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Principios de la Hidráulica 2
Book · May 2020
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1 author:
Washington Ramiro Sandoval Erazo
Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE
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Principios de la Hidráulica 2
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D.
2013
Rev.2020
A mi Familia,
a quienes más valoro y amo:
Mi esposa Elena,
mis hijos; Lina, Nasty y Ramiro
y a mis nietos Luciana y Santy.
Principios de la Hidráulica 2
“El Chambo… se golpea contra peñascos, salta
convertido en espuma, se hunde en sombríos
vórtices, vuelve a surgir a borbotones, se retuerce
como un condenado, brama como cien toros
heridos, truena como la tempestad, y mezclado
luego con el otro río continúa con mayor ímpetu
cavando abismos y estremeciendo la tierra"
Juan León Mera
(Cumandá)
PREFACIO
"Hay cosas que para saberlas no basta con haberlas aprendido" (Séneca),
para saberlas hay que haberlas aplicado y enseñado y de esta interrelación
creativa surge la sabiduría, proceso complejo, pero cuyo resultado final deja
huella en la naturaleza.
El material de este texto es la base teórica que todo profesional de
Ingeniería Civil debe conocer para introducirse en el mundo de las obras
hidráulicas.
Para comprensión de los temas tratados, se necesita el
conocimiento previo de las propiedades de los fluidos, de hidrostática, de los
principios de la hidrodinámica y se requiere disponer de cierta destreza en el uso
y aplicación de la ecuación de Bernoulli.
El autor agradece a la Escuela Politécnica del Ejército por el apoyo en la
publicación del presente trabajo y en especial al Ing. José Luís Carrera,
Catedrático de la EPN, por su valiosa colaboración en la revisión y
recomendaciones dadas a este libro.
Este trabajo al ser un esfuerzo personal, no está exento de errores, por lo
que cualquier inquietud o comentario sobre su
contenido dirigirla al correo
electrónico del autor wrsandovale@gmail.com.
Autor
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 5
Principios de la Hidráulica 2
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 6
Principios de la Hidráulica 2
CONTENIDO
Pág.
CAPITULO I
PERDIDAS EN TUBERIAS
1.1. Origen de las Resistencias (Pérdidas)
1.2. Pérdidas por Longitud (Primarias)
1.2.1. Régimen Laminar
1.2.2. Régimen Turbulento
1.3. Pérdidas Locales o de Forma
1.3.1. Métodos
1.3.2. Expansión Brusca de un Flujo
1.4. Carga y Potencia de una Bomba
11
15
15
15
21
21
23
38
CAPITULO II
LINEAS Y REDES DE CONDUCCION
2.1. Conceptos Generales
2.2. Tuberías Simples
2.2.1. Cálculo de Tuberías Simples Cortas
2.2.2. Cálculo de Tuberías Simples Largas
2.3. Tuberías Complejas
2.3.1. Tuberías de Diferente Diámetro Unidas en Serie
2.3.2. Tuberías en Paralelo
2.3.3. Red Abierta
2.3.4. Conducto con Descarga Uniformemente Distribuida
2.3.5. Tuberías Anulares o Cerradas
2.4. Redes de Distribución
2.4.1. Expresión para la Determinación de Pérdidas por Fricción
2.4.2. Cálculo Hidráulico
2.4.3. Procedimiento de Cálculo
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44
46
49
51
52
52
56
60
62
65
67
68
69
73
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Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO III
FLUJO EN CANALES
3.1. Flujo Uniforme
3.1.1. Ecuación Básica del Movimiento Uniforme
3.1.2. Determinación del Calado Normal
3.1.3. Sección Hidráulica Optima
3.1.4. Canales de Sección Cerrada
Cálculo Hidráulico
3.2. Flujo no Uniforme en Canales
3.2.1. Ecuación Diferencial del Flujo No Uniforme Gradualmente Variado
3.3. Energía Específica de una Sección
3.3.1. Tirante Crítico
3.3.2. Pendiente Crítica
3.4. Formas de la Superficie Libre
3.5. Diseño de la Superficie Libre
3.5.1. Puntos de Control
78
79
81
86
88
89
91
93
97
99
101
102
105
107
CAPITULO IV
VERTEDEROS
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Elementos de los Vertederos
Clasificación de los Vertederos
Ecuación de Caudal para Vertederos
Vertederos de Pared Delgada
4.4.1. Coeficiente de Caudal de un Vertedero de Pared Delgada
4.4.2. Coeficiente de Inmersión
4.4.3. Otros Vertederos de Pared Delgada
4.5. Vertederos de Cresta Ancha
4.6. Vertederos de Perfil Curvo
4.6.1. Vertederos de Perfil Práctico
4.7. Contracciones Laterales en los Flujos
110
111
115
118
118
119
120
121
125
126
129
CAPITULO V
FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS
5.1. Condiciones de Flujo
5.2. Flujo Libre en Orificios Pequeños de Pared Delgada
5.2.1. Velocidad y Caudal del Flujo
5.3. Flujo a Través de un Orificio Sumergido
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131
132
135
137
Página 8
Principios de la Hidráulica 2
5.4. Descarga Libre a través de un Orificio Grande
5.5. Flujo a través de Toberas o Pared Gruesa
5.5.1. Velocidad y Gasto en una Tobera
5.5.2. Formación de Vacío en las Toberas
5.6. Flujo bajo Compuertas
5.6.1. Flujo Bajo una Compuerta Plana no Sumergida
5.6.2. Compuertas Inclinadas y Curvas
140
141
142
144
147
148
150
CAPITULO VI
CONJUGACION DE AGUAS
6.1. Cambios de Pendientes en Canales
6.1.1. Cambio de Régimen Fluvial a Torrencial
6.1.2. Cambio de Régimen Torrencial a Fluvial
6.2. El Resalto Hidráulico
6.2.1. Ecuación del Resalto para un Cauce Prismático
6.2.2. Pérdida de Carga en el Resalto
6.2.3. Longitud del Resalto Hidráulico
6.3. Conjugación de Aguas en Vertederos
6.3.1. Tirante Contraído al Pie de la Presa
6.3.2. Colchón de Aguas Tipo Pozo
6.3.3. Colchón de Aguas Tipo Muro
6.4. Caídas
6.4.1. Rápidas
6.4.2. Escalones
6.5. Conjugación de Aguas con Deflector Tipo Esquí
153
153
154
154
156
159
161
163
165
168
170
172
172
174
175
CAPITULO VII
FLUJO DE SEDIMENTOS EN CAUCES ABIERTOS
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
Concentración de Sedimentos o Turbidez
Velocidad de Caída de las Partículas
Movimiento de los Azolves
Transporte de Fondo
7.4.1. Formas del Fondo
7.5. Azolves en Suspensión
7.6. Transporte Total de Sedimentos
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183
185
188
189
194
196
198
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Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO VIII
FLUJO VARIABLE EN EL TIEMPO (NO ESTACIONARIO)
8.1. Ecuación de Bernoulli para el Flujo Variable
8.1.1. Tubería de Sección Constante
8.2. Golpe de Ariete (Choque Hidráulico)
8.2.1. Presión de Choque y Velocidad de Difusión
8.2.1.a. Tubería Absolutamente Rígida
8.2.1.b. Paredes Elásticas
8.3. Flujo No Estacionario en Rápidamente Variado en Canales. Ondas Móviles
8.3.1. Tipos de Ondas
8.3.2. Las Olas Según sus Causas
8.3.3. La Superficie Libre de una Onda Movil
8.3.4. Velocidad de Desplazamiento de la Onda
8.4. Flujo No Estacionario en Orificios
8.4.1. Desagüe con Carga Variable y Aflujo Constante
8.4.2. Flujo de un Tanque a Otro
199
200
201
203
203
205
208
208
209
211
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214
214
218
BIBLIOGRAFIA
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Principios de la Hidráulica 2
CAPÍTULO I
PÉRDIDAS EN TUBERÍAS
1.1.
ORIGEN DE LAS RESISTENCIAS (PÉRDIDAS)
Un flujo al actuar sobre la superficie de un cuerpo genera un gradiente de velocidad
como resultado de la presencia de esfuerzos de corte o rozamiento, a su vez implica
cierta transformación de energía (pérdida) que es proporcional a la superficie de
acción, por lo que se dice que las fuerzas de resistencia producen pérdidas por
contacto con la superficie.
La fuerza de resistencia, al movimiento de un cuerpo o un fluido en contacto con un
cuerpo, se descompone en una componente normal y otra de corte o tangencial; la
primera corresponden a la presión que el fluido ejerce sobre el cuerpo y la segunda a
la suma los esfuerzos rasantes, como se muestra en la figura 1.1. La sumatoria de los
esfuerzos cortantes en la superficie del cuerpo de A a B generan las pérdidas por
fricción.
Figura 1.1 Perfil Aerodinámico Trunco
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
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Principios de la Hidráulica 2
En los puntos B y B` de la superficie del cuerpo, debido a la desaceleración del flujo,
por causa de los esfuerzos cortantes, así como por la existencia de un gradiente
positivo de presiones, que se opone al movimiento por la forma del cuerpo, la capa
de fluido se desprende del cuerpo, formando en la parte posterior una estela de
vórtices, las cuales generan una pérdida por fricción. Indudablemente, el punto de
desprendimiento B o separación de la capa adyacente depende de la forma del
cuerpo.
Este fenómeno conduce a que la suma de los esfuerzos de presiones en los extremos
anterior y posterior del cuerpo no esté en equilibrio. A la fuerza resultante de este
fenómeno se la llama fuerza de forma o resistencia de forma. A la transformación
de energía, producto de este fenómeno, se le denomina pérdida de forma o local.
Las causas que producen la transformación de energía, da origen a la clasificación de
las llamadas pérdidas de energía que son de dos tipos: pérdidas por longitud o
primarias y pérdidas locales o secundarias.
Pérdidas primarias son producto de las fuerzas de resistencia por contacto del
fluido con los bordes de los cauces o contornos de los cuerpos y el rozamiento entre
las mismas capas de los fluidos.
Pérdidas secundarias se generan por los vórtices producto de la forma de las
paredes del cauce, el contorno de los cuerpos y las condiciones de flujo, razón por la
cual se les denomina pérdidas locales o de forma (pérdidas en accesorios).
La magnitud de las fuerzas de resistencia dependen de factores como: Velocidad del
flujo, parámetros geométricos, rugosidad y otros factores.
Las características geométricas más importantes de un flujo, figura1.2, son:
A-
área de la sección transversal del flujo,
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Principios de la Hidráulica 2
χ-
parte del perímetro por la cual el flujo tiene contacto con las paredes del
cauce, llamado perímetro mojado,
R-
radio hidráulico, R = A/ χ
Figura 1.2 Características Geométricas de Flujos
El radio hidráulico para un cauce rectangular es,
R=
b*h
b + 2h
(1.1)
Para un conducto circular a sección llena,
D 2
R=
4 =D
D
4
(1.2)
El radio hidráulico no es una relación que representa la forma ni dimensión del flujo,
este determina condiciones de flujo geométricamente semejantes, por ejemplo: un
canal de sección rectangular y una tubería de sección circular pueden tener el mismo
radio hidráulico; así, para un canal rectangular de dimensiones h = 2m y b = 4m, y la
tubería de diámetro D=4, su radio hidráulico es R=1.
La rugosidad k de las paredes de la tubería, también juega un papel importante en la
resistencia al desplazamiento del flujo para un régimen turbulento. El grado de
influencia en las pérdidas de energía de la rugosidad k depende del espesor de la
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Principios de la Hidráulica 2
subcapa de flujo laminar δ, presente en los contornos de la tubería en régimen
turbulento.
La existencia de la subcapa laminar δ la detectó el físico alemán Ludwing Prandtl,
estudiando la distribución de la velocidad en el régimen turbulento. Este espesor δ no
es constante y disminuye al aumentar el número de Reynolds, por lo que se pueden
presentar tres casos relacionados a las alturas de las rugosidades, figura 1.3:
a. Cuando las rugosidades de la tubería son menores al espesor de la subcapa
laminar, éstas no influyen en la formación de pérdidas y se denomina flujo en la
zona de pared lisa o tubería lisa figura 1.3.a;
b. Si la magnitud de las rugosidades corresponden a la de la subcapa laminar, éstas
intervienen conjuntamente con el número de Reynolds en el valor de las pérdidas
y se conoce como zona de pared de transición, figura 1.3.b;
c. Cuando las rugosidades son mayores que el espesor de la subcapa laminar,
tenemos que su influencia en las pérdidas es significativa y se conoce como zona
de pared rugosa o tubería rugosa, figura 1.3.c.
Figura 1.3 Condiciones de Flujo según la Rugosidad
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
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Principios de la Hidráulica 2
1.2.
PÉRDIDAS POR LONGITUD (PRIMARIAS)
Las pérdidas de carga por función a lo largo de una tubería, tanto para el régimen
laminar como para el turbulento, determinamos con la ecuación de DarcyWeisbach.
hr =
1 v2
D 2g
(1.3)
donde:
- coeficiente de pérdidas,
1 – longitud de la tubería,
v - velocidad del flujo,
D – diámetro de la tubería
g – aceleración de la gravedad.
1.2.1.
Régimen Laminar
El coeficiente de pérdidas en el régimen laminar es:
= 64 / Re
(1.4)
Como se puede ver, el coeficiente de pérdidas para el régimen laminar
depende únicamente del número de Reynolds.
1.2.2.
Régimen Turbulento
A)
Ley de Pared Lisa. Una pared se puede considerar lisa si el número
de Reynolds del flujo es menor a cierto valor Re*, o sea
Re < Re* = 10 D/k
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
(1.5)
Página 15
Principios de la Hidráulica 2
Donde, k es la rugosidad de la tubería en mm.
En el flujo turbulento depende de muchos factores y su
dependencia del número de Reynolds es más compleja.
Prandtl dedujo teóricamente la ecuación de para tuberías lisas de la
siguiente manera: En la ecuación de Darcy-Weisbach (1.3) el
diámetro de la tubería representó a través del radio hidráulico,
entonces
v2
hr
=i=
1
4R 2 g
donde;
i - es el gradiente hidráulico o pendiente hidráulica y corresponde a
la pérdida de energía por unidad de longitud.
Después de varios reemplazos obtuvo una ecuación que tiene la
siguiente forma.
1
(
)
= A lg Re − B ,
(1.6)
donde: A y B son constantes. Experimentalmente se demostró que A
= 2 y B = 0,8; por consiguiente;
1
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
(
)
= 2 lg Re − 0,8 ,
(1.7)
Página 16
Principios de la Hidráulica 2
Esta es la ecuación de Prandtl para la determinación de , que se le
conoce como Ley de Paredes Lisas.
Para determinar con esta ecuación se debe realizar varias
aproximaciones sucesivas. Para valores de Re 105 se recomienda
el uso de la expresión de Blasius (1913), para tuberías lisas.
=
B)
0,316
Re 0, 25
(1.8)
Ley de Pared Rugosa. La condición para considerar a una pared
rugosa es:
Re Re** = 500 D k
(1.9)
El estudio detallado de flujos en conductos rugosos lo realizó
Nikuradse. Sus investigaciones fueron en diferentes tuberías con
rugosidades formadas artificial y uniformemente, por medio de
granos de arena graduada de distintos tamaños; con rugosidades
relativas k D de 1/30 a 1/1014, figura 1.4.
Figura 1.4 Resultados Experimentales de Nikuradse
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 17
Principios de la Hidráulica 2
De estas investigaciones se obtuvo que, el coeficiente no depende
del número de Reynolds después de cierto valor, donde solo influye
la rugosidad de la tubería. El valor del número de Reynolds a partir
del cual deja de depender es aproximadamente el dado por la
ecuación (1.9).
En esta zona la viscosidad no influye sobre el flujo y la resistencia al
movimiento tiene una relación cuadrática con la velocidad y por eso
se le denomina a ésta; zona de pared rugosa o zona de resistencia
cuadrática.
Según Nikuradse, se debe determinar con la siguiente ecuación:
1 = 2 lg(D 2k ) + 1,74
(1.10)
En base a los resultados de Nikuradse, que como se dijo fueron en
una rugosidad uniforme, se pudo establecer que la rugosidad interna
de cualquier tubería comercial se puede expresar en términos de la
rugosidad uniforme k de Nikuradse, llamada rugosidad equivalente.
Esta rugosidad equivalente se obtiene midiendo la pérdida de carga
en las tuberías comerciales y reemplazando el valor de en la
ecuación (1.10).
Ciertos valores de la rugosidad equivalente k presentamos en la tabla
1.1.
Otra ecuación aplicable a la zona de pared rugosa es la propuesta por
Shifrinson.
= 0,11(k D)0, 25
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
(1.11)
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Principios de la Hidráulica 2
Tabla 1.1. Valores de Rugosidad Equivalente k
TIPO DE TUBERÍA
k (mm)
Vidrio, plomo, cobre, latón
0,0015 a 0,01
PVC y mangueras plásticas
0,06 a 0,07
Mangueras de caucho
0,03
Tubos industriales de latón
0,025
Hierro fundido nuevo
0,02 a 0,1
Hierro fundido con protección interior de
asfalto
0,014 a 0,018
Hierro fundido medio oxidado
0,3 a 0,7
Hierro galvanizado
0,15 a 0,3
Acero laminado nuevo
0,04 a 0,1
Acero soldado nuevo
0,05 a 0,1
Asbesto-cemento nuevo
Concreto centrifugado nuevo
0,16
0,15 a 0,3
Concreto en galerías, encofrado madera
C)
normal
1,0 a 2,0
Concreto armado con acabado liso
0,2 a 0,3
Pared de Transición. Nikuradse experimentalmente demostró que
existe una zona en la cual depende tanto del número de Reynolds
como de la rugosidad, a esta zona le denominó de transición.
Posteriormente Colebrook y White realizaron investigaciones con
tuberías cubiertas con granos distribuidos en forma aislada y al azar,
obteniéndose resultados que tenían mayor coincidencia con los
correspondientes a tuberías comerciales, especialmente para la zona
de transición.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 19
Principios de la Hidráulica 2
Colebrook y White utilizando los conceptos de las ecuaciones de
Prandtl y Nikuradse proponen una única expresión de para todo el
régimen turbulento, que es:
k
2,51
= −2 lg
+
,
3,7 D Re
1
(1.12)
y se le conoce como ley de transición de Colebrool-White.
A. D. Altshul, en base a datos experimentales propios propuso la
siguiente expresión:
68 k
+
Re D
0, 25
= 0,11
(1.13)
En las ecuaciones (1.12) y (1.13) es característico que para valores
altos de Re es más representativo el miembro que considera la
rugosidad, y cuando la rugosidad relativa es pequeña las ecuaciones
describen la ley de las tuberías lisas.
Con el fin de simplificar el cálculo de se crearon una serie de
ábacos y nomogramas, como el propuesto por Moody L. F, el cual no
se presenta en este texto por las facilidades actuales de resolución de
las diferentes ecuaciones, especialmente la (1.13).
Las diferentes expresiones y nomogramas contienen cierto error, que
aproximadamente es; para tuberías lisas en un 5% y para rugosas en
un 10%.
En cierto tipo de problemas, en los cuales se desconoce el diámetro u
otro parámetro y por lo tanto el número de Reynolds, como primera
aproximación se recomienda tomar los valores de = 0,02 a 0,03.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 20
Principios de la Hidráulica 2
Las tuberías en el transcurso del tiempo, por diferentes causas,
cambian su rugosidad y en estos casos se utiliza la fórmula de
Colebrook.
k t = k + t , (mm)
(1.14)
Donde: k – la rugosidad en el material nuevo
kt – rugosidad después de t años de explotación
- velocidad de aumento de la rugosidad
Dependiendo del grado de mineralización del fluido = 0,025 a 3
mm/año. Para tuberías de acero galvanizado en la ciudad de Quito
= 0,10 a 0,30 mm/año, Sandoval (1993).
Para renovar la capacidad de descarga de las tuberías con
incrustaciones de minerales se deben utilizar métodos mecánicos o
químicos de limpieza, que no se trata en el presente texto.
1.3.
PÉRDIDAS LOCALES O DE FORMA
1.3.1.
Métodos
Las pérdidas locales, o resistencia de forma, son las que se producen en
singularidades tales como: Entradas y salidas de conductos, cambios de
sección, contracciones, expansiones, codos, tés, diafragmas, válvulas y
todo tipo de accesorios y obstrucciones localizadas en el interior de
conductos.
Existen tres métodos de valorar las pérdidas hidráulicas locales que son:
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 21
Principios de la Hidráulica 2
1. Por métodos teóricos directos de valorización. Por este método se ha
logrado resolver muy pocos casos, como por ejemplo, expansión
brusca de sección, giro gradual de un flujo, confluencia de dos
corrientes y otros.
2. Por medio de la fórmula
hf =
v2
2 g
(1.15)
Donde, hf son las pérdidas de energía en accesorios, es un
coeficiente obtenido experimentalmente y se le denomina coeficiente
de pérdidas locales o de forma o secundarias; los valores están dados
en la tabla 1.3. Este coeficiente depende de la viscosidad del fluido,
la velocidad y la forma geométrica del elemento analizado.
3. Por medio de la fórmula de pérdidas por longitud
hf =
le v 2
D2 g
donde, le es una longitud equivalente en magnitud a las pérdidas
producidas por la forma, dados en la tabla 1.2, por consiguiente:
= le D
Este método se recomienda para los casos en los cuales el diámetro y
el material de la tubería son constantes, ya que las pérdidas totales,
por longitud y forma, se determinan en una sola ecuación.
h =
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
D
(l + le)
v2
2g
(1.16)
Página 22
Principios de la Hidráulica 2
Tabla 1.2 Longitud Equivalente para Pérdidas
Longitud equivalente (m) para
diferentes diámetros
ACCESORIOS
12,7 mm
25,4 mm
38,1 mm
Entrada
0,22
0,45
0,70
Reducción
0,15
0,30
0,42
Expansión
0,23
0,50
0,73
Redondeado
0,30
0,60
0,90
Arista viva
0,80
1,70
2,60
Suave a 90º
0,25
0,52
0,80
Brusco a 90º
0,32
0,68
1,00
Leve a 45º
0,19
0,38
0,56
0,80
1,70
2,60
0,25
0,52
0,80
0,80
1,70
2,60
Globo
4,00
8,00
13,0
De cierre
0,10
0,19
0,25
De pie con coladera
1,10
2,50
3,60
De retención (check)
0,80
1,70
2,60
MEDIDOR
6,00
13,00
20,0
CODOS
GIROS
TES
VALVULAS
1.3.2.
Expansión Brusca de un Flujo
Para el esquema mostrado en la figura 1.5 queremos determinar las
pérdidas producidas entre las secciones 1 y 2, para lo cual, aplicamos el
teorema de cambio de cantidad de movimiento en estas secciones.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 23
Principios de la Hidráulica 2
Fx = P1 − P2 + P3 = p1 A1 − p2 A2 + p1 ( A2 − A1 )
mv
= Q (v1 − v 2 )
t
con lo que,
− p2 A2 + p1 A2 = Q(v2 − v1 )
Figura 1.5 Expansión Brusca en una Tubería
así:
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Q
(v2 − v1 ) = p1 − p2
A2
Página 24
Principios de la Hidráulica 2
Esta expresión dividimos para g y el caudal le expresamos a través del
área y la velocidad,
v2
p
p
(v2 − v1 ) = 1 − 2
g
g g
o,
2
v2
vv
p p
− 1 2 = 1− 2
g
g
Sumamos a cada uno de los miembros v1 2 2 g
2
2
2
2
v1
vv v
v
p p v
−2 1 2 + 2 + 2 = 1 − 2 + 1 ,
2g
2g 2g 2g
2g
o,
v1
p2 v2
(v1 − v2 ) 2
+
=
+
+
2g 2g
2g
p1
2
2
(1.17)
Ahora apliquemos la ecuación de Bernoulli en las mismas secciones:
p1
2
+
2
v1
p v
= 2 + 2 + hr
2g 2g
Comparando esta ecuación con la (1.17) vemos que existe una completa
analogía, siendo:
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 25
Principios de la Hidráulica 2
hr = hf =
(v1 − v2 ) 2
,
2g
(1.18)
Tomando en consideración la ecuación de continuidad tenemos que:
2
2
A v
hf = 1 − 1 1 .
A2 2 g
Así, el coeficiente de pérdidas de forma es
A
= 1 − 1
A2
2
(1.19)
En el caso particular de que A2 A1 (salida a un tanque), 1,0 y la
pérdida de energía
h f = v1 2 g
2
Los demás valores de coeficiente de pérdidas secundarias para
diferentes cambios de forma se presentan en la tabla 1.3.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 26
Principios de la Hidráulica 2
Tabla 1.3 Valores del Coeficiente de Forma
ESPECIFICACIONES
ESQUEMA
ENTRADA A
CONDUCTOS
A tope
0,5
0,10 a 0,05
Abocinado
Entrante
1,0
EXPANSIONES Y
= (k + / 8sen )(( A2 − A1 ) / A2 )2
REDUCCIONES
o 5
7,5
10
15
30
45
k 0,17 0,27 0,42 0,7 1,18 1,1
Expansión
gradual (difusor cónico
o prismático)
Se determina con V1
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 27
Principios de la Hidráulica 2
Expansión brusca
A
= 1 − 1
A2
2
Diafragma-orificio
(según Altshul)
1
=
− 1 ,
Ao A
Reducción brusca, se
A2 A1 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8
determina con respecto
2
= 0.57 +
0,043
1,1 − Ao A
0,45 0,39 0,35 0,28 0,2 0,09
a V2
Reducción gradual,
se determina con
+ A
= 1 2 1 − 2
16sen
A1
2
respecto a V2
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 28
Principios de la Hidráulica 2
GIROS (CODOS)
Giro gradual
= 90 k
90 = (0,2 + 0,001(100 )8 ). D r
90o ; k = sen
90o ; k = 0,7 + 0,35 / 90o
Giro brusco
TES (DIVISION DE
0,16 0,32 0,56 0,81 1,19 2,24
2,0
FLUJOS)
Las flechas indican los
sentidos del flujo
3,0
0,1
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 29
Principios de la Hidráulica 2
1,5
1,2
0,5
VALVULAS
Los valores son para
válvulas abiertas
Válvula de tapón
2,0 a 3,0
Válvula de tapón
diagonal
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0,4 a 2,0
Página 30
Principios de la Hidráulica 2
Válvula de compuerta
a/D 0,3 0,5 0,6
10
o
0 10
0,7 0,8
1,0
2,1 1,0 0,44 0,17 0,05
20
30
40
50
Válvula de mariposa
0,4 0,52 1,54 3,91 10,8 32,6
Válvula de macho
o
10
20
30
40
50
60
0,05 0,29 1,56 5,47 17,3 52,6
Válvula de retención
o
(check)
5,25 2,40 2,00 1,85 1,80 1,55
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
10
20
30
40
50
60
Página 31
Principios de la Hidráulica 2
Válvula de pie con
D 40
50
65
80
alcachofa
12,0 10,0 8,80 8,00
D 100 150 200 300
7,0 6,0 5,2 3,7
MEDIDORES DE
AGUA
de eje vertical
D 12,7 15,0 20 30
40
3,93 8,8 10 12,7 10
de eje horizontal
D 50 80 100 150 200 250
2 1,0 0,82 0,80 0,88 0,92
REJILLAS
= ki (s/b) 4/3 sen
ki-coeficiente de forma
s-espesor de las barras
b-espaciamiento entre
barras
-ángulo de inclinación
de las rejas con respecto
al sentido del flujo
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Página 32
Principios de la Hidráulica 2
EJEMPLO 1.1. Dada una tubería de acero soldado nuevo por el cual
fluye un caudal Q = 25 l/s de petróleo ligero a 20º C ( = 25 10−6 m 2 / s ) ,
por una tubería de 500m de longitud y diámetro D = 120 mm. Determinar
las pérdidas por distancia o fricción.
