Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Gutiérrez Carmona, Jairo Matemáticas financieras con formulas, calculadora financiera y excel / Jairo Gutiérrez Carmona. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2012. 376 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas) Incluye complemento virtual SIL (Sistema de Información en Línea) www.ecoeediciones.com. -- Incluye bibliografía ISBN 978-958-648-748-1 1. Matemáticas financieras - Fórmulas 2. Matemáticas financieras Instrumentos 3. Matemáticas financieras - Problemas, ejercicios, etc. 4. Excel (Programa para computador) I. Título II. Serie CDD: 657.48 ed. 20 CO-BoBN– a805166 Colección: Ciencias Exactas Área: Matemáticas Edición: Bogotá., 2012 ISBN: 978-958-648-748-1 © Jairo Gutiérrez Carmona gutierrezcarmona@gmail.com © Ecoe Ediciones E-mail:correo@ecoeediciones.com www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741 Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Diseño y Diagramación: Olga L. Pedraza R. Diseño de Carátula: Edwin Penagos Palacio Impresión: Imagen Editorial Impresores e-mail: imagenimvega@yahoo.com Impreso y hecho en Colombia. TABLA DE CONTENIDO Capítulo 1 ........................................................................................................ 1 Interés ............................................................................................................................ 1.1 Interés y tasa de interés.......................................................................................... 1.1.1 Interés ................................................................................................................... 1 3 3 1.1.2 Tasa de interés ................................................................................................... 1.2 Diagramas de flujos de efectivo ......................................................................... 1.2.1 Valor presente ( P ) ........................................................................................... 5 7 9 1.2.2. Valor futuro ( F ) ............................................................................................... 1.3 Interés simple y compuesto .................................................................................. 1.3.1 Interés simple ..................................................................................................... 10 11 13 1.3.2 Interés compuesto............................................................................................ 1.4 Tasa de interés nominal y efectivo ..................................................................... 1.4.1 Interés nominal.................................................................................................. 15 22 22 1.4.2 Interés efectivo .................................................................................................. 1.5 Interés vencido y anticipado ................................................................................ 24 29 1.5.1 Interés vencido .................................................................................................. 29 1.5.2 Interés anticipado ............................................................................................. 1.6 Tasas especiales ......................................................................................................... 29 32 1.6.1 Tasa de inflación................................................................................................ 33 1.6.2 Tasa de devaluación......................................................................................... 34 1.6.3 Tasa de interés de oportunidad .................................................................. 1.7 Tasas compuestas ..................................................................................................... 1.7.1 DTF ......................................................................................................................... 36 37 37 1.7.2 UVR ........................................................................................................................ 39 1.7.3 PRIME / LIBOR.................................................................................................... 1.8 La tasa de interés con la calculadora y el Excel............................................. 1.8.1 Calculadora financiera .................................................................................... 40 41 41 1.8.2 Hoja de cálculo Excel ...................................................................................... 44 Función financiera interés efectivo ....................................................................... 45 Función financiera tasa nominal............................................................................ 45 Función personalizada tasa efectiva .................................................................... 46 Función personalizada tasa nominal ................................................................... 47 Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel Resumen del capítulo ..................................................................................................... Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 49 51 52 Capítulo 2 ........................................................................................................ 59 Equivalencia de tasas de interés............................................................................. 2.1 Concepto de equivalencia ..................................................................................... 2.2 Equivalencias con fórmula..................................................................................... 2.3 Equivalencias con calculadora ............................................................................. 2.4 Equivalencias con Excel .......................................................................................... 2.5 Equivalencias especiales......................................................................................... Resumen del capítulo ..................................................................................................... Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 59 61 61 64 68 69 75 76 77 Capítulo 3 ........................................................................................................ 81 Pago único .................................................................................................................... 3.1 Conceptos generales ............................................................................................... 3.2 Capitalización ............................................................................................................. 3.2.1 Capitalización con fórmula ........................................................................... 81 83 84 84 3.2.2. Capitalización con calculadora................................................................... 86 Capitalización conociendo la tasa del período................................................ 86 Capitalización conociendo la tasa nominal anual .......................................... 87 3.2.3 Capitalización con Excel ................................................................................. 88 Función financiera VF ............................................................................................... 89 3.2.4 Ejemplos de aplicación de la capitalización ........................................... 3.3 Descuento.................................................................................................................... 90 92 Función financiera VA ................................................................................................ 3.4 Casos especiales ........................................................................................................ 3.5 Notación estándar .................................................................................................... Resumen del capítulo ..................................................................................................... Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 93 94 102 105 106 107 Capítulo 4 ........................................................................................................ 113 Series uniformes ......................................................................................................... 113 4.1 Conceptos generales ............................................................................................... 115 4.2 Anualidad vencida .................................................................................................... 117 VI Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 4.2.1. Anualidad vencida con fórmula ................................................................. 117 4.2.2 Anualidad vencida con calculadora........................................................... 119 4.2.3 Valor futuro, anualidad, tasa y número de períodos .......................... 121 4.2.4 Anualidades vencidas con Excel.................................................................. 126 4.3 Anualidad anticipada .............................................................................................. 4.4 Anualidad diferida .................................................................................................... 4.5 Anualidad perpetua ................................................................................................. Resumen del capítulo ..................................................................................................... Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 128 143 147 149 151 152 Capítulo 5 ........................................................................................................ 165 Series variables ............................................................................................................ 5.1 Conceptos generales ............................................................................................... 5.2 Gradiente aritmético ............................................................................................... 5.3 Gradiente geométrico............................................................................................. 5.4 Gradientes con la calculadora ............................................................................. 5.5 Gradientes con Excel ............................................................................................... 5.6 Gradiente perpetuo ................................................................................................. 5.6.1 Gradiente aritmético perpetuo ................................................................... 165 167 168 179 190 197 210 211 5.6.2 Gradiente geométrico perpetuo ................................................................ 214 5.7 Gradiente diferido .................................................................................................... 215 5.7.1 Gradiente aritmético diferido ...................................................................... 216 5.7.2 Gradiente geométrico diferido ................................................................... 221 5.8 Gradiente escalonado ............................................................................................. 225 5.8.1 Gradiente aritmético escalonado ............................................................... 225 5.8.2 Gradiente geométrico escalonado ............................................................ 235 5.8.3 Gradiente escalonado con la calculadora financiera .......................... Resumen del capítulo ..................................................................................................... Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 240 243 245 246 Capítulo 6 ........................................................................................................ 259 Amortización, capitalización y saldos................................................................... 259 6.1 Amortización .............................................................................................................. 261 6.1.1 Saldo adeudado ................................................................................................ 261 6.1.2 Composición de las cuotas ........................................................................... 267 VII Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel 6.1.3 Tablas de amortización................................................................................... 272 Tabla de amortización del sistema de abonos constantes a capital ........ 273 Distribución de la cuota: abonos constantes a capital ................................. 273 Tabla de amortización del sistema de cuotas constantes............................ 274 Distribución de la cuota: cuota constante ......................................................... 274 Tabla de amortización del sistema de gradiente aritmético ...................... 275 Distribución de la cuota: gradiente aritmético ................................................ 275 Tabla de amortización del sistema de gradiente geométrico.................... 276 Distribución de la cuota: gradiente aritmético ................................................ 276 6.2 Créditos en UVR ........................................................................................................ 279 6.2.1 Metodología de cálculo de la UVR ............................................................ 280 6.2.2 Sistemas de amortización en UVR ............................................................. 281 6.3 Capitalización ........................................................................................................ 283 6.3.1 Saldo capitalizado ............................................................................................ 283 6.3.2 Tablas de capitalización.................................................................................. 286 Tabla de capitalización del sistema de cuotas constantes........................... 286 Tabla de capitalización del sistema de gradiente aritmético ..................... 287 Tabla de capitalización del sistema de gradiente geométrico................... Resumen del capítulo ..................................................................................................... Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 287 289 290 291 Capítulo 7 ........................................................................................................ 297 Indicadores de conveniencia económica............................................................. 7.1 Valor presente neto (VPN)..................................................................................... 7.2 Cuota anual uniforme equivalente (CAUE) ..................................................... 7.3 Tasa interna de rentabilidad (TIR) ....................................................................... 7.4 Tasa de rentabilidad verdadera (TRV) .............................................................. 7.5 Relación beneficio - costo (B/C).......................................................................... 7.6 Indicadores de conveniencia con calculadora............................................... Resumen del capítulo ..................................................................................................... Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 297 299 307 309 312 314 315 317 319 319 Anexo 1 ............................................................................................................. 325 Convenciones ............................................................................................................. VIII 325 Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Anexo 2 ................................................................................................................ 331 Glosario ........................................................................................................................ 331 Anexo 3 ................................................................................................................ 335 Fórmulas ...................................................................................................................... 335 Anexo 4 ................................................................................................................ 347 Funciones financieras del Excel ............................................................................. 347 Anexo 5 ............................................................................................................. 349 Funciones financieras personalizadas ................................................................. 349 Anexo 6 ............................................................................................................. 351 Cómo crear funciones personalizadas en Excel ................................................. 351 Cómo incorporar las funciones personalizadas a su equipo ......................... 354 Bibliografía ...................................................................................................... 357 Índice .................................................................................................................. 359 IX P R E S E N TAC I Ó N Este libro tiene como objetivo contribuir con una herramienta académica integral en la instrucción de todas aquellas personas interesadas en las matemáticas financieras, tanto a nivel de pregrado como de posgrado, especialmente de los estudiantes del área financiera. Es una herramienta porque sirve como libro de texto para cualquier curso de matemáticas financieras, ya que además de los temas principales, que se incluyen en todos los libros, se presentan análisis y explicaciones detalladas de aspectos particulares del valor del dinero en el tiempo; y es una herramienta integral porque en los numerosos ejemplos que se aportan, se muestra la solución por diversos sistemas, de manera que no se encasille al estudiante con uno o dos sistemas de solución. En el libro se utilizan cuatro sistemas para solucionar los problemas de matemáticas financieras: • • • • Primero, con notación estándar (ver página 102) que facilita el planteamiento de las soluciones, pero que finalmente requiere de tablas o calculadora para encontrar el valor de los factores; Segundo, con fórmulas que por ser un sistema universal siempre está disponible, pero que en algunos casos requiere operaciones engorrosas debido a la complejidad de la fórmula; Tercero, con calculadora financiera que produce la respuesta de una manera rápida, pero que no tiene disponible el menú necesario para solucionar todas las clases de problemas que se presentan. Este libro incluye algunos algoritmos para grabar en el solucionador de la calculadora financiera Hewlett Packard 17BII o 19BII; Cuarto, con hoja de cálculo que además de ser muy rápida para producir las respuestas, tiene un alto potencial para sensibilizar y analizar los problemas, pero no dispone de todas las funciones que se requieren para solucionar todas las clases de problemas que se presentan. Este libro tiene soporte en el Sistema de Información en Línea (SIL) de la Editorial ECOE (www.ecoeediciones.com/sil/index.php), Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel donde podrá encontrar funciones personalizadas para utilizar en la hoja de cálculo Excel. Por lo anterior, los numerosos ejemplos que se incluyen en este libro son de vital importancia para introducir o aclarar conceptos, de manera que el estudiante debe analizarlos con detenimiento, en especial porque en muchos de ellos se combinan los sistemas de solución de problemas para hacer más eficiente el trabajo. En el SIL se encuentra el archivo F.xls en Excel donde se desarrollan funciones financieras personalizadas que complementan las funciones financieras que vienen con la hoja de cálculo Excel; además reúne por capítulos la solución de los ejemplos en los que se haya utilizado hoja de cálculo y presenta la solución detallada de los ejercicios propuestos múltiplos de diez. En el ANEXO 6: COMO CREAR FUNCIONES PERSONALIZADAS EN Excel (ver página 351) se comenta como instalar en su computador el archivo con las funciones personalizadas. La solución detallada de los ejercicios múltiplos de diez es un aporte importante, especialmente para los estudiantes, ya que los ejemplos tratados dentro de los capítulos, aunque se solucionan por varios sistemas, sólo sirven para ilustrar el tema que se está tratando y por lo tanto son ejercicios sencillos. La solución de algunos ejercicios propuestos, se incluye para presentar la utilización de los temas en problemas más complicados y además combinados con temas tratados en los capítulos anteriores. XII CAPÍTULO 1 Interés En este capítulo se presentan los conceptos fundamentales de las matemáticas financieras, por lo tanto se trata todo lo relacionado con el interés, la tasa de interés y sus diferentes formas de cálculo, tanto desde el punto de vista de quien es propietario de un capital y lo invierte o lo entrega en préstamo, como desde la perspectiva de quien no cuenta con el capital y lo recibe en préstamo. Se estudian aquellas tasas de interés especiales que también se utilizan para el cálculo del costo de créditos o de la rentabilidad de inversiones, como son la inflación, la devaluación, la DTF y el PRIME. Finalmente se muestra como operan todas las tasas de interés vistas en el capítulo en la calculadora financiera y en la hoja de cálculo Excel. El capítulo contiene los siguientes temas: 1.1 Interés y tasa de interés 1.2 Diagramas de flujos de efectivo 1.3 Interés simple y compuesto 1.4 Tasa de interés nominal y efectiva 1.5 Interés vencido y anticipado 1.6 Tasas especiales 1.7 Tasas compuestas 1.8 La tasa de interés con la calculadora y el Excel Objetivos General Introducir los conceptos y fórmulas básicas de las matemáticas financieras, con el fin de preparar al estudiante para enfrentar la comprensión de los problemas y hacer un planteamiento lógico de la solución. Específicos a) Diferenciar y ejemplificar los conceptos de interés y tasa de interés que se utilizarán en las fórmulas y definiciones a lo largo del libro. b) Presentar los diagramas de flujo de efectivo que servirán de base para el planteamiento gráfico de los problemas. c) Conocer las características de las diferentes clasificaciones de la tasa de interés, tales como simple y compuesto, nominal y efectiva, vencido y anticipado. d) Estudiar las tasas de interés especiales que se utilizan en los problemas financieros, como son la inflación, la devaluación, la tasa de interés de oportunidad (TIO), las tasas compuestas (DTF y UVR) y las tasas para transacciones en moneda extranjera (PRIME y LIBOR). e) Introducir el trabajo de las tasas de interés con la calculadora financiera y la hoja de cálculo Excel. Capítulo 1: Intereses JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 1.1 Interés y tasa de interés Los recursos tienen propietario y cada uno espera utilizarlos en beneficio propio. Cuando el propietario de un recurso puede usarlo para sí mismo, espera una utilidad o alguna satisfacción; pero cuando no puede utilizar directamente los recursos que posee o tiene algún recurso en exceso, busca alquilarlo a otra persona y por ello espera una retribución. Quiere decir que los recursos, además de propietario también tienen precio, ya sea el que estime su propietario o el que le determine el mercado. Los poseedores de fuerza de trabajo que no pueden emplearla en su propio negocio, la alquilan por un salario; quienes poseen finca raíz y no la emplean en su beneficio, trasfieren su utilización a cambio de un arrendamiento. Y así ocurre con todos los recursos, incluyendo el dinero o capital que como retribución recibe el interés. # 1.1.1 Interés El interés se ha definido como el precio del dinero, sea éste un capital propio o ajeno; es decir que el dinero, cuando se utiliza como capital, debe tener una retribución como ocurre con todos los recursos (el salario para el trabajo o la renta para la tierra). No siempre el capital invertido es dinero, puede ser cualquier otro recurso como maquinaria, finca raíz o semovientes, lo importante es que se aporte para la explotación de un negocio, en el cual se espera tener una retribución por el uso del recurso; en estos casos el recurso debe valorarse en dinero para efectuar los cálculos. Ejemplo No. 1.1 Un capitalista invierte quince millones de pesos en un negocio, por lo tanto espera que al finalizar el negocio, éste le haya retribuido los quince millones de pesos que invirtió inicialmente más un interés, que es un valor adicional al invertido dado que durante un tiempo renunció al uso de sus recursos y se arriesgó en un negocio. El capital inicial de quince millones pudo estar representado en dinero, en especie o en ambos (quince millones de pesos en efectivo o un vehículo valorado en diez millones de pesos y cinco millones de pesos en efectivo, por ejemplo). Así mismo, el capital que recibe al final puede estar representado en dinero, en especie o en ambos (veinte millones de pesos en efectivo o el mismo vehículo valorado en ocho millones de pesos y doce millones de pesos en efectivo, por ejemplo). Esto significa que, cuando se invierte un capital se espera que después de un tiempo de tenerlo invertido se obtenga un valor superior al que se invirtió inicialmente: el capital más el interés. Lo mismo ocurre cuando se recibe un capital en préstamo, después de un tiempo de utilizarlo se debe pagar un valor superior al que se recibió inicialmente: el capital más el interés. 3 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 1.2 En el ejemplo anterior, sin importar la forma que tomen el capital y el interés (efectivo, especie o ambos), el capital inicial es de quince millones de pesos y el interés es de cinco millones de pesos; ya que este último es igual a la diferencia entre el valor invertido inicialmente y el valor recibido finalmente. Ejemplo No. 1.3 Una persona recibe un préstamo de quinientos mil pesos con el compromiso de pagar quinientos sesenta mil pesos dentro de seis meses. En este caso el capital inicial son los quinientos mil pesos y el interés los sesenta mil pesos adicionales que paga. Este pago adicional se debe hacer por usar un recurso ajeno y al mismo tiempo disfrutar de los beneficios que le produce ese uso. Como se aprecia, quien otorgó el préstamo renuncia al uso de su capital y por ello debe cobrar un valor; por otra parte, quien recibió el préstamo pudo disfrutar de unos beneficios sin tener capital y por lo tanto debe pagar un valor por haber utilizado un capital ajeno. De los conceptos anteriores se deduce que en el uso del capital intervienen por lo menos cuatro conceptos: un valor inicial, un período de tiempo, un valor final y el interés. Estos conceptos se aclaran a continuación: • Valor inicial: Es el capital que se invierte o se recibe en préstamo al comienzo de un negocio, también se conoce como valor presente. • Período de tiempo: Son las unidades de tiempo que transcurren durante el negocio, se conoce como plazo y puede estar expresado en cualquier unidad: días, semanas, meses, etc. • Valor final: Es el monto que se recibe o se paga al finalizar el negocio, también se conoce como valor futuro y tiene como principal característica que es igual al valor inicial más los intereses. • Interés: Es la retribución que reciben los inversionistas y prestamistas por ceder el uso de su capital propio o el costo que pagan los prestatarios por utilizar el capital ajeno. Si el valor al final del negocio es igual el valor inicial más los intereses, se tienen las siguientes fórmulas: F=P+IP=F–II=F–P donde 4 F P I Valor final o futuro. Valor inicial o presente. Interés o retribución al valor invertido (P). (1) JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses Ejemplo No. 1.4 En el caso del préstamo de los $500,000, en el que se pagan $560,000 seis meses después, se tienen las siguientes convenciones: VALOR IGUAL A: RESULTADO F= P+I 500,000 + 60,000 = 560,000 P= F–I 560,000 – 60,000 = 500,000 I= F-P 560,000 – 500,000 = 60,000 Ejemplo No. 1.5 Si un producto se vende de contado por $1,200,000 y se puede comprar a crédito con un plazo de tres meses por $1,296,000, se está hablando de los siguientes valores: VALOR RESULTADO Inicial o presente P= 1,200,000 Final o futuro F= 1,296,000 Intereses I= 96,000 1.1.2 Tasa de interés La tasa de interés es la relación matemática que existe entre el monto del interés que se retribuye al capital y el monto del capital que se ha invertido inicialmente. Por lo tanto: (2) donde i F P I Tasa de interés. Valor final o futuro. Valor inicial o presente. Interés o retribución al valor invertido (P). De las fórmulas (1) y (2) se concluye que, así como el interés se expresa en un valor absoluto ($), la tasa de interés se expresa en un valor relativo (%). 5 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 1.6 Para los ejemplos anteriores se tienen las siguientes tasas de interés: VALORES P = 15,000,000 F = 20,000,000 I = 5,000,000 P = 500,000 F = 560,000 I = 60,000 P = 1,200,000 F = 1,296,000 I = 96,000 FÓRMULA RESULTADO PERÍODO 0.33 No se ha determinado 0.12 Seis meses 0.08 Tres meses INTERPRETACIÓN La inversión genera un interés de $5,000,000, que equivalen a una tasa de interés del 33%, durante el tiempo que dure. El préstamo se recibe a una tasa de interés del 12%, por un semestre. Ya que por $500,000 se pagan $60,000 de intereses. El producto se financia a una tasa de interés del 8% trimestral. Combinando las fórmulas (1) y (2) se pueden despejar otras fórmulas que son de utilización permanente: (3) por lo tanto (4) (5) Ejemplo No. 1.7 El capitalista del Ejemplo No. 1.1 espera que su inversión le retribuya un 40%. Cuál debe ser el valor final de su inversión? Siendo i = 40% y P = $15,000,000 es posible encontrar el valor de F utilizando la fórmula (1) F = P + I, como el valor de los intereses ( I ) es desconocido, se debe calcular utilizando la fórmula (3) I = i P que reemplazando es I = 0.4 (15,000,000) = 6,000,000, con lo cual ya se puede llegar a que F = 15,000,000 + 6,000,000 = 21,000,000 También puede resolverse utilizando el siguiente raciocinio: Siendo i = 40% y P = $15,000,000, es posible encontrar el valor de F utilizando la fórmula (4) F = P (1 + i). F = 15,000,000 (1 + 0.4) = 21,000,000 6 Capítulo 1: Intereses JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Es decir que, se debe definir cuál es la incógnita y para resolverla utilizar la fórmula con la cual se halle su valor. Ejemplo No. 1.8 Si el producto que se vende de contado por $1,200,000 y a crédito con un plazo de tres meses por $1,296,000, se compra con un plazo de seis meses. Cuál será su precio? Según el Ejemplo No. 1.6 la tasa de interés de financiación es del 8% trimestral (i = 96,000 / 1,200,000), por lo tanto si se ha de financiar a dos trimestres, debe cobrarse dos veces el interés F = P + 2 I donde sigue siendo I = i P como la tasa de interés es i = 8% trimestral, entonces se pagan intereses de I = 96,000 cada trimestre, por lo tanto 2 I = 192,000 siendo entonces F = 1,200,000 + 192,000. Se concluye que si se desea comprar el producto con un plazo de dos trimestres el precio será de $1,392,000 En este ejemplo se aprecia que el plazo del negocio es un semestre, pero como los intereses se liquidan trimestralmente, el plazo total se debe expresar en las unidades de tiempo del período de liquidación de los intereses, diciéndose por lo tanto que el negocio se hace a dos trimestres y no a un semestre, aunque cronológicamente sean lo mismo. Para facilitar su solución, en todos los problemas de matemáticas financieras el período de liquidación de los intereses deben coincidir con: • las unidades en que se exprese el plazo y • el período en que se exprese la tasa de interés. Si los tres no coinciden, hay que ejecutar los pasos necesarios para que ello ocurra. Esto quiere decir que en todo problema de matemáticas financieras, en realidad existen dos problemas: a) el problema como tal, que se va a resolver y b) hacer coincidir el plazo y el período de expresión de la tasa de interés, con el período de liquidación de los intereses. Este último problema es el que primero debe resolverse. # 1.2 Diagramas de flujos de efectivo Un diagrama de flujos de efectivo es la representación gráfica de las entradas y salidas de efectivo de un negocio. Consiste en un gráfico de dos dimensiones: una área para los flujos de efectivo positivos (ingresos, entradas de dinero, préstamos recibidos, cobros de cartera, etc.) y otra área para los flujos de efectivo negativos (egresos, salidas de dinero, inversiones efectuadas, pagos o abonos de deudas, etc.). El diagrama de flujos de efectivo consiste en una línea recta que representa el tiempo, subdividida en los períodos de liquidación de intereses, en la cual se representan los movimientos reales de dinero que ocurren en un negocio. 7 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Los diagramas de flujos de efectivo se utilizan para “dibujar” los problemas, de manera que se facilite su comprensión y por lo tanto su solución, constituyéndose entonces en una herramienta necesaria para el planteamiento de problemas de matemáticas financieras. La siguiente es la organización general de un diagrama de flujos de efectivo: Ejemplo No. 1.9 Hacer el diagrama de flujos de efectivo de una inversión que tiene los siguientes movimientos: se invierten hoy $100,000 y a los tres meses se reciben $60,000, a los siete meses se reciben $50,000 y a los doce meses se reciben $40,000. Como se aprecia, la longitud de las fechas sólo sirve para dar una idea de las proporciones de los valores, el punto más importante es la dirección de las flechas (ingresos o egresos) y el momento del tiempo en que ocurren. En un diagrama de flujos de efectivo, los conceptos que se han trabajado hasta el momento, se representarían de la siguiente forma: 8 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses n períodos de liquidación de interés a una tasa i% 0 1 2 3 1.2.1 Valor presente ( P ) El valor presente es el monto con el que inicia un negocio (inversión inicial) y no necesariamente está ubicado en el día de hoy; el valor presente en relación con el día de hoy se puede ubicar cronológicamente en el pasado o en el futuro, dependiendo de cuándo se haya iniciado o se inicie el negocio que se evalúa. Se concluye que la terminología “presente” se utiliza únicamente en relación con la fecha de inicio del negocio y no tiene nada que ver con la fecha en que se analiza la inversión. Ejemplo No. 1.10 Hacer el diagrama de flujos de efectivo de un préstamo de $1,300,000, con un plazo de seis meses, por cual se deben pagar $1,456,000: a) Si el crédito se recibió hace dos meses. b) Si el crédito se recibe hoy. c) Si el crédito se recibirá dentro de tres meses. Como se aprecia en el siguiente gráfico los diagramas de flujos de efectivo son iguales, sin importar en qué momento se encuentren en relación con la fecha actual; para el problema sólo interesa que P = 1,300,000, F = 1,456,000 y que n = 6, ya que con estos datos puede resolverse cualquier pregunta que se haga, cuánto es el interés ( I ) o cuál es la tasa de interés ( i ). 9 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel F= 1,456,000 F= 1,456,000 P= 1,300,000 F= 1,456,000 P= 1,300,000 P= 1,300,000 1.2.2. Valor futuro ( F ) El valor futuro es el monto que se recibe cuando termina el negocio y no necesariamente estará ubicado en el futuro en relación con el día de hoy. En el valor futuro están involucrados los intereses (utilidad) que produce el negocio. Ejemplo No. 1.11 Cuánto recibe un inversionista hoy por un pagaré que compró hace 45 días, si desembolsó $23,345,000 y la tasa de interés es del 5% durante todo el período, liquidada diariamente? Como el período de liquidación de intereses es el día, la tasa de interés debe estar expresada en días. F=? n= 45 días i= 0.11% P= 23,345,000 Puede verse que el valor futuro está ubicado en la fecha de hoy, lo importante de su ubicación es que frente a P, lo relacione n = 45 e i = 0.11% diario. 10 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses 1.3 Interés simple y compuesto En el ejemplo No. 1.8 se aprecia que durante el plazo de un negocio es posible que se liquide varias veces el interés, las condiciones que se pacten para tratar los intereses que se liquiden en cada período, determinan teórica y matemáticamente la clase de interés que se esté manejando y por lo tanto la fórmula que debe emplearse para su cálculo. En general, existen tres condiciones que se pueden pactar para los intereses que se liquiden: a. Liquidarlos y pagarlos en ese mismo momento. b. Liquidarlos y no pagarlos, para quedarlos debiendo como intereses. c. Liquidarlos y no pagarlos, para sumárselos al capital inicial. En el primer caso no hay ningún problema, ya que I = i P por lo tanto basta con saber cual es la tasa de interés del período de liquidación ( i ) para liquidar y pagar los intereses. Ejemplo No. 1.12 Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida y paga intereses cada mes a una tasa del 2%. Cuál será el valor de los pagos mensuales de intereses? Como se dijo, este caso no tienen problema pues basta utilizar la fórmula (3): I = i P. Como coincide el período de expresión de la tasa de interés con el período de liquidación de los intereses, basta reemplazar en la fórmula, así: I = 0.02 (2,350,000) = 47,000 Deben liquidarse y cancelarse cada mes $47,000 por el crédito, sin importar en qué mes del plazo se encuentre, tal como se aprecia en la siguiente tabla: MES SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN INTERÉS PAGO DE INTERÉS ABONO A CAPITAL PAGO TOTAL SALDO INTERESES SALDO CAPITAL SALDO TOTAL 1 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000 2 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000 3 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000 4 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000 5 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000 6 2,350,000 47,000 47,000 2,350,000 2,397,000 0 0 0 En el segundo caso, cuando los intereses se liquidan, no se pagan y se acumulan como una deuda para pagar al final del plazo, también se utiliza la fórmula (3) I = i P para liquidar el monto que cada mes se suma a la deuda de los intereses por pagar. 11 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 1.13 Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida intereses cada mes a una tasa del 2%, los intereses liquidados se adeudan y se pagan al final del plazo. Cuál será el valor de los intereses liquidados cada mes y cuánto debe cancelar por intereses al final del plazo? Como coinciden el período de expresión de la tasa de interés y el período de liquidación de los intereses, basta reemplazar los valores en la fórmula (3): I = i P, así: I = 0.02 (2,350,000) = 47,000 Se deben liquidar cada mes $47,000 por el crédito y sumarlos a una deuda por intereses, sin importar en qué mes del plazo se encuentre. Al finalizar el plazo, se adeudan seis cuotas de interés, por lo tanto se debe 6 x 47,000 = 282,000. La deuda de los intereses se mantiene independiente del capital adeudado, por lo tanto no genera nuevos intereses, tal como se aprecia en la siguiente tabla: MES SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN INTERÉS PAGO DE INTERÉS ABONO A CAPITAL PAGO TOTAL SALDO INTERESES SALDO CAPITAL 1 2,350,000 47,000 0 0 2 2,350,000 47,000 0 0 3 2,350,000 47,000 0 0 4 2,350,000 47,000 0 0 5 2,350,000 47,000 0 6 2,350,000 47,000 282,000 SALDO TOTAL 0 47,000 2,350,000 2,397,000 0 94,000 2,350,000 2,444,000 0 141,000 2,350,000 2,491,000 0 188,000 2,350,000 2,538,000 0 0 235,000 2,350,000 2,585,000 2,350,000 2,632,000 0 0 0 En el tercer caso, cuando los intereses se liquidan, no se pagan y se suman al capital, también se utiliza la fórmula (3) I = i P para liquidar el monto de los intereses que cada mes se suma al capital. La gran diferencia es que para cada período el valor de P es diferente, ya que incluye los intereses que se han vuelto capital es decir que han tenido capitalización. Ejemplo No. 1.14 Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida intereses cada mes a una tasa del 2%, los intereses liquidados se capitalizan y se pagan al final del plazo. Cuál será el valor de los intereses liquidados cada mes? Como coinciden el período de expresión de la tasa de interés y el período de liquidación de los intereses, basta reemplazar los valores en la fórmula (3): I = i P, sin embargo existe un problema y es que el valor de P no se mantiene constante, por lo tanto hay que conocerlo primero; para ello se utiliza la siguiente tabla: 12 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses MES SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN PAGO DE INTERÉS INTERÉS ABONO A CAPITAL PAGO TOTAL SALDO INTERESES 1 2,350,000 47,000 2 2,397,000 47,940 3 2,444,940 4 2,493,839 5 6 SALDO CAPITAL SALDO TOTAL 0 0 0 0 2,397,000 2,397,000 0 0 0 0 2,444,940 2,444,940 48,899 0 0 0 0 2,493,839 2,493,839 49,877 0 0 0 0 2,543,716 2,543,716 2,543,716 50,874 0 0 0 0 2,594,590 2,594,590 2,594,590 51,892 0 2,646,482 2,646,482 0 0 0 Con la solución de estos problemas, pueden plantearse los conceptos de interés simple y de interés compuesto. 1.3.1 Interés simple Interés simple, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo se toma como base únicamente el capital, ignorando los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. Por lo tanto el valor del capital adeudado permanece constante y sólo cambia la deuda por concepto de intereses. Esto hace que para efectos de utilización de las fórmulas, se emplee siempre el mismo valor para el capital al inicio del período ( P ). Para el cálculo del interés simple de un período, siempre se utilizará la fórmula (3): I=iP donde I i P es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar que se constituye en deuda. es la tasa de interés (%) del período. es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando. Como los intereses así calculados se acumulan en una deuda independiente, para calcular el valor total de la deuda, en un momento dado, basta con multiplicar el monto de los intereses de un período por el número de períodos que hayan transcurrido, con lo cual la fórmula (3) toma el siguiente aspecto: I = n i P donde I n i P es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar. es el número de períodos que han transcurrido desde el inicio del negocio. es la tasa de interés (%) del período. es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando. Es importante interpretar el cambio que acaba de mostrarse para la fórmula (3): a) Al generalizar la fórmula como I = n i P, puede decirse que no ha cambiado nada cuando n = 1 y que por lo tanto para calcular el interés de un período se sigue utilizando la fórmula original. 13 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel b) Puede interpretarse que el número de períodos (n) está multiplicando todo el interés calculado, por lo tanto se agruparía así: I = n (i P). c) También puede interpretarse suponiendo que el número de períodos (n) esta multiplicando sólo la tasa de interés del período, por lo tanto se agruparía así: I = (n i) P. Vale aclarar que las tres interpretaciones son válidas y todo se reduce a decisiones matemáticas según sean los datos que se conozcan en cada problema. Ejemplo No. 1.15 Para una deuda de $500,000 que paga interés simple del 2.5% mensual. Cuánto se debe liquidar de intereses cada mes y cuánto al término de cuatro meses? Para conocer cuánto se debe liquidar en un mes, se emplea la fórmula (3) con n = 1, por lo tanto: I=iP I = 0.025 (500,000) = 12,500 Para calcular cuánto debe de intereses al término de cuatro meses, se emplea la fórmula (3) con n = 4, por lo tanto: I=niP I = 4 (0.025) (500,000) = 50,000 A continuación se presenta la tabla de evolución de la deuda, en la cual se aprecia que cada mes se liquida el mismo interés, sobre la misma base ( P ), utilizando la misma fórmula: LIQUIDACIÓN DE INTERESES MES SALDO INICIAL DEL PERÍODO (P) 1 500,000 2 500,000 3 500,000 4 500,000 SALDOS ADEUDADOS FÓRMULA VALOR INTERESES CAPITAL TOTAL I=iP I=iP I=iP I=iP 12,500 12,500 500,000 512,500 12,500 25,000 500,000 525,000 12,500 37,500 500,000 537,500 12,500 50,000 500,000 550,000 Ejemplo No. 1.16 Cuánto se esta pagando de tasa de interés mensual, en un crédito de $2,220,000, que durante un semestre cobra intereses por valor de $240,000? Como el período de liquidación de los intereses es el mes, el plazo y la tasa de interés deben expresarse también en meses, por lo tanto se hablará de un plazo de seis meses y no de un semestre. 14 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses Para resolver el problema debe emplearse alguna de las expresiones de i presentadas en la fórmula (2), dependiendo de los valores conocidos que son n = 6 P = 2,220,000 e I = 240,000. i= I P i= F -P P i= F - 1 P Por lo tanto i = 240,000 / 2,220,000 = 0.1081 o también expresado en porcentaje como 10.81%. El valor de i así calculado es el que se cobra durante todo el plazo, es decir seis meses, lo cual nos indica que 10.81% = n i, dado que el período de liquidación de los intereses es el mes. Esto nos lleva a plantear la siguiente expresión para la tasa de interés de un mes: i = 10.81% / 6 = 1.8%. 1.3.2 Interés compuesto Interés compuesto, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo se toma como base el capital más los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. Quiere decir, que los intereses liquidados en el pasado se han convertido en capital y por lo tanto generan nuevos intereses, este fenómeno es conocido como capitalización de los intereses. El fenómeno de la capitalización, lleva a que el valor adeudado por concepto de capital aumente al finalizar cada período y por lo tanto, que el valor que se emplea para calcular los nuevos intereses sea cada vez mayor. La capitalización de intereses, que consiste en sumar los intereses no pagados al capital, es un fenómeno real en el mercado financiero y no significa que se estén cobrando intereses sobre intereses. # Para el cálculo del interés compuesto de un período siempre se utilizará la fórmula (3): I = i P donde I i P es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar que se suma al capital. es la tasa de interés (%) del período. es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando (este valor es el que cambia cada período). 15 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como los intereses así calculados se suman al capital, para calcular el valor total de la deuda, en un momento dado, debe emplearse una fórmula diferente, que se deduce a continuación, explicando los pasos intermedios necesarios para calcular el nuevo valor de P en cada período: Ejemplo 1.17 Para una deuda de $500,000 que paga interés compuesto del 2.5% mensual. Cuánto se debe liquidar de intereses cada mes y cuánto al término del cuarto mes? La siguiente tabla muestra la evolución de la deuda: SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES VALOR INTERÉS CAPITAL I=iP 12,500 512,500 P1 P1 = P + I = P + i P = P (1 + i) 512,500 I = i P1 12,813 525,313 P2 P2 = P1 + I = P1 + i P1 = P1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)2 P2 525,313 I = i P2 13,133 538,445 P3 P3 = P2 + I = P2 + i P2 = P2 (1 + i) = P (1 + i)2 (1 + i) = P (1 + i)3 P3 538,445 I = i P3 13,461 551,906 P4 P4 = P3 + I = P3 + i P3 = P3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 MES SIGNO VALOR 1 P 500,000 2 P1 3 4 FÓRMULA INTERÉS SALDO FINAL SIGNO FÓRMULA SALDO Se corrobora que para calcular el interés de un solo período, siempre utiliza la misma fórmula, tal como se aprecia en la columna “FÓRMULA INTERÉS”, la diferencia frente al interés simple, es que el valor empleado como base cambia en cada período debido a la capitalización de los intereses. Por lo tanto, el valor mensual de los intereses cambia y su valor aparece en la columna “VALOR INTERÉS” del cuadro anterior. Para calcular el saldo adeudado (F ), después de una serie de períodos (n) se utiliza la fórmula deducida en la columna “FÓRMULA SALDO”: F = P (1 + i)n donde F P i n 16 es el valor acumulado en la deuda o inversión después de una serie de períodos. es el valor invertido o recibido en préstamo al inicio del plazo es la tasa de interés del período de liquidación que se aplica compuesta. es el número de períodos que han trascurrido desde el inicio del negocio. (6) JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses De la fórmula (6) es posible deducir otras fórmulas así: (7) S i F = P (1 + i) n (8) (9) Vale aclarar que cuando se habla de un solo período de liquidación de interés (n = 1), hay una sola capitalización en la vida del negocio y por lo tanto la fórmula (6) F = P (1 + i)n se comporta de la misma forma que la fórmula (4) F = P (1 + i). Ejemplo No. 1.18 Cuánto deberá al cabo de cuatro meses, una persona que toma un crédito de $500,000 al 2.5% mensual, capitalizable mensualmente? La solución se plantea así: DATO Clase de interés Período de liquidación de intereses Tasa de interés del período ( i ) Plazo del negocio Número de períodos de capitalización ( n ) Valor inicial del negocio ( P ) Valor final del negocio ( F ) VALOR Compuesto Mensual 2.5% mensual 4 meses 4 La unidad de tiempo en que se expresan estas tres variables debe ser la misma. En este caso es el mes, por lo tanto n = 4. $500,000 ??? Como la incógnita es el valor final del negocio ( F ), debe utilizarse la fórmula (6) para encontrar su valor: F = P (1 + i)n F = 500,000 (1 + 0.025)4 = 551,906 que es igual al valor obtenido en la tabla del ejemplo No. 1.17 la cual fue elaborada período por período. Ejemplo No. 1.19 Cuánto se debe invertir en título que rinde el 9% trimestral compuesto, si se necesita reunir un valor de $ 4,500,000 dentro de nueve meses? La solución se plantea así: 17 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel DATO Clase de interés VALOR Compuesto Período de liquidación de intereses Tasa de interés del período ( i ) Plazo del negocio Trimestral 9% trimestral 9 meses Número de períodos de capitalización ( n ) Valor final del negocio ( F ) 3 $4,500,000 Valor inicial del negocio ( P ) La unidad de tiempo en que se expresan estas tres variables debe ser la misma. En este caso es el trimestre, por lo tanto debe convertirse el plazo a trimestres n= 9/3. ??? Como la incógnita es el valor inicial del negocio ( P ), debe utilizarse la fórmula (7) para encontrar su valor: P = F (1 + i) –n P = 4,500,000 (1 + 0.09) -3 = 3,474,826 Ejemplo No. 1.20 Cuánto se está cobrando por un crédito de $750,000, si al momento del pago, doce meses después, se debe entregar $1,000,000, si los intereses se capitalizan bimestralmente? La solución se plantea así: DATO Clase de interés Período de liquidación de intereses Tasa de interés del período ( i ) Plazo del negocio Número de períodos de capitalización ( n ) Valor final del negocio ( F ) Valor inicial del negocio ( P ) VALOR Compuesto Bimestral ??? 1 año 6 $1,000,000 La unidad de tiempo en que se expresan estas tres variables debe ser la misma. En este caso es el bimestre, por lo tanto debe convertirse el plazo a bimestres n = 12/2. $750,000 Como la incógnita es tasa de interés del período ( i ), debe utilizarse la fórmula (8) para encontrar su valor: i = (F / P)(1/n) – 1 i = (1,000,000 / 750,000)(1/6) - 1 = 0.0491 que es lo mismo que 4.91%. Es importante aclarar que como el período de liquidación de los intereses es bimestral y se utilizó n = 6 bimestres que tiene el plazo total de un año, la respuesta de la fórmula está dada en bimestres, o sea que la tasa que se está cobrando en el crédito es del 4.91% bimestral. Ejemplo No. 1.21 Si se quieren reunir $5,000,000, cuánto tiempo se debe dejar un depósito en una cuenta de ahorros que paga el 0.8% mensual, depositando $3,000,000 hoy? 18 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses La solución se plantea así: DATO Clase de interés Período de liquidación de intereses Tasa de interés del período ( i ) Plazo del negocio Número de períodos de capitalización ( n ) VALOR Compuesto Mensual 0.8% mensual ??? ??? Valor final del negocio ( F ) $5,000,000 Valor inicial del negocio ( P ) $3,000,000 La unidad de tiempo de estas tres variables debe ser la misma. En este caso es el mes, por lo tanto la respuesta que se encuentre estará en meses. Como la incógnita es número de períodos de capitalización ( n ), debe utilizarse la fórmula (9) para encontrar su valor: 64 meses Por lo visto hasta el momento, es determinante para la solución de los problemas de matemáticas financieras tener claro los conceptos de plazo y período. Plazo: es el tiempo total que dura un negocio, por lo tanto puede estar dado en las unidades de tiempo que se desee. Por ejemplo puede hablarse de “refinanciar un crédito a 10 años” o de “evaluar un proyecto con un horizonte de cinco años” o “invertir en ganadería durante 18 meses” o de “vender un papel con opción de recompra a 45 días”. Período: son las subdivisiones que se hacen del plazo y la unidad de tiempo tiene que coincidir con el período de liquidación de los intereses. Por ejemplo puede hablarse de “refinanciar un crédito a 10 años con liquidación de intereses trimestral” o de “evaluar un proyecto con un horizonte de cinco años usando períodos anuales” o “invertir en ganadería durante 18 meses y evaluar la rentabilidad mensual” o de “vender un papel con opción de recompra a 45 días con intereses liquidados diariamente” n: es el plazo expresado en las unidades de tiempo del período de liquidación de intereses. Por ejemplo, para 10 años con liquidación trimestral n = 40; cinco años con períodos anuales n = 5. Si en el período de liquidación de los intereses, éstos: Se pagan, se habla de período de pago. Se quedan debiendo, se habla de período de causación. Se capitalizan, se habla de período de capitalización. # ? Comercialmente, para liquidar intereses, siempre se utiliza el concepto de interés simple, ya que se requiere obtener un valor para pagar o contabilizar. Financieramente se utiliza el concepto de interés compuesto para hacer evaluaciones y comparaciones, que no se llevan a documentos comerciales ni contables. 19 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 1.22 Una empresa tiene una deuda de $12,350,000 con un banco comercial, por cuánto debe hacer la provisión de los intereses de un mes, si éstos se liquidan trimestralmente a una tasa del 34% anual? Este es un problema comercial típico, en el cual se requiere calcular un valor para hacer un registro contable. Aquí no importa si los intereses, una vez liquidados se van a pagar o no, sólo interesa reconocer una deuda que tiene la empresa. La solución se plantea así: DATO Clase de interés Tasa de interés Período de liquidación de intereses Tasa de interés del período ( i ) Plazo del negocio Número de períodos de capitalización ( n ) Valor inicial del negocio ( P ) Valor de los intereses de un período ( I ) VALOR Simple 34% anual Trimestral 34% / 4 = 8.5% trimestral 1 trimestre 1 La unidad de tiempo de estas tres variables debe ser la misma. En este caso es el trimestre, por lo tanto la respuesta que se encuentre serán los intereses por pagar en un trimestre. $12,350,000 ??? Como la incógnita es el interés de un período ( I ), debe utilizarse la fórmula (3) para encontrar su valor: I = i P I = 0.085 (12,350,000)= 1,049,750, como el período de liquidación de los intereses es trimestral, el resultado obtenido son los intereses que se deben liquidar durante el trimestre (ya sea que se paguen, se queden debiendo o se capitalicen). Por ahora el contador requiere saber cuánto causa en un mes, para ello se recurre a un sistema sencillo: causar proporcionalmente, es decir dividir el valor del trimestre por los tres meses que contiene, con lo cual la causación se hará por $349,917 y hasta se podría redondear a $350,000 sin afectar ningún cálculo para la empresa. Nótese que en este problema no importa en qué número de cuota va el crédito, ni qué va a pasar con los intereses cuando termine el trimestre, es decir se trata de un problema comercial que se resuelve con el interés simple. Ejemplo No. 1.23 Una cooperativa tiene una línea de crédito especial, en la cual presta dinero para ser descontado en su totalidad de la prima de mitad de año o de diciembre, pero los intereses deben pagarse quincenalmente con un descuento por nómina. Si un empleado tiene un préstamo de $600,000 y la tasa de interés es del 1.2% mensual. Cuánto le descontarán de intereses en la próxima quincena? Nuevamente un problema típico comercial que se resuelve con interés simple, sin importar en qué mes del año se encuentre ni cuándo recibió el préstamo. 20 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses La solución se plantea así: DATO Clase de interés VALOR Simple Tasa de interés 1.2% mensual Período de liquidación de intereses Tasa de interés del período ( i ) Plazo del negocio Quincenal 1.2% / 2 = 0.6% quincenal 1 quincena Número de períodos de capitalización ( n ) Valor inicial del negocio ( P ) El período de liquidación de los intereses es quincenal, por lo tanto estas tres variables deben expresarse en esa unidad. 1 $600,000 Valor de los intereses de un período ( I ) ??? Como la incógnita es el interés de un período , debe utilizarse la fórmula (3) para encontrar su valor: I = i P I = 0.006 (600,000) = 3,600, como el período de liquidación de los intereses es quincenal, el resultado obtenido son los intereses que se deben liquidar durante una quincena. Ejemplo No. 1.24 El tesorero de una empresa estima que a partir del próximo mes y durante seis meses tendrá un exceso de liquidez de $25,000,000, los cuales puede invertir comprando y vendiendo papeles en el mercado de valores. Según sus cálculos cree que puede invertir a una tasa de interés promedio del 2.3% mensual, cuánto reunirá al final de los seis meses si piensa reinvertir todas las utilidades que obtenga? Este es un problema financiero, ya que se está trabajando con estimativos y tasas promedio; en realidad el tesorero no sabe si tendrá el exceso de liquidez, ni exactamente de cuánto será, ni cuánto durará, ni a qué tasa va a invertir, o si en realidad podrá reinvertir todas las utilidades, pero de todas maneras se quieren hacer los estimativos. La solución se plantea así: DATO Clase de interés Período de liquidación de intereses Tasa de interés del período ( i ) Plazo del negocio Número de períodos de capitalización ( n ) Valor inicial del negocio ( P ) Valor final del negocio ( F ) VALOR Compuesto Mensual 2.3% mensual 6 meses 6 $25,000,000 ??? La unidad de tiempo en que se expresan estas tres variables debe ser la misma. En este caso es el mes, por lo tanto n=6. 21 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como la incógnita es el valor final del negocio (F), debe utilizarse la fórmula (6) para encontrar su valor: F = P (1 + i) n F = 25,000,000 (1 + 0.023) 6 = 28,654,564 Se espera que al final del plazo se hayan convertido los $25,000,000 en $28,654,564. Este dato le sirve al tesorero para alimentar los flujos de caja de la empresa o para compara esta alternativa con otras opciones de inversión del excedente de liquidez, pero debe notarse que las cifras que se obtengan no se utilizan para girar cheques, ni para hacer asientos contables. Los conceptos de interés simple y compuesto tratados aquí, se utilizarán permanentemente a lo largo de este libro y son la base de las matemáticas financieras. 1.4 Tasa de interés nominal y efectivo Como se aprecia en los ejemplos anteriores, el interés puede liquidarse varias veces durante el plazo de un negocio y con la periodicidad que se desee, esto lleva a que se presenten dificultades en la interpretación y comparación de las tasas de interés, dificultades que se resuelven con la diferenciación que se hace entre la tasa de interés nominal y la tasa de interés efectivo. Para efectos de facilitar las conversaciones financieras se omite la palabra “tasa”, entendiéndose que cuando se habla de interés nominal o de interés efectivo se está hablando de tasas de interés y por lo tanto se expresan en porcentaje. 1.4.1 Interés nominal El interés nominal es la tasa de interés que se utiliza para anunciar los negocios (prestamos e inversiones), es decir que con el interés nominal se están presentando las condiciones de liquidación de los intereses de un negocio. Debido a que cada negocio puede tener las condiciones que se quieran concertar entre las partes, cuando se presenta una tasa de interés nominal, es necesario aclarar todas esas condiciones, que son: CONDICIÓN EJEMPLO Valor de la tasa 12% Plazo anual Período de liquidación mes SIGNIFICADO Expresa que durante un tiempo y con período de liquidación determinado, se pagará un 12% de interés. Tiempo total que abarca la tasa de interés. Anuncia cada cuanto se liquidan los intereses- La inversión o préstamo anterior se anunciaría a una tasa de interés del 12% anual liquidado mensualmente (si el interés así liquidado se capitaliza o no, es otra condición del negocio). 22 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses Es importante saber que cuando a una tasa de interés se le aclare el plazo y el período de liquidación, se está tratando con una tasa de interés nominal. Lo común es encontrar que las tasas nominales se expresan en términos anuales, pero no debe ser extraño si se encuentran en un plazo diferente. Ejemplo No. 1.25 A continuación se presentan algunas tasas de interés nominal, con su respectiva interpretación: TASA INTERPRETACIÓN 12% anual liquidado trimestralmente 12% nominal anual, pero los intereses se liquidan cada trimestre (no se sabe si los intereses se pagan, se deben o se capitalizan). 15% anual capitalizado semestralmente 15% nominal anual y los intereses se liquidan y capitalizan dos veces al año (aquí se está agregando una información sobre si la clase de interés es simple o compuesto). 6% trimestral pagado cada mes 6% nominal trimestral, con intereses que se liquidan y se pagan cada mes. 18% semestral causado mensualmente 18% nominal semestral, con intereses que se liquidan y se quedan debiendo (causan) cada mes. Del ejemplo anterior se concluye que la tasa de interés nominal no se puede utilizar directamente para el cálculo de los intereses, siempre debe encontrarse la tasa que se cobra en el período de liquidación o sea i, que es la tasa que se aplica en la fórmula (3) I = i P, con el fin de encontrar el interés que se va a pagar, adeudar o capitalizar. Para encontrar i basta con dividir la tasa de interés nominal (IN) con la que se anuncia el negocio por el número de períodos de liquidación de intereses (n) que haya en el plazo en que se encuentra expresada la tasa, utilizando una fórmula, se llega a la siguiente: (10) donde i tasa de interés del período de liquidación. IN tasa de interés nominal (aclarando el plazo y el período n de liquidación en que se expresa). número de períodos de capitalización que hay en el plazo en que se expresa IN. Como se mencionó, la tasa de interés del período (i) es la tasa que se utiliza en las fórmulas y encontrarla debe ser el primer punto de preocupación para resolver un problema de matemáticas financieras. 23 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 1.26 Encontrar la tasa de interés del período en los siguientes casos: IN N i 12% anual liquidado trimestralmente n = 12 meses del año /3 meses del trimestre = 4 i = 12% /4 = 3% trimestral 15% anual capitalizado semestralmente n = 12 meses del año /6 meses del semestre = 2 i = 15% / 2 = 7.5% semestral 6% trimestral pagado cada mes n = 3 meses del trimestre /1 mes = 3 i = 6% /3 = 2% mensual 18% semestral causado mensualmente n = 6 meses del semestre /1 mes = 6 i = 18% /6 = 3% mensual 18% semestral causado bimestralmente n = 6 meses del semestre /2 meses del bimestre = 3 i = 18% /3 = 6% bimestral 5% en 45 días liquidados diariamente n = 45 días /1 día = 45 i = 5% /45 = 0.11% diario 1.2% mensual pagadero por quincenas n = 30 días del mes /15 días de la quincena = 2 i = 1.2% /2 = 0.6% quincenal Del ejemplo anterior se concluye que el valor de n es relativamente fácil de encontrar, basta con expresar el plazo de la tasa de interés y el período de liquidación de los intereses en la misma unidad de tiempo, y hacer la división. En conclusión, la tasa de interés nominal sólo sirve para anunciar como se pagan, causan o capitalizan los rendimientos de un negocio, pero es sencillo, a partir de ella, encontrar la tasa de interés del período, que es el valor utilizado en las fórmulas. Por lo tanto, cuando se presente una tasa de interés nominal, es necesario aclarar el plazo en que se aplica y el período de liquidación de los intereses, con el fin de permitir el cálculo de la tasa de interés del período. Es importante aclarar que las tasas de interés nominales no son comparables, puesto que se refieren a períodos de liquidación de intereses diferentes y pueden llevar a equivocaciones en la toma de decisiones. 1.4.2 Interés efectivo El interés efectivo, es el que realmente se paga o se obtiene en un negocio durante un período de liquidación de intereses. Si se desea obtener el interés que se paga durante varios períodos de liquidación, es necesario suponer que se capitalizan los rendimientos que se obtienen en cada período. La tasa efectiva de interés se utiliza, entonces, en dos sentidos: a) Para liquidar los intereses de un período, los cuales se pueden pagar, causar o capitalizar. Para ello debe conocerse la tasa de interés del período ( i ) que es una tasa efectiva, pues es la que se aplica realmente en la fórmula I = i P. b) Para comparar la rentabilidad o costo de varios negocios. Para ello se debe suponer, que los intereses liquidados en cada período ( I ) se capitalizan en las mismas condiciones del negocio original todos los períodos durante un plazo 24 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses determinado (normalmente un año) y así se obtiene el interés que se ganaría o se pagaría al mantenerse en ese negocio. Con este interés se puede calcular una tasa de interés efectiva de cada negocio, para poder compararlos. Si la tasa efectiva es la que se aplica en el período de liquidación, cualquiera de las fórmulas que sirven para calcularla puede utilizarse para obtenerla: fórmula (2) fórmula (8) fórmula (10) Para encontrar la fórmula de la tasa de interés efectivo que acumula más de un período, se recurrirá al mismo concepto utilizado en la fórmula (6): F = P (1 + i)n, pero con P = $1, el cuadro de la página 25 quedaría así: SALDO INICIAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES MES SIGNO VALOR FÓRMULA 1 P 1.00 I=i VALOR 0.0250 SALDO FINAL CAPITAL SIGNO 1.0250 P1 2 P1 1.03 I = i P1 0.0256 1.0506 P2 3 P2 1.05 I = i P2 0.0263 1.0769 P3 4 P3 1.08 I = i P3 0.0269 1.1038 P4 FÓRMULA P1 = 1 + I = 1 + i = (1 + i) P2 = P1 + I = P1 + i P1 = P1 (1 +i) = (1 + i)(1 + i) = (1 + i) 2 P3 = P2 + I = P2 + i P2 = P2 (1 + i) = (1 + i) 2 (1 + i) = (1 + i)3 P4 = P3 + I = P3 + i P3 = P3 (1 + i) = (1 + i)3 (1 + i) = (1 + i) 4 Si por definición el interés efectivo es el interés que realmente se obtiene o se paga en un negocio, y en el negocio del cuadro anterior se invirtió $1, basta con restar ese peso de inversión inicial para encontrar el interés realmente ganado, así: IE = (1 + i)n - 1 donde IE i n (11) interés efectivo de n períodos. interés efectivo de 1 período (debe ser el del período de liquidación). número de períodos que se acumulan. 25 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Esta será entonces la fórmula del interés compuesto cuando se acumulan varios períodos, cuando n = 1, entonces IE = i Ejemplo No. 1.27 Si se ofrece un negocio de engorde de ganado, en el cual se invierten $35,000,000, con la promesa que a los seis meses se vende el ganado y se obtienen $42,000,000 netos de gastos, cuál será la tasa efectiva de interés del negocio y cuál la tasa efectiva anual? La solución se plantea así: DATO VALOR Valor inicial del negocio ( P ) $35,000,000 Valor final del negocio ( F ) $42,000,000 Período de liquidación de intereses Plazo del negocio Número de períodos de capitalización ( n ) Interés devengado en el semestre semestre 1 semestre 1 ??? Como se conocen P y F y se sabe que n = 1, entonces debe utilizarse la fórmula (2) i = F / P –1 entonces i = 42,000,000 / 35,000,000 –1 = 0.20 que es lo mismo que 20% semestral, ya que el período de liquidación es de un semestre. Para conocer la tasa efectiva anual, debe suponerse que los $42,000,000 se invierten en un negocio igual, que rinda nuevamente el 20% semestral, así, entonces, utilizando la fórmula (11) con n = 2 se tiene: IE = (1 + i)n - 1 IE = (1 + 0.2)2 – 1 = 0.44 o 44% Como lo normal es utilizar el plazo de un año para calcular la tasa nominal y la tasa efectiva de varios períodos, entonces es común oír hablar de tasa nominal anual (NA) y de la tasa efectiva anual (EA). Si se conoce la tasa efectiva de varios períodos (IE) y se quiere conocer la de un período (i), se debe despejar de la fórmula (11) i = (1 + IE) 1/n - 1 ? (12) Comercialmente, para liquidar intereses, siempre se utiliza la tasa de interés del período de liquidación, ya que se requiere obtener un valor para pagar o contabilizar. Financieramente se utiliza la tasa de interés efectiva de varios períodos, para hacer evaluaciones y comparaciones, que no se llevan a documentos comerciales ni contables. 