo tanto,
También es necesario resolver problemas utilizando puntos
cardinales y rumbos (orientaciones).
Los cuatro puntos cardinales son: Norte (N), Sur (S), Este (E) y
Oeste (O).
La medición del rumbo, que se expresa siempre utilizando tres
cifras, se realiza en el sentido de las
El edificio mide 214m. al metro más próximo.
Cuando se utilizan los puntos cardinales para indicar una
dirección, se verán expresiones como:
agujas del reloj, desde el Norte.
N40°E, que significa 40° al Este desde el Norte:
f
O20°E, que significa 20° al Sur desde el Oeste:
NO, que significa 45° entre Norte y Oeste:
Cuando se utiliza el rumbo para indicar una dirección, se verán expresiones
como:
O35°, que significa 35° en sentido de las agujas del reloj, desde el Norte:
110°, que significa 110° en sentido de las agujas del reloj, desde el Norte:
270°, que significa 270° en sentido de las agujas del reloj, desde el norte. Un
rumbo de 270° es lo mismo que hacia el Oeste:
El Teorema del Seno
El teorema del seno (o teorema de los senos) es un resultado de trigonometría que establece la
relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de lados de un triángulo cualquiera con
los senos de sus ángulos interiores opuestos. Esta relación fue descubierta en el siglo X.
Si se aplica el teorema a la fórmula del área de un triángulo (área igual a la mitad de la base por la
altura) inscrito en una circunferencia de radio R, se obtiene una fórmula para el área en función de
los lados y del radio.
Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior (opuesto a
alguno de estos dos lados), o bien, un lado y dos ángulos (uno de ellos debe ser el opuesto al lado).
Enunciaremos y demostraremos el teorema del seno y la fórmula del área mencionada anteriormente
y resolveremos problemas de aplicación de éstos en los que se desea calcular algún lado, algún
ángulo o el área de algún triángulo. En algunos de los problemas se necesitan otros resultados
básicos como el teorema de Pitágoras y la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un
triángulo es 180º.
Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos
opuestos a los lados, respectivamente).
Entonces, se cumple la relación:
Enunciaremos y demostraremos el teorema del seno y la fórmula del área mencionada anteriormente
y resolveremos problemas de aplicación de éstos en los que se desea calcular algún lado, algún
ángulo o el área de algún triángulo. En algunos de los problemas se necesitan otros resultados
básicos como el teorema de Pitágoras y la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un
triángulo es 180º.
Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos
opuestos a los lados, respectivamente).
Entonces, se cumple la relación:
Además, se cumple:
Representamos el triángulo circunscrito en una circunferencia de radio R (diámetro D=2R) y de
centro o.
Representamos otro triángulo de modo que:
Uno de sus lados coincide con uno de los lados del triángulo inicial, por ejemplo, el lado b.
Es un triángulo rectángulo, es decir, uno de sus ángulos mide 90º. Para dicho ángulo, nosotros
hemos escogido el vértice donde está el ángulo α.
El triángulo tiene otros dos lados: k y h. El lado h es su hipotenusa y puesto que pasa por el centro de
la circunferencia, mide exactamente lo mismo que el diámetro:
h= D= 2 * R
Se cumple que los ángulos η y β son iguales y, por tanto, también lo son sus senos:
sin η = sin β
Y como el nuevo triángulo es rectángulo,
sin β = sin η = b/h
Luego:
Como h= D= 2 * R
De forma similar se obtienen las relaciones:
De donde se concluye el teorema.