Datos:
Q = 25 l/s = 0,025 m3/s
l = 500 m
D = 120 mm = 0,12 m
= 25.10-6 m2/s
k = 0,05 mm
(según tabla 1.1)
a) Determinamos el régimen del flujo:
v=
A=
Q
0,025
=
= 2,21m / s
A 0,01131
D 2
=
4
Re =
vD
(0,12) 2
4
=
= 0,01131m 2
2,21.0,12
= 10608
25.10 −6
Re 2000
Por consiguiente el régimen es turbulento
b) Definimos la zona del régimen turbulento
Re * = 10
D
120
= 10
= 24000
k
0,05
Re Re*
corresponde a la zona de pared lisa.
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Página 33
Principios de la Hidráulica 2
c) Calculamos el coeficiente de pérdidas por distancia, para esta zona se
recomienda las ecuaciones (1.5) y (1.6)
-
según Blasius
= 0,316 /(10608) 025 = 0,031
-
según Prandtl, como primera aproximación utilizamos el valor
obtenido según Blasius
1
= 2 lg(10608 0,031) − 0,8 = 0,0304
como se ve la diferencia entre los valores obtenidos es
despreciable, por lo que tomamos
= 0,031
d) Determinamos las pérdidas de carga en el flujo
h f = 0,031
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
500 2,212
= 32,19m.
0,12 19,6
Página 34
Principios de la Hidráulica 2
EJEMPLO 1.2. Determinar la carga H del sistema compuesto por dos
tuberías de hierro galvanizado (l1=150 m y l2=50 m) como se muestra en
la figura 1.6, se tiene un flujo de Q = 7,5 l/s de agua a 15º C,
( = 1,14 10−6 m 2 / s) . La válvula al final de la tubería es de compuerta y
está abierta en un 50%.
Datos:
Q
= 7,5 l/s
a/D = 0,5
= 1,14.10-6 m2/s
k = 0,15 mm
(según tabla 1.1)
l1 = 150 m
l2 = 50 m
Figura 1.6 Esquema de Cálculo para el Ejemplo 1.2.
Separamos los flujos según los diámetros de las tuberías
a) Calculamos velocidades y Reynolds
A1 =
0,152
= 0,01767m 2 ;
4
A2 = 0,00196m 2 ;
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Página 35
Principios de la Hidráulica 2
V1 =
0,0075
= 0,42m / s
0,01767
V 2 = 3,83m / s
Re 1 =
0,42.0,15
= 55263
1,14.10 −6
> Recr
Re 2 =
3,83.0,05
= 167982
1,14.10 −6
> Recr
El régimen del flujo para las dos tuberías es turbulento, determinamos
la zona del flujo.
150
= 10000
0,15
50
Re 2 * = 10
= 3300
0,15
150
= 500000
0,15
50
Re 2 * * = 500
= 166667
0,15
Re1 * = 10
Re1 * * = 500
Re1 * Re1 Re 2 * *
Zona de transición
Re 2 * Re 2 * * Re 2
Zona de pared rugosa
b) Calculamos la carga H, para lo cual aplicamos Bernoulli en las
secciones 1-1 y 2-2, figura 1.6.
zo +
po
+
vo 2
2g
= z2 +
p2
+
v2 2
2g
+ hr
donde: z o = H ; z 2 = 0; p o = p 2 ; = 1; vo / 2 g 0
2
2
v
H = 2 + hr
2g
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Página 36
Principios de la Hidráulica 2
y; hr = hr1 + hr2 + hf3 + hf4 + hf5 ,
hr = 1
2
2
2
2
2
l1 v1
l v
v
v
v
+ 2 2 2 + ent 1 + red 2 + vol 2
D1 2 g
D2 2 g
2g
2g
2g
determinamos los valores de los coeficientes
1 = 0,11 (68/55263 + 0,15/150)0,25 = 0,024
según ecuación (1.11)
1 = 0,11 (0,15/50)0,25 = 0,026
según ecuación (1.9)
cent = 0,5
según tabla (1.3)
red = 0,39; para A2/A1 = 0,1
según tabla (1.3)
vol = 2,10; para a/D = 0,5
según tabla (1.3)
2
2
v
v1
3,832
0,422
=
= 0,748m
0,009m ; 2 =
2 g 19,6
2 g 19,6
hr1 = 0,024 · (150/0,15) · 0,009 = 0,216 m
hr2 = 0,046 · (50/0,05) · 0,748 = 19,45 m
hf3 = 0,50 · 0,009 = 0,004 m
hf4 = 0,39 · 0,748 = 0,29 m
hf5 = 2,1 · 0,748 = 1,57 m
H = v 2 / 2 g + hr = 0,748 + 21,531 = 22,279m
2
H = 22,28m
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Página 37
Principios de la Hidráulica 2
1.4.
CARGA Y POTENCIA DE UNA BOMBA
Analicemos el esquema presentado en la figura 1.7. Se bombea desde un pozo A a
un tanque B, un determinado caudal Q. Para mantener este caudal Q, la bomba
comunica a cada unidad de peso del líquido determinada cantidad de energía, la
energía específica que la bomba le comunica al líquido se llama carga y su
magnitud es igual a la diferencia de las cargas hidrodinámicas (energías
específicas) a la salida y a la entrada de la bomba, secciones 4-4 y 3-3 en la figura
1.7.
Figura1.7 Esquema de un Sistema de Bombeo
La potencia de una bomba está dada por la ecuación
P= g
Q Ht
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,
(vatios)
(1.20)
Página 38
Principios de la Hidráulica 2
Donde: Ht es la carga de la bomba y es el coeficiente de rendimiento total de la
bomba.
Ht = e4 − e3
(1.21)
La energía específica de la sección 3-3 está compuesta por la energía inicial en la
sección 1-1 menos las pérdidas que se producen de esta sección hasta 3-3.
Tomamos la ecuación de Bernoulli para estas secciones,
z1 +
p0
2
+
p
v1
v2
= z3 + 3 +
+ h1−3
2g
2g
o,
e1 = e3 + h1−3 e3 = e1 − h1−3
La ecuación de Bernoulli para las secciones 4-4 y 5-5
2
p
p v
v2
z4 +
+
= z 5 + 5 + o + 5 + h4−5 ,
2g
2g
p4
e4 = e5 + h4−5 ,
según la ecuación (1.21)
Ht = z 5 +
p5
+
po
2
+
2
v5
p
v
+ h4−5 − z1 − o − 1 + h1−3 ,
2g
2g
2
v1
0
2g
Ht = z 5 − z1 + p5 / + v5 / + h4−5 + h1−3 ,
2
Como: z 5 − z1 +
p5
=H
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Página 39
Principios de la Hidráulica 2
Ht = H + v5 / 2 g + h1−5
2
Aquí la velocidad v5 es igual a la velocidad del sistema v y la energía específica
formada por este miembro v2/2g se pierde desde la sección 5-5 a la 6-6, (h5-6). Así,
Ht = H + h1−6
(1.22)
EJEMPLO 1.3 Una bomba de 2,5 kw de potencia, de coeficiente de rendimiento
0,75, debe abastecer un caudal de 0,6 m3/min de agua a 15º C, a un recipiente cuyo
nivel se encuentra a 10m arriba del nivel del pozo de bombeo. La tubería es de
acero galvanizado en uso (k = 0,4 mm), de una longitud de 30m, con tres codos de
giro gradual de 90º de r = 5D, una válvula de pie con alcachofa, una válvula de
regulación completamente abierta y una de retención con un ángulo de abertura
= 50º. Determinar el diámetro necesario de la tubería.
Figura 1.8 Sistema de Bombeo del Ejemplo 1.3
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Página 40
Principios de la Hidráulica 2
Datos:
p = 2500 W
= 0,75
Q = 0,6 m3/min = 0,01 m3/s
H = 10 m
l = 30 m
D/r = 0,2
= 50º
k = 0,4 mm
= 1,14 · 10-6 m2/s
= 1000 kg/m3
Desarrollo:
Según la ecuación (1.20) tenemos que,
2500 = 1000* 9,8* 0,01* Ht/0,75
Ht = 19,13 m.
De la ecuación (1.22)’ despejando tenemos que,
h1−2 = Ht − H = 19,13 − 10,0 = 9,13m.
Determinamos la sumatoria de todas las pérdidas:
h1−2 = (1 / D + e + 3 c + v + ch + s )v 2 / 2 g
(a)
Donde:
e = es el coeficiente de entrada (válvula de pie),
c = coeficiente de pérdidas en codos,
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Página 41
Principios de la Hidráulica 2
v = coeficiente de la válvula de regulación,
ch = coeficiente de la válvula de retención (check),
s = coeficiente de pérdida por salida del flujo.
Los coeficientes , e, c, dependen de la magnitud del diámetro, que no se
conoce, por esta razón, consideremos las pérdidas en accesorios iguales a un 50%
de las pérdidas por longitud, por lo que:
h1− 2 1,5(1 / D)v / 2 g = 1,5(1 / D)v / 2 g = 1,5(1 / D)
2
2
8 Q2
2 g D4
,
Si asumimos = 0,025 en esta igualdad, tenemos:
9,13 = 1,5 0,025 30 8 0,012 /( 2 9,8 D 5 ) ,
de donde; D = 0,061 m
Siendo este valor una aproximación, tomamos como magnitud para los cálculos el
diámetro estándar más próximo D = 75 mm = 0,075 m;
A = 0,08 2 / 4 = 0,00442m 2
V = 0,01 / 0,005 = 2,26m / s
Re = 2,26 0,075 1,14 10 −6 = 148.917
Re ** = 500 80 / 0,4 = 93.750
como: Re > Re** , el flujo es en la zona de pared rugosa, por lo que;
= 0,11 4 0,4 / 75 = 0,0297 0,03
Tomando los valores de las pérdidas de forma de la tabla 1.2 para D = 75 mm:
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Página 42
Principios de la Hidráulica 2
e = 8,27 -aproximando entre D=65 y D=80,
c = 3,024,
v = 2,5,
ch = 1,8
s = 1,0
Reemplazando los valores calculados en la ecuación (a), tenemos
9,13 (0,03 30 / 0,075 + 8,27 + 3(3,024) + 2,5 + 1,8 + 1) 2,26 2 / 19,6 = 9,03
El resultado nos indica que el diámetro de 75mm es casi igual al necesario para
obtener la igualdad exacta.
Si tomamos una tubería de diámetro menor, por
ejemplo D = 50mm, la sumatoria de pérdidas nos daría mayor a 9,13 m. Por lo que
como diámetro definitivo establecemos D = 75mm.
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Página 43
Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO II
LINEAS Y REDES DE CONDUCCION DE AGUA
2.1
CONCEPTOS GENERALES
Las líneas y redes de conducción de agua están compuestas por un conjunto de
tuberías y desde el punto de vista del cálculo hidráulico, las tuberías se dividen en
cortas y largas, simples y complejas.
Tuberías cortas. Son aquellas que, por condiciones técnicas, los cálculos
hidráulicos se realizan minuciosamente, considerando todas las pérdidas, tanto
locales como por longitud, y no se desprecia la altura de velocidad. Aquí, la
magnitud de las pérdidas locales es comparable a las de superficie, como por
ejemplo en una tubería de presión de una central hidroeléctrica.
El procedimiento del cálculo hidráulico de las tuberías cortas se expuso en el
capítulo anterior.
Tuberías largas. Se llaman aquellas en las que predominan las pérdidas por
longitud; las pérdidas locales y la altura de velocidad en primera instancia se
pueden despreciar. Las pérdidas locales son menores al 30% del total de las
pérdidas de carga, ejemplo: las tuberías de conducción de agua potable.
Tuberías simples. Son aquellas en las que el diámetro del conducto, así como el
caudal, son constantes en toda su longitud.
Tuberías complejas. son todas las tuberías que no se contemplan en las simples,
incluyendo las mallas o redes, tanto abiertas como cerradas.
En el cálculo de líneas y redes de conducción es muy frecuente el uso de la
ecuación de Chezy,
Q = AC Ri ,
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
(2.1)
Página 44
Principios de la Hidráulica 2
Conde C – es el coeficiente de Chezy
Partiendo de esta ecuación se puede determinar el gradiente hidráulico.
i=
hr
Q2
= 2 2
1
AC R
Si representamos,
K = AC R
,
(2.2)
Q=K i ,
(2.3)
La ecuación (2.1) se escribirá:
K, (m3/s)- se le denomina Factor de Forma o Caudal, y es el caudal que fluye por
una tubería si su gradiente es igual a la unidad.
Como se nota claramente de la ecuación (2.2), el valor de K depende de las
condiciones geométricas del conducto y de su rugosidad. Pero, según la ecuación
(2.3), para un caudal y gradiente dados, existe un solo valor de K, representado por
Ko y se le denomina Factor de Gasto o Caudal Característico, de tal manera que:
Ko =
Según Manning,
C=
Q
i
(2.3a)
1 1/ 6
R , y n es el coeficiente de rugosidad dado en la tabla
n
2.1.
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Página 45
Principios de la Hidráulica 2
Tabla 2.1. Valores para el Coeficiente de Rugosidad “n”
CARACTERISTICAS DE LA SUPERFICIE
PVC, superficies esmaltadas, barnizadas.
n
0,009
Pléxiglass (Mica)
Enlucido de cemento puro
0,010
Tubos limpios de cerámica y acero
0,011
Tubos de hierro galvanizado. Hormigonado bueno
0,012
Tubos de alcantarillado buenos. Tubos de
suministro de agua con algún tiempo en uso.
0,013
Tubos de suministro y alcantarillado con
incrustaciones.
0,014
Mampostería de piedra y ladrillos colocados
0,015
rudimentariamente.
Canales cubiertos por una capa de lodo.
0,018
Canales sin revestimiento de suelo compactado o
roca de superficie regular.
0,020
Canales de tierra en condiciones normales. Ríos y
0,025
arroyos en condiciones óptimas.
Canales y ríos en condiciones relativamente malas.
0,030
Canales y ríos con muchas piedras, algas y
basuras.
1.5
0,040
2.2 TUBERIAS SIMPLES
Para analizar el cálculo hidráulico de tuberías simples se consideran dos esquemas
de flujo: flujo con descarga libre y flujo con descarga sumergida.
Descarga Libre. El esquema con flujo con descarga libre se muestra en la figura
2.1.
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Página 46
Principios de la Hidráulica 2
Figura 2.1 Flujo con Descarga Libre
En la figura, al plano o línea de energía se le conoce también, como gradiente de
energía y a la línea piezométrica como línea de nivel hidráulico o línea de cotas
totales; este último nombre es debido a que esta línea está constituida por la altura
geodésica z y la piezométrica p/ . Como se sabe, estas líneas muestran el cambio
de cada uno de los componentes de la ecuación de Bernoulli a lo largo del flujo.
Escribimos la ecuación de Bernoulli para este esquema:
p at
2
2
p
v
v
z1 +
+ 1 = z 2 + at + 2 + hr
2g
2g
y,
2
z1 − z2 = H =
v2
+ hr
2g
como, v2 = v (velocidad de la tubería) tenemos:
v2
l v2
v2
,
H=
+
+
2g
D 2g
2g
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Página 47
Principios de la Hidráulica 2
o,
H=
v2
l
1 + +
2g
D
(2.4)
Descarga Sumergida. El esquema de flujo con descarga sumergida presentamos en
la figura 1.10.
Figura 1.10 Flujo con Descarga Sumergida
La ecuación de Bernoulli para este caso es:
p at
2
2
p
v
v
z1 +
+ 1 = z 2 + at + 2 + hr
2g
2g
de donde:
z1 − z 2 = H = hr
y,
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Página 48
Principios de la Hidráulica 2
hr =
l v2
v 2 (v − v2 ) 2
+
+
D 2g
2g
2g
,
Siendo el último miembro de esta igualdad, el correspondiente a la pérdida de
salida del flujo al tanque; como la velocidad v2 es despreciable por ser la velocidad
del flujo en el tanque,
l v2
v2 v2
H = hr =
+
+
D 2g
2g 2g
,
Así:
H=
v2 l
+ + 1
2g D
(2.5)
Como vemos, esta ecuación es idéntica a la ecuación (2.4) del flujo con descarga
libre, permitiéndonos llegar a la conclusión de que el método de cálculo para los
dos esquemas es igual.
La diferencia física entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) consiste en que, la altura de
velocidad para una descarga libre no se pierde y puede ser utilizada, por ejemplo,
para dar movimiento a una rueda hidráulica o una turbina Pelton. Mientras que
para una descarga sumergida, la altura de velocidad se pierde a la salida del flujo al
tanque.
2.3
CÁLCULO DE TUBERÍAS SIMPLES CORTAS
Por razones obvias, para el cálculo hidráulico la longitud de las tuberías es
un parámetro dado, quedando tres problemas tipos:
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Página 49
Principios de la Hidráulica 2
PRIMERO; dados Q y d, determinar H. Este es el caso más sencillo, ya
que consiste en la aplicación directa de la ecuación (2.4).
SEGUNDO; dados la carga H y el diámetro d, determinar el caudal Q. La
solución es mediante los siguientes pasos:
1) Tomar = 0,02 a 0,03
2) Determinar
3) Determinamos v reemplazando los valores en la ecuación (2.4)
4) Con v determinamos Re
5) Con Re determinamos
6) Regresamos al paso 3
7) Si i = i −1 se conoce v
8) Calculamos A
9) Q = A · v
TERCERO; dados H y Q, determinar el diámetro d. La solución se
determina con los siguientes pasos:
1) d 53,5 (Q) 0,35 ; (Q = l / s)
2) Tomamos d = dST
3) Determinamos A
4) Determinamos v
5) Determinamos Re
6) Determinamos
7) Determinamos
8) Determinamos Hi
9) Comparamos Hi con H dado
10) di+1>di si Hi > H ; y di+1<di si Hi < H
11) D solución corresponde al valor más cercano a Hi H dado.
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Página 50
Principios de la Hidráulica 2
2.4
CÁLCULO DE TUBERÍAS SIMPLES LARGAS
Las tuberías largas son aquellas en las cuales las pérdidas locales se desprecian y los
cálculos hidráulicos se resuelven utilizando la ecuación
lv 2
8lQ 2
H =
=
d 2 g g 2 d 5
(2.7)
si,
r=
8l
g 2 d 5
, entonces
H = rQ 2
(2.8)
El cálculo se facilita más si se supone, como en la mayoría de los casos, que el flujo
corresponde a la zona de pared rugosa, o sea y C, no dependen del número de
Reynolds. En este caso se utiliza la ecuación:
H=
Q2
l
K2
(2.9)
Los valores de K se obtienen con la ecuación (2.2) para cada uno de los diámetros, o
con la tabla 2.2, dividiendo el valor dado para 103 y la rugosidad.
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Página 51
Principios de la Hidráulica 2
Tabla 2.2. Valores del Factor de Forma K = F/n
(según la ecuación de Manning)
2.5
DIAMETRO
F.103
DIAMETRO
F.103
mm
m3/s
mm
m3/s
12
0,002
150
1,980
19
0,008
200
4,264
25
0,017
250
7,731
40
0,058
300
12,571
50
0,106
350
18,963
75
0,312
400
27,073
80
0,370
450
37,064
100
0,672
500
49,088
125
1,218
TUBERÍAS COMPLEJAS
Como elementos de una tubería compleja se consideran las tuberías de diferente
diámetro unidas en serie y/o en paralelo, tuberías con caudal variable en su
trayectoria, redes abiertas, redes cerradas, etc.
2.5.1
Tuberías de diferente diámetro unidas en serie
Son tuberías de diferentes diámetros colocadas en línea como se muestra
en la figura 2.3.
Suponemos que el conducto está compuesto por n tramos de diferentes
diámetros. Es obvia la siguiente igualdad:
H = hi = h1 + h2 + ... + hn
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(2.10)
Página 52
Principios de la Hidráulica 2
Siendo: h1, h2, …, las pérdidas de carga en las tuberías de diámetros d1,
d2, … Aquí despreciamos las pérdidas de forma o locales, razón por la
cual, cada una de las pérdidas por longitud se determinan.
hi =
Q2
l ;
2 i
Ki
(2.11)
Figura 2.3 Tuberías Unidas en Serie
Como los factores de gasto Ki, los caudales y las longitudes li, son
diferentes para cada tubería, reemplazando en la ecuación (2.10)
obtenemos:
H=
Q1
2
K1
l +
2 1
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Q2
2
K2
2
l 2 + ... +
Qn
2
Kn
2
ln
(2.12)
Página 53
Principios de la Hidráulica 2
Para el caso particular en que Q = constante (no existen descargas en las
diferentes tuberías) se tiene que,
l
l
l
H = Q 2 1 2 + 2 2 + ... + n 2
K2
Kn
K1
(2.12)’
EJEMPLO 2.1. Del tanque elevado A se abastece de agua a los edificios,
B, C, D y E, con una tubería con algún tiempo en uso; consumiéndose en
cada uno de estos 8 l/s. Para las dimensiones y niveles mostrados en la
figura 2.4, determinar el nivel de agua en el tanque A y las alturas
piezométricas en los puntos B, C, D, E.
Figura 2.4 Esquema para el Ejemplo 2.1.
Los caudales y los factores de gasto en cada uno de los tramos son:
Q A− B = Q1 = 32l / s = 0,032m 3 / s
QB −C = Q2 = 24l / s = 0,024m 3 / s
QC − D = Q3 = 16l / s = 0,016m 3 / s
QD − E = Q4 = 8l / s = 0,008m 3 / s
Tomamos, según la tabla 2.1, un coeficiente de rugosidad n = 0,013, y
con ayuda de la tabla 2.2 determinamos;
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Página 54
Principios de la Hidráulica 2
K 1 = K 2 = 4,264 10 −3 / 0,013 = 0,328m 3 / s
K 3 = 1,980 10 −3 / 0,013 = 0,152m 3 / s
K 4 = 0,672 10 −3 / 0,013 = 0,052m 3 / s
La ecuación de equilibrio de pérdidas es
H = h AB + hBC + h CD + hDE ,
o,
H=
Q1
2
K1
l +
2 1
Q2
2
K2
2
l2 +
Q3
2
K3
3
l3 +
Q4
2
K4
2
l4
Reemplazando valores:
H = (0.032 / 0,328) 2 470 + (0,024 / 0,328) 2 230 + (0,016 / 0,152) 2 280 +
+ (0,008 / 0,052) 2 275 = 4,47 + 1,23 + 3,10 + 6,52 = 15,32m
Con el valor obtenido calculamos el nivel del agua HA y los demás niveles
piezométricos;
H A = 12 + H = 27,32m,
H B = H A − h AB = 27,32 − 4,47 = 22,85m,
H C = H B − hBC = 22,85 − 1,23 = 21,62m,
H D = H C − hCD = 21,62 − 3,10 = 18,52m.
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Principios de la Hidráulica 2
2.3.2
Tuberías en Paralelo
Supongamos que tenemos un conducto principal con caudal Q, que se
divide en el punto B en n ramales de diferentes longitudes li y diámetros
di, que se unen en el punto C, figura 2.5.
Figura 2.5 Tuberías Unidas en Paralelo
El problema básico en este caso consiste en la determinación de los
caudales Q1, Q2 , …, Qn y la pérdida de carga H que se produce en el
tramo desde el punto B al C.
La carga en el punto B es Hb y en el punto C es Hc y la pérdida de energía
del punto B al C, como se ve en la figura 2.5, es H y es la misma pérdida
independiente de la trayectoria que siga el flujo. Para cada ramal las
pérdidas de carga que se producen son iguales a:
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Página 56
Principios de la Hidráulica 2
H = Hb – Hc,
En cada uno de los ramales tenemos:
H=
H=
Q1
2
K1
l =
2 1
Q2
2
K2
2
Qi
2
Ki
2
li
l 2 = ... =
(2.13)
Qn
2
Kn
2
(2.13)’
ln
sabemos que,
Q = Q1 + Q2 + ... + Qn
(2.14)
Escogiendo por pares los elementos de la ecuación (2.13)’ y
expresándoles a través de un solo caudal, por ejemplo Q1, tenemos que:
Q2 = Q1
K2
l1 l 2
K1
(2.15)
Qn = Q1
Kn
K1
l1 l n
Reemplazando estas igualdades en la ecuación (2.14) obtenemos:
K
K
K
Q = Q1 1 + 2 l1 l 2 + 3 l1 l3 + ... + n l1 l n
K1
K1
K1
(2.16)
De esta ecuación determinamos el caudal Q1 perteneciente al primer
ramal. Conociendo Q1 reemplazamos en el sistema de ecuación (2.15) y
obtenemos todos los valores de los caudales Q2, Q3, … Qn.
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Página 57
Principios de la Hidráulica 2
La pérdida de carga H obtenemos utilizando la ecuación (2.13) con los
datos correspondientes a cualquier ramal.
EJEMPLO 2.2. De un tanque elevado A se abastece un caudal Q = 48l/s,
a una piscina B, a través de tres tuberías unidas en paralelo, figura 2.6.
Determinar el nivel de la superficie del tanque A y los caudales en cada
una de las tuberías, si estas son de PVC.
Figura 2.6 Esquema de Abastecimiento en Paralelo
Datos:
Q = 0,048m 3 / s
1 = 200mm
l1 = 615m
2 = 150mm
3 = 100mm
l 2 = 510m
l 3 = 436m
n = 0,009 según tabla 2.1.
De la ecuación de equilibrio de pérdidas tenemos:
2
Q
Q
H = 1 l1 = 2
K1
K2
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2
Q
l 2 = 3
K3
2
l 3
Página 58
Principios de la Hidráulica 2
La condición de continuidad es,
Q = Q1 + Q2 + Q3 ,
Reemplazando (ver ecuación 2.15)
Q = Q1 + Q1
K2
K1
l1 l 2 + Q1
K3
l1 l3
K1
De donde:
0,048
Q1 =
1+
1,980 615 0,672 615
+
4,264 510 4,264 436
= 0,0283 m 3 / s
Aquí se reemplazó directamente el valor de F en vez de K, ya que la
relación de los factores de gasto no se altera.
Reemplazando Q1 en la primera igualdad obtenemos que,
Q2 = 0,0143m 3 / s , y
Q3 = 0,0055m3 / s
La pérdida de carga es,
H = 615 * 0,02832 /(4,264 * 10−3 / 0,009) 2 = 2,19m
Siendo la cota del nivel de agua en el tanque
H A = 14,50 + 2,19 = 16,69m
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Página 59
Principios de la Hidráulica 2
2.5.3 Red Abierta
Veamos el caso más simple, cuando la tubería principal se divide en dos
ramales, figura 2.7.
Figura 2.7 Esquema de una Red Abierta
Supongamos que se conocen las cotas ZA, Z1, Z2, así como las longitudes y
los diámetros de todas las tuberías que conforman la red, y es necesario
determinar los caudales del conducto principal y los ramales Q, Q1 y Q2.
De la figura 2.5 tenemos que:
Z A − Z1 = H1 = hA− B + hB−C
y
Z A − Z 2 = H 2 = hA−B + hB−D
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Página 60
Principios de la Hidráulica 2
hA-B, hB-C y hB-D, son las pérdidas de carga pertenecientes al conducto
principal y a los ramales BC y BD. Por consiguiente;
H1 =
Q
Q2
L + 12 l1
2
K
K1
(2.17)
2
Q
Q2
H 2 = 2 L + 2 2 l2
K
K2
de donde:
2
Q
Q2
L = H 1 − 1 2 l1
2
K
K1
(2.17)’
2
2
Q
Q
L = H 2 − 2 2 l2
2
K
K2
Igualando estas ecuaciones y despejando Q2, tenemos:
Q2 =
K2
l2
(H
2
− H 1 + l1 Q1
2
K1
2
)
(2.18)
De la condición de continuidad sabemos que,
Q = Q1 + Q2
(2.19)
Así,
Q = Q1 +
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K2
l2
(l Q
1
1
2
K1 + H 2 − H 1
2
)
(2.20)
Página 61
Principios de la Hidráulica 2
Reemplazando esta ecuación en la primera del sistema (2.17) tenemos:
L
H1 = 2
K
K
Q1 + 2
l2
(l
1
Q1
2
K1
2
2
2
Q1
+ H 2 − H 1 + 2 l1
K1
)
(2.21)
La expresión obtenida es una función de Q1 y se puede resolver por
aproximaciones sucesivas. Una vez determinado éste, se puede obtener el
caudal del segundo ramal.
