Álgebra Lineal Juan Núñez Olmedo Iván Sandoval Palis Escuela Politécnica Nacional Dedicamos este trabajo a los estudiantes de la Escuela Politécnica Nacional PRÓLOGO Esta obra está dirigida a los estudiantes que están iniciando sus estudios superiores en las diferentes carreras de ingeniería, así también como a los docentes y personas en general que necesitan una obra de consulta. El objetivo fundamental de esta obra es proporcionar una guía, para plantear, analizar y resolver problemas de los diferentes temas del álgebra Lineal. El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y, su enfoque más formal que son los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un espacio que tiene muchas conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como el cálculo vectorial y las ecuaciones diferenciales, la ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal se remonta a los años de 1843 cuando Willam Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creo los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro La teoría de la extensión. De manera formal el álgebra lineal estudia las estructuras matemáticas denominadas espacios vectoriales, las cuales constan de un conjunto de vectores definido en un campo, con una operación de suma de vectores, y, otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades. El lector debe aprender la parte teórica, las propiedades que se describen en cada capítulo de este libro, para analizar cómo se aplican en los ejercicios resueltos en clases y luego debe apropiarse de sus métodos de análisis y de solución, para resolver los ejercicios propuestos. La favorable acogida que se brinde a este texto, servirá para continuar trabajando a favor del proceso de enseñanza y aprendizaje. Las sugerencias que permitan mejorar este trabajo, serán de mucha ayuda para facilitar la comprensión y el estudio. Deseamos expresar nuestros sinceros agradecimientos a todas las personas que de una u otra manera contribuyeron a la elaboración del mismo. Loa Autores ISBN: 978-9942-21-774-5 Primera Edición Septiembre 28 de 2015 Reservados todos los derechos Ni todo el Libro, ni parte de él, pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema, electrónico, mecánico de reproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso escrito de los autores. Hecho en Quito – Ecuador – Sudámerica COPIA LEGAL I CONTENIDO CAPÍTULO 1..............................................................................................................................................1 MATRICES ................................................................................................................................................1 DEFINICIÓN ..........................................................................................................................................1 OPERACIONES CON MATRICES........................................................................................................3 SUMA DE MATRICES........................................................................................................................3 DIFERENCIA DE MATRICES ...........................................................................................................3 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR ...........................................................................................4 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES..................................................................................................6 MATRIZ TRANSPUESTA ...................................................................................................................10 TRAZA DE UNA MATRIZ ..................................................................................................................16 MATRIZ INVERTIBLE........................................................................................................................17 OPERACIONES ELEMENTALES ......................................................................................................23 OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS ..................................................................................23 MATRICES ELEMENTALES..............................................................................................................23 MATRICES EQUIVALENTES ............................................................................................................24 FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ......................................................................................27 MATRIZ ESCALONADA POR FILAS ..............................................................................................27 MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS..........................................................................27 1 ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A ....................................................................................30 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................31 CAPÍTULO 2............................................................................................................................................49 DETERMINANTES.................................................................................................................................49 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................49 DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES ..........................................................................50 PROPIEDADES ....................................................................................................................................51 DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES......................................................................57 INVERSA DE UNA MATRIZ ..............................................................................................................60 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................63 CAPÍTULO 3............................................................................................................................................81 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.........................................................................................81 SISTEMAS EQUIVALENTES .............................................................................................................83 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.................................................................................83 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN............................................................................................................84 MÉTODO DE GAUSS ......................................................................................................................85 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN ......................................................................................................85 MÉTODO DE CRAMER...................................................................................................................85 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................89 CAPÍTULO 4..........................................................................................................................................101 ESPACIOS VECTORIALES ................................................................................................................101 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................101 SUBESPACIOS VECTORIALES.......................................................................................................104 COMBINACIÓN LINEAL .................................................................................................................105 CONJUNTO GENERADOR...............................................................................................................106 CÁPSULA LINEAL............................................................................................................................106 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES .........................................................................107 BASE...................................................................................................................................................110 DIMENSIÓN.......................................................................................................................................114 CAMBIO DE BASE ............................................................................................................................123 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................127 II CAPÍTULO 5..........................................................................................................................................163 PRODUCTO INTERNO........................................................................................................................163 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................163 EJEMPLOS .........................................................................................................................................163 NORMA DE UN VECTOR .................................................................................................................164 VECTORES ORTOGONALES ..........................................................................................................167 PROYECCIÓN ORTOGONAL ..........................................................................................................167 CONJUNTO ORTOGONAL...............................................................................................................168 VECTOR UNITARIO .........................................................................................................................169 NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR ..............................................................................................169 CONJUNTO ORTONORMAL ...........................................................................................................169 BASE ORTONORMAL ......................................................................................................................169 3 PRODUCTO CRUZ EN R ...............................................................................................................171 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................173 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................174 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................175 CAPÍTULO 6..........................................................................................................................................189 TRANSFORMACIONES LINEALES .................................................................................................189 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................189 NÚCLEO .............................................................................................................................................190 IMAGEN .............................................................................................................................................191 INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD ........................................................194 CONJUNTO DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES L (V , W ) ............................................196 IGUALDAD ....................................................................................................................................196 OPERACIONES CON TRANFORMACIONES LINEALES.............................................................197 SUMA..............................................................................................................................................197 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR .......................................................................................197 COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES ............................................................198 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES .....................................................................201 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ...................................................204 REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMAGEN ......................................................................................207 MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ..................................................208 SEMEJANZA DE MATRICES...........................................................................................................209 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................213 CAPÍTULO 7..........................................................................................................................................241 VALORES Y VECTORES PROPIOS .................................................................................................241 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................241 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES......................................................................242 POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ ....................................................................245 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ ......................................................................245 CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO ........................................................................246 MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA....................................................................................................246 MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA ...................................................................................................246 MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN......................................................................247 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS ....................................................................250 TEOREMA DE CALEY - HAMILTON..............................................................................................254 FORMAS CUADRÁTICAS Y CANÓNICAS ....................................................................................257 SECCIONES CÓNICAS..................................................................................................................260 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................265 1 MATRICES Capítulo 1 MATRICES x DEFINICIÓN Una matriz A de m n es un ordenamiento rectangular de m por n números distribuidos en un orden definido de m filas y n columnas: a11 a12 a21 a22 ... ... A ai1 ai 2 ... am1 am 2 ... a1 j ... a2 j ... ... ... aij ... anj a1n ... a2n ... ... ... ain ... amn ... aij es el elemento i,j-ésimo (pertenece a la fila i y a la columna j). A por conveniencia se escribe A aij . Las matrices se denotan con letras mayúsculas. M mxn , es el conjunto de todas las matrices de orden m por n , definidas en el campo K. La i-ésima fila de A es: ai1 La j-ésima columna de A es: ai 2 ... aij ... ain y constituye la matriz fila de Ai a1 j a2 j . a1 j . a mj y constituye la matriz columna A j A puede ser representada por matrices fila, así: A A1 , A2 , , Ai , , Am A puede ser representada por matrices columna, así: A A , A 2 , , A j , , A n ÁLGEBRA LINEAL 1 2 MATRICES IGUALDAD Sean las matrices A aij mn y B bij mn , A B aij bij Ejemplos 1. Las siguientes matrices son iguales 1 2 A 3 4 1 2 B 3 4 2. Las siguientes matrices no son iguales 1 2 A 3 4 1 2 B 3 4 MATRIZ CUADRADA Sea A aij mn . A es matriz cuadrada si y sólo si m n . El conjunto de matrices cuadradas se nota M nxn ó M n . Ejemplos 1 5 A 2 7 2 1 0 B 7 8 9 10 5 8 MATRIZ NULA Sea O aij mn . O es una matriz nula si y sólo si aij 0 , es decir, es una matriz cuyos elementos son iguales a cero. Ejemplos Las siguientes marices son nulas: 0 0 O2 0 0 0 0 0 O3 0 0 0 0 0 0 ÁLGEBRA LINEAL 0 0 O4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 MATRICES OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES Sean las matrices A aij mn y B bij mn . La suma de A y B es la matriz A B de m filas y n columnas, dada por: a12 b12 a11 b11 a22 b22 a b A B aij bij 21 21 a b m1 m1 am 2 bm 2 a1n b1n a2n b2n amn bmn La suma de matrices está definida cuando ambas matrices tienen el mismo tamaño. Ejemplo 3 1 2 3 3 4 0 4 6 5 0 1 1 1 0 6 1 1 2 3 4 1 1 6 3 4 10 DIFERENCIA DE MATRICES Sean las matrices A aij mn y B bij mn . La diferencia de A y B es la matriz A B de m filas y n columnas, dada por: A B A ( B) Ejemplos 1. 2 5 1 7 1 12 0 3 3 2 3 1 2. 4 1 3 4 5 6 0 4 9 3 2 2 4 1 0 1 1 2 2 3 7 1 4 10 1 1 3 ÁLGEBRA LINEAL 4 MATRICES MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Si A aij mn y es un escalar, entonces A está dada por: a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n A aij a a a m2 mn m1 Es decir, A se obtiene multiplicando por a cada componente de A . Ejemplos 1. 2 3 10 15 5 7 1 35 5 2. 0 8 0 16 2 10 4 20 8 3. Dadas las matrices A y B , hallar 2 A 3B y 3 A 2 B 2 3 A 1 0 3 1 B 0 1 Solución: 5 9 2 A 3B 2 3 0 11 3 A 2 B 3 2 DEFINICIÓN (1) A A ÁLGEBRA LINEAL 5 MATRICES PROPIEDADES TEOREMAS , K , A, B, C M mxn , se cumple que: 1. A ( B C ) ( A B) C 2. A B B A 3. AO A 4. A ( A) O 5. A = A 6. 1. A A 7. A A A 8. A B A B 9. 0. A O Se demostrarán los teoremas 1, 3 y 5 los restantes teoremas se dejan como ejercicio. DEMOSTRACIONES 1. A+(B+C)=A+(B+C) Axioma reflexivo (aij ) (bij cij ) Cambio de notación (aij bij cij ) Definición de suma ((aij bij ) cij ) Propiedad de campo =(A+B)+C 3. A+O=A+O Axioma reflexivo (aij 0ij ) Notación (aij ) Propiedad de campo =A ÁLGEBRA LINEAL 6 MATRICES 5. ( ) A ( ) A Axioma reflexivo ( aij ) Notación ( ( aij )) Propiedad de campo ( A) MULTIPLICACIÓN DE MATRICES mn y B b jk np . Sean las matrices A aij El producto de A y B es la matriz C cik mp , donde n cik aij b jk . j 1 En forma desarrollada: cik ai1b1k ai 2b2 k aij b jk aip b pk . Esto se muestra en la figura a11 a12 a1 p a21 a22 a2 p b11 b12 b1k b21 b22 b2k aip ai1 ai 2 b p1 b p 2 b pk am1 am 2 amp b1n c11 c12 b2n c21 c22 b pn cm1 cm 2 cik c1n cmn Observaciones 1. El elemento i, k -ésimo de AB es el producto escalar de la i -ésima fila de A y la k -ésima columna de B . 