MOVIMIENTO CIRCULAR ARMÓNICO Movimiento armónico simple

MOVIMIENTO CIRCULAR ARMÓNICO
Movimiento armónico simple
Uno de los conceptos fundamentales de la física moderna es el de onda. El estudio de los
movimientos ondulatorios se remonta a hace varios siglos, y la descripción de estos
movimientos se basa clásicamente en su comparación con otros más sencillos y fáciles de
determinar: el circular y el armónico simple.
Movimientos oscilatorios
Los fenómenos vibratorios u oscilatorios están presentes en toda la naturaleza. Los
péndulos formados por objetos que penden de hilos, los muelles que oscilan sujetos a un
punto fijo, o fenómenos fisiológicos comunes, como el hecho de tiritar, son ejemplos
frecuentes de este tipo de movimientos.
En términos sencillos e idealizados, puede definirse oscilación como un movimiento
rectilíneo de vaivén que alcanza una cierta amplitud a ambos lados de un punto concreto,
que es el que ocuparía la partícula si no se aplicara sobre ella la fuerza externa que la
induce a oscilar. Este punto se denomina posición de equilibrio, y se elige comúnmente
como origen de referencia en la descripción del movimiento.
Los movimientos oscilatorios o vibratorios se expresan mediante ecuaciones de
movimiento, que con frecuencia se apoyan con gráficas que ayudan a comprender e ilustrar
su naturaleza. Estas gráficas son representaciones de la variación del espacio, de la
velocidad y la aceleración de la partícula oscilante con respecto al tiempo.
Movimientos oscilatorios periódicos
Un caso particularmente interesante de oscilaciones es el constituido por los llamados
movimientos oscilatorios periódicos. En ellos, las partículas describen una trayectoria que
se repite cada cierto tiempo, denominado periodo y simbolizado por T.
Si la función que describe el movimiento oscilatorio es x (t), se verifica que:
La magnitud inversa del periodo se llama frecuencia, y es una magnitud básica de los
movimientos oscilatorios. El símbolo de la frecuencia es la letra griega
medida es el hertzio (símbolo Hz). El hertzio puede definirse también como la unidad
inversa del segundo, ya que 1 Hz = 1 s-1:
Gráfica de la velocidad con respecto al tiempo de un movimiento oscilatorio.
Movimiento circular
Un ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio es la trayectoria descrita por una partícula
que recorre una circunferencia de manera periódica. En tal caso, la longitud recorrida por la
partícula en el período T a una velocidad angular
la longitud de la
Por un sencillo cálculo trigonométrico, la ecuación del movimiento circular, que permite
hallar la posición de la partícula en cualquier instante t, se obtiene como sigue:
Siendo
instante inicial de medida.
Representación gráfica del movimiento circular.
Movimiento armónico simple
Otro tipo común de oscilación es el denominado movimiento armónico simple, descrito
como aquel que recorre una partícula que se desplaza en línea recta y de forma periódica a
ambos lados de un punto de equilibrio que se toma como origen. La posición que ocupa la
partícula en un momento dado se denomina elongación, y su máxima separación con
respecto al origen es la amplitud (simbolizada por A).
El movimiento armónico simple se produce cuando, en todo instante, la aceleración de la
partícula oscilante es proporcional y de sentido contrario a la coordenada de posición de la
misma. Es decir:
El movimiento armónico simple puede apreciarse como si fuera un movimiento circular
proyectado sobre el diámetro de la circunferencia. Por tanto, las ecuaciones del movimiento
armónico simple son formalmente idénticas a las del circular. Si la amplitud del
El período y la frecuencia del movimiento armónico simple guardan la misma relación que
en el caso del movimiento circular. Suponiendo que no existe rozamiento, la energía
mecánica del movimiento armónico simple se puede escribir como:
Movimientos armónicos compuestos
Una aplicación directa y sencilla del estudio de las oscilaciones periódicas es el péndulo.
Este sencillo artilugio con aplicaciones en la construcción de relojes y maquinarias, puede
esquematizarse de manera que se desarrollen con un alto grado de precisión las
ecuaciones que rigen su comportamiento físico.
Péndulo simple
Un péndulo simple es un sistema constituido por un objeto material, llamado lenteja,
suspendido de un hilo, que se considera inextensible y sin masa, y sujeto a un punto fijo en
uno de sus extremos. La única acción externa ejercida sobre este sistema es el peso del
objeto, que alcanza el equilibrio en una posición perfectamente vertical, donde el peso
compensa exactamente la tensión del hilo.
Si se desvía la posición del cuerpo un cierto ángulo con respecto a la vertical, empieza a
oscilar en un movimiento que se asemeja bastante, al movimiento armónico simple cuando
los ángulos de desplazamiento son pequeños.
En un péndulo en movimiento, el peso se puede descomponer en dos elementos:
La componente en la dirección del movimiento, o fuerza tangencial (FD).
Una componente perpendicular a la anterior (FP), que está compensada por la
tensión del hilo (FT).
Cuando los desplazamientos de la lenteja con respecto a la vertical son pequeños, el
movimiento pendular se corresponde aproximadamente con un movimiento armónico
simple cuyo período T es:
Siendo l la longitud del hilo y g la aceleración de la gravedad.
Esquema de un péndulo simple, formado por un cuerpo suspendido de un hilo inextensible
cuya masa se considera insignificante.
Tensión del hilo
En un movimiento pendular, la tensión del hilo no se mantiene constante. En cada
momento, la fuerza centrípeta neta que actúa sobre la lenteja será la suma de la tensión del
hilo más la componente perpendicular del peso:
Como el movimiento es circular y todas las fuerzas anteriores tienen la misma dirección, se
deduce la siguiente ecuación para los módulos de las fuerzas:
Donde
Movimiento armónico compuesto
En la naturaleza son frecuentes las oscilaciones periódicas que no se corresponden con
movimientos armónicos simples, sino que pueden describirse como la superposición de
movimientos con frecuencias que son múltiplos unas de otras. Estas clases de oscilaciones
reciben el nombre de movimientos armónicos compuestos.
La ecuación de la función espacial de un movimiento armónico compuesto puede escribirse
del modo siguiente:
Siendo n un número entero.
Período de un movimiento armónico compuesto, que se corresponde con el del armónico
simple de período más largo.
En un movimiento armónico compuesto pueden distinguirse varios componentes:
El primer sumando de la serie, que tiene la menor frecuencia de todos, recibe el
nombre de armónico fundamental.
Los restantes sumandos se denominan armónicos secundarios.
Y este fenómeno de los armónicos superpuestos es relativamente frecuente en la naturaleza
y se aprecia claramente, por ejemplo, en los acordes musicales.
Descripción de Fourier
En relación con la descripción del movimiento armónico compuesto, el matemático francés
Joseph Fourier (1768-1830) demostró que toda oscilación de período T puede considerarse
un movimiento armónico compuesto formado por una serie finita o infinita de sumandos de
movimientos armónicos simples, cuyas frecuencias sucesivas son:
En esta descripción, los primeros términos de la serie, con frecuencias más bajas, son
mucho más intensos que los de frecuencias altas y tienen mayor importancia en la
descripción real del movimiento oscilatorio.
Ilustración gráfica de las series de Fourier para oscilaciones periódicas. Como puede verse,
el movimiento real de la segunda gráfica puede reproducirse con bastante exactitud
mediante una suma de un número limitado de armónicos simples.