SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL – DEDUCCIÓN.
PRESENTACIÓN.
En las distintas disciplinas es común agrupar conceptos para hacerlos más entendibles.
En general, cuando un proceso o ecuación es muy grande se dificulta su comprensión. Por ese motivo se
realizan las subdivisiones en bloques o para el caso de las matemáticas se realizan agrupaciones y cambios
de nombres. Lo mismo ocurre en general en un programa de computación. Si el texto es muy ancho,
incomoda, y si es muy largo se hace difícil seguirlo. Para este caso existen diferentes módulos, subrutinas,
componentes, objetos, etc.
Volviendo al caso de las matemáticas, existen procesos que se repiten a menudo del mismo modo, y ese es
el caso de los símbolos de Christoffel (Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900)) que vamos a estudiar a
continuación. Estos símbolos aparecen en los cálculos de curvaturas, geodésicas y problemas similares
donde representan una serie de derivaciones sucesivas sobre vectores o más genéricamente tensores. Se
ij
simbolizan generalmente con la letra gamma mayúscula y tiene varios subíndices, por ejemplo: Γ k .
OBJETIVOS.
Comprender conceptualmente el significado de los símbolos de Christoffel y su aplicación. Su deducción y
ámbito de aplicación.
CONOCIMIENTOS PREVIOS REQUERIDOS.
Sistemas de coordenadas curvilíneas. Concepto de base contravariante y covariante. Concepto de
curvatura. Concepto de tensores. Concepto de geometría diferencial en variedades.
Ver. a10.- INTRODUCCIÓN A CURVATURA.pdf,
a11.- INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DE ENTIDADES CURVAS.pdf.
A12.- INTRODUCCIÓN CONCEPTUAL A DERIVADA COVARIANTE, RIEMANN, CHRISTOFFEL.pdf
1.- INTRODUCCIÓN.
Al analizar la curvatura de una línea plana en un punto (curvatura de Gauss), se encontró que la misma
queda representada por la circunferencia que mejor se adapta a la curva en dicho punto.
y
r(t0)
Δτ
Δr
r(t1)
τ(t1)
Fig. 1.1
x
τB
s(t)
B
Dicha curvatura está relacionada con el cambio del vector
tangente a la curva frente a un pequeño incremento en la
trayectoria, como se muestra en la figura 1.1.
Al cambiar de posición el vector r, se produce un cambio en el
vector tangente τ. El cambio infinitesimal del vector Δτ (entre
t0 y t1) nos da una medida de la curvatura.
Este cambio en general se asocia con un parámetro como ser
el tiempo t aunque no es estrictamente necesario involucrar el
factor tiempo y puede ser cualquier otro parámetro.
τ(t0)
Δs
τA
τ´A
τA
τB
τ´A
ε
A
τ´B
hodógrafa
APUNTES DE FÍSICA de Daniel Cordes
Es importante comentar en este punto que el movimiento
del vector tangente desde punto inicial al punto final es el
procedimiento que más adelante se vá a ampliar como
transporte paralelo de un vector (u holonomía), como
método general para medir la curvatura en una variedad.
Ver a15.- CURVATURA DE RIEMANN.
Por otra parte, los extremos de los vectores tangentes τ,
trazan a su vez una curva conocida como hodógrafa.
La idea ahora es extender este concepto a variedades de n dimensiones, para lo cual se utilizará como
ejemplo una superficie o 2-variedad embebida en un espacio tridimensional.
La figura 1.2 muestra una superficie ó variedad bidimensional
representada en un sistema tridimensional de ejes cartesianos.
Un punto de la superficie como el P, queda representado por sus
coordenadas que corresponden a un vector como el r.
Los ejes se denominan con notación indicial para simplificar a futuro
las ecuaciones. El vector r por lo tanto queda representado por la
ecuación:
Fig. 1.2
x3
s
A
r
e3
1
2
3
i
r =x e 1 +x e 2 +x e 3 = x e i en su expresión contravariante.
e2
x2
e1
Se quiere analizar la curvatura a lo largo de la trayectoria s indicada
en verde, para lo cual deberá encontrarse el vector tangente y calcular
su variación al desplazarse sobre s.
x1
Supongamos ahora que la superficie se intersecta mediante planos
verticales como los indicados en la figura 1.3.
