1) En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. 2)La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: 1. Entre 60 kg y 75 kg. 2. Más de 90 kg. 3. Menos de 64 kg. 4. 64 kg. 5. 64 kg o menos. 3. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva µ = 40 y σ = 6.3 a) más de 32 meses P(X > 32) = 1 - Φ[(32 – 40)/6.3 ] = 1 - Φ[-1.27 ] = 1 – 0.1021 = 0.8979 b) menos de 28 meses P(X <28) = Φ[28 – 40)/6.3] = Φ[-1.90] = 0.0284 c) entre 37 y 49 meses P(37 < X < 49) = Φ[49 – 40)/6.3 ] - Φ[(37 – 40)/6.3 ] = Φ[1.43 ] - Φ[-0.48 ] = 0.9234 – 0.3170 = 0.6065 4) Las barras de centeno que cierta panaderia a las tiendas locales tienen una longuitud promedio de 30centímetros y una desviación estándar de 2 centímetros. Suponga que las longitudes se distribuyen normalmente. ¿Que`porcentaje de las barras son? a)Mas largas de 31.7 cm? b)Entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud? c)Entre 32 cm. y 35 cm? d)Mas cortas de 38 cm? e)Entre 27.5 cm. y 30 cm? X=longitud de una barra de pan ~ N(30;2) a)Mas largas de 31.7 cm? P(x>31,7)= 1-P(X<31,7)= 1- P[Z< (31,7-30)/2] = 1-P(Z<0,85)=1-0,8023 = 0,1977 ==> El 19,77% b)Entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud? P(29,3<X<33,5)=P(-0,35<Z<1,75)=P(Z<1,7… - [1- P(Z<0,35) ]= 0,9599+0,6368 -1 = 0,5967 ==> El 59,67% c)Entre 32 cm. y 35 cm? P(32<X<35)=P(1<Z<2,5)=P(Z<2,5) - P(Z<=1)= 0,9946 - 0,8413 =0,1533 ==> El 15,33% d)Mas cortas de 38 cm? P(X<38)=P(Z<4)~1 ==> El 100% e)Entre 27.5 cm. y 30 cm? P(27,5<X<30)= P(-1,25<Z<0)= P(0<Z<1,25)= P(Z<1,25)- P(Z<=0)= 0,8944-0,5 = 0,3944 ==> El 39,44% 5. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitro por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros, µ = 200 y σ = 15 a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros? P(X > 224) = 1 - Φ[(224 – 200)/15 ] = 1 - Φ[1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548 b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? P(191 < X < 209) = Φ[209 – 200)/15 ] - Φ[(191 – 200)/15 ] = Φ[0.60 ] - Φ[-0.60 ] = 0.7257 – 0.2743 =0.4514 c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? P(X > 230) = 1 - Φ[(230 – 200)/15 ] = 1 - Φ[2.00 ] = 1 – 0.9772 = 0.0228 Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23 d) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas? P25 K = 25 Área = 0.25 Φ( Z ) = 0.25 Z = -0.67 x = Zσ + µ = (-0.67)(15) + 200 = 189.88 6. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente distribuido con una media de 10 centímetros y una desviación estándar de 0.03 centímetros. a)¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda de 10.075 centímetros? Datos: m = 10 cms. x = diámetro de los anillos s = 0.03 cms . b)¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre 9.97 y 10.03 centímetros? c)¿Debajo de qué valor de diámetro interno caerá el 15% de los anillos de pistón? , 7. Un abogado va todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente. µ = 24 y σ = 3.8 a) ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora? P(X > 30) = 1 - Φ[(30 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[1.58 ] = 1 – 0.9428 = 0.0572 b) Si la oficina abre a las 9:00 am y él sale diario de su casa a las 8:45 am, ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo? P(X > 15) = 1 - Φ[(15 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[-2.37 ] = 1 – 0.0089 = 0.9911 c) Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am, ¿cuál es la probabilidad de que pierda el café? P(X > 25) = 1 - Φ[(25 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[0.26 ] = 1 – 0.6038 = 0.3962 d) Encuentre la longitud de tiempo por arriba de la cual encontramos el 15% de los viajes más lentos. 