SOLUCIÓN
1. (15 puntos)
a) Sea 𝐴 ∈ 𝑀4,5 , rango(𝐴) = 2 entonces nulidad(𝐴) = 3
1
b) Si 𝐵 = {1 − 𝑥, 2 + 2𝑥} es una base de 𝑃1, y [𝑣 ]𝐵 = [ ], entonces 𝑣 = −3 − 5𝑥
−2
−1
c) Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑛,𝑛 , suponga que 𝑋 = [ ] es un eigenvector y su eigenvalor respectivo es 𝜆 = −2.
3
2
]
Entonces 𝐴𝑋 = [
−6
2. (15 puntos) Dado el conjunto de vectores 𝑆 = {(1, 2, 1, −1 ); (1, −3, 4, 1); (1, −13, 10, 5)}, indica si 𝑆
es LI o LD. Caso que sea LD, escribe uno de los vectores como CL de los otros.
Solución. 𝑆 es LD
𝑣3 = −2𝑣1 + 3𝑣2
3. (15 puntos) Sea 𝑉 = 𝑃2 . Determina una base para el siguiente subespacio vectorial de 𝑉:
𝑊 = {(𝑠 − 2𝑡 + 3𝑢)𝑥 2 + (2𝑠 + 3𝑡 − 𝑢 )𝑥: 𝑠, 𝑡, 𝑢 ∈ ℝ}
Solución. Una bases de 𝑊 es
{𝑥 2 + 2𝑥, 7𝑥 }
4. (15 puntos) a) Halla una base del espacio columna, b) el rango de la matriz, c) la nulidad de la matriz
4 20
31
𝐴 = [6 −5
−6 ]
2 −11 −16
Solución. Una base del espacio columna es
{(4, 6, 2); (0, 5, 3)}
El rango es 2
La nulidad es 1
5. (20 puntos) Sean 𝑉 = ℝ3 , dos bases de 𝑉: 𝐵1 = {(1, 2, 0); (1, 0, 1); (0, 1, −1)};
𝐵2 = {(1, −1, 0); (1, 0, 0); (0, 1, −1)}. a) Halla la matriz de transición de la base 𝐵1 a la base 𝐵2 , b) Si
1
[𝑣 ]𝐵1 = [ 2 ], encuentra [𝑣 ]𝐵2 .
−1
Solución.
−2 −1 0
𝐵2
𝑃𝐵1 = [ 3
2 0]
0 −1 1
−4
[𝑣 ]𝐵2 = [ 7 ]
−3
6. (20 puntos) Determine los eigenvalores y bases de eigenvectores para los correspondientes
eigenespacios de
2 1
]
𝐴=[
−1 4
Solución.
𝜆 = 3 con multiplicidad algebraica 2
1
Base de 𝐸3 = {[ ]}
1