2. Dos matrices A y B se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. De otra manera el producto no estará definido. ÁLGEBRA LINEAL 7 MATRICES Ejemplo Una empresa fabrica en su planta 3 productos A, B y C. Los almacenes principales se encuentran en Quito, Guayaquil, Cuenca y Loja. Las ventas durante el año anterior en Quito se cifraron en 400,100 y 500 unidades de los productos A, B y C en orden; las del almacén de Guayaquil en 300, 150 y 400; las del almacén en Cuenca en 100, 100 y 200; y las del almacén de Loja en 200,150 y 300. Los precios de venta de los productos fueron 25, 50 y 80 USD para los productos A,B y C respectivamente. a) Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4x3. b) Expresar mediante una matriz X de orden 3x1 el precio de cada producto. c) ¿Qué es AX? Solución: a) Las ventas en el año anterior se pueden representar en una matriz A de orden 4x3 de tal forma que en cada fila aparezcan las ventas realizadas por cada uno de los almacenes principales y en cada columna las proporcionadas a cada tipo de producto. Así: 400 300 A 100 200 b) 100 150 100 150 500 400 200 300 Los precios unitarios de cada producto se pueden escribir en X de orden 3x1 en la forma 25 X 50 80 c) Si se consideran las matrices A y X definidas en los apartados a) y b), se tiene que 55.000 47.000 AX 23.500 36.500 AX es una matriz en la que se especifican los ingresos obtenidos en el año anterior por cada uno de los cuatro almacenes principales de la empresa. ÁLGEBRA LINEAL 8 MATRICES Ejemplo Comprobar que las siguientes identidades algebraicas A B 2 A2 2 AB B 2 ( A B )( A B ) A2 B 2 no son ciertas si A y B son matrices cuadradas de orden n , usando las marices 1 1 A 0 2 1 0 B 1 2 ¿Por qué las identidades dadas no son ciertas? Modificar el segundo miembro de ambas identidades de manera que el resultado sea válido para cualesquiera A y B matrices cuadradas. Solución: 2 1 A B 1 4 1 3 A2 0 4 0 1 A B -1 0 1 0 B 2 3 4 0 2 AB 2 4 1 1 BA 1 3 Por lo tanto 3 6 2 7 A2 2 AB B 2 6 15 7 16 A B 2 1 2 0 3 A2 B 2 ( A B)( A B) 4 1 3 0 Las expresiones que se indican en el enunciado para A B y ( A B)( A B) son 2 verdaderas si A y B son escalares, pero no son válidas si A y B son matrices, ya que el producto de matrices no cumple la ley conmutativa a diferencia del producto de escalares. Las identidades algebraicas correctas para cualesquiera A, B M mxn son A B 2 A2 AB BA B 2 ( A B)( A B) A2 AB BA B 2 ÁLGEBRA LINEAL 9 MATRICES y como ordinariamente AB BA AB BA 2 AB AB BA O Por lo que A B 2 A2 2 AB B 2 ( A B)( A B) A2 B 2 Observación No existe ley conmutativa para la multiplicación de matrices. PROPIEDADES TEOREMAS K , A M mxn ,B M nxp 10. (A) B ( AB) 11. ( A ) B ( AB) 12. ( AB) A( B ) A M mxn,B, C M nxp 13. A ( B C ) AB AC A, B M mxn ,C M nxp 14. ( A B)C AC BC A M mxn, , B M nxp , C pxq 15. ( AB) C A ( BC ) DEMOSTRACIONES 10. (A) B (A) B Axioma reflexivo (aij )(b jk ) Notación ( )(aij )(b jk ) Multiplicación escalar por matriz ( AB) Notación ÁLGEBRA LINEAL 10 MATRICES 13. A( B C ) A( B C ) Axioma reflexivo (aij )(b jk c jk ) Notación n aij (b jk c jk ) j 1 n (aij b jk aij c jk ) j 1 n n j 1 j 1 Multiplicación de matrices Propiedad de campo aij b jk aij c jk Propiedad del sumatoria AB AC 15. Notación A( BC ) A( BC ) Axioma reflexivo p (aij ) b jk c kl k 1 Notación n p aij b jk c kl j 1 k 1 Multiplicación de matrices p n aij b jk c kl k 1 j 1 Propiedad del sumatoria n aij b jk (c kl ) j 1 Multiplicación de matrices ( AB) C Notación MATRIZ TRANSPUESTA Sea la matriz A aij mn . La transpuesta de A notada por A t , es la matriz nxm obtenida al intercambiar las filas y las columnas de A , es decir, A t ( a ji ) nm . Ejemplo 1 2 3 A 0 1 5 ÁLGEBRA LINEAL 1 0 At 2 1 3 5 11 MATRICES PROPIEDADES TEOREMAS A, B M mxn , 16. ( A B) t A t B t 17. ( A t ) t A K , A M mxn , 18. (A) t A t A M mxn ,B M nxp 19. ( AB) t B t A t DEMOSTRACIONES 16. 18. 19. ( A B) t ( A B) t Axioma reflexivo (a ij bij ) t Notación (a ji b ji ) Definición de transpuesta At B t Notación (A) t (A) t Axioma reflexivo (aij ) t Notación (a ji ) Definición de transpuesta (a ji ) Definición escalar por matriz A Notación aij a ji , numéricamente b jk bkj ( AB) t (cik ) t n aij b jk j 1 ÁLGEBRA LINEAL t Producto de matrices 12 MATRICES n a ji bkj j 1 Definición de transpuesta n bkj a ji j 1 Propiedad de campo B t At Notación DEFINICIÓN Sea la matriz A M nxn , se define A. A A 2 A. A A An n veces MATRIZ SIMÉTRICA Sea la matriz A aij mn . A es una matriz simétrica si y sólo si A A t Ejemplos 1. 1 2 , A 2 3 1 2 , At 2 3 2. 1 1 2 A 2 2 3 , 1 3 3 1 1 2 A 2 2 3 , A A t A es simétrica. 1 3 3 A A t A es simétrica. t TEOREMA 20 Si A y B son matrices simétricas, A B es matriz simétrica. ÁLGEBRA LINEAL 13 MATRICES DEMOSTRACIÓN A A t (1) Hipótesis B B t (2) Sumando (1) y (2) A B At B t ( A B) t (Teorema 16) MATRIZ ANTISIMÉTRICA Sea la matriz A a ij n . A es antisimétrica si y sólo si A A t . Ejemplo 1 2 1 2 0 0 1 2 0 t Si A 1 0 3 A 1 0 3 1 0 3 A 2 3 0 2 3 2 3 0 0 A es matriz antisimétrica. MATRICES CONMUTABLES Sean las matrices A, B M nxn . A y B son conmutables si y sólo si AB BA. DIAGONAL DE UNA MATRIZ La diagonal está definida para matrices cuadradas y forman parte de esta los elementos aij , tales que, i j . Ejemplo a11 a12 a1n a21 a22 a2n A a m1 am 2 ann ÁLGEBRA LINEAL 14 MATRICES MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Sea la matriz A a ij n . A es matriz triangular superior si y sólo si aij 0, i j . a11 0 A 0 a12 a1n a 22 a 2 n 0 a mn MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Sea la matriz A a ij n . A es matriz triangular inferior si y sólo si aij 0, i j . a11 a A 21 a m1 0 a 22 am2 0 0 a mn MATRIZ DIAGONAL Sea la matriz A aij n . A es matriz diagonal si y sólo si aij 0, i j y aij es escalar, i j . Ejemplos 1. 2 0 A 0 1 2. 1 0 I 0 1 3. 1 0 0 0 3 0 D 0 0 2 ÁLGEBRA LINEAL 15 MATRICES MATRIZ ESCALAR Sea la matriz A a ij n . A es matriz escalar si y sólo si aij 0, i j y aij es constante, i j . 5 0 0 0 5 0 A 0 0 5 MATRIZ IDENTIDAD Sea la matriz I a ij n . I es matriz identidad si y sólo si aij 0, i j y aij 1, i j . Ejemplos 1 0 , I 2 0 1 I 1 1, 1 0 0 I 3 0 1 0 , 0 0 1 1 0 0 0 1 0 In 0 0 1 MATRIZ NILPOTENTE Sea la matriz A a ij n . A es matriz nilpotente de orden k , si k es el menor entero positivo tal que A k O . Ejemplos 1. 0 2 A 0 0 es matriz nilpotente de orden 2, pues, A2 O 2. 0 1 3 B 0 0 2 0 0 0 es matriz nilpotente de orden 3, pues, B3 O ÁLGEBRA LINEAL 16 MATRICES TRAZA DE UNA MATRIZ Sea A M nxn . La traza de A es la suma de los elementos de la diagonal. Así: n Tr ( A) aij . i 1 Ejemplos 1. 2 0 , entonces Tr ( A) 7 Si A 7 5 2. 0 4 1 Si A 2 2 1 , entonces Tr ( A) 5 3 4 6 Propiedades 1. Tr ( A) .Tr ( A) 2. Tr ( A B) Tr ( A) Tr ( B) 3. Tr ( AB) Tr ( BA) TEOREMA 21 x A M m n , I M nxn , tal que A.I A DEMOSTRACION Sean A (aij ) mn I (b jk ) nn , donde b jk 0, j k b jk 1, j k n cik aij b jk j 1 cik ai1b1k ai 2 b2 k aij b jk ain bnk ÁLGEBRA LINEAL 17 MATRICES si k=1 ci1 ai1b11 ai 2 b21 aij b j1 ain bn1 ci1 ai1 si k=2 ci 2 ai1b12 ai 2 b22 aij b j 2 ain bn 2 ci 2 a i 2 si k=j cij ai1b1 j ai 2 b2 j aij b jj ain bnj cik cij aij n cik aij b jk aij j 1 Por lo tanto A.I A TEOREMA 22 A M mxn , I M mxm , tal que. I . A A Corolario Sean las matrices A , I M nxn A.I I . A A MATRIZ INVERTIBLE Sea la matriz A M nxn . A es matriz invertible si y sólo si existe una matriz B M nxn , tal que A.B B. A I . ÁLGEBRA LINEAL 18 MATRICES Notas 1. B es matriz inversa de A , B A 1 , de la definición, AA 1 A 1 A I . 2. B es matriz invertible, A B 1 , de la definición, BB 1 B 1 B I TEOREMA 23 Sea A M nxn , Si A es matriz invertible, entonces su inversa es única. DEMOSTRACION Por contradicción: Se supone que la inversa de A no es única, es decir, existen matrices B1 y B2 , inversas de A , tales que B1 B2 . AB1 B1 A I AB 2 B2 A I ( 2) B1 B1 I (1) (1) (2) ( (3) Reemplazando (2) en (3) B1 B1 ( AB 2 ) B1 ( B1 A) B2 Reemplazando (1) en (4) B1 IB2 B1 B 2 Lo que contradice la suposición. Por lo tanto la inversa de A es única. TEOREMA 24 Sea A M nxn , matriz invertible, entonces A 1 A 1 ÁLGEBRA LINEAL 19 MATRICES DEMOSTRACION AA 1 A 1 A I , ( ( A 1 es matriz invertible, por lo tanto cumple que: A 1 A 1 A 1 A 1 I ,,,,,,,,,, 1 1 Igualando A A 1 1 TEOREMA 25 Sean A, B M nxn , matrices invertibles, entonces AB también es invertible y cumple que: AB 1 B 1 A 1 DEMOSTRACION Si A y B son invertibles existen matrices A1 y B 1 P.D. Existe una matriz D tal que: ( AB ) D D ( AB ) a) ( AB ) B 1 A 1 A( BB 1 ) A 1 A( I ) A 1 AA 1 I b) (1) B 1 A 1 ( AB ) B 1 ( A 1 A) B B 1 ( I ) B B 1 B I (2) Igualando (1) y (2) 1 1 1 1 ( AB) B A B A ( AB) I D D Por lo tanto ( AB ) 1 B 1 A 1 ÁLGEBRA LINEAL 20 MATRICES TEOREMA 26 Sean A1 , A2 ,, An M nxn , matrices invertibles, entonces: A1 . A2 , An 1 An1 A21 . A11 MATRIZ ORTOGONAL Sea la matriz A M nxn . A es ortogonal si y sólo si A t A 1 , es decir, A. At At . A I Ejercicio Comprobar que la matriz dada es ortogonal 1 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 TEOREMA 27 A M mxn , O M nxp , tal que A.O O DEMOSTRACION Sean las matrices A (aij ) mn O (b jk ) np , donde, b jk 0 AO (aij )(b jk ) n aij b jk j 1 n aij .0 j 1 O ÁLGEBRA LINEAL 21 MATRICES TEOREMA 28 A M nxp , O M mxn , tal que, O. A O DEMOSTRACION Se deja como ejercicio. TEOREMA 29 A M mxn , B M nxp , se cumple que Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B DEMOSTRACION A= A1 , A2 , , Ai , , Am B= B1 , B 2 ,, B i , B P Fila i-ésima de AB= Ai B1 , Ai B 2 , Ai B i , , Ai B p = Ai. B =Fila i-ésima de A.B TEOREMA 30 Sea ei la fila i-ésima de I M nxn , entonces: Fila i-ésima de A ei . A DEMOSTRACION Fila i-ésima de I A ei . A I . A A , entonces Fila i-ésima de A ei . A ÁLGEBRA LINEAL (Teorema 29) 22 MATRICES TEOREMA 31 Sean A M mxn , B M nxp Si A tiene fila de ceros, AB también tiene fila de ceros. DEMOSTRACION Ai es la Fila i-ésima de A Ai (aij ) in , donde aij 0 B (b jk ) np Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B (Teorema 29) Ai .B =O.B O1 p Por lo tanto AB tiene fila de ceros. TEOREMA 32 Sea A M nxn Si A tiene fila de ceros, entonces A no es invertible. DEMOSTRACION Por contradicción. Se supone que A es invertible, por lo tanto AA 1 A 1 A I AA 1 tiene fila de ceros I (Teorema 31) tiene fila de ceros Lo que contradice la hipótesis, pues, la matriz identidad no tiene fila de ceros. Por lo tanto: A no es invertible. ÁLGEBRA LINEAL 23 MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES Una operación elemental se representa por e y se la puede aplicar sobre matrices. Existen tres tipos de operaciones elementales: 1. Intercambio de filas o columnas (e I ) Fi F j , C i C j 2. Multiplicación de una fila o columna por un escalar 0 (e II ) Fi Fi , C i C i 3. Sumar una fila o columna multiplicada por un escalar a otra fila o columna (e III ) Fi F j , C i C j , OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS Se expresan por e ' y son aquellas que cumplen que: 1) e I' e I A A 2) e II' e II A A ' 3) e III eIII A A MATRICES ELEMENTALES Una matriz elemental se la representa por E , y se la puede obtener mediante la aplicación de una operación elemental sobre la matriz identidad. TEOREMA 33 e ( A) E. A , siendo e , una operación elemental que se aplica tanto en A como en I . ÁLGEBRA LINEAL 24 MATRICES MATRICES EQUIVALENTES A es equivalente por filas o columnas a B si y sólo si B se obtiene por medio de una aplicación sucesiva e infinita de operaciones elementales sobre A . A B B e K e K 1 e 2 e1 A . TEOREMA 34 Sea A M mxn , A es equivalente a A , es decir, Toda matriz es equivalente a sí misma. DEMOSTRACION B eK eK 1 e2 e1 A (1) eK, B eK 1 e2 e1 A e1, e2, eK, B A (2) Sustituyendo (1) en (2) e1, e2, eK, A A Cambiando la notación A es equivalente a A. Corolario Sean A, B M mxn . Si A es equivalente a B , B es equivalente a A . TEOREMA 35 Sean A, B, C M mxn . Si A es equivalente a B y B es equivalente a C , entonces A es equivalente a C . ÁLGEBRA LINEAL 25 MATRICES DEMOSTRACION Si A es equivalente a B, B eK eK 1 e2 e1 A (1) Si B es equivalente a C, C e J e J 1 e2 e1 B (2) Sustituyendo (1) en (2) C eJ eJ 1 eK eK 1 e2 e1 A Por lo tanto A es equivalente por filas a C . TEOREMA 36 Toda matriz elemental es invertible y su matriz inversa es elemental. DEMOSTRACION E matriz elemental E´ matriz inversa de A I e , eI e e , I e(A)=EA P.D. EE´=E´E=I a) EE´=I eE I e e , I I , EE´=I b) (Teorema 33) (1) E´´E=I e , eI I e´(E)=I EE´=I Igualando (1) y (2) EE´=E´E=I ÁLGEBRA LINEAL (Teorema 33) (2) 26 MATRICES TEOREMA 37 A es equivalente por filas a B si y sólo si B es un producto de matrices elementales por A . DEMOSTRACION a) “Si A es equivalente por filas a B , entonces B es un producto de matrices elementales por A ” Si A es equivalente por filas a B , B eK eK 1 e2 e1 A , B e K e K 1 e2 E1 A , (Teorema 33) B e K e K 1 e3 E 2 E1 A , Por lo tanto: B E K E K 1 E 2 E1 A b) “Si B es un producto de matrices elementales por A , entonces A es equivalente por filas a B ”. Si B es un producto de matrices elementales por A . B E K E K 1 E 2 E1 A B E K E K 1 E 2 ( E1 A) B E K E K 1 E 2 e1 A (Teorema 33) B eK eK 1 e2 e1 A , Por lo tanto: A es equivalente a B. Corolario Sean A, B M mxn . A es equivalente a B si y sólo si B PA , donde P es un producto de matrices elementales por A . ÁLGEBRA LINEAL 27 MATRICES FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ MATRIZ ESCALONADA POR FILAS Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan de izquierda a derecha, fila a fila. Ejemplos 1 2 3 0 1 2 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 2 1 2 0 0 0 2 4 2 1 0 1 3 0 0 5 0 0 3 2 0 0 0 5 1 3 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS Es una matriz escalonada cuyos primeros elementos son iguales a 1, y en sus respectivas columnas son los únicos diferentes de cero. Ejemplos 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 5 3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 0 0 1 2 ÁLGEBRA LINEAL 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 28 MATRICES TEOREMA 38 Sea A M mxn . A es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas. TEOREMA 39 Sea A M mxn . A es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida por filas . TEOREMA 40 Sea A M nxn . A es una matriz escalonada reducida por filas. Si A I , entonces A tiene fila de ceros. DEMOSTRACION “Si A no tiene fila de ceros, entonces A I ” (Contra recíproca) Si A no tiene fila de ceros, An 0 0 0 0 0 1 An 1 0 0 0 0 1 0 A2 0 1 0 0 0 0 A1 1 0 0 0 0 0 , A ( A1 , A2 , , An 1 , An ) A I AA ÁLGEBRA LINEAL 29 MATRICES TEOREMA 41 Sea A M nxn . A es invertible si y sólo si es equivalente por filas a I . DEMOSTRACION a) “Si A es invertible, entonces es equivalente por filas a I” Por Contradicción: Se supone que: A es equivalente por filas a B B I A E K E K 1 E 2 E1 B Si B I B tiene fila de ceros (Teorema 40) E K E K 1 E 2 E1 B tiene fila de ceros (Teorema 31) A tiene fila de ceros A no es invertible (Teorema 32) Lo que contradice la suposición. Por lo tanto: A es equivalente por filas a I . b) “Si A es equivalente por filas a I , entonces A es invertible” Si A es equivalente por filas a I , I es equivalente por filas a A (Corolario, Teorema 34) A E K E K 1 E 2 E1 I , (Teorema 37) A E K E K 1 E 2 E1 , Por lo tanto: A es invertible. Corolario A es invertible si y sólo si es un producto de matrices elementales. ÁLGEBRA LINEAL (Teorema 21) (Teoremas 25, 36) 30 MATRICES TEOREMA 42 Si A es invertible y reducible a la matriz identidad por sucesión de operaciones elementales, al aplicar a I esta sucesión, se obtiene A 1 . DEMOSTRACION Si A es invertible, A es equivalente por filas a I, (Teorema 41) I E K E K 1 E 2 E1 A (1) (Teorema 37) I ( E K E K 1 E 2 E1 ) A IA 1 ( E K E K 1 E 2 E1 ) AA 1 A 1 ( E K E K 1 E 2 E1 ) I A 1 e K e K 1 e2 e1 I I eK eK 1 e2 e1 A (2) ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A 1 Sea la matriz de bloques ( A ׀B ) Al aplicar operaciones elementales eK eK 1 e2 e1 A I , es decir, e K e K 1 e2 e1 A ׀e K e K 1 e2 e1 I ( I ׀A 1 ). Ejemplo 1 3 Hallar la inversa de la matriz A 2 2 1 3 2 2 1 0 1 3 0 1 0 8 1 0 1 3 2 1 0 1 1 2 5 A1 2 2 1 ÁLGEBRA LINEAL 1 0 1 0 2 1 8 8 0 1 2 8 2 8 85 1 8 31 MATRICES PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sean las matrices: 1 2 3 A 2 1 0 1 0 B 2 1 3 2 1 2 D 2 5 0 2 1 E 1 2 3 4 3 1 1 3 1 C 1 1 1 0 1 2 Calcular: a) C+E, AB, BA, 2C-3E, CB+D, AB+D 2 , 3(2A), 6A ÁLGEBRA LINEAL 32 MATRICES b) A(BD), (AB)D, A(C+E), AC+AE, 3A+2A, 5A ÁLGEBRA LINEAL 33 MATRICES c) A t , A t , (AB) t , B t A t , (C+E) t , A(2B), 2(AB) ÁLGEBRA LINEAL t 34 MATRICES 2. x 0 . Hallar A2 , A3 , A4 Sea A z y 3. 1 0 . Determinar A tal Sean las matrices A del problema anterior y B 26 27 que A3 B . ÁLGEBRA LINEAL 35 MATRICES 4. 1 2 3 Comprobar que A 0 1 2 es raíz de F ( X ) X 3 4 X 2 5 X 2 I . 0 0 2 5. Las matrices A y B son conmutables si AB BA . Hallar todas las matrices A a b 1 1 y B . conmutables con B si A c d 0 1 ÁLGEBRA LINEAL 36 MATRICES 6. 1 2 0 1 0 0 Sean las matrices A 2 1 3 e I 3 0 1 0 . Si R , calcular 0 0 0 1 3 1 I 3 A 7. Calcular AB 1 1 1 2 0 3 A 5 1 3 1 2 1 ÁLGEBRA LINEAL 2 3 1 5 2 1 4 3 2 0 1 4 6 3 5 0 3 4 1 2 B 1 0 3 2 3 0 1 3 2 5 4 2 1 3 0 0 4 6 1 1 3 0 1 37 MATRICES 8. Dadas las matrices 1 x 3 A x 1 2 1 1 B 0 1 2 x 3 1 1 0 3 1 1 2 C x 1 a) Encontrar el valor de x tal qué Tr AB t C 0 . b) Calcular el rango (número de filas no nulas de la matriz escalonada equivalente) de CA sí x 0 . 9. 3 1 0 x Escribir una matriz simétrica A M 3 , A aij tal que aij i 1 j 1 , si i i j ÁLGEBRA LINEAL j 38 MATRICES 10. Reducir las siguientes matrices a su forma escalonada y luego a su forma escalonada reducida por filas a) 1 1 2 0 b) 0 1 0 1 0 2 0 0 ÁLGEBRA LINEAL 2 3 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 3 0 3 0 39 MATRICES c) 11. 1 0 1 3 1 2 3 0 2 1 0 1 Determinar la matriz inversa de a) 1 2 1 3 b) 4 3 3 1 ÁLGEBRA LINEAL 40 MATRICES c) 0 0 1 2 2 0 3 3 3 d) 2 2 1 0 1 3 0 2 1 e) 2 1 3 1 0 4 1 1 2 ÁLGEBRA LINEAL 41 MATRICES 12. Dadas las matrices 1 1 1 1 0 0 P 2 0 1 y J 0 1 1 . Hallar 1 1 0 0 0 1 a) P 1 y J n . b) A tal que A PJP 1 . c) An PJ n P 1 . Verificar que A0 I y A1 A . ÁLGEBRA LINEAL 42 MATRICES 13 cos Sea la matriz A sen sen . Hallar A n cos Deducir la ley y demostrar por inducción. 14. x Sea la matriz A 0 ÁLGEBRA LINEAL y . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio. x 43 MATRICES 15. x 1 0 Sea la matriz A 0 x 1 . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio. 0 0 x 16. Si K nn es una matriz diagonal cuyos elementos, sobre la diagonal, son todos iguales a k, demostrar que K nn Ann kAnn . 17. Demostrar que la suma de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior. ÁLGEBRA LINEAL 44 MATRICES 18. Si A es una matriz simétrica probar que A t y A 2 19. Sea A una matriz cuadrada sobre un campo K, , K , y B . A .I (I es son simétricas. la matriz identidad del mismo orden que A . Demostrar que A y B conmutan con el producto usual de matrices. ÁLGEBRA LINEAL 45 MATRICES 20 Dadas la matrices 1 2 0 A 1 1 4 0 1 0 B 3 1 0 2 1 C 3 2 Determinar la matriz X indicando su número de filas y columnas que cumple: a) 2A X B b) At 2 X C c) CX AB t BB t ÁLGEBRA LINEAL 46 MATRICES 21. Una matriz A es idempotente si y sólo si A2 A . Dadas las matrices identidad de orden n , esto es, I n y la matriz B M n , se define A I n B B t B 1 Bt . Demostrar que A es una matriz idempotente. 22. Una matriz A es idempotente si y sólo si A2 A . Probar que si A es idempotente, entonces B I A es idempotente y además AB BA O . ÁLGEBRA LINEAL 47 MATRICES 23. Probar que si A satisface A2 A I O , existe una matriz inversa de A . 24. Demostrar que toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. ÁLGEBRA LINEAL 48 MATRICES mn se cumple que .A O 0 A O . 