Universidad de El Salvador
Facultad Multidisciplinaria oriental
CC.NN. y Matemática. Ciclo II -2022.
Teoría del Número.
U2- Divisibilidad.
Definición.
Demostración
1.𝒂/b → ∃ x ∈ Z tal que b = 𝒂x → ∃ x ∈ Z tal que b c = 𝒂(xc)
→ 𝒂/b c
2. 𝒂/b y b/c → b = k𝒂 y c = b x → c = k𝒂𝒙 = 𝒂(𝒌𝒙) Entonces 𝒂/c .
3.𝒂/b y 𝒂/c → b = 𝒂 x y c = 𝒂𝒌
→ b = 𝒂𝒌 y c = 𝒂𝒕
→ bx = 𝒂(𝒌𝒙) y cy = 𝒂(𝒕𝒚)
→ bx + cy = 𝒂(𝒌𝒙) + 𝒂(𝒕𝒚) = 𝒂( kx+ty)
→ 𝒂/( b x+ c y).
4.𝒂/b y b/𝒂 → b= 𝒂 x y 𝒂 = b k
→ b= 𝒃𝒌 x y 𝒂 = 𝒂 x k
→ 1= 𝒌 x y 𝟏 = xk
→ 1= 𝒌 y 𝟏 = x o x = -1 y k =-1.
→ b= a o b = -a
→b=±𝒂 .
5) 𝒂/ b, 𝒂 ,b > 0, entonces 𝒂 ≤ 𝒃 .
𝒂/ b → b = 𝒂x , como b > 0 ,entonces x ≥ 1 .
→ b = 𝒂 x ≥ 𝒂(𝟏) =𝒂
→b≥𝒂.
GENERALIZACIÓN DE LA PROPIDAD 3.
Suponga que 𝒂/𝒃𝒊 , i = 1,2, . . . , n . Entonces 𝒂/∑𝒏𝒌=𝟏 𝒃𝒊 𝒙𝒊 . 𝒙𝒊 ∈ Z.
Teorema (Algoritmo de la división).
Sean 𝒂, b enteros con b > 0. Entonces existen enteros únicos q, r tales que
𝒂= b q + r con 0 ≤ r < b.
Demostración.
Existencia. Sea S = {a−b x | x ∈ Z y 𝒂−b x ≥ 0}.
Veamos que S ≠ ∅ .
Si 𝒂 ≥ 0, 𝒂 − b0 = 𝒂 ∈ S.
Si a < 0, como b ≥1, tenemos que 𝒂− 𝒂b = 𝒂(1 − b) ≥ 0 y así 𝒂− 𝒂b ∈ S.
Luego S ≠ ∅.
Ahora por el PBO, S tiene un mínimo r y en consecuencia existe un
entero q tal que 𝒂− b q = r con 0 ≤ r.
Ahora, sí r = min S, entonces
r − b = (𝑎 – b q ) − b = 𝑎 − (q + 1) b < 0, por tanto r < b.
Unicidad.
Supongamos que 𝑎=b q + r=b𝑞∗ +𝑟 ∗con 0 ≤ r < b y 0 < 𝑟 ∗ <b.
Si suponemos 𝑞∗ < q entonces 𝑞 ∗ + 1 ≤ q y por lo tanto
r = a – b q < a – b (𝑞∗ + 1) = (a – b 𝑞 ∗) − b = 𝑟 ∗ − b < 0,
que evidentemente es una contradicción.
Por que r no es negativo.
Similarmente si se supone 𝑞∗ > q se tendrá una
contradicción, por tanto, q es único.
Si r, 𝑟 ∗ son tales que 𝑎=b q+ r=b q+𝑟 ∗ con
0 ≤ r < b y 0 < 𝑟 ∗ <b, entonces r =𝑟 ∗ .
Ejemplo. Encontrar q, r tal que 453 = q(12) + r , 0 ≤ r < 12.
Ejemplo.
Encontrar el máximo común de 20 y 46.
20: 1,2,4,5,10,20,40 46: 1,2,13,26, MCD = 2.
EJERCICIOS
