Matemática Básica 1, R. Figueroa G., 10ma edición, 2009

MATEMÁTICA BÁSICA 1 Para U niversidades y C entros de enseñanza superior La Primera Edición de esta obra filé publicada en Abril de 1982, siendo renovada los años 1984 (2da. Edición), 1986 (3ra. Edición) y 1996 (6ta. Edición) permaneciendo vigente en las ediciones Sétima y Octava hasta la actualidad. N O V E N A E D IC IÓ N Enero 2006 © Impreso en E diciones Jirón Loreto 1696 Breña - Telefax 423-8469 E-mail: ediciones_2@ hotm ail.com Lima - Perú Todos los derechos reservaciones conforme al Decreto Ley N° 26905 “ HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 15010599 - 2572 RAZÓN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCÍA DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña Este libro no se puede reproducir total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico o fotocopia u otros medios sin el previo y expreso permiso del autor. I PROLOGO En la actualidad, en todas las disciplinas de estudio (carreras de cien cias, economía, ingeniería, administración, médicas, etc.) es evidente la necesidad de tener conocimientos básicos de las primeras áreas de las mate máticas (Algebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica). Desafortunadamente, de la misma manera también es evidente que el inte rés por las matemáticas no responde a esta necesidad. Creo que en gran par te los responsables de este desinterés somos las personas que de una manera u otra tenemos que ver con el proceso de enseñanza-aprendisaje. Este fué el motivo principal para la realización de esta obra. Actualmente, el contenido científico de un libro no es la única preocupa ción de los autores. El aspecto didáctico con lo que se presenta el mate rial es tan inportante como el contenido mismo. Haciendo mía esta preocupa ción, el contenido de este libro está organizado de acuerdo con el sistema de instrucción personalizada, por lo cual los conceptos y propiedades que se presentan a lo largo de los 10 capítulos que consta la obra, (Lógica Conjuntos - Relaciones y Funciones - Los Números Reales - Relaciones y Fun ciones en R 2 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas - Inducción Matemáti ca - Sucesiones - Los Números Complejos - Polinomios), están suficiéntemente motivados y reforzados con una cantidad amplia de ejemplos ilustrativos como de ejercicios propuestos, de tal manera que en todo el libro se presen tan más de 900 ejemplos y 1800 ejercicios a todos los niveles de dificultad. La obra pretende buscar un equilibrio entre lo formal y lo intuitivo, de tal forma que se prefirió, en algunos casos, ser menos riguroso de lo desea do si se pensaba que ésto produciría un mayor beneficio pedagógico: sin em bargo, se trató de ser formal y preciso en la mayor medida posible. Este libro está básicamente enfocado a cualquier persona que desee adqui rir los fundamentos básicos de las matemáticas: así pienso que puede ser un buen auxiliar para los estudiantes que terminaron su educación secundaria como los del primer ciclo de las Escuelas Normales, Universidades y de cua¿ quier curso cuyo objetivo sea capacitar a los estudiantes para iniciarse en los estudios de cursos superiores. Sólo fines educativos LibrosVirtual II Prólogo Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento a todas la per sonas que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus valiosas observacio nes a las primeras ediciones» pues sus criticas constructivas hicieron posi ble modificar el orden de algunos capítulos» agregar nuevos temas y mejorar la exposición de otros. Asimismo deseo expresar un especial reconocimiento a la Editorial AMERICA cuyo personal no ha escatimado esfuerzos para resol ver las dificultades inherentes a la publicación del texto. Una observación final. Se ha tenido especial cuidado en reducir las erra tas lo más posible. Cada ejercicio propuesto fué resuelto minuciosamente, las respuestas que figuran en la parte final del libro fueron comprobadas más de una vez. Aun cuando todo autor sueña con producir el libro excento de errores ninguno ha logrado esa aspiración, al menos que yo sepa. Por tan to, agradecería que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistí, do todavía. Ricardo Figueroa García * Sólo fines educativos LibrosVirtual III Contenido C O N T E N ID O LOGICA 1.1 Introdución. 1.3 Proposiciones sim ples y com puestas 1.2 Proposición 2 1 1.4 L a C onjunción 4 1.5 L a Disyunción 5 1.5.1 L a Disyunción Inclusiva 1 .5 .2 La Disyunción Exclusiva. 1.7 L a C ondicional o Im plicación 9 1.7.1 Tabla de verdad de la Condicional o Implicación 9 1 .7 .2 El uso d e las Proposiciones Implicativas 11 1 .7 .3 Proposición R ecíproca 11 1.7 .4 Proposición Inversa. 12 1.8 L a Bicondicional 12 1.9 U so de los S ignos de A grupación 13 1.1 0 E valuación de E squ em as M oleculares por la Tabla de Valores 19 1.11 Proposiciones Equivalentes 21 1 .1 2 O tro uso d e la Implicación 24 1.1 3 L a Inferencia Lógica 27 1.13.1 El M étod o A breviado 29 1.14 Principales Leyes Lógicas o Tautologías 33 1.14.1 Equivalencias N otables 34 1 .1 4 .2 Im plicaciones N otables 43 1.1 5 L a D em ostración M a tem ática. 1.15.1 D em ostración Directa 45 1 .1 5 .2 D em ostración Indirecta 47 1.1 6 Circuitos Lógicos. 1.16.1 Circuitos en S erie 49 1 .1 6 .2 Circuitos en P aralelo 50 6 1.6 La N egación 1 .7 .5 Proposición Contrarecíproca 7 CONJUNTOS 2.1 Definición. 2 .3 D eterm inación d e un conjunto 2 .2 N otación 62 2 .4 Conjuntos Finitos e Infinitos. 2 .5 C onjuntos Num éricos 63 Sólo fines educativos LibrosVirtual 61 IV 2.6 Contenido Conjuntos Especiales 64 L O G IC A C U A N T IF IC A C IO N A L 2.7 Función Preposicional 66 2 .8 C uantificadores Universal y Existencial 67 2.9 N egación de Proposiciones que contienen Operadores Cuantificacionales 69 2 .1 0 Funciones Lógicas que contienen más de una variable 71 2.11 Relaciones entre Conjuntos: Conjuntos Iguales. Conjuntos equivalentes 81 2 .1 2 Representación Gráfica de los Conjuntos 85 2 .1 3 Unión de Conjuntos. 89 2 .1 4 Intersección de Conjuntos. 2.1 3.1 Propiedades 2.1 4.1 Propiedades 91 2 .1 4 .2 P ropiedades Distributivas de la Unión e Intersección 93 2 .1 4 .3 Leyes de Absorción 94 2 .1 5 Diferencia de Conjuntos. 2 .1 6 Com plem ento de un Conjunto. 2.15.1 Propiedades 2 .1 7 Diferencia Simétrica. 2 .1 8 Núm ero de elem entos de un Conjunto. Propiedades 2.16.1 Propiedades 2.1 7.1 Propiedades 94 96 98 113 RELACIONES Y FUNCIONES 3.1 Introducción. 3.3 Producto C artesiano 3 .2 P ar Ordenado 126 3.3.1 Propiedades del Producto Cartesiano 127 3.3.2 D iagonal de un Conjunto 1 29 3.3.3 Representación Geom étrica del Producto Cartesiano 129 3.4 R elaciones Binarias 134 3.4.1 Dominio de una Relación. 3.4.3 Propiedades del Dominio y R ango de una Relación 136 3.5 Relación Inversa o Reciproca. Propiedades 137 3.6 Composición de Relaciones. Propiedades 138 3.7 Relaciones definidas en un conjunto 1 39 3.8 C lases de Relaciones. 3 .8 .2 Relación Simétrica. 3 .8 .4 Relación d e Equivalencia 3 .8 .5 Relación Antisimétrica 143 3 .8 .6 Relación d e Orden 1 44 3.9 F U N C IO N E S . 154 3 .9 .2 Aplicaciones de A en B 155 3 .9 .3 Función Inyectiva o Univalente 161 3 .4 .2 R ango de una Relación 3.8.1 Relación Reflexiva 3 .8 .3 Relación Transitiva 3.9.1 Dominio y R ango de una Función Sólo fines educativos LibrosVirtual 125 135 140 141 142 Contenido V 3 .9 .4 Función Sobreyectiva o Suryectiva 162 3 .9 .5 Función Biyectiva 163 3 .9 .6 Composición d e Funciones 16 4 3 .9 .7 Función Inversa 166 3 .1 0 O peraciones Binarías Internas 172 3.10.1 Propiedades de las Operaciones Binarías Internas 17 4 NUMEROS REALES 4.1 Introducción. 4 .3 Teorem as sobre la Adición 4 .2 Definición Axiomática de los Núm eros R eales 187 185 4 .4 Teorem as sobre la Multiplicación 189 4 .5 Aplicaciones de R en el Algebra 193 4.5.1 Operaciones de Adición, Multiplicación y Cociente 193 4 .5 .2 n Potencia d e un número real 197 4 .5 .3 Raíces y Radicales 203 4 .5 .4 Ecuaciones Cuadrádricas 213 4 .5 .5 Ecuaciones reducibles a cuadráticas 222 ORDEN EN R 4 .6 D esigualdades 22 4 4 .7 Teorem as Relativos a Desigualdades 22 4 4 .8 Inecuaciones. 4 .8 .2 Inecuaciones C uadráticas 4.8.1 Inecuaciones Lineales 23 7 239 4 .8 .3 Inecuaciones Racionales 241 4 .9 L a R ecta R eal 245 4 .1 0 Intervalos 246 4.11 O peraciones con Intervalos 248 4 .1 2 Resolución Gráfica de Inecuaciones en R 256 4 .1 3 Inecuaciones Polinómicas 258 4 .1 4 Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 265 4 .1 4 .2 Inecuaciones con Radicales 267 4 .1 5 Valor Absoluto. 276 4.15.1 Teorem as sobre V alor absoluto 4 .1 5 .2 Ecuaciones con Valor Absoluto 286 4 .1 5 .3 Inecuaciones con Valor Absoluto 287 4 .1 6 El M áxim o Entero de un Núm ero R eal 299 4.16.1 Teorem as sobre el M áxim o Entero de un Núm ero Real 300 Sólo fines educativos LibrosVirtual VI Contenido RELACIONES Y FUNCIONES EN IR2 RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R 5.1 El Producto C artesiano d e R x R 5 .2 D istancia entre dos puntos 5 .3 G ráficas d e R elaciones d e 5.3.1 G ráficas d e R elaciones Lineales 317 5 .3 .2 G ráficas d e relaciones d e la forma: x^+y2»!2 o (x -h ^ + fy -k ^ t2 317 5 .3 .3 G ráficas d e las relaciones d e la form a: y= a x2+bx+c 320 5 .3 .4 G ráficas d e las relaciones de la form a: A xJ+C yí + D x + E y + F = 0 323 5 .3 .5 G ráficas d e las relaciones d e la form a: A x2-C y2+ D x+ E y+ F ’*0 324 5 .3 .6 G ráficas d e relaciones con valor absoluto 325 5 .3 .7 G ráficas d e relaciones definidas por inecuaciones 331 5 .3 .8 G ráficas d e relaciones inversas 341 5 .3 .9 Criterios generales para graficar una relación 351 I) 313 315 R en R D esigualdades Lineales. 315 II) D esigualdades C uadráticas 337 FUNCIONES EN R2 5 .4 Funciones reales de varióle real 5 .5 G ráfica de una función. 5.5.1 359 P ropiedades 360 5 .6 C álculo del dominio y rango 5 .7 Funciones Especiales. 5 .7 .3 Función Lineal. 5 .7 .5 Función R aíz C uadrada 5 .7 .6 Función Polinóm ica de grado n 370 5 .7 .7 Función R acional 370 5 .7 .8 Funciones Seccionadas 371 5 .7 .9 Función Escalón Unitario 372 5 .7 .1 Función Identidad 362 5 .7 .2 Función C onstante 5 .7 .4 Función C uadrática 366 367 369 5 .7 .1 0 Función S igno 373 5.7.11 374 Función Valor Absoluto 5 .7 .1 2 Función M áxim o Entero 376 5 .7 .1 3 Funciones P ares 382 5 .7 1 4 Funciones Im pares. 5 .7 .1 5 Funciones Periódicas • 383 5 .8 A lg e b ra d e las Funciones 397 5 .9 Com posición d e Funciones 409 5 .1 0 Funciones C recientes y D ecrecientes 42 1 5.11 Función Inyectiva o Univalente 422 5 .1 2 Función Sobreyectiva 426 Sólo fines educativos LibrosVirtual Contenido VII 5 .1 3 42 7 Función Biyectiva 5.1 4 Función Inversa 42 8 5.14.1 P ropiedades d e la Función Inversa 42 9 5 .1 5 Im agen Directa de un Conjunto. Propiedades 44 5 5 .1 6 Im agen Inversa de un Conjunto. Propiedades 44 7 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 6.1 La Función Exponencial 6 .2 Logaritmos 454 45 7 6.2.1 Propiedades Fundam entales de los Logaritmos 459 6.3 La Función Logaritmo 46 8 6 .4 Ecuaciones Exponenciales 47 3 6 .5 Ecuaciones Logarítmicas 47 7 6 .6 Inecuaciones Exponenciales 483 6 .7 Inecuaciones Logarítmicas 48 7 INDUCCION MATEMATICA 7.1 Introducción. 7.3 Principio de Inducción Com pleta 7 .2 Principio del Buen O rden 499 500 7 .4 Definiciones Recursivas 50 4 7 .5 Sum atorias 509 7 .6 Propiedades de las Sum atorias 513 7 .7 Form ulas importantes de las Sum atorias 514 7 .8 Notación de producto de los términos de una sucesión 518 n 7 .9 P ropiedades de X T f(i) 519 i= l 7 .1 0 Binomio de New ton 523 7.10.1 Propiedades del Coeficiente Binomial 524 7 .1 0 .2 El Teorem a del Binomio 525 Sólo fines educativos LibrosVirtual Contenido VIII SUCESIONES lü 8.1 Introducción 537 8.2 S ucesiones Aritm éticas y G eom étricas 539 8.3 S ucesiones M onótonas 545 8.4 Limite de un a Sucesión 548 8 .5 Teorem as sobre Límites 551 8.6 Series Infinitas 559 | NUMEROS COMPLEJOS u Introdución. 9 .2 El Sistem a d e Núm eros Complejos 565 9.3 P ropiedades d e la Adición 566 9.4 P ropiedades déla Multiplicación 5 68 9.5 R com o subconjunto de C 570 9.6 Form a cartesiana de un núm ero com plejo 571 9.7 Representación geom étrica de los números complejos 573 9.8 C onjugado de un núm ero complejo. Propiedades 574 9.9 M odulo d e un núm ero complejo. Propiedades 582 9.10 La raíz cu adrad a de un núm ero complejo 584 9.11 Lugares G eom étricos en C 589 9.12 Form a polar de un núm ero complejo 602 9.13 O peraciones en la form a polar 9 .1 3 .2 C ociente. Interpretación G eom étrica 9.1 3.1 Multiplicación. Interpretación G eom . 604 603 608 9.14 Potenciación de números complejos. El Teorem a de Moivre 9.15 R adicación de números complejos 611 9.15.1 Ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos 613 9.1 5.2 R aices primitivas de la unidad 614 9.16 La exponencial com pleja. 616 9 .1 6 .2 O peraciones en la form a exponencial com pleja 9.16.1 Propiedades 618 POLINOMIOS 10.1 Definición y Notaciones. 10.3 S um a y Multiplicación de polinomios 10 .2 Igualdad de polinomios 638 10.4 Algoritmo de la división 639 Sólo fines educativos LibrosVirtual 637 IX Contenido 10.5 _ La división Sintética 64 2 10.6 Teorem a del Resto 64 5 10.7 Teorem a del Factor 646 10.8 R aíces de un Polinomio 655 10.8.1 Núm ero de raíces de una ecuación polinómica 65 5 1 0 .8.2 Multiplicidad de un factor 65 6 1 0 .8.3 N atu raleza de las raíces de un polinomio real 65 6 Teorem a 10.8. R egla de los signos de Descartes 1 0 .8 .4 65 9 R aíces racionales de un polinomio 661 Teorem a 10 .10. Teorem a del Valor Intermedio 663 10.9 Acotación de Raíces 66 6 1 0 .10 Relación entre las raíces y los coeficientes 674 R e s p u e s ta s a E jercicio s P ro p u esto s 68 2 LISTA DE SIMBOLOS Pag. Pag. A Conjunción "y'1 4 V Disyunción Inclusiva "o" 6 A Disyunción exclusiva 7 A Discriminante 215 % Negación 7 C Conjunto de núm. complejos 64 «=> Implicación, entonces 9 <!> Conjunto vacío o nulo 64 o Conjunto universal 65 Para todo 67 <=> Bicondicional; si y sólo si 12 Z Conjunto de núm. enteros Q Conjunto ce núm. racionales 64 I Conjunto de núm. irrac. 64 R Conjunto de núm. reales 64 63 = Equivalente 21 i No es equivalente 22 3 Existe 68 No implica 24 C Es subconjunto de: 82 28 rj Incluye a: 82 •• Por lo tanto < Menor que 46--186 > Mayor que 47--186 > No es subconjunto de: $ P(A) Conjunto potencia de A 82 84 Menor o igual que 224 U Unión 83 Mayor o igual que 224 n Intersección 91 96 61 A' Complemento del conj. A e } Conjunto Pertenece, es elemento de. 62 AAB Diferencia simétrica de los i No pertenece 62 N Conjunto de núm. naturales 63 conjuntos A y B n(A) Número de elementos de A Sólo fines educativos LibrosVirtual 98 113 Lista de Símbolos X aRb a está relacionado con b 134 z Sumatoria 509 Dom(R) Dominio de la relación R 135 n Notación de producto 518 Ran(R) Rango de la relación R 135 n! Factorial de n 523 R*=R' 1 Relación inversa de R 137 RoS 0L Relación compuesta de S por R. f:A -*■ B 138 f es una función de A en B. Lim an n-K» 154 Dcn(f) Dominio de la función f 154 Ran(f) Rango de la función f 154 gof lani 409--164 Función Inversa de f 523 Sucesión 538 Límite de la sucesión 167 Parte real de z 572 Im(z) Parte imaginaria de z 572 z Conjugado complejo <a,b> Intervalo Abierto 247 [a,b] Intervalo cerrado 247 exp(z)=ez Exponencial compleja 248 M Valor Absoluto de a 276 1 1 Función Valor Absoluto 314 1*1 Máximo entero no mayor compleja P(x) Plano Cartesiano 313 I Función Identidad 366 Función Exponencial 455 Función Logaritmo 468 574 582 616 602 Polinomio de variable 638 Polinomio de variable real R2 eXPb P(z) 299 que x. 571 Re(z) Módulo del complejo z 1*1 8=Arg( z) Argumento de z Intervalo infinito 549 iari) cuando n tiende a i=(0/l) Unidad compleja Función conpuesta de f por g . Coeficiente binomial o número combinatorio * Sólo fines educativos LibrosVirtual 638 ve K D INTRODUCCION Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento hunano. Existen dos tipos importantes de razonamiento: el inductivo y el deducti vo. El razonamiento inductivo es el medio por el cual una persona, en ba se de sus experiencias específicas, decide aceptar como válido un princi pio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habra de determinar el curso de su acción. Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo en nuestro breve estudio, veremos lo esencial de la lógica propos icional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada. C D PROPOSICION__________________________________________H Una preposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa <F), pero no ambas simultáneamente. Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales co mo: p, q, r, etc (llamadas variables proposicionales). Osando se trata de representar muchas proposiciones similares se usan subíndices para indicar cada una de ellas, esto es. Si P(x), que se lee "P de x", es un polinomio en x, su valor numérico para x=a se escribe P(a), y se lee "P de a". Por ejemplo, si el polinomio dado es P(x)=xz-3x+4 y se tama a=2, se obtiene: P(a)=(2)*-3(2)+4, es decir: P(a)=2 Sólo fines educativos LibrosVirtual Análogamente, también expresaremos simból icomente el hecho de que ana pro Capítulo 1: Lógica 2 posición sea verdadera o falsa. Si p es una proposición, su valor de verdad se denotará con V(p) y escribiremos: V(p)=V y se queremos expresar que es falsa escribiremos: V(p)=F Ejemplos: Proposición a) p:César Val lejo nació en París b) q: Valor de verdad V(p)=F V(q)=V 2+3 < 10-3 c) r: El número 1331 es divisible por 11 d) t: Todos los hombres no son mortales V(r)=V V(t)=F Observaciones: 1. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclama ción, son expresiones no propos idónales. Ejemplos: a) Qué edad tienes? b) Viva el Perú! c) Prohibido fumar 2. Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" y los símbolos x,y,z, no tienen la propiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son propo siciones. Sin embargo, si a una de estas palabras y símbolos se le asig na un determinado objeto o valor, llamado na proposición. constante, el resultado es u- A este tipo de enunciados se les denomina enunciados a- biertos. Ejemplos: a)'El está jugando tenis b) x+2 > 5 c) 2x+3y=8 Asi en a), si la variable él se reemplaza por la constante Fernando tenemos "Fernando está jugando tenis", que es una proposición cuyo valor de verdad V o F dependen de que si Fernando esté jugando o no. De igual manera en b), si la variable x se reemplaza por un número mayor que 3 el enunciado se convierte en una proposición verdadera, o si el reem plazo se hace Q | número menor que 3, la proposición resulta falsa. PROPOSICIONES SIM PLES Y COMPUESTAS Las proposiciones simples, llamadas también atómicas o elementales, son Sólo fines educativos LibrosVirtual 3 Sección 1.3: Proposiciones Sim ples y Compuestas aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado. El valor de verdad V o F de estas proposiciones se obtienen de la disciplina o suce so de donde provienen. Ejemplos: (1) p: El ángulo recto mide 900 V(p)=V , por los conceptos de la geometría elemental. (2) q: Carlos Marx es autor de la Iliada. V(q)=F , pues, según la historia, Homero es autor de la Iliada. (3) r: "7 esun número primo" V(r)=V , porque la aritmética asílo establece. Las proposiciones compuestas, llamadas también moleculares o coligativas son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples. El valor de verdad de la proposición compuesta depende del valor de verdad de cada una de las propos ¡dones componentes, sin que esta dependencia de verdades tenga que ver con la naturaleza, la significación o la estructura de las proposiciones componentes. Por esta propiedad, a las proposiciones compuestas se les llama también funciones veritativas. En la composición de proposiciones simples, estas están ligadas por ciertas palabras tales como "y", "o” , "si, entonces", "si y sólo si", "no", "pero" etc. Estas constantes propos idónale s son llamados conectivos lógicos. Ejemplos: 1) La proposición "El terreno es muy fértil y hay suficiente lluvia", es la compuesta de las proposiciones atómicas "El terreno es muy fértil", "Hay suficiente lluvia". 2) La proposición: "La luna no es satélite de la tierra", es una proposi ción molecular que utiliza el conectivo "no". En este caso, el término de enlace actúa solo sobre una proposición atómica: "La luna es satélite de la tierra". 3) La proposición; "Si estamos en diciembre entonces llegará la navidad", usa el conectivo "si entonces" que actúa sobre las proposiciones sim pies "Estamos en diciembre", "LLegará la navidad". Observación. Dado que el valor de una proposición molecular depende única mente de los valores de verdad de las proposiciones componen tes, el nünero de combinaciones para el valor de verdad de aquella es 2n, donde n es el número de enunciados que tiene la proposición compuesta. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 1: Lógica 4 Asi, para dos proposiciones simples p y q, las posibilidades de combinación de V o F son 2 2=4 formas posibles. Para tres proposiciones simples p, q y r (n=3) tenemos: 23=8 formas posibles. O P E R A C IO N E S C O N P R O P O S IC IO N E S Asi como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números , en lógica se estudian operaciones entre proposiciones. La operación aritmé tica de sima de dos números 3 y 5, por ejemplo, hace corresponder a un nuevo número 8 que es su suma mediante la igualdad: 3+5=8; es decir, escri bir ”3+5" significa lo mismo que escribir "8". Vamos a proceder análogamen te para definir las operaciones entre proposiciones. K B LA CONJUNCION Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de compo ner estas proposiciones con el conectivo lógico "y”. Se denota por el símbp lo "A", se escribe "paQ" y se lee "p y q ”. Ejanplo. Sean las proposiciones: p=La tiza es blanca q=6 es un número primo A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas mediante la conjunción "y”. r=La tiza es blanca y 8 es un número primo Aquí podemos observar que V(p)=V y V(q)=F, entonces V(r)=F, ya que la con junción ”y" exige el cunpl imiento de ambas componentes, sin excepción. Eh consecuencia, la regla práctica para conjunciones es: La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos proposicio nes coligativas p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa- Esta característica es válida para toda conjunción y se puede resumir en la siguiente tabla de verdad. p q V V V F F F V F F F F p Aq V Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección ].5: la Disyunción EJEMPLO 2. 5 Determinar el valor de verdad de la proposición: r: "2+3+5=11 y 4+8 > 5+6" Solución. Sean p:2+3+5=ll * V(p)=F q:4+8 > 5+6 * V(q)=V Luego, según la tabla de verdad de la conjunción: V(r) = V(p EJEMPLO 3. a q ) = F Determinar el válor de verdad de la proposición: "r=7 es un número par y no es mayor que 5" Solución. A simple vista, la conjunción es falsa, pues si: p = 7 es un número par +■ V(p) = F q = 7 no es mayor que 5 ■+ V(q) = F entonces, según la tabla de verdad de la conjunción: V(r) = V(pAq) = F Nota. Hay palabras como "pero", "a la vez", "sin embargo", "además", "aun que", "no obstante", etc, que también unen proposiciones conjuntiva mente y se pueden simbolizar por el conectivo "a ". EJEMPLO 4. Determinar el valor de verdad de la proposición: r = "15 es múltiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7". Solución. Sean: p=15 es múltiplo de 3 + q=5 no es mayor que 7 V(p) = V ■+ V(q) = V Luego, según la tabla de verdad de la conjunción: V(r) = V(pAq) = V m LA D ISYUNCIO N________________________________________ ^ Se llana disyunción o sana lógica de las proposiciones p y q, dadas en ese orden, a la proposición que seobtiene enunciando unidas ambas por el conectivo "o", esto es: "p q a continuación de p o q". Ejemplos: a) La proposición: "La luna es azul o 3 es un número primo" es la diyunción de: p=La luna es azul -+ V(p) = F q=3 es un número primo +■ V(q) = V Aqui, podemos decir que la disyunción p o q es verdadera, pueselusoha tual del conectivo "o" establece una alternativa: alguna de las dos compo- Sólo fines educativos LibrosVirtual 6 Capitulo 1: Lógica nenies se cunple. Como es cierto que 3 sea un número primo, no importa que la luna no sea azul, ya que una de las dos componentes de la al temat iva es verdadera. En este caso podemos escribir, entonces: V(poq)=V. b) La proposición: Luis es ingeniero o profesor de matemáticas, es la dis yunción de: r = Luis es ingeniero s - Luis es profesor de matemáticas c) La proposición: "César Vallejo nació en el Perú o nació en Francia", es la disyunción de: t="César Vallejo nació en el Perú" u="César Vallejo nació en Francia" En el ejemplo b) se observa que si V(r)=F y V(s)=F -► V(ros)=F. Sin embargo cuando las componentes son ambas verdaderas, la disyunción admite dos usos diferentes del conectivo "o", uno inclusivo y el otro exclusivo. Asi en el ejemplo b), si V(r)=V o V(s)=V ■* V(ros)=V. En este caso hemos usa do el "o" inclusivo, pues la verdad de que Luis sea ingeniero no excluye la posibilidad de que sea profesor de matemáticas. En cambio, en el ejemplo c) la verdad de que César Vallejo naciera en el Pe rú excluye la posibilidad de que naciera en Francia y viceversa. En este ca so hemos usado el "o" exclusivo y si V(tj-V ó V(u)=V ■+■ V(tou)=F Estas consideraciones ilustran la necesidad de distinguir dos interpretado nes para la disyunción "poq". (Q ) LA D ISYUNCIO N INCLUSIVA___________________________ ^ Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción inclusiva o débil, es una proposición col igat iva que resuita de unir las proposiciones p y q con el conectivo "o", el cual se denota por el símbolo "V", se escribe ''pvq" y se lee "poq". La regla práctica es: La d i s y u n c i ó n i n c l u s i v a de. d o s p n o p o s i c i o n t s s i pon. L o m e n o s u n a d t ¿ a i do i a l i a doi pn.opoiicJ.onti s o l a m e n t e cuando ¿ a i Su tabla de verdad es: p V V F F doi io n q V F V F ti v t n. da . dt a a s i ti vcndadena, {¡aJUas". pv q V V V F Sólo fines educativos LibrosVirtual y soto nesultan- Sección 1.6: La Negación 7 LA DISYUNCION EXCLUSIVA____________________________§ En este caso, la palabra "o" suele usarse en su sentido excluyente, en cuyo caso la conectiva proposicional se simboliza por "A", se llana dis yunción exclusiva o fuerte, se escribe p A q y se lee ”p o q pero no ambos’’, esto es, se da exactanente una de las dos alternativas. La regla práctica es: La disyunción. exclusiva. de. doa pioposi.cU.on.ey> es veidadeia si y sólo si poi lo menos una de las dos pioposiciones componentes es veidadeia y no las dos, lesultando íalsa en otios casos. Su tabla de verdad es: KB3 p q V V V F V F V V F F F PA q F LA NEGACION__________________________________________ | Se denomina proposición negativa de la proposición afirmativa "p" a otra que se denota por "vp" y que se lee "no p" o "no es cierto que p" y cu ya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla: P V 'Vp F V F Observamos que si p es verdadero, entonces ’vp es falso, y viceversa. Es de cir, el valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto del valor de verdad del enunciado. Lo importante de la proposición negativa es que su valor de verdad depende del valor de verdad de la afirmación Observación. Nótese que la negación es una operación unitaria, en el sentí do de que asigna a una proposición p, otra proposición'vp. En cambio, la conjunción y la disyunción son operaciones binarias, en el sentí do de que a cada dos proposiciones p y q, asignan una nueva proposición. EJEMPLO 1. a) La tisa es blanca b) No es cierto que la tisa es blanca Sólo fines educativos LibrosVirtual 8 Capitulo 1: Lógica c) La tisa no es blanca d) La tisa es azul Como se puede notar b) y c) son cada uno ¡a negación de a), en cambio d) no es la negación de a). Otras formas de expresar la negación es utilizando los términos "no es el caso que", "es falso que", etc. En estos casos generalmente la negación niega proposiciones compuestas y simbólicamente se expresa por'vf EJEMPLO 2. ) Simbolizar la siguiente proposición: "No es el caso de que 10 sea múltiplo de 3 o que 5+2 < 10". Solución. Si p = 10 es múltiplo de 3, y q = 5+2<10 ; entonces la proposición se simboliza: EJEMPLO 3. ■ 'v(pvq) Sean las proposiciones: p="3 es un número par", q="5 es mayor que 2" y r="Todo número primo es impar". Escribir y estable cer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: a) 'v(pp.q) Solución. b) 'vqvr c) 'v ( ^ r A p N ^ q El valor de verdad de cada proposición simple es: V(p)=F , V(q)=V , V(r)=F Según estos valores de verdad, se tiene: ó) ^ (p/\q): "No es cierto que 3 es un número par y 5 Ahora bien, V(p/>,q)=F +■ V¡ 'vfPAq)J~v es mayor que 2". . b) 'vqyr: "No es cierto que 5 es mayor que 2 ó todo número primo es impar" o bien: ”5 no es mayor que 2 ó todo número primo es impar". V(^q)=F y V(r)=F + V(n,q v r)=F c) ’vf'v r A p ) w q : (Según ia tabla de "No es cierto que no todonúmero primo la disyunción). es impar y 3 es un número par, o 5 no es mayor que 2". V('v r a p)=V(VA F)-F •» V[n. (-vrAp)]=V . Luego: V(c)=(WF)=V Nota. En adelante, para considerar el valor de verdad de una disyunción se ha de tener en cuenta que se ha utilizado el la palabra "o", es decir, "p o q" significará "pyq". Sólo fines educativos LibrosVirtual sentidoincluyentede Sección 1.7: La condicional o Implicación ( Q 9 LA CONDICIONAL O IM PLICACIO N fiadas las proposiciones p y q, se denomina proposición condicional o im plicativa a la que resulta de unir p y q por el conectivo "si.....entonces" que se denota por el símbolo " ", se escribe "p -*■ q" y se lee "si p, en tonces q", "p implica q", "p sólo si q", "q, si p", etc, en donde p es el antecedente o condición y q es el consecuente o conclusión. EJEMPLO 1. "Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Miami". Simbolizar la proposición. Si p=Patricia consigue visa de turista, y q=Patricia viajará a Miami La proposición se simboliza: Nota. p+ q También son conectivos condicionales los términos: "porque", "puesto que", "ya que", "si", "cuando", "cada vez que", etc. Todas se carac terizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antecedente o condición. EJEMPLO 2. "16 es múltiplo de 2 puesto que 16 es un número par". Si p = 16 es múltiplo de 2 (antecedente), y q - 16 es número par (consecuente) Se simboliza: q p que expresamos: "Si 16 es un número par, entonces es múltiplo de 2" EJEMPLO 3. "Arturo no viajó a Europa porque perdió sus documentos". Si p = Arturo no viajó a Europa (antecedente) y q = Arturo perdió sus documentos (consecuente) Se simboliza: q + p que expresamos: "Si Arturo perdió sus documentos, entonces no viajó a Euro pa. Q Q TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL Antes de dar la tabla de verdad para la implicación, consideremos la siguiente proposición: r = "Si Luis obtiene un promedio de 15 o más, entonces se le otorgará beca". Aquí se trata de la implicación de las proposiciones: p = Luis obtiene un promedio de 15 o más (antecedente). Sólo fines educativos LibrosVirtual 10 Capítulo 1: Lógica q = A Luis se le otorgará beca (consecuente) Nos interesa inducir el valor de verdad de la condicional r en términos de la V o F de las proposiciones p y q. El enunciado r puede pensarse como una promesa, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cimpl¡miento de la promesa. Veamos todas las posibilidades. a) Si Luis obtiene 15 o más de promedio y se le otoga beca se habrá cimplido lo prometido. V(p)=V y V(q)=V V(r)=V b) Si Luis obtiene 15 o más de promedio y no se otorga cumplido lo prometido. V(p)-V y V(q)=F beca, no se habrá V(r)=F c) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y se otorga beca, no se falta a la promesa. V(p)=F y V(q)=V ■* V(r)-V d) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y no se le otorga beca, se sigue cumpliendo lo prometido. V(p)=F y V(q)=F ■* V(r)=V Entonces el valor de verdad de p-> q queda establecido de acuerdo a la si guiente regla: La. condicional o implicación tendná un valon de vendad (¡alio cuando el antecedente p e¿ vendadeno y el consecuente q es {¡also; en tos demás ca sos diñemos que p * q es vendadeno. En consecuencia, la tabla de verdad de la implicación es la siguiente: q p + q V V V V F F F V V F F V p EJEMPLO 4 . Dadas las proposiciones p,q y r tales queV(p)=V(q)=F y V(r)=V, hallar el valor de verdad de lassiguientes proposi ciones: Solución, a) p - r rv(qv r) c) n, (pA n,q) •+ (yr a pj b) 'vq d) 'vfq* n,r) + (n.pvr) a) V(q v r)=V(Fv V)=V * V(n.(q v r))=F b) VC^q)=V y V K p v r)=V(Vv V)=V p + r) V(p + ^ q v r) J=VfF -k F)=V Vh-q * tvpv r) }=V(V + V)=V c) V(p*n.q )=V(FnV)=F -*■ Vfríp^q) J=V ; V(n.r a p)=V(FA F)=F .\ d) V(q V M p a njq) + (nrA p))=V(V * F)= F nr)=V(F * F)=V * Vfa(q+ n,r)]=F ; V K p +r)=V(V Sólo fines educativos LibrosVirtual V)=V Sección 1.7: La Condicional o Implicación Vfv(q ■* n,r) + J 03 11 (np ■* r)] = V(F V) = V e l u s o p e l a s p r o p o s ic io n e s im p lic a t iv a s ^ El uso de las proposiciones impl icat ivas en matemáticas es de sima importancia. Ya hemos visto que la condicional p + q significa que "q se obtiene lógicamente de p". Los teoremas tienen esta misma forma condicional. Recordemos que en la demostración de un teorema intervienen dos factores: la hipótesis o dato (p), aquello que se considera verdadera, y la tesis o conclusión (q), aquello que se quiere demostrar. Entonces el teorema es: p -v q. Probar el teorema, es demostrar que p ■* q sea verdadera, y, dado que la hipótesis p es verdadera; es decir, la verdad de p q se obtiene de la verdad de q, sabiendo que p es verdadera. Otras formas de leer el teorema p -*■ q son las siguientes: "p sólo si q" ; "q, si p"; "p es condición suficiente para que q"; "q es condición necesa ria para que p", etc. EJE M P L O 5. Sean las proposiciones: p="Dos ángulos tienen un lado común". q="Dos ángulos son adyacentes". Establecer quién es condición necesaria y/o suficiente para quién. Solución. Consideremos las implicaciones siguientes: r=p ->■ q: Si dos ángulos tienen un lado común, entonces son adya centes. s-q -*■ p: Si dos ángulos son adyacentes, entonces , tienen un lado común. La implicación r es falsa, pues si dos ángulos tienen un lado común, no necesariamente son ad yacentes. En la figura se observa que el y el <}BOC tienen el lado común OB, sin embargo no son adyacentes; entonces, p no es suficien te para q ó q no es condición necesaria para p La implicación s es verdadera, pues en la figu ra se observa que el AOC y el $BOC son adyacentes y tienen el lado común OC. Entonces, q es suficiente para p ó p es necesariamente de q. Nota. A toda condicional se le asocian otras tres proposiciones, igualmente importantes, que son: la recíproca, la inversa y la contra recíproca. 1.7.3 Proposición Recíproca. Dada la proposición condicional "p Sólo fines educativos LibrosVirtual q", se Capítulo 1: Lógica 12 llama proposición recíproca a la proposición que se denota por "q ■+ p". Ejemplo. Sea la proposición directa p -*■ q "Si x es par, entonces, x es múltiplo de 2" La proposición recíproca, q ■* p, es: "Si x es múltiplo de 2, entonces, x es par" 1.7.4 Proposición Inversa. Dada la proposición condicional "p q", se lla ma proposición inversa a la proposición que se denota por "vp + rvq". Ejemplo. Sea la proposición directa p ■* q "Si Patricia tiene 30 años, entonces es joven" La proposición inversa , -vp* n,q, es: "Si Patricia no tiene 30 años, entonces no es joven" 1.7.5 Proposición Contra recíproca. Dada la proposición condicional "p q" se llama proposición contra recíproca a ¡a que se denota por 'Kq -*■ /vp". Esta proposición es de mucha utilidad en la demostración de teoremas dados por la reducción al absurdo o falsa suposición. Ejemplo. Sea la propos ición directa "p -> q" "Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas". La proposición contra recíproca, "'vq-*■ n,p", es: "Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una mis ma recta". LA BICONDICIONAL Sean p y q dos p-oposiciones con las que se forma la siguiente propo sición: "p + q A q + p" Esta nueva proposición está formada mediante dos implicaciones y una conjun ción. Podemos escribir esta proposición haciendo uso de un nuevo conectivo; la escribiremos como: El símbolo es llamado el conectivo bicondicional o doble implicación. A la proposición formada la llamamos proposición bicondicional. Formalizando esto último llegamos a la siguiente definición: Dada dos proposiciones simples p y q, se denomina bicondicional a la propo sición definida por la conjunción de la proposición condicional con su recí Sólo fines educativos LibrosVirtual 13 Sección 1.9: Uso de los Signos de agrupación p ro ca: (p * q) a (q > p) se d e n o ta “p <-» q ” y se lee “p si y s ó lo si q ” E J E M P L O . “ F e rn a n d o c o m p ra rá un a u to m ó v il si y só lo si o b tie n e un p ré sta m o de la c o o p e r a tiv a ” Si p F e rn a n d o c o m p ra rá un a u to m ó v il. q F e rn a n d o o b tie n e un p ré sta m o de la c o o p e ra tiv a . E sta p ro p o sic ió n b ic o n d ic io n a l se e n tie n d e co m o : “ Si F e rn a n d o c o m p ra un a u to m ó v il e n to n c e s o b tie n e u n p ré s ta m o de la c o o p e ra tiv a , y si o b tie n e un p ré sta m o de la c o o p e ra tiv a c o m p ra un a u to m ó v il. Si sim b o liz a m o s e s ta p ro p o s ic ió n o b te n e m o s : (p -> q) a (q p) = p <-» q En c o n s e c u e n c ia , la ta b la de v e rd a d de la b ic o n d ic io n a l q u e d a p e rfe c ta m e n te d e te rm in a d a a p a rtir d e las ta b la s d e v e rd a d de la c o n d ic io n a l y la c o n ju n c ió n ; e s to es: p A f j i i S liliillB V V V F v F F V V F F v 1 (p —>t|) V V V F v 1 F F 1 V 1 C o n c lu im o s a f irm a n d o q u e el v a lo r de v e rd a d de la p ro p o s ic ió n b ic o n d ic io n a l e s tá d ad o p o r la s ig u ie n te re g la : S i p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces la bicondicional p<r^q es verdadera, y á p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p <roq es falsa. Q ] USO PE LOS SIGNOS DE AGRUPACION__________________ g L os s ig n o s de a g ru p a c ió n ( p a ré n te s is , c o rc h e te s , lla v e s ) se usan en ló g ic a c u a n d o se tr a t a d e o b te n e r e s q u e m a s ló g ic o s m á s c o m p le jo s co n e l fin de e v i ta r la a m b ig ü e d a d de la s fó rm u la s . A sí, p o r e je m p lo , la e x p re sió n : p v q a r es am b ig u a ; p e ro a s o c ia d a p o r su s té rm in o s : (p v q ) la e x p re s ió n d a d a tie n e un a r ó p v (q s e n tid o y d e ja de s e r a r) a m b ig u a . Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo I : Lógica 14 Otra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor jerarquía a los conectivos. En general, guen es la conectiva de menor jerqrquía, le si , "v" que son de igual jerarquía, y luego "■*" que es el de mayor je rarquía. Sin embargo, cada conect iva puede ser de mayor jerarquía si asi lo indica el signo de colección. Ejemplos: (1) "No es el caso de que 9 es múltiplo de 3 o que 2x8=15". Asignándole una variable a cada proposición simple se tiene p = 9 es múltiplo de 3 ; q = 2x8=15 Su notación simbólica es: "x(pvq) Nótese que aqui la negación afecta a las variables dentro del paréntesis. (2) "Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o culpable" Si p = "El testigo dice la verdad", q = "Juan es inocente" y r = "Juan es culpable"; entonces se simbol iza: ■xp - (qvr) Aqui, el símbolo de mayor jerarquía es Obsérvese quesolo afecta a la variable "p" y que "v " está limitado por el paréntesis. Observación. La combinación de las variables y los operadores o conectivos propos ¡dónales por medio de los signos de los signos de agru pación se denomina esquema molecular. En cada esquema molecular solo uno de los operadores es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho es quema. Por ejemplo, en los esquenas moleculares: A = vp - (qv r) ; B = [ ( p A q ) w r j «-* p ; C = ^[(pAq) * C"pvr)J Podemos notar que los operadores de mayor jerarquía en A, B y C son: i y n*,n y (os nombres que llevan cada uno de estos esquemas son: esquema condicional, esquema bicondicional y esquema negativo, respect ivmente. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Para los siguientes enunciados: (1) Recoge ese lápiz (3) x-y=5 (2) 2+5 < 6 (4) Hace mucho frío Cuál de alternativas siguientes es la correcta? a) Dos son proposiciones b) Dos son enunciados abiertos c) Dos no son ni proposiciones ni enunciados abiertos d) Tres son proposiciones Solución. (1) Recoge ese lápiz, es un mandato que no tiene un valor de ver- Sólo fines educativos LibrosVirtual 15 Ejercicios Ilustrativos d ad , e n to n c e s n o e s p ro p o s ic ió n ni e n u n c ia d o a b ie rto . (2 ) 3+ 5 < 6 , e s u n a p ro p o s ic ió n c u y o v a lo r de v e rd a d e s F. (3 ) x -y = 5 , e s u n e n u n c ia d o a b ie rto . (4 ) H ace m u c h o frío , e s u n a o ra c ió n q u e no tie n e un v a lo r de v e rd a d , lu e g o , no es p ro p o s i ció n ni e n u n c ia d o a b ie rto . E n c o n s e c u e n c ia , (1 ) y (4 ) s a tis f a c e n la a lte r n a tiv a (c ). E JE R C IC IO 2. D a d a s la s p r o p o s ic io n e s : p = M a rc o s e s c o m e r c ia n te , q = M a rc o s es un p ró s p e ro in d u s tr ia l y r = M a rc o s e s in g e n ie ro . S im b o liz a r el e n u n c ia d o : “ Si no es e l c a s o q u e M a rc o s se a un c o m e rc ia n te y p ró s p e ro in d u s tria l, e n to n c e s e s in g e n ie r o o no es c o m e r c ia n te ” . S o lu c ió n . L a p ro p o s ic ió n : “ N o e s el c a s o q u e M a rc o s se a un c o m e r c ia n te y p ro s p e ro in d u s tr ia l” , se sim b o liz a : ~ (p a q) L a p ro p o s ic ió n : “ M a rc o s e s in g e n ie ro o no e s c o m e r c ia n te ” , se sim b o liz a : (r v ~ p ). U n ie n d o e s to s d o s e s q u e m a s c o n el c o n e c tiv o ~ (p E JE R C IC IO 3. a se tie n e : q ) -+ (r v - p ) D a d a s la s p r o p o s ic io n e s q: “ 4 e s q u ie r a tal un n ú m e ro im p a r ” , p y r c u a le s q u e ~ [(r v q ) —» (r —» p )] e s v e r d a d e r a ; h a lla r e l v a lo r de v e rd ad d e lo s s ig u ie n te s s is te m a s m o le c u la re s: A = r + (-p v -q ) S o lu c ió n . ; B = [r ++ (p a q )] ++ (q a -p ) ; C = (r v - p ) a (q v p) S i q: “ 4 e s un n ú m e ro im p a r ” —» V (q )= F ~ [(r v q ) + ( r + p )] e s V - » V [(r v q ) + (r+ p )] = F S eg ú n la c o n d ic io n a l: V (r v q ) = V y V (r —» p ) = F Si V (r —» p ) = F, e n to n c e s : V (r) = V y V (p ) = F S u s titu y e n d o e s to s v a lo re s de v e rd a d e n lo s e s q u e m a s m o le c u la re s se tie n e : V (A ) = V -> (V v V ) = V; V (C ) = (V v V ) E JE R C IC IO 4. a V (B ) = [V ++ (F (F v F ) = (V ) a a F )] ++ (F a V ) s [F] ++ (F ) = V (F ) = F D e la f a lse d a d de la p ro p o s ic ió n : (p —» - q ) v (~ r —» s ) se d e d u c e q u e el v a lo r d e v e rd a d de lo s e s q u e m a s m o le c u la re s : A = (-p a - q ) v (~ q ); B = [ ( - r v q)] ++ [(~ q v r) son re s p e c tiv a m e n te : a) V F V S o lu c ió n . b) F F F a s]; C = (p - » q ) - * [(p v q ) a ~ q] c) V V V d ) FF V S e g ú n la d is y u n c ió n in c lu s iv a , si: V [(p —» ~ q ) v (~ r —» s)] = F, e n to n c e s : V (p - » - q ) = F y V (~ r - » s) = F A p lic a n d o la c o n d ic ió n a l en a m b o s c a s o s se tie n e : V (p -+ - q ) = F - + V (p ) = V y V (q ) = V ; V ( - r - » s) = F -> V (r) = F y V (s) = F Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 1: Lógica 16 Entonces: V(A) ■=(F aF) v (F) = (F) v (F) = F V(B) = [(Vv V) a V] -*■ [(F v F) A Fj = (V) ** V C O = (V - VJ - [(V v V) a F] = (V) - [F] Por lotanto, la EJERCICIO S. (F) = F =F alternativa correcta es la b). En cuales de los siguientes casos es suficiente la informa ción para conocer el valor de verdad de las proposiciones correspondientes. A=(pv q) ~ <^P A^q); V(q)=V. C=[p a (q * r)]; V(p * r)=V. Solución. B=(p a q) - (pvr); V(p)=V y V(r)=F. D=(p * q) * r; V(r)=V En A: Si V(q)=V, entonces V(A)=(pvV) +-+ C^pA F) Pero: V(pv V)-V y de p. Luego, V(A)=(V) (F)-F V("*p a F)-F, cualqiera sea el valor de verdad .'. Es suficiente la información. En B: Si V(p)=V y V(r)=F, entonces V(B)=(VAq) (VvF;=(VA ql - (V). Cualquiera sea el valor de verdad de (V * q), la condicional es verdadera, por tanto, es suficiente la información. En C: Según la tabla de la condicional, existen tres posibil idades para que el V(p * r)-V, por tanto, no es suficiente la información dada para conocer el valor de verdad de C. En D: Si Vfr)=V, entonces (p ■* q) ■* V. Cualquiera sea el valor de verdad de (p ■* q), la condicional es verdadera, por tanto, es suficiente la información dada. EJERCICIO 6. Defínanos p#q como una operación verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes. Se gún esto, si r:"Juan es médico" y s:"Juan es deportista"; hallar la traduc ción de C'>r)#s. Solución. Según la definición de i, las tablas de verdad de p#q y (^r)#s. 'Vr s ('vr )#s F V V F F F V V F V F F Vemos que la tabla de valor de verdad de <yr)$s es idéntica a la de la con junción, por lo tanto, la traducción de (vr)üs es: "Juan es médico y deportista" Sólo fines educativos LibrosVirtual 17 Ejercicios: Grupo 1 1. üe los enunciados siguientes: (1) Hola que tal! (4) Todos los hombres son inmortales (2) x l+l < 10 (5) Sócrates nació en Atenas (3) 2 + 5 > 6 Cuál de las alternativas siguientes es correcta: a) 3 son enunciados abiertos c) 3 no son proposiciones b) 2 son proposiciones d) 4 son proposiciones 2. Si p:"Carlos vendrá", q:"Carlos ha recibido la carta" y r:"Carlos está interesado todavía en el asunto". Simbolizar los siguientes enunciados: a) "Carlos vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado todavía en el asunto". b) "O Carlos vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado to davía en el asunto". c) "Carlos vendrá si y sólo si ha recibido la carta o vendrá porque está interesado todavía en el asunto". 3. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: (1) (3+5=8) v (5-3=4) (3) (3+8=11) A (7-4 > 1) (2) (5-3=8) - (1-7=8) (4) (4+6=9) ~ 4. v[(vpw q) v (r q)] a (5-2=4) [(vpvq) + (q Avp)], es verdadera. Hallar los valo res de verdad de p,q y r. 5. De la falsedad de (p = vq) v (vr + vs), se deduce que el valor de verdad de los esquemas: A=v(vq v vs) + vp ¡ B=v(vr a s) ♦+ (vp * vq) y C=p + v[q -► v(s + r)}, son respectivamente: a) FFV b) FFF c) FVF d) FVV 6. Se sabe que p A q y q + i son falsas. De los esquemas moleculares siguien tes, cuáles son verdaderos: A=(vpv t)vvq ; B=v[p a (vq v vp)] ; C=[(p * q)A v(q a t)] ++ [vpv(qAvt)] 1. La proposición (paql + (q + r) es falsa, y se tienen los esquemas mole culares: A-v(qv rj v (pv q), B=(pyvq) + p-r Aq) y C-[(pAqi v <q a vr)] ++ (pv^r). (hales son falsos. 8. Si la proposición A=(p+n,q) * (r + a,$) es falsa, hallar el valor de ver dad de las proposiciones q,p,r,s.(en este orden). Sólo fines educativos LibrosVirtual 18 9. C apitulo 1: Lógica Dadas los proposiciones: A-(p * q) r; V(r)=V. B=(pvq) <-» f^p a'HJ); V(qJ=V . C=(pAq) * (pAr); V(p)=V y V(r)=F. D=pA (q * r); V(rj=V. En que casos la información que se da es suficiente para determinar el valor de verdad de cada proposición. 10. (p v q) *"* (r a s) es una proposición verdadera, teniendo r y s valores de verdad opuestos. De las afirmaciones siguientes cuáles son verdade ras : A=[(^p A^q) v (rA s)] A p , es verdadera B=[v(pv q) a (r v s)J v (vpAq), es falsa G¿[(vr a v s) -► (p v r)] a v(r a s), es verdadera. 11. Si ¡a proposición (vpAq) * (vsvr) es falsa, de lasproposiciones guientes, cuáles son verdaderas?; B=v(vpAq) a (vr v r) a s ; si A=v((p + q) -► r]; C=[(pv vq) a p] v (vq). 12. Si las proposiciones A=(p *■» s) ■'■s y B=[(p * s)A'p]As, sonverdade ras, hallar los valores de verdad de p,s y pAs, en ese orden. 13. Dada la siguiente información: V(r - q)=V; V(nAr)-F; V(mvn)=V y V(pv m)=F. Determinar el valor de verdad del esquema molecular: A-l (m v vn) (p Avp) ] *-*• (m 14. Si A=(p *— r) Aq). v(<^pv vq)' es verdadera, hallar el valor de verdad de la proposición B=(p ■* q) *-*■ (p •*-* r) 15. Si V[(q * p) •» (rvp)]=F; hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: A-(pAx) - (m y) C=(r — ► p> ■» ÍSAqJ B=(q ■* n)v (x a y) D-¡( s * p) v (n ■* r)] *•» (x v^x) 16. Si V(m «-» n)=F, V[^(s •* r)]=F y Vf^pA-xj)=F; hallar el valor de verdad del esquema A=f(pvq) "*■ (sA^r)] (n *~*m). 17. Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta: A={v[(pa r) * q) a [(p vq)¿s}) {(sAp; I}, es siempre falso. Determi nar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) B=í((vpbq)br] + [v(q * (s » p))]ití(pLq) b) C = W p * q) a [(r A p ) ■* v(rvs)]} A t 18. Si p,q,r,s, t,w son proposiciones cualesquiera tales que: Vf'-w* Vf(pA^r) v s )=f y (s * u)J=V; hallar el valor de verdad de los siguientes es quemas: A=[(pAq) v r] s; B=(s '•wj .+ (rv^p) y C=(t + (wv^p)]v^(p* r) 19. Dadas las proposiciones: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1,10: Evaluación de E squem as M oleculares p o r la Tabla de Valores 19 p :L o s n ú m e ro s m y n so n m ú ltip lo s e n te r o s de 5. q: El p ro d u c to d e lo s n ú m e ro s m y n e s un m ú ltip lo e n te r o de 5. A n a liz a r c u á le s de la s s ig u ie n te s p r o p o s ic io n e s so n v e rd a d e ra s: 2 0. a) p es c o n d ic ió n s u f ic ie n te p a r a q. c) p es c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a ra q. b ) p s ó lo si q. Si la p r o p o s ic ió n p = (~ p —» q ) v (s —» - r ) e s fa lsa ; c u á le s de lo s s ig u ie n te s e sq u e m a s m o le c u la re s so n fa ls o s : A = [(r —» q ) C = ~ [(p v q ) 1.10 a a q] [(~ q v r) a s] ; B = ~ (p v q ) v ~q ~q] -> ~ (p -> q). EVALUACION DE ESQUEMAS MOLECULARES POR LA TABLA PE VALORES____________ § | C o n s iste en o b te n e r lo s v a lo r e s d e l o p e r a d o r p r in c ip a l a p a r tir de la v a lid e z de ca d a u n a d e las v a ria b le s p r e p o s ic io n a le s . H e m o s v is to q u e p a ra e v a lu a r u n a ta b la de v e rd a d de d o s v a ria b le s p r o p o s ic io n a le s se n e c e s ita n 2 2= 4 v a lo re s de v e rd a d ( fila s ) p a ra c a d a v a r ia b le . E n g e n e ra l, el n ú m e ro de v a lo re s de v e rd a d q u e a s ig n a a c a d a v a ria b le r e s u lta de a p lic a r la fó rm u la 2”, d o n d e n e s e l n ú m e ro de v a r ia b le s q u e h ay en el e s q u e m a m o le c u la r. L as c o m b in a c io n e s d e to d a s la s p o s ib ilid a d e s de V y F se h a c e n en la s c o lu m n a s de r e fe r e n c ia al m arg en iz q u ie rd o d el e s q u e m a , lu e g o se p ro c e d e a a p lic a r la re g la a c a d a u n o de lo s o p e ra d o re s , e m p e z a n d o p o r e l de m e n o r a lc a n c e , h a s ta lle g a r al de m a y o r je r a rq u ía . E J E M P L O X. E v a lu a r la ta b la de v e rd a d d e l e s q u e m a m o le c u la r: A = - ( p A q ) H [ ( - p ) v {—q)] S o lu c ió n . N ú m e ro d e v a lo re s d e v e rd a d p a ra c a d a v a r ia b le : 2 2= 4 Iffll i f p (p A q l <-> t-p) V H ) V V F V V F F F V F V F V F V V F V V F V V V F F F V F V V V V 2 l 6 3 5 4 Pasos . t___________________________f E x p lic a c ió n d e lo s p a s o s: (1 ) S e a p lic ó la c o n ju n c ió n a lo s v a lo re s d e v e rd a d d e p y q. (2 ) Se a p lic ó la n e g a c ió n a la c o lu m n a (1 ) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 1: Lógica 20 (3) Se aplicó la negación a los valores de verdad de p. (4) Se aplicó la negación a los valores de verdad de q. (5) Se aplicó la disyunción inclusiva a los valores de verdad de las colum nas 3 y 4. (6) Finalmente se aplicó la bicondicional a los valores de verdad de las co lumnas 2 y 5. En este ejemplo, el operador de mayor alcance es el bicondicional"-**", cuya colunna (todos V) se ha trazado con doble raya para facilitar la lectura nal del resultado de la tabla de valores. En los ejemplos que siguen, se obviará la explicación de tos pasos. EJEMPLO 2. Evaluar la tabla de verdad de la proposición: A=^[p * (pvq)] Solución. Número de valores de verdad para cada variable: 2 ‘=4 p q 'V P + v q )] V V F V V V V F F V V V F V F F V V F F F F V F 4 1 3 2 Pasos EJEMPLO 3. (p Evaluar la tabla de verdad de la proposición: l(^pA'q) * vr] ** (vp)vlr A (^p*"-q)j Solución. P Número de valores de verdad para cada variable: 23=8 q r [ ('■op A 'vq )*■ ■vr] ■*—► (^p ) V ir A ('Vp A V V V F V F V F V V V V V F F V V F F F F F F F V F V F V F V F V V V F V F F F V V F F F F F F F V V F V F V V V V V F F V F F V V . V V V F F F F F V V F F F V V V F V F F F V V V V V V F V V 1 3 2 9 tt 8 5 7 6 Pasos Sólo fines educativos LibrosVirtual )] Sección 1.11: Proposiciones Equivalentes Observación. 21 Según el resultado que se obtenga en el operador de mayor je rarquía, los esquemas moleculares se clasifican en continen tes (consistentes), tautológicos y contradictorios. Un esquema molecular es contingente cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad (Ejemplo 3). Un esquema molecular es tautológico cuando los valores de verdad de su operador principal son todos verdaderos (Ejemplo 1). Un esquema molecular es contradictorio cuando en el resultado todos los valores de verdad son falsos (Ejemplo 2). EJEMPLO 4. Si se sabe que: p#q = [v(p/,q) * p]; evaluar el esquema: A = l(p * q)#(qr. ^p)] -- (q#p) Solución. En primer lugar, construimos las tablas de verdad de p#q y q#p P q n, (p V V F F V F V F F V V V V F F F 2 1 P p q 'V V V F F V V F F V V F F V F V F 4 3 q A (q A P) + q F V V V V F F F V F V F V F V F 2 1 4 3 Obsérvese que la tabla de verdad de p#q es idéntica a la de p, y la tabla de verdad de q#p es idéntica a la de q. Ahora evaluamos el esquema A: P q V V F F V F V F Pasos [(p q # . (q a ^ p )] -*-*■ (q #p ) V F V V V F V V F F V F V V V F V F V F 1 3 2 5 4 Por lo tanto, el esquema A es contingente. 1.11 PROPOSICIONES EQUIVALENTES _| | Dos proposiciones compuestas P y Q se dicen que son equivalentes si unidas por el bicondicional que P y Q escribe: el resultado esuna tautología, es decir, tienen los mismos valores de verdad P = Q ó P-*-*- Q y se lee: "P es equivalente a Q" 6 "Q es equivalente a P". Sólo fines educativos LibrosVirtual ensu operador princi Capítulo 1: Lógica 22 Si P no es equivlente a Q, se escribe: P ÍQ EJEMPLO 1 . ó P 4* Q Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes: P:"Si Juan aprobó los exámenes de admisión, ingresó a la uni versidad". Q:"No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no ingrese a la universidad". Solución. Sean las proposiciones simples, p:"Juan aprobó los exámenes" q:"Juan ingresó a la Universidad". Entonces: P = p * q y Q = *(pa 1'*}) Uniendo bicondicionalmente estos dos esquemas se tiene: (p * q) ** "-(p a vj; y para probar que esta bicondicional es verdadera construimos su tabla de V F V F Pasos -4-4- + q) < V V F F (p V F V V V V V V V F V V F V F F 1 k 3 2 cr q CL p Dado que el resultado de la tabla es una tautología, las proposiciones P y Q son equivalentes. EJEMPLO 2. Determinar si los esquemas A=(p * q) v (r*p) y B=vq * (*-r~*p) son equivalentes. Solución. Construimos las tablas de verdad de A y B unidas por el operador lt+-*II P q r V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F Pasos (p q) p ) (r >vq + ('vr -*• 'vp) V V F F V V V V V V V F V V V V V F V F F F F F V V V V V V V V F F V V F F V V V V V F V V V V V F V F V V V V 1 3 2 7 4 6 5 Vemos que las columnas 3 y 6, que corresponden a los operadores principales de A y B, respectivamente, son iguales; entonces, el resultado de unir es tas dos columnas por el operador ' W " es tautológico, por lo que, A y B son Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.11: Posiciones Equivalentes 23 equivalentes. EJEMPLO 3. De las siguientes proposiciones, cuáles son equivalentes? A="Es necesario que Juan no estudie en la Universidad de Lima para que Luis viva en Monterrico". B="No es cierto que Luis viva en Monterrico y que Juan estudie en la Universidad de Lima". C="Luis no vive en Mon térrico y Juan no estudia en la Universidad de Lima". Solución. Sean: p="Juan estudia en ia Universidad de Lima" q-"Luis vive en Monterrico" Entonces: A=q vp ; B=v(qAp) ; C=vqA"‘P A p q V V F F V F V F Pasos q B 'vp F V V V V V V V 1 Aqui observamos que las colimaos I "V (q A p ) F V V V V F F F 3 2 lo es: B £ C EJEMPLO -4—► *vq A 'vp V F F V F F F V A y 3 de los operadores principales de las proposiciones A y B son iguales, por A =B , A t C y C tanto, éstas son equivalentes,esto 4. Dada la proposición en Z (números enteros) p="Si x es primo y x no es mayor que 2, entonces x no es múltiplo de 2". Luego: A-"Si x es múltiplo de 2, entonces x no es primo y no es mayor que 2". B="Si x es múltiplo de 2, entonces x no es primo o es mayor que 2". C-"x no es múltiplo de 2 o x no es primo o x es mayor que 2". Cuáles de estas proposiciones son equivalentes a p? Solución. Sean las proposiciones: r="x es primo", s="x es mayor que 2" y t="x es múltiplo de 2". Simbolizando se tiene: p=(r*.AS) ■» Vt ; A=t * ('W A ^s) ; B=t ■* f v v ; C= v t v V v S Para evitar el laborioso trabajo de elaborar las tablas de verdad de cada proposición, construyamos sólo la de p, y supongamos que: V(r)-V, V(s)=V> V(1 )=V (Primera fila) y obtenemos en ia tabla: V(p)=V, entonces: A=V - (FA F)=F, luego: A i p ; B=V * (FvF)=V, luego: B = p; C=FvFvF=V, luego: C = p. Ahora supongamos que: V(r)=V, V(s)=F y V(t)~V (tercera fila), con estos va lores obtenemos en la tabla: V(p)=F Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 1: Lógica 24 D ad o q u e A y a q u e d ó d e s c a r ta d o , p ro b a m o s co n B y C , e s to es: B = V —» ( F v V ) = F ; lu e g o B = p C = F v F v F = F ; lu e g o C = p Se p u ed e s e g u ir p ro b a n d o q u e p a r a o tro s v a lo re s de v erd ad de r, s y t, la s p r o p o s ic io n e s B y C son v e rd a d e ra s al ig u a l q u e p , en c o n s e c u e n c ia , p o d em o s a firm a r q u e é s ta s so n e q u iv a le n te s a p. r s t P V V V V V V F V V F V F V V F F F V V V F V F V F F V V F F F V OTRO USO DE LA IM PLICACIO N Se d ic e q u e u n a p ro p o s ic ió n A im p lic a a o tra p ro p o s ic ió n B , c u a n d o u n id a s p o r el c o n d ic io n a l re s u lta u n a ta u to lo g ía . Se s im b o liz a : A -> B y se lee: “ A im p lic a a B ” , o ta m b ié n , “ A e s c o n d ic ió n s u f ic ie n te p a ra q u e B ” o “ B es c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a ra A ” . Si A n o im p lic a a B , se e s c rib e : A -/> B E J E M P L O 1. S o lu c ió n . S ean lo s e s q u e m a s m o le c u la re s : A = (~ p ) A (~ r) y B = ~ (p D e m o s tra r q u e A im p lic a a B. a q ) v ~r. E n e fe c to , c o n s tru y a m o s la ta b la de v e rd a d de A —> B: (~P) A(-r) '> ~ (P a q) V -r p q V V V F V F V F F V V F V V F V V V V F V F V V F V F V F F V V V F V V F V V V V V F V F F V F F V V F V V F F V V V V F V F F F F F V V F V V Pasos 1 6 4 3 5 2 C om o el re s u lta d o a rro ja u n a ta u to lo g ía , q u e d a d e m o s tra d o q u e: A B E J E M P L O 2. D a d o s lo s e s q u e m a s m o le c u la re s : A = p a ~ q, B = q - » - r y C = - p A (q a r); d e te rm in a r si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a r a la c o n ju n c ió n de A y B. S o lu c ió n . Si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a ria p a ra A a B , e n to n c e s se d e b e p ro - Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 2 25 bar que (A a B) ■* C p q r (p A ^ q ) V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F F F V V F F F F F F V V F F F V 1 3 Pasos A -■>- %p A F V V V F V V V V V F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F V F F F 2 7 6 5 (q -* <\,r ) (qAr) t Como el resultado (7) no es una tautología, entonce C no es una condición necesaria para A y B, esto es: (A a B) + C EJERCICIOS: Grupo 2 En los ejercicios del 1 al 12 establecer, por medio de una tabla de valo res, si cada uno de los siguientes esquemas moleculares es contingente, tau tológico o contradictorio. 1. V [ ^ P ' + v(-vq A V p ) ] v V ( v p v v q ) 5 . [ ( p A v q ) a (vp r ) ] -*■ ( p v ^ q ) 2. [(pv'^q)^pl A v(-^q » p) e. [pv(q * "*r)j a [(*p v r) 3. *(p ♦ q) *•* ''■(''■q 7 . [(^pr,q) * vr] <-* [r a v(p v ^ ) ] vp) 4. [p * (q * r)] ** [(p a ’vr) *•vq] 9. ípAfwj - P)].a ^[(P 8. vq] M (p a q) v [p a (yp v q)]} ** (p + “vq) “VJ) + (qv^p)J 10. [vpA(q v*r)] <-► [(vpAq) v ^fp vr)] 11. [(p A vq) a ^(r a q) ] «-► v[(p a vq) * (qAr)] 12. {[(^pAr) ■* q] *->■ ["vq.** (pvr)]} A {(p *-* q) A (qv'V)) 13. Afirmamos que: A: "Hoy es lunes pero no martes, entonces hoy no es feriado" *-* "Hoy es feriado, entonces no es verdad que hoy es lunes y no esmartes". B: "Hoy es lunes o martes, si y sólo si, hoy no es lunes" ■*-*■ "Hoy no es lunes y hoy es martes". C: "Hoy es -feriado y no es martes, entonces hoy es martes" es martes, entonces hoy es feriado". Cuáles son verdaderas? 14. (1) Es necesario y suficiente que p y q sean falsos para que: Sólo fines educativos LibrosVirtual "Hoy no 26 Capítulo 1: Lógica -* (qv'Vj sea falsa. (2) Es necesario que q sea falsa y r verdadera para que: (pA'vq) (^rv^p) sea falsa. (3) No es necesario que p y q sean verdaderas para que: “*(p A q) v ('■p Avq) sea verdadera. Cuáles de estas afirmaciones son verdaderas? 15. Dados los esquemas lógicos: P=(p ■* q) a -v(vp A q); R=v(vp +— q); Q=v(pv %q). Cuál de las siguientes relaciones es correcta: a) P s R b) R = Q c) P = R d) Ninguna 16. Si se sabe que: p*qz(p * ’Hj) y ptq=^pa vj, evaluar el esquema molecular A=(p * r)#(q*r) 17. Sidefinimos el conectivo como: pAq = (pr, *q) v í(p a r)A vqj tdonde r es una proposición cualquiera. Analizar cuates de las siguientesafirma dones son correctas. aj pSp es una contradicción c) qA£ = q A M b) d> pi1^j = p AÍ^pvq) pAq = qAp 18. Dada la siguiente información:p*q s C^p * qj Af'q «-* p> p#q £ C'-p *-*•' q) v C^q * p) Evaluar la fórmula: í(p*q) a (q v r)] ■* (vptfq) . 19. Dados los siguientes esquemas moleculares: A=p¿('<<i), B=p y C=rv(q a *r). Determinar: a) Si la conjunción de A y C implica a B b; Si ía disyunción de A y B impl ica a C. 20. Determinar si cada una de las proposiciones que aparecen a continuación implica a K='fpAq)v'r. A=p *(q o r > ; B=(qA vr) C=(’vp)t:(^r) ; 21. Sean tas siguientes proposiciones: M=(p L=q ♦ vr. Analizar: a) M implica a L y + vq) a ( r ■» p ) ; S=[v(vpv q )) a q b j M implica a S 22. Dada la siguiente tabla: Evaluar lar fórmulas: a) (p * q) e (q#r) b) (qA r) # ( r A q ) c) (m «• n) * (niq) p q p*q p#q p0q V V F F V F V F F V V V F F F V F V V F d) M e » q) # (q*n) * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.13: La Inferencia Lógica 1.13 27 LA IN FERENCIA LOGICA_____________________________ ' U En matemáticas llamamos razonamiento a un par ordenado (ip¿),q), en donde, 1p^> es un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas y q u na proposición, llamada conclusión. Un razonamiento es deductivo si y sólo si las premisas son evidencias de la verdad de la conclusión, es decir, si pi, p2, ....,p son verdaderas enton ces q es verdadera; cuando se deduce esto se dice que se ha construido una inferencia. De este modo, toda regla de inferencia es tautológico. Una inferencia es válida si y sólo si la premisa p o conjunción del conjun to de premisas Ip^l implica la conclusión q, esto es, si: (PiaPiaPíA APn ) — q es una tautología ' (a) Determinar si p v Q as una consecuencia válida de: EJEMPLO 1. A>p -» vq , vq * r , vr. Solución. Aqui las premisas son: p¡=vp ■* vq, p2=vq r, p3=^r, y la conclu ción: Q=pv q. Debemos demostrar que: (piA P¡ a Pj) Q, es una tautología. En efecto, la tabla de verdad para esta inferencia es: p q r V V V V F F F F V V F F V F V F V V V F F F V F (■vp-»- %q ) A ('vq -*■ r A (A<r) V V V V F F V V V V V F F F V F V V V F V V V F F V F F F F F F F V F V F V F V V V V V V V V V V V V V V V F F 1 3 2 5 h 7 6 Pasos — (p v q ) t________________ í Como el resultado (7) es una tautología, la conjunción de premisas implica a la conclusión, por tanto, la inferenciaes válida. Observaciones: (1) En los casos en quelas premisas forman dos o más con junciones, se toma laúltima conjunción como la princi pal del antecedente. (2) La validez de una inferencia no depende de los valores de verdad ni del contenido de los enunciados que aparecen en la inferencia, sino de la forma particular de la inferencia. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 1: Lógica 28 (3) Si la condicional (a) no es una tautología, entonces se dice que la in ferencia es no válida o es una falacia. EJEMPLO 2. Determinar la validez de la inferencia: "Si el triángulo es ¿ sósceles entonces tiene dos lados iguales. Pero, el triángulo no tiene dos lados iguales; por lo tanto, no es isósceles". Solución. Sean: p="El triángulo es isósceles" q="£( triángulo tiene dos lados iguales" Entonces, el esquema de la inferencia es: P - Q vq 'up (p + q) (%q ) p q V V F F V F V F V F V V F F F V F V F V V V V V F F V V Pasos 1 3 2 5 4 A Como el resultado de la tabla de verdad es una tautología, la inferencia es válida. EJEMPLO 2. Mediante una tabla de verdad, establecer si es válida ¡a ¡n/£ renda: p vq qvr f\,p Solución. r V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F Pasos (p -M - A,q ) (s -r ) -► A > q < P F F V V V V F F F F V F V V F F V V V F V V V F F F F F F V F F F V F V F V F V V V V V V F V V F F V V F F V V 1 3 2 5 4 7 s (^ q ). t_________________ i El resultado de la tabla no es una tautología, por lo tanto, la inferencia es una falacia. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.13: La Inferencia Lógica 29 EL METODO ABREVIADO_______________________________y Es un procedimiento que evita la laboriosa tarea de construir la tabla de valores para determinar la validez de las inferencias. Este método consiste en suponer la conjunción de premisas verdadera y la conclusión fal sa, única posibilidad que invalida la implicación: (Pl A Pl a p SA V V a V ) — •q V F Si no se demuestra esta posibilidad la inferencia será válida. En la prueba de éste método se aplica los siguientes pasos: a) Asignar el valor de verdad V a cada una de las premisas y de falsedad F a la conclusión. b) Deducir la validez de cada una de las variables propos idónales en fun ción de las reglas veritativas, empezando por la conclusión o por el ope rador de una de las premisas que ofrece una soia posibilidad. c) Si cada una de las variables cumple una sola función veritativa, se ha brá probado que la conjunción de premisas es verdadera y la conclusión esfalsa; por lo que, la inferencia no será válida (No hay implicación). d) Si una variable tiene dos valores de verdad y falsedad a la vez, quedará demostrado que no es posible que la conjunción de premisas sea verdadera y la conclusión falsa. Por lo que, hay impl icación y la inferencia será válida. EJEMPLO 4. Establecer si es válida la inferencia: p aq qvr vr :. vq Solución. Empezónos escribiendo el esquema de la inferencia en la forma: b) Einpezamos por la conclusión: Si V(vq)=F * V(q)=V. Trasladamos este va lor a la primera premisa y notamos que si: V(p *-■ F)-V * V(p)=F (única posibilidad). En la tercera premisa: V(^r)=V * V(r)=F. Estos dos valo res encontrados satisfacen el valor de verdad de la segunda premisa. c) Como cada una de las variables conpie una sola función veri tat iva, deci dimos que la inferencia no es válida. Esto es, se ha demostrado que la Sólo fines educativos LibrosVirtual 30 Capitulo 1: Lógica con función de premisas es verdadera y la conclusión falsa. (Ver el ejemplo 3, donde la sexta fila de valores invalida la implicación). EJEMPLO 5. Establecer si es válida la inferencia: p - q A r ~ q p * r Solución, a) (p ■* q) A f~p A **r) a (r --*■ q) * (p -> rj V V V b) £n la conclusión, si: V(p F r)=F, entonces, V(p)=V y V(r,)=F Trasladamos estos valores en la primera y tercera premisas: V(V * q) * V(q)=V (única posibilidad) V(F q) + V(q)=F (única posibilidad) d) Como la variable q tiene los valores de verdad y falsedad a la vez, concluimos afirmando /jue la inferencia es válida. EJEMPLO 6. Comprobar la validez del enunciado siguiente: "Si estudio, en tonces no perderé matemáticas y si no juego fútbol, entonces estudiaré; pero perdí matemáticas. Por tanto, jugué fútbol". Solución. Sean: p="esludio", q="pierdo matemáticas" y r="juego fútbol". Entonces, el enunciado dado es como sigue: a) (p •» "v q > a ( v r V -» p > a q V V + r F b) Si V(r)=F y V(q)=V, entonces en la primera y tercera premisas se tiene: V(p * F)=V, entonces V(p)=F , y V(V * p)=V, entonces V(p)=V d) Como la variable p tiene los valores F y V a la vez, se deduce que la in ferencia es válida. EJEMPLO 7. Simbolizar y analizar el valor de verdad del siguiente enun ciado: "Si un satélite gira alrededor de la luna, entonces g¿ ra también alrededor de la tierra; y si gira alrededor de la tierra, también gira alrededor del sol. Y, si gira alrededor del sol, entonces gira alrededor de la constelación de la lira. En consecuencia, si un satélite gj_ ra alrededor de la luna, entonces gira alrededor de la constelación de la lira". Solución. Sean: p="Un satélite gira alrededor de la luna" Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.13: La Inferencia Lógica 31 q = "Un satélite gira alrededor de r = "Un satélite gira alrededor delsol" s = "Un satélite gira alrededor de Entonces el esquema de la inferencia es: p la tierra" la constelación de la li-*- q ra" q + r r * s p -*■ s y la conjunción de premisas es: a) (p * q) a (r * q) a (r * s) + (p ■ * s) V V V F b) En la conclusión: si V(p * s)=F ■*• V(p)=V y V(s)-F (única posibilidad) En la tercera premisa: V(r * F)=V * V(r)=F (única posibilidad) En la primera premisa: V(V * qj=V + V(q)=V (única posibilidad) En la segunda premisa, para los valores de verdad de r y q hallados, se cumple que: V(r ■* q)=V c) Como cada una de las variables cumple una sola función veritativa, deci mos que la inferencia no es válida, o que el enunciado es falso, ya que se enripie lo que habíamos supuesto: la conjunción de premisas verdadera y la conclusión falsa. EJEMPLO 8. Estudiar si es válida la siguiente proposición compuesta" "Si Raúl participa en el comité electoral de la Universidad entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en un comité electoral de la Universidad entonces las autoridades universitarias se eno jarán con él. Pero Raúl participará en un comité electoral de la Universi dad. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se eno jarán con él". Solución. Sean: p="Raúl participa en el comité electoral de la Universidad q="Los estudiantes se enojarán con él" r="Las autoridades universitarias se enojarán con él" El esquema de inferencia es: p * q 'vp •*- r Pv"V qvr y la conjunción de premisas: a) (p * q) a (r * vp) a (p v vp) + (q v r) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 1: Lógica 32 b) En la conclusión: si V(qv r)=F + V(q)=F y V(r)=F (única posivilidad) En la primera premisa: V(p -*■ F)=V V(p)=V (única posibilidad) En la segunda premisa: V(F* 'vp)=V ■+ V(vp)=V -*• V(p)=F d) Como la variable p tiene los valores de V y F a la vez, concluimos afir mando que la proposición compuesta es válida. EJERCICIOS: Grupo 3 Demostrar, por la tabla de valores o por el método abreviado, si los esque mas representan o no reglas de inferencia válidas. 1. p - C*q) 5. p +— q p v C*q) rv q ^ 'v .r 8. q * p q + (rv s) ^s) v .\ r + (s 2. q * p 6. .'. p *-+ q p * q 9. q * r . r * s 3. p) p - q pv^q r vp s *— p (p - q) a (r * s) .'. p v (q vr) pv r '. q v S 7. q (v¡ r) 10. p +-*■ vq rv s 4. p - q *p ^ 'V'p a s r r * s . _2______ / .. q v r v .'. p * (r*vq) Traducir a forma simbólica y comprobar ¡a v idez de los siguientes enuncia dos: 11. Si trabajo, no puedo estudiar. Estudio o paso matemáticas, pero trabajé Por tanto, pasé matemáticas. 12. Si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino entonces Patricia llega rá tarde a la Universidad. Pero, Patricia no llegará tarde a la Universidad. Por tanto, si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino entonces Patricia viajó en taxi. 13. Si 6 es par, entonces 2 no divide a 7. 5 no es primo ó 2 divide a 7. Por tanto, 6 es impar. 14. En el cumpleaños de mi esposa le llevaré flores. Es el cunpleaños de mi Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautologías 33 esposa o trabajo hasta tarde; pero hoy no le llevé flores a mi esposa. Por tanto, hoy trabajé hasta tarde. 15. Si trabajo no puedo estudiar, trabajo o apruebo matemáticas, pero apro bé matemáticas. Por tanto, estudié. 16. Si Londres no está en Dinamarca, entonces Parts no está en Francia. Por tanto, Londres está en Dinamarca. 17. Si me gustan las matemáticas, entonces estudiaré. Estudio o pierdo el curso, en consecuencia, si pierdo el curso, entonces no me gustan las matemáticas. 18. Luis es director de una empresa si tiene el mayor número de acciones; y si tiene el mayor número de acciones, o es un economista o tiene mucho dinero.. Ocurre que Luis tiene el mayor niñero de acciones. En consecuen cia, o es un economista o tiene mucho dinero. 19. Estudiar si es válida o no la siguiente proposición compuesta: "Si en la luna no hay oxígeno, entonces no hay agua ni aire. Si no hay oxígeno ni hay agua, entonces no hay plantas. No es el caso que en la luna haya oxígeno o no haya plantas. En consecuencia, la luna está hecha de queso" 20. "Si Anito decia la verdad, entonces Sócrates corrompía la juventud, y si el tribunal lo condenó equivocadamente, entonces Anito no es el cul pable. Pero, Sócrates no corrompía la juventud o Anito es el culpable. Por tanto, Anito no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates equivocadanenteV PRINCIPALES LEYES LOGICAS Y TAUTOLOGIAS Una forma proposicional es una ley lógica si y sólo si cualquiera que sea la interpretación formalmente correcta que se haga de la misma, se obtiene como resultado una verdad lógica. En lógica, las tautologías son conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos y son las siguientes: T.l: Ley de Identidad (Reflexividad) Una proposición sólo es idéntica a si misma. Se expresa por: p— p y p —■p T.2: Ley de no Contradicción Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez. Sólo fines educativos LibrosVirtual 34 Capitulo I: Lógica Se expresa por: (PA'P) T.3: Ley del Tercio Excluido Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera posibi lidad. Se expresa por: Pv'P Existen muchas otras tautologías igualmente importantes y que se cla sifican en dos grupos: las tautologías llamadas equivalencias notables y las llamadas ¡aplicaciones notables. EQUIVALENCIAS NOTABLES E.l: Ley de Involución (Doble negación) Dos negaciones de igual alcance equivale a una afirmación. V (v p ) E .2: = p La Idempotencia Una cadena de conjunciones o disyunciones de variable redundante se £ I¡minan. E.3: a) pA p = p b) p vp = p Leyes Conmutativas Si en las proposiciones conjuntivas, disyuntivas y bicondicionales se permutan sus respectivas componentes, sus equivalentes significan lo mismo. a) p a q= q a p b) p v <J= q v p c) E.4: pq = q « p Leyes Asociativas Las leyes asociativas para la conjunción, disyunción y bicondicional establecen que si en un esquema hay más de una conjunción, disyunción y bi condicional, respectivamente, con iguaI alcance, ellas pueden agruparse indist intímente. a) (p*q)Kr =pAÍqAr) b) ( p v q ) v r = p v ( q v r) c) (p *— q) +->■ r z p (q Sólo fines educativos LibrosVirtual r) Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautologías £ .5 Leyes Distributivas a) E.6: 35 pr-(qvr) = ( p * q ) v ( p n r ) b) p v í q A r) s (pvq) * (pvr) c) p > (q a r) 3 (p * q ) A ( p -*■ r) d) p - (qvr) 3 (p * q) v(p + r) Leyes de Morgan La negación de las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtie nencambiando la conjunción por conjunción, y negando Ejemplos: a) "No es a) v(P A q) b) H p v q) 2 (y>*"q) E.8: E.9: la disyunción por la = C^pv-Vj) o no está lloviendo" "No es verdad que las rosas son rojas o las violetas son azules" equiva le a: ”Las rosas E.7: o verdad que hace frío y está lloviendo" equivale a: "No hace frío b) la disyunción, cada uno de los componentes. no son rojas y las violetas no son azules" Las leyes del Condicional a) p * q 3 -vpv q b) *(p - q) 3 p A •*} Leyes del Bicondicional a) (p *- q) 3 (p * q) a (q ♦ p) b) (p s (pr.q) v (vp*. *q) q) Leyes de la Absorción a) p A(pvq) s p b) p c) pv(poq) = p d) p v (vpAq) = p v q a (vpv q) 3 p a (¡ Las leyes a) y b) constituyen la absorción del esquema conjuntivo ai disyuntivo. Uno de los miembros del esquema conjuntivo es el esquema absorvente (puede ser una variable o una cadena de disyunciones), y el otro miem bro es el esquema que se absorve (puede ser una disyunción o una cadena de disyunciones). Las leyes c) y d) constituyen la absorción del esquema disyuntivo al conjun tivo. A diferencia de a) y b) el esquema absorvente es una variable o cade Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 1: Lógica 36 na de disyunciones y el esquema que se absorbe es una conjunción o cadena de conjunciones. Nótese que en a) y c) se absorve toda la disyunción y conjunción, respecti vamente, mientras que en b) y d) se absorve sólo la variable que se repite negativamente. Ejemplos. (1) Simplificar: (vr a p) a fs v r) a ( M v p) a (t v vs) Aplicando b) a los dos primeros términos del esquema se tiene (vr A p A s) A (v t v p) A (tV vs ) En los primeros términos se repite p, luego, según a): (vr a p a s) a En el segundo término, vs) ( t v la variable s se repite negat ivamente, luego, según b); el esquema equivale a: (2) Simplificar: s v ''taPASaí (r a ^s) Aplicando d) a los dos (s v r) (p a v r a t) primeros términos del v (p a r a esquemase tiene: t) La variable r se repite en la cadena de conjunciones del segundo término, luego, aplicando c) el esquema equivale a: E.10: svr Leyes de Transposición a) (p * q) = (vq ■* vp) b) (p «-* q) h (vq vp) Los miembros de un condicional y bicondicional pueden ser transpues tos si se niegan cada uno de ellos. E.ll: Leyes de Exportación a) (pA q) * r = p - (q * r) b) E.12: K P í a P ia ... aPn ) - r] = j(p ,ap,a---- A p n _i) - Formas normales para la Conjunción y Disyunción F.N. Conjuntiva a) TaT F.N. Disyuntiva T a) CvC = C b) TaP = p b) CvP i P c) CAP = c c) TvP a T (T=Tautologia, E.13: (Pn * r ) j s C=Contradicción, P=Esquema molecular cualquiera) Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología a) pA C = C b) C*T=T c) pv Sólo fines educativos LibrosVirtual T=T Ejercicios Ilustrativos EJERCICIO 1. 37 Dada la proposición: "Si 3+4=7 entonces 8 es primo, o 4 no es par" a) Negar oracionalmente la proposición b) Determinar el -valor de verdad de la proposición original. Solución. Sean: p="3+4=7", q="8 es primo”, r="4 es par" La proposición en símbolos es: (p + q)v vr a) Su negación es: '"[(p + qJv^rJ = H p -*■ qjA^far) (Morgan: E.8b) = (pAvq)A r (E.7b y E.l) Oralmente: "Si 3+4=7, 8 no es primo y 4 es par" b) En la proposición original: V(p)=V, V(q)=F, V(r)=V Entonces: V[(p + q) v vr] = V[(V + F)vF] = V(F vf) EJERCICIO 2. Hallar otra forma =F equivalente de la proposición: "Es necesario entrenar debidamente y no cometer infracciones para cumplir buen papel deportivo" Solución. Sean: p="entrenar debidamente", q="cometer infracciones" y r="cumplir buen papel". Aqui, el antecedente es (pA^q) y el consecuente r, entonces la proposición en símbolos es: r + (p A^q) = V v í p A ’yj) (Cond. E.7a) Por tanto, la otra forma de enunciar la proposición dada es: "No cumplir buen papel deportivo, o entrenar debidamente y no cometer in fracciones". EJERCICIO 3. Hallar una proposición equivalente a: P = [(^Pa q) - (r Avr)] a (vq) Solución. P = [v(vp^q) v (r A^r)] A(vq) = [(p A -vq ) V (C)J A (vq) (Cond. E.7a) (Morgan: E.Sa y T.2) = [(p Avq)] v (vq) P = vq . S E J E R C I C I O 4. Solución. (E.12: FNDb) (Abs. E.9a) Simplificar el esquema: A=(vpA q) + (q + p) A = \Cvp A q) V (q + p) (Cond. E.7a) E (pv'vq) v tvq v p) (E.Sa y E.7a) E v (pv%q) E (pv-vq) Sólo fines educativos LibrosVirtual (Conm. E.3b) (Idemp. E.2b) Capítulo 1: Lógica 38 yÊJERCICIO 5. Si definimos "tt" como: (p#q) =(pv v( p A q ) , q )A hallar una ex presión equivalente a p#q. p#q = ( p Solución. q) v (-qp a = í(p v q )A v vq) (Morgan: E.6a) v p ] v [ ( p v q ) A -yq]< (Dist. E.5a) (Abs. E.9b) 3 I v p * q ] v [v q * p ] = [v(q * p ) ] v (v(p + q )] = a [ (q * p) = v(p EJERCICIO 6. A (p - (Cond. E. 7b) q)] (Morgan: E.6a) (Bicond. E.8a) ** q ) Si A=p «- V), B=[(p A Aq) r] a [(p C=v\,[vs * ('vsvr)] * f^p •<l)) A vq) vr] y Establecer si A,B y C son equivalentes. Solución. Simpl if¡cando los esquemas B y C se tiene: B = (p a h V p A s A(p a s C = f^s = A vq) s v(p + ( r a ^r) (Morgan: E.6a) (Contrad. T.2) v fe; Aqj .*í p (as v r>J a AfAp «-» i<¡; [v(^s) v (A g y r ) j A A (A p Aq; fsv (A sv r> jA fp Aqj h [(s vq) = [ T V r ] A ( p «-» A q ; = T a ( p + - v q ) v ~ s ; v r j a (p * - Aq EJERCICIO 7. Par a una p r o p o s i c i ó n c u a l q u i e r a p s e d e f i n e r i si p es verdadera s i p es falso . . . . V ( P> = { o A partir de las tablas de verdad, mostrar que: V(vp) - l-V(p) y b) V(pvq) = V(p)+V(q)-V(p).V(q) A continuación y sólo utilizando a) y b) probar que: c) Vfpa q) = V(p).V(q) Finalmente, deducir una fórmula aritmética para: d) V/Afp -► q)] en función de V(vp) y V(q). Solución, a) Si V(p)=V ■* V('vp)=F Según la definición: V(p)=l y V(n,p)=0 Como: 0 = 1 - 1 (Cond. E.7b) (Cond. E.7a) (Invol. E.l) (Asoc. E.4b) (T.3 y E.13c) (E.12: FNCb) Por lo tanto: A = B = C a) (E.12: fNDb) (Def. de Bicond) Aq s = P (Dist. E.5c) ■y¡.)v(rA aj-) * Vfvp) = l-V(p) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautológicas 39 Ahora, para V(p)=F * V(vp)=V; o sea: V(p)=0 y V(vp)=l y si: 1 = 1-0 - V(-y-p) = l-V(p) b) Si V(p)=V y V(q)=V » V(pv q)=V Según la definición: V(p)=l , v(q)=l y v(pvq)=l Pero: 1 = Ul-(1)(1) -> V(p v q) = V(p)+V(q)-V(p).V(q) Para V(p)=V y V(q)=F * V(pvq)=V Según la definición: V(p)=l , V(q)=0 y V(p vq)=l Como: 1 = l+0-(l).(l) - V(pvq) = V(p)+V(q)-V(p).V(q) Igualmente se demuestra b) para: V(p)=F y V(q)=V ; V(p)=F y V(q)=F c) Podemos escribir: V(p*q) = V[^(vpv ^q)] Según a): (Morg. E.6a) V(p*q) = l-V(vpv^q) y según b): = l-[V(vp)+V(^q)-V(^p).V(^q)] = 1 - ll-V(p)-H-V(q)-[l-V(p)][l-V(q)]} de donde: V(p/\q) = V(p).V(q) d) V[^(p * q)] = V(p*vq) (Cond. E.7b) = V(p).V(q) (Según c)) = (l-V(^p)Jll-V(q)] (Según a)) de donde: V[^(p ■* q)] = 1-V(vp)-V(q)+V(vp).V(q) EJERCICIO 8. Transformar la siguiente proposición compuesta: P - (^p *-* q) A (p * q) a su equivalente condicional mas simple. Solución. Sabemos que: v(p q) s p •» q A » ip q • p 4 g Luego, en P: Aq) A (p - q) = (p A q) A (vp vq) P = (p (Cond. E,7a) = p A [q A («*p v q)] (Asoc. E.4b) (Def. Disy. Ex.) = p A{[q v P'-p q)] A v[q a (vp v q ) 7 } s p AH q (*p v q)l A ÍV J V v(^p a fv) v (pA^q)Jt (Asoc. E. 4b y Morg.E.6b) ^P] A [vq]) = p A (vp A vq) (ldemp.E.2b y Abs.E.9b) v = p A {[(q v q) = p = [p A{[q V v ( a ,p v v vp] ] a [v(p A A f'V .p A = [p v vq] a [vp v ^(vp = (p v vq) A [vp v v a K^p = (p = (p v v i) vqj a T = v v p) v (p v v (Morg. E.6a) q)]} -*q)) ] (Disy. Exc.) vq)] (Abs.E.9d y Morg.E.6a) A q)] q] 3(p v vjJ (Morg. E.6a) a [T v qj p P s q * p Sólo fines educativos LibrosVirtual (Asoc.E.4b y T.3) (Neutro: E.13c) Capítulo 1: Lógica 40 EJERCICIO 9. Se define el conectivo + por la tabla: a) Expresar ptq en términos de * y v b) Comprobar mediante una tabla de verdad que la expresión hallada en a) es equivalente a p •— vq. Solución. Obsérvese que los valores de verdad de p + q es la negación de los valores de verdad de p v Q (Morg. E.6b) Esto es: p + q = v(p v q) = ' p A ^ Se sabe que: p Entonces: A q (p v q) = M p q j a p & q = v[v(p v q)] a v(p A q) - "*(p + q) .'. A A v(vp + vq) p 6 q = (p + q) + (vp + vq) b) p q P V V F F V F V F V V F F A-q P q (p + q ) F V F V V V F F V F V F F F F V F V V F + (A,p + A/q) F V V F V F F F Como los valores de verdad en el operador principal de ambas tablas son ip «-► A-q = (p + q) + (vp + vq) dénticas, se deduce que: EJERCICIO 10. Si T es una tautología y p,q son proposiciones. cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) l [ ( p A T) v Cq V T jJ A b) i[(p v q J v (vp A c) l[(p v q S o lu c ió n , v ( p v q j l *-► p a vq)] a (p v q)l T *T) A VT; v l(vp r. T) v T] 1 *-► T a) ; 1/fp S lie^T = lp T ) v fA-T’; ; A (p vq)} a V p )J a (p v (p v q ) 1 = p a (q a ^T=C=vT) (Abs. E.9d) q ;n (E.12:FNDa y Abs. E.9a) La afirmación es verdadera, b)= l í f p v q j v M í H -v-ip a v q ;; a (p v q )( (p v q l l M p v qJ (Morg. E.6b) (T.3 y E. 12: FNCb) La afirmación es falsa. O = { /M\/ v [T] } = (Abs.E.9a y E.9c) T (Tere. Exc.T.3) La afirmación es verdadera Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 4 1. Sean: 41 p="Juan estudia inglés", q="Pedro está en casa". Simplificar y expresar oralmente la proposición: P=^[^(pa "q) ■* pjvq 2. Determinar el equivalente a la afirmación: "x no es divisor de 3 es con dición necesaria para que x sea primo y no sea mayor que 4". 3. Determinar los esquemas más simples equivalentes a las proposiciones: a) "'["■(pAq) * vq]v p c) [(p a q) v (p a ''q)] v (vp A"q) b 7 ¡(p + q)v Ap; a Cvq e) [ (vq * vp) f) g) - (vp M í (vp A vq ) v (p A (vp v q ) ) ] la a proposición 7. ( q v p) las a firm a cio n es s ig u ie n t e s c) v [(p A q ) v r] = (p 9. «-► v [ ( p v q ) * q ] son verdaderas? r). b) v(p q ) == f f t p , ) <-•» q j = [v(pv r)v v(qv r)] la p ro p o s ic ió n : Usando e q u i v a l e n c i a s (v ( v p + vq) y í í p v q M { ( ( " ‘P * v q ) v p v q ) * [ ( p * q ) v (vp A vq ) v p ] } 8. eseq u iv a len te a son equivalen tes? q) f D-v(p + q) « [ ( " ■ p v q ) A (vq v r ) ] (vr)¡ , B =[p A ( v q ) ] a[ v ( q a r ) ] B = [ (v p * v q ) v (mj) ] , a) S im plifica r a [q (vq)] a C=v(p -+ vq) « - (p Cuáles de + q) las s ig u ie n t e s p ro p o s ic io n e s A=v(q * vp) 6. P=v ( p A = [ p a ( p v " - r ) ] A ( %q ) ( v q ) ] v [ (p a vr ) Cuáles de -► v ( P v q ) } ["‘( p v " q ) ] ) las p ro p o s ic io n e s : O fp (p A vr) v [vq -* v(pA r )] vq)] A v (p A q ) v{v[^(vp A q J v ^ J 4. D e m o s t r a r q u e 5. d) p> -M - lógicas v(p v q)] v a (vq ) sim plificar: /p + ('•'« p S im p lif ic a r aplicando eq uiva len cia s {fp A q A fp v q l 7v / r a a q A r 7 lógicas ] la p ro p o s ic ió n : p v .rv q l a pj} a {["-pvq v v j v " - ( p v q ) l — [rA p a (vrvq)]} 10. Dado el conectivo lógico * definido por la siguiente tabla: P q p *q Analizar la verdad o falsedad de las siguien V V F F V F V F V F V F tes proposiciones: a) q=V es condición necesaria o suficiente para que (p*q) = V Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 1: Lógica 42 b) vp * l(p /\ q) * (r s)¡ 5 r a c) Es falso que (p ■* q) a s h F sea condición necesaria y suficiente para p *q h F 11. Si p A t f A r = F , d e m u e s t r e que la proposición más simplificada de: P = f(vp v q) a C'q v r)J * (r a ^p) es la proposición p y q v r. 1 2 . Hallar la expresión más simple equivalente a la proposición: * ( * p ■* ''■qjf ¿ iCp A ''-ql V "v/(p a '^q) v fq * p ) l i [ (*(pv q)) 13. Se define la proposición lógica compuesta p*q por medio de la siguiente tabla: H a l l a r la proposición lógica más simple equiva lente a la siguiente proposición: l(vp)*q] v U V p q)] * * M [v(p * q)] * [ (vp) * q ] \ ] \ v ^ p 14. Simplificar la proposición compuesta: W p q> v 15. E n u n c ia r una [(p a *q ) v *[(r * s) v <q * p ) ¡ ]) o proposición t, lo [q a (p ■*q)J más sencilla posible, queseaequivalen te a R + S, siendo: 8 = p S l ( p l S = (^p -* q) q ) v ( ( r a vp) a v ff-vq - Cp a r ; j (q a vp)j v (p a a < j) } a fp - q ) l 16. Aplicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posible las siguien tes proposiciones: P = (¡p + (q a,*r)J a [p a (q ■* r j ]} v {[p A q A (pv q> 1 v fr a (A-rv ql A p7> Q = t f í í ^ A p l v (^p/\q)) v (p * r)} v ^fp «— qll 4 fq A a s ) ♦ q)J 1 7 . S i x e y son ia s p r o p o s ic io n e s más s im p l if ic a d a s d e lo s esquemas molecu lares: P = Ip a [ (q a ^r> v fr y H¡) JJ q A ¡ (q a vp) y (vq v r)] = f'v.f^p •* v¡; ** ■'■('p v q)) v [p ■* (q a r a ^p)] respectivamente, hallar x y 'y1 8 . C u á le s de la s s ig u ie n t e s proposiciones son verdaderas? a) v[v(p a c) M(p a q) - (vj)J s (P q) v [p a q) b) v[(vp) í-xp v qJ7> 5 (p * ’^q) * Sólo fines educativos LibrosVirtual qj e fp -- q) Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautológicas 1.14.2 1.1 43 IM PLICACIO NES NOTABLES Ley del Uodus Ponens Su representación simbólica es: [(p ■* q) y su esquema clásico: p] ♦ q a P * Q P ••• q Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la afirmación del consecuente. Ejemplo: "Si en verano hace calor, entonces en invierno hace frío" "En verano hace calor" Luego: 1.2 "En invierno hace frío" Ley del Uodus Tollens Su representación simból ica es: [fp y su esquema clásico: q) A - * vp p ■* q ••• Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en ia ne gación del antecedente. Ejemplo: "Si Ricardo Palma nació en Lima, entonces es limeño" "Ricardo Palma no es limeño" Luego: 1.3 "Ricardo Palma no nació en Lima" Ley del Silogismo Disymtivo Su representación simbólica es: l(p v q) * vp] + q y su esquema clásico: p v q o l(P v q) A vj] * p o p v q vp v¡ q p Si se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miembro. Ejemplo: "Juan es abogado o es ingeniero" "Juan es abogado"______________ Luego: "Juan es ingeniero" Sólo fines educativos LibrosVirtual 44 Capitulo I: L ógica 1.4 Ley de la Inferencia Equivalente Su representación simbólica es: [(p y su esquema clásico: q) A p] * q p *-► q _P____ ••• q Si uno de los miembros de la premisa bicondicional es verdadera, entonces es verdadera el otro miembro. Ejemplo: "Si x es múltiplo de 2, si y sólo si x es par" "x es múltiplo de 2" Luego: 1.5 "x es par" Ley del Silogismo Hipotético Su representación simbólica es: y su esquema clásico: l(p * q) a (q * r>] + (p * r) p ■* q q * r .-. p * r Si p * q es verdadero y q ♦ r es verdadero, entonces p ■» r es verdadero. Esta ley indica que el condicional es transitivo. Ejemplo: "Si x es un número real tal que x 1+x-6=0, entonces (x+3)(x-2)=0" "Si (x+3)(x-2)=0, entonces: x=3 ó x=2" Luego: 1.6 "Si x es un número real tal que x*+x-6=0, Ley de entonces x=-3 o x=2" la Trans i t ividad Simétrica Su representación simbólica es: l(p *-» q) A (q — >■ r,)] ■* (p <-» r) y su esquema clásico: p «-► q q <-» r p ** r Si (p *■* q) es verdadera y (q ■*+ r) es verdadera, entonces (p ** r) es ver dadera. Esta ley indica la transitividad del bicondicional. Ejemplo: "El viento sopla si y sólo si llueve" "Llueve si y sólo si el cielo está nublado" Luego: "El viento sopla si y sólo si el cielo está nublado" Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.15: La Demostración Matemática 1.7 45 Simplificación Se simboliza por: (p y su esquema clásico es: a q) p ■* p q a ó (p ó p a q p a q) q * q De una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus componen tes. Ejemplos: (1) "5 es menor que 7 y 15 es múltiplo de 5, por tanto, 5 es me nor que 7" (2) "Sócrates fue un filósofo griego y Shakespeare fue un dramaturgo inglés por lo tanto, Shakespeare fue un dramaturgo inglés" 1.8 Adición Se simboliza por: p * (p v q) y su esquema clásico es: ó p q * (p v q) ó q P v q P v q Una disyunción está implicada por cualquiera de sus miembros. Ejemplo: "Benjamín Franklin fué inventor del pararrayos. Por lo tanto, fué inventor del pararrayos o fué un hábil político americano". 1.9 Le y del Absurdo Se simboliza por: [p (q y su esquemaclásico es: a "Wj J ] •* <«»p p -*■ (q A vq) ó [‘vp * g :. vp Si una contradicción (q a "H}.)] ■* p vp + (q a vq) p sededuce de una premisacondicional, se concluye en la negación del antecedente. 1.15 LA DEMOSTRACION MATEMATICA______________________ Ya hemos visto la importancia que tiene, en matemáticas, el uso de las proposiciones implicativas en diversas demostraciones, específicamente en la de teoremas. Fundamentalmente existen dos formas de demostración matemática: la directa y la indirecta. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 1: Lógica 46 Q u ) DEMOSTRACION DIRECTA_____________________________ £ Según la tabla de verdad de la implicación, si p es falso, posición p +q es válida, cualquiera que la pro sea el valor de verdad de q, enton ces no habría nada que demostrar. Luego, interesan los casos de antecedente verdadero. Cuando a partir de la verdad de p o de un conjunto de premisas de la forma: Pi A P1 A p , se deduce * P *q (<0 la verdad de la conclusión q, se dice que se ha usado una demos tración directa. EJEMPLO 1 . Demostrar que: "Si 2x z+a < 9 y x=2, entonces a < 1" Demostración. Sean p:2x*+a<9 , q:x=2 y r:a<l Probaremos que: (p a q) * r es válida. En efecto: (1) Para x=2 en p, tendremos la inferencia válida: 2xz + a < 9 x = 2 2(2) 2+a < 9 (2) Sea t:2(2) *+a<9 ** t:a<l Entonces se tiene que: (p a q) » t es válida (3) Ya que por hipótesis: (p A q) es verdadero (4) Si aplicamos el Modus Ponens a (2) y (3), se tiene que el consecuente t se cumple. (5) Luego, t = r (6) Por tanto, r se cunple, con lo que sehademostrado que: (p a q) * r es válida. EJEMPLO 2. Comprobar la validez de la inferencia: p a q (p a q) * r r * s .". s Solución. Probaremos que la siguiente condicional es una tautología. (p A q) A [fp A q) * r] a (r * s) -► s En efecto: (1) (p a q) A [’vfp (2) = (p a q) a a [Mp q) v_r] a q ) v r] A fvr v s) * s (Cond. E. 7a) (s) * s (Abs. £.9a) a Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.15: La Demostración Matemática (3) 3 [(p q) v r] a 47 (Abs. E.9b) s ♦ s a (4) = (5) = ~[ fp {■'■[(p a q) v r] v a q) v r] v ("vs v s> (6) = •'-[íp a q) v r] v (T) (7) =T (Qond. E. 7a) v s (Asoc. E.4b) (Tere. Exc.T.3) (Tautología) (Neutro: E.13c) Por lo tanto, es válida la inferencia. DEMOSTRACION INDIRECTA Esta demostración contradicción o por se denomina reducción Tollensse puede deducir la al también demostración por a b s u r d o . Según negación delantecedente de el Modus una condicional cuando se sabe que el consecuente es falso. Si el consecuente es una contra dicción, se sabe que es lógicamente falso. Asi de p -* (q a '*}) se puede de ducir vp. (Ley del absurdo). EJEMPLO 1 . Demostrar que: S > 3 Demostración. Sea p : 5 > 3 Se va ha demostrar que p es verdadera. En efecto: (1) Supongamos que 5=3 , o sea: vp (2) Entonces por (1): 5-3=2 (q) (3) Pero: 5-3>0, o sea no es 2 (vq) (4) Entonces de (2) y (3) tenemos: q (5) Luego, de (1) y (4): ~p ■* (q (6) Según la ley del absurdo: (7) Api¡cando el Modus Tollens a (5) Nota. a a ''-q *q) l> p * (q a ■'■q,)] p y (6)se tiene que p es verdadera. Una demostración indirecta se emplea tarhbién en enunciados o inferen cias lógicas válidas que tienen la forma: (p1 a Pz a P ja A Pn^ Q Los pasos a seguir son los siguientes: (1) Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa (2) De esta premisa adicional, Junto con las premisas dadas, deducir una contradicción. (3) Establecer la conclusión deseada como deducción lógica de las premisas originales. [ ("*q) a P i a p, a A Pn ] *-*p¡ Sólo fines educativos LibrosVirtual (9) 48 Capitulo 1: Lógica Probaremos que (ti) es equivalente a (a). En efecto: (ti) s í(vq) a = p j a p¡ a a pn l a Pa a P » a -► vpi a pn] v vp¡ (Cond. E. 7a) = q v [''•fpi A PiA q,)] v a,Pi (Morg. E.6a) s q v lv(Pi a p 5A Pn a Pa>3 (Morg. E.6a) = *(pi a Pi A pa a pn) v q = fPi a aPia (Asoc.E.ía y Conm. E.3b) pn3 * q (Cond. E.7a) (ti) s ( a ) EJEMPLO 2. Si el contrato no se cumple, entonces la construcción del ecH ficio no se terminará a fin de año. Si la construcción no se te rm in a a fin de año, entonces el bancopierde dinero. contrato no se cumple, entonces el banco pierde Solución. Por lotanto, si el dinero. Sean p:El contrato se cumple q:La construcción del edificio se termina r:El banco pierde dinero Entonces, la inferencia es: (vp * vqj A Cvj + r) ■* (vp r) Demostraremos que es válida por el método indirecto. En efecto: (vp ~ vq) a v(vp + p) * v(vq + r) (p v ''■q) A v(p v r) * v(q v r) (p v vq) a (vpa vr) -»(%qA vr) (vp a vr) a vq -►(\q a vr) vp a (vr a vq)+ (vq a vr) 7a y E.7b) (Morg. E.6b) (Abs. E.9b) (Asoc. E.4a) v r) (Cond. E.7a) p v i*(vr a vq) v (vr a vj;] fA so c. E.4b) [p v v(vr (Cond.E. a v q )] p v [ T ] =T v (v q a (Tautología) Por lo tanto, es válida la inferencia. Sólo fines educativos LibrosVirtual (Tere. Exc.T.3) Sección 1.16: Circuitos Lógicos 49 CIRCUITOS LOGICOS El valor de verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico controlado por un interruptor. En efecto, para representar un interruptor mediante una proposición p, se tiene: ■| ■ » « Circuito Cerrado O ---------------------- H - Circuito Abierto Es decir, el interruptor está cerrado (pasa corriente) si V(p)=V, y está abierto (no pasa corriente) si V(p)=F. De aqui establecemos una identifica ción entre las proposiciones y los interruptores de un circuito eléctrico. Las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, etc) pueden repre sentarse mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones com ponentes. Considerando las clases de instalaciones: en serie y en paralelo, es factible diseñar esquemas de circuitos eléctricos para representar a pro posiciones compuestas o viceversa. CIRCUITOS EN SERIE__________________________________y Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie: ----------- 1 P >|-------- •- ■■ » l----------- * Se observa que este circuito admite paso de corriente cuando los dos inte rruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de co rriente. De aqui tenemos el comportamiento de la conjunción de las proposi ciones p y q. Por tanto: a) p a <J: representa un circuito cerrado en serie, que deja pasar corriente solo si los interrptores p y q están cerrados a la vez. Diremos que soló en este estado p A q es verdadera. b) 'vpA'vq; representa un circuito abierto en serie que deja pasar corriente. Diremos entonces que en este estado n,p a 'v q as falsa. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo l: Lógica 50 CIRCUITOS EN PARALELO Consideremos ahora dos interruptores instalados en paralelo: <+■ Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando uno de los inte rruptores o anbos están cerrados; no hay paso de corriente cuando los dos interruptores están abiertos. Tenemos, entonces, el comportamiento de la disyunción de las proposiciones p y q . L a falsedad de pvq, es decir, el he cho de que no pase corriente, sólo se verifica en el caso de la falsedad sj multánea de pvq. Por tanto: a) p v q ' ■ representa un circuito cerrado en paralelo que deja pasar corrien te si por lo menos uno de los interruptores eléctricos está cerra do. Diremos que solo en este estado p v q es verdadero. b) 'vpv''<?■' representa un circuito abierto en paralelo que no deja pasar co rriente, por lo que en este estado •\pv,'q es falsa. Pvd 'vpv Las representaciones anteriores nos permite diseñar o simbolizar redes de circuitos eléctricos conectados en serie y en paralelo, o también simplifi car circuitos muy complicados haciendo uso de las ya conocidas equivalen cias notables. EJEMPLO 1. Diseñar circuitos lógicos de las siguientes proposiciones: a) (p v q) a r b) p * q c) p *->■ q Solución, a) Vemos que ( p v q ) * r es la conjunción de p v q y r, que deben es tar conectados en serie: - P* q (1) 4- Pero, p v q se representa por: 4- Luego, sustituyendo en (1), tendremos la representación pedida, esto es: --- * n --- Sólo fines educativos LibrosVirtual 51 Sección 1.16: Circuitos Lógicos b) Según la condicional E.7a: p * q s ■'•pvq Luego, la representación de p * q, es la disyunción (conexión en parale 'vp lo) de *pvq. Esto es: »1-- • c) De la equivalencia E.8a: p M q 5 (p q) a (q * p) s (*pv q) a (vqv p) (Cond. E.7a) Entonces, la representación de p ** q es la conjunción (conexión en se rie) de (*pvq) y f'wjvpJ, esto es: ( 2) i'qvP Pero vpv q y vjvp, se representan, respectivamente, por: 'Vp □ — —a - %q ■I Sustituyendo en (2) se tiene: (3) ---Pero, según la equivalencia E.8b: p P-----q s (p Aq) v (^pAV)) lepresentando la disyunción de p A q y 'p*'Vj, tendremos: » ------- « — |— (4) 'Vp A 'Vj J M I— IM IIIM 'Vp MMRMMM Los circuitos (3) y (4) son representaciones de p —X q; se dice entonces que (3) y (4) son circuitos equivalentes. EJEMPLO 2. Solución. Describir simbólicamente el circuito: Los pasos para simbolizar el circuito son: (1) (2) r y *q están conectados en paralelo; se simbol iza: r v yj p y (’rv'HjJ están conectados en serie; se simboliza: p A (r v vq) (3) q y *r están conectados en serie; se simbol iza: q (4) p A f r v vq) y (q/Âir) están conectados en paralelo; se simboliza: Ip A (r v vq)] v (q a a 'v,r *r) Este esquema molecular, llamado también polinomio booliano, representa sim bólicamente el circuito dado. Sólo fines educativos LibrosVirtual I 52 Capitulo 1: Lógica EJERCICIOS ILUSTRATIVOS E J E R C I C I O 1. D e t e r m i n a r el c i r c u i t o e q u i v a l e n t e al c i r c u ito : - -p ------------- — -q — p P — q - q Solución. El e s q u e m a m o l e c u l a r q u e r e p r e s e n t a al c i r c u i t o d a d o es: [(~ p a - q ) v (p v q)] a {p v [q A ( ~ r v ~p)]} = [(p v q) v (p v q)] a {p v q} ( M o r g . E . ó b y A b s .E .9 d ) = [T] a (p v q) ( T e r c .E x c .T .3 ) = (P v q) ( E .1 2 : F N C b ) Por lo tan to , el c i r c u i t o e q u i v a l e n t e es: E J E R C I C I O 2. C o n s t r u i r el c i r c u i t o l ó g i c o e q u i v a l e n t e del e s q u e m a : [(P - » q) v p] a [(p -> q) v - p ] Solución. S e g ú n la c o n d i c i o n a l E .7 a , se tiene: [(~p v q ) v p] a [ (~ p v q) v - p ] 5 [(-p v p) v q] A [ ( ~ p v - p ) v q] = [(T ) v q] s T a ( A s o c . E .4 b ) [ ( - p ) v q] (T.3 y l d e m p . E . 1 2 a ) (-P v q) s - p v q ( E .1 2 : F N D c y F N C c ) a -P L u ego , el c i r c u i t o l ó g i c o e q u i v a l e n t e es: E J E R C I C I O 3. L a p r o p o s i c i ó n p A q ( D i s y u n c i ó n e x c l u s i v a ) a c u a l e s de lo s s i g u i e n tes c i r c u i t o s e s e q u i v a l e n t e ? — P •1 — i — q -p •P (3)’ (1)*— (2 )' L Solución. , _ b L , J q r— P — -q M I- 'IF —i * ( 4 ) * ------ S a b e m o s q u e p A q = (p v q) a P — — 1 — — q — i — p i ■ "p ~(p a q) S i m b o l i z a n d o c a d a c i r c u i t o d a d o se tien e: (1): (p a - q ) v (q a - p ) s [(p a - q ) v q] a [(p a - q ) v ~p] = [(P v q)] a ( ~ p v - q ) & (p v q ) a ~(p a q) sp Aq (2): (q v p) a ( ~ p v - q ) a (p v q ) a - ( p a q ) = p A q (3): ( - p v - q ) a [(~ p a p) v (q v - q ) ] a (q v p) Sólo fines educativos LibrosVirtual ( D ist. E .5 a) (ab s. E .5 d ) 53 Sección 1.16: Circuitos Lógicos = (*p v -K}; a l(C) v(T)l a (pvq) - 'Hp A q) a [ T ] A (pvq) (T.2 y T.3) (Morg.E.Sa y FNDc) = (p v q) a *(p a q; s p ¿ q f4J: (p v vq) a Cq vAp; s [Cp VAq; a q] v [fpv Aqj A Aq] (Dist. E.Sa) = (<¡ * pj v ('"'PA fAí>s. E.9b) s (p a q) v 'Hp v q ) r p A q Por lo tanto, p&q es equivalente a los esquemas (1),(2) y (3). EJERCICIO 4. Qué representa el circuito equivalente a: I p r i _ Solución. Elpolinomio booliano l(p v q> a _________ 1___ [ ~ „_ ' V p -----------1 r i p q Ajp nq del circuito es: (vp v Aqj] v [fp a (¡) v f-vpa Aq)] = tp A q]v [(p a q ) w ( p v q)l (Disy. Ere.) = (p 4 q>v A.[>fp a q) a Cp v q;] (biorg. E.6a) s (P a q)v A>íp a q> (Disy. Exc.) s T (Tere.Ere.T.3> Por consiguiente, el circuito representa una tautología. EJERCICIO 5. Solución. Hallar la menor expresión que representa el circuito: El esquema molecular representativo del circuito es: f(p v s [fp v q) a q) A l(r (A -fq v s K p v q ) a [ Til a •vq; v (q v A»r>]} v *r) v (q v v (r a * y r j] } v tfr a Aq; v q ! íp v qj v (q v r) : (p v q v r) q) [(y a vq) v fq a v (r A Aq)] A-r}] (£ .6 b y £.3bJ (T.3 y Abs.E.9d) ■ Por tanto, el circuito equivalente es: Sólo fines educativos LibrosVirtual (E.12:FNCb y Abs.E.9d) 54 Capitulo 1: Lógica 6. EJERCICIO Sea A el circuito lógico más simple correspondiente a la proposición: l(p a q) v (p a rj3 a [fp a s ) v (p a vsj] y B el circuito lógico más simple equivalente a: I „ — „P — i r - ■“ ■ - i >\3 (E.12: FNCb) r)3 a p (Idemp. E.2a) 3 p A (q v r) £¡ esquema molecular correspondiente al circuito B es: B = Cfqa vp) v í^p a q>3 a fvq v = L(*p a q) v (*p a 2 (A-p a q) V A q) 2 'P A q q)] a q) (t> (Asoc.E.4b y T.3) (E. 12:FNCb y Idemp.E2b) A * B = M v f l 2 A-Ip a (q v r)] v (A,p a q.) = [o.p v >v(q v r;] v C^p A q3 (Morg.E.Óa ) = [a-p v (a«p a q33 v A,(q v r) = vp v A ,( q v p ) = A ,p v fo q a (Conm. E.3b) a .^ ) (Abs.E.9c y Morg.E.ób) Luego, el circuito simplificado de A * B, es: EJERCICIO 7. Hallar la proposición x de manera que sea una tautología el circuito simplificado siguiente: „p — , Solución. A.q • Designemos por P el esquema molecular de todo el circuito, Q el sistema molecular del circuito superior y R el esquema molecular del circuito inferior. Entonces: P = Q v R Sólo fines educativos LibrosVirtual ^ Sección 1.16: Circuitos Lógicos 55 Q = i ( v p a v q ) v ( p a q ) } A {p v [q a (a ,p v i ) ] l A (vq) Para abserver la conjunción entre corchetes es suficiente hacer x=vp y obte ner: Q = í(p = l(p A q ) = l(p A a v *(p q ; q;] v q /] (pvq)] a = l(p q )} (Abs. E.9d) (vq) a (Abs. E. 9b) (Abs. E.9a) C =C fE.Í2: FNDb) P = C v R = R — ■ P = l(p Aq) v (p v ’Hj)] S i x=Ap v pvqj A = p A (q A vq) = p A Luego, en (1): * U p a v A -q ^ ] V [ f r v A ,p ; vU r v f^ p A a x) (Abs.E.9c y E.9d) a x ] -► p = fp v Aq> V [ ( r v A,pj a -\,p] = (p v = (T) v (^p) = Cp v Aip) -hj v (Abs.E. 9b y Asoc.E.4b) A-p = y, se cumple. v (T.3 y E. 12:FNDc) En consecuencia: x=vp EJERCICIO 8. Construir el circuito lógico más simple equivalente a: .-vp. Solución. Sea Q el esquema molecular del circuito superior y R el esquema molecular del circuito inferior. Entonces, el circuito total es: P = fQ v ftj Siendo Q s vp a = a.p a a vp l(p A vq) v v(p a (Morg. E.6a) vq)j = A.p A [ T 3 e A,p Luego, en (1): (i) l(p A vq) v (ap v qj] P (T.3 y E.12:FNCb) = (vp v R) A vp = vp (Abs. E.9a) Como se puede observar, no es necesario reducir el esquema molecular de R, pues éste está en la red de disyunciones que es absorvido por la conjunción de A.p. En consecuencia, el circuito lógico más simple es: A . A,p , . .B EJERCICIO 9. Si el costo de cada llave de instalación del circuito E de la figura adjunta es $10, cuánto se ahorraría si se reempla za éste por un circuito lógico más simple equivalente? Sólo fines educativos LibrosVirtual 56 Capitulo 1: L ógica A\ p. Solución El circuito lógico C í p A A q c (1) ta 6 a Para obtener el esquema molecular del circuito A, lo particionamos de la siguiente manera: — P J ” ---— i .— , — p— p p 'oq I— -\,p _ i /'>Q— .- P - o = = p A [r v fpv “Ki) 3 — v(pv'^q>3 L... — ^q ___ Luego, A 3 P v Q = (p [r a v (p v s 3(pA r) v [p a (p ’^q) 33 v v |q a [\¡ v (p v ^>31 V¡3 33 v iq a l(vq v iqj v pJ (E. 5a) = U p A rj v p3 v Iq a [h? v p3 3 (E.9a y E.2b) 5 p v fq A p) 5 p (E.9c y E.9b) Análogamente, para el circuito B: Y \ q 3 pAfpvQj 2 p 3 r A (Pvqvr) s r ■e = — Z 3 V Luego: 3 p A (qvq) 3 p A q I B - R v S v Z s Entonces en (1): q p y r v (pA q3 = p v r £ = p A P A t A ( p v r J s p A t Circuito equivalente: - p — .. t _ Por lo tanto, se ahorraría: 16x10 - 2x10 = 140 dólares Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 5 57 EJERCICIOS: Grupo 5 1. Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: J_ j q ~ *— * ^ r q —I ^ i . '— q —J O/q -- OjP■' * j----^ p ----- --- f) > ^ “p ~ i — - € . p p — C <, Z l — " — i 7 3 ^ 9> ■--------- q ) •— P I i— h :::í 1 %p L A,q----- 1 I— A,q-« h) i— : . 3 — ^ q -i r— p — *L_j~p— 1— p — 2. q— i [^-^p — ^ q-jj" p q— I Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esque mas moleculares: a) 3. v[p ■* ^(q v r)) e) (p b) (vp) f) {[(r v c) (p v q) ■* l(^p v q) * Cp A q) ] (p * vq) q) * (q a q )]A p ] p) a v V} A .q Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados: C) H T'Vq—l b J L— P<vpl —hJ -p — I I d) A/p— A,q — p P b) q q — A,q q %q — - ^p — i h : P— i "(J- A-p-A,q -^q-i q —I i--- p — ~ j __ %p — I O - O /p-* 'V p _ 'V q _ > P q Sólo fines educativos LibrosVirtual - ^ q -# 58 4- Capitulo I: Lógica a un electricista se le da el diagrama del circuito siguiente: El quiere hacer una instalación lo más econg mica posible y que sea equivalente al circui to original. Si cada interruptor cuesta $1.20 y no teniendo en cuenta el alambre, cuánto le 11 ■£ «■ i »ii t i « i <\,q costó la instalación y cuánto se ahorró? 5. Demostrar que son equivalentes los circuitos A,B y C. - c l c .r t 1j i—o,'-q- 1 B A 6. 7. C Demostrar que los siguientes circuitos son equivalentes a p A q. a o o - - c : : : 3 - c £ 'p - Construir el circuito más simple correspondiente al circuito: -• 6 8. Hallar el resultado de conectar en paralelo los siguientes circuitos: I , -»—''• p - C ■■p ■ D p 1]■ ■- . ^ _ A»q„ I .q. M W S. p 4 M M lJ El costo de cada llave en la instalación del circuito siguiente es de $15. ¿En cuánto se reducirá el costo de instalación si se reemplaza di cho circuito por el más simple posible? Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 5 59 'V p . j I o [— i— c n %q- p— q— l .n,p— ' b p — —- a"uq. .q ■ I - c . r_ c *— p - w > , a -- 1 10. Construir el circuito lógico más simple equivalente al circuito: 11. Sea P la proposición más simpl if icada del circuito lógico: -p— i i— r— p— q ■q 'vr 'Vr ---- ■c r 1 11 " p— q %q q ^q ■ 'Vp — % q ■ y sea Q la proposición más simplificada de l(p A s) v (p A ^s>] A U p A q) v (p A r)] Construir el circuito lógico más simpl if icado correspondiente a P -*• Q 12. Sea P la proposición más simplificada del circuito lógico: y sea Q la proposición más simpl if icada de: s •* ^[w ¿ f^s * w)]. Sí p,q,s,t,w son proposiciones lógicas cualesquiera tales que P -1-*- Q es ver dadera y v w -► v s es falsa; hallar los valores de verdad dé las siguientes propos iciones: a) (s "-*■ Mv; -*■ v(vp v q) b) v(vq -» vp) ->■ í(t v vw) (w a ^pj] Construir el circuito lógico más simple equivalente a: Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 1: Lógica 60 14. Sea A Ja proposición más simplificada del circuito lógico p— q■ j ' --- 1 l— 'v-q — —l L p— L_p i q T y B la proposición compuesta más simplif¡cada de: |ifr *■* ^s> i si v Ip'-r v s) A [s v (r A s) v Hallar elvalor de verdad de A — <■ B sabiendo que la proposición compuesta: U* p •» (q vrJlAf^q)! ("'-r -► (vp v s.)1 , es falsa. 15. Hallar la proposición x 16. Simplificar lo más posible el siguiente circuito, siguiendo pasos orde m ás simple de maneraque el circuito lógico nados y justificados. . . r - C D - C Ih h 17. z i z : ^ H - T I h C r ■■■l■■iH b w r* ■ * Sea A el circuito lógico más simple equivalente al circuito: -P • - c p - • v p ------------------ q ■vp. y sea B, el circuito lógico más simple equivalente al circuito: ■ p q • % r - I— t e p — - ■ S -------- t — j Construir el circuito lógico simplificado correspondiente a A + B. * Sólo fines educativos LibrosVirtual s¿ 61 m DEFIN IC IO N____________________________________________ Q L a i d e a de c o n j u n t o es b á s i c a en el p e n s a m i e n t o h u m a n o . L a i d e a e s a l g o p u r a m e n t e i n t u i t iv o , a l g o n o d e f i n i d o , p e r o si e n t e n d i d o p o r c a d a p e r s o n a c o m o r e s u l t a d o de su p r o p i a e x p e r i e n c i a . G r a c i a s a q u e la i d e a de un c o n j u n t o e s a l g o y a e n t e n d i d o p o d e m o s i d e n t i f i c a r l o c o m o u n a a g r u p a c i ó n o c o l e c c i ó n de c u a l q u i e r tip o de e n t i d a d e s uo b j e t o s q u e t i e n e n p r o p i e d a d e s c o m u n e s . E s t o s o b j e t o s se l l a m a e l e m e n t o s o m i e m b r o s d el c o n junto. E je m p l o s : (1 ) L o s n ú m e r o s 2, 3, 4, 5 f o r m a n un c o n j u n t o de c u a t r o e l e m e n t o s . (2 ) L o s d ía s de la s e m a n a f o r m a n u n c o n j u n t o de s ie te días. (3 ) L as p a r te s del a u t o m ó v i l f o r m a n un c o n j u n t o l l a m a d o T o y o ta 2 0 0 3 . N ó t e s e q u e en a l g u n o s c a s o s , c o m o en lo s e j e m p l o s (1) y (2), lo s e l e m e n t o s d el c o n j u n t o so n a b s t r a c t o s , es d ecir, e x i s t e n so l o c o m o i d e a s en l a m e n t e de u n a p e r s o n a . En o tr o s, c o m o en el e j e m p l o (3), el c o n j u n t o c o n s i s t e en o b j e t o s f ísic o s r e a le s. NOTACION U s u a l m e n t e lo s c o n j u n t o s se d e n o t a n p o r l e tr a s m a y ú s c u l a s : A , B, C ........................ X , Y, Z y l o s e l e m e n t o s q u e lo d e t e r m i n a n se d e s i g n a n p o r letras m i n ú s c u l a s : a, b, c , x, y, z Si un c o n j u n t o A e s t á f o r m a d o p o r los e l e m e n t o s 1, 2, a, b se es c ri b e : A = ¡ l,2,a,b) y se lee: “ A es el c o n j u n t o de l o s e l e m e n t o s 1, 2, a, b ” S e o b s e r v a q ue los e l e m e n t o s v a n s e p a r a d o s p o r c o m a s y e n c e r r a d o s e n t r e l la v e s ( ). Sólo fines educativos LibrosVirtual 62 Capitulo 2: Conjuntos La relación de pertenencia se indica por la letra griega epsilon e, de modo que: aeA indica• /a Pertenece al conjunto A \ a es elemento del conjunto A 3fA indica: f3 no pertenece al conjunto A t 3 no es elemento del conjunto A DETERM INACION DE UN CONJUNTO____________________ ^ 2.3 Existen dos maneras de especificar o determinar un conjunto dado: por extensión y por conprensión. 2.3.1 Por E x t e n s i ó n . Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente todos sus ele mentos. Ejemplos: (1) A=la,e, i,o,u). Se lee: "A es el conjunto de todas las voca- del alfabeto castellaño” (2) B=ll,2,3,...) Se lee: "B es el conjunto de elementos 1,2,3,..." (los puntos sucesi vos indican que posiblemente existan otros elementos) (3) C = l a , lb,c),d,e) Se lee: ”C es el conjunto de elementos a, el conjunto ib,c) ,d,e". Aqui se puede observar que: aeC, {b,c)sC, btC, ci-C, deC, eeC, ftC. 2.3.2 Por Comprensión. Un conjunto A queda determinado por conpren sión, cuando éste se define por medio de una propiedad la cual deben satisfacer cada uno de sus elementos. Si denotamos por x a un elemento cualquiera del conjunto A y por P a la pro piedad característica, se escribe: A = lx|i cumple P) o A = tac|P(oc) es verdadera) y se lee: "A es el conjunto de los elementos x, tal que x cwnple P" o "A es el conjunto de los elementos x, t a l que P(x) es verdadera". (La barra vertical | se lee "tal que" o "tales que") Escribir xeA significa que x cimple la propiedad P y recíprocanente. Ejemplos. (1) Si A=ia,e, i,o,u), empléanos la letra x para expresar un ele mento representativo del conjunto, escribiendo la propiedad característica en forma de enunciado abierto, esto es: P(x):x es una vocal. Luego, se escribe: A = {x|x es una vocal} Sólo fines educativos LibrosVirtual 63 Sección 2.4: Conjuntos F initos e Infinitos y se lee: "A es el conjunto de los elementos x, tales que x es una vocal". El conjunto A también puede escribirse: A - 1jc|cc es una letra del alfabeto, x es una vocal} Aquí la coma se lee "y". (2) En B= 0,3,6,9,12,...} se observa que sus elementos son números natura les múltiplos de 3, o sea la propiedad característ ica es P(x):x es un número natural y múltiplo de 3. Entonces: [J J B = {jc|jc es un número natural y múltiplo de 3} CONJUNTOS FIN ITO S E IN FIN ITO S ___________________ |¿ Desde un punto de vista intuitivo, un conjunto es finito si consta de un determinado número de elementos distintos, es decir, si consta de un pr[ mer y último elementos)), o si al contar sus diferentes elementos, el proceso de contar se termina. En caso contrario, el conjunto es infinito. Ejemplos: (1) A=b:|x es un día de la semana} es un conjunto finito (2) B=íl,2,3,4,51 es un conjunto finito (3) C=lx|x es un número par} es un conjunto infinito (4) D= ix:joc es un habitante de la tierral es un conjunto finito aunque sea difícil contar los habitantes del mundo. 0 3 CONJUNTOS NUMERICOS______________________________ Los conjuntos numéricos que se estudian en matemáticas son: ¡os níme- ros naturales, los números enteros, los números racionsles, los números i- rracionales, los números reales y los números complejos. A continuación se hace una descripción muy simple de estos conjuntos con el objeto (1) de hacer posible su empleo en temas posteriores. El conjunto de los números naturales Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleados para rea 1 izar la operación de contar. N = {1,2,3,...,,n,...} (2) El conjunto de los números enteros Es una extensión del conjunto de los números naturales, se denota por Z, y se escribe: 2 = i-n,-....-3,-2,-1,0,1,2,3 ,nl Cuando se desea designar a los enteros positivos o negativos, se escrt Sólo fines educativos LibrosVirtual 64 Capitulo 2: Conjuntos be: Z+ = 11.2,3,4 ni Z~ = {-n,- ,---,-4,-3,-2,-li Otras representaciones importantes del conjunto de los números enteros son: Zo = {0J,2,3,4.......... Enteros pares = lx|x=2k, keZi Enteros impares = {x=2k+l, kcZi (3) El conjunto de los números racionales Es el conjunto quese denota por Q y que es la solución de la ecuación ax+b=0, donde a y b son enteros, con a/0. Se escribe: Q - {x|ax+b=0, a,btZ, a/Oi Q - i . . . , - * ., 0 , 1 , 1 ............. o bien: Todo número racional b/a puede también ser representadomediante una expre sión decimal exacta o periódica: Por ejemplo: (4) j = 0.5 ; = 0.75 ; = 0.666... = 0.6' El conjunto de los números irracionales Es el conjunto que se denota por I y está formado por los números que no son racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse en la forma b/a, a,beZ y afO I = 1..., -ii,-/¡¡,/3,e,», ....I (5) El conjunto de los números reales Es el conjunto denotado por R y está formado por los conjuntos Q e I. R = {....-ti,- /5,-1/2,0,3/2,2,n,/Í7,...i (6) El conjunto delos números complejos Es el conjuntoque se denota por C y cuyos elementos son de laforma: a+bi, donde a,beR e i=/-T C- (a+bi|a,beR, i=/=. 1} CONJUNTOS ESPECIALES 2.6.1 Conjunto Vacío o Nulo. Es el conjunto que no tiene elementos. Se le denota simból icomente por la letra griega <t> (phi) y se define como: <t> = {x|x f x} y se lee: para cualquier x tal que , x es diferente de x, no es satisfecho Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.6: Conjuntos Especiales 65 por algún elemento. Para indicar que un conjunto A no tiene elementos se es cribe A=$, en caso contrario se ecribe Aft>. Ejemplos: (1) A=lxeK|.x2+4=0}, es un conjunto vacío, pues la ecuación x z+4=0 no tiene (2) B- (jceN[ 5<x <6), es un conjunto vacío porque no existe un número natural raíces reales. Luego, A= <t> que sea mayor que 5 y menor que 6 a la vez. Luego, B=$ (3) C={ x tZ\l5xz-llx+2=0), es un conjunto vacio pues al resolver la ecua ción 15xz-llx+2=0 se obtiene:x=l/3, x=2/5, que no pertenecen a Z. Lue go, C=4> 2.6.2 Conjunto unitario. Es el conjunto que contiene uno y solo un elemen to. Ejemplos: (1) A=lal es un conjunto unitario. (2) B={oceN|jc2-4=0}={2}, es un conjunto unitario. (3) C={faH y D= í<|>> son conjuntos unitarios, pues la}eC y <|>eD. Como aelal, resulta evidente que aflai Observación.Se debe tener presente que: {<t>> \ 4> 1$} es un conjunto unitario que está determinado por {arjsc=<|>}, lo que asegura su existencia. } es el conjunto vacío, el cual definimos por: $ = l . r y nos permite garantizar su existencia y que es único. 2.6.3 Conjunto Universal. El conjunto universal, llamado también universo del discurso y denotado por U, es un conjunto fijo delcual se toman otros conjuntos; es decir, que contiene a todos los conjuntos que podemos mencionar en una materia. Los conjuntos más importantes en matemáticas son los conjuntos niméricos: R , N , Z , Q . I, C , en ese orden. Ejemplos. (1) El conjunto universal l/=lxeZ|-2íaS7) es universo de los con juntos A={ -2,0,1,2), B={1,3,5,6), C={0,2,4\, porque todos los elementos de los conjuntos A,B y C pertenecen al conjunto U. (2) Es el conjunto U={0,1,2,3,4), universo del conjunto A={sc* |scet/>? En efecto, podemos observar que el conjunto A está formado por los cua drados de los elementos de U, esto es: A={0,1,4,9,16}. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 2: Conjuntos 66 LOGICA CUANTIFIC A C IO N A L m FUNCION PROPOSICIONAL______________________________ Una función propos ic ional es todo enunciado abierto de la forma p(x) que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable x por una constante c específica. El conjunto de todos los valo res convenidos para ¡a variable x recibe el nombre de dominio de la varia ble. Esto es, si representamos por D el dominio, diremos que x pertenece a D mediante la notación conocida: xcD. Entonces, según la definición de enunciado abierto, función proposicional sobre D es toda expresión p(x) tal que p(c) es verdadera o falsa para todo ceD. E/emplos. (1) p(x): x+5 < 11 (3) r(x): 2x*-6 (2) q(x): 2x-3=7 (4) s(x): x es blanca En (1), si x pertenece al conjunto de los números enteros, entonces p(x) es una función proposicional, cuyo dominio son los números enteros, esto es, si x = -2eZ + p(-2): -2+5 < 11, es verdadera x = 7zZ + p(7): 7+5 < 11, es falsa Por tanto, p(x) es una función proposicional En (2), si x=5 + q(5): 2(5)-3=7, es verdadera. x=2 + q(2): 2(2)-3=l ^ 7, es falsa Luego, q(x) es una función proposicional En (3), si x=3 + r(3): 2(3)l-6=12, no se le puede asignar ni V ni F, luego r(x) no es una función proposicional. En (4), si x=tisa + s(tisa): la tisa es blanca, es verdadera. x=pizarra + s(pizarra): la pizarra es blanca, es falsa. Luego, s(x) es una función proposicional. Observación. No se debe confundir entre el valor de verdad de una proposi ción (V o F) del valor de una función proposicional, para un cierto valor de la variable. Por ejemplo, en la proposición p(x): El autor de x Si oc="El capital", entonces: p("El capital"): El autor de "El capital" = Carlos Marx Se tiene: Valor de la función proposicional = Carlos Marx Valor de verdad de la función proposicional = V Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 2.8: Cuantificadores Universal y Existencia! 67 CUANTIFICAPO RES UNIVERSAL Y E XISTENCIA!.________ ^ 2.8 Hasta ahora hemos visto un método para obtener proposiciones a partir de una función proposicional p(x). Hay otro método completamente distinto que permite obtener proposiciones a partir de una función proposicional: es el método de los llamados cuantificadores. Tomemos un ejemplo, sea la func ión propos icional: p(x): x es un número primo (1) Si a esta función proposicional anteponemos la locución "Para todo x" obte nemos : "Para todo x, x es un número primo" y con ello estamos indicando el sentido universal (2) de dicha función proposicional; pues si afirmamos que, cualquiera que sea el objeto x, ese objeto x es un número primo, entonces habremos obtenido una proposición. La locusión "para todo x" se denomina el cuantificador universal y simbóli camente se le representa por Vx. Uxego, la declaración (2) se puede escribir: Vx: x es un número primo (3) Insistimos, pues, en que (1) es una función proposicional, en tanto que (3) es una proposición. En términos generales, si se tiene una función proposicional p(x), se puede tener de él una proposición mediante la adjudicación de un cuantificador universal, asi: Vx:p(x) o Vjc|p(xJ o (Vx)[p(x)j en todas ellas se lee: "Para todo x, tal que, se verifique p(xj" La locución "para todo x" no es el único cuantificador que permite obtener proposiciones a partir de funciones proposicionales, existe otro llamado, cuantificador existencial. Llamamos, en efecto, cuantificador existencial en x, a la frase "Existe x tal que". Si anteponemos a la función proposicional (1) este nuevo cuantif¿ cador, se obtiene: "Existe x tal que, x es un número primo" Estaafirmación (4) establece que hay por lo menos un objeto quees número pri mo. Por tanto, se ve que (4) admite la siguiente formulación sinónima: "Hay algún número primo" No cabe duda de que (5) es una proposición y, además, verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual (5) Capítulo 2: Conjuntos 68 £1 cuantificador existendal en x "Existe x tal que" se simboliza 3x, de modo que (4) se puede escribir del modo siguiente: ( 6) 3x: x es un número primo En términos generales, si se tiene el esquema proposicional p(x), puede ob tenerse de él una proposición mediante la adjunción de un cuantificador existencial, asi: 3x:p(x) o 3x|p(x.) o (nx)lp(x)) y se lee: "Existe por lo menos un x, tal que se verifique p(x)" El símbolo 3 que significa: "existe" o "para algún" o "para al menos un" se llama cuantificador existencial o particular. Ejemplo. Para el conjunto A-{-l,2,3,4} se tiene: a) VxeA: 3x~2 < 12, se lee: "Para todo XcA, cimple 3x-2<12’ ,' o "Cada xeA ampie 3x-2<12". y es una proposición verdadera porque todo elemento de A cumple la pro piedad: 3x-2<12. b) 3xcA: x 2-2x=8, se lee: "Existe (al menos uno) xcA tal que x 2-2x-8" o "Algunos xcA cumplen: x 1-2x=8", que es una proposición verdadera, pues para x-4 se cumple la propiedad: x 2-2x=8. c) VxeA: x 2+3x+l>0, se lee: "Cada xzA cumple x*+3x+l>0" o "Para todo xtA, cumple x l+3x+l>0". La proposición es falsa, pues para x=-lzA no se cum ple la propiedad: x*+3x+l>0. PRO PO SICIO N ES U N IV E R S A LE S lina proposición universal es aquella que está provista de un cuant¿ ficador universal, y tiene la forma: VxcA: p(x) Ejemplos. (1) a) Si A={-1,1,2,3) se tiene: “Vx A, xeN", la proposición universal es falsa, pues hay al menos un etsmento de A (-IcA) que no es número natural, b) "VxeA, 3xz-x i- 2", la proposición es verdadera, pues cada uno de los eianentos de A cumple la propiedad: 3xz-x i- 2 (2) "Todos los bolígrafos son azules" Si representamos por B el conjunto de todos los bolígrafos, denotamos: "Vx£B, x es azul". Obviamente la proposición es falsa, pues hay bolígra Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.9: Negación de Proposiciones cjue tienen Operadores Cuantificacionales 69 fosx¡ue son rojos, negros, etc. En general, la proposición universal: VxeA:p(x) es verdadera si la propie dad p(x) lo es, es decir, se cumple con cada uno de los elementos de A, y es falsa si hay al menos un elemento de A que no cimple la propiedad p(x). 