25. Demostrar que R, A aij 26. Considerando Amn X n1 Om1 y Amn X n1 Bm1 , sistemas definidos sobre los reales, demostrar que: a) Si H es solución de AX O , R , H es solución de AX O . b) Si H y K son soluciones de AX O , H K es solución de AX O . c) Si H y K son soluciones de AX B , H K es solución de AX O . ÁLGEBRA LINEAL 49 DETERMINANTES Capítulo 2 DETERMINANTES DEFINICIÓN El determinante es una función que establece una correspondencia entre el conjunto de matrices cuadradas y el campo real o complejo. Asi: f : M nxn K A f (A) det(A) NOTACIÓN Sea A (aij ) n , el determinante de A se nota así: A det( A) O también a11 a A 21 a n1 a12 a 22 a1n a2n a n 2 a nn DEFINICIÓN Sea A M 2x 2 a Si A 11 a 21 a12 , entonces a 22 det( A) a11 a 22 a 21 a12 ÁLGEBRA LINEAL 50 DETERMINANTES DEFINICIÓN Sea A M 3x 3 a11 Si A a 21 a 31 a32 a13 a 23 , entonces a33 a 22 a32 a 23 a a12 21 a33 a31 a12 a 22 det( A) a11 a 23 a a13 21 a33 a31 a 22 a32 DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES MENOR Sea la matriz A (aij ) n y M ij la submatriz de A de orden (n 1) , obtenida por eliminación de la i-ésima fila y la j-ésima columna de A . El determinante M ij se denomina menor de aij . COFACTOR Sea la matriz A (aij ) n . El cofactor Aij del elemento aij se define como: Aij (1) i j M ij TEOREMA DE LA EXPANSIÓN DE LAPLACE Sea A (aij ) n . n det( A) (1) i j aij M ij , ó j 1 n det( A) aij Aij j 1 ÁLGEBRA LINEAL 51 DETERMINANTES PROPIEDADES TEOREMAS Sea A (aij ) n . 1. Si A tiene fila o columna de ceros, el det( A) 0 . 2. Si la i-ésima fila de A o la j-ésima columna de A, se multiplica por (escalar) y se obtiene una matriz B, det( B) det( A) . 3. K , det(A) n det( A) . 4. Si las matrices A, B, C , son idénticas, excepto en la j-ésima columna (fila) tal que la j-ésima columna (fila) de C es la suma de las j-ésimas columnas (filas) de A y B , det(C ) det( A) det( B) 5. Si se intercambian dos filas (columnas ) de A , para obtener la matriz B , det( B) det( A) . 6. Si la matriz A tiene dos filas (columnas) iguales, det( A) 0 . 7. Si una fila (columna) de A es un múltiplo de una fila (columna) de A , det( A) 0 . 8. Si un múltiplo de una fila (columna) de A , se suma a otra fila (columna) de A , el determinante no se altera. 9. det( A) det( A t ) . 10. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal. DEMOSTRACIONES 1. Sea A una matriz con una fila de ceros n A aij Aij , j 1 Sea i la fila de ceros n A 0.Aij 0 j 1 ÁLGEBRA LINEAL 52 DETERMINANTES n 2. det( B) bij Bij j 1 n det( B) aij Bij j 1 n det( B) aij Aij j 1 det( B) det( A) 3. , det(A) n det( A) Por inducción i) n 1 A1 ( a11 ) det(A1 ) 1. det( A1 ) ii) det(AK ) K det( AK ) P.D. det(AK 1 ) K 1 det( AK 1 ) n det(AK 1 ) (1) i j aij Aij j 1 K n det(AK 1 ) (1) i j K aij Aij j 1 n det(AK 1 ) K 1 (1)i j aij Aij j 1 det(AK 1 ) K 1 det( AK 1 ) 4. P.D. det( A1 , , Ai , , An ) det( A1 , , Bi , , An ) det( A1 , , Ai Bi , , An ) n det( A1 , , Ai Bi , , An ) (1) i j (aij bij ) Aij según la i-ésima fila j 1 n n j 1 j 1 (1)i j aij Aij (1)i j bij Aij det( A1 , , Ai , , An ) det( A1 , , Bi , , An ) ÁLGEBRA LINEAL 53 DETERMINANTES 5 Sean a11 a A i1 a11,1 a n1 P.D. a1n ain ai 1,n a nn a11 a B i 1,1 ai ,1 a n1 a1n ai 1,n ai ,n ann det( A) det( B) n det( A) aij Aij j 1 n det( B) bi 1, j Bi 1, j j 1 (1) i 1 j aij N ( i 1) (1)(1) i j aij N ( i 1) n a j 1 ij Aij det(A) 6. Sea a11 a A i1 a11,1 a n1 a1n ain ai 1,n a nn tal que las filas i,i+1 son iguales Al intercambiar las filas i,i+1: det( A) det( B) det( A) det( A) Ordenando la igualdad ÁLGEBRA LINEAL (Teorema 8) 54 DETERMINANTES 2 det( A) 0 det( A) 0 7. Sea a11 a B i1 a11,1 a n1 ain ai 1, n ann a1n det( B) det( A) Pero, det( A) 0 , Por lo tanto det( B) 0 8. Sea a11 a A i1 a11,1 a n1 a1n ain ai 1,n a nn Se obtiene B al sumar: fila i+1 + .fila i a11 ai1 B ai1 a11,1 a n1 Al aplicar el Teorema 7 ÁLGEBRA LINEAL ain ain ai 1,n a nn a1n 55 DETERMINANTES a11 a1n a11 det( B) a1n ain ain ai1 ain ai1 + ai1 ai 1,1 ai 1,n a n1 a nn a n1 a nn det(A) 0 det(B) det( A) 9. Se demuestra por inducción i) Si n 2 a A 11 a 21 a12 , a 22 a A t 11 a12 a 21 a 22 det( A) a11 a 22 a 21 a 22 (1) det( A t ) a11 a 22 a 21 a 22 (2) Igualando (1) y (2) det( A) det( A t ) ii) Si n k det( AK ) det( AKt ) si n k 1 det( AK 1 ) det( AKt 1 ) Sean A a ij K 1 B bij K 1 bij a ji Desarrollando B según la fila 1: n B (1)1 j b1 j B1 j j 1 K (1) Desarrollando A de acuerdo a la columna 1: K 1 A (1) j 1 a j1 Ai1 j 1 ÁLGEBRA LINEAL K (2) 56 DETERMINANTES Pero, a j1 b1 j , es decir, B1 j A j1 t B1 j A j1 t B1 j A j1 De (1) n B (1)1 j a j1 A j1 j 1 K B A det( AK 1 ) det( AKt 1 ) , det( A) det( A t ) 10. Se demuestra por inducción i) Si n 2 a A 11 0 a12 , a 22 A a11 a 22 2 A aii i 1 ii) Si n k K AK aii Hipótesis inductiva i 1 AK 1 K 1 aii Tesis inductiva i 1 K 1 AK 1 (1) K 1 j a K 1, j AK 1, j según la fila K 1 j 1 0 ( 1) K 11 a K 1,1 AK 1,1 (1) K 11 a K 1, K 1 AK 1, K 1 K (1)2 K 2 aK 1, K 1 aii i 1 ÁLGEBRA LINEAL K K 0 0 57 DETERMINANTES K aK 1, K 1 aii i 1 K aii i 1 DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES 1. E1 es una matriz elemental tipo I obtenida por intercambio de filas o columnas, entonces: E1 I 1 . 2. E 2 es una matriz elemental tipo II obtenida al multiplicar la i-ésima fila o columna por (escalar), entonces: E 2 I . 3. E 3 es una matriz elemental tipo III obtenida al sumar veces la fila o columna j a la fila o columna i, entonces: E 3 I 1 . Observación E 0 . TEOREMA 11 Si E es una matriz elemental, entonces: EA E A , y AE A E DEMOSTRACION a) Intercambio de dos filas o columnas E 1 EA se obtiene intercambiando dos filas o columnas de A EA A (1) A Por lo tanto: EA E A b) Se multiplica una fila o columna por (escalar) E I ÁLGEBRA LINEAL 58 DETERMINANTES EA A EA E A c) Se reemplaza una fila o columna por la suma de una de ellas multiplicada por E 1 EA A 1 A EA E A De manera semejante se demuestra que AE A E Corolario Si A y B son equivalentes: B E K E K 1 E 2 E1 A TEOREMA 12 Sea A M nxn A es invertible si y sólo si A 0 DEMOSTRACION 1. “Si A es invertible, entonces A 0 " Si A es invertible, A es producto de matrices elementales, A E K E K 1 E 2 E1 A E K E K 1 E 2 E1 A 0 , puesto que E 0 2. “Si A 0 , entonces A es invertible”. Se demuestra la contrarrecíproca: Si A no es invertible, entonces A 0 Si A no es invertible, A es equivalente a una matriz B que tiene fila de ceros, ÁLGEBRA LINEAL (M, Teorema 41) (Teorema 11) 59 DETERMINANTES A E K E K 1 E 2 E1 B es matriz con fila de ceros A E K E K 1 E 2 E1 B (M, Teorema 31) (Teorema 11) A 0 TEOREMA 13 Sean las matrices A, B M nxn AB A B DEMOSTRACION 1. A es invertible Si A es invertible A E K E K 1 E 2 E1 (1) A E K E K 1 E 2 E1 (2) AB E K E K 1 E 2 E1 B A B E K E K 1 E 2 E1 B (3) Sustituyendo (2) en (3) AB A B 2. A no es invertible Si A no es invertible A 0 AB no es invertible AB 0 AB 0. B Por lo tanto: AB A B ÁLGEBRA LINEAL (Teorema (12) (M, Teoremas 31,32) 60 DETERMINANTES INVERSA DE UNA MATRIZ TEOREMA 14 Sea A M nxn ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 , si i k DEMOSTRACION Sea B es la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima fila de A por la i-ésima fila de A , así: a11 a i1 A a k1 a n1 a12 a12 ak 2 an2 a1n a an a kn a nn a11 a i1 B a i1 an1 a12 a12 ai 2 an 2 a1n aan ain ann B es una matriz con dos filas iguales, es decir, B 0 Desarrollando B según la k-ésima fila de B por menores y cofactores: ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 DEFINICIÓN Sea A M nxn , se define como matriz adjunta de A a la transpuesta de la matriz de los cofactores de los elementos aij . Ejemplo 2 1 A 1 3 ÁLGEBRA LINEAL 3 1 Cof (A) 1 2 3 1 adjA 1 2 61 DETERMINANTES TEOREMA 15 Sea A M nxn adjA. A A.adjA A I DEMOSTRACION a11 a 21 A.adjA a11 a n1 a12 a 22 ai 2 an2 a1n a2n ain a nn A11 A12 A 12 A21 A22 Ak1 Ak 2 A2 n Akn Ani An 2 Ann El elemento i, k -ésimo de la matriz A .adj A es: a i1 Ak 1 a i 2 Ak 2 a in Akn A , si i k ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 , si i k (Teorema 14) es decir, A.adjA A 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 A adjA. A A.adjA A I Corolario Sea A M nxn y A 0 , entonces A 1 ÁLGEBRA LINEAL 1 .adjA A 62 DETERMINANTES Ejemplo Dada la matriz 1 2 4 A 3 8 2 2 0 4 a) Calcular A . b) Hallar la matriz Adj (A) . c) Comprobar que A. Adj ( A) Adj ( A). A A .I d) Calcular A1 . Solución: 1 2 a) A 3 8 2 2 2 0 b) c) 4 4 8 0 3 Adj ( A) 2 3 2 2 4 2 4 8 0 2 4 8 2 4 1 2 3 8 2 4 2 0 4 1 4 8 1 3 1 2 4 1 2 2 0 3 2(36) 4(2) 64 4 2 32 8 36 4 16 4 14 2 16 4 2 2 8 0 0 1 2 4 32 8 36 64 A. Adj ( A) 3 8 2 16 4 14 0 64 0 2 0 4 16 4 2 0 0 64 0 0 32 8 36 1 2 4 64 Adj ( A). A 16 4 14 3 8 2 0 64 0 16 4 2 2 0 4 0 0 64 d) 32 8 36 1 1 A Adj ( A) 16 4 14 A 64 2 16 4 1 9 / 16 1/ 2 1/ 8 A 1/ 4 1 / 16 7 / 32 1 / 4 1 / 16 1 / 32 1 ÁLGEBRA LINEAL 63 DETERMINANTES PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Encontrar el valor de los siguientes determinantes 1 1 a) 0 1 2 3 2 1 1 1 2 1 b) 1 1 0 0 3 1 1 2i 0 c) 1 0 2 1 i 3 0 ÁLGEBRA LINEAL 1 64 DETERMINANTES d) 1 4 2 3 2 3 1 4 e) 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a f) 2 1 1 1 0 9 9 9 ÁLGEBRA LINEAL 3 2 4 1 1 8 8 9 4 1 3 2 x 4 , donde x es el último dígito del año actual. 7 0 65 DETERMINANTES 2. Determinar el valor de 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 a) 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 b) 1 2 3 3 3 3 1 2 3 4 4 4 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 6 ÁLGEBRA LINEAL 66 DETERMINANTES c) a b c 1 b c a 1 c a b 1 1 1 1 1 i) abc 0 ii) abc 3 ÁLGEBRA LINEAL 67 DETERMINANTES d) 1 a1 a2 a3 a1 1 a2 a3 a1 a2 1 a3 a1 a2 a3 y2 y y3 1 an e) x2 x x3 f) sen 2 A cos 2 A cos 2 A sen 2 B cos 2 B cos 2 B sen 2 C cos 2 C cos 2C ÁLGEBRA LINEAL an an an z2 z z3 68 DETERMINANTES 3 7i 0 4 1 7 2 3i 8 1 0 5 2 8 0 6 6 1 2 6 0 g) 1 10i 8 3 3i 3. 0 1 Demostrar que: 0 a a a a 0 a a a a 0 a a a 3 a 4 a 0 ÁLGEBRA LINEAL 69 DETERMINANTES 4. Demostrar que el determinante nxn a b b b b b a b b b b b a b b a b b b b a b b b b b a 5. Hallar el valor de a1 b1 a2 b1 an b1 a1 b2 a1 bn a2 b2 a2 bn an b2 an bn ÁLGEBRA LINEAL n 1 a (n 1)b 70 DETERMINANTES 6. a) Demostrar que: b 2 ac bc c2 A ab ac bc 4a 2b 2 c 2 a2 ab b 2 ac b c 0 Verificar primero que: A a 0 c 0 a b b) Hallar el valor del determinante b2 c2 ab ca ÁLGEBRA LINEAL ab c a2 bc 2 ca bc 2 a b2 2 71 DETERMINANTES 7. Demostrar que 1 0 1 0 8. 0 a 1 b 0 c 1 d a2 b2 a c b d a b c d c2 d2 ¿Para qué valores a, b R , el siguiente determinante es diferente de cero? a2 ab ab b2 ab a2 b2 ab ab b2 a2 ab ÁLGEBRA LINEAL b2 ab ab a2 72 DETERMINANTES 9. Probar que b c 2 10. b2 a2 a c 2 a2 b2 c2 c2 a b 2 2abca b c 3 Demostrar que 1 a1 2 a1 3 a1 1 a2 2 a2 3 a2 1 a3 2 a3 3 a3 1 a4 2 a1 a 2 a1 a3 a1 a 4 a 2 a3 a 2 a 4 a3 a 4 a4 3 a4 ¿Cuál es la generalización de este resultado a determinantes de orden n ? ÁLGEBRA LINEAL 73 DETERMINANTES 11. Aplicaciones a la Geometría Analítica a) Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la ecuación de la parábola y Ax 2 Bx C que pasa por los puntos P1 , P2 , P3 puede escribirse de la forma: y y1 y2 y3 1 x 1 x1 1 x2 1 x3 x2 x12 =0 x 22 x32 Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: (1,5), (2,6), (2,2). ÁLGEBRA LINEAL 74 DETERMINANTES b) Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la ecuación del círculo que pasa por los puntos P1 , P2 , P3 , puede escribirse: x2 x12 x 22 x32 y2 y12 y 22 y 32 x x1 x2 x3 y y1 y2 y3 1 1 0 1 1 Hallar la ecuación del círculo que pasa por los puntos: (1,5), (2,6), (2,2). ÁLGEBRA LINEAL 75 DETERMINANTES c) Si se conoce que: L1 : a11 x a12 y a13 0, L2 : a21 x a22 y a23 0, L3 : a31 x a32 y a33 0, son tres rectas no paralelas, el área determinada por L1 , L2 , L3 es igual al valor absoluto de: A11 1 A21 A13 A23 A33 A31 A12 A13 A22 A23 A32 A33 Donde Aij es el cofactor de aij en A: a11 a12 a13 A a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 Hallar la superficie del triángulo cuyos lados son las rectas: 5 x 7 y 27 0, 9 x 2 y 15 0, 4 x 5 y 11 0. ÁLGEBRA LINEAL 76 DETERMINANTES d) El volumen de tetraedro determinado en el espacio por los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), P3 ( x3 , y 3 , z 3 ), P4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) , está dado por el valor absoluto de x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4 1 D , siendo D el determinante de: 6 1 1 1 1 (1,2,5), (0,4,6), (1,2,6), (0,3,0) . ÁLGEBRA LINEAL 77 DETERMINANTES 12. Sea 1 2 a A 1 a 1 0 1 a a) Determinar los valores de a para que para que A sea invertible. b) Hallar la inversa de A cuando existe. ÁLGEBRA LINEAL 78 DETERMINANTES 13. Sea 1 1 1 A 1 3 3 2 a) Determinar el valor de para que A sea invertible. b) Calcular A1 con el valor de para el cual A 2 . ÁLGEBRA LINEAL 79 DETERMINANTES 14. Sea 1 3 A 2 3 3 1 2 a) Determinar los valores de para que para que A sea invertible. b) Hallar la inversa de A cuando existe. ÁLGEBRA LINEAL 80 DETERMINANTES 15. Dada la matriz 1 a a 2 A 1 b b 2 1 c c 2 a) Hallar A . b) Encontrar Adj(A) . c) Calcular A1 . ÁLGEBRA LINEAL 81 SISTEMAS DE ECUACIONES Capítulo 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN Ecuación lineal, es una expresión del tipo: a1 x1 a 2 x 2 a n x n b (1) donde x1 = variable x2 , x3 , xn , = variables libres a i = coeficientes de las variables b = término constante a, b K xi K El conjunto solución de la expresión (1) es: CS t1 , t 2 , , t n : ti K Se consideran los siguientes casos: I. Si a1 0 x1 a b a2 x2 n xn a1 a1 a1 se puede obtener x1 dependiendo de los valores x 2 , x3 , , x n II. Si a1 a2 an 0 b 0 Reemplazando en (1) 0 x1 0 x 2 0 x n b 0b Para ningún valor se verifica la igualdad anterior. La ecuación (1) es inconsistente, por lo tanto, no tiene solución, o se dice que CS Ø ÁLGEBRA LINEAL 82 SISTEMAS DE ECUACIONES III. Si a1 a2 an 0 b 0 De (1) 0 x1 0 x 2 0 x n 0 00 Se obtiene una identidad La ecuación (1) se cumple para todos los valores de xi . DEFINICIÓN Los sistemas de ecuaciones lineales son expresiones del tipo: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm (1) El sistema (1) es de m ecuaciones y n variables (m.n) . Observaciones 1. Si bi 0 , (1) se llama sistema no homogéneo. 2. Si bi 0 , (1) se llama sistema homogéneo. 3. Resolver el sistema (1) es hallar las n -úplas ordenadas que al reemplazar en el mismo dan identidades, es decir, satisfacen el sistema. 4. Si una de las ecuaciones de (1) es del tipo 0 x1 0 x 2 0 x n b , el sistema es inconsistente, es decir, no tiene solución, o no existen n -úplas ordenadas que satisfacen el sistema (Teorema de Rouché-Fröbenius). 5. Si en una de las ecuaciones los coeficientes y el término constante son iguales a cero, se tiene un sistema de m 1 ecuaciones con n incógnitas. En el siguiente cuadro se presenta un resumen de los diferentes tipos de sistemas, así: ÁLGEBRA LINEAL 83 SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES INCONSISTENTE CONSISTENTE NO HOMOGÉNEO Solución única no-trivial Infinitas soluciones HOMOGÉNEO Solución Infinitas única soluciones trivial + trivial SISTEMAS EQUIVALENTES Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones. Para obtener un sistema equivalente de uno dado, se pueden realizar las siguientes operaciones: 1. Intercambiar ecuaciones ( Ei E j ) . 2. Multiplicar por un escalar diferente de cero a una de las ecuaciones ( Ei Ei ) . 3. Reemplazar una ecuación por la suma de otra ecuación multiplicada por un escalar ( Ei Ei E j ) . SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Las operaciones definidas sobre matrices y sobre ecuaciones son idénticas, por lo tanto, es posible trabajar sobre un sistema representado en forma matricial. En este apartado se describirán métodos para hallar todas las soluciones (si las hay) de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. ÁLGEBRA LINEAL 84 SISTEMAS DE ECUACIONES Del sistema (1), a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2 n x2 b2 a m1 am 2 amn xn bm A X B AX B Es la ecuación matricial del sistema (1). a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a m1 am 2 amn b1 b2 bm (2) La matriz (2) es la matriz ampliada ( A B ) correspondiente al sistema (1). Observaciones 1. A todo sistema AX B le corresponde la matriz ampliada (2). 2. De toda matriz ampliada (2) se puede escribir el sistema AX B correspondiente. 3. Si la matriz ampliada ( A B ) es equivalente a la matriz ampliada ( C D ), los sistemas AX B y CX D son equivalentes. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Para resolver sistemas de ecuaciones se utilizarán los métodos de Gauss (o de la triangulación), Gauss-Jordan y Cramer, los mismos que se detallan a continuación. ÁLGEBRA LINEAL 85 SISTEMAS DE ECUACIONES MÉTODO DE GAUSS Consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada equivalente por filas a la matriz correspondiente al sistema original, se escribe el sistema equivalente conforme a la matriz escalonada y se resuelve el sistema así obtenido. Si la matriz A tiene fila de ceros y la matriz ( A B ) no tiene fila de ceros, el sistema es inconsistente. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada reducida por filas equivalente por filas a la matriz correspondiente al sistema original, se escribe el sistema equivalente ajustado a la matriz escalonada reducida por filas y se resuelve el sistema así obtenido. MÉTODO DE CRAMER Este método sirve para resolver sistemas que tienen el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. TEOREMA DE CRAMER Sea un sistema de ecuaciones nxn donde: A es matriz de los coeficientes xi es la fila i-ésima de X (matriz de las variables) Ai es la matriz que tiene los mismos elementos de A , excepto los de la i-ésima columna, en la que constan los términos independientes. Si A 0 , entonces xi DEMOSTRACIÓN Se expresa el sistema en forma matricial. AX B De acuerdo a la hipótesis: A 0 ÁLGEBRA LINEAL Ai A 86 SISTEMAS DE ECUACIONES A es invertible y existe A 1 A( A 1 X ) A 1 B X A 1 B X adjA.B A A11 A12 adjA A 12 Ak1 Ani Ak 2 An 2 Akn Ann A21 A22 A2 n siendo a11 a 21 A. a11 a n1 a12 a 22 ai 2 an2 a1n a2n ain a nn Considerando la fila i-ésima de X xi Fi (adjA.B) A Fi (adjA.B ) c1i b1 c 2i b2 c ni bn (1) Se calcula Ai a11 a Ai 21 an1 ÁLGEBRA LINEAL a12 b1 a22 b2 an 2 bn a1n a2 n ann 87 SISTEMAS DE ECUACIONES Desarrollando por cofactores de acuerdo a la i-ésima columna: Ai b1ci1 b2 ci 2 bn cin (2) Igualando (1) y (2) xi Fi (adjA.B) Ai A A Síntesis Si A M n con A 0 , entonces AX B tiene como solución única: b1 1 b2 x1 A bn a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a11 b1 a1n a2 n 1 a21 b2 x2 A an1 bn ann a11 1 a21 xn A an1 a12 b1 a22 b2 an 2 bn x Observación Este método es válido únicamente si el sistema es n n . Ejemplo Resolver usando el método de Cramer x1 x 2 x3 2 2 x1 x 2 2 x3 1 3x x x 0 2 3 1 ÁLGEBRA LINEAL 88 SISTEMAS DE ECUACIONES Solución: 1 1 A 2 1 2 12 0 el sistema es de Cramer 1 1 3 x1 1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 x2 x3 3 0 1 12 1 1 2 2 1 1 1 0 3 12 5 3 1 6 1 5 1 CS , , 2 3 6 Resumen En ciencia y tecnología existe una gran variedad de situaciones que pueden expresarse en términos matemáticos mediante sistemas de ecuaciones lineales, o bien acercarse a un sistema de este tipo, de ahí el interés de su estudio. Una vez que se ha planteado un sistema lineal de ecuaciones, se delinean tres cuestiones importantes. La primera de ellas es conocer si tiene o no solución, la segunda es la unicidad de la misma y, por último, el cálculo de la solución cuando existe. A las dos primeras cuestiones da respuesta el teorema de Rouché-Fröbenius, tal como se ilustra en este capítulo. En este punto del estudio es importante tomar en cuenta también las propiedades que presentan los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales homogéneos y no homogéneos. La cuestión referente al cálculo de las soluciones tiene múltiples respuestas, ya que existen diversos métodos para determinarlas. Entre ellos, cabe destacar el método de triangulación de Gauss y la regla de Cramer. ÁLGEBRA LINEAL 89 SISTEMAS DE ECUACIONES PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Resolver a) 2 x1 x2 3 x3 5 3 x1 2 x2 2 x3 6 5 x1 3 x2 x3 16 b) 2 x1 3 x2 2 x3 5 x1 2 x2 3 x3 2 4 x1 x2 4 x3 1 c) 1 x1 ax2 x2 x3 2 x x x 2 2 3 1 Usar el método de Cramer ÁLGEBRA LINEAL 90 SISTEMAS DE ECUACIONES d) 1 i x1 2 i x2 5 2 2i x1 ix2 1 2i Usar el método de Cramer e) x1 2 x2 3 x3 2 x4 2 2 x1 5 x2 8 