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Modelación de Biosistemas Unidad I

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Unidad I
“El mundo que veo a futuro es uno donde las
computadoras y los humanos estarán en una asociación,
y debemos asegurarnos de ser siempre sus amigos”.
Steve Wozniak
Cofundador de Apple
El Cero
El cero
 Los antiguos griegos y los romanos, célebres por sus
proezas de ingeniería, carecían de una forma eficaz de
lidiar con el número de manzanas que había en una
caja vacía. Ellos no lograron dar un nombre a la “nada”.
 La ciencia depende de el
 De los grandes inventos del hombre
 ¿Quién lo invento?
Unidad I - Introducción
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿Qué es un modelo?
¿Que es modelación?
¿Qué se puede hacer con un modelo?
Modelación de Biosistemas
Introducción a MATLAB
Un modelo simple en Biosistemas
Estructura de un sistema
1. ¿Qué es un modelo?
 Un modelo es cualquier simplificación de un sistema,
que debe contener los atributos funcionales más
importantes del sistema real.
 Es una representación matemática de un sistema.
Representación simplificada de un sistema.
 Un principio básico de la modelación, tanto en
Biología como en cualquier disciplina, es mantener el
modelo tan simple como sea posible.
2. ¿Qué es modelación?
 Es el proceso de desarrollo de esa representación
 La modelación es un
proceso de aprendizaje,
totalmente repetitivo (iterativo y heurístico), que en
cada paso debe construir, revisar, comparar y cambiar
el modelo, hasta llegar a una versión final. En cada
ciclo se entiende mejor la realidad en estudio.
3. ¿Qué se puede hacer con un
modelo?
 La modelación sirve para auxiliar la conceptualización y la
medición en sistemas complejos y algunas veces para
predecir las consecuencias de una acción que puede ser
cara, difícil o destructiva, como para hacerla en el sistema
real.
 Los modelos pueden hacer considerablemente más, como:
entender a detalle un proceso y hasta optimizarlo.
 Uno de los principales usos de los modelos es generar o
comprobar hipótesis
3. ¿Qué se puede hacer con un
modelo?
 Aprender
 Predecir
 Tomar decisiones
 Agregar Libro Principios de Biosistemas, pagina 57
 Importancia de la modelación
4. Modelación de Biosistemas
 Tendencias en Biosistemas
 Energía
 Ecoeficiencia
 Capacidad de carga
5. Introducción a Matlab
 Matlab es un software matemático.
A=2
 Vector
 B = [1 2 3]
 C = [2:0.5:5]
 Matriz 2x3
 A = [1 2 3; 4 5 6]
Introducción a Matlab
 Operaciones con matrices
 A = [1 2; 3 4]; B = [-1 0; 1 2]; C = A+B
 C = A*B
 C = A./B
 C = A./A
6. Modelo simple en Biosistemas
 Como se comporta un sistema sencillo de forraje
Sistema dinámico sencillo: forraje
 Suponer 100 ha de terreno sembrado en forraje, 2
toneladas métricas (TM) de MS/ha (biomasa)
 Su crecimiento es un 10% de la biomasa actual por mes
 El forraje se descompone, en promedio, después de los
10 meses
 En una hoja de papel, dibujar la evolución en tiempo
de la cantidad de forraje disponible en este terreno
La biomasa de forraje es constante
Cantidad de forraje
200
175
150
125
100
0
10
20
Forraje : FH Base
30
40
50
60
70
80
90
100 110
Time (Month)
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Forage
Tasa de crecimiento = tasa de
descomposición
Tasas Forraje
20
17.5
15
12.5
10
0
10
20
30
40
50
Tasa de crecimiento forraje : FH Base
Tasa de descomposición forraje : FH Base
60
70
80
90
100 110
Time (Month)
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Forage/Month
Forage/Month
El forraje crece exponencialmente
Cantidad de forraje
6,000
4,500
3,000
1,500
0
0
10
20
Forraje : FH CrecExp
30
40
50
60
70
80
90
100 110
Time (Month)
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Forage
Tasas de crecimiento y descomposición
 Tasa de crecimiento (kg biomasa/mes) =
 (forraje)*(tasa fraccional)
 (forraje)*(0.10)
 Tasa de descomposición (kg biomasa/mes) =
 (forraje)/(longevidad)
 (forraje)/(10) = (forraje)(0.10)
 Tasa neta de crecimiento (kg biomasa/mes)
 (forraje)*(tasa de crecimiento – tasa de
descomposición)
 (forraje)*(0) = 0 →no cambia
Un sistema dinámico sencillo:
forraje
 Suponer 100 ha sembradas en forraje, 2 TM de MS/ha
 Su crecimiento es un 10% de la biomasa actual por mes
 El forraje se descompone, en promedio, después de los
12 meses
 En una hoja de papel, dibujar la evolución en tiempo
de la cantidad de forraje disponible en este terreno
La tasa de crecimiento > la tasa de descomposición
Tasas Forraje
600
450
300
150
0
0
10
20
30
40
50
Tasa de crecimiento forraje : FH CrecExp
Tasa de descomposición forraje : FH CrecExp
60
70
80
90
100 110
Time (Month)
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Forage/Month
Forage/Month
Tasas de crecimiento y descomposición
 Tasa de crecimiento (kg biomasa/mes) =
 (forraje)*(tasa fraccional)
 (forraje)*(0.10)
 Tasa de descomposición (kg biomasa/mes) =
 (forraje)/(longevidad)
 (forraje)/(12) = (forraje)(0.083)
 Tasa neta de crecimiento (kg biomasa/mes)
 (forraje)*(tasa de crecimiento – tasa de descomposición)
