MATEMÁTICA FINANCIERA Profesor: Ing. Mauricio Amaya CLASE 34 Factores de Pago Los factores de pago son una forma práctica y rápida de calcular los valores actuales, montos, rentas, etc., para las anualidades, sin necesidad de utilizar de manera directa las ecuaciones correspondientes. Estos factores están compendiados en tablas. Nueva notación: 𝐶𝐶 = 𝑃𝑃, que denota el Valor Presente. 𝑀𝑀 = 𝐹𝐹, que denota el Valor Futuro. 𝑅𝑅 = 𝐴𝐴, que denota la Renta o Anualidad. Factores F/P y P/F Estos factores se utilizan para calcular el valor futuro si se conoce el presente; o bien el valor presente si se conoce el futuro. La notación “𝐹𝐹/𝑃𝑃” se lee: “futuro dado presente”; la expresión “𝑃𝑃/𝐹𝐹” se lee: “presente dado futuro”. Notación estándar: (𝑥𝑥/𝑦𝑦, 𝒾𝒾, 𝑛𝑛). EJEMPLO: Interprete la notación estándar del factor (𝐹𝐹/𝑃𝑃, 6%, 20) Esta notación indica que podemos calcular el valor futuro si conocemos de antemano el valor de 𝑃𝑃, a una tasa del 6% y considerando 20 pagos. En notación estándar, el cálculo del valor presente se expresa de la siguiente manera: P = 𝐹𝐹 (𝑃𝑃/𝐹𝐹, 𝑖𝑖, 𝑛𝑛) Factor tabulado Valor conocido De igual manera, la expresión que denota el valor futuro es: 𝐹𝐹 = 𝑃𝑃 (𝐹𝐹/𝑃𝑃, 𝑖𝑖, 𝑛𝑛) Factor tabulado Valor conocido Es importante aclarar que dichos factores han sido calculados con las ecuaciones de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. EJEMPLO: Encuentre en la tabla de factores el factor (𝑃𝑃/𝐹𝐹, 5%, 10) 1 MATEMÁTICA FINANCIERA Profesor: Ing. Mauricio Amaya (𝑃𝑃/𝐹𝐹, 5%, 10) = 0.6139 ¿Cómo ha sido calculado este valor tabulado? La ecuación que se ha empleado es la siguiente: O bien, de manera alternativa: Despejando para 𝑃𝑃/𝐹𝐹, obtenemos: Y sustituyendo los valores: 𝐶𝐶 = 𝑀𝑀 (1 + 𝒾𝒾)𝑛𝑛 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹 (1 + 𝒾𝒾)𝑛𝑛 𝑃𝑃/𝐹𝐹 = 𝑃𝑃/𝐹𝐹 = 1 (1 + 𝒾𝒾)𝑛𝑛 1 (1 + 0.05)10 𝑃𝑃/𝐹𝐹 = 0.6139 EJEMPLO: Fernando deposita en una cuenta bancaria $12,000. Quiere calcular la cantidad acumulada luego de 24 años, si el banco le ofrece una tasa del 8% anual. Solución: 𝑃𝑃 = $12,000 𝐹𝐹 = ? 𝒾𝒾 = 0.08 𝑛𝑛 = 24 El valor futuro es: 𝐹𝐹 = 𝑃𝑃(𝐹𝐹/𝑃𝑃, 𝒾𝒾, 𝑛𝑛) 𝐹𝐹 = 12000(𝐹𝐹/𝑃𝑃, 8%, 24) 𝐹𝐹 = 12000(6.3412) 𝐹𝐹 = $76,094.40 2 MATEMÁTICA FINANCIERA Profesor: Ing. Mauricio Amaya Factores P/A y A/P Estos factores se utilizan para calcular el valor presente de una serie de pagos iguales; o bien, una anualidad equivalente a un valor presente conocido. En notación estándar, tenemos: 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴(𝑃𝑃/𝐴𝐴, 𝒾𝒾, 𝑛𝑛) 𝐴𝐴 = 𝑃𝑃(𝐴𝐴/𝑃𝑃, 𝒾𝒾, 𝑛𝑛) EJEMPLO: ¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora $600 garantizados cada año durante 9 años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento de 16% anual? 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴(𝑃𝑃/𝐴𝐴, 16%, 9) 𝑃𝑃 = 600(4.6065) Factores A/F y F/A 𝑃𝑃 = $2,763.90 Estos factores nos permiten convertir en una serie de pagos uniformes un valor futuro conocido, y viceversa. Las expresiones, en notación estándar, son las siguientes: 𝐹𝐹 = 𝐴𝐴(𝐹𝐹/𝐴𝐴, 𝒾𝒾, 𝑛𝑛) 𝐴𝐴 = 𝐹𝐹(𝐴𝐴/𝐹𝐹, 𝒾𝒾, 𝑛𝑛) EJEMPLO: ¿Cuánto dinero necesita depositar Javier cada año, empezando un año a partir de ahora, a 5% por año, para que pueda acumular $6000 en siete años? 𝐴𝐴 = 𝐹𝐹(𝐴𝐴/𝐹𝐹, 5%, 7) 𝐴𝐴 = 6000(0.1228) 𝐴𝐴 = $736.80 3 MATEMÁTICA FINANCIERA Profesor: Ing. Mauricio Amaya Interpolación en el uso de tabla de factores EJEMPLO: Determine el valor del factor A/P para una tasa de interés de 7.3% y 10 pagos. Factor 𝐴𝐴/𝑃𝑃 para 7% y 𝑛𝑛 = 10: 0.1424 Factor 𝐴𝐴/𝑃𝑃 para 7.5% y 𝑛𝑛 = 10: 0.1457 0.1424 𝑓𝑓 7% 7.3% 0.1457 7.5% Obteniendo: 7.3 − 7.0 𝑓𝑓 − 0.1424 = 0.1457 − 0.1424 7.5 − 7.0 Luego, (𝐴𝐴/𝑃𝑃, 7.3%, 10) = 0.1444 𝑓𝑓 = 0.1444 4
