Maxima - matemáticas de bachillerato

MATEMÁTICAS II DE BACHILLERATO
CON MAXIMA
IES AL-SATT
José Ángel López Martín
7 de noviembre de 2013
Pág 2
2
1.
ÁLGEBRA DE MATRICES
MÉTODO DE GAUSS
Ejemplo 1.
Resolver

 3x +2y = 5
a)
2x −y = 1

3x −5y = 5
Ejer i io resuelto
(%i1)

 x +y −z = −1
b)
2x −y −z = 0

3x −3y +2z = 7

 x +y −z = −1
)
2x −y −z = 0

3x
−2z = −1
on Maxima 1.
linsolve([3*x+2*y=5, 2*x-y=1, 3*x-5*y=5℄, [x,y℄);
( %o1) []
(%i2)
linsolve([x+y-z=-1, 2*x-y-z=0, 3*x-3*y+2*z=7℄, [x,y,z℄);
( %o2) [x = 1, y = 0, z = 2]
(%i3)
linsolve([x+y-z=-1, 2*x-y-z=0,3*x-2*z=-1℄, [x,y,z℄);
solve : dependentequationseliminated : (3)
%r2 − 2
2 %r2 − 1
,y =
, z = %r2]
( %o3) [x =
3
3
2.
ÁLGEBRA DE MATRICES
rango de la matriz
olumna i de la matriz
la j de la matriz
menor de la matriz obtenido al eliminar la la i
y la olumna j
matriz obtenida al eliminar las las y olumnas
men ionadas
forma triangular superior de la matriz
determinante
matriz inversa
matriz transpuesta
nú leo de la matriz
rank(matriz)
ol(matriz,i)
row(matriz,j)
minor(matriz,i,j)
submatrix(la1,la2,...,matriz, ol1, ol2,...)
triangularize(matriz)
determinant(matriz)
invert(matriz)
transpose(matriz)
nullspa e(matriz)
Ejemplo 2.
Dadas las matri es
A=
−2 3 5
1 −2 4
B=
2 0 −3
4 −1 5
al ular 2A − 3B
-Version ini ial. Puede ontener errores-
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PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
(%i1)
( %o1)
(%i2)
( %o2)
(%i3)
( %o3)
on Maxima 2.
A: matrix( [-2,3,5℄, [1,-2,4℄);
−2 3 5
1 −2 4
B: matrix( [2,0,-3℄, [4,-1,5℄);
2 0 −3
4 −1 5
2*A-3*B;
−10 6 19
−10 −1 −7
Ejemplo 3.
Hallar las matri es A y B que veri an
1 −2
3A − 5B =
8 1 2 4
−A + 3B =
3 0
Ejer i io resuelto
(%i1)
( %o1)
(%i2)
( %o2)
(%i2)
on Maxima 3.
A: matrix( [1,-2℄, [8,1℄);
1 −2
8 1
B: matrix( [2,4℄, [3,0℄);
2 4
3 0
array(X,2,2);
( %o2) X
(%i4)
array(Y,2,2);
( %o4) Y
(%i5)
linsolve([3*X-5*Y=A, -X+3*Y=B℄, [X,Y℄);
 13 7 
 7 5
4 2  , Y =  4 2 ]
( %o5) [X = 




39 3
17 1
4 4
4 4
Ejemplo 4.
Dada la matriz
A=
al ular:
1 0
2 −1
a) A3 − 3A2 − 5A + 2I , siendo I la matriz identidad de orden 2.
b) A100
-Version ini ial. Puede ontener errores-
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2
ÁLGEBRA DE MATRICES
) A−1
d) Una matriz X que onmute on A, es de ir, tal que AX = XA
Ejer i io resuelto
(%i1)
( %o1)
(%i2)
( %o2)
(%i3)
( %o3)
(%i4)
( %o4)
A: matrix( [1,0℄, [2,-1℄);
1 0
2 −1
A^^3-3*A^^2-5*A+2*ident(2);
−5 0
−8 3
A^^100;
1 0
0 1
A^^-1;
1 0
2 −1
Ejer i io resuelto
(%i5)
( %o5)
(%i6)
( %o6)
(%i7)
on Maxima 4.
on Maxima.
X: matrix( [a,b℄, [ ,d℄);
a b
c d
A.X;X.A;A.X-X.A;
−2 b
2b
−2 d − 2 c + 2 a 2 b
linsolve([2*b=0, -2* +2*a-2*d=0℄, [a, b, , d℄);
( %o7) [a = %r2 + %r1, b = 0, c = %r2, d = %r1]
Ejemplo 5.
Estudiar el rango de la siguiente matriz

