Examen Unidad 2

UNIVERSIDAD DEL VALLE
EXAMEN
Estudiante:
Asignatura: Álgebra II
Evaluación: 1erP
Carrera(s):
Grupo (s):
Final
2doP
Gestión: I-2022
Sede Central X
Unidades temáticas avanzadas
(programa analítico):
Nota Del
Examen:
Fecha: 14/04/202214:55
UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES
Unidades temáticas a Evaluar: UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES
----------------------------Flores Flores Edgar
----------------------------Mejia Paredes Tito
Nombre y Firma Docente(s):
-----------------------------Soliz Panozo Pablo
-----------------------------Villarroel Cardona Maria
____________________
VoBo Director
---_-----------------------Zerda Arnez Madai
Ponderación Examen Escrito:
Ponderación Examen teórico:
Ponderación Laboratorio:
Firma Estudiante:
40 %
20 %
NOTA:
PRIMERA PARTE (Examen escrito)
1. (25 puntos) Demostrar que el siguiente conjunto:
W  a  bx  cx2  P2 / a  b  c  0
es un subespacio vectorial de P2 (polinomios de grado menos o igual a 2)
2. (25 puntos) Determine si el siguiente conjunto:
 3 1   3 2   5 1   0 1  

,
,
,

 0 0   0 0   0 6   0 7  
Es una base es una base para 𝑀2×2
3. (25 puntos) Determinar la matriz de transición de la base 𝐵′ a la base 𝐵, donde:
𝐵 = {(2,1); (−1,3)}, 𝐵 ′ = {(5, −1); (−8,3)}
Y luego determinar [𝑥]𝐵 si [𝑥]𝐵′ = [4]
3
4. Dado el siguiente sistema lineal homogénea
2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 2𝑤 = 0
{ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 0
−𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 2𝑤 = 0
Se pide:
a) (15 puntos) Hallar el espacio nulo
b) (5 puntos) Hallar la nulidad del espacio
c) (5 puntos) Hallar una base para el espacio nulo
UNIVERSIDAD DEL VALLE
EXAMEN – PATRÓN
Estudiante:
Asignatura: ÁLGEBRA II
Evaluación: 1erP
2doP
Carrera(s):
Grupo (s):
Final
Gestión: I-2022
Sede Central X
Unidades temáticas avanzadas
(programa analítico):
Nota Del
Examen:
Fecha: 14/04/202208:35
UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES
Unidades temáticas a Evaluar: UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES
----------------------------Flores Flores Edgar
----------------------------Mejia Paredes Tito
Nombre y Firma Docente(s):
-----------------------------Soliz Panozo Pablo
-----------------------------Villarroel Cardona Maria
____________________
VoBo Director
---_-----------------------Zerda Arnez Madai
Ponderación Examen Escrito:
Ponderación Examen teórico:
Ponderación Laboratorio:
Firma Estudiante:
40 %
20 %
NOTA:
SEGUNDA PARTE (Examen Teórico)
Responda a las siguientes preguntas marcando sólo una de las opciones:
1. Si 𝑊 es un subespacio vectorial de 𝑅 2, entonces 𝑊 debe contener al vector nulo (0,0)
a) Siempre
b) Algunas veces
c) Depende del Subespacio Vectorial
d) Si 𝑊 no es vacío
e) Nunca
2. Si 𝑊 es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V, entonces:
a) El vector nulo solo está en 𝑉
b) El vector nulo solo está en 𝑊
c) El vector nulo no está en 𝑉 ni 𝑊
d) El vector nulo solo está en 𝑉 y 𝑊
e) Ninguno de los anteriores incisos
3. Bajo las siguientes operaciones:
𝑥1
𝑥2
𝑥 + 𝑥2 + 1
(𝑦 ) + (𝑦 ) = ( 1
)
𝑦1 + 𝑦2 + 1
1
2
𝑥1
𝜆 + 𝜆𝑥1 − 1
𝜆 (𝑦 ) = (
)
𝜆
+ 𝜆𝑦1 − 1
1
Es un espacio vectorial, entonces:
0
a) El vector nulo es ( )
0
1
b) El vector nulo es ( )
1
−𝑥1
c) El inverso aditivo es (−𝑥 )
2
−𝑥 − 2
d) El inverso aditivo es ( 1
)
−𝑥2 − 2
e) Ninguno de los incisos anteriores
4. Un subespacio vectorial:
a) Es cerrado respecto a la suma de vectores, pero no es cerrado respecto a la multiplicación por un
escalar
