CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO Mecanismos de Conducción ➢ Por este mecanismo el calor puede ser conducido a través de sólidos, líquidos y gases. ➢ La conducción se verifica mediante la transferencia de energía cinética entre moléculas adyacentes. ➢ En la conducción la energía también se transfiere por medio de electrones libres, un proceso muy importante en el calentamiento de sólidos. ➢Transferencia a través de: ➢ Paredes e Intercambiadores de calor. ➢ Grageado, Granulado ➢ Esterilización ➢ Forjado de Acero ➢ Congelados en Industrias de Alimentos. ➢ Acondicionamiento de Aire. ¿Como se verifica el proceso de Transferencia de Calor por conducción? ➢ La conducción es un proceso mediante el cual fluye calor desde una región de alta temperatura a otra de baja temperatura, dentro de un medio determinado. ➢ En estos procesos siempre se manifiesta un flujo continuo de calor de la región mas caliente a la mas fría. Ley de Fourier para la conducción del calor Permite cuantificar la rapidez del flujo de calor por conducción y establece que: qk = - k A (dt/dx) k: Conductividad térmica del material Btu/h*pie*F Kcal/h*m*C A: área transversal al flujo (pie2 ); (m2 ) dt/dx : Gradiente de temperatura (C/m) ; (F/pie) PERFIL DE TEMPERATURA Conductividad Térmica La conductividad térmica depende de la naturaleza del material en el cual se este manifestando el proceso de transferencia de calor k sólidos > k líquidos > k gases 1 BTU/(h pie ºF) = 4,1365x10-3 (cal/(s cm ºC)) 1 BTU/(h pie ºF) = 1,73 073 (W/mºK) Conductividad Térmica de metales Metal Conductividad térmica K (W/m·K) Aluminio 209.3 Acero 45 Cobre 389.6 Latón 85.5 Plata 418.7 Plomo 34.6 Conductividad Térmica de materiales aislantes Material Asbesto Corcho Algodón Conductividad térmica K (W/m·K) 0,151 (0 ºC) 0,168 (37,8ºC) 0,190(93,3ºC) 0,0433 0,055 (0 ºC) 0,061 (37,8ºC) 0,068(93,3ºC) Lana de Vidrio 0,030 (-6,7ºC) 0,0414 (37,8ºC) 0,0549 (93,3ºC) Pino 0,151 Fibra aislante 0,048 Concreto 0, 762 Se aplica la ley de Fourier qk = - k A (dt/dx) T caliente T1 T fría T2 L qk = - T / (L/A k) L/Ak : Resistencia Térmica L/Ak = Rk Existe una relacion lineal. T qk = - T / (L/A k) T1 -------------- T2 0 X qk = - (T2- T1) / Rk qk = Fuerza impulsora Resistencia Distancia Conducción en régimen estacionario significa que la velocidad de transferencia de calor q, a través de una sección transversal, no varía con el tiempo. q por definición en el sentido de mayor a menor T. k es función del estado molecular del medio k = f (T, P) para un sistema de una sola fase, Materiales isotrópicos : independiente de la dirección del flujo q Propiedad del material que indica la cantidad de calor que fluirá por unidad de tiempo a través de un área unitaria, cuando el gradiente de T es unitario. Gases → teoría cinética Moléculas en movimiento Transferencia de energía térmica de zonas elevada a baja T Mas rápido se mueven las moléculas, más rápido transportan energía La propiedad de transporte = conductividad térmica K proporcional a 𝑇 absoluta Líquidos k disminuye si T aumenta. Agua excepción. k disminuye con aumento del PM Sólidos → experimental Migración de electrones y vibración reticular (red) Flujo de calor unidimensional, en régimen permanente: q /A T1 >T2 T1 Area = A T2 T T 1 2 X X Consideremos la conducción de calor a través de las paredes de una casa durante un día de invierno. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones. El espesor pequeño de la pared hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las temperaturas dentro y fuera de la casa permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared de una casa se puede considerar como estacionaria y unidimensional. Pared rectangular plana Distribución de temperatura Flujo de calor k (ctte) T1 q = −k dT dx q T2 x e q = k( T 1 − T2 e ) Pared rectangular plana Resistencia térmica por conducción T1 (k =ctte) q' = Ak q (T 1 − T 2 ) e Reordenando T2 x e q’ RTC q' = (T 1 − T 2 ) e Ak Resistencia Termica q' = T RTC RT C e = Ak Pared rectangular plana con convección Resistencia térmica por convección Tα1 (k =ctte) q ' = Ah(T 1 − T 1 ) q Reordenando Tα2 h2 h1 q' = (T 1 − T 1 ) 1 Ah x Resistencia Termica e q’ R1 R2 R3 q' = T RTC RTC = 1 Ah