1
 1
rango 
 2
3

2 −1 0
2 1 −1 

2 −2 −4 
4 −3 −4
-Version ini ial. Puede ontener errores-
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PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
(%i1)
A: matrix(

1 2 −1
1 2 1
( %o1) 
2 2 −2
3 4 −3
(%i2) rank(A);
on Maxima 5.
[1,2,-1,0℄, [1,2,1,-1℄, [2,2,-2,-4℄, [3,4,-3,-4℄);

0
−1

−4
−4
( %o2) 3
(%i3)
triangularize(A);


1 2 −1 0
0 −2 0 −4

( %o3) 
0 0 −4 2 
0 0
0
0
3.
DETERMINANTES
Ejemplo 6.
Cal ular el siguiente determinante
0
0
0
5
Ejer i io resuelto
0
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0
0
on Maxima 6.
(%i1)
A: matrix( [0,0,0,2℄, [0,0,3,0℄, [0,4,0,0℄, [5,0,0,0℄);


0 0 0 2
0 0 3 0

( %o1) 
0 4 0 0
5 0 0 0
(%i2) determinant(A);
( %o2) 120
Ejemplo 7.
Cal ular el siguiente determinante
a
a
a
a
a
b
b
b
a
b
c
c
a
b
c
d
-Version ini ial. Puede ontener errores-
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3
Ejer i io resuelto
DETERMINANTES
on Maxima 7.
(%i1)
A: matrix( [a,a,a,a℄, [a,b,b,b℄, [a,b, , ℄, [a,b, ,b℄);


a a a a
a b b b 

( %o1) 
a b c c 
a b c b
(%i2) determinant(A);
( %o2) a b b c − c2 − b b2 − b c
−
a a b c − c2 − b (a b − a c)
a a b2 − b c − b (a b − a c)
(%i3)
fa tor(%);
( %o3) − a (b − a) (c − b)2
(%i4)
ptriangularize(A,a);
P roviso 
: b − c 6= 0

a
b
c
b
0 a − b a − b a − b

( %o4) 
0
0
b − c b − c
0
0
0
c−b
(%i5) determinant(%);
( %o5) a (a − b) (b − c) (c − b)
Ejemplo 8.
Hallar la inversa de
Ejer i io resuelto


2 1 −1
A = 3 0 −2
1 2 3
on Maxima 8.
(%i1)
A: matrix( [2,1,-1℄, [3,0,-2℄, [1,2,3℄);


2 1 −1
( %o1) 3 0 −2
1 2 3
(%i3) determinant(A);
( %o3) − 9
(%i4)
adjoint(A);


4
−5 −2
( %o4) −11 7
1
6
−3 −3
(%i5) invert(A);
 4

5
2
−9
9
9
 11

7
1
( %o5) 
 9 −9 −9
1
1
− 23
3
3
-Version ini ial. Puede ontener errores-
+
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PENDIENTES BTO
Ejemplo 9.
su inversa.
indi ar para que valores de a es invertible la siguiente matriz, y uando sea posible al ular


2
1 −2
A = −1 0
1
a −1 1
Ejer i io resuelto
on Maxima 9.
(%i1)
A: matrix( [2,1,-2℄, [-1,0,1℄, [a,-1,1℄);


2
1 −2
1
( %o1) −1 0
a −1 1
(%i2) determinant(A);
( %o2) a + 1
(%i3)
solve([(%)℄, [a℄);
( %o3) [a = −1]
(%i4)
invert(A);
 1
1
a+1