26 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses Ejemplo No. 1.28 Un banco concede un crédito de $1,000,000 a una tasa de interés del 36% anual pagadero mensualmente. Cuánto debe pagarse de intereses en el primer mes? La solución se plantea así: DATO VALOR Período de liquidación de intereses mes Valor inicial del negocio ( P ) $1,000,000 Tasa de interés nominal 36% anual Plazo del negocio 1 mes Interés pagado en el primer mes ??? La solución se plantea con la fórmula I = i P, pero debe hacerse en dos pasos: x Primero, debe conocerse la tasa de interés del período (i) con la fórmula (10) i = IN / n, que debe expresarse en meses –dado que ésta es la unidad de tiempo del período de liquidación de intereses– y se reemplaza de la siguiente forma: i = 36% anual / 12 meses del año = 3%; x Segundo, se soluciona el problema planteado, por lo tanto I = 3% (1,000,000) = 30,000. Este es un problema comercial, en el cual se requiere encontrar un valor para contabilizar o girar un cheque, por lo tanto debe trabajarse con la tasa del período. Ejemplo No. 1.29 Para comprar un equipo de oficina, una empresa ha cotizado en dos partes, de la siguiente forma: Almacén A: de contado cuesta $3,560,000, o se puede pagar a los seis meses pero tiene un valor de $4,380,000. Almacén B: el mismo aparato se vende financiado a una tasa del 4% mensual. En cuál de los dos almacenes es más alta la financiación? Este es un problema financiero típico, ya que no se está buscando un valor para registrar, sino una tasa de interés para comparar, por lo tanto debe encontrarse una tasa expresada en las mismas unidades. Para estos casos, la solución más sencilla es calcular la tasa de interés efectivo anual, de la siguiente forma: La solución se plantea así: Almacén A: DATO Período de liquidación de intereses VALOR semestre Valor inicial del negocio ( P ) $3,560,000 Valor final del negocio ( F ) $4,380,000 Plazo del negocio ( n ) 1 semestre Tasa de interés del período ( i ) ??? 27 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel La solución se encuentra con la fórmula (2): i = F/P - 1, entonces: i = 4,380,000/3,560,000 - 1= 23.03%. Como el período de liquidación de intereses es el semestre, la respuesta está dada en una tasa semestral; pero como se acordó hacer la comparación con una tasa efectiva anual, todavía falta encontrar ese valor con la fórmula (11): IE = (1 + i) n – 1, donde n = 2 semestres del año, por lo tanto: IE = (1 + 23.03%)2 – 1 = 51.37%. Por ser un interés efectivo anual también puede expresarse como 51.37% EA. El almacén A financia la compra del equipo de oficina a una tasa del 51.37% EA. Almacén B: DATO VALOR Período de liquidación de intereses mes Interés de período ( i ) 4% Tasa efectiva anual ( IE ) ??? La solución se plantea con la fórmula (11): IE = (1 + i)n – 1, donde n = 12 meses del año, por lo tanto: IE = (1 + 4%)12 – 1 = 60.10%. Por ser un interés efectivo anual también puede expresarse como 60.10% EA. El almacén B financia la compra del equipo de oficina a una tasa del 60.10% EA. Estas dos tasas efectivas anuales son comparables y por lo tanto puede decirse que el almacén B cobra una financiación más costosa. Nótese en el ejemplo anterior, que para el caso del almacén B no fue necesario conocer ni el precio, ni el plazo, ya que se buscaba hacer una comparación de tasas de interés. El ejemplo anterior se podría resolver de una manera más rápida, de la siguiente forma: ALMACÉN A i = F / P –1 i = 4,380,000 / 3,560,000 – 1 = 23.03% semestral Por ser ésta la tasa del período de liquidación de intereses, ésta ya es una tasa efectiva semestral ALMACÉN B Hay que encontrar la tasa efectiva semestral que se pueda comparar con la tasa encontrada para el almacén A: IE = (1 + i)n – 1, donde n = 6 meses del semestre. IE = (1 + 4%)6 – 1 = 26.53% semestral La dificultad de esta solución, es que no es muy común hablar de tasas efectivas semestrales, entonces por conveniencia se recurre a la tasa efectiva anual. 28 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses 1.5 Interés vencido y anticipado El período de liquidación de la tasa de interés siempre reúne un lapso de tiempo y dependiendo de cuál sea el momento, durante ese lapso, en que se liquiden los intereses, éstos tendrán un tratamiento diferente: Si los intereses se liquidan al final del período, se habla de interés vencido. Si los intereses se liquidan al inicio del período, se habla de interés anticipado. 1.5.1 Interés vencido El interés vencido o tasa de interés vencido es la forma tradicional de liquidar los intereses, ya que éstos se pagan, adeudan o capitalizan al finalizar el período de liquidación. Todos los ejemplos y las fórmulas presentados hasta ahora, han tratado sobre intereses vencidos. Cuando el interés es vencido, no se requiere aclarar su forma de pago. Por lo tanto, cuando se habla del 3% mensual, debe entenderse que es interés vencido. 1.5.2 Interés anticipado El interés anticipado o tasa de interés anticipado es cuando los intereses se pagan, adeudan o capitalizan al inicio del período de liquidación, para este caso se debe utilizar una fórmula especial para calcular la tasa efectiva de varios períodos. Cuando el interés se liquida anticipadamente hay que aclararlo en la tasa nominal que anuncia el negocio, por ejemplo, debe decirse el 24% anual con liquidación trimestral anticipada o 24% anual TA. La fórmula general del interés anticipado se deduce de la siguiente gráfica: 29 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel F=P n, i% 0 1 2 3 Como se aprecia, en el período cero el flujo es P – I debido a que si los intereses se liquidan anticipadamente, el valor desembolsado en un préstamo, por ejemplo, no será P si no P – I, donde I son los intereses del primer período de liquidación; el valor final en el período n es F pero en este caso particular será igual a P. Utilizando los conceptos que ya se conocen con el interés vencido, pero aplicándolos al interés anticipado, se tiene: Si en el interés vencido se definió en la fórmula (2) que , utilizando los va- lores del gráfico anterior, se tiene para el caso del interés anticipado: además se sabe que I = iP, por lo tanto: anticipado F = P, por lo tanto: pero pero en el interés , ésta es la fórmula para encontrar la tasa de interés de un período, generalizando se llega a la fórmula de la tasa de interés efectiva para varios períodos, cuando el interés se liquida anticipado: (13) donde IE i n interés efectivo de n períodos. interés efectivo de 1 período (debe ser el del período de liquidación). número de períodos que se acumulan. Ejemplo No. 1.30 Si una entidad financiera anuncia una inversión con un interés del 15% anual liquidado por trimestre anticipado (15% TA), cuál será la tasa de interés efectiva anual? La solución se plantea así: 30 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses DATO VALOR Forma de pago del interés anticipada Período de liquidación de intereses trimestre Plazo del negocio 1 año 12 meses del año / 3 meses del trimestre = 4 Número de períodos de capitalización ( n ) Tasa de interés nominal 15% anual Tasa de interés del período de liquidación i = 15% / 4 = 3.75% Interés efectivo anual ??? Utilizando la fórmula (12) IE = (1 – i)-n - 1 = (1 – 3.75%)-4 - 1 = 16.52% efectivo anual. Conociendo la tasa efectiva de varios períodos (IE) y se quiere conocer la de un período aplicada de forma anticipada ( ia ), se debe despejar de la fórmula (13) ia = 1 - (1 + IE)- 1/n (14) Ejemplo No. 1.31 Cómo se comparan la tasa efectiva de los intereses vencidos y anticipados teniendo en cuenta diferentes períodos de liquidación de intereses? Para estudiar este problema se parte de una tasa nominal común para encontrar las diferentes efectivas según los períodos de liquidación, en este caso se parte de una tasa nominal del 24% y se busca la efectiva, tanto vencida como anticipada, para los períodos mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual. Los resultados se presentan en el cuadro y el gráfico siguientes. PERÍODOS VENCIDO ANTICIPADO 12 mensual 26.8% 27.4% 6 bimestral 26.5% 27.8% 4 trimestral 26.2% 28.1% 2 semestral 25.4% 29.1% 1 anual 24.0% 31.6% 31 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 34% 24% 32% 30% 28% 26% 24% 22% 20% En el ejercicio anterior se aprecia que la tasa anticipada y la vencida, cuando el período de liquidación es corto, parten de un valor similar, pero a medida que los períodos de capitalización se hacen más largos en tiempo, las tasas tienen tendencias diferentes: a) En el interés vencido, a medida que la capitalización es más espaciada, hace que su tasa efectiva disminuya, hasta llegar a ser igual a la nominal, cuando hay un solo período de capitalización. Esto ocurre porque los intereses sólo se pueden capitalizar cuando se reciben (ya que son vencidos), por lo tanto entre menos cantidad de veces se reciban intereses en un año, existe menos oportunidad de reinvertirlos. El caso extremo es cuando los intereses se pagan año vencido y por lo tanto no se pueden reinvertir, ya que el período ha terminado; en el pago semestre vencido se puede reinvertir una sola vez. b) En el interés anticipado, la tasa efectiva aumenta a medida que se hacen más espaciados los pagos, ya que se puede reinvertir por mayor tiempo. Por ejemplo, en el caso del interés pagado año anticipado se recibe todo el interés al inicio del período y se puede reinvertir durante todo el plazo; cuando se paga semestre anticipado se pueden hacer dos reinversiones. 1.6 Tasas especiales Debido a que en los mercados financieros se utilizan algunas tasas especiales para liquidar negocios, (para calcular el valor futuro de deudas, proyectar precios, liquidar créditos, estimar el valor del salario mínimo, definir la bondad de un negocio, etc.), es muy importante conocer aspectos de tres de estas tasas: la inflación, la devaluación y la tasa de interés de oportunidad del inversionista (TIO). 32 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses 1.6.1 Tasa de inflación La inflación es la tasa a la que aumenta el nivel general de precios de una economía, también puede decirse que es la pérdida de poder de compra de la moneda a nivel interno. Sobre la inflación es muy importante aclarar que siempre se presenta como tasa efectiva, cualquiera que sea el período en que se mida. Si se dice que la tasa de inflación esperada para el próximo año es del 10% o si se dice que la tasa de inflación de los últimos tres meses es del 3.3%, en ambos casos se está mencionando una tasa efectiva; en el primer caso una tasa efectiva anual y en el segundo una tasa efectiva trimestral. Para efectos de las fórmulas vistas hasta el momento, la tasa de inflación tendrá el mismo comportamiento que la tasa de interés del período de liquidación ( i ), pero se denotará como IPC Ejemplo No. 1.32 Si un producto se vende hoy a $5,000 la libra, y su precio se reajusta trimestralmente de acuerdo con la tasa de inflación, hacer una proyección del precio para el próximo año, si se estima que la inflación será del 10% anual. El precio del producto en cada trimestre será igual a F = P (1 + i), donde P cambia cada trimestre, tomando el valor inmediatamente anterior. Nuevamente se tiene que resolver primero el problema de encontrar el valor de la tasa del período (i) que se utiliza en la fórmula. Como se tiene una tasa del 10% EA, si se quiere encontrar la tasa de un trimestre, se recurre a la fórmula (12): i = (1 + IPC) 1/n - 1, reemplazando para n = 4 se tiene i = (1 + 10%)1/4 - 1 = 2.41% de inflación trimestral. Conociendo la tasa del período, se puede construir la tabla para proyectar el precio del producto en el próximo año, así: TRIMESTRE PRECIO INICIAL (P) FÓRMULA PRECIO FINAL (F) 1 5,000.0 F = P( 1 + i ) = 5,000.0 ( 1 + 2.41% ) 5,120.6 2 5,120.6 F = P( 1 + i ) = 5,120.6 ( 1 + 2.41% ) 5,244.0 3 5,244.0 F = P( 1 + i ) = 5,244.0 ( 1 + 2.41% ) 5,370.5 4 5,370.5 F = P( 1 + i ) = 5,370.5 ( 1 + 2.41% ) 5,500.0 Ejemplo No. 1.33 Una empresa presentó una demanda con la cual espera recibir $34,000,000 dentro de dos años, y desea saber a cuánto equivale en pesos de hoy, si la inflación futura se estima en 8% anual? 33 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel La solución se plantea así: DATO VALOR Período de liquidación de intereses anual Plazo del negocio 2 años Número de períodos de capitalización ( n ) 2 Tasa de interés del período IPC = 8% EA Valor futuro ( F ) $34,000,000 Valor presente ( P ) ??? Utilizando la fórmula (7) se puede encontrar el valor de P = F (1 + i) –n= 34,000,000 (1 + 8%)-2=29,149,520. Entonces, $34,000,000 dentro de dos años equivalen a $29,149,520 en pesos de hoy con una inflación 8% anual. 1.6.2 Tasa de devaluación La devaluación, es la tasa a la que aumenta el precio de la moneda de otro país con el que se tiene comercio, también puede decirse que es la pérdida de poder de compra de la moneda a nivel externo. La devaluación es una tasa efectiva, cualquiera que sea el período en que se exprese. Para efectos de las fórmulas vistas hasta el momento, la tasa de devaluación tendrá el mismo comportamiento que la tasa de interés del período de liquidación (i), pero se denotará como dv. Ejemplo No. 1.34 Si el tipo de cambio es de $2,500 por dólar y se espera una devaluación del 0.8% para el próximo mes, cuál será el tipo de cambio dentro de quince días? Aquí se presentan dos problemas: conocer la devaluación de quince días si la del mes es de 0.8% y calcular el tipo de cambio que se pide. Hay que resolverlos consecutivamente: La solución del primer problema se plantea así: DATO Período de liquidación de intereses Plazo de la tasa original Número de períodos de capitalización ( n ) Tasa efectiva del plazo Tasa del período de capitalización 34 VALOR quincenal 1 mes 30 días del mes / 15 días de la quincena = 2 0.8% ??? JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses Se debe recurrir a la fórmula (12) i = (1 + IE)1/n-1, para encontrar la tasa de interés del período, que en este caso sería la tasa de devaluación de la quincena dv = (1 + 0.8%)1/2-1= 0.3992%. Conociendo la tasa de devaluación del período, se puede resolver la segunda parte que es calcular el tipo de cambio con la fórmula tradicional F = P (1+ i), en este caso: F = 2,500 (1 + 0.3992%.) = 2,510. Se estima que dentro de 15 días el tipo de cambio será de $2,510 por dólar. Ejemplo No. 1.35 Si una empresa debe pagar una deuda de 7,500 dólares dentro de tres meses, cuánto tendrá que desembolsar en pesos, si el tipo de cambio hoy es de $2,450 por dólar y se estima una devaluación anual del 14%? Este problema debe dividirse en tres partes: calcular la tasa de devaluación del período, calcular el tipo de cambio estimado para dentro de tres meses y calcular el valor de la deuda en pesos. Para calcular la tasa de devaluación del período, el primer problema se plantea así: DATO Tasa efectiva anual de devaluación (IE) VALOR 14% EA Período de liquidación de intereses trimestre Plazo de la tasa original 1 año Número de períodos de capitalización ( n ) 12 meses del año / 3 mes del trimestre = 4 Tasa del período de capitalización ( dev ) ??? Utilizando la fórmula (12) dev=(1+IE)1/n-1 se puede encontrar la tasa de devaluación del trimestre así: dev = (1 + 14%)1/4-1 = 3.33% devaluación trimestral Para calcular el tipo de cambio estimado para dentro de tres meses, el segundo problema se plantea así: DATO Tasa del período de capitalización ( dev ) Período de liquidación de intereses Plazo del negocio Número de períodos de capitalización ( n ) Tipo de cambio presente ( P ) Tipo de cambio futuro ( F ) VALOR 3.33% trimestral trimestre 1 trimestre 1 2,450 ??? 35 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Se soluciona utilizando la fórmula tradicional de: F = P (1+ dev) = 2,450 (1 + 3.33%) = 2,531.59 Finalmente, se resuelve el problema planteado que es encontrar cuánto valen 7,500 dólares dentro de tres meses: 7,500 * 2,531.59 = $18,986,925. La solución se podría plantear en una sola ecuación así: Deuda futura en pesos = deuda en dólares [tipo de cambio (1 + devaluación anual) 1/n] Deuda futura en pesos = 7,500 [ 2,450 (1 + 14%) 1/4] = $18,986,925 1.6.3 Tasa de interés de oportunidad La tasa de interés de oportunidad (TIO) es un concepto teórico utilizado en las finanzas para que cada inversionista o empresa evalúe las diferentes alternativas de inversión que se le presentan. El concepto se basa en el costo de los recursos que se emplean en un negocio y en las oportunidades de inversión que tiene cada inversionista. Siempre se espera que un negocio produzca rendimientos superiores al costo de los recursos que se emplearon para llevarlo a cabo, de lo contrario el negocio producirá pérdidas. Se dice entonces que la tasa de oportunidad que se emplee para evaluar una inversión debe ser como mínimo igual al costo de capital. Pero con rendimiento por encima de ese costo de capital pueden haber muchas inversiones, por lo tanto debe también considerarse en cuáles de ellas se puede invertir, es decir en cuales se tiene oportunidad de participar. La oportunidad de inversión depende de la persona que esté evaluando el negocio y en ella entran los conocimientos y la propensión al riesgo del inversionista. Un ganadero conoce su negocio y difícilmente tendrá la oportunidad de entrar en un negocio de importación de maquinaria, a menos que quiera asumir el riesgo de entrar a un negocio desconocido. Por lo tanto, la tasa de oportunidad es una tasa subjetiva que depende de las circunstancias particulares del inversionista (sea persona o empresa), pero es la que cada uno tiene en cuenta para evaluar las inversiones en que quiere entrar. Ejemplo No. 1.36 Un negociante que en sus inversiones tiene la oportunidad de ganarse el 45% EA, tiene disponibles $20,000,000; si se le plantea un negocio diferente en el cual invierta su capital y al cabo de seis meses recibiría $24,000,000, debe aceptarlo? 36 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses El problema se plantea así: DATO VALOR Valor presente ( P ) 20,000,000 Valor futuro ( F ) 24,000,000 Período de liquidación de intereses semestre Plazo del negocio 1 semestre Tasa de interés del período ??? Se debe encontrar la tasa del período utilizando i = F/P - 1 = 24,000,000 / 20,000,000 - 1 = 20%, semestral. la fórmula (2) A partir de esta tasa del período se encuentra la tasa efectiva anual con la fórmula (11) EA = (1 + i)n - 1 para n = 2 e i = 20%, así: EA = (1+ 20%)2 - 1 = 44% Si el negociante tiene la oportunidad de invertir al 45% EA, hacer este negocio, aunque le representan una utilidad de $4,000,000, es un mal negocio ya que sólo le paga un interés del 44% EA, por lo tanto estaría dejando de ganar frente a las oportunidades de negocio que normalmente tiene. 1.7 Tasas compuestas En muchos casos a una inversión o un crédito se le aplica más de una tasa de interés, por lo tanto el valor del interés liquidado es producto de la acción simultánea de estas tasas; en estos casos se habla de tasas compuestas. Los casos más comunes son los negocios que se hacen con la DTF, los créditos de vivienda en UVR y los negocios en moneda extranjera. A continuación se presentan las fórmulas para calcular estos casos: 1.7.1 DTF La DTF es la tasa de interés promedio de captación de los depósitos a término fijo a 90 días, expresada en trimestre anticipado, que es reportada semanalmente por los establecimientos de crédito al Banco de la República. Se utiliza cuando no se quiere establecer una tasa de interés fija para un negocio, pues la tasa cambia cada semana reflejando el costo del dinero en la economía; como es una tasa de captación se le suman unos puntos (margen) para manejarla como una tasa de colocación. Por ejemplo, un crédito se puede anunciar a una tasa del DTF + 8 puntos. Hay dos formas generales de manejar la DTF más el margen por parte de los establecimientos de crédito: cuando el margen se considera puntos nominales y cuando el margen se considera puntos efectivos. a) Cuando el margen se considera puntos nominales 37 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel En este caso basta con sumar los puntos a la DTF trimestre anticipado y realizar los cálculos necesarios. La tasa resultante se sigue considerando trimestre anticipado y se maneja como tal. Ejemplo No. 1.37 Cuánto debe pagarse de intereses trimestre anticipado en un crédito de $13,250,000, concedido por un banco a tres años a una tasa de DTF más un margen de 8 puntos nominales (DTF + 8), si el DTF a la fecha es de 12% TA? Los intereses que se deben pagar son I= iP, nuevamente se aprecia que primero se debe encontrar la tasa de interés del período de liquidación (i) utilizando la fórmula (10) i = IN/n = (DTF + 8%)/4 = 20%/4 = 5%. Conocida la tasa del período se reemplaza en la fórmula así: I = 5% (13,250,000) = 662.500 En este ejemplo se aprecia que no importa que la tasa DTF se exprese en términos anticipados, las fórmulas son las mismas, sólo que si los puntos son nominales deben sumarse a la tasa nominal de interés DTF. Ejemplo No. 1.38 Si se hace un depósito por un trimestre a DTF + 4, cuál será la tasa efectiva anual de la inversión, si la DTF es de 13% TA? Primero debe conocerse i con la fórmula i = IN / n = (DTF + 4%) / 4 = 4.25% trimestral anticipado. Como la DTF es una tasa anticipada, se debe utilizar la fórmula (13) que sirve para encontrar la tasa efectiva de un interés anticipado: IE = ( 1 – i ) –n - 1 = ( 1 – 4.25%) –4 - 1 = 18.97%. La fórmula para encontrar la tasa efectiva de interés anual (EA), cuando a la DTF se suman puntos nominales es: (15) b) Cuando el margen se considera puntos efectivos. En este caso se calcula la tasa efectiva a partir de la DTF TA y a ese resultado se suman los puntos efectivos del margen. Esta operación, aunque no es matemáticamente correcta, es una costumbre del sector financiero y muchos bancos liquidan así los intereses. Ejemplo No. 1.39 Cuál es el margen efectivo que debe sumarse a un crédito que se otorga a DTF + 4, si hoy la DTF es de 11.5%? 38 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses El problema se resuelve en dos pasos: Primero se encuentra la tasa efectiva del DTF con margen igual que en el ejemplo No. 1.38 ; segundo la tasa efectiva del DTF sin margen. La diferencia, se consideran los puntos efectivos, así: Primer paso: DTF efectivo con margen a 17.13% EA Segundo paso: DTF efectivo sin margen 12.38% EA DIFERENCIA (margen efectivo) 4.75% EA Entonces los puntos efectivos que se suman serán iguales a 4.75% EA. Para los períodos siguientes, el interés no se liquida con DTF TA + 4, sino con DTF EA + 4.75. El efecto de esta forma, mala forma de calcular los intereses se aprecia en el cuadro siguiente: CUANDO LA DTF AUMENTA DTF TA EFECTIVA CUANDO EL MARGEN ES: CUANDO LA DTF DISMINUYE DTF TA EFECTIVA CUANDO EL MARGEN ES: NOMINAL EFECTIVO NOMINAL EFECTIVO 11.50% 17.13% 17.13% 11.50% 17.13% 17.13% 12.00% 17.74% 17.71% 11.00% 16.52% 16.55% 12.50% 18.35% 18.29% 10.50% 15.92% 15.98% 13.00% 18.97% 18.88% 10.00% 15.32% 15.41% 13.50% 19.60% 19.47% 9.50% 14.72% 14.84% 14.00% 20.22% 20.07% 9.00% 14.13% 14.28% Del anterior cuadro se concluye que: Cuando la DTF aumenta, se cobra una menor tasa de interés con el sistema de sumar una tasa efectiva. Cuando la DTF disminuye, se cobra una mayor tasa de interés con el sistema de sumar una tasa efectiva. 1.7.2 UVR La Unidad de Valor Real es una forma de contabilizar los créditos de vivienda en Colombia, igual a la utilizada cuando existía el UPAC. Utilizan dos tasas para liquidar las cuotas: una tasa de interés que se aplica al saldo y la tasa de inflación para calcular la cotización de la UVR . 39 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como la tasa de inflación es una tasa efectiva, la tasa de interés que se utiliza para estos créditos también se expresa en términos efectivos anuales. Para este caso se emplea la siguiente fórmula para calcular la tasa efectiva del crédito: EA = (1+ IPC anual) (1 + i anual) - 1 (16) Ejemplo No. 1.40 Una corporación anuncia créditos para vivienda a UVR + 14% EA, cuál será la tasa de interés efectiva anual de los créditos, si la inflación se estima en 8% anual? Para estos casos se toma el término UVR como una tasa de interés, aunque no lo es, ya que se trata de una unidad de medida cuyo valor cambia con la inflación, por lo tanto se debe reemplazar UVR por IPC. Utilizando la fórmula (16) se tiene: EA = (1 + 8%) * (1 + 14%) - 1= 23.12% EA 1.7.3 PRIME / LIBOR Tanto el PRIME como el LIBOR son tasas que se utilizan en el exterior para liquidar créditos e inversiones, por lo tanto son las tasas que deben emplearse para liquidar créditos e inversiones en moneda extranjera. Ambas tasas tienen varias periodicidades de pago, pero normalmente se utiliza el semestre vencido para sus cálculos. En el exterior, a estas tasas se suma un margen nominal y cuando se quiere hacer la cuenta en pesos debe aplicarse también la devaluación, por lo tanto los cálculos sufren el efecto de tres tasas: la tasa de interés, el margen y la devaluación. La fórmula general para calcular una tasa efectiva será la siguiente: (17) Ejemplo No. 1.41 A qué tasa efectiva anual en pesos se adquiere un crédito de 7,000 dólares, si es otorgado a PRIME + 5? La devaluación esperada para el próximo año es del 15% y el PRIME está en un nivel del 4% SV. Aplicando la fórmula (17) se tiene: EA = (1 + (4% + 5%) / 2 )2 (1+ 15%) - 1 = 25.58% EA en pesos. Ejemplo No. 1.42 En el Ejemplo No. 1.41 cuánto debe contabilizarse como gasto de intereses en pesos, si se pagan semestralmente y el tipo de cambio actual es de $2,500 por dólar? 40 Capítulo 1: Intereses JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Si la tasa de interés del crédito en pesos es 25.58% EA, los intereses en pesos se calcularán sobre el saldo inicial de la deuda en pesos, con la tasa de interés de un semestre, así: Tasa del semestre i = (1 + EA)1/2 -1 = (1 + 25.58%)1/2 - 1 = 12.06%. Valor de los intereses I = i P = 12.06% (7,000 * 2,500) = 2,110,500 valor de los intereses en pesos de un semestre. La solución anterior reúne seis pasos: primero, encontrar la tasa de interés de un semestre; segundo, calcular los intereses en dólares; tercero, calcular la devaluación semestral; cuarto, proyectar el tipo de cambio a un semestre; quinto, convertir los intereses de dólares a pesos y sexto, calcular la diferencia en cambio de los saldos: 1. Tasa de interés del semestre: i = IN / n = (4% + 5%) / 2 = 4.5% semestral. 2. Intereses en dólares: I = i P = 4.5% (7,000) = 315 dólares semestrales. 3. Devaluación semestral: i = (1 + EA)1/2 - 1 = (1 + 15%)1/2 - 1 = 7.24% devaluación semestral. 4. Proyectar tipo de cambio: F = P ( 1 + dev semestral) = 2,500 ( 1+ 7.24%) = 2,680.95 pesos por dólar. 5. Convertir intereses de dólares a pesos: 315 * 2,680.95 = 844,500 pesos de intereses. 6. Diferencia en cambio del saldo: 7,000 (2,680.95) - 7,000 (2,500) = 1,266,500 intereses + diferencia en cambio de saldos = 844,500 + 1,266,500 = 2,111,000 (la diferencia frente al primer resultado se debe al manejo de los decimales). 1.8 La tasa de interés con la calculadora y el Excel Hasta ahora se han presentado las fórmulas de las tasas de interés, pero estas fórmulas pueden desarrollarse automáticamente en la calculadora financiera y, algunas de ellas, en la hoja de cálculo Excel. 1.8.1 Calculadora financiera En este libro se utiliza la calculadora financiera Hewlett Packard 19BII, a partir de la opción FIN del menú principal, dentro del cual se encuentran las siguientes opciones que tienen que ver directamente con las matemáticas financieras: VDT CONVI E.CAJ . Para efectos de calcular tasas de interés, se utiliza la opción CONVI a la cual se dedica esta parte del apéndice, ya que es la que sirve para convertir tasas de interés. Entrando por esta opción se encuentra la alternativa para seleccionar entre EFECT CONT , es decir, entre manejar interés efectivo o interés continuo. En este libro no se utiliza el interés continuo por lo tanto siempre se seleccionara la opción EFECT del interés efectivo. A su vez, esta opción presenta el siguiente menú, con su significado: 41 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel FIN CONVI Tasa de interés nominal • Es la tasa IN de la fórmula (10) de la página 22. EFECT %NOM • La tasa debe digitarse en porcentaje, no en decimales, por ejemplo, para 18% se debe digitar 18 y no 0.18. • Normalmente se utiliza la tasa nominal anual, pero puede utilizarse la de cualquier cantidad de períodos. Tasa de interés efectivo • Es la tasa IE de la fórmula (11) de la página 24. %EFE • La tasa debe digitarse en porcentaje. • Se utiliza la tasa efectiva anual, pero igual puede emplearse la de cualquier número de períodos. Número de períodos de capitalización P • Se expresa en la misma unidad de tiempo que tenga la tasa nominal o la efectiva. • Es el n utilizado en las fórmulas (10) y (11). • Cuando la tasa nominal se liquida de forma anticipada se debe digitar - n. A continuación se presenta la secuencia de pasos para encontrar la tasa de interés efectivo conociendo la nominal o encontrar la tasa de interés nominal conociendo la efectiva: Calcular la tasa efectiva Para calcular la tasa efectiva debe seguirse la siguiente secuencia: %NOM a) Digitar la tasa nominal conocida (IN), oprimir la tecla %NOM . b) Digitar el número de períodos de liquidación (n) que se acumulan en la tasa nominal y oprimir la tecla P en las tasas nominales anticipadas, este valor debe ser negativo. c) Oprimir la tecla %efe para obtener la respuesta de la tasa de interés efectivo (IE), capitalizando los intereses en todos los períodos de liquidación. La fórmula que utiliza la calculadora es una combinación de las fórmulas (10) y (11), así: (18) Ejemplo No. 1.43 Calcular la tasa efectiva anual de la tasa nominal 36% anual, liquidado mes vencido (36% MV): Siguiendo la secuencia se tiene: 1. Digitar 36, luego oprimir %NOM que es la tasa nominal expresada en porcentaje. 42 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses 2. Digitar 12, luego oprimir que es el número de períodos de P liquidación de interés que hay en el plazo en que se expresó la tasa de interés nominal (12 meses del año de la tasa nominal / 1 mes del período de capitalización). 3. Oprimir %EFE y se obtiene %EFE = 42.58 que es la tasa efectiva, expresada en el mismo plazo en que viene la tasa nominal, en este caso en un año. Calcular la tasa efectiva anual (EA) de las siguientes formas de pago de interés: Como se pide la tasa efectiva anual, se debe entrar en todos los casos la tasa nominal anual (NA). TASA FORMA DE PAGO OBSERVACIONES %NOM P %EFE 36 12 42.58 efectivo anual 3 * 12 12 42.58 entrar la NA 24 4 26.25 36.0% Anual año vencido 36 1 36 36.0% Anual año anticipado 36 -1 56.25 15.3 * 2 -4 37.48 36 2 39.24 36.0% Anual mes vencido 3.0% Mensual 24.0% 15.3% Anual trimestre vencido Semestral trimestre anticipado 36.0% Anual semestre vencido NA = EA n es negativo en anticipado Ejemplo No. 1.44 Calcular la tasa efectiva trimestral, de una inversión que paga el 9% trimestral liquidado mensualmente? Este es un caso en el cual no se busca la EA, sino la efectiva de un período diferente. Debe tenerse presente que el período de liquidación es el que determina la unidad de tiempo empleada: TASA FORMA DE PAGO OBSERVACIONES %NOM %EFE Trimestral mes vencido 9 P 9% 9.27 efectivo trimestral 18% semestral mes vencido 18 6 19.41 efectivo semestral 36% anual mes vencido 36 12 42.58 efectivo anual 3 Calcular la tasa nominal Para calcular la tasa nominal debe seguirse la siguiente secuencia: a) Digitar la tasa efectiva conocida (IE), oprimir la tecla %EFE . b) Digitar el número de períodos de liquidación (n) en que se quiere expresar la tasa nominal y oprimir la tecla P para las tasas nominales anticipadas, este valor debe ser negativo. 43 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel c) Oprimir la tecla %NOM para obtener la respuesta de la tasa de interés nominal (IN), en los períodos de capitalización de intereses que se desea expresar. La fórmula que utiliza la calculadora se deduce de la fórmula (18), así: (19) IN = n [(1 + IE) 1/n - 1] Ejemplo No. 1.45 Calcular la tasa nominal anual que liquidada por mes vencido, arroja una efectiva anual de 45% (45% EA): Siguiendo la secuencia se tiene: 1. Digitar 45, luego oprimir %EFE que es la tasa efectiva conocida que es el número de períodos de 2. Digitar 12, luego oprimir P liquidación de interés en que se quiere expresar la tasa de interés nominal. 3. Oprimir %NOM y se obtiene %NOM = 37.74 que es la tasa nominal, expresada en el plazo en que se desea, en este caso en un año, con liquidación mensual de intereses. Si se tienen las siguientes tasas efectivas por el período indicado, ¡cuál será la tasa nominal anual de acuerdo con la forma de pago especificada? TASA EFECTIVA PERÍODO FORMA DE PAGO %EFE P %NOM OBSERVACIONES 43.5% Anual Mes vencido 43.5 12 36.66 36.66% MV 43.5% Anual Trimestre vencido 43.5 4 37.80 37.80% TV 12.0% Trimestral Mes vencido 12 3 11.54 * 4 46.20% MV 6.0% Trimestral Trimestre vencido 12 1 6*4 24.00% TV 26.3% Anual Trimestre anticipado 26.3 -4 22.68 22.68% TA 12.0% Semestral Trimestre vencido 12 2 11.66 * 2 23.32 TV Anual Mes anticipado 36 - 12 31.15 31.15% MA Trimestral Mes anticipado 9 -3 8.5 * 4 33.98% MA 36% 9% 1.8.2 Hoja de cálculo Excel La hoja de cálculo Excel tiene dos funciones que sirven para convertir tasas de interés efectivas en nominales y viceversa; la función INTERÉS EFECTIVO y la función TASA NOMINAL. Estas funciones utilizan la tasa de interés en decimales al igual que las fórmulas y no en porcentaje como lo hace la calculadora. 44 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Intereses Función financiera INTERÉS EFECTIVO Devuelve la tasa de interés efectiva, si se conocen la tasa de interés nominal y el número de períodos de capitalización de interés que hay en el plazo en que se exprese la tasa nominal. Esta función utiliza dos argumentos, así: INTERÉS EFECTIVO(int. nominal, núm. per. año) Donde: Núm. per. año Es la cantidad de períodos de capitalización de interés que hay en el plazo de la tasa nominal . Int. nominal Es la tasa de interés nominal expresada en términos decimales. Hay que tener especial cuidado con esta función, ya que sólo produce resultados confiables cuando la cantidad de períodos de pago en el año (núm. per. año) tiene valores exactos, por ejemplo mensual (12), trimestral (4), semestral (2) o anual (1). Cuando los períodos son irregulares, este argumento se trunca a entero y el resultado no es real, tal como se aprecia a continuación: El resultado de la celda F7 no es real, por que la función del Excel trunca el número de períodos de capitalización y utiliza n=9, en vez de n=9.9 como es correcto. Tanto las fórmulas como la calculadora arrojan el resultado real. Función financiera TASA NOMINAL Devuelve la tasa de interés nominal, si se conocen la tasa de interés efectiva anual y el número de períodos de capitalización de interés que se desea acumular. 45 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel TASA NOMINAL(tasa efectiva, núm per) Donde: Núm per Es la cantidad de períodos de capitalización de interés que hay en el plazo de la tasa nominal. Tasa efectiva Es la tasa de interés efectiva expresada en términos decimales. Esta función presenta el mismo problema de la anterior. Hay que ser muy cuidadoso con el uso de las funciones financieras INTERÉS EFECTIVO y TASA NOMINAL del Excel, ya que truncan a enteros el argumento núm per año, arrojando por lo tanto resultados erróneos. Por ejemplo si en un problema el período de pago es de 87 días, estas funciones trabajarán con n = 4 y no con n = 4.19 como es correcto. # Estas funciones se limitan a calcular el interés efectivo o nominal en el caso del pago de intereses vencidos. Si el problema se refiere a intereses anticipados el Excel no ofrece ninguna solución. Si se quiere tener solución a este problema, deben utilizarse las funciones personalizadas que puede descargar del SIL de la editorial, en el cual a las funciones TASA EFECTIVA y TASA NOMINAL se les ha agregado el argumento tipo para aclarar si el interés es vencido (0) o anticipado (1). Función personalizada TASA EFECTIVA Devuelve la tasa de interés efectiva en un plazo determinado, si se conocen la tasa de interés nominal del mismo plazo y el número de períodos de capitalización de interés. TASA EFECTIVA(nominal, núm per, tipo) Donde: 46 Núm per Es la cantidad de períodos de capitalización de interés que hay en el plazo total de la inversión. Nominal Es la tasa de interés nominal del plazo total de la inversión expresada en términos decimales. Tipo Es un indicador para definir la modalidad de pago de los intereses. Defina tipo como Si el interés se paga 0 ó se omite Al final del período 1 Al principio del período Capítulo 1: Intereses JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA En estas funciones personalizadas, el argumento núm per no se trunca a enteros como ocurre con la función INTERÉS EFECTIVO que viene con el Excel, por lo tanto es confiable en cualquier caso corriente del mercado financiero, como puede apreciarse a continuación: Ejemplo No. 1.46 ¿Cuál es la tasa efectiva anual de una inversión a 95 días que paga el 27% nominal anual? Como se puede apreciar, el resultado que arrojan las dos funciones es diferente, siendo errado el ofrecido por la función financiera que viene con el Excel, debido a que trunca a 3 el valor que aparece en la celda B17, que realmente es 3.8. Una forma de comprobar que la función personalizada arroja un valor confiable, es calculando la tasa efectiva anual utilizando la fórmula. En caso de tratarse de intereses pagados por anticipado, basta con colocar en el argumento tipo el valor 1 y la función personalizada utiliza otra fórmula, esto es imposible en el caso de las funciones financieras del Excel, que para convertir tasas no pueden trabajar con intereses anticipados. Función personalizada TASA NOMINAL Devuelve la tasa de interés nominal en un plazo determinado, si se conocen la tasa de interés efectiva del mismo plazo y el número de períodos de capitalización de interés. TASA NOMINAL (efectiva, núm per, tipo) 47 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Donde: Núm per Es la cantidad de períodos de capitalización de interés que hay en el plazo total de la inversión. Efectiva Es la tasa de interés efectiva del plazo total de la inversión. Tipo Es un indicador para definir la modalidad de pago de los intereses Defina tipo como Si el interés se paga 0 ó se omite Al final del período 1 Al principio del período Esta función opera de manera similar a la anterior y en el caso de las funciones personalizadas tiene las mismas ventajas sobre la función TASA NOMINAL del Excel: no trunca a enteros el número de períodos y puede trabajar con intereses pagados por anticipado. 48 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Resumen Resumen del capítulo El objetivo de este capítulo era aclarar los conceptos básicos de las matemáticas financieras, iniciando con las definiciones de interés y tasa de interés: Interés, es el precio del dinero cuando se utiliza como capital, ya que éste debe tener una retribución como ocurre con todos los recursos (el salario para el trabajo o la renta para la tierra); el capital invertido puede ser cualquier recurso (dinero, maquinaria, finca raíz, semovientes), lo importante es valorarlo en dinero para efectuar los cálculos. Tasa de interés, es la relación matemática entre el monto del interés y el monto del capital invertido. De los conceptos anteriores se generó la fórmula (3) I = i P que se utilizará permanentemente a lo largo del libro. También se presentó el diagrama de flujos de efectivo, que es la representación gráfica de las entradas y salidas de efectivo de un negocio. Estos diagramas se utilizan para “dibujar” los problemas, de manera que se facilite su planteamiento y por lo tanto su solución. Dentro de los flujos de efectivo más importantes se plantearon el valor presente y el valor futuro: Valor presente, es el monto con el que inicia un negocio (inversión inicial), se puede ubicar cronológicamente en el pasado o en el futuro, dependiendo de cuándo se inicie el negocio. Valor futuro, es el monto que se recibirá cuando termine el negocio. En el valor futuro están involucrados los intereses (utilidad) que produce el negocio. Hasta aquí, se puede plantear la fórmula (4) F = P (1 + i) Trabajados los conceptos anteriores, fue posible entrar a casos particulares como es la forma de liquidar y pagar los intereses, en general existen tres formas: a) Liquidarlos y pagarlos en ese mismo momento, caso en el cual no se presenta ningún problema. b) Liquidarlos y no pagarlos, para quedarlos debiendo como intereses en una cuenta independiente, este es el caso del interés simple. c) Liquidarlos y no pagarlos, para sumárselos al capital inicial o capitalizarlos, este es el caso del interés compuesto. Interés simple, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo se toma como base únicamente el capital, ignorando los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. Interés compuesto, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo se toma como base el capital más los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. Como normalmente se hacen los negocios capitalizando los intereses surge la fórmula (6) F = P (1 + i)n . 49 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como los intereses se pueden liquidar de variadas formas y periodicidades, es importante contar con una herramienta para comparar tasas de interés, para ello se utilizan los conceptos de interés nominal y efectivo: Interés nominal, es la tasa de interés que se utiliza para anunciar los negocios; debido a que cada negocio puede tener las condiciones que quieran concertar las partes, es necesario aclarar el plazo y el período de liquidación. Interés efectivo, es el que realmente se paga o se obtiene en un negocio durante un período liquidación de intereses. Para conocer el interés de varios períodos se debe suponer que los rendimientos que se obtienen en cada período se capitalizan durante todo el plazo, en las mismas condiciones pactadas al inicio del negocio. Con estos conceptos se obtuvo la fórmula (11): IE = (1 + i)n - 1 También es importante saber cuándo se pagan los intereses: vencidos o anticipados. Interés vencido, cuando los intereses se pagan, adeudan o capitalizan al finalizar el período de liquidación. Cuando el interés es vencido no se requiere aclarar su forma de pago. Por lo tanto, cuando se habla del 3% mensual, debe entenderse que es interés vencido. Interés anticipado, cuando los intereses se pagan, adeudan o capitalizan al inicio del período de liquidación. Para calcular el interés efectivo cuando se paga vencido, se utiliza la fórmula (11), pero cuando se paga anticipado se utiliza la fórmula (13): IE = (1 - i)-n - 1 Conociendo estos conceptos básicos, se presentaron algunas tasas especiales utilizadas para efectuar cálculos en el mercado financiero: Inflación, es la tasa a la que aumenta el nivel general de precios de una economía o la pérdida de poder de compra de la moneda a nivel interno. La inflación es una tasa efectiva. Devaluación, es la tasa a la que aumenta el precio de la moneda de otro país con el que se tiene comercio o la pérdida de poder de compra de la moneda a nivel externo. La devaluación es una tasa efectiva. Tasa de interés de oportunidad (TIO), es un concepto teórico utilizado en las finanzas para que cada inversionista evalúe las alternativas de inversión que se le presentan. El concepto se basa en el costo de los recursos que se emplean en un negocio y en las oportunidades de inversión que tiene cada inversionista. 50 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Ejercicios DTF, es la tasa de interés promedio de captación de los depósitos a término fijo a 90 días, expresada en trimestre anticipado, utilizada en Colombia para establecer una tasa variable en los negocios. UVR o Unidad de Valor Real, utilizada para los créditos de vivienda en Colombia. PRIME y LIBOR, son tasas de interés externas, por lo tanto son las tasas que deben emplearse para liquidar créditos e inversiones en moneda extranjera. Finalmente se muestra como trabajar los conceptos anteriores con la calculadora financiera y con la hoja de cálculo Excel Cuestionario de autoevaluación 1. a Exprese claramente la diferencia entre interés y tasa de interés Interés simple y compuesto. Interés nominal y efectivo. Interés vencido y anticipado. Plazo y período. 1. b Para resolver un problema de matemáticas financieras, cuál de las siguientes unidades de tiempo es la que determina la solución y por qué? En la que se exprese la tasa de interés. En la que se exprese la duración del negocio. El período de liquidación de los intereses. La tasa efectiva anual. En la que se exprese la tasa nominal anual. 1. d Cuando se habla de valor presente, se está refiriendo a un valor en pesos de hoy; si o no y por qué? 1. e Cuáles son las tres condiciones que se pueden pactar con el pago de los intereses en cada período de liquidación? 1. f Por qué se dice que comercialmente siempre se utiliza el interés simple para liquidar los intereses? 1. g Cuál es el supuesto implícito en el cálculo de la tasa de interés efectiva? 1. h Para proyectar el tipo de cambio, cuál fórmula debe emplearse y por qué? 1. i Cuál es la periodicidad y forma de pago de la DTF, cuando se expresa como una tasa nominal? 1. j Cómo debe digitarse en la calculadora financiera el número de períodos de liquidación, cuando se trabaja con tasas anticipadas? 1. k Cuál es la principal dificultad que presentan las funciones financieras del Excel para el cálculo de tasas nominales y efectivas de interés? 51 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejercicios propuestos 1.1 Identificar i, I, F, P, n en los siguientes negocios: Un préstamo de un millón de pesos que paga, seis meses después, $1,150,000. Se compra un apartamento de $35 millones y dos años después se vende por $42 millones. Hoy hay que pagar $850,000 por un préstamo recibido hace ocho meses al 3.5% bimestral. Se vende un vehículo por $ 12 millones, que fue comprado hace 18 meses por $10.5 millones. Para la construcción de un edificio, una persona aporta un lote avaluado en $80 millones y 15 meses después le pagan con dos apartamentos de $50 millones cada uno. 1.2 Elabore el diagrama de flujos de efectivo de los siguientes negocios: Un ganadero vende un lote de ganado por $18 millones, el cual había comprado hace seis meses por $10 millones y en los meses 2 y 4 tuvo que aportar para gastos $1.5 millones en cada uno. Hoy se depositan $100,000 en una cuenta de ahorros y se espera seguir ahorrando cada mes el doble del mes anterior durante cuatro meses. Un televisor de $850,000 se compra así: cuota inicial de $250,000 y tres cheques a 30, 60 y 90 días de $225,000 cada uno. 1.3 Represente en un diagrama los siguientes flujos de efectivo: PERÍODO INGRESO 0 1 2,000,000 1,200,000 2 3a7 8 EGRESO 300,000 1,200,000 1,200,000 2,850,000 PERÍODO 0 FLUJO - 15,000,000 1a6 1,500,000 7 a 12 650,000 13 - 3,000,000 14 -5,000,000 9 a 12 800,000 15 a 17 13 a 15 500,000 18 7,500,000 12,800,000 1.4 Cuánto se debe pagar durante un mes por un préstamo de $350.000 a una tasa de interés: a) al 2.5% mensual, b) al 27% anual, c) al 6% trimestral. 1.5 Cuál es la tasa de interés anual que le pagan a una persona que concede un préstamo de $1.250.000 si: a) un año después le cancelan $1.600.000. 52 Capítulo 1: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA b) al cabo de cinco meses le cancelan $1.375.000. c) año y medio después le cancelan $1.850.000. 1.6 Cuál fue el valor inicial de un depósito bancario si: a) al año se retiran $5.000.000 y estaba al 8% trimestral. b) a los seis meses se retiran $3.000.000 y estaba al 2% mensual. c) al trimestre se retiran $500.000 y estaba al 24% anual. 1.7 En una cuenta de ahorros que abona los intereses al saldo y paga el 14% anual de interés, cuanto se reúne: a) al año con un depósito inicial de $1.000.000 e intereses semestrales. b) a los tres meses si se depositaron $85.000 y los intereses se abonan cada mes. c) al año si el depósito fue de $1.000.000 y los intereses son trimestrales. d) a los 18 meses con una inversión de $ 300.000 y capitalización trimestral de intereses. e) dentro de cinco años en un título de $ 750.000 e intereses mensuales. 1.8 Cuál es la tasa de interés anual que se recibe por conceder un préstamo: a) de $350.000 durante un año con interés trimestral si al final se reciben $494.000. b) de $35.000.000 si un trimestre después recibe $38.000.000 y el interés se ha capitalizado mensualmente. c) de $1.320.000 si se recibe $1.600.000 a los ocho meses y los intereses se cobran por bimestres. d) de $1.200.000 si a los quince meses recibe $ 1.393.160 y los intereses se capitalizaban mensualmente. e) si a los 72 días recibe $ 665.000, lo intereses se liquidan diariamente y había depositado $ 650.000. 1.9 Cuál fue el valor inicial de un préstamo si: a) después de un año se cobran $3.250.000 y los intereses del 26% anual se capitalizaban cada trimestre. b) a los seis meses hay que cancelar $28.000.000 a una tasa de interés del 3% capitalizado mensualmente. c) se pagan $145.000 a los dos meses y el crédito se concedió al 8% trimestral con interés mes vencido. d) 24 meses después paga $ 3.000.000 y el crédito era al 24% capitalizado por trimestres. e) a los 115 días paga $ 600.000 y el interés es del 3% mensual, liquidado diariamente. 1.10 Cuál es la mejor alternativa para una persona que tiene un millón de pesos libres durante seis meses: 53 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel a) Invertir al 0.8% mensual. b) Prestarlos y que le paguen $1,050,000. 1.11 Elabore la tabla de liquidación durante un año, de una inversión de $100.000 al 12% anual, pagadero por trimestre vencido, si los intereses se reinvierten en iguales condiciones. ¿Cuánto reúne al final del año? 1.12 Si una persona invirtió $600,000 en un fondo que paga al 1.2% mensual: a) ¿Cuánto tiempo se demorará para que pueda retirar $75,000 y siga con los mismos $600,000? b) ¿Qué tasa deben pagarle para hacer esa operación en 6 meses? 1.13 Si se recibe un crédito de dos millones de pesos: a) ¿A qué plazo fue concedido, si al 4% mensual se pagan $2.5 millones? b) ¿A qué tasa fue otorgado, si paga $2.3 millones a los seis meses? 1.14 Interpretar las siguientes tasas de interés y calcular: n, i y la unidad de tiempo del período de liquidación: 23.0% anual liquidado por semestres. 8.3% semestral liquidado mensualmente. 36.0% TV. 2.1% mensual. 7.5% trimestral con intereses causados diariamente. 0.2% diario. 1.15 Calcular la tasa efectiva anual de las siguientes formas de pago de interés: TASA FORMA DE PAGO 3.0% Mensual TASA FORMA DE PAGO 8.0% Trimestral 36.0% Anual mes vencido 12.0% Semestral 12.0% En 167 días 36.0% Anual semestre vencido 24.0% Anual trimestre vencido 24.0% Anual trimestre anticipado 36.0% Anual año vencido 36.0% Anual año anticipado 15.3% Semestral trimestre anticipado 16.0% Semestral 2.5% Mensual anticipado 6.5% En 85 días 42.5% Anual trimestre vencido 12.0% Anual semestre vencido 14.5% Semestral trimestre anticipado 36.0% 24.0% Anual mes vencido 18.0% Semestral 7.0% Trimestral Anual semestre anticipado 1.5% Mensual liquidado diario 32.0% 15.0% En 14 meses Semestral pagado por quincenas 1.16 Si se tienen las siguientes tasas efectivas por el período indicado, cuál será la tasa nominal anual de acuerdo con la forma de pago especificada. 54 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 1: Ejercicios TASA EFECTIVA PERÍODO FORMA DE PAGO 43.5% Anual Mes vencido 43.5% Anual Trimestre vencido 12.0% Trimestral Mes vencido 12.0% Trimestral Trimestre vencido 26.3% Anual Trimestre vencido 22.0% Semestral Bimestre vencido 22.0% Semestral Trimestre vencido 45.8% Anual Trimestre anticipado 26.3% Anual Trimestre anticipado 9% Semestral Semestre anticipado 43.5% Anual Mes anticipado 1.17 Defina claramente: interés nominal, interés efectivo, interés simple, interés compuesto, interés vencido e interés anticipado. 1.18 Explique la diferencia entre plazo de una inversión y período de capitalización. 1.19 Elabore una tabla con la tasa efectiva anual de una tasa de interés del 18% pagadero por mes, bimestre, trimestre, semestre y año vencido. Proceda igual para la tasa anticipada, grafique los resultados y saque conclusiones. 1.20 Si la tasa de inflación anual es del 12%, ¿qué tasa de inflación se debe aplicar para trabajar en meses y cuál si es en trimestres? 1.21 Si se dispone de $100,000 para invertir, cuál es la mejor opción: a) Al 24% TV. b) Al 23.5% MA. 1.22 Proyectar un sueldo de $400,000, durante un año, si el sindicato pide incrementos trimestrales según la inflación y ésta se estima en 8% anual. 1.23 La UVR dependen de la inflación y varía su cotización diariamente; si para este mes la cotización es de $200, ¿cuál sería la cotización de cinco días consecutivos, si la inflación es de 0.7% mensual? 1.24 Una empresa presentó una demanda por $1,200,000 hace cinco años y hoy recibió el fallo a favor, pero se debe actualizar el valor a pesos de hoy, según la inflación. Cuánto recibe la empresa, si la inflación de los últimos cinco años ha sido la siguiente: Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 15% 14% 10% 8% 8% 1.25 Una persona recibe un crédito de vivienda en UVR por $50 millones, si la cotización de la UVR, el día de la aprobación del crédito, era de $210, cuánto debe un mes después (en pesos y en UVR) si la inflación es del: 55 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 1% mensual. 3% trimestral. 6% semestral. 1.26 ¿Cuánto tiempo se demora en duplicar el precio de un artículo, si la Inflación es del 20% anual (cuánto si es del 1% mensual)? 1.27 Si un producto vale $12,000 la unidad, ¿cuánto valdrá dentro de dos años y medio, si la inflación es del 12% anual? 1.28 Hace 30 años un padre de familia ganaba $12,000 mensuales, a cuánto equivale en pesos de hoy si la inflación ha sido la siguiente: Año 1 a 10 Año 11 a 15 Año 16 a 20 Año 21 a 25 Año 26 a 30 25% 20% 28% 16% 10% 1.29 Un seguro de vida con ahorro ofrece entregar $600 millones dentro de 20 años, si la inflación se proyecta en 10% anual para ese período, ¿a cuánto equivale en pesos de hoy el monto del ahorro esperado? 1.30 US$ 50 de hoy con un tipo de cambio de $2,400 por dólar, ¿cuánto valdrán dentro de dos años si la devaluación es del 15% anual? 1.31 Si hace 15 meses con cien mil pesos una persona compró 50 dólares y hoy los puede vender por $120,000, ¿cuál fue la devaluación anual durante el período? 1.32 ¿Cuánto debo pagar de intereses en pesos, dentro de tres meses, por un crédito de US$ 1,000 al 10% EA, si la devaluación es del 12% anual y el tipo de cambio actual de $2,500 por dólar? 1.33 Cuál alternativa es mejor en un crédito a seis meses: a) US$ 1,250 a $2,400 cada uno, con interés del 2% mensual y devaluación del 14% anual. b) $3,000,000 para pagar $3,600,000. c) $3,000,000 al 3% mensual. 1.34 ¿Cuánto se demorará en duplicar su valor un ahorro en dólares, si la devaluación es del 14% anual? 1.35 Un negocio en el que se invierten $35.000.000, catorce (14) meses después genera $50.000.000. ¿Cuál es la rentabilidad efectiva anual? 1.36 Encontrar la tasa efectiva anual de las siguientes expresiones: DTF + 2 PRIME 7.57% 56 LIBOR + 8 DEVALUACIÓN 16.3% ANUAL PRIME + 5 DTF 12.5 % DTF + 3.5 LIBOR 5.96% Capítulo 1: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 1.37 Si se dispone de $1,000,000 para invertir, cuál es la mejor opción: a) Al 24% TV. b) A DTF + 8 si la DTF = 12% TA. c) A PRIME + 3 si la devaluación es del 12%. d) Al 23.5% MA. 1.38 Si se recibe un crédito de cinco millones de pesos: a) ¿A qué plazo fue concedido, si al DTF + 2 se pagan $5,631,000? b) ¿A qué tasa fue otorgado, si paga $5,767,000 a los ocho meses? 1.39 Cuánto se debe pagar durante un trimestre por un préstamo de $3,500.000 a una tasa de interés del: a) al 24% TA. b) DTF + 8 si DTF = 12% TA. c) PRIME + 4 si PRIME = 5% con devaluación del 12.5%. 1.40 Si una persona invirtió $6,000,000 en un bono que paga el 18% MV: a) ¿Cuánto tiempo se demorará para que pueda retirar $333,000 y siga con los mismos $6,000,000? b) ¿Cuál debe ser la tasa de interés para poder retirar $500,000 a los 6 meses y seguir con el mismo capital? 1.41 Cuál alternativa es mejor si la DTF = 11% TA y la devaluación es de 14%: a) DTF + 3 o ahorrar en dólares sin intereses. b) DTF +10 o 22% TV. 1.42 Cuánto ahorro después de siete meses si deposito $1.5 millones: a) En dólares con tipo de cambio de $2,500 por dólar y devaluación del 12%. b) En una cuenta de ahorros que paga el 18% MV. c) En una cuenta en dólares con intereses del 6% EA, si el tipo de cambio es $2,630 por dólar y la devaluación es del 14%. d) En una cuenta en pesos a DTF + 8 efectivo, si la DTF es de 12%. 1.43 Hace quince meses se hizo un depósito de $5 millones a PRIME + 2. Si el tipo de cambio era de $2,100 por dólar, ¿cuánto se tiene hoy de saldo, si la PRIME ha tenido un valor promedio de 5% durante el período? 144 Hace año y medio meses se hizo un depósito de $15,000,000 a PRIME + 3. Si el tipo de cambio era de $2,100 por dólar, ¿cuánto se tiene hoy de saldo, si la PRIME entre el mes 1 y el 8 fue del 7% en el plazo restante del 3%? 145 Una empresa tiene una deuda de $8,000,000 al 2% capitalizado mensualmente, para pagarla hizo un depósito de US$ 3,000 en una cuenta en el exterior que paga 5% MV, si el tipo de cambio actual es de $2,500 por dólar, y la devaluación anual se estima en 18%, ¿cuándo habrá ahorrado, lo suficiente para cancelar la deuda en pesos? 57 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 146 Resolver el problema anterior, pero preguntándose de cuánto debe ser la devaluación anual, para poder pagar la deuda en un año. 147 Una persona ha hecho tres compras con su tarjeta de crédito: a) $500,000 el 20 de agosto. b) $725,350 el 7 de septiembre. c) $380725 el 10 de octubre. Si se cobra el 3% mensual liquidado diariamente, ¿cuánto debe el 20 de noviembre, sin incluir la mora? 148 Hace seis meses una persona recibió un préstamo de un usurero por valor de $5,000,000, para pagar $8,145,000 con un plazo total de 10 meses. Hoy se quiere prepagar el crédito y el usurero le pide un valor de $6,900,000. Comparar las deudas en una tasa EA. 149 Una inversión que se duplica en 32 meses, a qué tasa se hizo? 150 Analizar la siguiente situación, desde el punto de vista del propietario: Un almacén anuncia un descuento del 20% por pago de contado o cargar el 3% mensual de financiación por compras a crédito. Para facilitar su solución, en todos los problemas de matemáticas financieras, el período de liquidación de los intereses deben coincidir con: las unidades en que se exprese el plazo y el período en que se exprese la tasa de interés. Si los tres no coinciden hay que ejecutar los pasos necesarios para que ello ocurra. Esto quiere decir que en todo problema de matemáticas financieras, en realidad existen dos problemas: el problema como tal, que se va a resolver y hacer coincidir el plazo y el período de expresión de la tasa de interés, con el período de liquidación de los intereses. Este último problema es el que primero debe resolverse. 58 CAPÍTULO 2 Equivalencia de tasas de interés Debido a la diversidad de tasas de interés que existe en los mercados financieros, encontrar la equivalencia entre tasas de interés es una tarea corriente en el medio financiero, por lo tanto en este segundo capítulo se trata todo lo relacionado con la equivalencia de tasas de interés a través de fórmulas, calculadora financiera y Excel. También se presenta un numeral con equivalencias especiales, en el cual se incluyen las compuestas. El capítulo contiene los siguientes temas: 2.1 Concepto de equivalencia 2.2 Equivalencias con fórmula 2.3 Equivalencias con calculadora 2.4 Equivalencias con Excel 2.5 Equivalencias especiales equivalencias entre tasas General: Objetivos Presentar una herramienta sencilla que sirva para: 9Obtener la tasa efectiva anual con el fin de facilitar la comparación de tasas de interés. 9Calcular la tasa de interés del período para facilitar la solución de problemas de matemáticas financieras. Específicos a) Definir el concepto de equivalencia de tasas de interés y generalizar un método para calcularla. b) Ofrecer una fórmula general para calcular equivalencias de tasas de interés de cualquier tipo. c) Mostrar y practicar el cálculo de equivalencias de tasas de interés utilizando la opción CONVI de la calculadora financiera o las funciones financieras y personalizadas de la hoja de cálculo Excel. d) Conocer cómo se calculan equivalencias de tasas de interés para tasas compuestas. Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 2.1 Concepto de equivalencia Se habla de equivalencia, cuando dos elementos que tienen forma diferente arrojan un resultado igual. Así, se menciona la equivalencia entre monedas (US$ 100 equivalen a $260,000 por ejemplo), o la equivalencia entre figuras geométricas (un cuadrado de 3 por 3 es equivalente a un triángulo de 3 de base por 6 de altura). También existe la equivalencia entre tasas de interés. Dos tasas de interés que tienen diferente modalidad y periodicidad de liquidación, son equivalentes cuando arrojan la misma tasa efectiva; en otras palabras dos tasas son equivalentes cuando reinvirtiendo los intereses liquidados, al cabo de un período determinado, acumulan la misma cantidad de capital. Por lo tanto se diría que financieramente para el inversionista es indiferente recibir cualquiera de las dos. Como por definición, dos tasas equivalentes tienen la misma tasa efectiva, encontrar equivalencias consiste en la siguiente operación: a partir de una tasa nominal conocida, con su modalidad y periodicidad de liquidación, calcular la tasa efectiva y a partir de ésta encontrar otra tasa nominal con su propia modalidad y periodicidad de liquidación. 2.2 Equivalencias con fórmula Si por definición dos tasas son equivalentes cuando arrojan la misma tasa efectiva, de las fórmulas (10), (11) y (13) se puede concluir la siguiente fórmula: Si IE = ( 1 + i ) n -1 y IE = ( 1 - ia ) –n - 1, pero i = IN / n, entonces: (20) 61 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Donde: IN1 es una tasa de interés nominal conocida, que liquida interés n veces. n es el número de veces que se liquidan los intereses de la tasa IN1 IN2 es una tasa de interés nominal desconocida, que liquida intereses m veces. m es el número de veces que se liquidan los intereses de la tasa IN2 IE es la tasa de interés efectiva común para IN1 y para IN2 En la anterior fórmula se debe tener el cuidado de colocar signo negativo a n ó a m cuando se trate de interés anticipado. Entonces, para encontrar la equivalencia de tasas de interés basta con despejar IN2. Ejemplo No. 2.1 Cuál es la tasa nominal anual que capitalizando por mes vencido, es equivalente a 27% TV? Como ambas tasas son vencidas n y m son positivos, despejando IN2 : Donde: IN1 27% TV n 4 trimestres m 12 meses IN2 ??? Respuesta ­ 26.41% MV Ejemplo No. 2.2 Una tasa de interés nominal anual de 18% MV, a qué tasa de interés equivale expresada en trimestre anticipado (TA) En este caso, la tasa desconocida se liquida anticipada, por lo tanto m debe tratarse negativo, despejando IN2 Donde: IN1 n m IN2 62 18% MV 12 meses 4 trimestres ??? Respuesta ­ 17.47% TA JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés Ejemplo No. 2.3 Cuál es la tasa nominal TV, equivalente a 34% SA? La tasa conocida se liquida anticipada, por lo tanto n debe tener signo negativo, despejando IN2 Donde: IN1 34% SA n 2 semestres m 4 trimestres IN2 ??? Respuesta ­ 39.05% TV Ejemplo No. 2.4 Una tasa del 18% TA, a cuánto equivale si se expresa en MA? Ambas tasas son anticipadas, por lo tanto n y m son negativos, despejando IN2 Donde: IN1 18% TA n 4 trimestres m 12 meses IN2 ??? Respuesta ­ 18.28% MA Ejemplo No. 2.5 Una tasa de 18% semestral, a cuánto equivale si se expresa en anual trimestre vencido? En estos casos debe tenerse especial cuidado, ya que la tasa conocida es de un solo período de capitalización y no nominal anual. Entonces debe procederse de la siguiente manera: Calcular la tasa nominal anual y tratar a IN1 = 2 * i = 36% SV, utilizando la fórmula del se tiene: 63 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Donde: IN1 36% SV n 2 semestres m 4 trimestres IN 2 ??? Respuesta ­ 34.51% TV En conclusión, para buscar equivalencias a través de fórmulas, es mejor si se trabaja con las tasas nominales anuales, que son relativamente fáciles de calcular mediante la definición IN = i * número de períodos de liquidación que hay en un año. Ejemplo No. 2.6 Si una inversión que durante 85 días generó una rentabilidad del 7.5%, cuál es la rentabilidad si se expresa anual en términos de TA? Aquí el único problema es encontrar el valor de n o sea del número de períodos de 85 dias que hay en un año, es decir n = 365 / 85 = 4. 2941. Por lo tanto IN1 = 7.5% * 4.2941 = 32.20% anual liquidado por períodos de 85 días vencidos. Como es para pasar de vencido a anticipado se aplica la fórmula del ejemplo 2.2., y se tiene: Donde: IN1 32.20% n 4.2941 m IN2 4 períodos de 85 días trimestres ??? Respuesta ­ 29.88% TA 2.3 Equivalencias con calculadora Utilizando la calculadora financiera es bastante sencillo calcular la equivalencia de tasas de interés; para lo cual se deben efectuar dos pasos: Primer paso, partiendo de una tasa nominal conocida encontrar la tasa efectiva, tal como se muestra en el apartado Calcular la tasa efectiva en la página 42. Segundo paso, conociendo la tasa efectiva común entre la tasa de interés nominal conocida y la tasa nominal desconocida, calcular esta última siguiendo los pasos del apartado. Calcular la tasa nominal en la página 43. 64 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés Gráficamente la secuencia se organiza así: Ejemplo No. 2.7 Calcular las siguientes tasas equivalentes: PROBLEMA PRIMER PASO Tasa conocida Tasa deseada %NOM 27% TV MV 18% MV TA 34% SA 18% TA 18% semestral 7.5% en 85 dias SEGUNDO PASO P %EFE P %NOM 27 4 18 12 29.89 12 26.41 26.41% MV 19.56 -4 17.47 17.47% TA TV 34 -2 45.16 4 39.06 39.06% TV MA 18 -4 20.22 - 12 18.28 18.28% MA Anual TV 18 * 2 2 39.24 4 34.51 34.51% TV TA 7.5 *(365/85) 365 / 85 36.42 -4 29.88 29.88% TA Ejemplo No. 2.8 Si un crédito de $ 560,000 se anuncia al 1.2% mensual, pero los intereses se deben pagar trimestre anticipado, cuánto debe descontarse por concepto de intereses al momento de desembolsar el crédito? Este es el caso de los problemas más comunes que se presentan: un negocio que se anuncia en una tasa, pero se liquida en otra, para resolverlo primero hay que encontrar la tasa de interés del período que debe aplicarse en la fórmula I = i P. Para obtener i hay que encontrar una tasa de interés que aplicada por trimestre anticipado, arroje la misma tasa efectiva que otra de 1.2% mes vencido. 65 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Si se desea resolver con fórmula, hay que pasar de vencido a anticipado con m negativo, despejando IN2 de la fórmula (20): Donde: IN1 3.6% n 3 m 1 I N2 ??? trimestral liquidado por mes vencido meses trimestre 3.52% trimestral anticipado Respuesta­ Para resolver con calculadora se procede así: PROBLEMA PRIMER PASO SEGUNDO PASO Tasa conocida Tasa deseada %NOM P %EFE P %NOM 1.2% mensual trimestral anticipada 1.2 * 3 3 3.64 -1 3.52 3.52% trimestral anticipado Una vez conocido que 1.2% mensual vencido es equivalente a 3.52% trimestral anticipado, se utiliza la fórmula: I = 3.52% (560,000) = 19,712 que es el valor a descontar anticipadamente por el primer trimestre del crédito. Ejemplo No. 2.9 Una cooperativa ha acordado cobrar intereses del 8% semestral, pero los descuenta mensualmente. Cuál es la tasa de interés que debe aplicar a los créditos? Si se desea resolver con fórmula, hay que pasar de vencido a vencido despejando IN2 de la fórmula (20): Donde: IN1 8% semestral n 1 semestre m 6 meses I N2 ??? Respuesta ­ 7.75% semestral liquidado mes vencido Como se requiere la tasa de un mes se obtiene de i = IN / n = 7.75% / 6 meses del semestre = 1.29% mensual. 66 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés Para resolver con calculadora se procede así: PROBLEMA PRIMER PASO SEGUNDO PASO Tasa conocida Tasa deseada %NOM P %EFE P %NOM 8% semestral mes vencido 8 1 8 6 7.75 7.75% semestral liquidado mes vencido Como se requiere la tasa de un mes se obtiene de i = IN / n = 7.75% / 6 meses del semestre = 1.29% mensual. Cuando se trabaja con tasas de períodos inferiores a un año, debe tenerse especial cuidado con expresar las variables en la misma unidad de tiempo. Para ello debe tomarse como referencia el período de tiempo más largo en que se encuentren expresadas la tasa conocida y la tasa desconocida. En el ejemplo No. 2.8, el período más largo es el trimestre que corresponde a la tasa desconocida (IN2), por lo tanto todo el problema se resuelve en términos trimestrales: es por esto que en vez de 1.2% mensual se emplea 3.6% trimestral en la tasa conocida y por lo tanto n = 3, los meses del trimestre. En el ejemplo No. 2.9 el período más largo es el semestre que corresponde a la tasa conocida (IN1), de manera que el problema debe resolverse en semestres. # ¡ Por qué el 1.2% mensual vencido equivale al 3.52% trimestral anticipado? En el ejemplo 2.8 se concluyó que era indiferente liquidar el crédito al 1.2% mensual vencido, que al 3.52% trimestral anticipado. Esto ocurre porque al reinvertir los recursos que se liquidan mensualmente, al final del trimestre se acumula un valor ( F ) igual al que resulta de reinvertir los intereses liquidados trimestre anticipado. Gráficamente se presenta así: Numéricamente el ejemplo se ilustra así: 67 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Conceptualmente se explica de la siguiente forma: liquidando al 1.2% mes vencido cada mes recibe $6,720, que si los reinvierte a la misma tasa obtiene al final del trimestre un acumulado por intereses (I) de $20,403 para completar un valor futuro ( F = P + I) de $580,403. Este mismo valor final se logra recaudar al invertir los $19,712 que recibe como intereses trimestre anticipado. Por lo tanto, financieramente, sería indiferente cobrar o pagar cualquiera de los dos intereses, pero deben tenerse en cuenta otras consideraciones sobre liquidez y riesgo del negocio. Lo anterior ocurre porque se supone que los intereses que se reciben se reinvierten en las mismas condiciones de la inversión original (1.2% mes vencido), pero en realidad esto es sólo un supuesto; contablemente este supuesto no se hace y se registra únicamente lo que ocurre: en la primera alternativa se contabiliza cada mes un ingreso de $6,720, mientras que en la segunda alternativa se contabilizan unos ingresos recibidos por anticipado de $19,712 que se amortizan cada mes en $6.571. Como la contabilidad no tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo, con la primera alternativa se tienen unos ingresos financieros de $20,160 al término del trimestre, valor que con la segunda alternativa se eleva a $19,712. En este aspecto, la diferencia entre la contabilidad y las finanzas, es que en la contabilidad no se considera que se hace con los recursos recibidos, mientras que en las finanzas si, por lo tanto dos valores a pesar de ser diferentes pueden ser equivalentes. 