FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA DE CONTROL 2 Ciclo 2021-2 Laboratorio 1 Docente: Dante Anael Vargas Machuca Acevedo Integrantes: - Cruzado Vásquez, Anderson Abel U201822491 - De la Torre Velarde, Elvis Joel U201822520 - Huallanca Escalera, Harold U201822201 - Pérez Quispe Jesus, Carlos U201822409 - Reyes Shishco, Merly Leidy U201823320 - Salcedo Rodríguez, Joan U201822603 - Vasquez Frias, Jean Carlos U201822202 Septiembre, 2021 Modelamiento de espacio de estados del motor DC modelo 222056 1. Modelo del espacio de estados de la velocidad representado con los símbolos de la figura Modelo Matemático Se definen las variables y constantes mostradas en la figura eb (t): Voltaje contraelectromotriz (V) ea(t): Voltaje de entrada (V) 𝜃𝑚 (𝑡): Posición 𝜔𝑚 (𝑡): Velocidad 𝑖𝑎 (𝑡): Corriente Ra: Resistencia del terminal La: Inductancia Kb: Constante de fuerza contraelectromotriz del motor τm: Torque del motor τl: Torque de carga B: coeficiente de fricción viscosa Datos del motor DC modelo222056: Ra= 31,3 Ω La= 1,45×10-3 H Kb= 1 30 206 𝜋 KT=46,3×10-3 Nm/A τm: 12×10-3 Nm B= 0,01× 12×10−3 6920 𝜋 30 𝜋 𝜔𝑁 = 6920 × 30 rad/s J=4,07×10-3×10-4 gcm2 Ecuaciones diferenciales Por la Ley de voltaje de Kirchhoff en la armadura: 𝑒𝑎 (𝑡) = 𝑅𝑎 × 𝑖𝑎 (𝑡) + 𝐿𝑎 × 𝑑𝑖𝑎 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑒𝑏 (𝑡) (1) Voltaje contraelectromotriz: 𝑒𝑏 (𝑡) = 𝐾𝑏 × 𝜔𝑚 (𝑡) (2) Por torque del motor y pérdidas: 𝜏𝑚 (𝑡) − 𝜏𝑙 (𝑡) − 𝐵 × 𝜔𝑚 (𝑡) = 𝐽 × 𝑑𝜔𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 (3) Torque del motor: 𝜏𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑡 × 𝑖𝑎 (𝑡) (4) Definición de las variables de estados 𝑥1 (𝑡) = 𝜔𝑚 (𝑡) 𝑥2 (𝑡) = 𝑖𝑎 (𝑡) Variables de entrada 𝑒𝑎 (𝑡) 𝜏𝑙 (𝑡): 𝑃𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 A partir de las ecuaciones diferenciales y las variables de estados definidas se procede a formar las ecuaciones que determinarán el modelo solicitado. Despejando la velocidad del motor en la ecuación (3) y reemplazando (4) 𝑑𝜔𝑚 (𝑡) 𝐾𝑡 × 𝑖𝑎 (𝑡) 𝜏𝑙 (𝑡) 𝐵 × 𝜔𝑚 (𝑡) = − − 𝑑𝑡 𝐽 𝐽 𝐽 Despejando la corriente en la ecuación (1) y reemplazando (2) 𝑑𝑖𝑎 (𝑡) 𝑅𝑎 × 𝑖𝑎 (𝑡) 𝑒𝑎 (𝑡) 𝐾𝑏 × 𝜔𝑚 (𝑡) =− + − 𝑑𝑡 𝐿𝑎 𝐿𝑎 𝐿𝑎 Reemplazando las variables de estados en las dos últimas ecuaciones obtenidas 𝑥1̇ (𝑡) = − 𝐵 × 𝑥1 (𝑡) 𝐾𝑡 × 𝑥2 (𝑡) 𝜏𝑙 (𝑡) + − 𝐽 𝐽 𝐽 𝑥2̇ (𝑡) = − 𝐾𝑏 × 𝑥1 (𝑡) 𝑅𝑎 × 𝑥2 (𝑡) 𝑒𝑎 (𝑡) − + 𝐿𝑎 𝐿𝑎 𝐿𝑎 Por lo tanto, el modelo de espacios de estados de la velocidad está dada por la siguiente expresión 𝐵 𝑥 ̇ (𝑡) 𝐽 [ 1 ]= 𝐾𝑏 𝑥2̇ (𝑡) − [ 𝐿𝑎 𝐾𝑡 0 1 𝐽 𝑥1 (𝑡) − 1 ×[ ] + [ ] × 𝑒𝑎 (𝑡) + [ 𝐽 ] × 𝜏𝑙 (𝑡) 𝑅𝑎 𝑥2 (𝑡) 𝐿𝑎 − 0 𝐿𝑎 ] − 𝑦 = [1 0] × [ 