ÁLGEBRA 4° TEORÍA DE EXPONENTES Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de operaciones de potenciación y radicación. POTENCIACIÓN an = P a: base, a R n: exponente n Z P: potencia P R DEFINICIONES 1. Exponente Natural xn x . x . .......... ......x ; x R n Z+ n veces x0 = 1 2. Exponente Cero 3. Exponente Negativo x n 1 xn ; xR–{0} ; ; x R – {0} n Z+ TEOREMAS I) BASES IGUALES 1. Multiplicación 2. División am am . an = am+n am n ; a 0 an II) EXPONENTES IGUALES 1. Multiplicación 2. División an an . bn = (ab)n a n bn b ; b0 III) EXPONENTE DE EXPONENTE ([ a]m )n P amnp RADICACIÓN n a b n: es el índice; n N n 2 a: es el radicando b: es la raíz enésima DEFINICIONES n x y yn x ; nN n2 (x R, además, cuando n es par, x 0) 1 ( x) n x ; n0 n m n (x) n ( x )m n xm ; n0 TEOREMAS I) RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA n xy n x . n y II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN n x y n n x ; y y0 m n p III) RAÍZ DE RAÍZ x m.n.p x CASOS ESPECIALES m m xr . xa n n ys . xb p p zt xc m. n. p m.n.p xr.n.p . y s.p . zt x( an b)p c ECUACONES EXPONENCIALES Son aquellas en las que la incógnita esta como exponente y también como base y exponente a la vez. 3x + 3x+1 + 3x+2 = 39 Ejm.: x-x = 4 PROPIEDAD 1. 2. Si: am = an m = n ax = bx a = b Si: a 0, 1, -1 a>0 b>0 Además: Si: x = 0 a b 3. ; xx = aa x = a EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Simplificar: E= E= (10) 5 (6) 5 (24) E (48) 2 (15) 4 (4) 3 (2.5)5 (2.3)5 23 .3 (24 .3)2 .(3.5)4 (22 )3 25 .55 .25 .35 .23 .3 28 .32 .34 .54 .26 213 .55 .36 5 E = 13 4 6 = 213−14 . 55−4 = 2−1 . 5 = 2 .5 .3 2 a) 5/2 b) 1/6 c) 5/6 d) 4/3 e) 3/8 2 1 1 1 1 E 2 4 125 81 1 3 2. Efectuar: 1 1 3 1 4 E = [ (4) + (125) + (81) ] 2 2 1 E = [ .16 + √125 + √81 ] 3 4 − − 1 4 1 2 1 2 2 1 E = [8 + 5 + 3]−2 1 E = [16]−2 1 E= 1 2 [16] 1 E = √16 E= 1 4 a) 0.25 = 0.25 b) 1 c) 0.5 d) 4 e) 16 1 2 3. Resolver: 4x1 8x1 16x3 (22 )𝑥+1 . (23 )𝑥−1 = (24 )𝑥+3 (22 )𝑥+1 . (23 )𝑥−1 = (24 )𝑥+3 22𝑥+2 . 23𝑥−3 = 24𝑥+12 25𝑥−1 = 24𝑥+12 ⇒ 5x – 1 = 4x + 12 x = 13 a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 EJERCICIOS PROPUESTOS: 155.143.24 J 4 6 .353.302 4. Simplificar : a) 5 5. b) 1 c) -1 d) -6 1 6. Efectuar : P 16 3 b) 3 c) 3 e) 4 0 2 5 3 0 b) 1 a) 1/2 d) 3 11 4 Calcular: a) 0 c) 2 d) 6 2 3 e) 2 5 1 80 e) 2 x 3 x 7. Hallar “x” en: 25 225 a) 1 b) 3 c) -3 d) 4 e) -1 8 5 1 8. Resolver: 8 . 8 . 8 ........8 4 . 4 .......4 n veces a) 4 b) 2 c) 8 (n 2) veces d) -8 e) -2