Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS “MÓDULO 06” Métodos Numéricos para Ingeniería 2022_2 Videoconferencia 07 Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PROBLEMA APLICATIVO Crecimiento exponencial de una poblacional: la población de ciertas especies crece a una velocidad que es proporcional a la población presente y que responde a un problema de valor inicial como sigue : dy = 0.02 y, t 0,50 dt y (0) = 5000 ¿Cómo sería su solución y su gráfica de la solución? Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Logro Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y/o problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, a partir de la definición y propiedades; en base a participación activa, aprendizaje autónomo y con destreza en el manejo del ordenador. Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS TEMARIO 1. Introducción 2. Ecuaciones diferenciales Ordinarias 3. Problema de Valor inicial 4. Ejemplos. Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación diferencial es una ecuación en derivadas, donde aparecen las derivadas de una función desconocida. En nuestro caso, trabajaremos con ecuaciones diferenciales de primer orden: dy = f (t , y) dt Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Considere la EDOs de primer orden: EJEMPLO 1: 𝑑𝑦 = 1 − 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 Solución: Por el método de separación de variables, tenemos dy = (1 − e − t )dt y (t ) = t + e − t + C La solución de la ecuación diferencial es: −t y (t ) = t + e + C Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EJEMPLO 1 : Usando Octave, graficar la solución del ejemplo anterior −t y (t ) = t + e + C Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ejemplo 2: Determinar la solución general de la EDO, de primer orden y grafique su solución usando OCTAVE. dy 1 =− dx 2y Solución: Por el método de separación de variables, tenemos 2 ydy = −1dx y2 = −x + C x+ y =C 2 y = −x + C Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) Si a la EDO dada anteriormente le agregamos una condición inicial 𝑦 𝑡1 = 𝑦1 , se tiene el PVI: dy = f (t , y) dt y(t1 ) = y1 Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EJEMPLO 3: Crecimiento exponencial de una poblacional: la población de ciertas especies crece a una velocidad que es proporcional a la población presente y que responde a un problema de valor inicial como sigue : dy = 0.02 y, t 0,50 dt y (0) = 5000 SOLUCIÓN: Solucione la EDO y grafique su solución usando OCTAVE. Por el método de separación de variables, tenemos 1 dy = 0.02dt y Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ln y = 0.02t + C Reemplazando la condición inicial y (0) = 5000 en la solución general, se tiene: y (0) = Ce y = e002t +C y = e002t .eC y (t ) = Ce002t ......solución general 002(0) 5000 = C y (t ) = 5000e002t ......Solución particular Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EJEMPLO: Usando Octave, graficar la solución del ejemplo anterior ALGORITMO PARA LA GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN DEL PVI Paso • Ingrese a, b , n 1 • Calculo de h, Paso • ℎ = 𝑏−𝑎 𝑛 2 • Discretización del dominio • 𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑖 − 1 ∗ ℎ, para 𝑖 = 1: 𝑛 + 1 Paso • 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑡𝑖 ) , para 𝑖 = 1: 𝑛 + 1 3 Paso • Plotear la gráfica de 𝑦𝑖 4 y (t ) = 5000e002t
