Dinámica

Hidráulica teórica
IEC-313
Oscar Aravena Ortega
Universidad de Valparaı́so
October 16, 2018
Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so)
Hidráulica teórica
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Informaciones generales:
Profesor:
Mail:
Oscar Aravena Ortega
oscar.aravena@uv.cl
Fechas importantes:
Prueba
Prueba
Prueba
Prueba
sumativa 1:
sumativa 2:
sumativa 3:
recuperativa
Prueba especial
Viernes
Viernes
Viernes
Viernes
12 de Octubre, 16:15 horas
30 de Noviembre, 16:15 horas
28 de Diciembre, 16:15 horas
4 de Enero, 16:15 horas
Jueves 10 de Enero, 14:30 horas
Semanalmente se enviarán tareas.
Durante el semestre se realizarán 5 controles, de los cuales solo se considerarán 4 en
el cálculo del promedio de controles.
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The FOLLOWING presentation has been
approved for ALL AUDIENCES!
Esta presentación no corresponde a ningún apunte oficial del curso, por
lo cual debe ser complementada tanto con las clases, apuntes de aula,
texto guı́a, tareas, etc...
Si encuentra errores o ambigüedades, por favor escribir a
oscar.aravena@uv.cl
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lo cual debe ser complementada tanto con las clases, apuntes de aula,
texto guı́a, tareas, etc...
Si encuentra errores o ambigüedades, por favor escribir a
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Para sacarle un mejor provecho a la
presentación,
ésta debe ser reproducida
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Tabla de contenidos:
1
Introducción
Caracterización de un fluido
2
Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
Ecuación de movimiento
Ecuación de Bernoulli
3
Aplicaciones
Tubo de Venturi
Ley de Torricelli
4
Fluidos reales
El número de Reynolds
Fluidos en régimen laminar
Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle
Perdidas de Presion
Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach
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Introducción
Caracterización de un fluido
Fluido → Macroscópico → Medio continuo
”Elemento de volumen” → Muchas partı́culas → pequeña fracción en comparación
al volumen del cuerpo
Algunas variables que caracterizan el fluido:
Presión: P
→
P (x, y, z, t)
(1)
Densidad: ρ
→
ρ (x, y, z, t)
(2)
Velocidad: ~v
→
~v (x, y, z, t)
(3)
Notar que (1) y (2) corresponden a cantidades termodinámicas, mientras que (3)
representa la distribución de un campo de velocidades.
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Introducción
Caracterización de un fluido
Fluido → Macroscópico → Medio continuo
”Elemento de volumen” → Muchas partı́culas → pequeña fracción en comparación
al volumen del cuerpo
Algunas variables que caracterizan el fluido:
Presión: P
→
P (x, y, z, t)
(1)
Densidad: ρ
→
ρ (x, y, z, t)
(2)
Velocidad: ~v
→
~v (x, y, z, t)
(3)
Notar que (1) y (2) corresponden a cantidades termodinámicas, mientras que (3)
representa la distribución de un campo de velocidades.
Caracterización de un fluido
Estacionario o no estacionario.
Compresible o incompresible.
Viscoso o no viscoso.
Rotacional o irrotacional.
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Tabla de contenidos:
1
Introducción
Caracterización de un fluido
2
Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