b) No es cerrado respecto a la suma de vectores, pero si es cerrado respecto a la multiplicación por
un escalar
c) Es cerrado respecto a la suma de vectores, tampoco es cerrado respecto a la multiplicación por un
escalar
d) Es cerrado respecto a la suma de vectores, y es cerrado respecto a la multiplicación por un escalar
e) Ninguno de los incisos anteriores
5. Las columnas de la matriz de transición de la base 𝐵 a la base 𝐵′ son:
a) Los vectores de 𝐵
b) Los vectores de 𝐵′
c) Las coordenadas de los vectores de 𝐵 respecto de la base 𝐵′
d) Las coordenadas de los vectores de 𝐵′ respecto de la base 𝐵
e) Ninguna de las anteriores.
6. En ℝ3 , siendo 𝐵 = {(1,0,0), (0, −1,0), (0,0,1)} y 𝐵′ = {(2,0,0), (0,1,0), (0,0,3)} bases de este
espacio vectorial, entonces, la matriz de cambio de transición de 𝐵′ a 𝐵 es:
2 0 0
a) (0 −1 0)
0 0 3
1 0 0
b) (0 −1 0)
0 0 1
1/2 0
0
c) ( 0 −1 0 )
0
0 1/3
2 0 0
d) (0 1 0)
0 0 3
e) Ninguno de los anteriores incisos
7. Si una matriz 𝐴 de 8 × 5 es de rango 5; entonces podemos decir lo siguiente:
a) El espacio fila tiene una dimensión menor a 5
b) El espacio columna tiene una dimensión menor a 5
c) El espacio columna tiene una dimensión igual a 5
d) El espacio fila tiene una dimensión igual a 8
e) Ninguno de los anteriores incisos
8. Si 𝐴 es una matriz de tamaño 7 × 7, con determinante igual a −5, entonces podemos decir que el
espacio nulo del sistema 𝐴𝑥 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
Tiene una base con siete vectores
Tiene una base con cinco vectores
Tiene un base vacío
Tiene una base de un solo vector diferente de cero
Ninguno de los anteriores incisos
9. Un conjunto de vectores es base de un espacio vectorial si:
a) Son linealmente independientes y es un conjunto generador
b) Son linealmente independientes y no es un conjunto generador
c) No son linealmente independientes y es un conjunto generador
d) No son linealmente independientes y no es un conjunto generador
e) Ninguno de los incisos anteriores
10. Si la dimensión de un espacio vectorial es 𝑛, entonces:
a) Existen exactamente 𝑛 bases
b) Existe una única base con 𝑛 vectores linealmente independientes
c) Todas las bases tienen 𝑛 vectores linealmente independientes
d) Todas las bases tienen 𝑛 vectores linealmente dependientes
e) Ninguno de los anteriores incisos
SOLUCIONES
1.
(25 puntos) Demostrar que el siguiente conjunto:
es un subespacio vectorial de 𝑃2 (polinomios de grado menos o igual a 2)
Reescribiendo
Para demostrar que 𝑊 es un subespacio vectorial debemos mostrar que no es vacío:
Dando valores arbitrarios para 𝑎 y 𝑐 calculamos el valor de 𝑏
y que cumplen las siguientes condiciones:
I.
Cerradura para la suma de polinomios de grado menor o igual a 2
Sean los polinomios
II.
2.
Cerradura para el producto por escalares
[25 puntos] Determine si el conjunto 𝑅 2 , con las operaciones:
𝑥1
𝑥2
2𝑥 + 2𝑥2
(𝑦 ) + (𝑦 ) = ( 1
)
2𝑦1 + 2𝑦2
1
2
𝑥1
𝑐𝑥1
𝑐 (𝑦 ) = (𝑐𝑦 )
1
1
es un espacio vectorial.
𝑥1
𝑥2
𝑥3
Verifiquemos los 10 axiomas. Sean (𝑦 ) , (𝑦 ) , (𝑦 ) ∈ 𝑅 2 , 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
1
𝑥1
𝑥2
2𝑥 + 2𝑥2
i. (𝑦 ) + (𝑦 ) = ( 1
) ∈ 𝑅2
2𝑦1 + 2𝑦2
1
2
2
3
𝑥1
𝑥2
𝑥2
𝑥1
2𝑥 + 2𝑥2
2𝑥 + 2𝑥1
ii. (𝑦 ) + (𝑦 ) = ( 1
)=( 2
) = (𝑦 ) + (𝑦 )
2𝑦1 + 2𝑦2
2𝑦2 + 2𝑦1
1
2
2
1
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1
2𝑥 + 2𝑥3
iii. (𝑦 ) + [(𝑦 ) + (𝑦 )] = (𝑦 ) + ( 2
)
2𝑦2 + 2𝑦3
1
2
3
1
2𝑥 + 2(2𝑥2 + 2𝑥3 )
=( 1
)
2𝑦2 + 2(2𝑦2 + 2𝑦3 )
2𝑥 + 4𝑥2 + 4𝑥3
=( 1
)
2𝑦2 + 4𝑦2 + 4𝑦3
No cumple la asociatividad, por tanto, no es espacio vectorial.
3. (25 puntos) Determine si el siguiente conjunto:
 3 1   3 2   5 1   0 1  