( %o4) 
 1

1
a+1
Ejemplo 10.
a+1
2 a+2
a+1
a+2
a+1
1
a+1



0 

1
a+1
Sea k un número natural y sean las matri es:

1 1 1
A =  0 1 0 ,
0 0 1



0
B =  1 ,
−1
C=
1 1 2
a) (1 punto) Cal ular Ak
b) (1,5 puntos) Hallar la matriz X que veri a la e ua ión Ak X = BC
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 8
3
Ejer i io resuelto
(%i1)
( %o1)
(%i2)
( %o2)
(%i3)
( %o3)
(%i6)
( %o6)

( %o4)
(%i5)
( %o5)
(%i7)
( %o7)
(%i8)
( %o8)
(%i9)
( %o9)
on Maxima 10.
A: matrix( [1,1,1℄, [0,1,0℄,


1 1 1
0 1 0
0 0 1
B: matrix( [0℄, [1℄, [-1℄);
 
0
1
−1
C: matrix( [1,1,2℄);
1 1 2
A^^2;

1 2
0 1
0 0
A^^3;

1 3
0 1
0 0
A^^k;
(%i4)
DETERMINANTES
[0,0,1℄);

2
0
1

3
0
1
k
1 1 1
0 1 0 Al elevar a a k no nos al ula la matriz, La introdu imos nosotros
0 0 1
Aelk: matrix( [1,k,k℄, [0,1,0℄, [0,0,1℄);


1 k k
0 1 0
0 0 1
invert(Aelk);


1 −k −k
0 1
0 
0 0
1
X:invert(Aelk).B.C;


0
0
0
1
1
2
−1 −1 −2
Ejemplo 11.
Hallar el rango de la matriz


1
1
0
1
A = 0
t
1
t2 
2
1 t+1 t t+1
-Version ini ial. Puede ontener errores-
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PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
on Maxima 11.
(%i1)
A: matrix( [1,1,0,1℄, [0,t,1,t^2℄, [1,t+1,t^2,t+1℄);


1
1
0
1
( %o1) 0
t
1
t2 
1 t + 1 t2 t + 1
(%i2) rank(A);
( %o2) 3
(%i3)
A4:submatrix(A,4);


1
1
0
( %o3) 0
t
1
1 t + 1 t2
(%i4) determinant(A4);
( %o4) t3 − t
(%i5)
solve(%=0,[t℄);
( %o5) [t = −1, t = 1, t = 0]
(%i6)
B:A,t=0;rank(B);


1 1 0 1
( %o6) 0 0 1 0
1 1 0 1
( %o7) 2
(%i8)
C:A,t=-1;rank(C);


1 1 0 1
( %o8) 0 −1 1 1
1 0 1 0
( %o9) 3
(%i10) D:A,t=1;rank(D);


1 1 0 1
( %o10) 0 1 1 1
1 2 1 2
( %o11) 2
4.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Ejemplo 12.
Resolver el sistema

= −1
 2x +y
3x −y −2z = −3

x +3y +2z = 1
-Version ini ial. Puede ontener errores-
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4
Ejer i io resuelto
(%i1)
( %o1)
(%i2)
( %o2)
(%i3)
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
on Maxima 12.
A: oefmatrix([2*x+y=-1, 3*x-y-2*z=-3, x+3*y+2*z=1℄, [x,y,z℄);


2 1
0
3 −1 −2
1 3
2
AB:aug oefmatrix([2*x+y=-1, 3*x-y-2*z=-3, x+3*y+2*z=1℄, [x,y,z℄);