2.4 Equivalencias con Excel Para calcular equivalencias en la hoja de cálculo Excel se requiere anidar dos funciones: calcular una tasa nominal desconocida y como parámetro de esta función utilizar la tasa efectiva que se calcula a partir de la tasa nominal conocida. Quiere decir que funciona con la misma filosofía de todas las equivalencias: nominal conocida ­ efectiva ­ nominal desconocida. Sin embargo, utilizando las funciones que vienen con el Excel se tienen las limitaciones mencionadas: no trabajan con interés anticipado y sólo utilizan períodos de tiempo exactos. Las siguientes tasas se calcularon así: 68 Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Utilizando las funciones personalizadas del Excel, los resultados si son confiables, como se aprecia a continuación: Como se aprecia, las respuestas que se obtienen en la columna J difieren, en algunos casos, de los resultados obtenidos con las funciones financieras del Excel, pero son iguales a los calculados en los numerales anteriores, en los cuales se utilizaron las fórmulas y la calculadora financiera. 2.5 Equivalencias especiales Aquí se tratan las equivalencias de las tasas especiales y compuestas estudiadas en el Capítulo 1, todas ellas con ejemplos explicados. Ejemplo No. 2.10 Si la inflación estimada para un año es del 8%, a que tasa nominal anual de interés equivale expresada en TA? La inflación es una tasa efectiva, por lo tanto en la calculadora ya estaría 69 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel efectuado el primer paso, necesitándose únicamente calcular la tasa nominal desconocida: PRIMER PASO %NOM P SEGUNDO PASO %EFE P %NOM 8 -4 7.62 7.62% TA Para trabajar con fórmula, puede tenerse en cuenta que la inflación es una tasa efectiva y por lo tanto utilizar sólo una parte de la fórmula (20) y así despejar IN2 (21) teniendo en cuenta que la tasa nominal desconocida se quiere expresar en forma de pago anticipada, hay que utilizar m con signo negativo Donde: 8% efectivo anual m -4 trimestres IN2 ??? Respuesta ­ IE 7.62% TA La inflación del 8% anual, equivale a 7.62% TA Ejemplo No. 2.11 Si la devaluación para el próximo año se estima en 14%, cuál tasa de interés expresada en MV, es equivalente? La solución se da en los mismos términos del ejemplo No. 2.10. La devaluación es una tasa efectiva, por lo tanto: PRIMER PASO %NOM P SEGUNDO PASO %EFE P 14 12 %NOM 13.17 13.17% MV Para trabajar con fórmula, se utiliza la fórmula (21): Donde: IE m IN2 70 14% efectivo anual 12 meses ??? Respuesta ­ 13.17% MV JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés La devaluación del 14% anual, equivale a 13.17% MV. Ejemplo No. 2.12 Un crédito que se anuncia a DTF + 10 puntos nominales, cómo se anunciaría, si la tasa fuera TV, si actualmente la DTF está en 11.5%: Como se parte de una tasa nominal conocida, es necesario hacer los dos pasos en la calculadora: PRIMER PASO %NOM 11.5 + 10 P -4 SEGUNDO PASO %EFE 24.73 P %NOM 4 22.72 22.72% TV Para trabajar con fórmula se utiliza la fórmula (20), despejando IN2 y teniendo presente que n es negativo: Donde: IN 11.5% +10% n -4 1 m efectivo anual 4 trimestres ??? IN2 Respuesta ­ 22.72% TV Ejemplo No. 2.13 Una banco ofrece un sistema de ahorros que paga el 18% MV, cómo se expresaría en DTF + X%, si la DTF es de 12% TA? Este es un problema que se requiere resolver muy a menudo: cómo se expresaría en DTF una tasa de interés. Se procede en dos pasos, teniendo cuidado que la tasa nominal desconocida se expresa en TA PRIMER PASO SEGUNDO PASO %NOM P %EFE P %NOM 18 12 19.56 -4 17.47 17.47% TA Aquí se sabe que 18% MV equivale a 17.47% TA, restando la DTF se sabrá el margen que se está sumando: 71 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel X%=17.47%-12%=5.47%, entonces se dirá que 18% MV equivale a DTF+5.47. Ejemplo No. 2.14 Si la devaluación se estima en 15%, como se expresaría en DTF + X%, si la DTF es de 12.3% TA? Como la devaluación es una tasa efectiva, entonces se realiza sólo el segundo paso: PRIMER PASO %NOM P SEGUNDO PASO %EFE P %NOM 15 -4 13.73 13.73% TA Entonces, 15% EA equivale a 13.73% TA, restando la DTF se sabrá el margen que se está sumando: X% = 13.73% - 12.3% = 1.43%, entonces se dirá que una devaluación del 15% equivale a DTF + 1.43. Ejemplo No. 2.15 Un crédito en dólares a PRIME + 8, a cuánto equivale en TA, si la devaluación es del 14% y el PRIME del 5.5%? Hay que encontrar primero la tasa efectiva en pesos, utilizando la fórmula (17) PRIMER PASO %NOM P SEGUNDO PASO %EFE 29.91 PRIME + 8, equivale a 25.33% TA 72 P %NOM -4 25.33 25.33% TA Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Ejemplo No. 2.16 Una empresa recibió un crédito al 36% TV y desea saber, cómo se expresaría en PRIME, si ésta es de 4.5% SV y la devaluación es del 14%? Primero, se debe conocer cuál es la tasa efectiva del crédito actual: %NOM P %EFE 36 4 41.16 Segundo, se expresa la tasa efectiva en pesos en una tasa efectiva anual en dólares utilizando la fórmula (17): Tercero, se despeja margen de la fórmula anterior: margen=( ( 1 + efectiva en dólares)1/2-1 )* 2- PRIME =18.05 Es decir, que un crédito al 26% equivale a PRIME + 18.05 Ejemplo No. 2.17 Un crédito se anuncia a DTF + 10%, cómo se expresaría en PRIME, si ésta es de 5% SV, la devaluación es del 12% y la DTF está en 11.5%? Los pasos que se deben dar son los mismos: Primero, se debe conocer cuál es la tasa efectiva del crédito actual: %NOM P %EFE 11.5+10 -4 24.73 Segundo, se expresa la tasa efectiva en pesos en una tasa efectiva anual en dólares utilizando la fórmula (17): 73 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Tercero, se despeja margen de la fórmula anterior: margen =( ( 1+efectiva en dólares)1/2-1) *2-PRIME= 6.06 Es decir, que un crédito al DTF + 10 equivale a PRIME + 6.06 En los cálculos de matemáticas financieras hay que trabajar con todos los decimales y sólo hacer aproximaciones para expresar el resultado final. Las aproximaciones en los cálculos intermedios generan grandes diferencias en los resultados finales. # 74 Capítulo 2: Resumen JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Resumen del capítulo El objetivo de este capítulo era conocer una herramienta que permitiera efectuar comparaciones entre tasas de interés, debido a la diversidad de tasas, formas y periodicidad de pago que existe en los mercados financieros. Se inició aclarando el concepto de equivalencia, según el cual se habla de equivalencia cuando dos elementos que tienen forma diferente arrojan un resultado igual. Por lo tanto dos tasas de interés son equivalentes cuando arrojan la misma tasa efectiva. Para encontrar equivalencias entre tasas de interés, se efectúa la siguiente operación: a partir de una tasa nominal conocida, con su modalidad y periodicidad de liquidación, calcular la tasa efectiva y a partir de ésta encontrar otra tasa nominal con su propia modalidad y periodicidad de liquidación. Operación que se llevó a la fórmula (20), que es una expresión que sirve para calcular cualquier equivalencia entre tasas de interés: También se muestra en el capítulo como encontrar equivalencias con la calculadora financiera y con la hoja de cálculo Excel. 75 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Cuestionario de autoevaluación 2. a Asegurarse de tener claro qué es la equivalencia de tasas de interés y para qué sirve. 2. b ¿Cuál es la forma general para calcular la equivalencia de tasas de interés? 2. c ¿Cuál es la expresión particular para calcular equivalencias de tasas de interés utilizando fórmulas? 2. d ¿Cuáles son los dos pasos que deben seguirse para calcular equivalencias con calculadora financiera? 2. e Normalmente en la búsqueda de tasas equivalentes se trabaja con dos períodos de capitalización diferentes, cuál de estos períodos debe utilizarse como base para los cálculos, cuando se trabaja con tasas de períodos inferiores a un año? 2. f ¿Cuál es el efecto de la aproximación de los decimales en los pasos intermedios, cuando se calculan equivalencias de tasas de interés? 76 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 2: Ejercicios Ejercicios propuestos 2.1 Convertir las tasas que se dan a la tasa nominal anual equivalente, en los siguientes casos: TASA ORIGINAL CONVERTIR A: TASA ORIGINAL CONVERTIR A: 28.5% TV MV 23.5% TA SV 32.7% SA MA 32.5% TA MA 34.0% MV TA 24.0% MV TV 32.3% MV SV 12.3% SV AV 36.3% SA SV 36.3% SA SV 52% EA MA 52% EA MV 7.85% efectivo en 80 días EA 7.85% efectivo en 80 días MV 2.2 Encuentre la tasa anual (nominal y efectiva) de los siguientes intereses: 3.5% mes vencido. 3.5% mes anticipado. 9.3% trimestre anticipado. 12.9% semestre vencido. 6.7% bimestre anticipado. 8.4% trimestre vencido. 2.3 Hallar la tasa del período de liquidación en las siguientes tasas: 28% TV liquidado mes anticipado. DTF + 8 liquidado trimestre vencido (DTF = 12% TA). 8% semestral liquidado TV. 8% semestral liquidado TA. 4% trimestral liquidado anticipado. 2.4 Si: PRIME 5.5% Devaluación 14% anual DTF 12 % LIBOR 6% Hallar la tasa que se solicita, partiendo de una tasa de interés dada: a) DTF +2 nominal MV. b) LIBOR + 8 nominal SV. c) DTF + 6 diario. d) DTF - 1.5 EA. e) DTF + 8 efectivo en 12 días. f) PRIME + 4. DTF + X. 2.5 Si: PRIME 3.5% Devaluación 12.5% anual DTF 11.38 % LIBOR 7.3% 77 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Encontrar el valor de la variable X en las siguientes formas de pago de interés: TASA ORIGINAL 36.43% TV CONVERTIR A: DTF + X 16.58% en 185 días anticipados PRIME + X DTF + 8 PRIME + X DTF + 3 LIBOR + X PRIME + 3 DTF + X 2.6 Un negocio en el que se invierten $35.000.000, catorce (14) meses después genera $50.000.000. ¿Cuál es la rentabilidad anual expresada en una tasa DTF + X? 2.7 Si en un CDT se gana el 6% durante 95 días que dura la inversión. ¿Cuál fue la tasa efectiva anual? Cuál fue la rentabilidad expresada en TV? 2.8 Si para una inversión una persona aporta un vehículo avaluado en $12,000,000 y 18 meses después le devuelven $18,800,000. ¿Cuál fue la rentabilidad total del negocio? ¿Cuál fue la rentabilidad efectiva anual? ¿Cuál fue la rentabilidad expresada en DTF + X, si DTF = 11.5% TA? 2.9 Si se recibe un crédito de cinco millones de pesos: a) ¿A qué plazo fue concedido, si al DTF + 2 se pagan $5,631,000? b) ¿A qué tasa fue otorgado, si paga $5,767,000 a los ocho meses (exprese la tasa en DTF + X%) Si DTF = 11% TA? 2.10 Si un inversionista gana $1,400,000 en un negocio en el que invierte $6,000,000 durante 14 meses. ¿Cuál es la rentabilidad anual expresada en TV y en MA? 2.11 Si una persona invirtió $6,000,000 en un bono que paga DTF + 1.2 liquidado mensualmente (DTF = 11.5% TA): a) ¿Cuánto tiempo se demorará para que pueda retirar $333,000 y siga con los mismos $6,000,000? b) ¿Qué margen debe sumarse al DTF para poder retirar $500,000 a los 6 meses y seguir con el mismo capital? 2.12 Cuál es la tasa de interés anual, expresada en DTF +X%, que se recibe por conceder un préstamo: a) de $350.000 durante un año con interés trimestral si al final se reciben $494.000. b) de $35.000.000 si un trimestre después recibe $38.000.000 y el interés se ha capitalizado mensualmente. c) de $1.320.000 si se recibe $1.600.000 a los ocho meses y los intereses se cobran por bimestres. 78 Capítulo 2: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA d) de $1.200.000 si a los quince meses recibe $ 1.393.160 y los intereses se capitalizaban mensualmente. e) si a los 72 días recibe $ 665.000, lo intereses se liquidan diariamente y había depositado $ 650.000. 2.13 Una empresa tiene una deuda de $8,000,000 al 2% capitalizado mensualmente, para pagarla hizo un depósito de US$ 3,000 en una cuenta en el exterior que paga el PRIME + 5 capitalizados mensualmente, si el tipo de cambio actual es de $2,500 por dólar, la PRIME de 7% y la devaluación anual se estima en 18%, ¿cuándo habrá ahorrado lo suficiente para cancelar la deuda en pesos? 2.14 Una persona compra un bono en dólares por US$ 10,225 y lo posee durante 107 días, al cabo de los cuales lo redime por US$ 10,460, ¿cuál fue la rentabilidad en pesos, si la devaluación es del 14% anual? Exprese su respuesta en DTF +X%. 2.15 ¿Cuál es la rentabilidad de una inversión de $32.850.000 que en tres años genera $90.140.400?, exprese su respuesta en una tasa efectiva anual y nominal anual pagadera por trimestre vencido. 2.16 Un papel por valor de $7.000.000, que paga intereses del 24.78% TV y vence dentro de 78 días es comprado en la bolsa por el $7.100.000. ¿Cuál será la rentabilidad del comprador (expresada en DTF + X) si conserva el papel hasta su vencimiento? 2.17 Una tarjeta de crédito cobra el 2.5% mensual, ¿cuál es la tasa que se cobraría según las siguientes expresiones?: a) Diario. b) DTF + x si la DTF = 11.25% TA. c) PRIME + x si la PRIME = 3.5% y la devaluación es de 13%. d) Nominal MV. 2.18 Un almacén de electrodomésticos vende un televisor de contado por $1,250,000, si a crédito se vende así: 20% de cuota inicial y por el saldo a tres meses paga $1,092,000. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual que se cobra, cuál es expresada en trimestre anticipado? 2.19 Un artículo en un almacén, que de contado tiene un precio de $3,250,000, se ofrece en dos alternativas: Primera: 20% de cuota inicial y el saldo a tres meses por un valor de $2,760,000. Segunda: 25% de cuota inicial y el saldo a seis meses por un valor de $2,760,000. Comparar las tasas de financiación en anual MV, efectivo anual y anual TA. 79 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 2.20 Hace un año un computador tenía un precio de 1.100 dólares, hoy un equipo similar se vende por 999 dólares. Si al devaluación ha sido del 15%, cuál ha sido la variación del precio en pesos (es ésta una tasa nominal o efectiva)? 2.21 Para financiar una construcción a quince meses, se tiene la alternativa de tres fuentes: a) PRIME + 3 (PRIME = 5% y devaluación del 14%). b) DTF + 8 (DTF = 12% TA). c) 23% TV. ¿Cuál es la tasa efectiva anual, cuál si todas se expresan en PRIME + X, si se expresan en DTF + x y cuál si se expresan en anual TV? 2.22 Un fondo de empleados ha decidido cobrar por sus créditos el interés bancario que está en DTF + 7.5. Si el fondo cobra sus cuotas quincenalmente, ¿cuál interés debe aplicar? 2.23 Un banco cobra por sus créditos el 36% EA, ¿cuánto debe cobrar por un crédito de $1,250,000 si los intereses se liquidan mes vencido? ¿Cuánto si es trimestre anticipado? 2.24 Si por un crédito de $750,000 se cobran intereses mensuales de $20,625, ¿cuánto debería cobrarse si los intereses fueran quincenales, bimestrales o trimestrales? 2.25 Con cuál de estas tasas se toma menos tiempo duplicar un capital: 80 24% TA. 2% mensual. 7% en 107 días. 6% trimestral. 30% en 15 meses. 24% TV. CAPÍTULO 3 Pago único En este capítulo y en los siguientes, se utiliza el material visto es los capítulos 1 y 2 como base para la solución de problemas prácticos, en este caso para resolver problemas de pago único. Los problemas se resuelven divididos en dos partes: primero se resuelve el problema de la tasa de interés (encontrar la tasa del período), y después se resuelve todo lo relacionado con el problema como tal. El capítulo contiene los siguientes temas: 3.1 Conceptos generales 3.2 Capitalización 3.3 Descuento 3.4 Casos especiales 3.5 Notación estándar 3.7 Tasas compuestas Objetivos General Aplicar los conceptos y herramientas conocidos en los capítulos 1 y 2 en la solución de problemas de pago único de la vida práctica, agregando a los sistemas de solución ya conocidos (fórmulas, calculadora financiera y hoja de cálculo Excel) el sistema de notación estándar. Específicos a) Presentar el concepto de pago único y de las variables que se involucran en los problemas de matemáticas financieras. b) Plantear los conceptos de capitalización y descuento, que constituyen los dos casos básicos de los problemas de pago único. c) Repasar el uso de la fórmula (6) F=P(1+i)n introducida en el interés compuesto, utilizándola en problemas prácticos de pago único. d) Explicar los tres sistemas que pueden utilizarse con la calculadora financiera para solucionar problemas de pago único, según sea la tasa de interés que se conozca. e) Explicar la utilización de las funciones financieras VF y VA de la hoja de cálculo Excel, en la solución de problemas de pago único. f) Presentar el planteamiento y solución de problemas de matemáticas financieras utilizando la notación estándar. Capítulo 3: Pago único JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 3.1 Conceptos generales Se dice que un problema es de pago único cuando entre el valor presente (P) y el valor futuro (F) no hay movimientos de efectivo, quiere decir que los intereses se capitalizan y por lo tanto siempre se habla de interés compuesto. Es posible que en ciertos problemas se presenten algunos movimientos de dinero durante la vida del negocio, entonces el problema se divide en varios problemas de pago único, como se verá más adelante. El gráfico siguiente muestra el flujo de efectivo de un problema de pago único: Esto quiere decir que la fórmula que se debe utilizar es la (6) o cualquiera de sus variantes presentadas como fórmulas (7), (8) y (9) en la página 16, que se recuerdan a continuación: F = P (1 + i) n Se concluye que en los problemas de pago único existen cuatro variables y cualquiera de ellas puede ser la incógnita, teniendo en cuenta que cada una representa lo siguiente: 83 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel VARIABLE SIGNIFICADO P Valor presente o valor que se mueve (ingreso o egreso) al inicio del negocio. En el diagrama de flujos de efectivo siempre debe colocarse al inicio del período uno (en el momento cero), aunque no coincida con la fecha de hoy. F Valor futuro o valor que se mueve al final el negocio, En el diagrama de flujos de efectivo siempre debe colocarse al final del período n, aunque no necesariamente se ubique en el futuro de la fecha de hoy. n Cantidad de períodos de capitalización, es el número de períodos de capitalización que hay en el plazo total del negocio. La unidad de tiempo del período de capitalización es la que determina la solución del problema y con ella deben coincidir la unidad de tiempo del plazo y la unidad de tiempo de la atas de interés del período. i Tasa de interés del período; es la tasa de interés que se capitaliza en cada período de liquidación de intereses. Este es el valor que primero se debe obtener para 1/n poder resolver el problema. Recuérdese que i = IN / n y que i = (1 + IE) - 1. Todos los problemas de pago único se basan en el siguiente gráfico, en el cual se muestra que una vez iniciado el negocio, el valor presente (P) empieza a aumentar a medida que se causan los intereses de manera que el valor futuro (F) se puede calcular en cualquier momento de la vida del negocio, por ejemplo puede preguntarse cuánto vale una deuda después de transcurrido un determinado tiempo o cuánto ha acumulado de rendimientos un papel que se compró hace un determinado tiempo. 3.2 Capitalización Los problemas de capitalización se refieren a la búsqueda de un valor futuro o de una rentabilidad, ya que se parte de un valor presente conocido, un plazo, un período de capitalización de intereses y una tasa de interés. 3.2.1 Capitalización con fórmula Como se mencionó, los problemas de capitalización se resuelven con la fórmula (6). 84 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único Ejemplo No. 3.1 Cuánto se ahorra en seis meses al invertir $1,550,000 a una tasa del 3% mensual El problema se plantea así: Donde Período de capitalización P mensual 1,550,000 n 6 meses i 3% mensual Teniendo a n y a i expresados en la misma unidad de tiempo del período de capitalización, se puede utilizar directamente la fórmula (6), por lo tanto F = P (1 + i)n = 1,550,000(1 + 3%)6 = 1,850,781 Ejemplo No. 3.2 ¿Cuánto se ahorra en seis meses al invertir $1,550,000 a una tasa del 34% anual, capitalizada trimestralmente? El problema se plantea así: Donde Período de capitalización P 1,550,000 n 2 trimestres IN 34% TV i 34% / 4 = 8.5% trimestral trimestral. Hay que calcularlo antes de resolver el problema. F = P (1 + i)n = 1,550,000 (1 + 8.5%)2 = 1,824,699 Ejemplo No. 3.3 ¿Cuánto se ahorra en seis meses al invertir $1,550,000 si los intereses se capitalizan semestralmente a una tasa del 40% efectivo anual? El problema se plantea así: Donde Período de capitalización P 1,550,000 n 1 semestre IE 40% i i(1 + 40%)1/2 - 1 = 18.32% semestral semestral. Hay que calcularlo antes de resolver el problema. F = P (1 + i)n = 1,550,000 (1 + 18.32%)1 = 1,833,985 85 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 3.2.2. Capitalización con calculadora En la calculadora financiera los problemas de pago único se trabajan entrando por la opción VDT en la cual se encuentra el siguiente menú: N %IA V.A PAGO V.F. OTRO . Cada tecla tiene un significado diferente según el sistema que se esté utilizando para resolver los problemas. La tecla OTRO tiene el siguiente menú P/AÑO INIC FINAL que sirve para seleccionar el número y la forma de pago de los rendimientos, por tratarse de problemas de pago único siempre se debe seleccionar la opción final. Para resolver problemas de pago único con la calculadora financiera hay tres sistemas, de acuerdo con la tasa de interés conocida: si se conoce la tasa del período, si se conoce la tasa nominal anual o si se conoce la tasa efectiva anual. A continuación se presentan cada uno. Capitalización conociendo la tasa del período Cuando se conoce la tasa del período de capitalización (i), los problemas de pago único se resuelven de la siguiente manera: N Número de períodos de liquidación de interés que dura el negocio %IA Tasa de interés del período de capitalización ( i ) V.A. Valor presente PAGO V.F. No se utiliza en pago único Valor futuro Tecla para especificar la forma de liquidación de los intereses, que tiene las siguientes opciones: P/AÑO OTRO INIC FINAL Debe digitarse uno (1) No se utiliza en pago único Se debe seleccionar esta forma de pago Se selecciona un pago al año modo final Ejemplo No. 3.4 ¿Cuánto se ahorra en seis meses al invertir $1,550,000 a una tasa del 3% mensual? El problema se plantea así: 86 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. 1 x 6 3 1,550,000 -1,850,781 La unidad de tiempo en que se expresen caso el mes. N %IA debe ser la misma, en este Los problemas de pago único en la calculadora financiera se resuelven considerando los flujos de efectivo, de manera que si el valor presente se digita negativo, el resultado del valor futuro se muestra positivo. Capitalización conociendo la tasa nominal anual Cuando se conoce la tasa nominal anual (NA), los problemas de pago único se resuelven de la siguiente manera: Número de períodos de liquidación de interés que dura el negocio N %IA Tasa de interés nominal anual ( NA ) V.A. Valor presente PAGO V.F. No se utiliza en pago único Valor futuro Tecla para especificar la forma de liquidación de los intereses, que tiene las siguientes opciones: Número de períodos de liquidación que hay en un año P/AÑO OTRO No se utiliza en pago único INIC Se debe seleccionar esta forma de pago FINAL Se selecciona n pago al año modo final Ejemplo No. 3.5 ¿Cuánto se ahorra en seis meses al invertir $1,550,000 a una tasa del 34% anual, capitalizada trimestralmente? El problema se plantea así: OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. 4 x 2 34 1,550,000 -1,824,699 La unidad de tiempo en que se expresan este caso el trimestre. P/AÑO N %IA debe ser la misma, en 87 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Capitalización conociendo la tasa efectiva anual Cuando se conoce la tasa efectiva anual ( EA ), los problemas de pago único se resuelven de la siguiente manera: Número de años que dura el negocio N %IA Tasa de interés efectiva anual ( EA ) del negocio V.A. Valor presente PAGO V.F. No se utiliza en pago único Valor futuro Tecla para especificar la forma de liquidación de los intereses, que tiene las siguientes opciones: Debe digitarse uno (1) P/AÑO OTRO No se utiliza en pago único INIC Se debe seleccionar esta forma de pago FINAL Se selecciona 1 pago al año modo final Ejemplo No. 3.6 ¿Cuánto se ahorra en seis meses al invertir $1,550,000 si los intereses se capitalizan semestralmente a una tasa del 40% efectivo anual? El problema se plantea así: OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. 1 x 6/12 40 1,550,000 -1,833,985 La unidad de tiempo en que se expresen este caso el año. N %IA debe ser la misma, en 3.2.3 Capitalización con Excel Para resolver problemas de pago único utilizando el Excel, deben emplearse varias funciones financieras, según la incógnita del problema. Para los problemas de capitalización se emplea la función VF, de acuerdo con las siguientes instrucciones. 88 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único Función financiera VF Devuelve el valor futuro de un negocio, conociendo la tasa de interés del período y la duración del negocio. Los parámetros utilizados en la función son los siguientes: VF(tasa, nper, pago, va, tipo) Donde: Va Pago Nper Tasa Es el valor presente del negocio. No se utiliza en pago único. Es la cantidad total de períodos de liquidación que dura el negocio. Es la tasa de interés por período expresada en términos decimales. Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado. En pago único siempre es vencido. Como se aprecia, para resolver problemas de pago único con Excel, siempre se debe conocer la tasa del período, al igual que en las fórmulas. Esta función no tiene dificultades de utilización. Ejemplo No. 3.7 Dentro de treinta (30) meses ¿cuál será el valor de una inversión de $ 5,550,000 a una tasa del 27% TA si los intereses se liquidan mes vencido y se reinvierten a la misma tasa? En este caso el período de liquidación de intereses es el mes, por lo tanto tasa y nper deben expresarse en esa unidad, es decir que antes de resolver el problema hay que encontrar la tasa de interés del período (i), para lo cual hay que recurrir a las equivalencias, en este ejemplo de 27% TA a una tasa MV: OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. 1 x 6/12 40 1,550,000 -1,833,985 PRIMER PASO SEGUNDO PASO &NOM P %EFE P &NOM 27 -4 32.25 12 28.28 28.28% MV Entonces i = NA/n = 28.28 /12 = 2.36% mensual, con lo cual se puede recurrir al Excel: 89 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Debido a que en pago único no existen flujos de efectivo entre el valor presente y el valor futuro, el argumento PAGO no se utiliza, pero debe dejarse el espacio para el argumento o llenarlo con cero. 3.2.4 Ejemplos de aplicación de la capitalización A continuación se presenta una serie de ejemplos de problemas de pago único con capitalización, buscando resolverlos con cualquiera de las herramientas que ofrece las fórmulas, la calculadora y el Excel. Ejemplo No. 3.8 Cuál es la rentabilidad efectiva anual de una inversión que en ocho meses convierte $1,000,000 en $1,227,512? Aquí el problema es encontrar la rentabilidad de una capitalización, hay que calcular inicialmente la tasa de interés del período, entonces se debe recurrir a la fórmula (2), i = F/P -1 = 1,227,512/1,000,000 - 1 = 22.75%, esta es la tasa efectiva de los ocho meses que dura la inversión, por lo tanto debe encontrarse la tasa efectiva anual con la fórmula (11), con n igual al número de períodos de ocho meses que hay en un año o sea n = 12/8, por consiguiente: EA = (1 + i)n - 1 = (1 + 22.75%)12/8- 1 = 36% EA Con la calculadora, para este problema el mejor sistema es el que utiliza la tasa efectiva anual, entonces, el problema se plantea así: 90 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único OTRO P/AÑO FINAL N V.A. V.F. %IA 1 x 8/12 -1,000,000 1,227,512 36 Ejemplo No. 3.9 Un papel por valor de $7,000,000, que paga intereses del 14.78% TV y vence dentro de 78 días es comprado en la bolsa por el $7,100,000, cuál es la rentabilidad para el comprador, expresada en TV? Si se quiere encontrar la tasa del período con la fórmula (2), i = F / P - 1, hace falta tener un valor para F, por lo tanto hay que calcularlo a partir de las condiciones originales del negocio usando la fórmula (4): F = P (1 + i) = 7,000,000 ( 1 + 14.78% / 4) = 7,258,650 cuando termine el trimestre, el emisor del papel pagará $7,258,650 a quien posea el papel, entonces éste será el valor que reciba el comprar. Ahora es más sencillo saber cuál será su rentabilidad, utilizando la fórmula (2): i = F/P - 1 = 7,258,650/7,100,000 - 1 = 2.23% en 78 días Como la respuesta se requiere en nominal anual TV, se debe buscar la equivalencia. PRIMER PASO SEGUNDO PASO &NOM P %EFE P &NOM 2.23 * (365 / 78) 365 / 78 10.89 4 10.48 10.48% TV Con la calculadora, para este problema el mejor sistema es el que utiliza la tasa efectiva anual, entonces, el problema se plantea así: OTRO P/AÑO FINAL N V.A. V.F. %IA 1 x 78/365 -7,100,000 7,258,650 10.89 Conociendo la tasa EA, se busca la equivalencia, empezando con el segundo paso. 91 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 3.10 Un gerente financiero invierte $25,380,000 en un CDT a 180 días al 24% TA. Si el CDT paga intereses vencidos, ¿por cuánto lo debe vender a los 50 días para obtener una rentabilidad del 38% EA? Con la calculadora el problema se plantea así: OTRO P/AÑO FINAL N V.A. %IA V.F. 1 x 50 / 365 -25,380,000 38 26,524,862 Con fórmula debe recurrirse a la (6) F = P (1 + i) n con n igual al número de períodos de 50 días que hay en un año, entonces: F = P(1 + i)n = 25,380,000 (1 + 38%) 50 / 365 = 26,524,862 3.3 Descuento Los problemas de descuento se refieren a la búsqueda de un valor presente o de una rentabilidad, ya que se parte de un valor futuro conocido, un plazo, un período de capitalización de intereses y una tasa de interés. Ejemplo No. 3.11 Una empresa posee un pagaré de $5,000,000 que debe cobrar dentro de siete meses, si su tasa de oportunidad es del 45% EA, cuál es el valor mínimo que debe aceptar por un prepago del pagaré? Este es un ejemplo clásico de descuento, ya que se conoce el valor futuro y se desea conocer el valor en pesos del presente, por lo tanto debe utilizarse la fórmula (7) en cualquiera de sus dos presentaciones: Como siempre, antes de aplicar la fórmula hay que conocer el valor de la tasa del período ( i ), que se debe encontrar con la fórmula (21). Entonces i = (1 + 45%) 1/12 - 1 = 3.14% Para conocer el valor del pagaré siete meses antes de su vencimiento se encuentra: 92 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único P = F (1 + i) – n = 5,000,000 (1 + 3.14%) – 7 = 4,025,675 Meses faltantes Valor Pagaré Meses faltantes Valor Pagaré 7 4,025,675 3 4,556,465 6 4,152,274 2 4,699,756 5 4,282,855 1 4,847,554 4 4,417,542 0 5,000,000 Para resolver el ejemplo anterior con la calculadora financiera, se procede igual que con los problemas de capitalización, en este caso la mejora alternativa es el uso del sistema con tasa efectiva anual. El problema se plantea así: OTRO P/AÑO FINAL N V.F. %IA. V.A. 1 x 7/12 5,000,000 45 4,025,675 Para resolverlo con la hoja de cálculo Excel se utiliza la función VA como se aprecia a continuación: Función financiera VA Devuelve el valor presente de un negocio, conociendo la tasa de interés del período y la duración del negocio. Los parámetros utilizados en la función son los siguientes: VA(tasa, nper, pago, vf, tipo) Donde: Vf Es el valor futuro del negocio. Pago No se utiliza en pago único. Nper Es la cantidad total de períodos de liquidación que dura el negocio. Tasa Es la tasa de interés por período expresada en términos decimales. Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado. En pago único siempre es vencido. 93 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 3.12 Cuánto se debe depositar en una cuenta que paga el 0.8% mensual, si dentro de diez meses se desea reunir un capital de $3,500,000? Como se conoce la tasa de período, el mejor sistema es el que utiliza en %IA el valor de i, por lo tanto el problema se plantea así: OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.F. V.A. 1 x 10 0.8 3,500,000 -3,231,936 O con fórmula así: P = F (1 + i) – n = 3,500,000 (1 + 0.8%) – 10 = 3,231,936 3.4 Casos especiales En este numeral se presentarán los casos especiales de problemas de pago único, incluyendo problemas con tasas compuestas, todos con ejemplos debidamente explicados. Ejemplo No. 3.13 Un CDT se anuncia al DTF + 8, cuánto se acumulará después de nueve meses, si los intereses se liquidan y reinvierten mensualmente, la inversión inicial fue de $450,000 y la DTF está en 11.38% TA? El primer paso, como siempre, es encontrar la tasa de interés del período; en este caso, si se va a resolver con calculadora lo más sencillo es encontrar la tasa efectiva anual. PRIMER PASO &NOM P %EFE 11.38 + 8 -4 21.98 OTRO P/AÑO FINAL %IA N V.A. V.F. 1 x 21.98 9/12 450,000 -522,297 Como se aprecia, con calculadora la solución es bastante rápida y sencilla. Con fórmula es un poco más larga, ya que hay que encontrar la tasa de interés de un mes que es el período de liquidación, para ello primero se debe encontrar la tasa efectiva anual de DTF + 8 con la fórmula (15): 94 Capítulo 3: Pago único JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Después la tasa nominal mes vencido con la fórmula (12), partiendo de la tasa efectiva: i = (1 + IE) 1/n - 1 = (1 + 21.98%) 1/12 -1 = 1.67% Finalmente, utilizar la fórmula (6) para calcular el valor futuro ( F ) solicitado: F = P (1 + i) n = 450,000 (1 + 1.67%) 9 = 522,297 El resultado encontrado es el mismo, pero el camino más largo. Ejemplo No. 3.14 Cuánto se invirtió en pesos hace tres años, en un título en el exterior que pagaba PRIME + 2.5 y capitalizaba los interés trimestralmente, si hoy a un tipo de cambio de $2,450 por dólar se pueden retirar $12,380,000 y durante el tiempo que estuvo invertido el PRIME tuvo un promedio de 6.25% SV y la devaluación promedio fue del 15% anual. Se debe calcular la tasa de interés en pesos utilizando la fórmula (17): y luego el valor presente ( P ) con la fórmula (7): P = F (1 + i ) -n = 12,380,000 (1 + 25.28% ) -3 = 6,295,760 Hay un camino largo, paso a paso, que es el siguiente: El primer paso es saber cuántos dólares se acumularon en el negocio: F en dólares = F en pesos / tipo de cambio = 12,380,000 / 2,450 = 5,053.06 El segundo paso es saber la tasa de interés efectiva a la que estuvo la inversión, sabiendo que el PRIME es SV, utilizando la fórmula (18): 95 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel o la calculadora: PRIMER PASO &NOM P %EFE 6.25 + 2.5 2 8.94 En este punto, no es necesario encontrar la tasa equivalente TV, ya que al tener una tasa efectiva anual puede emplearse como la tasa del período con n = 3 años (la alternativa es calcular la equivalente TV y trabajar con n = 12 trimestres) Conocida la tasa del período, sigue buscar el valor de la inversión inicial en dólares, utilizando la fórmula (7): P = F (1 + i ) -n = 5,053.06 (1 + 8.94% ) -3 = 3,908.19 o en calculadora: OTRO P/AÑO FINAL %IA N V.F. V.A. 1 x 8.94 3 5,053.06 -3,908.19 Finalmente hay que saber cuál era el tipo de cambio hace tres años, también con la fórmula (7) y la devaluación como tasa del período: P = F (1 + i )-n = 2,450 (1 + 15% )-3 = 1,610.91 Luego hay que convertir los dólares en pesos de hace tres años: P en pesos = P en dólares * tipo de cambio = 3,908,19 * 1,610.91 = 6,295,742 Ejemplo No. 3.15 Una persona invierte $125,000,000 en la construcción de un edificio, que 14 meses después vende por $162,500,000, cuál fue la rentabilidad del negocio, expresada en términos de DTF + X%, si la DTF es de 10.85% TA? Utilizando la fórmula (2) i = F / P - 1 = 162,500,000 / 125,000,000 - 1 = 30% se está encontrando la tasa efectiva de 14 meses, por lo tanto hay que encontrar la de doce meses, antes de buscar su equivalente en DTF + X%. Haciendo una combinación de las fórmulas (11) y (12) se tiene que: EA = (1 + IE) 12/m - 1 96 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único Donde: IE 30% efectivo en 14 meses m 14 meses EA ??? Respuesta­ 25.22% EA Después se calcula la tasa nominal expresada en TA PRIMER PASO &NOM P SEGUNDO PASO %EFE P &NOM 25.22 -4 21.87 21.87% TA Entonces, restando la DTF se sabrá el margen que se está sumando: X% = 21.87%% - 10.85% = 11.02%, entonces se dirá que una devaluación de la inversión en la construcción le rindió el equivalente a DTF + 11.02%. Ejemplo No. 3.16 Cuánto demora en duplicarse un capital: invirtiendo a DTF + 8 y a PRIME + 3, si en ambos casos se capitaliza mensualmente y la DTF es 12% TA, el PRIME es 5% SV y la devaluación del 12%? En ambos casos hay que encontrar el valor de n cuando F = 2 y P = 1. Pero primero, como debe ser costumbre, hay que calcular la tasa de interés del período ( i ), en ambos casos expresada en MV. Para el caso de DTF + 8: PRIMER PASO SEGUNDO PASO &NOM P %EFE P &NOM 12 + 8 -4 22.77 12 20.69 20.69% MV i = NA/número de períodos de capitalización= 20.69% / 12 = 1.72% mensual Para el caso de PRIME + 3, y devaluación del 12%: PRIMER PASO &NOM P %EFE 5+3 2 8.16 EA=1+efectiva en dólares)*(1+devaluación)-1 = (1+8.16%)(1+12%) = 21.14% EA PRIMER PASO &NOM P SEGUNDO PASO %EFE P &NOM 21.14 12 19.33 19.33% MV 97 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel i = NA / número de períodos de capitalización = 19.33%% / 12 = 1.61% mensual Se tiene, hasta el momento, que DTF+8 equivale a 1.72% mensual y que PRIME+3 equivale a 1.61% mensual. Con estos valores se puede calcular cuánto se demora en duplicar la inversión, utilizando la fórmula (9): como en ambos casos ln (F / P) = ln (2 / 1) = ln 2 = 0.6931, entonces las soluciones se plantean así: Para el caso de DTF + 8, n = 0.6931 / ln (1 + 1.72%) = 40.6 meses Para el caso de PRIME + 3, n = 0.6931 / ln (1+ 1.61%) = 43.4 meses Ejemplo No. 3.17 Si hace tres meses se contrajo una deuda de $1,250,000, con un interés del 2% mensual y hoy se quiere renegociar al 1.75% mensual y pagarla en dos cuotas iguales, la primera dentro de tres meses y la segunda dentro de ocho meses, de cuánto quedarán las cuotas? El problema se debe dividir en dos partes: en una establecer cuál es el valor de la deuda actualmente y en la otra distribuir ese valor en las dos cuotas iguales. Primera parte: F = P (1 + i)n = 1,250,000 (1 + 2%)3 = 1,326,510, éste es el valor actual de la deuda. F=1.326,510 n=3 0 i=2% 1 2 3 1,250,000=P Segunda parte: El valor futuro ( F ) encontrado en la primera parte, se convierte en valor presente ( P ) en esta parte, para distribuirlo en dos pagos iguales: 98 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único 0 x x 3 8 1,326,510=P 0 x x 3 8 1,326,510=P El valor presente de las dos cuotas iguales será: X (1 + 1.75%) -3 para la primera y X (1 + 1.75%) -8 para la segunda. Utilizando la fórmula (7) P = F (1 + i) -n se reemplaza así: 1,326,510 = X (1 + 1.75%) –3 + X (1 + 1.75%) -8 = X ( 0.9493 + 0.8704) de donde: Despejando X, se tiene X = 1,326,510 / 1.8197 = 728,973 Las cuotas iguales serán de $728.973, una se paga dentro de tres meses y otra dentro de ocho meses. El valor presente de un negocio será igual a la suma de los valores presentes de todos los flujos futuros, descontados a la tasa de interés del negocio. # Ejemplo No. 3.18 Una deuda que llega hoy a un saldo de $13,250,000, debe pagarse dentro de dos meses y está contratada al 3% mensual. El deudor solicita que le concedan un plazo adicional de cuatro meses (pagaría dentro de seis meses) y el acreedor responde que está de acuerdo pero que le sume a la deuda actual un 25% y ese será el valor a pagar dentro de seis meses. Cuál es la tasa de interés mensual que se cargaría en la prórroga? Es conveniente el negocio para el deudor? Calcular la tasa de interés mensual que se carga, se hace con la fórmula (12) i = (1 + IE)1/n - 1 considerando que el 25% es la tasa de interés efectiva de seis meses, i = (1 + 25%)1/6 - 1 entonces la tasa de interés mensual que se cargaría en la prorroga es de 3.79%. En principio se diría que el negocio no es bueno dado el encarecimiento del capital; pero si el deudor necesita la prórroga para efectuar un negocio en el cual obtenga una rentabilidad superior al 3.79% mensual, es un buen negocio; en otras palabras, si la tasa de oportunidad del inversionista supera el costo del capital es posible endeudarse. 99 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 3.19 Cuánto tiempo se ha tenido una deuda de $350,000, si liquida intereses mensuales al 2.5% y hoy se deben $421,210? Para resolver se debe recurrir a la fórmula (9): Es conveniente recordar que esta fórmula genera la respuesta en la misma unidad de tiempo en que se encuentre expresada la tasa de interés del período. Ejemplo No. 3.20 Si se quieren retirar $200,000,000 dentro de diez años, cuánto se debe depositar hoy en una bono que capitaliza los intereses trimestralmente, según el siguiente programa: los tres primeros años al 18% EA, del año 4 al 8 al 24% EA y los dos últimos años al 36% EA? Este problema debe dividirse en tres períodos dado que existen tres tasas de capitalización de intereses. El primer paso como siempre, es encontrar la tasa del período de capitalización: 18% EA 16.90% TV 4.23% trimestral 24% EA 22.10% TV 5.53% trimestral 36% EA 31.96% TV 8.00% trimestral Gráficamente el problema se plantea así: n=8 1%=8% n=20 1%=5.53% n=12 1%=4.23% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P=? Como se conoce la tasa del período, se procede así con la calculadora: 100 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.F. V.A. 1 x 8 8 200,000,000 -108,053,777 P/AÑO FINAL N %IA V.F. V.A. 1 x 20 5.3 108,053,777 -36,823,171 OTRO OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.F. V.A. 1 x 12 4.23 36,823,171 -22,397,953 Hay que invertir $22,397,953, para que dadas las condiciones del problema, se recojan $200,000,000 en diez años. Ejemplo No. 3.21 Dentro de dos años vence una deuda de $15,000,000. Si se quiere cambiar por dos pagos iguales, a uno y dos años, de cuánto deben ser estos pagos si para la primera cuota el interés queda fijo al 36% EA y para la segunda en 30% EA, en ambos casos capitalizado mensualmente? Se procede igual que en el ejemplo No. 3.17, considerando que el valor presente es igual a la suma del valor presente de todos los flujos futuro. Como hay dos tasas de interés durante el plazo del negocio, la segunda cuota debe descontarse en dos etapas así: primero del año dos al año uno con la tasa de interés del segundo año y allí sumarla con la otra cuota, luego este total se descuenta del año uno al momento cero con la tasa de interés del primer año. n=1 1%=36%EA 0 n=1 1%=30%EA 1 2 P=15,000,000 101 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como se conocen las tasas efectivas anuales y cada cuota debe pagarse anualmente, se puede tomar el año como período de capitalización y la solución del problema se plantea así: Ejemplo No. 3.22 Hace 10 meses se hizo un depósito de $3,500,000 en una cuenta que paga el 12% MV; si el saldo a hoy se invierte en un negocio que paga el 18% TV, cuánto hay que esperar para reunir un saldo de $4,000,000? Primero se debe averiguar cuál es el saldo a hoy: Como se conoce la tasa nominal anual, con la calculadora se procede así: OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. 12 x 10 12 3.500.000 -3.866.177 Este saldo se convierte en P para la segunda parte de la solución, recurriendo a la fórmula (9): 3.5 Notación estándar Con el fin de evitar tener que escribir la fórmula cada vez que se plantea un problema y para facilitar el planeamiento de los problemas a nivel internacional, se ha adoptado una notación estándar que reemplaza la formulación por una simbología que incluye los cuatro conceptos vistos hasta el momento, que intervienen en un problema de matemáticas financieras: el valor presente ( P ), el valor futuro ( F ), el plazo ( n ) y la tasa de interés del período ( i ). 102 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Pago único Como se sabe, tres de ellos deben ser conocidos y sólo uno es la incógnita, que se debe expresar en función de los conceptos conocidos, por lo tanto siempre se está buscando un valor dados los otros tres. Por ejemplo, si la incógnita es en valor presente, se dirá que se busca P dados F, i y n, esta facilidad es la que aprovecha la notación estándar: expresa todas las fórmulas en este sentido y el ejemplo anterior lo plantearía como (P/F, i%, n) que se lee calcular P dados F, i% y n. En el ejemplo anterior, la notación (P/F, i%, n) reemplaza la fórmula (1+i) - n, por lo tanto se puede decir que P = F (P/F, i%, n) o que F = (F/P, i%, n). La facilidad para plantear problemas se ilustra a continuación: Ejemplo No. 3.23 Hace 10 meses se hizo un depósito de $3,500,000 en una cuenta que paga el 12% MV; si el saldo a hoy se invierte en un negocio que paga el 18% TV, cuánto se habrá reunido dentro de 9 meses? Después de resolver los problemas de la tasa de interés del período, común en todos los problemas, este ejemplo gráficamente se plantearía así: n=3 1%=4.5% n=10 1%=1% 0 1 2 10 2 P=3,500,000 FÓRMULAS F = 3,500,000 (1 + 1%) 10 * (1 + 4.5%) 3 NOTACIÓN ESTANDAR F = 3,500,000 (F/P, 1%, 10) (F/P, 4.5%, 3) Cada persona utilizará la representación que comprenda más fácilmente, pero a medida que las fórmulas se complican y los problemas se hacen más complejos, la notación estándar mejora el planteamiento de los problemas. 103 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 3.24 Una deuda de $15,000,000, se debe cancelar en dos pagos iguales, el primero dentro de tres meses a una tasa del 36% MV y el segundo dentro de siete meses a una tasa del 2.5% mensual, de cuánto deben ser los pagos? Este problema, como se ha visto ya, se resuelve igualando el valor presente (P) conocido con los flujos futuros traídos a valor presente, para luego despejar la incógnita X. n=3 i%=3% 0 1 n=4 i%=2.5% 2 3 0 1 2 3 4 P= 15,000,000 FÓRMULAS 15,000,000 = [ x (1 + 2.5%)4 + x] (1 + 3%)3 NOTACIÓN ESTÁNDAR 15,000,000 = [ x (P/F, 3%, 3) + x] (P/F, 2.5%, 4) Esta notación se utilizará en los siguientes capítulos del libro para facilitar el planteamiento de los problemas. 104 Capítulo 3: Resumen JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Resumen del capítulo El objetivo de este capítulo era llevar a la vida práctica los conceptos tratados en los capítulos 1 y 2, para problemas de pago único, definidos éstos como aquéllos en que entre el valor presente (P) y el valor futuro (F) no hay movimientos de efectivo, quiere decir que los intereses se capitalizan y por lo tanto siempre se habla de interés compuesto. Se generalizó la solución en la fórmula (6): F = P (1 + i)n Los negocios de pago único, inician con un valor presente (P) que aumenta a medida que se causan y capitalizan los intereses, de manera que el valor futuro (F) se puede calcular en cualquier momento de la vida del negocio. Los problemas de pago único se organizaron en dos grandes grupos: problemas de capitalización y problemas de descuento, y para todos los casos se presentaron soluciones con fórmula, calculadora financiera y hoja de cálculo Excel. Como problemas de capitalización, se definieron aquéllos en que se busca un valor futuro o una rentabilidad, ya que se parte de un valor presente conocido, un plazo, un período de capitalización de intereses y una tasa de interés. Como problemas de descuento, se definieron aquéllos en que se busca un valor presente o de una rentabilidad, ya que se parte de un valor futuro conocido, un plazo, un período de capitalización de intereses y una tasa de interés. Con la calculadora financiera se estudiaron tres sistemas de solución de problemas de pago único, de acuerdo con la tasa de interés que se conozca: si se conoce la tasa del período, si se conoce la tasa nominal anual o si se conoce la tasa efectiva anual. Para finalizar el capítulo, se introdujo la notación estándar que reemplaza las fórmulas por una simbología que permite plantear y solucionar problemas de matemáticas financieras. En los problemas de pago único intervienen cuatro variables: el valor presente (P), el valor futuro (F), el plazo (n) y la tasa de interés del período (i); tres de ellos deben ser conocidos y uno es la incógnita que puede expresarse en función de los conceptos conocidos, por ejemplo, si la incógnita es 105 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel en valor presente, se dirá que se busca P conociendo F, i y n, utilizando la notación estándar se expresaría así: (P/F, i%, n) que se lee calcular P dados F, i% y n. La notación estándar se utilizará en los siguientes capítulos del libro para facilitar el planteamiento y solución de los problemas. Cuestionario de autoevaluación 3. a ¿Cuándo se considera de pago único un problema de matemáticas financieras? 3. b ¿Cuál es el significado de las variables que intervienen en un problema de pago único? 3. c ¿Cuáles son los dos casos básicos de los problemas de pago único? 3. d A partir de la fórmula (6) despejar las fórmulas para calcular cada una de las variables que intervienen en un problema de pago único de matemáticas financieras. 3. e Para resolver un problema de pago único con la calculadora financiera, cuáles sistemas existen según sea la tasa de interés que se conozca? 3. f Plantee un problema de pago único y resuélvalo con la calculadora financiera por los tres sistemas vistos. Aprecie los cambios que se deben N %IA . introducir en las teclas P/AÑO 3. g Haga un cuadro comparativo del valor que debe introducirse en la tecla P/AÑO relacionándolo con la tasa de interés que se introduce en %IA en los tres sistemas de solución de problemas de pago único con la calculadora financiera. 3. h Haga un cuadro comparativo del valor que debe introducirse en la tecla N relacionándolo con la tasa de interés que se introduce en %IA en los tres sistemas de solución de problemas de pago único con la calculadora financiera. 3. i Cuál es la regla general que debe tenerse presente para resolver problemas de pago único, cuando entre el valor inicial y el final aparecen flujos de dinero? 3. j Qué es la notación estándar y cuál es su utilidad en las matemáticas financieras? 3. k Resuelva todos los ejemplos de este capítulo utilizando la notación estándar. 106 Capítulo 3: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Ejercicios propuestos 3.1 Si un televisor cuesta de contado $800,000 y a crédito se compra con una cuota inicial del 30% y el saldo en una cuota a tres meses con una financiación del DTF + 10, ¿de cuánto será este segundo pago si DTF = 12% TA? 3.2 Si un televisor cuesta de contado $800,000 y a crédito se compra con una cuota inicial del 30% y el saldo en dos cuotas iguales a tres y seis meses con una financiación del DTF + 10, ¿de cuánto serán estas cuotas si DTF = 12% TA? 3.3 Si un televisor cuesta de contado $800,000 y a crédito se compra con una cuota inicial del 30% y el saldo en dos cuotas a tres y seis meses, siendo la segunda cuota el doble de la primera, con una financiación del DTF + 10, ¿de cuánto serán estas cuotas si DTF = 12% TA? 3.4 Un vehículo de $25,000,000 de contado, puede adquirirse pagando la mitad ahora y $14,500,000 seis meses después. ¿Cuál es la tasa efectiva anual que se carga al crédito, cuál expresada en TV? 3.5 Un pagaré por valor nominal de $1,200,000 fue emitido hace seis meses con un plazo total de 18 meses y capitaliza intereses al 2.5% mensual: a) ¿Cuánto vale hoy? b) Si es comprado hoy por $1,400,000 ¿cuál será la rentabilidad efectiva del comprador si lo conserva hasta el final? c) Si un inversionista que tiene una tasa de oportunidad del 45% lo compra hoy por $1,300,000, ¿cuánto gana o pierde en el negocio? d) Si es comprado por $1,350,000, ¿cuánto tiempo se debe conservar para venderlo por $1,500,000 y ganar en ese negocio un 3.4% mensual? 3.6 Una deuda de $450,000 a un año está pactada a DTF + 8 (DTF = 11.38% TA) y se paga en dos cuotas: la primera a seis meses y la segunda a doce meses por el doble de la primera cuota. ¿Cuál es el valor de cada cuota? 3.7 Un padre de familia quiere que su hijo que nació hoy, pueda tener ahorrado dentro de 20 años un valor de mil doscientos millones de pesos, si lo deposita en una cuenta que paga el 18% TV, ¿de cuánto debe ser el depósito? 3.8 Una persona empieza a trabajar hoy con un sueldo de $500,000 y quiere hacer una inversión que dentro de 25 años le represente 60 salarios. De cuánto debe ser esa inversión, si la hace en un lote que se valoriza al 15% anual, si se estima que el salario crece al 10% anual. (¿A cuántos salarios de hoy equivale el lote?) 3.9 Una deuda de $1,700,000 contraída hace cuatro meses a DTF + 7.5 (DTF = 11% TA), se la hace hoy un abono de $700,000. ¿Cuánto debe pagar de saldo dentro de un año? 107 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 3.10 Una póliza de seguro con ahorro tiene las siguientes condiciones: se hace un depósito inicial por un determinado valor que rinde el 10% EA, a los diez años se hace otro depósito por un monto igual al doble del valor depositado inicialmente, y el saldo acumulado hasta ese momento rinde el 20% EA por diez años más. Cuánto se debe depositar inicialmente, si se quiere retirar en el plazo total de 20 años un valor de dos mil millones de pesos? 3.11 De cuánto será el depósito inicial en el ejercicio anterior, si el segundo depósito es por el doble del valor que se tenga ahorrado hasta ese momento? 3.12 Una deuda de $5,000,000 se plantea pagar así: a) una cuota de $2,500,000 a los tres meses y otra de $2,900,000 a los seis meses. b) $5,500,000 a los seis meses. Cuál es el costo de la deuda a DTF + X (DTF = 11.5% TA), en efectivo anual, en MV? 3.13 Para un negocio de importaciones se aportan trece millones de pesos. Si a los tres meses se reciben $7,500,000 y a los siete meses otro tanto, qué tan bueno fue el negocio si la TIO del inversionista es del 60%. Cuál fue la tasa EA del negocio? 3.14 Una cooperativa cobra por sus préstamos el DTF+3 (DTF=12%TA) liquidado mensualmente; si vende un televisor de $1,350,000 así: 10% de cuota inicial y tres cuotas iguales a 30, 60 y 90 días, qué valor tiene cada cuota? 3.15 Un comerciante tiene dos deudas así: a) $800,000 a DTF + 8 liquidado mensualmente (DTF = 11.5% TA) y vence dentro de 6 meses. b) $3,000,000 a 6% trimestral a 9 meses. Analizar el negocio si se acuerda reunir las dos deudas en una sola a 12 meses al 2% mensual. 3.16 Una persona ahorra la prima legal durante dos años así: 15 junio 250,000 15 diciembre 250,000 15 junio 350,000 15 diciembre 450,000 ¿Cuánto tendrá ahorrado el 15 de marzo del año siguiente si en el primer año lo invirtió a 1.2% mensual, en el segundo año a DTF+3 liquidado trimestralmente (con DTF promedio de 14% TA) y en lo que va del tercer año a DTF+3 liquidado mensualmente (con DTF de 10% TA)? 108 Capítulo 3: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 3.17 Una deuda de US$ 1,200 contraída hace seis meses hay que pagarla dentro de un año; si la deuda fue contratada a PRIME + 3 capitalizado trimestralmente (con PRIME = 5% y devaluación anual del 15%) y hoy se acuerda convertirla en una deuda en pesos a DTF + 8 liquidada mensualmente (DTF = 11% TA), y el tipo de cambio es de $2,800 por dólar: a) ¿Cuál es el valor del nuevo pagaré? b) ¿Cuál es la tasa EA de ambos créditos? c) ¿Cuál es la tasa EA de todo el negocio? 3.18 Si a un crédito de $8,750,000 que se contrató hace nueve meses al 6% trimestral, se acuerda hacerle hoy un abono de $3,750,000 y el saldo pagarlo a seis meses al 2% mensual: a) ¿Cuánto se debe después del abono? b) ¿Cuánto se debe pagar dentro de seis meses? 3.19 Si a un crédito de $8,750,000 que se contrató hace nueve meses al 6% trimestral, se acuerda hacer un abono hoy y terminar de pagarlo dentro de tres meses con un giro de $4,000,000, de cuánto debe ser el abono de hoy? 3.20 Un electrodoméstico que tiene un precio de contado de $2,000,000, se paga así: Cuota inicial de 30%. $470,000 a los 30 días. $540,000 a los 60 días. $490,000 a los 90 días. ¿Cuál es la tasa de interés mensual que se carga en la compra a crédito? 3.21 ¿Cuál fue el plazo al que se concedió un crédito de $1,000,000 al 2.5% mensual, si para cancelarlo se paga $1,380.000? 3.22 ¿Cuánto tiempo se demora en pagar una deuda contratada al 3% mensual por valor de $4,350,000, si a los dos meses se hizo un abono de $2,500,000 y al final se paga el saldo con $2,600,000? 3.23 Una deuda que debe pagarse dentro de tres meses por un total (capital más intereses) de $1,500,000 y que está pactada al 7.5% trimestral, se acuerda cambiarla por el pago de dos cuotas de $750,000, la primera a dos meses y la segunda a cuatro meses. Analizar desde el punto de vista del deudor y del acreedor. 3.24 Hace 18 meses se hizo un depósito en garantía por valor de $750,000, si hoy devuelven el mismo valor y la inflación anual ha sido del 9% anual, cuánto poder adquisitivo se perdió? 109 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 3.25 Si por un depósito de $750,000 hecho hace 18 meses hoy devuelven $850,000. Cuál fue la rentabilidad efectiva anual que reconocieron? Como se analiza si la inflación anual es del 10%? 3.26 Un tesorero recibe el miércoles santo un cheque por mil doscientos millones de pesos y por olvido no lo consigan ese día. Si la es cuenta para el 12% EA, cuánto perdió la empresa en los cuatro días? 3.27 Para pagar la ampliación de la planta dentro de dos años, una empresa decide hacer una reserva de $850 millones. Dónde le conviene más invertirla: ¿En un bono al 24% SV? ¿En inventarios que se valorizan al 2% mensual? ¿En un depósito en dólares al PRIME + 3, si la devaluación es del 14% y el PRIME de 5% SV? ¿En un CDT a 24 meses a DTF + 3 si el DTF = 12% TA? ¿Cuál es la rentabilidad efectiva anual de cada alternativa y cuánto reúne al final en cada una? 3.28 Una empresa debe reunir US$ 300,000 dentro de siete meses, cuánto debe depositar hoy en una cuenta en pesos que paga el 18% MV? La devaluación es del 14% anual y el tipo de cambio actual de $2,500 por dólar. 3.29 Un bono de $125,000,000, que paga interés del 9% semestral vencido y le faltan cuatro meses para el próximo pago fue comprado por un inversionista en $128,500,000: a) ¿Cuánto recibe de intereses cuando los paguen? b) ¿Cuál fue la rentabilidad efectiva anual y SV de quien vendió el bono? c) ¿Cuál es la rentabilidad efectiva anual si el comprador posee el bono hasta el pago de los intereses? d) ¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual del nuevo tenedor si lo vende 35 días después por $130,600,000? e) ¿Por cuánto deberá venderlo a los 75 días si quiere tener una rentabilidad del 20% EA? 3.30 Una persona ha hecho tres compras con su tarjeta de crédito: a) $500,000 el 20 de agosto. b) $725,350 el 7 de septiembre. c) $380,725 el 10 de octubre. Si se cobra el 3% mensual liquidado diariamente, cuánto debe el 20 de noviembre, si hasta la fecha no ha hecho ningún pago y por mora le recargan una vez y media el interés normal? Cuál es la tasa efectiva anual del crédito? 110 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 3: Ejercicios 3.31 Si se hace un depósito de $300,000 al 2% mensual y a los cuatro meses se agregan $350,000 al depósito y se mantienen por tres meses más, ¿a que tasa se debe invertir el saldo acumulado para reunir $810,000 doce meses después del primer depósito? 3.32 Si hace cuatro meses se hizo un depósito de $450,000 al 2% mensual, ¿cuánto se debe depositar hoy en la misma cuenta para reunir dentro de diez meses $1,150,000 si el interés bajó a 1.5% mensual? 3.33 Hace ocho meses se firmó un pagaré de $8,000,000 al 36% EA, con intereses capitalizados trimestre vencido, para cancelar en un solo pago con un plazo total de 24 meses. El acreedor está vendiendo el pagaré, cuánto debe pagar el comprador si espera conservarlo hasta el final y ganar en el negocio un 3% mensual? 3.34 Un CDT de $ 100 millones, expedido a 180 días al DTF + 3 (DTF = 11.5% TA), paga intereses semestre anticipado. Transcurridos 32 dias el poseedor pretende venderlo por $94.5 millones, ¿qué circunstancias se deben presentar en la economía para encontrar un comprador? ¿Cuál es la rentabilidad efectiva anual del que vende y del que compra? Como se expresarían en DTF + X%? 3.35 Existe un bono de US$ 12,000 que paga intereses de PRIME + 4 liquidados año vencido, si una persona lo compró en el mercado primario hace cuatro meses y lo desea vender, cuánto se pagaría en pesos para tenerlo el resto del año y ganar el 30% EA en la operación? (PRIME = 4%, devaluación desde la emisión hasta hoy 4.5%, devaluación esperada 10% anual, tipo de cambio hoy = $2,420 por dólar) 3.36 Una casa de $35,000,000 se valoriza al 8% anual. Si una persona quiere ahorrar el 20% de la cuota inicial e invierte hoy $3,500,000 de sus ahorros en un papel que rinde el 18% EA, cuánto tiempo se demorará en completar la cuota inicial? 3.37 Por cuánto debe elaborar un banco un pagaré tres deudas, si se exige el pago del 10% de la deuda total: Primera: que consolida $2,450,000 entregados hace 5 meses al 2.5% mensual. Segunda: $10,500,000 que ya incluyen los intereses del 7% trimestral y vencen dentro de seis meses. Tercera: $2,230,000 del sobregiro que lleva 45 días y se liquida al 36% EA. 3.38 Un pagaré de $3,540,000 se liquida al 28% MV y a los 35 días el deudor abona un millón de pesos, ¿cuánto queda debiendo en ese momento? ¿Cuánto queda debiendo si los intereses son del 28% TV? 3.39 Cuánto tendrá el 20 de julio una compañía que efectúa las siguientes transacciones en una cuenta, si de los rendimientos causados durante el mes se hace una retención en la fuente del 7%, al final del mes. 111 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel FECHA DEPOSITO 15 mayo 15,000,000 18 mayo 3,000,000 25 mayo 10 junio 7,000,000 25,000,000 20 junio 28 junio 7 julio RETIRO 30,000,000 5,000,000 10,000,000 Si la tasa de interés ha sido del 18%, 16% y 12% EA anual, para los meses de mayo, junio y julio? 3.40 Cuánto debe depositarse hoy en una cuenta que paga el DTF+2, liquidado por trimestre vencido, para tener un saldo de $15,000,000 dentro de 30 meses? (se estima que la DTF tendrá los siguientes valores: 12% en el primer año, 10% en el segundo y 8% en el tercero). 112 CAPÍTULO 4 Series uniformes En este capítulo se tratan aquellos casos en los cuales entre el flujo inicial y el flujo final de dinero hay movimientos de efectivo con algún patrón o sea que se presenta una serie de movimientos de efectivo que reciben su nombre dependiendo de la forma que tome dicho patrón. Por ejemplo, si todos los flujos de la serie se repiten a intervalos iguales y tienen el mismo valor, reciben el nombre de series uniformes. El capítulo contiene los siguientes temas: 4.1 Conceptos generales 4.2 Anualidad vencida 4.3 Anualidad anticipada 4.4 Anualidad diferida 4.5 Anualidad perpetua Objetivos General Aplicar los conceptos y herramientas conocidos en los capítulos 1 y 2 en la solución de problemas de series uniformes de la vida práctica, utilizando los cuatro sistemas de solución de problemas (fórmulas, calculadora financiera, hoja de cálculo Excel y notación estándar) Específicos a) Presentar el concepto y las condiciones de series uniformes y agregar la anualidad a las variables que se involucran en los problemas de matemáticas financieras. b) Plantear los conceptos de capitalización y amortización por cuotas, que constituyen los dos casos básicos de los problemas de series. c) Definir el concepto de cuotas vencidas, anticipadas y diferidas según el momento de pago de la cuota y de perpetuidades según la duración de la serie. d) Deducir la fórmula básica utilizada para resolver problemas prácticos de series uniformes. e) Explicar los dos sistemas que pueden utilizarse con la calculadora financiera para solucionar problemas de series uniformes, según sea la tasa de interés que se conozca. f) Explicar la utilización de las funciones financieras de series uniformes de la hoja de cálculo Excel. g) Introducir el cálculo de rentabilidades en problemas de series uniformes con la opción F.CAJ del menú principal de la calculadora financiera y la función TIR de la hoja de cál- culo Excel. JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes 4.1 Conceptos generales Se habla de series cuando dentro del plazo del negocio hay movimientos de efectivo con algún patrón; si este patrón es de cuotas iguales a intervalos regulares, se habla de series uniformes. Los movimientos de efectivo que hay entre el valor inicial y el valor final de un negocio, se supone son reinvertidos por lo que resta del plazo total, en las mismas condiciones existentes cuando se inició el negocio, por lo tanto en las soluciones de los problemas de series uniformes siempre hay equivalencia entre los pagos periódicos iguales y el valor presente o futuro que se halle. Un problema se considera de series uniformes cuando reúne las siguientes condiciones en su totalidad: a) Valor igual: El monto de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. b) Intervalo igual: La periodicidad de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. c) Interés igual: La tasa de interés a la que se liquidan los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. Esto quiere decir que en las series aparece un quinto elemento que es el valor de los pagos que se hace dentro del plazo del negocio, como se aprecia en el siguiente diagrama: 0 1 2 3 4 n,i% P Donde el monto de los valores de la serie recibe el nombre de “anualidad”, no porque ocurra cada año, sino por su periodicidad constante, ya que en realidad los movimientos de efectivo pueden darse con cualquier periodicidad: diaria, mensual, trimestral, semestral y siempre se llamarán anualidad y se conocerán con la sigla A Los problemas de series uniformes se clasifican en dos grandes clases: problemas que tratan negocios de amortización y problemas que tratan negocios de capitalización: 115 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel • Negocios de amortización (crédito) en los cuales, la intención es partir de un valor presente y con las cuotas que se paguen llegar al final del plazo a un saldo cero o a un valor futuro residual que al ser cancelado reduce el saldo a cero. . • Negocios de capitalización (ahorro) en los cuales, se parte de un valor actual cero y las cuotas se van acumulando hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado. . Es importante apreciar en las dos figuras anteriores que el primer pago ocurre en el período uno y el último en el período n, es decir que el primer pago aparece un período después del valor presente (P) y el último pago en el mismo momento del valor futuro (F). Esta situación es la que se conoce como anualidades vencidas 116 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes 4.2 Anualidad vencida El concepto de anualidad vencida no tiene nada que ver con la forma de pago de los intereses, si no con el momento en que se paga la cuota. Son, entonces, anualidades vencidas aquéllas en las cuales las cuotas se pagan al finalizar el período. Por ejemplo un crédito, cuya primera cuota se cancela un período después de recibido el capital en préstamo. 4.2.1. Anualidad vencida con fórmula Para encontrar la fórmula que calcula el valor presente (P) de las anualidades vencidas, se recurrirá al concepto empleado en la página 99, según el cual “El valor presente de un negocio será igual a la suma de los valores presentes de todos los flujos futuros, descontados a la tasa de interés del negocio”, es decir que el valor presente de una serie uniforme será igual a la suma del valor presente de todas las anualidades. Gráficamente, el concepto anterior se muestra así: 1 n-1 2 n n,i,A Donde se aprecia, que cada uno de los valores iguales ( A ) pagados durante el plazo del negocio se descuenta a la tasa de interés del negocio para calcular su valor presente y así poder encontrar su sumatoria en el momento cero. Se concluye la siguiente expresión que generaliza el concepto: Que expresada de otra forma sería: 117 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel expresión 1 Si la expresión 1 se multiplica a ambos lados de la igualdad por (1 + i), se obtiene: expresión 2 Restando la expresión 1 de la expresión 2 se llega a: expresión 3 Reduciendo la expresión 3 se obtiene la fórmula para calcular el valor presente de una serie uniforme que se paga vencida: (22) Que en términos de la notación estándar se expresaría así: P = A (P/A, i%, n), que se lee “calcular P dados A, i% y n” Ejemplo No. 4.1 Un banco aprueba un crédito que debe ser cancelado en cuatro cuotas trimestrales iguales de $750,000; por cuánto fue el crédito si se cobra un interés del 32% EA? El problema de encontrar el valor de la tasa de interés del período ( i ) sigue vigente, en este caso debe encontrarse la tasa de un trimestre: 118 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes PRIMER PASO &NOM SEGUNDO PASO %EFE P 32 P &NOM 4 28.75 28.75% TV Es decir que la tasa de un trimestre es 7.19%. Ya es posible reemplazar en la fórmula (22): El problema se plantea así: P = A (P/A, i%, n) Tasa de interés del período i 7.19% trimestral Número de períodos n 4 trimestres Anualidad A $750,000 trimestrales Valor presente P ??? 