x3 6 x4 5 3 x 4 x 5 x 2 x 4 2 3 4 1 f) x1 2 x2 2 x3 2 3 x 2 x x 5 1 2 3 2 x1 5 x2 3 x3 4 x1 4 x2 6 x3 0 ÁLGEBRA LINEAL 91 SISTEMAS DE ECUACIONES g) 2. x1 5 x2 4 x3 13 x4 3 3 x1 x2 2 x3 6 x4 2 2 x 2 x 3 x 4 x 1 2 3 4 1 Determinar los valores de k tales que el sistema con las incógnitas x1 , x2 , x3 tenga i) Solución única, ii) Infinitas soluciones, iii) No tenga solución. a) kx1 x2 x3 1 x1 kx2 x3 1 x x kx 1 3 1 2 ÁLGEBRA LINEAL 92 SISTEMAS DE ECUACIONES b) x1 x2 kx3 2 3 x1 4 x2 2 x3 k 2 x 3 x x 1 2 3 1 c) 3 x3 3 x1 2 x1 kx2 x3 2 x 2 x kx 1 2 3 1 ÁLGEBRA LINEAL 93 SISTEMAS DE ECUACIONES 3. Determinar los valores de para que el sistema x2 x3 1 ( 1) x1 2 x1 ( 1) x2 2 x3 2 3 x1 2 x2 ( 1) x3 a) Tenga solución única. Hallarla b) Tenga más de una solución. Hallarlas c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 94 SISTEMAS DE ECUACIONES 4. Determinar los valores de para que el siguiente sistema: x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 a) Tenga solución única. Hallarla. b) Tenga más de una solución. Hallarlas. c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 95 SISTEMAS DE ECUACIONES 5. Determinar los valores de a y b para que el siguiente sistema: x2 x3 1 x1 2 x1 (3 a ) x2 (2 a ) x3 1 3 x 3 x2 (4 2a ) x3 3 b 1 a) Tenga solución única. Hallarla. b) Tenga más de una solución. Hallarlas. c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 96 SISTEMAS DE ECUACIONES 6. Determinar los valores de a y b para que el siguiente sistema: x1 x2 x3 3 x1 x2 x3 1 2 x ax3 b 1 a) Tenga solución única. Hallarla b) Tenga más de una solución. Hallarlas. c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 97 SISTEMAS DE ECUACIONES 7. Determinar los valores m para que el siguiente sistema: (2m 2) x1 (m 1) x2 (m 3) x3 2m 2 (m 1) x2 (m 1) x3 0 mx1 x2 x3 m 1 a) Tenga solución única. Hallarla b) Tenga más de una solución. Hallarlas c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 98 SISTEMAS DE ECUACIONES 8. Determinar los valores m para que el siguiente sistema x2 x3 m 1 (m 2) x1 mx1 (m 1) x2 x3 m 1 (m 1) x (m 1) x3 m 1 1 a) Tenga solución única. Hallarla b) Tenga más de una solución. Hallarlas c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 99 SISTEMAS DE ECUACIONES 9. Determinar los valores de a para que el sistema 2a 2x1 a 1x2 a 3x3 2 a 1x2 a 1x3 0 2 x1 x2 x3 1 a) Tenga solución única. Hallarla b) Tenga más de una solución. Hallarlas c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 100 SISTEMAS DE ECUACIONES 10. Determinar los valores a , b , c y k para que el sistema x1 x2 x3 1 ax1 bx2 c x3 k 2 2 2 2 a x1 b x2 c x3 k a) Tenga solución única. Hallarla b) Tenga más de una solución. Hallarlas c) No tenga solución. ÁLGEBRA LINEAL 101 ESPACIOS VECTORIALES Capítulo 4 ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN Sean V un conjunto no vacío, K un campo, (+) una ley de composición interna sobre V , llamada adición, ( ) una ley de composición externa, que relaciona V y K , llamada producto, entonces se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el campo K , notada por V , K , , si cumple las siguientes propiedades: 1. (V, +) es un grupo conmutativo i) u, v V | u v V Axioma de clausura ii) u, v, w V | (u v) w u (v w) Axioma de asociatividad iii) !e V , u V | e u u e u e 0 v Axioma del neutro aditivo iv) u V , ! u , V | u u , u , u e Axioma del inverso aditivo v) u, v V | u v v u Axioma de conmutatividad 2. K , u V | u V Axioma de clausura 3. , K , u V | ( )u ( u ) Ley asociativa mixta 4. !e K , u V | eu u (e 1) Axioma del neutro 5. , K , u V | (a )u u u Primera ley de distribución 6. K , u, v V | (u v) u v Segunda ley de distribución EJEMPLOS 1. R , R,, es el espacio vectorial de las n úplas de números reales. n R n a1 , a2 , , an ai R, i 1,2, , n Si R , u , v R n , u a1 , a2 ,, an , v b1 , b2 ,, bn se definen u v a1 b1 , a2 b2 ,, an bn y u a1 , a2 , , an ÁLGEBRA LINEAL 102 ESPACIOS VECTORIALES 2. M mxn , R,, es el espacio vectorial de todas las matrices mxn . M m xn Am xn | Am xn es una matriz de orden m x n , a ij R Donde + representa la suma usual de matrices y la multiplicación usual de un número real por una matriz. 3. F , R,, es el espacio vectorial de todas las funciones reales. F f | f : R R es una función Donde + representa la suma usual de funciones y la multiplicación usual de un número real por una función. 4. Pn x , R,, es el espacio vectorial de todos los polinomios de grado n . Donde + representa la suma usual de polinomios y la multiplicación usual de un número real por un polinomio. Observaciones 1. Los elementos de V se llaman vectores, los elementos de K se llaman escalares. 2. La operación (+) se llama suma vectorial, la operación ( ) se llama multiplicación por un escalar. 3. El vector 0V se llama vector nulo o vector cero. El siguiente teorema es de mucho interés TEOREMA 1 Sea V , K ,, un espacio vectorial K , u, v, w K se cumple que: a) b) uvvwu w 0.u Ov c) .OV OV d) .u OV 0 u OV e) ( .u ) (u ) ( .u ) DEMOSTRACIONES ÁLGEBRA LINEAL 103 ESPACIOS VECTORIALES a) c) u 0V u Axioma del neutro u (v (v)) u Axioma del inverso (u v) (v) u Axioma de asociatividad v w ( v ) u Hipótesis v ( v ) w u Axioma de asociatividad 0V w =u Axioma del inverso uw Axioma del neutro 0V 0V 0V Axioma del neutro Axioma reflexivo (0 V 0 V ) 0 V Axioma reflexivo 0V 0V 0V (1) Axioma distributivo .u .u (2) Axioma reflexivo Sumando (1) y (2) 0V ( 0V ( 0V )) 0V ( 0V ) d) 0V 0V 0V Axioma del inverso 0V 0V Axioma del neutro Por Contradicción Se supone que: ( 0 u 0V ) 0 u 0V K , tal que, 0, 1 0V 0V Hipótesis 1 1 u 0V 1.u 0V u 0V Lo que contradice la suposición 0 u 0V ÁLGEBRA LINEAL Axioma del inverso 104 ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS VECTORIALES Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K , entonces S es un subespacio vectorial de V , si y sólo si, S V . De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. Gráficamente se tiene V S TEOREMA 2 Sea V , K , , un espacio vectorial, S V , S Ø, S es subespacio vectorial de V si y sólo si cumple que: 1. u, v S ׀u v S 2. K , u S | u S DEMOSTRACION 1) "" Se cumple pues S V 2. "" P.D. S , K , , es un espacio vectorial S , es un grupo conmutativo a) u, v S | u v S Axioma de clausura Si cumple b) u, v, w S | (u v) w u (v w) Axioma de asociatividad Si cumple c) !e S , u S | e u u e (e 0 v ) P.D. e 0V S Si 0 ÁLGEBRA LINEAL Axioma del neutro aditivo 105 ESPACIOS VECTORIALES u 0u u 0 V 0V S Si cumple d) u S , ! u , S | u u , u , u e P.D. Axioma del inverso aditivo u , u S Si 1 u 1.u u u es decir, uS Si cumple e) u, v V | u v v u Si cumple Puesto que S V se cumplen las propiedades de los espacios vectoriales. Si S es espacio vectorial y S V , entonces S es subespacio vectorial de V. Observación 0V pertenece a todo subespacio vectorial de V . Corolario S V , si S es subespacio vectorial de V , entones se cumple que: 1. 0V S , S Ø 2. K , u, v S | u v S COMBINACIÓN LINEAL Sean V , K , , un espacio vectorial, T V , T t1 , t 2 , t n Se dice que u V es combinación lineal de T si y sólo si existen elementos del campo K tal que se verifica la siguiente identidad: u 1t1 2t2 ntn ÁLGEBRA LINEAL 106 ESPACIOS VECTORIALES CONJUNTO GENERADOR Sean V , K , , un espacio vectorial, S V , S s1 , s 2 , s n , u V . Si u 1s1 2 s2 n sn ,entonces S es conjunto generador de V . CÁPSULA LINEAL Sean V , K , , un espacio vectorial, S V , S Ø, S s1 , s 2 , s n La cápsula de S es el conjunto de los vectores que son combinaciones lineales de los elementos de S , y se nota por S , es decir, S v V | v 1s1 2 s2 n sn , i K TEOREMA 3 Sean V , K , , un espacio vectorial, S V , S Ø La cápsula de S es subespacio vectorial de V . DEMOSTRACION 1. 0v S y S Ø u S Sea 0 K u 0 V 0u 0V 0v S 2. u , v S | u v S u 1 s1 2 s 2 n s n v 1 s1 2 s 2 n s n u v ( 1 1 ) s1 ( 2 2 ) s 2 ( n n ) s n uv S ÁLGEBRA LINEAL 107 ESPACIOS VECTORIALES 3. K , u S | u S u 1 s1 2 s 2 n s n u 1 s1 2 s 2 n s n i i u 1 s1 2 s 2 n s n u S DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES Sean V , K , , un espacio vectorial, T V , T t1 , t 2 , t n , 1. T es linealmente dependiente si y sólo si existen escalares i no todos iguales a cero, tales que: 1t1 2t 2 n t n 0V 2. T es linealmente independiente si y sólo si existen escalares i únicos e iguales a cero, tales que: 1t1 2t 2 n t n 0V a esta se llama combinación lineal trivial. TEOREMA 4 Sean V , K , , un espacio vectorial, 1. Si S1 es linealmente dependiente., entonces S 2 también lo es. 2. Si S 2 es linealmente intependiente., entonces S1 también lo es. DEMOSTRACION 1 S1 S 2 V S1 s1 , s2 ,, sn S 2 s1 , s2 ,, sr ÁLGEBRA LINEAL 108 ESPACIOS VECTORIALES Si S1 es linealmente dependiente, 1 0 , tales que: 1s1 2 s2 n sn 0v Se puede escribir que: 1s1 2 s2 n sn 0.sn 0.sr 0v , donde no todos los coeficientes son cero. S 2 es linealmente dependiente 2. Por contradicción: Se supone que S1 es linealmente dependiente S1 es linealmente dependiente S1 S 2 S 2 es linealmente dependiente Lo que contradice la suposición. S1 es linealmente independiente. TEOREMA 5 Sean V , K , , un espacio vectorial, S V . S es linealmente dependiente si y sólo si si S , tal que, si es combinación lineal de los restantes vectores. DEMOSTRACION 1. "" Si S es linealmente dependiente, entonces i 0 , tales que: 1 s1 2 s 2 i si n s n 0V , es decir, i si 1 s1 2 s 2 n s n 1 0 , (en caso contrario se elige otro vector) Despejando si si 1 s1 2 s 2 n s n Por lo tanto: si es combinación lineal de los restantes vectores. ÁLGEBRA LINEAL 109 ESPACIOS VECTORIALES 2. "" Sea si S , tal que, es combinación lineal de los restantes vectores de S , si 1 s1 2 s 2 i 1 si 1 i 1 si 1 n s n (1) si si (2) Sumando (1) y (2) y reordenando 1 s1 2 s 2 i 1 si 1 i si i 1 si 1 n s n 0V S es linealmente dependiente. TEOREMA 6 EL WRONSKIANO x D f , S f1 , f 2 ,, f n es linealmente independiente si y sólo si x D f , tal que: W f1, f 2 ,, f n f1 f1' f1( n 1) f2 f2 ' f 2( n 1) fn fn ' 0 f n ( n 1) DEMOSTRACION a) "" Por contradicción Se supone que W 0 , entonces Una fila o columna de W es combinación lineal de las restantes, por ejemplo: f1 2 f 2 n f n , es decir, S es linealmente dependiente. Lo que contradice la suposición. W 0 b) "" Por contradicción: Se supone que S es linealmente dependiente, entonces Una fila o columna de W es combinación lineal de las restantes, es decir, W 0 , lo que contradice la suposición Por lo tanto S es linealmente independiente. ÁLGEBRA LINEAL 110 ESPACIOS VECTORIALES BASE DEFINICION Sean V , K , , un espacio vectorial y S V , S es una base de V , si y sólo si: 1. S genera a V , y 2. S es linealmente independiente. TEOREMA 7 Sean V , K , , un espacio vectorial y S V , Si S s1 , s 2 , s n es una base del espacio vectorial V , entonces todo vector de S se puede expresar de una y solo una manera como combinación lineal de los vectores de S. La combinación lineal es única. DEMOSTRACION Sea u V Se supone que la combinación lineal no es única, es decir, u 1 s1 2 s 2 n s n (1) u 1 s1 2 s 2 n s n (2) i i Restando (1) y (2) u (u ) ( 1 1 ) s1 ( 2 2 ) s 2 ( n n ) s n 0V ( 1 1 ) s1 ( 2 2 ) s 2 ( n n ) s n Si S es base de V , entonces S es linealmente independiente, i i 0 , i i ÁLGEBRA LINEAL 111 ESPACIOS VECTORIALES Lo que contradice la suposición. Por lo tanto: la combinación lineal es única. TEOREMA 8 Sean V , K , , un espacio vectorial y S V , Si S es un conjunto finito de vectores no nulos que genera a V entonces, S contiene a una base T de V . DEMOSTRACION a) Si S es linealmente independiente, entonces es base de V. // b) Si S es linealmente dependiente, existe un vector que es combinación lineal de los restantes vectores (Teorema 6). Si se considera el conjunto S1 S s1 s1 es combinación lineal de S1 si 1 s1 2 s 2 i 1 si 1 i 1 si 1 n s n (1) S1 genera a V? Sea u V u es combinación lineal de S u 1 s1 2 s 2 i 1 si 1 i si i 1 si 1 n s n (2) Se sustituye (1) en (2) u 1 s1 2 s 2 i 1 si 1 i 1 si 1 n s n , es decir, S1 es generador de V . Si S1 es linealmente independiente, entonces es base. // c) Si S1 es linealmente dependiente, se elimina un vector, que es combinación lineal de los restantes, es decir, S 2 S1 si 1 , que es generador de V . Al continuar con el proceso se encuentra un subconjunto T de S que es linealmente independiente y que genera a V . // ÁLGEBRA LINEAL 112 ESPACIOS VECTORIALES TEOREMA 9 Sean V , K , , un espacio vectorial y S , T V , S s 1 , s 2 , , s n , es una base de V , y T t1 , t 2 , , t r es un conjunto linealmente independiente de V , entonces n r . Esto es, todo conjunto linealmente independiente no tiene más que n vectores. DEMOSTRACION Se supone que: nr Si S genera a V t i es combinación lineal de S t i 1 s1 2 s 2 n s n Se despeja s n 0V (En caso contrario, si se despeja otro) t i 0V a n 0 1 1 s n t1 an an ( 1 s1 2 s 2 n 1 s n 1 ) S1 s1 , s 2 , , s n1 , t1 genera a V t 2 es combinación lineal de S1 t 2 1 s1 2 s 2 n 1 s n 1 t1 t 2 0V si 1 n 1 0 t 2 t1 , entonces T es linealmente independiente Lo que contradice la suposición. Por lo tanto debe(n) existir algún(nos) i 0 n 1 0 En caso contrario se elige otro ÁLGEBRA LINEAL 113 ESPACIOS VECTORIALES 1 1 t 2 ( 1 s1 2 s 2 n 2 s n 2 ) s n 1 n 1 n 1 de donde, S 2 s1 , s 2 , , s n 2 , t1 , t 2 genera a V Repitiendo el proceso n veces, se encuentra el conjunto S n t1 , t 2 , , t n que es base de V , pues genera y es linealmente independiente (Teorema 4). Si r n t n 1 1t1 2 t 2 n t n , entonces T es linealmente dependiente Lo que contradice la suposición. Por lo tanto: nr. TEOREMA 10 Sean V , K , , un espacio vectorial, S , T V , S s 1 , s 2 , , s n , es una base de V , y T t1 , t 2 , , t r es otra base de V , entonces nr DEMOSTRACION Si S es base de V y T es linealmente independiente, n r (Teorema 9) Si T es base de V y S es linealmente independiente, n r (Teorema 9) Se concluye que n r . Es decir, las diferentes bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de vectores. Corolario Si S es base de V y tiene n vectores, un conjunto con n 1 vectores es linealmente dependiente. ÁLGEBRA LINEAL 114 ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN Las coordenadas de un vector u V , respecto a una base dada S , son los escalares que sirven para expresar u como combinación lineal de S , así: u 1 s1 2 s 2 n s n u S 1 2 , es el vector coordenadas de u respecto a S . n DIMENSIÓN Sean V , K , , un espacio vectorial, S V , S s 1 , s 2 , , s n , es una base de V , entonces la dimensión de V es igual a n , y se nota por dim V n . La dimensión de espacio vectorial trivial se considera cero, esto es, dim 0V 0 . DIMENSIÓN FINITA Un espacio vectorial V es de dimensión finita si y sólo si la base de V tiene un finito número de vectores. Ejemplos: R n , C n , Pn , M mn . DIMENSIÓN INFINITA Un espacio vectorial V es de dimensión infinita si y sólo si la base de V tiene un infinito número de vectores. Ejemplo: P el espacio vectorial de todos los polinomios. TEOREMA 11 Sean V , K , , un espacio vectorial, dim V n , S V , S s 1 , s 2 , , s n , entonces Si S es linealmente independiente, S es una base de V . ÁLGEBRA LINEAL 115 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION Por contradicción Se supone que S no es base de V , Si S no es base, entonces S no genera a V u V tal que no es combinación lineal de S , S s1 , s 2 ,, s n , u es linealmente independiente Lo que contradice la suposición. Por lo tanto S es base de V . TEOREMA 12 Sean V , K , , un espacio vectorial, dimV n , S V , S s 1 , s 2 , , sn Si S es generador de V , entonces S es una base de V . DEMOSTRACION Por contradicción Se supone que S no es base de V , Si S no es base, entonces S es linealmente independiente (Teorema 9) si S , que es combinación lineal de los restantes, S1 S si si 1 s1 2 s 2 i 1 si 1 i 1 si 1 n s n 1. Si S1 es linealmente independiente, es base dim V n 1 Lo que contradice la suposición. 2. Si S1 es linealmente dependiente, s i 1 que es combinación lineal de los restantes vectores, S 2 S1 Si 1 ÁLGEBRA LINEAL 116 ESPACIOS VECTORIALES Si S 2 es linealmente independiente, es base y dim V n 2 Lo que contradice la suposición. Por lo tanto S es base de V . TEOREMA 13 Sean V , K , , un espacio vectorial, dim V n , S es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces existe una base T de V que contiene a S . DEMOSTRACION S s1 , s 2 ,, s j Si S no es base, u V que es combinación lineal de S , S1 s1 , s 2 ,, s j , u es linealmente independiente 1. Si S es linealmente independiente y es generador, entonces es base S1 T , S T . 2. Si S1 no es generador, no es base v V que es combinación lineal de S 2 , S 2 s1 , s 2 ,, s j , u, v es linealmente independiente Si S 2 es linealmente independiente y es generador, entonces es base S 2 T , S T . Si S 2 es linealmente independiente, pero no es generador, se repite el proceso hasta encontrar un conjunto T generador de V . TEOREMA 14 Sean V , K , , y W , K ,, espacios vectoriales de dimensión finita, si W es subespacio vectorial de V , entonces se cumple que dim W dim V ÁLGEBRA LINEAL 117 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION Si W es subespacio vectorial de V , W V , es decir, W V W V 1. Si W V , dim W dim V 2. Si W V , u V t.q. u W , Una base de W tiene menor número de vectores que una base de V, dim W dim V Por lo tanto dim W dim V . TEOREMA 15 Sea V , K , , un espacio vectorial. La intersección de cualquier colección de subespacios vectoriales de V , es un subespacio vectorial de V , es decir, si V1 , V2 , , Vn , son subespacios vectoriales de V , entonces n W Vi , es subespacio vectorial de V . i 1 DEMOSTRACION 1. 0v W 0 v Vi , i 1,2,, n , pues Vi es subespacio vectorial 0v W 2. u, v W u v W n u Vi , u Vi , i 1,2,, n i 1 n v Vi , v Vi , i 1,2,..., n i 1 n u v Vi i 1 u v W ÁLGEBRA LINEAL 118 ESPACIOS VECTORIALES 3. K , u W .u W n u W , entonces u Vi i 1 n u Vi , entonces u Vi i 1 n u V , entonces αu W . i 1 DEFINICIÓN Sean V1 , V2 , , Vn subespacios vectoriales del espacio vectorial V , K , , , S V1 , V2 , , Vn , y los vectores vi Vi donde i 1,2,, n , la suma de los subespacios de S se define por V1 V2 Vn v v1 v2 vn v1 V1 , v2 V2 , , vn Vn TEOREMA 16 Sean V , K , , un espacio vectorial, y W1 y W 2 subespacios vectoriales de V , entonces W1 W2 es un subespacio vectorial de V TEOREMA 17 Sean V , K , , un espacio vectorial, y W1 y W 2 subespacios vectoriales de V . Si B1 y B2 son bases de y W1 y W 2 , entonces W1 W2 B1 B2 DEFINICIÓN Sean V , K , , un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios vectoriales de V , U W1 W2 define la suma directa de W1 yW2 si W1 W2 v V !v1 W1 !v2 W2 , v v1 v2 ÁLGEBRA LINEAL 119 ESPACIOS VECTORIALES TEOREMA 18 Sean V , K , , un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios vectoriales de dimensión finita de V . U W1 W2 , si y sólo si U W1 W2 y W1 W2 0V . DEMOSTRACION u1 W 2 , v 2 W 2 v u 2 v 2 u1 v1 u 2 v 2 u1 u 2 v 2 v1 u1 u 2 W1 W2 0V v1 v 2 W1 W2 0V u1 u 2 0V u1 u 2 v1 v 2 0V v1 v 2 Por lo tanto u1 v1 son únicos. Corolario Sean V , K , , un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios vectoriales de dimensión finita de V , entonces dimW1 W2 dim W1 dim W2 TEOREMA 19 Sean V , K , , un espacio vectorial, y W1 un subespacio vectorial de V . entonces existe un subespacio (complemento) W 2 del espacio vectorial de V tal qué V W1 W 2 . ÁLGEBRA LINEAL 120 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION 1. W1 V W2 0V W1 W2 0V V W1 W 2 . 