Problemario de cálculo diferencial e integral, matemáticas tema continuidad y funciones con limites.

Cálculo Diferencial e Integral I.
Guía para el tercer examen parcial
viernes 28 de octubre del 2022
1. **Revise las siguientes sucesiones y diga si son convergentes o divergentes demostrando de manera formal
su respuesta. También demuestre que son de Cauchy en caso de serlo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
n (−1)n o
n
n 1 − (−1)n o
n
1 1 2 1 3 1 4 1 5
{1, , , , , , , , , , . . .}
2 3 3 4 4 5 5 6 6
n n o
2n − 1
n n2 o
n+1
n1
o
n
+ (−1)
n
2. **Demostrar que si lı́m an = b, entonces ∀ > 0 ∃ N () ∈ N, tal que |an − al | < ∀ n, l > N ()
n→∞
3. **Demostrar que si {an } converge, entonces {a2n+1 } converge, y ambas sucesiones tienen el mismo límite.
4. Demostrar que si lı́m an = a, entonces lı́m (an + 3) = a + 3
n→∞
n→∞
5. Suponga que lı́m ank = a y que {ank } es una subsucesión de {ak } ¾Es cierto que {ak } siempre converge?
k→∞
Si la respuesta es armativa ¾a qué límite converge?
6. ** Demostrar que si lı́m an = a y lı́m bn = b, entonces
n→∞
n→∞
(a) lı́m (an + bn ) = a + b
n→∞
(b) lı́m an bn = ab
n→∞
7. Demostrar que si lı́m an = a, y si λ ∈ R, entonces lı́m λan = λa
n→∞
n→∞
8. Si lı́m an = 0 y |bn | ≤ M para toda n ∈ N y para alguna M ≥ 0. Demostrar que lı́m an bn = 0
n→∞
n→∞
1
sin n
y demuestre su resultado.
n→∞ n
9. Encuentre lı́m
10. Dada la sucesión {an } = {1 + q + q 2 + · · · + q n−1 }, donde 0 < q < 1. Demuestre que lı́m an existe
n→∞
11. ***(a) Demuestre que la sucesión denida en forma recursiva como
an =
p
2 + an−1 ,
a0 = 0,
es convergente y encuentre su límite
(b) Demuestre que la siguiente sucesión converge y encuentre su límite
1
an = (an−1 + an−2 ),
2
a0 = a,
a1 = b,
a, b ∈ R
(Si resuelven correctamente este problema tendrán 0.2 sobre su calicación nal. Entregarlo de forma
individual a Arturo).
12. (a) Demostrar que si {bn } es decreciente y bn ≥ −M para alguna M > 0 y para toda n ∈ N, entonces
lı́m bn = ı́nf{bn | n ∈ N}.
n→∞
(b) Demostrar que si {bn } es decreciente y si lı́m ank = b existe, donde {bnk } es una subsucesión de
k→∞
{bk }, entonces lı́m bk = b.
k→∞
(c) Dadas dos sucesiones {ak } y {bk }, donde {ak } es creciente y {bk } es decreciente. Demuestre que si
0 ≤ bk − ak ≤ 1/2k para todo k ∈ N, entonces lı́m ak = lı́m bk
k→∞
k→∞
√
p
13. ** Sea a1 = 1, ak = 1 + ak−1 . Demuestre que τ = lı́m ak existe y encuentre τ (que se conoce como
k→∞
la razón dorada o razón áurea ).
√
√
14. ** (a) Demuestre que { n + 1 − n} es de Cauchy
(b) Demuestre que {1/n} es de Cauchy
(c) Demuestre que la sucesión denida por an+1 =
2
1
an +
, a1 := 1 es una sucesión de Cauchy.
2
an
(d) Demuestre que toda sucesión de Cauchy es acotada
(e) Demuestre que si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, entonces la sucesión
original converge
15. *Expresar el número e como:
a ) Una cortadura de números racionales
b ) El supremo de un conjunto de números racionales
c ) Un encaje de intervalos cerrados de racionales
d ) Una sucesión creciente de números racionales
e ) Una sucesión de Cauchy de números racionales
¾Qué le pedirían a un campo ordenado para garantizar que incluyera al número e?.
Sugerencia: recuerden que
e=
1
1
1
1
+ + + + ···
0! 1! 2! 3!
Sugerencia para el primer inciso (resulta útil para los demás): primero demuestre que
1
1
1
1
+
+
+ ··· ≤
(n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!
n!
∀n∈N
Observe que 1/n! −→ 0 cuando n −→ ∞. Entonces piense en los conjuntos
1
1
1
1
+ + + ··· +
∀ n ∈ N}
0! 1! 2!
n!
1
1
1
1
B = {x ∈ Q | x > + + + · · · +
∀ n ∈ N}.
0! 1! 2!
n!
A = {x ∈ Q | x <
16. Expresar el número log 2 como:
a ) Una cortadura de números racionales
b ) El supremo de un conjunto de números racionales
c ) Un encaje de intervalos cerrados de racionales
d ) Una sucesión creciente de números racionales
e ) Una sucesión de Cauchy de números racionales
Sugerencia: Acotar la región conprendida entre la hipérbola y = 1/x y el eje x sobre el intervalo [1, 2],
con sendas familias de n rectángulos inscritos y circunscritos, y calcule las áreas. Con las desigualdades
resultantes construya los conjuntos de la cortadura siguiendo un razonamiento análogo al del problema
anterior. Esto sirve para el primer inciso y para todos los demás.