𝑥1 (𝑡) ] 𝑥2 (𝑡) De donde: AV = [ 𝐵 𝐾𝑡 𝐾 𝐽 𝑅𝑎 ] −𝐽 − 𝐿𝑏 𝑎 CV = [1 0] −𝐿 ; 0 BV = [ 1 ] 𝐿𝑎 𝑎 ; DV = 0 1 ; − EV = [ 𝐽 ] 0 ; 2. Modelo de espacio de estado de la posición representado con los símbolos de la figura En este caso, se agrega una variable correspondiente a la posición. Definición de las variables de estados 𝑥1 (𝑡) = 𝜃𝑚 (𝑡) 𝑥2 (𝑡) = 𝜔𝑚 (𝑡) 𝑥3 (𝑡) = 𝑖𝑎 (𝑡) Donde: 𝜔𝑚 (𝑡) = 𝑑𝜃𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 … → 𝑥1̇ (𝑡) = 𝑥2 (𝑡) (5) Variables de entrada 𝑒𝑎 (𝑡) 𝜏𝑙 (𝑡): 𝑃𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Asimismo, solo será necesario agregar una quinta ecuación, la cual relaciona la velocidad con la posición. 𝑥1̇ (𝑡) = 𝑥2 (𝑡) Ecuación (5): Reemplazando las variables de estados 𝑥1̇ (𝑡) = 𝑥2 (𝑡) 𝑥2̇ (𝑡) = − 𝐵 × 𝑥2 (𝑡) 𝐾𝑡 × 𝑥3 (𝑡) 𝜏𝑙 (𝑡) + − 𝐽 𝐽 𝐽 𝑥3̇ (𝑡) = − 𝐾𝑏 × 𝑥2 (𝑡) 𝑅𝑎 × 𝑥3 (𝑡) 𝑒𝑎 (𝑡) − + 𝐿𝑎 𝐿𝑎 𝐿𝑎 Por lo tanto, el modelo de espacios de estados de la posición está dada por la siguiente expresión 0 1 𝐵 𝑥1̇ (𝑡) 0 − 𝐽 [𝑥2̇ (𝑡)] = 𝐾𝑏 𝑥3̇ (𝑡) 0 − [ 𝐿𝑎 0 0 0 𝐾𝑡 𝑥1 (𝑡) 1 0 𝐽 × [𝑥2 (𝑡)] + [ 1 ] × 𝑒𝑎 (𝑡) + [− ] × 𝜏𝑙 (𝑡) 𝐽 𝑅𝑎 𝑥3 (𝑡) 𝐿𝑎 − 0 𝐿𝑎 ] 𝑦 = [1 0 𝑥1 (𝑡) ] 𝑥 0 × [ 2 (𝑡)] 𝑥3 (𝑡) De donde: 0 0 AP = [ 0 1 𝐵 −𝐽 𝐾𝑏 −𝐿 𝑎 0 𝐾𝑡 𝐽 ] 𝑅𝑎 −𝐿 ; 0 BP = [ 0 ] ; 1 0 1 EP = [− 𝐽 ] ; 0 𝐿𝑎 𝑎 CP = [1 0 0] ; DP = 0 3. Función de transferencia de la velocidad 𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷 𝐺𝜔 (𝑠) = [1 𝐵 − 𝐽 1 0 ]− 0] × 𝑠 × [ 𝐾 0 1 𝑏 − [ 𝐿𝑎 [ 𝐵 𝑠+ 𝐽 𝐺𝜔 (𝑠) = [1 0] × 𝐾𝑏 [ 𝐿𝑎 𝐾𝑡 −1 − 0 𝐽 ×[1] 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝑠+ 𝐿𝑎 ] 𝑅 𝑠 + 𝐿𝑎 𝑎 𝐾 𝐾 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 + ( 𝐽 + 𝐿 𝑎 ) 𝑠 + 𝐽 × 𝐿 𝑎 + ( 𝐽𝑡 × 𝐿 𝑏 ) 𝑎 𝑎 𝑎 0] × 𝐾𝑏 𝐿𝑎 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅𝑎 𝐾𝑡 𝐾𝑏 𝑎 2 [ 𝑠 + ( 𝐽 + 𝐿𝑎 ) 𝑠 + 𝐽 × 𝐿𝑎 + ( 𝐽 × 𝐿𝑎 ) 𝑠2 𝐺𝜔 (𝑠) = [1 𝐾𝑡 −1 0 𝐽 ×[1]+0 𝑅𝑎 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎 ] ] −1 𝐾 − 𝐽𝑡 𝐾 𝐾 𝐵 𝑅 𝑠 2 + ( 𝐽 + 𝐿 𝑎 ) 𝑠 + ( 𝐽𝑡 × 𝐿 𝑏 ) 𝑎 𝑎 𝐵 𝑠+ 𝐽 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 2 + ( 𝐽 + 𝐿 𝑎 ) 𝑠 + ( 𝐽𝑡 × 𝐿 𝑏 )] 𝑎 𝑎 𝐾 (− 𝐽𝑡 ) 𝑠 1 𝐺𝜔 (𝑠) = − × 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 3 + ( 𝐽 + 𝐿 𝑎 ) 𝑠 2 + ( 𝐽 ( 𝐿 𝑎 ) − (− 𝐽𝑡 ) 𝐿 𝑏 ) 𝑠 𝐿𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 0 ×[1] 𝐿𝑎 𝐾𝑡 𝐽 × 𝐿𝑎 𝐺𝜔 (𝑠) = 𝐵 × 𝐿𝑎 + 𝑅𝑎 × 𝐽 𝐵 × 𝑅𝑎 + 𝐾𝑡 × 𝐾𝑏 𝑠2 + ( )𝑠 + ( ) 𝐽×𝐿 𝐽×𝐿 𝑎 𝑎 4. Función de transferencia de la posición 0 −1 0 𝐾𝑡 0 𝐽 ×[1] 𝑅𝑎 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎 ] ] 0 𝐺𝜃 (𝑠) = [1 1 0 0] × 𝑠 × [0 0 [ 1 𝐵 0 0 0 − 𝐽 1 0] − 𝐾 0 1 𝑏 0 − [ 𝐿𝑎 𝑠 𝐺𝜃 (𝑠) = [1 0 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 2 + ( + 𝑎 ) 𝑠 + ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐾 𝐾 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝑠 3 + ( + 𝑎 ) 𝑠 2 + ( ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 [1 0 0] × 0 0 [ −1 𝐵 0 𝑠+ 𝐽 0] × 𝐾𝑏 0 [ 𝐿𝑎 0 −1 0 𝐾𝑡 − 0 𝐽 ×[1] 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝑠+ 𝐿𝑎 ] 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐾 𝐾 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝑠 3 + ( + 𝑎 ) 𝑠 2 + ( ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝑅 𝑠 2 + ( 𝑎 )𝑠 𝐿𝑎 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 3 + ( + 𝑎 ) 𝑠 2 + ( ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐾 ( 𝑏 )𝑠 𝐿𝑎 − 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 3 + ( + 𝑎 ) 𝑠 2 + ( ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝑠+ 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑅 𝑠 2 + ( + 𝑎 ) 𝑠 + ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 𝑠+ 𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐿𝑎 [ 𝐵 𝑅𝑎 2 𝐵 𝑅𝑎 𝐾𝑡 𝐾𝑏 𝐵 𝑅𝑎 2 𝐵 𝑅𝑎 𝐾 𝐾 3 3 𝑠 + ( + ) 𝑠 + ( ( ) − (− ) ) 𝑠 𝑠 + ( + ) 𝑠 + ( ( ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐾𝑡 𝐽 𝐾 𝐾 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝑠 3 + ( + 𝑎 ) 𝑠 2 + ( ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 0 𝐾 (− 𝑡 )𝑠 0 𝐽 − ×[1] 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 3 + ( + 𝑎 ) 𝑠 2 + ( ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐿𝑎 𝐵 𝑠2 + 𝑠 𝐽 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 3 + ( + 𝑎 ) 𝑠 2 + ( ( 𝑎 ) − (− 𝑡 ) 𝑏 ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 ] − − 0 𝐾𝑡 0 𝐽 ]×[1] 𝐵 𝑅𝑎 2 𝐵 𝑅𝑎 𝐾𝑡 𝐾𝑏 3 𝑠 + ( + ) 𝑠 + ( ( ) − (− ) ) 𝑠 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐿𝑎 − − 𝐾𝑡 1 𝐽 × 𝐿𝑎 𝐺𝜃 (𝑠) = 𝐵 𝑅 𝐵 𝑅 𝐾 𝐾 𝑠 3 + ( 𝐽 + 𝐿 𝑎 ) 𝑠 2 + ( 𝐽 ( 𝐿 𝑎 ) + ( 𝐽𝑡 ) 𝐿 𝑏 ) 𝑠 𝑎 𝑎 𝑎 5. Simulación e interpretación de la estabilidad, controlabilidad y observabilidad del sistema homogéneo y no homogéneo del motor dc. Análisis Teórico: PRUEBA DE ESTABILIDAD Verificando la estabilidad en espacio de estados de la velocidad: Se debe cumplir que los autovalores de la ecuación característica tengan una parte real no positiva. Ecuación característica: | 𝑠𝐼 − 𝐴𝑉 | = 0 Reemplazando: 1 || 𝑠 × [ 0 || [ 𝑠 0 𝐵 𝐽 0 ]− 𝐾𝑏 1 − [ 𝐿𝑎 − 𝐵 𝐽 0 ]− 𝐾 𝑠 𝑏 − [ 𝐿𝑎 − 𝑠+ || 𝐵 𝐽 𝐾𝑏 [ 𝐿𝑎 𝐾𝑡 𝐽 |=0 𝑅𝑎 | − 𝐿𝑎 ] 𝐾𝑡 𝐽 |=0 𝑅𝑎 | − 𝐿𝑎 ] 𝐾𝑡 𝐽 |=0 𝑅𝑎 | 𝑠+ 𝐿𝑎 ] − 𝐵 𝑅𝑎 𝐵 𝑅𝑎 𝐾𝑡 𝐾𝑏 𝑠2 + ( + ) 𝑠 + ( ( ) + ( ) ) = 0 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 Reemplazando valores: 1 9 × 10−6 𝜋 31.3 46.3 × 10−3 206 × 30 173 × 𝜋 ( )+( ) 4.07 × 10−7 1.45 × 10−3 4.07 × 10−7 1.45 × 10−3 9 × 10−6 31.3 𝑠 2 + ( 