Área de un Triangulo Inscrito
Si consideramos el triángulo inscrito en una circunferencia (de radio R y diámetro D=2 R),
entonces:
Recordamos que el área de un triángulo base b y altura h es:
Atendiendo a la representación anterior, el seno del ángulo es
Por tanto, podemos escribir la altura, h, como:
h= a * sin ϒ
Sustituimos esta altura en la fórmula del área:
Según el teorema del seno,
β
γ
α
β
β
α
β
γ
γ
α
β
γ
α
α
β
γ
γ
β
α
Teorema del Coseno
El teorema del coseno (o teorema de los cosenos) es un resultado de trigonometría que
establece la relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de lados de un triángulo
cualquiera con los cosenos de sus ángulos interiores opuestos. Este teorema es una
generalización del teorema de Pitágoras (la razón de ello se encuentra en la nota del siguiente
apartado).
Para aplicar el teorema del coseno se necesita conocer la longitud de dos lados y la medida de
un ángulo interior (opuesto al del otro lado).
Enunciaremos y demostraremos el teorema del coseno y resolveremos problemas de su
aplicación en los que se pregunta por algún lado o ángulo de un triángulo dado. En algunos de
los problemas se necesitarán otros resultados básicos como el teorema de Pitágoras y la
propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos
opuestos a los lados, respectivamente).
Entonces, se cumplen las relaciones:
Nota: se dice que es una generalización de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el
triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el
teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.
Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como:
α
α
γ
γ
γ
α
corto.
recorrido.
γ
β
α
Calcular:
β
γ
γ
γ
Círculo Trigonométrico
Se toma como base un círculo de radio r=1 con centro O, en el origen en el plano
cartesiano. Se considera un ángulo arbitrario medido a partir del eje X positivo y
en sentido positivo; o sea, en sentido contrario a las manecillas del reloj; todo
ángulo puede ser colocado (y de una sola manera) de forma tal que su vértice
coincida con el origen de coordenadas, uno de sus lados (llamado lado inicial)
coincide con la semirrecta OA y el otro lado (llamado lado terminal) quede
ubicado (a partir del inicial) en la zona de barrida en sentido contrario a la
manecilla del reloj.
Si la semirrecta r=1 la hacemos rotar en sentido contrario a la manecilla del reloj,
describe un círculo dividido en 4 cuadrantes (I, II, III, IV). Antes de que la
semirrecta OP comience a rotar, coincide con el rayo OA, formando un ángulo de
0°. Cuando la semirrecta OP rota, describe un ángulo, el cual alcanza su máximo
(describiendo un círculo completo) a 360° (). De esta forma el lado terminal de
cada ángulo interseca en un único punto a la circunferencia y podemos asociar
al ángulo en ese punto de manera unívoca.
Razones Trigonométricas
Si se rota la semirrecta OP de radio r rota hasta formar un ángulo , si proyectamos el punto P
hasta los ejes X,Y, se obtienen dos segmentos; sobre el eje Y se proyecta el segmento OB
denominado seno del ángulo α(Seno α) , sobre el eje X se proyecta el segmento OA
denominado coseno del ángulo α(cos α) , formando un triángulo rectángulo OAP, cuyo lado AP
se le denomina cateto opuesto al ángulo , el lado OA es el cateto adyacente al ángulo α,
mientras que el lado OP=r, se denomina hipotenusa. Del triángulo rectángulo anterior podemos
denotar las razones trigonométricas siguientes:
A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde
dicho punto y hacia el eje Y se obtiene un segmento OB= AP que se denomina
seno del ángulo (se denota como sin α ), también se determina a través de la razón
.
A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde
dicho punto y hasta el eje X se obtiene un segmento OA=BP que se denomina
coseno del ángulo (se denota como ), también se determina a través de la razón
.
Si trazamos una semirrecta tangente a la circunferencia por el punto E, que toque la semirrecta
(prolongación de la semirrecta r), se forma el segmento EC que se denomina tangente del ángulo α
(se denota como tan α ); también se determina a través de la
razón
.
Si trazamos una semirrecta FD , tangente al punto F y que toque la semirrecta , se forma un
segmento FD
denominado cotangente del ángulo α (se denota como cot α ); también se
determina a través de la razón
.