17. **Expresar el número π como:
a ) Una cortadura de números algebraicos reales.
b ) El supremo de un conjunto de números algebraicos reales.
c ) Un encaje de intervalos cerrados de algebraicos reales.
d ) Una sucesión creciente de números algebraicos reales.
e ) Una sucesión de Cauchy de números algebraicos reales.
√
Sugerencia: Acotar la región comprendida entre la función y = 1 − x2 y el eje x sobre el intervalo [0, 1],
con sendas familias de n rectángulos inscritos y circunscritos, y calculen las áreas. Con las desigualdades
resultantes construyan los conjuntos de la cortadura siguiendo un razonamiento análogo al de los dos
problemas anteriores.
18. Demuestre que si un campo ordenado Arquimediano, F, tiene la propiedad de que, para toda sucesión
de intervalos anidados cerrados, no vacíos {Ik } donde lı́m l(Ik ) = 0, hay un único x ∈ F para todo
k→∞
k ∈ N, entonces F tiene la propiedad de intervalos anidados y viceversa.
19. *Encuentre el conjunto derivado de los siguientes conjuntos
(a) A = {1, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, . . .}
n1
o
+ (−1)n | n ∈ N
n
n
o
1
(c) A = n + | k, n ∈ N
k
n
o
1
(d) A = k − | k ∈ N
k
(b) A =
20. Demuestre que si lı́m xk = a, y {xk } no es una sucesión constante, entonces a es un punto de acumulación
k→∞
de A = {x1 , x2 , x3 , . . .}
21. **Demuestre que si la sucesión {xk } tiene dos puntos de acumulación a y b distintos, entonces {xk } no
es convergente, pero contiene al menos dos subsucesiones convergentes, una a a y la otra a b.
22. ** (a) Demuestre que R es denso en todas partes en R
(b) Demuestre que Q es denso en R
(c) Demuestre que [0, 1] ∩ Q es denso en todas partes en [0, 1]
(d) Demostrar que (A ∪ B)0 = A0 ∪ B 0
(e) Demuestre que el conjunto de Cantor no tiene puntos aislados
23. Demuestre que si a ∈ R es un punto de acumulación de S ⊆ R, entonces toda vecindad de radio δ
agujerada en a contiene una innidad de puntos de S .
24. **(a) Dada f : (0, 1] −→ R tal que f (x) = 1/x Demuestre, con sucesiones y usando la denición epsilondelta, que lı́m f (x) no existe.
x→0
1
no existe
x→0 (1 + e1/x )
(b) Demuestre, con sucesiones y usando la denición epsilon-delta, que lı́m
(c) Encuentre lı́m xa sin(1/x) para a > 0
x→0
(d) Demuestre, con sucesiones y usando la denición epsilon-delta, que lı́m sin(1/x) no existe
x→0
25. En cada uno de los siguientes casos calcule el límite l para cada a indicado y demuestre, usando la
denición con sucesiones o la denición con vecindades, que efectivamente se trata del límite propuesto
a ) f (x) = x[3 − cos x2 ], a = 0
100
b ) f (x) =
,a=1
x
c ) f (x) = x2 + 5x − 2, en a = 2
d ) f (x) = x4 para a arbitrario
p
e ) f (x) = |x|, a = 0
√
f ) f (x) = x, a = 1
26. **Demostrar que lı́m f (x) = ∞ y y sólo si para toda sucesión {xn } tal que xn ∈ D(f ), xn 6= a para
x→a
todo n ∈ N y lı́m xn = a, {f (xn )} diverge a ∞
n→∞
27. *Calcule los siguientes límites
x2 − 1
x→1 x + 1
x3 − 8
lı́m
x→2 x − 2
x3 − 8
lı́m
x→3 x − 2
xn − y n
lı́m
x→y x − y
xn − y n
lı́m
y→x x − y
√
√
a+h− a
lı́m
h→0
h
√
1− x
lı́m
x→1 1 − x
√
1 − 1 − x2
lı́m
x→0
x
√
1 − 1 − x2
lı́m
x→0
x2
x + sin3 x
lı́m
x→∞ 5x + 6
x sin x
lı́m
x→∞ x2 + 5
√
lı́m x2 + x − x
a ) lı́m
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
x→∞
x2 (1 + sin2 x)
x→∞ (x + sin x)2
sin x
lı́m
x→∞ x
1
lı́m x sin
x→∞
x
sin 3x
lı́m
x→0
x
sin ax
lı́m
x→0 sin bx
sin2 2x
lı́m
x→0
x
sin2 2x
lı́m
x→0
x2
1 − cos x
lı́m
x→0
x2
m ) lı́m
n)
ñ)
o)
p)
q)
r)
s)
tan2 x + 2x
x→0
x + x2
x sin x
lı́m
x→0 1 − cos x
sin(x + h) − sin x
lı́m
h→0
h
2
sin(x − 1)
lı́m
x→1
x−1
2
x (3 + sin 3x)
lı́m
x→0 (x + sin x)2
1 3
lı́m (x2 − 1)3 sin
x→1
x−1
t ) lı́m
u)
v)
w)
x)
y)