Ejemplo de representación de un sistema en espacio de estados

Ejercicio 1:
Considere el sistema mecánico que aparece en la Figura 2-15. Se supone que el
sistema es lineal.
La fuerza externa 𝑢(𝑡) es la entrada al sistema, y el desplazamiento 𝑦(𝑡) de la masa
es la salida. El desplazamiento 𝑦(𝑡) se mide a partir de la posición de equilibrio en
ausencia de una fuerza externa.
Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida.
A partir del diagrama, la ecuación del sistema es:
𝑚𝑦̈ + 𝑏𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝑢
Donde 𝑚 es la masa, 𝑏 es la constante de fricción y 𝑘 es la constante del
resorte.
Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que contiene
dos integradores. Si se definen las variables de estado 𝑥1 (𝑡) y
𝑥2 (𝑡) como:
𝑥1 (𝑡) = 𝑦(𝑡)
𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡)
A continuación se obtiene en el primer análisis
𝑥1̇ = 𝑥2
Se despeja el término 𝑚𝑦̈ :
𝑚𝑦̈ = −𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑢
Considerando que 𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡), entonces:
𝑚𝑥2̇ (𝑡) = −𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑢
𝑥2̇ (𝑡) =
−𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑢 1
𝑢
= (−𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦) +
𝑚
𝑚
𝑚
𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡)
Sustituyendo por las variables de estado:
𝑥2̇ (𝑡) =
1
𝑢 −𝑏𝑥2 𝑘𝑥1 𝑢
(−𝑏𝑥2 − 𝑘𝑥1 ) + =
−
+
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
Otro análisis:
𝑚𝑦̈ + 𝑏𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝑢
𝑥1̇ = 𝑥2
𝑥2̇ =
−𝑏𝑥2 𝑘𝑥1 𝑢
−
+
𝑚
𝑚
𝑚
Al final se llega al mismo resultado:
𝒙𝟏̇ = 𝒙𝟐
𝒙𝟐̇ =
𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏
−𝐛
𝐤
𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏 + 𝒖
𝐦
𝐦
𝐦
𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐
La ecuación de salida es:
𝒚 = 𝐱 𝟏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑
En una forma matricial, las ecuaciones 1 y 2 se escriben como:
0
𝒙𝟏̇
[ ]=[ 𝐤
𝒙𝟐̇
−
𝐦
1 𝐱
0
−𝐛] [ 𝟏 ] + [ 𝟏 ] 𝑢
𝐱𝟐
𝐦
𝐦
, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4
La ecuación de salida, representada por la ecuación 3, se escribe como:
𝐱𝟏
𝑦 = [1 0] [𝐱 ]
𝟐
, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5
La ecuación 4 es una ecuación de estado y la ecuación 5 es una ecuación de
salida para el sistema. Las ecuaciones 4 y 5 están en la forma estándar:
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
Donde:
𝐴=[
0
1
𝐤 −𝐛] ,
−
𝐦 𝐦
0
𝐵 = [𝟏],
𝐦
𝐶 = [1 0],
𝐷=0
A es la matriz de estado; B es la matriz de entrada; C es la matriz de salida; D es la matriz
de transmisión directa.
La Figura 2-16 es un diagrama de bloques para el sistema. Observe que las salidas de los integradores son variables de
estado.
Ejercicio 2: Sistema masa resorte amortiguador
𝑚𝑦̈ + 𝑐𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡)
Donde la masa 𝑚 se multiplica por la
aceleración 𝑦̈ ; la constante de fricción 𝑐
se multiplica por la velocidad 𝑦̇ ; la
constante del resorte 𝑘 se multiplica por
el desplazamiento 𝑦.
Este sistema es de segundo orden, lo
cual significa que contiene dos
integradores. Si se definen las variables
de estado 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) como:
𝑥1 (𝑡) = 𝑦(𝑡)
𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡)
𝑥1̇ = 1𝑥2
𝑦̈ =
−𝑐𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑓(𝑡)
𝑚
𝑥2̇ (𝑡) =
1
𝑓(𝑡)
(−𝑐𝑦̇ − 𝑘𝑦) +
𝑚
𝑚
𝑥2̇ (𝑡) =
−𝑐
𝑘
𝑓(𝑡)
(𝑥2 ) − 𝑥1 +
𝑚
𝑚
𝑚
Pasar las ecuaciones a su forma estándar matricial:
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
A es la matriz de estado; B es la matriz de entrada; C es la matriz de salida; D es la matriz
de transmisión directa
0
[ ]=[ 𝑘
𝑥2̇
−
𝑚
𝑥1̇
1 𝑥
0
−𝑐 ] [ 1 ] + [ 1 ] 𝑓(𝑡)
𝑥2
𝑚
𝑚
Salida del sistema:
𝑦 = 𝑥1
En forma matricial la ecuación de salida sería:
𝑥1
𝑦 = [1 0] [𝑥 ]
2
Ejercicio 3: Circuito eléctrico
El modelado se realiza en los
componentes que almacenan
energía con el paso del tiempo,
lo que significa que su modelo
matemático
contiene
una
derivada.
