Capítulo 5: Circuitos DC en Serie

Capítulo 5: Circuitos DC en Serie
Hay dos tipos de corriente, DC y AC.
La corriente directa (DC) se caracteriza por mantener su magnitud y su
dirección todo el tiempo.
La corriente alterna (AC) se caracteriza en tener magnitud y/o dirección
que cambian con el tiempo.
Circuito DC más sencillo posible:
FIG. 5.1 Introducing the basic components of an electric circuit.
Una batería de E voltios genera una corriente DC. La corriente está
limitada por el valor de la resistencia R.
En virtud de la Ley de Ohm, E = I R.
La corriente I al pasar por la resistencia produce una caída en voltaje
V = E.
E
V
I =
=
R
R
Consideremos ahora un circuito con varias resistencias en serie.
2
FIG. 5.4 Series connection of
resistors.
Resistencias en serie se suman. En nuestro ejemplo
RT = 10 + 30 + 100 = 140 

¿Cómo sabemos cuándo es que las resistencias están en serie? Muy
fácilmente. Están en serie si a través de ellas pasa la misma corriente.
Por ejemplo, en el siguiente circuito ninguna de las resistencias están en
serie pues por cada una de las resistencias pasa una corriente distinta.
FIG. 5.5 Configuration in which none of the resistors are in
series.
Ejemplo: Calcule la resistencia total en el siguiente circuito.
FIG. 5.6 Series connection of resistors for
Example 5.1.
RT = 20 + 220 + 1,200 + 5,600 = 7040  = 7.04 k 

3
Ejemplo: Calcule la resistencia total en el siguiente circuito.
FIG. 5.7 Series connection of four resistors
of the same value (Example 5.2).
RT = 3.3 (4) = 13.2 k 
En este caso aunque la configuración del circuito cambió, las
resistencias están en serie pues a través de ellas pasa la misma corriente.
Si las resistencias están en serie, entonces no importa el orden en que
están conectadas. Por ejemplo, los siguientes dos circuitos son
equivalentes pues poseen las mismas resistencias, aunque no estén
conectadas en el mismo orden.
FIG. 5.8 Two series combinations of the same elements with the same total resistance.
4
Sección 5.3: Circuitos en Serie
Definamos lo que de ahora en adelante va a constituir un circuito. Un
circuito es cualquier combinación de elementos y componentes que
resulta en el flujo continuo de corriente. Por ejemplo, la siguiente figura
muestra un circuito.
FIG. 5.12 Schematic representation for a dc series circuit.
El terminal positivo de la batería atrae los electrones del alambre
produciendo así una corriente que por convención siempre la dibujamos
en la dirección contraria al movimiento de electrones. Si la corriente
fuera producida por cargas positivas, entonces la dibujaríamos en la
misma dirección en que se desplacen las cargas positivas.
Si la corriente sale del terminal positivo de la batería, entonces regresa al
terminal negativo de la batería.
Si el circuito está en serie, entonces la corriente es la misma, no importa
en qué punto del circuito la midamos.
Si, como en el circuito de la anterior figura, tenemos unas resistencias en
serie, entonces si aplicamos la Ley de Ohm obtenemos la siguiente
ecuación.
E
8. 4 V
I =
= 140  = 0.06 A = 60 mA
RT
5
Para efectos de la fuente de voltaje o batería, hay una resistencia de 140
 conectada entre sus extremos. La fuente de voltaje no tiene forma de
saber si es una sola resistencia o varias resistencias combinadas.
FIG. 5.13 Resistance “seen” at the terminals of a series circuit.
La polaridad de la caída en voltaje a través de una resistencia queda
definida por la dirección de la corriente. El extremo por donde entra la
corriente es marcado como positivo. El extremo por donde sale la
corriente es marcado como negativo.
FIG. 5.14 Inserting the polarities across a resistor as determined by the direction
of the current.
La magnitud de la caída en voltaje a través de cada resistencia puede ser
calculada usando la Ley de Ohm V = I R.
Ejemplo: Consideremos el siguiente circuito. Calcule la resistencia total
RT, la corriente Is generada por la fuente de voltaje, y las caídas en
voltaje a través de cada una de las resistencias.
6
FIG. 5.15 Series circuit to be investigated
in Example 5.4.
RT = 2 + 1 + 5 = 8 

Is =
20V
= 2.5 A
8
V1 = Is R1 = (2.5) (2) = 5.0 V
V2 = Is R2 = (2.5) (1) = 2.5 V
V3 = Is R3 = (2.5) (5) = 12.5 V
Ejemplo: Consideremos el siguiente circuito. Calcule la resistencia total
RT, la corriente Is generada por la fuente de voltaje, y la caída en voltaje
a través de la resistencia R2.
FIG. 5.16 Series circuit to be analyzed in
Example 5.5.
RT = 7 + 4 + 7 + 7 = 25 
7
50V
Is = 25  = 2 A
V2 = Is R2 = (2) (4) = 8 V
Ejemplo: Consideremos el siguiente circuito. Dado RT e I3 calcule R1 y
E.
FIG. 5.18 Series circuit to be analyzed in Example 5.6.
RT = 12 = R1 + 4 + 6 k 