 (forraje)*(0.0167) >0 →crecimiento exponencial
¿Los sistemas pueden crecer para siempre?
 No
 Excepciones ostensibles hasta la fecha:
 Población (disminución en crecimiento)
 Crecimiento económico (algunos países)
 Generalmente, algún recurso es limitante
 Ej., disponibilidad de nutrientes
 Existe una capacidad de carga
 Con base en un recurso renovable
La biomasa de forraje con un efecto en
crecimiento
 Suponer que mientras la biomasa de forraje se
incrementa, disminuye la tasa fraccional de su
crecimiento
 Suponer los mismos valores previos de las tasas de
crecimiento y descomposición
 En una hoja de papel, dibujar la evolución en tiempo
de la biomasa de forraje
Crecimiento hasta un límite
Cantidad de forraje
400
325
250
175
100
0
10
20
Forraje : FH Limite
30
40
50
60
70
80
90
100 110
Time (Month)
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Forage
El patrón de biomasa de forraje depende de…
 La respuesta al aumento en biomasa en la tasa
fraccional de su crecimiento
 Una hipótesis cualitativa sobre esta relación podría ser
 Tasa fraccional de crecimiento = 0 cuando la biomasa es
grande con relación a su valor inicial (5X)
 Tasa fraccional de crecimiento = 2 cuando la biomasa es
pequeña con relación a su valor inicial (0X)
Tasa de crecimiento fraccional de forraje =
f (biomasa)
Graph Lookup - Tasa de crecimiento forraje función de biomasa
2
Efecto sobre
tasa de
crecimiento
(1,1)
0
0
Biomasa relativa
5
Las tasas de crecimiento y descomposición se
convergen
Tasas Forraje
40
32.5
25
17.5
10
0
10
20
30
40
50
Tasa de crecimiento forraje : FH Limite
Tasa de descomposición forraje : FH Limite
60
70
80
90
100 110
Time (Month)
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Forage/Month
Forage/Month
(Sistemas numéricos)
 El sistema que utilizamos en la actualidad es el hindú-
arábigo
 123456789
 El sistema romano
 S mitad
 I uno
 V cinco
 X diez
 L cincuenta
 C cien
 D quinientos
 M mil
(Sistemas numéricos)
 Base 60
 Log60(x)
 Base 10
 Log10(x)
 Base 2
 Log2(x)
Ejercicio
 Suponer 32 hectáreas sembradas de tomate, y un
rendimiento de 16 kg/m2. la tasa de crecimiento los
primeros 3 meses es del 14%, para el mes 4, 5 y 6 es del
11%, inicia la descomposición (longevidad) el mes 7.
 ¿Cual será la producción total en 9 meses?
 ¿Cuándo dejarías de invertirle al cultivo y porque?
Ejercicio
 Suponer 18 hectáreas sembradas de camarón, densidad
de 22 organismos/m2, biomasa de 5 mg. la tasa de
crecimiento las primeras 3 semanas es del 26%, para la
semana 4, 5 y 6 es del 15%, inicia la descomposición
(longevidad) en la semana 7 .
 ¿Cual será la producción total en la 9 semana?
 ¿Cuándo dejarías de invertirle al cultivo y porque?
Modelos matemáticos de sistemas
físicos
 Modelo Simple – Biorreactor
 Suponer un biorreactor con capacidad de 50 litros de
agua sembrado con bacterias, 3 mil org/l (biomasa)
 Su crecimiento es un 12% de la biomasa actual por mes
Modelos matemáticos de sistemas
físicos
 Modelo Simple – Biorreactor
 2k * 100 = 200 korg en el tiempo = 0, t(0)
 200K * 0.12 = 24 + 200 = 224 korg  mes 1
 224k * 0.12 = 26.88 + 224 = 250.88 Korg  mes 2
 Crece de forma exponencial
Modelo Simple - Biorreactor
 Suponer 100 litros de agua sembrado con bacterias, 2
mil org/l (biomasa)
 Su crecimiento es un 12% de la biomasa actual por mes
 Las bacterias se mueren, en promedio, después de los
10 meses
Tasa de crecimiento y tasa de
descomposición
 Tasa de crecimiento (kg biomasa/mes) =
 (bacterias)*(tasa fraccional)
 (bacterias)*(0.12)
 Tasa de mortalidad (kg biomasa/mes) =
 (bacterias)/(mortalidad)
 (bacterias)/(10) = (bacterias)(0.10)
 Tasa neta de crecimiento (kg biomasa/mes)
 (bacterias)*(tasa de crecimiento – tasa de
mortalidad)
 (bacterias)*(0.02) = > 0 →Si cambia, pero muy poco.
Modelos matemáticos de sistemas
físicos
 Resolviendo la
ecuación
1.
2.
𝑑𝐵
= 𝐵 ∗ 𝑡𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝐵
= 𝑡𝑐 ∗ 𝑑𝑡
𝐵
𝑡𝛼 𝑑𝐵
= 𝑡𝑐 ∗
𝑡0 𝐵
3.
𝑑𝑡
4. ln 𝐵 = 𝑡𝑐 ∗ 𝑡 + 𝑐
5.
𝑒 ln 𝐵 = 𝑒 𝑡𝑐 ∗ 𝑡 + 𝑐
6.
B = 𝐶 𝑒 𝑡𝑐 ∗ 𝑡
7.
B = 200 𝑒 0.12 ∗ 𝑡
Unidad II
Unidad II – Dinámica de sistemas
Estructura de un sistema
2. Sistema dinámico
3. Simulación de sistemas dinámicos
1.
1. Estructura de un sistema
 Sistema: es una colección de componentes y sus
interrelaciones,
que
han
sido
agrupados
conjuntamente para estudiar alguna parte de la
realidad (Jones et al., 1998)
1. Estructura de un sistema:
Conceptos
 La selección de los componentes depende de los
objetivos del estudio
 Los sistemas biológicos se componen de muchos
subsistemas vivos y procesos físicos, químicos y
biológicos
 Los sistemas biológicos están organizados
jerárquicamente
1. Estructura de un sistema (Jerarquía
de los sistemas biológicos)
Mundo
Regiones
Manejo
Zonas agrícolas
Sistemas de cultivo o ecosistemas de
cultivo
Investigación
Elementos (Plantas individuales)
Componentes (hojas, tallos, raíces)
Micro-componentes (estomas, ciclos bioquímicos)
1. Estructura de un sistema
Biosistema
1. Estructura de un sistema:
Conceptos
 Ambiente.
Todo lo que
componentes del sistema.
no
constituye
los
 El ambiente afecta al sistema, pero no es afectado por
