¿Cuál es la importancia del método de viga conjugada ? I. INTRODUCCIÓN. A través de los tiempos la ingeniería civil se ha encargado del diseño, construcción y mantenimiento de todas las infraestructuras como puentes, canales, presas, edificios, casas y entre otras edificaciones que nos permiten un progreso común. Para construir dichas estructuras se tiene que realizar una análisis estructural, el cual es de gran importancia ya que es un proceso donde se calcula y determina los efectos de las cargas y las fuerzas internas en una estructura determinada. Los ingenieros estructurales están encargados de comprender las cargas y los impactos que las cargas tienen sobre el diseño realizado, esto con la finalidad de garantizar que la estructura sea segura para uso bajo las cargas estimadas que se espera soportar. El análisis estructural se puede realizar durante el diseño, pruebas o post construcción y generalmente representarán los materiales utilizados, geometría de la estructura y cargas aplicadas. En el Análisis estructural es de gran importancia el estudio de la deformación, ya que toda estructura al ser cargada con algún peso externo o interno va a generar que se presente un cambio en la configuración geométrica y que se experimente un pequeños desplazamientos. En la mayoría de los casos esa deformación no es apreciable a simple vista por ende el constructor o ingeniero asume que la estructura es rígida y cumple con todos los parámetros de calidad, pero esto erróneo ya que todos los materiales se deforman ya se a mayor o menor medida. Para comprender o establecer que una estructura es completamente adecuada para su uso, es indispensable obtener los esfuerzos internos, la tensión que se produce en los distintos puntos del sistema y por último y uno de los más importante es la deformación, ya que este nos permite establecer si la infraestructura cumple con los estándares de calidad. Para calcular la deformación se puede establecer diversos métodos los cuales son; Método de Doble integración, Método de área de momento, Teorema de Castigliano, Método de pendiente - deflexión, Método de viga conjugada y entre otros que nos permiten realizar los respectivos cálculos de la deformación. Con base a esto el artículo se enfocará en estudiar el método de viga conjugada, el cual fue desarrollado por Christian Otto Mohr en 1868, Este método consiste en estudiar la analogía que existe entre las cargas, fuerza cortante, pendiente, deflexión y momento flector. En el artículo daremos a conocer la historia del método, la definición del método, para que nos sirve, como es el proceso de aplicación, que es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real y por último realizaremos un ejercicio el cual nos permitiría comprender y reforzar todos los conceptos estudiado durante el desarrollo del artículo. II. HISTORIA DEL MÉTODO DE VIGA CONJUGADA . Christian Otto Mohr fue un ingeniero alemán que nació el 8 de octubre de 1835 y falleció el 2 de octubre de 1918. Fue uno de los ingenieros civiles más famosos del siglo XIX. Mohr nació en una familia de terratenientes en la región alemana de Holstein y asistió a la Escuela Politécnica en Hannover. A partir de 1855, su primera experiencia laboral fue como ingeniero ferroviario para los Ferrocarriles Estatales de Hannover y Oldenburg, para los que diseñó algunos puentes famosos utilizando vigas de celosía de acero pioneras. También durante esos primeros años, los intereses de Mohr fueron atraídos por las teorías de la mecánica y la fuerza material. Mohr presentó dos teoremas el cual son una valiosa herramienta para el cálculo de deformación. las cuales son: 