173 × 𝜋−7 + )𝑠 + 4.07 × 10 1.45 × 10−3 ( ) POLOS: P1 = −21416.4 , =0 P2 = −169.856 Se verifica que los polos son no positivos. Por lo tanto, el sistema de la velocidad es estable. Comprobación de la estabilidad de la velocidad mediante el software de Matlab: Verificando la estabilidad en espacio de estados de la posición: Se debe cumplir que los autovalores de la ecuación característica tengan una parte real no positiva. Ecuación característica: | 𝑠𝐼 − 𝐴𝑃 | = 0 Reemplazando: 0 1 0 | 𝑠 × [0 1 | 0 0 0 0 0] − 1 0 [ 0 1 𝐵 − 𝐽 𝐾𝑏 − 𝐿𝑎 1 𝐵 0 0 − 𝐽 0] − 𝐾𝑏 𝑠 0 − [ 𝐿𝑎 𝑠 0 | [0 𝑠 | 0 0 𝑠 −1 𝐵 | 0 𝑠+ 𝐽 | 𝐾𝑏 0 [ 𝐿𝑎 0 𝐾𝑡 | 𝐽 =0 𝑅𝑎 | − 𝐿𝑎 ] 0 𝐾𝑡 | 𝐽 =0 𝑅𝑎 | − 𝐿𝑎 ] 0 −𝐾𝑡 | 𝐽 =0 𝑅𝑎 | 𝑠+ 𝐿𝑎 ] 𝐵 𝑅𝑎 𝐵 𝑅𝑎 𝐾𝑡 𝐾𝑏 𝑠3 + ( + ) 𝑠2 + ( ( ) + ( ) ) 𝑠 = 0 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 Reemplazando valores: 1 9 × 10−6 𝜋 −3 206 × 31.3 46.3 × 10 173 × 𝜋 ( 30 )+( ) 4.07 × 10−7 1.45 × 10−3 4.07 × 10−7 1.45 × 10−3 9 × 10−6 31.3 𝑠 3 + ( 173 × 𝜋−7 + ) 𝑠2 + 4.07 × 10 1.45 × 10−3 ( 𝑠=0 ) POLOS: P1 = 0 , P2 = −21416.4 , P3 = −169.856 Se verifica que los polos son no positivos. Por lo tanto, el sistema de la posición es estable. Comprobación de estabilidad mediante el software de Matlab: PRUEBA DE CONTROLABILIDAD Verificando la controlabilidad en espacio de estados de la velocidad: Se debe cumplir que la matriz de controlabilidad debe tener inversa (Det(S) ≠ 0): Matriz de controlabilidad 𝑆 = [ 𝐵𝑉 𝐴𝑉𝐵𝑉 ] Reemplazando: 𝐵 𝐽 𝐾𝑏 − [ 𝐿𝑎 − 0 [1] 𝐿𝑎 [ [ 0 [1] 𝐿𝑎 𝐷𝑒𝑡(𝑆) = − 𝐾𝑡 0 𝐽 [1] 𝑅𝑎 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎 ] 𝐾𝑡 𝐽 × 𝐿𝑎 𝑅𝑎 − 2 [ 𝐿𝑎 ] ] ] 𝐾𝑡 𝐿𝑎 2 × 𝐽 Reemplazando valores: 𝐷𝑒𝑡(𝑆) = − 46.3 × 10−3 = −5.4106642 × 1010 (1.45 × 10−3 )2 × 4.07 × 10−7 Se verifica que la Det(S) es diferente de cero. Por lo tanto, la matriz de controlabilidad tiene inversa, esto nos indica que el sistema de la velocidad es controlable. Comprobación de controlabilidad de la velocidad mediante el software de Matlab: Verificando la controlabilidad en espacio de estados de la posición: Se debe cumplir que la matriz de controlabilidad debe tener inversa (Det(V) ≠ 0): Matriz de controlabilidad 𝑆 = [ 𝐵𝑃 𝐴𝑃𝐵𝑃 𝐴𝑃2 𝐵𝑃 ] Reemplazando: [ 0 1 𝐵 0 − 𝐽 𝐾𝑏 0 − [ 𝐿𝑎 0 0 [1] 𝐿𝑎 0 0 [1] 𝐿𝑎 [ 0 0 𝐾𝑡 0 𝐽 [1] 𝑅𝑎 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎 ] 0 𝐾𝑡 𝐽 × 𝐿𝑎 1 [ 𝐿𝑎 ] 𝐷𝑒𝑡(𝑆) = − 0 0 0 [ 1 𝐵 − 𝐽 𝐾𝑏 − 𝐿𝑎 0 2 0 𝐾𝑡 0 𝐽 [1] 𝑅𝑎 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎 ] ] 𝐾𝑡 𝐽 × 𝐿𝑎 −𝐾𝑡 𝐵 𝑅𝑎 ×( + ) 𝐽 × 𝐿𝑎 𝐽 𝐿𝑎 2 𝑅𝑎 𝐾𝑡 × 𝐾𝑏 3 − [ 𝐿𝑎 𝐽 × 𝐿𝑎 2 ] ] 𝐾𝑡 2 𝐿𝑎 3 × 𝐽 2 Reemplazando valores: (46.3 × 10−3 )2 𝐷𝑒𝑡(𝑆) = − = −4.24491655 × 1018 (1.45 × 10−3 )3 × (4.07 × 