Si z1 = z2,
H1 = H2
o,
Q1
2
K1
2
l1 =
Q2
2
K2
2
l2
(2.22)
Por consiguiente, el caudal total se determina con la ecuación (2.19).
2.5.4
Conducto con Descarga Uniformemente Distribuida
El sistema que se presenta en la figura 2.8 es común para sistemas de
riego, drenaje y distribución de agua en pequeñas poblaciones.
En el sistema presentado, por cada unidad de longitud el caudal disminuye
en un valor medio Qd/l. Siendo Qd el caudal distribuido (para un sistema
de drenaje se puede suponer que es el caudal receptado, manteniéndose la
forma de cálculo). El caudal distribuido Qd más el caudal de paso Qp,
forman el caudal Q que se abastece del tanque elevado A.
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Página 62
Principios de la Hidráulica 2
Figura 2.8 Distribución Uniforme de Caudal
Analicemos las pérdidas de carga en este conducto con ciertas
simplificaciones. En la sección C a la distancia X de la sección inicial B,
el caudal es menor en la cantidad
Qd
X
l
,
El caudal en la sección C es:
Qc = Qp + Qd −
Qd
X
l
(2.27)
Supongamos que en cualquier sección de la tubería se puede determinar el
gradiente hidráulico con la ecuación de Chezy para el flujo uniforme,
Qc = Kc ic
o sea,
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Página 63
Principios de la Hidráulica 2
Qc 2
ic =
Kc 2
Kc, depende del diámetro de la tubería y la rugosidad, y esos parámetros
en este caso no cambian para todo el flujo, entonces Kc tomamos igual a
K de la tubería dada. Así:
1
Qd
ic = 2 Qp + Qd −
X
K
l
2
(2.28)
Para una longitud diferencial dx la disminución de carga se determina,
dH = ic dx
Reemplazando la ecuación (2.28) en ésta y desarrollando obtenemos:
2
Qd
2
(Qp + Qd )X + Qd2 X 2 dx2
dH = (Qp + Qd ) − 2
l
l
K
,
Integramos esta relación de 0 a l,
l
H=
2
2
1
(Qp + Qd )2 X − Qd (Qp + Qd ) X + 1 Qd2 X 3
2
l
3 l
K
0
Reemplazando y simplificando,
H=
l 2
1
Qp + QpQd + Qd 2
2
3
K
(2.29)
Aproximadamente esto es:
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Página 64
Principios de la Hidráulica 2
H
l
(Qp + 0,55Qd ) 2
K2
(2.30)
Cuando, Qp = 0
H=
l
Qd 2
2
3K
(2.31)
Como se puede observar de la ecuación (2.30) y ecuación (2.31), las
pérdidas de energía para un conducto con descarga uniforme es menor a la
pérdida que se produce si Qd se descargaría de manera concentrada al
final de la conducción (punto D del sistema).
2.5.5
Tuberías Anulares o Cerradas
Para el análisis de tuberías anulares supongamos que tenemos el esquema
de la figura 2.9, donde el caudal principal Q se divide en el nudo A en Q1
y Q2 de sentidos opuestos, y en cada uno de los nodos se descargan los
caudales q1, q2 y q3.
Es obvio que, hay un nodo, llamado de unión (por ejemplo el nodo 2), al
cual fluye el líquido de los dos sentidos. Para este punto la carga debe ser
mínima y por consiguiente la suma de las pérdidas en un sentido, debe ser
igual al del otro sentido, siempre y cuando el punto analizado sea
realmente el punto de unión.
En este tipo de problemas generalmente se conoce el caudal Q, los
caudales descargados en los nodos, las longitudes y los diámetros de las
tuberías; deseándose conocer la distribución de caudales, el punto de
unión y las pérdidas de nodo a nodo.
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Página 65
Principios de la Hidráulica 2
Figura 2.9 Ejemplo de un Sistema Anular Cerrado
Para realizar los cálculos tenemos que definir un punto de unión, en este
caso para la figura 2.9, suponemos que es el 2, de tal manera que las
pérdidas de carga h(A-1-2) debe ser igual a la pérdida h(A-3-2). Así,
Q1
2
K1
2
l1 +
Q3
2
K3
2
l3 =
Q2
2
K2
2
l2 +
Q4
2
K4
2
l4
(2.23)
Las ecuaciones de continuidad son:
Q1 = q1 + Q3
Q2 = Q3 + Q4 = q1 + q 2 + q3 − Q1
q 2 = Q3 + Q4
(2.24)
Q3 = Q1 − q1
Q4 = q1 + q 2 − Q1
Reemplazando este sistema en la ecuación (2.23) obtenemos:
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Página 66
Principios de la Hidráulica 2
Q1
2
K1
l
2 1
2
(
Q1 − q1 )
+
l
K3
2
3
=
(q1 + q 2 + q3 − Q1 )2
K2
2
l2
2
(
q1 + q 2 − Q1 )
+
l
K4
2
4
(2.25)
Por aproximaciones sucesivas se obtiene el valor de Q1 y demás caudales
del sistema (2.24). Se permite un desequilibrio del 5% en la magnitud de
las pérdidas, calculadas para los dos sentidos.
2.6
REDES DE DISTRIBUCION
Las redes de distribución se dividen en principales y secundarias:
La red principal se utiliza para la distribución de agua en una zona o población, y la
red secundaria se utiliza para el abastecimiento interno de viviendas, edificios u
otras obras de consumo de agua.
En esta sección nos dedicaremos al cálculo hidráulico de las redes principales de
distribución, dejando a un lado los parámetros de su diseño que corresponden a otro
curso.
Las condiciones hidráulicas y geométricas dependen de la topografía del territorio,
de la planificación de la ciudad, localización de las calles, localización de pequeños
y grandes consumidores (escuelas, fábricas, etc.), condición social de la población,
etc.
La demanda de agua depende del clima, población y tipo de industrias de la zona.
Actualmente el consumo doméstico por persona por día es de 250 a 300 l. Para la
determinación de la demanda se debe recurrir a la bibliografía especializada y
normas de diseño.
Para una zona determinada, el agua se puede distribuir en base a dos formas de red:
en paralelo figura 2.10a y en mallado o reticulado figura 2.10 b.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 67
Principios de la Hidráulica 2
(a)
(b)
Figura 2.10 Formas de Redes de Distribución
Para la distribución de agua en zonas urbanas, las normas de diseño recomiendan el
sistema de mallado como el más adecuado, debido a que, una interrupción del
servicio en determinado ramal no suspende el servicio a los demás ramales, lo que
no se puede evitar en el sistema ramificado.
2.6.1
Expresión para la Determinación de Pérdidas por Fricción
El cálculo de las pérdidas de carga se realiza con la ecuación de DarcyWeissbach, dada de la forma descrita en la ecuación (2.8); o a través de la
ecuación general (2.33) que sirve para representar a cualquier expresión
de determinación de pérdidas:
hr = rQm ,
(2.33)
donde, r depende de la fórmula que se utilice y las características de la
tubería; m, es el exponente que depende del tipo de relación existente
entre las pérdidas y la velocidad del flujo para la fórmula dada. Para la
ecuación de Darcy-Weissbach m=2, y
r=
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8l
g 2 D 5
,
(2.34)
Página 68
Principios de la Hidráulica 2
Existen varios métodos para el cálculo de redes de distribución, siendo el
más práctico el de Hardy Cross, que consiste en una aproximación
sucesiva del equilibrio de pérdidas o equilibrio de caudales. Otro método
que se utiliza en la práctica es la semejanza eléctrica, donde la caída de
presión se sustituye por el voltaje y el caudal por la intensidad.
2.6.2
Cálculo Hidráulico
Analicemos el sistema mostrado en la figura 2.11, donde es necesario
determinar los caudales en cada uno de los ramales.
Para el análisis de la red están dados los caudales de consumo o demandas
en cada nodo q1, q2, …, y por lo tanto el caudal total Q, además, están
dadas las longitudes y el tipo de tuberías. Después de la numeración de
los nodos se realiza una distribución inicial de los caudales de diseño,
según del caudal de entrada Q y las demandas qi.
Figura 2.11 Red de Distribución
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Página 69
Principios de la Hidráulica 2
Designados los caudales en cada uno de los ramales, se procede a
determinar los diámetros estándar económicamente más convenientes.
de (0,7a1,3) Q
(2.35)
donde, de - es el diámetro económico recomendado, en metros. Q es el
caudal en m3/s.
Existen otras expresiones como la del autor, cuyas unidades son
mm = 53,5(l s) 0,35 .
d = 53,5Q 0,35
(2.35)’
De esta forma, se determinan los valores de r para cada uno de los
ramales.
Se sabe que, la distribución real de caudales tiene que satisfacer la primera
y segunda leyes de Kirchhoff:
1) El equilibrio de caudales en cada uno de los nodos.
Qij + qi = 0
(2.36)
2) El equilibrio de las pérdidas en cada uno de los circuitos elementales.
hij = (r Q m ) ij = 0
(2.37)
Donde; i, j corresponden a la numeración de los nodos de cada uno de
los ramales del circuito.
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Página 70
Principios de la Hidráulica 2
Al establecer estas ecuaciones obtenemos un sistema cuya resolución es
posible de diferentes maneras. En la práctica se ha difundido el método
de Hardy Cross (1936) que utiliza el método de iteraciones de Newton
para la resolución de las ecuaciones y consiste en lo siguiente:
Definidos rij y Qij en cada tramo, se determinan para éstos las pérdidas de
carga.
hij = (r Q m ) ij
Considerándose que las pérdidas de carga en cada tramo, de cada uno de
los circuitos, son positivas si tienen el mismo sentido que el giro de las
manecillas del reloj, en caso contrario negativas.
Generalmente, en la primera distribución de caudales la suma de las
pérdidas de carga no es igual a cero
hij 0 = hk
,
Donde, k es el número del circuito.
Con estas consideraciones establecemos el siguiente sistema de
ecuaciones para el esquema de la figura 2.9, para m = 2;
(rQ 2 )12 + (rQ 2 ) 25 − (rQ 2 ) 58 − (rQ 2 )18 = hI
(rQ 2 ) 23 + (rQ 2 ) 34 − (rQ 2 ) 45 − (rQ 2 ) 25 = hII
(2.38)
(rQ 2 ) 58 + (rQ 2 ) 56 − (rQ 2 ) 67 − (rQ 2 ) 78 = hIII
Los valores hI , hII y hIII , son las cantidades con las que difieren de
cero la suma de las pérdidas para cada uno de los circuitos, por ser la
primera aproximación.
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Página 71
Principios de la Hidráulica 2
El acercamiento de h a cero es posible con una distribución adicional de
caudales en cada uno de los circuitos, en un valor - Q , que por ahora
desconocemos. Incluyendo en los circuitos este decremento de caudal
Q , obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
r12 (Q12 − QI ) 2 + r25 (Q25 − QI + QII ) 2 − r58 (Q58 + QI − QIII ) 2
− r18 (Q18 + QI ) 2 = 0
r23 (Q23 − QII ) 2 + r34 (Q34 − QII ) 2 − r45 (Q45 + QII ) 2 −
(2.39)
− r25 (Q25 − QI + QII ) = 0
2
r58 (Q58 + QI − QIII ) 2 + r56 (Q56 − QIII ) 2 − r67 (Q67 + QIII ) 2 −
− r78 (Q78 + QIII ) 2 = 0
Abrimos paréntesis en la primera ecuación del sistema (2.39) y agrupamos
de la siguiente manera:
(rQ
2
)12 + (rQ 2 ) 25 − (rQ 2 ) 58 − (rQ 2 )18 − 2(rQ)12 + (rQ) 25 + (rQ) 58 + (rQ)18
QI + 2(rQ) 25 QII + 2(rQ) 58 QIII = 0
La primera parte de esta ecuación es igual a hI , la segunda es:
2 (rQ) ij QI
para el circuito I, y por consiguiente la ecuación toma la forma,
hI − 2 [( rQ) ij ] I QI + 2(rQ) 25 QII + 2(rQ) 58 QIII = 0
(2.40)
Aquí se desconocen los valores de QI , QII y QIII y los valores de
hI , hII y hIII se conocen después de la primera distribución de
caudales.
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Página 72
Principios de la Hidráulica 2
El método de Cross supone la simplificación de esta ecuación
suprimiendo los valores que contienen QII y QIII , de tal manera que la
ecuación (2.40) es igual a:
hI − 2 [( rQ) ij ]I QI = 0
o,
[( rQ 2 ) ij ] I
hI
QI =
=
2 [( rQ) ij ] I 2 [( rQ) ij ] I
O, para cualquier Q correspondiente a los diferentes circuitos.
Qk =
[( rQ 2 ) ij ]k
2 [( rQ) ij ]k
(2.41)
La utilización de esta ecuación simplifica las operaciones para la
determinación de Q , pero es necesario una mayor cantidad de
iteraciones para la determinación del valor real de Q k .
2.6.3
Procedimiento de Cálculo
Una vez diseñada la configuración de la red de distribución se deben
seguir los siguientes pasos:
I.
Atribuir unos caudales hipotéticos Qij a las diversas tuberías del
sistema, de tal manera que se cumpla en los nodos la condición.
Qij + qi = 0
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Página 73
Principios de la Hidráulica 2
II.
Asignar los diámetros de acuerdo a la ecuación (2.35).
III.
Calcular el valor de r para cada tubería de acuerdo a la ecuación
(2.34) o de la expresión que se obtiene al reemplazar a través del
coeficiente de Chezy.
r = 10,3n 2 l D 5,33 , o r =
IV.
l
K2
(2.42)
Dividir la red en circuitos cerrados asegurando que cada tubería
esté incluida en por lo menos un circuito.
V.
Calcular el valor de hr para cada tubería con la ecuación (2.8).
hr = (r Q 2 ) ij
VI.
Determinar la suma algebraica de las pérdidas en cada circuito.
VII.
Calcular los valores de hrij/Qij para cada elemento, y su sumatoria
para cada circuito cerrado.
VIII.
Determinar la corrección Q que hay que aplicar a los caudales
supuestos en cada circuito, utilizando la expresión (2.41).
Q =
IX.
hrij
2 (r Q) ij
=
hrij
hrij
2
Qij
Revisar los caudales de acuerdo con la ecuación
Q = Qij Q
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Página 74
Principios de la Hidráulica 2
considerando Q con el signo contrario al obtenido en el paso VII.
X.
Repetir el proceso hasta que se obtenga por convergencia la
exactitud de equilibrio deseada.
Actualmente existen programas para simular el flujo en redes de
distribución, los cuales disminuyen completamente el tiempo de cálculo,
aumentan el grado de exactitud y dan la posibilidad de analizar varias
alternativas, se puede sugerir el programa EPANET 2.0 en español, de
disponibilidad gratuita.
EJEMPLO 2.3. Para la red mostrada en la figura 2.12 determinar los
caudales que pasan a través de cada ramal y las pérdidas de carga que se
producen en estos, considerando que la tubería es de PVC.
Figura 2.12 Red de Distribución de Agua de Tres Circuitos
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Página 75
Principios de la Hidráulica 2
Definimos el coeficiente de rugosidad de la tubería de PVC, según la tabla
2.1, n = 0,009.
Asignamos caudales hipotéticos a cada uno de los ramales; con estos
caudales definimos un diámetro referencial y calculamos el parámetro r
para cada ramal. Todos los cálculos están representados en la tabla 2.3.
El ejemplo de cálculo de equilibrio de caudales y pérdidas lo realizamos
con el apoyo de una hoja electrónica, en la cual se realizaron dos
iteraciones, dando como resultado los valores expuestos en la tabla 2.4.
En la tabla 2.5, se muestran los valores calculados con los programas
LOOP y EPANET; que, comparados con los obtenidos en la hoja
electrónica se nota una pequeña diferencia, producto de las pocas
iteraciones realizadas en la tabla 2.4.
Tabla 2.3 Cálculos Preliminares
Ramal
Lontigud
Caudal
Diámetro
Resistencia
L (m)
(Q (l/s)
(mm)
r 103
1
100
15,0
125
5,4
2
120
6,0
75
99,1
3
150
2,5
50
1075,8
4
80
1,0
50
573,8
5
150
2,0
50
10,75,8
6
80
2,0
50
573,8
7
120
2,0
50
860,7
8
80
7,5
75
66,1
9
120
3,5
50
860,7
10
300
1,0
50
2151,7
11
120
1,5
50
860,7
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Página 76
Principios de la Hidráulica 2
Tabla 2.4 Análisis de Equilibrio de Caudales (Hoja Electrónica)
CIR.
I
II
RAM.
r*10-3
Qi*103
r*Qi2
r*Qi
Q
2
99,1
+6,0
+3,568
594,6
+0,16
6
573,8
+2,0
+2,295
1147,6
+0,16
7
-860,7
-2,0
-3,443
1721,4
+0,16
8
-66,1
-7,5
-3,718
495,8
+0,16
-1,298
3959,4
Q
Q
Qi
r*Qi2
r*Qi
Q
+6,16
+3,760
610,4
+0,03
+0,09
+2,25
+2,905
1291,0
+0,03
-0,04
+2,24
-0,14
-1,98
-3,374
1704,2
+0,03
-0,01
-1,96
-7,34
-3,561
485,2
+0,03
-7,31
-0,270
4013,8
Qi
+6,19
3
1075,8
+2,5
+6,724
2689,5
-0,09
+2,59
+7,216
2786,3
+0,04
+2,63
4
573,8
+1,0
+0,574
573,8
-0,09
+0,91
+0,452
522,2
+0,04
+0,95
5
-1075,8
-2,0
-4,303
2151,6
-0,09
-0,14
-2,23
-5,350
2399,0
+0,04
-0,01
-2,20
6
-573,8
-2,0
-2,295
1147,6
-0,09
-0,16
-2,25
-2,905
1291,0
+0,04
-0,03
-2,24
+0,700
3875,7
-0,587
6998,5
5
1075,8
+2,0
+4,303
2151,6
+0,14
+0,09
+2,23
+5,350
2399,0
+0,01
-0,04
+2,20
7
860,7
+2,0
+3,443
1721,4
+0,14
-0,16
+1,98
+3,374
1704,2
+0,01
-0,03
+1,96
9
-860,7
-3,5
-10,54
3012,4
+0,14
-3,36
-9,717
2892,0
+0,01
-3,35
10
-2151,7
-1,0
-2,152
2151,7
+0,14
-0,86
-1,591
1850,5
+0,01
-0,85
11
860,7
+1,5
+1,936
1291,0
+0,14
+1,64
+2,315
1411,5
+0,01
+1,65
-3,014
10328,
-0,269
10257,
III
Tabla 2.5 Caudales para el Ejemplo 2.3
PROCESO
RAMAL MANUAL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
15,00
6,19
2,63
0,95
2,20
2,24
1,96
7,31
3,35
0,85
1,65
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
LOOP
Q (l/s)
15,00
6,27
2,60
1,10
2,09
2,17
1,92
7,23
3,31
0,81
1,69
EPANET
15,00
6,35
2,63
1,13
2,21
2,21
1,99
7,15
3,16
0,66
1,24
V (m/s)
1,22
1,44
1,34
0,58
1,12
1,13
1,01
1,62
1,61
0,34
0,94
Página 77
Principios de la Hidráulica 2
CAPÍTULO III
FLUJO EN CANALES
3.1.
FLUJO UNIFORME
Uniforme se llama al movimiento en el cual los parámetros del flujo, en secciones
diferentes, permanecen constantes. Esta condición implica que la sección en el
tramo analizado del cauce permanezca constante.
En el movimiento uniforme la línea de energía, el plano de la superficie libre y la
pendiente de la solera del canal tienen que ser paralelos, como se muestra en la
figura 3.1.
Figura 3.1 Movimiento Uniforme en Cauces Abiertos
En esta figura tenemos que:
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Página 78
Principios de la Hidráulica 2
i=
dhr
, es el gradiente hidráulico
dl
I =−
d ( z + h)
, es la pendiente de la superficie libre del cauce,
dl
is = −
dz
, es la pendiente de la solera del cauce.
dl
En el movimiento uniforme:
3.1.1.
i = I = is
Ecuación Básica del Movimiento Uniforme
La ecuación principal del movimiento uniforme en cauces abiertos es la
ecuación de Chezy.
v = C Ri
(3.1)
Aquí, C es el coeficiente de Chezy determinado en base a las siguientes
relaciones:
a) Con la ecuación analítica
C = 8g /
(3.2)
- se determina con las ecuaciones (1.12), (1.13) u otras, previo el
reemplazo del diámetro a través del radio hidráulico, D = 4R.
Este procedimiento se utiliza para cualquier tipo de régimen de flujo,
pero existe la dificultad en la determinación del coeficiente de
rugosidad k.
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Página 79
Principios de la Hidráulica 2
b) Con expresiones empíricas, desarrolladas bajo la consideración de que
C = f (k , Re, R )
De las fórmulas empíricas, la más difundida es la de Manning
propuesta en 1890,
C = R1 / 6 / n ,
[ m1 / 2 / s ]
(3.3)
donde, n es el coeficiente de rugosidad según la tabla 2.1.
N. Pavlovsky (1925) considera variable el valor exponencial del radio
hidráulico y propone determinar de la siguiente manera,
C = Ry /n,
(3.4)
donde, y = 1,5 n , para R < 1,
y = 1,3 n , para R > 1.
I. Agroskin propone:
C = 17,72 lg R + 1 / n ,
(3.5)
Altshul y V. Teyn para cauces naturales, cuyos lechos estén formados
con grava y arena, canales no revestidos que acarreen azolves,
recomiendan la siguiente fórmula:
C = (14,8 / i 1 / 6 ) − 26 ,
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
i<0,03
(3.6)
Página 80
Principios de la Hidráulica 2
Existen varias fórmulas para el paso del coeficiente de rugosidad n al
de rugosidad equivalente k, las cuales se pueden simplificar en la
siguiente expresión:
n=
k 1/ 6
70
(3.7)
Del procesamiento de los datos obtenidos por Ivad-Zade (1983), en
varios canales artificiales se obtuvo la ecuación:
𝑛 = 0,014𝑑 0,176
3.1.2.
(3.7b)
Determinación del Calado Normal
Como calado o tirante normal conocemos a la profundidad que se
establece en un canal con flujo uniforme y se lo representa con ho.
Existen varios métodos para el cálculo de este calado; a continuación
analizaremos tres métodos, para lo cual son necesarios los siguientes datos
geométricos e hidráulicos. Para el canal trapezoidal mostrado en la figura
3.2 tenemos:
Figura 3.2 Condiciones Geométricas de los Canales
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Página 81
Principios de la Hidráulica 2
b, ancho de la base del canal; m = ctg , inclinación de las paredes
laterales con respecto a la horizontal o talud; Q, caudal o gasto; is = i,
pendiente del lecho del canal. Con los cuales se calcula:
Área de una sección trapezoidal:
A = [b + (m1 + m2 )h / 2]h ,
(3.8)
Perímetro mojado:
= b + h( 1 + m1 2 + 1 + m2 2 ) ,
(3.9)
Radio Hidráulico:
R = A/
(3.10)
Cuando el canal es trapecial, m1 = m2;
A = (b + mh)h ,
(3.8)’
= b + 2h 1 + m 2
(3.9)’
Para canales triangulares b = 0, y para rectangulares = 900 (m=0).
a) Método analítico
Se aplica en canales de sección geométrica definida y constante
(canales prismáticos) utilizando la ecuación
Q = AC Ri
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Página 82
Principios de la Hidráulica 2
en donde cada una de las variables se le deja expresado en función de
h.
b) Método del Factor de Gasto o Caudal Característico
Para cauces naturales no siempre existen ecuaciones en función de h,
por lo que se puede encontrar la solución con ayuda de las ecuaciones
(2.2) y (2.3a):
K = AC R ,
Ko = Q / i
Para las condiciones dadas conocemos el caudal característico Ko, por
esto, la solución consiste en determinar un valor de K, de tal manera
que K = Ko.
Esta condición se cumple dándose valores de h en las ecuaciones (3.8)
y (3.9) y calculando el factor de gasto K, hasta obtener el valor
buscado de Ko, por aproximaciones sucesivas.
c) Método del Exponente Hidráulico
Según Bakhmeteff los factores de gasto con sus profundidades, para
un mismo canal, guardan la siguiente relación:
K1
K2
2
x
h
= 1 ,
h2
donde, x es el exponente hidráulico del cauce, considerado constante
para cada cauce natural o artificial.
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Página 83
Principios de la Hidráulica 2
La solución, según este método, consiste en tomar dos profundidades
h1 y h2, determinar K1 y K2, de tal manera se puede obtener el valor
del exponente hidráulico:
x=
2 lg( K1 / K 2 )
(3.10)
lg(h1 / h2 )
Una vez determinado este exponente hidráulico, calculamos el tirante
normal con la expresión:
ho = hi ( Ko / K i ) 2 / x
(3.11)
Los métodos b y c son aplicables prioritariamente en cauces naturales,
pero se puede aplicar también en prismáticos. Se considera un cauce
prismático al de sección geométrica definida y constante a todo lo
largo
En el caso de tener como dato h y como incógnita b, se sigue el
procedimiento descrito en los métodos a y b.
EJEMPLO 3.1. Determinar el tirante normal ho en un canal trapecial de
tierra, si b = 1,5 m; Q = 2 m3/s; m = 1 y la pendiente i = 0,005.
Para canales de tierra, según la tabla 2.1, n = 0,025.
METODO a)
Q = AC Ri
,
donde,
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Página 84
Principios de la Hidráulica 2
A = (1,5 + h)h
= 1,5 + 2 2 h
R=
C=
A
=
(1,5 + h)h
1,5 + 2 2 h
1
R1 / 6
0,025
Resolviendo se tiene que
h = ho = 0,62 m
METODO b) Calculamos en base a la tabla 3.1, en la cual se utiliza la
fórmula de Manning para el coeficiente de Chezy.
Siendo, Ko = Q / i = 2 / 0,005 = 28,28.
Nos damos como primer tirante para el cálculo de K, h1 = 1m, obteniendo
que K1 > Ko, por lo que tomamos h2 = 0,5 m al cual le corresponde K2 =
19,60. Después de varias iteraciones encontramos que ho = 0,62 m, cuyo
valor de K es el más próximo a Ko.
Tabla 3.1 Cálculo del tirante normal
No.
h
A
R
K
I
1
2,5
4,328
0,578
69,39
II
0,5
1,0
2,91
0,343
19,60
0,62
1,314
3,25
0,403
28,71
.
.
N
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Página 85
Principios de la Hidráulica 2
METODO c) En este método, también, nos damos dos profundidades que
pueden ser h1 = 1 m y h2 = 0,5 m, obteniéndose los valores de K
expuestos en la tabla 3.1, con ayuda de los cuales calculamos el exponente
hidráulico,
x=
2 lg(69,39 / 19,60)
= 3,64
lg(1 / 0,5)
y el tirante normal con la ecuación (3.11)
28,28
ho = 1
69,39
2 / 3, 64
= 0,61m
Como se puede notar, de los dos métodos, el más rápido es el del
exponente hidráulico. Existiendo un cierto error admisible debido a que,
como se ha demostrado actualmente, el exponente hidráulico es
ligeramente variable.
