Solucionario Walpole 8 edición. Probabilidad de un evento Ejercicios estadística walpole 8 edición

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7th January 2017 Solucionario Walpole 8 edición. Probabilidad de un evento
Teoremas a tener en cuenta para el desarrollo de los ejercicios:
Teorema 2.9
Ejercicios
Si un experimento puede tener como resultado cualquiera de N diferentes resultados igualmente probables, y si
exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es
P(A) = n / N
Teorema 2.10 regla aditiva
Si A y B son dos eventos, entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Corolario 2.1:
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P (A∪ B) = P(A) + P(B).
Teorema 2.11
Para tres eventos A, B y C
P(A ∪ B ∪ C)= P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩B ∩ C)
Teorema 2.12
Si A y A ' son eventos complementarios, entonces P(A ) + P( A ') = 1
2.51 Encuentre los errores en cada una de las siguientes aseveraciones:
a) Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda 0, 1, 2 o 3 unidades en un día dado de febrero
son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente.
b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la probabilidad de que no llueva es 0.52.
c) Las probabilidades de que una impresora cometa 0, 1, 2, 3 o 4 o más errores al imprimir un documento son
0.19, 0.34, −0.25, 0.43 y 0.29, respectivamente.
d) Al sacar una carta de una baraja en un solo intento la probabilidad de seleccionar corazones es 1/4, la
probabilidad de seleccionar una carta negra es 1/2, y la probabilidad de seleccionar una carta negra de corazones
es 1/8.
Solución
a). La suma de las probabilidades es mayor que 1.
b). La suma de las probabilidades es menor que 1.
c). Hay una probabilidad negativa.
d). La probabilidad de sacar un corazón y una carta negra es cero.
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2.52 Suponga que todos los elementos de S en el ejercicio 2.8 de la página 38 tienen la misma probabilidad de
ocurrencia y encuentre
a) la probabilidad del evento A;
b) la probabilidad del evento C;
c) la probabilidad del evento A ∩ C.
Solución
a). P(A) = 5/ 18
b). P(C) = 1/ 3
c). P(A ∩ C) = 7/ 36 .
2.53 Una caja contiene 500 sobres, de los cuales 75 contienen $100 en efectivo, 150 contienen $25 y 275
contienen $10. Se puede comprar un sobre en $25. ¿Cuál es el espacio muestral para las diferentes cantidades de
dinero? Asigne probabilidades a los puntos muestrales y después encuentre la probabilidad de que el primer sobre
que se compre contenga menos de $100.
Solución
S = {$10, $25, $100} con probabilidades 275/500 = 11/20, 150/500 = 3/10, and 75/500 = 3/20, respectivamente. La
probabilidad de que el primero sobre comprado contenga menos de $100 es igual a 11/20 + 3/10 = 17/20.
2.54 Suponga que en un grupo de último año de facultad de 500 estudiantes se encuentra que 210 fuman, 258
consumen bebidas alcohólicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcohólicas, 83 comen
entre comidas y consumen bebidas alcohólicas, 97 fuman y comen entre comidas, y 52 tienen esos tres hábitos
nocivos para la salud. Si se selecciona al azar a un miembro de este grupo, encuentre la probabilidad de que el
estudiante
a) fume pero no consuma bebidas alcohólicas;
b) coma entre comidas y consuma bebidas alcohólicas pero no fume;
c) ni fume ni coma entre comidas.
Solución
F: fumar; B: beber; C: comer
a).P(F∩ B′) = 88/500 = 22/125.
b).P(C ∩ B ∩ F′) = 31/500.
c).P(F′ ∩ C′) = 171/500
2.55 La probabilidad de que una industria estadounidense se ubique en Shanghai, China, es 0.7, la probabilidad de
que se ubique en Beijin, China, es 0.4 y la probabilidad de que se ubique en Shanghai o Beijin o en ambas es 0.8.
¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique
a) en ambas ciudades?
b) en ninguna de esas ciudades?