Ecuación de movimiento
Ecuación de Bernoulli
3
Aplicaciones
Tubo de Venturi
Ley de Torricelli
4
Fluidos reales
El número de Reynolds
Fluidos en régimen laminar
Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle
Perdidas de Presion
Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach
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Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
IDEA 1: Materia se conserva.
(Fluido que entra)
(Fluido que sale)
− ∂ ∫ ρdV
∂t
∮ ρ⃗v⋅d ⃗s
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Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
IDEA 1: Materia se conserva.
(Fluido que entra)
(Fluido que sale)
− ∂ ∫ ρdV
∂t
∮ ρ⃗v⋅d ⃗s
Fluido que entra
I
ρ~v · d~s
=
=
Fluido que sale
Z
∂
−
ρdV
∂t
∂ρ ~
+ ∇ · (ρ~v ) = 0
∂t
(4)
La ecuación (4) se conoce como ecuación de continuidad
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Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
Definiendo el vector densidad de flujo másico como: J~ = ρ~v , (4) nos queda:
∂ρ ~ ~
+∇·J =0
∂t
∂ρ
= 0,
Un caso particular se presenta cuando el fluido es incompresible. En este caso
∂t
luego:
I
~ · J~ = 0 ⇒
∇
ρ~v · d~s = 0
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Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
Definiendo el vector densidad de flujo másico como: J~ = ρ~v , (4) nos queda:
∂ρ ~ ~
+∇·J =0
∂t
∂ρ
Un caso particular se presenta cuando el fluido es incompresible. En este caso
= 0,
∂t
luego:
d⃗
S manto
I
~ · J~
∇
=
0 ⇒
~v · d~s
=
−v1 A1 + v2 A2 = 0
ρ~v · d~s = 0
⃗v 2
I
d ⃗S 1
d⃗
S2
⃗v1
A1 v1 = A2 v2
d⃗
S manto
dV
La cantidad Av =
= Q y se conoce como caudal (gasto).
dt
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Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
Para la siguiente situación:
(1)
(2)
¿Dónde es mayor la presión?
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Caracterización de un fluido
Ecuación de movimiento
IDEA 2: Movimiento del fluido obedece las ecuaciones de Newton.
Para un elemento de fluido cualquiera, la fuerza total que actúa sobre él es igual a:
Z
~ dV
~ = − ∇P
F
Luego, a partir del segundo principio de Newton:
X
Z
−
~
F
=
ρ~g dV
=
1~
− ∇P
+ ~g
ρ
=
~ dV +
∇P
Z
d~
p
dt
d
(ρ~v ) dV
dt
d~v
dt
¿Cómo hacemos la derivada del lado derecho?
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Caracterización de un fluido
Ecuación de movimiento
Ecuación de Euler
−
1~
∂~v ~ ∇P + ~g =
+ ~v · ∇ ~v
ρ
∂t
(5)
La ecuación (5) fue obtenida por primera vez por Leonard Euler en 1755, se denomina
ecuación de Euler para el movimiento del fluido y representa una de las ecuaciones
fundamentales de la dinámica de fluidos.
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Caracterización de un fluido
Ecuación de movimiento
Ecuación de Euler
−
1~
∂~v ~ ∇P + ~g =
+ ~v · ∇ ~v
ρ
∂t
(5)
La ecuación (5) fue obtenida por primera vez por Leonard Euler en 1755, se denomina
ecuación de Euler para el movimiento del fluido y representa una de las ecuaciones
fundamentales de la dinámica de fluidos.
Notar que para el caso particular de la hidrostática, (5) se reduce a:
~ = ρ~g
∇P
Es decir:
P = P0 + ρgh
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Caracterización de un fluido
Ecuación de movimiento
Identidad
Demostrar la siguiente identidad vectorial:
~ 2 − ~v × ∇
