Variables alatorias

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA II
LECCIÓN 3: VARIABLES ALEATORIAS.
1.- El propietario de un establecimiento que vende equipos musicales estima una probabilidad
de 0,2 de que un cliente que entra en su establecimiento acabe comprando un equipo completo.
¿Cuántos clientes deben entrar para que la probabilidad de vender al menos un equipo sea de
0,9?
2.- En un estudio sobre los precios en el sector de la confección se ha contrastado que en un 20%
de los establecimientos se vende un determinado artículo a un precio superior al recomendado
por el fabricante. Si se toma una muestra aleatoria de 25 establecimientos, determine cuál es la
probabilidad de encontrar:
a) más de dos establecimientos con un precio superior al recomendado.
b) 3 ó 4 establecimientos con un precio superior al recomendado?
c) Si en la muestra hay más de 2 establecimientos con un precio superior al
recomendado, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 o 4 establecimientos con un precio
superior al recomendado?
3.- En una fábrica, el número de accidentes por semana sigue una ley de Poisson. Si como
promedio se producen dos accidentes semanales, se pide:
a) La probabilidad de que en una semana haya algún accidente.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sucedan dos accidentes en una semana y otros dos en
la semana siguiente?
c) Si nos dicen que ha habido algún accidente, calcular la probabilidad de que en dicha
semana no haya más de tres accidentes.
4.- Una compañía de seguros ha descubierto que alrededor del 0,1% de la población tiene cierto
tipo de accidente cada año. Si los 10.000 asegurados fueron seleccionados aleatoriamente en la
población, calcular:
a) El número de accidentes esperados.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 5 de los clientes tengan un accidente de ese
tipo el próximo año?
5.- La dirección de un hotel sabe que hay una probabilidad del 5% de que las reservas para el fin
de semana realizadas con antelación no sean cubiertas. Por ello, practica una política consistente
en admitir 52 reservas, aun cuando el hotel dispone sólo de 50 habitaciones. ¿Cuál es la
probabilidad de que un fin de semana determinado haya habitación para todos los clientes que
confirmen su reserva?
6.- Se sabe que el 20% de las revisiones de la declaración de un determinado tributo acaban con
una sanción. Si en una oficina se realizan 25 revisiones al mes, ¿cuál es la probabilidad de que
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se produzcan más de 2 sanciones en un mes? Si el valor medio de las sanciones es de 3000 €,
determine los ingresos mensuales esperados por sanciones en esta oficina.
7.- El proceso de producción de teléfonos portátiles de una empresa se somete a un control de
calidad, analizándose un número fijo de aparatos semanalmente. Este control de calidad da una
media de 2 aparatos defectuosos por inspección, con una varianza de 1,92. ¿Cuál es la
probabilidad de encontrar menos de dos aparatos defectuosos por inspección?
8.- Una compañía de seguros ha realizado estudios que muestran que el 0,003% de los habitantes
de una gran ciudad fallece cada año como resultado de un determinado tipo de accidente.
Calcular:
a) La probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de3 de los 10.000
asegurados que tiene.
b) El número de accidentes esperados.
9.- Se ha descubierto que el 13,5% de los ordenadores vendidos por una empresa multinacional
no contiene ningún sector defectuoso en su disco duro. Si suponemos que el número de sectores
defectuosos por disco duro es una variable aleatoria de Poisson, determine el porcentaje de
ordenadores vendidos que contienen un sector defectuoso en su disco duro.
10.- Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una Poisson tal que P(X=1)=P(X=2).
Determinar la probabilidad de que X=4.
11.- Supongamos que en un cierto país el número de accidentes por semana presenta una
proporción de uno por cada 250.000 habitantes. Determine la probabilidad de que en una cierta
ciudad de ese país con 500.000 habitantes haya seis o más accidentes en una semana.
12.- El porcentaje de tabletas defectuosas de cierto medicamento fabricado en unos laboratorios
es del 1,2%. Si las tabletas se envasan en tubos de 25, ¿cuál es la probabilidad de que un tubo
contenga 3 tabletas defectuosas? Si los tubos se colocan en cajas de 20 unidades, ¿cuál es la
probabilidad de que una caja contenga 15 tubos sin ninguna tableta defectuosa?
13.- El tiempo en minutos que tarda una persona en ir de su casa al trabajo oscila entre 20 y 30
minutos. Si debe llegar al trabajo a las 8 de la mañana, a qué hora debe salir de su casa para
tener una probabilidad de 0,9 de no llegar tarde?