este.
 Temperatura, CO2y radiación solar en un cultivo.
 Fronteras. Límites (abstracción) de los componentes
del sistema.
1. Estructura de un sistema:
Conceptos
 Modelo: es una representación matemática de un
sistema. Representación simplificada de un sistema
 Modelación: es el proceso de desarrollo de esa
representación
 Simulación computarizada:
 Lógica computacional + diagrama de flujo
 Programación
 Simulación de Biosistemas:
 Desarrollo de modelo matemático + simulación
computarizada
1. Estructura de un sistema:
Conceptos
 Entradas: Factores que afectan el comportamiento del
sistema, pero no son influenciados por este.
 Variables exógenas, variables conductoras, funciones de
forzamiento
 Lluvia, temperatura, radiación
 Salidas: Variables que representan el comportamiento
característico de interés para el modelador (biomasa,
contenido de agua del suelo)
1. Estructura de un sistema:
Conceptos
 Parámetros:
 Cantidades con valores menos precisos, pero que se
suponen constantes durante la simulaciones (coeficiente
de intercepción de la luz)
 Constantes:
 Cantidades con valores precisos y confiables que
permanecen iguales bajo diferentes condiciones
experimentales (peso molecular de glucosa, segundos
por día)
1. Estructura de un sistema:
Conceptos
 Variables de estado: Cantidades que describen la
condición de los componentes del sistema.
 Cambian con el tiempo en un sistema dinámico.
(contenido de agua del suelo y biomasa)
 Modelos de procesos:
 Las interrelaciones entre los componentes de un sistema
y por lo tanto entre las variables de estado, se deben a
procesos.
 Un modelo orientado a procesos describe el flujo y
acumulación de masa, energía u otras sustancias.
Estructura de un sistema:
Conceptos
 La variable de estado biomasa cambia como resultado de
la fotosíntesis y respiración
 La variable de estado agua en el suelo cambia como
resultado de la lluvia, escorrentía, percolación,
evapotranspiración
 Modelo de un cultivo: Conjunto de relaciones
matemáticas que describen los cambios de las
variables de estado como resultado de la ocurrencia de
varios procesos.
Estructura de un sistema: Tipos de
modelos
 Determinísticos:
 Hacen predicciones definidas para cantidades como
peso seco de plantas o consumo animal, sin ninguna
distribución de probabilidades
 Estocásticos:
 Incluyen elementos aleatorios como parte del modelo,
las predicciones tienen asociada una distribución de
probabilidad
Estructura de un sistema: Tipos de
modelos
 Dinámicos:
 Predicen como las cantidades varían con el tiempo
 Se presentan como un conjunto de ecuaciones
diferenciales ordinarias, donde t es la variable
independiente
 Se presentan como un conjunto de ecuaciones de
diferencias
 Estáticos:
 No contienen el tiempo como una variable y no hacen
predicciones dependientes del tiempo
1. Estructura de un sistema: Tipos
de modelos
 Empíricos:
 El objetivo principal es describir la respuesta de un sistema,
usando ecuaciones matemáticas o estadísticas sin contenido
científico y sin restricciones por principios científicos
 Descripciones de datos
 Mecanicistas:
 Proporcionan un grado de comprensión o explicación del
fenómeno que se modela
 Al menos dos niveles descripción deben ser considerados (eg.
Planta y órgano)
1. Estructura de un sistema: Tipos
de modelos
 Considera
relaciones causales entre las cantidades y
mecanismos (procesos) representados en un nivel inferior y
los fenómenos que se predicen en el nivel superior
 Las tasas de crecimiento de una planta/cultivo (fenómeno de
un nivel superior) pueden ser interpretadas en términos de la
operación de los procesos de fotosíntesis, distribución de
sustratos, respiración, absorción de nitrógeno y transpiración
(procesos de bajo nivel)
 Son abiertos a modificación y extensión sin límite
1. Estructura de un sistema: Tipos
de modelos
 Un modelo mecanicista se basa en nuestras ideas de
cómo trabaja un sistema, cuales son los elementos
importantes y como se relacionan.
 Están más orientados a la investigación que hacia las
aplicaciones
 Pueden representar lo que conocemos científicamente
de un sistema y sus componentes
1. Estructura de un sistema: Tipos
de modelos
 Modelos en tiempo continuo:
 Las variables de estado cambian suavemente en pequeños
intervalos de tiempo
 Modelos de cultivos
 Ecuaciones diferenciales
 Modelos en tiempo discreto:
 Las variables de estado toman valores sobre intervalos de
tiempo dados por valores enteros.
 Modelos de predicción de nacimiento y mortalidad de
insectos
 Ecuaciones en diferencias
1. Estructura de un sistema
Perturbaciones
Entrada (Ambiente):
Temperatura
Humedad Relativa
Viento…
Invernadero
Estanque
Establo
Decisión
Salida:
Producto
($)
Unidad II
Modelo simple: Temperatura
 Aplicamos la ley de variación de temperatura de un
objeto (ya sea calentamiento o enfriamiento). Dicha
ley establece que la variación de temperatura de un
cuerpo es proporcional a la diferencia de su
temperatura y la del medio que lo rodea (esto es, la
temperatura ambiente Ta se considera como
constante):

𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑎)
Modelo simple: Temperatura
 Un líquido dentro de un recipiente está a una
temperatura inicial de 300 °F, luego, en el tiempo t = 0
el recipiente es llevado a una habitación donde la
temperatura ambiente es de 70 °F y tres minutos
después, la temperatura del líquido es de 200 °F. A
partir de esto habrá que obtener:
a. Una ecuación diferencial que indique el
comportamiento del sistema.
b. La representación gráfica de la variación de la
temperatura del líquido con respecto al tiempo
Modelo simple: Temperatura

𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 70), para T(𝑡 =0) = 300 y T(𝑡 =3) = 200
 La solución a la ecuación es
 𝑇 𝑡 = 𝐶𝑒 −𝑘𝑡 = 𝑇𝑎
Modelo simple: Temperatura
 La constante C = 230 se obtiene de la primera de las
condiciones iniciales, mientras que el número k =
−0.19018 (constante del sistema) se evalúa
utilizando la segunda condición inicial.
𝑑𝑇
4.
𝑑𝑇
5. ln(𝑇 − 70) = 𝐾𝑡 + 𝐶
1. 𝑑𝑡 = 𝐾 𝑇 − 𝑇𝑎
2. 𝑑𝑡 = 𝐾 𝑇 − 70
𝑑𝑇
3. 𝑇−70
= 𝐾𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑇 −70
= 𝐾 𝑑𝑡
6. 𝑒 ln(𝑇−70) = 𝑒 𝑘𝑡 + 𝐶
Modelo simple: Temperatura
7. 𝑇 − 70 = 𝑒 𝑘𝑡+𝐶
Para la condición inicial del inciso a
8. 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 70
1. 𝑇 0 = 300
2. 𝑇 0 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 70 = 300
3. 𝑇 0 = 𝐶𝑒𝑘(0) + 70 = 300
4. 𝑇 0 = 𝐶 + 70 = 300
5. 𝐶 = 300 − 70 = 230
Modelo simple: Temperatura
 Para la condición T(3) = 200
•
La ecuación final:
1. 𝑇 3 = 230𝑒 𝑘(3) + 70 = 200
200 −70
230
13
ln 𝑒 3𝑘 = ln
23
2. 𝑒 3𝑘 =
=
13
23
3.
4. 3𝑘 = −0.57
5. 𝑘 =
−0.57
3
= −0.19018
𝑇
𝑡 = 230𝑒 −0.19018∗𝑡 + 70
Modelo simple: Temperatura
 Respuesta para el inciso b)
Modelos matemáticos de sistemas
biológicos
 Dinámica camarón – algas
 En este sistema, donde x x y = número de algas, y =
número de camarones respectivamente, a = tasa de
crecimiento de la algas, c = tasa de mortalidad del
camarón y b y d = tasas que caracterizan el efecto de las
interacciones algas-camarón sobre la muerte de las algas
y el crecimiento del camarón, respectivamente. La
multiplicación los términos (es decir, los que implican
xy) son lo que hacen tales ecuaciones no lineales.
Modelos matemáticos de sistemas
biológicos


𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥𝑦
= − 𝑐𝑦 + 𝑑𝑥𝑦
 Se requiere simular la dinámica del comportamiento presa-depredador,
suponiendo los siguientes parámetros: a = 1.2, b = 0.6, c = 0.8 y d = 0.3.
Suponer las condiciones iniciales de x = 2 e y = 1 e integrar desde t = 0 a 30.
3. Simulación – Modelo biológico
3. Simulación – Modelo biológico
1.2x - 0.6xy
x
1.2x
0.6xy
0.3xy
xy
0.8y
- 0.8y + 0.3xy
x
y
xy
x
y
y
y
2. Sistema dinámico
 Modelar el siguiente sistema dinámico (recipiente con
fertilizante)
i(t)
h
V
O(t)
A
2. Sistema dinámico
 Tipo de modelo:
 Determinístico (No hay probabilidad)
 Mecanicista (Comprensión del fenómeno)
 Dinámico (Varia en el tiempo)
 Tiempo continuo (Mas de dos valores)
Principios de ingeniería
 Análisis: es el proceso de encontrar la solución (salida) de
un proceso de sistema especifico.
 Por ejemplo: Alimento balanceado (entrada) en un animal sano
(sistema) puede resultar en ganancia de peso (salida).
 Se puede hacer un análisis para determinar la cantidad de ganancia
de peso por cada gramo de alimento suministrado. En el análisis, la
cantidad de alimento suministrado deberá ser variado y observar la
ganancia de peso, este análisis puede ser representado de la
siguiente manera:
Entrada
Proceso del sistema
¿Salida?
Principios de ingeniería
 Diseño: es la especificación del proceso del sistema de tal
manera coincidir una entrada especifica con una salida
deseada.
 Ejemplo: Dos animales alimentados con la misma cantidad ganaran
diferentes biomasa debido a su estructura del organismo. Para
compensar esta diferencia, se tendrá que agregar otro animal para
poder alcanzar la biomasa deseada. El diagrama seria el siguiente:
Entrada
¿Proceso del sistema?
Salida
Principios de ingeniería
 Control: es la especificación de la entrada para
alcanzar el objetivo de salida deseado dando una
descripción del proceso del sistema.
 Ejemplo: se ajustara la tasa de alimentación para
alcanzar la talla deseada. La representación esquemática
es la siguiente:
¿Entrada?
Proceso del sistema
Salida
Principios de ingeniería
 La conservación de la materia es el principio que la materia
no se puede crear ni destruir durante un cambio físico o
químico.
 Dentro de un sistema cerrado, la tasa de cambio en la cual
una sustancia incrementa o decrementa, es debido a la tasa
de cambio la cual la sustancia entra del exterior menos la
tasa de cambio que sale. Sin embargo, la materia no puede
ser destruida ni creada, solo puede ser transformada,
transportada o almacenada.
2. Sistema dinámico
 Principios de ingeniería
 Enfoque de análisis de sistema
 ¿qué tenemos en un recipiente con fertilizante?
2. Sistema dinámico
 Por balance de materia
 La salida es igual a lo que entra menos lo que es
almacenado en el recipiente.
𝑖 𝑡 − 𝑉(𝑡) = 𝑜(𝑡)
𝑖 𝑡 − 𝑜(𝑡) = 𝑉(𝑡)
 Volumen = Entrada – Salida
2. Sistema dinámico
 El volumen estará variando por lo que:
𝑑𝑣
= 𝑖 𝑡 − 𝑜(𝑡)
𝑑𝑡
i(t)
h
V
O(t)
A
2. Sistema dinámico
 Fenómeno de estudio: Teorema de Torricelli
 Estudia el flujo de un liquido contenido en un
recipiente, a través de un orificio, bajo la acción de la
gravedad.
𝑉𝑡 =
𝑉𝑜2
2 𝑥 𝑔 𝑥 (ℎ +
)
2𝑥𝑔
𝑉𝑡 =
2𝑥𝑔𝑥ℎ
2. Sistema dinámico
 Resolviendo la ecuación
𝑑𝑣
= 𝑖 𝑡 − 𝑜(𝑡)
𝑑𝑡
 Salida del sistema
𝑂 𝑡 = 𝑉𝑡 =
2𝑥𝑔𝑥ℎ
 Por lo tanto
𝑑𝑣
=𝑖 𝑡 − 2𝑥𝑔𝑥ℎ
𝑑𝑡
2. Sistema dinámico
 Integramos
𝑑𝑣
=𝑖 𝑡 − 2𝑥𝑔𝑥ℎ
𝑑𝑡
 Salida del sistema
𝑉
𝑚3
= 𝑎𝑟𝑒𝑎
𝑚2
 Por lo tanto
𝑉𝑡 =
𝑉
2𝑥𝑔𝑥
𝐴
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 (𝑚3)
𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚 ; Altura =
𝐴𝑟𝑒𝑎 (𝑚2)
2. Sistema dinámico
 Integramos
𝑑𝑣
=𝑖 𝑡 −
𝑑𝑡
𝑉
2𝑥𝑔𝑥
𝐴
i(t)
h
𝑑𝑣
𝑑𝑡
V=
A
𝑂 𝑡 =
2𝑥𝑔𝑥
𝑉
𝐴
2. Sistema dinámico
 ¿Y si agregamos una válvula en la salida?
𝑑𝑣
=𝑖 𝑡 − 𝑐 ∗
𝑑𝑡
𝑉
2𝑥𝑔𝑥
𝐴
 u(1)-C*sqrt((2*g*u(2))/A)
i(t)
h
𝑑𝑣
𝑑𝑡
V=
A
𝑂 𝑡 =𝑐 ∗
2𝑥𝑔𝑥
𝑉
𝐴
2. Sistema dinámico con
interacción
 Modelar la dinámica de un sistema conformado por
dos recipientes con líquidos.
i(t)
h1
V1
O1(t)
A1
h2
V2
A2
O2(t)
2. Sistema dinámico con
interacción
 Dibujar el comportamiento del sistema descrito
anteriormente.
 Determinar el sistema de ecuaciones del sistema
descrito anteriormente.
2. Sistema dinámico con
interacción
 Modelar la dinámica de un sistema conformado por
dos recipientes con líquidos.
𝑑𝑣1