~ × ~v
~ ~v = 1 ∇v
~v · ∇
2
(6)
~ × ~v se llama ”Rotacional del campo vectorial ~v ”
Nota al margen: La cantidad ∇
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Caracterización de un fluido
Ecuación de movimiento
Identidad
Demostrar la siguiente identidad vectorial:
~ 2 − ~v × ∇
~ × ~v
~ ~v = 1 ∇v
~v · ∇
2
(6)
~ × ~v se llama ”Rotacional del campo vectorial ~v ”
Nota al margen: La cantidad ∇
Diferencia entre divergencia y rotor
Divergencia de ~v :
~ · ~v = ∂vx + ∂vy + ∂vz
∇
∂x
∂y
∂z
y
z
Rotacional de ~v :
x
~ × ~v =
∇
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î
∂
∂x
~vx
ĵ
∂
∂y
~vy
k̂
∂
∂z
~vz
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Caracterización de un fluido
Ecuación de Bernoulli
A partir de la ecuación de Euler que describe el movimiento del fluido, (5), y la identidad
presentada en (6):
∂~v
1~
1~ 2
~ × ~v
+ ~g =
− ~v × ∇
− ∇P
+ ∇v
ρ
∂t
2
Luego, bajo las siguientes suposiciones:
∂~v ~
=0
∂t
~ × ~v = ~0
Fluido irrotacional ⇒ ∇
Fluido estacionario ⇒
La ecuación de Euler se reduce a:
1~
1~ 2
~ P + 1 ρv 2 + ρg = 0
− ∇P
+ ~g = ∇v
⇒ ∇
ρ
2
2
Ecuación de Bernoulli:
P+
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1 2
ρv + ρgh = cte.
2
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Tabla de contenidos:
1
Introducción
Caracterización de un fluido
2
Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
Ecuación de movimiento
Ecuación de Bernoulli
3
Aplicaciones
Tubo de Venturi
Ley de Torricelli
4
Fluidos reales
El número de Reynolds
Fluidos en régimen laminar
Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle
Perdidas de Presion
Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach
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Aplicaciones
Tubo de Venturi
La figura muestra un medidor de Venturi. El medidor de Venturi se usa para medir la
rapidez de flujo en una cañerı́a por la cual circula un fluido. La parte más ancha tiene
una sección transversal A1 y la parte angosta, llamada garganta, tiene una sección
transversal A2 .
h
(1)
(2)
Determinar una expresión para la rapidez del fluido en (1).
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Aplicaciones
Ley de Torricelli
La figura muestra un estanque de almacenamiento de agua. Las medidas se detallan en
la figura adjunta.
A2
Determinar:
(Tapa)
1.1.- Una expresión para la rapidez de salida del
A1
fluido ¿A qué se reduce el resultado la parte
superior del estanque se remueve la tapa?
1.2.- Considerando la tapa superior abierta ¿Dónde
se debe ubicar el agujero de salida de tal
manera que el alcance del fluido sea máximo?
1.3.- Determina una expresión que permita
determinar el tiempo en el cual se descarga el
estanque.
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h1 h2
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Tabla de contenidos:
1
Introducción
Caracterización de un fluido
2
Caracterización de un fluido
Ecuación de continuidad
Ecuación de movimiento
Ecuación de Bernoulli
3
Aplicaciones
Tubo de Venturi
Ley de Torricelli
4
Fluidos reales
El número de Reynolds
Fluidos en régimen laminar
Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle
Perdidas de Presion
Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach
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Fluidos reales
El número de Reynolds