Solución
a) P(S ∩ B) = P(S) + P(B) − P(S ∪ B) = 0.7 + 0.4 − 0.8 = 0.3
b) P(S′ ∩ B′) = 1 − P(S ∪ B) = 1 − 0.8 = 0.2
2.56 De experiencias pasadas un agente bursátil considera que con las condiciones económicas actuales un
cliente invertirá en bonos libres de impuestos con una probabilidad de 0.6, que invertirá en fondos mutualistas con
una probabilidad de 0.3 y que invertirá en ambos con una probabilidad de 0.15. Ahora, encuentre la probabilidad
de que un cliente invierta
a) en bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas;
b) en ninguno de esos instrumentos.
Solución
B: cliente invertirá en bonos libres de impuestos
M: cliente invertirá en fondos mutualistas
a) P(B ∪M) = P(B) + P(M) − P(B ∩M) = 0.6 + 0.3 − 0.15 = 0.75.
b) P(B′ ∩M′) = 1 − P(B ∪M) = 1 − 0.75 = 0.25.
2.57 Si se elige al azar una letra del alfabeto inglés, encuentre la probabilidad de que la letra
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a) sea una vocal excepto y;
b) esté listada en algún lugar antes de la letra j;
c) esté listada en algún lugar después de la letra g.
Solución
a) 5 de las 26 letras son vocales, se tiene una probabilidad de 5/26.
b) 9 de las 26 letras precede la j, se tiene una probabilidad de 9/26.
c) 19 de las 26 letras siguen la g, se tiene una probabilidad de 19/26.
2.58 Un fabricante de automóviles está preocupado por el posible retiro de su sedán de cuatro puertas con mayor
venta. Si hubiera un retiro, existe una probabilidad de 0.25 de que haya un defecto en el sistema de frenos, de 0.18
en la transmisión, de 0.17 en el sistema de combustible y de 0.40 en alguna otra área.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el defecto esté en los frenos o en el sistema de combustible, si la probabilidad
de defectos simultáneos en ambos sistemas es 0.15?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defecto en los frenos o en el sistema de combustible?
Solución
a)A: defecto en el sistema de frenos; B: defecto en el sistema de combustible.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.25 + 0.17 − 0.15 = 0.27.
b) P(no defecto) = 1 - P(A U B) = 1 − 0.27 = 0.73.
2.59 Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con 3 letras distintas seguidas por 4 dígitos distintos de
cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de estos artículos codificados que tenga como
primera letra una vocal y el último dígito sea par.
Solución
N = (26)(25)(24)(9)(8)(7)(6) = 47, 174, 400 posibles formas de codificar de las cuales n = (5)(25)(24)(8)(7)(6)(4) = 4,
032, 000 pueden tener una vocal en la primera letra y un dígito par en la última. Por lo tanto n / N = 10 / 117 .
2.60 Se lanza un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener
a) un total de 8;
b) a lo más un total de 5.
Solución
a). El espacio muestral es de 6x6 = 36; solo 5 elementos suman 8: (6, 2) (2, 6) (5, 3) (3, 5) ( 4, 4). La probabilidad
es de 5 / 36
b) Diez de los 36 elementos totalizan como máximo 5. De ahí la probabilidad de obtener un total De como máximo
5 es 10/36 = 5/18.
2.61 Se sacan dos cartas sucesivamente de una baraja sin remplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas
cartas sean mayores que 2 y menores que 8?
Solución
Dado que hay 20 cartas mayores que 2 e inferiores a 8, la probabilidad de seleccionar dos de ellas sucesivamente
es
(20/52) (19/51) = 380/ 2652 = 95/663
2.62 Si se toman 3 libros al azar de un librero que contiene 5 novelas, 3 libros de poemas y 1 diccionario, ¿cuál es
la probabilidad de que
a) se seleccione el diccionario?
b) se seleccionen 2 novelas y 1 libro de poemas?