10−7 )2 Se verifica que la Det(S) es diferente de cero. Por lo tanto, la matriz de controlabilidad tiene inversa, esto nos indica que el sistema de la posición es controlable. Comprobación de controlabilidad de la posición mediante el software de Matlab: PRUEBA DE OBSERVABILIDAD Verificando la observabilidad en espacio de estados de la velocidad: Se debe cumplir que la matriz de observabilidad debe tener inversa (Det(V) ≠ 0): Matriz de observabilidad 𝑉 = [ 𝐶𝑉 ] 𝐶𝑉 ∗ 𝐴𝑉 Reemplazando: [1 𝑉 = [1 [ 0] 𝐵 𝐾𝑡 − 𝐽 𝐽 0] 𝐾 𝑅𝑎 𝑏 − − 𝐿𝑎 ] ] [ 𝐿𝑎 1 0 𝑉 = [ − 𝐵 𝐾𝑡 ] 𝐽 𝐽 𝐷𝑒𝑡(𝑉) = 𝐾𝑡 𝐽 Remplazando valores: 46,3 × 10−3 𝐷𝑒𝑡(𝑉) = = 113759.2138 4,07 × 10−3 × 10−4 Se verifica que la Det(V) es diferente de cero. Por lo tanto, la matriz de observabilidad tiene inversa y es no singular, con ello nos indica que el sistema es observable. Comprobación de observabilidad de la velocidad mediante el software de Matlab: Verificando la observabilidad en espacio de estados de la posicion: Se debe cumplir que la matriz de observabilidad debe tener inversa (Det(V) ≠ 0): Matriz de observabilidad 𝐶𝑃 𝑉 = [ 𝐶𝑃 ∗ 𝐴𝑃 ] 𝐶𝑃 ∗ 𝐴𝑃2 Reemplazando: [1 0 0 ] 0 1 0 𝐵 𝐾𝑡 0 − 𝐽 𝐽 [1 0 0] 𝐾𝑏 𝑅𝑎 0 − − [ 𝐿𝑎 𝐿𝑎 ] 𝑉 = 0 1 0 2 𝐵 𝐾𝑡 0 − 𝐽 𝐽 [1 0 0] 𝐾𝑏 𝑅𝑎 0 − − [ 𝐿𝑎 𝐿𝑎 ] ] [ 1 0 0 1 𝑉 = [ −𝐵 0 𝐽 𝐷𝑒𝑡(𝑉) = 0 0 𝐾𝑡 ] 𝐽 𝐾𝑡 𝐽 Remplazando valores: 46,3 × 10−3 𝐷𝑒𝑡(𝑉) = = 113759.2138 4,07 × 10−3 × 10−4 Se verifica que la Det(V) es diferente de cero. Por lo tanto, la matriz de observabilidad tiene inversa y es no singular, con ello nos indica que el sistema es observable. Comprobación de observabilidad de la posición mediante el software de Matlab: SIMULACIÓN DEL SISTEMA HOMOGENEO Y NO HOMOGENEO Asumiendo condiciones iniciales para el modelo de la posición: ▪ Sistema homogéneo Posición 10 rad, velocidad 100 rad/s y corriente de 0.20 A 10 𝑋0 = [ 100 ] 0.20 ▪ Sistema no homogéneo Voltaje de entrada 42V (valor nominal), torque al 60% del valor nominal 𝑒𝑎 = 42 𝑉 𝜏𝑙 = 12 𝑚𝑁𝑚 × 0.6 = 7.2 𝑚𝑁𝑚 Modelo de la posición del motor dc De acuerdo con las gráficas de la respuesta homogénea o transitoria, se observa el comportamiento de la planta a las condiciones iniciales dadas, las cuales solo definen la amplitud de las señales. En este caso, la corriente y la velocidad iniciales generan que el motor gire(10 rad a 10,6 rad) en un intervalo de tiempo, para luego estas variable aproximarse a cero. Por otra parte, en la respuesta no homogénea o permanente, se observa que la posición va en aumento debido a la presencia de la señal de entrada ea , la cual genera una velocidad de 800 rad/s mientras que se llega a superar la corriente