Universidad Nacional del Santa Departamento Académico de Matemática y Estadística GEOMETRÍA ANALÍTICA Ms. MARIA ESTHER BAILA GEMIN LA PARÁBOLA Definición. Parábola es el lugar geométrico de los puntos P ( x, y ) R 2 tales que están a la misma distancia de una recta fija D y de un punto fijo F que no está sobre D. P = P ( x, y ) R 2 / d ( P , D ) = d ( P , F ) Elementos: F: Foco. -Punto fijo de la parábola. L D: Directriz de la parábola. V: Vértice de la parábola. Eje LR : Lado recto. Cuerda focal. P L F V L: Eje focal o eje de simetría. R D Universidad Nacional del Santa Departamento Académico de Matemática y Estadística GEOMETRÍA ANALÍTICA Ms. MARIA ESTHER BAILA GEMIN ECUACIONES DE LA PARÁBOLA FORMAS ORDINARIAS DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y FOCO SOBRE UN EJE DE COORDENADAS. A.- Ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas V (0,0) y eje focal el eje X. y x = −p W (-p, y) p>0 U (x, y) (1) y = 4 px 2 −p D 0 p X F ( p ,0 ) u− f = u−w p ( x, y ) − ( p,0) = ( x, y ) − (− p, y ) ( x − p, y − 0) = ( x + p, y − y ) ( x − p) 2 + y 2 = ( x + p) 2 + 0 2 ( x − p) 2 + y 2 = ( x + p) 2 x 2 − 2 px + p 2 + y 2 = x 2 + 2 px + p 2 y 2 = 4 px : y p<0 x = −p U (x, y W (-p, y) (1) y 2 = 4 px 0 F ( p ,0 ) p p p D X Universidad Nacional del Santa Departamento Académico de Matemática y Estadística GEOMETRÍA ANALÍTICA Ms. MARIA ESTHER BAILA GEMIN B.- Ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas V (0,0) y eje focal el eje Y. x 2 = 4 py (2) y y p>0 p<0 p y = −p F (0, p ) p p D p y = −p p > 0 F (0, p ) ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA DE VÉRTICE V (h, k) Y EJE FOCAL PARALELO A UN EJE DE COORDENADAS. A.- Ecuación de una parábola con vértice V (h, k ) y eje focal paralelo al eje X : ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. Elementos: Vértice V (h, k). Lado recto LR = 4 p Foco F (h+p, k). Ecuación de la directriz: x = h − p B.- Ecuación de una parábola con vértice V (h, k ) y eje focal paralelo al eje Y : ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. Universidad Nacional del Santa Departamento Académico de Matemática y Estadística GEOMETRÍA ANALÍTICA Ms. MARIA ESTHER BAILA GEMIN Elementos: Vértice V (h, k) Foco F (h, k+p) Lado recto LR = 4 p Ecuación de la directriz: y = k − p ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Una ecuación de segundo grado en las variables x e y que carezca del término en xy , se puede escribir en la forma: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Si A = 0 , C 0 y D 0 , ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo al (o coincide con) eje X. Si A 0 , C = 0 y E 0 , ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo al (o coincide con) eje Y. APLICACIONES DE LA PARÁBOLA El estudio de las parábolas, sus propiedades, se ha hecho indispensable por sus múltiples aplicaciones en la ciencia, en la vida cotidiana, por ejemplo, la trayectoria de un proyectil, las antenas parabólicas, reflectores para lámparas y telescopios, construcción de túneles con arcos parabólicos, etc. Un proyector tiene un reflector parabólico que forma un tazón que mide 12 pulgadas de ancho de borde a borde y 8 pulgadas de profundidad. Si el filamento de la bombilla se localiza en el foco, ¿Qué tan lejos del vértice del reflector está?