En matemáticas , el sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto en un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia. El punto de referencia (análogo al origen de un sistema de coordenadas cartesiano ) se llama polo , y el rayo del polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se llama coordenada radial , distancia radial o simplemente radioy el ángulo se llama coordenada angular , ángulo polar o acimut . [1] Los ángulos en notación polar generalmente se expresan en grados o radianes (2 π rad es igual a 360°). Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron los conceptos de forma independiente a mediados del siglo XVII, aunque el término real “coordenadas polares” se atribuyó a Gregorio Fontana en el siglo XVIII. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital . Las coordenadas polares son más apropiadas en cualquier contexto donde el fenómeno que se está considerando está ligado inherentemente a la dirección y la longitud desde un punto central en un plano, como espirales . Los sistemas físicos planos con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos que se originan en un punto central, suelen ser más simples e intuitivos de modelar utilizando coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares se extiende a tres dimensiones de dos maneras: los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas . Aplicación Las coordenadas polares son bidimensionales y, por lo tanto, solo se pueden usar donde las posiciones de los puntos se encuentran en un solo plano bidimensional. Son más apropiados en cualquier contexto donde el fenómeno que se está considerando está ligado inherentemente a la dirección y la longitud desde un punto central. Por ejemplo, los ejemplos anteriores muestran cómo las ecuaciones polares elementales son suficientes para definir curvas, como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en el sistema de coordenadas cartesianas sería mucho más compleja. Además, muchos sistemas físicos, como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central o con fenómenos que se originan en un punto central, son más simples e intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital.. Posición y navegación Las coordenadas polares se utilizan a menudo en la navegación , ya que el destino o la dirección de viaje se pueden dar como un ángulo y una distancia desde el objeto que se está considerando. Por ejemplo, los aviones utilizan una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares para la navegación. En este sistema, el que generalmente se usa para cualquier tipo de navegación, el rayo 0° generalmente se denomina rumbo 360, y los ángulos continúan en el sentido de las agujas del reloj, en lugar de en el sentido contrario a las agujas del reloj, como en el sistema matemático. El rumbo 360 corresponde al norte magnético , mientras que los rumbos 90, 180 y 270 corresponden al este, sur y oeste magnéticos, respectivamente. [20] Por lo tanto, un avión que viaje 5 millas náuticas hacia el este viajará 5 unidades en el rumbo 90 (léasecero-nueve-cero por el control de tráfico aéreo ). Modelado Los sistemas que muestran simetría radial proporcionan configuraciones naturales para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un buen ejemplo de este uso es la ecuación de flujo de agua subterránea cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. Los sistemas con una fuerza radial también son buenos candidatos para el uso del sistema de coordenadas polares. Estos sistemas incluyen campos gravitatorios , que obedecen la ley del inverso del cuadrado , así como sistemas con fuentes puntuales , como antenas de radio . . Los sistemas radialmente asimétricos también se pueden modelar con coordenadas polares. Por ejemplo, el patrón de captación de un micrófono ilustra su respuesta proporcional a un sonido entrante desde una dirección determinada, y estos patrones se pueden representar como curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el micrófono unidireccional más común, puede representarse como r = 0,5 + 0,5 sin( ϕ ) en su frecuencia de diseño objetivo. [22] El patrón cambia hacia la omnidireccionalidad en frecuencias más bajas. Aplicaciones 2.0 Te ayuda a encontrar tu camino y si piensas que no porque usas GPS, entonces el sistema de coordenadas está a una capa de distancia de ti. Las coordenadas son utilizadas por todas las máquinas herramientas, impresoras e impresoras 3D del mundo. Tu cerebro te guía a través del reino físico utilizando su propio sistema de coordenadas altamente evolucionado. Puede que no uses conscientemente un sistema de coordenadas en toda tu vida pero tu cerebro está usando uno en un nivel inconsciente todo el tiempo. Siempre que quieras describir cosas que giran en un plano alrededor de otra cosa, podría tener sentido describir la situación con coordenadas polares. Aunque muchas veces tenemos que ir a coordenadas esféricas o cilíndricas porque también hay movimiento en un tercer eje. por ejemplo: Movimientos astronómicos. Péndulos Cosas giratorias y peonzas. Todo lo que se describe con números complejos puede beneficiarse de su visión polar, por ejemplo, las corrientes alternas y sus resistencias. En la vida real, en las necesidades/problemas del día a día, generalmente las coordenadas polares en sistemas bidimensionales encuentran uso en problemas relacionados con gráficos (curvilíneos). En tres dimensiones utilizado en astronomía, mecánica cuántica, etc. Las coordenadas polares se usan cuando tienen sentido más que algún otro sistema de coordenadas. Eso generalmente significa que el problema en cuestión tiene algún tipo de simetría circular. El uso de coordenadas rectangulares para un problema de simetría circular es un trabajo extra y , por lo tanto, más oportunidades de cometer un error. Las coordenadas polares pueden ser muy útiles para todo lo relacionado con la rotación. Un ejemplo clásico es el indicador de posición del plan (PPI), familiar de muchas películas. Aquí, vemos un rayo que se desplaza en un círculo, con la distancia medida desde el centro. Podríamos especificar qué un punto tiene un ángulo desde una dirección de referencia y una distancia desde el origen. Cómo escuchamos en las películas de guerra, obtendríamos un informe de posición como “¡Rumbo 40 grados, distancia 23 millas!” podríamos especificar el punto en coordenadas cartesianas (También conocido como coordenadas rectangulares), pero eso sería bastante torpe. Las coordenadas polares hacen que la posición sea mucho más clara. Para números complejos, algunas cosas son más fáciles en representación polar y otras son más fáciles en representación rectangular. Para sumas y restas, la forma rectangular (diagrama superior) es más fácil usar, pero para multiplicaciones y divisiones, la forma polar ( diagrama inferior) es más fácil de usar. En la vida diaria, usamos variaciones en coordenadas polares más de lo que imaginas. Por ejemplo, podríamos decir: “gire a la izquierda en tal calle y conduzca 2 km” acabamos de especificar un ángulo y una distancia.