Solución
Los casos totales se calculan con el teorema
n! / r! (n - r)! es igual a 9! / 3! (9 - 6)! = 84
a) En esta situación los casos favorables son todos los grupos posibles de tres libros que contengan al diccionario,
esta cantidad se halla con el teorema n! / r! (n - r)! donde 8! / 2! (8 - 2)! = 28. Se calcula de esta forma ya que para
formar cualquiera de los grupos necesitamos dos libros de cualquier tipo (distintos del diccionario, pues solo hay un
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diccionario) y el diccionario.
Por tanto la probabilidad es de P = 28 / 84 = 1 / 3
b) Los casos favorables ahora son todos los conjuntos que estén formados por dos novelas y un libro de poemas.
El número de formas de tomar dos novelas es 5! / 2! (5 - 2)! = 10 (pues el total de novelas es cinco).
y el número de maneras de elegir un libro de poemas es 3! / 1! (3 - 1)! = 3
10 x 3
Por tanto la probabilidad buscada es
P =
=30/ 84 = 5 / 14
84
2.63 En una mano de póquer que consiste en 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener
a) 3 ases;
b) 4 cartas de corazones y 1 de tréboles.
Solución
Existe un total de 52! / 5! (52 - 5)! = 2' 598. 950 posibles manos de 5 cartas.
a) la probabilidad de tener 3 ases en una mano
4! / 3! (4-3)! = 4
ahora como son 5 cartas debemos calcular las posibles combinaciones de las 2 restantes
quitando los 4 ases ya considerados, tenemos 48! / 2! (48 - 2)! = 1128
ahora la P = 4 x 1128 / 2' 598. 950 = 94 / 54145
b) la probabilidad de tener 4 cartas de corazones es = 13! / 4! (13-4)! = 715
la probabilidad de tener 1 de tréboles = 13! / 1! (13-1)! = 13
ahora la P = 13 x 715 / 2' 598. 950 = 143 / 39984
2.64 En un juego de Yahtzee, donde se lanzan 5 dados de forma simultánea, encuentre la probabilidad de obtener
4 del mismo tipo.
Solución
Cuatro dados de una clase, digamos cuatro 2 y uno 5 ocurren en 5! / 4! (5-4)! = 5 maneras cada uno con
probabilidad (1/6) (1/6) (1/6) (1/6) (1/6) = (1 / 6) 5. Puesto que hay 6P2 = 30 maneras de elegir varios
pares de números para constituir cuatro de un tipo y uno del otro (usamos la permutación en lugar de la
combinación porque ese cuatro 2 y uno 5, y cuatro 5 y uno 2 son dos maneras diferentes), La probabilidad es (5)
(30) (1/6) 5 = 25 / 1296.
2.65 En una clase de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas; 69, historia, y 35
cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de
que
a) el estudiante haya cursado matemáticas o historia;
b) el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias;
c) el estudiante haya cursado historia pero no matemáticas.
Solución a) El estudiante haya cursado matemáticas o historia
P (M ∪ H)= (54/100)+(69/100)-(35/100)= 88/100 = 22/25
b) El estudiante no haya llevado ninguna de estas materias
P (M′ ∩ H′) = (100/100)-(54/100)-(69/100)+(35/100) = 12/100 = 3/25
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c) El estudiante haya cursado historia pero no matemáticas
P(H ∩ M′) = (69/100)-(35/100) = 34/100 = 17/50.
2.66 La empresa Dom’s Pizza utiliza pruebas de sabor y el análisis estadístico de los datos antes de
comercializar cualquier producto nuevo. Considere un estudio que incluye tres tipos de pastas (delgada,
delgada con ajo y orégano, y delgada con trozos de queso).
Dom’s también estudia tres salsas (estándar, una nueva salsa con más ajo y una nueva salsa con
albahaca fresca).
a) ¿Cuántas combinaciones de pasta y salsa se incluyen?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un juez tenga una pasta delgada sencilla con salsa estándar en su
primera prueba de sabor?