2. W1 V W1 es subespacio vectorial propio de V , dim V n S1 v1 , v 2 , , v r , base de W1 , r n , S1 W1 S 2 v r 1 , , v r , donde v j S1 , j r 1,..., n S 2 W2 W1 W2 0V W1 W2 v1 , v 2 , , v r , v r 1 , , v n S1 S 2 v1 , v 2 , , v r , v r 1 , , v n S1 S 2 es linealmente independiente y es base de V W1 W2 V S1 S 2 V , entonces V W1 W 2 . Ejercicio Sea W1 ax 3 bx 2 cx d P3 x a 2b c d b c subespacio vectorial de P3 x . Hallar un subespacio vectorial W2 tal que P3 x W1 W2 . TEOREMA 20 Sean W1 y W 2 subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial V , K , , , entonces W1 W2 es un espacio vectorial de dimensión finita y además: dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ) dim(W1 W2 ) . ÁLGEBRA LINEAL 121 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION W1 W2 Ø Sea S u1 , u 2 , , u k base de W1 W2 S tiene k vectores y es parte de una base de W1 y W 2 S1 u1 , u 2 , , u k , v1 , , v n es base de W1 S 2 u1, u2 ,, uk , w1,, wm es base de W 2 S1 S 2 u1, u2 ,, uk , v1,, vn , w1,, wm S1 S 2 tiene k m n vectores S1 S 2 genera a W1 W2 (Definición) P.D. S1 S 2 es linealmente independiente k n m i 1 i 1 i 1 iui i vi i wi 0v (1) Reordenando m k n i 1 i 1 i 1 ( i wi ) iui i vi W1 m ( w ) W i 1 i i 2 m ( w ) W i 1 i i 1 m k i 1 i 1 W2 ( i wi ) i ui Reordenando k m i 1 i 1 i u1 i w1 0V Se obtiene una combinación lineal de S 2 , base de W 2 que tiene k m vectores i 0, i 1,2, , k i 0, i 1,2, , m Se obtiene una combinación lineal de S1 , base de W1 que tiene k n vectores k n i 1 i 1 i u1 i vi 0V i 0, i 1,2, , k ÁLGEBRA LINEAL 122 ESPACIOS VECTORIALES i 0, i 1,2, , n S1 S 2 es linealmente independiente y genera a W1 W2 dim W1 dim W2 ( k n) ( k m) dim W1 dim W2 ( k n m) k dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ) dim(W1 W2 ) . TEOREMA 21 Sean W1 y W 2 subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial V , K , , . W1 W2 es subespacio vectorial de V si y sólo si W1 W2 o W2 W1 . DEMOSTRACION a) "" Por contradicción Se supone que: W1 W2 W2 W1 u1 u1 W1 u1 W2 u 2 u 2 W2 u 2 W1 u1 W1 W1 W2 u 2 W2 W1 W2 u1 , u 2 W1 W2 que es subespacio vectorial u1 u 2 W1 W2 , entonces u1 u 2 W1 u1 u 2 W2 1. Si u1 u 2 W1 u1 W1 u1 W1 u1 u1 u 2 W1 u 2 W1 ÁLGEBRA LINEAL 123 ESPACIOS VECTORIALES Lo que contradice la suposición. 2. Si u1 u 2 W2 u 2 W 2 u 2 W 2 u 2 u1 u 2 W 2 u1 W 2 Lo que contradice la suposición. b) "" W1 W2 W1 W2 que es subespacio vectorial Por lo tanto W1 W2 es subespacio vectorial de V si y sólo si W1 W2 W2 W1 CAMBIO DE BASE En este apartado se estudia la relación entre dos vectores coordenadas para el mismo vector, respecto a bases diferentes. Sean el espacio vectorial V , K , , y, S y T bases ordenadas de V S s1, s 2 ,, s n T t1 , t 2 , , t n v V v 1 s1 2 s 2 n s n (I) v 1 t1 2 t 2 n t n (II) Considerando los vectores de S como combinación lineal de T ÁLGEBRA LINEAL 124 ESPACIOS VECTORIALES s1 a11t1 a12 t 2 a1n t n (1) s 2 a 21t1 a 22 t 2 a 2 n t n (2) s n a n1t1 a n 2 t 2 a nn t n Los vectores coordenadas de S respecto a la base T son: s1 T a11 a 21 a n1 s 2 T a12 a 22 a n2 s n T a1n a2n a nn Entonces se construye la matriz PS T S1 T S 2 T S n T En forma desarrollada a11 a12 a1n a21 a22 a2n PS T a a a n2 nn n1 PS T es la matriz de cambio de base de S a T . ÁLGEBRA LINEAL (n) 125 ESPACIOS VECTORIALES Sustituyendo (1),(2),…,(n) en (I) e igualando a (II) 1t1 2 t 2 n t n 1 (a11t1 a12 t 2 a1n t n ) + 2 (a 21t1 a 22 t 2 a 2 n t n n (a n1t1 a n 2 t 2 a nn t n ) Reordenando 1t1 2 t 2 n t n (a11 1 a12 2 a1n n )t1 + (a 21 1 a 22 2 a 2 n n )t 2 an11 an 2 2 ann n tn Escribiendo matricialmente 1 a11 2 a 21 a n n1 a12 a 22 an2 a1n 1 a2n 2 a nn n O también v T PS T v S Similarmente v S QT S v T QT S es la matriz de cambio de base de T a S , además QT S P S1T . Ejemplo Sean los conjuntos S y T bases ordenadas del espacio vectorial R 3 , tales que S (6,3,3), (4,3,1), (5,5,2) , y T (2,01), (1,2,0), (1,1,1) Hallar la matriz de cambio de base P de S a T . Solución: ÁLGEBRA LINEAL 126 ESPACIOS VECTORIALES u (6, ,3,3) 2( 2,0,1) 1(1,2,0) 1(1,1,1) u T 2 1 1 v ( 4, ,3,1) 2( 2,0,1) 1(1,2,0) 1(1,1,1) vT 2 1 1 w (5,2,2) 1( 2,0,1) 2(1,2,0) 1(1,1,1) 1 wT 2 1 La matriz requerida es 2 2 1 P 1 1 2 1 1 1 Resumen En este capítulo se revela y se enseña una parte importante del Álgebra Lineal, ya que se analiza la estructura de espacio vectorial, que es el ambiente de trabajo del que se parte para la obtención de los resultados y desarrollos que se verán a continuación en los siguientes temas. Se comenzó reflexionando con vectores en el plano y en el espacio considerándolos como segmentos de rectas orientados, junto con las posibles operaciones que pueden realizarse entre ellos y sus propiedades. Una vez conocidos los espacios R 2 y R 3 como conjuntos de vectores, se procedió a generalizar, en un proceso de abstracción, los aspectos que los caracterizan, obteniéndose así la estructura de un espacio vectorial. De la definición de subespacio vectorial W surge de manera inmediata el concepto de conjunto generador, que permite definir, a partir de un número finito de vectores, todos los elementos de W . Dentro de los conjuntos generadores interesan aquellos que contienen el menor número de elementos y estos pueden encontrarse con ayuda de los conceptos de dependencia e independencia lineales. Estos conjuntos generadores “mínimos” se conocen como las bases de los espacios vectoriales y, el número de elementos que las componen, la dimensión de los mismos. ÁLGEBRA LINEAL 127 ESPACIOS VECTORIALES PROBLEMAS PROPUESTOS ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 1. Sea R n el conjunto de n-uplas ordenadas (a1 , a 2 , , a n ) en el campo R , con la adición en R n y la multiplicación por un escalar, definidas por: (a1 , a 2 , , a n ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a 2 b2 , , a n bn ) k (a1 , a 2 , , a n ) (ka1 , ka 2 , , ka n ) Donde a, b, k R . Demostrar que R n es un espacio vectorial sobre R . ÁLGEBRA LINEAL 128 ESPACIOS VECTORIALES 2. Sea R 2 el conjunto de parejas ordenadas (a, b) de números reales. Demostrar que R 2 no es espacio vectorial sobre R con la adición en R 2 y la multiplicación por un escalar sobre R definidas por: a) (a, b) (c, d ) (a d , b c) y k (a, b) (ka, kb) b) ( a , b ) ( c, d ) ( a c, b d ) y k ( a , b ) ( a , b ) c) (a, b) (c, d ) (0,0) y k (a, b) (ka, kb) d) (a, b) (c, d ) (a c, b d ) y k (a, b) (0,0) ÁLGEBRA LINEAL 129 ESPACIOS VECTORIALES 3. El conjunto dado con las operaciones dadas no es un espacio vectorial. ¿Qué propiedades de la definición no se satisfacen? a) Los reales positivos sobre los reales con las operaciones + y . b) El conjunto de las ternas ordenadas de números reales con las operaciones: ( x, y , z ) ( x , , y , , z , ) ( x x , , y y , , z z , ) , y r ( x, y, z ) ( x,1, z ) c) x El conjunto de las matrices M 2x1 tal que , donde x 0 y con las operaciones usuales en R 3 . ÁLGEBRA LINEAL , 130 ESPACIOS VECTORIALES 4. Sea el espacio vectorial de M 3x1 . a) a 2 2 2 W b a b c 1 c b) a W b a b 1 c c) a W b b a 2c c Determinar si W es subespacio vectorial de M 3 x1 . ÁLGEBRA LINEAL 131 ESPACIOS VECTORIALES 5. Determinar si el conjunto W es subespacio vectorial de R 3 . a) W ( x, y , z ) e x y 0 b) W ( x, y, z ) y x z c) W ( x, y , z ) x z 2 d) W ( x, y, z ) x y 0 2 x z 0 e) W ( x, y, z ) x 2 y z 0 ÁLGEBRA LINEAL 132 ESPACIOS VECTORIALES 6. Determinar si el conjunto W es subespacio vectorial de P2 x a) b) b) c) W p( x) ax W p ( x ) ax W p( x) ax W p( x) ax 2 bx c p(0) p(1) 1 ÁLGEBRA LINEAL 2 bx c p' (0) p' ' (0) 0 2 bx c b c 2 bx c p(0) p' (1) 133 ESPACIOS VECTORIALES 7. Sea el espacio vectorial V f : 1,1 R , W V . Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de V . a) W f : 1,1 R f es contínua b) W f : 1,1 R f es derivable c) W f : 1,1 R d) W f : 1,1 R f ( x) f ( x) e) W f : 1,1 R f (0) f) W f : 1,1 R f 12 0 ÁLGEBRA LINEAL 1 -1 f ( x)dx 0 1 2 134 ESPACIOS VECTORIALES COMBINACIONES LINEALES Y CONJUNTOS GENERADORES 1. Dado el espacio vectorial R 2 . Expresar vector u (1 2) como combinación lineal de T cuando es posible. a) T ( 2,1) b) T (2,1), (1,2) c) T (3,1), (1, 13 ) d) T (1,1), (2,5), (3,0) ÁLGEBRA LINEAL 135 ESPACIOS VECTORIALES 2. Escribir si es posible el vector u (1,1,4) R 3 como combinación lineal los vectores de R 3 a) (1,1,2),((0,0,1) b) (2,-2,0),(-1,1,2) c) (3,0,-2),(2,-1,1) d) (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) ÁLGEBRA LINEAL 136 ESPACIOS VECTORIALES 3. Determinar si el conjunto de vectores dado genera al espacio vectorial indicado. a) S (1,1), ( 2,3) . En R 2 . b) S (1,1, ), ( 2,1), ( 1,0) . En R 2 c) 1 1 S 2 , 2 . En M 3x1 . 3 3 d) S 1 x,3 x 2 , x 2 x 1 . En P2 x . e) 1 0 1 2 4 1 2 5 , , , . En M 2 x 2 . S 1 0 0 0 3 0 6 0 ÁLGEBRA LINEAL 137 ESPACIOS VECTORIALES 4. Hallar la cápsula de S en el espacio vectorial dado. a) S (1,2,1,2), (0,1,2,3. En R 4 . b) 2 S 1 t , 1 t . En P2 t . c) 1 S 2 . En M 3 1 . 3 x ÁLGEBRA LINEAL 138 ESPACIOS VECTORIALES 5. ¿Para qué valor de el vector (2,2,0) pertenece a la cápsula formada por el conjunto de vectores B (1,1,1), (3, ,0)? 6. 1 1 1 0 0 1 , , Dado el conjunto de matrices S 0 0 0 1 1 1 a) Calcular S . b) Encontrar una base para S . ÁLGEBRA LINEAL 139 ESPACIOS VECTORIALES 7. 1 1 Sea el conjunto S 1 , 0 del espacio vectorial M 3x1 . 0 1 a) Hallar S . b) 1 Probar que la matriz F 2 pertenece a S . 3 c) Demostrar que S es subespacio vectorial de M 3x1 . ÁLGEBRA LINEAL 140 ESPACIOS VECTORIALES 8. En el espacio vectorial indicado determinar el valor de para que el conjunto de vectores dado sea linealmente independiente y linealmente dependiente. a) T (1,1,1), (1, 2,0), (4,3 ,4). En R 3 . b) 1 0 1 T 1, 1 , 0 . En M 3x1 . 1 1 c) S 1 x x 2 , 1 x x 2 , x x 2 . En P2 x . ÁLGEBRA LINEAL 141 ESPACIOS VECTORIALES 9. Hallar un conjunto linealmente independiente en P2 x que contenga a los polinomios x 2 1 y x 2 1 . Sugerencia : Obtener un p ( x ) x 2 1, x 2 1 . 10. Hallar un conjunto linealmente independiente en R 3 que contenga a los vectores (2,1,2) y (-1,3,4). Considerar la sugerencia del ejercicio anterior. ÁLGEBRA LINEAL 142 ESPACIOS VECTORIALES 11. En el espacio vectorial R 3 demostrar que los vectores 1, a, a 2 , 1, b, b 2 , 1, c, c 2 son linealmente independientes si a b, a c y b c . ÁLGEBRA LINEAL 143 ESPACIOS VECTORIALES 12. Cuáles de los siguientes conjuntos de R 3 son linealmente dependientes? Para los que lo sean expresar uno de los vectores como combinación lineal de los restantes (relación de dependencia). a) b) c) (1,1,0), (3,4,2 (1,10), (0,1,1), (1,0,1), (1,2,2) (1,1,0), (0,2,3), (1,2,3), (0,0,0) ÁLGEBRA LINEAL 144 ESPACIOS VECTORIALES 13. Considerar el espacio vectorial P2 t . Hacer lo mismo que en ejercicio 12. a) b) c) t 2 1, t 2, t 3 2t 2 t, t 2 3, t 2t 2 t 1,3t 2 t 5, t 13 ÁLGEBRA LINEAL 145 ESPACIOS VECTORIALES 14. Sea el espacio vectorial de las funciones continuas de valor real. Hacer lo mismo que en el ejercicio 12. a) b) c) cos t , sent , e t , e , sent cos t , sen t , cos 2t t t 2 ÁLGEBRA LINEAL 2 146 ESPACIOS VECTORIALES BASES Y DIMENSION 1. Cuáles de los siguientes conjuntos forman una base en R 3 ? Expresar el vector u ( 2,1,1) como una combinación lineal de los vectores del conjunto que sea base. a) (1,1,1), (1,2,3), (0,1,0) b) (1,0,2), (2,1,3), (2,0,4) c) (1,1,3), (1,0,1), (1,1,0), (1 1,1) ÁLGEBRA LINEAL 147 ESPACIOS VECTORIALES 2. 3. Hallar una base de R 3 que incluya a: a) El vector (1,0,2) b) Los vectores (1,0,2) , (0,1,3). Hallar una base de P3 x que incluya a los vectores x 3 x, x 2 1 . ÁLGEBRA LINEAL 148 ESPACIOS VECTORIALES 4. 1 1 0 1 y B Sean las matrices A 1 0 1 1 a) a b , tales que AM MB Determinar las matrices M c d b) Demostrar que las matrices M forman un subespacio vectorial de M 2x2 c) Escribir una base de este subespacio vectorial. d) Determinar la dimensión de este subespacio vectorial. ÁLGEBRA LINEAL 149 ESPACIOS VECTORIALES 5. 1 1 Sea la matriz A 1 1 a) a b tales que AM O . Determinar las matrices M c d b) Demostrar que las matrices M forman un subespacio vectorial de M 2x2 c) Escribir una base de este subespacio vectorial. d) Determinar la dimensión de este subespacio vectorial. ÁLGEBRA LINEAL 150 ESPACIOS VECTORIALES 6. Sea W el conjunto de las matrices simétricas de orden 2. a) Demostrar que W es subespacio vectorial de M 2x 2 . b) Hallar una base y determinar la dimensión de W . ÁLGEBRA LINEAL 151 ESPACIOS VECTORIALES 7. Sea el conjunto W del espacio vectorial P2 t W p (t ) at 2 bt c p (t ) p (1 t ) a) Demostrar que W es subespacio vectorial de P2 t . b) Encontrar una base y la dimensión de W . ÁLGEBRA LINEAL 152 ESPACIOS VECTORIALES 8. Sea el conjunto W del espacio vectorial P2 x a b c 0 W p ( x ) ax 2 bx c b c 0 2a b c 0 a) Demostrar que W es subespacio vectorial de P2 x . b) Encontrar una base y la dimensión de W . ÁLGEBRA LINEAL 153 ESPACIOS VECTORIALES 9. Sea el conjunto W del espacio vectorial M 2x 2 a b a b c 0 W c d 0 c d a a) Demostrar que W es subespacio vectorial de M 2x 2 . b) Hallar una base y determinar la dimensión de W . ÁLGEBRA LINEAL 154 ESPACIOS VECTORIALES 10. Dado el subespacio vectorial de P3 x W p ( x ) ax 3 bx 2 cx d abc a) Determinar una base B1 de W y su dimensión. b) ¿El polinomio p( x) x 1 W ? c) A partir de B1 , completar una base B2 para el espacio vectorial P3 x . ÁLGEBRA LINEAL 155 ESPACIOS VECTORIALES 11. Sean bases ordenadas de P2 t B t 2 t 1, t 2,1 , C t 2 , t ,1 a) b) Hallar p (t ) B si p(t ) t 2t 1 2 Encontrar p (t ) C si p (t ) B ÁLGEBRA LINEAL 1 1 3 156 ESPACIOS VECTORIALES 12. Dados W1 y W 2 los subespacios vectoriales de R 4 a b c 0 a b c d 0 W1 (a, b, c, d ) y W2 (a, b, c, d ) a b d 0 2a c d 0 a) Determinar W1 W2 . b) Demostrar que W1 W2 es subespacio vectorial de R 4 . c) Hallar una base para W1 W 2 y su dimensón. ÁLGEBRA LINEAL 157 ESPACIOS VECTORIALES 13. Dado W1 un subespacio vectorial de R 3 . W1 (1,2,3), (01,1 a) Hallar W1 explícitamente. b) Hallar un subespacio vectorial W2 tal que W1 W2 R 3 . ÁLGEBRA LINEAL 158 ESPACIOS VECTORIALES 14. Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de R 2 . W1 ( x, y ) 2 x 3 y 0 W 2 ( x, y ) 5 x 4 y 0 a) b) Hallar W1 W2 , W1 W2 y W1 W2 . Establecer si W1 W2 es subespacio vectorial de R 2 . c) Determinar si R 2 W1 W2 . ÁLGEBRA LINEAL 159 ESPACIOS VECTORIALES 15. Dados W1 , W2 y W3 subespacios vectoriales de R 3 . W1 ( x, y , z ) x y z 0 W 2 ( x, y , z ) x z W3 ( x, y , z ) x 0 y 0 Demostrar que R 3 W1 W2 , R 3 W1 W3 y R 3 W2 W3 e indicar cuando la suma es directa. ÁLGEBRA LINEAL 160 ESPACIOS VECTORIALES 16. Dados W1 yW2 subespacios vectoriales de R 3 W1 ( x, y , z ) x y 0 W2 ( x, y , z ) y z 0 a) Calcular W1 W2 , W1 W2 y W1 W2 . b) Determinar cuáles de los subconjuntos anteriores son subespacios vectoriales de R 3 . c) Comprobar si se verifica que R 3 W1 W2 . ÁLGEBRA LINEAL 161 ESPACIOS VECTORIALES 17. Dados los sistemas de ecuaciones lineales x yzw0 2 z y 3 z w 0 x 2 z 2w 0 x 2 y 4 z 2w 0 y zw0 a) Hallar los conjuntos solución W1 y W2 subespacios vectoriales de R 4 . b) Dar una base para W1 y W2 y sus dimensiones. c) Demostrar que W1 W2 es subespacio vectorial de R 4 dar una base y su dimensión. d) Encontrar W1 W2 y W1 W2 , una base para cada subespacio vectorial y su dimensión. ÁLGEBRA LINEAL 162 ESPACIOS VECTORIALES 18. Dados los sistemas de ecuaciones lineales x y z w 0 a b c 0 x 2z w 0 x 2 y 4 z 4w 0 x y 3z w 0 a) Hallar los conjuntos solución W1 y W2 subespacios vectoriales de R 4 . b) Dar una base para W1 y W2 y sus dimensiones. c) Dar una base para W1 W2 y determinar la dimensión de W1 W2 . d) Demostrar que W1 W2 es subespacio vectorial de R 4 dar una base y su dimensión y determinar si W1 W2 W1 W2 . . ÁLGEBRA LINEAL 163 PRODUCTO INTERNO Capítulo 5 PRODUCTO INTERNO DEFINICIÓN Sean (V , K ,,) un espacio vectorial, un producto interno sobre V , es una función que asigna a cada par de vectores u, v V , un escalar (u, v) K y cumple que: 1. u, v V (u, v) (v, u ) 2. u V (u , u ) 0 u 0V u 0V 3. K , u, v V (u, v) (u,v) (u, v) 4. u, v, w V (u v, w) (u, w) (v, w) Los espacios vectoriales dotados de producto interno se denominan espacios euclidianos o euclídeos. EJEMPLOS 1. Sea ( R n , R,,.) u , v R n u a1 , a 2 , , a n v b1 , b2 , , bn n (u, v) a1b1 a2b2 anbn ai bi Producto interno usual en i 1 2. Rn Sea (C n , C ,,.) u , v C n u z1 , z 2 , , z n v w1 , w2 , , wn n (u, v) z1 w1 z 2 w 2 z n w n z i w i Producto interno usual en C n i 1 ÁLGEBRA LINEAL 164 PRODUCTO INTERNO 3. Sea M n , R,. A, B M n A, B Tr ( B t A) 4. Producto interno usual en M n Sea M n , C ,. A, B M n A, B Tr B * A Producto interno usual en M n donde B * es la conjugada de la matriz transpuesta de B . 5. Sea F el espacio vectorial de las funciones reales continuas a , b f , g F en b ( f , g ) f (t ) g (t )dt a 6. Sea F a, b el espacio vectorial de las funciones complejas continuas en f ,g F b ( f , g ) f (t ) g (t ) dt a 7. Sea Pn x , R, ,. p( x), q( x) Pn x p ( x ) a0 a1x an x n q ( x ) b0 b1x bn x n p( x), q( x) a0b0 a1b1 anbn NORMA DE UN VECTOR Sea el espacio vectorial (V , K ,,) u V u (u , u ) Terminología u se lee: “norma de u ”. ÁLGEBRA LINEAL Producto interno usual en Pn x 165 PRODUCTO INTERNO Observación. Al referirse a los espacios euclidianos R, R 2 , R 3 , la norma, es un número real que representa la distancia entre el origen y el extremo del vector. TEOREMAS Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno. 1. Si u 0V , u 0 2. Si u 0V , u 0 3. u u 4. 5. (u , v) u v Desigualdad de Cauchy-Schwartz uv u v Desigualdad triangular DEMOSTRACIONES 1. Si u 0V , u 0 Si u 0V , (u, u ) 0 Si (u, u ) 0 , (u , u ) 0 Si 3. (u , u ) 0 , u 0 u u u u ( u , u ) 2 ( u, u ) 2 (u, u ) (u, u ) u 5. uv u v uv 2 u v, u v 2 (u, u ) 2(u, v) (v, v) ÁLGEBRA LINEAL 166 PRODUCTO INTERNO u 2 Re(u, v) v 2 u 2 (u, v) v 2 u 2u v v 2 u v 21 2 2 2 Por lo tanto: uv u v TEOREMA 6 Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, u , v V , u 0V , v 0V K R es el ángulo formado por u y v , entonces cos (u , v) u v DEMOSTRACION uv 2 u v 2 u v cos uv 2 (u v, u v) 2 2 u 2(u, v) v 2 2 (1) (2) Igualando (1) y (2) 1 Re( z ) z Re(u , v ) (u , v ) u v , z z 2 Re( z ) ÁLGEBRA LINEAL (Teorema 4) 167 PRODUCTO INTERNO u v 2 u v cos u 2(u, v) v 2 2 2 2 Simplificando: u v cos (u , v) 2 u VECTORES ORTOGONALES Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, u, v V , u y v son ortogonales si y solamente sí su producto interno es igual a cero, es decir, cos (u , v) 0 u v En R 2 , R 3 la ortogonalidad se da para vectores perpendiculares. Observación. El vector nulo se considera ortogonal a todo vector v V . PROYECCIÓN ORTOGONAL El vector w es la proyección ortogonal de v sobre u si y solamente si (v w, w) 0 . CÁLCULO DE w Según la figura anterior: w es paralelo a u , entonces w u (v w, w) 0 , pues v w es ortogonal a w . ÁLGEBRA LINEAL (1) 168 PRODUCTO INTERNO (v u , u ) 0 (v, u ) (u, u ) 0 (v, u ) (u , u ) (2) Sustituyendo (2) en (1) w ( v, u ) u u 2 CONJUNTO ORTOGONAL Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T V . T es un conjunto ortogonal si y solamente sí: u, v T , (u v) (v, u ) 0 Ejemplo Sea T R 3 T (1,0,0), (0,2,0), (0,0,1) es ortogonal. TEOREMA 7 Sea (V , K ,,) un espacio vectorial con producto interno, T V Si T es ortogonal, entonces es linealmente independiente. DEMOSTRACION Sea T t1 , t 2 , , t n conjunto ortogonal 1 t1 2 t 2 n t n 0 V (0 V , t i ) 0 , donde 1 i n ( 1t1 2 t 2 n t n , t i ) 0 1 (t1 , t i ) 2 (t 2 , t i ) n (t n , t i ) 0 ,es decir, i (t i , t i ) 0 i 0 ÁLGEBRA LINEAL 169 PRODUCTO INTERNO Si i 0 , entonces T es linealmente independiente. Corolario Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T V , T es conjunto ortogonal, entonces se cumple que si T tiene n vectores, T es base ortogonal de V. VECTOR UNITARIO Sea u V . Se dice que u es un vector unitario si su norma es igual a 1. NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR Sea u V u 1 u CONJUNTO ORTONORMAL Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T V , T es ortogonal, entonces se cumple que: Si u V es unitario, entonces T es ortonormal. BASE ORTONORMAL Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T V , entonces Si T es conjunto ortonormal y es base de V , entonces T es base ortonormal de V. Ejemplos 1. Sea el conjunto T R 2 T (1,0), (0,1) i , j es base ortonormal de R 2 . 