Pared rectangular plana con convección Tα1 Resistencia térmica total (k =ctte) RT = R1 + R 2 + R 3 q Flujo se calor (T 1 − T 2 ) q' = R1 + R 2 + R 3 Tα2 h2 h1 x Resistencias termicas e R1 R2 q’ R3 1 R1 = Ah 1 e R2 = Ak 1 R3 = Ah 2 El lado exterior de un muro de ladrillo de 0,1 m de espesor (k = 0,7 W/mK) se expone a un viento frio a 270 K con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 40 W/m 2 K. En el lado interior del muro el aire esta a 330 K, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 10 W/m 2 K. Determine el flujo de calor en estado estable, así como las temperaturas de las superficies interior y exterior del muro. Paredes en serie Tα1 Resistencia térmica total (k =ctte ) RT = R1 + R 2 + R 3 + R 4 q Flujo se calor q' = h2 h1 Tα2 x e1 e2 q’ R1 R2 R3 R4 (T 1 − T 2 ) R1 + R 2 + R 3 + R 4 Coeficiente global de transferencia Resistencia térmica total Tα1 (k =ctte ) e1 e2 1 1 + + Ri = + A h1 Ak1 Ak2 Ah 2 q’ Coeficiente global de transferencia U = h2 h1 Tα2 Cuando el área es constante x e1 1 1 e1 e 2 + 1 ) + Ri = ( + A h1 k 1 k 2 h 2 e2 q’ R1 R2 R3 1 Ri R4 Flujo se calor q' = U A T La pared compuesta de un horno, consiste en tres materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica conocida, kA =20 W/mºK y kC =50W/mºK. De espesores conocidos e1=0.20 m y e3=0.15 m. el tercer material B que se intercala entre A y C tiene espesor conocido e2=0.15 m, pero conductividad kB desconocida. En condiciones de estado estable, las mediciones indican que la pared de la superficie externa en el material C es de 20ºC y la superficie interna del horno está a 600ºC, con una temperatura del aire en el horno de 800ºC. Se sabe que el coeficiente convectivo en el interior del horno es de 25 w/m 2 ºK. Calcular el valor de kB. k T1 T2 r1 r2 L dT q=−kA dX A=2prL dT q = − k 2prL dr Sistemas Radiales : Tubo Consideremos la conducción estacionaria de calor a través de un tubo que fluye agua caliente. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared del tubo en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones. Recuerde que la transferencia de calor en cierta dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección. Sistemas Radiales: Tubo Distribución de temperatura ( q r ) = Ctte T2 r2 q' = − k A dT dr r1 T1 L k 2 p L(T 1 − T 2 ) q' = r2 ln r1 Sistemas Radiales: Tubo (T1 − T 2 ) q' = l n ( r 2 r1 ) ( ) 2pL k RTC T2 ln(r2 r1) = 2pLk L r2 r1 T1 RTC Considerando convección q' = (T1 − T 2 ) 1 + ( l n ( r 2 r1 ) ) + 1 2pLr1h1 2pLk 2pLr2 h2 q' = (T1 − T 2 ) R1 + R 2 + R 3 h2 r2 r1 h1 T1 Tα2 Tα1 R1 R2 R3 Paredes compuestas q' = (T 1 − T 2 ) 1 1 + ( l n(r 2 r1 ) ) + ( ln(r 3 r 2 ) ) + ( l n(r 4 r 3 ) ) + 2 p Lr 1 h 1 2pLkA 2pLkB 2pLkC 2pLr4h2 h2 h1 (T1 − T 2 ) q' = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 (T 1 − T 2 ) q' = = U 1 A1 (T 1 − T 2 ) Ri U1 = 1 1 + r1 r r r 1 l n ( r2 r1 ) + 1 l n ( r3 r2 ) + 1 l n ( r4 r3 ) + 1 h1 kA kB kC r4 h 2 Referida al área interior En general: U 1 A1 = U 2 A2 = U 3 A3 = U 4 A4 = ( Ri ) −1 EJEMPLO Se tiene un tubo de acero(k=60.7 W/mºK) de 48 mm de diámetro exterior y 34mm de diámetro interior que transporta un refrigerante. La temperatura de la pared interior del tubo es de 15ºC. Se desea que la ganancia de calor que tiene el refrigerante a través del tubo desnudo se reduzca en un 25%, forrando la tubería con un aislante de conductividad térmica 0.74 W/mºK. La temperatura del aire ambiente es de 21ºC y el coeficiente convectivo 20 W/m2 ºK. Calcular el espesor de aislante requerido. dT q=−kA dr r2 2 1 1 T dr q 2 = −4 π k dT r r T q A = 4pr2 ( 1 r1 ) − r1 = 4 π k m (T1 − T2 ) 2 r1r2 q = 4 π k (T1 − T2 ) r2 − r1 Sistemas Radiales: Esfera Consideremos la conducción estacionaria de calor a través de una capa esférica que contiene. Si la temperatura del interior de la esfera es mayor a la temperatura exterior, se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la capa de la esfera en forma normal a su superficie. Sistemas Radiales: Esfera El espesor pequeño de la capa de la esfera hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las temperaturas dentro y fuera de la esfera permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared esférica se puede considerar como estacionaria