3.1.3.
Sección Hidráulica Óptima
Sección hidráulica óptima se llama a la sección transversal A de un canal
que tiene la capacidad máxima de escurrimiento o caudal.
Si analizamos la ecuación Q = AC Ri , notamos que, tanto el área A, el
gradiente i y la rugosidad n de canal, están dados, por lo que un valor
máximo del caudal obtendremos para Rmax, que corresponde a un valor
mínimo del perímetro mojado.
Analicemos una sección trapecial por ser más general, así
= b + 2h 1 + m 2 ,
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Página 86
Principios de la Hidráulica 2
y,
A = (b + mh)h ,
b = A / h − mh ,
de donde,
Remplazando,
= A / h − mh + 2h 1 + m 2 ,
= A / h + h(2 1 + m 2 − m)
Derivando por h, considerando que A y m constantes:
d / dh = − A / h2 − m + 2 1 + m2 = 0 ,
Sustituyendo A
0=
(b + mh)h
− m + 2 1 + m2
2
h
0 = −b / h − m − m + 2 1 + m 2
o,
b / h = 2( 1 + m 2 − m )
(3.12)
Si tomamos la segunda derivada de esta ecuación obtenemos un valor
positivo, lo que nos indica que la ecuación (3.12) es el mínimo de la
función.
La ecuación (3.12) nos da la relación hidráulica óptima de un canal
trapecial, para un canal rectangular el talud m igualamos a cero, y
obtenemos b/h = 2.
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Principios de la Hidráulica 2
En general, el radio hidráulico óptimo es
Rop =
=
(b + hm)h
b + 2h 1 + m 2
=
2h 2 ( 1 + m 2 − m) + mh 2
2 h( 1 + m 2 − m) + 2h ( 1 + m 2 )
=
2h 1 + m 2 − mh
4 1 + m 2 − 2m
,
Rop = h / 2
3.1.4.
(3.13)
Canales de Sección Cerrada
Los canales de sección cerrada comprenden los túneles, conductos y
diferentes tuberías a través de los cuales el líquido fluye a gravedad. En
este caso el líquido puede o no llenar toda la sección.
Figura 3.3 Secciones de Canales Cerrados
a) Circular, b) Rectangular, c) de Baúl, d) Herradura, e) Ovalada
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Principios de la Hidráulica 2
Cálculo Hidráulico.
Para el cálculo hidráulico de canales de
sección cerrada se utiliza también, la ecuación de Chezy, pero debido a
la gran complejidad de las expresiones algebraicas para la
determinación del área, el perímetro mojado y el radio hidráulico, se
utilizan tablas o monogramas para simplificar el cálculo.
Entre los métodos de mayor sencillez tenemos el gráfico, en el cual se
utilizan las relaciones:
a = f1 ( K h / K H ) = f (Qh / QH ) ,
b = f 2 (Vh / VH ) ,
donde: a – es la relación de llenado para el caudal dado;
Kh, Qh – factor de gasto, y el caudal para el tirante h;
KH, QH – factor de gasto y caudal para la sección llena;
Vh – velocidad del flujo con el tirante h;
VH – velocidad del flujo para la sección llena.
En la figura 3.4 presentamos relaciones a y b para conductos de
sección circular y tipo baúl.
EJEMPLO 3.2. Determinar el caudal y la velocidad del flujo, en un
tubo de alcantarillado con pendiente i = 0,001 y diámetro D = 500
mm, para una relación de llenado h/H = 0,7.
Solución:
Según la tabla 2.1; n = 0,014,
A = 0,5 2 / 4 = 0,1963m 2 ;
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Principios de la Hidráulica 2
R = D / 4 = 0,5 / 4 = 0,125m ;
C = 0,1251 / 6 / 0,014 = 50,51 ;
Q = AC Ri = 0,1963 50,51 0,125 0,001 = 0,1108 m3 / s ;
VH = C Ri = 0,565m / s
Para la relación de llenado 0,7, según figura 3.4a, obtenemos:
a = 0,82 y b = 1,13; de donde:
Qh = a QH = 0,82 0,1108 = 0,091m 3 / s ;
Vh = b VH = 1,13 0,565 = 0,638m / s .
Figura 3.4a Curvas de Caudal y Velocidad para Canales Circulares
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Principios de la Hidráulica 2
Figura 3.4b Curvas de Caudal y Velocidad de Canales Tipo Baúl
3.2.
FLUJO NO UNIFORME EN CANALES
Una de las principales tareas del estudio del flujo no uniforme en canales es la
determinación de las diferentes formas de los perfiles de la superficie libre y por
consiguiente los tirantes que se establecen a lo largo del flujo.
Conocemos que para el flujo no uniforme la velocidad media V, el tirante h, la
pendiente de la superficie libre I, etc., no se mantienen constantes a lo largo del
flujo, figura 3.5.
Para cauces con pendiente del lecho del canal o solera is constante, el tirante h
cambia a lo largo del cauce y el perfil de la superficie libre es una línea curva.
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Principios de la Hidráulica 2
Figura 3.5 Flujo No Uniforme en Canales
Si el flujo es retardado, figura 3.6a, el tirante h aumenta a lo largo de éste y la
superficie libre forma una curva llamada de remanso o presión. Para un flujo
acelerado el tirante disminuye y la superficie forma una curva de derrame o
depresión, figura 3.6b.
a) Curva de Remanso
b) Curva de Derrame
Figura 3.6 Formas de la Superficie Libre
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Principios de la Hidráulica 2
3.2.1.
Ecuación Diferencial del Flujo no Uniforme Gradualmente Variado
Recordemos que tener un flujo gradualmente variado implica que la
distribución de la presión es hidrostática para el plano normal al flujo, lo
que nos permite aplicar la ecuación de Bernoulli en cualquier sección.
En la figura 3.5 se puede ver que,
H=z+h
diferenciando y dividiendo para –dl obtenemos,
−
dH
dz dh
=− −
,
dl
dl dl
como,
−
dH
=I
dl
−
y
dz
= is
dl
resulta que,
I = is −
dh
dl
(3.18)
Por otro lado, la energía específica entre dos secciones está dada por la
ecuación de Bernoulli.
z+h+
v 2
2g
+ hr = const.
Remplazando z + h = H, tenemos:
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Página 93
Principios de la Hidráulica 2
H+
v 2
2g
+ hr = const.
Derivando para dl.
dH d (v 2 / 2 g ) dhr
+
+
=0 ,
dl
dl
dl
de donde,
−
dH d (v 2 / 2 g ) dhr
=
+
dl
dl
dl
Como; -dH/dl = I ; i = dhr/dl
d (v 2 / 2 g )
I=
+i
dl
(3.19)
Analicemos los miembros de la derecha de la ecuación:
Según la ecuación de Chezy tenemos que,
i = v 2 /(C 2 R) = Q 2 /( A 2 C 2 R) ,
además;
d (v 2 / 2 g ) d (Q 2 / 2 gA2 ) Q 2 d (1 / A2 )
=
=
,
dl
dl
2g
dl
El área de una sección invariable en el tiempo es función de la longitud l y
la profundidad h, el diferencial total de la función A es:
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Página 94
Principios de la Hidráulica 2
dA =
A
A
dl +
dh ,
l
h
por lo que,
d (1 / A 2 ) = −2 dA / A 3 =
− 2 A
A
dl +
dh ;
3
h
A l
y,
d (1/ A2 ) / dl =
− 2 A A dh
+
;
A3 l h dl
Un incremento de área A = B h; donde B es el ancho del cual en la
superficie libre, figura 3.7, tenemos que
Figura 3.7 Incremento del Área en un Canal
A/ h = B
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Principios de la Hidráulica 2
Por lo tanto:
d (v 2 / 2 g ) / dl = −Q 2 (A / l + Bdh / dl) / gA3
Reemplazando esta ecuación y la de Chezy en la ecuación (3.19)
obtenemos:
I =−
Q 2
3
gA
(A / l + Bdh / dl) + Q 2 / A2C 2 R
(3.20)
Igualando las ecuaciones (3.18) y (3.20)
is − dh / dl = −
Q 2
gA3
(A / l + Bdh / dl) + Q 2 /( A2C 2 R) ,
De donde,
Q 2 A
Q2
is +
−
dh
gA3 l A 2 C 2 R
=
dl
Q 2
1−
B
gA3
(3.21)
Esta es la ecuación diferencial del movimiento no uniforme para canales
abiertos de sección variable.
En cauces prismáticos (sección constante), el área no depende de la
longitud l, por consiguiente A/ l = 0, tomando la ecuación (3.21), la
siguiente forma:
Q2
dh
A2C 2 R
=
dl
Q 2
1−
B
gA3
is −
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(3.22)
Página 96
Principios de la Hidráulica 2
De acuerdo con Altshul (1977), el coeficiente de Coriolis es igual a:
𝛼 = 1 + 208/𝐶 2
3.3.
(3.23)
ENERGIA ESPECIFICA DE UNA SECCION
Como energía específica de una sección, se conoce a la parte de la energía del flujo
determinada por el tirante h y la altura de velocidad v2/2g, sin la consideración de la
energía específica de posición, de tal manera que:
e = h + v 2 / 2 g
(3.24)
Esta energía corresponde a cada sección y es independiente una de otra sección,
razón por la cual e2 = e1 , figura 3.8, lo que no se puede decir de la energía
específica total E.
Figura 3.8 Energía Específica de una Sección
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Página 97
Principios de la Hidráulica 2
Para el flujo uniforme la energía específica de una sección se mantiene constante, o
sea 𝑒1 = 𝑒2 , donde:
e1 = h1 + v1 / 2 g ,
2
e2 = h2 + v2 / 2 g
2
Para un canal, con caudal dado, la energía específica de la sección depende del
tirante h, y siempre es positiva, e>0;
e = f (h) = h + Q 2 / A 2 2 g 0
(3.24)’
Si analizamos gráficamente la ecuación (3.24)’, tenemos que:
si h → 0 , entonces A → 0 , Q 2 /( A 2 2 g ) → , y e → ;
si h → , entonces A → , Q 2 /( A 2 2 g ) → 0 , y e → ;
La representación gráfica de la energía específica de una sección hidráulica se
muestra en la figura. 3.9.
La ecuación (3.24), tiene un valor mínimo, correspondiente a un valor de la
profundidad llamada tirante crítico.
Figura 3.9 Variación de la Energía Específica
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Página 98
Principios de la Hidráulica 2
3.3.1.
Tirante Crítico
El tirante crítico corresponde a la energía mínima de una sección, y
analíticamente se obtiene derivando la ecuación (3.23)
de
d (h + Q 2 / 2 gA2 )
Q 2 dA
=0=
= 1− 3
dh
dh
gA dh
Como dA/dh = B (ver figura 3.7), tenemos que,
0 = 1 − Q 2 B / gA3 ,
o,
A3 Q 2
=
B
g
(3.25)
Esta expresión nos determina el tirante crítico de canales de cualquier
sección geométrica, resolviéndose esta por aproximaciones sucesivas o
gráficamente.
Para un cauce de sección rectangular es fácil determinar la magnitud del
tirante crítico, ya que A = b hcr,
b 3 hcr 3 / b = Q 2 / g
de donde:
hcr = 3 Q 2 / g b 2
(3.26)
Introduciendo el concepto de caudal unitario o específico a la relación q =
Q/b, tenemos:
hcr = 3 q 2 / g
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(3.26’)
Página 99
Principios de la Hidráulica 2
Para canales prismáticos este autor propone resolver la siguiente ecuación
por aproximaciones sucesivas, asignando como primer valor hcr= 1.
ℎ𝑐𝑟 =
[𝛼𝑄2 {𝑏+(𝑚1 +𝑚2 )ℎ𝑐𝑟 }/𝑔]1/3
𝑚 +𝑚
[𝑏+( 1 2 )ℎ𝑐𝑟 ]
(3.27)
2
El tirante crítico tiene gran importancia física, ya que permite dividir a las
corrientes en dos tipos de flujo. Si el flujo posee una profundidad mayor
que el tirante crítico éste se denomina subcrítico, tranquilo o fluvial, y si
su profundidad es menor al tirante crítico, se denomina flujo supercrítico,
rápido o torrencial. Las condiciones físicas para estos flujos son diferentes
e influyen drásticamente en las condiciones de diseño en las obras
hidráulicas.
Como parámetro determinante de un régimen subcrítico o supercrítico se
tiene el Número de Froude, que es la relación adimensional entre la
velocidad media del flujo y la velocidad de difusión de las ondas en el
agua √𝑔ℎ.
𝐹𝑟 =
𝑉
√𝑔ℎ
(3.28)
Si, Fr < 1 – el régimen en subcrítico
Fr = 1 – régimen crítico
Fr > 1 – régimen supercrítico
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Principios de la Hidráulica 2
3.3.2.
Pendiente Crítica
Crítica se llama la pendiente a la cual, dado un caudal Q, se establece un
flujo uniforme con una profundidad igual al tirante crítico.
La pendiente crítica, también sirve de parámetro de comparación para la
determinación de flujos subcríticos y supercríticos; si la pendiente del
canal es menos que la crítica, el régimen es fluvial y si es mayor, es
torrencial.
La pendiente crítica se encuentra a partir de la ecuación de Chezy.
i = Icr = Q 2 / Acr 2 Ccr 2 Rcr
EJEMPLO 3.3 Determinar el tipo de flujo que se establece en un canal
rectangular de pendiente is = 0,005, ancho b=10m y un caudal Q=20m3/s.
Si el canal tiene un revestimiento de hormigón.
Solución:
Según la tabla 2.1, el coeficiente n= 0,014
Calculamos el tirante crítico, tomando = 1
(Con la ec.3.2, =1,047)
hcr = 3 202 / 9,8 102 = 0,745m
Por lo tanto:
Acr = 10 · 0,745 = 7,45m2
cr = 10 + 2 · 0,745 = 11,2m
Rcr = 7,45/11,5 = 0,65m
Ccr = (0,65)1/6/0,014 = 66,48 m1/2/s
Icr = 202/(7,452*66,482* 0,65) = 0,0025
Como tenemos que, 0,005 = is > Icr = 0,0025, entonces el flujo es
supercrítico, rápido y torrencial.
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Principios de la Hidráulica 2
3.4.
FORMAS DE LA SUPERFICIE LIBRE
Dependiendo del valor de la pendiente de la solera del canal is y de la pendiente
crítica se puede obtener la siguiente clasificación:
is < icr pendiente suave
is > icr pendiente pronunciada
is = icr pendiente crítica
is = o pendiente horizontal
is < o pendiente adversa
Para determinar las diferentes formas de la superficie libre expresamos la ecuación
(3.22) de la siguiente forma:
Q2
2
h
K 2 = i 1 − ( Ko / K )
=
s
l
Q 2 / g
Q 2 / g
1− 3
1− 3
A /B
A /B
is −
(3.29)
donde:
Ko – caudal característico correspondiente al flujo uniforme,
K – factor de gasto de la tirante existente h,
Q 2 / g - función que corresponde a la profundidad crítica,
A3/B – función que corresponde a la profundidad existente.
Esta ecuación nos expresa la variación de la profundidad a lo largo del flujo. El
valor positivo de h/ l corresponde a las curvas de remanso y el negativo a las
curvas de derrame.
Para el análisis de la superficie libre simplifiquemos la
ecuación (3.29) a la siguiente forma:
h
1 − f (ho / h)
= is
l
1 − f (hcr / h)
La existencia del tirante crítico y del tirante normal, dividen al flujo en tres zonas, a
cada una de las cuales le corresponde una forma, expuestas en la tabla 3.2.
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Principios de la Hidráulica 2
Tabla 3.2 Formas de la Superficie Libre
FORMAS DE LOS PERFILES
1. PENDIENTE SUAVE
is<icr .
h/ l = +/+
REMANSO
TIPO M2
ho>h>hcr
f(ho/h)>1
f(hcr/h)<1
M1
h/ l = -/+
DERRAME
TIPO M3
ho>hcr>h
f(ho/h)>1
f(hcr/h)>1
M2
hcr
M3
Is<icr
h/ l = -/REMANSO
TIPO S1
h>hcr>ho
f(ho/h)<1
f(hcr/h)<1
2. PENDIENTE PRONUNCIADA
Is>icr . TIPO S (Steep)
S
h/ l = +/+
1
REMANSO
TIPO S2
hcr>h>ho
f(ho/h)<1
f(hcr/h)>1
hcr
S
2
h0
ECUACION (3.28)
TIPO M1
h>ho>hcr
f/ho/h)<l
f(hcr/h)<l
TIPO M (Mild)
h0
ANALISIS DE LA
S
3
h/ l = +/-
Is>icr
DERRAME
TIPO S3
hcr>ho>h
f(ho/h)>1
f(hcr/f>1
h/ l = -/REMANSO
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Principios de la Hidráulica 2
Tabla 3.2 Formas de la Superficie Libre (Continuación)
3. PENDIENTE CRITICA
TIPO C1
h>ho=hcr
f/ho/h)<1
f(hcr/h)<1
is = icr . TIPO C
h/ l = +/+
REMANSO
TIPO C2
ho=hcr>h
f(ho/h)>1
f(hcr/h)>1
C1
h0=hcr
C3
h/ l = -/-
Is=icr
4. PENDIENTE HORIZONTAL
REMANSO
TIPO H2
h>hcr
f(ho/h)>1
f(hcr/h)<1
is = 0 . TIPO H
h/ l = -/+
H2
hcr
DERRAME
TIPO H3
hcr>h
f(ho/h)>1
f(hcr/h)>1
H3
Is=0
5. PENDIENTE ADVERSA
is < 0 . TIPO A
h/ l = -/+
DERRAME
TIPO A3
hcr>h
f(ho/h)>1
f(hcr/h)>1
A2
hcr
h/ l = -/REMANSO
TIPO A2
h>hcr
f(ho/h)>1
f(hcr/h)<1
A3
Is<0
h/ l = -/REMANSO
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Principios de la Hidráulica 2
3.5.
DISEÑO DE LA SUPERFICIE LIBRE
La ecuación (3.29) describe diferencialmente la forma de la superficie libre y se
resuelve mediante diferentes métodos desarrollados por varios autores.
En la
actualidad, debido al uso más frecuente de los microcomputadores es posible la
solución de esta ecuación en base a métodos numéricos, una de las cuales
corresponde a la integración por el método de los trapecios.
l=
12
11
dl =
h2
h1
(l / h)h ,
(3.30)
Conociendo el valor de h1 y estableciendo un h, se puede determinar h2 y la
longitud a la cual ésta existe, hasta obtener el valor de h2 o h1 dados.
A continuación presentamos el método desarrollado por Pavlovsky como resultado
de la integración de la ecuación. (3.29):
A) Para canales is > 0
is N l = 2 − 1 − (1 − Fr 2 )( 2 − 1 )
(3.31)
donde,
N = ( 2 − 1) /(h2 − h1 ),
1 = K1 / K o ,
2= K 2 / K o
i = 1,151 lg
1 + i
,
1 − i
i = 1,151 lg
i + 1
,
i − 1
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si, h < ho
si, h > ho
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Principios de la Hidráulica 2
Fr = ( C is B) /( g )
2
2
2
Aquí, Fr corresponde al valor medio de las características del flujo para las
secciones 1 y 2.
B) Para canales is = 0
icr N l = Fr 2cr ( 2 − 1) − ( 2 − 1 ) ,
(3.32)
donde,
2 = K 2 / K cr ,
1 = K1 / K cr ;
3
1 = 1 / 3 ;
3
2 = 2 / 3 ,
Frcr = ( Ccr icr Bcr ) /( g cr ) ,
2
2
C) Para canales is < 0
is N l = −( 2 − 1) + (1 + Fr 2 )( 2 − 1 )
(3.33)
donde,
1 = K1 / K 0* ;
2 = K 2 / K 0*
Ko*, corresponde a un valor ficticio de ho, tomando el valor absoluto de la
pendiente, is
.
= arctg ( ) .
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Principios de la Hidráulica 2
3.5.1.
Puntos de Control
Para definir el perfil de una superficie libre, a más de la geometría del
canal, se debe conocer al menos en un punto la velocidad o caudal y el
tirante del flujo, a estos puntos se les conoce como puntos de control.
La ubicación del punto de control depende del régimen del flujo. Para
regímenes subcríticos, las condiciones de aguas abajo son las que
imponen la forma del perfil, y en esa zona debe encontrarse el punto de
control; para el régimen supercrítico las condiciones de aguas arriba son
las determinantes.
EJEMPLO 3.4 Determinar el perfil de la superficie libre para un canal
rectangular de hormigón, el cual cambia de pendiente de suave a
pronunciada (is = 0,1) y se muestra en la figura 3.10. El ancho del canal
es b = B = 2m, la longitud L =50 m y el caudal Q = 1,8 m3/s.
Figura 3.10 Perfil de la Superficie Libre en una Rápida
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Principios de la Hidráulica 2
Solución. Para un canal de hormigón, según la tabla 2.1, el coeficiente de
rugosidad n = 0,014.
Para el tramo inicial, de pendiente suave,
suponemos que el flujo es uniforme y corresponde a la entrada de la
rápida o canal de pendiente pronunciada.
Calculamos el caudal característico,
Ko =
1,8
= 5,69m3 / s
0,1
Siguiendo el procedimiento descrito en el ejemplo 3.1, obtenemos el
tirante normal:
h1 = 0,44 ; K1 = 28,52 ;
h2 = 0,4 ; K 2 = 24,79 ,
x = 2,93
ho = 0,146m 0,15 m
El paso del régimen fluvial al torrencial es a través del tirante crítico y
este se establece en el punto correspondiente al cambio de pendiente,
siendo este un punto de control.
Calculamos el tirante crítico:
hcr = 3 1,82 (9,8 2 2 ) = 0,436m.
Con el apoyo de la ecuación (3.31) de Pavlovsky obtenemos el perfil de la
superficie libre, cuyos resultados se muestran en la primera parte de la
tabla 3.3. Y los resultados del método de integración directa de la
ecuación (3.29) en las tres últimas columnas de la mencionada tabla.
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Página 108
Principios de la Hidráulica 2
Tabla 3.3 Perfil de la Superficie Libre con los métodos de Pavlovsky e integración
directa.
h
A
x
R
C
K
æ
ho
B
φ
Fr
Δl
Σl
0,435 0,87 2,87 0,30 58,54 28,0 4,93 0,15 2,00 0,21 24,37
F(x)
Δl
Σl
-0,04
0,425 0,85 2,85 0,30 58,38 27,1 4,76 0,15 2,00 0,21 24,41
0,00
0,00
-0,80
0,00
0,00
0,415 0,83 2,83 0,29 58,22 26,2 4,60 0,15 2,00 0,22 24,45
0,01
0,02
-1,64
0,01
0,02
0,405 0,81 2,81 0,29 58,05 25,2 4,44 0,15 2,00 0,23 24,48
0,02
0,04
-2,57
0,02
0,04
0,395 0,79 2,79 0,28 57,88 24,3 4,27 0,15 2,00 0,24 24,51
0,03
0,07
-3,61
0,03
0,07
0,385 0,77 2,77 0,28 57,70 23,4 4,12 0,15 2,00 0,25 24,53
0,04
0,11
-4,76
0,04
0,11
0,375 0,75 2,75 0,27 57,52 22,5 3,96 0,15 2,00 0,26 24,55
0,05
0,16
-6,06
0,05
0,16
0,365 0,73 2,73 0,27 57,33 21,6 3,80 0,15 2,00 0,27 24,57
0,07
0,23
-7,52
0,07
0,23
0,355 0,71 2,71 0,26 57,14 20,8 3,65 0,15 2,00 0,28 24,59
0,08
0,31
-9,16
0,08
0,32
0,345 0,69 2,69 0,26 56,94 19,9 3,50 0,15 2,00 0,29 24,59
0,10
0,42
-11,03
0,10
0,42
0,335 0,67 2,67 0,25 56,73 19,0 3,34 0,15 2,00 0,31 24,60
0,12
0,54
-13,16
0,12
0,54
0,325 0,65 2,65 0,25 56,51 18,2 3,20 0,15 2,00 0,32 24,60
0,14
0,68
-15,60
0,14
0,68
0,315 0,63 2,63 0,24 56,29 17,4 3,05 0,15 2,00 0,34 24,59
0,17
0,85
-18,43
0,17
0,85
0,305 0,61 2,61 0,23 56,06 16,5 2,90 0,15 2,00 0,36 24,57
0,20
1,05
-21,70
0,20
1,05
0,295 0,59 2,59 0,23 55,82 15,7 2,76 0,15 2,00 0,38 24,55
0,24
1,28
-25,54
0,24
1,29
0,285 0,57 2,57 0,22 55,57 14,9 2,62 0,15 2,00 0,40 24,52
0,28
1,56
-30,08
0,28
1,57
0,275 0,55 2,55 0,22 55,31 14,1 2,48 0,15 2,00 0,43 24,49
0,33
1,89
-35,51
0,33
1,89
0,265 0,53 2,53 0,21 55,05 13,4 2,35 0,15 2,00 0,46 24,44
0,39
2,28
-42,06
0,39
2,28
0,255 0,51 2,51 0,20 54,77 12,6 2,21 0,15 2,00 0,49 24,39
0,46
2,73
-50,08
0,46
2,74
0,245 0,49 2,49 0,20 54,48 11,8 2,08 0,15 2,00 0,52 24,32
0,55
3,28
-60,09
0,55
3,29
0,235 0,47 2,47 0,19 54,17 11,1 1,95 0,15 2,00 0,57 24,25
0,66
3,94
-72,81
0,66
3,96
0,225 0,45 2,45 0,18 53,85 10,4 1,82 0,15 2,00 0,62 24,16
0,81
4,75
-89,42
0,81
4,77
0,215 0,43 2,43 0,18 53,52
9,7
1,70 0,15 2,00 0,67 24,06
1,00
5,75
-111,82
1,01
5,78
0,205 0,41 2,41 0,17 53,17
9,0
1,58 0,15 2,00 0,75 23,94
1,27
7,02
-143,41
1,28
7,05
0,195 0,39 2,39 0,16 52,80
8,3
1,46 0,15 2,00 0,84 23,81
1,65
8,67
-190,81
1,67
8,72
0,185 0,37 2,37 0,16 52,41
7,7
1,35 0,15 2,00 0,96 23,66
2,26 10,93
-268,95
2,30 11,02
0,175 0,35 2,35 0,15 52,00
7,0
1,23 0,15 2,00 1,13 23,49
3,35 14,28
-420,04
3,44 14,47
0,165 0,33 2,33 0,14 51,57
6,4
1,13 0,15 2,00 1,42 23,29
5,82 20,10
-828,09
6,24 20,71
0,155 0,31 2,31 0,13 51,11
5,8
1,02 0,15 2,00 2,32 23,08 18,82 38,91
-5546,39 31,87 52,58
La curva se acerca asintóticamente al tirante normal, por lo que, a la
distancia de 39m, se puede decir que, ya se tiene la profundidad normal.
Por el método de integración de trapecios se tendría que a los 50m alcanza
el valor del tirante normal.
En la actualidad hay diferentes programas libres disponibles cómo el HCANALES, que resuelven este y otros problemas.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 109
Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO IV
VERTEDEROS
Si en la solera de un canal, natural o artificial, se coloca una obra para el paso del flujo
sobre ésta, el nivel de la superficie libre de la corriente superficial se eleva hasta que el
caudal que pasa sobre la estructura es igual al caudal que fluye por el canal. A esta
estructura sobre la cual se vierte el líquido libre o controlado se le denomina vertedero o
vertedor hidráulico.
4.1.