2. Sea el conjunto T R 3 T (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) i , j , k es base ortonormal de R3 . ÁLGEBRA LINEAL 170 PRODUCTO INTERNO TEOREMA 8 El Proceso de Gram-Schmidt Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, W es subespacio vectorial de V . DimV n , entonces W tiene una base ortonormal. DEMOSTRACION 1. DimW 2 A partir de S s1 , s 2 , se construye una base T t t ,t 2 ortogonal. Si s1 t1 t 2 1 s1 2 s 2 (1) (t 2 , s1 ) ( 1 s1 2 s 2 , t1 ) ( 1t1 2 s 2 , t1 ) t2 ,t1 1 (t1 , t1 ) 2 ( s 2 , t1 ) 0 0 1 (t1 , t1 ) 2 ( s 2 , t1 ) 1 2 ( s 2, t1 ) (2) (t1 , t1 ) Sustituyendo (2) en (1) (s , t ) t 2 2 s 2 2 1 .t1 (t1 , t1 ) Si T es ortogonal , entonces es linealmente independiente (Teorema 7) T es base de W t t T ' 1 , 2 es base ortonormal de W . t1 t 2 2. DimW 3 Se repite el proceso anterior A partir de S s1 , s 2 , s3 , se construye una base T t t , t 2 , t 3 ortogonal t 3 1 t1 2 t 2 3 s 3 (t 3 , t1 ) ( 1t1 2 t 2 3 s3 , t1 ) ÁLGEBRA LINEAL (1) 171 PRODUCTO INTERNO 0 1 t1 , t1 2 t2 , t1 3 s3 , t1 , 0 de donde: 1 3 ( s 3 , t1 ) (t1 , t1 ) (2) (t 3 , t 2 ) ( 1t1 2 t 2 3 s3 , t 2 ) 0 1 t1 , t2 2 t2 , t2 3 s3 , t2 0 2 3 ( s3 , t 2 ) (t 2 , t 2 ) (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) (s , t ) (s , t ) t3 3 s3 3 2 .t2 3 1 .t1 (t2 , t2 ) (t1, t1 ) El proceso continua hasta obtener n vectores ortogonales ( DimV n ), luego se normalizan todos los vectores obteniendo una base ortonormal del espacio vectorial. PRODUCTO CRUZ EN R3 Sean u, v R 3 tales que u a1 , a 2 , a3 y v (b1 , b2 , b3 ) , el producto cruz entre u y v se define por: a2b3 a3b2 uxv a3b1 a1b3 ab a b 2 1 1 2 Gráficamente uxv es un vector perpendicular al plano formado por u y v . El producto cruz o producto vectorial sólo tiene sentido en R3 . ÁLGEBRA LINEAL 172 PRODUCTO INTERNO Ejemplo Sea el espacio vectorial R 4 . S R 4 . S s1 , s2 , s3 base de R 4 . s1 (1,1,1,1) , s 2 (1,1,1,1) , s3 (1,1,1,1) A partir de S hallar una base ortonormal de este espacio vectorial. Solución: Los vectores s1 , s2 , s3 son linealmente independientes. Se va a encontrar una base ortonormal T * t1 , t 2 , t 3 usando el proceso de Gram-Schmidt. Primero se considera t1 s1 (s , t ) t 2 2 s 2 2 1 .t1 (t1 , t1 ) 2 t 2 2 (1,1,1,1) (1,1,1,1) 4 1 t 2 2 (1,1,1,1) (1,1,1,1) 2 2 2 2 t 2 2(1,1,1,1) (1,1,1,1) (3,1,1,1) 4 (s , t ) (s , t ) t3 3 s3 3 2 .t2 3 1 .t1 (t2 , t2 ) (t1, t1) 2 2 t 3 3 (1,1,1,1) (3,1,1 1) (1,1,1,1) 12 4 1 1 t 3 3 (1,1,1,1) (3,1,1 1) (1,1,1,1) 6 2 2 t3 6 4 6 1 1 (1,1,1,1) (3,1,1 1) (1,1,1,1) 4 6 2 t 3 (0,1,1,2) T (1,1,1,1), (3,1,1,1), (0,1,1,2 es base ortogonal t1 4 t 2 12 2 3 t3 6 1 1 1 T* (1,1,1,1), (3,1,1,1), (0,1,1,2 es base ortonormal. 2 3 6 4 ÁLGEBRA LINEAL 173 PRODUCTO INTERNO DEFINICIÓN Sean (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno y W un subespacio vectorial de V . Un vector de V es ortogonal al subespacio vectorial W si es ortogonal a cada uno de los elementos de W . Ejemplo Sea el espacio vectorial R 3 . a) Hallar el conjunto W de todos los vectores ortogonales a u 5,3 2 . b) Demostrar W que es subespacio vectorial de V . c) Hallar una base de W y su dimensión. Solución: a) W v x, y, z R3 : v, u 0 v, u 5 x 3 y 2 z 0 3 2 W v x, y, z R3 : x y z 5 5 b) i. 0 R3 W r,0 0 R3 ii. R, v, w W | v w W u , v w u , v u , w u , v w u , v u , w u , v w 0 Por i. y ii. W es subespaio vectorial de R 3 . c) Cálculo de una base de W : 2 3 v y z , y, z 5 5 3 2 v y ,1,0 z ,0,1 5 5 B 3,5,0 , 2,0,5 es base de W Dim W 2 ÁLGEBRA LINEAL 174 PRODUCTO INTERNO DEFINICIÓN Sean (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno y W un subespacio vectorial de V . El subespacio ortogonal de V notado por W ┴ se define por: W ┴ u V : w W , u, w 0 La definición anterior indica que el subespacio ortogonal W ┴ contiene a todos los vectores de V que son ortogonales a cada uno de los elementos de W . Ejemplo Sea el espacio vectorial R 4 . W R 4 W u x, y, z, w R 4 : x y 3z w 0 a) Hallar W ┴. b) Demostrar que R 4 W W ┴. Solución: a) u y 3 z w , y , z , w u y 1,1,0,0 z 3,0,1,0 w 1,0,0,1 B 1,1,0,0 , 3,0,1,0 , 1,0,0,1 u1 , u2 , u3 B es base de W W ┴ v x' , y' , z ' , w' R 4 : v, u 0 W ┴ se obtiene de : v, u1 0 , v, u2 0 , v, u3 0 De donde x' y ' 0 3 x' z ' 0 x' w' 0 y ' x' z ' 3 x' w' x' W ┴ v x' , y' , z ' , w' R 4 : y' x' , z ' 3x' , w' x`' ó también: v x ' , x ' ,3 x ' , x ' x ' 1,1,3,1 W ┴ 1,1,3,1 b) Se deja como ejercicio. ÁLGEBRA LINEAL 175 PRODUCTO INTERNO PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sea el espacio vectorial P1 t , p (t ), q (t ) P1 t , tales que p (t ) a1t a0 y q (t ) b1t b0 . Determinar si p (t ), q (t ) a1b1 a0b1 a1b0 8a0b0 define un producto interno en P1 t . ÁLGEBRA LINEAL 176 PRODUCTO INTERNO 2. Sean los vectores u , v R 3 u x1 , x2 , x3 , v y1 , y 2 , y3 . Determinar si (u , v) x1 y1 x2 y 2 x2 y3 x3 y 2 2 x3 y3 define un producto interno en R3 . ÁLGEBRA LINEAL 177 PRODUCTO INTERNO 3. Sea el espacio vectorial S de las matrices simétricas de orden 2. a) Demostrar que A, B Tr ( AB ) define un producto interno en S . b) 1 3 0 8 2 1 , B , C Sean las matrices A 3 4 8 0 1 3 Hallar ( A, B ), ( B, C ), ( 4 A 5C , B ), A , B C ÁLGEBRA LINEAL 178 PRODUCTO INTERNO 4. Sea V un espacio vectorial definido con producto interno, probar que u, v V , 2 2 cumplen que u v u v 2 si y sólo si u , v 0 . Este resultado se conoce como Teorema de Pitágoras. 5. Probar la Ley del Paralelogramo para dos vectores cualesquiera en un espacio vectorial con producto interno: uv uv 2 ÁLGEBRA LINEAL 2 2u 2v 2 2 179 PRODUCTO INTERNO 6. 7. En el espacio vectorial R 2 , determinar: a) x , tal que (3,2) y (1, x +2) sean ortogonales. b) t , tal que u (t ) (1 t ,2t 2) sea unitario, t R . Dada la base S s1 , s2 , s3 R3 tal que s1 (2,1,1), s2 (1,0,1), s3 (1,1,1) A partir de S calcular una base T ortogonal de R3 conociendo que: s1 s2 1, s1 , s3 s1 0, s1 , s2 0, s3 , s2 4 Nota: El producto interno dado no es el usual ÁLGEBRA LINEAL 180 PRODUCTO INTERNO 8. Dada la base B del espacio euclidiano R 3 B (1,01), (0,1,1), (1,1,0) Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para obtener, una base ortonormal. Aplicar el producto interno usual en R3 . ÁLGEBRA LINEAL 181 PRODUCTO INTERNO 9. Dada la base B del espacio euclidiano R 3 B (1,01), (0,1,11), (0,0,1) Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para obtener, una base ortonormal. Aplicar el producto interno usual en R 3 . ÁLGEBRA LINEAL 182 PRODUCTO INTERNO 10. Sea W subespacio vectorial de las funciones reales, tal que W f : 1,1 R f contínua S W , un conjunto linealmente independiente, donde S 1, t , t 2 . A partir 1 de S encontrar un conjunto ortonormal de W , si f , g f (t ).g (t ).dt , define 1 un producto interno en el espacio vectorial de las funciones reales en el intervalo dado. ÁLGEBRA LINEAL 183 PRODUCTO INTERNO 11. Sea W subespacio vectorial del espacio euclidiano R 3 , donde a) W ( x, y , z ) 2 x y 2 z 0 b) W ( x, y , z ) x 2 y z 0 c) W (1,1,1), (1,2,3) Emplear el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortonormal de W . Aplicar el producto interno usual en R3 . ÁLGEBRA LINEAL 184 PRODUCTO INTERNO 12. Sea W subespacio vectorial del espacio vectorial R 3 W ( a, b, c ) a b c 0 13. a) Hallar una base de B de W y su dimensión. b) Completar una base ortonormal para R 3 usando los vectores de B . Sea W (1,2,1), (1,3,2) , W R 3 a) Hallar una base para el espacio complemento ortogonal de W . b) Dar una descripción geométrica. ÁLGEBRA LINEAL 185 PRODUCTO INTERNO 14. Sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial M 2 x 2 , R,, a b a b a 2b c d 0 a b 2c 0 , y W2 W1 b 3c d 0 c d c d a) Calcular W1 W2 , una base y su dimensión. b) Calcular una base ortogonal para W1 W2 , usando el producto interno A, B Tr A.B t . ÁLGEBRA LINEAL 186 PRODUCTO INTERNO 15. Si W p ( x ) P2 x p ( x ) p ( x 1) un subespacio vectorial de P2 x con el producto interno definido por: 1 p ( x), q ( x) p x q x dx . 0 Hallar el espacio complemento ortogonal de W , esto es, W ┴. ÁLGEBRA LINEAL 187 PRODUCTO INTERNO 16. Sea la matriz A del espacio vectorial del problema 3. 1 2 A 2 3 Hallar el conjunto complemento ortogonal de A , esto es, A ┴. ÁLGEBRA LINEAL 188 PRODUCTO INTERNO 17. Sea W subespacio vectorial de R 4 . W ( x, y , y , w) x 3 y w 0 . a) Hallar el subespacio vectorial W ┴. b) Verificar que R 4 W W ┴ Usar el producto interno usual en R 4 . ÁLGEBRA LINEAL 189 TRANSFORMACIONES LINEALES Capítulo 6 TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIÓN Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo campo. Una función L de V en W que asigna a cada vector v V , un vector L(v) W es una transformación lineal, si y sólo si, K , vi , v j V , satisface los siguientes axiomas: 1. L (v i v j ) L (v i ) L (v j ) 2. L(vi ) L(vi ) La definición anterior indica que L es una transformación lineal si y sólo si K , vi , v j V | Lvi v j Lvi Lv j Gráficamente: Notación Se escribe L : V W para indicar que L transforma el espacio vectorial V en el espacio vectorial W . Terminología A las transformaciones lineales suele llamárseles operadores o aplicaciones lineales. ÁLGEBRA LINEAL 190 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 1 Sea L : V W una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. L (0 V ) 0 W 2. L(vi v j ) L(vi ) L(v j ) DEMOSTRACION 1. L( vi ) L(vi ) 0 vi 0V L (0 V ) 0 W 2. L(vi v j ) L(vi (1)v j ) L(vi ) L(1v j ) L (v i ) L (v j ) NÚCLEO Sea L : V W una transformación lineal, entonces el núcleo de L , notado por N (L) , es el subconjunto de V , que contiene todos los elementos v V , tales que sus imágenes son iguales al vector nulo de W . Así: N ( L) v V | L(v) 0W Al núcleo de L de le llama también Ker L . TEOREMA 2 Sea L : V W una transformación lineal, entonces se cumple que: El núcleo de L es un subespacio vectorial de V . ÁLGEBRA LINEAL 191 TRANSFORMACIONES LINEALES DEMOSTRACION 1. 0V N ( L ) L (0 V ) 0 W 0V N ( L ) 2. K , vi , v j N ( L) vi v j N (L) L(vi v j ) L(vi ) .L(v j ) 0W 0W 0W Por las partes 1. y 2. N (L) es un subespacio vectorial de V Gráficamente: V L W N (L) IMAGEN Sea L : V W una transformación lineal, entonces la imagen de L , notada por Im(L) , es el subconjunto de W , que contiene todos los elementos wW , que son imágenes de vectores v V debidas a la transformación L . Así: Im(L) w W v V , L(v) w A la imagen de L de le llama también rango o recorrido de L . Se debe destacar que las definiciones de núcleo e imagen son muy importantes en el estudio de las transformaciones lineales. ÁLGEBRA LINEAL 192 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 3 Sea L : V W una transformación lineal, entonces se cumple que: La imagen de L es un subespacio vectorial de W . DEMOSTRACION 1. 0W Im(L) L (0 V ) 0 W 0W Im(L) 2. K , wi , w j Im(L) wi w j Im(L) Si wi , w j Im(L) , entonces vi , v j V , tales que: L(vi ) wi (1) L (v j ) w j L (v j ) w j Sumando (1) y (2) L(vi ) L(v j ) wi w j wi w j Im(L) Por las partes 1. y 2. Im(L) es subespacio vectorial de W . Gráficamente: ÁLGEBRA LINEAL (2) 193 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 4 Una transformación lineal queda totalmente determinada si se conocen las imágenes de los elementos de la base del espacio de salida. Sea L : V W una transformación lineal, dim V n S n v1 , v 2 , , v n , una base de V tal que vi V L(vi ) L(v1 ), L(v 2 ), , L(v n ) DEMOSTRACION Si S n es base de V y vi V vi 1v1 2 v 2 n v n Aplicando el operador lineal L a los dos miembros L(vi ) 1 L(v1 ) 2 L(v 2 ) n L(v n ) TEOREMA 5 Sea L : V W una transformación lineal, dim V n dim V dim N ( L) dim Im(L) DEMOSTRACION Sea S v1 , v 2 , , v k , una base de N (L) , donde: 1 k n Se puede extender este conjunto hasta una base de V . Asi: S v1 , v 2 , , v k , v k 1 , , v n Sus imágenes son: L(v1 ), L(v2 ), , L(vk ), L(vk 1 ), , L(vn ) 0W T L(v k 1 ), , L(v n ) P.D. T es base de Im(L) Se debe demostrar que en conjunto genera y es base de la imagen de L. Así: ÁLGEBRA LINEAL 194 TRANSFORMACIONES LINEALES 1. T genera Im(L) Sea wi W tal que vi V L(vi ) wi vi 1v1 2 v 2 k v k k 1v k 1 n v n L(vi ) 1 L(v1 ) 2 L(v 2 ) k L(v k ) k 1 L(v k 1 ) n L(v n ) 0W L(vi ) k 1 L(v k 1 ) n L(v n ) Por lo tanto T genera a Im(L) 2. T es linealmente independiente k 1 L(v k 1 ) n L(v n ) 0W L( k 1v k 1 n v n ) 0W k 1v k 1 n v n N ( L) k 1v k 1 n v n 1v1 2 v 2 k v k 1v1 2 v 2 k v k k 1v k 1 n v n 0V i i 0 T es linealmente independiente. Por las partes 1. y 2. T es base de Im(L) dim Im(L) n k Por lo tanto: dim V dim N ( L) dim Im(L) INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD Sea L : V W una transformación lineal 1. L es inyectiva si y sólo si vi , v j V : v1 v j L (v i ) L (v j ) , ó L (v i ) L (v j ) v i v j 2. L es sobreyectiva si y sólo si L (V ) W ó dim Im( L ) dim W 3. L es biyectiva si y sólo si L es inyectiva y es sobreyectiva. ÁLGEBRA LINEAL 195 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 6 Sea L : V W una transformación lineal. L es inyectiva si y sólo si N ( L) 0V DEMOSTRACION 1. Si L es inyectiva, entonces N ( L) 0V Por contradicción: Se supone que N ( L) 0V L (v ) L (0 V ) v 0V N ( L) 0V 2. Si N ( L) 0V , entonces L es inyectiva Por contradicción: Se supone que L no es inyectiva Sean vi , v j V , vi v j L(vi ) L(v j ) , L no es inyectiva (1) L (v j ) L (v j ) (2) Restando (1) y (2) L (v j ) L (v j ) 0 W L (v j v j ) 0W v j v j 0V vj vj Lo que contradice la suposición, entonces L es inyectiva. Por las partes 1. y 2. el teorema queda demostrado. ÁLGEBRA LINEAL 196 TRANSFORMACIONES LINEALES Corolario 1 Sea L : V W una transformación lineal. Si L es inyectiva, entonces dim N ( L) 0 Corolario 2 Sea L : V W una transformación lineal. L biyectiva si: 1. dim N ( L) 0 2. dim Im(L) dim(W ) Corolario 3 Sea L : V W una transformación lineal, dim V dim W . Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes: L es biyectiva L es sobre L es inyectiva dimN ( L) 0 dim Im(L) dim(W ) CONJUNTO DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES L (V ,W ) Al conjunto de las transformaciones lineales de V e n W , se le notará por: L (V ,W ) L : V W | L es lineal Gráficamente: L IGUALDAD L i , L j L (V ,W ) Li L j vi V : Li (vi ) L j (vi ) ÁLGEBRA LINEAL 197 TRANSFORMACIONES LINEALES OPERACIONES CON TRANFORMACIONES LINEALES SUMA L i , L j L (V ,W ) ( Li L j )(v) Li (v) L j (v) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR K, L i L (V ,W ) ( Li )(v) Li (v) A continuación se presentan los siguientes teoremas que son de mucha utilidad. TEOREMA 7 L i , L j L (V ,W ) se cumple que: Li L j L (V ,W ) DEMOSTRACION Sean Li , L j L (V ,W ) Sea vi V Li (vi ) wi L j (vi ) wi, Considerando que Li , L j L (V ,W ) wi , wi, W , ( Li L j )(vi ) Li (vi ) L j (vi ) wi wi, Según el axioma de clausura para los espacios vectoriales wi wi, W Por lo tanto Li L j L (V ,W ) . ÁLGEBRA LINEAL 198 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 8 K, L i L (V ,W ) se cumple que: Li L (V ,W ) TEOREMA 9 L (V ,W ) definido sobre el campo K , con las operaciones de suma y producto es un espacio vectorial ( L (V ,W ) , K ,,) . DEMOSTRACION Como ejemplo se demuestra el axioma de asociatividad: Li , L j , Lk L (V ,W ) ( Li L j ) Lk Li ( L j Lk ) ( Li L j ) Lk (v) ( Li L j ) Lk (v) ( Li L j )(v) L j (v) Li (v) ( L j )(v) L j (v) Li (v) ( L j )(v) L j (v) Li (v) ( Li L j )(v) Li ( L j Lk ) COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES Sean los espacios vectoriales V ,W , Z definidos sobre el campo K con las operaciones usuales de adición y multiplicación. Se define la siguiente operación: L j L (V ,W ) , Li L (W , Z ) ( Li oL j )(v) Li ( L j (v)) ÁLGEBRA LINEAL 199 TRANSFORMACIONES LINEALES Terminología Li oL j se lee: “ Li compuesta L j ” La siguiente figura ilustra la compuesta de este par de transformaciones lineales: Los siguientes teoremas son de interés. TEOREMA 10 L j L (V ,W ) , Li L (W , Z ) , se cumple que: Li oL j L (V , Z ) DEMOSTRACION ( Li oL j )(v) ( Li oL j )(v) Li ( L j (v)) Li (w) z , zZ Por lo tanto: Li oL j L (V , Z ) ÁLGEBRA LINEAL 200 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 11 Li L (V ,W ) , Lm , Lk L (W , Z ) , se cumple que: ( Lk Lm )oLi Lk oLi Lm oLi TEOREMA 12 Li , L j L (V ,W ) , Lk L (W , Z ) , se cumple que: Lk o( Li L j ) Lk oLi Lk oL j TEOREMA 13 K , L j L (V ,W ) , Li L (W , Z ) , se cumple que: 1. 1. 2. 2. Li oL j Li o L j Li oL j Li oL j 3. TEOREMA 14 Lk L (V ,W ) , L j L (W , Z ) , Li L ( Z ,U ) , se cumple que: Li o( L j oLk ) ( Li oL j )oLk ÁLGEBRA LINEAL 201 TRANSFORMACIONES LINEALES TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES Sea Li L (V ,W ) , Li es invertible si existe una transformación L j : W V , tal que: Li oL j I W y L j oLi I V . Gráficamente: L j Li 1 Li oL1 i IW L1 i oLi I V ÁLGEBRA LINEAL 202 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 15 Sea L una transformación lineal invertible de V en W , entonces: 1. v V : L1 ( L(v)) v 2. w W : L ( L1 ( w)) w DEMOSTRACION 1. ( L1oL)(v) ( L1oL)(v) L1 ( L(v)) L1 ( w) w 2. ( LoL1 )( w) ( LoL1 )( w) L( L1 ( w)) L(v) w TEOREMA 16 Sea L L (V ,W ) , si L es invertible, entonces L1 es una transformación lineal de W en V . DEMOSTRACION P.D. L1 ( L(vi ) L(v j )) L1 (( L(vi )) L1 ( L(v j )) L(vi ), L(v j ) W ( L1oL )(vi v j ) ( L1oL )(vi v j ) L1 ( L((vi v j )) L1 ( L((vi )) L1 ( L(v j )) ÁLGEBRA LINEAL 203 TRANSFORMACIONES LINEALES v i v j (Teorema 15) L1 (( L(vi )) L1 ( L(v j )) TEOREMA 17 Sea la transformación lineal L L (V ,W ) , L es invertible si y solamente sí L es biyectiva. DEMOSTRACION 1. Si L es invertible, entonces es biyectiva L es inyectiva a) Sean vi , v j V Se supone que: L (v i ) L (v j ) L1 ( L(v j )) L1 ( L(v j )) vi v j L es inyectiva L es sobreyectiva b) Sea L L (W ,V ) , w W , v V : L1 ( w) v L( L1 ( w)) L(v) L (v ) w L es sobreyectiva Por a) y b) L es biyectiva 2. Si L es biyectiva, entonces es invertible P.D. L1 : W V L1oL I v LoL1 I W L (v ) w ÁLGEBRA LINEAL (1) 204 TRANSFORMACIONES LINEALES w W , v V H ( w) v (2) De (1) H ( L(v)) H ( w) H ( L(v)) v HoL(v) v HoL I V (3) De (2) L( H ( w)) L(v) De (1) L( H ( w)) w ( LoH )( w) w LoH I W (4) Por (3) y (4) L es invertible y L1 H . MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL A toda transformación lineal L : V W de espacios vectoriales de dimensión finita n y m , respectivamente, se le puede asociar una matriz A M mxn , tal que: x1 x L( X ) AX , donde X 2 x n Recíprocamente a toda matriz A se le puede asociar con una transformación lineal L :V W . Esto es de extrema utilidad. Considerando que: 1. Dim Im(L) Rango de L = Rango de A (Rango es el número de filas no nulas de una matriz escalonada). 