4.2.2 Anualidad vencida con calculadora Utilizando la calculadora financiera se tienen dos sistemas: cuando se conoce la tasa del período de pago y cuando se conoce la tasa nominal anual: Anualidad vencida cuando se conoce la tasa de período Cuando se conoce la tasa del período de pago (i), las teclas del menú siguiente significado en los problemas de series uniformes: N Tasa de interés del período de pago ( i ) V.A. Valor presente V.F. tienen el Número de cuotas que hay que pagar durante el negocio %IA PAGO VDT Valor de la anualidad o cuota Valor futuro Tecla para entrar al menú secundario y especificar la forma de pago de las cuotas, que ofrece las siguientes opciones: P/AÑO OTRO INIC FINAL Debe digitarse uno (1) cuando se conoce la tasa del período Cuando la anualidad se paga anticipada Cuando la anualidad se paga vencida Se selecciona un pago al año modo final o inicial según la clase de anualidad 119 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 4.2 Un electrodoméstico se adquiere a crédito pagando 18 cuotas iguales de $45,000, cuál es el valor de contado, si el almacén le carga una financiación del 2.5% mensual? OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.F. PAGO V.A. 1 x 18 2.5% 0 45,000 -645,901 Se aprecia que en la calculadora se empieza a utilizar la tecla PAGO que representa la anualidad ( A ). No sobra recordar que la calculadora funciona con flujos de efectivo, por lo tanto si los pagos se introducen positivos, el valor presente se genera negativo. Anualidad vencida cuando se conoce la tasa nominal anual Cuando se conoce la tasa nominal anual ( NA ), las teclas del menú siguiente significado en los problemas de series uniformes: N Tasa de interés nominal anual V.A. Valor presente V.F. tienen el Número de cuotas que hay que pagar durante el negocio %IA PAGO VDT Valor de la anualidad o cuota Valor futuro Tecla para entrar al menú secundario y especificar la forma de pago de las cuotas, que ofrece las siguientes opciones: P/AÑO OTRO INIC FINAL Debe digitarse el número de períodos de pago que hay en un año, cuando se conoce la tasa nominal anual Cuando la anualidad se paga anticipada Cuando la anualidad se paga vencida Se selecciona n pagos al año modo final o inicial según la clase de anualidad Ejemplo No. 4.3 Cuánto debe depositar un padre de familia en una cuenta de ahorros que paga el 24% MV, para poder retirar cada semestre durante cinco años un valor de $2,500,000 para la matrícula universitaria de su hijo? Como el período de pago es semestral, debe hacerse la conversión de la tasa de interés de MV a SV: 120 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes PRIMER PASO &NOM P 24 10 SEGUNDO PASO %EFE 26.82 P &NOM 2 25.23 25.23% SV Luego se procede con la calculadora a encontrar el valor presente (P) OTRO P/AÑO 2 FINAL N %IA V.F. PAGO V.A. x 18 25.23 0 2,500,000 -13,776,935 4.2.3 Valor futuro, anualidad, tasa y número de períodos Mientras que el menú ofrecido por la calculadora financiera permite introducir los valores conocidos y seleccionar el desconocido para que se produzca la respuesta, con las fórmulas se debe tener una para cada variable. Valor futuro ( F ) Para encontrar el valor futuro ( F ) de una serie uniforme de pagos, se recurre al concepto de la fórmula (6) F = P (1 + i)n , es decir que ya conociendo la fórmula para calcular el valor presente ( P ), se parte de ella para conocer la del valor futuro (F): (23) Ejemplo No. 4.4 Si una persona ahorra $50,000 mensuales a una tasa del 2.5% mensual, cuánto habrá reunido después de tres años? El problema se plantea así: F = A (F/A, i%, n) Tasa de interés del período i 2.5% mensual Número de períodos n 36 meses Anualidad A $50,000 mensuales Valor futuro F ??? 121 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.F. PAGO V.A. 1 x 36 2.5 0 50,000 -2,865,071 Anualidad ( A ) La incógnita en un problema de series uniformes también puede ser la anualidad o cuota, y la fórmula puede despejarse de la fórmula (22) cuando se conoce el valor presente ( P ): (24) o a la fórmula (23) cuando se conoce el valor futuro ( F ): (25) Ejemplo No. 4.5 Una vivienda de $35,000,000 se adquiere sin cuota inicial a una tasa de 1.2% mensual y con un plazo de 15 años, de cuánto son las cuotas mensuales? El problema se plantea así: A = P (A/P, i%, n) 122 Tasa de interés del período i Número de períodos n 1.2% mensual 180 meses Valor presente P $35,000,000 Anualidad A ??? JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. PAGO 1 x 180 1.2 35,000,000 0 -475,553 Ejemplo No. 4.6 Si se quiere tener un saldo ahorrado de $5,000,000 dentro de tres años, cuánto se debe depositar trimestralmente en una cuenta que paga el 28% TV? El problema se plantea así: A = A (F/A, i%, n) Tasa de interés del período i 7% mensual Número de períodos n 12 trimestres Valor futuro F $5,000,000 Anualidad A ??? OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. PAGO 1 x 12 7 0 5,000,000 -279,410 Tasa ( i ) No existe una fórmula definida para calcular la tasa de interés de un negocio de series uniformes, debe hacerse por aproximaciones sucesivas o utilizando la interpolación. Con la calculadora financiera no existe ningún problema, sólo hay que tener presente si la respuesta que se obtiene es la tasa del período o la nominal anual, todo depende de que se haya introducido en la tecla P/AÑO del menú secundario OTRO . Ejemplo No. 4.7 Cuál es la tasa cobrada en la compra de un electrodoméstico que de contado cuesta $1,250,000 y a crédito se adquiere con 18 cuotas mensuales de $95,000? El problema se plantea así: 123 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Número de períodos n 18 meses Valor presente P $1,250,000 Anualidad A $95,000 mensuales Tasa de interés del período i ??? Como no existe fórmula, se debe resolver por interpolación utilizando cualquiera de las fórmulas donde figuren como variables conocidas el valor presente ( P ) y la anualidad ( A ), se utilizará la fórmula (22): se plantea que 95,000 Planteado así el problema, se está buscando la tasa de interés del período que haga la ecuación igual a cero. Se resuelve para i=3%, con lo cual se llega a un resultado de 56,584, lo cual quiere decir que la tasa es superior, por lo tanto se ensaya con i = 4% y el resultado es negativo en 47,367. Los dos resultados indican que el valor de la tasa de interés que hace la ecuación igual a cero se encuentra entre 3% y 4%, gráficamente se presenta así: 3.0% 56,584 W Y z 4.0% (47,367) Para resolver el valor de i se recurre a las proporciones: Ésta es una respuesta aproximada y es más precisa entre más cerca se encuentren las dos tasas que se utilicen para ensayar en resultado. Con la calculadora es más sencillo y preciso: 124 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes OTRO P/AÑO FINAL N V.A. PAGO V.F. %IA 1 x 18 1,250,000 -95,000 0 3.53 Como se utilizó el sistema de la tasa del período, la respuesta es 3.53% mensual, que es la tasa que se cobra por la financiación de la compra. Número de períodos ( n ) Para calcular el número de veces que debe repetirse una anualidad para que se cumplan ciertos valores, se tienen dos fórmulas, dependiendo de las variables que sean conocidas, entonces se decidirá si se utiliza la fórmula (22) cuando se conoce el valor presente ( P ): (26) o la fórmula (23) cuando se conoce el valor futuro ( F ): (27) Ejemplo No. 4.8 Cuánto tiempo se demora una persona para ahorrar $3,500,000, si deposita mensualmente $100,000 en una cuenta que paga el 0.8% mensual? El problema se plantea así: Valor futuro F $3,500,000 Anualidad A $100,000 mensuales Tasa de interés del período i 0.8% mensual Número de períodos n ??? Como se conoce el valor futuro, entonces se utiliza la fórmula (27) A ese ritmo de ahorro se alcanzaría la suma proyectada en 31 meses. 125 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 4.2.4 Anualidades vencidas con Excel Dentro de las funciones financieras que vienen con la hoja de cálculo Excel, existe una función para cada una de las variables que intervienen en las series uniformes. Estas funciones utilizan los siguientes argumentos: ARGUMENTO SIGNIFICADO Va P en los términos financieros. Es el valor actual de una serie de pagos futuros iguales. Si este argumento se omite, se considerará 0. Vf F en los términos financieros. Es el valor futuro o el saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento Vf se omite, se asume que el valor es 0. Pago A en los términos financieros. Es el pago que se efectúa en cada período. Este argumento debe tener signo contrario al de Va y Vf, para conservar las condiciones del flujo de caja: los ingresos se presentan con signo positivo y los egresos con signo negativo. Nper n en los términos financieros. Es la cantidad total de períodos en una anualidad, es decir el plazo total del negocio. Tasa i en los términos financieros. Es la tasa de interés por período, expresada en términos decimales. Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado Defina tipo como Si el pago se hace 0 ó se omite Al final del período (vencido) 1 Al principio del período (anticipado). A continuación se presentan cada una de las funciones: Función financiera VF Devuelve el valor futuro de una inversión, equivalente a los pagos constantes que se hacen periódicamente y a una tasa de interés constante. VF(tasa, nper, pago, va, tipo) Ejemplo No. 4.9 Al depositar $250.000 mensuales durante 2 años en una cuenta que paga el 36% MV, desea saber cuánto dinero tendrá ahorrado al final? 126 Capítulo 4: Series uniformes JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Hay tres aspectos que se deben tener en cuenta en este ejemplo: a) El interés que se incluye en el argumento Tasa debe estar en la misma unidad de tiempo que se use para el argumento Nper y ambos deben expresarse en la unidad de tiempo del período de pago, en este caso mensualmente, la tasa de interés debe ser mensual, por lo tanto hay que dividir por doce la tasa anual nominal (B3/12). b) El valor presente (Va) debe omitirse. c) Si se desea que las cifras en la hoja de cálculo sean positivas, el argumento Pago debe introducirse con signo negativo, como se aprecia en el asistente para funciones (-B4). Función financiera VA Devuelve el valor presente de una serie de abonos periódicos constantes en el futuro, a una tasa de interés constante. Cuando se pide dinero prestado, el monto del préstamo es el valor actual para el prestamista, que es equivalente a las cuotas iguales que recibirá en el futuro. Esta función conserva las mismas observaciones efectuadas para VF. VA(tasa, nper, pago, vf, tipo) Función financiera PAGO Devuelve el pago periódico de una anualidad basándose en pagos constantes y en una tasa de interés constante. La respuesta que arroja esta función es equivalente a Va ó a VF, dadas las condiciones que se plantean en los períodos, la tasa y la cuota. PAGO(tasa, nper, va, vf, tipo) Ejemplo No. 4.10 Si se recibe un crédito de $ 5.000.000 para ser cancelado en cinco años con cuotas trimestrales iguales, a una tasa del 40% TV, de cuánto será el valor de las cuotas? 127 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Función financiera TASA Devuelve la tasa de interés por período de pago de una anualidad; esta tasa es la que hace equivalentes el pago constante con el valor presente o con el valor futuro. TASA(nper, pago, va, vf, tipo, estimar) La función Tasa calcula la tasa de interés a través de iteraciones, empezando los cálculos con una tasa de 10%, si se desea que inicie en otro valor debe darse en el argumento Estimar. Función financiera NPER Devuelve la cantidad de períodos que debe conservarse una inversión para que sea equivalente a una serie de pagos periódicos iguales. NPER(tasa, pago, va, vf, tipo) La unidad de tiempo en la que se expresa Nper es la misma que se emplea para la tasa de interés. 4.3 Anualidad anticipada Se llama anualidad anticipada, aquella serie en la cual los pagos se realizan al inicio de cada período, como ocurre por ejemplo con el arrendamiento que debe pagarse en los primeros días del mes o la prima de un seguro que se cancela cuando inicia el período que cubre. Gráficamente se representan así: 128 Capítulo 4: Series uniformes JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA La anualidad anticipada tiene que ver sólo con el momento en que se paga la cuota y no tiene ninguna relación con la forma de liquidar la tasa de interés. El valor presente (P) y el valor futuro (F) con la serie de pagos se representarían así: En las figuras anteriores puede apreciarse la diferencia frente a las figuras de la página 116, que representan anualidades vencidas; como se observa en las anualidades anticipadas, el primer pago se efectúa en el período cero y el último un período antes de n, es decir que el primer pago aparece en el mismo momento del valor presente (P) y el último pago un período antes que el valor futuro (F). Como las fórmulas de series uniformes vistas hasta el momento se dedujeron para anualidades vencidas, ahora es necesario encontrar las fórmulas para las anualidades anticipadas, trabajo que en realidad es bastante sencillo. Valor presente (P) La fórmula del valor presente para las anualidades vencidas, calcula P un período antes del primer pago, si se aplicara esta misma fórmula para las anualidades anticipadas en valor presente (P) se estaría calculando en el período – 1 (un período antes de cero), por lo tanto basta con llevarlo un período hacia el futuro multiplicando por (1 + i), lo cual, expresado en notación estándar, sería: (P/A, i%, n)(F/P, i%, 1), es decir que la fórmula (22) quedaría así: (28) 129 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 4.11 El arrendamiento de una oficina es de $750,000 mensuales, que deben pagarse en los cinco primeros días del mes (mes anticipado), si el propietario tiene una tasa de oportunidad de 4% mensual y pide al arrendatario que le adelante seis meses de arrendamiento; cuánto se le debería pagar? El problema se plantea así: Anualidad A $750,000 mensuales Tasa de interés del período i 4% mensual Número de períodos n 6 Valor presente P ??? Como es una anualidad anticipada debe utilizarse la fórmula (28) En la calculadora financiera basta seleccionar el menú secundario OTRO y aclarar que las cuotas son anticipadas, el resto de las operaciones se sigue efectuando de acuerdo con la tasa de interés que se conozca, en este caso se conoce la tasa del período: OTRO P/AÑO FINAL N %IA PAGO V.F. PAGO 1 x 6 4 -750,000 0 4,088,867 Utilizando las funciones financieras del Excel, también basta con digitar en el argumento Tipo el valor 1, que indica que las cuotas se pagan anticipadas: 130 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes Valor futuro ( F ) Con el valor futuro ocurre lo mismo, la fórmula para las anualidades vencidas calcula F en el mismo momento del último pago, si se aplicara esta misma fórmula para las anualidades anticipadas en valor futuro (F) se estaría calculando en el período n–1 (un período antes de n), por lo tanto basta con llevarlo un período hacia el futuro multiplicando por (1 + i), lo cual, expresado en notación estándar, sería: (F/A, i%, n)(F/P, i%, 1), es decir que la fórmula (23) quedaría así: (29) Ejemplo No. 4.12 Un empleado ha decidido ahorrar el 25% de su sueldo, empezando hoy, cuánto tendrá ahorrado dentro de nueve meses en una cuenta que paga el 12% MV, si tiene un sueldo de $1,520,000? Aunque el sueldo se paga vencido, lo importante de este ejemplo es que el primer ahorro lo hace hoy que empieza el mes, por lo tanto son anualidades anticipadas. El problema se plantea así: Anualidad A $380,000 mensuales Tasa de interés del período i 1% mensual Número de períodos n 9 Valor futuro F ??? Como es una anualidad anticipada debe utilizarse la fórmula (29) Para el caso de la calculadora financiera y las funciones financieras del Excel, basta con indicar que la anualidad es anticipada y el cálculo se efectúa adecuadamente. Anualidad ( A ) Cuando la incógnita es la anualidad o cuota, la fórmula puede despejarse de la fórmula (28) cuando se conoce el valor presente: (30) 131 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel En notación estándar la fórmula anterior se expresaría así: A=P(P/F, i%, 1)(A/P, i%, n) También puede despejarse de la fórmula (29), cuando el valor conocido es el futuro: (31) En notación estándar la fórmula anterior se expresaría así: A= F (P/F, i%, 1)(A/F, i%, n) Ejemplo No. 4.13 Una compañía de seguros cobra el 8% del valor del equipo por asegurarlo durante un año, si el cliente quiere efectuar el pago a crédito se le difiere en 12 cuotas anticipadas con una tasa de financiación del 2.5% mensual. De cuánto serían las cuotas, para asegurar una maquinaria que tiene un valor de $300,000,000? El valor del seguro de contado sería de $24,000,000, si se va a pagar por cuotas, el problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.5% mensual Número de períodos n 12 Valor presente P 24,000,000 Anualidad A ??? Como se conoce el valor presente ( P ), debe utilizarse la fórmula (30) OTRO P/AÑO FINAL N %IA PAGO V.F. PAGO 1 x 12 2.5 -24,000,000 0 2,282,625 Tasa ( i ) Como no existe una fórmula definida para calcular la tasa de interés en los negocios de series uniformes, hay que utilizar las fórmulas conocidas y por medio de ensayos encontrar el valor de la tasa de interés de un problema. Con la calculadora financiera no existe ningún problema, sólo hay que tener presente en qué momento se paga la anualidad (vencida o anticipada) y si la respuesta que se obtiene es la tasa del período o la nominal anual, todo depende de como se haya introducido en la tecla P/AÑO del 132 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes menú alterno OTRO . En las funciones financieras del Excel, basta con aclarar la forma de pago de la anualidad, digitando en el argumento Tipo de la función PAGO un 0 para las vencidas y un 1 para las anticipadas. Ejemplo No. 4.14 A qué tasa de interés se estará financiado un seguro de vida, cuya prima de contado es de $150,000 anual, si se puede pagar en cuotas trimestrales anticipadas de $40,000? OTRO P/AÑO FINAL 1 x N 4 V.A. PAGO V.F. %IA 150,000 -40,000 0 4.48 Como el período de pago de la cuota es de un trimestre y se seleccionó el modo de trabajo de la tasa del período (1 pago al año modo inicial), la respuesta es 4.48% trimestral; al seleccionar el modo de trabajo de la tasa nominal anual (n pagos al año modo inicial) el resultado sería: OTRO P/AÑO FINAL N V.A. PAGO V.F. %IA 4 x 4 150,000 -40,000 0 17.92 La respuesta es 17.92% TV Número de períodos ( n ) Para calcular el número de veces que debe repetirse una anualidad anticipada para que se cumplan ciertos valores, se tienen dos fórmulas, dependiendo de las variables que sean conocidas, entonces se decidirá utilizar la fórmula (28) para despejar n cuando se conoce el valor presente. (32) o utilizar la fórmula (29) para despejar n cuando se conoce el valor futuro. (33) 133 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 4.15 Si en una cuenta de ahorros que paga el 0.78% mensual, el saldo actual es de $3,544,700, y a partir de hoy se empiezan a retirar $720,000 mensuales, cuánto tiempo durará el dinero? El problema se plantea así: Valor presente P $3,544,700 Anualidad A $720,000 mensuales Tasa de interés del período i 0.78% mensual Número de períodos n ??? Como se conoce el valor presente ( P ) debe utilizarse la fórmula (32): OTRO P/AÑO FINAL %IA V.A. PAGO V.F. N 1 x 0.78 3,544,700 -720,000 0 5 Para comprobar los cálculos anteriores, se pueden reconstruir los movimientos de la cuenta de ahorros, como se muestra en el siguiente cuadro: 134 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes PERÍODO SALDO INICIAL RETIRO SALDO DESPUÉS DEL RETIRO INTERESES DEL MES SALDO FINAL 0 3,544,700 720,000 2,824,700 22,033 2,846,733 1 2,846,733 720,000 2,126,733 16,589 2,143,321 2 2,143,321 720,000 1,423,321 11,102 1,434,423 3 1,434,423 720,000 714,423 5,573 719,996 4 719,996 720,000 0 A continuación se presentan algunos ejemplos en los cuales se utilizan series uniformes tanto vencidas como anticipadas, combinadas con casos de pago único; es decir que se busca utilizar todos los aspectos de las matemáticas financieras vistos hasta el momento. Ejemplo No. 4.16 Una empresa acaba de construir una bodega con un volumen superior al que necesita y el gerente piensa que arrendando una parte es posible financiar la construcción. Si el metro cúbico de almacenamiento se puede arrendar en $9.500 mensuales, cuántos metros cúbicos se deben arrendar para que consignando el producto del arriendo en un cuenta que paga el 16% EA (liquidado mensualmente) en cuatro años reúna el equivalente al costo de la bodega que fue de $73.500.000? Aquí se plantea encontrar el valor de la cuota mensual ( A ) que consignada mes anticipado sea equivalente al valor presente ( P ), por lo tanto el problema se plantea así: A = P (A/P; i%, n) (P/F, i%, n) Valor presente P $73,500,000 Tasa de interés del período i 1.24% mensual Número de períodos n 48 meses Anualidad A ??? A = 73,500,000 (A/P, 1.24%, 48) (P/F, 1.24%, 1) = 2,016,092 Se deben depositar mensualmente $2,016,092, para reunir los $73.5 millones que costó la bodega; esto quiere decir que se deben arrendar 2,016,092 / 9,500 = 212.22 metros cúbicos de bodega. 135 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel OTRO P/AÑO INIC 1 x FINAL N %IA V.A. V.F. PAGO 48 1.24 73,500,000 0 -2,016,092 Es importante mencionar que ahorrando ese valor mensual, en el mes 48 se ha reunido un valor de $132,797,497 que es el equivalente a $73,500,000 de hoy a una tasa mensual de 1.24%: F = 73,500,000 (1 + 1.24%)48 Ejemplo No. 4.17 Una empresa debe financiar el ensanche de la planta por $150.000.000 y piensa lanzar bonos a tres años a DTF + 12 (DTF = 11.2% TA), con un pago único al final del plazo. El gerente financiero desea saber cuánto debe ahorrar mensualmente a partir de hoy en una cuenta que paga el 18% TV, para reunir la cantidad necesaria para pagar los bonos cuando se venzan dentro de tres años? Como la tasa a que capitalizan los bonos es diferente de la tasa del ahorro, no se puede resolver el problema por el valor presente como se hizo en el ejemplo No. 4.16. Por lo tanto este problema se resuelve en dos partes: primera conocer cuánto hay que reunir para pagar los bonos a la tasa a que están colocados y segunda conocer cuánto hay que ahorrar mensualmente a la tasa que pagan los ahorros para reunir ese dinero. Primera parte: Conocer cuánto es el valor que debe reunirse, es decir a cuánto equivalen los $150 millones dentro de tres años al 27% EA que es la tasa equivalente a DTF + 12. Éste es un caso de pago único, que puede expresarse así: F =P (F/P, 27%, 3) o sea F =150,000,000 (1+27%)3 = 307,257,450. Segunda parte: Como el ahorro se hace mensualmente, hay que conocer la tasa equivalente de 18% TV, expresada en MV. PRIMER PASO SEGUNDO PASO %NOM P %EFE P NOM 18 4 19.25 12 17.74 17.74% MV Para después poder plantear la solución, sabiendo que: Valor futuro Tasa de interés 136 F NA $307,257,450 17.74% MV Número de períodos n 36 meses Anualidad A ??? JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes Como se conoce la tasa nominal anual, entonces debe emplearse ese modo en la calculadora: Como se trata de cuotas de ahorro, se trabaja con anualidad anticipada: OTRO P/AÑO INIC 12 x FINAL N %IA V.A. V.F. PAGO 36 17.74 0 307,257,450 -6,431,068 En la cuenta deben depositarse cada mes $6,431,068, empezando ahora, para reunir en 36 meses el valor necesario para cancelar los bonos emitidos para financiar el ensanche de la planta. Con notación estándar se resuelve así: 150,000,000 (F/P, 27%, 3) = A (F/A, 1.48%, 36) (1 + 1.48%) Ejemplo No. 4.18 Una maquinaria para una empresa cuesta de contado $92.000.000 y una compañía de leasing le ofrece financiarla así: tasa de interés al DTF+12(DTF = 11.38% TA), plazo 36 cuotas vencidas y opción de compra (cuota al final) de 15% del valor actual de la máquina. De cuánto quedan las cuotas? Los valores de las variables son los siguientes: Valor presente P 92,000,000 Valor futuro F 13,800,000 NA 24.33% MV Tasa de interés Número de períodos n 36 meses Anualidad A ??? Gráficamente el problema se plantea así: 137 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel P=92,000,000 1 n=36, i=2.03% A=? 2 36 Se aprecia que en este caso, tanto el valor presente (P) como el valor futuro (F) aparecen en los datos, lo cual lleva a que con fórmula la solución sea especial, debido a que en las fórmulas sólo se puede utilizar uno de los dos valores o el valor presente (P) o el valor futuro (F). Entonces, se recurre a descontar (ver página 71) el valor futuro para restarlo del valor presente y obtener el monto que se debe distribuir en 36 cuotas iguales: A = [ P – 15% P (P/F, 2.03%, 36)] (A/P, 2.03%, 36) Que en fórmula sería así: La anterior fórmula no es conocida, ya que se forma del análisis del problema y de la combinación de varias fórmulas, pero puede generalizarse con (A/P, F, i%, n), o sea encontrar A cuando se conocen el valor presente (P), el valor futuro (F), la tasa de interés del período y el número de períodos que dura el negocio, representado así: 138 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes Con la calculadora es más sencillo, sabiendo que es una anualidad vencida y que se conoce la tasa nominal anual: OTRO P/AÑO INIC 12 x FINAL N %IA V.A. V.F. PAGO 36 24.33 -92,000,000 13,800,000 3,362,950 Con las funciones financieras del Excel, la solución también es bastante sencilla: Ejemplo No. 4.19 Una agencia de viajes ofrece un viaje a Europa de contado por $12 millones o a crédito con una cuota inicial de 20% y 12 cuotas mensuales de $635,000 empezando hoy, más dos cuotas extraordinarias de dos millones cada una en el mes 6 y en el mes 12. Cuál es la tasa de financiación? Con las herramientas vistas hasta el momento (fórmulas, calculadora financiera y hoja de cálculo Excel), este problema sólo puede ser resuelto con las fórmulas, de acuerdo con el diagrama de flujos de efectivo siguiente: 139 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel P=12,000,000 n=12 i%=? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tal como se aprecia, la solución puede plantearse de la siguiente forma: primero, descontar las dos cuotas extraordinarias y sumarlas a la cuota inicial y segundo restar este total del valor presente (P), para encontrar el valor que finalmente se financió con las doce cuotas ordinarias en anualidad anticipada. Con fórmulas se plantea así: P - [CI + CE (P/F, i%, 6) + CE (P/F, i%, 12)] = CO (P/A, i%, 12)(F/P, i%, 1) Donde: P es el valor de contado de la excursión CI es la cuota inicial CE es la cuota extraordinaria CO es la cuota ordinaria Hay que encontrar el valor de la tasa del período ( i ) que hace la ecuación igual a cero. Como se mencionó, con fórmula sólo es posible a través del ensayo y error, para interpolar resultados. 140 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes El primer ensayo se hace con i = 2.5% y la ecuación arroja un resultado de 288,228, por lo tanto la tasa debe ser mayor; el segundo ensayo se hace con 3% y la ecuación arroja un resultado de –11,855. Para que la ecuación arroje cero, se requiere una tasa que se encuentre entre 2.5% y 3%, interpolando se tiene: La agencia de viajes financia el viaje a Europa a una tasa de 2.98% mensual. Dentro de las herramientas que tiene la calculadora financiera se encuentra la evaluación del flujo de efectivo de un negocio, que se hace a través de la tecla F.C.AJ del menú FIN . Para trabajarlo primero se debe tener un flujo de caja neto, es decir tener un solo valor (que es un valor neto) por cada período de pago, tal como se muestra en el siguiente cuadro: Mes Valor viaje Cuota inicial Cuotas mensuales 0 (12,000,000) 2,400,000 635,000 Cuotas extras (8,965,000) Flujo neto 1 635,000 635,000 2 635,000 635,000 3 635,000 635,000 4 635,000 635,000 5 635,000 6 635,000 635,000 7 635,000 635,000 8 635,000 635,000 2,000,000 2,635,000 9 635,000 635,000 10 635,000 635,000 11 635,000 635,000 12 2,000,000 2,000,000 El flujo neto se puede describir en palabras de la siguiente forma: una inversión inicial de $8,965,000, un flujo de $635,000 que se repite cinco veces, un flujo de $2,635,000 una vez, un flujo de $635,000 que se repite cinco veces y finalmente un flujo de $2,000,000. En la calculadora, entrando por la tecla F.C.AJ se procede así: INICI...= -8,965,000 F. CAJA (#) = NO. DE VECES = 1 635,000 5 2 2,635,000 1 3 635,000 5 4 2,000,000 1 141 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Una vez que se ha digitado toda la serie, se entra por la tecla CALC , se pide la respuesta de la tasa de interés del período con la tecla %TIR y se obtiene como resultado 2.98% mensual. La tecla %TIR produce como resultado la tasa de interés del período de un negocio que se conoce como Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). En la calculadora siempre estará expresada en la misma unidad de tiempo en que se construye el flujo. Función financiera TIR Devuelve la rentabilidad (Tasa Interna de Rentabilidad) de un negocio (también puede ser el costo), expresada en una tasa de interés equivalente al mismo período en que se presente el negocio. TIR(valores, estimar) Valores Es un rango que contiene los valores (flujo de caja) a los cuales se desea calcular la tasa interna de rentabilidad. El argumento valores debe contener al menos un valor positivo y uno negativo. Estos flujos de caja no tienen que ser constantes, como es el caso en una anualidad, sin embargo, los flujos de caja deben ocurrir en intervalos regulares. El argumento estimar es opcional, dado que al igual que la función tasa (ver página 132) el Excel hace los cálculos a través de iteraciones. En caso de omitir el argumento, los cálculos se inician con una tasa del 10%. En el caso del ejemplo No. 4.19, en la hoja de cálculo Excel se calcularía así la tasa a la cual se está financiado el viaje a Europa por parte de la agencia de viajes. 142 Capítulo 4: Series uniformes JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Debido a que financieramente el dinero tiene valor en el tiempo, en un flujo de caja de un negocio sólo es posible sumar los flujos que se encuentran en el mismo momento. Si se quieren sumar valores que están en otro período deben descontarse los que están en el futuro con el factor de pago único (P/F, i%, n) o capitalizarse los que están en el pasado también con el factor de pago único (F/P, i%, n) Contablemente es posible sumar flujos que estén en períodos diferentes # 4.4 Anualidad diferida La anualidad diferida es aquella clase de negocio de anualidades en la cual a pesar de que se presenta una serie uniforme de cuotas, el primer pago se realiza varios períodos (más de uno) después de haber iniciado el negocio. Por lo tanto es un caso especial, ya que obligatoriamente se deben combinar dos fórmulas y sólo interesan los problemas para encontrar el valor presente (P) o la anualidad (A), debido a que para el valor futuro (F) las fórmulas vistas siguen vigentes. Dado que en los primeros períodos del negocio no hay movimientos de efectivo, este lapso se ha llamado período de gracia o período muerto. Es así como, el plazo total del negocio (n) se divide en dos períodos: el inicial que es muerto (r) y el final que es de pagos donde se hacen movimientos de efectivo (s), para efectos de presentar la notación estándar se divide el plazo en n = r + s, gráficamente es así: El gráfico anterior representa un negocio (por ejemplo un crédito) con una duración total de doce meses que se distribuyen en un período de gracia (r) de tres meses y un período de pagos (s) de nueve meses, como se aprecia n = r + s o sea que 12 = 3 + 9. Generalizando la notación estándar sería así: P = A (P/A, i%, s) (P/F, i%, r) (35) 143 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Donde r s es el número de períodos del lapso muerto. es el número de períodos de pago. De aquí es posible obtener una fórmula para calcular el valor de la anualidad cuando se conoce el valor presente: A = P (F/P, i%, r) (A/P, i%, s) (36) Ejemplo No. 4.20 Un banco de fomento otorga créditos para cultivos de mediano rendimiento (hasta 18 meses para la primera cosecha) en las siguientes condiciones: plazo total 48 meses con un período de gracia de capital e intereses de 20 meses, a una tasa del 9% MV. De cuánto serán las cuotas para un crédito de $50 millones? En el período de gracia es conveniente aclarar lo que cobija, ya que en algunos negocios sólo es para el capital, por lo tanto se pagan los intereses; en las fórmulas vistas los intereses se acumulan en un valor futuro de la deuda y ese total es el que se distribuye en las cuotas. El problema se plantea así: Valor presente P Tasa de interés NA Número de períodos $50,000,000 9% MV n 48 meses Período de gracia r 20 meses Período de pagos s 28 meses Anualidad A ??? Para encontrar la anualidad se utiliza la fórmula (36) 144 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Series uniformes Con la calculadora, el problema debe resolverse en dos pasos: primero calcular el valor futuro de la deuda durante 20 meses en los cuales se capitalizan todos los intereses y después calculando la anualidad de ese valor: Primero: es un problema de pago único, conociendo la tasa nominal anual. OTRO P/AÑO INIC 12 x FINAL N %IA V.A. V.F. 20 9 -50,000,000 58,059,207 Segundo: es un problema de anualidades, conociendo la tasa nominal anual. OTRO P/AÑO INIC 12 x FINAL N %IA V.A. V.F. PAGO 28 9 -58,059,207 0 2,306,618 Utilizando las funciones financieras del Excel se resuelve de la siguiente forma: Se aprecia que se utiliza la función VF como argumento dentro de la función PAGO, esta operación se efectúa para calcular el valor que se utiliza como presente en el período de pagos. Ejemplo No. 4.21 Una deuda se paga en 24 cuotas mensuales iguales de $200,000 cada una, pero durante el primero año la tasa de interés es del 3% mensual y durante el segundo año del 1.5%. De cuánto es la deuda? No obstante, el valor de la cuota debe ser igual durante todo el plazo del negocio y las cuotas pagarse con una periodicidad igual, debido a que hay dos tasas de interés, se tienen dos series uniformes (ver página 113). La primera serie va de 0 a 12 y la segunda de 13 a 24, siendo esta última una anualidad diferida, con período muerto (r) de 12 meses y período de pago (s) de 12 meses: 145 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel P Primera serie n=12% i%=3% Segunda serie 1 r=12 3 2 s=12 i%=3% 11 12 13 14 i%=1.5% 15 23 24 Que para resolverse debe plantearse así: P = A (P/A, 3%,12) + A (P/A, 1.5%, s) (P/F, 3%, r) O sea una combinación de la fórmula (22) y la fórmula (35): Que al resolverse arroja un valor de 3,520,862 como valor de la deuda. En la calculadora sería así: Primera serie: OTRO P/AÑO INIC 12 x FINAL N %IA PAGO V.F. V.A. 12 3 -200,000 0 1,990,801 FINAL N %IA PAGO V.F. V.A. x 12 1.5 -200,000 0 2,181,501 FINAL N %IA PAGO V.F. V.A. x 12 3 0 2,181,501 1,530,061 Segunda serie: OTRO P/AÑO INIC 1 OTRO P/AÑO 1 146 INIC Capítulo 4: Series uniformes JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Al sumar los dos resultados: 1,990,801 + 1,530,061 = 3,520,862, se encuentra el valor de la deuda. 4.5 Anualidad perpetua Se llama anualidad perpetua, aquella serie de pagos uniformes en la cual el último pago se encuentra en un futuro muy lejano o no existe. Como puede deducirse en una economía inflacionaria, estas anualidades perpetuas o perpetuidades no existen, ya que los pagos de la serie deben aumentar para compensar el aumento de los precios, nótese que en los decretos que crean estas anualidades, la cuota se fija en salarios mínimos, que normalmente varían cada año, dejando por lo tanto de ser series uniformes. En las anualidades perpetuas, normalmente sólo importa encontrar el valor presente ( P ) y como n tiende a infinito no importa si son vencidas o anticipadas, por lo tanto se utilizará la fórmula (22) para deducir su fórmula: tanto (1+i) n como (1+i) n -1 también tienden a infinito por lo tanto: (37) Ejemplo No. 4.22 Un padre de familia se ha ganado la lotería y desea hacer un depósito para que su hijo, que hoy tiene 8 años, pueda retirar mensualmente $750,000 mensuales durante toda la vida; cuánto debe depositar en una cuenta que paga el 18% EA? Primero, como siempre, se debe conocer la tasa de interés del período, o sea la tasa mensual que equivale al 18% EA, que es 1.39%. Como no se conoce el valor de n, se trata como una perpetuidad, por lo que se utiliza la fórmula (37): A continuación se presentará la diferencia frente a la utilización de la fórmula de anualidades, suponiendo que los retiros se planea hacerlos hasta que cumpla 50 años, es decir durante n = 504 meses: 147 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel La diferencia entre los dos resultados es de 0.095%, valor que en una cuenta a 42 años es despreciable. Sin embargo, es interesante saber que la diferencia se debe a que utilizando la fórmula (37) no se sabe cuando se acaba la serie, por lo tanto siempre hay que mantener un capital suficiente para generar en intereses un valor igual a la cuota que se retira ( i P ), es decir que el valor que se encuentre como P siempre se mantendrá como saldo de la cuenta, mientras que utilizando la fórmula (22) se sabe que la serie termina y por lo tanto el saldo se puede reducir a cero, por esta razón puede empezar en un valor inferior. A continuación se presentan los tres primeros y los tres últimos meses de ambas series: SERIE PERPETUA MES INICIAL INTERÉS RETIRO FINAL 1 53,956,835 750,000 750,000 53,956,835 2 53,956,835 750,000 750,000 53,956,835 3 53,956,835 750,000 750,000 53,956,835 502 53,956,835 750,000 750,000 53,956,835 503 53,956,835 750,000 750,000 53,956,835 504 53,956,835 750,000 750,000 53,956,835 SERIE UNIFORME MES INICIAL INTERÉS RETIRO FINAL 1 53,905,489 749,286 750,000 53,904,775 2 53,904,775 749,276 750,000 53,904,051 3 53,904,051 749,266 750,000 53,903,318 502 2,188,869 30,425 750,000 1,469,295 503 1,469,295 20,423 750,000 739,718 504 739,718 10,282 750,000 0 Como se aprecia, en la serie perpetua, al cumplir 50 años la persona, todavía la cuenta tiene un saldo de $53,956,835, pues no se sabe cuando termina. Otro aspecto interesante de apreciar, es el efecto de la inflación en una serie perpetua, ya que con una inflación de 10% anual, los $750,000 que retira dentro de 42 años, equivalen a $13,695 de hoy ( P = F (1 + i) –n ), que es la razón principal para considerar irreales las anualidades perpetuas. 148 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Resumen Resumen del capítulo Para este capítulo se planteó como objetivo, continuar con la solución de problemas de la vida práctica, pero estudiando el caso de las series uniformes, es decir cuando entre el flujo inicial y el flujo final de dinero hay movimientos de efectivo que reúne todas las siguientes condiciones: a) Valor igual: El monto de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. b) Intervalo igual: La periodicidad de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. c) Interés igual: La tasa de interés a la que se liquidan los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. En las series uniformes aparece un nuevo concepto que es la anualidad o sea el valor de los pagos que se hace dentro del plazo del negocio que se conoce con la sigla A: 0 1 2 3 4 n,i% P Para efectos de organizar el capítulo, las anualidades se clasificaron en vencidas, anticipadas, diferidas y perpetuas: Anualidad vencida es aquella serie en la cual las cuotas se pagan al finalizar el período, se utilizan principalmente para amortización de créditos y generan la fórmula (22), que es la fórmula básica de las anualidades: que en notación estándar se expresa como: P = A(P/A, i%, n), 149 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Anualidad anticipada, es aquella serie en la cual los pagos se realizan al inicio de cada período, como ocurre por ejemplo con el arrendamiento o las cuotas de ahorro, la fórmula (28) es la básica para estos problemas: Anualidad diferida, es aquella serie en la cual el primer pago se realiza en varios períodos (más de uno) después de haber iniciado el negocio. El plazo total (n) se divide en dos períodos: el inicial o período muerto (r) en el cual no hay movimientos de efectivo y el final o período de pagos (s) en el cual se hacen los movimientos de efectivo. Este caso combina los conceptos de pago único y series uniformes, de ahí que en notación estándar se exprese así: P = A (P/A, i%, s) (P/F, i%, r) Anualidad perpetua, es aquella serie de pagos uniformes en la cual el último pago se encuentra en un futuro muy lejano o no existe. En una economía inflacionaria estas anualidades perpetuas o perpetuidades no existen. Todos los casos anteriores se trabajaron con notación estándar, fórmulas, calculadora financiera y hoja de cálculo Excel. Para el caso de la calculadora financiera se estudiaron dos sistemas de solución de problemas de series uniformes, de acuerdo con la tasa de interés que se conozca: si se conoce la tasa del período o si se conoce la tasa nominal anual. 150 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Ejercicios Cuestionario de autoevaluación 4. a Cuáles son las condiciones necesarias para que una serie de pagos sea considerada como serie uniforme? 4. b Qué significa el concepto de anualidad? 4. c Cuáles son las clases de problemas básicos que aparecen en las series uniformes? 4. d A partir de la fórmula (22), despejar las fórmulas para calcular cada una de las variables que intervienen en un problema de series uniformes de matemáticas financieras. 4. e Para resolver un problema de series uniformes con la calculadora financiera, cuáles sistemas existen según sea la tasa de interés que se conozca? 4. f Plantee un problema de series uniformes y resuélvalo con la calculadora financiera por los dos sistemas vistos. Aprecie los cambios que se deben %IA . introducir en las teclas P/AÑO N 4. g Haga un cuadro comparativo del valor que debe introducirse en la tecla P/AÑO relacionándolo con la tasa de interés que se introduce en %IA en los dos sistemas de solución de problemas de series uniformes con la calculadora financiera. 4. h Haga un cuadro comparativo del valor que debe introducirse en la tecla relacionándolo con la tasa de interés que se introduce en %IA N en los dos sistemas de solución de problemas de series uniformes con la calculadora financiera. 4. i Aclarar el concepto de anualidad anticipada que aparece en las series uniformes. 4. j Si una cuota es anticipada, los intereses también deben ser anticipados. ¿Si o no y por qué? 4. k ¿Cuál es el cambio de introducirse en las fórmulas, en la calculadora financiera y en las funciones financieras del Excel cuando se trabaja con anualidades anticipadas? 4. l Explique el concepto de período muerto que se concede en algunos créditos. 4. m ¿Por qué es prácticamente imposible que existan series uniformes perpetuas en la vida real? 151 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejercicios propuestos 4.1 Si un televisor cuesta de contado $800,000 y a crédito se compra con una cuota inicial del 30% y el saldo en seis cuotas mensuales con una financiación del DTF + 10, de cuánto serán estas cuotas si DTF = 12% TA? 4.2 Un vehículo de $25,000,000 de contado, puede adquirirse pagando la mitad ahora y 24 cuotas de $735,000. Cuál es la tasa efectiva anual que se carga al crédito, cuál expresada en TV? 4.3 Cuál es el valor de un pagaré que paga cuotas mensuales iguales a las que fue emitido con un plazo total de 24 meses y con un interés del 2.5% mensual. 4.4 Un padre de familia quiere que su hijo, que nació hoy, pueda retirar de una cuenta que paga el 18% TV un valor de $500,000 mensuales cuando tenga entre 10 y 20 años de edad: a) ¿Cuánto debe depositar hoy? b) ¿Cuánto debe depositar mensualmente durante cinco años? 4.5 A una deuda de $3,450,000 contraída hace cinco meses al 3% mensual, se le hace hoy un abono de $1,500,000 y se reliquida para ser pagada en seis cuotas trimestrales al 7.5% trimestral; de cuánto serán estas cuotas? 4.6 Para un negocio, una persona aporta $12,000,000 y desde el quinto mes le han entregado 13 cuotas de $1,200,000, cuál ha sido la rentabilidad del negocio? 4.7 Un vendedor ofrece un reloj de contado por $150,000, pero también lo entrega a 12 quincenas de $15,000; ¿cuál es la tasa que cobra por la financiación, expresada en efectiva anual? Cuál es su opinión del negocio. 4.8 Desde hace tres meses, un comerciante tiene dos deudas así: a) $800,000 a DTF + 8 liquidado mensualmente (DTF = 12% TA), y se cancela en un pago a los seis meses. b) $3,000,000 a 6% trimestral para pagar en una cuota a los 9 meses. Si hoy se acuerda unificarlas en una sola deuda al 2% mensual, para ser pagada en seis cuotas iguales; ¿de cuánto serán estas cuotas? 4.9 Hace nueve meses se tiene una deuda de $3,000,000, contratada al 7.5% trimestral; hoy se acuerda hacer un abono de $1,200,000 y terminar de pagarla en seis cuotas iguales; ¿de cuánto serán las cuotas? 4.10 Una lotería paga como premio un “súper sueldazo” de $3,000,000 mensuales durante cinco años. Si la inflación se estima en 10% anual: a) ¿A cuánto equivale el premio en pesos de hoy? b) ¿A cuánto equivale el último sueldo pagado en pesos de hoy? c) ¿Cuál es el valor presente del premio, si la inflación es del 10% en los tres primeros años y del 15% en los dos años restantes? 152 Capítulo 4: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 4.11 Cuánto se debe depositar en una cuenta que paga el 24% TV, para retirar trimestralmente: a) $900,000 trimestrales. b) $300,000 mensuales. c) $1,800,000 semestrales. 4.12 Una empresa recibe un crédito de $3,000,000, con un plazo de 18 meses, cuál será la cuota si el crédito: a) Es al 36% EA con cuotas mensuales. b) Es al 36% TV con cuotas trimestrales. c) Es al 12% semestral con cuotas semestrales. 4.13 Los socios de un equipo de fútbol aportan $500,000 mensuales durante el campeonato que dura diez meses. Si el equipo les reconoce el 1% mensual y les descuenta las boletas de los partidos, estimadas en $300,000 mensuales? ¿Cuánto será el valor del aporte si hacen un abono extraordinario de tres millones a los cinco meses? 4.14 Para reunir $12,000,000 para un viaje a Europa dentro de siete meses, ¿cuánto se debe ahorrar mensualmente en una cuenta que paga el DTF + 4 (DTF = 12.35% TV)? 4.15 Una deuda de $25 millones contratada hace dos años al 25% TV, se negocia hoy para ser cancelada en 18 cuotas iguales al 3% mensual; ¿de cuánto serán las cuotas? 4.16 ¿Cuánto se debe ahorrar cada mes durante seis años al 1% mensual, para reunir un capital suficiente para retirar durante cinco años dos millones de pesos semestrales? 4.17 Si se ahorran $300,000 mensuales durante diez años en una cuenta que paga el 14% EA, durante ¿cuánto tiempo se pueden retirar $2,500,000 trimestrales? 4.18 Un camión que tuvo un costo de $120 millones, produce un valor neto al mes de $7.5 millones, cuánto tiempo se demorará en recuperar la inversión, si el propietario del vehículo tiene una tasa de oportunidad del 4% mensual? ¿Qué pasa si los ingresos sólo llegan a $4.5 millones mensuales? 4.19 Si se tiene una deuda de $3,500,000 que capitaliza al 2.5% mensual, ¿a qué tasa se debe hacer un ahorro de $265,000 mensuales, para reunir en 15 meses lo suficiente para pagar la deuda? 4.20 Ahorrando un valor de $250,000 mensuales al 18% MV, cuánto tiempo se demorará en reunir lo suficiente para comprar un equipo que hoy tiene un precio de cinco millones y cuyo precio se ajusta el 6% semestral? 4.21 Hace tres años un empleado demandó la empresa por $25 millones; sabiendo que el pleito se perdería a largo plazo y que el valor de la demanda se ajusta por la inflación, la empresa ha venido consignando $500,000 mensuales en una cuenta que ha pagado intereses así: 153 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Año Año 1 Año 2 Año 3 Interés mensual 3% 2.5% 2% Inflación anual 14% 12% 8% El valor ahorrado por la empresa alcanza para pagar la demanda, si el fallo sale hoy? 4.22 Un fondo de empleados otorga créditos al 12% MV y los cobra con las siguientes condiciones: la mitad del préstamo en 18 cuotas mensuales iguales y la otra mitad en tres cuotas semestrales iguales. ¿Cuál será el valor de estas cuotas para un crédito de $1,500,000? 4.23 Una cooperativa otorga créditos al 18% MV y los cobra con las siguientes condiciones: 12 cuotas ordinarias mensuales y dos cuotas semestrales iguales al triple de la cuota ordinaria. ¿Cuál será el valor de estas cuotas para un crédito de $1,500,000? ¿Cuál es el porcentaje de la deuda que se paga con cada serie de cuotas? 4.24 Una persona se ha ganado la lotería que paga un “súper sueldazo” de tres millones mensuales durante cinco años; si lo deposita en una cuenta que paga el 0.75% mensual ¿cuánto reúne al final? 4.25 Cuando los estudiantes de una carrera de la salud entran al primer semestre, una empresa les ofrece un plan para la compra de los equipos cuando terminen la carrera. El plan consiste en lo siguiente, se consignan $100,000 mensuales durante cinco años con una tasa de interés mensual creciente así: Año 1 0.5% Año 2 0.75% Año 3 1% Año 4 1.5% Año 5 2% ¿Cuánto se reúne al final de la carrera? 4.26 Para ahorrar la cuota inicial de una vivienda en un año, una constructora ofrece la siguiente alternativa: abrir una cuenta con $500,000 y cada mes depositar $235,000; ¿cuánto se reúne al final, si además se otorga un subsidio de vivienda de $7,000,000 que se ajusta trimestralmente con la inflación estimada en 10% anual? 4.27 Una vivienda cuesta hoy $35 millones y se vende con cuota inicial del 30%. Una persona que empezó a ahorrar $100,000 mensuales hace tres años a una tasa del 12% MV, podrá pagar la cuota inicial si además le dan un subsidio de vivienda de $5,500,000? 4.28 Una vivienda que cuesta hoy $35 millones, se valoriza el 8% anual y se vende con cuota inicial del 30%. Una persona que empiece a ahorrar hoy $100,000 mensuales a una tasa del 12% MV, cuánto tiempo se demora en reunir la cuota inicial, si además le dan un subsidio de vivienda de $5,500,000, que se ajusta trimestralmente con la inflación, estimada en 10% anual? 154 Capítulo 4: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 4.29 Una prima de seguro que cuesta $2,350,000 se financia al 2.5% mensual a 12 meses. Si se empieza a pagar hoy, de ¿cuánto serán las cuotas? 4.30 Una compañía de seguros tiene el siguiente plan para el seguro de incendio: pagar doce cuotas mensuales anticipadas de $160,000, si durante el año no hay siniestros le devuelven el 10% de los pagos y le reconocen el 1% mensual sobre saldos, ¿cuánto devuelve? 4.31 Una vivienda de $40 millones se vende con el 25% de cuota inicial y el saldo se financia con cuotas mensuales iguales a 12 años. Si el crédito se aprueba con una tasa del IPC + 13, de ¿cuánto serán las cuotas, si la inflación se estima en 8% anual? 4.32 Cuál será el valor de contado de un equipo industrial que se financia a 24 cuotas ordinarias anticipadas de $1,200,000 cada una, al 1.75% mensual y cuatro cuotas extraordinarias semestrales de $5,000,000 cada una a la misma tasa? 4.33 Un equipo que tiene un valor de contado de $7,500,000 se financia a 12 cuotas ordinarias mensuales anticipadas de $355,000 cada una y cuatro cuotas extraordinarias trimestrales de $1,000,000 cada una; a qué tasa se esta financiando el crédito? 4.34 Una empresa que tiene una tasa de oportunidad de 45% anual tiene dos alternativas para la distribución de la mercancía: comprar un camión de $80 millones o contratar con una empresa de mensajería que le cobra seis millones mensuales; cuál es el tiempo mínimo que debe utilizar el camión para que sea más rentable que contratar la mensajería? 4.35 Una bodega cuesta de contado $175 millones y se valoriza al 7.5% anual; ¿cuál será el arrendamiento máximo que debe pagar una empresa que tiene una tasa de oportunidad del 60% anual y piensa utilizar la bodega durante tres años? 4.36 Un equipo de alta tecnología que se vuelve obsoleto en un año, tiene un precio de $17.5 millones; cuál de las siguientes será la mejor alternativa para adquirirlo: a) Crédito del proveedor a 12 cuotas mensuales vencidas de $1,660,000. b) Préstamo del banco para comprar de contado, a 4 cuotas trimestrales vencidas al 30% TV. c) Leasing a 12 cuotas mensuales anticipadas de $1,600,000 más $850,000 de opción de compra. 4.37 Un bus de $120 millones se compra por leasing a 36 meses, con una opción de compra del 5%; si de las ventas brutas que son de $10 millones al mes, el propietario ahorra el 1% mensual en una cuenta que paga el 14% EA, al final del contrato de leasing habrá ahorrado suficiente para la opción de compra? 155 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 4.38 ¿Cuál es la tasa efectiva anual a la que se financia un electrodoméstico que tiene un precio de contado de $2,000,000 y a crédito se paga con una cuota inicial de 30% y tres cuotas bimestrales de $500,000 cada una? 4.39 ¿Cuál es el plazo al que se concedió un crédito de $10 millones al 38% TV, si para cancelarlo se pagan cuotas trimestrales de $1,592,660? 4.40 ¿Cuánto tiempo se demora en pagar una deuda de $4,350,000 contratada hace cuatro meses al 3% mensual, si hoy se hace un abono de $2.5 millones y el saldo se paga en cuotas de $341,680? 4.41 Una deuda que debe pagarse dentro de tres meses por un total (capital más intereses) de $8,500,000 y que está pactada al 7.5% trimestral, se acuerda cambiarla por el pago de 12 cuotas mensuales de $770,830. Analizar desde el punto de vista del deudor y del acreedor. 4.42 Para pagar la compra de un nuevo equipo dentro de dos años, una empresa necesitará $850 millones. ¿Cuánto debe invertir para alcanzar ese valor, si decide: Invertir en un bono que paga el 18% SV? Ahorrar mensualmente en una cuenta que paga el 1.25% mensual? 4.43 Si hace cuatro meses se hizo un depósito de $450,000 en una cuenta que paga el 2% mensual, cuánto se debe depositar mensualmente a partir de hoy en la misma cuenta para reunir dentro de diez meses dos millones de pesos, si el interés bajó al 1.5% mensual? 4.44 Hace nueve meses se firmó un pagaré por ocho millones de pesos al 36% EA, con intereses capitalizados trimestre vencido, para cancelar en un solo pago con un plazo total de 24 meses. Hoy se quiere reliquidar para pagar en cinco cuotas trimestrales de $2,550,000, cuál es la tasa de refinanciación? ¿Cuánto se demoraría en pagarlo si se hace en cuotas mensuales de $930,750 a la nueva tasa de interés? 4.45 Una casa de $35 millones se valoriza al 8% anual. Si una persona quiere ahorrar la cuota inicial que es del 20% y ahorra $275,000 mensuales en una cuenta que rinde el 18% EA, cuánto tiempo se demorará en completar la cuota inicial? Cuánto se demorará si además recibe un subsidio de vivienda de cinco millones que se ajusta al 10% anual? 4.46 Por cuánto debe elaborar un banco un pagaré que consolida cuatro deudas, si exige el pago del 10% de la deuda actualizada, si las cuatro deudas son: 156 Primera $2,450,000 entregados hace 5 meses al 2.75% mensual Segunda $12,500,000 que ya incluyen los intereses al 6% trimestral y vencen dentro de nueve meses Tercera $12,300,000 de un sobregiro que lleva 52 días y se liquida al 30% EA Cuarta Una deuda que paga $250,000 mensuales, le faltan 13 cuotas y está a una tasa del 24% EA Capítulo 4: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Cuál será el valor de la nueva cuota, si se paga a 18 meses a una tasa del 26% EA? 4.47 Cuánto debe depositarse trimestralmente en una cuenta que paga el DTF + 2, liquidado trimestre vencido, para tener ahorrado un valor de $15 millones dentro de 30 meses? (Se estima que la DTF tendrá los siguientes valores: 12% en el primer año, 10% en el segundo y 8% en el tercero). 4.48 Cuál debe ser el ahorro trimestral en pesos, para reunir US$ 3,000 en 15 meses, si se depositan en una cuenta que paga el PRIME + 2.5 (la devaluación se estima en 8%, el tipo de cambio actual es de $2,500 por dólar y el PRIME es de 4% SV). 4.49 Un bono cuyo valor nominal es de $125 millones, tiene un plazo de cinco años y paga cupones semestrales de $17,575,000 incluyendo intereses, si actualmente le faltan cuatro meses para el tercer pago: a) ¿Cuál es la rentabilidad efectiva anual del bono? b) ¿Cuánto gana quien lo compre hoy por $110 millones y lo conserve hasta el final? c) ¿Cuál es la rentabilidad de quien lo compre hoy por $110 millones, lo conserve hasta el siguiente pago y lo venda por $95 millones? 4.50 Una empresa necesita reunir $150 millones en tres años y tiene el siguiente plan: Comprar hoy un bono de $25 millones que paga el 20% TV; además, hacer ahorros semestrales de $5,000,000 y depositarlos al 18% MV y el resto ahorrarlo en depósitos mensuales a partir del próximo mes en una cuenta que paga el 12% EA, de ¿cuánto deben ser estos ahorros? 4.51 Para pagar un crédito otorgado por el principal proveedor, una compañía debe pagar $320 millones en una sola cuota dentro de 48 meses, con una capitalización trimestral de intereses al 15% TV. Si la empresa se compromete con el proveedor a ahorrar un determinado porcentaje de las ventas mensuales y depositarlo en una cuenta que paga el 18% EA, cuál debe ser el porcentaje de ahorro si la empresa vende en promedio $35 millones al mes? 4.52 Una persona tiene dos deudas así: a) $12,800,000 al 3% mensual, desde hace siete meses para pagar en un plazo total de 18 meses. b) $3,000,000 mensuales al 30% EA y le faltan 15 cuotas. Si hoy hace un abono del 10% de la deuda actualizada y el saldo se distribuye en tres pagarés así: a) La tercera parte en 24 cuotas mensuales iguales al 30% EA, empezando hoy. b) La tercera parte en 6 cuotas trimestrales al 30% EA, empezando en seis meses. c) La tercera parte en un solo pago a un año al 30% EA. De cuánto es el valor a pagar en cada caso? 157 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 4.53 Un préstamo de $25,000,000 al 30% TV debe empezar a cancelarse dentro de seis meses en 18 cuotas mensuales, ¿cuál será el valor de las cuotas? 4.54 Una empresa se compromete con la alcaldía en la conservación de un parque, si se estima que el gasto mensual es de $2,500,000, ¿cuánto debe depositar hoy en una cuenta que paga el 12% EA? 4.55 La alcaldía de un municipio se encuentra construyendo un polideportivo, el cual espera terminar en 8 meses, si una empresa se compromete a ayudar con el mantenimiento donando mensualmente una suma de $1,250,000, durante diez años, de ¿cuánto debe hacer un depósito que alcance para hacer los pagos? 4.56 Con el fin de conservar los empleados de mayor experiencia, tres años antes de la jubilación, una empresa les entrega un bono para que una vez jubilados puedan retirar $750,000 mensuales durante otros tres años, de cuánto debe ser el bono, si: a) Paga intereses del 1.25% mensual. b) Durante los primeros tres años paga el 18% EA, capitalizado por trimestre vencido y los últimos tres años paga el 1.25% mensual. 4.57 Una universidad tiene el siguiente plan para financiar la especialización de sus estudiantes: cuando éstos inician el pregrado se comprometen con un ahorro mensual durante cinco años, que recibe un rendimiento del 1% mensual, de manera que al terminar la carrera puedan pagar la matrícula de la especialización, que hoy tiene un valor de cinco millones de pesos y aumenta anualmente un 7.5%; ¿de cuánto deben ser los ahorros mensuales? 4.58 Si los planes de expansión se cumplen, una empresa se ha comprometido con sus empleados a pagar dos bonificaciones: una de $120 millones dentro de 6 meses y otra de $150 millones dentro de 18 meses, cuánto debe ahorrar mensualmente a partir de hoy, en un cuenta que paga el 12% EA si: a) Ahorra independientemente para cada bonificación. b) Hace un solo ahorro que cubra las dos bonificaciones. En este caso alcanza a ahorrar el valor de la primera bonificación? 4.59 Para el próximo año una compañía tiene dos opciones para un proceso: Opción 1: Reparar hoy el equipo actual por $50,000,000 y pagar mantenimiento mes vencido de $1,300,000 por el resto del año. Opción 2: Pagar mantenimiento mensual anticipado de $1,300,000 durante el primer semestre, reparar el equipo a los seis meses por $65,000,000 y pagar mantenimiento mensual vencido de $750,000 durante el segundo semestre. Si la empresa tiene una TIO de 45% EA, cuál es la mejor alternativa, expresando los gastos como una cuota mensual uniforme vencida? 158 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Ejercicios 4.60 Para el piso de una bodega de 800 metros cuadrados se tienen dos alternativas: Alternativa 1: Baldosa de concreto que tiene un precio de $3,750 la unidad de 50 x 50 centímetros, más mano de obra de instalación a $3,500 por metro cuadrado y cada tres meses hay que hacer un proceso de lavado con un costo de $4,000,000. Alternativa 2 Baldosa de caucho que tiene un precio de $ 500,000 la tira de 20 x 2 metros, más mano de obra de instalación de $80,000 por tira, se debe lavar cada mes a un costo de $1,000,000 y se debe ajustar cada año a un costo de $7,500,000. Cuál alternativa es mejor, si la empresa tiene una TIO de 60% EA y se piensa utilizar la bodega durante cinco años, exprese los gastos como una cuota mensual uniforme vencida? 4.61 Un padre de familia tiene la costumbre de consignar a sus hijos desde el dia de su nacimiento $20,000 mensuales en una cuenta que paga el 2% mensual; si tiene tres hijos de 12 años, 9 años y 3 meses, y 6 años y 9 meses, cuánto tiene hoy en la cuenta? 4.62 Tres compañeros de universidad al iniciar la carrera decidieron ahorrar para constituir una sociedad cuando se gradúen, cinco años después; cuánto reúnen si los aportes fueron los siguientes A B C 2,500,00 50,000 125,000 En un solo pago al 2.5% Mensuales al 1.5% trimestrales al 20% EA 4.63 Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta que paga el 18% MV, para reunir diez millones de pesos en tres años, si además se depositarán $140,000 mensuales en la misma cuenta? 4.64 Una persona deposita hoy dos millones de pesos en una cuenta que paga 20% MV, además durante dos años cada mes consignará $100,000 en la misma cuenta; después de estos ahorros, durante ¿cuánto tiempo podrá hacer retiros de un millón trimestral? 4.65 Si se compra un equipo que de contado tiene un precio de $30 millones así: 20% de cuota inicial y 8 cuotas trimestrales que se empiezan a pagar 6 meses después de la cuota inicial y se financian al 2.5% mensual, ¿de cuánto son las cuotas trimestrales? 4.66 Si se compra un equipo que de contado tiene un precio de $30 millones así: 20% de cuota inicial y 8 cuotas trimestrales que se empiezan a pagar 6 meses después de la cuota inicial y una cuota final del 15% del valor del equipo que se paga 6 meses después de la última cuota y todo se financia al 2.5% mensual, de cuánto son las cuotas trimestrales? 159 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 4.67 Hace quince meses una empresa hizo un depósito de cinco millones y empezó a ahorrar cuotas iguales cada mes en una cuenta que paga el 2% mensual, para reunir $35 millones al cabo de tres años; si hoy por una necesidad tiene que hacer un retiro de $10 millones, cuánto tendrá que seguir ahorrando para alcanzar su meta? 4.68 Una maquinaria se demora 6 meses en su instalación y después genera utilidades mensuales de $1,200,000 durante tres años; cuál es el precio máximo que se puede pagar por la máquina si la TIO de la empresa es del 50%? 4.69 Si la máquina del ejemplo anterior tiene un precio de $40 millones, cuál debe ser la utilidad mensual para que sea buen negocio para la empresa? 4.70 A que tasa se está financiando un electrodoméstico que de contado tiene un precio de $2.5 millones, si se compra financiado así: cuota inicial del 25% y el resto en 24 cuotas mensuales de $121,580, pero la primera cuota se paga siete meses después de la cuota inicial? 4.71 Una persona tiene una deuda de $733,000 desde hace cinco meses al 3% mensual; hoy se llega a un acuerdo de cancelarla en pagos trimestrales de $156,860, empezando hoy mismo, cuántas cuotas hay que pagar? 4.72 Una máquina de $80 millones se utiliza en un negocio que dura tres años, al cabo de los cuales se puede vender por $30 millones; durante ese tiempo se le paga un contrato de mantenimiento trimestral anticipado de $1,250,000, se le hace reparaciones semestrales de ocho millones de pesos y genera ingresos de $5,500,000 mensuales. Qué tan bueno es el negocio para una empresa que tiene una tasa de oportunidad del 5% mensual? 4.73 Un estudiante empieza hoy la universidad y decide ahorrar para pagarse la especialización dentro de cinco años. La especialización hoy tiene un valor de cinco millones de pesos y aumenta el 10% anual; si el estudiante ahorra $80,000 mensuales en una cuenta que paga el 1.2% mensual, alcanza para pagar la especialización? De no alcanzar, cuánto tiempo se demora en reunir el dinero para la matrícula? 4.74 Cada semestre una persona deposita $900,000 en una cuenta que paga el 22% EA, cuánto se demora para llegar a un saldo de cinco millones de pesos? 4.75 Una empresa tiene dos deudas así: A Dentro de dos años debe pagar $20 millones que incluyen capital e intereses capitalizados al 36% EA. B Otra deuda al 2.5% mensual en la cual se comprometió a pagar 12 cuotas de $300,000 mensuales. De esta deuda no ha hecho ningún pago y hoy se cumple la sexta cuota. Si la deuda se refinancia para pagarla en cuatro cuotas semestrales al 2% mensual, ¿de cuánto quedan las cuotas? 160 Capítulo 4: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 4.76 Cuánto reúne una persona que durante ocho meses ha depositado $250,000 mensuales en una cuenta que paga el 2%, si piensa hacer seis depósitos trimestrales de un millón y la tasa cambia al 18% EA? 4.77 De cuánto quedan las cuotas en un crédito de tres millones que concede una cooperativa en las siguientes condiciones: interés del 10% EA, plazo de dos años, cuotas ordinarias mensuales y cuotas extraordinarias semestrales que son el doble de las cuotas ordinarias? 4.78 Un túnel, por concesión, se demora un año en construirse a un costo final de $3,000 millones, si los constructores lo explotan durante 15 años con ingresos netos mensuales estimados en $375 millones, a cuánto equivale el flujo del negocio en pesos de hoy, si la empresa constructora tiene una tasa de oportunidad del 5% mensual? 4.79 Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta que paga el 1.25% mensual, para retirar $750,000 mensuales durante cuatro años, si además se continúan haciendo depósitos trimestrales de $250,000? Cuánto debería depositar si se espera que al final del plazo exista en la cuenta un saldo de cinco millones? 4.80 Hace 40 años una persona creó su propio fondo de pensiones así: depositó durante los primeros 20 años $5,000 mensuales en una cuenta que pagaba el 1.5%, durante los otros 20 años no depositó nada. Si hoy empieza a retirar $12 millones trimestrales, cuánto tiempo le durará el fondo? 4.81 Dentro de ocho meses se debe empezar a pagar una deuda en 32 cuotas mensuales de $475,000 al 2.5% mensual; cuánto hay que ahorrar mensualmente al 1.75% para pagar la deuda total dentro de seis meses? 4.82 Una empresa ha colocado bonos por $2,500 millones de pesos a cinco años. Durante los dos primeros años paga una tasa del 18% EA y durante los tres últimos años para el 24% EA. Los bonos los cancela en cupones (incluyen capital e intereses) semestrales iguales durante todo el plazo. Cuánto debe ahorrar mensualmente para cubrir el pago semestral de los cupones, en una cuenta que paga el 1% mensual? 4.83 Hoy se tiene una deuda de $8,500,000 al 30% EA; cuándo deben empezar a pagarse para cancelarlos en 12 cuotas trimestrales de $1,180,000? 4.84 En el pasado pliego de peticiones, el sindicato pidió a la empresa un auxilio de educación superior para los hijos de los empleados y la empresa ofrece entregar hoy $15,000.000. Si el sindicato deposita el auxilio en una cuenta que paga el 18% EA y piensa entregar becas de $500,000 al final de cada semestre y espera que el fondo dure 10 años, cuántas becas puede entregar por semestre? 4.85 Dos deudas, una de 24 cuotas mensuales de $300,000 al 36% EA y otra de 8 cuotas trimestrales de $750,000 al 28% TV cuya primera cuota se paga dentro de nueve meses, se sustituyen por otra forma de pago así: un abono hoy de cuatro millones de pesos y el resto en 12 cuotas mensuales al 30% EA, pagando la primera cuota dentro de un año; de cuánto son las cuotas? 161 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 4.86 Una persona debía pagar hace tres meses una deuda de $2,500,000, si desde ese momento hasta hoy le cobran intereses del 3.5% mensual y se acuerda pagar la deuda con las siguientes condiciones: - Abono hoy de $1,200,000. - Período muerto de siete meses al 30% EA. - La mitad del saldo en 10 cuotas mensuales al 2.5%. - La otra mitad en un solo pago cinco meses después de la última cuota al 36% MV. De cuánto quedan las cuotas? 4.87 Un equipo que de contado tiene un precio de $170 millones, se financia al 30% EA, en las siguientes condiciones: - Cuota inicial del 10%. - Opción de compra del 10%, pagadera dentro de cuatro años. - La mitad del saldo en 36 cuotas trimestrales anticipadas. - La otra mitad del saldo en 6 cuotas semestrales vencidas. De cuánto quedan las cuotas? 4.88 Una persona ha ahorrado al 20% MV $200,000 mensuales durante los últimos diez años. Si con lo ahorrado hasta hoy que hizo el último depósito, quiere hacer retiros trimestrales iguales durante cinco años, empezando dentro de un año, de cuánto pueden ser los retiros? 4.89 Para vender un carro de 22 millones de pesos, que se valoriza al 8% anual, una empresa ofrece el siguiente plan de ahorros a tres años: cuotas mensuales de $250,000 en el primer año, de $500,000 en el segundo y de $750,000 en el tercero. Si la empresa paga intereses del 1% mensual en el primer año, de 2% mensuales en el segundo y de 3% mensual en el tercero, se alcanza a comprar el vehículo con el plan ofrecido? 