MODULO DE GEOMETRIA

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El
GEOMETRÍA:
texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido
“ Del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir' ”
como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros
días.
Es una rama de las matemáticas que se ocupa de las
PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
propiedades del espacio. En su forma más elemental, la
geometría se preocupa de problemas métricos como el
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en
cálculo del área y longitud de figuras planas y de la
los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando
superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la
sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos
geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva,
sencillos son la construcción de una línea recta dos veces
topología, geometría de espacios con cuatro o más
más larga que una recta dada, o de una recta que divide un
dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.
ángulo dado en dos ángulos iguales.
Tres famosos problemas de construcción que datan de la
Geometría demostrativa primitiva
época griega se resistieron al esfuerzo de muchas
El origen del término geometría es una descripción precisa
generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la
del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban
duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al
en problemas como la medida del tamaño de los campos o
de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir
el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los
un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la
edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el
trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes
Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y
iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la
sistematizado por los griegos.
regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras
círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.
colocó la piedra angular de la geometría
Los griegos, y en particular APOLONIO DE
científica al demostrar que las diversas
leyes
arbitrarias
e
inconexas
de
PERGA, estudiaron la familia de curvas
la
conocidas como cónicas y descubrieron
geometría empírica se pueden deducir
muchas
como conclusiones lógicas de un número
de
sus
propiedades
fundamentales.
limitado de axiomas, o postulados.
PITAGORAS
Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus
APOLONIO DE PERGA
Las cónicas son importantes en muchos campos de las
discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el
ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas
pensamiento matemático moderno se consideran como un
alrededor
conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
del
Sol
son
fundamentalmente
cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y
considerable número de aportaciones a la geometría.
aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente
Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así
afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre
como la superficie y el volumen de sólidos limitados por
dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades
superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También
de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir
lógicamente a partir de estos axiomas.
elaboró un método para calcular una aproximación del valor
Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los
de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de
un círculo y estableció que este número estaba entre 3
ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos
10/70 y 3 10/71.
ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).
GEOMETRÍA ANALÍTICA :
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era
de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras
tridimensionales,
fue
mostrada
rigurosamente
por
griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en
el
esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René
198
Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado
En los cuatro primeros casos, las figuras
en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre
son los bien conocidos punto, línea,
la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los
triángulo y tetraedro respectivamente. En
métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento
el espacio de cuatro dimensiones, se
de la geometría analítica, en la que las figuras se
puede demostrar que la figura más sencilla
representan
mediante
expresiones
algebraicas,
sujeto
está compuesta
ARTHUR CAYLEY
subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación
por cinco puntos como vértices, diez segmentos como
de las propiedades de las figuras geométricas que no varían
aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros.
cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.
El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto
MODERNOS AVANCES
por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
La geometría sufrió un cambio
radical de dirección en el siglo
XIX.
Los
Friedrich
matemáticos
Gauss,
Carl
Nikolái
Lobachevski, y János Bolyai,
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias,
apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto
CARL
FRIEDRICH
GAUSS desarrollaron sistemas coherentes
trabajando
por separado,
se desarrolló como la geometría fractal.
de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a
partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo"
de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos
extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí,
coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras
desarrolló la geometría para espacios con más de tres
matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios
dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y
unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se
segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia
sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un
clásica
plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si
matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de
cada
Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver
punto
del plano
se
sustituye
por
una
línea
no
empezó
a
haber
trigonometría
en
las
triángulos. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta
perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.
Yendo más lejos, si cada punto del espacio
180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la
tridimensional se sustituye por una línea
cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que
perpendicular,
corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a
tendremos
un
espacio
tetradimensional.
la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor
Aunque éste es físicamente imposible, e
de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más
inimaginable, es conceptualmente sólido.
tarde el astrónomo Tolomeo utilizó
r = 60, pues los griegos
adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los
El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un
JÁNOS BOLYAI,
importante número de aplicaciones en las ciencias físicas,
babilonios.
en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar
Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares
las figuras geométricas regulares en cuatro o más
de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600
dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o
de unidad. También explicó su método para compilar esta
menos dimensiones. Esta geometría se conoce como
tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes
geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque
ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los
de la geometría es la definición de la figura geométrica más
elementos desconocidos de un triángulo a partir de los
sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una,
conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce
dos, tres, cuatro o más dimensiones.
199
como teorema
triángulos
que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo
esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la
de
Menelao para resolver
importante en esta materia en Europa fue escrito por el
introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo
matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado
tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían
Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también
desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la
astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético,
función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta
introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas
función seno, al contrario que el seno utilizado en la
como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El
actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado
matemático francés François Viète incorporó el triángulo
opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de
polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para
hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos
expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nθ y cos
valores para ésta en sus tablas.
nθ, en función de potencias de sen θ y cos θ.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje
la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y
gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó
prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas
los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró
décadas del siglo X ya habían completado la función seno y
reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y
las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado
algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para
varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto
resolver triángulos esféricos oblicuos.
para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de
sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio
lugar
a
los
trigonométricas.
valores
Los
modernos
árabes
de
también
las
los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo
funciones
incorporaron
diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de
el
Newton fue
triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos
la
representación de muchas
funciones
matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la
descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se
variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series
utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar
similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo
la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco
las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis,
oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los
donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto
científicos árabes también compilaron tablas de gran
en las matemáticas puras como en las aplicadas.
exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente,
construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto)
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard
tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones.
Euler
Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el
definió
las
funciones
trigonométricas
utilizando
expresiones con exponenciales de números complejos. Esto
Libro de la figura transversal, el primer estudio de las
convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas
trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas
aplicaciones de los números complejos; además, Euler
independientes.
demostró que las propiedades básicas de la trigonometría
eran simplemente producto de la aritmética de los números
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a
complejos.
través de traducciones de libros de astronomía arábigos,
200
PUNTO
I)
RECTA
POSICIONES RELATIVAS
EN EL PLANO
NINGÚN PUNTO COMÚN:
RECTAS PARALELAS
MÁS DE UN PUNTO EN
COMÚN: RECTAS
COINCIDENTES
UN PUNTO COMÚN:
RECTAS SECANTES
(ORIGINAN ÁNGULOS)
REPRESENTACIÓN DE
ÁNGULOS
II)
: lados
“O”: vértice
Ángulo AOB: < AOB
m< AOB = aº
De acuerdo a la
posición de sus lados:
Ángulos
adyacentes
(2
Consecutivos
y
suplementarios):
PAR
LINEAL
Ángulos opuestos por el
vértice
BISECTRIZ DE UN
ÁNGULO
A
x
O
III) De acuerdo a la suma
de sus medidas:
q
q
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS
RECTAS PARALELAS Y UNA
SECANTE
e f
g
h
su
Ángulos consecutivos.
Caso Particular:
B
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS
a b
c d
a
- Agudo.
- Recto.
- Obtuso.
- Llano.
- Convexo.
- No Convexo
(Cóncavo).
- De una vuelta.
PLANO
PARTES
RAYO
SEMIRRECTA
SEGMENTO DE RECTA
De acuerdo
medida:
L1
L2
201
Ángulos alternos internos
c=f
d=e
Ángulos alternos externos
a=h b=g
Ángulos correspondientes
a=e c=g
b=f d=h
Ángulos conjugados internos
c + e = 180°
d + f = 180°
Ángulos conjugados externos
a + g = 180°
b + h = 180°
- Complementarios.
- Suplementarios.
CAPITULO - I
SEGMENTOS – ÁNGULOS
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
Ø Comprender los conceptos de los segmentos y ángulos.
Ø Reconocer las operaciones que se pueden realizar con los segmentos y ángulos
Ø Comprender los conocimientos demostrando habilidad para el manejo de información en la solución de los
problemas planteados en clase.
a) Hipótesis: Es la proposición inicial que se acepa
como verdadera y que sirve de punto de partida
al razonamiento.
b) Tesis: Es la proposición que se quiere
demostrar.
c) Demostración: Es el conjunto de deducciones
obtenidas mediante un razonamiento lógico.
GEOMETRÍA
Es una parte de la matemática que tiene por objeto el
estudio de las propiedades y relaciones de las figuras
geométricas.
DIVISION:
A. Geometría Plana o Planimetría
Que se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntos
consecutivos se hallan en un mismo plano. Ejemplo: el
ángulo, los triángulos, al circunferencia, etc.
CONJUNTO CONVEXO
Un conjunto de punto P se denomina convexo, si para
dos puntos cualesquiera A y B del conjunto P, el
segmento de extremos A y B (AB) se encuentra
contenido en el conjunto P
B. Geometría del Espacio o Estereometría
Que se ocupa del estudio de todas aquellas figuras
cuyos puntos consecutivos, no se hallan en un mismo
plano. Ejemplo: el prisma, el cono, la esfera, etc.
Figuras Planas:
CONJUNTO NO CONVEXO
Un conjunto de puntos P, es denominado no convexo
cuando existe por lo tanto dos puntos A y B del
conjunto P, tal que el segmento de extremos A y B
(AB) no se encuentra contenido en el conjunto P
Figuras Sólidas:
LINEA RECTA
Concepto matemático no definible. Se considera como
un conjunto de puntos ubicados en una misma
dirección; ilimitada en ambos sentidos.
: se lee, recta AB
: se lee, recta L
PROPOSICIONES GEOMÉTRICAS:
1. Definición
Es aquella proposición relativa a una descripción o
convención. Ejemplo: Triángulo isósceles es el
triángulo que tiene dos lados iguales.
2. Axioma o Postulado
Es una proposición que se acepta como verdadero
sin ninguna demostración. Ejemplo: La recta
contiene infinitos puntos.
3. Teorema
Es aquella proposición que por no ser evidente
necesita demostración. Consta de 3 partes:
SEGMENTO
Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados
extremos del segmento.
: se lee, segmento AB
ü Medida del Segmento
Número de veces de una unidad de longitud.
m
202
ó AB: se leen, medida del segmento AB
Ejemplo:
NOMENCLATURA:
a) Los puntos: A, C, B y D se les denomina: puntos
armónicos
b) Los puntos: C y D se les denomina: conjugados
armónicos
c) Los puntos: A, C, B y D forman una cuaterna armónica.
è AB = 8
ü Punto Medio de un Segmento
Punto del segmento que equidista de los extremos.
RELACIÓN DE DESCARTES
La relación de Descartes se establece bajo las mismas
condiciones de la división armónica y de donde se deduce
la siguiente relación:
1
1
2
+
=
AB
AD
AC
Si “M” es punto medio del
, entonces AM =MB=a
.
ü Operaciones de Longitudes de Segmentos
A
Para el gráfico
Suma:
Resta:
Multiplicación:
C
PROPIEDADES:
1. Si :
AB +BC + CD = AD
AB = AD – BD
AC = 5CD
AB =
División:
B
D
B
D
A
C
Y además:
BD
2
Þ
n
se cumple :
CASOS PARTICULARES:
1.- Si en una recta se tienen los puntos consecutivos A ,B
,C y D el segmento EF que une los puntos medios de
AB y CD ,
2. Si :
x
A
C
F
Þ
D
B, C y D; y además "C" es punto medio del segmento
, entonces se cumple la siguiente igualdad:
B
C
D
n
se cumple :
n +1 1
n
=
+
AC AB AD
TEOREMA DE NEWTON
Siendo C y D conjugados armónicos de A y B, y además
“O” es punto medio de AB , entonces se cumple:
2.- Si en una recta se tienen 4 puntos consecutivos A,
A
C
Y además:
B
E
B
A
se puede expresar de la siguiente manera:
BD
O C
A
D
X
D
B
X
OB 2 = OC . OD
DIVISIÓN ARMONICA
Sean A, B, C, y D puntos colíneales y consecutivos
constituyen una “Cuaterna Armónica” si se cumple :
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y
EXTREMA RAZÓN: (SECCIÓN AUREA)
Si el punto O se encuentra entre los puntos A y B, del
4to
modo que AO > OB ( AO es sección aurea del AB ).
B
A
1ro
2
Si se cumple la siguiente relación: AO = AB .OB
, entonces:
A
B
O
D
2do
C
3ro
203
EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA N° 03
Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D tal que:
PROBLEMA Nº 01
1. En una recta se tienen los puntos consecutivos A,B,C
AB.CD = 2 AD.BC y 2 / AB + 1 / AD = 1
1
1
y D de modo que BC=1, CD=2AB y
+
= 1.
AC CD
Hallar:
a) 5
Hallar AB.
a) 1
b) 1
c) 2
2
3
3
SOLUCIÓN
X
AB=X=?
1
A
2X
C
B
AC
+
1
CD
= 1®
1
3 AB.AD = AC (2 AD + AB)
Þ
X +1
+
1
2X
2x(x + 1)
Igualando con el dato:
\ 2x
2
2
2 ( QR ) + 3 (RS )
PQ
=
. Calcule QS
QR
RS
- x -1= 0
1ü
ì
ï 2x + 1 = 0 ® x = - ï
2ý
ïî x - 1 = 0 ® x = 1
ïþ
a) 4
(2x + 1)(x - 1) = 0 í
b) 5
c) 6
d) 7
SOLUCIÓN
2
P
PROBLEMA Nº 02
Los puntos A, B, C, D, E son colineales y consecutivos
AC=3BD, AB=DE y AE-5BC=28. Hallar CD.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
B
D
C
a-x
E
2a+x
2a 2(2) + 3(a)
=
a
a
a² = 4 + 3a
Resolviendo:
a=4
\ AC=3a
Luego:
BC=a-x y AB=3a-(a-x) ® AB=2a+x=DE
Por otro lado:
AE - 5BC=28…………(dato).
Con el gráfico:
Efectuando:
S
Reemplazando en (b)
a
Incógnita
CD=x
Sea BD=a
Según dato: AC=3BD
R
Datos:
PQ = 2(RS) = 2a
QR = 2
Piden:
QS = (2 + a) = ?
x
2a+x
Q
a
PQ 2 (QR ) + 3 (RS )
=
......(b)
QR
RS
SOLUCIÓN
A
e) 8
2a
x = 1 ® AB = 1
3a
3
AC
PROBLEMA N° 04
En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y
S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y
+ 2x
Luego:
1=
\ AC = 3
=1
De donde:
3x + 1 = 2x
3
2
1
=
+
AC AB AD
=1
Luego:
2x + (x + 1)
e) 1
Agrupando:
D
Con el gráfico y el dato:
1
c) 3
d) 2
SOLUCIÓN
CD = AD - AC
BC = AC - AB
Þ AB(AD - AC) = 2 AD(AC - AB)
e) 3
2
d) 1
b) 4
PROBLEMA N° 05
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O
,A, B y C. Calcule OA,
Si: 1 + 1 = 1 , (AB).(AC) = 289
OC OB OA
5a+2x-5(a-x)=28
7x=28
QS = 6
\ x=4
a) 11
CD = 4
204
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19
6. Los puntos A, B, C, D, E, F, son colineales y
SOLUCIÓN
b
a
consecutivos
a-x
x
O
C
B
a) 0
b-x
1
1
1
+
=
OC OB OA
(AB).(AC) = 289
(a-x).(b-x) = 289
b) 1
ab – ab +x2 = 289
x2 = 289
a) 6 2
\ x = 17
b) 6
EJERCICIOS PROPUESTOS
RA AU UL
=
=
4
5
6
c) 16
d) 18
e) 20
2. Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D que cumplen la siguiente
relación:
O
AB AD
BC × CD
1
1
=
si
= 8. Calcular :
+
BC CD
CD - BC
AD AB
a) 1/4
6
b) 1/6
c) 1/8
d) 4
e)
consecutivos de una recta; Si A0A1 =
2
,
3
d) 16
e) N.A.
a
B
CLASIFICACION DE LOS ANGULOS:
2
A1A2= ,
8
I.DE ACUERDO A SU MEDIDA:
2
2
, A3A4=
,… así sucesivamente. Hallar la
15
24
suma de todas las longitudes de los segmentos
a) 1/2
b) 1/3
c) 3/2
d) 2
c) 12
ELEMENTOS:
* Vértice: “ O ”
* Angulo: Ð AOB
* Medida del ángulo: a a Î R+
3. Sean A0, A1, A2, A3, A4, …., An, … puntos
A2A3=
e) 4
DEFINICION: Es aquella figura geométrica determinada
por dos rayos que presentan un origen común denominado
vértice
A
y
2RA + 3 AU + 6UL = 295 . Hallar RA.
b) 14
d) 3
ÁNGULOS
1. Sean los puntos colineales y consecutivos R, A, U y L
a) 12
c) 2
8. Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos:
A, B, C y D siendo:
A, B, C y D, siendo:
AB x BD + AC x CD = AD x BC
Si: AB x CD = 72. Hallar BC
ab - (a + b )x + x 2 = 289
1
424
3
que:
a) NULO:
e) 1
a
a = 0
O
4. Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una recta,
donde
b) AGUDO:
A
1
1
2
+
=
y AB ´ CD = BC ´ AD .
AD AB 3
a) 1
7
Hallar AC
b) 5
c) 4
d) 3
e)
O
2
1
AC
a) 2
b) 4
+
1
BD
=
1
0 < a < 90
a
B
c) RECTO:
5. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B,
C, D. Si se cumple que:
BC = AB.CD ;
Hallar:
7. A, B, C, D, E, F, G, H, son puntos colineales y
consecutivos. Si: 3(BG) = 2(AH) = 5(CF) y
AD + BE + CF + DG + EH = 310; Hallar: AH
a) 3
b) 200
c) 8
d) 183
e) 150
1 1 1
a+b 1
+ = ®
= ® (a + b).x = ab
b a x
ab
x
tales
AC DF
+
=1
AE
BF
que:
AC BD
CE DF
b-a
A
tal
A
Hallar: AB.CD
a = 90
8
c) 8
d) 16
e) 64
O
205
a
B
d) OBTUSO:
c) OPUESTOS POR EL VERTICE:
A
90 < a < 180
a = q
q
a
a
B
O
III.
SEGÚN SUS CARACTERISITICAS:
1.- Ángulos Complementarios: Los ángulos son
complementarios cuando la suma de sus medidas es 90°.
e) LLANO:
a = 180
A
B
C a + b = 90°
a
B
A
D
O
f) CONVEXO:
A
O
0° < a° < 180°
a°
O
O1
Propiedad:
· Si el Complemento es par: es el ángulo
C x = par.......... = x
· Si el complemento es impar : es 90 O menos el ángulo
C x = Impar ....... = 90 O – x
· El complemento de un ángulo "a" es:
B
g) NO CONVEXO O CONCAVO:
A
90 - a
2.
Ángulos
Suplementarios:
Los
ángulos
son
suplementarios cuando la suma de sus medidas es 180°.
180° < a° < 360°
a° O
A
B
C
a°
q°
O1
O
b°
D
Propiedad:
· Si el Suplemento es par : es el ángulo
S x = par .......... = x
· Si el Suplemento es impar : es 180 O menos el ángulo
· S x = Impar ....... = 180 O – x
a° + b° + q° = 360°
II.-DE ACUERDO A SUS LADOS:
PROPIEDADES ESPECIALES:
1. Si SCX = y Þ y = 90º + x
a) ADYACENTES:
A
Además: SC
O
a + b = 180°
B
h) ANGULO DE UNA VUELTA:
2. Si CSX = y
B
a°
q°
Además: CS
C
=R
nq
Þ
nq
Þ R = 90 o + nq
y = x - 90º
=R Þ
R = nq - 90
O
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS:
Dos ángulos son congruentes cuando tiene igual medida
b) ADYACENTES SUPLEMENTARIOS:
ÐA @ Ð B
B
a° + q° = 180°
Û m ÐA = mÐ B
Se lee “El ángulo A es congruente al ángulo B si solo si la
medida del ángulo A es igual a la medida del ángulo B”
a°
A
O
q°
C
206
40o
A
@
40o
B
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:
Es el rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en
A
dos ángulos congruentes.
q
q
O
ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
a)
q
a = q
X
a
= Bisectriz
Ð AOX = Ð XOB
B
b)
ANGULOS FORMADOS POR 2 RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA SECANTE:
a
b
d
A
t t
A//B
P
Q
a
A
c
O
q
B
R
e
a + q = 180
f
h
B
g
ÁNGULOS FORMADOS ENTRE RECTAS PARALELAS
·
Todos los ángulos alternos, miden igual (son
congruentes)
·
Todos los ángulos conjugados entre rectas paralelas ,
son suplementarios
·
Todos los ángulos correspondientes entre rectas
paralelas miden igual ( son congruentes)
1. Ángulos Alternos:
* Internos: cº = eº; dº = f º
* Externos: aº = gº ; bº = hº
2. Ángulos Conjugados:
* Internos: cº + f º = 180º
dº + eº = 180º
PROPIEDADES:
SI M//N
01.
*
Externos: bº + gº = 180º
aº + hº = 180º
3. Ángulos Correspondientes:
aº = eº; bº = f º ; dº = hº ; cº = gº
aº
x =a+q
xº
ANGULOS PARALELOS:
a)
qº
P
A
02.
a = q
a
O
m
q
Q
L1
a
b
a+b+t
R
B
m+n+r
n
t
b)
R
q
A
O
L2
a+b+ t= m+n+ t
03.
P
a
r
Q
B
jº
qº
a = q
c)
gº
bº
aº
P
a + b + g + q + j = 180 º Nº Segmentos
A
q
04.
R
Q
O
a
jº
qº
B
bº
a + q = 180
207
aº
a + b + q + j = 180 º
05.
a
x
b
b
* 2a + 2q = 90º
a + q = 45º
M
a
*
X = 90°
N
06.
q
a
+ x + q + = 90 º
2
2
3
x + ( q + a ) = 90º
2
3
x + ( 45º ) = 90º
2
x = 22,5º
a+
qº
qº
PROBLEMA Nº 03
xº
aº
Se tienen los ángulos consecutivos A Ô B, B Ô C y C Ô D
tal que: m AOB = 40° y m COD = 60°. Hallar la medida
del ángulo formado por las bisectrices de consecutivos A
O B y B O D.
a) 40°
b) 60°
c) 75°
d) 50°
e) 100°
aº
a+ q= a+b+c
EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
La medida de un ángulo es
x 0 . Si
5/6 del suplemento de
y el complemento de la mitad
x
0
la diferencia entre los
de la medida de dicho ángulo excede en
del complemento de
x
0
x 0 /15
al doble
. Calcular el suplemento del
complemento de x .
a) 185º
b) 165º
0
c) 180º
d) 170º
e) 175º
SOLUCION
Si la medida de dicho ángulo es xº, entonces:
5
(180 - x) - (90 -
6
900 - 5x
6
-
(180 - x)
2
x
2
) = 2(90 - x) +
) = 180 - 2x +
Del gráfico:
x
15
x
15
58x -10x = 5400 -1800
48x = 3600
X = 75º
Luego: 180-(90-x) = 180-90 +75= 165º
®
®
b) 18,5º c) 20º
SOLUCION
M
B
A
a+
d) 22,5º
e) 25º
R
N
a a
q+
q
q
o
a + 60° = x + q
(+)
2. Indicar, verdadero (V) o falso (F):
I. La diferencia entre las medidas del suplemento y
complemento de un
mismo ángulo, siempre es 90°
II. Las bisectrices de un par lineal, son perpendiculares
entre sí.
III. Dos ángulos complementarios, son necesariamente
consecutivos.
a) VVV
b) VVF c) FFF d) FVF
e) VFV
S
x
q
2
MOD =
EJERCICIOS PROPUESTOS
OM,ON,OR y OS de los ángulos AOB, BOC, AON y
MOC respectivamente. Calcule mS ROS .
a) 15º
m
a +x
1. Indicar la proposición si es (V) o(F)
I. Todo segmento tiene un único punto medio
II.El ángulo que forman las bisectrices de los ángulos
opuestos por el vértice forman un ángulo llano
III.Un segmento de recta siempre es un conjunto de
puntos del plano
IV.El ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos
complementarios es 45º
a)VFVV b)FFFF c)VVVV
d)VVFF e) FFVV
165°
PROBLEMA Nº 02
Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB
y
BOC,
luego
se
trazan
las
bisectrices
®
AON = 40° + q =
100° = 2x
5(900 - 5 x - 540 - 3 x) = 2( 2700 - 30 x + x)
®
m
C
a
2
208
3. Indicar verdadero (V) o falso (F):
I.Dos ángulos complementarios, son siempre consecutivos.
II.Dos ángulos suplementarios, son siempre adyacentes
III. Dos ángulos adyacentes, son suplementarios.
a) VVV
b) FFF
c) VFV
d) FFV e) FVF
Hallar: K =
a) √5
a) 115º
b) 120º
c) 125º
d) 135º
e) 127º
las
bisectrices
de
los
b) 56°
c) 60°
.√5
d) 2
e) 2.√5 -1
L1 // L 2
n
x
L1
n
b
b
a
a m
m
L2
rayos
qº
ángulos
13. En la figura
AÔX y AÔX'. Calcular ÐBOX.
a) 52°
2
12. En la figura. Hallar el valor de “x”.
a) 63º
26
b) 67º
aº
c) 73º
aº
d) 77º
e) N.A.
6. Desde un punto "o" de la recta xx' se trazan los rayos
OM, OA, OB y ON
con
la
condición
que:
ON y OM son
c) 1
b) 2 √5
11. Hallar: x Si:
5. Si al cuadrado del complemento de un ángulo se le
suma en número que expresa en grados la medida de
dicho ángulo, resulta el número que representa la
medida de un ángulo llano ¿Cuánto mide dicho ángulo?
a) 50°
b) 60°
c) 69
d) 80
e)
99°
los
AC
æ AB ö
ç - 1÷
è CD ø
10. Del gráfico calcular el valor de la razón aritmética
entre x e y, cuando “x” toma su mínimo valor entero.
a) 3º
b) 15º
c) 12º
d) 5º
e) 11º
4. Indicar verdadero (V) o falso (F):
I.
Un cuadrado, puede ser congruente a un triángulo.
II. Dos figuras congruentes, son siempre equivalentes.
III. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes.
IV. Un cubo y un cuadrado, pueden ser equivalentes.
V. Si un cuadrado y un triángulo, tienen igual perímetro,
se llaman equivalentes.