de arranque del motor de 1.34 A y se estabiliza en un valor menor a la corriente nominal de 0.27 A. Asumiendo condiciones iniciales para el modelo de la posición: ▪ Sistema homogéneo velocidad 100 rad/s y corriente de 0.20 A 100 𝑋0 = [ ] 0.2 ▪ Sistema no homogéneo torque al 60% del valor nominal 𝜏𝑙 = 12 𝑚𝑁𝑚 × 0.6 = 7.2 𝑚𝑁𝑚 Modelo de la velocidad del motor dc De acuerdo con las gráficas de la respuesta homogénea o transitoria, se observa el comportamiento del motor las condiciones iniciales dadas, las cuales solo definen la amplitud de las señales. En este caso, la corriente y la velocidad iniciales se estabilizan en 0 empezando de sus valores iniciales. Por otra parte, en la respuesta no homogénea o permanente, se observa que la velocidad se estabiliza en un valor de 2153.5 rad/s para un torque de 7.2 mNm que representa 60% del valor nominal. 6. Simulación e interpretación del sistema velocidad y posición de control retroalimentado con integrador y sin integrador (con ts de 0.1ms, 350ms, 950 ms) Para ts = 0.1 ms: Posición sin integrador: La gráfica representa la posición sin integrador. A partir de esta se puede concluir: - La señal de la posición logra estabilizarse, pero no en el tiempo de establecimiento requerido de 0.1 ms, debido a que la constante del tiempo mecánico del motor es 5.96ms. - La estabilidad se da a partir de los 136 ms a una posición de 104.7 radianes. Pero al buscar una respuesta muy rápida, la corriente es variable con una gran cantidad de sobre impulsos alcanzar su estabilidad. Velocidad sin integrador: - La grafica de la velocidad sin integrador si logra estabilizarse en el valor de 10.0394 rad/seg. Se concluye que este sistema si se puede controlar con solo ganancias y sin integrador. Cumple el requisito del tiempo de establecimiento (ts=0.1ms) Posición con integrador: - La velocidad con integrador tiene un comportamiento oscilando, es decir no llega a estabilizarse en un valor. Velocidad con integrador: - La señal logra estabilizarse en el valor de 104.72 rad/s, pero sobre pasa el tiempo de establecimiento requerido. No cumple el requerimiento del tiempo de establecimiento (ts=0.1 ms) Para tiempo de establecimiento, ts = 350ms: Posición sin integrador: - La posición sin integrador si logra estabilizarse en el valor negativo de 88.5626 rad. Que la señal se estabilice, quiere decir que el sistema de control diseñado si funciona. Si cumple el requerimiento de que se estabiliza en ts=350ms. Velocidad sin integrador: - - La señal de velocidad sin integrador si logra estabilizarse en el valor negativo de 140329 