ELEMENTO DE LOS VERTEDEROS
Siguiendo el sentido del flujo, al sector o zona anterior a cualquier estructura se le
denomina “aguas arriba” y al tramo posterior “aguas abajo”.
En la figura 4.1 presentamos los parámetros característicos de un vertedero y son:
Figura 4.1 Parámetros de los Vertederos
H - tirante o carga de un vertedero, se denomina a la altura de la lámina vertiente
medida a la distancia 1 > 3H aguas arriba del vertedero.
s - ancho de la cresta o borde, de la parte horizontal superior de un vertedero.
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b - longitud de la cresta.
p1, p2 - alturas del vertedero de aguas arriba y aguas abajo.
ha - profundidad o tirante del flujo en la zona de aguas abajo.
B - ancho del canal de acercamiento.
Vo - velocidad de acercamiento al vertedero.
Existen otros parámetros que influyen en la descarga de un vertedero, como: La
forma del canal de acercamiento, la forma de la cresta, la profundidad del nivel de
aguas abajo, etc., etc.
4.2.
CLASIFICACION DE LOS VERTEDEROS
A los vertederos se los clasifica de diferentes maneras, de las cuales presentamos
las siguientes:
I.
POR SU PERFIL
a) Pared Delgada. Son aquellos, en los cuales el ancho de la cresta s no
influye en la forma de la lámina vertiente, debiéndose cumplir la
condición s < 0,67H, figura 4.2
Figura 4.2 Vertedero de Pared Delgada Figura 4.3 Vertedero Poligonal
b) Perfil Poligonal. El ancho de la cresta s toma valores de 0,67H a
2,00H, figura 4.3. Además, los taludes aguas arriba y aguas abajo tienen
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cualquier inclinación con respecto a la horizontal y están determinados
por los ángulos 1 y 2 .
c) Cresta Ancha. El ancho de la cresta varía entre 2H<s<10H figura 4.4.
Para este valor de s las pérdidas por longitud todavía son despreciables.
Figura 4.4 Vertedero de Cresta
Ancha
Figura 4.5 Vertedero de Cresta
Redondeada
d) Cresta Redondeada. Figura 4.5. Su perfil, generalmente, se diseña
según la superficie inferior de una vena líquida que se derrama
libremente, cuya carga corresponde al caudal de proyecto.
Se les
conoce con el nombre de vertederos de perfil práctico o Creager –
Ofitzérov.
En esta clasificación se incluyen los vertederos de perfil circular, de
perfil parabólico y otros.
II.
POR LA FORMA DEL ORIFICIO VERTIENTE
La forma geométrica del orificio depende de las condiciones de
funcionamiento que el diseñador considera es adecuada para cada aplicación
y hay triangulares, rectangulares, trapeciales, circulares, ovalados y otros
Figura 4.6.
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a)
b)
c)
d)
b)
e)
Figura 4.6 Vertederos Según su Orificio
a) Rectangulares, b) Trapeciales, c) triangulares, d) curvos, e) combinados.
III.
POR SU CONFIGURACION EN EL PLANO
a) Vertederos Extendidos. La cantidad del líquido que se vierte por un
vertedero depende de la longitud de la cresta b, razón por la que, para
aumentar la cantidad de descarga del vertedero, a las crestas en el plano
se les da diferentes formas como se muestra en la figura 4.7.
b)
Figura 4.7 Vertederos Extendidos
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c) Cresta Cerrada. Figura 4.8. Guardan relación con los aliviaderos tipo
pozo, que están conectados a un túnel. Entre estos se encuentran los
abocinados (conocidos como aliviaderos Morning Glory), los de pétalos
de margarita y otros.
Figura 4.8 Cresta Cerrada
IV.
POR SU POSICION RESPECTO AL SENTIDO DEL FLUJO
La posición del vertedero con respecto a la dirección del flujo de llegada
también da el nombre a estos, por ejemplo los mostrados en la figura 4.9.
Figura 4.9 Vertederos según el Sentido del Flujo
a) normales, b) diagonales y c) laterales.
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Principios de la Hidráulica 2
V.
SEGÚN EL TIRANTE DE AGUAS ABAJO
Se les clasifican en sumergidos y no sumergidos, figura 4.10. En el caso de
que, el tirante de aguas abajo ha sea menor que p2 el vertedero no está
sumergido, en caso contrario es un vertedero sumergido. La condición de
sumergido influye directamente en la capacidad de paso del flujo por el
vertedero.
Figura 4.10 Vertederos No Sumergido y Sumergido
4.3 ECUACIÓN DE CAUDAL PARA VERTEDEROS
La ecuación de gasto para vertederos la obtenemos a partir de la ecuación de
Bernoulli para los puntos 1 y 2 figura 4.11.
Figura 4.11 Determinación de la Ecuación de Caudal
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2
2
2
2
v
u
u
u
h1 + o = 2 + 2 = 2 (1 + ) ,
2g 2g
2g 2g
Donde: h1 es variable y vo2/2g = const.
2
v
h1 + o = h01 ,
2g
y,
1 + = 1 / Cv ,
2
De donde,
u2 = Cv 2 g h01
(4.1)
El caudal es igual a:
Q = u 2 dA .
A
El tirante h01 toma valores de cero a Ho.
Ho
2
Q = Cv 2 g h10 bdh = Cv b 2 g Ho 3 / 2 .
3
0
Si, m =
2
Cv
3
Q = mb 2 g Ho 3 / 2 ,
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(4.2)
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Principios de la Hidráulica 2
Esta es la ecuación principal de vertederos, donde a m se le conoce como
coeficiente de gasto o caudal.
En ciertos casos la ecuación (4.2) se utiliza reemplazando Ho a través de H, y la
velocidad de acercamiento se le considera en el coeficiente de gasto, y se
escribe,
Q = mo b 2 g H 3 / 2
2
v
donde: mo = m1 + o
2 gH
(4.3)
3/ 2
Si, mo 2 g = C0 , entonces
Q = C0 bH 3 / 2 ,
(4.4)
Siendo ésta, otra de las formas en que se representa a la ecuación de caudal para
vertederos, muy difundida en la bibliografía americana.
Para considerar la variación de caudal en los vertederos no sumergidos o
sumergidos, se introduce un coeficiente adicional a la ecuación (4.3) llamado
coeficiente de inmersión ns.
Para vertederos no sumergidos ns = 1 y
sumergidos ns < 1. Así:
Q = ns mo b 2 g Ho 3 / 2
(4.5)
Experimentalmente se ha demostrado que el coeficiente de caudal m
frecuentemente toma valores de 0,3 a 0,6 o, para la ecuación (4.4) 1,0 < C <
2,7, pero según la forma del labio pueden tomar otros valores.
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Principios de la Hidráulica 2
4.4 VERTEDEROS DE PARED DELGADA
Los vertederos de pared delgada se utilizan, comúnmente, en calidad de medidores
de caudal, figura 4.12.a
a)
b)
Figura 4.12 Condición de Flujo en Pared Delgada
En este tipo de vertederos, en la parte posterior, pueden establecerse presiones
menores a la atmosférica, eliminar este fenómeno se consigue poniendo en contacto
la superficie inferior de la lámina vertiente con el medio ambiente. La presión
negativa modifica el caudal de descarga y la forma de la lámina vertiente como se
muestra en la figura 4.12.b.
4.4.1
Coeficiente de Caudal de un Vertedero de Pared Delgada
La apreciación del coeficiente de caudal m se realiza en base a ecuaciones
empíricas y tenemos:
Bazin
m = 0,405 +
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0,003
H
(4.6)
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R. Chugaev, para valores de p1 > 0,5 y H > 0,1m
mo = 0,4 + 0,005
H
p1
(4.7)
H. Smith, (British Standard)
2
H
m = mo = 0,6161 − 0,1
3
b
(4.8)
La utilización de las ecuaciones presentadas u otras, en su mayoría, dan un
error aproximado del orden del 1 a 2%, aceptables en la determinación de
caudales.
4.4.2
Coeficiente de Inmersión
Para la determinación del coeficiente de inmersión se utilizan tablas,
gráficos y ecuaciones dadas en la mayoría de los manuales de hidráulica;
aquí presentamos la ecuación de Bazin.
h
ns = 1,051 + 0,2 s 3 z / H
p2
(4.9)
Figura 4.13 Vertedero de Pared Delgada Sumergido
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Para un vertedero de pared delgada sumergido, con un tirante de aguas
abajo que sobrepase el borde o cresta en una magnitud mayor a 0,1H, en
el vertedero se forma una lámina ondulada como se muestra en la figura
4.13.
4.4.3
Otros Vertederos de Pared Delgada
Por facilidades constructivas y utilidad en la medida de caudales son
bastante comunes los vertederos de orificio triangular y trapecial.
Vertedero de Orificio Triangular. Se muestra en la figura 4.14a. Para
éstos vertederos, es muy difundidas las ecuaciones de King y Tomson
siempre y cuando ese ángulo de abertura = 90º y la ecuación de Grava
para los ángulos 22º 118º :
a)
b)
Figura 4.14 Vertederos Triangular y Trapecial
Ecuación de King
Q = 1,343 H 2, 47
(4.10)
Q = 1,4 H 5 / 2
(4.11)
Ecuación de Tomson
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Ecuación de Grava
Q = 1,331(tg / 2) 0,996 H 2, 47
(4.12)
Vertedero con Orificio Trapecial. Figura 4.14b. La ecuación para la
determinación de caudal, aplicable para ctg = 1 / 4 , es:
Q = 1,86bH 3 / 2 ,
4.5
(4.13)
VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA
Anotemos la ecuación de energía específica de una sección localizada sobre la
cresta del vertedero, figura 4.15:
e = z+h+
v 2
Q 2
= z+h+
2g
2 gb2 h 2
(4.14)
Figura 4.15 Flujo en un Vertedero de Cresta Ancha
Según Bakhmeteff (1912), el tirante que se establece sobre la cresta de un vertedero
es aquel, al cual la energía de la sección del flujo alcanza su valor mínimo.
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Principios de la Hidráulica 2
La ecuación (4.14) diferenciamos por dh para encontrar el mínimo de energía,
de
Q 2
= 1− 2 3 = 0 ,
dh
gb h
de donde:
h = 3 Q 2 / gb2 = hcr
(4.15)
Como se definió en el capítulo anterior, hcr es el tirante crítico, por lo que:
( Acr vcr ) 2 b 2 hcr
2
hcr =
=
=
vcr
2
2
2
gb
gb
gb
Q 2
2
por consiguiente,
hcr =
v cr 2
g
(4.16)
Esta relación utilizaremos para determinar el valor del tirante sobre la cresta.
Anotamos la ecuación de Bernoulli para las secciones 1 y 2 de la figura 4.15.
2
2
2
v
v
v
H + o = hcr + cr + cr ,
2g
2g
2g
el coeficiente depende de la forma de la cresta, y
2
v
H + o = Ho ,
2g
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Principios de la Hidráulica 2
por lo que:
2
vcr
(1 + ) ,
2g
Ho = hcr +
y:
vcr =
1
1+
2 g ( Ho − hcr ) ,
reemplazando,
1
= Cv ,
1+
Cv - es el coeficiente de velocidad para el vertedero
2
vcr
2
= Cv ( Ho − hcr ) ,
2g
También,
2
vcr
2
= 2 Cv ( H − hcr ) ,
g
y según la ecuación (4.16):
hcr = 2Cv ( Ho − hcr )
2
Consideremos hcr = kHo, entonces:
kHo = 2Cv ( Ho − kHo) ,
2
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Principios de la Hidráulica 2
De donde:
k=
2C v
2
1 + 2C v
,
2
(4.17)
La inexistencia de pérdidas hidráulicas en el vertedero (flujo ideal) corresponde
para un valor de Cv = 1,0 nos daría el valor máximo sobre la cresta del vertedero:
h=
2
Ho.
3
La ecuación de caudal según Bakhmeteff es,
Q = b hcr Cv 2 g ( Ho − hcr )
o,
Q = Cvb k Ho 2 g ( Ho − kHo) = Cvb k 1 − k 2 g Ho3 / 2 ,
Si, m = Cv k 1 − k , entonces:
Q = m b 2 g Ho 3 / 2 ,
Para, Cv = 1 obtenemos m = 0,385, que corresponde al valor máximo del
coeficiente de caudal para un vertedero de cresta ancha. Generalmente m = (0,30 a
0,35).
El coeficiente de caudal m para un vertedero de cresta ancha con aristas vivas, se
puede determinar con la ayuda de la ecuación de A. Berezinsky, Figura 4.15:
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Principios de la Hidráulica 2
m = 0,32 + 0,01
3−
p1
H
p
0,46 + 0,75 1
H
,
(4.19)
Para vertederos con aristas redondeadas a la entrada, con r/H 2, el coeficiente de
gasto según A. Berezinsky es:
p1
H
m = 0,36 + 0,01
3 p1
1,2 +
2H
3−
(4.20)
.
Para un régimen sumergido en la ecuación de caudal se introduce el coeficiente de
inmersión ns.
Q = ns mb 2 g Ho 3 / 2 ,
ℎ
donde, ns se puede apreciar con la siguiente ecuación, aplicable para 0,75 ≤ 𝐻𝑠 ≤
0
0,98.
ℎ𝑠
ℎ𝑠 2
ℎ𝑠 3
𝑛𝑠 = 26,799 − 96,532 (𝐻𝑜) + 121,55 (𝐻𝑜) − 51,607 (𝐻𝑜)
4.6
VERTEDEROS DE PERFIL CURVO
Los vertederos de perfil curvo son todos aquellos que, no están considerados como
vertederos de pared delgada ni como de cresta ancha y, se caracterizan por tener sus
aristas redondeadas.
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Principios de la Hidráulica 2
Según su perfil existen tres tipos principales que son:
1) Vertederos de perfil práctico o Creager – Ofitzarov figura 4.16 a
2) Perfil curvo con cresta horizontal figura 4.16 b
3) Perfil alargado figura 4.16 c.
Figura 4.16 Vertederos de Perfil Curvo
4.6.1
Vertederos de Perfil Práctico
Se denomina así, al vertedero cuyo perfil se diseña según la trayectoria de
la lámina interior de una vena líquida en derrame libre a través de un
vertedero de pared delgada. Figura 4.16 a.
En base a los resultados experimentales de Creager-Ofitzérov se
determina la trayectoria de la vena vertiente, cuyas coordenadas
presentamos en la tabla 4.2. Para obtener las del vertedero diseñado se
deben multiplicar los valores de la tabla por la carga H.
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Principios de la Hidráulica 2
Tabla 4.2 Coordenadas de un Vertedero de Perfil Práctico
Figura 4.17 Vertederos de Perfil Práctico
El coeficientes de caudal para el vertedero de la figura 4.16a tiene el valor
de m = 0,49; y para el mostrado en la figura 4.16 b, si el tramo horizontal
= 0, se tiene que m = 0,48.
Para 0,3H < s <2,5H (figura 4.16 b), el coeficiente de gasto se determina
con la ecuación de A. Berezinsky,
m = 0,36 + 0,1
2,5 − s / H
1 + 2s / H
(4.21)
Para vertederos sumergidos el coeficiente de inmersión está dado por la
siguiente relación obtenida del trabajo de Pavlovsky.
ℎ𝑠 3
ℎ𝑠 2
ℎ𝑠
𝑛𝑠 = 1,0 − 1,2924 (𝐻𝑜) + 1,0682 (𝐻𝑜) − 0,3291 (𝐻𝑜)
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(4.22)
Página 127
Principios de la Hidráulica 2
El Bureau of Reclamation de los Estados Unidos recomienda diseñar el perfil de los
vertederos como se muestra en la figura 4.18, en el que se consideran cuatro
opciones de inclinación de la pared de ingreso al vertedero. Las más utilizadas son
la pared vertical (90°) y la 3:3 (45°).
Figura 4.18 Perfil del vertedero USBR
Los valores de los coeficientes están presentados en el manual de Diseño de presas
Pequeñas (1982, págs. 304-310), sin embargo, de manera aproximada, algunos de
los coeficientes presentamos a continuación.
Para un paramento vertical (90°)
𝑉02 /2𝑔
𝐾 = 0,4985 + 0,3802
𝑛 = 1,8722 − 0,5945
𝑅1
𝐻0
𝑅2
𝐻0
𝐻0
𝑉02 /2𝑔
= 0,5277 − 0,3282
= 0,2317 − 0,4776
𝐻0
𝑉02 /2𝑔 2
)
𝐻0
,
(4.23)
𝑉02 /2𝑔 2
)
𝐻0
,
(4.24)
− 2,6894(
+ 2,0862(
𝑉02 /2𝑔
𝐻0
𝑉02 /2𝑔
𝐻0
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− 2,127(
𝑉02 /2𝑔 2
)
𝐻0
+ 1,5152(
,
𝑉02 /2𝑔 2
)
𝐻0
(4.25)
,
(4.26)
Página 128
Principios de la Hidráulica 2
Si, P/H0 0,5
𝑃 2
𝑃
𝐶0 = 1,716 + 1,576 (𝐻 ) − 1,635 (𝐻 ) ,
0
(4.27)
0
Si, P/H0 0,5
𝑃 2
𝑃
𝑃 3
𝐶0 = 2,047 + 0,1276 (𝐻 ) − 0,0443 (𝐻 ) + 0,0052 (𝐻 ) ,
0
0
(4.28)
0
Q = C0 bHo3 / 2
(4.29)
Con inclinación del paramento 3:3 (45°):
𝐾 = 0,5397 − 0,0091
𝑛 = 1,7803 − 0,5677
𝑅1
𝐻0
= 0,45 + 0,4161
𝑉02 /2𝑔
𝐻0
𝑉02 /2𝑔
𝐻0
𝑉02 /2𝑔
𝐻0
− 0,316(
𝑉02 /2𝑔 2
)
𝐻0
+ 2,4068(
− 2,7622(
− 5,1233(
𝑉02 /2𝑔 2
)
𝐻0
𝑉02 /2𝑔 2
)
𝐻0
𝑉02 /2𝑔 3
) ,
𝐻0
,
(4.31)
,
(4.32)
𝑅2 = ∞ ,
𝐶45
𝐶0
4.7
(4.30)
(4.33)
𝑃
𝑃 2
𝑃 3
= 1,0552 − 0,1252 (𝐻 ) + 0,0993 (𝐻 ) − 0,025 (𝐻 ) ,
0
0
0
(4.34)
CONTRACCIONES LATERALES EN LOS FLUJOS
Generalmente, el ancho del canal de acercamiento es mayor que el de la lámina que
se vierte (longitud de la cresta), por tal razón, el flujo sufre una contracción al pasar
por el vertedero. Además, sobre la cresta del vertedero puede ser necesario el
colocar pilas para el apoyo de compuertas y/o puentes,
figura. 4.19, las que
producen contracciones del flujo adicionales.
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Página 129
Principios de la Hidráulica 2
Figura 4.19 Contracción de la Lámina Vertiente
Debido a la contracción del flujo, la longitud efectiva de la cresta be es menor que
la longitud real de ésta (be < b). Siendo el caudal que se vierte por el vertedero
igual a:
Q = m be 2 g Ho 3 / 2
La longitud efectiva be se determina con la fórmula de Francis.
be = b − 0,1 n Ho
(4.35)
Donde, n es el número de contracciones;
es el coeficiente hidrodinámico de las pilas, se toman según la figura
4.20.
=1,0
=0,7
=0,7
=0,4
Figura 4.20 Coeficiente Hidrodinámico de Pilas.
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Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO V
FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS
El estudio de los flujos a través de orificios es de gran importancia por su aplicación en
obras hidráulicas de diferente tipo y se inicia con la expresión de Torricelli, obtenida de
manera analítica,
u = 2 gH
(5.1)
Muchos investigadores trataron de demostrar esta hipótesis pero, fue Daniel Bernoulli
quien explicó el fenómeno físico del flujo a través de orificios, que fueron completados
posteriormente por G. Venturi.
5.1.
CONDICIONES DE FLUJO EN ORIFICIOS
Las condiciones de flujo a través de orificios pueden ser diferentes, tales como:
Carga constante o variable. Orificio con descarga libre, figura 5.1a; semisumergida,
figura 5.1b; y sumergida , figura 5.1c. Orificio pequeño o grande. Orificio en pared
delgada, figura 5.1a, b y c; o en pared gruesa (toberas), figura 5.2 d y e.
Figura 5.1 Flujo a través de Orificios de Pared Delgada
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Principios de la Hidráulica 2
Figura 5.2 Flujo a través de Orificios de Pared Gruesa
La importancia de conocer las condiciones de flujo radica en que estas influyen
directamente en la magnitud de la velocidad de salida y en el caudal de descarga.
5.2.
FLUJO LIBRE EN ORIFICIOS PEQUEÑOS DE PARED DELGADA
Analicemos el flujo mencionado para una carga o caída constante (H = const). En
este caso los parámetros hidráulicos permanecen invariables con respecto al tiempo
(flujo estacionario).
En un tanque con orificio circular, el fluido se dirige hacia el orificio desde todos
los lados y forma la vena líquida que sale a través de éste, figura 5.3. La vena
líquida, a una distancia de 0,5 veces el diámetro del orificio, se contrae y su sección
transversal es mínima y se le llama sección contraída.
La relación del área de la sección contraída Ac para el área del orificio Ao, se conoce
como coeficiente de contracción .
=
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Ac
Ao
(5.2)
Página 132
Principios de la Hidráulica 2
Para un orificio circular, el diámetro de la vena en la sección contraída es dc =
0,8do.
Por consiguiente el coeficiente de contracción es:
d
= c
do
2
2
0,8d
=
= 0,64
do
La contracción del flujo, o sea la formación de la sección contraída, se debe a que
la velocidad media de esta sección es mayor que la velocidad media del flujo en la
sección del orificio, figura 5.3.
Figura 5.3 Diagrama de Velocidades en la Vena Líquida
Analicemos la distribución de la velocidad en la sección contraída y en el plano del
orificio. Supongamos que el fluido es ideal y que todas las partículas salen del
orificio con la misma velocidad e igual a la dada por la ecuación (5.1).
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Página 133
Principios de la Hidráulica 2
El caudal de salida depende de las proyecciones de la velocidad al eje horizontal,
siendo que las líneas de corriente en la sección misma del orificio no proyectan
toda la velocidad a la horizontal, el diagrama de velocidades resulta como el que se
muestra en la figura 5.3. No así para la sección contraída, donde todas las líneas de
flujo son paralelas y por consiguiente tenemos un diagrama de velocidades
rectangular.
Comparando los dos diagramas de velocidad concluimos que, la velocidad media
del flujo en el orificio es menor a la de la sección contraída, razón por la cual existe
esa diferencia de áreas,
Vo V → Ac Ao .
Aclaremos los conceptos de orificio pequeño y pared delgada. Se ha demostrado
experimentalmente que para orificios de diámetro menor a 0,1H, la distribución de
la velocidad en la sección contraída se puede tomar como el de la figura 5.3,
produciéndose un error no mayor al 5% en la determinación de la velocidad de
salida del flujo.
Para orificios de mayor diámetro se tiene que, la diferencia de cargas entre la
actuante en la parte superior y la parte inferior del orificio es tal que, el diagrama de
velocidades no es uniforme, figura 5.7, produciéndose mayor error en la
determinación de la velocidad media y del caudal de salida, si se toma la carga
media en el cálculo de estos valores.
En conclusión, si se cumple la condición dada por la ecuación 5.3 el orificio es
pequeño, en caso contrario grande.
d 0,1 H
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(5.3)
Página 134
Principios de la Hidráulica 2
Se considera que un orificio es en pared gruesa, cuando la vena líquida que pasa a
través de éste topa las paredes interiores del orificio en una sección posterior a la
contraída, llenando el flujo toda la sección de salida. Figura 5.2.
Como esta condición de contacto de la vena líquida depende de la velocidad del
flujo y de la longitud del orificio, para mantener las condiciones de pared delgada
se debe cumplir que l (3a 4)d .
5.2.1.
Velocidad y Caudal del Flujo
Anotemos la ecuación de Bernoulli para las secciones 1-1 y 2-2 en la figura 5.4.
2
vo
p2
v2
v2
z1 + + 1
= z2 +
+
+
2g
2g
2g
p1
Figura 5.4 Determinación de la Velocidad y Descarga a través de un Orificio
Pequeño
La velocidad en la sección 1-1 es despreciable, en comparación a la velocidad en
la sección 2-2. El coeficiente Coriolis tomamos = 1,0 . El coeficiente valora
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Página 135
Principios de la Hidráulica 2
todas las pérdidas hidráulicas producidas entre las dos secciones. Por lo que, la
ecuación anterior se transforma en:
z1 − z 2 =
v2
v2
,
+
2g
2g
Reemplazando; z1 – z2 por H, donde H es la carga al centro del orificio:
H=
v2
(1 + ) ,
2g
v=
1
1+
de donde:
siendo, Cv =
1
,
1+
2 gH ,
el coeficiente de velocidad, obtenemos la ecuación
definitiva para la velocidad de descarga,
v = Cv 2 gH
(5.4)
Experimentalmente se ha determinado que = 0,06, por consiguiente Cv = 0,97.
Este valor permanece constante para números de Reynolds mayores que 105, con
valores menores que este, el coeficiente de velocidad Cv disminuye.
Determinamos el caudal de desagüe.
Q = Ac v = Ac C v 2 gH ,
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Página 136
Principios de la Hidráulica 2
Conociendo que Ac = Ao y Ao tomamos como A,
Q = A C v 2 gH ,
Reemplazando C v por Cq , tenemos
Q = Cq A 2 gH ,
(5.5)
Donde: Cq es el coeficiente de gasto o caudal, que para orificios pequeños es
Cq = C v = 0,64·0,97 = 0,62 .
Se puede ver que, el coeficiente de gasto depende en su mayoría del coeficiente de
contracción y no del de velocidad. En otras palabras, la capacidad de desagüe de
un orificio depende de la contracción del flujo para una misma carga H.
La contracción de un flujo es perfecta cuando el orificio se encuentra ubicado a
una distancia l > 3d de las paredes laterales. En caso contrario la contracción es
afectada y Cq es mayor que el dado anteriormente.
5.3.
FLUJO A TRAVES DE UN ORIFICIO SUMERGIDO
Analicemos un orificio lo suficientemente sumergido con flujo estacionario como
el presentado en la figura 5.5.
Figura 5.5 Flujo a través de un Orificio Sumergido
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Página 137
Principios de la Hidráulica 2
Determinamos la velocidad en la sección 2-2 en base a la ecuación de Bernoulli
entre 1-1 y 2-2.
H1 +
v12
v
v 2
= H2 +
+ 2
2g
2g
2g
En este caso se podría considerar que existe una velocidad de acercamiento, por
consiguiente.
H1 − H 2 +
2
v1
v2
v2
=
+
2g 2g
2g
,
de donde,
v=
como:
Cv =
1
+
1
+
,y;
2 g ( H 1 − H 2 + v1 / 2 g ) ,
2
H1 − H 2 = H
v = C v 2 g (H + v1 / 2 g )
2
(5.16)
La ecuación obtenida es similar a la del flujo libre, ecuación (5.4), pero como se ve,
la magnitud de la velocidad depende de la diferencia de niveles de las superficies
libres o niveles energéticos.
El caudal se determina con la ecuación,
Q = Cq A 2 g (H + v1 / 2 g )
2
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(5.7)
Página 138
Principios de la Hidráulica 2
Si, la velocidad de acercamiento V1 = 0, tenemos que el caudal es:
Q = CqA 2 gH
(5.7)’
Experimentalmente se ha demostrado que los valores de los coeficientes, Cv y Cq
son los mismos que para flujo libre.
En el caso de dos o más orificios, la velocidad de salida del flujo a través de éstos
es la misma, independientemente de la profundidad a la que se encuentran, ya que
la velocidad depende de la diferencia de los niveles energéticos existentes, ecuación
(5.7)´, cómo se ve en la figura 5.6, v1 = v2.