Fig. 1.3
Dichos planos verticales determinan sobre la superficie una serie de
curvas como las indicadas en azul en línea punteada.
x3
s
Las curvas indicadas en azul pueden representar un sistema de
coordenadas curvilíneas que nos permiten analizar la trayectoria s.
P
r
e3
x2
e1
x
Siguiendo el mismo procedimiento con otro grupo de planos en otra
posición (no necesariamente perpendicular a los anteriores), se puede
definir otra serie de curvas como las indicadas en la figura 1.4 en color
magenta.
e2
1
Fig. 1.4
x3
s
b1
r b2
A
u2
u1
e3
Sobre la variedad s, se puede expresar un vector (tangente a la
misma) mediante este sistema de coordenadas:
1
2
i
τ =u b 1 +u b2 =u b i en su expresión contravariante.
e2
x2
e1
x1
Los vectores base b1 y b2 se muestran en la fig. 1.4 en rojo y azul
respectívamente.
Estos vectores base NO son en general unitarios y se calculan
derivando r respecto de cada trayectoria u1 y u2. Es decir:
∂r
∂r
∂r
b 1= 1 y b2 = 2 ⇒ b i = i Ec. 1.1
∂u
∂u
∂u
Ver a1.-REVISIÓN DE SISTEMAS DE COORDENADAS.
x3
B
π´
s
π
A
r
e3
e1
x1
Ambos grupos de curvas de denominan con u1 y u2, y sus vectores
base con b1 y b2.
Dado que la superficie es función de x1, x2, x3, las curvas u1 y u2
son función de x1, x2 y x3.
Por otra parte, las coordenadas de cualquier punto de dicha
superficie, se puede expresar mediante u1 y u2, por lo que si la
superficie es diferenciable, al menos en el intervalo considerado,
podemos decir que x1 es función de u1 y u2.
e2
x2
Estos vectores base están contenidos en un plano como el π tangente
a la variedad en el punto A. En el punto B, un plano tangente tendría
una inclinación diferente como el π´.
Los vectores tangentes en ambos puntos, no se pueden comparar
debido a que existen en diferentes planos.
APUNTES DE FÍSICA de Daniel Cordes
El vector tangente sobre la variedad en un punto dado, es:
1
2
i
τ =u b 1 +u b2 =u b i Ec. 1.2
Hay que observar que en un punto determinado, los vectores
base b1 y b2 son constantes. Fig. 1.5
Teniendo en cuenta ahora lo expuesto en la figura 1.1, la
curvatura se puede evaluar mediante el cambio de un vector
como el A al desplazarse una distancia diferencial sobre la
trayectoria s hasta el punto B.
Lógicamente si la variedad no es plana, al pasar de A a B los
vectores base cambian.
Fig. 1.5
x3
s
b1
A
r b2
u1
u2
e3
e2
x
e1
2
x1
Por lo tanto, debemos evaluar como cambian los vectores base
al pasar de A a B (lo que representa un cambio diferencial).
∂τ ∂τ ∂τ
∂τ
Es decir: ∂ s = 1 + 2 = j En esta última ecuación
∂ u ∂ u ∂u
utilizamos un nuevo subíndice j para distinguirlo de i ec. 1.2
Esto es así porque en la ecuación original 1.1, se debe derivar respecto de todas las coordenadas y del
i
(u bi ) ∂u i
∂ bi
= j bi +ui
mismo modo ocurre en este caso. O sea: ∂ τ j =∂
Ec. 1.3
j
j
∂u
∂u
∂u
∂u
i
j
En el segundo término de esta ecuación aparece la derivada del vector base u ∂ b i / ∂u debido a que en el
cambio sobre la trayectoria el mismo no es constante.
x3
B
b1
r´
A
Al cambiar del punto A al B de la trayectoria, cambian los
planos tangentes, y por lo tanto los vectores b1 y b2. Para poder
compararlos, superponemos ambos planos en el punto A.
b2
r
b
1
u1
u2
e3
b´2
e2
x2
e1
b´1
b2
x1
Los vectores base en el punto B los
simbolizamos con ´.
La diferencia en b1 por ejemplo, se
debe a un cambio en la dirección u1 y
otro en la dirección u2.
∂b 1
∂ b1
du1 +
du la diferencial de b1 muestra solo las
∂ u1
∂u 2 2
componentes en las direcciones de las coordenadas objeto u 1 y
u2, pero también aparece una componente fuera del plano.
d b 1=
La derivada de un vector base respecto de la coordenada representa un nuevo vector que constituye una
nueva base.