VI. Dos rectángulos, son siempre semejantes.
VII. Dos cuadrados son siempre semejantes
VII. Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes
A) FVFFFFVV
B) VFFVVFVV
C) FFFVVVVV
D) FVVFFVVV
E) VFVFFVVV
ÐMOA = ÐBOX y ÐBON = 22°; además
2 5.AD
a) 30º
b) 36º
c) 45º
d) 18º
e) 15º
d) 64° e) 72°
7. Si al cuadrado del complemento de un ángulo se le
suma en número que expresa en grados la medida de
dicho ángulo, resulta el número que representa la
medida de un ángulo llano ¿Cuánto mide dicho ángulo?
a) 50° b) 60°
c) 69
d) 80
e) 99°
L1
qº
Hallar el valor de x
L1 // L 2
a
xº
a
m m
3x
2x
L2
b
b
r
r
14. Sean los ángulos consecutivos A Ô B, B Ô C y C Ô D. Si:
A Oˆ C + B Oˆ D = 140º. Hallar la medida del ángulo
8. En la figura adjunta:
formado por las bisectrices de los ángulos A Ô B y C Ô
D
a) 20
b) 70º
c) 90º
d) 50º
e) 30º
15. Sean los ángulos consecutivos A Ô B y B Oˆ C. A Oˆ B – B
ˆ C = 44º. OM , biseca A O
ˆ B; ON , biseca B O
ˆ C; OR ;
O
biseca M Oˆ N. Hallar R Oˆ B.
a) 22º
b) 44º
c) 11º
d) 12º
e) N.A.
16. Calcular x, si: L 1 // L 2
AB = 10; BC = 12, CD = 11 y AE = EF = FD = x
Hallar el máximo valor entero de x.
a) 10
b) 12
c) 11
d) 9
e) 8
a) 20
b) 30
c) 40
d) 60
e) N.A.
9. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos, si AC
es media proporcional entre AD y BD .
L1
x
x
209
x
L2
La Medida de
Sus Ángulos
Vértices
Lados
Ángulos
Internos
Ángulos
Externos
Perímetro
Sus Elementos
Se Clasifican
La Medidas
de
Sus Lados
TRIÁNGULO
Algunas Líneas Notables
Mediana
Altura
Mediatriz
Bisectriz
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
Algunas Propiedades
La suma de los ángulos internos es
o
180
Cualquier ángulo exterior mide igual
que la suma de dos ángulos interiores
etc.
210
Escaleno
Isósceles
Equilátero
TRIÁNGULO CONGRUENTES
Tienen
EL MISMO TAMAÑO
LA MISMA FORMA
Entonces tienen
Sus lados
correspondientes
congruentes
Sus ángulos
correspondientes
congruentes
Los casos de congruencias
Lado – Ángulo – Lado
Ángulo – Lado – Ángulo
Lado – Lados – Lados
LAL
ALA
L LL
211
CAPITULO - II
TRIÁNGULOS
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
Ø Analizar con mucho rigor al triángulo por ser la figura de mayor aplicación en el estudio de la Geometría
Ø Comprender los conocimientos básicos sobre triángulos, las relaciones que se establece entre sus
elementos y la idea de correspondencia biunívoca con su aplicación a la congruencia de triángulo.
Ø Establecer la diferencia que existe entre las principales líneas notables asociadas al triángulo.
Ø Conocer y familiarizarse con los teoremas derivados de esta teoría y sus aplicaciones en la resolución de
problemas
DEFINICION:
Es aquella figura formada al unir tres puntos no
colineales mediante segmentos de recta.
PROPIEDADES
* La suma de las medidas de los ángulos internos es 180°
B
b
B
a
g
A
A
C
a+b+g=180°
C
ELEMENTOS.
* Vértices: A, B y C
* Lados : AB, BC, y AC
* La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes a él
B
b
NOTACION: Triángulo ABC: D ABC
REGIONES DETERMINADAS
X
a
A
Región interior
C
Región exterior
relativa a AC
C
x =a+b
Región exterior
relativa a BC
A
* La suma de medidas de los ángulos exteriores
considerando uno por cada vértice es 360°.
B
Región exterior
relativa a AB
B
g
ELEMENTOS ASOCIADOS ALTRIÁNGULO
a
q
b
e
a
C
A
b
a+b+g=360°
g
* La longitud de un lado está comprendida entre la
diferencia y la suma de las longitudes de los otros lados.
f
Medida de los ángulos interiores: a, b y g
Medida de los ángulos exteriores: q, f y e
212
B
B
b
a
c
a
c
A
C
b
a
g
A
sea: a>b>c
C
b
a=b=c
a-b<c<a+b
a=b=g= 60°
* Al ángulo interior de mayor medida se opone el lado de
mayor longitud y viceversa.
B. Triángulo isósceles.
Dos de sus lados tienen igual longitud.
B
B
a
c
c
a
A
a
g
C
a
q
A
si: a > g
C
a > c
a=q
PROPIEDADES ADICIONALES
b
AB y BC: Lados laterales
AC: base
m
a
a=c
C. Triángulo escaleno.
No tiene lados de igual longitud.
n
B
b
m+ n= a + b
a
c
A
a
q
b
b
a=b=q
a=b=c
x
g
SEGÚN SUS ÁNGULOS INTERNOS
a
A. Triángulo Acutángulo
Es aquel cuyos ángulos son agudos.
x=a+b+g
b
CLASIFICACIÓN
SEGÚN SUS LADOS.
A. Triángulo equilátero.
Sus tres lados tienen igual longitud.
a
a <90°
g
b <90°
g <90°
B. Triángulo Rectángulo
Es aquel que tiene un ángulo recto.
213
C
A
a
b
c
b
B
C
a
AB y BC: catetos
AC: hipotenusa
Se cumple:
2
a + c 2= b
Además:
Observación:
* El Ortocentro es un punto interior en un triángulo
acutángulo.
* El Ortocentro es un punto exterior en un triángulo
obtusángulo.
* El Ortocentro está ubicado en el vértice del ángulo
recto en un triángulo rectángulo.
2
a + b = 90°
C. Triángulo Obtusángulo
Es aquel que tiene un ángulo Obtuso.
MEDIANA
Segmento que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto a dicho vértice.
A
b
g
B
a
C
Baricentro (G)
Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un
triángulo.
G: Baricentro
g > 90°
NOTA:
A los triángulos acutángulos y obtusángulos, se les
denomina triángulos oblicuángulos.
NOTA:
A los triángulos acutángulos y obtusángulos, se les
denomina triángulos oblicuángulos.
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
TEOREMA
64748
BG = 2GM
ALTURA
Segmento que sale de un vértice y corta en forma
perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
AG = 2GN
CG = 2GS
BISECTRIZ
Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en
dos ángulos de igual medida.
Ortocentro (H)
Es el punto donde se intersectan las tres líneas rectas
que contienen a las alturas de un triángulo.
H: Ortocentro.
214
Incentro (I)
Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices
interiores de un triángulo, es el centro de la
circunferencia inscrita
Observación:
* El Circuncentro es un punto interior si el triángulo es
acutángulo.
* El Circuncentro es un punto exterior si el triángulo es
obtusángulo.
* El Circuncentro está ubicado en el punto medio de la
hipotenusa si el triángulo es rectángulo.
CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del
lado opuesto o de su prolongación.
Observación:
v Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores las
cuales concurren en un punto “I “llamado Incentro.
v El punto donde concurren dos bisectrices exteriores
con la prolongación de la bisectriz interior trazada del
tercer vértice recibe el nombre de Excentro “E”.
v El incentro es un punto interior para toda región
triangular. En todo triángulo existen tres excentros
los cuales son puntos exteriores a la región triangular.
Excentro (E)
Es el punto donde se intersectan dos bisectrices
exteriores con una bisectriz interior en un triángulo,
es el centro de la circunferencia exinscrita.
Cevacentro (C)
Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un
triángulo.
E: Encentro relativo de
MEDIATRIZ
Es una recta que pasa por el punto medio de un lado
cortándolo en forma perpendicular.
Observación:
Todo triángulo tiene infinitas cevianas e infinitos
cevacentros. Por lo tanto la ceviana y el cevacentro no son
líneas ni puntos notables respectivamente. El nombre de
ceviana se debe en honor al matemático italiano CEVA en
1678
Observación:
- Para ubicar un punto notable sólo es necesario
trazar dos líneas notables de la misma especie.
- En todos los triángulos isósceles si se traza una de
las cuatro primeras líneas notables hacia la base;
dicha línea cumple las mismas funciones que las
otras.
- En todo triángulo equilátero el Ortocentro,
baricentro, incentro y circuncentro coinciden.
En todo triángulo isósceles, el Ortocentro, baricentro,
incentro y el excentro relativo a la base, se encuentran
alineados en la mediatriz de la base.
: Mediatriz de
Circuncentro (O)
Es el punto donde se corta las tres mediatices de un
triángulo.
C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia
circunscrita
215
5.
ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES
1. Ángulo formado por dos bisectrices
interiores.
x = 90 +
x =
a
2
a +b
2
6.
2. Ángulo formado por dos bisectrices
exteriores.
x =
x = 90 -
a
a +b
2
7.
2
3. Ángulo formado por una bisectriz
interior y una bisectriz exterior.
x =
x =
a-b
2
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos serán iguales cuando tengan sus lados y
sus ángulos iguales.
a
2
Primer criterio.- Si dos triángulos tienen un lado y los
ángulos adyacentes iguales.
4.
B
A a
N
q
C
M
a
q
P
DABC = DMNP (ALA)
x = 45 -
Segundo
criterio.Si
dos
triángulos
respectivamente iguales dos lados
y el
comprendido entre ellos.
a
2
216
tienen
ángulo
B
TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES
Son aquellos donde la medida de los catetos
y la
hipotenusa guardan relaciones que permiten determinar
las medidas de los ángulos agudos y recíprocamente.
(aÎR+)
1) 3° y 87°
N
q
q
C M
A
DABC = DMNP (LAL)
P
362 a
Tercer criterio.- Dos triángulos son iguales si tienen
respectivamente iguales sus tres lados.
a
3°
N
B
87°
19a
2) 8°
y 82°
50a
82°
a
C M
A
P
8°
DABC = DMNP (LLL)
7a
Nota.- Existe un cuarto criterio: Si dos triángulos
tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo
opuesto al mayor de ellos, son iguales.
Propiedades:
1)
3) 21°/2
y 159°/2
5 5a
159°/2
a
TEOREMA DE LA BISECTRIZ.
Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista
de sus lados.
21°/2
11a
4) 14°
y 76°
A
MA=MB
a=b
a
76°
17 a
M
a
a
a
O
b
14°
B
2)
4a
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ.
Cualquier punto de la mediatriz de un segmento
equidista de sus extremos.
5) 16° y 74°
74°
M
MA=MB
b=a
25a
7a
16°
a
b
24a
A
B
6) 37°/2 y 143°/2
O
143°/2
10 a
3) TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
El segmento que une los puntos medios de los lados de
un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad
de su longitud.
a
37°/2
3a
B
LM//AC
7) 53°/2
y 127°/2
LM = AC
2
L
5a
M
127°/2
a
53°/2
A
C
2a
217
3. En un triángulo ABC se toma em AC um punto D y se
une com B de tal modo BD = DC = AB si mÐC = 40o ,
Calcular la ÐABD
a) 15 o
b) 18 o c) 20 o
d) 24 o
e) 25o
8) 30° y 60°
60°
2a
a
SOLUCION
30°
3a
9) 37° y 53°
53°
5a
3a
Los triángulos ABD y BDC son isósceles.
Luego:
mÐDBC = 40º y
m ÐBAD = mÐBDA = 40º + 40º = 80º
En el Δ ABD:
80º + 80º + x = 180º
∴
x = 20º
37°
4a
10) 45° y 45°
45°
2a
4. Calcular “x”, si mÐBAC - mÐBCA =16o
a
a) 12 o
b) 14 o
c) 16 o
d) 8 o
e) 20o
45°
a
EJERCICIOS RESUELTOS
SOLUCION
1. Los lados de un triángulo ABC mide A = 60o y B = 100o.
En la prolongando AB se ubica el punto D , una
longitud BD = BC , se pide Calcular mÐACD
a) 40 o
b) 50 o
c) 60 o
d) 70 o
e) 80 o
SOLUCION
En el Δ ABC: m ÐACB = 20º
En el Δ DBC: mÐBCD = mÐBDC = 50º
Luego:
x = 50º + 20º
∴ x = 70º
En el Δ ABD:
mÐBAD = mÐBDA = α
En el Δ ADC:
Por dato:
mÐACD = α – x
mÐBAC – mÐBCA = 16º
α + x – (α – x) = 16º
∴
5. Si AB = BC = AD, Calcular “x”
a) 20 o
b) 40 o
c) 160 o
d) 80 o
e) 70o
2. En un triángulo ABC, mÐA = 30o y la medida de los
otros dos están en relación de 3 a 7 ¿Cuánto mide el
ángulo mayor?
a) 105 o
b) 110 o c) 102 o d) 115 o
e) 120o
SOLUCION
SOLUCION
30º + 7θ + 3θ = 180º
θ = 15º
∴
El ángulo mayor mide 105º
218
x = 8º
En el Δ equilátero ABC: AB = BC = AC
y mÐBAC = 60º
De donde: mÐCAD = 40º
48 + 180 - 2a + a - b + a - b = 180º
48 = 2b
b = 24
Þ Ð) QEC = 24º
En el Δ isósceles CAD: 40º + x + x = 180º
∴
x = 70º
9. En el gráfico mostrado calcular q:
B
6. En el triángulo cuyo perimetro mide 12 , por un de los
vertices se traza paralelas a las biscetrices inetriores
de los otros dos ángulos , cortando a las
prolongaciones del tercer lado en E y F Determinar EF
a) 6
b) 8 c) 10
d) 12
e) 24
SOLUCION
2q
a
a
q
b
b
A
a) 60º
b) 30º
e) 45º
SOLUCION
d) 36º
C
e) 54º
En el DADC:
90 + 90 + - q + a + b = 180
a+b=q
Pero en el D ABC:
2q + 2a + 2b = 180
q + a + b = 90º
El en Δ EAB es Isósceles
En el Δ BCR es Isósceles
El perímetro de Δ ABC es 12
EF = a + b + c
EF = 12
q + q = 90
2q = 90
q = 45º
7. En un triángulo ABC (AB =BC) se traza la ceviana
interior CR, Luego ene l triángulo ARC se tras la
bisectriz interior RQ. Si mÐRCB = 24o. Calcule
mÐAQR
a) 24o
b) 36o c) 39o
d) 54o
e) 78o
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El ángulo exterior "B" de un triángulo ABC mide 144°.
Hallar el menor ángulo formado por las bisectrices
interiores de los ángulos A y C del triángulo.
a) 72
b) 144
c) 126
d) 108
e) 36
SOLUCION
2. En un triángulo rectángulo los catetos miden 9m y 12m;
hallar la distancia del bancentro al ortocentro.
a) 2,5
b) 3
c) 3,5
d) 4
e) 5
En Δ ARQ:
3. Si a = 72, hallar "b + q"
a) 36
a
b) 54
c) 90
x
d) 72
x
2x
e) 45
x + 24º – α + x + α = 180º
∴
x = 78º
8. En un triángulo ABC, AB=BC, se traza la ceviana
interior BE. En el triángulo BEC, se traza la ceviana
EQ , tal que BE=BQ. Si Ð) ABE mide 48º, Hallar la
b) 36º
c) 24º
SOLUCION
B
d) 12º
e) 28º
180 - 2a
48
a-b
A
a
E
q
y y
2y
4. En la siguiente figura halla "q" si AB = AC y PQR es
B
equilátero, además a + b = 170.
a) 60
b
P
b) 70
Q
c) 75
q
d) 80
a
e) 85
A
C
medida del Ð) QEC
a) 48º
b
5. Hallar "x" si AM = MC
a) 10°
b) 15°
c) 30°
d) 45°
15°
A
e) 18°
a
b a-b
C
219
B
x
30°
M
C
POLÍGONO
ELEMENTOS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Lados
Vértices
Diagonales
Ángulos interiores
Ángulos exteriores
Diagonales medias
CLASIFICACIÓN
Se llama polígono
a
las
líneas
poligonales
cerradas.
Por sus lados
Equilátero;
Escaleno
Isósceles;
Por sus ángulos
CLASIFICACIÓN
PROPIEDADES
Para polígonos
general
en
De acuerdo al número
de lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Para
regulares
polígonos
o
Nonágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
TRIÁNGULO
Polígono de 3 lados
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
NOTABLES
220
PROPIEDADES GENERALES
LÍNEAS NOTABLES
MEDIANA
DE UN TRIÁNGULO
CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
ALTURA
CASOS
L.A.L
MEDIATRIZ
A.L.A
L.L.L
BISECTRIZ INTERIOR
PROPIEDADES
BISECTRIZ EXTERIOR
221
CUADRILÁTERO
Polígono de 4 lados
PARALELOGRAMOS
Romboide
POR SU REGIÓN
Convexo
POR EL
PARALELISMO DE
SUS LADOS
Rectángulo
TRAPECIOS
Cóncavo
Escaleno
Rectángulo
Rombo
Cuadrado
Isósceles
PROPIEDADES GENERALES
TRAPEZOIDES
m<A+ m<B + m<C + m<D = 360º
OTRAS PROPIEDADES
222
CAPITULO - III
POLIGONOS Y CUADRILATEROS
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
Ø Comprender los conocimientos básicos sobre Polígonos y relaciones que se establece entre sus elementos.
Ø Establecer la diferencia que existe entre los Polígonos.
Ø Conocer y familiarizarse con los teoremas derivados de esta teoría y sus aplicaciones en la resolución de
problemas
POLÍGONO
Definición
Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o
coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el
extremo del último; ningún par de segmentos, se
intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos
consecutivos nos sean colineales.
2. Polígono Equilátero
Cuando tienen todos su lados congruentes
3. Polígono Regular
Cuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes
y todos sus lados congruentes
Elementos
Vértices
Lados
m ∢ internos
m ∢ externos
Diagonales
Diagonales medias
:
:
:
:
:
:
A, B, C, D,...
,
,
,
,...
a, b, f,...
x, y, z,...
,
,
,...
,
,
,...
Polígonos No Convexos
Cuando tienen uno más ángulos internos no convexos es
decir mayores que 180º y menores que 360º.
Polígono Convexo
Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos,
es decir, mayores que cero y menores que 180º.
Denominación de los Polígonos
Triángulo
3 lados
Cuadrilátero
4 lados
Pentágono
5 lados
Hexágono
6 lados
Heptágono
7 lados
Octógono
8 lados
Nonágono o eneágono
9 lados
Decágono
10 lados
Endecágono o Undecágono 11 lados
Dodecágono
12 lados
Pentadecágono
15 lados
Icoságono
20 lados
Enégono
n lados
Clasificación de los Polígonos Convexos
1. Polígono Equiángulo
Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes
223
11. Número de ángulos rectos a que equivale la suma de
los ángulos interiores de un polígono de “n” lados.
PROPIEDAD PARA TODO POLÍGONO CONVEXO
Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se
cumple que:
1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:
. Sm∢i = 180 (n – 2) .
# Ðs rectos = 2 (n – 2)
12. Número de ángulo llanos a que equivale la suma de los
ángulos internos de un polígono de “ n ” lados
2. Suma de las medidas de sus ángulos externos:
. Sm∢i = 360 .
# Ðs llanos = (n – 2)
3. Diagonales trazadas desde un solo vértice:
. Di = (n – 3) .
13. Número de diagonales medias desde “k” lados
consecutivos es
4. Número total de diagonales:
. D
# diag. =nk- k(k+1)/2
n(n - 3 )
T =
2
.
CUADRILÁTERO
Definición
Es un polígono de 4 lados.
5. Número total de diagonales medias:
n(n - 1)
. Dm =
2
.
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos
. D v = vn -
(v + 1)(v + 2)
2
.
. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 .
EN POLÍGONOS REGULARES Y EQUIÁNGULOS
7. Medida de un ángulo interno:
. i=
180 (n - 2 )
n
Clasificación General
.
8. Medida de un ángulo exterior:
. e=
360
n
.
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos
1. Trapezoide
Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos
Ø POLÍGONO ESTRELLADO O ESTRELLA
Es la figura plana formada por las prolongaciones de los
lados de un polígono convexo.
q : Ángulo interior
f : Ángulo exterior
2. Trapecios
Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los
otros lados, llamados lados no paralelos
9. Máximo número de ángulos interiores agudos de un
polígono de “n” lados.
# Máximo = 3 Ðs
10. Mínimo número de ángulos interiores obtusos de un
polígono convexo.
# Mínimo = n - 3
224
2.
PROPIEDAD DEL TRAPECIO
·
Mediana de un trapecio
x =
q -f
2
3.
. x=
·
a+b
2
.
Segmento que une los puntos medios de las
diagonales
//
PQ = RS
4.
. x =
b-a
2
En trapecios isósceles
.
3. Paralelogramos
Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes;
ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos
consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales
se bisecan.
x =
PROPIEDADES GENERALES
1.
x =
q +f
2
225
5.
En triángulos
6.
En trapecios
b -a
2
y =
b +a
2
7.
Si: a + b = 90º
:
. x =
8.
Dato:
Segmento que une los puntos medios de las bases
b -a
2
$i1 + $i2 + ...i$5 = 760º
Piden: e6 + e7 + ...en = ?
e1 + e2 + ...en = 360º...(I)
*
Se sabe:
*
$i1 + e = 180º
1
$i2 + e = 180º
2
.
.
.
.
.
.
.
$i5 + e = 180º
n
760 + ( e1 + e2 + ...e5 ) = 180º(5)
En paralelogramos
( e1 + e2 + ...e5 ) = 140º
Reemplazando en (I)
( e6 + e7 + ...en ) = 360º
(e6 + e7 + ...en ) = 220º
140º +
x=b–a
9.
2. Calcular la base mayor de un trapecio, los lados no
paralelos miden 5 y 7, las bisectrices interiores de los
ángulos adyacentes a la base menor se cortan en un
punto de la base mayor.
a) 16
b) 18
c) 25
d) 16
e) 12
SOLUCIÓN
Graficando el problema, tendremos:
En paralelogramos
. x=
a+d
2
=
b+c
2
=
a+b+c+d
4
B
C
.
7
5
EJERCICIOS RESUELTOS
1. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un
polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las
medidas de los ángulos externos correspondientes a
los vértices restantes.
a) 190º
b) 200º
c) 210º d) 220º
e)
230º
A
5
X
Luego de la gráfica se observa:
X = 5 + 7 = 12
Respuesta: Base mayor = 12
SOLUCIÓN
e2
e1
Ù
i2
Ù
D
7
3. En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la
e3
AC hacia
mS ABC = 106º .
distancia del punto medio de
i3
del ángulo ABC; si
a) 10
b)8
Ù
i4 e
4
c)6
d) 4
Ù
i1
SOLUCIÓN
Ù
en
i5
Ù
in
Ù
i 6 e5
53º 53º
e6
226
la bisectriz
e)
12
Dato: BC=30
AB=5
SOLUCIÓN
m S ABC
Piden: MN=x=?
m
«
Trazamos: AH
*
B
= 106º
L
«
L
CQ
4
D ABH y D CBQ (37º, 53º)
Þ AH = 4 y CQ =24
*
*
x
A
mS MBN = 45º . Calcule MN.
c) 4
d)
2
3 2
P
3
4. En un cuadrado ABCD, de lado 6, en CD y AD se
ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que
b)4
G R
Q S
24 - 4
x=
= 10
2
a) 3
m
H
Trapecio: AHCQ (propiedad)
CM=MD. Si la
N
e)
*
5
M
Dato: AH=3
BQ=4
“G” Baricentro
Þ BG=2GM = 2m
Piden: CP=x
En el trapecio AHPC (trazamos la base media:
MR =
SOLUCIÓN
*
53º
2
37º
2
3+ x
...(I)
2
En el D BQG(NS=2); MR =NS=2
Luego:
En (I)
2=
®
C
x=1
3+ x
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ABCD es un trapecio (BC // AD), M es punto medio de
AB y N es punto medio de MD. Si B y D distan de AC
en 16u y 19u respectivamente, entonces la distancia
(en u) de N a la diagonal AC es:
a) 4.0
b) 4.5
c) 5.0
d)5.5 e)6.0
Dato: AB=BC=6
CM=MD=3
mS MBN = 45º
2. En un cuadrilátero convexo ABCD, AB=AD y el ángulo
BAC=19°.Si la medida del ángulo CAD=57° y la medida
del ángulo BDC=30°, entonces el ángulo BCA mide:
a) 30
b) 15
c) 18
d) 36 e) 32
Piden: MN=x=?
*
Þ
*
*
®
æ 53º ö
D BCM (notable) ç
÷
è 2 ø
37º
mS ABN =
2
3. En un polígono convexo de n lados (n≥3), desde (n-4)
lados consecutivos se trazan (2n+1) diagonales medias.
Entonces el máximo número de diagonales medias del
polígono convexo es
a) 15
b) 21
c) 28
d) 36
e) 45
æ 37º ö
D ABN ç
÷
è 2 ø
AN=2 Þ ND=4
D MND (37º, 53º)
4. En un trapecio rectángulo ABCD, la medida del ángulo
BCD es igual a la medida del ángulo CAD =90°y el
ángulo BAD mide 75°.Si en la prolongación de BA se
ubica el punto T tal que la medida del ángulo ADT=30°
y AD=2CD, entonces la medida del ángulo BCT es:
a) 40
b) 60
c) 45
d) 70
e) 65
x=5
5. Las distancias de los vértices A y B de un triángulo
ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y
4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a
a)7
dicha recta. La recta intercepta a AB y BC .
b)5
c) 3 d) 8
e)1
5. Se tiene el cuadrilátero ABCD no convexo en D. Si
AD=CD=BC y la medida del ángulo ABC menos la
medida del ángulo BAD es 60°, entonces el ángulo DCB
mide:
a) 45º
b) 30º
c) 60º
d) 53º
e) 75º
227
6. ¿Cuál es el único polígono en la que su número de
diagonales es el triple de su número de lados?. Dar
como respuesta su número de diagonales medios.
a) 27
b) 36
c) 45
d) 72
e) 18
7. Si el número de diagonales medios excede a su número
de diagonales de un cierto polígono en 8 unidades.
¿Cuál es este polígono?
a) Octógono
b) De 16 lados
c) Hexágono
d) Triángulo
e) Decágono
8. Desde 4 vértices consecutivos se han trazado como
máximo 55 diagonales. ¿Cuántos diagonales tiene el
polígono?
a) 45
b) 15
c) 90 d) 27
e) 170
9. En un cierto polígono; el número de ángulos rectos a
que equivale la suma de sus ángulos interiores excede
a su número de lados en 5. ¿Cuántas diagonales medias
tiene el polígono?
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
e) 8
10. Si el número de lados de un cierto polígono se
aumenta en 3 unidades, su número de diagonales
aumentará en 21 unidades. ¿Decir que polígono es?
a) Hexágono b) Heptagono c) Nonágono
d) Octágono e) N.A.
11. La diferencia entre el número de diagonales de
cierto polígono regular y el número de ángulos rectos a
que equivale la suma de los ángulos internos es 19.