Figura 5.6 Velocidad para Varios Orificios Sumergidos
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Página 139
Principios de la Hidráulica 2
5.4.
DESCARGA LIBRE A TRAVES DE UN ORIFICIO GRANDE
Para orificios grandes, con una abertura a > 0,1H, el diagrama de velocidad en la
sección contraída no es posible considerarle constante, estableciéndose en esta
sección un diagrama de velocidades como el mostrado en la figura 5.7.
Figura 5.7 Flujo Libre a través de un Orificio Grande
La determinación del caudal para un orificio rectangular (muy frecuentes en obras
hidráulicas), es posible mediante el siguiente procedimiento:
Para una sección infinitesimal de flujo, dA = bdH, es posible aplicar la formula de
flujo a través de orificios pequeños, así:
dQ = Cq dA 2 gH = Cq b 2 gH dH ,
Integrando la ecuación entre H1 y H2 obtenemos el caudal total del orificio,
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Página 140
Principios de la Hidráulica 2
H2
Q = Cq b 2 g H dH ,
H1
y,
Q = (2 / 3)Cq b 2 g ( H 2
3/ 2
− H1
3/ 2
)
(5.8)
Ecuación con la que determinamos el caudal que pasa a través de un orificio
grande, sin embargo, no es muy exacta ya que al integrar se considera que Cq =
constante. Y este coeficiente puede variar de acuerdo a las condiciones de
ubicación del orificio.
5.5.
FLUJO A TRAVES DE TOBERAS O PARED GRUESA
Toberas se llaman a los tubos cortos en los cuales es posible despreciar las pérdidas
por longitud, y pueden ser de diferentes formas: cilíndricas, cónicas convergentes o
divergentes, abocinadas /boquillas), etc. Figura 5.8.
Figura 5.8 Tipos de Toberas (a. Venturi; b. Interior;
c. Convergente; d. Divergente; e. Boquilla)
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Página 141
Principios de la Hidráulica 2
Existe una longitud mínima que debe tener una tobera, que es la condición de pared
gruesa, o sea l > (3 a 4)d. Además, su carga H no debe ser mayor a Hlim valor que
definiremos posteriormente.
En una tobera el flujo a la salida ocupa toda la sección de salida, por consiguiente,
el coeficiente de contracción = 1,0 y el coeficiente de gasto es igual al de la
velocidad Cq = Cv.
5.5.1.
Velocidad y Gasto en una Tobera
Al entrar a la tobera el flujo se contrae por causas explicadas anteriormente y la
velocidad en la sección n-n, figura 5.9, es igual a la del flujo sin tobera y mayor
que la velocidad a la salida de esta, vc > v.
La contracción del flujo, con su aumento de velocidad, condiciona el
aparecimiento de vacío en la sección n-n. En realidad este debe existir ya que,
según la ecuación de Bernoulli, para un mismo plano el aumento de velocidad
produce una disminución de presión, y siendo la presión a la salida de la tobera la
atmosférica, en la sección n-n debe ser menor a ésta.
La ecuación de Bernoulli para las secciones 1-1 y 2-2 es:
2
v1
v2
H+
=
+ h1−2
2g 2g
Las pérdidas de carga están conformadas por las de contracción a la entrada hasta
la sección n-n y las de expansión en la zona posterior a esta sección (las pérdidas
por longitud se consideran despreciables desde el concepto mismo de tobera).
De esta forma las pérdidas son iguales a:
vc (vc − v) 2
=
+
,
2g
2g
2
h1−2
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Página 142
Principios de la Hidráulica 2
Figura 5.9 Flujo a través de una Tobera
Despreciando la altura de velocidad en la sección 1-1 la ecuación queda:
v
(v − v) 2
v2
H=
+ c + c
,
2g
2g
2g
2
Conociendo que; v c =
v
2
v2
v2
v2 1
H=
+
+
− 1 ,
2g
2 g 2 2 g
de donde,
v=
1
1 + +(1 −1) 2
2
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2 gH = Cv 2 gH
Página 143
Principios de la Hidráulica 2
Considerando que: = 0,06 y = 0, 64; entonces Cv = 0,82.
Como el flujo en la sección 2-2 llena toda el área interior de la tobera,
Cq = Cv = 0,82 ,
El caudal de igual manera determinamos con la ecuación (5.5).
5.5.2 Formación de Vacío en las Toberas
La ecuación de Bernoulli entre las secciones 1-1 y n-n es:
po
2
pc
2
v
v
H+
= + c + c ,
2g
2g
de donde:
po − pc
2
= hvac =
vc
(1 + ) − H ,
2g
pero,
vc =
v
y v = Cv 2 gH ,
hvac = (1 + )
hvac
2
Cv
H −H ,
2
Cv 2
= H 2 (1 + ) − 1
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(5.9)
Página 144
Principios de la Hidráulica 2
Conocido que: = 0,06; Cv = 0,82 y = 0,64; entonces
hvac 0,75H
(5.10)
De esta ecuación se puede determinar el valor máximo de la carga H. Siendo que
el máximo valor de vacío es igual a:
hv
max
=
p at
,
La carga límite por condición de vacío máximo es:
H lim 1,3
pat
,
(5.11)
Este valor límite nos informa que, para una carga mayor el flujo pierde
continuidad, por lo que es necesario adoptar o diseñar toberas con entrada gradual
y otras precauciones como la aireación del flujo.
A continuación se presentan ciertos valores de coeficientes para diferentes toberas
y boquillas para números de Re > 105.
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Página 145
Principios de la Hidráulica 2
Tabla 5.1 Coeficientes para Orificio y Toberas
FIGURA
Cv
Cq
0,64
0,97
0,62
1,0
0,82
0,82
0,98
0,96
0,94
OBSERVACION
= 13º
1,0
0,5
0,5
5°< < 13°
1,0
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0,7
0,7
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Principios de la Hidráulica 2
5.6.
FLUJO BAJO COMPUERTAS
La regulación de caudales en orificios, canales y vertederos, se realiza por medio de
compuertas, y en éstas, la cantidad de flujo que se escurre es proporcional a la
abertura de la compuerta.
Las compuertas pueden tener diferentes formas, las más comunes son las planas y
las de forma de un segmento de circunferencia. En la figura 5.10 a, b se muestran
ejemplos de éstas.
a. Compuerta Plana
b. Compuerta Tipo Segmento
Figura 5.10 Flujo Bajo Compuertas
Los flujos al pasar bajo las compuertas sufren una contracción en el plano vertical y
a cierta distancia de la compuerta se observa la formación de un tirante contraído
hc, igual a:
hc = a ,
(5.12)
donde; es el coeficiente de contracción vertical.
En el análisis del escurrimiento bajo compuertas se considera el flujo
bidimensional, el coeficiente de contracción solo corresponde al plano vertical, las
contracciones laterales pueden considerarse en base a la ecuación (4.22).
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Principios de la Hidráulica 2
5.6.1.
Flujo Bajo una Compuerta Plana no Sumergida
Anotemos la ecuación de Bernoulli para una sección anterior a la compuerta y la
sección del tirante contraído, figura 5.10 a)
2
2
2
v
v
v
H + o = hc + c + c ,
2g
2g
2g
en donde;
2 g ( H o − hc) = vc (1 + ) ,
2
o,
vc =
1
(1 +
2 g ( H o − hc) ,
vc = C v (2 g ( H o − hc) ,
Además; hc = a,
vc = C v 2 g ( H o − a)
(5.13)
En la sección del orificio la velocidad media es,
v = vc = C v 2 g ( H o − a) .
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Principios de la Hidráulica 2
El caudal
Q = ab v = ab C v 2 g ( H o − a )
o,
Q = ab Cq 2 g ( H o − a)
(5.14)
El coeficiente de contracción depende del grado de abertura a la compuerta y de
la carga H.
Para pequeñas aberturas (a/H < 0,1 y Re > 105), el coeficiente de contracción es
= 0,615.
Si la relación a/H > 0,75 el escurrimiento corresponde a un flujo sobre un
vertedero o un canal con una perturbación que produce una pérdida de forma.
Los valores de para 0,1 < a/H < 0,75, están dados por la ecuación:
𝑎
𝑎 2
𝑎 3
𝜖 = 0,6089 + 0,0787 ( ) − 0,1944 ( ) + 0,3489 ( )
𝐻
𝐻
𝐻
El coeficiente de velocidad para compuertas planas en canales es Cv = 0,96 y si se
encuentran sobre vertederos curvos Cv = 0,85 a 0,95.
La determinación de la abertura necesaria para descargar un caudal dado se realiza
por aproximaciones sucesivas (tanteo), tomando el coeficiente de contracción
= 0,62 como primera aproximación.
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Principios de la Hidráulica 2
5.6.2 Compuertas Inclinadas y Curvas
Las ecuaciones que se obtuvieron para compuertas planas verticales, son válidas y
para compuertas inclinadas y curvas, como las presentadas en la figura 5.11.
Figura 5.11 Compuertas Inclinada y Radial
Indudablemente, los coeficientes de contracción y caudal son diferentes a los
obtenidos para compuertas planas verticales. En este caso, depende del ángulo
de inclinación de la compuerta con respecto a la horizontal. Mientras mayor es el
ángulo mayor es la contracción y menores son el coeficiente y el caudal.
El coeficiente de contracción para valores de < 90º se determina con la
fórmula de K. Jimitsky.
=
1
1 + 0,53sen3
(5.15)
Para valores de > 90º el coeficiente de contracción es demasiado pequeño por
lo que no se recomienda el diseño con ángulos de estas magnitudes.
Para compuertas con el borde inferior redondeado o compuertas cilíndricas, el
coeficiente de contracción se aproxima a la unidad.
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Página 150
Principios de la Hidráulica 2
Para una compuerta ubicada sobre un vertedero de perfil práctico, el coeficiente de
velocidad Cv = 0,95 y los valores del coeficiente de contracción se determina con
la tabla 5.2 o la ecuación (5.15) según sea el caso.
EJEMPLO 5.1 Tres cámaras están comunicadas entre sí por toberas y orificio
como se muestra en la figura 5.12. Determinar el caudal y los niveles de las
superficies libres en cada cámara, si el diámetro de la tobera d1 = 0,1m; el de la
tobera cónica d2 = 0,2m y el diámetro del orificio d3 = 0,1. La diferencia total de
los niveles es H = 5m.
Figura 5.12 Flujo a través de Varios Orificios
La ecuación (5.5) se cumple para todos los casos y considerando que Q1 = Q2 =
Q3,
Cq1 A1 2 gh1 = Cq 2 A2 2 gh2 ,
y
Cq1 A1 2 gh1 = Cq3 A3 2 gh3 ,
de donde:
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Página 151
Principios de la Hidráulica 2
h2 =
2
2
2
2
2
2
2
2
Cq1 A1
Cq 2 A2
h1 = h1 (Cq1 / Cq 2 ) 2 (d1 / d 2 ) 4
y
h3 =
Cq1 A1
Cq 3 A3
h1 = h1 (Cq1 / Cq 3 ) 2 (d1 / d 3 ) 4
Geométricamente tenemos que
H = h1 + h2 + h3 ,
y, según la tabla 5.1, Cq1 = 0,82; Cq2 = 0,94 y Cq3 = 0,62: obtenemos:
h2 = (0,82 / 0,94) 2 (0,1 / 0,2) 4 h1 = 0,0476h1 ,
h3 = (0,82 / 0,62) 2 (0,1 / 0,1) 4 h1 = 1,7492h1
así,
H = h1 + 0,0476h1 + 1,7492h1 = 5
de donde:
h1 = 1,79m ; h2 = 0,09m y h3 = 3,12m
El caudal obtenemos con h1 en la ecuación (5.5)
Q = 0,82 (0,05) 2 19,6 1,79 = 0,0381m 3
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Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO VI
CONJUGACION DE AGUAS
Como Conjugación de Aguas entendemos a los fenómenos físicos que suceden en
cambios de pendientes o niveles en los canales, especialmente en lo relacionado a la
forma de la superficie libre y todas las características del flujo.
En este capítulo
analizaremos las conjugaciones de aguas más comunes que se presentan en las obras
hidráulicas.
6.1.
CAMBIOS DE PENDIENTES EN CANALES
Para diferentes pendientes del lecho de un canal la profundidad normal no es la
misma, ya que a un cambio de pendiente le corresponde un cambio de profundidad.
Existen varias combinaciones de valores de las pendientes, pero solo analizaremos
las que producen cambios de un régimen a otro.
6.1.1 Cambio de Régimen Fluvial a Torrencial
El paso de régimen fluvial a torrencial en canales, para flujo estacionario, se
produce al cambio de pendiente de is < icr a una pendiente is > icr. Como se
estudió en el Capítulo III, para todos los casos de régimen fluvial el tirante normal
siempre está sobre el tirante crítico y para el torrencial éste está bajo el tirante
crítico, por lo que la superficie libre que se forma es una curva de derrame, la cual
pasa por el valor correspondiente a la profundidad crítica, figura 6.1.
Figura 6.1 Conjugación de Aguas de Régimen Fluvial a Torrencial
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Página 153
Principios de la Hidráulica 2
La superficie libre en este proceso no sufre cambios bruscos de profundidad y el
tirante pasa de un valor normal a otro de manera gradual.
6.1.2 Cambio de Régimen Torrencial a Fluvial
La conjugación de aguas es mucho más compleja en el paso de régimen rápido a
fluvial, éste corresponde a una pendiente inicial is > icr y pasa a is < icr. En estas
condiciones de paso de régimen, la superficie libre tiene un cambio brusco y es
siempre a través del fenómeno físico llamado resalto hidráulico, figura 6.2.
Figura 6.2 Conjugación de un Régimen Torrencial a un Fluvial
6.2.
EL RESALTO HIDRAULICO
El paso del flujo supercrítico a subcrítico solo es posible con la formación del
llamado salto o resalto hidráulico, que no es más que una elevación brusca de la
superficie libre.
El resalto hidráulico puede tener dos formas: la primera con la formación de un
remolino superficial figura 6.3a, llamado resalto directo y la segunda con la
formación de una onda, que se transmite aguas abajo, llamado resalto ondulado.
Figura 6.3b.
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Página 154
Principios de la Hidráulica 2
Los principales elementos geométricos del resalto directo son: la primera y segunda
conjugadas h1 y h2, y son los calados en las secciones anterior y posterior al resalto
hidráulico; la altura del resalto h = h2 − h1 ; la longitud de resalto ls, que, en este
caso, corresponde a la proyección del remolino del resalto a la horizontal. El punto
B, en la figura 6.3a, nos marca el término del remolino superficial o la línea
divisoria entre el flujo y el contraflujo superficial. Hay una zona posterior a la del
resalto, lps, en la cual las macro turbulencias y la disipación de energía producidas
por el resalto se mantienen todavía.
Figura 6.3a Resalto Hidráulico Directo
Figura 6.3b El Resalto Hidráulico Ondulado
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Página 155
Principios de la Hidráulica 2
6.2.1 Ecuación del Resalto para un Cauce Prismático
Una de las principales tareas en el estudio del resalto hidráulico es la
determinación de sus conjugadas h1 y h2, y es posible tomando como volumen
de control la zona del resalto y aplicado el concepto de cambio de cantidad de
movimiento, figura 6.4.
Suponiendo una pendiente casi horizontal, despreciando las fuerzas de
resistencia y aplicando el cambio de cantidad de movimiento para las secciones
1 y 2 tenemos:
P1 − P2 = − o1 v1 A1 + o 2 v2 A2 ,
2
2
2
donde;
o1 o 2 1,0
P1 = A1Z1
;
P2 = A2 Z 2
Z1 y Z2 son las profundidades a los centroides de A1 y A2.
Figura 6.4 Volumen de Control en el Resalto Hidráulico
Así,
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Página 156
Principios de la Hidráulica 2
Q 2 Q 2
A1Z1 − A2 Z 2 = −
+
,
gA1 gA2
simplificando y agrupando:
Q2
Q2
+ A1Z1 =
+ A2 Z 2 ,
gA1
gA2
(6.1)
a ésta se le conoce como ecuación principal del resalto hidráulico. Y tenemos
que los únicos parámetros variables son; el área y la profundidad al centroide Z,
de esta manera:
Q2
+ ZA = f (h) ,
gA
la función f (h ) se le denomina función del resalto, por lo que la ecuación (6.1)
está representada por:
f (h1 ) = f (h2 )
Gráficamente esta ecuación se muestra en la figura 6.5.
La determinación de una de las conjugadas, es posible, si se conoce la otra
conjugada, con la ayuda de la ecuación (6.1).
La función del resalto hidráulico posee un valor mínimo y éste corresponde a la
profundidad crítica, figura 6.5.
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Página 157
Principios de la Hidráulica 2
Figura 6.5 Gráfica de la Función del Resalto
Para cauces rectangulares en la ecuación (6.1) tenemos que: A = bh y Z = h/2,
de donde
h
Q 2 h1
Q2
+ bh1 =
+ 2 bh2 ,
gbh1 2
gbh2 2
dividiendo para b,
Q2
gb 2
1 1 h2 2 − h1 2
− =
,
2
h1 h2
2Q 2
gb 2
h2 − h1
= (h2 − h1 )(h1 + h2 ) ,
h
h
1
2
o,
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Página 158
Principios de la Hidráulica 2
simplificando en (h2 – h1) y como Q2/gb2 = hcr3 obtenemos
2
2
h1h2 + h1 h2 − 2h 3 cr = 0 ,
(6.2)
de donde:
h
h1
h2 =
1 + 8 cr
2
h1
3
h
h2
h1 =
1 + 8 cr
2
h2
3
− 1 ,
(6.3)
− 1
(6.4)
y,
La relación (hcr / h1 ) 3 = Q 2 /( gb 2 h1 2 h1 ) = v1 2 / gh1 = Fr1 2 , por lo que:
h1 =
h2
2
1 + 8Fr 2 − 1
2
(6.3)’
h2 =
h1
2
1 + 8Fr 1 − 1
2
(6.4)’
y
6.2.2 Pérdida de carga en el Resalto
De la aplicación de la ecuación de Bernoulli y el uso de la función del resalto
ecuación (6.1), se tiene que la pérdida en el resalto hidráulico es
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Página 159
Principios de la Hidráulica 2
hr =
(h2 − h1 ) 3
= E .
4h1h2
(6.5)
Este valor corresponde a la pérdida de energía o energía disipada en todo el
resalto hidráulico, que corresponde a la longitud del remolino más la longitud
donde la variación de velocidad, con respecto a la zona de aguas abajo, es
despreciable.
Investigaciones realizadas por Kusnetzov (1983) nos demuestran que, la energía
disipada en el remolino del resalto hidráulico es una parte de la energía
calculada con la ecuación (6.5), la diferencia de energía es la que se disipa en
una zona posterior a éste.
Según Kusnetzov, la energía que se disipa en la zona misma del resalto
hidráulico es:
2
2
v
v
Es = h1 + 1 − h2 − cr
2g
2g
(6.6)
Y la energía que se disipa en la zona posterior al resalto,
2
E ps = h2 +
2
vcr
v
− ha − a ,
2g
2g
(6.7)
donde: va y ha son la velocidad y el calado de aguas abajo del resalto, si ha = h2.
2
2
v
v
E ps = cr − 2
2g 2g
(6.8)
La condición para la existencia de un resalto directo es de que (Fr1)2 > 3, para
valores 1< (Fr1)2 < 3 tenemos el resalto ondulado.
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Principios de la Hidráulica 2
Para el resalto hidráulico ondulado, figura. 6.3b, la altura desde el lecho del
cauce hasta la cima de la primera onda se determina con la ecuación de
Kusnetzov:
2
h
h2 = h1 + 0,5 cr − 0,16hcr
h1
(6.9)
6.2.3 Longitud del Resalto Hidráulico
Según Taraymovich (1966), Ohtsu (1990) y Márquez (2006), en el resalto
hidráulico se pueden considerar tres longitudes características, figura 6.6:
̅̅̅̅ ).
a) La longitud del remolino, ( 𝐴𝐵
b) La longitud donde el tirante se iguala al nivel de aguas abajo, ( ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ).
c) La longitud donde la velocidad del flujo se estabiliza y no difiere
̅̅̅̅). Longitud a la que
significativamente de la velocidad de aguas abajo, (𝐴𝐷
prácticamente la energía del resalto se disipa completamente.
Figura 6.6 Longitudes en el Resalto Hidráulico
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Principios de la Hidráulica 2
La longitud del remolino ls se determinar con la ayuda de varias ecuaciones
empíricas como las siguientes:
Einwachter
𝑙𝑠 = 8,3ℎ1 (𝐹𝑟1 − 1) ,
Kumin
ls = 5,67(h2 − h1 ) ,
Kusnetzov
ls = 16,7(hcr − h1 ) ,
Ohtsu
ls = 3,7h2 ,
Pavlosky
ls = 2,5(1,9h2 − h1 ) ,
Sáfranez
ls = 6h1 Fr1 ,
Sandoval
𝑙𝑠 = ℎ1 (−0,1𝐹𝑟12 + 7,5𝐹𝑟1 − 4,1) ,
Schaumián
ls = 3,6(h2 − h1 )(1 + h1 / h2 ) 2 ,
(6.10)
Al ser la ecuación de S. Kusnetzov de origen semiempírico es la que se
recomienda para su uso.
Para determinar la longitud a la que el nivel de las profundidades se igualan ls 2,
̅̅̅̅ ), figura 6.6, se pueden sugerir las siguientes expresiones:
(𝐴𝐶
Márquez
𝑙𝑠2 = 9,8ℎ1 (𝐹𝑟1 − 1) ,
Silvester
𝑙𝑠2 = 9,5ℎ1 (𝐹𝑟1 − 1)1,01 ,
USBR
𝑙𝑠2 = 6,1ℎ2 ,
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
(6.11)
Página 162
Principios de la Hidráulica 2
Woycicki
ℎ
𝑙𝑠2 = (ℎ2 − ℎ1 ) (8 − 0,05 ℎ2 ) ,
1
Con fines prácticos, para el diseño de protecciones del lecho del cauce aguas
abajo, es importante conocer la longitud posterior al remolino del resalto figura
̅̅̅̅-𝐴𝐵
̅̅̅̅ ), para lo cual existen las siguientes expresiones:
6.6, lps =lT - ls ; (𝐴𝐷
Chertousov
Kumin
𝑙𝑝𝑠 = 2,5𝑙𝑠 ,
𝑙𝑝𝑠 = 8ℎ𝑐𝑟 ,
Ohtsu
𝑙𝑝𝑠 = 3,9ℎ2 ,
Vuizgo
l ps = 0,4ho / n
(6.12)
ho - es el tirante normal aguas abajo (h2) y, n - coeficiente de rugosidad del
lecho.
6.3.
CONJUGACION DE AGUAS EN VERTEDEROS
La lámina líquida que se derrama sobre el cimacio del vertedero llega a aguas abajo
a gran velocidad, lo que corresponde a un régimen supercrítico y las condiciones
físicas de aguas abajo, generalmente, corresponden a un flujo subcrítico, por lo que
se tienen todas las condiciones para que se forme el resalto hidráulico.
La solera de aguas abajo es horizontal o con una ligera pendiente, por lo que, es
necesario un radio de transición entre la curvatura del vertedero y la pendiente de la
solera, figura 6.7. La transición se logra trazando dos líneas tangentes al vertedero
y a la solera, en cuya bisectriz se encuentra ubicado el centro del radio R, dado por
la siguiente expresión:
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Página 163
Principios de la Hidráulica 2
R 5hc
(6.13)
Figura 6.7 Cambio de Pendiente tras un Vertedero
Desde el punto de vista hidráulico, el resalto puede presentarse de las siguientes
tres posiciones posibles, figura 6.8.
I.
resalto libre y corrido,
II.
resalto libre al pie de presa,
III.
resalto sumergido.
Figura 6.8 Ubicación del Resalto Aguas Abajo de un Vertedero
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Página 164
Principios de la Hidráulica 2
El criterio de estas tres ubicaciones es la siguiente:
Si, ha < h2 el resalto está libre y desplazado hacia aguas abajo a cierta distancia de
la presa;
ha = h2 el resalto está libre al pie de la presa, en una posición llamada crítica (al
pie del vertedero);
ha > h2 el resalto se encuentra sumergido.
Estos criterios del resalto también se aplican en el caso de flujos bajo compuertas.
6.3.1
TIRANTE CONTRAÍDO AL PIE DE LA PRESA.
Determinemos la posición del resalto hidráulico en un cambio de pendiente de i >
icr a i <icr, como el mostrado en la figura 6.8; supongamos que el resalto se forma
inmediatamente en la sección de cambio de pendiente (II forma). En este caso el
calado hc corresponde a la primera conjugada del resalto y ha a la segunda
conjugada, entonces
ha = h2 =
hc
2
1 + 8Frc − 1
2
En el caso de que ha sea menor a la segunda conjugada h2, el resalto se desplaza
hacia aguas abajo a la distancia l, en la cual, forma una curva de remanso hasta el
instante en que la profundidad del resalto hidráulico h1, tiene como segunda
conjugada h2 igual a ha.
Con el fin de determinar, cuál es la segunda conjugada h2 que se necesita para las
condiciones dadas de aguas abajo, hay que determinar la profundidad contraída hc
que se establece al pie de la presa, figura 6.9.
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Página 165
Principios de la Hidráulica 2
Figura 6.9 Determinación del Calado Contraído
Supongamos que tenemos dados el caudal Q y la caída T. Apliquemos la ecuación
de Bernoulli entre las secciones 1 y 2.
T + v0 / 2 g = hc + vc / 2 g + vc / 2 g ,
2
2
2
Si, T0 = T + v0 2 / 2 g , remplazando tenemos;
To = hc + vc ( + ) / 2 g ,
2
To = hc +
Q2
( + ) ,
2
b 2 hc 2 g
de donde;
Q=
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1
b hc 2 g (To − hc ) ,
+
Página 166
Principios de la Hidráulica 2
conocemos que, Cv =
1
, reemplazando y despejando:
+
hc =
Q
b C v 2 g (To − hc )
(6.14)
Como ésta es una ecuación de tercer grado, se resuelve por aproximaciones
sucesivas. Como primer valor de hc se toma:
hc
Q
b Cv 2 gTo
El coeficiente de velocidad depende del tipo de vertedero y de su altura. Para
presas pequeñas de perfil Creager Cv = 0,97; una mejor apreciación de este
coeficiente se obtiene con la ecuación (6.21). En el caso de compuertas sobre los
vertederos estos coeficientes son menores (Cv=0,90).
En la práctica de la ingeniería hidráulica, conocemos la profundidad del sector de
aguas abajo ha, por lo que se procede de la siguiente manera:
Tomamos h2 = ha y calculamos la primera conjugada del resalto
h1 =
ha
2
1 + 8Fr −1 ,
2
a
y comparamos: si, h1 > hc, el resalto está corrido; y para h1 = hc el resalto está al pie
del vertedero, y si hc > h1 el resalto está sumergido.
En el caso de que el resalto esté alejado del pie de la presa, se debe dibujar la curva
de remanso en la longitud tal que hc se una con h1 en base a algún método dado en
el Capítulo III.
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Página 167
Principios de la Hidráulica 2
Como el desplazamiento del resalto hacia aguas abajo acarrea mayores gastos en la
protección del lecho del cauce. Es frecuente que, en obras de ingeniería la
conjugación de aguas se diseña de tal manera que, el resalto se encuentra a pie de
presa o ligeramente sumergido con un coeficiente de inmersión ns = 1,05 a 1,10 que
tendría como fin el evitar la socavación del lecho.