Como se puede apreciar, la diferencia entre ambos vectores, b1 y b´1 está
formada por tres componentes: a1, a2 y la componente normal a3 fuera del
b´
plano tangente en A. Esta componente no aparece en las derivadas porque
1
a 3 =k η
estamos utilizando un sistema de dos dimensiones.
1
u
Esta componente se obtiene como el producto vectorial de a1 x a2 y se
b
2
b
u
denomina Segunda forma Fundamental.
1
∂ b1
Si estos cambios se refieren ahora al vector r en el sistema de referencia, se
a 1= 1
∂u
A
expresan como la derivada segunda de r, respecto de xi como se muestra a
∂ b1
a 2= 2
∂u
continuación.
∂r
∂[ i]
2 k
2
∂
b
∂ x e k donde en el último término
Analizamos ahora el cambio en el vector base:
∂u
∂ r
i
=
=
=
∂ uj
∂u j
∂u i ∂u j ∂u i ∂ u j
se ha reemplazado la expresión del vector r por sus componentes para mostrar que en definitiva la derivada
del vector representa un conjunto de vectores componentes. Nuevamente, en este caso se ha elegido un
nuevo subíndice k para que no conflicte con i y j yá utilizados en la ecuación. Estas componentes
∂ bi
k
vectoriales se representan como:
Ec. 1.4 .
j =Γ ij bk
∂u
k
El símbolo Γ ij se denomina símbolo de Christoffel. Un punto importante a observar es que no es posible
compara vectores en diferentes puntos de la variedad curvada debido a que tiene diferentes vectores base.
2
APUNTES DE FÍSICA de Daniel Cordes
Para determinar como se compone este símbolo, podemos multiplicar ambos miembros escalarmente por
k
bk, por ser b . bk =1 (para vectores normalizados) quedando:
∂ bi k
k
Es decir que los símbolos de Christoffel se calculan como: Γ i j= j . b Ec. 1.5
∂u
En esta última ecuación se puede observar que el primer subíndice i indica respecto que coordenada se
está derivando, del siguiente modo: i=1 ⇒ b 1 ; i=2 ⇒ b 2 . El segundo subíndice indica respecto de
2
2
quien es la segunda derivada con el mismo criterio: j=1 ⇒ ∂u1 ; j=2 ⇒ ∂ u2 . Finalmente el superíndice k
es un índice de sumatoria que indica que componente del sistema objeto se considera. Si se tratara por
ejemplo de una esfera en coordenadas esféricas con u1 = ρ ; u2 =θ ;u3 = ϕ , se tendría:
k=1 ⇒ b ρ ; k=2 ⇒ bθ ; k=3 ⇒ b ϕ .
En el documento a16.- EJEMPLO DE DERIVADA COVARIANTE SOBRE UNA ESFERA.pdf se analiza un
ejemplo completo de transformación de coordenadas cartesianas a esféricas con los símbolos de Christoffel
correspondientes .
k=1..2
i=1..2
Para el caso en estudio, los índices varían del siguiente modo:
j=1..2
{ }
Es importante aclarar que los símbolos de Christoffel no representan un tensor (de hecho su valor cambia
de punto a punto), sino las componentes de un vector.
En este punto es interesante recordar las fórmulas de Frenet para conceptualizar este resultado.
Las ecuaciones de Frenet se refieren a un línea curva en el espacio.
Para la misma podemos encontrar tres vectores que derivan del vector
tangente. La curvatura principal (o curvatura de flexión, que es el cambio del
vector tangente en el plano tangente), la curvatura secundaria (o curvatura
de torsión perpendicular a la curvatura primaria), curvatura binormal (que es
una curvatura en el espacio producto vectorial y por lo tanto perpendicular a
las otras dos). Es decir que en el espacio una línea puede tener tres vectores o
componentes que la caracterizan.
Esto implica que por cada coordenada de una variedad, podemos tener hasta
3 componentes por cada una.
Es decir que en una variedad de tres dimensiones, el símbolo de Christoffel
tendrá 27 componentes (3x3x3).
x3
τ
β
e3
η
e2
x2
e1
x1
El vector tangente τ, está contenido en un plano que es tangente a la superficie en el punto de tangencia.