2. DimN ( L) n Rango de A . Por lo tanto, se puede determinar el recorrido, núcleo y sus dimensiones determinando el recorrido y el núcleo de la matriz correspondiente. Además si se conoce L( X ) AX , se puede conocer L(X) para todo X mediante una simple multiplicación matricial. ÁLGEBRA LINEAL 205 TRANSFORMACIONES LINEALES TEOREMA 18 Sea L una transformación lineal, dim V n, dim W m . Bs v1 , v2 , , vn , base ordenada de V Bl w1 , w2 , , wm , base ordenada de W , entonces ! A M mxn , tal que L(v)Bl Av Bs donde: A es una matriz cuya j-ésima columna es el vector coordenadas L(v j ) de L(v j ) , 1 j n . Bl DEMOSTRACION 1. Existencia Sea v V v es combinación lineal de Bs v 1v1 2 v 2 n v n vBs 1 2 n (1) (2) L(v) W L(v) es combinación lineal de Bl L(v) 1 w1 2 w2 n wm L(v)Bl 1 2 m (3) (4) De (3) m L(v) i wi i 1 De (1) aplicando el operador L a los dos miembros L(v) L( 1v1 2 v 2 n v n ) L(v) 1 L(v1 ) 2 L(v 2 ) n L(v n ) ÁLGEBRA LINEAL (5) 206 TRANSFORMACIONES LINEALES n L (v ) i v j (6) j 1 L (v j ) W L(v j ) es combinación lineal de Bl L(v j ) a1 j w1 a 2 j w2 a nj wm a1 j a2 j a mj L(v ) j Bl m L(v j ) aij wi (7) i 1 Sustituyendo (7) en (6) n m j 1 i 1 L(v) i aij wi m n L(v) aij j wi i 1 j 1 Igualando (8) y ((5) m n aij j wi w i i i 1 i 1 j 1 m Se cumple la igualdad anterior si n i a ij j j 1 Desarrollando i ai1 1 ai 2 2 ain n También 1 a11 1 a12 2 a1n n 2 a 21 1 a 22 2 a 2 n n m a m 1 a m 2 2 a m n ÁLGEBRA LINEAL (8) 207 TRANSFORMACIONES LINEALES Escribiendo matricialmente 1 a11 2 a 21 a m m1 a1n 1 a 2 n 2 a mn n a12 a 22 am2 A vBs L(v)Bl L(v)Bl Av Bs , donde A L(v1 Bl 2. L(v2 Bl L(vn Bl Unicidad Por contradicción Se supone que A no es única, entonces A ' tal que A ' A L(v)Bl A ' v Bs (1) L(v)Bl Av Bs (2) Igualando (1) y (2) A A' Lo que contradice la suposición. Por lo tanto A es única. REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMAGEN Sea L : V W una transformación lineal con matriz asociada A L Bs Bl , entonces Imagen de L : Av w Núcleo de L : Av O ÁLGEBRA LINEAL 208 TRANSFORMACIONES LINEALES Observaciones 1. Dim Im(L) Rango de L = Rango de A Rango es el número de filas no nulas de una matriz escalonada. 2. DimN ( L) n Rango de A . MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sea la siguiente composición de funciones: Base Base La matriz asociada a Li oL j , existe y cumple que: ( Li oL j )(v)B3 Li oL j BB13vB1 TEOREMA 19 L j L (V ,W ) , Li L (W , Z ) , se cumple que: L oL i B1 j B3 ÁLGEBRA LINEAL Li B 3 . L j B2 B1 B2 Base dim 209 TRANSFORMACIONES LINEALES DEMOSTRACION ( L oL (v) = L ( L (v) L L (v) L oL v L .L L oL L .L i j B3 ( Li oL j (v) i j B2 i B3 i B1 j B3 i B1 j B3 B3 j B2 i B3 B1 B2 i B3 B3 (Teorema 18) B2 B1 j B2 B1 j B2 SEMEJANZA DE MATRICES TEOREMA 20 Sea L : V W una transformación lineal, dimV n y la dimW m . S , S ' , bases ordenadas de V , con matriz de cambio de base PS ' S de S ' a S , y T y T ' bases ordenadas de W con matriz de cambio de base QT 'T de T ' a T . Entonces si B L TS '' y A L TS B QT1'T . A. PS ' S DEMOSTRACION S s1 , s 2 , .s n S ' s1' , s 2' ,.s n' T t1 , t 2 , .t n T ' t1' , t 2' ,.t n' s S Ps S t T Qt T ' ' s 'j representa la j-ésima columna de P t 'j representa la j-ésima columna de Q Si A LT , entonces S ÁLGEBRA LINEAL (1) (2) 210 TRANSFORMACIONES LINEALES L( s)T As S (Teorema 18) (3) L( s ) t (4) Sustituyendo (4) en (2) L( s)T Qt T ' (5) Igualando (5) y (3) QL( s )T ' As S (6) Sustituyendo (1) en (6) QL( s )T ' APs S ' (7) Multiplicando a (7) por Q 1 L(s)T LTS ' ' ' Q 1 APs S ' Q 1 AP Gráficamente: Los conjuntos S ' , S y T ' , T son bases ordenadas de V y W respectivamente. Se definen las matrices asociadas A y B vi S S T A L L(vi ) T Q P vi S ' ÁLGEBRA LINEAL S' T ' B L L(vi ) T ' 211 TRANSFORMACIONES LINEALES P y Q son las matrices de cambio de base de S ' a S y de T ' a T respectivamente. Entonces se pueden considerar: 1. AST es la representación directa de L 2. BS 'T ' QT'1T AST PS ' S Además: 3. BST ' QT'1T AST 4. BS 'T AST PS ' S Corolario Sea L : V V una transformación lineal y sean S , S ' bases ordenadas de V con matriz S' de cambio de base PS ' S de S ' a S . Entonces si B L S ' y A L SS B P S 1' S . A. P S ' S DEFINICIÓN Sean las matrices A, B M n xn , B es semejante a A si existe una matriz P invertible, tal que, B P 1 AP . TEOREMA 21 Sean L : V W una transformación lineal y A, B M mxn . Las matrices A y B son semejantes si y sólo si representan la misma transformación lineal respecto a bases diferentes. ÁLGEBRA LINEAL 212 TRANSFORMACIONES LINEALES Observaciones 1. Si B es la matriz asociada a f respecto a la base B2 y A es la matriz asociada a f respecto a la base B1 , entonces se tiene que B P 1 AP , donde P es la matriz de transición de la base B2 a la base B1 . Este es uno de los casos que ocurre con mucha frecuencia en las aplicaciones a la ingeniería. 2 El propósito de una representación matricial de la transformación lineal f es permitir analizar f usando B . Trabajar con B presenta ventajas. Como bases distintas dan como resultado matrices asociadas distintas, la elección adecuada de una base para obtener una matriz B sencilla es importante. Este es el objetivo del siguiente capítulo. Resumen La teoría de matrices es una herramienta muy útil en muchas áreas del conocimiento, ya que permite trabajar con grandes conjuntos de información de una forma cómoda y activa. Sin embargo, el concepto de matriz consiste en algo más que una "tabla de “números”, de hecho, es la representación de funciones definidas entre espacios vectoriales que se conocen como transformaciones lineales. En este sentido, se ilustra en distintos ejercicios la correspondencia uno a uno existente entre el conjunto de matrices de orden mxn y el de las transformaciones lineales de V en W , que son espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. La conexión entre estos conceptos es tan estrecha que las operaciones entre transformaciones lineales tienen una simetría en términos de matrices. Otra muestra más, de esta relación, la ofrece el concepto de matriz inversa, que está asociado al de transformación lineal inversa. Así pues, los contenidos que se enfatizan en este capítulo son: Transformaciones lineales. Núcleo e imagen. Isomorfismos. Operaciones entre transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal compuesta. Matriz y transformación lineal inversa. ÁLGEBRA LINEAL 213 TRANSFORMACIONES LINEALES PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determinar si la función dada es una transformación lineal f :RR x y f ( x) a) f ( x) x 2 b) f ( x) ax b , si : i) b 0 ii) b 0 c) f ( x) senx d) f ( x) e x e) f ( x) x ÁLGEBRA LINEAL 214 TRANSFORMACIONES LINEALES 2. Determinar si la función f es una transformación lineal f : R2 R2 a) b) x, y f x, y x y , x 2 y f : Mn Mn A f ( A) At F :V R c) b f F ( f ) f ( x)dx a ÁLGEBRA LINEAL , donde V f a , b R : f es contínua 215 TRANSFORMACIONES LINEALES 3. Sea la función f : R4 P1 x (a, b, c, d) f ( a, b, c, d ) a b d a c d x a) Hallar la imagen de f una base y su dimensión. b) Encontrar el núcleo de f una base y su dimensión. ÁLGEBRA LINEAL 216 TRANSFORMACIONES LINEALES 4. Dada la función f : R 2 P1 x (a, b) f (a, b) (a b) (b 2a) x a) Demostrar que f es una transformación lineal. b) Hallar la imagen de f una base y su dimensión. c) Encontrar el núcleo de f una base y su dimensión. d) ¿f es inyectiva, es sobreyectiva? ÁLGEBRA LINEAL 217 TRANSFORMACIONES LINEALES 5. Sean T : R 3 R 2 una transformación lineal y B una base de R 3 tales que B (1,0, 1), ( 2, 1,1), ( 1,1, 1) T (1,0,1) (3,1), T (2,1.1) (4,2), T (1,1,1) (1,3) . a) Hallar T ( x, y, z ) explícitamente. b) Encontrar la imagen de T , una base y su dimensión. c) Calcular el núcleo de T , una base y su dimensión. ÁLGEBRA LINEAL 218 TRANSFORMACIONES LINEALES 6. Sean f : P2 x R3 una transformación lineal y B una base de P2 x tales que: B 1 x,1 x 2 , x x 2 f 1 x 0,1,1 f x x 1,1,0 f 1 x 2 1,0,1 2 Hallar: a) f (a bx cx 2 ) explícitamente. b) Hallar la imagen de f , una base y su dimensión. c) Encontrar el núcleo de f, una base y su dimensión. ÁLGEBRA LINEAL 219 TRANSFORMACIONES LINEALES 7. Sea la transformación lineal f : P2 x a bx cx 2 R3 f a bx cx 2 a b c, a b c, a b c a) ¿Para qué valores de , f es biyectiva? b) Calcular f 1 para 0 . ÁLGEBRA LINEAL 220 TRANSFORMACIONES LINEALES 8. Sea f : R 3 M una transformación lineal tal que 2x y 2z x 2z f ( x, y, z ) 2 x y 2 z 3x y ( 1) z donde M es el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2x2. a) Hallar los valores de para los cuales f es biyectiva. b) Encontrar la inversa de f si 0 . ÁLGEBRA LINEAL 221 TRANSFORMACIONES LINEALES 9. Dada f : R 3 R 3 , una transformación lineal invertible tal que f ( x, y , z ) x 2 y z , y 3 z , x 2 z y. además, B1 (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) y B2 (1,1,1), (0,1,1), (0,0,1), bases R 3 . a) Comprobar que f es invertible b) Hallar A f BB12 . c) Si f (u )B 2 ÁLGEBRA LINEAL 1 3 hallar u . Sugerencia: u B1 A 1 f (u )B 2 . 1 222 TRANSFORMACIONES LINEALES 10. Sea la transformación lineal f : Ms a b c d Ms a b c a b a b f a c c d a b c x donde M s A2 x 2 : A es simétrica es subespacio vectorial de M 2 2 , y 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 , , , B2 , , B1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 son bases ordenadas del subespacio vectorial M S , R,, . a) Hallar la matriz asociada A f BB12 . b) Encontrar ÁLGEBRA LINEAL 2 1 . 1 0 f ( E ) B2 , conociendo que E 223 TRANSFORMACIONES LINEALES 11. Sea el conjunto B u1 , u 2 , u 3 base de R 3 donde u1 (1,1,1), u2 (1,0,1), u3 (1,1,1) Si L : R 3 R 3 es una transformación lineal, tal que u1 N ( L ) , v2 L(u2 ) (0,1,1), v3 L(u3 ) (1,1,1) a) Hallar la matriz asociada A L BB . b) Encontrar L( x, y, z ) c) ¿ L es inyectiva, sobre, biyectiva? d) A partir del conjunto v 2 , v3 completar una base ortogonal para R 3 . ÁLGEBRA LINEAL 224 TRANSFORMACIONES LINEALES 12. Dada la transformación lineal L: R3 R3 x, y , z L x, y , z x 2 y , x 3 y 5 z ,2 x 3 y z a) ¿Para qué valores de , L es biyectiva? b) Hallar la matriz asociada a L respecto a las bases canónicas c) Encontrar una base B para la cual la matriz asociada a L respecto a B tenga una columna de ceros. (Indicación: uno de los vectores de B debe pertenecer al núcleo). ÁLGEBRA LINEAL 225 TRANSFORMACIONES LINEALES 13. Dada la transformación lineal L: P2 P2 p(x) L(p(x)) p' (x) - 2 p(x) a) Comprobar que L es invertible b) Hallar L1 c) Encontrar la matriz asociada A L CB , donde C 1, x, x 2 y B 1 x, x x 2 ,1 x 2 son bases de P2 . d) Si p ( x) 2 x x 2 , hallar L( p( x)) usando la definición y usando A . ÁLGEBRA LINEAL 226 TRANSFORMACIONES LINEALES 14. Sean f : R 3 R 3 una transformación lineal y B base de R 3 , donde f 1,0,0 1,1, , f 0,1,1 0,1,1 , f 0,2,1 0,2,1 B (1,0,0), (0,1,1), (0,2,1) a) Encontrar f ( x, y, z ) b) ¿Para qué valores de , L es biyectiva? c) Hallar las bases del núcleo y la imagen de L usando b). d) Calcular la matriz asociada A f BB cuando 2 ÁLGEBRA LINEAL 227 TRANSFORMACIONES LINEALES 15. Sean f L P2 t , R 3 y B1 y B2 bases ordenadas de P2 t , R 3 respectivamente B1 t t 2 ,1, t 2 y B2 0,1,1, 1,0,1, 1,1,0 A f B1 B2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Calcular explícitamente f L P2 t , R 3 . b) Encontrar f ( p( x)) de dos maneras: usando la matriz asociada y el resultado en a). Considerar que p ( x) x 2 5 x 6 ÁLGEBRA LINEAL 228 TRANSFORMACIONES LINEALES 16. Sean las transformaciones lineales f : R3 R3 x, y , z f x, y , z x g: R3 R3 x, y , z f x, y , z x a) Hallar gof y A gof CC . b) Calcular B g CC y C f CC c) Verificar que A BC ÁLGEBRA LINEAL z, y z, x y , x y , x y z 229 TRANSFORMACIONES LINEALES 17. Sea gof : P2 t R 3 , una transformación lineal tal que gof ( p(t )) g ( f ( p(t )) g ( p(0), p' (1)) ( p(0), p' (1), p(0) p' (1)) , y las bases B1 1 t , t , t 2 B2 (1,1), (1,2) B3 (1,1,0), (01,1), (0,1,0) a) Encontrar gof BB13 directamente. b) Verificar que: gof BB13 g BB 32 .g BB12 . ÁLGEBRA LINEAL 230 TRANSFORMACIONES LINEALES 18. Sea f : R3 R3 una transformación lineal donde 1 1 1 1 1 1 0 1 A f B 0 B2 1 B1 1,0,0 , 0,0,1, 0,1,0 y B2 1,1,0 , 0,1,1, 1,0,1 son bases R3 . a) Hallar f explícitamente. b) Calcular f CC , donde C representa la base canónica de R3 . c) Encontrar f (u ) de dos maneras. Considerar que u B1 ÁLGEBRA LINEAL 1 2 . 1 231 TRANSFORMACIONES LINEALES 19. Sea la transformación lineal f : M 2x 2 a b c d R2 a b a b c, b c d f c d a) Calcular f CB . C representa la base canónica. b) Encontrar f CC . C representa la base canónica. c) 1 1 Determinar f (E ) usando a). Si E B . 0 2 ÁLGEBRA LINEAL x 1 0 0 1 0 0 0 0 , , , base ordenada de M 2 B 0 1 1 0 1 1 0 1 2 232 TRANSFORMACIONES LINEALES 20. Sean las bases del espacio vectorial P2 x B 1 x, x, x x 2 y S 2,1 x, x 2 a) b) Hallar la matriz de cambio de base de B a S. Calcular ÁLGEBRA LINEAL p ( x)S si p( x)B 2 1 y determinar p (x ) . 1 233 TRANSFORMACIONES LINEALES 21. Dadas las transformaciones lineales f : R 2 R 3 y g : R 3 R 2 definidas por f (u1 , u 2 ) (u1 , u 2 ,0) g (v1 , v2 , v3 ) (v1 v3 , v2 v3 ) a) Obtener la transformación lineal h fog . b) Expresar A f CC . c) Hallar B g CB . d) Encontrar E hB . B B (1,0,1), (0,2,3), (1,1,2 y C son bases ordenadas de R 3 . ÁLGEBRA LINEAL 234 TRANSFORMACIONES LINEALES 22. Sean las bases de R 2 B1 (1,0), (0,1) y B 2 (1,3), ( 2,5) a) Hallar la matriz de cambio de base Q de B1 a B2 . b) Encontrar la matriz de cambio de base P de B2 a B1 . c) Verificar que P Q 1 . d) Mostrar que u B2 Q u B1 , donde u ( x, y, z ) . e) 2 B1 Mostrar que B P 1 A P , donde B f B B 2 , A f B1 , y además f ( x, y , z ) ( 2 y , 3 x y ) . ÁLGEBRA LINEAL 235 TRANSFORMACIONES LINEALES 23. Sean las bases de R3 B1 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y B2 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) a) Hallar la matriz de cambio de base Q de B1 a B2 . b) Encontrar la matriz de cambio de base P de B2 a B1 . c) Verificar que P Q 1 . d) Mostrar que u B2 Q u B1 , donde u ( x, y, z ) . e) 2 B1 Mostrar que B P 1 A P , donde B f B B 2 , A f B1 , y además f ( x, y , z ) ( 2 y z , x 4 y , 3 x ) . ÁLGEBRA LINEAL 236 TRANSFORMACIONES LINEALES 24. Dada la transformación lineal f : R 2 R 2 si se conoce que f( 1, 1 ) ( 2 ,1 ) y f ( 2,3) (3,1) a) Calcular f explícitamente. b) Hallar la matriz A f CC . C es la base canónica de R 2 . c) Encontrar la matriz B f SS usando la matriz de cambio de base. S (1,1), ( 1,1) es base de R 2 . ÁLGEBRA LINEAL 237 TRANSFORMACIONES LINEALES 25. Dadas la transformación lineal f y las bases C y S de R 2 f : R2 R2 x, y f x, y x, y C es base canónica y S (1,1), (1,2 a) Hallar A f CC . b) Calcular B f SS usando la matriz de cambio de base. c) Mostrar que A y B son semejantes. ÁLGEBRA LINEAL 238 TRANSFORMACIONES LINEALES 26. Dada la transformación lineal f : R3 R3 x, y , z f x, y , z ( 2 x z , x y z , z ) , y C la base canónica de R 3 S (1,0,11), (0,1,0), (1,1,0) base ordenada de R 3 a) Hallar A f CC . b) Calcular B f SS usando la matriz de cambio de base. c) Mostrar que A y B son semejantes. ÁLGEBRA LINEAL 239 TRANSFORMACIONES LINEALES 27. Dada la transformación lineal f : R 3 R 2 donde 2 1 1 B A f C 3 2 3 B e1 , e2 , e3 es base canónica R 3 C f 1 , f 2 es base canónica R 2 a) Si B' e1 ' , e2 ' , e3 ' donde e1 ' e2 e3 e2 ' e1 e3 e3 ' e1 e2 b) Calcular f CB ' Si C ' f 1 ' , f 2 ' donde 1 f1 ' f1 f 2 2 1 f 2 ' f1 f 2 2 Calcular f CB '' ÁLGEBRA LINEAL 240 TRANSFORMACIONES LINEALES 28. Dada la transformación lineal f : R 2 R 2 donde 2 3 B A f C 1 1 B (1,1), ( 2,3) es base R 3 C e1 , e 2 es base canónica R 2 B ' e1 , e 2 es base canónica R 2 C ' (1,1), ( 2,1) es base R 3 Hallar f CB '' usando la matriz de cambio de base. ÁLGEBRA LINEAL 241 VALORES Y VECTORES PROPIOS Capítulo 7 VALORES Y VECTORES PROPIOS DEFINICIÓN Sean L L (V ,V ) , (V , K ,,) , K es valor propio de L , si y solo sí v 0V , v V , tal que, L (v ) v . v V , v 0V , es vector propio de L asociado con el valor propio . Gráficamente: Observaciones 1. 0V no es un vector propio 2. 0 si es un valor propio ÁLGEBRA LINEAL 242 VALORES Y VECTORES PROPIOS Notación V representa al conjunto de vectores propios de la transformación lineal L asociados al valor propio , incluyendo al vector nulo. V v L(v) v 0V TEOREMA 1 V es subespacio vectorial de (V , K ,,) DEMOSTRACION 1. 0 V V Si cumple por definición 2. K , u , v V u v V L(u ) u (1) L (v ) v (2) L(u v) L(u ) L(v) (3) Sustituyendo (1) y (2) en (3) L(u v) u v (u v) u v VK Por 1. y 2. V es subespacio vectorial de V . VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES Sean K y X M nx1 . y X se llaman valor y vector propios de A M nxn , respectivamente si y sólo si AX X ÁLGEBRA LINEAL 243 VALORES Y VECTORES PROPIOS TEOREMA 2 Sean L L (V ,V ) , (V , K ,,) , A LS y X M nx1 , entonces S es un valor propio de L , si y sólo si es un valor propio de la matriz asociada A . DEMOSTRACION 1. Si es un valor propio de L , entonces es un valor propio de A Si es un valor propio de L , L(v) v L(v)S vS Av S v S AX X es un valor propio de A 2. Si es un valor propio de A , entonces es un valor propio de L . Seguir el proceso inverso TEOREMA 3 Si es un valor propio de A , V CS ( I A) X O ó también V CS ( A I ) X O DEMOSTRACION Si es un valor propio de A , entonces AX X X AX O ( I A) X O CS X ( I A) X O (1) V X (I A) X O 0 nK 1 (2) Igualando (1) y (2) ÁLGEBRA LINEAL 244 VALORES Y VECTORES PROPIOS V CS ( I A) X O Corolario 1 DimV n Rango ( I A) n Rango ( A I ) Corolario 2 es valor propio de A si y sólo si det( I A) 0 ó det( A I ) 0 TEOREMA 4 Sea A M nxn y sean 1 , 2 , , n valores propios diferentes de A , con sus vectores propios asociados v1 , v 2 , , v n , entonces v1 , v 2 , , v n es linealmente independiente. DEMOSTRACION Se demuestra por inducción 1. Si n 2 v1 , v 2 son vectores propios asociados a los valores propios 1 , 2 1v1 2 v 2 0V (1) Multiplicando (1) por A 1 Av1 2 Av 2 0V 11v1 2 2 v 2 0V (2) Multiplicando (1) por 1 11v1 2 1v 2 0V Restando (3)-(2) 2 1v 2 2 2 v 2 0V 2 (1 2 )v 2 0V 2 0 , ya que, 1 2 , y v 2 0V (vector propio) ÁLGEBRA LINEAL (3) 245 VALORES Y VECTORES PROPIOS De (1) 1 0 v1 , v 2 es linealmente independiente. 2. nk Si v1 , v 2 , , v n es LI, entonces v1 , v 2 , , v n , v n 1 es linealmente independiente 1v1 2 v 2 n nv n 1vv 1 0V (4) Multiplicando (4) por A 1v1 A 2 v2 A n vn A n 1vn 1 A 0V 11v1 2 2 v 2 n n v n n 1 n 1v n 1 0V (5) Multiplicando (4) por n 1 1 n 1v1 2 n 1v 2 n n 1 nv n 1 n 1v n 1 0V Restando (6) de (5) 1 (1 n 1 )v1 2 ( 2 n 1 )v 2 n ( n n 1 )v n 0V v1 , v2 ,, vn es linealmente independiente, entonces 1 n 1 0, 2 n 1 0, , n n 1 0 1 2 n 0 De (4) n 1 0 , por lo tanto v1 , v2 ,, vn , vn1 es linealmente independiente. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ Sea A M nxn , p( ) es el polinomio característico de A si y solo si: p( ) det(I A) det( A I ) ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ Sea A M nxn , p( ) 0 es la ecuación característica de A si y solo si: p( ) det(I A) det( A I ) 0 ÁLGEBRA LINEAL (6) 246 VALORES Y VECTORES PROPIOS CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO Si A M 2 x 2 p ( ) 2 tr ( A) det A x Si A M 3 3 p ( ) 3 tr ( A)2 P11 P22 P33 det A Generalizando: Si A M nxn p ( ) tr ( A) n n 1 n2 tr2 ( A) n 3 tr3 ( A) 0 det A siendo tri ( A) la suma de todos los menores de orden i que contienen en su diagonal principal, i elementos de la diagonal principal de A . TEOREMA 5 K es un valor propio de A M nxn si y solo si es raíz de la ecuación característica de A . DEMOSTRACION a) Si K es un valor propio de A M nxn , es raíz de la ecuación característica de A . Si K es un valor propio de A , entonces p( ) det(I A) det( A I ) 0 es raíz de la ecuación característica de A . b) Se sigue el proceso inverso MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Sea A M nxn y p ( ) 1 n1 2 n 2 n nr 0 su ecuación característica y 1 , 2 , , n son raíces de p y las mismas son de multiplicidad algebraica (MA) n1 , n 2 , , n r . MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA DimVi MGi ÁLGEBRA LINEAL 247 VALORES Y VECTORES PROPIOS Observación MGi MAi MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN DEFINICIÓN Sean A, B M nxn . A es semejante a B si existe una matriz P invertible, tal que, B P 1 AP . DEFINICIÓN Sea A M nxn . A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que, A es semejante a D , es decir, D P 1 AP . TEOREMA 6 Sean A M nxn una matriz asociada a L y L L (V ,V ) entonces, A es diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial M nx1 , formada por vectores propios de A . DEMOSTRACION a) Si A es diagonalizable, existe una base del espacio vectorial M nx1 , formada por vectores propios de A . Si A es diagonalizable, D P 1 AP Multiplicando a los dos miembros de la igualdad anterior por P , se obtiene ÁLGEBRA LINEAL 248 VALORES Y VECTORES PROPIOS PD AP Se escriben D y P en forma desarrollada 1 D 2 k n b11 b21 P b j1 b n1 b12 b1 j b22 b2 j b j2 b jj bn 2 bnj b1n b2 n b jn bnn Columna j-ésima de P.D P. Columna j-ésima de D , ( D j ) P.D j (1) Columna j-ésima de A.D A. Columna j-ésima de P , ( Pj ) A.Pj (2) Igualando (1) y (2) P.D j A.Pj (3) b1 j b2 j P.D j j b jj b nj P.D j j Pj De (3) A.Pj j Pj Pj es un vector propio de A asociado al valor propio j . Generalizando, existen n vectores propios que constituyen una base de A M nx1 . (Teorema 4) ÁLGEBRA LINEAL 249 VALORES Y VECTORES PROPIOS b) Si existe una base de M nx1 formada por vectores propios de A , entonces A es diagonalizable. Sea S v p1 , v p 2 ,, v pn base de nK 1 v V es combinación lineal de S v 1v p1 2 v p 2 n v pn L(v) 1 L(v p1 ) 2 L(v p 2 ) n L(v pn ) (1) L(v p1 ) 1v p1 0.v p 2 0.v pn L(v p 2 ) 0.v p1 2 .v p 2 0.v L(v ) 0.v 0.v v pn p1 p2 n pn (2) Sustituyendo (2) en (1) L(v) 1 (1v p1 0.v p 2 0.v pn ) 2 (0.v p1 2 .v p 2 0.v pn ) n (0.v p1 0.v p 2 n v pn ) Reordenando L(v) (11 0. 