MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA SITUACIÓN 1: Título: Actividad de Enganche Tema: Modelación Matemática Objetivo: Que el estudiante resuelva un problema de vida real, aplicando sus conocimientos previos, para que reconozca la necesidad de generar modelos que le permitan predecir comportamientos. Problema: Un grupo de muchachos se fueron de antro y se tomaron 5 cervezas cada uno. Están preocupados porque saben que al salir se pueden encontrar a alguna patrulla de las que están aplicando la prueba del alcoholímetro en las calles que rodean a los antros. Ellos quieren saber, a qué hora podrán salir del antro, de tal forma que todo el alcohol en la sangre se haya eliminado. Uno de ellos tiene conocimiento de la forma en que disminuye el alcohol en la sangre después de tres horas de haber ingerido esa cantidad de alcohol. Esa información se presenta en la tabla siguiente. Si a las 2:00 A.M., tomaron la última cerveza, ¿A qué hora podrán salir del Antro? Tiempo Cantidad de Alcohol en la Sangre transcurrido En g/ml. En horas 1 0.92 2 0.776 3 0.613 Si se sabe que la restricción de no manejar aplica para niveles en la sangre de 0.7 g/ml, ¿Cómo saber cuánto tiempo tienes que esperar para poder manejar?, ¿Cómo te pueden ayudar las matemáticas a resolver este problema? Otras preguntas para analizar el significado de los parámetros del modelo: ¿A qué velocidad está cambiando la cantidad de alcohol en la sangre de acuerdo con tu modelo? ¿Qué está pasando con el alcohol en la sangre y cómo se visualiza este comportamiento en la gráfica? ¿Cómo puedes saber en la gráfica, cuándo se ha eliminado todo el alcohol de la sangre? ¿Cuál es el dominio y rango del problema? ¿Cuál es la cantidad de alcohol en la sangre inmediatamente después de haber consumido las 5 cervezas? ¿Cómo cambiaría el modelo si en lugar de haber consumido 5 botellas de cerveza, se hubieran consumido 10? (suponiendo que la velocidad a la cual disminuye el alcohol en la sangre es la misma) Primavera 23 Modelación Matemática Dra. Sandra Castilleja Jiménez MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA SITUACIÓN 2: Preguntas para responder y formalizar con el docente en la sesión . A partir de un conjunto de datos sueltos: ¿Cómo puedes saber si éstos siguen un comportamiento lineal? ¿Cómo puedes obtener su modelo? ¿Qué necesitas? ¿Qué tienes que hacer? ¿Qué representa cada parámetro del modelo? Y ¿Cómo se comportan? ¿Qué se puede observar en la gráfica si los parámetros cambian? ¿Cómo determinas las intersecciones con los ejes y qué representan? ¿Cómo sabes si el modelo es creciente o decreciente? (En los datos, en la gráfica y en el modelo) Elabora un modelo para determinar el nivel de alcohol en la sangre durante 5 horas, suponiendo que la persona se toma una cerveza cada hora. ¿Qué diferencia presenta este modelo con el anterior? http://matematicayvidacotidiana.blogspot.mx/2008/11/funciones-lineales.html SITUACIONES 3 Y 4 Ejercicios de Práctica: 1. Genera una relación de datos que “parezca” lineal si se graficara. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ¿Los puntos 1,1 , 2,3 y 2,5 están sobre una misma línea recta? Genera una función lineal que sea creciente. Genera una función lineal que corte al eje x en 3 y al eje y en -2. Genera tres funciones lineales diferentes que corten al eje y en 7 Genera una función lineal cuya representación gráfica no “pase” por el cuadrante III. ¿Para qué valor de x la función 2x 4 valdrá cero? Explica qué significa en una función lineal que su pendiente sea 3. Reescribe la función 3x 7 en la forma d x e f , en donde d , e y f son parámetros. 10. Si 2x 4 es una función lineal, ¿qué es: 7 2x 4 , y 7 2x 4 ? 11. ¿Cuál es la pendiente de la función y 0 x 23.89 ? 12. Genera una función lineal con condición inicial 10 y cuya razón de cambio promedio sea 1 4 13. Genera una función cuya gráfica sea una línea recta, tal que la función siempre sea positiva. 14. Si la temperatura a las 9:00 de la mañana es de 19 o C , y se sabe que ésta cambia con una razón promedio de 1.5 o C por hora durante la mañana. ¿Qué temperatura se tendrá a las 11:00 A.M? Escribe un modelo matemático que describa este comportamiento. Primavera 23 Modelación Matemática Dra. Sandra Castilleja Jiménez MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA 15. Encuentra el cambio en y y y el cambio en x x desde el punto 1,3 hasta el punto 4,2 16. En una carretera inclinada, aparece un señalamiento que indica que el ángulo de inclinación de la misma es de 7 o . ¿Cuál es la pendiente de la carretera? 17. El techo de una casa tiene un refuerzo horizontal de 12 pies con un soporte vertical de 12 pies. ¿Cuál es la pendiente del techo? 18. Si las funciones y1 f ( x) y y 2 g ( x) son lineales, entonces la función y3 y1 y 2 ¿será lineal? 19. Si las funciones y1 f ( x) y y 2 g ( x) son lineales, y paralelas, entonces la función y3 y1 y 2 ¿será paralela también? 20. ¿Están los puntos 2,8 y 6,16 en una línea paralela a y 3x 5 ? 