Explicación Definción de transformada Z

∞
El instante cuando n = -2
El instante cuando n= -1
El instante cuando n= 0
El instante cuando n= 1
El instante cuando n= 2
El instante cuando n= 3
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = � 𝑥𝑥 [𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑛𝑛=−∞
𝑥𝑥 [−2] = 0 𝑦𝑦
𝑧𝑧 −(−2)
𝑥𝑥 [−1] = 0 𝑦𝑦
𝑧𝑧 −(−1)
0𝑧𝑧 2
0𝑧𝑧1 = 0𝑧𝑧
𝑥𝑥 [0] = 1 𝑦𝑦
𝑧𝑧 −(0)
𝑥𝑥 [1] = 2 𝑦𝑦
𝑧𝑧 −(1)
𝑥𝑥 [2] = 0 𝑦𝑦
𝑧𝑧 −(2)
𝑥𝑥 [3] = 1 𝑦𝑦
𝑧𝑧 −(3)
1𝑧𝑧 0 = 1
2𝑧𝑧 −1
0𝑧𝑧 −2
1𝑧𝑧 −3
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 0𝑧𝑧 2 + 0𝑧𝑧 + 1 + 2𝑧𝑧 −1 + 0𝑧𝑧 −2 + 1𝑧𝑧 −3
Explicación del Ejemplo 1: Función polinomial
∞
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = � 𝑥𝑥 [𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑥𝑥 [𝑛𝑛] = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑢𝑢[𝑛𝑛],
∞
∞
𝑛𝑛 −𝑛𝑛
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = � 𝑎𝑎 𝑧𝑧
𝑛𝑛=0
𝑛𝑛=−∞
∞
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ𝑜𝑜
= �(𝑎𝑎𝑧𝑧 −1 )𝑛𝑛 =
𝑛𝑛=0
𝑧𝑧
𝑧𝑧
1
∗ =
−1
𝑧𝑧 𝑧𝑧 − 𝑎𝑎
1 − 𝑎𝑎𝑧𝑧
� 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 𝑧𝑧 −0 + 𝑎𝑎1 𝑧𝑧 −1 + 𝑎𝑎2 𝑧𝑧 −2 + ⋯ = 1 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 −1 + 𝑎𝑎2 𝑧𝑧 −2 … . = 1 +
𝑛𝑛=0
𝑁𝑁
� 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑁𝑁
𝑛𝑛=0
𝑁𝑁
𝑎𝑎 � 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+1
𝑛𝑛=0
𝑁𝑁
� 𝑎𝑎𝑛𝑛 (1 − 𝑎𝑎) = 1 − 𝑎𝑎𝑁𝑁+1
𝑛𝑛=0
Si |𝑎𝑎 |< 1
Razón de convergencia
𝑁𝑁
� 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑛𝑛=0
1 − 𝑎𝑎𝑁𝑁+1
(1 − 𝑎𝑎)
𝑁𝑁
� 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑛𝑛=0
𝑎𝑎
|𝑎𝑎𝑧𝑧 −1 | < 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, � 1 � < 1 ,
𝑧𝑧
1
1 − 𝑎𝑎
|𝑎𝑎| < 1 ∗ |𝑧𝑧1 | , |𝑎𝑎| < |𝑧𝑧1 |
𝑎𝑎 𝑎𝑎2
+ .
𝑧𝑧 𝑧𝑧 2
Explicación del Ejemplo 2: Función polinomial
∞
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = � 𝑥𝑥 [𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑛𝑛=−∞
−1
𝑛𝑛 [
[
]
𝑥𝑥 𝑛𝑛 = −𝑎𝑎 𝑢𝑢 −𝑛𝑛 − 1]
𝑛𝑛 −𝑛𝑛
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = � −𝑎𝑎 𝑧𝑧
𝑛𝑛=−∞
∞
= � −𝑎𝑎
𝑛𝑛=1
∞
1
1 − 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧 − 1
−𝑎𝑎−1 𝑧𝑧 𝑎𝑎𝑧𝑧 −1
1
𝑧𝑧 = 1 − �(𝑎𝑎−1 𝑧𝑧)𝑛𝑛 = −
=
=
∗
1 1 − 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧
1 − 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧
1 − 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧 𝑎𝑎𝑧𝑧 −1
−𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑛𝑛=1
−𝑎𝑎0 𝑧𝑧 0
−1
−1
1
1
𝑧𝑧
𝑧𝑧
= −1
= −1
∗
=
=
∗ =
0
0
−1
−1
𝑎𝑎𝑧𝑧 − 1 −1 −𝑎𝑎𝑧𝑧 + 1 1 − 𝑎𝑎𝑧𝑧
𝑧𝑧 𝑧𝑧 − 𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑧𝑧 − 𝑎𝑎 𝑧𝑧
∞
Razón de convergencia
� 𝑎𝑎−𝑛𝑛 𝑧𝑧 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧1 + 𝑎𝑎−2 𝑧𝑧 2 + 𝑎𝑎−3 𝑧𝑧 3 + ⋯ = 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧 + 𝑎𝑎−2 𝑧𝑧 2 + 𝑎𝑎2 𝑧𝑧 −2 … ..