→





→
Fluidos =





→
Flujo de fluidos =
Régimen de transición
Régimen turbulento

 →
Flujo interno
cañerı́as
→
Flujo externo
canales abiertos

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Régimen laminar
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Fluidos reales
El número de Reynolds
Para caracterizar el régimen en el cual se encuentra un fluido en cuestión, utilizamos el
número de Reynolds -adimensional- y, a través de su valor, verificamos si el fluido se
encuentra en un régimen laminar o turbulento.
El número de Reynolds se define como:
Re =
hV i Dh
ρ hV i Dh
Fuerzas inerciales
=
=
Fuerzas viscosas
ν
µ
(7)
Donde:
ρ representa la densidad del fluido.
hV i el valor promedio de la velocidad del fluido.
Dh el diámetro hidráulico, el cual viene dado por:
Dh =
4 Área
Perı́metro
donde en el caso de una cañerı́a circular Dh = D = 2R.
µ la viscosidad dinámica.
Estimar el número de Reynolds para el agua de una cañerı́a domiciliaria tı́pica
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Fluidos reales
El número de Reynolds
Como criterio para indicar el régimen del fluido, ingenierilmente aceptado tenemos:

. 2300
Régimen laminar





2300 . Re . 4000 Régimen de transición
Re =





& 4000
Régimen turbulento
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Fluidos reales
Fluidos en régimen laminar
Consideremos un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tuberı́a de radio
interior R, y de longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión
existente en los extremos del tubo.
F 1= P 1 A
R
F 2= P 2 A
R
r
L
(Vista lateral)
(Vista frontal)
Supongamos que el fluido satisface la relación de Newton para fluidos viscosos, es decir:
τ =ν
dv
dr
⇔
(P1 − P2 ) πr2
dv
= −µ
2πrL
dr
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;
(dv < 0 al aumentar r)
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Fluidos reales
Fluidos en régimen laminar
A partir de lo anterior:
r =R
2
(P1 − P2 ) πr
2πrL
(P2 − P1 ) r
2Lµ
Z
(P2 − P1 ) R 0 0
r dr
2Lµ
r
dv
dr
dv
−
dr
Z v(r)
−
dv 0
=
=
v (r) =
r =0
−µ
=
L
(Vista lateral)
0
∆P
R2 − r 2
4Lµ
;
∆P = P1 − P2 > 0
Aquı́ debemos notar que el perfil de velocidades es parabólico, siendo máximo en su
centro y mı́nimos en las paredes (condición de no-deslizamiento).
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Fluidos reales
Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle
Nuestro objetivo es determinar el gasto (caudal) que produce un fluido en régimen
laminar que es transportado en un ducto cilı́ndrico de radio R.
Q
Z
Q
Z
dq =
=
v (r) dA
;
A = πr2 ⇒ dA = 2πrdr
0
Q
=
Q
=
∆P
4Lµ
Z
R
R2 − r2 2πrdr
"0
#
R
2 R
π∆P
r4
2r
R
−
2Lµ
2 0
4 0
Q=
πD4 ∆P
πR4 ∆P
=
8Lµ
128Lµ
(8)
La expresión (8) se conoce con el nombre de ecuación de Poiseuille y permite
determinar el flujo laminar estacionario de un fluido incompresible y uniformemente
viscoso en un ducto cilı́ndrico de radio R.
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Fluidos reales
Perdidas de Presion
Notar que a partir de (8) si, por ejemplo, para una tuberı́a fija, recta, la potencia de
bombeo se puede reducir en un factor de 16 por el solo hecho de duplicar el diámetro de
la tuberı́a.
En términos prácticos nos interesa el valor medio de la velocidad del fluido en la tuberı́a,
es decir, hvi:
hvi
=
hvi
=
∆P =
Gasto total
=
Área total
R2 ∆P
8Lµ
πR4 ∆P
8Lµ
πR2
8Lµ
32Lµ
hvi = ∆P =
hvi
R2
D2
(9)
Es decir, la presión cae a través de la tuberı́a, es decir, se produce una pérdida de presión.
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Fluidos reales
Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach
Para determinar la pérdida de altura equivalente, multiplicamos (9) y dividimos por
2ρ hvi g obteniendo:
∆P
=
2ρ hvi g
32Lµ
hvi ×
D2
2ρ hvi g
∆P
ρg
=
hf = 64
µ
L hvi2
hvi Dρ D 2g
| {z }
1/Re
hL =
64 L hvi2
∆P
=
ρg
Re D 2g
(10)
∆P
Aquı́, en (10), hf =
se conoce con el nombre de Pérdida de carga y representa
ρg
la pérdida de presión de un fluido debido a la fricción misma del fluido entre sus
capas y las paredes de la tuberı́a en la que es transportado.
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Fluidos reales
Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach
Pérdidas de carga =

 Continuas
→
A lo largo de una tuberı́a
Locales
→
Cerca de ua válvula, cambio de dirección

En términos generales, ya sea para fluidos laminares o turbulentos, las pérdidas de cargas
son expresadas a través de la ecuación de Darcy-Weisbach:
hL =
∆P
L hvi2
=f
ρg
D 2g
(11)
Donde f representa el factor de fricción de Darcy-Weisbach. A partir de (10), podemos
notar que para un fluido viscoso, laminar, que se rige por la ley de Newton, el factor de
fricción de Darcy es:
f=
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64
Re
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