Para evitar el corrimiento del resalto del pie de la presa, para cuando h2 > ha, se
diseña un colchón de aguas, que permite controlar la posición del resalto hidráulico
y concentrar, en lo posible, la disipación de la energía en un solo sitio. Existen
varias formas de crear un colchón de aguas, los más comunes son: Mediante un
estanque tipo pozo, con un muro o pared y la combinación de estos.
6.3.2
Colchón de Aguas Tipo Pozo
En la figura 6.10 se muestra un colchón de aguas tipo pozo, el cual debe tener
suficiente profundidad d para que el resalto y sus turbulencias no se desplacen
hacia aguas abajo.
Figura 6.10 Colchón de Aguas Tipo Pozo
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Página 168
Principios de la Hidráulica 2
El cálculo del colchón de aguas consiste en determinar la profundidad del pozo d y
la longitud lp.
Para un funcionamiento normal del pozo, hp tiene que ser mayor o igual a la
segunda conjugada del resalto, tomada como primera conjugada la profundidad
contraída.
h1 = hc y h p = ns h2
En donde,
h p = ns
hc
2
1 + 8Frc − 1
2
(6.15)
De igual manera, de la figura 6.10 tenemos que,
h p = d + ha + Z ,
(6.16)
Igualando y despejando obtenemos la profundidad de pozo;
d = ns
hc
2
1 + 8Fr − 1− h − Z
2
a
(6.17)
Donde: hc se determina según (6.14),
hc =
Q
b Cv 2 g (To + d − hc )
,
(6.17)’
Z - se determina como una pérdida de carga a la entrada de un vertedero de
cresta ancha, o entrada a un canal;
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Principios de la Hidráulica 2
Q2
Q2
Z =
−
,
2
2
2
2
2
2 gCv ba ha
2 gb p h p
(6.18)
Q2
1
1
Z =
− 2
2
2
2
2 gb C v ha
hp
(6.18)’
Aquí, Cv = 0,8 a 0,9;
La dependencia de todas las magnitudes del valor de d implica una resolución por
aproximaciones sucesivas.
La longitud del pozo lp se diseña de tal manera que en éste quepa el resalto
hidráulico. Según Pavlovsky lp se puede tomar aproximadamente igual a la
longitud del remolino.
l p = (1,0 a 0,8)ls
(6.19)
El USBR y otros autores recomiendan tomar igual a la longitud ls2, ecuaciones
6.11.
6.3.3
Colchón de Aguas Tipo Muro
En la mayoría de los casos, económicamente no conviene que el pozo sea muy
profundo, ya que esto produce un aumento del volumen de obras y por ende un
aumento de los costos. Para ciertos casos es posible la construcción de un muro
cuya función es mantener al resalto sumergido al pie de la presa, figura 6.11.
El cálculo hidráulico del muro es más sencillo que el cálculo de la profundidad del
pozo, y utilizamos la ecuación (6.15),
h p = ns
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hc
2
1 + 8Fr −1 ,
2
c
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Principios de la Hidráulica 2
hc =
Q
bCv 2 g (To − hc )
Figura 6.11 Colchón de Aguas Formado por un Muro
De la figura 6.11, tenemos que hp = Hp + C, de donde:
C = hp − H p ,
(6.20)
y Hp es la carga sobre el muro, el cual se calcula como un vertedero,
Q = mb 2 g H p
3/ 2
Un diseño más económico del colchón de aguas se obtiene de la combinación de
un pozo con un muro, cuyo cálculo hidráulico es la combinación de los dos
métodos expuestos anteriormente, figura 6.12.
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Principios de la Hidráulica 2
Figura 6.12 Colchón de Aguas Formado con un Pozo y Muro
6.4 CAIDAS
Se entiende como caída a una variación brusca de niveles del terreno, entre los
cuales se deben diseñar las obras hidráulicas necesarias para la conjugación de las
aguas de arriba con las de abajo.
Las obras hidráulicas más frecuentes en estos casos son las Rápidas y los
Escalones. Entendiéndose como rápidas a los canales de pendiente pronunciada is
> icr, y escalones la sucesión de varias caídas libres del flujo, hasta vencer la
depresión.
6.4.1 RÁPIDAS
Los elementos constitutivos de una rápida son: Canal de entrada, sección de
entrada o vertedero, canal de pendiente pronunciada, estanque de disipación y
canal de salida o de empate con aguas abajo, figura 6.13.
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Principios de la Hidráulica 2
Figura 6.13 Esquema de una Rápida
La sección de control, generalmente, se diseña como un vertedero de cresta
ancha o de perfil redondeado, figura 6.13, ya que ésta obra se utiliza para
regulación de caudales por descarga libre o mediante compuertas y sirve de
unión entre el canal de acercamiento y la rápida misma (el canal de
acercamiento puede o no existir). En algunos casos, en este tramo se prevé una
reducción del flujo, que puede ser gradual o brusca.
El canal de régimen torrencial (supercrítico) se diseña de sección rectangular y
el cálculo hidráulico consiste en determinar el tirante normal, el tirante crítico y
la variación de la superficie libre en éste, que es de derrame.
La profundidad del flujo en la sección de entrada del canal se toma igual al
tirante contraído tras el vertedero (en el caso de estar presente) y al tirante
crítico, si el derrame es directo (sin vertedero).
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Principios de la Hidráulica 2
El tirante al final de la rápida se puede apreciar, de manera aproximada,
suponiendo que se tiene al final del canal un tirante contraído, calculado con la
ecuación (6.14), cuyo coeficiente de velocidad Cv se determina con la siguiente
expresión propuesta por V. Borovkov (1979) para rápidas con revestimiento de
hormigón.
1
0,0015
1+
(T − H o ) 4 / 3 ,
Cv
is
(6.21)
donde: is = sen, es la pendiente del canal.
En la sección de salida es común el diseño de un colchón de aguas, tema
expuesto en las páginas anteriores. Adicionalmente, puede estar presente una
expansión del flujo que, generalmente, es gradual y con un grado de divergencia
lateral no mayor a 7º. Esta expansión es con el fin de disminuir el caudal
unitario en el sector de aguas abajo y por consiguiente la segunda conjugada del
resalto, y así empatar más favorablemente con el flujo de aguas abajo.
6.4.2 ESCALONES
Los escalones se utilizan para caudales relativamente pequeños en suelos firmes,
de preferencia en roca. A más de las huellas y contrahuellas estas estructuras
también tienen una sección de entrada y otra de empate con aguas abajo, figura
6.14.
El cálculo hidráulico consiste en determinar las longitudes de las huellas y
contrahuellas y por consiguiente el número de escalones.
La longitud de caída libre del flujo l1 se calcula con la siguiente expresión de M.
Chertousov,
l1 = 1,64 H o (C + 0,24H o )
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(6.22)
Página 174
Principios de la Hidráulica 2
Figura 6.14 Escalones Hidráulicos
La longitud lp, es la necesaria para contener por lo menos al resalto hidráulico y
se la calcula con la ecuación (6.19), y la longitud l2 depende de la topografía y
del número de huellas necesarias para vencer la caída.
Desde el punto de vista hidráulico es preferible que en cada escalón se forme un
colchón de aguas, ya que esto mejora notablemente la disipación de la energía.
6.5 CONJUGACION DE AGUAS CON DEFLECTOR TIPO ESQUI
Un deflector tipo esquí es más conveniente que una rápida o un escalón, debido a
que las obras de conjugación a ejecutarse son menores a las analizadas
anteriormente y su diseño es posible siempre y cuando existan las condiciones,
especialmente geológicas, para su construcción.
El cálculo de este tipo de conjugación consiste en la determinación de la longitud
de alcance del chorro lanzado por el deflector hacia aguas abajo, longitud que tiene
que ser suficiente para no poner en peligro cualquier obra adyacente al punto de
caída al chorro o el medio ambiente; y el cálculo de la profundidad de socavación
que produce la caída del chorro.
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Página 175
Principios de la Hidráulica 2
Para determinar la longitud de alcance del flujo se analiza el movimiento de una
partícula que sigue la trayectoria del eje central del chorro.
La solera a la salida del vertedero o canal tiene un deflector con un ángulo de
desprendimiento , con el cual sale el flujo a la velocidad v1, figura 6.15.
Figura 6.15 Deflector Tipo Esquí
La trayectoria de la partícula del eje central se describe con la siguiente ecuación:
z = x tg − gx 2 /(2v1 cos2 )
2
(6.23)
Si se conoce v1 y el ángulo del deflector . Generalmente = 25º a 35º, el alcance L
del chorro es:
2
v
2
L = k a 1 cos (sen + sen2 − 2 gz2 / v1 ) ,
g
donde:
(6.24)
ka es el coeficiente de aireación del flujo, que para flujos con Fr12 < 35,
ka = 1; y para Fr12 > 35, ka = 0,8 a 0,9.
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Página 176
Principios de la Hidráulica 2
z2 = - (zs + h1cos/2)
Para la determinación de la profundidad de socavación hs existen varias fórmulas
empíricas, una de las cuales es la propuesta por M. Vuizgo,
q 0,567 ( z1 + z 2 ) / g
hs = 5,13 K
(d 90% + 0,2) 0,3
0 ,15
donde:
(6.25)
K es el coeficiente de desprendimiento del flujo del deflector (K = 1,0 a
0,4), para deflectores en vertederos de grandes presas K = 0,7.
q = Q/b, caudal unitário (m3/s)/m.
d90% diámetro de las partículas en mm, que corresponden al 90% de la
masa del suelo en el sitio de impacto del chorro.
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Página 177
Principios de la Hidráulica 2
EJEMPLO 6.1 Diseñar una presa vertedora y un colchón de aguas en un río que en
cuya sección de cierre se tienen los siguientes datos, figura 6.16:
Nivel Máximo de Aguas Arriba (NMA) = 24,
Nivel del Lecho del Río = 18,5,
Tirante Aguas Abajo ha = 2m,
Ancho del Cauce para ha, b = 6,2 m,
Caudal de Diseño Q = 29,4 m3/s.
Figura 6.16 Sección de Cierre para el Diseño de una Presa
A. Cálculo del Vertedero
Utilizamos la ecuación (4.2). Para no afectar la magnitud del caudal unitario, la
longitud de la cresta del vertedero tomamos igual a b = 6,2m. Por ser un
vertedero tipo Creager-Ofizerov m = 0,49, por lo tanto:
Q
Ho =
m b 2 g
2/3
29,4
=
0,49·6,2· 19,6
2/3
= 1,68m.
Calculamos la velocidad de acercamiento vo, considerando la profundidad del
flujo en Aguas Arriba, T = 24 - 18,5 = 5,5 m.
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Página 178
Principios de la Hidráulica 2
vo = Q / bT = 29,4 /(6,2·5,5) = 0,862m / s ,
H = H o − vo / 2 g = 1,68 − 0,04 = 1,64m.
2
de donde:
Cota de la cresta del vertedero = 24 – 1,64 = 22,36. En esta cota se ubican
las coordenadas de diseño del vertedero, calculadas con la tabla 4.2,
modificadas con el valor de H = 1,64.
X
0,000
0,164
0,328
0,492
0,656
0,984
1,312
1,640
Z
0,207
0,059
0,011
0,000
0,011
0,098
0,241
0,420
X
1,968
2,296
2,778
3,280
4,100
4,920
5,740
6,560
Z
0,644
0,927
1,432
2,025
2,624
4,631
6,260
8,085
Determinamos el tirante contraído ecuación (6.14) tomando Cv = 0,97;
hc =
29,4
6,2·0,97· 19,6(5,54 − hc )
= 0,493m.
Calculamos la segunda conjugada considerando h1 = hc = 0,493m, siendo el
número de Froude:
Fr 2 = v1 / gh1 = (Q / bh1 ) 2 / gh1 = 9,622 /(9,8·0,493) = 19,15,
2
h2 =
0,493
1 + 8 19,15 − 1 = 2,81m,
2
ha < h2, por consiguiente el resalto se recorre del pie de la presa y es necesario
el diseño de un colchón de aguas.
B. Diseño del Colchón de Aguas
Diseñemos un colchón de aguas tipo pozo y como primera aproximación
tomamos,
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Página 179
Principios de la Hidráulica 2
d = h2 − ha = 2,81 − 2,00 = 0,81 0,8m.
La profundidad del pozo cambia las condiciones del flujo aguas abajo y por
consiguiente el tirante contraído, calculándose nuevamente con la ecuación
(6.14):
hc =
29,4
6,2·0,97· 19,6(5,54 + 0,8 − hc )
= 0,46m ,
para este tirante el número de Froude es Fr2 = 23,57.
La profundidad en el pozo en forma aproximada,
h p d + ha = 0,8 + 2,0 = 2,8m ,
Tomando Cv = 0,85 (para arista viva), calculamos Z:
(29,4) 2
Z =
19,6 6,2 2
1
1
−
= 0,25m .
2
2,8 2
(0,85 2)
Según la ecuación (6.17) tenemos:
d = 1,1 (0,46 / 2) 1 + 8 23,57 − 1 − 2,0 − 0,25 = 0,98m.
Tomamos d = 1,0m y realizamos una segunda iteración, con los siguientes
resultados:
hp = 1,0 + 2,0 + 0,25 = 3,25m.
Z = 0,29m.
hc = 0,45m, Fr2 = 25,19
d = 0,985m.
Por razones constructivas tomamos, definitivamente, d = 1,0m, lo que aumenta
ligeramente el coeficiente de inmersión.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 180
Principios de la Hidráulica 2
Siendo la cota del fondo del pozo 17,5. Figura 6.17.
Determinamos la longitud del pozo lp = ls:
lp = 16,7(hcr − h1 ),
hcr = 3 29,4 2 /(9,8 6,2 2 ) = 1,32m,
h1 = hc = 0,45m,
lp = 16,7(1,32 − 0,45) = 14,53 14,5m.
Para completar el cálculo de la conjugación de las aguas determinamos el radio
de curvatura con el cual empatamos el vertedero diseñado con el pozo, según
ecuación (6.13):
R = > 5h1 = 2,25m,
en este caso tomamos R = 2,3m.
Las
demás
condiciones
de
conjugación
se
ejecutan
analíticamente,
geométricamente y en base a consideraciones constructivas.
Figura 6.17 Diseño de un Vertedero con Colchón de Aguas
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 181
Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO VII
FLUJO DE SEDIMENTOS EN CAUCES ABIERTOS
Los flujos, tanto en cauces naturales como artificiales, arrastran y transportan ciertas
cantidades de material sólido llamado azolves o sedimentos. Formando de esta manera
una corriente de dos componentes; líquido y sólido. Las partículas sólidas transportadas
por el flujo se dividen en arrastre de fondo y en suspensión.
El agua al pasar por cauces no revestidos ejecuta una acción de lavado del suelo,
produciendo una socavación general del cauce o socavaciones parciales. Los azolves no
solamente se forman por la acción de flujo, sino también por otros factores como el
viento.
Los sedimentos son de diferente tamaño y forma. Las partículas más grandes tienen
generalmente la forma esférica o una forma cercana a ésta, o la de elipsoide que es común
para los cantos rodados. Las partículas más pequeñas tienen una forma geométrica
irregular o en forma de placas o láminas.
Para el estudio de los sedimentos se ha sugerido caracterizar la geometría exterior a través
del coeficiente de forma (Ff), para cuyo cálculo se han sugerido varias fórmulas, de las
cuales las más usadas son:
2
d
Ff = e ,
a b
Ff =
c
a b
(7.1)
,
(7.1)’
donde: a, b y c son las dimensiones de la partícula (longitud, ancho y espesor); de, es el
diámetro equivalente al de una esfera cuyo volumen corresponde al de la partícula. El
diámetro equivalente se determina con la ecuación,
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 182
Principios de la Hidráulica 2
d e = 3 6V / ,
(7.2)
aquí, V es el volumen de la partícula.
También, para la determinación del diámetro equivalente se utiliza la relación,
d e = (a + b + c) / 3 ,
(7.2)’
esta relación no es aplicable para partículas muy planas.
Además del factor de forma, para caracterizar a los sedimentos se utilizan ciertos
diámetros obtenidos del análisis de la curva granulométrica de todos sus componentes.
7.1.
CONCENTRACIÓN DE SEDIMENTOS O TURBIDEZ
Para determinar el grado de concentración de sedimentos en un flujo utilizamos el
concepto de turbidez, siendo ésta la cantidad de sedimentos que contiene un
volumen determinado de mezcla de agua y sedimentos. La turbidez se puede
expresar en función de su masa o volumen.
El caudal volumétrico de la mezcla agua-sedimentos es igual
Qm = Qs + Q,
(7.3)
donde: Qm es el caudal de la mezcla (m3/s); Qs es el caudal de sedimentos (m3/s); Q
es el caudal de agua (m3/s).
El caudal másico es,
m Qm = s Qs + Q ,
(7.4)
aquí: m , s , , son las densidades de la mezcla, sedimentos y del agua (kg/m3).
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 183
Principios de la Hidráulica 2
Se considera que el valor promedio de la densidad de los sedimentos de los ríos es
de s = 2650 Kg/m3.
De la ecuación (7.4) obtenemos que la concentración de sedimentos Gs es,
G s = s Qs , (kg/m3) (m3/s) = kg/s
(7.5)
por lo tanto, la turbidez media del flujo o concentración, en kg/m3, es:
T = Gs/Qm
(7.6)
Si en esta ecuación consideramos que Qm = Q tendremos una buena aproximación
del valor de la turbidez.
(7.6)’
T = Gs/Q
La turbidez también se expresa en partes por millón (ppm).
Para ríos de llanura y montaña G. Lopatin la ecuación 7.7, en la que se observa la
relación de la turbidez con el gradiente de la superficie libre I, la profundidad del
flujo H, la velocidad de caída de las partículas w y a la rugosidad del cauce n.
T = 4 H I /(n 2 w) ,
(kg/m3)
(7.7)
La turbidez es un parámetro que se determina experimentalmente y generalmente,
los valores obtenidos por medio de ecuaciones empíricas no siempre dan valores
satisfactorios o la ecuación es válida y aplicable para determinadas cuencas.
Ing. Washington Sandoval E., Ph.D
Página 184
Principios de la Hidráulica 2
7.2.
VELOCIDAD DE CAIDA DE LAS PARTICULAS
En el estudio del movimiento de los azolves uno de los factores más importantes es
la velocidad uniforme de caída de las partículas en el agua en reposo w.
Para determinar una relación entre la velocidad de caída w y las dimensiones de la
partícula, consideremos las fuerzas actuantes sobre una partícula que cae en un
fluido en reposo. Supongamos que la partícula sólida es más pesada que el agua y
tiene la forma esférica, en este caso, ésta cae por la acción de la siguiente la fuerza,
1
p = d 3 g ( s − ) ,
6
(7.8)
Al movimiento de la partícula se opone una fuerza igual a,
F = Cz A v 2 / 2g .
(7.9)
Aquí:
Cz - es el coeficiente de arrastre o coeficiente de resistencia de la partícula; A
es el área, y es igual a la proyección de la partícula a un plano normal al del
movimiento; v – la velocidad relativa del movimiento de la partícula en el
fluido.
El coeficiente de arrastre Cz depende de muchos parámetros, entre éstos del número
de Reynolds y de la forma de la partícula.
En la figura 7.1 se muestra la
dependencia de Cz del número de Reynolds (Re = wd/ ), para una forma esférica.
Figura 7.1 Coeficiente de Arrastre Cz para Partículas Esféricas
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Principios de la Hidráulica 2
Para partículas esféricas y valores pequeños de Reynolds (Re < 1), de la solución
de las ecuaciones de Navier-Stokes, se obtiene que:
F = 3 wd ,
(7.10)
De las ecuaciones (7.9) y ecuación (7.10)
Cz =
24
Re
(7.11)
De la igualdad entre P y F se obtiene la ecuación para la determinación de la
velocidad uniforme de caída w para cuando Re < 1,
w = gd 2
(s / ) − 1
18
(7.12)
Se ha demostrado que esta ecuación es válida hasta valores de Re 104 a 105, para
diámetros de la partícula d < 0,05 mm.
Los regímenes de flujo que aparecen de la interrelación de la partícula con el agua
(fluido) dependen de la velocidad de caída w y del diámetro de la partícula.
En el régimen laminar la velocidad de caída no depende de la forma de la partícula.
En condiciones normales la zona de resistencia cuadrática (zona en la cual la
velocidad de caída no depende de la viscosidad) aparece cuando Re 500.
La velocidad real de caída de los sedimentos es mucho menor a la obtenida
teóricamente por la ecuación (7.12), ya que en la determinación de la velocidad w
no se considera la influencia de las partículas adyacentes y por tanto, la
perturbación entre partículas en el proceso de caída.
La ecuación (7.12) para el caso general tiene la forma:
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Página 186
Principios de la Hidráulica 2
w=
d
g ( s / ) − 1 ,
6 Cz
(7.13)
Para utilizar esta ecuación es indispensable conocer la relación experimental Cz =
f(Re), para cada forma de partícula.
El tamaño de las partículas de los azolves es diferente, por lo tanto poseen
diferentes velocidades de caída.
Para el cálculo de la velocidad media de caída, que represente a todo el flujo de
sedimentos, se utiliza la curva granulométrica de éstos, la cual se la divide en varias
fracciones (cuatro o cinco) y para cada fracción se determina la media aritmética de
la velocidad de caída wi;
w i = ( w1 + w2 ) / 2 ,
(7.14)
o la media geométrica;
w i = ( w1 + w2 + w1 ·w2 ) / 3 ,
(7.14)’
Donde, w1 y w2 son las velocidades de caída de las partículas extremas de cada
fracción. En la tabla 7.1 tenemos las velocidades de caída en función el diámetro.
Con las velocidades parciales de caída wi se calcula la velocidad media
representativa de los azolves
wm = 0,01 wi ·pi ,
(7.15)
Donde, pi es el porcentaje en peso de las fracciones independientes tomadas de la
curva granulométrica para el cálculo de wi.
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Principios de la Hidráulica 2
Tabla 7.1 Velocidad de Caída de las Partículas para Ff = 0,8, (Shterenligth, 1984)
d
w
REGIMEN DE
(mm)
(m/s)
CONTORNO
arcilla
0,001
0,00000078
Laminar
limo
0,01
0,000078
0,05
0,00195
0,10
0,01
0,50
0,06
1,00
0,12
1,50
0,17
2,00
0,21
2,50
0,25
3,00
0,27
5,00
0,35
10,00
0,49
20,00
0,69
30,00
0,85
cantos
50,00
1,10
rodados
100,00
1,55
MATERIAL
arena
grava
7.3.
transición
turbulento
MOVIMIENTO DE LOS AZOLVES
Para el estudio del transporte de sedimentos consideremos el movimiento de
partículas correspondientes a suelos no cohesivos. Las partículas se trasladan de
dos maneras: 1) En suspensión, formando los azolves que llevan el mismo nombre
y, 2) Por el fondo, que a su vez pueden desplazarse rodando por el lecho del cauce
o en forma de saltos que se intercalan con deslizamientos.
Una misma partícula en ciertas condiciones puede ser parte de los azolves de fondo
y en otras, puede pasar a formar parte de los azolves en suspensión.
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Principios de la Hidráulica 2
Al pasar una partícula del reposo al movimiento, en ciertos casos, se observa
movimientos de deslizamiento o giro por el fondo en forma discontinua y en otros,
las partículas se separan del fondo dando saltos discontinuos que permiten el
traslado de las partículas hacia aguas abajo.
7.4.
TRANSPORTE DE FONDO
Veamos el mecanismo de acción del flujo sobre las partículas sólidas localizadas en
el fondo de un cauce, Figura 7.2. En éste suponemos que el eje x coincide con la
dirección del flujo.
Figura 7.2 Acción del Flujo sobre Partículas del Fondo
Es común el estudio de la acción de flujos sobre partículas, tanto de fondo como de
suspensión, en un plano bidimensional, por lo que solo se consideran las
componentes de las fuerzas px, pz y el momento que aparece con respecto al punto
C de contacto con las partículas adyacentes, Figura 7.2.
La componente pz corresponde a la fuerza instantánea de sustentación y es el
resultado de la acción del peso propio de la partícula, el empuje ascensional y las
fuerzas hidrodinámicas, tales como la viscosidad, gradiente de presión, etc.
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Principios de la Hidráulica 2
El gradiente de presión depende de las condiciones en las cuales se produce el
desprendimiento del flujo de la partícula, por lo tanto, puede adquirir valores tanto
positivos como negativos.
Como resultado de la acción de las fuerzas descritas y en determinadas condiciones,
la partícula puede separarse del fondo.
De las observaciones realizadas por Diementev y Shterenligth, en partículas de
arena, se obtuvo que la fuerza instantánea de elevación disminuya a medida que se
separa la partícula del fondo, cuando no existen condiciones para mantenerla en
suspensión. Al alcanzar la partícula una distancia con respecto al fondo l = 0,8d, la
fuerza de elevación disminuye hasta cero. El ángulo de separación de la partícula
con respecto a la horizontal es aproximadamente de 25º.
La velocidad del flujo a la cual se inicia el movimiento de las partículas, se le
denomina velocidad crítica de deslizamiento Vc. Para velocidades menores que ésta
las partículas permanecen en reposo y para velocidades mayores, éstas se pondrán
en movimiento.
Existe otra manera de considerar el equilibrio de las partículas al movimiento, en
base a los esfuerzos tangenciales desarrollados por el flujo, denominados esfuerzos
de corte críticos c .
La ecuación más sencilla para la determinación de la velocidad crítica de inicio de
la erosión es;
Vc = A gd
(7.16)
donde, d es el diámetro medio de las partículas (m); A es una coeficiente empírico
para el cual se han propuesto varias maneras de determinación:
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Principios de la Hidráulica 2
Según Izbash,
A = 1,7 s − 1 ,
(7.17)
aquí, s es el peso específico de los sedimentos (T/m3).
Studenichnikov propone la ecuación,
A = 1,15( H / d )1 / 4 ,
(7.18)
donde, H es la profundidad del flujo sobre la partícula.
Para Goncharov,
A = 0,95 lg(8,8H / d max )
(7.19)
Además de las citadas, para la determinación del coeficiente A, existen otras
ecuaciones de mayor complejidad.
Analicemos la ecuación (7.16) considerando A según la ecuación (6.17).
Si
tenemos dos partículas de diferente diámetro d1 y d2 y deseamos encontrar la
relación d1/d2 obtenemos que:
2
d1 Vc1
=
d 2 Vc 2 2
(7.20)
esta relación nos muestra que, si tomamos las velocidades medias de dos ríos cuya
relación sea V1/V2 = ½, tenemos que la relación entre los diámetros de las partículas
que pueden acarrear d1/d2 = ¼. En este caso, la velocidad de un cauce es apenas el
doble de la del otro, pero es capaz de arrastrar partículas de diámetro cuatro veces
más grandes. Por esta razón, los ríos de montaña transportan cantos o bloques
rocosos de gran tamaño, no así los de llanura.
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Principios de la Hidráulica 2
Expresiones más complejas, obtenidas del análisis de estabilidad de las partículas
en estado límite, son las propuestas por Mirtsjulava:
para suelos no cohesivos,
Vc = (lg 8,8H / d ) 2m( s − )d + C / 0,44n ,
(7.21)
y para suelos cohesivos,
Vc = (lg8,8H / d ) 2m[( s − )d + 1,5k C ] / 2,6n ,
(7.22)
donde: m, es el factor de condiciones naturales (m = 1 para suelos cohesivos y m =
1,05 a 1,20 para no cohesivos); n, es el factor de sobrecarga, para d < 1mm,
n = 1 + d /(0,05 + 0,3d ) ,
y para d = 1mm, n = 4; k, es la probabilidad de desviación del coeficiente de
cohesión de su valor medio (k = 0,05 a 0,075); C, es el coeficiente de resistencia de
las partículas al desprendimiento del suelo, para suelos cohesivos C es igual al
valor de la cohesividad.