2 1
0
1
3 −1 −2 3 
1 3
2 −1
rank(A);
( %o3) 2
(%i4)
rank(AB);
( %o4) 2
(%i5)
linsolve([2*x+y=-1, 3*x-y-2*z=-3, x+3*y+2*z=1℄, [x,y,z℄);
solve : dependentequationseliminated : (3)
2 %r5 − 4
4 %r5 − 3
( %o5) [x =
,y = −
, z = %r5]
5
5
Ejemplo 13.
Dis utir y resolver el sistema

 x +y = 7
kx −y = 11

x −4y = k
Ejer i io resuelto
on Maxima 13.
(%i1)
A: oefmatrix([(a+1)*x+y+z=0, x+(a+1)*y+z=3*a^2, x+y+(a+1)*z=a^3℄, [x,y,z℄);


a+1
1
1
a+1
1 
( %o1)  1
1
1
a+1
(%i2) fa tor(determinant(A));
( %o2) a2 (a + 3)
(%i3)
solve([%=0℄, [a℄);
( %o3) [a = −3, a = 0]
(%i4)
AB:aug oefmatrix([(a+1)*x+y+z=0, x+(a+1)*y+z=3*a^2, x+y+(a+1)*z=a^3℄,
[x,y,z℄);


a+1
1
1
0
a+1
1
−3 a2 
( %o4)  1
1
1
a + 1 −a3
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 11
PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
(%i5)
on Maxima.
linsolve([(a+1)*x+y+z=0, x+(a+1)*y+z=3*a^2, x+y+(a+1)*z=a^3℄, [x,y,z℄);
( %o5) [x = −a, y = 2 a, z = a2 − a]
(%i6)
A,a=0;rank(%);


1 1 1
( %o6) 1 1 1
1 1 1
( %o7) 1
(%i8)
AB,a=0;rank(%);


1 1 1 0
( %o8) 1 1 1 0
1 1 1 0
( %o9) 1
(%i10) linsolve([x+y+z=0, x+y+z=0, x+y+z=0℄, [x,y,z℄);
solve : dependentequationseliminated : (23)
( %o10) [x = − %r2 − %r1, y = %r2, z = %r1]
(%i11) A,a=-3;rank(%);


−2 1
1
( %o11)  1 −2 1 
1
1 −2
( %o12) 2
(%i13) AB,a=-3;rank(%);