1. Teorema. El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualquiera de la línea elástica, es igual al arena total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez. 2. Teorema. La coordenada del punto (2) de la linea elastica, respecto a la tangente en otro punto (1), es igual al momento estático de la superficie de momento flectores, comprendida entre las coordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez 𝐸 * 𝐼 . Ilustración (1).Diagrama de momento. III. MÉTODO DE VIGA CONJUGADA- DEFINICIÓN. El método de viga conjugada es aquel que nos permite calcular la deflexión y pendientes en vigas, las cuales pueden presentar diferentes tipos de apoyos y condiciones de frontera al reemplazar los apoyos reales con apoyos conjugados para producir vigas conjugadas. El efecto de los apoyos ficticios es imponer condiciones de frontera que garanticen que el cortante y el momento, producidos en una viga cargada por el diagrama �/�� tal como se muestra en la ecuación (1), sean iguales a la pendiente y a la deflexión, respectivamente, de la viga real. ` Ecuación (1) 𝑞 𝐶 = ● 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 Interpretación del método de viga conjugada. El método presenta un viga real, la cual esta tiene una carga distribuida (w) y un longitud (L) a lo largo de toda la viga, tal como se muestra en la ilustración (2). Ilustración (2). Viga real. Al realizar las similitudes de la ecuación se procede a replantear y integrar cada una de estas ecuacion, dando como resultado lo siguiente: Al replantear la ecuación número (2) se obtiene que la fuerza cortante (v) es igual a la integral de la fuerza distribuida (w) con respecto a (x) tal como se muestra en la ecuación (6). Ecuación (6) 𝑣 = ∫ 𝑤𝑑𝑥 Al replantear la ecuación número (3) se obtiene que el desplazamiento angular ϕ en cualquier punto va ser igual a la integral del momento sobre EI, esto se puede ver reflejado en la ecuación (7). Ecuación (7) ϕ = ∫ 𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼 Nota: Entre las ecuaciones (6) y (7) se encuentra una similitud entre el desplazamiento angular y la fuerza cortante. También se encuentra similitud entre el momento sobre EI y la fuerza distribuida. Al replantear la ecuación número (4) se obtiene que el momento (M) es igual a la integral doble de la fuerza distribuida (w) con respecto de (x), esto se puede apreciar en la ecuación (8) Ecuación (8) 𝑀 = ∫∫[𝑤𝑑𝑥] Al replantear la ecuación número (5) se obtiene que la deflexión vertical (y) es igual a la doble integración del momento sobre EI con respecto de (x), Esto se puede observar en la ecuación (9). Al definir la viga real se buscará hallar el momento de esta y cargarlo en la viga conjugada, para esto se realiza la similitudes en las siguientes ecuaciones: En la ecuación (2) se representa la derivada de la fuerza cortante interna de la viga, la cual es igual a la fuerza distribuida a través de la viga. 𝑑𝑣 = 𝑤 Ecuación (2) 𝑑𝑥 En la ecuación (3) se representa la deriva de la pendiente en cualquier punto con respecto a (x) y esta es igual al momento entre la rigidez EI, Ecuación (3) 𝑑θ = 𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼 En la ecuación (4) se representa la segunda derivada del momento es con respecto a (x), esto es igual a la fuerza cortante que a su vez es igual a la fuerza distribuida de la ecuación número (2). 2 Ecuación (4) 𝑑 𝑀2 = 𝑤 𝑑𝑥 En la ecuación (5) se representa la segunda derivada de (y) con respecto a (x), esto es igual al momento sobre EI y esto representa la similitud entre la ecuación (5) y (3). 2 Ecuación (5) 𝑑 2𝑦 = 𝑑𝑥 𝑀 𝐸𝐼 Ecuación (9) 𝑦 = ∫∫[ 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥] Nota: Entre la ecuación (8) y (9) se encuentra una relación o similitud entre el momento y la deflexión vertical. También se encuentra similitud entre la fuerza distribuida y el momento sobre EI. Con lo planteado en las ecuaciones anteriores se establece la Ilustración (3) la cual nos permite comprender y determinar con mayor facilidad 2 teoremas los cuales son de gran importancia para el desarrollo de método de viga conjugada. Ilustración (2). Viga real. En la gráfica (2) se observa una viga real y una viga Conjugada, estas presentan una gran diferencia, ya que la viga real se encuentra la fuerza distribuida (w) por toda su sección y que en la viga conjugada se encuentra el diagrama del momento sobre (EI). A partir de esto se establecen dos parámetros o teoremas. ● La pendiente en un punto de la viga real es numéricamente igual a la fuerza cortante en el punto correspondiente de la viga conjugada. ● El desplazamiento de un punto en la viga real es numéricamente igual al momento en el punto correspondiente de la viga conjugada. ● Relaciones Viga real - Viga Conjugada. Para aplicar este método es necesario establecer o diferenciar las características de la viga real y la viga conjugada, ya que esto es de gran importancia para el desarrollo de los ejercicios en vigas. a. b. c. d. e. f. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado. Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación en la viga conjugada. Ilustración (4). Apoyos viga real - viga Conjugada. IV. APLICACIONES DEL MÉTODO DE VIGA CONJUGADA. Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos para levantar una sola sección del puente en forma vertical como si fuera un elevador. Cuando el puente está arriba pueden pasar por debajo barcos con la altura máxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en los extremos construidas generalmente con piezas de acero. Ilustración (5). Aplicación de viga conjugada. Ilustración (3).Relaciones viga real - viga Conjugada. A partir del método de viga conjugada se puede encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada en la ilustración (5), esto se puede lograr mediante unos cálculos más prácticos, ya que solo basta la gráfica del diagrama de momento para trabajar con esta como una nueva viga conjugada y encontrará lo solicitada. Esto se realiza aplicando todos los parámetros y conceptos de relación de la viga conjugada con la viga real. V. ● Con las reacciones determinadas se establecerá el diagrama de fuerza cortante y el diagrama de momento esto daría como resultado: EJEMPLOS. Ejemplo 1. Determinar la pendiente y la deflexión en el punto B de la viga de 3 4 acero que se muestra, si 𝐸 = 29𝑋10 𝑘𝑠𝑖 , 𝐼 = 800𝑝𝑢𝑙𝑔 . Ilustración (7). Ejemplo viga conjugada. Ilustración (6). Ejemplo viga real. Para iniciar con el ejercicio se realizará el diagrama de cuerpo libre ya que esto nos permitirá determinar las reacciones de la viga. Ilustración (7). Diagrama de cuerpo libre. Con los diagramas de fuerza cortante y el diagrama de momento flector determinada se establecerá la viga conjugada, en esta se realizará el respectivo cambio de los apoyos, cambiando el apoyo empotrado de posición y se establecerá la carga distribuida en la viga. esto se representará en la ilustración (8). Ilustración (8). Ejemplo viga conjugada. ● Sumatoria de fuerzas en (X). ∑𝐴 = 0 𝑥 [𝐴 = 0] 𝑥 ● Sumatoria de fuerzas en (Y). ∑𝐴 = 0 𝑌 Con la viga conjugada ya determinada se iniciará por calcular la fuerza puntual equivalente. Ilustración (9). Fuerza puntual equivalente. 𝐴 − 5𝐾 = 0 𝑌 [𝐴 = 5𝐾] 𝑌 ● Momento en A ( 𝑀 ). 𝑎 ∑𝑀 = 0 𝑎 𝑀 − 5𝑘 * 15 𝑝𝑖𝑒𝑠 = 0 𝑎 [𝑀 = 75𝐾 * 𝑝𝑖𝑒𝑠] 𝑎 15*(75) 2𝐸𝐼 562,5 𝐸𝐼 ● Ilustración (11). Diseño Viga Real. Sumatoria de fuerzas en (Y). ∑𝐹 = 0 𝑌 −𝑉− 562,5 𝐸𝐼 − 𝑉= 562,5 𝐸𝐼 =0 = 𝑉 562,5 3 29𝑋10 *800 * 1, 44 𝑉 =− 0, 00003491 𝑟𝑎𝑑 ● Momento en A ( 𝑀 ). 𝑎 𝑀 + 562,5 (25) = 0 𝐸𝐼 𝑀 =− 562,5 𝐸𝐼 𝑀 =− 𝑀 =− Aplicamos la 2da proposición y determinamos la deflexión máxima, la cual sucederá en el punto C de acuerdo a la figura, debido a que la viga es simétrica. (25) 1462,5 𝐸𝐼 1462,5 3 29𝑋10 *800 1728 𝑀 =-1,048 ❖ Para la viga simple de la figura, calcular la pendiente en (A) y la flecha máxima. EI es constante Ilustración (12). Unificación de valores ● Ejemplo 2: Determinar la deflexión máxima en la viga mostrada en la figura Ilustración (10). Ejemplo viga. Primero se realiza el diagrama de cuerpo libre. Ilustración (13). Diagrama de Cuerpo Libre. Una vez más convertimos la viga real en viga conjugada y lo cargamos con el diagrama M/EI de la viga real, tal como se muestra en la figura, la cual se ha dividido en tres figuras geométricas regulares. Se procede hallar las reacciones en A y B ● ● 𝑅 = 600 − 𝑅 𝐴 𝐵 𝑅 = 600 − 300 ● 𝐴 𝑅𝐴 = 300𝐾𝑔 ● ❖ Viga Conjugada Ilustración (14). Ejemplo Viga Conjugada. Si bien el método de la viga conjugada no es nuevo, aún cuando no se usa, es un recurso con múltiples beneficios cuando se usa correctamente, no solo para calcular deformaciones o reacciones, sino también en educación, la resistencia de los materiales. A partir de las gráficas se pueden distinguir comportamiento de la rigidez en elementos Comprensión de los elementos de fuerzas y cargas que se encuentran en vigas con relaciones de carga y cuando se integra directamente en afluencia de materiales. El método de viga conjugada nos permite reforzar conocimiento de estáticas, mecánica de sólidos, fuerza cortante y momento flector; como momento flector, está directamente relacionado con la curva elástica de una viga real. Debido a su enfoque, las vigas conjugadas necesitan ser analizadas. El método de viga conjugada nos permite optimizar el tiempo empleado al momento de determinar el cálculo de las diferentes reacciones presentes en una viga expuesta a una flexión, en especial al determinar el momento, ya que esta solo requiere una sola ecuación. VII. 𝑉 =𝑉 1 2 𝑉1 = 30375 𝐾𝑔 VI. ● CONCLUSIONES. Además de entender la relación entre estas variables, por ejemplo, carga, fuerza, momento, deformación; en la gran mayoría de los casos esto no se logra aplicando una ecuación matemática, cuando se integra directamente se hace de memoria, perdiéndose así la comprensión del fenómeno. REFERENCIAS. [1] VIDEOCURSO ING.CIVIL. DEFLEXIONES. MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA. Accedido el 6 de octubre de 2022. [Video en línea]. Disponible: https://www.youtube.com/watch?v=p0HbNn_2JBw&t=1 83s [2] Alfonso Campos Vázquez. "Variantes de la Aplicación de da Viga Conjugada, en el Cálculo de Momentos de Empotramiento". https://www.redalyc.org/pdf/849/84925149006.pdf (accedido el 5 de octubre de 2022). [3] "Método de la Viga Conjugada". http://charito-resistenciademateriales2.blogspot.com/2008/06/ mtodo-de-la-viga-conjugada.html (accedido el 4 de octubre de 2022). [4] S. Timoshenko, G. MacCullohgh, Elements of Strength of Materials”, New York: D. Van Nostrand Company, 1947, p. 167. [5] F Selly, J Smith, "Resistencia de Materiales”, 2th ed., Ed. Méxcio: UTEHA, 1967, pp. 212. [6] F Singer, A Pytel, "Resistencia de Materiales”, 4th ed., Ed. México: HARLA, 1994, pp.418-426. [7] Ortiz Berrocal, "Resistencia de Materiales" 3rd ed., Ed. España: McGraw Hil/Interamericana, 2002, pp.378-383. [8] R Subramanian, "Strength of Materials”, India: Oxford University Press, 2010, p. 429-432.
