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UNMSM
Aritmética
A  5 * y B  5 )' donde * y )
son números *rimos entre s+.
SEMANA 10
MCD - MCM
1.
La suma de dos números A y B es
651, el cociente entre su MCM y
A*licando la *ro*iedad-
A B MCD (A, B! MCM (A, B!
$0 0 $0
( 5×* ) ×=( 5 )) = 5 ××
su MCD es 108. Halle (A  B!.
A! 108
B! "16
C! #1$
D! %8$
&! %$8
11
1 × 1$
&ntonces- * g) = " × $ × # × 1
La cantidad de *ares de alores
enteros distintos ser-
RESOLUCIÓN
MCD (A' B!  C
A = d )1
B = d )"
7 de *ares
=
Donde )1 y )" so
son
n nú
núme
mero
ross
*rimos entre s+.
Lueo- MCM (A' B!  D g)1 g)"
or condici/n-
∴
MCM ( A'B )
= )1 g )" = "" g$$
MCD ( A'B )
)1 = $$ ∧ )" = ""
A + B = d ( )1 + )" ) = 651 ⇒
d ( "# + % ) = 6 51 ⇒ d = "1
( A − B ) = d ( )1 − )" ) = "1 × "$ = %8$
( A − B ) = % 8$
RPTA.: D
7 de diisores de su *roducto
"
( 1 + 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1)
"
7 de *ares  16
RPTA.: B
$.
Determinar en )ue cira termina eell
MCM de los númerosA = #86" − 1 y
A! 0
D! 6
B! "
&! 8
&l MCMy su
de MCD
dos es n5.
úmCuntos
eros es
$00$0
*ares de números 2ay con esta
*ro*iedad3
A! 8
D! 6%
B! 16
&! 60
C! %
RESOLUCIÓN
MCD ( A, B ) = #MCD ( 86",1"9$) − 1
MCD ( A, B ) = #%$1 − 1
MCM ( A, B) =
".
B = #1"9$ − 1 .
A ×B
MCD(A,B!
"
 #%$1 − 1 #%$1 $ − 1
)  ( ) 
(

MCM( A,B) =
( #%$1 − 1)
C! $"
RESOLUCIÓN
4ean A y B los números,
números, entonces
entonces
el MCD (A, B!  5
Los nú
Los
núme
mero
ross A y B se *o
*odr
drn
n
escriir como-
4im*liicandoMCM (A, B! = ( #%$1 + 1) ( #1"9$ − 1)
;aussiano de #
m/dulo 10
#:  1
#1  #
#"  9
#$  $
#%  1
SAN MARCOS 2013
CUESTIONARIO DESARROLLADO
=
UNMSM
Aritmética
or restos *otencia
ciales
aussiano %.
MCM ( A, B ) = ( #%<
+
$
de
+ 1) ( #%<
+
1
#.
− 1)
MCM ( A, B ) = ( ...$ + 1) ( ...# − 1)
MCM ( A, B ) = ( ...% ) ( ...6 )
MCM ( A, B ) = ...%
6.
=ermina en %
RPTA.: C
%.
4iMCD ($ A' "% C!  18 >
y MCD (" C' B !  ">
Calcule ?>@ siMCD (A' % B' 8 C!  "1000
A! 10 500
B! "1 000
C! 1$ 500
D! 1" "00
&! 1" %00


RPTA.: E
RESOLUCIÓN
MCD ($ A' "% C!  18 >
MCD (A' 8 C!  6 > ..............( α!
MCD (" C' B!  " >
MCD (8 C' % B!  8 >............(β!
De (α! y (β!
MCD(A,%B'8C!MCD(6>,8>!" >
Determinar el alor de  y  a, si los cocientes
otenidos al calcular el MCD de los
numerales a ( a + " ) ( a + % ) y 6 y
*or el aloritmo de &uclides son
1' $ y %.
A! 5
D! 8
B! 6
&! 9
C! #
RESOLUCIÓN
a + % < 10 ⇒ a < 6
0
a ( a + " ) ( a + % ) = 1$ × d = 1$
% $
1
0
&n el cu
cual
al in
inte
ter
rie
iene
nen
n lo
loss tr
tres
es
números y nos *idenMCD (A' % B' 8 C!  "1 000  " >
>  10 500
RPTA.: A
5.