−2 1
1
0
( %o13)  1 −2 1 −27
1
1 −2 27
( %o14) 2
(%i15) linsolve([-2*x+y+z=0, x-2*y+z=27, x+y-2*z=-27℄, [x,y,z℄);
solve : dependentequationseliminated : (3)
( %o15) [x = %r3 − 9, y = %r3 − 18, z = %r3]
5.
VECTORES EN EL ESPACIO
Ejemplo 14. Estudiar la dependen ia o independen ia lineal de los ve tores (1, −1, 0), (1, 1, 1) y (2, 0, 1).
En aso de ser l. dependientes expresar uno de ellos omo ombina ión lineal de los demás.
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 12
5
Ejer i io resuelto
(%i1)
VECTORES EN EL ESPACIO
on Maxima 14.
A: matrix( [1,-1,0℄, [1,1,1℄,
[2,0,1℄)$ rank(A);
( %o1) 2
(%i2)
solve(x*[1,-1,0℄+y*[1,1,1℄+z*[2,0,1℄,[x,y,z℄);
solve : dependentequationseliminated : (3)
( %o2) [[x = − %r1, y = − %r1, z = %r1]]
Ejemplo 15.
−
−
Dados los ve tores →
u (1, 2, 3) y →
v (−3, 4, 2) se pide:
→
u
a) Modulo de −
→
b) Ve tor unitario en la dire ión de −
u
−
→
u sobre −
v
) Proye ión de →
−
→
d) Ángulo que forman →
u y−
v
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 15.
u:[1,2,3℄;
( %o1) [1, 2, 3]
(%i2)
v:[-3,4,2℄;
( %o2) [−3, 4, 2]
(%i3)
u.v;
( %o3) 11
(%i4)
mod_u:sqrt(u.u);
√
( %o4) 14
(%i5)
mod_v:sqrt(v.v);
√
( %o5) 29
(%i6)
unit_u:u/mod_u;
1
2
3
,√ ,√ ]
14
14
14
proy_u_v:u.v/mod_v;
( %o6) [ √
(%i7)
11
29
(%i8) ang:a os(u.v/(mod_u*mod_v));
11
( %o8) acos √ √
14 29
(%i9) float(ang*180/%pi);
( %o7) √
( %o9) 56,91238733263818
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 13
PENDIENTES BTO
Ejemplo 16.
Hallar el área del paralelogramo denido por los ve tores u(3, −5, 1) y v(4, 7, 6).
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 16.
load("ve t");
( %o1) C : /P ROGRA 2/M axima/share/maxima/5,28,0 − 2/share/vector/vect.mac
(%i2)
u:[3,-5,1℄;
( %o2) [3, −5, 1]
(%i3)
v:[4,7,6℄;
( %o3) [4, 7, 6]
(%i4)
uxv:express(u~v);
( %o4) [−37, −14, 41]
(%i5)
sqrt(uxv.uxv);
√
( %o5) 3246
Ejemplo 17.
−
−
→
u (3, −5, 1), →
v (7, 4, 2) y −
w (1, 14, x) sean oplanarios
Hallar x para que los ve tores →
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 17.
load("ve t");
( %o1) C : /P ROGRA 2/M axima/share/maxima/5,28,0 − 2/share/vector/vect.mac
(%i2)
u:[3,-5,1℄;
( %o2) [3, −5, 1]
(%i3)
v:[7,4,2℄;
( %o3) [7, 4, 2]
(%i4)
w:[1,14,x℄;
( %o4) [1, 14, x]
(%i5)
u.express(v~w);
( %o5) 3 (4 x − 28) − 5 (2 − 7 x) + 94
(%i6)
solve(%);
( %o6) [x = 0]
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 14
10
6.
PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
7.
PROBLEMAS MÉTRICOS
8.
LA ESFERA
9.
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
10.
LIMITE DE FUNCIONES
LIMITE DE FUNCIONES
Ejemplo 18.
sen x
x→1 x
Hallar lı́m
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 18.
limit(sin(x)/x, x, 0);
( %o1) 1
Ejemplo 19.
x+1
x→2 x − 2
Hallar lı́m
Ejer i io resuelto
(%i2)
on Maxima 19.
limit((x+1)/(x-2), x, 2, minus);
( %o2) − ∞
(%i3)
limit((x+1)/(x-2), x, 2, plus);
( %o3) ∞
Ejemplo 20.
Hallar lı́m
x→+∞
Ejer i io resuelto
(%i4)
x+1
x−2
on Maxima 20.
limit((x+1)/(x-2), x, inf);
( %o4) 1
Ejemplo 21.
Hallar lı́m
x→−∞
Ejer i io resuelto
(%i5)
√
x2 + 3x
x
on Maxima 21.
limit(sqrt(x^2+3*x)/x, x, minf);
( %o5) − 1
Ejemplo 22.
Cal ular las asíntotas obli uas de la fun ión f (x) =
x3
x2 − 1
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 15
PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 22.
f(x):=x^3/(x^2-1);
x3
x2 − 1
m:limit(f(x)/x, x, inf);
( %o1) f (x) :=
(%i2)
( %o2) 1
(%i3)
n:limit(f(x)-m*x, x, inf);
( %o3) 0
(%i4)
a(x):=m*x+n;
( %o4) a (x) := m x + n
(%i5)
plot2d([f(x),a(x)℄, [x,-5,5℄, [y,-5,5℄, [plot_format, openmath℄)$
y
5
x^3/(x^2-1)
x
2.5
0
-2.5
-5
-5
-2.5
0
2.5
5
x
11.
CONTINUIDAD
Ejemplo 23.
Estudia la ontinuidad de la siguiente fun ión:

2x2 − 1





 3
2
f (x) = ex −1




1


x
si x < −1
si − 1 ≤ x ≤ 1
si x > 1
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 16
12
Ejer i io resuelto
LA DERIVADA
on Maxima 23.
(%i1)
load("C:/Program Files (x86)/Maxima/share/maxima/5.28.0-2/share/Pw/pw.ma ")$
(%i2)
g(x):=pie ewise(
[minf,(2*x^2-1)/3,-1,%e^(x^2-1),1,1/x,inf℄,x,open)$
(%i3)
limit(g(x), x, -1, minus);
1
3
(%i4) limit(g(x), x, -1, plus);
( %o3)
( %o4) 1
(%i5)
limit(g(x), x, 1, minus);
( %o5) 1
(%i6)
limit(g(x), x, 1, plus);
( %o6) 1
18
16
14
12
g
10
8
6
4
2
0
-4
-2
0
2
4
x
12.
LA DERIVADA
Ejemplo 24.
Halla la fun ión derivada de f (x) = sen x .
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 24.
limit((sin(x+h)-sin(x))/h, h, 0);
( %o1) cos (x)
(%i2)
diff(sin(x),x,2);
( %o2) cos (x)
Ejemplo 25.
Halla la fun ión derivada de f (x) = arc sen x .
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 17
PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
(%i1)
diff(a os(1/x),x,1);
( %o1) q
1
( %o2) √
1
− 1 |x|
(%i2)
1 − x12 x2
ratsimp(%);
x2
Ejemplo 26.
Halla la fun ión derivada de f (x) = xx .
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 25.
on Maxima 26.
x^x;
( %o1) xx
(%i2)
diff(x^x,x,1);
( %o2) xx (log (x) + 1)
Ejemplo 27.
Estudiar la derivabilidad de f (x) = |x|
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 27.
abs(x);
( %o1) |x|
(%i2)
diff(abs(x),x,1);
x
|x|
(%i3) limit(abs(h)/h, h, 0, minus);
( %o2)
( %o3) − 1
(%i4)
limit(abs(h)/h, h, 0, plus);
( %o4) 1
13.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Hallar los puntos de la urva y = 3x2 − 5x + 12 en los que la tangente a a está pasa por
el punto (0, 0). Hallar también las e ua iones de di has tangentes.
Ejer i io 1.
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 18
13
Ejer i io resuelto
(%i1)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
on Maxima 28.
f(x):=3*x^2-5*x+12;
( %o1) f (x) := 3 x2 − 5 x + 12
(%i2)
define(Df(x),diff(f(x),x,1));
( %o2) Df (x) := 6 x − 5
(%i3)
tangente(x,a):=f(a)+Df(a)*(x-a);
( %o3) tangente (x, a) := f (a) + Df (a) (x − a)
(%i4)
solve([tangente(0,a)=0℄, [a℄);
( %o4) [a = −2, a = 2]
(%i5)
tangente(x,-2);
( %o5) 34 − 17 (x + 2)
(%i6)
tangente(x,2);
( %o6) 7 (x − 2) + 14
Ejemplo 28.
Estudiar los intervalos de re imiento y de re imiento de la fun ión f (x) =
Ejer i io resuelto
(%i1)
f(x):=x/(x^2+1);
x
+1
define(Df(x),ratsimp(diff(f(x),x,1)));
( %o1) f (x) :=
(%i2)
on Maxima 29.
x2
x2 − 1
x4 + 2 x2 + 1
solve(num(Df(x)),x);
( %o2) Df (x) := −
(%i3)
( %o3) [x = −1, x = 1]
(%i4)
solve(denom(Df(x)),x);
( %o4) [x = −i, x = i]
(%i5)
Df([-10,0,10℄);
( %o5) [−
99
99
, 1, −
]
10201
10201
Ejemplo 29.