𝑛𝑛=1
𝑍𝑍�−𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑢𝑢[−𝑛𝑛
1
− 1]� =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: |𝑧𝑧| < |𝑎𝑎|
−1
1 − 𝑎𝑎𝑎𝑎
|𝑎𝑎−1 𝑧𝑧| < 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, �
𝑧𝑧
� <1
𝑎𝑎1
|𝑧𝑧| < 1 ∗ |𝑎𝑎1 |
Función: Escalón unitario
Entonces:
∞
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 𝑍𝑍[1(𝑡𝑡)] = 𝑍𝑍�𝑢𝑢 [𝑛𝑛]� = � 𝑢𝑢[𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛 = 1𝑧𝑧 −0 + 1𝑧𝑧 −1 + 1𝑧𝑧 −2 + ⋯ + 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 =
𝑛𝑛=0
Función: Impulso Unitario
El impulso unitario 𝛿𝛿(𝑛𝑛) está definido como
𝑧𝑧
𝑧𝑧
1
∗ 1=
𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜: |𝑧𝑧| > 1
−1
𝑧𝑧
𝑧𝑧 − 1
1 − 𝑧𝑧
Función: rampa
La señal rampa unidad se denota como 𝑢𝑢𝑟𝑟 (𝑛𝑛) y se define como:
∞
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 𝑍𝑍�𝑢𝑢𝑟𝑟 [𝑛𝑛]� = � 𝑢𝑢𝑟𝑟 [𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛 = 0𝑧𝑧 −0 + 1𝑧𝑧 −1 + 2𝑧𝑧 −2 + 3𝑧𝑧 −3 + ⋯ + 𝑛𝑛𝑧𝑧 −𝑛𝑛 =
𝑛𝑛=0
𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 1𝑧𝑧 −1 + 2𝑧𝑧 −2 + 3𝑧𝑧 −3 + 4𝑧𝑧 −4 + ⋯ + 𝑛𝑛𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑧𝑧 −1 𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 0 𝑧𝑧 −1
𝑧𝑧 −1
, 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: |𝑧𝑧| > 1
(1 − 𝑧𝑧 −1 )2
+ 1𝑧𝑧 −2 + 2𝑧𝑧 −3 + 3𝑧𝑧 −4 + ⋯ + 𝑛𝑛−1 𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑋𝑋(𝑧𝑧) − 𝑧𝑧 −1 𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 −1 + 𝑧𝑧 −2 + 𝑧𝑧 −3 + 𝑧𝑧 −4 + ⋯ + 𝑧𝑧 −𝑛𝑛
Factorizar:
𝑋𝑋(𝑧𝑧)[1 − 𝑧𝑧 −1 ] = 𝑧𝑧 −1 [1 + 𝑧𝑧 −1 + 𝑧𝑧 −2 + ⋯ + 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 ]
𝑋𝑋(𝑧𝑧)[1 − 𝑧𝑧
𝑋𝑋(𝑧𝑧) =
−1
] = 𝑧𝑧
−1 �
𝑋𝑋(𝑧𝑧)[1 − 𝑧𝑧
−1
𝑧𝑧 −1
1
�=
1 − 𝑧𝑧 −1
1 − 𝑧𝑧 −1
𝑧𝑧 −1
]=
1 − 𝑧𝑧 −1
𝑧𝑧 −1
𝑧𝑧 2
𝑧𝑧 −1
𝑧𝑧1
𝑧𝑧 −1
=
∗
=
=
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: |𝑧𝑧| > 1
[1 − 𝑧𝑧 −1 ](1 − 𝑧𝑧 −1 ) [𝑧𝑧 − 1](𝑧𝑧 − 1) 𝑧𝑧 ∗ 𝑧𝑧 (1 − 𝑧𝑧 −1 )2 (𝑧𝑧 − 1)2
Transformada z MATLAB
𝑍𝑍�𝑢𝑢[𝑛𝑛]� =
𝑍𝑍�𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑢𝑢[𝑛𝑛]� =
𝑧𝑧
1
=
,
−1
𝑧𝑧 − 1
1 − 𝑧𝑧
1
𝑧𝑧
𝑧𝑧
∗ =
,
−1
1 − 𝑎𝑎𝑧𝑧
𝑧𝑧 𝑧𝑧 − 𝑎𝑎
𝑍𝑍�−𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑢𝑢[−𝑛𝑛 − 1]� =
𝑍𝑍�𝑛𝑛 ∗ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑢𝑢[𝑛𝑛]� =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: |𝑧𝑧| > 1
1
𝑧𝑧
𝑧𝑧
∗
=
,
1 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 𝑧𝑧 𝑧𝑧 − 𝑎𝑎
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: |𝑎𝑎| < |𝑧𝑧|
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: |𝑧𝑧| < |𝑎𝑎|
𝑎𝑎𝑎𝑎 −1
𝑧𝑧 2
𝑎𝑎𝑎𝑎
∗
=
, 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: |𝑧𝑧| > |𝑎𝑎|
−1
2
2
(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)2
(1 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ) 𝑧𝑧