0
4i- MCD ( a1  8'
8' a 9  0) = 88
Calcule- (a  !
A! 5
D! 8
B! 6
&! 9
RESOLUCIÓN
C! #
− %a − $a − 6 +0 a + % = 1$
− 6a − " = 1$
0
$a = 1$− 1
a%
eem*laEando ?a@ en
a ( a + ") ( a + % ) = 1$ × d
%6 8 = 1 $ × d ⇒ d = $ 6
6y = 1# × d = 1# × $6 = 61"
1
y"
a%
SAN MARCOS 2013
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Aritmética
eceso "' 5 y 6 y al calcular el
MCD (C' D! se otuo como
cocientes sucesios *or eceso 6'
5 y ". Calcule ?B  D@ m+nimo. 4i
la cantidad de diisores de A y C
es im*ar.
ya#
RPTA.: C
#.
Al ccaalcular eell M
MC
CD de
de lo
los n
nú
úmeros
M y > mediante diisiones
sucesias
se
otuo
como
cocientes 1' 1' " y $. Calcule el
mayor de los números' si la
tercera diisi/n se 2iEo *or eceso
donde-
A! ""0
D! $"0
B! "60
&! %%0
C! "80
M = aa ( a + 6 ) ( a + 6 )
> = ( a + 1) c ( a − 1) ( %a)
A! $ "00
C! % "00
&! % 500
B! $ %"0
D! $ #18
RESOLUCIÓN
MCD (A' B!  MCD (C, D!  d.
(dato!
RESOLUCIÓN
4ea d  MCD (>, M!
A = C = 5" d = "" × 1$ × d
M = 8d = aa ( a + 6 ) ( a + 6 )
CD- im*ar → d  1$
B F D  "9 d F 9 d
B F D  "0 d
B F D  "0 × 1$  "60
M = 1$ d = ( a + 1) c ((a
a − 1! ( %a)
0
⇒
8 = a ( a + 6) ( a + 6 )
Descom*oniendo
0
#a  "  8 ' a  "
9.
M = 8d = ""88' d = "86
> = 1$ d = 1$ ( "86 ) = $#18 =
⇒
= ( a + 1) c ( a − 1) ( a + 6 )
C#
RPTA.: D
8.
4i- M
MC
CD ((A
A' B!  MCD ((C
C' D! y al
calc
ca
lcul
ular
ar MC
MCD
D (A
(A'' B! se otu
otuo
o
como
co
mo co
coci
cien
enttes su
suce
cesi
sios
SAN MARCOS 2013
*o
*orr
RPTA.: B
4e tiene $ números A' B y C al
calcular el MCD de A y B *or el
aloritmo
de
&uclides
se
otuieron como cocientes 1' 1 y
". Al calcular el MCD de A y C *or
el mismo mGtodo se otuo como
cocientes 1' " y ". Halle el menor
de dic2os números si se cum*le
)ue- A  B  C  105$.
A! ""5
B! "#$
C! $"5
CUESTIONARIO DESARROLLADO
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D! $8$
Aritmética
&! %55
" − 5
  + " , "
=9
MCD(A,B,C,D! MCD 
$ ÷
 "
RESOLUCIÓN
MCD  9 →
D +"
=
"
"D − 5
9  → D = 18  − "
"# ) + 5
MCD  9 →
⇒
⇒
= 9) → D =
$
"
"# ) + 5
18  − " =
→ $6  − % = "#  + 5
"
%  = $ ) + 1 → ) 5 →   %
Lueo   (18 (%! "!#0
RPTA.: B
A = 5 d = #e ⇒
d #
=
e 5
11.
B = $ d = "1 
C = 5e = "5 H
A = 5 d = $5 
A! 1"
D! $6
A  B  C  105$
8    105$
  1$
Menor- B  "1  1$  "#$
A
4e sae )ueMCD (A' B! 