rad/seg. Sin embargo, este valor es demasiado alto, superando la velocidad nomila. Por lo que se concluye que no se puede controlar con solo ganancias. No cumple el requerimiento del tiempo de establecimiento (ts=350ms) Posición con Integrador - La señal de salida de posición con integrador si logra estabilizarse en 104.72 rad. Esto quiere decir que nuestro sistema de control funciona correctamente Si cumple el requerimiento del tiempo de establecimiento(ts=350ms). Velocidad con integrador: - La señal de velocidad con integrador si logra estabilizarse en el valor de 104.72 rad/seg. - Eso quiere decir que nuestro sistema de control funciona correctamente Para ts = 950ms: Posición sin integrador: - La señal controlada de posición sin integrador logra estabilizarse en el valor negativo de 559.707 rad. - El sistema de control funciona correctamente, ya que se logra estabilizar la variable controlada. - Si cumple con el requerimiento del tiempo de establecimiento (ts=950ms) Velocidad sin Integrador: - La señal controlada de velocidad sin integrador si logra estabilizarse en el valor negativo de 1027100 × 105 rad/seg. Pero este valor es muy alto, superando la velocidad nominal, por lo que no se puede controlar con solo ganancias. - Si logra cumplirse el requerimiento del tiempo de establecimiento (ts=950ms). Incluso es más rápido. Posición con Integrador: - La señal controlada de posición con integrador si logra estabilizarse en el valor de 104.72 rad. - El sistema de control funciona correctamente, ya que se logra estabilizar la variable controlada. - Si logra cumplirse el requerimiento del tiempo de establecimiento (ts=950ms). Incluso es más rápido. Velocidad con integrador: - La señal controlada de la velocidad con integrador logra estabilizarse en el valor de 104.72 rad/seg. - El sistema de control funciona correctamente, ya que se logra estabilizar la variable controlada. - Si logra cumplirse el requerimiento del tiempo de establecimiento (ts=950ms). 7. Diagramas de simulación para la velocidad y posición Velocidad ts= 0.1 ms Diagrama de simulación retroalimentada sin integrador para la velocidad Diagrama de simulación retroalimentada con integrador para la velocidad ts= 350 ms Diagrama de simulación retroalimentada sin integrador para la velocidad Diagrama de simulación retroalimentada con integrador para la velocidad ts= 950 ms Diagrama de simulación retroalimenta sin integrador para la velocidad Diagrama de simulación retroalimenta con integrador para la velocidad Posición ts=0.1 ms Diagrama de simulación retroalimentada sin integrador para la