2 ÍS PRO PO SICIO N ES p a r t ic u la r e s o EX IS T E N C IA LE S fet Se denomina proposición particular a aquella que está provista de un cuant ificador existencial, y tiene la forma: 3XcA:p(x) Ejemplos. (1) Si A=}1,2,3,4} tenemos: a) 3 x eA ¡2 x + 1 > 8 , la proposición es verdadera, pues hay al me nos un x=4 que cumple: 2x+l>8. b) 3 X e A |x 2 + 2 x = 5 , es falsa, pues ninguno de los elementos x de A cumplen la propiedad: xl+2x-5. (2) La proposición: 3 x e N |x es par y primo. Es verdadera, pues 2cN cumple la propiedad "x es par y primo". En general, la proposición particular 3 x e A |p ( x ,) , es verdadera si en A hay al menos un elemento x que cimple p(x), y es falsa si ningún elemento de A cumple p(x), esto es, todo elemento de A no cumple p(x). Observación. Si la proposición particular 3 x e A |p ( x .) , es verdadera para un único valor de x en A, se escribe: 3 ,'x e A |p(x) y se lee: "Existe un único xeA tal que cumple p(x)" NEG ACIO N DE PRO PO SICIO N ES Q U E C O N TIEN EN O PE R A D O R E S C U A N TIFIC A C IO N A LE S Sea la proposición: p(x): "x es un planeta habitable" Entonces la expresión Vx:p(x), es evidentemente falsa, y por lo tanto quere mos afirmar su negación: vlYx:p(x)] que se lee: "No para todo x, x es un planeta habitable" y significa: "Existe por lo menos un planeta que no es habitable" Sólo fines educativos LibrosVirtual 70 Capitulo 2: Conjuntos o bien: "No todos los planetas son habi tables" Por lo tanto, la equivalencia del siguiente teorema, resulta evidente: Teorema 1. La negación del cuantificador universal es equivalente a la afirmación de un cuantificador existencial respecto de la función proposicional negada. v[Vx:p(x)j = [sx;vp(x)] Si tenemos ahora la proposición: 3x:p(x) que significa: "Existe por lo menos un planeta que es habitable" y que es una afirmación verdadera, entonces su negación es: 'v/ajc:p(x)] que quiere decir: "No existe x, tal que x sea un planeta habi table" "Todos los planetas son no habitables" "Para todo x, no es el cuso de que x sea un planeta habi table" Expresando simból icimente, se tiene: Vx;vp(x) Por lo que, la equivalencia del siguiente teorema es evidente: Teorema 2. La negación de un cuantificador existencial es equivalente a la afirmación de un cuant ificador universal respecto de la función proposicional negada. v[3x:p(x)} 5 ¡Vx:^p(x)1 Observación. Estas dos negaciones de proposiciones que contienen cuantificadores se conocen también como los Teoremas de De Morgan. En general, si representamos por A el conjunto de todos los valores convem dos para la variable x, tenemos: Teorema 3. "'[VxeA:p(x) ] = ¡sx*A:Vp(x)] O sea el enunciado: "No es verdad que, para todo ce A, p(a) es verdadera" es equivalente al enunciado: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.10: Funciones Lógicas que Contienen mas de una Variable 71 "Existe un aeA tal que p(a) es falso" Teorema 4. "'j*x£A:p(x)] = ¡Vx£A:^p(x)] o sea el enunciado: "No es verdad que existe un aeA tal que p(a) es verdadero" equi vale al enunciado: "Para todo aeA, p(a) es falso" Por ejemplo, la negación de la proposición: "Para todo número natural x, x+3 | 5" Simbólicamente: 2.10 v[VxeN:x+3>5] = [3xeN:x+3 $5 ] FUNCIONES LOGICAS QUE CO NTIENEN MAS DE UNA VARIABLE________________________________________^ De lo dicho en 2.7 para funciones propos idónales en una variable, en forma análoga se definen funciones propos idónales en varias variables. Por ejemplo: x mato a y (i) es una expresión en dos variables tal que, paracada sustitución variables por sendos nombres convenientementeelegidos, se deambas obtiene una pro posición. Asi para: x=Bruto e y=César, se produce la proposición: p(x,y): Bruto mato a César Un ejemplo de función propos icional de tres variables es: x vió que y mataba a z ia cual, para :c=Napoleón, y=Bruto, z=César, produce la proposición: p(x,y, z) -.Napoleón vió que Bruto mataba a César Otro ejemplo similar es: x+y+z=l (2) Para x=2, y=3, z=-l, produce la proposición: p(x,y,z):4=l . 2 10.1 USO PE LOS CUANTIFICADORES______________________ ^ de función Si se coloca un cuantificador (universal o existencial) delante una proposicional de varias variables, no se obtiene una proposición sino una función proposicional de menor número de variables. Por ejemplo, si aplicamos a (2) de 2.10 el cuantificador universal en x se obti ene: Vx: x+y+z=l Sólo fines educativos LibrosVirtual (3) Capítulo 2: Conjuntos 72 que es una función proposicional en dos variables: y,z. Si a (3) api icemos el cuantificador existencial en y, obtenemos: Sy:Vx: x+y+z=l (4) que es una función proposicional en la variable z. Si a (4) le aplicamos el cuantificador universal en z, obtenemos: Vz:3y:Vz: x+y+z-1 (5) que es una proposición. En el caso de que los individuos u objetos sean nú meros, el sentido de esta proposición es el siguiente: "Dado cualquier numero z, existe por lo menos un nímero y tal que, para cu alquier número x es: x+y+z=l" Para determinarsuvalor de verdad procedemos de lasiguiente manera: Como laproposiciónafirma para todo z, podemos tomar z=-3.Unavez fijado z=-3, la proposición afirma la existencia de un cierto número y t, tal que cualquiera que sea x se debe cunplir: x+yt-3=l +-+ y,+x=4 (6) Ahora si tomamos x=l, la proposición afirma que: y,+1=4 Pero como •— y t=3 (7) también poodemos dar a x cualquier otro valor, tomemos x=0 y obtenemos, siempre para el mismo y ,: y,+0=4 Lasigualdades (7) +-> y,=4 (8) y (8) muestran que tal y debevaler simulténeamente 4, por lo cual noexiste, y la proposición en cuestión (queafirmaba 3 y su exis tencia) es falsa. Alteremos ahora el orden de los cuantificadores en (S) y obtengamos: Vz:Vx:3y: x+y+z=l (9) proposición que significa: "Para números cualesquiera z y x existe un número y tal que: x+y+z=l" Aqui se dan primero los números arbitrarios z,x, luego se afirma para ellos la existencia de un y, tal que... .etc. Luego, no debe considerarse que se trate siempre del mismo y. Asi, por ejemplo, dados z=2, x=l, existe efecti vamente un y, que es y=-2. Para z=0, x=2, existe también un y (■distinto del anterior) que esy=-l. mo, según Enconsecuencia, la proposición (9) esverdadera. Co vimos,laproposición (5)es falsa,comprobamos que las proposi ciones (5) y (9) no significan lo mismo. Esto muestra que una alteración en el orden de los cuantificadores puede alterar la proposición obtenida. En resulten. La api icación de n cuantif icadores correspondientes a las n va riables de una función proposicional, produce una proposición Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.10: Funciones Lógicas que Contienen mas de una Variable 73 que tiene un valor de verdad. Por ejemplo: ¥x,?y:p(x,y) o ¥x,¥y,3z :p(x,y, z) El orden en que se aplican los cuantificadores es esencial; en algunos ca sos, al cambiar el orden de los cuantifícadores cambia la proposición (o la función proposicional) obtenida. Nota. La negación de una proposición cuantificada que contiene más de una variable puede averiguarse asi: v¥x[3y:p(x,y)] = Sx^[3y:p(x,y) ] = 3x,¥y;vp(x,y) Ejemplo. Sean H={Juan,Luis,Ruben\ y M=¡Carmen,Patricial y la función propo sicional:"x es el hermano de y". Entonces: ¥xcH, 3yeM:p(x,y) significa: "Para todo x de H existe un y de M tal que x es el hermano de y" Es decir todo elemento de H es el hermano o bien de Carmen o bien de Patri cia.. En cambio: *ytM,¥xeH:p(x,y) significa: "Existe un y de M para todo x de H tal que y es hermano de x" Es decir, afirma que al menos una de las mujeres de Mes hermana de todos los hombres de H. Como se puede observar, el orden diferente de los cuantifícadores da lugar a una proposición diferente. La negación de: ¥xeH,3yeM:p(x,y) vyxcH,3yeM:p(x,y) = 3xzH,¥yeM: ^p(x,y) es: significa: "Es falso que todo hombre de H es el hermano de al menos una mu jer de M" y es equivalente a: "Al menos uno de los hombres de H no es el hermano de ninguna mujer de M". EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Determinar por comprensión al conjunto: A = {3,8,15,24,35,48} Solución. Emplearemos el método de las diferencias sucesivas que consiste en lo siguiente: a) Ordenar los elementos del conjunto dado en orden creciente. b) Efectuar las diferencias sucesivas entre dos elementos consecutivos has ta que resulten ser siempre iguales. c) Si estas diferencias resultan iguales en el primer, segundo o tercer in- Sólo fines educativos LibrosVirtual 74 Capitulo 2: Conjuntos tentó, entonces el polinomio que caracteriza a cada elemento del conjunto será de primer, segundo o tercer grado, respectivamente, esto es: x = P(n) - an+b , en el primer intento x = P(n) = an*+bn+c , en el segundo intento x = P(n) = an*+bn*+cn+d , en el tercer intento, etc. y donde: x = es el elemento del conjunto dado. P(n) = es el valor numérico de x para un neZ arbitrario en térmi nos de los coeficientes a,b,c, etc. Para el ejercicio dado: 3 8 1 5 5 24 7 2 9 35 11 2 48 13 2 2 La diferencia constante se obtuvo en el segundo intento, luego la propiedad común de cada elemento es:x = P(n) = an2+bn+c ; a i O Para n=l •»3 = P( 1) = a+b+c n=2 - 8 = P(2) = 4a+2b+c (1) (2) n=3 - 15 = P(3) = 9a+3b+c (3) Resolviendo el sistema (1), (2) y (3), obtenemos: a-1 , b=2 , c=0 Entonces: .'. A = )x|x=n*+2n, neZ, JSn$6 ) x=n*+2n Si asignamos otros valores para n, tales como n=0, n=l y n=2, obtenemos: a=l, b=4 y c=3 (verificar), luego, otra forma de definir porcomprensión el conjunto A es: A = lx|x=n*+4n+3, neZ, 0íní5} EJERCICIO 2. Cuántos de los conjuntos dados a continuación son vacíos. a) A=ixet/|x=x , x&ci d) £MxeN|x*-í= 0 ( b) B=(xeNjx*+3x+2=0> e) EHxeft|x*=4 a C) C=<xeQ|3<x<5» f) F=ixcR-{0} |-x=x'1} 2x -3 = 0 ) Solución, a) A=$ , porque ¡txel.'|x=x y Xrx a lavez. b) x 1+3x í 2=0 x=-l ?N ó x=-2/N. Luego £=♦ c) 017/2,4,9/2}. Todosson númerosracionales, entonces C/í d) x2-l=0 *-» x=i ó x=-ltN, luego: D={2 } ^ e) No existe ningún número que satisfaga (x1 r=4) A (2x-3=0). f) -x=x"‘ x l=-l £=* x=í/cT = ±i i R, luego: F=4 Por lo tanto, cuatro son conjuntos vacíos EJERCICIO 3. Dada la proposición: "Si todos los números primos son impa res, los números positivos son mayores que -1" a) Expresarla simbólicamente Sólo fines educativos LibrosVirtual 75 Sección 2.10: F unciones Lógicas que contienen m ás de una variable b) Negar oraci analmente la proposición. Solución. Sea: p(x) = números primos impares q(x) = números positivos mayores que -I a) En símbolos se tiene: Vxíp(x) * q(x)] b) *l¥x(p(x) -*■ q(x)]) 5 ¥x[p(x)] a Mírfqfx) 1 = ¥x(p(x)j A (Cond. E.7b) 3xC^q(x)] que se lee: "Todos los números primos son impares y algunos números no son mayores que -i" EJERCICIO 4. Dado el conjunto universal U={-5,6,2/5, ¿6, /-2,1 + i,0.2) Determinar los siguientes conjuntos por extensión: A = íxe{/|xeR «-* xtfl} B = brel/|xeQ -*xs¡RJ D = E = ixcí/|xeC A xtN\ v xtZl Solución. Conocidos los elementos de los conjuntos numéricos, construimos la siguiente tabla de valores de verdad: 8 A u xeR -*—»■ x¿I xeQ •> D x ¿R x¿N E V x£Z xeC A xéN -5 V V V V F F V V F V V V 6 V V V V F F F F F V F F 2/5 V V V V F F V V V V V V /T V F F F V F V V V V V V F F V F V V V V V V V V 1 +i F F V F V V V V V V V V 0 .2 V V V V F F V V V V V V Los elementos de los conjuntos A,B,D y E se eligen de tos elementos del con junto universal V, de la fila correspondiente con valores de verdad V. Esto es: A={-5,6,2/5,0.2) , fl={/íf,.'c 2 ,1+ i] , D=E=(-5,2/5,/F,/H,l+í,0,2} EJERCICIO 5. Sea el con junto A= {i ,2,3,4,5} y ¡as proposiciones: p = 3JceA| (x +2=6) — (x~5=8) , q = ¥xeA¡ (x+2>2) v (x+2<2) y r = ¥xeA,ayeA¡x+y>2 . Hallar el valor de verdad de: s=v[(p * q)a fq y ^r)J Solución. £n p: para x=4Â — - (4+2=6) es V (./x-5=8/ = (4-5=8) es F Luego: V(p) = V(V +■ F) = F En q se tiene: (x>0)v (x<0). Todo elemento de A satisface x>0, más no x<0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 2: Conjuntos 76 Por tanto: V(q) = VfV v F) = V En r, si y=2e.A ■* x+2>2 tiene como solución el conjunto A, o sea V(r)=V. En consecuencia: EJERCICIO 6. V(s) = "-[(F -*• F) a "*[V a v] = F Hallar los valores de verdad de siciones siguientes: q=(-Vx*Z\-x<0) v (3xeZ¡-x=x) ; Solución, (V v F)] - las negaciones de las propo p=(3xeN¡x+2=5) * (YxeN¡xz>x) , r=axeR|/^SceR. vp = v[(3X eN¡x+2=5) A (¥x¿N\xz>x)] = '(ixeN¡x+2=5) v v (Vxz N¡x (Morg. E.6a) 2>x )] = [VxeN\v(x+2=5)] v l^xcN\v(x1>x)] = [VxcN\x+2*5] v [3xeN\xl<x] * V(vp) = V(Fv v; = V vq = v[ (■VxeZ\-x<0) v (3xeZ\-x=x) ] = [v(VxzZ\-x<0)) = faxeZ|~x>0) A A (Morg. E. 8b) f^f3areZ|-x=x;; (VxcZ\-xix) En el primer paréntesis, si x=-2c:Z * -(-2)>0, es V En el segundo paréntesis, si x=OcZ * OtO , es F Luego: VC^q) = VfV A F) = F vr = v[axeRl/^xeRJ = i R 1 6 c e r |/^ c Si x=-leR * S-(-l) = IeR, luego: V(vr) EJERCICIO 7. =F Negar la proposición:"Para todo númeroracional r existe un número entero n tal que n$r<n+J" Solución. Simbolizando la proposición, se tiene: p = VreQ, 3 n e Z |n ír< n + J Entonces: vp = v[^reQ, 3 n e Z ¡n $ r< n + l ] = [3reQ,VneZ\v(n$r A n+l>r)j .'. a.p = 3reQ,-VneZ| (n>r) v (n+lir) EJERCICIO 8. Negar oracionalmente el enunciado: "Para todo número real x, existe un núnero entero M tai que x z<M+l siempre que x<M" Solución. Simbolizando el enunciado se tiene: p = VxeR, AíeZ|x^í -* x l<M+l Entonces: *p = ^(Vx^R, 3MeZ|r<Al -*• x z<M+l] = 3xeR,VÍWeZ|x<AÍ a (q siempre que p) = x3 e R, W,íeZ\v(xeM ■* x z<M+l) v(x z<M+l) (Cond. E.7b) = 3xeR, VMtZ|x<A¡ A x z>M+l "Existe un número real x, para todo número entero M, tal que x<M y x z>M+l« Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.10: Funciones Lógicas que contienen más de una variable EJERCICIO 9. 77 Sean A=lxcN\0<x<8), B=lycN\0$y$7\. Hallar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) p = 3xeA]VycB, x+y¿8 c) r = =oceA|VyeB, x+y>6 b) q = VxeA, ayeB|x+y=5 d) s = VxeA, aycB\xyfO Solución. Definamos los conjuntos A y B por extensión A=íl,2,3,4,5,6, 7), B=\0,l,2,3,4,5,6,7} a) En p: si y-7 cB * x+7¡¿8 * xfl, pero: IcA, entonces: V(p)=F o) En r: si y=OeB, entonces el enunciado x+0>6 es cierto para x=7cA, luego: V(r)=V b) En q: si x=7cA, entonces PycB tal que 7+y=5, luego: V(q)-F d) En s: Para y=(l,2,3,4,5,6,7)cB se tiene: xyfO, VxeA; luego: V(s)=V EJERCICIO 10. Dado el conjunto A=(xeN|-14<x<27i. hallar el valor de ver dad de s=[(^p a ’^q) * fHj p=(VxcA, ayEA, VzcA)[xz-zl>y%] ; a •*r)] ** (vp v r), si: q=(3yeA, VzcA,3xcA)[2x-4y<-zJ r=(VzcA, SxcA, VyeA)[3xz-z*>y] Solución. Si xcN * A-{1,2,3,...,26} a) p^xí>zí+yí, si y=lcA (menor valor de A), entonces: x í>zi+l no es válido VxeA, VzeA; luego: V(p)-F b) q-2x+z<4y, si y=2ScA, x=lcA, entonces 2+z<100 es valida VzcA * V(q)-V c) r=3x*>zI+y, si x=26, entonces: 3(26)*>zz+y es válida VzcA y VycA: luego: V(r)=V Por lo tanto: V(s) = [(Va F) * EJERCICIO 11. (Fa F)] ** [ W V ] = [F - F] •— Simbolizar usando cuantificadores y negar la V= V proposición cuant ificada: "Para todo nánero x perteneciente al con/un to de los números reales, existe un único número y perteneciente a ¡os mine ros reales, tal que la diferencia de x menos y es positiva" Solución. VxcR, a ,'yeR|x-y>0 Para negar esta proposición cuantificada, debemos eliminar pre viamente, el símbolo de único (!). VxcR, syefi a [(3ycR a 3zcR) ■* y=z ] jx-y>0 El corchete es equivalente a unicidad; luego, negando esta proposición se tiene: 'WxeR.'caycR A v[ (íycR a 3zcR) s axeR , VycR h axcR, VycR a [(aycR a a y=zj |^(x-y>0> [(aycR A azcR) a •c(y-z)} |x - y S O nzcR) a ( y / z ) / |x - y $ 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 2: Conjuntos 78 EJERCICIOS: Grupo 6 1. 2. D e te r m in a r p o r e x t e n s i ó n cada uno de siguientes conjuntos: Ix e z Ix ’ -x ^ J O x - S ^ } C = { ( - l ) n ( n - l ) |n £ N , B = bc£N\6x*-31x*+3x+10=0} D = (x e JZ Ix ^ O Determ inar p o r comprensión A = B = C = 3. los A = los siguientes 1-2,1,4,7,10) conjuntos: D [ - 7 , - 3 . 1 , 5 , 9 ____ } = { 1 , 2 / 5 , 1 / 4 , 2 1 1 1 , 1 / 7 , _____ } E = {1,3/5,3/7,1/3,3/11) F Determ inar p o r comprensión n=3<Z3} y x l <20) los sig u ie n te s { - 1 , 1 / 2 , 2 , 7 1 2 , 5 ................ \ = {11/3,9/2,27/5,19/3,51/7) conjuntos: A = {0,3,10,21,36,...} D B - { 2 , 3 , 6 , 1 1 , 1 8 ____} E = {-1,2,-7/3,5/2,-13/5,8/3) F = < 5 , 9 5 , 9 9 5 , _____ 9 .............. 9 5 } C = K -2,7,22,43,70,...} = { 1 0 , 1 5 , 2 2 , 3 1 , 4 2 , 55} 7 veces 4. Dado e l con ju n to A = i 4 , 7 , 1 2 , 1 9 , 2 8 , 3 9 , 5 2 , 6 7 ) ; d ete rm in ar po r comprensión un s u b c o n j u n t o ocupen e l 5. 6. elementos D ado U - i t , 2 3 , 6 , - 2 / 3 , - 1 / 5 } , sean elementos del c o n ju n t o A que d eterm inar por extensión los conjuntos: A = tr c t / |x + 5 0 ) B = < x e I / |x * > 0 C = } x e [ / |x + í = 5 -► x - 1 - 2 ) D = } x e ( / |x - í = 0 Siendo e l conjunto u n iversa l U = { - 5 , 2 , 1 / 5 , ¿5, 2 - 2 , 1 + i , 0 .3 } . los sig u ie n te s conjuntos por extensión: A = < x e l / |x < R x eI} B = 7. de A cuyos lugar par. < x e ( / | x e I <-► x e Q } Establecer la v a l i d e z d e cada una d e las v x=4} «-*■ x + l = 0 ) Determ inar D = {xc!J\xéZ A xeN) E = < x e ( / |x ¿ C siguientes v x/R) afirm aciones: A = } x e Q | 10x2-13x-3=0) es un conjunto unitario B = < xeN | 6< x < 7 } e s u n c o n j u n t o v a c í o C = < x |x e s u n p u n t o d e la re c ta L ) D = { x |x e s m ú l t i p l o d e 3 ) , es un c o n ju n t o es un c o n ju n t o E = < x e Z |6 x s - J I x i - 4 x + 4 = 0 } , es un c o n j u n t o u n i t a r i o F = I x e R | Sx-2+2x-1 0 = 2 } , un conjunto u n it a rio es G = } x e R |x '- í 0 x 3+ x í - J 8 x = 0 } y H = < x |x e s u n a c i f r a son 8. del número 1 ' 1 0 6 , 3 6 0 } iguales. C u á n ta s d e a ) fin ito in fin ito <(> = las s ig u ie n te s {0} b) { <í>} = afirm aciones {0} c) son f a ls a s : <t = { (J>} Sólo fines educativos LibrosVirtual d ) (}> e { { <í>}} 79 Ejercicios: grupo 6 9. Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos: A=lxeí/|x#/} B=(xtZ|xs=3J C= Ixefl| (1 /x)eS} D={xeQ|x*-x=2> £=lxeN|xI+J=0} F={x e 2| JZx '+Ax '-Si -J^} 10. Dada la proposición: "Si algunos números son impares, todos los triángu los son equiláteros", a) Expresar simbólicamenle la proposición. b) Negar oracionalmente la proposición. 11. Hallar ios valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) (VxeR, }x¡=x) * (*xcR,x+lfx) c) ("■VxcN,\x\*0) * (asxc Q, |x|¿0> b) (^3xcR,xljx)v (vVxcZ,x+ljx-l) d) faxcK.x-a^lxl) <AíreR,x-3t|x|.> 12. Hallar la negación de las siguientes proposiciones: a) "Para todos los niñeros enteros a y b, si an0 entonces n>a” c) VacR.VbeR:ab=0 (a=0 v b=0) d) "Para todo entero r,existeun niñero b tal que, si br es par, enton ces (b+l)r es par” e) "Para todo número real x existe un número entero y, tal que y$x<y+1" 13. Simholizar usando cuantificadores y negar la proposición cuantificada: a) "Para todo número positivo e, siempre existe un número n, tal que pa b) "Para todo e>0, hay un y>0 tal que para todo número x, ra todo n mayor que n, se cumple |a| es menor que c" si x está en tre los números a-y y a+y entonces f(x) está entre los núneros L-e y L+e" 14. Si A={1,2,3,4,51 y B={-2,-l,0,5,6), establecer el valor de verdad o fal sedad de cada una de las siguientes proposiciones: a) VxsA, 3ycB:x+y<3 c) ¥xcB,VycA:x<y * x ,<yi b) 3!yeB,VxcA:x-y>l d) 3xeA, ayefl: (x-y)cA 15. Sean A=14,2,3,1}, B={5,1,4,8\. Cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas? a) ax,yeA¡x+y>z,VzeB c) VxcB,3ycA\(x-y)eA b) v[yxeA,3yeB\x>y] d) -VxEA,-VyeB|x+y<iO 16. Dadas las proposiciones: p=VxeA,3yeA:(xt>xy-52), q=3XeA,¥ytA:*(x+y¿0), X 1 1 r=VxcA,VyeA: (—— — x-y = x+y), y el conjunto A={xeZ|-50íx<50). Hallar el va lor de verdad de: (pAq) *■* +(r * vp) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 80 17. Sea U=( xeN| 1<x<2i! y sean las propos ic iones : p: ¥xcU,VyzU¡40x-3y>15 r: ¥xtU,VyeU\2Sxl+17xy+9y*>204 q: 3jceU,-^yeU|xy+y=3y s: 8xe£/|3JI<x 2+10<335 Determinar el valor de verdad de: [(p A q ) + r] í(r A s) * q] 18. Dado el conjunto universal: U=[-2,-l,0,1,2) y dadas las proposiciones: p: 3xeu,¥yeu¡x+y=x ; q:¥xzU, yeU\x+y=x ; r:¥xzü, yzU\x+y=0. Hallar el valor de verdad de: {Lp -*• (i a y)] <-*■ [q v (m a n)] } a (r * q) 19. Dadas las proposiciones p:¥xzU\x>3vx<2; q:3xel/|x2=2 -*• x>l r:Vxe[/|^jy = x-2 ; donde l/={xeA|x>2 * x<2) y A-{-2,-l,0,l,2}. Hallar los valores de verdad de s,t y v si se sabe que: [(vp v s) A (t - r)J * (q A v; = F 20. Dadas los conjuntos U={* ,S2 ,S-2,2 ,-2,0}; A={xel/|xeR sabiendo que p:3xeA|x2<0 ; q:Vxefl|' xzZ); B={xeí/|xeA9 ^ = x-1 ; r:¥xzU,3yeü|x+y=0 ; s:3xEU,-VyE(/|x+y=x . Hallar el valor de verdad de M=C*p * “vq) v (r 2' ~ ^s) <J={oy2, *, -3,S-T} y las proposiciones p: 3xe{/|x2=-í ; q.-VxeU|x’=l ; r:¥x^ll\- = x-3 ; s: 3xe[/| n+x=* . Hallar el valor de verdad de cada li na de las siguientes proposiciones: A=(p B=(q a vr)v ( r * ’^q) ; C=(r ♦-» s)A(r D=[(p a -*• q) a C^q ■*+ p) ; vp) ; q) - (q v r)j *- (s a i.p) 22. Dadas las siguientes proposiciones: p={-VxeR|x2>0); q={ 3xeC|x2=-i} ; r=¥xz{2,4,5,6,7) ,3x+l>22 ; s={ 3xtN\4x-6=20); t=*xel |x+i=*. Hallar el va lor de verdad de: P=[(SAm) -*■ (tvn)j +-* [(p 23. Sea U=[-l ,0,1,2,112 ,f2,V-2 a "eq; ** (r v a,s)j y las relaciones: a*b=â * (b*a); a#b=a *-*■ A-b; a¿b=â*b; a&b=^('âp*b). Determinar el valor de verdad de: a) (*p r^q) ■* l(s v *t) p:VxzA,syzA\xy¿0 2 a (m v n)]; b) (a-s * p) « ; q-.vixzB, fyeB|x+y>2x ; (q a tj , donde: s:¥xeC, ¥yeC|xy=yX ; 2 t;v[VxeD, 3yeD|^-^- = x+y] , siendo: A={xeI/| (x2-I 2)*(dc¿t )) B = { x e í/| ( x = 1 ) i ( x < l ) ( , C={x e U | C ^ ^ j - = x - J ) A ( x 2 eZ) b D = { x e U | f x 2 > 0 ; 8 ( x ¿ 0 ) ) * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.11: Relaciones entre Conjuntos 81 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS PCTTCl CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos A y B, se dice que son igua les o idénticos si y sólo si tienen exacta mente los mismos elementos. Esto es, para un x: S i xeA -*■ xeB A = B — 1 > xcA ■«-* xcB y si xcB ■* XC.A Si A y B no son iguales, entonces se denota: A i B o bien: A f B «-► (zxtA\x(B) v (3xtB\xtA) Ejemplos: a; A={1,2,3), B={1,1,3,2,3} Los conjuntos A y B la repetición tienen tos mismos elementos 1,2,3; aunque el orden y de los elementos enBno alterael conjunto, por tanto A=B b) C=l-1/2,3I y D={xzR\2xI-5x-3=0} D es el conjunto solución de la ecuación: 2x1-5x-3=0 <-► x=-l/2 ó x-3 que son precisamente los elementos de C. Luego, C=D. c) E={1,2,3,4) y F=tez|l<xí4} F=(2,3,4), entonces: E¿F, porque lcE\ltF Propiedades de la Igualdad de Conjuntos a) A=A b) A= B c) A = B (Reflexividad) -*■ B = A y B = C (Simétrica) * A = C (Transí tividad) 2 . 11.2 [CONJUNTOS EQUIVALENTES Dos conjuntos no vacíos A y B se di ce que son equivalentes o coordinables, si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre todos sus e lementos, es decir, que pueden formarse parejas de tal manera que cada pare ja está formada por un elemento de cada conjunto empleando todos los elemen tos de ambos conjuntos una sola vez. Si A y B son equivalentes se denota: A=B, y si no lo son se denota: AtB Por ejemplo los conjuntos A={1,2} y B=(a,b) son equivalentes, ya que sus elementos están en correspondencia uno a uno, esto es: 1 ■>-* a 1 *-* b 2 2 b ►a En cambio (1,2,3) j {a,í>}, ya que podemos formar parejas: 1 con a y 2 con b Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 82 pero el conjunto {a,b} no tiene otro elemento para formar parejas con 3. Observación. Si A y B son conjuntos, entonces: i) ii) A = B — A = B A s B f- A = B INCLUSIO N Y SUBCONJUNTOS Un conjunto A está incluido o está contenido en un conjunto B, si todo elemento de A es elemento de B. Indicamos esto escribiendo A c B o BOA, es decir: ACfi « [xeA -* xeB] (¥xe A , xeB) que significa: "A está incluido en B" "A es subconjunto de B" o "A está contenido en B" o "A es parte de B" La negación de A c B se escribe A<¿B o B ^ A y establece que existe un xcA tal que xtB, esto es: A<¿ B SreA|;jc¿B Ejemplos: (1) Consideremos los conjuntos: A={2,3,4), B={2,4,3,5,61 yC={4,6,8). En tonces A c B ya que todo elemento de A está en B, pero C<¿ B porque 8¿C y 8tB. (2) Si A={Triángulos equiláteros) y B={Pol ígonos regulares), entonces A C B porque el triángulo equilátero es un polígono regular. (3) El conjunto A={2,3,5) es subconjunto del conjunto B={5,2,3), ya que ca da número 2,3 y 5, que pertenece a A también pertenece a B. Esto es: A=B. En este ejemplo vemos que A c B no excluye la posibilidad de que A=B. En efecto, podemos dar una nueva definición de igualdad de conjun tos como sigue: Definición. Dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y sólo sí A C B y Be A Formalmente: A = B «- (ACB) A (BCA) En caso de que A c B y AfB, se dice que A es un subconjunto propio de B. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.11: Relaciones entre Conjuntos 83 Propiedades de la Inclusión S.l: Reflexividad. Todo conjunto es subeonjunto de si mismo. A a A En efecto, si A es un conjunto, la impl icación: VxeA.xeA -* xeA es siempre verdadera (recordar que: p -*■ p es una tautología) En consecuencia, por definición, se tiene: A c A S.2: Ant¡simetría. Si un conjunto es parte de otro y éste es parte del prj mero entonces son iguales. A C B a B C A — A = B es una consecuencia de la definición de igualdad. En efecto, si A C B y BCA, supongamos que: A t B Entonces, por definición: 3xeA|x^B ó 3xeB|xM es decir, A<f-B ó B<fcA, que es lo contrario de la hipótesis. Por lo tanto: A=B. S.3: Transí tividad. Si un conjunto es parte de otro y éste es parte de un tercero, entonces el primero está incluido en el ter cero A C B a B CC —■ A c C En efecto, si xeA, por hipótesis se tiene: xeA y * xeB es verdadera xeB * xeC es verdadera Entonces, por la ley del silogismo hipotético: xeA ■» xeC es verdadera y en consecuencia, por definición de inclusión: A o c S.4: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto, excepto de si mismo: -V A, 4>ca En efecto, la siguiente proposición: Vx: x e <> -* xeA, es verdadera -VA (F -» p, -Vp es una tautología) pues, el antecedente xe# es falso. Por tanto, según la definición de inclusión: $ c a 2.11.4 CONJUNTOS DISJUNTOS. Se dice que dos conjuntos A y B son dis juntos si no tienen ningún elemento co mún. Se simboliza: A disjunto con B Ejemplos: |1x | x e Son conjuntos disjuntos: Sólo fines educativos LibrosVirtual A a x e B Capitulo 2: Conjuntos 84 a) A={a,b,el y B=il,2,3l b) A={xeN|x es parí y B=lxeN¡x es imparl c) En el sistema de los conjuntos numéricos: Q e l 2.11.5 CONJUNTOS COMPARABLES Se dice que dos conjuntos A y B son comparables si A C B ó B^-A. Esto es, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Si losconjuntos A y B no son comparables, entonces: A$-B y B<fcA. Ejemplos, a) Si A={2,3,4¡ y B=ll,2,3,4,5), entonces A es comparable con B porque ACB. b) En el sistema de los conjuntos numéricos N y Z son conjuntos comparables porque N c. z. c) Si A={3,4,5,6,71 y 8=12,3,5,6}, entonces A y B no son comparables porque A ¿ B y B<f:A. 2.11.6 CONJUNTO DE CONJUNTOS Es el conjunto que tiene como elemen tos a otros conjuntos. Se le denomina también: familia, colección o clase de conjuntos. Si un conjunto tiene elementos que son conjuntos y otros que no son conjun tos, entonces este conjunto no es conjunto de conjuntos. Ejemplos. A=1 U 1, $, li ,2}, la,M } es un conjunto de conjuntos. B= {4> ,b, la,b), {1,211 no es un conjunto de conjuntos porque tiene un elemento b que no es conjunto. 2.11.7 CONJUNTO POTENCIA Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A, al. conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A. Se denota: P(A). 0 sea, en símbolos: P(A) = {X|XCAl Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, y en consecuencia, P(A) es un conjunto de conjuntos. Según la definición se tiene: X e P(A) X c A Por ejemplo, si A=la,b,c), los subconjuntos propios de A son: -tal, lb(, le} la,b}, la,el, Ib,el y $ Entonces, de aquí, el conjunto potencia de A es: P(A) = fA,la,b},(a,el,Ib,c},la),íbl,1c),♦1 Observaciones. (1) El número de elementos de P(A) es igual a 2n , donde n es Sólo fines educativos LibrosVirtual 85 Sección 2.12: Representación Gráfica de Conjuntos el número de elementos del conjunto A. (2) •icp(A), puesto que (3) AcP(A), puesto que A C A A P . l : P($) = i♦ l Propiedades: P.2: Si Á C B ~ P.3: Si A=B P(A) <= P(B) P(A) = P(B) Demostración de P.2: En efecto: (1) A C B (Hipótesis) (2) Supónganos que XeP(A) - X c A (De/. Pot.) (3) Como A C B - X C B (4) Entonces: (Transitividad) XeP(B) (De/. Pot.) (5) Luego, de (2) y (4): XtP(A) - X*P(B) (6) Por lo tanto: 2 .12 P(A) c. P(B) (Def. cr ) REPRESENTACION GRAFICA PE CONJUNTOS___________ ^ Con el objeto de mostrar los elementos de los conjuntos o para visual izar relaciones entre éstos, existen los llamados diagranas de Venn Euler, que son regiones del plano limitados por líneas geométricas. El con junto universal U suele representarse por un rectángulo, y los subconjuntos de U por circunferencias, elipses, triángulos, etc, como se indica en el si guíente diagrama (Figura 1) C Figura 1 Figura 2 En la Figura 1 se puede obervar que: a) A es un subconjunto propio de B b) A y B son disjuntos o no comparables respecto de C. La Figura 2 es la representación gráfica de los Conjuntos Numéricos Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 86 Observaciones a) £1 conjunto de los núneros complejos C, es el conjunto universal. b) NC c) El conjunto l es disjunto respecto de los conjuntos N. Z y Q d) z C.Q C R C.C Si enumeramos los recintos cerrados de los conjuntos numéricos, tendre mos: 0=11,2,3,4,SI, R=ll,2,3,4}, Q={.1,2,3>, Z={1,2), I={4} EJER C IC IO S ILU S TR A TIV O S EJERCICIO 1. Dado el conjunto A={a, { b , c > , d } ; qué afirmaciones son inco rrectas y porque? Solución. Los elementos del conjunto A son: a, d y el conjunto lb,cF y los subconjuntos propios de A son: (a), U b , c H , -fcf>, {a,di, ía,(b,cl> Ub.ehd) De estas consideraciones, se deduce que son incorrectas las afirmaciones: <1), (4), (5) y (6). EJERCICIO 2. Dados los conjuntos A=il ,2,3,4,5,51 y B=ÍO, 1,4,6,7,8,91. sean m el número de subconjuntos no vacíos de A que son dis juntos con B y n el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A. Hallar m+n. Solución. Los elementos de A que no pertenecen a B son: 2,3 y 5. Entonces el número de subconjuntos no vacíos, disjuntos con B, que se pue de formar con estos tres elementos es: m=2*-l=7. Análogamente, los elemen tos de B que no pertenecen a A son: 0,7,8 y 9. Luego: n=2''-l=15 Por lo tanto: EJERCICIO 3. m+n = 22 Sean A=<3,12,8),51. Determinar el valor de verdad de las si guíenles afirmaciones: a) 3XeP(A)¡2cX b) 3XePfA)|{3lcX Solucldn. PfA)=<A, <3J2,8)(, a) c) 3XeP(A) \{2,8 }c X {3,5} J 3 M <2,8 H ,Í5V,♦) En P(A) observamos que ningún XeP(A) contiene al número 2 co mo elemento, es deeir: 2tX . La afirmación es falsa. b) Si elegimos X={3jcP(A) o X=j3,5leP(A), se enripie que: {3}CX; luego, la afirmación es verdadera c) Si elegimos X=li2,8\,5)cP(A), entonces l(2,8}}czx, se tendría que: 2«X y 8 eX. De aquí: 2ca y 8 eA, lo cual es falso. LA afirmación es falsa. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.12: Representación Gráfica de Conjuntos EJERCICIO 4. 87 Sea A={(a},b, ib}} y supongamos que n(X) representa el núme ro de elementos de un conjunto X. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: Solución, a) UbUcpfA) C) n[P(A) ] = 8 b) ía.b} e P(A) d) X C A - P(X) c P(A) a) Si íbfeA •* {IbncP(A), b) lo afirmación es V. Vemos que a¿A y beA ■*{a,b} i P(A), la afirmación es F. c) n[P(A)] = 2 3 = 8 . La afirmación es V. d) Según la propiedad P.2 del conjunto potencia, EJERCICIO 5. la afirmación es V. Sean (a.clcR, cfO, A= fa+ax:|:ceR ,beA y B=lb+cy|yeR}. Demos trar que A=B. Demostración. Debemos probar que si Ac.fi a b c a + A=B a) En efecto: (1) (Prop. S.2) Demostración de: A C B Si beA * ^Xí^R\b=a+cx¡ ■* a=b-cxi (2) Sea keA ■* 3xeR|k=a+cx: (3) Sustituyendo (1) en (2): k=(b-cx¡)+cx=b+c(x-xl) (4) Como xcR y x,eR * (oc-iJeR, luego keR (5) Si B={b+cy|yeR} * keB (6) De (2) y (5) se tiene: keA ■» keB *-<■ A C fi (Def.CL ) b) Demostración de B e A En efecto: (1) Sea k*-B ■* 3yeR|k=b+cy (2) Como beA * 3XieR|b=a+cXi (3) Sustituyendo (2) en (1): k-(a+cx,)+cy-a+c(x,+y) (4) Si A=ía+cx|xeR) * keA (5) De (1) y (4) se tierne: ktB * keA *-* B c A (Def.c) Por lo tanto, queda demostrado que si A c fi a B C A -*• A=B EJERCICIO 6. Sea A={P({al),P(*)l. Hallar: b) b¡: l*eP(A) A a) P(A) Analizar la verdad o falsedad de: *CP(A)] * {!♦)» CP(A j ; b2: { U J a J H e P(A) - H l e P(A) c) Construir el circuito lógico correspondiente a la proposición: b¡ ■* b» Solución a) P(A) = H ,{Pffa).)f,iPf*;},Al b) En b,: *CP(A) es V, *cp(A) es V y (1<¡>HCP(A) es F Entonces: V(b,j = (Va VJ * F - F En bz se observa que: U, {alMPfia); ■» {P({al))eP(A) es V y U)ep(A; es F Luego: V(bt) = V - F = F Sólo fines educativos LibrosVirtual 88 c) Capitulo 2: Conjuntos Sean: p:*eP(A) ; q : » C P(A) ; r:(Ul)cP(A,l ; S: ((♦, (al1)cP(A) t:McP(A) Entonces, b ¡: (pAq) ■* r s ^ (pAq)v r luego: bi ; bi: s * t = ' sv t bi = [*(p Aq) v r] * [*svtl = n'['*(pAq] v (^s v t) - [ (p Aq) a ' r iv ^ s v l La construcción del circuito lógico queda como ejercicio. EJERCICIOS: Grupo 7 1. Sean U=il,2,3,4,5,6, 7,8,91, A=l2,4,6,8), B=ll,3,5,7,9) y 013,4,51. Al hallar un subconjunto X de U tal que XCC, X<fi-A y X<fcB, cuántas solucio nes existe. 2. Dado el conjunto A=(a, (al,1+ 1,♦ !. Analizar el valor de verdad de guien tes afirmaciones: (1) (aleAA(a)CA ; (3) U l e A A((*l>eA ; (4) Í C A A * e A ; las si_ (2) (alcrA a ((allCA (5) (o,*)cAA|{al,)tHCA 3. Dados los conjuntos A={ 2,3,5,6,8 } y B= 10,1,2,4,5,7,9} ; si m es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y n el nu mero de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A, hallar m+n. 4. Dados los siguientes conjuntos: A=í7n+2\ncZ); B-{7n-26\ncZ); Oi4n+l\neZ\ y Oi2n+l\ne.Zi. Analizar y justificar debidasente su con clusión en los siguientes casos: a) A=B 5. y b) C=D Sean los conjuntos: A=((0,1 },12,4,8),♦ !; B=10,1,4,8) y C=U, (♦!, 10}, {i 1,2,14}, 181). Indicar la verdad o falsedad, Justificando su respuesta, de cada una de las afirmaciones siguientes: a) 4 C A ; *eA ; C C B ; B C A ; UleA b) (i,8 )eB ; ( U M l H e C ; \0,1}CC ; {<t>. í*}, {111C C c) U l C B ; 14,1,2,{8}]c :B ; *=U1 ; (0,i>eA ; iO.llCA d) (0,11 cfl ; (O.lleC ; (llc(o,l) ; (i}e((Ul 6. Sea A=(2,(3,4),(51,61. Analizar los valores de verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) sXcP(A) 14cX c b) sXeP(A) |(61CX dj ) mXeP(A) \(51 eX 3XePfA> |(3,41<=X * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.13: Unión de Conjuntos 89 O PER A C IO N ES E N TR E C O N JU N TO S H T 1 UNION PE CONJUNTOS________________________________y La unión o reunión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. Se denota por: A U B y se íee "A unión con B" El diagrama de Venn Euler correspondiente a la unión de A y B es: El rectángulo representa al conjunto universal U, en tanto que A U B es ¡a parte sombreada. Nótese que si: a e A ■* a e (Au B) b e B -*• b e (AuB) ceA y ceB -*■ ce (A i) B) Luego, si x es un término que puede ser de A, de B o de cmbos, la unión de A y 8 se define: A U B - i x |i e A v xeB) o sea: A l) B es el conjunto caracterizado por la proposición "xe (A u B) •*->• xeA v xeB" Ejemplo. Sean los conjuntos A=iJ,2,3,4), B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7), hallar AUB, B U C y AUC. Trazar el diagrama de Venn de cada resultado. Solución. A U B = {1,2,3,4,5,6.71, B U C = {2,4,5,6,7), A U C={1,2,3,4,5,6,7) AUB BUC Sólo fines educativos LibrosVirtual AUC 90 Capítulo 2: Conhjuntos 2H D PROPIEDADES DE LA U N IO N PE CONJUNTOS__________ y Para conjuntos A y B cualesquiera se cumplen: U.l: AU A = A (Idempotencia) Demostración: a) Demostraremos que: ( A U A ) c A En efecto: (1)Sea xs(AUA) * xeA v xeA (Def. U ) (2) Si hacemos p=x*A, entonces: p v p = p (Idemp. E.2b) (3) Luego, xe(A D A ) * xcA (4) Por lo tanto: (AU A) c A (Def.c) b) Demostraremos que: A C ( A U A ) En efecto: (5)Sea xeA (6) Se sigue entonces que xeA (7) Luego: o xeA xeA - xs(AUA) (8) Por lo tanto: AC(AUA) (Def.cf En consecuencia, de a) y b) queda demostrado que: Alt A = A V.2: A U * = A (Propiedad del elemento neutro) U.3: A U V = V V.4: A U B = B U A (Conmutat ividad) U.S: ( A U B ) U C = A U ( B U C ) (Asociat ividad) Demostración: a) Demostraremos que: (AU B) U C c. A U (BUC) En efecto: (1) Sea xe(AU B)u C (Hipótesis) (2) Entonces:xc(Au B) o xeC (3) -» xeA (4) ~ xeA (5) - xeA o xeB o o o (xtB xeC o xeC) xc(BUO (Def. U J De (1) y (6): x s ( A U B ) U C - xcAu(B UC) (8) Por lo tanto: (A U B) U C c A U (B O C) b) (Def. U ) (Asoc. E.4b) (Def. u ) (6) - xeA u(BuC) (7) (Def. U ) (Def.cz) Demostraremos que: A U ( B u C ) c ( A U B ) l ) C En efecto: (1) Sea xeA UÍBU C) (Hipótesis) (2) Entonces: xeA o xe(BUC) (Def.u) (3) o xefi o xeC (Def.u) o o •* xeA (4) * (xcA (5) ♦ xc(AuB) xeB) o xeC xeC (6) - xe(AUB)u C Sólo fines educativos LibrosVirtual fAsoc. E.4b) (Def.u) (Def.U) 91 Sección 2.14: Intersección de Conjuntos (7) De (1) y (6): xeAU(B U C) - x e f A U B } U C (8) Por lo tanto: A U ( B U C ) c ( A U B ) U C (Def.c) Finalmente, de a) y b) queda probado que: A U ( B U C ) = ( A U B ) V C U.6: A u f B U C ) = (AUBJU (AUC) (Distribuí ividad) U.7: A c ( A U B ) . YB B C ( A U B ) , YA Demostración: En efecto, demostraremos que: AC(A u B ) , YB (1) Sea xeA (Hipótesis) (2) Pero: p ■* (pvq) , (Adición: 1.8) (3) Si p:x«A y q :xeB, se tiene: xeA * (xeA v xcB) (4) Luego: xeA ■* xe(AUB) (5) Por lo (Def. U ) tanto: A C ( A U B ) ,YB (Def.C) V.8: Si A U B = t + A=* y B=* Demostración: En efecto, (1) Por U.7 sabemos que: A C ( A U B ) (2) Si AUB=* ~ A C $ (3) Pero ♦es subconjunto detodo conjunto: <frcA (4) Luego, de (2) y (3): A=* Análogamente se demuestra que: B=t U.9: Si A c b * (AUC) C ( B u C), YC (Propiedad Monótona) U. 10: Si A C B ** A U B = B 2.14 INTERSECCION DE CONJUNTOS________________________ La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota: a n b y se lee "A intersección con B". El diagrama de Venn correspondiente a la intersección de A y B es: Sólo fines educativos LibrosVirtual 92 Capítulo 2: Conjuntos donde el rectángulo representa el conjunto universal, en tanto que Af)B es la región sombreada. Nótese que si: aeA * at(AnB) bzB - bi(At)B) ccA y czB -» c (ADB) Luego,si x es un de A y término que pertenece a A y B,entonces B se define ADB = Aqui, la ( x |x e A , xeB) coma tiene el significado de "y", tivo lógico "a " laintersección como: porlo quesehaceusodelconec para definir la intersección de A y B como: A n B = lx|xeA a x e B) o sea: A n B es el conjunto caracteri zado por la proposición: xc(AhB) « xeA Ejemplo. a xeB Sean los conjuntos A= {a,b,c,d}, B-{b,c,e,f,g\ y C= {e,f ,g \; hallar A HS, B f l C y A h C . Trazar los diagramas de Venn correspondientes. Solución. A n B = |b,c( ; B h C = {e,f,g\ = C ; A O C = ♦ PROPIEDADES DE LA INTERSECCIO N (ldempotencia) l.l: A n A = A 1.2: A n* = i Demostración: En efecto, (1) Sea xe(A (2) Entonces: xeA y xeB (Hipótesis) (3) Como xeA y xe$, se tiene: xeA (Def. 0 ) a xe$ -*■ xe<|> (4) De (1) y (3): (Ant) <= i (Def.cz) (5) Pero como <J> es subconjunto de todo conjunto ■* ¿ c f A n ^ J (6) Luego, de (4) y (5) se concluye: A n = <t> Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.14: Intersección de Conjuntos 1.3: A (i U = A 93 (Propiedad del elemento neutro) 1.4: A (1 B = B (1 A (Conmutatividad) Demostración: a) Demostraremos que: (AnB) c (BOA) En efecto: (1) Sea xc(AnB) (2) -* xeA a (Hipótesis) xeB (3) * xeB a xeA (4) - xe(BnA) (Def. fl ) (Corm. E.3b) (Def. n ) (5) De (1) y (4): xe(AOB) -» xe(Bf)A) (6) Luego: (AfíB) c.(B(\A) (Def. c.) b) Demostraremos que: (Bp A) c (AnS) En efecto: (1) Sea xe(BflA) (2) * (Hipótesis) xeB a xeA (Def. n ) (3) •» xeA a xeB (Corm. E.3b) (4) xe(ADB) (Def. n ) (5) De (1) y (4): xe(BOA) * xe(AHB) (6) Luego: (BPA) c (AOB) (Def. c ) Por lo tanto, de a) y b), se ha demostrado que: A O B = B flA 1.5: (A(lB)nC = A n ( B n C ) 1.6: ( A n B ) c A y (Asociatividad) (APB)CB 1.7: Si A c B - (AnC) c (BnC), VC Demostración: En efecto, (1) Sea xe (A n C) (2) * (3) Si AC-B ** xeA •» xeB xeA a xeC (4) * xeB a xeC (5) * xc(BnO (6) Luego: (7) Por lo tanto: (AnC) CfflnCJ (Hipótesis) (Def.n ) (Hipótesis y Def.c) (Paso (3) en (2)) (Def. (Def.c ) 1.8: Si A c C y B C D - (AnB) <= (CdD) 1.9: SiAcB«-AnB=A 1.10 P(AnB) = P(A)nP(B) 2.14.2 n) xe(APC) ■* xe(B flC) PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS DE LA UNION E INTERSECCION 1.11: A ü ( B D C ) =' (Au B) n (AuC) 1.12: A n ( B u C ) = (AOB) U (A(\C) Sólo fines educativos LibrosVirtual 94 Capitulo 2: Conjuntos Demostración de 1.12: a) Demostraremos que: A n (B u C) ci [(A n B) u (A (1C) 1 En efecto: b) (1) Sea x*[A 0 (Bo C)¡ (2) * xsA a (3) •» J&A a (4) (xeA (Hipótesis) xc(Bt)C) (Def.D) (xeB v xeC) (Def.U) a xeB) v (x&A a xeC> (Dist. E.5a) (5) - xefA OB) (6) - xcí(ADB) u (ABC)] (Def.O) (7) De (1) y (6): A n ( B u C ) C ¡(ADB) u(AnC)] (Def.a) V xefAnej (Def.fi ) Análogamente se demuestra que: [(A flB) u (A n C) ] c [A n (B o C) ¡ (Ejercicio para el lector) Por lo tanto, de a) y b), según la propiedad S.2 de inclusión, queda de mostrado que: Añ(BuC) = (AbB)u(AnC) QJJJJ LEYES DE ABSORCION_________________________________^ A.l: A D (A U B) = A A. 2: A U (A fl B) = A En ambas propiedades A es el conjunto absorvente, (AU 8) y (AOB) son los esquemas que se absorve, que pueden ser la unión de A con varios conjun tos o la intersección de A con varios conjuntos. Por ejemplo: A (] (A U B U C U D U . . . ) = A A U (A fl B n C n DO...) = A DIFERENCIA DE CONJUNTOS___________________________ ^ La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el cmjunto de todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto k. Se deno la por: A - B y se lee: "A diferencia de B", o simplemente "A menos B". El diagrama de Venn correspondiente a la diferencia de A y B es: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2. IS: Diferencia de Conjuntos 95 donde A-B es la parte sombreada. Nótese que si: aeA * ac(A-B) beB * bi(A-B) ccA y ceB ■* ct(A-B) Si x es un elemento que pertenece a A-B, entonces: A - B = {xjxcA A x(Bi Esto es, A-B es el conjunto caracterizado por (a propiedad: xe(A-B) Ejemplo. xeA A xiB Sean los conjuntos: A={1,2,3.4}, B={2,a,b,4} y C={a,b), hallar: A-B , B-C y A-C. Trazar los diagramas de Verm correspondientes. Solución. A-B = U,3) ; B-C = {2,4} ; A-C = {1,2,3,4} = A U 2\ A a \b Vy ;3'4 9 / b vowr.*> A-B PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS D.l: A-A = « Demostración. En efecto: (1) Sea xe(A - A) (Hipótesis) (2) * xzA (Def. Dif.) (3) * xe* (4) Por lo tanto, de (1) y (3): A-A = * A xiA (Un elemento no puede pertenecer y no pertenecer al mis mo conjunto a la vez) D.2: D.3: A- ♦ =A ♦ - A= * D.4: (A - B ) c A D.5: A - B = (A U B) D.6: B(\(A - B) - <t> Demostración. B = A - (A (1 B) Probaremos que: B n (A-B)c <¡> Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 96 Eii efecto: (1) Sea xcB O (A-B) (2) * xeB (Hipótesis). xs(A-B) a (Def. (3) ■* x*B a (xcA A xfB) (4) ■* (5) + (xeB a xiB) a D ) (Def. Dif.) jceA (Asoc. E.4a) xe(B-B) a xeA (Def. Dif.) La Intersección de dos, cualesquiera de ellos, es vacío. D.U: a) A - (BUC) = (A-B) rt (A-C) Leyes de Morgan b) A - (B n C) = (A-B) U (A-C) D.12: a) (AUB) - C = (A-C) U (B-C) b) (A-B) - C = (A-C) - B COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Si A y B son conjuntos tales que AcB, se define el complemento de A con respecto de B, y se denota 4Â, a la diferencia B-A. Esto es: = B - A = (x | z e B a x¥A\ Conjunto que queda caracterizado por la propiedad: xe « Â xeB a xtA cuya representación en el diagrama de Verm es ¡a parte sombreada de la figu ra 1. En part icular, si B=l), el complemento de A con respecto de U, se denota por 4 a = A ' = Ac = Á y se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A; esto es: A' = l¡ - A = lx|xe(f A x M ) = íx|xM) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.16: Complem ento de un Conjunto 97 conjunto que queda caracterizado por la propiedad: xeA' — » x/A y cuya representación en el diagrama de Venn es la parte sombreada de la fi gura 2. Ejemplo. Sean los conjuntos A={2,3,4,5] y B= U ,2, 5, 6 ,7 f; hallar: a) Solución, , b) £ aB , a) ^ 4 = B-A = (1,6,71 ; c) AÍIB = (2,5) * c) £ A (AhB) b) -^B = A-B = (3,4 1 J & J A B B ) = A-(ABB) = 13,4 1 A . 2 16.1 PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO____________________ y Para conjuntos A y B en U se cumplen las s iguientes propiedades: C. 1: 4SgA c e y £aB C A C.2: A u A ' =U ó A u £ aB = A C. 3: AB A 1 =♦ ó Afl Â = « C.4: U' = ♦ ó C.S: ♦' = U ó C.6 : L4')' = A ó C.7: A - B = AB A?A = * A = A £ b (£¿4) = A B'ó A - B = AnJt.tí .4 Demostración, a) Demostraremos que: (A.-B) c A f l f l ' En efecto: (1) (2; b.) Sea xe(A-B) ■» xeA a x¿B * xeA a xeB' (Def. fi ) (3) - xe(A flB'7 (4J Luego, de (1) y (3): (A-B) c ( A H 3 ' J (Def . c ) Demostraremos que: ( A B B 1) c (A-B) En efecto: (1) (2) Sea x c ( A n B ’) ■* xeA a * xeA A xeB' x¿B (3J - xe(A - B) (4) Luego, de (1) y (3): Si A C B — (Def. n ) (Def. Comp.) (Def. Dif.) ( A n B ' ) c (A-B) Por lo tanto, de a) y b) queda demostrado que: A-B - A h B' C.8: (Def. Dif.) (Def. Comp.) B'CA' Sólo fines educativos LibrosVirtual (Def. c ) Capitulo 2: Conjuntos 98 Demostración. En efecto: (1) Seo x ' ' o-lb (Hip. Auxiliar) (2 ) Si AcB, entonces: xcA xeB (Def. c ; (3) Si xtB y A c B * xtA (4) xfA -*• xtA' (Def. Comp.) (5) Luego: xefl' * xcA’ (Pasos 1 y 4) (6) Por lo tanto: B ’<=A’ ( A U B ) ’ = A' D fl’ ] > .10: (A n B)' = A' U B' J (Pasos 1 y 2) (Def.c) .9: Leyes de Morgan Demostración de C.10: a) Demostraremos que: (A OB)' c A'UB' En efecto: (1) Sea x c ( A D B ) ’ (Hipótesis) (Def. Comp.) (2) - xt(ADB) (3) ■* xiA v xiB Í^ÍPa q) = *p vwjJ (4) -*- xeA' v xcB' (Def. Comp.) (5) - xc(A'UB') (Def. U ) (6) Luego de 1 y S: ( A n B ) ' C A'UB' (Def. c ) b) Demostraremos que: A ’UB' c (AftB)' En efecto: (1) Sea xe(A'uB') (Hipótesis) (2) * x*A' v xeB' (Def. (3) * xiA v x(B (Def. Comp.) (4) - xt(ADB) (Morg. E.6a) (5) - xeíAflB)' u ) (Def. Comp.) (6) Luego de 1 y 5: (A'uB') c (ADB) ' Por lo tanto, de a) y b), queda demostrado que: (Def. c ) (A O B) ' = A'UB' DIFERENCIA SIM ETR IC A Dado los conjuntos A y B, de A y B, que se denota por AAB, se define diferencia s imétrica al conjunto: A A B = (A-B) U (B-A) ó A A B = (AU B) - (A n B) En el diagrama de Venn Euler, la diferencia simétrica de A y B es la parte sombreada de la figura adjunta. Nótese que si: acA * az(A A B) bcB * be (A A B) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.17: Diferencia Simétrica 99 ceA y ceB ♦ ci-(A A B) Si x es un elemento que pertenece a AAB, entonces: A A B = lx|(xeA a i^ B J v (xiA a xeBU Esto es, AAB es el conjunto caracterizado por la propiedad: xe (A A B) ++■ (xeA Ejemplo. A x?8) v ( x M a xeB) Sean A=ll,2,3,4] y B={2,3,5,6¡, hallar A&B. Solución. A OB = 12,31 ; A U B = {1,2,3,4,5,6) Entonces: A A B = (AUB) - (AnB) = 11,4,5,6} Por la otra forma: A-B = 11,41 y B-A = 15,61 A A B = (A-B) U (B-A) = il,4,5,61 3E B PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA SIM ETRICA DS.l: A A A = 4 DS.2: A A ♦ = A (Propiedad del elemento neutro) DS.3: A A B = B A A DS.4: (A ti B) OS. DS.6: (Conmutatividad) A C = A A (B A C) 5:(A A 8 )II C =(AnCJ A (B flC) (A A B) U (B A C) = Í A U B u C l - (AnBDC) Sólo fines educativos LibrosVirtual (Asociatividad) (Distribuíividad) Capítulo 2: Conjuntos 100 EJERCICIO 1. Sea el conjunto universal !/=(♦ ,2,2/3,51 y los subconjuntos: A=lxsi/|x es par v x es primol, B={xcU|x#* a x no es un ente rol , C=lxc(/|x es un núnero v x=$). Hallar: a) b) B'-A Solución. c) (AOB)-(BnC) Si x es par o x es primo (C-B) flA A=12,5) x¿* y x no es un entero •* B=l2/3) x es un número o x=i C=D=1*,2,2/3,5) * a) B'-A = 1*) ; c) (C-BJOA = (*,2,5) 012,51 = 12,51 * b) (AvB)-(BnC) = (2,5,2¡3\-12/31 = 12,5) Si A=(xeN|x>4 - x= 6 ); B=Ix e N|x > 0 a EJERCICIO 2. B' = l*,2,5) x ^51; C=(xcZ|^fx>l » x lM x - 3 1 1. Hallar: AÍ=CAH B)-(B 0 C). Solución. Según E.7a:p ■* q = '•pvq •* A=lxtN|x<4 v x= 6 ) = 11,2,3,4,6) Por E-.7b:^(p * q) = p aNj 0=11,2,3,4,51 - EJERCICIO 3. -*■ C=lxeZ|x>l a A n o = (1,2,3,41 y B O C = 13) * x *=4x -3) = 131 M= 11,2,4) Si A~{x*Z\x1-10x-24=0); B=lxeZ| -3Sxí2); C=lxeZ|4-xl=0) y D=lxeN) 2+3x= 7-2x1. Hall ar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) (DuA)-C - 11/3,2} c) [(A(\ B) U D} fl C c c b) (A U B)-(D U 112)1 ¿ B d) (D-A) n [(AOB)-(CÜD)) = D Solución. En A: x 1-10x-24-0 — " x=-2 ó x=12 ■* A=l-2,12) 0=1-3,-2,-1.0,1,2); C=1-2,2); Ü=1J) a) (DuA)-C = li,-2^21-1-2,2) =11,12); la afirmación es falsa. b) (AltB)-(DUÍ12)) = 1-3.-2,-l,0,1.2,l2)-ll,12) = 1-3,-2,-1,0,2) * B La afirmación es verdadera. c) ¡ ( A O B J U D l n C = Cl-2)ull)]01-2,2) = 1-2) c C. La af irmación es verdad. d) (D-A)OÍ(AUB)-(CuD)l = 121 fl 11-3,-2,-1,0,1,2.12}- 1-2,1,2)1 - * / D La afirmación es falsa. EJERCICIO 4. Cuales de las siguientes afirmaciones a) xt[B(\(A-C)] c) xc4>B v xt./SA b) xfB v xf(A-C) d) XX M,(B DA) a v x tC xeC son equivalentes a la proposición: xcJ&lB n (A-C)] Solución. Si xcJílB (i (A-C) j * x¿(B n (A-C)] Sólo fines educativos LibrosVirtual (Def. Comp.) 101 Sección 2 .17: D iferencia Simétrica a) x i [BflfA-C]] 5 x e [BflfA-C]] b) x i B c) x cid V x Z¿A V xeC = x t B v Es equivalente x t (A-C) = x i [B fl (A-C)] .'. Es equivalente (xW v xeCJ v = x i B v x i (x c A = x i [BflfA-CJ] d) x c t¿(B A) a xeC = a: i (BOA) a = x EJERCICIO 5. Solución. e (Def.Comp. y Asoc.) c. x i C) (Morg. E.Sa) Esequivalente x e C [C-esn a; ] (Def. Comp.) No es equivalente Si Ace, simplificar: i[(B u A) n ( ¿ B n C) ] u ¿A\ o 3¿B. - AUB = 6 Si A c B Pero: B n - 1[B n ( £ b flC) ] u &A\ u A B B - ♦ , entonces: if 4 ) U £ A) u £■ B (U.10) •t-i- {¿A)o4>B ++ ¿(A flB) Como A c B + AflB = A, entonces: Ji(AOB) = ¿(A) h U-A EJERCICIO 6. Si A c B y ( A ü B ) O C = simplificar: p = ílA-(8 n o ] utlfAuc;- S(a Solución. Si A c B + AO B = A y A O B = B Si ( A O B ) O C = ♦ ■” B n c = ♦ o b )] (1.9 y U.10) Entonces: P 5 ¿[A-(i]u¿[fAuCh¿A] = ¿(A) U £ [xe (A U C) a x t./¿(A)] = tt(A)U jlixe (A u C) a xeA] = ¿(A) u ^.[xefAuCJflA] í¿(A)u¿(A) = i>A EJERCICIO 7. (Abs. A.l) (Idemp. E.2b) Para a,be<?, A y B son conjuntos tales que B#4>, A u S es un conjunto unitario; A=ia1+2b,b*+l} y Ao B=ia+4b,b+l-3a\. Ha llar A flB. Solución. Si A u B es un conjunto unitario y Bf4>, entonces A y B son unita rios. esto es: A=B=Au B A=la*+2b,bl+i) es unitario + a1+2b-bz+1 -1-* ai=(b-l)1 ~ a = t(b-l) A u B = [a+4b,b+l-3a) es De (1) y (2) obtenemos: unitario + a+4b = b+l-3a ++ 4a=l-3b 5a 2=-2/7 ai=-2 b,=3 ó bj=5/7 A-abas soluciones sat isfacen la condición dada: a,beQ Pero, veamos si sat isfacen la ecuación: A - AUB, es decir: o2+2b = a+4b ó b2+l = b+l-3a Basta comprobar en la primera ecuación: Para (-2.3): (-2)2+2(3) = -2+4(3) +-* 10 = 10, es verdadero Sólo fines educativos LibrosVirtual (1) (2) 102 Capitulo 2: Conjuntos Para (-217,5/7), verificar que es falso. A=B= Ü O . l O h {10 (=An B Luego, para a=-2 y b=3: E J E R C I C I O 8. Si A={*>, B=P(A), C=B-A y D=P(C). Hallar B D D . Si B=P(A) * B= lA, ♦ != U*l, Solución. C = B-A = U, *) - 1*1 = U> - D ♦> fl I UI , «1 = UJ = A Luego:B f\D = EJERCICIO ♦> = P(C) = \C, ♦ }= {{A}, ♦) \A, 9. En el diagrama general de cua tro conjuntos, se tiene 16 zo ñas numeradas como sigus: Si ACC, B= > D y ( B U C ) - ( B n C ) = B U C ; qué zonas v acías? con seguridad no son Solución. Si A c C , entonces las zonas vacías que no están incluidas en C son 7, 10,11,14. Si íc fl, entonces las zonas vacías que no están incluidas en B son 13,14,15 y 16. (B U C ) - ( B n C ) - B U C * B Luego, flC=». Esto implica que son zonas vacías: 3,5,8 y 9. son zonas vacías: 3,5,7,8,9,10,11,13,14,15 y 16. Por lo tanto, no son zonas vacías: 1,2,4,6 y 12. EJERCICIO 10. Dadas las siguientes definiciones entre conjuntos: A*B={x*U\xtA x W h Sombrear a xfBf; A«B= tx e £ /|jc M * x e B } ; A # B = íx e U |x ¿ A v en el diagrama de los conjuntos numéricos la zona correspon diente a S=l(QBN)*(CfI)lUN Solución. Apliquemos las definiciones dadas a los conjuntos numéricos que corresponden a S: & N = <xtl/|x*C - xeN 1= Q‘ * N = V U « = «UN = « c#i = ix«(/|x«;vx*ri = c*u i’ = ♦u/> = I> <yi’ = lx€t/|x*Q A X *íM = « ' f l Por lo tanto, S = I U N Se sombrea la s EJERCICIO 11. 1= I = 11,4} zonas 1 y 4 del diagrama d e los conjuntos nwiéricos. Se nar sabe que X es un cu áles de conjunto ta l que: X P(A), VA. Determi las siguientes afirmaciones son verdaderas. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.17: Diferencia Simétrica a) xn X = X, VA 103 b) X-A = X, VA c) (A-X) u <X-A) = A, VA Solución. Si X eP(A), VA * X=$ (El conjunto vacío es subconjunto de todo Entonces: a) ♦ n4> = * Es verdadera b) <> - A = $, VA .'.Es verdadera c) (A-$) U (i-A) - (A)u($) = A conjunto, excepto el suyo propio) EJERCICIO 12. (1.2) (D.3) .'. Es verdadera De las siguientes afirmaciones para conjuntos, determinar cuáles son verdaderas. a) F-(F-GJ=Fíl G Solución, a) b) (A-B)-C=A-(B-C) c) A-(B U C)=(A-B) U (A-C) F-(F-G) = xeF A xt(F-G) = xeF a xt(XíF = xcF a (xtF v = (xeF (Def. Dif.) a x e xiG) (Def. Dif.) G) (Morg. E.Sa) xiF) v (xeFa xeG) a (Dist. E.Sa) = <)> v xz(FnG) (Def. fl ) = xt(FnG) - FflG b) (A-B)-C = xe(A-B) = xeA A xiC = (xeA a xíB) (xiB a xiC) = xeA a = A rijg(BUC) c) A-(BUC) = xeA = (xeA - (A-B) D (A-C) EJERCICIO 13. a xiB) a xfC (Def. Dif.) xi(BU C) a (Asoc. y Morg. E. 6a) .'. Es falsa xi(BüC) = xeA a .'.Es verdadera A a (xiB xiC) a (Def.Dif. y Morg.E.6b) (xeA a xiC) (Dist. E.5a) .'. Es falsa Sea A*B=(A U B)-¿A. Entonces, de las afirmaciones siguien tes, cuáles son verdaderas. a) A*B=B*A, VA.BC.U b) A*(BfíC) = (A*B) fl (A*C), VA,B,CcU c) Solución, a) A*B = (AuB)-JlA Luego: A*B i B*A y A n (B*C) = (A D B)*(A (1C), VA,B, C O I B*A = (BuA)-J&B .'. Es falsa b) A*(B flC) = [ A u í B n C) ]-JSA = [(AUB) (1 (AuC)]-4A = t(A*B;+4A] n l(A*C)+.£A\-¿A (Def. * y Dist.E.5b) (Def.*) = l(A*B) U &A) ] fl l(A*C) U &A\-J¿A = [(A*B) O (A*C)) U J¿A - ¿ A = [(A*B) n (A*C) ] + ^éA - j&A = (A*B) (I (A*C) C) A(\(B*C) = A n [(B U C)-.£B] = A fl (B U C)-A n & B .'. Es verdadera (Def.* y D.7) = (A flB) U (B flCl-A fl.-éB = (AnBl*(BflCl+^(AnB;-Afl-ÓB Luego: A fl (B*C) f (AnB)*(BnC) Es falsa Por lo tanto, sólo la afirmación b) es verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 104 EJERCICIO 14. Si A,B y C son conjuntos no vacíos tales que A y C son dis juntos y que AtíC-B. Simplificar A 4 B & A Solución. A 4 B 4 A * C = (A ¿ A) = IW ‘ A A C. (Asoc. DS.4) (B A C) (B H ) = B i (DS.l y DS.2) C = (B-C) U (C-B) Dado que A y C son dis ¡untos y A U C - B Entonces: A+C=B * A=B-C Además: C-B=t Luego: A i 8 U EJERCICIO 15. 1 0 = (A) u (4) = A Simplificar: P = l(AfíB) tí (C’tí D> tí E')] A l(AfíB) tí (CD D DE)] Solución. P =[(AOB) tí ( C D D n E ) ') d [(ACIB) U (CnDDE)] - (A n B) u l(Cd D d E) 'I) (Cd D d E)1 (Morg.C.9) (Dist. E.5b) = (AdB) U t ♦ ] (Prop. C.3) = AdB (Prop. 0.2) EJERCICIO 16. Indicar cuál de las siguientes expresiones es verdadera o falsa. Justificando su respuesta en cada caso: a) B c A entonces (A-B)sP(A-B) y (B-A)cP(A-B) b) Sean A=la); Bîbl Solución. b) Caso 1: - P(A-B)=P(A) Si B C A - (A-B) f * (1) Sea xc(A-B) * 1x}c.(A-B) (Prop. D.9) (2) * xeA a xtB (3) - .reA a xeB' (4) -* xe(A dB') (5) * IxlePfAnB'; (Def. Pot.) (6) > lx}cP(A-B) (Prop. C.7) (7) Por lo tanto, de (1) y (6): (A-B)eP(A-B) (8) Si B C A ■» (B-A) = 4 (9) Como ♦ pertenece a todo conjunto potencia * (B-A)eP(A-B) (10) Por lo tanto: B e A * (A-B)cP(A-B) y (B-A)eP(A-B), es V. (Def. Dif.) (Def. Comp.) (Def.n ) (Prop. D.9) Si atb : (1) A-B = la} » P(A-B) = l*,la)} (2) Si A = la) •* P(A) = !♦, la)} (3) Por lo tanto: P(A-B) = P(A), es verdadera Caso 2: Si a=b. (1) A-B = * - P(A-B) = (♦, U H (2) f P(A) Por lo que: P(A-B)=P(A) es falso para a=b. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.17: Diferencia Simétrica EJERCICIO 17. 105 Usando definiciones demostrar que: a) A-(BDA')=A y b) P(AOB) = P(A)nP(B) Demostración a) En efecto: (1) Si xelA-(BnA')] -*• xeA A xífBOA') (2) ■* xeA a (xiB v xiA’) (3) ♦ xeA a (xfB v xeA) (4) xeA (Def. Dif.) (Morg. E.Sa) (Prop. C.6) (Abs. A.l) (5) Por lo tanto, de 1 y 4: A-(BDA') = A b) En efecto: (1) Si X eP(AOB) * Xc.(AnB) (Def. Pot.) (2) - X c A a X c B (3) * X e P(A) (4) - Xe A (def. fl ) X e P(B) (Def. Pot.) lP(A)nP(B)l (def. O) (5) Luego, de 1 y 4: P(ADB) = P(A) nP(B) EJERCICIO 18. Demostrar que para tres conjuntos cualesquiera A,B y C, se cunple: (A(\C) E (BílC.) = (A A B J O C Demostración. En efecto: (AnC) E (BDC) = [(AnC) u (BDC)] - [(AtiC)n (BpC)] =[fAUB;nC] - l(A(\B)t\C] (Def.Dif.Sim.) (Dist. E.Sa) = [ÍAUB; - (AT\B))DC = (A EJERCICIO 19. e BJflC (Prop. D.7) (Def.Dif.Sim.) Usando propiedades de conjuntos, demostrar que: (A-B) U (B-A) = (AuB)-(ADB) Daaostración. Se trata de demostrar la diferencia simétrica entre los con juntos A y B. En efecto: (A-B) U (B-A) = (An B') u (BOA') = ((AfíB') UB] fl [ÍAflB'lU A'] (Prop. C.7) (Dist. E. 5b) = [(Au B) n fB'u B)] fl [(Au A') fl (B'U A.')] = [fAuBJfl l/] n [DnfB'UA'>] (Prop. C.2) = (AuB)n(A'uB') (Prop. 1.3) = (AuB) ti (ADB) ' (Morg. C. 10) = (A u B)-(An B) (Prop. C.7) EJERCICIO 20.Demostrar que: B' fl fA u B)=A ■*-*• A (1B= <J> Demostración. En efecto: B ' D ( A U B ) = (B'n A) u (B'fí B) Sólo fines educativos LibrosVirtual (Dist. E.Sa) 106 Capitulo 2: Conjuntos = (B'n A ) U (+) = B'n A (Prop.C.3 y U.2) = A n B ' = A-B Dado que: A 0 B = ♦ Por lo tanto: B ' O ( A u B ) = A EJERCICIO 21. (Prop. C. 7) ♦ A-B = A <-*• A n B = ♦ Demostrar usando propiedades de conjuntos que para los con juntos A.B y C: IIA'-(B'-C) ]' n (C'-B) ' = Al) (BUC) Demostración. En efecto: [A'-(B'-C)lrn (C’-B)' = IA' fí (B’-C')1’r\ (C'n B)' = EJERCICIO (Prop. C.7) [A'n (B'n C ’)']’n (C'n B ’)' (Prop. C.7) = [A' n <B'U C ’)']' n (CUB) (Uorg. C.10) = [AO (BUC) '] n (Bu C) (Uorg. C.10) = [A n (Bu C)] U [(Bu C)'n (BÚC)] (Dist. E.Sb) = [A nfBU C)] U [ « ] (Prop. C.3) = An(BUC) (Prop. U.2) 22. Sean A.B y C tres conjuntos. Demostrar que si B O C= ♦, entonces: [A-(BU C) ] u (An B) U (A nC) = A Demostración. En efecto: IA-(B uC)] U (A nBJ U (An C) = [A n (BU C) '] U (AnB) u (ABC) = [A n (B U C )']U A n (B u C ) = A n [ ( B u C ) ' U(BuC)] (Dist. E.Sa) = A n [ U ] = A EJERCICIO (Prop. C.7) (Prop. 1.12) (Prop. C.2 e 1.3) 23. Demostrar mediante definiciones: (A n B) - (AtiC)' =An(B-C') Danos 1ración. En efecto: (1) Sea xct(A0B)-(AnC')) (2) — xc(AOB) * xf(AnC') (Def. Dif.) (Uorg. E. 6a) (3) *xe(AnB) a (x(A v x¿C') (4) * (xeA a xeB) a (xiA v xiC') (5) * (xeA a xeB a xiA) (6) + [(xeA (7) * [(xe*) a xeB] v [xeA a xe(B-C')] (8) * [ ♦ ] v [xeAO(B-C')] (9) * A xfA) A v (xeA (Def. fl ) A xeB a xfC') xeB] v [xeA a (xeB a (Dist. E.5a) xiC') ] (Def. Dif.) (Prop. 1.2 y Def. n ) xeA n (B-C) (Prop. U.2) Por lo tanto, de 1 y 9: (AfíB)-(AnC’) = An(B-C') Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios Ilustrativos EJERCICIO 24. 107 Demostrar mediante definiciones (usando elementos) que: a) B <= [A U (B-A) ] b) PtíAOB l UC ] = P(A\)C)0P(Bl)C) Demostración, a) Sea xeB, entonces debemos probar que xe[A U (B-A)] Demostraremos por falsa suposición, esto es, supongamos: (1) x¿[AU(B-A,)] s <v.[xe(A \}.(B-A))] = M x e A v xe(B-A)) (2) s >v[xeA v (xeB (3) s •'«[{xeA (4) s ■'.[{xeA v xeB) a (5) =x M a v xeB) a (Def. Dif.) (xeA v x¿Aj] (Dist. E.5b) (T)) s Mí x e A V xeB)) (T.3 y FNCb) xtB (Morg. E.6b) (6) Pero como por hipótesis, xeB b) (Def. U ) a x í A)] (í) Sea XeP[ (A flB.) U C] ♦ xe[A U (B-A) ] * xeCíAOBlUC] (Def. Pot.) (2) * xe[(AU C) fí [BU C)] (3) - (Dist. E.5b) xe(AuC) A xe(BUC) (Def. 0) (4) - XePfAUCjn XeP(BUC) (Def. Pot.) (5) - Xe[PfAuC;nPfBUC;] (Def. Pot.) (6) Por lo tanto, de 1 y 5: EJERCICIO 25. PtíAílBluC] = PfAU C) Í1P(B u C) Usando propiedades para conjuntos A,B y C, demostrar que: (A & B) U ( B A C) - (AUBuC)-(AfíBt\C) Demostración. E = En efecto, sea E = (A AB) u (B A C) , entonces: l(AiiB)-(AnB)]Ul(BuC)-(BnC)] = l(AilB) n (A DB) ']U l(B U C) n (B O C) ’] = ((AnB)’n ( A u B ) ] U [ ( B n C ) ’n (BuC)] (Corm. 1.4) = { [ f A O B r n A ] U tfAnBl'nB]} u m s n c i ' n B]U [fflncrnc]} (Dist. E. 5a) = [(A'uB'jnAJu [(A'uB'.)nB]u tfB'U C')0 B] U l(B'l) C'lnC] (Morg.C.10) = tfA'n A) U (AfíB’)] U CÍA' n B) u (B’flB)1 U [<B' fl B) U (C'rtB)] u [ffl'n Q U U(C'nC)l (Dist. E. 5a) = l(*)U (AnB')] o ((A'nB)U(4)]iJ til) U fC'H 8 )] u [(B'nC)ü(*)l - (AhB') U (A'n B) U (C’O B) u (B'n C) = [ ( A n a 1) U (CDB')] o Í(B(\A') u ( B n C 1)] = [(AUCj nfl’] U [ B í U A ’U C ’)] (Prop. U.2) (Conm. U.4) (Dist. E.Sa) = [ (A uC)nB']U [BOfAnC;'] (Morg.C.lO) = [fAue;-B]u [B - fAnO] (Prop. C.7) = [ fA u Cl u B-B]u[B-BnfAnC>] (Prop. D.5) ; Í(AUBUC)-B) + IB-(AC\B flC> 3 :. e = (AuBuC)-(AnBnC) Sólo fines educativos LibrosVirtual (AlíB = A+B) C a p ítu lo 2: C o n ju n to s 108 EJERC ICIO S: G rupo 8 1. Sea íMxeN|0<x$i0} y los subconjuntos: A=lxeN|x es primo), B=lxeü|x es un cuadrado perfecto , C=lxeí/|x es impar). Hallar: a) (AuB)'-C 2. b) (A-C) 'n B c) (A^B)-(AtC) d) (A D C) '-(B U C) ' ' Dados los conjuntos A=lxeZ|,''[xS-2 vi>3](. B={xeN|'^('-J<xS3 ■*■ x=5)) y C=(xeZ| (x<-2 v xi2) * x>l). Hallar el resultado de (BOC) a (A OBI. 3. Sea el conjunto E=H,a, tal,(a, $11 y los subconjuntos: B=lxeE|xj¿$ a xf la,*11, C=lxe£|x#a v x/la, ♦(}, llar: 4. a) P(B-C) D = 1 x e E |x b) (CbD)-B' es una letra del alfabeto). Ha c) (C-B) 1u (BH D f) Sean los conjuntos A=lxeN| 7-x=3 v x<3), B=lxeN|5-x>2 * -^(6x-2)i2), OfxeN|x es un cuadrado perfecto, xilO). Hallar: a) (AuB)b(C-A) b) (A-B)u(BbC) c) (AbB)-(A-C) d) (A&B) n (BbC) 5. Dados los conjuntos A=lxeN|3<xS4l, B=lz|z=n2, neW, nS5l,C=(xeN|x es d¿ visor de 30). Hallar la suma de los elementos de conjunto(A flB)u(B U C) 6. De las siguientes afirmaciones, cuáles son verdaderas? a) A b ( A U B ’)=A c) b) (BbC)-A=B n (C-A) A b ( B U C U D ) = ( A b B ) U (AdC) y (AbD) 7. Si A c B y Cn A=<f, simplificar: [A u (B-C; ] fl [B u (C-A) ] 8. 9. Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) (AbA')U A = A d) A<=B ■*- A'c B r b) (AuB)' = A'b B' e) A n (B U C) = (A u C) n(B U C) c) A-B = AbB' f) (AuB)-(BbA) = (A-B) U (B-A) Si U=)xzN\0<x<ll), A=il,2,3,4,5), B=lxtU|x=2k, keU). Cuáles de las afir mociones siguientes son falsas? a) (A'bB1) f U-lSl c) (A-B)' * A' u (AbB) b) (AuB)' = lxel/|x2-16x+63=0l d) B-A t Í8.10) 10. Sean los conjuntos A=lxeN|x = j(k2-l), k*N , B=ixeN¡x2=8xl, C=lxeAl| x 1 -32x+192=0). Hallar el resultado de (B-A)(\C. 11. Si A=(a,<|>,l$n , son verdaderas? b) cuáles de las afirmaciones siguientes a) (AU B)-(AbB) = la,*,!!*}!} El número de elementos de P(A)=8 c) P(A) b P(B) = 111*11,$} 12. Cuántas de las afirmaciones siguientes son verdaderas? Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 8 109 a) (A-B)-C=A-(B u C) b) (<A')’) ’=U-A c) (A O B u AÂ e) l(A')U Bl-O(AuC)'u(B-C) d) (A'UB')nA^B 13. Dada la proposición: ( x M a) xe(Au B'l O C' a x <£) xeC. Su negación equivale a: v b) xa(A-C) U(BVC)' c) fxsA a xtC) a xt(BUC) Cuáles son verdaderas? 14. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? (1) Afí(C-B)' es lo m ism o que: A n ( B O C ) ’ (2) A= tx«^|lft¡c1=1.3x+3} es un conjunto unitario o B= lx«R- 10 (|^r=x "*} es un conjunto vacío (3) Si x¿R y A=(aeR|4x*-2ax+3«i, es un trinomio cuadrado perfecto), en tonces A c {aeZ¡a>+24=6a1+4a} 15. Para conjuntos tenemos las afirmaciones: a) A c C * c) B=A 1 -“ í u B=V y At)B=4 A u (B n C)=(A u B) n C b) A U (Bf) A)=A fl (BUA)=A d) A U IB O (A U C) ]=A U (B P C) Demostrar que tales afirmaciones son verdaderas. 16. Cuáles de las siguientes proposiciones para conjuntos son siempre verdg deras? a) A C B *-* A u B = B c) AflB = ♦ ♦ A c B 1 b) A CB' «- BCA ' d) (AUB')’ = B-A 17. Si U=ia,b,c,d,e\; Al>B=lo,b,c,dl, AflB=la,cl y A-B=lbl; hallar A y B. 18. Demostrar que la proposición p:xzlA-(C-B)]', es equivalente a: q:x*lA níC'u B)). 19. Dados los siguientes conjuntos: )4¿.\-3,-2/3,0,1/2,2,S2,3+S2,2\), A=lxeAl¡ xfM - x*Z), B=íxeAl|xeB *■* xel>, D=lxeJU|xeC Ax*Qh Hallar (A flC) u (B-A). 20. Sea el conjunto universal U=l-6,-3,0,0.4,0.'3.3/5,/6,4,1-il y los subcon juntos: A = 1 x c í / |x ® C a x c / 1 , B = 1 x e ü ¡x « :N 'a x e Q I, íMxedjxtZ v xeWÍ. Determi nar AifíP, por extensión, sí: M=lxel/|xeA ■* xeBl; P=lxel/|xe£> <-► xeBl. 21. Si se sabe que: p*q-p •» ‘vq; p/q-’^p ♦♦ Vj, y se dan los conjuntos: A={-9, -•/2,0.'3,*,6,3ii, B=lxeA|x*Z t xtR}, B=lxeA|xeQ * xeí), E=lxeA|xeC#xeNh Hallar (AUB)n (D-E). 22. Presentar cuatro diagramas de los conjuntos numéricos y en cada uno de estos diagramas sombree la zona correspondiente a cada uno de los si guientes conjuntos: A=lxeC|x*i xeRl, B=lxeC|xeN + xtR), D=ixeC\xfC v xfR), E= IxtC/xfZ a xcRt Sólo fines educativos LibrosVirtual 110 Capitulo 2: Conjuntos 23. Dados los conjuntos: L=(xeC|jc<1V a acfí J>, S = (x e R |x < Z v x t N ) , tM x e R |x ¡f< ? ** x ? I ) . Sombrear en el diagrama de los conjuntos numéricos la zona co rrespondiente a M={x*C\xf(Lfí S)r. xc(S-D)) 24. Dados los conjuntos X , Y , Z y su represen tación en el diagrama adjunto: X=iPolígonos regulares }; V-ÍCítadr ilateros) Z=iTriángulos equilateros). Cuáles de las regiones enumeradas en el díagrtma son va cíos? 25. La parte sombreada del diagrama repre senta a: fl a) C-l (A-B) b) 26. tCfl (B-A)) (A-B) '] fl (B-A) C-[ (A-B) u d) [C H (B-A) ' ] n (A-B) (B-A) ] La región sombreada representa a: a) A -(B fl C) b) A ( \ ( B U C ) ' 27. c) c) (A-B) O (C-A) ’ d) A n (B-C) ' En el siguiente diagrama, las regiones sombreadas se identifican como la expre sión: a) c) ( B D A ) u (BnC) b) (A UC ) - ( A n B < \ C) [B flfAU C ) ) - ( A t \ B B C ) d) (At\C)ul(A(\B)-(Bl\C)} 28. Sombrear en el siguiente diagrama zona correspondiente a ia la siguiente operación: [ ( A n B ) ’O C'l O l(A-B') 1 f) Df] 29. Sombrear en el diagrama adjunto: [(AuB)-(Cfí.D)j U l(C-D) ' n (B-A)} Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.17: Diferencia Simétrica 111 30. Cuáles de las siguientes proposiciones: a) xtl(B-A) ’-C\ b) xe[(A-C) U <B U C) '] c) jc e [A u (B U C) '] equivalen a la negación de la proposición: jce[C U (B-A)]? 31. Sea A*B=(A-B’) U B. Demostrar que las afirmaciones siguientes son verda deras: a) A*B=B*A —-A=B b) (A*B)*C = A*(B*C) C) A*(B U C) = (A*B) U (A*C) 32. Sean A= {1,2,3\, B= {ieZ|x2-x-6=0), C=(acEA/|2<i<6}, D=C-(A(\B). Cuántos elementos tiene el conjunto P[P(D)]? 33. Si A,B,C son conjuntos y C C A ', entonces, demostrar que: ll( C U B ) n A ] U C ' } O B = B n c 34. Dados los conjuntos A y B. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) A U B - (A i B) A (AHB) c) b) A fi B = A A (AUB) A fifi = (AUB)-(A t B) 35. Si A,B y C son conjuntos, simplif icar usando propiedades: a) [(AnB)U C']'U (BUC) b) {[CU (B-A') ] fl[B-(C U A) '] '} U B 36. Dados los conjuntos A.B y C en U, simplificar la expresión: [A 4 fB » C)] 1 [C A fl1] 37. Si A c B, simplificar: Af\{[(BuA)(\CnB']uA'UB'} 38. SeanA={3,*}, B={ {3}(1¡>. {3, ♦}) y C={ {♦ J.{3{ {. Determinar P(A)-{B n P(C) ]. 39. Simplificar: [fA u B)-(C-A) ] Í1 [(A n B)-(A n C) ] 40. Si A,B,C y D son conjuntos tales que: .CcA', ACB' y CuD=D. Simplifi car: [{A1 U B') fl (C' U D')] U Í([(CUB) flA] U C';n B] 41. Si para conjuntos A.B.C se tiene: Ac B y CflA=í, simplificar s ión: la expre- {lA u (B-C) ] n [B u (C-A) 3> u {(A-BJ i Cl 42. Si.An B DC=4, simplificar: (A-B) U (B-C) u (C-A) 43. Sean A,B,C conjuntos no vacíos, tales que: ÍB(lC)c{, {BUC>-A=í. Justi ficando el desarrollo, hallar: Z - (A ¿ B) u (A & C) U (B A C) 44 . Usando propiedades de conjuntos, hallar R u S, donde: R = ÍA-(B-D) ]' n [A' A (B-D)] y S = [(B-A) U (D-A) ] U [A U (B A D)) 45. Si A y B son conjuntos, demostrar que: si (AU B) c ¡B'-(A-B)], entonces A = (j> * B = <t> Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 2: Conjuntos 112 46. Demostrar usando propiedades sobre conjuntos que: (BDC) U (B-C) U (B-A) = B - A' «- B C A 47. Demostrar, usando elementos, que: A' e¡ B 1 = A a B 48. Usando elementos demostrar que: [ An e n C ] U [(A-B)-CJ = [A-(B-C)lt) [A-(C-B)] 49. Dados los conjuntos A y B. Demostrar que: a) Si A-B=4> y B-A=t b) Si A A B = ♦ -» A-B •* A=B 50. Dados los conjuntos A,B,C y D, demostrar: a) Por elementos que: si B=C b D ■» B C C b) Por elementos que: si (A C C B cD ) A c) Usando propiedades que: si A & B' - B * (AftB)c(C(iD) * Be A 51. Demostrar, por definición, que: PUAflBJuC] = P(A U C) flP(B flC) 52. Sean A,B,C conjuntos no vacíos. Usando elementos, demostrar que: BeP(A) 53. Dados y A 4 B = AUB - A n 8 ■* A 4 B - A-B los conjuntos A,B y C, usando propiedades para conjuntos, demos trar que: [A'-(B'-C)]C [A A (B-C')’] - ( A U B U C ) C Z ( A U B ’U C') 54. Usando propiedades y justificando el desarrollo, demostrar que para cop juntos A,B y C, se verifica las siguientes proposiciones: a) [(AiiB)-C] U lA-(BDC)} = A-C b) {[(A-B1) U (B'-A) ]-B\ U {B-l(AtiB) U ( A u B ) ’]} = A' 55. Usando elementos y justificando el desarrollo, demostrar que para con juntos A,B y C, se verifica la siguiente proposición: [A'-(B'-A’)]U l(A'-B')-A'] c (AñB)' 56. Demostrar, usando elementos, que: A H ( B ¿ C) = (AbB) A (A n C) 57. Demostrar las siguientes propiedades de conjuntos, just ificando cada pg so:a) A c B « A nB = A b) A c B «-► A u B = B 58. Para conjuntos A y B, demostrar las leyes de absorción: a) A.l: A n(AUB) = A 59. Sombrear en el diagrama de b) A. 2: A U (A flB) = A los conjuntos numéricos, la operación: S = ((R-N'j n (C-I)j U ((1 DR) U (Q-R)] * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto 113 2.18 | NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO___________ ^ Dado un conjunto A, la fanilia de elementos de este conjunto sella ma nimero cardinal de A y se denota por: Card(A) o n(A) y se lee: "cardinal de A" o "número de elementos de A". Forejemplo, si A=ll,2,3) y B=la,b,c,d,{a,b)), entonces el número deelemen tos de dichos conjuntos es: n(A)=3 y n(B)=5. También: n[P(A)]=2’=8 y n[P(B)l=2*=32. 2. 18.1 PROPIEDADES_________________________________________y N.l: Si A y B son dos conjuntos mutuamente excluyentes (disjuntos), esto es A nB = « - n(AUB) = n(A) + n(B) En efecto, sean x e y los números cardinales de A y B respectivamente, tales que: x = n(A) e y = n.(B) Como ADB=i|>, es decir, A y B no tienen elemen tos comunes, entonces: n(AV B) = x + y n(ADB) = n(A) + n(B) N.2: Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces: n(A-B) = n(A) - n(Ah B) En efecto, los conjuntos (A-B) y (Ar\B) son dis juntos, entonces, por la propiedad N.l: n[(A-B) u (A nB)] = n(A-B) + n(A B) Pero A=(A-B) U (AfíB) - n(A) = n(A-B)+n(A flS) de donde: n(A-B) = n(A) - n(ADB) N.3: Si A y B son conjuntos tales que A O B f <t>, entonces: n(Au B) = n(A) + n(B) - n(AnB) En efecto, A U B = (A-B) U B Entonces, por N.l: n(Au B) = n(A-B) + n(B) y por N.2: n(AuB) = n(A) - n(AhB) + n(B) de donde: n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AOB) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 114 N.4: Si A,B y C son conjuntos tales que AftBflC # *, entonces: n(AUB U C ) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A (1B)-n(A 0 C)-n(B 0 C)+n(A n BHC) En efecto: n(AuBUC) = nlAufBuC.)] = nfA;+nfBuO-n[An(BUC>] = n(A)+n(B)+n(C)-n(B n C)-n[(A n B) U,(A (IC)] (N.3) (N.3 e 1.12) = n(A)+n(B)+n(C)-n(Br\C)- [níA n B.)+n(A n C)-n(A íl Bj fl (A 0 C.)1 de donde: n(Au B u C ) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A 0 B)-n(B n C)-n(A (1 C)+n(A n B fl C> Nota. Tres conjuntos A,B y C que en un diagrama de Venn Euler se represen tan secantes mutuamente, quedan divididos en siete regiones. El núm§ ro de elementos de cada región en que queda divididodichos conjuntos, puede calcularse del modo siguiente: Sólo A: n, = n(A) - n(BUC) = n(ÁBC) Sólo B: n z = n(B) - n(AuC) = n(BAC) Sólo C: n¡ = n(C) - n(Ail B) = n(CAB) Sólo A y C: n, = n(A flC; - n(B) = n(ACB) Sólo A y B: n, = n(AhB) - n(C) = n(ABC) Sólo B y C: n, = n(BfiC) - n(A) = n(BCA) A,B y C en conjunto: n, = n(Ar\ B (\C) = n(ABC) Ni A, ni B, ni C: n« = n(U) - n(Au Bl) C) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.18: Número de Elementos de un Conjunto 115 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Si los conjuntos A y B son tales que: n(Au B)=30, n(A-B)=12 y n(B-A)=10; hallar n(A)+n(B). Solución. n(Au B) = n(A)+n(B)-n(Añ B) +30 = n(A)+n(B)-n(A riB) (1) n(A-B) = n(A)-n(AhB) + 12 = n(A)-n(AOB) (2) - 10 = n(B)-n(AnB) (3) n(B-A) = n(B)-n(A flB) Restando (l)-(2): n(B)=18 , y restando (l)-(3): n(A)=20 n(A) + n(B) = 38 Si nlP(A) ]=128, nlP(B) ]=16 y n[P(A n B) ]=8 , hal lar nlP(A n B)] EJERCICIO 2. Solución. Para un conjunto X: nlP(X)j=2n Entonces, para el conjunto A: 2n=128=2 Para el conjunto B: 2n=2^ +—■ n=4 , y para A ++ r,=7 B: 2n=2^ *-* n=3 Según N.3: n(Aü B)=n(A)+n(B)-n(A n B) = 7+4-3 = 8 :. nlP(A UBI] = 2* = 256 EJERCICIO 3. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de So ciología y 53 no siguen el curso de Filosofía. Si 27 alum nos no siguen Fi losofía ni Sociología, cuántos alumnos llevan exactamente u no de tales cursos. Solución. Sean: S = El número de alumnos que siguen el curso de Sociología. F = El número de alumnos que siguen Filosofía x = El número de aliemos que siguen sólo Sociología y - v n ii u it n " Filosofía Entonces: n(S) = x+y = 100-49 = 51 (1) n(F) = z+y = 100-53 = 47 (2) Sumando (1) y (2): x+y+2z - 98 (3) Pero: n(SU F) = 100-27 = 73 + x+y+z = 73 (4) Restando (3)-(4), obtenemos: z=25 EJERCICIO /? r- 'j'Xi fcív-xj^j z \ -4.::,• vv'Vr-.Ví: V; í *s- . \ /< w.lV.-V-v xy«.««* 4. Dada la siguiente información: n(U)=360, n(A)=120, n(B)=150 n(BC)-25, n(ABC)=10. Hallar S), sabiendo que: L=(xe[/|xeA +-+ xeB), S=txeU¡xeA ■* xeCI. Solución. F x+y = 48 n(C)=100; n(AC)=20, n(AB)=30, n(L S En el diagrana de Venn Euler se tiene: n ( A O B n C ) = 10 + e = 10 Sólo fines educativos LibrosVirtual 116 Capitulo 2: Conjuntos n(AC) = n(At)C) - 20 * e+f = 20 * f=10 n(BC) = n(BBC) = 25 * e+d=25 * d=!5 n(AB) = n(AfíB) = 30 * b+e=30 b=20 nCA; = 120 * a+b+e+f = 120 * a=80 n(B) = ISO~ c+b+d+e=150 -> c=105 n(C) = 100- d +e+f+g=100 + n(U) = 360■»a+b+c+d+e+f+g+h=360 ■* h=55 g=65 Los elementos de L y S se determinan pi siguiente tabla de valores de verdad: L Estos se eligen de los elementos de U que corresponden a las filas con valor u x eA de verdad V. a b c d e f V V F F V V F F Entonces: L=lb,e,g,hl S=ic,d,e,f,g,h} Lu S = {b,c,d,e,f,g,h 1 nfLuSJ = b+c+d+e+f+g+h - 280 EJERCICIO 5. 9 h Sean tres conjuntos A,B y S +—+ xeB xeA F V F F V F V V F V V V V F F F V V F F V V F F xeB F F V V V V V V F F F V V V V F C quetienenrespectivamente n, 3n y n-1 elementos. A y B tienen n/2elementos comunes, A y C tienen n/4 y C y B tienen 2. Además se sabe que hay un único elemento co mún a los tres conjuntos. Determinar el minero de elementos que tiene el conjunto K={(Au B)-(AnB)]-C. Solución. Las zonas sombreadas representan al conjunto K. ♦ n(Au B u C ) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A OB) -n(A n C) -n (BnC)m(ABC) = n+3n+(n-l) - j - y -2+1 de donde: n(Au B v C ) = -2+(17l4)n a+l=n(ADB) * a =y - 1 (1) (2) n(K) = x+y = n(Aü B u C)-n(C)-a (3) Sustituyendo (1) y (2) en (3) obtenemos: EJERCICIO 6. n(K) = (ll/4)n El número de personas que toman la bebida A es 190 it it ti ti ti n ti n ti ti ti it Q gg 110 c es 150 £2 número de personas que sólo toma C es la mitad de los que sólo toman B y Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto 117 1/3 de las que sólo toman A. El número de personas que sólo toman B y C es la mitad de las que sólo toman A y B. Si el número de personas que toman las tres bebidas es 1/3 de las que sólo toman A y C. Cuántas personas toman una bebida solamente? Solución. Como datos tenemos: n(A)=190, n(B)=110, n(C)=150 Además: n(CAB) = jn/BÁC) = jn(ABC) n(BCÁ) = jn(ABC) y n(ABC) = yi (ACB) Si n(CÁB)=x , n(BCA)=y , n(ABC)=z La distribución en el diagrama de Venn se hizo en el siguiente orden: n(BAC)=2x Luego, , n(ABC)=3x , n(ABC)=2y , n(ACB)=3z si n(A)=190 * 3x+2y+4z = 190 (1) n(B)=110 ■+ 2x+3y+z = 110 (2) n(C)=150 - x+y+4z = 1 5 0 (3) Resolviendo el sistema (1), (2) y (3) obtenemos: x=10 , y=20 , z=30 Por lo tanto, el número de personas que toman una bebida solamentes es: N - x+2x+3x = 6x = 60 EJERCICIO 7. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A,B y C se obtienen los siguientes resultados. Todos leen alguna de las tres revistas; todos me nos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 leen so lo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las tres revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen A solamente. Solución. Sea x el número de personas que sólo leen la revista A. La distribución en el diagrama de Venn Euler es como sigue: n(A)=135-40=95 , n(ABC)=15 , n(BCA)=6 n(CÁB)=10. Sea y=n(ABC), pero como: n(AC)=2n(ABC) - n(ABC)=y , luego: n(BAC)=y*y=2y. Por tanto, en el digrama tenemos: n(A)=95 — x+y+y+15=95 — x+2y=80 n(AU B U C)=135 -» x+4y+15+6+10=135 — Del sistema obtenemos: x=56 x+4y=104 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 118 EJERCICIO 8. De una encuesta efectuada a 120 personas sobre el consumo de los productos A,B y C se obtuvo el siguiente resultado. El número de personas que consumen sólo A y C es la mitad de las que consu men sólo A. Ei número de personas que consumen sólo B es el doble de las de las personas que consumen sólo A y B más sólo B y C. El número de perso nas que consumen sólo C más los que consumen los tres productos es 30. Si se sabe que todas las personas por lo menos consumen un producto, hallar el número de personas que consumen dos productos. Solución. Sean x,y,z el número de personas que consonen dos productos. Luego, la distribución en el dia grama de Venn Euler es: n(ACB) = -yi(ABC) - n(ABC)~2x n(BAC) = 2[n(ABC)+n(BtA)] = 2(y+z) Además: n(CÁB)+n(ABC)=30 (dato) ■* n(AuBUC) = x+2x+y+z+2(y+z)+30 * 120 = 3x+3y+3z+30 x+y+z = 30, es el número de personas que consumen dos productos. EJERCICIO 9. De 55 alumnos que estudian en una Universidad se obtuvo la siguiente información: 32 alumnos estudian el curso A 22 " " 45 " " 10 " " " " B " " C los tres cursos Cuántos ahmnos estudian simul táneamente dos cursos? Solución. Sean x,y,z el número de alumnos que estudian dos cursos. La distribución en el diagrama de Venn Euler muestra que: n(A) =a+x+y+10 * a+x+y = 22 n(B) =b+y+z+10 -» b+y+z = 12 n(C) =c+x+z+10 * c+x+z = 35 Sumando estas tres ecuaciones se tiene: a+b+c+x+y+z+(x+y+z) = 69 (1) Pero a+b+c+x+y+z+10=55 Luego, en (1): 45+(x+y+z) = 69 x+y+z=24 Por lo tanto, 24 alumnos estudian simultáneamente dos cursos. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto EJERCICIO 10. 119 En una investigación efectuada a 370 personas se determinó que: 20 personas leen solamente la revista A. 10 personas leen solamente las revistas A y B 40 " " " " " B y C El número de personas que leen las revistas A,B y C es el doble de las que leen solamente la revista B, el cuadruplo de las que leen solamente la re vista C y es 8 veces mayor de las que leen solamente las revistas Ay C. Ha llar: ta C. a) El número de personas que leen solamente la revista B y la revis b) El número de personas que leen al menos dos revistas. Solución. Sea x el número de personas que leen solamente la revista C. La distribución en el diagrama de Venn se efectúa asi: n(ABC)=20 , n(ABC)=10 , n(BCA)=40 n(ACB)=x - n(ABC) = 8n(ACB) = 8x n(ABC) = 4n(CAB) -► 8x=4n(CAB) - n(CAB)=2x n(ABC) = 2n(BAC) - - n(BAC)=4x n(AU B U C)=20+10+40+x+2x+4x+8x-370 de donde: x=20 Luego: a) n(BAC) = 4x = 80 ; n(CÁB) = 2x = 40 b) n(ABC)+n(BCA)+n(ACB)+n(ABC) = 10+40+x+8x = 230 EJERCICIO 11. En una encuesta a 100 televidentes, sobre los programas de TV, se obtuvieron los siguientes resultados: 45 ven el pro grima A, 50 ven el programa B, 20 ven solamente los programas B y C , y 10 ven solamente el programa C. Además el número de encuestados que ven los 3 programas es igual a la mitad de los que sólo ven los programas A y B, y un tercio de los que sólo ven el programa B. También el número de televidentes que ven sólo los programas A y C es el doble de los que sólo ven el progra ma A. Determinar: a) El número de encuestados que ven sólo el programa B. b) " ,! Solución. " " " no ven ninguno de los tres programas. Datos: n(A)=45 , n(B)=50 , n(BCÁ.)=20 , n(CÁB)=10 Sea x el número de personas que ven los tres programas y " " " " . ” De modo que la distribución en el diagrama " sólo el programa A A/ de Venn se efectúa como sigue: n(ABC) -- jn(ABC) — n(ABC)=2x n(ABC) = (l/3)n(BAC) — n(BÁC)=3x Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 120 n(ACB)=2n(ÁBC) * n(ACB)=2y Si n(A)=45 * y+2y+x+2x = 45 ** n(B)=50 * x+2x+3x*20=50 x=5, en (1): y=10 x+y=I5 (1) a) n(BÁC) = 3x = 15 b) No ven ningún programa: z = n(ÁBC) = 100-(6x+3y+30) = 1 0 EJERCICIO 12. En una encuesta sobre preferencia de jugos de fruta de fre sa, papaya y naranja, se encontró que: £t número de personas que gustan de jugo surtido de fruta es: 1/4 de las que solamente jugo de fresa 1/2 " " " " " " papaya 1/5 « " " ” " » naranja 1/2 * * ” ” " " fresa y naranja 1/3 " " " " " " papaya y naranja igual al número de personas que gustan solamente de jugo de fresa y naranja 1/3 de las que no gustan de ninguno de los tres jugos señalados. Si se sabe que el número de encuestados fuá de 420, hallar: a) Cuántas personas gustan solamente jugo de una sola de las frutas mencio nadas . b) Cuántas personas gustan al menos jugo surtido de dos de las frutas men cionadas. Solución. Sean F,P y N el número de personas que gustan jugos de fruta de fresa, papaya y naranja, respectivamente. Si n(FPN)=x, la distribución en el diagrama de Venn Euler es: n(FPN) = (l/4)n(FPÑ) - n(FPÑ)=4x Análogamente: n(PTÑ)=2x , n(NFP)=5x, n(FPN)=2x u -- ^ / 4x n(PNF)=3x, n(FNP)=x, n(FFN)=3x // 2xsV OX Si n(FU P UN)=420 * 4x+2x+5x+x+2x-t-3x+xt-3x=420 de donde: x=20 5x a) n(FPÑ)+n(PFÑ)+n(NFP) = 4x+2x+5x = U x = 220 Y X \ J -''N 3x b) n(F[fi)+n(PNF) +n(FNP)+n(FPN) = 2x+3x+x+x = 7: = 140 EJERCICIO 13. De 320 personas cónsul tadas acerca de sus actividades, se obtuvo el siguiente resultado: 40 personas se desenvuelven como carpinteros solamente. El número de personas que realizan las tres ac tividades es el séxtuplo tanto de los que son solcmente albañiles y bodegue ros, como de los que son solamente carpinteros y bodegueros, y es el triple Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto 121 de los que se desenvuelven solamente como albañiles y carpinteros. El número de personas que son solamente bodegueros es igual al número de carpinteros. El número de albañiles solamente es la mitad de los que reali zan las tres actividades más 6 personas. 14 personas declaran no participar en ninguna de las actividades señaladas. Indicar: a) Cuántos son solamente bodegueros? ros? b) Cuántos son solamente albañiles? c) Cuántos son carpinte d) Cuántos no son ni albañiles ni carpinteros? Solución. Sean A,B y C el número de personas cónsultadas que son albañiles bodegueros y carpinteros, respect ivamente. Si x es el número de personas que realizan las tres actividades, la distribución en el diagrama de Venn Euler se realiza del modo s¡guíente: n(ABC)=x n(ABC)=n(BCA)=x/6, n(ACB)=x/3 n(CÁB)=6+x/2 n(BAC)=n(C)-40.+x+x/6+x/3 = 40 + -|x niAuflU C ) = 3 2 0 - 1 4 = 3 0 6 - a) n(BCÁ)=40+ jpc=130 ; 40+X+ - j + ■ § + ■ § • +6+40+ ~ x = 3 0 6 , b) n(ABC)=6+x/2=36 ; de donde: x = 6 0 c) n(C)=40+ ~x=130 d) No son ni albañiles ni carpinteros = n(BAC)+14 = 130+14 - 144 EJERCICIO 14. En una encuesta realizada a 290 estudiantes de una Univer sidad sobre las marcas de cigarrillos que gustan fumar, se obtuvo el siguiente resultado: 140 estudiantes gustan fumar Ducal, 90 gus tan fumar Premier y 115 gustan fumar Winston. El número de estudiantes que fuman las tres marcas de cigarrillos es 1/5 de los que fuman sólo Ducal y 1/3 de los que fuman sólo Premier. El número de estudiantes que sólo fuma Ducal y Premier es 1/4 de los que fiman sólo Winston. El número de estudian. tes que sólo fuma Premier y Winston es 1/2 de los que sólo fuman Ducal y Winston. Determinar: a) Cuántos estudiantes gustan fumar una sola marca de cigarrillos b) Cuántos prefieren fumar sólo Ducal y Winston y sólo Premier y Winston. c) Cuántos estudiantes no gustan fumar ninguna de las 3 marcas de cigarros. Solución. Sean n(D)=140, n(P)=90, n(V/)-115 n(DPW)=x, n(DPV/)=y, n(Pí/D)-z La distribución en el diagrama de Venn se hizo en el orden siguiente: n(DPW)=5x, n(PDW)=3x, n(WDP)=4y, n(UWP)=2z Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 122 Luego, si: n(D)=140 ■* 6x+y+2z=140 n(P)=90 -* n(W)=115 - 4x+y+z=90 x=l5 , y=10 , z=20 x+4y+3z=115. a) n (DPÜ) m(POV) +n(WP) = Sx+3x+4y = 160 b) n(MP)+n(Pí£>) = 2z+z = 60 c) n(D u Pu W) * (5x+y+2z)+(3x+z)+4y = 245 n(DFW) = 290-245 = 45 EJERCICIOS: Grupo 9 1. Sean A y B dos conjuntos tales que: n(AU B)=24, n(A-B)=10, n(B-A)=6, ha llar: 5n(A)-4n(B). 2. Para un conjunto X, el número de elementos de X denótanos por n(X). Si n(A)=4, n(B)=3 y n(AhB)=2, hallar la suma: n[P(A) u P(B) ]+n[P(Au B)]. 3. Dado el conjunto U y los subconjuntos A,B y C; se tiene como datos: n(U)=44, n(A)=21, n(B)=17, n(A0B)=14, n(BhC)=12, n(Ah B n C')=3, n(Ar) Bt) C)=S y n ( A u B U C ) '=6. Hal lar n(C). 4. Si n(A)=8 y n(B)=8; n(C)=5 y n(D)=5; en número máximo de elementos de A U C=K y el número máximo de elementos de B h D es h. Hallar: h.k 5. Si A,B y C son conjuntos finitos demostrar que: n[(AAB) U C] = n(A)+n(B)+n(C)-2n(A n B)- nfADCl- n(B n C)+2n(A n B n C) 6. Si A,B y C son conjuntos no disjuntos dos a dos, demostrar que: nl(AAB)¿C] = n(A)+n(B)+n(C)-2n(A n B)-2n(A n C)-2n(B n C)+3n(AnB n C) 7. Sean A,B y C tres conjuntos tales que: Ac c , BcC, n(C)=120, n(Au B)=90 n(A(\B)=30 y n(A)=n(B)+30. Determinar: a) n¡(C-B)nA] c) n[(C-A) u(AfíB)] b) n[ (A o B)-n(A (\B)] d) n[(Au B)-(A-B) ] 8. Un club consta de 78 personas. De ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y 23 voley. Además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican nin gún deporte. Si x es el total de personas que practican exactamente un deporte, "y" el total de personas que practican exactamente dos depor tes; hallar x-y. fl. Supóngase que Juan come huevos o tocino en el desayuno cada mañana du rante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y hue vos durante 18 mañanas, cuántas mañanas come solamente huevos? Sólo fines educativos LibrosVirtual 123 Ejercicios: Grupo 9 10. De 120 personas de cierta Universidad se octavo ia información: 72 alumnos estudian el curso A 64 " " " " B 36 " " " " C 12 " " los tres cursos Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos cursos? 11. Un club deportivo consta de 79 socios, de los cuales 52 practica fútbol, 36 basfet, 49 voley, 63 fútbol o basket. Si 15 practican sola mente fútbol y basket, y 16 solamente voley: a) Cuántos socios practican los tres deportes. b) Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes. 12. En una encuesta entre alumnos de una Universidad, se obtuvieron los si guientes resultados: El 55% delos encuestados aprobaron Química Básica El 30% " " " El 50% " " El 10% " ” " Matemát ica Básica " " Lengua " " los tres cursos El 40% de los que aprobaron Química no aprobaron ningún otro curso y el 20% de los que aprobaron Química también aprobaron MB1 pero no Lengua. El 14% de los encuestados no aprobó ninguno de los tres cursos. Sise sabe que 256 de los encuestados aprobaron UBI y Lengua, determinar: a) Cuántos aprobaron los tres cursos? b) Cuántos aprobaron UBI o Lengua pero no Química. - 13. En una encuesta real izada sobre un determinado número de profesionales se observa que: El 72% son matemát icos, el 52% físicos, el 37% químicost el 32% físico-matemáticos, el 12% físico-químicos, el 22% matemático-químicos y el 2% físico-matemótico-químicos. Hallar: a) El porcentaje de encuestados que siguen una carrera b) El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras. 14. El registro central de una Universidad proporcionó los siguientes datos' respecto a un grupo de 300 estudiantes del primer ciclo. 155 están ins critos en el curso A, 170 en el curso B y 110 en el cursoC.85estánins critos en A y B, 70 en B y C, 50 en A y C, y 35 en los trescursos. Determi nar el número de inscritos en: a) El curso A pero no en C. b) Ninguno de los tres cursos. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 2: Conjuntos 124 15. De 150 personas cónsultadas sobre el deporte que practican manifestaron lo siguiente: 82 juegan fútbol, 54 juegan basket, 50 sólo juegan fútboll 30 sólo juegan basket. Además, el número de personas que juegan sólo basket y tenis es la mitad de las que juegan sólo fútbol y tenis; el número de per sonas que juegan sólo fútbol y basket es el triple de las que juegan los 3 deportes; las personas que no practican ningún deporte son tantas como las que practican sólo tenis. Hallar: a) El nCmero de personas que practican sólo dos deportes. b) El número de personas que no practican ninguno de los tres deportes. 16. En una encuesta realizada en un Super Mercado a 400 amas de casa sobre sus preferencias de 3 productos A,B y C, se obtuvo el siguiente resulta do: El número de amas de casa que consume los tres productos es: 1/4 delos que consumen solanente el producto A 1/5 ”” « " " " B 1/3 ”” " « " " . C 1/2 " " " 1/3 "” " 1/3 "" " los productos A y B B y C ” " A y C Sí 40 amas de casa declararon no consumir ninguno de los 3 productos hallar a) Cuántas amas de casa consonen sólo un producto b) Cuántas amas de casa consumen al menos dos productos. 17. En una encuesta realizada en un Instituto de ¡diamas, se obtuvieron los siguientes resultados: El número de personas que estudian inglés es 60, alemán 48y francés 28. Elnúmero 1/3 de los queestudian sólo ingles de personas que estudian sólofrancés y 1/2 de es los queestudiansólo alemán. El minero de personas que estudian los tres idiomas es 1/2 de los que sólo estudian inglés y francés. El número de personas que sólo estudian alemán y francés es 1/3 de los que sólo estudian inglés y alemán. Hallar: a) Cuántas personas estudian un solo idioma. b) Cuántas personas estudian sólo dos idiomas. 18. En un edificio de departamentos, se sabe que: en el primer piso viven el 20% de las familias, de las que la mitad tiene refrigerador. En el segundo piso viven el 40% de las familias, de las que la mitad tiene refri gerador. En el tercer piso viven el 30% de las familias, de las que la ter cera parte tiene refrigerador. En el cuarto piso viven el 10% de las fami lias, ninguna de las cuales tiene refrigerador, a) Entre las familias con refrigerador, que porcentaje viven en el segundo piso? Sólo fines educativos LibrosVirtual 125 Q | INTRODUCCION Como concepto fundamental, la palabra relación significa una conexión o correspondencia de un determinado ente con otro. Asi por ejemplo, las expresiones "esposo de", "hermano de", designan rela ciones entre miembros de una familia (seres vivos); las expresiones "menor que", "mayor que" denotan relaciones entre números (seres abstractos). Ex presiones como estas y muchas más, llevan a entender que relación es un con junto de parejas que satisfacen una propiedad. Para fijar esta idea consideremos el siguiente ejemplo: Sean los conjuntos A=l2,4,6l y B={I,3,5) y sea la propiedad, para xoA e yeB expresada por el enunciado abierto p(x):x<y. Vamos a relacionar elementos de A conlos elementos de B de modo que satisfagan la propiedad p. Como 2sA y 3«fl y 2<3 ■*"2 está relacionadocon3 2eA y 5eB y 2<5 * "2 está relacionado con 5 por p" 4cA y 5eB y 4<5 -*• "4 está relacionado con 5 por p" En canbio: 6cA y 5cB y 6f5 * "6 no está relacionado con 5 por p" es decir, 6tp(x,y). Estas situaciones nos llevan a entender que cuando dos elementos se relacio nan por alguna propiedad, estos se distinguen en un orden establecido. PAR ORDENADO Intuitivamente, un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Si los elementos son a y b, el par ordenado se simboliza por: (a.b) = donde (a) determina que H a ) , la , b H a es el primer elemento, componente o coordenada Sólo fines educativos LibrosVirtual porp" Capitulo 3: Relaciones 126 del par y la,b} determina que b es el segundo elemento, componente o coorde nada del par. Teorema 3.1 Dos pares ordenados son iguales si y sólo si son iguales sus primeros y segundos elementos, respectivamente. Se SÍmboliza: (a,b) = (c,d) «-* a=c Demostración, a b=d i) Probaremos en primer lugar que: (a.b) = (c,d) a=c a b=d Para ello consideremos dos casos: = H ablan = UaH la} = l eí = lc,d( -*• a=c b) (a,b) = (c,d) ■* l l a} ,l a , b} } = H c } , ( c , d }) Si afb * la} f la,b} a le} f lc,d} a) Si a=b ■* (a,b) = H a b l a . a H Luego: Ha}} = He}, 1c,di} Además como laleflc},lc,d}} •* la} = 1c} Tanbién en (1): la,Melle}, lc,d}} a c=d (1) •* a=c la,bl = le,di Siendo a=c, se concluye que: b=d ii) Probaremos que: a=c * b=d En efecto, si a=c a * b=d * Por lotanto, Ejemplo. de i) y ii): (a,b) = (c,d) la} = lc> a la,b} = lc,d} 1 la}, l a , b } } = He}, lc,d}} (a,b) = (c,d) *-*• a=c (a.b) = (c,d) a b=d Determinar los valoras de x e y de modo que: (x1,9y-l) = (6y-x,x’) Solución. Según el Teorema 3.1: (xl,By-l) = (By-x,xi) ** Dividiendo (1) entre (2): í = 6y-x < [ 9y-l = x* * x(x+l)=6y (1) * (x+l)(xz-x+l)=9y (2) =y 2x*-3x+2=0 ** x,=2 o x t=l/2 y o yx=l/8 Luego, el conjunto soluciónpara x e y es: S={(2,1),(1/2,1/8)1 Comprobar que para cada uno de estos pares, se verifica la igualdad. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS___________ Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, en. ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a.b) tales Sólo fines educativos LibrosVirtual ni Sección 3.3: Producto Cartesiano de Conjuntos que asA y beB. Se denota por A*B y simbólicamente se representa: A x B = f(a,b .)eA x B |aeA a bcBl 6 Ejarpio 1. (a.b)eA*B ~ aeA a bcB Dados los conjuntos: A={1,2,4¡ y B={3,5>, hallar A*B y B*A em pleando un "diagrama de árbol" Solución. El método del "diagrama de árbol" nos permite visual izar el con junto de pares ordenados y consiste en disponer los elementos de los conjuntos A y B del modo siguiente: A B x A 1 2 4 (3,1) (3.2) (3,4) 1 2 4 (5,1) (5,2) (5,4) Luego: A x B = I(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,3),(4,5)) B x A = {(3,1),(3,2),(3,4),(5,1),(5,2),(5,4)) Ejemplo 2. Sean los conjuntos A={xeZ¡-l<x<l} y B={xsN¡0<x<3), hallar: a) Solución. (A x B ) h B l b) (A-B) x (A t)B) Por extensión: A={-1,0,1) y B=l1,2} - A » B = {(-1,1),(-1,2),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)) * B x B = B 1 = 1(1,1),(1,2),(2,1),(2.2)\ a) (A * B) f)B* = {(1,1), (1,2)1 b) A-Bx{-1,0) yAflB=(li -► (A-B) x (A n B) = {(-1,1), (0,1)} Observaciones: (1) A x b t B x A (Ejemplo I) (2) Si A y B son conjuntos finitos, el número de elementos de AxB es igual al número de elementos de A por el número de elementos de B, esdecir, n(A x B) = h(A) x n(B) (3) Cuando A=B, el producto AxA se denota por: A 1. U JJ PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO Para el producto cartesiano de conjuntos A,B y C, se cumplen las si_ guíenles propiedades: Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 3: Relaciones 128 PC.l: Si A 4 B - AxB ¥ BxA PC.2: Ax$ = = $ (No conmutatividad) PC.3: Ax(BDC) = (AxB) C\ (AxC) PC.4: A x (BU C) = (A x B) U (A x C) (Prop. Distributivas) PC. 5: A x (B-C) = (A x B) - (A x C) Demostración de PC.4 a) Demostraremos que: Ax(BUC) c (AxB) u (AxC) (1) En efecto, supongamos que: (a.b)elAt(BU C)} (2) * aeA A be(BuC) (3) aeA (4) (beB v beC) A * (acA (Def. U ) beB) v (aeA a beC) a (5) - l(a,b)e(AxB)) (6) * (a,b)e((AxB) U (AxC)] v (Hipótesis) (Def.Prod.Cart.) Ka.b)e(AxC)) (Dist. E.5a) (Def.Prod.Cart.) (Def. u ) (7) Por tanto, de 1 y 6: Ax(BU C) c(AxB)U (AxC) (Def. c ) b) Demostraremos ahora que: (AxB) U (AxC)ciAx(B UC) (1) En efecto, supongamos que: (a,b)e[(AxB) U (AxC)) (2) - (a.b)e(AxB) v (a,b)e(AxC) (3) * (aeA (4) •* (aeA) (5) - (aeA) a [be(BU C)) ( 6) * (a,b)clAx(BU C)) bcB) v (aeA a A (beB v beC) a beC) (Hipótesis) (Def. U ) (Def.Prod.Cart.) (Dist. E.Sa) (Def. u) (Def.Prod.Cart.) (7) Luego, de 1 y 6: (AxB) U (AxC)C Ax(B U C) (Def. C. ) Por io tanto, de a) y b), queda demostrado que: Ax(BUC) = (AxB) U (AxC) PC. 6: (A x B) x C 4 A x (B x C) PC. 7: Si A C B - (No asociatividad) (A x C)<=(B x C), VC (Monotonía) Demostración (1) En efecto, si A C B * -VxCxeA ♦ xeB] (2) Supongamos que: (x.y)e(AxC) (Hipótesis) (Hip. Auxiliar) (3) ♦ XeA a yeC (Def.Prod.Cart.) (4) -*■ XeB A yeC [Pasos 1,3 y Def.c ) (5) * (x,y)e(B x C) (Def.Prod.Cart.) (S) Luego: (x,y)e(AxC) ♦(x,y)e(BxC) (Pasos 2 y 5) (7) Por lo tanto: (A x C)c.(B x C) (Def.c ) PC.8: Si A C C y B C D ■* ( A * B ) C ( C x D ) PC.9: (A1x B')C(A x B) ' Demostración: Sólo fines educativos LibrosVirtual (Monotonía) Sección 3.3:Producto Cartesiano de Conjuntos_____________________________________ 129 (1) En efecto, supongamos que (a,b)e(A' <B') (2) * a 94' a (Hipótesis) (Def.Prod.Cart.) b*B' (Def. Comp.) (3) * afA v bfB (Morg. E.6b) (4) * ■ '• t a 9 4 a (5) * H(a,b)*(A x B) ] (6) - (a,b) P (A x B) (Negación) (7) * (a,b)e.(Ax B ) ’ (Def. Comp.) b e s ] (8) Luego, de 1 y 7: PC. 10: (A x C = B x C y (Def.Prod.Cart.) (A' xB>) <=■ (A xB)' Cf<t) -* (Def. c ) A=B PC. 11: (A x B) b(C x D) = (AqC) « (BhD) PC.12: (A x B) U (C x £>) c (Ai) C) « (BUD) BBQ DIAGONAL DE UN CONJUNTO Dado un conjunto A, la diagonal del producto AxA que se denota D(A) se define por: D(A) = {(a.b)e(A x A)|a=b> Por ejemplo, si A=la,b,el y B=il,2,3,4) entonces: D(A) = i(a,a),(b.b),(c.c) } D(B) = i(l,l),(2,2),(3,3),(4,4)\ REPRESENTACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO & E1E1E1 Cada uno de los conjuntos A y B del conjunto producto A*B, puede re presentarse linealmente sobre dos rectas perpendiculares, lo que nos permi te establecer un sistema de coordenadas en el plano. Los elementos del con junto A se representan sobre el eje horizontal (eje de abscisas) y los de B sobre el eje vertical (eje de ordenadas), de modo que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las horizontales que pasan por los ele mentos de B, al intersectarse, determinan los pares ordenados de AxB , que representan los puntos P del plano. En este caso se dice que el punto P tie ne como coordenadas x e y, o que xeA es la abscisa de P y que yeB es la or denada de P. Ejemplo. Sean los conjuntos A=l*eZ| J-S*<S y B= lxeW|0<xf21. Representar grá f ¡comente el producto AxB. Solución. Si A=11,2,3,4} y B=Ü,2}, entonces identificamos los elementos de A en el eje X, los de B en el eje Y del sistema de coordena- Sólo fines educativos LibrosVirtual 130 Capitulo 3: Relaciones das de un plano, el producto AxB representamos por puntos en dicho plano. Como se puede observar las líneas horizontales y verticales trazadas por los elementos de A y B determinan 8 puntos, esto es evidente ya que: n(A)=4 y n(B)=2, entonces n(AxB)=4x2=8 A X B = 1(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)) EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Dados los conjuntos A={2,3,51, B=ta:eZ|0Sjc$3h C= lxcZ\-l$ocí2} Establecer la validez de las siguientes afirmaciones: a) (AxB) u (BxA) tiene 24 pares ordenados b) (AOB)1 tiene 4 pares ordenados. c) A ln B ln C z tiene sólo un par ordenado. Solución. Si A=12,3,5), B={0,1,2,3) y C={-1,0,1,2), entonces: a) n(AxB)=3x4=12 y n(BxA)=4x3=12. Los conjuntos A y B tienen co mo elementos comunes a 2 y 3, luego, ¡os productos AxB y BxA tienen como elementos comunes a: (2,2),(3,3),(2,3),(3,2), entonces: nl(AxB) U (BxA)] b) A n B = (2,3i 4 n(AxB) + n(BxA) 4 24. La afirmaciónes falsa. -* n(AOB)* = 2x2 = 4. .'. Es verdadera c) A h B O C = {2) - (At\BhC)1 = 1(2,2)) EJERCICIO 2. Sean A,B y C a) ;. Es verdadera. tres conjuntos n(C-B')SO ; cualesquiera.Si b) n[Ax(BuC)]=60 ; secumple que: c) n(AxB)=2n(AxC) Hallar n(AxC). Solución, a) Si n(C-B')$0 -* n(C)in(B') . Entonces B y C son disjuntos. b) nlAx(B d C)]=60 - n((AxB) u (AxC)]=60 Como B y C son disjuntos c) Si n(AxB)=2n(AxC) •* n(AxB)+n(AxC) = 60 - En b): 3n(AxC)=60 - n(AxC)=20 Sólo fines educativos LibrosVirtual (PC.4) Sección 3.3: Producto cartesiano de Conjuntos EJERCICIO 3. 131 Sean U={1,2,3,4\ el conjunto universo, A=ll,3l, B={2,4\; ha llar el número de elementos de ^ xy(Ax y¿B) Solución. Si B={2,4i B'=il ,3(=A ■* n(A*B')=n(A* )=2*2=4 y n(U*U)=4x4=16 Luego: n [ ^ y xy(A*B’) ] - 16-4 = 12 EJERCICIO 4. Sean A,B,C y D conjuntos cualesquiera. Establecer la vali dez de las siguientes afirmaciones: a) (AxB) c: (CxD) - [B fl (CU A) M A U ÍBfl D) ] = (B flC)x(AU B) o) A ’XB' = (AxB) ' ; Solución. c) A C B C C - [fB-DJxC] fl(AxC) = AxC Si A c C y B c D - (AxB) c (CxD) A c C — CU A=C y (PC.8) B C D •* BnD=B Entonces: [B n (C U A) ]x[A u (B n D) ]=(B O C)*(A U B) b) Sea xe(A' B') ■» x?A Si xe(AxB)' a .’. Es verdadera x?B (xÂ a xeB) ' -*■ IÍA v x?B . Entonces: (A'xB')f(AxB)' La afirmación es falsa. c) Si B c C ■* B-C=4> y según a): B C D ■* B-D=4> Entonces: [(B-D)xC] n (AxC) = (*xC) n (AxC) = « (PC.2) La afirmación es falsa. EJERCICIO 5. Dados los conjuntos A,B,C y D tal que A c C y B c D demostrar por definición (usando elementos) que: (AxB)c(CxD). Demostración. En efecto: (1) Sea (x,y)e(AxB) (2) Entonces: xeA (Hipótesis) xeB a (Def.Prod.Cart.) (3) Por condición dada: A c C a ¡}c D ■* xeC a yeD (4) Entonces: (x,y)e(CxD) (Def.Prod.Cart.) (5) Por lo tanto, de 1 y 4: (AxB) EJERCICIO 6. (Def.c ) (CxD) (Def.c) Dada la propiedad PC.12 para conjuntos cualesquiera A,B,C y D: (AxB) U (CxD) C (A U C)x (B U D) a) Ilustrarla gráficamente, considerando intervalos de modo que: AnC ^ ♦ y BnD 4 $ b) Demostrar la propiedad dada. Solución, b) Empezaremos por demostrar la propiedad dada. (1) En efecto, sea (x.y)e(AxB) U (CxD) (2) ■* (x.y)e(AxB) v (x.y)z(CxD) (3) -*• (xeA a ycB) v (xeC a yeD) Sólo fines educativos LibrosVirtual (Hipótesis) (Def. u ) (Def.Prod.Cart.) Capitulo 3: Relaciones 132 (4) * (xcA y xtC) a (xcA v ycD) (5) * fxeA v xeC) a CyeB v ycD) (6) * xc(AUC) a a (ytB v xeC) a) (Dist. E.5a) (Abs. A.l) ye(BÚD) (Def.U) (7)- (x,y)c(AUC)*(BUD) (8) (yeB v ycD) a (Def.Prod.Cart.) Por lo tanto, de 1 y 7:(A*B) U (C*D) <= (Au C)*(Bu D) En un sistema coordenado,tracemos los onrtc irie>r*nnrin n A R C. \¡ (Def.cz) intervalos(conjunto D e O. de puntos) yk BU D <- AU C (ABC) * (BUD) EJERCICIOS: Grupo 10 1. Determinar los valores de x e y, de modo que se cumpla la igualdad en ca da caso. a) (x-7y,2x-6y) = (15,-10) c) (5x+2y,-4) = (-l,2x-y) b) (3x-8y,4x+3y)=(4-2x-10y,2x+4y+7) d) (x*-19,x1y-6) = (y1 ,xy*) 2. Si A={&N\x= j¡(2k-l),kcN) ; B=lx£N|xI+líl2l; hallar (A f|B)x (B-A). 3. Dados los conjuntos A=íoc£N|x= ^(3k+l), keN}, B={xcN\x1-14x+40=0), C={xeN¡ x*-l=0}. Hallar el número de elementos de P=[(Aí) B) U Cjx(B-C). 4. Sean A,B,C y D conjuntos cualesquiera. De las siguientes afirmaciones cuáles son verdaderas? a) (AxB)C (CxD) -<■ (Bn(CUA)Jx[Au(BnD)] = (BC\C)x(AUB) b) A-B n C -► AxA = (BxB) 0 (CxC) cj A c B c C [(B-D)xCJ n (AxC) = AxC 5 .De las proposiciones siguientes, cuáles son verdaderas? a) Si A C B y (B x C)c(A x C) b) ~VA,B conjuntos -+ B=A no vacíos: n[(AUB) x C] = n(A * C) Sólo fines educativos LibrosVirtual +n(B x C) Ejercicios: Grupo 10 133 c) (A & B)xC c (A UBjxC, YA,B,C d) sA f B f F f G, (A U B)x( 6. 7. G) = (AxF) U (BxG) Sean E={1,2,3), A=\l,2}, F= xE<AxB), G = £ ¡A x ^ ¡b . Hallar FfíG. Sean A c X y Bey. De las si entes afirmaciones, cuáles son verdaderas. a) -¿Xxy(A*B) = b) (XxY) - (A*B) = [(X-A)x1 [Xx(Y-B)] c) 4,(XxY) c M A x B ) 8. Para conjuntos A,B y C cont dos en U, cuáles de las siguientes afirma dones son verdaderas? a) Ax(B-C)=(AxB)-(AxC) b) A«(Bu C)=(AxB) u (AxC) 9. c) ( c ^ UxU<A*B) Sean A,B,C y D conjuntos cualesquiera. Cuáles de las siguientes afirma ciones son verdaderas? a) A 0 C=* a BflD=* b) ArtB=* cj AnB=<f C<=B a * * (BxC) c (D'xA’j [(A-B)xCjn (Ax(CUB)J = AxC ■* (AxB) n (BXA) = ♦ 10. Usando elementos demostrar que: P[Ax(B flC) ] = P(AxB) flP(AxC) 11. Si n(A)=3, n(B)=8, n(C)=9 y n(B ñC)=2, hallar n[P(AxB) D P(AxC)]. 12. Sean A,B,C conjuntos no vacíos. Usando elementos demostrar que: AcB'ACcB - [(A-B)xCJ h [Ax(CuB)] = AxC 13. Sean X,Y conjuntos no vacíos. Si A¡ y B, son subconjuntos de X y A, y B, son subconjuntos de Y, demostrar por definición que: A ¡xB¡-A,xBz=(A,-A1)x(Bl-B1) U (A i 0 AzjxfBz-Bt) U (A¡-Az)x(B¡-Bz) ■ 14. Si se ctmple que: A h C ’=4 a D n B ’=t, demostrar por elementos que: fAx(B-D) J U (AxD) U [(C-A)xDj C CxB 15. Usando propiedades sobre conjuntos demostrar que: u ( A x £ ^ ) U [(SyAjxBj = (ExE-ExB) 16. Use el ejercicio 15 y la identidad siguiente (ExB-AxB) s o b re (X-Y) U (Y-Z)=X-[(Z-X) u (Z n Y) j, para probar que: (4¿A x ¿¿3) u f A x ^ l u HéyAjxBl = ^ xf.(AxB) * Sólo fines educativos LibrosVirtual conjuntos: Capítulo 3: Relaciones 134 !Q RELACIONES BINARIAS Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B, a todo subconjunto Rdel producto cartesiano AxB, esto es, una relación binaria R consiste en lo siguiente: a) Un conjunto A (conjunto de partida) b) Un conjunto B (conjunto de llegada) c) Un enunciado abierto p(x,y) * tal que p(a,b) es verdadero o falso para todo par ordenado. Formalmente: R = {(x,y)eAxB\p(x,y)) C AxB R:A * B ” S C AxB Si (a,b)eAxB, tal que (a,b)cR, la proposición p(a,b) es verdadera y se es cribe aRb, se lee: a está relacionado con b. Si para p(a,b) es falso, se es cribe aRb y se lee: a no está relacionado con b. Ejemplos: (1) Sean A={1,2,3} y 8=12,4,5,6) dos conjuntos, entonces las siguientes son relaciones entre A y B, por ser subconjuntos de AxB: R i = {(1,4),(2,5), (2,6 ) } c (AxB); Rz = {(2,2),(3,4)} cz (AxB) R, = UJC,y;eA»B|2jc+yS6) = {(1,2), (1,4), (2,2)} <z AxB R, = Ux,y>eAxB|x+y=7) = {(1,6), (2,5), (3,4)} C AxB Sus respectivos diagramas son: A Ri B A Sólo fines educativos LibrosVirtual R2 B 135 Sección 3.4:Relaciones Binarias (2) Si L es el conjunto de todas las rectas del plano, el paratelismo y la perpendicularidad de rectas son relaciones definidas en L. Ri = l(L,,Lt)eL.*L\Li \|L»), es la relación de paralelismo entre rectas. Ri = es la relación de perpendicularidad entre rectas. DO M IN IO PE UNA RELACION__________________________ y Se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota Dom(R) y se simboliza: R:A B, entonces: Dom(R) = lxtA¡3ycB, (x,y)cRl xcDom(R) *-+ 3ye8 |(x,y)eR esto es: RANGO PE UNA RELACION____________________________ y Se llama rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las segundas conponentes de los pares ordenados de ¡a relación. Se denota Ran(R) y se simboliza: R:A * B, entonces: Ran(R) = fycS|sx«A, (x,y)sR) esto es: ytRan(R) 3x*A|(x,y)cR En un diagrama de Venn Euler, el dominio y rango de una relación se repre senta del modo siguiente: Ejenplo 1. Si A= 11,2,5,6} y 8=13,5,7,9), hallar el dominio y rango de las relaciones R l={(x,y)cA*B¡x%y) y R 1=}(x,y)eAxB¡x+y-8}. Solución. Para definir R x y R, por extensión confeccionamos tas siguientes tablas para obtener los pares ordenados que satisfagan los enun ciados dados. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Relaciones 136 Ri r 2 x x >, y x x+y=8 3 5 6 3 3,5 3, 5 1 3 5 7 5 3 f Dom(Ri)={3,5,61 y Ran(R,.) = {3,5) ^Dom(R 2.)=(I, 3,51 y Ran(R2)-i3,5, 71 R, = l(3,3),(5,3),(5,5),(6,3),(6,5)\ c A*B Rt = i(l,7),(3,5),(5,3)) c: A*B Ejemplo 2. En el conjunto de los números naturales se definen las relacio nes R ¡= l(x,y)eNxN\3x-2y=6l y R 2=l(x,y)£N*N\2x+yi8). Hallar el dominio y rango de cada relación. Solución. Para R¡: (x,y)eR¡ -1-* 3x-2y=6 3 •*-*• y = yx-3, con x.ytN Si yeN -*■ x es un número par: x>2, o sea, x=4,6,8, ... Para hallar el rango, despejamos x en términos de y, esto es: 2 (x.yjcRt x =-^y+2. Si xeN * y es múltiplo de 3 (yi-3), o sea: y=3,6,9... .'. Dom(R¡ )={4,6,8,...}, Para R 2: (x,y)eR2 ~ Ran(Rl)=l3,6,9,...1 2x+yi8 **■ yi8-2x , con x.yeN Dado que yeN -*■ x<4, esto es: x=1,2,3 Del mismo modo: xi4-(l/2)y , si xcN * y<8, o sea: y=l,2,3,4,5,6,7 Dom(Rt)={l,2,31 y Ran(R2.)= ll,2, 3,4, 5,6,7) E E H PROPIEDADES DEL DOMINIO y RANGO DE UNA RELACION # Sean Ri y R 2 dos relaciones entre A y B, entonces se cumplen las si guien tes propiedades: D.l: Dom(R,uR2) = Dom(R2) U Dom(R2) D.2: DomfRi 0 Ri) C Dom(Ri) 0 Dom(R2) D.3: Dom(Ri-Rz) => DomlRzj-DomíRz) R.l: Ran(Rií)Rí) = Ran(R¡) U Ran(Ri) R .2: Ran(R¡r)R2) c Ran(RJ D Ran(R2) R.3: Ran(Ri-Ri) => Ron(R,)-Ran(R2) Ejemplo. Si Ri.A + B y R 2 :A— B, demostrar la propiedad D.2. Demostración. En efecto: (1)Supongamos que: xeDom(R, 0 R 2) (2) (Hipótesis) - ayeBlfx.ylefR^Rzl (3) -► ( 3 y c f l | (4) ■*xeDom(Rl) a xtDom(RI) (x.yjtRz) a (3 y e fl| (Def.Dom(R)) (x,y)tR2) Sólo fines educativos LibrosVirtual (Def. fí) (Def.Dom(R)) Sección 3.5: Relación Inversa o Reciproca (5) ->• 137 XtlDomfRi) A Dom(R 2; j (Def.ri) (6) Luego, de 1 y 5 : s e deduce que: Dom(R ¡n R¡) c Dom(R¡) n Dom(Rz) f f l RELACION INVERSA O RECIPROCA_______________________ §¡| Dada una relación directa de A en B: ñ = l ( ' x , y l E A x B ¡ p ( ' x , y l }, s e denomi na relación inversa o recíproca de R, al conjunto definido por: R* = R-' = U y , x l E B x A | f x , y > e f i l esto es: (y,x)eR~‘ — > (x,y)eR Nótese que: Dom(R*) = Ran(R) Ran(R*) = Dom(R) y Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2,3,4), B={a,b,c1 y la relación de A en B: R={(l,a),(l,c),(2,b),(3,a),(3,b)}cAxB, entonces la relación inver sa de R es: R*={(a, 1), (c,1),(b,2),(a,3),(b,3))c BxA en donde: (a,l)eR* pues, (J.ajeR; (b,2)eR* - (2,b)eR, etc. Además: Dom(R*) = Ran(R) = ia,b,c}c B Ran(R*) = Dom(R) = {l,2,3)cA PROPIEDADES DE LA RELACION INVERSA______________ ^ Sean R e AxB y SaAxB dos relaciones, entonces se cumple: RI.l: (RU S)* = R *U S* Rl.2: (RnS)*=R*nS* RI.3: (R-S)* = R*-S* Ejemplo. Sean las relaciones: R C A x B y Se.AxB, demostrar la propiedad Rl.2 Demostración, a) Demostraremos que: ( R ( \ S J ‘ c (R *DS*.) En efecto: (1) Sea (x,y)e(Rn S)* (2) - (y.x)e(RDS) (3) * (y,x)tR A (y,x)eS (4) » (x,y)cR* a (x,y)eS* (5) - (x,y)e(R*DS*) (6) Entonces de 1 y 5: (RnS)* c (R*ñS*) (Hipótesis) (Def.Rel.Inv.) (Def. (] ) (Def.Rel.Inv.) (Def.í)) (Def.c) b) Demostraremos que: (R*n S*) e. ( R í l S ) * En efecto: (1) Sea (y,x)e(R*n S*) Sólo fines educativos LibrosVirtual (Hipótesis) 138 Capitulo 3: Relaciones (2) - (y,x)cR* (x,y)cR a (y.x)cS* 13) - (4) - (x,y)e(RDS) 15) - (y.x)c(RnS)* a (Def. (1 ) (x.y)cS (Def.Rel.lnv.) (Def.n) (Def.Rel.Inv.) 16) Luego, de 1 y 5: (R*DSa)<= IR n S)* (Def. a ) Por lo tanto, de a) y b) y la igualdad de conjuntos: IR 0 S)* = R*OS' ^ 3 COM POSICION PE RELACIONES Dadas las relaciones RC AxB y SC-B*C, se denomina la relación compues ta de R y S, que se simboliza "SoR", a la relación: SoR = (íx,z)eAxC¡3yeB, (x,y)cR a (y.z)cS esto es. (x,z)e(SoR) *-*• ayeB| íx,y)eR a (y,z)eS En un diagrama de Venn Euler, esta definición se ilustra como sigue: En el diagrama se oberva claramente que si: Dom(S) fl Ran(R) t ♦ Ejemplo 1. - (SoR) t 4 Dados los conjuntos A=ll ,2,4,6}, B={3,4,5,8}, C={1,2,6,7} y las relaciones R={ (1,3), (2,5), (6,4)} de A en B, S={(3,2),(5,1), (8,6), 13,7)} de B en C. Hallar SoR y RoS. Solución. SoR se determina intersectando las segundas componentes de los pares de R con las primeras componentes de los pares de S: (1.3)cR (3,2)cS - (1,2)c(SoR) (1.3)cR a !3,7)cS » (1, 7)c(SoR) (2,5)eR (2,l)z(SoR) a a 15,i)cS - • .'. SoR = {(1,2),(1,7),(2,l)i Para hallar RoS, intersectamos las segundas componentes de los pares de S Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.7: Relaciones Definidas en un Conjunto 139 con las primeras componentes de los pares de R: (3,2)eS a (2,5)eR ■* (3,5)e(RoS) (5,1)*S a (l,3)cR (5,3)e(RoS) (8,6)oS a (6,4)eR - (8,4)c(RoS) RoS = {(3,5),(5,3),(8,4)) Nótese que: RoS i SoR Ejatplo 2. Si R=l(2,l),(3,4),(5,6),(6,2)}, S={(1,4),(5,1),(6,5),(2,3)}. Ha llar A=(R*oS*)-(S*oR*) Solución. Las inversas de R y S son: R*=l(l,2),(4,3),(6,5),(2,6)}; S*=í(4,1),(1,5),(5.6),(3,2)) Determinación de R*oS*: (4,l)cS* A (l,2)cR* * (4,2)c(R*oS*) (5,6)SS* A (6,5)eR* - (5,5)c(R*oS*) (3,2)cS* a (2,6)eR* Determinación de S*oR*; (4,3)*R* a - (3,6)c(R*oS*) (4,2)e(S*oR*) ( 3,2)zS* - (6,5)zR* a (S,6)oS* - (6,6)e(S*oR*) Luego: A = i(4,2),(5,5),(3,6)}-((4,2),(6,6)¡ = {(5,5),(3,6)\ PROPIEDADES La composición de relaciones admite las siguientes propiedades: CR.l RoS f SoR ai. 2 (RoS)oT = Ro(SoT) (No conmutatividad) ai. 3 (RoS)* = S*oR* (Asociatividad) RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO____________ ^ Sea la relación RcA»B, tal que A=B. En este caso la relación está de finida en A, y se identifica como un subconjunto de A 2=AxA, esto es: R es una relación definida en A +— Re A2 Dado que todo subconjunto de A 2 es un elemento de las partes de A 2, podemos decir también: R es una relación definida en A <-» RoP(Al) Es evidente que el conjunto vacío * y el mismo A 2 son relaciones definidas en todo el conjunto A, ya que son subconjuntos de A 2. Si A tiene n elementos, entonces A 2 tiene n 2 elementos y el conjunto poten2 2 cía de A 2 tiene Z 1 elementos, es decir, existen í 1 subconjuntos de A2, o Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Relaciones 140 lo que es lo mismo, relaciones en A. Ejerció. Formar todas las relaciones que es posible definir en el conjunto A=ia,b}. Solución. El producto cartesiano A*=AxA, es: A =((a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} Como n(Az)=4, existen 2* relaciones en A, y son las siguientes: Ri=*, R z=Ua,a,)}, R s= {fa,b>), R»={fi>,a;l, R 5= Ub,b,)l, R*={ (a,a),(a,b) (, R 7=lfa,a;,(b,a)), R,-{(a,a),(b,b)1, R,=l(a,b),(b,a)), R¡,=l(a,b),(b,b)1 Rii = )ib,a),(b,b)}, R IZ={(a,a),(a,b),(b,a)}, R lí={(a,a),(a,b),(b,b)}, R l<={(a,a),(b,a),(b,b)), R ¡s={(a,b),(b,a),(b,b)), R,,= A 1. CLASES DE RELACIONES RELACION REFLEXIVA Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se dice que R es reflexiva si, para todo xeA, (x,x)eR; es decir, si todo ele mento de A está relacionado consigo mismo mediante la relación R. Formalmente: R.-A ♦ A, es reflexiva VxoA *■ (x.x)cR Como toda relación reflexiva R en A contiene al conjunto diagonal-, es decir D(A) es un subconjunto de R, entonces: R:A ♦ A, es reflexiva *+■ D(A) c R Ejemplos: (1) Dado el conjunto A={2,3,4} y las relaciones en A: R¡={(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}; R z={(2,2),(2,4),(3,3),(4,3)) Establecer si son o no reflexivas. En R i se observa que -VxeA *■ (x,x)eR , 2eA * (2,2)tR , 3eA * (3,3)cR , 4eA esto es: (4,4)eR ; es decir, D(A)CR . Por lo tanto, R, es reflexiva. En Ri se observa que 4cA, sin embargo (4,4)fRz,luego, R¡ no esreflexiva. (2) La relación de inclusión es reflexiva, toda vez que: AcA, VA. (3) En geometría, la congruencia de figuras permite tener un ejemplo de re lación reflexiva en el sentido de que "toda figura es congruente a si Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.8: Clases de Relaciones 141 misma" (4) La relación de paralelismo entre dos rectas en el plano es una rela ción reflexiva en el sentido de que "toda figura es congruente a si misma". La relación de perpendicularidad entre dos rectas en el plano no es una relación reflexiva, ya que "una recta no puede ser perpendicular a si misma". (5) La relación "xí-y" en los números naturales es una relación reflexiva, pues como x$x, Vx¿N ■* (x,x)sR. 3.8.2 RELACION SIM ETRICA __________________________________^ Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se dice que R es simétrica, si y sólo si, (x,y)eR implica que (y,x)eR. Formalmente: R:A ■* A es simétrica ++■ (x.y)eR (y,x)zR,¥(x,y)£R Ejemplos; (1) Dado el conjunto A=ll,2,3,4,5l y las relaciones en A: R t={(l,l),(l,2),(2,l),(3,4),(4,3)), Rz=i(1,2),(2,1),(3,3),(4,5),(5,5)}, Rj={fx.y)|x+y=6 l. Establecer si son o no simétricas. En R¡ vemos que: (l,2)eRl y (2,J)eRlt también (3,4)eR¡ (4,3)eR¡. Entonces, R¡ es simétrica. En R¡: (4,5)eR , pero (5,4)fR , entonces, Rz no es simétrica. R i es simétrica, pues: (x,y)cR, * x+y=6, (y,x)cR¡ * y+x=6, ya que por la cormutatividad de la adición: x+y=y+x. (2) La congruencia de triángulos es una relación simétrica pues si un trian guio X es congruente con un triángulo Y, entonces Y es congruente con X (3) La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relación simétrica porque si L,± L t ■* Lz±L¡. (4) La relación definida por "x es hermano de y" es simétrica, porque si x es hermano de y, entonces, y es hermano de x. 3.8.3 RELACION TR A N SITIVA Q Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se dice que R es transitiva, si y sólo si, "(x,y)eR y (y,z)zR, implica que Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Relaciones 142 (x,z)zR". Formalmente: R:A * A es transitiva [Íje,y)eR a (y.z)sR] * (x,z)cR Si comparamos esta definición con la definición 3.6, se puede afirmar tam bién que: R:A * A es transitiva *■* (RoR) c. R Ejemplos: (1) Dado el conjunto A=ll,2,3,4) y las relaciones: R ¡={(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(4,1),(4,2),(4,3)) Ri=l(l,l),(2,l),(2,2),(3,3),(l,2),(l,3)l, R>=i(l,1),(2,2),(3,4)) Establecer si son o no transitivas. En R, se tiene: (l,l)eRi a t________ t (l^jcRi (1.2)cRí A (2,2)eR¡ - (l^jeR, (3.1)eRl a (l,l)eR, - f3,i;eR, (4.3)cR ¡ a (3, 1)cR¡ -* (4,l)cRt (4.2)cR¡ a (2,2)eRl - (4,2)eRl Entonces R¡ es transí tiva. En R¡: (2,l)zRz a (1,3)sft2, pero (2,3)fRz; luego, Rz no es transí tiva. En R, apliquemos la segunda definición de 3.8.3. Vemos que: R,oR,=$ y como Kfi¡ ■» (R3oR 3) c:Rj, luego R t es transitiva. (2) La inclusión de conjuntos es una relación transí tiva, pues si: A c B * Bc=C ■* A c C. (3) La implicación en Lógica es también una relación transítiva (Principio del silogismo hipotético): (p q ) A (q r ) * ( p * r) (4) La relación "x<y'' es también transí tiva. En efecto, si: a<b 3 .8 .4 a b<c -*• a<c RELACION DE EQ UIVALENCIA_________________________ ^ Toda relación R definida en un conjunto A es una relación de equivg lencia, si y sólo si, se verifica: a) (x,x)eR, VxcA, es decir, R es reflexiva. b) Si (x,y)tR a (y,x)cR, es decir, R es simétrica. c) Si (x,y)eR a (y,z)tR ■* (x,z)cR, es decir, R es transitiva. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.8: Clases d e Relaciones 143 Ejemplos: (1) Para el conjunto A= {1,3,5 }, definimos la relación: R = 1(1,1), (3, 3) ,(5, 5), (1, 3),(3,1)1, verificar si es de equivalencia. En efecto, en R observamos que; a) Tiene entre sus elementos a todos los pares de la forma (x,x), donde .xsA Es decir, R es reflexiva. b) Tiene como elementos dos pares de la forma (x,y), (y,x), donde JCeA, yeA. Es decir, R es simétrica. c) R también es transítiva, puest que: (1,1 )cR A (l,3)eR - (3,3)cR a (3,l)cR - (3,1)cR, es V ( 1,3)cR, es V Por lo tanto, R es una relación de equivalencia. (2) La relación de "igualdad": R=( (x,y) |x=>>1 , es una relación de equivalen cía, pues se verifica siempre: a) (3) a=a b) a=b ■* b=a c) a=b a b-c -* a = c Son también relaciones de equivalencia: a) El paralel ismo de rectas b) La igualdad de conjuntos. (4) La relación R=[(x,y)cZ*Z\x-y=2k,kcZ] es una relación de equivalencia. En efecto: a) Reflexividad: Si x=y -* x-x=0 * x-x=2(0), OcZ Luego, (x.x)cR -* R es reflexiva b) Simetría: Se tiene: x-y=2k , multiplicando por -1, y-x=-2k ■* y-x=2(~k), -keZ. Luego, (y.x)cR * R es simétrica c) Transitividad: Si (x,y)eR (y,z)cR, entonces: 3ktcZ¡x-y=2k¡ y 3k2cZ\y-z=2k2 Es decir, si x-y=2 , k,cZ a y-z=2kz, kzcZ, entonces, x-z=2(k1+k2)=2k,, k3cZ. Luego: (x-z)cR sur,?ando se tiene: -* R es transitiva. Por lo tanto, R es una relación de equivalencia. RELACION A N TIS IM E TR IC A Una relación R, definida en un conjunto A, se dice que es antisimé trica, si y sólo si, (x,y)€R a (y,x)¿R R:A * A es ant is ¡métrica x=y. Formalmente: t (x,y)£R Sólo fines educativos LibrosVirtual a ( y , jc J e R ] * x=y Capítulo 3: Relaciones 144 o también: R:A ■* A es antisimétrica <-» (RflR*,) c D(A) Ejemplos: (1) La relación de inclusión de conjuntos es una relación antisimétrica, ya que si: A c B A B c A * A=B (2) Dado el conjunto A={a,b,cl y las relaciones en A R={(a,a),(a,b),(b,c),(b,b)} ; S={(a,b),(c,c),(a,c),(b.a)} Determinar si son o no antisimétricas. En R aplicamos la segunda definición: R*={(a,a),(b,a),(c,b),(b,b)) Entonces: RflR* = {(a, a),(b,b) [ c D(A) . Luego, R es ant is ¡métrica. En S: (a,b)eS y (b,a)eS, pero a¿b; luego, S no es antisimétrica. (3) La relación "x&y" es antisimétrica, pues si: a<b a bi-a ■* a=b (4) La relación "x divide a y" es antisimétrica, pues si c divide a d y d divide a c ■* c=d. RELACION DE ORDEN Dado un conjunto A, para el cual se define una relación R en A, se dice que R es una relación de orden, si y sólo si, se verifican las siguien tes propiedades: a) (x,x)cR, VxeA, R es reflexiva. b) Si (x,y)cR a (y.x)cR * x=y ; R es ant¡simétrica c) Si (x,y)cR a (y,z)eR ■» (x,z)tR, R es transitiva. Observaciones: (1) La relación R toma el nombre de relación de orden uorden parcial. (2) Al conjunto A, en el cual se ha definido una relaciónde orden R, se de nomina conjunto ordenado o parcialmente ordenado por la relación R. (3) Para designar las relaciones de orden se usan especialmente los signos: %,«?,>»<, etc. (4) En general, dar un conjunto A provisto de una relación cualquiera R, significa considerar un nuevo conjunto 1A,R} cuyos elementos son el con junto A y la relación R (Conjunto ordenado). Sólo fines educativos LibrosVirtual 145 Ejercicios Ilustrativos EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Sea U-il,2,3,...,91. Si R = I(x,y)\2 x - y = 5 1 <= M * N y si m es la suma de todos los elementos del dom i nio de R y n es la suma de los elementos del rango, hallar m.n Solución. Defínanos R por extensión: Si x=I - y=2-5=-3M - x=2 - y=4-5=-HU * x=3 * y=6-5=lcM - (i, -3)4R (2,-l)4R (3,l)eR Verificar que para x=4,S,6,7 se obtiene:y=3,5,7,9, respectivamente. Luego: R=l (3,1), (4,3), (5,5), (6,7), <7,9)1. Entonces: m=25 y n=25 EJERCICIO 2. m.n=625 Sea A=ix*zt|x?9} y definimos: R=l (x.yjeA1 |y=x2 l, 5=1 (x,y)cA2 |y=2x), T=1(x,yleA*|x<4 Ay>7), hallar: n(R)+n(S)+n(T). Solución. Si A=txeZÍ|xS9> » A=10,l,2,...,9> Si y=xl + R={(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)} * n(R)=4 y=2x - S=[(0,0),<1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\ * n(S)=5 Para (x<4)/\ (y>7), se tiene: T=l(0,8),(1,8),(2,8),(3,8),(0,9),(1,9),(2,9),(3,9)} - n(T)=8 .‘. n(R)+n(S)+n(T) = 17 EJERCICIO 3. En el conjunto A=ll ,2,3,4,51 se define una relación R por: (x,y)cR —+ x*-2íy. Si m es la suma de los elementos del do minio de R y n es la suma de los elementos del rango de R, hallar m+n. Solución. Identifiquemos R por extensión, sabiendo que: yix‘-2 Si x=lcA - yi-1 + (l,l),(l,2),(l,3),(l,4),(l,S)eR x=2eA - y}2 - (2,2),(2,3),(2,4),(2,5)eR x=3eA ♦ y>7 ■* 4(x,y)tR\y}x*-2 Luego: Dom(R)={l,2) y Ran(R)={l,2,3,4,5} EJERCICIO •* m+n=3+15=18 4. Si A=il,2,3,4l, B=il,3,S), sea: RC.MB, donde (x,y)eR+*x<y Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) Dom(R)0 Dom(R*)=4 c) La relación T definida por: (x,y)eT ** 3seA¡(x,s)cR*A (s,y)cR, es simé b) R n H * tiene 12 elementos trica. Solución. R=1íx,y>eAxfl|x<y}=1(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5)) Sólo fines educativos LibrosVirtual 146 Capitulo 3: Relaciones R* = {(3,1),(5,1),(3,2).(5,2),(5,3),(5,4)1 a) Dom(R)=A y Dom(R*)=l3,51 - Dom(R) flDcm(R»)={3, S>?í* Es falsa b) n(R)=6 y n(R*)=6, como R y R* son conjuntos disjuntos (R<i R*=+), enton ces: n(RU R*)-6+6=12. La afirmación es verdadera c) (x,y)eT ** aseA| (x,s)eR* ~ (s,y)eR (3.1)eR* ~(l,3)cR * (3,3)cT (5,l)eR* ~ (l,5)cR * (5,5)cT (3.1)eR* (5,l)eR* ~ (l,3)tR * (5,3)cT (l,5)eR * (3,5)eT Luego, T=i(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)) Vemos que: T=T* * T es simétrica. La afirmación es verdadera. EJERCICIO 5. En el conjunto A=ia,b,c,d,ei se definen las relaciones: R={(a,b),(b,c),(d,e),(e,d),(a,c),(d.d),(e,e),(c,c)i, S=i(a,d),(d,e),(e,a),(e,e)) y T={(b,a),(a,b)). Cuáles son transitivas?. En aquellos que no son, completar elementos de manera que se obtengan relacio nes transitivas. Solución. En R: (a,b)eR ~ (b,c)cR + (a,c)cR. es V. (b.c)eR ~ (c,c)*R * (b,c)eR, es V. (d.e)zR ~ (e,d)cR * (d,d)eR, es V. (e,d)zR a (d,d)eR * (e,d)tR, es V (d,e)eR *. (e.e)cR ■»(d,e)cR, es V. Luego, R es transitiva. En S se tiene: (a,d)cS ~ (d,e)eS * (a.e)eS, es F. (d,e)eS ~ (e.a)eS * (d,a)eS, es F. Entonces, S no es transítiva. Debemos agregar los pares (a,e),(d,a) y (a,a), (d,d). Entonces: S í=i(a,d),(d,e),(e,a),(e,e),(a,e),(d,a),(a,a),(d.d)l Ahora en Si: (e,a)cSt - (a,d)eSi (e,d)eSi,es F. Por último, completamos con (e,d) y obtenemos una relación transitiva: St=l(a,d),(d,e),(e,a),(e,e),(a,e),(d,a),(a,a),(d,d),(e,d)) T se tiene: (b,a)cT « (a,b)cT — (b,b)cT, es F. Luego, T no es transitiva. Agregando (b,b) y (a,a) obtenemos: Tl=l(b,a),(a,b).(b,b),(a,a)} Verificar que T, es transitiva. EJERCICIO 6. Si R es una relación definida en A, se afirma: a) b) R es reflexiva * Dom(R)=Dom(R*) R es simétrica y transitiva * R es reflexiva, c) Si A={a,b,c} y R={(a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,c)}, entonces R es una relación de equiva lencia. Hallar el valor de verdad de cada afirmación. Sólo fines educativos LibrosVirtual 147 Sección 3.8: Clases d e Relaciones Solución, a) Sabemos que si R:A - A es reflexiva %ceA •* (x.X)eR. Entonces: Dom(R)=Ran(R)-A y como Ran(R)=Dcai(R’r) ■» Dom(R)-Dom(R*). La afirmación es verdadera. b) Supongamos que A = 11,2,3}. entonces una relación en A es: R={<1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} y R*={(1,1),(2,2),(2,1),(1,2)}. Vemos que R-R*, entonces R es simétrica. Además: (l,2)cR „ (2,l)sR ■* (l,l)cR, R es transitiva. Sin embargo, (3,3)tR * R no es reflexiva. La afirmación es F c) Anal icemos si R es reflexiva, simétrica y transitiva: i) Vemos que AbceA, (x,x)cR * R es reflexiva. ii) (a,c)cR, pero (c,a)iR * R no es simétrica No se cumple la segunda condición, entonces R no es de equivalencia.La afirmación es falsa. EJEMPLO 7. Si R=(Coc,yJeOx(?|x-yí3, y-x$4}. Cuáles de las siguientes afirma dones son verdaderas? a) R es reflexiva b) Res simétrica c) R no es transitiva d) Solución, a) Si hacemos y=x •* x-xS3, x-x$4, es verdadera VxeQ, entonces: (x,x)cR. Luego R es reflexiva. La afirmación es verdadera. b) R no es simétrica porque: x-y$3 no y-xí4 no equivale a y-x$3 equivale a x-yí4. La afirmación e c) Si R es transí tiva: (x,y)eR -> (y,z)cR * (x,z)eR Esto es: (x-y£3 , y-x$4) ~ (y-z^3 , z-y$4) •* (x-zí3 , z-x$4) Veanos si simando tas desigualdades del antecedente se logra implicar el consecuente: x-y+y-z(6 x-zi6 , z-x$8 . No se logra implicar , y-x+z-y£4 el consecuente, entonces R no es transítiva. La afirmación es verdadera. Otra forma de comprobar si R es o no transitiva es la siguiente: Los pares, (1.4) y (4,7) satisfacen el antecedente, pero el par (1,7) no satisface el consecuente, esto es: (l,4)cR ~ (4,7)tR ■* (1,7)¿R. R no es transí tiva. d) Por a,b y c se deduce que R no es de equivalencia. La afirmación es F. Por lo tanto, son verdaderas las afirmaciones a y c. EJERCICIO 8. Seo S=1 (x,y)eNxN¡xy es par). Cuáles de las siguientes afir maciones son verdaderas? a) S es reflexiva en N Solución, b) S es simétrica en N c) S es transitiva en N a) Vemos que (l,l)dS, (3,3)iS, etc, es decir, (x,x)tS,)h£.N. Lue go S no es reflexiva. La afirmación es falsa. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 3: Relaciones 148 b) Si xy es por -* yr es par, entonces S es simétrica. La afirmación es V. c) Veamos un ejemplo: (3,4)t.S ~ (4,5,)eS (3,5)tS El antecedente es verdadero, sin embargo, el consecuente es falso, (el producto es impar), luego S no es transitiva. La afirmación es falsa. Por lo tanto, sólo la afirmación b es verdadera. EJERCICIO 9. En el conjunto A=)l ,2,3,4,5) se definen las relaciones R y T por: R=l(l,3),(2,4),(3,5),(1,1),(2,2),(4,2),(3,1)) y T=l(x,y)\(y,x)cR). Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? a) R es transitiva pero no simétrica b) R H T = 1(1,1), (2,2)) c) Solución, a) En R: (l,3)eR * (3,5)eR * (1,5)?R, luego, R no es transítiva. (3,5)cR ~ (5,3)?R , entonces R no es simétrica. La afirmación es falsa. b) T={(3,1),(4,2),(5,3),(1,1),(2,2),(4,2)) -fl T=1(1,3),(3,1),(1,1),(2,2), (2,4),(4,2)). La afirmación es falsa. c) Dom(R)=íl,2,3,4) y Dom(T)=)l,2,3,4,5) - Dom(R)-Dom(T) = 4 La afirmación es falsa. EJERCICIO 10. (.'. Todas las afirmaciones son falsas.) En Z se definen las siguientes relaciones: R¡={(x,y)¡x2+y=yl+x), R x={(x,y)¡xy=nl, para algún neZ), R¡=i(x,y) |xS |y|). Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Las tres son reflexivas b) R¡ y R x son simétricas, pero no fl> c) Solución, Ri y Rt son transitivas, pero no Rx a) Haciendo y-x en cada una de las relaciones se tiene: En R i: x 1+x = x*+x .'. R t es reflexiva En R x: x.x=n* - x=n, R xes reflexiva. En R,: ia igualdad se cmtple para x>0, pero no VxeZ. x$|x|, Luego, la afirmación es falsa. b) En Rx:xl+y=yl+x, es equivalente a: y*+x=xl+y ; Rx es simétrica. En Rx: xy-n1, es equivalente a yx=nz, luego fl2essimétrica. En R t:oc&|y| no es equivalente a y$|x|, luego, R, no es simétrica. Luego, la afirmación es verdadera. c) Como toda relación reflexiva es transitiva, por a) se deduce que Ri y R2 son transitivas y Ri no es transitiva. Luego, la afirmación es falsa. Por lo tanto, sólo la afirmación b) es verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual 149 Sección 3.8: Clases d e R elaciones EJERCICIO 11. Para las siguientes relaciones en Z: R, ={ (x,y) |x-y=3¡c,teZ} Rj={ (x,y) \x+y=2h,heZl, R,=l (x,y) . Cuál de las alterna tivas es la correcta? a) R, no es transitiva c) R, es reflexiva y simétrica b) R2 es reflexiva pero no simétrica d) R, y Rt son de equivalencia Solución. Anal icemos cada una de las relaciones en cuanto a reflexividad, simetría y transitividad. 1) Reflexividad: En Rlt si x=y ■* x-x=0 •* x-y=3(0), OcZ Luego, (x,x)cRl, entonces, R¡ es reflexiva. En R2: si x=y ♦ x+x=2h * x=h (xeZ * heZ), luego, (x,x)eR2, es reflexiva. En R, : si x=y ■* x<x * (x,x)cR2, luego, Rs es reflexiva. 2) Simetría: Bi Rt, x-y=3k •* y-x=3(-k), -kzZ + (y,x)eRí. .'. Rí es simétrica En R, : si (x,y)eR2 y (y,x)eR2 * shicZ\x+2y=2h1 y sh1cZ\y+2oc=2h2 esto es, x+2y=2hl * y+2x=2h2 . Restando: y-x=2(h¡-h1)=2hi (hieZ) Entonces, (y-x)eR2 , luego, Rt es simétrica. En R,: x¡y no es equivalente a y$x, por lo que R, no es simétrica. 3) Transitividad: Como todas las relaciones son reflexivas, éstas también son transitivas, en efecto: En R,, si (x,y)cR2 ~ (y,x)eRt ■* aklcZ¡x-y=3kl y ak2eZ¡y-z=3k2. Sumando se tiene: x-z=3(ki+ki)=3k¡, k,cZ. Entonces (x-z)cRl En R2, si (x,y)cR2 .'. R, es transitiva (y,z)eR2 •* 3h1eZ\x+2y=2hí y 3h2eZ\2y+z=2h2. Restan do: (x-z)=2(hl-hí)=2h¡, h,eZ. Entonces (x-z)eR2. R, es transitiva En R,: si xSy ~ ygz ♦ xíz, lo cual es cierto. Entonces (x,z)cRt. Luego, R s es transitiva. Por lo tanto, R 2 y R, son de equivalencia. La alternativa d) es la co rrecta. EJERCICIO 12. En Z se definen las relaciones R,={(x,y) |2x+y=5}, Rj={(x,y)|x-3y=12). Si la relación R en Z es tal que: (x,y)eR *-~3ueZl(x,w)eR2 ~ (u,y)eR2 ; entonces, hallar la relación R. Solución. Vemos que un elemento del rango de R 2 debe ser igual a un elemen to del dominio de R 2. Luego, en R,, haciendo u=y=5-2x y en R2, u=x=3y+12, se tiene por transitiva dad que: 5-2x=3y+12, de donde: 2x+3y=-7 EJERCICIO 13. ■* R={ (x,y) \2x+3y=-7) Sea A=(l,2,3,4} y la relación en A: R={(2,2),(2,1),(1,1), (4,4),(3,z),(x,y),(2,3),(z,y),(3,1)}. Si R es de equivalen cia en A, hallar el valor de 3x+2y-z. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Relaciones 150 Solución, a) R es reflexiva «-* -VíreA, (x,x)eR (l,l)tR, (2,2)cR, (4,4)eR, (3,z)eR - z=3 b) R es simétrica •*-*■ (x,y)eR ~ (y,x)eR, V(x,y)eR Si (2,l)eR - (l,2)=(x,y) ** x=l , y=2 Veamos si para estos valores de x,y,z se verifica la simetría y transiti vidad de R. (x,z)=(l,3)efi * (3,l)eR , lo cual es cierto (z,y)=(3,2)eR ■* (2,3)zR, también es cierto c) R es transitiva (x,y)cR „ (y,z)eR + (x,z)eR (2.1)eR ~ (x,y)=(l,2) * (2,2)eR , es cierto (3.1)eR ~ (x,z)=(l,3)tR * (3,3)eR, es cierto Por lo tanto: 3x+2y-z = 3(l)+2(2)-3 = 4 EJERCICIO 14 . Sean R l, R z y R, relaciones en A. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Si R¡ es reflexiva, R z es simétrica y R, es transitiva, entonces RiU Ri U R¡ es de equivalencia. b) Si R> y R i son de equivalencia, entonces R ¡ 0 R i es de equivalencia. c) Si R i U R 2 es de equivalencia, entonces R¡ es reflexiva o R z es reflexiva Solución. Supónganos que: A=ll,2,3í y anal icemos cada una de las afirmado nes dadas. a) R í={(1,1),(2,2),(3,3)} es una relación reflexiva en A. Ri={(1,1),(2,3),(3,2)} es una relación simétrica en A. Rj={(1,2),(2,2)} es una relación transitiva en A. Entonces: R=R,u Rz U R,= {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,2)}, es reflexi_ va pero no simétrica, puesto que: (l,2)cR ~ (2,l)iR, entonces R no es de equivlencia. La afirmación es falsa. b) R 1={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} y R 1={(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1) i son de equivalencia -*• R¡ n R t=((l,1), (2,2), (3,3)} es de equivalencia en A. Luego, la afirmación es verdadera. c) R i= Ul,l),(2,2),(3,3),(3,2)} es reflexiva en A ; R l={(2,2),(2,3)} no es reflexiva en A ■* R, u R 1= l d ,1), (2,2), (3,3), (3,2), (2,3) 1, es de equiva lencia. Luego, la afirmación es verdadera. EJERCICIO 15, Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Si Ri=l (x,y)eN2\x-y es natural}, entonces Rj es de equi valencia. b) Si T es una relación transit iva en A={1,2,3}, entonces T* es transitiva. Sólo fines educativos LibrosVirtual 151 Ejercicios: Grupo 11 c) Si S es una relación simétrica y T es una relación transitiva en A=U,2,3i, entonces S U T es simétrica y transitiva. Solución, a) Si x=3, y=2 * 3-2=leN * (3,2)eR¡ x=2, y=3 - 2-3=-ltN - (2,3)¿R, R t no es simétrica, luego, no es de equivalencia. La afirmación es falsa b) Sea T= {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2) } una relación transitiva en A. Entonces: T*={(1,1),(2,2),(3,3),(2,1)( también lo es en A. Luego, la afirmación es verdadera c) Sea S={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)( una relación simétrica en A. Sea T la relación transitiva de b). Entonces: Su T = {(1,1).(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2) 1 es simétrica y transj tiva. La afirmación es verdadera. EJERCICIOS: Grupo 11 1. R es una relación binaria definida por R=((x.y)cZxZ|-l<:2x+l<y<5}. m es la sima de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos los elementos del rango. Hallar m+n. 2. S e a R = ((x ,y) € NxN |x 2-2x=y, si 0 < x ^ 5 } , 0€N . Si m es la sum a d e los elem entos del D om (R ), n es la sum a d e los elem entos del Dom (R *), hallar 26m /n. 3. Sea el conjunto S={2,3,4}. Si R ^ l (x,y)eSl|y£r|, R 2=f(x,y)eS2 |y=x(, R s={fx,j'leSI|y-a:=ll. Hallar el valor de [n(R2)+n(R,)]:n(R¡) 4. Sea n(A) el número de elementos de un conjunto A. Para A={1,2,3,4,5,6}. definimos las relaciones R l-{(x,y)eAt ¡3y=x}, Rz= {(x.y)eA1 R 3=Ux,ylEA 2 |y=x). hallar n(R1u R 2u R,). 5. En A={1,2,3,4) se considera la relación R=((x.yleA2 |x=yvx+y=3}. Se afirma que R es: a) Reflexiva , b) Simétrica , c) Transitiva , d) De equivalencia. Cuáles son verdaderas? 6. Si R es un relación en A={2,3,9¡ definida por R={ (x,y) |y+Jíx2 1, hallar n(R). 7. Si R y S son dos relaciones definidas en A»B, demostrar las propiedades RI.l: (Ru S)* = R * U S » 8. y RI.3: (R-S)* = R*-S* Sean A={2,3,8,9} y B={4,6,7); Rj={ (x,y)£AxB\x2-y=2], R2={ (x,yleft<A|x<y} Hallar RaníRx) U Dom(Rz). Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 3: Relaciones 152 9. Sean Ri y R» relaciones definidas en el conjunta A y D=i(x,x)\xsA¡. De mostrar que: ^ D c f R 1 n.R2> i) DcR¡ « D cR¡ -► D c ^ u R i ) ¡i) (x,y)s(RlURf) - (y,x) (RzURt) 10. Sea A=ll,2,3). R,S y T son relaciones en A, reflexiva, simétrica y tran sitiva, respectivamente. Si R=l(l,l),(2,3),(a,2),(3,b)), S={(l,3),(c,d) T=l(3,e),(2,3)). Hallar (b-a)+(c-d)+e. 11. Sea R una relación definida en el conjunto A*A, se dice que R es una re ¡ación transitiva si (a,b)eR * (b,c)sR * (a,c)sR. Demostrar que si R y S son relaciones transitivas, entonces R O S es una relación transitiva. 12. Sean las relaciones Ri=í(x,y)¡xSy), Rz-i(x,y) ¡x+l=y), R,=l (x,y) ¡xjy), definidas en el conjunto A=i2,4,S,6i. De los enunciados siguientes cuá les son verdaderas? a) (R¡nRz)ct R, b) R , no es simétrica c) RiURj es una relación de equivalencia. 13. Sea A=la,b,c,d} y consideremos las relaciones en A siguientes: R = {(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,e),(a,c),(d,d)) S = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,c),(d,d)l T = l(a,a),(a,b),(b,b),(c,c),(c,d),(d,d)) V = l(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)} Hay m relaciones reflexivas, p relaciones simétricas y q relaciones transitivas. Hallar los valores de m,p y q. 14. Sea T=l(x,y)eZxZ\(xy)z es par), una relación en Z. Hallar el valor de cada afirmación: a) T es reflexiva b) T es simétrica ¡ c) T es transitiva 15. Sean A=íp,q,r¡, Vyfc{RcA*A|R es simétrica en A} y V={RcAxA|Res reflexi va en A). De las afirmaciones siguientes, cuáles son verdaderas? a) {(p,q),(q,p))c.W b) i(p,p))t(WaV) c) l(p,r),(r,p))eW 16. Para las relaciones definidas en el conjunto A4$, se afirman: a) Si R es reflexiva, entonces Dom(R)=Ran(R) b) Si R es simétrica y transí tiva, entoncesR esreflexiva. c) R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)) para A={a,b,c,d) es de equi valencia. 17. Cuáles de las siguientes proposiciones para relaciones definidas en un conjunto A que tiene k elementos son verdaderas? a) R es reflexiva en A ■* Dam(R)-Ran(R) b) R es reflexiva en A -e n(R)¿k C) R essinétricaenA * R=R* Sólo fines educativos LibrosVirtual 153 Ejercicios: Grupo 11 18. Si R es una relación definida en A. Entonces de las afirmaciones siguen, cuáles son verdaderas? que a) R es reflexiva * R es transitiva b) R es reflexiva * R es transitiva c) R reflexiva y simétrica ■» R transitiva. 19. Sea A={1,2,3,4,51 y R una relación definida en AxA tal que cunple: i) VxcA,(x,x)eR ii) Si (x,y)eR * (y,x)eR Si R={(l,l),(3,2),(2,2),(5,5),(4,2),(4,4),(3,4),(3,x),(y,x),(z,x),(z,y)} Determinar si satisface que, si (x,y)sR ~ (y,z)zR * (x,z)zR 20. Una relación R definida en el conjunto A es transitiva 3 ¡: (x,y)zR ~ (y,z)zR * (x,z)eR. Verificar que la relación: K=K*,y,)eZ1 |x-y es divisible por k, k entero positivo}, es transitiva. 21. En Ndefinimos la relación R en la forma siguiente: (x,y)eR -*-*• x-y=5k, keZ. Afirmamos: ca, c) R es transitiva y a) R es reflexiva, b) R es simétri d) R es de equivalencia. Cuáles son verdade ras? 22. Sea A={3c|x=2 n, neN y 5<x<25}. Para R e AxA, sea n(R) el número de elernen tos de R. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) n(R)<10 * R es reflexiva b) n(R)ilO -» R es reflexiva c) R transitiva * n(R)i3 23. En el conjunto A={1,2,3,4.5,6} se define la relación R por: (x,y)eR ** "x es divisor de y". Hallar el valor de verdad de las afirma dones siguientes: c) a) R es reflexiva aacA|(a,x)eR,¥xcA b) R es transitiva d) Vx,yzA, (x,y)cR v (y,x)zR 24. Si A={1,2,3,41, 0 = U , 3 , 5 h sea RczAxB donde (x,y)zR x<y. De las afir_ mociones siguientes, cuáles son verdaderas? a) Dom(R) n Dom(R*)=$ b) R u R * tiene 12 elementos c) La relación T definida en B por: (x,y)eT ** ase¿|(x,s)eR* * (s,y)zR 25. SiA={2,3,5,8,10,12} y R l={(;r,>')eA)cA|a: es un número par y x es un múlti pío de y}. R t=l(x,y)cAxA¡x=2y+2l, entonces hallar elvalor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) R, tiene 9 elementos c) R, tiene 5 elementos b) R,nR, = ♦ d) R, no es simétrica y R x es transitiva 26. Sean V,S y T tres relaciones definidas en Z tales que: Si (a,b)eV y (c-d)tS * (a-c,b-d)eT . Si V y S son de equivalencia, ana lizar si T es también de equivalencia. Sólo fines educativos LibrosVirtual 154 Q J Capítulo 3: Funciones FUNCIONES Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación binaria de A en B, esto es, fc.AxB. Entenderemos por función de A en B toda regla que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento "y" del conjunto B. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la pr¿ mera componente pertenece a A y la segunda a B, de modo tal que dos pares ordenados distintos no tengan ¡a misma primera componente. Para denotar que f es una función de A en B, se escribe: f :A - B y se lee: "f es una función de A en B" Formalmente tenemos la siguiente: Definición 3.1. f es una función de A en B si y sólo si satisface las siguientes condiciones: i) f e AxB ii) (x,y)cf ~ (x,z)cf * y=z Regla de Correspondencia. Si (x.y)tf, decimos que "y" es la imagen o valor de x por f, y suele escribirse y-f(x), es decir "y" es el transformado de x por la función f. De aquí que denotamos: f:A — B\y=f(x) DOM INIO Y RANGO DE UNA FUNCION Definición 3.2 El dominio de una función f:A ■* B es el conjunto de todas las primeras componentes xeA (conjunto de partida) de los pares ordenados de f, esto es: Dom(f) = JacAlayeB, (x,y)ef\=A Definición 3.3 El rango de una función f:A * B es el conjunto de todas las segundas componentes ycB (conjunto de llegada) de los pares ordenados de f, es decir: Ran(f) = lycB|3XEA, y=f(x)\cB Ilustración Gráfica: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.9: Funciones 155 f Dom(f) Ran(f) Conjunto de Partida Conjunto de Llegada Ejemplo . Sean los conjuntos: A=(l,2,3,4), B=ia,b,c}. Determinar si f={(l,a), (2,c), (4,b)} y g={(l,a),(2,a),(3,b),(4,b)} son fune iones de A en B. Solución. En un diagrama de Venn Euler ilustramos los conjuntos dados: Dam(f)=ll,2,4) t A, Ran(f)={a,b,c} = B ■* f no es una función de A en B Dom(g)=il,2,3,4i = A, Ran(g) t B. Cano a cada elemento del Dcm(g)=A, le co rresponde un solo elemento del rango, g es una función de A en B. Observad ones: (1) Si en la función g:A -*■ B aplicamos laecuación y=g(x), se tiene: g(l)=a -» a es la imagen de 1 g(3)=b •» b es la imagen de 3 g(2)=a * a es la imagen de 2 g(4)=b ■* b es la imagen de 4 Por esta razón, al rango de unafunción se íe llama también conjunto de imágenes o codominio. (2) Sean los conjuntos A={1,2,4} y B={2,4,8) y la función f:A B\f={(l,2), (2,4),(4,8)}. Si en f denotamos por x cualquier elemento de su dominio A, entonces la regla de correspondencia que nos permite hallar su correspon diente imagen es f(x)=2x, de modo que, simbólicamente, podemos escribir: f = 1 íx ,2 x J |x e <4> APLICACIONES DE A EN B Una función f es una aplicación de A en B si y sólo si f es un subconjunto de AxB que satisface las siguientes condiciones de existencia y u- Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Relaciones 156 nicidad: i) -VíreA, 3/yeB| (x,y)zf ii) (x,y)ef ~ (x,z)ef * y=z Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2,3) y B={2,4,6). De las siguiente gráfi cas, establecer cuáles son apiicaciones de A en B. Solución. Las relaciones f y g son api icaciones de A en B, pues ambas cum plen las dos condiciones de la definición 3.9.2: i) Dom(f) = Dom(g) = A ii) De cada elemento de A parte exactamente una flecha a B La relación h no es una aplicación de A en B, puesto que: i) Dom(h) = {1,3) f A No se cumple ii) (3,4)ch ~ (3,6)th ■* 4 f 6 No se cumple EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Dada la función f definida por f :N*N\f(x)=2x-l, hallar: a) e) f(8) , b) xeN\f(x)=3 , c) f[8-f(2)] , d) xeN\f(x)$5 A c N\f (x)zB, VxsA, siendo B={2,4,5,7). Solución. Dado que f es una relación en N, tal que (x,y)cf y=2x-l <-*■ f={(x, y) \y=2x-l), se tiene: ■ a) Para x=8 - y=2(8)-l=15 ** b) Si f(x)=3 - 2x-l=3 ~ f(8)=15^N x=2tN c) f(2)=2(2)-l=3 ; 8-f(2)=5 - f(8-f(2)]=f(5)=2(5)-l=9cN d) Si f(x)i5 * 2x-l(5 *■* xi3 , luego, x toma los valores: 1,2,3 que determ¿ nan el conjunto solución: S = {1,2,3) = {xeN| fCxJ-ÍS} e) Se trata de hallar los elementos de A tal que f(x)zB, Si f(x)=2 - 2x-l=2 x=3/2 i N f(x)=5 - 2x-l=5 «- x=3eN EJERCICIO 2. ; ; luego: f(x)=4 - 2x-l=4 *- x=5/2 i N f(x)=7 * 2x-l=7 ** x=4*N Si A={xeZ|x2<:50} y f:A ■* Zlffxj^íx-l)*, xe A .'. A=)3,4) . Hallar el va lor de verdad de las siguientes afirmaciones: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.9: Funciones 157 a) Existe un único valor x« tal que f(x,)=36 , c) b) f[2+f(0)]=4 La solución de f(x+8)=f(-x-8) está en el conjunto A. Solución, a) Si f(x)=(x-l)* * f(x,)=(x,-l)1=36 , de donde: x«=7 ó x«=-5 x ( no es único, luego, la afirmación es falsa. ó) f(0)=(0-l),=l -*• fl2+f(0)]=f(3)=(3-l)l=4 . La afirmación es verdadera, c) Si f(x+8)=f(-x-8) * (x+8-l)1=(-x-8-l)*, de donde x=-8?A. La afirmación es falsa. EJERCICIO 3. Sea A=lx|x es una proposición) y B={0,1). Se define la fun ción f;A - B por: f(x) = ( l ’ si x es Y. | O , s i i es F > Según esto, de las siguientes afirmaciones, cuáles son verdaderas1 o) f(P ~ <¡) = f(p)-f(q) b) f(*p) = l-f(p) c) f(p - q) = l-f<p)+r<q)-f(*p).f(q) Solución, a) Supongamos que V(p)=V y V(q)=V, entonces según f: f(p)=l y f(q)=l * f(p)-f(q)=l. Luego: f(p „ q)=f(V)=l Entonces: f(p ~ q)=f(p)-f(q) Si V(p)=V y V(q)=F * f(p)=l y f(q)=0 - f(p).f(q)=0 f(p - q)=f(V ~ F)=f(F)=0 .-. f(p - q)=f(p).f<q) Para las otras dos alternativas también se enripie: f(p ~ q)-f(p)-f(q) Luego, la afirmación es verdadera. b) Si V(p)=V * f(*p)=f(F)=0y l-f(p)=l-l=0 * c) Si V(p)=V y V(q)=V - f(p* q)=f(V)=l f(*p)=l-f(p). Es verdadera. l-f(P)^f(q)-f(^p)-f(q) = 1-1+1-(0)(1) = i Para V(p)=V y V(q)=F * f(p - q) = f(F) = 0 l-f(p)+f(q)~f(+P)-f(q) = 1-1+0-(0)(0) = 0 Para las otras dos alternativas se obtienen los mismos resultados. Luego, f(p ■* q) = l-f(p)+f(q)-fC*p).f(q). La afirmación es verdadera. Por lo tanto, todas las afirmaciones son verdaderas. EJERCICIO 4. Sea f una función de N en N tal que f(x)=2x+3. Hallar el va lor de verdad de cada afirmación. a) Vy*N, 3xeN|f (x)=y c) b) Si f(a)=f(b), entonces a=b Si f(ax)=af(x) y f (b+x)=(b+2)+f (x), VxcN * a+b=3 Solución, a) Si y=leN ■* l=2x+3+-* x=-l¿N Luego, }xEN,VycN\y=2x+3 . La afirmación es falsa. b) Si f(a)=f(b) 2a+3=2b+3-<-*■ a=b . La afirmación es verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual 158 c) Capitulo 3: Funciones Si f(ax)=af(x) •* 2(ax)+3 = a(2x+ 3), de donde: a=l f(b+x) - (b+2)+f(x) - 2(b*x)+3 = (b+2)+2x+3, de donde: b=2 Entonces: a+b = 3 . L a afirmación es verdadera. EJERCICIO 5. Sabiendo que f es una función tal que: f(x+3)=f(x)+f(3), pq ra todo xtZ, entonces determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) f(0)=0 , b) f(12)=4f(3) , c) f(-3)--f(3) Solución. Si f(x+3)=f(x)+f(3) ■* f(x)=f(x+3)-f(x) a) Si x=OeZ * f(0)=f(0+3)-f(3)=0 . La afirmación es verdadera. b) f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(3+3) (Según la definición) = 2[f(3)+f(3)¡ = 4f(3). La proposición es verdadera. c) Si x=-3 * f(-3)=f(-3.-3)-f(3)=f(0)-f(3) (Por a): f(0)=0) Entonces: f(-3)=-f(3) . La proposición es verdadera. EJERCICIO 6. Sea f:Z ■* Z\f(x+3)-xz*l, determinar el valor de: E s f(a+V-f(2) f an a-2 Solución. La regla de correspondencia de f(x) se consigue considera/ido f(x+3)=x*-l, asi: f(...+3)=(...)l-l En el espacio punteado se coloca x-3 con el objeto de eliminar el sumando 3 esto es: f[(x-3)43J-(x-3)2-l * f(x)=xz-6x+8 Entonces: f(a+2)=(a+2)z-6(a+2)+8=a,-2a y f(2)=(2)z-6(2)+8=0 ,____ r. _ az-2a-0 . a(a-2) _ _ Luego: E = — - a EJERCICIO 7. Solución. Sea f:I * I¡f('/xzl)=xz+2x-3, hallar: f(/2x+í) Solucionaremos el problema por dos métodos: a) Haciendo el cambio: /x-l=u * x=l+uz En f: f(u)=(l+ut)+2(l-ruz)-3=u"+4uz Considerando ahora: u-/2x+l, se tiene: f(/2xT¡) = ( S E ^ ) * M ( / 2 x¿T) 1 = 4xz+12x+5 b) Es el método directo efectuado en el ejercicio anterior, esto es: f(S. ..-!)=(..,)z+2(...)-3. Si queremos conseguir 2x+l en el radical, co locamos 2xi-2 en el espacio punteado, es decir: f(/2x+2-l) = (2x+2)z+2(2x+2)-3 EJERCICIO 8. - f(/2x+l) = 4xz+12x+5 Definimos una función f:Z2 ■* Z.por: f(x+3,y-1)=x+y+xy-y2. Hallar f(x-l,y+l). Solución. Por el método directo escribimos: Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 12 159 fl...+3....-1] = .)l En los espacios punteados para las x colocamos x-4, y para lasy:y+2 Luego: fl(x-4)+3,(y+2)-l] = (x-4)+(y+2)+(x-4)(y+2)-(y+2)z de donde: f(x-l,y+l) = xy+3x-7y-yl-14 EJERCICIO 9. Sea f:Z ♦ Z, una función tal que f(ax+2)=azx*+5ax+6, hallar el valor de E Solución. f(x+h)-f(x-h) , hfO En este caso escribimos: f[a(...)+2] = a1(...)1+5a(...)+6 En los paréntesis colocamos x/a para eliminar el factor a, esto es: f¡a(x/a)+2] = a*(x/a)1+5a(x/a)+6 ■+ f(x+2)=xz+5x+6 + Entonces: E = f(x)=(x-2)z+5(x-2)+6=x*+x =U S ™ h h = 4x+2 EJERCICIOS: Grupo 12 1. a) Ri=í(l,3),(2,3),(4,5),(7,5),(8,ll)), Dom(Rí)=A=U,2,3,4,5) b) R l=i(l,2),(2,3),(3,4),(2,5),(4,5)), Dom(R1)=A={l,2,3,41 c) R¡={(x,y)\7y-21x=0\, Dom(R¡)=A=N. d) R*=i(x,y) |xy+2=35}, Dom(Rt)=A=N. Cuáles de estas afirmaciones definen funciones de A •* N? 2. Si f es una función de A en B, f:A ■* B. Cuáles de las siguientes proposi dones son siempre verdaderas? a) VacA, f(a)=b ~ f(a)=c ■* b=c c) Ran(f) b) -VaeA, VbcA, f(a)=f(b) d) Ran(f)={beB\3aeA, f(a)=b\ a=b e) B Domlf)bRan(f) = $ 3. Sea la función f:N + N tal que f(x)=3x+2. Cuántas de las siguientes afir mociones son verdaderas? a) f(5a+7b)=5f(a)+7f(b) c) f[f(2)] = I Í I ^ L ± d) U .2.+P± -ÍA aJ b) ¥bcN,saeN\f(a)=b = 3 ' bfO 4. Cuáles de los siguientes conjuntos describen una función AxA, si A=il,2,3,4,5). a) Ri = Uoc,;y.)eA2 |jc=4l b) R i=Ux,yjEA 2 |y=4( c) R s=l (x,y)cAz |x+y=61 d) R*=l(x.y)cA1 |x<y} 5. Sea f:Q * Q\f(x)=mx+b, con m y b constantes, y se sabe que f(l)=-2 y f(3)=l. Hallar m.b 6. Sea la función f:Z + Z\f(x)=mx+b, m y b constantes, tal que 2f(2)+f(4)=2[ y f(-3)-3f(l)--16. Hallar el valor de (l/3)f(l). Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 3: Funciones 160 7. Sea X= proposiciones , Y=lO,l}. Definimos una función f:X ■» Y en la for ma siguiente: VpeX, f(p) = a) f(p ~ q)=f(p).f(q) p p . S e sabe que: b) f(p vq)=f(p)+f(q)-f(p * q) c) f(^p)=l-f(p) Entonces, hallar: f(p * q). 8. Sea la función f:N * N, tal que hace corresponder O a todo número par y O SÍ X GS DClf* 1, si x es impar { De las afirmaciones siguientes, cuáles son verdaderas? 9. a) Vx.ycN, f(x)+f(y)=f(x+y) c) ixeN\f(x)=f(x+2) b) Vx.ycN, f(x).f(y)=f(xy) d) 3xt.N\f(x+l)=f(x) Sea f una función definida en N por la ecuación f(x+2)=xl-4, hallar el valor de f(x+h)+4x+4h. 10. Sea f:Z * Z definida por f(x)=4-(x-l)2. De las afirmaciones siguientes cuáles son verdaderas? a) f(x-l)=4-xt b) f(l-x)=f(x-l) c) *xeZ\f(x+l) > 4 11. Sea f una función de N ■» N\f(x)=2x+3. De las afirmaciones que siguen de cir cuáles son verdaderas? a) VyeN,3yeN\f(x)=y b) Si f(a)=f(b) * a=b. Va, beN c) Si f(ax)=af(x) y f(b+x)-(b+3)+f(x), VxeN, entonces (a+b)/3 - 4/3 12. A=12,3,4,5,8}, B=N. Si f es una función de A en B, definida asi: f(x> = { X/2 ’,*Í,X 6S par • Hallar E=f(5)+f(3)+f(8). [ fíf(¿£j :)l , si x es impar 13. Sea / : N - 10,1} una función definida por f(x) = | s! x es *iinpar De las afirmaciones siguientes, cuáles son verdaderas? a) ¥x¿N, 3yeN\f(x+y)=f(x)+f(y) c) axeN| f(x)=f(x+2) b) VxcN, VycNl f(x).f(y)=f(xy) d) sxtN\f(x+l)=f(x) 14. Para A=(0,1,2,3,4}, sean f y g dos funciones de A en N, tales que g(x)=mx+b, f={(0,4), (3,1), (1,3), (m,4), (4,0)} yg(l)=f(l). Hallar la su ma del rango de g. 15. Sea el conjunto A={1,2,3,4}. Se define en A las funciones g(x)=mx1+bx+cJ f={(l,l),(2,3),(4,2),(3,3),(4,m)}. Si f(l)=g(l) y g(2)=4, hallar Ran(g). * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.9: Funciones 161 FUNCION IN YE C TIV A O UNIVALENTE Sea f:A -* B una función de A en B. Se dice que f es una función in yectiva si cada elemento de B es imagen de, a lo más, un elemento de A. Dicho de otro modo: Una función f:A ♦ B es inyectiva si Vxl,xteA: i) f(x1)=f(xz) en B * x ¡=xl en A o ii) x,#x2 en A ■* f(x2) f f(x1) en B Ejemplo 1. Determinar si las siguientes relaciones definen funciones inyec tivas: f=Ul, 2), (2,3), (3,1), (4,4)1 g=\(l,l),(2,3),(3,l),(4,4),(5,4)\ Solución, f es una función inyectiva, pues si tomamos dos elementos dife rentes en el dominio, las imágenes correspondientes son también diferentes. En el gráfico se observa claramente esta situación (uno a uno) “ lo i 9 . 2 2 o------------- - 3 3°------------ - l 4 o------------------------ - 4 Por otro lado, en el gráfico de g se observa Esto es, hay dos elementos no!. Por lo tanto, g no es inyectiva. Ejemplo 2. que: 1 f 3 y g(l) = g(3) = 1 4 i 5 y g(4) = g(5) = 4 del dominioquetienen la misma imagen (dos Sean las funciones f:N -*• Af|f(x)=2x+3 y g:Z * N\g(x)=xl-1. Deter minar si son o no inyect ivas. Solución. Sean x l,x1 Dom(f), tal que f(x1)=2xi+3 y f(xl)=2x1+3. Debemos de mostrar que: f(xl)=f(x1) ■» x,=x2. En efecto, supongamos que f(xi)=f(x2) * 2x,+3 = 2x2+3 * 2xi = 2xi * x¡ = x 2 Por lo tanto, f es una función inyectiva. Análogamente para g, sean x 2,xi^Dom(g), entonces, si: 9<*i) = 9 (xz) * x\ - 1 = x\ - 1 -*• xf = X§ +-*-Xi=X2 Ó I^-Xj No se concluye que x 1=x2, por lo tanto, g no es inyectiva. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Funciones 162 Nota. Para un conjunto A, la función IA :A * A\l(x)=x, VxzA, se llama fun ción identidad de A, y se tiene que es inyectiva. En efecto, sean Xi,xteA, entonces, si I(xt)=I(Xi) -*• Xi=Xi Por ¡o tanto, I(x) es inyectiva. FUNCION SOBREYECTIVA O SURYECTIVA_______________ §g Sea la función f:A ■* B. Se dice que f es una función sobreyectiva o suryectiva de A sobre B, sí todo elemento de B es imagen de, por lo menos, un elemento de A; es decir, cuando el rango de f es todo B (conjunto de lie gada). Simbólicamente: f es sobreyectiva «-► Vyc-B, ixeA| f(x)=y f es sobreyectiva **■ Ran(f)=B Interpretación gráfica: Ejemplo 1. Sean A=il,2,3,4}, B=ll,3,5,7} y las funciones f={(1,1),(2,1), (3,3),(4,5)) y g={(1,3),(2,1),(3,5),(4,7)}. Determinar si son o no sobreyectivas. Solución. Ran(f)={l,3,5) 4 B, luego, f no es sobreyectiva de A en B o no está definida sobre B. Ran(g)={l,3,5,7)=B, luego, g es sobreyectiva o definida sobre B. Ejemplo 2. Solución. Si la función f : N * B\f(x)=x+2 es sobreyectiva, determinar B. Si f es sobreyectiva + Ran(f)=B y como xeN, B está formado por todas las imágenes de x+2 cuando x=l,2,3..., o sea: B=i3,4,5...)-N~ll,2) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.9: Funciones 163 FUNCIO N B IYECTIVA Una función f:A * B es biyectiva o biyección, si es a la vez infec tiva y sobreyect iva. Ejenplo 1. Sean los conjuntos: A={1,2,6,7,8) y B={2,3,4,5,6), y las fundo nes de A en B: f={(1,2),(2,3),(6,4),(7, 5),(8,6)}, g=i(l,3,(2,2), (6,6),(7,4),<8.5)\ y h=1(1,4),(2,2),(6,3),(7,5),(8,3)). Establecer si son o no funciones biyectivas. Solución. Las funciones f y g son inyect ivas pues cada elemento de B es imagen de un elemento de A. Además son sobreyectivas, puesto que: Ran(f)=Ran(g)=B. Por tanto son biyectivas. En cambio h no es biyectiva, pues, 6f8 ♦ h(6)=h(8), no cumple la inyectividad. Ejemplo 2. Solución. Sea la función f:N * N\f(x)=2x; determinar si es biyectiva. Como se puede observar, f es una función que asigna a cada núme ro natural su duplo, es decir, tiene como rángo los núneros natu rales pares. Vamos a probar simultáneamente si f es inyectiva y sobreyectiva. a) Sean x l,xl Dom(f) * f(x1)=f(x1) 2x¡=2x1 «■ x,=x2 Por tanto, f es inyectiva. b) f no es sobreyect iva, pues Ran(f)fN (los elementos del codominio que son impares carecen de antecedente en N). Por lo tanto, f no es biyectiva. Ejaiplo 3. Sea B=íy¡y=2n, neN}, el conjunto de los números naturales pares y sea f : N * B\f(x)=2x . Es f biyectiva? Solución. Aqui el rango se ha restrigido a los naturales pares. Como la in yectividad de f se mantiene, probaremos la sobreyectividad. Debemos determinar que VycB,bxc N¡ f(x)=y. Es decir, según la definición de f: 2x=y. Despejando x: x=(y/2)cN (la mitad de un minero natural par es un nú mero natural). Aplicando f a cada extremo se tiene: f(x) = f(y/2) = 2(y/2) = y Siendo f inyectiva y sobreyect iva, resulta que f es biyectiva. Sólo fines educativos LibrosVirtual 164 Capítulo 3: F unciones 3 .9 .6 COMPOSICION PE FUNCIONES_________________________y Dadas dos funciones f:A-B y g:C*E, si para xeA ocurre que y=f(x), en tonces cada x determina una y. la que a su vez determina una zeE, esto es, si x - L y s e habrá asociado entonces una ze£ a una xcA por medio de la ecuación z=g(y)=g(f(x)J. Si designamos z=h(x), la ecuación h(x)=g[f(x) ] se llama composición de f por g, ¡a que se denota por "gof" y cuya regla de co rrespondencia es: (gof)(x) = g[f(x)] - gof = {(x,g[f(x)])\xeDom(gof)\ La ilustración gráfica siguiente nos proporciona un diagrama esquemático de la composición gof: Observaciones: (1) Dom(gof) c Dom(f) - A (2) Ran(gof)cRan(g)c E (3) Ran(f)hDom(g) / ♦ (4) Dom(gof) = {jceA|.xcDon’ t(’/M ~ f (x)^Dom(g) 1 (5) En la notación gof, debe aplicarse primero la función f y después la función g. Ejemplo 1. Dadas las funciones f=K (-2,0), (-1,— i), (3,1), (5,2)} y g-{ (-2, -1), (0,3),(1,4),(2,0),(4,5)) , hallar: fog y gof e ilustrarlas corno aplicaciones. Solución. Para fog, debemos conocer previamente el rango de g y el dominio de f, esto es, Ran(g)=i-1,0,3,4,5) y Dom(f)={ -3,-1,3,5) . luego: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.9: Funciones 165 Ran(g) (1Dom(f)={-l, 3,51¿4> . Nos interesa los pares de g y f quetengan como segundas y primerascomponentes a -1,3 y 5,respectivamente, esto es: (-2,-l)cg „ (-l,-4)cf - (-2,-4)cfog i________i (0,3)eg ~ (3,l)ef * (O.l)tfog t__________ i (4,5)eg ~ (5,2 )ef -> (4,2)cfog •t_______ i En forma similar para gof: Ran(f)={-4,0,1,2) y Dom(g)={-2,0,1,2,4) entonces Ran(f) (1 Dom(g) = 10,1,21 j! <fr. Luego: (-2,0)ef ~ (0,3)eg - (-2,3)zgof i _______ í (3.1)ef „ (1,4)eg * (3,4)egof i_______ i (5.2)ef ~ (2,0)eg -» (5,0)egof ■i ; i fog = {(-2.-4), (0,1), (4,2)} y gof = {(-2,3), (3,4), (5,0)) Las figuras siguientes ilustran a las funciones fog y gof como una corres pondencia o aplicación. 9 f Observaciones (1) La api icación se debe hacer de derecha aizquierda, es decir, la fun ción de partida es la que está a la derecha de la notación "o". (2) En fog, g es la función de partida y f la función de llegada. En gof, f es la función de partida y g la función de llegada. (3) En este ejemplo fogfgof. En general, la composición de funciones no es conmitat iva. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Funciones 166 Ejemplo 2. Dadas las funciones g=l(3,8), (5,9), (8,4), (7,6), (10,5)}, h={(3,9),(5,12),(7,9),(8,7)}; hallar la función f tal que h=fog Solución. Según la definición de composición de funciones: h(x)=f[g(x)j Entonces, definamos h en cada par, esto es: h(3) = f(g(3)j - 9=f(6) (6,9)tf h(5) = f[g(5)) * 12=f(9) - (9.12)ef h(7) = flg(7)) * 9=f(6) - (6,9)ef h(8) = f[g(8)] - 7=f(4) * (4,7)cf f = {(4,7),(6,9),(9,12)) Ejemplo 3. Solución. Sean f:N N|/Y*l=5cl y g:Z * Z\g(x)=2x-3 . Hallar gof y fog. Dnpezaremos calculando los dominios en cada caso, esto es: i) xtDom(gof) *-* xsDom(f) ~ /(x)eDom(g) *-* xeN » i ’eZ Como N c Z ■* x xzN, por tanto: Dom(gof)=N ii) Entonces: Para (gof)(x) = glf(x)] = g(xl) = 2x*-3 fog:i) x*Dom(fog) xcDom(g) ~ g(x)tDom(f) *- & Z - (2x-3)*N *- x*Z a- (2x-3'0) xtZ ~ x>3/2 ~ ii) x=2,3,4.. - Dom(fog)=H-ll\ ( f o g ) M = flg(x)] = f(2x-3) = (2x-3)1 = 4x*-12x+9 £ 2 3 FUNCIO N IN VER SA____________________________________ y Sabemos que toda función f:A ■* B es una relación, pero la relación inversa no siempre es una función. Por ejemplo: Si A={-2,-l,0,2} y 8=10,1,2,4,5} y f:A - B|/7x;^x:\ entonces: f=l(-2,4),(-l.l),(0,0),(2,4)} La inversa de esta relación es el subconjunto de B kA: 9={(4.-2),(1.-1).(0,0),(2,4)} Se observa ûe g no es una función de B en A, pues 2cB y 5cB genes en A, además no se cimple la condición de unicidad, ya carecende imá que4tiene un par de imágenes en A. Veamos otro caso; sea A={1,2,3,4), B={a,b,c,d} y f={ (l,a), (2,b), (3,c), (4,dj) una función de A en B. La relación inversa es: g={(a,l),(b,2), (c,3),(d,4)}. Se ve claramente que g es una función de B en A, llamada función inversa de f. Los resultados de las composiciones: gof = {(1,1);(2,2).(3.3),(4.4)} = 1A fog = l(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)) = 1R Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.9: Funciones 167 son una consecuencia importante para establecer la siguiente: Definición 3.4 Dada una función f:A - B, si existe una función g:B ♦ A, tal que: i) (fog)(x)=x , VxcB (fog = ¡B) ii) (gof)(x)=x , VxeA (gof = 1A ) se dice que f es una función inversible y que la función g es la fun ción inversa de f. Se denota: g=f* Ejemplo 1. o g=f~1■ Si A={2,3.5,7}, B={1,2,4,51 y la función f:A - B, f={(2,l), (5,2),(3,4),(7,5)1, hallar, si existe, una función g:B * A, que cumpla i) y ii) de la definición. Solución. Por ii) se requiere que: (gof)(x)=g[f(x)]=x, VxeA - (gof)(2) = g[f(2)] = g(l) = 2 - (gof)(3) = g(f(3)] = g(4) = 3 - (gof)(5) = g[f(5)l = g(2) = 5 * (gof)(7) = g(f(7)] = g(5) = 7 De aqui consideramos que: g=l(l,2), (4,3), (2,5), (5,7)} es una función B ■* A, que cimple ii). Además cimple i): (fog)(x) = flg(x)] = x , VxeB En efecto: (fog)(l) = f[g(l)J = f(2) = 1 (fog)(2) = f[g(2)} = f(5) = 2 (fog)(4) = f(g(4)J = f(3) = 4 (fog)(5) = f(g(5)] = f(7) = 5 Por tanto, g existe y g = f* = 1(1,2),(4,3),(2,5),(5,7)\ Teorema 3.2 Demostración. Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva. La demostración requiere de dos implicaciones 1) Si una función admite inversa, entonces es biye Hipótesis: Sea f:A * B, tal que g:B A, siendo: gof=¡A y fog=Ig Tesis: f es biyectiva. a) Demostraremos que f es inyectiva. En efecto: (1) Sean x x,xteA\f(xt)=f(x1) (2) Aplicando g a cada extremo: g[f(xl)] = g[f(xt)] (3) Por definición de composición: (gof)(xi) = (gof)(x2) (4) Por hipótesis: gof=¡A (5) IA (xi) = I^(x2) * xi = x 2 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 3: Funciones 168 (6) b) Por lo tanto, de i y 5: f es inyectiva. Demostraremos ahora que f es sobreyectiva. VycB,3xeA¡f (x)=y (1) Sea yefl (2) Por definición de identidad: y=¡B(y) (3) Pero por hipótesis: l^fog * y=(fog)(y) (4) Por definición de composición: y=flg(y)] (5) Es decir, por medio de ycB, hemos determinado x=g(y) en A, tai que: f(x)=y. En consecuencia, siendo f inyectiva y sobreyectiva resulta biyect iva. II) Si una función es biyectiva entonces admite inversa. Hipótesis: f:A ■* B es unafunción biyectiva Tesis: 3g:B * A, tal que: i)(gof) (x)=x , Vxt-A, o sea:gof-1^ ii) (fog)(x)=x , VxeB , o sea: fog=lB D La demostración lo haremos en tres etapas: a) Se trata de definir una función g:B * A que verifique las condiciones i) y ii) de la tesis. Cano f es sobreyectiva, o sea Ran(f)=B, entonces VyeB,3xeA¡f (x)-y También f es inyectiva, o sea, sif (xi)=f(Xt) * Xi=Xt- De aqui la definición inversa [(x.y)eg +-*(y,x)ef), definimos: g:B * y recordando «■ f(y)=x (1) Veamos si (1) satisface la definición de función. En efecto, VxeB,3yeA\f(y)=x, y por ser f sobreyectiva, todo xeB proviene de algún yeA¡g(x)=y (Primera condición de función) Además, si f(yi)=f(yi) en B * yi=yz en A, y por ser f inyectiva: Si f(yi)=x¡ ~ f(yi)-xz * g(Xi)=g(Xt) (Segunda condición de función) b) Hay que probar que: gof=IA En efecto, YbceA se tiene por definición de composición, por I)y por defi nición de identidad en A: (gof)(x) = glf(x)] = g(y) = x = IA (x) — gof=IA c) Finalmente, demostraremos que fog=IB Como fog:B * B, -VyeB, tenemos, por def ini c ión de composición, por I) y por identidad en B: (fog)(x)=f[g(x)) = f(x) = y = ¡¡¡(y) -* Ejemplo 1. fog-IB Determinar si la función f:Q — •Q\f(x)=2x-3 es inversible, y si lo es, determinar su inversa. Solución. Veamos primero si f es biyectiva: Sólo fines educativos LibrosVirtual 169 Sección 3.9: Funciones a) Si Xi,XitDom(f) * f(xt)=2x!-3 y f(Xx)=2xt-3 Si f(Xi)=f(xi) *■ 2xi-3=2xt~3 x,=x» f es inyectiva. b) Para ycQ * y=2x-3, despejando x: x = -j,(y+3) Api icando f: f(x) = f ( ^ j = 2(^~)-3 = y ;o sea. Ran(f)=Q Por lo tanto, f es biyectiva e inversible. Como (fof*)(x)=x - f[f*(x)J-x * 2f*(x)-3=x ~ f*íx> = ^ Ejemplo 2. Sean f:Q * Q¡f(x)=3x+2 y g:Q ■* Q\g(x)=2x+k, donde kcQ y se cum ple que; (fog)(x)=(gof)(x), VxeQ. Hallar: a) (fog)*(2) y b) (g*of*)(-4) Solución. Siguiendo los pasos del ejemplo anterior verificar que f y g son biyectivas. Dado que: (fog)(x) = <gof)(x) * fíg(x)] = glf(x)] * -*■ 6x+3k+2=6x+4+k *-* k-1 f(2x+k)=g(3x+2) * g(x)=2x+l a) (fog)(x) = flg(x)] = f(2x+l) - 3(2x+l)+2 = 6x+5 Si y=Sx+S * x = 2^ - Para x=2 - (fog)*(x) = — (fog)*(2) = - ^ = b) f(x)=3x+2 * x = ¿y- g(x)=2x+l * x =^y - f*(x) = * g*(x> = £ T ' Entonces: (g*of*)(-4) = g*[f(-4j] = g*(-2) = -3/2 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Sean las funciones f,g y h con dominio A -12,4,6,8) y conjun to de llegada B=Í2,3,5,8}. Si f={(2,S),(4,S),(8,8),(6,8)i; g-{(2,2),($,3),(4,8),(8,S)i y h={(4,5),(2,8).(6,5),(8,2)), cuántos de lose nunciados siguientes son verdaderos? a) g es inyectiva d) Ran(f)-Ran(h)=\2,3\ Solución, b) f y g son biyectivas e) Dom(h)-Ran(h)=t c) f y h son sobreyectivas _ a) En g: Dom(g)={2,4,6,8}=A y Ran(g)={2,3,5,8}=B. Para cada xeA, a/yeB, luego, g es inyectiva. El enunciado es verdadero. b; Ran(f)={3,5,8)fB, luego, f no es suryectiva, por lo que tampoco es biyec tiva. Ran(g)=\2,3,5,8)=B, entonces g es biyectiva. El enunciado es falso c) Por b) sabemos que f no es suryectiva. Ran(h)=i2,5,8lfB, h tanpoco es so Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 3: Funciones 170 breyect iva. El enunciado es falso d) Ran(f)-Ran(h) = 13,5,8)-12,5,8> = <3h El enunciado es falso. e) Dan(h)-Ran(h) = i2,4,6,81-12,5,81 = 14,6) ♦. f El enunciado es falso. Por lo tanto, sólo un enunciado es verdadero. EJERCICIO 2. Sean f:Q * Q y g:Q * Q, funciones biyectivas tales que: (fog)(2/5)=3!4,f(2/5)=4/5 y f*(3/4)=l/2. Hallar elvalor de (fog*)(l/2). Solución. Si f*(3/4)=l/2 - f(l/2)=3/4 Pero f[g(2/S)J=3/4 - (f es biyectiva) f(g(2/S))=f(ll2) * g(2/S)=ll2 Siendo g biyectiva, si g(2/5)=l/2 * g*(H2)=2/5 Luego: (fog*)(l/2) = f[g*(l/2)l = f(2/S) = 4/5 EJERCICIO 3. Sean f(x) = ,f*(3)=2a-3b y f*(5)=3a+5b. Hallar: f*(a-3b). , Solución. _ . 3x-4a En f : y = — g— ^ 5y+4a ♦x = — Entonces: 2a-3b = — f*(5) = ^±áfl * _ . 5x+4a * f*(x)= — j— _ *f*(3) _ 15+4a = — j— . de donde: 2a-9b=15 3a+5b = iOZiS. ~ a+3b = 5 (1) (2) De (1) y (2) obtenemos: a=6 y b=-l/3 Por lo tanto: f*(a-3b) = f*(7) = EJERCICIO Solución. = 59/3 4. Si VxeQ, definimos f(x-l)=3x+l, hallar: f*[f*(4-x)J. Si f(x-l)=3x+l * f(x)=3(x+l)+l=3x+4 ** x = -^(y-4) Intercanbiando variables: f*(x) = -^fx-4/ * f*(4-x)=(4-x-4)=- -j- Luego: f*[f*(4-x)) = f*(-x/3) EJERCICIO 5. - 4> = - j(x+12) Las funciones f y g están definidas por: f={(l,3), (-5,-1), (7,2),(2,1)}, g=l(l,a),(2,b),(-5,a),(7,c)]. Entonces de las siguientes afirmaciones cuáles son verdaderasf a) (gof*) es inyectiva b) Ran(gof*)={a,b,c) c) Solución. (gof*)(3)-(gof*)(2)=a-c Tenemos: f*={(3,l),(-1,-5),(2,7),(1,2)) . Sea h=gof* Entonces: h(3) = g[f*(3)J = g(l)=a h(2) = glf*(2)¡ = g(7)=c (3,a)eh * <2, c)ch Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 13 171 h(-l) = glf*(-l)J = g(-5) = a - (-l,a)eh h(l) = g[f*(l)] = g(2) = b * (i,b)ch gof* = i(3,a),(2,c),(-l,a),(l,b)\ a) Se observa que: (gof*)(3)=(gof*)(-l)=a y que 3f-l Entonces, gof* no es inyectiva. La afirmación es falsa. b) Ran(gof*) = {a,b,c). La afirmación es verdadera. c) (gof*)(3)-(gof*)(2) = a-c . La afirmación es verdadera. Por lo tanto, son verdaderas las afirmaciones b y c. EJERCICIO 6. Sean f:Q * Q y g:Q * Q, dos funciones tales que f(x)=2x-S y g(x)=3x+2 y sea h=f*og, si a es tal que h(2a)=h(a+2), deter minar el valor de a. Solución. En f: y=2x-5 - x = j¡(y+5) * f*(x) = -|(x+5} h(x)=<f*og)(x)=f*(g(x))=f*(3x+2) = j(3x+2+5) = j(3x+7) Si h(2a)=h(a+2) - (6a+7) = ^[3(a+2)+7] , de donde: a=2 EJERCICIOS: Grupo 13 1. Las funciones f y g están definidas de la siguiente manera: f=l(l,3),(-5,-l),(7.2)} , g= {(l,0),(2,b),(-5,a),(7,c)}. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) gof*={(3,a),(~l,b),(2,c)} b) gof* es sobreyectiva c) (gof*)(x)=(gof*)(x<) * x-x' 2. Sean f(x)=xz y g(x)=ax+l dos funciones con dominio X c q apropiado para que sean biyectivas. Si (f*og*)(3/2)=l/2, hallar (gof)(-2). 3. Si f:Q * Q y g:Q - Q son dos funciones tales que f(x-l)~3x+2, g(2x+3)= 4x+4, hallar (g*of)(x). 4. Sea f y g dos funciones con dominio XC.Q apropiado para que sean biyec tivas. Si f(x)=ax+l, con afO, y g(x)=xz+l. Si (f*og*)(5)=l/3, hallar el valor de (fag*)(7). 5. Sea f:Q+ Q definida por la ecuación f(x+3)=3x*2, hallar el valor de: h1 6. Sean f y g dos funciones biyectivas tales que (fog*)(3/4)-2/5, f(2)-2/5, g(3/5)=2/5, f*(3j4)=2/S. Si A=(fog*)(2) y B=(g*of)(2), hallar A+B. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Funciones 172 7. Si g(x+3)=x*+9x1+27x y f(x)=g*(x)+33, hallar (fof)(37). 8. Dadas la s funciones: f(x)=mx+2 m¿0 y g(x)=3x-2, se cumple: g*[f*(mx) Hallar 2f(-l)-g(l). 9. Sean las funciones f,g y h definidas de Q en Q, todas biyect ivas. Si f(x) = (x/2)-l, g(x)=ax y h(x)=2x+a, tal que: (fogoh)(x+1)-2x+3 hallar el valor de (hog)(-l). 10. Sean las funciones: f={(2,1),(3,5),(4, 2),(5.8),(6 ,1),(7, 4),(8,4)} y g- {(2, 4), (3',3), (4, 3,J,(5,1)' ( 6 , 4) ,(7, 6), (8, 6 ) ); h la función con do sea minio 11,2,4,5,8) tal que g=hof. Hallar h(l)+h(2)+h(4)+h(5)+h(8). 11. Sean A=ll,2,3}; B=ll,2 13,4}, si f=l(3,l),(x,3),(2,3)} es una función de A en B; g={(3,1),(y,z),(1,3)) es una función inyectiva de A en A; h={(l,1),(2,w),(3,2),(4,2)) es una función suryectiva de B en A. Deter minar yz-(x+w). 12. Sean f y g funciones de Q en Q tales que: f(2x+l)=2x-l y g(x)=3x-a, con a¿Q, donde (fog)(3)=(gof)(a-1). Hallar f(a). * OPERACIONES BINARIAS INTERNAS____________________ ^ 3.10 Dado un conjunto A toda a p licac ió n o no v a c ío , función de se denomina operación binaria interna a valores en A. Si denotamos * la aplica con ción, podemos escribir: *:A Si aeA x A - A y beA, el valor de la aplicación * sobre dichos elementos ,tomados como pares ordenados, será el resultado de la operación a*b, o sea: *(a,b) = a*b Esto quiere decir que a cada par ordenado (a,b)eAxA, la api icación signa un elemento, y sólo uno, Ejemplo 1. La apiicación (+) * le a a*beA. y la muítipl icación (x) son operaciones bina rias internas en los conjuntos N,Z,Q,R; esto es: +: Z + Z Z x: Z x Z Z (a,b) ■* a + b (a,b) ■* a.b (2,3) (2.3) ■* * 5 6 son dos operaciones de igualdad en las que los números a~2zZ y b=3zZ, y la Sólo fines educativos LibrosVirtual 173 Sección 3.10: Operaciones Binarias Internas surta a+b y producto a.b son las operaciones. Obsérvese que a ceda par de números la operación le hace corresponder otro número que es el resultado de ¡a operación. Los dos números forman un par ordenado y por eso se llama operación binaria. La división -f en Z es una operación binaria pero no interna en Z, es decir: -f :Z * Z * Z no es una función o no está bien definida, pues para aeZ y bcZ a:b no siempre está en Z. Asi: 2cZ y 3cZ. pero 2:3tZ. La sustracción (-) es también una operación binaria pero no estádefinida en todo N, pues si (4,6) * 4-6 i N Ejemplo 2. En Q se define la operación interna: a*b=a+b-ab. al Hallar: 2*(~3) y (5/3)*(1/2) b) Verificar que: (a*b)*c = a*(b*c) Solución. Aplicando la definición dada se tiene: a) 2*(-3) - 2+(-3}-2(-3) = - 1 + 6 = 5 b) (a*b)*c = (a*b) + c - (a*b)c = (a+b-ab)+c-(a+b-cb)c = a+b+b-ab-ac-bc+abe ( 1) a*(b*c) = a + (b*c) - a(b*c) = a+(b+c-bc)-a(b+c-bc) = a+b+c-ab-ac-bc+abc ( 2) De (1) y (2) se deduce que: (a*b)*c = a*(b*c) Observaciones: (1) A una operación binaria se le llama también Ley de canposieión interna. (2) Cuando * es una operación binaria en un conjunto A, se dice que * goza de la propiedad de "clausura". (3) Si * es una operación binaria en un conjunto A y existe un subconjunto B de A con la propiedad de que si a.bsB -*■ a*bcB, se dice que B es cerra do bajo la operación *. Como A es subconjunto de A , entonces es cerrado bajo cualquier opera ción binaria definida en A, o bien, la operación * es cerrada en A. (4) Por medio de tablas se pueden definir muchas operaciones entre números y aún entre objetos que no son números, y hasta es posible inventar ope raciones en cualquier conjunto, basta señalar cuál es el resultado para cada par de números. Por ejemplo, una operación binaria en el conjunto A- 0,1,2 es la operación ' definida por la tabla adjunta; donde para cada par ordenado (a,b), el re Sólo fines educativos LibrosVirtual 174 Capitulo 3: Funciones sultado a*b se encuentra en la intersección de la fila que comienza en a. y. la columna que comienza con b. Asi: 1 2 0*0 = 0 0*1 = 1 0*2 = 2 1*0 = 1 1*1 = 2 1*2 =0 2*0 = 2 2*1 = 0 2*2 (0,0) * 0 (0,1) i 1 (0,2) (1.0) i. 1 (1,1) i 2 (1,2) = 1 Es decir: (2.0) í 2 (2,1) 5 0 (2,2) * 0 0 - 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 52 i 0 51 PRO PIED AD ES DE L A S O P E R A C IO N E S B IN AR IAS_______ Si * es una operación binaria en un conjunto A, es decir que * go za de la propiedad de clausura, se verifican las siguientes propiedades: 0B.1: a*b = b*a , -Va.beA (Conmutat ividad) OB.2: (a*b)*c = a*(b*c) , Va,b,CcA OB.3: aeeA|a*e - e*a - a , -VacA (Asociatividad) (Existencia del elemento neutro) 0B.4: Si A posee el elemento neutro e respecto a * , entonces: 3a ' 1 A|a*a'1=a~1*a=e , -VaeA (Existencia del elemento inverso o simétrico) Si en el conjunto A, se definen las operaciones binarias * y #, enton oes: OB.5: a*(b#c) = (a*b)i¡(a*c) , Va.b.ccA (* es distribuí iva por la izquierda respecto a t) OB.6: (a#b)*c = (a*c)i(b*c) , -Va,b,ccA (* es distributiva por la derecha respecto a H) OB.7: * es distributiva con respecto a t si se ampien 0B.5 y OB.tí OB.1 CONMUTATIVIDAD Sea A un conjunto dotado de una ley de composición interna *. Se di ce que * es conmutat iva si: a * b = b * a, -Va.beA Es decir, cualquiera que sea la pareja escogida (a,b)eAxA, el resultado de operar a y b es independiente del orden en que se consideren éstos. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.10: Operaciones Binarías Intentas 175 Ejeajtlos: (1) En N, Z y Q las operaciones de adición (+) y multiplicación (.) son con mutativos, pues: -Va.b; a + b = b + a (El orden de los sumandos no altera la sima total) ■Va.b; a . b = b . a (El orden de los factores no altera el producto total) (2) La operación interna de sustracción en Z, no es conmutativa, es decir, si acZ y beZ y afb ■* a-bfb-a (3) La operación interna de división no es cormitativa en Q+, es decir, si a,beQ+ ■*a.-b fb:a Asi para 3,8oQ+se tiene, 5:8 = -I y 8:5 = ■§ O 0 4 f O D (4) Las operaciones de unión e intersección entre conjuntos son operaciones internas conmutativas, pues: A U B = B U A, VA,B A n B = B n A, VA,B (5) En el conjunto A={a,b,c,di se definen las operaciones * y # mediante Determinar si son o no conmutativas. Cuando una operación binaria está definida en A por una tabla, la conmutati_ vidad se aprecia en la misma tabla, ubicando los resultados: x *jc .V íx£ A . del siguiente modo: Se traza D(A) (diagonal de A) y si los términos equidistan tes de esta diagonal son iguales, entonces la operación correspondiente es conmutativa. Asi, por simple inspección notamos que * es conmutativa y f no es conmutativa. 0B.2: ASOCIATIVIDAD Sea A un conjunto dotado de una ley de composición interna *. Se dice que * es asociativa en A si: Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 3: Operaciones Binarías 176 (a*b)*c = a*(b*c), Ya.b.ceA cada vez que dos términos de la igualdad estén definidos. Ejemplos: (1) Lasuma y (a muít iplicación en N,Z y Q son asociativas; es decir: (a + b) + c = a + (b + c), -Ya,b,c (a . b) . c = a . (b . c), Va.b.c (2) La resta en Z no es asociativa (8-3)-2 = 5-2 = 3 (8-3)-2 t 8-13-2) 8-13-2) = 8-1 = 7 La división en Q no es asociativa. (3) La unión e intersección de conjuntos son operaciones asociativas: A U ( B Ü C ) = (AUB)UC, VA.B.C A 0(3 0 C) = (AOB)OC, VA.B.C (4) La composición de tres funciones f.g y h es una operación asociat iva. Ifo (g o h )] (x) = fl(g o h )(x)j = f[g(h (x))j = <fog)[h(x)] = [(fog)oh j(x) fo(goh) = (gof)oh (5) En Q se define la operación * por: x*y = xy+x+y. Verificar si es asocia tiva. Debemosprobar que Va.b.c Q: (a*b)*c = a*(b*c) En efecto:(a*b)*c = (a*b)c + (a*b)+c (Def.*) = (ab + a + b)c + (ab + a + b)+ c (Def.*) = abe + a c + b c + a b + a + b + c a * (b*c) = a(b*c) + a + (b*c) (1) (Def. *) = a(bc + b * c) + a + (be + b + c) (Def. *) = abe + ab + ac + be + a + b + c Por lo tanto, (1) y (2) muestran que (2) la operación * es asociat iva. 0B.3: ELEMENTO NEUTRO 0 IDENTIDAD Sea A un conjunto dotado de una operación binaria *. Un elemento e de A se llama elemento neutro o identidad para * si: a*e = e*a = a. YacA Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.10: Operaciones Binarias Internas 177 Ejemp l o s : (1) En N,Z,Q, dotado de la adición, O es el elemento neutro, pues: a + 0 = 0 + a = a, Va En N, Z, Q, dotados de la multiplicación, 1 es el elemento neutro, pues a . 1=1. (2) En Q a = a, Va se define la operación * por: a*b=a+b+ab. Verificar la existencia del elemento identidad o neutral. Dado que la operación * es conmutativa, es suficiente ver si: e Q|a*e=a, Va , esto es: a * e = a + e + ae = a + e + ae = 0 * * e=0 v a=-l Como a es cualquier elemento de Q, entonces e=0 es el elemento neutro o identídad. (3) En el conjunto A={1,2,3,4} se definen las operaciones * y # mediante las tablas: * 1 2 3 4 # 1 2 3 4 I 1 2 1 2 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 2 3 1 2 3 4 3 3 3 4 i 4 4 3 4 3 4 2 2 3 1 Verificar la existencia del elemento neutro. Cuando los resultados de una operación binaria se dan en una tabla, es muy fácil detectar si existe o no el elemento neutro. En estos resultados se busca una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna de entrada. Si existen esta fila y columna, su intersección determina el elemento neutro. Considerando este hecho para la operación * se tiene: Observando la tabla de *, tenemos que e=3 es el elemento neutro para * en A Se deja como ejercicio comprobar que se cunple la ecuación: a*e=a, VazA. Los resultados de la operación t no reproducen ninguna fila y columna igua Sólo fines educativos LibrosVirtual 178 Capitulo 3: Operaciones Binarias les a la fila y columnas de entrada respectivamente. Por lo tanto, en A no hay elemento neutro para #. 0B.4: ELEMENTO INVERSO O SIMETRICO Sea A un conjunto dotado de una operación interna *, tal que admite el elemento neutro e. tfrt elemento b en A se llama inverso o simétrico de a en A, sí se cunple que: a*b = b*a = e Es decir, b es un elemento que neutral iza al elemento a. Se denota: b=a E jem p l o s : (1) En el conjunto N, cero es el elemento neutro para la adición, y como: 0*0=0, se tiene que el inverso de O es tanbién 0. En los conjuntos Z y Q, cero es el elemento neutro, pues VaeZ a+(-a)=(-a)*a=0, de aquí a ' 1 se denota por -a y se ó VbcQ: llama elopuesto de a. En N, 1 es el elemento neutro para la multiplicación y como 1x1=1, se tiene que 1 es el elemento inverso de 1. No existe otro elemento que tenga inver so para la multiplicación; pues si: a.b=l * a=b=l. Lo mismo sucede en Z. En cambio en Q, como 1 esel elemento neutro, todo elemento aiO tiene inverso para la multiplicación, esto es: 2(j) = (j)2 = 1 entonces, si: a=2 a=-3 * y )(-3) = 1 (-3)(-j¡) = (2) En el conjunto A={1,2,3,4} se define la operación * por la tabla: Se tiene que el elemento neutro es e=2. La pregunta es que elementos de A tienen inversos para * , es decir, para que elementos de A las ecuaciones: * 1 2 1 2 3 1 3 4 2 2 1 (?) 3 4 3 4 3 2 1 4 2 4 1 2 a * x = x * a = 2 adniten la misma solución. De la tabla obtenemos: Tasbién: 1 * 4 = 2 y 1 * 1 = 2 I-1 = 1 2*2 = 2 2~l = 2 3*3 = 2 3~l = 3 4*4 = 2 4~l = 4 4 * 1 = 2 * l'l='4 y 4~l=l Por lo tanto, tos elementos 2 y 3 tienen un único inverso, mientras que i y 4 admiten dos inversos. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.10: Operaciones Binarías Internas 179 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Si en Q se define la operación * por: a*b=2a+ab+2b. Determi nar el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes: 3 4 77 a) "4 * 3 = b) c) 1 es la unidad de * * es asociativa respecto de la adición Solución, a) Por la operación *: *y = 2 ( - M " + 11 6 r 12 + 2(~j La afirmación es falsa, Debemos probar que: (a * b) * c = a * (b * c) b) (a *b) * c = (2a + ab + 2b) = 2(2a + ab = 4a a *(b * c) *c (Def. *) +2b) + (2a + ab + 2b)c + 2c (Def. *) +4b + 2c + 2ab + 2bc + 2ac + abe (1) = a * (2b + be + 2c) (Def. *) - 2a + a(2b + be + 2c) + 2(2b + be + 2c) (Def. *) = 2a +4b + 4c + 2ab + 2bc + 2ac + abe (2) De (1) y (2) se deduce que la afirmación es falsa. (a*b)*c # a*(b*c) 0B.3: a * e = a c) Según OB.3: 2a+ae+2e = a -* e = - i 1 La afirmación es falsa. EJERCICIO 2. En Q definimos la operación * por: a*b=a-b+2. Si a -1 es el inverso de a bajo la operación *, hallar el conjunto solu ción de la ecuación: x*2~‘=5~l*x Solución. Según OB.3: 3 ee0 |a*e=a -*• a-e+2=a * e=2 y por OB. 4: a * a ~ l = a ~ 1 * a = 2 En la ecuación dada aplicamos la operación (S*x) y *2 por la izquierda y de recha, respectivamente, de cada miembro de la igualdad: (5 * x) * x * 2-¡ * 2 = (5 * x) * (5~l * x- 1) * 2 2 - (5 * x) * (x * 2) = 2 2 * 2 * * (S-x+2) * (x-2+2) = 2-2+2 (7-x) * (x) = + 7-X-X+2 = 2 EJERCICIO 3. (Def. *) 2 +— x = 7/2 Consideremos en Q*=Q-{3) la operación * definida por: a*b = a+b+ -|ab . Según esto, establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 3: Operaciones Binarias 180 c) 3 .'eeQ*|a * e = a, VacQ* a) Va,beQ*, a * b = b *a b) Va.b.ccQ*, (a * b) *c = a * (b Solución. + ^ba = a a ) b * a = b+ a * c) d) VatQ*, a * = + b + -|ab = a * b b) (a * b) * c = (a+b+ ~âb)*c = a + b .'.Es verdadera. + |ab + c + |(ac + be + abe) = a + b + c + -^(ab + ac + be + jjObc) a * (b*c) - a * (b + c + jjbc)= a +b (1) + c + -|bc + ■jfab +ac + â = a + b + c + ■jjfab + ac + be + -|abcl (2 ) De (1) y (2): (a * b) * c = a c) Si a*e=a -*a + e + *fb * c) . L a afirmación es verdadera. ae = a e=0 v a=-3 Dado que aeQ-{3} * e=0, luego: a.'eeQ*. d) Según OB.4: a*a~l=e EJERCICIO 4. .'. Es verdadera a + a~l+ -|a.a~* = 0 «-»■ a "1 = - * .'. Es falsa. En el conjunto N de los números naturales definimos las si guientes operaciones: a*b=a*-b , atb=3a-bz , a&b=2a+3b Si x*x=6 Solución. a yfy=-4, hallar el valor de x¿y. Si a*b=al-b - x*x=xl-x=6 x=3eN o x=-2fN y # y = 3y-y1 = -4 Si a#b = 3a-b* y=4eN o y=-l?N Si a A b = 2a+3b * x a y = 2x+3y = 2(3)+3(4) = 18 * EJERCICIO 5. En Q*=Q-{ 0 } definimos la operación o*b=3ab. Determinar los valores de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones a) * es conmutativa b) * es asociativa Solución. c) 3!.yeQ*|x * y = y * x, VxeQ* 1 4 El inverso d e r e s p e c t o de la operación * es -j- d) a) b*a = 3ba =3ab -*■ a*b = b*a . .'. Es verdadera b) (a*b)*c = (3ab)*c = 3(3ab)c = 9abc a*(b*c) = a*(3bc) = 3a(3bc) = 9abc La operación * es asociativa, luego, la afirmación es verdadera. c) Si a*b-3ab * x*y=3xy * x=3xy +■* x=0 Luego, a'y=l/3eQ*, VxeQ* v y-1/3. Como x/0 * y=l/3 .'. Es verdadera. d) Sea b~l el inverso de 1/4; según 0B.4: (l/4)*b~z=y (elemento neutro) Entonces: 3(1 /4)(b~l) = 1/3, de donde: b~‘=4/9. .*. Esfalsa. EJERCICIO 6 . Entre conjuntos se define la operación * por: A*B=A‘U B' pg ra todo A y B en U. Establecer el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 3.10: Operaciones Binarias Internas a) A'*A'=A 181 C) (A*B) * (A*B) = A O B b) (A*A)*(B*B) = AU B Solución, a) Por la operación *: A'*A' = (A')'ü(A')' =AltA = A b) = AuB c) .'. Es V. (A*A)*(B*B) = ( A ' B A 1) * ( B ' U B ’) = A' * B' = (A')’U(B')' .'.La afirmación es verdadera, (A*B)*(A*B) = (A’ilB’) * (A’iiB1) = (A'U B ') 'U (A ’U B ') ' = (A'ÜB')' = [(Ah B) '] ' = A O B EJERCICIO 7. .’. La afirmación es verdadera. * En A=il,2,3,41, se define una operación * cuyos valores están dados en la tabla adjunta. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) La ecuación x*2=l tiene solución única. b) Vbc.yeA se cumple: x*y=y*x Solución, 1 2 3 4 4 1 1 2 3 2 2 1 1 1 3 3 1 1 4 4 4 2 3 4 c) (2*3)*[3*(4*1) 1=4 a) Para x=2, en la tabla vemos que: 2*2=1. También: x=3 -* 3*2=1 La solución de x*2=l no es única. .'. La afirmación es falsa. b) Si trazamos la diagonal D(A), vemos que hay dos elementos equidistantes de esta diagonal que no son iguales, esto es: (2 *-* 1) y (3 <-» 4) Aqui: 4*2=2 y 2*4=1 - 4*2f2*4 ; 4*3=3 y 3*4=4 * 4*3 / 3*4 .*. Es F. c) (2*3)*[3*(4*1)] = ,(1)*[3*(4)] = 1*4 = 4 . La afirmación es verdadera. EJERCICIO 8. Sean A=í-l,0,l,2l y B=(3,1/2, l/3l tales # que A se define # por la tabla adjunta: -1 0 1 2 -1 0 1 2 -1 (a,b) -*■ b 0 1 2 -1 0 Si x=[(-l)-l#(2)-1]'1 e y=(3*l/2)*l/3 , halar en Q: x+y 1 2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 y en B se define * por: B*B * B Solución. En la tabla se observa que la cuarta fila es igual a la fila de entrada y la cuarta coturno igual a la colum na de entrada. Las dos se interceptan en el elemento 2, o sea, e=2. Entonces, según OB.4: (-l)#(-l)“’l=2 y 2#2~x=2 En la tabla: (-1)#1=2 y 2#2=2 - (-l)'x=l y 2~l=2. Luego: x=[1Ü2]-I= r l=-1 Aplicando la operación * en y, se tiene: y = (l/2)*(l/3) = 1/3 EJERCICIO 9. Si definimos la operación * en Q-{1 } por: a*b=a+b-ab y si a -1 es el inverso de a, hallar: 2~1*3~1. Solución. Según OB.3: a*e = a Como a=fl + a+e-ae = a «-*■ e=0 es el elemento neutro. Sólo fines educativos LibrosVirtual e=0 v a=l Capitulo 3: Operaciones Binarias 182 IJ|a*a~'=e Luego, a + o " 1- a . a -1 = 0 Para a=2 * 2~l= -jry = 2, y para a=3 ■» 3 “*= ■* a"* = -jry =-j 2'**3-‘ = 2 + •§•- (2)(j) = j- 1, Sea * una operación binaria interna definida en Q por: a*b=(az-b) (b‘-a). Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) * es conmutativa c) 2. b) 4*(3*l) = 32x252 3ktQ\(l/k)(a*b) = (ka)*b En Q se define la operación * por: a*b=ab+a-b. Hallar el valor de verdad de tas siguientes afirmaciones: 3. a) Va.beQ, a*bcQ c) s.'eeQ, elemento neutro para * b) * es asociativa d) Cada xeQ-il] posee inverso para * En el conjunto A=il,2,3,4i se define una operación * por medio de una tg bla tai que, los elementos de cada colima y cada fila son diferentes, tiene a 4 como elemento neutro y cada elemento es su propio inverso. De terminar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) (2*3>*(2*4) =2 b) * es conmutativa c) (3*2-‘)*3-1 = 2 4. Definimos la aplicación * de A={fa,b)eQx|al>=0 ~ ab=l>, con valores en Q, donde: *(a,b)=a*b=(a-b~l)~‘(b-a~l)~‘. Según esto, cuáles de las siguien tes afirmaciones son verdaderas? a) a*b=b*a b) a*a=(ai ° p 1 c) Existe la solución de 2*(8+x)=(15+2x) 5. Si * es la operación definida en Z por: a*b=ab+b-a. Entonces de las si guientes afirmaciones, cuáles son verdaderas? a) lacZ¡a*5=01 f ♦ c) (a*a) + [a*(a+l>] + [a*(-l>] = 2a* b) * es conmutativa 6. Sea Q**Q- 0 1 en donde se define la operación * por: a*b = -| + -j¡- Cuáles de 1as siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Si a*(2!3)=5 y b*3=l/S * a .b = -I5 /7 b) Va.b.ctQ*. a*(b*c)=(a*b)*c 7. En Q se definen dos operaciones * c) a*a = a •— a*=2 y # por a*b=a+2b y a#b=2ab, Hallar el v a l o r de verdad de las siguientes afirmaciones: Sólo fines educativos LibrosVirtual V a . b e Q- Ejercicios: Grupo 14 8. 183 a) (a*b)*c = a*(b*c), Va,b,ceQ c) a.'e Q|a*e=e*a=a, ■V'a.b.cEff b) at(b*c) = <a#b)*(a#c), Va,b,ceQ d) (j * j) # (3 * j) = 33/5 Sean » y # operaciones definidas en Z por: a*b = '^r1. a#b = ~jT- Según esto, resolver ¡a ecuación: 2*(3jtx) = (xttll) *6 9. En el conjunto Q, definimos las siguientes operaciones: a*b - -|a+3b ; a#b = 3a+ -jb ; aAb = 5a-3b. Sí x*x=9. yty-21, hallar el valor de xAy. 10. &i Q, se definen las operaciones a*b=aI+b, a#b=a-b*. Si c/0, hallar la suma de las soluciones de la ecuación: ¡x*(xfc)](fc = 2[ (c*0)itx]. 11. Se define la operación * en Q por: a*b=a+b-ab. Hallar el valor de ver dad de las siguientes afirmaciones: a) El cero es el elemento neutro en * c) Si x*3=6 * X--3/2 b) (a+b)*(a-b) = a l+2a-2b2 d) * es conmutat iva 12. Si en Q definimos la operación * por: a*b=a(l-2b)+b. Se afirman: a) Va.beQ, a*b=b*a b) 0 es la identidad para * y todo acQ c) (l~l * 2)~l = 1/3 De tales afirmaciones, cuáles son verdaderas? 13. Sia,b son enteros, definimos la operación en zt:a*b=b-a y aib=2a+2. Hallar el conjunto solución de: [ (x+3)*(x+2)]*(x+6) i. xi(x+2). 14. £h Q definimos la operación * por: a*b = a+b+âb. Cuáles de las afirma dones siguientes son verdaderas? a) La operación * es conmutativa. c) 0 es el elemento identidad b) La operación * es asociativa d) VaeQ, m *1 en Q 15. En el conjunto A= 11,2,3,41 definimos la operación * tal que 3 es la identidad, cada elemento es su propio inverso y los elementos (dé los re saltados en una tabla) de cada fila y cada columna son diferentes. Sí a es la solución de la inecuación (x*3)~l=(2*4~2)~l, hallar el valor de: ((a*2)~,*(a~1*3~1)j~l. 16. Si definimos en Q la operación * por: a*b=a(l-2b)+b. De las afirmacio nes siguientes, cuáles son verdaderas? a) 2 * l" 1 = 1/3 c) Ya,b,ceQ, (a*b)*c = a*(b*c) b) (2x)*3 = 2*(3x) - oc=l 17. Si* es una operación en A={0,1,2] tal que su neutro es2,' el único in verso de 1 es 0, el único inverso de 0 es 1, y Vxe A-{2 }, i*jc=x. Hallar Sólo fines educativos LibrosVirtual 184 Capitulo 3: Operaciones Binarias el valor de: [(0*1)-(0*0)] + ((1*1)-(1*0)] + (0*2) 18. Sea * una operación en Q. Si (2a+l)*(b-2)=2a+b+l, hallar: (~3)~‘*4. 19. Si definimos la operación * en Q por: a*b=a+b-ab y si a"‘ es el inverso de a, hal lar 2~‘*3~l. 20. Sea A=fa,b,c,d} y * la operación definida en A me diante la tabla adjunta: Hallar: oc=[ (d*a~ ‘) *b~lj . 21. Si A=(p,q,r,si, se define la operación * mediante la tabla adjunta. Cuántas de las siguientes afir maciones son verdaderas? a) * es conmutativa b) Existe un elemento identidad para * c) Todo elemento de A tiene un inverso respecto de *. d) Si (p*q)*x = s a tiva definida en A según el cuadro adjunto. Dado el sistema de ecuaciones: x*y-b , x*y~'=d el par ordenado: (x*d,y*c) 23. En el conjunto A={p,q,r,s, t}, sea la operación * c d d a a b c b b Q d c c c d a b d d c b a q r s P q * q p s r r s p q r s r q p s p q r s p * a b c d e a a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d b c d e * 25. Sea * una operación definida en A={a,b,c,d,e) me diante la tabla adjunta. Si de * se sabe que es conmutat iva, posee elemento neutro y todo elemen to de A tiene elemento inverso. Hallar: il (y*:'‘)“ *aj-‘*i) "* Sólo fines educativos LibrosVirtual t 0 2 4 6 8 4 6 8 0 2 6. 8 0 2 4 8 0 2 4 6 0 2 4 6 8 2 4 6 8 0 2 4 6 8 hallar el valor de x. s 0 q i(x-í*2-í) * (6*8r ' r 1 = 2 r * Si (p*x'l)-l*(t*q-1) = t' 1 24. Sea * la operación en A = (0,2,4,6,81, definida por: q r s £ P Hallar el valor de: x*r P r s i P q s * P q r t p q r s P q r s t q r s t P definida en A según el cuadro adjunto: sí b x=r 22. Sea A=ta,b,c,d,el y * una operación binaría asocia Hallar * * a b c d e a b c d e d e a b X e a a z b c d e a c d e Q b y c c d d e 185 m INTRODUCCION________________________________________ § | La estructuración del sistema de los números reales se enfoca usual mente de dos formas; una de ellas es el método usado por Dedekind, que in troduce primeramente en forma axiomática el estudio de los números natura les, para extenderse luego a los números enteros, racionales, y en base a éstos últimos definir (os números reales. La otra forma, define axiomática mente el sistema de los números reales y luego demostrar que los números ra/ dónales, enteros y naturales son subconjuntos de los números reales. En es te libro usaremos la última forma. 4.2 DEFINICION A X I O M A T I C A D E L O S N U M E R O S REALES Se llama sistema de números reales a un conjunto no vacío R do tado de dos operaciones internas, lltmadas adición y multipl icación, denotadas por: (*): ( . ) : R x R ■* R 8 * 8 * 8 (a,b) * a+b (a,b) * a.b y una relación de orden mayor, denotada por " > ”, que satisface los axiomas siguientes: 1. AXIOMAS PARA LA ADICION A.l: Si azR y bcR (La swia dedos •*(a+b)eR (Clausura) números reales esuna operación cerrada) A.2: a + b = b + a ,-Vo.be R A.3: (a + b) + c = a + (b + e),-¥a,b,ce (Conmutatividad) R Sólo fines educativos LibrosVirtual (Asociatividad) 186 Capitulo 4: Números Reales A. 4: 3.'0eR|a + O = O + a, VazR (Existencia del elemento neutro aditivo) A.5: VazR, 3'(-a;eR|a + (-a) = (-a) + a = O (Existencia del elemento inverso aditivo) 2. AXIOMAS PARA LA MULTIPLICACION M.l: Si azR y bzR * (a.b)zR (Clausura) (El producto de dos números reales es una operación cerrada) M.2: a.b = b.a, Va.bzR (Conmutat ividad) M.3: (a.b).c = a.(b.c), Va,b,czR (Asociat ividad) M.4: 3;jeR|a.J = 1.a = a, VazR (Existencia del elemento neutro muít iplicat ivo) M.5: VazR-10),s! (— )zR\a(í) = (-)a = 1 a 1 a a (Existencia del elemento inverso muítiplicativo) 3. AXIOMAS DISTRIBUTIVAS (Axiomas del factor común) Si a,b,ceR, entonces D.l: a(b + c) - a.b + a.c (Distribuí ividad por la izquierda) D.2: (b + c)a - ba + ca 4. (Distribut ividad por la derecha) AXIOMAS D E IGUALDAD Para a,b,czR, se tiene: I.I: Dicotomía: a = b o a i b 1.2: Reflexividad: a - a 1.3: Simetría: Si a = b 1.4: Transí tividad: Si a-b ~ b=c 1.5: Unicidad de la Adición: Si a=b ■»a + c= b+c. VczR 1.6: Unicidad de la Ktultipl icación: 5. * b - a -* a=c Sia=b a.c=b.c,Va.bzR AXIOMAS DE ORDEN 0.1: Ley de Tricotomía. Para dos números aeR y bcR. uno y sólo uno de los siguientes enuncia dos es verdadero a b Sección 4.3: Teoremas sobre la Adición "a es menor que b" , 187 "a es igual a b" , "a es mayor que b" 0.2: Ley Transitiva Si a 0 y c) Si a be J + ,. ■ , • . . , (Consistencia Muítiplicativa ) 0.4: Existe un conjunto R+, tal que R+c R, llamado conjunto de números rea les positivos, el cual satisface las siguientes propiedades: a) Si atR+ y beR+ * (a+b)cR* y a.bzR+ b) Para cada afO: a£R+ ó -acR+, pero no ambos c) O f R+ 6. L: EL AXIOMA DEL SUPREMO Si S es un conjunto no vacío de elementos de R superiormente acotado, entonces S tiene un supremo en R. Este último axioma nos garantiza que los números realesRincluyen ros racionales Q y que se puede establecer una losnúme correspondenciabiunívocaen tre los puntos de una recta y los números reales. A continuación, haciendo uso de los axiomas, probaremos algunas de las pro piedades del sistema de los números reales y veremos también sus api ¡endo nes en el álgebra elemental. Q ) TEOREMAS SOBRE LA ADICION________________________ Teorema 1. Danostración. El elemento neutro aditivo (e=0) es único. Según A.4: 3.'eeR|a+e = e+a = a, VacR Supongamos que existe otro elemento neutro aditivo e'cR. En tonces, tenemos que probar: e-e' (1) En efecto: por A.4: a+e = a (2) Enparticular, si hacemos a=e' + e'+e =e (3) Pero, por ser e' elemento neutro aditivo + a+e' = e (4) Ahora, si hacemos: a=e + e+e' = e (5) De 2 y 4 se tiene: e = e ' + e = e '■*e=e' Lo que demuestra la unicidad del elemento neutro para la adición en R. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 188 Definición 4.1 El único elemento neutro para la adición en R se llama cero, se escribe O, de moao que: YaeR: a+0 = 0+a = a TEOREMA 2. Dado aeR, el inverso aditivo es único. Demostración. Supongamos que b y b' son los inversos aditivos de a en R. Probaremos entonces que: b=b’ En efecto, según A.5: a+b = b+a = O y a+b'= b'+a = O (1) Partiremos escribiendo: b = b + O (A.4) + = b +(a + b ’) (A. 5) (3) - = (b + a) + b' (A.3) (4) * = O + b' (A.5) (5) + b = b' (2) (A.4) Lo que demuestra la unicidad del inverso para la adición en R. Definición 4.2 Para cada azR, el inverso aditivo de a se llama el opuesto de a, se denota -a, de modo que: VacR: a+(-a) = (~a)+a = O Ley de cancelación para la adición: TEOREMA 3. Para los números a,b y Demostración. a+c = b+c * a=b En efecto: (1) a+c= b+c -*• (2) Corolario. se cumple: ceR, a+c+(-c) - b+c+(-c) (1.5) +a+[c+(-c)] = b+[c+(-c)] (A.3) (3) + a + 0 = b + 0 (A.5) (4) - a = b (A.4) Para números a y beR, se cumple a + b = O Danostración. + Enefecto: b = -a (1) Si a+b=0 * (~a)+(a+b) (2) TEOREMA 4. Demostración. = (~a)+0 (l.5) + l(-a)+a]+b = (-a)+0 (A.3) (3) + O + b = -a (4) * b = -a (A.5 y A.4) Para cada aeR, se cumple: -(-a) = a En efecto, por la definición 4.2: VaeR: a+(~a) = O y por el Corolario del T.3: o = -(-a) Sólo fines educativos LibrosVirtual (A.4) Sección 4.4: Teoremas Sobre la Multiplicación TEOREMA 5. 189 Para los mineros a y beR, se cumple: -(a + b) = (-a) + (-b) Demostración. En efecto, partiremos de I (a+b) + [(-a)+(-b)] = (a+b = [a+( Axioma de reflexividad): a = a l(-a)+(-b)) + [b+(-b)¡ (A. 3) - (a+b) + [(~a)+(-b)] = 0 + 0 (A.5) - l(-a)+(-b)] = -(a+b) (Cor. del T.3) -(a + b) = (-a) + (-b) Nota. Obsérvese que los axiomas A.l al A.5 se refieren a la adición. Exis te otra operación sobre números reales que no está incluida eocplíc itómente en estos axiomas, a saber, la sustracción.Esta operación se puede definir en función de las propiedades ya estudiadas. Definición 4.3 Sean dos números atR y beR. Se define la diferencia de a y b como la suma de a con el inverso aditivo de b. Esto es: a - b = a + (-b), -Va,beR TEOREMA 6. Para los números a,b,c y deR, se cumplen las siguientes propi edades: a) (a-b)+b = a e) a=¡) y c=d b) a-(b+c) = (a-b)-c f a+c = b+d L a-c = b-d c) a-b = c-d + a+d = b+c f) a - (-b) = d) (a-b)+(c-d) = (a+c)-(b+d) g) -O = O fJ J ^ a+ b TEOREMAS SOBRE LA M ULTIPLICACION________________ TEOREMA 7. Demostración. El elemento neutro muí tipl ¡cativo (e=l) es único. Supongamos que e y e' son dos elementos neutros muítiplicati vos de a en R. Probaremos que e=e' (1) En efecto, por M.5: ae = a (2) En particular, para (3) Por ser e ’ elemento (4) En particular, para a=e'cR + e ’e = e' neutro,entonces: a.e' = a a=e ■* e.e' = e (5) Por tanto, de 2 y 4:e = ee' = e' -*■ e= e' Lo que demuestra la unicidad del elemento neutro multiplicativo. Sólo fines educativos LibrosVirtual 190 Capítulo 4: Números Reales Definición 4.4 El único elemento neutro para la muítipl icación en R se llama uno o unidad, se denota 1, de modo que: VaeR: a.1 - 1.a = a TEOREMA 8. Dado adt, afO, el elemento inverso multiplicativo de a es úni co. Demostración. . Supongamos que b y b' son elementos inversos muít iplicat ivos de a en R. Probaremos que b=b'. En efecto, según M.5: a.b=b.a=l y a.b'-b'.a=l (1) Partimos de: - b=b.l (M.4) = b.(a.b') (M.5) = (b.a).b' (M.3) = 1 . b' (M.5) b=b' (M.4) Por lo tanto, queda probado la unicidad del elemento inverso muí tipl icat ivo Definición 4.5 Para cada aeR-10), el inverso de a para la multipU cación, se llama inverso muítipl icativo o recíproco de a, se denota a ' 1 o Ha, de modo que: VacR- { 0 a.a' 1 = a "1.a = 1 TEOREMA 9. Propiedad cancelat iva para la muítipl icación. Para los números a.b y cdt, se cumple: a.b = a.c, a¿0 ■* b=c Danost ración. En efecto: (1) a.b = a.c (2) TEOREMA 10. (a .b ).a ~ ‘ = (a.c).a'1 (a.a").b = (a.a >).c (1.8) (M.3) (3) - l.b = l.c (M.5) (4) - (M.4) b =c Para a cR- (0 ( y bcR. se cumple: a.b = 1 Demostración. -* - «• b = a~* En efecto, como ato -* existe o " 1 (1) Luego, si ab - 1 *-» a'Vab) = a~l(l) (1.6) (2 ) (M.3) ♦-» (a~l.a).b (l).b = a-* (3) (4 ) = a* 1 *■* b = a~ x Sólo fines educativos LibrosVirtual (Al. 5) (M.4) Sección 4.4: Teoremas sobre la Multiplicación TEOREMA 11. Para cada afO en R, se ampie: Demostración. En efecto, dado que afO y por el Teorema 10: TEOREMA 191 * (a~')~l - a (a~l)a = 1 a - = (a~l)~l ** (a~l)~l 12. Si a,b,xeR, con afO, entonces la ecuaciónax=b =a tiene solu ción única: x=a~‘.b Demostración. En efecto■ (1) ax=b ** a~1(ax) = a~‘(b) (1.6) (2) (a~l.a)x = a~l.b (M.3) (3) 1.x = a~l.b (M.S) (4) <-► x = a~‘.b (M.4) Como a ~ l es único (T.8), se tiene que a~l.b es único, por lo que el valor de x esiá únicamente determinado por a~l.b. TEOREMA 13. Para a,bcR se cumple: (a.b)~¡ = a~l.b~l, a W C Demostración. Probaremos que: (a.b)(a~l.b~l) = 1 En efecto: (1) (a.b)(a-l.b-‘) = (a)(a-1)(b)(o-i) (2) Qi.3) = (a.a-l)(b.b~‘) (i.,.3) (3) (a.b)(a~l.b~x) = 1 . 1 = 1 (ii.5) (4) Pero por M.S: (a.b)(a.b)'x = 1 Definición 4.6 (5) De 3 y 4: (a.b)(a.b)~l=(a.b)(a~l.b'1) (1.4) (6) Por tanto: (a.b)~l = a~l.b-x (T.S) Definición de División de números reales Dado dos números a,beR. Se define el cociente de a en tre b, como el producto de a con el inverso multiplicativo de b. Esto es: TEOREMA 14. -? =a.b~‘, Va.beR b Para los números a,b,ccR, se cumplen las siguien tes propiedades. a) a.O = 0.a = O , Va d) a(-b) = -(ab) = (-a)b, Vab b) (b-c)a = ab - ac ,Va,b,c e) (-a)(-b) = ab , Va.b c) -a = (-l)a , Va f) Si ab = O +-*■ a=0 b=0 Demostraciones, a) a.O = 0.a = O En efecto: (1) a.O = a.O + O Sólo fines educativos LibrosVirtual (A.4) Capitulo 4: Números Reales 192 a.O = a.O + [a+(-a)J = (a.O + a) + (-a) = (a.O +a.l) +(-a) = a(0 = a. 1 + 1) + (-a) + (-a) =a + (-a) (A.5 y A.3) (M.4 y D.l) (A.4 y M.4) - a.O = O (A.5) Por lo tanto: a.0=0 y por A1.2: a.O = 0.a = O b) En efecto: (b-c)a = a(b-c) (M.2) = ab - ac (D.l) c) En efecto: a + (-l)a = 1.a + (-l)a = [1 + (-l)]a = 0.a = O (M.4 y D.2) (A.5 y T.14a) Luego, si a+(-l)a=0, significa que (-l)a es el inverso aditivo de a: .. -a = (-l)a d) En efecto: i) a(-b) = a[(-l)b) = (T.14c) [(-l)a]b = (-l)ab (M.3 y M.2) = -ab ii)Demostraremos (T.14c) que: a(-b) = (-a)b En efecto, de i): a(-b) = -ab = (~l)(ab) (T.14c) = [(-l)a)b= f-a)b (M.3 y T.14c) f) La demostración consta de dos impli cae iones: (1) Si a.b=0 * a=0 v b=0 En efecto, si a=0, el teorema queda demostrado. Si a?0 ■* 3a~1\ab=0 * a~'(ab) = a '1.0 - (a~‘ .a)b= O (1-6) (M.3 y T.14a) l.b = O - b=0 (M.5 y M.4) Luego, si ab=0, uno de los factores, por lo menos, es necesariamente cero. (2) Si (a=0 v b=0) - ab=0 En efecto, si a=0 * ab=0 si b=0 -»• ab=0 Por lo tanto, de (1) y (2): a.b = O Nota. +*■ a=0 v b=0 Este teorema se usa frecuentemente para resolverecuaciones cuadráti cas por el método de factorización, cuya aplicación loveremos más a- delante. TEOREMA 15. Para los números a,b,c y d en R, se cumplen las siguientes propiedades: a) (b/a)a= b, si a40 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra f> 193 f i i = f • s,‘ c/d ^ 3 APLICACIONES DE R EN EL ALGEBRA Hasta aquí, nuestro objetivo era conocer los axiomas de adición, mul tiplicación y cociente, y los teoremas sobre propiedades del sistema de nú meros reales. Ahora el énfasis en las aplicaciones de aquellos axiomas y teoremas; esto es, el uso del sistema de los números reales. Trabajaremos nuevamente con elementos del conjunto de los números reales R y supondremos que R es un campo ordenado completo y, por lo tanto, que los axiomas acepta dos y teoremas demostrados son válidos. Mostraremos como algunas de las re glas y métodos del Algebra pueden manejarse a la luz de los axiomas para el sistema de los números reales. E S I OPERACIONES DE ADICION MULTIPLICACION Y COCIENTE EJEMPLO 1. Solución. Simar: 9x-5 y -4x+2 Aplicaremos los axiomas de adición y distribución procediendo de la siguiente manera: (1) (9x-5) + (~4x+2) = [9x+(-5)j + (~4x+2) (Def. 4.3) ( 2) = 9x + l[(-5)+(-4x+2)]} (A. 3) (3) = 9x + l((-4x)+(-5)] + 2} (A. 2) (4) = (9x + (~4x)j + ((-5)+2] (A.3) (5) = [9+(-4)]x + (-5+2> ( 6) = 5x + (-3) (7) = 5x-3 Sólo fines educativos LibrosVirtual (D.2) (Prop. de la suma) Capítulo 4: Números Reales 194 Observación. Nuestro propósito es efectuar las operaciones como éstas rápida y fácilmente. El paso (5) indica que la sima se debe realizar simando coeficientes de términos semejantes. Por ejemplo sumar: -2x¡+7x*-x y 4x3-8x2+x-6 Entonces: (~2xs+7x*-x) + (4x*-8x%+x-6) - l(-2)+4]x5 + t7+f-S;]x* + t(~1)+1]x + (-6) = 2x’-xz-6 EJEMPLO 2. Demostración. Demostrar que: a + a = 2a En efcto: a + a = 1.a + 1.a (M.4) = (1 + l)a (D.2) = 2a EJEMPLO 3. Demostración. (Sima en N: 1+1=2) Demostrar que: -0 = 0 En efecto: (1) Supongamos que a=0 (Hipótesis Auxiliar) (2) Pero según A.4: a + O = a (3) Entonces: (4) 0 + 0 = 0 (Hip.Aux.) También por A.5: a + (-a) = O (5) Entonces: O + (-0) = O (Hip.Aux.) (6) De 3 y 4: O + (-0) = 0 + 0 (1.4) (7) Por lo tanto: - 0 = 0 EJEMPLO 4. Demostración. Demostrar que: 1 i O £>i efecto: (1) Supónganos que: (2) 1=0 (Hipótesis Auxiliar) Por 1.2 (reflexividad): a = a , -VaeR (3) a =a.1, VaeR (M.4) (4) a =a.O, VaeR (Hip.Aux.) (5) a = O , VaeR (T.14a) De aqui se deduce que R es un conjunto unitario formado por el elemento 0. Esto es una contradicción, pues sabemos que R consta de más de un elemento; luego, la hipótesis auxiliar es falsa; en consecuencia: EJEMPLO 5. Demostración. 1 J O Demostrar que: a-(b-c) = (a-b)+c En efecto: (1) a-(b-c) = a + [-(b-c)j Sólo fines educativos LibrosVirtual (Def. 4.3) 195 Sección 4.5: A plicaciones de R en el A lgebra EJEMPLO 6. (2) a-(b-c) = a + l(-l)(b-c)] (T.14c) (T.14b) (3) = a + [f-l)b - r-ljc] (4) = a + [-b - f-c>] (5) = a + (-b+í-(-c)l) (6) = [a + f-bj] + c =(a-b)+c (T.14c) = a +(-b+c) (Def.4.3 y T.4) (A.3 y Def.4.3) Para números a,b,c,d en R, demostrar que: = £ f •M y V O Demostración. En efecto: (V EJEMPLO 7. = (o.b~>)(c.d~‘) (2) = ( a.c)(b-l.d'1) (3) = (a.c)(b.d)~l (4) = ~ (Def. 4.6) (\t.3 y M. 2) (T.13) (Def. 4.6) Para números a,b,c,d en R, demostrar que: cid =¿ 4 , b.c bfO , c+0 . d*0 Demostración. En efecto: (D ^ = ffjpi = (a.b l)(c.d-'T' (2) EJEMPLO 8. = (a.b-')(c-‘.d) (T.13 y T.11) (3) = (a.d)(b~l.c-') (M.3 y M.2) (4) = (a.d)(b.c)'* (T.13) (5) = (Def. 4.6) Para números a,b,c,d en R, demostrar que: £b ♦ £d = Demostración. (Def. 4.6) .b*o .dto ba En efecto: (!) f + ^ = a í>"‘ + c.d - 1 (Def. 4.6) (2) = (a.b~l)(d.d-1) + (c.d'1)(b. b'1) (M. 4 y M. 5) (3) = (a.dXb-'.d1) + (b.c) (b~ ‘.d~‘) (M.3 y M.2) (4) = (a.d + b.c)(b~'.d~l) (ó) = (a.d + b.c)(b.d)'1 (6) = Q '<V d b C Sólo fines educativos LibrosVirtual (D.2> (T.13) (Def. 4.6 ) Capitulo 4: Números Reales 196 Haciendo uso de los axiomas de la adición y multiplicación de números reales, efectuar las operaciones indicadas, describiendo los pasos dados y escribiendo los resultados en la forma más simple. 1. (12x)f +3x* y-4z? ) + (-10x^7 Sxfy-a? ) 2. (x'-x*+l) - (x'+2x*+l) + (3x'-3x*-2) 3. (2xy+yz+2xz) - [(-2xy-yz+xz) - (xy+2yz-xz)] 4. 5a+3b-(5a-b-[2a-8b-(3a-4b)] - (2a-b)} 5. (2x+l)(x-3)(x+3) 6. 5x-x{2-x(3x-2) + [7-(2-x)]\ Haciendo uso de los axiomas de la adición y muítipl icación de números reales, demostrar que: 7. (a + b)(c + d) = ac + ad +be + bd 12. Si atO -►(a~l.b)a 8. Si a=b y c=d -► a+c = b+d 13. 3a + 5a - 8a 9. Si a=b y c=d + ac = bd 14. (a + -b b) 2 = a* +2ab + b1 15. Si di¿O - ■£ + - = ^ d a a 11. Si btO y ctO * 17. Si ato y btO ■* (ab)(a~l + b ~ l) = a + b 18. Si btO y dtO » 21. =f 16. Si ato y btO - (%)~l = — b a *- a.d = b.c Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones lineales: e) a2(x-a)+b2(x-b) - abx al 5x-(3x-7)-[4-2x-(6x-3)] = 10 b) x-(3x - ^ ) = j(2x-7) - | a-x + b+x _ 2 b a xtO n * Sólo fines educativos LibrosVirtual m Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 197 n POTENCIA DE UN NUMERO REAL Definición 4.7 Si neN y í¡eR, entonces bn, llamada n-ésima potencia de b, representa el producto de n factores iguales a b, esto es: bn = b.b.b....... b en donde, el exponente n indica las veces que se debe repetir la ba se b como factor. TEOREMA 16. Si a,beR y'm.ncM, v m n m+n a) a .a = a *1 (a y J71)t7*1 = b) v c) Demostración. a) /IFÍ o „n •n „ / » .n (a.b) = a .b entonces: m .. a m-n , d) — — = a , aiO Q n e) (-jo )n =-2.n , btO b En efecto: am .an = (a.a.a...........)(a.a.a m factores de a ) (Def. 4.7) n factores de a = a>a.a a a.a.a.......... a ^ NP" 1/ ^ V" * m factores de a n factores de a = a.a.a a (Asociat. extendida) (Unión de conjuntos dis juntos) (m+n) factores de a m n m+n .. a .a = a , . y f?i»n m m m ni b) (a ) = a .a . a ........ a ^p» « a i \ (Def. 4.7) n factores de am = a •••*! n simandos de m = a001 = a”"1 c) (Parte: a)) (Mult. de núm. nat. como simas repetidas) (ab)n - ¿(ab)(ab)........(ab)t (Def. 4.7) n factores de ab = (a.a.a........ a)(b.b.b........ b) 11 v i.— n factores de a ' * (Conmutat ividad) ^ n factores de b Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 198 Mediante algunos ejemplos veremos como deben ser manejadas las leyes de los exponentes para simplificar expresiones algebraicas. EJEMPLO 1. Solución. Efectuar: E = (2x1)(3xy1)(x1y)1 E = (2xz)(3xyz)(x"yz) (T.16 b y c) = 6(x1.x.x")(yt.y1) (M.2 y M.3) = 6(x2+1+4)(y2+2) = 6x’y" Qriv)7^ Efectuar: E = ( y lz -2alb* EJEMPLO 2. solución. (T.16 a) E - (T.16e y T.16c) (-2a1b ’l* (-2)1(a1)1(b*)z _ 9x'y1z" 4a"b* Nota. (-x1* debe interpretarse como (-1.x)1 de modo que al usarel Teorema (-x)1 = (-1.x)1 = (~l)1(x)1 = 1.x1 = x 1 16c se tiene: Si no existe el paréntesis, el signo menos no resulta afectadopor el expo nente. Asi por ejemplo -x1 no significa (-x)1. » jx+m «n-m „n+3 EJEMPLO 3. Hallar el valor de: E = - — — 2 .2 Solución. E = 2 (n-Hn)-t-(n-m)+(n+3) ,3n+3 2(2n+l)+(n-2) = 'píTT (T.16a) _ 2 (3n+3)-(3n-l) - 2 " - 16 EJEMPLO 4. Solución. Simplificar: E = (T.16d) — Ü L ) 1* 301x35*x6' Al decomponer cada término de E en sus factores primos y usar el T.16c en cada caso, se tiene: 24 145 8x3 = = ( = 301 2*x3 2x7 1 * = 355 2*x7* 2*x31 x51 x5*x7*x2*x3' (5x7)’ 2 * x 3 2x 5 l = 5*x7* 6 * = (2x3)" = 2"x3" 15* = (3x51* = 3*x5* E = ( 2*x3x2*x7*x3*x 5* = (2x3x51* = jio 2 tx3*x5*x7* , 2‘x3 *x5 *x7 * ) de donde: E = 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algébra Nota. 199 Ciertos casos de multipl icación se presentan con tanta frecuencia que vale ¡a pena tomar una regla adecuada que permita efectuar men talmente por visualización estos productos. Entre los productos o identida des notables podemos citar los siguientes: IN.l: (a+b)(a-b) - a 3-b3 (Diferencia entre dos cuadrados) J (a+b)3 = a 1 + 2ab + b 3 1N.2: (El cuadrado de un binomio) ^ (a-b)3 =a 3 - 2ab + b 3 j (a+b)3 =a 3 + 3a 3b + 3ab3 + b 3 [ (a-b) 3 = a 5 - 3a3b + 3ab3 - b 3 IN.3: 1N.4: (El cubo de un binomio) (ax + cy)(bx + dy) = abx3 + (ad + bc)xy + cdy3 (Producto de binomios con términos comunes) IN.S: (a + b)(a3 - ab + b 3) = a3 +b3 (Sima decubos) IN.6: (a - b)(a‘ + ab + b 1) = a3 -b3 (Diferencia de cubos.) IN.7: (a + b)3 + (a - b)1 = 2(a3 1N.8: (a + b)3 - (a-b)3 = 4ab +b 3) (Identidades de Legendre) EJEMPLO 5. Suponiendo que 2x=a+b+c, simplificar la expresión: E = (x-a)3+(x-b)3+(x-c)3+x3 Solución. E = (x3-2ax+a3) + (x3-2bx+b3) + (x3-2cx+c3) + x 3 (IN.2) = (x3+x3+x3+x3) - (2ax+2bx+2cx) + (a3+b3+c3) (A.3) = 4x3 - 2(a+b+c)x + (a3+b3+c3) (D.l y D.2) = 4x3 - 2(2x)x + (a3+b3+c3) (Dato) = 4x3 - 4x3 + (a3+b3+c3) = a 3+b3+c3 EJEMPLO 6. Solución. Simplicar: E = (x+a)(x-a)(x3+ax+a3)(x3-ax+a3) E = (x+a)(x3-ax+a3)(x-a)(x3+ax+a3) = (x3 + a 3)(x3 - a 3) - (x3)3 - (x3)3 = x 3 - a ‘ EJEMPLO 7. Demostración. (M.3) (IN.5 y IN.6) (IN.l y T.16b) Demostrar que: (x-y+z)3 + (x+y-z)3 = 2x3+2(y-z)3 En efecto: ix-y+z)2 + (x+y-z)2 = (x-(y-z)]2 + lx+(y-z))2 = 2[x2 + (y-z)2 ) = 2x 2 + 2 (y-z)2 Sólo fines educativos LibrosVirtual (A.3) (IN.7) Capitulo 4: Números Reales 200 EJEMPLO 8. Demostrar que: Demostración. {a 2- b 1+2a b ) 2+(a 2-b 2 -2ab)2=2(a 2+ b 2)1 En efecto: (a2- b 2 +2ab)2 + (a2-b 2-2a b ) 1 = l (a2-b 2)+2ab]2 + l(a1- b 2)-2a b ) 2 EJEMPLO 9. = 2(a'-2a2b2+b'+4a2b 2) (IN.2) = 2(a''+2a2bx+b'') = 2(a2+b2)2 (IN.2) c a 2 = —‘+ — a c Efectuando por separado los cuadrados se tiene: b - (1N.7) Hallar el valor de E=x2+y2+z2-xyz, para: x = -g + g b c y * - +c b Solución. = 2[(a2-b2)2+(2ab)2] a x 2+y2+z2 = 6 + (§* + + fjr *fr; + $ ( 1) De otro Jado: jcyZ = (g + ¿ ;í| + | ; f| de donde: xyz = 2 + fgr + + fgi + gi) + f~r + ( 2) Finalmente, restando (l)-(2) obtenemos: E=4 2_ i_,x í* , (x2 EJEMPLO 10. rtx Solución. (x - i ) f . ( x - ± ) y-x £ = " y + z>(y * E = JL^y* Simplificar: E = (1N.1) 1 , ,y , --x=Jr •(y +-=1.),x-y , 1 ,x, 1 ,x , 1 ,y-x (x + — ) (x — ) .(x — y y y y , 1 ,x , 1,y (x + — ) .(x — y / y +-jr i >y, ( (y y y i . fy, + -;i>*-yy / (y. +—> i\X.,(y - -y i¡y ¿ y + 1¡x (xy - y .y. . _ . y “ (SLL1)X xyjL± \x f2 Lz J: \y ~ \ SL1J xy - 1 x = ( X. )X , X. }y = ( X . yX+y y y (T.lSc y T.16a) y Sólo fines educativos LibrosVirtual (T.lSe y T. 16e) (T.lóh y T.16a) Ejercicios: Grupo 16 201 EJERCICIOS: Grupo 16 En los ejercicios siguientes, efectuar las operaciones indicadas usando pa ra ello las leyes de los exponentes. j (-2xy)3(3abz)l(-ax*y') g f 1*2 - 3 5 0 a '1) (-3ab*)z(2xy1)í ynn + m J \ 3. U ( 7 n) ? 5 <2n) ' ^n+2 _ ¿n+l _ ¿n 2n j i(ñ+y . ioy-x . i o »*1 2n+4 - 2 (2n) 20y+J . 10Xy+1 4 2(2n+i) ■ 123 » 981 x 753 . nn g aci » 490 jtnnZII » 80 » 45 5. f77— H 1 + x (2n)(15n+1)(62~n)(51~n) 1 + x n~iTt 10. 3n - j¡(3n ) 11. Simpl ificar: E = n-1 x x 12. n-3 .x .x Simplificar: £ = x n+1 n-1 n—3 .x n-1 .x n —3 . . . . . . hasta (n+2) . . . . , . . .. hasta (n+4) • • • ■ h««la (n+3) factores n+1 , . , ,. „ ........... hasta (n+1) factores .x 13. En los ejercicios siguientes, efectuar abreviadamente los productos in dicados, dando el resultado en su forma mas simple. a) (x1+2x1y+2xy1+ys)Cx1-2x1y+2xyl-y 3) b) (l+xt->/3)(r'3+x,-l)(x^-2/3-4) c) (x,-4xz+8x-8)(x>+4x1+8x+8) 14. Suponiendo que 2a-p+q+r, demostrar que: 4(a-q)(a-r) + (q-r)1 = p 1 15. Demostrar que: x(x+l)(x+2)(x+3) + 1 = (x1+3x+l)' 16. Si x=a+b+ , y = 2ííl + , demostrar que (x-a)‘-(y-b)1 = b 2 4(a+b) 17. Si a+b+c-0 , simplificar: ' , - 2 ,_2 , . a+b - - Sólo fines educativos LibrosVirtual - 202 Capítulo 4: Números Reales 18. Si x=2+s'2, hallar el valor de E=x2+x~2 19. Hallar el valor de: E = (8a3-xl)(8a3+x2)-(2a+x2)(2a-x2)[2a(2a+x2)+x1 '][4a2-x2(2a-xl)] 20. Si x-x~l=l, demostrar que: x 2+x~2=3 y que: x 3-x~3=4 21. Si 2p=a+b+c, demostrar que: (p-a)3+(p-b)3+(p-c)3+3abc - p 3 22. Si x+y+z=0, probar que: x 3+y3+z3 = 3xyz 23. Efectuar abreviadamente los productos indicados a) (x+2a)(x~2a)(x2+2ax+4al)(x2-2ax+4a2) b) (s/x+l)(x+l)(/x+l)('S5:-l)(x'+x2+l) 24. Si x+y=m , x-y-n , expresar x s+y3 en términos de m y n. 25. Demostrar que si: a3+b3=4 y a+b-2, entonces: (a-b)2=4/3. 26. Demostrar que: (a+b+c)2+(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 3(a2+b2+c2) 27. Demostrar que si: -g = (ab+cd)2 = (a2+c2)(b2+d2). 28. Para números reales a,b y c, demostrar que: a2+b2+c2 = ab+ac+bc * a= b = c 29. Para números reales a,b,c y d, demostrar que (a+b)2+(b+c)2+(c+d)2 = 4(ab+bc+cd) si: ■* a=b=c=d 30. Si x=a+d, y-b-Kt, z=c+d, demostrar que: x 2+y2+z2-yz-zx-xy = a2+b2+c2-bc-ca-ab 31. Simplificar: E = (a+b+c) 2-(a-b+c)2+ (a+b-c)2+ (-ai-b+c)2. 32. Si a+b=l, probar que: (a2-b2)2=a3+b3-ab. 33. Si a-x2-yz, b=y2-zx, c=z2-xy, probar que: a2-bc=x(ax+by+cz). 34. Si xy=ab(a+b) y x 2-xy+y2-a3+b3, probar que: ~ 35. Si 2s=a+b+c, demostrar que: (s-a)3 +(s-b)3+ (s-c)3+3abc = s3 36. Si 2s-a+b+c, demostrar que: 2(s-a)(s-b)(s-c)+a(s-b)(s-c)+b(s-a)(s-c)+c(s-a)(s-b) = abe * Sólo fines educativos LibrosVirtual ~ 0 Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra (2 5 ) 203 RAICES Y RADICALES___________________________________^ La operación inversa a la potenciación se denomina radicación (ex tracción de la raiz); mediante esta operación, si están dadas la potencia (c) y su exponente (n), se busca la base (x) de la potencia. Por ejemplo: (1) Qué minero real (base) elevado al cuadrado (exponente) da 9 (potencia)? Se sabe que: 9 = (3)(3) - (3)z = 9 pero también: 9 = (-3)(-3) ■* (-3)1 = 9 de modo que las bases 3 y -3 son llanadas raíces cuadradas de 9. (2) Qué número real elevado al cuadrado da -4? Vemos que no existe tal número real, porque: (-2)(-2) = (-2)* = 4 y (2)(2) = (2)1 = 4 En ambos casos la potencia es positiva (3) Qué número real al elevarse al cubo da -8? Se sabe que: -8 = (-2)(-2)(-2) = (-2)’ = -8 Luego, -2 es la única raiz cúbica de -8. Los ejemplos anteriores nos indican que podemos obtener cero, una o dos raí ces n-ésimas de un número real c, dependiendo de que n sea impar o par y de que c (potencia) sea positiva o negativa. Si designamos n/c para representar al número x que al elevarse a la n-ésima potencia da c, tenemos que asegurarnos que si n es par, c no sea negativa. Definición 4.8 Si c,x¿R, n^N, entonces x se llama raiz n-ésima prin cipal de x, se denota x=nfc, si y sólo si xn=c, bajo la condición de que si n es par, entonces x>0 y c>0. Formalmente: jc=,Vc xn=c, n par ■* c>0, x>0 Una consecuencia de esta definición es que: ('Vcf = c Por ejemplo: (‘<?25)3 = 25 (/2)' = l(/2)*V = (2)' = 16 Hay que tener siempre presente que una raiz principal par es un número pos¿ tivo. Por ejemplo: /(-3)2 f -3, pero como (~3)2=9 ■* Notamos que si c< O /(-3)2 = /9 = 3 / c 2 = -c, puesto que -c es el número positivo cuyo Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 204 cuadrado es (-c)l=c2 , y si d 0 ■» /c*=c; de modo que: _ f c, si c£0 - |c| = J /c2 = ^-c, si c<0 Ejemplos: (1) Si acR * /25a2 = |5a| (2; Si aeR - /16a' = 4a2 No es necesario usar las barras de valor absoluto, ya que 4a2 es positivo, VaeR. Definición 4.9 Si ceR, neN, entonces c ^ n = n/c, con la condición de que si n es par, d O Ejemplos: (1) 4ll1= /4 = 2 (En estos casos se omite el índice 2) (2) 27I/5 = s/27 = 3 (3) (-16)1/2 no está definida en R puest que S-16 no existe. (4) (-12S)2/‘ = V-125 = -5 Definición 4.10 Si ceR, rrfiZ y neZ, entonces mln ,n r~,m n/m c = ( Je) = J e con la condición de que si n es par, c debe ser positivo. Ejemplos: (1) (125)2/> = C^125)2 = (S)2 = 25 (2) (-9) 1/ 2 no está definida porque (S-9)2 no existe. (3) (-8)'/2 = (2<^8)' = (-2)' = 16 Con frecuencia es necesario alterar la forma de una expresión radical para obtener una expresión más simple o más útil. Esto se puede hacer utilizando las definiciones dadas y el siguiente: TEOREMA 17. Sea a,beR, neN, y ningún radicando es negativo si n es par. Entonces: a) b) 'J/a.b = n/a.rV b e) c) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 205 4.5: Aplicaciones d e R en e l Algebra Este teorana se puede usar en los siguientes tres tipos de simplificación de radicales: I) Simplificación del radicando y de radicales. II) Racional ización de denominadores. III) I) Simpl if icación del índice. SIMPLIFICACION DEL RADICANDO Y D E RADICALES EJEMPLO I. Solución. Simpl ificar el radicando de /96 Descomponemos el radicando en dos factores de modo que uno de es tos factores sea un cuadrado perfecto, esto es: /96 = /i6 x6 = (/l5)(/6) (T.l7b) = 4/6 EJEMPLO 2. Solución. Simpl ificar el radicando de >/-81 Aoui, uno de los factores del radicando debe ser un cubo perfec to, es decir: = */(-27)( 3) = {,/z27)(i/3) (T.l 7b) = -3.*/3 EJEMPLO 3. Cambiar a una forma que no contenga fracción en el radi cal. Solución. En este caso multiplicamos el numerador y denominador del radi cando por un número tal que el denominador sea un cuadrado per fecto, esto es: ¡Ti 20 ¡11*6 Y 20 x5 Í55 /S5 y 100 /¿¿¡fi lm 1 EJEMPLO 4. Simplificar: E = /— ? m n " ~ 10 z * (T.17c) > n ---------------- ' Solución. T /S 5 H ~ n Ordenando convenientemente los términos del nunerador se tiene: £ = ./— - 3( Y )zn + 3( -J )nl - n s /(y - n)’ -------- 3 — ----- 2--------------- ~3 ~ n / í f - n)z = || - n| Sólo fines educativos LibrosVirtual (IN.3) f 1 ~n (T.17a) Capítulo 4: Números Reales 206 EJEMPLO 5. Hallar el valor de E = /12 + /12 + /l2 Solución. Elevando’al cuadrado: E* = 12 + Sl2 + /12 + . . . . “ de donde: E 2=12+E Dado que £>0 EJEMPLO 6. + E*-E-12=0 -* £=4 v £=-3 £=4 Si x,y,zzR, todos positivos, simplificar: E = /x+y+z+ /z(2x+2y+zf - /x+y+z- /z(2x+2y+zj Solución. Sean: A=x+y+z , B=S2xz+2yz+z1 ■* £ = /Á+B - /A-B Elevando al cuadrado: E* = (A+B)-2/(A+B)(A-B) +(A-B) de donde: £2=2A-2/Á2-B2 = 2(x+y+z) - 2*'(x+y)1 = 2(x+y+z)-2\x+y\ (T. 17a) Pero como x e y son pos iti vos, entonces: |x+y| = x+y Luego, Nota. El-2z * £ = /2l Dos o varios radicales se denominan semejantes si se diferencian só lo por los coeficientes, pues tienen idénticos radicandos e iguales índices del radical o no difieren en nada. Por ejemp.lo, son semejantes: 3/2 y -5/2 ; a/aE y c/ab La suma y resta de radicales semejantes se efectúa del mismo modo que la su ma y resta de números racionales semejantes. EJEMPLO 7. Solución, Simplificar: E = /l2 - 2/27 - 3/48 + 2/75 + 3/JÓ8 E- 4/3 - 2/9»3 - 3/16*3 + 2/25*3 + 3/36*3 - E = 2<'J - 6/3 - 12/3 + 10/3 + 18/3 = 12/3 Los ejemplos que siguen señalan otras técnicas para operar conradicales, especialmente haciendo uso de las identidades notables. EJEMPLO 8. Solución. Efectuar y simpl if ¡car: E=(l+S6+*'3+S'2)(l+/6Í-/3-''1) Ordenando convenientemente se tiene: E =t(l+/6)+(/3+S2)]t(l+/6)-(/J+/2)] = (l+/6)l-(/3+/2)1 •* £ = (1+2/6+6)-(3+2/6+2) = 2 EJEMPLO 9. Si a = */5S .’/FS!? .’/448 y b = V/I08 + 10 - *//Í08 - 10 , haI lar a+b. Solución, (IN.l) (IN.2) a = ’/s*7 ,‘/27*7 ,’/64*7 = (2.,/7)(3.,/7)(4.i/f) = 168 En b, supongamos que: m = >/’'108+10 y n=‘/s708-10 Sólo fines educativos LibrosVirtual * b=m-n Ejercicios: Grupo 17 207 Elevando al cubo: b3 = m ,-3mtn+3im1-n3 = m 3-n3-3mn(m-n) = m 3-n3-3mnb - b 3 = (/ÍÓ8+10)-(/ÍÓ8-10) - 3.3A^ÍÓ8+I0)(/Í08-I0).b = 20 - 3(3/l08-100)b + b3 = 20-6b - (b-2)(bl+2b+10)=0, de donde: b=2 Por lo tanto: a+b=168+2=170 EJEMPLO 10. o . Solución, Simplificar: E = a> ~ b * , s ¡ a = /5 l /f a-b = 25 Entonces: E = + ) y b ¿ (* ~ /5> ¿ r- (a-b)(a3+ab+b*) 2 , ,2 E = —--= a +ab+b 25 + ^(l+/5)(l-2j) + (— j b * = jí(l+/5)2+ -/5)1]+1 ^(l-5) - E = -4l(l+/5)3 + (1-/5)1) - 1 = -|[2(l+5;] - 1 = 2 EJERCICIOS: Grupo 17 En los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones indicadas. Simpl if icar cada respuesta util izando las definiciones y teoremas usados en esta sección. 1. 7 / ñ b - 4 / 3 2 0 + 3JSo - 5 ¿800 3. 2. ~ ( 3/l35) + ~ ( 3/Tj32) + / ( 3/T/4) 5. ( a * b ) / % * - (a+b) / g 6. l f i Z +3bl A . l ^ r a 1 4 Y 4a a 1 0 ^ 5 - 1 2 / 1 6 / 3 - J ,$ 5 /4 4. 3 f ± - ^ 2 7 - +Z75 + 9/2 5 /3 +11$+ + (2a-2b) / X 7. 21/2/3 - 5 /4/ 5 + 6/25T6 - 10/16/5 + —^45/4 8. ^ ( S á + •'b)(/5 + ' 3) ( / ^ -f^)(220 - 212)(a-b) 9. (3 + /§ - 23 - 22)(3 - /6 + 2j - 22) 10. Si a=í(l+2l) y b=j(l-2j), hallar: E = a'-b‘+a2+b2. 11. Si a=(j 3/T35)(3/8d)(3/32Ó) y b= 3Á + 5 /2 + 3//-5/T, hallar: a-b. * Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 208 II. RACIONALIZACION D E DENOMINADORES Se denomina racional ización a la operación por la cual se tranforma el denominador irracional de una fracción a otra racional equivalente. Los ejemplos que siguen señalan las técnicas de los diferentes casos que se presentan para racional izar denominadores EJEMPLO 1. Solución. J-frr'G Racional izar el denominador de E = ----3-f/íT Cuando se trata de racionalizar denominadores irracionales que tienen ¡a forma: a ± / ~b v /a ± / b , se multiplica numerador y denominador de la fracción por el factor racional izante: a+ /b v /a + /b , llamado conjugado del denominador. Con esto se logra una diferencia de cua drados que permite eliminar el radical del denominador. Esto es: £ _ (7 -2 /6 ) ( 3 - / 6 ) _ 2 1 -7 /6 -6 /6 + 2 (/6 ) _ 33-13/6 (3 * / 6 ) ( 3 - /6 ) EJEMPLO 2. (3)l - ( / 6 ) 1 3 Racionalizar el denominador de: E = -- A q . ‘1+a* + /1-a2 _ ( V j + a 1 - yj/a1 )(/l+ñl - / 1-a1) ( A + a * - / 1-a f E = ■ - = .-'■— (/1+a1 + / 1-a* )(/!+<? - ^ 1-a1) /l+al / - (•'l-a f _ . Solución. _ 1 + a* - 2 S(l+a* )(l-a2) + 1 - a * _ 1 - / 1-a' a1 (1+a1 )-(l-a*) EJEMPLO 3. /J Racionalizar el denominador de: E = '3 - / 5 Solución. En estos casos se agrupa los términos del denominador dándole la forma de un binomio. + E _ /2 _ (/2+/3)-/5 __ S2(S2-h/3+fS) 2+2/6+3-S EJEMPLO 4. Solución. A(/2+^3+A) _ 1(/2-S3)-Û(/2 h ^)+^)] ' /2(Sl+>r3+>r5) (S2+S3)*-(S5)1 _ (/I+/3V5; _ ( / I V 3+^5) / 3 2/3 _ 3+S6+/T5 2(S3)(/¿) 6 O Racional izar el denominador de E = ----— Para racional izar denominadores que tienen la forma: 3/a t 3/b se utilizan las identidades: Sólo fines educativos LibrosVirtual 209 Ejercicios: Grupo 18 (‘/a + */b)(’/a* - ’>l'ab + *Sb*) = a + b íVff - */b)(*/^ + J/Sb + *4?) = a - b *^á* 4 5»^b + *«/bí" son ios factores racionalizantes. donde: Entonces: C ^ ** + >/(5)(2> + ^ - 3< ' ^ 5 ís/5" - V 2 ) f V i 7 + + s^ ’1; ^ S - 2 */(5)(2) De donde: E = */25 + */l0 + •■'T EJERCICIOS: Grupo 18 f i i i o s ejercicios siguientes, racionalizar cada teto d e los denominadores o efectuar las operaciones indicadas suponiendo que todas las variables y radicandos son positivos. 2/5 + 7/j 1. (Z5-2)f/5-3)(/45+9) 11. 5/3 - 4/2 (5-2/5 )(/2-/S) . 1 3. /5 + /T - /i (2-/3) (7-4/3) 13. (/3+5)(Z5+2) 3/3-5 /2 + /3 + /S {8-4/5 \ L !3/5-7 \ l 4' 14. /T-i r \ 5+zr J 2 - /2 + /3 - / W a>x> 0 18. ra+I - /Q-X 7. 1________ 15. 7+3/5 *Q+X + S q -x 11 2 + /3 + /5 7+3 / 5 + 7 -3 / 1 7-3/5 6. 3 12 (3-/5)* (2+^5) */J - 1 */3 + 1 5 17. /48 + / w - /125 2 - */3 /Ti + /TUS - /TSo . 8 18. 2/a+b + 3/a-b 2/a+S - /a-b 9. 10 . 5-/5 (7+/5)(/$-2) x + /x*-l /xî f 7/5+15 \ x - / x -1 /x*-l V /3-/5 /15-/45+/12 /5-1 / / 5 -2 \ ) \3 + /5 ) 1/3+/2 \ . Í7+4/3 \ ' Sólo fines educativos LibrosVirtual \ 2 - J 5 r \ M l 210 21. Capítulo 4: Núm eros Reales Simplificar: . a) 22. •'l+x 1-x — + -; = = ------Sltx - /1-x '1-x2 + x-1 Si a- ^(1+^5) y b= .. b) 1 1 — -- -— - + --- - — — ’/9+í>'6+,/4 l+ ,*2+3'4 (1-/5), hallar el valor de E = a -b /5-2 23. Efectuar: E = — ^ + 3 + f3 3+' 3+/3 24. Simpl ificar: E - 25. Simpl ificar: 1 b - 3*'b" - a + V a V a 2 + 3/b 2 + 3âb a - b E = n + 2 + Sn2-4 n + 2 - /n2-4 n + 2 - Sn1-4 n + 2 + /n2-4 26. Hallar el valor de: E - 27. „ ... .... Simplificar: 28. Si x = e /3 +S2 Hallar el valor de 111. J x ., para x = /T^c - /J-x b 2+l „ /tTT E = J -----' •''5"- 1 /T-/? 29. ^ ¿3-3 /¿I- 1 - /-----' + 1 J'T+J'o y = —— - ; hallar el valor de E = 3x2-5xy+3y2. y3-•''2 E = x I+4x~2, cuando x=2+SI. SIMPLIFICACION DEL INDICE La simpl if icación del índice de una raíz se efectúa haciendo uso, además del teorema 17 y de la definición 4.10, de la homogenización de radi cales. La homogenización de radicales es una operación mediante el cual se trans forma radicales de distinto índice a radicales homogéneos (igual índice), y que consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los índices (común índi ce), luego dividir entre cada índice original de las raíces y el resultado muít iplicar por el exponente correspondiente a cada radicando. EJEMPLO 1. Solución, Homogenizar los radicales: Sx , 3>'x2 , '■''x3 m.c.m(2,3,4)=12. Dividimos, el común índice 12 entre cada índice de los radicales: 12:2=6 , 12:3=4 , 12:4=3. Estos resultados se multiplica por los exponentes correspondientes a cada radicando: Sólo fines educativos LibrosVirtual 211 Sección 4.5: A plicaciones de R en el A lgebra 6*1=6 , 4*2=8 , 3*3=9 luego, los radicales homogéneos son: ll/S* , 12/x* , lt/x’ EJEMPLO 2. Solución. Simpl ificar el índice de: E = 6^625aix'ly i E = ‘/ i 5 * q V > ‘ = ^(lSa x ^ ) ' 1 = ’/l5ar*y* EJEMPLO 3. Solución. Simplificar y racionalizar: E = - ■■PocZy*■ Hemogenizando los radicales se tiene: m.c.m(2,3)=6 -* k = _ s J a*x*y* V a 'xV _ « fx'y' _ « / ox4y 4 V aVv' V a5 V a 6 axV* EJEMPLO 4. Solución. Simpl ificar: E La expresión dada se puede escribir como una sucesión de produc tos indicados de ía siguiente manera: E = ,/5r. = V ^ . lv £ r.*’/£r . (T.27e> liomogenizando los radicales: m.c.m. (3,9,27)=27 ■* E = 1,/xlt.xt.xt = EJEMPLO 5. Solución. <T. 17a y T.16a> >/Ll _ o í Simplificar: E = 3x 5 ‘ ‘ 4 /1 Í3x y < /’.3Ix>’ r»'* f3xjs y (3x ) 5 y C 3x ;>77 r Siguiendo el procedimiento de ejemplo anterior se tiene: E = (3x) */(3x)~*. t‘/(3x) "5.*,/(3x)-’ ’.*1 #/('3x.r9 Común índice: m.c.m.(5,20,6,120) = 120 - £ = í3x>ll4/Í3xp T. 11,/ W ::rr. ,I '’4 ^ r ^ - ^ ' / p í r 7 = Í3x> ll,/í3x;-l,i = f3x; 2 '/í3xr” = í3x>í3x;-“ / 2' Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 4: Números Reales 212 EJERCICIOS: G rupo 19 En los ejercicios siguientes, efectuar y simplificar las operaciones indica. das, suponiendo que todas las 'variables y radicandos son positivos. 1. ,S¿S6a'míín t 6. 2. 3. x-. . /x *. */x /xf-.'/xt.'M 'xy* /i/ z a ñ / am r*/n f i / ñ ñ 'Z&y 5. 8. 1^ . ’*'xr V 5 : 4. nÁ.n/^ rx. ^x. rx ...” radicales í/a nJ a n . " 2 n/ a n \ . . 9. 10. Dadas las siguientes afirmaciones: p; 2 .*z/t/ f + 3. */* */7 q: ('.¿TltoV - tfa>*'*; */ST7? = 1’/ v y r: = /T kc 1 + d - x I)"l/í Hallar el valor de verdad de ¡a proposición: x (p ~ q) ~ l(r « p) v ql 22. Sean las afirmaciones, p: Sa.'fa.'fa - a.ll/a 2/ 6-5 x ' r' /2 - / J Hallar el valor de verdad de la proposición: [(p * q) « r ♦* ^p] v [fp v "yj! * ( p v q>] 12. Sean las afirmaciones; p: 1 'f^>/(’/a1bcs)iJ' = c.‘/a'b q- ■ ■ /F /2 /2 - /? - 2 ; r: ¿-----= V x + */y 'xy + V y 1 + x + y Hallar el valor de verdad de la proposición: (p ~ 'Wj,) «-► [ ( V ~ p) * ’vlq * 23. Simpl ificar: E = (a”*/,-b*I/ s)abf>>'a-5/5>“,+*>//abi , afb 14. Simplificar: E = í(x/x + y/y)(Sx + /y)’1 + 3. /xyj'J1, x>0 , y>0 Sólo fines educativos LibrosVirtual 213 Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra G 2D ECUACIONES CUADRATICAS_________________________ Definición 4.11 Sean a,b y e constantes reales y afO , entonces la función f, definida por la ecuación de 2do grado: f(x) = axz + bx + c se llama función cuadrática. En secciones posteriores demostraremos que la gráfica de una función cuadró, tica es una curva abierta llamada parábola. De acuerdo a lo que se observa en las gráficas, podemos afirmar que ésta in tersecta dos veces, una o ninguna al eje de las X, lo cual significa que la función cuadrática posee dos raices reales (Fig.l), una raiz real (Fig.2) o ninguna raiz real (Fig.3). Es decir, los ceros o raices de la función f(x)= ax2+bx+c son las soluciones de la ecuación: f(x)=0 ax*+bx+c=0 la cual es llamada ecuación cuadrática. Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas son tres: a) Método de Factorización b) Método de Completar Cuadrados c) Por medio de la fórmula. a) Método de Factorización. Este método se basa en la apiicación del Teore ma 14.f: EJEMPLO 1. Solución. ab=0 a=0 v b=0 Resolver: 3xt-5x-12=0 Por factorización: 3x2-5x-12 = (3x+4)(x-3) -'{x|3xa-5x-12=0} = {x|C3x+4)fx-3J=0} = {x|3x+4=0 v x-3=0} Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 214 {x|3x2-5x-12=0) = {x|x=-4/3 v x=3) * b) Método de Completar Cuadrados. - S = {-4/3,3) Este método se basa en la aplicación de la propiedad: a t = b*~+a = / S v a = ~/f> EJEMPLO 2. Solución. Resolver: x i+x-20=0 Podemos completar el cuadrado pasando el término independiente al segundo miembro, luego simar a cada extremo, la mitad del coe ficiente de x elevadoal cuadrado, esto es: x l+ x + ( ~ ) 2 = 20 + (j) 2 — x 2+x = 20 (x + j) 2 = ^ * {x|x2+x-20 =0 ) = {x|x + 'f= 'fv ; r + ^'= - 'fl = {*1^=4 v x=-5) S = 1-5,4) EJEMPLO 3. Solución. Resolver: 2x 2-lix=21 Antes de completar el cuadrado en el primer miembro, dividimos cribos extremos de la ecuación por el coefiente de x 2, esto es: ** . x - 1L. - il . x . _ Ux + (llfz = 11 + (Ü)Z «. (x _ii}z = ¿ M 2* 2 x 2? { 4' {x|2x2-llx=21) = {xjx - r4 2 = ^ ' 4J ' 4J Vjc" ^ = - ^ > = 16 v x=-3/2) S = {-2/3,1) c) Por medio de la Fónrnla General. Para llegar a la fórmula que nos permí ta resolver la ecuación ax1+bx+c=0, a/0, utilizaremos el método de completar el cuadrado a la ecuación, esto es: axz+bx+c=0 *-* x 2 + — x = - — a a «-► x 2 + -^x + a 4a2 4a 2 Entonces: ax*+bx+c=0 a * +-*■ x = - -j- - ^ ^ aC + —— 4a2 4a2 (1) Luego, si a,b,c*R, a¿0 y xtR i) La ecuación (1) tiene dos soluciones reales y distintas cuando b2-4ac>0 a saber: {xc *|ax*+to*c=0 } = {- ¿ + í^ 3£ , - ¿ Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 215 ii) La ecuación (1) tiene una solución real cuando b*-4ac=0, es decir: (xeRlax^+ixr+c^) = {iii) La ecuación (1) no tiene soluciones reales cuando b*-4ac<0, es decir: IxeR] ar* +búc+c=0 ) = ♦ EJEMPLO 4. Determinar la naturaleza de las raices de las ecuaciones si guientes: a) 3x*-2x-l-0 Solución, b) 2x*-5x+4=0 c) 9x*+12x+4=0 a) 3x*-2x-l=0. Aqui: a=3 ,b=-2 - , c=-l b*-4ac = (-2)*-4(3)(-l) = 16 > O .'. La ecuación admite dos soluciones reales diferentes. b) 2xí-5x+4=0 ; a=2 , b=-5 , c=4 * b*-4ac = (-5)*-4(2)(4) = -7 < O La ecuación no'admite soluciones reales. c) 9x* +12x+4=0 ; a=9 , b=12 , c=4 - b*-4ac = (12)*-4(9)(4) = O La ecuación admite una solución real. Considerando lo expuesto en c), podemos enunciar la siguiente: Definición 4.12 Dada la ecuación ax*+bx+c=0, el número &=b*-4ac se llama discriminante de dicha ecuación. Entonces: i) Si A>0, la ecuación admite dos soluciones reales y diferentes, ii) Si iii) a=0, la ecuación admite dos raices iguales (raiz única). Si A<0, la ecuación no admite raíces reales. Como una ecuación cuadrática admite nes entre sus raices soluciones en R,se establecen relacio y coeficientes de la misma. Paraesto consideremos el siguiente teorema: TEOREMA 18. Si la ecuación cuadrática ax*+bx+c=0, con afO, admite solu ciones r y s en R, se cumplen: a) S = r+s= -~ b) P = r.s = c) D = \r-s| = ~âc La demostración del teorema queda como ejercicio. Observación. Si la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0, se escribe: x 2+ — x+ -=0 a a de modo tal que el coeficiente de x z sea la unidad, entonces: Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 216 la suma de las raíces es igual al coeficiente de x con signo diferente y el producto de las raíces es igual al término constante. Luego, la ecuación: x1 - Sx + P = O (2) resulta de mucha utilidad para formar ecuaciones cuadráticas cuando son da das sus raíces. Por ejemplo, hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son: r=2+/3, s=2-f3 Como S=r+s=4 y P=(2+S3) (2-r/3)=4-3=l, entonces, según (2), la ecuación busca da es: x2-4x+l=0 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Si r y s son las raíces de la ecuación x 2-px+q=0, hallar: a) Solución. r2+s2 ; b) r’+s5. Por el Teorema 18: r+s=p y r.s=q Entonces: a) r2+s2=(r+s)2-2r.s = p2~2q b) EJERCICIO 2. r’+s2 = (r+s)2-3rs(r+s) = p2-3q(p) = p(p2-3q) Si a y b son las raíces de la ecuación x 2-Hnx+2m2=0, hallar el valor de E=a,b’+a'b2. Solución. De laecuación: a+b=-m y a.b=2m2 (T.18) + E = a’b’(ax+b2) = a’b’¡(a+b)2-2ab] =(2m2)s[(-m)2-2(2mz)] + E = 32mi,(-3mz) = -96m12 EJERCICIO 3. Sean r y s las raíces de la ecuación (m-2)xz-2mx+2m-3=0. Si 1 r Solución. 1 s 10 7 , .| . i i hal lar el valor de r-s . 1 1 De laecuación: r+s = -^2 y m-2 r+s 10 SlT7s= — ^ * r.s = D ' a m ,. . , , 4 obtenemos: |r-s| = j Si r y s son soluciones de la ecuación x 2+bx+c=0 y si r-s=2 y r3-s3=26, hallar |c/b|. Solución. (T.18) , 2m,, m-2, 10 M . . , (f^2)(^ 3 ) = ~ ■ de donde: m=5 I , /b2-4ac ’/4m2-4(m-2)(2m-3) Ir~s I = --- 5--- =------ m - T EJERCICIO 4. m-2 Por el teorema 18: r+s=-b , r.s=c y |r—s| = i/b*~4c Sólo fines educativos LibrosVirtual 217 Sección 4)5: Aplicaciones de R en el A lgebra Si r-s=2 + /bz-4c = 2, de donde: bz-4+4c r*-s>=(r-s)(rt+rs+$*) + (r-$)[(r+s)l-rs] = 26 Sustituyendo valores: (2)¡(-b)*-c)=28 Luego, en(l): bz=4+12=16 EJERCICIO 5. (1) + + [(4+4c)-c]=13 ■* c-3 |t>i=4. Por tanto: ||j| = j Sea f(x)-axz+bx+c una función cuadrática. Si los puntos: (-2,3), (0,1) y (1,8) están en la gráfica de f y sí r y s son las raíces de f, hallar el valor de r*+st. Solución. Si (~2,3)cf + a(-2) l+b(-2)+c = 3 (O.l)sf - a(0)í+b(0)+c=l - * 4a-2b+c=3 (1) c—l (2) (l,6)ef + a(l)1+b(l)+c = 6 * a+b+c-6 De (1),(2) y (3) obtenemos: Si r y s son rafees de f + Luego, r l+s* = (r+s)z-2rs = EJERCICIO 6. a=2 , b=3 ,c=l (3) +f(x)=2x2+3x+l r+s=-3/2 y rs=l/2 (--j)l-2(j)= -| Si r y s son las raícesreales de la ecuación x*+x-l=0 y la función cuadrática f(x)=x 2+ax+b interseca al eje X en los puntos de abscisas: r Solución. y s - Hallar ab. Si x z+x-l-0 + r+s=-l y rs=-l f(r - ¿)=0 O - + - (T.18) (r- h 1+a(r-^)+b=0 & O - + ó = 0 , de donde: 4-2as+bsz = 0 fís- j;) = 0 - (s- j ) z + ( ~ r ) x + a(^~) + + a(s- j.) + b = 0 Restando (l)-(2): 2a(r-s)+b(sl-r1)=0 Sumando (l)+(2): 8-2a(r+s)+(rz+sz) * b , de obtenemos:a=2 EJERCICIO 7. y (1) = 0 - +aí-ZZLl)+b = 0 donde: 4-2ar+br1= + 2a(r-s)-b(r-s)(r+s)=0 + 2a-b(-l)=0 + b=-2a (3) b=-4 - 8+2a+3b=0 + (4) ab=-8 Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la sima y producto, respectivamente, de las raíces cíe la ecuación: ax2+bx+c=0, a/0 Solución. 0(2) 8-2a(-l)+h[(r+s)z-2rs)~0 - 8+2a+b(1+2 j-0 De (3) y (4) a(^í) + b = O o v> Sean r y s las raíces de ax2+bx+c=0 + r+s = - Sólo fines educativos LibrosVirtual a rs = — a Capitulo 4: Núm eros Reales 218 Si S y P son la suma y el producto de las raíces de la ecuación buscada, en tonces: S = (r+s)+rs = - £ + £ = a a Luego, si x z-Sx+P=0 EJERCICIO 8. * Sean . Éz£. a . p - (r+s)(rs) = (--)(— ) = - — a a * a x 1 + — ax - — = O a a2 r y azx x+a(b-c)x-bc=0 s las raíces de lo ecuación x l-2x+c=0 y sean p y q los valores que toma la función f(x)=x* +cx+cl, cuando se reemplaza x por r y s respectivamente. Usando propiedades de raí ces, demostrar que: Demostración. -E- + -E— = 14~8c r3 s3 c En efecto, si x l-2x+c=0 + r+s=2 y rs=c p=f(r) + p=rz+cr+cz ; q=f(s) Entonces: — r +— s * (T.18) q=sl+cs+c* = r s r = r*s*fr+sJ + cl(r*+s*) + crs(rz+sx) ( 1) r 3s 3 Pero: rx+sl=(r+s)z-2rs = (2)z-2c = 4-2c r*+s* = (r+s)*-3rs(r+s) - <2)z-3c(2) = 8-Sc Luego, en (1): JL + 3 - = _» EJERCICIO 9. cz(2)+cz(8-c)+cz(4-2c) = .1 _» c Si r y s son las raíces de la ecuación x z-4x+l-0, hallar la ecuación cuyas raíces sean: Solución. U-8c r1 + — r y s* + — s De la ecuación dada: r+s=4 y rs=l (T.18) La sima y producto de las raíces de la ecuación buscada son: S = rz+j + sz+j = (rz+sz) + P = ir1 + — )(sz + h r' s * = r,s 1 + Z - ^ rs P = (I)* + 18 *-í- = r 2sl + . í ^ ^ ’^rsCr+s) + J. rs rs rs 1 * 54 Luego, si x z-Sx+P=0 EJERCICIO 10. (r+s)z-2rs]+(^-^) = 116-21+4 = ) = [ * xz-18x+54=0, es la ecuación buscada. Hallar la suna de los cuadrados de las raíces de la ecua ción (2k+2)x2+(4-4k)x+k-2=0, sabiendo que una de las raí ces es la inversa de la otra. Solución. Sean r y 1/r las raíces de la ecuación dada. Luego, el producto Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 219 k-2 ~+ 2¡c+2 = * ’ de donde: k=~4 < sustituyendo en la ecuación dada P-r(l/r)=l se tiene: 3xz-l0x+3=0 ++ (x-3)(3x-l)=0 +-+ x=3 v x=l/3 Entonces: S - (3)z + (1/3)z = 82/9 EJERCICIO 11. Dada la ecuación cuadrática axz+bx+c=0, los coeficientes a b y c forman una progresión aritmética. Si r y s son las raíces de la ecuación, se cumplen: a+b+c=3(r+s) y b+7=rs. Hallar abe. Solución. Si a+b+c = 3(r+s) b+7 = rs * a+b+c = 3(-b/a) b+7 = — ^ Si a,b y c son tres números en P.A. (1) * (2) a+c +b - —y -*•a+c=2b Sustituyendo (3) en (1): b+2b = 3(-b/a), de donde: Luego, en (2) y (3): c=-b-7 y c=2b+l (3) a--l b=-8/3 y c=-13/3 :. abe = (-l)(-8/3)(-13/3) = - ^ EJERCICIO 12. Dada la ecuación cuadrática axz+bx+c=0, a=0, con raíces r y s, raíces son: Solución. hallar, sin resolver la ecuación, la ecuación cuyas r3 y s 3. Si axz+bx+c=0 + r+s = -b/a , rs = c/a La suma y el producto de las raíces de la ecuación por determic 3 3 / .j « . , nar son: S = r +s = (r+s) -3rs(r+s) b nyC(/ i). b -3abc --- -- 3(— )(-- / ---------o3 Q Q a3 P = r3s 3 = C§ > 3 , Luego, si x -Sx+P=0 — x 2 + b 3-3abcx + —c 3 a3 a3 -+a 3x 2 + (b3-3abc)x + c 3 - 0 , es la ecuación buscada EJERCICIO 13. Si r y s son las raíces de la ecuación axI+bx-a=0, probar que (ar+b)(as+b)=-a* y hallar la ecuación cuyas raíces son ar+b y as+b. Solución. Si ax2 +toc-a=0-+ r+s=-b/a y rs=-l rs=-l + s = - — r -*• r - — = - — r a rs = -1 + r = - i -+ (T.18) — + r(ar+b) = a - -j + s = - -j- +-+ s(as+b) = a Muí tipl icando (1) por (2): rs(ar+b)(as+b)=az ■>-+ (ar+b)(as+b) = -a1 S=(ar+b)+(as+b)=a(r+s)+2b = a(-b/a)+2b = b P-(ar+b)(as+b)--az , luego, si x 2 -Sx+P=0 -*■ x3 -br-a2 =0 Sólo fines educativos LibrosVirtual (1) (2) 220 Capitulo 4: Números Reales EJERCICIOS: Grupo 20 1. Hallar el valor de k en l a ecuación x 1+(2k+5)x+k=0, si una raíz excede a la otra en 3 unidades. 2. Dado el conjunto A=lxeR\xt-2(l+3m)x+7(3+2m)=0. m e R h hallar los valores de m para que A sea un conjunto unitario. Construir dicho conjunto. 3. Si i r , s i es el conjunto solución de ax2+bx+c=0, h a l l a r el valor de: a) 4. -£•* b) r~* * s-* Dada la ecuación (2k+2)xx+4x-4kx+k-2=0, hallar la sima de sus raíces sa biendo que éstas son inversas. 5. Para qué valores de m. la suma de las raíces de la ecuación (m+l)(x2-x) =(m-l)(4x-5), es igual al duplo del producto de las raíces de dicha ecuación menos 1. 6. Si r y s son las raíces de la ecuación mxl-2(m-l)x-m=0, con m c o n s t a n t e y ampien: r z + s z = 4 r s . Hallar l a suma de todos los valores de m que sa tisfagan tal propiedad. 7. Si la.bl es el conjunto solución de la ecuación 3x2-2(m+l)x+(m-l)-0, ha_ llar m para que se ctmpla: 9ab*+3a,+9atb+3bí=192. 8. Sea Ir.s ) el conjunto solución de ax*+bx+c=0. a40. Si r=2s. demostrar que bI=kac y hallar el valor de l a c o n s t a n t e k. 9. Si r y s son las raíces de l a e c u a c i ó n x 2-kx+ ■|(k, - J > = 0 1 kz?0,3; resol ver la ecuación 2(r‘+s,)xl-3x+(r+s)=0 10. Si r y s son las raíces reales de la ecuación x t+bx+c=0 y s i r-k, s-k son las r a f e e s reales de la ecuación x t+px+q=0. h a l l a r k tal que p=0. 11. Dada la ecuación (1-a*)(x+a)=2a(l-x*) con a constante. Si su conjunto solución es Ir,si. h a l l a r | r - s | . 12. Si a y b son constantes en R, se tiene que las raíces de la ecuación: x l+ax+b=0 son ol s c u a d r a d o s d e l a s raíces de l a ecuación 2x'+x-6=0. Ha llar | 4 a + b | . 13. Si l r , s ) e s e l conjunto s o l u c i ó n de la ecuación ax2+bx+c=0, afO, hallar el valor de £ = r * s ’ + r Ts ' . J 4 . P a r a qué v a l o r e s d e m las raíces de la ecuación (xi-bx)(m+l)=anvc-ax-cm+c Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 221 son de signo contrario e iguales en valor absoluto. 15. Si r y s son las raíces reales de la ecuación (a1-bí)x1-2(a-b)x+(a-b)=0 con a y b constantes en R y k es una constante tal que r-k=-(s-k). Ha llar el valor de rs+k. 16. La gráfica de f(x)=x1+bx+c es el de la fi gura adjunta. Dada la ecuación x l+bx+c=0, sean p el pro ducto de las raíces y m el promedio de las mismas. Hallar p-m. 17. Sea y-axf -t-bx+c una función cuadrática cuya gráfica interseca al eje X en los puntos -2/3 y 4/5. Hallar |j— s |, donde r y s son los puntos en que ¡a gráfica de y=a(x+l)l+b(x+l)+c corta al eje X. /3 /3 18. Si ■ ---- y — — --- son las raíces de la ecuación ax1+bx+c=0, a/0 ; /3-a+/3 i/J-a-ZT , hallar el valor de E = ■ + c, cuando a/3 /3-a r 19. Las raíces r y s de una ecuación cuadrática sat isfacen: 4r-16s=7 y 8r+ 4s=5. Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son respectivamente las inversas de r y s. 20. Si r y s son las raíces reales no nulas de la ecuación a 2x 2+b2x+c 2=0, c/0, hallar la ecuación cuadrática de y— r J s raíces — . 21. Si r y s son las raíces de la ecuación x z+px+q=0, fórmese la ecuación cuyas raíces son (r-s)1 y (r+s)1. 22. Formar la ecuación cuyas raíces son los cuadrados de la suma y de la di ferencia de las raíces de 2xí+2(m+n)x-m*+nl=0. 23. Si { r,s) es el conjunto solución de A={xeR|x2+3x+n=0, neR), construir un nuevo conjunto B cuya solución sea 24. Si r y s son las raíces de la ecuación axz+2bx+c=0, hallar la ecuación cuyas raíces son 2 r + y 2s+-~? , y probar que cuando a+c=0, esta ecua ción es la misma que la ecuación original. 25. Si r y s son las raíces de axl.+bx+c-0 y si (r2+sl) y (r+l)(s+l) son las raíces de ay2+ky+h=0, obtener k y h en términos de a y c. 26. Si las ecuaciones axz+bx+c=0 y px2+qx+r=0 tienen una raíz común, demos trar que (br-cq)(aq-bp)=(cp-ar)2 . Sólo fines educativos LibrosVirtual 222 Capitulo 4: N úm eros Reales 27. Si r y s son las ratees de ax*+bx+c-0, hallar la ecuación cuyas raíces son r+ — s y s+ — . r 28. Si x 2 +px+q=0 y x 1*mx+n=0 tienen una raíz común demostrar que esta raíz es la cuadrada de c^n . m-p 29. Determinar la ecuación cudrática con coeficientes enteros, expresadas . 1+r 1+s en términos de a,b y c, cuyas raíces sean los nuneros j ■ 30. Formar la ecuación cuadrática de raíces: a+b+/al+b2 y ---2 a b _ _ a+h+/a2+bi 31. &i la ecuación px 2-H¡x+r=0 las raíces están en la razón de a/b, probar que: (a1+b*)pr+ab(2pr-q‘)=0. * ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRATICAS___________ Son aquellas ecuaciones que no son cuadráticas, pero, como su nom bre'lo indica, mediante sustituciones adecuadas se transforman en ecuacio nes cuadráticas. Como ilustración veamos algunos ejemplos. EJEMPLO 1. Resolver la ecuación: — — - = 4 X X -o Solución. En esta ecuación, que no es cuadrática, xfO y x*¿6. Haciendo la x*-6 sustitución: — — = m , la ecuación dada se transforma en: m - — = 4, mfO, de donde obtenemos la ecuación cuadrática: m t-4m-5=0 m ' S = (-3,-1,2,6) EJEMPLO 2. Solución. Resolver: x 1+2/x2*6x = 24-6x Ordenando los términos de la ecuación se tiene: (xt+6x)+2/x1+6x = 24. Sea /x1+6x - m, donde m 0 Entonces, la ecuación se transforma en: m z+2m-24=0 ■*-+ m~4 v m =-6 Descartamos m=-6 , porque la raíz cuadrada de un número real es siempre pos¿ tivo. Entonces, para m =4: / x2+6x-4 ■* xz+6x-16=0 +-#■ x=-8 v x-2 Sólo fines educativos LibrosVirtual ■* S={-S,2} Ejercicios: Grupo 21 EJEMPLO 3. Solución. 223 Resolver: Oredenando (x+9) (x-3) (x-7)(x+5)=385 los factores y efectuando los producios dos a dos, se tiene: (x+9) (x-7) (x+5) (x-3)=385 - (x2+2x-63)(x2+2x-15)=385 Haciendo: x*+2x=m, ta ecuación se reduce a: (m-63)(m-15)=385 de donde: m 2-78m+560=0 Para m=8: x 2+2x=8 •<->■ m=8 *-* x 2+2x-8=0 v m=70 x=-4 -+ m=70: x 2+2x-70 -► x 1+2x-70=0 v x=2 *->■ x=-l - /JJ S = {-4,2,-l±Sñ} EJERCICIOS: Grupo 21 Resolver las siguientes ecuaciones: 1. (x + 1 + -)(x - 1 + — ) = 24 1. (x- ± f + 4 x - 2 ± . S 2. (x — — )l - 4x + — 2. x 2-x+3 ¿2x 2-3x +2 = 3. (x1+3x+2)1-8(x1+3x)=4 4. 2x *+2x -3/ x 2+x +3 5. (2x-7)(x*-9)(2x+5) = 91 X X X X = = 12 3■ (x+ 2a)(x-6a)(x+ 3a)(x-5a)= 180a' 6 . 6xI+10x+Slx2+5x+1 = -1 2x2-2x+2/2x* -7x+6 = 5x-6 8. (2x+l)(2x+3)(2x+5)(2x+7)=9 9. Jf- + T J-oc i x .o / * - * ^ /~ 3 x 10■ V“ to + / 2 ^ = 4 *»* ( 2 x - 5 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ( 2 x + 7 ) = 91 3 7. +7 j 12x 2/> = 1 7 x l / s - 6 x ~ l / s = 7 x l/ ' - 2 x ' l / ' ( x + 2 ) 2 = S ( / x 2 +4 x + 5 - 1) 6 3 = 2 * Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 224 O R D E N EN R Según los Axiomas de Orden: 0.1 ai 0.4, ya establecidos (pag. 186),podemos dar una definición más detallada de los símbolos " < ", " > ", " 4 " y "Z", como sigue: B 3 DESIGUALDADES_______________________________________ Definición 4.13 Se conoce con el nombre de desigualdad a toda pro posición donde aparece la relación " < " (es menor que) o cualquiera de las relaciones: " > " (es mayor que), " 4 " (es menor o igual que) y " %■ " (es mayor o igual que) definidas de la ma ñera siguiente para a,b y ceR. (1) Si a > 0 (2) Si a < 0 -4—* a es negativo (3) Si a > b *- a-•b es positivo (4) Si a <: b (5) a Si a í- b 4—» a Si a b v a=t> (a < b) ~ (b < c) [ab se llaman desigualdades estrictas mientras que aib y aib se llaman desigualdades no estrictas. Para conocer con exactitud el significado de estas relaciones y con ayuda de los axiomas de orden, 0.1 al 0.4, veamos algunos: Q 3 TEOREMAS RELATIVOS A DESIGUALDADES_____________y TEOREMA 19. Demostración, Para a,beR, se ampie: a) a O c) a > O ■*-*• -a < O a) Demostraremos que: a < b a-b < O En efecto: a < b + a+(-b) < b+(-b) + a-b < O Sólo fines educativos LibrosVirtual (0.3) (Def.4.3 y 4.2) Sección 4.6: Desigualdades 225 Recíprocamente, demostraremos que: a-b < O En efecto: a-b < O + a <b + (a-b)+b < 0+b + a + [b+(-b)] O y b > O Demostración. a > O + + a+b > 0+b (0.3) (A.4) + a+b > O + a.b > O.b (b > 0) + a.b > O (O.b=0) TEOREMA 21. a+b > O a.b > O a+b > b Si a+b >b y b > O a> O a) _b) En efecto: a) b) + Si a > O y b < O, o si (0.2) a < O y b > O, entonces se cumple que ab < 0. Demostración. Consideremos: a > O y b < O En efecto, si b < O Luego, por el Teorema 20b: + a(-b) > O -b > O + -(a.b) > O + ab< O TEOREMA 22. (T.19b) (T.19c) La suma de dos números negativos en R, es negativo, mientras que el producto es positivo, esto es: Si a < O y b < O + [ a) a+b < O a.b > O Demostración, a) Si a < O y b < O b)Sia<0yb<0 + + -a > O y -b > O (T.19b) + (-a)+(-b) > O (T.20a) + -(a+b) > O + a+b < O -a > O y -b > O + (-a)(-b) > O + a.b > O TEOREMA 23. Para afO en R, se tiene: az > O Demostración. En efecto: Sólo fines educativos LibrosVirtual (T.5) (T.19c) (T.20b) [(-a)(-b)=ab) 226 C apitulo 4: Núm eros Reales TEOREMA 24. (1) Si ajo (2) Si a > O - az > O (4) Si a < O + a.a > 0.a (5) + a1 > O Para a) a > O v a < O a' 1 aiO, (Hipótesis) ■+ a.a > 0.a (3) decir: Demostración, * tiene el a) a > O ■ a'1 > O b) a < O ■ a (0.3) (T.22b) mismo signo que a, es < O (1) a > O, supongamos que a ' 1 < O (2) Entonces: (3) Por M.5: (T.21) (a)(a'x) < O (Absurdo) 1 < O (4) Luego se tiene: a"‘=0 v a~‘>0 (5) Si a~‘=0 + a.a'l=0.a * (6) Por lo tanto, si a > 0 b) (Absurdo) 1=0 ■* a~‘>0 La demostración queda como ejercicio. TEOREMA 25. Para a,b,c y d en R, se cumple: Si a < b Demostración. TEOREMA 26. y c< d ~ a+c < b+d En efecto: (1) Si a < b ■» a+c < b+c (0.3) (2) Si c < d + (0.3) (3) Por lo tanto: a+c < b+d b+c < b+d Para a.b y c en R, se cumple: (0 .2 ) a+c < b+c + a < b (Propiedad de cancelación aditiva para una desigualdad) Demostración. En efecto: (1) a+c+(-c) < b+c+(-c) (0.3) a+lc+(-c)J <b+[c+(-c)J (A. 3) (3) a + 0 b Demostración. + y c < 0 Probaremos que: a be (Consist.Mult.) +■ ac < be +■ -c > 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual (T. 19b) Sección 4.6: Desigualdades 227 (2) Luego: a < ii) ■* a(-c) < b(-c) (0.3) (3) * -(ac) < -(be) (T.14d) (4) ■* ac > be Recíprocamente: En efecto TEOREMA 28. b ac>be ■*a< (1) Si c < O * (2) Luego: ac > be b , sic < O c~l < O * (T.24b) (ac)c~l < (bc)c~l (T.20c) (3) - a(c.c~l) < b(c.c~l) (U.3) (4) * a.l < b.l (M.5) (5) - a b y c > O **■ ac > be >0 *-• ac < be (Consist. Multip.) La demostración del teorema queda cano ejerciciio. TEOREMA 29. Si a y b en R, tienen el mismosigno y si: a O y b >O ii) a < O y b <O a.a~l < b.a'1 (T.25 y T.24) - o.a“l.b*' < b.a~'.b~l (3) - (4) - (5) - > -g- (T.25 y T.24) (a.a~l)b~l < (b.b~l)a~l (l)b'‘ < (l)a' 1 (Al.3) (Al.5) ± < ± (M.4) Por lo tanto, si a 4 a o ¡ O La demostración queda canto ejercicio. TEOREMA 30. Demostración, Para a y b en R, se cumplen: i) a.b > 0 ii) a.b < 0 i) (a>0~b>0)v(a<0~b<0) ** a) Demostraremos que si: a.b > 0 Probaremos que (a>0~b<0)v(a<0~b>0) si: (a (a < 0 En efecto: (1) Si a > 0 - - (a > 0 ~ b > 0)* (a < 0 ~ b < 0) > 0 - ~ > (2) Luego: ab > 0 *b>0) b < 0) 0 -*■J_ (ab) > 1.(0) a a Sólo fines educativos LibrosVirtual (T.24) (0.3) 228 Capitulo 4: N úm eros Reales (3) b > O (4) Si a < O - < O (5) Si b < O - ab > O 11.24) - -(ab) <-(0) a a (6) * Por lo tanto: b) a.b > O (1.22b y 1.21) b < O -► (a > 0 ~ b > 0 ) v Probaremos que s¡ (a > 0 « b (a < 0 ~ b < 0 ) > 0) v (a < 0 - b < 0) ■* a.b > 0 En efecto: (1) Si a > 0 y b > 0 ■* a.b > 0 (1.20b) (2) Si a < 0 y b < 0 - a.b > 0 (1.23b) (3) .'. ( a > 0 ~ b > 0 ) v ( a < 0 ~ b < 0 ) -* a.b > 0 ii) La demostración se deja como ejercicio. 1EOREUA 31. Si: i) ^ > ii) < 0 y b)¡0 •— ( a > 0 ~ b > 0 ) v ( a < 0 ~ b < 0 ) 0 y bfO «- ( a >0 ~ b < 0 ) v ( a < 0 ~ b > 0 ) La demostración de este teorema es similar a la del teorema 30, toda vez que = a.b~l y por el teorema 24, b~l tiene el mismo signo que b. 1EOREMA 32. i) Siaí- 0 y b 3- 0 - ii) Si ai- 0 y b £ 0 a* > b* -* a > b a 2 < b1 a b* En efecto: (1) Supongamos que a ? b (2) Luego: a b (Hipótesis Auxiliar) a = b (0.1) Sí a b2 b) Probaremos que si a i 0 En efecto: (1) y b i- 0: -*• a > b a > b •* a 2 > b 2 a >b (2) a.a > a.b * a2 > ab (0.3) (3) a.b > b.b - ab > b 2 (0.3) (4) Luego, de 2 y 3:a2 > b2 (5) Porlo tanto,si: a >b ■*■ a 2 > b 2 La demostración de ii) se deja como ejercicio. Sólo fines educativos LibrosVirtual (0.2) Sección 4.7: Teoremas Relativos a las Desigualdades TEOREMA 33. Si: Demostración, i) b > O + a2 > b ii) b i- O •* a1 j. b *-* i) Consideremos los casos: En efecto: (1) Si a > O, bZ O 229 a > /ó a < -/5~ a i. Jb a 4 -7b a > O ya < O * a* > b -*■ a z > (7b)2 (2) Si a < O, b i- O a > Sb - (-a) 2 > b - (-a) 2 > (7b ) 2 -*■ Por lo tanto, de (1) y (2): a 2 > b TEOREMA (T.32) -a > 7b (T.32) a < -7b (T.27) a > 7b v a < -7b i) b > O - az O * a2 , O ii) Demostración. y Si a > O Si 7a 4 7b <-► O 4 a ^ b) * (7a < 75 ■«-> O 4 a < b) (7¿)i ^ (7b) 1 ^ -- (2) (3) Pero a 5- O TEOREMA 36. ■* (7a 4 7b b > O En efecto: (1) Corolario. b i. O y a 4 b b 5- O y (T.32) * a í b O í Si n es un número entero positivo par entonces: a) Si a > O ~ b i O -*■ (n7a -S n7b < - b) Si o>/0»b>0 - ('"/a" < n7b O 4 a 4 b) «-+ O $ a < b) Si n es un número entero positivo impar, entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) n7a 4 n7b n / U) TEOREMA 37. Para a 5 < n /5 <-*• a4 b iii) _ Q < „ ¡v} n7a > O ■*-*■ a > O n / _ <() ^ a < Q y b en R se cumplen las siguientes propiedades: a) 7a + b) 7a + / b 4 O *->■ a = O 7b i- O *-*■ a O a b a O b = O Sólo fines educativos LibrosVirtual 230 Capitulo 4: Núm eros Reales TEOREMA 38. TEOREMA 39. i) Sí /a 4 b a í- O ~ (b > 0 ~ a ^ b1) ii) Si /a O *. (b > O *. a < b1) i) ii) Si S<¡ >, b ~ a > 0 ~ Ib < O v (b i- O * a Z b* )1 Sí »'a > b ■— a>, O *■ üb < 0 v (b i- O b1)] EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Demostración. Si a > 0 y b < 0, demostrar que: En efecto: (1) Si a > 0 y b< 0 * (2) * (3)Dividiendo entrea1 : ■» Demostración. Si a > 0 y y a* b < 0 ♦ b-a < 0 a* > 0 ♦ -a1 < O (2) a > 0 * (3) Simando ab: (4) De (1) y T.24a: g ^ < 0 - (5) * (T.23 y T.19c) afb~oJ > — b-a ' b-a ab a > b-a (T.27) JL< -S_ b b-a 0 EJERCICIO 3. (T. 21) a.b < 0 a.b + a < 0 +a b+1 < i_ a a (4 ) EJERCICIO 2. <-i- que: a </a b (1)Si a>0, b>0 y a 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual (T.27) 231 Sección 4.7: Teoremas R elativos a Desigualdades (3) Sumando 4ab: (4) Luego: -* (a-b)1+4ab > 4ab -* (a+b)2 > 4ab (0.3) ab < ( ^ y ) 1 -+■ sab < y y iii) Demostraremos finalmente que: (T.32) yy Sabe Demostración. En efecto, dado que a,b y c son diferentes, se debe cumplir la relación para a y b: (/a-/b)2>0 ó (.'fr-zS) *>0 (1) Si (/a-sS)2 > 0 + a - 2Jab + b > 0 + a + b > 2/áb (2) Análogamente para b y c: + b + c > 2/bc (3) y para a y c: ■» a + c > 2/ac (4) Multipl icando los extremos de 1,2 y 3, obtenemos: (5) Por lo tanto: (a + b)(b + c)(a + c) > 8(/ab)(Sbc)(Sac) EJERCICIO 5. (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) a < 0, b > 0 b) 0<a 0 c) ac < bd (1) Si a < 0 Va.bcR, a2+b1 2ab d ) a 0.a (2) a <0 + -a > (3) b >0 + (-a)b > 0 + a1 > 0 - -ab > 0 0 < ab (0.3) (T.19b) (0.3) (4) Sumando 1 y 2: az-ab > 0 . La afirmación es verdadera. b) c) d) (I) Sia > 0 y c <d + ac < ad (2) Sid > 0 y a ,•2ab (1) Si a ,0 + + a.a < a.b (2) Multiplicando por 2: (3) Sumando ab en (1): (0.3) (0.3) ..Es verdadera. a2-2ab+b2 0 .'. Es verdadera. + a2 < ab 2a2 < 2ab a2+ab < 2ab Sólo fines educativos LibrosVirtual (0.2) 232 Capitulo 4: N úm eros Reales (4) Luego, de 2 y 3: 2a* < a*+ab < 2ab (5) Dividiendo entre 2: EJERCICIO 6. aJ < Q < ab :. Es verdadera. Demostrar que para todo número real a,b,c: a*b1 + a*cl + b*c* z abc(a+b+c) Demostración. En efecto: (1) EJERCICIO 7. -Va.bcR: (a-b)* >s O - a*+b* >, 2ab (2) Multiplicando por c*: (3) Análogamente para b y e : b*+c*22bc ~ a*'b*+a*c* » 2bca* -» a*c*+b*c* 2-2abe* (4) Para a y c: (5) Sumando: (6) .'