14.- Suponga que cinco alumnos realizan un examen de forma independiente y que el tiempo,
en minutos, que uno cualquiera de ellos tarda en terminarlo sigue una distribución exponencial
de media 80 minutos. Si el examen empieza a las 9.00 horas, calcular la probabilidad de que
como mínimo dos de las cinco personas terminen el examen antes de las 10.00.
15.- Un autobús pasa por cierta parada cada 8 minutos, aproximadamente. El tiempo que debe
esperar un usuario que llega a dicha parada se distribuye uniformemente en el intervalo (0-8) si
el autobús no lleva retraso y exponencialmente, con media 10, cuando el autobús lleva retraso.
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Si el autobús se retrasa en uno de cada tres servicios, calcular la probabilidad de que el usuario
tenga que esperar menos de cinco minutos.
16.- Los ingresos familiares (en miles de dólares) de un determinado país siguen una distribución
Ji-cuadrado con media 3. Si se seleccionan aleatoriamente 100 familias de ese país, cuál es la
probabilidad de que 9 ó 10 de esas familias tengan unos ingresos superiores a 6250 dólares?
17.- Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina durante un período de tiempo se comporta
con arreglo a una ley normal de media 150000 litros y desviación estándar 10000 litros,
determinar la cantidad de gasolina que hay que tener dispuesta a la venta en dicho período para
poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95.
18.- Las variables aleatorias U y V se distribuyen como una Ji-dos con m grados de libertad y
una t de Student con n grados de libertad, respectivamente.
a) Calcular los valores de “a” para los que P(U>a)=0,05 cuando “m” toma los valores 9,
25 y 72.
b) Calcular P(U<14,69) con m=9.
c) Calcular P(U<22,37) con m=13.
d) Calcular b para que P(V>b)=0,01 con n= 20 , n=40 y n=50.
19.- Para una variable aleatoria T que se distribuye según una t de Student con “n” grados de
libertad, calcular las siguientes probabilidades:
a) P(T > 2,306) si n=8.
b) P(T < 3,169) si n=10.
c) P(T> 2,528) si n=20.
d) P(-1,33 < T < 2,55) si n=18.
20.- Dada una variable aleatoria F que se distribuye como una Fn,d, se pide:
a) El valor F* para el que P(F>F*)=0,05 cuando n=6 d=17.
b) El valor F* para el que P(F>F*)=0,05 cuando n=10 d=35.
c) Para n=7 y d=20, el valor F* para el que P(F<F*)=0,01.
d) Siendo n=3 y d=8, calcular P(0,07<F<2,92).
21.- De una estación parte un tren cada 20 minutos. Un viajero llega aleatoriamente. Hallar:
a) La función de distribución de la variable aleatoria “tiempo de espera”.
b) Probabilidad de que espere el tren menos de 7 minutos.
c) Esperanza y varianza de la variable aleatoria “tiempo de espera”.
d) Probabilidad de que espere exactamente 12 minutos.
22.- Se sabe que las retribuciones percibidas por una compañía naviera se distribuyen
normalmente. Se conoce, por las relaciones de seguros sociales, que el 0.82% son superiores a
34800 € y el 10.20% inferiores a 7200 €, ¿qué proporción de las retribuciones son superiores a
22800 €?
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23.- En un banco, la probabilidad de recibir un cheque sin fondos es del 15%. Si durante una
semana se espera recibir 2000 cheques, hállense las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Que haya como máximo 175 cheques sin fondos.
b) Que el número de cheques sin fondos esté comprendido entre 260 y 400.
c) Que los cheques sin fondos recibidos sean más de 370.
24.- La duración de una serie de elementos sigue una distribución exponencial con media 8
meses. Calcular:
a) La probabilidad de que un elemento tenga una vida entre 3 y 12 meses.
b) La probabilidad de que un elemento que ya ha durado 10 meses, dure 15 meses más.
25.- Los ingresos familiares, en miles de dólares, de una determinada región siguen una
distribución ji-dos con media igual a 6. Se desea averiguar:
a) ¿Qué porcentaje de familias de dicha región poseen rentas superiores o iguales a
10650 dólares?
b) Si a las familias que perciben ingresos inferiores a la primera decila se las considera
bajo el umbral de la pobreza ¿a cuántos dólares asciende dicho umbral?