4.90 Una persona ha ahorrado $200,000 mensuales durante cinco años al 18% MV, si el último depósito lo hizo hace seis meses; con lo reunido hasta hoy cuántos retiros puede hacer de un millón de pesos trimestral? 4.91 Una persona se ganó la lotería hace tres años e hizo un depósito de US$ 8,750 al PRIME + 2, cuando el tipo de cambio era de $1,900 por dólar y desde ese mismo día cada trimestre ha venido depositando dos millones de pesos en una cuenta que paga el 20% EA. Cuánto le durará el dinero, si con lo ahorrado hasta hoy quiere hacer retiros mensuales de $2,500,000. Durante el período la PRIME ha sido del 5% SV y la devaluación del 8% anual. 4.92 La lotería ofrece un “súper sueldazo” de tres millones mensuales durante tres años o $70 millones hoy. Si un ganador puede depositar los $70 millones en una cuenta que paga el 2% mensual: durante cuánto tiempo puede retirar tres millones mensuales? Hizo un buen negocio? 162 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 4: Ejercicios 4.93 Hace diez años, una persona recibió una herencia de $ 12 millones que depositó en una cuenta al 4% mensual; cinco años después el interés bajó a 2.5% mes y empezó a retirar tres millones de pesos mensuales; cuánto tiempo más podrá seguir haciendo retiros, si nuevamente el interés baja a 1.5% mensual y los retiros suben a $15 millones trimestrales? 4.94 Hace tres años, una persona aportó $12 millones de pesos para invertir en un cultivo y a partir del octavo mes empezaron a pagarle $500,000 mensuales; si hoy le entregan cinco millones de pesos para liquidar el negocio, cuál fue la rentabilidad de la inversión? 4.95 Una persona deposita $250,000 mensuales en una cuenta durante dos años, al cabo de los cuales reúne $7,160,000, simultáneamente deposita $600,000 trimestrales en otra cuenta y después de dos años reúne $6,310,000; cuál es la tasa EA que paga cada cuenta? Cuál fue la rentabilidad total de los ahorros? 4.96 Para desarrollar un contrato a dos años, un empresario recibe un anticipo de $12 millones, compra un equipo por valor de $18 millones y cada trimestre le queda un ingreso neto de $500,000; si al final vende el equipo por $10 millones, cuál fue la rentabilidad del negocio? 4.97 Una póliza de pensión funciona de la siguiente manera: del año 1 al 10 se ahorran $17,000 mensuales y durante el período se reconoce un interés del 12% MV; del año 11 al 20 se ahorran $30,000 mensuales y el interés que se reconoce para todos los depósitos durante el período es del 24% MV; si al cabo del año 30 le devuelven al cliente $2,000 millones: cuál es la rentabilidad durante los últimos diez años? Cuál es la rentabilidad total de la póliza? 4.98 Una persona deposita $80,000 mensuales en una cuenta durante dos años y al cabo del tercer año reúne $2,740,000 en la cuenta, simultáneamente deposita $750,000 trimestrales en otra cuenta durante año y medio y al cabo del tercer año reúne $5,420,000 en la cuenta; cuál es la tasa EA que paga cada cuenta? Cuál fue la rentabilidad total de los ahorros? 4.99 Al cotizar un equipo de computo en dos almacenes se reciben las siguientes propuestas: ALMACÉN A ALMACEN B Cuota inicial de $800,000 Sin cuota inicial 12 cuotas mensuales de $175,000 12 cuotas mensuales de $200,000 2 cuotas semestrales extraordinarias de $275,000 Cuál es el valor de contado de los equipos, si la tasa de financiación es del 3.5% mensual? 163 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 4.100 Cuánto se debe depositar hoy para hacer retiros durante diez años así: durante los primeros cinco años $750,000, mensuales; durante los últimos cinco años tres millones trimestrales. La tasa de interés se estima así: del año 1 al 3 del 2.5% mensual; del año 4 al 8 del 3.2% mensual y del año 9 al 10 del 1% mensual. 164 CAPÍTULO 5 Series variables En este capítulo se continúa con la solución de problemas prácticos, en este caso de aquellas series en las cuales los movimientos de efectivo que se presentan entre el flujo inicial y el final son desiguales pero tienen un patrón, por lo tanto reciben el nombre de series variables. Además, debido a que la hoja de cálculo Excel no incluye funciones financieras que resuelvan esta clase de problemas, se presentan las funciones personalizadas que son desarrolladas por el usuario y se pueden grabar en la hoja de cálculo para analizar mejor esta clase de problemas. El capítulo contiene los siguientes temas: 5.1 Conceptos generales 5.2 Gradiente aritmético 5.3 Gradiente geométrico 5.4 Gradientes con la calculadora 5.5 Gradientes con Excel 5.6 Gradiente perpetuo 5.7 Gradiente diferido 5.8 Gradiente escalonado Objetivos General Aplicar los conceptos y herramientas conocidos en los capítulos 1 y 2 en la solución de problemas de series variables de la vida práctica, utilizando los cuatro sistemas de solución de problemas (fórmulas, calculadora financiera, hoja de cálculo Excel y notación estándar). Específicos a) Presentar el concepto y las condiciones de series variables y agregar el gradiente a las variables que se involucran en los problemas de matemáticas financieras. b) c) Explicar las diferencias existentes entre el gradiente aritmético y el geométrico. Deducir la fórmula básica utilizada para resolver problemas prácticos de series variables, tanto de gradientes aritméticos como de gradientes geométricos. d) Aportar algoritmos para grabar en la calculadora financiera a través de la opción RESOL del menú principal de la calculadora financiera, que resuelven problemas de series variables. e) Aportar un programa que a través de las funciones personalizadas de la hoja de cálculo f) Introducir el concepto de gradiente escalonado. Excel ayuda a solucionar problemas de series variables. Capítulo 5: Series variables JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 5.1 Conceptos generales Se conocen como series variables, a un conjunto de pagos periódicos desiguales pero que siguen un patrón, en el cual cada pago es igual al anterior más una cantidad positiva o negativa; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. Los movimientos de efectivo que hay entre el valor inicial y el valor final de un negocio, aunque sean variables, se supone son reinvertidos por lo que resta del plazo total, en las mismas condiciones existentes cuando se inició el negocio, entonces, siempre hay equivalencia entre los pagos periódicos y el valor presente o futuro que se halle. Un problema se considera de series variables cuando reúne las siguientes condiciones en su totalidad: a) Variación igual: El monto en que varían los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante en cantidad o en proporción. b) Intervalo igual: La periodicidad de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. c) Interés igual: La tasa de interés a la que se liquidan los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. Los problemas de series variables se clasifican en dos grandes clases: problemas que tratan negocios de amortización y problemas que tratan negocios de capitalización: 9 Negocios de amortización (crédito), en los cuales la intención es partir de un valor actual y con las cuotas que se pagan llegar al final del plazo a un saldo cero o a un valor futuro residual que al ser cancelado reduce el saldo a cero. Negocio de amortización, en el cual se recibe un valor inicial y se cancela en cuotas con variación igual. 9 Negocios de capitalización (ahorro) en los cuales se parte de un valor actual cero y las cuotas se van acumulando hasta alcanzar, al final del plazo, un valor futuro deseado. 167 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Negocio de capitalización, en el cual se ahorran valores con variación igual y se acumula Esto quiere decir que en las series variables aparece un sexto elemento que es el valor de cambio de los pagos que se hacen dentro del plazo del negocio, este monto recibe el nombre de “gradiente”, y determina la clase de serie variable con que se está tratando: Si la cantidad es constante se habla de gradiente aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en $50.000 mensuales sin importar su monto) Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior se está hablando de gradiente geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 2% mensual). En este capítulo se tratan ambas clases de gradientes y además se estudian gradientes especiales como el escalonado y el perpetuo. 5.2 Gradiente aritmético Se llama gradiente aritmético, aquella serie de pagos en la cual cada cuota cambia en una cantidad constante (positiva o negativa). Si el gradiente es positivo la serie será creciente, si el gradiente es negativo la serie será decreciente; en este punto lo más importante es saber conservar el signo del gradiente. Es así como, la serie de pagos en realidad está compuesta por dos series: una serie uniforme que se conoce con el signo A y una serie variable distinguida con el signo G, como se aprecia a continuación: 168 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables 0 1 3 4 2G 3G 2 n-1 n (n - 2) G (n - 1) G Los pagos se liquidan utilizando la misma tasa y tienen la misma periodicidad, pero como se ve, cambian en cada período. Es importante hacer las siguientes apreciaciones: x La serie uniforme A inicia en el primer período cuando es de modalidad vencida. x La serie variable G inicia en el segundo período y se suma o se resta una vez en cada período siguiente. x El gradiente G se suma o se resta de la serie uniforme A, por esta razón se habla de serie uniforme con gradiente. x Para saber cuántos gradientes se han sumado o restado a la serie, se utiliza la expresión: (n – 1)G Valor presente ( P ) Cuando se parte de un valor presente se está tratando con problemas de amortización y el valor presente de las dos series será igual a la suma del valor presente de cada serie, por lo tanto en notación estándar el valor presente de una serie uniforme con gradiente sería: P = A (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n) Donde G tomará el signo correspondiente según se esté sumando o restando, de manera que se conforme un gradiente creciente o decreciente. Como ya se sabe que el valor presente de la serie A, que tiene notación A (P/A, i%, n), se calcula con la fórmula (22), se debe encontrar una fórmula para calcular el valor presente de la serie G, que tiene notación G (P/G, i%, n): Para encontrar la fórmula que calcula el valor presente (P) de un gradiente se recurrirá al concepto empleado en la página 99, según el cual “El valor presente de un negocio será igual a la suma de los valores presentes de todos los flujos futuros, descontados a la tasa de interés del negocio”, es decir que el valor presente de una serie de gradientes será igual a la suma del valor presente de todas los gradientes. 169 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Que expresada de otra forma sería: expresión 1 Si la expresión 1 se multiplica a ambos lados de la igualdad por (1 + i), se obtiene: expresión 2 Restando la expresión 1 de la expresión 2 se llega a: Dado que el último término es negativo, puede reexpresarse así: expresión 3 Reduciendo la expresión 3 se obtiene la fórmula para calcular el valor presente de la serie de un gradiente que se paga vencido: (38) 170 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Ejemplo No. 5.1 Cuál es valor de contado de una vivienda que se financia con cuotas crecientes que inician en $350,000 y aumentan cada mes $3,000, si el plazo total del crédito es 15 años y la tasa de interés del 0.75% mensual? Este es un problema de gradiente aritmético vencido creciente. El problema se plantea así: Valor cuota constante A $350,000 mensuales Valor gradiente G $3,000 mensuales Plazo total n 180 meses Tasa de interés del período i 0.75% mensual Valor presente P ??? Como el valor presente de toda la serie es igual al valor presente de la serie uniforme más el valor presente de la serie del gradiente, la solución se plantea combinando la fórmula (22) y la fórmula (38): P = A (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n) Si se desea saber cuánto vale la cuota al final del primer año se procede así: A + (n – 1) G = 350,000 + 11 (3,000), que es igual a $383,000. Ejemplo No. 5.2 Cuánto se debe depositar en una cuenta que paga el 1.5% mensual, para hacer retiros mensuales durante dos años, empezando con un retiro de $750,000, que disminuye cada mes en $10,000? Cuál será el valor del último retiro? Este es un problema de gradiente aritmético vencido decreciente. 171 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel El problema se plantea así: Valor cuota constante A $750,000 mensuales Valor gradiente G – $10,000 mensuales Plazo total n 24 meses Tasa de interés del período i 1.5% mensual Valor presente P ??? Aquí es importante verificar que se tiene total claridad sobre el signo del gradiente, éste debe ser negativo, ya que se resta del valor de la cuota anterior, éstos son los que se llaman gradientes decrecientes. La solución se desarrolla con las mismas fórmulas del ejemplo anterior: P = A (P/A, i%, n) – G(P/G, i%, n) Cuando se tiene un gradiente aritmético decreciente hay que tener especial cuidado en verificar que el valor del gradiente sea menor que la cuota constante dividida por (n – 1), ya que de lo contrario las últimas cuotas serán negativas, lo cual es ilógico en un problema de matemáticas financieras. # si G > A / (n – 1) existen cuotas negativas al final. En el caso que este límite esté dado por $750,000 / 23 = $32,609, si el gradiente es mayor que este valor habrá cuotas negativas. Si por ejemplo se toma G = $35,000, la última cuota sería de menos $55,000. Cuando se trata de series con cuota anticipada que incluye también gradientes anticipados (ver página 128) basta con multiplicar el resultado por (1 + i), con el fin de trasladar el valor presente de –1 (un período antes de cero) a cero, entonces la fórmula para el valor presente del gradiente anticipado sería: 172 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables (39) Ejemplo No. 5.3 Cuál será el valor de una deuda contratada al 18% EA, que debe empezar a pagarse hoy, si se paga en 36 cuotas, la primera es de $120,000 y aumenta $10,000 mensuales? Este es un problema de gradiente aritmético anticipado creciente, con período de pago mensual, por lo tanto debe encontrarse el valor de la tasa de interés del período expresada en meses, que es de 1.37% mes anticipado. (En este problema se concluye que si la cuota se paga anticipada, los intereses también se están pagando anticipados). El problema se plantea así: Valor cuota constante A $120,000 mensuales Valor gradiente G $10,000 mensuales Plazo total n 36 meses Tasa de interés del período i 1.37% mensual Valor presente P ??? Utilizando una combinación de las fórmulas (28) y (39) se tiene: P = A (P/A, i%, n) (1 + i) + G (P/G, i% , n) (1 + i) que arroja un resultado de $8,034,436. Valor futuro ( F ) Cuando se llega a un valor futuro se está tratando con problemas de capitalización y el valor futuro será igual a la suma del valor futuro de cada serie, por lo tanto en notación estándar el valor futuro de una serie uniforme con gradiente sería: F = A (F/A, i%, n) + G (F/G, i%, n) 173 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel que para simplificar se puede expresar así: F = A (F/A, i%, n) + G (P/G, i%, n) (1 + i)n y dado que F/A corresponde a la fórmula (23) y P/G corresponde a la fórmula (38), basta con multiplicar este último factor por (1 + i)n y encontrar la siguiente fórmula para calcular el valor futuro del gradiente: (40) Ejemplo No. 5.4 Cuánto se reúne en una cuenta que paga el 1.0% mensual, si se hacen depósitos mensuales durante un año, empezando dentro de un mes con $250,000, y aumentando cada mes en $20,000? Cuál será el valor del último depósito? Éste es un problema de gradiente aritmético vencido creciente. El problema se plantea así: Valor cuota constante A $250,000 mensuales Valor gradiente G $20,000 mensuales Plazo total n 12 meses Tasa de interés del período i 1.0% mensual Valor futuro F ??? El problema se resuelve con una combinación de las fórmulas (23) y (40), pues debe recordarse que hay que hallar el valor futuro de dos series: F = A (F/A, i%, n) + G (P/G, i%, n) (1 + i)n El valor del último depósito será de A + (n – 1) G = 250,000 + 11 (20,000) = $470,000 Cuando se trata de series con cuota anticipada, basta con multiplicar el resultado por (1 + i), con el fin de trasladar el valor presente de n – 1 (un período antes de n) a n, entonces la fórmula para el valor futuro del gradiente anticipado sería: 174 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables (41) Ejemplo No. 5.5 Cuánto se reúne en una cuenta que paga el 1.0% mensual, si se hacen depósitos mensuales durante un año, empezando hoy con $250,000, y disminuyendo cada mes en $20,000? Cuál será el valor del último depósito? Éste es un problema de gradiente aritmético anticipado decreciente. El problema se plantea así: Valor cuota constante A $250,000 mensuales Valor gradiente G – $20,000 mensuales Plazo total n 12 meses Tasa de interés del período i 1.0% mensual Valor futuro F ??? En este caso, aunque las cuotas son anticipadas (se depositan al principio de cada período) no se concluye que el interés también sea anticipado, aquí depende del convenio que se haga al abrir la cuenta. El problema se resuelve con una combinación de las fórmulas (29) y (41), pues hay que hallar el valor futuro de dos series: F = A (F/A, i%, n) (1 + i) + G (P/G, i%, n) (1 + i)n (1 + i) El valor del último depósito será de A– (n – 1) G = 250,000 – 11 (20,000) = $30,000 Anualidad ( A ) Como las series variables se componen de dos series y una de ellas es una serie uniforme, también puede existir el problema de encontrar el valor de esa cuota constante o sea el valor de la primera cuota; para ello debe tenerse en cuenta si se trata de un problema de amortización o sea que se conoce el valor presente (P) o de un problema de capitalización, o sea que se conoce el valor futuro (F). 175 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Cuando se conoce el valor presente (P), el valor de la anualidad (A) o cuota constante se despeja de una combinación de la fórmula (24) con la fórmula (38): (42) Cuando se conoce el valor futuro ( F ), el valor de la anualidad ( A ) o cuota constante se despeja de una combinación de la fórmula (25) con la fórmula (40): (43) En este caso la fórmula calcula directamente el valor de la serie constante y no requiere sumarse o restarse con otra; por lo tanto con la fórmula se está calculando el valor del primer pago, sobre el cual se suma o resta el gradiente. En las series con pagos anticipados hay que dividir a F o a P, según el caso, por (1 + i): (44) (45) Ejemplo No. 5.6 Cuál será el valor del primer depósito si se quiere reunir al final de tres años una suma de $100 millones, si a partir de hoy se quiere ahorrar trimestralmente en una cuenta que paga el 16% TV y aumentar los depósitos en $500,000 trimestrales? Éste es un problema de gradiente aritmético anticipado creciente. El problema se plantea así: 176 Valor futuro F $100 millones Valor gradiente G $500,000 trimestrales Plazo total n 12 trimestres Tasa de interés del período i 4.0% trimestral Valor cuota constante A ??? JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Como se conoce el valor futuro y es cuota anticipada, se trabaja con la fórmula (45): resultado que representa el valor de la primera cuota, tal como se muestra en el siguiente cuadro: TRIMESTRE DEPÓSITO SALDO INTERESES SALDO FINAL 1 3,882,073 3,882,073 155,283 4,037,356 2 4,382,073 8,419,429 336,777 8,756,207 3 4,882,073 13,638,280 545,531 14,183,811 4 5,382,073 19,565,884 782,635 20,348,520 5 5,882,073 26,230,593 1,049,224 27,279,817 6 6,382,073 33,661,890 1,346,476 35,008,366 7 6,882,073 41,890,439 1,675,618 43,566,056 8 7,382,073 50,948,130 2,037,925 52,986,055 9 7,882,073 60,868,128 2,434,725 63,302,853 10 8,382,073 71,684,927 2,867,397 74,552,324 11 8,882,073 83,434,397 3,337,376 86,771,773 12 9,382,073 96,153,846 3,846,154 100,000,000 Gradiente ( G ) También existen problemas en los cuales se debe encontrar el valor del gradiente, es decir del valor que debe sumarse o restarse a la cuota constante para que se cumpla con las equivalencias de los valores. Para ello debe tenerse en cuenta si se trata de un problema de amortización, o sea que se conoce el valor presente (P) o de un problema de capitalización, o sea que se conoce el valor futuro (F). Cuando se conoce el valor presente ( P ), el valor del gradiente ( G ) o variación de la cuota se despeja de una combinación de la fórmula (22) con la fórmula (38): (46) Cuando se conoce el valor futuro ( F ), el valor del gradiente ( A ) o variación de la cuota se despeja de una combinación de la fórmula (23) con la fórmula (40): 177 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel (47) También en este caso la fórmula calcula directamente el valor del gradiente y no requiere sumarse o restarse con otra; por lo tanto con la fórmula se está calculando el valor de cambio del primer pago. En las series con pagos anticipados hay que dividir a F o a P, según el caso, por (1 + i): (48) (49) Ejemplo No. 5.7 En cuánto deben disminuir los retiros de una cuenta cuyo saldo hoy, cuando se hace el primer retiro de $300,000, es de $2,500,000, si se quieren hacer doce retiros mensuales y la cuenta liquida un interés del 18% EA? Éste es un problema de gradiente aritmético anticipado decreciente. El problema se plantea así: Valor presente P $2,500,000 Plazo total n 12 meses Tasa de interés del período i 1.39% mensual Valor cuota constante A $300,000 Valor gradiente G ??? Como se conoce el valor presente y es anticipado se utiliza la fórmula (48): 178 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Después de hacer un primer retiro de $300,000, debe disminuir cada retiro en $14,148, para que al cabo de los doce meses el saldo de la cuenta sea cero, tal como se comprueba en el siguiente cuadro: MES SALDO INICIAL RETIRO SALDO DESPUÉS DEL RETIRO INTERESES 30,580 SALDO FINAL 0 2,500,000 300,000 2,200,000 2,230,580 1 2,230,580 285,852 1,944,728 27,032 1,971,760 2 1,971,760 271,704 1,700,056 23,631 1,723,687 3 1,723,687 257,556 1,466,131 20,379 1,486,510 4 1,486,510 243,408 1,243,103 17,279 1,260,382 5 1,260,382 229,259 1,031,123 14,333 1,045,455 6 1,045,455 215,111 830,344 11,542 841,886 7 841,886 200,963 640,922 8,909 649,831 8 649,831 186,815 463,016 6,436 469,452 9 469,452 172,667 296,785 4,125 300,910 10 300,910 158,519 142,391 1,979 144,371 11 144,371 144,371 (0) Tasa (i) y número de períodos (n) Para encontrar estas incógnitas, es más sencillo hacerlo a través de la interpolación, que tratando de encontrar una fórmula. Por lo tanto para estos casos no se presentan fórmulas. 5.3 Gradiente geométrico Se llama gradiente geométrico aquella serie de pagos en la cual cada cuota cambia con respecto a la anterior en una cantidad proporcional o razón de cambio constante (positiva o negativa). Si la razón de cambio es positiva la serie será creciente, si la razón de cambio es negativa la serie será decreciente. Esta serie de pagos no está compuesta por dos series, ya que cada cuota depende de la totalidad de la cuota anterior, por lo tanto lo importante es conocer la proporción en que cambia cada cuota, que se conoce como el gradiente geométrico y se distingue con la sigla k, como se aprecia a continuación: 179 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel P A, k, n, i 0 1 A 3 2 A(1+K) A(1+K) n-1 4 2 A(1+K) 3 A(1+K) n-2 n A(1+K) n-1 Los pagos se liquidan utilizando la misma tasa y tienen la misma periodicidad, pero cambian en cada período, además: x La serie inicia en el primer período cuando es de modalidad vencida. x El primer aumento se presenta en el segundo período. x Cada cuota será igual a la anterior multiplicada por (1+k), es decir que la razón de cambio k se suma o se resta de la cuota anterior, por esta razón se habla de serie uniforme con gradiente. x Para saber cuál es el valor de la última cuota, se utiliza la expresión: A(1 + k)n–1. Valor presente (P) Cuando se parte de un valor presente, se está tratando con problemas de amortización y el valor presente de la serie será igual a la suma del valor presente de cada una de las cuotas, en notación estándar el valor presente de una serie uniforme con gradiente geométrico sería: P = A(P/A, i%, k%, n). Donde k toma el signo correspondiente según la proporción se esté sumando o restando, de manera que se conforme un gradiente creciente o decreciente. Entonces, para encontrar la fórmula que calcula el valor presente (P) de un gradiente geométrico, se recurrirá al concepto empleado en la página 76, según el cual “El valor presente de un negocio será igual a la suma de los valores presentes de todos los flujos futuros, descontados a la tasa de interés del negocio”, es decir que el valor presente de una serie con gradiente geométrico, será igual a la suma del valor presente de todas las cuotas. Que expresada de otra forma sería: 180 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables expresión 1 Si la expresión 1 se multiplica a ambos lados de la igualdad por obtiene: se expresión 2 Restando la expresión 1 de la expresión 2 se llega a: expresión 3 Reduciendo la expresión 3 se obtiene la fórmula para calcular el valor presente de una serie con gradiente geométrico que se paga vencido: (50) (51) Ejemplo No. 5.8 Una persona abre una cuenta en una institución que paga el 1.5% mensual y al mes siguiente retira $300,000 y de ahí en adelante incrementa su retiros en un 10% mensual, si logra hacer cinco retiros antes de agotar la cuenta, de cuánto fue el depósito inicial? Ést e es un problema de gradiente geométrico vencido creciente. El problema se plantea así: 181 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Plazo total n 5 meses Tasa de interés del período i 1.5% mensual Valor primera cuota A $300,000 Valor gradiente k 10% mensual Valor presente P ??? Como el valor de la tasa de interés es diferente al valor del gradiente geométrico, se utiliza la fórmula (49): Como se aprecia en el siguiente cuadro: MES SALDO INICIAL INTERESES RETIRO SALDO FINAL 1 1,746,962 26,204 300,000 1,473,166 2 1,473,166 22,097 330,000 1,165,264 3 1,165,264 17,479 363,000 819,743 4 819,743 12,296 399,300 432,739 5 432,739 6,491 439,230 0 Ejemplo No. 5.9 Si un crédito de una cooperativa se cancela en siete cuotas mensuales, empezando en $120,000 y cada mes disminuyen en 5%, cuál fue el valor desembolsado si la tasa de interés es del 0.5% mensual? Éste es un problema de gradiente geométrico vencido decreciente. El problema se plantea así: 182 Plazo total n 7 meses Tasa de interés del período i 0.5% mensual Valor primera cuota A $120,000 Valor gradiente k – 5% mensual Valor presente P ??? JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Hay que tener presente que la razón de cambio es negativa. Como el valor de la tasa de interés es diferente al valor del gradiente geométrico, se utiliza la fórmula (50): Como se aprecia en el siguiente cuadro: MES SALDO INICIAL INTERESES CUOTA SALDO FINAL 1 710,450 3,552 120,000 594,002 2 594,002 2,970 114,000 482,972 3 482,972 2,415 108,300 377,087 4 377,087 1,885 102,885 276,088 5 276,088 1,380 97,741 179,727 6 179,727 899 92,854 87,772 7 87,772 439 88,211 0 Cuando se trata de series con cuota anticipada que incluye también gradientes anticipados (ver página 128), basta con multiplicar el resultado por (1+i), con el fin de trasladar el valor presente de –1 (un período antes de cero) a cero, entonces la fórmula para el valor presente del gradiente geométrico anticipado sería: (52) P = nA cuando i = k (53) Ejemplo No. 5.10 Un padre de familia hace hoy un depósito en una cuenta de ahorros que paga el 1% mensual, para que su hijo retire, también a partir de hoy, una suma para sus gastos; si el primer retiro es de $250,000 y aumenta el 1% mensual, cuánto debe depositar el padre para que el hijo alcance a hacer seis retiros? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente. El problema se plantea así: 183 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Plazo total n 6 meses Tasa de interés del período i 1% mensual Valor primera cuota A $250,000 Valor gradiente k 1% mensual Valor presente P ??? Como se aprecia, k es igual i por lo tanto debe utilizarse la fórmula (53) P = nA = 6 * 250,000 = 1,500,000 Tal como se aprecia en el siguiente cuadro: MES SALDO INICIAL RETIRO INTERESES SALDO FINAL 0 1,500,000 250,000 12,500 1,262,500 1 1,262,500 252,500 10,100 1,020,100 2 1,020,100 255,025 7,651 772,726 3 772,726 257,575 5,152 520,302 4 520,302 260,151 2,602 262,753 5 262,753 262,753 0 0 Del cuadro anterior se concluye que en los gradientes geométricos anticipados, en los cuales i = k: x Si el padre deposita hoy y el hijo retira también hoy, los intereses (I = iP) sólo se pagan sobre (P–A). x Como el retiro crece a la misma tasa de los intereses, estos últimos deben generar lo suficiente para los crecimientos que faltan, por ejemplo en el primer período los intereses son de $12,500 que alcanzan para pagar los cinco incrementos de $2,500 que se presentan a partir del segundo retiro, mientras que en el quinto retiro los intereses son de $2,602, que es exactamente igual al incremento que tiene el último retiro. Valor futuro ( F ) Cuando el gradiente lleva a un valor futuro, se está tratando con problemas de capitalización y el valor futuro será igual a la suma del valor futuro de cada cuota. En notación estándar, el valor futuro de una serie con gradiente geométrico sería F=A (F/A, i%, k%, n) que también se puede expresar así F=A(P/A, i%, k%, n) (1+i)n, es decir que basta con multiplicar la fórmula (49) o (59) por (1 + i)n para encontrar la fórmula del valor futuro de un gradiente geométrico: Para cuotas vencidas: 184 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables (54) (55) Para cuotas anticipadas: (56) F = nA (1+i)n cuando i = k (57) Ejemplo No. 5.11 Para pagar una bonificación a sus empleados, una empresa hizo hoy un depósito de $1,250,000 en una cuenta que paga el 1% mensual y piensa seguir haciendo depósitos mensuales, pero cada vez los aumenta en 5%, cuánto reunirá al cabo de 12 meses? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente. El problema se plantea así: Plazo total n Tasa de interés del período i 12 meses 1% mensual Valor primera cuota A $1,250,000 Valor gradiente k 5% mensual Valor futuro F ??? Como es un gradiente anticipado y k diferente de i, se utiliza la fórmula (56): F = A (P/A, i%, n) (1 + i)n 185 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 5.12 Una compañía de seguros paga el 1% sobre los depósitos en una póliza cuyos depósitos deben aumentar el 1% mensual; si una persona inicia hoy los ahorros con una cuota de $35,000, cuánto habrá reunido dentro de diez años? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente El problema se plantea así: Plazo total (57): n 120 meses Tasa de interés del período i 1% mensual Valor primera cuota A $35,000 Valor gradiente k 1% mensual Valor futuro F ??? Como es un gradiente anticipado y además k es igual a i, se debe utilizar la fórmula F = nA (1 + i)n = 120*35,000 (1 + 1%)120 = 13,861,625 Anualidad (A) Más que una anualidad, el valor que se pretende buscar es el de la primera cuota sobre la cual se aplican los aumentos o disminuciones proporcionales; para ello debe tenerse en cuenta si se trata de un problema de amortización, o sea que se conoce el valor presente (P), o de un problema de capitalización o sea que se conoce el valor futuro (F). Cuando se conoce el valor presente (P), el valor de la primera cuota (A) se despeja de la fórmula (50) o (51) según sea el caso: (58) (59) Para el caso de las series con cuotas anticipadas basta con dividir a P por (1+i): (60) (61) 186 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Cuando se conoce el valor futuro ( F ), el valor de la primera cuota ( A ) se despeja de la fórmula (53) o (54) según sea el caso: (62) (63) Para el caso de las series con cuotas anticipadas basta con dividir a F por (1 + i): (64) (65) Ejemplo No. 5.13 De cuánto debe hacerse el primer depósito a partir de hoy, en una cuenta de ahorros, si se sabe que cada trimestre aumentará en 10%, la cuenta paga el 14% EA y se quieren reunir $20,000,000 dentro de dos años? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente. El problema se plantea así: Plazo total n 8 trimestres Tasa de interés del período i 3.33% trimestral Valor gradiente k 10% trimestral Valor futuro F $20,000,000 Valor primera cuota A ??? Como es anticipado y se conoce el valor futuro, debe utilizarse la fórmula (64) 187 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como se comprueba con la siguiente tabla: MES SALDO INICIAL DEPÓSITO INTERESES SALDO FINAL 0 0 1,529,662 50,938 1,580,599 1 1,580,599 1,682,628 108,665 3,371,893 2 3,371,893 1,850,891 173,919 5,396,702 3 5,396,702 2,035,980 247,508 7,680,190 4 7,680,190 2,239,578 330,328 10,250,096 5 10,250,096 2,463,535 423,364 13,136,995 6 13,136,995 2,709,889 527,701 16,374,585 7 16,374,585 2,980,878 644,537 20,000,000 Ejemplo No. 5.14 De cuánto será la primera cuota de un crédito de $3,000,000, si las cuotas disminuyen el 5% mensual, se cobra un interés del 1% mensual y se debe pagar en 15 cuotas? Éste es un problema de gradiente geométrico vencido decreciente. El problema se plantea así: Plazo total n 15 meses Tasa de interés del período i 1% mensual Valor gradiente k – 5% mensual Valor presente P $3,000,000 Valor primera cuota A ??? Como se conoce el valor presente y es una cuota vencida, se utiliza la fórmula (58) Gradiente (k), tasa (i) y número de períodos (n). Para encontrar estas incógnitas es más sencillo hacerlo a través de la interpolación, que tratando de encontrar una fórmula. Por lo tanto, para estos casos no se presentarán fórmulas. Ejemplo No. 5.15 Cuánto debe variar en porcentaje mensual, una cuota que empieza con $300,000, si al término de 15 meses se debe terminar de pagar un crédito de $3,000,000 que se adquiere al 1% mensual? Éste es un problema de gradiente geométrico vencido. El problema se plantea así: 188 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Plazo total n 15 meses Tasa de interés del período i 1% mensual Valor presente P $3,000,000 Valor primera cuota A $300,000 Valor gradiente k ??? Como se conoce el valor presente y es una cuota vencida, se puede utilizar la fórmula (49) para interpolar, empezando con una variación mensual de 5%, buscando que el valor presente que se calcule menos el valor del crédito, produzca un resultado de cero: Dado que el valor es positivo la cuota debe crecer menos o ser negativa, entonces se ensaya con un k = –10%: Por los resultados obtenidos, el valor de la variación mensual de las cuotas (k) se encuentra entre 5% y –10%, valores con los que se debe interpolar: VALOR DE K 5% k –10% RESULTADO OBTENIDO 2,930,127 0 –756,393 Interpolando se plantea la siguiente igualdad: 189 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Despejando k se encuentra un valor de –6.92%, valor que tampoco satisface la ecuación al arrojar un resultado de negativo $325,300, cuando debería ser cero. Esto demuestra que la interpolación no es un método exacto, menos aún cuando se toman valores tan distantes para ensayar el resultado. A manera de ejemplo, se hace nuevamente la interpolación utilizando valores más próximos: Con k = –3%, el resultado es $409,120 VALOR DE K –3% k –6.92% RESULTADO OBTENIDO 409,120 0 –325,300 Interpolando se plantea la siguiente igualdad: Despejando k se encuentra un valor de –5.18%, que al aplicarse a la ecuación todavía arroja un resultado negativo de 29,139 y debe recordarse que el resultado debe ser cero. El resultado exacto es –5.025447%, al cual es muy difícil llegar utilizando la interpolación, por lo tanto es importante conocer otras herramientas, ya que ni la calculadora financiera ni la hoja de cálculo Excel tienen funciones para calcular gradientes. 5.4 Gradientes con la calculadora Infortunadamente, la calculadora financiera Hewlett Packard 19BII no tiene funciones para trabajar gradientes, pero viene con una poderosa herramienta como lo es la opción RESOL a través de la cual se pueden grabar fórmulas para trabajar gradientes con la calculadora financiera. Con este solucionador, al grabar una fórmula, se crea un menú con las variables que intervienen en la fórmula, las cuales pueden emplearse para efectuar cálculos. A continuación, se presentan dos fórmulas que pueden grabarse con el solucionador de la calculadora financiera para resolver problemas de gradientes aritméticos y geométricos. Solucionador para gradiente aritmético Para grabar una fórmula en la calculadora financiera Hewlett Packard 19BII que solucione todos los problemas de gradientes aritméticos (vencidos y anticipados), se debe grabar el siguiente algoritmo: 190 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables IF(TIPO = 0: (A+Gx(1/I–N/((1+I)^N–1)))xUSPV(Ix100:N)–P: (A+Gx(1/I–N/((1+I)^N–1)))xUSPV(Ix100:N)x(1+I)–P) Donde: Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado Defina tipo como Si el pago se hace 0 Al final del período (vencido) 1 Al principio del período (anticipado). A Valor de la cuota constante o primera cuota. G Valor de cambio de la primera cuota. Será positivo para los gradientes crecientes y negativo para los s decrecientes. I Tasa de interés del período; debe expresarse en decimales, por ejemplo 0.01 para 1%. N Número de cuotas. P Valor presente. Se utiliza la función USPV( i : n ) que viene incorporada a la calculadora y sirve para calcular el factor (P/A, i%, n); como esta función utiliza la tasa de interés expresada en porcentaje, hay que multiplicar la tasa del período por cien. Para utilizar la anterior fórmula debe tenerse presente que siempre hay que trabajar a través del valor presente ( P ), de manera que aquellos problemas en los cuales se emplee el valor futuro (F), éste debe convertirse a presente a través de la conocida fórmula (6): F = P (1+i)n. A continuación se presentan varios ejemplos de utilización de esta fórmula: Ejemplo No. 5.16 Cuánto debe variar mensualmente en términos absolutos, una cuota que empieza con $100,000, si al cabo de 10 meses se debe terminar de pagar un crédito de $2,000,000 que se adquiere al 1% mensual? Éste es un problema de gradiente aritmético vencido. Una vez seleccionada la fórmula para resolver el problema, la calculadora presenta el siguiente menú: TIPO A G I N P en el cual cualquiera de las variables puede ser la incógnita, en este caso se trata de la variable G. Cada variable se introduce en la tecla correspondiente, de la misma manera que se procede con las funciones incorporadas en la calculadora: 191 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel TIPO A G I N P 0 100,000 0.01 10 2,000,000 25,162 Para solucionar este problema con fórmulas, debía utilizarse la fórmula (46) y el problema se plantea así: Valor presente P Plazo total n Tasa de interés del período i $2,000,000 10 meses 1% mensual Valor cuota constante A $100,000 Valor gradiente G ??? La respuesta obtenida con la fórmula, es la misma que la encontrada con la función grabada en la calculadora y satisfacen el problema planteado, tal como se aprecia en el siguiente cuadro: MES 192 SALDO INICIAL CUOTA INTERÉS ABONO CAPITAL SALDO FINAL 1 2,000,000 100,000 20,000 80,000 1,920,000 2 1,920,000 125,162 19,200 105,962 1,814,038 3 1,814,038 150,324 18,140 132,184 1,681,854 4 1,681,854 175,486 16,819 158,668 1,523,186 5 1,523,186 200,648 15,232 185,416 1,337,770 6 1,337,770 225,810 13,378 212,433 1,125,337 7 1,125,337 250,972 11,253 239,719 885,618 8 885,618 276,135 8,856 267,278 618,340 9 618,340 301,297 6,183 295,113 323,226 10 323,226 326,459 3,232 323,226 0 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Trabajar con la calculadora tiene ventajas sobre el trabajo con la fórmula, no sólo en la velocidad para obtener las respuestas, sino principalmente en los análisis que se pueden hacer sobre sensibilidad de las variables, ya que al tener el menú de variables disponible, basta con dar valor a algunas y seleccionar una como incógnita para obtener la respuesta, por ejemplo en el caso anterior pueden hacerse los siguientes cambios: Observaciones TIPO A G I N P 0 100,000 0.01 12 2,000,000 14,438 Aumenta el plazo 0 80,000 0.01 12 2,000,000 18,154 Baja la primera cuota 0 250,000 0.02 10 2,000,000 – 6,306 Sube tasa y primera cuota 1 100,000 0.01 10 2,000,000 24,689 Se paga cuota anticipada Si con los datos originales sólo se puede aumentar la cuota en $20,000 mensuales, se puede encontrar el monto máximo del préstamo, así: TIPO A G I N P 0 100,000 20,000 0.01 10 1,784,000 Ejemplo No. 5.17 Una compañía de seguros paga el 0.75% sobre los depósitos en una póliza cuyo monto deben aumentar $500 mensuales; si una persona inicia hoy los ahorros con una cuota de $35,000 mensuales, cuánto habrá reunido dentro de diez años? Éste es un problema de gradiente aritmético anticipado creciente El problema se plantea así: Plazo total n 120 meses Tasa de interés del período i 0.75% mensual Valor primera cuota A $35,000 Valor gradiente G $500 mensual Valor futuro F ??? Para solucionar el problema con la calculadora se debe encontrar primero el valor presente así: TIPO A G I N P 1 35,000 500 0.0075 120 4,797,957 193 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como la incógnita es el valor futuro, se utiliza la fórmula (6): F = P (1 + i)n = 4,797,957 (1 + 0.0075)120 = 11,761,506 Solucionador para gradiente geométrico Para grabar una fórmula en la calculadora financiera Hewlett Packard 19BII que solucione todos los problemas de gradientes geométricos (vencidos y anticipados), se debe grabar el siguiente algoritmo: IF(TIPO=0: IF(I=K: AxN/(1+K)–P: A/(I–K)x(1–((1+K)/(1+I))^N)–P): IF(I=K: AxN–P: Ax(1+I)/(I–K)x(1–((1+K)/(1+I))^N)–P)) Donde: Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado Defina tipo como Si el pago se hace 0 Al final del período (vencido) 1 Al principio del período (anticipado). A Valor de la cuota constante o primera cuota. K Valor porcentual de cambio de la primera cuota. Será positivo para los gradientes crecientes y negativo para los gradientes decrecientes. I Tasa de interés del período; debe expresarse en decimales, por ejemplo 0.01 para 1%. N Número de cuotas. P Valor presente. Ejemplo No. 5.18 Cuánto debe variar en porcentaje mensual una cuota que empieza con $300,000, si al término de 15 meses se debe terminar de pagar un crédito de $3,000,000 que se adquiere al 1% mensual? Éste es un problema de gradiente geométrico vencido. El problema se plantea así: Plazo total 194 n 15 meses Tasa de interés del período i 1% mensual Valor presente P $3,000,000 Valor primera cuota A $300,000 Valor gradiente k ??? JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Se recuerda que éste es el mismo que trató de resolverse con interpolación en la página 188. Ahora para resolverlo con el algoritmo de la calculadora, basta con seleccionar la fórmula grabada y aparecerá el siguiente menú: TIPO K I N A P en el cual cualquiera de las variables puede ser la incógnita, en este caso se trata de la variable K. Cada variable se introduce en la tecla correspondiente, de la misma manera que se procede con las funciones incorporadas en la calculadora: TIPO A I N P K 0 300,000 0.01 15 3,000,000 – 0.05025 Como se aprecia, la respuesta se obtiene de manera inmediata y con un valor exacto, superando el trabajo que se hace con la interpolación. Ejemplo No. 5.19 De cuánto debe hacerse el primer depósito a partir de hoy, en una cuenta de ahorros, si se sabe que cada trimestre aumentará en 10%, la cuenta paga el 4.5% trimestral y se quieren reunir $10,000,000 dentro de un año? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente. El problema se plantea así: Plazo total n 4 trimestres Tasa de interés del período i 4.5% trimestral Valor gradiente k 10% trimestral Valor futuro F $10,000,000 Valor primera cuota A ??? Como todos los problemas deben resolverse a través del valor presente, hay que recurrir a la fórmula (7) así: P = F (1 + i) –n = 10,000,000 (1 + 4.5%) –4 = 8,385,613 Conociendo este valor se trabaja en la calculadora así: TIPO I K N P A 1 0.045 0.1 4 8,385,613 1,937,967 Como se puede apreciar en el siguiente cuadro: 195 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel MES DEPÓSITO 0 SALDO INICIAL 1,937,967 INTERESES 1,937,967 SALDO FINAL 87,209 2,025,176 1 2,131,764 4,156,939 187,062 4,344,001 2 2,344,940 6,688,941 301,002 6,989,944 3 2,579,434 9,569,378 430,622 10,000,000 Ejemplo No. 5.20 Un padre de familia deposita hoy $10,000,000 en una cuenta de ahorros que paga el 18% EA, para que su hijo retire, también a partir de hoy, el valor para el pago de la matrícula universitaria que actualmente es de $1,250,000 y aumenta el 5% semestral, será suficiente este valor para pagar los diez semestres? De no ser suficiente, de cuánto debe ser el depósito inicial? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente. La primera parte del problema busca cuántos retiros se pueden hacer y se plantea así: Valor presente P 10,000,000 Tasa de interés del período i 8.63% semestral Valor primera cuota A $1,250,000 Valor gradiente k 5% semestral Plazo total n ??? TIPO I K A P N 1 0.0863 0.05 1,250,000 10,000,000 9.1522 El valor depositado no es suficiente, ya que sólo alcanza para 9.15 matrículas y se requiere que cubra 10 matrículas. La segunda parte del problema busca el valor del depósito para cubrir 10 retiros y se plantea así: 196 Tasa de interés del período i 8.63% semestral Valor primera cuota A $1,250,000 Valor gradiente k 5% semestral Plazo total n 10 semestres Valor presente P ??? TIPO I K A N P 1 0.0863 0.05 1,250,000 10 10,778,423 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables 5.5 Gradientes con Excel Dentro de las funciones financieras de la hoja de cálculo Excel, no existen funciones para el cálculo de los gradientes, pero en el SIL de la editorial se incluye el programa F.xls en el cual se presentan funciones personalizadas que sirven para trabajar gradientes con Excel y efectuar toda clase de cálculos con gradientes (aritméticos, geométricos, crecientes, decrecientes, vencidos y anticipados). Las funciones incluidas utilizan los siguientes argumentos: ARGUMENTO SIGNIFICADO Y OBSERVACIONES Nper Es la cantidad de períodos de pago que hay en el plazo del negocio. Tasa Es la tasa de interés periódica que se recibe por una inversión o que se paga por un crédito. Debe estar expresada en la misma unidad de tiempo que nper. Va Es el valor actual de una serie de pagos futuros. Vf Es el valor futuro y en este caso tiene dos interpretaciones: puede ser un valor residual para pagar al final de un crédito o el saldo en efectivo que se desea alcanzar después de una serie de ahorros. Gradiente Es el monto o la proporción en que varían los pagos cada período. Es importante tener en cuenta que se utiliza el mismo argumento tanto para el gradiente aritmético como para el geométrico; en este último caso debe utilizarse en términos decimales, es decir 0.01 para 1%. Cuota_1 Es el valor de la primera cuota, a partir del cual se crea la serie de pagos variables. Clase Es un indicador para definir la modalidad de variación de los pagos. Defina clase como Si la variación es 0 Constante o aritmética 1 Proporcional o geométrica. Tipo Es un indicador para definir la modalidad de pago de las cuotas. Defina tipo como Si la cuota se paga 0 ó se omite Al final del período (vencido) 1 Al principio del período (anticipado). Las funciones personalizadas ofrecidas en el SIL de la editorial son las siguientes: Función personalizada VA GRAD Devuelve el valor presente de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. VA_GRAD (tasa, nper, cuota_1, gradiente, vf, clase, tipo) 197 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 5.21 ¿Cuál es el valor de contado de un artículo que se vende financiado a 18 cuotas mensuales que aumentan en $4,000 cada mes, si la primera cuota es de $300,000 y la tasa de interés es del 2.5% mensual? Éste es un problema de gradiente aritmético vencido creciente. El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.5% mensual Valor primera cuota A $300,000 Valor gradiente G $4,000 mensual Plazo total n 18 Valor presente P ??? Para resolver el problema utilizando fórmulas, hay que tener en cuenta que el valor presente de toda la serie es igual al valor presente de la serie uniforme más el valor presente de la serie del gradiente, la solución se plantea combinando la fórmula (22) y la fórmula (38): P = A (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n) Con la calculadora se resuelve utilizando el algoritmo de los gradientes aritméticos: TIPO 0 G A 300,000 4,000 N I 0.025 18 P 4,755,989 Utilizando las funciones personalizadas del Excel que se ofrecen en el Sil de la editorial se resuelve de la siguiente forma: 198 Capítulo 5: Series variables JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Como se aprecia, se define un gradiente aritmético con pago de cuotas vencidas, por lo tanto en los parámetros clase y tipo se coloca un cero. La ventaja de utilizar las funciones personalizadas son las mismas que se tienen con la hoja de cálculo Excel, ya que la respuesta obtenida se conserva (en este caso en la celda C6) y puede utilizarse en cualquier cálculo que se haga en el mismo libro o en otros. A manera ilustrativa, a continuación se presenta el código VBA de la función: Function VA_GRAD(tasa, nper, cuota_1, gradiente, vf, clase, tipo) Estilo=vbOKOnly+vbCritical+vbApplicationModal título=“Error en la función VA_GRAD...” ‘VALIDACIONES mal=0 If clase<0 Or clase>1 Then mensaje=“En CLASE sólo se acepta 0:aritmético, 1:geométrico” mal=1 ElseIf tipo <0 Or tipo>1 Then mensaje = “En TIPO sólo se acepta 0:vencido, 1:anticipado” mal = 1 ElseIf clase = 1 And (gradiente> 1 Or gradiente <–1) Then mensaje = “En gradiente geométrico la variación en la cuota debe darse en porcentaje” mal = 1 Else If clase =0 And gradiente <1 And gradiente>–1 Then mensaje=“Posible error en el gradiente... debe darse en pesos” mal = 2 End If 199 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel End If If mal =1 Then Respuesta = MsgBox(mensaje, Estilo, titulo) Exit Function ElseIf mal =2 Then Respuesta=MsgBox(mensaje, Estilo, titulo) End If factor1=vf/(1+tasa)^nper If clase = 0 Then‘gradiente aritmético factor2=((1+tasa)^nper–1)/(tasa*(1+tasa)^nper) factor3=(1/tasa–(nper/((1+tasa)^nper–1))) If tipo = 0 Then VA_GRAD = (cuota_1+gradiente*factor3)*factor2+factor1 Else VA_GRAD=(cuota_1+gradiente*factor3)*factor2*(1+tasa)+fact or1 End If Else‘gradiente geométrico If tasa = gradiente Then factor2=(cuota_1*nper)/(1+tasa) Else factor2=cuota_1*(1–((1+gradiente)/(1+tasa))^nper)/ (tasa–gradiente) End If If tipo=0 Then VA_GRAD=factor2+ factor1 Else VA_GRAD=factor2*(1+tasa)+factor1 End I End If 200 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables End Function Ejemplo No. 5.22 Cuál es el valor de una maquinaria que por leasing se compra en las siguientes condiciones: 8 cuotas trimestrales anticipadas, la primera de $3,500,000, opción de compra de $12,000,000, tasa interés del 28% TV y un crecimiento trimestral de las cuotas del 2.5%? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente. Gráficamente el problema se muestra así: P A, k, n, i 0 1 2 3 4 5 6 7 P 8 $12,000,000 Son 8 cuotas que forman un gradiente geométrico anticipado y van del período cero al siete, y un pago final de $12,000,000 como opción de compra en el período ocho. El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 7% trimestral Valor primera cuota A $3,500,000 Valor gradiente K 2.5% trimestral Plazo total n 8 Valor futuro F $12,000,000 Valor presente P ??? 201 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Dado que este problema incluye un valor futuro, no es posible resolverlo directamente con las fórmulas o la calculadora, algo que si es posible con las funciones personalizadas del Excel, como se aprecia a continuación: Como es un gradiente geométrico anticipado, en los argumentos clase y tipo se coloca uno (1). La respuesta se prueba con el siguiente cuadro: TRIMESTRE SALDO INICIAL CUOTA INTERÉS ABONO CAPITAL SALDO FINAL 0 31,191,658 3,500,000 1,938,416 1,561,584 29,630,074 1 29,630,074 3,587,500 1,822,980 1,764,520 27,865,554 2 27,865,554 3,677,188 1,693,186 1,984,002 25,881,552 3 25,881,552 3,769,117 1,547,870 2,221,247 23,660,305 4 23,660,305 3,863,345 1,385,787 2,477,558 21,182,748 5 21,182,748 3,959,929 1,205,597 2,754,331 18,428,416 6 18,428,416 4,058,927 1,005,864 3,053,063 15,375,353 7 15,375,353 4,160,400 785,047 3,375,353 12,000,000 El saldo final de la serie es de $12,000,000 que corresponde al valor a pagar al final del contrato. Para resolver con calculadora se procede así: TIPO I K A N P 1 0.07 0.025 3,500,000 8 24,207,549 El valor que arroja es el valor presente de la serie de los ocho gradientes, faltaría sumarle el valor presente de la opción de compra, utilizando la fórmula (7) así: P = F (1 + i) –n = 12,000,000 (1 + 7%) –8 = 6,984,109 que sumados al valor presente se llegaría a un valor de 24,207,549 + 6,984,109=31,191,658, que es el mismo valor que arroja la función personalizada. Función personalizada VF_GRAD Devuelve el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. 202 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables VF_GRAD (tasa, nper, cuota_1, gradiente, clase, tipo) Este gradiente maneja lo que se ha llamado negocios de capitalización, es decir que se parte de cero y se pretende alcanzar un valor ahorrado después de un plazo determinado. Ejemplo No. 5.23 Si se depositan $50.000 en una cuenta de ahorros que paga el 2% mensual y se piensa aumentar mensualmente el ahorro en un 5%, ¿cuánto se tendrá ahorrado al término de un año? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente. El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2% mensual Valor primera cuota A $50,000 Valor gradiente K 5% mensual Plazo total n 12 meses Valor futuro F ??? Para resolver el problema utilizando fórmulas, se emplearía la fórmula (56) Con las funciones personalizadas sería así: 203 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como se aprecia, el resultado que arroja la función (celda C35) es igual al que se obtiene con la fórmula y desarrollando la serie de pagos, como se aprecia en el cuadro siguiente: MES DEPÓSITO SALDO INICIAL INTERESES 1,000 SALDO FINAL 0 50,000 50,000 51,000 1 52,500 103,500 2,070 105,570 2 55,125 160,695 3,214 163,909 3 57,881 221,790 4,436 226,226 4 60,775 287,001 5,740 292,741 5 63,814 356,555 7,131 363,686 6 67,005 430,691 8,614 439,305 7 70,355 509,660 10,193 519,853 8 73,873 593,726 11,875 605,601 9 77,566 683,167 13,663 696,830 10 81,445 778,275 15,566 793,841 11 85,517 879,358 17,587 896,945 Es importante aclarar que en las funciones personalizadas, cuando se trata de calcular un valor futuro (capitalización), se parte de cero y los intereses se liquidan al final de cada período sobre el saldo que se encontraba acumulado al iniciarse el período de pago. En el caso del ejemplo, los depósitos son anticipados (obsérvese que el primero se hace en el mes cero) pero sólo reciben intereses un mes después de estar consignados. Función personalizada PAGO_GRAD Devuelve la anualidad o el valor de la primera cuota de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el plazo, el valor presente y/o el valor futuro. PAGO_GRAD (tasa, nper, va, gradiente, vf, clase, tipo) Esta función se utiliza tanto para los problemas de amortización como para los de capitalización, por lo tanto es importante hacer las siguientes aclaraciones: x En los problemas de amortización es posible utilizar el valor presente y el valor futuro, pues ambos se pueden presentar simultáneamente. x En los problemas de capitalización no debe utilizarse el valor inicial (va) pues se tiene el supuesto de partir de un valor ahorrado igual a cero, para alcanzar un valor futuro deseado. Sin embargo, este argumento no debe dejarse en blanco hay que escribir un cero (0) en el argumento va. Ejemplo No. 5.24 Cuál debe ser el valor de la primera cuota para pagar un préstamo de $2,500,000 en 6 cuotas que disminuyen $15,000 mensualmente, si la tasa de interés es del 30% MV? 204 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Éste es un problema de amortización, ya que se parte de un valor inicial (va), el cual se desea cancelar en el plazo estipulado. Éste es un problema de gradiente aritmético vencido decreciente El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.5% mensual Valor gradiente G – $15,000 mensual Plazo total n 6 meses Valor presente P $2,500,000 Valor primera cuota A ??? Utilizando la fórmula (42) se obtiene la siguiente respuesta: Con la calculadora se utiliza el algoritmo del gradiente aritmético: TIPO G I N P A 0 –15,000 0.025 6 2,500,000 490,295 Utilizando la función personalizada se resuelve así: 205 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel La tabla de amortización que se presenta, sirve para comprobar que después de seis pagos con las condiciones pactadas, el saldo de la deuda llega a cero. Nótese que la cuota disminuye $15,000 cada mes. Si en el problema anterior además se planteara que en la última cuota hace un abono extraordinario de $300.000, el cálculo con funciones personalizadas sería como sigue: Como se aprecia, basta con darle valor a la celda C56, para que tanto el valor de la primera cuota como la tabla de amortización se modifiquen. En la barra de fórmulas de la hoja de cálculo, puede verse que la función utilizada sigue siendo la misma. Estos cambios son casi imposibles de realizar con fórmulas o con calculadora. Ejemplo No. 5.25 Si una persona desea tener ahorrados $10.000.000 al término de un año, cuánto debe empezar ahorrando en una cuenta que paga el 1.3% mensual, si la persona puede aumentar el valor ahorrado en 10% cada mes? 206 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Función personalizada GRAD_GRAD Devuelve la variación periódica de la cuota (gradiente), conociendo el plazo, la tasa de interés, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro. Funciona para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes. GRAD_GRAD (tasa, nper, va, cuota_1, vf, clase, tipo) Aquí también hay que tener en cuenta si se trata de problemas de amortización o de capitalización, ya que sólo en los primeros se acepta que el argumento va tenga un valor diferente de cero. Ejemplo No. 5.26 En cuánto debe aumentar una cuota trimestral, para pagar un crédito de $12,000,000 en tres años, si la tasa de interés es del 8% trimestral y el deudor puede empezar pagando $750,000? Dado que el aumento de la cuota puede ser expresado en términos absolutos (gradiente aritmético) o relativos (gradiente geométrico), es posible encontrar la respuesta para ambos casos. A través de las fórmulas, es sencillo encontrar el gradiente aritmético con la fórmula (46), pero prácticamente imposible para el gradiente geométrico, ya que debe hacerse con interpolación. Con la calculadora se procede así: Para gradiente aritmético se utilizará el primer algoritmo visto: TIPO A I N P G 0 750,000 0.08 12 12,000,000 183,287 Para gradiente geométrico se utilizará el segundo algoritmo visto: TIPO I A N P K 0 0.08 750,000 12 12,000,000 0.149235 Se concluye que para cancelar la deuda se tienen que aumentar las cuotas en $183,287 trimestrales o en 14.9235% trimestral. 207 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Con las funciones personalizadas se procede así: En este caso el argumento clase es igual a cero y por lo tanto calcula el resultado como gradiente aritmético; para obtener el geométrico basta con cambiar el argumento clase a uno: 208 Capítulo 5: Series variables JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Función personalizada TASA_GRAD Devuelve la tasa de interés del período a la que se está haciendo un negocio, conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro. Funciona para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes. TASA_GRAD(nper, va, cuota_1, gradiente, vf, clase, tipo ) También diferencia entre problemas de amortización o de capitalización. La tasa queda expresada en la misma unidad de tiempo en que se encuentre el número de períodos de la inversión. Ejemplo No. 5.27 Cuál será la tasa de interés a que se está financiando un crédito de $35,000,000, si el deudor debe pagar 60 cuotas, la primera cuota es de $675,000 y cada mes aumentan en $30.000? La respuesta, según se aprecia en la celda C119, es 3.12%, como las cuotas se pagan mensualmente, esta tasa corresponde a un interés mensual. Ejemplo No. 5.28 Cuál es la tasa de interés de un título a cinco años, si el ahorrador debe hacer depósitos trimestrales y empieza con una cuota de $750,000 que crece el 5% trimestral, si al final del plazo le entregan $50.000.000? 209 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Función personalizada NPER_GRAD Devuelve el plazo o duración de un negocio, conociendo el gradiente, tasa de interés por período, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro. Funciona para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes. NPER_GRAD (tasa, va, cuota_1, gradiente, vf, clase, tipo ) Ejemplo No. 5.29 Durante cuánto tiempo se tendrán que hacer ahorros para alcanzar un saldo de $3,535,000, en una cuenta que paga el 1.18% mensual, si se empieza depositando hoy un valor de $525,000 y se piensan aumentar los depósitos en un 3% mensual? Éste es un problema de gradiente geométrico anticipado creciente, que con las funciones personalizadas se resuelve así: La respuesta exacta es 5.999424 meses, por lo tanto al calcular el flujo hasta el sexto mes, el valor es un poco superior al valor futuro esperado. 5.6 Gradiente perpetuo Se llama gradiente perpetuo, aquella serie de pagos que aumenta uniformemente cada período, pero cuyo último pago se encuentra en un futuro muy lejano o no existe. Estas series son fáciles de encontrar en una economía inflacionaria, ya que los pagos de la serie normalmente deben aumentar para compensar el aumento de los precios. En el caso del gradiente perpetuo, sólo interesa conocer el valor presente ( P ) y sólo interesa el caso de los gradientes crecientes, ya que no tiene sentido económico 210 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables buscar un valor futuro en el infinito o aplicar una disminución indefinidamente, dado que en algún momento se cambiaría el signo de la cuota. 5.6.1 Gradiente aritmético perpetuo Se habla de gradiente aritmético perpetuo, cuando las cuotas aumentan en una cantidad absoluta fija cada período, en estos casos no interesa si los pagos son vencidos o anticipados, ya que el plazo es lo suficientemente largo para minimizar las diferencias que se presentan. Valor presente ( P ) Hay que recordar que el valor presente de un gradiente aritmético, se compone de la suma del valor presente de la serie constante (A) más el valor presente de la serie variable (G). Por lo tanto, deben combinarse el valor presente de una perpetuidad constante, deducido en la fórmula (37) y el valor presente de una perpetuidad variable que se deduce a continuación: como n tiende a infinito, entonces tiende tanto (1+i)n como (1+i)n -1 también tiende a infinito y lo tanto tiende a cero por (66) Ejemplo No. 5.30 Una empresa se ha comprometido a pagar el mantenimiento de un parque de la ciudad, que se estima cuesta hoy $500,000 mensuales, pero aumenta $5,000 cada mes; cuánto debe depositar hoy en una cuenta que paga el 1.25% mensual, para poder cumplir con el compromiso de manera indefinida? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 1.25% mensual Valor primera cuota A $500,000 Valor gradiente G $5,000 mensuales Plazo total n infinito Valor presente P ??? La solución se encuentra combinando la fórmula (37) con la fórmula (66): 211 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Al depositar hoy $72,000,000, se esta garantizando el mantenimiento del parque de una manera indefinida. CON FÓRMULA DE GRADIENTE PERPETUO MES 1 INICIAL INTERÉS RETIRO FINAL 72,000,000 900,000 500,000 72,400,000 2 72,400,000 905,000 505,000 72,800,000 3 72,800,000 910,000 510,000 73,200,000 598 310,800,000 3,885,000 3,485,000 311,200,000 599 311,200,000 3,890,000 3,490,000 311,600,000 600 311,600,000 3,895,000 3,495,000 312,000,000 CON FÓRMULA DE GRADIENTE ARITMÉTICO MES INICIAL INTERÉS RETIRO FINAL 1 71,819,226 897,740 500,000 72,216,967 2 72,216,967 902,712 505,000 72,614,679 3 72,614,679 907,683 510,000 73,012,362 598 10,213,481 127,669 3,485,000 6,856,150 599 6,856,150 85,702 3,490,000 3,451,852 600 3,451,852 43,148 3,495,000 0 En el cuadro anterior se aprecia que cuando el plazo (n) tiende a infinito, por ejemplo 600 meses o 50 años, el valor que se debe depositar es muy similar, la diferencia es que al cumplirse el plazo con la fórmula del gradiente perpetuo, todavía hay saldo en la cuenta y es posible seguir pagando el mantenimiento del parque, mientras que con la fórmula del gradiente aritmético se depositan $180,773 menos, pero el saldo se reduce a cero una vez cumplido el plazo. También es interesante observar que el interés que genera el saldo, aumenta lo mismo que el gradiente ($5,000) lo cual garantiza que se puede pagar el incremento en el costo de mantenimiento de manera indefinida. Anualidad (A) Para encontrar la anualidad o valor de la primera cuota de un gradiente aritmético perpetuo, la fórmula se deduce de una combinación de las fórmulas (37) y (66): (67) 212 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Ejemplo No. 5.31 Suponiendo que en el caso del ejemplo No. 5.30 la empresa sólo dispone de $50,000,000 para depositar con destino al mantenimiento del parque, cuánto podrá pagar mensualmente de manera indefinida si se mantiene el crecimiento de la cuota de $5,000 mensuales y la tasa de interés es del 1.25%? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 1.25% mensual Valor gradiente G $5,000 mensuales Plazo total n infinito Valor presente P 50,000,000 Valor primera cuota A ??? Utilizando la fórmula (67) se encuentra que: Gradiente ( G ) Despejando de la fórmula (67), se puede obtener el valor del gradiente o sea el monto en que puede crecer periódicamente una cuota y aún así el valor presente ( P ) ser suficiente para efectuar retiros de manera indefinida. (68) G = i(iP – A) Ejemplo No. 5.32 Una fundación dispone de $1,200 millones para otorgar becas por valor de $35,000,000 semestrales, si el dinero lo deposita en una cuenta que paga el 15% EA, cuánto es lo máximo que pueden aumentar las becas, para que el dinero alcance indefinidamente? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 7.24% semestral Plazo total n infinito Valor presente P $1,200,000,000 Valor primera cuota A $35,000,000 Valor gradiente G ??? 213 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Utilizando la fórmula (68) se encuentra que: G = i(iP – A) = 7.24% (7.24%1.200,000,000 – 35,000,000) = 3,756112 Función personalizada VA_GRAD_PERP Devuelve el valor presente de un gradiente perpetuo, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica y el gradiente. VA_GRAD_PERP (tasa, cuota_1, gradiente, clase) 5.6.2 Gradiente geométrico perpetuo Se habla de gradiente geométrico perpetuo cuando las cuotas aumentan en un porcentaje fijo cada período; este caso es más común, ya que al variar la cuota en un porcentaje, se logran asimilar los cambios con la inflación. Matemáticamente, el gradiente geométrico perpetuo tiene un manejo más comno existe para plicado, pues cuando n tiende a infinito, el límite de la expresión i < = k. Por lo tanto sólo se puede hablar de gradiente geométrico perpetuo cuando i > k. Teniendo en cuenta las aclaraciones anteriores: (69) A = P(i – k) (70) (71) Ejemplo No. 5.33 El Concejo de una ciudad desea saber cuánto debe depositar hoy en una cuenta que paga el 12% EA, para asegurar de manera indefinida el pago de la prima de seguros contra incendio de los inmuebles del municipio, si hoy cuesta $12,500,000 y la inflación se estima en 10% anual? El problema se plantea así: 214 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Tasa de interés del período i 12% anual Plazo total n infinito Valor primera cuota A $12,500,000 Valor gradiente k 10% Valor presente P ??? Utilizando la fórmula (69) se tiene: 5.7 Gradiente diferido El gradiente diferido es aquella serie en la cual el primer pago de la serie se realiza varios períodos (más de uno) después de haber iniciado el negocio. En estos problemas sólo interesa encontrar el valor de P, de A o del gradiente (G o k), ya que siguen vigentes las fórmulas para calcular el valor futuro (F). El plazo total del negocio (n) se divide en dos períodos: el inicial que es un período de gracia (r) y el final que es de pagos donde se hacen movimientos de efectivo (s), para efectos de presentar la notación estándar se divide el plazo en n=r+s, gráficamente es así: P 0 r=3 i% 1 2 s=9 3 4 5 6 7 i% 8 9 10 11 12 215 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 5.7.1 Gradiente aritmético diferido Valor presente ( P ) Éste es un gradiente especial, ya que obligatoriamente se deben combinar tres fórmulas: una fórmula para calcular el valor presente de la serie uniforme ( A ), otra para calcular el valor presente de la serie variable ( G ) y otra para calcular el valor presente de la suma de las dos anteriores. Por lo tanto, la notación estándar para el gradiente aritmético sería así: P = A (P/A, i%, s) (P/F, i%, r) + G(P/G, i%, s) (P/F, i%, r) El primer miembro de la igualdad, ya fue presentado con la fórmula (35) cuando se trabajaron las anualidades diferidas (ver página 110). El segundo miembro, se obtiene combinando la fórmula (38) con la fórmula (7): (35) (72) Donde r es el número de períodos del lapso muerto s es el número de períodos de pago Ejemplo No. 5.34 Cuál será el monto de un crédito que se paga en 36 cuotas, la primera de ellas de $250,000 con aumentos mensuales de $75,000, si tiene un período muerto de 6 meses y la tasa de interés es del 2.5% mensual? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.5% mensual Plazo total n 42 meses Período muerto r 6 meses Período de pagos s 36 meses Valor primera cuota A $250,000 Valor gradiente G $75,000 Valor presente P ??? El valor presente de toda la serie, será igual a la suma del valor presente de la serie uniforme más el valor presente de la serie variable: 216 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Para solucionar con la calculadora financiera, debe utilizarse el algoritmo del gradiente aritmético, teniendo cuidado de descontar el valor de P durante el período de gracia: TIPO A G I N P 0 250,000 75,000 0.025 36 32,159,694 descontado el resultado se tiene P = 32,159,694 (1 + 2.5%) –6 = 27,731,203 Anualidad ( A ) Si se desea conocer el valor de la anualidad o primera cuota que se hace en el período de pagos, se despeja de una combinación de las fórmulas (35) y (72): (73) Ejemplo No. 5.35 Una maquinaria vale de contado $135,000,000, pero se puede comprar a crédito en las siguientes condiciones: cuota inicial de $30,000,000, un período muerto de 4 meses que se financia a una tasa del 3% y 15 cuotas mensuales que aumentan cada mes en $800,000 financiadas a una tasa del 4%; cuál será el valor de la primera cuota mensual? El problema se plantea así: 217 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Tasa de interés del período muerto i 3% mensual Tasa de interés del período de pagos i 4% mensual Plazo total n 19 meses Período muerto r 4 meses Período de pagos s 15 meses Valor gradiente G $800,000 Valor presente P $135,000,000 – 30,000,000 Valor primera cuota A ??? Gráficamente el problema se plantea así: 135,000,000 r=4 0 1 s=15 i=3% 2 3 4 5 6 i=4% 7 17 18 19 13 14 15 A 30,000,000 A+800,000 0 1 2 3 Del planteamiento gráfico anterior se concluye que si hay un período de gracia de 4 meses y las cuotas son vencidas, el primer pago debe efectuarse al terminar el mes 5, período durante el cual empieza a regir la nueva tasa de interés. Además que los intereses que no se pagan durante el período de gracia se capitalizan. Empleando la fórmula (73) se tiene: P – CI = [ A (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n) ] (P/F, i%, n) [ P – CI ] (F/P, i%, n) – G (P/G, i%, n) = A (P/A, i%, n) 218 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables A = [ P – CI ] (F/P, i%, n) – G (P/G, i%, n) / (P/A, i%, n) En el siguiente cuadro se aprecia la evolución del crédito: SALDO INICIAL MES CUOTA INTERÉS ABONO A CAPITAL SALDO FINAL 1 105,000,000 0 3,150,000 (3,150,000) 108,150,000 2 108,150,000 0 3,244,500 (3,244,500) 111,394,500 3 111,394,500 0 3,341,835 (3,341,835) 114,736,335 4 114,736,335 0 3,442,090 (3,442,090) 118,178,425 117,294,134 5 118,178,425 5,611,428 4,727,137 884,291 6 117,294,134 6,411,428 4,691,765 1,719,662 115,574,472 7 115,574,472 7,211,428 4,622,979 2,588,449 112,986,023 8 112,986,023 8,011,428 4,519,441 3,491,987 109,494,036 9 109,494,036 8,811,428 4,379,761 4,431,666 105,062,370 10 105,062,370 9,611,428 4,202,495 5,408,933 99,653,437 11 99,653,437 10,411,428 3,986,137 6,425,290 93,228,147 12 93,228,147 11,211,428 3,729,126 7,482,302 85,745,845 13 85,745,845 12,011,428 3,429,834 8,581,594 77,164,251 14 77,164,251 12,811,428 3,086,570 9,724,858 67,439,394 15 67,439,394 13,611,428 2,697,576 10,913,852 56,525,542 16 56,525,542 14,411,428 2,261,022 12,150,406 44,375,136 17 44,375,136 15,211,428 1,775,005 13,436,422 30,938,713 18 30,938,713 16,011,428 1,237,549 14,773,879 16,164,834 19 16,164,834 16,811,428 646,593 16,164,834 0 Para solucionar con la calculadora financiera debe utilizarse el algoritmo del gradiente aritmético, teniendo cuidado de introducir en P el valor financiado más los intereses capitalizados durante 4 meses: TIPO G I N P A 0 800,000 0.04 15 105,000,000 (1 + 3%)^4 5,611,428 219 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Gradiente ( G ) El gradiente o monto en que aumentan las cuotas cada período después del período muerto, también se despeja de una combinación de las fórmulas (35) y (72): (74) Ejemplo No. 5.36 Un banco concede créditos con las siguientes condiciones: tasa de interés de 3% mensual, cuotas crecientes en una cantidad fija y plazo total 36 meses con período de gracia de 6 meses; cuánto deben crecer mensualmente las cuotas, si para un crédito de $5,000,000 se empieza pagando una cuota de $120,000? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 3% mensual Plazo total n 36 meses Período muerto r 6 meses Período de pagos s 30 meses Valor presente P $5,000,000 Valor primera cuota A $120,000 Valor gradiente G ??? Con notación estándar, la solución se plantea así: 5,000,000 = [ 120,000 (P/A, 3%, 30) + G (P/G, 3%, 30) ] (P/F, 3%, 6) Despejando G se tiene: Utilizando la fórmula (74), la solución es la siguiente: 220 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Con la calculadora financiera se soluciona así: TIPO A I N P G 0 120,000 0.03 30 5,000,000 (1 + 3%)6 14,991 5.7.2 Gradiente geométrico diferido En el gradiente geométrico diferido, el primer pago se realiza varios períodos (más de uno) después de haber iniciado el negocio y las siguientes cuotas aumentan un porcentaje fijo en cada período. Valor presente ( P ) En este caso, es bastante sencillo encontrar el valor presente, ya que basta descontar el valor presente que arroje la fórmula (50) o (51) durante el período de gracia: (75) (76) Ejemplo No. 5.37 Cuál será el valor de contado de un vehículo que se financia así: tasa de interés del 2.5%, cuota inicial de $3,500,000 y 18 cuotas mensuales que empiezan en $800,000 y aumentan el 2% mensual, si la primera cuota se paga 4 meses después de la cuota inicial? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.5% mensual Plazo total n 21 meses Período muerto r 3 meses Período de pagos s 18 meses Valor primera cuota A $800,000 Valor gradiente k 2% mensual Valor presente P ??? 221 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Hay que tener presente que si la primera cuota se paga 4 meses después de la cuota inicial, sólo hay 3 períodos de gracia en los cuales los intereses se capitalizan, ya que los intereses del cuarto mes se pagan con la primera cuota. Con notación estándar la solución se plantea así: P = A (P/G, i%, k%, n) (P/F, i%, n) + 3,500,000 = 800,000 (P/G, 2.5%, 2%, 18) (P/F, 2.5%, 3) + 3,500,000 = 16,018,589 Utilizando la fórmula (75) se tiene: Con la calculadora financiera se soluciona así: TIPO I K A N P 0 0.025 0.02 800,000 18 13,481,151 El resultado obtenido debe descontarse durante el período de gracia y sumarlo a la cuota inicial: P = 13,481,151 (1 + 2.5%) –3 + 3,500,000 = 16,018,589 Anualidad ( A ) El valor de la anualidad puede encontrarse despejando de las fórmulas (75) y (76): (77) (78) Ejemplo No. 5.38 De cuánto debe ser la primera cuota de un crédito de $30,000,000 otorgado al 36% TV, con un plazo de 3 años, si se concede un período de gracia de un semestre y se cancela en cuotas trimestrales que aumentan un 10%? 222 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 10% trimestral Plazo total n 12 trimestres Período muerto r 2 trimestres Período de pagos s 10 trimestres Valor gradiente k 10% trimestral Valor presente P $30,000,000 Valor primera cuota A ??? Con notación estándar la solución se plantea así: 30,000,000 (F/P, 10%, 2) = A(P/G, 10%, 10%, 10) Despejando A Utilizando la fórmula (78): Con la calculadora financiera se soluciona así: TIPO I K N P A 0 0.10 0.10 10 30,000,000 (1 + 10)2 3,993,000 La solución se comprueba con el siguiente cuadro: N SALDO INICIAL 1 30,000,000 CUOTA INTERÉS ABONO A CAPITAL SALDO FINAL 0 3,000,000 (3,000,000) 33,000,000 2 33,000,000 0 3,300,000 (3,300,000) 36,300,000 3 36,300,000 3,993,000 3,630,000 363,000 35,937,000 4 35,937,000 4,392,300 3,593,700 798,600 35,138,400 5 35,138,400 4,831,530 3,513,840 1,317,690 33,820,710 6 33,820,710 5,314,683 3,382,071 1,932,612 31,888,098 7 31,888,098 5,846,151 3,188,810 2,657,342 29,230,757 8 29,230,757 6,430,766 2,923,076 3,507,691 25,723,066 9 25,723,066 7,073,843 2,572,307 4,501,537 21,221,529 223 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel N SALDO INICIAL CUOTA ABONO A CAPITAL INTERÉS SALDO FINAL 10 21,221,529 7,781,227 2,122,153 5,659,074 15,562,455 11 15,562,455 8,559,350 1,556,245 7,003,105 8,559,350 12 8,559,350 9,415,285 855,935 8,559,350 (0) Gradiente ( k ) En los gradientes geométricos no se puede despejar una fórmula para calcular el valor de k; así mismo, tampoco es posible encontrarlo utilizando la notación estándar. Por lo tanto si se desea conocer su valor, debe utilizarse la interpolación con los problemas que ya se conocen o el algoritmo de la calculadora presentado en la página 150. Ejemplo No. 5.39 Cuánto deben aumentar trimestralmente las cuotas del ejemplo No. 5.38, si solo se pueden empezar pagando una cuota de $3,500,000? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 10% trimestral Plazo total n 12 trimestres Período muerto r 2 trimestres Período de pagos s 10 trimestres Valor presente P $30,000,000 Valor primera cuota A $3,500,000 Valor gradiente k 10% trimestral Con la calculadora financiera se soluciona así: TIPO I A N 0 0.10 3,500,000 10 P 30,000,000 (1 + 10) 2 K 0.1318444245 La solución se comprueba con el siguiente cuadro: N 1 224 SALDO INICIAL 30,000,000 CUOTA INTERÉS ABONO A CAPITAL SALDO FINAL 0 3,000,000 (3,000,000) 33,000,000 2 33,000,000 0 3,300,000 (3,300,000) 36,300,000 3 36,300,000 3,500,000 3,630,000 (130,000) 36,430,000 4 36,430,000 3,961,455 3,643,000 318,455 36,111,545 5 36,111,545 4,483,751 3,611,154 872,597 35,238,948 6 35,238,948 5,074,909 3,523,895 1,551,014 33,687,934 7 33,687,934 5,744,007 3,368,793 2,375,214 31,312,720 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables N SALDO INICIAL CUOTA INTERÉS ABONO A CAPITAL SALDO FINAL 8 31,312,720 6,501,323 3,131,272 3,370,051 27,942,669 9 27,942,669 7,358,486 2,794,267 4,564,219 23,378,450 10 23,378,450 8,328,661 2,337,845 5,990,816 17,387,634 11 17,387,634 9,426,749 1,738,763 7,687,985 9,699,648 12 9,699,648 10,669,613 969,965 9,699,648 0 5.8 Gradiente escalonado Un gradiente escalonado, es aquella serie de cuotas en la cual se presenta una subserie o serie temporal de pagos iguales, al cabo de los cuales se produce un incremento, se repite la serie temporal y así sucesivamente hasta el final del plazo total. Para que se pueda considerar gradiente escalonado, se deben reunir las siguientes características: a) Las series temporales deben tener el mismo número de cuotas (t). b) Cuando termina una serie temporal se presenta siempre el mismo incremento (G o k). c) La tasa de interés del período (i) debe ser la misma durante el plazo total del negocio (n). Conservando estas características, los valores futuros de cada una de las series temporales (F/A, i%, t) forman un gradiente con las mismas características de los gradientes vencidos ya vistos. 5.8.1 Gradiente aritmético escalonado En el gradiente aritmético escalonado, después de la serie de pagos iguales el incremento que se presenta es siempre el mismo (G). Para efecto de las fórmulas, el plazo total del negocio (n) se divide en grupos de series temporales (t), tal como se aprecia en el siguiente gráfico: 225 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 2 1 2 1 Valor presente ( P ) El valor presente de un gradiente aritmético escalonado vencido, se compone de la suma del valor presente de la serie constante ( A ) más el valor presente de la serie variable ( G ), por lo tanto se obtiene a partir de la fórmula (22) que no tiene ningún cambio y de la fórmula (38) que al considerar las series temporales adquiere la siguiente forma: (79) 226 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Ejemplo No. 5.40 Un crédito de vivienda concedido con un plazo total de 10 años al 1% mensual, se cancela de la siguiente forma: doce cuotas mensuales iguales de $350,000 que aumentan cada año en $50,000; cuál es el valor del crédito otorgado? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 1% mensual Plazo total n 120 meses Tamaño de la serie t 12 meses Valor primera cuota A $350,000 Valor gradiente G $50,000 Valor presente P ??? Combinando las fórmulas (22) y (38) se obtiene la siguiente expresión: Función personalizada VA_ESCALA Devuelve el valor presente de un gradiente escalonado, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. VA_ESCALA(tasa, nper, cuota_1, gradiente, serie, clase, tipo) Aplicando esta función 40 se soluciona de la siguiente forma: 227 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 5.41 Cuál es precio de contado de un equipo que se financia así: plazo total 12 meses, tasa de interés 2% mensual y cuatro series de tres cuotas iguales que se incrementan en $100,000, siendo la primera cuota de $500,000? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2% mensual Plazo total n 12 meses Tamaño de la serie t 3 meses Valor primera cuota A $500,000 Valor gradiente G $100,000 Valor presente P ??? Combinando las fórmulas (22) y (38) se obtiene la siguiente expresión: 228 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Si las cuotas son anticipadas, se utiliza la siguiente fórmula para encontrar el valor presente del gradiente escalonado: (80) Valor futuro ( F ) Para calcular el valor futuro de un gradiente escalonado se adecúa la fórmula (40), quedando así cuando las cuotas son vencidas: (81) Y así cuando son anticipadas: (82) Ejemplo No. 5.42 Una persona ha decidido ahorrar mensualmente, a partir de hoy, la décima parte de su sueldo, en una cuenta que paga el 1% mensual. Si la persona gana hoy $350,000 y estima que cada año el sueldo incrementará en $30,000, cuánto reunirá en 5 años? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 1% mensual Plazo total n 60 meses Tamaño de la serie t 12 meses Valor primera cuota A $35,000 Valor gradiente G $30,000 Valor futuro F ??? Como las cuotas se consignan anticipadas, se utiliza la fórmula(29) de anualidades anticipadas, combinada con la fórmula (82): 229 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Función personalizada VF_ESCALA Devuelve el valor futuro de un gradiente escalonado, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. VF_ESCALA(tasa, nper, cuota_1, gradiente, serie, clase, tipo) Utilizando esta función el ejemplo No. 5.42, se resuelve de la siguiente manera: Como se aprecia, arroja el mismo resultado. Hay que notar que en la función personalizada se utiliza el valor 1 en el argumento tipo, para indicar que son cuotas anticipadas. Ejemplo No. 5.43 Para pagar las cesantías, una empresa ahorrará al final de cada mes y durante un año el 2% de las ventas, si éstas son actualmente de $100 millones mensuales, pero se espera que cada cuatro meses aumenten en $25 millones, cuánto logrará reunir la empresa, si los ahorros los deposita en una cuenta que paga el 1.3% mensual? El problema se plantea así: 230 Tasa de interés del período i 1.3% mensual Plazo total n 12 meses Tamaño de la serie t 4 meses Valor primera cuota A $2,000,000 Valor gradiente G $500,000 Valor futuro F ??? Capítulo 5: Series variables JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Utilizando la función personalizada se tiene: Anualidad ( A ) En el caso de los gradientes aritméticos, cuando se habla de anualidad se esta tratando con el valor de la serie constante que se está combinando con la serie variable, por lo tanto las fórmulas deben deducirse de una combinación de ambas series; además, hay que considerar si el gradiente es vencido o anticipado y si se parte del valor presente (P) o del valor futuro ( F ). En los gradientes vencidos, cuando se conoce el valor presente: (83) En los gradientes vencidos, cuando se conoce el valor futuro: (84) Si las anualidades son anticipadas, las fórmulas anteriores quedan así: (85) (86) 231 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 5.44 Se tiene el compromiso de pagar un crédito de $55 millones en un término de cuatro años, con cuotas trimestrales iguales durante un año, que para el siguiente período aumentan en $750,000; cuál debe ser el valor de la primera cuota, si se cobra un interés del 30% TV? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 7.5% trimestral Plazo total n 16 trimestres Tamaño de la serie t 4 trimestres Valor presente P $55,000,000 Valor gradiente G $750,000 Valor primera cuota A ??? Como es un gradiente vencido en el cual se conoce el valor presente, debe utilizarse la fórmula (83): Función personalizada PAGO_ESCALA_VA Devuelve el valor de la primera cuota de un gradiente escalonado, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo el valor presente que se va a amortizar, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Sólo se utiliza para problemas de amortización. PAGO_ESCALA_VA(tasa, nper, va, gradiente, serie, clase, tipo) Resolviendo el ejemplo No. 5.44 con esta función personalizada se llega al siguiente resultado: 232 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Función personalizada PAGO_ESCALA_VF Devuelve el valor de la primera cuota de un gradiente escalonado, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo el valor futuro que se va a capitalizar, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Sólo se utiliza para problemas de capitalización. PAGO_ESCALA_VF(tasa, nper, vf, gradiente, serie, clase, tipo) Ejemplo No. 5.45 Si una persona necesita reunir $3,000,000 dentro de un año y puede ahorrar mensualmente desde hoy en una cuenta que paga el 2% mensual, cuánto debe empezar ahorrando, si dentro de seis meses puede aumentar la cuota en $50,000? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2% mensual Plazo total n 12 meses Tamaño de la serie t 6 meses Valor futuro F $3,000,000 Valor gradiente G $50,000 Valor primera cuota A ??? Con la función personalizada el resultado es el siguiente: 233 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Utilizando la fórmula (86), por ser un gradiente anticipado en el que se conoce el valor futuro, el resultado es el mismo: El resultado obtenido, se corrobora con la siguiente tabla de capitalización de los ahorros: N CUOTA SALDO INICIAL INTERÉS SALDO FINAL 1 195,776 195,776 3,916 199,692 2 195,776 395,468 7,909 403,378 3 195,776 599,154 11,983 611,137 4 195,776 806,914 16,138 823,052 5 195,776 1,018,828 20,377 1,039,205 6 195,776 1,234,981 24,700 1,259,681 7 245,776 1,505,457 30,109 1,535,566 8 245,776 1,781,343 35,627 1,816,969 9 245,776 2,062,746 41,255 2,104,001 10 245,776 2,349,777 46,996 2,396,773 11 245,776 2,642,549 52,851 2,695,400 12 245,776 2,941,176 58,824 3,000,000 Gradiente ( G ) También es importante conocer en cuánto deben aumentar las cuotas para cancelar un crédito o alcanzar un valor ahorrado. Partiendo de las fórmulas (46) y (47) se llega a los siguientes resultados, para conocer el gradiente de una serie escalonada, con cuotas vencidas: G ⎤ ⎡ (1 + i)n - 1 ⎤ ⎡ t ((1 + i)t - 1) = i (1 + i)n ⎢P - A ⎥ ⎢ ⎥ n n t i (1 + i) ⎦⎥ ⎢⎣ t ((1 + i) - 1) - n ((1 + i) - 1) ⎦⎥ ⎣⎢ (87) (88) Si las cuotas son anticipadas, las fórmulas son las siguientes: (89) 234 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables (90) Ejemplo No. 5.46 Cuánto debe aumentar la cuota del ejemplo No. 5.45 si la persona sólo puede empezar ahorrando $150,000? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2% mensual Plazo total n 12 meses Tamaño de la serie t 6 meses Valor futuro F $3,000,000 Valor primera cuota A $150,000 Valor gradiente G ??? Se utiliza la fórmula (90), debido a que se trata de una serie anticipada y se conoce el valor futuro: 5.8.2 Gradiente geométrico escalonado Las series con gradiente geométrico escalonado, cumplen las mismas condiciones vistas para los gradientes aritméticos escalonados, la única diferencia es que después de la serie de pagos iguales, el incremento que se presenta es siempre variable, pero proporcional a la cuota anterior ( k ). Valor presente ( P ) Para calcular el valor presente de un gradiente geométrico escalonado se puede utilizar la función personalizada VA_ESCALA (ver página 176) o deducir la fórmula a partir de las fórmulas (50) o (51): Cuando las cuotas son vencidas: 235 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel (91) (92) Cuando las cuotas son anticipadas: (93) (94) Ejemplo No. 5.47 Cuál es el valor de una deuda que se paga de la siguiente manera: tres cuotas mensuales iguales de $150,000 que para el siguiente mes se incrementan en 5% y así sucesivamente durante dos años, teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 1% mensual? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 1% mensual Plazo total n 24 meses Tamaño de la serie t 3 meses Valor primera cuota A $150,000 Valor gradiente k 5% Valor presente P ??? En los gradientes geométricos escalonados, la comparación entre el valor del gradiente y la tasa de interés es de especial cuidado y debe tenerse en cuenta la siguiente observación: se compara el gradiente con la tasa de interés efectiva de la serie temporal; en este caso la tasa de interés es (1 + i)t – 1 = 3.03% diferente del 5% que es el gradiente geométrico, por lo tanto se utiliza la fórmula (91), ya que además es un gradiente vencido: 236 Capítulo 5: Series variables JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Utilizando la función personalizada, la respuesta es la misma: Valor futuro ( F ) Para encontrar una fórmula que calcule el valor futuro de un gradiente geométrico escalonado, se parte de las fórmulas (54) y (55): Para cuotas vencidas: (95) (96) Para cuotas anticipadas: (97) (98) Ejemplo No. 5.48 Una persona ha decidido ahorrar mensualmente, a partir de hoy, la décima parte de su sueldo, en una cuenta que paga el 12% MV. Si la persona gana hoy $350,000 y estima que cada año el sueldo incrementará en 12%, cuánto reunirá en 5 años? El problema se plantea así: 237 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Tasa de interés del período i 1% mensual Plazo total n 60 meses Tamaño de la serie t 12 meses Valor primera cuota A $35,000 Valor gradiente k 12% Valor futuro F ??? En este problema la tasa de interés y el gradiente no son iguales, ya que debe tenerse en cuenta la tasa efectiva de la serie temporal que es (1 + i)t – 1 = 12.68%; por lo tanto se debe utilizar la fórmula (97), por ser cuotas anticipadas: Utilizando la función personalizada del Excel la solución es la siguiente: Anualidad ( A ) En los gradientes geométricos escalonados también existe fórmula para conocer el valor de la anualidad o primera cuota de la serie: Cuando se conoce el valor presente ( P ), para cuotas vencidas: (99) (100) 238 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Para el caso de las series con cuotas anticipadas basta con dividir a P por (1 + i): (101) (102) Cuando se conoce el valor futuro ( F ): (103) (104) Para el caso de las series con cuotas anticipadas basta con dividir a F por (1 + i): (105) (106) Ejemplo No. 5.49 Un padre de familia necesita reunir $200 millones para dentro de once años, si puede ahorrar a partir de hoy una suma mensual constante durante un año, al cabo del cual puede aumentarla en 8% y así sucesivamente, cuánto requiere empezar a ahorrar, si los depósitos los hace en una cuenta que paga el 8% EA? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 0.64% mensual Plazo total n 132 meses Tamaño de la serie t Tasa efectiva de la serie t 12 meses (1 + i) – 1 8% k 8% Valor futuro F 200,000,000 Valor primera cuota A ??? Valor gradiente Éste es un caso de un gradiente geométrico escalonado en el cual la tasa de interés de la serie temporal es igual al gradiente, es anticipado y se conoce el valor futuro ( F ), por lo tanto debe emplearse la fórmula (106): 239 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 5.8.3 Gradiente escalonado con la calculadora financiera Al igual que para el tratamiento general de los gradientes, es posible grabar con el solucionador de la calculadora financiera a través del menú RESOL , algoritmos para resolver los gradientes escalonado. Solucionador para el gradiente aritmético escalonado El siguiente algoritmo sirve para resolver todos los problemas de gradientes aritméticos escalonados: IF (TIPO = 0: A x USPV(Ix100:N)+ G/Ix(((1+I)^N–1)/(((1+I)^T–1)x(1+I)^N)–N/ (Tx(1+I)^N))–P: Ax(1+I)xUSPV(Ix100:N)+ (Gx(1+I))/Ix(((1+I)^N–1)/(((1+I)^T–1)x(1+I)^N)–N/ (Tx(1+I)^N)–P) Donde: Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado. Defina tipo como Si el pago se hace 0 Al final del período (vencido) 1 Al principio del período (anticipado). A Valor de la cuota constante o primera cuota. USPV Función de la calculadora financiera para calcular el factor (P/A, i%, n). G Valor de cambio de la primera cuota. Será positivo para los gradientes crecientes y negativo para los gradientes decrecientes. I Tasa de interés del período; debe expresarse en decimales, por ejemplo 0.01 para 1%. N Número de cuotas. P Valor presente. T Tamaño de la serie temporal, durante la cual se conserva constante la cuota. Nuevamente se debe aclarar que para utilizar el anterior algoritmo hay que trabajar a través del valor presente (P), de manera que aquellos problemas en los cuales se emplee el valor futuro (F), éste debe convertirse a presente a través de la fórmula (6): F = P (1+ i)n. 240 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Series variables Ejemplo No. 5.50 Hay que pagar un crédito de $10 millones en un término de tres años, con cuotas mensuales iguales durante un año, que para el siguiente período aumentan en $500,000; cuál debe ser el valor de la primera cuota, si se cobra un interés del 3% mensual? Éste es un problema de gradiente aritmético escalonado vencido. El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 3% mensual Plazo total n 36 meses Tamaño de la serie t 12 meses Valor presente P $10,000,000 Valor gradiente G $500,000 Valor primera cuota A ??? Para resolver con el algoritmo visto se presenta el siguiente menú en la calculadora: TIPO I N G T P A 0 0.03 36 500,000 12 10,000,000 73,860 Solucionador para el gradiente geométrico escalonado El siguiente algoritmo sirve para resolver todos los problemas de gradientes geométricos escalonados: IF(TIPO=0: IF(K=(1+I)^T–1: (AxKxN)/(Ix(1+K)xT)–P: ((Ax((1+I)^T–1))/(((1+I)^T–1–K)xI)) x((((1+I)^N–(1+K)^(N/T))/(1+I)^N))–P): IF(K=(1+I)^T–1: ((AxKxN)/(Ix(1+K)xT))x(1+I)–P: (Ax(1+I)x((1+I)^T–1))/(((1+I)^T–1–K)xI) x(((1+I)^N–(1+K)^(N/T))/(1+I)^N)–P)) Donde: 241 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado. Defina tipo como Si el pago se hace 0 Al final del período (vencido) 1 Al principio del período (anticipado). A Valor de la cuota constante o primera cuota. K Valor porcentual de cambio de la primera cuota. Será positivo para los gradientes crecientes y negativo para los gradientes decrecientes. I Tasa de interés del período; debe expresarse en decimales, por ejemplo 0.01 para 1%. N Número de cuotas. P Valor presente. T Tamaño de la serie temporal, durante la cual se conserva constante la cuota. Ejemplo No. 5.51 Cuánto debe variar en porcentaje mensual una cuota que empieza con $100,000 y aumenta semestralmente, si al término de 36 meses se debe terminar de pagar un crédito de $5,000,000 que se adquiere al 1.5% mensual? Éste es un problema de gradiente geométrico escalonado vencido. El problema se plantea así: Plazo total n 36 meses Serie temporal t 6 meses Tasa de interés del período i 1.5% mensual Valor presente P $5,000,000 Valor primera cuota A $100,000 Valor gradiente k ??? Al resolver este problema con el algoritmo de la calculadora basta con seleccionar la fórmula grabada y aparecerá el siguiente menú: TIPO K I T A N P En él, cualquiera de las variables puede ser la incógnita, en este caso se trata de la variable K. Cada variable se introduce en la tecla correspondiente, de la misma manera que se procede con las funciones incorporadas en la calculadora: TIPO I T A N P K 0 0.015 6 100,000 36 5,000,000 0.2586 Las cuotas mensuales deben aumentar semestralmente el 25.86% para poder cancelar el crédito en el plazo estipulado. 242 Capítulo 5: Resumen JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Resumen del capítulo En este capítulo se continúa con el objetivo de plantear problemas de la vida práctica, en este caso para series variables. Para que un flujo irregular se considere serie variable debe reunir las siguientes condiciones: a) Variación igual: El monto en que varían los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante en cantidad o en proporción. b) Intervalo igual: La periodicidad de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. c) Interés igual: La tasa de interés a la que se liquidan los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante. • Estas series variables también son conocidas como gradientes, que es otro concepto básico de las matemáticas financieras ya que es el monto en que cambian los pagos, este monto determina la clase de gradiente con que se está tratando: • Si la cantidad es constante, se trata de un gradiente aritmético y se conoce con la sigla G. • Si la cantidad es proporcional al pago inmediatamente anterior se trata de un gradiente geométrico y se conoce con la sigla k. El gradiente aritmético está compuesto por dos series: una serie uniforme (A) y una serie variable (G), por lo tanto la notación estándar del valor presente será: P = A (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n). El valor presente de la serie A se calcula con la fórmula (22), el valor presente de la serie G se calcula con la fórmula (38): El gradiente geométrico no está compuesto por dos series, ya que cada cuota depende de la totalidad de la cuota anterior. La notación estándar del valor presente es P = A (P/A, i%, k%, n), que se calcula con las fórmulas (50) y (50): Para finalizar, se presentan tres clases de gradientes especiales: perpetuo, diferido y escalonado. Gradiente perpetuo, es aquella serie de pagos que aumenta uniformemente cada 243 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel período, pero cuyo último pago se encuentra en un futuro muy lejano o no existe. Los gradientes geométricos perpetuos son fáciles de encontrar en una economía inflacionaria, ya que los pagos de la serie normalmente deben aumentar para compensar el aumento de los precios. Gradiente diferido, es aquella serie en la cual el primer pago de la serie se realiza varios períodos (más de uno) después de haber iniciado el negocio. El plazo total ( n ) se divide en dos períodos: el inicial o período muerto (r) en el cual no hay movimientos de efectivo y el final o período de pagos (s) en el cual se hacen los movimientos de efectivo. Este caso combina los conceptos de pago único y series con gradientes, de ahí que en notación estándar se exprese así: P = A (P/A, i%, k%, s) (P/F, i%, r). Gradiente escalonado, es aquella serie de cuotas en la cual se presenta una subserie o serie temporal de pagos iguales ( t ) al cabo de los cuales se produce un incremento, se repite la serie temporal y así sucesivamente hasta el final del plazo total. Para que se pueda considerar gradiente escalonado, se deben reunir las siguientes características: d) Las series temporales deben tener el mismo número de cuotas (t). e) Cuando termina una serie temporal se presenta siempre el mismo incremento (G o k). f) La tasa de interés del período ( i ) debe ser la misma durante el plazo total del negocio (n). 2 1 Ni la calculadora financiera ni la hoja de cálculo Excel tienen funciones para trabajar gradientes, por lo tanto en este capítulo se ofrecen las siguientes ayudas: 244 • Algoritmos que se pueden grabar en la calculadora financiera para solucionar problemas de gradientes aritméticos, geométricos y escalonados. • Un programa en Excel con funciones personalizadas, que puede grabarse en el computador y sirve para solucionar problemas de gradientes aritméticos, geométricos y escalonados. JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 5: Ejercicios Cuestionario de autoevaluación 5. a ¿Cuáles son las condiciones necesarias para que una serie de pagos sea considerada como serie variable? 5. b ¿Qué significa el concepto de gradiente? 5. c ¿Cuál es la diferencia básica entre gradiente aritmético y gradiente geométrico? 5. d ¿Por qué la serie variable de gradiente aritmético se considera compuesta por dos series y cuáles son éstas? 5. e A partir de la fórmula (38), despejar las fórmulas para calcular cada una de las variables que intervienen en un problema de gradientes aritméticos de matemáticas financieras. 5 .f Por qué la serie de gradiente geométrico se considera que es una sola serie y cuál es la diferencia frente al tratamiento que recibe el gradiente aritmético? 5. g A partir de la fórmula (49), despejar las fórmulas para calcular cada una de las variables que intervienen en un problema de gradientes geométricos de matemáticas financieras. 5. h Por qué en las series de gradientes geométricos se presentan dos fórmulas para calcular cada variable, según la relación entre la tasa de interés (i) y el gradiente (k)? 5. i Genere un algoritmo para resolver gradientes a través del valor futuro y grábelo en la calculadora financiera por la opción RESOL del menú principal. 5. j Qué son las funciones personalizadas de la hoja de cálculo Excel? 5. k En el gradiente geométrico perpetuo cuál es la condición que se debe cumplir entre la tasa de interés (i) y el gradiente (k). 5. l Explique el concepto de gradiente escalonado. 5. m En cuál clase de gradiente (aritmético, geométrico o escalonado) es mayor el ritmo de cambio de las cuotas y por qué? 5. n Construya un cuadro donde explique cómo se calcula el valor de una cuota futura en todas las clases de gradientes? 245 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejercicios propuestos 5.1 Una cooperativa concede créditos en las siguientes condiciones: interés del 0.75% mensual y plazo de 18 meses; si se pagan cuotas de $300,000 mensuales que se incrementan en $10,000 cada mes, ¿de cuánto fue el valor del crédito? 5.2 Una persona que empieza ahorrando hoy $75,000 mensuales y piensa incrementar el ahorro en $25,000 cada mes, ¿cuánto reunirá al cabo de un año, si la cuenta paga el 11% EA? 5.3 Un computador que tiene un precio de contado de $2,500,000, se vende financiado en las siguientes condiciones: tasa de financiación del 2.5% mensual, cuota inicial del 10% y doce cuotas mensuales que aumentan $25,000 al mes; ¿cuánto debe pagar en la primera cuota? 5.4 Para una excursión a Europa que tiene un precio de doce millones de pesos, una agencia de viajes ofrece un plan de ahorro de seis cuotas mensuales anticipadas que se incrementan en $300,000 mensuales; si la agencia reconoce un 0.5% sobre saldos, ¿cuál será el valor de la primera cuota? 5.5 ¿A qué tasa se está financiando un vehículo que tiene un precio de contado de $35 millones si se vende a crédito a tres años con cuotas trimestrales que empiezan en $1,200,000 y se incrementan $800,000 trimestralmente? 5.6 Si una persona necesita reunir dos millones de pesos en dos años y cada mes puede depositar $20,000 que aumenta en $5,000 cada mes, ¿cuál será la tasa expresada en EA que debe pagar la cuenta en que haga los depósitos? 5.7 Cuánto tiempo se demora en pagar un crédito de $1,800,000 al 2% mensual, si la primera cuota es de $10,400 y se incrementa cada mes en $8,030? 5.8 Para reunir una suma de $7,500,000, una persona ahorra en una cuenta que paga el 12% MV empezando hoy con $200,000 que aumenta mensualmente en $40,000; ¿cuánto tiempo se demorará en cumplir su meta? 5.9 Una empresa compra un equipo de $18,500,000 financiado en las siguientes condiciones: tasa del 27% EA, plazo 30 meses y cuotas trimestrales; si la primera cuota es de $1,530,000, ¿cuánto debe aumentar trimestralmente para cumplir el compromiso? 5.10 Dentro de tres años una empresa debe pagar una indemnización de $25 millones, si quiere empezar a ahorrar desde ahora en una cuenta que paga el 7.5% semestral y empieza hoy con un depósito de $2,500,000, ¿cuánto debe aumentar semestralmente el depósito para reunir el valor de la indemnización? 5.11 Hace 7 meses que una persona no paga una cuota de $200,000 mensuales que tiene al 2% mensual; si el saldo se quiere refinanciar a 12 meses en cuotas crecientes que empiezan en $75,000 y cada mes aumentan $14,860, ¿cuál es la tasa de refinanciación del crédito? 246 Capítulo 5: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 5.12 Una deuda de 8 cuotas de $350,000 mensuales, al 20% EA, se quiere refinanciar a 18 meses al 27% EA en cuotas trimestrales crecientes, que empiezan en $1,050,000; ¿cuánto deben aumentar cada trimestre para alcanzar a pagar la deuda? 5.13 Para reunir $250 millones en dos años, una empresa tiene el siguiente plan: – Hacer un depósito inicial. – Empezar hoy con un ahorro mensual de $3,000,000 en una cuenta que paga el 9% MV, e incrementar el depósito en $200,000 cada mes. – Hacer un ahorro trimestral de $8,000,000 en bonos al 16% EA. De cuánto debe ser el depósito inicial para alcanzar la meta? 5.14 Una empresa tiene dos deudas así: – Una deuda que se pactó originalmente al 30% TV, a un plazo de 36 meses, con cuotas trimestrales, la primera de $300,000 que se incrementa cada trimestre en $50,000. Hoy vence la quinta cuota y se adeuda todavía la cuarta cuota. – Otra deuda que se empieza a pagar dentro de seis meses en 30 cuotas mensuales de $500,000 al 2.5% mensual. Las quiere reemplazar por una sola deuda al 3% mensual así: período de gracia de un año, 24 cuotas mensuales con incremento mensual de $50,000; de ¿cuánto debe ser la primera cuota? 5.15 Un equipo industrial que tiene un precio de $85,000,000 de contado, se financia al 32% EA así: – cuota inicial de 10%. – 6 cuotas semestrales extraordinarias de $4,500,000. – El saldo se paga con un año de gracia y después paga 24 cuotas mensuales, la primera de $1,500,000. Cuánto deben aumentar mensualmente las cuotas mensuales para alcanzar a pagar la deuda? 5.16 Una deuda al 3% mensual pactada a tres años se paga así: cuotas mensuales que empiezan en $450,000 y aumentan cada semestre en $50,000; cuál es el valor original de la deuda? 5.17 Si se ahorra durante cuatro años al 2% mensual, empezando con una cuota mensual de $80,000 que aumenta anualmente en $20,000; cuánto se reunirá al final? 5.18 Una deuda de $3,000,000 al 2.5% mensual, que tiene un período de gracia de 6 meses, se paga en 24 cuotas mensuales que empiezan en $100,000 y aumentan semestralmente; cuál debe ser aumento semestral para pagar la deuda? 247 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 5.19 ¿Cuál es el valor de una vivienda financiada al 0.75% mensual a 15 años, que paga durante el primer año cuotas de $250,000, si éstas aumentan $25,000 cada año? 5.20 Para pagar una deuda de seis millones de pesos contratada al 1.5% se pagan cuotas mensuales que pueden aumentar $50,000 cada trimestre; ¿cuánto se debe pagar en la primera cuota? 5.21 Una persona empieza ahorrando hoy $250,000 mensuales, que puede aumentar en $50,000 cada año; ¿cuánto reúne después de cinco años si los depósitos los hace en una cuenta que paga el 1% mensual? 5.22 ¿Cuánto debe empezar depositando hoy en una cuenta que paga el 1.25%, una persona que quiere reunir $7,500,000 en tres años, si los depósitos los hace mensualmente y puede aumentarlos en $50,000 cada año? 5.23 Hace 30 años una persona empezó a ahorrar $8,600 mensuales en una cuenta que pagaba el 2%. Si durante los primeros diez años incrementaba sus depósitos en $1,000 cada año, en los diez años siguientes el incremento anual fue de $10,000 y en los últimos diez años de $25,000; ¿cuánto ha reunido a la fecha? ¿Cuánto tiempo le duran los ahorros si empieza a retirar hoy mismo seis millones de pesos mensuales y piensa incrementar ese retiro en dos millones de pesos cada año y la tasa de interés baja al 1.5% mensual? 5.24 Un empleado independiente creó hace 40 años su propio fondo de pensiones, que ha tenido los siguientes movimientos: – En los primeros 10 años ahorró al 1.25% mensual, empezó con una cuota mensual de $1,250 que dejaba constante un año al cabo del cual la aumentaba en $50. – En los 10 años siguientes, la tasa se mantuvo igual, pero los aumentos anuales de la cuota mensual ahorrada aumentaron a $500. – Durante los 10 años siguientes no ahorró y por el contrario retiraba mensualmente todo lo que le pagaban en intereses, aprovechando que estos aumentaron al 3% mensual. – En los últimos 10 años ha ahorrado $75,000 mensuales que aumenta en $7,500 cada año. La tasa de interés bajó al 2.5% mensual. Si el saldo ahorrado hasta hoy piensa utilizarlo en su pensión, el empleado quiere saber: – Si el interés baja al 1% mensual y retira cuatro millones de pesos mensuales, cuánto tiempo le dura el fondo? – Si el interés baja al 1% mensual y empieza a retirar hoy $2,500,000 mensuales, cuánto puede aumentar anualmente los retiros, si quiere que el fondo le dure 20 años? 248 Capítulo 5: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA – ¿A qué tasa debe invertir el saldo, para poder retirar hoy tres millones de pesos, incrementar el retiro en $25,000 mensuales y que el fondo le dure 15 años? 5.25 Una empresa ha sido condenada a pagar $25 millones, el abogado estima que puede posponer el pago durante dos años, pero el saldo se ajusta con la inflación estimada en 8% anual; el gerente financiero propone el siguiente plan de ahorros para reunir el dinero: depositar hoy cinco millones de pesos en un bono que paga el 28% EA y dentro de un mes empezar a depositar $300,000 mensuales con incremento de $25,000 semestrales en una cuenta que paga el 1.25% mensual; alcanza a reunir el valor necesario para pagar la multa? 5.26 Una persona que hoy tiene un sueldo de $400,000 y estima que le pueden aumentar $50,000 anuales, quiere ahorrar el 10% de su sueldo, si lo deposita en una cuenta que paga el 0.75% mensual, ¿cuánto reunirá después de tres años? 5.27 Una persona tiene una deuda de $800,000 al 36% MV, si la deuda tiene un período de gracia de 6 meses y después empieza a pagar $116,375 al mes y aumenta la cuota en $25,000 trimestralmente, ¿cuánto se demorará en pagar la deuda? 5.28 Se tiene el compromiso de pagar una deuda al 2% mensual, con un plazo total de dos años y seis meses de gracia con cuotas de $120,000 mensuales que trimestralmente aumentan $10,000; el acreedor propone cambiarla por un año de gracia y 48 cuotas, la primera de $75,000 que aumenta $20,000 semestralmente; cuál es la tasa de la nueva deuda? 5.29 Se compra una maquinaria de $200,000,000 a crédito al 42% EA, con las siguientes condiciones: – Cuota inicial del 10%. – Período de gracia de 6 meses. – 24 cuotas mensuales ordinarias, con incremento semestral de $4,000,000. – Cuota final de $25,000,000 que se paga seis meses después de la última cuota mensual ordinaria. Cuál es el valor en que empiezan las cuotas mensuales ordinarias? 5.30 Una persona deposita hoy $3,500,000 en una cuenta que paga el 1.5% mensual, si además dentro de un mes empieza a depositar $200,000 mensuales durante dos años; cuánto le duran los ahorros si empieza a retirar un año después $629,087 mensuales con incrementos de $25,000 anual? 5.3 1 Cuánto cuesta una vivienda que financiada a 15 años al 12% EA, empieza pagando cuotas de $350,000 que aumentan 0.8% cada mes? 5.32 Si una persona ahorra durante cinco años en una cuenta que paga el 1.5% mensual, cuánto reunirá si empieza haciendo depósitos de $85,000 que aumenta en 2% cada mes? 249 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 5.33 ¿Cuánto se empieza pagando por un préstamo de $750,000 a un año, si se financia al 2.5% mensual y las cuotas aumentan 5% mensual? 5.34 Para reunir $800,000 dentro de dos años, en una cuenta que paga el 22% TV, ¿cuánto se debe empezar ahorrando hoy en cuotas trimestrales, si cada trimestre se puede aumentar el depósito en 10%? 5.35 Una empresa ha comprado una bodega por valor de $150 millones, financiada a 8 años al 26% EA; si paga cuotas semestrales, la primera de $10,350,000, ¿cuál debe ser el porcentaje de aumento semestral de la cuota para cancelar la deuda en el plazo fijado? 5.36 Se espera reunir $1,200,000 dentro de un año, en una cuenta que paga el 1% mensual; si hoy se inicia con un depósito de $90,000, ¿en qué porcentaje se debe aumentar cada mes el depósito para cumplir la meta? 5.37 Haciendo ahorros mensuales desde hoy que aumentan cada mes 2%, una persona logra reunir $450,000 en año y medio; si el primer depósito fue de $20,000, ¿cuál fue la tasa efectiva anual reconocida en los depósitos? 5.38 ¿A qué tasa efectiva anual se financia un vehículo que tiene un precio de contado de $45 millones, si a crédito se vende con una cuota inicial del 25% y el saldo a 12 cuotas trimestrales, la primera de $3,500,000 que aumenta 6.5% cada período? 5.39 ¿Cuánto tiempo durará un capital de $12 millones invertido al 15% EA, si se empiezan a retirar a partir de hoy $500,000 mensuales y el retiro se incrementa en 2% cada mes? 5.40 Ahorrando $150,000 mensuales a partir de hoy y aumentando el depósito en 5% cada mes, ¿cuánto tiempo se demorará en reunir $4,200,000 si se invierten al 1% mensual? 5.41 Para pagar una indemnización estimada en $125 millones dentro de tres años, una empresa ahorra de la siguiente manera: – Invierte $35 millones en un bono al 15% EA. – Un porcentaje de las ventas en una cuenta que paga el 1.5% mensual. Si las ventas actuales son de $18 millones mensuales y se estima que aumentan 3% cada mes; ¿cuál será el porcentaje de las ventas que se tiene que ahorrar? 5.42 Una deuda de 8 cuotas trimestrales de $200,000 al 40% EA, se reemplaza por otra así: interés del 2.85% mensual, primera cuota de $70,000 que se incrementa 1.5% mensual, ¿cuál será el plazo de la nueva deuda? 5.43 Un lote que tiene un precio de $80 millones se compra financiado al 3% mensual en las siguientes condiciones: cuota inicial del 12%, período muerto de 6 meses y 12 cuotas mensuales que aumentan el 2% mensual; ¿cuál es el valor de la primera cuota mensual? 250 Capítulo 5: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 5.44 ¿Cuánto se reúne después de tres años si se hacen los siguientes depósitos: hoy se depositan $500,000 al 2% mensual y dentro de seis meses se empieza a ahorrar $150,000 trimestrales en una cuenta que paga el 18% TV, si las cuotas aumentan el 2% trimestral? 5.45 ¿Cuál es el precio de una vivienda que se financia al 10% EA a 15 años, si empieza pagando cuotas de $350,000 mensuales que se incrementan en 10% anual? 5.46 Si se ahorran $80,000 mensuales y esta cuota se incrementa en 8% anual, ¿cuánto se reunirá después de cinco años en una cuenta que paga el 1.5% mensual? 5.47 ¿Cuánto se empieza a pagar por un crédito de $30 millones concedido a 6 años al 36% TV, si se pagan cuotas trimestrales que aumentan cada año en 10%? 5.48 Si una persona empieza a ahorrar a partir de hoy $125,000 mensuales y cada año aumenta la cuota en 10% y después de 7 años ha logrado reunir $45 millones, ¿cuál fue la rentabilidad del ahorro? 5.49 ¿Cuántos años tendrá que ahorrar una empresa para reunir $90,200,000, si deposita tres millones de pesos trimestrales en una cuenta que paga el 3.75% trimestral y aumenta los depósitos en 12% anual? 5.50 Una compañía minera debe devolver una mina dentro de diez años y pagar el equivalente a $1,200 millones de hoy para recuperación ambiental. La empresa decide empezar a ahorrar desde ahora, para lo cual efectúa el siguiente plan: – Comprar un bono de $300 millones a diez años que paga el 9% semestral. – De las ventas internas empezar a ahorrar en una cuenta que paga 0.75% mensual cinco millones de pesos y aumentar la cuota ahorrada en 1% al mes. – De las exportaciones empezar a ahorrar seis millones de pesos trimestrales en una cuenta que paga el 15% EA. ¿Cuánto deben aumentar trimestralmente los ahorros de las exportaciones, para alcanzar el ahorro deseado, si la inflación anual se estima en 10% anual? 5.51 Un vehículo de carga que tiene un precio de $125 millones, se financia al 2.75% mensual en las siguientes condiciones: cuota inicial del 30%, 8 meses de gracia, 24 cuotas mensuales que se incrementan 3% trimestral; cuál es el valor de la primera cuota mensual? 5.52 Una persona piensa ahorrar durante 20 años en una cuenta que paga el 12% MV y empieza desde hoy con una cuota mensual de $120,000 que aumentará 10% anual; ¿cuánto le durará el ahorro si quiere retirar $3,500,000 mensuales con un incremento anual del 12%? 251 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 5.53 Una persona quiere empezar a ahorrar para reunir un capital que le permita hacer retiros de $2,500,000 mensuales durante 15 años; ¿cuánto tiempo debe ahorrar si puede empezar hoy con un depósito de $85,000 mensuales en una cuenta que paga el 1.25%, si además estos depósitos los incrementa en 6% semestral? 5.54 Cuánto tiempo debe ahorrar una persona si puede empezar hoy con un depósito de $60,000 mensuales en una cuenta que paga el 15% MV, si además estos depósitos los incrementa en 6% semestral, para reunir un capital que le permita hacer retiros de dos millones de pesos mensuales durante 10 años, si la tasa de interés baja al 12% MV? 5.55 Una cooperativa ofrece a sus afiliados un plan de ahorros así: – Afiliación al plan de ahorro de $150,000 reembolsables al retiro sin intereses. – Ahorro ordinario al 10% EA, de $30,000 mensuales con incremento anual de 10%. – Ahorro extraordinario al 8% EA de $200,000 semestrales con incremento de 7% semestral. ¿Cuánto reúne una persona que permanece cinco años en el plan de ahorros? 5.56 Una empresa tiene dos deudas así: Primera deuda: después de un período muerto de seis meses, se pagan cinco cuotas trimestrales de $500,000 al 30% TV. Segunda deuda: después de un período muerto de un año, se pagan 24 cuotas mensuales que empiezan en $150,000 y se incrementan el 5% semestral, a una tasa del 3% mensual. Si las refinancia con un período de gracia de 6 meses y después se pagan 36 cuotas mensuales que se incrementan 5% trimestral, de cuánto será la primera cuota si la tasa de interés se acuerda en 38.5% EA? 5.57 ¿Cuál es el valor de un crédito al 3% mensual que se cancela así: durante 18 meses se paga una cuota creciente que empieza en $300,000 y aumenta el 1% mensual, después se pagan 18 cuotas constantes, iguales al valor alcanzado en la cuota 18? 5.58 ¿Cuánto tiempo se demora en pagar un crédito de cinco millones al 3% mensual, si se paga así: 12 cuotas constantes de $300,000 mensuales y después incrementa la cuota mensual en 1% cada mes? 5.59 Cuánto reúne una persona que ahorra al siguiente ritmo: – Empieza hoy con una cuota de $150,000 mensuales que aumenta cada año en 10% y se mantiene así durante 10 años. – Después y durante 5 años empieza con una cuota de $400,000 que incrementa mensualmente en $10,000. 252 Capítulo 5: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA – Finalmente, durante 10 años hace ahorros mensuales que empiezan en $1,000,000 y los aumenta en 1% cada mes. Si además la tasa de interés fue del 10% EA hasta el año 15, y del 8% EA del año 16 al 25. 5.60 Cuál es el valor de una vivienda que se financia a 15 años al 10% EA, si las cuotas tienen el siguiente comportamiento: – Los cinco primeros años empieza pagando $150,000 mensuales con un incremento anual del 8%. – Los cinco años siguientes paga $300,000 mensuales constantes. – Los últimos cinco años empieza pagando una cuota de $350,000 que aumenta el 1% mensual. 5.61 ¿Cuánto puede empezar a retirar un mes después del último depósito el ahorrador del ejemplo anterior, si quiere que el ahorro le dure 25 años y los retiros los aumenta el 10% anual y la tasa de interés se mantiene en 8% EA? 5.62 ¿Cuánto se debe empezar pagando por un crédito de seis millones de pesos al 2.5% mensual si durante dos años se paga una cuota mensual constante y durante otros dos años paga cuotas trimestrales que aumentan el 3% cada trimestre, la primera de ellas igual al doble de la cuota constante? 5.63 Para pagar un crédito de cinco millones de pesos, una cooperativa ofrece el siguiente plan: la mitad con un período muerto de seis meses y 24 cuotas mensuales constantes al 1.5% mensual; la otra mitad en seis cuotas trimestrales que aumentan 3% cada trimestre al 2% mensual; cuál es el valor de cada cuota? 5.64 Una empresa necesita $500 millones para invertir en un negocio que deja el 40% EA; si recibe dos créditos para financiar el negocio así: – $200 millones al 32% EA, con período muerto de un año y cuatro años para pagar cuotas trimestrales que aumentan el 6% cada trimestre. – $300 millones al 18% EA para pagar en 36 cuotas mensuales que aumentan el 12% semestral. ¿Cuánto gana la empresa en el negocio en pesos de hoy? 5.65 Un negocio a dos años deja ingresos mensuales que empiezan desde $800,000 y aumentan el 3% mensual, pero debe pagar cinco millones de inversión inicial y dos millones trimestrales de gastos; si la empresa tiene una TIO del 36% EA, cuál es la diferencia entre el valor presente de los ingresos menos el valor presente de los egresos? 5.66 Si se tiene una deuda al 3% que se debe pagar en 24 cuotas mensuales de $250,000, ¿cuánto se debe pagar en la primera cuota si se reemplaza por otra deuda al 2.8% mensual, con seis meses de gracia y pagando 18 cuotas mensuales que aumentan el 5% trimestral? 253 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 5.67 Un fondo de empleados presta a tres años con las siguientes condiciones: – En el primer año al 18% EA, con cuotas mensuales que aumentan el 2% mensual. – En el segundo año al 20% EA, con cuotas constantes, iguales al último valor alcanzado en el primer año. – En el tercer año al 15% EA, con cuotas mensuales que disminuyen el 2% mensual, siendo la primera igual a las cuotas constantes del segundo año. ¿Para un crédito de cinco millones de pesos, cuál será el valor de la primera cuota? 5.68 Un tesorero tiene el siguiente plan para reunir $1,200 millones: – Hoy compra un bono de $350 millones al 30% TV, que vence en un año. El valor recibido lo reinvertirá en otro bono al 1.5% mensual. – Ahorrar mensualmente $12 millones con incrementos trimestrales de 5%, en una cuenta que paga el 1% mensual. – Ahorrar trimestralmente una cuota constante en una cuenta que paga el 18% EA. ¿Cuál debe ser el valor de las cuotas constantes? 5.69 Una maquinaria se compra financiada por leasing al 36% EA, en las siguientes condiciones: – Cuota inicial del 10%. – Período de gracia de 6 meses. – 24 cuotas mensuales que incrementan el 1% mensual. – Cuota final del 10% que se paga seis meses después del último pago. Cuál debe ser el valor de las cuotas mensuales? 5.70 Cuál es la tasa de financiación de una compra de $2,500,000, que se cancela así: cuota inicial del 30%, período muerto del tres meses y 12 cuotas trimestrales de $240,000 que se incrementan al 0.75% trimestral. 5.71 Una persona espera ahorrar lo suficiente para retirar tres millones de pesos mensuales durante 10 años, con incrementos de 12% anual en la cuota retirada. Si los depósitos de ahorro los hace en una cuenta que paga el 18% EA, cuánto tiempo se demora en reunir el saldo necesario si puede empezar ahorrando $60,000 al mes, con aumentos del 1% mensual? 5.72 Una vivienda de $50 millones financiada a 15 años al 12% EA, se paga así: los primeros cinco años cuotas constantes y el resto cuotas que aumentan el 12% anual, siendo la primera igual a la cuota constante; cuál será el valor de la cuota constante? 5.73 Una persona espera ahorrar dos millones de pesos en dos años invirtiendo al 2% mensual, por lo tanto empieza ahorrando $13,000 con incrementos mensuales en pesos. Al llegar el momento de la séptima cuota no pudo 254 Capítulo 5: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA depositarla y por el contrario tuvo que retirar $150,000 de la cuenta; ¿cuánto debe ahorrar a partir de la octava cuota, para cumplir con la meta, si las cuotas siguen aumentando el 2% mensual? 5.74 Una persona espera ahorrar dos millones de pesos en dos años invirtiendo al 2% mensual, empezando hoy con una cuota de $46,200 que piensa aumentar en un porcentaje fijo todos los meses; al llegar el momento de la novena cuota, además de la cuota pudo depositar $300,000 adicionales; si sigue con el plan original ¿cuánto reúne al final; pero si quiere sólo llegar a los dos millones de pesos, cuánto pueden disminuir las cuotas mensualmente? 5.75 Un crédito de fomento de $15 millones al 15% EA, se paga así: primero 36 cuotas mensuales de $100,000 que aumentan $10,000 mensuales, después paga 12 cuotas mensuales que aumentan cada mes el 2%; cuál será el valor de estas últimas cuotas? 5.76 Cuánto se demora en pagar un crédito de $15 millones al 15% EA si se paga así: primero 36 cuotas mensuales de $100,000 que aumentan $10,000 mensuales, después cuotas mensuales que aumentan cada mes el 2%, siendo la primera de $500,000. 5.77 Para pagar un crédito otorgado por el principal proveedor, una compañía debe pagar $320 millones en una sola cuota dentro de 48 meses, con una capitalización trimestral de intereses al 15% TV. Si la empresa se compromete con el proveedor a ahorrar un determinado porcentaje de las ventas mensuales y depositarlo en una cuenta que paga el 18% EA, cuál debe ser el porcentaje de ahorro, si la empresa vende en $35 millones al mes y se espera que las ventas se incrementen 5% mensual? 5.78 Una persona tiene dos deudas así: a) $10,800,000 al 2.5% mensual para pagar en un plazo total de 24 meses. b) $3,000,000 mensuales al 30% EA y le faltan 15 cuotas, que aumentan $50,000 mensuales. Si hoy hace un abono del 10% de la deuda actualizada y el saldo se distribuye en tres pagarés así: a) La tercera parte, en 24 cuotas mensuales iguales al 30% EA empezando hoy. b) La tercera parte, con período de gracia de un año, se paga en 6 cuotas trimestrales al 30% EA que aumentan el 6% trimestral. c) La tercera parte, en un solo pago a un año al 30% EA. ¿De cuánto es el valor a pagar en cada caso? 5.79 Una universidad tiene el siguiente plan para financiar la especialización de sus estudiantes: cuando éstos inician el pregrado se comprometen con un ahorro mensual durante cinco años, que recibe un rendimiento del 1% mensual, de 255 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel manera que al terminar la carrera puedan pagar la matrícula de la especialización, que hoy tiene un valor de cinco millones de pesos y aumenta anualmente un 7.5%; ¿en cuánto deben empezar los ahorros mensuales si aumentan el 10% anual? 5.80 Hace quince meses, una empresa hizo un depósito de cinco millones y empezó a ahorrar cuotas mensuales cada mes, las cuales aumentaba en 2% mensual, en una cuenta que paga el 2% mensual, esperando reunir $35 millones al cabo de tres años; si hoy por una necesidad tiene que hacer un retiro de $10 millones, ¿cuánto tendrá que seguir ahorrando para alcanzar su meta, si las cuotas aumentan el 3% mensual? 5.81 Un padre de familia tiene la costumbre de consignar a sus hijos desde el día de su nacimiento $20,000 mensuales que aumenta cada año en $5,000, en una cuenta que paga el 2% mensual; si tiene tres hijos de 12 años, 9 años y 3 meses, y 6 años y 9 meses, ¿cuánto tiene hoy en la cuenta? 5.82 Si se compra un equipo que de contado tiene un precio de $30 millones; a crédito se financia así: 20% de cuota inicial y 8 cuotas trimestrales que se empiezan a pagar 6 meses después de la cuota inicial y se financian al 2.5% mensual, de cuánto son las cuotas trimestrales si éstas aumentan el 6% trimestral? 5.83 Un estudiante empieza hoy la universidad y decide ahorrar para pagarse la especialización dentro de cinco años. La especialización hoy tiene un valor de cinco millones de pesos y aumenta el 10% anual; si el estudiante empieza ahorrando $71,500 mensuales que piensa aumentar en 10% anual, en una cuenta que paga el 1% mensual, alcanza para pagar la especialización? De no alcanzar, cuánto tiempo se demora en reunir el dinero para la matrícula? 5.84 Una empresa tiene dos deudas así: A Dentro de dos años debe pagar $20 millones que incluyen capital e intereses capitalizados al 36% EA. B Otra deuda al 2.5% mensual, en la cual se comprometió a pagar 12 cuotas mensuales que empiezan en $300,000 y aumentan el 2% mensual. De esta deuda no ha hecho ningún pago y hoy se cumple la sexta cuota. Si la deuda se refinancia con un año de gracia, para después pagar en cuatro cuotas semestrales al 30% SV, de cuánto quedan las cuotas? 5.85 ¿De cuánto quedan las cuotas en un crédito de tres millones que concede una cooperativa en las siguientes condiciones: interés del 10% EA, plazo de dos años, cuotas ordinarias mensuales que aumentan $5,000 cada vez y cuotas extraordinarias semestrales que son el doble de las cuotas ordinarias? 5.86 ¿Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta que paga el 1.5% mensual, para durante cuatro años hacer retiros mensuales que empiezan en $750,000 y aumentan 10% anual, si además se siguen haciendo depósitos trimestrales 256 Capítulo 5: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA que empiezan en $250,000 y aumentan $25,000 mensuales? ¿Cuánto debería depositar si se espera que al final del plazo haya en la cuenta un saldo de cinco millones? 5.87 Una deuda contratada al 30% MV, se debe empezar a pagar dentro de ocho meses en 24 cuotas mensuales que empiezan en $555,000 y aumentan cada mes el 2.5% mensual; ¿cuánto hay que ahorrar mensualmente al 1.75% para pagar la deuda totalmente dentro de seis meses? 5.88 Una empresa ha colocado bonos por $1,500 millones de pesos a tres años, al 18% EA; los bonos los cancela en cupones (incluyen capital e intereses) semestrales que aumentan el 10% semestral. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente para cubrir el pago semestral de los cupones, en una cuenta que paga el 1% mensual? 5.89 ¿Cuándo debe empezar a pagarse una deuda de $3,500,000 al 24% EA, para cancelarla en 12 cuotas trimestrales de $250,040 que aumentan cada trimestre en $38,420? 5.90 En el pasado pliego de peticiones, el sindicato pidió a la empresa un auxilio de educación superior para los hijos de los empleados y la empresa ofrece entregar hoy $25,000.000. Si el sindicato deposita el auxilio en una cuenta que paga el 18% EA y piensa entregar becas por $2,710,000 al final de cada semestre que aumentan el 5% semestral, ¿cuánto tiempo le durará el fondo al sindicato? 5.91 Dos deudas, una de 24 cuotas mensuales de $300,000 al 36% EA y otra de 8 cuotas trimestrales de $750,000 al 28% TV, cuya primera cuota se paga dentro de nueve meses, se sustituyen por otra forma de pago al 30% EA así: un abono hoy de cuatro millones de pesos, un período muerto de 8 meses y después 10 cuotas mensuales que aumentan cada período el 1.5%; ¿en cuánto empiezan estas cuotas? 5.92 Una persona que empezó ahorrando al 20% MV $200,000 hace diez años y cada año aumentó la cuota en 12%, ¿cuánto podrá empezar a retirar dentro de un año, si piensa hacer retiros trimestrales durante cinco años, que aumenten $230,000 trimestrales? 5.93 Para vender un carro de 22 millones de pesos, que se valoriza al 8% anual, una empresa ofrece el siguiente plan de ahorros a tres años: cuotas mensuales que empiezan en $250,000 y aumentan $250,000 anuales. ¿Si la empresa paga intereses del 1% mensual, se alcanza a comprar el vehículo con el plan ofrecido? 5.94 Una persona ha ahorrando al 18% MV durante cinco años, si empezó con $200,000 que aumentó en $10,000 mensuales todo el tiempo y si el último depósito lo hizo hace seis meses; con lo reunido hasta hoy, ¿cuántos retiros puede hacer de un millón de pesos trimestral? 257 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 5.95 Hace diez años, una persona recibió una herencia de $ 12 millones que depositó en una cuenta al 4% mensual; cinco años después el interés bajó a 2.5% mes y empezó a retirar tres millones de pesos mensuales que aumentaba el 10% anual; ¿cuánto tiempo más podrá seguir haciendo retiros, si nuevamente el interés baja a 1.5% mensual y los retiros suben a $14,150,000 trimestrales y los piensa aumentar en 6% trimestral? 5.96 Hace tres años una persona aportó $12 millones de pesos para invertir en un cultivo y a partir del octavo mes empezaron a pagarle $500,000 mensuales que aumentaron $10,000 mensuales; si hoy le entregan cinco millones de pesos para liquidar el negocio, ¿cuál fue la rentabilidad de la inversión? 5.97 Una póliza de pensión funciona de la siguiente manera: del año 1 al 10 se inicia con un ahorro de $10,000 que aumentan $150 mensual y durante el período se reconoce un interés del 12% MV; del año 11 al 20 se inicia con un ahorro de $30,000 que aumenta 0.25% mensual y el interés que se reconoce para todos los depósitos que haya durante el período es del 24% MV; si al cabo del año 30, le devuelven al cliente $360 millones: cuál es la rentabilidad durante los últimos diez años? Cuál es la rentabilidad total de la póliza? 5.98 Una persona deposita inicialmente $80,000 y cada mes incrementa el depósito en $5,000 durante dos años y al cabo del tercer año reúne $4,340,000 en la cuenta, simultáneamente en otra cuenta inicia con un depósito $750,000 que aumenta el 2% trimestral durante año y medio y al cabo del tercer año reúne $7,370,000 en la cuenta; ¿cuál es la tasa EA que paga cada cuenta? ¿Cuál fue la rentabilidad total de los ahorros? 5.99 Cuando los estudiantes de una carrera de la salud entran al primer semestre, una empresa les ofrece un plan para la compra de los equipos cuando terminen la carrera. El plan consiste en lo siguiente, se consigna un millón de pesos para entrar al programa y una cuota mensual vencida que empieza en $50,000 y aumenta 1% cada mes durante cinco años, además, a partir del segundo semestre de la carrera, cada vez que empieza un semestre se hace un depósito extraordinario de $200,000. Si a los cinco años le entregan equipos por valor de $10 millones, cuál fue la tasa de interés reconocida por el ahorro? Si los equipos tienen hoy un precio de seis millones de pesos y el precio aumenta el 5% semestral, qué tan atractivo es el plan de ahorros? 5.100 Hace nueve meses, se firmó un pagaré por ocho millones de pesos al 36% EA, con intereses capitalizados trimestre vencido, para cancelar en un solo pago con un plazo total de 24 meses. Hoy se quiere reliquidar para pagar en cinco cuotas trimestrales que empiezan en $2,000,000 y aumentan cada trimestre en $322,830; ¿cuál es la tasa efectiva anual de la refinanciación? ¿Cuánto se demoraría en pagarlo si se hace en cuotas mensuales que empiezan en $680,000 y aumentan cada trimestre en 3% a la nueva tasa de interés? 258 CAPÍTULO 6 Amortización, capitalización y saldos Normalmente, los problemas de matemáticas financieras implican un plan de pagos o un plan de ahorros, que al finalizar el plazo del negocio lleven a un objetivo. Cuando se habla de amortización, el objetivo es reducir a cero una deuda, efectuando pagos periódicos según se haya acordado entre el deudor y el acreedor; en el caso de la capitalización, el objetivo es acumular un determinado saldo de ahorros, también efectuando depósitos periódicos. Con las herramientas trabajadas hasta el momento, es posible construir la tabla de amortización o de capitalización de cualquier negocio, con el fin de observar su evolución. El capítulo contiene los siguientes temas: 6.1 Amortización 6.2 Crédito en UVR 6.3 Capitalización Objetivos General Proporcionar herramientas de análisis para los problemas de matemáticas financieras, especialmente sobre los temas presentados en los capítulos 3, 4 y 5, de manera que se pueda tener mejor información para sustentar mejor las decisiones que se tomen. Específicos a) Plantear los conceptos de amortización y capitalización, como conceptos generales de las matemáticas financieras, básicos para conocer los problemas, plantear su solución y analizar los resultados. b) Estudiar las diversas formas de calcular el saldo intermedio de una deuda o el valor acumulado en una inversión en cualquier momento de su evolución. c) Conocer la forma de distribuir la cuota de un crédito entre capital e intereses. d) Conocer técnicas para elaborar las tablas de amortización de los créditos. e) Estudiar los diversos sistemas de amortización de créditos y conocer el comportamiento de las cuotas a lo largo del plazo. f) Mostrar y practicar el cálculo de saldos y composición de cuotas con la calculadora financiera y las funciones financieras de la hoja de cálculo Excel. Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 6.1 Amortización Como amortización, se conoce el proceso de cancelar una deuda a través de cualquier sistema; si se tiene una deuda se está utilizando un recurso ajeno y se debe pagar por ese uso; como se vio en el primer capítulo el costo de usar el capital ajeno es el interés. Esto lleva a tres puntos importantes que se deben estudiar en el caso de las amortizaciones: el saldo que se adeuda después de pagar una cuota, la composición de las cuotas y las tablas de amortización; cada uno de ellos se tratará a continuación. 