Paso 1: Encontrar voltajes o corrientes cuya función contenga una derivada.
𝑖𝑐 = 𝐶
𝑑𝑉𝑐
𝑑𝑡
𝑉𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
Salida del sistema
𝑦 = 𝑉𝐿 = 𝑉𝐶
Variables de estado:
𝑥1 = 𝑉𝐶
𝑥2 = 𝑖𝐿
Derivadas de las variables de estado:
𝑥1̇ =
𝑑𝑉𝐶
,
𝑑𝑡
𝑥2̇ =
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
Paso 2:
Para sustituir a 𝑖𝑐 por una función que contenga las variables de estado
𝑉𝑐 , 𝑖𝐿 𝑜 𝑉𝐴 ( 𝑉𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎), usaremos la ley de corrientes de Kirchoff:
Para sustituir 𝑖𝑐 :
𝑖𝑅 = 𝑖𝐿 + 𝑖𝑐 ,
𝑉𝐴 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 ;
𝑖𝑐 = 𝑖𝑅 − 𝑖𝐿 ;
𝑖𝑅 =
𝑉𝑅 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶
𝑉𝑅 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶
=
𝑅
𝑅
𝑖𝑐 =
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶
− 𝑖𝐿
𝑅
Para sustituir 𝑉𝐿 :
𝑉𝐿 = 𝑉𝐶
Paso 3: Sustituir los valores obtenidos en el paso 2 en las ecuaciones
diferenciales del paso 1:
𝑑𝑉𝑐
,
𝑑𝑡
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑖𝑐 :
𝑉𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖𝐿
, 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑉𝐿 :
𝑑𝑡
𝑖𝑐 = 𝐶
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶
𝑑𝑉𝑐
− 𝑖𝐿 = 𝐶
𝑅
𝑑𝑡
𝑉𝐶 = 𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
Despejar las derivadas:
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶
𝑑𝑉𝑐
− 𝑖𝐿 = 𝐶
𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑐 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 𝑖𝐿
𝑉𝐴
𝑉𝐶 𝑖𝐿
=
− =
−
−
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝐶
𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐶
𝑉𝐶 = 𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑖𝐿 𝑉𝐶
=
𝑑𝑡
𝐿
Paso 4: Formamos las Matrices A, B y C:
𝑥1 = 𝑉𝐶
𝑥1̇ =
𝑥1̇ =
𝑥2 = 𝑖𝐿
𝑉𝐴
𝑉𝐶 𝑖𝐿
−
− ,
𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐶
𝑥2̇ =
𝑉𝐴
1
𝑥2
−
𝑥1 − ,
𝑅𝐶 𝑅𝐶
𝐶
1
𝑥̇
[ 1 ] = [ 𝑅𝐶
𝑥2̇
1
𝐿
−
𝑥2̇ =
Salida:
𝑦 = [1
𝑥1
𝐿
1
1
𝐶 ] [ 𝑥1 ] + [ ] 𝑉
𝑅𝐶 𝐴
𝑥2
0
0
−
𝑦 = 𝑉𝐶 ;
𝑉𝐶
𝐿
𝑦 = 𝑥1
𝑥1
0] [𝑥 ]
2
Ejercicio 4: Circuito eléctrico en serie
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿
Despejar
𝑑𝑖(𝑡) 1
+ ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) 𝑅𝑖(𝑡) 1
=
−
−
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
𝐶𝐿
Sugerir las variables de estado:
𝑥1 = 𝑖(𝑡)
𝑥2 = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
Derivar las variables de estado:
𝑥1̇ =
𝑥1̇ =
𝑑𝑖(𝑡)
;
𝑑𝑡
𝑥2̇ = 𝑖(𝑡)
𝑣(𝑡) 𝑅𝑖(𝑡) 1
−
−
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝐿
𝐿
𝐶𝐿
Cambio de variables:
1
𝑅𝑥1
1
𝑥1̇ = 𝑣(𝑡) −
−
𝑥
𝐿
𝐿
𝐶𝐿 2
𝑥2̇ = 𝑥1
Representación en matrices:
𝑅
𝑥1̇
−
[ ]=[ 𝐿
𝑥2̇
1
−
1 𝑥
1
1
𝐶𝐿] [𝑥2 ] + [𝐿] 𝑣(𝑡)
0
0
Salida del sistema con respecto a la corriente:
𝑦(𝑡) = 𝑥1
𝑦(𝑡) = [1
𝑥1
0] [𝑥 ]
2
Salida del sistema con respecto al voltaje en el capacitor:
1
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝐶
𝑦 = 𝑥2
𝑦(𝑡) = [0
𝑥1
1] [𝑥 ]
2