= 𝑖 𝑡 − 𝑜1(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑣2
= 𝑜1 𝑡 − 𝑜2(𝑡)
𝑑𝑡
i(t)
h1
V1
O1(t)
A1
h2
V2
A2
O2(t)
2. Sistema dinámico con
interacción
 Modelar la dinámica de un sistema conformado por
dos recipientes con líquidos.
𝑑𝑣1
=𝑖 𝑡 − 𝑐 ∗
𝑑𝑡
i(t)
h1
𝑑𝑣2
=𝑐 ∗
𝑑𝑡
V1
2𝑥𝑔𝑥
O1(t)
A1
h2
V2
A2
O2(t)
𝑉1
−𝑐∗
𝐴1
𝑉1
2𝑥𝑔𝑥
𝐴1
2𝑥𝑔𝑥
𝑉2
𝐴2
2. Sistema dinámico con
interacción
 Modelar la dinámica de un sistema conformado por
tres recipientes con líquidos.
i(t)
h1
O1(t)
O3(t)
V2
A2
V1
A1
O2(t)
h3
V3
A3
O4(t)
2. Sistema dinámico con
interacción
 Modelar la dinámica de un sistema conformado por
tres recipientes con líquidos.
i(t)
𝑑𝑣2
= 𝑂1 𝑡 − 𝑂3(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑣3
= 𝑂2 𝑡 − 𝑂4(𝑡)
𝑑𝑡
h1
O1(t)
O3(t)
V2
A4
𝑑𝑣1
= 𝑖 𝑡 − 𝑂1 𝑡 − 𝑂2(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑣1
= 𝑖 𝑡 − 𝑂1 𝑡 + 𝑂2(𝑡)
𝑑𝑡
V1
A1
O2(t)
h3
V3
A3
O4(t)
2. Sistema dinámico con
interacción
 El sistema de ecuaciones quedaría de la siguiente
manera:
𝑑𝑣1
= 𝑖 𝑡 − 𝐶1 ∗
𝑑𝑡
2𝑥𝑔𝑥
𝑉1
+ 𝐶2 ∗
𝐴1
𝑑𝑣2
= 𝐶1 ∗
𝑑𝑡
2𝑥𝑔𝑥
𝑉1
− 𝐶3 ∗
𝐴1
𝑑𝑣3
= 𝐶2 ∗
𝑑𝑡
𝑉1
2𝑥𝑔𝑥
− 𝐶4 ∗
𝐴1
2𝑥𝑔𝑥
2𝑥𝑔𝑥
𝑉2
𝐴2
𝑉3
2𝑥𝑔𝑥
𝐴3
𝑉1
𝐴1
Simulación Scilab
 Bloques Xcos
Concentración
 Se tienen tres tanques de 1000 litros de capacidad cada
uno, perfectamente agitados. Los tres recipientes están
completamente llenos con una solución cuya
concentración es de 30 g/l. A partir de cierto momento
se alimenta al primer tanque con una solución que
contiene 50 g/l con un gasto de 300 l/min (el cual fluye
igual al resto de los tanques y hacia afuera del sistema).
 Calcular al concentración en cada tanque después de
10 minutos de haber empezado a agregar la solución al
primero.
Concentración
 Diagrama
300 l/min
50 g/l
C1(0) = 30 g/l
V1= 1000 l
C2(0) = 30 g/l
V2= 1000 l
C3(0) = 30 g/l
V3= 1000 l
Concentración
 ¿cómo quedarían las ecuaciones?
 Escribir el sistema de ecuaciones
Modelación concentración
 Balance para el primer tanque:
 Variación del soluto = Entradas−Salidas
𝑉1
𝑑𝐶1
= 300 50 − 300𝐶1
𝑑𝑡
𝑑𝐶1
= 15 − 0.3𝐶1 𝑦 𝐶1 0 = 30
𝑑𝑡
Modelación concentración
 Balance para el segundo tanque:
𝑑𝐶2
= 300𝐶1 − 300𝐶2
𝑑𝑡
𝑑𝐶2
= 0.3 𝐶1 − 𝐶2
𝑑𝑡
𝑦 𝐶2 0 = 30
Modelación concentración
 Balance para el tercer tanque:
𝑑𝐶3
= 300𝐶2 − 300𝐶3
𝑑𝑡
𝑑𝐶3
= 0.3 𝐶2 − 𝐶3
𝑑𝑡
𝑦 𝐶3 0 = 30
Concentración
 ¿cómo quedarían la simulación?
 Dibujar el comportamiento
Simulación concentración
Simulación concentración
 Respuesta
Concentración
 Diagrama
150 l/min
50 g/l
150 l/min
50 g/l
C1(0) = 30 g/l
V1= 1000 l
C2(0) = 30 g/l
V2= 1000 l
C3(0) = 30 g/l
V3= 1000 l
Concentración
 ¿cómo quedarían las ecuaciones?
 Escribir el sistema de ecuaciones
Modelación concentración
 Balance para el primer tanque:
 Variación del soluto = Entradas−Salidas
𝑉1
𝑑𝐶1
= 150 50 − 150𝐶1
𝑑𝑡
1000 ∗
𝑑𝐶1
= 7500 − 150𝐶1
𝑑𝑡
𝑑𝐶1
= 7.5 − 0.15𝐶1 𝑦 𝐶1 0 = 30
𝑑𝑡
Modelación concentración
 Balance para el segundo tanque:
 Variación del soluto = Entradas−Salidas
𝑉2
𝑑𝐶2
= 150 50 − 150𝐶2
𝑑𝑡
1000 ∗
𝑑𝐶2
= 7500 − 150𝐶2
𝑑𝑡
𝑑𝐶2
= 7.5 − 0.15𝐶2 𝑦 𝐶2 0 = 30
𝑑𝑡
Modelación concentración
 Balance para el tercer tanque:
 Variación del soluto = Entradas−Salidas
𝑉3
𝑑𝐶3
= 150𝐶1 + 150𝐶2 − 150𝐶3
𝑑𝑡
1000 ∗
𝑑𝐶3
= 150𝐶1 + 150𝐶2 − 150𝐶3
𝑑𝑡
𝑑𝐶3
= 0.15𝐶1 + 0.15𝐶2 − 0.15𝐶3 𝑦 𝐶3 0 = 30
𝑑𝑡
Simulación
Simulación
Caudal y Concentración
 Simular el caudal y concentración del siguiente
diagrama
5 l/min
5 g/l
O3
O1
C1(0) = 0 g/l
V1= 0 l
O2
C2(0) = 0 g/l
V2= 0 l
C3(0) = 0 g/l
V3= 0 l
Caudal y Concentración
 ¿cómo quedarían las ecuaciones?
 Escribir el sistema de ecuaciones
Caudal y Concentración
 Sistema de ecuaciones
 Volumen
𝑑𝑣1
= 𝑖 𝑡 − 𝑂1 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑣3
= 𝑂2 𝑡 − 𝑂3(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑣2
= 𝑂1 𝑡 − 𝑂2(𝑡)
𝑑𝑡
 Concentración
𝑉1
𝑑𝐶1
= 5 5 − 𝑂1𝐶1
𝑑𝑡
𝑑𝐶2
𝑉2
= 𝑂1𝐶1 − 𝑂2𝐶2
𝑑𝑡
𝑉3
𝑑𝐶3
= 𝑂2𝐶2 − 𝑂3𝐶3
𝑑𝑡
Unidad III
Análisis de sistemas
 Sistemas de primer orden
 Función de transferencia
 Sistemas de segundo orden
Sistemas de primer orden
 La variable dependiente y(t) depende de la primer
derivada y su función forzada x(t)
 Cuando la variable independiente t es t0, y es y0
dy
a  t   y  t   Kx  t 
dt
y  t 0   y0
 Dado que el coeficiente de y es (+1):
 a(t) debe tener dimensiones de t
 K tiene dimensiones de y/x
Sistemas de primer orden
 Podemos resolver una ODE definiendo la integral
 dt 
p  t   exp  