2 0. n )v p1 (0.1 2 . 2 0. n )v p 2 (0.1 0. 2 n n )v pn Escribiendo matricialmente L(v)S 1 1 0. 2 0. n 0. 1 2 2 0. n 0. 0. . 2 n n 1 1 1 2 2 L(v)S n n DL S S ÁLGEBRA LINEAL v S 250 VALORES Y VECTORES PROPIOS L(v)S Dv S A es semejante a D , entonces A es diagonalizable. Corolario 1 Si An tiene n vectores propios, entonces An es diagonalizable ( MGi MAi ) Corolario 2 Si An es diagonalizable, la matriz diagonal semejante a An tiene en su diagonal los valores propios de An . Observación Si vi c son las coordenadas del vector vi en la base canónica C , entonces vi s son las coordenadas del vector vi en la base de vectores propios S de A y forman la matriz P. AL C C L (v ) vi C i C P 1 D L S S L (v ) vi S i S DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS En este apartado se analiza la diagonalización de matrices simétricas ( A A t ) . Se hace particular este caso, debido a que es más fácil de resolver que el caso general, y a que las matrices simétricas se presentan en muchos problemas de aplicación. TEOREMA 7 Todas las raíces de la ecuación característica de una matriz real y simétrica son reales. ÁLGEBRA LINEAL 251 VALORES Y VECTORES PROPIOS DEMOSTRACION Se supone que existen valores propios C de A M ( R ) nxn tales que AX X _____ _____ AX .X ____ __ ____ A X . X (1) Multiplicando (1) por X t ____ __ ____ X tA X X t . X ____ __ ____ ____ __ ____ ____ __ ____ ( X t A) X . X t X ( AX t ) X . X t X ( X ) t X . X t X ____ __ ____ X t X .X t X __ Lo que contradice la suposición, entonces R TEOREMA 8 Si A M nxn es matriz simétrica, entonces los vectores propios asociados a valores propios distintos de A son ortogonales. DEMOSTRACION Sean X 1 y X 2 vectores propios de A con valores propios 1 y 2 , tales que: AX 1 1 X 1 (1) AX 2 2 X 2 (2) 1 ( X 1 , X 2 ) 1 ( X 1 , X 2 ) (1 X 1 , X 2 ) Sustituyendo (1) en (3) ÁLGEBRA LINEAL (3) 252 VALORES Y VECTORES PROPIOS 1 ( X 1 , X 2 ) ( AX 1 , X 2 ) ( X 1 , AX 2 ) (4) Sustituyendo (2) en (4) 1 ( X 1 , X 2 ) ( X 1 , 2 X 2 ) 1 ( X 1 , X 2 ) 2 ( X 1 , X 2 ) 1 ( X 1 , X 2 ) 2 ( X 1 , X 2 ) 0 (1 2 )( X 1 , X 2 ) 0 , donde (1 2 ) 0 (Hipótesis) (X1, X 2 ) 0 DEFINICION Una matriz cuadrada A es ortogonal si su matriz inversa es igual a su transpuesta, esto es, A 1 A t . TEOREMA 9 Sea A M nxn , A es ortogonal si y sólo si las columnas y las filas de A forman un conjunto ortonormal de vectores de R n . TEOREMA 10 Si A es una matriz real y simétrica, entonces existe una matriz ortogonal P , tal que P 1 AP P t AP D . En consecuencia se dice que la matriz A es ortogonalmente diagonalizable. ÁLGEBRA LINEAL 253 VALORES Y VECTORES PROPIOS DEMOSTRACION Si A es una matriz real y simétrica, existe una base de vectores de M nx1 , (Teorema 6) existe una base de vectores ortonormales de M nx1 , entonces existe una matriz P ortogonal, tal que, P 1 P t , donde P 1 AP P t AP D . TEOREMA 11 Sea la matriz A M ( R) n . Si A es simétrica, entonces es diagonalizable. PROPIEDADES Sea A M nxn 1. Si u y v son vectores propios asociados al valor propio de A , si u v 0V , entonces u v es un vector propio asociado con . 2. Si u es un vector propio asociado con el valor propio de A , ku, k 0, también es un vector propio asociado con . 3. Si es un valor propio de A y u es un vector propio asociado, para cualquier entero no negativo k , k es un valor propio de Ak y u es un vector propio asociado. 4. A y A t tienen los mismos valores propios. 5. Si A es una matriz diagonal, triangular superior o triangular inferior, sus valores propios son las componentes de su diagonal. 6. A es el producto de todas las raíces del polinomio característico de A . De manera equivalente, A es el producto de los valores propios de A . 7. Matrices semejantes tienen los mismos valores propios. 8. A no es invertible si y sólo si 0 es un valor propio de A . 9. A es diagonalizable si y sólo si A tiene n vectores propios linealmente independientes. 10. Si A tiene n valores propios distintos, A es diagonalizable. ÁLGEBRA LINEAL 254 VALORES Y VECTORES PROPIOS TEOREMA DE CALEY - HAMILTON TEOREMA 12 Si P( ) y Q( ) son polinomios en la variable escalar , con coeficientes matriciales cuadrados y si P( ) Q( ).(I A) , entonces P( A) O. DEMOSTRACION Q ( ) 0 1 2 2 n n , donde 1 son coeficientes matriciales cuadrados P ( ) 0 1 2 2 n n I A P ( ) 0 A 1 A 2 A2 n An 0 12 2 3 n n 1 Si A P( A) 0 A 1 A2 2 A3 n An 1 0 A 1 A2 2 A3 nn 1 P ( A) O // TEOREMA 13 Toda matriz cuadrada satisface su ecuación característica, es decir, si P( ) 0 , es la ecuación característica de A , entonces P ( A) O . DEMOSTRACION Considerando que a11 a12 a1n a21 a22 a2n P ( ) I A an1 an 2 ann Cualquier cofactor de la matriz I A es un polinomio en , entonces ÁLGEBRA LINEAL 255 VALORES Y VECTORES PROPIOS P11 ( ) P12 ( ) P1n ( ) P21 ( ) P22 ( ) P2n ( ) Adj I A P ( ) P ( ) P ( ) n2 nn n1 Esto es, se puede expresar adj I A como un polinomio Q( ) . Además: det I A I adj I A . I A det I A I Q ( ). I A (1) Por otro lado det I A I P ( ) I P ( ) (2) Igualando (1) y (2) P ( ) Q ( ). I A Si A P ( A) O // (Teorema 12) CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Sea A M nxn invertible, entonces existe la matriz A1 . La ecuación característica de A es p ( ) n a n 1 n 1 a1 a0 0 p ( ) I n I a n 1n 1I a1I a0 I 0.I P ( ) n a n 1 n 1 a1 a0 I O Si A P ( A) A n a n 1 A n 1 a1 A a0 I O A 1.P ( A) A n 1 a n 1 A n 2 a1I a0 A 1 O A1 1 An 1 an 1 A n 2 a1I a0 Ejemplo ÁLGEBRA LINEAL 256 VALORES Y VECTORES PROPIOS Dada la matriz 1 1 4 A 3 2 1 2 1 1 a) Encontrar la ecuación característica b) Verificar que P( A) O c) Hallar A 1 Solución: a) p ( ) 3 tr ( A)2 ( P11 P22 P33 ) A 0 p ( ) 3 22 5 6 0 b) P ( A) A3 2 A 2 5 A 6 I O 1 1 4 A 3 2 1 2 1 1 6 1 1 A 7 0 11 3 1 8 2 11 3 22 A 29 4 17 16 13 5 3 11 3 22 6 1 1 1 1 4 1 0 0 0 0 0 P( A) 29 4 17 2 7 0 11 5 3 2 1 6 0 1 0 0 0 0 16 13 5 3 1 8 2 1 1 0 0 1 0 0 0 P( A) O c) A1 1 A2 2 A 5I 6 1 1 4 A 3 2 1 2 1 1 6 1 1 A 7 0 11 3 1 8 2 6 1 1 2 2 8 5 0 0 1 A 1 7 0 11 6 4 2 0 5 0 6 3 1 8 4 2 2 0 0 5 1 3 7 1 A 1 9 13 6 1 3 5 1 ÁLGEBRA LINEAL 257 VALORES Y VECTORES PROPIOS FORMAS CUADRÁTICAS Y CANÓNICAS DEFINICION Sea A M nxn , la función: QA : R n R x Q A ( x) X t AX se llama forma cuadrática asociada a la matriz A a la expresión Q A ( x) X t A X En forma desarrollada: Q A ( x) x1 a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2n x2 x2 xn a n1 an 2 ann xn Observación Q A ( x ) puede ser representada por muchas matrices, pero solo por una matriz simétrica. Particular Sea Q A ( x) ax12 bx1 x2 cx22 , su matriz simétrica esta dada por: a b2 A b c 2 TEOREMA 12 Sea A M nxn , existe una matriz simétrica A1 , tal que QA ( x) QA1 ( x) , X t A X X t A1 X DEMOSTRACION Sea la matriz ÁLGEBRA LINEAL 258 VALORES Y VECTORES PROPIOS A1 t 1 A A 2 A1t t 1 A A 2 A1t 1 t 1 1 A A A At A1 , entonces 2 2 2 t A1 es matriz simétrica. Sean t 1 A A 2 (1) X t A1 X X t A1 X (2) A1 Sustituyendo (1) en (2) X t A1 X X t . X t A1 X 1 A At X 2 1 t 1 X A X X t At X 2 2 X t AX X t AX t (3) (4) pues es matriz 1x1 Sustituyendo (4) en (3) X t A1 X 1 t 1 X A X X t At X t 2 2 X t A1 X 1 t 1 X AX X t AX 2 2 X t A X X t A1 X //. TEOREMA 13 Sea A M nxn una matriz simétrica y Q A ( x ) X t A X su forma cuadrática asociada. Existe un cambio de variable lineal Y BX , donde B M nxn , y una matriz diagonal D , tal que Q A ( x ) Q D ( y ) , es decir, X t A X Y t DY . ÁLGEBRA LINEAL 259 VALORES Y VECTORES PROPIOS DEMOSTRACION Si A es matriz simétrica, existe una matriz P invertible tal que: A PDP 1 PDP t (1) Q A ( x) X t A X (2) Sustituyendo (1) en (2) Q A ( x) X t P D P t X (3) Sea P t X Y , entonces Y t X tP (4) Sustituyendo (4) en (3) Q A ( x ) Y t DY , es decir, Q A ( x ) Q D ( y ) // Observación D es matriz de los valores propios de A , y los vectores propios de P son ortonormales. TEOREMA 14 Teorema de los ejes principales Sea ax12 bx1 x2 cx22 d , ! 0,2 , tal que la ecuación anterior puede escribirse de la forma 1 y12 2 y 22 D . Donde y1 y y 2 son los ejes principales de la gráfica de la ecuación cuadrática anterior, obtenidos al rotar x1 y x 2 un ángulo en sentido antihorario, y, 1 y 2 a b son los valores propios de la matriz asociada A b 2 . 2 c MATRIZ DE ROTACIÓN Sea P una matriz real y ortogonal, entonces P.P 1 P.Pt 1 P . Pt 1 P.P 1 Si P 1 , entonces P se denomina matriz de rotación ÁLGEBRA LINEAL 2 P 1 P 1 260 VALORES Y VECTORES PROPIOS cos P sen sen , cos donde 0 2 . Observación. Si P 1 se intercambian columnas. DEFINICIÓN Se llaman invariantes de una curva, a todas las expresiones formadas por los coeficientes de su ecuación, que no varían al realizar rotaciones y traslaciones paralelas de los ejes coordenados. SECCIONES CÓNICAS Sea la curva f x1, x2 a11x12 a12 x1x2 a22 x22 2a1x1 2a2 x2 a 0 Esta ecuación puede escribirse en forma matricial como X t AX BX a 0 Como A es matriz simétrica es ortogonalmente diagonalizable, por lo tanto 0 P t AP 1 0 2 y Si X PY , donde Y 1 y2 PY t APY BPY a 0 Y t P t AP Y BPY a 0 1 y12 2 y22 b1 y2 b2 y2 a 0 La ecuación anterior no tiene término de producto cruzado. Los invariantes de una curva de segundo grado son: 1. La suma de los coeficientes de los cuadrados de las coordenadas s a11 a 22 ÁLGEBRA LINEAL 261 VALORES Y VECTORES PROPIOS 2. 3. El determinante formado por los coeficientes de los términos principales a 11 a21 a12 a22 a11 a12 a1 a12 a22 a2 a1 a2 a A El determinante dado por Las invariancias de s, y facilitan la reducción de la ecuación de la ecuación de la curva a la forma canónica. Así, si 1z12 2 z22 c 0 0 . Entonces 1 0 0 2 0 12 c 0 c 0 0 0 1 1 2 0 2 Sustituyendo (2) en (1) 1z12 2 z22 0 Curva de tipo elíptico (2) c c Por lo tanto (1) 0 0 s 0 Elipse s 0 Elipse imaginaria 0 Un punto o dos rectas imaginarias que se cortan en dicho punto. 0 0 Curva de tipo 0 Hipérbola hiperbólico 0 Dos rectas que se cortan. Curva de tipo 0 Parábola parabólico 0 Dos rectas paralelas (Confundidas, distintas o imaginarias. ÁLGEBRA LINEAL 262 VALORES Y VECTORES PROPIOS Sus graficas se presentan a continuación. Elipse Hipérbola Parábola ÁLGEBRA LINEAL 263 VALORES Y VECTORES PROPIOS Ejemplo Dada la forma cuadrática 2 x1 2 x1 x2 2 x22 9 0 Identificar y expresar en la forma canónica Solución: s4 A 2 1 1 2 2 1 3 0 es curva de tipo elíptico, 1 2 0 27 0 0 0 9 s (4)(27) 108 0 es una elipse p ( ) 2 4 3 ( 3)( 1) 0 Los valores propios de A son 1 3 2 1 Con vectores propios asociados 1 1 v1 y v2 1 1 1 1 B , base ortogonal, entonces 1 1 1 1 1 1 , base ortonormal T* 2 1 2 1 P 1 1 1 2 1 1 3 0 D 0 1 P 1 P es matriz de rotación Y t DY f 0 y1 0 3 0 y1 9 y 2 0 1 y 2 3 y12 y22 9 La ecuación canónica de la elipse es y12 y22 1 3 9 ÁLGEBRA LINEAL 264 VALORES Y VECTORES PROPIOS Resumen Una de las diferentes propiedades de las transformaciones lineales es la de proteger la estructura de espacio vectorial. En concreto, si f es una transformación lineal definida en el espacio vectorial V de dimensión n en sí mismo y W es un subespacio vectorial de V , se verifica que su transformado es de nuevo subespacio vectorial de V . En ocasiones, se tiene además que f (W ) W , por lo que en este caso W permanece invariante por f . Las nociones que permiten determinar los subespacios invariantes por una transformación lineal f son los de valores y vectores propios de f o, exactamente, dada la correspondencia uno a uno existente entre el conjunto M n y el de las trasformaciones lineales L (V , V ) , de su matriz asociada A . Una vez mostrados los métodos analíticos de cálculo de valores y vectores propios de una matriz A (o de la transformación lineal f que representa) se ilustran diversas propiedades de ambos conceptos, que son de gran utilidad en el estudio de la diagonalización de una matriz A M n . El indicado problema consiste en determinar una base de V respecto de la cual la matriz asociada a la transformación lineal f sea diagonal. Esta base, que se construye a partir de los vectores propios de A , no siempre existe, tal como se analiza en este capítulo, y por ello no todas las matrices cuadradas son diagonalizables. La diagonalización de una matriz A permite realizar ciertas operaciones matriciales de una manera más sencilla, como sucede con el cálculo de la potencia o de la exponencial de A . Las formas cuadráticas constituyen un instrumento del Álgebra Lineal de gran utilidad y aplicación en Estadística, Econometría, Teoría de la Optimización, etc. Lo que justifica su estudio en el ámbito de la ingeniería y ciencias. Una forma cuadrática, tal como se aprendió, es una función con valores propios reales definida por un polinomio cuadrático. Todos estos aspectos se desarrollaron en los conceptos: Valores y vectores propios. Propiedades de los valores y vectores propios. Diagonalización de una matriz. Formas cuadráticas y canónicas. Aplicaciones. ÁLGEBRA LINEAL 265 VALORES Y VECTORES PROPIOS PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sea u un vector propio de las transformaciones lineales f y g . Mostrar que u es también vector propio de la transformación lineal a f b g , donde a y b son escalares arbitrarios. 2. Sean A, B M nxn . Probar AB y BA tienen los mismos valores propios. 3. 1 a . Calcular los valores de los parámetros a y b para Dada la matriz A 2 b que el vector 2,1 sea un vector propio asociado al valor propio 1 5 en la matriz A . ¿Cuál es el otro valor propio en este caso? 4. Sea L : V V una transformación lineal invertible. ¿Si es valor propio de L , cuál es el valor propio de L1 ? ÁLGEBRA LINEAL 266 VALORES Y VECTORES PROPIOS 5. Dada la transformación lineal f : R2 R2 x, y f x, y x 2 y ,2 x y Calcular los valores y vectores propios, una base para cada espacio propio, du dimensión y una base de vectores propios S tal que f esté representada con respecto a S por una matriz diagonal. ÁLGEBRA LINEAL 267 VALORES Y VECTORES PROPIOS 6. Probar que si es un valor propio de una matriz A con vector propio asociado v y n N es un entero positivo, entonces n es un valor propio de la matriz An con vector propio asociado v . 7. 1 4 . Hallar los valores y vectores propios de A y A 2 . Sea la matriz A 2 3 ÁLGEBRA LINEAL 268 VALORES Y VECTORES PROPIOS 8. 1 1 1 Sea la matriz A a b c con vectores propios p q r 1 1 1 , 0 1 1 1 , 1 0 Encontrar los valores de a, b, c, p, q, r . 9. Hallar una matriz A M 3x 3 tal que sus valores propios son 1, 2 2 con vectores propios asociados v1 1,1,1, y v 2 2,1,1 , y 3 3 con vector propio asociado v3 1,1,2, ÁLGEBRA LINEAL 269 VALORES Y VECTORES PROPIOS 10. Demostrar que sí D P 1 AP , entonces D n P 1 A n P . Usando el resultado anterior hallar una expresión para A n . 11. Dada una matriz simétrica A M n con elementos reales, comprobar que si todos sus valores propios son iguales a cero entonces A es una matriz nula. ÁLGEBRA LINEAL 270 VALORES Y VECTORES PROPIOS 12. Determinar una matriz de orden tres simétrica tal que rango A 3I 3 1 . W x, y, x R 3 : 4 x 3 y 0 es un espacio propio de A . tr ( A) 7 . ÁLGEBRA LINEAL 271 VALORES Y VECTORES PROPIOS 13. Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagonalizar la matriz dada y hallar las matrices D y P , tales que, D P 1 AP . a) 1 3 3 3 5 3 6 6 4 b) 3 1 1 7 5 1 6 6 2 ÁLGEBRA LINEAL 272 VALORES Y VECTORES PROPIOS c) 3 1 1 2 2 1 2 2 0 d) 3 2 1 0 2 0 0 0 0 ÁLGEBRA LINEAL 273 VALORES Y VECTORES PROPIOS 14. Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagonalizar la matriz dada y hallar las matrices D y P (ortogonal), tales que, D P t AP . a) 1 0 3 0 2 0 3 0 1 b) 1 2 1 2 0 2 1 2 1 ÁLGEBRA LINEAL 274 VALORES Y VECTORES PROPIOS c) 3 1 1 1 5 1 1 1 3 d) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ÁLGEBRA LINEAL 275 VALORES Y VECTORES PROPIOS 15. Identificar las siguientes curvas y reducir la ecuación de estas a la forma canónica a) 3 x12 2 x1x2 3 x22 2 x1 4 x2 1 0 b) 3 x12 2 x1x2 3 x22 2 x1 4 x2 2 0 c) x12 x22 2 x1 1 0 d) x12 2 x1x2 x22 6 x1 4 x2 3 0 ÁLGEBRA LINEAL 276 VALORES Y VECTORES PROPIOS e) x12 3 x1x2 2 x22 2 x1 5 x2 3 0 f) x12 2 x1x2 x22 4 x1 6 x2 1 0 g) x12 4 x1x2 4 x22 2 x1 4 x2 3 0 h) x12 4 x1x2 4 x22 2 x1 4 x2 1 0 i) x12 4 x1x2 4 x22 2 x1 4 x2 2 0 ÁLGEBRA LINEAL 277 VALORES Y VECTORES PROPIOS 16) Del ejercicio anterior graficar las curvas: a) d) ÁLGEBRA LINEAL 278 VALORES Y VECTORES PROPIOS f) 17) ¿Para qué valores de k se obtiene elipse, hipérbola y parábola de la ecuación x12 2kx1x2 x22 4 x1 4 x2 9 0 ? ÁLGEBRA LINEAL SIN INGENIEROS Se murió un Ingeniero y se fue a las puertas del Cielo. Sabido es que los Ingenieros por su honestidad siempre van al cielo. San Pedro buscó en su archivo, pero últimamente andaba un poco desorganizado y no lo encontró en el montón de papeles, así que le dijo: "Lo lamento, no estás en listas...". De modo que el Ingeniero se fue a la puerta del infierno y le dieron albergue y alojamiento inmediatamente. Poco tiempo pasó y el Ingeniero se cansó de padecer las miserias del infierno, y se puso a diseñar y construir mejoras. Con el paso del tiempo, ya tenían ISO 9001, sistema de monitoreo de cenizas, aire acondicionado, inodoros con drenaje, escaleras eléctricas, equipos electrónicos, redes de telecomunicaciones, programas de mantenimiento predictivo, sistemas de control visual, sistemas de detección de incendios, termostatos digitales, etc. Y el Ingeniero se hizo de muy buena reputación. Un día Dios llamo al Diablo por teléfono y con tono de sospecha le preguntó. “¿Y qué…cómo están por allí en el infierno?”. El diablo contestó:"¡¡Estamos REBIEN!! Tenemos ISO 9001, sistema de monitoreo de cenizas, aire acondicionado, inodoros con drenaje, escaleras eléctricas, equipos electrónicos, Internet, etc. Oye, apúntate mi dirección de e-mail, es: eldiablofeliz@infierno.com. Y no sé cuál será la próxima sorpresa del Ingeniero!". "¿QUÉ?, ¡¿QUÉ?! ¿¿TIENEN un Ingeniero allí?? ¡Eso es un error! Nunca debió haber llegado ahí un Ingeniero. Los ingenieros siempre van al cielo, eso está escrito y resuelto ya. ¡Me lo mandas inmediatamente!”. “¡Ni loco!. Me gusta tener un ingeniero de planta en la organización y me voy a quedar con él eternamente”. “Mándamelo o … ¡¡TE DEMANDARÉ!!...”: Y el Diablo, con la vista nublada por la tremenda carcajada que soltó, le contestó a Dios: "¿¿Ah Sí?? ......y por curiosidad... ¡¿DE DÓNDE VAS A SACAR UN ABOGADO?!" si todos están aquí. Ofrece este mensaje a tus amigos y amigas para que tengan una idea de lo que es un ingeniero