Ahora bien, la superficie genéricamente es una variedad, y el conjunto de planos tangentes a la variedad
también conforman una variedad y se denomina espacio tangente. Los símbolos de Christoffel solo
representan a los vectores contenidos en el espacio tangente, y no por ejemplo el vector normal.
Los símbolos de Christoffel definen una conexión, que es un objeto geométrico que conecta espacios
tangentes cercanos en una variedad suave (contínua derivable).
EJEMPLO 1.
Fig. E1
z
θ
ρ
ϕ
ρ
r
ϕ
x
θ
y
En coordenadas cartesianas, el vector r se expresa como: r =x i +y i +z k o
1
2
3
i
en notación indicial: r =x e 1 +x e 2 +x e 3 = x b i
ρ
En coordenadas esféricas como: r =x b ρ +xϕ b ϕ +xθ bθ y las podemos
relacionar mediante: x= ρ senθ cos ϕ
y= ρ sen θ sen ϕ
z=ρ cosθ
Donde se puede apreciar que x, y, y z son tres funciones diferentes de las
nuevas coordenadas ρ ,θ y ϕ . Los vectores base b ρ , bθ y bϕ (no
unitarios) se obtienen de la ec. 1.1 donde u1 = ρ , u 2=θ , u 3= ϕ luego
∂r
b i = i en este caso, Ecs. 1.6:
∂u
∂ x i ∂ y j ∂z k
∂ x i ∂ y j ∂ zk
∂ x i ∂ y j ∂z k
bθ =
+
+ θ
bρ =
+
+
bϕ =
+
+ ϕ
∂ ρ ∂ρ
∂ρ
∂θ
∂θ
∂ϕ
∂ϕ
APUNTES DE FÍSICA de Daniel Cordes
Según las ecuaciones 1.6, los vectores base son:
b ρ =senθ cos ϕ i +sen θ sen ϕ j +cosθ k Está siempre orientado en el sentido de ρ y no depende de su
módulo. Para un radio constante, bρ es nulo.
bθ = ρ (cosθ cos ϕ i +cosθ sen ϕ j− senθ k )
bϕ = ρ (− senθ sen ϕ i +sen θ cos ϕ j +0 k )
Es perpendicular a bρ por lo que bρ . bθ debe ser nulo.
Es perpendicular a bρ por lo que bρ . bΦ debe ser nulo.
EJEMPLO 2.
Fig. E2.1 Partiendo de la expresión de las coordenadas cartesianas en función de las
z
esféricas: x= ρ senθ cos ϕ
y= ρ sen θ sen ϕ
z=ρ cosθ , obtenemos por
ejemplo bθ . En lo que sigue, numeramos ρ ≡ 1 ; θ ≡ 2; y ϕ ≡ 3
ρ
θ
ϕ
en base a su definición: bθ =
ρ
r
ϕ
θ
x
y
, si queremos calcular la
variación de eθ, por ejemplo en la dirección de bϕ sería:
⇒
θ
∂(ρcos θcosϕ i +ρcos θcosϕ j−ρ sen θ k )
=−ρ cosθsen ϕ i−ρ cosθsen ϕ j
∂ϕ
ρ
b´θ
r
ϕ
2
∂ bθ
∂ r
=
∂ ϕ ∂ ϕ ∂θ
Fig. E2.2 La última expresión, nos muestra el cambio en el vector bθ frente a un
desplazamiento infinitesimal del ángulo ϕ al la posición ϕ +Δ ϕ , mostrado
como b ´θ Fig. 3, detallado en las siguientes figuras.
z
x
∂ x i ∂ y j ∂z k
+
+ θ
∂θ
∂θ
Δϕ
bθ
y
bθ
b´θ
bθ
b´θ
Donde el vector rojo muestra la variación de bθ a b´θ.
Como se puede apreciar, este vector tiene una
componente sobre el eje x y otra sobre el eje y.
Si la superficie fuera cilíndrica, el vector rojo sería
nulo.
Fig. E2.3 Finalmente, un cambio infinitesimal de las tres coordenadas, quedaría representado
por las tres derivadas segundas de las coordenadas originales y estarían contenidos
en la función Gama ó símbolo de Christoffel. Fig. E2.3
Cada índice representa una derivada específica, en este caso:
∂ bρ ρ
∂b
∂b
2
θ
.b
Γ 311= 1ϕ . bϕ respecto de bρ y por ejemplo
Γ 11= θ1 . b
1
∂u
∂u
∂u
∂
b
∂b
∂
b
2
θ
Γ 121= 1ρ .b ρ
Γ 321= ϕ1 . b ϕ respecto de bθ. Obsérvese que las
Γ 21= θ1 . b
∂u
∂u
∂u
ecuaciones son similares porque está oculta la derivada primera.