,
,
,

 0 0   0 0   0 6   0 7  
Es una base es una base para 𝑀2×2
Para que sea base debe cumplir:
i) Ser limealmente independientes, es decir
3 1
 3 2
 5 1 
0 1  0 0
1 
  2 
  3 
  4 


0 0
0 0
 0 6
 0 7   0 0 
 31  3 2  53 1  2 2   3   4   0 0 



0
63  7 4

 0 0
 31  3 2  53  0

1  2 2  3   4  0

63  7 4

 1   0 
 3 3 5 4     

  2   0 
1 2 1 1     0
 0 0 6 7   3   

 
 4  0
Es un sistema con infinitas soluciones, por lo que los vectores no son linealmente independientes
No es una base
4. (20 Puntos) Determinar la matriz de transición de la base 𝐵′ a la base 𝐵, donde:
𝐵 = {(2,1); (−1,3)}, 𝐵 ′ = {(5, −1); (−8,3)}
Y luego determinar [𝑥]𝐵 si [𝑥]𝐵′ = [4]
3
Determinamos las coordenadas de los elementos de la base 𝐵′ respecto a la base 𝐵:
Tomando 𝑣1 = (5, −1) y la base 𝑢1 = (2,1), 𝑢2 = (−1,3) se tiene:
(5, −1) = 𝑎11 (2,1) + 𝑎12 (−1,3)
Luego el sistema:
5 = 2𝑎11 − 𝑎12
{
−1 = 𝑎11 + 3𝑎12
Cuya solución es:
𝑎11 = 2
𝑎12 = −1
De la misma forma, tomando 𝑣2 = (−8,3) y la base 𝑢1 = (2,1), 𝑢2 = (−1,3) se tiene:
(−8,3) = 𝑎21 (2,1) + 𝑎22 (−1,3)
Luego el sistema:
{
−8 = 2𝑎21 − 𝑎22
3 = 𝑎21 + 3𝑎22
Cuya solución es:
𝑎21 = −3
𝑎22 = 2
Entonces, la matriz de transición de la base 𝐵′ a la base 𝐵 es:
2 −3
𝑃=(
)
−1 2
Luego, si [𝑥]𝐵′ = [4] utilizando la matriz de transición se tiene:
3
[𝑥]𝐵 = ( 2 −3) [4]
−1 2 3
[𝑥]𝐵 = [−1]
2
5. [20 puntos] Dado el siguiente sistema lineal homogénea
2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 2𝑤 = 0
b) { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 0
−𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 2𝑤 = 0
Se pide:
a) Resolviendo el sistema:
2 2
(1 2
−1 1
4 −2
1 1 2 −1
1 2 ) 1/2𝐹1 → 𝐹1 ( 1 2 1 2 )
4 −2
−1 1 4 −2
1 1
−𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 ( 0 1
−1 1
2 −1
1
−1 3 ) 𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (0
4 −2
0
1
−2𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹3 (0
0
1 2 −1
1 −1 3 )
0 8 −9
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0
{ 𝑦 − 𝑧 + 3𝑤 = 0
8𝑧 − 9𝑤 = 0
c)
De la última ecuación tenemos que:
9
𝑧= 𝑤
8
Reemplazando en la 2da ecuación:
𝑦 − 𝑧 + 3𝑤 = 0
9
𝑦 − 𝑤 + 3𝑤 = 0
8
15
d) 𝑦 + 8 𝑤 = 0
e) 𝑦 = −
15
8
𝑤
En la Ec1 tenemos:
15
9
𝑤 + 2 ( 𝑤) − 𝑤 = 0
8
8
−15𝑤 + 18𝑤 − 8𝑤
𝑥+
=0
8
𝑥−
1 2 −1
1 −1 3 )
2 6 −3
5
𝑥− 𝑤=0
8
5
f) 𝑥 = 8 𝑤
g)
El espacio nulo:
5
𝑤
8
15
h) 𝑊 =
−
𝑤 :𝑤 ∈ 𝑅
𝑤
8
{( 𝑤 )
}
8
9
b)
Según la formula aprendida:
𝑑 =𝑛−𝑟
Donde 𝑛 es el número de incognitas y 𝑟 es el rango de la matriz
𝑛 = 4; 𝑟 = 3
Entonces 𝑑 = 4 − 3 = 1
5
8
15
c) Como 𝑑 = 1 y además se tiene que el espacio nulo es generado por el vector
−
8
9
8
( 1 )
5
5
𝑤
8
8
15
15
− 𝑤 =𝑤 −
8
8
9
9
𝑤
8
8
( 𝑤 )
( 1 )
Entonces por los teoremas vistos en clase tenemos que:
5
8
15
−
8
9
8
{( 1 )}
Es una base del subespacio W
ya que