y MCD(C'D! =
+
"
" − 5
$
B! #0
&! #5
+
B
=
%$"
esi
A  MCD  1#
B  MCD  19
MCD × ( 1# + 19) = %$"
%$"
= 1"
MCD =
$6
C! %5
B FA  " (MCD!
B F A  "  1"  "%
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
MCD ( A'B )
=
MCD ( C'D) =

+
"
"
" − 5
$
;
1".
4i eell M
MCD
CD de d
do
os n
nú
úmeros eess 1%
1%%
y tienen $$ y $5 diisores. Halle el
menor.
A! 98 "#50
16
D!
SAN MARCOS 2013
C! "%
mcm ( A,B ) $"$ × MCD ( A,B )
mcm ( A,B )
= $" $ = 1 # × 1 9
MCD ( A,B )
"
Adems MCD (A' B' C' D!  9
Calcule  si es un número entero
mayor )ue 50 *ero menor )ue 80.
A! 60
D! 50
B! 18
&! %"
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
10.
Determinar dos
dos números de tr
trees
ci
cir
raas, cuya
cuya suma
suma es %$"
%$" y su
MCM es $"$ eces su MCD. Dar
como
com
o res
res*ue
*uesta
sta la di
diere
erenci
nciaa de
dic2os números.
B
516
&!! 98 %15
C! 9 $10
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Aritmética
RESOLUCIÓN
4ean los números A y B
or *ro*iedad
A  1%% α
B  1%% β
→
Adems
C D A = $$ = ( 10 + 1) ( " + 1 )
CDB = $5 = ( 6 + 1) ( % + 1)
Lueo ser de la orma-
0
B = 5 n n 5 = 99 KKKKKKKKK..

a %8
% 8  = 99 → 99  a% + 8
"
a 1 ' 5
Lueo el menor- A  9"16

:
Cuntos números menores )ue
80 tienen con $60 un MCD iual a
%3
A! "
D! 5
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
B! $
&! 6
15.
RESOLUCIÓN
4ea > I 80
MCD (>, $60!  %
>%
MCD (, 90!  1
 y 90 &4J
0 0 0
0 0 0
Como 90 = ", $, 5  ≠ ", $, 5
%  I 80
RPTA.: E
4ea A = a % 8  y B = m n n m
cuyo MCD es %95 estando el alor
de B entre 5000 y 6000. Calcule
A  B.
A! 8 610
C! 6 9$0
&! % 950
SAN MARCOS 2013
n%
Los números sernA  B  1%85 5%%5  69$0
RPTA.: C
C! %
 I "0
  { 1,#,11,1$,1#,19}
Hay 6 alores.
1%.
De
5 n n 5 = 99
5n + n5 = 99
RPTA.: A
1$.
De
0
A = " g$
B = "% g $6
10
RESOLUCIÓN
Como B entre 5000 y 6000
m  5 (terminar!
Adems
0
A = a % 8  = 99 KKKKKKKKKK
B! 8 5#5
D! 11 880
4i M
MC
CD ((A
A, B
B!!  n
n,, 2
2aalle eell M
MC
CD
6
6
$
$
de MCD ( A , B ) y MCD ( A , B )
A! n$
D! n
B! n6
&! n%
C! n"
RESOLUCIÓN
4i MCD ( A, B ) = n
⇒
MCD ( A $ ,B
, B$ ) = n$
⇒
MCD ( A 6 ,B
, B6 ) = n6
⇒
MCD ( n6 , n6 ) = n$
RPTA.: A
16.
4iM.C.M. (A' B' C! F MCD (A, B, C!  89#
A F B  65
A F C  "6
Calcule- (A  B  C!
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
A! 160
D! 180
B! 168
&! 18"
Aritmética
C! 1#"
MCD #5d' *0*" = ac
ac
0
ac es 11
RESOLUCIÓN
4ea-
0
#5 d = 11 ' d  9
A  d)1"
B
C  d)$
0
*o* " = 11' *  1
#59 F 1 01" 11
69  9" "$
$
%
M.C.M. (A' B' C! F MCD (A, B, C!  89#
d × )1 × )" × )$ − d = 8
89
9#
d )1 × )" × )$ − 1 = 89#  1$ × 69
MCD = ac = "5$
4e cum*le- d  1$ *ues diide a 65 y "6
A − B = d ( )1 − )" ) = 1$ × 5 d  1$
a"
5
c$
A − C = d ( )1 − )$ ) = 1$ × "
ide- a    c  d  *  "0
RPTA.: D
Lueo18.
ide- A + B + C = 1$ ( 1% ) = 18"
RPTA.: E
1#.