Ahora bien, para el caso de un espacio de tres dimensiones, los símbolos de
1
1
1
1
Christoffel tienen 3x3x3=27 componentes: Γ 11, Γ12, Γ13, Γ21, ...etc .
Γ 111=
APUNTES DE FÍSICA de Daniel Cordes
2.- APLICACIÓN A TENSORES.
Para el caso de un tensor, la derivada transforma del siguiente modo. Recordando que un tensor equivale al
∂ g ij ∂t i
∂t j
producto de dos vectores base: g ij =t i .t j su derivada
Ec. 1.7 pero según la
k =
k .t j +
k .t i
∂u ∂u
∂u
∂t i
∂tj
r
r
ecuación 1.4 es:
y lógicamente
por lo que la ecuación 1.7 puede escribirse
k =Γ ik t r
k =Γ jk t r
∂u
∂u
como: ∂ g ij =Γr t .t +Γr t . t
ik r
j
jk r
i
k
∂u
r
r
⇒ Γik t⏟
r .t j +Γ jk t⏟
r .t i
grj
g ri
∂ g ij
k
∂u
r
r
=Γik g rj +Γ jk gri Ec. 1.8
Esta última ecuación (1.8) expresa que la derivada de un tensor gij respecto de una coordenada genérica uk
se expresa mediante dos símbolos de Christoffel. Ambos símbolos requieren de un índice de sumatoria
indicado en la parte superior de gamma, y los respectivos subíndices son el primer subíndice del tensor i,
con el de coordenada k y el segundo con j con el de coordenada k. Ambos símbolos multiplicados por
tensores con primer índice igual al de sumatoria y segundo índice igual faltante en gamma.
Vamos a analizar ahora como podemos agrupar los índices para compactar la ecuación 1.8.
2
∂t i
∂ r
Por la ec. 1.6, tenemos que:
y aplicando el teorema de Clairaut-Schwarz sabemos que las
=
k
k
i
∂u ∂u ∂u
2
2
∂t i
∂t k
∂ r
∂ r
derivadas cruzadas se pueden intercambiar, por lo tanto:
lo que nos permite
=
=
k
k
i
i
k=
i
∂ u ∂ u ∂ u ∂u ∂u ∂u
r
r
escribir: Γ ik = Γki Ec. 1.9
Por otra parte, para el tensor métrico se cumple que: g ij =t i .t j =t j .t i =g ji Ec. 1.10
Vamos re ordenar ahora los índices de la ecuación 1.8, para expresarla de tres formas diferentes.
Los índices se van a rotar en sentido antihorario:
Por lo expresado anteriormente (ec. 1.9 y 1.10) , podemos encontrar los siguientes términos comunes
identificados con el mismo color:
∂ g ij
r
r
Ec. 1.11a
k =Γik g rj +Γ jk gri
∂u
∂ g jk
r
r
Ec. 1.11b
i =Γ ji g rk +Γ ki g rj
∂u
∂ g ki
r
r
Ec. 1.11c
j =Γ kj g ri +Γ ij g rk
∂u
Si sumamos ahora 1.11b y 1.11b y restamos 1.11a, podemos obtener la siguiente simplificación:
∂ g jk ∂ gki ∂ gij
r
de donde obtenemos otra expresión para los símbolos de Christoffel en
i +
j −
k =2 Γij g rk
∂u
∂u
∂u
rk
g ∂ g jk ∂ g ki ∂ g ij
función de tensores métricos: Γ rij=
[
+
−
]
2 ∂u i ∂ u j ∂u k
3.- BIBLIOGRAFÍA.
Videos youtube: Javier Garcia, Robert Davie, eigenchris, digitaluniversity, dxoverdteqprogress.
Física Relativista. Enrique Loedel.
Introducción a los principios de mecánica. Walter Hauser.
Vectores y tensores con sus aplicaciones. Luis A. Santaló.
Teoría de la Relatividad General. Bert Janssen
The Fundamentals of the Theory of Modern Physics. Peter Nolan
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i
j
k