. a*+c* i 2ac ■* a*b*+c*b* 2(a1b*+a*c*+b*c*) 2acb* 2abc(a+b+c) a*b* + a*c* + b*c* í-abc(a+b+c) n . Demostrar que -VxcR y Vn par se cumple: ■_ x -í -j x n + 1 Demostración. En efecto: (1) Si n es par * xn i i, -VxeR (La igualdad se cumple para x=l o x=-l) (2) Entonces: (xn-l)* %• O (3) - x2n-2xn+l >,0 - x2n+l>. 2xn (4) Cano x2n+l » O , VxcR - I * - * f X EJERCICIO 8. ~ +1 X Sean a,b,m,ncR tales que: b>0 y n>0. Si r < — ^ o n + 1 ,demostrar: SL < 0 + m < 2L b b +n n Danostración. (1) Si -g * an < bm (2) - an + ab < bm * ab (3) - a(b + n) < b(a + m) (4) Como b+n>0 y b>0 (ya que: b>0 y n>0) (0.3) * -jj < ? +id b + n (5) En (1): an + mn < bm+ (6) Como n>0 y J b+n>0 -°* m < — b+ n n (7) Por lotanto, de (4) y (6) : nrt %< b Sólo fines educativos LibrosVirtual * n(a*m) ° * m <HL b + n n <m(b+n)(0.3) 233 Sección 4. 7: Teoremas Relativos a D esigualdades EJERCICIO 9 . Demostrar que si o O y a<b, entonces: a < D e m o s t ra c ió n . 0 + ac < be (2) + (3) + (4) Si a(l+c) < a+bc+ a0) < b+bc (0.3) a+bc < b(l+c) + (6) Por lo tanto, de (3) y (5): EJERCICIO 1 0. (0.3) bc(b+c) + ac(a+c) + ab(a+b) D e m o s t ra c ió n . En efecto, si afb y ambos positivos, entonces: (1) (a-b)3 > 0 + a2 + b 2-2ab > 0 (2) Como a+b>0 + fa+b) (a2 -ab+b2 ) > ab(a+b) a2 +b2-ab > ab (T.28) + (a 3 + b3 ) > ab(a+b) (3) (4) + Análogamente para b y c: (b3+ c3) > bc(b+c) (5) y para a y c: (6) Sumando 3,4 y 5 obtenemos: (a3 + c3) > ac(a+c) ¿(a1 + b3 + c3) > ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) EJERCICIO 1 1. Si a y b son números reales positivos, demostrar que: (i + í } (a + b) * 4 D e m o s t ra c ió n . En efecto, si a>0 y b>0, entonces: (1) (2) (3) (4) EJERCICIO 12. Va,bcR: (a-b)1 >y 0 + a2 + b2 2ab a2 +2ab+b2 Sumando 2ab: 4ab Dividiendo entre ab>0: Entonces: (— ¡r)(a+b) i- 4 ab + (a+b) 2 ^ 4ab >.4 +-+ (- + í)(a+b) >s 4 a b Si atbfxty, todos positivos, tales que: a2 +b2=] y x 2+y*=i, demostrar que: ax+by < 1, D e m o s t ra c ió n . En efecto: (1) Como a > 0 f2> También: b •> 0 (3) Sumando y x > 0 + e y > 0 fa-xj2 > 0 + a2 +x2 > +- (b-y)2 > 0 ■* b 2+y2 > 2by y (2): ía2+x2;+fb2 +y2; > 2ax+2by Sólo fines educativos LibrosVirtual 2ax 234 C apítulo 4: N úm eros Reales (4) Según datos: (5) De donde: EJERCICIO 13. ( 1 )+( 1 ) > 2(ax+by) ax+by < 1 Demostrar que para cualquier a,b,c,dcR: (ab+cd)2 4 (a2+c2)(b2*d2) Demostración. En efecto: (1) Va.ctR: (a-c)1 £ O -*a 2+c2 i. 2ac (2) Vb.dtR: (b-d)2 i-O - b 2+d2 >, 2bd (3) Multiplicando 1 y 2: (a2+c2)(b2+d2) (4) También, Va,b,c,dcR: (ab-cd)z i-O (5) Sumando 2abcd: (6) De los pasos 3 y 5: (7) :. (ab-cd)2 4 (a2+c2)(b2+d2) 4abcd * (ab)2+(ad)2}2abcd (ab+ad)1 í- 4abcd (a2+c2)(b2+d2) >, (ab-cd)2 (0.2) EJERC ICIO S: G rupo 22 2. Para números reales, determinar el valor de verdad de las afirmaciones: a) Si a-2b n* -► — + b 2 > ab c) Si a 0 y b>0, se cumple: a 2>b2 »-> a>b 2. Cuál de las siguientes proposiciones, respecto a números reales, es ver dadera? b) 3. 4. 5. a 0 y b>0, hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: . b+1 a) --- < a 1 a . a a c) - -r > — r b a-b b) d) ab > ab-a2 b < 0 < a De las siguientes afirmaciones, cuáles son falsas? a) Si a.bcR+, a2 < b1 «-* a i + J a2 b2 a b c) a2 + b2 > 2ab Si a,beR y a<0<b. Cuáles de las siguientes af inacciones son siempre ver , g-b _ , daderas ? a) — < -1 bj ab-a2 > t^-ab M d) a(a-b) > 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual 235 Ejercicios: Grupo 22 6 . Sia.b.c.deR; demostrar que: a* + b* + c* > 4abcd 7. Si a y b son números reales positivos y diferentes, demostrar que: _a_ b T 1 +P „ I .1 > a + b í. Demostrar que Va,bsR, (a+b)1 < 2(a*+b2) 9. Demostrar que si (Xa<b, entonces: /b'-a1 eR+ c} Si a>b + b+c < a+c, ¥ceR 11. Si R<r<0, determinar la condición que debe cumplir el número d para que (jZ + P* + p* sea valida la desigualdad: 0 < ---- 75^ ----- < 1 12. Si aeR^y -beRt hallar el valor de verdad delas a ) Í < 'a b) b<b~a) > 0 c) ~ siguientes afirmaciones - b* < 0 d) a* < bl 13. Para núneros reales cualesquiera, determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) a 0 (a-b)‘ < 4al b_1 < a -1 14. Para números reales positivos a y b, a=b, hallar el valor de verdad de (as siguientes proposiciones: _ v a * b _ 2ab a) 2~ a — c) a .b ^ „ b +T > 2 b) a* + ba > atb + b*a d| a ab+ac+bc, a menos que a=b=c. 10. Si afb son núneros positivos, demostrar que: 17. Sean a,b,c núneros reales tales que: a+bic>0, a>0, IPO; demostrar que: 1 + a * 1 + b ^ 1 + c 18. Si a,b,c,x,y,z son núneros reales positivos, todos diferentes, tales que: at+bt+c,=l y 3?+yl+zt=l, demostrar que: ax + by + cz < 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual 236 Capitulo 4: Números Reales 19. Si m,n,r son números positivos y — < — < — , demostrar que: m JL < m n r a+ b + c < c_ m+ h + r r 20. Si a,b,c son números reales positivos, todos diferentes, demostrar que: (a + b + c)x > 27abc (Sugerencia: aplicar MA > MG para tres números diferentes y positivos) 21. Si a,b,c son números reales positivos y diferentes, demostrar que: ab(a+b) + bcfb+cj + ca(c+a) > 6abc 22. Demostrar que s i O < a 4 b, entonces: -? + — b a o + 3 (Sug. Partir de (a-b)x40, luego, dividir entre axb) 23. Sia,b,c son números reales positivos y diferentes, demostrar que: (a + b + c)x < 3(ax + b 1 + cz) 24. Sia,b,c,x,y,z son números reales positivos y diferentes,demostrar que (a* + b* + c ^ f x 1 +■ y3, * zx) > fax + by + cz)1 25. Si a,b,c y d son mineros reales, demostrar que: (ab * cd) 1 (ax + cx)(b* + d x) 26. Determinar el valor de verdad de: ■Si x.yeK*, xfy * — + < 2" /y /x 27. Si a y beR, demostrar que: (^jr)’ ^ 28. Demostrar que: (a1 + dx)(b* + cx) 4abcd, Vo,b,c,deR. 29. Demostrar que Va,b,c,deR se curple: ax+bx=l y cx+dx=l * ac+bd 4 1 30. Sean los números reales a>0 y b>0, taie s que a+b=l. Demostrar que: ab 4 1/4 (Sugerencia: Considerar (a-b)x 5- 0). 31. Si a,beR+', demostrar que: (ax+bx)(a+b)i £ 8axb x. (Sugerencia: Considerar (a-b)x i- 0). 32. Si a.b.ctR y 0<a<b<c, demostrar que: s _ »I ^ ° < o + b + c 3C{v“Q/ * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.8: Inecuaciones 237 INECUACIONES Una inecuación es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores de dichas variables. Las inecuaciones de una variable son propos idones que tienen la forma: p(x) > 0 , p(x) < 0 , p(x) i- 0 , p(x) 4 0 Por la solución de una inecuación entendemos al conjunto de todos los núme ros, cada uno de los cuales, al reemplazar la variable x, hace verdadera la desigualdad. A continuación veremos las técnicas para resolver diversos tipos de inecua ciones de una variable en R. INECUACIONES LINEALES Una inecuación lineal o de primer grado en una variable x, es una desigualdad de la forma: p(x): ax+b > 0 o p(x): ax+b < 0 La técnica para resolver una inecuación lineal es muy sencilla y análoga a la solución de una ecuación lineal con una incógnita. Se basa en la aplica ción de los axiomas de orden y de teoremas aplicados en aquellos, en lugar de los postulados de igualdad. EJEMPLO 1. Solución. Hallar el conjunto solución de: 3x-5 > 5x+l Según el axioma 0.3: a 5x+l -* 3x-5+(-5x+5) > 5x+l+(-5x+5) — (3-5)x + (5-5) > (5-5)x + (1+5) -*■ -2x > 6 Por tanto, el conjunto solución es: Nota. + c < b + c; entonces: x<-3 (T . 2 7) S = (»R|a<-3l En la práctica, para resolver una inecuación lineal se transpone to dos los términos que contiene la variable x al primer miembro y las constantes al segundo miembro de la desigualdad. EJEMPLO 2. Solución. Resolver: - (2x-6)i Multiplicando ambos extremos por 4 se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual 238 Capitulo 4: Núm eros Reales 12x-6-8x+24 » x-3 ++ (12-8-l)x -3-24+6 3x >s -21 S = {jceR|x í- -7) EJEMPLO 3. Hallar el conjunto de enteros que satisfacen la inecuación: < l (2.x) > Solución. En este caso, se descompone el sistema en dos inecuaciones, cuya solución es la intersección de las soluciones parciales, esto es, > -3 (8 -S x ) ++ (6x-45 < 20-lOx) ~ (10-Sx > 16-10:c) ++ (16x < 65) - (Sx > 6) ~ Por lo tanto,el conjunto de enteros es: EJEMPLO 4. S = 12,3,41 En R se define la operación a*b conjunto solución de: Solución. -f < x < j j , según esto, hallar el (x-l)*2 4 (3*x)*l/2 4 (l+2x)*S Aplicamos la operación * a cada término de la inecuación y obtenemosc (x-l)*2 = (x~ V ~ 2 = ^ 3-x (3*x) * | = (2j) Entonces: 2 1_ = J L j- 1 4 ~ r -4 x-2 4 = 12* .(i+2x)*5 = (1*2x)~5 +*■2x-6 4 2-x 4 = x-2 4x-8 ++ (2x-6 4 2-x) * (2-x 4. 4x-8) ++ ( x4 8/3) (x > 2 ) S = lxeR|2 « * « 8/3) EJEMPLO 5. Sea la operación binaria interna: *R x R + R (a,b) + a*b tal que: a*b=a+b-3. Si c~‘ representa el inverso de c, respecto de la opera ción *, Hallar el conjunto solución de la inecuación: (2x)*7 > (x*l)*2~'. Solución. Hallemos, en primer lugar, el elemento nuetro de la operación *. Según 06.3: 3 eeR¡a*e=e*a=a, VacR. Entonces: a*e = a+e-3=a *» e=3 Luego, por 06.4: aa'1eR|a*a"1 =a~l*a=3, -VaeR Aplicando *2 a cada extremo de la inecuación se tiene: (2x)*7*2 > (x*l)*2~1 *2 ; pero: 2~1*2 = 2*2~1=3 Entonces: (2x)*(7*2) > (x*l)*3 Sólo fines educativos LibrosVirtual (• es conmutativa) (* es asociativa) Sección 4.8: Inecuaciones 239 Aplicando la operación *: (2x)*(7+2-3) > (x+l-3)*3 2 x+6-3 > x-2+3-3 +- (2x)*6 > (x-2)*3 ** x > -5 .'. S = < xeR |x > -5 } . 4 8.2 INECUACIONES CUADRATICAS_________________________^ Una inecuación cuadrática es una desigualdad condicional que, redu cida a su más simple expresión, tiene la forma: o p(x):ax2 + bx + c > 0 (1) p(x): ax2 + bx + c < 0 (2) donde a,b,c son números reales y alo. Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones (1) y (2) existen dos métodos: a) Método de Factorización b) Método de Completar el Cuadrado a) Método de Factorización. Se utiliza cuando el trinomio ax +bx+c es fac torizable y su resolución se basa en la apli cación del Teorema 30 (Regla de los signos para la muít iplicación). i) a.b > ii) 0 ** [(a a.b < 0 *-* tía > 0 0 > ~ b > 0) v(a < ~ b < 0) * (a < 0 * b > 0)) y si p(x) y q(x) son dos proposiciones en la variable x, entonces: {xeR|pfxJ {xeR|qfx)| (3) |xeR|p(xJ a q(x)i = |xeR|p(x)} fl |xeR|qfx)} (4) v q(x>} = (xeR|pfe)) U son las soluciones de las inecuaciones (1) y (2) respectivamente. EJEMPLO 6. Solución. Resover: x 2 - x - 6 5- 0 Por factorización: I x e R ^ - x - f í ^ 0} = |x e R | ( x - 3 ) ( x +2) * (x-3)(x+2) } 0 « *-* (x-3i0 ~ X+2Z.0) fx >, 3 « x (i i 3) v -2) 0| (x-3$0 „ x+2<0) v v ( x ^ 3 » x ^ -2) fx í -2) Por lo tanto, según (3), se tiene: S = | xe R | x -í -2} u {xcRjx >, 3J = |xeR|x EJEMPLO 7. Solución. -2 v x Resolver: 3x2-llx+6 < 0 Por factorización: 3x2-llx+6 = (3x-2)(x-3) Sólo fines educativos LibrosVirtual 3} 240 Capitulo 4: Números Reales * (3x-2)(x-3) < O <-* (3x-2 > 0 ~ x-3 < 0) <- v (x > 2/3 ~ a: < 3) v (3x-2 < 0 ~ x-3 > 0) (x < 2/3 - x > 3; (x > 2/3 - x < 3) v ( 4> ) Según b) (4):S =ixeR|x>2/3} Í1 ixeR|x<3} Método de Completar el = < x < <x c r | 2 / 3 31 Cuadrado. El método consiste en transformar el trinomio p(x) :ax2+bx+c a la forma p(x): a(x +-^JI=k, con el objeto de hacer uso de los teoremas: EJEMPLO 8. Solución. T.33: Si b i* 0 - a1 > b 1.34: Si b >0 - a 1 / f e v a 3xl-2x-5 < 0 *•* x ’ - -|x + (^)l ~ Solución. Resolver: < ~ -* EJEMPLO 9. < - / B -1 < x < 5/3 * (j¡)* - Í < * - 7 < T (T-34> S = ixcR|-J < x < 5/3} 2x1-x-10 ^ 0 •—x l - |x + (j)1 » 5 + 2 x l-x-10 » 0 .. ■— .J ,j v 81 ( x ' l } ' Te (X >y 5/2) V (p* t i s 9. <x ~ 1 ' * v (x i ^ " T 9. ' 1> (x 4 -2) S = ixcRix < -2 v x » 5/2} EJEMPLO 10. Solución. Resolver: x t-6x+25<ll x i-6x+25<ll *-'■ x 2-6x<-14 Completando el cuadrado: x 2-6x+(3)2 < -14+(3)2 ~ (x-3)1 < -5 En este caso no se puede aplicar el Teorema 34, toda vez que b=-5<0, es de cir, * x e R | ( x - 3 ) 2<-5 EJEMPLO 11. Solución. . Por tanto: S = 4 Resolver: 4x2-12x+9 -5 0 Completando el cuadrado obtenemos: (x-3/2)2 4 0 (Verificar) Aqui tampoco se puede aplicar el Teorema 34, porque b=0, sin em bargo, la solución no es 4> , ya que x=3/2 hace verdadera la proposición. .'. S = {3/2 } Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.8: Inecuaciones EJEMPLO 12. Solución. 241 Resolver: x*-8x+8 > 4-4x x l-8x+8 > 4-4x x z-4x > -4 (x-2)* > O Vemos que VxsR, es verdadera la proposición, excepto para x-2 ya que 0 ± 0. .'. S = R-{2( EJEMPLO 13. Hallar los valores de m para que la ecuación cudrática: (m+3)x1-2mx+4=0 tiene soluciones reales. Solución. Recordemos que una ecuación cuadrática tiene soluciones reales si b*-4ac>0 o si b l-4ac=0 Entonces: (-2m)*-4(m+3)(4) > 0 *■» m l-4mtl2 —+ (m-2)*216 <-* (m-2>4) v (m-24-4) (T.33) «-► (m>6) v (m<-2) Dado que mf-3 ■* S = {meR|mí-2 v mi6) - {-3} EJEMPLO 14. Determinar los valores de k para que la función cuadrática f(x)=4x1+k(l-4x)+2 no tenga interceptos con el eje X. Solución. f(x)=4x1-4kx+(2+k) La gráfica de una función cuadrática no intercepta al eje X cuan do el discriminante de la ecuación f(x)=0 es menor que cero, esto es: bl-4ac<0 * 16k*-4(4)(2+k) < O «- k*-k < 2 •— (k-1/2)1 <9/4 •— (- ~ < k - j < ~) ■— (-1 < k < 2) .'. S = lkeR|-J<k<2J INECUACIONES RACIONALES Una inecuación racional es una desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma: -£Í£? > 0 Q M o P *X * < 0 Q(x) donde P(x) y Q(x) son monomios, binomios o polinomios no nulos con coefi cientes reales. Entre las variadas técnicas para resolver una inecuación racional, destaca mos los siguientes casos: Sólo fines educativos LibrosVirtual 242 Capítulo 4: Números Reales PRIMER CASO. La inecuación racional tiene la forma: °x±t> > 0 cx+d „ S£íí? < o cx+d Según el Teorema 24 (a~l tiene el mismo signo que a), estas inecuaciones pueden reducirse a una inecuación cusdrát ica equivalente: (ax+b)(cx+d) > 0 o (ax+b)(cx+d) < 0 de modo tal que pueda ser aplicable el Teorema 30 para su solución. EJEMPLO 15. Solución. Resolver la inecuación: Y+ I >0 La inecuación equivalente es: (x+1)(x-2) > 0 - (x+l)(x-2) > 0 <- (x+l>0 ~ x-2>0) v (X+1<0 ~ x-2<0) (T.30) *- (x>-l ~ x>2) v (x<-l ~ x<2) ++ (x > 2) v (x < -1) .'. S = )xeR|x<-2 v jc>2( EJEMPLO 16. Solución. 5 3 Resolver: X -35-0— ■ ^ ¿ X 50 ^ ¿ X ¿ -í 0 (T.27) Inecuación equivalente: (x-2) (x-3) -í 0 , xf2 - (x-2) (x-3) v< 0 (x-2 > 0 ~ x-3 i 0) v (x-2 < 0 - x-3 5 0) (T.30H) +-+ (x > 2 ~ x -í 3) v (x < 2 ~ o: 5 3) +-+ (2 < x 4 3) v ( 4 ; -- (2 < x ¿ 3) S = <xeR|2 < x S 3) SEGUNDO CASO. La inecuación tiene la forma: ax2+bx+c > q a'xl+b'x+c' Primera Hipótesis. axí+bx+c < Q a'xz+b’x+c' Uno de los dos trinomios no tiene soluciones reales o tiene una raíz doble. Es decir, si tr=b1-4ac<0, o si n=b1-4ac-0; entonces, axz+bx+c ó a'x1+b'x+c' tienen signo fijo (>0, Vx e R). EJEMPLO 17. Solución. Resolver: xl~x ~12 < o x*-2x+3 Inecuación equivalente: (xz-2x+3)(x2-x-12) < 0 (I) Para el primer factor: fi =(-2)z-4(l)(3) = -8 < 0, luego no tiene soluciones reales, por lo que x2-2x+3 > 0, VxcR. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.8: Inecuaciones 243 Para el segundo factor: A=(-l)1-4(l)(-12) = 49 > O Luego, para hallar los valores de x que satisfacen (1), bastará resolver: x z-x-12 < O <-* (x-4)(x+3) < O — + (x-4 > O ~ x+3 < 0) v (x-4 < O * x+3 > 0) —*■ (x > 4 ~ x < -3) v (x < 4 y. x > -3) +— ( * ) v (~3 < x < 4) *-* (-3 < x < 4) S = {xeR|-3<x<4} EJEMPLO 18. Solución. Resolver: 1 + ■ > O X +X-0 Efectuando operaciones se tiene: > O Inecuación equivalente: (x2-6x+9)(xz+x-6) > O (1) Para el primer factor: A=(-8)2-4(l)(9)=0, el trinomio es uncuadrado perfec to, por lo que: x 2-6x+9 = (x-3)2>0, VxeR-{3}. En este caso x=3 esun valor restringido porque no satisface ¡a inecuación original. Para el segundo factor: a=(l)2-4(l)(-6) = 25 > O Luego, para que se enripia x 2+x-6 > O ++ +-+ (x+3 > O ++ (1), bastará resolver la inecuación: (x+3)(x-2) > O , xf3 (x > 2) v (Restricción) x-2 > O) v (x+3 < O y, x-2 < 0) , xf3 (x < -3) , xf3 .'. S = fxeR|x<-3 v x>2 }-{3 ) Segunda Hipótesis. Ambos trinomios tienen raíces reales y distintas, enton ces la inecuación equivalente se transforma en una ine cuación polinómica. TERCER CASO. La inecuación racional tiene la forma: Zí£¿> o Q (x) o IÍE¿< Q(x) o donde P(x) y Q(x) son pol inomios no nulos de grado mayor que dos. Nota. Debido a las diversas alternativas que se presentan en la resolución de inecuaciones de este caso, asi como de la segunda hipótesis del caso anterior, los ejemplos ilustrativos correspondientes se darán más ade lante, cuando desarrollemos, en las siguientes secciones, el estudio de la recta real y los intervalos. Sólo fines educativos LibrosVirtual 244 Capitulo 4: Números Reales EJERCICIOS: Grupo 23 Hallar el con/unto solución de las siguientes inecuaciones: 1. Á\(4x+2)-(x-2) 4 jJí4x+5) 10. 8(x-l)z > 8-(x-4)2 _ x-3 5 < _x 3 4 12 11. 3x+8 x-1 3. 11 - |x < j(5x+14) í- % ( 2 + x 12. x-1 > x x+3 13. 4 ■ -2 2x+3 < . x-4 ' 5. 3xl-10x+3 < 0 14. 6. 4x1-x-5 4 0 15. 7. x(3x+2) < (x+2)2 16. 8. 4x*-8x+l < 0 17. 9. 5x2-14x+9 4 0 jg 19. + í < -4 + 2x+9 15 1- S > 2 * - ) í í x+1 x-3 í- -2 > 4 > 7 -2x x +2x+3 .. „ x*-3x+2 > 0 x +1 j x-1 > 6 .£. < -mi <_L 3 x+3 9 Sean los conjuntos A=ixeR|x2-x-2í0) y S=1xeR|x2-4x-SíO). Hallar AnB. 20. Si a,b son reales; se definen las operaciones: a*b=b-a y a#b=2a+2. Ha llar el conjunto solución de: í(x+3)*(x+2j]*(x+6) >,xtt(x+2). 21. Definimos la operación * del siguiente modo: x*z=x(z+2), Vx,zeR. Hallar el conjunto solución de: (z-3)*z > 0 22. En R definimos la operación * por: a*b = ; según esto, resolver: (2-x)*l 4 (2*xj*|-< (3+2x)*5 23. Sea la ooeración binaria interna *:R * R ~ R (a,b) + a*b tal que a*b=a+b-7. Si c ' 1 representa el inverso de c respecto de ¡a ope ración *, hallar el conjunto slución de: 3'2* x 4 (4x)*(5*2) ~l. 24. En R definimos la operación binaria * por: a*b=a-b+2. Según esto, resol ver: 2~**x4 (2x»5)*(l*3)'1. 25. Determinar para qué valor de k, la inecuación (x+k)(x+3) > <x+2k)(x+2) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.9: La Recta Real 245 tiene un conjunto solución S=lxeR|x<-2}. 26. Si A=(xeR| 1 3 < 2x-i ^ ’ â ^ ar *a suna de los elementos de ZflA. 3x~4k 27. Determinar para qué valor de k, k>0 y 2x+3 < — ^-- , es x>3. 28. 29. Sea el conjunto A= <x e Z|x 2<601 . Hallar los elementos del conjunto A que 3x-l están en el conjunto solución de la inecuación: > 1 Si 9-2t-4x1-S-7x, VxcR, hallar el menor valor de t que satisfagaladesi_ goaldad. 30. Sean los conjuntos A=ixeN|x2<68 ) y B=lxeR| ~^¡ > 3} ; sí n es el número de elementos de P(Ar\£B), hallar m-n. (Considerar OeN) 31. Determinar m de manera que la raíz de la ecuación en R: — = , H x 5+2m menor que 1. sea 32. Sea A=lxeR|0<x2<501n N, y sea B el conjunto solución de la inecuación: , en R. Hallar la suma de los elementos de AfíB. 33. Hallar los valores de m para que el conjunto solución de la ecuación: (m+5)xi+3mx-4(m-5)=0 no esté contenido en R. * m LA RECTA REAL____________ Si sobre una recta orientada L se fija un punto A, de modo que le co rresponde el número "0", y convenimos en asegurar números mayores que cero a los puntos que están a la derecha de A, (P¡,PZ,P¡,... ,Pn) y números meno res que cero a los puntos a la izquierda de A, (Qi ,QZ,QZ,■.. ,Qn), hasta que ningún punto quede sin su correspondiente número real y ningún número real sin su correspondiente punto; habremos establecido una correspondencia biunívoca o perfecta entre los elementos de R y los puntos de la recta L : 0 ^ A , 1 ++ Pi, 2 P z , -1 ** Q z, -2 Q z, etc. Es decir, a cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta. Esta correspondencia se objetivisa de la siguiente manera: Sólo fines educativos LibrosVirtual 246_________________________________________________Capítulo 4: Números Reales Q n i -x _* Qa Qi Qi A Pi Pz i i - i * 1 i < - 3 2 - 0 1 2 P3 P i •• 3 n i x m y constituye lo que se denomina la recta real o recta mmérica o eje lineal de coordenadas. Ejemplos. (1) El conjunto solución de la ecuación (x+1)(x-2)(x-5)=0 es: {-1,2,5} y se representa en la recta real: ------------------------------------------------------------------------ 3 2--------------------- '-1---- r5 V ------------------------------ R (2) El conjunto solución de la inecuación (x+2)(x-3)<0 es ixeR|-2<x<3} y en la recta real se representa asi: -2 Obsérvese que el conjunto solución de una inecuación se representa en la recta real como un subconjunto de R, es decir, un segmento de recta en la que están incluidos infinidad de puntos cuyas coordenadas satisfacen la de sigualdad, excepto los extremos -2 y 3. Esto nos obliga a definir ciertas notaciones para subconjuntos de R, a los que daremos representaciones geométricas en la presente sección. [5 2 INTERVALOS____________________________________________ Si representamos la desigualdad a<b sobre una recta numérica: A x B vemos que el punto A, que representa al número a, está a la izquierda del punto B que representa al número b. Esto nos da una idea de que existen nú meros reales entre a y b o tcmbién que existen números que están antes que a y después de b (Subconjuntos de R). Si ocurre que a<x y x<b, esto se pue de escribir como una desigualdad continua de la siguiente manera: a < x < b A estos subconjuntos numéricos en R, que están definidos mediante la propie dad de sus elementos satisfacen ciertas desigualdades, intervalos. Sólo fines educativos LibrosVirtual se les denomina 247 Sección 4.10: Intervalos Definición 4.1S INTERVALO ABIERTO Si a y b son números reales tales que 0 4 b, se denomi na intervalo abierto al conjunto de todos los reales x para los cuales: a < x < b. (No están incluidos los extremos a y b). Se denota <a,b> o tam bién: ]a,b[ , de modo que: <a,b> = ixeR|a<ac<b} „ , r a o si xe(p,by ** h a<x<b Obsérvese que si a-b * (p.b) = 4 En la representación gráfica del intervalo, los puntos extremos se indican con círculos en blanco. Definición 4.16: INTERVALO CERRADO Si a y b son números reales tales que a 4 b, se deno mina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales x para los cuales: 0 4 x 4 b. (Están incluidos los extremos a y b). Se denota por: [a,b] de mo do que: [a,b] = (xcR|a ^ x 4 bj o si xe[a,b] ■«-- — *.R *-* a 4 x 4 b ° ** Obsérvese que si a=b * [a,b] = {a} o (b| En la representación gráfica del intervalo, los extremos se indican con cír culos en negro. Definición 4.17: INTERVALO SEUIABIERTO POR L A Sí a y naintervalo b semiabierto por son númerosreales IZQUIERDA talesque la izquierda alconjunto a <b, se denomi de todos los números reales x para los cuales: a < x 4 b . Se denota: <a,b], tal que, <a,b] = {xeíí|a < * < b}_________._________ x o si xe<£,b] <-*■ a < x 4 b Definición 4.18: . 1 INTERVALO SEUI ABIERTO POR LA r DERECHA Si a y b son números reales tales que a < b, se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales: a 4 x < b. Se denota por: [a,b> de modo que: [a,b> = {xER¡a ^ x < b} o si xe£a,b> ■<-* 0 4 x >||^ ^ ^ a||||||Mlaa|||||||^.. Sólo fines educativos LibrosVirtual f m g Capítulo 4: Números Reales 248 Definición 4.19: INTERVALOS INFINITOS Para indicar a los conjuntos de números reales que se ex tienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda de un número a, existen los llamados intervalos infinitos, que tienen la forma: a) <a,+“> = {jccR|x > a} b) [a,+«> = {xeR|x ^ a} c) <-“,<£> = lxeR|x < al d) <-“,a] = lxeR|;r-í al e) <-»,+*■> = {xeR|xeRl Nota. O La notación ■», que se lee infinito, símbolo que se utiliza para noes un númeroreal, sino un indicar que a partir de un número x hay números tan grandes como se quiera, por la derecha (+“•) o por la izquierda (--) PCT1 OPERACIONES CON INTERVALOS_______________________ ^ Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las propiedades operativas de conjuntos, como son la in tersección, unión, diferencia y complementación. EJEMPLO 1. Sean los conjuntos A= IxeR|-3<x<21, B={xeR| (x-12*-S4l y C=fxeR| -4<xi61. Efectuar las siguientes operaciones: a) C-(ADB) b) (A-B)'-C Solución. En B: (x-2)144 *-► -2 -í c) x-2 -í 2 Entonces: A = <-3,2> , B (BBC) ’-(AUB) ’ <-► 0 i x í- 4 = 10,4] , C = <-4,6] A 3 ---------------- 1 >p , ------- 1 h _ ¡ ------------- » i ¡ o 1 I c ' AhB ; ! ' 2 C-(ABB) * C-(At\B) ! <52ZX///////ZZZ&>_______ -4 0 2 Sólo fines educativos LibrosVirtual <T 249 Sección 4.10: Intervalos a) Los pasos que se siguieron para C-(AflB) son ios siguientes: (1) A n B = 10,2> (Conjunto de elementos comunes de A y B) (2) C-(AfíB) es el conjunto deelementos de C que no pertenecen a AOB. (3) Obsérvese que: Oe(AT)B) 2t(A(\B) -* 04ÍC-(AO B) ] (Abierto en 0) - 2c[C-(A(\B)) (Cerrado en 2) (4) Por lo tanto: C-(AOB) = <-4,0> U [2,6] b) (A-B)’-C I I 1 0 ¡ 4 | l C f ---------------- <**>' : • > (A-B)'-C A-B i 1 n I 1 1 «-»> i .277////7/////A (A-B)'-C 1ZZZZZZL+. 6 -4 (1) A-B es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no a B. Obsérvese que: OcB -* 04(A-B) -* A-B - <-3,0> (2) (A-B)' es el conjunto de elementos que no pertenecen a (A-B). Como -34 (A-B) y 04(A-B) -» -3,0c (A-B)' - (A-B) '=<-», -3]U [£»,+-> (3) (A-B)'-C es el conjunto de elementos que pertenecen a (A-B)’ y no a C. Vemos que: (4) c) Por lo tanto: -44C -* -4c(A-B)' (Cerrado en -4) 6cC ■* 64(A-B) ' (Abierto en 6) (A-B)’-C = -4]U<6,+”*> (BnC)'-(AUB)' — r = ¡ ! i t — 1 i I i — !--------------? i i : I i, o i I ; i í------------- i ÍBH O ' - Í A U B ) ' ! lBnc>' AUB i -4 j I i i _______________ s_______ L Sólo fines educativos LibrosVirtual 250 Capitulo 4: Números Reales (1) Vemos que B ^ C - BflC = [0,4] (2) A U B = <-3,2> U 10, 4] = <-3,4] - CBnCJ' =< ~,0>U <4,+-> (AUB) ' = <-»,-3]U <4,+“> (3) Por lo tanto: (BO C)'-(AU B) ' = <-3,0> EJEMPLO 2. Supuestoque los antecedentes son verdaderos, establecer el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si (5x+l)c<-3,2> b) Si (2x-3)c<-7,12> c) Si (5x-l)t<4,9> Solución. - (j±¿) e - - f-3x+5>e<-18,8> <3^2> e <-1’2> (1) Si (5x+l)c<-3,2> ~ -3 < 5x+l < 2 - ± < x < ± 5 < 2x < | ~ (Def. 4.15) - 1 | < 2x-2 < - | ~ - 1 ' ^ 5 ~ <2x-2) E < 8 ’ _ L s 5 2x -2 ~ 18 8 La , - -j|-> 5. 18 afirmación es verdadera. (2) Si (2x-3)e<-7,12> <- -7 < 2x-3 < i2 <- - ^4 < -3x < 6 Entonces: (-3x+5)c<- J¿~, 11> <£ <-48, 8> -2 < x < -j -► - (Q 3) < -3x+5 < J1 * (-3x+5)¿<-18,8> La afirmación es falsa. (3) Si (5x-l)z <4,9> 4 < 5x-l < 9 ~ Com o: -1 < - j y J < 3x-2 < 4 1 < 2 - -J «- 1 < x < 2 3 < 3x < 6 ~ < < 2 - ( 3 ¿ 2 ) c < ~1 ,2 > La afirmación es verdadera. EJEMPLO 3. Dados los conjuntos A=[xeR| [ x C=(x Solución. e R| e [-5 ,3 > ] , B= [ x e R |( ~ ^ ) £[”4,2 ]} (•^— ■)e<~3, 4>) . Hallar P=[(A-B)u (B-C)](\ (AuC). Para A: (x-3) e [ - 5 , 3 > Para - 3 ] -5 < x-3 < 3 ' * - * - 2 < x < 6 « - » B:[-^í ]e[-4,2] «-> -- Para C: (2S^ )c<-3,4> — ** -4 í ^ x e [-2 ,6 > « 21- -8 < 2 - x < 4 -4 $ x-2 4 8 -2 4 x 4 -3 < < 4 -> -6 < 3x-l < 8 -5< 3 x< 9 *-* 10 ~ xel-2,10] ~ ^ < x < 3 * * xe<-5/3,3> Luego, A-B = [ -2,6> - [-2,20] = <t> (ACB) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.11: Operaciones con Intervalos 251 B-C = 1-2,10] - <-5/3,3> = [-2,-5/3]u [3,10] A U C = [-2,ff]u<-5/3,3> = [-2,6] = A Luego: (CcA) P = (* U [-2,-5/3] Ü [3.10]) n [-2,6] = [-2,-5/3] U [3,6] EJEMPLO 4. Dados los siguientes conjuntos: A=(xeR|2<x<5}, B=(xeR| -3íx<2}, 0}xeRjx>5}; P- fxeR|xeA «-* xeB}, Q={xeR|xeC -*• xeA}. Hallar el conjunto P n Q. Solución. Tenemos: A=<2,5], B=[-3,2> , C=<5,+“> En la equivalencia lógica: p *-* q = (p ~ si hacemos: p=A y q=B * A *-► B = (A 0 B) Entonces: xeA •*-* xeB = xefAnBJ h x e f Luego: x e * ) v v q) x e( A U B ) ' = xefAflB) v x/(A u B) v = x e /< 2 ,5 ] n [ = q)v v(p (A U B) ' v -3,2>) v x * í < 2 ,5 ] u x * ( [ - 3 , 5 ] - 1 2 U = [-3,2>3 xt([-3,5]-[2}) < - “ , - 3 > u < 5 , + “ > U 121 P = <— >,-3>U <5,+“> U [2] En Q útil izamos la equivalencia condicional: p ■* q s ''-pv q x e C •►'■xeA xiC s v xeA = x^<5,+“> = x e < - " , 5] v xe<2,5] v x e <2,53 = < -“ ,5 ] = Q -3 = <— ,-3>ul2) p o q EJEMPLO 5. Si (2x+l)e[5,9], hallar el menor valorde M que satisface desigualdad: Solución. X~~D < M x+3 8 — ? = 1 + — ¡ -* 8 1 + — ^ < M Efectuando ladivisión: Partiremos de (2x+l)c[5,9]para llegar a la expresión (a) (1) Si (2x+l)e[5,9] X~O 5 < 2x+l < 9 (2) Sumando -5: *— (3) Inviniendo: — ■ (4) Simando -1: « la X “0 «- 2 < x < 4 X ”“0 (a) (0.3) -3 < x-5 < -1 < ^5 < ~ 3 ** -7 < 1 + (5) Comparando (a) y (B) se deduce que: ~8< ~ £ j < ~ J < - "f" M = -5/3 Sólo fines educativos LibrosVirtual <T-29 y r -28> Capitulo 4: Números Reales 252 EJEMPLO 6. Si xe[l/4,3/2], hallar el mayor número m que satisface la dex-2 siguaIdad: ■ ^ >, m Solución. x -2 Efectuando la división: 2 = 1 2 -» 1 + >sm (a) Partiremos de xt[l/4,3/2] para construir la expresión (a): (1) Si x e *- [1 /4 ,3 /2 ] ~ ~ (2) invirt iendo: -j « ¿ (3) Sumando 1: * x~4 < " T .< - -± ~ 4 1 t ~ (Def .4.15 y 0.3) - ± « J L « - -f- •£ JJ (T.29) ÍB) (4) Comparando (a) y (B) se deduce que: m = 1/5 EJEMPLO Dados los conjuntos: 7. Q=[xe(/|xeA1 Solución. «-* q), p# q=%fp x e í )| x e < -3 , 5] -*x¿ < 0 ,9 > ), q). Si A1=[xeI)|xeA * XeB), /V=[xeU|x¿A bina # x¿B), * xiN\. Hallar (MU MJ 'h Q Para el conjunto A tenemos: p * q= vpv q A =[xeI/|xe < -3 ,5] - A=( -I <-► xi<-2,2>\ y las siguientes operaciones B=[xe¡]|x> rías: p*q=v(p íl=< -2,14], x t< 0 ,9 > \ - A =[xeü|xe<-2, -3 ] u <5,14] v - x e < -2 ,0 ] Para el conjunto B: p *-» q = (p A = íxeU |x¿ <-3 ,5] u [9 ,1 4 ])= q) v v(p a v xí <0,9>) [xe{/|xe<-2, 0 ] U < 5 ,1 4 ]). q) v - B=[xe[/|xe[ - 1 ,14] — xi! <-2,2>) = )xe(1|xe[-1,14] — x e [2 ,1 4 ]) h. B= [xeU|xe([-1 ,14] n 12,14)) V x * ( [ - l, 1 4 ] U [2 ,1 4 ])) = [ x e [/|x e Entonces: B = [ 2, 14] xi' [ - 1 v = ,1 4 ]) (x e I/|x e 14) v [2, x e <-2 ,-1 > ) < - 2 , -1> u [2 ,1 4 ] Para el conjunto M = (x Por la operación *: e U|x e A * x e A*B = v(A « B) B) = •'•[(AnB) u (AuS)'] i [(A n B) U (A u B) ’] ’ = (AhB)' h(AuB) A n B = (<-2,0] U <5,14]) f) (<-2,-l> u [2,14]) = <-2,-l>U <5,14] Entonces: (A O B )' = [-1 ,5 ] A u B = f<-2,0] ü <5,14]) u (<-2,-l> u [2,14]) = <-2,0] U [2,14] Luego: M = [- 1 ,5 ] fl ( < - 2 , 0 ] U [ 2 , 1 4 ] ) = [- 1 ,0 ] u [2 ,5 ] (Verificar el resultado para M en una escala real) Para el conjunto N=[x e O | x ¿A # xiB], se tiene: Por la definición de complemento: xtí # x¿B = A'ttB' Por la operación i: A'tt B = v(A' -*• B') s A'flB A ’=<0,5] y B=<-2,-l>u [2,14] - N = A'nB=[2.5] Sólo fines educativos LibrosVirtual (v(p -*■ q) = p A-vq) Ejercicios: Grupo 24 253 Para el conjunto Q={xet/|xeM * xtN), se tiene: M*N' =*(M~ N') 2 (M-*N')' = l(MnN') u(MUN')]' = (MnN') 'O(MuN’) (Comp.C.9y C.6) Aifl N' = (l-l,0]ü 12,5]) n (<-2,2>0 <5,14]) = 1-1,0] Entonces: (MnN')' = <-2, -1>U<0,14], ; MUN' = <-2,14] = U Luego: Q= (<-2,-l>u <0,14]) n (<-2,14]) = <-2,-1>u <0,14] MUN= l-l ,0]U [2,5] - (MUN)' = <-2,-1>U<0,2>U<5,14] Ilustración gráfica de (MUN)'OQ: Q Q ? 1? ?-....................... T (MUN)' ^ (MUN)' <¡>. 9i I MS/M///A -2 -1 Y////////M Y//////////////AL O 2 5 (MUN)'(\Q= (MUN)’ = <-2,-l>U<0,2>U<5,14] 14 EJERCICIOS: Grupo 2 4 1. Sean los intervalos: Á=<S,12>, B=<7,16], C=[16,+^>. Hallar (At\B) ’-C'. 2. Si A-<-7,'-3], B=<-3,4> y C=(xeR|x>4}. Hallar: C'-(AUB)'. 3. Si A={xeR|xe<-5,5> a xe[0, 8 ]}, B={xeR|xs [-4, 6] v xe[4, JO]}, OíxeR|xe[-5,2] * xe[0,8 ]}. Hallar: (AOB)&C. 4. Sean los intervalos: A=[-2,5], B=<1,3] y C=<-3,5]. Cuáles de las siguien tes afirmaciones son verdaderas? a) A'CB' b) (A-B) 'fí C' = 4> c) A-B = C-tBufC-A;] 5. Si se dan los conjuntos en R: A=<-3,8>-{1J, B=<-“ ,3] y C=í6,+a>. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) (AüBJc<-",?] c) ( A n C ) U B = <6,8> U <-~,-3> b) (C-A) = [8 ,+~> d) A' = -3]U [8 ,+=> 6 . Sean: A=N n (<5,8 ] u [20,36]), B=N(\<7,24]; ONB<22,40]; D=[(B U C)-(C-B)] U (A-B’); E=CU [(A-B) U C ']1. Hallar el número de elementos de D 0 E. 7. Si A= {xeR ¡2x+4<x- 7), B= (xeR |x-1 <2x<x+81, C=[l ,3]. De las afirmaciones si. guientes, cuántas son verdaderas? a) (BUC)-A = B b) (B-C)U<1,3> = <■-!,+ »> Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 4: Números Reales 254 c) 8. A ’-B = 1-11,-11 U [8 ,+~> Demostrar que: a) Si xe<-3,2> - O < - ^ r <4( ( b) Si xe<-3,5> 9. d) ( A U C ) O <-11,1> = <-->,3] e <0,1> c> Si xe<-2,5> - ¿X+Ü e <0,1> d) Si xe<2,4> - ( ¿ ¿ 3 ) e < ¡ 7 >~J > Determinar el menor Al y el mayor m tal que si x e[-2,3], entonces: 10. Determinar el mayor -valor de M de modo que si xe<4-AI,4+At> * /xe<2,3>. •»*+? 22. Si (2x+l)c[S,91, hallar el menor valor de M que satisface 7^5 -S 12. Para xe[2/2,3/2], sea M el menor valor y m el mayor valor que satisface x+2 la desigualdad: M - hallar M-m. 13. Determinar el menor Al y el mayor m. tal que Yxt[2,51, entonces: . 4xi+xz+8x+2 . „ m '$ --- 2x 1 Í2x_“ < Aí 14. Hallar el menor número Al con la propiedad de que VxeR: 3+36x-12x1 -í Al. 15. Hallar el mayor número m con la propiedad de que -VxeR: m ^ 4xz-12x+3. 16. Sabiendo que xe<-~,-3> u <3, +°>, hallar M y m, si Al y m son respectiva mente el menor y el mayor vaior que satisfacen; m < Q^y-x») - ■ ‘O 1 < M 11. Sean AMxeAí| 3$ocí20}, B=IxeJV|x>7) , C={7,8,9,10). Hallar: (A-B) U C U (BOA'). 18. Dados los conjuntos: A=<xeR| (x-2,)e[-3,5>} , B={xeR| (2~— -)z<-2,4]} ,C={xeR| xiB XeAI, D=(xeR|xe/\ f xeC}. Hallar los intervalos que corresponden a la siguientes operaciones: a) (A-B)nC b) (AuB)-D c) (C n D J U A d) (A'-D')-B 20. Dados los siguientes conjuntos: A={xeR| (^-^)sl~4,4]}, B={xeR¡ 2>) , C= {xeR|(4x-2)e<-l,31), D=lxeR|(3-2x)e<-6,4>). Hallar los interva los correspondientes a los siguientes conjuntos: AÍ={x e R | x e A +■» xcO) , N=lxeR|xeA *-► x e B} ; P = I x e R | x ¿ B v x¿Cf ; r={XeR|x¿C -► x e D) . 21. Dados los siguientes conjuntos: A={xeR|(-x-3)*l-2.6>}, B=lxcR\(2x/5)e 1-10,21), C=lxeR|-xeA xtfBl. Hallar (C-B) ir (AfíC). Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 24 255 22. Dados los conjuntos: S=(xeR| (~)sl-3,2>}, T={xcR\(~)e<-4, lll, AÍ=teR |(4x-l)el-2,2]]; P={xeR|(2-3x)e<-3,I>). Hallar los intervalos correspon a los siguientes conjuntos: A={xeR|x^S + xeTt ; B=ixeR]xe.W ** xePi ; O t o R j x e S v x$P\ ; D=ixeR|x^T ~ xeM]. 23. Dados los conjuntos: .W=lxeR| (~x/3)cl~2,4>], S=ixeR|3xs[-2,3]}, T=íxeR| (l-x)e<-l, 5>). Hallar el intervalo correspondiente a P=ixeR|xe(Ai flT) * xeS). 24. Dados los conjuntos: A=ixeR| (x/3)el-3,2>i, B={xcR|3xe<-2,3]), C=íxeR| (2-x)e<-l,+°>> ; efectuar: a) A-B , b) B'fíC’ , c) A'UC' , d) A '-(BDC)' 25. Dados los conjuntos: M=ixeR| (■^~)c<~2,2]i, N=(xsR| (3x/2)f<-l,4> l, P=íxeR| (2-x )<3 x>2). Hallar el o los intervalos que corresponden al conjunto A=IxeR|xeM **■ xc(NnP)). 26. Dados los conjuntos: A=<xeR| ^ — -)e<-2,41); 2J=íxeR|2x2+3x+I<0}; C=lxeR| xz>2 - x*<-2). Efectuar: (A-B)U(BfíC) 27. Dados los conjuntos: A=ixzR\xí-4iO ~ x2-25501; B={x£R\x*-6Z-xv x~-x<-l) C=lxt:R\xl+x+l>0 * x 2<x). Hallar el intervalo correspondiente al conjun- 20 0=ixeRjxe(A-B2 «- xe(C-A)]. 28. Dados los conjuntos: A={xeR|(x2-3.)e[-3,ff>l; B- to R j (3-2x)cl-4,2]}, C=4xeR|xeA ■* xeBl. Hallar el conjunto D, sí D=ixeR|xeA *-* xeC}. 29. Sean a~(2+rr3) ~l y b=(2-S3)~l. Dado un número 2e[a,b], determinar el nú mero fe{0 ,2 ) tai que: 2=ta+(l-t)b 30. Sean a y b números reales fijos, tales que a<b. Demostrar que dado kela.b3, existe un romero único te[0,l], tal que k=ta+(l-t)b. 31. Dados los conjuntos: A-{x ^R\('2~^)^<1/4,21] , B=lxeRj^j- > x+6 ) y o _ 2 _A C=(xeR| ---g- í x+ 6 }. Construir el conjunto: M={xeR¡xe(C-A) * xeBl. * Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 4: Números Reales 256 3 E RESOLUCION GRAFICA DE INECUACIONES EN R________ y Cuando realizamos el estudio de la técnica pararesolverinecuacio nes cuadrát icas y racionales, habíamos visto comoéstas sepodían resolver en forma sencilla aplicando el Teorema 30 (Regla de los signos): i) ii) ab > 0 *- (a > fl » b > 0 ) v (a < 0 ^ b < 0) ab < < 0 * b > 0) Obviamente,si el producto les, 0 (a > 0 * b < 0) v (a hubiera consistido de tres laaplicación de este teorema se haría miy difícil o más factores linea y compl icado por el mayor número de alternativas que aparecerían. Para evitar esta dificultad existe un método de resolver inecuaciones en R haciendo uso de la represen tación gráfica de los números reales en la recta real, y consiste en lo si guiente: (1) Dada una inecuación en R, se descompone ésta en factores lineales dándole la forma: atPO (2) o atÔ Se resuelve la ecuación ab=0 ** a-0 v b=0 (Las raíces de esta ecuación se llaman valores o puntos críticos de la inecuación dada) (3) Se ubica los puntos críticos en la recta real, determinando en ella los intervalos de variación, luego se estudia el signo de cada factor en dichosintervalos, por rio siguiente: Por ejemplo, sí c es el crite- un punto crítico: A la derecha de c,VxeR: x>c*(x-c)>0, se escribe (+) A la izquierda de c, ¥.»R: x^c* (x-c)<0, se (-) | (+) Í x< c c x> c , „ ■. , (x-c)< 0 i (xrc) > 0 * escribe (-) (4) Se determina el signo de cada intervalo mult iplicando verticalmente los signos de cada factor. El resultado se ubica en la recta real. (5) Según sea el sentido de la desigualdad dada se eligen el o los interva los que constituirán el conjunto solución. Si la inecuación tiene la forma P(x) < 0, el conjunto solución lo conforman (a unión de los intervalos donde aparece el signo (-). Si la inecuación es de la forma P(x) > 0, el conjunto solución estará dada por la unión de los intervalos donde aparece el signo (+). EJEMPLO 1. Solución. (1) (2) Resolver: lxeR|x1 -x-6<01 x 2-x-6 = (x+2)(x-3) (x+2)(x-3) = 0 x=-2 o x=3 (Puntos críticos) Sólo fines educativos LibrosVirtual 257 Sección 4.12: Resolución Gráfica de Inecuaciones en R (x+2) (-> ¡ r+) 1 (+) (x-3) M ! (-) i (*) i * JL <« (S) "2 © Q *______ 3 © Dado que P(x)<0, el signo (-) corresponde al intervalo <-2,3>, entonces S = <-2,3> = <ieR|-2 < x < 3) EJEMPLO 2. „ , ,- Solución. Resolver: ' " * ^ 4 ^ 2 >x 0 2xl+3x-2 ------------ = x*+4x-12 (2x-l)(x+2) . n —- >s O (x+6)(x-2) (1) Inecuación equivalente: (2x-l)(x+2)(x+6)(x-2) >s O , xf-6 , x/2 (2) (2x-l)(x+2)(x+6)(x-2)=0 ** x=l/2, x=-2, x=-6, x=2; son los puntos crí_ ticos de los cuales deben ser excluidos x=-6 y x=2. (x+6) (-) ¡ (*) 1 (x+2) (-) I (2xrl) (-) J (x-2) (-) <-) ! <+) ! ! (+) ! <*> ! (+) 1 (~} (*> i (+) ; (-) i I | (-) | ! * i + l + — •«-------------4 ---------- 4 -------- 0 (4> ^ O O ! (+) 1 ¡ ♦ ¿ l7 * O ! 4— ■ 8 (+) + ■ '>4 » © Í5> En este caso P(x)>0, entonces interesa los intervalos con signo positi vo. Observación. S = <-»>, -6> u [-2,1/2] u <2, +=> Nótese que en la solución de las inecuaciones de los ejemplos anteriores, el signo del último intervalo (derecha) es siem pre positivo, después los signos se van al temando en cada intervalo, de de recha a izquierda: (+),(-),(+) De este suceso se puede establecer una técnica para resolver inecuaciones de orden superior y que es mucho más sen cilio y práctico que la regla gráfica de ¡os signos. Esta nueva técnica se basa en ¡a aplicación del algoritmo de la división para un polinomio P(x) y que es llamada: el método de tos valores críticos. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 4: Números Reales 258 INECUACIONES POLINOM ICAS Las inecuaciones polinómicas tienen la forma: P(x): a¿xn + a ,arn *+ o,xn . . . . + an > 0 ( 1) P(x): a¿xn + a,xn *+ a¿xn *+ . . . . + an < 0 (2 ) y son llamadas también inecuaciones de orden superior. Para un polinomio de grado n, con coeficientes reales; existen n números reales r ,, r,, . . . , rn (no necesariamente distintos) tales que: P(x) = a,(x-rx)(x-rJ. . . .(x-rn ) (3) Si uno de los factores de (3) es (x-r), entonces se dice que r es un cero o raíl de P(x); si m de estos factores son precisamente (x-r), r se llama un cero de multipl icidad m. Se dice que un valor crítico es un cero simple si su multipl icidad es uno, en todo caso, se dice que es un cero eúltiple. Por ejemplo, si: entonces: Existen tres casos para resolver inecuaciones polinómicas y son los si guientes: CASO l. Los ceros del polinomio P(x) son de multiplicidad simple, es decir, son reales y diferentes. Esto es: P(x) = a(x-r¡)(x-r1) . . . .(x-rn) donde: r t < r* < r, < . . . < rn Los pasos a seguir son los siguientes: (1) Se halla los valores críticos factor izando el polinomio P(x) y resol viendo la ecuación P(x)=0. (2) Se ubica los valores críticos sobre una recta real y se señalan los in tervalos de variación. (3) Se anota con signo (+) el último intervalo <rn,+->, luego en los demás intervalos se alterna los signos (-),(+),(-),.., de derecha a izquierda. (4) El conjunto solución lo conforman la unión de intervalos con signo pos¿ tivo si P(x)>0, o la unión de intervalos con signo (-) si P(x)<0. Sólo fines educativos LibrosVirtual 259 Sección 4.13: Inecuaciones Polinómicas EJEMPLO 1. R e s o l v e r : x ' + 2 x 3 -9xl-2x+8 > O, Solución. Sea P(x) = x'+2x3 -9x2 -2x+8 = (x+4)(x+1)(x-1)(x-2) (1) Si P(x)=0 + x=-4 , x=-l , x=l , x=2 (valores críticos) (2) W O (4) Como "* P(x)>0, el O O conjunto O solución lo 0 conforman la unión de los intervalos con signo positivo, esto es: S = <-=, -4> U <-1, 1> U <2, +■»> Resolver: 2x'-7x3-llx1+22x+24 4 0 EJEMPLO 2. Solución. m m (4) Sea P(x) = 2xl'-7x‘-llx2+22x+24 = (2x+3)(x+l)(x-2)(x-4) (1) Si P(x)=0 + x=-3/2, x=-l, x =2, x=4 son los valores críticos. ----------------- -----------------------------------------------------------------------------© O © 2 O 4 © Como P(x)sO, el conjunto solución lo constituye la unión de los interva los con signo negativo, esto es: S = [-3/2,-J]u [2,4] Observación. Las inecuaciones racionales de la forma P(oc) > 0 P(x) o Qfccj < ® donde P(x) y Q(x) son pol inomios no nulos de grado > 2, tam bién pueden ser resueltos por el método de los valores críticos, teniendo cuidado de restringir las raíces de Q(x)=0 . EJEMPLO 3. Resolver: °. < 0 x -3x -x+3 r» 1 •' ucion. x 2-x-20 _ (x+4)(x-5) x 2-3x 2-x+3 ~ (x+1 )(x-l)(x-3 ) ,n Inecuación equivalente: (x+4)(x+1)(x-l)(x-3)(x-5) $ C Valores restringidos: x)±l , x43 (1) Puntos críticos: P(x)=0 + x=-4, x=-l, x=l, x=3, x=5 (2 ) m (4) - 1 __ © "’ © -1 © ' © 3 0 5 © Como P(x)40, el conjunto solución lo conforman la unión de los interva los con signo negativo, esto es: S = <-” ,-4] u <.-!,!>u <3,5] Sólo fines educativos LibrosVirtual 260 Capitulo 4: Números Reales CASO II. Los factores de P(x) son todos lineales y algunos son ceros de muí tipl icidad múltiple. Supongamos que (x-r ¡) es el factor que se repite m veces, entonces puede ocurrir lo siguiente: A) Si m es par, los signos de los intervalos donde figure r¡ son iguales, es decir, no son al temados. Entonces se elimna el factor (x-r¡) y se traba ja con los demás factores como en el Caso I. Esto es, si: a) (x-r t)m (x-a)(x-b) > 0 *-* (x-aj(x-b) > 0 y x¿r¡ b) (x-r¡)m (x-a)(x-b) < 0 <-► (x-a)(x-b) < 0 y xjr¿ c) (x-r i)m (x-a) (x-b) í.0 <-*• (x-a) (x-b) i. 0 d) (x-ri)m (x-a)(x-b) (x-a)(x-b) S 0 S 0 «-► 5 ó (restricción) (restricción) x=r¡ x=r¡ Obsérvese que en las desigualdades estrictas (>0 ó <0) se restringe la raíz x=r¡ , lo contrario sucede para las desigualdades no estrictas (%0 6 SO). EJEMPLO 4. Solución. Resolver: x'-4xs-3xz+14x-8 'i-0 Sea P(x)=x'-4x’-3xz+14x-8 = (x+2)(x-l)z(x-4) Dado que (x-l)l%.0, VxeR, entonces, según el Caso IIAc, se tiene: Inecuación equivalente: (x+2)(x-4)i.O (1) Valores críticos: P(x)=0 * o x=l x=-2 , x=4 ♦ 1 (4) + ao El conjunto solución es la unión de los intervalos con signo (+). /. 5 = <-«, -2 ] ü {I } U [4, +«> EJEMPLO 5. Solución. Resolver: x i-5x*+2xz+14xz-3x-9 < 0 Sea P(x) = x*-5x'+2x,+14xz-3x-9 = (x+1)2 (x-1)(x-5)z Como (x+l)z>0, VtceR-{-I} y (x-3)z>0, -WocejR-{3}, hay dos restric ciones: xj-l y x¿3 Inecuación equivalente: x-1 < 0 (1) En este caso, el único valor crítico es x=l (2) .oo (3) (4) Como P(x) < 0 + S = <-co,i> - { -i } Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.13: Inecuaciones Potinomicas B) 261 Si m es impar, el factor (x-rt)m tiene el mismo signo del factor (x-r¡), en consecuencia, la inecuación se resuelve como en el Caso I, esto es/ si a) (x-ri)m (x-a)(x-b) > O b) (x-r i)m (x-a)(x-b) < O EJEMPLO 6. Slución. Resolver: (x-r¡)(x-a)fx-b) > O —* (x-r¡) (x-a)(x-b) < O (x+2)(x-l)3(x-3)(x-6) < O Según el Caso IIB, la inecuación equivalente es: P(x): (x+2)(x-l)(x-3)(x-6) < O (1) Valores críticos: Si P(x)-0 ¿ ( 2) <3> (4) *-*• x=-2, x=l, x=3, x=6 © Como P(x) ‘2 signo negativo: CASO III . G 1 O 3 O ” © < 0, el conjunto solución es la unión de los intervalos con S = <-2,l>a<3,6> Cuando tos factores de P(x) son lineales y cuadral icos, siendo los ceros del factor cuadrát ico no reales. Ilustraremos el caso con los siguientes ejemplos: EJEMPLO 7. Solución. Resolver: x i-2x'-x‘-2xz-20x+24 < 0 x í-2xs-x,-2xz-20x+24 = (x+2)(x-1)(x-3) (xz+4) El factor x z+4 tiene raíces no reales (&<0), por lo que x ‘+4>0 , ■VxcR. Podemos entonces prescindir de este factor y analizar los signos de los intervalos para la inecuación equivalente: (x+2)(x-l)(x-3) < 0 (1) Valores críticos: P(x)=0 '-*x=-2, x=l, x=3 (2) o, (4) g^r-'rr--% , o ‘2 O 1 O 3 0 Como P(x)<0, el conjunto solución es la unión de los intervalos con sig no negativo: EJEMPLO 8. Solución. .'. S = <-», -2> u <J ,3> Resolver: x i-2x‘ ,-Sx3-10xl-12x+16 > 0 Factorizando obtenemos: (x+1)(x-l)(x-4)(xI-2x+4) > 0 El factor cuadrát ico tiene soluciones no reales (comprobar que &<0), por lo que x I-2x+4>0, VxzR. Prescindiendo de este factor, la inecua ción equivalente es P(x): (x+l)(x-l)(x-4) > 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 262 (1) Valores críticos: P(x)-0 + <2) x=-l , x=l , x=4 Q -1 Q 1 O 4 G w (4) Dado que P(x) >0, el conjunto solución lo conforman los intervalos con signo positivo, esto es: EJEMPLO 9. Solución. Resolver: S = u <4,+”> (x,-8)<xl-9)í(xl+4) ^ Q (xi-4)(x-l) Factorizando en el nunerador y denominador se tiene: (x-2)(xl+2x+4)(x+3)*(x-3)1(x1+4) . . « ■ u (x+2)(x-2)(x-l) Observamos aqui lo siguiente: a) Existen tres valores restringidos: xf-2 , xfl , xf2 b) Se debe prescindir de los factores (x+3) y (x-3) por el Caso II:A.d y el factor (x-2) por cancelación. c) Se debe prescindir de los factores (x*+4) y (xl+2x+4) por ser ambos posi_ tívos VxtR (Verificar que ¿<0>. £ntonces, de la inecuación original queda: (x +2)(x-l) ^ 0 ’ x*2 ’ ■r=±3 Inecuación equivalente P(x): (x+2) (x-1) -í 0 , xf2, xf-2, xfl, x=±3 (1) Valores críticos: P(x)=0 +-+ x=-2 , x=l (2).co------------ --------(3) "2 (4) Como P(x)<0, entonces: S = <-2,-l> U {-3,3} EJEMPLO 10. Solución. Resolver : O <xl~2x+2>>U'*)* <x+2>* >, q x*(x*+5x+4) Según el Caso II.B.a, la inecuación es equivalente a: (xt-2x+2)(l-x)(x+2)2 >irQ „ x*(x+l)(x+4) (x1-2x+2)(l-x) o , xfO , x=-2 (x+1)(x+4) Como x l-2x+2>0, -VxcR (Verificar que í<0), entonces, de la inecuación original <*ueda: (x+lHx+4) » 0 ~ Inecuación equivalente: (x+l7(x+4) * 0 .xt O . x=-2 P(x): (x-1)(x+1)(x+4) ■$ 0, x¿0,-1,-4 , x=-2 (1) Valores críticos: P(x)=0 ** x=-4, x=-l, x=l Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.13: Inecuaciones Polinámicas (4) 263 Como P(x)SO, el conjunto solución lo conforma la unión de intervalos con signo negativo y el número x=-2, esto es: S = EJEMPLO 11. u {-2) u Construir una inecuación entera o pol inómica de grado mínimo i> U < J ,2> u <3 ,5>. cuyo conjunto solución sea Solución. Si XC<-~,1> u <1,2> U <3,5> * ace<— ,2> U <3 ,5>-11} Como x=l es un valor restringido, el polinomio P(x) tiene la for ma: P(x) = (x-1) (x-2)(x-3)(x-5). Siendo m par * m=2 (grado mínimo) Para saber si P(x)<0 o P(x)>0, ubicamos los valores críticos: x=l,2,3,5 en la recta real y aplicamos la regla conocida: -° /. P(x) < O - 1 ■.’j)--------- qí ■ 2 + 3 _ 5 > -■ + (x-l)z(x-2)(x-3)(x-5) < O •— x s-12x"+24x‘-34x*+23x-30 < O EJEMPLO 12. Si A es el conjunto solución de: i> O , (X+l ) ( X +H ) el conjunto solución de la inecuación Solución. En A se tiene: 3x+2 < 8 y B es bailar A ' n B t, < O (x+1) ( x +4) Como (x+l)*>0, VxcR-l-ll y x I+4>0, VxtR, la inecuación equivalen, te a A es (x-l)(x+2) < O , xf-1 Por el método de los valores críticos obtenemos: A=<-2,l>-{-li Entonces: A’= En B: - ^ 7 - 8 < O x-1 <- ^ 7 > O x-1 «-> B = 1> u <2, +“> (Verificar) Ilustración gráfica de A'A B: A' Vv, '- A' nB (Verificar) -2]U [2 ,+“> U 1-2 } ; B - 2 - 1 A' b B = i , 4> ' i 1 2 I -2] u 1-J 1 u <2, +”> Sólo fines educativos LibrosVirtual o — A' n b ITT——- T ^ - 7 264 Capitulo 4: Números Reales EJERCICIOS: Grupo 25 En los ejercicios siguientes resolver la inecuación dada. Representar la so lución sobre una recta real y expresar el resultado como un intervalo o unión de intervalos. 1. (x 2+ 2 x -3 )(3 x -4 -x 2) 2. 4 x '+ 4 x s + x2 + 4x-3 3. x ' - 3 x l -1 5 x 2+19x+30 4. x ' - 4 x 2- 3 x l + 14x-8 S. ( x 2+x2 - 9 x - 9 ) ( x - 2 ) 2 6. 2 x* + 7 x2 + 2x-3 7. ( x - 2 - x 2) ( x 2+ 2x-8) < 4 > 9. 0 10. 0 < 11. 0 12. í- 0 < 13. 0 14. 0 < 0 15. >, 0 16. 8. x '- 5 x '+ 5 x 3- 3 x 2-6x+ 8 17. x , - 2 x '- 4 x '+ 1 4 x '- 3 3 x 2+ 60x-35 18. x 2-2 x * -1 0 x '+ 2 0 x " + 5 x * -7 x 2 + 7x-24 4 < <x, - l ) ( x , - x ‘ + 2 x - 2 ) ( x - 2 ) 3 x-2 < _£_ x+1 x -1 x -2 - > -2 s x -2 2 x l -3x+ 3 . 6+ X -2X 1 3*-6 * 1 2 2 - 3ÍTT ( x 2 - x - 6 ) * ( 2 - x ) >( 3 + x ) 2 ^ ( 2 x + l ) ( x 3- 8 ) ( x i - 4 x ) x h- 2 x 3- x 2-4 x ~ 6 x * - 4 x i + x-4 „ n ' „ 0 x 2 . 8a2 ■ “ 1 2 * QÔ x-<¿ x+a x -a 0 4 0 19. Hallar una inecuación entera de coeficien íes racionales, de grado mí¡ nk>, cuya solución es: <-=,-2> U < -2,2> U <3 ,+«> 20. Hallar la inecuación racional más simple cuyo conjunto solución es: <-<■■.-3> U[-i,l> u[4,+-> 21. Construir una inecuación racional cuyo conjunto solución sea: <-»,-2>U[-1,3]U <4,+~> 22. Si A y B son los conjuntos solución correspondientes a las inecuaciones (x-l)2-l , „ en R: Tx Í3-)(2-5x ) < ° ; (x+3)(3-5x) _ „ , ,, <x+l)(2x-+3)' * 0 •' hallar: AflB 23. Dados los conjuntos: A = I x e R ] ^ ♦ * ........... d - ,__D]<x'+2)(x-l)i(2x-l)(xt-4) B - \xcK — -— — — — — — —— r— — > 01 . Hallar A & B. (x-2)(x-3)(x-l)(-3x-l) .. 24. Si A es el conjunto solución de la inecuación 2x hallar AfídO.l])’. Sólo fines educativos LibrosVirtual 3 2+6x-8 +jc -x ■? 0 Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con radicales 4.14 265 ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES_______ y 4.14.1 ECUACIONES CON RADICALES Son aquellas en que la variable aparece bajo un signo radical. Por ejemplo, si p(x) es una proposición que contiene a la variable x, enton ces: Sp(x) = b , 'Sp(x) = c , V p (x) = d , etc. son ecuaciones con radicales. Aquí solo desarrollaremos una técnica para resolver ecuaciones radicales que contengan raíces cuadradas. Pero antes de empezar directamente con el problema, recordemos que si: p(x) es un número real positivo * p(x)cR y p(x) 2 0 Esta inecuación constituye el universo U dentro del cual se resuelve la ecuación radical. La técnica de resolver ecuaciones con radicales consiste en escribir una ecuación equivalente que contenga un solo radical en un lado y todos los de más términos en el otro. Después eliminar el radical elevando al cuadrado anbos lados, aplicando el siguiente teorema: TEOREMA 40. Si beR y aeR*, entonces: Sa = b EJEMPLO 1. Solución. a 5-0 . (b 2- 0 ~ a=b*) Resolver: 12-/x+8 = 2-2x Ordenando términos: /x+8 = 10+2x Universo de la ecuación U: x+820 <-» 1 2-8 Por el Teorema 40:xcU ~ (10+2x20 ~ (x+8=(10+2x)1) - xeü „ [tó-5 - (4xl+39x+92=0)] - x2-5 - (x=-4 v x=-23/4) Dado que: -4>-5 y -23/4<-S, entonces, x=-4 es la única solución válida. EJEMPLO 2. Resolver: A x + /Sx+Í = 4 Solución. Como b=4>0, elevamos al cuadrado obtenemos: Áx+4 = 2(8-x) Universo de la ecuación: 2x+4 >, 0 Por el Teorema ++ (x 2--2) 40: ■*— t>-2 (x >, -2} (8-x >, 0) * [2x+4 = 4(8-x)*J (x 4 8) ~ (2xl-33x+2S=0) *- (-2 x 4 8) +■ (x=6 v x=21/2) Vemos que: 6*1-2,8] y 21/2 i [-2,81 + x=6 es la única solución válida. Sólo fines educativos LibrosVirtual 266 Capitulo 4: Números Reales EJEMPLO 3. Solución. Resolver: S U R + /x73 = 3 Los universos parciales son: Ui:2x-li0 V í :x+3Z0 U¡ = •— x e [ 1 / 2 ,+ “ > Vi = xe[-3,+“> Universo de la ecuación: U = U, n U» = xe[l/2,+«> Ecuación equivalente: ¿2x-l = 3 - /x+3 Elevando al cuadrado obtenemos: Por el Teorema 40: (x 6/x+3 = I3-x 1/2 « J3-x >^0) ~ [36fx+31 = fI3-x>*] ++ (1/2 <6 x < 13) ~ (xx-62x+61-0) ++ (1/2 <S x~f 13) ~ (x-1 v x=6’J) + J e [ J / 2 , í 3] y 61^(1/2,13] Luego, la única solución válida es x=l EJEMPLO 4. Resolver: Solución. /x+ 2 + ^x+8 = /& C + I Universos parciales: x+lZO , X+8Z0 , 6x+lZ0 + U = (x >S -1) n (x >S -8) fí(x >, -1/6) ++ U = xe[-i/6 ,+»> Elevando ambos lados al cuadrado obtenemos: >/x 1+9x+8 =2x-4 Por el (xi-1/6 ~ 2x-4Z0) ~ [x1 +9x+8 = (2x~4)x ] Teorema 40: *+ (xZ-1/6 - x?2; C3xt-25x+8=0; +-+ (xZ2) ~ fx=J/3 v x=8 ; Vemos que: 1/3 V- [2,+”> y 8^12,+“>; luego: S = <S> EJERCICIOS: Grupo 26 Resolver las siguientes ecuaciones: I. /2x-3 + /x-J = /3x-2 II. /x-2a = /x-3a - /x+3a , a>0 2. /2 +x - / F x = x 12. ./ax*-2x+9 + /3x1 -2x-4 = 13 3. /3x-6 + /2x+6 = /flx+4 13. /2 x =3 = /8x-I¿ - /x+T 4. /2x+7 - /x-5 = /x" 14. /4x*-4x-3 - /2x1 +5x-J2 = /2x-3 5. /x-2a = /x-5a - /x+3a, a>0 1 5. /2x+5 - /2x-U = /2x-16 6. /x+2a + •'x' = /I2x+a , a>0 16. /lx,+7x+15 - /2x'+5x-3 = /x*+2x-3 7. /3x+16 - /2x+9 = 1 17. / Ü P S = / í f ^ - /x^fí 8. /3x*-7x-30 - /2x*-7x-5 = x-5 18. /i=l * /x + 4 = /3x+10 9. / 1 +x + /l-x _ 3 19. 10. / 2 Ó R /x" + /x-A _ , /x - / x -8 /I+x - /I-i - / 3x+J0 + /F T = 0 20. /2x¿-ftr+4 + 3/2x-i = /2x2+2Ix-Ji Sólo fines educativos LibrosVirtual 267 Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 21. Si A=lxeR|/x+5 + /x-l - /2x+3=l}, hallar el conjunto potencia de A. 22. En R, sean A el conjunto solución de /ll-x-/x+6=3 y B el conjunto solu ción de /x+2 + /x = — ~ r . Hallar la sima de los elementos de AUB. /x+2 23. Dada la ecuación * + /x + /1+x = 4, El valor de x que la satis& i - & face es x=c/d con c y d enteros primos entre si. Hallar cl-d. * . 4 14.2 éé INECUACIONES CON RADICALES En ía resolución de inecuaciones con radicales se sigue el mismo criterio para resolver ecuaciones con radicales, pero fundamentalmente me diante la apiicación de los Teoremas 35, 35, 37, 38 y 39. EJEMPLO 1. Resolver: /.x1+x-20 - /'x+16 < 0 Solución. Por el Teorema 35ii, se tiene: /x1+x-20 < /x+6 +-+ 0 $ x l+x-20 < x+6 «— (x1+x-20 0) ~ (x1+x-20 < x+6) *-+ (x+5 )<x-4) >,0 ~ (x1 < 36) ++■ (x 4 -5 v x í-4) * (-6 de donde: S = xc<-6,-5] EJEMPLO 2. Solución. Resolver: /x*-6x+5 < -/x2-7x+10 /x2-6x+5 + /xx-7x+10 < 0 +-+ (x2-6x+5=0; « (x2-7x+10=0) — EJEMPLO 3. Solución. (x=l x=5> (x=2 (T.37H) x=5) +-+ x=5 Resolver: /x2-2x-15 > -3 La raíz cuadrada de todo número real positivo es siempre mayor que cero, entonces, la proposición dada es válida VxeU, donde V es el universo de ¡a variable x. Esto es: Si x* < x < 6) [4,6> -2x-l5 0 (x-5)(x+3) >y0 .’. S = EJEMPLO 4. Resolver: ++ x e < - < ° , -3] x 4 -3 v U [5, +"> i/x2-x-2 < 5-x Sólo fines educativos LibrosVirtual x >,5 Capitulo 4: Números Reales 268 Solución. Según el T.381Í: S~a 0 ~ *■ a<bz ) (a) Resolveremos las siguientes inecuaciones: (1) Cálculo del universo, a 5- O : x*-x-2 >sO -» (x-2)(x+l) >* O (x ¿ -1 ■* x >, 2 ) (2) b>0 *• 5-x>0 ■— x<5 (3) Eliminación del radical (a<b*): x*-x-2 < (S-x)z ** x<3 (4) En (a): S = (x < -1 v x > 2 ) ~ (x<5 * x<3) = (xi-1 v xi2) ~ {x<3) = xS-I v (2$x<3) S = EJEMPLO 5. Solución. x e <— ,-2] U 12,3> Resolver: /xz-3x-10 >/2-i Por el T.39i: /aib ♦-* aiO * [i><0 v (biO a'ib1) (a) Resolveremos las siguientes inecuaciones: (1) Cálculo del universo (2) b>0 * 2-xiO ** x$2 (atO): x z-3x-10^0 ■** (x-5)(x+2)Z0 ■<-*x$-2 ; (3) Eliminación del radical (aibz): (4) En (a): v xJ5 (b<0 * x>2) x z-3x-102(2-x)’ xZ14 S = <x$-2 v x>,5) ~ l(x>2) v (x$2 ~ XZ14)] = (xS-2 v xiS) ~ C(x>2) v ( * 33 = CxS-2 v x}5) *.(x>2) S = 1oceR|x£5) = [5,+“> EJEMPLO 6 . Solución. Resolver: /x+5 + /x < 5 En este caso, el universo de la inecuación es la intersección de los universos parciales: U=(x+5ZO) ~ (xiO) = xe [0,+*»> Siendo ambos extremos positivos Vxelj, elevando al cuadrado se tiene: f-^c+5 * */x)z<25 *-» /x(x+5) < 10-x Según el T.38H: / ¡ 0 *■ a (2 ) b > 0 - 10 -x > 0 •— xVIO (33 Eliminación del radical (a<bz): x z+Sx < (10-x) 1 (4) En (a): x W * (x<10 ~ x<4) = xiO ~ (x<4) - EJEMPLO 7. Solución. x<4 S = lxeR|0Sx<4> = [0,4> Resolver: /x - /2x+3 < 1 Por el T.35H: /a < / E ■*-*• Entonces: /x - /~2x+3 < 2 0 4 a O ~ 2x+3 $ x 1) *— x í.-3/2 ~ (x > O ~ x 2-2x-3 í- 0) -+ x >, -3/2 <- x >- -3/2 « f x > / 3 ; « x V 3 ~ [x > O- (B): S2X+3 > x-J *-» 2x+3 > / 0 . [x-J < *-» x *• -3/2 » [i < í (x n < -J v (T.38i i) x - 3/] S, = [3,+“> O v fx-J >,. O ~ 2x+3 > fx-l>2] v (xíaJ~ x 2-4 x -2 < O/] -► x í- -3/2 - [x < J v (x 5- i - 2-/6 < x < 2+/6J] -» x >- -3/2 » [i < 1 v (i < x < 2+/6/J -» (x > -3/2) . ( x < 2+/6> - (T.39) S, = l-3/2.2+/6> S = S, 0 S 2 = [3,+-> n 1-3/2,2+/6> = [3,2+/6> EJEMPLO 8. Resolver: < O ’/x 2-4x+3 Solución. El universo de la inecuación lo obtenemos del radical de índice par, esto es, para /x2-4, t/:x2-4 í- O *-» x 2 i- 4 x-í - 2 » x í-2 Entonces: U = <->», -2] u [2, +“> Según el Teorema 36iv. si n es un número entero positivo impar, entonces: n/a tiene el mismo signo de a. Luego, el ¡minando los radicales resolvemos la inecuación, dentro de U. x+4 „ ______ x+4__ . . x 2-4x+3 (x-Dtx-3) , . (a) Inecuación equivalente P(x): (x+4)(x-i)(x-3) < O, x/J, x/3 /l/ Valores críticos: P(x)=0 <-► x=-4 , x=J , x=3 w O -4 0 J O 3 o (4/ Los intervalos con signo negativo satisfacen (a) -» S, = <-»,-4] U <I,3> S = UnSi = <-“,-4] U [2,3> EJEMPLO 9. Solución. Resolver: /j .xt4..+ 2 $ *-4 / 2 - /5Í? Universo parcial U1:x+4 >s0 *-* U¡ = xe[-4,+-»> Según el T.38i: / a 0 „ a ^ b1) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 4: Números Reales 270 (1) Cálculo del Universo: a Z O - ■ x+4 - 2 >, 0 2 - /x+4 (a) Dado que /x+4+2 > 0, YxÛ , la desigualdad (u) se cumple si: 2 - /x+4 > O /x+4 < 2 ** O 4 x+4 < 4 -4 4 x < O (T.35: Corol.b) + U = xeí-4,0> (2) Nótese que b=x-4 < O, YxzU, entonces: S i= (b > O « a 4 bl) = ♦ (3) Por lo tanto: EJEMPLO 10. Solución. Resolver: f X 3x 4- » x z-2x-29 / 5-//6-X2 Por el T.39i: /á >, b ++ a >, 0 ~ [b < 0 a (b >s 0 ~ a >s b*)] (1) ■— S = l/flSi = [-4,0>(1 f* ) = * Cálculo del universo: a > 0 -v»*_ *► — >s 0 5 - //6-x2 (xl-3x-4 >, 0 ~ 5-//6-X2 > 0) v fx2-3x-4 -í 0 - 5-//6-X2 < 0) V — * I \ ■ ■ ■ ..................* A B En A: (x-4)(x+l) > 0 ~ /l6 -x2 < 5 «(ií-lvxHJ«(0v< ++ (x 4 -1 v x 5- 4/ - 16-xl < 25) ++ (x 4 -1 v x ++ (x 4 -1 v x >, 4) *■ (-4 4 x 4 4) En B se niega las proposiciones (T.35H) fx* << 16 - x 1 > -9) 4) *. (-4 4 x 4 4 * R) dadasenA, luego, su solución lo obtenemos tomando complementos en las soluciones de A, esto es: B: (-1 < X < 4) - [X < -4 v X > 4) = ♦ Por lo tanto: U = A = (x 4 - l v x % - 4) ~ (-4 4 x 4 4) = xe[-4, -J ] U [4) (2) Nótese que b=xx-2x-29 < 0, YxoU. En consecuencia, la ecuación original se puede escribir: V /— — 3x 4— í- 0 > x*-2x-29 5 - /16-x2 cuya solución es precisamente xoU + S = xe[-4,-J]u [41 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Determinar el valor de m de modo que la inecuación: (2m2-3m)x2+(4m-6)x+(18-8mz) < 0, se satisfaga Yxz<-5/2,4/3> Solución. La inecuación cuadrática que tiene por conjunto solución el in tervalo dado es: (x+5/2)(x-4/3) < 0 6xz+7x-20 < 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.14: Ecuaciones y Inecuaciones con Radicales 271 Esta inecuación es equivalente a la dada, entonces sus coeficientes deben ser proporcionales, esto es: 2m*-3m _ 4m-6 6 7 18-8ml -20 - (14ml-21m = 24m-36) ~ (-80m+120 = 126-56m2) - (14m*-4m+36=0) * (28m1-40m-3=0) ~ (m=3/2 v m=12/7) ~ (m=3/2 v m=-l/14) de donde: m = 312 EJERCICIO 2. Hallar el valor de m para que la desigualdad „ _ x 2+mx-2 „ „ ,, „ -3 x r-x+l ’ se cumPla Solución. El trinomio x*-x+l > O, VxeR (verificar que &<0) Entonces en la desigualdad tenemos: -3(x*-x+l) < x 2+mx-2 < 2(x2-x+l) (-3x2+3x-3 < x 2+mx-2) ~ (x2+mx-2 < 2x2-2x+2) +-* I4x2+(m-3)x+l > 0] -■> lx2-(m+2)x+4 > Anbas desigualdades se verifican 0] VxeR ■»A<0 - l(m-3)2-4(4)(l) < 0] ~ [(m+2)2-4(l)(4) < 0] - l(m-3)2 < 16] ~ L(m+2)2 < 16] -* (-4 < m-3 < 4) ~ (-4 < m+2 < 4) (-1 < m < 7) ~ (-6 < m < 2) -1 < m <2 Luego, si me<-l,2>, entonces la desigualdad dada se cumple VxeR. EJERCICIO 3. Dados los conjuntos: A=(xeR|3x-6 < -2x+8 < 5-8xí y , x es negativo]; hallar A t B. Solución. En A: (3x-6 < -2x+8) *■ (-2x+8 < 5-8x1 *-*• x < -1/2 Entonces: A = xe<-",-l/2> En B: x(m2+2m) = m 2-m+3x-6 Si x < 0 •» x = m 2-m-6 _ (m-3)(m+2) m 1+2m-3 ~ (m+3)(m-l) 4 0 , mf-3 , mfl (1) Valores críticos: m=-3 , m=-2 , m-1 , m=3 (4) Los intervalos con signo negativo satisfacen (a) B = <-3, -2] u <1,3] Ilustración gráfica de A A B: Sólo fines educativos LibrosVirtual 272 Capitulo 4; Números Reales A-B I I -3 -2 A A B = (A-B) EJERCICIO A-B ' i B-A : - 1 / 2 1 (B-A) = 3 -3 ] íi <-2, -1 /2> u <1, 3 ] 4. Sean m y n raíces de la ecuación(a-2)x3+2¿Tx-a=0, a/2 , ha llar los valores de a que satisfacen: m 3n 3+m 3n 3 > 0. Solución. De las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática obte 22 m+n= -----y y a-2 J nemos: a m.n = --- s a-2 m 3n 3+ia3n 3 = m 3n 3(m2+n3) = (mn)3l(m+n)2-2mn] a1 r 2 2a-i_ 2a Va-ii 1 ‘ '(a-2) 3 Ha-2) 2 + a-2 J " ~ '0 -2 ) 1 Luego, si m 3n 3+m3n 3 > 0 •* > < ® Inecuación equivalente: a(a-2) < 0 , a/2 , a?l Finalmente, por el método de los valores críticos obtenemos: ae<0,l> u <1,2> EJERCICIO S. Resolver: f Solución. Por el T.39i: 2 a > b + + a i - 0 * . Ib < 0 v ( b H * 0 * . a 4b'i] (1) +-+ ( 2 x 3- x /^-x-2 _2 >x4 2 - /x+4 -2 -2 Cálculo del universo, a 4 0 *. 2 - J & 4 > 0) v 4 0: — — 2 - 2xZ~4 ( / x l-x -2 -2 < 0 ~ 4 2-/xÍ4 0 < 0) «- (/x3-x-2 4 2 *. 2x^4 < 2) v (/x2-r-2 4 2*. 2xTT > 2) ' ^ --------------------------- V-------------------------------- ' - ---------------------------------------------------- A En A; (x3-x-2t* 0 B *.x 3-x-2 4 «-* (x3-x-24 4) *. (-4 4 x ~ En B: (-4 4 x 4 -2) + (x‘-x-24 0 +~ í(x - 2 )(x + l) a (04 x+4 < < 0) +-+ (x 4 -2 v x 4 3) ~ (-4 4 x < 0) 4 0 *■ x+4 > 4) *.x ‘-x-2 4 4) *.(x 4 4 0) 4 0 4) A = xel-4,-2] (0 4 x 3-x-2 4 4)*. (x+4 -> 4) *. (x -3 )(x + 2 ) -4~ *. x (x > 0) > 0) +-* l(x 4 -1 v x >* 2) « (-2 4 x 4 3) \ * (x > 0) -* Luego: B=xe[2,3] + U = A U B = [-4,-2] u [2,3 ] Sólo fines educativos LibrosVirtual 24X4 3 Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales (2) 273 Nótese que b=x-4 < O, VxtU. En consecuencia, resolver la inecuación da//jjí — 2 //* -.ion: / da equivale a resolver la inecuación: >, O 2 - /x+4 cuya solución es V. Entonces: S = xe[-4,-2] u [2,3] EJERCICIO 6. Dados los conjuntos: A={xcR\//x-¿ - /13-x i- 0}, (x-6)*(x+2) B=}XeR|/x*-9 > x/31, C={xeR¡, » 0} ,/x=9 (x+5) Hallar: a) P=}XeR|xeB •» xeA} ; b) C-A A se tiene; /x-5 - /13-x >,0 +-* /13-x 4 /x-6 Solución. En O 4 13-x 4 x-5 (13-x >y 0) ~ (13-x 4 x-5) — + 9 4 x 4 13 Entonces A = xe[9,J3] En B: /x*-9 > | -* (x'-9 i- 0) » [| < O v f| O ~ x*-9 (T.38i¡> fx' í- S} - Ix < O v fx >-0 « x ‘ > 8 J/8 >) ■— fx -í -3vx>/3} - íx<0 v txíO ~ (x > -j » x < - ** (X -í -3 v x %■ 3) - Ix < O v (x > ^-¡r-) 4 Entonces : B = xe<--,-3ÍU 4 B,C" 7 > « - « Inecuación equivalente: (x+2)(x-9)(x+5) t* 0 (1) m , x/9 , xl-5 , x=6 Valores críticos: x=-5 , x--2 , x=9 ... , , g 0 m "5 © "2 O ' 8 w w l . 0 Í4> La proposición (a) es válida solo para los intervalos con signo positi vo; luego: C = <-5.-2) tt<9.+-> U <6 } a) P = xeB * xeA = xtB v xeA - 8 'U A (p * q = ""pvq) .*. P = < - 3 . ^ ] U [9.13] b) C-A = < -5 ,-2 ] U<9,+“> U 16) - [9,43] = < -5,-2]U < J3,+ »> u)6} EJERCICIO 7. Resolver: (x-3)l.‘/xl+13x+36 >/4rx ^ Q Sx+7(x+2 )>(x’+x1-2x) Solución. Factorizando y el iminando radicales de índice impar se tiene: (x-3)2 (x+9) (x+4).'vfihx , 0 /x¿7 (x+2)s(x+2)(x-l)x Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 274 De los radicales de índicepar obtenemos el universo de la inecuación, esto es: (4-x >sO) ~ (x+7 > 0) *- (x 4 4 * x > -7) n i i •Resolvemos la inecuación: - ü = xc<-7,4] (x-3)z(x+9)(x+4) , n (x+2)1(x-l)x ’ ^ , en el universo U. Como x=-94U, el factor (x+9) puede cancelarse y la inecuación se reduce a: 4 O , x=3 , xf-2 , x-,tO , xfl Inecuación equivalente: (1) Valores críticos: x(x+4)(x-l) 4 O , x=3, xf-2 , xfO , xfl x=-4 , x=0 , x=I T ( 2) <» (4) (i) - , © -< © 0 © 1 © 3 La proposición ($) es válida para los intervalos con signo negativo, en tonces: S¡ = <-7,-4]u <0,1> U Í3l y según (a), la solución de la inecuación dada es: S = <-7,-4]U <0,1> U {3,4} EJERCICIOS: Grupo 2 7 Resolver las inecuaciones dadas y representar sus soluciones sobre una rec ta real. 2. /24-2x-xl < x 4. /x*+x-12 - /x+13 < 0 0. +3-3x 4 /21+4x-x1 8. /xl-2x-J5 > x+1 10 . /Ü v E f x +2 +/E* y x+i > £, 11. /24-2x-xl i- 2x-3 12 . A - /F x - /T-x > o 13. >l'x1+4x >, 5x-l 14. 15. 16. < 1 ¥ 4 - /xz-9 17. /3 + / x =2 < A F x 18. / x - i/x + /4-x 19. \/x2-5x+6( 15+2x-x2) > 0 20. / x 2-x-12(x-5)(2xz-3x-2) < 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual 0 Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales -x-2 >, x-3 Sxt4 21v 2f 23. 22. V í- x -8 / ^ X ' 3X 4— 275 / /xl^ J i-i > x -4 ✓9-x2 - 1 24. / ^ x ~5x+4 ~ 2 í- x-6 ¥ ¿21 - / x 2 - 4 ' 2 - ''x - 2 25. Si A=lx<=R|2x+3/x-5 >.01 y B^xcRlx-fi-'x^+S > 0\; hallar AflB. 26. Si A=lxeR|l2x2-5x-3 > 01 y B=txeR| (’g^;e<|, J ] y x>-Jl; hallar A a B. de m, la inecuación (3mz-m)x3 +(2m-9)x+2m2-5 < O, tiene 27. Paraqué valores como solución elintervalo <l/2,3/7>. 28. Paraqué valores de m, la inecuación (m2+l)x2+(l-3m2)x-(m3+3) < O se sq tisface Vxe<-2/5,3>. 29. Determinar el valor de m para que la inecuación: -4 < < 3 , se cumple VxcR. 30. „ . Resolver: A2-x. %/xl-9x-10(x-2)'.'*'x+6(x-l)\ „ 5--- -------- 5 -4 O V x +3íx2+7x-8) (x-12) (x3-27) 31. Si A=lxeZ|>^3-3x - / 4 X + 2 I - X 1 -í y B=(xeA| ay£Z|x=y2 I 01 , hallar el comple mento de A en B. 32. Sea B el conjunto definido por: B=lpER| — — ^4x*-4x+5^ ^ > 4 ’ ■ Hallar el conjunto potencia de A, donde A={ x e AI|x e B1 . o, r» , 33. Resolver: 3 A 2 _ T / —_ ! \ * /-v. J _ V x 2-J (x-l)l(x*-13x+12) > n i------ — -- ^ 0 (x+4)3(x3+8x2+4x-48) 34. Determinar los valores de m para que la inecuación: -3 < ,Xx ^ x + l~< 3 , 35. se cumpla Si A=lxeR|^3c--6 a) A nB D , 36. Resolver: -Hx e R . , > bj , a) -2 A ~ /xÍ6 < 0} y B = ( x e R |^ x 2 - 4 x + 3 ' OB 1 3 >^ x 2 - 2 x - J 5 (x 3-6x ‘+9x ) < n ---------- ¡ (x-1)‘ '(x-2)3 - •? 0 (x1-16)(x-3)3(xl+4)l(x+l)(x+8) ^ c fx2+9x+8)(x 3-64)(3Sx-i)x3 * Sólo fines educativos LibrosVirtual < /x2-7x+i2l; h a l l a r : Capítulo 4: Números Reales 276 VALOR ABSOLUTO Definición 4.20 El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define por la regla: a , si a >s 0 -a , si a < 0 Por ejemplo, si a=3 -*■ |a| = 3 |0 | = 0 a=6 * a=-5 + |-5| = -(-5) = 5 Vemos que el valor absoluto de un número positivo o cero es igual al mismo número, mientras que el valor absoluto de un número negativo es el nánero positivo correspondiente. Esto significa que para cada número real a, hay un número -a, cuyo valor absoluto representa su distancia a i origen, el po sitivo a la derecha y el negativo a la izquierda. Geométricamente se repre senta como: I-51=5 ------ 4*------ I5 1=5 -----►+a> -4 Para dos números a y -3 b, -2 -1 0 |a-b|=|b-a|, representa la distancia entre estos puntos, sin importar la dirección; asi, lá distancia entre a=-4 y b=3 es: |a-b| = |-4-3| = |-7| = 7 ; |b-a| = |3-í-4>| = |7| = 7 Geométricamente se representa: L--------- [a-b1=7 ---------- -4 Tendremos ecuaciones e inecuaciones que involucran valores absolutos, éstas se resuelven basándose en los teoremas siguientes. FEm TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO TEOREMA 41. VaeR: i) |a¡ ii) Demostración. 6 0 ¡a| = 0 a=0 i) En efecto, consideremos: a < 0 , a=0 , a > 0 (1) Si a < 0 * la|=-a •> -1a 1=a - 1a | < 0 +*■|a| > 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual (0.1) 277 Sección 4.15: Valor Absoluto (2) Si a=0 -*• [o | = a = 0 (3) Si a > 0 ■* |a [ = a |a | ■* |a | > 0 >0 ii) (1) Demostraremos que si |a|=0 * a=0 En efecto, (2) |a|=0 -» 0=a 0=-a -* a=0 a=-0=0 Demostraremos que si: a=0 En efecto, si: a=0 Por lo tanto: )a| =0 TEOREMA 42. ■* ■* |o|=a (Def 4.20} -» a=0 ja| =0 -*■ |a|=0 «-► a=0 VacR: |a |* = a 1 Demostración. En efecto: (1) Por definición de potencia: ¡a|l = |a||a| (2) Si a i 0 -* |o|* — (3) Si a < 0 -* |a¡* =(-a)(-a) a.a -*| a|*=a* TEOREMA 43. VacR: |a| = /a7 -» ¡a) 1 = o* Demostración. En efecto: (1) Por el T.42: |a |* = a 1 (2) Entonces: /\a\* - ✓S7’ (3) TEOREMA 44. /. jo | = /S7 VacR: |a | = |- a | Demostración. Consideremos los casos: a (1) 0 , a = 0 , a < 0 > Si a > 0 ■*|a| = a Por (-1): -a < 0 ■* |- a | = -(-al = a (21 Si a= 0 Por (-11: (31 Si a< 0 -a = 0 -* j — a| = 0 ■*> |a | = -a Por (-11: -a > 0 ■* TEOREMA 45. Demostración. |a | • ■* |a | = 0 Va.bcR: |a b | |- a | = -a .". | a | = | - a | |a j = |— a| = |a ||b | En efecto: (11 Por el T.43: |a b | = /(ab>2 (21 Por propiedad de potencia: |ab¡ = / a 2b2 (31 Entonces: |a b | = / a 7 . / ? = |a |j b | Sólo fines educativos LibrosVirtual (T.43) Capítulo 4: Números Reales 278 TEOREMA 46. Va.beR, bfO, entonces: I -2- I = -L2l Demostración. En efecto: (1) b Sea £ = c b |b| * 1-2-1 = |C | 'b (2) Entonces: a = be ■* |a| = |bc| = |b| |c| 'a |b| (3) Luego, de (1) y (2): j-2-| = M \b\ TEOREMA 47. Demostraión. Va.beR: |a+b| -í |a| + |b| (Desigualdad Triangular) En efecto: (1) |a+b| 2 = (a+b)* = a z+2ab+bl (T.42) 4 a 2+2 |a.b|+b2 (2) fab-í|ab|) (3) 4 |a|*+2|a||b|+|b.|* (4) 4 f|a| + |b(> 2 (T.42 y T.45) (5) Como ja+bj y f|a| + |b|> son ambos positivos, entonces: |a + b| 4 |a| + |b| TEOREMA 48. Va.beR: i) |a-b| « |a| + |b| ii) |a| - |b| -í ¡a - b| Demostración. i) En efecto: (1) |a - b| = |a + (-b)\ (Def. de Diferencia) (2) Entonces: |a - b| ^ |a| + |-b| (T.47) (3) Luego: + (T.44) |a - b| « |a| |b| La demostración de ii) se deja como ejercicio. I TEOREMA 49. Demostración. |a| = b •— (b > 0) ~ (a = b v a = -b) En efecto: (1) Por el T.41: |a| >/«, VaeR (2) Entonces, si |a|=b, implica que: b >* O (3) Por definición: |a| = a (4) Luego s i : [ a | = b * v — |a| = a b = a v b = -a (5) Por tanto, de 2 y 4: |a|=b TEOREMA 50. |a| = |b| « Demostración. Consideremos los casos: b > O (b ■* a = b v a = -b 0) ». (a=b v a=-b) a = b v q = -b yb < O Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.15: Valor Absoluto (1) Si b i* O 279 - |b| = b Luego: |a| = |b| ■*-*•|a| = b ** (2) Si b < O Luego: - a = b v a = -b (T.49) |b ] =-b > O |a| = |b| |a| = -b (3) Por lo tanto: ** |a| = |b| a = -b v a = -(-b) a = -b v a =b a = b TEOREMA 51. Si b ^ 0 y |a| b Danostración, i) Demostraremos — v a = -b -b i a i b que s i b í ' O y l a l ^ b •* - b i a i b En efecto: (1) VaeR: a i |a|, y por hipótesis: |a| b (2) Luego, por trans itividad: a i b (3) Del paso (1): -b i — j a| (4) Memas, VoeR: -|a| -S a (5) Entonces de (3) y (4): - b i a(Transitividad) (6) Finalmente de (2) y (5): -bi a i b ii) Demostraremos ahora que si b 0 y -b i a i b fii efecto, considerando los casos: a i- 0 (1) Por definición de V.A., si a 0 * y a < * 0 |a| = a (2) Por hipótesis: a i b (3) Luego, de (1) y (2): (4) Si a < 0 - |a|-í b |a| = -a (Def. (5) Por hipótesis: -b i a * -a i (6) Luego, de (4) y (5): |a| V.A.) b b Por ¡o tanto, de i) y ii) queda demostrado: S¿b^0y|a|íb " -b i a i b Corolario. S i b í ' 0 y | a | , b v a i -b Si |a| l b -* -b< a b TEOREMA 53. ** a > b •» a < -b -Va.beR: |a| í |b| «■» a‘ i b1 Sólo fines educativos LibrosVirtual |a |'í b Capítulo 4: Números Reales 280 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Demostrar que si a y b son números reales cualesquiera, ||a |- 1b| | 4 tonces: Demostración. |a-b| En efecto: (1) 1a| = |fa-b;+b| |a|-S |a-b| + |b| - ( 2) 11.47) l ° l - |b| -S |a-b| | fb -aj | - |b | -S |b - a | + |a | (3) Análogamente: |b| (4) - (5) Pero por el T.44: |b— a |= |a — b| ■* - ( |a | - | b | ) - S Ib|— |a| ^ |b—a| |a— b| (6) Por el T.49: || a | - | b | ¡ = r | a | - | b | ; v - ( | a | - | b | ; (7) Por lo tanto, de (2) y (5), queda demostrado que: ||a|-|bU< |a—b| EJERCICIO 2. Demostrar que -Va.beR, se cumple: Ia I— Ib| 4 |)a|- 1b| | Demostración. |a-b| -f |a| + |b| En efecto: (1) Si y t- 0 (2) Por -1: ■* |i| í y -1*1 ^ -y ** -y-$ y (T.51) -*■ -y 4 -|x| (3) Como a:=|x| ó x=|-x|, de (1) y 2) obtenemos: Ix | « X ^ |x | (4) Entonces, para a.czR se cumplen: -|a| í o í |a| - 1c| -í c 4 |c| (5) Sumando se tiene: -(|a |+ |c |) -4 a + c-S |a| + |c| (6) Entonces, por el T.51: |a + c| ^ |a| + |c| (Otra forma de demostrar la desigualdad triangular) (7) Haciendo c=-b * }a—b| 4: |a| + |b| (8) Por el Ejercicio 1: C| —b| = [b|> ||a|-|b|| 4 ja-b| (9) De (3): x 4 |x|, sí x = |a|-|b| - |a|-|b| í IIa¡- 1b|| (10) Por lo tanto, de (6), (7) y (9), queda demostrado que: M - | b | 4 |M - I M I ^ EJERCICIO 3. Demostrar que Va,b,ceR se cumple que: Ia I - lb l - M Demostración. |a-b| -S la M b l ¿ |a-b-e| En efecto: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.15: Valor A bsoluto (1) (2) 281 |a| = \a+(b+c)-(b+c)| = |(a-b-c.) + (b+c)| |fa-t>-c,) +(b+c)\ 4 |a-b-c| + |b+c| (3) (4) Luego, en (1): |a| -í |a (T.47) - b - c| + |b| + |c| (5.)Por lo tanto: |a| - |b| EJERCICIO 4. (T.47) 4 |a-b-c| + |b[+ |c¡ - |c| -s |a - b - c| Si a,b,ceR-{0}, demostrar que: 1 * 1 - 1 ^ 1 - 1 ^ 1 >. |a + b + c| Demostración. En efecto, se sabe que para dos números a . b c R s u media geo métrica es menor o igual que su media aritmética, esto es: MG 4 MA - /ab 4 - ¿ b a + b 5- 2/ab — Utilizando esta propiedad podemos escribir: 2/cT2 = 2\c\ (T.43) = 2 f c = 2 1b | (T.43) 2 / |2§| = 2 /ñ* = 2 ¡a| (T.43) (1) 1*1 + l^fl (2) 1 ^ + 1*1 >'2y/í * | | * | <3> 1^1 + 1*1 (4) |2f| = Sumando ambos extremos de estas desigualdades se tiene: 2( 1 * 1 ♦ l^l * l * U (5) Pero,por el T.47: (6) Por lo tanto: EJERCICIO 5. Demostración. 2 f|a| * |b| ♦ |c|; |a| + |b| + |c| i- |a + b + c| |^| + |^| + |^| i- |a + b + c| Si a,b,c,dcR, demostrar que: a" + b" + c' + d' i- 4|abcd| En efecto: (1) Va,beR: (at-b1)1 i. O - a' + b" i. 2a1b1 (2) Vc.dcR: fc2-d2) 2 í- O - c' + d' (3) Asi mismo: (|ab|-|cd|J2 O ■+ 2c2d 2 |ab|2+|cd| 2 V2|ab||cd| -» a 2b 2 + c 2d 2 >s 2\abcd\ EJERCICIO 6. (4) Sumando(1) y (2): a' + (5) De (3) y (4) por 0.2:a* + b'+ c' + d* i- 2(azb 2 + c 2d 2) b' + c' + d* >,4|abcd¡ Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (1) \x\ < 1 -* 12x-31 < 1 (2) \x\ < 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual + | ¿ 3I< 1 Capitulo 4: Números Reales 282 (3) Solución. Si |x | < (1) a) Si b) Sumando 1 ■*+ < -5 < 3-2x <5 d) Pero como 1 > -5 ** -5 < 3-2x <5** |3 -2 x | e) Por el T.44: lo ta n to , la afirmación es falsa ~ ** 1 < 3-2x <5 j < _ í_ < , « - 1 ^ 1 <2 ~ (Afirmación 1) < _ |_ ** -1 < x 1 , es la implicación equivalente a la origi x- 3 x=0, V(p) = V(p) = vemos que para En antros casos: V(p Luego EJERCICIO ta (~1<5) (T.51) q ' <4 XC<1,B> 4 < -2 — -5 < x -3 <5 -* ¡x -3 | <5 ** -5 x=4, SI |x -5 | < verdadera. |x | < 2 p * |x -3 | < 5 •— xe<2,9> a) (x-3)e<-5,-l> |ac-2| > 2 b) SI (x-2)e<-3,-l> |x -5 | (S) Establecer el valor de verdad d e cada una d e las siguientes a) Si (x-3)e<-5,-l> Si 6 ||^ || < 6 afirmaciones: En efecto, |2 -5 x | < 1-Sx < 6 * * afirmación es verdadera. <X-2) c <-3,-1> * c) (*) (a) 1 -6 < Sx-1 < 4 c) Pero como -6 < -4: ' <1 ) la afirmación es verdadera. -4 < 1-Sx < 6 nal. < j |¿ ¿ | < *■» Luego. |2 x -3 | < 5 ** •— -2 < x < 2 1 |x | < I Solución, (T.51) < -J 2x-3 b) Multiplicando por -1: EJERCICIO 2x < 2 -1:1 d) Multiplicando (a) por (&): b) •— -2 < por c) P or el T.S1 y T.44: Si -1 < x < 1 -3: b) Invi n i e n d o : (3) a) — Multiplicando |x | < Luego, | <S c) Por (2) a) Si * \x\ < 1 ** — * q) = V.'.La -4 < x-5 1 < x afirmación es < 9 y V(q) = V y V(q) = V afirmación <4 ** V F — -4 es verdadera. 1 < x < 9 ** < x^5 < 4 ** xt<l,9> |x -S | < 4 verdadera. S. Hallar el valor de E = ]& r* i2 l-2 |2 x -6 | 3x Sólo fines educativos LibrosVirtual si x C < 0 3 > < Sección 4.15: Valor Absoluto Solución. 283 Eliminamos las barras de valor absoluto, partiendo de la condi ción dada, esto es: Si xe<0,3> - O < x < 3 * O < 5x < 15* Dado que: 5x+12 > O, Vxc<0,3> Si xe<0,3> - O <x < 3 - O * |2 x-6 |= „ (5X+12) + 2 ( 2 x - 6 ) E = ------- ^ EJERCICIO 9. 12 < 5x+12 < 27 = 5x+12 |5 x + I2 | (Def. V.A.) + -6 < 2x-6 O < 2x < 6 Aqui se observa que: 2x-6 < D . . . Por lo tanto: - <O -(2x-6) (Def. V.A.) , = 3 9x Dado el conjunto E = + 3 | x e < - l,2 ] } , expresarlo como un intervalo Solución. Sea y = |~|| + Entonces: Si x e < -í , 2 ] -I tal que 3, x e < -I,2 ] (1) x+2 1 - lJ --2-I 1 < x +2 < 4 *-► 1 < - L - < j 4 x+2 1 = £íl *- < x 3 < _ 3. x+2 4 Pero 4 * -2 Para xe[4,71. |2x+i I x-I ' 2^ " I2 ~ 7«2s<x-2s<5 C2) Multiplicandopor 5; 5 1 1 _ 13 ^5 i , x-2 " 2^ ~ ¡2 x-2^ s M 4 -í — 5 x -2 2 ■*-*■ I • <-+ | < (4> Pero -4 < -| +- 4 « | + J L v< 4 (5) - (|a Hallar el menor núnero M que satisfaga la desigualdad: 2x+l _ „ ¡5 ^ 2 + x-2 f3J Sumando J: x +2 I < 2 u 3í y < 5 l^jrj ~ j\ o Solución. -2 < 1 -- — < — 2 x+2 4 _ || +_2_| ^ ^ ^ * 4 x< 4 De donde se deduce que: M=4 EJERCICIO 11. Solución. Hallar el mayor número m tal que ^ 2 6 +14 = x + x (x+3J2+ 5 > 0, ttoeR +• ^ m < S1 |x2+6x+J4| = (x+3)2+5 Luego, a partir de xe£-2,2^¡, formemos el numerador y denomina Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 284 dor de la expresión dada: (1) Si xe[-2,2] -24x4 2 (2) Sumando 5: ** 6 4 (x+3)2+5 4 30 «- 14x+345 ** -*■ 1 4 (x+3)3 4 25 6 4 |(x+2.)l+5| < 30 (a) (3) Para el denominador: xcl-2,2] *— -2 4 x 4 2 * — -8 4 x 3 4 8 (4) Sumando 27: 19 4 x 3+27 4 35 (5) Como la expresión *- -pjjf* JJ es decreciente en 1-2,2], multiplicamos en as- pa (a) y (6), resultando: 6 „ |xz+6x+i4| „ 30 Jg-4-1— ’ ^+Yf 35 (6) Por lo tanto, el mayor número buscado es m=6/19. EJERCICIOS: Grupo 28 1. Demostrar la validez da cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si 2. |x| < 3 - | ^ | < 1 c) xel-S,4> d) |x| < J b) Si|x-i| < 4 - (J+£)e<0,l> e) |a + b + c| -S |a| + |b| + |.c| Si a,b,ceR En las siguientesimplicaciones, el antecedente que el consecuente a) Si xe<0,l> b) Si a.bcR - |3x-5| -í 20 - ¡|^|| < 6 esverdadero,demostrar también es verdadero. |^| <-§ c) Si |x| < 1 |a-b| -í |a| + |b| - |¡±f| < 3 d) Si |x-2 ¡ < 1 - |x| + |x-2| = 2 3. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: Si \ ^ 2 - l\ < j y x > 0 b) Si xe[-3,2] - c) Si ja—b | < c * x > 12 |xs-2xz+3x-4| < 28 -► |a| < |b| + c, con c > 0 4. Hallar el valor de verdad de las siguientesproposiciones para números reales. a) W Si x < 0 * (x-1)(3x-x2-2) > 0 l» 3 , < Í "■ | x _S| * 2 5. Demostrar que -Va,beR: ||a c) x 2-7x+10 < 0 d; b| | ^ W <3 + ja+t>| Sólo fines educativos LibrosVirtual - |2x-7| < 3 (¿ 7 ) C < ~ Í 3- Ú > Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 6. 285 Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: °> l * - Sl w |*| < j - < 2 - ¡ ^ § l - 7. Demostrar que si O O y |x-a|< 2b, demostrar 9. Demostrar que si a 4 b í c 10. Demostrar que Va,b,c,dcR: |x| O < (a+b) (a-b) \ que ,1> + |b| ^ |a| + jc| ¡a—d|-S |a-b|+|b-c|+|c-d| 11. Demostrar que -Va,b,ccR; se cimple: íIa I + |í>|;c|a| + |c|;e|b| + |c|> i /8\ábc\ 12. Sean los núneros reales a,b,c tales que a y c son de signos diferentes .demostrar que si a 2 14. En los ejercicios siguientes, hallar el valor de la expresión E en el intervalo indicado. a) E = . si X€<0tJ> c) E = 3[3x-8\-\5x+24\ _ s¡ Xl<_5f^ d) E = |6*+32|-4|8-x| ^ g( Xe<_3 _2> b) E = l7*+2|-[3x+2[ ( si X c<0,3> 15. Si xe[J,3], hallar el menor número M, tal que: 1Jx+jI ^ M 16. Si (2/x)cll/5,6l, hallar el menor número M tal que: l^gl ^ M. 17. Si(Hx)^J&(<-'°,l> D <2, +">>, hallar el menor número M tal que |~¡^| -í M 18. Si|2x-S| <? 3, hallar el menor núnero M tal que se cunpla l^rfl 19. Sixe[J,3], determinar el menor número M tal que: |-* Zx+81 ^ ^ ' 20. Si(2/x)t[l/6,1/2], hallar el menor núnero M, tal que: I 21. Hallar el mayor número m tal que VxcR: x2 -4|x+2|-6 2, m. * Sólo fines educativos LibrosVirtual jI < M- Capitulo 4: Números Reales 286 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor abso luto son los siguientes: Teorema 49: Si |a| = b (b>/0) • (a=b v a=-b) Ajui, b es el universo dentro del cual se resuelve la ecuación. Teorema SO: Si |aj = |b| EJEMPLO 1. Solución. <■+ a=b v a=-b Resolver: 13x-5¡ = 7-x Usaremos el T.49: 13 x - 5 1=7-x -* (7-x>,0) ~ (x 4 7) ~ (x=3 ~ (3x-5=7-x) v x=3 y x=-l pertenecen al universo !/=<— •, 7] EJEMPLO 2. Solución. <3x-5=-7+x) v x=-l) * S = 1-1,31 Resolver: \2x-l\ = 5 Siendo S = |5 | > 0, cumple la condición de que b %. 0, entonces, be<-«, +<■> = R. Util izaremos el T.50. |2x-l| = 5 •*- (2x-l=S) v (2x-l=-5) — >■ (x=3) v (x=-2) EJEMPLO 3. * S = 1-2,31 Resolver: \2x-7\ = i-S Solución. |2x-7|^r-S «• fx-5 0) a tí2x-7=x-5) v (2x-7=-x+S)] (T.49) «-*■ (x t- 5) a (x=2 v x=4> En este caso, x-2 y x=4 no pertenecen al universo l/=[5,+~> EJEMPLO Solución. 4. Resolver: |x-2| = S = * |3-2x| A%ui el universo es U=R, por tanto, usaremos el T.50: |x-2| = |3-2x| (x-2 = 3-2x) (x-2 - -3+2x) v (x = 513) v (x = 1) EJEMPLO S. Solución. * - S = 11,5/31 Resolver: 3 |x - 3 | * - 1 4 |x - 3 |-5 = 0 Sea |x-3|=m , tal que, m %. 0 Entonces: 3mt-14m-S=0 Para m=S>0, se tiene: |x-3| = 5 (m=-l/3) -*-*■ (x-3-5) (x=8 v v v (m=S) (x-3=-5) x=-2) * S = {-2,8} Sólo fines educativos LibrosVirtual (T. 50) 287 Sección 4.15: Valor Absoluto Nota. Cuando se trata de resolver ecuaciones en las que figuran dos o más términos, no semejantes, con barras de valor absoluto, no se utili zan directanente los Teoremas 49 y 50 para su solución. En estos casos es conveniente utilizar el método de los valores críticos, que consiste en lo siguiente: (1) Se iguala a cero cada término entre barras de valor absoluto, se resuel ve la ecuación resultante, hallando de este modo los valores críticos. (2) Se ubican los valores críticos en una recta real, obteniendo de esta mg ñera los intervalos de variación (Universos parciales). (3) Se analiza por intervalo el signo de cada valor absoluto, luego reempla zando en la ecuación original obtendremos la solución parcial de cada intervalo. (4) Se establece el conjunto solución uniendo las soluciones parciales. E JEMPLO 6. Solución. Resolver: 4 |oc—J | + x = |x-3| * 5 (*) (1) Obtención de los valores críticos: (x-l=0) v (x-3-0) x=l v x=3 , 1> (2) <1,3> |x - i | = -(x-l) 1 |x-3| = -{x-3; j (3) Para x*<-~,l>, en (*): |x-l| = +(x-l) |x~1 1 = +{x -í ; |x-3| = -(x-3) 2e<l,3> - *■* x=-2 Si = 1-21 4(x-l)+x = -(X-3)+5 Para xe<3,+~>, en (*): |x-3| = +ÍX-3; I -4(x-l) + x = -{x-3;+5 -2e<— ,i> - Para xe<l,3>, en (*): <3,+"> *-* x=2 S* = 121 4(x-l)+x = (x-3;+5 (3/2) i <3, +=>> - «-* x=3/2 S, = ♦ (4) Por lo tanto: S = S,U SZU S, = 1-2,21 . 4 15.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO______________ En la resolución de inecuaciones con valor absoluto intervienen fundamentalmente los siguientes teoremas: Teorema 51. Si b i- 0 Teorema 52. Si ja| i-b y |a | .$ Teorema 53. Va,btfl: j a j •$ |b| ♦* «-* b +■* {a>+ b) v (a 4 -b £ a ib -b) a 1-5 b* Sólo fines educativos LibrosVirtual 288 Capitulo 4: Números Reales EJEMPLO 1. Solución. Resolver: \2x-31 -í 3x-8 Según el Teorema 51: |2x-3| -í 3x-8 — * (3x-8 >0) * (-3x+8 4 2x-3 4 3x-8) « - (x > 8/3) ~ [~3x+8 4 2x-3) „ (2x-3 4 3x-8) ] * - (x >8/3) ~ [ ( 5 x >11) ~ (x >5)1 <-» (x > 8/3) ~ (x > 5) x> 5 .'. S = l x e / i |x > 5) = [5 ,+ = > EJEMPLO 2. Solución. Resolver: |5-3x| > 2x+6 Por el Teorema 52, se tiene: 15-3.x| > 2x+6 <- (5-3x > 2x+6) v (5-3x < ~ (x < -1/5) v (x > 11) .'. S = (xeít|x < 1/5 » i EJEMPLO 3. > 51 = -2x-6) -1 /5> U <11,.+"> Resolver: |4-x| < |3+2x| Solución. Según el Teorema 53: |4-x| < 13 +2x| <- (4-x)1 < (3+2X)1 <-* 16-8x+x1 <9+12x+4x1 - - (3x-l)(x+7) .'. S = EJEMPLO 4. Solución. Resolver: x e < -« , *->3xI+20x-7 x > O < -7 v x > > O 1/3 -7> ü < J /3, +»> 3|x| + |x-2| ^ 6 (*) Siguiendo el mismo criterio para resolver ecuaciones con varios términos con valor absoluto, se tiene: (1) Obtención de los valores críticos: x=0 y x=2 4 <— ,0> -x I | x - 2 | = -(x-2) ¡ |x | (3) 0 | = a) Para xt<-=,0>, en 10.2> fx | = X |x - 2 | (*): = -(x-2) -3x-(x-2) 4 5 [2, +"> 2 T « x l jX | = X ¡ |x - 2 | = > -1 -*■ x e [ - l , + - > Entonces: S, = <-»,0> fl [-1, +»>= [—2 ,0> b) Para xe[0,2>, en (*): 3x-(x-2) 4 6 *-* x .5 2 ■» xe<-” ,2] Entonces: S 2 = [0,2> 0 <-»>,2] = [0,2> c) Para xe[2,+~>, e n (*): Entonces: 3x+x-2 4 6 «-> x>í 2 ■» xe<-~,2] S 3 = 12,+ “ > 0 <-°,2] = (2) S = S . U S j U S j = [ - J , 0 > U [ 0 ,2 > U (2) = [ - J . 2 ] Sólo fines educativos LibrosVirtual +(x-2) + co 289 Sección 4.15: Valor Absoluto EJEMPLO 5. Solución. Resolver: x*-3|x-2|-4 > O En el punto crítico x=2 se tiene: a) Para x<2 Entonces en ** -►(x< x > 2 •— En (*) : (x > 2) •— x-2<0 - |x-2| = -(x-2) (Def. V.A.) (*): (x < 2) ~ Ix1+3(x-2)-4 > O] -b} P a r a (*) fx > 2) (x 2) ~ [fi+5Kx-2> > 0] < x-2 2) ~ (x < -5 v > O - x ~ [x*-3íx-2;-4 > 0 ] 2) - |x -2 | = > S, (x-2) -* fx > 2) ~ [fx < 1) v fx > 2)1 = x e < -“ ,-5 > (Def. -t f x - i . H x-2) V.A.) > 0] Sz =xc<2 ,+”> - S = S, u Sz = < — ,-5> U <2, +=>> EJEMPLO Solución. 6. Resolver: |3x-i|s< |2x+i| + |x-2| Según el T.47: ¡a + b| Luego, si (3x-l) = |a| + |b| , Va,beR. (2x+l) + (x-2) -*■ j3x—i | = |(2x+l) + (x-2) | - 13x-J | -í 12x+l | + |x-2| Es una desigualdad triangular que es válida -VxeR. .'. S = <-»,+«> EJEMPLO 7. (*) (1) Obtención de los valores críticos: x-10=0 * x=10 <— ,-4> — »— | x - iO | ; x+4=0 ~ x=-4 -4 — — <|) |x+4|= -(x+4) ... (3) + l**4 ! < 2 l* -10! C-4,10> 10 [i0,+~> ■— ..i.... — ■■<p-— i . Solución. Resolver; i = - ( x -1 0 ) ¡| x |jc+4 ) = +(x+4) —201 = ! |*+4| = +(x+4) j |x ._ . .. ... ~(x-10)-x-(x+4) ^ a) Para xe<-",-4>, en (*): —1 x+l „ - ( x - 1 0 ) ^=-4 > 0 x+l •— —201 = + (x - 1 0 ) 6-3x . „ ""x+T x < -1 V x > 4/5 Entonces: S, = <-*»,-4> n (i < -] v x > 4/5.) = <■-•=,-4> b) Para xe[-4,10>, en (*): .-.(x-10)-xf(x+4) < ¿ *-» Entonces: x+.l ^ l±x < ¿ > 0 + - - x < - l v x > 4 S, = [-4,20>fKx < -1 v x > 4) = 1-4, -1> U <4,10> c) Para xe[J0,+=>. en (*): x+l < 2 Sólo fines educativos LibrosVirtual - <2 x+l ■ 290 Capitulo 4: Números Reales S i = [JO, + ~ > n (x < -8 S = v > -1) = [10, + ~> x = <^~, -4> u [-4, -1 > U <4,10> u [10, +=> = -1 > 0 <4, + «■> EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Solución, Sea A = [xeRll;^! > 2-|x-2|), hallarel complemento a) Si x > 2 -*■ x-2 > 0 » |jc—2 1= +(x-2) . _i_ > 2_(lrí) « Como (x-3)2> 0, YxcR- 13} b) Si x < 2 -x-2 . . < 0 - >o -*■ x-2 > 0 Como (x-1)1 > +-+ x > 2-*■ S i = <2f+®>-{3} \x-2\ = -(x-2) _i_ > 2 + (x-2) ~ < 0 0, -HxeR-Ul Luego, A = S¡u S 2 = de A. - x-2 < 0 <- x < S2 2- = <-»,2> - {11 2> u <2, +•»> - {i, 31 = R - 11,2,3} A' = 11,2,3} EJERCICIO 2. Sean los conjuntos: A= ÍJceR| |jc-2| *-3jjc—2 1-4 > 01 y B=(xeR| f2^ Solución. En A: (\x-2¡-4)(\x-2\+l) > 0 . Dado que el factor VxtR, - £[í ¿ lJ]>- Ha“ ar entonces los elementos de A se |ac-2 1 > 4 <- (x-2 > 4) V (x-2 < (\x-2\+l) > 0, obtienen de:|x-2|-4 >0 -4) <-» (x > 6) v (x < -2) Luego, si A=<-», -2> u <6, +“> -*■ A ’= [-2,6] Z"*: <-d 6 >cli d ' 1] - F o ^ x h * 1 Si B = [-5/2,2] - B' = ~ 1 4 2X+6 4 10 « - j .< x .< 2 -5/2> U <2,+-> /. A'-B' = [-2,2] EJERCICIO 3. Si A es el conjunto solución de la inecuación: ||8-2x|-4| .$ 6-x, hallar n(NOA). Solución. || 8 - 2 x |- 4 |4 6 - x -*• (|8-2x|-4 « 6-x) <-> (x 4 6) a a (|8 -2 x (|8-2x| -í 10-x) |-4 a >,. -6+x) a ( 6-x> 0) (| 8-2x] >,x-2) ( 1) Resolveremos (1) y (2) teniendo en cuenta que el universo es U: x ^ 6 Sólo fines educativos LibrosVirtual 291 Sección 4.15: valor Absoluto En (1): |8-2x| « 10-x — (8-2x4 10-x) ~ (8-2x 4- -10+x) *-* En (x >/-2) * (x 4 6) (2): |8-2x| 4- x-2 «-» * Sx = 1-2,6] (8-2x 4- x-2) v (8-2x-$ -x+2/ ( x 4 10/3) v <x >, 6) S, = <— ,J0/3]u [6 ,+-> - Ilustración gráfica de A=St n S, en (/=<-“ ,63: S2 -2 Luego: A = S ^ S , = [-2,10/3] u 16) EJERCICIO 4. Solución. En A: 6 10/3 - tfnA = 11,2,3,6} •* n(NOA) = 4 Si A=lxeR| |2-|4-3x| | > 1) y B=1xeR| \— |2-¡4-3x|| > 1 «- í2-|4-3x| > 1) v | 3), hallar A ' O B [2-|4-3x| < -1) «- (|3x-4I < 1) V (|3x-4| > 3) .----- „----, x---- ^---- / <1 ) En (1): |3x-4| < 1 — En (2): |3x-4| v (T.44) ( 2) 1 < 3x-4 < -1 ** 5/3 < x < 1 > 3 -<• (3x-4 > 3) (T.52) (3x-4 < -3) - 5, = <5/3,J> <x > 7/3) v (x < 1/3) — S* = <-»,l/3>u <7/3,+”> Luego, A = S to S* = <— ,l/3> u <1 ,5/3> U <7/3, +~> /. A' = [1/3,1] U [5/3, 7/3] 2 En B: -4 3 . Cano [x-1 24 3 |x - l| - x-1 > 0, -KceR-U), se tiene: 4. 2 / 3 ~ |x - l| (x-1 >s2/3) (x 4 -5 /3 / B = <— v fx -1 « v fx < ,1 /3 ] U -2 /3 / 1 /3 /, , x /1 (T .5 2 / x¿l [5 /3 ,+ -» B B A' 1/3 EJERCICIO 5. Solución. 1 5/3 /. A ’flB = 11/3)u [5/3,7/33 Si A = (xe*| |-^j| 45 Por el T.46: ^ hallar A ’. 1 12x-li ^ |x-2 | siempre positivos, se tiene: + 2 5 ÍX -2 /* 4- (2X-1)1 — Factorizando: <-*• *■» (7x-U)(x-3) Luegro: A =<— 4-0 ,ll/ 7 ] u <->■ 7/3 Dado que los denominadores son 5 |x-2 | 4- | 2 x - l| . x/1/2 25(x-2)1 - (2X-1)1 >,Q 4- 0 [ 5 íx - 2 / + [ 2 x - I / ] [ 5 fx - 2 / - [ 2 x - l/ ] (x 4 11/7) v [ 3 ,+ » > - 1 1 /2 } + [1 4 3 ) A' = , x4l/2 , x¿2 < ll/ 7 , 3 > 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual { 1 /2 } , x¿2 Capitulo 4: Números Reales 292 B = {yeR|y = -í , Solución. 1 I— .v I Dado ei con/urtto A = bceJ2|-l EJERCICIO 6 . Si x > 0 — |2jc+l|-x-í 2x x > 0 -[ «-► x > 0 b) Si x <0 ■* » |2x+2|-oc>✓ 2x - 12x+l | >✓ 3x y x < 0 -S 3*; - (2x+l > -3x) ] x >1 S, = [!,+”> (Se cambia el sentido de ladesigualdad) <-*■(2x+l V3x) v (2x+l S -3x) (x -S ij v (x -í —2/5J *-> S* = <-■°,0 > Luego: (x < 0) »■ (x-í 1) A = S,U S* = <-“ ,£)> u [Í,+»> Para B: y = 1/x , xeA' , xfO x > 1 ■ y si 2}, bailar: |2a:+i| -S 3x ~ [(se ^ 1) a (i í- -1/5)1 ** Si x < 1 - í x e £A, x /0) . En A consideremos los casos: x > 0 a) ^ A' = Í0,1> ■* xc<0,l> x > 0 + -*-*• 0 < x < 1 < +°> .Por lo tanto: B = <i,+”> EJERCICIO 7. Resolver:| j ~ > a |¿j| Solución. Siendo positivos ambos extremos de la inecuación, entonces: |rc-2 ¡2 > |a:2-4r+2| , si X¿1 y x*-4x+2/0 ** |sc2-4oc+2| -í x l-2x+l , si x/1 , x/2±/2 *- (xl-4x+2 « x l-2x+l) a (x*-4x+2 i -x1+2x-l) «- (-2s: C -JJ a. (2xl-6x > -3) <- (x > 1/2) a ** (x > j) ~ l(x >, 2 2-/2 J v (x -S ^~y ) ]. 3-/3 1 í (x -3/2)1 >3/41 x/1 , x/2±/2 ^s ¡ s s & ¿ s s ¡ s s i ^ . 3+/,3 2+/2 :. S = [j, ^ j - l u C^ jp » +~> - 12-/2,2+/2) EJERCICIO 8. Si A = toR| |sc2-3sc-6| >¡sc+6 |) y B=(xeR| |*-2 |+*| > / ^ } . hallar A ’uB'. Solución. En A: |x2-3x-6| > |x+6 | (x*-3x-6)* > (x+6)2 -i-*(x*-3x-6)l-(x+6) 1 > 0 (1) *+ (T.53) x(x-2)(x+2)(x-6) > 0 (*) Valorescríticos: x=-2 ,x=0 , x=2 , x=6 ^ w <*> 0 '2 0 0 0 2 O Sólo fines educativos LibrosVirtual 6 0 293 Sección 4.15: Valor Absoluto Los (4) intervalos con s ig n o p o s i t i v o E n B, el universo del Entonces: S0 ) (x ~ (x 4 0) Ubicando B en satisfacen (*), luego: _2>u <0 , 2 >u <6 , +»> ^ radical e s - x >> O ~ [ |- ( x - J > + x | - (1 x 4 O > /-x ] > -x) (x 4 0) x-1 S O * -*• ( x -.< 0 ) •*-*• - ~ (1 (x > -1) |c c -i | = - fjc-2 J > V^x) B = < -2 ,0 3 - la s o l u c i ó n g r á f i c a de A observamos qu e: A f ) B = $ A'll B' = (AnB) '■ = ( * )' = R Dados EJERCICIO 9. los sig u ie n te s > -21, |x -3 |+ |x -2 | j u n t o M, En A : | ^ | | < < 1) „ (x > -3 ) |x - 3 |+ |x - 2 | d efinición » (x de valor absoluto, En C: -> | x 2- 4 | = > -1/2) x ¡ x 2- 3 x + 2 | | x —3 ¡ y por *-* ( x = 2 ) = Ix e R | x e A lo A - = < - 1 / 2 ,+ " > •» xe(B-C)} = f x 2- 4 (T.50) = - x 2+ 3 x - 2 ) (2x*-3x-2=0) v v son s iem pre p o s i t i v o s , ]x - 2 ¡ t a n t o : B = <-■»,+“ > = R (x i -4=xí -3x+2) v *-* ( 3 x = 6 ) Ai > °> (x > -1/2) <- > -2 lo es, - con (T.51) > -!) 3 > °> ~ ^ 3 v < -3 e n t o n c e s s u sum a t a m b i é n Luego: B = {x e R| H allar el C = { x e R | | x 2- 4 | = | x 2 - 3 x + 2 | }. I « ~ -> Por < ¡}, s i M = { x e R | x e A -*■ x e ( B - C ) } . Solución. En B : c o n ju n t o s A = {x e R | | 2 ^ | | (x=-l/2 v ( x e R | x ¿A v x=2) xe (B-C)} * C = {-1/2,2} (p ■* q = v p v q) M = A ’U (B-C) = <-~,-l/2] u(R-{-l/2,2}) = R-{21 EJERCICIO 10. Resolver en R la siguiente inecuación: | | 2 x 2- i4 x ¿ -2 4 | Solución. Dado que - x 2+4 + | x 2+ 4 | | > 0, VxcR | | 2 x 2- J 4 x + 2 4 | + * < | | 3 x 2- 2 7 x + 5 4 | | x 2+ 4 | | x 2+ 4 | | < = + x 2+ 4 | x 2+4 | | 3 x 2- 2 7 x + 5 4 | + |x 2+ 4 || Aplicando la desigualdad triangular en cada lado de la inecuación se tiene: \2x* -14 x +2 4 | + | x 2+4| < < |3 x 2-27 x + 5 4 | •— |2 x 2-i4 x + 2 4 | «-■ (5xl-41x+78)(-xl+13x-30) < 0 |3 x 2-2 7 x + 54| — ~ + | x 2+ 4 | (2xl-14x+24)* - (3x*-27x+54)1 < 0 (5x-26)(x-3)(x-10)(x-3) > 0 Inecuación equivalente: (5x-26)(x-10) > 0 , x/3 Por el método de los valores críticos: S = EJERCICIO. Sean los conjuntos: B = { x e Z\ | x 2 + x | < A = {xe |x + 4 |} . < -~ ,2 6 /5 > R| | 4 x / 3 ~ 8 | Hallar Sólo fines educativos LibrosVirtual A u <10,+“> - < A B. |x /3 - 6 | + (3) |x -2 |} , 294 Capitulo 4: Números Reales si -|x - 8 = í-|x - 6) + (x-2) Solución. |£ c - 8 | = | f | - 6) + (x-2>| * + Es una desigualdad triangular que En B: |x2+x| < |x+4| de donde: esválida VxtR (x*+x) 2 <(x+4)1 ~ <- (x1+2x+4)(x+2)(x-2) Pero: x 1+2x+4 > 0, VxcR ||oc - 8| < s | | - 6| + | x - 2 | ■* A = R íx2+x> 2 - (x+4)1 < 0 0 (T.53) (1) (Verificar que: 4 < 0) Entonces, la desigualdad (1) se cimple si (x+2)(x-2) < 0 *-*-2 < x < 2 Luego: B = lxtZ|-2 < x < 2} - (-1,0,1 ) A i B = (A ü B)-(A n B) = R- [-1,0,1) EJERCICIO 12. Si A es el conjunto solución de ||x-21 —3 j í 4-x y B es el conjunto solución de: l¿z?4¿ 7 gl ^ ]x-7 ] ’ ha,iar Solución. En A: ||x-2|-3| -í 4-x •— (4-x >,0)~ (|x-2|-3 $ 4-x ~ |x—2 1-3 > -4+x) ~ <x 4 4) ~ f | jc - 2 [ 7-x $ ~ |jc - 2 | > (T.51) x-1) -* (x 4 4) ~ [fx-2 -í 7-x ~ x-2 >✓ -7+x) * (x-2íx-J v x-2i-x+l)] ~ (x S 4) ~ l(x <9/2 . í > J ) » H > ' 0 ' I n < 3/2)] (X 4 4) ~ [fx ¿ 9/ 2 *. R) - (4 — En B, por el T.46: Dado V x 4 3/2) ] fx $ 4) - [(x ¿ 9/2) ~ (x < 3/2)] ++ x 4 3/2 + A = <-»,3/2] — LíZiJ— $ — |x*-4x+8| |x-l| quex 2-4x+8 > 0, VxtR (ver.if icar que 4 < 0) ~ x 1-2x+l 4 x 1-4x+8 , x/l^++ x 4 7/2 , x/1 + |x-2 |2 -íx 1-4x+8, x/1 +B = <— ,J>u <J, 7/2] A 0 8 = <-«>,i>U <1,3/2] EJERCICIO 13. Solución. Resolver: x lIX 1 11 ~ 12 - 1I1-00! ~ 3 [ |x+2| + 1 |x-J| + 4 X H J I ~ J 1 ~ 12 >|jc+2| ♦ 1 ~ |x-J| + 4 o (*) El segundo miembro de (*) es siemprepositivo, también lo es el denominador del primer miembro. Por lo tanto, ladesigualdad es válida siy sálo si: x| jx| - J |-12 4- 0 - x||x| - 1 | 4- 12 (1) Habrá solución en (1), si x > 0, dado que ||x|-l| es siempre positivo. Luego, si x > 0 a) Para x > 1 + * |x| = x -*• x|x-i | >„ 12 xfx-J] >„ 12 +-+ x 2-x-12 4- 0 +-* x i Sólo fines educativos LibrosVirtual -3 v x >, 4 Sección 4.15: Valor Absoluto 295 S t = (x > 1) b) Para O < x < 1 + x(l-x) >,12 (x 4 -3 v oc >,4) = xe[4,+->> ++ x l-x+12 4 O Pero x*-x+12 > O, VxcR (A < 0) + S2= t Por lo tanto, el universo de (*) es: V = S lu S 2 = [4,+~> En U: |x| = x , |x+2| = x+2 , |x-l| = x-1 <"»•. *» <*>= ^ r 1 ^ También en U: |x-4| = x-4 5 + Siendo (x+3) positivo en U: -> (x-4)(x+3) >, (x-4) <-*• x 4 -2 v x 3¡.4 +-+ (x-4)(x+2) >, O S - )xeR|x 5-4 ) = [4,+“> Por lo tanto, en V: EJERCICIO 14. Dados los conjuntos A = )xeR| |— -— | < -- ----), B = )xeR| |x |- 4 |x * -2 ff| /x*-l e<-4,4>). Hallar el conjunto: C={xeR|xeA »xeS). S o lu c ió n . El primer miembro de A es siempre positivo, entonces el segundo miembro de A también tiene que ser positivo, esto se verifica para x > 0 + |x|=x. Luego, en A se tiene: ■ F Í T < |x - 4 f |x + 4 | * X > Ahora bien: |> 0,por ser x > 0 Eliminando esta expresión, la x <|x^ | +x|x+4| < 1 y 0 ’ X * ±4 x il ±4 inecuación equivalente es: + x(x+4) < 1 (x+4 > 0) «-► (x+2)1 < 5 ++■ -2-/5 < x </5-2 ++ 0 < x < /5-2 (x > 0) Entonces: A = <0,V5-2> En B: /x 2-4 <= <-4,4> - 04 /xz-l < 4 ++ -4 < /x*-l < 4 ++ 0 4 x*-2 < 46 (Pero: ¿a >s 0) <- (x* 5- 1) * - - (x 4 -1 v x > / l ) « Í-/J7 < x < Entonces: S¡7) B = <-/J7,-2]u C = 3x£R|xeA + x^Bl = 3x£R|x?A v x^Bl (p + q = vpV q) Luego: C = A' u B , pero B c A ’ +■ C=A' EJERCICIO 15. Si A = { x e R h — > j) IX“i j—¿ C = <-“ ,03 U [/S-2,+“> y = {xeR|-l*Zll < J) , determ¿ x-3 b nar el conjunto S = {xeR|A-<-+ B}. Solución. (x 1 < 17) En A consideremos los casos: x < 1 y Sólo fines educativos LibrosVirtual x > 1 296 Capitulo 4: Números Reales a) Si x < 1 -» |x-i| = -(x-1) - > í Batanees: fx < 1) „ (-1 < x < -1/2) b) Si x > 1 •+ -► |x-I | = +fx-2) fx > i; .. fx > 3) -* ~ “ }< O *->■ -1 < x < -1/2 (x-'i) - 2 > ^ ¿3 > ® ** x > 3 —* x > 3 Luego: A = <-1,-l/2> u <3,+~> Análogamente se determina el conjunto: B = <-~,3> Si p(x)=xtA y q(x)=xcB, entonces por la equivalencia bicondicionat: p ♦+ q s (p « q) v <vfp ^ q), tendremos: S = (xeR|x£fAn.B; v x¿fAfl.BJ} |xeR|xefAnfl; v xefAuB;'} = Pero: A O B = <-l,-l/2> y A u B = R-{-l,-l/2,3) Entonces: S = <-l,-l/2> u i-1,-1/2,3} - l-l,-1/2} \){3} EJERC ICIO S: G rupo 29 En los ejercicios del 1 al 18, determinar el conjunto solución de las ecua ciones dadas. 1. |3x-i| = 2x+5 10. 2|x*-2|+S = 6|2x*-3| 2. |x*-4| = 4-2x 11. 3||x+l|—4 1*—5 j|x+i|—4 1 = 2 3. 2+31— 12. |3x-j|-|x+2| = i 4. |x-4|*-5|x-4|+6 = 0 13. 3|x+í|-2 |x-2 | = 2x-i S. ||x+2|-l|*-5||x+2|-l|-e = 0 14. i^xí-ll = |3x-2|+5 6. 14x+61+x = 2 12x+31 15. ||x*-5x+25|-xl+8| = |3x+9| 7. |2x-3|+2 = |x-5| 16. |2jc-3 |-i = |x-3| 8. ||x|-3| = |3x+2| 17. |x+I |+2|x-2| = |x-S| 9. 2|x+J |-3|x-2| + |x-5| = x+2 18. 2| |x-51+2|l-li||x-5 |+21+22 = 10. 1 = 3x+5 Sean A=fxeR| |3x-i |=2x+5}B=fxeR| |x+i |+9=3x}. Hallar la suma de los elementos de AuB. 20. St A=fxeR| |2x+3| = |x + 3 |h B=lxeR||2x+J2|=2x+12} y C={xeR| |3x+4| < x j; hol lar (Afí.B) ' U C. En los ejercicios del 21 al 36, hallar los números reales que satisfagan la Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 29 297 desigualdad dada; dar el intervalo solución. 21. |3 - 2 x | < 3x-8 29. |x | + 2 |x -2 .| - |2 x -5 j < 3 22. 15 x - 4 1 > 3x-2 30. |x * - 2 | - | x + 3 | -S |x -2 | 23. 12 x l -31 >y 5x 31. |6 x l - 9 x - 3 | < 12x*-9x+2| 24. |x * - 2 x - 5 | >. |x l +4x+2| 32. (\x\-l)(2x+l)(\x\+3) l O 25. (|x-2| + |x+2|,)(|2-x|-|2-x| 5- x *-6 33. la:1 -41- Jx-91 « 26. 3 | x - 3 | 2- 2 |x - 3 | < 8 34. |x + 4 |- |2 x + 3 | -í 4 27. |x - 3 |+ 2 |x | < 5 35. |x l - 5 1l - | x 2- 5 1 ¿ 22 28. 12 x + 8 1 -í |x+2 | +3 36. ( |x - 2 ¡ + | x - 3 | ) (| 2 - x | - | 3 - x | ) >. |x 1-2| |x-2| En los ejercicios del 37 al 52, determinar el conjunto solución de las ine cuaciones dadas. 37. 1x 1 —2 1 + x „ . x + 2 C 3 45. 38. |x-6 | - x + |x+2 | „ 3 x - ¿ 46. 39. lx-8 | - x + |x+4| „ 3 x + 2 47. 40. |x+4| - |x-5| „ , x - 7 48. |Xi +3x +22, _ 41. M U x-5 49. * 42. 1 1x+2 1 - 2 k , 1 x-3 * x+2 44. _ x-4 |x+8 | ' *~3 x x+1 |x-5| + 1x+2| , , x - i " 3 1 |x-2 | - 2 ^ _ x + 3 ' 1v 3 ¿ i ]x-4| + |2x+3| , , 51. X -5 x -2 1 X~1 1 -S 1 1 1 'x -4x+8' ^ 'x-2 1 50. 2 - 1*1 43. 87X+42 „ . 9-xl " ix 2-26, l* - 2 1 - i 1*1 - 3 . 2 - |x| 52. 5 - |x| |x | + 2 i 1 —■*. ü x-2 -3 + /ó-\x-4\) -í x-6 Reslver: í / | x - 2 | - 4 - / 6 - | x - 3 | 2 f / | a —2 |-4 + / 6 - | x - 3 |2 •$ |x -2 | 55. Resolver: 1 54. 1 Resolver: ( / j x - 2 | - 3 » 53. / \x+1\ I M M I |x - 2 | _ , + / * |x 2+4| Sólo fines educativos LibrosVirtual - *-3 x 2+x +4 , 298 Capitulo 4: Números Reales 56. Resolver: V ^ I"*11 2.\-7. .6 - j lx *3 l 11 + /íhx >, O |x-2|+5 |x+i|+2 57. Expresar los siguientes conjuntos como un intervalo de números reales. a) A = lx e R |j-^ p 7 < O -> x|x-3| > 0} b) A = (x e c) A = U R |/| 2x-i |- 13x+61 .í /| 4x-2| - |x-S| 1 + |^|||xe<-l,2]l 58. Si A es el conjunto solución de la inecuación ||6-2x|-6| 4 6-x, hallar n(NhA). 59. Hallar m de modo que la solución de mxI+2mx ^ 5nxx-1 sea la misma de: \x-3/2\ ^ 7/2. 60. Sean A= 1xeR| |x -J | > |x |—J } y B= (xeR| |:^| < ¡}. Hallar A-B'. 61. Resolver el sistema: oc^ mC < |x i-jg~| y l 1*1 62. Si A es el conjunto solución de la inecuación |x—3 ¡ < 2x+5 y B el con junto solución de la inecuación 3 < x 2-l < 8, hallar A-B. 63. Sean los conjuntos A=(xeR| %• *1 y B=)XeR|3 < |2x+i| < S), ha llar A h B. 64. Sea M el conjunto solución, en R, de I ¿ + < 3^0 ’ se £lene Hue: Mn[0,+”> = <N, +“>; hallar N. 65. Si A=|xeR||9-x2 | 71 y B=|xeR| |¿x-3 | < ^ ' £ia££ar 66. Dados los conjuntos A= )xcR| |x2-x| <x+31, B=txeR||x2-2| i.x+61, C-JxeR| |x2-2|=¡x2-4| 1. Hallar el conjunto Al, sí Al=(xeR|xeA -► XeíBíIQ). 67. Sea A=(xeR||^| $ ^ | l ; B=(XeR|¡4~X j * j 2 x + 3 l ^ 2) . Hallar A n B. 68. Sean los conjuntos A=JxeR|IjtjI + l*'2| > 21, B=(xeR|(|x-i|+|x-2|jx f|2-x|— [2-x|> -í x 2-6 (. Si C=A-B, hallar en C la solución de la inecua ción 11S-2x |-41 -í S-x. 69. Sea A=lxeR| |x| + |x+2| > |x-3|l, hallar el n(ZnA'). 70. Hallar A=fxe Z |l5a~gol~l3a~gQi + |2x-3| $ |x|-2} donde ae<-3,-2> Sólo fines educativos LibrosVirtual 299 Sección 4.16: E l M áxim o Entero de un Número real 71. Sean a,b,c números enteros positivos y consecutivos tal que a=i. Si xeR resolver y analizar las soluciones de la inecuación |jx-a|-£>| -í (c-x). 72. Sean A={xcR| \x-312-3|x-31-28 > 0} y B= {xeR | g [j|,2 ]} Hallar A ’tiB' 73. Dados los conjuntos A={xeR|-^^jJ- > 1} y B={xeR| 74. Sean A=ixeR| |x-21 < 3). Hallar AUB. y B={xeH| |— HallarA()B- 75. Sean los conjuntos A=}xeR||x +-^| í f?>, B=ixeR|||5x+7|-|x-l|-i7|<2x+3}, C=AOB. Sí xeC, hallar el valor de E = -lü£¿£j— l^x x ^ * EL M AXIM O ENTERO DE UN NUMERO REAL S e a n x un número real fijo y Aíx el conjunto de los números enteros n que son menores o iguales a x , e s t o e s , Mx = } n e Z |n x} E n to n c e s , a i mayor de los números enteros de este conjunto se le conoce corao el máximo entero real de x , y se denota: ExH = max(Ux) = TOOX}neZ¡n xl Por ejemplo, para x = 7 /2 = 3 . 5 tendremos el conjunto: M3 . S = e s decir: |n e Z |n « 3 .5 } = <------ ,-2,-1,0,1,2, 3} [[3 .5 ]1 = max(M¡_¡) = 3 que geométricamente se interpreta asi: jj^ ----------------------- « 3 .5 ................................... ................. . -2 0 i x ...................................... . ' i o 3 3 .5 4 1 2 n Definición 4.21 En el sistema de los números reales se define el má ximo entero de un número real x, a la expresión de notada por QxJ] = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x, es decir: (jx]] = n jjxj) = maxí ne Z |n .$ x} Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 300 Ejemplos: ní i (1) x = 2.7-[[x]l = p . / J = 2 > porque:2 4 2.7 (2) x = V J ■*¡Joc][ = {£—/ 2_JJ = -2, porque:-2 4 -•'2 (3) x = -5■*[[x]} = [[-5]) = ~5, porque:-5 4 -5 Para calcular [Jx]] gráficamente, se construye los elementos del conjunto M a la izquierda de x, el mayor de todos ellos es obviamente flxj . Así para x = ~/2, del ejemplo (2): M x -4 * -5 1 : -3 -2 n -/2 -1 Cuando x es entero entonces n y x coinciden, es decir, (Jx]] = x (Ejemplo 3). 2 JJJ TEOREMAS SOBRE EL MAXIMO ENTERO DE UN NUMERO REAL # TEOREMA 54. Demostración. Qx]] eZ, KreR En efecto: Por definición: Luego, TEOREMA [[x]¡ eZ, VxtR 55. Si [[x]¡ = Demostración. [[xj = max{neZ|n>$ x) = ntZ X — ■ xeZ En efecto: (1) (+) Por el T.54: Luego, sí (2) (+■) Si xeZ * [[xj eZ (Jx]]= x - [*H = TEOREMA 56. [[x]] S x < [[x]] + 1, VxeR Demostración. En efecto: (1) Por definición: (2) Si n 4 x [JxJJ = neZ - x < HxJ + 1 (4) Luego, de (2) y (3): 57. Si flxfl = n Demostración. x + [[xD ■$ x (3) Si x < n+1 TEOREMA -► xeZ [[xj] =maxineZ\n 4 x) flx]] 4 x < [[x]] + J +-+ n 4 x < n+1 , nsZ En efecto: Sólo fines educativos LibrosVirtual (Def. [[ ]] ) 301 Sección 4.16: E l m áxim o Entero de un Número R eal (1) (+) Si ¡£r]j =n (2) ■+ ncZ Según el T.56: JxJ] £ x < fx]] + 1 (3) (4) -» n 4 x < n + l (+) Si ncZ y n •$ x < n+1 TEOREMA 58. Si aeZ, Demostración. En efecto: (1) (2) -* n = [JxJ] Jxfl ^ a <-» x >, a (+) Por el T.56: d*íl -í x < IMI + 1 Por hipótesis: |JxJJ >â (3) -+ a ¿ |[*U S x (4) - * a í f x —* x > , a f5> (Def. [[ {J ) (+) Si x i-a y por definición: IJxfl ^ x y acZ, entonces por definición: (T. 55) (6)[[xj = maxlVaeZ| daH-£ xl, pero [[a]] = a (7) a \< x í Ixfl -» a ¿ flxU TEOREMA 59. Si (JxJ) < a Demostración. En efecto: [[xj] >✓ a +-+ x < a, VacZ (1) (+) Si [[xj]< a, donde (JxJ eZ y aeZ + dx D a-1 (Puesto que: a-2 < a-1 < a) (2) (3) (4) - a-1 ¿ x < (a-l)-H ■+a-1 x < a (T.57) ■* x < a (+) Por el T.56: Jx]] -S x < [[x]] + 1 (5) Entonces, si x < a y Jjxj] < x (6) Por transitividad: [[x]j < a TEOREMA 60. Si aeZ y dxB ^ a Demos trac ión. En efecto: (+) (1) Si dxll a -► «-» x < a+1 Ol^D = a v 0*1! < a> (2) Si ffxjj = a, tal que aeZ -* a ^ x < a+1 (3) - (T.57) x < a+1 (4) Si [JxU < a -»x < a (5) Luego, de (3) y (4): |[xj] < a -» x < a+1 (6) Por el T.56: d*I] * * Í7; Sí x <a+1 - llxlj < x < a+1 - d*Il < a+1 (8) Si a e Z ■* (a+1) eZ y como d x U e Z ■*¡Jx]j = a,a-1,a-2,. ■* d * I ¡ í ( 9) Sólo fines educativos LibrosVirtual a 302 TEOREMA Capitulo 4: Números Reales 61. Demostración. Si meZ + |x + m]] = [[x]¡ + m En efecto: (1) Por el T. 57: (3) Si m eZ (4) + Demostración. + m n + m 4 x+m<(n+m)+l + (6 ) Pero n = [[x]] * 62. n + m $ x + m < n + l (m+n)cZ (5) Por definición: TEOREMA n 4 x < n+1 [[xj] = n (2) Sumando m se tiene: |Jx-«i]| = n+m |Jx + m]] = Jxj] + m ,meZ Vx.yzR, [[xj + fly]] < |x + yj En efecto: (1) Si n 4 x < n+1 + dx| = n (2) Si m 4 y < m+1 +■ (JyJ = m (3) Sumando: n + m 4 x + y < (n+1) (4)’ (5) Como m,neZ (6 ) Luego, (7) * * (n+m)eZ por elT.S8 : flx + yJJ > n+ m [x ]| + dy]J [[x + y j > T E O R E M A 63. *rER: ffx]] + E-xJ = { 0 ' si XEZ [-1 , si xe(R-Z) Demostración. En efecto: (1) Si xcZ (2) + (m+1) * n + m 4 x + y < (n+m+1) + 1 - «-Qx]| + (¡y j < I * Bxfl = x (T. 55) Si xeZ + a(-x)tZ\ n-xj = -x (3) Sumando se tiene: (4) Si xc(R-Z) * ¡fx]] + [[-x]] = x - x = 0 x = [[xl + n , donde 0 < n < 1 +-+ [[nD = 0 (5) Multiplicando (4)por -1: -x = -Jx]] + (-n) (6) (7) + f-xj = jf-flxj + í-n)]] * Como [[xj] sZ (8 ) Además: O * -fxj < n < (9) Luego, en(6): {[-x]J = d - H x l + J[-n]l (T.61) eZ> luego: [-|x]]]] [ ="{[x]] 1 --1 < -n <O +|-n]j=-1 f-x]] = -¡[xj] - 1 (10) Entonces: f-x]J + (JxJ] = -1, Vxe(R-Z) (11) Por lo tanto, de (3) y (10) queda demostrado el T.63. T E O R E M A 64. Vxsft, Demostración. £h x-1 < flxflí: x efecto: Sólo fines educativos LibrosVirtual +yj 303 Sección 4.16: El Máximo Entero de un Número real (1) Si xeR ■* x = {[xj] + n ,donde: (2 ) 0 4 n< 1 Qxjj = x - n (3) Si 0 4 n < 1 - -1 < -n 4 0 (4) Sumando x a cada extraño se tiene: x-1 < x-n 4 x (5) Luego de (2): TEOREMA 65. Demostración. x-1 < flxj ^ x VyeZ y xeR, si y > x * y %-flxj] + 1 > [[xj] &i efecto: (1) Por el T.56: flxjj < x <1^11 + 1 (2 ) Por transít ividad: Jxjj< [jxj] + 1 * Qx]] *1 > [[xj] (3) Por el T.64: x-1 < flxU -í x (4) Por hipótesis: y > x , yeZ ,xeR. (5) Entonces de (3) y (4): j[xjj 4 x < y (6) Como M J e y son enteros TEOREMA 66. Demostración. Yx.ydt, si x 4 y (2) Por * (4) Por el T.64: x-1 < hipótesis: x 4 y (6) Como: H*J] [jxj] 4 x 4 y En efecto: Demostración. Qxj] -í x < [jxjj + 1 (2) ** ( [[xJ-Sx; - (x <UxI] + 1) (3) -* (4) 68. - [[xj] < [[y]] + 1 [[xj] i ([y]] + 1 - 1 ■* Si n = x - ([xj] •* 0 -4 n < 1 (1) Por el T.56: TEOREMA fl>I] + 1 , Uyj] eZ -í y < [jyj] + 1 ([y]] ez - ¡xj]« x -* [[xj] ^ y el T.56:¡>j] í y < (5) De (3): Demostración. * (¡xj +1 4 y ¡xj] -£ fyj] (3) Por transít ividad: 67. ¡[xjj< y-1 » [[xj| * 1 > (Jxjj En efecto: (1) Por TEOREMA * de (2 ) y (6 ): y (7) Por lo tanto, ■*[[xj] < y, yeZ (0 4 x - M ) ' (x - M (0 4 x - [jxjj < 1) Si xeR|x=y+n , 0 4 n < i 0 < 4n -► y = (jxj] En efecto: (1) Por hipótesis: O 4 n < 1 (2) Simando y: y 4 y*n < y+1 Sólo fines educativos LibrosVirtual 1) < 1 ¡jxj -S ¡jy]j 304 Capitulo 4: Números Reales (3) Pero: x = y+n + (4) Como yzZ - y -S x < y +1 dxQ = y ** y = ftx]] TEOREMA 69. VxtR y cualquier ncZ, n > O, se cumple: Demostración. En efecto: (1) fl*I Supongamos que: (2) Entonces: a -í IM || | = ;}-í- i - < a +1 + n ri an £ |jx[] < an +n (n > 0) (3) Como IxB es un número entero puede tomar los siguientes valores entre an y an+n: (JxJ = an * an .$ x <an + 1 íjxli = an+l + an+l •£ x < an+2 (Jxjj - an+2 + an+2 $ x < an+3 |¡x 11 = an+(n-l) -> an+(n-l) s x < an+n (4) Uniendo los intervalos obtenemos: an ¿ x < an + n (5) + a < a + 1 - [i ] = a (6) Por lo tanto, de (1) y (5): jJ Ü íIL j = lj_-jj-jj EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Solución. Hallar si valor de E - 11 Como: 2 < +6 < 3 -» i < rW-1 < 2 y si: 4 < 2, entonces: 2 £ — — < 3 ¿6-1 EJERCICIO 2. + Hallar el valor de E + Solución. Efectuando la división: ' Por el T. 61: E - \-2 ^ " + -» 4 < — — < 3 ✓ÍF-j E = |T— — fj = 2 “•.4F-IU ■IHSI 3-2u c -2v _ „ — — = -2 + -2 u+i n+i +1 A J -2 + ] J-J Sólo fines educativos LibrosVirtual (1) Sección 4.16: El Máximo Entero de un Número Real Dado que: 3 n , o sea para x < 0 -*• |x| = -x ■ * I M J ■ U fll - ff' Si xc[-l ,0> ■+ - -1 ^ x < O -» -4 $ x-3 < -3 -+ - i- < _JL < _ A 3 x-3 ' Entonces: jjI + ^ 73 J] = _ 2 <j 4 - -j < £ - -jj + _5_ < _ i_ 3 x-3 ' 4 luego: E = -1, Vx^í-1,0> b) Si xelO.l], osea para x >, 0 ■+ Si 0 $ x $ 1 -+ á: -i -< -x .$ 0 -+ |x| = x ¡[§zf j] = ¡J'! + 3 ZJ ]] - 2 f. 3-x $ 3 -+ | § < -1 * 3 T-< - i Luego, E = -I , Vxc[0,l] (1) - H --1 + í -j ^ H = - J (2) Por lo tanto, de (1) y 12): E = -1 , V íx e [ - J ,J ] EJERCICIO 4. Determinar por extensión el conjunto A = )[[ 3x-l j] |xe[0,1 ]} Solución. Si J 3x-J ]] = n Si n = - J -+ «-> n -í 3x-l < n+1 <-+ $ x < , xe[0,i] Dando valores a n hasta cubrir el intervalo [0,1], se tiene: n = 0 O 4 x < 1/3 -» 1/3S< 1 < 2/3 Por lo tanto: n= i - 2/3 _< x < J n= 2 ~ x = 1 A = {-1,0,1,2) EJERCICIO 5. Hallar todos los elementos de A = ( \x-6\-l |xe<-J ,8>|. x+3 Dado que: Xe<-1,8> = Xe<-1, S> U [6 ,8>, se tiene: Solución. a) xe<-i,6> - Si xe<-l,6>, o sea para x < 6 •+ -i < x < 6 - -+ - < JL 9 x+3 <4 2 < x+3 < 9 -+ 4 < 9 - i < - 1 + JL.< 3 9 x+3 Sólo fines educativos LibrosVirtual |x-6 | = -(x-6) x+3 < 4 ¿ 306 Capitulo 4: Números Reales Ccmo; <_ j . - i < _ J + _§. < 3 „ j£_j + _ § .]] = -i'O.í,2 Luego, A = 1-1,0,1,2) , para xe<-l,6 > b) fl) Si xe[6 ,8 >, o sea para x > 6 *» |i~0| = x -6 - * - [ f í j " 1P - i S j Si 6 -S x < 8 -* 9 S x+3 < 11 1 < JL 11 x+3 - 10 9 v como: -1 9 1 x+3 (2) A = 1-1,0,1,2) Resolver la ecuación: [| = 4 +- 4 4 de donde: 5 -í |x-2| < 7 <4+1 <- (T.S7) f|x-2| >,5) ~ (|x-2| < 7) «- fx-2 >, 5 v x-2 « -5) - (-7 < x-2 < 7) « - - (i >/ 7 . i í -3) - f-5 < x < 9) hwa«e*»accia| - 5 - is*»&giK3«ftfaft 3 7 - +- 9 S = <-5,-3] U [7,9> EJERCICIO 7. Solución. Si x.beR*. x < b, hallar: E = Si x,beR+ -* x > 0 Supongamos que: y = ^ y b > 0 ■+ [fyj] < y < flyll + J t t i U i p l i c m t o por f : - ||J] + |-JJ Ü M < Í Í J * < | J J ] < 1 <f [ | J » § Sólo fines educativos LibrosVirtual (T.56) Sección 4.16: E l M áxim o Entero de un Núm eroReal Como x O - ■?■ • 1 + £ < 2 D U.ego, en (*): - < | Q £ J ♦ f < 2)< £ | | ] + £ , y Por elT.57: E - [f 1 £ J * £ ] - i EJERCICIO 8. Resolver la ecuación: Solución. j] = 3x+ 3 [T (3x+3)eZ ~ (3x+3 4 4x < 3x+3+1) Como 3 eZ ♦-* (3x)cZ * (3 4 x < 4) -<• (3x)cZ * (9 4 3x < 12) +-+ x = 3,10/3,11/3 Universo de la ecuación: (x > y S = {3,10/3,11/3} = </x , donde 0 < m < 1/4} 0) ~ ( —— *-► (x > 0) » fx-m í- 0) <-> (i Si ü r a * Hallar todos los elementos del conjunto: A = lxeü| |jj~ |] - \/-£-| Solución. (T.57) jm- (3x )cZ * (x %. 3 * x < 4) Entonces: 3x = 9,10,11 EJERCICIO 9. fll4xj¡ = 3x+3 m > 0 * — >, 1 m :> 0.) > fl) a fa mj ,me<0,l/4> 0 < ( — )~l 4 1 m (T.24a) Anal icemos cada caso: a) Si 0 < ~ < 1 - [[ £ ]] = 0 . Bi A: |0 - de donde: x l-x+m=0 b) Si ^ 1 " I x II = I- ^ EJERCICIO 10. Solución. ■** x Resolver: Según eJ T.58: = /x - * r/l-4m) , si me<0,l/4> A: I-* ' / x " \ = S* * l = /* — x = 1 |J x - | | 4. 1 x - JJ I x -£ ^ J (x-2)(x+l) x Q Por el método de los valores críticos, verificar que el conjunto solución de la inecuación es: S = {-1,0> U[2,+»> Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 4: Números Reales 308 EJERCICIO 11. Solución. Resolver: /( (T— 11 - l)1 = O * 1111*1] JJ Por el T. 43: |a | = / i 1 -*• -*(T — 11 = J II II*D donde: lx|] i 6 — j || 1 4 — jj ~ J | = 0 < 2 1*D (*) <-*■ x i [0,1> Entonces, debemos considerar dos casos: a) Si x í- 1 ■* Entonces 1x]]eZ + en ( * ) : H x J -S x < 2 fx j] ♦-» f H x J] í x) « -- fl*]] -í *■> ~ (Por el T.56: d x J] « b) Si x < O +■ Entonces x, VxcR) «- (xeR) ~ fx fx < 2 [x l[ ; | í | < IxJj >^1) - S, = [i,+-> [£xJ]eZ ~ en (*): J x J i - x > <-► 2[[x]] ¿ J x ]] < x -S 1 * H *-*■ ( 1 * 1 1 < f ) ~ (*-s [1 * 1]j st = z ~n r ~ = z~ -» .'. S = S,U S 2 = Z' U [!,+-> EJERCICIO 12. Solución. Resolver Si l-líLli]] >,3 11 I x l II Sea [x]] = n « M +-+ n 4- x < n+1 , neZ J IxJ >,3 . I x J # 0 - x ¿ [0,J> ^ -+ n ~~ ^ ^ Consideremos dos casos: a) Si (n > 0) ~ (n 4 x < n+1) En (1): |x|-2 >. 3n ■* |x| 3n+2 ■++ (x >y 3n+2) v [x 4 ~(3n+2)J ~i ~(3n+2) r n — ¿ n+1 c 3n+2 Corito no existe intersección, el conjunto solución para este caso es: S , = * , Vn=l,2,3,... b) Si (n < 0) ~ (n 4 x < n+1) Enil): |x|-2 ¿ 3n - Como n < 0 -* 3n+2 < 0, por tanto, el conjunto solución para este caso es: |x| ^ 3n+2 Sj ~ $ , Vn=-1,-2,-3,... S - Si u S2 = 4> Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 4.16: El Máximo Entero de un NúmeroReul EJERCICIO 13. Resol v e r : Solución. [J ~ 309 2 7 ^ <2+1 ** >0 (T.60) Por el método de los valores críticos: (x > 4) v (x < 9/4) S = <— », 9/4> U<4,+»> EJERCICIO 14. Solución. Resolver: ..AX \'Z _ ^ Q Universo de ía inecuación: |x|-2 i- O -* ++ (x 4 -2) v (x >* 2) |x| i-2 -» U = <-»,-2] U [2,+»> La incoación dada es válida si: (xeU) * ( J x 2-2x-3 ]] < 0) (xcU) * (x2-2x-3 < +— 0) ■•-*■ íxeC/J ~ «-► íxct/; ~ (-1 < x < 3) EJERCICIO 15. -+ S = [2,3> [[/}+3x~x2 ¡J 2 < 4 Resolver: U /4+3x-x2 J] 1 < 4 Solución. (x+i>(x-3) < 0 *■* -2 < [[/4+3x-xl ]] Pero: /a i- 0, VaeR < 2 (T.34Í i) •»¡J/áJ] >, 0 0 4 /’ 4+3x-x2 < 2 Luego: C 4 d A+3x-xl J < 2 (T. 58 y T. 59) *-*■ 0 í 4+3x-x* < 4 *-* (x2-3x-4 4 0 ) * (4+3x-xl < 4) ++ (x-4)(x+l) 4 0 * x(x-3) > 0 ++ (-1 4 x 4 4) * ( x < 0 v x > 3) .-. S = [-2,0>U <3.4] EJERCICIO 16. Solución. [[xj'- 8 [[x]] 2+7 Resolver: 0 Sea m = [[xj] , meZ -» m*-8m2+7 i- 0 «-► (m+l)(m-l)(m+vT)(m-/7) ’ z.O Por el método de los puntos críticos: m=-2 , m=l , m=~/T , m=/f se determina que: Para me<—»,-/?] -+ me<-~,-/7] u [-J,I] u +*"> [[xj) 4 -/7, pero mzZ — (Verificar) d.xj] 4 -3 **■ x < -3+1 ++ x < -2 -* xe<-»,-2 > me [-2,2 ] -♦ -1 4 JxJ] J ~ ++ mc[/7,+-> — ffxll í. 3 -» x -1 4 x < 1+1 -1 4 x < 2 3 — (T.58 y T.60) xe[-2, 2> xe[3,+“> S = <-“>.2> U Q-2,2> U C3,+<»> Sólo fines educativos LibrosVirtual 310 Capitulo 4: Números Reales E J E R C I C I O 17. Solución. Resolver: < - ^ Como (-13/5)tZ, no podemos aplicar directamente el Teorema 59. 1 ^ 1 Significa que: < -2 de donde: - x-l > O ^ ■+ 1 +-+ (x i-1) — < "* > 0) -+ 4) - (x i. 1) *. ( - ^ < 0) -» S, =<3,4> |x-i | = -(x-l) (x < 1) * ( +-+ (x < (T-S9) |x-l| = x-1 ~ (3 < x < <O - (1) (x >1) - ( b) Si x < 1 -+ x-l En (1): 1 > 0 a) Si x i-1 En (1): * > 0) 1) ^ (2 < x < 3) ~ <x < 1) * (-g§ < O) ■+ S t = » S = S,U S, = S, = <3,4> E J E R C I C I O 18. Solución. Resolver: ,/|[2x]]-2{[x J+4 > 2 Cálculo del universo de la inecuación: (1) jj[2xJ-2[[xJ]+4 5-0 (2) Si ([x^] = n n 4 x < n+1, neZ +— (3) Multiplicando por (2): Significa que: - [T2x l - 2 [[x]l > - 4 (T. 57) 2n 4 2x < (2n+l)+l [[2xJ = 2n o j2xj] = 2n+l (4) Para obtener un único valor para j2xj), dividamos el intervalo (n,n+l> en dos partes de longitudes iguales, esto es: *---------------- £ -----------------------------n * o ---------------- - n+ n+1 [n,n+l> = [n,n + -^> u [n + (5) Si n 4 x < n+1 ¡2 ■+ 2n 4 2x < 2n+l (6) Luego, si [£xj| = n y |[2xJ = 2n -* (7) n+1/2 4 x < n+1 (8) Luego, -» , n+l> Jf2xj)-2j[x]] = 2n-2(n) = 0 2n+l 4 2x < 2n+2 si [[xj = n y Ü 2 x J = 2n+l — [[2xJ-2[[xJ] (9) De (6) y (8) podemos escribir: j[2x]J-2|Ixj] ~ -2n+l-2(n) = 1 Si xt^-n >n+1/2> Ll, sí xe[n+l/2,n+l> (10) Esto significa que el primer miembro de la desigualdad (1) toma valo res 0 o 1 y que, ambos satisfacen dicha relación. Por lo tanto, la solución Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 30 311 de (1) es el conjunto R, esto es: V = <— ,+»> (11) El iminación de la raíz de: / J 2 x J|-2[[x2]+4 > 2 (12) Elevando al cuadrado: f 2 x J -2JxJ) +4 > 4 -* ¡ J j Q -2[ £ j c > O Pero de (9) sabemos que j2xj]-2jx]] es O o 1, de los cuales 1 satis face la relación (12). En consecuencia, la unión de los intervalos de la forma: tn+l/2 ,n+I> , es decir, la mitad derecha del intervalo [n,n+l> es la solución de la inecuación dada: S = U n=l + | .n+l> EJERCICIOS: Grupo 30 1. Hallar el valor de: a) [ p j r f J] b) ¡j— —-J| 2. Determinar por extensión el conjunto A = 1 3. Hallar el mayor y el menor elemento del conjunto jj |jce<-i,5>} A - lxjx[[-|]j]] |xe<0,+«>1 ’ En los ejercicios del 4 al 21, resolver las ecuaciones dadas: 4. [[2x-3j =-5 13. Q>xl]-|x-l|= 2x-3 14. [jl^ K 3 ]] = 4 5. 6. |]-,M| + pc-l|-2j| = i 15. ([-xl+x+3/4J] = 0 7. J/3-x J) = 2 18. I x | l- H x | - 6 8. flV-2x]] 17. Ix-l]]^2|IxJ]* = 57 9. J 3x-5 ]] = 2x+J 3 18. /x-[[xl = x 10. 1 3x ]] = 2x+2 19. [[5x]] = 4x+3 n . 20- IffJl - i 12. J x + i U 22. = = 0 - * 21. / 9 - J x ] ] 1 + /jx| -3 = 0 2x Si A es el conjunto solución de la ecuación fx-(£x J J + d I-x]]=5, cual de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) Ac[-7,-4> b) A c £-6,-S> c) AC. <-6,-4] Sólo fines educativos LibrosVirtual d) A - R Capitulo 4: Números Reales 312 23. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) [[2x * H 2 \ 1 = xj c) ü x j b) d - x +2 B = d x - l j + ffx + 1 /2 ]] = [[2x 1] d) [[a: + Jx]] J = 2 jx]] 24. Demostrar que Va.beR, entonces: [ [ a + b j ^ |[ a J + [ [ b f l. En que caso o curre la igualdad? En los ejercicios siguientes, resolver las inecuaciones dadas. 25. [ [ 2 x - ^ J s . l 26. 31. d x U *—2[[x U -2 < O H í- 5 U- 32■ 2 21. dJ-^-fJ] -< 1 33. ([xU *-iO[[x J] *+9 S 28. d 4jc1-5x-4 J] -í 1 < 2 29. ¿ O d xl_2x_i9II O 34. /[[x]]I-12 ( [[x J 2-d x[] -6) >, O 35. / J x J l -9 f d x j ' ^ d x l - i s ; « O 30. [[ |2x*+5x|-2]] < 1 36. 2|x| - [[2xJ] >,0 37. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) r=x-Jx]] b) VneZ, [[x+nj 2= ][x ]]2+2n[[ x ]]+n2 -► 0 S z < 1 c) Sea neZ, (z = x-n) ~ (0 4 z < 1) d) Si x < -1 - * dxI = n |d 1/xJ + 1 1 = d -2/jcH 38. Dados los conjntos A = lxeR|2(x+2.)-8/x+2+6 i- Oí y B= Ixeft|d X_1 ]]l+ 2 d x J] 2=57). Hallar A A B'. 39. Si A'=ixeR| d^-1 U 1 +2dJCH >^17, si d x+ 2 ]]=5t, hallar A. 40. Expresar el conjunto A en términos de inter~valos: a) -4|+|2x A = {xcR¡ i* lx-2 1-2 b) A = lxeR| I/ÍÓ^&r^x2 ]]2 -í 9 -S 0 , si d jc*+4JC-6 ]] < -3/2Í. «- d * -*!!^}. * Sólo fines educativos LibrosVirtual 313 V i; R E L A C IO N E S D E FIN ID A S DE R EN R EL PRODUCTO CARTESIANO D E R x R En la Sección 3.3 señalábanos que el producto cartesiano AxB de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) en los cuales la primera componente a, es elemento de A y la segunda componente b, es elemento de B, esto es: AxB - {(a,£>)eAxB|aEA y beBl Análogamente, el producto cartesiano RxR, que se denota R * , donde R es el conjunto de los números reales, se define como: En el Capítulo 4, Sección 4.9, introdujimos la noción de la recta real y vi mos la correspondencia biunívoca que existe entre puntos de la recta y el conjunto de números reales. Cada punto sobre una recta numérica es ¡a gráfi ca de un solo número real y viceversa. .. Para graficar una relación debemos disponer de un procedimiento para graficar pares ordenados. El dispositivo más conurmente usado para este propósi to es el sistema coordenado rectangular o sistema coordenado cartesiano. El sistema consiste en dos rectas nunéricas, llamadas ejes de coordenadas, cor todas perpendicularmente en un punto 0, llamado origen de coordenadas del sistema. El eje horizontal se llana eje X o eje de las x y el eje vertical, eje Y o eje de las y. Los puntos a la derecha del origen tienen coordenadas positivas y a la izquierda del origen, negativas. Análogamente los puntos Sólo fines educativos LibrosVirtual 314 Capitulo 5: Relaciones del eje Y arriba del origen tienen coordenadas positivas y los que están a bajo del origen tienen coordenadas negativas. Los ejes X e Y dividen al pía no en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que se emmeran por I, II, III y IV (Fig.5.1) en sentido antihorario. Construido un sistema coordenado rectangular podemos establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de los pares ordenados de números reales. Sea P un punto cualquiera del plano. Su proyección perpendicular sobre el eje X es un punto cuya coordenada es el numero real tí nico a. La proyección perpendicular de P so bre el eje V es un punto que tiene como coor denada al número real único b. Si tomamos a a como el primer elemento de un par y a b como el segundo, entonces con cada punto P del plano hemos asocia do un par de núneros reales (a,b), único, y viceversa. El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto P nos lleva a las siguientes definiciones: Definición 5.1 Si (a,b) es el par asociado con el punto P, entonces los nú meros a y b se llaman coordenadas de P; a se llama coordena da x o abscisa de P; b es la coordenada y, u ordenada de P. Definición 5.2 Si P es el punto asociado con el par ordenado (a,b), enton ces se dice que P es la gráfica de (a,b). Ejemplo. Graficar el conjunto de pares ordenados: í(2,3),(-3,2),(0,-2), (4,-1)} y nombrar el cuadrante en que queda cada uno. Solución. Construimos primero el sistema rec tangular XV, luego representamos y marcamos cada uno de los puntos P(2,3),Q(-3,2) S(0,-2) y T(4,-l). Asi, P queda en el I cua drante, Q en el II, S queda sobre el eje Y, no está en ningún cuadrante y T en el IV cuadran te. Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 315 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean AÍXi.y-i), B(xz,yz) y C ( x lry¡) res puntos en Rz, tales que A y C estén situados sobre una línea horizontal B y C sobre una línea vertical. (Fig.5.2) Entonces, por lo visto en valor absoluto: d(A,C) = |AC| = |x2-x, | = |x2-x2 | d(C,B) = |CB| = |y2-y2| = |y»-y2 | Luego, por el Teorema de Pitágoras: | Á s | z - = | a c | 1 + | c b | 1 d(A,B) = /(x l-xl;z + (yt-y, ) 1 Ejemplo. Si P(a,a+1) es un punto que equ ¡dista de A(2,l) y B(-6,5), hallar el valor de a. Solución. Se debe verificar que: d(A,P) ■= d(B,P) . Entonces, por la fórmula de di:¡tanda entre dos puntos: /(a-2)1+[(a+l)-l Jz = A a + 6 ) 1+[(a+l)-5]1 ■+ (al-4a+4)+a* = (al+12a+36)+(a1-8a+16) , de donde: a=-6 GRAFICAS DE RELACIONES DE R EN R__________;________ 5.3 Un conjunto G de puntos del plano cartesiano es la gráfica de la reía ción R si verifican la propiedad: "P(a,b)cG -* (a,b)cR" En la práctica, la gráfica de una ecuación de la forma E(x,y)=0 o inecuacio nes de las formas: E(x,y) < 0, E(x,y) > 0, E(x,y) 4 0, E(x,y) £ 0 , en las variables x e y, es la gráfica de la relación: R = Ux,y>|Eíx,y)} Veamos a continuación algunos ejemplos de gráficas de relaciones más impor tantes. 2 J J GRAFICAS DE RELACIONES LINEALES DE LA FORMA: R - {(x,y)|ax+by+c = 0) Tienen por gráfica una línea recta. EJEMPLO 1. Trazar la gráfica de la relación: fij = { tx,y)£fi2 |3x-2y+6=0] Sólo fines educativos LibrosVirtual j# Capitulo 5: Relaciones y funciones en R2 316 S o lu c ió n . S e g ú n un p o s tu la d o de la g e o m e tr ía q u e a f irm a q u e d o s p u n to s d is tin to s de te rm in a n u n a re c ta y só lo u n a , b a s ta r á h a lla r d o s p a re s d e la m ism a , de la sig u ie n te m an era: Si y = 0 ~¥ 3 x + 6 = 0 «-> x = -2 . A s í, (-2 ,0 ) e s u n a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d ad a. Si x = 0 -> -2 y + 6 = 0 <-> y= 3 L u eg o , (0 .3 ) es u n a s e g u n d a so lu c ió n . P a ra o b te n e r la g r á f ic a r e q u e r id a , s o lo n e c e s i ta m os u n ir lo s p u n to s P (-2 ,0 ) y Q (0 ,3 ) co n u n a lín e a re c ta , d a d a qu e: G ( R , ) = {P (-2 ,0 ) , Q ( 0 ,3 ) ,...........+ ~ ) C o m o v em o s: D o m (R , )= R a n (R , ) = (-oo,+oo) = R EJEMPLO 2 S o lu c ió n . T ra z a r la g rá fic a d e la r e la c ió n : R 2 = { ( x ,y )e R 2l2 x -3 y = 0 ) L a re la c ió n R , tie n e la f o rm a a x + b y + c = 0 , e n la q u e c = 0 . E n e s to s c a s o s (0 ,0 ) es u n a so lu c ió n d e la e c u a c ió n 2 x - 3 y = 0 , e s decir, la re c ta p a s a p o r el o rig e n d e c o o rd e n a d a s . N e c e sita m o s un se g u n d o p u n to p a ra d e te r m in a r la re c ta . Si x= 3 —» 2 (3 )-3 y = 0 <-> y = 2 - » P (3 ,2 ) e s el o tro p u n to . C o m o G ( R , ) = { (0 ,0 ) , ( 3 , 2 ) ...........+■»} -> D o m (R EJEMPLO 3 S o lu c ió n . T ra z a r la g r á fic a de la r e la c ió n : S = { ( x ,y )e R 2l(x + 2 )(y -3 )= 0 } S e g ú n e l T .4 .1 4 / : a b = 0 <-> a = 0 v b = 0 - » ( x + 2 )(y -3 )= 0 <-» x + 2 -0 v y -3 = 0 <-> x = -2 v y= 3 L a g rá fic a d e S e s la u n ió n de la s g r á fic a s de R ,= { ( x ,y ) e R 2lx = -2 ) co n R ,= { ( x ,y ) e R 2ly = 3 } , e s d ecir: G (R , )= { (-2 ,0 ) , (-2 ,1 ), ( - 2 ,2 ) .......... ( -2 ,n ) ) es u n a re c ta v e r t i c a l c u y o s p u n to s tie n e n a b s c is a c o n sta n te : x= h O se a D o m (R ,) = { -2 ) y R a n (R ,) = R G (R , )= { (-2 ,3 ) , (-1 ,3 ) ,( 0 ,3 ) .........(n ,3 )} es una re c ta h o r i z o n t a l c u y o s p u n to s tie n e n o rd e n a d a c o n s ta n te : y = k O sea: D o m ( R ,) = R y R a n (R , ) = { 3 ) —» G (S ) U G ( R ,) = T o d a la c ru z .■. D o m (S )= D o m (R , )= R y R a n (S )= R a n (R ,)= R Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R EJEMPLO 4. 317 Trazar la gráfica de la relación: T = Ifx.yJeR1 |5x-3y+7=0, xc<-2,4]l. Solución. Podemos observar que el dominio de T está restringido al interva lo <-2,4]. Luego, para esbozar su gráfica temaremos los valores extremos de di cho intervalo, esto es: Si x=-2 - 5f-2}-3y+7=0 «- y=-l - P(-2,-1) i G(T) Si x=4 * 5(4)-3y+7=0 *■* y=9 - Q(4,9)eG(T) Trazando el segmento PQ, sin incluir al pun tó P, tendremos la gráfica de T. Dom(T)=<-2,4] y Ran(T)=<~l ,9) 2 S GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:_____________ j | Ri = ( Cx,yJeRl|x2+yl=r2}; ft a = { (x,y)e R 2|(x-hj2 +(y-k)1=r 2) Tienen por gráfica una circunferencia de radio r y centro Cx(0,0) y Cz(h,k) respectivamente. Asi mismo, las relaciones de la forma R=l(x,y)eR2\x2+y2+Üx +Ey+F=0} tienen por gráfica una circunferencia o uno de sus casos especia les. En efecto, completando el cuadrado para las variables x e y se tiene: (x +-2)2 + (y + f r Haciendo: t = -4(D2 + E2 4F) D 2+E2+4F) , ocurre que: a) Si t > 0, la gráfica de R es una circunferencia de centro (- »- radio r=t b) Si t=0, la gráfica de R es un punto D ~ E c) Si t < 0, R no tiene representación gráfica, es un conjunto vacío. EJEMPLO 1 . Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de (a relación: R, = {fx.y>eR1|x>+y*=41 Solución. La gráfica de R lJes una circunferencia de centro C(0,0) y radio r=2 Para determinar el dominio despéjanos y: y = t/4 -x2 * ay ** 4-x2 V 0 «-* x* 4 - 4 - ~ + -2 ^ x ^ 2 Para determinar el rango despejamos x: x =± /4 - y 2 -*■ 3 x +-*■ 4-y2 » 0 +-*■ -2 £ y 4 2 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 5: Gráficos de Relaciones 318 Dom(Ri) = RanfRJ = [-2,2} Nota. Dado que la gráfica de una circunferencia, de radio r, es simétrica respecto de su centro, entonces, una forma práctica de hallar su domi nio y su rango es la siguiente: a) Si el centro está en C(0,0) •+ Dom(R) = Ran(R) = [-r,r] b) Si el centro está en C(h,k) ■+ Dom(R)=íh-r,h+r] y Ran(R)=[k-r,k+r] EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: Rt = Ifx.yJ eR 214x2+4y1-12x+24y+9=01 . Solución. Completando el cuadrado para las variables x e y se tiene: 4(x2-3x+9/4)+4(y2+6y+9) = -9+9+36 de donde: (x-3/2)1+(y+3)1=9 +■ h=3/2 , k=-3 La gráfica de R 2 es una circunferencia de cen tro C(3/2,-3) y radio r=3. Dominio de Rt: y=f(x) - 3y ~+ y+3 = ±f9-(x-3/2) 2 ++ 9-(x -3/2) 2 > 0 ++ (x-3/2)*S 9 ++■-3 4 x-3/2 4 3 ++ -3/2 Rango de Rt: x=f(y) ■+ ix — 4 x 4 9/2 - [h-r,h+rj x-3/2 = ±/9-(y+3)1 ++ 9-(y+3)* >*0 +-+ (y+3)24 9 ++-3 4 y+3 4 3 ++ -6 4 y 4 0 = [k-r,k+r] Dom(Rt) = í-3/2,9/23 y Ran(Rt) = 1-6,0] Observaciones: (1) Si de (x-h)*+(y-k)í=r1, despejamos y=f(x), obtenemos las ecuaciones: y = k ±/rl-(x-h)1 Obsérvese que ambas ecuaciones difieren en el signo ± antes del radical. Con relación a sus gráficas puede ocurrir lo siguiente: a) La gráfica de la relación y=k+’/r1-(x~h)1 es una semicircunferencia de ra dio r y centro C(h,k), ubicada en el semipleno superior de la recta y=k. Entonces: Dom(R)=íh-r,h+r] y Ran(R)=ík,k+r] b) La gráfica de la relación y=k- / r*-(x-h)2 es una semicircunferencia de centro C(h,k) y radio r, ubicada en el semiplano inferior de la recta y=k. Entonces: Dom(R)=íh-r,h+r] y RanfR>=Ck-r,k] (2) Si de (x-h)*+(y-k),=rt despejamos x=f(y), obtenemos las ecuaciones: x = h ± /r*-(y-k)z a) La gráfica de x=h+ ¡/r2-(y-kf es una semicircunferencia de centro C(h, k) y radio r, ubicada en el semiplano derecho de la recta x=h. Entonces: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 319 Dom(R)-íh,h+r] y Ran(R)=[k-r,k+r] b) La gráfica de x=h-/rz-(y-k)z e s una semicircunferencia de centro C(h,k) y radio r, u b i c a d a en el semipleno izquierdo de la recta x=h. Entonces: Dom(R)=[h-r,h] y Ran(R)=[k-r, k + r ] . EJEMPLO 3. Hallar el deminio, rango y trazar la gráfica de la relación: R3 = l(x,y)eRz \y+2 = / 5+4x-xz } Solución, y = -2 + / 9-(x-2)z El signo + antes del radical indica que la gráfica de R¡ está en el semip la n o s u p e r i o r de la recta y=-2 (y -2) Luego, la ecuación dada es equivalente a : (y+2)z=9-(x-2)z, y y (x-2)z+(y+2)z=9, y >.- --2 2 Semicircunferencia de centro C(2,-2) y r=3 Entonces: h=2, k=-2 y r= 3 ñ ■ 11 1 Luego: Dom(Rs) = [ h-r,h+r] = [ - 1 , 5 ] d . j . Ran(R,) = [ k , k + r ] = [ - 2 , 1 ] EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: Rt = {(x,y)cRz \y = -/3 -3 .X - x z ) . Solución, y = -/3-(xz+2x+l)+l = - / 4-(x+l)z Aqui, k=0 y el signo negativo antes del radical indica que la gráfica de Rt está en el semiplano inferior del eje X (y cuacion dada es equivalente a: yz=4-(x+l)z, y -S O <-► (x+l)z+ (y-0)z=4, y S O 0). Luego, la éy, ?—|— '— o - Entonces: h = - l , k=0 y r=2 Dom(R^) = [ h-r,h+r] = [ - 3 , 1 ] Ran(RJ = [k-r,k] = [ - 2 , 0 ] EJEMPLO 5. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de ¡a relación: ( (x,y)cRz ¡x = -1 + / 7+6y-yz Solución, x = -1 + / 16-(y-3)z El signo + antes del radical indica que la gráfica de ñ , está a la derecha del se miplano de la recta x=-1 (x i- -1). Entonces la ecuación equivalente es: (x+1 )z+(y-3)z=16, x >, -1 h = - l , k=3 y r=4 -+ Dom(Rs)= [ h ,h + r ] = [ - l , 3 ] Ran(Rs)= [k-r,k+r] = [ - 1 ,7 ] Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 5: Gráficas de Relaciones 320 GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA: R=i(x,y)cR1 |y-oDcl+bx+c) Tienen por gráfica una parábola. Mediante el método de completar el cuadrado, las ecuaciones de este tipo de relaciones pueden transformarse a la'forma: y = a(x-h)I+k , en donde V(h,k) es el vértice de cada parábola. Hay dos características importantes que tienen en común todas las parábolas a) Simetría. Cada parábola es simétrica con respecto a una línea vertical llamada eje de simetría. b) Vértice. Es el punto donde la parábola intersecta a su eje de simetría. Si la gráfica de la parábola se abre hacia arriba (a > 0), su vértice es el punto más bajo de la curva; si se abre hacia abajo (a < 0) su vértice es el punto más alto. En las Figuras 5.3 y 5.4 se muestran parábolas típicas, junto con las ecua- En la Fig.5.3, se observa que tanto las gráficas de y=(x-4)1 como la de y= (x+4)1 tienen la misma forma que la de y=x*, solo que están desplazadas ho rizontalmente 4 unidades a la derecha e izquierda respectivamente. Análogamente, en la Fig.5.4, las gráficas de y=x*+3 y de y=x*-3 son las mis mas que la de y=xl , solo que desplazadas verticalmente 3 unidades hacia a rriba y abajo respectivamente. En general: (1) La gráfica de y=a(x-h)* tiene la misma forma que la de y=ax2, pero des plazada horizontalmente h unidades hacia la derecha si h > 0, o hacia la izquierda si h < 0 . (2) La gráfica de y=ax2+k tiene la misma forma que la de y=ax2 pero despla zada verticalmente k unidades hacia arriba si k > 0 o hacia abajo si k< Sólo fines educativos LibrosVirtual o. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R __________________________________________ 321 Combinando estos dos criterios podemos graficar parábolas de la forma: y=a(x-h)z+k, tomando como base la gráfica de y-ax1. EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R¡ = 1(x,y)cRz |y=x2-6cc+51 Solución. Completando el cuadrado: y=(x2-6x+9)-4 Tomando como base la gráfica de y=x2, se desplaza h=3 (h>0) unidades a la derecha y luego k=-4 (k<0) unidades hacia abajo. Como a > O, el punto más bajo de la parábo la es el vértice V(3,-4). Entonces: Dom(R¡) = R Ran(Rl) = [-4,+-> EJEMPLO 2. Soiución. Trazar la gráfica de la relación R 2= ((x.y)cR1 14y+x2-4x=0). Completando el cuadrado se tiene: 4y=-(x2-4x*4)+4 -- y =-í(x-2)2+l » h=2, k=l Como a=-l/4 < O, la curva se abre hacia abajo o sea que el punto más alto es el vértice de la parábola: V(2,l). Sin usar el criterio an terior, esbozamos la gráfica de Rz encontran do otros dos puntos de la parábola. Para y=0 ■* x 2-4x=0 «-> x=0 o x=4 Uniendo el vértice con los puntos 0(0,0) y P(4,0) obtenemos la gráfica de la relación. Entonces: Dom(Rz)=R y Ran(Rz)=<-a,1 ]. Observaciones: (1) Las relaciones de la forma: (x.yJeR1 |x=ayz+by+c) tienen por gráfica una parábola de eje horizontal. Mediante el método de completar el cua drado es posible transformar la ecuación a la forma: x-a(y-k)2+h, y esbozar su gráfica por los métodos ya conocidos. Cuando a > O, la curva se abre indefinidamente hacia la derecha , y cuando a < O, la curva se abre indefinidmente hacia la izquierda. EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación: R 3 = { (x,y)zR2ly2-6y-4x+5=0} . Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 5: Gráficas de Relaciones 322 Solución. Completando el cuadrado para la variable y, se tiene: (y1-6y+9)=4x-5+9 1, x = ~(y-3)2-l (y-3)2=4(x+l) h=-l y k=3 Vértice de la parábola: V(-l,3) Como a=l/4 >0, . la curva se habré hacia la de recha sin límite. Para x=0 -+ y 2-6y+S=0 •*-*• y=l o y=5 Uniendo el vértice con los puntos P(0,1) y Q(0,5) obtendremos la gráfica de Rj. Dom(Rj>=[-J,+“> , Ran(Rs)=R (2) tas relaciones de la forma: R = I(Jc.yJeR2 |y = k ± b^-fx-h) , b > 0) tie nen por gráfica una semiparábola de eje horizontal (y-k). En efecto, de la ecuación anterior: x=a(y-k)2+h, despejamos y=f(x): (y-k)1 = jj(x-h) ** y = k ± /^(x-h) Dado que a puede ser positivo o negativo, entonces haciendo: -i = (ib)2 obtenemos: y = k ± bSi(x-h) , b > 0 La forma como están ubicadas las gráficas de las parábolas respecto de su e je y-k, dependen de los signos i antes del tienden o se abren lasparábolas (hacia radical, y la forma comose ex la derecha o izquierda) dependen de los signos ± dentro del radical. En consecuencia, existirán dos casos: /----a) y = k + bV+fx-h) Caso 1: y = k + b/±(x-h) b) y = k + bS- (x-h) En este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el semiplano su perior del eje y=k (y ^ k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b), hacia la izquierda. Caso 2. ______ a) y - k - b / +(x-h) y = k - b/t (x-h) ■*-*■ i b) y = k - b/-(x-h) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 323 En este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el samiplano in ferior del eje y=k (y S k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b) hacia la izquierda. EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de las relacio nes: R¡=((x,y)eRz|y+3 = /2x+5f y ñ 2={(x,y)eRz|y-i =-/2-x) . Solución. En R¡: y = -3 + (/2)/+(x+5/2) * h=-5/2 y k=-3 Tenemos el Caso la, la gráfica de la semiparábola está en el semiplano superior del eje k=-3 y la curva se habré hacia la derecha. En Ri : y = 1 - /-(x-2) -*■ h=2 y k=l. Tenemos el Caso 2b; la gráfica de la semiparábola está en el semiplano inferior del eje k=l,-y la curva se abre Gráfica de Ri Dom(Ri)-l-5/2,+m>, Ran(Rl)= [-3,+a>> 003 Gráfica de R 2 Dom(R1)=<-a¡,2], Ran(Rl)=<-°>, 1 ] GRAFICAS DE RELACIONES PE LA FORMA______________ R={(x,y)eRz |A r1+Cy2+Qr+jEy+F=0} ; R=l(x,y)tR* \- í! az r + Z l = 1} b1 = U x , y ; c s 2 | .ÍZ:.h)1 + <y~k) 1 = 1} az bz Tienen por gráfica una elipse, donde a es el semieje mayor, b es el semieje menor y C(h,k) es el centro de la elipse. Sólo fines educativos LibrosVirtual 324 Capitulo 5: G ráficas de Relaciones EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación: St=<(x,y)cR*¡4xz+9yt-36}. Solución. 4x*+9yl=3G ** -jj- + -¡¿ = 1 de donde: a1=9 * a=3 b* =4 - b=2 DcmiR.M-a.aM-S.S]; RanfR,;=[-b,bJ=[-2 ,2 ] EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R »=l(x,y)cR* j1 Solución. +9yz-64x+l8y-71=0\i Completando cuadrados para las variables x e y, se tiene: 16(xz-4x+4)+9(yl+2y+l)=144 ** f*-^ 1 * (y * » 1 - i 9 16 ' de donde: az=lG * a=4 ; b*=9 * b=3 h=2 y k--l * C(2,-l) Dom(R,.)=[h-b,h+b}=l-l ,5] Ran(Rt)=lk-a,k+a]=t-5,3] 5.3.5 GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:_____________ ^ R=lfí.y;eR1 |Ax:1-Cyl+Cte+Ey+F=0} ; R={(x,y)tR* | — a1 R ^ is .y Je R 1! (x ~h)1 - ÍZ ± ¿ ! = j } a1 b1 = 1 b1 ¡ R = U x ,y)ER I |xy=±cl /2l R=l(x,y)cRt|(x-h)(y-k)=±al/2 Tienen por gráfica una hipérbola, donde a es el semieje transverso o real, b el semieje conjugado o imaginario y C(h,k) el centro de la hipérbola. EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación: Ri= i(x,y)cR‘ 19y'l-4x*=3GI Solución. 9yl-4xz=3G = 1 de donde: a *=4 -» a=2; b*=9 - b=3 i, y i, son asíntotas de la hipérbola, se ob tienen de: 9yt-4x*=0 «-► (3y+2x)(3y-2x)=0 ■** tl:3y+2x=0 o tt:3y-2x=0 Dom(Ri)-R ¡ Ran(Rl)=<— ,-21 U [2,+<»> Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R EJEMPLO 2. 325 Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: Ri={(x,y)eRl\xl-4y*+2x+24y-51=0). Solución. Completando el cudrado para x e y se tiene: (xl+2x+l)-4(y1-6y+9)=51+1-36 (x+1)2 _ (y-3)1 = 16 4 de donde: a‘=16 -*■ a=4 , bl=4 •* b=2 h=-l y k=3 - C(-l,3) Luego, Dom(R1)=<-a,-5] U [3,+°> Ran(Rí)=R Nota. Las hipérbolas equi lateras de la forma: ocy=±aI/2, tienen como asíntg tas a los ejes coordenados, y las hipérbolas equilateras de la forma (x-h)(y-k)-¿a2/2, tienen como asíntotas a las rectas x=h, y=k. EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R¡=t(x.y)cR1\xy=-2). Solución. Si xy=-2 * -al/2 = -2 ■* a*=4 - a=2 Luego, Dom(R,) = Ran(R¡) = EJEMPLO 4. R -{0( Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R*={(x,y)eRl\xy-2x-3y=2]. Solución. Despejando y~f(x) se tiene: y = y-2 2x+2 „ 8 3 = 2 + í=3 8 x-3 Entonces: a212 = 8 (x-3) (y-2)=3 a2=16 -*• a=4 h=3 y k=2 DomfR,l=R-(3í , RanfR,J=R-12t GRAFICAS DE RELACIONES CON VALOR ABSOLUTO En R, según el T.49: |x|=y Entonces, si: y=|x| (y 0) a (y 0) a (x=y v x=-y) (y=x v y=-x) y si aplícanos la definición de valor absoluto para el término |x|, ocurre Sólo fines educativos LibrosVirtual 326 C apitulo 5: G ráficas de R elaciones X y= que: , si X y= En consecuencia, la gráfica de y=|jc| equivale a la gráfica de cada una de las rectas: y=x , y=-x, pero en el semiplano superior del eje X. (y i-0). Este mismo criterio se sigue para esbozar gráficas de relaciones que invol¿ eran el valor absoluto. EJEMPLO 1. Halar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación: RÛx.yjtR'iy = Solución. Si x > 2 •* x-2 > O * |*"2| = x-2 x< * x-2 < O - |x-2 | = -(x-2) = 2-3e Luego, si x >■ 2 2 ■* y = x-2 _ . . . si x, „< 2, - „ _____ y=l Entonces, la gráfica de Ri consiste en dos 1 1 partes: ¡a parte de la recta y=-l para x>2, y la parte de la recta y=l, para x<2. (" Dom(Rl)=R-{2) y R a n f R , M - i ,i> EJEMPLO 2. i b * -1 Hallar el dominio, rango y trazar ¡a gráfica de la relación: Rt=l(x,y)^\y = < ^ n ± Z l l l \x-2\*(x-l) Solución. Eliminaremos las barras de valor absoluto utilizando el método de los puntos críticos, que en este caso son: x-1 y x=2 Para: x < 2 1 |x-i| = -(x-1) |x-2 | = -(x-2) 1¿ x < 2 t > .2 { |x-i| = +fx-i; |x-l| = +(x-l) i |x-2 | = -(x-2) |x-2 | = +(x-2) 1i x < 2, (2-x) + (x-1) en R t: y = * (x-2)+(x-l) „ (2-x)+(x-l) " , x i 2, en Rt: y = (x-2)+(x-l) (X-2)t-(x-l) ~ 1 Dcm(Ri)-R y y. (3c-2)-(x -1) _ x < 1, en Rt: y = » J i ’X 0 -i R anfa2>=[-2,iJ Sólo fines educativos LibrosVirtual / Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de Ren R EJEMPLO 3. 327 Dada la relación R s=Ux,y.)eR*|y = ha ilar su dominio, 1*1 -2 rango y trazar su gráfica. Solución. En este caso, los puntos críticos son: x=0 y x=2 x < O ........... |x| = -x O 'f | |x-2 | = -(x-2) Para: j OS x < 2 — ------|x| = + X |x-2 |= -(x-2) x < O, en R,: y = = 1 - ^ O S x < 2, en Rs: y = x > 2, en Rs: Obsérvese que para x < 2 x > 2 ?......... ........ I ¡x| = +x |x-2 | = +(x-2) j ~ (x+2)(y-l)=-4 = -1 y =“ | = 1 O tenemos la ecua ción de una hipérbola equilatera de cen tro C(-2,l). Dom(Rs) = R- {-2,2) Ran(Rt) = EJEMPLO 4. ] U tj ,+»> Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de ¡a relación: R,=ifx,y;eR‘||x|+|y|=a, a > 0). Solución. |x|+|y|=a * |y|=a-|x| En este caso, y luego, el T.49, de los a) Six í- 0 -*•|x|=x ■» aplicaremos la definición de valor absoluto para x números reales para |y|, esto es: |y|=o-x *-► fa-x ^ 0) - (y=a-x v y=-a+x) ■<-* (0 -í x í a) * (y=a-x v y=x-a> b) Si x < 0 * |x|=-x * |y|=a+x (a+x >s 0) *■ íy=o+x v y=-a-x> *-* (-a i x < 0) * (y=x+a v y=-x-a) x y = - ri *x-a Si 0 -í x -í o -a ^ -í x ^ < 0 /i* ^ y f = | ^ _a Trazando la gráfica de cada una de estas rectas en el intervalo indicado, obtene mos la gráfica de Rt,. Nótese que es un cuadrado de centro (0,0) y cuyas diagona tes miden 2a. Entonces Dam(R¡,) = Ran(Rt>) = f-a.aj Sólo fines educativos LibrosVirtual 328___________________________________________ Capitulo 5: Gráficas de Relaciones A base de ¡a gráfica de |x|+|y|=a podemos construir otras gráficas de rela ciones de la forma: |x-h| +|y-fc|=a, mediante una traslación de los ejes coor denados el nuevo origen C(h,k), centro del cuadrado de diagonales 2a. EJEMPLO 5. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación: R, = {(x,y)eRlHx-3¡ + ly-ll=3). Solución. Aqui tenemos: h-3 y k=l * C(3,l) es el cent o del cuadrado cuyas diagonales miden 2a=6; luego, trasladando los ejes coordenados al centro del cuadrado, medimos de este punto 3 unidades sobre los nuevos e jes, encontrando asi los vértices del cuadra- y do. Uniendo los cuatro vértices obtendremos la gráfica de la relación dada. * Dom(Rs) = [h-a,á+a] = [ 0 , 6 ] ____ Ran(Rj) = [k-a,fc+a] = 1-2,4] EJEMPLO 6 . Hallar el dorriinio, rango y trazar la gráfica de la relación: R t= {(x.y)cR1 1|x|-|y|=a, a > Ot. Solución. |jc|- |y| =a -*• |y¡=|x|-a Siguiendo los mismos pasos del ejemplo 4, tendremos: a) x t-0 -» |x|=x |y|=x-a *-» (x-a í- 0) ~ (y=x-a v y--x+a) b) x <0* -*• fx í- o] ~ (y=x-a * y=a-x) |x|=-x |y|=-x-a (-x-a 0) ~ (y=-x-a v y=x+a) (x í -a) ~ (y=-x-a v y=x+a) Sixia , x ¿ -a - y= * {*1° y=-x-a ^ /\ y=x-a \ f -x-a y = < l x+° s Entonces: DomfR,)=<-«, -a] U [a, +»> ~0'’ Ran(R,)=R y=x+a / y=a-x Obsérvese que aqui la gráfica de R 6 se obtiene fácilmente prolongando los la dos del cuadrado (trazo punteado), cuyos vértices están sobre el eje X. EJEMPLO 7. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R 7 = ( fx,y]e R2 ||x+J |-|y-2|=2}. Solución. Aqui tenemos: h=-l y k=2 ■* C(-l,2) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 329 Si trasladamos los ejes coordenados de mo do tal que el origen coincida con el cen tro C, tendremos que en el nuevo sistema X'Y', la ecuación de R se transforma en: |:c'|-¡y'|=2 , ecuación similar a la del e jemplo 6, con a=2. En consecuencia, traza mos su gráfica en idéntica forma. Dom(R7 j=<-°,h-a] U [h+a, +«> = <-*>, -3 ] U [1, +*»> Ran(R7) = R EJEMPLO 8. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R,={(x,y)eR‘¡|y|-|x|=a, a > OJ. Solución. |y|-|a|=a » |y|=|x|+a Como en los ejemplos anteriores consideremos las condiciones: a) Si x >y 0 (x >, 0 *. b) Si x <0 (Pero: * |x | x ¡y|-x+a*-* ■* (i J.0 ) « -a » x t. 0)«-» * |ccj=—jc -► x<0^xS-a*x<0) |y|=-x+a ** «-* (x+a í. 0) » (y=x+a v (a-x >^0)~(y=-x+a (x < 0) ~ (y=a-x v v y=x-a) y=x-a,) Luego, si x i- 0 -* y - 0 /i - y = fa-x si• x < |^_a ílátese que la gráfica de este tipo derelacio nes,se obtienen prolongando los lados drado (trazo del cua punteado) cuyos vértices están sobre el eje Y. Dom(R,)=R y Ran(R,)=<-*, -a] u [a,+~> EJEMPLO 9. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación: S={(x,y)eRz|y= 13+2x-x*|}. Solución. y= |-fx1-2x+l)+4| = |-fx-l>1 +4| = |(x-2)l-4| *-► (y i- 0) ~ [y=(x-l),-4 ( 1) v y=-(x-l)t+4] ( 2) Luego, la gráfica de la relación S consiste en la unión de las gráficas de las parábolas (1) y (2) ubicadas en el semiplano superior del eje X, ya que y "i, 0. La parábola (1) tiene su vértice en Vi(1,-4) dirigida hacia arriba Sólo fines educativos LibrosVirtual y--x~ <y=x+a vy=-x-a) Capítulo 5: Gráficas de Relaciones 330 (a=l > 0) .y la parábola (2) tiene su vértice en Vz(l,4) dirigida hacia abajo (a=-l < 0). Nótese en el resultado final (trazo continuo) como la parte de la parábola (1) que se encuen tra en el semiplano inferior (trazo punteado) se ha reflejado hacia la parte superior, te niendo como espejo al eje X. .’. Dom(S)=R y Ran(S)=[0,-t-=> EJERCICIOS: Grupo 31 Ral lar el domin o, rango y esbozar la gráf ica de cada una de las siguientes reíaciones. 1. R={(x,y)eR1 2x-3y+6=0} 16. R={(x,y)eRl|y+J=/3x+5) 2. R={(x,y)eR* xy-2x+y-2=0J 17. R={(x,y)eRí|y=S+/6-3x} 3. R=Ux,y;eH* 2x-3y+8=0, ye.<2,6]} 18. R={(x,y)eR1|4x*+9y2-I6x+i8y=2J} 4. R= {(x,y)eRl 4x1+4y1-16x+4y-47=0) 19. R={(x,y)eRl|9x*+4y*+18x-32y=--37) 5. R={(x,y)eRí y=I-/l5-2x-x*) 20. R-{(x,y)eR1xy-2x-y+l=0 ) 6 . R={(x,y)eRl y=-3+/4x-x* } 21. R=4(x,y)cR1|y=|x-i|+x} 7. R={(x,y)eRl x=2+A¡y-y 2 } 22. R={(x,y)'eR* ||x-2 |= |y+l|, y i. 0) 8. R=l(x,y)eRt x*+y*-2 |x|-6y+l=0) 23. R={(x,y)eR1| y = - Í £ l L + x> 9. R=i(x,y)cR* x*+y*-2x-4|y|-11=0} 24. R={(x,y)eR21 k| + |y|=4} 10. R=l<x,y)cRz y=x*-2|x|+3} 25. R=\(x,y)eR1 ||x+2|+|y-3|=4} 11. R^Kx.yjzR1 x 1+2x-2y+7=0) 26. R=i(x,y)eR* 1 |x|+ |y+i|=2 ) 12. R={(x,y)*R1 2x1-4x+y+3=0) 27. R=f(x,y)eR* 1|x-i|_ |y+2|=31 13. R={(x,y;eR* y*+4y+3x-8=0\ 28. R=Ux,y;eR* ¡|y-3|-|x-J|=21 14. R=Wx,y,)eR* y=J+/2 -x) 29. R={(x,y)eRl|y=|x*+4x+J|} 15. R=<(x,y)eRz y--^6 -2x 1 30. R=i(X,y)eRl|y= 13-/l 5-2x-x* |} Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección '5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 2 2 I) 331 GRAFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS POR INECUACIONES DESIGUALDADES LINEALES Si el signo de igualdad de la relación R={(x,y)eR*lax+by+c=0} se susti tuye por uno de orden (<, , >^ , >), la relación resultante se llama desi gualdad lineal en x e y. Sabemos que la gráfica de R es una linea recta no vertical (bfO) cuya ecuación se puede escri a bx bir: c b +~* L: y = mx + k Esta gráfica divide al plano XY en dos regio nes o semiplanos R, y R z, y sirve de frontera a dichas regiones, cuyas gráficas se basan en el TEOREMA 5.1 El punto P,(x,,y,) está siguiente teorema. en el semiplano superior de la rec ta L:y=mx+k si y sólo si y,*mx,+k, y está en el semiplano inferior si y sólo si y,<mx,+k. Danostración. En efecto, consideremos en el plano XY dos puntos con igual abscisa: P,(x,,y¡) y P z(x,,yz), de modo que Pz esté sobre la recta L (frontera), es decir: Si Pz(xi , y i ) z L y z = mxi + k (1) Se observa que si P , estáen el semiplanosuperior (R,) de ¡a recta L (Figu ra 5.5), si y sólo si, y, > y z Sustituyendo en (1), se tiene: Del mismo modo, -*-* y, > mx, + k P, está en el semiplanoinferior 5.6), si y sólo si: y, < y z y, < mx, + k Sólo fines educativos LibrosVirtual (Rz) de la recta L (Figura Capitulo 5: Gráficas de Relaciones 332 EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la relaciónR-i (x.yJeR*\2x+y >4). Solución. Los pasos que se deben seguir para construir gráficas de relacio y¡1 nes de este tipo son los siguientes: (1) Despejar y en términos de x 2x+y > 4 í,v; >kV:V-? «-► y > 4-2x (2) Graficar la frontera L:y=4-2x (Con trazo punteado por la desigualdad es trida >) (3) Aplicar el Teorema 5.1. Por (1), la gráfj ca de R es (a totalidad de puntos que se o1 encuentran en el semipleno superior de ¡a recta L, sin incluir los puntos de frontera V>“ v'-v» v-.."'i i 5 £/•jt ' Se sombrea el semiplano superior. (4) Como comprobación tomemos un punto del semiplano inferior, tal como el origen (O.O), y sustituyamos en R: 2(0)+0 >4 -*-*■ O > 4, es falso. Los puntos del semiplano inferior no satisfacen ladesigualdad. Como consecuencia del Teorema 5.1, enunciemos el siguiente: Corolario. El punto Pt(x¡,y,) está en el semiplano superior y sobre la rec ta L:yznx+k si sólo si y¡ i-mxl+k, y está en el semiplano infe rior y sobre ella, si y sólo si: y, -í mx»+Je. EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación: fi=l (x.y)cR1 \2x-y+2 >. 0). Solución. (1) 2x-y+2 >, O — ► y 5 2x+2 (2) Graficamos la frontera L:y=2x+2 con trazo continuo. (3) Por (1), la gráfica de R está constituida por los puntos sobre L y la totalidad de puntos del semiplano inferior a ella. EJEMPLO 3. Construir la gráfica de la región que consta de los puntos que satisfacen la relación: R=l(x,y)cR1\(x+3y i- 6) ~ (2x-y+5 > 0)i Solución. (1) Si x+3y-6 i- 0 + + y 4 > 2-x/3 ; 2x-y+5 > 0 ■*-+ y < 2x+5 (2) Sean L±:y=2-x/3 ; Lz:y=2x+5 Trazamos las gráficas de Li con trazo continuo y la de teado. Sólo fines educativos LibrosVirtual con trazo pun Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R (3) 333 Según (1), la gráfica de R está constitui da por los puntos de intersección de la re gión ubicada en el semiplano superior y sobre la recta L,, con la región ubicada en el semi plano inferior de la recta L í. EJEMPLO 4. Construir la gráfica de la relación; S = Ux,yJeR 2 |2xz-3Jcy-2yl+&c+4y < ni y Solución. 2x*-3xy-2y1+8x+4y = (2x+y)(x-2y+4) i (1) Sean las rectas L 1 :2x+y=0 1 2w L 2 :x-2y+4=0 • V '-’c íS : R3 (2) L ín L¡ determinan en el plano 4 regiones Rx > Ri > R s y R* • Tamaños un punto de cada región y compro A'\ bemos si satisfacen a la relación: S = l(x,y)eRl¡(2x+y)(x-2y+4) 4 01 (3) (1,0)eR¡ - (2+0)(1-0+4) 4 0 - 10 4 0, es falso (0,3)tRi - (0+3) (0-6+4) 4 0 - -6 4 0, verdadero (~5,0)eR¡ - .'.R,i!S (-10+0)(-5-0+4) 4 0 -+ 10 4 0 , falso (-l,0)eR, •+(-2+0)(-1-0+4) 4 0 -+ -6 4 0 , verdadero (4) Por lo tanto, la gráfica de S es la de R zu R,, o sea: RtcS R,¿S .'. R¡cS Graf(S) = Graf(Rl{j R^) EJEMPLO 5. Construir la gráfica de la relación: S = {(x,y)eR1 |xe[-3,5>, ye[-2,4]l Solución. (1) Si xe[-3,5> ++ -3 4 x < 5 (Rx) ye[-2,4] ++ -2 4 y 4 4 (Rz) (2) R t es la intersección del semiplano a la derecha de x=-3 con el semiplano a la iz f e quierda de x=5 (No incluida) Rj es la intersección del semiplano superior ~3 5a; de la recta y=-2 con el semiplano inferior de -2 la recta y=4. (3) Por lo tanto, la gráfica de S es el área rectangular conformada por las rectas x=-3 , x=5 , y=4 , y=-2 Sólo fines educativos LibrosVirtual 334 Capitulo 5: G ráficas de Relaciones EJEMPLO 6. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación T = Ux.yjdl'lloc+il 4 3, |y-2| > i>. Solución. (1) |x+i| 4 3 -3 4 x+1 4 3 «-K<ls<2 \y-21 > I ++ ** i ........ ...... (RJ y-2 > 1 v y -2 < -1 (y > 3) v fy < 1) (Rt) m (2) Ri es la intersección del semiplano a la ■ derecha de x--4, con el semiplano a la iz m quierda de x=5. R t es la unión del semiplano -4 2 x M superior de la recta y=3 con el semiplano in m ferior déla recta y=1 (Las fronteras y=1, y=3 m no están incluidas). (3) Entonces: Graf(T) = Graf(R¡) Graf(Rx) es e i área sombreada. Dam(T)=l-4,2] y Ran(T)=<-°>, 1> U <3, +“> EJEMPLO 7. Construir la gráfica de la relación: S = ifx,y)EB2||x|+|y| >s2, si xy >, O o Solución. (1) |x| + |y|-í 2, si xy<0) |jc|+ |y|2 , si xy >^0 xy 1 0 ++ (x >s 0 » y >/0 ) v (xv< 0 « y í OJ Si (x *■0) ~ (y i 0) ♦ x + y i 2 « y > / 2-x (RJ (x 4 0) ~ (y 4 0) Considerando + -x-y i. 2 •<-+ y las restricciones del dominio y rango, puntos en elsemiplano superior de la recta Li:y-2-x, (2) |x| + |y| -S 2, si xy < 0 xy<0++(x>0~y<0)\/(x<0~y>0) »y <0) * x-y ^ 2 «-* y í. x-2 (R,) (x <0 -y > 0) * -x+y4 2 «- y 4 x+2 (Rt) Considerando las restricciones del dominio y rango, R, es la totalidad de puntos en el se miplano superior y sobre ia recta L,:y=x-2, y R t está formada por los puntos en el semipla no inferior y sobre la recta L s:y=x+2. (3) Graf(S)=GraffR,U R,)U Graf(R, U R t) EJEMPLO 8. Construir la gráfica de la relación: T = í (x,y) e R2 10 -S |x| « 3 , |x-3| « de y R, está formadopor los puntos del semiplano inferior dela recta Lt:y=-2-x. (x >0 -2-x(Rt) Rtes latotalidad |y+l |) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R Solución. (1) Si |x| 3 ** Pero |*| £ O 335 -3 4 x ^ 3 ♦ O 4 * -j 3 (S) Entonces: S= {(x,y)eR‘¡0 4 x 4 3 > jx-3| >í ¡y+l| ~ - |ac—3 11 4 jy+J| * (x-3) l-(y+l) 2 4 O ~~ (x*y-2)(x-y-4) 4 O (2) Sean L l:x+y-2-0 y L x:x-y-4=0, entonces L lflLx, determinan en el plano 4 regiones R i > Rz i R j i R * • Veamos cual de estas regiones satisface la re loción: R=í(x,y)eR2¡(x+y-2)(x-y-4) 4 0). (4,-l)cRx - (4-l-2)(4+l-4) 4 O - 1 i O , falso - (3+0-2)(3-0-4) 4 O - -1 4 O, verdad (0,0)*R, * (0+0-2)(0-0-4) 4 O * 8 4 (3,0)eRx (3,-2)eRi, * (3-2-2) (3*2-4) 4 0 - (4,-l)¿R - (3,0)di O, falso *(0,0)tR * -14 0, verdad - (3,-2)cR (3) Luego: Graf(R) = Graf(Rx)U Graf(R<) (4) Por io tanto: Graf(T) = Graf(S)n Graf(R) Esto es, la gráfica de T es la porción de R xiiRt entre 0 4 x 4 3. EJEMPLO 9. Resolver gráficamente y determinar el conjunto de coordenadas enteras, no nulas y positivas de la relación: R = i(*,y> zR!¡2x+3y-12 4 O , 2x-Sy+5 < 01. Solución. (1) Si 2x+3y-12 4 0 2x-5y+5 < O * * y 4 4-2x/3 y > 2x/5+l (2) Sean Li:y=4-2x13 , Lx:y=l+2xl5 Construimos las rectas L t con trazo conti nuo y L¡ con trazo punteado. (3) Según (1), la gráfica de R ¡o constituyen la totalidad de puntos de intersección de ¡a región ubicada en el semiplano inferior y sobre la recta L¡, con la región ubicada en el semiplano superior de la recta Li. (4) En el I cuadrante se trazan lineas paralelas a los ejes coordenados cu yas intersecciones nos darán las coordenadas pedidas, esto es: S = {(1,2),(1,3),(2,2)) Nótese que P(3,2) satisface 2x+3y-12 4 O, pero no a 2x-5y+5 < 0. Sólo fines educativos LibrosVirtual 336 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones EJERCICIOS: Grupo 32 Construir la gráfica de la región descrita por las siguientes relaciones: 1. R = (x.y)cR |(2x+y~3 i d ) « (x-y+2 > 0)) 2. R = (x.y)eR |(x+4y-6 4 0) * (2x-6y+7 i-0)1 3. R = (x.y)eR |(2x-y-5 4 0) v (y-3x+3 4 0)1 4. R = (x.yJeR |(Zx-y+8 4 0) ^ (4y-4x+l í. 0) > S. R = (x.y)zR \(3x+y-17 Z.0) * (5x-2y-10 > 0)} 6. R = (x.y)eR |(2x-y+l >.0) * (6x-3y-2 < 0)} 7. R = (x.y)eR |C3r-10y-4 < 0) v (4x+6y-15 < 0)1 8. R = (X.y)eR |x-2y-4 i 0, 6x+y-l1 i 0, 4x+Sy-20 4 0} 9. R = (x.y)dt |í3x+y-4 > 0) * (x-2y+l < 0) * (2x+3y-19 < 0)} 10. R = (x,y)cR |(x-2 i. 0) * (y+5 >* 0) * (x-y > 0) .s (2x+y-20 < 0) > 11. R = (x.y)cR ||y+i j i-3 * |x-l| < 6 12. R=«x,y>eRz||x-2|+3y-4 < 13. R = (x.y'jcR |0 < y.# x 14. R={fx,y)eRz|¡y-*| í 2x1 15. R = (x.yJcR 1l * M y | i- 2 * x-4y+4 i- 0) 18. R = (x.y)eR ||x+2| + |x+3|+4y-5 4 0 * x-y 4 0} 17. R = (x.y)eR |y 5-x, |x| + |y| 4 6, x >/0 ) 18. R = (x.y)eR |y ^ - |* | 19. R = (x.y)cR l |y | = W y > 1*1-11 , 2 < |x | í 4 , y . W + lyl í i» 2. i- -6\ 20. R=l(x,y)cRl | |x+y| í 1} 21. R = (x.y)eR 1 |x | - | y | -6 22. R = (x,y)eR U l * l - |y | >' 4> ~ (1*1 -s w i 23. R = (X,y)eR |( |x + 2 |- |y - 3 | i. 4) ~ f|* + 2 | 4 6 ) * f |y - 3 | .$ 5>> 24. R = (x.y)zR |( |x - 2 | + |y -3 | 4 6 ) * í | y | í xj» iy | « 1 ) 25. Cons ruir la gráfica de la región descrita por las relaciones: a) R = b) S ) fi,y ; eR 1 |x 1-2xy+2x+2y-3 (Sugerencia: Factorizar 28. 4 0) = U x .y Je R * |2 x z -5ay+ 2y*+ x-2y %. 0} Hallar el área de y la región aplicar la regla de los signos) acotada por la relación: Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 337 R = <fx,yJeR2||x|+|y| >, 2 , |x| 4 6 , |y| 4 4) Resolver gráficamente y determinar las coordenadas enteras no nulas y po tivas de las siguientes relaciones: 27. R = Ux,y;£R 2 |(x+2y 4 8) ~ (x-3y+3 < 0)1 28. R = ((x.y)eR1\(5x-2y > 0) ~ (8x+5y < 40)1 29. R = {(x,y)cR*l(5x-2y >10) ~ f2x+3y 4 12)) * II) DESIGUALDADES CUADRATICAS En conexión con las ecuaciones cuadráticas de dos variables vamos a considerar inecuaciones relacionadas de la siguiente manera: y > axt+bx+c x > ay1+by+c y < axl+bx+c ' x < ay*+by+c donde a,b,ceR. La parábola cuya ecuación es y=ax1+bx+c divide al plano en dos regiones (se miplanos), en una de las cuales y > axl+bx+c y en la otra y < axI+bx+c. Nin guna de las regiones contiene a dicha parábola (frontera). La gráfica de una inecuación cuadrática se basa fundcenentalmente en los si guientes teoremas: TEOREMA 5.2. El punto P¡(x¡,yi) está en el semiplano interior de la paró bola P :y=ax*+bx+c, a > O, si y sólo si, y, > axi+bxi+c y es tá en el semiplano exterior de ella si y sólo si y, < ax\+bxí+c. Demostración. En efecto, consideremos dos puntos con igual abscisa P»fXi,yi) y Pi (x i,y i) de modo tal que P 2 esté sobre la parábola p, es decir: Pi(Xi,yt)eP y, = ax}+bx¡+c Sólo fines educativos LibrosVirtual (1) Capitulo 5: Gráficas de Relaciones 338 En la figura 5.7 se observa que P, está en el semipleno interior de la paró bola yt > y 2 P, si y sólo si: y sustituyendo en (1) se tiene: yt> ax\+bxí+c De igual modo, P, está en el semiplano exterior de la parábola P (Fig.5.8), si y sólo si: y 2 < y2 esto es: y¡ < aarj+bxi+c Corolario. El punto Pifari.yj) está en el semiplano interior y sobre la paró bola P:y=ax1+bx+c, a > 0, miplano exterior y sobre ella, ■*+ y, ax\+bx1+c , y está en el se yi 4 axl+bx1+c Nota. Para la parábola P:x=ay*+by+c, a > 0, se sigue el mismo criterio para construir gráficas derelaciones: x > ayl+by+c, a > 0 jc < ayl+by+c, a > 0 Esto es, el punto P1(x1,yl) está en el semiplano interior y sobre la parábo la P:ar=ayl+by+c, a > 0, x¡ > ayi+by¡ +c, y está en el semiplano externo y sobre ella ♦-**,< ayí+by^c TEOREMA 5.3 El punto PJar^y,) está en el semiplano interior de la paró bola P:y=axz+bx+c, a < 0, si y sólo si y, < arf+bi,+c, y es tá en el semiplano exterior y sobre ella -«-y, > ayi+byj+c. TEOREMA 5.4 El punto P,(x,,y,) está en el semiplano interior de laparó bola P:rxr=ay *+by+c, a < 0, «• x, < ay\+by¡+c , y está en semiplano exterior de la parábola ■*+ x, > ayj+by,+c. EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la relación: R1={(x,y)eRz ¡xl-2x-3-y ■$ 0}. Solución. (1) Despejemos y en términos de x: y 4- x 1-2x-3 (2) Trazamos la parábola P:y=xz-2x-3=(x-l)1-4 de donde: h-1 y k=-4 Para y=0 ■* x z-2x-3=0 ■* V( 1,-4) x=-l o x=3 Con estos 3 puntos construimos la parábola (3) Según el Teorema 5.2, fa=l > 0), la totaU dad de puntos de la relación R lf se encuen tra en el semiplano interior de la parábola. Sólo fines educativos LibrosVirtual el Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 339 EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación: = \(x,y) eRl\x+2yl+4y-3 >,0\. Solución. (1) En este caso despejamos x en términos de y: x l -2yl-4y+3 (2) Sea la parábola P:x = -2y*-4y+3 *-* x = -2(y+l)l+5 de donde: h=5 y k=-l -*■ V(5,-1) Para y=0 ■* x=3 -*■ A(3,0)c P . Un punto simétri co de A respecto del eje k=-l es B(3,-2). Luego, construimos la parábola que pasa por estos tres puntos. (3) Según (1): a--2 < O, entonces por el leo rema 5.4, la totalidad de puntos que sa tisfacen la relación R z están en el semiplano exterior de la parábola (se sombrea esta región). EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación S = {(:c,y>ER2 !y-x2+i0;c >,24, x+y-6 < 0}. Solución. (1) y Z. x*-10xt-24 (Rt) (2) Sean, P:y=x1-10x+24 ; y < 6-x (Rz) y=(x-5)2-l , y De la ecuación de la parábola: h=5 y k=-l - L:y=6-x V(5,-l) (3) P O L = A(6,0) y B(3,3) (4) Construimos la parábola que pasa por V, A y B, y ia recta L que pasa por A-y B. (4) Según (1), R z es la totalidad de puntos en el interior y sobre la parábola P, y R z es el conjunto de puntos en el semiplano inferior de la recta L. (6) :. Graf(S) = Graf(Ri)(\Graf(R1) = La parte sombreada. (7) Dom(S) = <3,6> , Ran(S) = l~l,3> Nota. En conexión con las ecuaciones cuadráticas E(x,y)=0 (circunferencia, elipse, Hipérbola) están las gráficas de las desigualdades asociadas: E(x,y) > O , E(x,y) í, O , E(x,y) < O , E(x,y) „< O La gráfica de cada una de estas inecuaciones cuadráticas se basan en la ti pil cae iór< del siguiente teorema: TEOREMA 5.5 Sea P(x,y) un punto de una de las regiones gráfica de la ecuación E(x,y)-0 divide al plano. Sólo fines educativos LibrosVirtual en que una Sí E(x,y)>0 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones 340 para P(x,y) entonces E(x,y) > 0 para cualquier otro punto de la región de P Como consecuencia de este teorema es posible trzar la gráfica de cualquier desigualdad cuadrática de la siguiente manera: (1) Dibujando la gráfica de la ecuación E(x,y)=0. (2) Comprobando la verdad de la desigualdad dada en un punto P(x,y) de cada una de las dos regiones en que la gráfica de E(x,y)=0 divide al plano. (3) Sombrear la región o regiones en las cuales la prueba anterior es afir ma tiva. EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación R = ((x,y)cRz )xí+y2-8x+4y+ll í 0}. Solución. (1) Sea C:x2+y2-8x+4y+ll=0 (frontera) Completando el cuadrado para x e y se tiene: (x2-8x+16) + (y2+4y+4)— 11+20 ** C: (x-4)z+(y+2)*=S de donde: h=4, k=-2, r-3 ■*• C(4,-2) (2) Tomamos un punto cualquiera del plano, de preferencia, el origen. Entonces: Es (0,0)eR? - 0z+0z-8(0)+4(0)+ll ¿ O *■* 11 i O, es falso, luego (0,0)<¿R (3) Por lo tanto, la gráfica de R es la región interior de la circunferencia incluyendo ¡a frontera C. (4) Dom(R) = [h-r,h+r] = [1,7] Ran(R) = [fc-r,k+r] = [-5,1] EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación: R=i(x,y)eRz\3xz+4yz >^12) Solución. (1) Sea E:3x*+4yz=12 - i1 +r 4 3 de donde: az=4 -► a=2, bz=3 (frontera) — 1 b=/3 a m .-> A (2) Es (0,0)eR? V v v ’* p\ A xf.\ - 3(0)*+4(0)1 >, 12 ~ *• 0 >„ 12, es falso (3) Luego, la gráfica de R es la región exte rior de la elipse, incluyendo la frontera E. EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y trazar relación: R = {(x.yje R 2|jc2 -y2 >9}. Sólo fines educativos LibrosVirtual la gráfica de la Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R Solución. (1) Sea H:xz-yz-9 341 (frontera) Hipérbola equilatera de la forma x 2-y2 =a* ■* a*=9 -*• a=3 Dibujamos la frontera con linea de puntos. (2) Es (0,0)eR? - (0)2-(0)* > 9 •— O > 9, es falso (3) Entonces, la gráfica de R es la región in terna de las dos ramas de la hipérbola sin incluir la frontera H. (4) Dom(R) = EJEMPLO 4. -3 > U <3,+“> ; Ran(R) = R Construir la gráfica de la relación: R = i(x,y)eR1\xy+x-2y-4 >, 0). Solución. (1) Sea H:xy+x-2y-4=0 (frontera) ■» y(x-2)=4-x ■* y 4-x x-2 y - -1 + — 2 " (x-2)(y+l)=2 Hipérbola equilatera de la forma: (x-h)(y-k)=a /2 Entonces: h=2, k=-l - C(2,-l), a1=4 -*■ a=2 Dibujamos la frontera con linea continua. (2) Es (O,0)cR? - 0(0)+0-2(0)-4 é O - -4 >0, es falso (3) Entonces, la gráfica de R es la totalidad de puntos en el interior de las dos ramas de la hipérbola, incluyendo la frontera. GRAFICAS DE RELACIONES INVERSAS Sabemos que una relación directa de A en B es el conjunto: y su inversa, el conjunto: R* = f(y,xJeB*A|(x.yJeR) Esto es, si A=\1,2,4Í y ¡j=lü,3), entonces: R = 1(1,0),(1,3),(2,0),(2,3),(4,0),(4,3)} y R* = 1(0,1),(3,1),(0,2),(3,2),(0,4),(3,4)) Ubiquemos cada uno de los pares de R y R* sobre un mismo plano cartesiano. En la figura se observa que los pares de R y R* son equidistantes de la rec ta L:y=x. Entonces, si consideramos la recta L como espejo, los pares de R * Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 5: Gráficas de Relaciones 342 se pueden obtener cano reflexión o imagen de de los pares de R, simétricamente, a través de diho espejo Esta caraterística de las relaciones inversas puede ser aprovechada para construir sus grá ficas cuando se conocen o son dadas las gráfi cas de las relaciones directas. EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la relación R y su inversa, si: R = {(x,y)tRx¡4x-5y+ll=0 , xe<-4,l]l. Solución. (1) Siendo la gráfica de R una linea recta, determinemos dos pun tos de ésta en xc<-4,l1 Si x=-4 - -16-5y+ll=0 - y=-i - A(-4,-l) x=l - 4-Sy+ll=0 y=3 * B(l,3) (2) Trazamos el segmento de la recta L: 4x-5y+ll=0, uniendo los puntoa A y B. (3) Si A(-4,-l)m B(l,3)eR - - A'(-l,-4)tR* B'(3,l)sR* (4) Uniendo A' y B' obtenemos la gráfica de R* EJEMPLO 2. Si S=l(x,y)cRt |y=x*+2}, construir la gráfica de la relación S y su inversa. Solución. La gráfica de la relación S es la parábola P:y=xx+2, cuya ecuación es de la forma: y=(x-h)x+k, de eje vertical (h-0) y vértice en V¡(0,2) La gráfica de la relación inversa S* es la parábola P*:x=yx+2, ecuación de la forma: x=(y-k)x+h, con eje horizontal (k=0) y vérti ce en Vi(2,0). EJEMPLO 3. Construir la gráfica de la relación S y su inversa, si: S = <(;c.y,)ER1 ¡2x-3y+6 Solución. (1) 2x-3y+6 4 0 •+ y o). 2x/3 + 2 (2) Sea L:2x-3y+6=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de Ren R 343 Intersectando L con los ejes coordenados se~ y tiene: si x-0 + -3y+6=0 ** y=2 -+ A(0,2) y=0 + 2x+6=0 ++ x=-3 ■* B(-3,0) (3) Trázanos la recta L que pasa por A y B. Según (1) ¡a gráfica de S es el conjunto de puntos en el semiplano superior y sobre L m ® 8 § ® ¡i (4) La relación inversa de S es el conjunto: 0 S*= {(x,y) cRl 12y-3x+G 4 0} Si 2y-3x+6 4 0 fjr L -* y 4 3x/2 - 2 (5) Luego, la gráfica de S* es la totalidad ÁiS&k* /\ / ' / feKSs jSSSis Lt/£ / y=x de puntos que están en el semiplano in ferior y sobre la recta L,:2y-3x+6=0 que pa — sa por A'(2,0) y B'(0,-3), simétricos de A y B respecto de la recta y-x. EJEMPLO 4. Indicar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación inversa de R, si R=C(x,y]eB*| |x| ^ y-i, y 4 x+3, 1 4 x x< 3). Solución. (1) Sea R 1 :|x| y-1 -*-* (y-1 >, 0) ~ {x 4 y-1 ~ x >, 1-y) +-+ (y i 1) ~ (}>, x+1 1-x) Si Lj:y-x+l y L¡:y=l-x, la gráfica de R 1 es la totalidad de puntos comunes que están en >■ el semiplano superior de las rectas L í y Lz / arriba de y=l. (2) yV'-i- " > ó /ysx x x y < x+3 X2 La gráfica de R z es el conjunto de pun tos en el semiplano inferior y sobre la rec ta L s:y=x+3. s (3) R¡:1 < x < 3 hv La gráfica de R , es la región entre dos V 1 X i & i 3 ' *> rectas verticales x=l y x=3. (4) Luego, Graf(R) = Graf(Rl) fl Graf(Rx) fl Graf(Rt) = Región sombreada Obsérvese que es un paral el agramo. (5) Por lo tanto, los vértices del paralelogramo R* se obtienen de los de R por simetría respecto de la recta y=x, tal como se indica en la figura. (6) Dom(R•) = [Z.fi] y Ran(R*) = [J.3] Sólo fines educativos LibrosVirtual 344 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Sea la relación R- {(oc,y) eR21-J < x-y < 2Í. De las siguien tes afirmaciones, cuáles son verdaderas? (1) R es reflexiva , (2) R es simétrica , (3) R es transitiva Solución. (1) Si hacemos x=y * -1 < x-x < 2, es siempre verdadero VxeR. Entonces (x.x)zR. La afirmación es verdadera. (2) Si hacemos y=x * -1 < x-y < 2, no es equivalente a -1 < y-x < 2; esto es, (x,y)£R ~ (y.x)f-R, entonces, R no es simétrica. La afirmación es F. (3) Se debe cumplir que: (x.y)zR ~ (y,z)zR * (x,z)eR Veamos un ejemplo: (5,4)zR ~ (4 ,3 )tR * (5,3)eR El antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, ya que 5-3=2 f- 2 entonces, R no es transitiva. La afirmación es falsa. Por lo tanto, sólo la afirmación fl) es verdadera. EJERCICIO 2. Sean las relaciones en R: Ri={(x,y)\2 x < 5), Ri=(fx,y^| -2 < y-í 2), R¡=i(x,y) |4x-3y > 14}. Hallar el valor de ver dad de'las siguientes afirmaciones: a) (5,2;cfRinR>> c) (2.2)e(Rl-R,)nRt b) (4,-l)c(R,n R * n R>) d) Solución, (2,-2)t(Ri(\j&R¡) a) Vemos que 5fDom(Ri) y (5,2)tR,, pues 4(5)-3(2)=14 ? 14 Entonces: (5,2)t(R¡{\ R>). La afirmación es falsa. b) 4cDom(Rí), -leRan(Ri) y (4,-l)eR, - 4(4)-3(4)=19 > 14 Entonces: (4,-1 J c f R i fl R i f l R j > . La afirmación es verdadera. c) Por definición: R,-R s = ( x , y ) e R ¡ * (x,y)fR¡ Vemos que: (2,2)eRi y (2,2)tR,; también (2,2)eRl Luego, (2,2)e(R¡-R,)(\ R*. La afirmación es verdadera. d) Dado que -2fRan(Ri) * (2,-2)t(R1n¿Ri). La afirmación es verdadera. EJERCICIO 3. Indicar el dominio, el rango y el área acotada por la rela ción: R = I(x,y)eR‘ jy -S 6-x1 , y í-xl-2}. Solución, fl) Sean Pi:y=6-x*=-(x-0)**6 y P,:y=x1-2=(x-0)*-2 Intersectando ambas parábolas se tiene: 6-xx=xl-2 *-* x l=4 «- x=-2 (2) Ambas parábolas tienen la forma: y=a(x-h)l+k -*• Vj(0,6) y V¡(0,-2) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones ele R en R 345 (3) Como las coordenadas del origen satisface a ambas desigualdades, la gráfica déla re lación R es el conjunto de puntos en el inte rior de ambas parábolas. (4) Dcm(R)=[-2,2], Ran(R)=i-2,8] (5) El área de un sector parabólico es igual a 2/3 del área del rectángulo que subtien de dicho sector. - aíSJ = a(R2) = | (4x4) = .’. a(R) = a(8 ,;«¡(R») = ^ EJERCICIO 4. uz Sean las relaciones: R^fíx.yJcR1!{jc|+1>>¡ ^ 4} y R 2=i(x,y)cRz¡xz+yz >^8}. Rallar el área de Solución. (1) La gráfica de 8 , es el conjunto de puntos en el interior del cuadrado de diagonal 2(4)=8 y lado 4/2 - a(RJ = (4/2)z = 32uz (2) Es (0,0)eR2? ■* Oz+Oz i-8 -*• o £ 8 , es falso Luego, la gráfica de R» es el conjunto de pun tos que están fuera y sobre la circunferencia C:xz+yz=8, cuyo círculo tiene por área: a(C) = nrz = 8 wu* (3) /. 0 (8 , 0 8 *)= a(R2)-a(C) = 8 (4-v)uz EJERCICIO 5. Dadas las relaciones: R l={(x,y)eRz¡xz+3yz-4x+6y-20 4- 0) y RI={(cc,y.)eRI | |x -2 | + |y + i| J .3 ) , hallar el área acotada por 8 , 0 8 »- Solucíón. (1) Sea E:xz+3yz-4x+6y-20=0 « - E. c‘- 27 , <2¿i l ' = i 9 az=27 + a=3/T , bz=9 - b=3 ; C(2',-l) (2) La gráfica de 8 , es la totalidad de pun tos en el interior y sobre la elipse E. Area de la elipse = tab * a(R,>=9n/5u* (3) La gráfica de |jc-2| + |yf-J |=3 es un cuadra da de lado 3/2 y centro C(2,-l), el mismo de la elipse. Entonces la gr¿ Sólo fines educativos LibrosVirtual 346 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones fica de R 2 es la totalidad de puntos en el exterior y el borde del cuadrado a(Rt h R¡) = a(R, )-a(Rx) = 9i/3 - (3/2)1 = 9(*/3-2) u 1 (4) EJERCICIO 6. Hallar el áreade intersecciónacotada por las relaciones:Ri = {(x.yleR1 1|x|-|y| ■£ 2} M tas gráficas de y R ¡=i(x,y)eRí | -5 i». Solución. (1) Construimos el cuadrado de diagonal 4, con trazo punteado. La gráfica de |x|-|y|=2 se obtiene prolongando los lados de este cuadrado, cuyos vértices están sobre el eje X. (2) Como (0,0)eRl, la totalidad de puntos de R, están en la región dondese encuentra el origen de coordenadas. (3) La gráfica de |y| -í 1 +-» -1 -í y 4 1 es la región entre las rectas horizonta les: y=-l , y=l (4) En (1), si x i. 0, y 4. 0 -+ x-y=2 Luego: (y=l) n (x-y=2) = P(3,l) (5) R, R 2 es la zona sombreada de la figura •* a(R,nüj) = 2(área del trapecio de bases 4 y 6, y altura 1) 10 u 1 EJERCICIO 7. Si Rj-1 fx.yJeR1 Ix’+y1 « 9), R x={ (x.yjeR1 |x2-4y* R j = ( (x,y)eRl | |x+3| ^ yl, R , = { (x,y)cR*| |x-3| área de S = ( R , n R1) - ( R , U Rt ) . Solución. (1) Cano las coordenadas del origen satisfacen a R, y RI( entonces: Graf(R¡n¡tt)-Graf(Ri), conjunto de puntos en el interior y sobre la circunferencia x*+y*=9 (2) EnR,: |x+3| -S y *• y >/ í « (x+3 ( y . x+3 4. -y) +-» y 4 0 - (y 4 x+3 ~ y 4 -x-3) Luego, la gráfica de Rt es el conjunto de pun tos en el semiplano superior y sobre las rec tas Li:y=x+3 , Li:y=-x-3 , y el eje X (y 4- 0) Sólo fines educativos LibrosVirtual SI, yl, hallar el 347 Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R (3) En R.: |x-3| -< y ~ ( y >' 0) ~ (x-3 s < j . x - 3 > / -y) *~*(y 0) « (y í- x-3 ^ y 3-xJ L gráfica de ñ, es el conjunto de punt03 en el semiplano superior de las rectas Lj :y=x-3, L, :y=3-x, el eje X (y ^ 0) (4) Por lo tanto, el a(R,-R,UR*) es la región rayado y es igual al área del semicírculo de radio 3 más el área del triángulo ABC. Esto es: a(S) = ^(*)(3jl + j{6*3) = |f*+2)u* EJERCICIO 8. Dadas las relaciones: R 1=í(x,y)eR1 |yl í 8x3 y Ri-=3(x,y)cRt | x i+yl-4x-12 -S 03, hallar el área acotada por R,r\Ri. Solución. Ii) ñi Ü!.- y* í te La gráfica de R, es el conjunto de puntos en el interior de la parábola P:y*=8x (2) En R t, sea C:xt+y1-4x-12=0 ++ C:(x-2)*+(y-0)t=16 -* C(2,0) y r=4 Como (0,0)eC ♦ la gráfica de Ri es el con junto de puntos en el interior y sobre la circunferencia C. (3) Pt)C = A(2,4) y B(2,-4) (4) a(R,ORt> = (área del semicírculo) + (área del sector parabólico AOB) = j(')(4)z + | (2*8) = |(3*+4> u l - EJERCICIO 9. Dada la relaciónR= lfx,y,)eR*|y í |x+i| + |x-l|, y < 4 ) , cons truir y hallar el área de la inversa de la relación R. Solución. (I) Sea R¡:y >, |x+l| + |x-j| El ¡minando las barras de valor absoluto por el método de los valores críticos se determina lo siguiente: Si: x < -1 -1 * y í -2x S x < 1 ■* y i 2 x i-1 - y i 2x Sólo fines educativos LibrosVirtual 348 Capitulo 5: G ráficas de Relaciones ¡M ego, la gráfica de R, es el conjunto de los puntos que están en el semiplano superior de las rectas L l:y=-2x, Ll:y=2, L¡:y=2x (2) Sea Rt:yi 4. Su gráfica consta de todos los puntos en el semiplano inferior de la recta y=4. (3) Entonces Graf(R)-Graf(Rí)0 Craf(Rz) •» Graf(R) = área del trapecio de la figura (4) La gráfica de R * se obtiene de la gráfica de R por simetría respecto de la recta y=x - a( R*) = j ( 4 + 2 ) ( 2 ) EJERCICIO 10. 6ul Dada la relación R={ (x,y)eR2 ¡|y-x| = [[x ]]}, esbozar su grá fica indicando su dominio y rango. Solución. Según el Teorema 49: |y-x| = O I I -* ( O H í- 0 ) ~ (y-x” O I I v y-x=-OI) > — i- 0 ) - ( y = x + O I v y=i -[il) ( O í Universo de la relación: |Jx|] i. 0 +-*x í- 0 Por el T. 57, si [[xfl'n •» Dom(R) = (0,+“> *"*' n 4 x < n+1, ncZ Luego, la gráfica de R es la unión de las gráficas de: R,=((x,y.)eR1 |y=x+n( o R z= )(x,y)e.R* |y=x-nt Dando valores a n en cada intervalo [n,n+l>, se tiene: y• 6 Para: y=x+n Si n=0 * x c [ Ü , 1> [J n=l * xc n=2 - xe[2,3> n=3 - xc Ran(R , 2> [ 3 , 4> - y=x + y=x+l - y=x+3 >=10,1> u 12,3> u [4,5>u Para: y=x-n Si n-0 n-1 * xe[0.J> ■* xc n=2 [I , 2> 5 -*• y=x+2 * y=x ■» y-x-1 xc[2,3> - y=x-2 n-3 + x c [ 3 , 4> - y-x-3 n-4 - xe[4,5> - y-x-4 4 . .. 5 2 1 C Note que Ran(R2)- [0,1> Ran(R) = Ran(R¡)u Ran(R2) = [0,1> U [2,3>U [4, 5>U .. = (J [2n,2n+l> n=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual E je rc ic io s : G r u p o 3 3 349 EJERCICIOS: Grupo 33 En los ejercicios del 1 al 9, indicar el dominio, rango y esbozar la gráfi ca de la región acotada por las siguientes relaciones: 1. R=l(x,y)eR* |x2+y2S25, x 2>2y+l} 5. R=Ux,y)eR2|x2-8 4: y, x+4 > y} 2. R=i(x,y)cRí\9x1+i^yí425, 3x+l 4 2yl 6. R=f(x,y.KR2|y24 4x, 2x+y 4 4} 3. R={(x,y)eR!¡y lx*-6x+5, 2x+y < 5! 7. RH<-x,y,)ER2|x+y ^ 3, y$-x2-3x+6) 4. R=l(x,yleR2|x-2yíl, x 24--2y, x 2+y2i251 8. R= ((x.yl&R2j|y~x| + |y+x| ,$2} fl. R={(x,y)eR2|(Jx-J J 2+2¡£x]] 4 2 , x 2+yl 5- 1) 10. Si R { ( x , y ) eR2|x Rj=lfx,y)rR2|x 4.yK. Rj={(x,y,/íR2¡x2+y2 ^ 16}. Hallar el área acotada por R i n R 2nf:,. 11. Dada la relación R=i(x,y)£R í||x| + jy¡ 5- c:, sr*yl 4 i, y 4-xí, donde atR* hallar el valor de a de 1nodo que el áren acotado por la gráfica de tí sea 25(*-2) u 2. . 12. Dadas las relaciones R, = {(x,y)eR~ |x2+j*: < 25, :: 4 .:yi y S 2= lf.v.y|eR21 x l-9 4 0, y '-4 4 0), hallar el área acolada par la gráfica «Je R-.-.'ít. En cada uno de los ejercicios del 13 al 22, contruir la gráfica de las rclg dones dadas. 13. R = Ux,y.)eR2|x2+y2 -S 9, y 4 14. R - I(x,y)eR2 |x2+yl i 4 15. R = {(x.y.leR2 14 4 x 2+y2 4- 9 , |x|+2 ^ y 4: |x|+3} o |x+y| + |x-2¡, |x| ■$|2y| ) (x-2)l+yz 4 1 y x 4- y) 16. R = {(x,y>eR2|y2+8x-2y 4 15 , (x-I,>2+(y+2J2 ^ 25} 17. R = I(x.y)eR1 |x2+y2 4- 9 , x+y+3 4 0 , y* 4 2x} 18. R = Kx.yjcR1 |x2+4y2 4: 16 , x 2+y2 « 9 , |x| + |y|4. 2} 19. R = 2fx.yJeR2|3y2-xl 4 2 , x 1 4 16y> 20. R = {(x,y)eR2|xy-x-2y-2 ,s 0 , 2x+y-ll 4■0} 21. R = Hx.yleR2 |4xl-4yl ^ 9 , 2y2-2x-3 4:0} 22. R = {(x.ylcR1 |x2-y2 4: 4 , y 2+x-2 4 0 ,y1-2 4 x) 23. Sean R={ (x,yleR2||x+4| +|y-3|2}, S=í (x,y) £ R2 | T={ (x,y) e JÍ| |y-3| |x+41 ^ 1}, l}. Hallar el área acotada porR n £(ShT). Sólo fines educativos LibrosVirtual 350 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones 24. Dadas las relaciones R=)(x,y)zR2 |y >, x|, S=l(x,y>ERz||x|+|y| -í 8}, T={ (x,y)cRl | x >, 0}. Hallar el área de la región acotada por Sn ShT. 25. Sean: R={ (x.y)cR1 1f x - 5 n > I + ( y - 5 i r > 2 wS 25*1}, S=)(x,yjeR2¡y 4 5v}, T={ (x,y)cR2 ¡(y x+5n) * (y+x 26. Sean R={(x.y)cR2|| x + 2 |- | y -3 4. J 5tt > } . Hallar el área de R n (S u T). | i, 4}, S={(x,y)cR2|\x+2\ 4 6}, T=U x,y)eR 2 | |y-3| -i 6). Hallar el área acotada por la gráfica de R n S n T . 27. Si S={(x, yjeR2 || x | + | y | -S área de la 41 y T=( (x,y)eR2 || x + y | +| x - y |>,.4/2), hallar En cada uno de los ejercicios del 28 al 35, graficar yhallarel área región acotada por las siguientes relaciones. 28. R=)(x,y)eR2 || x | í. , |y| x 2+ y 2 29. _R={(x,y)eR2\3x2+y2 4 27 , |x| ^ 9 +| y | 30. R={(x,y)eR2\2x2+4x-Sy-43 4 O , , |x |+ |y | , 3 R =U x,y)eR l ||x ¡ + | y - x | -,< 12) 34. R={ (x,y)eR2\2 | x | | .$ +3 | y x >s 3) -S 0) |x + i|+ |y-2| >,2 , x-y+3 33. R={ (x.y)zR21| y | ^ 35. 61 de la ^ y) 4 x 2+8x+9y-5 31. R=)(x,y)eR2\9x2+16y2+18x-64y-71 4 O , 32. el región acotada por la gráfic de ShT. R={ -0) |i-2 |x ||l (x,y)cR2 || y | í: |x|, x*+y*44x) 36. Construir la gráfica de las siguientes relaciones: a ) R=1 ( x , y j e R 2 | [[ x + y JJ + y = 01 b ) R = U x , y J e f i 2 | [ l 4 x 2 - y 2 ]] = 0) c) R={(x,y)eR2\Ijc]] + l[y3] = 2) d) R={(x,y)eR2¡| y 2 - 2 y |+ 2 |x -i | 4 Jtrl En los ejercicios siguientes, graficar en un mismo plano la relación R dada y su inversa. Hallar el área acotada por R*. 37. R-{(x,y)eR2 ¡y >, |x| 38. |- |y -3 R={ (x.yjeR2 || x + i +| x - i | ,y - S 51 1 >,4 , 2 4 y 44 ) 39. R={(x,y)eR2 \x2+y2+4x-6y+4 4 0 , x-2y+8 4 0) 40. R=( ( x , y ) e R 2 | | y | x-2 , x .S 61 41. R={ (x,yjeR2\x2+y2-8x+2y+13 >, 0 , |x -4 1+ ¡ y + J ¡^< 4 , x-y Sólo fines educativos LibrosVirtual 51 S e c c ió n 5 .3 : G r á fic a s d e R e la c io n e s d e R e n R 351 CRITERIO S G E N E R A LE S P A R A G R A FIC A R U N A RELACIO N || Ai hacer el estudio de la gráfica de una relación de R en R, había mos visto las gráficas de relaciones lineales y cuadráticas y sus asociadas con inecuaciones. Todas ellas tenían una forma especial que las caracteriza ba y que resultaba fácil su trazado en el plano XY. Sin embargo, existen o tras relaciones cuyas gráficas no tienen tales características y que para su trazado es necesario seguir ciertos pasos o reglas. En seguida veremos algunos métodos que permiten estudiar los pasos previos a la discusión y trazado de la gráfica de dichas relaciones. I) COORDENADAS A L ORIGEN (Interceptos con los ejes coordenados) Una gráfica puede tener una, varias o ninguna coordenada al origen. El método de averiguarlo es el siguiente: a) Interceptos con el eje X: Hacemos y=0 , y se resuelve ¡a ecuación E(x,0)-0 b) Interceptos con el eje Y: Hacemos x=0 , y se resuleve la ecuación E(0,y)-0 Ejemplo. Dada la relación R=i (x.y)eR1-\x1+yl+2xy-x+5y-6=0), hallar sus coor denadas al origen de su gráfica. Solución. Sea E(x,y):xl+yl+2xy-x+5y-6=0 a) Para y=0 * E(x,0): x1-x-6=0 x=-2 o x-3 Luego, -2 y 3 son las abscisas al origen y los puntosA(-2,0) y B(3,0) son los interceptos de la gráfica de R con el eje X. b) Para x=0 * E(0,y): y 1+5y-6=0 *-* y=-6 o y=l Luego, -6 y 1 son las ordenadas. al origen y lospuntos C(0,-6) y D(0,1) son los interceptos de la gráfica de R con el eje Y. II) SIMETRIAS Se consideran solo dos tipos se simetría: respecto a un punto y respec to a una recta. Definición 5.3 Se dice que dos puntos P y P' están local izados simétricamente con respecto a un tercer punto M — — M es el punto medio del segmento que los une. En ese caso, M es un centro de simetría del segmento PP'. Sólo fines educativos LibrosVirtual pi C a p itu lo 5 : G r á fic a s d e R e la c io n e s 352 Definición 5.4 Se dice que dos puntos P y P' están localizados simétricamente con res pecto a una recta L L es la mediatriz del segmen to que los une. (Al punto P' se le denomina refle xión o imagen de P respecto a la recta L, a la cual se le llama eje de simetría). Veamos en seguida el uso de estas definiciones en la simetría de gráficas de ecuaciones. a) Simetría respecto al eje X Si un conjunto R es simétrico respecto al eje X, entonces, para cada punto P(x,y)eR debe haber un punto correspondiente P' (x,-y)eR, es decir, si R tiene por ecuación E(x,y)=0, entonces R será simétrico respecto al eje X si y sólo si: E(x,y) = ± E(x,-y) (La ecuación no cambia si se reemplaza y por -y) Por ejemplo, para la relación R=i(x,y)eR*|y*-4x=0l, sea E(x,y):y*-4x=0 Entonces: E(x,-y): (-y)*-4x=0 <-► E(x,-y): y1-4x=0 Como vemos: E(x,y)=E(x,-y), entonces, R es simétrica respecto al eje X. b) Simetría respecto al eje ¥ Si un conjunto R es simétrico respecto del eje Y, entonces, para cada punto P(x,y)eR debe haber un punto correspondiente P'(~x,y)eR, es decir, si R tiene por ecuación E(x,y)=0, enton ces R será simétrica respecto del eje Y, si y sólo si: E(x,y) = - E(-x,y) (La ecuación no cambia si se reemplaza x por -x) Por ejemplo, para la relación R={(x,y)eR*¡y)+8xt=0¡, sea E(x,y):y,+8x1=0 Entonces: E(-x,y): y >+(-x)*=0 ♦-* E(-x,y) :y,+Sxt=0 Como E(x,y)=E(-x,y), la gráfica de R es simétrica respecto del eje Y. c) Simetría respecto del origen Y‘ P Los puntos P(x,y) y P'(-x.-y) son simétricos respecto del origen, por tanto, si para un con junto R ocurre que: P(x,y)e R -<->■ P ’(~x, -y) e R a' P' Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R entonces se dice que el conjunto R tiene su centro de simetría el origen,es decir, si R tiene por ecuación E(x,y)=0, entonces: E(x,y) = ± E(-x.-y) (La ecuación no cambia si se sustituyen simultáneamente x por -x e y por -y) Por ejemplo, para la relación: R={(x,y)eR* |x*+y*=4}, sea E(x,y):x*+y*=4 En tonces: E(-x,~y): (~x)‘+(-y)t=4 ■*— E(-x, -y) :x1+yl=4 Vemos que: E(x,y)=E(-x,-y), por lo tanto, la gráfica de R es simétrica res pecto al origen. 111) EXTENSION Para determinar donde se localiza la gráfica de una relación, se recu rre a lo siguiente: a) Despejar, si es posible, cualquiera de las dos variables: y = f(x) (Para calcular el dominio de la relación) x = g(y) (Para determinar el rango de la relación) b) Si la ecuación de la relación tiene la forma: f(x) = P(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios que no tengan factores comunes que con tengan a x, tratar de factorizar el denominador y excluir aquellos valores de x para los cuales Q(x)=0 c) Si la ecuación de la relación tiene la forma: y1 = función racional tratar de factorizar el segundo mieni>ro y mediante inecuaciones determinar los intervalos o regiones del plano en los cuales y*¿0, y excluir los valo res de x para los cuales y‘<0. Ejenplo. Discutir la extensión de la gráfica de la relación: R=i(x,y)eBt¡4x1*9y1=36i. Solución. 2, Despejando y=f(x), se tiene: y = t -j/9-x2 -» ny ** 8-x* í-0-* x* •$ 9 — ► -3 x<$ 3 Entonces: Dom(fl)=[-3,3] Valores excluidos: <-»,-3>U <3,+~> La gráfica de la relación R está contenida en tre las rectas verticales x=-3 y x=3 » ..l -3 Análogamente: x = ± -|V 4-yz 3x * * 4-y1 í- 0 ». *<-í* »t1\ **sr. i ■*-*• -2 4 y-g 2 Luego, Ran(R)=fc2,2}. Valores excluidos: <-a¡,-2>u <2,*x» Sólo fines educativos LibrosVirtual -2 354 C apitulo 5: Gráficas de Relaciones La gráfica de R está contenida- entre las rectas horizontales y=-2, y=2. Luego, se scabrea el rectángulo que determina la extensión de la curva en el plano. Dado que la curva está encerrada en un rectángulo de dimensiones finitas, se trata de un caso de gráfica acotada. ASINTOTAS (IV) Si para una curva € existe una recta L tal que si nos movemos a lo largo de L indefinidamente, la distancia entre L y E tiende a cero, entonces se dice que L es una recta asíntota, o que C es asintática a L. Una curva puede tener una, varias o ninguna asíntota. Entre las clases de a síntotas figuran ¡as asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. a) Asíntotas Horizontales. Tienen la forma: y=k Para hallarlas asíntotas horizontales de una curva se ordena su ecuación E(x,y)=0 en potencias decrecientes de x y se hace cero, sí es posible, el coeficiente de la mayor potencia de x, lu e go se despeja y. Ejemplo. Hallar las asíntotas horizontales de la gráfica de ¡a relación R=l(x.y)eR1 | * V +^y *-x*-i=0}. Solución. Ordenando en potencias decrecientes de x se tiene: E(x. y) :(y1-1 )x* +y!lx~l =0 AjuT vemos que la mayor potencia de x es x*, y su coeficiente es y*-l. Luego, si y l-l=0 ** y=-l o y=l son las asíntotas horizontales de la gráfica de R. b) Asíntotas Verticales. Tienen la forma: x=h Para hallar las asíntotas verticales de una curva de ecuación E(x,y)=0, se ordena ésta en potencias decrecientes de y, se hace cero, si es posible el coeficiente de la mayor potencia de y, luego se despeja x. Ejemplo. Hallar las asíntotas de la gráfica de la relación R=i(x,y)cRt lx‘y-xy-2y-l=0}. S o lu c ió n . Ordenando se tiene: (xt-x-2)y-l=0 Aquí el coeficiente de la mayor potencia de y es: x ‘-x-2, Luego, si r1-1 -2=0 *-* x=-l o x=2 son las asíntotas verticales de la curva. V) TABULACION (Trazado de la Curva). Consiste en calcular un número adecúa do de puntos para obtener una gráfica aproximada de la ecuación dada. Sólo fines educativos LibrosVirtual 355 Sección 5.3: Gráficas de R elaciones de R en R E JER C IC IO S ILU STRATIVO S EJEMPLO 1. Solución. Discutir y graficar la relación: R=((x,y)eR1¡3y-2x-y-2=0} Sea E(x,y):xy-2x-y-2=0 I) Intersecciones con los ejes coordenados: a) Con el eje X. E(x.O):-2x-2-0 ** x=-i b) Con el eje Y. E(0,y):-y-2=0 «- y=-2 I¡) Simetría: - A(-1,0) - B(0,-2) Dado que la ecuación no tiene potencias pares de x e y, la curva no es simétrica respecto de los ejes coordenados. III) Extensión, a) y=f(X) •* y = Dom(R) = R- {I} Valor excluido: x=l b) x=g(y) -*■ x IV) Asíntotas, . Valor excluido: y=2 Ran(R) = R- 12) a) Asíntotas Horizontales: (y-2)x-y-2=0 * y-2=0 *-»• y=2 b) y Asíntotas verticales: (x-l)y-2x-2=0 ■* x-l=0 *-► x=l V) Construcción de la gráfica, a) Si existen, se trazan las líneas de guía (Asíntotas). x=l , y=2 ! V - _________ 2 - + _ ? £ ? ----1 b) Se ubican los interceptos con los ejes X e i Y. A(-1,0) y B(0,-2) *x c) De y=f(x), se analizan los intervalos para los cuales y es positivo o negativo. 1 1Xst En Illa): y > 0, para: x > 1 y x < -1 y < 0, para -1 < x < 1 EJEMPLO 2. Solución. Discutir y graf icar: R={(x,y) efi1Ix'y-íly-SxÔ} Sea E(x,y) :x2y~9y~3x1=0 I) Intersecciones con los ejes coordenados a) Con el eje X. E(x, 0) :-3x'=0 b) Con el eje Y. E(0,y):-9y=0 * x=0 * y=0 No hay interceptos con los ejes coordenados, la curva pasa por el origen II) Simetría, a) Con el eje X: E(x,-y)=xz(-y)-9(-y)-3x2 -*■ -x2y+9y-3x2~0 * E(x,-y) 4 E(x,yj .'. No es simétrica Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 5 : G r á fic a s d e R e la c io n e s 356 b) Con el eje y.- E(-x,y) = (-x)zy-9y-3(-x)z » -* E(x,-y) = E(x,y) x^y-9y-3x*=0 /. Sí es simétrica c) Con el origen: E(-x,-y) = (-x)l(-y)-9(-y)-3(-x)z ■* -xzy+9y-3xz=0 ■* E(-x, -y) i E(x,y) III) Extensión, a) y=f(x) * .'. No es simétrica y = 7 ^ 73 77 ^ Valores excluidos: x=-3, x=3 b) x=g(y) - x = ±3 - ax — ■* Dom(R)=R-{-3, 31 > 0 « -(y í 0) v (y > 3) Entonces: Ran(R) = <-=,0]U <3,+=> /V) Asíntotas, a) Asíntotas Horizontales (y-3)xl-9y=0 * y-3=0 - y=* b) Asíntotas Verticales. (x1-9)y-3x =0 * x*-9=0 V) x=±3 Construcción de la curva. a) Trazamos las asíntotas: x=±3 , y=3 b) La curva pasa por el origen simétri_ ¡ I comente respecto del eje Y. c) En Illa): Para xe<-3,3>, y í 0 La curva se extiende hacia abajo. Para x < -3 o x > 3, y > 3 La curva se extiende asintóti comente. EJEMPLO 3. Solución. Discutir y graficar: R={ (x,y)eRz ¡x3+xyz-2y2=0} Sea E(x,y):x,+xy‘-2yí=0 I) Intersecciones con los ejes coordenados Dado que la ecuación carece de término independiente, la curva pasa por el origen (No hay interceptos con los ejes). II) Simetría, a) Con el eje X: E(x,-y) = x ,+x(-y)z-2(-y)t =x ’+xyz-2y1 ■* E(x,-y) = E(x,y) b) Con el eje V. .’. Si es simétrica Comprobar que: E(-x,y) f E(x,y) .'. No es simétrica. c) Con el origen. Comprobar que: E(-x, -y) f E(x,y) III) Extensión, a) y=f(x) — No es simétrica y = ±x/ j ~ - ay -* j^¡, >, 0 ~ 04 x < 2 * Dom(R) = [0,2> IV) Asíntotas,a) Asíntotas Horizontales: La curva no tiene asíntotas horj zontales porque el coeficiente de x 3 es constante. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R e n R __________________________________________ 357 b) Asíntotas Verticalesk (x-2)yz+x ‘=0 V) - x-2=0 ■>-x=2 Construcción de la curva: a) Trazamos ¡a asíntota x=2 b) La curva pasa por el origen. c) Para xe[0,2>, la curva se extiende simé tricamente y asintóti comente bacía la lí neo x=2. EJEMPLO 4. Solución. Discutir y graficar: ftHfx,;y.)eR1lxy1-.x— 2yJ+i=0} Sea E(x,y)=xyl-x-2y1+l I) Intersecciones con los ejes coordenados a) Con eleje X.E(x,0): -x+l=0 * b) Con eleje Y.E(O.y):-2yx+l=0 - + y=±¿2/2 II) Simetrías, a) Con el eje X: x-l -» A(1,0) E(x,-y) = x(-y)x-x-2(-y)x+l = xyx-x-2yx+l ■* E(x,-y) = E(x,y) b) Con eleje ■* B(0,/f/2), C(0,-/fl2) Es simétrica Y.Comprobar que E(-x,y) t E(x.y) .’. No es simétrica c) Con el origen. Comprobar que E(-x,~y) í E(x,y) III) Extensión, a) y=f(x) -* 3 y b) «-» x=g(y) ■* x = IV) Asíntotas, •* y - ± 3 ^ ^ í'O xc « i í 1 y = ±1 - o x a) Asíntotas Horizontales: Asíntotas Verticales: (x-2)y*-x+l=0 - x-2=0 *•» x=2 Construcción de la curva. a) Trazamos las asíntotas: x=2 , y=±1 b) Ubicamos los interceptos: A, B y C. c) En Illa): Para xc<-~,l], la curva pasa por A, B y C, y se extiende simétrica y asintó ticamente hacia las rectas y=±l. Para x e < 2 ,+ - > , > 2 -* x e < - . í ] U < 2 , +<=>> Ran(R)=R-{-1,1} fyl-i7x-2y*+i=0 - y 1-1=0 ** y=±l b) No es simétrica la curva se extiende simétrica y asintót ¡cemente hacia las rectas x=2, y=±I Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 5: G r á fic a s d e R e la c io n e s 358 EJEMPLO 5. Solución. Construir la gráfica de R= ífx.y) eR2|x,,-4x3+4;xy2 -y '=0 J Factorizando se tiene: E(x,y) = (x+y)(x-y)(xz+y1-4x) pasan por el origen, L í:x+y=0 y Li:x-y=0 x respectivamente. R 5:x2+y2-4x=0 «-► (x-2)z+(y-0)z=4 Es una circunferencia de centro C(2,0) y r=2 :. Graf(R) = GraffRJ u Graf(R^) U Graf(R,) Nota. Cuando se trata de graficar relaciones de ecuaciones factorizables, no es necesario discutir lo relacionado a interceptos, simetría, etc, dado que, por lo general, las gráficas son rectas o curvas de característi cas ya conocidas. Discutir y graficar las siguientes relaciones: 1. R={(x,y)tRz \xy+3y-x+2=0 7. R=lCx,y>eR2|x3y+y-2=0} 2. R=Ux,y)eR2|xy-x-4y+3=0 8. R=t(x,y)eR2|x2y 2-4x2-y=0} 3. R=Ux,y)eR2|x2y-9y-2x2=01 9. R=(fx,yJeR2|y2=xCx+3Kx-2J ( 4. R={(x,y)cR1 ¡xIy-y-x1-0) 10. R=Ux,y.)eR2|x3+y2-4y+4=0} 5. R={(x,y)eR1lxly-3xy-6=0) 11. R={(x,y)eRz\xz+ocyz-yz=0) 6. R-{(x,y)eRz|xly-J2=0) 12. R=l(x,y)eRz\(xz-3x-10)y=2x+l] Construir las gráficas de las siguientes relaciones: 13. R = Ux,y)eR2|x3-y3-x2y+ay2-9x+9y=0f 17. R={(x,y)eRz\yz=9x1-12x+4) 14. R = Ux,y)eR2|y3+:¡3;2-4xy-4x2=0} 18. R={ (x,y)eRz |x2y 2-4x3+4xy2-y'=0} 15. R = {(x,y.)e:R2|x3-x2y-xy+y2=01 19. R={(x,y)eRz¡x3+xz+2xyz+2yz-4x=4) 16. R = Ux,y)efl2 |yVy*-x2-x=0) 20. R=) (x,y)eRz |y3-xy2-xy+x2=0} * Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5 .4 : F u n c io n e s R e a le s d e V a ria b le R e a l E l f u n c io n e s r e a l e s 359 p e v a r ia b le r e a l _______________ ¡ g En el Capítulo 3, Sección 3.9, habíamos estudiado a las funciones de una forma muy general sin fijamos en la naturaleza de los objetos que lo forman, pero dado que nuestro interés está dirigido al análisis, nos intere san aquéllas funciones cuyos pares ordenados están formados yôr números rea les. Esto es, nos referimos a las funciones del tipo f:R * R, a las cuales llomaremos funciones reales de variable real y denotaremos: f = <Oc,y}eR*R|y=/-t;)c,n o bien: f = {(x,f(x))eRxR\xeDom(f)\ Según esta notación, si f(x) es una función de x y aeDom(f), la expresión f(a) significa la imagen de a o el valor numérico obtenido por f(x) al sus tituir x por a. Por esta razón siempre se define una función mediante una regla que permite calcular para cualquier xeDom(f), su imagen y=f(x). En consecuencia, una función queda completamente determinada o bien defini da si se conocen: . i) Su., regí a de correspondencia f (x) ii) Su dominio EJEMPLO 1. Dada la función f={ (x,2x-l) |asR(, hallar: a) f(2) b) fía) c) Solución . Si xeR * (2x-l)eR, luego, Dom(f)=R y Ran(f)=R. La regla de co rrespondencia de f es f(x)=2x-l, entonces, la función está bien definida. Por lo que: a) f(2) = 2(2)-l = 3 b) f(a) = 2(a)-l = 2a-l c) f(x+h)=2(x+h)-l=2x+2h-l ~ íí: 5+ J l^ f (x) = M t i h zjFÍ.2^ 1 > = 2 EJEMPLO 2. Determinar si el conjunto f={ (xf-l ,x) |jceR} es o no una función Solución. La regla de correspondencia de f es f(x*-l)=x Para x=2 - x=-2 - f(4-l)=f(3)=2 Según la propiedad: (x,y)ef se sigue que: - f(4-l)=f(3)=-2 (x,z)e.f * (3,2)ef a (3,-2)ef - (3,2)ef - ' (3,-2)ef y=z 2 = -2 , lo cual es absurdo Luego, f no es una función. |Nota. No todas las funciones se definen por medio de una fórmula única. Sólo fines educativos LibrosVirtual 360 Capitulo 5: Funciones 22 f(x) = I S1 xelO,2 l x*-3x+2, si xe<2, 61 Por ejemplo, si escribimos: tenemos una definición perfecta de una función. Algunos de sus valares son: f(l) = /2(1)-(1)l = 1 B B y f(3) = (3)l-3(3)+2 = 2 GRAFICA DE UNA FUNCION Cuando el dominio y rango de una función consisten en números reales ambos, es posible plasmar el comportamiento de la función en forma gráfica. Definición. Dada una función f:A*B, donde AcrR y 3cR, se define la gráfi ca de f y se denota "Gr(f)", al conjunto de todos los pares ordenados en los que xeA está como primer elemento y su imagen y-f(x)eR co mo segundo elemento. Es decir: Gr(f) = Ux,;y^Rz|xeA, ye/-(a:;£R}cAxB o bien: Gr(f) = í(x,;y.)eR* |xeAÍC AxB EJEMPLO 3. Sea la función f :A*B\f(x)=2x-3 y los conjuntos A=12,5> y B=íl, 7>, esbozar lagráfica de f mostrando el conjunto AxB. Solución. En primer lugar construimos el Y- rectángulo A»B (zona sombreada), r i, luego esbozamos la gráfica de f eligiendo dos puntos de A=Dom(f) x=2eA ~ f(2)=2(2 3=1 ----- >7- 7 - *Jp P m ■''-''-firrrrGr(f)c AxB ' / i B x=5{A ■* f(5)=2(5)-3=7 Obsérvese que aunque (5,7)$Gr(f) este pun to nos sirve como referencia para el traza 0 do de la Gr(f). / 1 r ^ ...... V i 2 5 . ' " 1- A-*| Grf/,;=l('x,2x-3j|x£:[2,S>}cA xB PROPIEDADES DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION G.l: V xeA, existe un par ordenado (x.y)eGr(f), esto es Dom(Gr(f))=A G.2: (x,yhGr(f) ~ (x.zhGr(f) G.3: Si P(x,y)cGr(f) * - (Unicidad) y=z P(x,y)ef EJEMPLO 4. Sea la función real f(x)=6+2x-xf. Decir si los siguientes pa res ordenados pertenecen o no a la Gr(f). a) (-2,-2) W (3,3) c) (6,18) Sólo fines educativos LibrosVirtual 361 S e c c ió n 5 .6 : C a lc u lo d e l D o m in io d e u n a F u n c ió n Solución. Según ¡a propiedad G.3, se tiene: a) f(-2) = 6+2(-2)-(-2)l= -2 b) f(3) = 6+2(6)-(6)í = 3 c) f(6) = 6+2(6)-(6)* = -18 Observación. + (-2,-2)zGr(f) - (3,3)cGr(f) - (6,18)¿Gr(f) - Sabernos que una función no debe tener dos pares ordenados con la misma primera componente. Según esta propiedad si se presenta la gráfica de una función en R2 se debe cumplir la siguiente pro piedad fundamental: "Una relación f:A+B, A c R y BcR, es una función real si y sólo si cada línea vertical L corta a la gráfica de f a lo más en un punto P". Es decir: Gr(f)í]L - {Pl, PeR1 Esta observación proporciona un criterio visual para funciones. EJEMPLO 5. En las siguientes gráficas, establecer la diferencia entre grá Solución. La gráfica de a) es la de una función porque una línea vertical L corta a la curva en un solo punto P, esto es, a cada elemento del dominio le corresponde una de la imagen: x, ->■ y¡ x, - y, La gráfica de b) es el de una relación que no es una función pues una línea vertical L corta a la curva en dos puntos Pl y P lt es decir, a cada elemen to del dominio x t le corresponde varias imágenes, las comprendidas entre y, e y t. 123 CALCULO DEL DOM INIO DE UNA FUNCION _________§¡| Cuando una /‘unción viene dada por una fórmula o regla de corresponden cia, se suele sobreentender que el dominio consiste de todos los números pa ra los que la regla de correspondencia está bien definida. Ahora bien, el dominio de una función puede describirse explícitanente jun to con ¡a función o estar implícito en la fórmula que define a la función. Por ejemplo, para las funciones: f(x)=l-2x, -3<x$5 y g(x)=x*-x, x<3 Sólo fines educativos LibrosVirtual 362 Capitulo 5: F unciones el dominio está descrito explícitamente, pues: Dam(f)=ixcR¡-3<xi5l = <-3,51 y Dom(g) = {xtRli^) = <-” ,31 Por su parte: a) has funciones racionales de la forma: f(x) tienen como dominio im plicito a R-{xeR¡q(x)=0} b) Las funciones con raíces de índice par: f (x)=^1^g(x), neZ+, tienen como dominio implícito al conjunto ixeR¡g(x)20) c) Las funciones con raíces de índice impar: f(x)-^n+^/g(x), neZ* tienen co mo dominio implícito al dominio de g, e s t o e s : Dom(f)=Dom(g). EJEMPLO 6. Hallar el dominio de las funciones: a) f(x) = b) g(x) = Solución, x ■ /x*-5x-14 c) h(x) = \f — v x ‘-Sx1-4x+20 a) La función tiene sentido *■» 9-x‘Ô « i ‘íS — ► -3$x$3 Entonces: Dcm(f) = íxeR|-3$x^3) = [-3,3] b) g(x) = x --/(x+2)(x-7) * Dom(g) = {xeR| (x+2)(x-7)>0) = [xeR|x<-2 ó x>7) = <--,-2> U <?,+*»> c) h es una función con raíz de índice impar, luego: Dcm(h)=Dom(f), donde x+I______ f(x) = ----- — ------ , x )« -2,2,5 (x+2)(x-2)(x-5) * Dom(h) = R-{-2,2,5} CALCULO DEL RANGO PE UNA FUNCION_______________ Caso 2. Cuando el dominio está implícito en la regla de correspondencia que define a la función. En este caso se despeja x en términos de y, luego se analiza para que valo res de y, x es real. EJEMPLO 7. Hallar el rango de Ja función: f(x) = " r rj Solución. Sea y=f(x) ■* y(x*-4)=3xx+4 *-* x = i Entonces: xeR «-► í- O y§-I 5 y>3 Ran(f) = JyeR|y$-i ó y>3) = <-»,-! ] u<3,+=>> Caso 2. Cuando el dominio está descrito explícitamente junto con la fórmula que define a la función. Es decir, si f:A*B, entonces Ran(f)=f(A), donde f(A) es el conjunto de imágenes de x, tal que xcA. Sólo fines educativos LibrosVirtual 363 Sección 5.6: Calculo del Dom inio de una Función EJEMPLO 8 . Sea la función f={(x,y) dR¡f(x)=4+2x-x1. xcl-2,4 ]. Hallar su rango. Solución. Si f(x)=5-(x1-2x+l) * f(x)=5-(x-l)1. Llegaremos al segundo ex tremo de esta fórmula partiendo del dominio de la función. (1) Si xsl-2,41 -2$c$4 ~ -34X-143 (2) Elevando al cuadrado: O 4 (x-l) 1 4 9 (3) Sumando S: — 4 4 5-(x-l)* 4 5 (4) Por tanto: *■ -9 4 -(x-l) 1 4 O ->■ -4 < f(x) < S Ran(f) = f([-2,4]> = fcyeR|-4 3 y 4 5} = [-4,5] EJEMPLO 9. Hallar el rango de la función: f - {(x, jJC > 2). Solución. Regla de correspondencia de f: f(x) = -jrj = ^ 5 x-l Si A=<2, +«■> ■» Ran(f) = f(A) = f(<2,+^>). (1) Si x > 2 -* x-l > 1 ■* x-l < 1 (2) Como x-l > 1, también x-l > O •* > O (Si a^R y a>0 (3) Luego, de los pasos (1) y (2) se sigue que: 0 < (4) Multipl icando por -5: (5) Por tanto: 5 -5 < ---- ; < 0 x-l 3 < 2 - > 0) < 1 e —t < 2 x-l Ran(f) = ]xeR|-3 < y < 2) = <-3,2> Definición. FUNCION RESTRINGIDA Sean los conjuntos A,B y D subconjuntos de R y sea la función f:A*B. Sidefinimos la función g:D*B, tal que: f(x)=g(x), VxcD, DeA entonces se dice que la función g es la restricción de f al conjunto D. Equivalentemente, si f :A*B tiene una restricción g:D*B, D e A, entonces se dice que f es uno extensión de g al conjunto A. EJEMPLO 10. Dada la función f:l-l,3>'*<-2,7]\f(x)=9-x1, Indicar el domi nio, rango y construir la gráfica de la función g, sabiendo que g es la restricción de f al conjunto Dci-1,3>. Solución. Para f, el conjunto de partida es A=l-1,3> y el conjunto de ¡legada es B=<-2,71. Si g:D~B\f(x)=g(x), VxeD, para hallar D se procede del modo siguiente: (1) Se construye el rectángulo A*B. (2) Se traza la parábola y=9-x*, con vértice en V(0,9). Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p itu lo 5: F u n c io n e s 364 (3) Interceptamos las rectas y=7, x=3 (restricción) con la parábola. Si xf3 - yf9-9=0 Si y=7 ■*7=9-0c1 ■* xl=2 * x=/2 (pues x>0) - (3,0)iGr(f) ♦ (/2,7)cGr(f) (4) Luego: D=Dom(g)=[/2,3> y Ran(g)=f(D)=<0,7]cB EJEMPLO 11. Sea la función f:í-2,6> - l-4,4l\f(x) = ?X+4 ,hallar el dominio, rango y construir la gráfica de lafunción g que es la restricción de f al conjunto Dc[-2,6>. Solución. En f, el conjunto de partida es A=[-2,6> y el conjunto de ¡lega da es B=[-4,4]. Si g:D -► B\f(x)=g(x), VxcD, se tiene: (1 ) f(x) = = x *-4x-l , x+4 (2) Trazamos el rectángulo AxB y luego la paró bola y=(x-2)1-5, xf4, de vértice V(2,-5). (3) Interceptamos ¡as rectas y=4, y=-4 (extre mos de B) con la parábola y=xz-4x-l' Si y=4 * y=-4 x1-4oc-5=0 *+■ x=-l ó x=5 ■» xl-4x+3=0 x=l ó x=3 (4) Si x M * yfl6-l6-l=-l - P(4, -l)iGr(f) (5) Luego, Dom(g)=[-l,1] uÍ3,5]-{4} Ran(g)=f(D)=l-4,4]-{-l) EJEMPLO 12. Hallar una función f(x) que exprese el área del rectángulo de base x y perímetro 2a (a>0). Hallartambién el dominio y ran go de f. Solución. (1) Si x e y son las dimensiones del rectángulo (2) Dado que: p=2x+2y=2a (3) Entonces, en (1): f(x)=x(a-x) ■ — x(x-a) > O el áreaes un valor positivo, entonces: O < x <a * (5) Rango de la función. De (1): f(x) = ax-x1 = (6) Si O - - < x< a * ~J< x < -(x - A)* x< O * f(x)=xy , a>0 ,es la función buscada. (4) Dominio de la función f. Como f(x) > O * x+y=a , de donde: y=a-x - Dom(f)=<0,a> - (x- O ^ (x- j)* < j O < -Sí - (x- 4 -f * (7) Por lo que: Ran(f) = <0,a1/4] Sólo fines educativos LibrosVirtual O < f(x) v< 365 Ejercicios: Grupo 35 EJERCICIOS: Grupo 35 En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 4 , d e te r m in a r s i e l c o n ju n to dado d e p a r e s o r d e n a d o s , e s o no una fu n c iG n . 1. ((x + 2 ,x )|x e R ) 3. { ( ( x + l , y - 3 M x ,y ) ) |( x , y ) e R * } 2. ( ( x l + 2 ,x ) |x e R ) 4. ( ( ( x ,y * ) , ( x , y ) ) |( x , y ) e R ’ } 5. S i f e s una fu n c ió n r e a l d e v a r i a b l e r e a l , t a l q u e f ( x + 3 ) = x * - l , h a l l a r , , , f (a+ 2 ) - £ ( 2 ) ,, e l v a l o r d e —-— ------- , a /2 6. S i f e s una fu n c ió n r e a l d e v a r i a b l e r e a l , t a l q u e , f(x + l)= x * + 3 , h a l l a r , , , e l v a lo r de 7. . f ( a + 2) - f ( a - 2) ,. —----- — --------- a a /1 a -1 ^ D e te rm in a r una fu n c ió n c u a d r á t i c a f ( d a r su r e g l a d e c o rre s p o n d e n c ia ) q u e t i e n e a .R como s u d o m in io y t a l q u e , f ( - l } = 3 , f ( 2 ) = 0 , f(4 )= 2 8 8. Sean f : R ■* R y g :R * R, t a l e s q u e : f(x + 3 )= 4 x + 2 , g ( x + 5 )= 3 x - l, s i A=(xcR| f ( x ) < g ( x ) t , h a l l a r A '0 < - “ /3 0 ] . 9. S i f : < 0 ,1 ] - R |f ( x ) = 1 + j De l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c io n e s , c u á l e s son v e rd a d e ra s ? O a) f ( 1 /3 5 ,1 /7 9 ) = 115/114 b ) f ( x ) e < l ,2 > , -¥ x e < 0 ,l] c) S i saeR t a l q u e b = f ( a ) , e n to n c e s /c e R t a l q u e c = f (b ) En l o s e j e r c i c i o s 1 0 -1 5 , d ig a s i l a r e l a c i ó n d a d a e s o no u n a f u n c ió n . H a lla r e l d o m in io , ra n g o y c o n s t r u i r l a g r á f i c a d e c a d a r e l a c i ó n . 1 3 . R=( ( x ^ J e R 1 |4 y l -x* = 1 4 4 , y >, 0) 1 0 . R = ((x ,y )cR * |x l - y = l) 1 1 . R = ((x ,y )e R 1 |x ‘ -4x-2y+10= 0) 1 4 . R = { (x ,y )e R * |4 y * = x * -4 x ) 1 2 . R = ((x .y Je R 1 |y*+4x=4 , y 1 5 . R=( ( x ,y ) e R l |x * + y í + 2x-4y=4) 0} O En l o s e j e r c i c i o s d e 16 a l 19, h a l l a r e l ra n g o d e l a fu n c ió n . 16. f : [ - l,2 > * R |f ( x ) = x ‘ +2 18. f :[ - 2 ,2 > - H |f(x )= 3 + 2 x -x * 17. f:< -2 ,3 ) - R |f ( x ) = x ’ + 4 x -l 19. f :< - l,2 ] - R |f{ x )= l+ /3 + 2 x -x * □ En l o s e j e r c i c i o s d e l 20 a l 29 s e d a una f u n c ió n f :A * B, h a l l a r e l domi n i o , ra n g o y c o n s t r u i r l a g r á f i c a d e l a f u n c ió n g :D —B que e s l a r e s t r i c c ió n d e f a l c o n ju n to D e A. 20. f :< -4 ,l> * [ 0 , 5 ] |f ( x ) = x ‘ +4x+3 22. f :[ - 3 ,3 > - < - l , 7 ] |f ( x ) = 3 - 2 x 21 . f : [ - 2 , 2 ] * [ 1 ,3 ] |f(x)=/5-x* 2 3 . f - .[ - 3 , 3 ] - < 2 ,5 ] | f ( x ) = | x |+ |x - l | Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 5: F u n c io n e s 366 24. f : [—2 ,3 > - [-1, 2 ] | f ( x ) = x 1- 2 27. f : < - l , 5 ] - [-3,5]|f (x)=5+2x-x* 25 f:[-2,3> - [-2,6>| f (x)=x *-9 28. f:<-5,2] - [-1,7> f(x) = 26. 29. f:[l,5> - [0,6>lf(x) = f :[1,4> - [-l,5>|f(x)=x*-4x+3 x s+x J-3x+l x-l 1 2 x + 7 x 2- x 3 x-3 * Q | Q 2) FUNCIONES ESPECIALES FUNCION IDENTIDAD Es aquella función denotada por I:R -*■ R, donde el dominio y el ran go es el conjunto de los números reales y que tiene como regla de correspondencia: y■ I(x) = x Es decir, en esta función cada número real se Xl{x)=x corresponde a si mismo. Su gráfica es la recde pendiente m=Tan45°=l, determinada por: 0 {[x,x)|xeR[ y que pasa por el origen. Cuando el dominio de la función identidad es tá restringido a un conjunto A c R, se denota: IA , esto es: IA (x)=x, VxtA se dice entonces que es la función Identidad sobre A. 0 2 FUNCION CONSTANTE Es aquella función, denotada por C, con dominio R y el rango consis te en un número real, cuya regla de correspon dencia es: C = Ux,y>|;y=c} o bien, <C(x)=c. La gráfica de la función cons tante es el conjunto de pares ordenados: Ux, c)|xeR}, o sea una recta horizontal. En particular, si c=0, la función constante es nula: y=0, VxeR, cuya gráfica es el eje X. Sólo fines educativos LibrosVirtual 367 S e c c ió n 5 .7 : F u n c io n e s E s p e c ia le s FUNCION LINEAL_________ Es aquella función con dominio ya regla de correspondencia es: f (x) = mx+b donde m y b son constantes y mfO. Su gráfica es una recta cuya pendiente m=tga y su ordenada en el origen es b. EJEMPLO 1. Sea f una función lineal de pendiente m, e intercepto con el eje Y igual a b, tal que f(mz-2b)=f(b+12-2mz) y f(2m+b-2)= f(m+b-l); hallar la función g si se tiene g(x+4)-x=f Solución. O j+fft3^ ) . o Sea la función lineal f(x)=mx+b, mfO f(mz-2bj=f(b+12-2mz) f(2m+b-2)=f(m+b-l) m(mz-2b)+b = m(b+12-2mz) b=mz-4 (1) -* m(2m+b-2)+b=m(m+b-l)+b , de donde: m=3 Luego, en (1): b=5 -*■ f(x)=3x+5 Entonces: ffij^j+ff3^ ) Liuego, g(x+4)-x = 12 E2D = f(l)+f(-l/3) = 3(l)+5+3(-l/3)+5 = 12 g(x+4)=(x+4)+8 g(x)=x+8 PUNCION CUADRATICA Es aquella función con dominio R y definida por la regla de corres pondencia: f(x) = ax1+bx+c donde a.b y c son constantes y ato Su gráfica es una parábola simétrica respecto a la recta vertical x=h, lla mada eje de simetría, abierta hacia arriba si a > 0 (Fig.5.9) y hacia abajo Figura 5.9 Sólo fines educativos LibrosVirtual Figura 5.10 368 Capítulo 5: Funciones El vértice de la parábola se puede ubicar transformando la función a la for ma: y=a(x-h)z+k, mediante el artificio de completar el cuadrado: * . .2 b bz . bz , b,z 4ac-bz f(x) = a(x + -x + \) + c - ~r = a(x + tt-) + — ;--' a 4az 4a 2a 4a . . . b donde: h = - x— 2a " * , ~ 4ac-bz 4a Para a > O, la función tiene su valor mínimo k, cuando x=-b/2a, es decir el punto mas bajo de la gráfica es el vértice V(h,k). Para a < O, la función tiene su valor máximo k, cuando x=-b/2a, es decir el punto más alto de la gráfica es el vértice V(h,k). EJEMPLO 2. Si f(x)=-3xz+6x+2, determinar su valor máximo o mínimo. Solución. Completando el cuadrado obtenemos: f (x)=-3(x-l)z+5 ■+ h-1 y k=5 Como a=-3<0, el punto más alto de la parábola es el vért. V(l,5) o sea el valor máximo de la función es y=5. EJEMPLO 3. Sea g una función cuadrát ica tal que g(0)=l y tal que g(x+l/2) -g(x-l/2)=4(2x-l), VxzR. Hallar el único valor de xcR¡g(x)-0. Solución. Sea la función cuadrát ica g(x)=axz+bx+c Si g(0)=l -* l=0+0+c -+ c=l -*■ g(x)=axz+bx+l g(x+l/2)-g(x-l/2)=8x-4 - a(x+l/2)z+b(x+l/2)+l - a(x-l/2)z-b(x-l/2)-l=8x-4 de donde: 2ax+b = 8x-4 . Identificando coeficientes se tiene:a~4 y b=-4 Entonces: g(x)=4xz-4x+l = (2x-¡ )z. Luego, si g(x)=0 -*■(2x-l)z=0 x=l 12 EJEMPLO 4. Un hombre que dispone de ISO pies de alambre desea cercar una superficie de forma rectangular. Si uno de los lados no necesi_ ta cerco, cuáles deben ser ¡as dimensiones para que el área sea máxima? Solución. las dimensiones del terreno Sean x e y Area de la superficie: A=xy Perímetro por cercar = 2x+y (2) » 2x+y-l60 - y=160-2x (1) 12) en (1): A(x)=x(160-2x)=-2(x-40)z+3200 Como a=-2<0, la función A alcanza su máximo valor de 3200 cuando x=40 pies, luego, en (2): y=160-80=80 pies. Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5 .7 : F u n c io n e s E s p e c ia le s 2 2 369 FUNCIO Es aquella función con dominio el con junto de los números reales positivos y cuya regla de correspondencia es: f = {fx.yj |y=-'S> para (a cual f(x) = /x es el número cuyo cuadra do es x. Los elementos del conjunto f son pa res de la forma: i-0} Esto es, Dom(f)=[0,+*=> y Ran(f )=[().+•»>. Nótese que cuando elevamos al cuadrado ambos lados, la ecuación y=/X toma una forma conocida, y l=x. Esta ecuación representa una parábola de eje horizontal con vértice en el o rigen que se abre hacia la derecha. Por lo tanto, la gráfica de y=»i 5c es par te de la gráfica de la parábola y*=x con y í-0. EJEMPLO 1. Solución. Construir la gráfica de f(x)-/2x-4, dar su dominio y rango. (1) Sea y=/2x-4 -* ay «-*■ 2x-4 0 Entonces: Dom(f)=[2,+~> (2) Dado que y >s0, VxcDom(f) -» Ran(f)=[0,+~> (3) Elevando al cuadrado se tiene: y 1=2(x-2) ■* x = \y*+2 > es una parábola de eje ho rizontal, con vértice en V(i,0). Luego se construye parte de esta parábola arriba del eje X. EJEMPLO 2. Hallar el dominio, el rango y trazar la gráfica de la función f(x)=/xl-3x-4 . Solución. (1) Dominio de la función: y = /x*-3x-4 = /(x+l)(x-4) ■* 3y «-* (x+l)(x-4) % . 0 + - + x £ - l v x % . 4 ■* Dom(f )=<-*,-1] O [4,+~> (2) Rango de la función. Como el dominio de la función es la unión de dos intervalos cu yos extremos son ±», su gráfica es una curva abierta que se extiende indefinidamente arri ba del eje X (y >_0). .'. Ran(f)=[0,+~> (3) En (1), elevando al cuadrado se tiene: y 2 = x 2-3x-4 ** (x-3/2)2-(y-0)2=25/4 Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p itu lo 5: F u n c io n e s E s p e c ia le s 370 Luego, la g r á f i c a de la fu n c ió n es p a rt e de ( x - h ) 2- ( y - k ) 2= a 1 , co n c e n t r o en C ( 3 / 2 , 0 ) , 2J3 la h i p é r b o l a de a-á/2, la forma: a rrib a del e j e X. FUNCION PO LINO M ICA DE GRADO n Es a q u e lla f u n c i ó n c o n d o m i n i o Ii y c u y a r e g l a d e c o r r e s p o n d e n c i a e s tá dad a p o r : ,.. . n n-1 f ( x ) = a¡,x + a,x donde n e s entero un + a 2x p o s i t i v o y a 0 , a ¡r n-2 a2 , . + . . . . + . on . , a n son co n sta ntes re a le s (a,*0) Es e v id e n t e que las funciones constante, lineal y cuadrática son casos p a r t i c u l a r e s d e u n a f u n c i ó n p o l i n ó m i c a d e g r a d o n. 253 FUNCION RACIONAL Sí f y g son fu ncion es pol inóm ícas, la f u n c i ó n F, cuya r e g l a de c o rrespondencia es: f(x) F(x) _ a j X 11 + a I a : n - 1 + bjx0 9( x ) f 0 t b 1x n ~ l + . . . . + bn se denomina f u n c i ó n r a c i o n a l . Cualquier g(x) función polinom ial una es e s una f u n c i ó n c o n s t a n t e , E l d o m i n i o d e una f u n c i ó n r a c i o n a l le s que g ( x ) f 0 . EJEMPLO 1. H a lla r el dominio, Factorizando los f(x) = recta L:y-x+2, es el ~ de sin Luego, rango y c o n ju n t o de ocurre cuando VxcDom(g). lo s números r e a l e s trazar la g r á f i c a de ta términos de la fu n ción racional f(x)=x+2' x*-3 ’ x n y=-3+2=-l y = l +2=3 l a f u n c i ó n dada e s los puntos P ( l , 3 ) Dom(f) la f u n c i ó n : ' T 11 * ■* x —1 la g rá fic a Q (-3,-l). esto x 3 + 4 x 2+ x - 6 = x 2+2x-3 R estriccion es: x=-3 Luego, racional, _ f(x) Solución. función en p a rt i c u l a r cuando g ( x ) = l , la y = P.an(f) = R - { - l , 3 ) Sólo fines educativos LibrosVirtual se tiene: S e c c ió n 5 . 7: F u n c io n e s E s p e c ia le s EJEMPLO 2. 371 Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función , (x>-4x1-5x)(x1-6x+8) f(x) = x r~-6xr+3xTTÓ-- Solución. Factorizando los términos de la función racional se tiene: f(x) = x(xrl)(x-5)(x-2)Lx:4) = x(x„4) x¿-l , xf2 , xf5 (xfl)(x-2)(x-5) - f(x)=(x-2j*-4 , x¿-l,2,5 La gráfica de f es la de una parábola de vér tice en V(2,-4). Entonces: Dom(f) = R-i-1,2,5) Para determinar el rango hallamos tos puntos excluidos, esto es: Si x——l - y=(-3)*-4=5 * P(-l,5)1G(f) x-2 - y=(0)*-4=-4 x=5 * y=(3)*-4=5 - - V(2,-4)iG(f) Q(5,5)tG(f) Obsérvese que los puntos P y Q tienen la mis ma ordenada, entonces habrá que quitar y=5 del rango, esto es: Ran(f)=<-4,5>u <5,+“> FUNCIONES SECCIONADAS Hasta aquí' hemos tratado solamente funciones de tipo f(x)=y, donde una misma fórmula nos describe el comportamiento de la función en todo su dominio. Sin embargo, podemos tener funciones que tengan distinto comporta miento dependiendo de los valores del dominio. Es decir, si una función es tá definida por dos o más secciones, entonces: fi(x) , xeA f^x) , xeB f(x) = ‘'f,(£) , xeC tales que: AnSílCd... = ♦ y G(f) = G(fx) U G(fz) U G(f,) U . . . Dom(f) = Dom(fi) U Dam(fz)li Dom(f¡) U . . . Ran(f) = Ran(f,)u Ran(f z) u Ran(f 3) u . . . EJEMPLO 1. Solución. Graficar y hallar el rango de: f-1, si x < -2 f(x) = < J, si - 2 -S x < 2 [3, si x 2 Obsérvese que el dominio de la función se ha dividido en tres Sólo fines educativos LibrosVirtual C apitulo 5: F unciones E speciales 372 subconjuntos: A=<-“ ,-2>, B=í-2,2>, C=[2,+“>, tales que: A D B n C f ♦ , y que los valores de la función dependen de donde esté local izada x. Por ejemplo: f(-4)=-l, puesto que -2> f(0)=l , puesto que 0et-2,2> f(5)=3, puesto que 5e[2,+“> Entonces la gráfica de f(x) en cada sección es una recta paralela al eje X, dado que: fi(x)=-l , ft(x)=l , ft(x)=3 , son funcio nes constantes. Dom(f)=R -, Ran(f)={-!,!,3} .'. G(f) = GífijOGíUjuGfft) EJEMPLO 2. Hallar el dominio, el rango y trazar la gráfica de la /unción x*-4 . si x < 2 ¡x-21, si x i- 2 Solución. Aquí el dominio de la función se ha dividido en dos subconjuntos A=<-«,2> y B=[2,+~> •* Dcm(f) - Ail B = R (2) Determinación del rango: Sea fl(x)=x1-4 (Parábola con vértice en V(0, -4)). Si x < 2 * ■* x* í- 0 (x < 0) v (0^ x < 2) (xl > 0) v (0 < x 1 < 4) ■* x*-4 >y -4 ■* fi(x) -4 .'. Ran(fí)=[-4,+°> (3) Si x i- 2 * x-2 > 0 - ft(x)=x-2 Entonces: ft (x) >* 0, luego, Ran(fi)=lO, +"> (4) Ran(f) = 1-4, +*> U [0, +“> = t-4,+~> BC3R FUNCION ESCALON UNITARIO_________________________ | ¿ Es aquella función denotada por uQ , que se lee "escalón unitario de paso a" y que está definida por: i 0 , si x < a X 1| T Uq (x ) = u(x-a) {_2 , si x a cuyo Dom(uaJ=R y Ran(u<,.M0,1 1 EJEMPLO. Sea una función que consiste en el conjunto de pares ordenados (x,y), donde y está relacionado con x por: f(x)=u(x)-2u(x-l)+ u(x-2), donde u es la función escalón unitario. Indicar su dominio, rango y construir su gráfica. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.7: Funciones Especiales Solución. 373 Sea y = u(x)-2u(x-l)+u(x-2) Por definición: 0 , x<0 u(x)=u0(x)= . u(x-l)=u,(x)= , x>0 1 0 , x<l 1 ; u ( x - 2 ) = u 2( x ) = , X>1 0, x<2 1, x>2 siguiendo el método de los puntos críticos, determinamos los intervalos de variación en x=0, x=l y x=2. En cada intervalo, la función u tomará los valores de 0 y 1, a la izquierda y derecha, respectivamente, del punto crítico correspondiente. x < 0 0 0 < x 2 u{x)=l u(x-l)=l u(x-2)=-l y = 0-2(0)+0 = 0 —> 1< x < 2 y = l-2(0)+0 = 1 y = l-2(l)+0 = -1 y = 1-2(1)+1 = 0 x>2 Por lo tanto, la regla de correspondencia de la función es: 0 , si x<0 1 , si 0 < x < 1 /(x) = -1 , si 1 < x < 2 0 , si x>2 D o m (f)=R , Ran(f)={-1,0,1) 5.7.10 FUNCION SIGNO Es aquella función denotada por “Sgn(x)”, que se lee “signo de x”, y que está definida por: ’ -1 , si x < 0 Sgn(x) = • 0 , si x = 0 1 , si x > 0 En donde:Dom(Sgn) = R Ran(Sgn) = {-1,0,1} EJEMPLO. Construir la gráfica de la función f(x)=Sng(lx2-2l-2), Hallar su dominio y rango. -1 , si lx2-2l-2 < 0 Solución. Por deñnición: Sgn(lx2-2l-2)= ■ 0, si lx!-2l-2= 0 1 , si lx!-2l-2> 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 5: F u n c io n e s E s p e c ia le s 374 Entonces, si: |x2-2| <2 •*-*- (x1-2 < 2) <s (x z~2 > -2) (xz < 4) ~ (x1 > 0) |x2-2| = 2 *— |x2-2| «- < -2 ,2 > -(0 } x e (xz-2=2) v (xz-2=-2) (x2=4) v (x2=0) >2 *->■ x=±2 x=0 (x2-2 > 2) v (xz-2 < -2) ■>-* ( x 1 > 4) v ( x 2 < 0) « xe < - » , -2> u <2,+ ° > FUNCION VALOR ABSOLUTO Es aquella función con dominio R y cuya regla de correspondencia f es: X , si x 0 x < 0 • f(x) = |x| =■( |^ -x , si y Los elementos del conjunto f son pares ordena dos de la forma {f x , ¡ x | ) |xeK1 y su gráfica es la unión de dos partes de rectas cuyos puntos y=x y=-x>E son simétricos respecto del eje Y. y i 0 , (y=x, si x i- 0 v y=-x, si x < 0) 0 Dom(f)=R y Ran(f)=ÍO, +”> EJEMPLO 1. Solución. Construir la gráfica de la función: f(x)=|x-2|-3 Sea: y+3=|x-2|, entonces por definición de valor absoluto: (y+3 i- 0) „ [(y+3=X-2, si X (y > *■ Cíy=*-5, 2) v fy+3=-x+2, S i X < 2)] si x >^2) v (y=-x-l, si x < 2)] La gráfica de f es la unión de dos partes de rectas cuyos puntos son simétricos respecto de la recta x=2. fL,:y=x-5, si i í-2 (y >y -3) ~ j [L2:y=-x-l, sí x < 2 Dom(f)=R y Ran(f)=[-3,+a> Sólo fines educativos LibrosVirtual X 375 Sección 5.7: Funciones Especiales EJEMPLO 2. Solución. ■* Construir la gráfica de la función f(x)-\x1-4\ Si y=\x'-4\ - y = í 1 **4 ' s¿ * 4 l -(xt-4), si x 1 < 4 (y >,0) ~ l(y=xl-4, si x ^ -2 o x I 2) v (y=4-xz, si -2 < x < 2)1 Entonces, la gráfica de f es la unión de dos partes de parábolas, en el semiplano superior del eje X. P l:y=x*-4, con vértice en V¿0,-4) y P 1:y=4-xt, con vértice en Vt(0,4). ■* f P l:y=x*-4, si x 4 -2 o x %■ 2 p í;y=4 -x ttsi -2 < x < 2 (y t- 0) Dom(f)=R , Ran(f)=[0,+“> EJEMPLO 3. Hallar el rango y trazar la gráfica de la función: f(x) = \x-l l+|x-2| Solución. Sea y=|x-I |+ |x-2| Seguiremos el método de los puntos críticos para determinar los intervalos de variación y eliminar las barras de valor absoluto según sea el signo que adopten en cada intervalo. En este caso los valores críticos son: x=l y x=2 Si x < 1 1 14 x < 2 2 x i. 2 |x-l|=-íx-i; ¡ |x-í|=+fx-I) |x-J|=+fx-l) \x-2\=-(x-2) ¡ |x-2|=-íx-2) |x-2|=+fx-2} x < 1 - y=-(x~l)-(x-2)=3-2x 1 < x < 2 * y=+(x-l)-(x-2)=l x > 2 ■* y=+(x-l)+(x-2)=2x-3 ~3-2x , si x < 1 * f(x) = • 1 , si 1 4- x < 2 2x^3 , si x i. 2 Dcm(f)=R y Ran(f )=[!,+-> EJBfLO 4. Sea f:R + R definida por: f(x) = , hallar el rango |x-l|-|x-2| y trazar la gráfica de f. Solución. Procediendo en forma análoga al ejemplo anterior se tiene: Valores críticos: x=I y x=2. Sólo fines educativos LibrosVirtual 376 Capitulo 5: Funciones Especiales x < l |x-i |=-fx-2,) |x-2|=-(x-2; Si x < 1 1 4 x < 2 r x » 2 ; |x-2|=+fx-22 |x-2|=+fx-2) | |x-2|=-(x-2) \x-2\=+(x-2) 1 = -i -(x-l)+(x-2) - 14 x < 2 - y = 1 (x-l)+(x-2) x i- 2 y = 1 =2 (x-1)-(x-2) y. L_ 2x-3 i - o' En el intervalo íl,2> la gráfica de f pre i senta una asíntota vertical x=3/2, por lo que la curva se extiende indefinidamente 1 -i 1 encima de ¡a recta y-1 y debajo de la rec ta y=-l. 00E B Ran(f)=<-“ ,-1 ] U [2 ,+~> FUNCION M AXIM O ENTERO £s la función con dominio R y cuya regla de correspondencia esté dada por: f(x) = ([x j donde [[xj es el máximo entero no mayor que x, es decir, si [[xj = n *-* Según el Teorema 57, si: = max<neZ|n -S x) |Jx]]=n <"* n 4 x < n+1, m Z Entonces el dominio de la función máximo entero, es la unión de intervalos de la forma Cn,n+l>, ncZ, esto es: Dom(f) y como f(x)-n R = xe y [n,n+2> neZ ■+ Ran(f) = Z Luego, para trazar la gráfica de /íx)=jxj, especificaremos f para algunos intervalos de longitud unitaria a cada lado del origen. -2, si -2 4 x < -1, n=-2 -1, f (x)=lxj¡ = -t--? si-1 4 x < 0 , n=-2 0, si 0 4 x < 1 , n=0 1, si11 4 x < 2 , n=l w 2, si 2 4 x < 3 , n=2 Nótese que la gráfica de f se obtiene dando valores a n, esto es, para cada valor de n - t I l i " T obtenemos un intervalo en el cual se tiene Sólo fines educativos LibrosVirtual i i 1i -4 S e c c ió n 5 .7 : F u n c io n e s E s p e c ia le s 377 una función constante de rango n. EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la función f(x,)= X x/2 J ** Si |[x/2]]=n Solución. n 4 ^ < n+1 2n 4 x < 2(n+l) ++ Entonces: Dom(f) = lx|xe[2n,2(n+i}>( ncZi Obsérvese que aquí los subintervalos del dominio de f son de longitud doble EJEMPLO 2. Solución. Construir la gráfica de la función f(x.)= J rnx J], mcZ Si [£mx]]=n «-* n -S mx < n+1 (1) Puede ocurrir dos casos: m < O - a) si & } b) Si m > O + En a) nótese < * < £ * Dom(f) - ,i] x <-=±-J + Dom(f) - ¿ [ 3 y f(x)=n ,_Z£> y f(x)-_n que cuando n es positivo el intervalo de x es negativo y versa (m < 0). Luego,dando valores a n en ambos casos se tiene: -2, -1/m < X -1, 0 < X -1/m n=-l 0, 1/m < X 0 n=0 1, 2/m < X 2, 3/m < X -S \ 4 n+-2 -2 / m 1 2/m 3/m ; ^ 0 rt=-l 1/m, n=0 X 0 X < 1/m , n=l 1, 1/m <; X < 2/m n=i 2/m , n=2 2, 2/m X < 3/m rt=2 I ' = ' L - y. 2 m > 0 1 17m -1/m, n=-2 1/m m < 0 ' < 0. -1, f(x) 2 i X < yj ' -2/m -2 , 0 's-l/m ^ 1 * -2/m - 2( m -1< - 1 / m sd *•1 i JÉ h -2 \ y lím b ¿ ---- -2 Sólo fines educativos LibrosVirtual 2/m 3/m * 378 Capitulo 5: F unciones Especiales EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función . Solución. ■ Dado que ¿xeR *♦ j >/ 0 y J x Je Z , fl}íc]]=n ++ (x O) ~ (O tenemos que: n < Sx < n+1 , ncZ+ ++ n1 4 x < (n+1)2, nzZ* Entonces: Dom(f)={xeR+ ¡xe[nt,(n+])í>, VneZ11 = [0,+“> Siendo: f(x)=n Observación. + Ran(f)-Z+ V{0\ Las gráficas de las funciones del tipo f <'x.)=[[g(x) J , tienen por característica fundamental lo siguiente: Supongamos un intervalo xe[a,b> del dominio de f, sabemos que para rieZ, si: f(x) = ([gfxj J = n Si ++ n g(x) < n+1 , -Kre[a,b> interpretamos geométricamente este resultado veremos que la gráfica de f(x) en [a,b> es la proyección vertical de la gráfica de g(x) en dicho in tervalo. Entonces, dada una función g, cuya y. 3 gráfica es conocida, (línea punteada), la gráfica de la función f = H g J estará consli n+L tuida por segmentos horizontales uno de cu g(x) yos extremos estará sobre la gráfica de g. f(x)=n‘ Esta característica importante puede ser u- /] til izada para esbozar gráficas de funciones 0 de1 t ipo mencionado. EJEMPLO 4. i a 1 ^ [ 1 3(x) 11 i x , x Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función f(x)=jL**2 Solución. A 6 Construimos con trazo punteado, la parábola g(x)=x? Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.7: Funciones Especiales 379 Luego, determinemos tos intervalos [a,b>. Si [[x*I]=n *-+ n 4 x l < n+1 (1) Como x 1 ?• Ó, YxeR ■* £ x 1 J » O, esto es, n >,0 Eitonces en (I): O 4 n 4 |x| * < n+1 Caso 1. Si x < O + |x|=-x Caso 2. Si x > 0 ++ vfi < |x| < Ai+l /fT4 -x < Jñ+1 + +■+ -/n+1 < x y como ffx)=n + + 1*1=^ -+ -/ñ /ñ 4. x < /n+1 + xe<-/fi+I ,-/fT] •* xc[/fi, /h+1> Ran(f)=Z* U (0) ^ 0 , si 1 , si xe<-/Z,-l ] u [!,/?> f M = ------- 3 X £< -1 .0 ] U [0,1 > = < -!,!> '1 * , 2 * 1 , 2 , si xc<-/3,-/2]olS2,/3> 3 , si xt<-2,-/T] u [/f,2> ---- i • A i 1 i 1 i 1 ' ^ -2 EJEMPLO 5. -------- * * ! -Y y 0 \ ' i i i'i i 2 * Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función f(x)=ll-2x^ Solución. (1) Trazamos, con línea punteada, la gráfica de la recta y=l-2x (2) Determinación del dominio y rango de f: Si Jl-2x]j=n +-*• n 4 l-2x < n+1 +-+ -(n+1) < 2x-l 4 -n -n < 2x 4 -n+1 EJEMPLO 6. -2- < -r < iin 2 2 Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función f(x) = Solución. (1) Dibújanos, con trazo punteado, la gráfica de g(x) = j ~ r Hornada, curva de Agnesi, que tiene como asíntota el eje X. (2) Dado que x 2 ^ 0 , VxcR ■+ x *+ l i- 1 + 0 < 1+x Sólo fines educativos LibrosVirtual t* 1 380 Capitulo 5: Funciones E speciales I J í o F j = 0,1,2,3,4 ; esto es Ran(f)=i0,l,2,3,4) Como ia gráfica de g(x) se extiende a lo largo del eje X ■+ Dom(f)=R. Conocidos los elementos del rango, podemos determinar los subintervalos del dominio haciendo: l l f r l Para n=0 0 4 t ^ 1+x n - " 1+x* > 4 < 1 4 — i < n+1 1+x •— x 1 ♦— n=l - > 3 xe[VJ,-i>u <j,/3] 1 .$ +*■ x > ¿3 o (Verificar) n=2 < 2 1+x1 4 + 2 * T¡x* K 3 ~ xet-l,-l//3>d <l//3,1] (Verificar) n?3 -3 í xe[-l//3.0>O<0,l/S3] (Verificar) EJEMPLO 7. < ■! *- x < -•'7 xe<-~,-/3> O </J,+»> Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función f(x)= |x|-I*U Solución. Si £ x j = n «-► n 4 x < n+1. Consideremos dos casos: a) Si x í. 0 -+ |x|=x -* -*• b) Si x < 0 -+ ffx)=x-([x]] f(x)=x-n +-+ xe[n,n+I>, n í- 0 , neZ+ |x|=-x -*f(x>=-x-J[xJ=-x-n Luego, de (1) y (2): (1) «-»xe[n,n+l>, ncZ~ (2) Dom(f)=R Para determinar el rango consideremos también dos casos: a) Si x >,O ■*n 4 x < n+1 «-► £x]]=n -* Restando n a , ntZ n 4 |x| < n+1 cada lado: n-n 4 |x|-n< n+l-n -» 0 4 !^c|— [T^ J < 1 — b) Si x < O •* -m-I 4 x < .Multiplicando por -m, -i: m < -x 4 m+1 meZ yelO,l> -*[[x J¡=-(m+l) ■* m < |x¡ ^ m+1 Sumando m+1 a cada lado: m+(m+l) < |x|+ím+J) ^ m+l+(m+l) -+ 2m+l < |a:|-[[xj ^ (2m+l)+l Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5 . 7: F u n c io n e s E s p e c ia le s 381 n < f(x) ^ n+1 Haciendo 2m+l=ncZ impar -+ yc<n,n+l ], ncZ impar ~ <n,n+1 ], ncZ impar Ran(f) = 10,1 > (J n=l K tst Dando valores a n en (1) y (2) obtenemos: 2-x, xe[-2,-l> , n=-2 f(x) = i 1-x, xeí-l,0> n=-l x , xelO,l> n=0 x-1, xe[2 ,2> n=l x-2, xel2,3> n-2 -2 EJEMPLO 8. y -1 Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función: f(x) = 4c|-[[x]] Solución. La función es real O + |x|= x. Si x <-+ |x|-|£x J í- O La desigualdad <-+ J x J -í |x| 4 x es v á l i d a J x J VxeR+ gún el T.56). Luego, Dom(f)=R + (1 ) Si x < O ■+ |x|=-x (2) -* | x | -í -x, es válida VxeR" -* Dom(f)=R' Por lo tanto, de (1) y (2): Dom(f)=R Para determinar el rango consideremos también: x i- O a) Si x ir O (Se- -+ n - í x < n+1 " J x J|=n , ntz y x < O -+ n í |x| < n+1 Restando n a cada lado: n-n 4 |x|-n < n+l-n jxj - |Xx ]] <-+ 0 4b) Si x < O + -m-1 <2 <- + 0 4 ./f*|-¡I*U -S x < -m, meZ Multiplicando por -1: < 1 ~+ ye[0,2> -*•J x J=-ím+2.) m < -x 4 m+1 -+ m < |x| m+1 Simando m+1: m+(m+l) < |x|+fm+j; 4 m+l+(m+l) -+ 2m+l < |x|-[[ x j í (2m+l)+l -+ /2m+l < /|x|-][xl v< S(2m+1)+1 Haciendo 2m+l=neZ+ impar: /n < f(x) -5 Jñ+1 , ncZ* impar. Ran(f)=[0,l>y¡<'/ñ,Sn+Í], neZ* impar Sí x í- O + y=»íc-[[x J , y si x < O ■+ y=/-x-£xj f ( x ) =< /x si O 4 x < 2 /x=2 si 2 -í x < 2 /x=2 /Fx /Fx si -2 4 x < -1, /Fx Sólo fines educativos LibrosVirtual 382 Capitulo 5: F unciones Especiales EJEMPLO 9. ilf la gráfica y hallar el rango de la función Construir I J x-2]] , si I * | f(x) = es par , *ce[-3,43 3* - Jx+I ]J , si I*]] es impar Solución. Sabemos que si mtZ Entonces, sean: -* [[x-en]] = £*]! + m fi(x) = I*j]-2 , sí J * J (T.61) es par fz(x) = 3x-{[x])-I , si |*j] es impar - Graf(f) = Graf(fi) U Graf(fz) En f,: £*]] = n = 2k 01 fe- «~ 2k ~i x < 2k+I, keZ 1*1! = n - 2k+1 ■t- * fJx)=2k-2 2k+1 -i X < 2k*2, keZ * f 1(x)-3x-2-2k . 2k-2 , 2k 4- x < 2k+l f(x) ■ C3x-2-2k, 2k+l 4 x < 2k+2 Luego, en flf para k=-l,0,l y en fi, para k=-2,-1,0,1; obtenemos: f(x) = -4 , xe[-2,-l> -2 , xe[0,2> l n par O , xe[2,3> J 3x+2 , xe[-3,-2> 3* , *e[-2,0> n impar 3*-2 , *e[2,2> 3x-4 , xe[3,4> fionf/^C-7,-4] u [-3,0] ü [1,4] u [5,S> 5.7,13 FUNCIONES PARES Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas res pecto del eje Y, es decir, si en ellas se cumple: i) Si xeDom(f) -* -xeDom(f) ii) f(x) = f(-x) , VxcDom(f) Ejemplos. (1) Sea la función: f(x)=3xl-x* - f(-x) = 3(-x)l-(-x)' = 3xl-x' -» f(x) = f(-x) f es una función par. (2) Sea la función: f(x)~|x*+2x¡ , xe<-5,5> i) Si xs<-5,5> ** - S < x < 5 * * 5 > - x > . - S *■ -xe<-5,5> ii) f(-x) = | f - * ; 3 + 2 f - * ; | = | - x 3- 2 x | = |- C x 3 t 2 x ] | = | x 3+ 2 x | f(~x) = f(x) f es una función par. Sólo fines educativos LibrosVirtual . Sección 5 . 7: Funciones Especiales g JJJ 383 FU N C IO N ES IM PARES______________________________ § Son aquellas que se caracterizan por ser simétricas respecto del origen de coordenadas, esto es: EJerrplos. i) Si xeDom(f) -* -xeDom(f) ii) f(x) = -f(-x) , YxeDan(f) fl) Sea la función /fx)=x’-x -+ f(-x) = (-x)'-(-x) = -x3+x = -(x'-x) -+ f(-x) = -f(x) — ► f(x) = -f(-x) f es impar (2) Sea la función f(x) = ,/íc(l+ |aj) » f(-x) = *.¿xfi+|-x|) = -’/ifl+lxl) -» f(-x) = -/fx) | +-*• /fx) = -f(-x) / es una función impar. [ FU N C IO N ES PERIO DICAS___________________________ Una función f en R, se dice que es periódica si existe un número 740, llamado período, tal que: í) Si (x+T)eDom(f) -»-*■ xeDom(f) ii) /Íx+T) = /fx) , VxcDom(f) Ejenplos. fl) Probar que la función /fx)=([ 2xJ-2[[x]| es una función pe riódica. En efecto: i) Como Dom(f)=R, entonces, si xeR ■* (x+T)cR ii) /fx+T) = l[2x+2T]]-2[[x+T| = t[2x|+2T-2fl[xl+T) = [][2x]J + 27 - 2|[xj - 27 = l2 x J- 2 f l > J = /fx) Por lo tanto, f es una función periódica. Otros ejemplos clásicos de funciones periódicas lo constiluyen las funcio nes trigonométricas. Asi tenemos que: Sen(x+2i) = Senx , VxeR ■* T=2» tant>ién: Senfx+4») - Senx , YxzR -* T=4rr es un período de la fun- ción seno, siendo T=2* el menor periodo positivo. Entonces se define período mínimo de f al menor de los períodos positivos. (2) Sea la función /fx)=Cosfhx+a), donde b > 0, hallar el período de la fun ción. Se debe verificar que: f fx+T) = / fx) ■+ Cos¡b(x+T)+a] = Cosfbx+a) -*■ Cos[(bx+a)*bT] = Cosfhx+a) Sólo fines educativos LibrosVirtual 384 Capitulo 5: Funciones Especiales -► C o s ( b x + a ) . C o s ( b T ) - S e n ( b x + a ) . S e n ( b T ) = Cos(bx+a) La ig u a ld a d se cumple s i : En ambos c a so s: bT=0 Pero como T / 0 -* o C o s ( b T ) = l y Sen(bT)=0 bT=2v T = 2 n /b -» T -0 o T=2n/b es e l m ínimo p e r í o d o EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Si f(x) = x x *—Q ¡_2x -3 es una funci°n reaí con dominio A y ran go B, hallar (AhB)'. Solución. f(x) - -g f f i g f j = f f Para x=3 - x Luego, A fl3 = -*■ y = • yH ~ 1+ 3 . *« 3 - A - R-l-1.3) ; como x¿3 -*■ y¿3/2 s = R- U ’3/2» =R-\-l,1,3/2, 3}- (A flB) ' = 1-1,1,3/2,31 EJERCICIO 2. Sean f y g dos funciones: f (x)=^ 2x-3 j] - 4 , g(x) y si A=)xeR|/'(x.)=0), entonces hallar ¡A 'n Dom(g) ] ’. Solución. Si f(x)=0 -* A=ll/2,1> En g: Si - |2x-3|-2=0 - |[2x+3j=4 * - 4 4 2x+3 < 5 A i / 2 > U [i,+“> |2x-3|=2 •— — 1/2 4 X <1 f2x-3=2> v (2x-3=-2) *-* (x=5/2; Entonces: Dom(g)=R-{l/2,5/2); luego: A' v (x=l/2) fl Dom(g) = <-■>, 1/2> U [J ,+“>-{5/21 •\ ¡A' n Dom(g) ¡ ' = [J/2,1> ü (5/21 EJERCICIO 3. Si f es la función de variable real definida por: f(x) = / x + d - x j + xjx]], demostrar que -VxzDom(f), -x e Dom(f) y f(-x)-f(x). Demostración. En efecto, siendo f una función de variable real, entonces 3f •— x +d -x]| * 0 — • 1£-x ]) i--x . Vxeft (1) Pero, por el T.56: J-xJ¡ ■$ -x , YxzR Entonces de (1) y (2), se sigue que: J-x]] = -x «— (2) -xeZ (T. 55) x = -(-x)cZ Luego, si [[x]]=x -*•Dom(f)=Z. Entonces en f: f(x)=/x+(-x) +x(x) Por lo tanto, VxF.Dom(f)-Z: -xcZ y f(-x)=(-x? =x* = f(x) Sólo fines educativos LibrosVirtual = x* 385 Sección 5.7:Funciones Especiales EJERCICIO 4. Sea f una función reai definida en [~2,4> por la regla de correspondencia f(x) = . Hallar el rango de f. l+\x-3\ Solución. Como los puntos críticos x=-l y x-3 pertenecen al dominio de f, entonces, para eliminar las barras de valor absoluto debemos ex presar el intervalo C-2,4> como una unión de subintervalos, esto es: í-2,4> - [-2, -1> U [-J,3> u [3,4> y hallar el rango de f en cada subintervalo. a) Si xe[-2, -1 > xe[-2,-J> — |x+i |—-(x+1) y ¡x-3¡=-(x-3) -* f(x) =~ -2 4 x < -1 — x-4 b) x-4 -1 4 X < 3 ■— -3 < -X 4 1 5 c) 3 . . 8 - — < 1 + zm **-► Si xe[-l,3> -*■ |x+i|=x+i y |x-31 =-(x-3) xe[-l,3> 1 < _L_ ¿ _ J. 5 x-4 " 6 -6 4 x-4 < -5 8 . 8 . 4 - t < — . 4 - zr 4-x . 1 4 ' -s ~ o /c i /o y c < - 3 /5 , -1 /3 ] _ (x+1)-3 _ -* f(x) = -p(x-3) i < 4-x 4 5 + 2 v+ 1-3 Si xe[3,4> + |x+j|=x+4 y |x-3|=x-3 -» f(x) = ¡+xlj - i - yeU) Ran(f) = <-3/5,-J/3] u [-3/5, J> i) U 1 = [-3/5,i] EJERCICIO 5. Determinar anal ít¡comente el rango de la función f definida x en R por: f(x) - j + ^ Solución, a) Si x J, O ■» |x|=x — Graficar la función. f(x) x+1 >'1 ~ o <-¿¿4 1 ~ -I « - Si x í- O *- O 4 1 - — ¡. < 1 - b) (1 ) l+x Si x < O - |x|=-x - ffx/ = Si x < O -* -x > O — 1-x > 1 — — -!<-!+ ye[0,J> O < < O - 1 -X < 1 ye<-l,0> .'. Ran(f) = C0.J>u<-j,0> = <-J,J> De (i/ obtenemos: (x+I)(y-l)=-l Entonces, la gráfica de (1) es parte de la Sólo fines educativos LibrosVirtual <o 386 C apitulo 5: F unciones E speciales de la hipérbola H, de centro Ci(-l,I), para x ^ O. De (2), se tiene: (l-x)(y+l)=l *-*■ (x-l)(y+l)--l Luego, la gráfica de (2) es parte de ia hipérbola H z , de centro C z(l,-1), para x < 0. EJERCICIO 6. f-i, si x < O Se define la función g en R por g(x) = -í O, si x-0 (_ 1, si X > O hallar el dominio, rango y graficar la función f(x)=g(-g^) Solución. Por definición, g es la función signo, entonces: '-1, si x+2 < 0 — f(x) = Sgn(~^) = ■ 0, si ► -2 < x < 3 = 0- 1, si ^ > 0 X+2 ?- x-3 x < -2 o x > 2 1 -? ’x Ran(fJH-i, 0,1) EJERCICIO 7. -1 Sea f una función con dominio [-a,a],donde a > 0. Demostrar que f se puede expresar como f(x)=f,(x)+fz(x), donde f¡ es una función par y f , es una función impar. Danostración. En efecto, haciendo: f(x) = ^f(x) + - (x) + -f(-x) - j¡f(-x) f(x) = j[f(x) + f(-x)] +jlf(x) - f(-X)l Sean f X(x) = ~ 2 [f(x) + f(-x)] y fz(x) = ^lf(x) - f(-x)] Si fi(x) es una función par, se debe cumplir que: f l(~x)=fX(x) Entonces: fi<-x) = j[f(-x) + f(-(-x))¡ =~ff(-x) + f(x)) = f X(x) Luego, f x(x) es una función par. Si fi(x) es una función impar, se debe cumplir que: fz(-x) = -ft(x) Entonces: fx(-x) = í[f(-x) - f(-(-x))] = j-lf(-x) - f(x)¡ = - fi(x) Luego, f es una función inpar. Por lo tanto, en (1): f(x)=fi(x)+fz(x) Sólo fines educativos LibrosVirtual (1 ) 387 Sección 5 . 7: Funciones Especiales EJERCICIO 8. En w triángulo ABC cuya base AB=10 y cuya altura H=6, está inscrito un rectángulo PQRS tal que el lado SR ez lado AB. Si "y” es el área de dicho rectángulo, expresar "y" como una función de su base x. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima. Solución. Sea h la altura del rectángulo Area del rectángulo: S = xh tABC - L P Q C de donde: * $ =§ 10 (1) 6 6-h h - |f 10-x) (2) Sustituyendo (2) en (1), se tiene: S(x) = ^c(lO-x) ++ y = - ^(x*-10x) £ Completando el cuadrado: y = - -gfx-53*+I5 Parábola de la forma: y=a(x-h)z+k Como a=-3/S < 0, la parábola tiene su punto más alto en el vértice V(S,15). Esto es, ymax=1S Para x=5- En (2), se tiene: h=3 Luego, x=5 y h=3 son las dimensiones del rec tángulo de área óptima. EJERCICIO S. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función f(x)=2+(-l)n , donde n = j x j . Solución. Si ([xj=n a) b) n 4 x < n+1 . Consideremos dos casos: 2k + n=2k, keZ + (-1) - 1 Para n=número par .'. f(x) = 2 + 1 = 3 , Vx£Í2k,2k+l> 2k+1 » n=2k+l •* (-1) = -1 Para n=número impar .'. f(x) =2-1 = 1 , Vxc[2k+1,2k+2> Luego, Dom(f)=R y Ran(f)=ll,3} f 3 , si xc[2k,2k+l> y f(x) = < o ----- Sólo fines educativos LibrosVirtual 388 Capítulo 5: F unciones Especiales EJERCICIO 10. Sea f una función real definida por f(x)=x ]|-4x[[ y cuyo dominio es <0,6], hallar el rango de la función. Solución. Si [[■jjj’Ij = n «-* n S jjj < n+1 , m •> 0 m.n*$ x < m(n+l) xc [mn,m(n+l)> Obsérvese que los subintervalos en que se divide el dominio <0,6] para mil y m u a) Si m=2 son de longitud doble y triple respectivamente, es decir: ■* xc[2n,2(n+l)>, n=0,1,2,3; ya que 0 < ^ 4 3 Entonces para cada valor de n tendremos: xc<0,2> U (2,4> UÍ4,6> U (61 b) Si m=3 * xc[3n, 3(n+l )>, n=0,l,2; ya que 0 < j -í 2 Entonces para cada valor de n se tiene: Interceptando (1) y (2) resulta: (1) xc<0,3> u [3, 6> u (6) (2) xc<2, 3> U [3, 4> U [4, 6> U Í6¡ Luego, si f(x) = x 2 ^ J¡— ix J ^ J| , hallaremos los valores de üyl] y II en cada uno de estos intervalos. (1) Para xc<2,3> ■* (x/2)c<l,3/2> f(x) - x1 (l)-4x(0) = x1 ■* (2) Para xc[3,4> -» y (x/3)c<2/3,1> f(x)c<4,9> (x/2)c[3/2,2> y (x/3)c[l,4/3> f(x) =x*(l)-4x(l) - x z-4x ■* f(x)c[ -3,0> (3) Para xc[4,6> - (x/2)e(2,3> f(x) = xl(2)-4x(l) = 2xz-4x (4) Para x=6 - y (x/3)c(4/3.2> f(x)c[16,48> f(x) = f(5) = 36(3)-24(2) = 60 .'. Ran(f) = 1-3, 0> u<4,9> u (16,48> U (60} EJERCICIO 11. Si 4f(x-3)=xz+4, hallar los valores de a tales que el ran go de g sea <-3,3>, donde: g(x) = Solución. 4f( x-3)=xz+4 - V (x) - -► 4f(2x-3) = (2x)z+4 = 4xz+4 • Si X™<9>=<-3.3> - •* f(2x-3)=xz+l -3 < f ^ S ± - J < 3 (¡) Dado que x z+x+l > 0, -VxeR (Verificar), entonces en (1) se tiene: -3(xz+x+l) < x z-ax+l < 3(xz+x+l) de donde: [4xz-(a-3)x+4 > 0] ~ [2xz+(a+3)x+2 > 0] (2) Para que se cumpla ambas desigualdades de (2), el discriminante de los pri meros miembros debe ser negativo, esto es: f(a-3)2-4(4)(4) < 0) a l(a+3)2-4(2)(2) < 0) «-*• ae<-5,i> Sólo fines educativos LibrosVirtual (Verificar) S e c c ió n 5 . 7: F u n c io n e s E s p e c ia le s EJERCICIO 12. 389 Hallar el rango y construir la gráfica de la función: r/\x\+2 f (x) = m , si -7 4 x < -2 + x 1 , si |jc| .$ 2 l-\x+l\ 2x-l , si < 5 (1) Sea f 1(x) = /\x\+2 , si -7 4 x < -2 Solución. Dado que x < O -+ Si -7 2 4x < -2 — |x|=-x -*■ f,(x) = J'2-x 2 < - x 4 7 +-*4 < 2-x v< 9 « 2 < / ^ x < 3 -> y c<2,3) (2) Sea f¡(x) = lyjl+x* , si -2 4 x i 2 Sl IT]f 11 = n n 4 j < n +1 ** +-+ 2n 4 x < 2 (n+l) Luego, si f¡(x)=n+x2, damos valores a n hasta cubrir el intervalo [-2,2] Í -l+xx, si - 2 4 x < O O+x2, si O 4 x < 2 l+x1, si x=2 (3) Sea f¡(x) = i fi(x ) = - ,n=-l + yc<-l,3] ,n=0 + ye[0,4> ,n=l + yt{5} Lfíii, si 2 < x s 5. Como x > O + |x+l| = x+1 si 2 < x 4 5 yc<-2/3,-5/9] (Verificar) - 2x-l’ 2x-l :. Ran(f) = <2,3] u <-J,3] u 10, 4> u 15 >U <-2/3, -5/9] = <-l,4>U{ 5} r/2-x ,si -7 4 x < -2 x l-l ,si - 2 4 x < O f(x) = • x 2 x x+l - EJERCICIO 13. ,si O 4 x <2 ,si x = 2 si 2 < x 4 5 Sea f una función definida en R por f(x) = . llar el dominio, rango y graficar i a función. Solución. La función es real ** |x|-|£xll f O Consideremos los siguientes casos: Caso 1. Si x < O -+ [[xj] Pero si x < O -* -i y |x|=-x -► Luego, si f(x)=0, toe<-=,0> Caso 2. Si x > O -+ |x| > O -» Ixl+x = O + xeR - Ran(f) = {01 (1) |x|=x Si |x| - (fx I =0 - ([xJj =x + (xzZ) ~ (i>,0J <-► xcZi Sólo fines educativos LibrosVirtual (2) 390 C apitulo 5: Funciones Especiales Entonces de (1) y (2) setiene que: Dom(f) = R-Z+ Para determinar el rango en el Caso 2, consideremos: a) O b) a) o < x i|xtZ*. * Si |[x ]]=n fw Ran(f) ={21,3ác<0,J> Pero como i > i y [ i j = n ~ (3) 0 xe[n,n+I> , n >y O n -4 x < n+1 - + 0 4 x-n < 1 -+ x =n >J y = f r f = 2 n 4 x < n+1, n ~ x - n = 2 * 3¡^j <x < 1 x > l¡xéZ+ > 1 (4) -* 2n i, 2 > O , luego, en (4) x=n * 2n ~ 2 + 3 ^ * 2n+2 f<x) > 2n+2 (per0 n * X) -+ f(x) > 4 -+ y e<4, <••»>, sí x > 1, x¿Z* Por lo tanto, de (1),(3) y (5): (5) Ran(f) = <4,+»> lt{0,2) |x - ffx]]| , si U x J es par |x - Jx +1 1 1 , sí I x l es impar Solución. Entonces: (1) Sea fl(x) = \x - HxJ|, Por el T. 56: ([x ]] 4 x Ix-üxJl =x-[[xIJ [[xj] = n = 21c — ► 2k 4 x < (2) sí Jx]] es par. < ¡Jx J +1, Vx e R -+ 0 -í x~ [fxj| < J -* f,fx)=x-[[xj], sí J x J 2k+l, keZ + es Sea ft(x) = |x-Jx+.l]]| = |x-[[x]]-l| Pero de (1): x-[[x]] < 1 -* x-[|xIj-2 < 0 Luego, f2(x) = - í x - J x J - j ; = j t - x + j x j , sí |Jx ]] es impar. H x J| = r» = 2k+l +-+ 2k+l ^ x < 2k+2 par. f^íxl^x-Zk, si 2k 4 x < 2k+l * f2 (x)-2k+2-x De (1) y (2), la regla de correspondencia de f es: Sólo fines educativos LibrosVirtual 391 Sección 5.7:Funciones Especiales _ í x-2k , si 2k-í x < 2k+l \2k+.2-x , si 2k+l í i < 2k+2 Entonces, para algunos valores de k obtenemos: x+4 si - 4 ¿ X < -3, k=~2 -2-x, si -3 X < -2 x+2 si -2 < X < -1, k=-l -x, s i -i X < 0 2-x, si i X < 2 4-x, s i 3S X < 4 6-x, si 5 < X < 6 X s i 0 .< X < 1 x-2 s i 2 .< X < 3 , k=l x -4 s i 4 .< X fi (x) k=0 fz M = ‘ < 5 , k=2 \ Obsérvese que la función f tiene un período mínimo T=2. EJERCICIO 15. Hallar el rango y construir la gráfica de la función: 2-x f(x) , si xe [ -4,4] ( Solución, 1*3 2-x , si xe [0 ,4 ] X-ff* íI x 1 Z* x-fij] JO*-* j£Je D' i x a) Si x > O fi (x) -- Vemos que ef Es decir, Domf/',,) = [O, 4]-{0,1,2, 3, 4] Si ([ac {] = n n4x<n+l 2-x 2-x fx<x) = * fx(x) = j ^ J fi(O) = +•» , O < x < 1 , n-0 j <x < 2 X ~1 ' b) Si x < O - j n=1 _ j f,(l) = +*» ’ (Asíntota x=l) 1 fx(2) = O . 3 < x < 4 , n=3 ■» f x(x)--l (Constante) „ f fi(3) = -«■ (Asíntota x =3) \fi(4) = -2 fz(X) = 2-x -x- H X j] 3fz *-* (Asíntota x=0) •I fx(l) = i - -1, 2 < x < 3, n-2 x . n=0,l,2,3 x + J x j] * O *-* IJ x ¡] ^ -x x-2 x+ liX j x g Z~ Sólo fines educativos LibrosVirtual xd-4,0> 392 C a p ítu lo 5 : F u n c io n e s E s p e c ia le s Es decir, Dom(f) = 1-4,0> - 1-4,-3,-2,-li Si [[xj = n n 4 x < n+1 * x-2 filx) = ^ , n = -1,-2,-3,-4 , -1 4 x < O , n=-l - ft(-l)=3/2 ; M 0 > = 2 , -2 4 x < -1 , n=-2 -* fi(x)=l h M (constante) = x-2 , -3 4 x < -2 , n=-3 x-3 fl(-3)=5/6 ; fz(-2)=4/5 x-2 x-4 fi(~4)=3/4 ; f*(-3)=5/7 - 4 4 x < -3 , n=-4 EJERCICIOS: Grupo 36 J. Sean las funciones f y g de variable real definidas por f(x)=3xl+6x+8 y g(x) = -¿L¿'■ Hallar [Dom(f) U Ran(f)]’. / I?f r - r * 2. Hallar el dominio de la función f(x) = J -----y |2x-5| 3. Sean f y g dos funciones definidas por f(x)=-/2-x+3 y g(x)=x2+14x+50. Ha llar Ran(f) n Ran(g) 4. Sean fíx)=Hx+2]] + [[ J-xj], g'fx>= jx+2|-| J-x|, hallar Ran(f) nRan(g). 2x* 5. Si f(x) = ■x i +2X+2 ’ Hallar todos los valores de a para los cuales Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 36 393 -1 < f(x) < 3, VxcR 6. Sea f una función definida en R por la igualdad f(x) = --------- , ha|5x2-3x+I | (lar todos los valores reales de m para los cuales f(x) > 1. 8. Si A es el dominio de la función f(x) = -- - y B es „ [[i-xj+l Í7to>-| H*]] I' halíarAOB. - 7. el rango de Si f es una función cuadrática, tal que f(j -l)-f(j +l)=-8(x+l), VxeR; hallar el valor mínimo de f, si f(0)=l. 9. Hallar el mínimo valorde la función f definida en R por: f(x)=2xí+(2/5-l)x-/5. 10. Una ventana rectangular está rematada en la parte superior por un semi círculo. El parímetro (total) de dicha ventana es 2 m. Hallar cual debe ser la longitud de la base de dicho rectángulo para que la superficie de la ventana sea mayor posible. 11. Sea BCD un triángulo como se muestra en la figura adjunta. Eligiendo cuatro puntos de este triángulo se construye un rectángulo como PQRS. a) Expresar el área del rectángulo como fun ción de la longitud x del lado indicado. b) Determinar las dimensiones del rectángu lo como PQRS, que tenga área máxima. 12. Un fabricante puede producir calzados a un costo de Í20 cada par. Calcu la que si fija un precio de x dólares por par, podrá vender 120-x pares de calzado al mes. a) Expresar la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual vende cada par de calzados. b) Si se conoce la cantidad de dólares obtenidos como utilidad de un mes, por la venta de calzados, ¿es posible determinar el precio de venta de e se mes?. Justificar demostrando una propiedad de la función hallada en a). c) Cuál es la utilidad mensual máxima que puede obetner el fabricante por la venta de los calzados? 13. Un fabricante de automóviles encuetra que el costo diario total para x automóviles es (80+63x) dólares. Sabiendo que la función demanda en el mercado local viene dada por $(105-x)=p, hallar la función de utilidad Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p itu lo 5: F u n c io n e s E s p e c ia le s 394 y la máxima utilidad, sabiendo que como incentivo por ventas se le dá $80 adicionales. 14. Un pedazo de alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Una de las partes es doblada en forma de cuadrado y la otra en forma de circun ferencia. a) Determinar las longitudes de la circunferencia y del perímetro del cua drado, de modo que sea mínima la suma de las áreas de las figuras forma das. b) Qué porción del área mínima total es el área del cuadrado correspondiente 15. Hallar el dominio y rango de la función f= {(x,£^)\Sx(xl-4) 5-0). 16. Dadas las funciones f(x) = y ff(*J=|x|+|3-x| , hallar: Dom(f) A Ran(g). 17. Determinar analíticamente el rango de las funciones: f(x)=4-/xl+12x+27 , xe<-~,-lll y g(x)=x*+6x+6, xe<0,+“>. 18. Hallar todos los valores reales de x, si es que existen, tales que: S3nf] f R ; + Sgn(£ri)0 = -1/T4J x i+2x +2 ’ ha,*ar £o<íos l°s valores reales de k para los cua 19. Si f(x) = les -1 < f(x) < 3, VxeR. 20. Determinar el rango y trazar la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a> f(x) b) = |x-l| + |x+J| c) f(x) = |2x-l |+|x-2| f(x) =' |x+2|-2|3-x|, xe[-I0,10] d) f(x) = |x+2|+|x-2|-|x|-l 21. Graficar y hallar el dominio de la función definida en R por: f(x) = (x*+4) i 2x+3 fl. 22. Determinar el rango y la gráfica de la función definida en R por: f(x) = xe<l,3]. 23. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función dada: a) f(x) = 2u(x)+x2u(x-l)-u(x~2) b) f(x) = xu([[x+3 J)-xSgn('|x|-.l.) , 24. Hallar el rango de la función: f(x) x*H^£-fl+3*-J ------ -Jsi xe<-2,l/5> \5x-l\-15+6\x+2\ Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 36 395 Para cada una de las siguientes funciones, hallar el dominio, el rango y es bozar su gráfica. 26. f(x) = x ’-x2-13x-3 x+3 28. f(x) = x 2+9x2+27x+35 x+5 30. f(x)- (x2+5x+6)(x2+2x-24) x iz2x-8 - - 31. f(x) - |x | + |x-J | 32. f(x)= | x | . |x"Ij 33. f(x) = x - H x T) 34. f(x)= (x - H x J l ; 2 f(x) = - l í L II^ D 36- f M = 37. f(x) = |x-21+1or+i | 38. f(x)= * /|í x J] -3x 39. f(x) = /[ [ x ]¡ -x 40. f(x)= [JxT| + / i - | T x [ j 42. f(x)= | x - | | x j ] | , 25. f(x) = /x*-3x-4 „ (x+l)(x*+3x-10) 27■ f(x) - ' x>+6¿+5---x * - 3 x , -llx* + 2 3 x+ 6 29. f(x) 35. x 2-x-6 2-x 41. f(x) si |TxJ] es par |x |-(1 2 x 2 43. f(x) J t t x D . s i H x jj] es par ~ ]2x- [Tx+l í], s i ITx B es -2x-2 , si x+l 44. f(x) , si impar 46. f(x) x 2-3x, si xz<l,4] 47. f(x) = |x+3| , si -5 < x í -1 2x 2 <x ¿ 2 12-2x, x*-2 49. f(x) = , si -1 , si -3 2+¿x-4 , si 4 51. x < -1 ¿ x < 2 -1 ( x 2- 4 x + 4 , si 2 , si |x + 3 |-2 , s i 5 -x , si -5 S x < x -3 , si 5 -2 x e [ 2 ,4 > S si x 2-1 0 x + 2 6 Sx <O -4 |x -J|+ x . y,x2- 9 48. f(x) = si x > 2 x - | x - 2 | . si O 4 x < 4 , si í 1-2 x 2x+l , si x e [ - 2 , J ] 45. f(x) = x d - 3 ,2 > < 5 $ -3 < x ol-2,-l> Graficar ¡a funci6n, (yx+1 + 1 . s i x e < - l , 3 ] -2x , si xe( | x - l | > 1 ) 0 ) | x - l | < 3) _ í/x252. Sea la función: f(x) = 4x-4Sgn( | x | - 3 ) , s i x e ) | x - 3 | i l ) n ) | j c - j | -S 1) (x2-4 Hallar su dominio, rango y construir su gráfica. Sólo fines educativos LibrosVirtual 396 53. Capitulo 5: F unciones E speciales Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función: f \x\ + 2 , si -7 4 x < -2 f(x > = '• II f D + * • Sl 1*1 < 2 i - Ij+íI , sí 2 í. x 4. 5 2x-l V 54. Determinar analíticamente el rango de las funciones dadas. Trazar sus gráfi cas. x+5 x-2 a) f(x) f ~ 4 , si /x(xz-36) ty O si x-2 > 3 /x1+4x-l , si O < x < l y2+ 12x-5 I , si 2 . 1 /3x-l/2, si -x -S x s t O b) f(x) x + /x, si 9/4 < x x s 3 4 4 4 , si 4 < x < 6 \ IIx+2 ]] 55. Sí el gráfico de la función f está y representado por la figura adjunta, hallar la regla de correspondencia OÁ\ |BC y QX| |AB. ct=45° 2.5 ti.5 S X 56. Si el gráfico de la función f(x) está dado por: b) 57. Resolver la inecuación: > ® Para cada una de las siguients funciones, determinar si es par, impar o ninguna de las dos. a) f(x) = 2xl-3x',+5 b) f(x) = 5x*-3x+l c) h(x) = 3-2x1+Cos*x d) f(x) = (x|x| + ijSenx1 e) g(x) = (x+3)*(xs¡j f) f(x) = ** * 1 e - 1 9) f(x) = /a'+ax+x2 - /a2-ax+x2 h) g(x) = /x+|j -xj] + x[f x f| Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5 .8 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s 397 58. Comprobar si la siguiente función es par o impar. Bosquejar su gráfica. -xz+8x-10 , si 2 4 x ^ 6 -xl-8x-10 , si -6 4 x < -2 59. Sea f(x)=xz+3x+2. Si h(x)=f(x)+f(-x) y g(x)=f(x)-f(-x), determinar cuál de las funciones, h o g, es par y cuál es impar. 60. Demostrar que la función definida en R por /'fxj= [ [ m r l ] ~ m [ [ x ] ] es una función periódica. 61. Demostrar que las siguientes funciones son periódicas y hallar el perio do mínimo para cada función. a) f(x)=Sen(ax+b) b) f(x) = d) f(x)=2Cos(-y -) e) f (x)-Sen(^x) c) f(sc} =|senx| - Senlx * 5.8 A L G E B R A DE LA S FU N C IO N ES £i Sean f y g dos funciones reales cuyas reglas de correspondencia son f(x) y g(x). Se define entonces las cuatro operaciones: suma, diferencia, producto y cociente de f y g del modo siguiente: (1) La función suma, denotada por "f+g": f+g = {(x,y)\y=f(x)+g(x), xeDom(f)nDom(g)} (2) La función diferencia, denotada por "f-g": f-g - l(x,y)\y=f(x)-g(x), xcDom(f) n Dom(g)} (3) La función producto, denotada por "f.g": f.g = {(x,y)\y=f(x).g(x), xcDom(f) n Dom(g)} (4) La función cociente, denotada por " £ ": -£ ■- EJEMPLO 1. = - g ^ y . xeDom(f) O Dom(g) , g(x)fO} Si f={(-3,2),(0,0),(2,4),(3,-l),(4,3)} y g={ (2,0), (3,4), (4,7), (6,2)}. Hallar: a) f+g Solución. b) f.g Dcm(f)={-3,0,2,3,4) y Dom(g)={2,3,4,6) c) f/g - d) fl+3g Dom(f)nDom(g)={2,3,4} Aplicando la definición correspondiente se tiene: a) f+g = í(x,f(x)+g(x))|x e{2,3,4}} = { (2,4+0),(3,-1+4),(4,3+7)} = { (2,4),(3,3),(4,10)} Sólo fines educativos LibrosVirtual 398 Capitulo 5: A lgebra de las Funciones b) f.g = {(x,f(x).g(x)\xs{2,3,4}} = {(2,4*0),(3,-1x4),(4,3*7)} = 1(2,0),(3,-4),(4,21)} c) -£= {(x,y^xt.{2,3,4}} = {(2,4/0), (3,-1/4), (4,3/7)} = {(3,-±), (4,j)} Obviamente, 2iDom(f/g) porque g(2)=0 d) fl+3g = {(x,fí(x)+3g(x))\xei2,3,4}} = i(2,41+0),(3,(-1)*+12),(4,31+21)} = 1(2,16),(3,13),(4,30)} EJEMPLO 2. Si f(x)=2x*+3x-l y g(x)={ (-1./2),(O, -1), (/1,9), (3,12)}. Deter minar; a) (f'-3g)(/2) Solución, b) (3f+Sgx)(-!) a) f(/2)=2(/2)l+3(/2)-l=3(l+/2) y g(/2)=9 Entonces: (fl-3g)(/2) = 9(l+/2)l-3(9) = 18/2 b) (3f+5g*)(-l) = 3f(-l)+Sgx(-l) = 3(2-3-l)+S(/2)1 = 4 EJEMPLO 3. Solución. Hallar el dominio de la función f(x) = /4x-xl + -íí? — F=== x-3 oe*-4 Si f = fi + fi + fi fi(x) = Á x - x l * * ef Dorn(f) ■= Dom(fi) ODom(fi) n Dom(fi) ■>-* 4x-x5 í 0 " *-*04x44 fz(x)=~| - fi(x) = ef* ~ * x/3 - — x(x-4) 4 O Dom(f i)~ÍO,4) Dcm(fi) = R-13} 3f i ** x*-4 > 0 — ► x l > 4 - * - * x < - 2 o x > 2 Dom(fi) = <-»,-2 >u <2 ,+~> xt~4 Ilu s tra c ió n gráfica de la intersección de los dominios; * • Dom(fz) V i | -2 O Dcm(fi) Í-Vv;Cuifii. 2 Dom(f3) Dom(fz) ■| 3 Dam(f) =■ <2,3>U <3,4] EJEMPLO 4. Determinar el dominio de {a función; f(X ) = Solución. Sea fi (x) Sl:te:.2\ + /lsgn(xl) + x 1 U -2 = ^ 4 ~ \* ~ 2 \ «-*• Jx-2¡ 4 4 * x/O Sifi(x) = / i s & n f x ^ + x 2]]^ - 3 3 f -*-*• 4 - |x -2 | 0 * xfO -4 4 x - 2 4 4 a x/O + f +-*■ ÜSsmfx^+x2! v Sólo fines educativos LibrosVirtual Dcm(f i)=[^2,6\-l0} 2 (1) Sección 5.8: A lgebra de las Funciones 399 -1 , si x 2 < O Por definición: Sgn(x2) = O , si x 2=0 No puede ser (xl es + VxzR) No puede ser (En fl I[_ J , sí x 1 > O Luego, si Sgn(x2)-1,en (1): |ÍJ+x2 j] «->■ x 2 >, 1 *-> x >, 1 o x $ -1 — xfO ) Si puede ser 2 + J+ |íxI ¡] Dom(f1) = 2 ■» fi** II > , l U [J,+-> Intersección de los dominios: Dom( f2 ) Dom(f 2 ) v ^ V . : 4 . -1 0 i 6 Dom(f) = Domífjfl Dom(f1) = (-2, -1 ] u [J,6] EJEMPLO 5. Sean, f(x)=4x-x*-2, xe(0,4) y g(x)= ^ ^•e'V'-c'V ' Hallar (f+g)(x) y graficar en un mismo plano f, g y f+g. Solución. Vemos que g es una función seccionada cuyas subfunciones son fun dones constantes, entonces si g ¡(x)=l y g1(x)=3, se tiene: Dom(f) fl Dom(gl) = (0,4) 0 [-1,2> = [0,2> Dom(f) n Dom(gl) = (0,4)0 (2,6> = (2,4) Entonces: (f+g)(x) = f4x-x2-2+l = 4x -x 2-1 [4x-x2-2+3 = 4x-xz+l Sea y=4x~x2-2--(x-2)1+2 Construimos las gráficas de la parábola con vértice en V(2,2) y las rectas y=l, y =3. Obsérvese que la gráfica de f+g en Í0,2> tie ne la misma forma que la gráfica de f, sien do paralela a ésta, obteniéndose por un des plazamiento vertical de f. Lo mismo se pue de notar en la gráfica de f+g en (2,4). En general, si g(x)=c - f+g={(x,f(x)+c)\ xcDom(f)n Oom(g)}. Es decir, a cada valor de la ordenada de f se le debe sumar la constante c. EJEMPLO 6. Sean las funciones f y g, cuyas reglas de correspondencia son f(x) = 3x-2, si xc(0.2) J-x , si xe . g(x) <2, 5] fot2, sí xe[0,3> ' ’ ^4 , sí x e [ 3 , 6 ] Hallar f+g, su rango y construir su gráfica. Solución. En este caso vemos que tanto f como g son funciones seccionadas, Sólo fines educativos LibrosVirtual 400 C a p itu lo 5: A lg e b r a d e la s F u n c io n e s entonces los pasos para determinar f+g son los siguientes: (1) Considerar a f y g como la suma de dos funciones, esto es: f¡(x)=3x-2 , si xe[0,2] ; g í(x)=x* , si xe[0,3> fi(x)=l-x ; g z(x)=4 , si xe<2,5] , si xe[3,6] Entonces: f+g - (fx + fz) + (gx + g j = Cfi+gJ + (ft+ax) * (fz+9 1 > + (fz+9z) (2) Hallar los dominios de cada una de las simas parciales Dom(fi+gi) = Dom(fl)nDom(g1) = [0,2] n[0,3> = [0,2] D°m(fi+<fi) = Dam(fl) n Dom(gt) = [0,2] n [3,6] = * -* i(f ,+g2> Oom(fz+gx) = Dom(ft) n Dom(g,> = <2,5] n [0,3> = <2,3> Domlft+gx) = Dom(fi) n Dom(gx) = <2,5] n[3,6] = [3,5] (3) Sumar las imágenes correspondientes para obtener la regla de corresponden cía de f+g. x z+3x-2 , xt[0,2] (f+g)(x) = x z-x+l xe<2,3> 5-x xe [3 ,5 ] Ran(f+g) = [-2,8] EJEMPLO 7. Dadas las funciones f:[-3,3] -* [-2,2] \f(x)=xt-4, g:R + R| g(x)=/lhP, y h={(-3,2),(-2,3),(0,1),(1,-1),(2,4),(6,5)]. a) Construir la gráfica de f y hallar su dominio, b) Hallar f+g y g-h. Solución, a) Construyamos el rectángulo [-3,3]x[-2,2]. Luego, tracemos la gráfica de la parábola: y=xz-4 convértice en Interceptando las rectas y=-2, y=2 con la pg V(0,-4). y rabola obtenemos: Para y=-2 - -2=xl-4 + x 2=2 ~ x=+fi y=2 -* 2=xz-4 + x* =6 +-+ x-±/6 Dom(f) = [-/6,-S2]U[/2,/6] b) Si g(x)=/9-xz -+ ++ x z¿ 9 ++ -3 4 x 3g 9-x2 >s 0 3 -» Dom(g)=[-3,3] ■+ Dom(f) 0 Dom(g) = Dom(f) .'. (f+g)(x) = x t-4+/9=x i, xe[-/6, ~/2] U [/2,/6] Dom(h)={-3,-2,0,l,2,6] y Dom(g)=[-3,3] * _tf Dom(g) n Dom(h) = {-3,-2,0,1,2} Calculamos las ordenadas de g para cada uno de estos valores de x, esto es. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.8: A lgebra d e las Funciones si g(x)='9-xl - 401 g={(-3,0), (-2,^5), (0,3), (1,2^2), (2,^5)) /. g-h = i(-3,-2), (-2^5-3), (0,2), (1,2/2+1), (2,■'5-4)) EJEMPLO 8. Se definen las funciones f y g de la siguiente manera: f(x)=<'xz-16 y g(x)=2-\x-4\, xe<-6,8]. Hallar: f+g y f/g Solución. Determínanos los dominios de cada función: Si f (x)=/xl-16 sf -*■ *->■ x 2 - 1 6 x l 5- 16 O <-» <-* x -S -4 ó x í- 4 Dado que en Ja función g, el punto x=4c<-6,8], debemos desdoblar su dominio en: <-6,4> u [4 ,8 ] jjc— i|=-(x-4) si - y volver a definir esta función del modo siguiente: x < 4, y , , g(x) |x -4 | =(x-4) si x z. 4 (2+(x-4) = x-2 , si xe<-6,4> = i = 6-x , si Intersección de x e[4 ,8 ] los dominios: (x -í -4 ó x >, 4) n (-6 < x < 4) = -6 < x ¿ -4 (x $ -4 ó x >. 