R1 + 10
R1 = 2 k 

s RT = I3 RT = (6 mA) (12 k ) = 72 V
Para un circuito que consiste de varias resistencias en serie conectadas a
una fuente de voltaje si deseamos medir el voltaje a través de cada
resistencia debemos conectar los metros como ilustra la siguiente figura.
8
FIG. 5.19 Using voltmeters to measure the voltages across the
resistors in Fig. 5.12.
Las puntas de prueba se colocan a través del componente en donde
deseamos medir voltaje, y la punta positiva (color rojo) en el terminal
por donde entra la corriente. La punta negativa (color negro) se conecta
al terminal de la resistencia por donde sale la corriente.
Si para el mismo circuito de resistencias en serie conectadas a una fuente
de voltaje deseamos medir la corriente, debemos conectar los metros
como ilustra la siguiente figura.
FIG. 5.20 Measuring the current throughout the series circuit in
Fig. 5.12.
El amperímetro deberá ser conectado en serie con el circuito a través del
cual deseamos medir la corriente. El terminal positivo (rojo) del
amperímetro deberá estar conectado al alambre por donde entra la
corriente. El terminal negativo (negro) del amperímetro deberá estar
conectado al alambre por donde sale la corriente.
9
Sección 5.4: Distribución de potencia en un circuito en serie
La ley de conservación de la energía obliga a que la potencia suplida por
la fuente de voltaje o batería sea igual a la potencia disipada por los
componentes en el circuito.
Ejemplo: Consideremos el siguiente circuito.
FIG. 5.22 Series circuit to be investigated in Example 5.7.
Calcule:
a) La resistencia total RT
RT = 1 + 3 + 2 = 6 k 