a
t




 Note que p(t) es adimensional
 La solución es
t
p  t0  y  t0 
p t  x t 
K
y t  

dt

p t 
p  t  t0 a  t 
Sistemas de primer orden
t
p  t0  y  t0 
p t  x t 
K
y t  

dt

p t 
p  t  t0 a  t 
 Tenga en cuenta que la solución tiene contribuciones de:
Condición inicial y(t0)
 Función forzada K x(t)

 En el lenguaje de dinámica de sistemas podemos decir que


Y(t) es la respuesta del sistema
Esta es una respuesta a las perturbaciones de entrada


K x(t)
y(t0)
Sistemas de primer orden
 La variable independiente t representa el tiempo
 Para muchas aplicaciones de control de procesos, a(t)
será una constante positiva
 La llamamos constante de tiempo, t
 por lo tanto, tenemos una ODE lineal
t
dy
 y  t   Kx  t 
dt
y  t 0   y0
Sistemas de primer orden
 El factor de integración es:
 dt 
t
p  t   exp     exp  
 t 
t 
 Y la solución se convierte en :
y  t   y0 e
   t  t0  


 t


K
t
e
 t  t
 
t 
e
t0
t
 
t 
x  t  dt
Sistemas de primer orden: Tanque
con agitación
Q, Cai
Q, Cao
Volumen
Sistemas de primer orden: Tanque
con agitación
 Q > caudal
 Cai > Concentración
 Es un tanque en “Overflow”
 El proceso es la agitación (es homogeneo)
 Por balance de masas:
𝑑
𝑃𝑄𝑒 − 𝑃𝑄𝑠 =
𝑃𝑉
𝑑𝑡
Sistemas de primer orden: Tanque
con agitación
𝑃(𝑄𝑒 − 𝑄𝑠) = 𝑃
𝑑
𝑉
𝑑𝑡
𝑃(𝑄𝑒 − 𝑄𝑠) = 𝑃
𝑑
𝑉
𝑑𝑡
 El volumen es constante porque siempre esta lleno
𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 =
𝑑
𝑉
𝑑𝑡
Tanque con agitación
 La derivada de un constante es cero
 Si el volumen es constante:
0
𝑑
𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 =
𝑉
𝑑𝑡
𝑄𝑒 = 𝑄𝑠
 ¿Qué significa esto?
Tanque con agitación
 Considerando la concentración
𝑄𝐶𝑎𝑖
𝑚3
𝑠
𝑘𝑔
𝐾𝑔
=
𝑚3
𝑠
 ¿Qué es lo que esta entrado al sistema?
Tanque con agitación
 La ecuación completa
𝑄𝐶𝑎𝑖 − 𝑄𝐶𝑎𝑜 =
𝑑
𝑉?
𝑑𝑡
 ¿Multiplicado porque?
𝑄𝐶𝑎𝑖 − 𝑄𝐶𝑎𝑜 =
𝑑
𝑉𝐶𝑎
𝑑𝑡
Tanque con agitación
𝑑
𝑄𝐶𝑎𝑖 − 𝑄𝐶𝑎𝑜 =
𝑉𝐶𝑎
𝑑𝑡
𝑑
𝑉𝐶𝑎 = 𝑄(𝐶𝑎𝑖 − 𝐶𝑎𝑜)
𝑑𝑡
 Si Q es constante, entonces ________
Tanque con agitación
 Forma estándar (dividimos Q)
𝑑
𝑉𝐶𝑎 = 𝑄(𝐶𝑎𝑖 − 𝐶𝑎𝑜)
𝑑𝑡
𝑉 𝑑(𝐶𝑎𝑜)
= 𝐶𝑎𝑖 − 𝐶𝑎𝑜
𝑄 𝑑𝑡
𝑉 𝑑(𝐶𝑎𝑜)
+ 𝐶𝑎𝑜 = 𝐶𝑎𝑖
𝑄 𝑑𝑡
Función forzante
Variable independiente
Tanque con agitación
 Si
𝜏=
𝑉
𝑄
𝐾=1
𝑑(𝐶𝑎𝑜)
𝜏
+ 𝐶𝑎𝑜 = 𝐶𝑎𝑖
𝑑𝑡
 Queremos una referencia Cao,r
Tanque con agitación
 Cai y Cao nos dice el estado del sistema
 En estado estacionario (referencia):
0
𝜏
𝑑(𝐶𝑎𝑜)
+ 𝐶𝑎𝑜 = 𝐶𝑎𝑖
𝑑𝑡
𝐶𝑎𝑜, 𝑟 = 𝐶𝑎𝑖
Tanque con agitación
 La solución de forma general
𝐶𝑎𝑜 𝑡 = 𝐶𝑎𝑟 ∗
(𝑡−𝑡𝑟)
− 𝜏
𝑒
𝐾 −𝑡
+
𝑒𝑡
𝜏
𝑡
𝑡0
𝑡
𝜏
𝑒
𝐶𝑎𝑖 𝑡 𝑑𝑡
Funciones de transferencia
 La función de transferencia de un sistema descrito
mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el
tiempo se define como el cociente entre la transformada de
Laplace de la salida (función de respuesta) y la
transformada de Laplace de la entrada (función de
excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones
iniciales son cero.
L c(t )
Función de transferencia 
L r (t )
c(t )  salida
r (t )  entrada
con condiciones iniciales cero
Funciones de transferencia
 ¿Para que sirven?
 En ingeniería, a menudo se usan las funciones de
transferencia para caracterizar las relaciones de entradasalida de componentes o de sistemas que se describen
mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes
en el tiempo.
Funciones de transferencia
 La aplicación del concepto de función de transferencia está
limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones
diferenciales lineales invariantes en el tiempo; sin embargo,
el enfoque de la función de transferencia se usa
extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. A
continuación se presentan algunos comentarios
importantes relacionados con la función de transferencia.
Función de
transferencia
G(s)
Funcion de
transferenciaTransformada Laplace
 Un ecuación diferencial de primer orden (blending
tank)
𝜏
𝑑(𝐶𝑎𝑜)
+ 𝐶𝑎𝑜 = 𝐶𝑎𝑖
𝑑𝑡
 Aplicando Laplace
t s y   s   y   s   K x  s 
t s  1 y  s   K x  s 
 K 
y  s   
 x  s 
 t s 1 
Función de transferencia
 𝑇 𝑡 = 230𝑒 −0.19018∗𝑡 + 70

𝑑𝐶
𝑑𝑡
+ 𝐴𝑜 𝑡 = 𝐵𝑜
 𝐶 𝑡 = 𝐵𝑜 ∗ 𝑒 −𝐴0∗𝑡
𝜏=
1
𝐴𝑜
Función de transferencia: Sistemas
de primer orden
 𝑇 𝑡 = 230𝑒 −0.19018∗𝑡 + 70
𝜏=
1
;
𝐴𝑜
Ao = 0.19018
 𝜏 = 5.25