posición Diagrama de simulación retroalimentada con integrador para la posición ts=350 ms Diagrama de simulación retroalimentada sin integrador para la posición Diagrama de simulación retroalimentada con integrador para la posición ts=950 ms Diagrama de simulación retroalimentada sin integrador para la posición Diagrama de simulación retroalimenta con integrador para la posición Ganancias para el sistema modelo de posición los diferentes tiempos de establecimiento: ts = 0.1 ms SIN INTEGRADOR -KSI(1) -1.712887611329090e+06 -KSI(2) -83.563677210035450 -KSI(3) -1.426999410043315e+02 KSI(1) 1.712887611329090e+06 -K(1) -K(2) -K(3) kI CON INTEGRADOR -1.012699941004331e+03 -83.563677210035450 -2.000594899526617e+03 4.384992285002469e+12 -K(1) -K(2) -K(3) kI CON INTEGRADOR -0.003074594483926 0.046192597646147 31.001773281382780 0.029221106439000 ts = 350 ms SIN INTEGRADOR -KSI(1) -3.995073145957064e-05 -KSI(2) -0.046349001113158 -KSI(3) -31.250344709954213 KSI(1) 3.995073145957064e-05 ts = 950 ms -KSI(1) -KSI(2) -KSI(3) KSI(1) SIN INTEGRADOR -1.997827801521026e-06 0.046354888769546 31.281743206194810 1.997827801521026e-06 CON INTEGRADOR -K(1) -1.537521370442666e-04 -K(2) 0.046333680176677 -K(3) 31.190164258826396 kI 5.383620180940871e-04 Ganancias para el sistema modelo de velocidad los diferentes tiempos de establecimiento: ts = 0.1 ms SIN INTEGRADOR KSi(1) -.712887611329090e+06 KSI(2) -83.563677210035450 ts = 350 ms SIN INTEGRADOR KSi(1) - 31.266916138525644 KSI(2) - 0.046352324811182 CON INTEGRADOR -K(1) -3.690788667749084e+02 -K(2) -5.486999410043315e+02 kI 1.370310089063272e+07 CON INTEGRADOR -K(1) 0.046325735226989 -K(2) 31.134344709954213 kI 3.196058516765651e-04 ts = 950 ms SIN INTEGRADOR KSi(1) - 0.046355338529508 KSI(2) - 31.287848469352703 T= 0.1ms KSI = 42.775792986482173 84.699941004331492 kI = 1.712887611329090e+06 K= 1.0e+02 * 0.835636772100354 1.426999410043315 T= 350 ms Sin integrador KSI = -0.046352324811182 -31.266916138525644 Con integrador K= -0.046325735226989 -31.134344709954213 >> kI kI = 3.196058516765651e-04 -K(1) -K(2) kI CON INTEGRADOR 0.046351740449818 31.239006364089550 1.598262241216821e-05 T=950 ms Sin integrador KSI = -0.046355338529508 -31.287848469352703 Con integrador K= -0.046351740449818 -31.239006364089551 >> kI kI = 1.598262241216821e-05 8. Diseño electrónico del controlador analógicos con y sin integrador tanto para velocidad Sistema de velocidad controlado sin integrador Sistema de velocidad controlado con integrador Sistema de posición controlado sin integrador Sistema de posición controlado con integrador