Solución
a) (3) (3) = 9
b) 1 / 9
2.67 De acuerdo con Consumer Digest (julio/agosto de 1996), la ubicación probable de las PC en una casa son:
Dormitorio de adultos: 0.03
Dormitorio de niños: 0.15
Otro dormitorio: 0.14
Oficina o estudio: 0.40
Otra habitación 0.28
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una PC esté en un dormitorio?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no esté en un dormitorio?
c) Suponga que se selecciona una familia al azar entre las familias con una PC; ¿en qué habitación
esperaría encontrar la PC?
Solución
a) 0,32
b) 0,68
c) Oficina o estudio: 0.40
2.68 El interés se enfoca en la vida de un componente electrónico. Suponga que se sabe que la probabilidad de
que el componente funcione más de 6000 horas es 0.42. Suponga, además, que la probabilidad de que
el componente no dure más de 4000 horas es 0.04.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida del componente sea menor o igual a 6000 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida sea mayor que 4000 horas?
Solución
(a) 1 − 0,42 = 0,58
(b) 1 − 0,04 = 0,96
2.69 Considere la situación del ejercicio 2.68. Sea A el evento de que el componente falle en una prueba específica
y B el evento de que el componente se deforme pero en realidad no falle. El evento A ocurre con una probabilidad
de 0.20 y el evento B ocurre con una probabilidad de 0.35.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente no falle en la prueba?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente funcione perfectamente bien (es decir, que ni se deforme ni que
falle en la prueba)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente falle o se deforme en la prueba?
Solución
(a) P (A′) = 1 − 0.2 = 0.8
(b) P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.2 − 0.35 = 0.45
(c) P(A ∪ B) = 0.2 + 0.35 = 0.55.
2.70 En las fábricas a los trabajadores constantemente se les motiva para que practiquen la tolerancia cero para
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prevenir los accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el ambiente o las
condiciones laborales son inseguros en sí mismos. Por otro
lado, los accidentes pueden ocurrir por negligencia o simplemente por fallas humanas. Además, los horarios de
trabajo de 7:00 A.M. a 3:00 P.M. (turno matutino), de 3:00 P.M. a 11:00 P.M. (turno vespertino) y de 11:00 P.M. a
7:00 A.M. (turno nocturno) pueden ser un factor. El año pasado ocurrieron 300 accidentes. Los porcentajes de los
accidentes por la combinación de condiciones son como sigue:
Turno
Condiciones inseguras
Fallas humanas
Matutino
Vespertino
5%
6%
32%
25%
Nocturno
2%
30%
Si se elige aleatoriamente un reporte de accidente de entre los 300 reportes,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en el turno nocturno?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla humana?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las condiciones inseguras?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos vespertino o nocturno?
Solución
(a) 0.02 + 0.30 = 0.32 = 32%
(b) 0.32 + 0.25 + 0.30 = 0.87 = 87%
(c) 0.05 + 0.06 + 0.02 = 0.13 = 13%;
(d) 1 − 0.05 − 0.32 = 0.63 = 63%.
2.71 Considere la situación del ejemplo 2.31 de la página 54.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 automóviles recibirán servicio del mecánico?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el mecánico dará servicio a menos de 8 automóviles?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el mecánico dará servicio a 3 o 4 automóviles?
Solución
(a) 0.12 + 0.19 = 0.31.
(b) 1 − 0.07 = 0.93.
(c) 0.12 + 0.19 = 0.31.
2.72 El interés se enfoca en la naturaleza de un horno que se compra en una tienda por departamentos específica.
Puede ser de gas o eléctrico. Considere la decisión tomada por seis clientes distintos.
a) Suponga que la probabilidad de que, a lo más, dos de esos individuos compren un horno eléctrico es 0.40.
¿Cuál será la probabilidad de que al menos tres compren un horno eléctrico?
b) Suponga que se sabe que la probabilidad de que los seis compren el horno eléctrico es 0.007, mientras que
0.104 es la probabilidad de que los seis compren el horno de gas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos se
compre un horno de cada tipo?