26.- Dos marcas comerciales se dedican a la venta de un mismo tipo de artículo. Las ventas,
para ambas marcas, se comportan con arreglo a la ley normal de media 1800 unidades y
desviación típica de 150 unidades, para la primera marca, y 1650 unidades de media, con
desviación típica de 120 unidades, para la segunda. Determinar la probabilidad de que las ventas
de la primera marca superen en más de 100 unidades a las de la segunda, suponiendo que las
ventas de una y otra marca son independientes.
27.- El servicio de asistencia técnica de una empresa distribuidora viene realizando
habitualmente reparaciones cuya duración oscila entre 1 y 3 horas. Suponiendo que no existe
ninguna tendencia especial acerca del tiempo invertido en cada reparación, y sabiendo que el
servicio técnico cobra un precio de 12 € por hora de trabajo más una cantidad fija de 6 € por
reparación, en concepto de derecho de asistencia, calcular:
a) ¿Cuál es la probabilidad de facturar, en una reparación, una cantidad superior a 36 €?
b) ¿Qué ingreso se espera obtener en una reparación? ¿Cuál es la probabilidad de
superar, en una reparación, dicho ingreso medio?
c) ¿Cuánto tiempo habrá que emplear como mínimo, en una reparación, para que la
factura correspondiente sea superada en el 80% de las reparaciones?
28.- Cierta universidad ha realizado 4500 solicitudes de becas para el presente curso. Las
puntuaciones de las solicitudes siguen una distribución normal con media 6,2 y desviación
estándar 0,6. La distribución del número de hermanos sigue un modelo de Poisson de media 2.
Si en principio, se quiere conceder becas a todos aquellos solicitantes con puntuación superior
a 7 y que tengan al menos 3 hermanos, ¿cuántas becas habrá que conceder?
29.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Si la
tensión se distribuye como una normal de media 100 y desviación estándar 20 y la capacidad
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PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA II
como una normal de media 140 y desviación estándar 10, calcular la probabilidad de avería
suponiendo que la tensión y la capacidad varían independientemente
30.- En una planta industrial se fabrican artículos de forma independiente, y el tiempo, en
minutos, que se tarda en la fabricación de cualquiera de ellos sigue una distribución P2 de media
40 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 artículos, al menos se hayan fabricado 3 en
menos de 29 minutos cada uno?.
31.- La duración en años de un ratón informático es una variable aleatoria que sigue una
distribución de probabilidad exponencial de media 2 años.
a) Determinar la probabilidad de que la duración en años este comprendida entre 2’5 y
3’5 años.
b) Si en una empresa hay 15 ratones ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno dure más
de 4 años?
32.- La cantidad de dinero que las personas de una cierta ciudad llevan en sus bolsillos sigue una
distribución normal de media 9 € y desviación típica 3 €. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que elegida una persona al azar lleve en sus bolsillos
menos de 9 €.
b) Calcular la probabilidad de que elegida una persona al azar lleve en sus bolsillos
menos de 6 € o más de 15 €.
c) Se eligen aleatoriamente 15 personas ¿cuál es la probabilidad de que entre todas
puedan pagar una cena de 150 € ?
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SOLUCIONES de la lección 3.
1.- 11.
2.- 0.9018; 0.3225; 0.3576.
3.- 0.8647; 0.0733; 0.8347.
4.- 10; 0.0671.
5.- 0.7406.
6.- 0.9018; 15000 €.
7.- 0.4006.
8.- 0.0003; 0.3.
9.- 0.27.
10.- 0.0902.
11.- 0.0166.
12.- 0.003; 0.2012.
13.- 7h 31m.
14.- 0.845.
15.- 0.5478.
16.- 0.2623.
17.- 166450 l.
18.- 16.93
90.53 ; 0.9; 0.05; 2.528
2.423
2.403.
19.- 0.025; 0.995; 0.01; 0.89.
20.- 2.70; 2.11; 0.16; 0.875.
21.- x/20; 0.35; 10 y 33.3; 0.
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22.- 0.2119.
23.- 0; 0.9945; 0.
24.- 0.4642; 0.1532.
25.- 0.1; 2200 dólares.
26.- 0.6026.
27.- 0.25; 5000 y 0.5; 1.4.
28.- 133.55.
29.- 0.0367.
30.- 0.0702.
31.- 0.1127; 0.1129.
32.- 0.5; 0.1815; 0.0985.
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