ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL ÁREA DE CONTROL Y SISTEMAS ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS DEBER N° 1 SEMESTRE 2022B CONCEPTOS BÁSICOS y ANÁLISIS DE SISTEMAS MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES 1) Tomando en cuenta las señales 𝑥 (𝑡) y 𝑥 (𝑡) realizar gráfica y analíticamente: a) 𝑥 (𝑡) + 𝑥 (𝑡) b) 𝑥 (𝑡) 𝑥 (𝑡) c) [𝑥 (𝑡)] = d) ∫ ( ) 𝑥 (𝜏) 𝑑𝜏 2) Tomando en cuenta las señales 𝑥 [𝑛] y 𝑥 [𝑛] realizar gráfica y analíticamente: a) 𝑥 [𝑛] + 𝑥 [𝑛] b) 𝑥 [𝑛]𝑥 [𝑛] c) 𝑥 [𝑛 + 1] − 𝑥 [𝑛] d) 𝑥 [𝑛] − 𝑥 [𝑛 − 1] e) ∑ 𝑥 [𝑘] 3) Si se tiene una señal 𝑥(𝑡) = 5𝑢(𝑡) − 2(𝑡 + 2)𝑒 𝑢(𝑡) demostrar que su segunda derivada es 𝑥 ´´ (𝑡) = 𝛿 (𝑡) + 𝑒 𝑢(𝑡) − 𝑡𝑒 𝑢(𝑡). Sugerencia: Usar propiedades de la función impulso. Análisis de Señales y Sistemas 1-2 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL ÁREA DE CONTROL Y SISTEMAS 4) Obtener 𝑦(𝑡), la respuesta a la señal 𝑥(𝑡) = (2 − 𝑒 )𝑢(𝑡) de un Sistema Lineal Invariante descrito por la ecuación diferencial 𝑦 (𝑡) + 3𝑦 (𝑡) = 3𝑥 (𝑡) + 3𝑥 (𝑡) + 9𝑥(𝑡), si 𝑦(0 ) = −6, 𝑦 (0 ) = 24. 5) Considerando el sistema de la Figura 1, donde la entrada es la fuente de corriente 𝑥(𝑡) y la salida es el voltaje 𝑦(𝑡) en la resistencia de 6Ω, determine: a) La ecuación diferencial del sistema b) Asumiendo que el sistema está inicialmente en reposo, encuentre la salida ante la entrada 0, 𝑡<0 𝑥(𝑡) = 𝑡, 0 < 𝑡 < 1 1, 𝑡>1 (1/8)F y(t) salida + (voltaje) x(t) entrada (corriente) 2Ω 6Ω x(t) y(t) 2H Figura 1 6) Para un Sistema Lineal Invariante Continuo (SLIC) se conoce que: 𝐻 10𝑒−2𝑡 𝑢(𝑡) = (60𝑡2 − 180𝑡 + 60)𝑒−2𝑡 𝑢(𝑡); Obtener: a) la ecuación diferencial que describe al Sistema; b) su respuesta impulsiva ℎ(𝑡) resolviendo la ecuación diferencial. 7) Usando propiedades, obtener 𝑦(𝑡), la respuesta a la señal de entrada 𝑥(𝑡), de un Sistema Lineal Invariante con respuesta paso escalada en magnitud ] 𝑈(𝑡), 25 𝑔(𝑡) = [7 − (35 𝑡 − 43) 𝑒 si la señal de entrada escalada en tiempo, transpuesta y trasladada es 𝑥(−2 𝑡 + 1) = −50 (5 𝑡 − 3) 𝑈(−2 𝑡 + 1) + 𝛿(−2 𝑡 + 1). ] 𝑈(𝑡) + 2 𝛿(𝑡) Respuesta: 𝑦(𝑡) = [35 𝑡 + 43 + (7 𝑡 − 3) 𝑒 8) Usando propiedades, obtener y[n], la respuesta a la señal de entrada 𝑥[𝑛] = 4(𝑛 + 1)𝑈[𝑛 − 1] + 5 𝛿[𝑛] de un Sistema Lineal Invariante Discreto con respuesta paso escalada en magnitud, transpuesta y trasladada 4 𝑔[−𝑛 − 1] = [63 + (42 𝑛 − 99) (3) ] 𝑈[−𝑛 − 1]. Respuesta: 𝑦[𝑛] = [63 𝑛 − 18 + (14 𝑛 + 47) (1⁄3) ] 𝑈[𝑛] − 9 𝛿[𝑛] Análisis de Señales y Sistemas 2-2