4) fl (4 S x £ 8) = 4 ¿ '¿x1-16 si xz<-6,-4] x-2 ’ I/x*-16+x-2, si xe<-6,-4] (f+g)(x) = s'xz-16+6-x, si xe[4,8] EJEMPLO 9. x „< 8 <g> M =|/x— I ^ - h16 6-x Si xe [ 4, 8 ] -161 Sean las funciones reales definidas por: f(x) = \x-3\ + \x+l\ y g(x) = { 's •' x V j 7 Si definimos una función h:<-l,3> ■* R\h(x)=f (x)+g(x); hallar el rango de h y esbozar su gráfica. Solución. Siguiendo el método de los puntos críticos para f se tiene: x < -1 -1 -I -1 < x < 3 I I I |x+l |=+fx+U |x+i j=—(x+l) |x-3|=-fx-3> 3 -O- x > 3 I |x+l|-+(x+l) |x-3|=+(x-3) |x-3|=-fx-3; Como el Dom(h)=<-l,3>, nos interesa el segundo intervalo, en donde: ) y » 6 -- -p s . f 4+(3x-l)=3x+3 , si -1 < x < 1 -» h(x) = > l<4+(2-x)=6-x , si 1 4 x < 3 / * \ 3. Geométricamente: Ran(h)=<0,6> Verificar analít¡comente el Ran(h). . -1 Sólo fines educativos LibrosVirtual 0 1 • 1 1 1 1 ? 1 1 1 > 1 3 J 402 Capitulo 5: A lgebra de las F unciones EJEMPLO 10. Sea g(x)=Senx, h(x)=u(x+-n)-u(x-v), donde u es la función es calón unitario. Verificar si la función: f(x)=g(x).h(x) es par o impar y graficar f(x). Solución. Según el método de los puntos críticos, en la función u se tiene X < -w - * - * . $ x < » -r u(x+»)=0 u(x-ir)=0 (O » X > * ¡ u(x+n)=l u (x+v)=l J u(x-ir)=0 u(x-t)=l , si X < - « I , si -* -í x < * h(x) O , sí x i- * Como g(x)=Senx y Dom(g)=R -* Dom(g.h) í °Senx,' si x < -» f(x) = g(x).h(x) = s 10 . ii -u <: x < n si x >, * Comprobaremos si f es una función par o impar arreglando convenientemente su regla de correspondencia, esto es: O , s ix 4 -> f(x) =- Senx, si -» < x < * O , si x í- » Í O , si x i * Senx, si -» < x < » O — , si x<:-» f(-x) = -f(x) « Luego, Vx^Dom(f), -x^Dom(f) y f(-x)=-f(x), por lo tanto, f es EJEMPLO 11. Dadas las siguientes funciones: una función impar. '[[x-l]], xe<-4,-U f(x) = < [[x]]+í, xel0,23 5 , si xe<-3,-l> g(x) |x-21+3, xe<-l,0>U<2,3] -2, xs[0,2> -3, xeí~l,0> ti [2,3> Hallar f-tg y construir su gráfica. Solución. Simplificaremos la función f eliminando las barras de valor abso y los corchetes para intervalos de longitud unitaria. -4<K-3 + -5<x-l<-4 ++ [¡Vi]] =-5 0(x<l ♦ [[x J] =0 - [[ x j+ l = 1 -3(x<-2 + -4$c-2<-3 ++ Jx-i ]]=-4 líx < 2 + Q >]]=1 - [[ x U + l = 2 Sólo fines educativos LibrosVirtual 403 Sección 5.8: Algebra de las Funciones x=2 * [ £ a : * -2(-x<-l * -3ix-l<-2 *-* |[x-l J = - 3 JxJ+i = 3 x=-J -+ x - 1 =-2 ■*-*• Jx-l]]=-2 Si xe<-l,0> -+ |x-2|=-(x-2) xc<2,3] -*■ |x-2|=+(x-2) - |x-2|+ 3 = -x+2+3 = 5-x |x-2¡+3 = x-2+3 = x+l (f+g)(x) =< f(x) = -4+5=1,, xe<-3,-2> (bn m) -3+5=2, xe[-2,-l> (cnm) -2-3=-5 ,x=-l (dnp) 1-2=-l ,xe[0,l> (en n) 2-2=0 ,xc[l,2> (hn n) 3-3=0 ,x = 2 (inp) 5-x-3=2-x, xe<-l,0>(j n p) x+l-3=x-2, x e<2,3> (knp) 9<x) = xd-l,0>Ul2,3> EJEMPLO 12. íp) Dadas las funciones f y g, definidas en R por: ’S g n f|x * - 4 |J , s i |x | -í 3 f<x) = rX+ 6 F r J • s i xc<3’ 9> g(x)=3, si xe<-»,®> x l +10x+21, si |x - 3 | > 6 Construir la gráfica de f+g, indicando explícitamente su rango. Solución. Vamos a definir f, eliminando las barras y los corchetes. (1) Sea f,(x)=Sgn(\xl-4\) , s i - 3 4 x 4 3 (-1, si Ix*-4 1< -1 (nopuede ser: Pordefinición: S g n (\x '-4 \) = ^ 0. si Ijcj- 4 1= 0 +-» x=-2 ó x=2 ] ,s i\¿ -4 \> J + + X E R -1-2,2) Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 5: A lg e b r a d e la s F u n c io n e s 404 Luego, si xe[-3,3] (2) - ft(x) = 1 ° ' XE< 2 '2i [l , xe[-3,-2>u<-2,2>U <2,31 Sea ft(x) = [[^xjj- xe<3,9> ~+ 3 < x < 9 +-* 3 < ~ H^|=3 4 * * f-6 < 5 (3) , xe<3,6> | \ - í^fb4 U M < 5 ^ ¡ [ ^ 1 = 3 ,4 r =|J xe <3,6> xe[6,9> ’ Sea f¡(x)=xl+10x+21, |x-3| > 6 +-+ xe<-” ,-3>u<9,+“> 0 , xM-2,2] 1 , xe[-3,-2>U <-2,2>U <2,3] Luego: f(x) = ■ 3 , xe<3,6> 4 , xt[6,9> x z+10x+21 , xe<-»,-3> U <9,+"> Entonces: f+g = 1(x,y.) ly^/Yxj+gfx.), xeDom(f) n Dom(g)} Dom(f) = R-{91 y Dom(g)=<-*°,9> + Dom(f+g) = <-“,9> 3 , xe{-2,2] 4 , xe[-3,-2>U <-2,2>U <2,3] (f+g) (x) = < 6 , xe<3,6> 7 , xe[6,9> x í+10x+24, xe<-",-3> £i rango de f+g se determina geométricamente a partir del vértice de la pa rábola y=xz+10x+24=(x+5)2-l + V(-5,-l), EJEMPLO 13. Ran(f+g) = [~i,+”> Sea F la función de variable real x definida por: /x+2. F(x) = / 9 - x * . S g n < ^ > + Determinar el dominio, el rango y construir su gráfica. Solución. (1) Sea f(x) = /9-x2 -* 3f «-► 9-xl ^ 0 <-* x l -í 9 +♦ xe[-3,3] Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 5 .8 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s /r+2 g(x)=Sgn(-±j) - 405 ah 3g xf-3 Entonces: Dom(F) = Dom(f) H Dom(g) flDom(h) = [-3,3 3 n (1-2, +<■»-<! }) n (R- {-3>> (2) Dom(F) = [-2,3]-U) = [-2,1>U<1,3] Para construir la gráfica y determinar el rango de F, el ¡minaremos los corchetes y evaluaremos la función signo, esto es: 2x+5 x+3 Si xcDom(F) -* -2 -í x S 3, xfl -► 1 < x+3 ^ 6 <-» .í < 1 [[“ x+3 Luego: | [ ^ f J = 2 - 1 = 1 -1 Pero: Sgn( Jx+2 x-l ) = - s ■i —+ X + 2^ *0 n 0 . /x+2 . SI = 0 x=-2 1 si (x > -2) v (x > 1) x-l > 0 .V '*’* i/8 y / / , si xc<-2,l> 0 (a) -2 < x < 1 obtenemos en (a): /9-x1 / / / l , si x = -2 , si x <1,3] ! - 2? \ el intervalo indicado, la gráfica de F es ' i \ ' \ ¡ una parte de la circunferencia x l+yl=9 0 1 3* / / í 1 l 1 /5 ¡ J •\ Ran(F) = l-3,-/5> U [0,2/2> EJEMPLO 14. = -i F(x) = / ¡ T P.Sgn('^) (3) Interceptando con el dominio de F F(x) = < E x / ^ Sean fy g dos funciones definidas por: = íx^^l+to-l [x+8 , Xe<-2,1 ] , xe<2,8] x-l |+ 6 |x + 2 |-1 5 , x e [ - 3 , 0 ] , x e [1,6] a) Hallar el dominio y la regla de correspondencia de la función f/g. b) Hallar el rango de la función f/g. Solución, a) Sean: f x(xl= x2 ]j +3x-l, xc<-2,l ] y fz(x)=x+8, xe<2,8] El ¡minaremos las barras en g teniendo en cuenta que 1/5 i [-3,0> y - 2 e [ -3 ,0 > Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 5 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s 406 Si -3 -í x < -2 -2v< x < O -* - |5x-i |=-(5x-i) y |x+2|=-íx+2; 15x-2 |=-(5x-l) y |x+2|=+(x+2] gí(x)=-(5x-l)-6(x+2)-15=-llx-26 y gt(x)=-(5x-l)+6(x+2)-15=x-2 -llx-26 ,Xe[-3,-2> g(x) = ,x-2 ,xc[-2,0> 3x-4 ,xe[J,6] (gt) (g1) (g,) Intersección de los dominios de f y g: Dom(f¡)nDom(g¡) = <-2,1 ] n [-3,-2> = (No existe f/g) ■ Dom(f ¡) n Dom(gl) =<-2,i] n [-2,0] = <-2,0] Dom(fl) 0 Dcm(gi) = <-2,l]n [2,6] = [2> Dom(f1 ) n Dom(gi) =<2,8] 0[-3,-2> = * (No existe f/g) Dom(fz)n Dom(gi) =<2,81 n 1-2,0> = ♦ (Noexiste f/g) Dom(fz) n Dom(g¡) =<2,8]n [1,6] = <2,6] El ¡minemos el corchete en xe<-2,0] y calculemos fi(l) y g¡(l): Si -2 < x O - O <(■ -x < 2 ~ J + 3 í i ] - i = l(0)+3-l = fi(l) = x I+3x-l x-2 xe <-2,0] Dcm(f/g) = <-2,0] u 11) u <2,6] x+8 3x-4 , x e < 2 ,6] Ran(hl)=[l/2,1] Para xe<-2,0], si hi(x] = Para x=l ir2-x 2 ; g,(l) = 3(1)-4 = -1 (t)(x) = b) 2-x „ , _ 2 S 2-x < 4 ■* h,(x)=-2 * (Verificar) Ran(h1)=\-2) Para xe<2,6], si h,(x) = 7¡îf - Ran(h,) = íl,5> (Verificar) Ran(f/g) = [2/2,2 ] U 4-2} U [2,5> = {-2}U[l/2,5> EJERCICIOS: Grupo 37 1. Si f = ( ( 0 , / 2 ) , O , / 2 + / 5 ) , ( 2 , 0 ) } y g = [ ( 0 , / S ) , ( 2 , 1 / 2 ) , ( 4 , / 3 ) ] , determinar: a) (f+ g )(2 ) 2. b) ( f . g ) ( 2 ) c) ( f 2+3g)(2) Determinar gráficamente Xas líneas que representan a f+g y g-f, si: a) f(x)=|x| , g(x)=x c) b) f(x)=x , g=í(—1,2),(1/2,3/4),(2,-3),(4,/2)} f(x)=x, xeR ; g(x)=([xj], xe[-2,3] Sólo fines educativos LibrosVirtual 407 Ejercicios: Grupo 37 3- Dadas l a s f u n c io n e s : f ( x ) “ ’ gj * > ' g (x )= S g n (x ) • q S® d e f in e l a f u n c ió n H (x )= f (x + 2 )+ g ( x - 2 ) , h a l l a r e l ra n g o d e H. 4. Sea f : B -►R d e f i n i d a p o r f ( x ) = ^ 3 ’ g^ 3 < * ^ ¡5 • s i g ( x ) = f ( 3 x ) + f ( x - 2 ) h a l l a r e l d om inio d e g . 5. S i f = { ( 0 , / 2 ) , ( 1 pi/ 5 ) , ( 2 , 0 ) ) y g = { ( 0 , / § ) , ( 2 , l / 2 ) , ( 4 , / 3 ) } . H a lla r 6. Si f(x ) * xe<2*5] y g(x} ■ { ? ! x e [ 3 Í 6 ) 5 h a l l a r f+ « y co n s t r u i r su g r á f i c a . 7. Se d e f in e n l a s f u n c io n e s f y g d e l a s i g u i e n t e m an era: f ( x ) = /9 - x * y g (x )= 2- | x - 1 | , x e < - 2 , 5 ] , h a l l a r f + g . 8. Dadas l a s f u n c io n e s f ( x ) = |x - 2 |- 1 , x e [ -2 ,6 > y g ( x ) = ’ x e [2 ^6 > > H a l l a r f+ g y c o n s t r u i r l a s g r á f i c a s d e f , g y f + g . 9- Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s de l a s i g u i e n t e m anera: f ( x ) = f X+3 ' « < “M J {_3x+2, xe < 0,5> , gU ) = - « 1-3.21 . hangr f+g. L2 - x » xe < 2 ,8 ] 10. Dadas l a s s i g u i e n t e s f u n c io n e s , f : [ - 2 , 3 ] -► [ 1 ,4 > |f( x )= x * -2 x + 1 , g:H ■* r | g (x )= 2 x + 1 , y e [ - 1 , 3>5 h :R * R |h ( x ) = |x * - 1 |+ x , y a ) G r a f i c a r l a f u n c ió n g+h . 2. b ) H a l l a r e l d om inio de f - g . 1 1. D adas l a s f u n c io n e s f : R ♦ R |f ( x ) = x - |x - 1 j ; g :R -►R |g (x )= x * -2 , x £ - 2 ; h :R + R |h ( x ) = /x * - 9 , h a l l a r e l d om inio d e l a f u n c ió n ( f + g ) . h 12. Sean l a s f u n c io n e s f : R * R |f(x )= x * -2 x + 2 , y i 5 ¡ g :R * R ¡ g ( x ) = 2 |x -1 |+ 1 , x e [ - 3 ,4 > . H a l l a r f+ g , s u ra n g o y e s b o z a r su g r á f i c a . 13- S ean f(x )= x * y g ( x ) = |2 x |, t r a z a r l a g r á f i c a de f+ g y h a l l a r su ra n g o . 1 4 . Dadas l a s f u n c io n e s : f ( x ) = y a) f+ g » g ( x ) = [ [ / x - 1 J , x e [ 0 ,9 > , h a l l a r : b) Dom(f+g) c ) D om (f/g) 1 5 . S ean l a s f u n c io n e s f :< -3 > 5 ] ♦ [ - 5 , 3 ] |f(x )= -x * + 2 x + 3 y g :R ♦ R |g (x )= /9 - x * h a lla r: a) f /g b ) D om (f/g) 1 6 . S i f ( x ) J i x- l | I S g n ( 3 - x ) ] ] , x e ( 0 ,6 ] |.x* , xe< 6 , 10> y g (x ) f |x - 2 | , x c < -8 ,3 ] x |x - 21 , xe< 3 , 8 ] h a lla r g /f . 17. S i f ( x ) = • “ < - 3 .» > y g ( x ) = Í l |x*+i| , x e < i,6 > (£-x ]]- 2 x , ( |x - 5 | H a l l a r l a f u n c ió n f+ g y e s b o z a r s u g r á f i c a . Sólo fines educativos LibrosVirtual -4 < x jC -1 , 0 < x^ 3 408 Capítulo 5: A lgebra de las Funciones Sgn|x2-4| , si |x| ^ 3 18. x+6 Sean las funciones: f(x) = 1[ , si 3 < x < 9 ; g(x)=3 , xe<-»,9> x z+ 10x+ 21, si |x—3 | > 6 Hallar f+g y construir su gráfica indicando su rango. 19* Sean f y g las funciones definidas por: f(x) = - si 2 ,< x < 4 si 6 s< x < | x 2- 1 4 x + 4 8 , = /|[x/ 2 II , si K < x < _ I 12x—1 0 1 , si 10 8 N< x < 6 12 a) Determinar la función f-g b) Graficar la función f-g» indicando explícitamente su rango. x 2-2 x , si xe[-4,2] | x/ 2 +5 » si xe<2 ,6 ] , si xe<6 ,9 ] 2x-4 21. g(x) J Hallar las funciones: h t(x)=f(x)-g(x) Sean las funciones: f(x) = -3 (i*x+[[xj) , si |x2+ 1 |-3 , 1 < x < < x < 0 _ 6 ’ x ' * si xe<0’2> ¡3 , si xe[2,8> fííí h 2 (x) = fr— r y -x ||-5x , si -4 < x < 1 g(x) = |jl3| , si 0 < x < 2 Hallar la función f+g y esbozar su gráfica. 22. Dadas las funciones: f(x) = |x2-4| , xe[-6,0] 2 g(x) 2 _ í x+2 , x I 111 , x >sZ ,, x x < -2 Hallar la regla de correspondencia de f/g y su rango. 23. Dadas las funciones: (Trazar la gráfica de f+g, indicando su rango) f x - 2 JJ , si (T x 7] es par f (x ) = 24. 3 x-[[x+lJ], Sean las funciones: 2 x-1 x-1 25. i g(x)=Sgn(x2-4), si jxj ^ 3 si [f x J] es impar 1-2 , xe<2,4> , x Í. 2 Construir la gráfica de f-g, sabiendo que: jx |+2 , f (x ) + < -7 <: x < - jj + x2, |x ¡ <? 1-|x+i| 2 x-1 -2 , 2 ; g (x ) X > -1 , X¿1 ix—1 1 Sgn( |x2— 1 ¡ - 1 ) , x < 2 < x v< 5 * Sólo fines educativos LibrosVirtual -1 Sección 5.9: Composición de Funciones 409 COMPOSICION DE FUNCIONES__________________________ En el Capítulo 3, Sección 3.9.4, habíamos descrito que bajo ciertas condiciones era p o s ib le obtener, a partir de dos funciones f y g, una nueva función h, llamada ¡a compuesta de aquellas, denotada por h-gof y definida por: (gof)(x) = glf(x)], VxeDom(gof) gof = \(x,glf(x)])\xeDom(gof)} Dom(gof) = ixcDom(f)lf(x)eDom(g)} donde: = lx |x e D o m (fJ ~ f(x)eDom(g)\ y cuya interpretación geométrica se muestra en el siguiente diagrama: OBSERVACIONES (1) Dom(gof) c Dom(f) = A (2) Ran(gof) c Ran(g) c D (3) 3(gof) «- Ran(f)B Dom(g) t * (4) Cuando el Ran(f) está contenido en el Dom(g), entonces la función gof está definida en el Dom(f), esto es, si: Ran(f) c Dom(g) (5) Cuando Ran(f) <£ Dam(g) * * Dom(gof) = Dom(f) Dom(gof) = ix\xeDom(f) -« f(x)eDom(g)) (6) La aplicación se hace dederecha aizquierda, ■ partida es la que está aladerecha de es decir, la función de lanotación "o". En g°f. f es 1 ° función de partida y g la función de llegada. En fog, g es la función de partida y f la función de llegada. (7) Si g:A * B y f:C * D, entonces: (fog)(x) = flg(x)], VxeDom(fog) (8) Dom(fog) c Dom(g) = A (9) Ran(fog) cr Ran(f) e D Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 5: Funciones 410 Ran(g) n Dom(f) f ♦ (10) 3(fog) (11) Cuando Ran(g) Q Dom(f) - * Dom(fog) = Dom(g) (12) Cuando Ran(g) Dom(fog) = {a:|a:eOom(g> ~ g(x)zDom(f) ) 1. EJEMPLO — Sean f y g dos funciones definidas por: f (x)=/x1-4 y g= Solución. Dom(f) {(-1,-2/2),(2,-1), (4,/5),(3,4),(7,/5)}. Hallar fog. El rango de la función de partida es: Ran(g)-{-275,-l,/5,4} O +-* sf *-+ x z-4 -* Dom(f) = x 1 i- 4 x 4 -2 o x >, 2 -2 ] U 12, +~> Ran(g) o Dom(f) = {-2/2,/5,4} f ♦ -» 3fog Entonces, para x=-2/2,/S,4, obtenemos en f: y=2,1,2/5, respectivamente. Luego, f = l(-2/2,2),(/5,l),(4,2/3) Ahora, si (l,-2r¡5)cg ~ (-2^2,2)tf -*■ (1,2)e(fog) (4,/$.)tg * (/¡¿.Dcf - (4,l)e(fog) (7,/5)cg - (/5,1)tf i__________i (3,4)cg ~ (4,2/3)ef - (7,l)e(fog) * - (3,2/3)c(fog) 77*fog = {(1,2),(4,1),(7,1),<3,2/3)} Dadas la s funciones f:R * Rlflx+l)^1, xc<-l,7] y g:R * R| E J E M P L O 2. g(x-l)=2x-l, x c [ l , + " > , hallar: a) (fog)(x) Solución. Si f(x+l)=xl a l (fog)(x) = ■* , b) (gof)(x) f (x)=(x-l)1, g(x-l )=2x-l -* g(x)~2 (x+1 )-l =2x+l flg(x)] = f(2x+l) = (2X+1-1)1 = 4x1 ■* Dom(fog) = ixcR\xcDom(g) * g(x)cDom(f)\ = * c [ ! , + « > ^ (2x+l)e<-l ,7} = (x i- 1) ~ (-1 < 2x+l 4 7) = (x í- 1) ~ (-1 < x 4 3) = [ 1 , 3 ] (fog)(x) = 4x2 , are [ i , 3 ] b) (gof)(x) = glf(x)) = gl(x-l)1] = 2(x-l)1+l = 2x1-4x+3 Dom(gof) = {xcR\xeDom( f) ~ f(x)eDom(g) } = xe<-l,7] ~ (x-l)1e [ ! , + “ > = (-1 < x 4 7) ~ (x-1)1 >- 1 = (-1 < x4 7) ~ fx í- 2 o x 4 0) .'. (gof)(x) = 2x1-4x+3, xe<-l,0] u 12, 7] PROPIEDADES__________________________________________ | a Para las funciones f, g, h, 1 (Función identidad) se cirnplen las siguientes propiedades: FC.l: (fog)oh = fo(goh) (Ley Asociativa) FC.2: En general: fog f gof Sólo fines educativos LibrosVirtual (No es conmutat iva) Sección 5.9: Composición de Funciones 411 PC.3: (f+g)oh = (foh)+(goh) (Ley Distribuí iva para la suma) PC.4: (f.g)oh = (foh)(goh) (Ley Distributiva para la muít iplicación) PC.5 : 5/1 \fol = ¡of = f , Vf PC.6: í no ím = I™, n,meZ+ PC. 7: Ino(f+g) = (f+g)n , nzZ* EJEMPLO 3. Solución, Si y f = 2 í 2- 3 1 g = l 2- í + 2 , hallar fog y gof. fog = (2Iz-3I)o(iz-l+2) = 2Ilo(lz-I+2)-3lo(ll-l+2) (FC.3) = 2(li-I+2)z-3(Iz-i+2) = 2I*-4I3+7l2- 5 í + 2 (FC.7) (FC.3) gof = (Iz-i+2)o(211-3I) = lzo(2Il-31)-lo(2Iz-3I)+2o(2Iz-3l) = (2lz-3l)z-(21z-3I)+2 = 41'-12l*+7Jz+3I+2 (FC.7) fog t gof EJEMPLO 4. Sean f:R * R\f(x)=2x~3, x e < - 1 , 3 ] , g:R h:R + Solución. R |h (x ,)= 3 x + 7 , R |g (x )= x + 2 , xe[-2,4>, Hallar fogoh y su rango. Según FC.l: fogoh = (fog)oh = fo(goh) Entonces, sea F=fog (1) Como Ran(g)-[0,6> - x e < -6 ,0 ]. Dcm(F) = (-2 ■& x < 4) „ x < 4) . = (-2 (g=función de partida, f=función de llegada) Dom(f) -+ Dom(F)={xcR\xzDom(g) ~ g(x)zDom(f)\ (-2 i x íx + 2 )e < -1 ,3 ] = f - 3 < x í l ) = - 2 v < i x< ] < 4) - (-1 < x+2 (2) Entonces: F(x) - (fog)(x) = f[g(x)] = f(x+2) = 2(x+2)-3 ~2x+l, (3) Ran(h) <f Dom(F) - Dom(Foh) = -* x e< -6 , 0] ^ (3x+7)e[-2,1 ] =(-6 < x -S 0) = (-6 < x ¿ 0) ~ (-3 »< x í - 2 ) - f-2 fogoh = x e [-3 ,-2 ] Ran(fogoh) EJEMPLO 5. *- -3 -í Jí 3 x + 7 „< 1) = - 3 ¿ x -í - 2 « - -18 -2 4 x e [ -3 ,- 2 ] ] 6x < - 1 2 < - -3 -í 6x+15 3 = [-3 ,3 ] Si f(x)=x1-3x+S, hallar dos funciones g para los cuales (fog)(x) = S o lu c ió n . { l x , y ) E R 1 |y = fix + 1 5 , x>f x 2- x + 3 . S i (fog)(x)-xz-x+3 Sea u^g(x) -*• -► f[g(x)]=xz-x+3 f(u)=xz-x+3 (1) Pero f(x)=x?-3x+5 -* f(u)=if.-3u+5 Sustituyendo en (1): u 2 - 3 u + 5 = x 2- x + 3 u2-3u-(xz-x-2)-0 Sólo fines educativos LibrosVirtual 3) x e [ - 2 , 1) Dom(Foh) = ixE R lxeD om fh; „ híx)cDom(F)) (4) -* (Foh)(x) = F[h(x)] = F(3x+7) = 2(3x+7)+l = 6x+15, x e [ - 3 , - 2 ] (5) Si -í Capitulo 5: Composición de Funciones 412 EJEMPLO 6. Dadas las funciones siguientes, h a l l a r (fog)(x). x • í <3> x e 13 , 7> Solución. { ; xeí t (x-3)*, * e c2 >s> 4 , xe[5,7> Citando se trata de efectuar una composición de funciones seccíon a d a s , esto es, si: f - A u ftü ü / n . donde Dom(f)-Dom(fl) UDam(fx)v . . . uDom(fn) g = STiU g'tU • • • U S ) , , donde Dam(g)=Dom(gl)UDom(gt)ü . . . u Dom(gn), entonces: -+ fog = (fíogl) u ( f logx) U ( f xog1) u ( f xogx)U . . . .u (fn ogn) (1) Luego, sean: fí(x-3)=x -* ft(x)=x+3 , X e[ 1 , 3> f i (x -3 )= (x -3 )t — f x(x)=x * , x e [3 , 7> g l (x-l)= x -4 ■* g, (x)=í>c-3 , xe[2,5> gx(x-l)=4 -* g x (x)=4 , xe[5 ,7> (2) Determinación de los rangos de g, y de gx En g , : x e [ 2 , 5> «-* 2 s x < 5 ■<->• -1 4 x-3 < 2 « - 1 4 En gx : xe[S ,7 > , Ran(gl)=[-l,2> y=4 constante -► Ran(gx)={4) Ran(gt) * [ l , 3 > n [ - l , 2 > (3) g x(x) < 2 — i t, ♦ n(flogl) Como Ran(gx) i- Dcm(fl) -* Dam(flogl) = {x jx e C o m fff ,) a g , (x)sDcm(fl) ) 4. x -» Dom(fxogx) = xz[2,5> a (x-3)e[l,3> = <2 < 5) a <1x-3 < 3)= [4,5> -* (fiOgi)(x) = flígí(x)¡ =f,(x-3) = (x-3)+3 = x , xe[4,5> (4 ; R a n íg iJ O D o n f /!; = H ) n [ i , 3 > (5) Ran(gx) n D o m ffJ = [ - l , 2 > n (6) Ran(gx)t)Dom(fx) = { 4 | n [ 3 , 7 > Como 14) C [3,7> -* Entonces, fx[gt(x)J (7) = 4. -► f(flogl) [3 ,7 > = ♦ * ¿ * i(fíog1) - s ií^ o g » ; Dom(fxogx) = Dom(fx) = 13,7> = fx(4) ~ ( 4)l = 15 Por l o tanto, de (3) y (6): <fog)(x) = (O b s . U ) , x e [3 ,7 > ’x , si x e [4 ,5 > 16 , s i x e [ 3 ,7 > EJEMPLO 7. D e te r m in a r (fog)(x), si f(x)=x?-2x, xel-l,7> y g(x) Á 1'2* * s i x e < - “ ' - 1 > )X + 2 S o lu c ió n . , s i x e < 2 ,+ » > , (I) Sean: g,(x)=l-2x y gx(x)=x+2 - * fog - (fog,) u (fogx) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.9: Composición de Funciones 413 (2) Verificar que Ran(gt)=<3,+’°> y Ran(g1)=<4, +«•> Como Ran(g,)0 Dom(f) ¿ ♦ y Ran(g,) n Dom(f) f ♦ -+ existen fog¡ y fogl (3) Cálculo de cada uno de los dominios: Ran(gJ <¿ Dom(f) Ran(gt) <£ Dom(f) -+ Danifog J = t x |x c Z ) o m f g J a g¡(x)eDf} Dom(fog1)={x\xeDom(g1) a sr2íx>eD/'> -*■ x e < - “ , - I > A (l - 2 x ) e [ - l , 7> + x e < 2 ,+ “ > ■— (X < -1) a (-1 4 (x+21e[-J,7> ( x > 2.) a f - J ..< x+2 < 7) l - 2 x < 7) ++ ( x > 2) a (-3 4 x < 5) ++ ( x < - i ; - ( - 3 < x -S 1) Dom(fogt)=<2,5> Dom(fog¡)=<-3,l> Determinación de las r e g l a s d e correspondencia: (4) I f[gt(x)l = f(x+2) f[g,(x)] = f(l-2x) = (l-2x)1-2(l-2x)=4x1-l (fog)(x) | = fx + 2 > I -2 fx + 2 1 f 4X1- ! x l +2x , xe<-3,-1> |_ x I +2x , x e < 2 ,5 > EJEMPLO 8. Sean las funciones f(x)=/l+x , -1 4- x < 2, y g(x) = | I x í [x* -J S o lu c i ó n . ,x < O , x >s O Sean gr, ( x ; = | [ x jj y g t(x)=x*-l -» (1) ++ fx < 0 ) a ( ü x J e [ - l,2 > ) (x a ( x e { - I ,0 ,1 H < 0> fog = (fogt) o (fogt) Cálculo de los dominios de fog. Dom(fog,)={x\xcDom(g¡) a g l(x)eDfi - Hallar fog y graficaria. D o m (fo g ,)= < x |x e D a m (g 2) - g i í x l E D f ) - x e I-1 1 (x >, Q) a f x * - l l E [ - l , 2 > ++ (x >s0) a «-+ (x >, 0) a (0 4 x < /3) ++ 0 -S x </3 (-1 4 x l-l < 2) ( 2 ) Determinación de las reglas de correspondencia: f[g,(x)J = / Y [ [ x ] ] l = / l + l x l . - x e ( -1 > (fogl)(x) = / F 7 = 0 , x = - l f[gi(x)] = f(xl-l) = /l+xz-l - í / o g ,J ( x > = |* l = * > x s [ 0 , / 3 > _ f0 , si x=-l (fog) (x) |^ x , si x e [ 0 ,/ 3 > EJEMPLO 9. f (x) = Dadas las funciones siguientes; hallar, si existe, (gof)Oc) I/¡ 5 ¡ 1 '" |x | , si -U*<1 X f x 2j j x 2 ]] —2 1x | , si -fi< X í 0 x j |x -3 | U+2 , s í 2 < x < 4 >, 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual 414 Capitulo 5: Composición de Funciones S o lu c ió n . Volvamos a definir f y g el¡minando las barras y los corchetes. (1) - J< ~ “ 3 |x+2| 1~ < V3 Si x > 1 -+ |x | (2) En g:Para ~/2 <x -i — 1 < x+2 < 3 En f: si -1 < x < 1 = < < y 12 " í / —— I = 0 \x+ \ II / |x+ 2 | il x S T < x i O — |x | = -x O=<-/2 < x ¿ -1) v (-1 v f H x M l = o ; S i2 <x< 4 =( 2 <x < 3) v (3 < x< 4 ) -+ (-1 < x-3 < 0) v (O < x - 3 < 1) -* ÍO < |x -3 1 < 1) * (0 < |x - 3 | x 2 +2x , s í - / J < x -í -1 (g¡) si -1 < X < 1 Í <f3) 2x :: ■ 2 , si 2 < x < 4 , si -1 < x S 0 (gi) (g3) Entonces, gof está definida +-+Dom(g) n Ran(f) ¿ ♦ (3) Determinación de los rangos de f3 y f3: En f3, Ran(fl)=0 , constante. En f1: y=x,si x 4- 1 -*y > , (4) Interceptando el rango de = que sóloRan(fx)hDom(gz) - J -► Ran(fz,) = [ ! , +” > f3 con los dominios de g 3, g z y g 3, se deduce -*^(gzof3) Dom(gzof,) = ixIxeD om C /-, .) - fl(x)tDom(g1)} = (-1 < x < 1) ~ Oe(-l < x S 0) = (-1 < x < 1) ~ ( - 1 < Xs< 0) = <-l,0] - gilfi(x)] = gzfo; = 2(o; = o , s¡ xe<-j,o] (5) Interceptando el rango de fz con los dominiosde g t, gz y g 3 vemos que sólo Ran(fz)n Dam(g,) í 4 -» *(g3ofz) Como [ 1 , +"> 4- < 2, 4> ■+ Dom(g,ofz) =fx Ix e D o m f/'!) -+ Dom(g3of3) = (x >/ 1)~ (xc<2,4>) = - gslfi(x)] = g 3(x) = 2 , xc<2,4> (6) Por ¡o tanto, EJEMPLO 9. f M de (4)y (5): (gof)(x) = f ° ' S l " J ¡2 , si 2 < < * ^ 0 x < 4 Sean f y g dos funciones reales definidas por: =j I L ^ J ( / x 2 + 2x H allar ~ f ¡(x)cDom(gt)) <2,4> ’ s i “ < - J ’ i> , si x e [ i, 2 > ; g(x) = t ó • sí « [ - 2 ,- l> ( 1 -x , el dominio y la regla de correspondencia de gof. Sólo fines educativos LibrosVirtual si x e < 0 ,6 > Sección 5.9: Composición de Funciones Solución. En f, dado que Oe <-1,1> -* (1) Para x e < -l,0 > - -1 < x < O -+ W Si x e < 0 , 1> -4<x-3< - O < x < 1 -+ |,|= x - «- - , si x e < - l , l > ______ ( / x 2 +2x, si x e [ l , 2 > | j ] = [[l ~ ~ -1 " J + Á <- T - * = + 3^ [[-1 2 < 3 -x < 3 =-1 I 1+^ 5 ] ] = - J | -- 4 < -r_ < 4 J J-JC « - - J • * < 0 - J> , tf re < - I,l> í-^ i (fz) ; - f - H -1 + F í l [[^ |~ 2 j) (1) + ¿ ] J - j < -X ~3 < - I < -1 + F i < - I [-1 | ^ = <-l,0> u <0,1> ~ ([£ § ]! Por lo tanto, de (1) y (2): M < - !,! > |x |= - x -3 -1 < -x < O ~ fW 415 , si xe[-2 ,-l> (g¡) g(x) = 1 [l-x (fz) , si oce<0,6> (gz) +-+ Dom(g) n Ran(f) 4 ♦ La composición gof está definida (3) Determinación de los r a n g o s de f , y f1 : Ran(fl)=-l, constante. Si 14- x < 2 - En fz, y=/x1 +2x =/ (x+l)1-! 2 4 x+l < 3 *-+ 4 4 (x+l) 1 < 9 < - 3 -S (x+l)1-! < 8 ■++ /3 4 /(x+l) 1 -1 < / 8 - Ran(fz)=[/3,2/2> (4) Como Ran(fz) ñ Dom(g¡)=$ y Ran(f¡) fl Dom(gz)=$ , no están definidas gzofz y gi°fi(5) Ran(ft)n DomfgJ = ♦ -► 4(g,ofz) Ran(fz)n Dom(gz) 4 * -* ^(gzofz) Dado que Ran(fz) c Dom(g2) -*• Dom(gzofz) = Dom(fz) = [ 1,2> g i l f i W l = gi(/x* +2x) = 1 -/x1 +2x -*■ EJEMPLO 10. (Obs.4) (gof)(x) = l-/x1 +2x, x e [ l , 2 > Sean f y g funciones reales definidas por: f(X) = / l * l l- ''x =I ' Si « < ^ .0 3 ; g(x) , si x e [ 1 ,10> J 3X ( H x l ]l ’ xe<-1’n , x e [ 2 ,4 ] Hallar, s i existe, gof. Solución. Sean: f 2 ( x j ^ l x l , x e < - l , 0 ] , g ,( x )= 3 x , x e < - l , l ] fz(x)=/5PÍ ,x e [ 1 , 1 0> , • (1) L a función gof está definida ++ ]], x e [ 2 ,4 ] Dom(g) fl Ran(f) 4 ♦ Determinación de los rangos de fi y fz: x £ < -1,0] x c D ,1 0 > «-»- -i < x.$ 0 +~+ 0 4 |x| < 1 -+ Ran(fi)=[o, 1> +-* 1 4 x < 10 +-+■ O 4 x -1 < 9 ++ 04 / j F T < 3 + Ran(f2 )=[0,3> Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 5: Composición de Funciones 416 (2) in te rsec ció n -d el Ran(ft) con los dominios de g , y g t : a) Ranif¡) n Domíg,) = [ 0 , l > n < - l . l ] 4 * Como Ran(fl) c Dom(g,) -* B ito n c e s : g j f j x ) } = a l g .o f ,) Domfglo /'1l = Dcm(ft) = <-1.0] f|o c ¡> = 3 | x | b) Ran(ft) nDom(gt) = [ 0,1>{\[2,4] = + - , xe<-l,0] ííg .o f ,) (3) Intersección del Ran(ft) con los dominios de g , y g t: a) Ran(ft)n Dcm(gt) = [ 0 ,3 > n < - l ,l] 4 * — a íg .o f ,) Domíg,) -► Dcmlglo f I ) = {xlxcDomí/-, ) - fi(x)eDom(g,) ) Ran(ft) - Domig^fx) = (x*[l,10>) a í / x ^ t c - l . l )) = 11 -í x < 10) a 1 -1 < 2x=7 -S 1) * 11 -í x < 10) Entonces: b) Ran(fx) Ran(fx) giifx(x)] 0 Dom(gx) = = - 10 < x-1 í 1) = f l -< x í 2) gil»l' í r i ) =3^x-l , x « [ l,2 ) 10,3>>'12.4) / ♦ - aíg .o f» ) Dam(gx) -» Dom(gxofx) = lx|xcDomíf, ) - fx(x)eDcm(gx)i - Dom(g,ofx) = (xell,10>) a l/c = ic [.2 .4 ]) = (1 ■$ x < 10) ■~9xlft<x)) = 9x(’^ ri> = í í ^ | = 11 ¿ x < 10) a (2 ^ /3F I 4- 4) ~ (4 4 x-1 < 16) = 5 ¿ x < 10 3 |x | 3/ic-l ) ‘ í = l l * - l l l . xe[5,10> , s i x e < -l,1 0 ] , s i x e [ l,2 ] H x - l ] ] ( s i x e [ 5 ,1 0 » EJEMPLO 11. Sean las funciones reales f y g definidas * por: |^ 3 | |x -2 | Hallar la regla de correspondencia de la función fog. Solución. Por el método de los puntos c r ít ic o s en x=2 y x=3, verificar que la función g se puede redefinir de la 4-x , x*-4 . x < 3 íf ,) g ix ) = 2-x , fíx ) = 8-x . x >, 3 1 /,) x-4 , En tonces la función fog está definido sig u ie n te manera: x < 2 íg ,) 2 < x< 3 (g1) x ^ 3 íg ,) **■ Dom(f) n Ran(g) 4 + 11) Verificar que los rangos de las funciones g ,, g , y g , son: R aníg,) = <2,+-> ; Ran(gt) = <-l»0> ; Ran(g,) = I-l,+ -> 12) Intersección del Ran(g¡) con los dominios de f , y a) <2,+->n <--,3> 4 4 - s íf .o g ,) Raníg,) Dcm(fl) -♦ Doral/',og,) = ix|xcDomíg,) a g,íx)cDom lf,)} •* Domí/,og,) = íx < 2) ~ (4-x < 3) = íx < 2) ~ lx > 1) = 1 < x < 2 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.9: Composición de Funciones 417 -* fllgl(x)J = f¡(4-x) = (4-x)2-4 = x 2-8x+12 , xc<l,2> b) Ran(g1) n Dom(fz) = <2, + -> fl [ 3 , +»> i * —• Como Ran(g¡) <¿Dom(fz) -<■ Dom(ftog¡) -+ Dom(f1ogi) = (x < 2) ~ ( 4 - x i, 3) = (x 3(fzog¡) = (x ljc e D o m fg j) ~ g , (x)cDom(fz ) ) < 2) „ (x ■( 1)= x -í 1 — f i í g i M ] = fi(4-x) - 8-(4-x) = x+4 , x e < - » , l ] (31 Intersección del Ran(gz) con los dominios de f¡ y fz: Ran(gz) n Dom(f¡) = < - i , 0> n < - » , 3 > ^ ¿ a) Ron(gz) <z Dom(f¡) — - fitgi(x)] = fi(2-x) = (2-x) 2-4 = x 2-4x , xc<2,3> b) Ran(gz) íl Dom(ft) = <-l,0> n [ 3 ,+ » > = $ (4) a) -► 3(f1og1) Dom(fíog1) = Dom(gz) = < 2 ,3 > -» i(fzogz) Intersección del Ran(g¡) con los dominios de f¡ y fz: Ran(g3) fl Dom(f¡) = [ - 1 , +»> 0 < - - , 3 ] i 4. — Dom(f¡) - Ran(g3) 3 (f3og3) Dom(f¡og3) = { x |x e D o m f g ,; ~ g 3(x)cDom(f¡) ( -+ Dom(flogi) = (x t. 3) „ (x-4 < 3 ) = 3 ^ x < 7 -+ f j g 3(x)J = f¡(x-4) = (x-4)2-4 = x 2-8x+12 , x e [ 3 ,7 > b) Ran(g,) n Dom(f1) = [ - 1 , +=•> n [ 3 , *“ > ¿ 4 + ?(f3og3) Dom(fz) — Dom(fzog3) = |x |x e D a m ( g j) - g 3(x)cDom(fz)} Ran(g,) — Dom(f zog3) = (x í- 3) * (x-4 %■ 3) - x >' 7 ■* filgi(x)} = fi(x-4) = 8-(x-4) = 1 2 - x , x e [ 7 , + “ > , x c< -“ , j ] x+4 (5> Por lo tanto: EJEMPLO 12. x*-8x+12 , xc<I,2> U t3 ,7 > (fog)(x) = Sea g(x) = Tf*-f 7 x*-4x ,x e < 2 ,3 > 1 2 -x ,xe [7 ,+ "> . con Dcm(g)=[-1,1> u <1, 4); la función f tiene Dom(f)=<-l,1>u <1,2] y e s tal que (fog)(x)=x2-x+l. Hallar la regla de correspondencia de f(x), el dominio y el rango de la función fog. Solución. (1) Cálculo de f(x): flg(x)] = x 2-x+l c x+1 u = — J <-> X u+1 = - J - JC+I f(— 1) = x 2-x+l , .u + 1 , , .u+1. . u2+3 f (u) = ( - ) 2-(— ¡)+l = _ _ x 2+3 Volviendo a l a variable original: f(x) = ---------(x-1)2 (2) Cálculo del Dom(fog): Dom(fog) = lx |x cD o fn (g > ~ g(x)cDom(f)) — Dom(fog) = x e [ - l , 1>U < 1 , 4 ] - r | ^ , ) e <- i , l > U (a) ( | í i ; e < - l . 1 > u < 1 ,2 ] (-1 < ^ < 1) v <1 < f r j í Sólo fines educativos LibrosVirtual 2> Capitulo 5: Composición de Funciones 418 ~ < 1)] v [íF i > 1} ~ ~ * 2)i °>l ' “ ¿ i > 0 ) ~ < M « l(x < <-► (x < o V X > 1) ~ (x < 1)] 0 ) v (x >, V >' [ ( i > 1) * (x < 1 v i ^ 3 )] X e < - “ ,0 > u [ 3 , + “ > 3) Dam(fog) = (xe[-l,l> u <1,4]) n (xe<-=,0> U [3,+<■>>; Luego, en (a): i ---------------- i ------------------------------- - 1 0 Cálculo del Ran(fog): ■ ] (fog)(x) = x*-x+l = (x-1/2)1 + 3/4 «- Si xel-l,0>0 Í3,4] ~ !■ . 4 Dom(fog) = [ - 1 , 0 > U [ 3 , 4 ] . (3) |W A '» 2 J S é i 3 1 (-1 - í x < 0) V (3 -S x 4 4) % 4 x -{ < / 1 + 3 < 1 \ i J. 3 < 9 + 3 \ íx " 2 ; + 4 < 4 + 4 ; v f (1 < (fog)(x) ¿ 3) v ( 7 ¿ /• 1 5 + i (fog)(x) í 4 v< fx 4 ' (X . J , ‘ + 3 « 12 + 3 , 2 4 4 4 13; R an(fog) = < 1 ,3 3 u [ 7 ,1 3 3 EJERC ICIO S: G rupo 38 1. Sea f ( x ) = y g (x ) = . H a l l a r D o m (fo g ) n Dora(gof ) . 2. S i f , g y h son f u n c io n e s d e f i n i d a s p o r l a s e c u a c io n e s : f ( x ) = x I , g (x )= 3 x y h ( x )= x -5 . S i s e s a b e que ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , h a l l a r l o s v a lo r e s de x t a l e s q u e : [ h o f o ( g + h ) ] (x )= 0 . 3. S i f , g y h son f u n c io n e s de R en R y t a l e s que f ( x ) = x l - 4 , g (x )= 3 x y 1 i(x)= 3 x- s . H a l la r e l d om inio de ( h o f o g ) ( x ) . 4. S i f : [ 3 ,+~> ■» R e s t á d e f i n i d a p o r f ( x ) = n id a p o r g (x ) = l i l i , 5. Sean f(x ) = 2 x - 3 -JL x -2 y g : [ l / 2 ,+ “ > ■+ R e s t á d e fi - h a l l a r e l D om (gof). y g(x)=x*+ 1 dos f u n c io n e s r e a l e s . H a l l a r l a suma de t o dos l o s v a lo r e s de x t a l e s q u e : ( f o g ) ( x ) = ( g o f ) ( x ) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.9: Composición de Funciones 419 6. S i ( f o g ) ( x ) = x 2 +x+1 y g (x )= x s +1, h a l l a r ( g o f ) ( 9 ) . 7~ . o / )\ = Jf 4 x+5 , 0Sx<1 Sean lt a s í f u-n c io n e s : ff (t x )\ = /f x 2 +2x+2 , 0 -í x < 3 , g (x (_2x+4 , x 3 [ 3 x 2+2, x i 1 H a l la r ( f o g ) 0 / 4 ) + l 6 ( g o f ) ( 1 / 2 ) . 8. 1 Sean l a s f u n c io n e s r e a l e s : f(x )= = /1 -x y g (x ) = _______ . E l d om inio de l a |x 2-1| fu n c ió n fo g e s A. H a l l a r A '. 9. y g , t a l e s q u e : f ( x - l ) = 3 x 2+ax+12, Dadas l a s f u n c io n e s r e a l e s f g(x + 1 )= 5x+ 7 ; h a l l a r e l v a l o r de a t a l que ( f o g ) ( - 2 ) = - 4 a . 10. S i f ( x ) = / 2 x - 1 , g ( x ) = /2 x l - 7 , h a l l a r una f u n c ió n h t a l que ( f o h ) ( x ) = g ( x ) . 11. Sean l a s fu n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R p o r l a s e c u a c io n e s f ( x ) = x 2+2 y g (x )= x + p , p f i j o . H a l l a r l a suma de to d o s l o s v a lo r e s de p que s a t i s f a ce a : ( f o g ) ( p + 3 ) = ( g o f ) ( p - 3 ) • 2 12. S i f ( x - 2 ) = — ^ , h a l l a r e l v a l o r de x de modo que ( f o f ) ( 2 / x ) = 5 . 13- S i f ( x ) = x X, h ( x ) = /x y ( h o g o f) (x )= , h a lla r g (x ). 14. S i f ( x ) = 2 x 2- 4 x - 5 , h a l l a r d o s f u n c io n e s g p a r a l a s c u a l e s ( f o g ) ( x ) = 2 x 2+ 16x+25. 15- H a l la r to d o s l o s p o lin o m io s f ( x ) de p rim e r g ra d o t a l e s que: (fo f)(l/x ) = , x ¡¿0 16. Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R, t a l e s q u e : f ( x ) = ( X+2 ■ «i * < 1 _ (x - 1 ) 2+3 , s i x > 1 . (g o f)(x ) Lx - 5 2 , si x > 2 > si x ^ 2 H a l la r l a f u n c ió n g ( x ) . G r a f i c a r l a f u n c ió n g. 17- Sean l a s f u n c io n e s : f ( x ) = / X >s i |_ -x $, s i x < 1 ^ g (x ) xi - 2 = / _X ’ l_2x , s i X <2 x >y 4 H a l la r e l D om (gof). 18. Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s p o r : f ( x ) = [ £ x j ¡ , x e [ 4 ,9 ] . g ( x )= x 2- x + l / 4 , x e [ - 3 , 0 ] . H a l l a r e l D om (fog). 19. Sean l a s f u n c io n e s de v a r i a b l e r e a l : f ( x ) =1* l _x’ / \ I x -1 , s i x < 2 , . g' ' = 1 2 , s i x i 4 • H a l l a r e l Dom( g o f ) . >s i x * 1 >s i x ^ 2 0 . Sean l a s f u n c io n e s : f ( x ) = 2 í 2+ 1, s i x e < -2 ,2 0 > , g (x ) = H a l la r f o g . Sólo fines educativos LibrosVirtual x e <6 +“ > 420 Capitulo 5: Funciones x :> 1 2x+3 { 3x-1 , x < -1 E s t a b l e c e r e l v a l o r de v e rd a d de l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c io n e s : a) x e [ - 2 ,- 3 /2 > -» ( g o f ) (x)=6x+ 4 c ) x < -1 (fo g )(x )= -2 b) R a n (f)-R a n (g ) = [ - 2 , 1> 22. D e te rm in a r fo g s i f(x )= 3 x + 2 , s i x e < - ~ ,- 3> y g (x ) _ J ^ x ’ s i | - 3x , s i x 0 x >, 1 23* Sean l a s fu n c io n e s r e a l e s de v a r i a b l e r e a l : f(x ) =J X+^ ’ X ^ ^ , g ( x ) = { X > x < 0 _ H a l la r fo g y su d o m in io . | x -1 , x > 1 \ 1 - x 2 , x í. 0 24. Sean f y g fu n c io n e s d e f i n i d a s en R p o r: \ f x 2- 3 x , s i x í 3 f(x ) = 2 , ( - x z +3, s i x > 3 / \ Í 3- x , s i x í 1 „ ,, , g (x ) = J . H a l l a r fo g y su ra n g o ( 5- x , s i x > 1 25- Dadas l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R, p o r: x+3 , s i x e [ -5 ,- 3 ] 2x-1 , s i x e < -3 ,1 > 4x+1 , s i x c [1, 3] Í 1 -x' [ l X+6l , s i -4 < x .< -1 g ( x ) = < |x + 3 |-3 = [ -2 ,- 1 ] |(x+2)2 [/ITx -2 , si -1 < X < (fo g )(x ). 26. Sean l a s fu n c io n e s f y g d e f i n i d a s p o r: , si x < -2 f (x ) . H a l la r 5 27* Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s p o r: ’ s i xe<- 3 .1 > . ,s i x e [ 3 , 8 ] f(x ) | 1/ x 28. ííTi Si f(x ) - \ - « «-I."» g (x ) = [0 ; s i x « [ 0 .4 ] _ H a l la r fo g , s i x e < 4 ,7 > í II x II . xe[0,1> g (x ) =< ||x +1|, xe<1,2> . H a lla r fo g . | /x2-1 , x c [1,3] 29* Dadas l a s f u n c io n e s : f(x ) = / W |2 30. ' . g (x ) J I X- 1I1> |x 1 , xc[1,2] x £ [ ° - 2> , xe[2,3] Sea l a f u n c ió n f ( x ) J - 2 +xSS " U 2- 1 ) , * [ - 2 , 3 ] | /7 + 2 , XE [4 ,9 ] H a lla r, s i e x is te , f o f . Sólo fines educativos LibrosVirtual . H a l la r g o f . 421 Sección 5.10: Funciones Crecientes y Decrecientes 5.10 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES____________ §¡| Definición 5.5 Una función f es no decreciente en un intervalo ía,b] d e su dominio, si para dos números x t, X i e t a . b ] , se cumple: Xl < *1 y si ocurre que: ■* x¡ < x z — f(Xt) 4 f(xz) f(xt) < f(x¡.) entonces se dice que f es estrictamente creciente o simplemente creciente. Es decir, u n a función es creciente o no decreciente en [ a , b ] , si al crecer la variable x tos valores de la función también crecen (Figura 2) o permane cen constantes (Figura 1: f (xl)-f(xt) en el trono CD) (Función no decreciente) Definición 5.6 (Función creciente) Una función f es no creciente en un intervalo Ca,b] de su dominio, sí para dos números X¡ < X! — f(X ,) a ^ e ta .b ] , s e cumple: f(X x ) y si ocurre que: Xi < x x -* f(xx) > f(x%) entonces se dice que f es estrictamente decreciente o simplemente decrecien F ig u ra 3 (Función no creciente) Sólo fines educativos LibrosVirtual F ig u ra 4 (Función decreciente) 422 Capitulo 5: F unciones Es decir,u n a la variable x,los valores de i a función decrecen ( F i g u r a 4) función es decreciente o no creciente en [ a , b ] , s í a i crecer o permanecen constantes (Figura 3: f(x, )=f(Xz) en el tramo CD). Definición 5 . 7 Una función f se dice que es monótona en un i n t e r v a l o [ a , b ] d e s u d o m in io , s i y s ó l o s i c o r r e s p o n d e a c u a l q u i e r a d e l a s dos definiciones antes mencionadas. EJEMPLO . Analizar l a v e r d a d o falsedad de las siguientes p r o p o s i c i o n e s • a) b) Si f(x)=ax+b, entonces x, < x 2 no implica q u e f(xz) < f(x2) La función g(x)=axz+bx+c, a > 0, es monótona, entonces el rango de g es: Solución, a) Sean X i y x 2 dos puntos del dominio de f(x)=ax+b | x« < x* Para a > 0, si x, < x 2 -* ax¡ < ax2 ax¡+b < ax2+b ,f(xt) < f(x2) , Para a < 0, si x, < x2 * ax i > a x 2 -*■ f es creciente dx2+b > aX2+b -*■ f(xi) > f(xi) , f es decreciente Luego, si f(x)=ax+b, entonces: x¡ < x2 y* f(x2) < f(x2) Por lo tanto, la proposición es verdadera. o) Sea p:La función g(x)=axz+bx+c, a > 0, es monótona. , j r 4ac-bz q:el rango de g es: ^ , +“ > Tenemos la proposición; p * q En p, completando el cuadrado obtenemos: . , , b,z 4ac-bl g(x) = a f x + Ta) * - i r Si a > 0, la gráfica de g es una parábola cón u • a r r i bi a , donde ^ i. cava hacia b y k i - — 4ac-bz Según el diagrama, g no es u n a función monoto na, porque para x e < - “ , b ] g es decreciente y p a r a x e [ h , +"> , g e s creciente. Por lo tanto, V(p)=F Dado que Ran(g)=Uc , +“ > 2 D ■* V(q)=V. Luego: V(p •* q) s V(F ■* V) s F FUNCION IN YEC TIVA _____________________;______________g Definición 5.8 Sea f :A * 8 una función. Si c a d a elemento y del conjunto B e s imagen de un solo elemento x del conjunto A, s e dice quA Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.10: Funciones Crecientes y Decrecientes 423 i a función f es u n a inyección o es inyectiva. Dicho de otro modo: Una función f:A * B es una inyección si Vx,,xz¿A i) f(Xi)-f(Xi) en B * x, = x t en A o equivalentemente: íi) Xi ¿ x 2 en A * f(xt) i f(xt) en B Es decir, en una inyección, la igualdad de las imágenes en el conjunto B de llegada implica la igualdad de los elementos en el conjunto de partida A, (1) Una función f:R •* fi e s inyectiva o univalente si una recta horizontal (2) Una función que es creciente o decreciente en un intervalo la,b] es ade más univalente. En la Figura 5: x x < x, * f(xx) < / (x,) , f es creciente. x» f x x en A=[a,b] » f(xx) f f(xt) en B=lf(a),f(b)j Sólo fines educativos LibrosVirtual 424 Capitulo 5: Funciones En i a Figura 6: x l <x¡. x¡ 4 x 2 en A = [ a , b ] •* f(xj > f(xt) , f es decreciente ■* f(xl) 4 f(xzJ en B=[f(b),f(a)], f es univalente. (3) Si una función inyectiva f es continua en un intervalo [a,b] su rango se determina calculando los valores f(a) y f(b). Asi, en la Figura 5, f es creciente en x e [ a , b ] En la Figura 6, f es decreciente en x e [ a , b ] -► Ran(f)=[f(a),f(b)) -► Ran(f)=[f(b),f(a) ] (4) Para verificar si una función f:A * B es inyectiva se toman (x,y)ef y (z,y)ef y se demuestra que x = z . EJEMPLO 1. Solución. Sea la función definida en R: f(x)=3x+2. Es f inyectiva? Sean x l,xzdDom(f) , tales que: f(xl)=3xí+2 y f(xz)=3xz+2 -*■ i , = i , Debemos probar que si f(xj=f(xz) En efecto, si f(xl)=f(xz) EJEMPLO 2. Demostración. ■* 3xz+2 = 3 x z+2 3xz = 3xz — i, = x 2 , f es inyectiva x+l Sea la función f(x)=e , demostrar q u e f es inyectiva VxeR. En efecto, sean x¡,xz Dom(f). Supónganos que: f(Xi)=f(xz) — ex%+1= eXx+1 -* -* X x+ 2= xz+2 EJEMPLO 3. -* (Xi+l)lne = (x z+l)lne -*■ Xi=xz .'. f es inyectiva O ] + R, definida por g(x)=x2-l, e s inyectiva La función g: Abee < - “ , 0 ] ? Solución. Sean x z, x z e < - ~ , 0 ] , tales que g(x¡)=xf-l y g(xz)=xz-l -+ x\-l = x\-l — Si g(xz)=g(xz) P e r o com o, x e < - » , 0 ] EJEMPLO 4. -*■ - x z = - x 2 -* « i = x\ x z = x2 |x ,| = |x 2| g es inyectiva: Dada la función f(x)=2+2oc-xz, restringir su dominio de tal mg do que f sea inyectiva. Solución. Completando el cuadrado: f(x)=-(x-l)*+3 La gráfica de f es u n a parábola de vértice en V(l,3). Sean x l,xzeDcm(f) tales que: f(xl)=f(xz) - -w- 3 - ( x , - J ) l = 3 - f x z- I ) 1 | x , - J ¡ = | x 2- I | (xz-l=xz-l) v ( x 2- I = - x 2+JU i-» (xi = xi) v fx x = 2-Xi) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.11: Función Inyectiva 425 S e o b s e r v a que se presentan dos alternativas, de las cuales solo interesa la primera por cumplir con la condición de inyección. En consecuencia, para restringir el dominio de f se presentan dos casos: a) Para signos positivos (a la derecha del vértice): x-l % O -* x 1 -* f z(x)=3-(x-l)*, si x e [ J , + ” >, es inyectiva. b) Para signos negativos (a la izquierda del vértice): x-¡ s O -<■ i v< J -* f l(x)=3-(x-l)1, si es inyectiva. Cuando se trata de funciones s e c c i o n a d a s , e s t o e s , s i : Nota. f 3( x ) , X c D o m ( f 3) I f z(x ) , x c D o m (fz ) f,( x ) , X e D o m ( f 3) fn (x) , X eDom( fn ) donde: f = fl u fz U f, ll ■ • • . U fn y Dom(f) = Dom(f3) U Dom(ft)u Dom(f 3) u entonces, la función f es inyectiva, . - • . U Dom(f ) si y sólo si: i) Las funciones parciales: f 3, fz, f,, . . ., fn son inyectivas, y ii) Ran(fl)h Ran(fz) = * Ran(fi) r\Ran(fz) - $ Ran(fz) n Ran(fz) - $ Es decir, los rangos parciales deben ser dis juntos dos a dos. El diagrama de la figura ad junta muestra una función f inyectiva seccio nada: f ¡ u f z, con dominio xc[a,b> u [b.c] = [a,c] y en donde se observa l o siguiente: a) f z e s inyectiva y creciente en [ a , b > , por tanto, su rango e s [ f t ( a ) , f l ( b ) > . b ) fz es inyectiva y decreciente en [ b,c] , por tanto, su rango es [fz(c),fz(b)]. De a) y b) se observa que Ran(f¡)C\Ran(fz) = EJEMPLO 5. ' Solución. luego, f es inyectiva. Determinar si la función f(x) = i ^ ^ ,1 > ( 4 x - x l - 3 , xc[2,4> _ es tiva o no. Trazar su gráfica. Sean: fz(x)=3-2x, xel~2,l> y fz(x)=l-(x-2)1, Xc[2,4> i) En /■,: s i fz(xt)=fz(xz) -* 3-2xl=3-2xl — Sólo fines educativos LibrosVirtual -* i , = x , -2xt = -2xz f i e s inyectiva ¡nygc 426 Capitulo 5: Funciones En f2: f2(x2)=ft(x2) - l-(xl-2)1=l-(x2-2)1 -* Dado q u e x c [ 2 , 4 > , esto es, x >, 2 Luego: x¡-2 = x 2-2 -* X! = x 2 ■* x-2 í- 0 -* |x ,- 2 |= |x í- 2 | |x - 2 |= x - 2 f2 es inyect iva. ii) Determinación de los rangos de f , y f2: En f¡(x)=3-2x, xeí-2,l>: para x¡=-2 x2=l Vemos que: Xi < x 2 -» f¡(-2)=3-2(-2)=7 f i (1)=3-2(1)=1 f(x2) > f(x2) fi es decreciente -y Ran(f¡)=<f 2(x2),f¡(Xi)] Ran(fi) = <1,7] En f 2(x)=4x-xI-3, x c [2,4> Entonces, para x¡=2 x 2=4 -*■ f2(xl)-l ->■ f2(x2)=-3 Vemos también que: Xi < x 2 ■* f2(x¡) > f2(x2) f2 es decreciente -*• Ran(f2)=<f2(x2),f2(x¡)] Ran(f2) = < - 3 ,11 Luego, Ran(fl)DRan(f2) = ♦ g jg •* f es inyectiva. FUNCION SOBREYECTIVA Definición 5.8 Sea la función f:A ■+ B. Se llama sobreyección o función so breyectiva (suryect iva) a una función f de un conjunto A so bre un conjunto B cuando todo elemento de B es imagen de por lo menos un e lemento de A; es decir, cuando el rango o imagen es todo B (conjunto de lie gada). Formalmente: ÍVycB , 3 x e A |f f x ) = y f es sobreyectiva Función Sobreyecti va EJEMPLO 1. 1I, Ran ° (f) = B Función no Sobreyect iva Determinar si la función f :RR\f(x)=2x+3 es sobreyect iva. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.13: Función Biyectiva Solución. (1) Se tiene: ycR (R es (2) Despejando x: (3) 427 el conjunto de llegada) x - ->• y-2x+3 xeDam(f)=R Aplicando f a cada lado de (2) se tiene: f(x)=f(-^) -* f(x)=2('~)+3- y * f(x) = y , ¥ytR. Por lo tanto, f es sobreyect iva. EJEMPLO 2. Sea la función f:R * R\f(x)=x*-1. Averiguar si es o no sobre yect iva. Solución. (1) Sea yzR (Conjunto de llegada) (2) Despejando x: x =- </y+l* —y=xz-l *x y+1 >,O * Ran(f)=[-!,+“> (3) Aplicando f en (2): f(x)=f(±Sy+l) * f(x)=(±Sy+l)z-l=(y+l)-l = y Por lo tanto: f(x)=y, Vy e [ - l , + “ > (4) Dado que el conjunto de llegada es R y Ran(f)=í-1,+ ” > # R, entonces f no es sobreyectiva. Obsérvese que toda función es sobreyectiva sobre su rango, es decir, toda función de la forma f:A *Ran(f) es siempre sobreyectiva. En consecuencia, para s a b e r s i una función es sobreyectiva bastará hallar su rango y ver si coincide con el conjunto de llegada. EJEMPLO 3. Sea la apiicación f:l-l,5> * <-7,5]\f(x)=3-2x. Demostrar que es sobreyectiva. Solución. (1) Sea y e < - 7 , 5 ] (Conjunto de llegada) * y=3-2x (2) Si x e [ - J , 5 > * - * - l S x < 5 - ' - > -7 < 3-2x -S 5 (3) Entonces: Ran(f)=<-7,5 ] = Conjunto de llegada. - y e < - 7 ,5 ] .’. f es sobreyect iva. FUNCION BIYECTIVA Definición 5.9 Se dice que una función f:A -* B es biyectiva o es una b i y e c ción si a la vez es inyectiva y sobreyectiva. Formalmente: f es biyectiva r y e fl , a ¡xeA, tal que y=f(x) |1 Ran(f) Ranl = B En l a sigiente página se una interpretación gráfica de esta definición. EJEMPLO 1. Demostración. Demostrar que la función f(x)=mx+n, m,ncR, miO, es biyectiva. Debemos probar simultáneamente que f es inyectiva y sobreyec tiva. En efecto: Sólo fines educativos LibrosVirtual 428 Capitulo 5: Funciones -------------- A --------------------►) Función no Biyectiva Función Biyecti va Ran(f)=B (1) Sean x x,xzc:Doin(f) Ran(f)JB -* f(xl)=mxl+n y f(xz)=mxz+n (2) Si f(xl)=f(xz) ■* mxi+n = mx¡+n -* mx¡ = mxz -*■ x, = x¡ , f es inyectiva. (3) Sea ytRan(f)=R -* y=mx+n (4) Despejando x: x = ¿LH -» r m f(x ) = f(2~D) m -* f(x) = m(^-^)+n m -*• f(x) = y, f es sobreyect iva (5) Por lo tanto, de (2) y (4) queda demostrado que f es biyect iva. EJEMPLO 2. Determinar si la función f:[-l,6> -*■ [-7, ll>\f (x)=2x-5 es biyectiva. Solución. (1) Sean x z,xzcl~l ,6> -•* (2) Si f(xx)=f(xz) -* f(xx)=2x,-5 y f(xz)=2xz - 5 2xx- 5 = 2xz - 5 x 2 = x 2 , + í r e [ - l ,6 > (3) Sea yc[-7,ll> (Conjunto de llegada) -» (4) Para xel-l,6> - 2xx -- 2xz , f es inyectiva. y=2x- 5 Ran(f)={f(-l),f(6)> = [ - 7 . 7> i [-7,11>, esto es: Ran(f) 4 Conjunto de llegada, luego, f no es sobreyect iva. (5) Por lo tanto, f no es biyect iva. 5.14 Q FUNCION INVERSA Definición 5 . 9 S ea la función f:A * Ran(f), cuya regla de correspondencia es f- Vx,y) , xcDomff)}. Si f posee l a propiedad de ser inyectiva, entonces se define la función inversa de f, denotada por f*, a la función: f* = {(y,x)\x-f*(y), xcDom(f)) Formalmente: y=f(x) *-► x=f*(y), VxeDom(f) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.14: Función Inversa 429 Observaciones. (1) De la definición se tiene, f :A -~Ran(f), entonces, f*:Ran(f) -* A Significa que: Dom(f*)=Ran(f) y Ran(f*)=Dom(f) (2) Según la definición, f es inyectiva, entonces f* también lo es. De aqui se deduce que (f*)* = f (3) Si f es una api icación de A en B (f:A -»B) tiene función inversa f*:B -* A, si y sólo si f es biyectiva. (4) Si f es una api icación f :A -* B, tiene sufunción invrsa f*:Ran(f) -» A (api icación), si y sólo si f es inyectiva. 5.14.1 PROPIEDADES DE LA FUNCION INVERSA____________ ' a) Si la función f:A * B es inyectiva y si f*:B ■* A es la función inversa de f, entonces: i) f*of = IA , siendo Domd^) = Dom(f) ii) fof* = / g , s i e n d o Domíl^) = Ran(f) b) Si f, g y h son funciones univalentes entonces: v) Si h=fog ■* f=hog* vi) Si h=fog -» g=f*oh iii) fog es univalente iv) (fog)* = g*of* Demostraciones i) Sea acDom(f) -* f(a)-b , donde (a,b)cf Esto implica que (b,a)tf*, o sea-f*(b)=a Luego, para acDom(f): f*[f(a)¡ = f*(b) = a Si xcDom(f) -* f*[f(x)) = f*(y) = x — ii) Sea acRan(f), esto es, sea acDom(f*) -* f o f = IA f*(a)=b, donde (a,b)cf* Esto implica que (b,a)cf, o sea que f(b)=a -* Luego, si aeRan(f) y si xcRan(f) — ■ flf*(a)¡ = f(b) = a f[f*(x)¡ = f(y) = x *->• fof* = J 3 i i i ) Demostraremos q u e fog es univalente En efecto, sea h=fog y s e a n x l,x1eDom(fog) Si h(x1)=h(xí) - (fog)(x¡)=(fog)(x1) ■* f[g(x3)]=flg(xí)] Si x 3,x3cDom(f) y siendo f univalente De (1): x 3=g(x¡) y y dado que g e s univalente - f(x,)=f(x3) -► x 3 = x 3 g(x3) = g(x3) ■* x t = x z .'. fog es univalente, iv) Demostraremos que: (fog)* = g*of* En efecto, de iii), fog es univalente, entonces existe (fog)*. Sólo fines educativos LibrosVirtual di 430 Capítulo 5: F unción Inversa Según la definición formal 5.9, si y=(fog)(x) - SÍ y=flg(x)I g(x)=f*(y) - * x=(fog)(y) (1) x=g*lf*(y)l=(g*of*)(y) (2) De (1) y (2) se tiene: (fog)*(x) = (g*of*)(y) , VycRan(fog) = x = Dom(fog)* - (fog)* = g*of* Corolario. Si f,g y h son funciones u n i v a l e n t e s , vi) Demostraremos que si: h=fog (1) Enefecto, si h=fog (2) tales que (fogoh)* existe, (fogoh)* = h*og*of* entonces: -* g=f*oh -*■ f*oh-f%(fog) * (Composición por f*oh = (f*of)og (3) * f*oh = (4) * (f*oh)(x) = (IDfog)(x) la izq. con f*) (Ley Asociativa) (Propiedad i)) = lDflg(x)] = g(x), s i g(x)cDom(f) (5> (6) Pero Dom(fog) = )x |xeD om (g,) ~ g(x)zDom(f)l (7) Entonces: (f*oh)(x) = g(x), si xcDom(fog) ■» f*oh = g , VxcDom(fog) (8) EJEMPLO 1. Dada la función f=i(l,3),(2,5),(4,7),(3,8)1, hallar: f*, f*of y M*. Solución. (1) Sea A-{1,2,3,4)=Dom(f) y B={3,5,7,8]=Ran(f). Por simple ins pección f es univalente (No existe dos pares con la misma se gunda componente), entonces e x i s t e f*. Por definición: f*={(3,l),(S,2),(7,4),(8,3)\ - Dom(f*)=Ran(f)=B={3,5,7,8) (2) f*of = l(l,f*lf(l))),(2,f*lf(2))),(4,f*[f(4)]),(3,f*If(3)))} = \(l,f*(3)),(2,f*(5)),(4,f*(7)),(3,f*(8))\ = 1(1,1),(2,2),(4,4),(3,3)) = /A = Identidad sobre A = Dom(f) = U ,2,3,4) (3) fof* = l(3,f!f*(3)]),(5,f[f*(5)l),(7,flf*(7)¡),(8,flf*(8)))\ = i(3,f(l)),(5,f(2)),(7.f(4)),(8.f(3))\ = {(3,3),(5,5),(7,7),(8,8)) = % = Identidad sobre B = Dom(f*) = { 3 ,5 ,7 ,8 1 EJEMPLO 2. Sea la función f:[-2,l> + R | f(x)-2x+3. Hallar la función f*, si existe, y construir las gráficas de f y f*. Solución. Si A-[-2,l>, la función tiene la forma, f:A * B (1) Determinación del rango de f: Sólo fines educativos LibrosVirtual 431 Sección 5.14: Función Inversa -2 ^ x < 1 Si xe[-2,l> <-* - J ^ 2x+3 < 5 +-► -1 4. f(x) < 5 Ran(f)=í-1,5> c. R , f no es sobreyectiva Entonces, según la observación 4, la función inversa de f, si existe, ten drá la forma, f*:Ran(f) -» A (2) Probaremos la inyectividad de f: Sean x t ,X x e l- 2 ,l> -» y f(xt)=2xt+3 2 x z+3 Si f(x,)=f(xt) ■* 2xt+3 = ■* x 2 = Xt , f esinyectiva (3) P a r a determinar la funcióninversa de f a) la propiedad: fof*=l Haciendo uso de b) - 3f* existen dosmétodos: Si f(x)-2x+3 y (fof*)<x)=x - f(f*(x)l=x - 2[f*(x)]*3=x f*(x)= £ £ Método de intercambio de variables (x por y e y por x) x-3 S í y=2x+3, cambiando variables: x=2y+3 -*■ y-f*(x)= x e [ - l , 5> f*:í-l,5> - t - 2 ,l> |y En las gráficas de f y f* podemos o b s e r v a r que el punto P(0,3)ef es el reflejo del pan to Q(3,0)ef* respecto de I(x), o sea que la recta y = x es la mediatriz del segmento de recta que une P con Q. En general el punto P(a,b)ef es el reflejo del punto Q(b,a)cf* respecto de la recta y=x. De aquí que la grá fica de f* se obtiene por reflexión de la gráfica de f, respecto de la recta y=x. EJEMPLO 3. Sea la función f=i(x,y)\y=xt-4, xe<-»,-2]í. Determinar f*, s í existe. Verificar que fof*=l para xeRan(f) y f*of=I, xcDom(f) Solución. (1) Debemos probar que f es inyectiva en todo s u dominio. Sean x 1(x , , e < - » , - 2 ] ■* f f , x , ) = x í - 4 y f(xí)=xl~4 Si f(xí)=f(xt) ■* xl~4 = x|-4 - Dado que -* x e< -“ , = x l x\ -2] -* * - 3f* x, = x t , f es i n y e c t i v a (2) Rango de f: Si x-S -2 -* x * - 4 (3) O -» y >, O |x,|=|**l -x, = -x* * x* i- 4 Ran(f)=lO, +“ > Cálculo de f* por intercambio de varia bles: x = y * - 4 y=±/x+4 Como el Dom(f)-Rxm(f*)= < - « , - 2 ] , debemos Sólo fines educativos LibrosVirtual . 432 Capitulo 5: Función Inversa -*• elegir: y=-/x+4 f*(x)=-*'x+4 , x e [(),+••> (4) En las gráficas de f y f* se puede observar la simetría de ambas respec to de la recta y = x . (5) De las funciones f(x)=x1-4 y f*(x)=-Sx+4 se tiene: (fof*)(x) =flf*(x)) = f(-/x+4) = (-/x+4)*-4 = x, (f*of)(x) = flf(x)) = f*(xl-4) = -/x*-4+4 = - | x | = - ( - x ) = parax e [ 0 ,+ » > x , x e < -“ ,- 2 ] fof* = I , para x e [ 0 , + “ >= Ran(f) f*of = I , para x e < - “ , -2 3 = Dom(f) EJEMPLO Sea la función f:R * R, definida por f(x)=x*-2x+3. Establecer 4. si existe función inversa de f; en caso contrario, restringir su dominio de modo que exista tal función. Solución. (1) Completando el cuadrado: f(x)=(x-l)z+2 Probemos si f es inyectiva VxcR. Sean x,,xteDom(f). Si f(xl)=f(xl) ■* * |x i - l |= |x j - i | *■» (xí-l)z+2 = (x1-l)z+2 (Xi-l-x^-1) v f x ! - l = - x , + 2 ; *-* (Xi=xt) v (Xi=2-Xi) Luego, f no es inyectiva porque i , tiene dos valores diferentes. Por lo que no existe función i n v e r s a d e f. (2) Trazando l a gráfica de f vemos que Ran(f)-l2,+'¡‘>, y que l a condición de ínyect ividad ocurre para x í- 1 (derecha del vér tice, f es creciente) o para i \ < 1 (izquierda del vértice, f e s decreciente). (3) Cambiando variables: x-(y-l)z+2 *■* y = 1 ± /3 F 2 (4) Como Dam(f)=Ran(f*), veamos la restric ción del dominio en cada caso: Para x i. 1 x< J » Ran(f*)=íl,+a>, en (3): y = 2 + /x - 2 + Ran(f*)-<-“,1\, en (3): y=l-/x=7 (5) Por l o t a n t o : f* (x )= l+ /x -2 , s i x e [ 2 ,+ » > f*(x)=l-2x-2, si x e [ 2 , +“ > EJEMPLO S. Determinar, si existe, la función inversa de: Sólo fines educativos LibrosVirtual 433 Sección 5.14: Función Inversa Solución. Siendo f una función s e c c i o n a d a p ro b a re m o s la inyectividad de ca da u n a de las subfune iones: 1) Si fl<xj=f¡(x1) - ta l Para x e [ —i , 2 > , x < O -* -X j = -X j -* = |* ,| x , = X j , f j e s inyectiva Si fl(xí)=f3.(xl) - / 5 + x , = /2 + X j -<• 2+x1=2+x1 ■* X j= x , , / j e s Si f,(xl)=f,(xl) - 1- ^Xj i- |xj Xj , / , es inyectiva in y e c tiv a Con lo que queda demostrado la inyectividad de f. 2) Determinación de los rangos de f í , ft y / , : f j es decreciente en x e [ - 4 , - 2 > -» /, e s creciente en x e [ - 2 , 2 ] Ran(fz) = /, e s decreciente en x e < 2 ,6 ] -* Ran(fL) = <ft(-2),f(-4)] = < 3 ,9 ] /» /£ > ] = [ 0 ,2 ] R a n ( f = [f,(6),f(2)> = [ - 2 ,0 > (Nota. En f , d e i p a s o ( i ] , verificar que | [ “ j p j | = •!> e n x s < 2 ,6 ] > 3 ) Dado que Ran(f1)ñRan(f¡) = $ Ran(f¡)0 Ran(ft) = $ Ran(f1)nRan(f¡) = $ Procedemos a c a l c u l a r las funciones inversas de cada subfunción: 4) En / , : x - - | y ‘ + i * y = ± /2 x - 2 Como Ran(f*)=Dom(fl)=[-4,-2> *■ y = - / 2 x - 2 , xe < 3 ,9 ] En / t : x = /2 + y -» En /,: -* y = 2 - 2 x , x = l-y /2 f* fx ) = > ^ * -2 , X e [0 ,2 ] , X e [-2 ,0 > -/2 x-2 , x e < 3 ,9 ] x* -2 , 2 -2 x , X c [-2 ,0 > X e [0 ,2 ] EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Sean g(x)=2xt-4x+5 con xc<2,5> y h f x > = |x |- 2 . Hallar el domi ni o de g*oh. Solución. (1) Veamos la inyectividad de g en x e < 2 ,5 > Completando el cuadrado: g(x)-2(x-l) * + 3 . La gráfica de g e s una parábola con vértice en V(l,3). Luego, g es inyectiva para x i-1 (dere Sólo fines educativos LibrosVirtual 434 Capitulo 5: Función Inversa cha del vértice), es decir, para xc<2,5> c l [ í , + » > . (2) Rango de g: S ie n d o g una función creciente para xe<2,5>, entonces: Raníg) = <g(2),g(5)> - Raníg) = Domíf*) = <5,35> Í3) Dom(g*oh) = lx|xeDom<7i.) * h(x) eDamíg*) l = ÍR) * í \x\-2) e < 5 ,3 5 > = 5 < |x |- 2 <35 «-► 7 < | x | < 37 Domíg*oh) = <-37,-7> u < 7 ,3 7 > de donde: EJERCICIO 2. Dada la función fíx)=3xt-6x+2 con dominio {-112,2/3]. Deter minar el valor de verdad de cada afirmación: a) f es inyectiva c) b) Ran{f)={f(-l/2),f{2/3)] La función inversa de f es y-1- jj/3x+3 con dominio {-2/3,23/4] Solución, a) Completando el cuadrado: f(x)=3(x-l)* - i . La gráfica d e f es una parábola de vértice en V(l,-1) y es inyectiva para x i, 1 o x ^ - 1 . Como {-1/2,2/3] c f es inyectiva. La afirmación es V. - f{xl)=3í-l/2-l)í-l = 23/4 - ftxz) = 3{2/2-l)t-l = -2/3 b) Para x^-1/2 x z=2/3 -» Vemos que: x , < x z -» f(xt) > ffxz) , f es decreciente en {-1/2,2/3] -» Ranff) = Íf(xí), f(xí) ] = ífí2/3),fí-l/2)]. La afirmación es F a l s a . c) Interccmbiando variables: x=3(y-l)t-l *■* y = Como Ranff*) = Domff) - {-1/2,2/3], esto es, y Sean f y g funciones inyectivas tales que: f*(x) = g fx > = ^ 3 Solución. f M (2) Si (g*of) íu)=3 (3) r\ Pero: •' si (9*of)(u)=3, hallar íf*og)(u+2). (1) Intercambiando v a r i a b l e s , en f*: x = - /o > <1 /3x+3 , x e [-2 /3 ,23/4], La afirmación es verdadera. Luego, y = 1 - EJERCICIO 3. 1± ^ /3 x + 3 _* ✓ 3u * __ g*{-^) - - ■ fl. g: X g*[f(u)]=3 - r> , 3 * 6 =£ f - g*íx) g*(f^) = 3 3 (2u~l) - -¡¡j j - u-2 ~ Í4) De (2) y (3): - 3 , de donde: u=2 ÍS) Luego, íf*og)(u+2) = f*[g(4)J = f í f f i = f*(7) = Sólo fines educativos LibrosVirtual -► y = - ^ íf - 3 + ¿ 435 Sección 5.14: F unción Inversa Sea f:l3 ,+ - > - R definida por f(x) = EJERCICIO 4. |5cc—9 , > x e t3 < 9 ] xe<9,+<”> Determinar el valor de verdad de las siguientes a f i r m a c i o n e s a ) f no es inyectiva Í3 + Sx , * e [ 0 , 3 6 ] b) f(f(7)l = 71 c ) f * W ? L . t Xe<36,+~> Solución, a) Sean f¡(x)=(x-3)z, x e [ 3 , 9 ] y x t,XzCDom(ft) Si fi(xx)=fX(xl) -* (xl-3)i=(xí-3)i Pero como x e [ 3 , 9 J , x > 3 ■* X i- 3 = X i-3 «-*■ | x , - 3 | = |* i - 3 [ -*■ i i = X j , f , es inyectiva. Sean fz(x)=5x-S y x t,Xz^Dom(f t) Si f¡(x,)=fz(x1) •* 5xi-9=5xz~9 ■* 5x¡=Sxt -*■ x,=xz , fz es inyectiva. Ran(fz)=lfi(3),fi(9)3 = [ 0 ,3 6 ] ; Ran(fl)=<fz(9),fl(~)>=<36,+~> Siendo f i y fz inyectivas y Ran(fl)nRan(fl) = ♦ , entonces, f es inyectiva. Luego, la afirmación es falsa. b) f(7)=(7-3)z=16 - fíf(7)J = f(16) = 5(16)-9 = 71 La afirmación es verdadera. c) Por a), f e s i n y e c t i v a ■* 3f * . Luego, intercanbiando variables en f, y f i Se tiene: En f , : x=(y-3) 1 **■ y =3±¿x Pero como e l Ran(ft) = Dom(fz) = [ 3 ,9 3 * y=3+</x , x e [ 0 , 3 6 ] En fi: x=5y-9 ■* y= j¡(x+9) , xc<36, +"> (3+Jx , Entonces: f*(x) - < Q x e [0 ,3 S ] -L a afirmación es verdadera. , x e < 3 6 ,+ » > EJERCICIO 5 . Definimos en R la función f por f(x) = —— — I +|*| a) Determinar si f es biyectiva de R a <-4,4> b) Determinar si existe la función f*. c) Esbozar la gráfica de f y f* en un mismo sistema coordenado. Solución. Sean f¡(x) = ^ a) &i f , , ** En f „ -* = 4 - ,x O y ft(x) = j r | - = "4 + j ^ j j , x<0 Veamos la inyectividad de f , y f , : sean x „ x teDom(f ¡). Si f,(x,)=f1(x1) -* 4 = - x * = x * • f > es i" y e c t i v a - sean x ltx teDom(f t). Si f , f * , ; = f t f * t 3 J-* ! = l- * i -+ = 4 - j ~ - -4 + x , = x , , f t es inyectiva. Determinación de los rangos de f L y f t. Sólo fines educativos LibrosVirtual = -4 + -¡¡3 j r Capítulo 5: Funciones 436 f i(x) = 4 - e s creciente f e e [ 0 , + <”> f i(x) = -4 + -*■ Ran(fx) = lfi(0), f(+a)>= [0,4> e s creciente Vx e < - “%0 > -» Ran(ft) = <f(-m),f(0)> = <-4,0> (Verificar analíticamente los rangos de f x y fi) Siendo f, y f i inyectivas y Ran(f ¡) n Ran(ft)=‘ > -* f es inyectiva VxeR Como el Ran(f)=Ran(fí)uRan(fi) = <-4,4>=Conjunto de llegada, entonces f es y biyectiva de R a <-4,4>. b) Siendo f inyectiva, existe la función f*. Intercambio de variables: x e [ 0 ,4 > 4 -x En x y 4-x f*(x) = X E < - 4 , 0> = 4+ x , x e [0,4> - , xt<-4,0> 4+x c) Obsérvese que la fráfica de f* se ob tiene de la gráfica de f por reflexión respecto de la recta y=x. EJERCICIO 6. Hallar, si existe, la función inversa de: ¡ >/x-x1+2 + 1 , -1 4- x 4 1/2 f(x) = (2 - 7/x+l , 2 < x < 4 Si existe f*, graficar f y f* en el m ism o plano. Solución. Veamos la inyect ividad de f: Sean f i(x) = / 2 + x - x 1 +1 = /9/4-(x-l/2)i +1 y x , .Xi^Domff¡) (1) Si fi(Xi)=fi(xt) - / 9 / 4 - f X i - J /2) l+l = / 9/4-(xí-l/2)t+l - (xl-l/2)1=(xl-l/2)1 - Como x e [ - 1 , 1 / 2 ] , x - í 1/2 - (2) y x . ,X i^ - D o m ( f z) Sean: ft(x) = 2Si f 2(xx) = f t(Xi) |x ,- l / 2 |= |x » - J / 2 | -(xi-l/2)=-(xl-l/2) - x x=Xi, f x es inyectiva. 2 7 7 -¡ = 2-------- -j x,+1 x t+l Xi+1 = x t+l -* (3) Xi = Xi , ft es inyectiva Determinación de los rangos de f 1 y f¡. Ran(fi) = [ft(-l),fi(¡/2)] = [ 1 , 5 / 2 ] fi es creciente en [-1,1/2] * / , es creciente en <2,4> Ran(ft) = <f¡(2),fi(4)> = <-l/3,3/5> Siendo fx y f , * inyectivas y Ran(ft ) O Ran(f¡)=i , f es inyectiva -+ Sólo fines educativos LibrosVirtual sf*. Sección 5.14: Función Inversa 437 (4) intercambio de variables: ~ En ft: x = / 9/4-(y-l/2)l*l Ran(f\)-Dom(fk) = [ - J , i / 2 ] , En fz: x = 2 y = 1/2 t /9/4-(x-l/2)1 o sea y S 1/2 — y 1/2 - J9/4-(x-l/2) 2 2-x ~(l-/5+8x-4xl), xe [ i ,5 /2 ] f*(x) x+5 2-x , xc<-l/3,3/5> (5) Obsérvese que las gráficas de f l y f* son p a r t e s d e l a s circunferencias C 1:(X-l/2)*+(y-l)z=9/4 y € 2 : (x-1)*+(y-l/2)2 =9/4 respectivamente EJERCICIO 7 . Demostrar que la función f definida por: f(x)=6-2x- x 2 con Dom(f) = [-4,-2]u <0,2] es univalente y hal lar f*. Solución. f(x)=8--^(%+2)*, xc(-4,-2]u <0,2] La gráfica de f en R 2 e s la parábola de vértice V(-2,8) (1) Sean x ¡,x1cDom(f) y si f(xl)=f(xl) - 8- j f x 1+ 2> 2 = 8- |Í X j + 2 ] 2 - (1) I * .+2I = k i +2l a) Para x , , x 2e [ - 4 , - 2 ] Como x -2 -» x + 2 .$ 0 -<■ |x + 2 |= - ( x + 2 ] Luego, en (1): -(xl+2)=-(xz+2) -* x t = x 2 b> P a r a X j . X j E í O ^ ^ x En (1): x ,+ 2 = x z+2 (2) > 0 -* |x + 2 |= x + 2 -» x ¡ = xl Rango de f en cada intervalo: f¡(x)=8- \(x+2)1 e s creciente en [ - 4,-2] 2 / I Ran(fi) = [ /• 1f - 4 ] , / - 1f - 2 ; ] =[ 6 . 8 ] ~ f¡(x)=8- - ^ f x + 2 ] 2 e s decreciente en <0,2] -* Ran(fz) = [ / 'I f 2 ] , / " 2 ('0]> = [ 0 ,6 > P o r a ] , t>] y Ran(f ¡) n Ran(fz) = $, f es univalente ( 3 J Intercambiando variables: x -* a /’*. - 8 - ¿(y+2)1«-» y = -2 ± /16-2x Si Ran(f*)=Dom(f,)=(-4,-2] ,y S -2 Si Ran(ft)=Dom(fz)=<0,2l , y > 0 - y =-2-/16-2x , xe.16,8] y = -2+S16-2x , x e [ 0 ,6 > Sólo fines educativos LibrosVirtual 438 Capítulo 5: Funciones 1-2 - 4 6 ^ ••• f * M EJERCICIO 8. = i , x e [ 6 ,8 ] ______ |-2 + / 16-2x , x e [ 0 , 6 > Sea la función definida por f(x) = • Hollar los valo res de a y b si se cumple simultáneanente las condiciones: a) Dom(f*)=R-{2) y b) f*=f cSolución o iu c io n . cSea e a yv = 3x_2b -► x x = 2J?yt§. 3 y _Q +-* 3x-a = O *-+ x = a / 3 -*■ Dom(f*)=R-{a/3) Entonces, f* es real Por a): Dom(f*)=R-{2\ Por b): f*(x) = /" (x ) -» a/3 = 2 •— a= 6 g = § ~ T ~ f b ' L a ‘ffooldad se cumple si: b=3 r<*> = !P § EJERCICIO 9. f*/x j tx>\ - 2bx+¡> 3 x _a • 0=6 • b=3 Sea la función f definida por f(x)= J x J +/x- J x J , x e [ - l , 3 ] a) Hallar l a función f*. b j Graficar f y f* en un mismo plano. Solución, a) Puesto que x - [ £ x j | O, VxtR, entonces, si j j x j | = n ** n < x < n+1, neZ ■+ f(x)=n+/x-n, xe[n,n+l> (1) Veamos si f es inyectiva Vxe[n,n+1> Sean x¡,xzcDom(f), si f(x¡)=f(xz) ■*■ n+/xx-n = n+/xz-n ■+ x í-n=x2-n - x , = x 2 , f e s inyectiva (2) Cálculo del rango de la función f: [ [ x j ] = n +-+ n 4 x < n+1 *-*0 4 x-n < 1 *-+ O 4 / x - n < 1 *-* n 4 n + /x-n < n+1 *-+ n 4 f(x) < n+1 -+ yc[n,n+l> Sólo fines educativos LibrosVirtual 439 Sección 5.14: Función Inversa dando valores a n, (n=-l,0,1,2) de modo que cubra todo el intervalo [ - 1 . 3 ] , -1 + /x + 7 , xe[-l,0> -1 + (x+l)z , /x x* ,x e ( 0 ,í> ¡ + /x-l ,xe[l,2> 2 + /x ^ 2 , x e [2 ,3 > 2 3 , x=3 3 f(x) f*(x) = \l , x e [ - í , 0 > x e [ 0 ,] > + (x-l)1 ,xc[l,2> + (x-2)1 ,xe[2,3> ,x=3 (x+2)(2xz-7x+6)(x-l) Sea la función f(x) - -------- (x-2) (xi+x-2)------- EJERCICIO 10. a) Demostrar que f es univalente, b) Hallar f* y esbozar las gráficas de f y f* en un mismo plano. Solución, a) En efecto, f(x) = (x+2)(2x-3)(x-2)(x-l) - 2x-3 , X eR(x-2)(x+2)(x-l) Si Dom( f)=R-{-2,1,2] ■+ Ran(f)=R- {f(-l), f(l), f(2) )=RSean x í,x¡cDom(f). Si f(xl)=f(xl) ■* 2xí-3=2x1-3 Luego, f es univalente, por lo tanto, existe f*. b) Intercambio de variables: ■> ■> + x = 2y-3 x+3 y = — ■ xcR~ -7,-1,1) f*(x) = EJERCICIO 11. Dadas las funciones: . í 2-x* , /'ó A x -í 2 ( v ' ; l l-/xz-4 , x S -4 f(x) , , /i , g(x)= / I x 1-4|-3, x e <-",-4] u <0 , 2 ] tales que f-h*og. a ) Demostrar que f y g son funciones univalentes. b) Hallar la función h. Solución, a) Sean f ¡(x)=2-x*, xe[// 3,2] y f¡(x)=l-/xI-4, (1) En f ¡: Si Como xt[/3,2], x > 0 (2) En f 2 : Si fl(x¡)=fl(x1) Siendo x e < -~ ,-4 ], x < O -* -> -* 2-x\=2-x\ -» |x |= x x e < -= >,-4] |x , | = |x 2 | -► x l=x1 , f t es univalente 1- /x\-4 = 1- / x f - 4 - |x 2| = |x 2 | | x |= - : ; ■* - x 2= - x 2-> x 2= x 2 . fx es univalente (3) Determinación de los rangos: f t(x)=2-xz es decreciente en [/3,2] + Ran(fl)=lfí(2),fl(/^)]-[-2,-l] Sólo fines educativos LibrosVirtual 440 Capitulo 5: F unciones f2 (x) e s creciente en < - “ , - 4 3 -* Ran(fi)=<fi (-*>),fi(-4)] = < - “ , 1-2/3) Siendo Ran(fi)nRan(fz) = 4>, entonces existe f*. _ í * 1 -4 -4 , si * * >y 4 <-► ( x 4 -2) v ( * í - 2) (4) |jcz -4fI = { 4 -* * si -2 < x < 2 Interceptando los dominios parciales con el Dom(g) =<-<»,-4] u <0,2J obtem o s: si x 4 - 4 g(x) =, ( /4 - jc * - 3 (Bi> , si 0 < x 4 2 (5) Sean * , ,xzeDam(gl). Si g1(xl)=gl(x1) —* -xx = - * z Como x 4 -4, o sea, x < 0 -* (6) Sean x l,xlcDom(gí). Si gí(x1)=g1(x1) — — Como * e < 0 ,2 > , o s e a * > Luego, b) 0 -*■ | * | = i ■* de (5) y (6), g esunivalente Si f - h*og (9i) AcfA-S = /rf-4-3 x\-4 = x\-4 - |* t j = |* i | -*■ x t = x t , g t es univalente. /4-x\-3 = /4-xl-3 4 - * í = 4-xt -♦ ¡o:» | = |* z | xi = * i , g t es univalente. -Vx^Domíg) -*■ fog* = (h*og)og* = h*o(gog*) = h*oI = h* -► (fog*)* = (h*)* * gof* = (7) Intercambio de variables en f t : x=2-yl Siendo Dom(fl)=Ran(fl)=[/3,23 -* h *-* y = -•'2-x y=<72-x , * e [ - 2 , - l 3 y = t/4 + d - x ) 1 (8) En f , : * = l-/y*-4 Dom(ft) = Ran(ft) = < f*(x) = -4 3 -» f/^ y = -/(x-l)1+4, * £ < - “ , 1 - 2 / 3 3 * e [ -2 ,- l3 (fl ) Í - / í * - j ; 2z+4 , * e < - » , i - 2 / 3 3 (ft ) 9) gof* está definida *-* Dom(g) t\Ran(f*) f Dado que Ran(f*) = Dom(f¡) = [ / W,2] y Ran(f*)=Dom(fz)=<-«>,-4] Vemos que solo existen: g tof$ y g z o f f Ran(f*)c Dom(gt) -* Domlg^f*) = Ran(f*)cz Dom(gt) -» Domfgôf*) = Dom(f*) = [-2,-1] Dom(f%) = <-«-,1-2/3] 10) Luego: (g,of*)(x) = g^fiíx)] = g¡[-/(x-l)*+41 = /(x-l)*+4-4-3=¡x-l\-3 Siendo xc<--,1-2/3], o s e a * < 1 -+ = g t[f*(x)) = g i í / F S ; (gvofZ)(x) = -(x-l)-3 = - * - 2 = /4 - f 2 - * ;- 3 = /* Í2 -3 /x+2-3 , s í * e [ - 2 , - 1 3 h(x) = gíf*(X)] ■x-2 , si * e < —“ , Í-2 /3 T 1 -(x+2)x-4 , xel-5,-2] EJERCICIO 12. Sea la función: f(x) = Determinar, si existe, la función f* 2* [[*+ 3 J , * e < -2 , - 1> /* + ! + 2 , * e < - i ,3 > 4 , si * = - J Graficar f y f* en un mismo p l a n o . Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 5.14: Función Inversa 441 S o l u c i ó n . Determinemos la univalencia de cada una de las Sean: fz(x)=-(x+2)z-4 , x 2 , x 2e [ - 5 , - 2 ] , x < 0 (1) Si subfuncionesde f. fi(x¡)=f z(xz) ■* -(x¡+2)1-4 = -(xz+2)1-4 - Pero como x < 0 -* (2) Sea / V x ; = 2 x [ [ x + 3 ] ] Luego, si ¡ f x + 3 j ] = I |x , + 2 | = | x 2+ 2 | -(Xi+2) - ~(xz+2) -*■ x¡.=xz , fi es univalente. , x e < - 2 ,-l> < x+3 < 2 -*■ - - 2 < x < -1 - 1 fz(x)=2x (función lineal) -» fz es univalente. (3) Sean: f¡(x)=Sx+l+2 , x l,xze<-l,3> Si fz(xz)=f¡(xz) -* / Xi+1+2 = / x 2+1+2 x z+l = Xi+1 ii (4) f*(-l)=4 , es un punto del plano = ii , f i e s univalente. ■* fH es univalente. (5) Verificar que los respectivos rangos son: Ran(fi)=l-13, - 4 ] . Ran(fz)=<-4,-2> , Ran(f,)=<2,4> , Ran(fJ={4l Como no hay intersección dos a dos entre los rangos, nivalente ítc Dom(f) y por lo tanto, existe f*. (6) Intercambio de variables: En f í : x=-(y+l)l-4 -*-► y=-2 ± / - x - 4 Pero Dom(fx)=Ran(f*)=[-5,-2], y 4. -2 -► y=-2-/-(x+4) - f*z(x) = -2-/-(x+4) , Xel-13,-4] En fz: x=2y - y=x/2 — ■ f*(x)~x/2 , xe<-4,-2> En f3: x=/y+l+2 -*■ y=(x-2)l-l - fl(x)=(x-2)I-l, x e < 2 , 4> En fh: y=-l , si x=4 -2-/-(x+4), f*(x) Xe[- x/2 (x-2)> -1 Sólo fines educativos LibrosVirtual la función f es u Capitulo 5: Funciones 442 EJERCICIOS: Grupo 39 1. f ) =a J e s u n a f u n c ió n r e a l d e v a r i a b l e r e a l e i n y e c t i v a . S i f f * ( x ) = ¿x+1 ’ Pa r a c i e r t o r e a l x , h a l l a r e l v a l o r d e n = 4 x -5 . 2. Las f u n c io n e s f y g so n t a l e s que f (x ) = g * (x ) = ~ y s e s a b e que e x i s t e un número r e a l a t a l que ( f * o g ) ( a ) = 6 . H a l l a r e l núae ro n = ( g * o f) ( a + | | ) . 3. Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R p o r f ( x ) = 3 2 , x¿2, g (x ) = - ^ 3 x^2. S i (g * o f)(u )= 3 , h a ll a r (f* o g )(u + 2 ). 4. Sea f una f u n c ió n d e f i n i d a en R p o r l a r e g l a : f ( x ) =-3 * 3 ° . g i f * ( 3 )= 2a -36 y f * ( 5 ) - 3 a + b , h a l l a r e l v a l o r n = f* { a - 3 b ) . 5. Sean f(x )= x * + 2 , g ( x ) = S i g * [ f * ( x ) ] = - 4 / 3 , h a l l a r n = g * (a + 5 ). 6 . Sean f y g f u n c io n e s r e a l e s de v a r i a b l e r e a l t a l e s que f(x )= 3 x + 5 , g (x )= mx+b y f [ g ( x ) ] = x , VxeB. H a l l a r ( f * o g ) ( 1 / a + 5 ). 7. f e s una f u n c ió n r e a l b i y e c t i v a t a l que f [ f ( a ) ] = f ( 8 ) ; f * ( 8 ) = 3 . H a lla r e l v a l o r de n = f * [ f ( a ) J + - ^ f [ f * ( 5 ) ] . 8. S i f * e s una f u n c ió n b i y e c t i v a t a l que h a l l a r e l c o n ju n to so l u c i ó n de f ( c ) > 9- S ea l a f u n c ió n f : [ l , 4 ] •» [ a , b ] , t a l que f ( x ) = x 2-2 x + 3 . D em o strar que la f u n c ió n f e s i n y e c t i v a y h a l l a r a y b p a r a que f s e a b i y e c t i v a . 10.' S i f , g y h so n f u n c io n e s de R en R, d e f i n i d a s p o r l a s e c u a c io n e s f ( x ) = 2 | x | - x , g (x )= > h (x )= 2 x + 3 . D e te rm in a r e l v a l o r de v e rd a d de l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c io n e s : a) 11. f e s in y e c tiv a b ) g e s s o b r e y e c t iv a c ) h e s in y e c tiv a S i f : B * R d e f i n i d a p o r f (x )= 2 ¡[ 2x ] ] , e s t a b l e c e r e l v a l o r de v e rd a d de l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c io n e s : a) 12. f e s s o b r e y e c t iv a b ) f e s in y e c tiv a c ) f ( l / 2 ) - f ( 2/ 3 )+ f(i^5)= 12 Sean l a s f u n c io n e s i n y e c t i v a s : f ( x ) = 3 x 2-6 x + 4 , x e [ l ,+«■> y g (x )= -^ -p p X jM S i f * [ g * ( a ) ]= 2 , h a l l a r n = f [ g ( a + 8 / 5 ) ] . 13. Dadas l a s f u n c io n e s : f = { ( x ,x 2) | / x ( x - 1 ) i - 0} y g= {( x , / 3 - x ) h a l l a r , s i e x i s t e , fo g * . Sólo fines educativos LibrosVirtual |- 1 v 443 Ejercicios: Grupo 39 14. Sea f(A)=B, una función definida en A=[-1,4] por: _ , xef-l^* = /j-<-3x 5 ' 3x -6x+12 , x e [ 2 , 4 ] (3xz- a) f es biyectiva Hallar el valor de verdad de las afirmaciones siguientes: b) B=<-1,36] c) f*(10)=1+»/3/3 15- Dadas las funciones reales f(x) = d) f*(4)+f*(21 )=10/3 í s(x) = -jp x/0; hallar el domi nio de f*og*. (No es necesario hallar f* y g*). 16. Demostrar que la función f:R * <-1,1> |f(x) = | es Diyectiva. 17- Determinar analíticamente si la función f:R -► [-1/2,1/2] |f(x) = -|+x2 es biyectiva. 18. Sea f una función real definida por f(x) = x¡X¡t< xe[0,+<»>-)2). Determi nar si f es biyectiva. 19- Sea f (x)= J 2x-4 J| (x2+2). a) Si f:[l,3] ■* R> hallar el rango y graficar la función, b) Determinar, si existe, inversa de f(x). 20. Analizar si las funciones reales f y g son inyectivas: f(x) -2 x+10 , x < 0 /x2+16 , 0 x <: 3 ¿ I -x*-10 x-2 1 , xe[-5,-l] g(x) , x«<1 ,2 ] |x +3 | . si x > 3 21. Sea la función lineal f(x)=ax+b, xe[-3,3], a > 1/2 a) Si h(x)=f(x)+f*(x) = -|x + , hallar a y b. b) Si g(x)=|x+3|-|x+1|, hallar fog, si existe. 22. Sea la función f inyectiva definida en R por la ecuación: -/1 -X , x < 1 x-IxU , 1 -s 3x-5 , I 2 X < 2 . Hallar f*(-2)+2f*0/2)+3f*(2) ^ x < 4 2 x+1 23. Sea f una función real de variable real definida por f(x) = ■ ■ , x¿2 a) Determinar el dominio y el rango de f. b) Determinar f* (si es posible) demostrando lo que fuera necesario. c) Es verdad que el gráfico de f es simétrico respecto a la recta y=x? d) Existe algún número real cuya imagen según f sea él mismo? Justifi car e interpretar geométricamente. 24. Decimos que una función f:AR, con A C R es estrictamente decrecientesi: ¥xi,x*eDom(f): x x < x t f(xx) > f(x*). Demostrar que si una fun ción g:A ♦ B, con B C R es sobreyectiva y estrictamente decreciente, en- Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 5: Funciones 444 to n o e s : a ) g t i e n e i n v e r s a . -2x+ 2 25. S i h (x ) = b ) g* e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e . , si x í 0 a) -3x -6 x + 2 , s i x > 0 D e m o stra r que h e s e s t r ic t a m e n t e d e c re c ie n te , 26. Sea l a f u n c ió n f : < - 1 ,1 > -► R |f ( x ) = 27. Sea l a f u n c ió n : f ( x ) = | ~ X ~2x b) D e te rm in a r h * . H a lla r, s i e x is te , f* . ’ x e [ - 3 > -1>_ a ) H a l l a r , s i e x i s t e , f* l2 + /3 + 2 X -X 1 , xe[-1 ,1 ] b ) E sb o z ar l a s g r á f i c a s de f y f * en un mismo p la n o . -1 28. D em ostrar que l a f u n c ió n f ( x ) = —(12-4x+x*) , x e [o ,1 > U [ 2 ,3 ] e s u n iv a le n t e y h a l l a r l a f u n c ió n f * . En l o s e j e r c i c i o s d e l 29 a l 3 8 , s e dan l a s f u n c io n e s r e a l e s f ; p r o b a r que son u n i v a l e n te s y h a l l a r , e n c a d a c a s o , l a f u n c ió n f * . 29- f ( x) í 4 - / x l +12x+27, x 4 -1 +6x+6 31 . f ( x ) = 30. f ( x ) = , x > 0 ’ [/x+2 , x c [-2 ,2 ] -2x*+ 8x-7 , x < 2 x*+2x-2 , xe[-3,-2> 32. f ( x) lX + 3 l x-2 / M , xe<-1,2> , x >. 2 -1 3 4 . f(x) = | xI-8 x+7> xe<--3,-1 3 . >u<v3 ( ^7-2x , xe[-1 ,3> 33. f ( x ) _ íx * + 4 x -5 , x e [ -2 ,1 > l^ x > 5 , x e[5 ,+ = > 4x-x* , x e < -~ ,2 > 35- f ( x ) = 36. f ( x ) x*+2x+2 , x í. 1 { x 5+4 f 37. f ( x ) = x e [ - 4 ,- 2 > J|XI+1 x1 + 1 , xe[-4,-2> /2ÍÍ , xe[-2 ,2 ] 1 , xe<2 ,6 ] - j ,x < 1 , xe[l,2 > [[ x J +«^- |Xx ]], xe [-1 ,i> 38. f (x ) -S=i , xe[-9,-1> 39- Dadas l a s f u n c io n e s r e a l e s de v a r i a b l e r e a l : f(x ) = i 2 x { 1 - / x ‘ -4 ’ ^ x , ^ X^ 2 -í . g ( x )= |x - 2 1 , -4 -í x - 3/2 -4 D e te rm in a r ( g + f * ) ( x ) . x-1 40. Sean l a s f u n c io n e s : f ( x ) = , x £ [ - 1 ,2 ] _ L x e < 2 ,3 > 1 2x J -2 [[ x ]] H a l la r , s i e x i s t e n , l a s f u n c io n e s : f * y g * . Sólo fines educativos LibrosVirtual ’ g (x ) = ~ | > x /2 445 Sección 5.15: Imagen Directa de un Conjunto x-3 1 41. Sea la función f(x) = — ? + 7— rn - 1» xe<1,2>; demostrar que f es uni x-1 (x-1 ) 2 n valente y hallar f*. 42. Dadas las funciones : f(x) = j X l - 1 ’ X < - 1 IX +1 , X -1 , g(x) J 2x'1- X < 0 { / X , X í, 0 Hallar, si existe, fog*. 43- Sean las funciones f y g definidas por: i Í 1 0 - / 2 - X , x < -2 f(x) = I ’ (x2+4 ,2^ x 4 / , í 4-x , x í -3 ; g(x) =J | /2x-3, 3 ^ x ^ 4 ! Determinar una función h, si existe, tal que g=h*of. 44. Si f:[-4,6] -*■ [-2,2]u<3»9] está definida por: |x2+1 , xe[-4,-2> f(x) /2+x , xe[-2,2] 1 , xé< 2, 6 ] - .Demostrar que f es biyectiva. 45- Sean f(x) = ^ y 2 +x , x < -2 - ' 2 x2 -12 x+2 , -2 < x _< g(x) = ^ — '| A ±2 f x> 3 3 Hallar f*og indicando su dominio y regla de correspondencia. 46. Sea la función real f:A - B|f(x) = J~ 2 ^xí_2x"5^’ xet1’4 ^ ¡ -2 x + 3 , xe[-2 ,1 > Haciendo las restricciones posibles, hallar A y B para que f sea biyec tiva, de modo tal que el dominio restringido sea el mayor posible. 47. Sean f,g,h y t funciones reales definidas por: f (x) Í2-x, x < 0 . ' |3-x, x > 4 x >. 1 h(x) ' x | . t(x ) J ' -1 V 3 T , x < 0 ' x-3 | , x < 0 , x > 4 Si t=hogof, hallar g y g* si es que existe. * fjj) IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO Definición 5.10 Sea una función f:A + B, donde A c R y B e R. si MC.A=Dom(f) se denomina la imagen directa de M mediante-f, al conjunto f(M), donde: f(M) = (/-f U lx e A i } y se lee "Conjunto de las imágenes de x, tal que jceAí" Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 5: Funciones 446 f(M) = (y eB |a;rcM „ f(x)=y) o bien: Según esta definición: «■ ycf(M) axcM\y=f(x) En particular si M=A, entonces f(A) se llama imagen del d o m in io p o r f. Ade más, para toda función f se tiene: f(4)=i. Obviamente, f es s o b r e y e c t iv a s i y sólo si, f(A)=B. EJEMPLO 1. Sean los conjuntos: A={0,1,2,3,5, 7}, B={-1,1,3,4,6}, M={1,2,3,5} y N={0,5,3,7}, y sea la función f-{(O,1),(1,3), (2,2),(-1,6),(7,5),(3,7)}. Hallar: a) f(M) Solución, a) M C A - b) f(N) c) f(MON) f(M)={f(x) \x€M}={f(l),f(2),f(3),f(5)}. En f se tiene f(l)=3 , f(2)=2 , f(3)=7 , f(5)=no existe b) N c A - d) f(MDN) - f(M) = {3,2,7} f(N)={f(x)\xcN}={f(0),f(3),f(S),f(7)}. En f: f(0)=l, f(3)=7, f(5) no existe, f(7)=S c) M U N = 10,1,2,3, 7}C A d) M n N = {1,3)CA O b s e r v a c ió n . - f(N)={l,7,5} f(MdN) = {f(0),f(l),f(2),f(3),(7)}={l,3,2,7,S) f(MDN) = {f(l),f(3)\ = ( 3 ,7 } f ( M ) u f ( N ) = { 3 ,2 ,7 } U { 1 .3 ,7 } =11,2,3,5,7} = f(MON) f(M) 0 f(N) = {7} JÍ f(MON) PROPIEDADES DE LA IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO Sea la función f:A ->■ B y M y N subconjuntos del dominio A. ID.l Si un subconjunto del dominio es parte de otro, entonces la misma re lación vale para sus imágenes. Esto es: Si f:A * B , M C A , N C A Demostración. y MCN - f(M)cf(N) En efecto: (1) Si M C N •— (xeM ~ xeN) ' Sólo fines educativos LibrosVirtual (Def.c) 447 Sección 5.15: Imagen Directa de un Conjunto (2) Sea zcf(M) * 3xcM\f(x)=z (Def. de I.D) (3) -*■ 3xeN|/(x,)=z (Por ser MCN) (4) - zef(B) (Def. de l.D) (5) Por lo tanto, de (2) y (4): ID.2 f(M) <= f(N) (Def.c) La imagen de la unión de dos subconjuntos del dominio, es igual a la unión de sus imágenes. Esto es: Si f:A - B , M C A y N C A Demostración. - f(MUN) = f(M) U f(N) Probaremos la igualdad por doble inclusión f (M O N) C f(M) u f(N) a) En efecto: - (1) Sea zcf(MuN) axc(M UN) | f(x)=z (Def. de Í.D) (2) -► 3x|(XEAf v xcN) „ f(x)=z (3) * (3x|xeAí ^ f(x)=z) v (4) - zcf(M) (5) -> zcf(M) df(N) (Def. de U) (3x|xeN ^ f(x)=z) (Intersec. 1.12) zcf(N) V (Def. de I.D) ■ (6) Luego, de (1) y (ó): (Def. de o) f(M u N) C- f(M) u f(N) (Def.cz) Probaremos ahora que: f(M) U f(N) cz f(MüN) b) En efecto: (1) Por la propiedad U.7 (Unión de conjuntos): A c ( A u B ) , VB B C ( A u B ) , VA (2) Si M c ( M u N ) - f(M)cf(MüN) (3) Si N C ( M d N ) - f(N) <r f(MUN) (ID.l) (4) Entonces: f(M) U f(N) cz f(M U N) Por lo tanto, de a) y b) queda demostrado que: f(MuN) =f(M)uf(N) ID.3 La imagen de / a intersección de dos subconjuntos deldominio está in cluida en la intersección de las imágenes. Esto es: Si f:A - B , M C A , N C A - f (M fl N) C f(M)nf(N) La igualdad se cumple en el caso de que f sea inyectiva. Demostración. En efecto: (1) Sea zcf(MnN) 3Xe (Af n (2) Í3XEAf|/7x,)=z.> „ f3 X E A /|frx ;= z ; (3) - (4) * N) \f(x)=z [zcf(M)] „ [zcf(N)l zclf(M) O f(N)l (5) Por lo tanto, de (1) y (4): f(MnN) c f(M)nf(N) Sólo fines educativos LibrosVirtual (Def. de I.D) (Def. n ; (Def. de I.D) (Def. P) (Def.C) Capitulo 5: Funciones 448 ID.4 La diferencia de imágenes de dos subconjuntos del dominio está incluj_ da en la imagen de su diferencia. Esto es: Si f:A - B , M C A y N C A Se cunple Demostración. la - f(M)-f(N) S,f(M-N) igualdad en el caso de que f sea inyect iva. En efecto: (1) Sea zz(f(M)-f(N)] - sxe[f(M)-f(N)]\f(x)=z ( a x e f (M) | f (x)=z) „ (txcf(N)\f(x)=z) (2) (3) - íztf(M)] ~ ¡ztf(N)] (4) - ze[f(M-N)] (Def. Dif.) (Def. de I.D) (Def. Dif.) (5) Por lo tanto, de (1) y (4): f(M)-f(N) c f(M-N) i m (Def. de I.D) (Def.c.) IMAGEN DIRECTA DE UN C O NJUNTO Definición 5.11 Sea una función f:A ■* B, A,B c R. Si S<=B=Ran(f), U se denomina l a imagen inversa o preimagen del conjunto S me diante f, a l conjunto f*(S), donde: f*(S) = (xeDom(f)| f ( X . ) eS} - Xef*(S) ~ f(x)eS Es decir, un elemento del dominio pertenece a la imagen inversa de S s i y sólo si su imagen pertenece a S. EJEMPLO 1. Sean los conjuntos A={0,1,2,3,5,7), B={-1,1,3,4,6), S={-1,3,4. 6} y la función: f={(0,1),(1,3),(2,2),(-1,6),(7,5),(3,7)}, ha llar f*(S). S o lu c ió n , - f* = 1(1,0),(3,1),(2,2),(6,-1),(5,7),(7,3)) SCB - f*(S) = i * e D a m f f ; |/ ( * ; e S ) = |/* ( x ,> |x e S | f*(S) = if*(-l),f*(3),f*(4),f*(6)) En f*: f*(-l) no existe, f*(3)=l , f*(4) no existe, f*(6)=-l f*(S) = I I , -1) Sólo fines educativos LibrosVirtual 449 Sección 5.15: Im agen D irecta de un Conjunto EJEMPLO 2. Solución. Dado el conjunto S=i-3,l,3l. Si f(x)=2x-5, hallar f*(S). f*(S) = lxcDom(f)\f(x)eS) SI f(x)=-3 * 2x-5=-3 « - x=l f(x)—l - 2x-5=l -«• x=3 f(x)=3 * 2x-5=3 ~ x=4 f*(S) = ) 1,3,4í PROPIEDADES D E LA IMAGEN INVERSA D E VN CONJUNTO Para la función f:X •* Y y los conjuntos A d i y B c Y se c is n p ie n l a s s i g u i e n t e s propiedades: 11.1 Si un subconjunto del dominio es parte de otro, entonces la misma re lación vale para sus imágenes inversas. Esto es: Si AC.B - Demostración. f*(A)cf*(B) En efecto: Si A C B * - (jce.4 (1) - xeB) (Def. c ) 3yeA|f(a:>eA (2) Sea zef*(A) ■* (3) •* syeB| / (x)eB (Def. de I.I) (Hipótesis: AcB) * Zef(B) (4) (Def. de I.I) (5) Por lo tanto, de (2) y (4): f*(A)c.f*(B) 11.2 (Def.c) La imagen inversa de la unión es igual a launión de las imágenes in versas. Es decir: f ( A u B ) = f*(A) u f*(B) Demostración. En efecto: (1) Si Xef*(A Ü B) (2) f(x)e(AilB) ~ xef(A) v xef*(B) (3) (4) (f(x)eA) u (f(x)eB) ~ xc(f*(A) uf*(B)j ' (Def. de I.I) (Def.U) (Def. de I.I) (Def.U) (5) Por lo tanto, de (1) y (4): f ( A U B ) = f*(A)tíf*(B) 11.3 La imagen inversa de la intersección es igual a la intersección de las imágenes inversas. Es decir: f*(Af) B) = f*(A)(if*(B) La demostración queda como ejercicio. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 5: Funciones 450 11.4 La imagen inversadel complemento de un conjunto del rangoes igual al complemento de su imagen. Es decir: f*(A') = (f*(A)]' Demostración. En efecto: — (1) Si xef*(A') f(x)eA' (Def. de I.l) (2) +-*■ f(x) i A <-► 'i*(f(x)eA] (Def. Comp. y Neg.) (3) -* -v(xef*(A)j - - x i f*(A) (4) ~ (Def. 1.1 y Neg.) xe[f*(A)]' (Def. Comp.) (5) Por lo tanto, de (1) y (4): f*(A') = [f*(A)]' 11.5 La imagen inversa dela diferencia es igual a la mágenes inversas. E s decir: Demostración. diferenciade las i f*(A-B) = f*(A)-f*(B) En efecto: (1) Sea xe[f*(A-B)] * f(x)e(A-B) (Def. de 1.1) (2) - f(x)cA „ f(x)iB (3) - xcf*(A) ~ xtf*(B) (4) - xclf*(A)-f*(B)) (Def. Dif.) (Def. de 1.1) (Def. Dif.) (5) Luego, de (1) y (4): f*(A-B) = f*(A)-f*(B) EJEMPLO 1. Dado el conjunto M=<-3,2] y la función f:R R |f f x > = |j c - J |+ i , hallar f(M) y construir su gráfica. Solución. Eliminemos las barras de valor absoluto en x=leM y volvamos a de finir f de modo tal que su dominio cubra al conjunto M=<-3,2]= <-3,l> U[l,2]; esto es:Si x < 1 -* x 'i. 1 -* Luego, f(x)=-(x-l)+l=2-x-+f 1(x)=2-x, f(x)=(x-l)+l=x xe<-3,l> ■*fi(x)=x, v r e [ i , 2 ] VxcM\=<-3,1>: -3 < x < 1 «-* -1 < -x < 3 *■» i < 2-x < 5 *-►1 < fi(x) < 5 VxeMz=[l ,2]: 1 4 x 4 2 - * 1 4 fz(x) 4 2 Entonces: f(M) = {f(x)=f¡(x) U fz(x) IxcCM jU M t) ] /. f(M) = < 1 ,5 > U [ i , 2 ] = [1,5> EJEMPLO 2. Sea la función f:R ■* R\f(x)=xt-2x+2. Determinar la imagen in versa del subconjunto del rango <2,5]. Solución. Si S=<2,5 ] - ~ - 2 < f(x) 4 5 Y * f S ; = [x e R |y íf x ] e < 2 ,5 ] } *-* 2 < (x-l)*+l 4 5 (Def. de 1.1) ** 1 < |x - i | í ( |x~l | > 1) ~ f | x - j | -s 4), de donde: f(<2,5]) = [-l,0>U <2,3] Sólo fines educativos LibrosVirtual 4 451 Sección 5.15: Imagen Directa de un Conjunto Sea f:A + B u n a función definida por f(x)=xl+2x. Si SCB, de EJEMPLO 3. finimos f*(S)={xeA\f(x)eS). Según esto, si S = l y d l|3 < y ■$ S}, hallar las imágenes inversas de S. \ Solución. xef*(S) +-+ f(x)E<3,81 <-*■ 3 < x z+2x 4 8 ¡V— - - m\ * i \ ---------- -ji h - / ¡ { ; í ! ! *i 1i í 1 1 . ■ ' ' (x*+2x-3 > 0) * (xl+2x-8 4 0) ->-• (x+3) (x-1) > O * (x+4) (x-2) 4 O *-* (x < -3 v x > 1) /s (-4 i í 2) t 'llllf1! -4 x - 3 + f* (S > f*(S) = l-4,-3>ü<l,2) EJEMPLO 4. Y -------- 2 r "ii 0 f A + f* (S ) Para u n a función f:A •* B cualquiera y S C B , se define: f*(S)=(xcA\f(x)cS). Según esto, para la función: _Í8-4x , xe<-3,1 ] U <2, +■»> . hallar f*(<6,161) f(x) = (2 x + 2 2 , x c < - “ , - 3 ] U (1) Si xe<-3,1 ] -3 < x 4 1 -4 4 -4x < 12 +-<■ 4 4 8-4x < 20 -> RanffJ = [4,20> xs<2,+*>> +* x > 2 +-+ -4x < -8 «-*• 8-4x < 0 -*■ R a n (fx)= < -» , 0> Ran(fx) = < -•»,0> U [4,20> (2) Sea fx(x)=2x+22, x e < - » , - 3 ] U ■ Ran(ft) = <24,261 .'. Ran(ft) = <-«■, 1 6 ] o <24,261 (3) Determinación de f*(<6,161) = lx e A |/Y x J e S } a) Vemos que: <6,161<Z(4,20> - f*(<6,161) = i x e A |f 1 6 ]} V -* (8-4x)e<6 ,16] •— 6 < 8-4x 4 16 *-* -2 < -4x 4 8 -2 4 x < 1/2 b) También: <6, 1 6 J c < - ~ , i 6 ] - f } C < 6 , i 6 ] 3 - { x e A |f j f x j e - í S , 1 6 ] > - (2x+22)c<6,16] (x k S 6 < 2x+22 4 16 «-* -8 < x 4 ~3 (4) L u e g o , de a) y b), se tiene: f*(<6,16]) = < - 8 , - 3 ] u [ ~ 2 , l / 2 > f*(S) Sólo fines educativos LibrosVirtual 452 Capítulo 5: Funciones EJEMPLO 5. Sea f : A + B una f u n c i ó n c u a l q u i e r a . S i f*(S)={xeA \f(x)cS). Si definim os: SCB, 6> i y c R | ¡ y + 1 1 + 1y - 3 \ 4 y f(x)=l/x, ha lla r f*(S). Solución. Determinemos el y — CO ^ y i ■ I método de 3 I. I y i- 3 y ... |y + l|=+(y+l) ¡ ¡ |y - 3 |= - [ y - 3 ; | en S: f*(S) (y+l)-(y-3) 4; 6 4 6 (y+1)+(y-3) i 6 -(y+l)-(y-3) en S: S = = «-=■ y >, - 2 +— 4 46 4 4 +-+ [ - 2 ,-f> u [ - J ,3 > u [3.4] [xeA | (1 / x ) t [ - 2 , 4 ]} . *-* (i * ~2) ~ (í * 4) -1/2 V x y > 0) . ~ „ (~ ¿ . , »- 4 .0 0 ' y e [-2 ,-l> y e [-l,3 > y e [3 ,4 ] = [-2 ,4 ] (í)e[-2,4 ] 1/4) . — |y + l|= + íy + l1 -» -+ ■ |y -3 |= + fy -3 ; ->■ ++ -2 4 S 4 v x >„ 1 / 4 ) % 0) * 0)- (~¡r (x < 0 V x f*(S) Si los puntos c r í t i c o s . 3 ! 5. 3 , e n S : 4 l i l i y.< \y+l|=-(y+l) .\ +-+ ( x 4 -1 |y - 3 |= - f y - 3 ; y < 3, Entonces: -1 * Para y < - 1 , -1 i conjunto S por el < -1 <-> (x 4 -1/2 = < - - , - 1 / 2 ] u [ 2 / 4 , +»> EJERCICIOS: G rupo 40 1. Sean l o s c o n ju n to s A=( - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 ] , B=1 - 1 , 0 , 3 , 5 , 7 ( , M = { - 1 ,0 ,2 ,3 t, S = l - 1 ,0 , 3 ,7 t y l a f u n c ió n f ( x ) = 2 x - 1 . H a l l a r f(M ) y f* (S ). 2. Sean f:A + B una f u n c ió n y l o s s u b c o n ju n to s MCA y N C B . D em ostrar l a s s ig u ie n te s re la c io n e s : a) M C f* [f(M )] c) f* (B -N ) = A -f*(N ) b) f[f* (N )]c N d) f [ M f lf * ( N ) ] = f ( M ) 0 N 3- Sea f:A + B. D e m o strar l a e q u iv a l e n c ia de l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c io n e s , c u a l e s q u ie r a que s e a n MCA y N CB. a ) f * [f( M )] = M b) M0 N = 4 c ) NCM -*f (M) O f(N ) - f(M-N) = f(M )-f(N ) =4 4 . Sea A=R-[2l y l a f u n c ió n f:A + R, d e f i n i d a p o r: f ( x ) a ) D e te rm in a r f * ( 4 / 3 ) x+~*. x +2 b) S i M = [-1 ,2 /5 > » h a l l a r f(M ) c ) Es v e rd a d que f ( x ) < 1, VxeA. J u s t i f i c a r . Sólo fines educativos LibrosVirtual 453 Ejercicios: Grupo 40 5. Sea l a f u n c ió n f : R * B d e f in i d a p o r f(x ) = 3 x * - 1 2 x -4 . a ) C o n s id e r a r M = [-5i8] y r e p r e s e n t a r g r á fic a m e n te ( i , f ( x ) | x H l , i n d ic a n do e x p lí c it a m e n te e l c o n ju n to f(M ). b) R e s o lv e r 0 < 3 *1 -1 2 x -4 < 92 y e x p r e s a r a n a l í t i c a y g rá fic a m e n te l a v in c u la c ió n d e l c o n ju n to s o lu c ió n con e l g r á f i c o de f . c ) D em o strar que f e s i n y e c t iv a en [ - 4 , 1 ] . 6. Dado e l c o n ju n to A, s e d e f in e una f u n c ió n f:P (A ) ♦ [ 0 ,+ “ > , que cum ple l a s i g u i e n t e p r o p ie d a d : -WC,YeP(A): XOY = ♦ D e m o strar q u e : + f(X U Y ) = f(X )+ f(Y ) a ) f(4 )= 0 b ) ¥H,NcP(A) t a l e s que MCH, s e cum ple f(M ) 4 f(N ) 7. c) ¥K,HeP(A) s e cum ple: f(M U N ) = f(M )+ f ( N ) - f (H (1 ü ) En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s s e dan una f u n c ió n f:A » B, un c o n ju n to S C B . S i s e d e f i n e : f * ( S ) = l x e A |f ( x ) e S | ; h a l l a r f * ( S ) . a ) f(x )= 2 x -1 , S={yeB| < -1} b ) f (x ) = x l -2 x -1 , S = l y e R |( |y - l | + | y - 2 | ) ( | l - y | - | 2 - y | ) Í . y * - 6 I c) f(x ) = ^ , S = iy c R |J ¿ 2l i =2 t 0 ) d ) f ( x ) = JL , S = < y eR |^ L < 2} e ) f ( x ) = 1 /x , S= { y e : R |- ^ | > OI 8. Dada una f u n c ió n f :A * B y S C B , d e fin im o s f * ( S ) = { x e A |f ( x ) e S I . E n to n c es p a ra l a f u n c ió n d e f i n i d a p o r f ( x ) = 9. Sea S={yeH| < 0) . S i f(x ) = ” (3 x + 4 ), h a l l a r ^ ( < - “ , 0 ] ) , , x ^ -3 e s una f u n c ió n , h a l l a r : f * ( S ) = l x e R |f ( x ) s S l . 10. Dada una f u n c ió n f:A » B, y N C B , H C B , d e m o s tra r q u e : f* (H f 1 N) = f*(M ) 0 f* (N ) 11. 1 2. Dada l a f u n c ió n : f ( x ) = ^ (4 -6 0 x -1 8 x * ) a ) E sb o z a r s u g rá fic o c) G ra fic a rg ( x ) - |f ( x ) | b ) D e te rm in a r f * ( [ 4 ,+ » > ) d ) D e te rm in a r g * ( [ 4 ,+ “ >) P a ra una f u n c ió n f :A ♦ B c u a l q u i e r a y S C B , s e d e f i n e f* ( S ) = { x e A |f ( x ) tS Según e s t o , p a r a f ( x ) = / 3 ^ 2 x , x e < - 2 , l ] O < 3 ,+ " > l3 x + 5 , x e < - - , - l ] u < 1 ,3 ] * Sólo fines educativos LibrosVirtual ( h a l l a r f * C < - " ,- 4 ] ) 454 F X J W € I © N í E S EXPONENCIALES Y LO G A R ITM IC A S LA FUNCION EXPONENCIAL____________________________ ^ Antea de dar la definición para una función exponencial, comencemos construyendo las gráficas de las ecuaciones: y = 2* y e {\f = formando una tabla de valores para cada ecuación, esto es: X -3 -2 -1 0 1 2 3 y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 X -3 -2 -1 0 y 8 4 2 1 1 2 3 1/2 1/4 1/8 Llevando cada par ordenado (x,y) sobre un plano coordenado obtenemos: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 6.1: La Función E xponencial 455 Se o b s e r v a claramente en ambas gráficas que para cada número real x existe uno, y sólo uno, número real "y" tal que: *X y = 2 o ,1 ,x y = (¿) Vemos entonces que la ecuación y=2x define una función univalente / ^ ( ( x . y ) ! cuyo dominio es R. Esta función se llama función exponencial de base 2. X De manera semejante podemos afirmar que toda ecuación de la forma y=b , en donde b > 0, define una función exponencial sobre R. Si b > 1, la gráfica de cualquier función de la forma ) (x,y) |y=b'X} s e pare ce mucho a la gráfica de y=2x . Si estudiamos esta gráfica (Fig. 6.1) vemos que es p o s i b l e convenir en aceptar las siguientes propiedades para cada u n a d e tales funciones. (1) El rango o imagen ros reales dela funciónexponencial es el conjunto de los núme positivos (R ). Es decir, que para cada xcR, y = b > 0. (La gráfica está dispuesta encima del eje X) (2) Si x = 0 * bX=l ; x > 0 - bX > 1 ; x < 0 - * 0 < dX <1 (3) A medida que x crece, crece también y-bx . (f es estrictamente creciente) Es decir, si x í,xzef\xí > x z Si 0 -*• f(x1) > f(xz) < b < 1, la gráfica de la función de la forma t ( x . y ) t e n d r á una apariencia distinta. Sin embargo, cada una de esas funciones tendrá la forÍ JC ma general de la gráfica de y^l-^) ■ (Fig. 6.2). Las siguientes propiedades son válidas para las funciones de este tipo. (1) El rango o imagen (2) Si x=0* bX=l ; dela x> 0 funciónes R e s decir, YxzR, bX > 0. ; ■* 0 < bX < 1 x < 0 - bX > 1 (3) A medida que x crece, decrece y=bx . (f es estrictamente decreciente) Es decir, si X j . X j e / 'I x , > i , Esta oSi -► f(xt) < f(xz) propiedad seexpresa brevemente con la notación: ^ cuando x * +•» cuando x * -■» i.^ . 0 < b< 1,entonces: I b1 •* 0 < [ b -* <• De este breve análisis, la siguiente definición para la función exponencial Definición 6.1 Sea b cualquier número real positivo distinto de 1. Entonces una función f, denotada por expb, se llama función exponencial de base b si, y sólo si: o bien: e x p ^ = ( f x ,y > |e x p j) Cx>=br , x eR l Sólo fines educativos LibrosVirtual f=i(x,y)¡f(x)-t/x, xcR I 456 Capítulo 6: F unciones E xponenciales y Logarítm icas El siguiente teorema resume todo lo dicho y lo aceptamos sin demostración: TEOREMA 6.1 . Si R+= ( x e R |x > 0 1 , entonces la función exponencial: f : R + R + =l(x,y)\f(x)=bX } a) Es biyect iva si b > 0 y bfl, esto es, si: i) x¡,xzcf y bXl=bXl x l=x1 ii) Ran(f)=R+ b) Es estrictamente creciente si b > 1. Es decir, si: x ¡,x1sf y x , < x z - f(xz) < f(xz) - c) Es estrictamente decreciente si 0 f(xz) La gráfica de cierta función exponencial contiene alpunto P(3/2,27). Cuál es la base y la regla decorrespondencia de la función? Solución. Sea la función exponencial: f(x)-h Si P(3/2,27)cf - 2 7 = b 3/ 2 - (33) * ■ = b *-* b=9 f=\(x,y)|y = 9 X l EJEMPLO 2. Dada la función f(x)=l+exp3 | x - 2 | , construir su gráfica y ha llar su dominio y rango. Es inyect iva? Solución. Si f(x)=l+exp3\x-2\ — x-2 > 0 + \x-2\=+(x-2) x -2 < 0 - | x - 2 | =-(x-2) - y -i= 3 ^ X 2 ^ - y - J = 3 X~2 y - J =(j)X~2 1 + 3X ~2 , si x >, 2 1 + (j)X 2 , si x < 2 En f¡(x)=l+3X 2, la base es b=3, b > 1, entonces su gráfica es similar al de la fi_ gura 6.1, es creciente Vx i, 2. En fz(x)=l + (jj)x 2 , la base es b=l/3, esto es, 0 > . Geométricamente vemos que f no es inyectiva, dado que u n a r e c t a horizontal corta al curva en dos p u n t o s . Sólo fines educativos LibrosVirtual 457 Sección 6.2: Logaritmos LOGARITMOS Si b es un número positivo diferente de 1 y si N es cualquier número positivo dado, entonces existe un número real único L, tal que: N = bL Se dice que el número L es el l o g a r i tm o d e N de base b y se escribe: L = logbN Esta definición se puede enunciar de una forma más concisa como sigue: Definición 6.2 Si N y b s o n números positivos y si b/1, entonces: N = bL logbN = L Según esta definición, vem os que el concepto de un exponente y el de un lo garitmo son simplemente dos formas diferentes de ver exactamente l a m ism a c o s a . L as d o s ecuaciones N=bL y logbN=L son equivalentes por lo que podemos u s a r indistintamente las dos formas. Ejemplos: a) logz8 = 3 b) 2’=8 8- »/ >= ~ log,(l/4)=-2/3 c) b*=b -» logb (b) = 1 d) b‘=l - logb<l) = 0 Ahora veamos algunos ejemplos de apiicación de la equivalencia de la definí ción 6.2 para calcular el logaritmo L, el número ¡V y la base b. EJEMPLO 1. Hallar el logaritmo de 16 en base /2. Soluc ion. Si log^lS = x Luego: L o g 6 = 8 «-► 16=(/2)X A 2 — _ ,„.x/2 = (2j* 4 = f EJEMPLO 2. Solución. Hallar el número cuyo logaritmo en base 1/16 es -0.75. Sea x el número buscado, y 0.75 = . - EJEMPLO 3. O . Solución. ,-8 /v 91/16 = ' 3 4 75 3 ~ / 1 ,- 3 /4 ,,- .3 /4 * = (16) = (16) -* x = 23 = 8 ,,4 .3 /4 = (2 } Si logx (9/4) = -2/3, hallar x. logx (9/4) = 2 9 = x -2/3 «-* .9,-3/2 (j) = x Sólo fines educativos LibrosVirtual *-*• ,4.3/2 (p 458 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas *- (J ;3 = x EJEMPLO 4. Luego: x = 8/27 Hallar el valor de E=( log? -^) (log40.2S) J/ 7 , Solución. - T- Sea l o g ^ - ^ = x «-► — j t - < Si log^0.25 = y «- 1 ~ - ^ - 2 = x ~ x 0 .2 5 = 4y = 4y - = -5 /3 y = -J E = (S/3)(-l) = 5/3 EJEMPLO 5. Si Solución. log (1/81) =log8(l/16) Sea log (1/16) = L uego: y *- , hallar j | = 8y <- EJEMPLO 6. *- 2~4 =23y = - 4/3 - * logx (l/81) x. - y / ¿ r l = x ' 4 /3 — 33 = x - = -4 /3 (3~4)'3/4= x x=27 Hallar el valor de: E = 2Log1/4(32) - 3L ogi / f i f 3/J 6 > + | l og343(49) - \LogJ8~3'2) Solución. Sean: Log1/4(32) = x , - * 32 = (^.)x ‘ * - 2 5 = 2~ 2Xl Log1/8(3/l6) = X , ^3 4 3 Log4(8 (49) = X j -3/2 f —» = x, Luego: E = 2 f - f ; " 8 49 = (343)Xl ■3/2 _ - 3(’ í> 4X ' +2 3 x , = -5 /2 ¿4/3 _ 2 3 x 2 ^ 3/ í 6 = / | ; Xl - - ,, j2 _ — 2~9/2 = 22X s 2 x’ = 3 9 * = - I - 1(- £ ; = - 1 3 4 2 EJERCICIOS: Grupo 41 1. Una función f cuyo dominio es el conjunto {-2,-1,0,1,2} está definida por f(x)=4 X a) Escribir f como un conjunto de pares ordenados. b) Escribir los elementos que pertenecen al rango de f. 2. 1 1 1 1 1 1 Si g es una función cuyo dominio es D = |- — ,- — ,- r-,0, ~r , ~ , — } 2 3 Sólo fines educativos LibrosVirtual o o 3 2 459 Sección 6.2: Logaritm os y g (x )= 6 4 x , e x p r e s a r g como un c o n ju n to de p a r e s o rd e n a d o s. 3- En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s , h a l l a r l a b a s e de una f u n c ió n e x p o n e n c ia l cuya g r á f i c a in c l u y e a l o s p u n to s d a d o s. a) 4. ( 3 ,2 7 ) b ) ( - 2 ,1 / 1 0 0 ) c ) ( 2 ,1 / 4 ) d) ( - 2 /3 ,1 /4 ) En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s , t r a z a r l a g r á f i c a p a r a c a d a una de l a s f u n c io n e s d a d a s . I n d i c a r e l dom inio y e l ra n g o . 5- a ) K x , y ) |y= 2* / 2 } f ) f ( x ) = 2 + ex p ^ ,3 ( |x - 21 ) b ) { ( x , y ) |y = |( 3 * ) ) g) f(x ) = 5 +exp 2y 3 | 2x+7 | c ) l ( x , y ) | y = 2X+3} h) f(x ) » e x p .^ 2 [ [ x ] ¡ d) f ( x ) = 1 -e x p 2 ( x + l) i) f(x ) = exp 2 [ [ x ] ] e ) f ( x ) = - 1 +exp 2y3 ( | x +1 |) 0 ) f ( x ) = 1 -e x p 2 ¡[ x +1 ]] D e te rm in a r e l v a lo r de x , s i : a ) Logx ( ’ / 25 ) = 1 /3 6. b ) Log 0/ 27 (x ) = L o g ^ / í S c ) Log x125 = Log2/8 H a l la r e l v a l o r d e : E = ÍL o g 3 (8 1 ) + 3Log 10 (0 .0 0 1 ) + 2Log 5 d 2 5 ) - ^ ° g g ( 2 ) * 5Loge ( 4 5/ Í 6 ) l o g j l j - í ó ' ) X Log 7. H a l la r e l v a lo r d e : E ( 9 3/^ ) — ■ L o g ^ ( 3 ') + Log^(6 bOgyggíSl) 8. H a l la r e l v a l o r d e : + ) L O g 8 (4) E Logl / a 27 - Log 2/ 5 (2 5 /4 ) PRO PIED AD ES f u n d a m e n t a l e s d e LOS LO G AR ITM O S i PROPIEDAD L.l: Para todo número real positivo x,y,b, en donde b / 1 , se verifica: Logb(x.y) = Logb<x) + Logh(y) "El logaritmo de u n producto de dos números reales positivos es la su ma de los logaritmos de ambos números" Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 460 Demostración. En efecto, si hacemos: Logb(x)=A y Log^(y)=B por la definición 6.2, se tiene: Log^(x) = A Efectuando el producto: ++ x=b^ ; xy = (bA )(bB) Log^(y) = B ++ y=bB = bA+B De modo que usando nuevamente la definición 6.2: Log^(xy) = A+B y por sustitución: L°9b (xy) = Logb(x) + hogh(y) PROPIEDAD L.2: Para todo número real positivo x,b, tales que bfl y para cada número real n: . Logb (xn) = nLogb(x) "El logaritmo de la n - é s im a potencia de un número positivo es n ve ces el logaritmo del mismo". Demostración. En efecto, si hacemos: Logb(x) = A _ Pero: x n ,.A,n = (b ) x = b ++ .nA = b (Ley de Exp.) Logb(xn) = nA De donde se tiene: y por sustitución: (Def. 6.2) (Def. 6.2) L o g ^ x 1) = nLogb(x) PROPIEDAD L.3: Para todo número real positivo x,y,b, tal que bfl, L°9 b (f> = L°gb ( x ) - Logb (y ) "El logaritmo de un cociente de dos núneros reales positivos es la diferencia de los logaritmos del dividendo y divisor". Demostración. En efecto, si hacemos: Logb(x)=A *— Logb(y)=B Entonces, dividiendo: y por sustitución: — = bA B y + £ x=b (Def. 6.2) y=bB (Def. 6.2) (Def. 6.2) Log.(-) = A-B d y Logb(£) = Logb(x) - L.ogb(y) PROPIEDAD L.4: Para todo número real positivo x,b, tales que bfl y para todo número real n: Log (l/x) = ÍLog (x) b n b Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 6.2: Logaritmos 461 "El logaritmo de la raíz n-ésima de un número real positivo es igual al lo garitmo del número dividido entre el índice de la raiz". - Demostración. En efecto, sea: Log^(x) - A _ Pero: x 1/n (Def. 6.2) , . 1/n, A Logb (x ) =— •* (Def. 6.2) Logb(nSx) = jEog^íx) y por sustitución: Nota. ,.A,l/n .A/n -(b) = b A x = b " Las propiedades obtenidas se llaman fundamentales o generales, pues to que ellas no dependen de la base b (siempre que b>0). Las propiedades, entre otras, que se dan a continuación son las llamadas, propiedades part iculares, cuyas demostraciones se dejan como ejercicio para el lector. PROPIEDAD L.S: Logb(x) = Logbn(xn) = Logny^(1/x) PROPIEDAD L.6: Log.n(x) = -Loar, (x) b n b PROPIEDAD L. 7: Logjn(x ) = -Logjx) b n °b PROPIEDAD L.8: Logb(x) . Log^b) = 1 PROPIEDAD L.9: Log PROPIEDAD Log (x) Logx L.10: Log . (x) = , ° . . = :-------- :— r aab l+Loga(b) Loga+Logb Loga(x) ,.(x) = a a /b , ... I-Loga (b) Logx = :-------- :---- r Loga-Logb PROPIEDAD L .11: Cambio de base de un sistema de logaritmos a otro. L°gh (x) Log (x) = -.— iLy-r 3a ' ' Logb(a) Por ejemplo, bailar por dos métodos diferentes: Log^(8) Primer Método: Por la definición 6.2: Log^(8) = x 8 = 2* «• 23 = 2X - x=3 3 Segundo Método: Por la propiedad L .11: Log^8 = DEFINICION 6.3 = X o g f" = ^ Se denomina cologaritmo de un número N al logaritmo de su inversa, esto es: Cologb(N) = Logb(jj) = Logh (I)-Logb(N) = -Logb(N) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 462 De modo que el cologaritmo del número N es el logaritmo del mismo núnero to modo con signo contrario. Esta definición permite escribir la propiedad L.3 como sigue: tog.É) = Log.(x) - Log.(y) = Log.(x) + Colog.(y) DEFINICION 6.4 Se denomina ant ilogaritmo al número c o r r e s p o n d í e n te al logsari tmo dado, esto es, si L es el logarit mo de N en base b, entonces: antilogb(L) = N * antilogb (L) = b L De esta definición se d e d u c e q u e ; antilog^(logbN) = N logb(antilogbN) = Al Los ejemplos que siguen ilustran las api icaciones de las propiedades y def¿ niciones establecidas en esta sección. Representar cada una de las expresiones dadas como un solo lo EJEMPLO 1. garitmo con coeficiente uno. a) A = 2Loga(y) + jLoga(x) - 3LogQ(z) b) B = Logb(x) + 3Logb(y) - 2Logb (9) - 5 Solución, a) A = LogQ(y)‘ + Loga(/x) - Loga(z)* - b) A = LogJ X ' y F ) (L.2 y L.4) (L.lyL.3) Dado que Logb (b)=l podemos escribir: B = Logb(x) + Logb (y)’ - Logb<9)* - Logb(b)‘ * EJEMPLO 2. y B = Logb ( ^ r ) L-3) Hallar el valor de E = Log9 ' Solución. (L.2) 64(1/8) * / E = Log2(/Sl2) - Log¿(64) - Log2<l/8)* +Log2(l/4)% (L.l y L.3) = jLog2 (512) + 5Log(l/4) - Log2 (64) -2Log2 (l/8) (L.4 y L.2) = jLog2(2)9 * SLog2(2~2) - Log2 (26) - 2Logz <2~3) Sólo fines educativos LibrosVirtual 463 Sección 6.2: Logaritmos E = | l og¿ (2) - 10Log2 (2) - 6Log2(2) + 6Log2<2) = - 11/2 y por L.2: EJEMPLO 3. Simplificar: E = Log ( Solución. - 2Log(p + E = L o g í j |> + Log( | ) 2 + r- , E EJEMPLO 4. ,3*25, = , ( L .2 J ,9 ,2 , + L o g (-¡r) ,2 * i6 , r *L o g (j^ j) Dado Loga(,S(a(^2-l) ]') = , 3*25*81*2*16, = ^ 9 < - ¡6 x 2 5 x 3*8¡ ) , „ = Log2 hallar el valor de: E = Loga('Slc(S2+l)l'}. Solución. E = ^Log [a(’ /2+l)¡ = -f/Xogr (a) + Log (S~2+i)¡ o Cl - 1 " + * £ = |í J í> O (L.4 y L.l) G Lo^-]Z?r]=~ sl1 + - LogQ( ñ - l )] Si Loga(i/la(/2-l)]i) = | - (1) | l oga(a(J2-l)) = | Log Ja)+Log (¿2-1) = ^ U Luego, en (1), se tiene: U D + Log (J2-1) = - 4 u D 3 4 27 E = -^(1 + -jr) = EJEMPLO 5. Si Logí2(3)=b, hallar Logl2<8). Solución. LogJ2(8) = Log12(2)3 = 3Log¡2(2) = 3Log12(^) = 3[Log12(12)-Log12(3*2)l = 3[l-Log¡2(3)-Log12(2)J = 3 - 3b - 3Log¡2(2) = 3 - 3b - LogJ2(8) Entonces: 2Log12(8) = 3(l-b) *— Log¡2(8) = EJEMPLO 6. Hallar el valor de: E - Log^z(ant ilog^8)-ant ilogaZ(Logg)2) Solución. E - Logîlib')'} - antilogai(2Loga2] (Def.6.4 y L.6) = Logbzl(bl)li] - antilogal[Loga2*] = lSLogbt(b*) - antiljgQl[2Logal(4)] * E = 16(1) - antHogcl(Logal16) = 16 - 16 = 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual (L.6) Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 464 EJEMPLO 7. Solución. Si Log2=k, h a lla r e l valor de: E - Log5 + Log(^) - Log(-jj) E - Logó + Log(^r)2 - Log(2)~3 = Logó + 2(Log5-Log2) + 3Log2 10 = 3Log5 + Log2 = 3Log(— ^)+Log2 = 3(LoglO-Log2) + Log2 = 3(l-Log2) + Log2 = 3-2Log2 EJEMPLO 8. Solución. Log(3+2^2)-4Log(C2+l) Dado que: (¿2+1)l=3+2/2 - E = j¿Log(/2+l)l-4Log(/2+l) Luego: E = - ~Log(22+l) = ^ o g ( - J - ) = S o lu c ió n . E = 3-2k Demostrar que: ~Log(3+2/2)-4Log(’/2+l) = —^Logf^l-l) En efecto, sea: E = EJEMPLO 9. * Log(72-l) Calcular: E = 811-10932 + £ = 34<l*9'B-Log,2) . jLog74~1 = 34Lo3¡(9/2) + 7Log74~1 = 32Log,(9/2)\ 7Log,4~1 = 3Logi(9/2)í + ^ o g , 4 _J De la definición 6.2 se deduce fácilmente que: N = b^0^tF 9 2 - 1 8 1 1 Entonces, según e s t a propiedad: E = ( y ) + 4 = EJEMPLO 10. = 20.5 Hallar el valor de x en: ôgsLogtLog^x+l).Log75 j^11Logl,LogtLog,3 .Log¡ ,.13j _ 2 Solución. Ordenando los exponentes de cada factor, se tiene: ^7(Log75)(Log¡LogiLog,(x+l))^11(Logll13)(LogliLoglLogi3)^ _ 2 Aplicando sucesivamente la propiedad: N = ^LogtlogtLogtfx+l) j^ôgiiLogxLogtS} = 2 * Logi[Log,(x+l) .Log¡3] = 2 * Log,(x+l) = 2 Z = 4 EJEMPLO 11. * , obtenemos: * (Log^Log, (x+1)}[LoglLogi31=2 Log1[Log,(x+l)l = 2 x+l=5 ' , de dende: x=624 Si x e y son dos números consecutivos y L o a 6+Log 6 = Log 6.Log 6, hallar el valor de x+y. x Solución. Sea y=x+l — y x y Logreó + Logx+j6 - Log^S . Log,JC+j ó Según la propiedad L.8, se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual (L.U) Sección 6.2: Logaritmos 465 1 * TñnTvTi r 7 ^x)L(or„ +i> Log,x Log, x+l = <Log, gn , Lx+l * Log,x(x+l) = Log, 6 L°9*x + Losr«■(*+!> = 1 +~* x(x+l)=6 +-+ x*+x-6=0 *-*• x = 2 Dado que x>0, la única solución es x=2 EJEMPLO 12. - + ó x=-3 x+y=5 Si Logabc=x, Logâc=y, Logcab=z; calcular el valor de: F -_ L + 1 +_L x+l 3+1 z+1 Solución. = Logabc + LogQa = Loga (abc) Se tiene: x+l y+1 = Logbac + Log^b = Logb(abe) z+1 = Logcab + Logcc = Logc(abc) E - J2ig^(abcJ + Logb(abe) + Logc(abe) De modo que. y por L.8: E = Logabc<a) + Logabc(b) +L o g ^ f c ) = Logabc(abe) = EJEMPLO 13. 1 Se sabe que: x l=Loglxí, x 1=Logíx , , x,=Log,x,, x,.x,.x,=128, x z+x3-6. Hallar: x ¡,xz,x, y x h. Solución. + xz=2X l ; Xi=LogtX, x,=Log1x„ + x * = 2 x> - x » . x , . x , = ¿Xl+Xi+Xl Si Xi=LogtXi + 128 = 2’ = 2X‘ +Xl+Jej + x,=2x*; xt+Xí+Xt = 7 . Pero: Xz+x, = 6 Entonces: x,+6=7 ++ x z=l ; x 2=2 ; x s = 2 l =4 ; x » = 2 '= I 6 EJEMPLO 14. Si Log,15=a y LogZzl8-b, c a l c u l a r e n términos de a y b: Log,,24. Mostrar que la expresión obtenida es un número real. Logz,24 = Log5z(2*.3) = jLog,(2*.3) = jLog,2 + ^Log,3 Solución. (1) a = Log,15 = h°?i15 = ------ 1 ,+ Lo9 i3¡ - aLog,3 + aLog,2 = l+Log,3 Log,6 Log,3 + Log,2 (a-l)Log,3 + aLog,2 = 1 + b = Logxzl8 = = í1^ ) 3.* h??.>2 Log,12 + 2bhog,2+bLog,3 = 2Log,3+Log,2 - (b-2)Log,3+(2b-l)Log,2 = 0 2Log,2 + Log,3 Resolviendo (2) y (3) obtenemos: Log 2 = 5 (2) ,Log3 = a(b-2)+(a-l)(l-2b) 5 J_2b a(b-2)+(a-l)(l-2b) y al sustituir estas dos expresiones en (1) se obtiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual (3) Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 466 Log9r24 = ----------------------0 2(2b-a-ab-l) La expresión obtenida es real ++■ 2b-a-ab-l 4 O En efecto, sia=Lo£Fg i 5 ■— 6a = 15 * 61 < 6a <ó2’ - 1 <a < 2 -* -2 < -a < -1 - b=Log1218 « - 12b=18 - 121 < 12b <123 U - 1 < b < 3/2 - Multipl icando (4) y (8) se tiene: 1 < a b < 3 Sumando (5),(7) y (8) resulta: Luego: -4 < 2b-a-ab-.l < O 2 < 2b < 3 —■ - 3 < - a b < -1 (4) (5) (6) (7) (8) -3 < 2b-a-ab < 1 -*■ 2b-a-ab-l 4 O Por lo tanto, la expresión bailada es un número real. EJERCICIOS: Grupo 42 En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 re p re s e n ta r a l 3 , u s a r l a s p r o p ie d a d e s de l o s lo g a r itm o s p a ra cad a una de l a s e x p r e s io n e s d a d a s como un s o l o lo g a r itm o con c o e f i c i e n t e u no. 1. 2Loga ( x - b ) - aLoga ( x - c ) + ^L og 81 - x 2 4 2 . 3Log2a + -^Log2 125 - -|Log227 - a 3. |L o g e 128 - 4Log 2 ( 0 .2 ) En l o s e j e r c i c i o s d e l 4 • + ^L oge ( 0 .0 2 7 ) - -|L o g e 2 l 6 + 2 a l 8 , h a l l a r l a r e p r e s e n t a c i ó n n u m é ric a más sim p le de x . 4. x = 2 L o g ( ^ |) + L o g ( ^ l j) - L o g ( ^ ^ ) + L o g (^ ) 5. x = 2 L o g (j) + L o g (^ |2 ) - 2 L o g ( ^ ) +L o g ( ^ ||) 6 . x = L og/84 + L og/650 - íjLog546 7. x = Log('2^29Tv^\27^^) 8. x = Log,(3/32 . 3A ó Á k ,8~3^h ) En los ejercicios del 9 al 12, despejar x de las expresiones dadas. 9. Logx = Í L o g l 6 - ^L og 8 + 1 1 0 . Logx = 2 + -l(Log18+Log8-2Log25) 11. 3Logx - Log32 = 2 L o g (x /2 ) 1 2 . 2Log 2 (x - 2 ) = Log2 ( 7 a - l ) - 2a Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 42 467 ^ 13. S a b ien d o que Log ( V [ a ( / 2 - 1 )]* ) = 0 .6 , c a l c u l a r e l v a l o r d e : x=Loga ( / [ a ( / 2 + 1 ) ] a ) . 14. D em o strar que AFx>1: Log, (x + / x 4- 1 ) = -Log. (x - / x 1 - 1 ) b b 15- S i Log2 ( a l b s )= L o g ^ (a /b )= k , h a l l a r , e n té rm in o s d e k , e l v a l o r d e : Log2 ( a b ) . 16. S i L ogjg3=a y L ogjQ5=b, h a l l a r Log^Q8 . 17- Sean a , b , k núm eros m ayores que 1 , s i (L o g ^k )^ = 16{L og^k)^t h a l l a r una r e la c ió n e n tr e l a s b a se s. 18. S i A=Log>/^ [ a n t i l o g b , ( 4 ) ] y B ^ a n tilo g ^ j [L og^j (4 ) ] , h a l l a r e l v a l o r de AB 19- H a l la r e l á n g u lo oe < 0 , v / 2> , t a l q u e : Log^Sen2a = Log^Log^ gLogba n t i l o g b ( 0 . 5 ) , s ie n d o n>0 y n / 1 . 2 0 . S i Log2 (3 )= p , h a l l a r Log^g243 en té rm in o s de p . 21. S i a ,b e R +-{1} y Loga b ( a )= 5 , h a l l a r : L o g ^ C ’ / a / V E ) . 2 2 . S i x=[Loga ( a n t i l o g a j 2 ) ] [ a n t i l o g a H(Loga>8 ) ] , h a l l a r x . 2 3 . S i L o g ja = l/2 y l o g ^ ( / a b / 9 ) = - 3 / 2 , h a l l a r e l v a l o r d e b . 24. D e s p e ja r x d e : LoggX + Log^x + LogQx = 1 1 /2 25. S i p,qe<0,+w > y Log^^( q ) =6, h a l l a r e l v a l o r d e E = L o g ^ ( '/ p / q * ) 26. C a lc u l a r : a n ti l o g ^ x = a n t i l o g 2C olog(/ g O h o g ^ 3 ) + 1 ' 1 27- Sean a.bE R , s i a '+ b I =10ab, d e m o s tra r que -gLogab-Log( a + b ) = 2 Log3-Log6 2 8 . S i x ^ L o g h a n tilo g h C o lo g h a n tilo g h C - l/b ) , h a l l a r e l v a l o r d e : E = (Logbx b - C o lo g ^ b * )1 + C olog1^ x (b x +b ) 2 9 . S i L o g (ab l )=1 y L o g (a sb ) = - 1 , h a l l a r e l v a l o r d e E=ab. 30. S i x ,y ,z e R +- { 1 }, h a l l a r Log x s a b ie n d o que 243(L og 2 ) ’ =32(Log z ) 5 . y * y 31. Sean a y b l a s l o n g it u d e s de l o s c a t e t o s y c l a l o n g it u d de l a h ip o te n u s a de un t r i á n g u l o r e c t á n g u l o . S i ( c - b ) / 1 y ( c + b ) / l , e x p r e s a r 2(L ogo ba )(L o g c+ba ) como suma d e l o g a r i t m o s e n l a s b a s e s a n t e r i o r e s . * Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 468 E l LA FUNCION LO G ARITM ICA____________________ .________ ^ Sea ¡a ecuación logarítmica: y = Sabemos que si beR+-ll), esta ecuación asocia un número real único "y" con cada xeR+. De ahí que la ecuación defina una función que se puede expresar del modo siguiente: f - Logb = i(x,y)\y=Logbx, x>0) Nótese que el dominio de cualquier función logarítmica es R+. Nos falta sa ber cual es la imagen o rango de una función tal. Esta pregunta se puede responder examinando la parte (a) del Teorema 6.1 que nos permite definir la función logarítmica como sigue: DEFINICION 6.5. Si bcR+-íl), entonces la función logarítmica en base b, denotado por Log^, es la función inversa de la función exponencial expb :R ■* R . Esto es: Logb :R+ * R = {(x,y)¡f(x)-Logbx, x>0l o sea: Logb = (expb)* Como consecuencia de esta definición se tiene que: a) Logb[expb(x)] = x ■ b) expb[Logb(x)] = x C) Logb(x) = y — ► x=kr>> Puesto que )(x,y)¡y=Logbx) = i(x.y)|x=by i, podemos obtener la gráfica de la ecuación y=Log^x, trazando la gráfica de la ecuación exponencial x ^ . Aquí la variable independiente es la y; por tanto, para trazar su gráfica empezg mos por seleccionar valores de y, para determinar los valores correspondiera tes de x. Por ejemplo, tracemos la gráfica de yôg^í^l X 1 /8 1/4 1/2 1 2 4 8 y -3 -2 -1 0 1 2 3 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 6.3: La Función Logarítmica 469 Aunque esta curva es la gráfica de una función logarítmica en particular, su forma general y sus características son típicas de la gráfica de cualquier función logarítmica y=Logyc, donde b>l. Observaciones: (1) El rango o imagen de una función logarítmica de base í»i es la totali dad de los números reales. (2) Si O < x < 1, entonces Log^íx) < O (La gráfica está dispuesta debajo del efe X) Si x=J » Logyc=0 y si x>l * Logfcx>0 (La gráfica está dispuesta sobre el eje X) (3) Si x t,xt son números reales posi t ivos, entonces: Logyr, < LogyXx •*-* x, < x 2 (La función es estrictamente creciente) (i) Toda línea paralela al eje X corta a la curva en uno y solo un punto. (5) Toda gráfica de una función logarítmica de la forma y=logbx, pasa por (La función logarítmica es inyectiva) el punto (1,0). EJEMPLO 1. Sea f :R » <2, +~> definida por f(x)=exp2 (x+l)+2. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) f* es estrictamente creciente b) x=2 es una asíntota de la gráfica de f*. c) Dam(f*)=<2,+~> d) y=2 es una asíntota de la gráfica de f. Solución. Analicemos cada una de las afirmaciones dadas: a) f(x)-2 = exp2 (x+l) = 2pCi’1 Cambiando de variables se tiene: x-2 = 2?+1 * Log2 (x-2) = y+1 de donde: f*(x)--l+Log2 (x-2) 1 ___ Sean x lPx tcDom(f*) = <2,+-> Si f*(x,) > f*(xt) -» -l+lj>g1(xl-2) > -l+Logt(xl-2) * Logt(xx-2) > Log1(xí-2) Siendo tas bases iguales * x¡-2 > x,-2 + x, > x, f* es estrictamente creciente en todo su dominio. Luego, ¡a afirmación es verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual 470 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas b) Si x=2 * f*(2)=-l+Log2(0)=entonces x=2 es una asíntota vertical de la gráfica de f*. La afirmación es verdadera. c) Por definición f:R ■* <2,+~>, entonces, f*:<2,+m> * R Esto es, Dom(f)=<2,+~>. La afirmación es verdadera. d) f(x)=2+2Íx+^-2( 1+2^). Cuando x tiende a entonces, 2 tiende a 0, lúe go, y=2(l+0)=2 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. La afirmación es verdadera. EJEMPLO 2. Si f(x)=Log4[Log1^í^°9jx:l1■ hallar el dominio de f. Solución. La función es real Loc^ ^(Log^.) > 0* Dado que ('■j>e<0,J>, se cumple (1) (Log3x > 0) ~ (Log^x < 1/2) -* EJEMPLO 3. (x > 1) ~ (x < /3) - *-* — (1) 0 < Log^c < 1/2 (x > 3’) ~ (x < 3112) Dom(f) = <l,/3> Mostrar que la gráfica de la función y=Loga (x+Sx1+l) es simé trica respecto al origen. Hallar la función inversa. Solución. Una función es simétrica respecto al origen cuando es impar, es to es: i) Si xcDom(f) * -xcDom(f) ii) f(x) = -f(-x), ¥xcDom(f) ,r / J I.i. r (/xl+l-x)(/xl+l+x) , (X l+1)-X2 En efecto, f(-x)=Log (-x+'x +1) = Loo ------- — — = Loa — --Q Q /~x * u / j , OC +1+X Sx +1+X -» f(-x) = Loga(x+-/x T+l) 1 = -Loga (x+/xl+l) = -f(x) Luego, f(x) = -f(-x) Para hallar la función inversa de f intercambiamos las variables: x = Loga(y+Syl+l) - y+ty+l - ax - /y*+l - ax -y ■y» Elevando al cuadrado obtenemos: 2a y = a EJEMPLO 4. Solución. 1 9v -1 *v» Hallar el dominio de la función inversa de y = 2y Intercambiando variables: x = -----1 + 2y De donde, tomando logaritmos de base 2, se tiene: La función es real *-*■ > 0 < 0 —y -* f*(x) = j(a -a -* 2X v x 2J = -.— J_JC y = Loggl-j^) Dom(f*) = <0,t> Sólo fines educativos LibrosVirtual ) 471 Ejercicios: Grupo 43 EJEMPLO 5. Dada la función f definida por: Log2(x-l) , si 3 4 x 4 9 f(x) = - , si 1 4 x < 3 -l+SxíZ-x) a) Hallar, si , si O 4 x < 1 existe, f*(x). b) Graficar f(x) y f*(x) en el mismo sistema de coordenadas. Solución. (1) Sean: f¡ (x)=Log2(x-l), xc [3, s] ; f» (x)= ^(x-l)*, xc [i,3> >' f,(x) = -lr/l-jx-l)1, xc[o,l> (2) Siendo estas funciones univalentes y crecientes en su intervalo de defi níción (verificar), entonces: R antfO = [ft(3),fi(9)} = (1,3) = Dam(ft) Ran(fz) = [ft(l),fi(3)> = [0,1> = Dcm(fí) ; Ran(f3)=[-1,0> (Verificar) (3) Como Ran(f i) f\Ran(fi)\)Ran(f í)f\ Ran(f í ) ü Ran(fi){\Ran(f *) = $ - af*(x) (4) Determinación de las funciones inversas (Intercambiando variables). En /■,: x=Log2(y-l) «-* y-l=2x * fííx>=I+rC , xe[l,3) En f3: x = ^(y-1)1 * ^ 9 1 y-l=2¿x - fl(x)=l+2/x , xe(0,l> ¡\ En fx=-l*/l-(yr-l)í + (y-1 )2=l-(x+lJ2 ¡ / / / y=x - fí(x)sl-/l-(x+l)2, xe[-l,0> ' 1+2x f*(x) = 1+2/x , xc(l,3¡ ' , xe(0,l> En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l &, t r a z a r l a g r á f i c a p a r a c a d a una de l a s f u n c io nes dadas. 1 . f = i(x,y) |y=Eog.,/2 (x)} 4. f = |( x ,y ) |y = L o g 2 ( l / x ) } 2. f - i(x,y)|y=Log3 (x)l 5- f = { { x ,y )|y = L o g 2 | x - l | J 3. i = { (x ,y )|y = L o g 2 [[ x ] ] } 6. f = l( x ,y )|y = L o g ( x + 6 )+ 1 J Sólo fines educativos LibrosVirtual 472 Capitulo 6: F unciones E xponenciales v Logarítm icas 7- f = <{x,y)|y=|Log2x|l 9- 8 . f = <(x,y)|y=|Log2 |x¡|) Una función f viene dada por la ecuación y*-1+Log2 (x-1)=0. Hallar el do minio de la función dada y escribir la función inversa. 10. Hallar el dominio de las funciones que se indican: a) y=Log[1-Log(x*-5x+16 )] d) y=Log(i-Z|íí?) b) y = L o g ( ^ + /5^) e) yX g ( ^ ) c) y=Log(-|2í) 11. Sea ia,b,c,d,x}c-R+-tl}. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si x>1 y b<1 b) + Lo6bx > 0 (L og^b) (L og^c) (Log^d) °) Logb (x) = - L o g ^ C x ) = L o g &d 12. Sean a,beR+-íl}, x ,x, ,x2e<0 ,+“’> . Establecer el valor de verdad de cada afirmación: a) Si x, < xt - L°gb (xi) < Logb(xi) b) La gráfica de y=Logb (x) corta al eje X en x=1. c) Si ceR, entonces la gráfica de y=Logbx corta a la recta y=c en un pinto y sólo en uno. d) La gráfica de y=Logbx pasa por el punto (a,Log^b). 13. Establecer el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones a) a,bcH+ y ceR+-{l}. Si a 0, b¿1, es inyectiva. c) b>0 , Logbx < L o g ^ -*■ x < y 14. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) Las gráficas de las funciones f(x)=Logbx y g(x)=Log^b(x), b>0, b/1, son simétricas respecto del eje X. b) Si bi > bt > 1, entonces Logjj x ^ Lo8 b x > 1fxeR+ c) La ecuación Logbx = bx tiene solución solamente si 0 . b) Si a,,at , a*eR -{1}, la ecuación: Log a,.Log. a..Log. a. a, aj a, ’ Log. a .Log x = 1/2, tiene como conan -1 n> ^“n Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales 473 junto solución la 1 n c) Si f:<1,+”> ■* R está definida por f(x)=Log?(x+1)-Log?(x-1), entonces f*:R * <1,+”> está definida por f*(x)=jíí*+1 17. / 22+Log75 + 5 Log, 1 4 ----- i-- ó--,Log72 Sean f y g funciones reales de variable real, definida por: , si - 7 í x < -2 ,f(x) = ■{ [ [£x/2 JJ+x1, si 0 ,< x < 2 f/|x|+1 f 2X~ I x í , si 2<x<5/2 ; g(x) =J --lhn/x*+2, s i 7 / 2 C x v < 4 Hallar, si existe, la función gof(x) y su dominio. 2x[[x+3 ]] , si xe<-2 ,0> 18. Sea la función: g(x) = -3/5Lnx , si xe<e x +1 , si xe<1 ,+=> a) Determinar si g es inyectiva. b) Si A=[-4,+»>-14), determinar la función h:A * R tal que (goh)(x)=x, VxeR. 19. Sean f y g funciones definidas en R por: f 3x+2 f(x) H 3m [ f l *5 Hallar: Q | , si i < 1 n Si x > 1 f Logv(-^r) ; g(x) = 1 n [ [Ex H 2- 2 x+ 2 , si x i-3 , si x < 3 (fog)(x). ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones exponenciales son aquelas que tienen la incógnita en en el exponente. Para resolver las ecuaciones exponenciales existen dos métodos fundamenta les: . E S I METODO DE REDUCCION A UNA BASE COMUN_________ | | Este método se basa en la apiicación de la propiedad: Si b>0 y bfl EJEMPLO 1. Solución. Resolver: ~ bx = b* ~~ x=y 3X+1 + S ^ 2 - 3?~3 + 3*~4 = 750 Haciendo uso de las leyes de los exponentes, se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 474 ^■3 --¡j + p r = 750 - 3X = 35 •— = 750 - EJEMPLO 2. ■* ^ <3 + i + é + Resolver: 32x+S = 28(3X+1 - 2) = 55 Haciendo: 3x=m (m>0) Para: m = -*■ 3X = 3 ^ m = gj EJEMPLO 3. Solución. - 243(32 x )-84f3x )+i = 0 -► 243mx-84m+l=0 m-1/3 o m=l/81 «-* x = -1 3* = 3-4 «- x = -4 2.32x+1 - 13.6* + 6.22x = 0 Resolver: 2.32x.3 - I3C3X .2X ) + 6f22x; = 0 -» 6(32x)-13(3e.Zs)+6(22x) = 0 Sean: 3X=m y 2X=n Factorizando: Luego: x=S 32x .35 - 28C3x .3-2> = 55 - Solución. = 750 (m>0 y n>0) (3m-2n)(2m-3n)=0 « 3? = ^|f2x ; - f|)x = s*.f2*, . rj>x = f ~ ■+ 6ml-13mn+6nl=0 m = 2n/3 o ~ m = 3n/2 *="■* CS = {-1,1} EJEMPLO 4. Solución. Resolver el sistema: « =i 21+x + 22+2y = 24 En la primera ecuación: 2.2x+4.22y=16 ; 2? - 22y = 2 ■* 2x+2(22y)=8 (1 ) Restando la segunda ecuación dada de (1), se tiene: 3.22y = 6 - 22y Sustituyendo en (1): 2X +2(2)=8 = 2 2X = 22 — 2y=l- y=l/2 «->• x=2 .*. C.S = {(2,1/2)} EJEMPLO 5. Resolver el sistema, si ncZ , x>0 , y>0 n y Solución. _y-Jí = ar ... (1) Multiplicando (1) y (2): n , \n / x (xy) =(xyy -* Caso 1. ;x (y) \~n = y (x*y)n -* 2n y-x-n = (xy)y X (y) n , ,n, ,n . ,y-x (xy) (xy) =(xy)J /_ \2n , ,y-x (ay) = (xyy Si xy/1 — 2n=y-x — y=x+2n Sólo fines educativos LibrosVirtual ,„, (2) Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales En (1): (x+2n)n=x2n * 475 x+2n=xi * xz-x-2n=0 * x = jj(l+/T+8n) •* y = 2n + í(l+ZI+8ñ) Caso 2. Si xy=l * y=x -l , -I_ En (i): (x = xX , X «■ -n=x * -x •» x*-nx-l=0 ■» x = -j(n+/nz+4) y = =j(/nz+4- n) n+/nz+4 EJEMPLO 6. Resolver el sistema en R: (3x+y)X~y = 9 324 (x~y > 2 1 =18xz+12xy+2yz 4 Solución. En (2): (2ZX3')x~y=2(3x+y)1 *(2Tc~y )(3x~y )=2(3x+y)1 2 2 De (1): 3x+y = 3*~y 2 de donde: 2? y = 2 +-+ ; = 1 (x-y=2 ** 3x+y=3) (2) (3) 4 en (3): (ZKry)(3X~y) = 2 ( f y ) Sustituyendo (4) en (1): (3x+y)z=9 Luego: 4 (1) * x-y = 2 3x+y=3 o (4) 3x+y=-3 x-5/4 , y=-3/4 (x-y=2 * 3x+y=-3) x=-l/4 , y=-9/4 ;. C.S = 1(5/4,-3/4),(-1/4,-9/4)} 2 3 METODO DE LOGARITMACION EN AMBOS LADOS DE UNA ECUACION ü c_or EJEMPLO 7. Solución. Dado Log2=0.3010, resolver la ecuación: 5 ~+2 = 2r Aplicamos logari tmos en ambos lados de la ecuación y obtenemos: (5-3x)Log5 = (x+2)Log2 ■+ (5-3x)Log(^j) = (x+2)Log2 * (5-3x)(LoglO-Log2) = (x+2)Log2 - (5-3x)(l-Log2) = (x+2)Log2 . . w S-7Log2 de donde: x = — = 3-2Log2 EJEMPLO 8. 5-7(0.3010) 2,893 . - = — ---- = 1 ■206 3-2(0.3010) 2.348 Resolver: (a*-2azbz+b')X~J = (a-b)2x(a+b)~2 ,, * u*v*,x-i (a-b)2x (a2-bí/)2x _ (a-b)2x [(a-b ) ) - ------- — ----= (a+b) (a'-b1)* (a+b)1 Solución, - (a+b)2x(a-b)2x _ (a-b)2x (a+b) *(a-b)- - l ^ b F - Aplicando logaritmos: , ..x _ h <a+b) = a-b xhog(a+b) = Log(a-b) — Sólo fines educativos LibrosVirtual x = Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 476 EJEMPLO «* S o lu c ió n . 9. Resolver: e3x-3e2x+4eX -4=0 T Haciendo: e =m , (m>0), se tiene: m >-3ml+4m~4=0 * (m-2)(m%-m+2)=0 ++ m-2=0 o m 1-m+2=0 Unica solución real: m=2 , luego, si: ex=2, aplicando logaritmos en ambos lados de la ecuación, se tiene: xLne=Ln2 (Pero: Lne=l) .'. x - Ln2 EJERCICIOS: Grupo 44 Resolver las siguientes ecuaciones sin emplear logaritmos: (2 /Í2 +3^V 6/T73 )2/5 = ¿ 2xl' 2x~2 7. 3 (2X+3) = 132(3X“3) 2 . 3X+2 + 9X+1 = 8 1 0 8. 2 2x+6 + 1 = 8 (2 X+1) 3- x ^ - U ^ x ^ + x » = 0 9 . a2x (a‘+1 ) = (a3 x+ax )a 1. 4. (3X_1 + 3X+2 )(5X+2 + 5X"1) = 3528 10. (35 "x )(52x_¿*) = 1511_3x 5. 64(2x_5)x - 729(3X) X“ 5 = 0 11. 4 i +1/2.32x = 4x -1/2_32x -1 ¿ 6. ,x+1 _x-2 3+ 3 15 247 3 x- 1 - ^ x x 1 2 . (x3 ) 3 = (-8 -1 ‘l/SZsñT’ ) Resolver las siguientes ecuaciones haciendo uso de logaritmos: 13. 3X+1 + 18(3"X) = 29 17. 3(10X-10-X) = 10X+10-X 14. 105-3x = 27-2x 18. 3e3x-7e2x-19eX-5+4e_X = 0 15. 42*-1 = 5X+2 19. f ? + •¿T* = 16 . (a3-1 ) ^ 5*) = (ax+5 )(b3x) 21. 2 0 . 33 -1 - 2 5x = 3X+5 - 2 3x Si Log2=k y Log3=h, resolver los sistemas de ecuaciones: a) 2,*+y = 6y 3X - 3.2y+1 1 -x-y _ 4-y b) 3' . 2 2 x-1 _ 33 y-x Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 22. J^t+y = 2 ; 23. xX = y7 (x+y)3y = 216 ; x7 « 2x 24. xy - yx „ 25- x x+y = y Sólo fines educativos LibrosVirtual 3 2 x = y x-y 2 A ; x y =1 477 Sección 6.5: Ecuaciones Logarítmicas 26. V 3 ÍÍ7 = 2 27- ¡ ( x + y ) . 3 X = 2 7 9936 = 2/J ; (x+y)•2y_x = 3 , O < y < x 28. xx+y = yn ; yx+y = x^n .yn , y>0 , ncZ+ (dado) 29. (x+y)x+y = 8-(x+y)X 30. uv+Au-u1 x' - y ; (x+y)X-y = 8-l6(x+y)y_x , x,y enteros (>0) (1+u)(2u-8) = 8 2 1 +2 x 2UV = 125(5) xy1 = 1 + g 2 + 4 y _ 4 z = 15 g3+Ay _ 41+z _ 24 } x + y1 = 3 * ECUACIONES LOGARITMICAS L a ecuación con !a incógnita bajo el signo de logaritmo se llama ecua c ion logarítmica. En general, una ecuación logarítmica se resuelve teniendo en cuenta las condiciones iniciales que debe cumplir l a variable, esto es, la determinación del universo de la variable dentro del cual se resuelve la ecuación aplicando las propiedades descritas en la sección 6.2.1. Si l a ecuación logarítmica tiene la forma: Logbf(x) = L e l universo de la ecuación se determina del modo siguiente: a) Primera Condición: Base positiva y diferente de uno. (b > 0 b) Segunda Condición: Número positivo Universo de la ecuación: bfl) (f(x) > 0) U - (b>0 ~ bfl) (f(x) > 0) Los ejemplos que siguen ilustran algunas de las técnicas que pueden emplear, EJEMPLO 1. Solución, Resolver: 2Log(Logx) = Log(7-2Logx)-LogS a) Aqui, la primera condición está dada: b=10 b) Logx > 0 ■* x > 1 0 * ■* x > 1 U=<l,+°> Según las propiedades L.2 y L.3: Log(Logx)2 = Log ( 7 2^ >3X ) Como la función logaritmo es inyectiva De donde: 5Log1x+2Logx-7=0 * * ( L o g x )2 = ^ 2^ >3X (HLogx+7)(Logx-1 )=Q «-► Logx--?/5 o Logx=l Vemos que la primera alternativa no cimple la segunda condición inicial. Luego, si Logx=l ■» x=10sU C.S = 110} Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas 478 EJEMPLO 2. Resolver: Solución. Logx (12)-3bogx t(4)+Logx (6) = 4 Condiciones iniciales: (x > 0) ~ (x/1) — U=<0,+«>-{1} 7 1/2 Luego: Logx 12 - j C o g ^ + Logx 6 = 4 -* Logx12-Logx4 +Logx6 = 4 -* = 4 •* Logx9 = 4 ** 9=x* -* x 2-3 •*-* x - ¿3 o x =-/J Dado que x=-/3íU •* C.S = {¿3\ EJEMPLO 3. Solución. Resolver: 3Log¿x - = 6Logx2 Condiciones iniciales: (x > 0) * (x¿l) -* U=<0,+°>>-{l} £ Luego, según L.8: «-* Log^x: = 2 o 3Log^s - Log¿x = Log^x - -2 ■*-* x = Antxis raíces pertenecen al universo -* EJEMPLO 4. x = 2'* = 1/4 C.S = {1/4,4} ; x>0 , x/1) Sea: Logg(l/27) = y *-* En la ecuación dada: de donde: o Resolver: Logaz(x‘) - Logx (a) = Logg(1/27} (a>0 , a/1 Solución. 21 - 4 -» (Log^c)2 = 4 * = ^ 1 -^.og^x 2(Logax) 2+3Logax~2 = 0 - * 3- 3 = 1 3 ? ~ 32y — y = -3/2 ^ . 6 y L.8) +-► Loggx =1/2 o Loggx = -2 ** x = a112 ó x = a" 2 C.S = ^ , 2 / a ‘l EJEMPLO 5. Solución. Resolver: 8 + Log3(4l°9 **) = Log3(36L°9 **) Según L.2: 8 + ( L o g ( L o g ^4) = (Logjx)(Log336) •* 8+CLog^) (Log34)= (Log^xXLog^ + Log34) = (Logjx)(2+lAg34) - 8+(Log¿x)(Log34) = 2Log^c +(Log^t:)(Log34) Simplificando se tiene: Log^x = 4 EJEMPLO 6. *•* x=3’ = 81 -* C.S = {81} Resolver: Logx (3).Log81/x(3) = -Logx _3(x) Solución. Universo de la ecuación:U =<!,+<»> (dato) Según las propiedades L.9 y L.6, se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual ; x> 1 Sección 6.5: Ecuaciones Logarítmicas 479 , ( , í°pl.(3) ) = . lfjna (rt Vi - log¡.,x / -3 ax ' ax De donde: (Log^x)2-4Log^x+3 = O . i ( d/4)Log33 \ Log,x ( j l-(l/4)Loggx Log^ = 3 o 1 3 Log^x-l +-* x=3J o x=3‘ C.S = 13,27) EJEMPLO 7. Solución. Resolver: Condiciones iniciales: (x > 0) ~ (xjl) De donde: 6(Logx2)2-5LogJ+l - 0 *-’• Logzx=3 EJEMPLO 8. Solución. o LogiX=2 Resolver: x=2 3 x=2 2 ■» + m2 = 1 » = 3 *""* x = 8' = 1 m=l ■* LOffgX = 1 <-* x = 8 * = 8 m=-2 -*• LofiTgX = -2 Resolver: EJEMPLO 10. Solución. «-» m=0 ó m=l .'. C.S = (1,8,1/64) x=8~2 = 1/64 Log2(100x) + Logl(10x) + Logx = 14 (LoglOO + Logx)2 + (LoglO + Logx)1 + Logx = 14 12+Logx)2 + (1+Logx)2 + Logx = 1 4 *-» U = <0, +<=>-(J/8 ) = 1 m 2-nn2-2m - 0 * Por L.l: * 1______ l°9ge 2 1+Loggx l+Log^x * 03 8* ~ m=G EJEMPLO 9. •» C.S = (4,8) LogSx(8) - Log^fx) + Log2(x) = 1 1 . z _ l+Logx8 + 03 8* Sea Log^c = m Solución. o (L.8) Loo. (-) + Log2(x) = 1 OX JC O L o g j s x ) - L ^ j s T ) + L° 3 I M 1 1+LoggX Para: ♦— -*■ Log^x-5Log¿x+6=0 Condiciones iniciales: (x > 0) ~ (8xjl) Según L.3: y P °r L - 8: -*• U=<0, +»>-)J) log^ r Log^2 log 2 ^ \ log ,22 log 2 ( — — ^ )= J x V 1-Log 16 J 1-Log ~64 Según L.9: a * Logx (2).Logx/ig(2) = Logx/g4(2) Logx=¡ ó Logx=-9/2 *-► x=10 2 (log 81-Log~x) Resolver: (f) x a ■» 2Log2x+7Logx-9=0 o x=10 2 S (Log,x -i) „ (Log 3"-Logjx ) , -2(Log_x - J) (-p = f-j) Sólo fines educativos LibrosVirtual ^ 2 ó m=-2 480 Capitulo 6: Ecuaciones Logarítmicas *-» 4Logx3 - Log^x = -2Log^c + 5 de donde: Log*x - 5Logjx + 4 = 0 EJEMPLO 11. + LoSg* ~ 5 *— Logjx=l *+ x=3 Resolver el sistema: En la primera ecuación: Log^c=4 x=3'=81 - C.S = {3, Si) 2 ^ ^ yTy ^ Solución. o o 2 = 512 ; Log/xy = l+Log2 9 y = 2 ■*-* Sx + Jy = 9 Elevando al cuadrado se tiene: (x+y)+2¿xy = 81 En la segunda ecuación: LogJxy = LoglO + Log2 = Log20 Sustituyendo (2) en (1): x+y+40=81 + (1) *xy = 400 x+y=41 (2) (3) De (2) y (3) formamos la ecuación cuadrática: m 2~41m+400-0 cuyas raíces: m=16 o m=25 , corresponden a los valores de x e y, esto es: C.S = 1(16,25).(25,16)} EJEMPLO 12. Resolver el sistema: y.x ' (Log x) r ,o y = x (1) (Log4y)(Logy (y-3x)] = i (2) Solución. Condiciones iniciales: y>0 , yfl , x>0 En (2): En de Logy(y-3x) = L(^ ^ y = Logy4 *+ y~2x=4 (3) (1), aplicamos logaritmos de base x: Logx (y .x^°^yX ) = Log^x5^ Log¿y t Logyx.Logxx = |l ogxx donde: 2(Log3y) l-5Log^/ + 2 = 0 Log^y + *-+ Log^y = +-+ y=xx Si y=x*, en (3): x*-3x-4=0 x=yl, en (3): y-3yt=4 Unica solución real: x=4 EJEMPLO 13. +-+ x=4 =-| o 2 o o Log^y = -j y=/x + x=y 1 x=-l<0 ■+ 3yz-y+4=0 , no tiene raíces reales. •+ y=(4)2=16 .'. C.S = i(4,16)} Dado el sistema en R: Log^x-Log^xy = > a) Plantear un sistema equivalente sin expresiones logarítmicas. b) Determinar el máximo valor de k para el cual el conjunto solución es no vacío y los correspondientes valores de x e y. Solución. Condiciones iniciales: IoO, kfl , x>0 , xfl £h la primera ecuación: (Logx2)(Logfx)(Log^xy) = 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 45 481 Aplicando sucesivamente la propiedad L .11 (cambio de base), se tiene: Logk2.Log¿cy = 1 En (1) lasegunda Log^cy = 1 -* xy=k (1) ecuación dada, por L .11: Log^(x+y)=3Log^2+-*■ x+y=8 (2) y (2) es el sistema buscado, del cual formamos la ecuación cuadrática: m*-8m+k=0, cuyas raíces serán reales Entonces: (-8)z-4(l)(k) >, O «- +-+ A >, O, esto es: bz-4ac ^ O k -S 16 - íce [0,16]-<1} Luego, el máximo valor de k es k=16, para el cual las raíces son iguales: x = y = 4 EJEMPLO 14. Resolver el sistema: . Log.z Log„(x+y+z) - 3(-) o Log12z Log2 (z(x+y)] = (2) x-2y = 2y (z~2)(z~6) Solución. (1) LiOQ (3 ) En (1): Log3(x+y+z) = 3(Log3z)(Log^2) = 3Log32 = Lcg323 ■*-* x+y+z = 8 (4) En (2): (Log^2z)(Log^2) [Log2z(x+y)] = 1 . Aplicando L .11, se tiene: (Log122)[Log2z(x+y)] = 1 De (4) y (5): * z(8-z) = 12 Log1¿z(x+y) =1 *-► zz-8z+12=0 «- z(x+y) = 12 *■* z=2 o (5) z=6 (x+y=6) o (x+y=2) En (3): (x-2y) = 2y Luego, para z=2 z=6 - x-2y = 2 -* (x+y=6) ~ (x-2y=2) +-+ x=14/3 , y=4/3 * ++■ x=2 , y=0 (x+y=2) ~ (x-2y=2) Dado que en (3), y/O, entonces: C.S = 1(14/3,4/3,2)1 EJERCICIOS: Grupo 45 R e s o lv e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c io n e s l o g a r í t m i c a s : 1 . Logg (x 5+8 )-Logg(x+2)=Logg7 6 . Logx/f+L°gx5x- 2.25 = (Logx/5) 1 2 . Logx15+2Logx 250-Logx6 = 3 7- 3. Logl6X+L°s4X+L°s2x = 7 8 . Log^x + 2Logxa = 3» 4. LogAx+4+Log/2x+3 = 1+Log1.5 5. Log2 (9X"1 +7) = 2+Log2 (3X" 1 +l)' 9. Logx (/2). L°gx ^32 (/2) = Logx _,(/>) acR+-f1} Log(8 )Logx- Log(2 )Logx= Logxx x¡¿1 1 0 . Log^x + Log4 (x-1) = LogA (Log4 /5 8 ) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 6: Ecuaciones Logarítmicas 482 11. 1 6 . Log128 = Log23x Logx3 -Logx/9(3) = Log81x(3) 2 x+1-Log12+Log5 12 . (0 .4)1+ (L°gx)2= (6.25)2‘Logx> 17. 4Log2/ax = Logax , a>0 13. (Log2 x4)(Log^x) + 0.5 = LoSx2 18. 2Log(^c + 25 + 14. x + Log(l+2X ) = xLog5 + Log6 19. Logx (2xX_2 -l) = 2x-4 , x¡¿1 15- Log/7x+5 + ^Log(2x+7)=1+Log4.5 20. (3/5)L°gx(x2+2) = 2Log3/27 21. Dado aeR+- ( 1 ) , h a l l a r e l c o n ju n to s o l u c ió n d e : = LoS3-Log2 Log ( a / x ) . L o g 2x >= ( l - L o g 2x )L og (a x ) a a a a 22. D e s p e ja r x d e : L og(2X- l ) + L og(2X "*-1) = 1-Log2 23. H a l la r e l m enor núm ero p o s i t i v o x t a l q u e : -|L o g (C sc x + 7 )-L o g (1 .2 ) = 1 - -|L o g (l4 + C sc x ) 24. R e s o lv e r : L o g |x |( 2 ) . L° g | x | (2 ) = L°g[x |(2 ) 16 64 25. R e s o lv e r : 31+L°S C otSx . j^ L o g T a n x + 8 = 0 26. R e s o lv e r: LoS 1 / 2 ^ í¿ ^ + 2Lo8 -j(x -3 )-L o g ^ (x + 2 ) = Log 2 (x+ 2) +Log 2 ( x -3 ) 2 7. R e s o lv e r : / L° g a ‘ / a x + Logx * /a x + / L° e a v/ f 28. R e s o lv e r: L°g^|X |V I)\= -1 Log2x . L o g ^/ — 29. R e s o lv e r p a r a xeR: ■ + Log. = a , a >0 Log^ / 2 ^T fb+2Log 3 ^x ~-5) ' Log3 ( x+ 2 ) = Log 2 (x+ 2 ) + + Log 2 ( x - 3 ) R e s o lv e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c io n e s : 30. 3x+y= y 31. Log 2x y -L o g 2(^ )=8 ; 32. x l - y 2=10 ; ( x - y ) L° g (x + y )=10 3 33- Log0 _5 (y -x )+ L o g 2 ( l ) = - 2 3 4. y+Logx= |a r c S e n 1 ; xy =2Log0 .5 10 39- — gy- 4 0. R e s o lv e r: ; Log9 = 2L o g (x -y ) 3 5 . 2x*+y=75 ; Logx*-Logy=2Log2+Log3 2L° gX=4Logy 36 . L o g (x 2+y 2 )-1= L g13; L o g (^ Í|)= 3 L o g 2 3 7 . x Lny=e ~3 ; ; x 2+y2=25 * 3 8 . Lnx+3Lny=5 ; 2Lnx-Lny=3 L° s xy syx ^ + “/ y 2^ = 34 ¡ Ln2x + Ln2y =10 =^ 1 -X¿ +y¿ =-§■ x -y 3 0.4(L ogx+ L ogy) = 2+Log2.25 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 6.6: Inecuaciones Exponenciales 41. Dados: a¡¿l/2, b^3 ; resolver (2a) 42. Log2a _ Log(b/3) (^)Log(b/3) _ xLog2a Hallar los valores de x e y tales que: Log1 (xy) - Logl(^) = 32 43. 483 Logx _ ,Logy Sean f(x)=Log^x^(î^) y g(x-l)=x-3 , 0<x<5- Resolver: (fog)(x) = -1. * INECUACIONES EXPONENCIALES La resolución de inecuaciones exponenciales se basa fundamentalmente en la api icación de los incisos (b) y (c) del Teorema 6.1. En efecto, consi deremos las gráficas de las funciones exponenciales: f:R - R+ = Ux,y)|/'(*)=&*, b>l) g:R - R+ = f(x,y)\g(x)=bX , 0<b<l) En la gráfica de f se observa que: x, < x z -*• f(xx) < f(x2) f es creciente VxeDom(f) y en la gráfica de g: x, < xz ■» g(xx) > g(x1) g es decreciente VxeDom(g) En fonma similar, si tenemos inecuaciones exponenciales de la forma: bP<x) > bQ(x> o bP(x> < bQ(x) donde P(x) y Q(x) son funciones de x, entonces podemos considerar los casos siguientes: Caso 1. Si b>l, entonces: bP(x) > bQ(x) bP(x) < bQ(x) p(x) > Q(x) ^ p(x) < Q(x) Sólo fines educativos LibrosVirtual 484 Caso 2. Capitulo 6: Inecuaciones Exponenciales Si O > bQ(x) bP(x) < EJEMPLO 1. Solución. Resolver: «- b®(x) P(x) < Q(x) *•+ P(x) > Q(x) x+} / i ? * 3 < X ~[/322x+5 x+3 La inecuación es equivalente a: 3x+9 2x+5 (2 ’)x+X < (2i) x X 10x+25 ++ < 2~^=T ~ „ Inecuación equivalente: (Caso 1: b=2>l) 7xl+29x+34 y (x+l)(x-1) q (7x*+29x+34)(x+l)(x-l) > O Para el primer factor: ^-(29)-4(7)(34) = -111<0 Luego, (1) se cumple si: (x+l)(x-l) > O (1) ■+ 7x*+29x+34>0, VxeR *■* ,x>l v x<-l C.S = <-»,-í>u <Z,+-> EJEMPLO 2. Resolver: X+l / (j^)*'3 < x+^ / (L)2x~2 2x-6 Solución. Se tiene: 2x-2 - (j) x+3 « (j) x+2 2x-6 . 2x-2 ** x+3 ' x+2 Inecuación equivalente: ** (Caso 2: O < j < 1) x+l , „ (x+3)(x+2) * U (x+l) (x+2)(x+3) ¿ O , xf-3 , x¡t-2 (a) Por el método de los valores críticos se determina que la solución de (a) es: C.S = {x|jc<-3 v ~2<x<-l} = <-», -3> U <-2, -l] EJEMPLO 3. Si A es el X~2J conjunto solución de la inecuación ( O . O O s f 1 >, X l / (0,04)XfS y B es el conjunto solución de: — x l-9x+20 3(x-1) Solución. En A: ~ (Verificar) (0.2) x ~2 » (0.2) 3x-3 2x+6 „ „ !¿=I ' ~ i " 0 Inecuación equivalente: 0 ' ha,,ar (B-A)' 2 (x+3) x~X — ^ (Caso 2) . (x-3)(x-5) „ „ (x-2) (x-i) < 0 (x-3)(x-5)(x-2)(x-l) -$ O , xjl, x?2 Por el método de los valores críticos se determina que: A = <l,2>tí ¡3,5] Sólo fines educativos LibrosVirtual (Verificar) Sección 6.6: Inecuaciones Exponenciales c n .• En B se tiene: 485 (x-1)1(x-2} n (x.4)(x.5) » O Inecuación equivalente: (x-2) (x-4) (x-5) >, O , x=l , x/4 , x/5 Por el método de los valores críticos se determina que:' B= {i } U [2,4> u <5, +~> (Verificar) A ,B 1 2 i 3 Luego: B-A = [2,3> u<5,+“> ull( EJEMPLO 4. %//////////// / A l 5 -*■ (B-A) ’ = <-»,2> u [3,5]-U 1 Dado los conjuntos A = í x c R f ' ^ / í ^ ) ^ ) 2 ^ x+^/(9)(j¡)x l y B=lxeR|/xz-2x > x+4); hallar: P={xeR|xeA _________ Solución. En A: X~ Y 3*.3* ++ _íí| ^ 2^2x x-3 x+3 ^ 4 Xfl / ( 3 2)(3~2)X xeBh x+2 2-2x 3X" 3 « -*■ 3pc*-x+jj 4 o (x+3)(x-3) 3 x+3 (Caso 2: b=3>l) Inecuación equivalente: (xz-x+4)(x+3)(x-3) 4 O , xf-3 , x/3 En el primer factor: &=(-l)2-4(l)(4)=-15 < O Luego, (1) se cumple si: (x+3)(x-3) < O (1) + x 2-x+4 > O, VxcR *■* -3 < x < 3 ■» A=<-3,3> En B: /a:2-2x > x+4 - (x2-2x >sO) ~ [x+4<0 v (x+420 ~ x 2-2x > (x+4)2)] * x(x-2)20 « (x<-4 v (xi-4 ~ x<-8/5)] + (x40 v x^2) -v [x<-4 v (-4 4 x < -8/5)] (T.45H) - Í(x40 v x>2) ~ (x<-4)] v [(x40 v x>2) ~ (-4 4 x < -8/5)] - [(x<-4)] Según la v [(-4 4 x < -8/5)] = -4> U £-4, -8/5> equivalencia lógica: p ++ q = (p ~ q) v - B=<-“,-8/5> ~ ^q) ,se tiene: A «- B = (AñB)u (A'(\ B') = (A flB) U (AUB) ' A O B = <-3,3>n -8/5> = <-3,-8/5> A U B = <-3,3> U <-•>, -8/5> = 3> - (AuB,)' = [3,+“> P = lxeR|xeA ** xeB} = <-3,-8/5> u[3,+“> EJEMPLO S. Si a, b e R +-{ 1} |a< b, resolver: Solución. Según las condiciones dadas, a ^ ~ 1 < bx ~ 1 construyamos solo plano las gráficas de las funciones y=ax , y=bx . Consideremos los siguientes casos: 0 O - O< a < 1 bx O< a bx ax < bx ii) x > O - ax < bx Obsérvese que en los tres casos considerados, en los X X dad a bx ii) x > O - ax < bx que a<b, la desigual- se cumple cuando x>0; entonces, si: ax < bx "J - x 1-J > O - x1 > 1 -*■ v (x>l) xe<-®»f-1> U <1,+“> EJERCICIOS: G rupo 46 R e s o lv e r l a s s i g u i e n t e s i n e c u a c io n e s : 1. x +1/ ( ° - ° 1 ) X‘ 2 í X- 2/ ( 0 . 0 0 8 ) X- 1 >. X- y ( 0 . 0 4 ) x+3 5 x -5 /^ 4 ^ x + 1 /p í (2 2x' ^ ) ( 2 4~x ) 3. X+V ( 0 . 0 4 ) 2x-1 > 7. Dados los conjuntos A=(xeR|/x2-x-2 > x-1) y B=)xeR|25X_^ ^ :3y/|,(0.2)X+^} 8. x + y 22x+3 6. 2 Hallar: A < x+3/ ( 0.1 )2X' 3 2 j 2 x -1 g (_ 2 _ ) X(J_)4x1+1 < ( l ) x+2( _ L l x2r3x B' Dados l o s c o n ju n to s A=)xeR| xa— “ 5 .g 0 , B = {xeR |xi'- 8 1 0} , C=(xeR| 27X-2 x x+2 >, 81 l ; h a l l a r ( A n C ) n B 9. Dados l o s c o n ju n to s : A = { x eR |/x -5 e [ - 2 ,4 > ) , B={xeR| (0 .1 )X-^ •$ 10x+^} c= ( x e R |^ > ¿ z |) . h a l l a r (A-B) U (B n.C ). 10. Sean l o s c o n ju n to s : M =)xeR|x+^ / s i x+^ > x 2* / 9 2x ^} y N=(xeR|''2x+5 > x+1) , h a l l a r e l c o n ju n to : P=txeR|xeM + xeN) . Sólo fines educativos LibrosVirtual y Sección 6.1: Inecuaciones Logarítmicas 487 Sean los conjuntos: M=<xeR|2x_y(0.00032 ) X+2 < X“V ( 1 / 5 ) 3X-1 \ y 11. N={xeR| |x j+21x—1 1-|2x-5 | < 31, hallar el conjunto P=íxeR¡xeM «-* xeN). * QQ INECUACIONES LOGARITMICAS________________________ § | Para una mayor comprensión en la resolución de inecuaciones logaritmx cas es necesario remitirnos, en primer lugar, a la definición de logari tmos esto es: Log^N = x +- N = bx En segundo lugar, a la observación de la gráfica de la función y=Logbx cuan do b>l y 0<b<l, y al hecho importante de que en el campo de los números rea les, solo tienen logaritmo los números pos itivos. 0 1 Los casos que se presentan son los siguientes: Caso 1. Cuando 0 c se observa que: (1) Los números mayores que (2) Los números entre 0 y 1tienen logaritmo positivo(y>0) 1 tienen logaritmo negativo(y<0) Entonces para cualquier x l,xzdl se tiene: Si 0<b<l y 0<xl<x1 «-»■ f(xt) > f(xt) (f es decreciente) ^>9t)x 1 > Logbx z de donde se deducen las siguientes relaciones: a) Si x>0 , 0<b<l y mtR * b) Si x>C , 0 m b * <-» 0 < x < tí1' Logyc < m x > b" Sólo fines educativos LibrosVirtual 488 Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas Caso 2. Cuando la base b > 1 En la gráfica de y-Log^x se observa lo siguiente: (1) Los números mayores que ltienen logaritmo positivo (y > O) (2) Los números entre O y 1 tienen logaritmo negativo(y < 0) Entonces para cualquier x ¡,xzdt se tiene: Si b > I y O < Xi < i-, -‘-1- f(Xi) < f(xz) <— (f es creciente) Log^x, < Log^x2 de donde podemos deducir las siguientes relaciones: a) Si x > O , b > 1 y mcR * Logyx > m •*-* x > bm b) Si x > O , b > I y mcR * Logyx < m x < bm EJEMPLO 1. Solución. Resolver: Log^(2x-5) > 2 Dado que 3>1, entonces según el Caso 2a, se tiene: Log3 (2x-5) > 2 — (2x-5 > 0) * (2x-5 > 31) (x > 5/2) ~ (x > 7) EJEMPLO 2. Solución. Resolver: *-*• xz<7,+•*> Log3 \3-4x\ > 2 En esta desigualdad se pueden tomar valores positivos y negati vos Log3 ¡3-4x¡ > 2 parex, excepto x=3/4. Luego,según el Caso 2a: «- |3~foc| > 3l ~ xt3/4 14x-31 > 9 *”*■ <- 4x-3 > x > 3 9 o 4x-4 < -9 o x < -3/2 xz<-~,-3/2>u <3,+-> = R- [-3/2, 3] EJEMPLO 3. Solución. Resolver: LogJ/2\2x-3\ > -3 Como (l/2)c<0,l>, tenemos el Caso la: - Log1/2\2x-3\ > -3 Dado que | 2 x - 3 | > 0 , V x e R - ) 3 / 2 [ ~ - (x/3/2) (xÍ3/2) „ | 2 x - 3 | < 2 5 (X)13/2) de donde obtenemos: EJEMPLO 4. Solución. „ (O < | 2 x - 3 | < (l/2)~3) ~ -8 < 2x-3 < 8 xz<5/2,ll/2>-{3/2] Resolver: L o g y 3 \Log4(xl-5) |> O Tenemos el Caso la, (l/3)z<0,1> - LogJ/3 |Log4 (x2-5;| > O ~ O < L o g ^ x ’-Ó) < (1/3)’ Sólo fines educativos LibrosVirtual 489 Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas Si Log4(x*-5) >O ** (x*-5 > 0) - (x1-5 >4') ++ (x1-5 > 1) +-> x 1 > 6 S, = + Si Log4(xl-S) <1 *» (Caso 2a) ** x < ~/6 <-•,-/§> u o x +-> </é, (x*-5 > 0) - fx*-5 < 4*J ~ (x*>5) -*• ( i > / 5 v i < * S i ~(x *<9 ) í-3 < x < 3 ) -/i) = > /6 < - 3 , - > '5 > U < / 5 , 3 > C.S = S in S i = <-3, -/§> Ü </$, 3> EJEMPLO 5. Solución. Si í»2, resolver: Logyx + Logb(x+l) < Logb (2x+6) Logbx+Logb<x+l)-Logb (2x+6) < 0 Logb(*2x+Ú^ < 0 ++ b>l - .2g j ¿ > o . tato < b- -1 (1 ) (Caso 2b) (2 ) Por el método de los valores críticos se determina que: S* = <~3,-l> U <0,+«•> y S, = <— ,-3> U <-2,3> (Verificar) .'. C.S = s,n Si = <-2,-l>ü <0,3> EJEMPLO 6. Solución. Si xeR +- ( I }, resolver: Siendo la base una variable, debemos considerar las siguientes condiciones iniciales: a) Base positiva y diferente de 1: x>0 y xfl b) Número o argimento positivo: ^ > O <-» x < - 3 o x > 0 Universo parcial de la variable: U¡ = ArtB = <0,+->-il) yj. 3 c) Además, por el radical: Log^(-y^) >, 0 Caso 1. Si Coso 2. 0 < x <1 10 < x < 1) Si x > 1 + y Logx ( ^ ) y ~ Logx ( x > 1) Universo parcial de la variable: + (0<x<l) ~ (0 i ^ < 1) = ♦ í. 0 SO) Universo de la inecuación: >„ 0 + - (x > 1) - (x > 1) S, = ♦ O^g^x') * (0 < x s 3) U 2 = S,USi = <2,3] U = UifíUi = <2,3] Sólo fines educativos LibrosVirtual < x •; + S,,=<2,3] 490 d) Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas Ahora resolveremos la inecuación dada teniendo en cuenta que x>l. L°9X < ^ > < 1 - l °9x (^J¿) k 1 ~ ~+ <2x'3£ x+1) > o Luego, si: (x > 1) EJEMPLO 7. <x‘ — • (-1 < x < 0 + (-1 < x < 0 v x > 3/2) v x > 3/2) - C.S = <3/2,3j Hallar el dominio de la función: f(x) = ¿Log2x_g(x-4) - 1 La función es real *-» -l+Log2 Solución. (CaS0 2b) g(x-4) i- 0 +-+ Log2x_g(x-4) í- 1 Condiciones iniciales: (Cálculo del Universo) a) Base positiva y diferente de 1: (2x-9>0) b) Argumento positivo: x-4>0 + x>4 ~ (2x-9/l) + A = <9/2,+“>-t5) ♦ B = <4,+-> Universo de la variable: U = A n B - <S/2,+»>-(5} Caso 1. Si 0 < 2x-9 < 1 y Log2 x g (x-4) >^1 ♦-* 9/2 < x < 5 „ (0 < x-4 S 2x-9) «-+ 9/2 4 « x > , Caso 2. Si 2x-9 > 1 y +-» /x > 5/ = < + S, = * Log2x_g(x-4) >. i fx-4 ^ 2x-9) — * (x > 5) ~ (x S 5) Dom(f) = U n ( S , u S z) = EJEMPLO 8.Resolver Solución. en R: Log |^ 14x-8|-2/ < 0 Condiciones iniciales: a) Siendo la base positiva VxcR-{2/3) + Ada-nas; |3x-2|/i b)14x-81 -2 > 0 * 14x-81 * 2 (x/1) v (x/1/3) -+ x < 3/2 - G Universo de lavariable: Caso i. + S¡ = $ * Si 0 < |3x-2| < 1 0 < |3x-21< 1 ~ ~ í.og|3x_2|fHx-8|-2; <0 + + U = AnB y o x/2/3 + A = R-ti 13,2/3, ¡ 1 x > 5/2 = <-*>, 3/2> U <5/2, +"> = <-“,3/2> U <5/2,+“>-U/3,2/3,11 Log j3jc_2 j< |4x-8|-2; < 0 (|3x-2|> 0/ ~ f|3x-2| < 1) (x/2/3) - (-K3x-2<1) = <J/3, J>-(2/3( |4x-8|>3 +-+ /4x-8>3/ v (4x-8<-3) +- (x > 11/4) v (x < 5/4) .'. S Caso 2. Si = (1)0(2) = <1/3, l>~{2/3) = <l/3,2/3> u <2/3,1> |3x-2| > 1 (1) |4x-8|-2 > |3x-2|'=J y Log ^3 x 2 ^( \4x-8\-2) < 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual (2) Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas |3x-2| > 1 (3x-2>l) (3x-2<-l) L°9 \3x -2\(\4x~8 \~2) K 0 • Entonces: 491 (x < 1/3) v (x > 1) l4x~8 l“2 < 13x-210=1 -* 14x-81 < 3 ~ 5/4 < x < 11/4 ( S 2 = (3) n (4) = <5/4,ll/4> C.S = t/nfS.US,; = <l/3,2/3>U <2/3, l>u <5/4,3/2>U <5/2,ll/4> EJEMPLO 9. Solución. Resolver: Condiciones iniciales: a) Base positiva y diferente de 1: (\x\/4 > 0) ^ l|x|/4 / 1) + b) Log^x ^^(\x-l\-2) > i/2 (XcR-[O]) ■* (x/4 o Argunento positivo: |x-l|-2>0 xf-4) + A = R-i-4,0,4) |x-l|>2 (x-l>2) v (x-l<-2) «- (x>3) V fx<-i; Universo de la variable: U = AflB = Caso 1. 0 < |x|/4 < 1 y - fl=<-“,-J>u<3,+“> -4> U<-4,-1> U <3,4> u <4 ,+“> Log|x |/4(|x-l|-2> > j Como por condición inicial: |x-l|-2 > 0 + |x-l|-2 < Elevando al cuadrado obtenemos: 4(x-l)*-16¡x-l¡+16 < |x| Por el método de los valores críticos se determina que: (Verificar) Sz = <--8(9+/l7); +(-9+/l7)>U<£,4> Luego, C = Si n S z = S» Coso 2. (3) Si |x|/4 > 1 Si |x| > 4 y x<-4 ( 4)Log,,/4(\x-l\-2)>± L o g ^ /4(¡x-l¡-2) > 1/2 o x>4 - + S, = <-«,-4> U <4 ,+»> |x-l|-2 > r|x|/4>Í/2 - (Complem. de Sl) |x-l |-2 > /jíj/2 Elevando al cuadrado se tiene: 4(x-l)*-16¡x-l¡+16 > |x| cuya solución es el complemento de S2. + S, = -Í(9+/T7)>U <|f-9+/í?;, |> U <4,-r»> Entonces: D = S3f) S% = Ss = <-», -4> U <4, +»> C.S = U n ( C U D ) = EJEMPLO 10. Resolver: -4> U <- ~(9+/T7),-1> U <3,4> u <4, +=> O Log2 x [Logx (2x+3)] > 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 6: Inecuaciones Logarítmicas 492 Solución. Condiciones iniciales: a) Bases positivas y diferentes de 1: 2x>0 + x>0 2x/l - x/1/2 x>0 x/1 Luego: A = <0,+'*>-{1/2,11 b) Argumentos positivos: 2x+3 > O + x>-3/2 Logx (2x+3) > O i) Si<Kx<l + O < 2x+3 ii) Six > 1 < x% ++ -3/2 <x < -1 + (O < x < 1) ~ (-3/2 < x < 1) = * + 2x+3 > x* - x > -1 +B = Luego: (x > 1) ~ (x > -1) - x > 1 < Í,+ ~ > Universo de la variable: U = Af)B = Análisis de los casos: O 1 Dado que el universo de la variable es ‘ x>1, debemos aplicar el Caso 2a, es to es, si x>l + 2x>2, luego, para que: Log2x¡Logx (2x+3)] > O , se debe cum plir que: Logx (2x+3) > 1 ++ 2x+3 > x l ++ x > -3 c.s = un (x > -3) = <!,+»> EJEMPLO 11. Solución. Resolver: Log , CCost + Cosx) < 1 Cos(~^) q I) Condiciones iniciales: a) Base positiva y diferente de 1: ~ ,v-4x, . n „ ,4x-ir v ^ « Cos(— g~) > 0 +■<■ Cos(— g-) > 0 ++ ir ” 2 n, . 4x-n ^ ir — 8~ 2 + 4k* < x < -|it + 4ícir Cosf^y) # I b) <- ^ y x f ± + 4kv (1) (2) Argumento positivo: Cosj + Cosx > 0 + Cosx > - ¿2/2 ++ - -|it + 2kn < X < yr + 2kv Universo de la variable: U = (1)11(2)0(3) _+ U = <- II) Análisis de los casos: 0 - {^ + 4kir} 1 y b >1 la base está entre 0 y 1,api icaremos el Caso Ib: 0 < Cosf2^ ; < 1 ++ Cos* + Cosx > Cosl^J^) 2Cos(j + |>.Cosf| - f; > Cosí| - §) Sólo fines educativos LibrosVirtual (3) Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas de donde: Cos(4 o + 4) ¿ > 4Z *“•' - 4 U+ 2k» < 4 o + 4¿ < 4 o + 2k» - Si = <-j|* + 4k* , || + 4k*> C.S = unSi EJEMPLO 12. Solución. Resolver: ' + 4k* , 4 1 + 4k»> - ij + 4101} 12 4 LogTgx(Senx + 1/2) < 0 , xe [0,4ti] Base positiva y diferente de 1 o *•* (21ct < x < ~ t 21c) Tgx / 1 b) 4 I) Condiciones Iniciales: a) Tgx > 493 (* + 21c < x < |« + 21c) , k=0,l (1) *•* x ¿ k* + | , k=0,l,2,3 x ^ | , -|n , -|n , îr Número o argignento positivo: Senx + p > 0 Senx > - *-► - + 2k» < x < + 2kit, k=0,l V = fij fl C2; n f3> = (2k* < x < | + 2kn; U (it+2kn < x < |* + 2k*J k = 0,1 II) Análisis de los casos: 0 1 Caso Ib. Si 0 < Tgx < 1 a) f 21c < x < 4 + 2kir ’l 0 < Tgx < 1 *"•' > c ^ ( n + 2kn < x < + 2kn J bj Senx + > 1 S, Si Tanx > 1 a) Tanx > I « k = 0,1 * Senx > -j 4 + 2ku < x o < 4" + 2 kir o , k = 0,1 = (a) flfb; = | + 2kir < x < | +2k* , k = 0,1 • Caso 2b. Senx + 1/2> (Tgx)‘=l -► Senx + < 1 ♦ Senx < ^ +2k„ < x < i + 2kir) u f|ir +2kn < x < -|ir +2ku) , k=0,1 b) Senx < 1/2 <-* (2kii < x < +2kTt) U • O o + 2kn < x < 2* + 2 ^ ) , k=0,l Sólo fines educativos LibrosVirtual (3) 694 Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas (a) D ( b ) = + 2kn < x < + 2 k rt , k = 0,1 ►O EJEMPLO 13. Dado a>0 , a#i , se define: L g : R + - R|Lg„fxJ = 1 Log x , si Log x i O a a Loga(1/x), si LogQx < O i) En base a la gráfica de logaritmos deducir la gráfica de Lga(x). ii) Resolver: Solución. Lgg(x2-2x) < 1/2 i) Sean: f(x)-Logax y g(x)=l.oga(1/x) =-Log^x Graf[LgQ(x) ] = Graflf(x)]uGraf[g(x)J Tracemos las gráficas de f y g considerando los casos: 0<a<l y a>l O < a < 1 a > 1 La gráfica de Cgax se deduce así: Cuando el argumento es xc<0,l>, se u En este caso, si el argumento es tiliza la gráfica de f(x)=Logax xc<0,l> se utiliza la gráfica de Si el argumento es xe<J,+“>, se usa g(x)=-Logax, y cuando xc<l,+<»> se la gráfica de g(x)=-LogQx. usa la gráfica de f(x)=Logax. ii) Lg^(x2-2x) < 1/2 . Dado que a=9 (a>l), utilizaremos el segundo caso: a) Si el argumento es: O < x 2-2x < 1, y -Log,(x2-2x) < 1/2 * (x‘-2x > 0) „ (x2-2x < 1) ^ ¡Log,(x2-2x) > -1/2] Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales - 495 - [(x-1)1 > 1 ~ (x-1)1 < 2] ~ (xz-2x > 9~1/2 * [<1-/2 < x < 0) v (2 < x < 1+/2)] ~ (x < 1 - ¿y v x b) Argumento: x 2-2x >1 y > 1 + ^y) S, = <2,l+/2> Log0(xl-2x) > 1/2 - [(x-1)1 > 2] ~fx*-2x < 9112) - [(x < 1-fi)v (x > 1+/2)) ^ (-1 < x < 3) -<■ S 1 = <-l,l-/2>U <l+/2,3> /. C.S =S ^ S * = <-l,i-/2>(J <2,3>-{J+^f) EJEMPLO 14. Resolver: Log - Logi lx-2»l J.-l£-í-l , , a ¥ Solución. + j ii jiSenx ,--------- Lo^ x - i | t t ¥ + j ii Según la propiedad L .11 (Cambio de base), se tiene: L09rrrlxl t i\X ~2"\ > Í 0 9 t \x I [ F f + iJ I 1! 1 + Senx (1) I) Condiciones Iniciales: q) Base positiva y diferente de 1: + 1 J > 0 ■++ -Lyl- + 1 %■ 0+1 +-+ |x | >^0 +xeft t t - ljf l + ¿ I * j *o ~ ++ 0 Jt -lyi fi 1 ++ (*) b) |x~l | > 0 - |x-i| iti ++ (2) o * Jfi < 0 f|x| >, 2) O +■+ x i- -2o x >,2 x;ti (3) (4) x f 0 o x jt 2 Argumentospositivos: |x-2»| > 0 Senx > 0 (5) <-* x t 2n +-<■ 2kn < x < »+2ku (6) Entonces: U = (2) f) (3) n (4) n (5) n (6) U — <2, tt>U <2Rtí,u+2ícir>, k^Z—{0) II) Ana tisis de los Sabemos que |x| i- 2 casos: , M 0 <b< 1 + i >.2 * Luego, en (1): |x-2»| ^ Senx ++ y b > 1 jifL + l]\ > 2 x-2» ^ Senx o rt»i; x-2» -í -Senx Sean las funciones: f(x)=x-2n , g(x)=Senx , h(x)=-Senx Tracemos las gráficas de cada una de estas funciones en unmismoplano: En la figura podemos observar que: f 5- g -*■x - 2 » para xe[2»,+=>> Senx Sólo fines educativos LibrosVirtual +-* x 4- 2» (7) Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas 496 f < h , para xe<-“,2*] •* x-2« < -Senx x < 2n (8) Luego, de (7) y (8) se determina que |x-2n| > Senx, VxcR * S, = R Entonces: C.S = U nS¡ - U C.S=<2, i> u <2kn, v+2ki¡>, keZ-{01 EJEMPLO 15. Graficar el conjunto de puntos de R 2 tales que: R = ifcc,yj \Logx 2_y i(xl+yl) Z-0). Solución. I) Condiciones iniciales: (Gráfica del universo) a) Base positiva y diferente de 1: x 2-y2 > 0 ■* x 2 > y 1 <->■ x>y o x<-y <-► y<x o y<-x Es el conjunto de puntos en el semiplano :\V'N-V 1 y=xJ h inferior de las rectas y=x , y=-x x 2-yVi *-*• x 2-y2I .A Es el conjunto: R 2-{x2-y2=l>. b) Argumento positivo: x 2+y2 > 0 Es el conjunto R l, la gráfica es simétrica respecto de los ejes X e Y. U = (y<x o y<-x)n (Rt-{x1-y*=l\) II) Análisis de los casos: 0 1 para Logx t 2(x2+y2) i O a) 0 < x 2-y2 < 1 - 0 < x 2+y2 -S (xz+y2)*=l (x2-y2>0 ~ x 2+y 1<1) ~ fx2+y2>0 ~ x 2+y*Sl) Si = (y<x v y<-x) ~ (xl-yl<l) - (x*+y2Sl) R i es el conjunto de puntos comprendido entre los semiplenos inferiores de las rectas y=x , / * * % : y=-x, la parte exterior de las dos ramas de la hipérbola x*-y2=l y en el interior de ¡a circunferencia x 2+y2=l b) x 2-y2>I » \ x 1+y1i-(x2-y2)’=l R t = (x2-yl>l) - fx2+y2il) Sólo fines educativos LibrosVirtual \ Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas 497 Luego, Ri es el conjunto de puntos ubicados en el interior de las ramas de la hipérbola x 1-y1=l y en el exterior de la circunferencia x 1+y1=l. Graf(R) = Graf(U) n [GraffRJ U Graf(Ri) ] EJEMPLO 16. Solución. Graficar: R = Ux,y)ef?|Log„I+y(x2-y2,) < J). I) Condiciones Iniciales (Gráfica del Universo) a) Base positiva y diferente de 1: x l+y > O y <-* y > -x 1 vii/Av Conjunto de puntos en el semiplano exterior / de la parábola y--x2. x 2+y t i - y t 1-x2 y < 1-x1 o y > 1-x2 /y. i-'i-v'-'-' > •' ■' ■- Conjunto de puntos en R 1, excepto en y=l-x b) Argumento positivo: x 2-y2>0 « x>y o - ... . „ ,, x2 > y2 x<-y y<x ''M'''':/ o y<-x v=-xl Conjunto de puntos en los semiplanos inferio-*f¿f res de las rectas: y=x o y=-x .'. U = (y > -x 1) n (y t 1-x1) n (y<x II) Análisis de los casos: 0 1 x 2-y2 > fx2+y>2 -► (x2+y>0 ~ x 2+y<1) ~ (x2-yz > x 2+y) - (y>-x2 ~ y <l-xz) ~ (y1+y<0) ... +. /fyy1.. - R , = (y>-x2 ~y<l-x2) ~ <-l<y<0) / Ri b) Si x 2+y > 1 / * x 2-y2 < (x2+y; * (y > 1-x1) ~ (y2+y > 0) Ri = (y > 1-x1) ~ (y>0 o \ & W y<-l) Graf(R) = Graf(U) n [Graf(R ,) U Graf(R x)] / >yRlY / / y=-¡ Sólo fines educativos LibrosVirtual .. .. Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas 498 EJERCICIOS: Grupo 47 Hallar el conjunto solución cié las siguientes inecuaciones: 1. Log1^(2x+6) < -2 10 . 2. Log2(3x+2)-Log2 (l-2x) > 2 11. 3. Logj(3x+9)-Logj(2x-1) > 1 12 . >’ Lo6Tanx(x,-x-5) ” /x -9 9. Logg|3-9 x | > 3 13. 5. Log1/3|2x-3| > -1 19. Log1^3(xl-9x+3) í- -1 6. Log2(|x-2|-1) > 1 15. Log1^[Log4 (xl-5)] > 0 7. L°S2(| f E | l + 7) > 3 16. Logx(4x'5 ) Log,(x - 3/x+1 + 3) < 1 9- LosQ ^{xt-x-^/U) > 2-Log25 19- Dado los conjuntos A={ x e R| x >0 a J „ Logl / 3 T O < ‘ 1 X 8. . 0 > |x -2 | 17- Logy x 7 i(‘2T ^ ) > -° 18. Log2x_g( I X J -2 X -6 ) i 1 = 1». B=(X e R|1 ^ i ( U A } . Si xeB-<1l, resolver Logx(x+l/2) > 0. 20. 21. Resolver: Resolver: ^jOg&(^ ^ ^ ) < 1 Log _ i _ i , si a > 1 I *-2tt| ^ I 1! 1 - 1 I LOg|x-l|(x2-2,) 1/58 |x-1 i i 1# * ’! 22. Considerando que Cos(x/2)>0 y Sen(| + J) > 0, graficar el lugar geomé trico de los puntos tales que: Logx+^(l+Senx+Cosx) < Logx+^(2/5) u ir 2 3 . Graficar: R = Kx.yJcR1 |LogTanx(SenX2C°SX) lLo6Senx(y) I > °> Construir la gráfica de las siguientes relaciones: 29. R = l(x,y)eRl|Logxt_y( |x|+2|y|)i1J 25. R=l(x,y)eHl|Logx.xy+1(^+2y) > 1} 26. RH(x,y)eR* |Logxl_yl(x*+2x-y)>0 27. R=((x,y)eRl|0<Logx+yl(2x-y)<1J 28. Si f(x)=9x*-9y*-36 y g(x) = ^ ( x 1+yl-9), graficar: Logf^xjg(x) ¿,0 Sólo fines educativos LibrosVirtual 499 Uno de es el loe métodos de demostración de más importancia en Matemática llamadode inducción completa o matemática, que se utiliza generalmen te para demostrar por recurrencia la validez de proposiciones abiertas cuan> tificadas universalmente y con dominio, de la variable n, en el conjunto de los números naturales (N) o el conjunto de los números enteros positivos (Z+ ). A continuación enunciaremos los principios en los que se basa funda mentalmente el método de inducción matemática. (Q Q PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN___________________________ Todo subconjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mín[ mo Esto es, si A c N y A¿$ Ejemplos: (1) Si -» a.'aeAl-VxcA , a S x es par!. Entonces, el elemento mínimo o primer e lemento es a=2, f>orque (2)Si B={4,9,16,.. .} TEOREMA 7.1. 4íteA , 2 $ x. ->■ a=4 es el elemento mínimo porque VxcB, 4 4 x. Si S es un subconjunto de N que satisface: i) lcS ii) Si heS - (h+l)cS Entonces S es el conjunto de los números naturales (S=N). Es decir: "Todo subconjunto de N que incluye al 1, y al siguiente de h,siem pre que incluya ai h, es igual al N". Demostración. (Prueba del absurdo) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 7: Inducción Matemática 500 Hipótesis: ScN , i) leS ii) heS Tesis: - (h+l)eS S = N En efecto: (1) Supongamos que la tesis no es verdadera, es decir, S t N (2) Entonces: sTcN\T=N-S y 7¥* (3) Por el principio del buen orden T contiene un elemento mínimo m,tal que m f 1 (leS por hipótesis). (4) Siendo m natural, se tiene: m > 1 -*• m-1 > O (5) Como m-l<m, por ser m el mínimo de T (6) Según la hipótesis ii): (m-l)eS (T) Entonces: * (m-l)cS ■* {(m-l)+lJcS * m^S m i T (8) Por (3) meT y por (7), mi-T lo cual es una contradicción. (9) Luego, !=♦ y NcS, y como por hipótesis ScN, resulta que S=N (La que habíamos supuesto falsa es correcta). Q ] PR IN C IPIO DE IN DUCCIO N COMPLETA TEOREMA 7.2 Sea P(n) una función proposicional que contiene a la varia ble n z N y que tiene la propiedad de que P(n) es cierta o falsa, pero no ambas, para cada ncN. Si P(n) satisface las dos condiciones: i) P(l) es verdadera ii) Si de la verdad de P(h) se deduce la verdad de P(h+1) entonces, P(n) es verdadera VneN. Demostración. En efecto, el subconjunto S de números naturales para los cuales P(n) es verdadera, contiene al 1, y al siguiente de h siempre que contenga a h. Luego, por el Teorema 7.1, S=N. Esto es, P(n) es verdadera VneN. Observación. Una demostración por inducción completa consiste de las 3 par tes siguientes: Parte 1. Verificación de la variable proposicional para el menor valor de n para el cual el teorema es val ido. Parte 2. Demostración de la propiedad inductiva. Si la función proposicio nal vale para n=h, donde h designa un valor cualquiera de n, en tonces vale para n=h+l. Parte 3. Conclusión: La función proposicional vale para todo valor de n Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 7.3: Principio de Inducción Completa 501 igual o mayor que aquel para el cual se verificó en la parte 1. EJEMPLO 1. Demostrar que n ’+2n es divisible por 3, es decir, 3 es un fac_ tor de n 3+2n. Demostración. Sea P(n)=n3+2n. (1) Si n=l - P(l)=(l)3+2(1)=3, es divisible por 3. Luego, P(1) es verdadera. (2) Para n=hcN, supongamos que: P(h)=h3+2h es divisible por 3, o sea, P(h) es verdadera. (Hipótesis inductiva) Debemos probar que para n=h+l, la función proposicional: P(h+l)=(h+l)3+2(h+l) es divisible por 3. En efecto: P(h+1) = h 3+3hz+3h+l+2h+2 = (h3+2h) + 3(h3+h+l) Aquí los dos simandos entre paréntesis son divisibles por 3, el primero por hipótesis inductiva y el segundo por contener como factor el 3. Esto es: P(h+1) = (3m)+3(h1+h+l) = 3(m+hí+h+l) Luego, P(h+1) es divisible por 3, o sea P(h+1) es verdadera. (3) Conclusión. Se ha demostrado que: P(l) es V » P(h) es V EJEMPLO 2. ■* P(h+1) es V Danostrar que: 10n+3(4n+2)+5 es divisible por 9. Demostración. Sea P(n) = {neN\lOn+3(4n+^)+5 es divisible por 9} (1) Si n=l * P(l)=10+3(43)+5=207, es divisible por 9 Luego P(l)- es verdadera. (2) Para n=h^N, supongamos que P(h)=l(/t+3(Jx+^)+5 es divisible por 9, es de_ cir, P(h) es verdadera (Hipótesis inductiva) . Debemos probar que para n-h+1, la proposición: P(h+1) = l(fl+*+3(4*1+'*)+5 es divisible por 9 En efecto: P(h+1) = 10. l(fl+3(4.4h+2)+5 = 10. l(f'+12(4h+2)+5 - P(h+1) = (9-K^+ k /1) + (9.4h+2+3./‘+2) + 5 = 9(10h+4h+2) + (10h+3.4h+2+S) Las simas entre paréntesis son divisibles por 9, la primera por tener a 9 como factor y la segunda por hipótesis inductiva. - P(h+1) = S(10h+4h+2l + (m9) = 9(l(/l+4h+2-m) Luego, P(h+1) es divisible por 9, o sea P(h+1) es verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual 502 (3) Capítulo 7: Inducción Matemática Conclusión. Se ha demostrado que: P(l) es V . P(h) es V + P(h+1) es V EJEMPLO 3. Demostrar por inducción que VneN: 32n+2-2n+1 tiene como factor al número 7. Demostración. Sea P(n) = {ncN\32n+2-2n+^ - (7 significa múltiplo de 7) (1) Si n=l + P(l)=3k-21-77 - 7 , es verdadera 2 i+2 h+1 0 (2) Para n-h, supongamos que P(h)-3 1 -2 =7, es verdadera. n v . l. , rwu .i o2h+4 -h+2 Probaremos que para n-h+1, P(h+1) = 3 -2 = 7% r' iui e * rw L , . -2h+2 -2 nb +l n efecto, P(h+1) - 3 .3-2 .2 Sumando y restando 2^+^.32 a P(h+1), se tiene: P(h+1) = 32h+2.32-2h+1.32+2h+1.32-2M .2 = 9(32h+2-2h+1 )+2h+I (S-2) 0 h+1 = 9( 7 ) + 7.2 (Hipótesis inductiva) = S(m7) + 7.2h+1 = 7(9m + 2h+1) Luego, P(h+1) tiene como factor 7, es decir, P(h+1) es verdadera. (3) Conclusión: Se ha probadoque P(l) es V ~ P(h) es V EJEMPLO 4.Demostrar que: x2n ^+y2n * es Demostración. * P(h+1)esV divisible por x+y. Sea PfnJ=(ne:W|x^n 1+y2n 1 es divisible por x+y) ■ (l) Si n-1 + P(l)=x+y, luego P(l) es verdadera. (2) Para n-h, supongamos que: P(h)-x2^ ^+y2^ * es divisible por x+y Probaremos que para n-h+1, P(h+1 )=x2^ +^ x+y. ,, , , En efecto: *+y^^+^ ^ es divisible por ,. 2h+l 2h+l 2h-l 2 2h-l 2 P(h+1) = x +y = x .x+y .y = x =x 2h-l 2 2h-l 2 2h-l 2 2h-l 2 .x - x .y + x .y + y .y 2h+l . i i , 2 / 2h-l (x*-y* ) + y1 (x 2h-l , + y ) n u• 2h-l 2h-l , , Pero, por hipótesis inductiva; ;c +y =m(x+y) Entonces: P(h+1) = x2tx+í (x+y) (x-y)+y2[m(x+y)] = (x+y)[x2^+* (x-y)+my2¡ Luego, P(h+1) es divisible por x+y + P(h+1) es verdadera (3) Conclusión: Se ha probado que P(l) es V « P(h) es V + P(h+1) es V EJEMPLO 5. Demostrar por inducción que la proposición dada es cierta -¥ncN 1' + 3‘ + 5’ + +(2n-l)s = n1(2nl-l) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 7.3: Principio de Inducción Completa Demostración. 503 Sea P(n) = <heíV| 1 3+S3+S3+ .... +(2n-l)3=n3(2nz-l) (1) Si n=l - P(l): (2-1)* = (l)l(2-l) - 1=1 - P(l) es V (2) Para n=hcN, supongamos que la proposición: P(h): l 3+33+5 ’+ .... +(2h-l),=h1(2h1-l) es verdadera. (Hip. Ind.) Debemos probar que para n=h+l, la proposición: P(h+1): 1 3+33+53+ --- +(2h-l)3+(2h+l)3 = (h+1)z(2(h+l)*-1¡ es cierta En efecto, sumando el término h+1 a cada lado de P(h) se tiene: 13+33+53+ --- +(2h-l) 3+(2h+l)3 = h l(2hz-l) + (2h+l)3 = (h+l)z(2h1+4h+l) = (h+1)*[2(h+l) 2-¿ J que es precisamente la proposición P(n) para n=h+l; luego, queda demostrado la parte (2). (3) Conclusión: EJEMPLO 6. Se ha probado que P(l) es V * P(h) es V + P(h+1) es V Demostrar por inducción que: 3+2x33+3*33+ ___ +nx3n = — [(2n-l)3n+1 +3) , VnilcN. Demostración.Sea P(n) = {neN\3+2x3*+3x33+ ...,+nx3n = ~f(2n-l)3n+1+3¡ (1) Si n=l - P( 1): (l)x3l =í((2-l)3z+3] - 3=3 - P(l) es V (2) Para n=hcN, supongamos que: P(h): 3+2x3*+3x3 3+ --- +hx3h = -j( (2h-l)3h+1+3] es V. (Hip. ¡nd.) Debemos probar que para n=h+l, la proposición: P(h): 3 + 2 x 3 * + 3 x 3 3+ ... +hx3^+(h+l)x3^+^ = í((2h+l)3^+2+3] es verdadera. En efecto, sumando el término h+1 a cada lado de P(h) se tiene: 3+2x3l+3x33+ --- +hx3h+(h+l)x3h+1 = (2h-l)3h+1+3] + (h+l)3h+I = ±{(2h-l)3h+1+3+4(h+l)3h+1) = ~l3h+1(6h+3)+3) = -4((2h+l)3h+2+3) Luego, P(h+1) es verdadera. (3) Conclusión: Se ha probado que P(l) es V * P(h) es V EJEMPLO 7. + P(h+1) es V Demostrar por inducción que: 1 1 1 1_________ n_ 1x3 * 3x5 * 5x7 * ' ' ' ' + (2n-l)(2n+l) ~ 2n+l Demostración. Sea P(n) la proposición dada: (1) Para n=l - P(l): (2-l)(2+1) ~ 2+1 * 3 ~ J “ P(1) es V Sólo fines educativos LibrosVirtual 504 Capitulo 7: Inducción M atem ática (2) Para n-li, supongamos que la proposición: P(h): F3 + >5 + W + * ’ ' + (¿h-l)(2h+l) = 2hi7 ' es V‘ íff,P -índ-> Debemos probar que para n=h+l. la proposición: i . 1 . 1 . . 1 . 1 _ h+1 '• 1*3 *3*3 5*7 ' • • * (2h-l)(2h*l) <Éh+lf(2h+3) ~ lh+3 ( es verdadera. &i efecto, sumando el término h+I a cada extremo de P(h) se tiene: -J _ +_JL + 1*3 3*5 1 . ' ' ' , (2h-l)(2h+l) 1 _ 1 , (2h*l)(2h+3) ~ 2h+l 1 (¿h+l)(2h+3) h(2h+3)H (2h+l)(2h+3) = h+1 2h+3 Luego, se ha demostrado que P(h-t-l) es verdadera. (3) Conclusión: m Se ha probado que P(l) es V ~ P(h) es V -*• P(h+1) es V. DEFINICIO NES RECURSIVAS (Definiciones por Inducción) Se # diceque tenemos una definición recursiva de f(n) para unafunción f = Un,y) \y¡=f(n), neN\, si: i) f(l) está dada ii) Paran>I, fin) está expresada en términos de uno o más de los valores f(i) con i<n en tal forma que, dado cualquier hcN, f(h) esté unívocamen te definida. EJEMPLO 8. Determinar una fórmula para f(n) en términos de n, haciendo u so del principio de inducción matemática, para la proposición definida recursivamente por: i) f(l) = 1 ii) Solución. Por definición: f(n) - nf(n-l), m N y n>l f(2) = 2f(l) = 2.1 = 2 f(3) = 3f(2) = 3.2.1 = 6 f(4) = 4f(3) = 4.3.2.1 = 24 f(n) = nf(n-l) = n(n-l)(n-2).... 1 = n! Minero que se conoce con el nombre de "factorial de n". Demostración por inducción: (1) Para n=l -* f<l) = 1! = 1, es verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 7.4: Definiciones Recursivas 505 (2) Para n=h, supongamos que f(h)=h! es verdadera. Debemos probar que para n=h+l + (Hip.Ind.) f(h+l) = (h+1)! En efecto, por definición: f(n+l)=(h+l)f(h) + f(h+1)=(h+l)h! (Hip.Ind.) - f(h+l)=(h+l)< (3) Conclusión. Se ha probado que:P(l) es V ~ P(h) EJEMPLO es V *P(h,l) es V. 9. Demostrar la leyde los exponentes: am .an = á n+n(respecto a n), haciendo uso de la definición recursiva: a l=a n n-1 , a =a.a , ncN y n>l r> * •- c- n, i m n m+n Demostración. Sea P(n): a .a =a + T..... n 1 m+1 P(l): a .a = a r... , m h m+h + P(h): a .a = a - , m h+1 m+h+1 P(h+l): a .a = a y**™,,' ^ * ■ ■ ■' (1) P(l) es cierta porque según la definición: am+1 = a.am+1-1 = a.a-m (2) Si P(h) es cierta (Hip. Ind.), probaremos que P(h+1) es cierta. r. * * En efecto: m h+1 m,h+1-1 , m. h, a .a = a (a.a ) - a (a.a ) e n . (Def. Recursiva) m h, , m+h = a .a (a) = a .a = a (m+h)+l m+(h+l) = a (3) Se ha probado que: P(l) es V ~ P(h) es V EJEMPLO 10. Dada la definición: .... . , . (Hip. Ind.) + P(h+1) es V i) f(l)=25 ii) f(n)=f(n-l)+4 , n>¡ Determinar una fórmula para f(n) y luego demostrarla por el principio de in ducción matemática. Solución. Por definición: - f(2) = f(l) + 4 = 25 + 4 f(3) = f(2)+4 = (25+4)+4 = 25+2(4) f(4) = f(3)+4 = [25+2(4)1+4 = 25+3(4) f(n) = 25+(n-l)(4) = 4n+21 Demostración por inducción: (1) f(l) = 4(1)+21 = 25 , es cierta. (2) Supongamos que f(h)=4h+21 es verdadera (Hip. Ind.) Demostraremos que f(h+l)=4(h+l)+21 En efecto, por definición: f(h+l)=f(h+l-l)+4=f(h)+4=(4h+21)+4 (Hip.Ind.) = 4(h+1)+21 , es verdadera (3) Conclusión. Se ha probado que f(l) es V ~ f(h) es V Sólo fines educativos LibrosVirtual + f(h+l) es V. 506_______________________________________________Capitulo 7: Inducción Matemática EJEMPLO 11. Sea f:N * R una función tal que: i) f(4) = 15 ii) f(n+l) = 2f(n)+l Hallar el valor de f(10). Solución. Por definición: f(4) = 15 = 2'-l -► f (4+1) = f(5) = 2f(4) + 1 = 2(2'>-l)+l = 2 5-l - f(5+l) = f(6) = 2f(5) + 1 = 2(2 *-1) + I = 2 ‘-l f(n) = 2f(n-l)+l =2(2n~1-l)+l = 2n-l .'. f(10) = 2 l,-l = 1023 EJEMPLO 12. Definimos por inducción f:Nt)(5,+~> + R en la siguiente for ma: i) f(5) = 15 ii) f(n+l) = af(n)+5 , n > 5 Hallar f(10) si f(8)=155. Solución. Por definición: f(5+l) - f(5) = af(6)+5 = a(15a+5)+5 =5(3a1+a+l) f(7+l) - f(8) = af(7)+5 = 5a(3a1+a+l)+5 Entonces: 5a(3a1+a+l)=155 Vnica solución real: a-2 af(5)+5 = 15a+5 f(6+l) = f(7) = (a-2)(3a*+7a+15) = O * f(9)-af(8)+5=2(1551+5 = 315 - f(10) = af(9)+5 = 2(315)+5 = 635 EJERCICIOS: Grupo 48 En cade uno de loa ejercicios siguientes, usar elprincipio matemática para demostrar que la proposición ofórmula ra cualquier número natural n. 1. n(n+l)(n+5) es divisible por 6, -Vn >, 1 2. 4n-1 es divisible por 3, -Vn >, 1 3- 2^n es divisible por 15, Afn ^ 1 4. 2^"+5 es divisible por 8,¥n >_ 1 5. 3^n+7 es divisible por 8,^n >, 1 6. n’-n es divisible por 7, ■Vn >, 1 7. 3n*+15n+6 es divisible por 6, ¥n ^1 Sólo fines educativos LibrosVirtual deinducción dada es verdadera pa 507 Ejercicios: Grupo 48 8 . 32n+3 + 2 n+^ tiene como factor el número 7, -Vn %■ 1 9. 3^n+2 + 2^n+1 tiene como factor el número 1 1 , -Vn ^ 1 10 . 1 + 3 + 6 + . . . . + ^ ( n + 1 ) = -jr(n+ 1)(n+ 2} 11. 1* + 3* + 5* + . .. . + (2n-1 )* = |(4n*-l) 12. 1* + 2* + 3* + . .. . + n* - $n+l)* 13. 2» + 4* + 6 * + . .. . + (2n)' = 2n*(n+Dl 14. 1* + 3* + 5* + - .. . + (2n-1 )' » n*(2n*-1 ) 15. 1*2 + 2 x3 + . . . . + n(n+l) s, ^(n+l)(n+2 ) 16. 1 x3 + 2x4 + 3x5 + . . . . + n(n+2) = g(n+l)(2n+7) 17- 2x5 + 3x6 + 4x7 + . . . . + (n+l)(n+4) = ^(n+4)(n+5) 3 1A 1Q _1_ 1x2 _1_ 1 1 _1_____________________ 1_n_ 2x3 + 3x4 + * • ' ’ + n ( n + 1 ) “ n+1 1_______________ 1_______ n(3n+5) + n(n+2 ) " 4(n+1)(n+2) 1 x3 + 2x4 + 3x5 + 20 . 1 x2 + 2 x2 * + 3x2* + . . . . + nx2n = (n-l)x2n+1 + 2 21. 1 x 1 * + 2 x 3 * + 3 x5 * + . . . . + 22 . 1 x3 + 3 x3 * + 5x3* + . . . . + 1 1 23. 2x4 + 4x6 24 . 1 6 x8 + ’ ' ' ' + n ( 2n - 1 )* = - |( n + l ) ( 6n * - 2n - l ) <2n-l)x3 n = (n-1 )x3n+1 + 3 1 2n(2n-2) = n-1 ,, . _ 4n ’ ^ ^ 2 D em o strar p o r in d u c c ió n q u e : x n + yn . , VneM , V x,yeR+ 2 . [S u g . Use (x - y ) ( x - y ) i 0] 25- H aciendo u so de l a d e f i n i c i ó n : i) a 1 = a i i ) an d e m o s tra r por in d u c c ió n , r a e n te r o s p o s i t i v o s : 26. = a .a n -\ re s p e c to a ( 1) ( a m) n = a m (2 ) (a b )n = a V 1 neN y n >1 n , l a s l e y e s de l o s e x p o n e De l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c i o n e s , c u á l e s so n v e rd a d e ra s ? ( 1 ) -Vnell, n*-n+ 17 e s un número p rim o . ( 2 ) -Vne*, n^1 : 1 -2* t (3 ) S i f : B + R e s t á 3 * - 4 * + . . . . + ( - 1 ) n _ 1 .n * - ( - i T '- f C n + d a d a p o r f ( l ) = 1 y f(n + 1 ) = f ( n ) + 8n ■» f ( n ) = ( 2 n - 1 ) 1 . Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 7: Inducción Matemática 508 27- Sea f:N + R d e f i n i d a in d u c tiv a m e n te p o r : f ( l ) = 1 y f ( n + l ) = | f ( n ) , -VneH, rii-l. Según e s t o , d e te r m i n a r e l v a l o r d e v e rd a d d e l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c io n e s : 2 8. (1 ) f ( n ) = 1 5 ( |) n_\ VneN (3 ) = f (5 ) f(3 )[f(3 ) - |x ] (2 ) f ( 5 ) - f ( 6 ) = * x=14 Sea f : N + R u n a f u n c ió n d e f i n i d a in d u c tiv a m e n te p o r f ( 5 ) = 1 7 y f (n + 1 )= 2 f(n )-1 . H a lla r e l v a lo r de 3 f ( l) + 2 f ( 3 ) 29- Sea f:N + Z una f u n c ió n d e f i n i d a in d u c tiv a m e n te p o r : f ( 0 ) = - 1 , f ( l ) = 2 y f ( n + 1 ) + f ( n - 1 ) = f ( n ) , riZSI. De l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c i o n e s , c u á l e s so n v e r d a d e ra s ? (1 ) f ( 8 ) + f ( 6 ) = f ( l ) (3 ) (2 ) f ( 7 4 ) + f ( 9 7 ) = 5 S i r e s e l r e s i d u o de d i v i d i r n e n t r e 6 + f(n )= f(r) 3 0. Sea f : Z + + R d e f i n i d a p o r : f ( l ) = 4 , f ( 2 ) = 4 , f ( n + 2 ) = 4 + f ( n ) . De l a s a firm a c io n e s s i g u i e n t e s , c u á l e s so n v e r d a d e r a s ? (1 ) f(8 )= 1 ó (3 ) (4 ) f ( 9 5 ) - f ( 7 5 ) = f(2 0 ) 1fneZ+ : f ( n ) e s m ú lt i p lo d e 4 ' (2 ) f (3 5 )= 6 8 31. Sea f :N + R d e f i n i d a in d u c tiv a m e n te p o r : f ( l ) = 2 , f ( 2 ) = 3 y f ( n + 1 ) + f ( n - 1 ) = f ( n ) , p a r a ni-1. H a l l a r f ( 8 7 ) - f (1 2 4 J . 32. S ea f:N + R d e f i n i d a in d u c tiv a m e n te p o r : f ( 0 ) = 1 y f ( n ) = 2 f(n ~ 1 j+ 5 ’ ■VneH. C o n s id e r a r ta m b ié n : g ( n ) = y / n \ +1 , -VneN. H a l l a r if (n )+ 1 ’ g (n -1 ) 33- Sea f:N + R una fu n c ió n d e f i n i d a p o r : f ( l ) = 1 , f ( n + 1 ) = f ( n ) + 8 n , h a l l a r : f(n + 1 )+ f(n )+ 2 . 3 4 . Sean a ,b e R y s e a f :H + R d e f i n i d a in d u c tiv a m e n te p o r f ( l ) = a , f ( 2 ) = b y f ( n + 1 ) = f ( n ) - f ( n - 1 ) . H a lla r e l v a lo r de f (6 5 )+ f(7 5 ). 35- Se d e f i n e : f ( l ) = 1 y -¥n£Z+=H: f ( n + 1 ) = f ( n ) + ( n + 1 ) . H a l l a r f ( n + 2 ) . 36. Se d e f in e f :N + R p o r i n d u c c ió n : i ) f(l)= c + d ii) f ( n + 1 )= c + f( n ) H a lla r f ( 3 l ) . 37- D e m o strar p o r in d u c c ió n q u e : r r o+ . . . . + ■1p + Cosx + Cos2x rCosnx = S e n t[ i( — x í—ü /2 ) ( 2 n + 1 )-L ] 2 S e n (x /2 ) [ S u g e re n c ia : U sa r l a i d e n t i d a d : 2CosxCosy = S e n ( x + y ) - S e n ( x - y ) ] * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 7.5: Sumatorias |2 ] 509 SUMATORIAS En matemáticas es muy fi tales corno: Parafacilitar dasigna ente tratar con sumas de muchos términos, 1+2 + . . . . + n 1+3 + . . . . + (2n-l) 1* + 3* + . . . . + la escritura de (Z).Así n1 has sumas introducimos una notación llama tenemos que: n y [i = 1 + 2 + 3 + . . . . + n i—1 n l (2i-l) = 1 + 3 + 5 + . . . . + (2n-l) i=l n l i2 = l2 + 22 + 32 + . . . . + n2 i=l En general, si m y n son enteros tales que rtKn y F(m), F(m+1), .... , F(n) son núneros reales, entonces: n l F(i) = F(m> + F(m+1) + F(m+2) + . . . i=tn + F(n) En esta fórmula, el segundo miembro es la suma de (n-m+1) términos, el pri mero de los cuales se obtiene remplazando i por m en F(i), el segundo reem plazando i por m+1 en F(i) y así sucesivamente, hasta que se obtiene el úl timo término remplazando i por n en F(i). Los números m y n se llaman lími te inferior y superior de la suma, respectivamente. El símbolo arbitrario i se llama índice de la siena. Por ejmplo: 7 l F(i) = F(3) + F(4) + F(5) + F(6) + F(7) '^3 + l i2 i=3 = 32 + + 41 + + 52 + + 62 + + 72 Otra forma de definir una surnatoria y que es de mucha utilidad para demos traciones por inducción matemática, es la siguiente definición recursiva: n l F(i) i=l EJEMPLO 1. í F(l) , si n = 1 ={ n-1 IF(n) + £ F(i) , si n > 1 v i=l Demostrar que: 1 + 3 + 5 + . . . . + (2n-l) = n2 Sólo fines educativos LibrosVirtual (I) Capitulo 7: Inducción Matemática S10 n Sea la proposición: P = JneAf| 2) (2i-l) = n M Demostración. 1 i=1 P(l): 2 (2i-l) = (i)1 - 2(1)-1 = i* i=l Luego, P(l) es verdadera, es decir: leP h (2) Para n-h, supongamos que P(h): 2 (2i-l) = h1 i—1 (1) Para n=l - - 1 = 1 (Hip. Ind.) Debemos probar que para n=h+l, la proposición: h+1 P(h+1): 2 (2i~l) = (h+1)1 es verdadera i=l h+1 h En efecto: P(h+1): 2 (2i~l) = 2(h+l)-l + Y(2i~l) i=l i—1 (Def. I) = 2h+l + h* = (h+1)1 (Hip. Ind.) Luego, P(h+1) es verdadera, es decir, (h+l)eP (3) Conclusión. EJEMPLO 2. Demostración. (1) Paran?! Se ha probado que P(l) es V « P(h) es V n . 2 i=l i(i+l) Demostrar que: = 1 n Sea la proposición: P = {nEAj| 2 - P(l): ¿ ^ = -£ Luego, P(l) es verdadera. * + P(h+1) es V — y i ’i+i) = ^ \ n . j , j. ^ (2) Supongamos que para n=h, P(h): 2 ' ((¡+1 ) = ffTl ’ es h+1 Probaremos que para n-h+1, P(h+1): ¿ h+1 En efecto: E . . (Hip. Ind.) i+f) = "H+1 ’ es verc*aciera. h . 7 7 7 7 7 7 =(ñ+l)(h+i) + ^ Ü T ñ ) ' (Def‘ 1} 1 + ¿h+1 n " (h+l)(h+2) = Ih íT u h + l) ^ (3) Conclusión. EJEMPLO 3. Demostración. <HiP ■ Ind-> " P<h+1) e s l a d e r a . Se ha probado que P(l) es V « P(h) es V Demostrar que: n 2 (~^~) ~ 2 i?l 2 l -» P(h+1) es V n+2 ,n 2' j n+2 Sea la proposición: P = (neN| 2 ~2 ------} ¡= I 2 1 Z1 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección7.5: Sumatorias (1) Para n=l 511 - P(l): ¿ i=2 2* = 2 -^ ¿ ■‘ 4 = 4 ¿ i ¿-negro, Pfl) es V. (2) Supongamos que para n^heN, la proposición: k (o S • es verdadera. (Hip. Ind.) ¿ h+i . h+3 Probaremos que para n=h+I, P(h+1): 2 (— r) = 2 r— ; , es verdadera P(W: ^ í Z = 2 2=2 2 i =1 2 l 2n l (-4) * En efecto, (por la Def.I): jf(-Í) = - £ 3 + Z i=l 2 r 1 i—1 2 = 2 - pjjf' (3) Conclusión. Se + (2 --Í¡Á r P(b+1) es verdadera. es V ~ P(h)es V* P(h+1) es V n í 1 Demostrar que: Z Ln(-r-r) = Ln(—— r) EJEMPLO 4. 2+ ¿ Paran=l n+i n i 2 Sea la proposición: P = ind4\'22Ln(~j^j) = Ln(-^j)) Demostración. (1) ha probado que: P(l) Z1 1 - P(l): T.Lni-^) = bní^— ) * Ln(j) = Lnfj), P(l) es V (2) Supongamos que para n=hcN, la proposición: h . . P(h): Z ¿^¿Tr7 ¿ ~ ^ h + l ) • es venadera (Hip. Ind.) írl h+1 . Probaremos que para n=h+l, P(h+1): £ Lníj^) , es verdadera. i=l h+J 1 £h efecto: JX i = WjrA) * i=l V*f‘ O i=2 = Ln(%¡) + Ln(j~j) = Ln(j±) (3) Conclusión. * P(h+1) es V. Se ha probado que: P(l) es V * P(h) es V * P(h+1) es V EJEMPLO 5. Demostrar que -VncZ*: jtcos(2i-l)x = ^ ¿ ¿ ¿ Demostración. (1) Para n=l , n Ssti2tix Sea la proposición: P = [n¿Z \^Cos(2i-l)x = * P(l): ¿ Cos(2i-l) = ffjjpjf - Cosí = Cosx Luego, P(22 es verdadera. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 7: Inducción Matemática 512 + ^ Sen2bx (2) Supongamos que para n=heZ , P(h): Z Cos(2i~l)x - — , es verdadera ¿=I snX Froborernos que para n=h+l, P(h+1): ¿ Cos(2i-l)x = » es 7. h+i h En fecto, P(h+1): Z Cos(2i-l)x = Cos(2(h+l)-l]x + ¿^Cos(2i-l)x i=l i-1 = Cos(2bx*x) + (Def. I) (Mp- ¡nd.) 2Senx(Cos2hxCosx-Sgn2hxSenx) + Sen2hx 2Senx _ Sen2xCos2x + Sen2hx(l-2Senlx) ~ 2Sertx - Sen2xCos2hx + Sen2hxCos2x _ Sen(2hx+2x) 2¿enx 2$enx ~ ■* P(h+1) es verdadera (3) Conclusión. Se da probado que P(l) es V . P(h) es V -* P(h+1) es V EJERCICIOS: Grupo 49 D emostrar por in d u cció n m atem ática cada una de l a s s i g u ie n t e s fó rm u la s: 1. 2 + 5 + 8 + . . . . + (3n-1> =-|(3nl+n) 11 _ _2f nf_____ n(n+ 1) • + (2 n -1 )(2 n + l) = 2 (2 n + l) 1x3 + 3»5 + ‘ , 1 1 _1____________ 1n + 4x7 + 7x10 + • • • • + (3n-1 )(3 n + l) = 3n+1 k. 1x3 + 3x3* + 5x3‘ + . . . . + 5- Z[a+(k-1)d] = -§[2a+(n-l)d] 6. n ¿ i 1 = X ( R+1) 2 i=1 n 7. (2n-1)x3n = (n-l)x3n+1+3 9- 10- 4 . ' Z ( 3i_2 )(3^ ,n+1 Z i- 2 1 = 2 + C«-1) -2] i»1 n A -■'* 11 . i=1 2 i> i i=1 n ' ilî+3^ . i ,. x . „ n+1 ¡ \ n . i- 1 3S nx ~(n+1Jx +1 ----------- ---------------(1 -x )1 2k+1 ~ L n ( n+ 2 ) f n + 3 ) 12- ) = 2(3n+2) Z k=1 k 2(k+1)* Sólo fines educativos LibrosVirtual n(n+2) (n + 1 )2 Sección 7.6: Propiedades de las Sumatoria 13. ¿Sen(2l-1)x = i-1 513 16. Z a ( r ^ ) i=1 2Senx = a(4^4) - «*1 14. X (ix)ü = x[(n+l)!-l] i=1 17. E (-1)1(2Í+1) = 2n i=1 15- 18. ESen(î) = 2Sen(|n)Sen(-2¿Pir) i=1 5 ° ° E i - 3 1”1 = i t í ^ l L L i=1 * (Q S.i: S.2: S.3: PROPIEDADES PE LA SUMATORIA______________________ ^ n E c = cn • donde c es una constante, i—1 n En efecto, E c = c + c + c + c + ---- + c = nc i=1 n n XcF(i) = cZF(i) i=1 i=l n En efecto, E cFfi1 = cF(l) + cF(2) + cF(3) + . . . + cF(n) i=l n = c[F( 1) + F(2) + F<3) + . . . + F(n)] = c E F (‘) i=1 ri n n Z l F <'> + G(i)l ¿=1 = E F (i) + ¡=1 1=1 En efecto: n X t F (i>+G (¡)1 = [F(l )+G(¡}J + [F(2)+G(2)l + . . . + ÍF(n)+G(n)¡ i=1 = [F(l)+F(2)+ ... +F(n)] + [G(I)+G(2)+ ... +G(n)) n = E F i=i S.4. n E i=l + n E c (‘> i=i - - F(i-1)¡ = F <n) - F(0) En efecto: n E /fYU-Fíi-l); = ¡F(l )-F(0) ] + [F(2)-F(l)¡ + [F(3)-F(2) ] + . . . i=l + [F(n-l)-F(n-2)l + (F(n)-F(n-i)) Efectuando las simplificaciones correspondientes obtenemos: Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 7: Inducción Matemática 514 n E ¡ F ( i ) - F(i-l)) = F(n) - F(0) i-1 S.5: n J^,[F(i+l) - F(i-l)} = F(n+1) + F(n) - F(l) - F(0) i=l (Nota. A las propiedades S.4 y S .5 se les denomina propiedades teles cópicas de la sumatoria) S.6: S.7: n+1 n E,F(i) = F(n+1) + Ff iJ ¡=1 i-1 rt m Si n > m > 1 + E,F(i) = E F ( i ) i=1 i=1 n n-m+1 EF(i) = E F(iHn-l) i=m i=l S.8: Si n > m > 1 + S.9: Cambio de subíndice: a) . n + £ F( i) í=m+l n n+h E fcí) = £ m - h ) i=l i=l+h b) n Zya> i=l = n-h 12 F<i+h> i=l-h El valor de una sumatoria no se altera si al argumento F(i) se le res ta, (a), o se lesuma, (b), un entero h; si simultáneamente se le su ma o se le resta dicho entero, respectivamente, a los subíndices supe rior e inferior de la sumatoria. m F.l: FORMULAS IMPORTANTES DE LA SUMATORIA___________^ n £i=2(n+i; i=l Demostración. Aplicando sumatorias a la identidad: it-(i-l)1 = 2i-l se tiene: ¿ n '-a -i)* ] =E ( 2 i - i ) i—1 + F.2. - n*-(0)* = Z3f2¡; - i=l n1 = n 2]T i i—1 i=l - n E2(d <s -4- s -3> i=l n n <-►y i = -z(n+l) i=l n £ i1 = %(n+l)(2n+l) i—1 0 Demostración. De la identidad: i3-(i-l)> = 3i*-3i+l, se tiene: n n E(i>-(i-l)*] = Efsi'-zi+i) í=2 í=2 Sólo fines educativos LibrosVirtual . 515 Sección7.7: Formulas Importantes de la Sumatoria n n n Según S.4: n*-(0)* = 3¡£ i* - 3 2 ¿ + 2 <l> i=l i—1 i=l - n* = F .3 : ¿ i* i=l n 3 2 i* i=I . - in(n+l) ¿ n + n i=l ** 2 6 «*= £fn+lK2n+l) = Y í n + I >‘ * Demostración. De la identidad: i'-d-l)' = 4í■— J # se tiene: n n 2 nwi-irj = i=l i=l n - n* - roí* = 4 ¿ i» i=J n n n f* + 4 2 i - 2 2 (i) i=l ¿=1 i=l r> -* n' = 4 2 í’ “ n(n+l)(2n+l) +2n(n+lj - n -* i=l F .4 ; . n n* 2 •’ =_J (n+ M1 t=l n 2 *' = ssín+lHen'+Sn*-**!-!; Í=1 La demostración se deja como ejercicio. (Sug. Partir de: í*-(í— 2 >* = 5i*-10i*+10íx-5i+l) EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Solución. n Hallar la fórmula para: 2 ^ i x-3i+l) i=l n n n n 2 (3i*-3Í+1) = 3 2 i* " 3 2 ¿ + Z) ¿=1 i=l f=l i=l = 3.-Sfn+l){2n+l) - 3.-2(n+l) + n CS.3 y 5.2) (F.2, F.l y S.l) = j(n+l)í(2n+lj-3J + n = nJ EJERCICIO 2. Sea f:N R la función definida por: f(x) = •5x* 1~— ¿c+9 40 40 5í A = 2/'(•') y B = 2 f(i-l)> Hallar el valor de A-B. i=l i—1 , 40 Solución. A - B = £ [ f ( U - f(¡-l)J . Por S.4: A- B = /f40) - f(0) ¿=1 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 7: Inducción Matemática 516 , „ 7000 ^ Luego, A-B = — y + — y EJERCICIO 3. Solución. 10004000 = — y 4 4 Determinar a y b si: 22 (ak+b)=10 y 2 (oi +b)=14. k=0 i—1 4 4 4 4 22 (ak+b) = a(0)+b + V" (ak+b) = b + a Y l k + F] ib k=0 k=l k=l k=l Según F.l y S.l, para n=4: b+a[^(4+l)]+4b = 10, de donde: 4 4 )F(ai+b)=14 - a £ í i—1 . i=l 4 + J ^ b = 14 i—1 Luego, de fl) y (2) obtenemos: al\(4+l)]+4b=14 - 2a+b=2 (1) 5a*2b=7 (2) a=3 y b=-4 Nota. En la lista de fórmulas importantes de la sumatoria se omitió la fór mula de la serie geométrica, cuya demostración queda como ejercicio. F.5: n .2 2 ar' ~ EJERCICIO 4. Solución. j n . rfl i-r n . Calcular: 22 <~J> i=l 2 Según S.4: n ¿ f— t- - ■■|-il = i=l t-2 2 -1 2 0 2 i - n 2° 2 i . ,l,i-h - - ~ 5 '- * 5 ^ M ■# - - 5 '? ' ’ V f * 7- n 22 <-j) = 2 (i - -i; - -ií = 2 i=l 2 2 EJERCICIO 5. , Solución. Calcular: n 22 i=l (3i+2)(3i-l) _ . . . Por fracciones parciales: de donde: 3=A(3i-l)+B(3i+2) 3 A (3í+2)(3Í-T) = 3i+2 ♦ 3 = (2B-A) + (3A-r3B)i Identificando coeficientes: (2B-A=3) ~ (3A+3B=0) *-* A=-l , B=1 Entonces: Vemos que si: F(i) = l/(3i+2) — B JT^l F(i-l) = l/(3i-l) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 7.7: Formas Importantes de la Sumatoria 517 Luego, por la propiedad telescópica S.4, se tiene: 3 ~ ' _ ' ” , “ l . n+7' 3n+2 3n ~ 0+2 2(3n+2) 12 40 ___ Hallar el valor de S = Y.Í12 (/2k+1 - /2k-l)](2i-5) i=3 k=l EJERCICIO 6. Solución. 1 ' i—1 (3i+2)(3i-l) En el corchete: F(k) - /2k+l + F(k-l) = S2k-1 12 12 Luego, por S.4: S -• Y[/2(40)+i - S2(0)+l)(2i-5) = y 3(2i-S) i=3 i=3 Dado que el límite inferior es i=3>l, debemos aplicar ¡a propiedad S.8 pera la cual tenemos: n-m+1 = 12-3+1 = 10 (límite superior) i+m-1 = i+3-1 - i+2 12 10 (argumento) 10 S = 82_,(2i-5) = SJ2 ¡2(i+2)-5] = i=3 i-1 9Í-1 1 =- 812.— SI9 ■2\(10+1 )-10] ( 2 ¡ - l) = 800 i=l n EJERCICIO 7. Hallar una fórmula para: Y Sen(2i-1 )x i=1 Solución. A+D A-Q Partimos de la identidad: CosA-CosB = -2Sen(— ^-)Se-n(~r-) (1) Como el argumento de la sumatoria es (2i-l)x, hacemos: .A+B. ,0 . ,. (~2 ~) = (2t-l)x S de donde: A-(2i+l)x y 8=(2i-3)x ( ~ ) = 2x IMego, en (1): Cos(2i+l)x-Cos(2i-3)x - -2Sen(2i-l)x.Sen2x n n y [Cos(2i+l)x-Cos(2i-3)x] = -2Senx. y Sen(2i-l)x i=l i-1 Ahora bien, si: F( i)=Cos(2i-l)x ■* F( i+l)=Cos(2i+l )x y F( i-1 )=Cos(2i-3)x Entonces, según la propiedad telecópica S.5, se tiene: ■ n Cos[2(n+l)+l]x+Cos(2n-l)x-Cos(2-ljx-Cos(-x) = -2Sen2x. y Sen(2i-1)x i—1 n + Cos(2n+l)x+Cos(2n-l)x-Cosx-Cosx - -2Sen2xY Sen(2i-1)x i—1 Transformando a producto los dos primeros términos se tiene: 2Cos2nxCosx-2Cosx = -2Sen2xY Sen(2i-l)x & - Y Sen(2i-l)x = 1-&>s2nx & 2Sen* Sólo fines educativos LibrosVirtual 518 Capitulo 7: Inducción Matemática EJERCICIO 8. Sean A y B números enteros y positivos tales que si: A V íi1-4 i—1 Solución. 3 y 3 B T\(2i-l)=1024 ; hallar A+B. i¿í A . jT (i1 - - 5 - -jJ = j(A+l)(2A+l) - (j¡)A - -+ -^(A+1)[(2A+1)-1] B J^(2í-1) = 1024 = 1944 , de donde: A=18 B 2.j(B+l) - B = 1024 - - .j(A+l) B l=1024 - B=32 A + B = 50 EJERCICIO 9, + Dados n*Z , TI 2~k , y=a 2k ' ; hallar C y D tales que: t 'Z(Loga - L o g b ) 1 = ¿(4n+1-l)C-2D. fc=0 * y 3 n . Solución. Por la propiedad L.6: S = 2 (2 Log.a - 2 L o g b)1 ■ k=0 0 0 - S = £ k-0 - 5 1 = (¿Logia - 2 + 4~kLog*b) = (’ Z 4 k)Log*a - 2 ^ ( 1 ) + 4~k)Log*b ° a k=0 0 k=0 k=0 a Z 1*1 1-/1 — )Logía - 2 (n+1) + (¿J A / * ' — )Log*b *-4 D i-J/4 0 = \(4n+1-l)Log^ü - 2(n+l) + ~(4~n)(4n+1-l)Log*b = j(4n+1-l)(Log¿a + 4~nLog*b) - 2(n+1) Comparando con ¡a relación dada, se deduce que: C=Logâ+Log^b y D=n+1 B Q NOTACION DE PRODUCTO DE LOS TERMINOS DE UNA SUCESION Ü Dada una sucesión de números reales: F(l), F(2), F(3), . . . , F(n); el producto de todos estos números se denota por: n TTF(í; = F(1).F(2).F(3). . . . F(n) i—1 y se lee: "producto de los números F(i), desde i=l hasta i=n". Ejemplos: (1) 4 T T (3i-2) = (3(l)-2][3(2)-2)(3(3)-2)(3(4)-2) i-1 = 1x4x7x10 = 210 Sólo fines educativos LibrosVirtual 519 Sección7.9: Propiedades de la Productora n T T (i) = l*2*3*4x. . . ,*n = nJ (2) (Definición de factorial) i?=l n TTf-Ü (3) = (-l)(-2)(-3) . . . . (-n) = (-l)n! i=l u CU PROPIEDADES DE ü F (>) ¡=1 Las propiedades del producto de los términos de una sucesión son muy similares a las propiedades de las sudatorias, por lo que enunciaremos cada una de ellas y su demostración se deja como ejercicio para el lector. P.S: T TlFÍÍ)/" = ( J T F ( i ) f i= l i=l P.l: fíe - Cn i—2 n P.2 . TTcF(i) i—1 n = c n T T f rn > n+1 P.S: TTF(i) i-1 1=1 n n n P.S: T\F(i).G(i) = T T f T U . T T g í O 1=1 i= l n Determinar una fórmula para: a) TT (~i) i—1 a) TT f - o i—1 n b) = T T F n -1 ) 1=1 1=1 P.S: f^LogF(i) = Log.ílT F( i)) i—1 ° ° 1=1 n Solución, n P.7: T l f l U 1=1 n F(n+l)[TTF(i)J 1=1 n-1 P.4: T T _ Z Í 1 2 _ = £ Í H ¿ i—1 F(i-l) F(0) EJEMPLO 1. = n n n n b) T T (i*+2l) 1=1 n = TT (-l)i = T T f - U - T T ' 1=1 1=1 i—1 = (~l)n (1.2.3 . . . . n) = (-l)nn! (Def. de factorial) ' (P.l) n f T id+2) = TT í - T T (i*2) i-1 i=l (P.3) 1=1 = n!(n+2)l (Def. de factorial) 2n+l EJEMPLO 2 . Demostrar que: TJ O . . — f¿i) = * -VhcZ . 4. D e m o s tra c ió n . Sea la proposición: P = {ntZ| „ ,i |T < 1 k=2 Sólo fines educativos LibrosVirtual --¿ r)3 k Capitulo 7: Inducción Matemática 520 Luego, P(l) es verdadera. (2) Supongamos que para n=hcZ+, eZ* se cumple la proposición:. P(h): 2h+l T T d ~ — ) ~ -ñ.,. k=2 kz nl Probaremos que para n=h+l se ampie, P(h+1): 2h+3 En efecto: . 2h+I TJ (1 k=2 1 h+2 ) = -57— 5- kl . . 2h+l J ( l - ---TT (2h+3)z (2h+2)z k=2 JJ(1-— ) = [1-------— k=2 (Hipótesis Inductiva) k* - [<™± L (2h+3)z -— i -1L (1 -— ) (P.6) kz ..: - i | Q (2h+2)x J ¿h l mp. ind.) _ f4<h+2)(hH)] r(2h+3)(2h+l)~\ , h+1. »- JL = jj¿~! (3) J 2h+1 * P(h+1) esverdadera. Conclusión. Se ha probado que: P(l) es V ~ P(h) es V EJEMPLO 3. Siendo x = — — -— r y 1+2T 1 Demostración. P(h+1) es V A = V] Log\Sec(2kx)+l |, probar que A=0 k=0 n . n . A = '¡TLog\Sec(2 x)+i| = LogJT" |Secf2 x)+l | k=0 k=0 (1) (P.8) C 1 -— + 1 i = -----1 + Cos(2kx) 2Cos*(2k~1x) Sec(2 x)+i = -----¡ r--- = ----— r:-- Cos(2 x) Cosí2 x) Cos(2 x) O Pero: 2 Luego, desarrol lando: P Cos(2 x) |T2Cosz(xl2)-\r ¿Cos2a1 f2CosY2xf| IL Cosx Iv X = TT |~——— ——I » se tiene: k=0 p 4 (h + l)% J \Cos(2x)} L_Cos7Fx}J [2Cosz(2n~1x)~\I ' ' * ' L Cos(2nx) -I' 2n+1 ¡Co$z(x/2).Cosx.CosBx......... Cos(2nJ x ) 1 Cos(2x) ( .rJ.P = 2n+11— I]Cos(x/2).Cosx.Cos2x......... Cos(2n-i:rj| ICos(2nx )' = 2nI--- Co s M 2 ) 112Sen(x/2)Cos(x/2).Cosx. Cos2x. . . . Cosí/1'1*) | •Cos(!Tx)Sen(x/2) I ’n 1êar.CosJC.Cosí.r. . . . Cos(2n~1x) | Cos(2nx)Tan(x/2) Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 50 521 P = |2Senx.Cosx.Cos2x . . .Cos(2n ^x) lCos(2nx).Tan(x/2) |\Sen2(2n '1x)| = |\Sen(2nx) | ICos(2nx).T Tan(x/2)| \cos(2nx). T<m(x/2)\ P . Pero: x + = x . / * +1 = 2 , - •ran(x/2)l f ♦ 2 *x = » ■* 2nx = » - ^ Luego, por ser suplementarios: Tan(2nx) = Tan(* - y) = -Tan(x/2) Entonces: P = |-l| = 2 . Por tanto, en fl): A •= Log(P) = Logrfl) = 0 EJERCICIOS: Grupo 50 En los ejercicios del 1 al 12, calcular o hallar una fórmula para las sumos indicadas. 1. 2. 41__ ___ ___ ^ ( ’/Si^í - V3Í+2) i=1 7- ¿ ( i . 2 1) 1=1 (101+1 - 101) i=1 8. Z ! Cos(2k-1)x k=1 9- n Z l Coslíkx) k=1 100 3. z; _ 1 _ i=1 Í(i+1) 4. Z ü ( k *+2k+1) k=1 5. SCn-k+D1 k=1 6. 3* + 5* + 7 1 + (2n+1)* 13. Demostrarque: y* (n-i-t-1) ♦ i=1 5 14. SiZI (ai+b)=7 i=-1 15- 10. ¿ Cos2l(2x) k=1 12. ZT (kx)k ¡ k=1 = J" 1* i=1 5 yZI (ai+b)=20, hallar a-b. i=1 Sea f:H + R una función definida por f(x) 60 Si A = Z ] f(i) y i=1 2x*-200 60 B = Z l f(i'1) ; hallar A_B i=1 /3x+16 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 7: Inducción Matemática 522 16 . n Hallar el valor de n, si ^ 2 k = 255. k=0 En los ejercicios del 17 al 20, hallar el valor de la sumatoria dada. 17. 15 . i £ 3 ( 4 ) 2k+3 k=3 18. 5 k £ [ £ (-1) k=1 i=1 21. 22 . (k-i+2)] 19. 4 i £ ( £ k 2) i=2 k=0 20. 10 i £ ( £ k 2) i=8 k=0 10 12 Si £ (Ak-B)=22 y £ ( A k - r~B)=62, hallar A+B. k=0 k=3 4 5 Si se cumple que: £ (a2i-ai) = £(ak+6), hallar: E=3a*-7a-10. i=2 k=3 20 23 Se define por inducción: i) a a=h ii) . Hallar E = £ a . n+1 n £ a = h + £ a 1=0 1 i=0 1 24. n . Si £ ( i 2_ ■§ -■?) =72, hallar el valor de n. i=1 5 25. 20 25 Si £ k x - £ ( 2 k=1 k=5 26. 1 20 - £ [ ( k - 3 ) 2-(k-4)2] = 0, hallar x. k=2 n Sea f:R +• R definida por f(x)=x2+2x+1.Si £ [f(i+1)-f(i)] =143, calcu x - 3 ) lar el valor de E=2n2-n. ^ ^ 27 Determinar a,b y c tales que la igualdad dada sea cierta: 1 + 4 + 7 + . • • • + (3n-2) = an2+bn+c. 28. Hallar el número de términos necesarios para que la suma: 2+6+10+ ........ sea 12,800. k n =£ i , entonces hallar: £ S, . i=1 k=1 K 29. Si S * 30. n 1 1 n-1 Probar que: TT (1 + -r—q)1 = — ----- ,^ > 2 1=2 1-1 (n-1)! 31. Demostrar por inducción matemática: 2n 1 2n , 1,r+1 £ (-¡-) = £ — — , -Vníl k=n+1 r=1 r Sólo fines educativos LibrosVirtual • Sección 7.10: El Binomio de Newton 523 EL BINOM IO DE NEWTON Antes de enunciar y demostrar el teorema del binomio es necesario in troducir algunas notaciones que son muy frecuentes en el enunciado del teo rema. Definición 7.1 El factorial de un número entero y positivo n, que se denota por n!, se define como: n! -1.2.3. . . . n, si n>l 0! = 1 , si n=0 Como el factorial de n es el producto de una sucesión de números enteros del 1 hasta n, por analogía con la notación de sumas, podemos usar la notación para representar productos, esto es: n n! = TT i = 1 -2 .3 . . . . ( n - l ) n i=l 5 Por ejemplo: 5! = T T 1 = 1.2.3. A. 5 = 120 i=l o bien: ’ 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3.' = 120 En general: _______________ n ! = n ( n - l) ! Es decir, el factorial de un número es igual al producto de dicho número por el factorial del anterior. Definición 7.2 Sean n y r números enteros positivos tales que rcn. Se denomina coeficiente binamiaI o número combínalo rio de "n sobre r”, al símbolo (^)definido por: n! r!(n-r)! . , Por ejemplo: ,5. 5! 5.4.3! (¿) = -jrjT = 2!3/" Casos Especiales. C.E.l: 5.4 =X 7 = 10 (®) = 5 7 -5 7 = 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 7: Inducción Matemática 524 Nota. c-E -3: 0=7nT57 = J C.E.5: (n+1) = X 2 í i 4 = í m u n l = n H n nt.l! n! Se dice que dos números combinatorios son de orden complementarios cuando tienen igual numerador y la suma de sus denominadores es igual a aquel. Por ejemplo: 9 9 (2) y (j) 2 J S ) PROPIEDADES DEL CO EFICIENTE BINOM1NAL___________ ^ B.l: Dos números combinatorios de orden complementarios son iguales: (n ) = r* lí = _T-üí = ( n ) n-r* rt(n-r)! (n-r)tr! B.2: Para dos coeficientes binarniales que tienen igual nunerador y denomina dores consecutivos, vale la fórmula: (n ) + ( n ) = (n+1) r r+1 r+1 „ . . En efecto: .n. ,n , (r) + (r+1) = nf , ' rt(n-r)! n! (r+1)!(n-r-1)! n! n! rt(n-r)(n-r-1)! (r+l)r!(n-r-1)! n! 1 + — ] n! r n +1 i r! (n-n~l)! n r r+1 r! (n-r) ¡\.(n-r) (r+l)\ = _ n+l)n! _ (r+l)r!(n-r)(n-r-1) _________(n+1)! (n+l)¡ (r+1)!(n-r)! _ (n+lj (r+l)t[(n+l)-(r+l)]t B '3: r+1 <"+!> = 7Ti<r> _ . . .n , En efecto: ( ) = n! rt(n-r)! — n!(r+l) - r! (r+1)(n-r)(n-r-1)! — = r— - — r! (n-r)! l(r+1)! (n-r-1) ti n~r - J2Í_____ (r+1)!(n-r-1)+ Sólo fines educativos LibrosVirtual 1r+lM r' Sección 7.10: El Binomio de Newíon 525 B.4: r(n) = n(n {) . _ , . ,n. rn! n! n! En efecto: r( ) = ~ r r!(n-r)! (r-l)!(n-r)! (r-1)!I(n-l)-(r-l))! r r- i (r-l)![(n-l)-(r-l)]! 7.10.2 EL T E O R E M A D E L B I N O M I O Sí a y b son nüneros reales diferentes de cero y n un número entero positivo, entonces: (a + b)n = ¿ (nj a n-rbr r Daaostración. Por inducción completa: En efecto, sea P = {ncN¡ (a+b)n = ^2(n)an rbr } r=0 r (1) Para n=J + P(l): (a+b)1 = f' ( 1)a1~rbr f=0r + a+b = (í)a1'°b0+(1,)a1~1b1 0 1 + a+b = (l)a(l) + (¡DaPb1 = a+b — P(l) es verdadera (2) Para n=heZ+, supongamos que se cumple la proposición: P(h): (a+b)h = ^ A o ll'rbr r=0 r (Hip. Ind.) Entonces debemos probar que, P(h+1): (a+b)tx+1= ^2 (h+1 )ah+1 rbr, es V. r=0 r En efecto: (a+b)11*1 = (a+b)(a+b)lx = (a+b)"¿ (^la11 rbr r=0 r (Hip. Ind.) ,h. h-r.r . ,h, h-r.r (Ja b + b¿_,( J a b r=0 r=0 V> ,h,h-r+l.r ¿i Ji.„h-r. r+1 = ¿^(Ja b + ¿l ,(J a b r=0 r=0 . . . .bti .h.h+1.0 -A .h.h-r+lr %-i ,h. h-r.r+1 ,h.0,h+l + (a+b) = (Ja b + ¿_(ja b + 2_^( J a b + (h)a b r=l r=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 7: Inducción Matemática 526 + (a+bj per0: O = (0>a = C !* 1 b y (3) Conclusión. b + b C > + <r-l> = <*?> » (a+b)h+1 = rh¿ V +V ■* (a+b)*1** = 2 r=0 + 2_ 1/,J + (,.-^-1° r=l + ¿ (h+r1)ah-r+1br + íj:iía°bh+1 r-1 )a^+1 rbr ■* P(h+1) es verdadera. r Se ha probado que P(l) es V a P(h.) es V -*■ P(h+1) es V. (a+b)n = 2 (n )an~rbr r=0 Si designamos por Ti el primer término del desarrollo; T 2 el segundo, T3 el tercero y así sucesivamente, entonces: Ti = (n Q )an <r¡ ) ~ n T3 = Í > " ' V T r = ( n .)an~r+1br~1 r-1 Así, el término general del desarrollo es: r+1 (n )an-rbr Observaciones: (1) El desarrol lo de la potencia n-ésima de un binomio tiene n+1 términos, según lo indica la variación de r, desde O hasta n. (2) El coeficiente binomial de cada término del desarrol lo tiene como nisnerador el exponente del binomio, y el denominador es variable de O hasta n. (3) El exponente de a es la diferencia entre el numerador y denominador, y el de b es igual al denominador del coeficiente binomial. Es decir, la suma de ambos exponentes es igual a n, para todos los términos. (4) Los términos equidistantes de los extremos tienen igual coeficiente, por ser números combinatorios de órdenes complementarios. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 7.10: El Binomio de Newton Sil (5) Si en la fórmula del binomio: hacemos b=-b, entonces: n _ (a+b)n = Z (n)an rbr r=0 r (I) (a-b)n = (-I)r Z O 0” r,t)r r=0 r UI) (6) Si a=b=l, la fórmula (I) se convierte en la suma de los coeficientes bi namiales, esto es: .. o oten: - ♦ n Z. O r=0 r (p - (p + . . . + f"; + • • •] - [(p + < p (l)+(2) se tiene: 2 \_ ( p + ( p - y restando (l)-(3) t• v (1) 2 (p + (p + <p + ( p + (-l)n( p = 0 + <p + ■ ■ ■ ] = = 0 + . . . . = 2n ~1 2n 1 • Sl o-b=l T.B.2: '¿'(p(-l)r = 0 , si a=l, b=-l r=0 T.B.3: Zí",) = 2° 1 , si r par, r=2k , kzZ+ r=0 r T.B.4: Z (n) = 2n l r=0 r EJEMPLO 1. Solución. , si r impar , r-2k+l, kcZ+ 2 Hallar la expanción del binomio: (x1y + — )1 Por la fórmula (I): (x1y + “ )5 = Z (P(x*y)^ (zX r=0 * <xly +| r (2) + ■ ■ ■ • 1 = 2n obtenemos: ( p + ( p + ( p +. . . . = n T.B.J: 2 O r=0 En resumen: = n 0 = í - l / Z O r=0 ( p - ( p * ( p -( p * [íp) + Sumando ♦ yn > i (Q) + (1) + ( y + <3 > + •• • • + <n> = Si en (II): a=b=J Entonces: n (l+l)n = Z ('!) r=0 = (p<x1y)iX 1 5)(xly)X^) * (5 2)<x'y)é)1 * * (Ixx'yxl)' * < \ x p ' Sólo fines educativos LibrosVirtual (3 ) (4) C a p ítu lo 7: In d u c c ió n M a te m á tic a 528 (xly + | ; 5 = a :1 "y* + 5 r x y > ( | ) . + 10(xiy 3)(4x-1) + l O f x ^ K S x ' 3) + + 5 (x2y)(16x — ) + l(32x-*) = jc* ' ,y i+10x1y''+40x''yí+80xyí+80x'ly+32x~i Demostrar c a d a una de las siguientes afirmaciones: EJEMPLO 2. a) 2(n!)-(n-l)(n-1)! = n!+(n-l)! , neZ+ b) (n r> = r r2) + + (n rz2 2) a) 2n!-(n-l) (n-1)! = 2n(n-l) !-(n-l)(n-l)! = (n-1) l[2n-(n-lf¡ Demostración, = (n-1)!(n+1) = n(n-l)! + (n-1)! = n! + (n-1) ’ (n r) = (n~2) + b) + ( ^ = ("'h + (B.2) = f"; y nuevamente por B.2: Simpl ificar cada u n a de las sumas indicadas: EJEMPLO 3. .n-1. . „ _ ,n-2. ,n-3. a) S = (r-1,) + (r-2n ) + ( r-3 o) b) l(j) + 2 ( p + Solución. + yri-4. ( .) + r-4 + . . . . + .n-4. + ( c) r- 5 n i"; a) Aplicando sucesivamente la propiedad B.2 en cada dos últimos términos, se tiene: c - fn~ l) + , n ~2 ) + ,n- 3 ) + , r‘ - 3 ) _ .n-1. n-2 n-2. s - f r _ p + (r_2) + <r_3) + (r_4) -(r_}) + <r_2) + í r _3 ; = b) ín - i ) + f" " 1; r-2 'r - i' = c " r-1 Apoyándonos en s = ) la p ropiedad B .4 : Pero s i : Por lo + . . . + ■ ♦ n^:J; + = n[ín¿J ,-+ fr,J2) + £ Ó r=0 tanto, EJEMPLO 4. Solución. en = ^ - r("; <n23) + ■ ■ ■ ■ + = n i" j;, se tiene: ní^:j; (”:{)] = nr=0 ¿ ( n~ r1) (1) (T.B .l) E f n " J J = 2 n ~i r-0 (1): S = n ( 2 n *) Hallar los valores de x, tales que: (^f) = (^) Por ser números combinatorios iguales: x l=2x Sólo fines educativos LibrosVirtual ■*-* x-0 o x=2 Ejercicios Ilustrativos 529 y por ser compleoentarios, según la propiedad B.l: x zr2x-35 —►x-5 Pero - U N - o x=-7 C.S - 10,2,5} EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Solución. Hallar el valor de n para que: 22 (2r+ l)(n) = 2n+4 r=0 r 22<2r+l > 0 = 2 I > 0 r=0 r=0 = Z 72r O r=0 + ¿ O r=0 + ¿n (1) = 0(n) + J 2 r ( n) = n j ^ ^ Z 1) = n . J 1' 1 r=0 r-l r n r=0 n-1 . y por la propiedad S.Sb: 2 r (” ) = n ^ 2 ( n r=0 r=0 (B.4) r . ) = n.í1 ( T .B .l) , n Entonces, en (1): J2 (2 r-h l)(n) = 2 n . í l~1 + 2n = ^ (0 + 1 ) r=0 r Luego, si: 2n (n+l) = 2n+4 2n (n+l) = 24.2n n+l=24=lS 3 * n=l5 Ir 1 S im p lific a r : S = (r + 2 ) . ' [ ¿ f V ) + E ( " V il )] r=0 K k=2 S = (r+2)![(nr ) * f ¿ j ) + (?+*) + * O y por B.2.- 5 S = = r >C ^ + 0 + 2 ) > ------------------------ = - - * 1 EJERCICIO 2 . Solución. * (r+3)! ( n - r ) ! ( r > + 3 ) ! .. (r+ 3 )(n -r)! n EJERCICIO 3. ’ Demostrar que: ^ 2 r ( r ! ) = (n + l)!-l r=l n Solución. Según S . 4: 22 Lr ( r ! ) - ( r - l ) ( r - l ) ¡ ] = n.n! - 0 ( 0 ) ! r=l n -* 21 " r ( r - l ) ! + (r -I)/J = n.n! r=l n + - 2 ] [r(r!) ~ r '• + (r-l)t2 - n.n! r=l n n n * ZE2r(r!) - 72 [>•’ ~ (r~i) 0 = n-n! * 72r(r!) ~ (n! ~ r=l r=l r=l Sólo fines educativos LibrosVirtual - n,n? Capítulo 7: Inducción Matemática 530 n ■ £ r ( r ! ) = n.n! + n! - 1 = (n+l)n! - 1 = (n+l)!-l + r= J EJERCICIO 4. 100 9fí , Demostrar que: 'P.LoQ(2k+l) = L og -----------k=i 100!(21 U ) 100 100 Demostración. En efecto: ~^Log(2k+l) = Log1~f (2k+l) = Log(3.5.7... 201) k=l k=l = Log(l.3.5.7 Sea: x = 1.3.5.7....201 * 201) 1.2.3.4. 5 201 2.4.6............. 200 x 201! a . 2) (2.2) (2.3)------- (2.100) 100 201! 201! 2100(1.2.3____ 100) 2100(100!) 9011 ' Luego, en (1): ^Log(2k+l) = Log k=l 100!(2100) EJERCICIO 5. (1) Sean n y k números naturales t a l e s q u e n>k. Demostrar que: n _ n k S = ¿ e * P ío ¡"¿L ogi - ¿ L o g ¡ k=l k li=l i=l - n-k J^Logi + (n-k)Logx+kLogy\ i=1 J e s equivalente a: (x+y)n - xn . n n En efecto: 2 1 Log i = L o g T T ¡ = Logn! i=l i=l Demostración. (Def. de factorial) + S = ¿ exp,. (Logn! - Logk! - Log(n-k)! + Logxn ^ + L o g y kl k=l 1 J n o r. n! , ,n-k, ,Jcl ■Q-',n, n-k k explt\Log (x) (y) = ¿ j (üx y L k!(n-k)! J k=l Z k=l ^ / t i , n-k k ,n, n-0 0 ^ ,n, n-k k n y - ( n) x y = Z, ( J x y - * * s = Z <k >x k=0 k=0 . EJERCICIO 6. • r* / . . S = (x+y) - yn Hallar el coeficiente de x ** e n e l desarrollo de: (x'^x-1)1*. S o lu ció n . Si Tr+1= (n r )an'rbr - + T , +J x (13)(x>)13~r(-2X'*)r Tr+1 = (1l)(-2)r(x)39~5r . Si x 39~5r = x14 ++ 39-5r=14 ~ 13 5 Luego, e l coeficiente del término buscado es: C 4 = ( §)(~2) - -41,184 Sólo fines educativos LibrosVirtual r=5 Ejercicios Ilustrativos EJERCICIO 7. 531 Eí coeficiente del tercer término del desarrollo de (xSx+x~k)n es mayor que el coeficiente del s e g u n d o término en 44. Hallar el término que no contiene a x. Solución. •* ( p = (p+44 Si C,=Ci+44 de donde: n l-3n-B8=0 ~ n-11 p n + 1 ) = n+44 o n--8(N Término general del desarrollo: Tr+1 = (^p(x^x)1^ r(x~'')r Entonces, si (x878)1* r(x Luego, el término buscadoe s : T* = (7p EJERCICIO 8. = sP +— pll-r)-4r = O +— ’ r=3 = 165 Si ae R , afO. Si un término del desarrollo de (jjxy-2y*)n es n+a 33aV y 1' , hallar: y\(n]a). k=0 Solución. Si Tr+1 = (nr)an~rbr * de donde: xn r = x 7 *■+ n-r = 7 y n+r = y 17 Cálculo de a: (p(%cy)n~r(-2y*)r = 33a*x7y 17. 1 , 7 JI n+r = 17 «-» - (1p ( j ) 7(-2)5 = 33a8 * r=S a = - = S . n+(1 6 R K 2 ( ) = T. Ó = 2 = 64 k=0 k k=0 K EJERCICIO 9. Hallar la menor potencia a la que hay que elevar a+b de tai manera que el desarrollo contenga el coeficiente 84. En qué lugar? Solución. Dado que: ( p = 84 = 2**3*7; busquemos la menor potencia de n dando valores a r, esto es: Para r=l r=2 ■» (p=84 * - (p=84 * J(n-l) = 84 n=84 - n(n-l) = 2'*3*7 Como (n-l)n es el producto de dos números enteros consecutivos, no existe ncN que satisfaga la ecuación para r=2. Para r=3 - ( p = 84 - = 2**3x7 - n(n-l)(n-2)=2i*3tx7=9x8x7 Sólo fines educativos LibrosVirtual 532 Capitulo 7: Inducción Matemática Como el segundo miembro es el producto de tres m in e ro s enteros consecut ivos entonces, la menor potencia a la que hay que elevar (a+b) es n=9. Obviamen te, existe dos términos equidistantes de los extremos que tienen como coefi dente 84. Conocido un término para r=3 y n=9, el otro término se determina aplicando la propiedad B.l: (n)=( n ). Esto es, (t)=(t)=84. Por tanto, r n-r 3 o t é r m i n o s s o n : T , y T7. EJERCICIO 10. Si el coeficiente binomial de x Solución. es ( Término general: T An—O ) siendo a<20, hallar el coefic. de x = (78)(x)78~r(x-l)r r r+i 78-3r = 45 sí (7y 8-3r - <7y en el desarrollo de 70 7<¡ (x+x-*) 45 5 los r+a = 78 + = (78)x78~3r r r=ll + r = a . a=67>20 + a=ll<20 Luego, el coeficiente que contiene a x4a 8 lo obtenemos de: x4a 8 = x 78 3r, si a=ll + x36 = x 78 ' 3 r ~ 36=78-3r - r=14. 7R Por tanto, el coeficiente buscado es: C ¡t=(14). EJERCICIO 11. Determinar el coeficiente de x * e n e i desarrollo de: (l+3x*-2x')‘. Solución. En e s t e la c a s o se trata de un trinomio al cual se le puede dar forma de u n binomio agrupando sus términos convenientemente: (l+Ox'^x'))*. - /it(3x*-.2x',>J‘ = E (8)(l)6~r(3x*-2x')r = ¿ f ® K 3 x * - 2 x ' ; r r=0 r (1) r-0 r (3xl-2x'f = 2 (l)(3x1)r~k (-2x')k = 2 (Z)(3)r~k(-2)kx2r*2k k=0 K k=0 K En (1): (l+3x'-2x')< = E E ( i ) O ( 3 ) r ' k (-2)kx2r+2k r=0 k=0 r K Para los enteros r y k se deben cumplir las siguientes condiciones: 04 k 4 r 4 6 Para x * : 2r+2k = 8 + r+k=4 Dando valores a k (k 4 r) encontraremos los valores de r correspondientes, esto es, para: k=0 + r=4 , k=l + r=3 , k=2 + r=2 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 7.10: El Binomio de Newton 533 Entonces en el desarrollo de la potencia dada, hay tres sumandos con x’, cu ya sima t o t a l e s e l c o e f i c i e n t e buscado: - C = + (\)(2 2 )(Z)'(-2)1 = 1215-1080i60 :. c = ios EJERCICIO 12. Solución. n Hallar la fórmula para: S = £ r < ■> r=l Expresando: rl-r(r-l)+r , se tiene: S = *t[r(r-l)+r)]fy = ¿ r f r - I + J T r f y r=l r=l r=l n Para r-1, el primer sum ando e s c e r o r(r-l)(n) = * S = ^ r(r- ^ n! r(r-l)n! r!(n-r)¡ r(r-l)(r-2)!(n-r)! n r(r-l)(r) + r( ) (1) (r-2) ’ .(n-r)! = n(n-l)(n r:2 2) (r-2)![(n-2)-(r-2)]! En (1 ): S = n ( n - l ) Z ( T 2 ) * Z n C - 7 '> r=2 r £ r=l (B’4) = n ( n - l ) X < nZ2) + ri'¿(nZ1) = n(n-1)2n"2+n2n~1 r=0 (S.9b y T.B.l) r=0 = n.2n~2 (n-1 + 2) = n(n+l).2n~2 5 EJERCICIO 13. S o lu ció n . Hallar el valor de: 5 4 S = Z( Z Q 5 4 ( ZEZ l( > * 2kiI> i=l k=l 4 5 , . + 2i Z Z kl = T t 4 ( ¡ ) + 2i.l(4il)l i=1 k=l = S = k=l i=l 5 4 ' Z ( 5.) i 2ofZi i=l * i=l 5 = 4/ £ ('i) ~ Ó l i=0 = 4(2S - 1) + 300 = 424 Sólo fines educativos LibrosVirtual + 20.5 ? (5H) (S.lyF.l) Capítulo 7: Inducción Matemática 534 EJER C IC IO S: G rupo 51 En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 4 , d e s a r r o l l a r u sa n d o e l Teorem a d e l B inom io. 1- (-fx - ¿ ) 6 25. (n -3 )! D e m o strar q u e : n 7. D . R e s o lv e r : , ( ^ t * )5 4. (ff + ^ ) 4 3n ! D e m o strar q u e : 6. 3. (n -2 )! ( n - 1 )! ( n + l) [ n .n 1 + ( 2 n - l ) ( n - l ) ! + ( n - l ) ( n - 2 ) ! ] = (n + 2 )! (n+ 2 )! 72n! . -i------— - _______ = 0 ( n - 2 )! ( n - 2 )! S. n H a l la r e l v a l o r de E = T 1 \ ^ ( . ) 1 k =1 i =0 1 9. S i ( a ) + I 4 ( g ) + 3 6 ( j ) + 2 4 (J|) = 2 5 6 , h a l l a r e l v a l o r de n . 10. S im p lific a r: E = (£ ) + ( ” ) + (n^ 1 ) 11. S im p lific a r: S - (» ) + ( £ ) + ( n +2 ) +( £ * ) +. . . . + +( £ ) + (£ j) (J^ ) + £ j) 12. S i s e cum ple l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n : (") + 3 (") + 5 (" ) + . . . . + ( 2n+ 1 ) ( ” ) 23 .. e . /n + 1 . /n + 1 . 13‘ Sl 14. S i (” ) m /n + 1 . 5 . : ( m } = 1 y ( m } : (m-1> " J ’ hallar m-n = ( " ) y 4 (” ) = 5( " ) > m+1 m m—1 15- S i m p l i f i c a r : S i ( 2 2 ) : ( 2^ ) 17. Si (n ) = B(n ) 4 h a l l a r m+n. (a ' 2 ) + £ ( £ ”^ ) 16. 5 /n + 1 . , h a l l a r e l v a l o r de n . 11 ( " ) + 2 ( g ) ♦ 3 ( 3 ) + .............................. + n ( " ) = y ( m3 ^ ) - ( m2 2 ) = m+2> h a l l a r e l v a l o r de m*+ y ("*?)-( 1 ? )= 0 , p a r a m=2, h a l l a r e l 4 m+2 80 80 18. S i ncN y ( j n i_¿f ) = ( g n v a l o r de m+n. > h a l l a r e l v a l o r de E=n’-5 Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 51 19. Si (m+1)! .1_____ + Si ( m! (m -1 )! , + -i — - 6 (m - 2 ) ! m! 20. 535 X —¿Xj = (* .,o^í?; M O -1 4 X y _ , „ , ,, , , , ,n , n=2m +1, h a l l a r e l v a l o r de ( ) (m - 2 )! m ) . h a l l a r e l p ro d u c to de to d o s l o s p o s i b l e s v a lo - r e s e n te r o s de x. 2 1. Sea x eNK x 2+i ° x i o ^ 5 x + 6 ^ * e n ^ o n c es h a l l a r e l v a lo r de A=(* )• 22. S i ( 3^ ) = ( X+ 1S )> h a l l a r e l v a lo r de S = (* ) + (* ) 23- H a l la r e l v a lo r de n t a l q u e : 24. Al d e s a r r o l l a r ( 2 x - y 2) 7 s e t i e n e lo s té rm in o s Mx^y*, Nx*y^. H a l la r M-N 25+ El s e x to té rm in o de 2 6. S i S j y S j son l a s sumas de to d o s l o s c o e f i c i e n t e s de l o s d e s a r r o l l o s n ^ (2 k + 1 )(P ) = 80 k=0 - 2 y 2) n e s 3 3 a x 7y 17, h a l l a r ( a + n ) '. de ( l + x ) n y ( l + x ) m, r e s p e c tiv a m e n te , y s i : S j --.8S2 y S l S za 5 1 2 t d e te r m i n a r e l v a lo r de mn. 27+ Al d e s a r r o l l a r (x + a y )n , en o rd e n d e c r e c i e n te con r e s p e c t o a l a s p o te n c i a s de x , s e t i e n e e l c u a r t o té rm in o i g u a l a 6 7 2 x 6y 3. H a l la r n - a . 28. Sea A e l té rm in o c e n t r a l en e l d e s a r r o l l o de (— + —) 18 y E e l té rm in o x a 3 1 i n d e p e n d ie n te de x en e l d e s a r r o l l o de (-^x2 9 * h a l l a r A+18B. 29- S i ax^y e s un té rm in o d e l d e s a r r o l l o de ( x 2- 2 . 3./y ) 8, 30. E l té rm in o que c o n tie n e a x 1^ 8 (—x 2/ 3y 1/ ' 31. h a l l a r : a -b en e l d e s a r r o l l o d e : /3~ - —x _ I/ 2y ~ 2/ 3) 18 tam b ién c o n tie n e a y . H a l la r su e x p o n en te Qué té rm in o d e l d e s a r r o l l o de - — ) 18 t i e n e a x e y con e l mismo y 2 X 5 e x p o n e n te . 32. Qué té rm in o d e l d e s a r r o l l o de ( i g u a l e s de x e y . 33+ y - v2 — ) 15 e s t á form ado p o r p o te n c ia s 3x* Dado e l binom io (-^-j - 3 x 2) n , s i en su d e s a r r o l l e e l mayor e x p o n e n te de x es 3 4. 3x 2 2 4 , h a l l a r e l c o e f i c i e n t e d e l té rm in o que c o n tie n e a x %. En e l d e s a r r o l l o de ( x ~ * -x ~ l ) 1# l o s té rm in o s que ocupan l o s l u g a r e s : 7m+2 y 2m t i e n e n c o e f i c i e n t e s i g u a l e s . H a l l a r d ic h o s té rm in o s . Sólo fines educativos LibrosVirtual 536 Capitulo 7; Inducción Matemática U 35- S ea e l k -é sim o té r m in o d e l d e s a r r o l l o d e (x+ y) y T’ ^ e l ( n - k ) - é s i mo té rm in o d e l d e s a r r o l l o de (x+y)**. H a l l a r e n su form a más s im p le : 36. H a lla r e l v a lo r d e : 2 le=1 ( . n . )(-l/2 )* f . (S u g . H acer cam bio d e v a r i a b l e s ) , n k+1 . . A = 53 t Zü ( 1) 1 k=0 r=1 r _ 37. C a lc u l a r e l v a l o r d e : xo 38. e i /2 n -1 . ;2 n -1 . _ ✓2n—3 \ /2 n —3 \ . . A 132 , .. S ean A=( n _2 M n _-j) 7 B=( n _ i ' + ^ n ' q u e : "B “ "35 ’ h a l l a r n * 39- E l r - é s im o té rm in o d e (2 k x + y 1) 1* e s 8 >0 6 4 x ,y , , . H a l l a r : 2 k + r 60. S i e l q u i n to té rm in o d e l d e s a r r o l l o (2x* - -^xy*)n e s 2 6 6 0 x l *y11, d e t e r m in a r e l c o e f i c i e n t e d e l té rm in o que c o n ti e n e a x 1 ’ . 61. En e l d e s a r r o l l o d e l b in o m io (9 * * - * | ) 1*. h a l l a r e l c o e f i c i e n t e d e l té rm in o que c o n ti e n e a x ‘ x . 62. D e m o strar q u e ¥ n e |: (" ) + 3 (" ) + 5 ( |) + . . . . + (2 n + 1 )( " ) = ( n + l) 2 n [ S u g e r e n c ia . E x p r e s a r ( q ) en f u n c ió n d e 63. A n a liz a r l a v e rd a d o f a ls e d a d d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c io n e s : a) n , „ „ / „> n n+1 53 i r = *n r ....j, ,;¿1 , -VneZ+ i=1 (1 -r)* 11 b ) No e x i s t e neZ+ t a l q u e : 2 1 k =2 66. 1 ) = 6 6 (n - 1 ) K_1 D e te rm in a r e l c o e f i c i e n t e d e x** e n e l d e s a r r o l l o d e (3 x + 2 x ’ - x _*) * . H a l l a r ta m b ié n e l té rm in o in d e p e n d ie n te . 65. H a l la r e l c o e f i c i e n t e d e l té rm in o que c o n ti e n e a x*y* e n e l d e s a r r o l l o de (p x , + qxy+ ry1 )* ; p , q , r c o n s t a n r e s . 66. Dado n c l , r e s o l v e r e l s i s t e m a : Sólo fines educativos LibrosVirtual 537 S U C E S IO N E S 01 INTRODUCCION___________________________________ • Q Es una experiencia común el encontrarse con un conjuntó de números dispuestos en algún orden. El orden y disposición puede conocerse de antema no, o posiblemente habrá que descubrir una ley para ellos a partir de algu nos datos. Por ejemplo, sea el conjunto: 16 , 8 , 4 , ' 2 , 1 , , 1 /2 + ♦ + + + t a» a* a, a» a¡ a, . .. . . ? i an Vemos que a cada número natural le corresponde un número an , entonces pode mos expresar dicho conjunto por la fórmula: an = a(n) = 16(2)1'n , n*N Esto define una función f c u y o s elementos son los pares ordenados i(n,an)}. Esto es: /= 1(1,16).(2,8),(3,4),(4,2),. . . . } El dominio de f es N y el rango es: { 16,8,4,2, . . .1 = ia(n)jneW, a(n)=18(2)1~n ) Una función tal se llama sucesión numérica infinita. D E FINICION 8.1 Una sucesión es una función c u y o dominio es el con junto de los números naturales o subconjunto están dar de él. Si el dominio es N, se l l a m a sucesión infinita; si en cam bio es un subconjunto estándar de N, se lleena sucesión finita. Los nú meros del rango de la sucesión, llamados elementos de la sucesión, es tán restringidos a los números reales. Sólo fines educativos LibrosVirtual 538 C a p ítu lo 8: S u c e s io n e s Ya que el dominio de toda sucesión es siempre N o Z+, podemos usar la n o t a c i ó n {f(n))o t a n } para denotar una sucesión. Ejemplos: (1) a = ( (1,-1),(2,1),(3,3),(4,5), . . . 1 e s una sucesión infinita, en don de el n-ésimo término de la sucesión es an=2n-3, de modo que podemos es í a ^ í = {2n-3( = -1,1,3,5, . . . ,2n-3 cribir: (2) b = 1(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)} es una sucesión finita, en donde, = {2n\n < 6} = 2,4,5,8,10 t>n=2n, neN, 1 4- n 4 5 , de modo que: (3) La sucesión para la cual: f(n) = tiene como elementos: entonces: i , | , I , | , 1 , | {(1,1),(2,1/2),(3,1),(4,1/3),(5,1).................... } f= es una sucesión infinita. Nota. Otro método para definir ung sucesión es dar el primer término y una fórmula para el término n+1 en función del n-ésimo término. Tal tipo de fórmulas se llaman fórmulas de recurrencia. EJEMPLO 1. Escribir los términos de la sucesión l a n > en la que: a ¡=16 y an+l = (l )an Solución. Si a¡=16 + a 2=(j)(16)=8 , a 3=(j)q2=4 , a 3=(^-)a¡=2 y así sucesivamente. Luego: EJEMPLO 2. Escribir cuatro términos de l a sucesión cuyo primer término es 2 y en la que: a (a ) 3 , = n 1 Solución. í a ^ l = 16,8,4,2,1 0____ (an - l)(an + 1) Se sustituye a¡=2 en la fórmula de recurrencia para obtener a 2 , luego éste para obtener a, y a s í sucesivamente. * a* (2)' 1/9j.í I - 131 (2-1)(2+1) (16!7)1 16 a ’. U 3 (4/3)í _ 16_ 256 207 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 8.2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas , . Luego: . 539 „ 4 16 256 = 2 , y , -j , m E J SUCESIONES AR ITM ETIC A S Y GEOMETRICAS____________ ^ Hay dos tipos de sucesiones que son importantes en la matemát ica ele mental como para garantizar un e s t u d i o especial. La s u c e s i ó n t o n ) , en donde d = a -a ,, Vn>l, s e llama sucesión aritmética oprogresiónaritmética, n n-1 * d se llana diferencia canún. a La sucesión )a ( , en la que r = --------, Vn>l, s e llama s u c e s i ó n geométrica o n an-l progresión geométrica, r se llama razón común. = O i,o ¡,a j, a) Sea la sucesión aritmética: Por definición: d = a z - a¡ d = a , - a J = a , - a d = an - a n - i (1):(a^ } = a , , de donde: an = a , + (n-l)d b) Sea a,-* !, - * 1 -2 d a (1) a , = a , + 2d * a , = a , + 3d an = a l r (n-l)d a ,+ 2 d , a,+ 3d, . . . , a, la sucesión geométrica: {a^} = a , , a , , a , , Por definición: -,on ■* a¿ = a L + d d = a , - a ¡ = a , - a l -d Luego, en . . +(n-1)d . . . , c (2) 2 = r.a 4 a , = r . a , = r ( r . a , ) = atr* a , = r . a , = r ( a , . r z) = a ¡ . r * ' . n-2, n-1 an = r.an l = r(atr ) = a 4r Luego, en de donde: Por tanto, = a (2): 4 , a 4r , a 4r 2 , a 4r 3, . . . , a 4r n 1 a= a.rn 1 n 1 tenemos fórmulas que comprenden el primer término, el n-ésimo término, n , d o r. Podemos usarlas para encontrar cualquiera de las varia bles cuando se conocen las otras tres. EJEMPLO 1. Qué término de la sucesión aritmética: f a n > = -15,-13,-11, . . . . , es 89? Sólo fines educativos LibrosVirtual 540 Solución. Capitulo 8: Sucesiones De la sucesión dada; a i = - 1 5 , an~89 y d=-13-(-15)=2 Si on = a , + f n - 2 > d -* 89=-15+(n-l)2 , de donde: n=53 Luego, a,,=89 EJEMPLO 2. El cuarto término de una progresión aritmética es 16 y el déci mo término es 28. Hallar el término 50. Solución. 6 •» a,+3d = 16 (1) a¡,= 28 * a,+9d = 28 (2 ) a* = i Se tiene: Ahora de (1) y (2) obtenemos: a ¡=10 y d=2 Luego: EJEMPLO a s , = a¡+49d = 10+49(2) = 108 - 3 . Si a,b,c son tres números en progresión aritmética, tamos en 1,4 y 9 respectivamente, son y siaumen directamente proporcionales a los números 3,9 y 18; hallar el valor de E=a+b+c. Solución. Sea k el factorde proporcionalidad, si: a+1 = 3k •* b+4 = 9k - c+ 9 = 18k Dado que a,b,c es sucesión aritmética + a = 3k-l b = £>k-4 + c = 18k-9 d = b-a = c-b + 9k-4-(3k-l) = 18k-9-(9k-4>, de donde: k=2/3 Luego: a=3(2/3)-l=l EJEMPLO , b=9(2/3)-4=2 , c=18(2/3)-9=3 - E = a+b+c = 6 4. La suma de tres números en progresión aritmética es 12 y la suma de sus cuadrados es 66. Hallar la sucesión. S olución. S e a ¡a sucesión: la n f = a - d , a , a+d + (a-d) + a + (a-d)1 + a 1 + (a+d)1 = 66 - 3 a * + 2 d l =66 3(4)1+2d1=66 = 1,4,7 Luego, en (1): EJEMPLO 5. (1) ( a + d ) = 12 , de donde: a=4 o + d*=9 ++ d=3 o Si los términos de lugares p,q,r de una progresión aritmética son a,b y c, respectivamente, hallar el v a l o r de: E=(q-r)a+(r-p)b+(p-q)c. Solución. Si: d=-3 {a^} = 7,4,1 dp = a a +(p-l)d = a (1) bq = b + a +(q-l)d = b ( 2) cr = c •* a + (r-l)d = c (3) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 8.2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas 541 Restando: (l)-(2) , (2)-(3) , (l)-(3) , o b t e n e m o s respectivamente: a-b = (p-q)d Luego: , b-c = (q-r)d E = (^)a + (^)b + (^)c = ^ de donde: c-a = (r-p)d , - aC> + ^ - a b ) + <ac-bc) E = 0 Los números reales a , , a j , EJEMPLO S. . . . ,an son positivos y están en progresión aritmética de razón común d. Si T = n Ja , + /al + Ja l /al Ja~, + J a l obtener u n a expresión simplificada de Solución.Racional izando j _ /oí n ” /an-l + / a n Tn en términos dea¡, el denominador de cada sumando se tiene: J a l - /al a, - az " /a~i ^ a, - a, _ / a l - Ja i -------_g +T ^ Ja l - Jal ^ ^ â n n-1 a„ - a » • ■ ■ + - a n _i Ja, - Jal + -----Ja\ --j----Ja, g — Ja - Jal Simplificando queda: T = ------- -¡ ; pero: n d ' (n-l)( J a n - JcT,) Luego: n _ /an-l + - .• .• . •-+- -----— 3 ------------ a— a -a, a = a,+(n-l)d - d =------------- * J T n an ~ a ‘ EJEMPLO 7. Demostración. Ja~ + Ja~, n 1 Demostrar que si a,b y c están en progresión geométrica, se (a+b+c)(a-b+c) = a*+bl+cl. cumple: En efecto, como a , b , c están en progresión geométrica, entonb a c e s:— = r Luego: a^ y n. (a+b+c)(a-b+c) = y c i> -r- = r b * a =— y v , c = br . + b + br)(^ - b +br) = b l f (j; + r)+l]((~ + r)-l] = b 2f(j: + r)1 - 1] = b'fjr, + i + rz) = (^)z + b 1 + (br)1 = a 2 + b l + c l EJEMPLO 8. La suma de tres números en P.O. es 70, si se multiplican los dos extremos por 4 y el intermedio por 5, los productos están en P.A.Hallar Solución. la sucesión geométrica. Sea la sucesión geométrica: l a n )= -fl- : Sólo fines educativos LibrosVirtual a : ar 542 Capitulo 8: Sucesiones ~ af1 * * — + a + ar = 70 r Sea la sucesión aritmética: * r + r *j = 7 0 (1) r = 4(— ) , Sa , 4ar r * 5a - 4(— ) = 4ar - 5a , de donde: 2r*-5r+2=0 +-+ r r=2 o r=l/2 Sustituyendo ambos valores en (1) se obtiene: a=20 i a „ } = 10 : 20 : 40 EJEMPLO 9. í a „ > = 40 : 20 : 10 o Tres números diferentes cuya sima es igual a 93 forman una P. C. También se pueden c o n s i d e r a r como el primero, el segundo y el sétimo términos de una P.A. respectivamente. Hallar el producto de tales núnero s. Solución. Sean los números en P.G.: Entonces: Además: a : a+d : a+6d = 93 a +(a+d) + (a+6d) — t ...? = - 2 ^ - - De (1) y (2) obtenemos: (a+d)* = a(a+6d) a=3 y d=12 ** - 3a+7d = 93 (1) d=4a (2) {an } = 3 : 15 : 75 * P = (3)(15)(75) = 3 , 3 7 5 EJEMPLO 10. En una P.C. se tiene: at=2, an-¡=-486 y an=13,122. Hallar la razón y el número de términos. Solución. Si an- 3 = -486 an = 13,122 * airn 4 = -486 (1) - a i r " _J = 13,122 (2) « n i nn *= ■ ■lo g ' n-4 - 4oo -J't 1 D i v i d i e n d o (2) entre (1) se tiene: r J = -27 *► r = - 3 r Luego en (1): EJEMPLO 11. 2(-3)n'4 = -486 - (~3)n~4 = (~3)5 ~ n-4=5 Dividir 45 en cuatro partesque están en P.G. producto de la primera por (a - n=9 y talesque el tercera es al producto de la segunda por la cuarta como 1 es a 4. S o lu ció n . Sean las partes de 45: -2 ; a : ar ♦ — + a + ar + ar2 = 45 r - Ademas: (a/r)(ar) 1 a(ar*) 4 -----------!— - = , de donde: Sustituyendo en (2): a=6 . * a(4 + r , = 4 : ar2 (1) r * r— Í -J L - ) = 45 r * r=2 Luego, en (1) se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual 3:6: 12 : 24 (2) Ejercicios: Grupo 52 543 En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 5> e x p r e s a r l o s p rim e ro s c in c o té r m in o s d e l a s s u c e s io n e s d a d a s . 1. {2n * + 1 > 4. a i= 1 0 0 , a n+ -| = ^ ( a n - 2 ) 2. « - I ) n+1( 2 n - 1 ) l 5. a ,= 3 , a i= 1 , a n+2=an+i - a n , -VaeH 3a . ai,= 1 , a n+1 = a 2 „ + 3a En l o s e j e r c i c i o s d e l 6 a l 11, h a l l a r una fó rm u la p a r a e l té rm in o n -é sim o de l a s s u c e s io n e s cuyos p rim e ro s 4 té rm in o s s e d a n . 6. 4 , 8 ,1 2 , 1 6 , . . 9. 7-....- 2 ,7 , 2 2 , 4 3 .................... A **• 1 1 1 2 ’ " 3 ’ 4 ’ 1 5 ’ ' 10. n 2 , 6 , 1 0 , 1 4 .................... (1 x 2 ),-(3 * 4 ),(5 » 6 ),-(7 x 8 ), JL ± _L . . JL 3 * ' 4 ’ 2 7 ’ “ 18 .................... 1 2. La suma d e l segundo y q u i n to té rm in o s de una P .A . e s i g u a l a 1 4 , l a s u ma d e l t e r c e r o y s é tim o té rm in o s e s i g u a l a 8 . H a l l a r e l té rm in o c i n c u e n ta . 13- La suma d e l t e r c e r y s e x t o té rm in o s de una P .A . e s i g u a l a 3 , y l a suma de s u s c u a d ra d o s e s i g u a l a 4 5 , h a l l a r l a s u c e s i ó n . 1 4. D e te rm in a r e l v a l o r d e k de modo que l a s u c e s i ó n : (8 k + 4 ,6 k -2 ,2 k -7 1 sea a ritm é tic a . 15- La suma d e t r e s té r m in o s e n P .A . e s 27 y su p ro d u c to 5 0 4 . H a l la r l a s u c e s ió n . 16. D i v i d i r 20 e n c u a t r o p a r t e s que e s t á n e n P .A . y t a l e s que e l p ro d u c to d e l a p rim e ra p o r l a c u a r t a s e a a l p ro d u c to d e l a se g u n d a p o r l a t e r c e r a como 2 e s a 3* 17* L as c i f r a s de un número e n te r o p o s i t i v o que t i e n e t r e s d í g i t o s e s t é n en P .A . y su suma e s 2 1 . S i l o s d í g i t o s s e i n v i e r t e n , e l nuevo número e s 396 u n id a d e s m ayor que e l número o r i g i n a l . H a l l a r e l número o r i g i n a l . 18. S i l o s núm eros p o s i t i v o s a j . a j y a , e s t á n en P .A . y l o s núm eros p o s i t i v o s b , , b j y b» e s t á n e n P .G ., y s e sa b e que a ,= b » = 3 , a ,- b a = 6 y a ,= b ,, h a l l a r e l v a lo r d e : 3 £ (a ¿ + b j). Sólo fines educativos LibrosVirtual 544 Capitulo 8: Sucesiones 1 9 H a l l a r e l núm ero d e té rm in o s d e l a p r o g r e s i ó n : 3 2 4 ;- 1 0 8 ;3 6 ; . . . ; 20 . Dadas l a s s u c e s i o n e s : (a n } = 1 /3 ,1 , 5 / 3 , 7 / 3 , . . . , a n y ) b n l = l / 5 , 4 / 5 , 7 / 5 .......... >bn í h a l l a r : a ) b ) 1 5 (2n + ^ n ) 21 . En una P .O .: a , = 1 /2 7 y a ,= l / 2 4 3 ; h a l l a r l o s t r e s p rim e ro s té r m in o s de l a p ro g re s ió n . 22 . E l p ro d u c to d e t r e s núm eros en P .G . e s 216 y l a suma de l o s p r o d u c to s que r e s u l t a n tom ados dos a d o s e s 1 56. H a l l a r l o s n ú m ero s. 2 3. Una P .A . y o t r a P .G . t i e n e n p o r p r im e r té rm in o 3 . s u s t e r c e r o s té rm in o s i g u a l e s y l a d i f e r e n c i a e n t r e e l seg u n d o té r m in o de l a P .A . menos e l s e gundo té rm in o de l a P .G . e s 6 . H a l l a r e l seg u n d o té rm in o d e l a P .G . 2 4. La suma de t r e s núm eros e n P .A . e s 1 5 . S i e s t o s núm eros s e aum entan en 2 ,1 y 3 r e s p e c tiv a m e n te , l a s sum as qued an en P .G .. C a lc u l a r l o s núm eros 2 5 . En una P .G .: a , * 3 , a n+3= -384 y a n =3072. H a l l a r l a ra z ó n y e l núm ero de té rm in o s . 2 6 . H a l l a r c u a t r o núm eros p o s i t i v o s que conform an una P . G . , t a l e s q u e : a l + a,= 15 , a ,+ a ,= 6 0 . 2 7 . T re s m ad res im p a c ie n te s e s p e r a n c o n s u l t a con n iñ o s d e 1 , 37 y 289 d i a s de n a c id o . E l m édico p a r a e n t r e t e n e r l a s , l e s p id e q u e a v e r ig ü e n d e n tr o c u a n to s d i a s l a s e d a d e s d e s u s n iñ o s e s t a r á n e n P.G . 2 8 . D e m o strar que s i t r e s núm eros m ,n ,p c o n s e c u t iv o s p e r te n e c e n a l a v e z a una P .A . y a una P .G . y ocupan e n e l l a s e l mismo l u g a r , e n to n c e s s e cum , n -p p-ra m-n „ p ie : m .n .p =1 2 9 Sea l a s u c e s ió n (a n ) , ncH, donde a n = l / / n . Usando p r o p ie d a d e s d e núm eros r e a l e s p r o b a r que p a r a c u a l q u i e r n , s e t i e n e : 2 / n+1 - 2 / ñ < -1- < 2 / n - 2 /ñ -T /ñ 30. Una s u c e s i ó n ( a n ) de núm eros r e a l e 3 c u m p le : a n+-|-2 a n +an _ i » 1 , b2 a ) D e d u c ir una e x p r e s ió n d e an e n té r m in o s d e a i , a t y n b ) D e m o strar p o r in d u c c ió n , que l a e x p r e s ió n h a l l a d a en a ) e s v á l i d a pa r a to d a n i. 2 . * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 8.3: Sucesiones Monótonas 545 SUCESIONES MONOTONAS DEFINICION 8.2 Se dice que un a sucesión {an ( e s : a) Creciente si y sólo si: an 4 c¡n+l> b) Estrictamente creciente si y sólo si: an < an+j, VncN c) Decreciente si y sólo si: an >, a n +I > VntN d) Estrictamente Decreciente si y sólo si: an > an+j, VncN Si se cumple cualquiera de estas cuatro propiedades, se dice que la s u c e s i ó n e s monótona. EJEMPLO 1. es Averiguar si la sucesión creciente, decreciente o monótona. Solución. Supongamos que an -4 an+¡ ■* ^ ¿ n + 3^ Como n>0, muítiplicamos cada extremo de (1) por (2n+l)(2n+3) * n(2n+3) 4 (n+l)(2n+l) *-*■ 2n*+3n 4 2nl>-3n+I (2) La igualdad (2) e s válida VncN ya que el extremo derecho es i g u a l a l extre mo izquierdo más uno. Por tanto, la desigualdad (1) es válida y asi la sucesión es creciente. >n+J1 í(-l)n 11 (■e s c r e c i e n t e , d e c r e c i e n t e Determinar si la s u c e snon i-ó n -i' { ^ ) EJEMPLO 2. o no mono tona. Solución. La sucesión puede escribirse: , _, ~1 ’ n de dende: L 1 1 2 ' 3 '4 ’ ■ ■ ■ ( - D n+1 ’ ñ ’ < - D n+2 (-1 )n+3 ’ ñ+2 ñ+l a t =J , a¡=-l/2 , a,=l/3 Vemos que a , > a , , pero a , < a s , entonces consideremos tres elementos consecut¿ an , an+l , an+2 vos: Si n esimpar - a „ > an+1 y an + i < an+2 Si n espar - a „ < a n+1 y an + J > an+2 Luego, la sucesión no es creciente ni decreciente y por lo tanto no e s mono tona. Sólo fines educativos LibrosVirtual 546 Capitulo 8: Sucesiones Determinar si la s u c e s i ó n j j j j j r í r e s crecienle, decreciente . s~ ^ EJEMPLO 3. o no monótona. Solución. Los elementos de la sucesión se pueden escribir: . , , , 3 5 n+1 n+2 2n_1 , 2n+l lan ) - 2 , l , $ , 7 Vemos que: a¡=2 y ax=l , y asi: a¡ > a2 r. En general: „ an >„ an+¡ - + n+ l ^ n +3 >,. ¿-j- (n +1) (2n+l) >, (n+2)(2n-l) ... (1) «- 2o1+3n+2 >, 2nl+3n-2 (2) La igualdad (2) obviamente es válida VneN. Por lo tanto, la desigualdad (1) es válida y asi la sucesión dada es decreciente. DEFINICION 8.3 El número C se ¡lama cota inferior de la sucesión l a n } s i C £ an , para todo entero positivo n, y el número S se llama cota superior de la sucesión J a n } s i S > a rl, VneN. Por ejemplo en la sucesión: , , _ J 10,1 2 3 ± n 3 ' ó ' 7 ’ 9 .................... 2n+l El número O es una cota inferior, lo mismo 1/3, y cualquier otronúmero que sea menor o igual a 1/3 es una cota inferior de esta sucesión. Para la sucesión j j - J c u y o s elementos son: , , . 1 1 1 ian ) - 1 , 2 • 3 ■ 4 1 n El número l es una c o t a s u p e r i o r , 5 también lo es. Cualquier número que sea mayor o igual a 1 es una cota superior de esta sucesión y cualquiernúmero negativo servirá como una cota inferior. Vemos entonces que una s u c e s i ó n puede tener muchas cotas superiores o infe riores. DEFINICION 8.4 Si m es una c o t a inferior de una sucesión {a l y si C < m, entonces m s e llama máxima cota inferior de la sucesión. Análogamente, si M e s u n a c o t a s u p e r i o r d e una s u c e s i ó n l a n ) y si Ai < S, entonces Ai se llama la mínima cota superior la s u c e s i ó n . Sólo fines educativos LibrosVirtual de Ejercicios: Grupo 53 547 La máxima c o t a inferior de j e s 1/3 ya que toda cota inferior de la su c e s i ó n e s menor o igual que 1/3. La mínima cota superior de ¡ a sucesión j — |n es 1 ya que toda cota superior de la s u c e s i ó n es mayor o i g u a l que 1. Una sucesión {an } s e dice que está acotada si y DEFINICION 8.5 sólo si tiene una cota superior y u n a inferior. Ya que la sucesión j j j J tiene una cota superior 1 y una cota inferior 0, es to es: 0 < — < 1, VneN, entonces se dice que está acotada. Esta sucesión es n también una sucesión decreciente y por tanto es una sucesión monótona acota da. La sucesión {2n } está a c o t a d a inferiormente por 2, pues 2 2 , VneN. No e xiste cota superior, porque no hay un número fijo S que satisfaga: 2n $ S , -MeN. EJERCICIOS: Grupo 53 Di s c u t i r las cotas y monotonía de las s u c e s i o n e s s i g u i e n t e s . 1- f é * } 2- 4 - HW • $} 7- { 7 } 10_ fl 3 5 8‘ ( 2 n - l )1 l 13' t 19. 2 2. jL o g í* 2 — ) | (nt + r_n* J “ ~¡} fe s k *} 3- { ;} 6- M n} 9‘ 1 {1 3 5 -i. (2n-1)} 12. l n + 1J '-/mr ^Tv 1A’ 1(- I)n -/H' 15‘ 20. | ( - 1 )n - ^ } 21 ■ D em ostrar que l a s u c e s ió n : a 777 iC osrnr} = ( c 11 + d n ) ^ n * con 0 < c < d , e s a c o t a - da y m onótona. Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 8: Sucesiones 548 L IM IT E PE UNA SUCESION________________________________^ Recordando la definición 8.1, convendrá marcar los núneros a i , a t , a 9 > . ...,a n sobre una recta numérica. Para evitar confusión marcaremos los pun tos asociados con los núneros de la sucesión mediante símbolos que les re presenta en la sucesión. a, " Oj a, an 0 ° 0 * f(n) De esta manera podemos establecer una correspondencia entre los términos de una sucesión de núneros y un c o n j u n t o d e p u n t o s sobre la recta numérica. Para estudiar el comportamiento de una sucesión de núneros y de los puntos correspondientes a ellos, consideremos los siguientes ejemplos: a) ian ) ^ 1 , 2 ■ 4 • 8 ’ 16 ’ ' ' ' ' ’ ¿n-l . . . I— O a 5 a» O O 0A 16 a* a, " O 1 ' L 8 a, ■ ■— 0 ■ I. 1 4 O I I . » . Un n 1 2 Los puntos que corresponden a términos sucesivos de la s u c e s i ó n s e apro ximan cada vez más a l p u n t o 0 a medida que n crece, es decir, tiende a cero (an * 0) a medida que n crece. k, i i 1 2 3 4 b) <an l ~ 3 ’ 5 ’ 7 ' 9 ........................ n 2ntl Un trazo de algunas parejas ordenadas en esta sucesión se muestra en la figura siguiente. an (5,5/11) 1 2 (2,2/5) (1,1/3) "t 0 • T (3,3/7) <4’4/9) T T ! J i i i l l i 2 3 ! i l 1 1 t 1 1 1 1 1 1 I i 1 4 5 t Ahora tracemos en un eje horizontal los puntos correspondientes a los ele mentos sucesivos de la sucesión. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 8.4: Limite de una Función 3 549 ± J> 9 11 Vemos que los elementos sucesivos de la sucesión se aproximan cada vez más a 112 cuando n crece. Se observa también que fijada la distancia e > O aire dedor de 1/2, los números an = ff^j se encontrarán dentro del intervalo: < -j - e , j + e> para los índices n 5 -6 > S = k. Obviamente si se varía la distancia e alrededor de 1/2, los números an se encontrarán en el mismo in tervalo pero con otro índice n/6. Expresando esto de otra manera, podemos hacer \an~l/2\ menor que cualquier € dada tomando n bastante grande. Es decir, para e > O existe un número k>0 (que depende de e) tal que \an~l/2\ < e siempre que n > k. En general, si existe un núnero L tal que | an~L ¡ e s arbitrariamente pequeño para n suficientemente grande, decimos que ¡a s u c e s i ó n DEFINICION 8.6 |a n } t ie n e límite L. Una sucesión (an } s e dice que tiene 1 ímite L, si para c > 0 existe un núnero k>0 t a l que | a n - L | < e para todo entero n > k, y escribimos: lim an = L n++a o equivalentemente Si lim an = L n++~ ++ Ve > 0, s í c > 0 | s í n > k •* |a n - L | < e Llamaremos entorno del número L al conjunto de números reales que satisfa cen la desigualdad: |a n - L| Gi ai < e *-► L - e < a n < L+e an Qj L-e L a* L+e ‘f(n) Por ejemplo, para L=3 y e=0.1, el entorno del número 3 es el intervalo: <2.9,3.1> . Geométricamente, el entorno del núnero L representa el intervalo <L-e,L+e> Si los términos de l a sucesión se representan por puntos del eje real, c u a l quier entorno del número L que tomemos, comenzando de un núnero determinado, todos los términos de la sucesión caen en este entorno y no salen de él,con tinuando acumulándose alrededor del punto L, que representa el límite de la Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 8: Sucesiones 550 sucesión numérica. EJEMPLO 1. Demostración. Dada la sucesión: an=l/n, demostrar que: lim an = O Apoyándonos en el principio de Arquímides que dice: "Si r es un número real positivo entonces existe un número natural n tal que 1 < nr, esto es: O < — < r" M Entonces, n dadoe >O existe un nú m e r o natural De modo que si considéranos n E sto e s : k > 0 tal que:0 < < e í , k, tenemos: -p- ^ -jj < E> Vn>k • Luego, por la definición 8.6: |- i - 0 | < 0 e Lo que demuest ra que: lim an = 0 n -*•<*> EJEMPLO 2. Usar la definición 8.6 para demostrar que la sucesión ^ n + j } tiene límite 1/2. Demostración. En efecto: (1) lim an = ■— n+<*> «-► ¥z > 0, 3k > 0\si n > k * ~ < e (2) I— — - — I = i — —— I = — — Xi> <2n+l 21 14n + 2' 4n+2 (3) Debemos encontrar un número k>0, k > 0 1 4n+2 tal que si: 1~2 4e -»■ -5— s < e , de donde: n > (4) Por tanto, si n > k 1~2 k = — •* 4e . La definición 8.6 es válida. Por ejemplo, para c=l/8, obtenemos: k=3/2 En efecto, si tomamos n=2 EJEMPLO 3. Si a n = + | ^ j 4^7 f 3n+3 s i n > k, entonces: Solución. (1) _ ~j¡\ K jj < Vn>3/2 * - - | | = | y g | = Jq y lim a= L , n ~ L| < J hallarel mínimo entero k tal que n < 0.005 En el e j e m p l o 1 se demostró que lim(l/n) - 0. En general si c es un número real finito, entonces: lim (c/n) = 0 n*" Aplicando esta propiedad evaluaremos L dividiendo numerador y denominade an entre n. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 8.5: Teoremas sobre Limites 551 „ . , , ■ 2 + 6/n 2+0 2 Entonces: L = lun-------------- = ~T~T~d = ~3 n-*« 3 + 3 / n tn \ 12n+6 2î 12n+6-2n-2i _ 4 ' ' '3 n + 3 " 3 1 = 1 3n+3 1 ~ 3n+3 (3)( Luego, si n > k ~ (4) Para e = ^ ^ < e ~ n >^ . obtenem os: n > 265§ Dado que n > k, el mínimo entero es k=265. EJEMPLO 4. Demostrar que: lim ■L + 3n f = ~ ~3 n-*-» *• Demostración. VcX), a k X ) |S ¡ n > k (1) i 5-n -* En efecto: i. _ 3 1~ 17 3(2+3n) 1 ~ 6+9n '2+3n (3) Luego, si n > k (4) P o r tanto, necesitamos elegir k = fl -*aa í 5- n i lL2 + 3 n jJ < e i 15-3n+2+3n, 1 {¿) .. - - < e - n > p a r a p r o b a r que: 1 _ " 3 TEOREMAS SOBRE LIM ITES TÉOREMA 8.1 (Teorema de Unicidad) Si lim a Demostración. = L, y lim an - L 2, se verifica que: L , = L , En efecto: (1) Supongamos que L¡ f L x (2) Para e^c/2 (3) Para Ci=e/2 ■* a k , > 0 | S i n > k , -* ak, > 0 |S ¡ n > k j ■* -» akj > 0 1S i n > k , — a k j > 0 | S i n > k l -* - |L ,-L , | lan ' > 0 e /2 L ‘l < E i = l“n ‘ < 2 l L * - L,l c/2 lQn ' L *l < El = |a „ - L ,| - Lzl (4) De (2) y (3) para n > m a x t k i . k i l , el mayor entre dos valores, tenemos: lan - L i| + |a n - L i| < |L i - L i| (5) Pero: | a n - L , | + | a n - L z | = | L , - a n | + | a n - L * | i- | L , - L j | (Desigualdad Triangular) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 8: Sucesiones 552 - L2 | < | L 1 - L 2 | |L , (6) Combinando (4) y (5) obtenemos: (7) La hipótesis (1) conduce a un absurdo, por tanto: L ¡ = L z TEOREMA 8.2 La sucesión constante {c} tiende a c como su límite. TEOREMA 8.3 Lim c(a ) = c.Lim a TEOREMA 8.4 Lim (an + bn) = Lim an + Lim bn H'*'00 Demostración. En efecto: Sean: Lim an = L z y Lim bn = L 2 n -*-<*> Dado un e > 0, usando la definición de límite para cada caso se tiene: (2) Para e 2= e / 2 ■* akz > 0 | s ¡ n > k x ->• |a n - L j (3) Para e 2= e / 2 ■* afc2 > 0 | s i n > k z » |a n - L 2 | < (4) Luego, si n> mwc{lc1( k 2 } | C (6) Combinando (4) y (5)se deduce que: L il + l bn ” l íI se concluye < e • Vn>k, donde k=max{k1,kz}. que: Lim (an + bn) n->" TEOREMA 8.5 e 2+ e 2 = e 4 ¡an - L 2 | + ¡bn - L 2 | - L J +fbn - L J | (7) Por tanto, e2 + bn )-(L1 + L z) ¡ < (5) Pero: | ( a „ lan " < E! = L t + Lz=Lim an + Lim bn n Lim (an)(bn ) = (Lim an)(Lim bn) n-*-“ n-” ° n-*-" Lim a„ TEOREMA 8.6 . an 1i'in Lim (-r~) = ■ . , si Lim bn i 0 O ,, L ililí D n •* n-»-“ n n n-*-“ n*“ DEFINICION 8.7 Si una sucesión tiene un límite L, se dice que ¡ a s u c e s i ó n e s c o n v e r g e n t e , y decimos que an converge a L (se denota an =* L). Si la sucesión no tiene EJEMPLO 4. el límite L se dice que es divergente. Determinar si la s u c e s i ó n a = es convergente o diver gente S o lu ció n . Sea L = lim a u rt-* n *- L lim ? n .—- = ------------------ —= -§~2 *-» = ~ 11 ¡m 1 tu - ---------------------------c_ñ = -f5 nz-6 n~" 5- (6/n1) n-*“ Luego, l a sucesión an es convergente, esto es: ( a n } -*■ L - 3/5 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 8.5: Teoremas Sobre Limites 553 EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Se define la sucesión bn=3n1-2n y se tiene la sucesión an =0,2,6,12,20,... . Si ahora se define la sucesión cn _ = —h , hallar: lim c„ n n n-n» Solución. Hallamos el término n-ésimo de an por el método de las diferen cias sucesivas: 0 2 6 2 12 4 20 6 2 2 8 2 Como la diferencia constante se obtuvo en el segundo intento, la ley de for maqión del término n-ésimo de an está dada por la ecuación: y=an1+bn+c Si n=l + 0=a+b+c ; n=2 + 2=4a+2b+c ; n=3 + 6=9a+3b+c Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: a=l , b=-l , c=0 Entonces: an = n*-n Si L = lim cn + _ L = lim . tm JI-1 i n n — EJERCICIO 2 . Hallar el lim ( im ' o V 'n o/ _r “1 n**> 3 - 2/n /9n1+5n-4 n-M» Solución. .— on-z 3n1 - 2n 5n+7 En este caso debemos dividir los términos del denominador entre n y los del numerador entre: n = / n * . — L = lim /9 + 5/n - 4/n1 Á EJERCICIO 3. Solución. + 0 - 0 3 5 + 0 5 t Un Hallar: lim (/n+1 - / ñ + 1) Sea L lim [(/n+l+l)-/ñj = lim n-**> n-Mo [(/ñTi+l)-/ñH(/ññ+l)+/ñ] - lim i.„ ■ (/■” +Í+l)'-(/ñ)1 = — _ - i im n-«» l+/ñ + /1+n n+~ (/n+1+1) + Vn 2 + 2/ñ+i —— ------------------- 1 + / ñ + /n+1 Dividiendo el numerador y denominador entre ni se tiene: 2/n1 f 2/1 + 1/n L = lim n-*» 1/n1 + /l + A EJERCICIO 4. Hallar: + 1/n 0 + 2/TTo = 0 + 1 + /l + 0 lim i (l1 + 2* + . . . . + n1) n+<* ,n* Sólo fines educativos LibrosVirtual 1 554 Capitulo 8: Sucesiones n j . La suma: E 1’ - y i=l Solución. - (n+1)1 =4- lim (1 + l)* 4 n~ " 4 n~ = -f 4 " Hallar el límite de la sucesión: i'/ñ'-ñ' + n i , ncN EJERCICIO 5. identidad: a'+b3 = (a+b)(al-ab+b*), Haciendo uso de la s/n i_n t + n - (3¿n*-n' + n)('/(n*-n')2 - n.'/n'-n' '/(n'-n3)' - rc. 3/ ^ se tiene: n*) 3 + n* _ ________ ( ‘ / n ^ - n 3,)* *■ n 3 _ n_______________ n . 3/n+2n3+ n 3 - n . 3/ n 3- n 3 + n 3 * L = j L = lim (— ¡l.^rín+1)1 n+~ n q L = lim ÍUllIl= í lim (2-1-1)* 4n* Solución. + 3/ n +2n3+ n 3 - 3/ n 3-n3 + n lim ( Vn3-n3 + n.) = 1 iim i rr*" n<~ 3/n+2n*+n' - 3/n2-n3 + n Dividiendo cada término del rumerador y del denominador entre n, se tiene: L - lim — n*~ ■ ■............ 4... 3/l/n2 + 2 /n + 1 - ' / l / n = — - 1 +1 ........ ......... .... '¿0 + 0 + 1 - '¿O - 1 + 1 de donde: L =1/ 3 EJERCICIO 6. Sea la sima de n términos de la sucesión: 1 (2n-l),2(2n-3),3(2n-5).4(2n-7),. . .1 n términos de la s u c e s i ó n : u .i H a llar: í^-â , 4aa , 5 a y sea S , la sima de o J a /0 n'la lim —S¡-,z + S 2 -------------n+~ n3 i • n Solución. n n S, = y.k[2n-(2k-l)) = ( 2 n + l ) T k - 2 T k ? .k=l k=l k-1 = (2n+l)2(n+l) - 2(n+D(2n+l) = ~(n+l)(2n+l) Sl = £ k=l - St = a | Z ^ - - 2 - a 3 E - c 3 -2(n+l) - « - ^ ( n + D a n + l ) k=l a k=I ° a o =-S-2 - -* S , * S , - n*/a w i l a* o EJERCICIO 7 . ' Sea S t S, + S2 - ^ Um _ = 2 fn + m 2 n + JK i-ai j + l)(2+h n n = o í a suma de i o s rt primeros términos de { ¿ 2 (0> ’ Á (l} ’ M < 2 > ’ •••} y Sólo fines educativos LibrosVirtual ia sucesión: ¡o sima de los n Sección 8.5: Teoremas Sobre Limites 555 . primeros términos de la sucesión: . . { nSt nl,m +est (\~ s ¡* . Hallar: 2n+3 \ ñ + r /) n 1 Tenemos: S¡. = 'Z, ------------------k =0 (k+l)(k+2) Solución. d ' *)/ J J / L - x t U íl / x 1) ! '' k(n) L-'' ~= (k+l)(k+2) (k+l)(k+2) — n n n ! ^ --------- k!(n-k)! (k+2)!(n-k)> (n+2)! _ (n+1)(n+2)(k+2)![(n+2)-(k+2)) 1 n 9 1 S2 = £ k= i (Z) y k I 1 .n+2. (n+l)(n+2) 'k+2 n+2 +9 Sl = (n+1)(n+2) {^q K+2* = (n+1)(n+2) k * (Cambio de índice) n+2 i' r v (n+2) . (n+2) - (n+2) i 1 (n+1) (n+2) L é o fc n Pero: 0 n+h j t O r=0 - = 2n (k+1 )(k+2) = k + í " k¿2 , , , . / nS, 2n+3\ Luego: L = ¡ , m ^ = ' 1 ' , . (T.B.l) __ ~ ^ ~ 3 ( ;1 J =— (n+1)(n+2) 1 - (n+2) * S * = ^ ~ (k^2 ~ k+I) = ~(ñ+2 " Ó+2 ') ~ S2 = r 2 ( 2 n + 2- n - 3 > 2 n+3 1 ! . m------I m - - ^ j ri-*-co l. j Sean: S 2 = Hallar: o , Solución. ,,, (1) (S’4) ” Í f n + 2J , . n/ n + 3, . . A + 3/n w 0 . = i i m - 2 ( ■- j) = lim-(-------------- )(-2) n-*-® . 1 + 1/n EJERCICIO 8. -I H ( nt ) = 2 r=0 _» 5 -------1----- T 2n+13 (n+1)(n+2) L (2) 1 - - s, = „ -2 (h+l)(1 k) +2)(k+3)(k) y S* = ñT2(k-2} lim ( S j - S 2 + ^ ^ ) ,n. _ :--- —------ 1— (%) (n+l)(n+3) (n+l)(n+3) (kfl)(k+2)(k+3) (k+l)(k+2)(k+3) ------------- n! -------------- k!(n-k)! (n+3)! ( n + 2 ;( k + 3 ;/ ( (n + 3 ;-(k + 3 ; ) ! Sólo fines educativos LibrosVirtual _ 1 ,n+3¡ n ¿ K J Capítulo 8: Sucesiones 556 S* = M c * 2"+3 - 1 - J_ n'T,n+2) - 2 V ’2 / n + 2 , 2 ,-S'+2t - 2n+3 n+2 f-‘ ¿ k - 2 ) ~ n+2 k ’ ~ n+21 ' " n+2 k=2 k=0 Luego: L = lim (Sl - S* + ^ ) = lint ' = -1 EJERCICIOS: G rupo 5 4 En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s , u s a r l a d e f i n i c i ó n de l í m i t e p a ra p ro b a r que l a s u c e s ió n d ada t i e n e l í m i t e h a lla n d o k p a r a e d a d o . 1. 4. { ¿ i} - ™ 2. ( Ü íj • { J { ife } - « { jS g } • l - 1/2 . L=0 {^ J 6- • En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s d e te r m in a r s i l a s u c e s ió n d a d a e s c o n v e rg e n te o d i v e r g e n te . S i l a s u c e s ió n c o n v e rg e , h a l l a r su l í m i t e . 7. 9. A,A,...} 12 . l / ñ í i - /ñ} 13. l/n * -5 n + 6 - n i 14. {j , 2 ,-f .-¡f . ...} 15. w 7 i J I. "» 1 V2n* + V 16 . 17- Sea lim (■ . ) = L. H a l l a r e l m enor num ero n a t u r a l k t a l q u e : 2n+1 - L| < „ 18. *n > k Se t i e n e una P .A . no c o n s t a n t e , cuyo p rim e r té rm in o e s a ,= 1 y donde a ¡ , a i* y a >* so n té r m in o s c o n s e c u tiv o s de una P .G . de ra z ó n r . H a l la r : Lim f a n * n r >) n-*~> \ n / 19. Sea l a s u c e s ió n {an > d e f i n i d a p o r : a n+1= /3 a n » a ,= 1 . H a l l a r lim an . n-><® Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios: Grupo 54 557 «« tt , t \ ■ f (n + 3 )l (2 -3 n ) ( n - 2 ) ( 2 - n ) "i 2 0 . H a l l a r : a ) lim -— — ±- L + 1 Í2 í n->“ L ( n - l ) ( 2 - n ) 2 (n + 1 ) 3 J * .. . I^ ^ / 1 x k b ) lim ¿2 (•=) n-*® k=n ; 2 1 . Empleando l a d e f i n i c i ó n de l í m i t e de una s u c e s i ó n , d e m o s tra r q u e : a) lim l 1 + Lg + 7 ( 1 0 b) ) 7 J 3 n-*-=> 2 2 . S ean : A = lim [2 + (-1 A ^ ) ] . B=lim — n-*-® n-*-® — + 2n n A+B+C• 2 U -.1 0 n + J y C=lim (■^ | S . ) . n-*-« 2 2 3 . Sea l a s u c e s ió n {a^} d e f i n i d a p o r : a 0=4 y a ^ = a n-1 + —n ’ n lim a n-M» n H a l la r : ^ ’ H a l la r : ^ 2 4 . Se d e f in e l a s u c e s i ó n bn =2n2-5 n y s e t i e n e l a s u c e s i ó n {an } = - 2 ,7 r2 2 ,4 3 , 70, . . . - S i cn = (a n ) : ( b n ) , h a l l a r : lim c n n-*-= + a n - 1 +an -2 25- Sea l a s u c e s ió n { a ^ , neZ d e f i n i d a p o r : a ,= 0 , a ,= 1 , a n = g > n ^ 3 a ) D e m o strar p o r in d u c c ió n m a te m á tib a q u e : a b) H a lla r : = 2 2 (-1 ) — ppy , s i n ^ ,2 . lim [a - - / " ^ +3 ) ^ _ n - | n-»-® *- n n ( / n 2+5 + n ) J 2 6 . Dada l a s u c e s ió n l a n ) , neN d e f i n i d a p o r : a ,= 1 , a 2 = l / 2 y an = + a n - 2 ^ ’ n ^ 3 > d e m o s tra r que |a n - a n _ 1 | = ( j ) n 1 , -VneN, n > 2 27- A n a liz a r l a c o n v e r g e n c ia de l a s u c e s ió n {a } d e f i n i d a de l a s i g u i e n t e m anera: a : = -6 /5 , a_ = -------- - ---------- , n >/ 2 . 3 + [[an_1 Il 2 8 . S i {an l y {bn } son s u c e s io n e s e n R t a l e s que lim a n = AeR y lim bn =BeR n-*» d e m o s tr a r q u e : lim ( a n ) ( b n ) = AB. rr*“ 29- Empleando l a d e f i n i c i ó n de l í m i t e d e una s u c e s ió n c o n v e r g e n te , p ro b a r q u e : S i neN y t e R |- 1 < t < 1 ■* lim t n = 0 n>» 5 0 . Sea Sj, l a suma de n té rm in o s de l a P .A . cu y o s p rim e ro s té r m in o s so n : 2 ^ -1 > ha^3 t _ H a l l a r ¡ U m S„ )( 2 n - l) ,2 ( 2 n - 3 ) ,3 ( 2 n - 5 ) ,4 ( 2 n - 7 ) ,...} ; h a l l a r : lim Ü » n+<*> n3 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 8: Sucesiones 558 I r - , -2_ [1x2 33- S i S i , s io n e s -2- -_2_ . . . i 2x3 * 3x4 ’ 4x5 ’ S j , .. . * J h a l l a r : lim « Sn , Sp son l a s sumas r e s p e c t i v a s de n té rm in o s de p ro g re a r i t m é t i c a s cu y o s p r im e ro s té rm in o s son 1 , 2 , 3 , A , . . . , y c u y as d i 1 P f e r e n c i a s son 1 , 3 , 5 , 7 , ■■• •; h a l l a r : lim (— ) y 7 Snn - “ n k=1 34. S ean: l a suma de n té rm in o s de l a s u c e s i ó n : 1 1 1 1 -—— , ■=—r , 1x3 3x5 5x7 { ción: 1 i ••• J " r,,7 m 7x9 y S, l a suma de n té r m in o s de l a s u c e - > ^ ( 3 ) > ^( 3 ) ’ |i(q) . L } ’ hallar! lim J + ■%) 2 n-*« 35* S i S e s l a suma de l o s n p rim e ro s té rm in o s de l a s u c e s ió n { a „í = ín(-§ )^n } n 3 c a l c u l a r : lim (Sn + ^ a n ) n-*-m 36. . _2 Sea íapj> l a s u c e s ió n s e núm eros r e a l e s , e n l a c u a l a ^ = ( 2 k + 1 )( 2 k - 1 ) S i Sn = 2 a k » h a l l a r : lim Sn k=1 37. Dada l a s u c e s ió n { a ^ } , keZ+ , donde a[c=k2 ( ” ) ; c a l c u l a r: : Lim / ^ \ n *“ V 2n _ 1 . n 2/ s ie n d o : Sn = k=1 • (S ug. E x p re s a r : k 2= k (k -1 )+ k ) ■ “ 38. Sea Sx l a suma de l o s n p rim e ro s té r m in o s de l a s u c e s ió n : fn+1 / n ■« n+1 / n \ n+1 / n \ {— ( 1 ) 1 ~ ( 2 } * — ( 3 ) ” 1 Í y _ S l = ig ¡ n+1 \ (k -2 ) H a l la r : lim ---- — *,,'1 ■— n-^® 2 n 2 (S 2 - S x) 39. Dada l a s u c e s ió n : |= ÍL , -=ÍL , , . . .} a) H a l la r Sn , l a suma de l o s n p rim e ro s té r m in o s de l a s u c e s i ó n . b) D em o strar p o r in d u c c ió n m a te m á tic a , l a fó rm u la Sn , h a l l a d a en a ) . c ) H a l l a r : lira Sn . n -H* * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 8.6: Series Infinitas 559 SERIES INFINITAS Sea = a ,, a ,, a», .... , a ^ , una sucesión y n ' Sn - X! Qfc = Oí + o , + a 2 + . . . + an , una suma. Entonces, la serie infik=0 ^ nita denotada por ^ a . , es la sucesión: t a t , a , + a , , a ( + a 1+ a 2, . . . . | , k=0 K donde el número a, se denomina término k-ésimo de la serie, y el número s k ■ ' n parcial n-ésima. , suma De modo que si convenimos en asignar: st = a , S i — Qo + a x S i — Q o + fli + Gj sn = a* + Qi + q z+ . . l a suma ( s n ( se denominasucesión de las simasparciales de la - . serie X ay k=0 Observaciones: (1) Decir que la serie Z o | t converge al número L es decir que la sucesión k--0 1s n > converge al número L. Esto es: Si ™ X afc = L -» k=0 n lim sn =lim X ap■ = L n-»” n-»“" k=0 (2) Decir que la serie X a ^ diverge, es decir que la suma {sn } diverge. k=0 . (3) Si la serie X o | c converge al número L, entonces L se llama sima de l a k=0 a X ak = L serie y escribimos: o a, + a , + a 2 + . . . . = L k=0 oo EJEMPLO 1. La serie: X 2™ es divergente k=0 . En efecto, observamos que l a n - é s i m a suma parcial viene dada por: sn = 1 + 2 + 2* + . . . . + 2n Como la sucesión í s n > no es acotada (no tiene cota superior) no puede con verger, por lo tanto, la serie dada es divergente. (-1) k=l lf Z es divergente Sólo fines educativos LibrosVirtual 560 Capitulo 8: Sucesiones En efecto, a q u í : s n = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . . . + n , esto es: '-1 , para n impar: 1,3,5, . . . . sn = . 0 , para n par: 2,4,6............. Luego, |sn ) tiene dos límites diferentes, en consecuencia no existe lim sn , es decir, l s n l no converge. - Una de las series que tiene muchas apiicaciones se presenta en el siguiente EJEMPLO 3. L A SERIE GEOMETRICA a) Si |r| < J * k=0 b) Si ¡ r | > 1 * 1 r 2Ü r k=0 diverge = Demostración. En efecto, una suma parcial de la serie geométrica: j C r k , e s .. ” n k=0 el numero: Sn = 2L, r = l + r + rt + . . . . + r (1) k=0 rSn = r + r * +■ r 5 + . . . . r n+ * Muítipl¡cando por r se tiene: (2) Restemos ahora (l)-(2), obteniendo: <l-r)Sn = J - r n + I Si - S n = 1 ~J:r ........ | r | < 1,entonces: rn*^ -* Oy, por tanto, . r 4 1 (3) en (3): Sn -* ~ j ~ CS Z rh = 7i _—1r k=0 Para r=l, ut iIizando (1) vemos que: Sn = l + ( 1 + 1 + 1 + . . .)= 1 + n Por tanto, la serie diverge. Para r > 1, rfl, utilizamos (2). Como en este caso { r n + J > diverge, entonces ÍS"} diverge. es * Un caso especial de ¡a serie geométrica es: \ ' 2 = k=0 2k Dado que: Comenzando 1 7------ 775 = 2 1 ~ íl¿ ¿ (K-) = 1 + ¿ <^-r) k=0 2 k=l 2 l a s i m a en k=l, en lugar de en k=0, obtenemos: , cuyas sutás parciales: st = j Sólo fines educativos LibrosVirtual „ 2 ü (^-r) = 1 k=l 2 Sección 8.6: Series Infinitas 561 . - i "2 ’ + 1 4 1 1 s> ~2 + 4 8 1 JL - I I JL A 16 ~ 16 8 + 16 ' - M. 32 ~ 32 se ilustran en ia figura siguiente: 1 2 1 4 L Si Si Sj 8 ii M 16 32 s, i> í Podemos observar que cada nueva sumaparcial se sitúa a medio camino entre la suma previa y el número 1. &i el sistema decimal, ia serie geométrica desempeña un papel importante. Para comprobarlo, tomemos l a serie para r-1/10 y> ______ 1 1 k=o7? 1 ___ 1 ~ 11X0 1_ k=l 10k 9 Im n-ésima suma parcial de esta última serie es: Sn = j ^ + — 10 101 + — 10 * Tomemos a h o r a l a serie: + - — ~k)‘ • • • + 10 con ae^,l,2, • • - , 9 1 (41 L a s su m as p a r c i a l e s en este caso son: t - ° z 10* Como {Sn} converge, J- a 3 -*■ + 203 ^ 1 10^ 4. + 2O1 entonces ( s n l es acotada. Esto implica que 1 l-Qo 1(P ( tnf es aco tada. Dado que { f n ( e s creciente, será convergente, esto es , la serie (4) converge. La suma de esta serie es lo que da sentido a la fracción decimal: . EJEMPLO 4. Solución. 0.a1ata,.... Hallar la fracción generatriz de la fracción decimal 0.136... Comenzamos por escribir l a fracción decimal como una serie de su m as p a r c i a l e s , esto es: 0.1363636---- = 0.1 + (0.036 + 0.00036 t . . . 103 10* ) 107 La suma entre paréntesis es la serie geométrica infinita en la que: 36 _ 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual 562 Capitulo 8: Sucesiones /100 _ i + _ ! £ _ _3_ 10 990 ~ 22 La serie geométrica aparece naturalmente en muchas otras c u e s t i o n e s . EJEMPLO 5. Una pelota cae de una a l t u r a d e 48m y rebota 2/3 de la distan cía desde la cual cae. Si continua cayendo y rebotando en es ta forma, qué distancia recorrerá antes de quedar en reposo. Solución. La pelota antes del primer rebote recorre 48m, luego sube y baja una distancia igual a 2/3 desde la cual cae. Si d es la distancia que recorre antes Za k=l - en donde: a EJEMPLO 6. 48 \ /T\\ \ i 2 k \¡ 3^ ~^(d8) = 32 Entonces: d = 48 + 2(: Solución. de quedar 1 32 ) + 48 + 192 = 24ftn 2/3 1 ,n Sea an = an-j + 9(j+)'", t t i >^J i/ 1/ y a,=4. Hallar: lim an Hallemos una fórmula para el término an Para n-1 Q i = a , + 9(jj¡) = 4 + 9(j¿¡) n=2 10* 1 9(10 + W 1 + 10i} a , = a 2 + 9(jj¡)3 n=3 -L + . . . , -L) = 10 ’ 4 10' En l a n-ésima suma parcial del paréntesis: ai=l/10 y r=l/10 Entonces: lim n+~ a_ = 4 + 9f— — — — H = 1-2 - 1 / 20-1 4 + 9(í) y = 5 EJEMPLO 7. Los tres primeros términos de una P.G. son: 100+h, 50+h, 20+h, donde h es una constante real. Si Sn es la suma de n términos déla progresión, hallar lim Sn . n+° Solución. Si (100+h):(50+h):(20+h) están en progresión geométrica>entonces: Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercidos: Grupo 55 50+h 100+h 20+h 50+h 563 50+25 _ 1 < , 100+25 ~ 5 , de donde: h-25 Luego, los tres primeros términos de la progresión son: 125:75:45 Iim S n = a . Z 4 ) k = 1 2 5 / ^ 3/5 k=l s 1 . _ 625 n .» ' 2 EJERCICIOS: Grupo 55 Cada u n a d e l a s s e r i e s s i g u i e n t e s c o n v e r g e . H a l l a r s u su m a. 1. Z ----- 2---- 2. k=3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ± 1 k=0 ( k + 3 ) ( k + 4 ) * ( /i\^ 4. 7. ± ( * L - - ± ) k= 0 '' 1‘i n0 *" io . -k Z H k=0 5 ,k .i Z 2— r k= 0 5 6- 8. Z - | ^ k=1 2o k+ " t *1 9- 11 . Z k= 0 ( k + 2 ) ( 2 k + 2 ) 5. 1m0 n0 "K/' " „k+ 3 z v k=0 3 3. “ ,k -1 z 2— k= 0 5 „k 12 . k= 0 nk 3 Z v_ n0 2k+3 k= “ „k ,k z ^ 2k= 0 6 En l o s e j e r c i c i o s q u e s i g u e n , e s c r i b i r c a d a f r a c c i ó n d e c i m a l como s e r i e i n f i n i t a y e x p r e s a r l a suma como c o c i e n t e d e l o s e n t e r o s . 13- 0 .2 4 2 4 2 4 16. 1 . 4 2 4 2 4 2 -------- 14. 0 .112112112 17. 0 .3 7 2 5 1 2 5 1 2 5 1 ... 15. 0 .6 2 4 5 4 5 4 5 .... 1 8 . 0 . 3 1 5 3 1 5 3 1 5 ------- 19- D e m o s tra r q u e : Z a. = L +■+ k= 0 k 20. Z i = L - (a « t a i + • • ■ » . ) k = i+ 1 k U t i l i z a r l a s e r i e geo m étrica p a ra d e m o stra r l o s ig u i e n t e : eo a) ; ■■) — = Z ( - I ) k r k , p a r a 1 * r k=0 b) — — = Z ( “ l ) kr 2k , p a r a 1+r1 k=0 |r| |r | < 1 < 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual 1 564 Capítulo 8: Sucesiones 2 1 . C uánto d in e r o h a de d e p o s i t a r un hom bre a l 5% de i n t e r é s (com puesto a n u a lm e n te ) s i d e s e a que s u s d e s c e n d i e n t e s puedan r e t i r a r a p e r p e tu id a d 100 d ó l a r e s p o r año? E x p re s a r l a r e s p u e s t a como s e r i e g e o m é tric a . 22. Empleando p r o p ie d a d e s s o b r e l í m i t e s de u n a s u c e s ió n c o n v e r g e n te , demos t r a r que s i Sn = ¿ i i — ¿ - i -r donde a j , re R , | r ¡ < 1 , neH n , 2 3 . H a l la r n , s i : £ 3 = 120 k=1 lim Sn = n»“ -r . 24. H a l la r e l nüm ero d e té rm in o s que s e deb en sum ar de l a P .A : 9 ,1 1 ,1 3 > - .- > p a ra que l a suma s e a i g u a l a l a de l o s 9 p rim e ro s té rm in o s de l a p r o g r e s i ó n g e o m é tric a : 3 : - 6 : 1 2 : - 2 4 : . . . . 25. Una b o la abandonada d e sd e una a l t u r a d e h m e tro s r e b o ta h a s t a una a l t u r a de a h m e tr o s , donde a e s una c o n s t a n t e p o s i t i v a m enor que 1 . la d is ta n c ia H a l la r t o t a l r e c o r r i d a p o r l a b o la s i s e d e jó c a e r i n i c i a l m e n t e d e sd e una a l t u r a de h , m e tr o s . _n+1 2 6 . S i Sn = 2 ------ — , h a l l a r a , y a n . Qué s e r i e e s ? * Sólo fines educativos LibrosVirtual 565 V ; INTRODUCCION Dentro del campo de los números reales podemos hallar números x tales que x z=a, sia>0. Pero que sucede cuando a<0. No existe ningún número que satisfaga esta ecuación pues, el cuadrado de todo número real es siem real pre positivo o cero. Por tanto, pareresolver la ecuación debemos ampliar el sistema numérico e incluir expresiones semejantes a i~/-l, tal que í 2= - i Esta expresión es llamada núnero imaginario o unidad imaginaria. Podemos en tonces investígar el conjunto de números de la fonrnt a+bi (llamados números complejos), donde a y b se eligen del conjunto de números reales. Estos nú meros son parejas de números reales (a,b), donde el símbolo i sirve so lamen te para conservar separados dos números. Esto es, s í designamos por C a di cho conjunto, entonces: C = <( a , b)-arbij a , bs.R a í 2= - l t La combinación de los números complejos con los números reales se llama sis tema de números complejos. Entonces a semejanza con el estudio desarrollado en forma axiomática de los números reales comenzaremos por definir este sis tema en función de los números r e a l e s . EL SISTEM A DE NUMEROS COMPLEJOS El sistema de números complejos es el conjunto C de todos los pares ordenados de números reales (a.b), provisto de una relación de equivalencia y dos operaciones llanmdas de adición y multiplicación, tales que, para dos elementos cualesquiera (a,b)cC y (c,d)cC se tiene: i) Ig u ald ad : ii) Adición: ( a , b ) ~ (c,d) «-» a=c a b-d (a.b) + (c,d) = (a+c,b+d) iii) Multiplicación: (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 9: Números Complejos 566 Nota. Los elementos del conjunto C se denotan por las letras u>, w, z , etc. de modo que si: ^ 3 zzC ++ z=(a,b) , a.beR weC w=(c,d) , c.dcR " PROPIEDADES DE LA ADICION Para los números complejos z , , z 2 , z3eC, se cumple las siguientes pro piedades: A.l ¥zl,z¡tC + fz, A.2 - V z , , z 2eC z, + z, = z2 + z, A.3 -Vz,, z 2 , z 3eC A.4 3.'ztcCl¥zeC: z + z„ = z ■» + + z 2 )eC (Clausura) (Conmutat ividad) + z 2 ) + z¡ = z , + f z 2 + z 3 ) fz, f A s o c i a t ividad) (Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo z„-(0,0)) A.5: Para cada ze.C, existe un único (~z)cC\z + (-z) = z „ = f C , 0 ) ( E x i s t e n c i a y unicidad del i n v e r s o aditivo) Demostración de A.2: z, + z¿ = z 2 + z , £n efecto, sean z t=(a,b) y z 2= f c , d ) dos números complejos. ->■ z , + z 2= (a.b) + (c.d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = Demostración ■ deA.3: (Conmutat ividad en R) (c.d) + (a.b) - z 2 + z , La suma d e complejos es (Def. de suma) (Def. d e su m a) conmutat iva. f z , + z 2) + z 3 - Zi + (zi + z3) En efecto, sean: z , = f a , t > ) , z 2= (c.d) y z 3=(e,f)\a,b,c,dcR + (z i+z 2)+zj = l(a,b) + (c,d)] + (e.f) = (a+c,b-:d) + (e.f) (Def. de surtía) = ¡(a+c)+e , (b+d)+f] (Def. de su m a) = [a+(c+e) , b+(d+f)] = fa ,b ) = (a.b) + ((c.d) + (e.f)) + [(c+e),(d+f)] (Asociatividad en R) (Def. de suma) (Def. de suma) = Z , + (Z 2 + Z 3 ) La suma de complejos es asociat iva. Demostración de A.4: s!z 3cC\¥zcC: z + z, = z £n efecto, sean: z,=(x,y) y z=(a,b) Averiguaremos que valores deben tomar x e y de modo que: z+z t = z Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.3: Propiedades de la Adición 567 - (a,b) + (x,y) = (a,b) + (a+x , b+y) = (a,b) + (a+x = + a) ~ (b+y = b) x- O (Def. de Igualdad) y =O Entonces el elemento neutro aditivo es z,=(0,0). La unicidad de z, resulta de la unicidad de los valores de x e y. z,=(0,0) es el elemento neutro aditivo de C. Demostración de A. 5 : YzeC, 3!(-z)eCjz + (-z) = z , En efecto, sean: z=(a,b) y - z = ( x , y) Averiguaremos que valores deben tomar x e y, tal que: z + (-z) = z, + (a,b) + (x,y) = (0,0) , .. » ,« + (a+x, b+y) = (0,0) Luego, si z=(a,b) + fa + x = O + ++ | b + y = 0 „ x = -a y = _b -z=(-a,-b) -z=(-a,-b) es el inverso aditivo u opuesto de z=(a,b) Según esta propiedad, se puede definir la resta: zi-z1 por la siguiente re lación: z ! + (~zz) Ejemplos: (1) Si z¡=(-2,-3) , zl=(5,2); verificar que: zl+z1 = z 2+ z i £ n efecto: z , + z 2 = (-2,-3)+(5,2) = (-2+5,-3+2) = (3,-1) = [5+(-2),2+(-3)} = (3,-1) Z, + Zj = z 2 + z , (2) Si zl=(2,3) , z^f-3,2) y z,=(2,-4) ; verificar A. 3 En efecto: zl+(zl+z,) = (1,3) + [(-3,2)+(2,-4)} = (2,3)+(-3+2,2+(-4)] = (2,3) + (-1,-2) = (1,1) (z l+zí)+z| = l(2,3)+(-3,2)l + (2,-4) = [2+(-3),3+2) + (2,-4) = (-l,5)+(2,-4) = (1,1) .*. Z , + f Z j + Z j J = (zx + z ¡ ) + z , (3) Si z^(2,3) y z,=(0,0) + z¡+z, = (2,3)+(0,0) = (2+0,3+0) = (2,3) z, + z, = z, (4) Si z=(3,5) y -z=(-3,-5) + z + (-z) = (3-3,5-5) = (0,0) = z , (5) Si z ¡=(7,5) y zl=(-l,3) ♦ z , - zt = z x + (-zx) = (7,5)+(l,-3) = (8,2) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 568 ^ 3 PROPIEDADES DE LA M ULTIPLICACIO N Para z¡,zl,zseC, se cumplen las siguientes propiedades: M.l: VZ í .Zi ZC ■* f z , . z 2 ; e C M.2: -VZx.ZjEC ■* Zi.Zi = Z j . Z x tí.3: Vz¡,Zi,z,eC * (Zi.zx).z, (Clausura) (Conmutatividad) (Asociatividad) = z 1.(zl.zi) M. 4 : 5 'iueC, ufz,\9zzC: z . w = z , donde u=(l,0) U.S: Vz¿C, ztzi, 3 J z ' * e C | z . z _1= o> tí.6: Vzi,zz,zi^C: Zi.(zz+Z¡) = Zi.Zz + Zj.Zs (Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo) (Existencia y unicidad del elemento i n v e r s o multipl icativo) (Propiedad Distributiva) Demostración de M.2: - V zi ,zzeC, z¡.zi=zz.zi En efecto, sean: z1=(a,b) y zz=(c,d) (1) * z , . z 2 = (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc) (2) * Z j . Z j = (c,d)(a,b) = (ca-db,cb+da) (Def. de Mult.) (3 ) = (ac-bd,ad+bc) (Conmutat ividad en R) (4) Luego, de (1) y (3): z ,.z * = z ,.z , (Def. de Mult.) £1 producto de m i n e r o s complejos es conmutativo Demostración de M.3: (z¡.z1).z¡ = zi.(z1.zi) En efecto, sean: zi=(a,b) , Zz=(c,d) y z,=(x,y) (1) * (Zi.Zi).Zz = (ac-bd,ad+bc).(x,y) = l(ac-bd)x~(ad+bc)y,(ac-bd)y+(ad+bc)x] (2) (3) = (acx-bdx-ady-bcy , acy-bdy+adx+bcx) (4) = (acx-ady-bdx-bcy , acy+adx-bdy+bcx) (5) = [a(cx-dy)-b(cy+dx) , a(cy+dx)+b(cx-dy)] (6) = (a,b)(cx-dy, cy-tdx) (7) = (a,b)[(c,d).(x,y)] = zi.(zz.z¡) .'. El producto de números complejos es asociat ivo Demostración de M.4: 3 / u e C | YztC; z.a=z, a=(l,0) En efecto, demostraremos que: u>=(1,0). Sean: z=(a,b) y a=(x,y) (1) Si z.iii = z -* (a,b). (x,y) = (a.b) (2) Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.4: Propiedades de la Multiplicación (3) Multiplicando (a) por a: " (4) (s) " b: (5) Simando (3)+(4): 569 azx - aby = a 1 bzx + aby = b l (a*+bz)x = a * + b l (6) Sustituyendo en (e): b+ay = b -► x=l ■* y = 0 . E n t o n c e s : u = ( 2 , 0 > a=(l,0) es el elemento neutro multiplicativo de C. N ota. El elemento neutro multiplicativo definido en M.4 se llama también unidad compleja o uno complejo y se denota por 1. Esto es, to=l=(l,0) Demostración de M.S: -VzeC, ztzt, 3¡z~icC\z.z~l= u En efecto, s e a n z - ( a , b ) y z ~ ' = ( x , y ) (1) Si z . z - l =u (a,b). (x,y) = (1,0) - (2) (azrby , ay+bcc) = (1,0) ~ {“ " ^ ¡ ¿ (3) Resolviendo el s i s t e m a para x e y obtenemos: a x = --------------a1 + b1 (4) Luego, si z=(a,b) - -b , y = -----------a 1 + b1 z~z=(x;y) = ( ¿ i ° i, (ai°bz’a* + b es e * i n v e r s o m uí tipl ¡cativo de z=(a,b) y es único. Nota. El elemento inverso multiplicativo de z-(a,b) definido en M.S, se de nomina también recíproco de z. Es costumbre representar a z *1 como - j . Según esta propiedad, se puede definir la división de z entre w por la si ______________________________ guiente relación: i= z .í l ) = z .fw -.J De esta definición se obtiene la regla para dividir dos nímeros complejos: z=(a,b) y w=(c,d). z (a,b) w~ (c,d) ~ , .. , ,. (c 'd >~ , . . . c -d . ,ac+bd -ad+bc. (a,b). (cZ+<¡t’cz+dz) ~ (c *h 1*’ cz-tdi* (a>*>) = (ocj_bd (c,d) \ c 1 + d1 be - ad \ c 1 + dz) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 570 EJEMPLO 1. Si z=(5,3) yw=(3,-l), hallar: z/w Según la regla para l a división: Solución. z_ _ (5,3) _ ,15-3 9+5. v (3,-1) ' ' 9+1 ’ 9+1 EJEMPLO 2. Hallar el J\ 5 ’ 5 valor de z para: (2,-l)z+(-4,3) =(1,1)(1,-2)(1,3) Debido a lapropiedad Ai.3 no Solución. interesa elorden en que se empie cen a multiplicar los factores en el segundo extremo. - (2, - l ) z + (-4,3) - (2,-l)z = . •• = (l+ 2,-2+ l)(l,3) (6,8)-(-4,3) . (10,5) 2 " T IT -í) _ ,20-5 ~4+I ' = = (3,-l)(l,3) (6 ,8)+(4,-3) = (3+3,9-1) = (6,8) = (10,5) 1 0 + 1 0 ,_ - ~ T f T ) ‘ ( J ’ 4) R COMO SUBCONJUNTO DE C Veremos enseguida la relación que existe entre los números complejos y los números reales. Sea A=i (a, 0) | a e H C C } , el conjunto de los complejos de parte imaginaria nula Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre A y los reales de la siguiente manera: La función f:A + R, definida por f[(a,0)]=a, asigna a cada complejo real su primera componente. f es inyectiva, p u e s t o q u e si: zl=(a,,0) y z 2= ( a 2 , 0 ,) y zxfz2 +■ (aí,0) f (az,0) Además como: tenemos que: f(z2) = f[(al,0)] = a l y a, fa2 -*■ ->-*■ a¡ ± a 2 = a2 f(z2) =f[(az,0)j f(z¡) f f(zz) de donde se concluye que, si zz t z 2 + f(zz) / f (z¡) f es sobreyectiva, pues VaeR, existe (a,0)eA\f[(a,0)]=a. Por tanto, f es una función biyectiva. Esto es, V(a,0)eA le corresponde el elemento a e n l o s reales, lo cual se indica escribiendo: (a,0) *— a, VaeR Veamos el comportamiento de las operaciones ii) y iii) de 9.2 en los conjun tos A y R. Si z¡=(ai,0) y z2=(az,0), entonces: z , + z 2 = (al,0) + (aí,0) = (al+al,0) zl.zl = (a ¡,0) (az,0) = (al.aí,0) «-* *-> a ¡+a¡ a 2. a 2 Aplicando f a cada u n a de estas operaciones se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.6: Forma Cartesiana de un Número Complejo f(z ,+ z j 571 = f[(al,0)+(al,0)] = f[(a¡+al,0)] + « i = f[(aítO)] + f[ (alt0)] = f(zj + f(zt) = f(zl.zí) = f[(al,O).(al,0)] = f[(a1.al,0)j = a l.al = fl(ai,0)].fj(al,0)] = fízj.fízj Esta analogía permite identificar cada complejo real con el real correspon diente, es decir, es válida la igualdad: (a,0) = a , VaeR o sea, podemos afirmar entonces que A=R y como A c C, tenemos que: R C C De aquí se considera que el sistema de los números complejos es una amplia ción del sistema de los números reales. m FORMA CARTESIANA DE UN NUMERO COMPLEJO Q LA UNIDAD IMAGINARIA El número complejo imaginario cuya segunda componente es la unidad se denomina unidad imaginaria y se denota por: i = (0,1) Tiene la propiedad de que si: i * = (0 ,1 )<0 ,1 ) = (0 -1 ,0 .1 +0 .1 ) = (-1 ,0 ) y por la analogía de los complejos reales con los reales: i1 = -1 + i = / T Podemos usar esta notación para obtener diversas p o t e n c i a s de i: i• = 1 Análogamente: ¡> =i i» = i i2 = -i ¿« = -i ¡3 =i 3 ¡' = (ií)(i*)=(-l)(-l)=l i = (-i)i = -i ¡» = -i i> = 1 Obsérvese que para cada 4 potencias sucesivas de i se repiten los mismos re sultados. Luego, si el exponente de i es ncN, al efectuar l a división entre Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 572 cuatro se obtiene 4k+r, donde O r < 4, entonces: .n _ ,4k+r _ .4. .r En consecuencia, in se reduce a uno de los cuatro considerados en primer lu gar, según el valor que tenga r. Usando la convención de identificar los números complejos de la forma (a,0) con el núm ero r e a l a , podemos escribir el número complejo z=(a,b) en la for ma: z = (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0)(0,1) = (a,0) + b(0,l) = a + bi En consecuencia: z = a + bi Notación que se conoce con el nombre de forma cartesiana, rectangular, cañó nica o binómica de un número complejo, donde a es su parte real y b su par te imaginaria, y se denotan, respect ivamente: a = Re(z) , b = Im(z) de modo que podemos escribir: z = Re(z) + Im(z)i Una ventaja de escribir los números complejos en forma cartesiana es que la suma y la multiplicación se pueden efectuar sin referirse a las definicio nes en términos de pares ordenados. Si usamos la notación zi=(a,b)=a+bi , Zi=(c,d)=c+di para efectuar la multi plicación Zi.Zi donde consideramos los términos a,b,c,d, i, como si todos e llos obedecieran a l a s leyes de los números reales y reemplazando i1 por -1 tendríamos: z 2.z2 = (a+bi)(c+di) = a c + adi + bci + bdi* = (ac-bd) + (ad+bc)i = (ac-bd,ad+bc) Por ejemplo, si z,=(-2,3) y z2=(l,-2), entonces: Zx.Zt = (~2+3i)(l-2i) = (-2)(l)+(-2)(-2i)+(3i)(l)+(3i)(-2i) = -2 + 4 i + 3 i - 6i2 = -2+7Í+6 = 4+7i = (4,7) En adelante adoptaremos la representación cartesiana para efectuar las ope raciones de suma, diferencia, multiplicación y división de n ú m e r o s comple jos. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.7: Representación Geométrica de los Números Complejos fjQ 573 REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS S La idea de representar geométricamente un número complejo es realmen te muy simple. Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los núneros complejos y los puntos del plano cartesiano de acuerdo con el esque ma: Núnero Complejo Punto del plano ► (a,b) - a + bi Asi, cada número complejo a+bi P(a,b) corresponde a un punto único del plano cuyas coordenadas son x=a, y = b . Recíprocamente, cada punto P(a,b) del p l a n o corresponde a un núnero único a+bi. El punto P(a,b) recibe el nombre de punto afijo o gráfica del núnero complejo a+bi. El plano donde suponemos representados los afijos de todos los núneros complejos, se llama plano complejo. El eje OX de este plano contiene todos los afijos de los com piejos de la forma (a,0)=a+0i , es decir, los núneros reales. Por esta razón recibe el nombre de eje real. El eje OY contiene los afijos de los núneros imaginarios puros (0,b) y se llama eje imaginario. La línea OP q u e r e p r e s e n t a l a magnitud del complejo a+bi se llama radio vector. ^ ^ 0 REPRESENTACION GRAFICA DE LA SUMA Y DIFERENCIA Q Si en un plano complejo representamos los complejos z 1= f a 1, b 1; y Zz=(at,bi) por sus respectivos radios vectores r , j r ¡ , entonces el vector sima Zz+Zi es la diagonal del paralelogramo construido sobre los radios vec lores representativos de los sumandos. En efecto: Z pg &ODN o &NEP , por tener: Entonces: a = C B = Q A + A B = O A + N E = OA + OÜ = a l + ax b = PB = PE + EB = MD + NA = bx + b x Por lo t a n t o : z = a + bi = (a1+al) + (bt+bt)i = z , + z2 Para la diferencia: z = zx - zx, construimos el inverso aditivo de zx: 0 N' de modo que: OM - ON = CM + ON' = OP ~ z = z¡+ (-zx) Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 574 H2J CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO klm(z) z=a+bi Si z=(a,b) es un número complejo, enton ces 7= ( a , - b ) se denomina conjugado complejo o simplemente, conjugado de z. Geométricamente dos complejos conjugados esta rán representados por dos puntos Re(z) simétricos respecto del eje real. n rm p r o p ie d a d e s z=a-bi OC.l: a) La sima de dos complejos conjugados es igual al doble de la parte real. b) El producto de dos complejos conjugados es un número real no nega tivo. Demostración. En efecto, sea z=a+bi, entonces: a) z +z = (a+bi) * (a-bi) = 2a = 2Re(z) z.z = (a+bi)(a-bi) = a 1 - (bi)l= a1 + tf- b) Dado que a,beR, se tiene: (z.z)eR ~ (z.z) i-0 CC.2: Un número complejo es real si y Sólo si es igual a Demostración. En efecto: ii) * i) Si z = z zzR + z = a + Oi a+bi = a-bi + ■* (z=a) ~ (z=a) 2bi=0 + b=0- - su conjugado. z= 7 .Luego, z=a, o sea: zeR Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.8: Conjugado de un Número Complejo 575 CC.3: El conjugado de u n a suma es igual a la suma de los conjugados. Si Z,WcC •» Demostración. z + w = z + w En efecto: (1) Sean z=(a,b) y w=(c,d) (2) Si z + w = (a+c,b+d) -► z + w = (a+c,-b-d) (3) Igualmente, si: ~z=(a,-b) y \¡p(c,-d) (4) •* z" + w = (a+c,-b-d) ¡Mego, de (2) y (3), se tie n e : z + w = z + w CC.4: El conjugado de un producto es igual al producto de los conjugados. Si z,weC -► z . w = z . w Demostración. En efecto: (1) Sean z=(a,b) y w=(c,d) (2) Si z.w = (ac-bd,ad+bc) * z.w = (ac-bd,-ad-bc) (3) Si z=(a,-b) y w=(c,-d) * "z.w = (ac-bd,-ad-bc) (4) Luego, de (2) y (3): z.w = ~z.w CC.5: Si zcC ■* (z) = z CC.6: Si z=a+b¿ y z = a - b í Nota. a = Re(z) = " | ( z + ~z) ; t> = Im(z) = - j j (z-z) Una apiicación importante de la conjugación en C e s e l d e l a s i m p l i fic a c ió n de la división de dos números complejos. En efecto , según la propiedad CC.lb, el producto de cualquier complejo y su conjugado es un número real positivo. Entonces consideremos el problema de encontrar el co ciente de z=a+bi y w=c+di de la siguiente manera: _z _ z . w _ (a+bi)(c-di) _ (ac+bd) + (bc-ad)i w .Ejemplo. w' w c ‘ + d* (c+d¡)(c-d¡) Si z=2+Si yw=3-i, hallar: Solución. Si w = 3-1 * w = 3+i Entonces: - i = (™LL(¿ÍÍ> = (**> + ( ™ S ) i = i + 1 7 i w (3-i)(3+i) 3l + 11 10 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 576 EJERCICIOS ILUSTRATIVO S EJERCICIO 1. Se sabe que: (3, 5) (x-1, 4)=(y-2,5)+(3, -1) para ciertos núme ros complejos. Hallar t y u , tales que: (5x-4,u+t)=(3t+l,-5y-19). So lu ció n . - (3,5)(x-l,4)-(y-2,5)+(3,-l) (3x-23,5x+7) = (y+1,4) ~ \3x-23=y+l . 3x-y=24 y=-129l5 (-3-4,u+t) = (3t+l,129-19) + f-7 = 3t+ i + (-7,u+t) = (3t+l,110) '-u+t = 110 ■* £ = -8/3 + u = 338/3 Determinar el complejo: 5z+2wí+u, sabiendo que: z= Solución. + Le Si (5x-4,u+t) = (3t+l,-5y-19) EJERCICIO 2. (3X-3-20,12+5x-5)=(y-2+3,5-1) u = r ' + u i - i f 21]31 w = Para calcular potencias de 1+i y 1-i, tener presente lo siguien (1 + i)2 = l+2i+i1 = 1+2Í-1 = 2 i te: (1-i)1 = 1-2 i+ i2 = 1-2i-1 = -2 i Entonces: (1+i)' = [(1+i)3]1= (2i)3= 4il = -4 _ ,,., (1-i)' = [(1-i)1]1 = (-2i)* = 4 i3 = -4 , _ -8 Luego: z - 8 ( 2 - i) 8 ( 2 - i) - 2+¡ - (2+i)(2-i) ~ " 4+1 .11 _ .4x2+3 _ .3 _ . 1 " 1 - i - -i w - 8 ~ S(2 l) -4i-i -5i(1-2i) _ - 5 ( 1 - 2 0 _ _(z+n J+2¡ - (i+2i)(l-2i) 1+4 ~ ' } + w1 = (2+i)1 = 4+4i+iz = 3+4i .75 = .4x18+3 = f 3 = ^ + u = = _ i+(1_ i}6 = _ i+[(1_¡)2]3 u = -i+(-2i)3 = -i-8i3 - -i+8.i = 7 i 5z+2w3+u = -8(2+i)+2(3+4i)+7i = -10+7Í EJERCICIO 3. „ , Solución. Calcular: E = -■1 , donde m Z + (l-iT2 n (l+i)2(l+i)n~2 ,l+ i,0-2 _ o ; r E = - -----á---- = 2i (-=—j ) = 21 a-o (1+i)1 10-2 ----- a-uu+o J = 2i(^)n~2 = 2i(i)n~2 = 2in~1 EJERCICIO 4. Hallar el valor de: (2+0 E = - 1r (2+l) L + (2~l) (2-t) -i* + (í+i)1 J Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.8: Conjugado de un Número Complejo S olución. 577 Según la identidad: (a+b)1+(a-b)1 = 2(az+b*) 2(4 + i2) - | , _ ,_3_ E ~ L 2i(l+i) J ’ (l-i} EJERCICIO 5 . _ 81 (-2 i) _ «i . _ «i 4i 4 1 Expresar en la forma binómica: z = 1 + 1 + 1 + ~i+r Solución. — = 1 + ----------------- ¡--------- = i + ----------- Y ¡— z = 1 + 1+7?~¥> 1+1JJJ J + 7S7 i+i + x - í , Z ' (3 ,3 ; J (3,1) 2,6+4 3 5 ' EJERCICIO 6. ¿ = J + _______ i_______ .9+3 9-3. ( 10 ’ 10} 8^3 5 _± 3 ¿ = J 1 = Í M L 6(2,1) 3(2,1) = 1ÍM 1 3(2,1) 2. 3 Comprobar la identidad: x"+4 = (x-l-i)(x-l+i)(x+l-i)(x+l+i) Solución. + En efecto: (l+ i)z=2i y (1-i)z=-2i Entonces: x'+4 = Factorizando: = x '- ( 2 U (1+i)1 = -(1-i)1 2 = x 3-](1+i)1j1 x"+4 = f x 2 + (l+i)1][x1 - (1+i)1] = [x1-(l-i)1][x1-(l+i)1} = Cx+i- i )(x-1 + i ; (x+1 +i)(x-l-i) y por la propiedad conmutativa del producto en C, obtenemos: x"+4 = (x-l-i)(x-l+i)(x+1-i)(x+l+i) Nota. Para simplificar ciertas operaciones con números complejos tener pre sente lo siguiente: a) (l+i/J)3 = (l-i/3)3 = -8 b) EJERCICIO 7. Solución, Si z - — (/3-i)3 (/3+i)*=8i y (f3-i) 3=-8i hallar Im(zl) ' . _ (l+ i)'(l+i) _ (2i)1(l+i) _ i(l + i) _ 1 , , z ----------- =§1------------------- z y ] ----------------- ---------- J (1 l) + z 2 = j(l-i)z = EJERCICIO 8. ^ (- 2 0 = ~\i + /m (z) = - j Si w=2ü+v , v=-u+(l-i) , u+(l-i)=2(l + i). Efectuar: z = v * 2^ ’-----— + 2i-l + u 3, expresando el resultado en for ma de par ordenado. Solución. ~ü = -(1-i )+2(l-i) = 1-i + u = 1+ i Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 578 v = - u + (1-i) = -(1+i) + (1-i) = -2 i w = 2u + v = 2(l-i)-2i = 2-4i Luego: z = 2 i + 2(2+4i) - (1 + i) + w = 2+4i + (-1-2 i) + (1+i)1(1+ i) (l+i)z-2(l+2i) 2 i+4+8 i-1-i -l-2i+2i(l + i) = 2 i-2-4 i = - | ~(8+2i) = -3(2,1/2) EJERCICIO 9. Expresar en la forma rectangular el complejo: ■32 0 .7Z .2i i 4i10¡+ 6i" * f/ 3 - i)’ Para potencias de i , de la forma: i Solución. fSi n = % >, 0 + z=l p i 0+ z = i p 5- 2 + z = 1 o n = 4+1 o n = 4+2 o n = 4+3 o n = 4+3 .4*8+0 Para: 113 , L uego: pes par +z = i p es impar ■+ z = -i .0 .7Z : n=7 = 4 + 3 , p=2 (par) JO3 se tiene: p . i = i 10 = 4 + 2 , p=3 (p > 2) - .10s i = 1 o : n = 11 = 4 + 3 , p=5 (impar) - i11 (l)(2i) + 4(1) - 6i z - L-Li— < /---- EJERCICIO 10. í‘ 4(l-i) ~ s r Resolver el sistema: 113 -2zi + Zi = 2+3i . 15 . iz, + jZz = ~2 + i Solución. En (1): -2Zz + zz = 2+3i Multiplicando por -1: Multiplicando (2) por 2: Sumando (3)+(4): En (1): =-2+3i (3) 2izj + z¡ = 5+2i (4) 2(l + i)zl = 3+5i ,, de donde: z 2 = 2 + ^ 2+3i + ( 2) -2zi + z 2 = 2-3i 1: -2(2 - ji) + z , EJERCICIO 11. + 2z¡ - h ( 1) z 2 = 6+2í (Verificar) C.S = l(2,l/2),(6,2)} Demostrar que Vw,z,veC: wlm(z.v) + zlm(v.w) + vlm(w.z) = (0,0) Sólo fines educativos LibrosVirtual Ejercicios Ilustrativos____________________ '____________________________________579 Demostración. En efecto, sean: v^ía.b) , z=(c,d) y v=(e,f) + •vp(a,-b) , z=(c,-d) , v=(e,-f) + T .v = (c,-d)(e,f) = (ce+df,cf-de) ~ v .w = (e,-f)(a,b) = (ea+bf,be-af) + w .z =(a,-b)(c,d) = (ac+bd,ad-bc) Luego: wlm(z.v) = (a,b)(cf-de)i = (acf-ade)i + (bcf-bde)i = (bde-bcf) +(acf-ade)i (1) z J m ( v . w ) = (c,d)(be-af)i = (bce-acf)i + (bde-adf) i = (adf-bde) +(bce-acf)i (2) vlm(w.z) = (e,f)(ad-bc)i = (ade-bce)i + (adf-bcf)i = (bcf-adf) +(ade-bce)i (3) Simando (l)+(2)+(3), obtenemos: wlm(z.v) + zlm(v.w) + vlm(w.z)- O+Oi = (0,0) EJERCICIO 12. Solución. Hallar el valor de: z = '^ ( --3~ + i' ' -‘ V [i - t -l)» 1 - i' Calculemos z por partes: ( S3 - ¿ V . r í'3 ~ l i)1 3+1 1» _ J "■ = <-8i)*(2-2'3i) = 4 %= ■ - EJERCICIO 13. (S3 - i)' . t(S3 - i)’]l(/3 - i)z 4- ? = -l(i - j/3) ’ =■’ iV3)i = - j(/3 + o Sean w,zsC tales que: w+z y w . z s o n reales. Demostrar que w = T. Demostración. En efecto: (1) Sean: w = a+bi , z = c+di (2) Entonces: w + z = (a+c)+(b+d)i (3) Dado que: w + z es real w . z esreal * * ,w . z b+d =0 ad + be = 0 =(ac-bd)+ (ad+bc)i •*d = -b ■* a ( - b ) + b c sededuce que z-a-bi■* = 0 + a = c 7 = a+bi+ w =z (4) Luego, de (3) EJERCICIO 14. En C definimos la operación * de la siguiente manera: z* w = z+w*zw, t z . u e C , hallar el valor de z tal que: z*(l+i) = 0. Sólo fines educativos LibrosVirtual 580 Capítulo 9: Números Complejos Solución. Aplicando la operación * a z*(l + i)=0 se tiene: z+(l+i)+z(l+i)=0 Si z=(a,b) (a+l.b+1) + (a,b)(l,i) = (0,0) * * (a+l.b+1) + (a-b.a+b) = (0,0) ~ íô-b =O'■b+l+a+b = O - 2a-b+l = O a+2b+l = O a = - 3 / 5 y ¿>=-1/5 -*• z Resolviendo (1) y (2) obtenemos: (1) (2) = (-3/5,-1/5) EJERCICIOS: Grupo 56 1. D e te rm in a r l o s núm eros r e a l e s x e y que s a t i s f a c e n l a s e c u a c io n e s : a ) ( 2 - 5 i ) x + ( l + 3 i ) y -8 + 9 i = 0 d) ( ^ ) * b ) ( - 1 +i ) x + ( U 2 i ) y = 1 + = 1+i x ( i - 2 1 ) . + y (2 + 3 1 )» ’ c) (i+ 2 i)x + ( 3 - 5 i ) y =1 -31 f) 2 x + 3 y i+ 4 x i-2 y -5 + 1 0 i =( x + y + 2 ) - ( y - x - 5 ) i 3 -2 i g ) x ( 3 + 4 i} - y ( 8 - 3 i ) = ( 2 x i- 1 0 y + 4 ) i( 4 y i- 2 x + 7 i) 2. En l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s , o b te n e r z , ¿an d o e l r e s u l t a d o e n l a form a d e p a r o rd e n a d o . 3» a) z = 2 4 ( i 1* + i1’ + i* 1 )* - 4 ( 1 - 1 ) ' + 3 ( 2 - 3 i ) * b; i* + i 9 + i , s z = ------------------------2 - i ' + i “ + i l! , C a lc u l a r : a ) (1 + i ) * . ú . (1 c ; »■ (1 - i ) ’ b) 4. D e m o stra r: (r r i 2 (2 -1 ) 4 i 15“ - ■ ■■ + -------(1 -i)' (/3 - i ) 1 2 d ) z = —i - i)* - 1 )7 d) + a ) V z1 , z J ,z ,e C : z l . ( z 1 + z a ) = z , . z , b) ■ (1 + i ) * + 1 + z ,- z , V a.b eR , ¥ z eC : ( a + b ) z = a z + bz c ) S i z y w son d o s núm eros c o m p le jo s d i f e r e n t e s , e n to n c e s : Re(—— ) - Re(— ) = 1 z-w z-w d) SI z , i , , z(z, 5. i , , . . . , : * Zt + . . . + Zn ) so n núm eros c o m p le jo s , e n to n c e s : = ZZl + ZZ j + . . S i 2 , = ( 2 , - 1 ) , z a= ( l , 3 ) y z 1 .z ,= 2 z l , h a l l a r : . + ZZj, z, y Sólo fines educativos LibrosVirtual z*1. Ejercicios: Grupo 56 6. 7- C a lc u l a r : 581 a) (1 +í / 5 ? ( - 2 +2 í ) ( - ^ +í ) (2 -2 ^ i)(lti)‘ b) i 3 + i 3’ + i 3* + i 3’ + . . . . + i 3" c) i 1 + i 6 + i 1** i l , + . . . . + i s * Dados l o s núm eros c o m p le jo s z , = 2 - i , z 2=2+i^3i, z 3= 5 -4 /'3 i. h a l l a r I m ( z ) , s i z = 3 z x - z 2 + z 3. 8. S i z a= ( - 1 , 3 ) , 9- S i z = | ( 1 - í ^5 ) , c a l c u l a r : z 2=(-5/3,1) y z 2. z 3= 3 z 2 , h a l l a r : 10. H a l l a r z t a l q u e : 11. Sea z = ^ ( 1 - 3 í ) i z --!■ — = 4 i+ 8 z ( 2 + i) h a l l a r ( i + z ) 7 en l a form a a + b i. 1 2 . O b te n e r z en l o s s i g u i e n t e s c a s o s : a) z = ( 6 + 2 /3 i ) ( 7 + 7 i ) ( 4 / 5 + 1 2 i ) b) z = (/§ + « '5 i)* -> l€ i + ( - c) z ------------- ---------------------- + X~^) * 1 - i --------1 1 2 13- Qué r e l a c i ó n d ebe e x i s t i r e n t r e x e y p a r a que s ie n d o z = x + y i, xeR, yeR, z+1 s e te n g a que e l c o c i e n t e -j—- te n g a p a r t e r e a l n u l a . 14. La suma d e d o s núm eros c o m p le jo s e s 3 + 2 i. La p a r t e r e a l d e uno de e l l o s e s 2 . D e te rm in a r d ic h o s n ú m ero s, sa b ie n d o que su c o c i e n t e e s im a g in a r io p u ro . 15- Dados l o s núm eros: w ,= 3 + 2 i, w2=1+4i y s u s a f i j o s a ) La e x p r e s ió n b in ó m ic a d e l c o m p le jo z= a+ bi t a l Mx y M2; s e p id e : que s u s a f i j o s e s t á n a l i n e a d o s con M, y M2, y l a suma w2+ z, s e a im a g in a r io p u ro . b ) La e x p r e s ió n b in ó m ic a d e l núm ero c o m p le jo z x= a ,+ b ,i t a l que l a r e s u l t a n t e de l a suma w 3+ Z j , p ase p o r e l a f i j o ( - 3 ,1 2 ) . 16. R e s o lv e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s de e c u a c io n e s : a) ( 3 - i ) z + (4 + 2 i)w = 2 + 6 i ( 4 + 2 i) z - (2 + 3 i)w = 5 + 4 i b) (3 - 4)z + 2w = 3 + 4 i , 4 i z + (3 + i)w = -4 c ) ( 3 - i ) z - (1+ 3 í ) w = 5+ 5i ( 4 + i) z + (5 -3 i) w = 7+ 6i d ) ( 2 - 3 i ) z - ( 1 + í)w = 4 - 3 i ( 3 - i ) z + (1+ 2 í ) w = 11+i Sólo fines educativos LibrosVirtual Capitulo 9: Números complejos 582 e) 3z* + iw* = 7 i h ) 3 iz , + 2 z , - i z , = 1 -2 i z ’ i + 2w5 - O - z , -2 z 3 - í z 2 - ” 6 ( t + 1 ) ' * -1 2 z , -Z j + z , = 6 - i ( i - i ) ? , - z t + (2 + 1 ):!, = 3 - 4 i f) z, + (1-í)z, (l-i)z , g) + i) (l+ i)z , + i z , + z, = 1 2z, t + (1 + I)z , = 3 i (2 + i)z , -z , -i = z ,. z f , = 10 + 1 1 i 2z, z, + (2 -i)z , + (1- í )z , + = 1+2i ( 1 + 2 )z , O ó) z , + z , + z , = 2 z, + z , = 7 -3 i i z , + 2 z , + ( 2 + 3 i ) z , = 12+ 4i R e ( z ,) - 3 z, - iz , + z, = 2i 17. S i z ,= ( x , - y ) ¡i OeC, z y • z , . z ,= ( a ,f c ) ; c a l c u l a r : a ' t b 1 . * 18. D em o strar que V z E C -H I, VneZ : 1 + z + z* + . . . (S u g . Sea S»1+z+z*+ . . . . n+^ n p a r. 1 . + z ° = —------- 7— z-1 +zn , m u l t i p l i c a r z S , lu e g o r e s t a r z S -S ) 19- H a l la r to d o s l o s v a l o r e s p o s i b l e s d e : S = 1 + i + i * + . . . + 20. = i n , nezt n h 1 ■¡n+”' (S u g . S = 51 i = — 5—:------- » lu e g o , a n a l i z a r S p a r a n=2k) h=0 1 100 k O b te n e r l o s s i g u i e n t e s c o m p le jo s : a ) z = 5 1 i k=0 100 k b) z = T T j k-1 MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO Dado z-a+bi, el m ó d u l o o valor absoluto d e z es la raiz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. Se denota por: r = \z\ = Á l+bz Geométricamente, el módulo de un complejo re presenta la magnitud del radio vector r del a fijo correspondiente, al origen. Por ejemplo, si z=4-3i U JJ + ¡z| - /(4)2+(-3)z + r - ¿25 = 5 PROPIEDADES VA. 1: El módulo de todo número complejo es m a y o r o i g u a l q u e cero. Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.9: Modulo de un Número Complejo |z | Z O ,\z\ = O 583 z = 2 , = (0,0) — VA.2: El módulo de todo núnero complejo es mayor o i g u a l q u e s u parte real y su parte imaginaria. | z | ZRe(z) y |z | Zlm(z) Demostración. En efecto: (1) * | z | * = a l+b1 Sea z=a+bi (2) Pero: [a| * = a1 *¡ a l ^ a ’ + b (3) Según (2): | a | * (4) Dado que aeR * Iz I * a 4 |a | (5) De donde se tiene: |z | - 1 l a l -í 1*1 , y por (3): | o | •$ | z | Z Re(z) Análogamente se demuestra que: | z | Z ¡m(z) VA.3: El módulo de un complejo es igual a i módulo de su conjugado y de su inverso aditivo. 1*1 = 1*1 = l~ * l VA.4: El producto de cualquier complejo por su conjugado es igual a i cuadra do del módulo. z.z = {z | 1 VA.5 ; El módulo de un producto de de complejos es igual al producto de los módulos. |z .w | = |z ||w | VA.6: El módulo de la suma de dos complejos es menor o igual q u e la sema de los módulos. | z + w| -í ¡ z¡ + |w | Danostración. (1) (2) (Desigualdad Triangular) En efecto: |z + w| 1 = (z + w)(z + w) (VA.4) = (z + w)(z + w) (CC.3) (3) = z . z + z . w + w.z + w . w (4) = | z | * + z . w + z . w + |w | * (VA.4 y M.2) (5) = | z | 1 + z .w + z .w + |w | 1 (z.w = z . w = J.w) (6) Como los términos centrales son complejos \z + w | 1 = ¡ z | * + 2Re(z.w) (Prop. Distrib.) conjugados,entonces: + |w |* ( C C . 6J (7) 4 | z | * * 2|z.w | + |w|* (VA.2) (8J $ j z | 1 + 2 | z | | w | + Iwl1 (VA. 5) (9) 4 | z | l + 2 | z | | w | + |w|* (VA.3; Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 584 (\z\ + | w |>2 (10) -* | z + w | z ^ (11) |z + w| ^ (Prop. en R) 1z1 + Iwl VA.7: El módulo de un cociente es igual al cociente de los m ó d u l o s . ± i =M , siempre que w ¿ w0 = (0,0) Demostración. En efecto: (1) (2) (3) O bservación. | (í)v A p l i c a n d o VA.5 se tiene: | — | |w| Despejando: z w = 1*1 M Geométricamente, el módulo o valor absoluto de un número com plejo significa la distancia entre el origen y el afijo corres pondiente a l complejo. Apiicaremos esta propiedad para hallar la distancia entre dos puntos. Sean P ¡(x¡,yl) y Pl(x1,y1) los afijos de los complejos z , y zt respectivamente. Por definición de módulo: d(P¡,P1) = | z | Pero: z = z , - Z j . |z | = |z ,-z ,| . d(Pl,P1) = \zl-zl\ = d íP ^ P t ) = / < x , - x t )*+ íy .- y * ) 2 Por ejemplo, si zt=2+3i y zt=5-i, la distan cía entre sus afijos P l(2,3) y Pt(5,-1) es: | Z l —z j g jfl = d(Pí,Pl) = /(2-5)1 + (3+1 j1 = 5 L A RAIZ C U AD R AD A DE UN N U M E R O C O M P L E JO Sea el complejo: z = a+bi cuya raiz c u a d r a d a es el complejo: w = / z | w = x+yi Entonces: w1 = z Aplicando módulos: Desarrollando (1): +-+ (1) (x + yi)1 = a + bi |(x + y ¡.)2 | = |a + b i | |2 = / a1 + b2 * | x + y i * x 2 + yz = / a 2 + b 2 = | z | x 2 - y 2 + 2x y¿i - a + bi ++ | * ~ y ~ a l 2xy = b Simando y luego restando (2) y (3) se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual (2) (3) (4) Ejercicios Ilustrativos 585 2xx = I z l + Q 2y* = \z\ - a 2 * y = t 2 Se obtiene cuatro pares de valores reales, de las cuales se seleccionan dos de acuerdo con la condición (4): i) Si b > 0. entonces x e y se eligen con el mismo signo, ii) Si b < O, entonces x e y se eligen con distinto signo. EJEMPLO. Hallar las raíces cuadradas de los siguientes complejos: (1) Solución. z=5-12i (1) z=5-12i ; (2) z=8i - a = 5 y b=-12 x = ± = +3 ; ; (3) z=-9 - \z\ =/(5)x+(-12)* = 13 y = ± = t2 Dado que b=-12<0, x e y se eligen con distinto signo, esto es: x=3, y=-2 o x=-3, y=2 Luego, si w = / 5 - 12i *w,=3-2i y (2) z=8i * a=0, b=8 * M =S ■* x = y = ± Como a=0 (Note que w ,= - w , , ) w^-3+21 ~ */ j ~ b=2>0, x e y se eligen con el mismo signo. Entonces, lassoluciones (2,2) (3) z--9 * y (-2,-2). Luego, si w = a = - 3 y b=0 * O Como b=0, en este caso, Luego, si w = /-§ * * v,=2+2i ow x=-2-2t son (w¡=-w,) |z |= S = Entonces: X = ± /SI ; y = ± - ±3 los cuatro paresse reducen a d o s : (0,3),(0,-3) w,=3io w t=-3i EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Solución. Simplificar: E = (\z+2i\ + \2-iz\)(\l-2i | ; (’| z | = | z | ; E = (\z+2i\+\i(-2i-z)\)(\z-r-2i\) = (\z+2i\ + \i\\-z-2i\)(\z+2i\) = í |z + 2 i | + . \z+2i\)(\z+2t\) = (2\z+2i\)(¡z+2i\) = 2 |z + 2 i | ’ Sólo fines educativos LibrosVirtual (CC.5 y VA.5) ff í |= I y VA.3) Capitulo 9: Números Complejos 586 EJERCICIO 2. Si z,\f-C, demostrar que: ¡z + w | 2 + | z - w| 2 = 2( \z\ 2+ lw| *) Qué significado geométrico tiene esta identidad? Demostración. En efecto, apoyándonos en l a propiedad: | z | 2= z . z , se tiene: Iz + w | 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z.z + z.w + w.J + w .w Iz - w | 2 = (z - w)(z (1) - w) = (z - w)(z - w) = z.z - z.w - w.J + w .w (2) Sumando (l)+(2), obtenemos: | z + w | 2 + \z - w | 2 = 2(z.~z + w.w) = El significado 2 ( | z | 2 +| w | 2 > geométrico de la identidad es el de un teorema de la geome tría elemental: "La suma de los c u a d r a d o s d e las diagonales del paralelogra mo e s igual a la suma de los cuadrados de sus lados". En efecto, si P y Q son l o s afijos de z y w q respectivamente, entonces: OP = | z | y OQ = |w| Además, R es el afijo de z+w + OR=|z+w| Q también es el afijo de z-w + K ? = |z -w | |w E n t o n c e s : ÓR2+ PQ2 = 0Q2 + PR 2+ 0 P 2 + QRl Pero como: OQ=PR y OP=QR Oft2 + K ?2 = 2C0P 2 + C & ) EJERCICIO |z + w| 2 + |z - w| 2 = 2 ( | z - 4 Demostrar que: \z - -Ai\ = ’ 1 4 ' 4 3. O Demostración. si , z = ,2S. |2 , 1+2ir . 1 En efecto, | z - -î \ = - ^ | 4 z - 3 i | \4z-3i I = )^ ~ 4r - 3 iI - * I ' i +2 i r (1) i-4í 4 r - 3 i - 6 i z r , _ i i+2r, 1 1+2i r 1 ~ ‘l+ 2 i r • = íÍXLÍHV)! = J ji| P 27rj_ 1+2 ir i \4z-3i\ = i l Ü £ í d _ = i (VA 5 y yA 3; +2 i r por tanto, en (1): | z - - f i l Ii+ 2i r | EJERCICIO 4. S o lu ció n . Resolver la ecuación: | x | - x = l+2i , x e C . Sea x=(a,b) - /a 2 + b 2 - (a,b) = (1,2) ++ K 0* + b2 - a = i L-h -b = = 27 - b = -2 Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos: a=3/2 Sólo fines educativos LibrosVirtual + x-(3/2,-2) = 4 Ejercicios Ilustrativos EJERCICIO S. 587 Si w y z son dos números complejos y u=fwz, verificar la identídad: |-— £ = I ■* E - + u | = jw| + | z | En efecto, sea: E = Demostración. * - u| + = i | / - u| + z + u| - *5|2 + h / z * (fz - fw) (fz - fw) + (fz + /¡5) (’r'z + *D|2 (Pero: z.z=\z\') ] = 'j¡[(’rZ - fw) (fz - fw) + (fz + fw) (fz *fw) ] Efectuando las operaciones indicadas obtenemos: E = % [2/w.fÜ + 2fz~.fi] = | / S i | 1 + | / z | 2 EJERCICIO 6. £ = |w | + | z | i) | z | 2 % 2\Re(z)\\lm(z)\ Demostrar que YzeC: ii) Demostración. * ¿2\z¡ i \Re(z) + Im(z)\ En efecto: i) (1) Sea z-(x.y), donde: x=Re(z), y=Im(z) (3) * | 2 + | y | * >,2| x | ¡ y | | z | 1 ^ 2 | x | [y| (4) - |z (2) Entonces: í " i a f [ - | y | ii) Si | z j = / x 2 + y 1 (5) De (3): EJERCICIO 7. * |x | 2 >2\Re(z)\\lm(z)\ | 2 = x 2 + y 2 = |x | 1 + |y | 2 ■» |z * | z j 2 í- 2 ¡ x j ¡ y | (6) Entonces: 2 | z | * >, ( | * l + Í y |->2 (7) Por tanto: O ♦ 2 |z | 2 i |z | 2 + 2 |x |jy | v fjzI 1*1 + M f2¡z¡ >, | Re(z)\ + \lm(z)\ Dados z.wcC, demostrar que: | z - w | >, | | z | - | w | | En qué condiciones se cumple la igualdad? Demostración. En efecto: (1) Iz - w| 2 = (z - w)(z - w) = (z - w)(z - w) (VA.4 y CC.3) (2) = z . z - z.w - w . z + w . w = ¡ z | 2- z . w - w z + | w | 2 (3) = |z (4) = | z | 2 + j w j 2 - 2Re(z.w) (5) Pero por VA.2: Re(z) f | z | | 2 + | w | 2 - (z.w + w.~z) ■» Re(z.w) ^ | z.w\ (CC.6) -* -2Re(z.w) Z.-2\z.w\ (6) Luego, en (4): | z - w| 2 >, ¡ z | 2 + . |w | 2 - 2 | z | |w | (7) Entonces: | z - w| 2 i. ( | z | - |vu| ) 2 -» |z - w| (Pero: |w | = | w | ) ¡ |z | - Veamos ahora en que condiciones se cumple J a igualdad. Sólo fines educativos LibrosVirtual |w | | 588 Capitulo 9: Núm eros Complejos Sean: z=(c,b) y w~(c,d) + \z-w\ =/(a-c)l+(b-d)*; \z\=/a*+b*; |w| =/c2+d2 Entonces: /(a-c)* + (b-d)* =/a2 + b2 +/c2 + d2 Elevando al cuadrado y luego simplificando términos se llega a: (ad-bc)* = O +-+ ad-bc = O+ ad=be +-?=■§ = fc o a Por tanto, la igualdad se cumple, si y sólo si, las partes reales y las par tes i m a g i n a r i a s d e l o s complejos son proporcionales. Determinar algebraicamente las raíces cuadradas de z=8+4/ói S olución. S i z=a+bi + a =8 y \z\ = / 82 + (4/5)* = 1 2 Sea: w = /z = x + yi + x = ± . y = —Entonces: x + ±/l0 , y =±/S" . Corno b=4/5>0+ x e y debentener el mis mo signo. Luego, si w=x+y¡ + wl=/l0+/2i owi=-/l0-/2i ; sonlas raíces de la ecuación ciada. EJERCICIO 8. 9. Resolver la ecuación en C: x2+(-2-2i )x - 3-6i Solución. x*-2(1+i)x-(3-6i)=0 + x = (1+i) ±S(1+i)*+(3-6i) ■ - x = (i +i) */¡TTi Sea: /3-4i = c + di + c. = • ti = —— EJERCICIO Si a-3 y | z | = / 3 2+4 2 = 5 + c = ±2 y (i) d = ±1 Comob--4<0, entonces c y d se eligen de distinto signo, esto es: /3-4i = ±(2-i). Sustituyendo en (1): x = ü +i.) ± (2-il «-<■x,=3 o x=-l+2i C.S = EJERCICIOS: Grupo 57 1. Si w= 2. Si z = (1 + 3-1 y 1 z = -g-4, hallar: |w + z| . 2+1 1 1 i)(-3 +3i) # haUar |z|_ (1—i ) ( 3 i )(1 - / 3 i) 3. Calcular z2, siendo: z = -|-l+i] + /Ii 4. los siguientes enunciados: Analizar la verdad o falsedad de a) i17 + i"* + i1'" = 1 b) I— — + 1 1*1 M 1 ^ 2 / Vz,weC-lz,í , z, = (0,0) 1 Sólo fines educativos LibrosVirtual E je rc ic io s : G r u p o 5 7 c) 5. 589 |_5!_| = B 4 > l2(l+i)wl |w| 4 'W O Analizar la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: a) c) Si zÔ , ~ = z 1 + *1 í j 2 l *• M }z| =1 b) Si z=(l+i)Cos^ , d) * |z| = /2Cos|* t w *z + z = R e ( z . u + z ) + I m (z ) M 6. Hallar z, y z, tale que: z, + z, = 4+i . z,.zt=5+5i, -|i = j^(l-i) , |z4 |*=10 * 7. Resolver la ecuación: ¡x| + x = 2+i , xeC 8. Hallar z, si z lt z, y z, son vértices de un triángulo equilátero tal que: z,=4+6i , z1={l-i)z,. 9. Dados z»-=8+5i y z,=(5/0)/ calcular el complejo z=(3»y) que forma con los anteriores un triángulo isósceles de vértice de lados iguales el z, 10. Determinar el complejo cuyo afijo equidista de los afijos de z,=(-2,0), Zi=(3»3) y Zj=(0/-2) 11. Sean z1,z1,zleC. Demostrar que si Zi+z»+Zj=0 y |zi |= |zj |=*|z, |=1, enton ces zi, z, y z, son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 1. 12. Dados v, y v, tales que |v,| = |w,|=l, v,=iv,( demostrar que ¥zcC, se cían pie: z = Re(-£-)w, + Re(§-)v» W1 »» 13. Si ztC, resolver: |z+i|*-z+l = 4-2i, Re(z) >, 0. 14. Si w y zcCi demostrar que: |z-w|*4: (l+|z|*)(l+|v|*) 15. Si v y zcCt demostrar que: |z—w|% + |z+v|* + 2|z*-w*|* = élíz.z)1 + (v.v)1 + 2z.w.z’.v] 16. Dados z, / z,, w,, w tcC, demostrar que: I*»•»»-**-W»|* - (|zi|l + IzilMílv.l* 17. Si v,zcC, demostrar que: ¡l-w-z)* + |v,|») - |z,.vt + z.-v,]* - |v-z|* = (l-|v|*)(l-|z|*) 18. Sean zltZi,. . -/ZêC, tales que: que:|z, ♦ z* + . . . + Zn| 19. Sea z*C, si = |i . . . =|zn | = 1.Demostrar + ±- + . . .' + i_| se cumple: (z + ¿)cR, demostrar que lm(z)=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual o |z| =1. C a p itu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 590 20. Hallar zt,z2cC tales que: {zx [= ¡z2 j= |z1+zI |=1 , z,.z2 es un imaginario puro. 21. Demostrar que si para i=l»2, , cada z^ es un número complejo» enton ces: |z2 + zx + . . . + zn | -í |z,| + |z2 | + . . . + |zn j 22. Sabiendo que z y w son números complejos tales que ¡z|=|w|=l, demostrar que ^~r~, (z f -w), es un imaginario puro, z+w 23. Sean Z i ,Zí £C: a) Si w = lZ l Zl , demostrar que: w.w = |z.|* + IZil* - (Zi.Zl+Zi.Z,) 1 + |Zx |1 ¡Zx, |* - (Zi-Zx+Zx-Zi) b) 24. En el caso a): si |zi| -S 1, demostrar que |w| 1. Determinar algebraicamente las ralees cuadradas de los siguientes compiejos. 25. 26. a) z = -15-8i d) z = -8+6i g) z = -2/3+2i b) z = 3-4i e) z = 5-12Í h) z = 7+24i c) z = -11+60Í f) z = -8-6i i) z = 6 + |i j) z = -l+4/5i Resolver la ecuación en C: (z-l-i)(z-l+i)(z+l+i)(z+l-i) = 5 Resolver las siguientes ecuaciones en C. a) zl-(2+i)z+(3+i) = 0 c) zz-(3-2i)z+(5-5i) = 0 b) zz-(2+i)z+(-l+7i) = 0 d) (2+i)zz-(5-i)z+(2-2i) = 0 «Sí lug ares El término GEOMETRICOS EN C lugar geométrico se aplica normalmente al conjunto de todos los puntos que tienen alguna característica geométrica común. Asi por ejemplo, son lugares geométricos, la recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, etc. Haciendo uso de la noción de módulo, a continuación descri biremos analítica y geométricamente algunos de estos lugares geométricos. 3 J 5 1 LA LINEA r e c t a EJEMPLO 1. Representar en el plano complejo ¡as siguientes relaciones: a) Re(z) = 3 c) Re(z) + lm(z) = 1 b) lm(z) = 2 d) Re(z) - Im(z) = z. Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 9.11: L u g a r e s G e o m é tr ic o s e n C Solución, 591 a) Re(z)=3, es el conjunto de todos los pares ordenados para los cuales x=3, es decir, es el lugar geométrico de los afijos de la forma z=(3,y). La ecuación x=3 corresponde a la recta paralela al eje ímaginario que pasa por el punto ds abscisa 3 (Fig. 1). b) lm(z)=2, es el lugar geométrico de todos los puntos o afijos para los cuales y=2, es decir, L.G. = {z\z=(x,2) }. Su gráfica corresponde a la rec ta paralela al eje real que pasa por el punto de ordenada 2 (Fig. 2). c) Re(z)+Im(z)=l, es el lugar geométrico de todos los puntos tales que: (x,0) + (O,y) = 1 ■*+ x(l,0)+y(0,l) = (1,0) ->-* L :x+y=l Es una recta que pasa por los puntos (1,0) y (0,1), (Fig. 3). d) Re(z)-Im(z)=z0 , está representado en el plano complejo por iodos los pun tos tales que: (x,0)-(0,y) = (0,0) x(l,0)-y(0,l) = (0,0) ** L:x-yÔ Es una recta que pasa por el origen de coordenadas y biseca al primer y tercer cuadrantes (Fig. 4). EJEMPLO 2. Determinar la ecuación de (a recta cuyos puntos equidistan de dos puntos dados. Solución. Sean P%(Xi,yi) y Pz(Xz,yz) los afijos de los complejos z, y Zz respectivamente, y sea z=P(x,y)eL.G. Se debe cunplir que: d(P,,P) = d(Pt,P) ■* |z - z,| = \z - z,| — |z - fac1,yi> | = |z - Esta ecuación nos describe el L.G. de todos los afijos de z que equidistan Sólo fines educativos LibrosVirtual 592 Capitulo 9: Núm eros Complejos de los afijos de z¡ y zt, y que es la media triz del segmento que une P, y Pz. Por ejemplo, si Zi=(-1,3) y z2=(3,5) - \z-(-l,3)\ = |z-f3,52| —■ | (x+1 ,y-3) | = |fjc-3,y-5j| — /(x+1) 2 + (y-3) 2 = A x - 3 ) 2 + (y-5) 2 de donde, L:2x+y-6=0 9.11.2 LA CIRCUNFERENCIA_________ La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que e quidistan de un punto fijo llamado centro. Sean Q(Xo,yo) el afijo del complejo w y P(x,y) el afijo generatriz del complejo z. Por definición: d(Q,P) = r * |z-w | = r Entonces: A = f z\ | z - w | =r, r>0, w f i j o t , nos describe el L.G. de todos los afijos de z a una distancia r del punto fijo w. Es de cir, A es una circunferencia de centro w y radio r. Si \\f=za=(0,0), entonces la ecua ción compleja | z - z ( | = r representa una cir cunferencia con centro en el origen y ra / (x-0) 2 +(y-0) 2 = r dio r. En efecto, | (x,y)-(0,0) \ = r + x 2 + y 1 - r2 EJEMPLO 3. Sea A - L.G. de los afijos de z | | z-5+7i | = | iz-l+3i | y sea: B = L.G. de los afijos de z \\z+l+2i | =5. a) Grafi car A U S. b) Hat lar Ai) B. Solusión. Según VA. 3: |z| = |z| - \z-(5-7i)\ = |í(z+3+i)| | z-(5+7 i) | = | í | | z - r - 3 - O | - \z-(5, 7) | = | z - f - 3 , - i ; | La ecuación compleja representa la mediatriz del segmento que une los pun tos (5,7) y (-3,-1). Entonces: /(x-5) 1 + (y-7) 1 = /(x+3)1 +(y+l)2, de donde, L:x+y=4 En B: \z-(-l,-2) |=5 Circunferencia de centro Q(-l,-2) y radio 5 - /(x+l)í+(y+2y = 5 (x+l) 1 + (y+2) 1 = 25 b) A f l S : De A: y-4-x ; sust ituyendo en B: (x+l)*+(4-x+2) 1 = 25 Sólo fines educativos LibrosVirtual 593 Sección 9.11: Lugares G eom étricos en C de donde: x*-5x+6=0 ■ x,=3 c,=3 o x t=2 1 ABB = (3,J>,Í2,2> ,/,=! o y,=2 J y. La gráfica de A U B se deja como ejercicio. LA PARABOLA La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Caso 1. El eje de ¡a parábola coincide o es paralelo con el eje real. Sean: P(x,y) el afijo genérico del complejo z; el foco F(p,0), el afijo del complejo z, y L:x+p=0, ta directriz; donde p es la distancia del vértice al foco de la parábola. Por definición: d (P,F)=d(P,D) * |z~zt| = |P£ + £D| = \Re(z)+p\ |z-íp,o;| = |x+p| Es la ecuación compleja de la parábola con Re vértice en el origen y eje de simetría coin cidente con el eje real. En efecto, /(x-p),+yt = |x+p| Elevando al cuadrado: (x-pj^y1 = (x+p)*, de donde: y l=4px Si el vértice coincide con el punto V(h,k) la ecuación toma la forma: (y~k)*=4p{x-h). Cuando p>0, la curva se abre hacia la derecha y cuando p<0, hacia la izquierda. Caso 2. El eje de la parábola es coincidente o paralelo al eje imaginarlo. En forma similar que el caso 1, tenemos: z=P(x,y), z t=F(0,p), L:y+p=0. Luego: d(P,F) = d(P,D) * |z-za| = |P£ + ED| - |z - (0,p)\ = |y+p| -► \z-(Q,p)\ = \¡m(z)+p\ £s la ecuación compleja de la parábola con vértice en el origen y eje coincidente con el eje imaginario, fii efecto: /x l+(y-p>* = |y+p| - x l+(y-p)' = (y+p)1 de donde: x l=4py Si el vértice coincide con el punto V(h,k) la ecuación toma la forma: (x-h)*=4p(y-k) Cuando p>0, la curva se abre hacia arriba y cuando p<0, hacia abajo. Sólo fines educativos LibrosVirtual 594 Capitulo 9: N úm eros Complejos EJEMPLO 4. Solución. Construir el lugar geométrico: |i2+3-2t| = |Re(zJ-4¡ \i(z-2-3i)\ = |x-4| - |i||z-(2,3; | = |jc - 4 j - ' \z-(2,3)\=\x-4\ Foco de la parábola: F(2,3), directriz, L:x-4=0 ♦ A x-2) * + (y-3) 1 = |zc-4 j - (x-2)* * (y-3)* = (x-4)1 - (y-3; 1 = -4(x-3) Vértice de la parábola: V(3,3) 4p = -4 * p - -l<0 La curva se abre hacia la izquierda. La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es una constante 2a. En una elipse se tiene los siguientes elementos: Eje mayor: A¡Ai=2a jm Eje menor: B íB z=2b =P(jc,y; Distancia focal: F,Ft=2c, donde F i y Ft son los focos de la elipse, de modo que se a m pie la relación: a1 = bl + c1 <? es el centro de la elipse * 0 = j(F>+Fz) Determinación de la ecuación: Sean F¡(x¡,y¡), F(xt,yi) los afijos de los complejos z¡ y z» respectivamente. Por definición: d(P,Fi)+d(P,Fz) = 2a * |z-Zi - |z-(x,,y,;| + |z-(Xí,y»;| = 2a z-ziI = 2a es la ecuación compleja de la elipse. EJEMPLO 5. Solución. Construir el lugar geométrico: |z-J-3í| + |z+2-2i| = 4 |z-(J+3¿; |+|z-(-2+2í;|=4 - |z-(i,3;|+|z-(-2,2;| = 4 De donde: 2a=4 - a=2 ; F , ( I , 3 ; y Fl(-2,2) d(F¡,Fl) = | F , - F * | = | ( 3 , i ; | 2c = = /¡O * c = /IS/2 Como c < a, el L.G. es una elipse de centro: <? = *Ft ) (-1/2,5/2) Sólo fines educativos LibrosVirtual 595 Sección 9.11: Lugares geom étricos en C LA HIPERBOLA 9.11.5 La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Una hipérbola tiene por elementos, los siguientes: Focos: F,(x,,y,) y F2 fx2,y2) Eje transverso: A¡A2 = 2a Eje conjugado: B2B2 = 2b Distancia focal: FlF1 = 2c c > a - Centro: c1 = a1 + b1 Q = j (F2 + F2) Determinación de su ecuación: Sea P(x,y) el afijo genérico del complejo z y sean F, y F2 los afijos de los complejos z, y z2, respect ivamente. Por definición: |d(P,F,)-d(P,F2)| = 2a * |\z - 2 ,|-|z - z2|| = 2a ■ IIz-ÍXi.y^Hz-te.y,;! I=2a es la ecuación compleja de una hipérbola. EJEMPLO 6. Esbozar el lugar geométrico de los afijos zcC, tales que: (\\iz-3+4i\-\z+3i-2\\-3)(\z-l+3i¡-\z+2-2i\) = 0 Solución. Sea A = L.G. de los afijos de z |||iz-3+4i |- |Z+3Í-2||-3 = 0 B = L.G. de los afijos de z |\z-l+3i\-\z+2-2i\ = 0 En A: \\ i(z+3i+4)\-\z-(2-3i)\\ = 3 - | | ( | | z - ( - 4 - 3 i ) | - \ z - ( 2 + 3 i ) || - 3 - |\z-(-4,-3)\-\z-(2,3) \| = 3 de donde: a=3/2, Fí=(-4,-3), F2=(2,3) - d(F,,F2) = |F,-F,| =|C6.6) | - 2c = /ó1+6l = 6/2 - c = 3/2 Como c > a, el L.G. es una hipérbola cuyo centro es: Q = Fl+F1) = (-1,0) En 3: ¡Z-C1,-3;| = |z-(-2,2;| Es /a ecuación compleja de la mediatriz del segmento que une a P¡(l,-3) y P1(-2,2) ■» y (x-1 )* -r(y+3)z = / (x+2)1+ (y-2)1, de donde, L:3x-5y-l=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 9: Números Complejos 596 Observación. Tener mucho cuidado al identificar lugares geométricos cuyas ecuaciones complejas tienen la forma: \z-zl \-\z-zz \-2a , pues éstas representan solamente una de las dos ramas de la hipérbola. EJEMPLO 7. Solución. Identificar y construir la gráfica del L.G: \z+3\-\z-3\=4 Se tiene: \z-(-3,0)\-\z-(3,0)\=4 Aparéntemente se trata de una hipérbola con focos en Fi(3,0) y Fi(-3,0) y con centro Q(0,0).Además: 2a-4 , 2c=6 *b*=c1-aI=5 3? v* a? v1 Ecuación de la hipérbola: — r - -fr -1 — — r - = r ar Ir 4 5 J Este mismo resultado lo obtenemos partiendo de la ecuación compleja dada: |z+3| = 4+|z-3| - /(x+3P +y* = 4 + /(x-3)1+y* Elevando al cuadrado: 2/ (x-3)1+y* = 3x-4 Pero, /a í- 0, VdtP * (2/(x-3)1+y1)*= (3x-4)1 - 3x-4 > 0 de donde: 5xt-4y*=20, para x í- 4/3 Por tanto, la ecuación del L.G. representa solamente la rama derecha de la hipérbola. Nota. Asociadas a las gráficas de los lugares geométricos de ecuaciones complejas estudiadas, están las gráficas de relaciones que involu cran desigualdades. Sus representaciones en el plano complejo se hacen en idéntica forma tal como se hizo para las gráficas de relaciones en R?. EJEMPLO 8. Representar en el plano complejo los conjuntos de puntos que satisfacen a las siguientes relaciones: (1) R, = íz |-2 -S Im(z) < 3» ’ (3) R, = {z\2 < \z-l \ ¿ 4) (2) R, = iz\2Re(z)-3Im(z) < 61 (4) R, = (z| |z+i| í 4-|z-i|í Solución. (1) La gráfica de R, es la intersección de las gráficas de: [Im(z) i- -27 /. jlm(z) < 3]; es decir, R, es el conjunto de puntos para los cuales: (y >, -2) - (y < 3), que corresponde al semipla no que contiene al origen cuyos bordes inferior y superior son las rec tas y=-2, y=3, respectivamente. (No se incluye la frontera y=3) (2) La gráfica de Rt es el conjunto de puntos z=(x,y), tcrles que: 2x-3y -í 6 *•* y 2 yc-2 Es deéir, es el conjunto de puntos situados en el semiplano superior de la recta L:2x-3y=6, incluida la frontera L. Sólo fines educativos LibrosVirtual 597 Sección 9. I I: L ugares geom étricos en C In Im(z)=3 r 1^ -Re im(z)=-2 Gráfica de R¡ (3) Las gráficas de \z-l\=2 y |z-i|=4 son dos circunferencias concéntricas de radios 2 y 4 y centrocomún en Q(1,0). En efecto, si\z-l\=2 |z-l|=4 -*■ |(x-l,y,) |=2 * C 3: (x-l)1 + y1 = 4 -*■ \(x-l,y)\=4 -*■Ci'.(x-l)1 + y 1 = 76 En consecuencia, la gráfica de R 3 es el anillo circular comprendido en tre las circunferencias C¡ y C2, incluyendo los bordes o fronteras. (4) R, = (z| |z+i|+ |z~l| ¿4) . Si \z-(-l,0)\ + \z-(l,0)\ 4 4 d(F3,F3) = iFz-F,! = \(2,0)\ - 2a=4 - a=2 ; F 3=(-1,0) y FZ=(1,0) 2c = /22+02 = 2 ~ c=l Como a > c, la gráfica de ¡z+l\+\z-l\=4 es una elipse cuyo centro está en Q = ■^(F1+F1) = (0,0). Ader.,ás, a 1=b1+c1 -» bz=4-l=3 ^ Ecuación de la elipse: Luego, x2 v2 + "£? = 1 * F: x2 v2 + -J- = 1 la gráfica de R, es el conjunto de puntos que están en el inte rior de la elipse E incluyendo la frontera. Gráfica de R 3 Sólo fines educativos LibrosVirtual Gráfica de R* 598 Capitulo 9: Núm eros complejos EJERCICIOS ILUSTRATIVO S EJERCICIO 1. Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que verifican: (z + z~l)cR. Solución. Sea z-(x,y), tal que: z t z, = (0,0) Luego, z + z~l = z + - l = x + yi + * \z\ í 0 ■* x l+y* f 0 x-yi x z+y* = (x + )i x z+y1 x z+yz Im(z + z~l) = 0 Si (z + z-')tR * y y _ = 0 x z+yz „ y ( x z -t-yz - l ) = 0 ^ y f r l+ y l- D = o „ a-í+.yl jí o x z + yl -» íy=0 * o x z+yz=l) -» (xl+y* ¿ 0) (y=0 ~ x z+yz¿0) v (xz+y*=1 ~ x l+yzJ0) La gráfica de (z + z~*)eR es la unión de la gráfica de la circunferencia de radio r=l y centro z,=(0,0) con la gráfica del eje real y=0, exceptuando el origen. EJERCICIO 2. Demostrar que si c es una constante real positiva, entonces los afijos de z*C, tales que l'frjl=c representa una circun ferencia si cfl y una recta si c=l. Demostración. En efecto, sea z=(x,y> do que si |-f~|l=c * (x+l)t+yí=cz[(x-l)z+l] Sea a=c‘-l * * ♦ z+l=(x+l,y) y z-l-(x-l.y), de mo lz+1l = c\z-l\ * * \z+l |*=cl |z-l |1 (cz-l)xz+(cz-l)yz-2(cz+l)x+cz-l = 0 (1) axz+ayz-2(a+2)x+a = 0 Completando cuadrados se tiene: (x - + y* - “ 1 Tenemos una circunferencia de centro ( - ^ ,0) y radio: r = J a i 0 , luego, cz-l f 0 - c‘^1 -2(l+l)x = 0 * * 1 • P°ra cfl En (1), si c=l * x=0, es una recta. EJERCICIO 3. Analizar que lugar geométrico representa tos afijos de los zeC| az.l+cz+cz+b=0, donde a.beR y ceC. Sólo fines educativos LibrosVirtual 599 Sección 9.11: Lugares Geométricos en C Solución. Sea z=x+yl * |z|* = z.z - x*+y* ; Re(z) = ¿fz + z) = x Luego, si: a12 ja + c(z + z) + b = O » afx*+y*2 + 2cx + b = O , a., , , c*-ab (x * - 2 1 + y* = — — x* + 2(-)x + y* a C El lugar geométrico es una circunferencia de centro (- — ,0) y r = — EJERCICIO 4. -— Hallar el lugar geométrico que describe el afijo z cuando: z = 1+1 + 77F7 • rE R - Solución, z = i+ i + ---— = (1 + — --- , 1 - — — > 2 t- r1 2 + r* 2 + r* Entonces: x = 1 + 2 * 2 + r* 2 + r* y = 2 _ 2 -x 2 x-2 = 2 - rf_ - 2 = 2 — r(x-l) 2 + r* ,2-x. fy-222 = r2fx-22* * fy-221 = (x-221 1 + r* - y-2 = -r(x-l) - de donde: fy-221 = -fx*-3x+2) - -fx-3/221 + 2/4 (x-3/2)1 + fy-221 = 2/4 El lugar geométrico es una circunferencia de centro (3/2,1) y radio r=l/2. EJERCICIO 5. Construir la gráfica de la relación: R = {z| ||z+4-3i|-|iz-2i+5|| ^ 8}. Solución. ||z+4-3í|-|iz-2i+5|| = ||z+4-3í|-|i(z-2-Si)|| = ||z+4+3í| - |i||z-2-5i|| = ||z-f-4,-32| - |z-f2,52|| = 8 de donde: 2a=8 * a=4 ; Ft=(2,5) * <l(Fi,Ft) = |f6,82| * y Ft=(-4,-3) 2c = /36+S4 = 20 Cono c > a, el L.C. es una hipérbola con centro en Q = { - i , i ) . ♦ - d(F,,F2) = |f2, S2-f-4, -321 c=5 \./m Í'.VV. i* •■v.4 Gra/ica de ¿a relación: Sí I\z-(-4,-3)\-\z-(2,h)\ < 8 -■ ■■■■■ixX^.Re * /fx+42*+fy+32* - /fx-221+fy-521 -$ 8 Veamos si (0,0)zR A * +32 - / (-2)* + (- S )z -í S * >^25 - /¿i} f 8 , se cumple. Luego, la gráfica de R es el conjunto de puntos ubicados entre las dos ra mas de la hipérbola, incluidos los bordes. Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 600 EJERCICIO 6 . Sean Rj={z| \z+l-2i |+ |iz+2-3i | 6\ y Rj=iz| \z+2-i \ -í |¡z+5— í¡| . Construir la gráfica de R,ni!,. Solución. (1) Construcción de los lugares geométricos: A: \z+l-2i|+|iz+2-3i| =6 y B: \z+2-i |=|iz+5-4i\ (2) EnA: \z+l-2i\+\i(z-3-2i)\=6 + \z-(-l,2)\+\z-(3,2)\=6 (3) De donde: 2a=6 - a=3, F ^ O . 2 ) y F x(-1,2) - d(Fi,Ft)=\(4,0)\ - - d(Fi,Ft)=\(3,2)-(-l,2)\ c=2 2c=4 - (4) Como c < a, A es una elipse con centro en Q = ^(F^+Ft) = (1,2) Además: b i-ai-c1=9-4=5 -*■ b = /f> (5) En B: \z+2-i\=\ i(z-4-5i)\ ■» \z+2+i\=\i\\z-4-Si\ - \z-(-2,-l)\=\z-(4,5)\ (6) El L.G. B es la mediatriz del segmento que une los puntos (-2,-1) y (4,5). En efecto: \(x+2,y+1)\=](x-4,y-5)\ + /(x+2)l+(y+l)2 = /(x-4) 2+(y~5)2, de donde, L:x+y=3 (7) Gráfica de R l: /(x+l)í+(y-2)z + /(x-3)z+(y-2) 1 ¿ 6 (8) Es(0,0)cR ? - /í+4 + /9Í4 4 6 * - /5 + /l3 ■< 6 , se cumple. Luego, Si es la totalidad de puntos en el interior de la elipse, incluyendo el borde. (9) Gráfica de Ri: x+y í 3 * y í 3-x R 2 es el conjunto de puntos ubicados en el semiplano inferior de la recta L, inclu yendo el borde L. EJERCICIO 7. Sean: R,= (z| |íz+3i+2| + |z-5+6¿ | .< 12\ y R*= (z| |iz-i-4\ >,3} Hallar el área de (Rif) R t). Solución. Sean A : |¡z+3i+2|+|z-5+6¡\=12 y B : |iz-i-4\=3 (1) En A: \i(z+3-2i)\+\z-5+6i\=12 - \z-(-3,2)\+\z-(5,6)\=12 (2) De donde: a=6 , F,=(5,6), FJ-3,2) , d(Fl,FJ=\(5,6)-(-3,2)\ = \(8,4)¡ + 2c=/82+4*=4/5 * c=2/5. Como a>c, A es una el ipse con centro en: Q ^ A f F ^ F J = (1,4); al=bl+c 1 (3) En B: |i(z-l+4i)|=3 + * b l=36-20=16 -- |i|¡Z-1+4Í|=3 - b=4 \z-(l,4)\=3 Luego, B es una circunferencia de centro Q(l,4) y radio r=3. (4) Gráfica de R,; \z-(-3,2)\+\z-(5,6)\ i 12 Sólo fines educativos LibrosVirtual 601 Ejercicios: Grttpo 58 - Jm /(x+ 3)í+(y-2)1 + S(xrS) *+(y-6 )1 $ 12 Es (O.OJzRi? * - t -r- s t ^9+4 + S ñ í m - S 12 v-3 ■*• /l3 + /61 -í 12, se cuvple Luego, R¡ es el conjunto de puntos en el in 4 terior de la elipse, incluyendo el borde. (5) Gráfica de Rz: \z-(l,4)\ 1 3 - te# \ /-i:/ <x-l)x+(y-4)* % 9 Es (0,0)eRz? - " (l)x+(4)x í-S, se cumple. 1 * * iRe Luego, la gráfica de R z es la totalidad de puntos ubicados en la parte exterior a la circunferencia, incluyendo el bor de. Entonces: a(Rlr\R1) = a(el ipse)-a(círculo) = *ab - vr* = v(6)(4)-n(3)z .'. = 15* u* EJERCICIOS: Grupo 58 1. Identificar el lugar geométrico de los puntos que representan los núme ros complejos z=x+yi, tales que: 2. a) |z|+Iin(z)=0 d) |z-2|=2|z+l| g) Iz-z^l^z-z*) b) |z|-Re(z)=2 e) |z-2+i|=2 h) Imíz1) ^ c) z + z = |z|* f) |z+l-2i|+|z-l-2i|=8 i) |z|=Im(z)+l Hallar el lugar geométrico de los afijos que representan a los números complejos z=x+yi,que satisfacen a las desigualdades: a) Iz-il-S 1 d) 0 < Re(iz) < 1 g) ||z-4i|-|z+2i| | ^.4 b) |z—i—1 | < 1 e) |z-2|-|z+2| > 3 h) ||z-5-ij- |iz+3i+5|| > 8 c) |z-2| + |z+4| -S10 f) ¡2z| > |l+z*| i) |zH-5i| £ |iz+3-i| 3. Dadas las relaciones Ri y R n construir las gráficas de Rj a) Ri = íz||Im(z)-5| ^ |z+l-3i|) ; R=iz||z-3+2i| R z. jiz+3i-4|K b) Ri=tz| ||z+4i-31- 1z+5+2i || 4: 8} : Ri={z| |iz-l+i | 4: 5}. c) Ri=iz||z-l-2i|+|iz+6-3i| ^ 6 ; Ri=iz||z-2+4i| C 3 . d) R 1= {z ||iz-2-i | i. jRe(z)-3|} : R 2={z| |z-2-2i| ^ 3}. 4. Donde se halla el afijo de z si: T.oa - [ IZ 1 "I2 !-1--1-| < 2 3\ |z|+2 / 5. Si el afijo del complejo z describe |z|=l< qué lugar describe el afijo del complejo w=x+yi, sabiendo además que: w(z+l)*=4. Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p itu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 602 9.12 FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO_____________ ^ Sea el número complejo no nulo z=x+yi. Como ya se ha visto, este nú mero se puede representar en un plano complejo por la pareja (x,y). Si tra zamos la recta desde el origen al punto (x,y), habremos determinado una dis tanda r y un ángulo e en posición normal (medido en sentido ant ¡horario). Esto es, el punto (x,y) ha sido representado en términos de las coordenadas polares r y o, mediante las relaciones: x=rCos8 , y-rSen6 de modo que si: z=x+yi, entonces z = r(Cose+iSene) Esta representación del complejo z se llama forma polar o trigonométrica de z, donde r es el módulo, radio vector o norma y 0 el argumento o amplitud. Observaciones. (1) El número complejo z puede ser representado en su forma polar simpl ificada: z=rCis9 (2) Los valores de r y e se pueden hallar por las relaciones: r = |r| = /x*+yl , Tana = e=arcTan(^) (3) El argumento de un número complejo no es único, pero se tomará como ar gumento principal: 0 ^ e < 2n (Algunos autores toman como argumento principal: -n < 9 n ) (4) La relación Tañe =-=£ da dos valores para e y el ángulo que se eligirá será el que se determine por los signos de x e y. (5) Dados dos complejos en su forma polar: z-rCisa y z l=r1Cisa entonces si: z = z i <-► r = r l .»8l = 6+2kn , keZ EJEMPLO 1. Determinar la forma polar de los siguientes complejos: Solución, a) Z--2+2/3Í c) z=l+/3i e) z=3-3/3i b) z=-/3-i d) z=-5+0i f) z=0-2i a) z=-2+2S3i * r = |z| = /(-2)1+(2/3)*= 4 Para el argumento principal tenemos: x=-2 (negat ivo), y-2^3 (positivo), entonces B termina en el II cuadrante. Luego, si Tañe = - ^ - = ~ ^ = - /3 X * e=arcTan(-/5) * Sólo fines educativos LibrosVirtual e=180‘-60'‘=120^ = 4* o 603 Sección 9.13: O peraciones en la Forma P olar z = 4Ci$(2*/3) b) z= -/3 -i - r= | z | = / ( - / 3 ) 1+ ( - l ) t =2 Como x e y son ambos negativos, el argumento principal termina en el III cuadrante. Entonces: Tana = ü = JL1¿_ = ■ — x (Sj) ■* 8= ISO9+30* = 210* = -fu 3 6 .'. z = 2Cis(7s/6) c) z=i+/3i r = |z| * /j+f/3)2 = 2 ; Tan6 =-^-= </3 -*■ B=arcTan(*/5.) Cíwio x e y son ambos positivos, el argumento figura en el I cuadrante. Luego, e=60*=*f3 -» d) z=-5+0i . Aqui, y=0 TanB = ^ = y- = 0 ■* e) z=3-3/3i z = 2C ís (ti/3) , x=-S (semieje real negativo) ■* r=|z|=|-5|=5 a-v . Luego: z = SCisir ■* r = |z| = /(3)*+(3/3)* = 6 Como x=3 (positivo) e y=-3/3 (negativo), el argumento 8 termina en el IV cuadrante. Luego, Tana = ~ = — a3 S - -/3 -V X ü 8 = arcTan(-/3) = 360*-B0* 8 = 300' = -I» . Entonces: z = 6Cts(5»/3J f) z=0-3i . Aqui, x=0, y=-3 (semieje imaginario negativo) Tan9 = .*£=— ¿ = - » (indeterminado) EJEMPLO 2. Si A={zeC|i-< |z| -í 4, -* r=|z|=|-3|=3 ■* a=270*=3v/2 -* z - 3Cis(3s/2) arg(z) -í Graficar e identifi car el conjunto A. Solución. 1>S \z \ _< 4 , es un anillo circular formado por las circunferencias: |z|=I y |x|=4. Enton ces A es un segmento de dicho anillo que parte de 8=v/4 y termina en e=i . C T H OPERACIONES EN LA FORMA POLAR 9.13.1 M ULTIPLICACION El producto de dos números complejos en forma polar es otro núme ro complejo en forma polar, cuyo módulo es el producto de los módulos de los factores, y cuyo argumento es la sima de sus argunentos, esto es, si: zl=ri(Cosa ¡*iSenal) y zt-rt (Cosa ¡Sene z) Sólo fines educativos LibrosVirtual 604 Capitulo 9: Núm eros com plejos Entonces: zi.Zi - ri.rt(Cos&l+iSene1)(CosS2+iSene1) = r¡.rl[(Cos&íCosel-SenQ1Senel)+ i(SenslCosdI+CoseíSen3í)] - = r1.rí[Cos(sí+eí) + iSen(ax+e2)) Así tenemos que: z,.z2 = rl.r¡Cis(e¡+eí) INTERPRETACION GEOMETRICA. En un sistema cartesiano complejounitario B representantes consideremos u=(l,0) y losafijos de los complejos z 1=r1Cís91y z2=r¡Cise2,es el Ay decir, decoor denadas polares Afrj.B,; y B(r2,B2), respectivanente. Considerando a OB como homólogo de OU, construimos el áOBP » &0UA. Resultando P de coordenadas polares (r,sl+6t). Determinamos r por la proporcionalidad de lados homólogos, esto es: d(0,P) _ d(0,A) d(0,B) d(0, V) de donde: ^ r_ _ r, r* 1 r - rx.r2 Por lo tanto, el vector OP representa al producto de los complejos z i y z%. 9.13.2 COCIENTE_________________ £1 cociente de dos números complejos, dados en su forma polar, es otro número complejo, también en forma polar, cuyo módulo es el cociente de los módulos y cuyo argunento es la diferencia de los argumentos. Esto es, si: Zi-riCisBi y z 1=r2Ciss1 -*• -£i. = ÜAfCosfBj-Bj,) * iSeri(e1-aí)] Z2 En efecto, sea: w = rCisS rt (1) Si V!=— -* w.z1= zl Zi . -*• rC/sB. r2Cisez = r ¡Cise¡ ■* r. r íCis(B+el) = r lCisei Por la igualdad de complejos: Luego, en (1): (r.rt = r t) ~ (0+b2 = Bl+2kf) (r = •£•*) - fe = «1-9», si k=0) ■ “l w = iifCisíe,-&2)] «-*■ h 2z = Z±[Cís(at-a2)l T'« Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 9 .1 3 : O p e r a c io n e s e n la F o r m a P o la r INTERPRETACION GEOMETRICA. 605 Consideramos el complejo unitario u=(l,0) ( y los afijos A y B de ¡os complejos: z,=r1Cissj y z2=r2Cis02, cuyas coordenadas polares son: A(rí,el) y B(rz,Bz). Considerando a OU como homólogo de OB, cons truimos sobre OU el W U Q - AOBA; resul tando Q de coordenadas (r,$z-9z). Según la proporcionalidad gos: d(0,'Q) = d(0■■,*■A■)■ d(0,U) de lados homólo- _ r *-*■ -r r± ri d(O.B) de donde: £i ri r Por tanto, el vector OQ representa el co ciente de los complejos zi y zz. EJEMPLO 3. Sean: z, 3^3 2 -ki y zz=~2+2/3i, efectuar en forma polar las siguientes operaciones: a) Zi-z2 ; Solución. En z¡: r2= |zj|=3 y TanBL=^-; x b) -3/2 — Zz 1 3/3/2 /3 Como x es positivo e y negativo, el argumento principal termina en el IV cuadrante - 0 ^-arcTanj-l //3)=360l>-30a=330',=lH/6 Luego, z1=3C¿s('JÍtt/5J En zz=-2+2S3i , r l = \Z i\= 4 y TanQi=■ 2/ 3 -2 -V3 Como x es negativo e y positivo, el argumento principal termina en el II cuadrante - a) z 1.zz (3)(4)Cis(— 6v +Jit; * 0í=arcTan(-/3)=180°-60°=120°=2n/3 1 2 C í s (-2 k ) - z1=4Cis(2*/3) 12Cis(2* + j) = 12Cis(j) Z 1 .Z2 = 12(cos90°+iSen90°) = 12(0+i) = 12i b) /-i = -.Cisí—^ Zz 4 O J = % C i s ( b ) = -.Cis(180‘+30'‘) = ~(-Cos30>-iSen30°) 4 o 4 4 * fz = - í (’r3 + i) EJEMPLO 4. Calcular: z = 2(l-i)(Cosd - iSenB) Solución. Sean: z,=l-i/3 y zz=l-i. Expresando ambos complejos en la forma polar y teniendo en cuenta que sus argumentos principales termi nan en ei IV cuadrante, se tiene: Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p itu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 606 Para zl: rt=2 y TanB^-ZS » 8^ 3 6 0 ’-60° =300° * zl=2Cis300° z1: rt=/2 y Tanez=-1 - ez=360°-45°=315° * zt=Z2Cis315° Luego, z = :!C,s300’ <Cise) = !^cis(300°-315° )Cis(e+B) = -r,Cis(-15° )Cis2e 2Z2Cis315°Cis(-e) ¿ - z = ^j [Co s (2b -15°)+iSen(26-15°)] = ~ 2lCos(2a - y|) + iSen(2<> - y p j EJEMPLO 5. Representar gráficamente el L.G. de los afijos de los comple jos que cumplen con la relación ArgfltZ.Z?' )=0, donde: z¡=l + i y zt--l+2i. „ , -Solución. o , , Sean: z=(x,y) y z-Zi (x-l)+(y-l)i w = -— — = ----,r— ^---Z\~Z2 ¿ l +■ w = ~ l (2x-y-l)+(x+2y-3) i] Si Arg(w) = arcTanC£*^Z_j) * Arg(w)=0 +■* (x+2y-3=0) - (2x-y-l >^0) ** (x+2y-3=0) ~ (y < 2x-l) Sean L:x+2y-3=0 y L,:y=2x-1 L Entonces, los afijos del L.G. que cumplen con la relación dada se encuentran sobre ^ la recta L, en la región del semiplano in — ferior (y<2x-l) de la recta L,. L, / EJEMPLO 6. Si zeC||z-i|=J, G < Arg(z-l) < »; determinar Ar(z*-z) en fun ción de Arg(z). Solución. |z-i|=l es una circunferencia con centro en Q(l,0) y radio r-1. Entonces, sean: 8-Arg(z) y a=Arg(z-l) Por la geometría elemental sabemos que: m(fQOP)=m(tOPQ) (Subtienden arcos iguales) Además: a = mf'fQ0P)+m(^0PQ) = 20 Luego: Arg(z1-z) = Argz(z-l) = Arg(z) + Arg(z-l) * Arg(z‘-z) = 8+20 = 38 = 3Arg(z) Sólo fines educativos LibrosVirtual Re E je rc ic io s : G r u p o 5 9 607 EJERCICIOS: Grupo 59 1. Expresar los siguientes números complejos en su forma polar: a) z = 6/3+6Í c) z = -|(-/3+i) e) z = -4+4>/3i b) z = 3-3/3Í d) z = -5i^3-5i f) z = 2/2-2/2Í 2. Si Zj=6Cis30,< z 2=2CislO0 y z 3=3(Cos20ll-iSen200), hallar: z,.z2 .z31. 3. Realizar la operación indicada y expresar el resultado en su forma rec tangular . a) (/5cis224)(3Cis84’)(2Cis27 *) (6Cis25 °)(Cisl83 °) . ' (Cosl33 "tiSen767 °)(Cos317 0+iSen223 °) Cos30'r-iSen30’ . CJ (Cosí71 °+_iSen7290)(Cos284 "+13601336 11) ‘ Cos330°-iSen330' dj (Cos295“+iSen655*)[Cos(-20 *)+iSen7000] Cos415 °-iSenl25” 4. Localizar en un plano complejo los afijos que representan a los números complejos z=x+yi, tales que: 5. a) ií/ < Arg(z) ^ 2x/3 c) ir/8 í Arg(z) b) ir/4 .$ Arg(z) 6 < 3x/4 d) x/3 .< Arg(z+i) ^ ir Hallar la forma polar de: a) z = ^ it/2 * |z| 4: 3 iCis(ir/3)+l b) z = 1+iCotge , x < 0 < 3rr/2 6. Escribir en la forma polar el resultado de: (6+2/3Í)(7+7i)(4/5+12Í) 7. Si z,=l-2i y z2=2+i, graficar el lugar geométrico de los afijos de nüme ros complejos que satisfacen la relación: Arg(-z ?*) = 0 2 1-2 2 8. Si z=Cise, representar en forma polar: 2Z ■=-- 1 -z *■ 9. traficar los conjuntos: a) A = {zeC|z=iwl, donde |w| =1 y Arg(w) e[ ir/6 ;ir/4] } b) A = (zeC|z = (^p.) r |w¡ £-1 y Arg(w) e[ 11/6 ,ir/3] } * Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 608 POTENCIACION DE NUMEROS COMPLEJOS TEOREMA D E MOIVRE. La potencia n-ésima de un número complejo en su forma polar tiene por módulo la potencia n-és¿ ma de su módulo, y por argumento el producto de su argumento por n. Es decir, si: z=rCis& Demostración. * zn = rn (Cosne+iSenne) Por inducción completa, sea la proposición: P(n) = {n\zn = r'teisnal. (1) Para n=l * P(l): zl=r*CisB * z=rCiSB , es verdadera (2) Supongamos que para n=h, la proposición: P(h): z 1 = r^Cish8 , es verdadera (Hip. Inductiva) Demostraremos que para n=h+l, la proposición: P(h+1): z^+^ = r^^Cislh+Ds , es verdadera En efecto: •s z 1** = z*.z = (rCise)^(rCise) =* (r^CishB) (rCise) (H-.ip. Ind.) = rh .r[Cis(hB+B)J = rh+1 [Cis(h+1)BJ (3) Conclusión. Se ha probado que: P(l) es V « P(h) es V EJEMPLO 1. Solución. /3 1 Si z = - - y + ~î , hallar: Re(z*’). Expresamos z en su forma polar: |z| = r = /(-/3I2)Z+(1/2)Z = 1 ; TanB = ^ - = M M -/5/2 Como x<0 , y>0 , el argunento principaltermina en el II Entonces: 8=arcTan(-l//3) = 180°-30> = Luego, si z=rCise * ->■ P(h+1) es V * z=lCis(5n/6) - -— ñ cuadrante. 150> = 5n/6 ->• z z>= 1 ziiCís20(5ti/6) (Moivre) z2t = Cisf8x2it + -|n) = Cos(2v/3) + iSen(2n/3) :. Re(zl>) = Cos(y) = Cos(ir - -§/ = -C0s/|/ = - j EJEMPLO 2. Usando el Teorema de Moivre, demostrar las siguientes identi dades: Sen3& = 3Sene - 4Sen’B Cos3B = 4Cos19 - 3CosB Solución. Sea el complejo unitario: z=Cos$+iSene Elevando al cubo: (\z\=l) z5 = Cos1B+3iCoszeSenB+3izCoseSen,B+i’Sen’B Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.14: Potenciación de Números Complejos 609 -* z3 = ('Cos30-3COs8Sen10> + (3CoszBSen6-Sen3B)i Por el Teorema de Moivre: z3 = (Cóse+iSene)3 = Cos3B+iSen3B -* Cos3B+iSen3B = (Cos3 -3CosBSen1e)+(3CosíBSene~Sen*a)i Igualando las partes reales y las partes imaginarias obtenemos: Cos’B-3CosB(l-Cos2B) Cos3B Sen3B = 3(l-Sen2B)SenB-Sen3B Sen3B = 3SenB-4Sen3B Nota 1.Dado un complejo z=rCis8 = 4Cos3b-3CosB Cos3B = y un entero positivon, se cimple z n=r nCis(-nB), esdecir, el Teorema de Moivre es válido para potencias enteras negativas. EJEMPLO 3. Dado z=l-i, hallar: z~3. Solución. El complejo z en su forma polar es: z=/2Cis(lrt/4) - (Verificar) z-3=(/2)-3Cis(-21v/4) = — [ C o s ( ^ ) - i S e n ( ^ ) ] 2/2 = ^[Cos(4v + ^v)-iSen(4v + ~t:)j = '^[Cos(~x)-iSen(~n) ] = — 4[Cos(i + ¿)-iSen(j, + j)] = ~!-Cos(j)îSen(j)J - 7 Nota 2. / 2 . /2 /2., 1 1. = ~ 4 (- — 2 + ~2l) = " 4 + V Si para un complejo unitario z=CisB aplicamos el Teorema de Moivre, se cumplen las siguientes relaciones: zn = CosnB+iSennB y z n = CosnB-¡SennB , ne-Z de donde se obtiene: CosnB = j;(zn + z n) , Serme = - 2 n) Estas dos fórmulas se utilizan para expresar potencias de Seno y Coseno en función de ángulos múltiples. EJEMPLO 4. Hallar Sen3a y Cos38 en términos de SenkB y CoskB, respectiva mente. Solución. Para n=l ♦ 2Cose = (z + -) z ■* (2CosB)3 = (z + -)3 z - 32Cos38 = z 3 + Sz*(~) + 10z3(j)z + , Sólo fines educativos LibrosVirtual z(^)3 + 5z(j)' + (j)3 610 Capitulo 9 : Números Complejos * 32Cos'8 ? (Z ’ +Jl) + 5(z3 + jt ) + 10(z + +) = (2COS59) + 5f2Cos3e) + 10(2Coss) * Cos’e = =i(CosSe + 5Cos3e + lOCose) 10 Análogamente, para n=l, 2iSene = z - í * + 32¡*Sense - z 5 - 5zs + JOz - ^ = -► + -j-,- -jj fz s - 5fz’ 32iSen‘e =(2iSen5a) Sen’e = (2iSen9)> = fz - J j 5 + JO fz - - i; - 5(2iSen3a) + 10(2iSena) jj,(Sen5e -5Sen30 + lOSene) EJERCICIOS: G rupo 60 1. Calcular y expresar el resultado en la forma a+bi. a ) { - 1 + 4 1 , . » g ) r 2. (i-i)1* b) lrj + \ i)1’* e) (2-21)1"-(2+21) *• c) ( x . i ) f) - (í+i)2" h) (/2+/S + i / í v f )« ""2 ^ ^ Efectuar y expresar el resultado en la forma a+bi. a) (2CÍS2258)1(3Cisl40*)* c) - {/2Cis445‘)1(/6Cisl400)* (/3cis25*)'(■^Cis60’51 b) [2Cis(-130*)]1(3Cis345*)2 12Cis(-30*)(/Scisl35°)2 24Cis(-150*)(/3Cisl05‘)2 3. Si z = ,/,2+'/3 + i,/2-VJ , hallar: Re(z*') 4. Simplificar (1 + v)n , donde w=Cis(2ir/3) _ .... ,1 + Senx + iCosx., 5. S im p lif ic a r : - — j) ‘ 6. Representar mediante un polinomio de primer grado en términos de ángu los múltiplos de x< lo siguiente: a) Sen'x b) Cos‘x c) Sen7x d) Cos’x 7. Expresar mediante Cosx y Senx lo siguiente: a) Cos5x b) Cos8x c) Sen7x Sólo fines educativos LibrosVirtual 611 S e c c ió n 9 .1 5 : R a d ic a c ió n d e N ú m e r o s C o m p le jo s 8. 9. Dado neZ+, demostrar que: f ^ )"* = Cos2nS + iSen2n8 LOt9 0 ~ -L Si z=Cis8, hallar todos los valores de 8 para los cuales (z+1)2 es ima ginario puro. 10. Resolver: [(1 + /SiJ'z]2 = (1 - /5i)5z 11. Calcular z' siendo: b) a) z = (-/3+i)-1 z = •=---r--- , aeR « 0 í a < 2» Seno+iSeno c)z = /3-i PTT3 RADICACION DE NUMEROS COMPLEJOS_____________ j# Por definición, dado un número complejo z y un entero positivo n, se dice que el complejo w es raiz n-ésima de z si y sólo si, wn=z, se escribe: n/— w = vz , o bien: 1/n w = z El problema de calcular w se resuelve fácilmente escribiendo z y w en forma polar, esto es, si: z = r(Cose + iSene) entonces por definición de raiz: y w = R(Cosii+iSen\¡¡) (1) wn = z Por la fórmula de Moivre: Rn (Cosn^ + iSennty) = rfCosB + iSenB) y por la igualdad de números complejos: „n . R = r „ n* = e+2kn „ ni— , B+2kv ■* R = ■/r ^ \¡i = — -— Luego, en (1): n/-=,n~„,B+2kTi, ,__,e+2kx 8+2kTr.,, 8+2kn , . , ; -t c_, jr[Cos(— -— ) + iS en(- - - )J ■ donde, para k=0,1,2,....,n-l, obtenemos los n valores de w, que lo designa remos por k=0,1,2,.... ,n-l, respectivamente. En resumen, se ha demostrado el siguiente: TEOREMA 9.1. Todo complejo no nulo admite n raíces n-ésimas dis tintas dadas por: n s -X r. ,e + 2 k t i . wk = v/r |Cosf— — ,e+2kn,i 1 Jj ) + iSen(— — donde: k=0,1,2,....,n-l , r=\z\ y e=Arg(z) Dado que todas las raíces tienen el mismo módulo, éstas se encuentran sobre Sólo fines educativos LibrosVirtual 612 Capitulo 9: N úm eros Complejos una circunferencia de centro el origen y radio l^r, y difieren en el argu mento en múltiplos de 2* In. Por esla razón, las distintas n raíces de un complejo no nulo, se identifican geométricamente con los vértices de un po lígono regular inscrito en la circunferencia mensionada. EJEMPLO 1. Determinar y representar en un plano complejo las raíces quirt tas de z=-16-16SJi Solución, r = |z| = 16/3+3 = 32 ; Tañe = /3 Si w = V I Para k-O + ■+ wfc = o=arcTan(/T)=180'+60°=240° • para k=0,l,2,3,4 * w, = 2Cis(48‘) k=l * w l = 2Cis(120°) k=2 + w* = 2Cis(192>) k=3 + w, = 2Cis(264‘) k=4 ♦ w t = 2Cis(338°) Obsérvese que la diferencia entre los argumentos de cada raiz es: o - 2* _ 360 _ — = - - 72° n 5 - —— - EJEMPLO 2. Solución. Determinar las raíces cúbicas de la unidad: z=l Si z=l ♦ Para k=0 * ■+ |z|=i y e=Arg(z)=0 M>k = Cos( - w = */T\Cis( ^ * ^ ‘>] + iSen(-ipl , para k=0,l,2 u»=CosO+iSenO = 1 k=l * «i = Cos(^¡) + iSen(^-j-) = - -j + k=2 - «i = Cosf-^l + íSenC^l = - -— |i Observaciones. (1) Los afijos de las raíces cúbicas de la unidad son los vértices de un triángulo equilatero inscrito en la circunferen- — Re cía de radio |z|=i. (2) Las raíces cúbicas de la unidad se en cuentran igualmente espaciadas con una de ellas un ángulo igual a *t=2*/3 (3) “í= ■+ = 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 9.15: R a d ic a c ió n d e Números Complejos 613 f c m ü ECUACIONES CUADRATICAS CON COEFICIENTES COMPLEJOS # En anterior estudio vimos que una cuación cuadrática con coeficien tes reales axz+bx+c=0, tiene por raíces: * ~ -b - Sbz-4ac 2a En esta sección y, en idéntica forma, trataremos de hallar un proceso que nos permita resolver una ecuación de la forma: Az1+Bz+C = 0 , A.B.CeC y AfO (1) Completando el cuadrado se tiene: A( z > + R z + J L ) = -C + * 'A 4A1 4A Supongamos que: - ( Z + B}1 __B^4AC 4AZ B w = z +_-r y ZA de modo que en (2) Bz-4AC u = ------.2 4A tendremos: w* = u (2) (3) Puede ocurrir entonces que: I) Si B 1-4AC=0, entonces u=0 y la ecuación (3) tendrá por solución el con junto IB/2A), esto es, si: w*=0 *■* z = -B/2A En consecuencia, la ecuación (1) tendrá por: C.S = Í-B/2A) II) Si Bz-4ACfO, la ecuación w*=u tiene dos soluciones denotados por w» y w, D Como w = z entonces las soluciones de la ecuación (1) serán: s y *« = - s- Pero en la sección 9.10 vimos que w ^ - w , , por tanto, el conjunto solución es: S = jw, - de: B z-4AC w2 = - . En resurten hemos demostrado el siguiente: 4A1 TEOREMA 9.2 -w, - jjjJ, donde w, es cualquiera de las dos soluciones El conjunto de soluciones de la ecuación: Az1+Bz+O0, A,B,CcC y AfO es: l) n) j- jjf} si Bz-4AC-0 y {' Ú + w* ’ " si Bl~4AC*° - donde w, es una de las soluciones de la ecuación: w 1 = Bl-4AC 4Al Sólo fines educativos LibrosVirtual 614 Capitulo 9: Números Com plejos EJEMPLO 3. Solución. Resolver: z1-(3+2i)z+(5+Si)=0 Tenemos: A=1, B=-(3+2i) y C=5+5i (1) Entonces: B1-4AC = (3+2i)*-4(l)(S+5i) = -15-8Í i O (2) Resolvemos la ecuación: ^ 31 = 4 4AZ (3) Elegimos una de sus raíces cuadradas: (4) Entonces: -^ + w, = 4 - 2i w» = -j - 2 i + j - 2i = 2-i ~ é ~ w* = ^ r ~ i + 2i = í+3i C.S = 1 2 - 1 ,1 + 3 i } (5) RAICES PR IM ITIV A S PE LA UNIDAD________’___________ Si z = Tl/7 = 1 y l=CosO+iSenO, entonces las n-ésimas raíces de la unidad, según el Teorema de Moivre, están dadas por: v/k = Cos(~-)+iSen(^-), k=Q,l,2,...,n-l Si k=l - w , = Cos(£~)+iSen(2l) -*■ Se observa que: (I) = Cos(^)+iSen(~l) ,k=0,l,2,...,n-l Esto significa que todas las raíces de launidad son expresadas como poten cias de w i,es decir,w, genera todas aquíque w, recibe el nombre En general, si w w es la las n-ésímas raíces de launidad, de raíz primitiva de la unidadde raiz n-ésima de la unidad tal de orden n. que suspotencias: para k=0,1,2,....,n-l, son diferentes entonces se dice que w es una raiz primitiva de orden n de ¡aunidad. En el ejemplo 2 determinamos tas raíces cúbicas de la unidad: . “. = J De las cuales u, y , <■>: = l/3. -~ 2 * 1> > I ■/3. “* = " 2 - 1 ' son raíces primitivas de la unidad de orden 3,porque para k=n-l •+ k-2, se tiene: * = (- 2 + ~2 i)l = " 2 — u>i = (--j - ^ji)1 = - 2' = diferente a &>i ^ i - “ i, es diferente a “>» = (l)1 = 1, es igual, ■+«, no es raiz primitiva de la Observemos que: n=3 y k=2 son primos entre si, unidad de orden 3. es decir, mcd(2,3)=l En consecuencia, el número de las raíces primitivas de la unidad de orden n Sólo fines educativos LibrosVirtual 615 Ejercicio: Grupo 61 se deducen del siguiente: TEOREMA 9.3 Sea O k < n. Entonces es una raiz primitiva de la unidad de orden n, si y sólo si n y k son coprimos (primos entre si). EJEMPLO 4. Solución. Determinar todas las raíces de la unidad de orden 6. Las raíces sextas de la unidad están dadas por (I) para n=6, es tas son: = Cos(^-)+iSen(~) , k=0,l,2,3,4,5 Según el Teorema 9.3, elegimos k de modo que mcd(k,6)=l, esto ocurre para: ¡o=l y k=5, entonces: w, = Cos(~)HSen(^) = CosS0,+ iSen60' = j + ~ i Wj = Cos(~)+iSen(^) = Cos300"+¡Sen300# = j - ^ i EJEMPLO 5. Demostrar que si u es raiz cúbica primitiva de 1, entonces: (l-<=)(l-^)=3. Demostración. p En efecto, si » es raiz cúbica primitiva de 1, entonces w* también lo es, pues el mcd(2,3)=l Luego: (l-u)(l-al) = 1 - u* - u + u* = 1 - + o* (1) Pero: I + u + ul = 0 (Ver ejemplo 2) Por tanto, en (1): * u1+u = -1 (l-a)d-m1) = 1 - (-1) + 1 = 3 EJERCICIOS: Grupo 61 1. 2. Calcular todas las raíces que se indican: a) Las raíces cuartas de z=-&+8/3i b) Las raíces cúbicas de z=-8i c) Las raíces quintas de z=16-16/3i Calcular: a) "Zili b) V /3 H 3. Si lor de: c) ?/i~* . V /3 -i V l+ i/ 3 o»! y a2 son todas las raíces de la ecuación xs=l/ hallar el va a) «{ + a* + wf b) + ui.u^ + Wj.uj Sólo fines educativos LibrosVirtual 616 4. C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s Demostrar que si z, es una raiz cúbica de z y si 1, ta y o2 son las raí ces cúbicas de la unidad, entonces z,, z,.#, z,.»1 son las tres raíces cúbicas de z. 5. 6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) zl+(l-5i)z-(12+5i)=0 c) (zs-iz2)-(2+2i)(z2-iz)+2(iz-l)=0 b) z2-(3+2i)z+(l+3i)=0 d) z2+(4+3i)z+(7+i)=0 Hallar todas las soluciones de las ecuaciones siguientes: a) z*+8+8>/'3i = 0 d) z s+6+6/3i = 0 g) z*+(2i-3)z*+5-i b) z*+4 = -4/3i e) z*-2z2+4 = 0 h) 16z’ = (z+1)' c) z‘+7zJ-8 = 0 f) z'+4z2+16 = 0 i) z*-35z*-36 = 0 =0 j) (z+3)*=16i 7. Si u es una raiz cúbica de la unidad, demostrar que: a) (1+w2)* = u c) (1-üH-U2)(1+<I)-Cd2) = 4 b) (1-o>)(1-co2)(1-u.')(1-u 5)=9 8. Si u es una raiz n-ésima de la unidad, hallarel valor de: a) S = 1'+ 2u> + 3u2 + . . . + nun ^ 9. b) S = 1 + 4<a + 9oi2 + . . . . + n 2un ^ Sean m y nez+ y sea M un múltiplo de m y n,tal queMeZ+ . Si u, es raiz m-ésima de 1 y tit es raiz n-ésima de 1, probar que b ,.u , es raia M-ési- ma de 1. * 9.16 LA EXPONENCIAL COMPLEJA___________________________ Si z=x+yi, se define exponencial de z como: exp(z) = ez = ex (Cosy+iSeny) donde ex es la función exponencial real y e es la base de los logaritmos ne per ianos (e=2. 71828..) Si z es un imaginario puro, esto es, si x=0 z = yi luego, en la exponencial compleja se tiene: exp(yi) = eyl = Cosy + iSeny Pero: eZ = (eXCosy + iexSeny) ■* 0 = arcTan(eJ*erV^) = arcTan(Tany) e Cosy -* 0 = y Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 9 .1 6 :L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja luego, la relación: exp(ie) = e 617 19 = Cose+iSene es la llanada: fórmula de Euler o exponencial compleja. Siendo la representación de un número complejo: z = r(Cose+iSene) la fórmula de Euler da lugar a una representación alternativa de los núme ros complejos en la forma exponencial: z = re donde: r=\z\ y e=Arg(z). Ejemplos: z = i = Cos(v/2) + iSen(it/2) ¡8 ■* z = e '^lr^2'* z = -1 = Cosit + iSenu ■* z = e z = 1 = CosO + iSenO z = e1 "® = e l3lt z = -i = Cos(3*/2)+iSen(3v/2) z = -4+4/3Í = 8Cis(2n/3) Nota. |Jf - z = e ,(3r,/2) = e~l(*/2> ■* z ¿ 8el2'"/3 Si en la fórmula de Euler: elB=Cose+iSene, se sustituye 8 por wI0 (-6) se obtiene: e =Cose-iSene De estas dos ecuaciones resultan las identidades: Cose = -|(eí8+e íe) ; Sene = j(e‘B-e í9> que son de mucha utilidad en demostraciones de identidades trigonom. EJEMPLO. Hallar Cos’e en función de Coske. Solución. * Cose = -|(eI8+e I81 ♦ Cos*8 = -^(e3 ‘B+3e2 ‘Be 18+3ei8e 2iB+e 3‘B) Cos*8 = -|[ |(e3l9+e_3l8> + |fe‘9+e“ ,9l ] = ^(Cos3s + 3Cose) 9.16.1 PROPIEDADES DE LA EXPONENCIAL COMPLEJA , z w z+w EC.1 : e .e = e Demostración. En efecto, sean: z=x+yi , w=a+bi (1) * (2) (3) ez = eîCosy+iSeny) , ew = ea (Cosb+iSenb) ez.ew = [ex (Cosy+ iSenyj] [eu(Cosb+iSenb.)] = ex+a[(CosyCosb-SenySenb) + i(CosySenb+SenyCosb)] Sólo fines educativos LibrosVirtual £§ C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 618 (4) ■* ez.ew = ex+a [Cos(y+bl + (5) * ez .ew = e í xt a J + i í y+W = EC.2: iSen (y+bl]= ex+a.e 1(y+ó) — ^ eZ_W IV e EC. 3: ez t 0 , VzcC EC.4: \ez \ = ex , y=Arg(z),donde z=x+yi Demostración. En efecto, por definición: eZ = eX (Cosy+iSeny) * |ez | = ex y/(Cosyll+ (Seny)z = ex Sí eZ = eXCosy + ieXSeny e = Arg(z) = arcTan(— ) = arcTg(Tgy) eXCosy •> e = Arg(z) = y EC. 5: Si y es real z EC.6: ez = 1 Demostración. = 2nm' , -VneZ En efecto, sea z=x+yi (1) (2) Si ez=l -«■ |e1^| = 1 * * eZ = eX+yí= ex .e1^’ = eX (Cosy+iSeny) = eXCosy+ieXSsny exCosy+iexSeny = 1 (3) Por la igualdad de complejos: (4) Como ex ¿0, entonces: Seny=0 (5) Ahora, si y=kv * X e Cosy = 1 ~ X e Seny = 0 *-* y=kv , k¿Z k Cosy = Cos ¡cu = (-1) m L* 9I/1 *Y* L» (61 Luego, en la primera igualdad de (3): e (~1) = 1 = (-1) -» e =(-11 (71 Pero ex > 0 -*• k=2n (81 Por ¡o tanto: - ~ x= x=0 z = x+yi = 2nir¡ , -VtaeZ (91 Recíprocamente, si z=2nisi EC. 7: eZ = ew fe~ = 1 *» = 1 ** '■y = 2nu ■* eZ = e^1* 1 = Cos2nv + iSen2mt = 1+Oi = 1 z = w2ki,i, ¥keZ EC.8: (ez)n = e"Z , VncZ 9.16.2 OPERACIONES EN LA FORMA EXPONENCIAL Las fórmulas relativas al producto, cociente, potenciación y radí cación de números complejos en la forma polar son similares para dichas ope raciones en la forma exponencial. Esto es: Sólo fines educativos LibrosVirtual 619 Sección 9. ¡6: La Exponencial Compleja O 2 i.Zz = Kie i8, i8, ‘.rxe * iíj 4 i = ü 4 ^ = 2t rxe * iii) iv) r,.rte ifs.+ej ( ^ ) e i(^ - 6l) 1 , i8.n n ín9 n z = (re ) = r e z1/n = (reÍB)1/n = neZ+ y ,.,n-I EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Si z = -■| + y w = - y - , determinar znW \ don de n es un número entero. Solución. Expresando z y w en su forma polar obtenemos: z=Cis(2v/3) y w=Cis(4v/3) (Verificar) . n n „ ,2nn, ,2nn. „ ,4ntr. _,4nn. Luego: z + w = Cos(— jr)+tSen(~^~) + Cos(-j-)+iSen(-^~) Pero: Cosl20‘=-Co$60,> y Cos240[,=-Cos60' - Senl20‘=Sen60' y Sen240,=-Sen60l ‘ * Cosí-— ... (1) J = Cosíyp) S e n < ~ ) = -Senf— 1) Por tanto, en (1): zn + vP = 2Cos(^~-) EJERCICIO 2. Aplicar la potenciación de números complejos para expresar Tg6B en términos de TgB. Solución. Por el Teorema de Moivre: Cos6B+iSen6B = (CosB+iSenB)• Desarrollando la potencia y luego ordenando las partes reales y las partes imaginarias, obtenemos: Cos6B+iSente= (Cos,B-l5Cos*BSenzB+l5CoszBSen*B-Sen,e) + + i(6Cos‘BSenB-20Sen>6CosíB+6CosBSens6) Por igualdad de números complejos: Cos6B = Cos‘8-15Cosi,eSenz8+15Cos1eSen'e-Sens8l SenSB = 6CosiBSenB-20SeniBCos,B+6CosBSensB + Tanóe - SenSe J Cos6b Finalmente, dividiendo cada término del numerador y denominador de TanSB en tre Cos'B, resulta: Tan68 = 6Tani-20Tanz8+6Tan58 l-lSTan's+ISTan'e-Tan'e Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 620 EJERCICIO 3. Sea zeC, zfz„, demostrar que: (zn) = (z)n Demostración. En efecto, si z~relS n n in0 z = r e - i 8 - ,-,n z = re -*■ (z) Por tanto, de (1) y (2): EJERCICIO 4. Solución. z=re 10 . , n, n -in6 (z ) = r e n = r e ... (1) -in S (2) (zn) = (z)n Hallar todas las raíces de la ecuación: z*+z''+l=0 Sea zH=u l / 3 ♦-» u = - j ± — ji ■» u 2+u+I=0 ~ Expresando cada una de estas raíces en su forma polar se tiene: Ui=Cis(120‘) y Ui=Cis(240°) Luego; si z" = Cis(120’) * w. = Cisi-20*2^ ), k=0,l,2,3 z“ = Cis(240°) ■* = Cis(240j2kv), k=0,1,2,3 Se deja al lector hallar las 8 raíces dando los respect ivos valores de k pa ra cada z', luego ubicarlas en un plano complejo. EJERCICIO 5. Solución. Si z=(/5-l) + (/3+l)i, hallar Re(ziz). |z | = /(/3-l)z+ (/3+l)z = /8 ; Tge = = 2+/3 - 6=75° /3-i Luego: z = /8Cis(75°) - z 12 = (/8)lzCis(12x75a) = 86Cis(900‘J z12 = 8lCis(180'1) = 86(Cosv+iSemt) Re(zlz) = 2 1,Cosn = -2l' Si |z 1 1=S y Arg[z(l+i)]=u/6, hallar z en forma exponencial. EJERCICIO 6. Solución. jzi | = |¡'|lz l = l2 l- Sl z=x+yi y |z|=8 Arg[z(l+i)]=n/6 * Arg(x-y,x+y)=n/6 -*• x z+yz=64 + x ♦ x (1) = Tg(^) = -10 /3 /3(x+y)=x-y de donde, elevando al cuadrado obtenemos: 2xy = -32 (2) Sunando (l)+(2): x z+2xy+yz=32 (3) - + (x+y)z=32 /3(±4/2) = x-y ■*->■ x+y = ±4/2 - x-y = ±4/6 (4) De (3) y (4) obtenemos cuatro soluciones: x = 2(/2+/6) , x = -2(/6+/2) , x = 2(/2-/H) , x = 2(/6-/2) y = 2(/2-/6) , y = 2(’/6-’'2) , y = 2 (/2 +S6 ) , y =-2(^6+^!) Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 9 .1 6 : L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja (1) Tga 621 = 360‘-15° = 315c = II* (2) Tg82 = = -2+/T , -2(/6+S2) e,= 180°-15* = 165‘ = (3) 6 , en el IV cuadrante = 2(' / 2/ V = -2+/J , x>0 , y<0 2(/2+/6) z = Se , x<0 8 , en + y>0 11 12* i23i/12 z = Se e¡ II cuadrante illn/12 Tge, + 2{/2+/s) _ _2 _ /3 > ^<0 ; en e j cuadrante 2 (/2-/6) e,= 180'-75* = 105* = jf (4) Tge. = = 2(/6-/2) + - 8e * -2-/3 , x>0 , y<0 8 ,= 360'-75° = 285° = j|* i7n¡12 •» e, en eí ÍV cuadrante ■* r = 8ell9*/12 EJERCICIO 7. Sean zl,zleC, demostrar que Cosy = £fl£¿i£i2, donde y es el IziI Iz*I ángulo comprendido entre los radios vectores que representan a zz y zz. Demostración. En efecto, sean los complejos: ia ’’ i8 z, = r,e y zz = rze Zi-Zj = ri.rle‘â Im 1 z / r1rzCis(u-s) Entonces: Re(zl.Tz) ~ r,rzCos(a-&) A * = |z! j|z2 |Cos<l> de donde: Cosi> = Re(z1.zz) ■ 0 \Zl\\Zz\ EJERCICIO 8. Demostración. Demostrar que si aI$=l y u41, entonces: 19 1 + 2u + 3ü2 + . . + ISu1 u-1 En efecto, si a 1,=l (1) (2) Como “>41 + “>-140 (3) Entonces, sea: (4) + (5) Restando: -*■ <ii‘*-i=0 + (“>-l)(“>¡t+a'7+ . + “>s> + tu1’ + S - 1 + 2“> + 3“>7 + <¡>S = “> + 2v>7 + S — lúS = 1 + a) + u l + . . . + u + 1) — 0 . . . + “> + 1 = 0 . . + 19U1* . . + 18'»í* + 19“>‘ . . + u 1* - 19“>¡* 0 (6) + S(l-u) = 0-19<ü19 EJERCICIO 9. + S = _Z£üilí = Ül-1 19(1) _ 19 w -1 10-1 Sea z=x+yi tal que: z**=l y z-1 . Hallar: Re(z + z7- + z* + . . . + z¡7). Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 622 . . + z ’ 7 = z(l + z + z 1 + . . . + z ” ) Solución. Sea S = z + z z + z ’ + . . Pero z 3 ,=z,7.z 7 -*• S = z(^jf ■ ) * z 37 .zl=l ■+ z í7 = l/z7- z+1) _ _ r(x+l ,y,h __r / (x+Dx+y1 . s . 2 / V x ^ x f_-y_\ x 2+y 2 EJERCICIO 10. L (x,y) -I ^ «A x l+y/ xy-y(x+l) \ -j ’ x l+yl /J x 2+y2+x Re(s) x 2+y 2 i ‘+ y V Uno de los vértices de un octógono regular coincide con el afijo del complejo z=2Cosl5'-2iSenl5‘. Hallar los vértices restantes (o una fórmula que permita calcularlos). Solución. z=2[Cos(-15’)+iSen(-15’)] Un octógono regular es descrito por los afijos de la raiz octava de un determinado complejo. Ahora bien, sabemos que los argumentos de cada raiz están igualmente espaciadas un ángulo a = ^ = 45’ Entonces, una fórmula que permite calcular los afijos de cada uno de los vértices del octógono es: z = 2[Cos(-15+45k)+iSen(-15+45k)] , k=0,l,2,3,4,5,6,7 Para k=0 - w,=2Cis(-15’) , k=4 - w^2Cis(165’) - w l=2Cis(30’) , k=5 * w í=2Cis(210‘) k=2 » Wi=2Cis(75’) , k =6 - w i=2Cís(255‘) k=3 ♦ w s-2Cis(120’) , k=7 - w 7=2Cis(300‘) k=l EJERCICIO 11. Determinar el total de números enteros positivos n de tres .. , . . . . .1 /J. ,n 1 ¿3. cifras que verifican la igualdad: (-j¡ + t) = j + —î Si 2 ~ g + Solución. ~ 2 ~ e ■* (Verificar) = -j + 2kT¡ de donde: n=6k+l , pero: 100 < n .£ 999 -» 100 < 6k+l ¿ 999 ■* 16.5 < k ¿ 166.3 Dado que, por cada k existe un n EJERCICIO 12. * (Igualdad de complejos) - 17 í. k 4. 166 n = (166-17)+1 = 150 Demostrar que para 9e[0,Pu] y n núnero natural: .ItSenO+iCosQ ,n „ , ,» I+Sen9-fCos8 ~ Cosln(2 ~ ^ , ,n + tSenln (2 ~ Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 9 .1 6 : L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja Demostración. En efecto, sean: 623 z=l+Sene+iCose y w=l+Send-iCosB ■*z =Sen| + Sene + iSenfj - e) = 2Sen(| + j)Cos(^~p+2iSen(^-^)Cos(^+~) Pero, por ser complementarios: Cos( „„ -► z ,11 ,v 6 , „ 6. + -|j = Senf^ - J.) ,it 9. _ ,n 9, = 2Sen(-¿ + j)Cos(j - j ) + 2iSen(j + ^ )Sen(^ - jJ = 25en(|+ fj[c°sf| - j ) + iSen(\ -|>] = 2Sen(~ + f)[e,f ,,/4 ' 8/2>] Por un razonamiento similar se demuestra que: w = 2Sen(j + f;[Cos(| - |>-¡Senf| - f;] = 2Sen(j + |>[e' lf ll/ 4 ' e/2>] r. , Entonces: ,z>n =e EJERCICIO 13. in(Tt/2 - 9) _ ,ir ,u = Cosn(j - 9) + ¡Senn(j - 9.) Dado 9efi, demostrar que si z + = 2Cose , entonces: a) zm + -4 = 2Cosme , mcZ+ m z b) zm - — = 2iSenme , mcZ+ m z Demostración. En efecto, seaz=r (Cose+iSene) Entonces: Dado que: z+ | es reaí +z _1= -í(Cose-i Sene) z +—■ = (r + -j;)Cose + i(r - ^)Sene * /mfz + í) = O Esto es:(r - - j ; ) S e n e = O ** (r - = 0) v ( S e n e = 0.) *-* r = 1 v 9=2ÍC¥ Para r=i -*■ z=Cose+iSene y z~1=Cose-iSene -*■ zm - CosmB+iSenme y z~m = Cosme-iSenme Por tanto, sumando y luego restando los extremos de ambas ecuaciones obtene mos: a) zm + — = 2Cosme m z EJERCICIO 14. b) zm - — = 2iSenme m z Si Sena+Senb+Senc=0 y Cosa+Cosb+Cosc=0, demostrar que: Sen3a+Sen3b+Sen3c = 3Sen(a+b+c) Demostración. En efecto, sean: A=Cosa+iSena , B=Cosb+iSenb , C=Cosc+iSenc * Luego, si A+B+C=0 - A+B+C = (Cosa+Cosb+Cosc) + i(Sena+Senb+Senc) - [(A+B)+C]3=0 (A+B)'+C*+3C(A+B)(A+B+C) = 0 - - (A+B) 3+3(A+B)1C+3(A+B)Cz+Cs = 0 (A+B)*+C3+3C(A+B)( 0 ) = 0 Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 624 » (A+B)3+C3 = O - A 3+B3+C3+3AB(A+B) = O - A 3+B3+C3 = 3ABC (Pero A+B=-C) ■* (Cos3a+Cos3b+Cos3c) + i(Sen3a+Sen3h+Sen3c) = 3( Co s (a+b+c)+ iSen (a+b+c)} Por igualdad de complejos, tomando la parte imaginaria obtenemos: Sen3a+Sen3b+Sen3c = 3Sen(a+b+c) EJERCICIO 15. » k Sabiendo que ¥zeC, ez = 1 + Z ’l(jr;), demostrar que: k=l K ' „ r3Sen2a r3Sen3a r C o s „ . rSena. + — + ---j-,— = e Sen(rSena) Demostración. En efecto, sea: z = reia = rCisa Desarrollando los tres primeros términos de la sumatoria se r(Cosa+iSena) e ' tiene: rCosa + e irSena .e , , rCisa = 1 + — j t + z Ti zz Y z3 Y ríCis2a r3Cis3a J T ~ + --- Y ~ -► erÔSa[Cos(rSena) + iSen(rSena)} = 1 + + r + — ^3 ^ ° Por igualdad de complejos, tomando las partes imaginarias obtenemos: e EJERCICIO 16. Demostración. rCosa„ , „ , „ r3Sen2a r3Sen3a Sen(rSena) = rSena + y ¡— + ---- — Demostrar que: + ... = Senx En efecto, si en el ejercicio anterior sustituimos r=x y a=*/2, tendremos: _xCosK/2r,___ ..r.-..,11, . x 1Sen('t) .x 3Sen(3v/2) . x'Sen(2ii) , e Sen(xSen^)=xSen(-jj)-+ --- j -,— + --- j-,----- + ----+ + . j%°¿+ x 3Sen(5*/2) x sSen(3rr) x 7Sen(7v/2) r> f 6i------- — r ---- r. Senx = x - f¡ + EJERCICIO 17. -f , + ^ ■ ■ ■ Para z=Cís(ti/4), hallar: a) b) ^ e'serv^d) + El módulo y el argumento de (l+iz)e. Im(l+iz)‘ en sumas, usando el Teorema del binomio de Newton. Solución, a) Sea 0=1’/4 + iz = i(CosQ+iSen&) = -Sen^+iCosB + 1+iz = (1-SenQ)+iCose = (Senn/2 -Sens)+iSen(*/2 -e) Sólo fines educativos LibrosVirtual * ... 625 Sección 9.16: La Exponencial Compleja * 1+iz = 2Cos(~ + | )Sen(Z - ~) + 2iSen(| - j)Cos(~ - |) Por ser complementarios: Cosf^ - ^|) = Sen(^ + -|) * 1+iz = 2Sen(^ - |)[Cüs(^ + | ) + iSen(^ + -|)] Pora e=u/4 + i+iz = 2Sen(*/8) [Cos(3i/8)+iSen(3s/8)] + ( l + i z ) ‘ = 2 ‘ Sen , (*/8 > [C isC 9 n /4 > ] - Mod(l+iz)* = 2 ' ( J ^ y )' = (2-/S)s = 20-14¿? ; ArgCl+lz)* = 9*/4 =225* (l+izl* = Í ( h ( l ) k (iz)6-k = Z f ^ f e i’/2 .eiei6-k k=0 k=0 * b) = jt ( 6X « Í('/2 +9))6~k = Z ( 6 ;.e‘7 l , / 2 fe=0 k k=0 k Im(l + iz)‘ = EJERCICIO 18. ¿fí>Senf| + e)(6 -Jc) = £ í£)Cos(6-(c)e k=0 k=0 Simplificar: 2+(3)(2)Cose+(4)(3)Cos2e+ ... +(20)(19)Cosl8s .. . íl98 , ie,, sabiendo que: e =1 y e fl Solución.Sean: A - 2+(3)(2)Cos8+(4)(3)Cos2B+ . . . + (20)(19)Cosl88 B= (3)(2)Sene+(4)(3)Sen2e+ . . . + (20)(19)Senl8a Tomando el complejo unitario: u=Cose+iSene, obtenemos el complejo: A+Bi = 2 + (3)(2)a + (4)(3)u 1 + . . . + (20)(19)u'‘ Entonces, si Z=A+Bi, debemos simplificar A=Re(Z) Luego, si: - - 2 =2 + (3)(2)u + (4)(3)a1 + . . . u Z =________________ 2 u + (3 K 2 )ti‘ (l-a)Z = 2 + 2(2)a + 3(2)n>2 + . . . + + (20)(19)ul$ ■ ■ ■ + ( 1 9 ) ( 1 8 ) < * " + ( 2 0 ) ( 1 9 ) u l* + 19(2)a‘* - (20)(19)<*1’ = 2 [1 + 2u + 3u 2 + . . . + Iftu1* ] - ( 2 0 ) ( 1 9 ) u * * tp ii 90 La expresión entre corchetes es = ■— j- (Ver ejercicio 8) y u 1 ’=e =1 - (l-ulZ = 2(-i|> - (201(19) = -38(^— -y^-J !fl“ i ü)“ i Z = U I - -r-Zfp (U i / u-l = Cos9-l+¡Sene = -2Sen2| + 2i5en|Cos| = 2¡Sen|(Cosj + iSenj) - 2el'/2S e ^ ( e lt/2) + 2(Sen|)e¡í”/2+S/2') 1 - e-H*/2+»/2) 1 2Se n e /2 2e ' , * ***&> en < ^ : Z = ---- -i(»/2 +0 /2 ) ,o-ií*+e) :---------- --------------2Sen8/2 4Sen*8/2 Sólo fines educativos LibrosVirtual (1) 626 Capitulo 9: Números Complejos Entonces: A = Re(Z) = 380Cos(t/2+s/2) _ 38Cos(sfB) _ _ 380Sen*/2 + 2Sens/2 •• 4Sen1 9/2 2Sens/2 38Coss 2(l-Coss) . _ ,HCose - 1. A - J9 f— T-losfl > EJERCICIO 19. Hallar las raíces n-ésimas (n<18) de zcC, sabiendo que: 3 /3 = ( - £ ’-- 2 ^ es una el fas y se conoce además que: [n-OCos||* - (1+i )Cos— sjn = 2n/2 .i2"rl Solución. | + ||» * Cosj|» = - Sen||» * [íi-OCosf!» + CÍ+¿;Senj|»]n = 2"/2 (eiV/2)2'n - [ M - O C ó s H * + iCÍ-iJSenj|»jn = 2n/2 (ei'/2)2~n - [fi-i>(Cos||» * ¡Sen||»>]n = 2rt/2(ei1,/2;2"n Pero; + I-i = S2Cis(7*/4) = S$exU/A [/Ieí7 */4 .eíiJ,/I2]n = 2n/2 fe,,/2 I2_n - de donde: ¿n/2 e i2n*/3 _ ¿n!2 (<¡i*/2}2-n » J(2-nJ + 2k», k=0.1,2,... ,n-l + (Igualdad de complejos) n = y(2k+l) ,k=0 ,I,2 , ..... n-I Hallaremos n dando valores a k, tales que neZ+, esto es: Para k=3 k=10 + + (cimple con la condición: 6<18) n=8 n=18 (no cumple con la condición: 18 i 18) Por lo tanto, se deben hallar las raíces sextas de z. 3 ^3 = ( - , -- = Dado que: '/z = wk * 3e i7w/6 es una raiz sexta, es decir, z = (/3e,?t/6)* ? 27el7* = 2 7 e " Por consiguiente, las raíces sextas de z están dadas por la fórmula: w EJERCICIO 20. = / S C i s ( ^ ~ ) , k=0,l,2,3,4.5 Dado neZ+, convertir a producto la surta: ('l)CosnB + (”)Cos(n-l)e + (n.)Cos(n-2)S + . . . + (n) v í a n r\ n n Solución. Sean: A = 'J?(t })Cos(n-k)Q y B = ^ (*})Sen(n~k)$ k=0 K k=0 n~k Tomando el complejo unitario: z=Coss+íSens ■+ z =Cos(n-k)g+¡Sen(n-k)e Sólo fines educativos LibrosVirtual 627 Sección 9.16: La Exponencial Compleja n n Pero: A+iB = £ i1 }) [Cosfn-lcJ e+iSen(n-k)e] + A+iB = Z k=0 k=0 n -Ir Ir Por el binomio de Newton: (z+l)n = 2 (2.)zn (1) k=0 K De (1) y (2) se deduce que: -Ir fiJ (2) A + ÍB = (z+l)n Ahora: z+1 = (l+Cose) + iSen& = 2Coslj + 2iSen^Cos~ = 2CospCosj + iSenp Luego: (z+l)n = A+iB = 2nCosn( p [Cosf^j) + iSen(^)] A = Re(z+l)n = ¡flCosn(pCos(^j) EJERCICIO 21. Convertir a producto la suma: Cosx + (™)Cos2x + (pCos3x + . . . Solución. n Sean: A = £ (.)Cos(k+l)x k=0 + (pCos(n+l)x n y B = Tomando el complejo unitario z=Cosx+iSenx Z fySeník+Dx k=0 K k+1 * z =Cos(k+l)x+iSen(k+l)x n n ir i Luego: A+iB = Z. (?) ÍCosfk+i )x+iSen(k+l Jx] = 22 (2.)-2 + k=0 k=0 n -Ir Ir *■ A+íB = z'^(, ¿)(l)n (z) = z(l+z)n (Binomio de Newton) k=0 Del ejercicio anterior: (l+z)n = 2nCosn (^) [Cos(^) + iSen(^)} <► (l+z)n = 2nCosn (f)(einx/2) Entonces: z(l+z)n = e ix.2nCosn ( p ( e Snx/2) .= 2nCosn ( p . e ‘(n+2}x/2 A = Re[z(l+z)n] = 2nCosn(j)Cos(n+2)j EJERCICIO 22. Solución, Expresar en sumas y productos: (z + z)n a) En productos: Si z=x+yi - b) En sunas: * x = j¡(z+z) (CC.l) (z + z f = (2x)n = (2rCosB)n = f írnCosnB í6 z = rCisB = re , -.n ■rr',n., ,k,-.n-k 'Q'.n., iB.k, -iB.n-k (z + z) = ¿_,(¿(z) (z) = 2L.{^)(re ) (re ) k=0 k=0 * (z + zf = Z(")rn.e2kíe-ine = r V in9¿ (^(eí2eJk k=0 K k=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual k=0 K 628 Capitulo 9: Núm eros Complejos E J E R C I C I O 23. Dado ne Z*, convertir a productos: Cos2* + Cos23* + Cos25* + ...... + Cos2(2n-l)* - y Solución. Basándonos en la identidad: Cos2* = y(l + Cos2*), la suma dada se puede escribir: n n X c o s 2( 2 k - 1)jc k=l y ¿ = | * k^l n X [ 1 + C o s ( 2 k - I )2jc] - ^ ¿ = f + T X cos(2k ¿ n n X c o s 2(2 k - 1)* - y = 4 X c o s ( 2k - 1 )2* k=l ' 2 L k=l - (1) Consideremos el complejo unitario z = Cos2* + ¿Sen2* = e'2x y sean: A= n X c o s(2 k -l)2 * k=l n y B = X Sen(2k - 1)2* k=l n n n -> A+/B = X c o s ( 2 k - 1)2* + <Sen(2 k - 1)2* = I z 2k'' = z X z{2i-~l) k=l k=l k=l l _ z2n r l —Cos2n(2x) —/Sen2n(2x) i = Z ( T ^ ? “):=:ZI- 1 - C o s 2 ( 2 x ) - i S c n 2 ( 2 x ) J _ r 2Seii2 ( 2nj ) - 2 i S e n ( 2 n * ) C o s l 2 n * ) i _ r - 2 i Se n 2 nx ( Co s 2 nx + i Se n 2 n* ) l _ ZL 2Sen2 2* —2/Sen2* Cos2* J “ Z *- - 2/ Se n 2x ( Co s 2* + ¡Sen2.v) i , Sen2n* de donde: A+/B = (— — -— )Cis2n* -* S e n 2 x /V" “ Sen2n* Sen4n.t A = Re(A+/B) = (~z— -— )Cos2n* =■; " ~ ~ v Sen2x ' 2Sen2* 1 v Sen4n* Luego, en (1): y L Cos(2k - 1)2* = E J E R C I C I O 24. Convertir a productos: 1 - (" )Cos2* + Solución. )Cos4* - (¡j )Cos6* + ..... + (-l)n(J )Cos2n* Sea z = Cos2* +t'Sen2* -> zk= Cos2k*+ iSen2k* n n y sean: A = 51 (-l)k(I)Cos2k*(suma dada), B = 51 (-l)k(¡ )Sen2k* k=0 K k=0 * n n de modo que A+/B = X (-l)k(¡ )(Cos2 k* + iSen2 k*) = X (-l)k(í )(z)k k=0 k=0 n = X (? )(-z)k(l)"'k = (-z + 1)" k=0 11 Pero: 1 - z (Binomio de Newton) = 1 - Cos2* - /Sen2* = 2Sen2* - 2iSen*Cos* = 2/Sen*(Cos* + /Sen*) = 2(e',*/2)Sen*(e11) = Sen*.e,u,c/2) -» (l-z)“ = 2nSenn*.e'"(-‘x/2) -» A = Re(l-z)" = 2nSen"*.Cosn(*-7t/2 ) Sólo fines educativos LibrosVirtual - 1)2* - S e c c ió n 9 .1 6 : L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja EJERCICIO 25. Solución, 629 Hallar Im[(l-iz)n ¡, ncZ+, expresando en simas y productos. a) Expresando en sumas con: z=Cosx+iSenx=e n (1-iz) , = , (-i z) n , = )(-iz) k-0 k=0 - ix (l-íz)n = ¿ d)(e-i'/2.eixr k=0 k = ¿ (n)ei(x-v/2)(n-k) k=0 n Im[(l-iz)n ] = X C ) S e n í ( x - h(n-k)] k=0 K * b) Expresando en productos con z=Cosx+iSenx •* íz=-Serec+iCosx i-iz = 1+Senx-iCosx = Sen| + Senx - t'Senfj - x,) = 2Sen(í + |;CosC^ - f) - 2 i S e n - J)Cos(| - i) Pero: Cosf^ * = Senf-j + tj) , por ser complementarios. i-íz = 2Sen(¿ + §>[Cosí| - fj-ÍSen^- - j)] = 2Senf| + | ) [Cos(f - |j+¡Sen(f .'. Im[(l-iz)n ] = 2nSenn EJERCICIO 26. = 2Sen(~ + .eÍ(x/2~*/4) + |>.Senn(| - Demostrar que si (n+l)x=ti, con n entero mayor que uno, en tonces: Demostración. ‘ Sen2x + Sen12x + Sen23x + . . . +Sen1nx = En efecto, según la identidad: Sen2x = ~(l-Cos2x), se tiene: n 2 ] Senlkx = k=I n . , n . JZ~?(I-Cos2kx) = -5 - -= 23 Cos2kx = •? - -5k=i . £ k=l ¿ ¿ i2x Sea el complejo unitario z-Cos2x+iSen2x=e n n Luego, si A = 23 Cos2kx * B = ^ Sen2kx k=l k=i n n . n . r . n - A+iB = 21 (Cos2kx+iSen2kx) = 23 * ' = z Z = zlrr2-) k=I k=i k=I 1 z t (i) I-Cos2rax-iSen2nxJ _ ^f2Sen1nx - 2¡SennxCosnxl *- 2Sen2x - 2iSenxCosx l-Cos2x-iSen2x J -* _ T f~- 2 1Sennx(Cosnx+ iSen n x)1 _ J> i x fSen n x (en <- -2 iSenx( Cosx+ iSenx) J A+iB = ^ [ e' rn+i>"J Dado que: (n+l)x=ii I- Senx(elx) 2 * A = Re(A+iB> = ñ & ¿ f 0S(nH)x + nx=n-x * Sennx - Sen(v-x) = Senx Sólo fines educativos LibrosVirtual (2) C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 630 Luego, en (2): A = f ^ C o s n = -1 . Por tanto, en (1): J > n 2ta = - ^ EJERCICIO 27. Dado neZ*, convertir a producto: C^)Cosra + (j)Cos(n-l)x + (^)Cos(n-2)x + . . . Solución. + Q Sea el complejo unitario: z=Cosx+iSenx , y sea A la suma dada: n A = H (?)Cos(n-k)x k=0 + n B = X (?)Sen(n-k)x k=0 ' n n . Luego: A+iB = 51 ('¿í[Cos(n-k)x+iSen(n-k)x] = 5] fijlz1 1 k=0 k=0 A+iB = 2Z (’ ¿)(1) zU k=0 K = (1+z) (Teorema del Binomio) = (l+Cosx+iSenx)n = (2Coszx/2 + 2iSenx/2Cosx/2)n nn n .0 cc ■n x«n - 2 Cosx/2(Cosj + iSen^) nn„ n .x.r/-< /fix. •p .nx.> = 2 Cos (-^)[Cos(— ) + iSenf~) I :. A = Re (A+iB) =2nCosn(j)Cos(?j) EJERCICIO Solución. 28. Calcular: Cos(-) n + 2Cos(— ) + n +(n-l)Cos2(n~1^ n Sea el complejo unitario: z=Cosx+iSenx, donde: x=2n/n Formemos el complejo A+iB en función del complejo z, de modo tal que si: + A+iB A = Cosx + 2Cos2x + 3Cos3x + . . . + (n-l)Cos(n-l)x B= Senx + 2Sen2x + 3Sen3x + . . . + (n-l)Sen(n-ljx = + z(A+iB) = z +2zz + 3z’ + . . . + (n-l)zn 1 z2 + 2z3 + .. . + (n-2)zn 1 + (n-l)zn Restando ambos extremos de las dos igualdades obtenemos: (1-z)(A+iB) = z + z1 + z3 + . . . + zn 1 - (n-l)zn o ,, 5 , *, n ,1. zt-1 . / ^ , n = z(l + z + z1 + z ) - (n-l)z = z(— j^£-)-(n-l)z n (1-z)1 Pero: zn=l para x=2n/n . 1. n (n-l)z 1-z (Verificar) . Luego, en (1): A+iB = z-1 = Cosx-l+iSenx = -2Senzx/2 + 2iSenx/2Cosx/2 = 2iSen~fCosj + iSerií] = 2(eiV/2)Sen^[eix/2j = 2Sen\(ei(*/2+xl2)) Sólo fines educativos LibrosVirtual (1) ' ' (2) 631 Sección 9.16: La E xponencial Compleja Uiego, en (2): A+iB = A = Re(A+iB> EJERCICIO 29. + = <2s£¿T2 ><-Se™ ' 2> = - T - Hallar las sumaa: a) J - ( p •« b; Solución. Sea el complejo: z = = 1+i k + (p ~ (p + ___ yll• yH > ,fl» - <3) + (5) - <7> + . . . . </rSCis(’ */4) n Por el Teorema del Binomio: (l+i)n = 21 (n)(l)n r(i)n k-0 r * (l+i)n = r^í + (pt + (pi + (pi ... /H » »«fl«yH i */fl« iq) + ¡(¡I - (2) - yfl - - Re(l+if = < p - ( p + ( p - ( p + ... + (pi » + (pi + (pi •y/1» /flX ■«fl< ; Im(l+i)n = .... + Re(l+i)n = ¿ " ^ C o s fn n /í) Im(l+i) = /2Sen(*l4) - Im(l+i)n = / 'l2Sen(ni/4) lotanto: a) 1 b) ( p - EJERCICIO 30. Si a=b=l * + ( p - ( p . . . . = í l/2Cos(nn/4) ( p + ( p - ( p + . . . . = 2n/2Sen(nw/4) Demostrar que: 1 + ( p + ( p + ... = ^[2n~1+ 2n/2Cos(— )] n Demostración. En efecto, por el Teorema del Binomio: (a+b)n = £ ( p a n k=0 K 2n = Z f i Sí a=l y b=-l + + + (4 ) * *($) ~ (q) ~ t(f) * ■ ■ • Pero; R ed+ Ü = S2Cos(*/4) Por + (pi -Ir = ( p * <?>*♦ < P * < P - < P * ■ ■ ■ 0 = (~l)kp ^ ) = fy - (p + (p - (p + (p - ■. . Simando ambos lados de estas dos igualdades se tiene: 2n = 2[<n 0) + ( p + ( p + ( p + . . . . ] + 2?1'1 = 1 + ( p + < p + ( p Del ejercicio anterior: Re(l+i)n = 1 - ( p + ( p - (gj + . . . Entonces: 2n~I de donde: + Re(l+i)n = 2[l + (n ) + ( p 1 + (p + (p + . . . . 4 = o + . . . J + / ,/2 Cos(,£!^)] Sólo fines educativos LibrosVirtual + .. . Ir b C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 632 EJERCICIO 31. Hallar la suma: Cosa-Cos(a+x)+Cos(a+2x)~ . . . +(-l)n *Cos[a+(n-l)x] Solución. Sea el coaplejo unitario: z = Cise = e lS. Si A es la suma dada, n . . (~1) Cos(a+(k-l)x] y entonces: A = n k=l * A+iB = ¿ .. (-1) Sen[a+(k-l)x k=0 (.v ^ - \ e i í ^ ( k - l M = £ g i«(k-l) e i[a+(k-l)x] k=0 k=0 _ gi(a-n-x) ^ [gi(v+x) jk _ g i(a-ir-x) g i(*+x) jp [gi(ir+x)}k-l k=l k=l î-Cosn( it+x)-iSenn(ir+x)i iar l■ ’ t •Cos Cn+x>-¡ Sen (v+x) ia fl - e** f1I+3:^nl L, . ■' Procediendo como en ejercicios anteriores, obtenemos: _ iaf Senn(v+x)/2 . e in(v+x)/2 in<^+x^ 2 , i Sen(j + - ^ ) . ee ^ * > ' 2 L Senil J J S e n f ^ x ) e¡a+(n.1)(^ Cosx/2 cv ,„ /n * , n x \ 2 2 * . Cosx/2 Para n par: Senl^j + 2 = ± Sen(nx/2) Cos[(n-l)l + a Para n impar: Sen(^jj + .n-1, = Cos[(n-.¡,)|-+ a +f^p.)jc] = ± Sen[a+(—^)x] ± Cos(nx/2) +(^y )xJ = ± Cosfa+f^pix./ , . Sen(nx/2) „ . ,n-l. , .. A = -----— ■— - Sen[a + (— ñ~)x l . para n par Cos(x/2) 2 A = C°s<nx/2J Cosía + (--Á)x] , para n impar Cos(x/2) EJERCICIOS: Grupo 62 , 1. „ Í • n (11/3-lli) (9+9i) Escribir en forma exponencial: z = (-1+/3Í)(4-4i) 2. Calcular y expresar el resultado en la forma a+bi de: z = 3. Expresar Cos'x en términos de Cos4x y Cos2x. Sólo fines educativos LibrosVirtual )/2] 633 Ejercicios: Grupo 62 4. Expresar 5. Resolver las ecuaciones: Senx en términos sélo de potencias de Cosx. CJ (-4 /3 -4 ) + i (4 /3 -4 ) . z* i/3 - 1 b) . = -i-1 (z+1 —i )* = 1 d) (iz-1 ) 1 - z* = 0 6 . Si z=rel8, demostrar que la parte real de ’i/z+rVz" es 2. \/rC:os(— + ~ “)< k=0,l,2,___ ,n-l. Además, hallar la parte real de */T+i/3 + J/l-i/3 7. Para cada neZ , definimos: xn+iyn = (l+i/3)n con xn ,ynER. Demostrar que - ^ y ^ = 2 2 (n-l) , /%, W = Z -U». 8 . Demostrar que cualquiera que sea el complejo unitario z, entonces: |z-z2 | = 2 |Sen(^p) |. n 9. .. Demostrar que: e i9/, ( 1 - e io>) = e -i9 , (-,1 - e -i°\) 10. Si y es el ángulo comprendido entre dos vectores que representan a los complejos z y w, demostrar que: z.w + z.vr = 2|z.w|Cos*. 11. Si z=3+4i y v=2+6i, hallar el coseno del ángulo comprendido entre (z-w) y z12. Sean ncZ+ y aeR. Demostrar que: (l+Cosa+iSena)n = 2nCosn (-|) [Cos(^|)+iSen(^|)) 13. Analizar la verdad o falsedad de: b) Si »/-l , ia*=-l -*■ «'-«’+ti'-u+l = o 14. Si z=l+i/3, hallar: Re(z2“). 15. Si A=(zeC| |z+2-2/3i | /2); hallar ZiEA de módulo máximo, z êA de argu mento máximo. 16. Sea A=(zeC|l/5.í |z| -S 1, * /8 Arg(z) -í v/3), B={zeC|z£A). Graficar: D=íizcC|zeB), y determinar la forma polar de zeD de módulo máximo y ar gumento mínimo. 17. Hallar Re(z), Im(z), tal que: (z+i)n = izn , neZ+ Sólo fines educativos LibrosVirtual 634 C a p itu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s 18. Simplificar: (1+iTanx) + (1-iTanx) 19. Demostrar Demostrarque quetodas todas las raíces de la ecuación (|+i?)n = 2li 1 -iz l-i reales y distintas. neZ+ son 20. Si z + ¿ = 2Cos(4-), calcular: z* + z 9 z* 21. En base a las expresiones de (l+i)n a) Demostrar que: (?) + i(?) - (?) - i(?) + (?) + ... + in (?) = 2n/2 [Cos(2|)+iSen(-2|)] b) Usando lo anterior, calcular: (^P) - í1?) + (*P) - (^P) + 1 22. 3 5 7 Demostrar que: = |[2n_1 + 2n/2Sen(-2|)] a) (?) + (5 ) + b) (?) + 0 + v10 ; c) (?) + (?) + lll' . = ¿[2n_1 - 2n/2Cos(2|)] . = ¿[2n_1 - 2n/2Sen(^) ] 23. Hallar la suma: (?) - ±(?) + |(?) - ¿¿(?) + . . . . 24. Demostrar que: a) 1 + (?) + (?) + < ? ) + . . b) (?) + (?) + (?) + (^) + . c) (3 ) + (5 ) + (?) + «i") + . . = -|[2n + 2Cos (~^~) * 1 25. = 3 [2n + 2003 (2 5 )] . = ^[ 2n + 2Cos(2 ^ M _ ,n+l. _ ,nx. Sen(~2 ~)x • Sen (— ) Demostrar que: Senx + Sen2x + Sen3x + . . + Sennx = Sen(x/2) 26. Demostrar que: 1 _ ,2n+l. Sen(-5 — )x + Cosx + Cos2x + Cos3x + . + Cosnx = 2Sen(x/2) 27. Hallar la suma: Sena - Sen(a+x) + Sen(a+2x) - . . . . + 28. (-l)n-^Sen[a+(n-l)x) Hallar la suma: Senx + (?)Sen2x + (?)Sen3x + . + (?)Sen(n+l)x Sólo fines educativos LibrosVirtual í1?) 9 635 Ejercicios: Grupo 62 29. Hallar las sumas: a) Cosx - (")Cos2x + (jJCosSx - . . .+ (-l)n (^)Cos(n+l)x b) Senx - (” )Sen2x + (í)Sen3x - . . .+ (-l)n (n )Sen(n+l)x n 1 30. Hallar la suma: 2 Sen*x + Sen*3x + Sen*5x + . . . . + Sen*(2n-l)x 31. Demostrar que: a) Cos’x + Cosl2x+ . . . . + Cos*nx b) Sen*x + Sen*2x + . . . . + Sen*nx - f - 32. Demostrar que: a) Cos’x+Cos*2x+ 3Cos(— r- )xSen<— r) Cos{— q- )xSen(-rp) +Cos*nx = - .■■ ■+ ......... 4Sen(x/2) 4Sen(3x/2) b) Sen’x+Sen*2x+ ,n+l, _ ,nx. 3Sen (— 5— )xSen {—z) + Sen’nx = --------------4Sen(x/2) _ ,3n+3. _ ,3nx. Sen(— r-)xSen(— 5-) --— 4Sen(3x/2) 33. Demostrar que: a) Cosx + 2Cos2x + 3Cos3x + .... + nCosnx = (n+l>C°snx-nCos(n+l)x-l 4Senl(x/2) b) Senx -i- 2Sen2x + 3Sen3x + .... + nSennx = (n-tl)Sennx nSen(n+l)x 4Senl(x/2) 34. Hallar la suma: Senx - Sen2x + __ + <—1)n *Sennx 35. Demostrar que: . Sení^Jb . a) Cosa + Cos(a+b) + . . . . + Cos(a+nb) = ... ..... Cos(a + — r) Senb/2 Sen(-0fi)b ^ b) Sena + Sen(a+b) + . . . . + Sen(a+nb) = — — — Sen(a + -=•) Sen(b/2) 36. Deido nez+ , demostrar que: 1 + T ‘ .(?) ( Co3|cx ^ k=l K ' Cos x ' id [Sugerencia: Desarrollar (1 + Q ^ g ) ] 37. Hallar el valor de Si si: S « k=0 k ^Cosí^-rjTg'■ x k=0 Co3£* \ K V Cos x / [Sugerencia: elx = Cosx(l+iTgx)] Sólo fines educativos LibrosVirtual 636 Capitulo 9: Números Complejos 38. Usando números complejos» convertir a producto: y Sen(— ~)X k=l n 39. Calcular: ¿ Cos^2nTI^' (Su9erencia: Hacer u - 40. Resolver la ecuación en C: ) + (~|-)n = 2Cosa y mostrar que todas sus raíces son imaginarias puras. (Sug. Hacer: u = (~J)n ) 41. Resolver la ecuación: (1+z)s=(l-z) 5 42. Desarrollar en sumas y productos: Re(e i® n -i) 43. Hallar el valor de: 23 (-l)*t+*Cos’(^jr?j k=l 44. Hallar el valor exacto dé: (/3 ).,(100 ) _ (/3 )„ (100 ) + (/5 )»*(1 ^0 j _ (/3 J..J100 J + _ _ (Sug. Desarrollar: (•/3+i)1” ] 45. Demostrar que: 2nCos(2j) = ( J W ^ O W ^ O ) -(£)<3) + .... + <")(3)n /2 siendo n un número entero positivo múltiplo de 4. [Sug. Des. (l+i»^3)n] _ ..i . n n**l n™2 n™3 46. Sea P(z) * z z +z-2 + . . . . . -1, n « . ». íirpar# z^Cise# 2j*-l. Hallar la forma polar de P(z). (Sug, Usar cocientes notables) n k 47. Transformar a producto: a) 23 0 ( -*) CoskS k=0 n : b) 23 k=0 k )(—1 íSenko 48. Demostrar que: £ TgkxSec2kx n 49. Sin usar inducción matemática, demostrar que: 23 kCos(-^2.) = -y k=l n x 50. Hallar la expresión más simple de: Cosx-Cos3x+Cos5x- .... +Cos(2n-l)x 51. Hallar el resultado de: Sen5 (l“) + Sen’(2*) + . . . . + [Sug. Usar la identidad: Sen’x = 3Senx-Sen3x)] 52. Simplificar: 23 2^ ^Cos(2* ^x).Sen1(2 kx) k=l n 52. Transformar a productos: 23 (t )Cos[k(a-b)+nb] k=0 K * Sólo fines educativos LibrosVirtual Sen,(180’J 637 U n p o l i n o m i o e n u n a v a r i a b l e c o m p l e j a z, e s u n a f u n c i ó n de la form a: P (z ) = a „0 z ” + a .I z " ' 1 + ................ + a n-1,z + a n v ' d o n d e los n ú m e r o s a.eC ( i= 0 , 1, 2 , ................ , n-1 ) so n su s c o e f i c i e n t e s ; a 0 es el c o e f i c i e n t e p r in c ip a l, ane s el c o e f i c i e n t e fin al o t é r m in o c o n s t a n t e , n = g r ( P ) es el g r a d o d el p o l i n o m i o s i e m p r e q u e aQ*0 . O b s e rv a c i o n e s : (1) Si n = l , g r ( P ) = l —» P (z ) = a |Jz + a | ; (2) Si n = 2 , g r ( P ) = 2 —» P (z ) = a 0z 2 + a (z + a 2; P es un p o l i n o m i o c u a d r á t i c o . (3) Si n = 0 y a 0* 0 (4) Si n = 0 y a „ = 0 , el g r a d o de P ( p o l i n o m i o n u lo ) se d e f i n e c o n v e n c i o n a l m e n t e c o m o -<*>, -* P es p o l i n o m i o lineal. g r ( P ) = 0 ; P es un p o l i n o m i o c o n s t a n t e . e s to es , g r ( P ) = - ° ° (5) Si z=x+i (0) —» P (z ) es un p o l i n o m i o de v a r i a b l e real, e s t o es: .x + a P (z ) = P(jc) = a.xn + a itx*~x + ................+ a n-1 ' v ' 0 n d o n d e los c o e f i c i e n t e s as. K (K d e n o t a a lo s c o n j u n t o s Z, Q, I, R o C). (6) L os p o l i n o m i o s c o n c o e f i c i e n t e p r i n c i p a l 1 se ll a m a n p o l i n o m i o s m ó n ic o s. (7) Al c o n j u n t o de t o d o s los p o l i n o m i o s en x, con c o e f i c i e n t e s K, se d e n o t a por: K(x) = ( P ( x ) IP ( x ) = aQx" + QjX""1 + ....................+ an ¡x + a n, n > 0 , a . s K ) rm IGUALDAD DE POLINOM IOS D o s p o l i n o m i o s P, y P , son ig u a l e s si, y s ó l o si, so n d el m i s m o g r a d o y c a d a c o e f i c i e n t e de P, e s el m i s m o n ú m e r o q u e el c o r r e s p o n d i e n t e c o e f i- Sólo fines educativos LibrosVirtual # 638 Capitulo 10: Polinom ios cíente de P*. Entonces se escribe: P. = P, P,(x.) = a^c 1 + a,xn y P»fx; + ---- + an_ji +■ an = b,xm + b,xm J + - Esto es, si: + b^x + í^, Entonces: P,(x.J = P,(x) •*-» m=n ^ (a^ = b¿ , -VizN) 10.3 SUM A Y M ULTIPLICACIO N DE PO LINO M IOS_____________ § | En el conjunto K(x) se definen las operaciones de suna (+) y otro de producto (x) de la siguiente manera: a) Suma: Dados P y Q tales que: P(x) = a,xn + a ixn ^ + .— + Qn_j3c + an Q(x) = b»xn + bíxn * + .... + bn_jx + bn Entonces: P(x) + Q(x) = (at+b¡,)xn + (ai+bi)xn 1 + --- +■ (an-l+bn-l^+an+bn Se suma los términos correspondientes. Aquellos términos en ¡os que el polinomio de mayor grado no tiene términos correspondientes en el otro polinomio, permanecen sin cambio en P+Q. EJEMPLO 1. Solución. Hallar la suma de: P(x) = 2x'+3x’-5x+2 y Q(x)=3xi-2x4‘+xl Un polinomio esta completo si en su desarrollo existen todos los términos que siguen al término principal. Como vemos, tanto P y Q son polinomios incompletos, a P le faltan los términos en x s y x 1, y a Q los términos en x* y x. Estos términos que faltan pueden escribirse con coe ficientes nuios, esto es; P(x) = 0x*+2xl '+3x,+0x*-5x+2 Q(x) = 3x»-2x'+0x‘+xl+Ox+l de modo que: P(x)-«i(x) = (0+3)x*+(2-2)x'+(3+0)x'+(0+l)xí+(-5+0)x+(2+l) = 3x‘+3x,+x*-5x+3 b) Producto. Si P(x) = a,xn + a,xn 1 + . . . . + an y Q(x) = b,xm + b 1xm_J + . . . . + bm Entonces, el producto P(x)xQ(x), es el polinomio definidopor: P(x)xQ(x) = ctxk +clJ c~1 + . . . . + ck Siendo: k=m+n EJEMPLO 2. y c¡ = aj-b.+aj-^b,* .... + a,b¡, con i=0,l,2, Hallar el producto de P(x)=2x3-3xt+l y Q(x)=x*+2x-3 Sólo fines educativos LibrosVirtual k S e c c ió n 1 0 .4 : A lg o r itm o d e la D iv is ió n Solución. 639 Sean P(x)=a,xi+alx3’+azx+a3 y Q(x)=btx*+blx+bt. Vemos que gr(P)=3 y gr(Q)-2 ■* gr(P*Q)=3+2=5 Memas: a,=2, al=-3, az=0, a,=l, at=a,=0 ; b,=l, b,=2, b2=-3, b3 =b»=0 k k-1 k-2 Luego, para P(x)*Q(x) = c,x +czx +czx + --- +cfc , se tiene: c¡ = a¡bt + a¡_^bz + a^gbi + . . . . + a,b¡ ,i=0,l,2,3,4,5 - c. = a„b, = (2)(1) = 2 c, = a.b.+a.bj = (~3)(l)+(2)(2) = 1 c2 = ajb.+Oibi+a.bj = (0)(l)+(-3)(2)+(2)(-3) = -12 - c, = a 3 b,+a2b 3 + a 3b2 +a,,b 3 = (■j;d;+('0 ;(,2 ;+ f-3K-3>+f2K0> = 10 c, = a,b,+a3b 1 +a2bi+a1b 3 +a,b, = (0)(l)+(l)(2)+(0)(-3)+(-3)(0)+(2)(0) = 2 c¡ = a3 b 0+aHb 3 +a3b2 +a2b 3+a3b,+al!b 3 = ('0>U)+f0;í2;+('JJ('-3>+f0;í0; + +r-3Ko;+f2;fo; = -3 PCx>xQCx> = 2x*+x'-12x*+10xl+2x-3 La multiplicación de polinomios se puede hacer más rápidamente usando el me todo de coeficientes separados, como se muestra en seguida, donde se puede notar la similitud con el procedimiento para muítiplicar enteros. 4 2 -3 0 1 2 -3 -6 9 0 -3 - 6 0 1 2 -3 0 1 1 -12 10 2 -3 .'. P(x)*Q(x) = 2x¡+x" -12x3+lOx1+2x-3 ALGORITMO DE LA DIVISIO N Existe algún entero no negativo q, tal que: 284 = 12xq? La respuesta se puede determinar mediante el procedimiento de la división, llamado algoritmo de la división: 284 24 12 IT 44 36 8 Como el residuo es 8, la respuesta es no. Sin embargo el algoritmo nos mués Sólo fines educativos LibrosVirtual 640 C a p ítu lo 10 : P o lin o m io s tra que 284=(12)(23)+8; es decir, que 284 se puede expresar como el produc to de 12 por otro entero no negativo más unnúmero menor que 12. En general, si p y d son enteros no negativos,entonces elalgoritmo de la división nos permite escribir: p = qxd + r, donde q,rtZ+ y r < d Un resultado similar se tiene para polinomios. Supongamos los pol inomios P(x)=2x‘ >-5xz+x+12 , D(x)=xz-3x+2 y efectuamos la división de P(x) entre D(x), recordando que debemos disponer cada polinomio en potencias decrecientes de x, cuidando de poner cero como coeficiente a las potencias de x que faltaran en P(x). P(x) = + Ox3 - 5xz + x + 12 -2x“ + 6x3 - 4xz - 3x + 2 = D(x) 2xl + 6x + 9 = Q(x) 8x3 - 9x2 + x - 6x3 +18xz - 12x 9x1 - llx + 12 -9xl + 27x - 18 16x - 6 = R(x) En resumen: (1) Obtener el primer término del cociente (2x*) dividiendo el término ini cial del dividendo P(x) entre el término inicial del divisor D(x). (2) Multipl icar el divisor D(x) por este término del cociente (2xz) y res tar el producto del dividendo P(x). (3) Usar el residuo de esta resta, junto con los términos no útil izados del dividendo, como nuevo dividendo (6x3-9xl+x) y seguir los pasos (1) a (3) repectivamente, obteniendo cada vez un nuevo término del cociente. (4) Cuando el residuo tenga grado menor que el del divisor (o que sea cero), el proceso ha terminado. En este ejemplo, el cociente es Q(x)=2xz+6x+9 y el residuo es R(x)=16x-6, de modo que podemos indicar el resultado escribiendo: 2x'-5xz+x+12 = (x1-3x+2)(2x1+6x+9) + 16x-6 o sea: P(x) = D(x)*Q(x) + fifi) Este ejemplo ilustra el siguiente teorema conocido como algoritmo de la di visión. Sólo fines educativos LibrosVirtual 641 Sección 10.4:A lgoritm o de la División TEOREMA 10.1 Dados un polinomio P(x) de grado n>l y un polinomio D(x) de grado m, con 1 -í m 4 n ; entonces existen po linomios únicos Q(x) y R(x), que tienen ¡a propiedad de que: P(x) = D(x)xQ(x) + R(x) en donde: gr[R(x)] < gr[D(x)] Nota. Si al dividir P(x) entre D(x) se obtiene R(x)=0, es decir, si P(x)=D(x)xQ(x), se dice que D(x) divide o es divisor o factor de P(x). En cuyo caso se escribe: D(x)¡P(x) EJEMPLO 3. Bajo que condición el polinomio x x+px +q es divisible por un polinomio de la forma x x-mzc+1? Solución. Sean P(x)=x'+pxx+q y D(x)=xxm x + 1 . Dado que P es divisible por D, el resto de la división debe ser cero y, por el Teorema 10.1: P(x)=D(x)xQ(x) Como gr[P(x)}=gr[D(x)]+gr[Q(x)] Luego, si: Q(x)=axx+bx+c de donde: Por » * 4 = 2+gr[Q(x)¡ * gr[Q(x)]=2 x'+px^+q = (xx+mx+l)(axx+bx+c) x'+pxx+q = ax',+(am+b)x1+(a+bm+c)xx+(b-mc)x+c igualdad de polinomios: Coeficientes de x' : a = 1 " de x ’:am+b =O*b=-m ” de x l:a+brmc=p ■* ” de x: l-mx+c = p b*nc = O * -m+mc = Q Términos independientes: q=c ♦ q=l m=0 *+ m=0 o o (1) c=l q=l Entonces, en (1), existen dos condiciones: EJEMPLO 4. a) Si m=0 -*• l*q = p b) Si q=1 * ** l-mx+l = p q = p~l +-* m = ± /2-p Calcular la raiz cuadrada del polinomio: P(x) = 9x**6xx-23xx-3x+13 Solución. Dado que P(x) no es un cuadrado perfecto, la raiz cuadrada que se busca tendrá la forma: A(x)=qxx+bx+c y el resto: R(x)=mx+n Si considéranos a P(x) como dividendo, el divisor D(x) y el cociente Q(x) serán iguales a A(x), entonces por el Teorema 10.1: P(x) = [A(x)]x+R(x) -► 9x'+6x*-23xx-3x+13 = (axx+bx+c)x + mx+n Sólo fines educativos LibrosVirtual Capítulo 10: Polinomios 642 de donde: 9x‘ ,+6x1-23x1-3x+13 = a ,x*+2abx*+(bl-2ac)xl+(2bc-nn)x+(cl-m) Identificando coeficientes obtenemos: a=±3, b=±l, c=+4, m=5, n=-3 A(x)-±(3x1+x-4) , R(x)= 5x-3 EJERCICIOS: Grupo 63 1. Multiplicar los polinomios: a) P(x)=2x'-x3+x2+x+l b) P(x)=x3+x2-x-l , Q(x)=x2-3x+l , Q(x)=x2-2x-l 2. Efectuar la división con resto de: a) P(x)=2x*-3x3+4x2-5x+6 entre D(x)=x2-3x+l b) P(x)=x3-3x2-x-l entre D(x)=3x2-2x+l 3. Bajo que condición el polinomio x 3+px+q es divisible por un polinomio de la forma x2+mx-l? 4. Sin efectuar la división, demostrar que x H+2x3+5x2+12x-6 es divisible entre x2+2x-l. 5. Al dividir el polinomio x,+ax3+bx2-18x-12 por x2+4x+3, el resto es 2x+3, hallar a y b. 6. Calcular 7. la raiz cuadrada de los siguientes polinomios: a) P(x) = x•-12x3+60x'-160x3+240x 2-192x+64 b) P( x ) = 16x 3-40x3+49x *-46x3+29x 2-12x+4 Hallar la condición para que el polinomio x*-2ax3+bx2-cx+l pueda ser un cuadrado perfecto para todos los valores de x. 8. Determinar los valores de m y n para que el polinomio x*+mx3+nx2+12x+4, sea un cuadrado perfecto. * 10.5 LA D IVIS IO N S IN TE TIC A ______________________________' Q Es un procedimiento práctico para obtener el cociente y el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x-r), sin ne cesidad de recurrir a la división ordinaria. Supongamos el polinomio dividendo, de grado n: P(x) = a,xn + a 1jcn-í + . . . . + + an Sólo fines educativos LibrosVirtual (1) S e c c ió n 1 0 .5 : L a D iv is ió n S in té tic a 643 y el binomio divisor, de grado uno: D(x)=x-r Entonces, por el Teorema 10.1: donde R es un polinomio P(x) = (x-r)Q(x) + R (2) constante y Q(x)es un polinomio de grado n-1 , de la forma: Q(x) - b,xn 1 + bixn 2 + . . . . + bn-¿x + bn-i (3) Sustituyendo (1)y (3) en (2) se tiene: a,xn+a,xn 1+ --- +an lx+an = (x-r)(b,xn í+b,xn 2+ --- +bn-2x+bn-l* - b,xn+(b,-rb,)xn 1+(bI-rb,)xn 2+ . . . . +(bn-l'rbn-2)x + (R~rbn-1} Por igualdad de polinomios: Qo — be + be — Q| ai = bi- rbe * b, = a, + rb, ai = b z- rb, * bi = a 2 + rb, a , = b , - rb „ n-1 n-1 n-2 * a = R - rb , n n-1 * R = a b . = a , + r b ~ n-1 n-1 n-2 + rb , n n-1 Estas relaciones nos permiten expresar los coeficientes sucesivos de Q(x) y R en términos de los coeficientes de P(x) y Q(x) previamente determinados. Para propósitos de cálculo, estas igualdades se pueden disponer de la forma siguiente: a# r\ 1 ax ✓ s rb> ^bí Los números de la primera bi a* .. rb, .. n-1 1 a n-2 | rbn-l bz .. ... b , n-1 l 1 n R fila son los coeficientes de P(x) dispuestosen forma decreciente respecto a laspotencias de x. Como a,~bt, ésta se baja a la tercera fila, luego, el producto rb, se escribe como primer elemento de la segunda fila y se obtiene b,=a,+rb,. El producto rb, es el segundo ele mento de la segunda fila y b , es la sima de los elementos que están encima de él, y así suces ¡varíente. De la tercera fila de esta tabla escribimos el cociente: Q(x) = b,xn 1+b,xn 2+ --- +bn-l • y el rest0: R ~ an+rbn-l Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p ítu lo 10: P o lin o m io s 644 EJEMPLO 1. Obtener el cociente y el resto de la división de: P(x)=2xi-14x,+8xz+7 entre D(x)=x+3. Solución. Aqui r=3, se obtiene haciendo D(x)=0 Entonces, según el esquema anteriormente descrito se tiene: -3 2 0 -14 8 0 7 * -6 18 -12 12 -36 2 -6 4 -4 12 -29 ■ Q(x) =2x'--6x,+4x1 -4x+12 R=-29 Observaciones: (I) La división sintética también es aplicable cuando el divisor es un poli nomio de segundo grado factor izable de la forma: (x-a)(x-b) En efecto, si P(x) es el polinomio dividendo y x-a el binomio divisor, por división sintética encontramos el cociente Q¡(x) y el resto R ¡, tales que: P(x) = (x-a)Q¡(x) + R, (1) Tomando Q l(x) como polinomio dividendo y x-b como binomio divisor encontra mos el cociente Q(x) y el resto R x, tales que: Q z(x) = (x-b)Q(x) + R 2 (2) Sustituyendo (2) en (1) obtenemos: P(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + R z(x-a) + R, donde se observa que Q(x) es el cociente y el resto: R=Rz(x-a)+Rl. EJEMPLO 2. Por división sintética, hallar el cociente y resto de la divi_ sión de P(x)=x',-3xs+5x2+22x-10 entre x z+x-2. Solución. x z+x-2 = (x+2)(x-l) . Hallemos, sucesivamente Q¡(x) y Q(x) de la división de P(x) entre (x+2) y (x-l), respectivamente: .'. Q(x)=xz-4x+ll y el resto: R=3(x+2)+6=3x+l2 Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 10.6: Teorema del Resto (11) 645 La división sintética es tcsnbién aplicable cuando el divisor es un po linomio de segundo grado, factorizable o no factorizable, o un polino mio de grado mayor que 2. Esta división se realiza por el llamado método de Homer. Se ilustra con el siguiente ejemplo: EJEMPLO 3. Por división sintética, hallar el cociente y el resto de la división de P(x)=12x'-13x,-57xz+32x+8 entre D(x)~4x*+5x-6 Solución. La disposición de los coeficientes del polinomio dividendo y di visor es como sigue: Erplicación. En la primera fila, a la derecha de la línea vertical llena, se colocan los coeficientes del dividendo P(x). En la columna a ¡a izquierda de la línea vertical llena van los coeficientes del divisor D(x), con los signos cambiados, después del primero; la segunda fila se ob tiene multiplicando -5 y 6 por 3 (que resulta de dividir el primer coefi ciente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor). Luego se su man los términos de la segunda columna (esto da -28), el resultado se divi de entre el primer coeficiente del divisor (esto da -7), que es el segundo coeficiente del cociente. En seguida se obtiene la tercera fila multiplican do -5 y 6 por -7; la suma de los términos de la tercera columna (que es -4), se divide entre el primer coeficiente del divisor (esto da -1), que es el tercer término del cociente. La cuarta fila se obtiene multiplicando -5 y 6 por -1. Cuando se ha obtenido el número de términos deseados del cociente, el residuo se obtiene sanando las demás coturnos restantes (después de la línea vertical punteada). Q(x)=3xz-7x-l y R(x)=-Sx+2 TEOREMA DEL RESTO__________________________________ TEOREMA 10.2 Si un polinomio P(x) se divide entre x-r, siendo r una cons Sólo fines educativos LibrosVirtual C a p itu lo 10: P o lin o m io s 646 tante arbitraria, hasta obtener un cociente Q(x) y un residuo R, entonces, P(r) = R Demostración. En efecto, por el algoritmo de la división: P(x) = (x-r)Q(x) + R Como esta igualdad es válida para todo x, en particular para x=r, entonces: P(r) = (r-r)Q(r) + R = ( O )Q(r) + R EJEMPLO 4. + P(r) = R Hallar el resto de la división de: P( x )=x '-2x 3-24 x 1+15 x +50 entre D(x)=x+4 Solución. Por el Teorema 10.2: R=P(-4) - fi = (-4)"-2(-4)3-24(-4)1+15(-4)+50 = 256+128-384-60+50 = -10 Como se puede observar en este ejemplo, el cálculo de R resulta bastante la borioso. La división sintética puede usarse ventajosamente para calcular fi, cuando la sustitución directa de r por x se dificulte. En efecto, por la división sintética: 1 -4 1 -2 -24 15 50 -4 24 o -60 -6 0 15 -10 determinamos fácilmente que: R=-10 y además: Q(x)-x’-6xi+15 10.7 TEOREMA DEL FACTOR_________________________________ ¡|¡ TEOREMA 10.3 Dado un polinomio P(x), un número r es raiz de P(x) si y sólo si (x-r) es un factor de P(x). Demostración.i) En efecto, por el Teorema Por el 10.1: P(x)=(x-r)Q(x)+R teorema del resto: P(r)=R, pero como r es un cero, es decir, P(r)=0, entonces R=0. Por lo tanto, P(x)=(x-r)Q(x), luego, (x-r) es un factor de P(x). ii) Recíprocamente, si x-r es un factor de P(x), entonces: P(x)=(x-r)Q(x) Como el resto R=P(r) es cero, entonces: P(r)=(r-r)Q(r)=0 Significa que r es una raiz de P(x). EJEMPLO 5. Solución. Determinar si (x-3) es factor de P(x)=x¡-8xz+9x+18. Bastará comprobar que P(r)=P(3)=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 1 0 .7 : T eo rem a d e l F a c to r 647 En efecto, P(3) = (3)‘-8(3)l+9(3)+18 = 27-72+24+18 = O Luego, (x-3) es un factor de P(x). EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EJERCICIO 1. Determinar m y n de manera que el polinomio P(x)=x‘>+x¡-llxl-mx+n sea divisible por x*-9. Solución. x z-9 = (x+3)(x-3). Aplicando sucesivamente el método de la divi sión sintética para cada factor se tiene: -11 -m n -3 6 15 -45f3m -2 -5 15-m 3m+n-45 3 3 1 -2 1 1 -3 1 3 1 = R¡ -« 9-m = Rz Los restos R v y Rt deben ser igual a cero, esto es, si: Rz=0 » 9-m=0 EJERCICIO 2. •* m=9 ; R,=0 * 3m+n-45=0 - -* n=18 Si P(x) es divisible por (x-l)1, pero al dividir P(x) entre (x-l) y luego este resultado entre (x-2) se obtiene 4 de re_ sidúo y S(x) de cociente. Hallar S(l). Solución. Sea P(x)=(x-l)(x-l)Q(x). Dividiendo P(x) entre (x-l) obtenemos el cociente: (x-l)Q(x) Luego, dividiendo este resultado entre (x-2) se obtiene: (x-l)Q(x) = (x-2)S(x)+4 EJERCICIO 3. + S(x) = ~- - S(l) = 4 Si P(x)=x‘‘+x,-19x2+ax+b y D(x)-x2+x-20, determinar ¡a[+|b|, sí a y b permiten que P(x) se exprese como P(x)=D(x)xQ(x), para algún polinomio Q(x). Solución. D(x)=(x+5)(x-4). Si P(x)-D(x)xQ(x) + D(x) es un factor de P(x) Por el teorema del factor: x=-5 y x=4 son raíces de P(x), luego, por el método de la división sintética se tiene: (en la página siguiente) Si R z=0 - a~l ; si R z=0 - b-5a+25=0 - b=-20 \a\ + |b| = 21 Sólo fines educativos LibrosVirtual 648 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s 1 -5 1 1 -19 a -5 20 -5 b 25-5a b-5af25 -4 1 a-5 4 0 4 0 1 a-1 4 1 EJERCICIO 4. = = Rz Si (xl-4)(x+3) son factores del pol inomio: P(x)=xs+x'-9x3+mxz+nx+p, con m,n y p constantes en R, deter minar el valor de E=m+n+p. Solución. (x2-4.) (x+3) = (x+2)(x-2)(x+3) -*■ x=-2, x=2 y x=-3 son raíces de P(x), entonces, por el método de la división sintética se tiene: 1 1 2 1 -2 1 -3 1 - 9 2 6 m - n 6 \ 2m-12 3 -3 m-6 -2 -2 10 -2m-8 1 -5 m+4 n-20 -3 6 -3 -2 1 m+1 p \ 4mf2n-24 2m+n-12 4m+2n+p-24 = = R2 = R, Por el Teorema del factor: ñ 1=fi2=ñ,=0 Resolviendo cada ecuación obtenemos: m=-l , n=20 , p=-12 -+ E=m+n+p=7 EJERCICIO 5. Si (x-k) 1 es un factor mostrar que: a 3=bs. Solución. del polinomio P(x)=x5 -5ax+4b, - En efecto, por el Teorema del factor, x=k es una raiz doble. En tonces por el método de la división sintética se tiene: 1 k 1 k 1 Como R l=R1=0 de donde: - 0 0 0 -5a k k* k> k' 4b k*-5ak k k1 k3 k"-5a k 2k2 3k3 4k' 2k 3k2 4k3 5k*-5a (5k'-5a=0) - f k 5-5alc+4b=0J - k 3-5ak+4b = Rz (a=k') - (b=k3) a 5 = b* Sólo fines educativos LibrosVirtual S e c c ió n 1 0 .7 : T eo re m a d e l F a c to r EJERCICIO 6. 649 Sea el polinomio P(x)=ix3+2x2-ax+7+2i. Al restar del resto de P(x) entre (x-3i), el resto de P(x) entre (x-2i) se ob tiene b+i. Hallar el residuo al dividir P(x) entre (x-3i)(x-2i). Solución. Por el Teorema del resto: R t=P(3i) y R t=P(2i) Si Rí-Rj = b+i + ;¡- P(3i)-P(2i) = b+i (1) P(3i) = i(3i),+2(3i)1-a(3i)+7+2i = 16+2i-3ai (2) P(2i) = i(2i)3+2(2i)2-a(2i)+7+2i = 7+2i-2ai (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1): de donde: b=9 y a=-l + 16+2i-3ai-7-2i+2ai = b+i + 9-ai = b+i P(x) = ix3+2x2+x+7+2i Por el método de la división sintética se tiene: i 2 3i i 1 7+2 i -3 -3 i 9+3 í -1 1-3 i 16+5 i = -2 2i i -3 l-9i Rz R = R l(x-3i)+R1 - (1-9i)(x-3i)+16+5i = (x-ll)+(2-9x)i Luego: EJERCICIO 7. P(x) es un polinomio que dividido entre x1+x+6 da como co ciente Q(x) y como residuo -5. Hallar, en términos de a, el resto de dividir P(x) entre (x-u-1) sabiendo que Q(-a2)=u y u 3=l, afl. Solución. Por el Teorema 10.1: Dado que: Iü3=l Cano ufl •* a-lfO + P(x) = (x2+x+6)Q(x)-S (a-l)(a3+a+l) = O ■* o»1+o>+1=0 + -a2=a+l Por el Teorema 10.2, el resto de dividir P(x) entre [x-(u+l)] es P(u+1). Pero: P(a+1) = P(-a2) = [(-u2)2+(-n2)+6]Q(-a2)-5 = (a3-a2+6)^-5 + R = P(a+1) = u3(u2-l)+6iü-5 = l[(-a-l)-l]+6a-5 = 5o>-7 EJERCICIO 8. P(x)=x2f(x)+xf(x2), P(x) es una expresión polinomial entera Se sabe que Va,btC: P(a)+P(b)=P(a+b). Demostrar que: P(2a+1)=0 si a 3=l , uti Demostración. En efecto, si: P(a)+P(b)=P(a+b) Pero: P(0)=02f(0)+0f(02)=0 Si u>3=1 Como o¡fl + + ta3-l=0 + a2+a+l=0 - + P(a)+P(-a)=P(a-a)=P(0) P(a)+P(-a)=0 (a-l)(a2+a+l)=0 -»■ at+1 - + 2a+l - u-u¡2 Sólo fines educativos LibrosVirtual + P(-a)=-P(a) C a p ítu lo 10: P o lin o m io s 650 Luego: P(2u+1) = P(u-wz) = P(u)+P(-uz) (Por condición dada) = P(u) - P(l>z) [P(-a)=-P(a)J •* P(2u¡+1) = [uzf(w)+ f(az)l - la"f(az)+uzf(a")] - P(2a+1) = uzf(») + af(az) - uf(az) - azf(u) = o - <úZf ( ( ú ) EJERCICIO S. + lú f( tllZ) - til* • lílf (wz) - wzf(u3.u) Dados los polinomios P(x)=x*+pxI+q y Q(x)=xz+2x+5. Cuáles son los valores de p y q respectivamente para los que P(x) sea divisible por Q(x). Solución. Apiicaremos la división sintética de Horner: Para que P(x) sea divisible por Q(x), el resto debe ser cero, esto es: (12-2p=0) ~ (q-5p+5=0) EJERCICIO 10. -* p=6 ~ q=25 Hallar el valor de m para que el polinomio x*-7x+5 sea fac tor de P(x)=x>-2x’'-4x*+19xz'-31x+12-m. Solución. Según la división sintética de Horner se tiene: Por el Teorema del factor: Resto - P(r) = O EJERCICIO 11. * m=3 Se sabe que: xn+pyn+qzn es divisible por x z-(ay+bz)x+abyz, yfO, zfO. Demostrar que: ^ Demostración. m-3=0 n a + — = -1 ,n b En efecto: x Z~(ay+bz)x+abyz = (x-ay)(x-bz) Por el Teorema del factor: (x-ay)(x-bz)=0 <-*■ x=ay ->-*• y = x/a o z = x/b Sólo fines educativos LibrosVirtual o x=bz S e c c ió n ¡0 .7 : T eo rem a d e l F a c to r Luego, si P(y) = P(^) = O - x 1 + p(j¡)n P(z) = P<£) = 0 Sumando (l)+(2), se tiene: n ✓,» Pero, en (1): En (3): 651 + qzn = O (1) -*xn + pyn + q(^)n = 0 (2) 2xn + xn ( ~ + — ) + pyn + qzn = 0 an bn (3) rc n n x + py. +qz = 0 + 2xn + xn (2- + 3-)- xn = 0 an bn EJERCICIO 12. Solución. py n n n + qz = -x . - xn (l + 2- + 3L) = 0 an bn Para qué valores de m, (x+lfn-xn-l es divisible por x 2+x+l Sean: P(x)=(x+l)m -xn-l y Q(x)=x2+x+l Si u es una raíz de Q(x), satisface a la ecuación cúbica a3=l, toda vez que: u3-l=0 * (u-1)(u 2+uh-1)=0 -*■ (ufl) ~ (u¡3+o>+1=0) Es decir, las dos raíces primitivas de la unidadad de orden 3 de Q(iú)=0 son 1/3. “ l = ' 2 + ~2l y l/3. “* = " 2 " ~2 l ' Pero: 1+u = -a3 = X es una raíz primitiva de la unidad de orden 6 (Ver págf na 615). Luego, P(a)=0 ■* si ueP(x), determinaremos bajo que condiciones el resid P(a) =(a+i)m-urn-i = xm -üF-l , pero: x1 = (-u2)2 =b’.u = (D - p(a) = X ^ X 2"1-! , s i m=6n+k, k=0,1,2, 3, 4,5 * P(u) = (X*)n (Xk)-(X*)2n(X2k)-l. Como: u 3=(\2) 3 » i=X6 * P( a) = Xk-X2k-1 Para: fc=0 k=l k=2 ■* m = 6n - ( 7 1 = 6n+l ♦ P(n>) = 1-1-1 = -1 ¿ 0 * P(ui) = X-X2-l = (l+u)-u-l = 0 - m = 6n+2 * P(u) = X2-X*-l = X2+X-l ¡í0 k=3 - m = 6n+3 - P(u) = X*-X*-i = -1 -1-1 = -3 t 0 k=4 * m = 6n+4 - P(a) = X'-X’-l =-X-X2-l f 0 k=5 - m = 6n+5 - P(a) = X3-Xl,-1 = -X2+X-l = 0 Por lo tanto, P(x) es divisible por Q(x) si: m-6n+l y m=6n+5 EJERCICIO 13. Demostrar que: x3m+x3n+*+x3P+2 es divisible por x z+x+l. Demostración. Sean: P(x)=x3m+x3n+1+x3P*2 y Q(x)=x2+x+l Si w es raiz de Q(x) * ■* Q(a)=u2+u+l a 3=l, ya que: u>3-l=0 Sólo fines educativos LibrosVirtual 652 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s ' + (u-1) (u2+u+l) = O + (j2+íií+J=0 , vfl Probaremos entonces que el resto: P(o)=0 En efecto: P(u) = <u'^n + a^n+^ + m^p+^ = (tu3/71 + (<i¡3)n .u + (a3)p .u2 = (l)n + (lf.u + (1)P .ü)2 = i+w+w2 - P(m) = O Por lo tanto, P(x) es siempre divisible por Q(x), Vm,n,pcZ* EJERCICIO 14. Bajo que condición: x2m+x2n+1 +x2p+2 es divisible por x*+¿c2+l. Solución. Sean: P(x)=x2m+x2n+1+x2p+1 y Q(x)=xt+x2+l=(x2+x+l)(x2-x+l) En el ejercicio anterior demostramos que Q,(x)=x2+x+l es siempre divisor de P(x). Nos queda averiguarbajo que condición P(x) es divisible por Q t(x)=x2-x+l. Luego, si X es raiz de Qi(x) + + (x+l)(x2-x+l) = O + X3=-l, ya que: X3+1=0 x2-x+l=0 , Xf-1 Si XzP(x), probaremos bajo que condición: P(X)=0 + P(X) = (X3)m + (X3)n .x + (X3)P .X2 = (~l)m + (-l)n X + (~1)PX2 =(-lf - (~l)n+1x + (-1 )p x2 Cuando m, n+1 y p son pares + Cuando m, n+1 y p son impares P(X) = l-x+x2 = O + P(x) = -l

Matemática Básica 1, R. Figueroa G., 10ma edición, 2009

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