𝑌(𝑆)
𝑋(𝑆)
=
230
5.25 𝑆+1
Funciones de transferencia
 La función de transferencia de un sistema es un modelo
matemático porque es un método operacional para expresar la
ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la
variable de entrada.
 La función de transferencia es una propiedad de un sistema,
independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o
función de excitación.
 La función de transferencia incluye las unidades necesarias para
relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona
información acerca de la estructura física del sistema. (Las
funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente
diferentes pueden ser idénticas.)
Funciones de transferencia
 Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia
la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la
intención de comprender la naturaleza del sistema.
 Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede
establecerse experimentalmente introduciendo entradas
conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida
una función de transferencia, proporciona una descripción
completa de las características dinámicas del sistema, a
diferencia de su descripción física.
La constate del tiempo t
respuesta al escalón
t
c(t)
0
0
AK
0.981684 AK
1𝜏
0.632120
0.632120 AK
2𝜏
0.864664
3𝜏
0.950212
4𝜏
0.981684
t
4t
t
Comentarios:
La constante de tiempo (𝜏) es igual al tiempo que tarda la salida en alcanza un 63.212% del valor
final.
Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo
hace en tiempo finito. Para fines prácticos se considera que la salida alcanza el estado estable en
cierto porcentaje del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%(4𝜏) y el del 95% (3𝜏)
Función de transferencia: Sistemas
de primer orden
 Se abre la compuerta de riego para evitar una helada en
un cultivo de maíz, se aplican 1500 litros de agua para
cubrir una superficie de 400m2, el tiempo de
aplicación es de 180 segundos para alcanzar el 98% de
espejo de agua (superficie). Determine la función de
transferencia.
Litros de agua
Entrada
Maíz
Superficie
Salida
Función de transferencia: Sistemas
de primer orden
 Se define la ganancia en estado estable:
 Desarrollo:

𝑘=
𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎
=
400 𝑚2
1500 𝑙𝑡
= 0.266
Función de transferencia: Sistemas
de primer orden
 Se determina la constante de tiempo:
 Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que
tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre
4 y se obtiene la constante de tiempo.
 4𝜏 = 0.98
 4𝜏 = 180
 𝜏=
180
4
= 45 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Función de transferencia: Sistemas
de primer orden
 Se sustituye en la forma
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝜏 𝑆+1
 La función de transferencia que relaciona los litros con
el espejo de agua.
𝐺 𝑠 =
𝐺 𝑠 =
0.266
45 𝑆+1
0.005926
𝑆 + 0.0222
Función de transferencia: Sistemas
de primer orden
0.35
0.3
0.25
K
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (Segundos)
140
160
180
200
Función de transferencia
Concentración y velocidad
de entrada de
cierta sustancia
Solución a cierta
concentración inicial
Agitador
Concentración y velocidad de
salida de la mezcla
Volumen
Función de transferencia
 Sea q(t) la concentración de cierta sustancia en
cualquier momento, por lo que la velocidad de cambio
de concentración q(t) corresponde a:
𝑑𝑞
𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
=
−
= 𝑅1 − 𝑅2
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑑𝑡
 donde la razón de entrada R1 es el producto de la
concentración y la velocidad de entrada de la solución,
mientras que la razón de salida R2 es el producto de la
concentración y la velocidad con la que sale la solución
mezclada.
Función de transferencia
 Sea un tanque lleno con ocho litros de agua salada en
el cual están disueltos dos kg de sal. Una solución de
salmuera (agua salada) con tres kg de sal por litro
entra al tanque a una velocidad de 4 l/min, mientras la
mezcla bien agitada sale a la misma velocidad con la
que entra. Obtenga una expresión para la variación de
concentración con respecto al tiempo.
Función de transferencia
 R1 = (Concentración de entrada) × (Velocidad de
entrada):
𝑅1 = 3
𝑘𝑔
𝑙
𝑘𝑔
∗4
= 12
𝑙
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
 R2 = (Concentración de salida) × (Velocidad de salida):
𝑅2 =
𝑞 𝑘𝑔
𝑙
𝑞 𝑘𝑔
∗4
=
8 𝑙
𝑚𝑖𝑛 2 𝑚𝑖𝑛
Función de transferencia


𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝑅1 − 𝑅2 = 12 −
+
𝑞
2
= 12
𝑞
2
𝑐𝑜𝑛 𝑞 0 = 2
 Aplicamos transformada laplace para obtener función
de transferencia
 (SQ(S) – Q(0)) + 0.5Q(S) = 12/S
 (SQ(S) – 2) + 0.5Q(S) = 12/S
Función de transferencia
 (SQ(S) – 2) + 0.5Q(S) = 12/S
 𝑆𝑄 𝑆 + 0.5𝑄 𝑆 =
 𝑄 𝑆 (𝑆 + 0.5) =
 𝑄 𝑆 (𝑆 + 0.5) =
𝑄 𝑆 =
12
𝑠
(𝑠+0.5)
+
12
𝑠
12
𝑠
12
𝑠
+2
+2
+2
2
(𝑠+0.5)
Función de transferencia
𝑄 𝑆 =
12
𝑠
(𝑠+0.5)
𝑄 𝑆 =
12
𝑆(𝑆+0.5)
𝑄 𝑆 =
12
𝑆(𝑆+0.5)

12
𝑠
+
2
(𝑠+0.5)
+
𝑠
(𝑠+0.5)
+
𝑠
(𝑠+0.5)
+ 2 = 2𝑆 + 12
Función de transferencia
𝑄 𝑆 =
2𝑆+ 12
𝑆(𝑆+0.5)
 ¿Cuál es la concentración?
 8litros x 3kg/litros = 24 kg
Función de transferencia
 >> syms s t
>> Y=(2*s+12)/(s^2+0.5*s); y=ilaplace(Y)
y = 24−22*exp(−1/2*t)
>> t=[0:0.01:15]; q=24−22.*exp(−0.5*t);
>> plot(t,q), grid
>> title(“variación de concentración q(t)”)
>> xlabel(“t, tiempo (minutos)”), ylabel(“q, concentración
en Kg”)
Función de transferencia
variacion de concentracion q(t)
25
q, concentración en Kg
20
15
10
5
0
0
5
10
t, tiempo (minutos)
15
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