4i- MCD ( #5d'* 0*" ) = ac
Adems- a  c  
Calcule- (a    c  d  *!
A! 18
D! "0
B! 19
&! "1
4e
2an
colocado
*ostes
iualmente es*aci
ciaado
doss en el
contorno de un cam*o trianular,
cuyo
cu
yoss la
lado
doss mide
miden
n "1
"10,
0, "
"#0
#0 y
$00m. res*ectiamente. 4aiendo
)ue 2ay *ostes en cada Grtice y
)uee la dist
)u
distan
anci
ciaa en
entr
tree *o
*ost
stee y
*ost
*o
stee es
est
t com*
com*re
rend
ndid
ido
o en
entr
tree
10 m. "0 m. Calcule cuntos
*ostes se colocaron.
A! 50
B! 51
D! %8
&! 60
C! 5"
RESOLUCIÓN
C! 1#
RESOLUCIÓN
SAN MARCOS 2013
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Aritmética
a- di
diisor
isor común de ("10' "#0 y
$00!
⇒
"0.
a diide al MCD ("10, "#0, $00!
MCD ("10, "#0, $00!  $0
a  15
7 *ostes
"10 "#0
+
15
15
+
$00
15
7 *ostes  1%  18  "0
7 *ostes  5"
RPTA.: C
19..
19
A! 90 s
C! 60 s
&! 180 s
&n la un
unci
ci/
/n de un
unaa o
ora tteeat
atrral,
se 2a recau
ecauda
dado
do en $ d+as
d+as de
unciones- 4. 5 068' 4. $ $88 y
4. %0$" res*ectiamente. Cuntas
*ersonas 2an asistido en los tres
d+as, saiendo )ue el *recio de la
entrada es el mismo en los tres
d+
d+as
as y es
est
t co
com*
m*re
rend
ndid
ido
o en
entr
tree
4.10 y 4."03
A! 98"
D! %%6
B! 89"
&! 561
=iem*o *ara A  (90m!  (9 ms!
 10 s
=iem*o *ara B  (90m!  (5 ms!
 18 s
=iem*o *ara C  (90m!  ($ ms!
 $0 s
RESOLUCIÓN
Hallemos
Hallem
os el MCD (5 068' $ $88
$88''
% 0$"!  "  "  #  "8
Cantid
Cant
idad
ad de *e
*ers
rson
onas
as )u
)uee 2a
2an
n
asistido durante los d+as5 068
" 5$%
$6
$
6"
$ $88
1 69%
"%"
% 0$" "
" 016 #
"88
Cantidad de *ersonas$6"  "%"  "88  89"
B! #5 s
D! %5 s
RESOLUCIÓN
Clculo de los tiem*os )ue em*lea
cada corredor en dar una uelta
com*leta a la *ista de carrera.
C! 8"9
Como el *r
Como
*rec
ecio
io de un
unaa en
entr
traada
dee de estar com*rendida entre
4.. 10 y 4
4
4.. "0 y di
diid
idee a "8
"8,,
lueo el *recio ser 4. 1%.
=res corredores A, B y C *arten
untos de un mismo *unto de una
*ista circular )ue tiene 90 m de
circunerencia. La elocidad de A
es 9 ms
ms'' la el
eloc
ocid
idad
ad de
de B es
5 ms' la elocidad de C es $ ms.
Des*uGs, de cunto tiem*o
tendr luar el seundo encuentro
de los tres3
=iem*o del *ri
=iem*o
*rimer
mer enc
encuen
uentro
tro de
los tres corredores serMCM (10 s, 18 s, $0 s!  90 s
∴
=iem*o del seundo encuentro 180 s
RPTA.: E
"1.