Para suelos no cohesivos,
C = 0,172/d
Como se expreso anteriormente otra forma de analizar el transporte de sedimentos
es en base a los esfuerzos de corte y los desarrollados por una corriente son:
= g v 2 / C 2 ,
(7.23)
donde, C es el coeficiente de Chezy.
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Principios de la Hidráulica 2
El valor obtenido con la ecuación (7.23) se compara con los valores obtenidos de
esfuerzos de corte crítico c . La ecuación más sencilla para la determinación de c
es la presentada por Leliavsky S.
c = 1,65d .
(7.24)
En base a un análisis dimensional y a resultados experimentales A. Shields propuso
el diagrama mostrado en la Figura 7.3, para la determinación de los esfuerzos de
corte críticos.
Figura 7.3 Diagrama de SHIELDS para la Determinación de los Esfuerzos de
Corte Crítico.
u* = c / - es la velocidad rasante; – es el espesor de la subcapa laminar,
= 11,6 / u*
Este diagrama tienen el único inconveniente de que no se puede determinar
directamente el valor de los esfuerzos críticos, siendo necesario realizar
aproximaciones sucesivas. Como primera aproximación se recomienda el valor
obtenido con la ecuación (7.24).
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Principios de la Hidráulica 2
El gasto de azolves de fondo por unidad de ancho qf (caudal unitario) es posible
determinar con la ayuda de la ecuación de Levi I. para valores de d/H > 1/300;
q f = 2(v / gd ) 3 (d / H )1 / 4 (v − vc )d ,
(7.25)
donde: v, es la velocidad media del flujo; vc, la velocidad crítica de iniciación del
movimiento de las partículas. El gasto unitario de azolves qf está dado en kg/s por
cada metro de ancho.
7.3.1.
Formas del Fondo
La separación de las partículas del fondo así como su asentamiento
implican que el perfil del lecho o solera del cauce sufrirá ciertas
transformaciones en su forma.
Anteriormente, anotamos que el inicio del movimiento de las partículas
depende de una velocidad crítica, el transporte de sedimentos depende de
la velocidad del flujo, por tal razón la forma del perfil del fondo también
dependerá de la velocidad.
Las fuerzas principales actuantes en el transporte de sedimentos son las
gravitacionales, por esta razón, para caracterizar los perfiles del fondo, se
utiliza el número de Froude (Fr2 = v2/gH).
Las diferentes formas del fondo que se producen por la acción del flujo, se
muestran en la figura 7.4.
Inicialmente suponemos que tenemos un perfil casi horizontal (figura
7.4a). Si el flujo tiene una velocidad mayor que la crítica para el inicio
del movimiento de las partículas, pero Fr << 1, éste tomará la forma de un
sistema de rizos (figura 7.4b), que en realidad es un sistema de ondas
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Principios de la Hidráulica 2
asimétricas que se forman del material en un movimiento. La longitud de
los rizos son 0,5 a 2 veces su altura.
Figura 7.4 Formas del Fondo de un Cauce
a) Forma Inicial de la Solera; b) Formación de Rizos en el Fondo; c)
Rizos y Dunas; d) Dunas; e) Horizontal; f) Ondas; g) Antidunas.
Si la velocidad del flujo aumenta, los rizos pasan a formar ondas
asimétricas de mayor tamaño llamadas dunas (figura 7.4c y d).
La
longitud de las dunas es, aproximadamente, 5 a 30 veces su altura.
Al alcanzar el número de Fraude un valor igual a la unidad los rizos y las
dunas desaparecen y el fondo prácticamente se vuelve horizontal (figura
7.4e).
Si el número de Fraude aumenta a más de la unidad, se forma un sistema
de ondas simétricas (figura 7.4f) y posteriormente toma la forma de un
sistema de antidunas (figura 7.4g) si continúa aumentando Fr.
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Principios de la Hidráulica 2
Todas las formas estudiadas no son estables con respecto a su posición,
sino que se trasladan en dirección del flujo en el transcurso del tiempo.
7.4.
AZOLVES EN SUSPENSION
Las partículas, una vez que se han desprendido del fondo bajo la acción de las
fuerzas hidrodinámicas actuantes, pueden mantenerse en suspensión trasladándose
tanto en dirección del flujo como en sentido vertical. La velocidad de la partícula
en el sentido vertical es fluctuante, tomando tanto valores positivos como
negativos.
La velocidad a la cual las partículas pasan al estado de suspensión se denomina
velocidad sin sedimentación vss o velocidad de transporte (velocidad media a la cual
las partículas no se sedimentan).
Esta velocidad para Joukovsky se determina con la ecuación;
v ss = 0,24 + 0,29H .
(7.26)
Según Kennedy esta velocidad es igual a;
vss = cH b ,
(7.27)
Donde, c y b son coeficientes que dependen del tipo y concentración de sedimentos
y se determinan experimentalmente para cada cauce y cuenca (c = 0,8 a 1,1 ; b =
0,64 a 0,66).
Las ecuaciones de Joukovsky y Kennedy son de uso muy frecuente debido a la
sencillez de éstas. Existen ecuaciones más complejas como las propuestas por
Studenichnikov B.
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Página 196
Principios de la Hidráulica 2
vss = 0,9 g ( s / ) − 1( H d )0,15 ,
(7.28)
y por Levi I.;
v ss = 0,01( w / d )(%d 0, 25 / 0,01) 0, 25 (0,0225/ n) R ,
(7.29)
donde: %d0,25 - es el porcentaje en peso de las partículas de diámetro menores a
0,25mm; n - es el coeficiente de rugosidad del cauce; R, el radio hidráulico del
cauce.
Existen trabajos experimentales más generales sobre el proceso de desprendimiento
y transporte de sedimentos, uno de éstos es el de Hjulstrom F., figura 7.5,
Figura 7.5 Diagrama de Hjulstrom-Postma para la Determinación de las
Condiciones del Flujo de los Sedimentos
Hjulstrom propuso el diagrama de la figura 7.5 (líneas continuas), en el que se
relaciona el diámetro medio de las partículas con la velocidad del flujo. Este
diagrama se obtuvo experimentalmente utilizando partículas no cohesivas y el
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Principios de la Hidráulica 2
diámetro uniforme. Posteriormente, Postma H. complementa el diagrama basado
en pruebas de campo y laboratorio más generales. Las líneas A-D (figura 7.5) nos
muestran límites más reales de las condiciones de erosión y suspensión de las
partículas.
7.5.
TRANSPORTE TOTAL DE SEDIMENTOS
El transporte total de sedimentos acarreados por un flujo es igual a la suma de los
sedimentos llevados en suspensión más los arrastrados por el fondo,
Qs = Qsp + Qf
Es obvio que, Qs se obtiene utilizando las ecuaciones dadas anteriormente. Existen
varias ecuaciones por medio de las cuales se pude determinar el gasto total unitario
de los sedimentos, una de éstas es la ecuación de Engelund H.
q s = 0,05 s v 2
d 50%
s /( s − )d 50% 3 / 2 ,
g ( s / ) − 1
(7.30)
Donde: d50%, es el diámetro de las partículas correspondientes al 50% en peso de la
curva granulométrica.
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Principios de la Hidráulica 2
CAPITULO VIII
FLUJO VARIABLE EN EL TIEMPO (NO ESTACIONARIO)
Flujo no estacionario o variable en el tiempo es aquel en el cual sus parámetros y
características cambian con respecto al tiempo.
8.1.
ECUACION DE BERNOULLI PARA EL FLUJO VARIABLE
Tenemos la ecuación de Bernoulli para dos secciones de un tubo elemental figura
8.1, para el cual se analizan todas las fuerzas actuantes, inclusive la inercial;
F =m
du
du
= dA·dl·
dt
dt
(8.1)
Figura 8.1 Ecuación de Bernoulli para un Flujo no Estacionario
donde: du = (u / l )dl + (u / t )dt .
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Principios de la Hidráulica 2
Sumando las ecuaciones (8.1) a la ecuación de Bernoulli tenemos:
z1 + p1 / + u 21 / 2 g − ( z2 + p2 / + u 2 2 / 2 g ) = h1−2 +
1 u
( )dl
g t
Al último de estos miembros se le conoce como Carga Inercial;
hin =
1 u
dl ,
g t
así, la ecuación de Bernoulli para el flujo no estacionario es:
z1 + p1 / + u 21 / 2 g − ( z 2 + p2 / + u 2 2 / 2 g ) = h1−2 + hin
8.1.1.
(8.2)
TUBERIA DE SECCION CONSTANTE
Para un diámetro constante la velocidad a lo largo de la tubería permanece
constante y solo es una función del tiempo, en este caso:
hin =
1 u
1 du
dl =
(l 2 − l1 ) ,
g t
g dt
o,
hin =
l dv
g dt
(8.3)
siendo la ecuación de Bernoulli;
z1 + p1 / + u 21 / 2 g − ( z 2 + p 2 / + u 2 2 / 2 g ) = h1− 2 + (l / g )dv / dt (8.4)
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Página 200
Principios de la Hidráulica 2
8.2.GOLPE DE ARIETE (CHOQUE HIDRAULICO)
Golpe de ariete se denomina al aumento (o disminución) de la presión debida a la
variación brusca de la velocidad. Por ejemplo: cierre instantáneo de válvulas en
una tubería.
Este proceso físico fue descrito por Joukovsky (1898), en el cual al fluido se le
considera no viscoso, pero compresible.
Todo el fenómeno comprende cuatro fases principales, para su explicación
consideremos el movimiento de un líquido por una tubería desde un reservorio, en
cuyo extremo existe una válvula, figura 8.2.
PRIMERA FASE. En el instante en que se cierra la válvula las partículas que se
encuentran cerca de ésta, con una velocidad v, adquieren la velocidad cero, pero
este proceso de estancamiento no es instantáneo para todo líquido, sino que, poco a
poco se desplaza desde la sección de cierre hasta el embalse a una velocidad c,
figura 8.2. A su vez, toda la columna de líquido que adquirió v = 0 está sujeta a una
compresión por la columna de líquido todavía en movimiento, produciéndose un
incremento de presión igual a p , conocido como presión de choque.
Figura 8.2 Golpe de Ariete
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Principios de la Hidráulica 2
Todo este proceso de comprensión y difusión de la onda de choque a lo largo de
toda la tubería se realiza en un tiempo t. Surgiendo un volumen de longitud l,
debido a la comprensión que sufre el líquido, que es ocupado por las partículas del
embalse.
La velocidad de difusión de la onda de choque golpe de ariete es:
c = l/t
(8.5)
donde, l es la longitud de la tubería.
SEGUNDA FASE. Al terminar la primera fase, en el interior del conducto existe
una presión p +Δp con respecto al embalse, por esta razón se inicia el
desplazamiento del líquido de la tubería hacia el embalse con una velocidad v,
restableciéndose en ésta una presión p.
TERCERA FASE. Continuando el desplazamiento el líquido al embalse, llega un
instante en que el fluido se desprende de la válvula, en este instante se inicia la
tercera fase, en la cual se produce un decremento de presión en una magnitud Δp,
que se difunde desde la válvula al reservorio. Al final de esta fase existe un
desequilibrio entre la presión del embalse y la tubería.
CUARTA FASE. Por la diferencia de presiones, correspondiente a la tercera fase,
el líquido del reservorio inicia un nuevo movimiento a la tubería, igualando la
presión poco a poco desde la sección del embalse hacia la válvula. Al final de esta
fase existen condiciones idénticas a las anteriores a la primera fase. En el caso de
mantenerse cerrada la válvula el fenómeno continúa hasta que se produce su
amortiguamiento.
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Página 202
Principios de la Hidráulica 2
8.2.1.
Presión de Choque y Velocidad de Difusión
El siguiente análisis corresponde al caso de un cierre de válvula rápido,
t < 2 l/c.
Para este esquema presentado en la figura 8.2 apliquemos cambio de
cantidad de movimiento.
m
(0 − v )
= P ,
t
Conociendo que,
P = p − ( p + p)A = − A p ;
t = l /c;
m = Al ,
− A v l / t = − A c v = − Ap
simplificando
p = v c
(8.6)
Determinemos la velocidad de difusión c, para lo cual, se consideran dos
casos: a) tubería rígida y b) tubería elástica.
8.2.1.a Tubería Absolutamente Rígida
Conocemos que la energía cinética para el fenómeno
esquematizado en la figura 8.2 es:
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Principios de la Hidráulica 2
m(0 − v 2 )
= P dl ,
2
de donde;
− Alv 2 / 2 = P dl
La integral de esta ecuación comprende el trabajo T, que realizan
las fuerzas de presión, desde T1 = 0 (para la fuerza junto a la
válvula por tener desplazamiento dl = 0) hasta T2= p*A* l/2
(debido a que la fuerza cambia desde cero hasta p*A), de
donde;
− A l v 2 / 2 = p A l / 2 ,
y,
p = − v 2 l / l
(8.7)
Según la ley de Hooke la deformación relativa es:
−
∆𝑙 ∆𝑝
=
𝑙
𝐾
Siendo, K el módulo de elasticidad volumétrico del fluido,
reemplazada esta expresión en la ecuación (8.7) tenemos,
p = v 2 K / p ,
de donde,
p = v K
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(8.8)
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Principios de la Hidráulica 2
Comparando esta ecuación con la (8.6), vemos que:
v c=v K ,
y,
c = K/
(8.9)
Esta ecuación coincide con la velocidad de difusión de las ondas
sonoras en los fluidos.
Conociendo que para el agua K = 19,62 · 108Pa, y =
1000kg/m3,
c = 19,62·108 / 103 = 1400m / s
8.2.1.b. Paredes Elásticas
Cuando el material que conforma las paredes de la tubería es
capaz de deformarse aumenta su volumen interior, por acción de
la presión interna.
Para una sobrepresión p, la deformación de una tubería se la
puede representar de la siguiente manera figura 8.3.
El volumen interior de la tubería aumenta en un valor ΔV= A*l,
el cual es ocupado por el líquido, lo que genera un “volumen de
compresión aparente” (compresión del líquido más deformación
de las paredes), que es considerado, para fines de cálculo, con un
módulo de elasticidad aparente Ka, menor al de paredes rígidas
K.
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Principios de la Hidráulica 2
Figura 8.3 Variación de Volumen por Sobrepresión
Por consiguiente la velocidad de difusión del golpe de ariete es
menor e igual a,
c = Ka /
(8.10)
donde: Ka es el módulo de elasticidad aparente del líquido,
calculado con la siguiente ecuación,
1
1
D
= +
Ka K e E
Aquí, D, e y E, son el diámetro, espesor y módulo de elasticidad
de la tubería. Por consiguiente,
c=
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K
K D
1 +
E e
(8.11)
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Principios de la Hidráulica 2
o,
c=
K/
(8.11)’
K D
1+
E e
Esta ecuación para el agua es,
c = 1400/ 1 + ( K / E )(D / e)
Los valores de K/E se pueden determinar con la tabla 8.1, de
acuerdo al tipo de material.
Tabla 8.1 Tabla de Relación K/E
(Bolshakov,1989)
MATERIAL
K/E
Acero
0,01
Asbesto
0,11
PVC
0,68 a 0,73
Plástico
1 a 1,45
Hormigón
0,1 a 0,14
Hierro galvanizado
0,065 a 0,09
Caucho
333 a 1000
EJEMPLO 8.1 Determinar el incremento máximo de presión p, para un
cierre instantáneo de una válvula de una tubería de acero, de diámetro D =
400mm, espesor e = 7mm, si la velocidad del flujo es v = 1,85 m/s.
DESARROLLO:
Módulo de elasticidad del acero E = 19,6 1010 Pa, de donde:
K/E = 0,01,
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Principios de la Hidráulica 2
D/e = 400/7 = 57,14
La velocidad de difusión es:
c = 1400/ 1 + 0,01 57,14 = 1116,82m / s
El incremento de presión:
p = 1000 · 1,85 · 1116,82 = 2066,12 · 103Pa.
8.3.
FLUJO NO ESTACIONARIO RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES.
ONDAS MOVILES
Las ondas móviles en canales es un fenómeno no estacionario que se observa en las
avenidas de corrientes naturales, en canales de acercamiento, desagües, etc.
8.3.1.
Tipos de Ondas
El súbito aumento o disminución de caudal en un cauce abierto produce
una onda móvil u ola. Existen cuatro tipos básicos de ola: según el
sentido de propagación (aguas arriba o aguas abajo) y según el cambio de
profundidad (aumento o disminución).
Cuando la ola se desplaza aguas arriba se denomina Onda de Remanso y
si se desplaza aguas abajo Onda de Avenida. La ola que produce aumento
de profundidad es positiva o negativa si produce disminución.
Las olas positivas son esencialmente estables y pueden ser de frente
pronunciado figura 8.4a y de frente ondulado figura 8.4b.
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a.
b.
Figura 8.4 Ondas de Frente Pronunciado y Ondulado
Las olas negativas son siempre inestables y no se puede mantener una ola
con frente pronunciado; la razón de que esto ocurra es que, las partículas
superiores del líquido al estar situadas en una zona de mayor profundidad
se mueven más rápidamente, haciendo más gradual la disminución de la
profundidad a lo largo del flujo, figura 8.5.
a.
b.
Figura 8.5 Ondas Negativas de Frente Pronunciado y Ondulado
8.3.2.
Las Olas Según sus Causas
Los diferentes tipos de olas que se producen en la naturaleza se muestran
en la figura 8.6 y son:
a) La ola positiva de remanso, aparece por una disminución del caudal
de paso en la zona de aguas abajo.
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b) La ola negativa de avenida se produce por una disminución de caudal
en la zona de aguas arriba.
c) La ola positiva de avenida corresponde a un aumento brusco de
caudal en el flujo aguas arriba.
d) La ola negativa de remanso es producto del aumento de caudal en la
zona de aguas abajo.
Figura 8.6 Tipos de Olas
El simple aumento o disminución de caudal no implica la formación de
una onda móvil.
Para que aparezca una ola es necesario que el número
relativo de Froude del flujo,
Fri = (vi − c) 2 / ghi ,
Calculando para la primera y segunda secciones, cambie de un número
menor a un número mayor que la unidad o viceversa. En otras palabras el
cambio del número de Froude tiene que ser tal, que uno de los dos
números sea mayor y el otro menor que la unidad.
Si los dos números relativos de Froude son mayores a la unidad o menores
a ésta, la ola no aparece.
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Una expresión cómoda para representar el aparecimiento de una ola es:
Fr1 − 1
0 ,
Fr2 − 1
8.3.3.
(8.12)
La Superficie Libre de una Onda Móvil
El análisis matemático de una onda en canales abiertos no es tan simple
como se supone de la ecuación obtenida anteriormente.
Después del paso de una ola por algún punto del canal la profundidad no
es constante y la forma del perfil de la superficie libre cambia con el
tiempo, gracias al cambio de nivel y a la influencia de las fuerzas de
viscosidad (rozamiento) como se muestra en la figura 8.7.
Figura 8.7 Desarrollo de una Onda Positiva de Remanso
Analicemos la secuencia del fenómeno mostrado en la figura anterior. La
onda aparece por el cierre de una compuerta en el canal, y se mueve en
sentido contrario al del flujo (ola positiva de remanso). La onda irá
ocupando las posiciones 1, 2, 3, 4 al paso del tiempo.
Poco a poco la superficie libre se irá elevando y se transformará en una
superficie horizontal, esta elevación de la altura, cerca de la compuerta,
puede llegar a ser muchas veces mayor que la misma ola, lo que se debe
considerar para no tener consecuencias lamentables.
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8.3.4.
Velocidad de Desplazamiento de la Onda
Para una onda móvil, como la que se muestra en la figura 8.8,
consideramos que entre las secciones 1 y 2, las cuales se desplazan a la
misma velocidad de la onda, la superficie libre es estacionaria, lo que
implica que la velocidad relativa de la onda c es igual a cero. Por esta
razón, las velocidades en las secciones 1 y 2 toman los valores de: v1 – c y
v2 – c.
Figura 8.8 Onda Móvil y Onda Estacionaria Aparente
Utilizando la ecuación de continuidad entre las secciones 1-1 y 2-2, figura
8.8b obtenemos que,
(v1 – c)A1 = (v2 – c)A2
(8.13)
o,
(v2 – c) = (v1 – c)A1/A2
Analicemos el cambio de cantidad de movimiento para estas secciones;
P1 − P2 = A2 (v 2 − c) 2 − A1 (v1 − c) 2 ,
(8.14)
conocemos que: P1 = A1 hc1 , P2 = A2 hc 2 y = / g
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Reemplazando en la ecuación (8.14) estos valores y la ecuación (8.13),
tenemos:
A1hc1 − A2 hc 2 = A21(v1 − c) 2 / gA2 − A1 (v1 − c) 2 / g
de donde,
A h − A2 hc 2
(v1 − c) 2
= 12 c1
,
g
( A 1 / A2 ) − A1
Despejando obtenemos la velocidad de difusión de la onda:
c = v1 − g
A2 A1 hc1 − A2 hc 2
,
A1 ( A 21 / A2 ) − A1
(8.15)
Esta ecuación nos permite encontrar la velocidad de la onda para
cualquier forma de canal, dificultándose su resolución para canales no
prismáticos.
Si la velocidad v1 = 0; entonces c es la velocidad de difusión de una onda
en aguas en reposo.
Para un canal rectangular y canales lo suficientemente anchos:
c = v1 gh2 (h1 + h2 ) / 2h1
(8.16)
El signo (+) corresponde al caso en el cual la profundidad h1 es mayor que
h2 y en caso contrario, h1 < h2, el signo (-)
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8.4.
FLUJO NO ESTACIONARIO EN ORIFICIOS
El flujo no permanente en orificios se presenta para los casos en los cuales la carga
es variable, cambiando también los parámetros como el caudal, velocidad, presión,
etc.
La determinación de la velocidad y el caudal es posible con la ecuación de
Bernoulli, para el análisis se toma intervalos de tiempo infinitamente pequeños y en
los límites de cada intervalo el flujo se considera estacionario.
Uno de los principales problemas que se resuelve, para flujos a través de orificios
con cargas variables, es la determinación del tiempo que transcurre al variar el
nivel, de un valor H1 a H2.
8.4.1.
Desagüe con Carga Variable y Flujo Constante
Analicemos un tanque de sección variable con descarga libre, figura 8.9.
Figura 8.9 Flujo no Estacionario a través de un Orificio
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Al reservorio de un origen exterior llega cierto caudal afluente Qaf = const.
Para un flujo estacionario con descarga Qaf, a través del orificio de área A,
es necesaria una carga Haf, que se puede determinar de la ecuación:
Qaf = Cq A 2 g H af ,
(8.17)
de donde:
H af =
Qaf
2
2 g Cq 2 A 2
(8.17)’
Si la carga inicial H1 coincide con Haf, el flujo es estacionario, en caso
contrario son posibles dos casos:
PRIMERO. Si H1 < Haf, por el orificio se descarga un caudal menor al
afluente, Q < Qaf. El volumen del líquido en el reservorio aumenta y de
igual manera la carga y el caudal de desagüe, hasta que el caudal que pasa
a través del orificio sea igual al afluente, y el flujo se transforma en
estacionario.
SEGUNDO. Si H1 > Haf, se descarga un caudal Q mayor a Qaf; por lo
que el nivel del reservorio disminuye poco a poco, hasta que sea igual a
Haf y por consiguiente Q = Qaf.
Determinamos el tiempo que tarda en variar la carga de un valor H1 a H2.
En un instante de tiempo t, la carga es H y el área del reservorio , figura
8.9. Para un intervalo de tiempo dt, a través de orificio se descarga un
volumen igual a:
dV = Q dt
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(8.18)
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El volumen de líquido que fluye hacia el reservorio es:
dVaf = Qafdt ,
(8.19)
y el cambio de volumen en el reservorio, según (8.18) y (8.19):
dVr = (Qaf – Q)dt ,
o,
dVr = (Qaf − CqA 2 gH )dt
(8.20)
volumen que también es igual a;
dVr = dh
(8.21)
Igualando (8.20) y (8.21),
dH = (Qaf − CqA 2 gH )dt ,
o,
dH = CqA 2 g ( H af − H )dt ,
de donde:
dt =
dH
CqA 2 g
H af − H
(8.22)
Para la integración de esta ecuación cambiamos de variable:
y = H af − H
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,
y,
dy = −
dH
2 H
,
o,
dH = −2 H dy = 2( y − H af )dy
Así, la ecuación (8.22) después de los reemplazos es:
dt =
H af
1 −
y
CqA 2 g
2
dy ,
considerando que el coeficiente de gasto Cq permanece constante,
t=
2
CqA 2 g
aquí, y1 = H af − H1 ;
y2
y1
H af
1 −
y
dy ,
(8.23)
y 2 = H af − H 2
La integración de la ecuación (8.23) se realiza para los siguientes casos:
1) El área del reservorio con la profundidad no cambia, = const.,
entonces se puede sacar fuera del signo de la integral, y por
consiguiente;
t=
2
CqA 2 g
H af − H1
H − H + H ·ln
1
2
af
H
−
H
af
2
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(8.24)
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2) El área del reservorio es variable con la carga H. En este caso,
también, hay dos alternativas;
a)
La relación vs. H está dada por una ecuación, por lo tanto es
posible la integración de la ecuación (8.23).
b)
La relación vs. H es difícil de expresar analíticamente (como
por ejemplo los embalses naturales o artificiales. En este caso
se busca una solución aproximada, que puede ser la integración
de la ecuación (8.23) por el método de los trapecios.
8.4.2.
Flujo de un Tanque a Otro
Supongamos que tenemos dos tanques A y B unidos a través de un
conducto y que existe una diferencia de niveles entre las superficies libre
figura 8.10.
Ninguno de los tanques se abastece del exterior, en este caso el nivel del
tanque A disminuye y el del B aumenta, siendo la diferencia de niveles
cada vez menor, hasta que la diferencia sea cero.
Figura 8.10 Flujo de un Tanque a Otro
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Toda diferencia de niveles H en cualquier instante de tiempo es,
H = Z 1 – Z2 ,
entonces un decremento d H = dZ1 – dZ2.
(8.25)
A un aumento de volumen en el tanque B le corresponde a un decremento
en A,
- 1 dZ1 = 2 dZ2 ,
− dZ 2 =
1
dZ1
2
,
Reemplazando en la ecuación (8.25),
+ 1
dZ1 ,
dH = 2
2
o,
dZ1 =
2
dH
1 + 2
(8.26)
El volumen de líquido que disminuye del tanque A, es igual al caudal que
pasa por el conducto en un intervalo de tiempo dt, así:
− 1 dZ1 = Cq A 2 gH dt ,
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reemplazando dZ1 según la ecuación (8.26) y despejando dt,
dt = −
1 2
dH
(1 + 2 )CqA 2 g
H
,
de donde, después de la integración entre H1 y H2
t=
21 2 ( H 1 − H 2)
(1 + 2 ) CqA
2g
(8.27)
El tiempo en el cual se nivelan las dos superficies corresponde para H2 =
0.
Si el segundo tanque es de gran capacidad ( 2 → ) , la posición de la
superficie libre, no cambia en el tiempo (vaciado de un tanque), y éste se
determina como sigue:
t=
21 H 1
(8.27)
Cq A 2 g
Si a esta ecuación le multiplicamos y le dividimos para
H 1 obtenemos
en el numerador 1 H1, que es el volumen inicial del tanque A y en el
denominador el gasto a través del orificio para la carga H1. Esto significa
que, el tiempo que se demora en vaciarse un tanque es el doble del tiempo
que se demora en desaguar un volumen semejante, por un orificio con
carga constante, por lo que la ecuación de vaciado de un tanque sería:
𝑡=
2 𝐻
𝐶𝑞 𝐴√2𝑔𝐻
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=
2𝑉
𝑄
(8.28)
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Principios de la Hidráulica 2
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