b) La corriente generada por la fuente de voltaje
36V
Is =
= 6 mA
6k
c) La caída en voltaje a través de cada resistencia
V1 = Is R1 = (6 mA) (1 k) = 6 V
V2 = Is R2 = (6 mA) (3 k) = 18 V
10
V3 = Is R3 = (6 mA) (2 k) = 12 V
d) La potencia suplida por la batería
PE = E Is = (36 V) (6 mA) = 216 mW
e) La potencia disipada por cada una de las resistencias
P1 = V1 I1 = V1 Is = (6 V) (6 mA) = 36 mW
P2 = V2 I2 = V2 Is = (18 V) (6 mA) = 108 mW
P3 = V3 I3 = V3 Is = (12 V) (6 mA) = 72 mW
f) Compare la potencia suplida por la batería con las potencias
disipadas a través de cada una de las resistencias.
PE = 216 mW = P1 + P2 + P3 = 36 + 108 + 72
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Sección 5.5: Fuentes de voltaje en serie
Con la intención de aumentar o disminuir el voltaje, las fuentes de
voltaje pueden ser conectadas en serie.
FIG. 5.23 Reducing series dc voltage sources to a single source.
El voltaje neto es determinado sumando las fuentes de voltaje con la
misma polaridad y luego restando las fuentes de voltaje que tengan la
polaridad opuesta.
En nuestro ejemplo de la parte a, ET = 2 + 6 + 10 = 18 V, y en la parte b,
ET = 9 + 3 – 4 = 8 V.
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Sección 5.6: Ley de Voltaje de Kirchhoff
Una de las leyes más importantes en el análisis de circuitos es la Ley de
Voltaje de Kirchhoff. Dicha ley dice que la suma algebraica de los
voltajes en un paso cerrado es cero.
FIG. 5.26 Applying Kirchhoff ’s voltage law
to a series dc circuit.
Por supuesto, si sumamos los voltajes en la dirección contraria, esto es,
en contra de las manecillas del reloj, obtenemos el mismo resultado.
Un circuito constituirá un paso cerrado si empezamos a dibujarlo en
cualquier punto y si desplazándonos a lo largo del circuito pero sin
levantar el lápiz con el que lo estamos dibujando eventualmente
llegamos al mismo lugar donde empezamos.
Ejemplo: Calcule el voltaje V1 en el siguiente circuito.
13
FIG. 5.27 Series circuit to be examined
in Example 5.8.
Aplicando Kirchhoff, o como comúnmente decimos, haciendo un KVL
(Kirchhoff voltage law), obtenemos la siguiente ecuación.
+16 – V1 – 4.2 – 9 = 0
16 – 4.2 – 9 = V1
V1 = 2.8 V
Ejemplo: Determine el voltaje Vx en el siguiente circuito.
FIG. 5.28 Series dc circuit to be
analyzed in Example 5.9.
Vx = 6 + 14 = 20 V
No es requisito que a través del paso escogido para sumar los voltajes
fluya corriente.
14
Ejemplo: En el siguiente circuito calcule los voltajes V1 y V2.
FIG. 5.29 Combination of voltage
sources to be examined in
Example 5.10.
-V2 – 20 = 0
V2 = -20 V
+15 + 25 – V1 = 0
V1 = 15 + 25 = 40 V
Ejemplo: En el siguiente circuito calcule Vx.
FIG. 5.31 Applying Kirchhoff ’s voltage law
to a circuit in which the polarities have not
been provided for one of the voltages
(Example 5.12).
Como el problema no nos define la polaridad del voltaje V x, nos toca a
nosotros asignar una polaridad. Una vez asignemos una polaridad,
resolvemos el problema. Si el resultado es positivo, entonces la
polaridad asumida es correcta. Si el resultado nos da negativo entonces
la verdadera polaridad es la opuesta a la que asumimos.
15
+ Vs + 14 + 6 – 2 = 0
Vs + 18 = 0
Vs = -18 V
Como el resultado nos dio negativo, la polaridad correcta es la opuesta a
la que asumimos, pero el resultado está correcto. Si cuando asumimos la
polaridad hubiéramos asumido la polaridad contraria, el resultado nos
hubiera dado positivo.
Ejemplo: Dado el siguiente circuito, determine V2, I2, R1 y R3.
FIG. 5.32 Series configuration to be examined
in Example 5.13.
Sumemos los voltajes en la dirección contraria a las manecillas del reloj.
+ 54 – 18 – V2 – 15 = 0
V2 = 54 – 18 – 15
V2 = 21 V
16
V2
21V
I2 = 7  = 7  = 3 A
A través de R1 pasa la misma corriente que a través de R2.
I2 R1 = 18 V
3 R1 = 18
R1 = 6 
I2 R3 = 15
3 R3 = 15
R3 = 5 
Sección 5.7: Divisor de Voltaje
Dado el siguiente circuito
FIG. 5.36 Developing the voltage
divider rule.
17
V2 =
E R2
E R2
=
RT
R1  R2
Es fácil visualizar el concepto de divisor de voltaje. E/RT nos da la
corriente a través del circuito. Dicha corriente multiplicada por R 2 nos
da V2.
Ejemplo: Calcule V2
FIG. 5.37 Series circuit to be examined
using the voltage divider rule in Example
5.15.
V2 =
(64) (60)
= 48 V
20  60
Ejemplo: Calcule V1 y V3.
FIG. 5.38 Series circuit to be
investigated in Examples 5.16 and
5.17.
V1 =
( 45) ( 2)
=6V
258
18
V3 =
( 45) (8)
= 24 V
258
Ejemplo: Escoja R1 y R2 de forma que VR1 = 4 VR2.
FIG. 5.40 Designing a voltage
divider circuit (Example 5.19).
20 R1
20 R2
VR1 = R  R = 4 VR2 = 4 R  R
1
2
1
2
R1 = 4 R 2
Para resolver el problema necesitamos una ecuación adicional. Hagamos
un KVL.
+20 – 4 R1 – 4 R2 = 0
+20 – 4(4 R2) – 4 R2 = 0
20 – 20 R2 = 0
20 = 20 R2
R2 = 1 k 
R1 = 4 R2 = (4) (1) = 4 k 
19
Sección 5.8: Intercambiando elementos en serie