Solución
(a) 1 − 0.40 = 0.60.
(b) La probabilidad de que los seis que compran el horno eléctrico o los seis que compran el horno de gas es 0,007
+ 0,104 = 0,111. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos uno de cada tipo sea comprado es 1 - 0.111 = 0.889.
2.73 En muchas industrias es común que se utilicen máquinas para llenar los envases de un producto. Esto ocurre
tanto en la industria alimentaria como en otras áreas cuyos productos son de uso doméstico, como
los detergentes. Dichas máquinas no son perfectas y, de hecho, podrían A cumplir las especificaciones de
llenado, B quedar por debajo del llenado establecido y C llenar de más. Por lo general, se busca evitar la
práctica de llenado insuficiente. Sea P(B) = 0.001, mientras que P(A) = 0.990.
a) Determine P(C).
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina no dé llenado insuficiente?
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c) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina llene de más o de menos?
Solución
(a) P(C) = 1 − P(A) − P(B) = 1 − 0.990 − 0.001 = 0.009
(b) P(B′) = 1 − P(B) = 1 − 0.001 = 0.999;
(c) P(B) + P(C) = 0.01.
2.74 Considere la situación del ejercicio 2.73. Suponga que se producen 50,000 bolsas de detergente por
semana y también que las bolsas con llenado insuficiente se “devuelven” con la petición de rembolsar al cliente el
precio de compra. Suponga que se sabe que el “costo” de producción es de $4.00 por bolsa, en tanto que el precio
de compra es de $4.50 por bolsa.
a) ¿Cuál es la utilidad semanal cuando no se tienen bolsas defectuosas?
b) ¿Cuál es la perdida en utilidades esperada debido al llenado insuficiente?
Solución
a) ($4.50 − $4.00) × 50, 000 = $25, 000
b) Dado que la probabilidad de llenado insuficiente es 0001, esperamos 50 000 x 0.001 = 50 con llenado
insuficiente. Así pues, habiendo en lugar de (4,50 $ - $ 4,00) x 50 = $ 25 de beneficio. Para aquellas 50 cajas, hay
una pérdida de $ 4.00 x 50 = $ 200 debido al costo. Por lo tanto, la la pérdida en el resultado esperado debido a
llenado insuficiente es de $ 25 + $ 200 = $ 250.
2.75 Como sugeriría la situación del ejercicio 2.73, a menudo los procedimientos estadísticos se utilizan
para control de calidad (es decir, control de calidad industrial).
A veces, el peso de un producto es una variable importante que hay que controlar. Se dan especificaciones de
peso para ciertos productos empacados, y si un paquete está muy ligero o muy pesado se rechaza.
Los datos históricos sugieren que 0.95 es la probabilidad de que el producto cumpla con las especificaciones de
peso; mientras que 0.002 es la probabilidad de que el producto esté muy ligero. Por cada uno de los productos
empacados el fabricante invierte $20.00 en producción y el precio de compra para el consumidor son $25.00.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido aleatoriamente de la línea de producción esté muy pesado?
b) Por cada 10,000 paquetes que se venden, que utilidad recibirá el fabricante si todos los paquetes cumplen con
las especificaciones de peso?
c) Considerando que los paquetes “defectuosos” se rechazan y pierden todo su valor, ¿en cuánto se reduce la
utilidad por cada 10,000 paquetes debido a que no cumplen con las especificaciones?
Solución
a) 1 − 0.95 − 0.002 = 0.048
(b) ($25.00 − $20.00) × 10, 000 = $50, 000;
(c) (0.05)(10, 000) × $5.00 + (0.05)(10, 000) × $20 = $12, 500.
2.76 Demuestre que P(A ∩ B ) = 1 + P(A ∩ B) − P(A) − P(B).
Solución
P(A′∩B′) = 1−P(A∪B) = 1−(P(A)+P(B)−P(A∩B) = 1+P(A∩B)−P(A)−P(B).
Publicado 7th January 2017 por Escribano
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