6.1.1 Saldo adeudado Se conoce como saldo adeudado o saldo por amortizar, al valor insoluto de la deuda o sea el valor que falta por pagar. Matemáticamente, es igual al valor presente de las cuotas que falten por pagar, descontadas a la tasa de interés del crédito, gráficamente se aprecia así: 0 1 2 3 n-1 Saldo de anualidades con fórmula Cuando se trata de anualidades, la fórmula para calcular el saldo se deduce de la fórmula (22) y es la siguiente: (107) Donde n x es el plazo total del negocio. es el número de la cuota en la cual se quiere calcular el saldo de la deuda, después de efectuar el pago de la cuota correspondiente. Ejemplo No. 6.1 Cuál es el saldo de una deuda de $1,500,000 contratada hace seis meses, si originalmente estaba pactada a 18 meses de plazo a una tasa de 2.4% mensual, con cuotas iguales? El problema se plantea así: 261 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Tasa de interés del período i 2.4% mensual Plazo total n 18 meses Cuotas pagadas Cuotas pendientes x 6 cuotas n-x 12 cuotas Valor del crédito P $1,500,000 Saldo de la deuda S ??? El saldo de la deuda se busca después de transcurridos seis períodos y con la fórmula que se está utilizando, se supone que la cuota correspondiente a ese período ya fue pagada: Antes de calcular el saldo hay que conocer el valor de la cuota, utilizando la fórmula (24): Luego con la fórmula (107) se conoce el valor del saldo: Después de pagar seis cuotas se debe un saldo de $1,069,232. Saldo de anualidades con calculadora financiera. Utilizando la calculadora financiera, se procede de la siguiente manera: a) Se calcula el valor de la cuota que se debe pagar: OTRO P/AÑO FINAL N %IA V.A. V.F. PAGO 1 x 18 2.4% 1,500,000 0 - 103,606 b) Se utiliza el menú AMRT para calcular el saldo. Seleccionando la opción OTRO aparece el siguiente menú: P/AÑO INIC FINAL del cual ya se conoce el uso de las tres primeras opciones. La cuarta opción, o sea la tecla AMRT se utiliza para conocer el saldo de la deuda y la distribución de las cuotas, a través del siguiente menú: NO.P INT CTAL BAL SGTE , en el cual cada tecla sirve para: AMRT 262 Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA NO.P Almacena la periodicidad con que se examinarán las cuotas, por ejemplo si se digita 3, presentará los resultados en las cuotas 3, 6, 9, 12, etc. INT Presenta la parte de la cuota que corresponde a intereses. Presenta la parte de la cuota que corresponde a capital. CTAL Presenta el saldo de la deuda en la cuota que se está analizando. BAL Muestra los resultados para la próxima cuota, según el valor introducido en NO.P SGTE . Para encontrar el saldo después de la sexta cuota, se procede así: AMRT NO.P BAL 6 1,069,232 Saldo de anualidades con Excel. La hoja de cálculo Excel no incluye una función financiera para calcular el saldo intermedio de una deuda, sin embargo puede encontrarse dicho valor utilizando la función VA (ver página 127). Como se aprecia, se utiliza la definición de saldo para encontrar su valor en cualquier cuota, con la diferencia que el valor de la cuota se encuentra directamente anidando la función PAGO dentro de la función VA. Función financiera PAGO.PRINC.ENTRE Devuelve la cantidad acumulada de capital pagado de un préstamo entre dos períodos (per_inicial y per_final). Los parámetros utilizados en la función son los siguientes: PAGO.PRINC.ENTRE(tasa, nper, vp, per_inicial, per_final, tipo) Donde: 263 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Tasa Es la tasa de interés por período expresada en términos decimales. Nper Es la cantidad total de períodos de liquidación que dura el negocio. Vp Es el valor original del crédito. Per_inicial Es el primer período en el cálculo. Per_final Es el último período en el cálculo. Tipo Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado. Este argumento no es opción en esta función. Para calcular el saldo de una deuda, utilizando la función PAGO.PRINC.ENTRE se parte del valor inicial del préstamo y se resta el valor de los abonos a capital efectuados a la deuda. Saldo de gradientes con fórmula Para encontrar el saldo intermedio de créditos que se cancelan con gradientes, se sigue el mismo principio aplicado en las anualidades: el saldo es igual al valor presente de las cuotas que faltan por pagar, descontadas a la tasa de interés del crédito, teniendo en cuenta que el valor de la primera cuota ya no es A, debido a que con el transcurso de la serie, el valor original de A ha tenido cambios con la aplicación del gradiente En el caso de los gradientes aritméticos, el valor de la primera cuota insoluta será A + x G, donde x es el número de la cuota en que se quiere encontrar el saldo, por lo tanto la fórmula para el saldo tendrá que combinar la fórmula (22) con la fórmula (38): (108) Ejemplo No. 6.2 Un electrodoméstico que tiene un precio de contado de $3,493,985 se adquiere financiado así: 12 cuotas crecientes en $3,000 mensuales, siendo la primera de $325,000, a una tasa de interés del 2.5% mensual; cuánto se debe después de pagar cinco cuotas? 264 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.5% mensual Plazo total n 12 meses Cuotas pagadas x 5 cuotas n-x 7 cuotas Primera cuota A $325,000 Gradiente G $3,000 Valor del crédito P $3,493,985 Saldo de la deuda S ??? Cuotas pendientes Aplicando la fórmula (108) el resultado es: Tal como se comprueba con la siguiente tabla: MES SALDO INICIAL CUOTA INTERÉS ABONO CAPITAL SALDO FINAL 1 3,493,985 325,000 87,350 237,650 3,256,335 2 3,256,335 328,000 81,408 246,592 3,009,743 3 3,009,743 331,000 75,244 255,756 2,753,987 4 2,753,987 334,000 68,850 265,150 2,488,836 5 2,488,836 337,000 62,221 274,779 2,214,057 6 2,214,057 340,000 55,351 284,649 1,929,409 7 1,929,409 343,000 48,235 294,765 1,634,644 8 1,634,644 346,000 40,866 305,134 1,329,510 9 1,329,510 349,000 33,238 315,762 1,013,748 10 1,013,748 352,000 25,344 326,656 687,091 11 687,091 355,000 17,177 337,823 349,269 12 349,269 358,000 8,732 349,268 0 265 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Utilizando la función personalizada VA_GRAD (ver página 179), también se puede encontrar la respuesta como se muestra a continuación: Igual sucede si se utiliza el algoritmo para gradientes aritméticos en la calculadora financiera (ver página 191): TIPO A G I N P 0 325,000 + (3,000 * 5) 3,000 0.025 7 2,214,057 En el caso de los gradientes geométricos, el valor de la primera cuota insoluta será A (1 + k)x, donde x es el número de la cuota en que se quiere encontrar el saldo, por lo tanto la fórmula para el saldo se obtiene de una modificación de la fórmula (50): (109) (110) Ejemplo No. 6.3 Resolver el ejemplo No. 6.2, pero con un aumento mensual de las cuotas del 1%. El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.5% mensual Plazo total n 12 meses Cuotas pagadas x 5 cuotas Cuotas pendientes Primera cuota 266 n-x 7 cuotas A $325,000 Gradiente k 1% Valor del crédito P $3,513,090 Saldo de la deuda S ??? JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos Aplicando la fórmula (109) el resultado es: Utilizando la función personalizada VA_GRAD (ver página 197), también se puede encontrar la respuesta como se muestra a continuación: O con la calculadora financiera si se utiliza el algoritmo para gradientes geométricos (ver página 194). TIPO I K A N P 0 0.025 0.01 325,000 * (1 + 1%)^5 7 2,232,779 6.1.2 Composición de las cuotas Si el objetivo del proceso de amortización es reducir el saldo de la deuda a cero, pero además se debe pagar un interés por utilizar el capital ajeno, los pagos o cuotas que se hagan para amortizar una deuda están conformados por dos partes: a) Una parte, que corresponde a los intereses o sea una porción de la cuota que se destina a remunerar al propietario del capital y b) Otra parte, que corresponde al abono a capital o sea aquella porción de la cuota que se destina pagar la deuda. La proporción de la cuota que se destine a cada componente, depende del sistema de amortización que se emplee, tal como se verá más adelante. Para efectos de distribuir contablemente una cuota de amortización, normalmente se acuerda que de los 267 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel abonos que se hagan a la deuda se descuenten en primer lugar los intereses, dejando el abono a capital como un residuo. El interés siempre se liquida sobre el monto del capital utilizado, de ahí que para saber cuánto se debe pagar de interés se utilice la fórmula (3): I = i P, donde el valor presente (P) es el monto de la deuda al inicio de cada período de pago (S), por lo tanto en una cuota el abono a capital (R) se conocerá como el valor de la cuota (A) menos los intereses pagados (I) (111) R = A - I = A - iS Donde R A I S es el abono a capital contenido en una cuota. es el valor de la cuota. es el monto de los intereses. es el saldo de la deuda al finalizar el período anterior. Es importante apreciar, que el monto de la deuda al inicio del período de pago, es igual al saldo de la deuda al finalizar el período anterior; teniendo en cuenta esto es posible saber como se distribuye una cuota en cualquier momento del crédito. Ejemplo No. 6.4 Un crédito de $2,000,000 concedido a seis meses, paga cuotas iguales a una tasa del 3% mensual; cómo se distribuye la cuarta cuota entre capital e intereses? Una vez se conoce el valor de la cuota que es de $369,195, el problema se plantea inicialmente para encontrar el saldo después de haber cancelado la tercera cuota o sea el saldo de la deuda al inicio del cuarto período: Tasa de interés del período i 3% mensual Plazo total n 6 meses x 3 cuotas n-x 3 cuotas Cuotas pagadas Cuotas pendientes Valor cuota A $369,195 Valor del crédito P $2,000,000 Saldo de la deuda S ??? Para resolver el problema se utiliza la fórmula (107): 268 Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Con la calculadora financiera será así: AMRT NO.P BAL 3 1,044,309 Para encontrar la distribución de la cuota entre capital e intereses, se utiliza inicialmente la fórmula (3) para conocer el pago de intereses: I = i P = 3% (1,044,309) = 31,329 Luego, para conocer el abono a capital se puede proceder de dos formas: a) Restar los intereses de la cuota: R = A - I = 369,195 - 31,329 = 337,866 b) Utilizar directamente la fórmula (111): R = A - i S = 369,195 - 3% (1,044,309) = 337,866 Con la calculadora financiera, la distribución de la cuota entre capital e intereses no se puede encontrar directamente, ya que si se pide la cuarta cuota, arroja los resultados acumulados desde la primera cuota hasta ese momento: AMRT NO.P INT CTAL 4 183,223 1,293,556 Para conocer los de una sola cuota, se tendría que verificar cuota por cuota, lo cual es improcedente si se está buscando la distribución de una cuota en un futuro lejano; también se pueden calcular los acumulados hasta la cuota anterior y restar: AMRT NO.P INT CTAL 3 151,894 955,691 Entonces: Intereses = 183,223 - 151,894 = 31,329 Abono a capital = 1,293,556 - 955,691 = 337,865 269 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Función financiera PAGOINT Devuelve el monto del interés pagado por una inversión o un crédito en un período determinado, basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante. PAGOINT(tasa, período, nper, va, vf, tipo) A los argumentos que se han venido manejando hasta ahora para las funciones financieras del Excel (ver página 97), se agrega el argumento período que representa el número ordinal de la cuota que se esta analizando. El ejemplo No. 6.4,resuelve de la siguiente manera: Función financiera PAGOPRIN Devuelve el monto abonado al capital de una inversión o de un crédito en un período determinado, basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante. PAGOPRIN(tasa, período, nper, va, vf, tipo) El ejemplo No. 6.4 resuelve de la siguiente manera: 270 Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Es importante tener en cuenta que las funciones PAGOINT y PAGOPRIN sólo arrojan respuestas aceptables en el caso de la modalidad de pagos vencidos, ya que para los pagos de cuota anticipada se presenta una discordancia en la forma de contabilización de los intereses. Primero se incluirá un ejemplo de un crédito de $5,000,000 al 32% nominal anual, pagadero en un año por trimestre vencido: Como se aprecia, el valor de los intereses pagados es igual al saldo inicial de la deuda en el período, multiplicando la tasa de interés del período. Por ejemplo, para el primer trimestre el pago de los intereses es igual a $5,000,000 * 8%, que corresponde al pago por el uso del dinero, obviamente calculado sobre el capital ajeno utilizado. Este concepto no se cumple si se pretende utilizar las funciones financieras PAGOINT o PAGOPRIN en un crédito que tiene cuota cobrada por anticipado, por lo tanto no es conveniente utilizar estas funciones en el caso de intereses anticipados, como se muestra a continuación: 271 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Cuando la tabla se calcula con funciones en el primer mes no se cobran intereses, cuando en realidad el prestatario utilizó durante un mes los $5,000,000 del crédito menos la cuota de $1,397,782 que canceló como primera cuota anticipada, es decir que debe pagar intereses sobre $3,602,218 que al 8% arrojan un total de $ 288.177. Como puede apreciarse en los dos cuadros anteriores, el valor de los intereses es igual pero tienen un período de desfase, por lo tanto, al calcular la verdadera rentabilidad de la operación se presentan diferencias, sin contar con las inconsistencias contables que se generan. 6.1.3 Tablas de amortización Una tabla de amortización, es la simulación de lo que ocurre en cada cuota durante la vida de un crédito, incluye conocer el saldo inicial del período, la cuota que se paga, la distribución de la cuota entre capital e intereses y el saldo final después de pagar la cuota. Todos los puntos anteriores se han tratado en este libro y tienen utilidad para proyectar la situación de un crédito con el fin de tener datos para los flujos de caja o las proyecciones del estado de resultados de un proyecto; también se utiliza para reconstruir créditos. Existen dos formas principales de liquidar créditos: a) Abonos constantes a capital, en la cual en cada cuota se abona la misma cantidad a capital y los intereses se calculan sobre el saldo. Con este sistema la cuota es igual a R + I, donde (112) Los intereses ( I ) se siguen calculando con la fórmula (3) I = i P y el saldo se calcula teniendo en cuenta la cantidad de abonos a capital realizados: (113) Siendo x el número de cuotas pagadas. b) Cuota calculada con fórmula, en la cual se calcula primero la cuota y después se distribuye entre capital e intereses. Éste es el sistema que se ha utilizado en todos los ejemplos de este libro. A continuación se presentan las tablas de amortización para un crédito de $5,000,000 al 8% trímestral, que se debe cancelar en un año, así como el gráfico de la distribución de la cuota entre capital e intereses. 272 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos TABLA DE AMORTIZACIÓN DEL SISTEMA DE ABONOS CONSTANTES A CAPITAL DISTRIBUCIÓN DE LA CUOTA: ABONOS CONSTANTES A CAPITAL. 2,000,000 1,500,000 1,000,000 500,000 0 1 C 2 3 C 4 A Abono a capital Permanece constante, dado que es la característica de este sistema de amortización. Intereses Disminuyen, es un comportamiento normal en los sistemas de amortización que en cada cuota hacen abonos a capital. Cuota Disminuye ya que a un valor constante (abono a capital) se suma uno que disminuye (intereses). 273 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel TABLA DE AMORTIZACIÓN DEL SISTEMA DE CUOTAS CONSTANTES DISTRIBUCIÓN DE LA CUOTA: CUOTA CONSTANTE. 2,000,000 1,500,000 1,000,000 500,000 0 1 COMPONENTE 274 2 3 4 COMPORTAMIENTO Cuota Permanece constante, dado que es la característica de este sistema de amortización. Intereses Disminuyen, es un comportamiento normal en los sistemas de amortización que en cada cuota hacen abonos a capital. Abono a capital Aumenta, ya que a un valor constante (cuota) se resta uno que disminuye (intereses). JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos TABLA DE AMORTIZACIÓN DEL SISTEMA DE GRADIENTE ARITMÉTICO DISTRIBUCIÓN DE LA CUOTA: GRADIENTE ARITMÉTICO. 2,000,000 1,500,000 1,000,000 500,000 0 1 C 3 2 C 4 A Cuota Aumenta en cada período en el valor del gradiente. Intereses Disminuyen lentamente al principio pero aceleradamente al final, debido a que el valor de la primera cuota es reducido y se hace poco abono a capital en las primeras cuotas. Abono a capital Aumenta aceleradamente, debido a que la cuota aumenta y los intereses disminuyen. 275 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel TABLA DE AMORTIZACIÓN DEL SISTEMA DE GRADIENTE GEOMÉTRICO DISTRIBUCIÓN DE LA CUOTA: GRADIENTE ARITMÉTICO. 2,000,000 1,500,000 1,000,000 500,000 0 1 COMPONENTE 2 3 4 COMPORTAMIENTO Cuota Aumenta en cada período en el porcentaje del gradiente. Intereses Disminuyen lentamente al principio, pero aceleradamente al final, debido a que el valor de la primera cuota es reducido y se hace poco abono a capital en las primeras cuotas. Abono a capital Aumenta aceleradamente, debido a que la cuota aumenta y los intereses disminuyen. A continuación se presenta un resumen de los cuatro sistemas de amortización: 276 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos PRIMERA CUOTA SISTEMA VALOR ABONO VALOR 400,000 1,250,000 1,350,000 100,000 1,250,000 1,509,604 400,000 1,109,604 1,509,604 111,823 1,397,782 GRADIENTE ARITMÉTICO 1,000,000 400,000 600,000 2,088,929 154,735 1,934,193 GRADIENTE GEOMÉTRICO 1,000,620 400,000 600,620 2,198,361 162,842 2,035,520 ABONO CONSTANTE A CAPITAL 1,650,000 CUOTAS CONSTANTES INTERESES ÚLTIMA CUOTA INTERESES ABONO Debido a que el valor inicial del crédito es el mismo para todos los sistemas y a que las cuotas se pagan vencidas, el valor de los intereses en la primera cuota es el mismo para todos los sistemas de amortización y el valor del abono a capital es diferente, ya que se trata como un residuo entre la cuota y los intereses. En los períodos siguientes el valor de la cuota cambia y por lo tanto la distribución entre capital e intereses. Aunque financieramente los cuatro sistemas son equivalentes, ya que todos se liquidan al 8% de interés por período y al final del plazo el saldo se ha reducido a cero; contablemente presentan grandes diferencias, debido a que el impacto en el flujo de caja y en el estado de resultados es diferente. A continuación se presenta un cuadro ilustrando esta situación, al comparar la sumatoria de las cuotas, el interés y el abono a capital: SISTEMA VALOR CONTABLE CUOTAS INTERESES ABONO ABONO CONSTANTE A CAPITAL 6,000,000 1,000,000 5,000,000 CUOTAS CONSTANTES 6,038,416 1,038,416 5,000,000 GRADIENTE ARITMÉTICO 6,177,857 1,177,857 5,000,000 GRADIENTE GEOMÉTRICO 6,190,834 1,190,834 5,000,000 Se observa que contablemente se registra mayor gasto financiero en aquellos sistemas en que se inicia con cuotas bajas, debido a que por abonar en las primeras cuotas una baja suma a capital, se utiliza el capital ajeno por mayor tiempo y por lo tanto se deben pagar mayores intereses. Hay que insistir en que financieramente todos los sistemas son equivalentes, como se comprueba con la igualdad en la sumatoria de los abonos a capital. Resumiendo, las tablas de amortización han utilizado las siguientes columnas: • Saldo inicial: se refiere al saldo de la deuda al inicio del período de pago. En el primer período es igual al valor del crédito y en los restantes períodos es igual al saldo final del período anterior. • Cuota: es el valor que se paga, dentro del cual se involucran los intereses y el abono a capital. Se calcula teniendo en cuenta el sistema de amortización que se esté utilizando. 277 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel • Interés: es el monto de los intereses que se pagan por utilizar el capital durante un período. Contablemente corresponde al gasto financiero. Se calcula utilizando la fórmula (3) I = i P, donde P es el saldo inicial de la deuda al inicio del período. • Abono a capital: es la parte de la cuota que se destina a amortizar la deuda. Contablemente corresponde a un abono a una cuenta por pagar. Se calcula restando de la cuota el monto de los intereses. • Saldo final: se refiere al saldo de la deuda al final del período de pago. En el último período debe ser cero. Se calcula restando del saldo inicial del período, el abono a capital efectuado durante el período. Hasta aquí se han utilizado cuotas canceladas al fin del período de pago; cuando se trata de cuotas anticipadas, hay que tener cuidado con la forma de liquidar los intereses, considerando que éstos siempre se liquidan sobre el capital utilizado durante el período, por lo tanto al saldo inicial de la deuda en el período debe restarse la cuota: Como se aprecia, los intereses se liquidan sobre el capital utilizado durante el período. Nótese que la cuarta cuota cancela totalmente la obligación al iniciar el cuarto período, por lo tanto no se pagan intereses. 278 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos Ejemplo No. 6.5 Hacer la tabla de amortización de un crédito de $2,559,194, concedido a seis meses, que paga la primera cuota de $50,000 y las siguientes cuotas crecen mensualmente en $175,000, si la tasa de interés es del 3% mensual. El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 3% mensual Plazo total n 6 meses Valor primera cuota A $50,000 Gradiente G $175,000 Valor del crédito P $2,559,194 La tabla de amortización se presenta de la siguiente forma: MES 1 SALDO INICIAL 2,559,194 CUOTA 50,000 INTERÉS 76,776 ABONO CAPITAL (26,776) SALDO FINAL 2,585,970 2 2,585,970 225,000 77,579 147,421 2,438,549 3 2,438,549 400,000 73,156 326,844 2,111,705 4 2,111,705 575,000 63,351 511,649 1,600,057 5 1,600,057 750,000 48,002 701,998 898,058 6 898,058 925,000 26,942 898,058 0 Cuando el valor de las primeras cuotas es muy reducido y no alcanza para cubrir el valor de los intereses, ocurren tres fenómenos: primero, el abono a capital es negativo, debido a que se quedan debiendo intereses; segundo, los intereses se capitalizan, por lo tanto el saldo de la deuda debe aumentar, tercero, la cuota tiene que aumentar en los períodos siguientes para alcanzar un valor que además de cancelar el monto de los intereses, empiece a pagar capital para poder reducir el saldo a cero en el último período. 6.2 Créditos en UVR La Unidad de Valor Real (UVR), fue creada mediante la Ley 546 del 23 de diciembre de 1999, en la cual se señalaban los criterios para la creación de “un sistema especializado de financiación de vivienda individual a largo plazo, ligado al índice de precios al consumidor” (Art. 1 Ley 546/99). En dicha Ley se define la UVR como “una unidad de cuenta que refleja el poder adquisitivo de la moneda, con base exclusivamente en la variación del índice de precios al consumidor certificada por el DANE” (Art 3 Ley 546/99), esta unidad de cuenta reemplazó al UPAC que se había distorsionado al ligarlo a indicadores económicos diferentes de la inflación (en la fecha de su liquidación, la UPAC está ligada a la DTF). 279 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel En lo concerniente a las matemáticas financieras, la UVR y la UPAC tienen el mismo funcionamiento, tanto en materia del cálculo de su cotización, como en la liquidación de los créditos. 6.2.1 Metodología de cálculo de la UVR Para calcular el valor en pesos de la UVR se utiliza la fórmula (1): F = P (1 + i)n reexpresada de la siguiente forma dada su periodicidad diaria: UVRt=UVR15*(1+i)t/d Donde: UVRt: Valor en pesos de la UVR del día t del período de cálculo. UVR15: Valor en pesos de la UVR el día 15 del mes anterior al día t. i variación mensual del IPC durante el mes anterior al día 15 tomado como base. t número de días transcurridos desde el día 15 tomado como base d número de días calendario del período de cálculo. El período de cálculo comprende los días entre el 16 de un mes y el 15 del mes siguiente al de la inflación que se está tomando. A continuación se presenta un ejemplo: Ejemplo No. 6.6 Si la inflación del mes de abril es del 0.5%, esta será la variación del IPC que se tomará como base para el cálculo del valor en pesos de la UVR entre el 16 de mayo y el 15 de junio, lapso conformado por 31 días; suponiendo que el valor en pesos de la UVR el día 15 de mayo es de $200, la cotización de los siguientes días se calcularía así: 280 Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 6.2.2 Sistemas de amortización en UVR Desde el punto de vista de las matemáticas financieras, los créditos de vivienda concedidos en UVR se amortizan de la misma manera que los créditos en pesos, con la diferencia que las tablas de amortización se desarrollan en UVR y después se convierten a pesos utilizando la cotización de la UVR. Los sistemas de amortización más utilizados son el de cuotas constantes en UVR y el de abono constante a capital en UVR. A continuación se ilustran estos dos sistemas: Amortización por el sistema de cuotas constantes en UVR Ejemplo No. 6.7 Un crédito por valor de $192 millones se debe cancelar en 10 años y se ha pactado a UVR+10. Si la cotización de UVR al momento de otorgar el crédito es de $200, estimar la tabla de amortización del crédito. Para resolver el problema es necesario estimar una inflación para los siguientes meses, con el fin de poder calcular el valor de la UVR en pesos. La expresión UVR+10 se interpreta de la siguiente manera: el crédito será liquidado en UVR con una tasa de interés del 10% EA, por lo tanto la tabla de amortización se desarrolla inicialmente en UVR aplicando dicho interés, de la siguiente manera: Se observa que la forma de liquidar la tabla de amortización es la misma que se utiliza para cualquier crédito por el sistema de cuotas constantes, donde se recurre a la función PAGO para el cálculo de la cuota en UVR. Posteriormente cada valor de la tabla en UVR se traslada a pesos, donde las cuotas dejan de ser constantes, como se 281 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel observa a continuación: 14.000 4.000.000 12.000 3.500.000 3.000.000 10.000 2.500.000 8.000 2.000.000 6.000 1.500.000 4.000 1.000.000 2.000 500.000 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 Amortización por el sistema de abonos constantes a capital en UVR Ejemplo No. 6.8 Para el mismo crédito de $192 millones concedido en las mismas condiciones, estimar la tabla de amortización por el sistema de abonos constantes a capital en UVR. Para la solución no se utilizan funciones del Excel debido a la forma de amortización. 18.000 16.000 3.500.000 3.000.000 14.000 12.000 10.000 2.500.000 2.000.000 8.000 6.000 1.500.000 1.000.000 4.000 500.000 2.000 1 11 21 31 41 51 61 71 81 1 91 101 111 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 Comparación de los sistemas de amortización en UVR Las características de los sistemas de amortización, se conservan cuando la liquidación se hace en UVR, pero al trasladarlas a pesos, dichas características desaparecen debido a la inflación. En los siguientes gráficos se aprecia esta situación 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 4.000.000 3.500.000 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000 1 282 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 6.3 Capitalización Como capitalización, se conoce el proceso de acumular un capital a través de cualquier sistema de ahorro; financieramente se cede la utilización del capital propio, por lo tanto se debe recibir un beneficio, que como se vio en el primer capítulo es el interés. Esto lleva a dos puntos importantes que se deben estudiar en el caso de las capitalización: el saldo acumulado hasta un determinado momento y las tablas de capitalización; cada uno de ellos se tratará a continuación, no sin antes aclarar que no se trata el tema de la composición de las cuotas, ya que toda la cuota de ahorro se acumula a capital. 6.3.1 Saldo capitalizado Se conoce como saldo capitalizado, al valor acumulado en un ahorro hasta un determinado momento. Matemáticamente es igual al valor futuro de las cuotas que se han depositado o pagado, acumuladas a la tasa de interés de la cuenta, según se acuerde entre las partes. Aunque es importante saber las condiciones para acumular los intereses que tiene la cuenta, también debe tenerse presente que cuando los intereses se reciben anticipadamente se contabilizan como un pasivo (intereses recibidos por anticipado) y sólo serán propiedad del inversionista cuando se cumpla el período de capitalización: recuérdese que los intereses son la retribución por el uso de un capital y dicho uso sólo se hace efectivo cuando se cumple el período. Dada la definición matemática de saldo capitalizado (valor futuro de las cuotas depositadas), las fórmulas que se han tratado hasta el momento para calcular el valor futuro en cualquiera de las modalidades de cuota, pueden utilizarse para calcular el saldo capitalizado, la única advertencia que debe hacerse es la siguiente: En la modalidad de ahorro con cuotas vencidas, el saldo capitalizado que arrojan las fórmulas incluye la cuota ahorrada en el momento en que se está calculando el saldo. En la modalidad de ahorro con cuotas anticipadas, el saldo capitalizado que arrojan las fórmulas no incluye la cuota ahorrada en el momento en que se está calculando el saldo. Ejemplo No. 6.9 Una empresa de seguros ofrece una póliza de capitalización a diez años, con cuotas trimestrales que inician en $20,000 y después se incrementan en un 2% trimestral. Si la póliza paga el 2.25% trimestral de intereses, cuánto se tendrá acumulado en la cuenta al terminar el tercer trimestre? El problema se plantea así: Tasa de interés del período i 2.25% trimestral Plazo total n 40 trimestres Períodos transcurridos x 3 trimestres Valor primera cuota A $20,000 Gradiente k 2% trimestral 283 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Las primeras tres cuotas de ahorro son de $20,000 la primera, $20,400 la segunda y $20,808 la tercera. Como no se aclara si las cuotas son vencidas o anticipadas, se procede a encontrar el saldo en el tercer trimestre por ambos sistemas. a) Cuotas vencidas: Gráficamente el ahorro hasta el tercer trimestre se presenta así: Fn Fx 0 1 2 3 n 20,000 20,400 20,808 n, i%, k% Por tratarse de encontrar el valor futuro de un gradiente geométrico vencido creciente, se utiliza la fórmula (54), pero calculándola sólo hasta el período x=3: b) Cuotas anticipadas;: Gráficamente el ahorro hasta el tercer trimestre se presenta así: Fn Fx 0 1 2 3 n 20,000 20,400 20,800 n, i%, k% 284 20,808 Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Por tratarse de encontrar el valor futuro de un gradiente geométrico anticipado creciente, se utiliza la fórmula (56), pero calculándola sólo hasta el período x = 3: Como se aprecia por el resultado de la fórmula y observando el gráfico, la cuota que se paga en el período 3 no se está incluyendo en el saldo. Utilizando las funciones personalizadas del Excel se resuelve así: Como se aprecia en los dos cuadros anteriores, basta con cambiar el argumento TIPO de 0 a 1 para calcular el saldo capitalizado de modalidad vencida a anticipada. 285 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 6.3.2 Tablas de capitalización Una tabla de capitalización es la simulación de lo que ocurre en cada cuota durante la vida de un plan de ahorro, incluye conocer el saldo inicial del período, la cuota que se ahorra y el saldo final después de pagar la cuota que corresponde al período. A continuación se presentan las tablas de capitalización para un plan de ahorro para reunir en un año $2,000,000, en cuotas trimestrales al 4% trimestral, en diferentes modalidades de ahorro y forma de pago de los intereses: TABLA DE CAPITALIZACIÓN DEL SISTEMA DE CUOTAS CONSTANTES 286 Capítulo 6: Amortización, capitalización y saldos JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA TABLA DE CAPITALIZACIÓN DEL SISTEMA DE GRADIENTE ARITMÉTICO TABLA DE CAPITALIZACIÓN DEL SISTEMA DE GRADIENTE GEOMÉTRICO 287 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como se aprecia en los tres cuadros anteriores, la diferencia fundamental entre el ahorro anticipado y el ahorro vencido es que en el primer caso se reciben intereses en el primer período. Resumiendo, las tablas de capitalización han utilizado las siguientes columnas: • Saldo inicial: se refiere al saldo acumulado al inicio del período de pago. En el primer período es igual cero y en los restantes períodos es igual al saldo final acumulado hasta el período anterior. • Cuota: es el valor que se ahorra, como es un aporte del inversionista la totalidad se considera capital. Se calcula teniendo en cuenta el sistema de capitalización que se esté utilizando. • Base para interés: Es el valor que debe considerarse como capital utilizado, que sirve de base para calcular el interés del período. En la modalidad vencida sólo se tiene en cuenta el saldo acumulado hasta el período anterior, mientras que en la modalidad anticipada, se incluye en esta base el saldo acumulado hasta el período anterior más la cuota depositada al inicio del período. • Interés: es el monto de los intereses que se recibe por el capital durante un período. Contablemente corresponde al ingreso financiero. Se calcula utilizando la fórmula (3) I = i P, donde P es la base para calcular el interés según la modalidad. • Saldo final: se refiere al saldo capitalizado al final del período de pago. En el último período debe ser igual al valor futuro planeado. Se calcula como la sumatoria del saldo inicial del período, más la cuota del período, más los intereses devengados durante el período. 288 Capítulo 6: Cuestionario de autoevaluación JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Resumen del capítulo Este capítulo sirve de complemento para analizar los problemas de matemáticas financieras que se han tratado hasta el momento, por lo tanto resulta mejor trabajarlo en la hoja de cálculo. Para una mejor organización, los problemas se clasificaron en dos grupos: Problemas de amortización orientados a los créditos, se refieren al proceso de cancelar una deuda a través de cualquier sistema de pago. En el proceso se involucran tres aspectos: el saldo adeudado en un momento determinado, la composición de las cuotas que se pagan y las tablas de amortización. El saldo adeudado o saldo por amortizar, es el valor insoluto de la deuda o sea el valor que falta por pagar. Matemáticamente, es igual al valor presente de las cuotas que falten por pagar, descontadas a la tasa de interés del crédito. La composición de las cuotas, es el proceso de distribuir cada pago entre abono a capital y pago de intereses. El interés se liquida sobre de la deuda (S) al inicio de cada período de pago, por lo tanto en una cuota el abono a capital (R), se conoce como el valor de la cuota menos los intereses pagados (I). Una tabla de amortización, es la simulación de lo que ocurre en cada cuota durante la vida de un crédito, incluye conocer el saldo inicial del período, la cuota que se paga, la distribución de la cuota entre capital e intereses y el saldo final después de pagar la cuota. Problemas de capitalización orientados al ahorro, se refieren al proceso de acumular un capital a través de cualquier sistema de ahorro. En el proceso se involucran dos aspectos: el saldo capitalizado hasta un momento determinado y las tablas de capitalización. El saldo capitalizado al valor acumulado es un ahorro hasta un determinado momento. Matemáticamente, es igual al valor futuro de las cuotas que se han depositado o pagado, acumuladas a la tasa de interés del negocio. Una tabla de capitalización, es la simulación de lo que ocurre en cada cuota durante la vida de un plan de ahorro, incluye conocer el saldo inicial del período, la cuota que se ahorra y el saldo final después de pagar la cuota que corresponde al período. Los problemas de amortización y capitalización, se tratan en el capítulo para series uniformes y para gradientes, utilizando la notación estándar, las fórmulas, la calculadora financiera y la hoja de cálculo Excel 289 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Cuestionario de autoevaluación 6. a ¿Qué es el proceso de amortización de una deuda? 6. b ¿Cómo se define matemáticamente el saldo de una deuda? 6. c ¿Cómo se distribuye la cuota que se paga en un crédito? 6. d ¿Qué es una tabla de amortización? 6. e ¿Cuáles son las columnas que debe contener una tabla de amortización, qué significa cada una y cómo se calculan? 6. f Haga un cuadro en el cual explique el comportamiento de la distribución de las cuotas en diversos sistemas de amortización de créditos. 6. g En cuál gradiente (aritmético, geométrico o escalonado) crece más rápido el abono a capital; explique su respuesta e ilústrela con un ejemplo. 6. h ¿Cómo debe calcularse la parte que corresponde a interés en una cuota que se paga por anticipado? 6. i ¿Qué es el proceso de capitalización de un ahorro? 6. j ¿Cómo se define matemáticamente el saldo de un ahorro periódico? 6. k ¿Por qué se dice que en un problema de capitalización, la totalidad de la cuota corresponde a capital? 6. l ¿Qué es una tabla de capitalización? 6. m ¿Cuáles son las columnas que debe contener una tabla de capitalización, qué significa cada una y como se calculan? 6. n En cuál gradiente (aritmético, geométrico o escalonado) crece más rápido el saldo de un capital; explique su respuesta e ilústrela con un ejemplo. 290 Capítulo 6: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Ejercicios propuestos 6.1 Cuál es el saldo después de siete meses, de un crédito de $10 millones que se cancela con un pago único a los 24 meses, si se concede al 30% EA? 6.2 Seis meses después de iniciado, cuál es el saldo de un crédito de $5 millones que se paga en 12 cuotas iguales al 18% EA? 6.3 Una deuda que se paga en 36 cuotas mensuales, se inicia con cuotas de $85,000 que aumentan $5,000 cada mes; si se desea cancelar en la cuota 14, ¿cuánto se debe pagar? 6.4 Si hoy que se cumple la sexta cuota de un crédito se quiere refinanciar, ¿cuál será el valor a refinanciar si la deuda originalmente se contrató por $2,500,000 al 2% mensual a 18 cuotas que crecen 3.5% mensual? 6.5 Hoy se contrata una deuda de $1,800,000 al 3% mensual, con período muerto de 6 meses, para cancelar en 15 cuotas iguales; si el deudor cree que puede pagarla totalmente a los diez meses de contratada, ¿cuánto tendría que pagar? 6.6 Un vehículo de $35 millones se compra financiado al 33% MV, a 36 cuotas que aumentan cada mes en 2%. Si al cumplirse la séptima cuota se quiere cancelar el saldo y por el prepago le cobran una multa de 5% sobre el saldo, cuál es la tasa que paga durante el tiempo que tuvo el crédito? 6.7 Una vivienda se está pagando a 15 años al 12% EA, la primera cuota fue de $250,000 pero aumenta el 10% anual; si después de cinco años se propone refinanciar el saldo a 20 años en cuotas iguales, ¿de cuánto serán las nuevas cuotas? 6.8 Un crédito originalmente se contrató así: $3,500,000 a 12 cuotas trimestrales iguales al 32% TV; si al momento de la cuarta cuota se hace un abono extraordinario de un millón de pesos y se pide que el saldo sea reliquidado en 12 cuotas mensuales que aumenten $10,000 mensuales; ¿de cuánto quedan las nuevas cuotas? 6.9 Un crédito de $12 millones al 18% EA, se acuerda pagarlo a cinco años con cuotas trimestrales que aumentan cada vez en 5%. Al pagar la cuota número 9 se pide cambiarlo por cuotas mensuales de $388,400 al 1.5% mensual; ¿cuándo se terminará de pagar el crédito? 6.10 Un electrodoméstico que se vende de contado por $1,250,000, se vende también financiado así: interés del 36% EA, cuota inicial del 10%, período muerto de seis meses y después 18 cuotas mensuales iguales. Una vez cancelada la cuota número 13, se pide que el saldo sea refinanciado a 12 meses, si en el almacén le dicen que las nuevas cuotas son de $43,400 mensuales, ¿cuál es la tasa de refinanciación del saldo? 6.11 En un crédito de $300,000 al 2% mensual, ¿cuánto se paga de intereses el primer mes? 291 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 6.12 ¿Cuánto se paga de intereses en la quinta cuota mensual de un crédito de $1,300,000, contratado a un año con cuotas iguales al 2% mensual? 6.13 ¿Cuáles son los asientos contables que se deben hacer en el primero, segundo y tercer mes de un crédito que paga cuotas trimestrales de $3,500,000 al 8% trimestral, concedido a un plazo de tres años? a) Si la cuota es vencida. b) Si la cuota es anticipada. 6.14 En qué momento de la vida de un crédito de $5 millones al 2% mensual que se paga en 60 cuotas mensuales, se igualan los abonos a capital por el sistema de cuotas constantes y el sistema de abonos constantes a capital. 6.15 Una cooperativa concede un crédito de $10 millones al 28% EA, para pagar en 24 cuotas mensuales que aumentan el 1% mensual; al llegar la cuota 10 el deudor manifiesta que le es imposible pagar la cuota, pero en la cooperativa le exigen que pague el valor de los intereses; ¿cuánto debe pagar? 6.16 Elabore la tabla de amortización de un crédito de tres millones al 2% mensual, que se paga en 12 cuotas mensuales iguales vencidas (también para las cuotas anticipadas). 6.17 Elabore la tabla de amortización de un crédito de $7.5 millones al 2.5% mensual que se paga en 18 cuotas mensuales que aumentan $10,000 cada mes. 6.18 Elabore la tabla de amortización de un crédito de $7.5 millones al 2.5% mensual que se paga en 18 cuotas mensuales que aumentan 2.25% mensual. 6.19 Elabore la tabla de amortización de un crédito de $1,800,000 al 1.5%% mensual, que se paga en 12 cuotas mensuales que aumentan $14,300 trimestral. 6.20 Elabore la tabla de amortización de un crédito de $1,800,000 al 1.5%% mensual, que se paga en 12 cuotas mensuales que aumentan $10% trimestral. 6.21 Si una persona ahorra $300,000 mensuales durante 8 meses, ¿cuánto reúne al final? 6.22 Una persona se inscribe en una póliza de capitalización a cinco años con cuotas mensuales; empieza pagando $35,000 y las cuotas aumentan $2,500 mensual. Si a los tres años, antes de pagar la cuota correspondiente, se piensa retirar le cobran un 4% por administración sobre el saldo; ¿cuánto le devuelven? 6.23 Cuáles son los asientos contables que se deben hacer en el primero, segundo y tercer mes de una inversión de $3,500,000 que paga el 8% trimestral, a) Si los intereses se reciben vencidos. b) Si los intereses se reciben anticipados. 6.24 Elabore la tabla de capitalización de un ahorro de $20,000 mensuales durante 12 meses al 9% MV, si la cuota es anticipada y el interés vencido. 292 Capítulo 6: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 6.25 Elabore la tabla de capitalización de un ahorro que empieza con $20,000 y aumenta $2,500 mensuales durante 18 meses al 1% mensual, si la cuota es anticipada y el interés vencido. 6.26 Elabore la tabla de capitalización de un ahorro que empieza con $20,000 y aumenta 2% mensual durante 18 meses al 1% mensual, si la cuota es anticipada y el interés vencido. 6.27 Elabore la tabla de capitalización de un ahorro mensual que empieza con $20,000 y aumenta $12,500 trimestral durante 18 meses al 1% mensual, si la cuota es anticipada y el interés vencido. 6.28 Elabore la tabla de capitalización de un ahorro mensual que empieza con $20,000 y aumenta 7% trimestral durante 18 meses al 1% mensual, si la cuota es anticipada y el interés vencido. 6.29 Elabore una tabla de capitalización de un ahorro $75,000 mensuales al 2% mensual a 12 meses, si en los meses múltiplos de tres no hace el depósito y en su lugar retira $75,000. 6.30 Un bono de $15 millones paga interés anual del 15% EA, si a los 7 meses el poseedor lo piensa vender por el 107.5% de su valor; ¿cuánto recibe? ¿Cuál es la rentabilidad que obtiene? 6.31 Una póliza que sólo se puede redimir a su vencimiento tiene las siguientes características: plazo 15 meses, cuotas mensuales de $1,000,000, interés mensual del 2%. Si se piensa vender a los 10 meses, antes de hacer la cuota correspondiente, ¿cuánto se debe cobrar para ganar el 25% EA? 6.32 Una vivienda fue financiada originalmente al 0.75% mensual, a 15 años con cuotas que aumentan 0.5% mensual; si al pagar la cuota número 39 se pide reliquidar el saldo a 10 años con cuotas iguales y la tasa baja al 0.65% mensual; ¿de cuánto quedarán las cuotas? 6.33 Una persona tiene dos pólizas de ahorro que se redimen al vencimiento así: a) a 12 años con cuotas trimestrales anticipadas de $250,000 al 4.5% trimestral. b) a 20 años con cuotas mensuales vencidas, la primera fue de $20,000 y aumentan $1,000 mensuales, al 1% mensual. Al llegar el mes 75 concluye que no puede seguir pagando las pólizas, entonces decide venderlas; otra persona le ofrece seguir con las pólizas y el saldo acumulado hasta la fecha se lo paga en 12 cuotas iguales empezando hoy y además le reconoce un interés del 0.75% mensual; ¿de cuánto serán las cuotas? 6.34 Una deuda de $30 millones al 16% TV, que se paga en 24 cuotas trimestrales vencidas que aumentan el 5% trimestral; si al llegar la cuota número 5 decide cancelar el saldo, ¿cuánto debe pagar? 293 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 6.35 Un padre de familia consigna a su hijo $500,000 al comienzo de cada mes en una cuenta que paga el 1.25% mensual; por su parte, el hijo retira $300,000 al terminar cada mes, ¿cuál será el saldo de la cuenta al terminar el octavo mes? 6.36 Un padre de familia consigna mensualmente en una cuenta que paga el 1.25% mensual $500,000, ese mismo día el hijo retira $350,000, si el padre aumenta sus depósitos en $50,000 anual y el hijo aumenta sus retiros en 10% semestral, ¿cuál será el saldo de la cuenta a los cinco años? 6.37 Elaborar la tabla de amortización de un crédito de fomento de $10 millones al 10% EA, que se concede a un plazo total de 8 años con un año de gracia, si se pagan cuotas semestrales que aumentan el 10% semestral. 6.38 En un crédito de $800,000 al 1.25% mensual que se paga en 12 cuotas mensuales iguales, el deudor no pudo pagar la cuota quinta, si al llegar la sexta cuota se pone al día, pero le cobran interés de mora del 3.75% mensual sobre el total de la cuota en mora: cuánto debe pagar, ¿cuánto es abono a capital y cuánto intereses? 6.39 En un crédito de $5 millones a tres años que se paga al 30% EA en cuotas trimestrales, no se pagaron las cuotas cuarta y quinta, al llegar la fecha de la sexta cuota se le ofrecen dos opciones al deudor: a) ponerse al día pagando intereses de mora del 10% trimestral sobre las dos cuotas en mora. b) cancelar el saldo adeudado y le perdonan la mora. ¿Cuánto debe pagar en cada una de las opciones? 6.40 Una persona tiene una deuda que originalmente era de $3,500,000 contratada a 18 meses al 3% mensual, con cuotas crecientes en 1% mensual. Si en la quinta cuota, además de la cuota ordinaria hizo un abono adicional de $500,000, y quiere cancelarlo totalmente en la octava cuota, ¿cuánto debe pagar? 6.41 Una persona que tiene un crédito de $750,000, que paga en 6 cuotas mensuales constantes al 2.5% mensual, va a cancelar la tercera cuota con 15 días de retraso, ¿cuánto debe pagar si le cobran intereses de mora del 4% sobre el capital en mora? 6.42 Un vehículo de $40 millones que se valoriza 10% anual, se puede adquirir con un plan de ahorro a 36 meses con cuotas que aumentan 5% semestral y le reconocen el 0.5% mensual sobre saldos; si una persona al momento de llegar la cuota 12 decide comprar el vehículo, ¿cuánto debe desembolsar? 6.43 Una persona ahorra $40,000 mensuales en una póliza a 48 meses, si en cada cuota le descuentan el 8% de administración y además le reconocen el 1% sobre saldos, ¿cuánto tendrá ahorrado al cabo de 18 meses? 294 Capítulo 6: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 6.44 Una persona se suscribe a una póliza que paga cinco millones de pesos después de tres años, las cuotas empiezan en $75,000 y aumentan 2% mensual, si en el mes 18, antes de pagar la cuota, vende sus ahorros por $1,800,000: a) ¿Cuál es la rentabilidad que ofrece la póliza original y cuál fue la rentabilidad de la persona? b) ¿Cuáles circunstancias se deben presentar en la economía para que alguien compre por ese valor? 6.45 Una maquinaria de $180 millones, comprada por leasing al 36% EA así: - Cuota inicial del 10%. - Período muerto de un año - 8 cuotas trimestrales ordinarias que aumentan 10% trimestral. - Opción de compra del 15% que se paga seis meses después de la última cuota ordinaria. Si al llegar el momento de pagar la cuarta cuota decide cancelar la totalidad, ¿cuánto debe pagar? 6.46 Un empleado ahorra en el fondo de empleados el 10% de su sueldo, empezó con un sueldo de $500,000 mensuales, le aumentan el sueldo un 10% anual y el fondo le reconoce intereses del 1% sobre el saldo ahorrado. Un año después de ingresar al fondo, le otorgaron un crédito de $1,200,000 a 24 cuotas mensuales al 1.25% mensual. Si a los dos años se retira, ¿cuál será el valor de la liquidación del fondo? 6.47 Una vivienda de $50 millones se valoriza 10% anual, se financia así: cuota inicial del 20%, saldo a 15 años con cuotas mensuales que aumentan el 8% anual, interés del 12% EA. Si el comprador empezó siendo dueño del 20% (cuota inicial) ¿cuál será el porcentaje al terminar el año 5, 10 y 15? 6.48 Una vivienda de $35 millones se valoriza 6% anual, se financia así: cuota inicial del 10%, saldo a 15 años con cuotas mensuales que aumentan el 1% cada mes, interés del 18% EA. ¿Cuánto vale la vivienda y cuál es el saldo de la deuda al terminar el año 5, 10 y 15? 6.49 Un papel por valor de $7,000,000, que paga intereses del 34.78% TV y vence dentro de 78 días, es comprado en la bolsa por el $7.100.000, ¿cuál fue la rentabilidad para el vendedor y cual será para el comprador? 6.50 Un gerente financiero invierte $ 25,380,000 en un CDT a 180 días al 24% TA. Si el CDT paga intereses vencidos, por cuánto lo debe vender a los 50 días para obtener una rentabilidad del 38% EA. (Cuál debe ser el precio si los intereses se pagan anticipados). 295 CAPÍTULO 7 Indicadores de conveniencia económica Debido a que los fundamentos matemáticos tratados en este libro son la base para tomar decisiones, es necesario introducir el tema de los indicadores de conveniencia económica de inversiones. El proceso de tomar decisiones financieras en proyectos tiene tres aspectos fundamentales: a) Plantear hipótesis sobre el comportamiento futuro, tanto de la economía en general (inflación, devaluación, nivel de la tasa de interés, crecimiento económico, etc.) como de la inversión en particular (precio de venta, costos, mantenimiento, etc.). Esta hipótesis se basa en estudios que arrojan como resultado los flujos de caja de ingresos y egresos esperados del proyecto. El capítulo contiene los siguientes temas: 7.1 Valor presente neto (VPN) 7.2 Cuota anual uniforme equivalente (CAUE) 7.3 Tasa interna de rentabilidad (TIR) 7.4 Tasa de rentabilidad verdadera (TRV) 7.5 Relación beneficio – costo (B/C) 7.6 Indicadores de conveniencia con calculadora b) Con estos flujos, efectuar los cálculos matemáticos necesarios para obtener unos indicadores que sirvan de base para sacar conclusiones sobre la conveniencia económica del proyecto. c) Aplicando el criterio del inversionista y conociendo los indicadores de conveniencia económica del proyecto, tomar decisiones. El alcance de este capítulo está dado en el segundo punto: cómo utilizar las matemáticas financieras para calcular los indicadores de conveniencia económica que sirven de base al inversionista para tomar decisiones financieras sobre proyectos. Objetivos General Mostrar que las matemáticas financieras tratadas en los capítulos de este libro, son la base para analizar y evaluar problemas de mayor complejidad, tal como es la evaluación financiera de proyectos. Específicos a) Plantear el papel que juegan las matemáticas financieras en la toma de decisiones financieras. b) Presentar los fundamentos teóricos y matemáticos básicos de los indicadores de conveniencia económica de inversiones más utilizados. c) Ilustrar las funciones financieras de la hoja de cálculo Excel que sirven para calcular los d) indicadores de conveniencia económica de inversiones. Emplear la opción F.CAJ del menú principal de la calculadora financiera como herramienta de análisis para problemas intermedios. Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 7.1 Valor presente neto (VPN) El valor presente neto (VPN), es el valor de los resultados obtenidos a lo largo de un negocio, expresados en su valor equivalente en pesos de hoy. Matemáticamente se define como la diferencia entre el valor presente de los ingresos menos el valor presente de los egresos: Valor presente neto = Valor presente de ingresos - Valor presente de egresos(114) Se agrega la palabra “neto”, para indicar que se han tenido en cuenta tanto los flujos positivos como los negativos. Para analizar el VPN es interesante considerar los siguientes aspectos: a) Si el objetivo del administrador financiero es maximizar el valor actual de la empresa, el VPN es el monto que le suman al valor de la empresa los resultados de las decisiones que se tomen, sean éstas grandes proyectos o pequeñas inversiones. b) Como para obtener un valor presente se debe descontar a cero todos los valores que se encuentren en el futuro del negocio (ver página 71), este indicador, en algunos casos, ha tomado el nombre de “flujo de caja descontado”, que es una de las metodologías utilizadas para encontrar el valor actual de una empresa. c) Como para descontar una serie, se debe seleccionar una tasa de interés o tasa de descuento, un negocio en particular arroja varios valores presentes, debido a que se puede descontar a la tasa de interés que cada inversionista quiera. d) Cada inversionista tendrá su propia tasa de descuento o “tasa de interés de oportunidad” (ver página 28), por lo tanto el VPN de un negocio, es subjetivo a las características del inversionista y siempre se debe aclarar cuál fue la tasa de descuento utilizada para calcularlo. e) Como por definición: Valor presente neto = Valor presente de ingresos - Valor presente de egresos, todas las fórmulas que calculan el valor presente ( P ) son útiles para encontrar el VPN, cuando los ingresos y egresos toman formas conocidas (series uniformes o variables). f) Como en un negocio los ingresos y egresos pueden tomar cualquier forma y no existen fórmulas generalizadas para encontrar el valor presente de una serie irregular, para encontrar el VPN de un proyecto es necesario utilizar el computador. Función financiera VNA Devuelve el valor presente de una inversión a partir del flujo de caja neto del negocio. VNA (tasa, valor 1, valor 2, ...) El argumento tasa, es el valor de la tasa de descuento expresada en decimales y el argumento valor, debe ser el flujo de caja neto del negocio a partir del período uno. 299 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Los valores que se incluyen en el flujo de caja no tienen que ser constantes, por lo tanto se debe disponer de ellos en una tabla, ésta es la diferencia frente a la función VA (tratada en las funciones de series uniformes, ver página 98), pues todavía se conserva la condición de que tanto la tasa de interés a que se descuentan los flujos, como la periodicidad en que ocurren, sean constantes, es decir que todo el flujo de caja se descuenta a la misma tasa y los valores que se incluyen en él ocurren a intervalos iguales. Ejemplo No. 7.1 Cuál es el VPN de un negocio a 12 años, que presenta los siguientes ingresos y egresos: AÑO INGRESOS 0 EGRESOS 15,000,000 1 5,350,000 500,000 2 6,350,000 500,000 3 9,350,000 1,750,000 4 6,400,000 950,000 5 5,400,000 1,050,000 6 4,200,000 3,600,000 7 3,800,000 1,600,000 8 3,800,000 1,750,000 9 2,000,000 2,850,000 10 1,000,000 850,000 11 500,000 200,000 12 8,000,000 Es importante apreciar que ni los ingresos ni los egresos tienen un patrón de comportamiento definido, por lo tanto ninguna de las fórmulas conocidas para el valor presente ( P ) puede utilizarse, excepto si se aplica la fórmula (7) a cada uno de los flujos y se suma su valor, utilizando una tasa de descuento del 26% EA, el resultado es el siguiente: AÑO INGRESOS VALOR PRESENTE INGRESOS 0 300 EGRESOS VALOR PRESENTE EGRESOS 15,000,000 15,000,000 396,825 1 5,350,000 4,246,032 500,000 2 6,350,000 3,999,748 500,000 314,941 3 9,350,000 4,674,121 1,750,000 874,836 4 6,400,000 2,539,205 950,000 376,913 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica AÑO INGRESOS VALOR PRESENTE INGRESOS EGRESOS VALOR PRESENTE EGRESOS 5 5,400,000 1,700,361 1,050,000 330,626 6 4,200,000 1,049,605 3,600,000 899,662 7 3,800,000 753,685 1,600,000 317,341 8 3,800,000 598,163 1,750,000 275,470 9 2,000,000 249,859 2,850,000 356,049 10 1,000,000 99,150 850,000 84,278 11 500,000 39,345 200,000 15,738 12 8,000,000 499,624 TOTAL 20,448,899 19,242,678 El valor presente neto será igual a 20,448,899 - 19,242,678 = 1,206,221, lo cual significa que si se lleva a cabo el negocio que proyecta ese flujo de caja, el inversionista obtendrá la rentabilidad de 26% que espera y además un enriquecimiento adicional de $1,206,221, que se suma al valor de la empresa. Este método de calcular el VPN, puede resultar engorroso cuando se trata de flujos numerosos, pero principalmente genera dificultades para hacer análisis de los negocios, por lo tanto es mejor utilizar la función VNA, para lo cual debe calcularse un flujo neto: Se aprecia, que dentro del rango del flujo de caja al cual se va a calcular el valor presente neto no debe incluirse el valor que se encuentra en el período cero, pues tal valor ya se encuentra en pesos actuales. En el ejemplo anterior, la inversión inicial que se encuentra en la celda D27 no se incluye en el argumento valores y debe sumarse al resultado que arroje la función. Otro aspecto importante para resaltar, es que el VPN utilizando una tasa de descuento del 34% EA es negativo, lo cual no quiere decir que produzca pérdidas, únicamente que si la tasa de oportunidad del inversionista es del 34% el negocio no le es conveniente, debido a que restaría valor a la empresa. 301 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel El VPN, es un indicador de conveniencia económica que involucra la subjetividad del inversionista, ya que debe seleccionarse una tasa de interés para descontar el flujo de caja. Como cada tasa que se utilice arroja resultados diferentes, entonces para evaluar estos resultados debe tenerse en cuenta que la respuesta está expresada en pesos del período cero y su significado puede interpretarse de la siguiente manera: a) VPN > 0, un resultado positivo indica que el negocio estudiado arroja una rentabilidad superior a la exigida por el inversionista y por lo tanto es conveniente llevar a cabo el negocio. b) VPN = 0, en caso de presentarse un resultado igual a cero, indica que el negocio arroja una rentabilidad igual a la exigida por el inversionista y también es conveniente llevarlo a cabo. c) VPN < 0, un valor presente neto negativo indica que la rentabilidad que ofrece el negocio es inferior a la exigida por el inversionista y para él, particularmente, no es conveniente el negocio. De lo anterior se concluye que cuando se anuncie el VPN de un proyecto, debe aclararse cuál fue la tasa de descuento que se utilizó para calcularlo. Ejemplo No. 7.2 Una persona que espera ganar el 3% mensual en sus inversiones, ha decidido comprar un taxi por valor de $22,500,000, conservarlo durante tres años, al cabo de los cuales lo vende por la mitad del valor de compra. Ha estimado que el funcionamiento del negocio genera los siguientes flujos: CONCEPTO DETALLE SERIE Ingresos transporte $65,000 diarios durante 25 días al mes, que aumentan el 5% semestral. Gradiente geométrico escalonado vencido. Salvamento 50% del valor de compra. Pago único. Cuota de administración 1% del valor de compra durante toda la vida del negocio. Anualidad. Impuestos 5% del valor inicial del vehículo, se paga año anticipado y aumenta un 10% anual. Gradiente geométrico anticipado. Mantenimiento $500,000 trimestrales que empiezan a contarse cuando termine la garantía que es de 6 meses. Anualidad diferida. Combustible $10,000 diarios durante 25 dias al mes, que aumentan el 2% trimestral. Gradiente geométrico escalonado vencido. dado que todos los flujos tienen una forma conocida, es posible encontrar el valor presente sin ningún problema. Para resolver este ejemplo se utilizarán fórmulas, pero es posible resolverlo con cada una de las herramientas vistas a lo largo del libro: 302 Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA a) Ingresos transporte. Como es un gradiente geométrico escalonado vencido, se utiliza la fórmula (91), planteada así: Tasa de interés del inversionista i 3% mensual Plazo total n 36 meses Tamaño de la serie t 6 meses Valor primera cuota A $1,625,000 Valor gradiente k 5% Valor presente P ??? b) Valor de salvamento. Como es un pago único, se utiliza la fórmula (7) planteada así: Tasa de interés del inversionista i 3% mensual Plazo total n 36 meses Valor futuro F $11,250,000 Valor presente P ??? P = F (1 + i)-n = 11,250,000 (1 + 3%)-36 = 3,881,615 c) Cuota de administración. Como es una anualidad, se utiliza la fórmula (22) planteada así: Tasa de interés del inversionista i 3% mensual Plazo total n 36 meses Anualidad A $225,000 Valor presente P ??? 303 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel d) Impuestos. Como es un gradiente geométrico anticipado, se utiliza la fórmula (52) planteada así: Tasa de interés del inversionista i 42.58% anual Plazo total n 3 años Valor primera cuota A $1,125,000 Gradiente k 10% anual Valor presente P ??? e) Mantenimiento. Como es una anualidad diferida, se utiliza la fórmula (35) planteada así: Tasa de interés del inversionista i 9.27% trimestral Plazo total n 12 trimestres Período de gracia r 2 trimestres Período de pagos s 10 trimestres Anualidad A $500,000 Valor presente P ??? f) Combustible. Como es un gradiente geométrico escalonado vencido, se utiliza la fórmula (91), planteada así: 304 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica Tasa de interés del inversionista i 3% mensual Plazo total n 36 meses Tamaño de la serie t 3 meses Valor primera cuota A $250,000 Valor gradiente k 2% Valor presente P ??? Con la información recopilada se puede calcular el VPN: CONCEPTO Ingresos transporte Salvamento VALOR PRESENTE 39,229,159 3,881,615 Valor presente de los ingresos Inversión inicial 43,110,774 22,500,000 Cuota de administración 4,912,257 Impuestos 2,662,602 Mantenimiento 2,655,385 Combustible 5,975,669 Valor presente de los egresos VALOR PRESENTE NETO 38,705,913 4,404,861 Utilizando la función financiera VA del Excel, se construyen las series de cada uno de los conceptos, se obtiene el flujo neto de caja y se descuenta: 305 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Aprovechando las ventajas del Excel, es muy sencillo construir el gráfico de la curva del valor presente neto de un negocio, que está midiendo la sensibilidad del VPN a cambios en la tasa de oportunidad del inversionista: Se aprecia que sólo para tasas de descuento inferiores a 4%, el valor presente es positivo, por lo tanto el negocio del taxi no será aceptable para inversionistas que tengan una tasa de oportunidad superior a 4%. 306 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica 7.2 Cuota anual uniforme equivalente (CAUE) La cuota anual uniforme equivalente (CAUE) o costo anual uniforme equivalente, es el valor promedio de los ingresos y egresos netos de un negocio, expresados en una cuota uniforme periódica, que equivale a todos los flujos del negocio. Matemáticamente se define como la anualidad equivalente al valor presente neto de un negocio: (115) CAUE = VPN (A/P, i%, n) Lo anterior quiere decir que todas las fórmulas vistas en este libro, que calculan una anualidad ( A ) a partir de un valor presente ( P ) conocido, sirven para calcular la CAUE. Aunque la CAUE es un indicador de conveniencia económica corriente, se utiliza principalmente para comparar proyectos que tienen diferente vida útil (para los cuales el VPN es engorroso) o para evaluar proyectos que sólo presentan gastos. Ejemplo No. 7.3 Una empresa para atender la mensajería, tiene dos alternativas: contratar con una empresa que cobra $2,000,000 mensuales o contratar dos empleados que hagan la mensajería en motos compradas por la empresa, con los siguientes costos mensuales, para los próximos doce meses: MES GASTOS INGRESOS MES GASTOS 0 14,500,000 7 962,000 1 962,000 8 962,000 2 962,000 9 962,000 3 962,000 10 962,000 4 962,000 11 962,000 5 962,000 12 962,000 6 1,112,000 INGRESOS 8,700,000 Evaluar las dos opciones es bastante sencillo utilizando la CAUE, que se compara con el valor que cobra la empresa de mensajería. Utilizando las funciones del Excel se procede así: Primero se obtiene un flujo de caja neto, al cual se le calcula el VPN, luego se utiliza la función financiera PAGO (ver página 127) para encontrar la cuota uniforme: 307 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Se aprecia que el flujo de la empresa, para comprar los equipos y contratar los empleados, descontado al 3% mensual, equivale a un gasto mensual de $1,818,300, inferior a los $2,000,000 que cobra la empresa de mensajería. Esto quiere decir que para la empresa es mejor adelantar la mensajería con personal propio. Nuevamente, aprovechando las ventajas del Excel, es posible encontrar hasta qué nivel de tasa de descuento es más conveniente adelantar la mensajería con personal propio: 308 Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Para aquellas empresas que tengan una tasa de oportunidad del 4.5% mensual o superior, es mejor contratar la empresa de mensajería, ya que para tasas superiores la CAUE es superior a $2,000,000. 7.3 Tasa interna de rentabilidad (TIR) La tasa interna de rentabilidad (TIR) o tasa interna de retorno, es la tasa de descuento que hace equivalentes los ingresos y los egresos de un negocio. Matemáticamente, se define como la tasa que hace el valor presente neto ( VPN ) igual a cero, por lo tanto también la cuota anual uniforme equivalente ( CAUE ) será cero: Valor presente de ingresos = Valor presente de egresos (116) La TIR tiene varias características especiales que es bueno tener en cuenta cuando se esta utilizando: a) La TIR depende únicamente de las condiciones del negocio que se está evaluando, por lo tanto no se ve afectada por la subjetividad del inversionista. b) No hay fórmulas para calcular la TIR, así como no las hay para encontrar el valor de la tasa de interés ( i ), tal como se ha visto a lo largo de este libro. Sólo es posible encontrar la TIR de un negocio, empleando la interpolación para cálculos manuales o las funciones vistas para la calculadora o la hoja de cálculo Excel (ver página 95). c) El valor que arroje la TIR, es la tasa del período en que se exprese el negocio. d) La TIR, no representa la rentabilidad de la inversión inicial, sino la rentabilidad o el costo de los recursos que permanezcan invertidos en el negocio, por lo tanto no considera la reinversión de los recursos que se liberan. Hay que tener presente que todas las tasas de interés se calculan sobre saldos y que los negocios, a medida que generan ingresos, van “pagando” la inversión que hace el empresario. e) La TIR, no es un indicador de conveniencia económica confiable, ya que puede inducir a decisiones erradas en la selección de inversiones al no tener en cuenta el riesgo de los negocios, que puede medirse con la sensibilidad del VPN a variaciones en la tasa de oportunidad del inversionista. f) Algunos flujos pueden tener varias TIR o no tenerla. Estos casos especiales, aunque raros, es importante conocerlos para evitar decisiones erradas. 