Es posible combinar elementos en serie para así sustituir el circuito
original por un circuito equivalente más fácil de analizar. Veamos un
ejemplo.
Ejemplo: Calcule V.
FIG. 5.43 Example 5.20.
Si combinamos las dos fuentes de voltaje obtenemos el siguiente circuito
equivalente.
FIG. 5.44 Redrawing the circuit in Fig.
5.43.
Aplicando divisor de voltaje obtenemos el resultado.
(37.5) (7)
V=
= 17.5 V
447
20
Sección 5.9: Notación
Todo circuito tiene un nivel de cero potencial o ground o tierra.
Símbolo:
FIG. 5.45 Ground
potential.
Por ejemplo, los tres siguientes circuitos son equivalentes.
FIG. 5.46 Three ways to sketch the same series dc circuit.
Hay varias formas de indicar el power supply o batería. Los siguientes
dos circuitos son equivalentes.
FIG. 5.47 Replacing the special notation
for a dc voltage source with the standard
symbol.
21
Los siguientes dos circuitos son equivalentes.
FIG. 5.48 Replacing the notation for a
negative dc supply with the standard
notation.
Consideremos el siguiente circuito.
FIG. 5.51 Defining the use
of single-subscript
notation for voltage levels.
Va representa el voltaje entre el punto a y ground. En nuestro caso V a =
10 V. Vb representa el voltaje entre el punto b y ground. En nuestro caso
Vb = 4 V. En cambio Vab representa el voltaje en el punto a con respecto
al voltaje en el punto b, y este voltaje se calcula como Vab = Va – Vb. En
nuestro caso, Vab = 10 – 4 = 6 V.
Ejemplo: Calcule Vab
FIG. 5.52 Example 5.21.
Vab = Va – Vb = 16 – 20 = - 4 V
22
Ejemplo: Calcule Vab
FIG. 5.54 Example 5.23.
Vab = Va – Vb = 20 – (-15) = 35 V
Ejemplo: Calcule Vb, Vc y Vac.
FIG. 5.56 Example 5.24.
Vb = +10 – 4 = 6 V
Vc = +10 – 4 – 20 = - 14 V
Vac = Va – Vc = 10 – (-14) = 10 + 14 = 24 V
23
Ejemplo: Calcule Vab, Vcb y Vc .
FIG. 5.59 Example
5.25.
Para facilitar el análisis conviene re-arreglar el circuito.
FIG. 5.61 Redrawing the circuit
in Fig. 5.59 using standard dc
voltage supply symbols.
Calculemos la corriente a través del circuito.
35  19 V
54V
I=
= 45  = 1.2 A
20  25 
Vab = 25 I = (25) (1.2) = 30 V
Vcb = - Vbc = - 20 I = (-20) (1.2) = - 24 V
Vc = - 19 V
24
Ejemplo: Calcule V1 y V2.
FIG. 5.62 Example
5.26.
V1 =
V2 =
( 24 ) ( 4)
42
( 24 ) ( 2)
42
= 16 V
=8V
Ejemplo: Calcule Vab, Vb y Vc.
FIG. 5.64 Example 5.27.
Primero calculemos la corriente a través del circuito.
I=
10
=1A
2  3 5
Vab = 2 I = 2 V
Vb = 3 I + 5 I = 8 I = 8 V
Como el punto c es ground, Vc = 0 V.
25
Sección 5.10: Regulación de voltaje
Muchas veces incorrectamente asumimos que una fuente de voltaje
mantiene su valor nominal independiente de la corriente que genere. En
general, según aumenta la corriente suplida, el voltaje tiende a bajar.
Esto se debe a que toda fuente de voltaje cuenta con una resistencia
interna. Si aumenta la corriente de salida, las pérdidas en dicha
resistencia interna aumentan y el voltaje en la salida disminuye. Por
ejemplo, la siguiente figura muestra cómo según disminuye la
resistencia de carga y aumenta la corriente de salida, el voltaje de salida
disminuye.
FIG. 5.66 Demonstrating the effect of changing a load on the terminal voltage of
a supply.
La siguiente figura muestra cómo el voltaje va disminuyendo desde la
condición de no load hasta la condición de full load.
FIG. 5.68 Defining the properties of importance for a power
supply.
Cuando no hay carga o el power supply está en circuito abierto
obtenemos VNL = E. Cuando la corriente alcanza su valor máximo IFL el
voltaje de salida alcanza su valor mínimo VFL. Mientras más grande sea
26
la resistencia interna de la fuente de voltaje, menor será V FL. Para
calcular la resistencia interna utilizamos la siguiente fórmula.
Rint =
| VI |
L
L
Definamos VR como regulación de voltaje.
VR =
VNL  VFL
x 100 %
VFL
Ejemplo: Dada las siguientes características
FIG. 5.70 Terminal characteristics for the supply of Example 5.28.
a) Calcule el por ciento de regulación de voltaje.
VR =
VNL  VFL
x 100 %
VFL
120  118
VR =
x 100 % = 1.69 %
118
b) Calcule la resistencia interna de la fuente de voltaje.
27
Rint =
2
| VI | = 12010118
=
0
10
L
= 0.2 
L
c) Dibuje el circuito equivalente de la fuente de voltaje.
FIG. 5.71 dc supply with the terminal
characteristics of Fig. 5.70.
Ejemplo: Dada una fuente de voltaje de 60 V con regulación de 2%.
a) Calcule VFL
VR =
VNL  VFL
x 100 %
VFL
60  VFL
0.02 = V
FL
0.02 VFL = 60 - VFL
1.02 VFL = 60
VFL =
60
= 58.82 V
1.02
b) Calcule la resistencia interna de la fuente de voltaje si la mitad de
IFL es 5 A.
IFL = 10 A
28
Rint =
| VI | = 6010 58 0.82
L
= 0.12 
L
c) Dibuje la gráfica que define el comportamiento de voltaje de salida
vs. corriente de salida. Dibuje también el circuito equivalente de la
fuente de voltaje.
FIG. 5.72 Characteristics and equivalent circuit for the supply of Example
5.29.