Formulario de Estadística Descriptiva y Probabilidades • Moda para datos agrupados por intervalos d1 Mo = Lin f +C d1 + d2 Distribución de frecuencias hi = fi n pi = hi × 100 % R = Xmax − Xmin k = 1 + 3.3 log(n) C= d1 = fi − fi−1 ; d2 = fi − fi+1 n ≥ 10 Medidas de dispersión R k kC > R 1. Rango intercuartil Medidas de tendencia central RI = Q3 − Q1 2. Varianza muestral (s2 ) 1. Media. • Varianza para datos no agrupados: • Datos no agrupados: n n ∑ (xi − x)2 ∑ xi x= s2 = i=1 n n−1 • Varianza para datos agrupados por categorías o • Datos agrupados por categorías o intervalos: n intervalos: ∑ fi xi x= i=1 n ∑ fi (xi − x)2 i=1 n s2 = Donde xi es la categoría o marca de clase i=1 n−1 Donde: xi es la categoría o marca de clase y fi es Propiedades la frecuencia absoluta. Si yi = axi entonces y = ax 3. Desviación estándar muestral (s) √ s = s2 Si yi = xi ± b entonces y = x ± b Si yi = axi ± b entonces y = ax ± b 4. Coeficiente de variación: 2. Mediana • Mediana para datos no agrupados. s × 100 % x Percentil para datos no agrupados k(n + 1) Índice: i = 100 Si n es impar, entonces: • Si i es un número entero, entonces el percentil Pk es el Me = x( n+1 ) 2 valor en la posición i. Si n es par, entonces: Me = CV = • Si i no es un número entero, entonces se calcula con la x( 2n ) + x( n2 +1) siguiente fórmula: Pk = Li + parte decimal(Ld − Li ) 2 Cuando los datos están agrupados por categorías Cuantiles para datos agrupados por intervalos el procedimiento es similar. " # − Fi−1 • Cuartil: Qk = Lin f +C fi " # nk − F i−1 • Decil : Dk = Lin f +C 10 fi " # nk 100 − Fi−1 • Percentil: Pk = Lin f +C fi • Mediana para datos por intervalos n agrupados − F i−1 Me = Lin f +C 2 fi 3. Moda • Moda para datos no agrupados Es el dato que más se repite 1 nk 4 • V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 Medidas de forma n 1. Indice de asimetría: As = • E[X 2 ] = ∑ xi2 f (xi ) 3(x − Me ) s i=1 2. Variable aleatoria continua P75 − P25 2(P90 − P10 ) Con punto de referencia 0.263 Z ∞ K= 2. Curtosis: f (x) = 1 −∞ P[X ≤ x] = Z x f (t)dt −∞ Técnicas de conteo Z −∞ Esperanza: µ = E[X] = x f (x)dx −∞ 1. Permutaciones: • Pkn Varianza: V [X] = Var[X] = σX2 = σ 2 n! = (n − k)! • Pn1 ,n2 ,...,nk • σX2 = E[(X − µ)2 ] = n! = n1 !n2 !, ..., nk ! Z +∞ −∞ 2 (x − µ)2 f (x)dx • V [X] = E[X 2 ] − (E[X]) n! 2. Combinación: Ckn = k!(n − k)! • E[X 2 ] = Z −∞ x2 f (x)dx −∞ Cardinalidad de un conjunto Propiedades: n(A) : Número de elementos del conjunto A n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) • E[aX + b] = aE[X] + b Probabilidades • P(A) = • V [aX + b] = a2V [X] n(A) n(Ω) • σ= • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) • Distribución Binomial X ∼ B(n, p) si su función de P(Ac ) = 1 − P(A) distribución de probabilidad es: P[X = x] = Cxn px qn−x ; • Probabilidad Condicional: P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) x = 0, 1, 2, . . . , n k • µ = E(X) = np • Probabilidad Total: P(B) = ∑ P(Ai )P(B/Ai ) i=1 • σ 2 = V (X) = npq P(Ai )P(B/Ai ) • Teorema de Bayes: P(Ai /B) = P(B) • q = 1− p Variable aleatoria Distribución de Poisson X ∼ P(λ ), si su función de e−λ λ x probabilidad es: P[X = x] = ; x = 0, 1, 2, . . . x! f (x) ≥ 0 1. Variable aleatoria discreta ∑ • µ = E(X) = λ f (xi ) = 1 • σ 2 = V (X) = λ xi ∈RX P[X ≤ x] = √ σ2 ∑ P[X = k] k≤x Distribución Normal X ∼ N(µ; σ 2 ) si su función de n Esperanza: µ = E[X] = ∑ xi f (xi ) densidad de probabilidad es: h i 2 1 − 12 ( x−µ σ ) f (x) = √ e ; −∞ < x < ∞ σ 2π Distribución normal estándar X −µ Z= ; Z ∼ N(0, 1) σ i=1 Varianza: V [X] = Var[X] = σX2 = σ 2 n • σX2 = V [X] = E[(X − µ)2 ] = ∑ (xi − µ)2 f (xi ) i=1 2