A partir del ángulo y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho
punto y hasta el eje X se obtiene un segmento que se denomina coseno del ángulo (se denota
como ), también se determina a través de la razón .
Cuadrantes del Círculo Trigonométrico
Si dividimos el círculo trigonométrico en 4 partes iguales se obtiene como
resultado que cada ángulo consecutivo mide 90°
, cada una de las partes
obtenidas se conoce como cuadrantes del círculo trigonométrico. En cada
cuadrante los parámetros seno, coseno, tangente y cotangente cambian su valor
numérico con el aumento o disminución del ángulo α, este hecho lo corrobora las
razones trigonométricas anteriores.
Primer Cuadrante
Parámetro/Signo: Seno +; Coseno +; Tangente +; Cotangente +.
En el primer cuadrante (I), con el aumento del ángulo α , disminuye el cos α y la
cot α , mientras que aumenta la tan α y el sin α, hasta alcanzar su máximo o
mínimo valor a 90°
.
Segundo Cuadrante
Parámetro/Signo: Seno +; Coseno -; Tangente -; Cotangente
En el segundo cuadrante (II), con el aumento del ángulo α, disminuyen el
sin α y el cos α , por lo que lo hacen también tan α y cot α, alcanzando su
mínimo valor a 180°
.
Tercer Cuadrante
Parámetro/Signo: Seno -; Coseno -; Tangente +; Cotangente +.
En el tercer cuadrante (III), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sin α y el
cos α , la tan α aumenta su valor, mientras que la cot α disminuye dado que a
partir de que seno y el coseno son negativos y la relación existente entre ellos,
hasta alcanzar su mínimo o máximo valor a 270°
Cuarto Cuadrante
Parámetro/Signo: Seno -; Coseno +; Tangente -; Cotangente En el cuarto
cuadrante (IV), con el aumento del ángulo α , disminuye el sin α, mientras que
aumenta el cos α por lo que aumenta la cot α , mientras que disminuye la , hasta
alcanzar su máximo y mínimo valor a 360° 2π .
Identidades Trigonométricas
Una identidad trigonométrica no es más que una igualdad que relaciona dos o
más funciones trigonométricas.
Existen tres tipos o grupos de identidades trigonométricas que se pueden
catalogar como fundamentales y de las cuales se pudieran derivar muchas
identidades más.
Identidades Recíprocas
Son aquellas que provienen del despeje de las equivalencias entre una razón
trigonométrica y su recíproco correspondiente:
Identidades del Cociente
Corresponden al equivalente fraccionario de las razones trigonométricas
tangente y cotangente en términos del seno y coseno. Se deducen de la
siguiente manera:
Identidades Pitagóricas
Son aquellas que se deducen del Teorema de Pitágoras.
Identidades Fundamentales
Ejemplo
Sabiendo que tan α=2 y que 180° < α < 270°, calcula las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Ejemplo
Sabiendo que sin α= 3/5, y que 90°< α < 180° calcula las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Suma y Diferencia de Ángulos
Son relaciones que dan el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo
igual a la suma de dos o más ángulos y también de un ángulo igual a la
diferencia de otros dos.
Seno y Coseno de la Suma de dos Ángulos
Considere la gura.
Por un punto P sobre el lado terminal del ángulo x + y , trazamos una recta perpendicular al lado
terminal del ángulo x y sea Q su punto de intersección.
Al trazar RQ paralelo a OT, obtenemos: el triángulo OTQ semejante al triángulo PRQ (por ser
rectángulos y tener un ángulo agudo x de igual medida)
Remplazando (1), (2), (3) y (4) en (5) se obtiene:
Δ
Ejemplo
Demostrar que sin (x+y)= sinx cosy + cosx siny es verdadera cuando x es un
ángulo positivo del primer cuadrante e y un ángulo negativo del segundo
cuadrante.
Ejemplo
Hallar sin de 75° , usando la fórmula y las funciones de 45° y 30°.