Halle la suma de las ciras del
MCD
MC
D de tr
tres
es nú
núme
mero
ross en
entter
eros
os,,
saiendo )ue cada uno de ellos
est com*uesto *or 1"0 nuees,
180 nuees y "%0 nuees
res*ectiamente.
A! 60
D! $60
B! "%0
&! 5%0
C! $00
Asistieron 89" *ersonas RPTA.: B
SAN MARCOS 2013
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Aritmética
0
CD( >) + 1
-si CD( >) = " + 1
"
RESOLUCIÓN
9999..
...9
.99
99 = 10
100
000..
...0
.00
00 − 1 = 10n − 1
n ciras
( n ! ceros
>  $60"$ × $" × 51
CD = ( $ + 1) ( " + 1) ( 1 + 1) = "%
&scriiendo los tres números como
( >)
*otencias de 10>1
=
1"0
9999....999 = 10
−
iden-
1=
"%
"
N> = 1"
N> =
1"0 ciras
>"
=
9999....999
=
10180
−
180 ciras
>$
=
9999...999 = 10
10"%0
"$.
−
A! 1%9
D! 1#0
ro*iedad-
A × B = MCD × MCM
A" − 1
= $ #"0 × MCD
Ag
8
RPTA.: E
Determine Cu
Cuntos rect
ctnulos
cuyas medidas de sus lados son
números enteros eisten de modo
)ue el alor
alor de su re
reaa sea
"
$60 m 3
B! 11
&! 16
A  $1
B  1"0
A  B  151
C! 1"
RESOLUCIÓN
Orea de rectnulo-  × 2
A =  × 2 = $6 0
N>- o
N>orm
rmas
as de de
desco
scom*o
m*one
nerr un
número en *roducto de " actores.
0
CD( >)
- si CD( >) = "
"
N>
C! 1%1
8
60 CJNA4
∑ ciras = 60 × 9 = 5%0
B! 151
&! 1$1
RESOLUCIÓN
Des*eando BA" − 1
B=
LueoMCD(>1,>",>$!  10MCD(1"0,180,"%0!−1
>1' >" ' >$ ) = 1060 − 1 = 9
992
...4.94939
(
1944
MCD
A! 1$
D! 15
4e tiene - 8B + 1 = A"
y MCM (A, B!  $#"0
Halle ?A  B@
1
"%0 ciras
"".
RPTA.: C
1
RPTA.: B
"%.
4i-
MCM ( A'B )
"
a'' y adems
= a
MCD ( A'B )
el *roducto de A y B es 1"960.
Halle el MCM (A' B!
A! "1%
"1%0
0
D! %$"
B! "16
"160
0 C! %$"0
%$"0
&! "1%0
RESOLUCIÓN
or *ro*iedadSAN MARCOS 2013
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Aritmética
MCD × MCM = A × B = 1"960
MCD × MCD × * × ) = 1"960
MCD" × * × ) = 1"960 K. ( α )
A × B = > × M × 510
∴
=ermino en 10 ceros
RPTA.: E
Del dato-
MCM
MCD × * × )
=
⇒
= a
a

MCD"
MCD"
* × ) = MCD × a
reem*laEando en ( α )
$
MCD$ × a = 1"960 = ( " × $) × "" × $ × 5
MCD = 6' a
a = 60
MCM (A, B! 60  $6  "160
RPTA.: B
"5.
4i-
A = MCD ( $1P'$"P
'$"P'$
'$$P
$P'$
'$%P
%P''...P )
$0 números
B = MCM ( 1$P'
$P'1%P'
%P'15P'
5P'16P'
6P'...P )
6 números
Calcule en cuantos ceros termina
?A  B@
A! 6
D! 9
B! 1$
&! 10
C! 11
RESOLUCIÓN
A
=
MCD ( $1P'$
'$"P
"P'$
'$$P
$P''...P)
$1P
=
B = MCM( 1$P'
1$P'1%P
1%P''15P'
15P'...,1
...,18P
8P) = 18P
A × B = $1P × 18 P
&l número de ceros de*ende de la
cantidad de actores 5.
#
$1P = > × 5
SAN MARCOS 2013
$
18 P = M × 5
CUESTIONARIO DESARROLLADO