Hallar su número de diagonales medios.
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
(
)
12. Dado un trapecio ABCD AD// BC , m Ð A = 60º y m
Ð C = 150º. Hallar “AD”, si: AB = 4 y BC = 3.
a) 10
b) 7
c) 11
d) 14
e)
12
13. Dado un cuadrado ABCD, se toman los puntos E, F, G
y H sobre los lados AB, BC , CD y
AD ,
respectivamente de modo que AE = AH = CF = FG.
Hallar el perímetro del cuadrilátero EFGH, si la
diagonal del cuadrado es 10u.
a) 5u
b) 10u
c) 20u
d) 15u
e) 25u
14. Por los vértices B y C de un trapecio ABCD (
BC // AD y BC < AD), se trazan las paralelas a los
lados no paralelos cortándose en un punto “E” de la
mediana del trapecio. Si BC = 8m. Calcular “AD”.
a) 16m
b) 24 m
c) 32 m
d) 82 m
e) 12 m
15. Si las distancias de los vértices de un triángulo ABC
a una recta exterior son 6, 14 y 2 unidades
respectivamente. Calcular la distancia del punto medio
de MN a la recta exterior siendo M y N puntos medios
de AB y AC respectivamente.
a) 6u
b) 7u
c) 11u
d) 10u
e) 12u
228
ÁNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Ángulo central
Ángulo inscrito
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
Es el conjunto de puntos de un
mismo plano equidistantes de otro
punto del mismo plano llamado
centro.
ELEMENTOS Y LÍNEAS
NOTABLES
EA=EB
Ángulo semi- inscrito
Ángulo interior
Centro: O
Radio:
Cuerda:
Secante: PQ
Tangente: T
Flecha:
Arco: PQ
TEOREMAS
IMPORTANTES
Si:
Þ AH = HB
TEOREMA DE PONCELET
Ángulo exterior
Si:
TEOREMA DE PITHOT
Þ
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
TEOREMA DE STEINER
229
1. Circunferencias exteriores.
2. Circunferencias tangentes exteriores.
3. Circunferencias tangentes interiores
4. Circunferencias secantes
5. Circunferencias ortogonales.
6. Circunferencias concéntricas.
7. Circunferencias interiores.
CAPITULO - IV
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :
Ø Definir la circunferencia, el círculo y conocer las diversas líneas asociadas a la circunferencia.
Ø Conocer el concepto de arco y las propiedades de los arcos y los ángulos asociados a la
circunferencia.
Ø Definir el cuadrilátero inscrito y conocer sus propiedades.
LA CIRCUNFERENCIA
INTRODUCCIÓN:
Las necesidades que el hombre tiene, hace que descubra o
invente cosas, es así como generó la rueda, la cual fue y es
de mucha utilidad; ella tiene forma de una circunferencia.
La circunferencia es una figura cuya forma y perfección
es de mucha utilidad; ella a favorecido a diversos
progresos de la humanidad como por ejemplo: cuando se
quiere trasladar una carga extremadamente pesada (cajas
fuertes, maquinarias pesadas, etc), todavía se utiliza con
frecuencia un sistema que los egipcios ya lo habían usado
al construir sus pirámides; dichos sistemas consisten en
colocar la carga sobre una plataforma, la cual se
encuentra sobre unos rodillos; cuando se tira de la
plataforma los rodillos que quedan rezagados son
recogidos y vueltos a colocar por delante.
Esto permite darnos cuenta de la importancia de esta
figura; para un estudiante de geometría el conocerla le
permitirá entender otras propiedades que más adelante
se estudiarán.
01. Angulo Central
A
B
02. Angulo Inscrito
A
x=
x
Radio : OB y OD
·
·
Arco : BD
Cuerda : MN
03. Angulo Semi Inscrito
·
Flecha o sagita : RK
·
·
·
R. Secante : CD
R. Tangente: TS
Pto. de Tangencia: T
A
x
x=
M
R
A
04. Angulo Ex inscrito
O
T
A
N
r
AB
2
B
K
S
AB
2
B
DEFINICIÓN:
Es la figura plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo
del mismo plano.
Al punto del cual equidistan los puntos de una
circunferencia se denomina centro entre él y un punto de
la circunferencia se denomina radio.
ELEMENTOS:
·
Centro : “O”
·
Diámetro : AB
·
x = AB
x
0
B
x
B
r
D
C
C
PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA:
230
x=
ABC
2
M
05. Angulo Interior
Tangente
R
A
C
OM
L
0
AB + CD
x=
2
x
L
D
B
11. Teorema:
Si: AB = CD
\
B
06. Angulo Exterior
AB = C
D
D
C
x=
C _AB
2
A
C
12. Teorema:
Si el diámetro AB es perpendicular a MN
M
B
A
MO = ON
x
0
A
07.
C
x=
B
0
AC - AB
N
2
13. Teorema:
B
A
x
0
A
q
q
P
B
08.
x
A
AP = PB
x=
APB - AB
2
14. Si las circunferencias son iguales.
B
A
P
Q
APB = AQB
P
09. Teorema:
B
Si AC // CD
A
15. Si: PA y PB son tangentes.
B
AC = B
C
P
D
B
PA = PB = R
A
R
10. Teorema:
Si “M” es punto de tangencia.
16. Si las circunferencias son concéntricas:
231
F
tangente
común
A
PQ = R - r
AB = CD = FE
B
P
C
D
Q
r
R
E
17. Si: A, B y C son puntos de tangencia.
23. Circunferencias Tangentes Exteriores.
x = 90 °
A
tangente
común
B
x
P
C
Q
r
18. Si: AM = MB , P y Q son centros.
24. Circunferencias Secantes.
A
x = 90 °
A
M
Q
P
B
x
r
R
R - r < PQ < R + r
B
Q
P
PQ = R + r
25. Circunferencias Ortogonales.
19. Si: “P” es punto de tangencia.
PQ = R 2 + r 2
AB // CD
C
B
P
P
Q
R
r
D
A
26. Teorema de Poncelet.
20. Circunferencias Exteriores.
B
P
R
Q
r
R
AB + BC = AC + 2R
A
C
27. Teorema de Pitot.
B
PQ > R + r
C
21. Circunferencias Interiores.
AB + CD = BC + AD
A
P
R
Q
r
PQ < R - r
22. Circunferencias Tangentes Interiores.
232
D
28.Teorema de Steiner.
EJERCICIOS RESUELTOS
¼
1. Calcule x, si AB=BC =DE=FE y m ABC
C
D
B
CD - AB = AD - BC
29. P =
C
a) 60º
b) 70º
c) 40º
d) 30º
e) 50º
A
AB + BC + AC
= 120º .
D
B
x
o
2
E
F
A
M
B
SOLUCIÓN
C
N
D
C
A
60º o
B
MC = CN = P
60º
x
x
120º
x
E
F
30. Tangentes Comunes Interiores.
A
Como:
A
N
P
Þ
Q
M
<ABC = 120° à <BOC = <BOA = 60°
Los triángulos BOC y AOB son equiláteros luego,
ODEF es un rombo, donde
m< DEF = m< DOF = x à <DF = x
B
120º - x ...........(
x =
2
< exterior)
3x = 120º
\ x= 40º
AB = MN
31. Tangentes Comunes Exteriores.
2. La suma de las longitudes de los catetos de un
triángulo rectángulo es igual a 8u. Calcule la suma de
las longitudes de su inradio y de su exradio relativo a
la hipotenusa.
a) 8u
b) 12u
c) 4u
d) 16u
e) 6u
SOLUCIÓN
A
B
N
M
r1
AB = MN
r1
CUADRILATEROS INSCRITOS
El cuadrilátero inscrito es aquel cuyos cuatro vértices
pertenecen a una circunferencia.
r1 - a
r1 - a
a
r
m<A+m<C=180°
m<B+m<D=180°
B
b
r1 - b
r1
r1 - b
Dato: a + b = 8 ................(1)
Teorema de Poncelet:
C
2r1 - a - b + 2r
) = 2 (r1 + r )
a + b = r1 + r ...................(2)
a+b=
β
A
2
β
D
(a + b
(1) en (2)
233
\r1 + r = 8
3. Según
el
gráfico,
calcule
»C + m B
»C , si
mT
AB = BC
a) 120º
b) 150º
c) 180º
d) 100º
e) 90º
SOLUCIÓN
Dato:
B
Perímetro=20
Teorema Pithot
BC + AD = AB + CD = 10
C
® Base media = BC+ AD = 5
2
D
A
EJERCICIOS PROPUESTOS
SOLUCIÓN
2a
b
1. Los segmentos de una cuerda que se corta con otra
miden 8m y 9m. Hallar los segmentos de la otra,
sabiendo que uno es el triple del otro.
a
2b
a
En la semi circunferencia el m
< TBC es recto
90º
=180º
a
AC
Y
BC
AC
en M y N respectivamente; luego se
BN ). Si AB = NC
m < ABC = 70º. Calcule m < HMN .
b) 20º
c) 15º
d) 18º
e)
N
6. OA y OB , son radios de una circunferencia de centro
“O”, sobre el menor arco AB se toma el punto F. Si el
ángulo AFB mide 130º, hallar la medida del ángulo
AOB.
a) 130º
b) 65º
c) 50º
d) 100º
e) N.A.
x
x x
A
M
4. Si AB es tangente y ADC pasa por el centro de una
circunferencia de centro “O”; hallar AB si: OA = 17 y
OD = 8.
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
5. Dos de los lados de un triángulo son 3m , 4m y la altura
relativa al tercer lado es 2m. Calcular el radio de la
circunferencia circunscrita.
a) 2m
b) 3m
c) 4m d) 5m
e) 6m
B
H
y
12º
SOLUCIÓN
70º
e) N.A.
intersecta
traza la altura AH (H en
a) 10º
d) 6 2 , 2 2
c) 2 6 , 6 6
3. La secante PCA pasa por el centro de la
circunferencia. Si PB = 24, PD = 8, PC = 6. Hallar el
diámetro de la circunferencia, sabiendo que PDB es
secante a la misma circunferencia.
a) 24
b) 25
c) 26
d) 30
e) 36
» = BC
» = 2a + 2b = 2 ( a + b ) =180º
TC
4. En un triángulo ABC, la mediatriz de
b) 6 6 , 6 6
2. Un punto P dista 2 pulgadas del centro de una
circunferencia de 7 pulgadas de radio. Calcular el
producto de los segmentos de toda cuerda que pase
por ese punto.
a) 40 pg2
b) 45 pg2
c) 90 pg2
2
2
d) 22.5 pg
e) 84 pg
El D ATC es isósceles.
»T = T
»C =2x; luego, en el gráfico
A
Þ
Þ
a) 2 6 , 2 6
C
7. En la figura, AE es diámetro y N es punto de
tangencia. Hallar el valor de “x”.
®
m S H A N = x …. (propiedad)
a) 15º
B
D B A N : Isósceles (AB=AN)
N
b) 18º
®
2x = 40º
c) 12º
2x
\
x = 20º
d) 20º
x
e) 10º
A
C
O
E
5. Una circunferencia se encuentra inscrita en un
8. En la figura adjunta P, Q, R, S y T son puntos de
trapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule la
tangencia. El B̂ mide 44º. Hallar el valor de “x”.
longitud de la base media de dicho trapecio.
a) 44º
B
a) 2,5
b) 5
c) 7,5
d) 10
e) 12
b) 68º
c) 22º
P
x
Q
234
T
W ANHM :
Inscriptible
A
S
R
C
d) 46º
e) 23º
9. En la figura: a + b = 136º. Hallar la medida del arco
AD.
a) 68º
A
b) 64º
M
c) 100º
a
b
d) 132º
C
e) 136º
D
10. Se
trazan
dos
circunferencias
tangentes
interiormente. Se traza el diámetro TB de la
circunferencia más grande; a partir del punto de
tangencia T. Desde B se traza una tangente a la
circunferencia menor hasta C, se une T con C y se
prolonga hasta cortar a la circunferencia mayor en D.
Si el arco BD = 50º, calcular:
* m Ð DCB
* m Ð CBT
a) 65º y 40º
b) 80º y 90º
c) 60º y 45º
d) 10º y 50º
e) 70º y 75
11. Desde un punto exterior a una circunferencia, se
trazan dos tangentes TA y TB . Por A se traza el
diámetro AC . Se une T con el centro “O” de la
circunferencia, esta recta la corta en D. Si el ángulo
TDC = 150º, calcular el ángulo ATB.
a) 40º
b) 50º
c) 60º d) 70º
e) 80º
12. En una circunferencia de centro “O” se traza el
diámetro AB y se prolonga una magnitud BC igual al
diámetro. Se traza la tangente CT . Si el ángulo ACT =
19º 28’ 16”. Calcular m Ð TAC.
a) 35º 15’ 52”
b) 36º 18’
c) 10º 20’ 15”
d) 36º 20’ 50”
e) N.A.
13. Haciendo centro en los vértices de un triángulo ABC
se trazan circunferencias tangentes exteriormente
dos a dos. Hallar el radio de la circunferencia menor,
si AB = 5, AC = 7 y BC = 8.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
14. Se da un triángulo rectángulo ABC. Se traza la altura
AH relativa a la hipotenusa. Si los radios de las
circunferencias inscritas en los triángulos rectángulos
BHA, AHC y BAC miden 3m, 4m y 5m,
respectivamente. Hallar AH .
a) 10m
b) 12m
c) 14m d) 16m
e) 20m
15. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si las
radios de las circunferencias inscritas y circunscritas
miden 4m y 13m.
a) 60m b) 80 m
c) 90 m d) 100m
e) 120m
235
PROPORCIONALIDAD
DE SEGMENTOS
Razón de Segmentos
APLICACIONES
TEOREMA DE MENELAO
RELACIONES
MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
Segmentos proporcionales
Teorema de Thales
a.c.e = b.d.f
TEOREMA DE CEVA
1) D CHB ~ D BHA ~ D ABC
2)
3)
APLICACIONES
Teorema de la Bisectriz interior
Teorema del Incentro
4)
a.c.e = b.d.f
5)
RELACIONES MÉTRICAS EN
EL TRIÁNGULO
OBLICUÁNGULO
6)
RELACIONES
MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Teorema de la Bisectriz exterior
Casos
Semejanza de Triángulos
236
CAPITULO - V
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :
v Reconocer las principales figuras cuyos segmentos asociados a ellas guardan propiedad de
proporcionalidad.
v Establecer ciertas relaciones entre las diferentes líneas que puedan existir en una determinada figura
v Dar a conocer las principales figuras, cuyos segmentos asociados a ellas guardan propiedad de
proporcionalidad.
v Establecer relaciones entre las diferentes líneas que puedan existir en una determinada figura.
v Usar los conceptos y propiedades básicas, así como los teoremas que existen para solucionar diversos
problemas que se puedan presentar.
PROPORCIONALIDAD:
AB
EF
PRINCIPALES TEOREMAS:
1.TEOREMA DE LAS PARALELAS EQUIDISTANTES
“Tres o más rectas paralelas y equidistantes determinan
sobre cualquier recta secante, segmentos congruentes ”.
=
BC
FG
=
CD
GH
También podría ser:
AC EG AB EF
=
;
=
CD GH BD FH
Casos Particulares
En el Triángulo ( EF // AC )
B
A)
a
m
a
E
Si L1 // L2 // L3 // L4
Entonces:
F
b
n
=
n
b
AB @ BC @ CD
EF @ FG @ GH
m
=
A
C
2.TEOREMA DE THALES DE MILETO.“Si tres o más rectas paralelas son cortadas por 2
rectas secantes, los segmentos determinados en la
primera
secante secante son proporcionales a los
segmentos determinados en la segunda secante”.
A
B
C
D
E
F
FB
G
BC
B) En el Trapecio
H
Si L1 // L2 // L3 // L4
Entonces
237
=
EB FB EB
;
=
BA FC EA
AB
CB
Si
6.TEOREMA DE MENELAO
“En todo triángulo al trazar una recta secante a dos
lados pero no paralela al tercer lado, se forman seis
segmentos consecutivos. Empezando.”
PQ//BC// AD
Entonces
x
=
m
y
=
n
B
AB
m
DC
b
3.TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
“En todo triángulo, los lados laterales a una bisectriz son
proporcionales a los segmentos determinados por la bisectriz
del lado opuesto”.
a
n
Prolongación
A
C
C
c
l
a.b.c = m.n.l
B
7.TEOREMA DE CEVA
“En todo triángulo al trazar tres
cevianas concurrentes,
empezando por cualquier vértice, se cumple que: El
producto de las longitudes de tres segmentos no
consecutivos es igual al producto de las longitudes de los
otros tres”.
b
a
m
A
n
F
a =m
b
n
a = b
m n
B
m
4.TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
“En todo triángulo una bisectriz exterior determina sobre la
prolongación del lado opuesto, segmentos proporcionales a
los lados laterales a dicha bisectriz”.
b
b
n
a
A
C
c
l
a.b.c = m.n.l
a =b
m n
C
8.TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA
BISECTRIZ INTERIOR.
B
a =m
b
n
a
B c
b
A
m
c
n
5. TEORÍA DEL INCENTRO
“En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en 2
segmentos que son proporcionales a la suma de las longitudes
de los lados laterales y al lado donde cae la bisectriz”.
a
m
A
C
n
9. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA
BISECTRIZ EXTERIOR.
C
a
B
I: Incentro del
C
I
F
c
ABC
b
b
x
a
A
A
CI = a + b
IF
c
238
c
B
m
n
DIVISIÓN ARMONICA DE UN SEGMENTO Dados un
segmento, dos puntos un sobre el y otro en su
prolongación lo dividen en media y extrema razón, si los
dos primeros segmentos parciales son proporcionales al
total y el tercer segmento parcial.
E
B
b°
b°
c
a
h
f
r
A
q°
a°
C
b
d
h1
r1
q°
a°
D
e
F
COROLARIOS:
1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen
un ángulo agudo congruente.
SEMENJANZA DE TRIANGULOS
DEFINICIÓN:
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos de
igual medida y la longitud de sus lados homólogos
respectivamente proporcionales.
Si :
2.
LADOS HOMÓLOGOS:
Se denomina así a los lados que se oponen a ángulos de
igual medida.
Ù
Ù
A@D,
entonces
ABC ~ DEF
Toda recta secante a un triángulo y paralela a uno de
los lados, determina dos triángulos semejantes.
CASOS DE SEMEJANZA:
Primer Caso :
Si tienen dos ángulos de igual medida.
Si
a°
a°
b°
3.- Todo triángulo es semejante al triángulo formado al
unir un vértice con los pies de las alturas trazadas desde
los otros dos vértices.
a.k
a°
a°
b
b.k
Tercer Caso :
Si tienen sus tres lados cuyas
respectivamente proporcionales.
a
entonces DMBN ~ DABC
b°
Segundo Caso :
Si tiene dos lados cuyas longitudes son respectivamente
proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados
de igual medida.
a
MN // AC
a.k
longitudes
son
El cuadrilátero APQC es inscriptible.
c.k
Ù
Ù
Ù
Ù
Luego : BPQ @ ACB y BQP @ BAC
b
b.k
NOTA :
En dos triángulos semejantes las longitudes de sus lados
homólogos son proporcionales, así como sus elementos
homólogos: alturas, bisectrices, medianas, inradios, etc.
v Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen
sus catetos proporcionales
239
2) Reemplazando los datos en (I):
Si :
3
BD
=
® BD = 9 .....
2
6
,
entonces DABC ~ DDEF
3)
v Todo triángulo es semejante al triángulo formado por
dos de sus lados y la ceviana relativa a uno de estos
lados, la cual forma con el otro un ángulo que es
congruente al ángulo del triángulo opuesto a dicho lado.
(II)
BDF (notable)
BF = BD 2 ...
(III)
4) (II) en (III)
®
BF = 9 2
2. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y DC = 5
a) 6
b) 8
a a
c) 9
d) 12
e) 15
Si
,
entonces DABF ~ DABC
SOLUCIÓN
aa
Si a dos rectas secantes se trazan dos rectas paralelas
estas determinarán triángulos semejantes.
M
N
B
1) Dato: BD = 4, DC = 5
2) Teorema de bisectriz
C
A
x 4
5
= Þ y = x ... (I)
y 5
4
Si
entonces DMNB ~ DABC
3) Teorema de Pitágoras en
ABC
y2 = x2 + 92 ...
4) (I) en (II)
2
EJERCICIOS RESUELTOS
æ5 ö
2
ç 4 x ÷ = x + 81
è
ø
1. En la figura, calcule BF si: A E = 3 , CD=6
EC
6 2
b) 7 2
B
a)
c)
8 2
d)
9 2
e) 12
9 x2
= 81
16
2
F
45º
45º
®
D
3. En la figura, calcule CF, si: AD=3 y DC=2.
2
A
1)
a
a
E
a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
C
SOLUCIÓN
Corolario de Thales:
AE
B D ...
=
EC
CD
x 2 = 144
x = 12
(I)
240
(II)
SOLUCIÓN
2
4
=
x 6+x
... Div. Armónica
4x = 12 + 2x
®
x= 6
5. En un cuadrilátero ABCD circunscrito a una
circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la
circunferencia en M y N respectivamente,
1)
intersecta a AC en P, si PC = 10, NC = 8
4; calcule AP.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
SOLUCIÓN
Dato: AD = 3, DC = 3 y
DC = 2
Teorema de bisectriz
2)
c
3 ... (interna)
=
a
2
(II)
4
A q
x
b
3x = 10 + 2x
x = 10
P
b
B
A
E
E
a
8
8
1)
Dato:PC = 10, AM = 4, NC = 8
2)
Trazar
3)
internos à m< MEC = α
Ángulo Seminscrito
CE // AD
q C
ángulos
alternos
»
· N = mBN
· M = mM N = a
mAM
2
4) D NCE es isósceles
F
C
10
a
Na
B
4. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y EC= 2
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 16
e) 8
M
a
3
5 + x ..División armónica
=
2
x
®
y AM =
D
(I)
c
5 + x ...(externa)
=
a
x
3) Igualando
MN
NC = EC = 8
5) D APM : D EPC
Caso AAA
SOLUCIÓN
B
a
b
d
b
x = 5
a
c
A
x 10
=
48x = 408
4
1)
2)
3)
4)
E
2 C
(6+x)
Dato: AE = 4 , EC = 2
Teorema de Ceva
ab (2) = dc (4) …
Teorema de Menelao
ab x= dc (6+x)…
x
EJERCICIOS PROPUESTOS
F
1. Se da un trapecio con bases 2m y 6m y con altura 4m.
Hallar la distancia del punto de intersección de los
lados no paralelos a la base mayor.
a) 2m
b) 4m c) 6m
d) 8 m e) 10 m
(I)
2. Se da un triángulo ABC cuyo lado BC mide 6m y la
altura AH = 4m. Hallar el lado del cuadrado inscrito
(II)
que tiene uno de sus lados en el lado BC del triángulo.
a) 2m
b) 2.4m c) 2.6 m d) 2.8 m e) 3m
Dividiendo(I) y (II)
241
3. Se da un triángulo ABC cuyos lados BC y AC miden
10m y 8m respectivamente. Por un punto D de AB se
traza DE paralelo a AC de modo que DE = EC – BE,
estando E en BC . Hallar EC.
a) 6 m
b) 8 m
c) 6.4 m
d) 6.8 m
13. Se da un triángulo rectángulo ABC cuyos lados miden
AB = 3m, AC = 4 y BC = 5m. Desde el punto medio M
del lado AC se baja MD perpendicular a BC y luego
se traza, DE perpendicular a AB . Hallar BE.
a) 2m
b) 2.04m
c) 6m
d) 20 m
e) 8.01 m
e) 10m
4. Se da un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D.
Las bases miden AB = 2 y DC = 8m. Hallar la altura si B
M̂ C = 90º. (M está a 1/3 de la altura).
a) 6m
b)
2m
c) 6 2 m
d) 8 m
14. Se da un triángulo ABC, en el cual se traza la
mediana AM , luego se construye el ángulo A M̂ D = B̂
y por D se traza una paralela DE al lado BC ,
cortando a AM en F. Hallar DF, si AF = 8m y FM =
2m.
a) 2m
b) 4m
c) 6m
d) 8m
e) 10m
e) 8 2 m
5. Se da un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D.
Las bases miden AB = 4 m y DC = 16 m. Hallar la altura
si las diagonales son perpendiculares.
a) 8 m
b) 10 m
c) 12m
d) 18 m
e) 20 m
15. Se da un paralelogramo ABCD. Por B se traza una
secante que corta a AC ( AC es diagonal) en E, a
AD en F y la prolongación de CD en G, de modo que:
BE = 3m y EF = 2m. Hallar FG
a) 2m
b) 2.5m
c) 8 m d) 10 m
e) 12 m
6. Se dá un rectángulo ABCD en el cual CD = 2AD. Por B
se traza BE perpendicular a AC . Hallar CE, si E está
en CD y ED = 6m.
a) 6m
b) 4m c) 2 m
d) 8 m
e) 10 m
7. Un cuadrado DEFG se halla inscrito en un triángulo
rectángulo ABC, de modo que FG pertenece a la
hipotenusa BC . Hallar el lado del cuadrado, si BF =
16m, GC = 25 m.
a) 10m
b) 20 m
c) 30 m
d) 60 m
e) 80 m
8. Se da un triángulo ABC, cuyos lados AB y BC miden
8m y 6m respectivamente. Sobre AB se toma el punto
D; si B Â C = B Ĉ D. Hallar AD.
a) 3m
b) 4m
c) 3,5 m
d) 8 m
e) 10 m
9. Se dan dos circunferencias cuyos radios miden 6m y
2m. si la circunferencia menor tiene su centro en un
punto de la mayor, hallar la distancia del punto de
intersección de la tangente común con el segmento que
une los centros, al centro de la circunferencia menor.
a) 2m
b) 3m
c) 4m
d) 8m
e) 10 m
10. Se da una circunferencia de centro “O” y de
diámetro AB . Se traza la cuerda RS que corta a OA
en P. Hallar el radio de la circunferencia, si AP = 2m,
PS = 8m y RB = 3 AS
a) 10 m
b) 13 m
c) 15 m d) 18 m
e) 20 m
11. Por el baricentro de un triángulo ABC se traza una
recta (B con C están a un mismo lado de la recta).
Hallar la distancia de C a la recta, si las distancias de
B y A a la misma son 4m y 6m respectivamente.
a) 2m
b) 4m
c) 6m
d) 8 m
e) 10 m
12. Se da un trapecio ABCD cuyas diagonales AC y BD
se cortan en E. Por B se traza una paralela a AD que
corta a AC en F. Hallar EF, si AE = 6m, EC = 15m y
CD > AB.
a) 2,4m
b) 3 m
c) 3,6 m
d) 8 m
e) 4,2 m
242
CAPITULO - VI
RELACIONES MÉTRICAS
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :
v
v
v
Conocer las principales relaciones entre las longitudes de las líneas asociadas a las figuras geométricas.
Aplicar correctamente cada teorema para solucionar los problemas.
Conocer las diferentes maneras de medir las longitudes de proyecciones de segmentos respecto a otro
elemento en los triángulos.
RELACIONES MÉTRICAS
A) RELACIONES MÉTRICAS EN EL
RECTÁNGULO
TEOREMA 2 (Teorema de Pitágoras)
“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
TRIÁNGULO
Elementos de un triángulo Rectángulo.
ayb =
Son las longitudes de los catetos
BC y AC .
AB
c
h
=
=
Es la longitud de la Hipotenusa
Es la altura relativa a la Hipotenusa.
m
=
Es la longitud de la proyección del cateto
sobre la hipotenusa.
BC
n
=
Es la longitud de la proyección del cateto
sobre la hipotenusa.
AC
TEOREMA 3
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura
relativa a la hipotenusa es igual al producto de las
proyecciones de los catetos sobre la misma”.
En la figura se cumple que:
2
h =m.n
- Los siguientes teoremas nos describen las principales
relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y
proyecciones de un triángulo rectángulo.
TEOREMA 1
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es
igual al producto de su proyección por la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
a2 = m. c
b2 = n . c
TEOREMA 4
En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es
igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa.
En la figura se cumple que:
244
> 90°
TEOREMA 5
“En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de
los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del
cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa”.
c2 > a2 + b2
NOTA: Un ángulo de los tres ángulos del triángulo es mayor que
90.
3)PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO
En el triángulo es importante conocer la proyección de
un lado sobre otro, para ello siempre se traza una
altura.
En la figura se cumple que:
1
1 = 1
2 +
2
2
a
b
h
- En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo,
la proyección de un lado sobre otro está contenido en
este último.
B. RELACIONES MÉTRICAS
OBLICUÁNGULO
EN
EL
TRIÁNGULO
1)TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Los triángulos que no son rectángulos, son oblicuángulos, luego
un triángulo oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo.
2)COMO RECONOCER SI UN
ACUTÁNGULO U OBTUSÁNGULO
TRIÁNGULO
ES
Se aplican las siguientes propiedades:
- Es Acutángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a
un ángulo agudo siempre es MENOR que la suma de los
cuadrados de los otros dos.
< 90°
c2 < a2 + b2
NOTA: Todos los ángulos del triángulo son menores que
90.
- Es Obtusángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone
a un ángulo obtuso siempre es MAYOR que la suma de
los cuadrados de los otros dos.
- En el triángulo obtusángulo: En el triángulo
obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado
245
sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se
debe prolongar este último.
otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre aquel”
Si " > 90º
5)TEOREMA DE LA MEDIANA
“En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados
laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de
la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae
la mediana”.
Así en la figura:
“mC” ’ es la mediana relativa al lado “c”.
Entonces:
a 2 + b 2 = 2mC2 +
C
mc
a
B
c2
2
b
A
M
c
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA
En todo triángulo, se cumple lo siguiente:
Si “x” es la proyección de la mediana
4)TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone
a un ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos
por la proyección del otro sobre aquel”.
CM
, entonces:
C
b
a
Si: " < 90º
B
P
x
M
c
A
1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.
En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se
cumple que: el producto de las partes de la primera cuerda es
igual al producto de las partes de la segunda.
TEOREMA 2
“En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un
ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los
Si
246
AB
y
CD
se cortan en P determinan los segmentos:
En
En
AB : AP = a; PB = b
CD : CP = c; PD = d
Luego
x 2 = a .c – m. n
D
A
a
a.b = c.d .
d
v TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo el cuadrado de la bisectriz exterior es
igual al producto de los segmentos que determina en el
lado opuesto menos el producto de los lados que forman el
vértice del cual se ha trazado la bisectriz exterior.
P
b
c
B
C
B
2.TEOREMA DE LOS SECANTES
Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una
misma circunferencia se cumple que: “la primera secante
por su parte externa es igual a la segunda, también por su
parte externa”.
En la figura se trazan:
B
D
C
A
b
A
C
m
x 2 = m. n – a .c
v TEOREMA DEL INCENTRO
Siendo I el Incentro, Tenemos:
a
b
P
c
α α
m
a
d
n
c
v TEOREMA DE HERON
En un triángulo oblicuángulo la altura relativa a uno de
sus lados es igual la doble de la inversa de dicho lado
multiplicado por la raíz cuadrada de los productos del
semiperimetro por las diferencias de este semiperimetro
con cada un de los lados .
Para calcular la altura de un D ABC:
T2 = a.b .
c
b
b
a
a
v TEOREMA (DE CHADÚ):
El cuadrado del lado de un triángulo Equilátero Inscrito
en una circunferencia equivale a la semisuma de los
cuadrados de las distancias desde un punto aferente P a
los vértices del triángulo; Es decir:
B
x
a
247
A
m
p=
h
v TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triángulo el cuadrado de la bisectriz interior es
igual al producto de los lados que forman el vértice del
cual se traza la bisectriz menos el producto de los
segmentos que determina en el lado al cual es relativa.
c
b
I
P
C
P
n
T
B
x
a
3.TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE
Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una
secante a una misma circunferencia, se cumple que: “la
tangente al cuadrado es igual a la secante por su parte
externa”.
En la figura PA es la tangente y PC la secante
Si: PA = T; PC = a; PB = b
Luego
a
c
Se han trazado desde P, las secantes PA y PC
PA = a ; PB = b
PC = d ; PD = c.
Luego a.b = c.d .
A
a
P
n
C
P
c
C
b
L
L
a
L
A
2
L =
Teorema:
De los triángulos equiláteros AEB y BFC construidos
exteriormente sobre un
D ABC.
a2 + b2 + c 2
2
ALGUNOS TEOREMAS ADICIONALES
TEOREMA I:
b
b
M
EC = AF = AO + BO + CO
N
EC = AF = a + b + c
Teorema:
De las distancias de un punto aferente "p" a los vértices
de un cuadrado inscrito ABCD.
P
Siendo M, N, P puntos medios de los lados:
b = 90º
TEOREMA II
De la circunferencia que pasa por los extremos de una
bisectriz interior de un D.
PA PB
+
= 2 -1
PC PD
Teorema (De Euler)
Para todo cuadrilátero donde
de sus diagonales.
a.c=b.d
MN
une los puntos medios
TEOREMA III
En todo triángulo, el producto de dos lados es igual a la
altura relativa al tercer lado multiplicado por el diámetro
de la circunferencia circunscrita.
a. b = 2Rh
a2 + b2 + c2 + d2 = D12 + D22 + 4MN
2
Teorema (De Rochat):
De los cuadrados de los segmentos que unen los puntos
medios de los lados opuestos de un cuadrilátero:
RELACIONES MÉTRICAS EN CUADRILÁTEROS:
Teorema de Vietta:
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible se cumple:
D1
D
2
=
bc + ad
ab + cd
2
2
AC + BD = 2 (x2 + y2)
MP= X Ù NQ = Y
248
EJERCICIOS RESUELTOS
SOLUCIÓN
a
a
1. En el trapecio ABCD donde las diagonales se
intersectan perpendicularmente B C / / A D , se
(
traza la altura CE siendo
= 2. Calcule CE.
a) 2 3
b) 3 2
c) 2
)
AE = 4, ED = 7 y BC
d) 6
6
e) 5
SOLUCIÓN
b
q
b
En el trapecio IPEQ
*
IBEC: (Teorema de Euler):
(BI )
+ (BE ) + (EC ) + (IC ) = (BC ) + ( IE ) + 4 (2 )
2
CP // BD
Se traza
*
Por paralelogramo BCPD:
2
(I E )
2
(BC // AD)
2. En el trapecio escaleno ABCD
(AC )
cumple:
se
+ ( C D ) = m . Calcule el producto
2
a) m
m
c)
3
m
d)
4
1
n
8
3
b) n
7
3
c) n
8
5
d) n
9
m
e)
6
C
D
(A D )
2
(B C )
2
+
+
(A B )
2
+
(C D )
2
(A
C
)
2
(B
+
D
)
2
+
(A
D
)
2
+
(B
C
)
2
=
- 2 A D gB C
2 A D g B C = 2 m - m ® A D gB C =
( IE )
2
a) 8
relativo
- (B C )
b) 12
a
BC
m
2
+ 4 (4 )
C
r
D
A
mide
6.
d) 16
y-x
en la figura mostrada.
x+ y
B
y
x
18
32
H
C
4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 240m, si
los catetos son entre sí como 3 es a 4. Hallar la
diferencia de los catetos.
a) 45
b) 46 c) 47 d) 48
e) 49
Calcule
5. Calcular la suma de las longitudes de las diagonales de
un rombo cuyo lado mide 25m y el radio del círculo
inscrito mide 12m.
2
c) 14
2
n
A
3. En el triángulo acutángulo ABC de incentro “I”,
excentro “ E” relativo a B C , el inradio mide 2 y el
exradio
B
a) 1/5
b) 1/7
c) 1/8
d) 2/5
e) 3/5
=
2
2
D
( IE )
2
= 16
3. Calcular el valor de
2
æ AD - BC ö
+ (B D ) + 4 ç
÷
2
è
ø
2
2
2
2
) + (B C ) + ( A B ) + ( C D )
(A C )
(A
= (B C )2 +
2
e) N.A.
A
Teorema de Euler:
(B C )
2
a)
AD - BC
2
*
2
2
2. Si ABCD es un cuadrado, hallar el radio del círculo.
SOLUCIÓN
B
-
( IE )
2
1. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 25m. si
la suma de los catetos es 35m. Calcular la proyección
del cateto menor sobre la hipotenusa.
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
de las longitudes de las bases.
b) m
2
+
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
x2 = ( 4) ( 9 ) ® x = 6
2
2
( IE )
BC = DP = 2
·
·
m ACP
= m AOD
= 90º
2
ACP: x = AE gED
6 - 2
4
=
= 2
2
2
OH =
*
*
q
e) 4
249
a) 70 m b) 69 m c) 68 m d) 67 m e) 66 m
6. En un cuadrado ABCD, por el vértice A pasa una recta
d) 8 cm
14. La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo
suman 162 m. Si el otro cateto mide 80m. Hallar la
hipotenusa.
a) 82 m
b) 68 m
c) 84 m
d) 90 m
e) 86 m
que corta a CD en E y a la prolongación de BC en F,
además AE = 2, EF = 6. Hallar el lado del cuadrado.
a)
8
17
17
b)
17 c)
8
n
d)
4 e) N.A.
17
16
7. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, las
diagonales se cortan en “O” y son perpendiculares. Si
15. Si: OA = 10, AB = 9 y OB = 17
Calcular R (T es punto de tangencia)
T
A
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
e) 5
AO = 3m, OC = 2m, hallar OD .
a)
6
3
b)
3 6
3
c)
5 6
5
d)
3 6
e) N.A.
2
8. Los lados de un triángulo rectángulo forman una
progresión aritmética cuya razón es 3m. Hallar el
perímetro del triángulo.
a) 36m b) 32m c) 28 m
d) 24m
e) 21 m
9. En la figura, hallar AB
O
R
A
x+5
C
x
x+2
B
H
a) 10
d) 15
b) 11
e) 9
c) 12
10. Los lados de un triángulo rectángulo miden: x, x + 7
y x + 8, calcular la hipotenusa.
a) 9
b) 12
c) 13 d) 15 e) 10
11. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 25m.
si la suma de los catetos es igual a 35m. Calcular la
proyección del cateto menor sobre la hipotenusa.
a) 8 m
b) 9 m
c) 10 m
d) 12 m
e) N.A.
12. Hallar HC en:
a) 13
b) 14
x+6
c) 15
d) 16
9
e) 18
A
B
x+7
C
H
13. En el gráfico adjunto, hallar “R” si:
AC = 13 cm, AD = 17 cm, EF = 10 cm
C
D
A
a) 5 cm
E
O
2R
b) 6 cm
F
e) 4 cm
B
c) 7 cm
250
B
Área del Triángulo
Relación entre áreas de Triángulos
rABM = Area rBMC
Sector circular:
A=
Área del Rombo
Área del Trapecio
Área =
A = p ( R2 – r2 )
251
CAPITULO - VII
ÁREAS DE REGIONES PLANAS
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
v Conocer las principales regiones planas.
v Calcular sus áreas en función a ciertas dimensiones de las figuras.
v Comparar las áreas de las regiones que presentan ciertas características
El área de una región plana es un número que cuantifica el
tamaño que tiene dicha región, de manera que las regiones
más grandes tienen mayor área.
La unidad de área utilizada es igual al cuadrado de la
unidad de longitud, por ejemplo: 1 mm2 , 1m2, 1Km2, etc.
Dicha unidad se representa como un cuadrado cuyo lado
es la unidad de longitud.
El área de una región es igual a la cantidad de veces que la
unidad de área está contenida en dicha región.
Así por ejemplo, si la unidad de área es 1 cm2, entonces el
área del rectángulo mostrado es igual a 40 cm 2.
cuadrado y un círculo son equivalentes entonces sus áreas
son iguales.
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
1.- TEOREMA FUNDAMENTAL :
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de
la longitud de un lado por la altura relativa
D
D
RECTÁNGULO
ACUTÁNGULO
Unidad de área
h
S
S
b
El estudio de las áreas de las regiones planas es bastante
amplio y complejo. En el presente capítulo estudiaremos
solamente las áreas de las diferentes regiones poligonales
y circulares. En la práctica es común el cálculo del área de
un terreno, el área de una pizarra, el área del tablero de
una mesa, el área de una pared, el área de una carretera,
etc.
A continuación se definen algunos términos básicos.
Región triangular. Es la superficie plana limitada por un
triángulo.
D
h
b
OBTUSÁNGULO
S=
h
S
b
2.-ÁREA
DE
UNA
REGION
TRIÁNGULAR
EQUILÁTERA
El área de un triángulo equilátero es igual al cuadrado del
lado multiplicado por
Región poligonal. Es aquella región que está formada por
un número finito de regiones triangulares. Siempre una
región poligonal se puede descomponer en un número
finito de regiones triangulares.
3
4
ó también es igual al cuadrado
de la altura multiplicado por
l
Figuras equivalentes. Dos figuras se denominan
equivalentes si tienen igual área. Las figuras equivalentes
pueden tener o no la misma forma. Por ejemplo si un
h
l
252
3
.
3
S=
l
S=
7.- ÁREA DE UNA
REGION UN TRIÁNGULAR
RECTÁNGULAR
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de
las longitudes de los segmentos determinados en la
hipotenusa, por la circunferencia inscrita al triángulo.
3.- ÁREA DE LA REGION TRIÁNGULAR EN
FUNCION DE SU ÁNGULO
El área de una región triangular es igual al semiproducto
entre dos lados multiplicado por el seno del ángulo
formado por dichos lados.
a
S=
S
a
S = AP x PC
Sen q
b
4.- ÁREA DE LA REGION TRIÁNGULAR EN
FUNCIÓN DE SUS LADOS
El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada
del producto entre su semiperímetro y las diferencias de
éste con cada uno de sus lados.
Donde:
a
TEOREMAS PARA RELACIONAR LAS ÁREA DE LAS
REGIONES DE DOS TRIANGULOS
Estos teoremas nos permiten relacionar las áreas de dos
triángulos que tienen algún elemento en común, el cual
puede ser un ángulo, un lado, una altura, etc.
1.- La relación de las áreas de dos triángulos que tienen
una altura común, es igual a la relación de las bases.
P=
b
S
B
Los triángulos ABP y
PBC tienen una altura
común BH, luego
c
S
S=
5.- ÁREA DE LA REGION TRIÁNGULAR EN
FUNCION DEL CIRCUNRADIO
El área de una región triangular es igual al producto de
sus tres lados entre el cuádruplo de su circunradio.
A
H
C
P
COROLARIOS:
v La ceviana de un triángulo determina dos regiones,
cuyas áreas son proporcionales a los segmentos
determinados en el lado opuesto.
S=
a
A1
A2
b
R
A1
c
6.- ÁREA DE LA REGION TRIÁNGULAR EN
FUNCIÓN DEL INRADIO
El área de una región triangular es igual al producto entre
su inradio y su semiperímetro.
a
b
A2
a
b
· La mediana determina en la región
triangular
dos
regiones
equivalentes.
S = p. r
r
=
A1
Donde: p es el semiperímetro
del triángulo.
a
v
253
A1 = A2
A2
a
Las medianas en un triángulo determinan seis
regiones equivalentes.
· Todo triángulo es dividido en seis
triángulos equivalentes por sus
tres medianas.
B
S
P
S
A
v
B2
B1
S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6
c1
~
h1
S=
S
S
b1
A2
Q
SS S
G
c2
A1
h2
b2
C2
a2
C1
a1
C
Baricentro
R
En todo triángulo, al trazar las bases medias se
determinan cuatro regiones triangulares equivalentes.
B
A1 = A2 = A3 = A4
v
A1
A3
A2
Si los ángulos a y a son
congruentes o suplementarios,
se cumplirá que:
A4
A
La relación de las áreas de dos triángulos que tienen
un ángulo común es igual a la relación de los productos
de los lados que forman dichos ángulos.
C
En todo triángulo, si se une el baricentro con los 3
vértices se determinan 3 triángulos equivalentes.
B
A1 = A2 = A3
A1
G
A2
AREA DE REGIONES CUADRANGULARES
ÁREA DE UN TRAPEZOIDE:
Las siguientes propiedades son válidas para cualquier
cuadrilátero, es decir para cualquier polígono que tenga
cuatro lados.
v El área de un trapezoide es igual al semiproducto de
las diagonales por el seno del ángulo que forman las
diagonales.
A3
A
v
C
En todo triángulo se cumple que las áreas de los
triángulos formados al trazar una bisectriz interior,
son proporcionales a los lados concurrentes con dicha
bisectriz.
Si
es
una
bisectriz
interior
entonces:
S=
v
v
Si dos triángulos (dos polígonos en general), son
semejantes, sus áreas son entre sí como los
cuadrados de cualquier par de elementos homólogos.
254
sen q
El área de una región trapezoide de diagonales
perpendiculares, es igual al semiproducto de las
diagonales. Esta propiedad es válida también en el
rombo y en el cuadrado
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
§
L
El área de una región paralelográmica
es igual al
producto de dos lados consecutivos multiplicado por
el seno del ángulo formado por dichos lados.
D
L
S=bxh
S = a.b.Senθ
2
S=L
S=axb
S=
§
S=Lxh
En todo cuadrilátero:
S2
S
Þ S1 . S2 = S2 . S4
S3
S1
PROPIEDADES SOBRE
PARALOGRÁMICAS
S
ÁREAS
S
S
S
S
DE
REGIONES
S
S
S4
ÁREA DE UNA REGION TRAPECIAL
Ø El área de un región trapecial es igual al producto
entre la altura y la semisuma de las bases.
S=
PROPIEDADES
TRAPECIALES
SOBRE
ÁREAS
ÁREA DE CUALQUIER REGIÓN POLIGONAL.
Para determinar el área de cualquier región poligonal, ésta
se descompone en regiones conocidas, por ejemplo:
triángulos, rectángulos, cuadrados, etc.; luego se suman
las áreas de dichas regiones.
h
DE
El área de la región poligonal es
REGIONES
S = S1 + S2 + S3
2.- ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL REGULAR.
El área de una región poligonal regular es igual al producto
entre su semiperímetro y su apotema.
El área de la región
poligonal regular es:
ABCD: Trapecio
S2 = S1 x S2
S
ABCD
S = p .a
S=
=
Siendo "p" el semiperímetro del polígono y "a" el apotema.
Además, el área de la región poligonal es:
R2
æ 360° ö
S=n
sen ç
÷
2
è n ø
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
Las siguientes propiedades son válidas en todo
paralelogramo, es decir, en todo cuadrilátero que tenga
dos pares de lados paralelos. Por lo tanto serán válidas
para un rectángulo, un cuadrado y un rombo.
§
El área de una región paralelográmica es igual al
producto entre un lado y la altura relativa a dicho
lado.
Siendo "R" el radio de la circunferencia circunscrita al
polígono y "n" el número de lados del polígono.
255
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
1.- ÁREA DE UN CÍRCULO.
El círculo es la región limitada por una circunferencia.
Para calcular su área sólo es necesario conocer su radio.
S=
S=
2
2
a( R -r )
(m + n) (R – r )
S = p R2
a en radianes
m y n son las longitudes
de los arcos AB y CD
5.- ÁREA DE UN SEGMENTO CIRCULAR.
Un segmento circular es una región limitada por una
cuerda de una circunferencia y el arco que subtiende
dicha cuerda. Para determinar su área es necesario
conocer la medida del ángulo formado por los radios
trazados por los extremos de dicha cuerda y la longitud
de dichos radios.
2.- ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR.
La corona circular es una región limitada por dos
circunferencias concéntricas. Para calcular su área es
necesario conocer los radios de dichas circunferencias o
la longitud de una cuerda tangente a la circunferencia
menor.
2
2
S=p(R -r )
S=
S=
2
pR -
S=
3.- ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR.
El sector circular es una región limitada por dos radios de
una circunferencia y el arco que une sus extremos. Para
calcular su área es necesario conocer la medida del ángulo
que forman dichos radios y la longitud de estos o la
longitud del arco mencionado.
Sen a
6.- LÚNULAS DE HIPÓCRATES.
Las lúnulas de Hipócrates se forman cuando se construyen
círculos cuyos diámetros son los lados de un triángulo
rectángulo. A continuación se presentan los siguientes
casos:
2
pR
S=x+y
a En grados
sexagesimales
S=
aR
2
S=
l es la longitud del
arco AB
lR
EJERCICIOS RESUELTOS
a en radianes
1. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto
medio M de la diagonal AC. Calcule el área de la región
MBD sabiendo que las áreas de los triángulos ABD y
BDC miden 50m2 y 30m2
a) 10 m2
b) 9 m2 c) 8 m d) 15 m2
e) 20 m2
SOLUCIÓN
4.- ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR.:
El trapecio circular es una región limitada por dos
circunferencias concéntricas y dos radios de la
circunferencia mayor. Para determinar su área es
necesario conocer la medida del ángulo que forman dichos
radios y las longitudes de los radios de las circunferencias
mencionadas.
C
A
B
2
p( R -r )
x
B
y
A
S=
2
x
+
a en grados sexagesimales
M
y+B
A
256
D
A D BMD = x + y
Piden:
SOLUCIÓN
AM = MC
®
A D ABM = A D BMC
A D AMD = A
2a
D DMCD
Datos:
A D ABD = 50 = 2 x + 2 y + A + B
A D BDC = 30 = A + B
20 = 2 ( x + y )
Restando:
\
a
30º + a
x + y = 10
2. en un triángulo ABC en AB y BC se ubican los
puntos “P” y “Q” respectivamente de modo que
AP
= 2(PB) y BQ = 2(QC). Calcule el área de la región PBQ,
si el área de la región ABC es 45cm2.
a) 5 cm2
b) 10 cm2
c) 15 cm2
d) 20 cm2 e) 25
2
cm
SOLUCIÓN
B
a
P
2s
Q
4s
3s
A
A D BCD = 8 =
®
ab = 20
ii)
A D BCA =
ab
sen53°
2
ab
sen30°
2
20 æ 1 ö
=
= 5 m2
2 çè 2 ÷ø
4. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en AC se
ubica el punto “P” y en el interior de la región PBC el
punto “D”. Siendo mÐABP = mÐPCD, BC = PC y
BP = PD = 4cm; calcule el área de la región BPD.
2b
2a
i)
b
C
a)
4 3 cm2
b) 4 cm2
d)
8 3 cm2
e) 8 cm2
c)
2 3
cm2
SOLUCIÓN
i)
A D APQ = 2 A D PBQ
ii)
A D AQB = 2 A D AQC
®
A DAQC = 3 S
a 90 - a
Dato:
®
\
9 s = 45
S=5
90
AD PBQ = 2 S = 2 (5)
2 (5 ) = 10 cm2
-a
a
a
D BECP :
3. En la figura, AC = CD, mÐCBD = 2mÐ BDA y el área de
la región triangular BCD es 8m2, calcule el área de la
región sombreada.
a) 4m2
b) 7m2
c) 3m2
d) 5m2
e) 6m2
Isósceles
®
®
m < PCD = m < DCB = a
PD = BD = 4
D B PD : Equilátero
\
A D BPD =
423
= 4 3 cm2
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el área de un triángulo conociendo el
perímetro 32 u, el radio exinscrito a un lado 4 u y
este lado 6u.
a) 20 u2 b) 30 u2 c) 40 u2
d) 50 u2 e) 60 u2
257
2. En un triángulo rectángulo se inscribe una
circunferencia, la cual determina sobre la hipotenusa
dos segmentos de 4m y 7m. Calcular el área del
triángulo.
a) 20 m2
b) 26 m2 c) 28 m2
d) 30 m2
e) 32
2
m
10. En un triángulo equilátero ABC de 2m de lado,
haciendo centro en cada vértice, y con un radio igual a
la mitad del lado se trazan 3 arcos. Calcular el área
comprendida entre los 3 arcos.
a) ( 3 - p/2)m2
2
AB y CD se cortan en O; calcular su área sabiendo
que las áreas de los triángulos AOB y COD miden 6m2
y 24 m2 respectivamente.
a) 50 m2 b) 44 m2 c) 54 m2 d) 49 m2 e) 56 m 2
12. Calcular el área de un trapezoide sabiendo que la
superficie del cuadrilátero formando al unir los puntos
medios de sus cuatro lados es 50 m2.
a) 200 m2 b) 150 m2 c) 100 m2 d) 75 m2 e) 1000 m2
13. En la figura adjunta, AB es diámetro y AM = MC
. Hallar el área de la región sombreada si el radio mide
r = 10m.
C
a) 10 p m2
b
2
M
b) 20 p m
5. En una circunferencia de diámetro AB , se traza la
cuerda CD , cortando a AB en E. Si el arco CB = 120º
y además CD = 10m y DA = 2m. Hallar el área del
triángulo ADC.
a) 5 m2
b) 6 m2
c) 7 m2
2
2
d) 8 m
e) 10 m
c) 30p m2
d) 80p m2
e) 60 p m2
6. Se da un triángulo ABC cuyos lados miden AB = 8m,
donde I es el incentro del triángulo ABC.
c) 8 m2
d) 3 21 /4 m2
A
18º
r
O
B
14. Un sector circular tiene perímetro “L”. El valor
máximo del área del sector, es:
a) L2/4
b) L2 c) pL2/4 d) pL2/16
e)
L2/16
BC = 11m, AC = 5m. Hallar el área del triángulo AIB,
b)
e) 15 m2
11. Si las diagonales AC y BD de un trapecio de bases
4. Dado un punto interior en un triángulo se trazan
paralelas a sus tres lados formándose tres
cuadriláteros y, tres triángulos. Si las áreas de los
triángulos parciales son 4 m2,
9 m2 y 16 m2. Calcule
el área total del triángulo.
a) 8 m2
b) 10 m2
c) 100 m2
2
2
d) 81 m
e) 90 m
a) 4 21 /4 m2
d) 0,10 m 2
c) 0,8 m
3. Las áreas de 2 triángulos de igual altura son entre si
como 3/5. calcular la base mayor, sabiendo que la
menor es 12m.
a) 10 m
b) 15 m
c) 18 m d) 20 m
e) 24 m
b) ( 5 - p/2)m2
21 m2
e) 18 m2
15. En la figura ABCD es rectángulo; I, incentro del D
ABC, área ABCD = 100 m2 . Hallar el área del
rectángulo QIPD.
7. Se da un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos son
AB = 15m, AC = 8m. Se traza la altura AH y la
bisectriz interior BD , las que se cortan en E. Hallar
el área del triángulo AEB.
a) 24,75 m2
b) 20,15 m2
c) 30,75 m2
2
2
d) 80,15 m
e) 60 m
8. En una circunferencia de radio “r” se trazan dos
diámetros perpendiculares y haciendo centro en los
puntos medios de cada radio sobre la perpendicular,
con radio igual a “r/2”, se trazan 4 circunferencias.
Hallar el área comprendida entre la circunferencia
grande y las cuatro chicas.
a) r2(p - 2)/2 u2
b) r2/2 u2
2
c) (p - 2)/4 u
d) r2(p - 2) u2
e) 8pr2 u2
B
C
I
A
a) 50 m2
9. Haciendo centro en cada uno de los cuatro lados de un
cuadrado se trazan semicírculos con un radio igual a la
mitad del lado. Si el lado vale “L”. Calcular el área de
las cuatro hojas formadas.
a) l2/2
b) l 2(p - 2)/2
c) p - 2
2
d) l /6
e) l2(p - 2)
258
P
Q
b) 80 m2
D
c) 70 m2 d) 60 m2
e) 100 m2
RECUERDE
SIEMPRE
PRISMAS Y PIRÁMIDES
sólidos limitados por una superficie prismática o piramidal y 2 planos
paralelos secantes ó 1 plano secante respectivamente
PRISMA
PIRÁMIDE
- IRREGULAR
- RECTO
PARALELEPÍPDO
- REGULAR
- OBLICUO
- IRREGULAR
- REGULAR
RECUERDE
SIEMPRE
CILINDRO
RECTO
OBLÍCUO
TRONCO DE
CILINDRO
259
CAPITULO - VIII
PRISMA Y CILINDRO
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :
Ø
Ø
Ø
Ø
Deducir las características principales del prisma .
Establecer las relaciones para el cálculo del área y el volumen del prisma.
Deducir las características principales del cilindro .
Establecer las relaciones para el cálculo del área y el volumen del cilindro .
POLIEDROS
1
Es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales
planos denominadas caras; a los lados de las caras se les
denomina ARISTAS del poliedro y al segmento que tiene
extremos; dos vértices que no pertenecen a una misma
cara se le denomina diagonal.
2
3
4
5
6
Vértice
c.
Diagonal
Poliedro Regular.- Todas sus caras son polígonos
regulares iguales.
Cara
Arista
Clasificación:
1)
2)
d. Poliedro Irregular.- Es aquel poliedro que no es
regular.
Por el número de caras: Se clasifican los poliedros
en tetraedros, pentaedros, exaedros,….
Según sus características:
a. Poliedro Convexo.- Si todos los ángulos diestro
son convexos; una recta secante lo corta siempre
en dos puntos.
1
TEOREMA DE EULER
En todo polígono se cumple que el número de caras mas el
número de vértices es igual al número aristas más dos
unidades
2
C+V=A +2
b. Poliedro Cóncavo.- Si tiene por lo menos un
diedro cóncavo. Una recta secante lo corta en
más de dos puntos.
Dónde: C = # de caras
V = # de
vértices
260
A
=
#
de
aristas
Propiedad:
Si un polígono esta formado de diferente número de lado,
el número de aristas se calcular de la siguiente manera.
A=
l
B
C
D
A
F
m1p1 + m2p2 + m3p3 + ........
2
G
E
Notación:
H
Exaedro Regular
ABCD – EFGH
Diagonal ( BH ):
Dónde:
m1 , m2 , m3 , …… es el número de lados de cada polígono.
p1 , p2 , p3 , …...… es el número de polígonos que nos dan.
BH = l 3
Volumen (V):
v = l3
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos
regulares iguales entre si:
Superficie total o Área (A):
A = 6l2
-Los ángulos y los diedros son respectivamente iguales
OCTAEDRO REGULAR.Sus caras son ocho regiones triangulares equiláteras
M
-Todo poliedro regular se pude inscribir o circunscribir en un
esfera donde el centro de las esferas viene a hacer el
centro del poliedro regular.
l
TEOREMA:
Solamente existen 5 poliedros regulares: tetraedro
regular, exaedro regular, octaedro regular, dodecaedro
regular, icosaedro regular.
·
Tetraedro Regular.- Sus caras son cuatro regiones
triangulares equiláteros
B
C
A
D
N
O
Notación:
l
Octaedro Regular
M – ABCD – N
Diagonal ( MN ):
MN = l 2
C
Volumen (V):
A
V=
G
B
Superficie total o Área (A):
Notación:
Tetraedro Regular O – ABC
Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)
OG =
A = 2l2 3
·
DODECAEDRO REGULAR
Sus caras son doce regiones pentagonales iguales.
l 6
3
Volumen (V):
l
l3 2
V=
12
Superficie total o Área (A):
A = l2 3
·
l3 2
3
Exaedro Regular.- Sus caras son seis regiones
cuadradas, también se le denomina cubo
261
# Dpoliedro = Número de diagonales del poliedro.
Volumen (V):
5l3
V=
2
47 + 21 5
10
A = 15l2
5+2 5
5
Cv2 = Combinación del número de vértices de dos en dos.
#dcaras = Número de diagonales de todas las caras del
poliedro.
A = # de aristas del poliedro.
Superficie total o Área (A):
PRISMA
Es el poliedro
donde sus caras son paralelas y
congruentes denominados bases y sus otras caras son
regiones paralelogramicas. Un prisma se nombra según la
cantidad de lados que tenga la base.
·
ICOSAEDRO REGULAR
Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras.
l
Ejm: Si la base tiene seis lados se le denomina Prisma
Hexagonal
Base
C
B
A
Cara
lateral
F
E
D
Altura
del
Prisma
Arista
lateral
I
H
Arista
básica
Volumen
5a 2
V=
6
J
G
L
7+3 5
2
K
Base
Notación: ABCDF – GHIJKL
Superficie total o Área (A):
CLASES DE PRISMA
Los prismas se clasifican según la inclinación de su arista
lateral con respecto al plano se de su base.
A = 5a 2 3
POLIEDROS CONJUGADOS
Dos poliedros son conjugados cuando el número de cada
uno de ellos es igual al número de vértices del otro.
·
El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es
decir en un tetraedro regular solamente se puede
inscribir una esfera u un tetraedro regular.
·
El exaedro regular y el octaedro regular son
conjugados, es decir en el exaedro regular solamente
se puede inscribir una esfera y el octaedro regular y
viceversa.
·
El dodecaedro regular y el icosaedro regular son
conjugados
Poliedro
#
caras
#
vértices
Tetraedro
4
4
6
Exaedro
6
8
12
Octaedro
8
6
12
Dodecaedro
12
20
30
Icosaedro
20
12
30
·
Prisma Oblicuo:
Tiene los cristales laterales oblicuas con respecto al la base.
* En la figura se tiene un prisma triangular ABC – DEF
C
A
Base
B
a
D
# Dpoliedro =
Base
F
E
* SR: Sección recta es perpendicular a todas las aristas.
En todo prisma se realizan los siguientes cálculos:
§ Área de la superficie lateral (ASL)
#
aristas
A SL = (2PSR ) × a
En donde:
2Psr: Perímetro de la sección recta.
a :Longitud de la arista lateral.
NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLIEDRO
C v2 - # dcaras
H
SR
§
Área de la superficie total (ABASE)
-A
A ST = A SL + 2( ABASE )
Dónde:
262
En donde:
ABASE: Área de la base
§
A
a
Volumen (V)
b
V = ( ABASE ) × H
En donde:
H : Altura
B
C
V = ( A ST ) × a
En donde:
ASR : Área de la sección recta
·
A
Área de la Superficie Lateral (ASL)
A SL = Areas de las caras laterales
Prisma Recto: Es el que tiene las aristas
perpendiculares a la base, puede ser triangular
cuadrangular, etc.; según sea la base.
Área de la Superficie Total (AST)
C
A ST = A SL + Area de A + Area de B
Base
B
a
h
En la figura se
muestra el prisma
recto ABC – DEF
Volumen (V)
V = ( Area de B) ×
Base
D
F
PARALELEPIPERO , RECTAEDRO
Paralelepípedo rectángulo ó Rectoedro ó Ortoedro: Es
aquel cuyas caras son regiones rectangulares.
E
* La arista es igual a la altura
·
A
En donde:
F
a
E
Área de la superficie total (AST)
*a,b,c®
rectangular
Área de la base
·
Volumen (V)
h :
G
H
Son dimensiones del paralelepípedo
* Tiene 4 diagonales las cuales son congruentes y de igual
longitud.
Diagonal (d)
d2 = a2 + b2 + c 2
V = ( A BASE ) × h
En donde:
D
b
A ST = A SL + 2( ABASE )
·
d
c
2PBASE : Perímetro de la base
a : longitud de la asista lateral
En donde:
ABASE :
C
B
Área de la superficie lateral (ASL)
A SL = ( A BASE ) × a
·
a+b+c
3
·
Altura
Superficie Lateral (ASL)
A SL = 2(a + b) × c
TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR RECTO
·
Superficie Total (AST)
A ST = 2(ab + bc + ec )
·
Volumen (V)
V = a×b×c
263
B
CILINDRO
r
Es aquel sólido geométrico comprendido entre sus
planos paralelos entre si y secantes a una superficie
curva cerrada denominada superficie lateral cilindro y
en los planos paralelos se determinan secciones planos
congruentes, las cuales se denominan
bases del
cilindro.
A
r
g
r
En la superficie lateral del cilindro se ubican
segmentos paralelos entre si y congruentes, cuyos
extremos son los puntos del contenido de las bases,
dichos segmentos se denominan generatrices.
Base
En la figura ABCD es
la sección axial del
cilindro recto:
C
r
D
Desarrollo de la superficie lateral de un cilindro
circular recto.- Es el desarrollo del al superficie lateral
del cilindro circular recto.
r
Altura
Generatriz
g
g
Superficie Lateral
Base
r
2pr
.
CILINDRO CIRCULAR RECTO O CILINDRO DE
REVOLUCIÓN
Es aquel cilindro recto cuyas bases son circulares.
También denominado Cilindro de Revolución porque es
generado por una región rectangular al girar 360° en
torno a uno de su lados.
SL = 2prg
.
Área de la Superficie Total (ST)
ST = 2pr (g + r )
.
Volumen (V)
V = pr 2g
Eje de giro
r
h
Área de la Superficie Lateral (S L)
O1
r
h
CILINDRO OBLICUO
x
B
r
O2
g
Sección axial de un cilindro recto.- Toda sección
producida en un cilindro recto determinada por un plano
secante que contenga a los centros de las base del
cilindro se denomina sección axial, la cual generalmente es
una región rectangular.
SR
h
B
SL = (Perimetro de S × R) × g
ST = SL + 2 × AreaB
264
V = ( Area de S.R) × g
V = ( Area de B) × h
En donde:
SR : Sección Recta
ÁreaB : Área de la base B
h : Altura
g : generatriz
265
*
UÑA CILÍNDRICA: Es un parte del cilindro recto cuyo
plano no paralelo a la base corta al diámetro de dicha
base
TRONCO DE CILINDRO RECTO
B
O2
V =
G
Eje
2 R2 . h
3
g
EJERCICIOS RESUELTOS
O1
Base
Eje = Eje =
1. Un folder de dimensiones 4u y 8u se halla abierto
según muestra la figura; el ángulo que forman las caras
entre si mide 120°. Calcule PQ.
G+g
2
G : Generatriz Mayor.
g : Generatriz Menor
SL = (Perimetro de la base) × eje
S T = SL + Area de la base + Area de B
V = ( Area de la base) × eje
a)
3 7u
b)
4 7 u
c)
5 7 u
d)
6 7 u
e)
8 7 u
SOLUCIÓN
CILINDRO SEMEJANTES
Pitágoras
Ab1 R
2
V
PAQ
x =8 + 4 3
Ab r
g
(
2
h
G
V1
)
2
x2 = 64 + 48
H
x = 112
x=4 7
Entonces, se cumple que:
4 3
v
v
v
r
h
g
= = = ............. = K
R H G
Ab
r2
h2 g2
= 2 = 2 = 3 = ........... = K
Ab 2 R
H
G
2. Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular
cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82.
a) 4 000
b) 4 224
c) 4 424
d) 4 624
e) 4 864
SOLUCIÓN
V
r3
h3
g3
= 3 = 3 = 3 = ......... = K
V1 R
H
G
CUÑA CILÍNDRICA:
Es el tronco de cilindro cuya
generatriz mínima es nula
V =
p R2 . h
2
Piden:
A T = 2 ( ab + bc + ac) ………..(I)
Dato: d = 50 ……………………………(II)
a + b +c = 82………………………..(III)
Elevamos
(III)2
( a + b + c)
266
2
= ( 82 )
2
a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac ) = ( 82 )
(50)
+ A T = ( 82 )
2
A T = ( 82 ) - ( 50 )
2
2
2
2
æ Bh ö
Vx = 2 ç
÷ ………………….(I)
è 3 ø
Dato: VPRISMA = 4B (2h) = 120
Piden:
B h = 15
A T = 4 224
3. Calcule el volumen de un tetraedro regular de arista
En (I)
6
a)
2 3
6
b)
3
c)
d)
2 6
e)
æ 15 ö
Vx = 2 ç
÷ = 10
è 3 ø
5. Calcule el área total del sólido que resulta al unir los
puntos medios de las aristas de un tetraedro regular,
sabiendo que el área total del tetraedro es 18.
a) 6
b) 9
c) 3
d) 18
e) 4,5
SOLUCIÓN
5
SOLUCIÓN
6
A
6
A
æ
ç1
Piden: V =
ç3 ´
ç
è
EN LA BASE:
®
R =
( 6)
2
3
4
R 3 =
ö
÷
´ h ÷ ….(I)
÷
ø
4A
6
Pide: Área sólido= 4 A + 4 A =?
* 4A: Ubicados en las caras del tetraedro.
* 4A: Ubicados en el interior del tetraedro.
2
TEOREMA DE PITÁGORAS:
( ) ( )
h2 =
®
-
2
Dato:
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
ö
1æ6 3
´ 2÷
çç
÷
3è 4
ø
1. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro
circular recto es:
a) Un Triángulo
b) Un Cuadrado
c) Un Rectángulo
d) Un Rectángulo o un Cuadrado
e) Una Elipse
V= 3
4. Calcule el volumen del sólido cuyos vértices son los
centros de las caras de un prisma recto triangular de
volumen
4 ( 4A ) = 18
8A = 9
h=2
En (I)
V=
®
2
6
2. La sección no paralela a la base de un cilindro circular
recto es:
a) Un círculo
b) Una Elipse
c) Una Parábola
d) Una Hipérbola
e) Depende de la sección
120m3
a)
12 m3
b)
6 m3
d)
4 m3
e)
10 m3
c) 5
m3
SOLUCIÓN
B
B
4B
3. En un cilindro, la sección determinada por un plano que
contiene a su eje se denomina:
a) Sección Axial
b) Sección Transversal
c) Sección Recta
d) Sección Cortante
e) FD
4. Se tiene un cilindro equilátero cuando su sección axial
es un:
a) Cuadrado
b) Rectángulo
c) Paralelogramo
d) Trapecio Rectángulo
e) Rombo
2h
267
5. En todo tronco de prisma triangular la longitud del
segmento que une los centros de gravedad de sus
bases es igual a:
a) La semisuma de las longitudes de las aristas laterales.
b) La media geométrica de las longitudes de las aristas
laterales
c) El Semiproducto de las longitudes de las aristas
laterales
d) El promedio aritmético de las longitudes de las aristas
laterales
e) La tercer parte del producto de las longitudes de las
aristas laterales
6. La base de un prisma es un cuadrado de lado 2 y su
altura es igual al perímetro de la base. Hallar su
volumen.
a) 16
b) 32
c) 18
d) 9
e) 12
3 3
4 3
5 3
3
2 3
b)
c)
d)
e)
3
3
3
3
3
14. Los ángulos determinados por la diagonal de la base
de un rectoedro con el lado de la base y con la diagonal
del rectoedro miden 37º y 53º respectivamente.
Calcular el área de la superficie lateral del rectoedro
si su diagonal es 25.
a) 820 b) 840
c)850
d) 830
e) 860
a)
15. Las diagonales de
Calcular su volumen.
a) 240
b) 200
7. Hallar el área lateral de un prisma regular triangular,
si su arista lateral mide 4 y su arista básica mide 2.
a) 12
b) 10
c) 18
d) 24
e) 30
8. Halar el volumen de un rectoedro cuyas dimensiones
son 3, 4 y 5
a) 30
b) 20
c) 60
d) 90
e) 45
9. Calcular el volumen de un rectoedro (en m3) cuyas 3
dimensiones se hallar en progresión aritmética, suman
18m. y el área total del sólido es 208m2.
a) 96
b) 192
c) 208
d) 104
e)
144
10. Hallar el área total del cubo en el cual la diagonal de
una cara mide 18m.
a) 972 m 2
b) 952 m 2
d) 872 m 2
e) 652 m 2
c) 836 m 2
11. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular
regular recto de 20m. de altura si la diagonal de la
base mide 2 7 m .
a) 120 m 3
b) 280 m 3
d) 320 m 3
e) 340 m 3
c) 240 m 3
12. La altura de un prisma triangular es igual al diámetro
de la circunferencia circunscrita a su base.
Determinar el volumen de dicho prisma si el producto
de los lados de la base es igual a “P”.
a) 2 P
b) 4 P
c)
P
2
d) P
e)
tres caras diferentes de un
paralelepípedo rectangular miden
P
4
13. En un prisma hexagonal regular su volumen es
numéricamente igual al área de su superficie lateral.
Calcular el radio de la circunferencia circunscrita a su
base.
268
c) 280
61 ,
d) 210
74 y
85 .
e) 230
PIRÁMIDE REGULAR
V
F
E
h
A
D
O
B
O
VH
ap
H
C
ZONA ESFÉRICA
: centro de la base
: Apotema de la pirámide
Área de la Superficie Lateral: ASL = (pbase) . ap
Área de la Superficie Total:
AST = ASL + ABASE
Volumen:
V=
A BASE h
3
CONO CIRCULAR RECTO
O
360°
CASQUETE ESFÉRICO
g
g
h
h
r
r
HUSO ESFÉRICO
Área de la Superficie Lateral:
ASL = p r g
Área de la Superficie Total:
AST = p r (g + r)
Volumen:
V=
p r2 h
3
CUÑA ESFÉRICA
ESFERA
269
CAPITULO - IX
PIRÁMIDE – CONO – ESFERA
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
Ø Deducir las características principales de la Pirámide.
Ø Establecer las relaciones para cálculo del área y el volumen de este sólido.
Ø Deducir las características principales del cono.
Ø Establecer las relaciones para cálculo del área y el volumen de este sólido.
Ø Conocer y deducir las características principales del sólido propiamente dicho.
Ø Establecer relaciones para el cálculo del área, volumen y demás elementos de una esfera.
PIRÁMIDE
-
PO : Altura de la pirámide; “O” es el pie de dicha
altura y centro del polígono regular.
a: Medida del diedro formado por una cara lateral
con la base.
En toda pirámide se cumple:
Es un polígono limitado por una región poligonal llamada
base y en su parte lateral limitada por regiones triangular
consecutivas quien tiene un vértice común, el cual a su vez
es el vértice de la pirámide.
En toda pirámide la perpendicular trazada desde su
vértice al plano de la base se le denomina altura de la
pirámide.
Notación: Pirámide O – ABCD
·
æ Semiperímetro ö
÷÷ × Apotema
SL = çç
è de la base ø
Nota: POM
O
Vértice
Área de la Superficie Lateral (S L):
( Ap)2 = (ap)2 + (OP)2
·
Altura
Arista
Aristabásica
ST = SL + Area de la base
D
lateral
A
Base
Arista
básica
Área de la Superficie Total (ST):
·
Volumen (V):
C
V=
B
Pirámide Regular:- Una pirámide es regular si sus aristas
laterales son congruentes y su base es un polígono regular.
En toda pirámide regular el pie de su altura coincide con
el centro de su base y la perpendicular trazada desde su
vértice a cualquiera de las aristas básicas se denomina
apotema. En la figura se muestra una pirámide regular:
( Area de la base ) × Altura
3
TRONCO DE PIRAMIDE REGULAR
Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones
poligonales regulares de modo que sus centros están sobre una
misma recta perpendicular a dichas bases.
Sus caras laterales son regiones trapeciales congruentes
entre si, la altura de cada una de ellas se denomina
apotema del tronco de pirámide.
P
C
B
Base 1
A
Apotema (Ap)
B
Apotema de Cara (Ap C)
C
O
A
D
E
F
D
h
M
Apotema (ap)
H
Apotema de Base (Ap B)
P – ABCD
Ap: Apotema de la pirámide (PM)
ap: Apotema del polígono regular ABCD (OM)
a
I
G
J
Base 2
L
270
K
El estudio sistemático de las pirámides y el circunscrito y
el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas
curvas, han conllevado a la obtención y subsiguiente
estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono,
el cual es muy parecido a una pirámide con la diferencia
de que su base es una región curva en lugar de una
poligonal.
Notación:Tronco de Pirámide Hexagonal Regular
ABCDEF – GHIJKL
æ Semiperímetro Semiperímetro ö
ç
÷
SL = ç
de la
+
de la
÷×a
ç
÷
base 1
base 2
è
ø
Vértice o
cúspide
ST = SL + Area 1 + Area 2
V=
(
Altura Area 1 + Area 2 + ( Area 1)( Area 2)
)
Altura
Superficie
Lateral
3
PIRAMIDES SEMEJANTES
Base
Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una
pirámide O – ABC, este determinara una sección MNL
(Sección Transversal) la cual será la base de otra
pirámide O – MNL semejante a la pirámide.
O
Cono de Revolución o Cono Circular Recto.Es aquel sólido geométrico generado por una región
triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus
catetos.
h
L
M
V
360°
N
Vértice o
cúspide
H
C
A
Superficie
Lateral
g
h
O
B
Si
r
DMNL // DABC
2)
3)
.
Área de la Superficie Lateral (S L)
OM NL
OL
h
=
=
=
= ......... (Dis tan cias)
OA BC OC H
S T(O - ABC )
V( O -MNL)
V( O - ABC )
=
=
(OM)2
(OA )2
(OM)3
(OA )3
=
=
(NL )2
(BC)2
(NL)3
(BC)3
=
=
(OL )2
(OC )2
(OL)3
(OC)3
Base
Nota: En un cono recto siempre se cumple:
h2 + r2 = g2
Luego se cumple:
ST( O -MNP)
r
Eje de giro
Þ Pirámide O – MNL ~ Pirámide O – ABC
1)
Generatriz
g
=
=
SL = prg
.
h2
Área de la Superficie Total (ST)
ST = SL + pr 2
H2
h3
.
H3
Volumen (V)
V=
CONO
271
( pR 2 ) × h
3
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DEL
CONO
El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector
circular cuyo radio es la generatriz del cono y su
superficie es equivalente a la superficie lateral del cono.
Area del cono mayor
(OA )2
=
Area del cono menor
( OP )
Volumen del cono mayor
Volumen del cono menor
=
2
=
(OA )3
3
(OP )
( OB )2
( OQ )
=
2
=
(OB )3
(OQ )
3
R2
r
2
=
H2
=
h2
R3
r
3
=
H3
h3
O
TRONCO DE CONO RECTO DE REVOLUCIÓN
g
g
g
r
g
q
h
g
R
r
q
R
=
360° g
SL = p(R + r ) × g
ST = SL + pR2 + pr 2
SECCIÓN AXIAL DE UN CONO CIRCULAR RECTO.
La sección axial de un cono circular recto es un triángulo
isósceles cuyos lados congruentes son dos generatrices
diametralmente opuestos ya que su base es un diámetro
de la base del cono y su vértice; el del cono.
V =
CONO OBLICUO
Es aquel cono en el cual su base pude ser círculos o elipses
y su altura cae en el extremo del plano de la base
AB = área de un elipse
O
a = radio mínimo de la elipse
b = radio máximo de la elipse
h = altura
V
g
g
H
r
h
a
b
AB
r
A
B
En la figura DAVB, es la sección axial del cono mostrado.
*
H× p
× (R 2 + r 2 + Rr )
3
SUPERFICE GENERADA DE UN CONO CIRCULAR
RECTO
CONOS SEMEJANTES
A
O
Área de la superficie
generada por AB
g
H
h
P
r
Q
B
H
R
R
TRONCO DE CONO 2da ESPECIE
r
A
b
R
B
H
Se cumple:
OA
OB R H
=
=
=
OP OQ
r
h
R
272
B
CASQUETE ESFÉRICO:
Es la Zona Esférica de una base.
Ø R =radio de la esfera
Ø h =distancia entre la base y un extremo del
diámetro.
SUPERFICE GENERADA DE UN TRONCO DE CONO
DE REVOLUCIÓN
r
A
Área de la superficie
generada por AB
g
H
R
B
HUSO ESFÉRICO:
Es la porción de la superficie esférica limitado por dos
semicircunferencia que tienen un diámetro común.
ESFERA
DEFINICIÓN: La esfera es el sólido limitado por una
superficie en la que todos sus puntos equidistan de un
punto fijo del espacio llamado centro.
ELEMENTOS:
R = radio de la esfera
C M = círculo máximo de radio R
Cm = Círculo menor de radio r.
d = distancia entre C M y Cm
R
R = Radio de la esfera
SÓLIDO ESFERICO
Es el sólido engendrado por la rotación completa a un
semicírculo alrededor de su diámetro.
R
CM
d
R
O
r
Observación:
C
m
El radio del C M es igual al radio de la esfera.
R = radio de la esfera. :
SUPERFICIE ESFÉRICA
Es la superficie generada por la rotación de una
semicircunferencia alrededor de su diámetro.
R = radio de la esfera
SECTOR ESFÉRICO : (Volumen esférico)
Es el sólido generado por un sector circular cuando gira
alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice.
A
R
ZONA ESFÉRICA:
Es la porción de superficie esférica
dos planos paralelos.
R
comprendido entre
o
h
B
R = Radio de la esfera
CUÑA ESFÉRICA:
Es una porción de la esfera sólida limitada por dos
semicírculos que tienen un diámetro común.
Ø
Ø
R = radio de la esfera.
h = distancia entre los centros de dos planos.
R = radio de la esfera
a = ángulos entre las semicircunferencias
273
( )
2
ANILLO ESFÉRICO:
Es la porción de esfera generada por la rotación de un
segmento circular alrededor de un diámetro.
B
R
R
A
VTotal
VTotal
2. Calcule la longitud de la altura de un casquete
esférico incluido en una esfera de 4cm de radio,
siendo su área la quinta parte del área de la
superficie esférica.
a) 1 cm
b) 1,5 cm c) 1,6 cm d) 2 cm
e) 2,5 cm
SOLUCIÓN
h
o
p 3 ´3
4
3
= p (1) ´ ( 2) + p (1) +
3
3
4p
4 p 19 p
= 2p +
+ 3p = 5p +
=
3
3
3
2
R = radio de la esfera
SEGMENTO ESFÉRICO
a) De dos bases : Porción de esfera comprendida entre
dos planos paralelos
V =
4
R=
b) De una base : Porción de esfera comprendida entre un
casquete esférico y su base
Dato:
1
Área de la esfera
5
1
4R 4( 4)
2 phR = 4 pR2 Þ h =
=
= 1,6
5
10
10
Acasquete =
V=
(
)
3. Dos planos perpendiculares son tangentes a una
esfera y la distancia entre los puntos de tangencia
es 3 2 cm. Calcule el volumen de la esfera.
a) 16 p cm3
b) 21 p cm3
c) 25 p cm3
3
3
d) 28 p cm
e) 36 p cm
SOLUCIÓN
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro de
revolución y un cono equilátero circunscritos a esta
esfera; calcule la suma de los volúmenes de los tres
sólidos.
13 p 3
19
p 3
26 p 3
a)
b)
c)
m
m
m
3
3
3
6p 3
d)
e) 14 p m3
m
3
3
SOLUCIÓN
R2
30º
1
1
60º
Dato:
1
R 2 =3 2 ÞR =3
4
3
VEsfera = p (3) = 36 p
3
1
60º
Piden:
R=
4. El área de un huso esférico es igual a la tercera parte
del área de la superficie esférica y el volumen de la
esfera es 36p m3. Calcule el área de la cuña esférica.
a)12 p m2
b) 16 p m2
c) 18 p m2
2
d) 21 p m
e) 25 p m2
3
VTotal = VCilindro + VEsfera + VCono
274
5. Hallar la longitud del radio de la base de un cono recto
de 210p de área lateral, si su generatriz mide 30m.
a) 1m
b) 3m
c) 5m
d) 7m
e) 9m
SOLUCIÓN
l=6
6. Hallar el área total de un cono recto de 12m. de
generatriz la cual forma 60º con la base.
Condición:
AHuso
=
Esférico
1
AEsfera
3
(
Área total de la cuña=
)
( )
p 32 ´ 120º
90º
+ p ( 3) =
2
10. En una pirámide regular hexagonal se conoce que el
área lateral es el doble del área de la base, el
circunradio de la base mide 4m. Hallar el volumen de
dicha pirámide.
1. Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuyo
apotema es igual a la arista de la base y su área lateral
es 128. Calcular la altura de la pirámide.
b) 8
c) 4 3
d) 6 3
e) 4
2. Una pirámide regular cuadrangular tiene como caras
laterales a triángulos equiláteros. El volumen del sólido
es de 4 ,5 2 . Hallar el perímetro de la base.
b) 6
c) 9
d) 12
a) 3
e) 18
3. Calcular el volumen de una pirámide hexagonal regular,
si la longitud de su arista lateral es el triple de su
arista básica y la longitud de su altura es
d)
8
e) 108 pm
9. Se tiene la pirámide cuadrangular regular R - GABY
de 12m. de arista básica. Determinar el área total de
dicha pirámide si el área de la región triangular RGB es
67,68m2.
a) 184m2
b) 284m2
c) 384m2
2
2
d) 484m
e) 584m
EJERCICIOS PROPUESTOS
6
4
6
d) 72 pm
c) 54 pm 2
2
8. Hallar el perímetro de la base de una pirámide
cuadrangular regular de 624m2 de área total. La
apotema de la pirámide mide 20m.
a) 18m.
b) 24m.
c) 32m.
d) 36m.
e) 48m.
12 p+ 9 p= 21p
a)
b) 36 pm 2
2
7. El radio de la base y la generatriz de un cono circular
recto miden 3m. y 5m. respectivamente. Hallar su
volumen.
a) 15 p
b) 12 p
c) 14 p
d) 11 p
e) 9 p
p R2 a 1
=
4 p R 2 ® a = 120º
90º
3
4
VEsfera = p R 3 = 36 p ® R = 3
3
a) 8 3
a) 18 pm 2
b)
e) 3
3 6
8
6
c)
2.
6
6
4
4. Una pirámide regular cuadrangular tiene una altura de
1.20m y cada una de las aristas laterales mide 1.30m.
Calcular el área de la proyección de una cara lateral
sobre la base de la pirámide (en m2).
a) 0.5
b) 0.2
c) 1
d) 0.25
e) 0.125
275
a) 48 m
3
b) 48 2 m 3
d) 96 m
3
e) 48 6 m 3
c) 48 3 m 3
ANGULO
TRIGONOMÉTRICO
Se genera cuando un rayo rota.
Su medida puede ser ilimitada
SISTEMA DE
MEDICIÓN
SISTEMA
SEXAGESIMAL
S = 180K
C = 200K
R = πK
SISTEMA
CENTESIMAL
CONVERSIÓN
SISTEMA
RADIAL
Para la medida de un ángulo:
S: nº de grados sexagesimales
C: nº de grados centesimales
R: nº de radianes
APLICACIONES
LONGITUD DE ARCO
L = θ. R
Donde: θ = nº de radianes
(sin unidad)
R = medida de radio
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
Donde:
θ = nº de radianes (sin unidad)
L = longitud de arco
R = medida de radio
276
TRAPECIO CIRCULAR
B
c
A
a
b
a
C
a
c
sen a = c ; csc a = a
b
c
cos a = c ; sec a = b
a
b
; cot a =
tan a =
a
b
277
278
279
CAPITULO - X
SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR - RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
Ø Conocer la medida de un ángulo en los diversos sistemas.
Ø Conocer el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia y sus diversas aplicaciones.
Ø Determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo
Ø Definir las condiciones que debe cumplir una identidad trigonometrica.
Ø Clasificar las identidades fundamentales.
Ø Identificar las diferentes situaciones problemáticas que se presenta
A continuación
medición angular.
SISTEMA DE MEDICIÓN ÁNGULAR
La trigonometría es parte de matemática.
Etimológicamente, la palabra trigonométricas proviene
delas palabras griegas gonos (ángulo), tri (tres) y
metrom (medida), de lo que puede deducir que trata de la
medida de los triángulos.
La medida de las distancias largas ha sido uno de
los problemas que el hombre ha buscado resolver con
ayuda de la matemática. La geometría ha resuelto en
parte este problema. El aporte de la trigonometría ha sido
fundamental en la resolución del problema sobre la
medición de distancia, porque ha establecido una relación
entre el ángulo y la longitud.
Aparte de la medición de distancia, las funciones
trigonométricas
han logrado modelar una serie de
fenómenos de carácter periódico, como la corriente
eléctrica, los latidos del corazón, las vibraciones del
sonido, de las ondas sísmicas, la luz etc.
ÁNGULO TRIGONOMETRICO
El ángulo trigonométrico se genera por la
rotación de un rayo alrededor de su origen (llamado
vértice) desde una posición inicial (llamado lado inicial)
hasta una posición final (llamado lado final)
sistemas
de
2.- SISTEMA CENTESIMAL
Denominado también Sistema Francés este
sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene al
dividir al ángulo de una vuelta en 400 partes iguales, a
esta unidad se le llama Grado Centesimal cuya medida se
representa así 1g
Equivalencias:
1 vuelta < > 400 g.
1 g. < > 100m. < > 10,000 s
1 m < > 100 s.
3.- SISTEMA RADIAL
Denominado también Sistema Circular o también
Sistema Internacional este sistema tiene como unidad a
un ángulo cuyo vértice está en el centro de una
circunferencia y que subtiende a un arco cuya longitud es
igual al radio de dicha circunferencia.
A esta unidad se llama RADIAN cuya medida se
representa así 1 rad.
1 vuelta = 2 p rad.
B
LADO FINAL
LADO INICIAL
tres
1.- SISTEMA SEXAGESIMAL:
Denominado también Sistema Inglés, este
sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene al
dividir al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales, a
esta unidad se llama Grado Sexagesimal cuya medida se
representa así 1o
Equivalencias:
1 vuelta < > 360°
1° < > 60' < > 3600 "
1' < > 60"
ORIGEN
O
veremos
A
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
La medición de un ángulo requiere de otro ángulo
como unidad de medida. La unidad de medida angular se ha
establecido principalmente con dos criterios dividiendo el
ángulo de una vuelta en partes iguales y utilizando la
relación del arco con el radio de la circunferencia.
R
q
R
280
q = 1 radian
Una rueda en rotación barre arcos cuyas
longitudes depende del número de vueltas que da la rueda
y la longitud del radio.
A continuación analizaremos tres situaciones
distintas.
1.- Rotación de una rueda sobre el plano:
CAMBIO DE UNIDADES DE MEDICIÓN ANGULAR
Sea el ángulo AOB cuyas medidas en grado sexagesimal es
S o, en grado centesimal es Cg y en radianes, R rad.
Debemos encontrar una relación entre ellos.
A
R
SO = C g = R rad
O
L=2
S : # de grados sexagesimales
C : # de grados centesimales
R : # de radianes
Rn
En cada vuelta barre la longitud de la circunferencia (2 p
R) en n vueltas barre 2 p Rn. Luego
B
RELACIONES PARTICULARES:
L=2
Rn
n = número de vueltas que da la rueda al desplazarse
L = longitud del arco barrido por la rueda
R = radio de la rueda
2.- Rotación de una rueda sobre una superficie
circular cóncava
m=
n=
p=
q=
r
# de minutos sexagesimales
# de minutos centesimales
# de segundos sexagesimales
# de segundos centesimales
a
R
LONGITUD DEL ARCO
En el número de radianes que mide un ángulo central es
igual al cociente de la longitud del arco que subtiende
entre el radio de la circunferencia que lo contiene.
Numero de Radianes =
q
R
3.- Rotación de una rueda sobre una superficie
circular convexa
Longitud del arco
radio
r
Si representamos con α el número de radianes que mide
el ángulo central tenemos.
R
r
L=q.R
R
r
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
A la porción sombreada de la figura, se le denomina
sector circular
R
Si el α es el ángulo central expresado en radianes, de una
circunferencia de radio r y si “S “denota el área de un
sector circular subtendido por α entonces:
L = longitud del arco
R = Longitud del radio
α = Medida del ángulo central en radianes
NUMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA Y LONGITUD
DE ARCO
SAOB =
281
RAZON TRIGONOMETRICA
Tan α =
Es el cociente que se obtiene al dividir las longitudes de
dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a
un ángulo agudo.
Ctan α =
Sec α =
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIANGULO
RECTÁNGULO ( R T )
Csc α =
En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90o y los otros
dos ángulos agudos a su lado mayor se llama hipotenusa y a
los lados menores se le llama catetos
B
Hipotenusa
Csc a =
c
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
=
Cateto Adyacente
Cateto Opuesto
Hipotenusa
Cateto Adyacente
Hipotenusa
Cateto Opuesto
=
c
b
=
H
C.A
a
30o
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS
COMPLEMETARIOS.
Cos
CO - RAZONES
B
Tan
60o
45o
1
3
2
2
2
3
1
2
2
3
3
a
b
su reciproca es Cscα =
c
b
c
a
b
Sen
A
C.O
a
c
Dado el triángulo rectángulo ACB
aï
þ
a
=
=
cü
ï
aï
o
ý Sec α = Csc β Þ α + β = 90
cï
H
=
b
RAZONES TRIGONOMETRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES
Para Calcular las razones trigonométricas de ángulos
notables, citaremos tres triángulos notables.
a
=
Hipotenusa
Ctan a =
Sec a =
b
Cateto Adyacente
Cos a =
Tan a =
=
bï
þ
b
C.O a
c
H
b
Cosα =
= su reciprocaes Secα =
=
H
b
C.A c
C.O a
C.A c
Tanα =
= su reciproca es Ctanα =
=
C.A c
C.O a
c
b
Cateto Opuesto
Sen a =
Senα =
a
A
ï
aï
o
ý Tan α = Ctan β Þ α + β = 90
aï
RAZONES TRIGONOMETRICAS
RECÍPROCAS
Una razón trigonométrica es inversa o reciproca de otra
si sus valores son uno el inverso del otro Aplicando esta
definición en el D ABC se obtiene los siguientes
resultados:
Si ACB es un triángulo rectángulo recto en C, las razones
trigonometrías de α se define:
c
bü
Ctan
C
3
3
3
2
2
2
1
1
3
2 3
Sec
bü
Sen α = ï
cï
o
ý Sen α = Cos β Þ α + β = 90
bï
Cos a =
c ïþ
3
2
2
2 3
Csc
282
2
3
2
37o
53o
3
4
5
5
4
3
5
5
3
4
4
3
4
3
3
4
5
5
4
3
5
5
3
4
1. ANGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos obtenidos en un plano vertical.
1.1 ANGULO DE ELEVACIÓN
Es el ángulo agudo que se forma por la línea de mira o
visual y la línea horizontal de un observador cuando el
objetivo está por encima de la línea horizontal.
1.4 ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos obtenidos en un plano horizontal.
Rosa Náutica o Brújula
Es el dispositivo que contiene a 32 direcciones llamados
rumbos y que la aguja magnética en la brújula marca la
dirección.
q ®R deelevación
Donde
OBSERVACIÓN:
Si en algún problema no se especifica la estatura del
observador. Entonces este será considerado como un
punto.
1.5 RUMBO:
Es la dirección de un punto tomado con respecto a otro
medido a partir del Norte o del Sur
·
·
El rumbo de P respecto de A es NyO.
El rumbo de R respecto de A es SθE
1.6 DIRECCIÓN: Es la posición de un punto con
respecto a otro
1.2 ÁNGULO DE DEPRESIÓN
Es el ángulo que se forma por la línea de mira o visual y la
línea horizontal de un observador cuando el objetivo está
por debajo de la línea horizontal.
·
lee
E 67º N
se
ìEste 67º Norte
í
î67º al Norte del Este
Donde y
Según el gráfico el punto A se encuentra en dirección
67º al norte del Este y a 8km del punto
®R de depresión
1.3 ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
Es aquel ángulo vertical que se forma por dos líneas de
mira tal que apuntan el uno a la parte superior y el otro a
la parte inferior del objeto.
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Todo ángulo trigonométrico tiene tres elementos:
LF
q
V
LI
Donde
LI = Lado Inicial, V = Vértice
LF = Lado Final
a ®R deobservación .
283
Observación:
v Si el sentido es horario el signo del ángulo es
negativo.
v Si el sentido es antihorario, el signo del ángulo es
positivo.
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS
CUADRANTALE
f (rad)
0 y 2p
p/2
p
3p / 2
f (grados)
0o y 360o
90o
180o
270o
Sen f
0
1
0
-1
Cos f
1
0
-1
0
Tan f
0
µ
0
µ
Ctan f
µ
0
µ
0
Sec f
1
µ
-1
µ
Csc f
µ
1
µ
-1
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN
POSICIÓN NORMAL
Sea α un ángulo trigonométrico en posición normal, (x; y)
un punto de su lado final y r
(r > 0) el radio vector de
dicho punto, entonces las Razones Trigonometrías de α ,
se definen como sigue:
REDUCCIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTICAS AL
PRIMER CUADRANTE
a r : ángulo de referencia del I cuadrante
f : ángulo a reducir
Fórmula General
RT f = ± RT a r
Casos:
a) Si a Î IIC Þ a r = 180º - a
b) Si f Î IIIC Þ a r = f - 180º
c) Si f Î IV C Þ a r = 360º - f
Rt (p ± a) = ± Rt a entonces:
Rt (180º ± a) = ± Rt a
Rt (2p ± a) = ± Rt a entonces :
Rt(360º ± a)= ± Rt a
Rt (p/2 ± a) = ± Co-Rt a entonces :
Rt(90º ± a) = ± Co-Rt a
(x,y)
y
r
a
x
SIGNOS DE LA RAZONES TRIGONOMETRICAS
Desde que las razones trigonometrías depende de dos
cantidades: abscisa, ordenada y / o radio vector ,
reconocemos que la R.T tienen un signo que viene dado por
la combinación de los signos que posean las cantidades de
las que ellas dependa. Es oportuno sintetizar todas estas
combinaciones posibles en los siguientes esquemas lo
mismo que se constituyen en una regla práctica.
Así se concluye que:
a) En el IC todas las R.T son positivas
b) En el IIC sólo son positivas el seno y la
cosecante.
(+) Sen -Csc
(+) Tan - Cotan
æ 3p
ö
± a ÷ = ± Co-Rt a entonces :
è 2
ø
Rt ç
Rt (270º ± a) = ± Co-Rt a
a : ángulo agudo
Cuando a > 360°
a ¸ 360º = n x 360º ± A
n : # de vueltas
A : ángulo buscado
Si A > 90° o p / 2 se reduce al 1er cuadrante utilizando
cualquiera de los casos.
(+) Todas
Nota :
El signo depende del cuadrante en que se ubica la RT.
inicial
Ejemplo:
Sen 570º = Sen 210º Þ 210º Î IIIC
ar = 210º – 180º = 30º
Signo = Sen está en el III C Þ (-)
(+) CosSec
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
NEGATIVOS
Sen (- a) = - Sen a
Cos (- a) = Cos a
Tg (- a) = - Tg a
Ctg (- a) = - Ctg a
Sec (- a) = Sec a
Csc (- a) = - Csc a
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
La columna vertebral de la trigonometría la constituyen
las identidades trigonométricas sin las cuales seria
materialmente imposible reducir o simplificar todas las
284
fórmulas trigonométricas en especial las de ángulo
compuestos, ángulos múltiples etc.
IDENTIDAD:
Una identidad de dos expresiones matemáticas que al
asignar cualquier valor real a sus variables siempre se
obtiene una igualdad numérica.
Designamos con este nombre a aquella igualdad entre
Razones trigonométricas que se verifican para todo valor
admitido de su variable angular.
Las Identidades trigonométricas para un mejor estudio,
se clasifican en cuatro grupos:
·
Identidades fundamentales
·
Identidades de Arco Compuesto
·
Identidades de Arco Múltiple ( doble, mitad y triple )
·
identidades de la suma o diferencia de seno y coseno
a producto y viceversa
( transformaciones
trigonométricas)
Cos x . Sec x
=1
·
1- Cos x
Sen x
=
Sen x
1 - Cosx
1.
Se debe conocer las identidades fundamentales ,
es decir las identidades reciprocas , de cociente y
pitagóricas
2.
Si uno de los lados de la identidad parece más
complejo que el otro. Intente simplificar el lado mas
complejo y transformarlo, paso a paso, hasta que se vea
exactamente como el otro de la identidad. Este paso
podría ser mas sencillo si escribe de nuevo todas las
expresiones trigonométricas en términos de seno y
coseno.
Ejemplo 1 :
Demuestre la siguiente identidad:
Tan x + Ctan x = Secx.Cscx
Resolución:
Tan x + Ctan x = Secx.Cscx
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
IDENTIDADES RECÍPROCAS:
=1
Cot2x – Cos2 x = Cot2x.Cos2 x
TIPO DE PROBLEMAS
SOBRE IDENTIDADES
FUNDAMENTALES
Se podrá indicar la siguiente clasificación:
I.- Demostración de identidades:
IDENTIDAD TRIGONOMETRICA
Sen x. Csc x
·
Senx
Cosx
+
Cosx
Senx
2
2
Sen x + Cos x
IDENTIDADES DE COCIENTE:
Cosx.Senx
1
Tan x =
Cosx.Senx
= Secx.Cscx
= Secx.Cscx
= Secx.Cscx
Secx.Cscx = Secx.Cscx
Ctan x =
II.- Problemas de simplificación o reducción:
Significa , simplificar la expresión a su mínima expresión
con ayuda de las identidades fundamentales y las
auxiliares
IDENTIDADES PITAGÓRICAS:
2
Ejemplo 1 :
Reducir la expresión:
M = (RCosx)2 +( RSenx.Cosy)2+(Rsenx.Seny)2
Resolución:
Factorizando: (Rsenx)2
M = (RCosx)2+ (RSenx)2(Sen2y Cos2 y)
M = (RCosx)2+ (RSenx)2(1)
M= R2 (Sen2x + Cos2 x)
M = R2
2
Sen x + Cos x = 1
2
2
1 + Tg x = Sec x
IDENTIDADES AUXILIARES
Conociendo las identidades fundamentales y mediante el
uso de identidades algebraicas se demuestran las
siguientes identidades:
·
Sen4 x + Cos4 x º 1 - 2 Sen2 x . Cos2 x
·
Sen6 x + Cos6 x º 1 - 3 Sen2 x . Cos2 x
·
III.- Problemas con condición:
Para este tipo de problemas la expresión que se pide
calcular depende de la condición, por tanto se recomienda
poner la expresión que se pide calcular en términos de la
condición ó viceversa. También, si fuese posible, se puede
calcular el valor de una razón trigonométrica de la
condición y utilizarlo en la expresión que se pide calcular.
Ejemplo 1:
1± 2Senx ± Cosx = |Senx ± Cos x |
·
1+ Sen x
Cos x
=
Cos x
1- Sen x
·
·
·
Sec2 x + Csc2 x = Sec2 x .Csc2 x
( Senx ± Cosx)2 = 1 ± 2Senx.Cosx
Tan2 x – Sen2 x = Tan2 x .Sen2 x
285
Si Sec x + Tan x = 2
Calcular el valor de Sec x
Resolución:
De la identidad pitagórica
Sec2 x = 1 + Tan2 x
Sec2 x – Tan2 x = 1
(Secx+ Tanx)( Secx- Tanx) = 1
2 (Secx- Tanx ) = 1
Secx – Tanx = 1 / 2
Sec x + Tan x = 2
2Sec x = 5 / 2
Sec x = 5 / 4
FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA DIFERENCIA
DE DOS ÁNGULOS
Sen(a - b) = Sen a Cos b – Cos a Sen b
Cos(a - b) = Cos a Cos b + Sen a Sen b
Tan(a - b) =
Ctan(a - b) =
III.- Problemas de la eliminación de la variable
angular:
Dadas las condiciones de la variable angular se
puede eliminar efectuando operaciones algebraicas con las
condiciones, de modo que conduzca a la eliminación de la
variable angular.
Ejemplo 1:
Eliminar el ángulo “f “ a partir de :
Sen f + Cos f = a …….. ( I )
Sen f. Cos f = b ………( II )
Resolución:
Elevando al cuadrado (I)
(Sen f + Cos f )2 = a2
Sen2 f + Cos2 f +2 Sen f. Cos f =a2
1 + 2 Sen f. Cos f = a2
de la (II) obtenemos :
\ 1+2b=a
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA DE
TRES ÁNGULOS
Notación
Ø
Ø
ìS : Sen
í
îC : Cos
S(a + b + q) = SaCbCq + SbCaCq + SqCaCb - Sa
Sb Sq
C(a + b + q) = SaCbCq - CaSbSq - CbSaSq CqSaSb
Tan(α + β + θ) =
Tanα + Tanβ + Tanθ - Tanα .Tanβ . Tanθ
1 - TanαTanβ - Tanβ - Tanθ - Tanα - Tanθ
IDENTIDADES AUXILIARES
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO
COMPUESTOS
Empezaremos nuestro estudio analizando las funciones
trigonométricas seno , coseno , tangente y cotangente de
la adición y la sustracción de dos números o arcos dirigido
:
Sen(a + b) Sen (a - b) = Sen2 a - Sen2 b
Cos(a + b) Cos (a - b) = Cos2 a - Sen2 b
FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA SUMA DE
DOS ÁNGULOS
Sen (a + b) = Sen a Cos b + Cos a Sen b
Tan a + Tan b
=
Tan a - Tan b
=
Cot a + Cot b
=
Cot a - Cot b
=
Cos (a + b) = Cos a Cos b - Sen a Sen b
Tan (a + b) =
Ctan (a + b) =
Tana + Tanb + Tan(a+b) . Tana Tanb = Tan(a+b)
Si : a + b + q = 90° ® se cumple :
Tana . Tanb + Tanb . Tanq + Tana . Tanq = 1
Cota + Cotb + Cotq = Cota . Cotb . Cotq
Sen2a + Sen2b + Sen2 q = 1 – 2Sena . Senb. Senq
286
Cos2a + Cos2b + Cos2q = 2 (1+Sena . Senb. Senq)
IDENTIDADES AUXILIARES
Si : a + b + q = 180° ® se cumple :
Tana + Tanb + Tanq = Tana . Tanb . Tanq
Cota . Cotb + Cotb . Cotq + Cota . Cotq = 1
Sen2a + Sen2b - Sen2q = 2 Sena . Senb. Senq
Cos2a + Cos2b + Cos2q = 1- 2Cosa .Cosb . Cosq
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ÁNGULO
DUPLO
Cot x + Tan x = 2Csc 2x
Cot x - Tan x = 2Cot 2x
Asumiendo que x es el ángulo simple, su doble será 2x;
bien lo que buscamos ahora es expresar una función
trigonometría de un ángulo doble (2x) en términos de
funciones trigonometrías del ángulo simple (x).
1 + Sec 2x =
IDENTIDADES DE ARCO MITAD
Ahora intentaremos expresar una función de un ángulo
mitad (
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Sen 2x
= 2Sen x . Cos x
Cos 2x
= Cos2 x – Sen2 x
Cos 2x
= 1 – 2Sen2x
Cos 2x
= 2Cos2x - 1
Tan 2x
=
x
) en términos de un ángulo simple ( x ) .
2
Ángulo simple ( x ) .
IDENTIDADES ADICIONALES
Sen 2x =
Nota: La eliminación del valor absoluto depende del
cuadrante al cual pertenece x/2.
Cos 2x =
IDENTIDADES ADICIONALES
1+Tan2x
Tan
2 Tan x
Cot
2x
1 – Tan2 x
IDENTIDADES PARA “DEGRADAR”
2 Sen2 x = 1 – Cos2 x
2 Cos2 x = 1 + Cos2 x
8 Sen4 x = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x
8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x
287
æ
5 2 ö
a) ç 2 2 + p +
p÷
ç
÷
2
è
ø
IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE
A continuación trataremos de expresar una función
trigonométricas de un ángulo triple (3x ) en términos de
su ángulo simple ( x )
æ
5 2 ö
b) ç 2 2 +
p÷
ç
÷
2
è
ø
æ
æ5 2
ö
5 2 ö
d) ç p +
p÷
e) ç
p - 2 2 + p÷
ç
÷
ç 2
÷
2
è
ø
è
ø
SOLUCIÓN
3p
Recordemos que: 135º =
rad
4
(
c) 2 2 + p
*
Sen 3x = 3Sen x – 4Sen3 x
)
(
)
3p
3 2
2 2 =
p
4
2
L NB
» =
A
Cos 3x = 4Cos3x – 3Cos x
2 2
N
Tan 3x =
2
IDENTIDADES ADICIONALES
2 2
45º
135º
45º
O
2
4 Sen3 x = 3 Sen x – Sen 3x
2 2 B
M
También:
(
)
p
2 + 2 2 Þ L AB
» = p+ 2p
2
Luego el perímetro de la región sombreada es:
Peri = AN + L NB
» + L AB
»
Sen 3x = Sen x (2Cos2x+1)
*
L AB
» =
=2 2+
3
4 Cos x = 3 Cos x + Cos 3x
3 2
p+p+
2
2p
æ
5 2 ö
p÷
= çç 2 2 + p +
÷
2
è
ø
Cos 3x = Cosx( 2Cos2x –1 )
2. De la figura mostrada calcular el área de la región
sombreada.
θ
r
r
r
4 Senx .Sen (60°-x) .Sen (60°+x) = Sen3x
4 Cosx .Cos (60°-x) .Cos (60°+ x) = Cos3x
Tanx .Tan (60°-x) .Tan (60°+ x)
a) qr
= Tan 3x
3q r
2
b) 2q r
2
c)
2
2
e) 5q r
SOLUCIÓN
Determinaremos las regiones sombreadas en función de
las magnitudes q y r . Veamos.
1. Determine el perímetro de la región sombreada en la
» y “M” es el
figura, donde “O” es el centro del arco AB
» . Además se sabe que:
centro del arco NB
*
Para el sector circular de radio “r”
*
qr
2
Para el trapecio circular menor
2
S=
AN = MB = 2 2 .
A
2
2
q ( 2r )
qr
3q r
=
2
2
2
De donde: Área = 3S
Área =
N
135º
M
r
2
d) 4qr
EJERCICIOS RESUELTOS
O
r
θ
B
r
288
3S
S
r
2
Análogamente calcularemos las demás regiones, tal como
se muestra en la figura.
Luego la región sombreada es: "10S "
θ S 3S 5S 7S
r
r
r
Nos piden hallar la distancia entre los puntos observados,
entonces en el triángulo rectángulo aplicamos Pitágoras:
2
r
æ q r2 ö
Área Somb. = 10 ç
÷
ç 2 ÷
è
ø
5q r
Área Somb. =
2

Por ser coterminales sabemos que:
b - a = 360º (Nº ent. de vueltas)
5k - k = 360º (Nº ent. de vueltas)
3. A partir de la figura, calcule el valor de:
2senq
, si: AD = DC
M=
cosa . cosb
a) 1
1
b)
2
c) 2
d) 3
1
e)
3
4k = 360º (Nº ent. de vueltas)
Por otra parte también sabemos que:
100º < a < 200º
100º < k < 200º ( ×4 )
400º < 4k < 800º
Þ 4k = 720º
k = 180º
Nos piden la medida del mayor:
b = 5k = 5 ´ 180º
B
q a
b
A
D
C
SOLUCIÓN
De A trazamos una perpendicular AE a la prolongación de
\ b = 900º
BD .
Considerando: AE = m ; AB=n
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En la circunferencia de radio "R", calcula el lado
desigual del triángulo isósceles, en términos de "R" y
B
q a
n
A
a
b
a
a
D
"q".
a) R Tg q
b)
c)
d)
e)
C
m
E
m
m
2a
; cosa =
; cosb =
n
a
n
æmö
2ç ÷
ènø
Luego: M =
ÞM= 1
æ m ö æ 2a ö
ç ÷ç
÷
è a øè n ø
A
R Csc q
2R Sen q
2R Cos q
2R Sec q
q
O
R
senq =
B
3 m y 4 3 m de altura, se observa sus puntos más
altos con ángulos de elevación de 30º y 60º
respectivamente. Calcular la distancia entre dichos
puntos.
a) 10 m b) 12 m c) 14 m
d) 16 m
e) 18 m
SOLUCIÓN
Planteando la figura de acuerdo al enunciado:
q
O
6
30º
60º
q
D
B
3. Calcular q a partir de la siguiente igualdad sabiendo
que es agudo:
x
3
C
2. En la siguiente figura, calcular OB, si: OA = 2 3 y
AC = 27/16 .
a) 1
A
C
b) 2
q
c) 4
F
d) 3
q
e) 3
E
q
4. Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros de
8
2
5. Dos ángulos coterminales son entre sí como 1 es a 5.
Hallar la medida del mayor de ellos, si el menor está
comprendido entre 100º y 200º.
a) 180º
b) 360º
c) 540º
d) 720º
e) 900º
SOLUCIÓN
Sean a y b los ángulos coterminales:
ìa = k
a 1 k
Þ í
= ×
b 5 k
î b = 5k
.....
r
2
x =6 +8
\ x = 10 m
pö
p
æ
Senç q + Sen ÷.Co sec(q + Cosq) = Tg
8ø
4
è
4 3
289
a) p/4
b) p/8
c) 3p/8
d)p/16
e)5p/16
4. Del gráfico, hallar OB, si: OA = x , AC = y
C
B
q
O
A
a) x Cos q - y Sen q
b) x Cos q + y Sen q
c) x Tg q + yCtgq
d) xCtgq - y Tg q
e) x Sec q + y Csc q
5. Simplificar:
a) 2 Sec x
d) 2Ctg x
1
1
+
Sec x + Tg x Sec x - Tg x
b) 2Tg x
e) 2Sen x
c) 2Cos x
6. Hallar A en la siguiente igualdad:
Ctg x Cos x – Csc x (1 – 2 Sen2x) = SenAx
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 1/2
7. Simplificar: A = Sen6x + Cos6x + 3 Sen2x Cos2x
a) 1
b) 2
c) 3
d) 1/2 e) 3/2
8. Simplificar: N = Tg x (1 – Ctg2x) + Ctg (1 – Tg2x)
a) 1
b) 2
c) –1
d) –2
e) 0
9. Si: (Senx)verx.(Co sec)Covx = 1
[
Hallar E = Tg3x + Ctg5x
a) 1
b) 1/2
c)
]1 / 2
2
d)
3
e) 0
10. Calcular: “x + y” en el sistema circular:
Si:
Senx – Cos 2y = 0
Seny. Csc 4x = 1
a) 4p/9 b) p/3 c) 5p/18d) p/6 e) p/5
11. Si f ángulo agudo, además:
Co sec (40 ° - 2f) = Sec(50 ° + 2f ).Tg(20° + f)
Hallar:
K=
5Sen(f - q - 10 )
Cos(f + q + 50° ).Sec(f + 20 °)
a) 5 2 / 3
b) 5 2 / 2
d) 5 3 / 3
e) 5 2
c) 3 2 / 2
290
En una identidad trigonométrica la variable angular es la misma
para todas las funciones trigonométricas involucradas.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE ARCO SIMPLE
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
AUXILIARES
I. T. PITAGÓRICAS
sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x
sen6x+cos6x = 1 - 3sen2x.cos2x
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
tanx + cotx = secx.cscx
sec2x + csc2x = sec2x.csc2x
1 + cot2x = csc 2x
(1 + senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)
I. T. DE COCIENTE
senx
tanx = cosx
cotx =
cosx
senx
I. T. RECÍPROCAS
senx.cscx = 1
cosx.secx = 1
tanx.cotx = 1
sen(x + y) = senxcosy + cosxseny
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE ARCO COMPUESTO
cos(x + y) = cosxcosy + senxseny
tan(x + y) =
Tambien es necesario
saber ...
tanx + tany
tan(x + y) = tanx + tany + tanxtanytan(x + y)
sen(x + y)
cosx.cosy
cotx + coty
sen(y + x)
senx.seny
PROPIEDAD
tanx + tany
1 + tanx.tany
A2 + B2
< A senx + Bcosx <
Mínimo
valor
A2 + B2
Máximo
valor
291
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE ARCO MÚLTIPLE
DOBLE
TRIPLE
MITAD
I.T. DE ARCO DOBLE
cos2x=cos 2x - sen2x
sen2x = 2senxcosx
cos2x = 1 - 2sen2x
cos2x = 2cos2x - 1
2tanx
sen2x
2tanx
tan2x
1 + tan2x
2x
tan
2tanx
1+
2x
1-tan2x
1- tan2x
cos2x
1 - tan2x
1 + tan2x
cos2x = cos4x - sen4x
Tienes que saber como
utilizar el triángulo
rectángulo del arco
doble...
2 4x
tan
2tan4x
1+
8x
2
tan
4x
1
o
2 20
tan
2tan20o
1+ o
40
o
1- tan220
tan2x
sec2x + 1
cotx + tanx = 2csc2x
tanx
cotx - tanx = 2cot2x
I.T. DE
ARCO
MITAD
tanx.tan2x = sec2x - 1
sen x
2
+
-
1 - cosx
2
2sen2 x
2
1 - cosx
cos x
2
+
-
1 + cosx
2
2cos2 x
2
1 + cosx
tan x
2
+
-
1 - cosx
1 + cosx
tan x
2
cscx - cotx
cot x
2
+
-
1 + cosx
1 - cosx
cot x
2
cscx + cotx
sen3x = 3senx - 4sen3x
sen3x = senx(2cos2x+1)
sen3x = 4senx.sen(60 - x).cos(60 +x)
o
I.T. DE ARCO
TRIPLE
o
cos3x = 4cos3x - 3cosx
cos3x = cosx(2cos2x- 1)
cos3x = 4cosx.cos(60o- x).cos(60o+x)
tan3x =
3tanx - tan3x
1 - 3 tan2x
tan3x
2cos2x + 1
tanx
2cos2x - 1
tan3x = tanx.tan(60o- x).tan(60o+x)
292
CAPITULO - XI
TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS - ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Y
APLICACIONES
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
Ø Enunciar y aplicar las transformaciones trigonométricas.
Ø Resolver las ecuaciones trigonométricas.
Ø Resolver problemas con triangulo oblicuángulos.
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCION INVERSA
Objetivo: El objetivo del presente capitulo es analizar a
las funciones inversas de las funciones trigonométricas
básicas; así como familiarizarnos con las notaciones
ArcSen X ; ArcCos X ; ArcTan X ; etc ; de modo que las
Interpretemos y operemos correctamente. Según las
propiedades que se darán convenientemente.
Introducción:
Según el análisis de funciones. La condición suficiente
para que una función posea inversa; es que debe ser
inyectiva:
TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO
Son expresiones que permiten transformar a producto las
sumas y diferencias de funciones.
Si:
x > y®
se cumple :
x+y
x-y
a)
Sen x + Sen y
= 2 Sen
. Cos
2
2
x+y
x-y
b)
Sen x - Sen y
= 2 Cos
. Sen
2
2
x+y
x-y
c)
Cos x + Cos y
= 2 Cos
. Cos
2
2
x+y
x-y
d)
Cos y - Cos x
= 2 Sen
. Sen
2
2
y
y
g
f
PROPIEDADES:
1. Si: A + B + C = 180°, se cumple
C
A
B
Cos Cos
2
2
2
C
A
B
CosA+CosB+CosC-1 = 4 Sen Sen Sen
2
2
2
CosA + CosB + CosC + 1
g no es Inyectiva
f no es Inyectiva
h
Si A + B + C = 360° se cumple:
2.SenA + SenB + SenC
X
X
SenA + SenB+SenC = 4Cos
C
A
B
Sen Sen
2
2
2
C
A
B
= - 4 Cos Cos Cos
2
2
2
= 4Sen
h Si es Inyectiva
TRANSFORMACIÓN A SUMA O DIFERENCIA
La función trigonométrica; debido a su carácter periódico
no son inyectivas:
Son expresiones que permiten transformar a sumas o
diferencias los productos de funciones.
Si :
x > y®
se cumple :
a) 2Sen x . Cos y = Sen (x + y)+Sen(x–y)
b) 2Cos x . Sen y = Sen (x+y) – Sen(x–y)
c) 2Cos x . Cos y = Cos (x+y) + Cos(x–y)
d) 2Sen x . Sen y = Cos (x-y) - Cos(x+y)
y
y = SenX
-
3
2
0
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
-1
Son los arcos correspondientes a una función
trigonométrica dada.
Así: sen a = N entonces:
= arco cuyo seno es N = arc sen N
a
293
2
2
x
“La Función SenX”
y
y = Tan X
“La Función TanX”
x
2
La Interpretación del rango es importante para el Cálculo
de algunos arcos notables; porque el arco pedido debe
pertenecer al rango de la F.t.
Inversa a Analizar:
Por Ejemplo:
· Arc Sen
· Arc Sen
1
=" Un arco cuyo Seno es
2
2
2
æ
· Arc Sençç è
Según este comentario; las funciones trigonométricas no
poseen inversa. Sin embargo; es posible redefinir la
función trigonométrica; restringiendo su dominio (sin
alterar su rango); a un intervalo donde sea inyectiva y en
consecuencia se pueda obtener inversa.
=" Un arco cuyo Seno es
2
2
p
6
"Þ
p
4
las
otras
funciones
* Aplicaciones:
1. Señale el dominio y rango de:
F.T. Seno Inverso o Arco Seno:
y= f(X)= 2Arc Sen (2X-3)+p
De la función: y = Sen X
Resolución:
Para la obtención del dominio
2# 2X # 4
é p pù
Tomamos el dominio ê- ; ú
ë 2 2û
El Rango No Cambia: [- 1 ; 1]
-1 # 2X – 3 # 1
Df = [1;2] Ü 1 £ X £ 2
Además:
Luego para hallar la inversa; hacemos en:
-
y = Sen X
p
2
2x (X) = Sen (y); esto es: “y es un ángulo arco o número cuyo
Seno vale X”
Lo cual se demorará: y = Arc Sen X
Finalmente como el dominio y rango se intercambian; con
el de la función original; tendremos:
f
f*
y = f(x) = SenX
é p pù
Dom : ê- ; ú
ë 2 2û
Rang : [- 1;1]
y = f * (x) = ArcSenX
Dom* : [- 1;1]
é p pù
Rang* : ê- ; ú
ë 2 2û
π
2
p
2
£ ArcSen(2X- 3) £ 2.
π
2
Þ Rf [0;2π]
Entonces:
Df : [1 ; 2]
Rf : [0;2p ]
2. Calcular: A = Arc Sen (X-1) + Arc Sen X + Arc Sen
(X+1)
Resolución:
En este caso: tendremos que analizar cada variable; por
ejemplo:
Para que “Arc Sen” (X-1) exista:
-1#X -1# 1
0# x # 2……..(1)
Para que “Arc Sen (X+1)” exista: -1#X#1……….(2)
Para que “Arc Sen (X+1)” exista: -1# X+1#1
-2# x#0……….(3)
Arc Sen (-X) = -Arc Sen X .
De (1) g (2) g (3) : (X = 0) (Las Intersecciones).
y
2
Gráfica de la
Función Inversa
Seno
1
£ Arc Sen( 2X - 3) £
0 £ 2 ArcSen(2X- 3) + π £ 2π
Cumpliéndose:
-2
x
-
"Þ
1ö
1
p
÷ = -Arc Sen = 2 ÷ø
2
6
Lo
mismo
ocurrirá
con
Trigonométricas inversas:
Obtención y Análisis De Las Funciones Trigonométricas
Inversas:
-1
1
2
-1
0
1
2
Intersección de las
3 Funciones
Luego : A = Arc Sen (X - 1) + Arc Sen X + Arc Sen (X + 1)
(X = 0)
2
294
X á 0 Þ X = - X ; Þ - 1 £ X - ( - X) £ 1
- 1 £ 2X £ 1
1
1
- £ X £
; Como :
2
2
1
- £ X á 0
2
A = Arc Sen (-1) +Arc Sen 0 + Arc Sen (1)
A =
-
p
2
p
+0 +
2
= 0
Þ\ ( A = 0)
F.T. Coseno Inverso o Arco Coseno:
De la Función. y= Cos X
Tomamos el dominio: [0 ; p]
X á 0
Luego Uniendo:
1
X ³ 0 U -
2
£ X £ 0
Þ X ³ -
1
2
Sin cambiar el Rango: [-1 ; 1]
Luego para hallar la Inversa procedemos igual que en el
caso del “Arc SenX” obteniéndose:
y = Cos X
é 1
Df: ê ë 2
X = Cos y
“Esto es:
Coseno vale X”
f
y = f(x) = CosX
Dom : [0; p]
Rang: [- 1;1]
0
(- 12)
; +¥
y es un ángulo, arco o número cuyo
F.T. Tangente Inverso o Arco Tangente:
f*
y = f * (x) = ArcCosX
Dom* : [- 1;1]
Rang* : [0; p]
De la función: y = TanX
Tomamos el Dominio
-
p p
;
2 2
Sin cambiar el Rango -¥ ; + ¥
Cumpliéndose:
Arc Cos (-X) = p- Arc Cos X
Gráfica de la
Función Coseno
Inverso
-
0
2
2
2
1
-1
Luego para hallar la inversa de la función Tangente,
procedemos igual que en los casos anteriores.
Obteniéndose:
Aplicaciones:
1) Calcular: q = Arc Cos
æ
ö
1
2
3÷
ç
+ Arc Sen
+ Arc Cosç 2
2
ç 2 ÷÷
è
ø
Resolución:
Trabajando por partes:
Arc Cos
1
2
=
Þ q =
p
; ArcSen
3
p
3
+
p
4
+
5p
6
2
2
=
=
p
4
q =
æ
3 ö÷
p
ç
; ArcCos ç ÷ = p- 6
2
ç
÷
è
ø
17 p
f
y = f( x) = TanX
p p
Dom : - ;
2 2
Rang : - ¥;+¥
12
2) ¿Cuál es el dominio de y = f (x) = Arc Cos ( X - X )?
Resolución:
Para que; ArcCos( X - X ) exista :
Si: X $0 Þ
f*
y = f * (x) = ArcTanX
Dom* : - ¥;+¥
p p
Rang* : - ;
2 2
-1£ X - X £ 1
-1 # X – X # 1
-1 # 0 # 1 (Lo cual es correcto)
Cumpliéndose:
Arc Tan (-X) = p- Arc Tan X
2
Es decir todo X$0; define la función (Pertenece al
Dominio)
Si:
0
-
295
2
Aplicaciones:
f
y = f(x) = SecX
ìpü
Dom: [0; p] - í ý
î2þ
Rang: - ¥; - 1] U 1;+¥
1) Señale el rango de: y = f (x) = Arc Tan ( X + 1 )
Resolución:
Note que: "X Î R : X ³ 0 Þ X + 1 ³ 1
f*
y = f * (x) = ArcSecX
Dom* : - ¥;-1 U 1;+¥
ìpü
Rang* : [0; p] - í ý
î2þ
[
[
Pero: y = Arc Tan ( X + 1)
pö
æp
Tan y = X + 1 ³ 1 ; en la C.T. çç ñ y ³ ÷÷
4ø
è2
ép p
\ Ran ê ;
ë4 2
Arc Sec(-x)
y
y
Gráfica de la
Cosecante
2
-1
x
1
-
2
2
Cumpliéndose:
2) Señale el rango de y = f (x)
Resolución:
Note que: Dom: R
x
1
-1
Arc Sec (-X) =p - Arc Sec X
F.T. Cosecante Inversa o Arco Cosecante :
y
I) Si X < 0
y = Arc Tan X + Arc Tan (-X) = Arc TanX – ArcTanX = 0
y = 0………..(1)
Gráfica de la
Cosecante
2
-1
x
1
II) Si X >0
y = Arc Tan X + Arc Tan X = 2Arc Tan X
-
2
p
Pero: 0 £ ArcTanX á ; ya que ( X ³ 0)
2
0 £ 2
1ArcTanX
4243 á p ; Þ (0 £ y á p)
y
y
Arc Csc (-X) =p - Arc Csc X
Su
Gráfica
[
De (1) y (2) ; Ran (f): 0; p
Para la gráfica:
X<0 ; y=0
X $ 0 ; y = 2 Arc Tan X
Propiedades:
1)
0
Esto es:
F.T. Cotangente Inversa o Arco Cotangente
f
f*
y = f ( x ) = CotX
Dom : 0; p
Rang : - ¥;+¥
y = f * ( x ) = ArcCotX
Dom* : - ¥;+¥
Rang* : 0; p
F.T. [Arc F.T.(n)] = n ; "n Î Dom ( Arc F.T.)
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
( Arc
( Arc
( Arc
( Arc
( Arc
Sen a) = a; "a Î [-1;1]
Cos a) = a; "a Î [- 1;1]
Tan a) = a; "a Î R
Cot a) = a; "a Î R
Sec a) = a; "a Î - ¥;-1
Csc ( Arc Csc a) = a; "a Î
æ
Cumpliéndose:
1ö
] U [1;+¥
- ¥;-1 ] U [1;+¥
1
Por ejemplo: Sen ççè Arc Sen 3 ÷÷ø = 3
Arc Cot (-X) =p - Arc Cot X
Tan( Arc Tan 4) = 4
y
2)
Arc. F.T. [F.T.(q)] = q ; "q Î Rang ( Arc. F.T.)
2
é
p pù
Esto es: Arc Sen (Sen q) = q ; " q Î ê- ; ú
ë 2 2û
x
0
F.T. Secante Inversa o Arco Secante:
296
Arc Cos ( Cos q) = q; "q Î [0; p]
Arc Tan ( Tan q) = q; "q Î
Arc Cot ( Cot q) = q; "q Î
Cos a =
p p
- ;
2 2
Piden
T=2
é p pù
Arc Csc (Csc q) = q; "q Î ê - ; ú - {0}
ë 2 2û
3)
æ 2ö
ç
÷
ç 5 ÷
è
ø
pö
p
p
p
p
æ
Arc Sen çç Sen ÷÷ = ; pues - £
£
5ø
5
2 5
2
è
Arc Cos (Cos1) = ; pues 0 £ 1 £ p
é p pù
Arc Tan ( Tan2) ¹ 2 ; pues 2 Ï ê - ; ú
ë 2 2û
-2;AN´ = 2-
arc Senx =
x = Sen
Arc Tan (Tan 2) = ArcTan [Tan (2 - p)]
p
2
á 2-p á
2
Sen 2 x + Cos x =
3)
Arc SenX + Arc Cos X =
p
z=
4p
5
1
2
æ
pö
; Sen 5 x + Sen 3 x = Sen 4 x; Tançç 2x - ÷÷ = 1
3ø
è
Ahora bien; como es una igualdad condicional; se
verificara para ciertos valores de la variable (Incógnita).
Nuestro objetivo es encontrar todos aquellos valores que
verifican la igualdad; valores que reciben el nombre de
soluciones de la ecuación trigonométrica.
; "X Î [- 1;1]
2
p
Arc TanX + Arc Cot X =
; "X Î R
2
p
Arc SecX + Arc Csc X =
; "X Î - ¥;-1 ] U 1;+¥
2
[
¿Qué es resolver una Ecuación Trigonométrica?
Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar
todos los valores que toma la incógnita; es decir las
soluciones que verifican la igualdad. Pero debido al
carácter periódico de las funciones trigonométricas; no
solo se encontrará una o dos soluciones; sino que
generalmente existirá
una cantidad ilimitada de
soluciones; motivo por el cual se hace necesario el uso de
formulas que permitan determinar el conjunto total de
soluciones; llamado solución general de la ecuación
trigonométrica.
Aplicaciones:
1) Hallar el valor de :
Asumiendo: Arc Cos
p
5
Sen x + Cos x = 1; Tan x + Cot x = 4; Sen
x + Tan x = 1. Pero la incógnita a su vez también puede
aparecer en múltiplos reales de ella: por ejemplo:
Tan2
C.T.
RESOLUCIÓN
=z+
Son aquellas igualdades condicionales; donde la incógnita
está afectada de operadores trigonométricos; como por
ejemplo:
A
2
5
p
2
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICA
A
T = Cos (2 Arc Cos
- arc Senx
® x = 1/2
p p
+
2 2
p
Analizando
la gráfica
N
p
6
p
6
RESOLUCIÓN
Entonces: ArcTan(Tan 2) = 2 - p ; ya que -
2
p
2
3) Dado:
arc Senx + arc Tg y = p/5
Hallar : arc Cosx + arc Ctg y = z
Note que = Tan 2 = Tan (2-p) luego
M
- 21
25
3arc Senx =
(Ver la gráfica en la C.T.)
y
_1=
Se sabe que: arc Cosx =
En este caso; se le busca un equivalente a “Tan 2” en el
intervalo correspondiente el rango del Arc Tan; así:
MA´ = N A´ =
2
2) Si: arc Senx = arc Cos x. Hallar x
RESOLUCIÓN
Por ejemplo:
2)
T = Cos 2a = 2Cos²a - 1
0; p
ìpü
Arc Sec ( Sec q) = q; "q Î [0; p] - í ý
î2þ
1)
2
5
)
2
=a
5
297
así que debemos tener cuidado con la simplificación de
términos que contienen a la incógnita.
¿Cómo resolver una Ecuación Trigonométrica?
3) Recuerde que es preferible una variable a diferentes
- Para resolver una ecuación trigonométrica; debemos
diferenciar una Ecuación Trigonométrica Elemental de una
Ecuación Trigonométrica No Elemental.
·
E.T. Elemental : R.T. (X) = n
ó
variables; así como es preferible una Razón
Trigonométrica a diferentes Razones Trigonométricas.
4) Si hay senos y/o cosenos de múltiples muy elevados de
la incógnita; hay una posibilidad de aplicar
transformaciones Trigonométricas para reducirla.
R.T.
(aX+b) = n
Dónde: a ¹ o; a Ù b Î R
·
APLICACIONES
1. Señale la suma de Soluciones positivas y menores que 1
vuelta; de la ecuación:
E.T. No Elemental:
Tan 2 (1 - Sen 2 X )(CscX ) =
OPERACIONES ENTRE DIFERENTES R.T DE LA
INCOGNITA O DE VARIABLES QUE INVOLUCRAN A
LA INCÓGNITA.
Resolución:
Por identidades Trigonométricas; reducimos:
Sen 2 X Cos 2 X
1
1
.
.
=
2
1
Sen
X
2
Cos X
La mayoría de los problemas de resolución de Ecuaciones
Trigonométricas; plantea situaciones no elementales. En
estos casos; la idea es simplificar la ecuación aplicando lo
ya
desarrollado
en
el
curso
(IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS de una variable; de la suma y/o
diferencia de variables; de la variable doble; mitad; triple;
así
como
las
formulas
de
transformaciones
Trigonométricas y la teoría de funciones trigonométricas
inversas); reduciéndola a su forma elemental y de allí
obtener la solución general de dicha ecuación.
Quedaría =
Re
cuerda
6444
4
4
744444
8
1ö
æ
çç Sen X = ÷÷ ® note que Cos X ¹ 0 Ù Sen X ¹ 0
2
è
ø
1
p
Xp = ArSen ® Xp =
2
6
Luego; hacemos: X = np + ( -1)n arcSen
X = np + ( -1)n
n = 0 ® X =
1. Si tenemos: Sen X = a
Hallamos: Xp = Arc Sen a (Xp : valor principal)
Haremos: X = 180n + (-1)n Xp ; nÎZ
® X = np +(-1)
1
2
p
6
Ahora buscamos las soluciones pedidas:
¿Cómo obtener la solución general de una Ecuación
Trigonométrica?
n
1
2
n = 2®X =
p
Su suma:
5p
6
;
13 p ìïno se considera ya que el üï
íproblema dice menor que ý
6 ïuna vuelta , osea á 360 º ï
î
þ
p
Entonces: X1 =
Arc Sen a
; n = 1 ®X =
6
p
6
+
6
5p
6
Ù X2 =
5p
6
(Hay 2 soluciones )
= p
2. Señale la solución general de la Ecuación:
2. Si tenemos : COS X = a
Hallamos: Xp = Arc Cos a (Xp : valor principal)
Haremos: X = 360n ± Xp; ; nÎZ
X = 2np ± Xp
(Sen 3 X . Sen X + Cos 3 X . Cos X =
1
2
)
Resolución:
Recordamos que:
® X = 2np + Arc Cos a
3. Si tenemos : Tan X = a
Hallamos: Xp = Arc Tan a (Xp : valor principal)
Haremos: X = 180n + Xp; ; nÎZ
Cos(a - b) = Cos a Cosb - Sena Senb
Entonces: Sen 3 X . SenX + Cos 3 X .CosX =
Cos (3 X - X ) =
® X = np +Arc Tan a
Xp = Arc Cos
Observaciones:
1) Si la Ecuación Trigonométrica es de la forma “R.T. (ax +
b) = n”; se procede de manera similar a R.T (X) = a; sólo
que se deberá despejar la incógnita “X” de la igualdad.
2) Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución
de Ecuaciones; que tienen que ver con el perder
soluciones o agregar soluciones extrañas; se mantienen;
Luego hacemos:
1
2
=
1
2
p
1
2
® Cos 2X =
3
2X = 2np ± Xp
1
2X = 2np ± Arc Cos
2
p
p
2X = 2np ± ® X = np ±
3
6
298
1
2
....(1)
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
II) TEOREMA DE LOS COSENOS: En todo triángulo;
el cuadrado de la longitud es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros lados; menos el
doble del producto de ellos multiplicados por el coseno,
el ángulo Formado por ellas
Ejemplo:
B
2
2
2
¿Qué es Resolver un Triángulo?
Dado el triángulo ABC; oblicuángulo; resolverlo significa
determinar las medidas de sus elementos básicos; es
decir sus tres lados (a; b y c) y sus tres ángulos (A, B y C)
; a partir de ciertos datos que definan el triángulo.
B
a = b + c - 2bcCosA
a
a
c
b2 = a2 + c 2 - 2acCosB
c
A
A
¿Cómo Resolver un Triángulo?
Una vez que reconocemos los datos del triángulo y
verificamos que se encuentra definido; para resolverlo se
utilizan algunas propiedades geométricas; relaciones
Trigonométricas ya conocidas y otras propias del capítulo
como las siguientes:
En donde podemos deducir fácilmente:
b 2 + c 2 - a2
* Cos A =
*
2bc
a2 + c 2 - b2
Cos B =
2ac
2
a + b2 - c 2
Cos C =
2bc
I) TEOREMA DE LOS SENOS: En todo triángulo, las
medidas de sus lados son proporcionales a los senos de
sus ángulos opuestos:
III) TEOREMA DE PROYECCIONES: “En todo triángulo;
la longitud de un lado es igual a la suma de los productos
de cada una de las otras dos longitudes por el coseno del
ángulo que forman con el primer lado”.
B
a
c
b
A
a = b Cos C + c CosB
b = c Cos B + b CosC
c = a Cos B + b CosA
C
a
b
c
=
=
Sen A Sen B Sen C
De
IV) TEOREMA DE LAS TANGENTES: “En todo
triángulo se cumple que la suma de longitudes de dos de
sus lados; es a su diferencia; como la tangente de la
semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es a la
tangente de la Semi diferencia de los mismos ángulos”
B
Donde:
ìïa Sen B = b Sen A üï
íb Sen C = c Sen B ý
ïîa Sen C = c Sen A ïþ
c
a
B
b
A
Sen A
=
b
Sen B
=
c
Sen C
A
= 2R
a+b
=
a-b
æA
Tançç
è
æA
Tançç
è
+ Bö
÷
2 ÷ø
a+c
=
a-c
æA
Tan çç
è
æA
Tan çç
è
+ Cö
÷
2 ÷ø
- Cö
÷
2 ÷ø
C
c
R: circunradio
b
A
a
R
a
De
a
c
C
Corolario:
En todo triángulo; las medidas de sus lados son
proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; Siendo
la constante de proporcionalidad; el diámetro de la
superficie de la circunferencia circunscrita al triángulo.
B
c 2 = b2 + a2 - 2abCosC
b
C
b
C
Donde:
ìïa = 2R . Sen A üï
íb = 2R . Sen B ý
ïîc = 2R . Sen Cïþ
299
- Bö
÷
2 ÷ø
b
C
b+c
=
b-c
æB
Tan çç
è
æB
Tan çç
è
+ Cö
÷
2 ÷ø
- Cö
÷
2 ÷ø
CUADRILÁTEROS
LEY DE COSENOS
INSCRIPTIBLE
PARA
UN
3. Simplificar:
a) 0,2
d) 0,125
CUADRILÁTERO
π
7π
.sen
12
K = sen 12
b) 0,25
e) 0,925
c) 0.35
4. Reducir la expresión:
S = cos100º + cos20º + cos 140º
a) 2
b) 3
c) 4
0
Como : A + C = 180° ® Cos C = Cos A :
Cos C =
6. Sec 70º + Cse70º = m Sec50º
En la expresión determina el valor de “m” para que se
cumpla la igualdad.
b2 + c2 - a 2 - d2
a)
2( ad + bc)
c) 2
Análogamente
Cos B =
2
2
-d
2
M =
2( ab + cd)
a) 5
b) 2
2 cos25º
2 sen 45º
d) sen 45
e) sen 70º
c2 + d2 - a 2 - b2
2( ab + cd)
b) 2
c) 1
9. Si: Senx + Seny = a
Cos x + cos y = b
Hallar:
æ a2 + b2
K =ç
è a+b
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resolver:
E = sen 2B + cos2B + 2 Sen2B
a) a2 + b2
b) b2 + c2
a) b –a
d) ab
c)
2
æ b+cö
ç a ÷
è ø
d) a
b
sen 7 x
- 2 c o s 2 x + 2 c o s 4 x - 2 co s 6 x
sen x
d) 0
8. El equivalente a :
0
0
1 - 4sen10 sen70
R=
es :
0
2sen10
a) 2
b) 3
c) 1
d) 4
Como: B + D = 180° ® Cos D = -Cos B :
ö
÷ co s ( x + y )
ø
b) –a-b
e) –b +ab
e) 3
e) 0
c) –b+a
10. Determine el valor de:
e)
R = 2 sen (arc Sen
b
c
a)
2. Transformar la expresión:
E = sen 24 cos6º
a)
Cos30
7. Reducir a su mínima expresión:
2
a + b -c
Cos D =
e)
5. Utilizando las reglas de transformación; evaluar:
F = cos20º cos 40º. Cos80º
a) 0,5
b) 0,25
c) 0,125
d) 0,225
e) 0,2225
a 2 +d 2 -b 2 - c 2
2( ad + bc)
Cos A =
d) 1
3+2
4
d) 5
b)
3+2
4
5 -1
4
e)
c)
3+
4
1
2
b)
2)
2
2
c) 2
d)
3
1
2
e)
3
2
11. Hallar “β”
5 +1
8
5
Arc Tg (3
β) + Arctg ( 3β )
a) 2/3
4/3
b) 1/3
2
c) -1/3
= Arctg3
d)1
e)
12. Encontrar: “ α”; si N = 30º
N=Arcsen {cos[arc tag(cotg{arcsec[csc α ]})]}
a) 50º
b) 30º
c) 60º
d) 180º
e) 90º
300
13. Determinar el valor de “ α ” en:
Arc Sen 2 α + Arc Sen α =
a)
d)
b)
3
2
c)
5
3
e)
7
2
π
3
22. Un observador situado en la azotea de un edificio
observa dos objetos en el suelo con ángulos de
depresión de 30º y 45º respectivamente. Halle la
distancia entre dichos objetos entre dichos objetos
si la altura del edificio es de 20 m.
3
2 7
a) 20( 3 + 1)
7
b) 20( 3 - 1)
3
c) 20( 5 - 1)
d) 20( 5 - 2 )
14. Calcular “X”; en :
Sen 2x = (1 +tgx) senx. Cosx
a) 30
b) 45º
c) 60º
d) 75º
e) 20( 5 + 2)
e) 90º
15. Hallar el valor de:
P = Tg [arc Ctg 3 + 2 arc Ctg 2]
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
8
e)
16. Hallar los valores menores positivos de “x”, menores
de 90º, que satisface la ecuación:
Cos 3x + 3Cos 5x +3Cos 7x + Cos 9x = 0
a) 15º
b) 45º
c) 75º
d) a, b y c
e) 90º
17. Resolver; dando el menor valor positivo de “x” en:
a) 45º
d) 90º
Sen x + Cos x + 2 = 0
b) 225º
e) 120º
c) 60º
18. En la siguiente ecuación exponencial.
2Senx . 4Cosx = 1
Calcular: Tg x.
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
19. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres
números consecutivos y el ángulo mayor es el doble
del menor (q).
La relación del lado mayor al lado menor es:
a) 2 Cos q b) Cos 2q c) Cos q
d) 2 Sen q e) 5/3
20. Indicar uno de los ángulos de un triángulo en el cuál
se cumple:
1
a+b
a) 30º
75º
b) 45º
+
1
a+c
=
3
a+b +c
c) 60º
d) 120º
e)
21. Una persona observa un árbol con un ángulos de
elevación f, luego se acerca una distancia igual al
triple de la altura del árbol y observa nuevamente el
árbol con un ángulo de elevación que es el
complemento de f; halle Ctg f - Tg f
a) 1
b) 2
c) 3
d)
5
2
e)
7
2
301
302
CAPITULO - XII
GEOMETRÍA ANALÍTICA
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
v Conceptuar y definir algunos de los fundamentos de la Geometría Euclidiana en forma analítica.
v Comprender los resultados de la Geometría Plana bajo otros términos.
v Conocer algunos lugares geométricos determinados mediante una ecuación algebraica y también las
propiedades del mismo
1.-SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO
Se llama sistema coordenado rectangular en el plano a la
correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un
par ordenado de números reales.
Todo punto P del plano puede localizarse por medio del
sistema rectangular.
x=
x 1 + rx 2
P(x , y)
x
1+r
P1 P
r=
y
y 1 + ry 2
, r ¹ -1
Dónde:
Y
es la razón
PP 2
4.-PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
X
Dónde: X y Y se llaman ejes de coordenadas y los números
reales: x, y se llaman coordenadas del punto P. Es decir:
P( x , y )
Abscisa
Ordenada
Si M(x , y) , es punto medio de un segmento cuyos
extremos son : P(x1 , y1) y Q(x2 , y2), entonces r =1 luego:
2.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
x=
x1 + x 2
2
, y=
y1 + y 2
2
5.-COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN
TRIÁNGULO
Dado el siguiente triángulo
La distancia “d” entre dos puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2),
está dado por:
d=
, y=
1+r
( x 2 -x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2
3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA
RAZÓN DADA
Las coordenadas del baricentro G(x , y) del triángulo
ABC, se calcula mediante las expresiones:
Las coordenadas de un punto P(x , y) de un segmento
cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2 (x2 y y2) son:
x=
303
x1 + x 2 + x 3
3
;
y=
y1 + y 2 + y 3
3
6.- PENDIENTE DE UNA RECTA
Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta L a
la tangente de su ángulo de inclinación a y se denota
“m”.Es decir:
m = Tan a
LÍNEA RECTA
Definición: La línea recta es el lugar geométrico de todos
los puntos del plano tales que tomados dos puntos
cualesquiera diferentes P1(x1 , Y1) y P2 (x2 , y2) del lugar,
el valor de la pendiente:
Observación:
1. Si 0° < a < 90°, la pendiente es positiva.
2. Si 90° < a < 180°, la pendiente es negativa
3. Si a = 90°, la pendiente no existe. Por lo tanto, la
recta es paralela al eje Y.
Si P1 (x1, y1) y el P2(x2 , y2) son dos puntos diferentes
cualesquiera de una recta entonces la pendiente de la
recta está dada por :
m=
y 2 - y1
x 2 - x1
m=
y2 - y1
x 2 - x1
es constante
Ecuaciones de la línea recta:
1.
La recta L que pasa por el punto dado P1(x1, y1) y
tiene la pendiente dada “ m ”
L : y – y1 = m (x – x1)
; x1 ¹ x2
(Ecuación punto – pendiente)
Observación:
-Si L // eje Y Þ L : X = K, donde K es un número real.
-Si L // eje X Þ L : Y = K, donde K es un número real
2. La recta L cuya pendiente es “m” y cuya ordenada en
el origen es “b”
7. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
L : y = mx + b
(Ecuación ordinaria o principal de la recta)
3. La recta L que pasa por dos puntos dados
y1) y P2 (x2 , y2) :
El ángulo “a” formado por dos rectas L1 y L2 está dado
por:
y 2 - y1
L : y – y1 =
æ m2 - m1 ö
÷ ; m1 .m2 ¹ -1
÷
è 1 + m2 . m1 ø
a = arc Tg çç
x 2 - x1
P1 (x1,
(x – x1)
(Ecuación cartesiana de la recta)
También:
Donde:
m1 es la pendiente de la recta L1
m2 es la pendiente de la recta L2
x
L:
y
x1
x2
Observación :
1.-Las rectas L1 y L2 son paralelas si y solo si, sus
pendientes son iguales
1
y1 1
= 0
y2 1
4. La recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y
son a ¹ 0 y b ¹ 0 :
L1 // L2 Û m1 = m2
L:
2.-Las rectas L1 y L2 son perpendiculares si y solo si, el
productos de sus pendientes es -1
y
x
+
=1
a
b
(Ecuación simétrica de la recta)
L1 ^ L2 Û m1 . m2 = -1
5. La ecuación general de la recta está dada :
3.-Las rectas L1 y L2 son secantes oblicuas si y solo si,
sus pendientes son diferentes
L: A x + B y + C = 0
m=
1 / m2
(Ecuación general de la recta)
304
Distancia de un punto a una línea recta
L : Ax + By + C = 0
Está dada por:
Lk : Ax + By + k = 0
2. La familia de rectas
dada:
La distancia “d” de una recta L: A x + B y + C = 0
perpendiculares a una recta
L : Ax + By + C = 0
a un punto P1 (x1 , y1) está dado :
Está por:
d=
Ax1 + By1 + C
A + B
2
Lk : Bx – Ay + k = 0
2
3. La familia de rectas que pasa por la intersección de
dos rectas dadas:
Distancia entre dos rectas paralelas
Sean: L1 : Ax + By + C1 = 0
y L2 : Ax + By + C2 = 0 ;
dos rectas paralelas, la distancia entre ellas sera:
d=
L1 : Ax + By + C = 0
L2 : A’ x + B’ y + C’ = 0
C 2 - C1
Está dada por:
A2 + B 2
Lk : Ax + By + C + K (A’x + B’y + C ‘) = 0
Área de un Triángulo:
EJERCICIOS RESUELTOS
1. La recta que pasa por el punto (-3,-2) y cuya pendiente
es –1/2 , tiene por ecuación:
a) x – 2y + 12 = 0
b) x + 2y + 8 = 0
c) 3x + y + 7 = 0
d) 6x + 3y – 12 = 0
e) 4x + y + 10 = 0
SOLUCIÓN
Utilizamos la ecuación punto pendiente:
El área de un triángulo cualesquiera cuyos vértices son :
A (x1 , y1) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3), está dada por :
A=
L : y - y1 = m( x - x1 )
1
y + 3 = - ( x + 2)
2
x + 2y + 8 = 0
é x1 y 1 1 ù
1
det êê x 2 y 2 1 úú
2
êë x 3 y 3 1 úû
2. Hallar la distancia del punto P(-3 , -4), a la recta L:3x
+ 4y +5 = 0.
a)10
b)12
c)8
d)6
e)4
SOLUCIÓN
Aplicamos la relación:
FORMA PRÁCTICA:
x1
1 x2
A=
2 x3
x1
d=
y1
y2 1
= x y + x2 y3 + x3 y1 - x1 y3 - x3 y2 - x2 y1
y3 2 1 2
y1
Ax1 + By1 + C
A2 + B2
Luego:
d=
Familias de rectas:
d=4
1. La familia de rectas paralelas a una recta dada:
305
3( -3) + 4( -4) + 5
( -3) 2 + ( -4) 2
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
medios de los segmentos AB y CD, si: A(-5 , 1), B(-3 ,
5), C(5 , -3) y D(7 , 3)
SOLUCIÓN
Sean los puntos medios M y N respectivamente
Coordenadas de M
h = CH
h=
| 3( 2) - 4( -1) + 15 |
32 + ( -4 )2
25
=5
5
h=
-5 + -3
® x = -4
2
1+ 5
y=
® y =3
2
x=
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Señale la ecuación de la recta que pase por el punto
P(3;2) y cuyo ángulo de inclinación sea 37º.
a) 3x–4y–1 = 0
b) 3x + 4y + 1 = 0
c) 3x–4y+1 = 0
d) 4x + 3y + 1= 0
e) 3x – 4y + 1 = 0
M (-4, 3)
Coordenadas de N
5+7
®x=6
2
-3 + 3
y=
® y=0
2
x=
2. Señale la ecuación de la reta que pasa por el punto P(1, 5) y cuyo ángulo de inclinación sea 135º.
a) x – y + 6 = 0
b) x + y – 4 = 0
c) x + y + 4 = 0
d) x – y – 6 = 0
e) x + y + 3 = 0
N (6 , 0)
Utilizamos la ecuación cartesiana:
L: y – y1 =
y -3 =
y2 - y1
x 2 - x1
(x – x1)
3. Señale la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P(1, 5) y Q(-3, 2).
a) 3x–2y+7 = 0
b) 2x + 3y – 7 = 0
c) 3x–4y+17 = 0
d) 3x+4y – 17 = 0
e) 3x + 2y + 17 = 0
0-3
( x + 4)
6+4
3x + 10 y - 18 = 0
4. Hallar el ángulo de inclinación de una recta que pasa
por los puntos P (-1 , 3) y Q(5 , 11).
a)30°
b)37°
c)53°
d)45°
e)16°
SOLUCIÓN
Sabemos que:
4. Encuentre la pendiente de la recta que contiene a los
puntos A(2, 3) y B(4, 8).
a)
tgq = m
11 - 3
tgq =
5 +1
4
tgq = ® q = 53°
3
2
b)
2
5
c) 6
d)
1
2
e) 2
5. Si L 1 tiene por ecuación: y = 1 / 2 x + 5; Hallar la
pendiente de la L2 que es perpendicular con L 2
a) 1
b) -2
c) – 1 / 2
d) 1/ 2
e) 2
6. Calcular el valor de a, si la distancia del punto A al
punto B es de 5 u. Siendo
A = (m +3 , 3 a +1
) y B=(m– 1,2a)
a) 2
b) 6
c) 4
d) 10 e) 8
5. Los vértices de un triángulo son puntos A(3;6); B(-1;3)
y C(2 , 1). Calcular la longitud de la altura trazada
desde C.
Solución:
5
7. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta
L: y – 2x = 0 y que limita con los ejes coordenada una
razón cuyas área es 9 u2 , además dicha recta
intersecta al eje positivo de ordenada
a) y – 2x -6 = 0
b) y = x
c) y + 2x -1 = 0
d) x - 1 = y
e) y + x -6 = 0
Sea L la ecuación de la recta
que contiene al segmento AB
L:
y
–
3
=
æ6 -3ö
ç
÷( x + 1)
è 3 +1 ø
4y – 12 = 3x + 3
3x – 4y + 15 = 0
8. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB,
donde A (-4,3) y B (2,9)
a) y = - x + 5
b) y = x +5
c) y = 2x +5
d) y = x – 1
e) y = 4 x - 3
Observamos que la altura trazada desde C, es equivalente
a la distancia que hay desde C a la recta que contiene a
AB
306
9. Dos vértices de un cuadrado ABCD son
B(-1,4) ¿Cuál es el área del cuadrado ?
a) 120
b) 124
c) 130
d) 137
e) 145
A (3,-7) y
18. Dada la recta L 1 pasa por los puntos
(-2,3 ) , (
1,5) y L 2 : 2ax – (a+3)y = 5 . Si L 1 es perpendicular L 2
. Hallar a + 1
a) -2 / 9
b) 1 / 4
c) 1 / 3
d) 1 / 7
e) 1 / 5
10. Los vértices de un triángulo son A(1,4),
B(3,-9) y
C(-5,2) Cuál es la longitud de la mediana que parte
desde B .
a) 9
b) 11
c) 13
d) 15
e)
17
19. Una recta L forma con los semiejes positivos un
triángulo de área igual a 3u 2. Si la distancia del origen
a tal recta es 3 5 / 5 . Hallar la suma de las abscisa y
ordenada en el origen
11. ¿Cuál la distancia del punto P (-1,-2) a la intersección
de las rectas L1: 3x - 4y - 29 = 0 y L 2 : 2x + 5y + 19
=0
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9 e) 11
15. Se tiene el triángulo ABC, en el cual
A (-1,1), B
(3,4) y C (5,9): SE traza la bisectriz interior AP en la
cual se ubica el punto AR tal que AR = 3RP. Calcular BR
d)
2
2
5
2
c)
4
e)
e) 4 2
2
a) 3x + 7 y -13 = 0
14. Calcular la medida del ángulo formado por las rectas
L 1 : x–y + 4 =0 y L2: 3 x– y +6 =0
a) 26,5o
b) 25,8o
c) 24,5o
o
o
d) 30
e) 20
b)
d) 9
c) 7 2
en el punto A (2, 7 ) , si L 1 intersecta al eje x en el
punto B y
d(A,B) = 4 . Hallar la ecuación de la
recta L ( La abscisa de B es menor que 2 )
13. La s rectas L 1 = 2 x – y = 12 y L 2 ^ L 1 que pasa por
el punto (0,3). Calcular la distancia del punto de
intersección de L 1 y L 2 al origen de coordenadas.
a) 2 b) 6 c) 4 d) 10 e) 8
2
b) 5 2
20. Las rectas L y L 1 son perpendicular y se intersectan
12. Hallar la ecuación de la recta si el punto
M = (2,1)
es el punto medio de un segmento comprendido entre
el ejes coordenadas
a) x /4 + y /4 = 1
b) x /4 + y /2 = 1
c) x /4 + y /3 = 1
d) x /2 + y /4 = 1
e) x /2 + y /2 = 1
a)
a) 3 2
2
3
2
6
16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
(3,1) y tal que la distancia del punto
(-1,1) a la recta
es 2 2 , además su pendiente es negativa
a) y = -x + 4
b) y = x +5
c) y = 2x +5
d) y = x – 1
e) y = 4 x - 3
17. Señale la ecuación de la recta que pasa por (1, 2) y es
paralela a la recta de ecuación 3x + y – 1 = 0
a) 3x + y – 5 = 0
b) 3x+y + 5 = 0
c) 3x – y – 5 = 0
d) x–3y + 5 = 0
e) x + 4y + 3 = 0
307
b)
7 y + 4x – 24 = 0
c)
7 y + 2x = 0
d)
7 y + 2x -3 = 0
e)
7 y + x -5 = 0
v Ernesto Quispe Rodríguez ; PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ; Editorial “RACSO”; Segunda Edición;
Lima – Perú; 2003.
v Mariano Perero; HISTORIA DE LA MATEMATICA Editorial BRUÑO; Lima – Perú.- 2004
v Víctor Calvo Daniell ; GEOMETRÍA PLAN; Editorial COVEÑAS ; Lima – Perú; 2002.
v Academia ADUNI; COMPENDIO DE GEOMETRÍA ; Editorial LUMBRERAS, Lima – Perú; 2003.
v Repetto – Linkens - Fesquet ; GEOMETRÍA ELEMENTAL ; Editorial “ ARCO”; Segunda Edición;
Lima – Perú; 2002.
v Fernando Alva Gallego ; HISTORIA DE LA MATEMATICA Editorial UNICIENCIA ; Lima – Perú.2004
v Ángel Silva Palacio ; GEOMETRÍA PLAN; Editorial COVEÑAS ; Lima – Perú; 2002.
v Academia ADUNI; COMPENDIO DE TRIGONOMETRÍA
; Editorial LUMBRERAS, Lima – Perú;
2003
v Ruben Alva Cabrera ; TRIGONOMETRÍA Editorial UNICIENCIA ; Lima – Perú.- 2003
v Jorge Quispe Roque ; TRIGONOMETRÍA ; Editorial INGENIO ; Lima – Perú; 2002.
v Juan Carlos Sandoval Peña ; TRIGONOMETRÍA ; Editorial RACSO, Lima – Perú; 2003.
308