Como 75°= 45°+30°, obtenemos:
Seno y Coseno de la Diferencia de dos Ángulos
Antes de entrar a deducir estas ecuaciones, encontremos las funciones de
ángulo negativo.
Considere los ángulos α y -α en su posición regular respecto a un sistema de
coordenadas rectangulares.
Sean P y Q dos puntos sobre los lados terminales, tales que OP=OQ= r.
Al aplicar la definición de funciones trigonométricas, obtenemos:
La expresión sin(x-y) la podemos escribir como , y utilizando la ecuación que
hemos deducido para la suma y teniendo en cuenta las funciones para ángulos
negativos, tenemos:
Ejemplo
Simplificar la expresión
Usando la formula:
Hallar cos 15° usando la formula y las funciones de 45° y 30°
como 15°= 45° - 30° obtenemos:
Ejemplo:
Tangente de la Suma y Diferencia de dos Ángulos
Recuerde que:
Entonces:
Al dividir el numerador y el denominador por , se obtiene:
Reemplazando “y” por “–y” en la ecuación anterior y recordando que tan (-y)= tan(y) y, se obtiene:
Ejemplo
Hallar tan 15° , usando la fórmula y las funciones de 60° y 45°.
Como 15°=60°-45°obtenemos:
Ejemplo
Calcular tan 45°.
Como 45° = 30°+ 15°
Ángulos Dobles
Deduciremos a partir de las fórmulas para la suma de dos ángulos.
Si en las ecuaciones sin(x+y); cos(x+y) y tan(x+y) los ángulos x y y son iguales,
obtenemos:
Retroalimentación
Ángulos Triples
Ángulo Medio
Transformaciones Trigonométricas
Con las transformaciones trigonométricas podemos convertir una suma o
diferencia de seno o cosenos en un doble producto de senos o cosenos,
alterando los senos y cosenos de la sustracción o adición de estos.
Es por ello por lo que podemos distinguir varios tipos de transformaciones:
a)
De suma (o diferencia) a producto:
b)
De producto a suma o diferencia:
c)
De diferencia de cuadrados a producto:
d)
Otras transformaciones:
Funciones Trigonométricas Inversas
El valor de una función trigonométrica de un ángulo depende del valor del
ángulo, y, recíprocamente, el valor de un ángulo depende del valor de la función.
Dado la función trigonométrica directa de un ángulo “x” y s
u valor “y” , entonces la función trigonométrica inversa de “y” es: . En donde a un
valor de “x” corresponderá uno y solamente uno de “y”, pero a un valor dado de
“y” corresponderá un número infinito de valores diferentes de “x”. Por lo tanto, las
funciones trigonométricas directas son uniformes, y las funciones trigonométricas
inversas son multiformes.
La expresión (inverso coseno y) también se simboliza con (arco coseno de y), y
representa el valor de un ángulo cuyo coseno es y.
Propiedad fundamental: La función directa anula a la función inversa y viceversa:
Para reemplazar valores en esta última ecuación es necesario calcular los
valores correspondientes en sin x, sin y y Ycos y a partir de los datos anteriores:
tan x= 1/2 y tany = 1/2
Empleando tan x= 1/2 se obtiene:
Ecuaciones Trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de
los ángulos (argumentos) de funciones trigonométricas.
Como las incógnitas son ángulos, las soluciones que existan serán in nitas (todos los ángulos
mayores de 360º con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución
comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.
Para resolver ecuaciones trigonométricas, debemos sustituir las fórmulas de los ángulos que
nos vayan apareciendo.
·
Resuelve la ecuación
:
Como tenemos una ecuación, debemos tener una sola incógnita, escribimos el seno en función
del coseno y lo sustituimos en la ecuación:
Buscamos las soluciones según sea el signo del coseno x= ½ Para hallar el ángulo:
·
Calcular sin 3x en función del sin x .
Ángulo suma del seno
ecuación: