UNIVERSIDAD DE FALCON DOCENTE: LCDA HAIDE E. GARCIA MUJICA. PROCESOS GERENCIALES CORREO: haydeegarcia@udefa.edu.ve MATEMATICA FINANCIERA EL DESCUENTO. El término descuento se aplica en actividades comerciales y financieras. En las actividades comerciales, el descuento es utilizado como medio para incentivar las operaciones de compra-venta, otorgando una disminución en el precio, de igual modo, el término se aplica para impulsar altos volúmenes de venta otorgando descuentos sucesivos, o para estimular en los clientes la rapidez del pago de las facturas de crédito, conforme a las condiciones convenidas. El descuento comercial representa un porcentaje del precio establecido y se resta a este precio para determinar lo que paga realmente el cliente. En el cálculo del descuento comercial intervienen los siguientes términos: D= Descuento r= tasa de descuento expresado en % S= monto o precio Descuento comercial= Monto o precio x Tasa de descuento % 100 Monto a pagar= Monto o precio – descuento Ejemplo: Un empresa facturó ventas por un monto de Bs. 3.500.000,00 y se le concede un descuento del 20% por ser una venta estrictamente de contado. Determine el descuento y el monto neto a cancelar por el cliente. Datos: D.C.= 3.500.000,00 x 20 = 700.000,00 Bs D.C. = ¿? 100 R= 20% También puede ser de esta manera: Monto factura: Bs 3.500.000,00 VN= Monto (S) – DC D.C.= 3.500.000 x 0,2 = 700.000,00 Bs VN= 3.500.000 – 700.000 = Bs 2.800.000,00 Ejemplo Una fábrica factura pedido valorado en Bs 5.000.000,00. Concede un descuento del 30% y sobre el neto, recarga el 14,5% por concepto del IVA. Determine el descuento, el monto neto de la venta, el monto del IVA y la cantidad de dinero recibida. Datos: DC= 5.000.000 x 0,3= 1.500.000,00 Bs DC= ¿? VN= S- DC VN= 5.000.000,00 – 1.500.000,00 = 3.500.000,00 Bs R= 30% IVA= VN * 14,5%= IVA= 14,5% Monto recibido: VN + IVA IVA= 3.500.000,00 * 0,145 = 507.500,00 MR= 3.500.000,00 + 506.500,00 = 4.007.500,00 Bs CALCULO DEL PRECIO Es obvio que los fabricantes, distribuidores y detallistas están en vender sus productos con determinadas ganancia, para lograrlo, el precio de venta debe ser una cantidad adecuada, de tal manera que pueda cubrir su costo y los gastos de operación y además, proveer la ganancia deseada. A la diferencia entre las ventas y el costo de la mercancías vendida (costo de venta) se le llama utilidad bruta en ventas. Los gastos de sueldos, servicios públicos, compra de insumo entre otros gastos son llamados gastos de operación. La diferencia entre la utilidad bruta en venta menos los gastos operacionales es la utilidad neta en operaciones. El total de cada uno de estos renglones debe ser convertido a tanto por ciento, basado en el precio de costo de las mercancías o productos, para los efectos de calcular el precio. Ejemplo: Se desea determinar el precio de venta de un producto cuyo costo de producción es de Bs 10.000,00 y se espera una utilidad bruta del 35% Datos: Costo= Bs 10.000,00 35% utilidad: = 35/100 = 0,35 siendo= ( 1 + 0,35)= 1,35 Precio= costos * utilidad Desarrollo: Precio= 10.000 (1,35) = 13.500,00 Bs El precio de venta es de Bs 13.500 Bs Ejemplo: Hallar el precio de venta de un artículo cuyo costo es de Bs 25.000,00. Se estima un 20% en gastos operacionales y un 10% de utilidad. Datos: Costo: Bs 25.000,00 20% gastos operacionales Desarrollo: Precio= 25.000 (1,30) = 32.500,00 El precio de venta es de Bs 32.500,00 10% utilidad 30% siendo (1 + 0,30) = 1,30 CALCULO DEL PRECIO CUANDO HAY UNA POLITIC DE DESCUENTO. Son diversas las situaciones a considerar cuando se desea determinar el precio de venta de los productos. La variedad de los casos ocurre según la base que se tome para el cálculo en cada situación (venta neta, costo de venta, tasa de descuento entre otros) Ejemplo: Un fabricante de muebles, desea determinar el precio, cuyo costo es de Bs 200.000,00. Los gastos operacionales representan un 25% y desea obtener una utilidad del 12%. Es política de la empresa ofrecer un 30% de descuento sobre el precio. ¿Cuánto debe ser el precio? Datos: a.- Calculo del precio de venta para obtener la utilidad Costo Bs 200.000,00 Precio= 200.000 (1 + 0,37) = 200.000 (1,37) =274.000,00 25% Gastos operacionales 12% Utilidad 37% b.- Calculo del incremento del precio por el descuento Precio= precio de venta = 274.000= 391.428,57 Bs (1- 0,30) 0,70 30% Descuento (1-0,30) DESCUENTOS SUCESIVOS Esto se refiere que ocurren descuentos sobre una misma factura, de manera sucesiva por diferentes conceptos. Como son descuentos independientes, cada uno se calcula sobre la base del valor global de la factura, después de deducir el descuento anterior. 1.- Ejemplo: Una fábrica factura productos por un monto de Bs 12.000.000,00. Concede el 20% de descuento por pedido al mayor, 10% por promoción especial de ventas y 3% por despacho a puerta de fábrica. Determine cada descuento, el descuento total y el monto neto de la venta. Datos: Desarrollo: Monto facturado Bs 12.000.000,00 DC= ¿? 1.- DC = 12.000.000 * 0,20=2.400.000,00 Bs VN= Monto – DC = 12.000.000 – 2.400.000= 9.600.000,00 1.-20% por pedido 2.- DC = 9.600.000 * 0,10= 960.000,00 Bs 2.-10% promoción VN= Monto – DC= 9.600.000 – 960.000 = 8.640.000,00 3.- 3% Despacho en fabrica 3.- DC= 8.640.000 * 0,03= 259.200,00 Bs VN= Monto –DC = 8.640.000 -259.200= 8.380.000,00 Bs RESUMEN DE LOS RESULTADOS VALOR FACTURA 12.000.000,00 9.600.000,00 8.640.000,00 TOTAL % DESCUENTO 0,20 0,10 0,03 VALOR DESCUENTO 2.400.000,00 960.000,00 259.200,00 3.619.200,00 VALOR FACTURA CON APLICACIÓN DEL DESCUENTO 9.600.000,00 8.640.000,00 8.380.800,00 Otra forma de resolver este problema: VN= 12.000.000 (1-0,20)( 1-0,10)(1-0,03)= 12.000.000 (0,80)(0,90)(0,97)= 8.380.800 Bs La tasa final paga es de= 0,80 x 0,90 x 0,97= 0,6984 x 100= 69,84% La tasa final descontad= 100% - 69,84%= 30,16% El descuento final es de: 12.000.000 x 0,3016= 3.619.200,00 2.- Ejemplo: Una fábrica facturó a unos de sus clientes un lote de mercancías valorados en Bs 10.000.000,00. Es política de la empresa conceder un descuento del 25% sobre el monto facturado y un 5% de descuento adicional sobre el total cuando el pedido supera los 8 millones. Determine cada descuento, el total de descuentos, el monto neto de la venta, el IVA correspondiente y la cantidad de dinero recibido DATOS: 1.- DC= 10.000.000 * 0,25= 2.500.000,00 Bs Monto facturado Bs 10.000.000 1.- 25% descuento VN= Monto –DC= 10.000.000 – 2.500.000 = 7.500.000 2.- DC= 7.500.000 * 0,05= 375.000,00 Bs VN= Monto-DC = 7.500.000 – 375.000= 7.125.000,00 2.- 5% descuento adicional 3.- 14,5% IVA 3.- IVA= 7.125.000 * 0,145= 1.033.125,00 Bs Cantidad de dinero recibido= VN + IVA= 7.125.000 + 1.033.125= 8.158.125,00 Bs RESUMEN DE LOS RESULTADOS MONTO FACTURA 10.000.000 DESCTO 0,25 2.500.000 MONTO S1 7.500.000 DESCTO 0,05 375.000 MONTO S2 7.125.000 TOTAL DESCTO 2.875.000 IVA 0,145 1.033.125 CANTIDAD RECIBIDA 8.158.125 3.- Ejemplo: El costo de producción de cierto producto es de Bs 10.000.000,00. Se aspira a tener un margen de utilidad bruta del 45%. La empresa otorga el 20% de descuento, 15% en ventas al mayor y una bonificación de 5% por promoción especial. Hallar el precio para obtener el margen de utilidad esperada Desarrollo: 1.- Determinar el precio de venta con base al producto y el margen de utilidad: DATOS: costo Monto(S)= Costo (1 + %)= VN: Costo del producto Bs 10.000.000,00 S= 10.000.000 (1 + 0,45)= 10.000.000(1,45) Monto (S): ¿? S= 14.500.000.00 Bs 1.- 45% U.B.V. 2.- Determina el precio de venta, consideran 2.- 20% Descuento do el descuentos (20%). 3.- 15% Venta al mayor del Monto= ________VN_______ 4.- 5% Bonificación (1- %) Monto= 14.500.000,00 = 14.500.000,00 (1 – 0,20) 0,80 3.- Determinar el precio considerando venta al mayor. de venta, Monto= _______VN________ Monto= 18.125.000,00 Bs 4.- Determina el precio de venta considerando la bonificación. (1- %) Monto= ________VN_______ S= 18.125.000,00 = 18.125.000 (1- %) (1-0,15) 0,85 Monto= 21.323.529,41 = 21.323.529,41 S= 21.323.529, 41 Bs ( 1- 0,05) Monto= 22.445.820,43 Bs 0,95 DESCUENTOS POR PRONTO PAGO. En las transacciones de ventas a crédito, los proveedores conceden a sus clientes un cierto lapso y condiciones para cancelar el saldo de las facturas. Por lo tanto y con el propósito de estimular al cliente para que pague con prontitud, ofrece como incentivo ciertos descuentos, a los que se denomina descuento por pronto pago. Ejemplo: Un cliente adquiere mercancías por un monto de Bs. 2.500.000,00, la factura fue emitida el día 03 de marzo con condiciones 15%/10 día, 10%/ 20 días y n/30 días. El cliente canceló la factura el día 11 de marzo. ¿Cuál fue el monto del descuento y cuánto pagó el cliente. Datos: Desarrollo: .-Monto de la factura: Bs 2.500.000,00 Monto: VN (1- 0,15) .- Fecha emisión factura: 03 de marzo Monto= 2.500.000 (0,85)= 2.125.000,00 Bs .- Fecha de vencimiento: 03 de abril El monto a cancelar Bs. 2.125.000,00 .- Fecha de pagó el 11 de marzo Descuento: VN - DC .- (Días transcurrido de la fecha de emisión a La fecha de pago: 8 días) .- Le corresponde descuentos del 15% Descuento: 2.500.000 – 2.125.000 = 375.000 DESCUENTO FINANCIERO. Otro tipo de descuento de uso frecuente en el comercio y las finanzas, es el descuento financiero como una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias. Este tipo de descuento se presenta cuando el poseedor de un documento de crédito a su favor (letra de cambio), le ceda a una institución bancaria, mediante el endoso, los derechos sobre este documento, recibiendo a cambio el valor actual, o sea el importe del documento menos los intereses de la cantidad que se anticipa, los gastos de cobranza en que incurra el Banco. Se conocer dos clases o formas básicas para calcular el descuento, ellas son: descuento comercial o bancario y descuento racional o justo. EL DESCUENTO BANCARIO. El descuento bancario, conocido también en el campo de la Contabilidad como interés pagado por adelantado, es el tipo de descuento realizado más frecuentemente en los negocios, pues el mismo se calcula sobe el valor nominal del documento. En el manejo operacional del descuento bancario se emplean ciertos términos que es necesario conocer, ellos son: Valor nominal (VN): Es la cantidad que está escrita en el documento y que se debe pagar en la fecha de vencimiento señalada. También se le conoce como valor futuro (VF). Descontar un documento de crédito: Es la acción de recibir o pagar de manera anticipada un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida para la fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el documento de crédito. Cuando se hace referencia a la operación, el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista. Descuento (D): Es la diferencia establecida entre el valor nominal del documento y el valor que se recibe en el momento de descontar el documento. Se obtiene mediante el producto del valor nominal (VN) por la tasa de descuento, aplicada a una unidad de tiempo. Valor actual (VA o VP): Es el valor del documento menos el descuento correspondiente en una fecha anterior a la del vencimiento. Se le conoce también como valor real, valor presente o valor desconocido. Tasa de descuento (d): Es el tanto por ciento o tanto unitario acordado para determinar los intereses que se cubrirán por adelantado. Se le conoce también como tasa anticipada. Período de descuento (n): Es el tiempo que falta para el vencimiento del documento, a partir de la fecha de la operación de descuento. Plazo: El término plazo de utiliza para expresar el periodo de extensión de un préstamo bancario. Impuesto fiscal: Es una tasa de retención obligatoria establecida en la Ley de Timbre Fiscal calculada sobre el valor nominal del documento. El dinero retenido irá al Estado venezolano a través del Fisco Nacional (Ministerio de Finanzas). FORMULA PARA ENCONTRAR EL VALOR ACTUAL DE UN DOCUMENTO SEGÚN EL DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO: DC= VN x n x d Siendo: DC (descuento comercial o bancario). VN (valor del documento) n (período de tiempo). Valor actual o presente de un documento es: VP= VN (1 – n x d) d ( tasa de descuento %) Ejemplo: Una letra de cambio emitida el 15 de mayo por Bs 250.000,00 y vence el 15 de agosto del mismo año. Se descuenta el 04 de junio al 25%, el impuesto fiscal retenido por el Banco es de Bs 1/1000. Hallar el valor descontado bancario y el valor actual del documento. Datos Desarrollo VN= 250.000,00 Bs 1.-VP= 250.000 (1 – 82/360 x 0,25 ) DC= ¿? VP=250.000,00 (1 – 0,05694444) n= 82 días VP= 250.000 x 0,94305555 = 235.763,89 Bs d (%) 25%/100= 0,25 Valor actual del documento Bs 235.763,89 Impuesto fiscal (iF)= 0,001 2.- Dc = VN- VP Dc= 250.000,00 – 235.763,89 = 14.236,11 Bs El descuento bancario es de Bs 14.236,11 3.- if= 250.000 x 0.001= 250 Bs 4.- El valor actual real del documento es: VP= VN- (Dc + if) VP= 250.000- (14.236,11 + 250) = 235.513,89 Bs Ejemplo: Una letra de cambio valor nominal de Bs 750.000,00 fue descontada en el Banco dos meses antes de la fecha de vencimiento al 38% más un recargo por manejo operacional del 1% sobre el valor nominal y el impuesto fiscal del 1/1000. Determine el descuento bancario y el valor presente o actual. Datos Desarrollo VN= 750.000,00 1.- VP= 750.000 (1 – 2/12 x 0,38) DC=¿? VP= 750.000 ( 1- 0,0633333)= 750.000 (0.9366666) n = 2 meses VP= 702.500,00 Bs d(%)= 38%/100 = 0,38 2.- Dc= 750.000 – 702.500 = 47.500 Bs Impuesto fiscal= 0,001 3.- Recargo por manejo: 750.000 x 0,01= 7.500,00 Bs Recargo= 0,01 4.- Impuesto fiscal= 750.000 x 0,001= 750,00 Bs 5.- Valor actual real el documento: VP= 750.000 – ( 47.500 + 7.500 + 750) = 694.250,00 Bs DESCUENTO RACIONAL O JUSTO. El descuento racional o justo se calcula tomando como base el valor real, actual 0 efectivo del documento. Se define como el interés simple calculado sobre el valor actual con aplicación de una tasa de interés por el tiempo que falta para el vencimiento, con el propósito de reproducir el valor nominal. FORMULA: PARA ENCONTRAR EL VALOR ACTUAL DE UN DOCUMENTO SEGÚN EL DESCUENTO RACIONAL O JUSTO y EL DESCUENTO RACIONAL. 1.- VP= VN (1 + i x n) 2.- Dr= VP x i x n Ejemplo: Una letra de cambio con valor nominal de Bs 2.500.000,00, fue descontada 3 meses ante de la fecha de vencimiento a un tasa de interés del 32,75%. Determine el descuento racional y el valor presente o actual. DATOS DESARROLLO VN= 2.500.000,00 VP= n = 3 meses i = 30%/100= 0,3 Dr= ¡’ Vp= ¿? VN (1 + i x n) 1.- VP = 2.500.000 = 2.500.000= 2.500.000 (1 + 0,3 x 3/12) 1 + 0,075 1,075 VP= 2.325.581,40 2.- Dr= VP x i x n Dr= 2.325.581,40 x 0,3 x 3/12= 174.418,61 Bs Ejemplo: Una letra de cambio con valor nominal de Bs 7.500.000,00, fue descontada 45 días ante de la fecha de vencimiento a un tasa de interés del 32%. Determine el descuento racional y el valor presente o actual. DATOS DESARROLLO VN= 7.500.000,00 VP= n = 45 días i = 32,75%/100= 0,3275 Dr= ¿? VP=¿? VN (1 + i x n) 1.- VP= 7.500.000 (1 + 0,3275 x 45/360) = 7.500.000 (1 + 0,0409375 VP= 7.500.000 = 7.205.043,53 Bs 1,0409375 2.- Dr= VP x i x n Dr= 7.205.043,53 x 0,3275 x 45/360 Dr= 294.956,47 Bs INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO Es importante anotar que en realidad, desde el punto de vista teórico existen dos tipos de interés el Simple y el compuesto. Pero dentro del contexto práctico el interés compuesto, es el que se usa en todas las actividades económicas, comerciales y financieras. El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del interés compuesto. El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prendarios. En esta unidad, se desarrollaran los conceptos básicos del interés simple. DEFINICION DEL INTERES SIMPLE Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varía en forma proporcional al capital (C) y al tiempo (n). El interés simple, se puede calcular con la siguiente relación: I = C*i*n. En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos básicos: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n). En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos básicos: El capital inicial (C), la tasa de interés (i) y el tiempo (n). En la ecuación se deben tener en cuenta dos aspectos básicos: a) La tasa de interés se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir, sin el símbolo de porcentaje. b) La tasa de interés y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades de tiempo. Si la unidad de tiempo de la tasa de interés no coincide con la unidad de tiempo del plazo, entonces la tasa de interés, o el plazo, tiene que ser convertido para que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Por ejemplo, si en un problema específico el tiempo se expresa en trimestres, la tasa de interés deberá usarse en forma trimestral. Recuerde que si en la tasa de interés no se específica la unidad de tiempo, entonces se trata de una tasa de interés anual En términos monetarios, se define el Interés como el precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un tiempo determinado VARIABLES DEL INTERÉS Para una mejor comprensión del interés, es necesario manejar con destreza ciertas variables fundamentales que intervienen en las operaciones financieras; ellas son Capital, interés, tasa de interés, tiempo y monto. Otros conceptos asociados a estas variables financieras, utilizados en la actividad bancaria, son: tasa activa, tasa pasiva, tasa de redescuento y tasa diferencial, entre otros variables. 1.- CAPITAL: Como concepto económico, el capital es el conjunto de bienes que, valorados cuantitativamente según una unidad monetaria, son destinados a la producción y, por lo tanto, están sujetos a sufrir variaciones como consecuencia de la productividad. De allí que para que un bien será considerado como capital, necesariamente, tiene que producir un rendimiento, el cual se medirá en un tanto por cientos del bien o capital. En el campo de las finanzas se habla del capital financiero y se le define como toda cantidad de dinero que ha sido colocada como inversión o como préstamo para obtener de ella una rentabilidad a lo largo del tiempo. A la variable capital también se le conoce como valor presente, valor actual, valor de origen, valor principal. 2.- INTERÉS: Para el inversionista o prestamista, el interés representa una compensación financiera obtenida por haber cedido su dinero a otra persona, bien sea como inversión o como préstamo, durante cierto plazo o tiempo. Es el interés financiero propiamente dicho, calculado sobre la base de capital, la tasa convenida y el tiempo o plazo acordado. Si hay retardo en el pago del compromiso en la fecha convenida, se acostumbra agregar a la deuda un cierto interés de mora, entendido como el interés calculado sobre una cuota-parte del capital, por efectos de la demora en que se haya incurrido para su pago. Se calcula sobre la base de la cantidad que se ha dejado de pagar (pago demorado) el tiempo de mora y una tasa de mora preestablecida, distinta a la tasa financiera propiamente dicha. CÁLCULO DEL INTERES: Los intereses pueden ser calculados por dos métodos: A.- Método de interés simple: Los intereses se calculan por éste método cuando, al final de cada subperíodo, los intereses se paga, se satisfacen o se liquidan, quedando únicamente el capital para producir interés en el siguiente subperíodo. Es decir, los intereses no se capitalizan. B:_ Método de interés compuesto: Los intereses se calculan por este método cuando, al final de cada subperíodo convenido, los intereses son agregados o sumados al capital (capitalización), para que el nuevo capital que así resulta produzca intereses en el siguiente subperíodo y así sucesivamente. FORMULA: I= C x i x n Sabiendo que: I= interés C= Capital i= Tasa de interés n= Tiempo 3.- TASA DE INTERES: La tasa de interés, es una operación comercial o financiera, indica el % de la suma a pagar por una cantidad de dinero, prestada durante una unidad de tiempo. La unidad de tiempo utilizada es por lo general el año: así 9% significa que por cada unidad de dinero prestado se debe pagar 0,09 unidades por cada año de duración del préstamo. Cuando el tiempo el convenido no es el año, se debe indicar al expresarse la tasa: Asi: 1% mensual significa que por cada unidad prestada se debe pagar como interés 0,01 unidades por cada mes de duración del préstamo: si fuese 5% trimestral significa que por cada unidad monetaria prestada se debe pagar como interés 0,05 unidades cada trimestre que dure el préstamo En la variable tasa de interés, se distingue dos clases, según su forma de presentación: 3.1. TASA PORCENTUAL ANUAL: Es aquella que se aplica sobre una unidad de tiempo de un año, se expresa mediante el símbolo % y representa una o varias unidades del total de 100 partes en que se haya dividido el capital: Ejemplo 25%; 32%; 42% A esta tasa se le representa con la letra: t (tasa); i (tasa de interés). En Venezuela. La Banca tiene como norma expresar la tasa de interés en forma porcentual anual. A su vez, la tasa porcentual anual se puede dividir en forma proporcional al año, para tener así la tasa porcentual semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual, diaria. Ejemplo: Tasa porcentual anual 30% Tasa porcentual mensual: 30%/12 = 2,5% Tasa porcentual trimestral: 30%/4= 7,5% Tasa porcentual cuatrimestre: 30%/3= 10% Tasa porcentual semestral: 30%/2= 15% Tasa porcentual bimestral: 30%/6= 5% Tasa porcentual diaria (comercial): 30%/360=0,08333% Tasa porcentual diaria (año civil): 30%/365= 0,082191% Tasa porcentual diario (año bisiesto): 30%/366=0,081967% En sentido contrario, todo tasa proporcional se puede convertir a tasa proporcional anual , solo bastaría con multiplicarla por el número de días, meses, semestre, bimestre, cuatrimestre, trimestre que tiene el año ejemplo: TASA PROPORCIONAL 9% semestral 6% mensual 1,25% bimestral 3,5% trimestral 12% cuatrimestre 0,1% diario (comercial) 0,1% diario (año civil) 0,1% diario (año bisiesto) OPERACION 9x2 6 x 12 1,25 x6 3,5 x 4 12 x 3 0,1 x 360 0,1 x 365 0,1 x 366 TASA PORCENTUAL ANUAL 18% 24% 7,5% 14% 36% 36% 36,5% 36,6% 3.1. TASA UNITARIA ANUA: Se designa con la inicial (i) , es la misma tasa porcentual anual, pero dividida directamente entre 100, ejemplo: 36%. = 36/100 = 0,36 tasa unitaria anual La expresión 0,36 debe interpretarse “36 céntimos de interés, por cada bolívar del capital invertido o prestado. Toda tasa unitaria anual se puede convertir a tasa porcentual anual. Solo bastaría multiplicarla por 100. Ejemnplo: TASA UNITARIA ANUAL OPERACION TASA PORCENTUAL ANUAL 0,42 0,42 X 100 42% 0,10 0,10 X 100 10% 0,75 0,75 X 100 75% 4.- TIEMPO: Es el plazo, período o lapso que durará colocado el capital, bien como inversión, bien como préstamo. El tiempo puede venir expresado en años, semestres, cuatrimestre, trimestres, bimestres, meses, días, o en una combinación de ellos. Por lo general se empresa con la letra (n). Entre las variables tiempo y tasa, debe haber estrecha relación, pues una está en función de la otra. Por lo regular, el tiempo está en función de la tasa. Es decir, el tiempo debe acomodarse a la tasa. Así si la tasa es anual, el tiempo debe expresarse en años o fracción de año. Si la tasa fuese semestral, el tiempo debe expresarse en semestre o fracción semestral y así sucesivamente 5.- MONTO: Es la suma del capital invertido más los intereses ganados en el tiempo o plazo convenido. A esta variable se le designa con la inicial (M). Al monto también se le denomina valor futuro, valor final o valor adquirido. En esta variable se diferencian dos clases: Monto simple y monto compuesto. 5.1. Monto simple: Es aquel en que los intereses ganados se van acumulando por separado del capital y sólo se le sumarán al finalizar el plazo o tiempo de colocación. 5.2.. Monto compuesto: Es aquel en que los intereses ganados se van capitalizando varias veces durante el plazo, tiempo o período de colocación. Al sumarle los intereses al capital, este proceso se le conoce como capitalización. TIPOS DE TASA: 1.- TASA ACTIVA: Es la tasa que el Banco o Instituciones Financieras le cobra al cliente (persona natural o jurídica) por el crédito otorgado. Es decir, la tasa que paga el usuario al Banco por concepto de: Tarjetas de crédito, préstamos solicitados para la compra de bienes en otros. 2.- TASA PASIVA: Es aquella que el Banco le otroga a sus clientes por los depósitos en cuentas de ahorro, depósitos a la vista, depósitos a plazo fijo y en general por cualquier otra operación pasiva. 3.- TAS DE REDESCUENTO: Es la tasa que el Banco Central de Venezuela les cobra a las instituciones financieras por la recompra de créditos de los mismos bancos. 4.-TASA DIFERENCIAL: Es la diferencia que existe entre la tasa activa y la tasa pasiva. Nota: En el procedimiento para el cálculo del interés simple es necesario considerar las variables: I = Interés (dinero que genera el capital colocado) C = Capital (cantidad que se invierte, se presta o se recibe en préstamo) I = Tasa de interés convenido, por cada bolívar (tasa unitaria anual) N = Unidad de tiempo estipulada. Ejemplos. 1.- Determinar los intereses generados sobre un préstamo de Bs 500.000,00 al 18% anual en 90 días Datos: FORMULA : I= C x i x n I = ¿? A.- Desarrollo: I = 500.000,000 x 0,18 x 90/360 C = Bs 500.000,00 I = 22.500,00 Bs I = 18% /100 = 0,18 Otra forma: N = 90 días B.- Desarrollo: I = 500.000,00 x 0,18 x 3/12 I = 22.500,00 Bs Este préstamo genera la cantidad de Bs 22.500,oo por concepto de intereses. Explicación en el caso (A) en el tiempo 90 días se dividió entre 360 días Explicación en el caso (B) en tiempo 90 días lo convertí en meses: 90 días a meses/ 30 días = 3 mes o sea 3 / 12 2.- ¿Qué capital se necesita para que, colocado al 16% durante 3 meses genere Bs. 112.000,00 de interés? Datos: FORMULA: C = ______I___________ I = Bs 112.000,00 i= 16% / 100 = 0,16 i xn DESARROLLO: C:= 112.000,00 = 112.000,00 = 2.800.000,00 Bs n = 3/12 0,16 x 3/12 0,04 Se necesita la cantidad de Bs 2.800.000,00 3.- ¿A qué tasa de interés se colocaron Bs. 1.400.000,00 para que a los 6 meses generaron Bs 126.000,00 de interés? Datos: FORMULA: i = ________I_________ I = Bs 126.000,00 C = Bs 1.400.000,00 Cxn DESARROLLO: i= n = 6/12 126.000,00 = 126.000 = 0,18 x 100 = 18% 1.400.000 x 6/12 700.000 4.- ¿En cuánto tiempo un préstamo de Bs 1.500.000,00 generará un interés de Bs 75.000,00 al 5% ¿ Datos: FORMULA: n= _________I________ C = Bs 1.500.000,00 I = Bs 75.000,00 Cx i DESARROLLO = n= ¿? 75.000 1.500.000 x 0,05 = 75.000 = 1 Año 75.000 i= 5/100 = 0,05 5.- ¿En cuánto tiempo un préstamo de Bs 800.000,00 generará un interés de Bs 24.000,00 al 12%? Datos: FÓRMULA: n= ________I__________ C= Bs 800.000,00 I= Bs 24.000,00 Cxi DESARROLLO: n= 24..000,00 = 24.000,00 = 0,25 años x12 = 3 meses n = ¿? 800.000 x 0,12 96.000 6.- Un capital de Bs 1.850.000,00 fue colocado al 18% durante un trimestre. Determine el monto obtenido al final del tiempo de inversión y los intereses generados? M= C [1 + (i x n)] Datos: FORMULA: C= 1.850.000,00 DESARROLLO: M= 1.850.000 i= 18% / 100= 0,18 M= 1.850.000 [1 + 0,045] = 1.850.000 [1,045] = 1.933.250 Bs n=¼ El monto obtenido al final del trimestre es de Bs 1.933.250,00 siendo los intereses [ 1 + ( 0,18 x ¼)] generados de: Monto- capital= 1.933.250 – 1.850.000= 83.250,00 Bs 7.- Se ha colocado un capital al 14% anual, a los 180 días de la inversión se obtienen Bs 1.605.000,00 ¿Cuál es el capital? Datos: i = 14%/100= 0,14 FORMULA: C= ________M_______ 1+ixn M= Bs 1.605.000,00 DESARROLLO: C= n= 180/360 1.605.000,00 = 1 + (0,14 x 180/360) 1.605.000,00 = 1.605.000,00 = 1 + 0,07 1, 07 C= 1.500.000,00 Bs 8.- Un comerciante obtiene un préstamo bancario de Bs 2.000.000,00 por el cual firma un pagaré a 3 meses a una tasa de interés del 36% pagada por adelantada. Datos: Calcule el interés causado y la cantidad de dinero recibida. FORMULA: Va= Vn [ 1- (i x n) ] DESARROLLO: Va =2.000.000 [ 1 – (0,36 x 3/12)] Vn= 2.000.000 n= 3/12 Va = 2.000.000 [ 1- 0,09] = 2.000.000 [0,91] = 1.820.000,00 Bs I= Vn- Va I= 2.000.000 -. 1.820.000= 180.000 Bs El interés causado es de Bs 180.000,00 y el dinero recibido Bs 1.820.000,00 Otra manera de realizar este ejercicio: FORMULA I=Cxix I = 2.000.000 x 0,36 x 3/12 = 180.000,00 Cantidad a recibir: C – I ; 2.000.000 – 180.000 = 1.820.000,00 Bs 9.- Un comerciante, necesita la cantidad de Bs 4.950.000,00 para hacer unas mejoras a los equipos y maquinarias. El banco le concede un préstamo a un plazo de 180 días a una tasa del 35% por adelantado. ¿Por cuánto debe ser la solicitud del préstamo, para recibir la cantidad que necesita? Y a cuánto asciende los intereses. Datos FORMULA: Vn = _______Va_______ Vn= ¿? [1-( i x n)] i = 35%/100 = 0,35 Va= 4.950.000,00 DESARROLLO Vn= 4.950.000 [1- (0,35 x 180/360)] = 4.950.000 = 4.950.000 = 6.000.000 [ 1- 0,175] 0,825 La solicitud del préstamo es por la cantidad de Bs. 6.000.000,00 y el interés causado de Bs. 1.050.000,00 INTERES COMPUESTO DEFINICION DE INTERES COMPUESTO Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a calcular intereses, es decir, hay capitalización de los intereses. Intereses, se podría definir como la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por la suma de los intereses vencidos. La suma total obtenida al final se conoce con el nombre de monto compuesto o valor futuro. El interés compuesto es más flexible y real, ya que valora periodo a periodo el dinero realmente comprometido en la operación financiera y por tal motivo es el tipo de interés más utilizado en las actividades económicas. SUBDIVISION DEL INTERES COMPUESTO. El interés compuesto se puede subdividir de la siguiente manera: a) Interés compuesto discreto: Se aplica con intervalos de tiempos finitos. b) Interés compuesto continuo: Se aplica en una forma continua, o sea que los intervalos de tiempo son infinitesimales. Sin importar el hecho de que el interés sea discreto o continuo y para dar una definición precisa del interés compuesto, es conveniente indicar los siguientes aspectos: a.- TASA DE INTERES: Es el valor del interés que se expresa como un porcentaje. Ej. 5%. 10%, 20%. b.- PERIODO DE APLICACIÓN: Es la forma como se aplicará el interés. Ej. 2% mensual, 20% anual compuesto trimestralmente, 18% anual compuesto mensual. c.- BASE DE APLICACIÓN: Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplicará el interés para cada periodo. Ej. 20% anual compuesto trimestralmente sobre el saldo mínimo trimestral. d.- FORMA DE APLICACIÓN: Es el momento en el cual se causa el interés. Ej. 2% mensual por adelantado, 18% anual por trimestre vencido. e.- PERÍODO: El tiempo que transcurre entre un pago de interés y otro se denomina periodo y se simboliza por n, mientras que el número de periodos que hay en un año se representa por m y representa el número de veces que el interés se capitaliza durante un año y se le denomina frecuencia de conversión o frecuencia de capitalización. A continuación se presenta una tabla que muestra las frecuencias de capitalización más utilizadas o comunes CAPITALIZACION FRECUENCIA DE CONVERSION Diaria Semanal Quincenal o Bimensual Mensual Bimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual 365 52 24 12 6 4 3 2 1 Ejemplo: Se coloca una cantidad en una entidad financiera de Bs 10.000,00 a 5 meses, a una tasa de interés del 24% anual capitalizable mensual. Elaborar a manera de demostración los resultados del proceso. Datos: C = 10.000,00 Valor Actual o valor presente M= ¿ Valor futuro n = 5 meses i = 24%/ 12= 2%/100 = 0,02 Nº de periodos Capital del periodo Intereses período Capital más intereses (0,02) 1 10.000,00 200,00 10.200,00 2 10.200,00 204,00 10.404,00 3 10,.404,00 208,08 10.612,08 4 10.612,08 212,2416 10.824,3216 5 10.824,3216 216,486432 11.040,81 Aplicando la fórmula FORMULA: DESARROLLO: VF= 10.000,00 (1 + 0,02) 5 = 10.000,00 (1,02)5 = 10.000 (1,104080803) VF= 11.040,81 Bs CALCULO DEL MONTO COMPUESTO O VALOR FUTURO 1.- Se colocan Bs 1.000.000,00 en una entidad financiera, a una tasa de intereses del 24% anual capitalizable mensual, durante dos años, ¿cuál será el monto obtenido al final del período? (1 + i) n DATOS: FORMULA: VF=VA VA = BS 1.000.000,00 VF=1.000.000(1 + 0,02) 24 i= 24%/12= 2/100= 0,02 n= 2 x 12= 24 VF= 1.000.000 (1,02) 24 VF= 1.000.000 (1,608437249) = 1.608.437,25 Bs VF= ? El monto obtenido es de Bs. 1.608.437,25 2.- Se colocan Bs 2.000.000,00 en una entidad financiera, a una tasa de intereses del 24% anual capitalizable trimestralmente, durante dos años, ¿cuál será el monto obtenido al final del período? DATOS FORMULA: VF=VA (1 + i) n VA= 2.000.0000,00 VF=2.000.000(1 + 0,06)8 i= 24%/ 4= 6/100= 0,06 VF=2.000.000(1,06)8 n= 2/4= 8 VF= 3.187.696,15 = 2.000.000 (1,593848075 VF= ? El monto obtenido es de Bs. 3.187.696,15 3.- Se abrió una cuenta de ahorro con Bs 450.000,00, ganando intereses al 12% anual, convertibles mensualmente. A los cinco meses de la colocación, la tasa de interés se incrementó en 3 puntos. ¿Cuál será el saldo de la cuenta de ahorro al finalizar el primer año de colocación? Nota: como hubo cambio de tasa durante el período de colocación aplicar la fórmula: (1) DATOS: (1) FORMULA: VF=VA (1 + i) n (1 + i) n VF: ? VF= 450.000 (1+ 0,01)5 (1 + 0,0125)7 n= VF= 450.000 (1,01)5 (1,0125)7 5 (primeros 5 meses) n= 7 (el resto 12-5=7) VF= 450.000 (1,05101005)(1,09085047) i= 12%/12= 0,1/ 100= 0,01 VF= 515.922,66 BS. i= 15%/12= 1,25/100=0,0125 El saldo final de la cuenta es de Bs 515.922,66 4.- El 01 de abril se abrió una cuenta de ahorro con Bs 120.000,00 al 18% anual con capitalización mensual; a los 60 días se depositaron Bs 210.000,00 en esa misma cuenta. Tres meses más tarde, el banco baja la tasa al 16,50%. Determine el saldo que tendrá en su cuenta de ahorro al 31 de diciembre del mismo año. Para resolver este problema se debe de calcular: 1.- Tasa unitaria de interés mensual correspondiente a los primeros cinco meses: 18%/12= 1,5/100= 0,015 2.- Tasa unitaria de interés mensual correspondiente a los siguientes cuatro meses (Primero de septiembre al 31 de diciembre): 16,5%/12= 1,375/100= 0,01375 c.- Como hubo colocación adicional al capital y cambio de tasa durante de colocación, se conviene aplicar la fórmula así: FORMULA: VF= [VA (1 + i) n + VA1 (1+ i)n] (1+i)n DATOS: VF= [120.000 (1 + 0,015) 2 + 210.000] (1+ 0,015) 3 (1+0,01375) 4 VA= 120.000,00 VF= [120.000 (1,015)2 + 210.000] (1,015)3 (1,01375) 4 VF= [120.000(1,030225) + 210.000] (1,045678375) (1,056144809) VA1 = 210.000,00 i = 0,015 ( 5 meses) VF=[123.627,00 + 210.000] (1,104387788) i = 0,01375 (Sept a dic) VF= 333,627 x 1.104387788 = 368.453,58 Bs n= 2 meses El saldo al 31 de diciembre es de Bs. 368.453,58 n= 3 meses n= 9 meses CALCULO DEL CAPITAL, VALOR ACTUAL O VALOR PRESENTE. Otra situación que se presenta en la dinámica de las finanzas puede el caso contrario, es decir, conocido el monto que debe pagar o se aspira reunir en una fecha futura, se desea determinar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de interés compuesto determinada, para llegar a tener ese monto. A esta nueva situación se le denomina valor actual o valor presente. FORMULA: VA= VF (1 + i) –n 0 VA = __________VF_____________ (1 + i ) n 1.- Al cabo de 8 meses se obtuvieron Bs 560.000,00 como producto de una inversión colocada al 15% anual con conversión mensual. Determine la cuantía de la inversión inicial. VA= VF (1 + i) –n DATOS: VA=¿? VA= 560.000 (1 + 0,0125) - 8 VF= Bs 560.000,00 VA= 560.000 (1, 0125) i = 15%/12= 1,25/100= 0,0125 VA=507.023,13 Bs n= 8 meses La inversión inicial fue de Bs 507.023,13 -8 = 560.000 (0,905398446) 2.- Un inversionista cobró la cantidad de Bs 6.043.982,40 cantidad generada hace 15 meses, a una tasa de interés del 18%anual conversión trimestral. Hallar el valor de la colocación inicial. VA = __________VF_____________ FORMULA: DATOS (1 + i ) n VA= ¿? VA= 6.043.982,40= 6.043.982,40= 6.043.982,40 = 4.850.000,00 VF= 6.043.982,40 (1+ 0,045) 5 (1,045)5 1,246181938 n= 15/3= 5 trimestres i= 18%/ 4= 4,5/100= 0,045 El inversionista colocó inicialmente Bs 4.850.000,00 CALCULO DE LA TASA DE INTERES Determinar la tasa de interés es otra situación que se puede presentar en el campo de las finanzas, generalmente cuando se evalúan proyectos de inversión. Para determinar la tasa, conocidas las otras variables de un planteamiento financiero FORMULA: i= (VF/VA) i/n -1 1.- A qué tasa de interés se deben colocar Bs 2.400.000,00 para disponer de Bs 6.000.000,00 en un plazo de tres años). Consideré las siguientes frecuencias de capitalización: a.- mensual, bimestral y semestral. DATOS: VA: Bs 2.400.000,00 VF: 6.000.000,00 FORMULA: a.- i= (VF/VA) i/n -1 i = (6.000.000/ 2.400.000,00) 1/36 - 1 i= (2,5) 1/36 – 1 = 1,025779128 – 1 = 0,025779128 n = 3 años n = 3 x 12= 36 meses i= 0,025779128 * 100= 2, 58% mensual n= 3 x4= 12 trimestre b.- n= 3 x 2= 6 semestre i= (2,5) 1/12 – 1 = 1,079348435 – 1 = 0,079348434 i = (6.000.000/ 2.400.000,00) 1/12 - 1 i= 0,079348434 * 100= 7,93 trimestral c.- i = (6.000.000/ 2.400.000,00) 1/6/- 1 i= (2,5)1/6 -1 = 1,16499299 – 1= 0,164992979 i= 0,164992979 * 100= 16,50% semestral CALCULO DEL TIEMPO EN OPERACIONES FINANCIERAS En ciertas operaciones financieras es necesario determinar el tiempo más convenientes para la mejor colocación de capital (toma de decisiones financieras). Teniendo conocimiento del valor de las demás variables que determinan el interés. FORMULA: n= log (VF / VA) log ( 1 + i) 1.- En cuánto tiempo un capital de Bs 1.000.000,00 se convertirá en Bs 1.800.000,00 al 18% interés anual convertible mensualmente? FORMULA: DATOS: n= log (VF / VA) log (1 + i) VA: 1.000.000,00 n= VF: 1.800.000,00 log (1.800.000 / 1.000.000) i = 18% /100= 0,18/12= 0,015 log( 1 + 0,015) = log( 1,80 ) = 0,255272505 log (1,015) = 39,48 meses 0,006466042 2.- En cuánto tiempo un capital de Bs 1.000.000,00 se convertirá en Bs 1.800.000,00 al 18% interés anual convertible trimestral? TASA NOMINAL, TASA EQUIVALENTE Y TASA EFECTIVA DE INTERES Tasa nominal: Es la tasa de interés anual dada convertible en “n” períodos de capitalización durante un año. Tasa efectiva de interés: Es la proporción del interés compuesto generado durante un año, en relación con el capital colocado. Tasa equivalente: Se dice que dos tasas de interés anuales con diferentes períodos de capitalización son equivalentes si al cabo de un año producen el mismo compuesto. 1.- Determinar la tasa nominal, convertible mensualmente, que produce un rendimiento del 35,50% anual. FORMULA: DATOS i= f.c. = 12 meses i= n [(1+ i)1/fc - 1] 12[(1 +0,365) 1/12 -1] = 12[(1,365)1/12 -1] i = 36,50%/100= 0,365/12 i= 12[ ( 1,0262686) -1 ]= 12[0,026268524= 0,31522229 i= 0,31522229 *100= 31,52% Tasa nominal 2.- Si la cantidad de un dinero es invertido al 36% durante un año y medio, con capitalización trimestral, cuál será la tasa efectiva? FORMULA: ite= (1+ i) fc -1 DATOS: DESARROLLO: i= 36%/100= 0,36/4= 0,09 ite= (1 + 0,09)4 -1 = (1,09)4 -1 = 1,4110058161 -1 fc= 4 trimestre ite=0,41158161 *100= 41,16%% Tasa efectiva PAGO UNICO CON VALORES EQUIVALENTES La dinámica de la actividad comercial y financiera también hace que en ocasiones sea necesario cambiar la fecha de pago de las obligaciones, o agrupar un conjunto de pagos para convertirlo en un pago único, con valor equivalente, para ser cancelado en una fecha convenida, llamada fecha de comparación o fecha focal. El procedimiento consiste en elaborar una ecuación de valores equivalentes, igualando en una fecha de comparación, o fecha focal, la suma de un conjunto de obligaciones con otro conjunto de obligaciones. El punto fundamental es encontrar el valor que se debe cancelar, en determinada fecha, equivalente al valor de un conjunto de obligaciones, que vencen en fechas diferentes. Ejemplo: Un comerciante debe cancelar Bs. 150.000,00 dentro de dos años y Bs 200.000,00 en cinco años. Conviene con el acreedor hacer un pago único al finalizar el tercer año, a la tasa del 24% anual capitalizable semestral. Hallar el valor del pago único. Procedimiento: a.- Aplique la fórmula de valor presente para trasladar la deuda de Bs 150.000,00 a la fecha focal: 150.000 (1 + 0,12) 2 i= 24%/100= 0,24/2= 0,12 b.- Aplique la fórmula de valor presente para trasladar la deuda de Bs 260.000,00 a la fecha focal: 260.000 (1 + 0,12) -4 c.- El valor pago único sería: X= 150.000 (1+ 0,12)2 + 260.000 (1+ 0,12) -4 X= 150.000 (1,12) 2 + 260,000 (1,12) -4 X= 150.000 (1,2544) + 260.000 (0,635518078) = 188.160 + 165.234,68= 353.394,68 Bs El pago único es de Bs 353.394,68 Bs