Hallar los máximos y mínimos relativos de la fun ión f (x) =
-Version ini ial. Puede ontener errores-
x3
(x − 1)2
x
x2 + 1
Pág 19
PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
on Maxima 30.
(%i1)
load(solve_rat_ineq)$
(%i2)
f(x):=x^3/(x-1)^2;
( %o2) f (x) :=
(%i3)
x3
(x − 1)2
define(Df(x),ratsimp(diff(f(x),x,1)));
x3 − 3 x2
x3 − 3 x2 + 3 x − 1
solve_rat_ineq(Df(x)<0);
( %o3) Df (x) :=
(%i4)
( %o4) [[x > 1, x < 3]]
(%i5)
solve_rat_ineq(Df(x)>0);
( %o5) [[x < 0], [x > 0, x < 1], [x > 3]]
Ejemplo 30.
Hallar los máximos y mínimos relativos de la fun ión f (x) = x4 − 8x2 + 16
Ejer i io resuelto
(%i1)
on Maxima 31.
f(x):=x^4-8*x^2+16;
( %o1) f (x) := x4 − 8 x2 + 16
(%i2)
define(D1f(x),diff(f(x),x));
( %o2) D1f (x) := 4 x3 − 16 x
(%i3)
define(D2f(x),diff(f(x),x,2));
( %o3) D2f (x) := 12 x2 − 16
(%i4)
puntosf:solve(D1f(x),x);
( %o4) [x = −2, x = 2, x = 0]
(%i5)
abs isas:map(rhs,puntosf);
( %o5) [−2, 2, 0]
(%i6)
D2f(abs isas);
( %o6) [32, 32, −16]
Ejemplo 31.
Estudiar los intervalos de urvatura de la fun ión f (x) =
x
.
x2 +1
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 20
16
Ejer i io resuelto
LA INTEGRAL DEFINIDA
on Maxima 32.
(%i1)
load(solve_rat_ineq)$
(%i2)
f(x):=x/(x^2+1);
x
x2 + 1
define(D2f(x),ratsimp(diff(f(x),x,2)));
( %o2) f (x) :=
(%i3)
2 x3 − 6 x
x6 + 3 x4 + 3 x2 + 1
(%i4) solve_rat_ineq(D2f(x)>0);
√
√
( %o4) [[x > − 3, x < 0], [x > 3]]
( %o3) D2f (x) :=
(%i5)
solve_rat_ineq(D2f(x)<0);
√
√
( %o5) [[x < − 3], [x > 0, x < 3]]
14.
TEOREMAS DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
15.
LA INTEGRAL INDEFINIDA
16.
LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 32.
Cal ular
Ejer i io resuelto
(%i1)
Rπ
0
sen x dx,
R 2π
π
sen x dx,
R 2π
0
sen x dx
on Maxima 33.
integrate(sin(x), x, 0, 2*%pi);
( %o1) 0
(%i2)
integrate(abs(x+1), x, -3, 3);
( %o2) 10
(%i3)
integrate(3/x^2, x, minf, -1);
( %o3) 3
Ejemplo 33.
Dada F (x) =
Z
3x
sen3 t dt hallar F ′ (x)
2x
-Version ini ial. Puede ontener errores-
Pág 21
PENDIENTES BTO
Ejer i io resuelto
(%i4)
f(x):=integrate((sin(t))^3, t, 2*x, 3*x);
( %o4) f (x) :=
(%i5)
on Maxima 34.
Z
3x
sin (t)3 dt
2x
diff(f(x),x,1);
9 sin (3 x) − 9 cos (3 x)2 sin (3 x) 6 sin (2 x) − 6 cos (2 x)2 sin (2 x)
−
3
3
(%i6) trigsimp(%);
( %o5)
( %o6) 3 sin (3 x)3 − 2 sin (2 x)3
Ejer i io resuelto
on Maxima 35.
(%i1)
mandelbrot(x0, y0, side, N, L, R):= blo k ([
delta,j,k, ,z,h℄,
X:zeromatrix(N,N),
delta : side/N,
for j:1 thru N do(
for k:1 thru N do(
: (x0+j*delta)+(y0+k*delta)*%i,
z:0+0*%i,
h:0,
while (h<L) and (abs(z)<R) do (
z:re tform(z*z+ ),
h:h+1),
X[j,k℄:h) ),
wxdraw2d( image(X,0,0,200,200) ) ) $
(%i2)
mandelbrot(-2,-1.5,3,200,20,3)$
-Version ini ial. Puede ontener errores-