1 - Φ( Z ) = 0.15 Φ( Z )= 0.85 Z = 1.04 x = Zσ + µ = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94 e) Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres viajes tomen al menos ½ hora Del inciso a) p = 0.0578 P(Y = 2) = 3C2(0.0572) 2 (0.9428) = 0.00925 8) En el ejemplar de 1990 de un libro un estudio discute sobre el porcentaje de pureza del oxigeno de cierto proveedor. suponga que su media es de 99.61 y su desviación estándar de 0.08. suponga que la distribución del porcentaje de pureza fue aproximadamente normal μ = 99.61 σ = 0.08. a) que porcentaje de los valores de pureza esperaría que estuvieran entre 99.5 y 99.7? (a) P(99.5 < X < 99.7) = P(−1.375 < Z < 1.125) = 0.8697 − 0.08455 = 0.7852. b) que valor de pureza esperaria que excediera exactamente el 5% de la poblacion? (b) P(Z > 1.645) = 0.05; x = (1.645)(0.08) + 99.61 = 99.74. 9. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal. µ = 10 y σ = 2 P3 Área = 0.03 Φ( Z ) = 0.03 Z = -1.88 x = Zσ + µ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24 10) Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Suponiendo que las alturas se registran al medio centímetro más cercano, ¿cuántos de estos estudiantes esperaría que tuvieran alturas a) menores de 160.0 centímetros? b) de entre 171.5 a 182.0 centímetros inclusive? c) iguales a 175.0 centímetros? d) mayores que o iguales a 188.0 centímetros? 11. una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se pagan al centavo más próximo µ = 15.90 y σ = 1.5 a) ¿qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por hora? P(13.75 15.90)/1.5 ] < X < 16.22) = Φ[16.22 – 15.90)/1.5 ] - Φ[(13.75 = Φ[0.21 ] - Φ[- 1.43] = 0.5845 – 0.0759 = 0.5086 – b) ¿el 5% más alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad? P95 Área = 0.95 Φ( Z ) = 0.95 Z = 1.645 x = Zσ + µ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37 12) Los pesos de un numero grande de perros de lana miniatura estan distribuidos aproximadamente en forma normal con una media de 8 kg y una desviacion estandar de 0.9 kg .encuentre la fraccion de estos perros de lana con pesos. a) arriba de 9.5 kg b)cuando mucho 8.6 kg c)entre 7.3 y 9.1 kg inclusive 2- el tiempo necesario para armar cierta unidad es una variable aleatoria distribuida normalmente con miu=30minutos desviacion =2 minutos . Determine el tiempo de armado de manera tal que la probabilidad de exceder este , sea de 0.02. 3-si la calificacion promedio de un grupo es de 6.43,con una desviacion estandar de 1.91 ,y se supone que la distribucion de las calificaciones es aproximadamente normal ,¿calcule la probabilidad de que en este examen un alumno pase ? NOTA: ( la calificacion minima aprobatoria es de 6) La media es Xm = 8 Kg La desviación estándar es σ = 0.9 Kg a) Perros arriba de 9.5 Kg Aquí tenemos que x = 9.5 Kg Así, z = (x - Xm) / σ z = (9.5 Kg - 8 Kg) / 0.9 Kg z = 1.5 Kg / 0.9 Kg z = 1.67 Buscamos en la tabla de distribución normal (yo uso la de áreas de 0 a z, el valor de probabilidad para el z que acabamos de encontrar: P(0 < z < 1.67) = 0.4525 Pero como nos están preguntando es la proporción de perros POR ENCIMA de 9.5 Kg, debemos aplicar las propiedades de la distribución normal para deducir que lo que nos preguntan es el valor del área que está entre z = 1.67 y +∞: P(z > 1.67) = 0.5 - P(0 < z < 1.67) P(z > 1.67) = 0.5 - 0.4525 P(z > 1.67) = 0.0475 = 4.75% Entonces, aproximadamente el 4.75% de los perros pesarán más de 9.5 Kg. b) Perros por debajo de 8.6 Kg. Aquí, x = 8.6 Kg z = (x - Xm) / σ z = (8.6 Kg - 8 Kg) / 0.9 Kg z = 0.6 Kg / 0.9 Kg z = 0.67 De nuevo buscando en la tabla vemos que P(0 < z < 0.67) = 0.2486 Como nos preguntan la cantidad de perros por debajo de 8,6 Kg y NO la cantidad entre 8 Kg y 8.6 Kg, debemos ver que se busca el área de toda la curva normal desde z = -∞ hasta z = 0.67, por lo tanto P(z < 0.67) = 0.5 + P(0 < z < 0.67) P(z < 0.67) = 0.5 + 0.2486 P(z < 0.67) = 0.7486 = 74.86% Y por consiguiente afirmamos que aproximadamente el 74.86% de los perros están pesando menos de 8.6 Kg. c) Perros entre 7.3 y 9.1 Kg. Acá tenemos dos valores para x: x₁ = 7.3 Kg x₂ = 9.1 Kg Debemos resolver para cada uno de ellos. z₁ = (x₁ - Xm) / σ z₁ = (7.3 Kg - 8 Kg) / 0.9 Kg z₁ = -0.7 Kg / 0.9 Kg z₁ = -0.78