y unidimensional. En este caso, la temperatura de la pared de la esfera presentara dependencia solo en una dirección (es decir la dirección r) y se puede expresar como T(r). Sistemas Radiales: Esfera ( q r ) = Ctte 2 T2 q' = − k A r2 dT dr A = 4pr 2 r1 T1 q' = 4 p k (T 1 − T 2 ) 1 1 − r1 r2 Sistemas Radiales: Esfera (T1 − T 2 ) q' = 1 r1 − 1 r 2 ( ) 4pk RTC T2 r2 r1 T1 RTC r2 − r1 = 4pkrr 1 2 Sistemas Radiales: Esfera Considerando convección q' = (T1 − T 2 ) 1 r 2 − r1 ) + 1 + ( 4 p r1 2 h 1 4 p r1 r 2 k 4 p r 22 h 2 q' = (T1 − T 2 ) R1 + R 2 + R 3 h2 r2 r1 h1 T1 Tα2 Tα1 R1 R2 R3 Sistemas Radiales: Tubo Area Media Logarítmica: T2 q' = k 2 p L(T 1 − T 2 ) r2 ln r1 r2 Am ln r1 T1 L = A1 − A 2 A1 ln A2 Sistemas Radiales: Esfera Area Media Geométrica: T2 4 p k (T 1 − T 2 ) q' = 1 1 − r1 r2 r2 r1 T1 AmG = A1 A 2 Sistemas con área variable Area Media: x Am = dx A Espesor Económico Obtener el coste total mínimo cuando se aísla una pared para disminuir el flujo de calor. COSTOS: Costo de pérdida (o ganancia) de calor Costo del sistema de aislamiento Coste total CTotal = CAislamiento +CPerdida Coste por aislamiento Coste por perdida de energía Espesor optimo de aislamiento Espesor Espesor Económico Consideraciones para la selección de un aislante: Superficies CALIENTES -> Evitar pérdidas de calor : Selección de la forma física Temperatura lado caliente Conductividad térmica Resistencia al deterioro mecánico Resistencia a la absorción de humedad Inflamabilidad Eliminación y/o reutilización Riesgos a la salud Espesor Económico Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor Disminuir el calor que ingresa, que podría eliminarse refrigerando la instalación ó donde exista líquidos sometidos a su propia presión de vapor saturado, para disminuir el incremento de su presión Para impedir ó disminuir la condensación superficial Para evitar que un fluido cambie de estado por bajas temperaturas Espesor Económico Consideraciones para la selección de un aislante: Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor Selección de la forma física Temperatura de los lados frio y caliente Dilatación y contracción térmica Conductividad térmica Permeabilidad Riesgos a la salud Criterios para elegir espesor de aislamiento SUPERFICIE CALIENTE SUPERFICIE FRIA Pérdida Térmica máxima permisible Espesor económico Razones de seguridad Máximo incremento de calor permisible Espesor económico Limitación de la condensación superficial Superficies extendidas Superficies extendidas Se usan superficies extendidas o aletas con el fin de incrementar la razón de transferencia de calor de una superficie, aumentando el área total disponible para la transferencia de calor. En el análisis de las aletas, se considera estado estacionario sin generación de energía en la aleta y se supone que la conductividad térmica (k) del material permanece constante. Superficies extendidas Area de treansferencia Ts h Ta q'= hA(Ts −T ) Superficies extendidas Superficies extendidas Superficies extendidas d dT h dAS (AC )− (T − T ) = 0 dx dx k dx d 2T 1 dAC dT 1 h dAS ) −( +( )(T − T ) = 0 2 AC k dx dx AC dx dx Ecuación de energía para conducción unidimensional en una superficie extendida. Superficies extendidas d 2T 1 dAC ) dT − 1 h dAS +( ( )(T − T ) = 0 2 AC k dx dx AC dx dx Aleta con área uniforme d 2T hP − (T − T ) = 0 2 dx kAC m2 = T −T = C1e mx hP kAC + C2e −mx Superficies extendidas Condiciones frontera Tb x L d 2T hP − (T − T ) = 0 2 dx kAC mx −mx T −T = Ce + C e 1 2 x=0 T=Tb x=L ? Condiciones frontera A)Extremo adiabático T −T cosh(m(L − x)) = Tb −T cosh(mL) Flujo de calor q’b dT q'b = −kAC dx q'b = hPkAC (Tb −T ) tanh(mL) x=0 Efectividad de una aleta q’b q'b f = hAC (Tb −T ) Se justifica el uso de aleta si la efectividad es mayor a 2 Estudiar: Eficiencia de aletas Ejemplo Una aleta de cobre (k = 386 W/mºK) de 15 cm de largo, 5 cm de ancho y 1cm. de espesor, tiene una temperatura en la pared de 204ºC. La aleta se encuentra en un cuarto cuya temperatura del aire es de 21ºC. Calcule el calor perdido por la aleta, (considerar frontera adiabática) si el coeficiente de transferencia de calor entre su superficie y el aire que la rodea es igual a 27,7 W/m2 ºK . Calcular la efectividad de la aleta.