21. En las gráficas de las funciones y f (x) , que se dan a continuación, obtén lo que se pide: a. Obtén un x y su y correspondiente y señálalos en la gráfica. b. Calcula sus pendientes. c. Obtén una función lineal cuya gráfica sea una línea paralela, pero con condición inicial en diferente. y y y x x x 22. Reescribe las siguientes descripciones de funciones lineales en forma matemática. Identifica la variable y el nombre de la función, explicando que representan. Sé específico. a. Una tienda de ropa tiene 500 vestidos al inicio del ciclo del inventario, y vende un promedio de 8 por día. b. Juan, el cartero de San Andrés Cholula, tiene 4620 paquetes por entregar, y puede hacerlo a razón de 12 paquetes por minuto. c. Un archivo puede ser bajado a razón de 5.6k bytes por segundo si el archivo pesa 950k bytes. 23. Si f ( x) 2 x 3 y g ( x) x 1 ; ¿Cuándo se cumplirá que, f ( x) g x ? 24. Si f ( x) x 1 y g ( x) 2 x 1 ; ¿Cuándo se cumplirá que la gráfica de f (x ) esté más arriba que la gráfica de g (x ) ? Primavera 23 Modelación Matemática Dra. Sandra Castilleja Jiménez MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA 25. Si f ( x) 1 x 4 genera una función g (x ) tal que g ( x) f xx ,2 2 SITUACIÓN 5 CASO DE ESTUDIO Regresemos al caso de los chicos que se fueron de fiesta y que tomaron 5 cervezas cada uno. Se sabe que poco después de consumir una dosis sustancial de whisky, el nivel de alcohol en la sangre de una persona sube a un nivel de 0.3 miligramos por mililitro (mg/ml). De ahí en adelante, este nivel decrece con un factor de cambio de 0.5, por otro lado. a) ¿Cuánto tiempo tendrán que esperar los chicos, si en lugar de tomar cervezas hubieran tomado whisky, para que puedan conducir legalmente su automóvil? (En su localidad, el límite legal es de 0.08 mg/ml de alcohol en la sangre) b) ¿Consideras que existe diferencia entre el primer caso y este en la forma en la que disminuye el alcohol en la sangre? Justifica tu respuesta. c) Considerando el caso de que a las 2 de la mañana (t=0) los papás de uno de los amigos (10% del total) se enteraron de que los muchachos habían tomado mucho alcohol y decidieron avisarles a los padres que más pudieran encontrar. Dos horas más tarde, 25% han escuchado la información. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el 75% de los padres hayan escuchado la información? (Modelo logístico) d) ¿Lograrán los muchachos salir del antro antes de que lleguen sus padres? e) ¿Qué diferencia existe en el comportamiento del alcohol en la sangre en el inciso a) y el inciso c)? f) Hasta este momento has viajado por diferentes modelos matemáticos en una misma situación –la determinación de alcohol en la sangre- ¿Consideras que existen similitudes en el análisis de las funciones obtenidas en los modelos, lineal, exponencial, logarítmico, y logístico? g) De acuerdo al análisis hecho en las funciones exponencial y logarítmica ¿cómo expresas con tus propias palabras el hecho de ser funciones inversas? Ejercicios de práctica 1. Describe la gráfica de la función f en términos de una transformación de la gráfica 𝑦 = ln(𝑥) 1 de la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥). 2. Deduce una función 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑒 𝑘𝑥 si (0, 5)𝑦(6,1) son los puntos de la gráfica de f. 3. Deduce una función 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 𝑐) si 𝑓(11) = 10 y la gráfica de f tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 2. 4. Un lago de pesca comercial se abastece con 10 000 crías de pez. Deduce un modelo 𝑃(𝑡) = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡 de la población de peces en el lago, cuando el tiempo es t, si su propietario estima que entonces quedarían 5 000 peces después de 6 meses. ¿Después de cuántos meses el modelo predice que quedarán 1 000 peces? Primavera 23 Modelación Matemática Dra. Sandra Castilleja Jiménez MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Actividad de cierre Para estimar la defoliación causada por una mariposa que su oruga daña los árboles, durante un año 1 dado, un silvicultor cuenta el número, x, de aglomeraciones de huevecillos en 40 de acre (círculo con un radio de 18.6 pies) en otoño. El porcentaje de defoliación, y, en la primavera siguiente se muestra en la tabla. (Fuente: USDA, Forest Service) Masas de huevo, x 0 25 50 75 100 Porcentaje de defoliación, y 12 44 81 96 99 100 Un modelo para los datos está dado por 𝑦 = 1+7𝑒 −0.069𝑥 a) Emplea un graficador para elaborar una gráfica de dispersión de los datos y traza la gráfica del modelo en la misma pantalla. b) Elabora una tabla y compara el modelo con los datos de la muestra. 1 c) Estima e porcentaje de defoliación si se cuentan 36 aglomeraciones de huevo en 40 de acre. 2 d) Suponga que 3 de un bosque está defoliado la primavera siguiente. Use la gráfica del inciso (a) para estimar el número de aglomeraciones de huevo por Primavera 23 Modelación Matemática 1 40 de acre. Dra. Sandra Castilleja Jiménez