309 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Ejemplo No. 7.4 Un empresario que tiene una tasa de oportunidad del 3.5% desea saber si debe aceptar la siguiente propuesta de negocio: MES 0 EGRESOS INGRESOS 12,000,000 1 350,000 2 450,000 3 1,250,000 3,000,000 4 300,000 4,000,000 5 300,000 5,500,000 6 2,350,000 2,000,000 7 300,000 4,000,000 8 300,000 3,000,000 9 3,600,000 1,500,000 Para conocer una respuesta debe utilizar alguno de los indicadores de conveniencia económica de los negocios, al decidirse por la TIR, utilizando la función financiera TIR (ver página 142) se obtiene: 310 Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Varios aspectos deben observarse: a) La TIR = 2.75% mensual o sea el rendimiento de los recursos invertidos es inferior a la TIO = 3.5% mensual, por lo tanto no le es conveniente adelantar el negocio. b) Si lleva a cabo el negocio, obtiene una utilidad que sería inferior a la que el inversionista es capaz de obtener en sus negocios corrientes c) Al calcular el valor presente de los ingresos descontados, utilizando la TIR, se aprecia que es igual al valor presente de los egresos, o sea que el valor presente es cero, como se aprecia en el gráfico siguiente: Casos especiales de la TIR Antes, se dijo que la TIR no tenía en cuenta la tasa de oportunidad del inversionista y por lo tanto podía llevar a decisiones erradas. A continuación, se presenta un caso: una empresa tiene la oportunidad de invertir en un negocio y se presentan dos alternativas: Alternativa A: Pagar $10,000,000 iniciales y luego seis cuotas de $350,000, para recibir a partir del cuarto mes el siguiente flujo: $3,000,000, $5,000,000 y $6,000,000. Alternativa B: Pagar $11,000,000 iniciales y luego seis cuotas de $350,000, para recibir el mismo flujo que en la alternativa A, pero a partir del primer mes. Quiere decir que desembolsa un millón adicional, pero adelanta la fecha de los ingresos. Al evaluar con la TIR las dos alternativas, se tienen los siguientes resultados: 311 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Como se aprecia, se opta por la alternativa B que tiene una TIR del 4%, es decir decide pagar el millón adicional y adelantar la fecha de los ingresos. A continuación, se presenta el gráfico del valor presente neto de las dos alternativas: Se observa que hasta una tasa de descuento del 2.65813% el VPN de la alternativa A es mayor, por lo tanto para empresas con TIO inferior a esa tasa, es preferible la alternativa A que suma un mayor valor a la empresa; para empresas que tienen una TIO entre 2.65% y 4%, es preferible la alternativa B. A continuación se presenta un resumen: TASA DE DESCUENTO NEGOCIO A NEGOCIO B OBSERVACIONES 2.0% 667,518 440,454 Es mayor el VPN del negocio A 2.65813% 294,942 294,942 El VPN es igual 3.0% 107,394 220,434 Es mayor el VPN del negocio B 7.4 Tasa de rentabilidad verdadera (TRV) La tasa de rentabilidad verdadera (TRV) o TIR modificada, es la tasa de rendimiento de los recursos invertidos en un negocio, considerando además la reinversión de los ingresos que libera el negocio y el costo de los recursos utilizados. Matemáticamente, es igual a la relación entre el valor futuro de los flujos positivos del negocio y el valor presente de los flujos negativos del negocio: (117) 312 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica La fórmula anterior, es una variante de la fórmula (8) , utilizada para calcular la tasa de interés periódica en problemas de pago único; esto es precisamente lo que se busca con la TRV: reducir los flujos del proyecto a un problema de pago único. La gran diferencia que se presenta es que ni el valor futuro (F), ni el valor presente (P) están dados, por lo tanto hay que calcularlos y aquí es donde aparece la innovación de la TRV, ya que la capitalización de los ingresos se hace a una tasa diferente de la utilizada para descontar los egresos, sustentándose en fuertes conceptos teóricos, como se expone a continuación: a) Los ingresos que recibe el inversionista durante la vida del negocio, pueden ser reinvertidos en otros negocios, para reconocer este proceso, los ingresos se llevan a valor futuro (capitalizan) con una tasa de interés que refleje la tasa de oportunidad del inversionista ( TIO ). Se está suponiendo que los dineros liberados por el proyecto, se reinvierten en los negocios a que normalmente tiene acceso el inversionista. Flujo de los ingresos Valor futuro de los ingresos b) Los egresos en que se incurre durante la vida de un negocio, tienen un costo de financiación, por lo tanto este costo debe tenerse en cuenta en el cálculo de la rentabilidad de un proyecto. Para ello, los egresos del proyecto se traen a valor presente (descuentan) con una tasa de interés que refleje la tasa que rinden los depósitos normales de la empresa. Se esta suponiendo que al efectuar los egresos, la empresa retira de sus depósitos y por lo tanto pierde el rendimientos que éstos producen, otro punto de vista es que los egresos se descuentan para calcular cuánto se requiere depositar en una cuenta, en pesos de hoy, para reunir los desembolsos que en cada período requiere el proyecto. de l os egresos Valor presente los egresos 313 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel La TRV, está mostrando cuál será la rentabilidad del proyecto para un inversionista en particular al relacionar el ingreso total que producirá (valor futuro de los ingresos) y con el monto que es necesario tener disponible hoy (valor presente de los egresos) para poder llevarlo a cabo. Función financiera TIRM Devuelve la tasa interna de rentabilidad de un flujo de caja periódico, teniendo en cuenta el costo en que se incurre para financiar los egresos del negocio y el beneficio obtenido por la reinversión de los ingresos que genera la inversión. TIRM(valores, tasa_financiamiento, tasa_reinversión) El argumento valores, es el flujo de caja neto del negocio en el cual los valores negativos se toman como egresos y los positivos como ingresos; el argumento tasa financiamiento es la tasa a la cual se descuentan los egresos; y el argumento tasa reinversión es la tasa a la cual se capitalizan los ingresos. A continuación se presenta un ejemplo: 7.5 Relación beneficio - costo (B/C) La relación beneficio – costo ( B/C ) indica cuál es la utilidad adicional a la tasa de interés de oportunidad ( TIO ) que genera un negocio. Matemáticamente, se define como la relación que hay entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos, ambos descontados a la TIO. 314 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 7: Indicadores de conveniencia económica (118) Como se aprecia, es una variante del VPN, por lo tanto incluye la subjetividad del inversionista al utilizarse la TIO para descontar los flujos. Su valor se compara con la unidad en los siguientes términos: B/C>1 El negocio tiene un rendimiento adicional a la TIO, por lo tanto es atractivo para el inversionista. B/C=1 El rendimiento del negocio es igual a la TIO, entonces también es atractivo para el inversionista. B/C<1 El rendimiento del negocio es inferior a la TIO, por lo tanto no es atractivo llevarlo a cabo. Este indicador se utiliza especialmente en evaluación de inversiones públicas, en las cuales los beneficios del proyecto se asimilan a los ingresos. 7.6 Indicadores de conveniencia con calculadora En el caso de flujos sencillos y poco numerosos, es posible utilizar la calculadora financiera para calcular los indicadores de conveniencia económica más conocidos, como son el VPN, CAUE y TIR. Lo anterior se puede efectuar utilizando la opción F.CAJ tal como se vio en la página 108. Ejemplo No. 7.5 Un empresario que tiene una tasa de oportunidad del 3.5%, desea saber si debe aceptar la siguiente propuesta de negocio: MES EGRESOS INGRESOS NETO 0 12,000,000 (12,000,000) 1 350,000 (350,000) 2 350,000 (350,000) 3 1,250,000 3,000,000 1,750,000 4 300,000 7,000,000 6,700,000 5 300,000 7,000,000 6,700,000 6 2,350,000 2,000,000 (350,000) En la calculadora, entrando por la tecla F.CAJ se procede así: 315 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel INICI...= F. CAJA (#) = -12,000,000 1 NO. DE VECES = -350,000 2 2 1,750,000 1 3 6,700,000 2 4 -350,000 1 Una vez que se ha digitado toda la serie, se entra por la tecla CALC y se obtiene el siguiente menú: TOTAL %TIR %I VAN SNU VFN en el cual cada tecla tiene la siguiente interpretación: TOTAL %TIR %I VAN SNU VFN Calcula la suma aritmética de los flujos de caja. Calcula la tasa interna de retorno ( TIR ) del flujo neto. Almacena la tasa de interés del período, que se utilizará para descontar o capitalizar los flujos. Calcula el valor presente neto ( VPN ) del flujo de caja. Calcula la cuota anual uniforme equivalente ( CAUE ) del flujo de caja. Calcula el valor futuro neto, indicador poco utilizado. Para obtener las respuestas de los indicadores de conveniencia económica, se procede así: a) La tasa interna de rentabilidad (TIR), con la tecla %TIR se obtiene como resultado 3.71% mensual, superior a la tasa de oportunidad del inversionista (TIO), por lo tanto la inversión es conveniente. b) Para el valor presente neto (VPN), es necesario introducir la tasa de descuento a través de la tecla %I y luego pedir el resultado con la tecla VAN que arroja un valor de $108,665, que por ser positivo indica que el proyecto rinde la tasa esperada y además tiene un rendimiento adicional. c) Para la cuota anual uniforme equivalente (CAUE), también se requiere haber almacenado la tasa de interés en %I para poder pedir el resultado a través de la tecla SNU que es un valor de $20,393. Estas herramientas son muy útiles, pero limitadas. 316 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 7: Resumen Resumen del capítulo Este capítulo también es un complemento, especialmente para verificar la utilidad de los fundamentos matemáticos tratados en los capítulos anteriores, en la evaluación financiera de proyectos. Se trataron cinco indicadores de conveniencia económica: Valor Presente Neto (VPN), que es el valor de los resultados obtenidos a lo largo de un negocio, expresados en su valor equivalente en pesos de hoy. Matemáticamente, se define como la diferencia entre el valor presente de los ingresos menos el valor presente de los egresos: Valor presente neto = Valor presente de ingresos - Valor presente de egresos Todas las fórmulas que calculan el valor presente (P), son útiles para encontrar el VPN. Cuota Anual Uniforme Equivalente (CAUE) o costo anual uniforme equivalente, es el valor promedio de los ingresos y egresos netos de un negocio, expresados en una cuota uniforme periódica, equivale a todos los flujos del negocio. Matemáticamente, se define como la anualidad equivalente al valor presente neto de un negocio: CAUE = VPN (A/P, i%, n) Todas las fórmulas que calculan una anualidad (A) a partir de un valor presente (P) conocido, sirven para calcular la CAUE. Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) o tasa interna de retorno, es la tasa de descuento que hace equivalentes los ingresos y los egresos de un negocio, pero no tiene en cuenta la reinversión de los flujos liberados. Matemáticamente, se define como la tasa que hace el valor presente neto igual a cero: Valor presente de ingresos = Valor presente de egresos No hay fórmulas para calcular la TIR, sólo es posible encontrarla empleando la interpolación para cálculos manuales o las funciones de la calculadora o de la hoja de cálculo Excel. Tasa de Rentabilidad Verdadera ( TRV ) o TIR modificada, es la tasa de rendimiento de los recursos invertidos en un negocio, considerando la reinversión de los ingresos que libera el negocio y el costo de los recursos utilizados. Matemáticamente, es igual a la relación entre el valor futuro de los flujos positivos del negocio y el valor presente de los flujos negativos del negocio: 317 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Todas las fórmulas que calculan el valor futuro (F), son útiles para encontrar el valor futuro de los ingresos, ya que éstos se llevan a valor futuro (capitalizan) con una tasa de interés que refleje la tasa de oportunidad del inversionista. Todas las fórmulas que calculan el valor presente (P) son útiles para encontrar el valor presente de los egresos, ya que éstos se traen a valor presente (descuentan) con una tasa de interés que refleje la tasa que rinden los depósitos normales de la empresa. Relación Beneficio – Costo (B/C), es un indicador que calcula la utilidad adicional a la tasa de interés de oportunidad (TIO) que genera un negocio. Matemáticamente, se define como la relación que hay entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos, ambos descontados a la TIO. Todas las fórmulas que calculan el valor presente (P), son útiles para encontrar el valor presente de los ingresos y los egresos. Los indicadores de conveniencia económica que se tratan en este capítulo, se trabajan utilizando las fórmulas, la calculadora financiera y la hoja de cálculo Excel. 318 Capítulo 7: Cuestionario de autoevaluación JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Cuestionario de autoevaluación 7. a ¿Cuáles son los aspectos fundamentales que se deben considerar para tomar decisiones financieras? 7. b Haga un cuadro comparativo de los diversos indicadores de conveniencia económica de inversiones, que incluya: definición teórica, definición matemática y significado financiero del resultado que arroja. 7. c Cuál de los indicadores de conveniencia económica de inversiones considera que es el más confiable y por qué? 7. d Resuelva todos los ejemplos de este capítulo utilizando la calculadora financiera. Ejercicios propuestos 7.1 Un sistema de riego que tiene una vida útil de 20 años es instalado en una plantación cuyo propietario tiene una tasa de oportunidad del 50% anual y espera que haciendo esta inversión el valor de la cosecha aumente en $80 millones semestrales. Que tan buen negocio es la inversión, si tiene una valor inicial de $250 millones, paga gastos de mantenimiento y operación de $20 millones al año y le mantiene un seguro de $6,250,000 que paga año anticipado. ¿Cuál es el VPN? ¿Cuál es el CAUE semestral de los gastos? 7.2 Cuál es el costo mensual de operación de una maquinaria con valor de compra de $7,500,000, vida útil de tres años y valor de salvamento de $750,000, si se estima que a los dos años debe tener una reparación general por valor de $1,500,000, tiene gastos de mantenimiento de $100,000 trimestrales y los gastos de funcionamiento empiezan en $125,000 al mes y aumentan 12% anual. El empresario tiene una TIO de 40% anual. 7.3 ¿Cuál será el VPN, la TIR y la TRV del ejercicio anterior, si los ingresos mensuales empiezan en $500,000 y se incrementan en 8% semestral? 7.4 Hacer un cuadro explicando las respuestas del ejercicio anterior. 7.5 Una persona deposita dos millones de pesos en una cuenta de ahorros que paga el 18% EA liquidado por trimestre vencido, si sobre los rendimientos se hace una retención del 7%, ¿cuál será la rentabilidad anual del depósito, si el banco premia a quienes conserven el depósito durante un año y no retire los intereses? 7.6 Qué tan bueno fue el siguiente negocio para un inversionista que tiene una TIO del 35% anual; compró un millón de acciones a $250 cada una, las mantuvo durante 18 meses en los cuales recibió dividendos ordinarios mensuales del $0.60 por acción y dividendos extraordinarios semestrales de $15 por acción, al final vendió las acciones a $312 cada una. 319 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel 7.7 ¿Cuál fue la tasa de valorización mensual de las acciones del ejercicio anterior? Para que la TIO sea igual a la TIR, a ¿qué tasas se deben valorizar las acciones? 7.8 Para un proyecto a cinco años, una persona que tiene una tasa de oportunidad de 36% anual aporta $10 millones y a partir del tercer año debe seguir aportando dos millones semestrales. Si desde el primer mes le entregan $100,000 que aumentan 5% mensual, calcular: • La TIR del negocio. • ¿Qué tan bueno es el negocio? • ¿Cuánto recibe en el último mes? • ¿Cuál es la CAUE trimestral? 7.9 Una fábrica que tiene una tasa de oportunidad del 50% anual, tiene dos alternativas para el alumbrado de la planta: Alternativa A: Valor inicial de $35 millones, gastos mensuales de $250.000 que se incrementan en 12% anual, cada dos años debe hacer ajustes y reparaciones que cuestan siete millones de pesos y aumentan 15% cada vez. Tiene una vida útil de 12 años. Alternativa B: Valor inicial $50 millones, gastos trimestrales de $600,000 con incremento del 10% anual, los ajustes se hacen cada tres años y tienen un costo de diez millones de pesos constante. Vida útil de 12 años. • ¿Cuál es la CAUE mensual de cada alternativa? • Para que las dos alternativas sean iguales, ¿cuánto es lo máximo que se puede pagar inicialmente por la alternativa B? 7.10 Para el piso de una bodega de 800 metros cuadrados se tienen dos alternativas: Alternativa 1: Baldosa de concreto que tiene un precio de $3,750 la unidad de 50 x 50 centímetros, más mano de obra de instalación a $3,500 por metro cuadrado y cada tres meses hay que hacer un proceso de lavado que cuesta la primera vez $4,000,000 y se estima que aumentará en 12% anual; cada año se hace un ajuste general que tiene un costo inicial de $8,000,000 y aumenta el 10% anual. Alternativa 2 Baldosa de caucho que tiene un precio de $ 500,000 la tira de 20 x 2 metros, más mano de obra de instalación de $80,000 por tira, se debe lavar cada mes a un costo inicial de $1,000,000 con aumentos de 4% mensual cada tres meses y se debe ajustar cada año a un costo de $7,500,000 con un aumento estimado de 8% anual. ¿Cuál alternativa es mejor, si la empresa tiene una TIO de 60% EA y se piensa utilizar la bodega durante cinco años? Exprese los gastos como una cuota mensual uniforme vencida. 320 Capítulo 7: Ejercicios JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA 7.11 Evaluar la compra de una fotocopiadora que se adquiere por $7,500,000 y cuyo negocio se proyecta con el siguiente flujo: INGRESOS: Se estiman en $1,050,000 mensuales. EGRESOS: Por materiales $360,000 mensuales, más $750,000 de mantenimiento semestral que se paga anticipado. Al finalizar la vida útil, que se estima en 24 meses, la fotocopiadora se vende por $2,500,000. El comprador del equipo, trabaja con una tasa de oportunidad del 5% mensual. 7.12 En una empresa se desea saber qué es mejor, si construir una bodega o tomarla en arrendamiento, y para ello se tienen los siguientes datos: CONSTRUCCIÓN: Tiene un costo de $175,000,000 con gastos anuales de impuestos estimados en $17,000,000; mantenimiento mensual de $250,000; y reparaciones anuales de $23,000,000. ARRENDAMIENTO: Actualmente el canon mensual es de $ 1,500,000 y tiene incrementos anuales de 10%. ¿Cuál es el valor máximo que puede pagar por el arrendamiento, para que sea mejor arrendar que construir? 7.13 Un agricultor tiene un proyecto de comprar un tractor por $32,000,000 y desea saber qué tan buen negocio puede ser, si se evalúa con una tasa de oportunidad del 5% mensual, espera utilizarlo durante tres años y tiene los siguientes datos: • El tractor trabaja 300 horas al mes y se puede cobrar $24.000 por hora. • Al término de los tres años se puede vender por $8.000.000. • La depreciación se hace en forma lineal en los mismos tres años de vida útil. • Los gastos de combustible, lubricantes, etc. se estiman en $1.950.000 mensuales. • Al tractorista se le pagan $550.000 mensuales sin prestaciones. • Trimestralmente se deben pagar gastos de reparaciones y mantenimiento de $3.500.000. Resolver el ejercicio, considerando los siguientes aumentos: 5% semestral en reparaciones y gastos mensuales, 12% anual en el sueldo del tractorista y 3% trimestral en el precio de la hora/máquina. ¿Cuál debe ser la tarifa mínima por hora para que el negocio sea rentable? 7.14 El departamento de servicios generales tuvo durante el año pasado los siguientes gastos: Salarios mensuales 1,500,000 Servicios públicos mensuales 850,000 Prima de servicios (junio y diciembre) 750,000 321 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel Cesantías (febrero) Dotaciones (abril, agosto, diciembre) cada vez Empleados temporales (marzo, junio, septiembre y diciembre) cada vez Papelería bimestral 1,500,000 750,000 1,000,000 250,000 Si la empresa tiene una tasa de oportunidad del 5% mensual, cual es la CAUE mensual y trimestral? 7.15 Cuánto ingreso que aumente el 2%, se requiere para que la TIR del siguiente proyecto sea del 4.5% mensual: inversión inicial $7,500,000, gastos mensuales de funcionamiento $350,000, gastos semestrales $800,000, vida útil 4 años. 7.16 Un almacén vende un juguete por $450,000, pero para la temporada navideña ofrece la siguiente oportunidad: separarlo el 15 de septiembre con $50,000, pagar tres cuotas de $25,000 el 15 de octubre, noviembre y diciembre, fecha en la cual le entregan el juguete, posteriormente le dan dos meses de gracia y el 15 de marzo empieza a pagar 4 cuotas de $97,750; ¿cuál es la tasa de financiación del juguete? 7.17 Una importación de electrodomésticos por valor de $100 millones que se paga así: $30 millones al recibir la mercancía y el saldo a seis meses con una financiación del 2.5% mensual, se puede vender en un año al siguiente ritmo: $12,500,000 mensuales durante los primeros cuatro meses, en los ocho meses siguientes el valor de las ventas aumenta 10% mensual, cuál es la rentabilidad del negocio? 7.18 Cuál clase de vehículo debe comprar un transportador con TIO del 7% mensual, para afiliar a una empresa de transporte: PARÁMETROS PEQUEÑO GRANDE UNIDAD PLAZO 3 3 AÑOS PRECIO 50,000,000 100,000,000 PESOS VALOR DE SALVAMENTO 125% 175% DE LA INVERSIÓN INICIAL PRECIO COMBUSTIBLE 2,200 3,300 POR GALÓN ACPM Gasolina 12 5 580,000 2,620,000 DE PESOS 350,000 450,000 MENSUALES DE SALARIO BÁSICO MAS UNA COMISIÓN SOBRE LOS INGRESOS BRUTOS 12% 7% DE LOS INGRESOS 1,250,000 2,250,000 LLANTAS, IMPUESTOS, ETC VIAJES POR MES VALOR DEL VIAJE GASTOS: SALARIO CONDUCTOR COMISIÓN CONDUCTOR GASTOS MENSUALES 322 JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA Capítulo 7: Ejercicios CONSUMO COMBUSTIBLE 35 275 GALONES POR VIAJE INCREMENTOS: VALOR DEL VIAJE 22% 25% ANUAL GASTOS 15% 13% SEMESTRAL 8% 8% TRIMESTRAL 22% 22% ANUAL PRECIO GASOLINA SALARIOS 7.19 Un agricultor quiere cultivar arroz y encuentra la siguiente información: PARÁMETROS PLAZO VALOR UNIDAD 8 INVERSIÓN INICIAL HECTÁREAS CULTIVADAS COSTO POR HECTÁREA PRECIO UNITARIO COSECHA MESES $10,000,000 100 $580,000 60% EN LOS PRIMEROS 2 MESES Y 40% EN LOS ÚLTIMOS 6 MESES 112,000 PESOS POR BULTO AL FINAL DE LA COSECHA 19 BULTOS POR HECTÁREA CULTIVADA GASTOS: JORNALES 1,020,000 MENSUALES GASTOS MENSUALES 8,000,000 GASOLINA, LLANTAS, ETC. 450,000 MENSUALES 2% MENSUAL 13% SEMESTRAL ADMINISTRACIÓN INCREMENTOS: GASTOS JORNALES Si el agricultor utiliza una TIO de 5% mensual para evaluar sus inversiones, que tan buen negocio es el cultivo del arroz? 7.20 Una persona tiene en arrendamiento un lote donde funciona un parqueadero con las siguientes cifras: PARQUEADERO CATEGORÍA C ÁREA DEL LOTE 750 METROS CUADRADOS CAPACIDAD ACTUAL 125 PUESTOS TARIFA POR HORA 850 PESOS OCUPACIÓN POR PUESTO 1.8 DÍA 3 HORAS TIEMPO PROMEDIO 323 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y Excel GASTOS MENSUALES ARRENDAMIENTO 8,500,000 ADMINISTRACIÓN 600,000 DOS TURNOS, SIN PRESTACIONES VIGILANCIA Y ASEO 850,000 UN TURNO, SIN PRESTACIONES 1.0% DE LOS INGRESOS IMPUESTO COMERCIAL El propietario del lote le propone que, por cuenta propia, haga unas obras al parqueadero para que pase a categoría B y pueda subir la tarifa por hora a $1.550. El propietario le propone un aumento del 10% en el canon de arrendamiento y si firman un contrato por tres años no habrá incrementos durante ese tiempo. Después de un estudio, el arrendatario obtiene las siguientes cifras VALOR DE LAS OBRAS 35,000 POR METRO CUADRADO CAPACIDAD ESPERADA 107 OCUPACIÓN POR PUESTO 1.66 DÍA 2.5 HORAS TIEMPO PROMEDIO GASTOS MENSUALES ARRENDAMIENTO 9,350,000 ADMINISTRACIÓN 600,000 TRES TURNOS, SIN PRESTACIONES VIGILANCIA Y ASEO 450,000 DOS TURNOS DOBLES 1.5% DE LOS INGRESOS EN SALARIOS 5% SEMESTRAL EN TARIFA CAT C 5% SEMESTRAL EN TARIFA CAT B 10% ANUAL ARRENDAMIENTO CAT C 10% ANUAL IMPUESTO COMERCIAL INCREMENTOS ESPERADOS ¿Qué tan bueno es el negocio? 324 ANE XO 1 Convenciones Convenciones utilizadas en las fórmulas: I i P F n IN IE NA EA IPC TIO DTF UVR PRIME LIBOR margen A r s G k t S x R VPN TIR CAUE TRV B/C Interés o parte de la cuota que corresponde a intereses. Tasa de interés. Valor presente. Valor futuro. Número de períodos de capitalización. Interés nominal de un período. Interés efectivo de un período. Interés nominal anual. Interés efectivo anual. Índice de Precios al Consumidor. Tasa de Interés de Oportunidad. Tasa de depósitos a término. Unidad de Valor Real. Tasa de interés preferencial en Estados Unidos. London Inter Bank Offered Rate (Tasa interbancaria de Londres). Puntos de interés que se suman a la tasa de interés. Anualidad o valor de la primera cuota en gradientes. En las series diferidas, número de períodos muertos o períodos en que el interés se capitaliza. En las series diferidas, número de períodos de pago. Monto del gradiente aritmético. Tasa de incremento en los gradientes geométricos. En los gradientes escalonados, tamaño de la serie temporal. Saldo de un crédito. Número del período en que se calcula el saldo de una amortización o de una capitalización. Abono a capital o parte de la cuota que corresponde a capital. Valor Presente Neto. Tasa Interna de Rentabilidad o de Retorno. Cuota Anual Uniforme Equivalente o Costo Anual Uniforme Equivalente. Tasa de Rentabilidad Verdadera o TIR modificada (TIRM). Relación Beneficio – Costo. Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel Convenciones utilizadas en la calculadora financiera: Para entrar al menú principal de las funciones financieras de la calculadora. FIN Para entrar al menú de valor del dinero en el tiempo. Se utiliza para problemas de pago único y de series uniformes: VDT En pago único: número de período de liquidación de interés del negocio. N En series uniformes: número de que se pagan durante el negocio. %IA Tasa de interés del negocio. Puede ser la del período (i), la nominal anual (NA) o la efectiva anual (EA), según el sistema que se utilice para resolver los problemas. Para pago único ver página 66 y para series uniformes ver página 91. V.A Valor presente. No se utiliza en pago único. Valor de la anualidad en series uniformes. PAGO Valor futuro. V.F Tecla para especificar la forma de pago de las cuotas. OTRO En pago único: número de períodos de capitalización que hay en un año. P/AÑO En series uniformes: número de pagos que hay en un año. 326 INIC Tecla para indicar que los pagos se hacen al inicio del período. No se utiliza en pago único. FINAL Tecla para indicar que los pagos se hacen al final del período. AMRT Para entrar al menú de amortización en problemas de series uniformes. NO.P Almacena el número de pagos que serán amortizados. INT Presenta la parte de la cuota que corresponde a intereses. CTAL Presenta la parte de la cuota que corresponde a capital. BAL Presenta el saldo de la deuda. SGTE Calcula la amortización para la siguiente serie de pagos. Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 1: Convenciones Dentro del menú VDT , es muy importante saber cuál sistema de solución se está empleado en la calculadora, ya que de él depende el significado de N %IA y NO.P . Para entrar al menú de conversión de tasas de interés. CONVI CONT Conversión de tasas de interés continuo. EFECT Conversión de tasas de interés efectivo. %NOM Tasa nominal del período. %EFE Tasa efectiva del período. P Número de períodos de capitalización que hay en la tasa nominal. Para entrar al menú de flujos de caja irregulares, e introducir el flujo de caja. F.CAJ Después de introducir el flujo de caja, para entrar al menú de cálculos. CALC TOTAL %TIR %I Calcula la suma aritmética de los flujos de caja. Calcula la tasa interna de retorno (TIR) del flujo neto. Almacena la tasa de interés del período, que se utilizará para descontar o capitalizar los flujos. VAN Calcula el valor presente neto (VPN) del flujo de caja. SNU Calcula la cuota anual uniforme equivalente (CAUE) del flujo de caja. 327 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel Convenciones utilizadas en la hoja de cálculo Excel: Núm_per y Núm_per_año Es la cantidad de períodos de capitalización de interés que hay en un año. Int_nominal Es la tasa de interés nominal anual expresada en términos decimales. Se debe tener en cuenta que es la tasa anual y no la del período de capitalización. Tasa_efectiva Es la tasa de interés efectiva anual. Va P en los términos financieros. Es el valor actual de una serie de pagos futuros iguales. Pago A en los términos financieros. Es el pago que se efectúa en cada período y que no cambia durante la vida de la anualidad. Este argumento debe tener signo contrario al de Va o Vf, para conservar las condiciones del flujo de caja. Nper n en los términos financieros. Es la cantidad total de períodos en una anualidad, es decir el plazo total del negocio. Tasa i en los términos financieros. Es la tasa de interés por período, expresada en términos decimales. Debe mantenerse la uniformidad en el uso de las unidades con las que se especifica Tasa y Nper. Vf F en los términos financieros. Es el valor futuro o el saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento Vf se omite, se asume que el valor es 0. Es el número 0 ó 1. Es un indicador para definir la modalidad de pago de las cuotas. Tipo Defina tipo como Si el pago se hace 0 ó se omite Al final del período (vencido) 1 Período Per_inicial y Per_final Estimar 328 Al principio del período (anticipado). Especifica el número ordinal de la cuota que se está estudiando, que debe encontrarse en el intervalo comprendido entre 1 y Nper. Especifican el número ordinal de la primera y la última cuota de un lapso de tiempo al cual se le van a analizar las cuotas pagadas. Es una tasa de interés estimada para que el Excel empiece las iteraciones en el cálculo de la tasa de interés en la función TIR. Si el argumento Estimar se omite, se supone que es 10%. Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 1: Convenciones Tasa Es la tasa de descuento que se utiliza para calcular el valor presente. Debe expresarse en el mismo período que se utiliza para la serie de datos. Valor 1, valor 2, Son los rangos que contienen los valores (ingresos y egresos), a los cuales se les va a calcular el valor presente. Valores Es un rango que contiene los valores (flujo de caja), a los cuales se desea calcular la tasa interna de retorno. El argumento valores debe contener, al menos, un valor positivo y uno negativo para calcular la tasa interna de retorno. Estos flujos de caja no tienen que ser constantes, pero deben ocurrir en intervalos iguales. Tasa_financiamiento Es la tasa de interés que se utiliza para descontar los egresos del flujo de caja en la función TIRM. Tasa_reinversión Es la tasa de interés que se utiliza para capitalizar (reinvertir) los ingresos del flujo de caja en la función TIRM. Convenciones utilizadas en las funciones personalizadas del Excel: Núm_per Es la cantidad de períodos de capitalización de interés que hay en el plazo total de la inversión. Nominal Es la tasa de interés nominal del plazo total de la inversión, expresada en términos decimales. Se debe tener en cuenta que es la tasa del plazo y no la del período de capitalización. Efectiva Es la tasa de interés efectiva del plazo total de la inversión. Es un indicador para definir la modalidad de pago de los intereses en las funciones personalizadas de conversión de tasas de interés: Tipo Defina tipo como 0 ó se omite 1 Si el interés se paga Al final del período (vencido) Al principio del período (anticipado). Tasa Es la tasa de interés periódica que se recibe por una inversión o que se paga por un crédito. Debe estar expresada en la misma unidad de tiempo que nper. Nper Es la cantidad de períodos de pago que hay en el plazo del negocio. Va Es el valor actual de una serie de pagos futuros. 329 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel Vf Es el valor futuro y tiene dos interpretaciones: puede ser un valor residual para pagar al final de un crédito o el saldo en efectivo que se desea alcanzar, después de una serie de ahorros. Gradiente Es el monto o la proporción en que varían los pagos cada período Cuota_1 Es el valor de la primera cuota, a partir del cual se crea la serie de pagos variables. Serie En los gradientes escalonados, se refiere a la cantidad de cuotas iguales antes de que se produzca el primer aumento. Es un indicador para definir la modalidad de variación de los pagos. Clase Defina clase como Si la variación es 0 Constante o aritmética 1 Proporcional o geométrica. Es un indicador para definir la modalidad de pago de las cuotas. Tipo Defina tipo como 0 ó se omite 1 330 Si la cuota se paga Al final del período (vencido) Al principio del período (anticipado). ANE XO 2 Glosario A Anualidad: Es el valor de la cuota de una serie uniforme. Anualidad anticipada: Es aquella serie en la cual los pagos se realizan al inicio de cada período, como ocurre por ejemplo con el arrendamiento o las cuotas de ahorro. Anualidad diferida: Es aquella serie uniforme en la cual el primer pago se realiza varios períodos (más de uno) después de haber iniciado el negocio. El plazo total (n) se divide en dos períodos: el inicial o período muerto (r) en el cual no hay movimientos de efectivo y el final o período de pagos (s), en el cual se hacen los movimientos de efectivo. Anualidad perpetua: Es aquella serie de pagos uniformes, en la cual el último pago se encuentra en un futuro muy lejano o no existe. Anualidad vencida: Es aquella serie, en la cual las cuotas se pagan al finalizar el período, se utilizan principalmente para amortización de créditos. C Composición de las cuotas: Es la distribución de cada cuota entre abono a capital y pago de intereses. Cuota Anual Uniforme Equivalente (CAUE): También conocido como costo anual uniforme equivalente y es el valor promedio de los ingresos y egresos netos de un negocio, expresados en una cuota uniforme periódica, que equivale a todos los flujos del negocio. D Devaluación: Es la tasa a la que aumenta el precio de la moneda de otro país con el que se tiene comercio, o la pérdida de poder de compra de la moneda a nivel externo. Diagrama de flujos de efectivo: Es la representación gráfica de las entradas y salidas de efectivo de un negocio, se utilizan para “dibujar” los problemas, de manera que se facilite su planteamiento y por lo tanto su solución. DTF: Es la tasa de interés promedio de captación de los depósitos a término fijo a 90 días, expresada en trimestre anticipado. G Gradiente: Es el monto o la proporción del cambio de los pagos en una serie de pagos periódicos variables, que cambia con un patrón determinado. Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel Gradiente aritmético: Es aquella serie de gradientes, en la cual los pagos cambian en una cantidad constante. Interés anticipado: Cuando los intereses se pagan, adeudan o capitalizan al inicio del período de liquidación. Gradiente geométrico: Es aquella serie de gradientes, en la cual la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior. Interés compuesto: Es aquella forma de liquidar los intereses, en la cual para su cálculo se toma como base el capital más los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. Gradiente diferido: Es aquella serie de gradientes, en la cual el primer pago de la serie se realiza en varios períodos (más de uno), después de haber iniciado el negocio. El plazo total (n), se divide en dos períodos: el inicial o período muerto (r) en el cual no hay movimientos de efectivo y el final o período de pagos (s) en el cual se hacen los movimientos de efectivo. Gradiente escalonado: Es aquella serie de cuotas, en la cual se presenta una subserie o serie temporal de pagos iguales (t), al cabo de los cuales se produce un incremento, se repite la serie temporal y así sucesivamente hasta el final del plazo total. Interés efectivo: Es la tasa de interés que realmente se paga o se obtiene en un negocio durante un período de liquidación de intereses. Para conocer el interés de varios períodos, se debe suponer que los rendimientos que se obtienen en cada período se capitalizan durante todo el plazo, en las mismas condiciones pactadas al inicio del negocio. Interés nominal: Es la tasa de interés, que se utiliza para anunciar los negocios; debido a que cada negocio puede tener las condiciones que quieran concertar las partes, es necesario aclarar el plazo y el período de liquidación. Gradiente perpetuo: Es aquella serie de pagos que aumenta uniformemente cada período, pero cuyo último pago se encuentra en un futuro muy lejano o no existe. Interés simple: Es aquella forma de liquidar los intereses, y para su cálculo se toma como base únicamente el capital, ignorando los intereses liquidados y no pagados en períodos anteriores. I Interés vencido: Cuando los intereses se pagan, adeudan o capitalizan al finalizar el período de liquidación. Inflación: Es la tasa a la que aumenta el nivel general de precios de una economía o la pérdida de poder de compra de la moneda a nivel interno. Interés: Es el precio del dinero cuando se utiliza como capital. 332 LIBOR: Sigla de London Inter Bank Offered Rate, es la tasa de interés interbancaria de Londres. Es una tasa activa. Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 2: Glosario P PRIME: Es la tasa de interés preferencial de los Estados Unidos. Es una tasa pasiva. Problemas de amortización en series: Son problemas orientados a los créditos, se refieren al proceso de cancelar una deuda a través de cualquier sistema de pago periódico. Problemas de capitalización en pago único: Son problemas en los que se busca un valor futuro o una rentabilidad, ya que se parte de un valor presente conocido. Problemas de capitalización en series: Son problemas orientados al ahorro, se refieren al proceso de acumular un capital a través de cualquier sistema de ahorro periódico. Problemas de descuento en pago único: Son problemas en los que se busca un valor presente o de una rentabilidad, ya que se parte de un valor futuro conocido. Relación Beneficio – Costo (B/C): Es un indicador, que calcula la utilidad adicional a la tasa de interés de oportunidad (TIO) que genera un negocio. Matemáticamente, se define como la relación que hay entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos, ambos descontados a la TIO. S Saldo adeudado: Es el saldo por amortizar de una deuda, el valor insoluto de la deuda o el valor que falta por pagar en un determinado momento. Matemáticamente, es igual al valor presente de las cuotas que falten por pagar, descontadas a la tasa de interés del crédito. Saldo capitalizado: Es el valor acumulado en un ahorro hasta un determinado momento. Matemáticamente, es igual al valor futuro de las cuotas que se han depositado o pagado, acumuladas a la tasa de interés del negocio. Serie uniforme: Es aquella serie, en la cual todos los flujos repiten a intervalos iguales y tienen el mismo valor. T Tabla de amortización: Es la simulación de lo que ocurre en cada cuota, durante la vida de un crédito. Tabla de capitalización: Es la simulación de lo que ocurre en cada cuota, durante la vida de un plan de ahorro. Tasa de Interés de oportunidad (TIO): Es un concepto teórico, utilizado en las finanzas para que cada inversionista evalúe las alternativas de inversión que se le presentan. El concepto se basa en el costo de los recursos que se emplean en un negocio y en las oportunidades de inversión que tiene cada inversionista. Tasa de interés: Es la relación matemática, entre el monto del interés y el monto del capital invertido. Tasa de Rentabilidad Verdadera (TRV): También conocida como TIR modificada, es la tasa de rendimiento de los recursos invertidos en un negocio, considerando la reinversión de los ingresos que libera el negocio y el costo de los recursos utilizados. Matemáticamente, es igual a la relación entre el valor futuro de los flujos po333 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel sitivos del negocio y el valor presente de los flujos negativos del negocio. Tasa Interna de Rentabilidad (TIR): También conocida como tasa interna de retorno, es la tasa de descuento que hace equivalentes los ingresos y los egresos de un negocio, pero no tiene en cuenta la reinversión de los flujos liberados. Matemáticamente, se define como la tasa que hace el valor presente neto igual a cero. UVR: Es la Unidad de Valor Real utilizada para los créditos de vivienda en Colombia. 334 V Valor futuro: Es el monto que se recibirá cuando termine el negocio. En el valor futuro están involucrados los intereses (utilidad) que produce el negocio. Valor Presente Neto (VPN): Es el valor de los resultados obtenidos a lo largo de un negocio, expresados en su valor equivalente en pesos de hoy. Matemáticamente, se define como la diferencia entre el valor presente de los ingresos menos el valor presente de los egresos. Valor presente: Es el monto con el que inicia un negocio (inversión inicial), se puede ubicar cronológicamente en el pasado o en el futuro, dependiendo de cuándo se inicie el negocio. ANE XO 3 Fórmulas NO. 1 FÓRMULA F=P+IP=F–II=F–P 3 I=iP 4 F = P (1 + i) 5 F = P (1 + i)n (i% / F, P, 1) Tasa de interés del período (I / P, i%, 1) Interés (F / P, i%, 1) Valor futuro, con pago único en un período 6 (P / F, i%, 1) Valor presente, con pago único en un período 16 (F / P, i%, n) Valor futuro, con pago único en n períodos (P / F, i%, n) Valor presente, con pago único en n períodos (i% / F, P, n) Tasa de interés del período de capitalización en n períodos (n / F, P, i) Número de períodos de capitalización en un negocio de pago único (i% / IN, n) Tasa de interés del período conociendo una nominal de varios períodos (IE / i%, n) Tasa de interés efectiva de varios períodos de capitalización vencidos 6 6 17 9 23 10 IE = (1 + i)n - 1 SIGNIFICADO Interés en valor absoluto 17 8 NOTACIÓN (I / F, P, 1) 16 7 11 4 5 2 6 PÁG. 25 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel NO. 12 FÓRMULA 26 i = (1 + IE) 1/n - 1 13 14 30 = 1- (1+ IE)- 1/n ia EA = (1+ IPC anual) (1 + i anual) 42 18 IN = n [(1 + IE) 1/n - 1] 20 21 22 23 336 39 40 17 19 31 38 15 16 PÁG. 43 61 1/m IN2 = m[(1+IE) -1] 70 118 121 NOTACIÓN SIGNIFICADO (i% / IE, n) Tasa de interés del período, conociendo una efectiva de varios períodos vencidos (IE / i%, n) Tasa de interés efectiva de varios períodos de capitalización anticipados (i% / IE, n) Tasa de interés del período, conociendo una efectiva de varios períodos anticipados (EA / DTF, margen) Tasa efectiva anual de la DTF, más un margen nominal (EA / IPC, margen) Tasa efectiva anual de la inflación, más un margen efectivo (EA / PRIME, margen, devaluación) Tasa efectiva anual en pesos de una tasa expresada en PRIME, más un margen nominal (IE / IN, n) Tasa efectiva de un plazo, conocida la nominal del plazo y el período de capitalización (IN / IE, n, m) Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva, acumulada en un período de capitalización deseado (IN / IN, n, m) Tasa nominal de un plazo deseado, equivalente a una tasa nominal de un plazo conocido (IN / IE, m) Tasa nominal de un plazo deseado, equivalente a una tasa efectiva de un plazo conocido (P / A, i%, n) Valor presente de una serie uniforme, con anualidad vencida (F / A, i%, n) Valor futuro de una serie uniforme, con anualidad vencida Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 3: Fórmulas NO. FÓRMULA PÁG. NOTACIÓN SIGNIFICADO 24 121 (A / P, i%, n) Valor de la anualidad vencida, conociendo el valor presente 25 122 (A / F, i%, n) Valor de la anualidad vencida, conociendo el valor futuro 26 125 (n / P, A, i%) Número de períodos de pago de una anualidad vencida conociendo el valor presente 27 125 (n / F, A, i%) Número de períodos de pago de una anualidad vencida, conociendo el valor futuro (P / A, i%, n) Valor presente de una serie uniforme, con anualidad anticipada 28 129 29 130 (F / A, i%, n) Valor futuro de una serie uniforme, con anualidad anticipada 30 131 (A / P, i%, n) Valor de la anualidad anticipada, conociendo el valor presente 31 132 (A / F, i%, n) Valor de la anualidad anticipada, conociendo el valor futuro (n / P, A, i%) Número de períodos de pago de una anualidad anticipada, conociendo el valor presente (n / F, A, i%) Número de períodos de pago de una anualidad anticipada, conociendo el valor futuro 32 33 133 133 34 138 (A / P, F, i%, n) Valor de la anualidad vencida, conociendo el valor presente y el valor futuro 35 215 (P / A, i%, r, s) Valor presente de una anualidad diferida, con período de gracia r y período de pagos s 337 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel NO. PÁG. NOTACIÓN SIGNIFICADO 36 144 (A / P, i%, r, s) Valor de la anualidad vencida diferida, conociendo el valor presente, con período de gracia r y período de pagos s 37 147 (P / A, i%) Valor presente de una anualidad perpetua o perpetuidad 38 170 (P / G, i%, n) Valor presente de un gradiente aritmético vencido 39 173 (P / G, i%, n) Valor presente de un gradiente aritmético anticipado 40 174 (F / G, i%, n) Valor futuro de un gradiente aritmético vencido 41 175 (F / G, i%, n) Valor futuro de un gradiente aritmético anticipado (A / P, G, i%, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético vencido, conociendo el valor presente (A / F, G, i%, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético vencido, conociendo el valor futuro 42 43 338 FÓRMULA 176 176 44 176 (A / P, G, i%, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético anticipado, conociendo el valor presente 45 176 (A / F, G, i%, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético anticipado, conociendo el valor futuro 46 177 (G / P, A, i%, n) Valor del gradiente aritmético vencido, conociendo el valor presente 47 178 (G / F, A, i%, n) Valor del gradiente aritmético vencido, conociendo el valor futuro Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 3: Fórmulas NO. FÓRMULA PÁG. NOTACIÓN SIGNIFICADO 48 178 (G / P, A, i%, n) Valor del gradiente aritmético anticipado, conociendo el valor presente 49 178 (G / F, A, i%, n) Valor del gradiente aritmético anticipado, conociendo el valor futuro 181 (P / k, A, i%, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i diferente de k 181 (P / k, A, i%, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i igual a k (P / k, A, i%, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i diferente de k 183 (P / k, A, i%, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i igual a k 185 (F / k, A, i%, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i diferente de k 185 (F / k, A, i%, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i igual a k 185 (F / k, A, i%, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i diferente de k 185 (F / k, A, i%, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i igual a k (A / k, P, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i diferente de k, conociendo el valor presente 50 cuando i # k 51 183 52 53 54 55 cuando i # k P = nA cuando i = k cuando i # k cuando i = k 56 57 58 cuando i # k F = nA (1+i)n cuando i = k cuando i # k 186 339 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel NO. FÓRMULA NOTACIÓN SIGNIFICADO (A / k, P, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i igual a k, conociendo el valor presente (A / k, P, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i diferente de k, conociendo el valor presente (A / k, P, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i igual a k, conociendo el valor presente (A / k, F, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i diferente de k, conociendo el valor futuro (A / k, F, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico vencido, cuando i igual a k, conociendo el valor futuro (A / k, F, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i diferente de k, conociendo el valor futuro 187 (A / k, F, i%, n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico anticipado, cuando i igual a k, conociendo el valor futuro 66 211 (P / G, i%) Valor presente de un gradiente aritmético perpetuo 67 212 (A / G, P, i%) Valor de la primera cuota de una serie perpetua con gradiente aritmético 59 61 62 63 64 65 186 cuando i = k 60 340 PÁG. cuando i # k 186 186 cuando i = k cuando i # k 187 187 cuando i = k cuando i # k cuando i = k 187 Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 3: Fórmulas NO. 68 FÓRMULA 213 G = i(iP – A) cuando i>k 69 70 PÁG. 214 214 A = P(i – k) cuando i>k 71 214 cuando i>k 72 215 73 217 74 219 75 cuando i # k 220 220 76 cuando i = k 77 221 cuando i # k NOTACIÓN SIGNIFICADO (G / P, A, i%) Valor del gradiente aritmético de una serie perpetua (P / k, i%) Valor presente de un gradiente geométrico perpetuo, cuando i mayor que k (A / k, P, i%) Valor de la primera cuota de una serie perpetua con gradiente geométrico, cuando i mayor que k (k / P, A, i%) Valor del gradiente geométrico de una serie perpetua, cuando i mayor que k (P / G, i%, r, s) Valor presente de un gradiente aritmético diferido, con período de gracia r y período de pagos s (A / P, G, i%, r, s) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente aritmético diferido, con período de gracia r y período de pagos s (G / P, A, i%, r, s) Valor del gradiente aritmético de una serie con gradiente diferido, con período de gracia r y período de pagos s (P / k, A, i%, r, s) Valor presente de una serie con gradiente geométrico diferido, con período de gracia r y período de pagos s, cuando i diferente de k (P / k, A, i%, r, s) Valor presente de una serie con gradiente geométrico diferido, con período de gracia r y período de pagos s, cuando i igual a k (A / k, P, i%, r, s) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico diferido, con período de gracia r y período de pagos s, cuando i diferente de k 341 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel NO. 78 79 80 81 82 83 84 85 86 342 FÓRMULA cuando i = k PÁG. 221 225 228 228 228 230 230 231 231 NOTACIÓN SIGNIFICADO (A / k, P, i%, r, s) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico diferido, con período de gracia r y período de pagos s, cuando i igual a k (P / G, i%, t, n) Valor presente de un gradiente aritmético escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos (P / G, i%, t, n) Valor presente de un gradiente aritmético escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos (F / G, i%, t, n) Valor futuro de un gradiente aritmético escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos (F / G, i%, t, n) Valor futuro de un gradiente aritmético escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos (A / P, G, i%, t, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor presente (A / F, G, i%, t, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor futuro (A / P, G, i%, t, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor presente (A / F, G, i%, t, n) Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor futuro Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 3: Fórmulas NO. 87 FÓRMULA G ⎡ (1 + i)n - 1 ⎤ = i (1 + i)n ⎢P - A ⎥ i (1 + i)n ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎡ t ((1 + i)t - 1) ⎥ ⎢ n t ⎢⎣ t ((1 + i) - 1) - n ((1 + i) - 1) ⎥⎦ 88 234 234 90 92 93 234 234 89 91 PÁG. 235 cuando (1+i) -1#k t cuando (1+i)t-1=k cuando (1+i) t-1#k 94 235 235 235 cuando (1+i) t-1=k NOTACIÓN SIGNIFICADO (G / P, A, i%, t, n) Valor del gradiente de una serie con gradiente aritmético escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor presente (G / F, A, i%, t, n) Valor del gradiente de una serie con gradiente aritmético escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor futuro (G / P, A, i%, t, n) Valor del gradiente de una serie con gradiente aritmético escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor presente (G / F, A, i%, t, n) Valor del gradiente de una serie con gradiente aritmético escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, conociendo el valor futuro (P / k, A, i%, t, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i diferente de k (P / k, A, i%, t, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k (P / k, A, i%, t, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i diferente de k (P / k, A, i%, t, n) Valor presente de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k 343 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel NO. 95 FÓRMULA PÁG. cuando (1+i) t-1#k 96 236 236 NOTACIÓN (F / k, A, i%, t, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i diferente de k (F / k, A, i%, t, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k (F / k, A, i%, t, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i diferente de k (F / k, A, i%, t, n) Valor futuro de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k (A / k, P, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es diferente de k, conociendo P (A / k, P, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k, conociendo P (A / k, P, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es diferente de k, conociendo P cuando (1+i) t-1=k 97 98 99 236 t cuando (1+i) -1# k 237 cuando (1+i) t-1=k 238 cuando (1+i) t-1#k 100 238 cuando (1+i) t-1=k 101 344 cuando (1+i) t-1#k 238 SIGNIFICADO Jairo Gutiérrez Carmona Anexo 3: Fórmulas NO. FÓRMULA PÁG. NOTACIÓN SIGNIFICADO (A / k, P, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k, conociendo P (A / k, F, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es diferente de k, conociendo F (A / k, F, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado vencido, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k, conociendo F (A / k, F, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es diferente de k, conociendo F 238 (A / k, F, i%, t ,n) Valor de la primera cuota de una serie con gradiente geométrico escalonado anticipado, con serie temporal uniforme de t períodos, cuando i es igual a k, conociendo F 107 261 (S / A, i%, x, n) Saldo en el período x de una serie uniforme 108 264 (S / G, A, i%, x, n) Saldo en el período x de una serie con gradiente aritmético (S / k, A, i%, x, n) Saldo en el período x de una serie con gradiente geométrico, cuando i diferente de k 102 238 cuando (1+i) t-1=k 103 238 cuando (1+i) t-1#k 238 104 cuando (1+i) t-1 = k 105 238 cuando (1+i) t-1# k 106 cuando (1+i) t-1 = k 266 109 cuando (1+i) t-1# k 345 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel NO. FÓRMULA PÁG. NOTACIÓN 267 (S / k, A, i%, x, n) Saldo en el período x de una serie con gradiente geométrico, cuando i es igual a k 111 R = A - I = A - iS 268 (R / A, S, i%) Abono a capital, conociendo el saldo anterior y el valor de la cuota 112 272 (R / P, n) Abono constante a capital. conociendo el valor del préstamo y el plazo 110 cuando (1+i) t-1 = k 113 272 (S / P, x, n) Saldo en el período x de un préstamo por el sistema de abonos constantes a capital 114 VPN = VP (ingresos) - VP (egresos) 297 VPN Definición matemática del valor presente neto 115 CAUE = VPN (A/P, i%, n) 305 CAUE Definición matemática de la cuota anual, uniforme equivalente 307 TIR Definición matemática de la tasa interna de retorno 117 310 TRV Definición matemática de la tasa de rentabilidad verdadera 118 312 B/C Definición matemática de la relación beneficio - costo 116 346 SIGNIFICADO VPN = VP (ingresos) - VP (egresos) = 0 ANE XO 4 Funciones financieras del Excel A continuación se presentan las funciones financieras de la hoja de cálculo Excel, utilizadas en este libro: FUNCIÓN INT.EFECTIVO(int_nominal, núm_per_año) TASA.NOMINAL(tasa_efectiva, núm_per) VF(tasa, nper, pago, va, tipo) VA(tasa, nper, pago, vf, tipo) PAGO(tasa, nper, va, vf, tipo) TASA(nper, pago, va, vf, tipo, estimar) NPER(tasa, pago, va, vf, tipo) PÁG. SIGNIFICADO 44 Calcula la tasa de interés efectivo para intereses pagados vencidos 45 89 y 126 Calcula el valor presente (P), tanto para pago único como para series uniformes vencidas y anticipadas 127 Calcula el valor de la cuota uniforme (A) para series uniformes vencidas y anticipadas 128 128 263 PAGOINT(tasa, período, nper, va, vf, tipo) 270 VNA(tasa, valor 1, valor 2, ...) Calcula el valor futuro (F), tanto para pago único como para series uniformes vencidas y anticipadas 93 y 127 PAGO.PRINC.ENTRE(tasa, nper, vp, per_inicial, per_final, tipo) PAGOPRIN(tasa, período, nper, va, vf, tipo) Calcula la tasa de interés nominal para intereses pagados vencidos 270 297 TIR(valores, estimar) 142 TIRM(valores, tasa_financiamiento, tasa_reinversión) 312 Calcula la tasa de interés del período (i), tanto para pago único como para series uniformes vencidas y anticipadas Calcula el número de períodos de capitalización (n) para pago único y el número de períodos de pago (n) para series uniformes vencidas y anticipadas Calcula la sumatoria de los abonos a capital, efectuados entre dos períodos para series uniformes vencidas y anticipadas Calcula la parte de una cuota determinada, que corresponde a intereses para series uniformes de amortización vencidas y anticipadas Calcula la parte de una cuota determinada, que corresponde a abono a capital para series uniformes de amortización vencidas y anticipadas Calcula el valor presente neto de series irregulares Calcula la tasa interna de rentabilidad de series irregulares Calcula la tasa de rentabilidad verdadera ANE XO 5 Funciones financieras personalizadas A continuación se presentan las funciones financieras personalizadas, utilizadas en este libro: FUNCIÓN PÁG. SIGNIFICADO TASA_EFECTIVA(nominal, num_per, tipo) 46 Calcula la tasa de interés efectivo para intereses pagados vencidos y anticipados TASA_NOMINAL(efectiva, num_per, tipo) 47 Calcula la tasa de interés nominal para intereses pagados vencidos y anticipados VA_GRAD(tasa, nper, cuota_1, gradiente, vf, clase, tipo) 197 Calcula el valor presente (P) para gradientes aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada VF_GRAD(tasa, nper, cuota_1, gradiente, clase, tipo) 202 Calcula el valor futuro (F) para gradientes aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada PAGO_GRAD(tasa, nper, va, gradiente, vf, clase, tipo) 203 Calcula el valor de la primera cuota (A) para gradientes aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada GRAD_GRAD(tasa, nper, va, cuota_1, vf, clase, tipo) 206 Calcula el valor del gradiente (G ó k) aritmético o geométrico, en modalidad de pago vencida y anticipada TASA_GRAD(nper, va, cuota_1, gradiente, vf, clase, tipo ) 208 Calcula la tasa de interés del período (i) para gradientes aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada NPER_GRAD(tasa, va, cuota_1, gradiente, vf, clase, tipo ) 209 Calcula el número de períodos de pago (n) para gradientes aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada VA_GRAD_PERP (tasa, cuota_1, gradiente, clase) 213 Calcula el valor presente (P) para gradientes perpetuos aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada VA_ESCALA(tasa, nper, cuota_1, gradiente, serie, clase, tipo) 226 Calcula el valor presente (P) para gradientes escalonados aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada VF_ESCALA(tasa, nper, cuota_1, gradiente, serie, clase, tipo) 229 Calcula el valor futuro (F) para gradientes escalonados aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada PAGO_ESCALA_VA(tasa, nper, va, gradiente, serie, clase, tipo) 232 Calcula el valor de la primera cuota (A) para gradientes escalonados aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada, cuando se conoce el valor presente (P) PAGO_ESCALA_VF(tasa, nper, vf, gradiente, serie, clase, tipo) 232 Calcula el valor de la primera cuota (A) para gradientes escalonados aritméticos y geométricos, en modalidad de pago vencida y anticipada, cuando se conoce el valor futuro (F) ANE XO 6 Cómo crear funciones personalizadas en Excel El uso del Excel en el trabajo diario, lleva a encontrar problemas que se repiten constantemente, para no tener que hacer el mismo proceso una y otra vez, es necesario grabar una macro; ésta es un conjunto de comandos que el Excel ejecuta automáticamente para realizar tareas repetitivas. En Excel hay dos tipos de macros: procedimientos y funciones, a continuación se presentan las diferencias más importantes entre las dos y se instruye sobre la operación de las funciones personalizadas o definidas por el usuario. PROCEDIMIENTOS FUNCIONES Realizan una acción. Por ejemplo, insertar filas, crear un gráfico, etc. Devuelven un valor. Por ejemplo calcular el valor presente de un rango, etc. Las funciones no pueden realizar acciones Para crearlas, pueden ser grabadas utilizando la La única opción para crearlas, es que el mismo usuario opción Grabar nueva macro del menú herramientas o escriba las instrucciones en código VBA Excel, utilizando escribiendo el código en VBA Excel la opción Editor de Visual Basic del menú herramientas Para utilizar una función se debe emplear la opción Para utilizarlas, se puede asignar la macro a un ícono, a Pegar función del menú insertar o el ícono de la un botón o a una combinación de teclas barra de herramientas estándar La estructura del código de un procedimiento, es la La estructura del código de una función es la siguiente: siguiente: Function Nombre Función (Lista Argumentos) Sub Nombre Procedimiento Comandos Comandos End Function End Sub Los procedimientos, son lo que comúnmente se conoce como macros que se pueden escribir o grabar, cuya utilidad principal es cambiar el aspecto de la hoja de cálculo, mientras que las funciones calculan valores y los colocan como respuesta en la celda donde se ha pegado la función. A su vez, dentro de las funciones existen dos clases: las que vienen con la aplicación Excel y las que puede definir el usuario para resolver problemas particulares. Este anexo sólo trata de las funciones personalizadas o definidas por el usuario. Una función definida por el usuario se debe escribir en un módulo de Visual Basic para Aplicaciones (VBA) del Excel y sirve para calcular un nuevo valor, realizando cálculos con valores (argumentos) que previamente se le deben proporcionar; es decir Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel que su funcionamiento es exactamente igual al de las funciones que vienen incorporadas en el Excel, por lo tanto se utilizan para resolver problemas muy particulares del usuario. Para crear una función definida por el usuario, se deben seguir los tres pasos siguientes: 1. Activar el Editor de Visual Basic utilizando la combinación de teclas Alt-F11: 2. Dentro del Editor de Visual Basic insertar un módulo: 352 Anexo 6: Cómo crear funciones personalizadas en excel Jairo Gutiérrez Carmona 3. Escribir el código de la función en el módulo que se acaba de insertar. Esto quiere decir que para trabajar con funciones definidas por el usuario hay que tener conocimientos de Visual Basic, el cual será más profundo entre mayor exigencia se haga de la aplicación que se esté construyendo. Para ilustrar el último punto, se presenta el siguiente ejemplo: es muy común que en los almacenes el precio de los productos se anuncie incluyendo el IVA, pero al momento de facturar, se debe desagregar el monto de la venta entre ingreso para el almacén e IVA, lo cual requiere operaciones aritméticas sencillas que se pueden automatizar utilizando una función definida por el usuario, la cual puede calcular en un solo paso el monto bruto de la venta, el valor neto incluyendo el IVA, el valor neto sin IVA y el monto del IVA después del descuento: En el ejemplo anterior, se presentan los resultados utilizando fórmulas (línea 10) y utilizando la función LIQ, definida por el usuario (línea 5), cuyo código en Visual Basic es el siguiente: 353 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel Esta función fue construida atendiendo a los tres pasos antes mencionados y tiene las siguientes partes: 9 Los enunciados Function y End Function, que marcan el comienzo y el final de la función definida por el usuario. 9 El nombre de la función, que en este caso se ha llamado LIQ, es el identificador de la función y a él se debe recurrir cuando se vaya a insertar la función. 9 Los argumentos, que son los nombres escritos entre paréntesis después del nombre de la función, son los valores que el usuario debe proporcionar cuando va a utilizar la función y a su vez son los valores que utiliza el Visual Basic para efectuar los cálculos necesarios. Cada argumento es una variable, cuyo nombre representa un valor; en el ejemplo anterior, el argumento “cantidad” representa el número escrito en la celda B2. 9 El código de la función, es decir las instrucciones que definen cuáles son los cálculos que se deben efectuar para obtener el valor buscado. 9 El valor devuelto, éste es el valor que la función definida por el usuario colocará en la celda donde se haya utilizado, después de haber efectuado los cálculos. Siempre, al terminar el código de una función personalizada, se debe escribir el nombre la función, el signo igual y una expresión que la defina. Una expresión es una combinación de números, variables y operadores matemáticos que resultan en un valor, al igual que una fórmula escrita en una celda de la hoja de cálculo. Las funciones definidas por el usuario, quedan disponibles en el libro en que fueron creadas, pero como lo importante es que puedan ser utilizadas en cualquier momento que se esté trabajando con Excel, pueden copiarse en el libro de macros personal a través del Editor de Visual Basic o hacer que el libro en el cual están grabadas, se cargue automáticamente cuando se activa el Excel. Hay que tener en cuenta que todas las funciones personalizadas que se creen, deben grabarse en el mismo libro, de tal manera que siempre estén disponibles cuando se utilice el Excel en un determinado equipo. Cómo incorporar las funciones personalizadas a su equipo Para que las funciones personalizadas puedan ser utilizadas en su equipo, debe proceder de la siguiente manera: a) Abrir el archivo F.xls, que se descarga del SIL de la editorial. b) Una vez en Excel, activar el Editor de Visual Basic utilizando la opción Macro del menú herramientas, tal como se indica al inicio de este Anexo. c) Una vez en el Editor de Visual Basic, abrir con doble click el módulo 1 del VBAProject (F.xls) que se encuentra en la ventana del Explorador de Proyectos. 354 Anexo 6: Cómo crear funciones personalizadas en excel Jairo Gutiérrez Carmona d) Seleccionar el texto de las funciones personalizadas y dar la orden de copiar por cualquier método. e) Insertar un módulo en el VBAProject (PERSONAL.XLS). f) En el nuevo módulo del VBAProject (PERSONAL.XLS), que debe aparecer en blanco, pegar por cualquier método las funciones personalizadas, g) Al salir de Excel, dar la orden de guardar los cambios realizados en el libro de macros personal. 355 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel ´ Después de realizar las operaciones anteriores, las funciones financieras personalizadas quedan disponibles en el Excel y se tiene acceso a ellas por la categoría “Definidas por usuario” 356 BIBLIOGR AFÍA Baca, Guillermo. Excel y la calculadora financiera. Bogotá, Fondo Educativo – 2004 Baena, Diego. Sistema financiero colombiano. Bogotá, ECOE – 2008 Benninga, Simon. Financial Modeling. Cambridge, MIT Press – 2008 Blank, L, y Tarquin, A. Ingeniería económica. México, McGraw-Hill – 1999 Corredores Asociados. Manual para el cálculo de rentabilidades. Bogotá – 2005 Flórez, Juan. Matemáticas financieras empresariales. Bogotá, ECOE – 2011 García, Jaime. Matemáticas financieras. Bogotá, Pearson – 2008 Gutiérrez, Jairo. Modelos financieros con Excel. Bogotá, ECOE – 2008 Hayad, S y San Millán, A. Finanzas con Excel. Madrid, McGraw-Hill – 2001 Hewlett Packard. Manual del propietario Calculadora HP-19B Meza, Jhonny. Evaluación financiera de proyectos. Bogotá, ECOE – 2010 Meza, Jhonny. Matemáticas financieras aplicadas. Bogotá, ECOE – 2008 Serrano, Javier. Matemáticas financieras y evaluación de proyectos. Bogotá, Uniandes – 2010 Vélez, Ignacio. Decisiones de inversión. Bogotá, Ceja – 2006 ÍNDICE A D Abono a capital. 267-268, 277-279, 325, 343. Descuento, 93, 104, 329, 345. Abonos constantes a capital, 272- 273, 282. Devaluación, 46, 62, 343. Amortización, 259, 261, 267, 281. Diagrama de flujos de efectivo, 19 Anualidad, 121, 131, 175, 186, 212, 217, 222, 238. 325, 330. Anualidad anticipada, 128, 150, 331. Dtf, 37- 39, 50, 325, 331. Anualidad diferida, 143, 150, 331. E Anualidad perpetua, 147, 150, 331. Equivalencia, 61, 64, 68- 69. Anualidad vencida, 117, 119, 120, 149, 331. Equivalencia de tasas de interés, 59, 64. Anualidad vencida con calculadora, 119 Excel, 41, 44, 68, 88, 126, 197, 947. Anualidad vencida con fórmula, 117 Anualidad vencida cuando se conoce la tasa de período 119 Anualidad vencida cuando se conoce la tasa nominal anual 120. F F.Xls, 197, 354. Función financiera INT.EFECTIVO, 347 Función financiera NPER, 69, 93, 126- 128, 197, 199, 203, 204, 207, 210, 233, 270, 328, 329, 347, 349. C Función financiera PAGO, 86, 89, 90, 93, 120, 126128. Calculadora financiera, 41. Función financiera PAGO.PRINC.ENTRE, 263, 347. Capitalización, 15, 32, 84, 86, 87, 90, 204, 283. Función financiera PAGOINT, 270, 271, 347. Capitalización con calculadora, 86. Función financiera PAGOPRIN, 270, 271, 347. Capitalización con Excel, 88. Función financiera TASA, 128. Capitalización con fórmula, 84. Función financiera TASA NOMINAL, 45-47, 347, 349. Capitalización conociendo la tasa del período, 86. Capitalización con ociendo la tasa efectiva anual, 88. Capitalización conociendo la tasa nominal anual, 87. Caue, 307, 309, 317, 325, 331. Composición de las cuotas, 267, 283, 331. Costo anual uniforme equivalente, 307, 317, 325, 331. Cuota anual uniforme equivalente, 307, 309, 317, 325, 331. Función financiera TIR, 142, 309, 311, 317, 325, 334, 347. Función financiera TIRM, 314, 325, 329, 347. Función financiera VA, 93, 127, 232, 347, 349. Función financiera VF, 89, 126, 127, 347 Función financiera VNA, 299, 347 Función personalizada GRAD_GRAD, 207, 349 Función personalizada NPER_GRAD, 210, 349 Función personalizada PAGO_ESCALA_VA, 232, 349 Función personalizada PAGO_ESCALA_VF, 233, 349 Función personalizada PAGO_GRAD, 204, 349 Matemáticas financieras: con fórmulas, calculadora financiera y excel Función personalizada TASA_EFECTIVA, 346, 349 Función personalizada TASA_GRAD, 209, 349 Función personalizada TASA_NOMINAL, 44, 45-48, 349 Función personalizada VA_ESCALA, 227, 235, 349 Función personalizada VA_GRAD, 197, 199, 349 Función personalizada VA_GRAD_PERP, 214, 347 Función personalizada VF_ESCALA, 230, 349 Función personalizada VF_GRAD, 202, 203, 349 Funciones personalizadas, 329, 351, 354 G Gradiente, 168 Gradiente aritmético, 168, 171, 190, 215, 325 Gradiente aritmético diferido, 34 Gradiente aritmético escalonado, 225, 226, 240, 342 Gradiente aritmético perpetuo, 211, 212, 340 Gradiente diferido, 215, 341 Gradiente escalonado, 225, 227, 229, 230 Gradiente geométrico, 168, 179-188, 144, 207, 339 Gradiente geométrico diferido, 221, 341 Gradiente geométrico escalonado, 235, 237, 239, 241, 343 Gradiente geométrico perpetuo, 214, 341 Gradiente perpetuo, 210, 212, 214 N Negocios de amortización, 116, 167 Negocios de capitalización, 116, 167, 203 Notación estándar, 102-106, 132, 184 P Pago único, 81, 83-90, 105, 326, 333 Período de capitalización, 32, 84, 92 Período de gracia, 143, 144, 215, 217 Período de liquidación, 7, 11, 19, 50, 326, 332 Período muerto, 143, 150, 331, 332 Perpetuidades, 147, 150 Prime, 40, 325, 333 Problemas de amortización, 169, 180, 204, 209, 232, 289, 333 Problemas de capitalización, 84, 88, 93, 105, 184, 233, 289, 333 R Relación beneficio – costo, 314, 318, 325, 333 Rentabilidad, 24, 84, 105, 309, 312, 317, 325, 333, 334 S Saldo, 16, 39-41, 148, 167, 261, 268, 283, 272, 277, 279, 283, 288, 289, 325, 333 Saldo capitalizado, 283, 288, 333 Saldo de anualidades con calculadora financiera, 262 Gradientes con Excel, 197 Saldo de anualidades con excel, 263 Gradientes con la calculadora financiera, 190 Saldo de gradientes con fórmula, 264 I Interés anticipado, 29, 32, 50, 332 Interés compuesto, 13, 15, 49, 332 Interés efectivo, 22, 24, 42, 45, 50, 325, 332 Interés nominal, 22-24, 42, 45, 47, 50, 325, 332 Interés simple, 11, 13, 14, 49, 332 Interés vencido, 29, 32, 50, 332 Interpolación, 123, 124, 179, 190, 317 360 Saldo de anualidades con fórmula, 261 Serie uniforme, 117, 143, 168, 331, 333 Series uniformes, 113 Series variables, 165 Solucionador de la calculadora financiera, 240 Solucionador para el gradiente aritmético escalonado, 241 Solucionador para gradiente aritmético, 190 Solucionador para gradiente geométrico, 194 Jairo Gutiérrez Carmona ÍNDICE T TIR, 42, 309, 317, 325, 333 Tabla de amortización, 206, 272-276, 289, 333 TRV, 312-314, 317, 325, 333 Tabla de capitalización, 234, 286-289, 333 Tasa de interés, 3, 5, 22, 41, 49 Tasa de interés de oportunidad, 36, 50, 325, 333 Tasa de interés del período, 11, 14, 33-38, 84 Tasa de rentabilidad verdadera, 312, 317, 325, 333 TIR modificada, 117, 317, 325, 333 U UPAC, 39, 279, 280 UVR, 37, 39-40, 51, 279-282, 325, 334 Tasa efectiva, 24, 25, 39, 42, 46, 47, 69, 88, 336 V Tasa interna de rentabilidad, 142, 309, 314, 316317, 325, 334 Valor futuro, 10, 32, 49, 85, 87, 89-93, 121, 131, 173, 184, 229, 237, 325, 333, 334 Tasa interna de retorno, 309, 316, 317, 334 Valor presente, 9, 49, 129, 169, 180 Tasa nominal, 26, 29, 42-48, 61, 87, 120 Valor presente neto, 299, 301, 317, 325, 334 TIO, 32, 36, 50, 314-316 VPN, 299-307, 502 361
