Quinto Año de Secundaria 1 Índice I Bimestre Capítulo 1 Triángulos 11 Capítulo 2 Líneas notables en el triángulo 19 Capítulo 3 Congruencia de triángulos 27 Capítulo 4 Aplicaciones de congruencia 35 Capítulo 5 Repaso 41 Capítulo 6 Polígonos 45 Capítulo 7 Cuadriláteros 52 Capítulo 8 Circunferencia 59 Capítulo 9 Ángulos en la circunferencia - Cuadriláteros inscriptibles 67 II Bimestre Capítulo 10 Proporcionalidad y semejanza 74 Capítulo 11 Relaciones métricas 80 Capítulo 12 Polígonos regulares 89 Capítulo 13 Áreas de regiones triangulares 95 Capítulo 14 Áreas de regiones poligonales 101 Capítulo 15 Relación de áreas 107 Capítulo 16 Repaso Capítulo 17 Áreas de regiones circulares 120 Capítulo 18 La recta en el plano cartesiano 127 115 2 Quinto Año de Secundaria III Bimestre Capítulo 19 Circunferencia 136 Capítulo 20 Parábola 141 Capítulo 21 Geometría del espacio (Ángulo diedro – triedro) 144 Capítulo 22 Geometría del espacio (poliedros regulares) 149 Capítulo 23 Repaso 157 Capítulo 24 Geometría del espacio (prisma – cilindro) 161 Capítulo 25 Geometría del espacio (pirámide – cono – esfera) 167 Capítulo 26 Puntos notables 175 Capítulo 27 Relaciones métricas 180 Capítulo 28 Repaso 185 IV Bimestre Capítulo 29 Áreas de regiones triangulares y poligonales 189 Capítulo 30 Áreas de regiones circulares relación de áreas 194 Capítulo 31 Repaso 199 Capítulo 32 Plano cartesiano – recta 204 Capítulo 33 Secciones cónicas circunferencia – parábola – elipse 208 Capítulo 34 Geometría del espacio 212 Capítulo 35 Repaso 217 Capítulo 36 Repaso bimestral 222 Geometría Quinto Año de Secundaria 3 Introductorio Introductorio Ángulos Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen. A a Elementos 123 O 01. Vértice: O 02. Lados: OA y OB B Notación: • t Ángulo AOB: +AOB, AOB • Medida del ángulo AOB: m+AOB = a° Clasificación de los ángulos por su medida Ángulo agudo Ángulo recto a Ángulo obtuso a 0º < a < 90º a a = 90º 90º < a < 180º Bisectriz de un ángulo A b b q O q M bisectriz L bisectriz B 4 4 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Ángulos adyacentes a q a b c d Observación q b a b q a f g g a + b + q + g + f= 360º a + b + q + g = 180º Ángulos complementarios Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90º. b El complemento C(x) de un ángulo "x" a C(x) = 90º - x a + b = 90º Ángulos suplementarios Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180º. q El suplemento S(x) de un ángulo "x" S(x) = 180º - x a a + q = 180º Ángulos adyacentes suplementarios B B q a a A O C A Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par lineal. Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 5 5 O q C Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares San Marcos Introductorio Ángulos opuestos por el vértice a b a b Observación Alternos internos Correspondientes Conjugados b b b a a=b a=b • q a Si: L1 ' L2 • q + b = 180º Si: L1 ' L2 L1 a q L1 a b x b c a b L2 a+b+q=a+b+c • x=a+b Si: L1 ' L2 • Si: L1 ' L2 L1 f L2 a2 w L1 a1 a3 q b a an L2 L2 a1 + a2 + ... + an = 180º (n - 1) a + b + q + w + f = 180º 6 6 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica BLOQUE I 05. Calcule "x", L1 ' L2 01. Del gráfico, calcule el valor de "y" cuando "x" toma su mínimo valor entero. 3x x w 2x - y a) 46º d) 68º x+y y-x b) 88º e) 64º c) 78º A w L2 b) 36º e) 32º c) 12º 06. Calcule el valor de "x" 02. Si: m∠AOM=m∠MOB, m∠MON=20º, m∠BOC=? M a) 18º d) 24º L1 a a m∠AON=m∠NOC, M B N q x q O a 100º a O a) 50º d) 40º N C b) 60º e) 30º c) 20º a) 170º d) 165º 03. Si: m∠BOP = m∠POC, m∠AOP = 60º, m∠POD-m∠COD=20º, m∠AOB=? B A b) 175º e) 160º c) 185º 07. Si: L1 ' L2 , calcule: x P L1 q 2w C x 2x 2q O a) 30º d) 10º D b) 20º e) 60º a) 70º d) 40º c) 40º a) 55º d) 45º b b) 60º e) 30º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b) 48º e) 72º 130º L1 150º c) 60º 110º B a A x b L2 08. Si: a ' b y el DABC es acutángulo. Calcule el máximo valor entero de "x" 04. Calcule x, si: L1 ' L2 a a w L2 x b C c) 35º a) 61º d) 58º 7 7 b) 60º e) 57º c) 59º San Marcos Introductorio 09. En la figura, L1 ' L2 y a - b=40º. Calcule a y b a 12. En la figura, L1 //L2 // L3 y w - q=40º, Calcule "x" w L1 b L1 a a q L2 x b b 80º a) 70º y 30º d) 60º y 20º b) 50º y 10º e) 75º y 35º b b m m a) 80º d) 90º c) 80º y 40º 10. En la figura, L1 ' L2 . Calcule el valor de "x". b) 70º e) 60º L1 5x n a a n b) 22º e) 25º10' L2 a) 50º d) 40º c) 22º30' b) 35º e) 52º n b a) 55º d) 40º c) 41º 14. Si: L1 ' L2 , calcular: "a" 160º L1 4a L1 a a 3y + x x - 2y 11. En la figura, L1 ' L2 y m + n = 250º. Calcule "x" m c) 75º 13. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "y". 3x a) 20º5' d) 24º20' L3 L2 3a L2 a 2a x b b) 45º e) 44º a) 16º d) 0º L3 c) 50º b) 20º e) 15º L2 c) 5º 15. Se tiene el par lineal. Calcule el máximo valor de "y" Q 3y x - 2y P a) 45º d) 61º 8 8 O b) 50º e) 60º R c) 59º Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Si el doble del suplemento de un ángulo, aumentado en su mitad coincide con el ángulo. Calcule el complemento del ángulo mitad. a) 12º b) 14º c) 16º d) 18º e) 20º 02. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es a) 15º b) 60º c) 90º d) 0º e) 5º 03. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, se trazan las bisectrices OM del m∠AOC y ON del ∠BOC. Si ∠MON mide 20º. Calcule: m∠AOB a) 30º b) 32º c) 36º d) 40º e) 45º 04. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de un ángulo y su complemento es igual a los 4 de la diferencia que existe entre el suplemen5 to y el suplemento del suplemento del mismo ángulo. Calcule la medida del ángulo. a) 80º b) 85º c) 90º d) 70º e) 75º 05. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, luego se trazan las bisectrices OX de AOB y OY de COD, si m∠AOC=25º, mXOY=45º Calcule: m∠BOD a) 56º b) 60º c) 58º d) 65º e) 70º 06. En un plano alrededor del punto O se trazan los rayos OA , OB, OC, OD y OE, de modo que los ángulos AOB, BOC, COD, DOE, y EOA; son proporcionales a 1, 2, 3, 4 y 5. Se trazan OX y OY bisectrices de los ángulos COD y DOE. Calcule: m∠XOY a) 42º b) 66º c) 84º d) 90º e) 96º 08. Se tienen ángulos consecutivos AOB, BOC y COD cuyas medidas están en progresión aritmética de razón "r". Si: OA y OD son rayos opuestos. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices del mayor y menor ángulo. a) 120º b) 130º c) 110º d) 125º e) 105º 09. Si los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD se encuentran en progresión aritmética. Si: m∠AOD=102º Calcule: m∠BOC a) 64º b) 36º c) 51º d) 27º e) 34º 10. La media geométrica de dos ángulos es 4º y la media armónica 32 ¿Cuánto mide el menor de ellos? 17 a) 16º b) 32º c) 10º d) 1º e) 2º 11. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que m∠AOB=xº y m+BOC = 1 Calcule la medida del xc ∠AOC; sabiendo que es lo mínimo posible. a) 1º b) 2º c) 1,5º d) 3º e) 2,5º 12. En la figura, calcule "x" 35º x 170º aa 80º a) 55º d) 70º 80º b) 60º e) 75º c) 65º 13. Del gráfico, calcule el mayor valor entero de "x", si el triángulo ABC es acutángulo. B L1 x 07. Del gráfico, calcular el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "x" toma su mínimo valor entero. A 5x a) 8º d) 5º x-y b) 3º e) 6º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria L2 32º 2y+x C c) 4º a) 50º d) 57º 9 9 b) 44º e) 58º c) 56º San Marcos Introductorio 14. En el gráfico L1 ' L2 ; calcule: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6, si: a + b + q = 120º 18. Si L1 ' L2 , q es agudo. Calcule el mínimo valor entero de a L2 a2 L1 30º 30º+b a a3 b a4 q a5 a6 a1 q ba L1 a) 270º d) 600º b) 300º e) 420º c) 360º 15. En el gráfico "y" asume su mayor valor entero. Calcule el valor de "y" B y-2x A a) 69º d) 72º x+2y O b) 70º e) 73º b) 44º e) 61º c) 46º 19. En el gráfico mostrado, calcule "b", de tal manera que "q" sea la medida de un ángulo máximo. q = [116 - x (x + 4)]º C q b c) 71º a) 60º d) 62º 16. Si: L1 ' L2 y la medida del ángulo ABC es agudo, calcule el menor valor entero impar de "x" E a a C a) 89º d) 31º L2 a b b b L1 x b) 58º e) 56º c) 75º 20. Según la figura: 2a - b > 38º, calcular el mínimo valor entero de x, si: L1 ' L2 a 2a L1 D x A a) 46º d) 43º L2 B b) 47º e) 44º b c) 45º a) 112º d) 132º b q q L2 b) 119º e) 138º c) 129º 17. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "x", si "a" es la medida del ángulo agudo, en el gráfico L1 ' L2 a L1 x 83º L2 a) 90º d) 88º b) 85º e) 86º c) 87º 10 10 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 1 Triángulos Definición F B A C 02. Lados: AB, BC y AC 03. Ángulos 123 E 1442443 Elementos 01. Vértices: A, B, C Interiores: +A, +B, +C Exteriores: +EAB, +FBC, +BCH H Notación: DABC, TABC, etc. Observación Se denomina región triangular a la reunión de los puntos interiores con el conjunto de puntos de sus lados. Propiedades básicas 01. 02. e%2 º aº e%3 e1% wº e1% + e%2 + e%3 = 360c aº + qº + wº = 180º 03. 04. x = bº + qº yº y = aº + qº bº z = aº + bº c b a xº aº qº Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b-c<a<b+c zº 11 11 San Marcos Capítulo 01 05. 06. q b a x a c e g x=a+q+g d a + b + c + d + e = 180º 07. 08. B b a c A a q b Si: )θ < α " c < a β>θ"b>c Si: )c < b " θ < β b>a"β>α b c a C d a+b=c+d 09. 10. b x x a b c y a x=a+b+c 11. x+y=a+b 12. B B P D A AB + BC > AD + DC A C C p: semiperímetro del DABC p < PA + PB + PC < 2p 13. 14. T. Acutángulo (a < 90º) B b2 = c2 + a2 c A b a c b>a b>c a a2 < c2 + b2 a C b 15. T. Obtusángulo (a > 90º) a c a2 > c2 + b2 a b 12 12 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. En la figura, AB = AC = CD. Calcular: x C B 2x-q q x A D Resolución B 2x q C 2x-q x 180º-4x q x x+q A 3x-q • Prolongamos BA → m∠ externo en A=3x - q • Unimos B con C, m∠ABC = m∠BCA = 2x • D BCD: BC = CD • D ABC: equilátero ⇒ 2x = 60º x = 30º D 02. Del gráfico mostrado: AB = BP = PQ = QC. Calcular: q B 4q Q P A q C Resolución B 4q 2q 2q A 3q 3q P q Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria Q • x q D ABP: 10q = 180º q = 18º C 13 13 San Marcos Capítulo 01 03. En la figura, AB < FC; BC = FC. Calcular: x, si es un número entero. B x A 4º C F Resolución B • Sabemos: 4 + x < 90º ⇒ x < 86º • Si: AB < FC; AB < BC x 4º+x ⇒ 172º - 2x < 4º 172º - 4 < 2x x A 4º F 4º+x 172º-2x x > 84º C• Luego: 84º < x < 86º x = 85º 14 14 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. Calcular "x" en función de a, b y c. 05. Los lados de un triángulo isósceles miden 9m y 19m calcular su perímetro. a) 37m b) 48m c) 50m d) 47m e) 37m y 47m b 06. Si: AC = AB, AE = AD. Calcular "x" x B c a D a) c - a + b b) a - b + c d) c - a - b e) c - 2(a + b) a+b+c 3 c) x A 02. En la figura; AB = BC = CD Calcular la medida de "x" C C 2x a) 5 d) 20 60º B E 20º x D b) 10 e) N.A. c) 15 07. Calcular "x", si: RS = 5; QR = PQ = 8; PS = 13 S 60º A a) 80º d) 40º b) 50º e) 20º c) 60º R a) 100º d) 110º P M x N a) 45º d) 37º b) 40º e) 60º 40º 3x+6 R 12 2x a) 3; 4 y 5 d) 3 y 4 B 100º 60º c) 75º c) 30º 04. Calcular "x", si: AB = BC = AD A b) 90º e) 120º 08. En la figura, calcular los valores enteros que puede tomar "x" 50º Q x Q 03. Calcular "x", si: PQ = PM 80º P b) 2; 3 y 4 c) 4; 5 y 6 e) 2; 3; 4; 5 y 6 09. ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar "x"? x C 7 x+2 D a) 50º d) 80º b) 60º e) 75º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria a) 4 d) 6 c) 70º 15 15 b) 7 e) 3 c) 5 San Marcos Capítulo 01 10. En un triángulo ABC, se traza BP ("P" está en AC) de tal manera que: BP = PC Calcular la medida del ángulo ABC, sabiendo además que: m∠ABP - m∠BAC = 40º a) 90º b) 100º c) 110º d) 80º e) 180º 11. En la figura, determinar el menor valor entero de "K" K 9+K b) 3 e) 1 14. En un triángulo ABC; se traza BP ("P" está en AC) de tal manera que AB = BP = PC Hallar la m∠ABP, si: m∠BCA = 40º. a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º 15. En un triángulo ABC (AB = BC) se ubica el punto "D" en AB, tal que: CD = AC Hallar m∠CBA, si: m∠DCA = 25º a) 20º b) 50º c) 25º d) 15º e) 12º30' 12 a) 2 d) 5 13. Exteriormente al triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza el triángulo equilátero BCD. Calcular: m∠CAD a) 10º b) 18º c) 25º d) 30º e) 45º c) 4 12. En la figura, ¿cuál es el segmento que tiene mayor longitud? A 80º B 46º 47º E 50º 65º C a) AB d) AC D b) BE e) BD c) ED 16 16 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. En la figura, calcular "q" 05. Calcular el máximo valor entero de "x" 11q x a) 14º d) 12º 12q 50º a) 12º d) 18º b) 10º e) 5º c) 15º b) 16º e) 18º c) 15º 06. En un triángulo ABC; donde A=60º, sobre AC y BC se ubican los puntos D y E respectivamente, de tal manera que: AD ≅ EB ≅ BA y m∠BED = m∠EBA. Hallar: EDC a) 50º b) 20º c) 18º d) 30º e) 40º 02. Calcular "b", si: AB = BE = EC B b 07. Calcular el máximo valor entero de "x" A 32º E a) 92º d) 78º b) 86º e) 84º 9 x C c) 96º 6 a) 16 d) 13 03. Si: aº + bº = 240º, calcular m∠ACB A a b) 15 e) 14 c) 12 08. Si: CD = BD, hallar: m∠ABD B b C B a) 60º d) 50º b) 70º e) 40º A c) 80º a) 20º d) 30º 04. Si: AB = BE = EC, calcule m∠ABC B a) 65º d) 75º 40º D b) 60º e) 10º C c) 40º 09. Calcular la relación correcta para "x" 40º A 80º 5 E b) 60º e) 55º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 9 x C 11 c) 80º a) b) c) d) e) 17 17 17 7 < x < 13 4 < x < 28 6 < x < 14 4 < x < 14 6 < x < 28 San Marcos Capítulo 01 10. Si: a > 90º, AC es un número entero. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero que puede tener "x" 14. Del gráfico, calcular "x" B 10 C x x b) 19 e) 22 B A x D c) 45º 12. Si el triángulo ABC es equilátero y BD = BC. Calcular "x" D 4x a) 14 d) 20 E C b) 16 e) 24 c) 18 13. En la figura, AB = AD = DC. Calcular "x" B 26x D 6x 4x A a) 3º d) 2º b) 5º e) 4º c) 30 15. Los lados de un triángulo miden 14; x - 4 y x + 6. Calcular el menor valor entero que puede tomar "x". a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. En un triángulo ABC se conoce que: AB=8 y BC=6. Calcular el mínimo valor entero de AC si la medida del ángulo B es mayor de 90º a) 9 b) 10 c) 11 d) 8 e) 12 18. En un triángulo ABC; M en AB, N en AC, AB=AC, ACB = 70º y BM ≅ MN ≅ AN. ¿Cuánto mide el ángulo MBN? a) 20º b) 30º c) 10º d) 15º e) 18º x A b) 20 e) 52 16. En un triángulo obtusángulo ABC; obtuso en "B"; AB=2; BC=8. Calcular la medida de AC si es número entero. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 C b) 30º e) 40º B a) 40 d) 45 c) 20 11. En el siguiente gráfico calcular "x", si: AD=BD=DC a) 60º d) 50º 2b D 8 a) 18 d) 21 b 2 a A ww q q 2a a C 19. En un triángulo PQR, m∠QPR=80º, m∠PQR=40º. Además D ∈ PQ, m∠PRD=50º y E∈QR, tal que: PR=RE Calcule la m∠EDQ. a) 90º b) 80º c) 100º d) 110º e) 120º 20. Se tiene un triángulo ABC, m∠B=78º, exteriormente y relativo al lado AC se ubica el punto D, tal que la m∠DAB=81º y m∠ADC=141º Calcular la m∠ACD, si: BC = CD a) 10º b) 9º c) 18º d) 20º e) 30º c) 8º 18 18 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 2 Líneas notables en el triángulo Mediana B BM: mediana A M b b C Bisectriz B L B q q aa BI: bisectriz interior A L : bisectriz exterior A C I C Altura A B BH: altura A AF: altura F C H B C Mediatriz B L L: mediatriz de AC A Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b b 19 19 C San Marcos Capítulo 02 Ceviana B B BF: ceviana A BE: es ceviana exterior A C F E C Relaciones angulares 01. 02. Bº B a a x a q a q q x x = 90c+ Bc 2 q x = 90c - Bc 2 03. 04. B x Bº a xº q a q aº A xc = bº I H αc - β c 2 C BH: altura x = Bc 2 BI: bisectriz del ángulo ABC Puntos notables Ortocentro Baricentro Punto de concurrencia de las alturas o sus prolongaciones, en un triángulo. Punto de concurrencia de las medianas en un triángulo. Ejemplo: Ejemplo: B B D E H A G A C F C G: Baricentro del DABC H: Ortocentro del DABC BG = 2(GF) AG = 2(GE) CG = 2(GD) 20 20 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Incentro Excentro Punto de concurrencia de bisectrices interiores de un triángulo. Punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores con una interior. Ejemplo: Ejemplo: B aa a a B E I q b A b q q A C b q b C E: Excentro relativo a BC del DABC I: Incentro del DABC Circuncentro Punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo. Ejemplo: B O C O: Circuncentro del DABC A Propiedades 01. 02. b x x = a+b 2 x a a a q q a b a 03. x = a+b 2 a q q 04. B m y w w q q a b a x b O x A x = 45c - m 4 C O : circuncentro x = 2y Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 21 21 San Marcos Capítulo 02 Problemas resueltos 01. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura AH. Calcular m∠HAC, si: m∠B=80º. Resolución B 80º H A Si: AB = BC ⇒ mAt = mCt = 50c • D AHC: x + 50º = 90º x = 40º 50º x • C 02. En un triángulo ABC; la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo C en 36º. Hallar la medida del mayor ángulo formado por la mediatriz de AC con la bisectriz del ángulo exterior B. Resolución T Q º+a B 188º+a x 1 P 90º-a 9 0º- a A 36º+a M • m∠ TBX = 36 + 2a • m∠ BPQ = 90º - a • D BQP: x = 18º + a + 90º - a x = 108º a C 03. En un triángulo ABC (B = 90º), se traza la altura BH, la bisectriz del ∠HBC intersecta en P a HC. Si: AB=5, hallar el máximo valor entero de BP. Resolución B qa 5 A 2a a H m∠ ABH = m∠C=q • m∠ A = m∠HBC = 2a • D ABP: isósceles, AB = AP = 5 • x a+q • P q ABP: 5-5<x<5+5 0 < x < 10 C xmáx = 9 22 22 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. En el gráfico, calcular "x" a) 70º d) 95º qq b b a) 10º d) 18º b) 12º e) 20º a) 92º d) 78º c) 15º x a) 95º d) 70º 3a b a) 10º d) 18º b) 85º e) 87º N c) 16º 2q q q R 03. Calcular : x 2a a B a w w a) 80º d) 120º a) 126º d) 124º 160º A C b) 100º e) 70º c) 60º aa 48º b) 133º e) 125º a B a) 100º d) 115º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b q x b a a b b) 105º e) 120º w c) 110º 10. AM es una mediana de un triángulo ABC de baricentro "O". Si: (AO) . (OM) = 32. Calcular : AM D A b c) 110º C x 80º c) 123º 09. En el gráfico adjunto: a + b + q + w = 150º 05. En el gráfico mostrado, calcular: x w Q Calcular: x b) 130º e) 140º w P M 04. En un triángulo ABC, calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos A y C, sabiendo que la suma de los ángulos exteriores de A y C es 260º a) 120º d) 100º c) 90º a b) 12º e) 20º x c) 88º 08. En el gráfico, calcule: m∠MRP x 3b b) 98º e) 64º 07. En un triángulo ABC, m∠A + m∠C = 85º; se traza la altura BH, luego se trazan las perpendiculares HM y HR a los lados AB y BC. Calcular la m∠MHR. 02. En el gráfico, calcular "x" 100º c) 120º 06. El ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos A y C del triángulo ABC mide 46º. Hallar la medida del Bt . 4x 8x b) 85º e) 130º a) 6 d) 16 b b) 8 e) 15 c) 12 E 23 23 San Marcos Capítulo 02 11. En el gráfico, calcular "x" 13. En un triángulo rectángulo ABC cuyo ángulo interior C mide 20º, se trazan sobre la hipotenusa AC la altura BH y la bisectriz BD del ángulo ABC a+x Calcule la medida del ángulo HBD q q 7x a) 20º d) 15º a) 15º d) 30º a a b) 10º e) 18º b) 30º e) 15º c) 25º 5x c) 12º 12. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B=90º) se traza la bisectriz BD. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y BDC al cortarse. a) 25º d) 22º30' b) 20º e) 35º c) 45º 14. En el triángulo rectángulo ABC (recto en B) se traza la altura BH y la bisectriz interior AQ que se cortan en P, tal que: BP = PQ. Hallar: m∠C a) 20º d) 50º b) 30º e) 60º c) 40º 15. En un triángulo acutángulo dos de sus lados suman 28u, calcule el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado. a) 11u d) 14u 24 24 b) 12u e) 15u c) 13u Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. En el gráfico AE es una bisectriz, calcular: x 05. Calcular: x B q 120º x E 40º b) 80º e) 45º c) 60º 02. En la figura, calcular: x, si: AB = BC a) 10º d) 30º B q q x A a) 75º d) 65º 28º c) 70º 4q E x a b) 20º e) 60º b) 11u e) 14u C c) 12u 07. En la figura, calcular: x, si BF es bisectriz exterior del DABC y AE = EC a B C c) 40º 04. Calcular "x" si AD es bisectriz interior del ángulo BAC, DC = CE B E x C A a) 64º d) 70º 2x D 2q A a) 10u d) 13u 120º q q c) 20º B B a) 30º d) 50º b) 15º e) 40º C b) 76º e) 80º x 06. En la figura, BE es bisectriz exterior del triángulo ABC, si AB = 5u y BC = 8u. Calcular: AE 03. En el gráfico, calcular: x A a a 3x C 20º A a) 50º d) 70º q 32º b) 48º e) 60º F c) 32º 08. En la figura, calcular: x x q q A a) 30º d) 45º C E b) 36º e) 50º c) 40º b b 65º x+a a x a) 10º d) 25º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 25 25 b) 15º e) 30º c) 20º San Marcos Capítulo 02 09. Calcule: m∠MLN, si: m∠BAC = 80º B aa L N w w q A M a) 10º d) 25º b q b) 15º e) 30º b C c) 20º 10. En la figura; AC = AB, calcular: BD. Si: CD = 13 y BE = 4 D q q A a) 8 d) 6 a C b) 9 e) 6,5 12. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH. Las bisectrices de los ángulos BAH y HBC se intersectan en "P" Calcule la m∠APB, si: m∠ABC = 70º a) 95º b) 100º c) 105º d) 110º e) 120º 13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BI y en su prolongación se ubica el punto "M" de modo que: IC = MC. Si: m∠BAC - m∠BCA = 30º Calcule la m∠ICM a) 40º b) 60º c) 35º d) 30º e) 45º 14. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD (D ∈ AC). Si I y H son incentros de los triángulos ABD y BDC respectivamente. Hallar m∠ABC, si: m∠AID + m∠DHC = 260º B E 11. En un triángulo ABC la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B, calcule la medida del ángulo B a) 12º b) 18º c) 24º d) 36º e) No existe a) 160º d) 140º a c) 7 b) 100º e) 130º c) 150º 15. El ángulo que forman las bisectrices exteriores de los ángulos P y Q miden 64º. Calcular m∠RPQ. Si en el triángulo PQR: PQ = PR a) 42º b) 62º c) 76º d) 78º e) 64º 26 26 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 3 Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes, si tienen sus lados y ángulos respectivamente de medidas iguales. B Q a a c c A b P C b R DABC ≅ DPQR m∠A=M∠P AB = PQ m∠B=m∠Q BC = QR m∠C=m∠R AC = PR "No es necesario que los tres lados y los tres ángulos sean de medidas iguales para determinar que dos triángulos sean congruentes". "Es necesario y suficiente que tres elementos del primer triángulo sean congruentes a otros tres respectivos elementos del otro triángulo. Por lo menos uno de estos tres elementos debe ser un lado". Postulados para la congruencia de triángulos Primer caso (Postulado A - L - A) un lado y los ángulos adyacentes a él. , a Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria a q 27 27 q San Marcos Capítulo 03 Segundo caso (Postulado L - A - L) Un par de lados y el ángulo entre ellos. , a a Tercer caso (Postulado L - L - L) tres lados. , Cuarto caso (Postulado L - L - A) dos lados y el ángulo que se opone al mayor de dichos lados. a , 28 28 a Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. Del gráfico, calcular "x", si: AB = CD B x 65º 50º A C D Resolución B • Trazar: DE = DB (E ∈ BC) x 65º • m∠BDE = 50º • D ABD ≅ D EDC (LAL) • Propiedad: m∠C = 50º 65º E A 50º D 50º x 50º ⇒ D DEC: x + 50º = 65º C x = 15º 02. Del gráfico, calcular: x A D º 2020º x E º 10 º 10 B C Resolución D x B 80º x E • D BDC: BD = DC • D ABD ≅ D CDE (ALA) • Propiedad de congruencia: AD = ED • D ADE: 2x + 20º = 180º º 10 10 º A º 2020º 70º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria x = 80º C 29 29 San Marcos Capítulo 03 03. De la figura; AB = CD; AC=BE. Calcular: q B D A 50º 35º 45º C q E Resolución B • m∠AED = 50º (AD = AE) D A 50º 35º 45º C q D ADE: isósceles • D ABE ≅ D ADC (LLL) • Propiedad: AD = ED • D ADE: m∠AEB=35º ⇒ 35º + q = 50º E q = 15º 30 30 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. Calcule: x 05. Si: AB = BC, calcular "AN", si: BM = 4 B B D a x b 20º A 20º E a) 15º d) 25º M a C b b) 10º e) 35º C A N c) 20º a) 4 d) 3 2 02. En el gráfico, AP=QC, calcule: x B P q 06. Si: ABCD es un cuadrado, calcular "x" B A c) 3 b) 4 2 e) 5 q Q 20º 45º a) 35º d) 25º b) 20º e) 30º x C c) 15º x A % % 03. En la figura: AB=BC, AE=CD, mBED = mBDE . Calcular la medida de 2x, si m]BAC = 3x y m]CAE = 2x a) 70º d) 79º D b) 72º e) 80º c) 74º 07. Calcular "PQ", si: ABCD es un cuadrado, AP=3 y CQ=7. B B A C D C A D Q P E a) 40º d) 45º C 16º b) 60º e) 20º a) 8 d) 6 c) 30º 04. En el gráfico mostrado, calcular "x" siendo los triángulos ABC y EFC equiláteros. b) 10 e) 9 c) 12 08. Si: EF=FN; EP=4 y MP=3, calcular "MN" F B 12º A x M E C F a) 12º d) 48º b) 24º e) 30º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria N c) 36º 31 31 E P a) 8 d) 11 b) 6 e) 10 c) 7 San Marcos Capítulo 03 09. Calcular "AQ", si: AB = CQ y AB + PQ = 24 B 13. En la figura, AB = BC, los triángulos ABE y BCD son equiláteros, calcular: m∠EDC A P B a a A C a) 12 d) 24 b) 16 e) 28 a E Q c) 18 a) 15º d) 24º 10. Si: AC = AE; BF = 7u y FC = 5u, calcule: EF B D C b) 18º e) 20º c) 30º 14. Calcular "x", si: AD = BC B F 70º x A C D E a) 12u d) 19u b) 15u e) 24u a) 20º d) 50º c) 17u b) 40º e) 18º C c) 30º 15. Calcular "x", si los triángulos AFB y BEC son equiláteros. 11. Si: BF = BC y AF = EC, calcular "x" B E F 130º E 50º A x B C x C A F a) 60º d) 80º 40º D A b) 50º e) 75º a) 60º d) 120º c) 70º b) 90º e) 150º c) 110º 12. Calcular a B 8a A 6a 2a a) 20º d) 10º E b) 12º e) 18º C c) 15º 32 32 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Si: BP=4, PQ=7 y AB=BC Calcular : AP + QC a) 13 d) 10 A b) 11 e) 8 c) 6 05. Si: AF=EC; EF=8u y FB=5u. Calcular: AC E Q D F P B C a) 11 d) 15 b) 8 e) 18 c) 14 a) 16u d) 17u 02. Si: BC=CE; AC=CD y m∠BAC = 32º Calcular "x" C B A b) 18u e) 13u c) 15u 06. En el gráfico, las regiones ABP y PHC son congruentes, calcule: PC PB B A P B E A x a) 2 d) 3 2 D C a) 118º d) 148º b) 104º e) 138º H c) 108º b) 3 e) 5 2 4a 03. En el gráfico, calcule a, siendo AB=CD B q 68º a a) 34º d) 18º A b) 17º e) 19º E C b) 40º e) 25º B c) 37º 04. Si: AB=BC, AM=3 y CN=5, calcular : MN N a M A Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 24º 08. Si: BC = CE; AB = 7 y ED = 9 Calcul: AD a D B c) 4 07. Calcular "a" en la figura: q a) 45º d) 30º C a A C a) 7 d) 18 b) 9 e) 14 a D c) 16 C 33 33 San Marcos Capítulo 03 09. En el gráfico: BC - AB=6u y AP=QC. Calcule: PQ B b 14. En el gráfico: AB=BC, QC=1u y PQ=2u Calcule: AQ A P b A q q Q a) 2u d) 3u b) 4u e) 5u C Q c) 6u P B 10. Si: AC=BE, BC=CD, CDE es equilátero, calcular: x B D C a) 11 u b) 3u d) 13 u e) 4u c) 2 3 u 15. Si ABC es equilátero y BQ = AR Calcular: x x A C a) 45º d) 30º 20º b) 40º e) 50º B E Q c) 20º R 11. Los triángulos ABC y AED son equiláteros, calcular: BD. Si: CE=12cm B A a) 50º d) 90º D E A a) 12 cm d) 18 cm C b) 6 cm e) 24 cm c) 8 cm 12. En la figura mostrada, calcular: a, si: EC=2AB B a) 1 a a) 30º d) 22º30' b) 60º e) 18º30' C c) 26º30' 13. Calcular: CH, si: AM = MC; AH=5 cm y HM=6 cm B H A a) 11 cm d) 14 cm M b) 12 cm e) 15 cm C c) 13 cm b) 60º e) 45º c) 40º 17. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas AR y BQ, tal que: AQ = CR. Hallar: c AR m BQ d) 4 A C 16. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas interiores AN y BD que se intersectan en "R". Si: m∠BRN=60º, AD=3 m y BN=7 m Calcular: AB a) 4u b) 8u c) 12u d) 14u e) 10u E a Sx b) 2 e) 1 3 c) 3 18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH, en el triángulo BHC se traza la ceviana interior HM de tal manera que MC=AB Hallar: m∠MHC. Si: HC=BH + 2AH b) 37 a) 53 c) 53º 2 2 d) 37º e) 30º 19. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, sobre AC se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles CDA. Hallar la distancia de "D" a BC. Siendo: AB=4, BC=8 a) 8 b) 6 c) 5 d) 7 e) 10 34 34 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 4 Aplicaciones de congruencia Teorema de la recta mediatriz de un segmento Teorema de la bisectriz de un ángulo P F a a O E H A EF , EH OF , OH b B b PA = PB El DAPB es isóceles. Teorema de la menor mediana en el triángulo rectángulo Teorema de los puntos medios B MN : base media M MN = AC 2 N c B MN // AC a c b a A BM = AC 2 A b C M b C En el triángulo isósceles B B Si: AB = BC Q H F A CH = PQ - PS G E Si: AB = BC & & H A C P C S AH = EF + EG Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 35 35 San Marcos Capítulo 04 Triángulos notables • De 30º y 60º • De 45º y 45º 60º 45º 2a a 30º a3 • b2 b De 37º y 53º 45º b • De 53c 2 53º 5k 3k n 37º 4k • • De 37c 2 De 15º y 75º h= a 4 h L 75º 37º/2 3L • 53º/2 2n De 30º y 75º 15º a • h= b 2 82º h 52a a 30º 75º b 7a • 8º • 74º n 17 25b 7b n 14º 24b 76º 16º 36 36 4n Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. En un triángulo ABC se traza la mediana AM y la altura BH que triseca el ángulo B. Hallar m∠HBC. Resolución B a aa P a 1424314243 H 2a a a • Trazar MP ⊥ BC • HB = BP y HM = MP = a • D PMC: 30º y 60º • m∠C = 30º m∠HBC = 60º C M 2a 02. Si: AE=22 y EC=26, calcular: BE. B A 4q q E C Resolución B q 2q x A 4q 2q M 123 E x q • Trazar mediana BM relativa a AC (AM = MC) • AM = MC = MB ... (propiedad) • D ABC: AM = MC 22 - x = 6 + x 2x = 22 - 6 x=8 C 22 6 03. En un cuadrado ABCD, "F" es punto de AB y "M" es punto medio de CF tal que: CD = DM, calcular: m∠ADM. Resolución B F a a N M 60º C a P 2a 2a 30º A x Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria D • D DMC: isósceles DM = DC = 2a • Trazar mediana MN ⊥ BC (N ∈ BC) • BN = NC = a • Trazar MP ⊥ CD (P ∈ CD) • MP = a y D MPD es notable de 30º y 60º x + 30 = 90º x = 60º 37 37 San Marcos Capítulo 04 Práctica 06. Calcular: a, si: PC=AB; BM=MC y AN=NP B 01. En la figura mostrada, calcular: x Si: BM=MA y AP=PC B M N M A Q 80º N a) 18º d) 23º x P A a) 10º d) 25º 46º C b) 20º e) 15º a b) 24º e) 20º c) 30º E q b) 37º A M d) 24º e) 18º 2q A c) 13º 07. En el gráfico: BH=9 y HN=3. Calcular la distancia de "E" a AC B 02. En la figura, si: AM=MB y BC=2CM, calcular q B a) 32º c) 36º C P q a) 6 d) 8 q C 03. En la figura: AB=8; BP=BC=5 y m∠BAC=30º Calcular: PC B a) 2 N H b) 9 e) 5 C c) 3 08. En un triángulo ABC, la m∠ACB=30º, se traza la ceviana BM de manera que la m∠ABM=90º y AM=2MC. Calcule la m∠BAC a) 45º b) 22,5º c) 25º d) 30º e) 45º 09. Si: PC = 8 3 , calcular: EB P b) 6 B c) 3 d) 8 q A e) 9 C P A 04. Calcular: m∠BCD, si: AB=CD y AD=BD C a) 15º a) 8u b) 12u d) 8 3 u e) 16 3 u C c) 16u 10. Calcular el máximo valor entero que puede tomar "x", si a es obtuso. b) 30º c) 45º a) 3 D a b) 4 d) 60º c) 5 e) 75º a) 2K 12 e) 7 11. Si: MN es mediatriz de AC y NC=15, calcular: AB B b) 3K c) 4K x d) 6 B A 05. Si: AM=MC y HN=K, calcular: AC N a) 7 B b) 11 2a d) 15 A H N c) 13 d) 5K e) 6K E q M C e) 17 38 38 A 53º M a C Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 12. Calcular: BH, si: BM=MC, AO=OM y OH=2cm B 15. Si: AC=24m, calcular: BE B M 18º O H A a) 6 cm d) 10 cm C b) 8 cm e) 9 cm A a) 12 m d) 8 m c) 5 cm 13. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH. Calcular: m∠HMB + m∠HNB, siendo "M" y "N" puntos medios de AB y AC respectivamente. a) 90º b) 120º c) 150º d) 145º e) 180º q q x a) 30º d) 53º b) 45º e) 60º q q c) 14 m C E a) 8 cm d) 9 cm E A b) 10 m e) 9 m C 16. Si: AB=7 cm y AC=16 cm. Calcular: EC B A 14. Si: AL=7; LE=3 y AF=11 Hallar: x L 36º E b) 10 cm e) 12 cm c) 11 cm 17. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la m∠BAC=70º. Luego en AC se ubica el punto medio M, exterior y relativo a BC se ubica el punto P; tal que: AC=2(BP) y m∠PMC=80°. Calcular m∠BPC. F c) 37º a) 115º d) 100º b) 125º e) 120º c) 110º Tarea domiciliaria 01. Calcular "x", si: AH=7 y AB=15 03. Calcular: MN, si: AB=8 cm y AC=18 cm B B Q x P A q q H a) 4 d) 8 b) 7 e) 10 A C a a x a) 15º d) 20º A C b) 16º e) 14º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 9 cm B B P b) 5 cm e) 4 cm 04. Calcular: AB, si: PQ=6, AC=14 y BQ=QC 02. Calcular: x, si: PC=2(AB) y AP=PB A C E a) 6 cm d) 8 cm c) 9 N M a) 2 d) 5 c) 36º 39 39 q q P Q C b) 3 e) 6 c) 4 San Marcos Capítulo 04 05. Si: BH=8u y EH=3u, calcular: ND 10. En un triángulo rectángulo la bisectriz interior del ángulo agudo mayor y la mediatriz de la hipotenusa se intersectan en un punto sobre el cateto mayor. Calcule la medida de uno de los ángulos agudos. B D a) 75º d) 45º E A H N a) 5,5 u d) 3,9 u a a b) 6 u e) 6,5 u C b) 60º e) 37º 11. Calcular: x c) 5 u L1 L A D a) 100º d) 80º 3f A f a) 3 d) 10 b) 5 e) 8 C c) 6 07. Si: PF=20, calcular: PE P 143º F a) 58º d) 54º b) 5 e) 8 a a c) 10 C 10 D a) 24 d) 16 x M C b) 60º e) 40º c) 120º b) 64º e) 68º c) 32º a x b) 20 e) 12 B b) 15º e) 18º c) 50º 14. En un triángulo obtusángulo ABC (obtuso en "A") se tiene que m∠B = 2(m∠C). Si la perpendicular trazada por "A" al lado AC corta a BC en "E" de tal manera que EC=18 m Calcular la medida del AB. a) 3 d) 12 08. De acuerdo con los datos de la gráfica, calcular: x A F 12. En un triángulo ABC, m∠B=122º. Las mediatrices de los lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos M y N respectivamente. Hallar la medida del ángulo MBN a) 25º d) 12º a L2 80º 13. En un triángulo ABC, A=25º y AB > BC; se traza la bisectriz de B que corta a AC en D: La mediatriz de BD encuentra a la prolongación de AC en E. Hallar: m∠CBE E a) 15 d) 12 B E 06. Si L es mediatriz de AC, BD=3 y AB=5, calcular: BC B c) 53º b) 6 e) 8 c) 9 15. En un triángulo obtusángulo PRQ, obtuso en "R", se traza la mediana RM de tal manera que: QR=2RM. Si: m∠PRM= 2m∠MRQ, hallar: m∠MRQ a) 30º d) 36º 8 b) 32º e) 42º c) 40º c) 18 09. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la bisectriz interior AF . En la prolongación de AF se toma el punto "D", se trazan las perpendiculares DG y DE hacia BC y AC respectivamente. Hallar: FG, si: BF=8 cm y DE=13 cm a) 5 cm d) 9 cm b) 4 cm e) 6 cm c) 8 cm 40 40 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 5 Repaso Problemas resueltos 01. Hallar: x 9 B C E 4 x A D Resolución 9 B E b C F a a b 4 x A • D EBC ≅ D CFD (ALA) • Propiedad: BC = FD = 9 ⇒ EB = 5 • Propiedad: EB = CF = 5 x = BC + CF x=9+5 x = 14 D 02. Calcular: x, si: AE = CB C E A x B Resolución C a 2a A x Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria F E a a B • Trazar EF ⊥ BC (F ∈ BC) • Prolongar AB y trazar EH = AB (H ! AB ) • CF = FB = EH = a • D AEH: notable 30º y 60º x = 30º H 41 41 San Marcos Capítulo 05 03. Calcular: x B x E q q A a 2a C Resolución B P N a A q q a E x a • Trazar CP ⊥ BE (BP = PE) • Propiedad: EP = EM= EN = a ... (de la bisectriz) • D BNE: notable 30º y 60º x = 30º a M a a a C Práctica 01. Dos ángulos internos de un triángulo están en la relación de 1 a 2. Hallar el mínimo valor entero que puede tomar el menor ángulo para que el triángulo sea acutángulo. a) 30º b) 32º c) 31º d) 33º e) 34º 02. En un triángulo ABC, m∠BAC=80º, m∠ABC=40º, D pertenece a AB, m∠ACD=50º y E pertenece a BC, tal que AC=CE. Hallar m∠EDB a) 80º b) 100º c) 120º d) 90º e) 110º 03. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 30 u. Hallar el mínimo valor entero que puede tomar la hipotenusa. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 04. Se tiene un triángulo ABC donde AB=6, BC=8 y AC=10. Se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles AHC. Hallar la distancia de H a BC a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 05. En el lado AB de un triángulo isósceles ABC de base AC se ubican los puntos P y Q (Q ∈ AP) y en BC el punto R tal que: AC=CQ=QR=RP=PB Hallar: m∠ABC a) 10º b) 20º c) 15º d) 25º e) 30º 06. En un triángulo ABC, las medianas BM y AN miden 15 y 12 respectivamente. Hallar el mayor perímetro entero del triángulo ABC a) 86 b) 82 c) 36 d) 71 e) 72 07. En un triángulo ABC la mediana AM y la bisectriz interior BF se intersectan perpendicularmente. Calcular: E = AB + BC + AB BM AB CM a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 2 08. En un triángulo ABC, m∠A=2(m∠C). Se traza la bisectriz interior BD. Calcular AD, siendo AB=6 u y BC=10 u a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u 09. En un triángulo ABC, m∠A=2(m∠C); la bisectriz interior BD prolongada intersecta en E a la bisectriz exterior del ∠C. Si: DE = 8 u, hallar: CE a) 4 u b) 7 u c) 8 u d) 6 u e) 10 u 42 42 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se trazan la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en P. Calcular: PH, siendo BH = a y BE = b a) a + 2b 2 b) 2a + b 2 d) a-b 2 e) a - b c) a+b 2 11. En un triángulo rectángulo ABC se ubica P en AC de modo que ABP = 18º. Además m∠ACB = 36º y AC=14. ¿Cuánto mide BP? a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6 12. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 80º. La mediatriz de la altura BH corta a BC en F. Si: m∠BFH=80º. ¿Cuánto mide el ángulo BAC? a) 70º b) 40º c) 80º d) 50º e) 60º 13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, el ángulo C mide 35º. Sobre AC se ubica un punto D de modo que m∠ABD=15º. Calcular AC, si: BD=5 a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 15 14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye exteriormente al triángulo, el cuadrado ACDE. Luego se traza DF perpendicular a la prolongación de BC. Calcular: BF, si: AB + DF = 7 a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 8 15. En un triángulo acutángulo ABC se ubica el punto "L" exterior relativo al lado BC, tal que: m∠BAL=2m∠LAC, m∠BCE=3m∠LCE (E se encuentra en la prolongación de AC). Hallar el máximo valor entero del ángulo ALC a) 24º b) 29º c) 19º d) 59º e) 89º Tarea domiciliaria 01. Calcular : x 06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana CF de manera que BC = AF, m∠B=2m∠A y m∠A=20º. Hallar la m∠ACF a) 20º b) 30º c) 40º d) 15º e) 10º 11x a) 8º d) 15º 07. En el gráfico, AB=DC y AH=HE Calcule la m∠HDE B 12x 50º b) 10º e) 18º c) 12º D 02. Dos lados de un triángulo miden 6 y 9. Hallar el menor y mayor valor entero que puede tomar el tercer lado. a) 3 y 15 b) 4 y 14 c) 3 y 14 d) 2 y 16 e) 4 y 15 03. En un triángulo ABC se ubica el punto interior P tal que los triángulos APB y PBC son obtusángulos (obtusos en P). Si: AP=16, BP=12 y PC=9. Hallar el menor perímetro del triángulo ABC sabiendo que es un valor entero. a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 38 04. En un triángulo ABC, m∠ABC=18º y m∠ACB=14º. Hallar la medida del ángulo que forman entre sí, las alturas trazadas de los vértices B y C a) 32º b) 42º c) 52º d) 62º e) 82º 05. En un triángulo rectángulo BAC, se traza la altura AH y la bisectriz interior BR (R en AC) que se cortan en L. Calcular: AL, si: AC=12 y RC=9 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 43 43 A E H a) 28º d) 38º b) 30º e) 45º C c) 32º 08. Si: AB=20 u y AM=MC. Calcular: EC B N A a) 12 u d) 14 u 60º M E b) 10 u e) 15 u C c) 8 u 09. En un triángulo acutángulo ABC, m∠C=35º, se trazan las mediatrices de AC y BC cortándose en P Calcular m∠APB a) 35º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º San Marcos Capítulo 05 10. Si: ME//AB, AL=LC, NE=4. Calcular: MN, si BN=NL B M 15. La mediatriz del cateto BC de un triángulo rectángulo ABC; corta a la prolongación de la altura BH en Q. ¿Cuánto mide el ángulo ACQ, si m∠A=50º? a) 20º d) 25º N A a) 1 d) 4 C L E b) 2 e) 6 c) 3 a) 10 d) 13 B A F D C b) 11 e) 14 a) 18º d) 12º b) 4,5 u e) 9 u c) 6 u 12. Calcular "x" en el rombo ABCD B c) 12 17. Si el número de lados de un polígono regular convexo aumenta en 10, cada ángulo interno del nuevo polígono es 3º mayor que cada ángulo del original. Determinar la medida del ángulo central del polígono original. E a) 3 u d) 8 u c) 15º 16. El número de lados de un polígono es igual a la mitad del número de diagonales. Calcular el número de diagonales trazadas desde 3 vértices consecutivos. 11. Si: DF=FC, AB//EF y BC=12 u. Calcular: EF a a b) 10º e) 12º b) 20º e) 10º c) 15º 18. Si a un polígono se le aumenta un lado, su número de diagonales aumenta en 6. Si se le disminuye un lado, el número de diagonales sería: C a) 9 d) 27 b) 14 e) 10 c) 20 12 A 53º x a) 24 d) 22 b) 20 e) 23 19. Calcular: AD, si ABCD es un romboide, además: EC=3 y CD=8 D 13. Si: AB=9 cm; BC=13 cm y AC=14 cm. Calcular: MN A B M a a N q q C a) 18 cm d) 20 cm b) 16 cm e) 15 cm b) 5 e) 15 c) 19 cm P B C E Q Calcular: PC, si: AP=10. b) 8 e) 14 c) 14 20. Hallar la medida de PQ, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 14. Se tienen los puntos no colineales A, B y C, se trazan las mediatrices de AB y BC cortándose en P. a) 6 d) 12 C D a) 11 d) 19 aa A E B c) 25 A c) 10 a) 5 d) 3 44 44 37º D b) 6 e) 2 c) 4 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 6 Polígonos Sean P1, P2, P3, ..., Pn una sucesión de "n" puntos distintos de un plano con n≥3. Los segmentos P1P2 , P2 P3 , P3 P4 , ..., Pn - 1Pn , Pn P1 ; son tales que ningún par de segmentos con un extremo común sean colineales y no exista un par de segmentos que se intersecten en puntos distintos de sus extremos. Entonces, la reunión de los "n" segmentos se denomina polígono. P1 a P2 b P4 P3 P5 Pn P6 Elementos • Vértices: P1, P2, P3, ... • Lados: P1P2 , P2 P3 , ... Ángulos: • Internos: ∠P1, ∠P2, ... Externos: a, b, ... * * • Diagonal: P3 P5 , P4 P6 , ... Clasificación Los polígonos se clasifican en: Por el número de lados • Triángulo 3 lados • Eneágono o nonágono 9 lados • Cuadrilátero 4 lados • Decágono 10 lados • Pentágono 5 lados • Endecágono 11 lados • Exágono (o hexágono) 6 lados • Dodecágono 12 lados • Heptágono 7 lados • Pentadecágono 15 lados • Octógono 8 lados • Icoságono 20 lados Por sus lados y ángulos • Polígono convexo Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria • 45 45 Polígono no convexo San Marcos Capítulo 06 • Polígono equilátero • Polígono equiángulo a a a a a • Polígono regular • O A G C B D E Polígono irregular H O F a I J Propiedades • Máximo número de diagonales trazadas desde 1 vértice. (n - 3) diagonales • Número total de diagonales. ND = • n ( n - 3) 2 En los polígonos convexos, la suma de las medidas de los ángulos internos es: Si = 180º (n - 2) 46 46 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría • En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos externos es de 360º • En el polígono equiángulo. eº iº eº iº m + exterior = 360c n eº iº m + int erior = eº • iº 180c (n - 2) n iº En el polígono regular. a valor del ángulo central iº eº iº eº iº Se = Sa = 360º a a = ec = 360c n ic = 180c iº eº (n - 2) n Diagonal media Segmento que unen los puntos medios de dos lados cualquiera. Número total de diagonales medias NcDM = n ( n - 1) 2 Número de diagonales que se pueden trazar desde "k" vértices consecutivos Nc = nk - Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria ( k + 1 ) ( k + 2) 2 47 47 San Marcos Capítulo 06 Problemas resueltos 01. En un polígono regular, un ángulo interior y su ángulo exterior miden kq y q respectivamente, donde k es entero. Hallar el menor número de lados del polígono. Resolución kq + q = 180º • q(k + 1) = 180º kq q • q = 180c k+1 360 c 180 c = 360c Pero: q = & n k+1 n n = 2(k + 1) • kmínimo = 1 n = 2(1 + 1) n=4 02. En un nonágono cualquiera, donde sus ángulos internos están en progresión aritmética, uno de sus ángulos siempre mide: Resolución • Smi: 180º (n - 2) • Smi = x - 4r + x - 3r + ... + x + x + r + ... + x + 4r Igualando: x - 4r + x - 3r + ... + x + x + r + ... + x + 4r = 180º (n - 2) 9x = 180º (n - 2) 9x = 180º (9 - 2) 9x = 180º (7) x = 140º 03. El número de lados de un polígono regular se duplica, su número de diagonales aumenta en 234. Hallar su número de lados. Resolución n (n - 3) 2 2 n ( 2 n - 3) D + 234 = ... (variación) 2 D= n (n - 3) 468 2n ( 2n - 3) + = 2 2 2 ⇒ n2 - 3n + 468 = 4n2 - 6n O = 3n2 - 3n - 468 123 O = n2 - n - 156 n - 13 n + 12 n = 13 48 48 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. Calcular "x" en el polígono mostrado. a) 60º x+10º 06. Si ABCDEF es un polígono regular. Calcule: x B x+15º b) 85º c) 93º x+5º x+20º F a) 15º d) 60º x+25º e) 75º 02. Si: m∠F=m∠E=90º y m∠B=m∠D=140º. Hallar la m∠A, si es igual a la m∠C C a) 135º b) 130º D a) cuadrado d) octógono E e) 108º 03. Calcular: x x b) 120º x c) 150º d) 130º x e) 160º 04. Si los polígonos ABCDE y DEF son regulares. Calcule: x B a) 18º b) 36º A b) 11 e) 15 c) 12 b) pentágono e) heptágono c) hexágono F 10. Desde cuatro vértices consecutivos de un polígono convexo se trazan 25 diagonales, calcular el número de lados. a) 9 b) 7 c) 6 d) 8 e) 10 11. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono convexo, se obtiene otro polígono con 15 diagonales menos. Hallar el número de lados del polígono original. a) 10 d) 6 C b) 8 e) 7 c) 9 12. Calcular "x" en el hexágono regular: d) 48º x e) 60º c) 45º 09. Si a un polígono se le aumenta en 4 a su número de lados; entonces la suma de sus ángulos internos se duplica. Hallar el número de vértices del polígono regular. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 F a) 100º b) 30º e) 75º x 08. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en 12º. ¿Cuál es el polígono? A d) 115º E 07. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono, su ángulo central aumenta en 6º. ¿Cuántos lados tiene el polígono inicial? a) 10 d) 13 B c) 45º D A d) 120º c) 120º C E a) 10º D 05. Calcular cuántas diagonales faltan trazar en la figura mostrada. b) 30º c) 20º a) 7 d) 40º b) 8 e) 50º c) 9 x 13. Si el ángulo central de un polígono disminuye en 5º, el número de diagonales aumenta en 7. Calcular el número de lados del polígono original. d) 10 e) 11 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 80º a) 2 d) 8 49 49 b) 4 e) 10 c) 6 San Marcos Capítulo 06 14. ABCDEF... y PQDRS... son polígonos regulares de 50 y 30 lados respectivamente. Calcule la m∠QDE D C B R Q E P F 15. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono, su ángulo central aumenta en 6º. ¿Cuántos lados tiene el polígono inicial? a) 10 d) 13 b) 11 e) 15 c) 12 S A a) 150º46' d) 106º48' b) 160º30' e) 150º30' c) 160º48' Tarea domiciliaria 01. ¿Cuántas diagonales faltan trazar al polígono? 05. En la figura, calcular: a + b + q + w 67º q b w a a) 2 d) 8 b) 4 e) 10 a) 540º d) 617º c) 6 b) 607º e) 507º 06. En el siguiente pentágono regular, calcular: x 02. Calcular: x C x+10º x x+20º c) 720º B D x x+30º a) 98º d) 88º b) 128º e) 108º x+40º E A c) 100º 03. Calcular b en el siguiente polígono regular: b a) 36º d) 15º b) 24º e) 32º c) 18º 07. Calcular: a en la figura: a a a) 30º d) 150º b) 90º e) 80º c) 120º 04. Desde (n - 4) vértices consecutivos de un polígono convexo se trazan (4n + 3) diagonales. Calcular el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono. a) 8 b) 10 c) 20 d) 12 e) 15 a) 108º d) 140º 50 50 b) 120º e) 150º c) 135º Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 08. Calcular: x, si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. C B E A D a) 15º d) 60º 16. Calcular la medida del ángulo interior de un polígono regular, cuyo lado mide 3. Si su número de diagonales es 5 veces su semiperímetro. (numéricamente) a) 120º b) 160º c) 135º d) 150º e) 130º x b) 45º e) 90º 15. Desde 4 vértices consecutivos de un polígono regular se trazan 105 diagonales. Calcular la medida del ángulo externo de dicho polígono. a) 10º b) 15º c) 8º d) 12º e) 20º c) 30º 17. Si el pentágono es regular, calcular: x 09. Calcular la medida del ángulo formado al prolongar los lados adyacentes de 2 ángulos consecutivos de un decágono convexo, sabiendo que la suma de las medidas de los 8 ángulos restantes es 1200º a) 50º d) 45º b) 60º e) 40º G x c) 30º 10. Hallar: x, si ABCDE es un pentágono regular y AGFE es un cuadrado. C B 48º F a) 10º d) 13º b) 11º e) 14º c) 12º 18. Si la figura es un polígono regular, calcular: x x D x E A a) 20º d) 25º b) 15º e) 18º c) 17º a) 120º d) 140º 11. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual al aumentar su número de lados en tres; su número total de diagonales aumenta en 15? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 12. Determinar el polígono convexo tal que al duplicar su número de lados, la suma de sus ángulos internos queda triplicada. a) triángulo b) pentágono c) cuadrilátero d) hexágono e) ninguna 13. Hallar la suma de las medidas de ángulos internos del polígono que tiene 77 diagonales. a) 1400º b) 1260º c) 2160º d) 1080º e) 1800º b) 108º e) 162º c) 135º 19. En la figura, calcular: f, si: a: medida del ángulo interior del exágono regular. b: medida del ángulo interior del pentágono regular. g: medida del ángulo exterior del icoságono regular. w: medida del ángulo interior del dodecágono regular. b w a f a) 150º d) 144º b) 108º e) 135º g c) 120º 14. La suma de las medidas de los ángulos internos, externos y centrales de un polígono es igual a 2700º. Calcular el número de diagonales. a) 78 b) 84 c) 64 d) 72 e) 65 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 51 51 San Marcos Capítulo 07 7 Cuadriláteros Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices. B w q B b C D x a A b Convexo a D q C No convexo A a + q + w + b = 360º x=a+b+q Clasificación Trapezoides B C B C A A D D Trapezoide simétrico Trapezoide asimétrico Trapecios B C B D A C D A BC // AD 14 243 T. Escaleno Bases 52 52 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría B A C a B a D C D A T. rectángulo T. isósceles Paralelogramos B A a b C AB//CD BC//AD b a D B B C C A a!90º A D Romboide D Rombo B C A D Rectángulo B C A D Cuadrado Propiedades En el trapecio b b a MN: Base media MN//Bases Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria N M N M a MN: Base media MN//Bases MN = a + b 2 53 53 MN = a - b 2 San Marcos Capítulo 07 En el paralelogramo B C m O A C B D A D b n a AO = OC BO = OD a+b=n+m En todo cuadrilátero C Q B P " PQRS es un paralelogramo R (2p)PQRS = AC + BD A S D C b b B a c a A d Si: 2p = a + b + c + d a x n m D b x = m+n 2 & p < AC + BD < 2p a x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x x a b b b-a Si: a + b = 90º x = 2 54 54 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. En un cuadrilátero VRFS, m∠SRF=12º, m∠RSV=39º, m∠RSF=18º, m∠VHS=90º, H ∈ RS, HS=2 y m∠VRS=12º. Hallar: FS. Resolución L F 30º 60º 18º S 39º 39º H 12º 12º R 51º V • Prolongar RF y RV • Trazar SL y ST perpendiculares a dichas prolongaciones. • Propiedad: SH = ST = SL = 2 • D FLS: 2 x = 2(LS) = 2(2) ⇒ x = 4 T 02. En un trapecio ABCD, BC//AD, "M" es punto medio de AB, trazar CN (N ∈ AD) que intersecta a DM en su punto medio Q. Hallar: QN, si: CQ=6. Resolución B C 6 M Q x A E F D N 03. Dado el siguiente gráfico, hallar: x • Trazar ME//QN ⇒ QN=x y ME=2x • Trazar BF//ME ⇒ ME=2x y BF=24x • Luego BF//CN ⇒ BF = CN 4x = x + 6 3x = 6 x=2 6 B C M Q 4x A P 10x D Resolución B 6 C N Q A M 4x • Trazar MN//AD (N ∈ BQ) • Teorema: MN = 8x ... (base media D ANM) • Propiedad: P 10x Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria MN = 6 + 10x = 8x 2 6 + 10x = 16x 6 = 6x D x=1 55 55 San Marcos Capítulo 07 Práctica 01. Calcular "x", si: a + b + c = 440º 06. PQRS es un rombo, calcular: x, si: PH = HS Q x b a) 60º d) 50º R H b) 80º e) 40º S c) 70º 02. Calcular: x, si: BO = OD = OE B x P c a b) 45º e) 75º c) 40º 07. Siendo ABCD un trapecio (BC//AD). Hallar: m∠ADC. B 4 C C 28º a) 30º d) 60º O 8 A D x A E a) 15º d) 18º b) 16º e) 19º B q N 2q C a) 20 b) 10 d) 10 2 e) 5 2 c) 5 04. Si: AC = 8, EO = 3, calcular: ED A B E a) 4 d) 7 C b) 5 e) 8 a) 15 d) 18 a D b) 16 e) 12 c) 17 09. En un rectángulo ABCD, las bisectrices interiores de "B" y "C" se intersectan en un punto "M" de AD. Si el perímetro del rectángulo es 36, calcular la medida de la mediana del trapecio BMDC a) 18 b) 12 c) 10 d) 9 e) 8 10. Si ABCD es un trapecio cuyas bases BC y AD miden 6 dm y 14 dm respectivamente. Sean P y Q los puntos medios de AC y BD en ese orden. Hallar el valor del segmento que une los puntos medios de PB y QC a) 8 dm b) 4 dm c) 6 dm d) 5 dm e) 7 dm O D c) 90º 12 H D b) 53º e) 60º 08. En el trapecio ABCD, calcule AD 5 B C 2a A L D 14 a) 37º d) 30º c) 17º 03. Según el gráfico, ABCD es un rombo. Calcular: CH, si: NL + ND = 10. B, N y L son colineales. A 6 c) 6 05. En el rectángulo ABCD; m∠BDA=26º. Hallar: m∠ACD a) 54º b) 64º c) 74º d) 52º e) 44º 11. ABCD es un romboide y R es un punto que pertenece a AD, tal que el triángulo ABR es equilátero y el ángulo BRC sea recto. Hallar: m∠BAD - m∠RCD a) 18º b) 60º c) 45º d) 37º e) 30º 56 56 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 12. Calcular: x, si: m∠BCM=78º y 2AD = 3BC 14. Hallar el perímetro de un trapecio isósceles, sabiendo que uno de los lados congruentes tiene la misma medida que la base menor además uno de los ángulos interiores mide 60º y la base menor mide 5 m. a) 30 m b) 18 m c) 25 m d) 15 m e) 20 m C x B M A D a) 39º d) 18º b) 24º e) 42º c) 26º 13. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana en tres partes congruentes, ¿en qué relación están las bases? a) d) 2 5 1 2 b) e) 3 4 1 3 c) 15. En el romboide ABCD: AB=4 y BC=10 u; luego se trazan las bisectrices interiores de B y C que cortan a AD en E y F respectivamente. Hallar la medida del segmento que une los puntos medios de BE y CF. a) 5 u b) 6 u c) 7 u d) 8 u e) 4 u 2 3 Tarea domiciliaria 01. Calcular: x 04. Si: CD=10 u, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. C B 120º 100º x a a q a) 120º d) 130º q b) 100º e) 150º 02. Si: AD=14 u y DC=8 u. Hallar la medida del segmento que une los puntos medios de AP y CD P B C A q q 03. Calcular: x b) 4 u e) 10 u a) 6 d) 4 c) 2 05. En un trapecio ABCD, (BC//AD) y BC=AB=CD= AD , 2 calcular la m∠D a) 30º b) 45º c) 60º d) 53º e) 37º c) 6 u 4 10 b) 9 e) 12 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria q A x a) 8 d) 11 b) 3 e) 1 D 06. Calcular la mediana de la mediana del trapecio ABCD, si: BC=4 u C B q D a) 2 u d) 8 u 37º A c) 110º a) 4 d) 7 53º b) 5 e) 8 D c) 6 c) 10 57 57 San Marcos Capítulo 07 07. Calcular: MN, si: BC=x, AD=13 y MN=x + 5 C B 12. En un paralelogramo ABCD, se traza BM bisectriz del ángulo ABC (M en AD) siendo: AM=MD; BC=10 u y BM=6 u. Calcular la distancia de C al lado AD a) 2,4 d) 3 N M A D a) 3 d) 8 b) 5 e) 10 Calcular: m∠QCD c) 6 a) 28º d) 24º 4x a) 105º d) 115º 3x q a) 10º d) 25º b) 15º e) 30º q c) 20º 09. Si ABCD es un romboide, tal que: AB=18u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AE y BD E B C q A a) 10 u d) 9 u b) 12 u e) 8 u q D c) 13 u 17. Hallar: x c) 108º C 100º B q 110º D a a q C x a) 90º d) 60º a) 1 cm d) 4 cm b) 120º e) 135º 16. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior tal como D de modo que: m∠DAB + m∠ABC + m∠DCB = 140º y AD=DC. Hallar la m∠ACD a) 30º b) 20º c) 15º d) 40º e) 10º A A c) 20º 15. En un trapezoide ABCD, las bisectrices exteriores de B y C cortan en P; tal que: m∠BPC=104º. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices interiores de A y D. a) 72º b) 78º c) 76º d) 104º e) 68º 10. Calcule: DQ, si: ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado, además: AP = 12 2 cm P B b) 18º e) 26º 14. Se tiene un cuadrilátero ABCD, donde A=150º y los vértices B, C y D equidistan de A. ¿Cuánto mide el ángulo C? 2x w c) 6 13. En un romboide ABCD, la mediatriz de BC intersecta a AD en Q, tal que: m∠BCQ=54º y AB=AQ. 08. En la figura, calcular: x w b) 4 e) 4,8 D b) 2 cm e) 5 cm Q c) 3 cm b) 80º e) 50º c) 75º 18. Si: AB=6 u, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD C B 45º 11. Dado el trapecio escaleno ABCD donde: (BC//AD), calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices interiores de C y D. a) 60º d) 75º b) 40º e) 90º c) 36º 37º A a) 9 u d) 12 u 58 58 b) 8 u e) 16 u D c) 10 u Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 8 Circunferencia Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto de su plano denominado centro. La distancia mencionada recibe el nombre de radio. Elementos P E F Q C A O L1 B • Centro: O • Radio: OB • Diámetro: BC • • Cuerda: EF ! Arco: EB • Flecha o sagita: PQ • Secante: L1 • • Tangente: L2 Punto de tangencia: T • Perímetro: L = longitud de la circunferencia L = 2pr T L2 r → radio p → Phi ≠= L 2r p = 3,1415926... Posiciones relativas de dos circunferencias coplanares Circunferencias exteriores Circunferencias tangentes exteriores R r 14444244443 r d R 1442443 d d=R+r d>R+r Circunferencias secantes R Circunferencias ortogonales R r r 14243 14243 d d R-r<d<R+r Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria d2 = R2 + r2 59 59 San Marcos Capítulo 08 Circunferencias tangentes interiores Circunferencias interiores r 1 2 3 1 2 3 d d r R R d=R-r d<R-r Circunferencias concéntricas Esta región se denomina corona o anillo circular. r r R R d = cero Observación: "d" → distancia entre los centros. Propiedades fundamentales aa O A B r O P L • P → punto de tangencia • OP ⊥ L ⇒ OP = r C AB = AC E O A M C A B Si: OC = AB & AM , MB F B Si: EF //AB ! ! & AE , FB ! ! AC , CB 60 60 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría A B C Q T P Si: mAB = mDC ! ! & AB , CD D A B S F E AB , EF y ST , PQ Teoremas Teorema de Poncelet B r : radio AB + BC = AC + 2r r C A Teorema de Pitot B C AB + CD = BC + AD r Este teorema es válido para todo polígono circunscrito cuyo número de lados es un número par. A D Teorema de Steiner B AB - CD = AD - BC C A D Observación Q y F → puntos de tangencia p → semi - perímetro de la región triangular ABC. p = a+b+c 2 & Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria AQ = AF = p 61 61 San Marcos Capítulo 08 Circunferencia circunscrita al triángulo Es aquella que pasa por los vértices del triángulo. Q B R A C p F O: circuncentro O Circunferencia inscrita a un triángulo Es aquella circunferencia que se encuentra en el interior del triángulo y es tangente a cada uno de sus lados. R: circunradio Circunferencia exinscrita al triángulo Es aquella circunferencia que se encuentra en el exterior del triángulo y es tangente a cada uno de sus lados. I: incentro r: inradio I E: excentro re: exradio r A B E re C Problemas resueltos 01. En un triángulo rectángulo, el semiperímetro mide "m" y la hipotenusa mide "n". Calcular la longitud del inradio. Resolución B • c • a O r A n C Dato: a + c + n = m & a + c = 2m - n 2 Poncelet: a + c = n + 2r S 2m - n = n + 2r 2m - 2n = 2r r = m- n 62 62 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 02. En un triángulo rectángulo ABC, "I" es el incentro tal que m∠AID=90º (D ∈ AC). Se traza DE ⊥ BC. Si: AB+BC=34 y AC=26. Hallar: BE. Resolución B x • F I 4 A Poncelet: AB + BC = AC + 2r E 4 a a P 34 = 26 + 2r → r = 4 • 4 q Propiedad: IP = IQ = 4 ... (de la bisectriz) ⇒ x = FQ = 4 + 4 q G D x=8 C 26 03. Si: AD=6 y CD=7. Hallar: m∠CAB. D C 2k A k+1 B Resolución D • Pitot: • 2k + 6 = k + 1 + 7 k=2 D ABC: 53º y 37º 7 C 6 5 2k A x k+1 B 01. Calcular: CO, si: AB=8 A 74º M 4 x 3 x = 53º Práctica O 02. En la figura: CD = AB + BC; AD=18 Calcular: r1 + r2 C a) 9 C D b) 12 c) 15 B B r1 d) 10 a) 3 2 b) 3 3 d) 6 3 e) 2 6 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria r2 c) 6 2 e) 6 63 63 A D San Marcos Capítulo 08 03. Del gráfico, calcular: R 08. El perímetro de un triángulo rectángulo es 24 m y su hipotenusa mide 10 m. Hallar la longitud de su inradio. a) 3 6 b) 4 c) 5 R d) 6 37º e) 8 5 15 04. En la figura: AB + CD = 20 m y BC + AD = 52 m. Calcular: PQ B P C a) 1 m b) 4 m d) 2 m e) 3 m c) 5 m 09. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 17 m. Hallar la longitud del otro cateto si la suma de las longitudes de los radios de las circunferencias inscritas y circunscritas es 13 m. a) 5 m b) 4 m c) 9 m d) 8 m e) 7 m 10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y 12, hallar la medida de su inradio. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Del gráfico, R = 5; r = 2. Calcular: BE E B C A a) 16 m d) 10 m D Q b) 14 m e) 8 m r c) 12 m R 05. ¿Cuánto mide el inradio del triángulo ABC si: BC=8 + a y CD=a B A a) 8 d) 7 a A 2a D a) 2 b) 3 d) 5 e) 1 C c) 4 b) 4 e) 6 12. Hallar la longitud de la flecha correspondiente a una cuerda que mide 8 3 cm en una circunferencia de radio 8 cm a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 4 3 cm Si O: centro T Q A B C A a) 24 b) 30 d) 20 e) 36 P c) 18 07. En la figura, hallar: R + r, si: AB=40 y BC=30 Si O: centro B a) 45 b) 35 r C R 4a a) 9º d) 12º N d) 30 e) 2 3 cm 13. Calcular a, si T es punto de tangencia. 06. Si: AB=18; BC=10 y AC=12, calcular: AP, además: P y Q son puntos de tangencia. c) 40 D c) 5 O A O 2a B b) 20º e) 18º P c) 30º 14. En una circunferencia de centro O se trazan: un diámetro AB, luego las tangentes a la circunferencia en A y B y una tangente cualquiera que corta en C y D a las dos primeras. Calcular la medida del ángulo t . COD a) 80º d) 120º b) 90º e) 115º c) 105º 15. La circunferencia ex - inscrita relativa a la hipotenusa en un triángulo rectángulo tiene un radio de 9 cm. Calcular la cantidad de valores enteros que puede tomar la hipotenusa. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 e) 25 64 64 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB, si: AB=16; r=10 B 06. En la figura mostrada, AB=8, AQ=1. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB B A O r a) 25 d) 2,5 b) 4 e) 3,5 P c) 3 a) 1 d) 2,5 02. En la figura, calcular: MA B b) 2 e) 3 N C R M 3 A A R r e) R + 2r b) 26 e) 50 P r B A a) 3 d) 6 C T A b) 36 e) 20 a) 30 d) 21 c) 46 08. Calcular: r. Si: AB=15 y BC=20 B 03. Calcular: PC, si: AB=9, BC=15 y AC=18 R C 20 a) 20 d) 60 c) R - r b) d) R + r c) 1,5 07. Calcule el perímetro del siguiente triángulo rectángulo ABC B r a) R . r A Q R c) 18 04. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo ABC de manera que es tangente en "T" al lado BC Calcular BT, si: AB=5, BC=6 y AC=7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. En el gráfico, calcular x, si "O" es centro de la circunferencia ex inscrita. C H b) 4 e) 8 c) 5 09. En una circunferencia de radio 13 m, se tiene una cuerda AB que mide 24 m. Calcular la longitud de la sagita de AB. a) 5 m b) 8 m c) 7 m d) 6 m e) 4 m 10. Si: BC+AD=30 y AB+CD=18, calcular: EF B E C B x A a) 45º d) 60º 70º O A a) 4 d) 6 C b) 50º e) 70º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 55º 65 65 F b) 5 e) 4,5 D c) 7 San Marcos Capítulo 08 11. En una circunferencia de centro "O", se ubica la cuerda BC de 80 m de longitud. Si el radio de la circunferencia mide 41 m. Hallar la distancia de "O" hacia la cuerda. a) 7 m b) 9 m c) 10 m d) 11 m e) 12 m 16. En la figura, calcular AM, si M, N y Q son puntos de tangencia, AB=5; BC=7 y AC=10 B N M 12. Desde un punto que dista 13 m del centro de una circunferencia se puede trazar una tangente que mide 12 m. Hallar la longitud del radio de la circunferencia. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 13. Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia. Si dos lados opuestos miden 6 dm y 8 dm, hallar el perímetro del cuadrilátero. a) 14 dm b) 28 dm c) 30 dm d) 24 dm e) 15 dm 14. Los lados de un triángulo ABC miden AB=57, BC=43 y AC=60. El lado AC es tangente en el punto E a la circunferencia inscrita en el triángulo. Calcular : AE a) 47 b) 54 c) 40 d) 30 e) 37 A a) 5 d) 6 Q C b) 7 e) 3 c) 4 17. Se tiene el cuadrante AOB y se traza el radio OC, sean: AH⊥OC y CF⊥OB. Se sabe que: HC=a y FC=b, hallar cuanto mide el radio del cuadrante. 2a + b 2 d) a + b b) 2a + b a) c) 2a - b e) 2b - a 18. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB, si: AB=30 y R=17 B 15. Calcular la longitud del radio de la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 9 y 12 cm a) 16 cm b) 18 cm c) 20 cm d) 21 cm e) 24 cm O A R a) 8 d) 4 66 66 b) 9 e) 5 c) 6 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Ángulos en la circunferencia Cuadriláteros inscriptibles 9 Ángulo central Ángulo inscrito B A ! a = mAB O a A ! q = mBC 2 q B C Ángulo seminscrito E Ángulo exinscrito B b F ! b = mEFH 2 H f A C ! f = mABC 2 Ángulo interior C A B ! ! q = mAB + mCD 2 q D Ángulo exterior C A x x A D C a q B ! ! x = mAB - mCD 2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria B ! ! x = mAB - mAC 2 67 67 a + q = 180º San Marcos Capítulo 09 Polígono inscrito Polígono circunscrito R r Circunferencia: circunscrita Circunferencia: inscrita Radio: circunradio Radio: inradio Cuadrilátero inscrito Llamado también cuadrilátero cíclico, es aquel que tiene sus cuatro vértices sobre una misma circunferencia. Propiedades Primera propiedad B q C a + q = 180º A a D Segunda propiedad B C a=q a q A D Tercera propiedad q a=q a 68 68 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Cuadriláteros inscriptibles Un cuadrilátero será inscriptible cuando cumple cualquiera de los tres casos siguientes: Caso 1 Dos ángulos opuestos suman 180º. b b Si: a + b = 180º & a a Caso 2 Un ángulo interior es igual al opuesto exterior. q q Si: a=q & a a Caso 3 Un lado y una diagonal forman un ángulo igual al que forma el lado opuesto con la otra diagonal. q q a Si: a=q a & Problemas resueltos 01. Si: A, C, E y G son puntos de tangencia. Calcular: x A 6x B 8x G E C F 2x D Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 69 69 San Marcos Capítulo 09 Resolución A 6x a a B 8x G b b C a b E F • AB = BC • EF = FG • a + 6x = 180º b + 8x = 180º Luego: • α + β + 14x = 360c S 180º - 2x + 14x = 360º 12x = 180º x = 15º 2x D 02. En la semicircunferencia de centro "O", calcular: x D x C A O 50º 20º B Resolución C x 25º 20º R R O A • D • 50º 50º 20º R • • B Unimos "O" con "C": OC = OB = OD = R ! mDB = 50c m+C = 50c = 25c 2 D OCD: isósceles x = 25º + 20º x = 45º 03. Si: E, T y F son puntos de tangencia, calcular: x B 50º E F M x D A P Resolución D A Q C • ! mEF = 130c ... propiedad 50º • m∠EDF=65º • Si: EP//FQ ⇒ m∠DFN = 65º D MFN: x + 65º = 90º x = 25º F M • x 65º P T B 130º E N N T Q C 70 70 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. En la figura mostrada, calcular: x. Si O: centro, AH = HC a) 3º 06. En la figura, hallar m∠ABC a) 100º B b) 110º b) 40º A e) 60º 80º º x H C e) 120º a P b) 130º Q d) 110º d) 50º A e) 100º 70º A C 65º 08. En la figura, calcular: x 03. Calcular: x, si P y Q son puntos de tangencia. a a a) 20º d) 22,5º x a) 20º d) 35º P b) 40º e) 50º c) 25º P Q c) 75º A B O 05. Si ABCD es un cuadrado, calcular: x a) 30º b) 45º B x C d) 53º A Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria x x b) 30º e) 18º 4x c) 37º 12. Sea A un punto exterior a una circunferencia desde el cual se trazan la secante diametral ABC y la secante ! ! AEF de modo que: mFC = 100c y mEF = 60c . Calcular la m∠FAC a) 25º b) 30º c) 40º d) 35º e) 45º c) 37º e) 60º P 11. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB, luego se ubica el punto C en el arco mayor AB. Hallar la m∠HBC, si BH ⊥ AC y m∠APB=70º a) 25º b) 30º c) 40º d) 35º e) 45º d) 90º e) 120º 45º 10. Se traza una recta L tangente a una semicircunferencia de diámetro AB, en el punto "T", se traza luego la % cuerda AP paralela a L . Si la mPAB =52º, calcular la medida del menor ángulo que forman la recta L y la cuerda TB. a) 52º b) 62º c) 72º d) 71º e) 70º ! 04. Calcular mQS , si: P y O son centros ! ! Además: mAP = mPB S a) 60º b) 70º R 09. En una circunferencia se inscribe un cuadrilátero ABCD donde las diagonales AC y BD se intersectan ! % en el punto F. Si: mCFD = 60c ; mAB = (x + 20)c y ! mCD = (2x + 40)c . Calcular: 3x a) 55º b) 20º c) 40º d) 60º e) 30º Q 20º Q c) 120º c) 35º e) 80º A ! 07. En la figura, P es punto de tangencia. Calcular: mAMB M a) 140º B B b) 70º C d) 90º ! ! 02. Calcular: a, si: mPB = mBQ a) 60º B c) 80º 20 O c) 45º d) 50º P D 71 71 San Marcos Capítulo 09 13. En una circunferencia se tienen dos cuerdas congruentes y paralelas, tales como AB y CD, de modo que B y D estén a un mismo lado. En el arco AB se ubica un punto E. ¿Cuánto mide el ángulo CEB? a) 90º b) 105º c) 75º d) 120º e) 80º 14. Calcular: x, en la figura mostrada. a) 20º 100º b) 30º c) 50º x d) 60º 15. Calcular: x a) 40º b) 80º B x c) 50º H d) 60º 80º 40º A e) 45º 17. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC, es tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos T, H e I respectivamente. Si la m∠BAC=70º, calcular la m∠THI. a) 70º b) 35º c) 55º d) 65º e) 60º 18. En una circunferencia de centro O se traza una cuerda AB. Si el menor arco AB es la quinta parte de la medida del mayor arco AB, calcular la medida del menor ángulo AOB. a) 58º b) 52º c) 48º d) 72º e) 60º 120º e) 40º 16. En una semicircunferencia de diámetro AB, en la prolongación de AB se toma un punto P y se traza la tangente PT. Si la m∠PTB=32º, calcular la m∠ABT. a) 64º b) 58º c) 68º d) 48º e) 52º C Tarea domiciliaria ! 01. Calcular: a, si mAD = 100c . B ! 03. Si: mABC = 240c , calcular: a B A a C a C D A D a) 30º d) 50º b) 40º e) 55º a) 20º d) 75º c) 45º b) 45º e) 60º c) 30º 04. En el gráfico P, M y T son puntos de tangencia, ! ! ! mNP = mMN y mAT = 40c . Calcule la m∠TPM. 02. Según la figura, calcular: x x T A P 45º M N 80º a) 40º d) 30º a) 45º d) 50º b) 55º e) 60º b) 35º e) 53º c) 45º c) 65º 72 72 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría ! 05. Hallar: mEB 09. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AQ y CP formando un ángulo cuya medida es 120º. Hallar: m∠PQA A E a) 30º d) 60º 28º O b) 56º e) 51º a) 30º d) 60º c) 34º 06. Calcular: x, si: T es punto de tangencia y B es punto medio del arco AC. T P 20º x A b) 70º e) 100º 07. "A" es punto de tangencia, calcular "x", además: a+b=82º A 11. En el cuadrilátero ABCD: m∠DAB=m∠BCD=90º y BC=CD. Calcular AC, sabiendo que la distancia de C a AD es 4 u a) 4u b) 3u d) 2 2 u e) 4 2 u a) 12º d) 20º a) 108º d) 96º b b) 82º e) 102º c) 2u b) 15º e) 10º c) 18º 13. En un triángulo ABC, m∠A=30º y m∠C=20º. Se ubica F en AC tal que AF=BC. Halle: m∠FBC a) 10º d) 25º x c) 50º Calcular: m∠FGC, si: m∠FDG=4m∠CGF, además: m∠RDG=90º c) 80º a b) 45º e) 80º 12. En un trapezoide RDGC, RG es bisectriz del ángulo DRC y se traza CF perpendicular a RG. C B a) 60º d) 90º c) 45º 10. El ángulo C de un triángulo ABC mide 50º. Si: E y H son los pies de las alturas AH y BE y M es punto medio de AB. Calcular la medida del ángulo EMH B a) 28º d) 17º b) 40º e) 15º b) 15º e) 30º c) 20º 14. Sea P un punto exterior a una circunferencia, desde el ! cual se trazan las secantes PAB y PCD. Si: mBD = 80c y m∠P=25º, calcular el menor ángulo que forman las cuerdas AD y BC al intersectarse. c) 98º a) 38º d) 45º 08. Calcule: AD, si: BD=4 u y AC=12 u. b) 35º e) 55º c) 50º B D 15. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la tangente PT y la secante PAB. Si el arco ATB mide 200º, calcular la m∠TBP, si: m∠TPB=40º E a) 32º d) 30º q A a) 6 u d) 10 u q b) 50º e) 40º c) 60º C b) 7 u e) 5 u Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 8 u 73 73 San Marcos Capítulo 10 10 Proporcionalidad y semejanza Teorema de Thales Teorema de Thales entre paralelas Tres o más rectas paralelas, determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales. P A B L1 Q C R L2 Si: L1// L2 // L3 AB = PQ BC QR & L3 Teorema de Thales en el triángulo B P Q Si: PQ // AC A BP = BQ PA QC & C Teorema de la bisectriz La relación de lados que forman el vértice desde donde parte una bisectriz interior o exterior es igual a la relación de segmentos que se forman en el lado opuesto o en su prolongación. Bisectriz interior Bisectriz exterior q q aa a b a b n m m a =m b n n a =m b n 74 74 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos respectivamente proporcionales. Lados homólogos: se denominan así a los lados que se oponen a ángulos congruentes, en triángulos semejantes. C T b A a ~ a H b c n M B a b t ∅ ABC + ∅MNT a = b = c = H =K m n t h m h N K " Razón de semejanza Criterios de semejanza Primer caso Tercer caso Si tienen dos ángulos de igual medida. Si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. ~ b a a ~ b b a c a.k c.k b.k Segundo caso Si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados de igual medida. a x a.k ~ a b a b.k h x b x a x x b x = bh b+h Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria x = ab a+b 75 75 San Marcos Capítulo 10 Cuadrado de lado "L" inscrito en un rombo de diagonales "d" y "D". L= dD d+ D a a x a x a b b x2 = ab x2 = ab Problemas resueltos 01. En la figura, calcular: x, si: MN//AC B a 8 M 18 10 N x a A C D Resolución • Thales: • Thales: a =8 18 a a2 = 18 x 8 = 144 a = 12 B a 8 M 18 A 10 N 8 = 10 a x 10 (12) 10 a x= = 8 8 x = 15 x a C D 02. En la figura, calcular: x B 2a 6 A a 8 x H 76 76 C Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Resolución • • • B aa 10 6 F a 8 H A x Trazar bisectriz BF del ∠ABH Teorema bisectriz: D FBH 10 (12) x = 10a = 8 8 10 = 6 & a = 3 8-a a a =6 a 6 x C x = 12 Práctica a) 9 d) 21 01. Calcular: x, si: L1// L2 // L3 L1 3b a b) 15 e) 19 05. En la figura mostrada, L1// L2 // L3 // L 4 , calcular: y-x 2 L2 b x 6a 6x - 4 L3 a) 3 cm b) 4 cm d) 3 2 cm e) 2 3 cm c) 2 2 cm a) 2 3y+9 a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 q D E c) 4 d) 6 e) 5 E A R a) 6 P 6 c) 8 a) 6 d) 9 Q 9 d) 9 07. Calcular AB de la figura, si: AP=9 y AH=OP=4 B C P e) 10 O A a) 5,6 d) 7,8 E Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria C c) 8 b) 7 e) 10 04. En el siguiente gráfico, BE es bisectriz del ángulo ABC; AB=10, BC=18, EC – AE=6. Hallar: AC B A c) 5 06. Si: m∠BAC=m∠BDE y AC=24, AB=16 y BD=6. Calcular: ED B D b) 3 x b) 7 y L4 03. Si: BP//RQ y AB//PR. Calcular: x B A 3 L3 C q a L1 L2 F B x+1 3x 02. En el gráfico, ABCD es un trapecio (BC//AD). Si: AE=16 u, AC=8 u y CF=4 u. Calcule: BC A c) 12 a a H b) 6,8 e) 8,2 C c) 7,2 C 77 77 San Marcos Capítulo 10 08. En el gráfico, ABCD y DEFG son cuadrados Si: EL=2 u y LD=4 u. Calcule: CE B C 13. En la figura: AB=8 m; AI=5 m y AC=10 m. Calcular: IE B aa E L A b) 5 u e) 8,5 u 09. ABCD es un cuadrado de lado igual a 6. Si: CM=18, calcular: DN M A B C b) 5 a) 4 D c) 3 N d) 7 a) 45º d) 18º30' C R b) 12º30' e) 15º a) 13 m d) 12 m b b C b) 15 m e) 10 m c) 11 m 14. En la figura PM=3 m y PN=5 m Calcular: AM B N P e) 8 a a 3a Q I q aa A 10. En la figura calcular a, si las medidas de AQ, QR y RC están en proporción de 2, 1 y 3 B A q A G c) 5,5 u D a) 4 u d) 6 u E F a) 8 m d) 14 m M C b) 10 m e) 16 m c) 12 m 15. En la figura se muestra un paralelogramo ABCD donde: AD=18 m, CD = 24 m y PQ = 12 m Calcular: PR A B Q P c) 22º30' D a) 3 m d) 4 m 11. En el gráfico, QC=4(BQ) y AH=2 u. Calcule: BH B R b) 2,5 m e) 9 m C c) 3,5 m Q A a) 4u H b) 3u c) 2u C d) 5u e) 6u 12. En la figura: JM=8 cm y AJ=12 cm. Calcule la medida del radio "R" J M R A a) 7 cm d) 10 cm O b) 8 cm e) 12 cm L c) 9 cm 78 78 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. En un triángulo ABC, AB=5, BC=7 y AC=6. Por el incentro se traza una paralela a AC que corta a AB en P y a BC en Q. Calcular: QP a) 4 b) 3,2 c) 3,6 d) 4,2 e) 4,8 02. En un triángulo ABC, se inscribe un romboide PQBR (P en AC, Q en AB y R en BC). La prolongación de QR corta a la prolongación de AC en E. Calcular: EC, si: AP=7 y CP=5 a) 11 b) 12 c) 12,5 d) 6 e) 7 03. Los lados AB y AC de un triángulo isósceles miden 6m cada uno y la base BC mide 3m. Se traza MN paralela a BC y MP paralela a AC de manera que MN=NP. Calcular la longitud de BM a) 1,2 m b) 2 m c) 3 m d) 2m e) 3m 04. En un triángulo ABC se tiene que AB=12; BC=9 y AC=14. Se ubica un punto D en AC, de modo que AD y DC son proporcionales a AB y BC respectivamente. Hallar: DC a) 5 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9 05. Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia, las diagonales se intersectan en F, tal que: FB=2m y FD=7m. Calcular AB, sabiendo que AB=BC a) 3 m b) 3,5 m c) 4,5 m d) 2 2 m e) 3 2 m 06. En un trapecio, las bases miden 5 y 14. La distancia del punto de intersección de los lados no paralelos a la base mayor mide 28 u. Calcular la longitud de la altura del trapecio. a) 10 u b) 14 u c) 16 u d) 18 u e) 20 u 07. Se tienen dos triángulos cuyos lados son proporcionales entre sí. El perímetro del primer triángulo es 84 cm y los lados del segundo miden 3; 4 y 5 cm respectivamente. Hallar la longitud del lado intermedio del primer triángulo. a) 26 b) 28 c) 32 d) 34 e) 36 09. En un triángulo ABC, m∠B=120º; AB=a y BC=b; se traza la bisectriz interior BD, calcular la longitud de dicha bisectriz. a) d) a+b 2 ab a-b b) ab 2 e) ab a2 + b2 c) ab a+b 10. En un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo A corta al lado BC en F y a la circunferencia en M. Calcular: MC, si: AF=8 y FM=1. a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 11. En un triángulo ABC, AB=30, BC=25 y AC=25. Se trazan las alturas AN y CM. Calcular el perímetro del triángulo MBN a) 80 d) 48 b) 60 e) 55 c) 40 12. La recta tangente en B a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC es paralela a la bisectriz interior CD (D está en AB). Calcular AC si AD=5 dm y DB=4 dm a) 9 dm d) 10 dm b) 4,5 dm e) 3 dm c) 7,5 dm 13. En un triángulo ABC, se traza la ceviana CQ, luego QP//BC (P en AC), luego PR//CQ (R en AB). Calcular: BQ, si: AR=2 y RB=6 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 14. En un triángulo ABC, AB=6 u, BC = 8u y AC = 7 u. Calcular la razón que divide el incentro a la bisectriz interior BP. a) 1 : 1 d) 4 : 3 b) 2 : 1 e) 5 : 2 c) 3 : 2 15. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AP, que biseca a la bisectriz interior BQ. Calcular: AB, si: BP=3 u y PC = 5u a) 6 u d) 11 u b) 7 u e) 12 u c) 8 u 08. Los lados AB, BC y CA de un triángulo ABC miden respectivamente 16 m, 12 m y 8 m. La bisectriz del ángulo exterior en B corta a la prolongación de AC en P. Calcular: PA a) 20 m b) 12 m c) 18 m d) 24 m e) 32 m Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 79 79 San Marcos Capítulo 11 11 Relaciones métricas En la circunferencia Teorema de las cuerdas n a m a.b=m.n b Teorema de las secantes x y x.y=a.b b a Teorema de la tangente y secante x x2 = a . b b a Teorema de Ptolomeo (cuadrilátero inscrito o inscriptible) B b a A C AC . BD = a . c + b . d c d D 80 80 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría En el triángulo rectángulo Proyecciones P B A N Línea proyectante P M A' Q N' B' Q' P' L Q Q : Proyección del punto "P" sobre la recta L. A'B' : Proyección del segmento AB sobre la recta L. MN' : Proyección del segmento MN sobre la recta L. P'Q' : Proyección del segmento PQ sobre la recta L. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo a b h m: Proyección de "a" sobre "c" n : Proyección de "b" sobre "c" m n c h2 = m . n a2 = c . m a.b=c.h a2 + b2 = c2 b2 = c . n Propiedades 01. 02. B B x x C O A A n m n C b x2=m.n Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria O x2=bn 81 81 San Marcos Capítulo 11 03. 04. P P x Q x T R T r r R 1 = 1 + 1 x r R x = 2 Rr En los triángulos oblicuángulos Naturaleza de un triángulo Aprenderemos a reconocer si un triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo conociendo las medidas de sus lados. 01. 02. 03. c a c a b Si: & c b b Si: a2 < b2 + c2 El D es acutángulo & a2 > b2 + c2 El D es obtusángulo a Si: & a2 = b2 + c2 El D es rectángulo Teorema en los triángulos oblicuángulos a. Primer teorema de Euclides b En un D acutángulo a a2 = b2 + c2 - 2cm a m c 82 82 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría b. Segundo teorema de Euclides En un D obtusángulo a b a2 = b2 + c2 + 2cm a c m c. Teorema de Heron b h = 2 p (p - a) (p - b) (p - c) c a h Donde: p = a+b+c 2 c d. Teorema de la Mediana b a 2 a 2 + b 2 = 2x 2 + c 2 x c e. Teorema de Stewart b a x2c = a2m + b2n - cmn x m Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c n 83 83 San Marcos Capítulo 11 f. Teorema de la bisectriz — Bisectriz interior a a a b x m x2 = ab - mn n — Bisectriz exterior q q a x b x2 = mn - ab n m Propiedades 01. C mc m2a + m2b = 5m2c ma mb A B 02. a b2 = a2 +c2 - 2cx b c x 84 84 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita a un trapecio rectángulo, si sus bases miden 30 y 70? Resolución 30 R 30-R C 30-R a a H 3 4 R 4 R A 70-R 4 2 O D COD: (OH)2 = (CH) (HD) R2 = (30 - R) (70 - R) R = 21 R 70-R b b 1 R • 4 R 3 12 123 B D 70 02. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) se traza la bisectriz AP que interseca a la altura BH en el punto "Q" tal que: AQ=7 y PQ=2. Calcular: BQ Resolución B x x A a a 7 q E 1 qQ q P 1 • D BQP: BQ = BP = x • D ABP: (BP)2 = (PE) (PA) x2 = (1) (9) x=3 C H 03. En un triángulo ABC (B = 90º), se trazan la altura BH y las perpendiculares HM y HN a los catetos AB y BC respectivamente, tal que: AM=1 y CN=8. Calcular: AC. Resolución B N c a D AHB: m2 = (1) (c) • D BHC: n2 = (8) (a) • D ABC: c2 = x . m . 8 M 1 A • • m H x n C 2 (m2) = x . m " m3 = x " m = 3 x 2 D ABC: a = x . n . 2 • 2 c n m = x . n " n3 = 64x " n = 3 64x 8 Luego: x=m+n x= 3 x +43 x &x=5 5 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 85 85 San Marcos Capítulo 11 Práctica ! 01. Si: AB=4, AD=7, m+EAD = 1 (mDP) . Hallar: ED 2 A 06. Calcular: PQ, si: AB=8 u, BP=4 u y PC=9 u P B C Q B P E A a) 0,5 u d) 2 u D a) 5 d) b) 6 e) 31 c) 7 33 02. En el gráfico, AB=2 u, OA=3 u y BC//AD. Calcule: DC. Si B: punto de tangencia. a) 5 u b) 10 u 3 5 c) u 3 d) 3 u e) 6 u D O b) 1 u e) 2,5 u 07. Si ABCD es un cuadrado, calcular su lado. Además se sabe que: FA=4 y BP=3 B C a) 6 P b) 7 B c) 8 A d) 9 e) 10 O D C 03. Hallar: BC, si: AB=3 y CD=4 A F 08. El gráfico mostrado ABCD es un rectángulo, calcular: AB. Si: AD=4; DT=16; r=6,5 ("T" es punto de tangencia) F b) 2 O B c) 2,5 C d) 3 e) 4 D D C P r B A E 04. Del gráfico "T" es punto de tangencia; PA=4; AB=2; PC=3. Calcular: CD T C a) 10 d) 12 b) 8 e) 15 c) 5 09. Calcular: AB D B a) 24 b) 3 b) 16 A c) 4 d) 5 c) 18 B e) 15 05. Hallar: AP, si: BP=3 y PC=7, además el triángulo ABC es equilátero. B a) 8 P b) 10 95 d) 20 T e) 6 A a) 18 C H B P b) 12 C c) 10 d) 15 d) 2 3 A 12 10. En la figura ABCD es un rectángulo, AB=HP=6. Calcular: AC c) 12 e) 4 3 D A a) 1,5 a) 2 c) 1,5 u e) 20 C 86 86 H A D Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 11. Calcular: x, si: P y Q puntos de tangencia R=12 y r=3; QS=24 S a) 53º x 14. En la figura, calcular: x 6 5 b) 45º x P c) 37º 1 b) 1 2 e) 2,5 d) 1 3 15. En la figura, calcular: a d) 60º r e) 30º a) 30 12. En la figura, calcular: h b) 37 a) 2 6 b) c) 2 a) Q R 3 c) 45 6 7 5 c) 2 3 5 17 d) 53 h d) 4 a e) 60 e) 3 2 6 13. En la figura, calcular: x a) 2 b) 3 5 c) 4 d) 6 e) 5 7 x 6 Tarea domiciliaria 01. En el gráfico, si: FC=3u, AF=6 u y DF//BC. Calcule: EF a) 1 u B D b) 2 u b) 2,5 u q d) 4,5 u d) 2,5 u e) 3,5 u E A F e) 6 u C a) 1 4 b) 2 x 12 b) 3 F q G D q C P c) 4 9 d) 4 d) 2 e) 6 e) 5 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria A 04. En la figura: MN//BC; MB//AC; PN=2(MP); AB=9 y AN=6. Hallar: NC M B a) 1 02. Hallar: x c) 3 E c) 4 u q c) 3 u 03. En el gráfico, AD=4(DC). Si: AF=16 u. Calcule: FG B a) 2 u 87 87 A N C San Marcos Capítulo 11 11. En la figura, calcular: x 05. Calcular: h a) 13 a) 1 b) 12 b) 1/2 c) 10 4 c) 2 h 6 d) 1/3 d) 2 3 x e) 3 8 18 e) 3 2 5 12. Si ABCD es un cuadrado, FA=2 y PA=4. Calcular: BP B a) 2 06. Calcular: a a) 6 b) 7 c) 8 P b) 3 a C c) 4 d) 9 d) 5 12 4 e) 10 07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 9 y 16. Calcular el perímetro del triángulo ABC. a) 40 c) 40 3 b) 20 3 d) 60 e) 50 e) 6 F D A 13. Calcular: x a) 16 b) 15 x-2 c) 13 08. Calcular: CD, si: AB=6; BT=12 y TD=9. (T punto de tangencia) x-9 d) 12 a) 2 x e) 17 b) 3 14. En el gráfico, AE=2 u, FE=4 u y EFGH es un cuadrado. Calcule: LG. c) 4 a) (2 6 - 4) u d) 5 A e) 6 B 09. Calcular: h T C b) (2 3 - 4) u D c) ( 6 - 4) u L G F A E O H d) ( 6 - 4) u B e) 3 6 u 15 15. En el gráfico mostrado, calcular: AP, si: DR=40 y RT=10. Además: DQ=5AQ T 20 h C A a) 6 d) 10 b) 9 e) 12 R c) 8 P 10. Calcular: PQ, si: R=16 y r=9. Si P y Q son puntos de tangencia. a) 12 P b) 18 c) 36 d) 24 e) 30 D a) 18 d) 15 Q R r O b) 20 e) 12 A Q c) 16 16. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200m2. Calcular la longitud de la hipotenusa. a) 5m b) 10m c) 10 2 m d) 10 3 m 88 88 e) 5 2 m Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 12 Polígonos regulares Es el polígono que tiene todos sus lados congruentes y todos sus ángulos congruentes entre sí. • • Todo polígono regular, se puede circunscribir una circunferencia. Todo polígono regular, se puede inscribir una circunferencia. B B A C A C O O E D E D Ángulo central Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia circunscrita a un polígono regular, sus lados lo determinan los radios de la circunferencia que pasan por dos vértices consecutivos del polígono. A E a = 360c n B O n = Nº de lados C D Apotema del polígono regular Es el segmento perpendicular a un lado de un polígono regular, trazado desde el centro de la circunferencia circunscrita del polígono. Ejemplo: Apotema O Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 89 89 San Marcos Capítulo 12 Polígonos regulares importantes Triángulo equilátero B 120º L3 L3 O R C A Ángulo central a3 = 120c Lado (L3) L3 = R 3 Apotema (ap3) ap3 = R 2 Cuadrado 90º Ángulo central L4 Lado (L4) O R ap4 a4 = 90c L4 = R 2 Apotema (ap4) ap 4 = R 2 2 Ángulo central a6 = 60c Hexágono regular 60º L6 O Lado (L6) R 60º ap6 R Apotema (ap6) L6 = R ap6 = R 3 2 Polígono regular an La apn Triángulo 120º L3 = R 3 ap3 = R 2 Cuadrado 90º L4 = R 2 ap 4 = R 2 2 Hexágono 60º L6 = R ap6 = R 3 2 Octógono 45º L8 = R 2 - 2 ap8 = R 2 2+ 2 Dodecágono 30º L12 = R 2 - 3 ap12 = R 2 2+ 3 Decágono 36º L10 = R ^ 5 - 1h 2 ap10 = R 10 + 20 4 Pentágono 72º L5 = R 10 - 20 2 ap5 = R ( 5 + 1) 4 R: circunradio 90 90 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ tal que BC mide ( 5 + 1) ; los ángulos BAC; ABQ y CBQ miden 49º, 23º y 72º respectivamente. Calcular: BQ. Resolución B • 72º 3º BC = R = 5 +1 2 x A 49º • 72º Q D BQC: BQ = L10 = x C 5 +1 5 +1 L10 = R ( 5 - 1) ... (fórmula) 2 ( 5 + 1) x= ( 5 - 1) 2 x=2 ! 02. En el siguiente gráfico: "O" es centro, OB = 2, AC=CB y mAF = 60c . Hallar: FC C F O A B Resolución 30º C x F • 2 60º L12 = R 2 - 3 2 30º A x = 2 2- 3 O 2 D OFC: B 2 03. ABCDEFGH es un octógono regular, M ∈ AE y DM = AG. Calcular: m∠DME Resolución C D B • ! ! mAHG = mDEF = 90c a M A ⇒ AG = DF x x E a a • ME es mediatriz de DF • D MDF es equilátero 2x = 60º F H x = 30º G Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 91 91 San Marcos Capítulo 12 Práctica 01. Calcular: x, si L3 es el lado del triángulo equilátero y L6 es el lado del hexágono regular. a) 45º b) 53º c) 60º L3 L6 x d) 75º 02. Calcular: x, si L4 es el lado del cuadrado y L3 es el lado del triángulo equilátero. a) 90º L3 c) 120º L4 3 b) d) 3+ 6 e) 2 + 3 ! 03. Si: mAB = 270c , calcular: AB, R = 2 B a) 2 e) 8 3 e) 6 2 04. En un hexágono regular ABCDEF, el segmento que une los puntos medios de AB y BC mide 1 m. Hallar el perímetro del hexágono. b) 6 c) 2 3 a) 6 3 d) 4 3 e) 4 2 cm d) 2 2 cm R d) 4 2 e) 6 3 cm 11. Calcular el semiperímetro de un cuadrado si su apotema mide 2 cm a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm O A c) 6 3 09. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 2 m. Calcular la suma de las medidas de las alturas del triángulo. c) 9 a) 6 b) 6 3 d) 2 3 cm b) 2 2 3 2 6+ 2 10. Si el apotema de un hexágono regular mide 3 cm , calcular su perímetro a) 4 cm b) 6 cm c) 12 cm x e) 150º c) 3+ 2 b) 4 3 e) 4 a) 2 3 d) 6 d) 9 3 d) 135º c) a) 08. En un hexágono regular de lado 12 se trazan 6 diagonales congruentes, determinándose otro hexágono regular cuyo lado mide: e) 90º b) 105º 07. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia se tiene que: AB=L3 y BC=L4. Calcular la medida del lado AC; si la medida del radio de la circunferencia es 2 12. En la figura, calcular "MN", si: ABC es un triángulo ! equilátero, R=10 (AM=MC) y mBN = 60c B N R O e) 3 3 A C M 05. Calcular: x, si O es centro. a) 10º B b) 12º L6 c) 15º d) 18º L4 A C x D O a) 5 7 b) 6 7 c) 7 7 d) 9 7 e) 10 7 13. En la figura, AB es el lado de un triángulo equilátero inscrito, si: q = 30º, entonces CD es el lado del: A e) 20º C 06. Calcular: x a) 15º b) 30º c) 45º d) 24º q R 3 R 2 D a) cuadrado inscrito. c) hexágono regular. e) decágono regular. x e) 18º 92 92 B b) octógono regular. d) dodecágono regular. Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 14. Dado un cuadrado de lado L, a partir de cada vértice y sobre cada lado se toma un segmento que mide x de tal manera que al retirarlos y unir los extremos libres se forma un octógono regular. Calcular: x a) L (2 - 2 ) 2 b) L (2 + 2) 2 d) L ( 2 - 1) 2 e) L ( 2 - 2) 2 15. Calcular: EF, si: AC = 8 2 u E F c) L ( 2 - 1) A a) 8 u d) 4 u 27º 18º b) 4 2 u e) 16 u C c) 8 2u Tarea domiciliaria 05. Hallar el apotema de un hexágono regular de perímetro 24 cm 01. Calcular: x, si: AB = R 2 C a) R x 3u d) 3 2 u O A B b) 53º e) 30º 02. Calcular: q, si: AB = R 3 D O B a) 15º d) 30º b) 12º e) 20º 07. Hallar: x R C b) 72º e) 45º B L3 c) 30º 03. Calcular: x c) 10º C x P O L4 A L8 L5 a) 110º d) 105º a) 60º d) 58,5º D b) 115º e) 90º c) 95º 08. Si: AB=L5 y CD=L4. Calcular: x C B x b) 73º e) 67,5º x c) 75º D O 04. Calcular: AB. (A y B: puntos de tangencia). A A a) 3 3 b) 6 c) 6 3 C x q a) 36º d) 60º L6 L3 c) 45º O A c) 2 3 u e) 2 2 u 06. Si: BC//AD. Calcular: x B A a) 37º d) 60º b) 3 3 u 27 O 60º a) 100º d) 89º P b) 99º e) 75º c) 110º d) 9 e) 9 3 B Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 93 93 San Marcos Capítulo 12 09. Calcular el perímetro de un triángulo equilátero si su apotema es igual a 3 cm a) 18 3 b) 12 3 d) 15 3 e) 9 3 10. Calcular: BC C 60º c) 6 3 a) 12 d) 24 D b) 4 3 e) 6 d) 2 2 c) C D O a) 20º d) 22,5º b) 18º e) 30º x a) 10 d) 6,5 P c) 15º 2 d) 2 2 b) 3 c) d) 4 3 b) 12 e) 6 x L3 c) 13 L6 5 e) 2 3 13. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia tal que m∠A=45º y BC=8. Hallar la longitud del radio de la circunferencia. a) 8 2 c) 24 17. Calcular: x 12. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. Calcular la longitud del lado del hexágono regular inscrito en el triángulo. a) b) 18 e) 36 16. En un hexágono regular ABCDEF de lado 13 , las prolongaciones de la diagonal CA y EF se cortan en P. Hallar la distancia desde P al vértice D. B R a) 12 d) 30 4 2 11. Calcular: x. Si: AB=R y BC = R 2 A c) 20 A O a) 14 b) 18 e) 48 15. Dado un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. Calcular el perímetro del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados. 4 B 14. Se tiene un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 3 2 . Calcular el perímetro de aquel polígono que se obtiene al unir consecutivamente los puntos medios de sus lados. b) 4 2 e) 4 c) a) 90º d) 60º b) 45º e) 75º c) 30º 8 3 94 94 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 13 Áreas de regiones triangulares Área del triángulo A = bh 2 A = bh 2 h h b b Fórmula de Herón A= a c p (p - a) (p - b) (p - c) p : semiperímetro p = a+b+c 2 b Forma trigonométrica a A = ab Sena 2 a b Triángulo equilátero L L 2 A= L 3 4 L Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 95 95 San Marcos Capítulo 13 En función del inradio (r) En función del circunradio (R) c O a En función de un ex radio B R b A=p .r C A A = abc 4R p: semiperímetro ra a r A = ra (p - a) Triángulo rectángulo a b h c A = ab 2 A = ch 2 m n A=m.n Problemas resueltos 01. En un triángulo ABC, se traza la altura BH. Si: AH=8; HC=3 y m∠ABH = 2(m∠HBC). Calcular el área de ABH. Resolución • Trazar la bisectriz BE del ∠ABH. aa a • Trazar EP ⊥ AB • D EBC: EB = BC y EH = HC 6 • m∠A = 37º ⇒ BH = 6 • SABH = 8 # 6 2 B P 4 A 3 5 E 3 H 3 C 96 96 SABH = 24 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 02. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 2 5 . Tomando como diámetro AD se traza una semicircunferencia y se traza la tangente BQ a dicha semicircunferencia. Calcular el área del triángulo BQC. Resolución B 2 5 37º 3c 53c 5 2 2 5 2 C 2 5 • Propiedad: AB = BQ = 2 5 • SBQC= 2 5 # 2 5 $ Sen37c 2 SBQC = 10 # 3 5 SBQC = 6 Q A O 5 5 D 03. Si: BD = DC. Calcular el área del triángulo ADC. B 45º 30º A C D 8 Resolución B 45º 30º • D ABD: BD = 16 C • 8 • D DCH: DC = 16 Luego: HC = DC = 16 = 8 2 2 8 8 # SADC = 2 SADC = 32 60º A 8 60º D 30º H Práctica 01. En la figura, calcular el área de la región sombreada. 6 a 02. Según la figura, AC=12, BH=9, además BE=2EH. Calcular el área de la región ABCE B E 5 a) 9 d) 10 2a b) 15 e) 30 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria A c) 12 a) 20 d) 36 97 97 H b) 48 e) 21 C c) 18 San Marcos Capítulo 13 03. Hallar el área de la región triangular ABD; si: BF=3u y AC=10u B a) 30u2 b) 18u2 d) 09. Hallar el área de una región triangular cuyos lados miden 5; 6 y 7 D F c) 25u2 08. La base de un triángulo isósceles mide 8 y su perímetro mide 18. Calcular el área de su región. a) 16 b) 14 c) 12 d) 10 e) 18 20u2 e) 15u2 A b) 2 6 d) 6 6 e) 6 3 04. En el gráfico P, Q y S son puntos de tangencia, si: AB=6u y BC=8u. Calcule el área de la región sombreada. Q a) 36 u2 B C 2 b) 18 u O P c) 24 u2 d) 16 u2 e) 45º 6 2 8 S 12 3 u2 D A 05. En el gráfico, AM=MB y CD=5u. Calcule el área de la región triangular AMC. D a) 16 b) 12 d) 8 2 e) 4 2 B 75º M A S1 30º C O a) 4 3 u2 b) 3 3 u2 d) 3 2 u2 e) 6 2 u2 A 4 2 u2 c) 06. En el gráfico AE=25 u. Calcule el área de la región sombreada. (T: punto de tangencia) B a) 24 u2 d) 64 u2 30º C E b) 18 e) 6 c) 12 12. En la figura, calcular el área de la región sombreada. a) 55 a 2a b) 36 c) 48 r O S2 a) 9 d) 15 T 37º c) 8 11. En la figura, calcular (S2 - S1), si BE=6 B 53º A c) 2 2 10. En el semicírculo mostrado, calcular el área de la región sombreada. C E a) 6 2 d) 33 E b) 48 u2 e) 84 u2 16º e) 44 D c) 96 u2 07. En el gráfico P y Q son puntos de tangencia, si: AB=13u, BC=15u y AC=14u. Calcule: R. B a) 3 u 3 8 13. Calcular el área de la región sombreada. Si O es centro. A b) 4 u c) 5 u P d) 6 u e) 7 u A R O O Q C 98 98 7 a) 2 3 b) d) 3 3 e) 6 3 3 B c) 4 3 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría ! 14. En el gráfico, R = 10 u y mAB = 37c . Calcule el área de la región sombreada. A B 15. En la figura se muestran dos semicírculos y el área de la región triangular ABC es 36. Calcular el área de la región sombreada. B R C O a) 1 u2 d) 2,5 u2 C A b) 1,5 u2 e) 3 u2 a) 9 d) 18 c) 2 u2 b) 8 e) 15 c) 12 Tarea domiciliaria 01. Según el gráfico A, B y T son puntos de tangencia. Calcule el área de la región sombreada. Si: (AC + BD)R = 20u2 04. En la figura, calcular el área de la región sombreada. a) 4 b) 3 c) 2 A R B O 7 9 d) 6 e) 1 C a) 12 u2 d) 5 u2 05. En la figura, calcular el área de la región sombreada. D T b) 15 u2 e) 20 u2 8 53º 37º c) 10 u2 5 10 02. En la figura, calcular el área de la región sombreada. aa 3 a) 5 d) 20 a) 20 d) 15 b) 7,5 e) 10 c) 25 06. En el gráfico, T es punto de tangencia y PT=4u. Calcule el área de la región sombreada. 2 b) 10 e) 12 a) 7 u2 c) 15 ! 03. En el gráfico, mAD = 60c , R = 3 u . Calcule el área de la región sombreada. B b) 8 u2 c) 9 u2 d) 10 u2 P e) 11 u2 37º T 07. En el gráfico, T es punto de tangencia; AB=BC, AT=3 u y AM=1 u. Calcule el área de la región triangular ABC. D a) 10 b) 11 R A u2 a) 5 d) 8 u2 C u2 b) 6 e) 9 u2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria B c) 12 d) 15 c) 7,5 u2 e) 18 99 99 M A T C San Marcos Capítulo 13 08. En la figura, calcular el área de la región sombreada. a) 100 14. En la figura, calcular el área de la región sombreada. 2a 10 b) 50 c) 75 d) 30 8 e) 40 09. En el semicírculo mostrado, calcular el área de la región sombreada. 5 a) 18 d) 15 b) 16 e) 30 a) 8 b) 15 a b) 6 c) 10 e) 30 5 c) 4 2a d) 20 d) 3 10 e) 2 10. En la figura, calcular el área de la región sombreada. 1 7 16. Si: AB=6u; BC=9u y AC=AD, calcular el área total de la región triangular ABD. B a) 12 u2 6 b) 16 u2 10 b) 16 e) 20 c) 18 c) 18 u2 11. En la figura, calcular el área de la región sombreada. a) 8 e) 14 u2 c) 12 5 d) 15 e) 18 6 A C d) 24 u2 3 b) 9 D 17. En el gráfico mostrado O es centro. Calcule el área de la región del triángulo ABC, si: PB=3 u y BM=4 u P 12. En la figura, calcular el área de la región sombreada. Si O es centro. a) 8 2 A B C b) 6 A c) 12 a) 2 d) 5 u2 10 O B 13. Calcular el área de la región sombreada. b) 3 e) 6 u2 M c) 4 u2 18. Calcular el área de un triángulo isósceles ABC (B=90º) si la hipotenusa mide 12 a) 144 b) 108 c) 72 d) 64 e) 36 a) 9 15 d) 30 2n 7 b) 14 e) 17,5 u2 19. Calcular el área de una región triangular de lados 2 5 ; 3 20 y 10 2 n a) 7 d) 15 C O u2 d) 9 e) 10 c) 20 15. En la figura, calcular el área de la región sombreada. a) 5 a) 24 d) 15 a 6 c) 21 b) 8 6 e) 24 c) 20 3 20. Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 4 100 100 a) 4 3 b) 8 3 d) 16 3 e) 6 3 c) 12 3 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 14 Áreas de regiones poligonales Áreas Es la medida de una región o superficie, se expresa en unidades cuadradas de longitud: m2, cm2, pies2, etc. Regiones poligonales Región triangular Región cuadrangular Región hexagonal Nota Para abreviar se dirá: área del triángulo; área del cuadrilátero; entendiéndose desde luego que nos referimos al área de la región correspondiente. Áreas de los cuadriláteros • Del cuadrado • Del rectángulo L L L b A = L2 A=a.b a L • Del trapecio • Del paralelogramo a h h b b A = 8 a + b Bh 2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria A=b.h 101 101 San Marcos Capítulo 14 • Del rombo • En todo cuadrilátero B C A A= C (AC) (BD) 2 B A= a (AC) (BD) Sena 2 D A D Polígonos Polígono circunscrito A=p.r r p: semiperímetro Polígono regular A B A = p . ap A = n . ADAOB O p: semiperímetro ap ap: apotema n: # lados Problemas resueltos 01. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6, E ∈ BC, el área de AECD es el doble del área de ABE. Calcular: EC Resolución B 6 6-x E x C • k 6 2k A • 6 D 6 ( 6 - x) 2 6 2k = ` + x j 6 2 . 6 (6 - x) 2# = ` 6 + x j6 2 2 6(6 - x) = 3(6 + x) k= x=2 102 102 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 02. ABCD es un trapecio (BC//AD), m∠BAD=2m∠CDA=60º. Si 2(BC)=AD=8. Calcular el área de la región ABCD. Resolución 4 B A E • Trazar: CE//AB m∠CED=60º; AE=4 y ED=4. h • D ECH: h = 3 • SABCD = ` 4 + 8 j 3 = 6 3 2 30º 2 60º 4 C 60º 30º H 8 D SABCD = 6 3 03. Se tiene un cuadrado ABCD y el cuadrante CBD con centro en "C" y radio CB; calcule el área de la región del cuadrado inscrito en el triángulo mixtilíneo BAD, si BC = 2 + 1 Resolución • r B AC = x 2 + r = r 2 C x 2 = r 2 - r = r ( 2 - 1) x 2 = ( 2 + 1) ( 2 - 1) = 2 - 1 = 1 r • x E A x= 1 2 r = 2 +1 P x Q x x 2 x D 2 SAPQE = x2 = c 1 m = 1 2 2 SAPQE = 1 2 Práctica 01. En el gráfico, BC//AE y R = 4u. Calcule el área de la región sombreada. B C a) 20 3 u2 b) 14 3 u2 c) 24 3 u2 R e) D q d) 12 3 u2 18 3 u2 03. ABCD es un trapecio rectángulo. Si el triángulo ABD es isósceles de área S. Hallar el área del trapecio. B A A q q E 02. Si AOBC es un cuadrado, calcular su área, si: AM = 3 3 y AN = 3 N A C a) 2S b) 3S d) S 2 e) a) 8 m2 d) 25 m2 O b) 16 m2 e) 18 m2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria B c) 108 P d) 122 c) 9 m2 e) 72 103 103 c) 3S 2 5S 2 04. Calcular el área de la región sombreada. B C a) 64 b) 88 M C D 8 4 A Q 6 6 D San Marcos Capítulo 14 05. Del gráfico, AB=8u. Calcule el área de la región sombreada. Q a) 48 10. Calcular el área de la región sombreada. B 2n b) 30 c) 24 n d) 32 A 45º e) 18 P A 3 S B a) 18 d) 16 06. Calcular el área del cuadrado sombreado. a) 240 25 d) 225 e) 30 u2 c) 10 u2 A B O C D d) 12 u2 e) 15 u2 12 C S b) 24 e) 12 c) 20 b) 16 u2 25 c) 20 u2 07. En el gráfico, AE=2u y CD=1u. Calcule el área de la región sombreada. E a) 6 u2 b) 8 P 11. En el gráfico A y C son puntos de tangencia, si: PQ=2u y QM=6u. Calcule el área de la región sombreada. C B a) 12 u2 b) 400 c) 125 R Q R 45º D A d) 20 2 u2 P e) 25 u2 Q M 12. En el gráfico, AD=BE y (AB)(EF) = 8u2. Calcule el área de la región del rombo ABCD. B A E F 08. En el gráfico AD=DF; BE=3u y EF=5u. Calcule el área de la región limitada por el trapecio ABCD. B C C D a) 8 u2 d) 7 u2 E b) 9 u2 e) 10 c) 6 u2 13. Calcular el área de la región sombreada (O: centro) D A 1 B F 84 u2 b) 64 u2 c) 32 u2 5 5 5 d) 37 u2 e) 45 u2 3 4 09. En el gráfico PQSC es un cuadrado de centro O. Si: AO = 2 10 u . Calcule el área de la región sombreada. B C a) A a) 3 d) 5 O b) 4 e) c) 6 3 14. Calcular el área del trapecio ABCD, si BO=2 y OD=8 B C qq Q S O O A a) 4 u2 d) 16 u2 P b) 8 u2 e) 20 u2 C A c) 12 u2 a) 15 d) 24 104 104 D b) 18 e) 25 c) 20 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 15. Calcular el área del rectángulo PBQH, si: AP=4 y QC=6 B Q P A C H a) 30 d) 24 b) 16 e) 18 c) 36 Tarea domiciliaria 01. Calcular el área de la región del rombo ABCD. Si: AB=10, AC=12. B 2 C A E A D a) 96 d) 48 04. Calcular el área de la región sombreada. Si: CDE es un triángulo equilátero. B C b) 94 e) 120 c) 90 02. Calcular el área de la región del hexágono regular ABCDEF, si: AD=8 B C D 2 a) 1 + 3 b) 2 + 3 d) 4 + 3 e) 8 + 3 c) 3+ 3 05. Si: BC//AD, calcular la longitud de la altura, si: S=30cm2 B 3cm C D A S E F a) 12 3 b) 18 3 d) 36 3 e) 48 3 A c) 24 3 a) 10 cm d) 5 cm 03. Calcular el área de la región cuadrilátero ABCD. Si: AB=15; BC=20; CD=24 y AD=7 B 9cm b) 8 cm e) 7 cm D c) 6 cm 06. Calcular el área del trapecio isósceles. 10 15 A C 16 D a) 280 d) 240 b) 300 e) 234 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 135 105 105 a) 52 15 b) 29 10 d) 27 15 e) 26 14 c) 80 San Marcos Capítulo 14 07. Calcular el área del trapecio ABCD, si: BC=4 y AD=9 B C a) 12 d) 42 b) 26 e) 52 c) 39 08. Calcule el área de la región del paralelogramo ABCD, si: BR=6u y RD=4u. B 60º D R a) 10 3 u2 b) 20 3 u2 d) 40 3 u2 e) 25 3 u2 c) 30 3 u2 10. Calcule el área de la región del rombo si O es centro de la circunferencia. O R=2u 3 u2 2 3 u2 b) c) 2 3 u2 e) 1 u2 d) 4 3 u2 11. Calcular la suma de las áreas de las regiones de los cuadrados sombreados. Si: AB=10 C A O D 13. Las diagonales de un cuadrilátero miden 10 y 60, el ángulo que forman dichas diagonales miden 30º. Calcular el área del cuadrilátero. a) 400 b) 500 c) 2400 d) 150 e) 125 15. Calcular el área de la región de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio 4u c) 24u2 b) 16 2 u2 a) 32 2 u2 d) 24 2 u2 09. ¿Cuál es el perímetro de un rombo, cuya área es igual a 18 3 y su diagonal menor mide igual que su lado? a) 20 b) 24 c) 36 d) 44 e) 30 a) B c) 50 14. Un patio de forma cuadrada está rodeada de una vereda que tiene un ancho de medida 3, siendo el área de esta igual a 192. ¿Cuál es el área del patio? a) 169 b) 186 c) 144 d) 189 e) 121 C 60º b) 25 e) 120 12. El área de un trapecio es igual a 700; los lados paralelos miden 30 y 40. ¿Cuánto mide la altura del trapecio? a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 17 D A A a) 10 d) 100 e) 18u2 16. Las áreas de dos cuadrados suman 8621, el producto de las longitudes de sus diagonales es igual a 8540. Calcular la suma de longitudes de ambos lados. a) 130 b) 70 c) 131 d) 61 e) 71 17. Calcular el área de un rombo, cuyo lado mide 30 y uno de sus ángulos agudos mide 30º a) 225 b) 425 c) 400 d) 450 e) 405 18. El área de un hexágono regular es igual a 1024. Se construye otro hexágono uniendo los puntos medios de los lados de aquel. Calcular el área del segundo hexágono. a) 256 b) 512 c) 512 3 d) 768 e) 786 19. La diagonal de un rectángulo mide 10 y su base mide 8. Si su área es igual al de un rombo, cuya diagonal menor mide igual que la altura del rectángulo. ¿Cuánto mide la diagonal mayor del rombo? a) 48 b) 2 c) 18 d) 16 e) 20 20. Sean M y N puntos medios de los lados AB y BC de un triángulo ABC de 60m2 de área. Por el vértice C se traza una paralela, a AB que corta a la prolongación de MN en P. ¿Cuál es el área del paralelogramo AMPC? b) 60 m2 c) 30 m2 a) 50 m2 2 2 d) 15 m e) 20 m 106 106 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 15 Relación de áreas A1 A= A2 m A n A AT 2 AT = área total A1 m = A2 n A A A A A A A A= Si: a=q A A AT 6 A A= AT 4 o a + q = 180º a A1 q Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria A1 = ab A2 mn m A2 a b 107 107 n San Marcos Capítulo 15 Si el DABC es semejante al DMNT B q N q c h1 ~ a t A1 A b a b C M m h2 A2 a b n T 2 2 2 (h ) 2 A1 = a 2 = b2 = c2 = 1 2 = ... = k2 A2 (h2) m n t k " Constante de proporcionalidad Relaciones de áreas en regiones cuadrangulares En paralelogramos Sx B Sx = b . h h Sx = B . H b H Punto cualquiera S S S S S2 S1 S S x= T 5 x x y S S S S x = S1 + S2 = T 2 Sx S x S z w x+z=y+w 108 108 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría En todo trapecio x S S2 = x . y S y S1 S1 = S2 S2 S1 S1 Sx Sx S2 S2 S +S S Sx = 1 2 = T 2 3 S1 + S2 = S x = ST 2 Cualquier cuadrilátero R Q B A C A D P A.C=B.D x y x S A A = PQRS 2 z z w y x+z=y+w z=x+y x = Área total 3 x Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 109 109 San Marcos Capítulo 15 Problemas resueltos 01. En un paralelogramo ABCD, AD =18 y su altura BH mide 12. Se ubican M y N puntos medios de BC y CD respectivamente. Calcular el área de la región cuadrangular AMCN. Resolución B M K1 C K1 K2 12 N • SABCD = 18 • Unimos "A" con "C" • 2K1 + 2K2 = 216 K2 A H 2(K1 + K2) = 216 D 18 12 = 216 # K1 + K2 = 108 S SAMCN = 108 02. En un trapecio cuyas bases miden 3 y 1 se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras equivalentes. Hallar la longitud de dicha paralela. Resolución S 1 B • • C K 8S = 2K " 4S = K x P S = 12 S + K x2 S = 12 = 1 Por semejanza: S + 2K 3 2 9 9S = S + 2K Por semejanza: Q • Luego: K A S = 1 =1 S + 4S x 2 5 x2 = 5 D 3 x= 5 03. En un triángulo ABC, se ubica E en AB y "F" en BC tal que: BE = 3(AE) y FC=3(BF). Si el área de la región ABC es 16. Calcular el área de la región AEFC. Resolución B b 3a E a 4K A • Unimos "E" con "C" • Por propiedad SAEC = 4K F 3K 9K SFEC = 9K 3b SEBF = 3K C • 16K = 16 " K = 1 • SAEFC = 13K = 13(1) SAEFC = 13 110 110 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. En la figura ABCD es un paralelogramo. Calcular: Sx B 05. Hallar el área de la región sombreada, si BC//AD B C S2 S1 P Sx S1 + S2 2 b) d) S2 + S1 C 9u2 D A a) 4u2 A S1 - S2 2 c) S2 - S1 b a) 20 u2 d) 30 u2 e) 2(S2 - S1) M b) 21 u2 e) 36 u2 B B y Q A C b) 3 y e) 6 y a) 600 cm2 d) 500 cm2 c) 4 y 03. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 120 u2, BM=MC y AN=2(NC) C N b) 300 cm2 e) 700 cm2 B M A N C b) 22 u2 e) 66 u2 a) 75 cm2 d) 80 cm2 c) 33 u2 04. En un trapecio cuyas bases miden 3m y 1m, se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras equivalentes. ¿Cuál es la longitud del segmento paralelo? a) 1m d) 5m b) 2m e) 6m c) N D b) 90 cm2 e) 60 cm2 c) 70 cm2 08. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región del cuadrado ABCD es 36 u2. (AM = MB) B C M 3m m A a) 3 u2 d) 12 u2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 400 cm2 C M a) 11 u2 d) 44 u2 D 07. Calcule el área de la región sombreada, si ABCD es una región cuadrada de área 120 cm2, M y N son puntos medios. B A c) 24 u2 M A a) 2 y d) 5 y D 06. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 30 cm, M y N son puntos medios. Calcular el área de la región sombreada. 02. Calcular el área de la región del trapecio APQC P b 111 111 D b) 6 u2 e) 18 u2 c) 9 u2 San Marcos Capítulo 15 09. Calcular el área de la región del triángulo ABP, si la suma de las áreas de las regiones sombreadas es 18 u2 y ABCD es un paralelogramo. B 12. Si: MC//ED, calcular el área de la región sombreada, si las áreas de las regiones triangulares MNP y EPF son 4 m2 y 9 m2 respectivamente. C b M N b C P P M D A u2 a) 9 d) 18 u2 a E u2 b) 12 e) 24 u2 c) 12 2 u2 10. En la figura, ABCD es un romboide, área del triángulo BOC = 9u2; área del triángulo POD = 4u2. Calcular el área de la región ABCD. B a) 26 m2 d) 31 m2 a F b) 18 m2 e) 32 m2 C 40 S 84 35 O a) 30 u2 d) 24 u2 a) 36 d) 87 D P b) 36 u2 e) 38 u2 c) 27 u2 W b) 72 e) 62 c) 56 14. En el gráfico, si: EC = 2EB; AF=2FC. Calcular: 11. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 u. Calcular el área de la región sombreada. (AM = MD) B c) 30 m2 13. Calcular el área de la región sombreada. 30 A D B C S1 S1 S2 E O S2 F A A a) 2 u2 d) 6 u2 M b) 3 u2 e) 9 u2 D a) 2 b) 1 2 d) 3 e) 3 2 c) 4 u2 112 112 C c) 1 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Calcular el área de la región triangular ABC, si el área de la región sombreada es 9 cm2 05. Calcular el área de la región del trapecio. A B B 4u2 16u2 A a) 24 cm2 d) 26 cm2 b) 18 cm2 e) 27 cm2 a) 24 u2 d) 32 u2 c) 28 cm2 02. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular AEC es 40 m2 B n D C C b) 40 u2 e) 28 u2 c) 36 u2 06. Calcular el área de la región del trapecio ABCD. B E 2u2 8u2 C O 4n A a) 6 m2 d) 12 m2 b) 10 m2 e) 16 m2 c) 8 m2 a) 50 u2 d) 42 u2 03. Calcular el área de la región del trapezoide ABCD b) 48 u2 e) 54 u2 c) 36 u2 07. Calcular el área de la región sombreada, si el área del triángulo ABC es 48 u2 C B D A C B 4u2 6u2 12u2 A D a) 8 u2 d) 30 u2 b) 22 u2 e) 36 u2 A c) 28 u2 a) 34 u2 d) 24 u2 04. Si: MN//PQ//AC y AC = 3 2 . Calcular: PQ B M P S N b) 30 u2 e) 36 u2 S B S1 c) 32 u2 E S2 C b) 4 6 m e) N.A. Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria C S Q S d) 4 5 m C 3k 08. Siendo ABCD un romboide: S1 = 4 u2 y S = 18 u2. Calcular: S2 A a) 3 2 m D k D A c) 2 3 m a) 24 u2 d) 26 u2 113 113 b) 22 u2 e) 30 u2 c) 14 u2 San Marcos Capítulo 15 09. En un triángulo ABC, sobre AB y BC se toman los puntos P y Q respectivamente, tal que: AP=2PB y BQ=QC A ∅PBQ Calcular: A ∅ABC 1 a) b) 1 c) 1 6 2 3 d) 1 e) 1 4 5 10. Dado un paralelogramo ABCD de dimensiones AB=20 y BC=10 y la altura 6m, se toma en el interior del paralelogramo un punto cualquiera E. Se pide calcular la suma de las áreas de los triángulos ABE y DEC. a) 120 b) 200 c) 60 d) 90 e) 80 15. En un trapecio ABCD la base menor es AB, las diagonales se cortan en O y las áreas de los triángulos AOB y DOC son 18 y 50 m2. Calcular el área del trapecio. b) 138 m2 c) 128 m2 a) 108 m2 2 2 d) 118 m e) 68 m 16. Calcular el área de la región triangular ABC (AM=MB) B A a) 6 S d) 8 S A a) 32 u2 d) 36 u2 2n C c) 48 u2 F b) 46 u2 e) 52 u2 12. El lado de un triángulo equilátero mide 6 6 m . El triángulo es cortado por dos paralelas a dicho lado, que lo dividen en 3 áreas iguales. Calcular la longitud de la paralela más próxima al lado. b) 3 2 e) 12 a) 3 3 d) 4 3 c) D b) 3 u2 e) 8 u2 c) 4 u2 14. En el paralelogramo ABCD las áreas de las regiones triangulares AOD y BOE son 18 y 8u2. Hallar el área de la región paralelográmica ABCD B E C O A a) 42 u2 d) 62 u2 a) 6u d) 2u a) d) c) 9 S b) 3u e) 2 u c) 2 2 u 7 2 9 4 b) e) 8 3 3 2 c) 9 2 19. Grafique al triángulo PQR y trace la mediana PM, en PM marque B de modo que: BM=2(PB). Calcular la relación de áreas de los triángulos PBQ y PQR M a) 2 u2 d) 6 u2 b) 7 S e) 10 S 18. Las bases AB y CD de un trapecio miden 12 y 8m. Si O es punto de intersección de las diagonales, en qué relación se encuentran las áreas de los triángulos AOB y COD 4 2 13. En el gráfico ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6u. Calcule el área de la región sombreada (CM=MD) B C A C 17. La base de un triángulo mide 4u. ¿Cuál es la longitud del segmento paralelo a la base que divide a dicho triángulo en dos partes equivalentes? E 16u2 E N 11. Calcular el área de la región triangular ABC B n S M a) 1 3 b) 1 6 d) 1 10 e) 2 5 c) 1 8 20. En un DABC se tiene AB=13, BC=15, AC=14 y BP es bisectriz interior. Calcular el área del D ABP a) 39 b) 38 c) 37 d) 36 e) 35 21. En un DAPD se trazan las cevianas AC y DB en las cuales se ubican los puntos R y Q de modo que: CR=2(AR) y DQ=2(BQ). Calcular el área del DRPQ, si el área del cuadrilátero ABCD es igual a 18 cm2 a) 6 cm2 b) 9 cm2 c) 8 cm2 d) 4 cm2 e) 5 cm2 D b) 52 u2 e) 60 u2 c) 56 u2 114 114 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 16 Repaso 01. En un triángulo ABC; la ceviana AR, corta a la bisectriz interior BD en el punto M. Si: BR=2u, RC=12u y BM=MD. Calcule: AB a) 2,8 u b) 2,4 u c) 2,6 u d) 2,5 u e) 2,9 u 02. En un triángulo ABC de lados AB=2u, BC=5u y AC=3,5u. Se traza la bisectriz BS. Calcule: (SC - AS) a) 1,5 u b) 1,4 u c) 2,5 u d) 3,1 u e) 0,8 u 03. En un triángulo ABC, por el vértice B y el baricentro se trazan 2 rectas L1 y L2 paralelas a la base AC, una tercera recta secante a las paralelas pasa por C y corta a L1 en M y a L2 en N Calcule: MN (M en L1) NC a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 2 04. En un triángulo ABC, AB=8u, BC=10u y AC=12u y por un punto P de AB se traza PQ//BC (Q en AC). Calcule: AP, para que el perímetro de la región triángular APQ sea igual al perímetro de la región del trapecio BPQC a) 3 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 9 u 05. En un circunferencia de radio R se trazan las cuerdas AB y BC (AB < AC), por B se traza la tangente MBN. Si: m∠BAC=60º y m∠ABM=15º Calcular: AC - AB a) R c) R 2 b) R 3 d) R 2 2 e) R 3 2 06. ¿Cuál es el mínimo recorrido que se debe hacer para ir de A a B, tocando la recta L? Si: AP=5, BQ=10 y PQ=8 B A P a) 16 d) 20 Q b) 17 e) 23 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 07. En la figura hallar EC, si: AB=3, DE=2 y AE=4 B a a D A C E a) 6 d) 12 b) 8 e) 9 c) 5 08. En el trapecio ABCD mostrado, hallar BD, si: BC=2 y AD=8 (BC//AD) B C a A a) 16 d) 5 a D b) 9 e) c) 4 5 09. En la figura mostrada "T" es punto de tangencia. Calcule R, si: AB=BC y ET = 2 2 T E R A a) 1 d) 3 B b) 2 e) 4 C O c) 3 10. En un triángulo rectángulo ABC, se traza MN (M ∈ AB) y (N ∈ BC). Si: AM=6 y CN=8 Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios MN y AC. a) 7 b) 6 c) 4 d) 3 e) 5 11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B; se traza la altura BH y los segmentos HP y HQ perpendiculares a los catetos. Calcular: BH Si: (AC) (HP) (HQ) = 2744 a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 9 L c) 18 115 115 San Marcos Capítulo 16 12. Desde un punto A exterior a una circunferencia de centro O, se trazan las tangentes AB y AC; luego se traza BH perpendicular a la tangente AC (H ∈ AC). Calcular: BH. Si: AB=b y OB=a a) 2ab2 a2 + b2 b) 2ab2 a+b d) 2a 2 b a2 + b2 e) 2ab a+b c) a2 b + b2 a2 13. En un triángulo isósceles la base mide 15u y la altura relativa a uno de los lados congruentes mide 12u. Calcule el área de la región del triángulo. b) 75 u2 c) 90 u2 a) 50 u2 d) 100 u2 e) 150 u2 14. Dos medianas de un triángulo miden 9u y 12u y se cortan formando un ángulo recto. Calcular el área de la región triangular. b) 84 u2 c) 54 u2 a) 36 u2 2 2 d) 72 u e) 108 u 15. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormente dos a dos. Calcule el área de la región del triángulo que se forma al unir sus centros, si se sabe que el producto de sus radios es 8u3 y la suma de sus radios es 6u. b) 4 u2 c) 6 u2 a) 8 u2 d) 24 u2 e) 4 3 u2 20. En un trapecio isósceles, circunscrito a una circunferencia de radio 6, se sabe que el perímetro del trapecio es 56. Hallar el área del trapecio. a) 126 b) 152 c) 162 d) 168 e) 256 21. Las proyecciones de las diagonales de un rombo sobre uno de sus lados miden 1 y 9. Hallar el área del rombo. a) 30 c) 4 10 b) 5 10 d) 18 e) 15 22. Se tiene un cuadrado de lado L inscrito en una circunferencia. Determinar el área del octógono regular inscrito en la misma circunferencia. c) 2L2 b) L2 3 a) L2 2 2 2 d) 3L e) 4L 23. Los lados de un triángulo miden 26 u , 18 u y 20 u . Calcule el área de la región triangular. b) 9 u2 c) 12 u2 a) 6 u2 2 2 d) 15 u e) 18 u 24. ¿Qué porcentaje del área del cuadrado representa el área de la región sombreada? 16. Si: AB= L3, CD=L10. Calcule: x A 19. En un cuadrado de lado 6 se inscribe un rectángulo, de tal forma que sus lados son paralelos con las diagonales del cuadrado. Hallar el área del rectángulo si se sabe que su diagonal mide 8 a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 5 C x P D B a) 21º d) 26º b) 36º e) 30º c) 42º a) 2% d) 2,5% 17. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia se tiene que: AB=L3, AC=L4. Calcule la medida del lado BC si la medida del radio de la circunferencia es 2 u. a) ( 3 + 2 ) u b) ( 6 + 2 ) u d) (2 + 3 ) u e) 2 3 u b) 5% e) 4,2% c) 3,5% 25. ¿Qué parte del cuadrado representa el área de la región sombreada? c) ( 6 + 3 ) u 18. En cierto triángulo rectángulo la altura menor mide 12u y la hipotenusa es los 5 de uno de los catetos. 4 ¿Cuál es el área de la región triangular? b) 130 u2 c) 150 u2 a) 120 u2 2 2 d) 100 u e) 90 u a) d) 116 116 1 8 5 24 b) e) 5 12 5 48 c) 3 8 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. En un triángulo ABC se traza una recta paralela al lado AC que corta a AB en "P", a la mediana AM en "Q" y a BC en "R". Si: PQ=2 y QR=5. Hallar: AC Resolución B x/2 N n 5 • MN es base media: MN = x 2 m m D APQ ~ D ANM: = +n 2 x 2 D QMR ~ D AMC: n = m + n 5 x Luego: m = 4_ m+n xb 1 = 4 + 5 ` x x n =5b m+n x a x=9 • R m A Trazar MN//PR: BM=MC • M 2 Q P • C x AN=NB y Resolución • • • • B N c a h M y m mh nh a.c h2 m.n.a.c.h4 x A D ABH: D BHC: D ABC: D ABH: = = = = x.c y.a b.h m.n 1442443 02. En un triángulo rectángulo ACB (B=90º) se traza la altura BH. Si el producto de la hipotenusa con las distancias del punto "H" a los catetos del triángulo ABC es 27 000. Hallar: BH Multiplicando = mnacxyb.h h3 = xyb H n b C h3 = 27 000 h = 30 03. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM y se ubica el punto "F" en AC, tal que AC=3(AF) y BF ∩ AM=Q. Si el área total mide 72. Hallar el área de la región AQF Resolución B a 3n M 3K A K b Q n F 2n b Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria P 2b a b • Trazar MP//BF: MP es base media (D BFC) • Si: SABF = 4K ⇒ SBFC = 8K • Stotal = 12K = 72 K=6 C 117 117 San Marcos Capítulo 16 Tarea domiciliaria 01. Según el gráfico, L1//L2//L3, AB=2(BC) y T es punto ! de tangencia. Calcule la mTPQ T A B C a) 100º d) 130º 07. Calcular: AB B L1 P Q L3 b) 110º e) 140º 1 A L2 a) 3 d) 8 a) 8 u d) 10 u 15 A c) 5u b) 12 u e) 9 u c) 16 u b) 7,5 e) 4 72 13 b) 9 e) 10 M d) c) 13 2 O a) 2 3 u2 3 3 u2 4 b) 3 3 u2 2 c) 3 u2 e) 3 3 u2 a) 36 d) 18 b) 30 e) 24 c) 15 11. Calcular: x 06. Hallar: PQ, si: AB=9 y CD=4 x (P: punto de tangencia) P P N 10. El perímetro de un triángulo es el doble del desarrollo de la circunferencia inscrita en él, sabiendo que el área del círculo es de 12, se pide calcular el área del triángulo. e) 8 D c) 12 ! ! 09. La medida del arco AM es el doble del arco AN . Hallar el área del triángulo AMP, siendo "A" punto de tangencia, además: R = 2 u A c) 6 b) 5 d) 6 C R 05. Dos circunferencias de radios 4 y 9, son tangentes exteriormente en el punto P. Calcular la distancia de P a la tangente común exterior. a) 20 H a) 6 d) 13 04. En un rectángulo ABCD se traza DH perpendicular a AC (H ∈ AC), se traza HQ perpendicular a AD. Hallar: DH, si: HQ = 3 y AB=12 a) 9 d) 4,5 c) 5 B Si: AB=8u, BC=6u y AC=7u 03. En un triángulo acutángulo ABC, la bisectriz interior AF es perpendicular a la mediana BM. Calcule: FC, si: BF=8u C 08. Calcular: BH c) 120º b) 4u e) 2u 15 b) 4 e) 10 02. En un triángulo ABC se traza la bisectriz BD (D ∈ AC). Calcule: AD a) 3u d) 1u H B R O C Q 240º A a) R a) 6,5 d) 8 b) 5 e) 12 d) c) 6 118 118 R 2 2 b) R 2 e) R 3 2 c) R 3 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 12. Calcular: x 16. Hallar la relación del área del cuadrado inscrito en un semicírculo y el área del cuadrado inscrito en el círculo entero. B D R 3 a) R 2 A a) 8º d) 15º C b) 10º e) 18º x d) E b) 1 m d) e) 2m e) b) 20 3 d) 15 3 e) 30 2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 2 5 d) 500 3 e) 1000 3 c) 500 2 18. Calcule el área de la región sombreada. Si: PR = 14 u c) 1,5 m B a 13 Q R A a) 9 u2 d) 8 u2 a 15 a P c) 60 3 15. Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 8 y 12, sus lados no paralelos miden 3 y 5. b) 20 e) 25 c) b) 2500 2 5m a) 30 3 4 7 1 3 a) 2500 3 14. Dado un triángulo ABC, obtuso en B, el ángulo A mide 60º, AB=8 y AC=15. Hallar el área del triángulo ABC a) 40 d) 50 b) 17. El lado de un exágono regular mide 50; hallar el área de la región rectangular ABDE, si el exágono es ABCDEF c) 12º 13. El radio de una circunferencia mide ( 5 + 1) m . Calcular la distancia del centro a una cuerda que subtiende un arco de 144º a) 0,5 m 3 5 1 2 14 b) 7 u2 e) 14 u2 C c) 6 u2 c) 30 119 119 San Marcos Capítulo 17 17 • Áreas de regiones circulares Círculo • Sector circular R R A= Asec tor = αc $ πR2 360c O a pR2 R • Corona circular • Segmento circular O r A = p(R2 -r2) A = POQ - POQ O R R • Q A P A En triángulo rectángulo • Lúnulas de Hipócrates C A2 A1 B A A 3 = A1 + A2 A3 A=B+C • Trapecio circular R A • Zona circular (AB//CD) C B A B r Oa D D C A T.C. = πα (R2 - r2) 360c A Z.C. = ASeg. - ASeg. CD AB 120 120 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Propiedades R S1 S2 R S2 S1 R R S1 = S2 = ` ≠ - 2 j R2 8 S S1 = S2 = T 2 S L S L L L S = ` ≠ - 2 j L2 2 S = c ≠ + 3 - 3 3 m L2 3 R R O 60º R R 2 S = ≠R 6 2 S = ≠R 4 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 121 121 San Marcos Capítulo 17 Problemas resueltos 01. En la figura AB es diámetro y AM=NC si el radio mide 10. Calcular el área de la región sombreada. C M 18º A O B Resolución C M 18º A P r O 18º r 36º r • Propiedad de trapecio: SMPC = SOPB • Sector circular OCB: 2 2 S = πr α = π10 # 36 360 360 S = 10p B 02. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6. Calcular el área de la región limitada por las circunferencias inscrita y circunscrita al cuadrado. Resolución 6 6 R 6 • R: circunradio; r: inradio; r = 3 y R = 3 2 • Lo que se forma es una corona circular • Scorona = pR2 - pr2 r 3 = (3 2 ) 2 - ≠ (3) 2 3 Scorona = 9p 03. ABC es un triángulo inscrito en una semicircunferencia, se trazan las flechas relativas a los catetos. Si estos miden 1 y 2, determine el área del semicírculo. Resolución B R-1 1 R-1 A R Del gráfico: • R2 = (R - 2)2 + (R - 1)2 R=5 Ssemicírculo: 2 R-2 O • R-1 R ≠ R 2 = ≠5 2 2 2 S = 25≠ 2 C 122 122 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. En el gráfico, AP = 8u y PC = 1u. Calcule el área de la región sombreada. A 05. Si el área de un círculo se duplican al aumentar su radio en ( 2 - 1) . Calcular la longitud del radio original. 1 2 d) 2 3 5 e) 3 b) a) P a) 5 pu2 d) 9 pu2 b) 6 pu2 e) 12 pu2 C 06. Calcular el área de la región sombreada, si ABC es un triángulo equilátero de lado igual a 4, además: "M", "N" y "P" son puntos medios. c) 8 pu2 B 02. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4u. Calcular el área de la región sombreada. B M N C A O a) A a) p + 1 d) 3 - p c) 1 d) 4 3 - 2≠ D b) 2 + p e) 6 - p c) 8 - p 03. Calcular el área sombreada, si el lado del cuadrado es "a" B 3 -≠ C P b) 2 3 - ≠ e) N.A. 4 3 -≠ c) 07. Según la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado ! mide 2cm. Calcular el área sombreada, si AC tiene su centro en "D" y "E" es punto de tangencia. B C C E A A D a) ≠a 2 4 ≠a 2 2 b) d) a2 4 e) pa2 c) a2 2 a) (8 2 - 4 - ≠) cm2 b) (4 2 - ≠) cm2 c) (8 2 - ≠) cm2 d) (8 2 - 8 - ≠) cm2 e) (4 2 - 2) cm2 04. Calcular el área sombreada si el lado del cuadrado ABCD mide 2u B D C 08. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región de ACD es 200u2. (T: es punto de tangencia). B A a) p - 2 d) 2(p + 2) A D b) p + 2 e) 2(p - 1) Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 2(p - 2) a) 35pu2 d) (37p - 50) 123 123 C O b) 45p e) 50(p - 1) D c) 100 (p - 1) San Marcos Capítulo 17 09. En el gráfico, P es punto de tangencia. Si: AB = 2u y CD = 4u. Calcule el área de la región sombreada. 12. ¿Cuál es el área de un círculo inscrito en un cuadrado, que a su vez está inscrito en un círculo de área 80? C a) 40 d) 20 P B a) 2 pu2 d) 3 pu2 b) 4 pu2 e) 5 pu2 c) 6 pu2 10. En el gráfico las rectas L1 y L2 son tangentes y paralelas. Calcule el área de la región sombreada. P c) 32 13. En un sector circular, cuyo radio mide 9, se puede inscribir un círculo cuyo radio mide la tercera parte del anterior. ¿Cuál es el área del sector? D A b) 36 e) 40p a) 18 p b) 9 p d) 27 ≠ 2 e) 27 p c) 12 p 14. Calcular el área de una corona circular formada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 m. L1 a) 6 pm2 d) 9 pm2 b) 8 pm2 e) 12 pm2 c) 9 m2 O 15. Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo cuyos lados miden 13u, 14u y 15u 3u L2 Q a) d) 9 ≠u 2 4 1 ≠u 2 9 b) e) 3 ≠u 2 2 1 ≠u 2 4 c) a) 12pu2 d) 25pu2 b) 16pu2 e) 36pu2 c) 20pu2 5 ≠u 2 4 11. Calcule el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 4u B C A D a) 2(p - 2)u2 d) pu2 b) 4 (p - 2)u2 e) (4 - p)u2 c) (p - 2)u2 124 124 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4. Calcular el área de la región sombreada. A B 05. Un círculo y un cuadrado tienen igual perímetro, entonces a) sus áreas son iguales. b) el área del cuadrado es mayor. O c) el área del círculo es mayor. D a) 4 - p d) 8 - p d) depende del radio. C b) 6 - p e) 2(4 - p) e) el lado del cuadrado es el doble del radio. c) 4 02. El lado del cuadrado ABCD mide 8 dm, calcular el área de la región sombreada. B 06. Se tiene dos circunferencias concéntricas de modo que la suma de sus radios es 8u y la diferencia es 4u. Calcular el área de la región del anillo circular que generan las dos circunferencias. a) 16 pu2 d) 36 pu2 C b) 4 pu2 e) 18 pu2 c) 32 pu2 07. Calcular el área de la corona circular, con los datos indicados. ("O" es centro) A D a) 6 p dm2 d) 8 p dm2 b) 10 p dm2 e) 6 2 p O c) 12 p dm2 2 3 dm2 03. Calcular el área de la región sombreada. a) 25 p d) 20 p 4 b) 16 p e) 18 p c) 21 p 08. Si: AB=12u, calcular el área de la región circular sombreada, (A y B: puntos de tangencia). A B 4 a) 2(2 - p) d) 2(4 - p) b) 4(4 - p) e) 4 + p c) 4(2 - p) a) pu2 d) 16pu2 04. Calcule el área de la corona circular mostrada. Si: AB = 8u A B b) 32 pu2 e) 8 pu2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b) 4pu2 e) 20pu2 c) 9pu2 09. Calcular el área de una corona circular, sabiendo que una cuerda de la circunferencia mayor es tangente a la menor y mide 10 O a) 16 u2 d) 8 u2 x 9 a) 100 p d) 10 p b) 50 p e) 30 p c) 25 p 10. Un sector circular de radio 6 cm y ángulo central de 30º tiene un área de: c) 16 pu2 a) p cm2 d) 4 p cm2 125 125 b) 2 p cm2 e) 6 p cm2 c) 3 p cm2 San Marcos Capítulo 17 11. Calcular el área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero que tiene un área de 60 3 a) 10 p d) 25 p b) 15 p e) 30 p 16. La figura muestra un cuarto de círculo donde: AM=MO=2 3 u. Calcular el área de la región sombreada. c) 20 p B 12. Calcular el área de un círculo máximo inscrito en un segmento circular de 120º y de radio 4 a) ≠ 2 c) b) p d) 2 p 2≠ 3 A e) 3 p 13. El perímetro de un triángulo es el doble del desarrollo de la circunferencia inscrita en él. Sabiendo que el área del círculo es de 12m2, calcular el área del triángulo. a) 12 pm2 d) 24 pm2 b) 24 m2 e) 18 m2 c) 36 m2 14. Se tienen dos circunferencias inscrita y circunscrita a un mismo cuadrado de lado "L". Hallar el área de la corona circular formada por dichas circunferencias. a) ≠L2 2 b) ≠L2 3 d) ≠L2 5 e) ≠L2 4 a) 3pu2 d) 6pu2 O M b) 4pu2 e) 8pu2 c) 5pu2 17. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en un sector circular de 60º y 15m de radio? a) 25 m2 d) 50p m2 b) 25p m2 e) 15p m2 c) 50 m2 18. Calcular el área de un círculo inscrito en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 a) 9p d) 4p c) pL2 b) 5p e) 6p c) 3p 19. Encontrar el área de un segmento circular correspondiente a un ángulo central de 60º cuyo radio mide 6. 15. Calcular el área de la corona circular, si: AB = 2 A B b) 2 p e) 6 p b) 3≠ - 3 3 c) 2 (3≠ - 3 3 ) d) 3 (2≠ - 3 3 ) e) 3^≠ - 3 h O a) p d) 4 p a) 2 (2≠ - 3 3 ) c) 3 p 126 126 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 18 La recta en el plano cartesiano Ángulo de inclinación de una recta Se llama ángulo de inclinación de una recta al ángulo que forma la recta con el eje x. Nota: Se mide a partir del eje x hasta la ubicación de la recta tomado en sentido antihorario. y L3 L4 L1 L2 a w • Ángulo de inclinación de L1 mide w • Ángulo de inclinación de L2 mide 90º • Ángulo de inclinación de L3 mide 0º ó 180º Ángulo de inclinación de L 4 mide a • x Pendiente de una recta La pendiente de una recta es la tangente de la medida de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra "m" L a O • Si: a < 90º entonces m > 0 • Si: a > 90º entonces m < 0 • Si: a = 0º ó 180º entonces m = 0 • Si: a = 90º no tiene pendiente Cálculo de la pendiente de una recta por coordenadas B2(x2;y2) A1(x1;y1) q Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria q L (y2 - y1) (x2 - x1) y -y m = Tgq = 2 1 x2 - x1 O 127 127 San Marcos Capítulo 18 Ángulo determinado por dos rectas Sean: y L1 L2 m1: pendiente de L1 a m2: pendiente de L2 a: medida del ángulo formado por L1 y L2 Entonces: x O Tga = m2 - m1 1 + m1m2 Rectas paralelas y L1 L2 Si: L1 ' L2 Entonces: m1 = m2 = Tga a a O Donde: x m1: pendiente de la recta L1 m2: pendiente de la recta L2 Rectas perpendiculares y L1 Si: L1 = L2 L2 Entonces: (m1) . (m2) = - 1 Donde: x O m1: pendiente de la recta L1 m2: pendiente de la recta L2 Ecuación de la recta Ecuación general y La ecuación general de la recta L es: L L: Ax + By + C = 0 Donde: A, B y C es constante, siendo "m" su pendiente. O x m =- A B 128 128 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Ecuación punto pendiente y L La ecuación de la recta L. P(x0;y0) L: y - y0 = m(x - x0) Donde: x O P(x0;y0): punto de paso de la recta m: pendiente de la recta L Ecuación pendiente intersección L y La ecuación de la recta L. (0,b) L: y = mx + b Donde: x O m: pendiente de la recta L b: ordenada en el origen Nota: y y L L (0;a) x 0 0 (b;0) x L: y = a L: x = b m=0 Distancia de un punto a una recta y P(x1;y1) L Sea la ecuación de la recta L. d L: Ax + By + C = 0 d= 0 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria x 129 129 A (x1) + B (y1) + C A2 + B2 San Marcos Capítulo 18 Distancia entre dos rectas paralelas L1 y Sea: L1 ' L2 L2 L1: Ax + By + C1 = 0 d L2: Ax + By + C2 = 2 x 0 d= C2 - C1 A2 + B2 Observaciones Distancia entre dos puntos Q(x2;y2) d d= (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 P(x1;y1) Punto medio de un segmento b P(x1;y1) b M(x;y) x +x x= 1 2 2 Q(x2;y2) y + y2 y= 1 2 División de un segmento en una razón dada y n m M(x;y) Q(x2;y2) x= P(x1;y1) 0 nx1 + mx2 m+n y= ny1 + my2 m+ n x 130 130 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. La ecuación de la recta: (k + 1)x + (k - 1)y - k = 0 pasa por el punto (4; -1). Calcular: k Resolución • Si: (4 ; -1) ! recta: x=4 y=-1 ⇒ (k + 1) (4) + (k - 1) (-1) - k = 0 4k + 4 - k + 1 - k = 0 2k = - 5 k = - 2,5 02. Si: L1: 4x - 3y + 10 = 0, L2: kx + 4y - 5 = 0, son paralelos. Calcular: k Resolución • Si: L1 ' L2 • Pendientes iguales: • m1 = - 4 ; m2 = - K -3 4 Igualando: 4 =- K 3 4 16 K =3 03. Calcular la pendiente de la recta mediatriz del segmento AB, si: A(1;3) y B(3;7) Resolución L B (3;7) • Pendiente de la recta que pasa por AB. • m = 7-3 = 4 = 2 3-1 2 Propiedad: mL × mAB = 1 (2;5) mL × 2 = - 1 A (1;3) Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria mL = − 1 2 131 131 San Marcos Capítulo 18 Práctica 01. Calcular las coordenadas de B. Si: OB=BC=13 y OC=10 y a) 5y - 2x + 21 = 0 b) 5y - 3x + 9 = 0 c) 5y - 3x - 9 = 0 d) 3x + 5y - = 0 e) 3y + 5x - 53 = 0 C O x 05. Determine la ecuación de la recta L que pasa por el punto H(4 , -3) y es paralela a la recta: L1 : y = 3x + 5 B a) (-5 ; 12) d) (5 ; -12) b) (12 ; 5) e) (-5 ; -12) c) (5 ; 12) a) 5x - y - 13 = 0 b) 3x + y - 15 = 0 c) 3x - y + 15 = 0 d) 3x + y + 15 = 0 e) 3x - y - 15 = 0 02. Calcular la pendiente de la recta que pasa por H y M (BM=MC). Si: OB=15, BC=20 y OC=25 y 06. En la figura OABC es un cuadrado. Calcule la pendiente de la recta que pasa por P y B y B A M O C x H 4 3 d) - 3 4 a) b) 3 4 P O -4 3 c) x 4 5 d) 1 O b) e) L 9 3 0 c) 3 8 C x D 1 3 1 7 04. Determine la ecuación de mediatriz de AB. y b) y R 1 2 1 5 5 4 e) - 1 a) 07. Calcule la diferencia de las ordenadas de los puntos DyC B A d) C e) 1 ! 03. En la figura, AB = R 2 y mBD = 53c . Calcular la pendiente de AB. y a) B 52 D 1 4 c) 0 L , siendo A 2 B x 8 L la recta 5 2 d) 2 a) B b) 3 c) 1 e) 4 A 2 12 x 132 132 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 08. En la figura, calcular: AP. Si: OB = BC = 6 12. En la figura AO=2(BO) y el área de la región sombreada es 16 m2. Calcular la ecuación de la recta L2 y y L2 A 53º O B a) 4 5 b) 3 15 d) e) 85 53º C x c) 65 A 95 b) 5 e) 9 x O a) x + 2y - 8 = 0 c) 3x + y - 4 = 0 e) 2x + 3y + 12 = 0 09. La tangente del ángulo de inclinación de una recta es 12 . Si dicha recta pasa por los puntos: P(1;-5) y 5 Q(2n;7). Calcular: n a) 6 d) 3 L1 B P b) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + 3y - 12 = 0 13. Dado el siguiente gráfico, calcular la pendiente de la recta L1 y c) - 7 L2 L1 (-1,k) 10. En la figura OABC es un cuadrado y AB=8. Calcular la abscisa del punto medio de PO. y -2 O x 8 B A 75º P a) 3 d) - 3 O C a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 x b) - 3 2 1 e) 3 c) -1 3 14. Si la recta: L: 3x + 4y = 2 Calcular la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pase por el punto (4 , 2) c) 4 11. En la figura: OBCD y PQRS son cuadrados. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos C y R a) 5x - 3y + 10 = 0 c) 4x + 3y + 10 = 0 e) 4x - 3y + 10 = 0 b) 4x - 3y - 10 = 0 d) 4x + 3y - 10 = 0 15. Calcular la tangente del mayor ángulo que forman las rectas: y B C Q L1: 6x - 11y + 23 = 0 R O P S D a) 1 b) 2 d) 3 e) L2: 17x - 5y - 6 = 0 a) - 1 2 x c) d) 1 b) - 1 3 1 e) 2 c) - 1 1 2 1 3 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 133 133 San Marcos Capítulo 18 Tarea domiciliaria 01. Calcular el perímetro de la región triangular ABC y 0 a) 2 d) 5 B 6 2 05. El ángulo de inclinación de una recta mide 135º si pasa por los puntos (-3 , k) y (-5 , 4). Calcular: k A 2 a) 12 u d) 13 u C L1 x 8 b) 10 u e) 16 u T O y L x a) 3x - 4y + 8 = 0 c) 3y + 4x - 24 = 0 e) 3x + 4y - 24 = 0 y 0 B(2;5) C 2 x 1 A b) 5 e) 6 u2 c) 4,5 u2 a) (5 ; -2) d) (4 ; -3) y x D 03. Calcular la ecuación de la recta L b) (5 ; -1) e) (5 ; -4) c) (4 ; -2) 08. Se tiene un rombo ABCD, donde A(2;2) y C(4;6). Determinar la ecuación de la recta que contiene a la diagonal BD. L a) x + y - 11 = 0 c) x - y + 11 = 0 e) x + 3y - 11 = 0 135º O 6 1 0 u2 b) 4x - 3y - 24 = 0 d) 3y - 4x + 24 = 0 07. Siendo ABCD un paralelogramo. Calcular las coordenadas del vértice D. 3 a) 4 d) 5,5 u2 L c) 11 u 02. Del gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada, siendo: L: y = x + b u2 c) 4 06. En la figura: L1 : 4y + 3x - 24 = 0 y T es punto de tangencia. Calcular la ecuación de L y a a b) 3 e) 6 (4;0) x b) x - 2y + 11 = 0 d) x + 2y - 11 = 0 09. En el triángulo ABC mostrado; calcular la longitud de la mediana relativa al lado AC a) x + y + 4 = 0 c) x - y - 4 = 0 e) x - y - 8 = 0 b) x - y + 4 = 0 d) x + y + 8 = 0 y 4 04. Determinar la ecuación de la recta que es paralela a la recta L:y - 2x = 0 y que limita con los ejes coordenados, una región cuya área es 9u2, además dicha recta interseca al semieje positivo de ordenadas. a) y - 2x + 6 = 0 c) y - 3x + 6 = 0 e) y - 2x - 6 = 0 a) 11 u A 0 b) 12 u C 2 1 3 5 x c) 15 u d) 17 u b) y + 2x = 0 d) y + x + 6 = 0 -9 134 134 B e) 24 u Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 10. En la figura, calcular: m . Si ABCD es un cuadrado k de centro O y a) 8 u2 d) 12 u2 C (m,k) B 14. En un trapecio isósceles ABCD (BC//AD) donde A(0;0) y C(6;2). Calcular el área de la región limitada por el trapecio, siendo BC paralelo al eje de abscisas. b) 16 u2 e) 24 u2 c) 10 u2 15. Calcular la distancia del punto: A=(-4 ; 3) a la recta: L:y = 2x + 5 O D A a) x d) a) 1 d) b) 2 3 2 e) c) 4 3 5 5 6 5 5 b) e) 2 5 5 8 5 5 c) 4 5 5 16. Determinar la ecuación de la recta, que contiene al baricentro de una región triangular, de vértices (6;0), (a;b), (-a;-b) y además al punto (0;0) 2 3 11. Calcular la pendiente de la recta que pasa por O y C y A a) y = x c) y = x + 1 e) y = x - 1 b) y = 0 d) y = x + 2 17. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A=(4;2) y por el punto de intersección de las rectas: C L1: 2x - 3y - 12 = 0, L2: x + 3y - 6 = 0 O a) d) B 1 2 x e) 3 2 12. En una semicircunferencia de diámetro AB; A(-3;0), en dicha semicircunferencia se ubica el punto C de coordenadas (3;3), si la ordenada de B es el cero. Calcular las coordenadas de B b) ` 5 ; 0j 2 9 e) ` ; 0j 2 a) (2;0) d) ` 7 ; 0j 2 O a) 6 d) - 6 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b) 2 2 e) 6 c) 4 20. Calcular la ecuación de una recta L que pasa por el punto R(4;-3) y es paralela a una recta: L1: y=3x+5 a) y - 3x - 15 = 0 c) y + 3x - 15 = 0 e) 3y - x - 15 = 0 b) y - 3x + 15 = 0 d) y + 3x - 19 = 0 B C b) - 2 6 e) - 1 b) 3x - y - 3 = 0 d) 4x - y - 2 = 0 19. Dados los puntos A(-2;-3), B(2;1) y C(4;-9) y M punto medio de BC. La distancia de M al segmento AC es: d) 4 2 y M a) 2x + y - 2 = 0 c) 2x - y - 2 = 0 e) 4x + y + 2 = 0 a) 2 c) ` 3 ; 0j 2 13. En la figura OABC es un cuadrado. Calcular la pendiente de la recta que pasa por C y M A b) 2x + y - 6 = 0 d) x + y - 3 = 0 18. Los vértices de un triángulo son: A=(-2;3), B=(5;5) y C=(3;-3). Calcular la ecuación de la recta que pasa por la base media relativa a BC c) 1 b) 2 2 2 a) x + y - 6 = 0 c) x - y - 6 = 0 e) x + y - 12 = 0 x c) 2 6 135 135 San Marcos Capítulo 19 19 Circunferencia Problemas resueltos 01. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2 ; 3) y que pasa por el punto (5; –1). Dar como respuesta su radio. Resolución • y Por distancia entre dos puntos: r2 = (2 – 5)2 + (3 – (–1))2 ⇒ r = 5 • (2;3) r Ecuación: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 x (5; –1) • Radio: r=5 02. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3; 5) y que es tangente a la recta: y – 1 = 0 Resolución y • Ecuación: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 5 1 O (3;5) r=4 • Vemos: h = 3; k = 5; r = 4 L:y=1 x ⇒ (x – 3)2 + (y – 5)2 = 16 136 136 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. Calcule el área de la región formada por el semieje positivo de abcisas, la circunferencia: x2 + y2 = 144m2 y la recta: y - 3 x = 0 a) 12pm2 b) 16pm2 d) 36pm2 e) 42pm2 c) 24pm2 06. Determine la ecuación de la circunferencia con centro (3;1) y tangente a la recta, L :x + y + 3 = 0 a) 2x2 + 3y2 + 12x + 4y – 29 = 0 b) 2x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0 c) x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0 02. Calcule la longitud del radio de la circunferencia. d) x2 + 2y2 – 6x – 2y – 36 = 0 y e) 2x2 + y2 – 14x – y – 49 = 0 (5;12) 07. Calcule el radio de la circunferencia que tiene por centro el punto (5;2) y es tangente a la recta: O x L : 3y + 4x - 11 = 0 a) 1 d) 4 a) b) 13 d) 29 17 c) 17 C: x2 + y2 = 8x + 6y Calcule la distancia del origen de coordenadas al centro de la circunferencia. x2 + y2 – 8x – 6y – 11 = 0 Hallar el radio y las coordenadas del centro. a) 36; (4;3) d) 6; (3;4) b) 36; (3;4) e) a) + a) 4 b) 5 d) 7 e) 8 c) 6 c) 6; (4;3) 09. Calcule el área de la región del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. 6 ; (3;4) 04. La ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia, C1 : x2 + y2 – 8x + 4y + 5 = 0 y que pasa por el punto P(2;1) es: y2 c) 3 08. La ecuación de una circunferencia es: e) 13 03. La ecuación general de una circunferencia es: x2 b) 2,4 e) 5 + 8x + 4y + 15 = 0 b) x2 + y2 – 8x + 4y + 7 = 0 C : x2 – 4x + y2 + 6y + 9 = 0 a) 12 3 ∝2 b) 6 3 ∝2 d) 3 3 ∝2 e) 2 3 ∝2 c) 4 3 ∝2 c) x2 + y2 – 2x + 4y – 47 = 0 d) x2 + y2 + 8x + 4y – 5 = 0 e) x2 + y2 10. Determine la ecuación de la circunferencia inscrita en la región triangular determinada por los ejes del sistema y la recta: + 8x + 4y + 5 = 0 05. Determine la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto A(1;4) y pasa por el foco de la parábola, y2 + 8x = 0. L : 4y + 3x + 12 = 0 a) x2 + y2 = 1 a) x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0 b) (x+1)2 + (y+1) = 1 b) x2 + y2 + 8x – 2y – 8 = 0 c) (x–1)2 + (y+1)2 = 1 c) x2 + y2 – 2x – 2y + 8 = 0 d) (x+1)2 + (y–1)2 = 1 d) x2 + y2 – 2x – 8y – 8 = 0 e) (x–1)2 + (y+1)2 = 1 e) x2 – y2 – 2x – 8y – 8 = 0 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 137 137 San Marcos Capítulo 19 11. Determine la ecuación de la circunferencia si el área de la región cuadrada es 8u2 14. Determine la ecuación de la circunferencia menor inscrita en el triángulo OAB, F(–1; 2 6 ), B(4;0) y B A y F C O A x O a) x2+y2=4 b) x2+y2=16 c) x2+y2=4 2 d) x2+y2=8 2 B x a) (x–3)2+(y–1)2=32 b) x2+y2=6 c) (x+3)2+(y–1)2=2 e) x2+y2=16 2 d) (x–3)2+(y+1)2=1 (x–4)2+(y–3)2=9, 12. Sea C: calcule la medida del ángulo formado por las tangentes trazados desde el origen de coordenadas. a) 30º c) 53º e) 37º b) 60º d) 74º e) (x–3)2+(y–1)2=1 15. Sea C=x2+y2=16, C1:(x–5)2+y2=9. Calcule la cuerda común entre ambas circunferencias. 13. Determine la ecuación de la circunferencia menor si esta es tangente a los radios y al arco correspondientes a) 12 5 b) 24 5 c) 36 5 d) 24 7 e) 12 y 60º x 6 a) (x–2)2+(y+2 3 )2=4 b) (x+2)2+(y–2 3 )2=4 c) (x+2 3 )2+(y–2)2=4 d) (x-2 3 )2+(y+2)2=16 e) (x+2 3 )2+(y–1)2=4 138 138 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. A(3;1) es un punto de, C: x2 + y2 – 4x + 6y – 4 = 0. Determine la ecuación de la tangente a C en el punto A. a) x + 4y – 1 = 0 b) x = 4y c) y = 4x d) x + y – 7 = 0 e) x + 4y – 7 = 0 02. Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas y tangente exteriormente a la circunferencia. C1: x2 + y2 – 8x – 6y + 9 = 0 a) x2 + y2 = 4 b) x2 + y2 – 1 = 0 c) x2 + y2 – 2 = 0 d) x2 + y2 + 4 = 0 07. Determine la ecuación de la circunferencia, cuyo centro es el origen de coordenadas y es tangente a la recta L. L: 3x+2y–6=0 a) x2+y2=6 b) x2+y2= 2 3 d) x2+y2=9 c) x2+y2= 36 13 e) x2+y2=10 08. Determine la ecuación de la circunferencia si: L: 4x–3y+12=0 (M,T,Q: puntos de tangencia). y L Q e) x2 + y2 + 2 = 0 T 03. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(–3;–4) y B(5;8). Determine la ecuación de la circunferencia. M x a) x2 + y2 + 2x – 4y – 47 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 4y – 47 = 0 c) x2 + y2 – 2x + 4y – 47 = 0 d) x2 + y2 – 2x – 4y – 47 = 0 a) (x–3)2+(y–3)2=3 3 e) x2 + y2 – 2x – 4y – 57 = 0 b) (x+3)2+(y+3)2= 3 c) (x–3)2+(y+3)2=9 04. Determine la ecuación de la circunferencia. A(2,3) y d) (x+3)2+(y–3)2=3 e) (x–3)2+(y–3)2=9 A 09. Determine la ecuación de la circunferencia inscrita al cuadrado OABC , B(4;a) x y a) x2+y2=5 b) x2+y2=9 c) x2+y2=6 d) x2+y2=13 A B e) x2+y2= 13 05. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia C. C:x2+y2–4x–2y–4=0 a) (2;1) b) (3;2) c) (2;3) x a) (x–2)2+(y–2)2=4 b) (x+2)2+(y–2)2=4 06. Calcule el radio de la circunferencia C, si C:x2+y2+4y–5=0 a) 2 b) 3 c) (x+2)2+(y+2)2=4 d) (x–1)2+(y–2)2=16 d) 5 e) (x–2)2+(y–2)2=16 e) 1 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria C d) (4;3) e) (3;1) c) 6 O 139 139 San Marcos Capítulo 19 10. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta L. 14. Si: O y N son puntos de tangencia OM=6. Halle la ecuación de la circunferencia. y L: 5x+12y–60=0 a) N x2+y2=4 b) (x–2)2+(y–2)2=16 O c) x2+y2–4x–4y+4=0 M x d) (x+2)2+(y–2)2=16 e) x2+y2+4x+4y–4=0 a) (x–6)2+(y–3)2=9 11. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2;1) y radio igual a la distancia de centro hacia el eje "y" a) b) (x+6)2+(y+3)2=3 (x–2)2+(y–1)2=4 c) (x–6)2+(y–3)2=27 b) (x–2)2+(y–1)2=2 d) (x–3)2+(y–6)2=9 c) (x+2)2+(y+1)2=4 e) (x+3)2+(y–3)2=27 15. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 8 y centro en el origen de coordenadas. d) (x–2)2+(y)2=4 e) (x–2)2+(y–1)2=2 2 a) x2+y2=8 12. Hallar el radio de la circunferencia C: b) x2+y2=4 x2+y2–2x–8y+5=0 a) 4 3 c) 6 c) x2+y2=64 b) 4 d) x2+y2=8 2 d) 2 3 e) x2+y2=4 e) 4 2 13. Hallar la ecuación de la circunferencia de diámetro AB A(2;1); B(8;9) a) (x–5)2+(y–5)2=25 b) (x–2)2+(y–2)2=2 5 c) (x–2)2+(y–1)2=5 d) (x–5)2+(y–5)2=16 e) (x–5)2+(y+5)2=16 140 140 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 20 Parábola Problemas resueltos 01. En la figura "V" es el vértice de la parábola, NO = 2 y VO = 4. Hallar la ecuación de la parábola. y Eje focal N O V x Resolución y • Ecuación de la parábola: (x – 4)2 = 4p (y – 0) N (0;2) 2 F O V 4 • x • El punto (0 ; 2) ∈ parábola: (0 – 4)2 = 4p(2) p=2 Luego: ⇒ (x – 4)2 = 8y Práctica 01. Calcule el foco de la parábola: y2 – 4y – 4x = 0 a) (0 ; 2) d) (–2 ; 0) b) (0 , 1) e) (0 ; 3) c) y2 + 24x – 6y – 87 = 0 d) y2 – 24x – 6y – 87 = 0 e) y2 – 24x – 6y + 87 = 0 c) (2 ; 0) 04. Determine la ecuación general de la parábola P cuyo foco es F(4;6) y su directriz es, D: y + 2 = 0 a) x2 + 8x + 16y + 48 = 0 b) x2 – 8x – 16y + 48 = 0 c) x2 – 8x – 16y – 48 = 0 d) x2 + 8x – 16y + 48 = 0 e) x2 – 8x + 16y – 48 = 0 02. Determine la ecuación de la parábola: y (8;4) O a) x2 = 2y c) (y – 4)2 = 4(x – 8) e) y2 = x x 05. Dada la parábola, P : x2 – 6x + 8y + 1 = 0, cuyo foco es F(a;b). Calcule: b – a a) – 4 b) 0 c) – 1 d) 2 e) 3 b) y2 = – 2x d) y2 = 2x 03. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(4;–3) y cuyo foco es: F(–2;–3) a) y2 + 24x + 6y – 87 = 0 b) y2 – 24x + 6y – 87 = 0 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 141 141 06. La parábola P pasa por los puntos A(0;0), B(2;4) y C(2;–4). Determine la ecuación general de P. b) y2 – 8x = 0 a) x2 – 8x = 0 2 d) y2 – 4x = 0 c) x – 8y = 0 2 e) y – x = 0 San Marcos Capítulo 20 07. P es una parábola, que se abre hacia la derecha, cuyo lado recto es el segmento que une los puntos A(3;5) y B(3;–3). Determine la ecuación general de P. a) b) c) d) e) e) 16 13. Calcule la ecuación de la parábola si OF es lado recto F(0,8) y2 – 8x – 2y + 4 = 0 y2 – 8x – 2y + 9 = 0 x2 – 8x – 2y + 9 = 0 x2 – 8y + 2x + 4 = 0 y2 – 4x – 2y + 9 = 0 b) (y+4)2=8(x+2) 09. Sea la parábola, P : y2 = 8(x – 3). Determine la ecuación de la recta tangente a la parábola de pendiente positiva que pase por uno de los extremos del lado recto. a) x + y – 1 = 0 b) x – 2y – 1 = 0 c) x – y – 1 = 0 d) 2x – y – 1 = 0 e) x – y + 2 = 0 d) (y–4)2=8(x+2) b) 1 d) 3 4 e) 2 11. Los puntos A(8;4) y B(–4;m) pertenecen a la parábola mostrada. Calcule: m y a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 2,5 B O C a) 3 3 b) 8 3 c) 64 3 d) 16 3 e) 24 3 15. Sea la parábola P:(y+2)2=8(x–1). Calcule las coordenadas del punto de intersección de P con el eje x b) ( 3 ; 0) a) ( 3 ; 0) 2 4 c) ( 1 ; 0) 2 d) ( 1 ; 0) 3 e) ( 2 ; 0) 3 12. Se tiene la parábola cuyo vértice es (2;0), corta el eje "y" en el punto (0,1) calcule el la longitud del lado recto. a) 4 b) 2 c) 8 x A x e) 3/2 x 14. Calcule el área de la región triangular equilátera si AC es el lado recto y OB=8 3 –4 y 1 4 c) O e) (y–4)2=16(x–2) 10. Calcule el área de la región del triángulo formado por el vértice, el foco de la parábola. P: x2+y–4x+6=0 y la intersección de ésta con el eje y. 1 2 F c) (y–4)2=4(x+2) 08. La entrada de una iglesia tiene forma parabólica de 9 m de alto y 12 m de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8m. ¿Cuál es la altura de la ventana? a) 2,5 m b) 3 m c) 4 m d) 4,5 m e) 5 m a) y a) (y+4)2=4(x–2) d) 5 Tarea domiciliaria 01. Halle la ecuación de la parábola: y a) x2 = – 8y c) y2= x e) x2 = 8 y 02. Si: (–4;2) es el vértice de la parábola. P: x2 + 8x – 8y + m = 0. Calcule: "m" (4;2) O b) y2 = 8x d) (x – 4)2 = 4(y – 2) x 142 142 a) 36 b) 34 d) 40 e) 30 c) 32 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 03. Los extremos del lado recto de una parábola son los puntos (–3;2) y (7;2). Si la parábola se abre hacia abajo. Halle las coordenadas del vértice de dicha parábola. a) (2;4) b) `2; 5 j 2 d) (2;2) e) (2;3) c) `2; 9 j 2 04. Sea C y P una circunferencia y una parábola respectivamente, de ecuaciones: C: x2 + y2 – 4 = 0 ; P: y2 – 8x – 8y + 32 = 0 Encontrar el punto de C más alejado del foco de P. a) ^ - 2 ; 2h b) ^ 2 ; 2 h d) (2;2) e) (1;1) c) ^ - 2 ; - 2 h d) 9 4 b) 3 e) a) 5 2 + 1 b) 5 3 + 2 d) 6 e) 5 2 + 2 12. Una parábola tiene su foco en el punto F(–1 ; 2) y su directriz es la recta L : y - 6 = 0 . Determine su ecuación. a) x2 + 2x + 8y – 31 = 0 b) x2 – 2x + 8y – 31 = 0 c) x2 + 2x + 8y + 31 = 0 d) x2 + 2x + 8y – 32 = 0 c) 1 7 5 13. En la figura AVC es un arco parabólico de 12 m de luz. Si la parábola tiene vértice V(0;9), determine un punto P de la parábola en el primer cuadrante de manera que el área de la región triangular APC sea 6m2. y V P 06. Calcule la ecuación de la parábola cuyo foco es F `0; 3 j y cuya directriz es la recta L : 2y + 3 = 0 . 2 b) x2 = 9y c) x2 = y a) x2 = 6y d) x2 = 4y e) x2 = y 3 07. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen, sabiendo que es simétrica respecto al eje y y que pasa por el punto Q(4;–8) y =0 2 d) x2 + 2y = 0 a) 2x2 + y = 0 b) 2x2 + c) x2 + y = 0 e) 4x2 + y = 0 08. Calcule las coordenadas del foco de la parábola. P: x2 + 2x + 4y – 7 = 0 a) (–1;1) b) (–1;–1) c) (–1;2) d) (–1;–2) e) (–1;0) 09. Determine la ecuación de la parábola que tenga por foco F ` - 5 ; 0j y directriz la recta L : 3x - 5 = 0 . 3 2 b) 3y2 + 60x = 0 a) 3x + 20y = 0 c) 3y2 + 10y = 0 10 +2 c) e) x2 + 2x – 8y + 32 = 0 05. Sea la parábola, P : y = ax2 + bx + c, sabiendo que su vértice es el punto V(2;3) y que la curva pasa por el origen de coordenadas. Calcular: a + b + c. a) - 3 9 11. Calcule la distancia máxima del vértice de la parábola, P : x2 – 4x – 4y – 4 = 0 a la circunferencia. C: x2 + y2 – 6x + 10y + 30 = 0 A C a) (2 2 ; 1) b) (4;1) d) (3 2 ; 1) e) ( 2 ; 3) x c) (4 2 ; 1) 14. P es una parábola de vértice V, foco F y ecuación, x2 – 8x – 16y + 80 = 0. Graficar en un mismo plano coordenado, la parábola P y la circunferencia que tiene a VF como uno de sus diámetros. Dar como respuesta el centro de dicha circunferencia. a) (4;6) b) (2;3) d) (–4;6) e) (6;4) c) (4;5) 15. P es una parábola que no corta al eje x y cuyo lado recto es el diámetro horizontal de la circunferencia, C: x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0. Graficar P y C en un plano coordenado. Dar como respuesta al vértice de la parábola. a) (2;2) b) (3;2) d) (1;2) e) (3;3) c) (2;3) d) 3y2 + 20x = 0 e) 3y2 + 40x = 0 10. Si la recta, L : 3x + 4ky + 4 = 0 pasa por el vértice de la parábola, P : y2 – 3x + 4y – 8 = 0. Calcule: k. a) – 1 b) 2 c) 1 d) – 2 e) 3 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 143 143 San Marcos Capítulo 21 Geometría del espacio (Ángulo diedro – triedro) 21 Problemas resueltos 01. Dos caras de un triedro miden 120` y 130` la tercera cara puede medir: Resolución 130º – 120º < x < 130º + 120º 10º < x < 250º 0º x + 120º + 130º < 360º 0º < x + 250º < 360º x < 110º x º130º 0 2 1 Luego: 10º < x < 110º x = 20º 02. Un segmento AB forma con un plano P un ángulo de 45º, un segmento AC contenido en el plano forma con la proyección de AB sobre dicho plano un ángulo de 45º. Calcular la medida del ángulo BAC. B n 2 2n 45º 45º A T n 2 n n R C Resolución B 2n n 3 A x • D ABT: notable 45º; AB = 2n • D ART: notable 45º; AR = n • BR ⊥ AC: teorema de las 3 perpendiculares. • D ABR: notable 30º y 60º. x = 60º n R 03. Se tiene dos rectas alabeadas que determinan un ángulo de 60º siendo la AB la distancia entre ellas; en una de ellas se ubica un punto "P" que dista de la otra recta que contiene a "B" en PS = 2(AB). Hallar: m∠APB Resolución 2a A a B x 2a 60º a 2a P a H a 3 S • Trazar PH perpendicular a la proyección de AP sobre el plano. • Unimos "H" con "S": PH = AB = a • D PHS: 30º y 60º, HS = a 3 • D BSH: 30º y 60º, BS = a y BH = 2a. • D APB: x = 53 2 144 144 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. La distancia entre A y B es 13u y la distancia del punto A al plano P es 12u. Calcule la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano P. • La intersección de dos planos puede ser un punto ......................................................... ( ) a) FVFF d) FVVV (B ∈ P) A b) FVVF e) VVVV c) VVFF 05. Si: 6A // 6B // 6C, FH = 2(EF) y MN = 3 2 u . Calcular el valor de LN. B P a) 5 u d) 12,5 u b) 12 u e) 7 u c) 13 u 02. A∈Q, B∈P y los planos P y Q son paralelos cuya distancia es 20 u. Calcule la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano Q. M E A N F B Además: AB = 25 u. B C P A Q a) 17 u d) 25 u b) 20 u e) 30 u c) 15 u L H a) 3 2 u b) 1, 5 2 d) 6 2 u e) c) 6 u 2u 06. Calcular el máximo número de planos que se obtiene con 20 puntos no coplanares. 03. En el gráfico, las distancias de A y B al plano H son de 6 u y 2 u respectivamente. Si la longitud de la proyección de AB sobre dicho plano es 12 u. Calcule: AB. a) 1120 d) 1130 b) 1140 e) 1100 c) 1230 07. Hallar el máximo número de planos que se pueden determinar con 10 rectas paralelas. A B a) 38 d) 45 b) 46 e) 48 c) 44 H a) 4 10 u d) 10 3 u b) 5 3 u e) 9 u 08. Calcular el máximo número de planos que se pueden obtener con 6 puntos, 8 rectas paralelas y 10 rectas secantes, siendo todos ellos no coplanares. c) 10 2 u 04. Determinar si es falso o verdadero cada una de las proposiciones siguientes: • Si tres puntos son coplanares, entonces están siempre alineados ...................................... ( ) • Dos rectas que se intersectan determinan un plano ......................................................... ( ) • Dos rectas que no se intersectan siempre son rectas paralelas........................................... ( ) Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 145 145 a) 201 d) 281 b) 260 e) 300 c) 266 09. OB es perpendicular al plano Q y AB es diámetro del círculo contenido en Q. Si AC y OC miden 4 u y 6 u. Calcular el área de la región triangular AOC. a) 8 u2 d) 18 u2 b) 10 u2 e) 24 u2 c) 12 u2 San Marcos Capítulo 21 10. Se tiene un plano P y un segmento AB = 12u que no pertenece a dicho plano. Calcule la medida del ángulo formado por AB con el plano si las proyectantes de A y B miden 13 u y 7 u respectivamente. a) 45º d) 37º b) 30º e) 53º c) 60º 11. Se dibujan los rayos Ax y By no coplanares, siendo AB la perpendicular común a dichos rayos. Se ubican los puntos P y Q en los rayos Ax y By respectivamente tales que: AP≅BQ≅AB. 14. Dado un triángulo rectángulo isósceles AOB, siendo AO = OB = 6 u ; en el vértice O se levanta una perpendicular al plano AOB y se toma un punto M sobre ésta perpendicular, uniendo M con los vértices A y B. Calcule el valor de OM para que el diedro AB mida 60º. a) 3 u d) 4 u 15. ¿Cuál es el diedro que se debe hacer girar la puerta de modo que el cable AB sea 2 m, si: BC = 1m? Si los rayos Ax y By forman un ángulo agudo cuya medida es 60º, entonces la medida del ángulo formado por las rectas AB y PQ es: a) 30º d) 90º b) 60º e) 37º 1m b) 17 u e) 30 u A c) 45º 2m B 12. Ser traza PQ perpendicular a un plano H, el punto Q está en el plano H. Haciendo centro en el punto Q se traza una circunferencia de radio 9u, por un punto B de ésta se traza la tangente BC de 8 u. Calcule: PC, si: PQ = 12 u. a) 15 u d) 25 u c) 2 3 u b) 3u e) 5 u C a) 30º d) 120º c) 20 u b) 45º e) 15º c) 90º 13. Se tienen dos segmentos alabeados AB y CD los cuales miden 8 u y 14 u respectivamente. Calcular la medida de EF sabiendo que "E" es punto medio de AC y "F" punto medio de BD. Además estos segmentos son ortogonales. 35 u a) d) 25 u b) 29 u e) 65 u c) 56 u 146 146 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Se tiene AB, la diferencia de las distancias de A y B a un plano exterior es 9 u. Si la proyección de AB sobre el plano es igual a 40 u. Calcular: AB a) 49 u b) 48 u c) 45 u d) 44 u e) 41 u 02. Calcule el máximo número de planos que determinan cinco puntos en el espacio. a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 7 03. La distancia EA del punto E del espacio a una recta contenida en un plano H es 17 u y la distancia del mismo punto E al plano H es 15 u. Calcule la longitud de la proyección de EA sobre el plano H. a) 10 u b) 8 u c) 12 u d) 6 u e) 5 u 04. En el gráfico BD es perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC; AH = 8 u, HC = 12 u y BD=4 2 u . Calcular la medida del diedro AC. 07. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABF se encuentran en planos perpendiculares. Sea "a" la longitud del lado del cuadrado, calcule la distancia del punto medio de AD al circuncentro del triángulo ABF. a) a 6 3 b) 2a 3 d) a 21 6 e) a 26 8 c) a 08. Un rectángulo ABCD y un triángulo equilátero ABF están contenidos en planos perpendiculares. Si: AB = 2a 3 y AD = 4a. Calcule la menor distancia entre AB y FD. a) a b) 2,4 a c) 2 a d) 3 a e) 5 a 09. En la figura AE es perpendicular al plano de la circunferencia de centro "O", AE = 4 3 , AB = 4, BC m∠BAC = 30º. Calcule la medida del diedro BC. E D P A a) 45º d) 60º A C B H H b) 53º e) 30º a) 37º d) 53º c) 37º 05. En el gráfico el triángulo ABC es equilátero cuyo lado mide 4 3 u. Si: BD = 3u, calcule la medida del diedro D – AC – B. O B C b) 60º e) 26º30' c) 63º30' 10. En el gráfico los planos "P", "Q" y "R" son paralelos. Calcule: AB. Si: MB=12 u, ND=9 u y AB–CD=7 u. D B C B M C A A N M A a) 53º d) 37º 37c 2 e) 60º b) c) 53c 2 C 06. En un triángulo isósceles ABC, AB=BC=5u, AC=6u se traza la altura BH, teniendo a BH como lado se construye un cuadrado BHPQ perpendicular al plano del triángulo. Calcule el área de la región triangular CPQ. a) 5 u2 b) 12 u2 c) 13 u2 2 2 d) 10 u e) 7 u Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 147 147 a) 16 u d) 24 u D B b) 12 u e) 28 u c) 21 u 11. En un triedro O – ABC las caras miden aº=60º, bº=cº=45º. Calcule la medida del diedro OA. a) 90º b) 60º c) 120º d) 135º e) 53º San Marcos Capítulo 21 12. En el gráfico AB es perpendicular al plano P MC pertenece al plano "P", calcule: AC. Si: AB=12u, BM=9 u y MC = 8 u. 16. El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero PAB están en planos perpendiculares. Calcule el área de la región triangular PCD. Si: AD = 8u. A C B M P a) 15 u d) 20 u b) 16 u e) 25 u c) 17 u 13. Un segmento AB forma con un plano P un ángulo cuya medida es 45º, un segmento AC contenido en el plano P forma con la proyección de AB sobre dicho plano un ángulo cuya medida es 45º. Calcule la m∠BAC. a) 15º b) 30º c) 45º d) 50º e) 60º a) 18 5 u b) 24 3 u d) 20 5 u e) 27 3 u 17. El segmento PA es perpendicular al plano del rectángulo ABCD. Si: AB = AD = AP y la distancia de A a 3 4 5 DB es 4,8 u. Calcule: PC. a) 12 u b) 16 u c) 10 2 u d) 8 3 u e) 7 5 u 18. En el gráfico ABCD – EFGH es un cubo. Calcule la medida del ángulo que determinan las rectas L1 y L2. L1 B A D 15. En el gráfico los tres planos son paralelos y G es baricentro del triángulo isósceles ABC. Si: AC = 12 u, calcule: GE. B D G L2 a) 30º d) 75º C F E 14. Los planos paralelos P, Q y R intersecan a las rectas L1 en A; B y C a L2 en D, E y F respectivamente. Si: AB = x – 1, BC = 2x + 2, DE = 6u y EF = 20 u. Calcule: AB a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u c) 16 7 u H b) 60º e) 37º G c) 53º 19. Un círculo de 16 m de radio se halla contenido en un plano que forma 60º con el plano horizontal. Hallar la longitud de la proyección sobre el plano horizontal del diámetro que sigue la dirección de la recta de máxima pendiente. a) 13 m b) 14 m c) 15 m d) 17 m e) 16 m 20. Demostrar que en todo triedro, la suma de diedros exteriores es mayor que 0º y menor que 360º. E Rpta: ................ C A a) 4,2 u d) 4 u b) 3,5 u e) 3 u c) 4,5 u 148 148 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Geometría del espacio (poliedros regulares) 22 Poliedros vértice arista vértice cara convexo no convexo Teorema de Euler C=5 V=5 C=7 & C+V=A+2 V = 10 % A=8 A = 15 5+5=8+2 7 + 10 = 15 + 2 Teorema Sic = suma de los ángulos internos de todas las caras. Sic = 360º (A – C) = 360º (V – 2) A: número de aristas V: número de vértices C: número de caras Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 149 149 San Marcos Capítulo 22 Poliedros regulares Sólo existen cinco poliedros regulares. Tetraedro regular Hexaedro regular o cubo Octaedro regular Poliedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular Forma cara C V A Tetaedro 4 4 6 Hexaedro 6 8 12 Octaedro 8 6 12 Dodecaedro 12 20 30 Icosaedro 20 12 30 150 150 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tetraedro regular a h " altura a h h= a 6 3 a A = a2 3 3 V= a 2 12 a Octaedro regular a d=a 2 d d " diagonal del sólido a 3 V= a 2 3 a a a A = 2a 2 3 Hexaedro regular (cubo) a d= a 3 d a d " diagonal del cubo a A = 6a2 V = a3 a a Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 151 151 San Marcos Capítulo 22 Problemas resueltos 01. En un tetraedro regular ABCD, se ubican los puntos medios P, Q; R y S de: AB, AD, CD y CB respectivamente. Si la superficie PQRS mide 4. Hallar el área de la superficie del tetraedro. Resolución A P B x Q x x D x S • SPQRS = x2 = 4 ⇒ x = 2 • ABCD: SR es base media, BD = 2x = 4 • R 2 S = 4 # 4 3 = 16 3 4 S = 16 3 C 02. Dado el siguiente cubo, hallar la medida del ángulo formado por CO y LA. C L O A Resolución C L O P x • Proyectar CO sobre la base del cubo. • Como CO//PA y PA es proyección: el ángulo pedido es x. • Unimos "P" y "L": PL = PA = AL • D APL es equilátero. x = 60º A 03. Hallar el número de vértices de un poliedro si está formado por 8 octógonos, 12 cuadriláteros y 20 triángulos. Resolución Si el poliedro está formado por 8 octógonos, 12 cuadriláteros y 20 triángulos ⇒ C = 8 + 12 + 20 = 40 A= 8 (8) + 12 (4) + 20 (3) = 86 2 V+C=A+2 V + 40 = 86 + 2 V = 48 152 152 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. En el cubo, calcule la m∠ABC. 06. Calcular la distancia entre los baricentros de dos caras consecutivas de un octaedro regular de arista 3 u. B a) 2 2 u b) 2u 3 2u 2 e) 2u 2 d) C b) 37º e) 60º c) 45º a) 2 m 02. Si la diagonal de un octaedro regular mide 3 2 , calcular su volumen. a) 3 2 u b) 2 3 d) 36 2 e) 9 2 3 2u 07. Si la longitud de la arista de su tetraedro regular es 2 m. Hallar la mínima distancia entre dos de sus aristas opuestas. A a) 30º d) 53º c) d) b) 1 m 3 2 e) c) 2 2 m 2 08. En el cubo mostrado "O" es el centro de la cara EFGH. Calcular el área de la región triangular AOC. c) 18 2 G C 03. En la figura, calcular "x" si "O" es el baricentro de la cara ABD en el tetraedro regular cuya arista mide "a" metros. B F 10 D O H C x A a) 50 2 d) 25 2 B a) a 6m 8 b) a 7m 8 d) a 3m 4 e) a 7m 7 c) a 6m 9 • El dodecaedro regular tiene 20 vértices. • El icosaedro regular tiene 30 aristas. • El octaedro regular tiene dos diagonales. • EL cubo tiene dos diagonales. b) 3 e) 4 b) 25 3 e) 50 c) 50 3 09. El área total de un tetraedro regular es 36 3 u2 . Calcule la longitud de la altura de una de sus caras. 04. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos? a) 2 d) 1 E A O a) 2 3 u b) 6 3 d) 3 3 u e) 4 3 u c) 3 2u 10. En la figura se pide la arista del cubo sabiendo que el área de la región sombreada es 3 3 m2 . c) 0 05. La suma de las longitudes de las aristas de un octaedro regular es igual a 36 m. Calcule el área de la superficie total de dicho sólido. a) 18 3 m2 d) 9 m2 b) 9 3 m2 a) 2m d) 2 m c) 18 m2 e) 6 3 m2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 153 153 b) 3m e) 3 m c) 1 m San Marcos Capítulo 22 11. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Las caras de un poliedro convexo son polígonos convexos. 16. En un tetraedro regular de arista "a", calcular la distancia del baricentro de una cara lateral a la altura del sólido. a) II. El menor número de aristas concurrentes en un vértice de un poliedro convexo es tres. III. En un poliedro convexo el número de vértices es mayor que el número de caras. a) VFV d) FVF b) FFF e) VVF c) FVV d) a 3 b) 3 u3 e) 12 u3 c) 6 u3 13. La arista de un hexaedro regular mide L, entonces el área total de su poliedro conjugado inscrito al hexaedro es: a) L2 3 2 d) 3L2 3 5 b) L2 3 e) c) 4L2 3 5 4L2 3 9 b) 2 m3 e) 6 m3 c) 3 m3 15. El área total de un cubo es 24 m2. Calcule el volumen del tetraedro regular inscrito en dicho cubo. a) 8/3 d) 16 2 3 b) 4/3 e) c) e) c) a2 2 4 a 3 9 a) a 3 4 b) a2 2 d) a2 2 3 e) c) a2 2 4 a2 2 5 18. En un cubo cuya arista mide "a", se encuentra una hormiga ubicada en un vértice y se traslada al vértice opuesto por la superficie del sólido haciendo el menor recorrido. ¿Cuánto recorrió la hormiga? a) a (1 + 2 ) b) a (1 + d) a 5 e) a 3 3) c) 3a 19. Se tiene un cubo ABCD – EFGH cuya arista mide "a", calcule la mínima distancia entre BD y CH. 14. Calcular el volumen del octaedro regular obtenido al unir los centros de las caras de un cubo de 6 m3 de volumen. a) 1 m3 d) 4 m3 b) a 2 17. Hallar el área de la sección originada por un plano de simetría que pasa por una de las aristas de un tetraedro de arista "a". 12. Calcular el volumen del tetraedro regular A – BCD, de altura AH, siendo "O" el punto medio de esta, tal que: OD = 3u a) 1 u3 d) 9 u3 a 3 5 a) a 3 b) a 3 2 a 6 3 e) a 6 2 d) c) a 3 3 20. En un octaedro regular su arista mide L unidades. Entonces, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es: a) L 8 2 3 d) 4L 3 b) e) L 2 5L 6 c) 2L 3 2 2 3 154 154 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. El volumen del cubo es 64 m3, calcule el área de la región triangular ABC. B C A a) 4 m2 d) 16 m2 c) 12 m2 d) 24 3 e) c) 12 2 2 03. Calcular el volumen de un tetraedro regular en el cual la altura de una de sus caras es igual a 2 3 m . 2 m3 3 a) 16 2 m3 b) d) 16 2 3 e) 3 2 c) 6 2 04. Calcular la relación entre los volúmenes de un cubo y de un octaedro regular cuyas diagonales son congruentes. a) 3 2 b) 3 3 d) 2 2 3 e) 2 3 3 c) 2 2 05. Se tiene el cubo mostrado cuya arista mide 2 5 u "P", es punto medio de la arista y "Q" centro de la base superior. Calcule la mínima distancia entre las rectas MN y PQ . N M a 6 2 b) a 6 3 d) a 2 2 e) a 6 5 a) 2 u b) 3 u d) 3 2 u e) 2 2 u a) 36 u3 d) 16 u3 b) 54 u3 e) 64 u3 c) 27 u3 a) 3u b) d) 7u e) 2 2 u 2u c) 6u 10. La distancia del centro de una cara del cubo a un vértice de la cara opuesta es 2 6 m . Calcule el volumen del cubo. a) 16 m3 b) d) 32 m3 e) 18 m3 6 m3 c) 64 m3 11. Calcular la distancia de la cúspide de un tetraedro regular al centro de la circunferencia inscrita en su base, siendo "2a" la longitud de su arista. a 6 3 b) a 6 e) c) a 2 3 2a 6 3 12. ¿Cuántos poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros existen? P Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 2 3 u 09. En un cubo la distancia de un vértice al centro de una cara opuesta es de 3u. Calcular la longitud de su arista. a) a 3 Q b) 1 m e) 4 m a 3 2 08. Calcular el volumen de un hexaedro regular, si la distancia de un vértice a la diagonal del hexaedro es 6 u. d) a) 0,5 m d) 2 m c) Calcule la longitud de su diagonal. 02. La suma de las longitudes de todas las aristas de un cubo es 144 m. Calcular la longitud de la diagonal de dicho sólido. b) 12 3 a) 07. El área total de un octaedro regular es 18 3 u2 . b) 8 m2 e) 32 m2 a) 6 3 06. ABCDEF es un octaedro regular cuya arista mide a. Calcular la longitud del segmento que une los centros de dos caras opuestas. a) 3 d) 4 c) 1,5 m 155 155 b) 2 e) 5 c) 0 San Marcos Capítulo 22 13. Se tiene un cubo ABCD – A'B'C'D' cuya arista mide 2dm. Calcule la distancia entre las rectas que pasan por A'C' y D'B. a) 6 d) 3 2 b) 2 2 e) 6 3 c) 3 2 14. El área total de un tetraedro regular es 9 3 u2 . Calcular el volumen de dicho tetraedro. a) 9 2 u3 2 b) 7 2 2 d) 9 2 4 e) 9 2 5 c) b) 10 m3 e) 4 m3 a) 2 m3 d) 4 2 m3 b) 2 2 m3 c) 360c ; 1080c b) 360c ; 1440c c) 180c ; 1080c d) 360c ; 1260c e) 180c ; 1440c a) 36 cm2 b) 6 3 cm2 d) 36 3 cm2 e) 24 3 cm2 c) 24 cm2 19. En un tetraedro A – BCD los círculos inscritos en los triángulos ABC y ADC son tangentes a AC en M. Siendo AB=6u, BC=4u y CD=8u. Calcule: AD. a) 6 u d) 12 u c) 2,5 m3 16. Calcular el volumen del cubo en el cual la distancia de su centro al punto medio de una arista es 1 m. a) 18. Calcule el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de las longitudes de sus aristas 36 cm. 8 2 3 15. Calcular el volumen del octaedro regular obtenido al unir consecutivamente los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular de 10 m3 de volumen. a) 5 m3 d) 1,25 m3 17. En un tetraedro escaleno, la suma de las medidas de sus ángulos diedros está comprendido entre: b) 8 u e) 9 u c) 10 u 20. Calcular el volumen del dodecaedro regular de 2 m de arista. 3 2 m3 a) 2 (7 5 + 10) b) 2 (15 - 7 5 ) c) 2 (7 15 - 15) e) N.A. d) 2 (15 + 7 5 ) e) 5 2 m2 156 156 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 23 Repaso Problemas resueltos 01. Determine la ecuación general de la parábola con foco F(4;3) y directriz x = 0. a) b) c) d) e) y2 – 8x – 6y + 25 = 0 y2 + 8x – 6y + 25 = 0 y2 – 8x – 6y – 25 = 0 y2 = 2x y2 = 2x + 3 02. Calcule la distancia máxima del foco de la parábola P: y2 – 8x – 4y + 12 = 0, a la circunferencia C: x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 a) 26 b) 2 13 + 4 d) 13 e) c) 26 + 4 26 + 2 03. P es una parábola que no corta al eje x y es tangente a la recta y = 2, siendo su vértice el punto de tangencia y su eje la recta x = 5. Determine la ecuación general de P si se sabe que la distancia de su vértice al foco es de 5 u. a) b) c) d) e) x2 – 10x – 20y + 65 = 0 x2 + 10x – 20y + 65 = 0 x2 + 10x + 20y + 65 = 0 x2 + 5x – 5y – 13 = 0 x2 – 10x + y + 65 = 0 b) 3 5 e) 10 a) 4 7u 9 b) 3u 2 d) 9 7u 4 e) 9u 4 a) 115º d) 119º c) 118º b) 30º e) 60º c) 37º 10. En la figura, el plano que contiene al triángulo equilátero ABC es perpendicular al plano que contiene al triángulo rectángulo isósceles ADC. Si: AC=10cm, calcule: BD. D C A b) x – 4y + 7 = 0 d) x + 4y + 7 = 0 b) 11 cm e) 10 cm Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b) 116º e) 120º c) 2 5 B 06. Los planos P, Q y R son paralelos, Q entre P y R e intersectan a las rectas L1 y L2. En L1 determina segmentos de 10 cm y 15 cm y el segmento determinado en L2 por los planos P y R miden 20 cm. Calcule la longitud del segmento mayor determinado por los tres planos en L2. a) 14 cm d) 12 cm 3 7u 2 09. Sea BP perpendicular a un plano que contiene al triángulo ABC. Si: AB=15cm, AC=14cm, BC=13cm y BP=12cm. Calcule la medida del ángulo diedro que determinan los planos APC y ABC. 05. A(3,1) es un punto de, C:x2+y2–4x+6y–4=0. Determine la ecuación de la recta tangente a C en el punto A. a) x + 4y – 7 = 0 c) x = 4y + 3 e) x – 2y + 7 = 0 c) 08. Si dos caras de un triedro miden 116º y 124º. Calcule el máximo valor entero de la medida de la tercera cara. a) 15º d) 45º 04. Calcule la longitud de la cuerda determinada en la parábola, P: x2–2y+5=0, por la recta, L: 2x–y+1=0 a) 5 d) 5 07. Sea A un punto exterior al plano Q. La distancia del punto A al plano Q es AH = 9u. (H ! 6Q) , HB = 63 u . Si B ! L , L 1 6Q y HB = L . Calcule: HP, si: HP = AB (P ! AB) . c) 13 cm 157 157 a) 10 m d) 6 m b) 8 m e) 5 m c) 12 m 11. En un tetraedro regular A – BCD, en una de sus aristas se ubica un punto que dista 4 y 6 de dos caras. Calcule la medida de la altura de dicho tetraedro. a) 10 d) 12 b) 8 e) 14 c) 6 San Marcos Capítulo 23 % 12. Si: ABCD – FGHE es un cubo. Calcule mEAC . a) 60º d) 53º b) 75º e) 58º c) 45º 16. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de un tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la arista del tetaredro mide 2 3 m ? a) 13. En la figura L1 y L2 son rectas que se cruzan y distan AB=4cm, BD=DF=AC=CE=10cm y CD=5cm. Calcule: EF. F D L2 B d) 4 m2 3 2 m2 C d) 2 10 cm E b) 4 3 cm e) 6 cm d) 100 2 b) 50 2 e) 140 a) 15 m2 d) 6 m2 c) 2 11 cm 14. Calcule el área de la sección que determina un plano de simetría que pasa por una arista de un tetraedro regular de arista 20. a) 50 3 c) 3 m2 2 e) 2 3 m2 b) 210º e) 324º c) 270º 18. Si la arista de un icosaedro regular mide 4 3 m . Calcular el área de su superficie. L1 a) 2 13 cm 3 m2 17. La suma de las caras del ángulo poliedro que se forma en cada vértice en un icosaedro regular es igual a: a) 300º d) 288º A b) b) 9 m2 c) 13 m2 e) 6 3 m2 19. En un triedro trirectángulo O – ABC se sabe que: OA=1cm, OB=2cm y OC=3cm. Calcule la distancia de "O" a la sección plana ABC. a) c) 200 2 d) 5 cm 7 4 cm 7 b) e) 6 cm 7 5 cm 8 c) 1 cm 15. La suma de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de "V" vértices "C" caras y "A" aristas es igual a: a) 360º (A – C) c) 360º (A – V) e) 360º (C – A) b) 360º (V – C) d) 360º (A – 2) 158 158 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. En el gráfico, ¿entre qué valores se encuentra el ángulo "x"? O x 0º 12 80º B A C a) 40º y 200º d) 60º y 160º a) FVFF d) FVFV b) 40º y 360º e) 40º y 160º c) 60º y 200º 02. ¿Entre qué valores se encuentra el ángulo "x"? O x 0º 13 80º b) FVVF e) N.A. 07. En el interior de un ángulo diedro se encuentra un punto "O" que dista 6 y 5 de las caras y 10 de la arista. Calcular la medida de dicho diedro. a) 67º b) 53º c) 60º d) 75º e) 72º 09. En la figura se muestra un cubo cuya arista mide 1u. Calcule el área de la región del triángulo ABC. B a) 50º y 210º c) 50º y 150º e) 50º y 360º B b) 50º y 200º d) 0º y 360º C 03. Averiguar el máximo número de planos que determinan cinco puntos en el espacio. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 04. Calcular la razón que existe entre las áreas de dos tetraedros regulares, siendo la altura de uno de ellos la mitad de la arista del otro. a) d) 5 3 6 5 c) FVVV 08. ¿Cuántos planos determinan 10 puntos y 6 paralelas? a) 130 b) 190 c) 195 d) 170 e) 135 C A 06. Determinar si es falso o verdadero cada uno de los enunciados siguientes: • Si tres puntos son coplanares, entonces están siempre alineados ...................................... ( ) • Dos rectas que se intersectan determinan un plano ......................................................... ( ) • Dos rectas que no se intersectan siempre son rectas paralelas........................................... ( ) • La intersección de dos planos puede ser un punto ......................................................... ( ) b) e) 4 3 9 4 c) 8 3 05. En el cubo, calcule m∠ABC A 3 2 a) 3 b) d) 2 e) 2 2 c) 2 2 10. Se tiene un segmento AB, las diferencias de distancias de "A" y "B" a un plano exterior es 7u. Si la proyección de AB sobre el plano es igual a 24u. Calcule: AB a) 26 u b) 30 u c) 28 u d) 25 u e) N.A. 11. En la figura se muestra un cubo cuyo volumen es 8. Calcular: OP (O: centro de la cara) B P C O A a) 30º d) 53º b) 37º e) 60º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 45º a) 2 d) 2 3 159 159 b) 3 e) 2 c) 6 San Marcos Capítulo 23 12. En el gráfico "A" y "B" pertenecen al plano "R", si: AP y PB forman con el plano, ángulos de 30º y 53º. Calcule: AP, si además: PB=20cm. 16. En el siguiente cubo de arista que mide 10. Calcule el área de la región sombreada. P 5 5 B A R a) 30 cm d) 40 cm b) 32 cm e) N.A. c) 35 cm 13. Si: AB=9u y la distancia entre los planos paralelos "P" y "Q" es 5u. Calcule la proyección de AB sobre "Q". a) 10 5 b) 20 5 d) 25 6 e) 10 6 17. Si la figura es un cubo, calcule la medida del ángulo formado por CO y LA. C L O A P A b) 75º e) 60º a) 30º d) 45º B Q c) 90º 18. En la figura, calcular "x" si el sólido geométrico es un cubo. B a) 2 14 b) 3 14 d) 4 7 e) 2 5 c) 2 7 H x 14. ABCD es un tetraedro regular de arista 8, calcule el área de la región sombreada. A a) 15º d) 53º b b b b B b b b C b) 12 3 d) 36 3 e) 20 3 a a A M a c) 37º 19. El volumen del cubo es 64m3. Calcule el área de la región del triángulo ABC. B C A a) 4 d) 16 b) 8 e) 32 c) 12 20. En la figura, calcule la medida del ángulo que forman AB y CD. Si el sólido geométrico es un cubo. C A a B I b) 60º e) 53º b) 30º e) 60º c) 18 3 15. Si la figura es un cubo, calcule la medida del ángulo formado por LI y MA. L C b D a) 24 3 a) 30º d) 15º c) 15 2 D c) 45º a) 75º d) 30º 160 160 b) 90º e) 60º c) 45º Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Geometría del espacio (prisma – cilindro) 24 Prisma Arista lateral El nombre del prisma depende del polígono de la base. Los gráficos muestran a un prisma triangular y a otro hexagonal. Cara lateral Altura Base Vértice Clasificación a. Prisma recto desarrollo de la superficie lateral AL = (2PBASE) . (Arista lateral) AT = AL + 2ABASE & Altura o arista lateral V = (ABASE) . altura b. Prisma oblicuo AL = 2(PS.R) . (Arista lateral) V = (AS.R) . (Arista lateral) V = (ABASE) . (Altura) Sección recta (S.R) c. Paralelepípedo Las caras opuestas son paralelogramos congruentes y de planos paralelos. Paralelepípedo rectangular (rectoedro y ortoedro) h D c V=(ABASE) . Altura Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria Área = 2(ab + bc + ac) Volumen = abc D2 = a2 + b2 + c2 a 161 161 b San Marcos Capítulo 24 Cilindro Su desarrollo lateral Base R Generatriz o altura (g) R g AL = (2pR)g 2pR AT = 2p R (g + R) S = (pR2)g Cilindro oblicuo obtenido al cortar a un cilindro recto mediante dos planos paralelos entre sí; pero inclinados respecto de la base. R Sección recta h Base elíptica AL = (2PS.R) (generatriz) Generatriz (g) AT = AL + 2ABASE V = (AS.R) . (generatriz) Sección recta V = (ABASE) (Altura) Troncos de prisma y cilindro Tronco de prisma triangular recto a c a c a b s b=0 V = S (a + b + c) 3 c=0 s s V = S (a + c) 3 162 162 b=0 V = a. S 3 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. La sección axial de un cilindro de revolución es un rectángulo en el cual el largo es el doble del ancho y su perímetro es 240. Hallar el área lateral de dicho cilindro. Resolución R 12R = 240 R R = 20 • 4R Área lateral 4R AL = (2p)BASE × h AL = 2pR . 4R R AL = 2p (20) (80) R AL = 3200p 02. En un rectoedro las diagonales miden 10 y una de ellas forma ángulos de 45º con una cara y de 30º con otra adyacente. Hallar el volumen del sólido limitado por el rectoedro. Resolución 5 2 • 5 10 5 Volumen: 5 2 30º 45º 5 3 V=a×b×c= 5 2 ×5×5 V = 125 2 5 5 2 03. Una cinta de papel de 40 cm de largo, 5 cm de ancho y 0,1 cm de espesor, se enrolla como un cilindro circular recto. Halle la longitud del radio de la base del cilindro. Resolución 0,1 5 V2 V1 5 R 40 V 1 = V2 (5) (40) (0,1) = pR2 . 5 4 = pR2 4 = R2 & R 2 ≠ ≠ Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 163 163 San Marcos Capítulo 24 Práctica 01. La distancia de uno de los vértices de un cubo a su diagonal es 3 2 cm . Hallar el área del círculo inscrito en una de sus caras. b) 6,5pcm2 c) 13,5pcm2 a) 6,25pcm2 2 2 d) 6,75pcm e) 7,05pcm 06. Hallar el volumen del prisma regular, siendo "T" punto de tangencia. T 2u 02. Los catetos en el prisma recto mostrado miden 6u y 8u. Calcular el volumen y área lateral del sólido si su altura mide 12u. a) 288u3; 200u2 c) 288u3; 288u2 e) 360u3; 240u2 b) 144u3; 136u2 d) 144u3; 144u2 a) 4 3 u3 b) 2 5 u3 d) 8 2 u3 e) 8 5 u3 8 3 u3 07. La figura es un cilindro circular recto, una mosca está en B. ¿Cuál es la distancia mínima que debe volar para llegar al punto A tocando una vez la pared del cilindro?, si la altura mide 8m y el radio de la base mide 3m. A 03. Un cilindro contiene los 3/4 de su volumen con agua, si se inclina como se muestra, ¿cuánto debe medir q para que el agua no se derrame? R c) B 3R a) 12m d) 9m b) 10m e) 15m c) 14m 08. Se tiene un tubo de longitud "L" y diámetro "d". Si se triplica d y L, hallar la relación entre el área lateral del primer y segundo tubo respectivamente. q a) 37º d) 53º b) 45º e) 15º c) 30º 04. En la figura, el trapecio rectángulo PQRS, es la sección recta del prisma PS=15m, QR=20m y PQ=12m. Hallar el área total del prisma si la arista lateral mide 30m y la altura mide 21m. a) 2400 m2 b) 2800 m2 c) 2500 Q m2 R P d) 2100 m2 S e) 1800 m2 05. A partir del rectángulo mostrado hallar el volumen del cilindro que se forma al unir los vértices del moyor lado. B C 4u A a) 100 u3 ≠ d) 50pu3 10u b) 100pu3 e) 25 ≠u3 3 D c) 50 u3 ≠ 1 b) 1 c) 1 3 6 9 d) 2 e) 3 9 7 09. El volumen y el área lateral de un prisma triangular oblicuo son 300m3 y 100m2 respectivamente. Hallar la longitud del radio de la circunferencia inscrita en una sección recta. a) 4m b) 6m c) 5m d) 7m e) 3m a) 10. Se tiene un rectángulo de perímetro "P" que rota por su lado "L". Hallar el área lateral del sólido que se genera. a) pL (P – 2L) b) p(L – P) c) pL2P d) p(L – 2P) e) pLP 11. El área de la base de un paralelepípedo rectangular es 24m2, el de una cara lateral 36m2 y del plano diagonal 60m2, éste plano perpendicular a la base. Hallar el área lateral del paralelepípedo. b) 142m2 c) 176m2 a) 168m2 d) 156m2 e) 172m2 12. Si la diagonal de un prisma cuadrangular regular mide 2 6 m y la altura es dos veces la medida del lado de base, hallar su volumen. b) 16m3 c) 12m3 a) 4m3 3 3 d) 19m e) 20m 164 164 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 13. Hallar el volumen de un cilindro recto circular donde la medida armónica de las longitudes de su radio y altura es 40 y su área total es 72pm2. 9 b) 60pm3 c) 70pm3 a) 50pm3 3 3 d) 80pm e) 90pm 17. En la figura, hallar el volumen del prisma oblicuo de base regular cuyo apotema mide 3 3 m y la arista lateral mide 4m. 14. En el cubo ABCD – EFGH, "M" es punto medio de CG. Si la distancia entre BD y AM es 2 m . Hallar 6 el área total. b) 9m2 c) 4m2 a) 6m2 2 2 d) 6,5m e) 7m 15. El lado de un triángulo equilátero ABC mide 8m, del vértice "A" se traza una perpendicular al plano del triángulo hasta "E", tal que AE = 5 3 m y otra perpendicular CF, CF = 7 3 . Hallar el volumen del sólido ABC – EBF. b) 194m2 c) 182m2 a) 191m2 2 2 d) 192m e) 190m 16. Calcular el área lateral de un cilindro oblicuo de 3,9m de altura, siendo la sección recta un círculo de 0,4m de radio y 60º el ángulo que forma la generatriz con la base. a) d) 51 ≠ 2 m2 25 52 ≠ 3 m2 25 b) 52 ≠ 6 m2 25 60º a) 162 3 m3 b) 366m3 d) 324 2 m3 e) 324m3 c) 240m3 18. La sección recta de un prisma oblicuo es un trapecio rectángulo cuyas bases miden 3m y 6m y su altura mide 4m. Hallar el área lateral del prisma si su arista mide 8m. b) 140m2 c) 142m2 a) 136m2 d) 144m2 e) 150m2 c) 11m2 e) 180pm2 Tarea domiciliaria 01. Un cilindro recto cuya generatriz es igual al diámetro de la base, tiene un área total de 12pu2. Calcular su volumen. a) 4≠ 2 u3 d) 32pu3 b) 16pu3 e) 36pu3 c) 8≠ 2 u 3 02. Se tiene un paralelepípedo rectangular ABCD – EFGH. Si AB=3u, AC=5u y AE=2u. Hallar su volumen. a) 36u3 d) 36u3 b) 30u3 e) 45u3 c) 24u3 03. Hallar el volumen de un cilindro de revolución si su altura mide 20m y el desarrollo de la superficie lateral del cilindro tiene por área 200m2. a) 250pm3 b) 200 m3 ≠ e) d) 500 m3 ≠ 250 m3 ≠ c) 150 m3 ≠ 3 3≠ b) 2 3 3≠ d) 3 3 3≠ e) 3 3 ≠ Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 06. La base de un cilindro recto esté inscrito en un trapecio rectángulo ABCD. Hallar el área lateral del cilindro si su altura mide 5cm, BC=10cm, CD=13cm y AD=15cm (BC//AD). b) 64pcm2 c) 60pcm2 a) 50pcm2 d) 58pcm2 e) 62pcm2 07. Hallar el volumen de un cilindro recto cuyo radio mide 5cm, sabiendo que si el cilindro se secciona por un plano paralelo al eje del cilindro a una distancia de 3cm del eje, resulta un rectángulo cuya área es igual al área de la base. 625 ≠3 cm3 b) 625 ≠2 cm3 c) 125 ≠2 cm3 4 8 6 625 125 2 3 2 3 d) e) ≠ cm ≠ cm 8 4 08. En un paralelepípedo rectangular, las áreas de sus caras diferentes están en la proporción de 1, 4 y 9. Si su volumen es 384cm3, hallar el área de la cara menor. a) 04. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos? a) 05. Hallar el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 26m y los lados de las bases miden 6m y 8m respectivamente. b) 764m2 c) 766m2 a) 760m2 d) 768m2 e) 770m2 c) 2 3 ≠ a) 36cm2 d) 16cm2 165 165 b) 18cm2 e) 64cm2 c) 32cm2 San Marcos Capítulo 24 09. Las tres dimensiones de las aristas de un paralelepípedo rectangular están en progresión aritmética cuya suma es 24 cm y su área total es 312cm2. Calcular su volumen. a) 230cm3 d) 248cm3 b) 236cm3 e) 200cm3 c) 224cm3 15. En la figura se muestra un cilindro oblicuo, AC=2AB=8cm. Calcular el volumen. O2 C D 10. La sección recta de un prisma oblicuo es un trapecio rectángulo cuyas bases miden 3m y 6m y su altura mide 4m. Hallar el área lateral del prisma si su arista mide 8m. b) 140m2 c) 142m2 a) 136m2 2 2 d) 144m e) 150m 11. Calcular la longitud de la diagonal del paralelepípedo mostrado si sus dimensiones están en proporción de 1, 2 y 3 y suman 18 m. a) 3 14 m d) 36m b) 14 e) 24m c) 2 14 m 12. Un prisma regular triangular es tal que su arista de la base es un tercio de la arista lateral. Además el área lateral es de 81cm2. Calcular el volumen del sólido. 81 3 cm3 c) 91 3 cm3 2 4 81 91 3 3 d) e) 3 cm 3 cm 4 2 13. En un tronco de cilindro circular recto el volumen es numéricamente igual al área lateral. Si la diferencia de generatrices máxima y mínima es 3m, hallar el área de la base elíptica. a) 81 3 cm3 a) 4pm2 d) 5,5pm2 b) b) 3pm2 e) a A a) 24pcm3 d) 30pcm3 O1 2a B b) 26pcm3 e) 32pcm3 c) 28pcm3 16. Un prisma recto tiene por base un cuadrilátero inscrito que se descompone por una de sus diagonales en un triángulo equilátero de lado igual a 12cm y otro isósceles. Si la altura es 10cm; hallar el volumen. a) 480 3 cm3 b) 420 3 cm3 d) 240 3 cm3 e) 250 3 cm3 c) 360 3 cm3 17. En una piscina de 40m de largo, 12m de ancho y 3,5m de alto, se introducen 720 000 litros de H2O, ¿a qué distancia del borde llega el H2O? a) 1m d) 2,5m b) 1,5m e) 3m c) 2m 18. Una chimenea de 3m de altura tiene forma prismática hexagonal regular. Hallar su espesor, si el volumen de fábrica es igual al volumen inferior. El lado del hexágono inferior es 2 m . c) 5pm2 a) 3 (2 - 2 ) m 2 b) 3 (3 - 2 ) m 2 c) 2 (2 - 2 ) m 2 d) 3 (1 - 2 ) m 2 e) 3 (3 - 3 ) m 2 3 ≠m 2 14. El prisma y el cilindro, rectos, son equivalentes. Calcule el valor de "r". 6 4 3 r 4 a) ≠ d) 3 ≠ b) 2 ≠ e) c) 3p 3 ≠ 166 166 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Geometría del espacio (pirámide – cono – esfera) 25 Pirámide Elementos • • • • Vértice: O Base: ABCD Altura: H Aristas laterales: OA, OB, ... Notación Pirámide: O – ABCD Pirámide regular O O H Ap h B D A B H C A Área lateral: (AL) ap M • D Apotema de la pirámide: Ap • Apotema de la base: ap • Semiperímetro de la base: PBASE Área total: (AT) AL = PBASE . AP C Volumen: (V) V = 1 $ SBASE $ h en cualquier pirámide 3 AT = PBASE (AP + ap) Cono de revolución O g h A Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria r • Generatriz: g • Radio de la base: r H 167 167 San Marcos Capítulo 25 O a g Área lateral: (AL) g A AL = prg A Área total: (AT) AT = pr (g + r) Volumen: (V) V = 1 ≠r 2 h 3 2pr Tronco de pirámide y cono Sección paralela a la base de una pirámide y de un cono recto: O R P g' h h g H r H Q C r A B Propiedades • AL O - PQR A T O - PQR h2 OP2 PQ2 = = = = A TO - ABC H2 OA2 AB2 AL O - ABC A' L A T ' g ' 2 r' 2 h 2 = = 2 = 2 = 2 AL AT g r H • VO - PQR h3 OQ3 QR3 = = = VO - ABC H3 OB3 BC3 V' = g'3 = r'3 = h3 V g3 r3 H3 * * V' = volumen del cono deficiente. V = volumen del cono mayor. Tronco de pirámide S1 • Volumen (V) h V = h (S1 + 3 S1 $ S2 + S2) S2 168 168 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tronco de pirámide regular • • • Apotemas de las bases: a'p, y ap. Apotema del tronco: Ap Semiperímetro de las bases: p' y p. S1 a'p O' Área lateral: (AL) N AL = (p' + p) . Ap Área total: (AT) Ap h AT = AL + S1 + S2 Volumen: (V) S2 O ap V = h (S1 + 3 M S1 $ S2 + S2) Tronco de cono o de revolución • • Radios de las bases: R y r Generatriz del tronco: g r B Área lateral: (AL) O' AL = (pr + pR)g = pg (r + R) Área total: (AT) g A AT = AL + pr2 + pR2 h Volumen: (V) V = h (≠r2 + ≠r2 ≠R2 + ≠R2) 3 V = ≠h (r2 + Rr + R2) 3 O R Esfera Superficie esférica Es la superficie que genera la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. Diámetro = 2R R O Área = 4pR2 Circunferencia máxima Huso esférico Es la porción de superficie esférica limitada por dos circunferencias que tienen el mismo diámetro. B AB = diámetro R M R O aR N A Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria O M a = Sector circular R N 2 Área = απR 90c 169 169 San Marcos Capítulo 25 Zona esférica Es la porción de una superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos a la esfera. O R h = altura entre los planos secantes H Área = 2pRH Casquete esférico Es la porción de superficie esférica que se encuentra a un lado de un plano secante a la esfera. H O R Área = 2pRH Observaciones En la figura, existen dos casquetes esféricos. Esfera Es el sólido engendrado por la revolución de un semicírculo sobre su diámetro de la misma. R R R Volumen de la esfera (V) V = 4 ≠R 3 3 Toda sección plana de una esfera es un círculo. Círculo menor Círculo máximo R 170 170 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Problemas resueltos 01. En una pirámide O – ABC, el triedro de vértice O es trirectángulo, AB = 7, BC=6 y AC=5. Hallar el volumen de la pirámide. Resolución #h ∅ V = BASE = 1 $ bc $ a = abc 3 3 2 6 _ 2 2 2 2 a + b = 7 b a = 19 b2 + c2 = 62` b2 = 30 a2 + c2 = 52b c2 = 6 a a2 . b2 . c2 = (19) (30) (6) abc = 6 95 5 a 7 c b 6 V = 6 95 6 V = 95 02. Hallar el volumen de cono que se forma al rotar alrededor de su lado 4, de un triángulo rectángulo 3; 4 y 5. Resolución 5 4 3 V= ABASE # h ≠32 # 4 = 3 3 V = 12p 03. Se tiene una esfera de radio R, se traza un plano que divide a la esfera en dos, casquetes cuyas áreas están en la relación de 3 a 2. Hallar la longitud de la distancia del centro de la esfera al plano. Resolución R R A1 x A2 R–x A1 3 2≠R (R + x) 3 = & = &x= R A2 2 5 2 ≠ R (R - x ) 2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 171 171 San Marcos Capítulo 25 Práctica 01. El apotema de la pirámide regular mostrada es 6 dm. Calcular el área total de la pirámide. a) 140 dm2 b) 120 dm2 c) 240 dm2 d) 220 dm2 e) 360 dm2 10dm 02. Calcule el volumen de una esfera inscrita en un cono equilátero de 9m de altura. b) 32pm3 c) 42pm3 a) 18pm3 3 3 d) 48pm e) 36pm 03. Calcule el volumen que se genera al rotar 360º la región sombreada, sobre la recta L. a) b) c) d) 132 pu3 216 pu3 144 pu3 168 pu3 e) 120 pu3 B 10u A 45º 37º C 04. Calcule el volumen del sólido entre las superficies esféricas inscrita y circunscrita al cubo cuya área total es 24m2. a) 8 3 ≠m3 b) c 2 3 - 1 m ≠ 3 c) (3 3 - 1) ≠ d) 4 (3 3 - 1) ≠ e) 4 3 ≠ 3 05. Una pirámide de base cuadrangular es cortada por dos planos paralelos a la base tal que su altura queda dividida en tres partes iguales. Calcule la relación entre el volumen mayor y menor determinados por dichos planos. a) 9 b) 19 c) 29 d) 39 e) 16 06. Calcule el volumen de la pirámide regular mostrada. O a) 12 3 u3 b) 16 3 u3 c) 6u 21 6 u3 B d) 15 6 u3 e) 18 3 u3 08. En un cono circular recto de altura 9 y radio 15 se inscribe un cilindro circular recto de radio 5, de modo que una de sus bases coincide con la base del cono. Calcule el volumen del cilindro. a) 75p b) 50p c) 150p d) 200p e) 400p 09. El área lateral de una pirámide pentagonal regular es 315m2 y su arista básica mide 6m. Calcule la medida del apotema de la pirámide. a) 15m b) 18m c) 20m d) 21m e) 31m 10. Calcule el volumen de la pirámide P–ABC, donde las caras laterales forman diedros de 45º con la base triangular ABC. Si: AB=6m, BC=8m y AC=10m. b) 14m3 c) 16m3 a) 12m3 3 3 d) 18m e) 20m 11. Calcular el volumen de un tronco de cono de revolución, sabiendo que la generatriz es 17 veces la altura y que la diferencia de los cubos de sus radios es 144. a) 6p b) 9p c) 12p d) 36p e) 72p 12. En la figura BC = 5 m . Calcule el volumen del sólido 4 que se obtiene al girar la región triangular ABC 360º alrededor de AC. B 82º 5 ≠m 3 b) 5 ≠m3 c) 7 ≠m3 3 12 12 d) 6 ≠m3 e) 7 ≠m3 5 6 13. La base de un cono está circunscrita a la cara de un cubo y en la cara opuesta está el vértice del cono. Calcule el volumen del cono si el área total del cubo es 54m2. O D 07. En la figura se muestra el desarrollo de la superficie lateral de un cono recto. Calcular el volumen de dicho sólido. a) 4≠ 5 ≠ 2 8u d) 8≠ 3 e) 8≠ 15 3 a) 5pm3 b) 4pm3 d) 11≠ m3 2 e) c) 9≠ m 3 2 9≠ 3 4 pm 14. El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto es un sector circular cuyo ángulo es 300º. Si la generatriz mide 6cm, calcular el volumen de dicho cono. b) 8≠ 15 c) C a) 60º C A 53º A 8u 172 172 a) 25 11 ≠cm3 3 b) c) 16 11 ≠cm3 3 d) 10 11 ≠cm3 3 e) 35 11 ≠cm3 3 20 11 ≠cm3 3 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 15. Hallar el volumen de un tronco de pirámide regular, de base hexagonal, circunscrito a una esfera, sabiendo que las aristas básicas miden 4 y 9. a) 197 b) 1917 c) 1197 d) 9117 e) N.A. 16. Determinar el volumen de un tronco de cono de revolución cuyas bases tienen como áreas 16pdm2 y 81pdm2. Además el área total del tronco es de 266pdm2. b) 432pdm2 c) 502pdm2 a) 352pdm2 2 2 d) 532pdm e) 842pdm 17. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región sombreada alrededor de AC, 360º. Si: AO=3cm y BOC es cuadrante. a) ≠ (3 + 2 3 ) cm3 b) ≠ (2 + 3 3 ) cm3 c) ≠ (3 + 3 3 ) cm3 d) ≠ (2 + 2 3 ) cm3 ≠ 3 cm3 e) B 18. El rectángulo ABCD y el triángulo ABE están en planos perpendiculares, AB=6m, BC=3m y AE=BE. Hallar el área total de la pirámide E – ABCD si su altura es 4m. b) 42m2 c) 78m2 a) 60m2 2 2 d) 54m e) 64m 19. Una pirámide de base cuadrada tiene sus cuatro aristas laterales congruentes y forman un ángulo de 60º con la base. Hallar la medida de una de estas aristas si el área de la base es 32cm2. a) 4cm b) 5cm c) 6cm d) 8cm e) 10cm 20. Hallar el volumen del cono inscrito en un tetraedro regular de 6 m de arista. a) d) A 30º O ≠ m3 3 6 ≠m 3 6 b) e) 2 ≠m 3 2 ≠ m3 2 c) 3 ≠m 3 3 C Tarea domiciliaria 01. Hallar el volumen del cono recto mostrado, si: r=4u. 05. Con un cuadrante circular de área 4pm2, se construye un cono recto. Hallar la medida del radio de la base del cono. a) 1 m b) 2 m c) 1,5 m d) 2,5 m e) 0,5 m 60º r a) 32≠ 3 u3 b) 24pu3 c) 36pu3 64 ≠ 3 u3 3 02. Un cubo de arista que mide "a" metros se encuentra inscrito en una esfera. Hallar el volumen de la esfera. d) 48≠ 3 u3 e) ≠a m 3 3 b) a) 3 ≠a 3 m 3 4 c) 3 ≠a 3 m 3 2 3 3 ≠a 3 m 3 e) ≠a m3 3 2 03. Hallar el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de radio R. d) a) 3≠R 3 8 b) 4≠ R 3 3 d) 5≠ R 3 3 e) N.A. c) 04. Si la sección formada al interceptar un plano con una esfera tiene una área de 25 p y si el plano dista 12 del centro de la esfera. Calcular el área total de la esfera. a) 169 p b) 338 p c) 676 p d) 854 p e) N.A. 2≠ R 3 3 06. Hallar el volumen de un cono circular recto, si las medidas de su altura y generatriz están en una relación de 4 a 5 y el área total de dicho cono es 216 pm3. b) 320 pm3 c) 322 pm3 a) 318 pm3 3 3 d) 324 pm e) 328 pm 07. Se tiene dos conos de revolución semejantes de modo que el área total de uno de ellos es la cuarta parte del área total del otro. Si la generatriz del cono menor mide 39 cm, hallar la medida de generatriz del mayor. a) 30 cm b) 78 cm c) 156 cm d) 30cm e) 70cm 08. En un tetraedro V–ABC, el triedro V es trirectángulo y las aristas laterales miden VA = 3 3 cm , VB = 4 3 cm y VC = 5 2 cm . Hallar el volumen del tetraedro. a) 30 2 cm3 b) 60 2 cm3 60cm3 48cm3 d) Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 173 173 e) c) 45 2 cm3 San Marcos Capítulo 25 09. El área del huso de 30º es 12pcm2. Calcule el volumen de la cuña esférica correspondiente. a) 18pcm3 d) 24pcm3 b) 20pcm3 e) 28pcm3 c) 22pcm3 10. En una esfera de 14m de radio, calcule la longitud de la altura de la zona esférica cuya área es equivalente a la del círculo máximo. a) 6m d) 7 m 2 b) 7m c) 8m e) 4m 11. Calcule el volumen de una pirámide triangular regular, si el lado de la base es 2 veces la arista lateral y el número que representa su volumen es igual al número que expresa su área lateral. a) 110u3 d) 121,5u3 b) 119u3 e) 130u3 c) 120u3 14. Se tiene un cono de 80cm3 de volumen. Si a dicho cono se le intercepta con un plano paralelo a la base y que pasa por la mitad de su altura, calcular el volumen del tronco de cono que se forma. a) 60m3 d) 75m3 E a) 54pcm3 d) 81pcm3 M d) A N D a) 14m3 d) 16m3 c) e) Q b) 15 3 m3 e) 15m3 c) 16 3 m3 c) 63pcm3 1 4 3 7 b) e) 3 4 3 8 c) 3 5 17. Calcule el volumen de una esfera inscrita en un tronco de pirámide regular cuyas bases tienen 625m2 y 256m2 de área. C P b) 72pcm3 e) 108pcm3 16. ¿En qué relación se encuentran los volúmenes de un cilindro recto y del cono circunscrito cuyo diámetro es el doble del diámetro del cilindro. Las bases del cilindro y del cono son concéntricos? a) B c) 70m3 15. Un cilindro tiene la altura igual al doble de la altura de un cono y el radio del cono es igual al triple del radio del cilindro. Calcule el volumen del cono, si el volumen del cilindro es 54pcm3. a) 12. En la figura, el área del paralelogramo ABCD es 24m2, M y N son puntos medios y EC=12cm. Calcule el volumen de la pirámide E – APQ. b) 80m3 e) 50m3 3800 ≠m3 3 4000 ≠m3 3 3700 ≠m3 3 b) d) 4700 ≠m3 3 4250 ≠m3 3 18. Una esfera de centro "O" es tangente a las caras de un diedro de 37º en los puntos P y Q. Si la distancia de "O" a la arista del diedro es 5 10 cm , hallar el volumen de la esfera. 500≠ cm3 3 d) 175pcm3 a) 13. Calcular el volumen de la pirámide Q – ABC sabiendo que QC=15m, QA=13m y AC = 106 m , además QB es perpendicular el plano P. b) 200pcm3 c) 150pcm3 e) 170pcm3 Q B a) 80m3 d) 100m3 C A b) 60m3 e) 90m3 c) 50m3 174 174 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 26 Puntos notables Problemas resueltos 01. Si "O" es circuncentro del triángulo ABC, hallar: x Resolución B 22º B 22º O 2a 33º A x a 33º x a C T Unimos "C" y "O": OB=OC y m∠BOC=2a 2a + 66 = 180º ∧ 57º = a DABT: x = a + 22º = 57º + 22º x = 79º O A 33º C 02. Hallar "x" siendo I incentro del triángulo ABC. Resolución B aa B 72º P I 72º b I 84º A x • C • • 84º b x C x m∠AIB=m∠PIQ = 90 + ...............propiedad 2 En IPCQ: 90 + x + x = 84 + 72 .......propiedad 2 Luego: x = 44º A Q 03. Del gráfico, hallar: a Resolución a B a F H A 2a Q Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria B 2a a A C • • • • 2a H E 3a 2a a C Q Prolongar AH hasta E y CH hasta F. DQHC y DBFH son triángulo rectángulos. "H" es ortocentro. DHEC: 5a = 90º a = 18º 175 175 San Marcos Capítulo 26 Práctica 01. Del gráfico calcular "x", siendo ABCD un cuadrado. B 05. Del gráfico, calcular: x C x x 45º A D a) 30º b) 45º d) 22º30' e) 60º 4k E a) 30º d) 37º c) 15º 3k b) 37º30' e) 22º30' c) 53º 06. Calcular "x", si "I" es incentro del DABC. 02. Del gráfico: BH=AC, calcular "q", siendo H: ortocentro y K: circuncentro. B x B q 2q I x H K A A C a) 9º b) 8º d) 15º e) 18º a) 40º d) 15º C b) 60º e) 30º c) 26º c) 12º 07. Se tiene un triángulo ABC isósceles m∠B=100º. Calcule la m∠AOI siendo "O" ortocentro, "I" incentro del triángulo ABC. 03. El ortocentro de un triángulo que punto notable es del triángulo formado al unir los pies de las tres alturas. a) incentro b) ortocentro c) baricentro d) circuncentro a) 10º d) 30º b) 15º e) 40º c) 20º 08. En un triángulo isósceles que puntos notables son colineales. e) ex–centro a) El ortocentro, incentro y baricentro. b) El ortocentro, incentro y circuncentro. 04. Las prolongaciones de las alturas en un triángulo acutángulo ABC intersectan a la circunferencia circunscrita en los puntos "M", "N" y "P". ¿Qué punto notable es el ortocentro del triángulo ABC respecto al triángulo MNP? a) circuncentro b) baricentro c) ortocentro d) incentro c) El ortocentro, incentro y excentro. d) El ortocentro, circuncentro, incentro y baricentro. e) El ortocentro, baricentro, incentro, circuncentro y excentro. 09. En un triángulo equilátero la distancia del incentro a un lado es 4u. Calcule el perímetro del triángulo. e) excentro 176 176 a) 12 3 u b) 16 3 u d) 24 3 u e) 30 3 u c) 20 3 u Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 10. En un triángulo acutángulo ABC; la distancia del circuncentro al lado AC es 3u, si el circunradio mide 5u. Calcule MN siendo "M" y "N" puntos medios de AB y BC respectivamente. a) 2u d) 8u b) 4u e) 12u c) 6u 11. Calcule la distancia entre el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo y el punto de intersección de sus tres alturas, si la hipotenusa mide 12u. a) 2u d) 8u b) 4u e) 10u b) 12º e) 32º c) 18º b) 12u e) 24u c) 15u 14. Por el incentro de un triángulo ABC se traza una paralela que AC que corta a AB en "M" y a BC en "N". Calcule MN, si: AM=6u y CN=8u. a) 10u d) 13u b) 11u e) 14u c) 12u 15. En el gráfico, calcular "x", si "E" es el excentro del triángulo ABC. B x A a) 85º d) 95º b) ortocentro d) circuncentro 17. Se tiene un triángulo ABC donde la circunferencia ex–inscrita relativa a AB es tangente a dicho lado en ! "P" y ala prolongación de CA en "N". Si: mPN = 80c. Calcule la m∠BEC, siendo "E" excentro relativo a AB. b) 20º e) 80º c) 50º 18. Se tiene que los ángulos interiores de un triángulo ABC miden 50º, 60º y 70º. Calcule el mayor de los ángulos interiores del triángulo que se forma al unir los 3 ex–centros del triángulo ABC. a) 65º d) 80º 13. En un triángulo rectángulo la distancia del baricentro al ortocentro es 6u. Calcule el valor de la hipotenusa. a) 6u d) 18u a) incentro c) baricentro e) excentro a) 40º d) 70º c) 6u 12. En un triángulo ABC acutángulo la m∠BAC=72º. Calcule la m∠OBC, siendo "O" su circuncentro. a) 9º d) 30º 16. El circuncentro de un triángulo coincide con el .......... de su triángulo mediano. b) 70º e) 85º c) 75º 19. En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares AC y BD. Si: AB=8, calcule "BH", siendo H: ortocentro del triángulo BCD. a) 8 b) 4 d) 2 2 e) 4 3 c) 4 2 20. En un triángulo ABC, P es un punto de la mediatriz de AC (P es exterior al triángulo) tal que PA=PB. Si la m∠ABP=20º y el ángulo exterior en C mide el doble que el ángulo BAC. Calcule la m∠ABC. a) 35º d) 80º b) 37º e) 53º c) 40º E 25º C b) 50º e) 90º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 60º 177 177 San Marcos Capítulo 26 Tarea domiciliaria 01. Calcule BN, si: BK=8u. 05. Calcule la m∠AIC. Si: m∠ABC=40º. I: incentro del triángulo ABC. B B a M K A b a) 12u d) 28u I a b N b) 16u e) 30u C A c) 24u a) 80º d) 110º 02. Calcule la m∠AHC, si: m∠ABC=80º. H: ortocentro del triángulo ABC. C b) 150º e) 120º c) 140º 06. Calcule la m∠ABC. Si: m∠AOC=130º. O: circuncentro del triángulo ABC. B B H O A a) 80º d) 130º C b) 100º e) 160º A c) 120º 03. En el gráfico, I y O son incentro y circuncentro de los triángulos ABC y AIC. Calcule la m∠OCA. a) 50º d) 70º C b) 130º e) 80º c) 65º 07. Siendo "P" circuncentro del triángulo ABC. Calcular S , si: mBPC S = 110º. mBAC B B I A C P A O a) 60º d) 37º b) 75º e) 53º c) 45º 04. Siendo "O" ortocentro del triángulo ABC. Calcular: S , si: mAOB S =130º. mACB B a) 40º d) 70º C b) 50º e) 80º b) 45º e) 75º c) 55º 08. En un triángulo ABC: m∠A=74º y m∠C=36º, siendo I: incentro y K: circuncentro. Calcular m∠KAI. a) 17º b) 27º c) 18º d) 19º e) N.A. 09. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 18. Calcule la distancia del baricentro al circuncentro. a) 4 b) 8 c) 9 d) 3 e) 6 O A a) 35º d) 65º C c) 60º 10. En un triángulo acutángulo ABC el ∠B mide 72 y su ortocentro es "O". Si la m∠AOC=3q, hallar el complemento de "q". a) 36º b) 72º c) 54º d) 45º e) 56º 178 178 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 11. En un romboide ABCD, m∠CAD=30º. Si la distancia de B a AD es 6u. Calcule la distancia del baricentro de la región triangular ABD a C. a) 6u b) 10u c) 12u d) 8u e) 9u 15. Calcule la longitud de la distancia del circuncentro al baricentro. Si: AB=6u y BC=8u. B 12. Si "E" es el excentro del triángulo ABC y AB=18, BC=13 y AC=10. Calcule: QC. B E a) 20,5 d) 10,5 b) 16,5 e) 18,5 C 5u 3 d) 11 u 6 c) 18,3 13. En un triángulo ABC, el circunradio mide 10u. Calcular: AC. Si: m∠ABC=37º a) 14u b) 12u c) 15u d) 24u e) 6u 17. Si: AB=BC, AM=MC, calcular la m∠MRC. B R H B A a) 20º d) 90º – q a) 8u d) 4 3 u c) 4u a) d) Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria q K M C b) 45º – q e) 22º30' + q c) q 18. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la altura BF que mide "h" y se ubican los puntos notables. O: circuncentro G: baricentro H: ortocentro Si: HF = a, calcule: OG. C b) 6u e) 5u 5u 6 c) 16. Se tiene un triángulo ABC isósceles m∠B=100º. Calcule la m∠AOI siendo "O" ortocentro, "I" incentro del triángulo ABC. a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e) 40º 14. En el triángulo equilátero ABC, calcule la longitud de su inradio. Si: AB = 8 3 u . A b) 10 u 3 e) 5 u 2 a) Q C A A 179 179 h 6 h 4 -a 4 -a 3 b) e) h 6 h 4 -a 3 -a 2 c) h-a 6 2 San Marcos Capítulo 27 27 Relaciones métricas Problemas resueltos 01. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan la tangente PA y la secante PBC. Calcular PA, si: AB=12, BC=14 y AC=16. Resolución A 16 C • 12 q x B 14 a n P Teorema: x2 = n(n + 14) D PAB ~ DPAC: n = 12 & n = 3 x x 16 4 x2 = ` 3 xj` 3 x + 14j 4 4 x = 24 02. Las bases de un trapecio se diferencian en 40 y los lados laterales miden 14 y 30. Hallar la longitud de la altura del trapecio. Resolución B 14 A • a a C 14 x E 30 H b D Trazar CE//AB : AE = a y ED = b – a = 40 D ECD : Teorema de Herón p = 14 + 30 + 40 = 42 2 x = 2 42 (12) (2) (28) 40 x = 8,4 180 180 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. En la figura, calcular "x". Si: "O" es centro. 4 B C 06. En la figura: AB=5, BC=6, AC=7. Calcular: AP B 1 D x P A E O b) 3 a) 6 d) 5 e) c) 4 5 A 02. Si: AB=9, AC=15, CE=10. Hallar: BD B D H C a) 12 b) 14 d) e) 15 c) 17 19 07. En la figura, calcular: x A C E b) 18 a) 6 3 d) 15 c) 12 3 7 x e) 6 5 03. En la figura, calcular "x" B 6 a) 3 d) 5 Q 6 x–1 3 A a) 5 d) 8 b) 4 e) 1 c) 2 08. En la figura, calcular "h" B P x x C b) 6 e) 9 c) 7 7 -1 7 +1 h 04. En la figura, calcular "x" d) 2 b) 2 e) 7 H a) 2 2 a) 1 A 7 x d) c) 3 3 C b) 1 3 2 e) c) 2 3 3 4 09. En un triángulo PQR de mediana PM, QN=6; MN=4. Calcular: RN 05. En la figura, calcular "x" Q x x a) 37º d) 60º M 3 1 b) 53º e) 30º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria N c) 45º R P a) 8 d) 11 181 181 b) 9 e) 12 c) 10 San Marcos Capítulo 27 10. En la figura, calcular "x" 14. Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 9. Calcular la medida de la mediana que no es mayor ni menor. a) 8 b) 9 c) 6 d) 5 e) 7 B F E 8 x 1 A C P a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3 11. En un triángulo rectángulo ABC, se traza MN ("M" en AB y N en BC). Si: AM=6u y CN=8u, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de MN y AC. a) 7u b) 6u c) 4u d) 3u e) 5u 12. Calcular "x", si: R=12u y r=3u. (P, L y Q: puntos de tangencia). 15. Los lados de un triángulo miden 26; 25 y 3. Calcular la medida de la altura relativa al menor lado. a) 24 b) 18 c) 17 d) 8 e) 15 16. En un triángulo ABC, AB=7, BC=8 y AC=5. Calcular la m∠ACB. a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 37 17. Las bases de un trapecio suman 21 y las diagonales miden 10 y 17. Calcular la altura del trapecio. a) 9 b) 8 c) 6 d) 12 e) 7 18. En la figura, calcular "x" a 8 x a R r P x L a) d) 3u 4 4u 3 b) e) a) 5 –1 b) 2 5 e) 4( d) 4 Q 2u 3 3u 2 c) 1 5 –1 c) 3 5 –1 5 –1) 19. En la figura, calcular "x" 13 8 13. En la figura, calcular "m" x 17 a) 45 d) 37 10 9 a) 5 d) 4 b) 6 e) 8 m c) 3 15 b) 60 e) 53 c) 30 20. En un cuadrado ABCD se ubica los puntos medios E de AB y F de EC. Calcular: DF, si: AB = 4 13 a) 13 b) 26 c) 37 d) 182 182 13 e) 2 13 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Calcular: "x" a) 4 d) 1 x b) 3 e) 6 c) 2 06. En la figura, calcular "x" 9 a a 16 a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14 x 02. Calcular: "h" 2 a) 2 d) 5 h 12 b) 18 e) 13 b) 3 e) 6 c) 4 07. En un triángulo ABC, AB=13, BC=8 y AC=7. Calcular la m∠ACB. a) 30 b) 45 c) 60 d) 120 e) 150 27 a) 20 d) 19 3 c) 16 08. En la figura calcular "x". 03. Calcular: "x" 9 9 4x x x 7 a) 12 d) 9 a) 2 d) 1,5 b) 11 e) 8 b) 2,5 e) 1 b) 41 e) 7 a) 37 d) 8 04. Calcular: "x" c) 59 10. En la figura, calcular "x" x–1 9 x a) 20 d) 13 c) 3 09. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AD y la mediana BM, las cuales se cortan en E. Si: BE=3, EM=2 y AB=9. Calcular: BC c) 10 x–8 13 b) 10 e) 15 c) 12 3 05. En la figura, calcular "x" x 7 13 x Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria a) 5 d) 6 b) 4 e) 8 c) 3 10 183 183 San Marcos Capítulo 27 11. Los lados de un romboide miden 12 y 20 . Si la diagonal menor mide 28 , calcular la medida de la diagonal mayor. a) 3 b) 4 c) 8 d) 6 e) 9 12. En la figura, calcular "x". Si "O" es centro. 3 a x d) b) 5 e) 10 c) 3 13 13. Se tienen dos circunferencias secantes de radios 5 y 7. Si la distancia entre sus centros es 8, calcular la longitud de la cuerda común. a) 4 b) 3 c) 5 3 d) 10 3 e) 17. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF y la mediana BM de tal manera que: MF=BF y (AB)(BC)=16cm2. Calcular: AC. a) 5 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 10 cm e) 12 cm 18. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CL, luego se traza BH⊥CL (H∈CL). Si: AB=15u, BC=13u y AC=14u. Calcular: AH. O (a+2) a) 4 16. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O", se traza la cuerda CD paralela al diámetro AB. Además "D" pertenece al arco AC y E∈OB. Si: AE=12u, EC=8u y ED= 2 29 u . Calcular: EB. a) 4u b) 5u c) 6u d) 7u e) 8u 21 13 u b) d) 8u e) 7 2 u a) 1u B d) a a A 14 a) 4 5 u Q b) 3 15 u e) 5u 15 u c) 61 u 5u 2 b) 2u e) c) 3u 2 2u 3 20. En un triángulo acutángulo ABC se sabe que: AC=8u, la mediana BM mide 6u y el circunradio miden 5u. Calcular la longitud del segmento que une el baricentro con el circuncentro. 12 9 59 u 19. En una semicircunferencia de diámetro AB, con A y B como centros se trazan los arcos de radios AH y BH (H∈AB) que determinan un triángulo curvilíneo con la semicircunferencia. Si: AH=4u y BH=2u. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo curvilíneo. 14. Calcular: BQ d) a) a) C d) c) 2 15 u 19 u 3u 2 b) 2 19 u e) c) 19 u 3 4u 3 15. Calcular: BT, si: AB=5u, BC=7u y AC=6u. (T: punto de tangencia) B A T C a) 6u b) 19 u d) 4,5u e) 29 u c) 5u 184 184 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 28 Repaso Problemas resueltos 01. Los lados de un triángulo miden 12; 15 y 18. Calcular la longitud de la menor bisectriz interior. Resolución • B Teorema: 12 = m y m + n = 18 15 n aa 12 A x m ⇒ m = 8 y n = 10 15 • 18 n Teorema: x2 = (12)(15) – (m) (n) x2 = (12) (15) – (8) (10) x = 10 C 02. Si "E" es excentro del triángulo ABC, hallar: x C 25º 40º B x A D Resolución C 50º B 50º 80º x 25º 40º F A • D Si "E" es excentro: m∠ABC = 2(40) = 80º BE es bisectriz exterior D BFE: x = 50º + 25º x = 75º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 185 185 San Marcos Capítulo 28 Práctica 01. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BR. Calcule la medida del ángulo EBI, siendo "I" el incentro del triángulo BRC y "E" el excentro del triángulo ARB relativo a AB. a) 90º b) 100º c) 120º d) 135º e) 150º 09. En la figura se tiene dos depósitos que tienen la forma de un cilindro recto de revolución. El depósito I está completamente lleno de agua y el depósito II está vacío, si se vierte todo el agua del depósito I al depósito II ¿hasta qué altura subirá el nivel del agua? 02. El volumen del cilindro mostrado es 30m3. El volumen de la esfera inscrita es: a) 20m3 30 I c) 30m3 10 R d) 10m3 03. El área total de una pirámide cuadrangular regular es 261 cm2, el apotema de la pirámide mide 10 cm. Calcular el perímetro de la base. a) 72 cm b) 24 cm c) 18 cm d) 36 cm e) F.D. 10. Calcular: x 05. La base de un prisma recto de 10u de altura es un triángulo equilátero. Calcular el lado del triángulo equilátero, sabiendo que el área lateral del prisma es 120u2. a) 2u b) 3u c) 4u d) 5u e) 6u 1 3 e) 2 c) B 17º 30º C A 34º D a) 43º d) 77º b) 53º e) 80º 11. Calcular: x c) 67º B x A a) b) c) 10 x 06. Un triángulo isósceles ABC, se encuentra inscrito en una circunferencia de radio "R", calcular "R", si: AB=BC=5 y AC=6. 25 b) 25 c) 15 d) 25 e) 35 4 8 8 8 3 07. A dos circunferencias tangentes exteriores, se traza la recta tangente común exterior PQ (P y Q puntos de tangencia), si PQ es igual a la longitud de radio de una de las circunferencias. Calcular la relación entre los radios. b) 7,5 e) 20 60º 04. La generatriz de un cono mide 13 y el radio de la base mide 5. El volumen y el área total del cono son respectivamente: a) 80p y 70p b) 60p y 80p c) 100p y 120p d) 100p y 90p e) 80p y 100p 1 4 d) 3 20 a) 5 d) 12,5 e) 25m3 a) II 25 b) 15m3 a) 9º d) 36º 2x 2x x H b) 12º e) 54º C c) 18º 12. Calcular: x 3x 4x 1 2 x x 2x 08. Calcular "R", si: PQ=10 y AB=25. a) 11 b) 12 B c) 13 P Q R d) 14 e) 15 A a) 15º d) 30º C D b) 18º e) 10º c) 20º 13. En un triángulo acutángulo ABC; m∠ABC=38º. Calcule: m∠OAC. (O: es el circuncentro) a) 25º b) 32º c) 42º d) 52º e) 76º 186 186 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 14. El radio de la base de un cono mide 6cm. Calcular el área lateral del cono, si la generatriz forma 30º con la altura. a) 60p b) 72p c) 80p d) 90p e) 96p 18. En un triángulo ABC los lados son 8, 15 y 16, ¿qué longitud se le debe restar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo? a) 1 b) 4 c) 5 d) 3 e) 2 15. Calcular la distancia del circuncentro de un triángulo acutángulo ABC hacia la altura BF, sabiendo que su circunradio mide 12u y m∠A – m∠C=30º. a) 4u b) 6u c) 8u d) 9u e) 10u 19. El área lateral de un cilindro recto es "A" y su volumen es "V". Calcular el radio de su base. 16. En un triángulo ABC, se tiene que AC es a la distancia del incentro al excentro relativo a BC como 5 es a 12 y m∠ABC=30º. Hallar: m∠BAC. a) 30º b) 37º c) 53º d) 60º e) 74º 17. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH relativa a la hipotenusa. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9. Hallar el valor de dicha altura. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 2 A b) 2A c) V V V A 2 V V d) e) 2A A 20. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa se encuentren en la relación de 2 a 3. Calcular la relación entre el cateto menor y mayor. a) 2 3 a) d) 3 2 b) e) 1 3 4 3 c) 2 3 Tarea domiciliaria 01. La generatriz de un cilindro mide 6m y el radio de la base mide 5m. El área total del cilindro es: b) 60pcm2 c) 50pcm2 a) 110pcm2 d) 100pcm2 e) N.A. 06. Hallar el área de la superficie del sólido mostrado. R 02. Todas las aristas de un cubo suman 48m. Calcular la diagonal, el área total y el volumen de dicho cubo. b) 5; 45 y 125 a) 2 3 ; 48 y 72 c) 4 3 ; 96 y 64 R 3 d) 6 2 ; 56 y 96 e) 6 3 ; 64 y 96 03. El largo de un paralelepípedo rectangular es el triple de la altura y el ancho es el doble d e la altura. Si la diagonal mide 2 14 m , el volumen del paralelepípedo es: b) 24m3 c) 36m3 a) 50m3 3 3 d) 64m e) 48m 04. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular regular si el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrada cuyo lado es de longitud "K". a) K3 16 b) K3 12 c) K3 13 3 K3 e) K 15 17 05. Dado un prisma triangular regular ABC – DEF. Si: CF=3(BC), BD = 10 cm calcular el volumen del prisma. d) a) 2 3 cm3 d) 3 cm2 4 b) 2 2 cm3 e) c) 3 3 cm3 4 3 2 cm3 4 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 187 187 a) 2pR2 d) 2,5pR2 b) 3pR2 e) 3,5pR2 c) 4pR2 07. La superficie total de un cubo es K, entonces la diagonal mide: 2K 2K c) 2 2 3K 3K d) e) 2 3 08. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es un rectángulo cuya diagonal mide 26cm; si la generatriz mide 10. Hallar el área lateral de dicho cilindro. b) 120cm2 c) 260cm2 a) 240cm2 2 2 d) 130cm e) 100cm a) 2K b) 09. Se tiene una circunferencia tangente a dos lados adyacentes de un cuadrado y determina en los otros dos lados segmentos cuyas longitudes son 3 y 24. Calcular la longitud del radio de la circunferencia. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20 San Marcos Capítulo 28 10. Calcular el volumen de un prisma de 4m de altura, si su base es la región triangular formada al unir los puntos medios de los lados de un triángulo cuya área de su región es 36m2. b) 36m3 c) 18m3 a) 24m3 3 3 d) 72m e) 144m 16. Calcular "q", si "K" es circuncentro del D ABC. B K 36≠ 5 e) 6p a) 48p b) d) 12p 48≠ 5 c) 12. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12m, calcule la distancia del baricentro al ortocentro. a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) 6m 13. En un triángulo la distancia del baricentro al circuncentro es 8m. Calcular la distancia del ortocentro al circuncentro. a) 14m b) 18m c) 24m d) 28m e) 34m 14. Si en un triángulo rectángulo la distancia del incentro a la hipotenusa es 2m, calcule la distancia del incentro al ortocentro. a) 0,5m b) 1m c) 1,5m e) 3 2 m d) 2 2 m 15. Si "Q" es circuncentro, BAC=70º, calcule la medida del ángulo QBC. q A 11. Calcular el volumen generado por un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 al girar alrededor de la hipotenusa. a) 90º d) 60º b) 45º e) 15º C c) 22º30' 17. Calcule la medida del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Si la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos cuyas longitudes están en la relación de 1 es a 3. a) 15º b) 45º c) 30º d) 37º e) 16º 18. En un rombo, cada lado mide 10u y una diagonal mide 12. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita al rombo. a) 2,4 b) 4,8 c) 5 d) 2 e) 1 19. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25 y la suma de las longitudes de las alturas es 47. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 16 20. En un triángulo ABC, m∠BAC=2(m∠ACB), AB=5 y AC=11. Calcular: BC a) 2 5 B d) 5 5 b) 3 5 e) 8 c) 4 5 Q A a) 35º d) 20º C b) 30º e) 10º c) 25º 188 188 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Áreas de regiones triangulares y 29 poligonales Problemas resueltos 01. En un triángulo ABC, AB=6 y BC=8, para qué valor de AC el área del triángulo es máxima. Resolución B a • a = 90º 8 6 A Para que el área sea máxima D ABC: x2 = 62 + 82 • x = 10 C x 02. Calcule el área de una región en forma de trapecio inscrito en una circunferencia de radio 5 y bases 6 y 8. El centro de la circunferencia es interior al trapecio. Resolución 3 P 3 B 4 C 5 5 Q 4 4 A • El trapecio tiene que ser isósceles. • Altura del trapecio mide 7 • Área del trapecio A = ` 6 + 8 j7 2 A = 49 D 03. Calcule el área de un exágono equiángulo ABCDEF, sabiendo que AB=5, BC=3, CD=4, FE=5 y AF=2. Resolución 4 60º • 4 S2 C 60º 4 60º D 12 3 5 60º 60º S1 5 2 S + S1 + S2 + S3 = 12 3 4 3 S B 60º 5 A 2 12 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 12 2 2 2 S + 5 3 + 4 3 + 5 3 = 36 3 4 4 4 E 5 F Del gráfico: 60º 60º S3 5 S + 33 3 = 36 3 2 5 S = 39 3 2 60º 189 189 San Marcos Capítulo 29 Práctica 01. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de igual longitud miden bcm. Para obtener un triángulo con la mayor área posible, el tercer lado debe tener una longitud de: a) bcm d) b) b 2 cm ≠ bcm e) 06. Calcular el área de la región triangular BNM si: BM=8u ("P", "M" y "N" son puntos de tangencia). B 2 bcm 2 c) 3 bcm 02. Los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 8. Calcule el área de la región del triángulo. a) 100 d) 80 b) 12 e) 16 a) 4u2 d) 16u2 a) 6 d) 15 E a) a2 2 b) d) a2 e) 4 2 c) a2 8 2 04. Según el gráfico mostrado calcula el área de la región sombreada. Si: (OP)2 – (OQ)2 = 72m2. B P O b) 24 e) 72 c) 36 05. En un semicírculo se encuentra inscrito un cuadrado "S" de 120cm2 de área. Calcule el área de la región del cuadrado inscrito en todo el círculo. S b) 9 e) 18 a) 300 2 m2 b) 250 2 m2 d) 300 3 m2 e) 250 3 m2 20 . c) 12 c) 280 2 m2 09. En un triángulo ABC, se sabe que AB=8, BC=9. ¿Para qué valor de AC el área de la región triangular ABC será máxima? a) 16 b) 17 d) e) 135 c) 145 115 10. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormente dos a dos. Calcule el área de la región del triángulo que se forma al unir sus centros, si se sabe que el producto de sus radios es 8m3 y la suma de sus radios es 6m. a) 8 3 m2 d) 24m2 b) 300cm2 e) 150cm2 b) 4 3 m2 e) 48m2 c) 6m2 11. En un triángulo isósceles, la base mide 15 y la altura relativa a uno de los lados iguales mide 12. Calcular el área de la región triangular. a) 50 d) 100 a) 240cm2 d) 220cm2 c) 12u2 Q A a) 18 d) 48 b) 8u2 e) 32u2 C 08. La base de un triángulo isósceles mide 32 3 m y su altura 80m. Calcule el área del triángulo equilátero inscrito, que tiene un vértice en el punto medio de dicha base. C a a2 N 07. Los lados de un triángulo miden 26 , 18 y Calcular el área de esta región triangular. 45º D Q A c) 32 03. Calcule el área del triángulo CDE. B A M P b) 75 e) 150 c) 90 c) 600cm2 190 190 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 12. La figura muestra un cuadrado de lado 2u. Si "M" y "N" son puntos medios, calcule el área de la región triangular ATD siendo "T" punto de tangencia. N B C a) 2u2 T d) M A a) 1u2 d) c) 2u2 3 u2 2 5 u2 4 e) a) 30º d) 45º 13. Calcule el área de la región del triángulo formado por la diagonal, la altura y la base mayor de un trapecio isósceles cuya área de su región es 64u2. a) 56u2 d) 48u2 b) 36u2 e) 64u2 c) 32u2 b) 100 d) 100 3 m2 e) 25 3 m2 c) 50 3 m2 15. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si: ABCF es un paralelogramo, EG=3(BG) y CD = 6 3 u B A F F C G c) 2 u2 e) 2 2 u2 60º c) 53º b) 32 e) 40 c) 35 19. Un triángulo rectángulo está inscrito en un círculo de diámetro 37cm y circunscrito a un círculo de radio 5cm. Calcular el área de su región. a) 210cm2 d) 150cm2 b) 200cm2 e) 120cm2 c) 180cm2 20. En un triángulo ABC se traza la circunferencia exinscrita relativo al lado BC, tangente en M y P las prolongaciones de los lados AB y AC respectivamente, siendo "O" centro de dicha circunferencia. Si: AB=10, BC=17 y AC=21. Calcule el área de la región triangular OMP. a) 47,6 d) 77,6 D b) 37º e) 60º 18. Se tiene un triángulo ABC donde AB=10, BC=24 y B=90º. Se traza la mediatriz del lado BC la cual determina otro triángulo en el interior, Calcule el área de su región. a) 30 d) 38 14. La medida del ángulo "A" de un triángulo ABC es 60º y AB=20m. La mediatriz de AC intersecta a la ceviana BD en su punto medio ("D" en AC). Calcular el área de la región triangular BDC. a) 50m2 2 u2 2 b) 4u2 17. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es 4 veces el área del triángulo. Calcule la medida de uno de los ángulos agudos de ese triángulo. D b) 7 u2 4 16. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", la bisectriz interior CM y la altura BH se intersectan en "R", MR=2u y CM=9u. Calcular el área de la región triangular MBR. b) 57,6 e) 71,2 c) 67,6 E a) 72u2 d) 50u2 b) 72 3 u2 e) 76u2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 56 2 u2 191 191 San Marcos Capítulo 29 Tarea domiciliaria 01. Observa el gráfico y calcula SABCD, si BD=10 y AH+CF=12u. B 05. En la figura "O" es centro de la semicircunferencia de radio "R" y OP = 1 (MN) = 4 (NP) . Calcula el área de 3 2 la región sombreada. H M C F A 30u2 a) d) 80u2 R D 45u2 b) e) 90u2 c) 60u2 B C T A D 3 2 e) 1 d) 4 3 2 3 c) b) P O 16 R2 9 d) 9 R2 25 a) 02. En el gráfico ABCD es un cuadrado. Si: AB=4, calcular el área de la región sombreada. T es punto de tangencia. a) 3 N 9 R2 16 5 R2 9 b) e) c) 18 R2 25 06. La circunferencia inscrita a un cuadrado ABCD, es tangente a los lados CD y AD en los puntos M y N respectivamente, además BM y CN intersectan a dicha circunferencia en P y Q. Calcular el área de la región cuadrada ABCD, si: PQ = 3 2 cm a) 36cm2 b) 18cm2 c) 24cm2 d) 54cm2 e) 26cm2 07. En el grafico calcular el área de la región sombreada si el D ABQ es equilátero, PB = 2 2 m (P, T y Q) son puntos de tangencia). BP//AQ P B T 03. En el gráfico ABCD es un cuadrado, calcular el área de la región sombreada, si BP=6u y PC=8u. P B C A D A a) 81u2 d) 64u2 b) 74u2 e) 28u2 c) 72u2 C a) 4 2 m2 b) 3 2 m2 d) 3 3 m2 e) 2 3 m2 T B E A a) 10m2 d) 20m2 S2 B D F A S1 H b) 12m2 e) 18m2 c) 2 2 m2 08. En el gráfico, (PD)R=8u y a+q=90º, Q y T son puntos de tangencia, calcular el área de la región paralelográmica ABCD. 04. En el gráfico calcular: S1 – S2. Si: AC=10m y PF=3m. P Q a a) 8u2 d) 20u2 C c) 15m2 192 192 P C 2q Q D b) 16u2 e) 32u2 c) 24u2 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 09. El área de una región rectangular ABCD es 50m2, por el incentro I del triángulo ABC se trazan IF//BC e IE//AB tal que F∈CD y E∈AD, calcular el área de la región rectangular EIFD. b) 15m2 c) 35m2 a) 10m2 2 2 d) 25m e) 20m 10. Sobre el lado BC de un triángulo ABC se ubican los puntos M y N (M∈NC) tal que se cumple: m∠BAN=m∠MAC y AM=AN. Hallar el área de dicha región triangular ABC, si además: AB=BC=6u. 3 u2 2 2 u2 b) e) 36u2 a) d) 18u2 c) 9 3 u2 12. Calcular el área de la región cuadrangular GHIF, si GI = 13 2 u , AD=17u y además ABCD es un cuadrado. H B N H A C P a) 18cm2 d) 36cm2 11. Se tiene un cuadrante AOB y un punto P que pertenece al arco AB, las prolongaciones de los segmentos AP y OB se intersecan en el punto C de modo que: AP×PC=60u2. Calcular el área de la región triangular OPB. b) 15m2 c) 20m2 a) 10m2 2 2 d) 30m e) 60m B 15. En el gráfico, si AH=3cm y NC=8cm. Calcular el área de la región sombreada. b) 42cm2 e) 32cm2 c) 24cm2 16. En un triángulo, sus exradios valen 2u, 3u y 6u. Calcule el área de la región triangular. b) 2u2 c) 6u2 a) 12u2 2 2 d) 16u e) 8u 17. En el gráfico el área de la región triangular ABC es 80m2, calcular el área de la región sombreada. P B C O1 I O A G A a) 80 d) 140 F 45º a) 30m2 d) 40m2 D b) 100 e) 240 c) 120 13. Tres lados de un cuadrilátero convexo valen 3u, 4u y 3u. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el área de la región cuadrangular? b) 14u2 c) 15u2 a) 13u2 2 2 d) 18u e) 26u C b) 50m2 e) 7m2 Q c) 60m2 18. Calcule el área de la región de un exágono regular circunscrito a una circunferencia de radio que mide 3 u. a) 2 3 u2 b) 4 3 u2 d) 8 3 u2 e) 10 3 u2 c) 6 3 u2 14. En el rectángulo ABCD: AD=3 y AF=1. El área de la región sombreada es igual a: F A D a) d) 57 2 27 2 B C b) e) 47 2 17 2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 37 2 193 193 San Marcos Capítulo 30 Áreas de regiones circulares relación de áreas 30 Problemas resueltos 01. Tomando como diámetro la altura de un triángulo equilátero de altura 12 se traza una circunferencia. Hallar el área común que encierran ambas figuras. Resolución B • x = 6 # 6 $ Sen120c = 18 $ 3 = 9 3 2 2 30º30º x 0º 12 12 R 0º R x 60º60º y Si: R = 6 y R • 2 y = ≠6 # 60c = 6≠ 360c Área común: A = 18 3 + 12≠ A = 6 (3 3 + 2≠) C A 02. Hallar el área de una corona circular formada por dos circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero de lado 12. Resolución B • 12 A R2 = r2 + 62 ⇒ R2 – r2 = 36 12 R • r 6 6 R: circunradio y r: inradio Área de la corona: A = pR2 – pr2 = p(R2 – r2) C A = 36p 03. En un triángulo ABC: AB=6, BC=8 y AC=10 se prolonga AB y CA hasta D y E respectivamente tal que: BD=6 y AE=10. Hallar el área del triángulo EAD. Resolución D 6 x 6 x E 10 A B 24 10 • Área de DABC: A = 6 # 8 = 24 2 Unimos "E" y "B" • BA es mediana ⇒ x = 24 • EB es mediana: ÁreaEAB = ÁreaEBD = x • ÁreaEAD = 2x = 48 A = 48 • 8 C 194 194 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. Si: BN=NC; AM=4; MN=5; m∠NAT=30º y TB// AC, calcular el área de la región sombreada. 05. E la figura, calcular el área de la región sombreada, si: "G" es baricentro del triángulo equilátero ABC. B B N T G M C A a) 30 3 d) 60 4 3 c) 40 b) 27 3 e) 27 A 02. Si P, M, Q y N son puntos medios de AB, BC, CD y AD respectivamente; el área de la región paralelográmica ABCD es 20; calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas. B M C a) 12p d) 6p b) 9p e) 8p c) 4p 06. Calcular el área de la región sombreada si T es punto de tangencia TB=5 y AB=13. C T P Q A D N a) 4 d) 1 b) 6 e) 2 A c) 8 a) 60 d) 20 03. Si ABCD es un paralelogramo; S1=2m2, S2=4m2 y S3=7m2. Calcular: S4 (S1, S2, S3 y S4 son áreas de las regiones sombreadas) S4 C 11m2 S3 16m2 a) d) 12m2 b) e) 13m2 T c) a) 2p d) 4p 15m2 04. Hallar el área de la superficie sombreada, sabiendo que ABCD es un cuadrado y "E" es punto medio. B B H D A c) 15 O S2 S1 b) 30 e) 33 07. Calcular el área de la región sombreada si HT = 3 . T y B son puntos de tangencia. P B B b) 3p e) 8p c) 6p ! ! 08. En el gráfico, mAM = mMO , calcule el área de la región sombreada. A C M 6 A a) 12 d) 18 2 E B O D b) 13,5 e) 16 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 15 a) 2p d) 5p 195 195 b) 3p e) 6p c) 4p San Marcos Capítulo 30 09. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada. (≠a2) 8 b) b) 6p e) 9p (≠a2) 7 c) B (≠a2) 6 (≠a2) (≠a2) e) 5 4 10. En la figura AB=BC, MC=2 y CN=3. Calcule el área de la región sombreada. A d) B a) 9p d) 3 6 ≠ M C b) 12p e) 15p c) 7p 14. En la figura, calcule el área de la región sombreada, si B y T son puntos de tangencia, además AB=BC=2. A a a) a) 5p d) 8p N T b) p e) 5p a) 3p d) 4p C c) 2p 15. Calcular el área de la región sombreada, si R=6 y ! mAB = 90c (A, B y C son puntos de tangencia) A B C c) 18p R 11. En el gráfico R=8. Calcule el área de la región sombreada. 60º a) 10p d) 32p b) 23p e) 31p c) 28p 16. En la figura, calcular el área del círculo. R O 60 16 (2≠ - 2 3 ) b) 16 (≠ - 2 ) 3 d) 8 (2≠ - 2 5 ) e) 6p/3 r c) 16(p – 1) a) 61 b) 16p e) 49p a) 9p d) 36p 12. Calcule la relación entre las áreas de las regiones sombreadas. c) 25p 17. En la figura, calcular el área del semicírculo. 8 2 O1 O a) 1 b) 2 3 2 4 3 ! ! 13. En el gráfico, mPA = mQB = 10c . Calcule el área de la región sombreada. A P d) 2 3 c) e) 6 a) 8p d) 16p b) 6p e) 18p c) 12p 18. En la figura, calcular el área de la región sombreada. 40º 40º Q 12 a) 48p d) 40p B 196 196 b) 36p e) 72p c) 30p Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Si ABCD es un paralelogramo y área (ABE)+ área (ECD)=20u2. Calcular el área (AOD). E B 05. Calcular el área de la corona circular. C O O 2 3 D A a) 20u2 d) 14u2 b) 10u2 e) 16u2 a) 8p d) 9p c) 12u2 02. ¿Qué relación existe entre las superficies A y B del cuadrado?. Si "O" es el punto central del cuadrado. A 06. El área del paralelogramo mostrado en la figura es igual a 24m2. Calcule el área de la parte sombreada. B C P B 2 a) 1m2 d) 4m2 03. En el siguiente gráfico, ABCD es un trapecio, M y N son puntos medios de AB y CD, si el A(BOC)=4u2 y el A(MONQ)=12u2, calcular el área de la región sombreada. B b) 2m2 e) 5m2 B M O S3 S1 N D A Q a) 10 d) 7,5 D b) 8u2 e) 6u2 C S2 N A c) 3m2 07. Calcular S3, si: S1=2 y S2=6 siendo S1, S2 y S3 áreas de las regiones sombreadas; AM=MB; CN=ND y BC//AD. C M D M A 2 c) A = 3B b) A = ` 5 j B 2 e) No hay relación a) 4u2 d) 10u2 c) 10p 5 O a) A = 5 B 2 d) A+B = 20 b) 6p e) 11p c) 5u2 b) 8 e) 8,5 c) 12 08. En la figura, OA = OB = 4 + 2 2 , calcular el área del segmento circular. Si P y Q son puntos de tangencia. B 04. Calcular el área de la región sombreada, si "O" es centro del sector circular. 2 A O a) ≠ - 2 d) ≠- 2 2 2 45º 2 b) ≠- 2 2 e) ≠- 2 2 4 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) O a) 4 + 2 2 b) 6≠ - 2 d) 4 2 - 3≠ e) 2≠ - 3 2 c) 3≠ - 2 2 ≠- 2 2 197 197 San Marcos Capítulo 30 09. En la figura, calcular el área del segmento circular. 14. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si (R – r) = 24. 2 R a) 4(p–2) d) 4(p–1) b) 3(p–2) e) 8(p–2) r c) 2(p–2) 10. En la figura, calcular el área de la región sombreada. Si O: centro a a) p a) 24p d) 28p b) 36p e) 18p c) 12p 15. En la figura, calcular el área de la región sombreada. b) p – 2 c) 2p a d) p + 2 e) ≠ + 2 O 2 2 2 11. Si ABCD es un paralelogramo, calcular el área de la región sombreada Sx. B C 4 a) p b) ≠ + 2 d) ≠ - 2 e) ≠ + 2 2 c) 2p 16. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si: "O" es centro. T: punto de tangencia. Sx A 9 D A a) 10u2 d) 9u2 b) 11u2 e) 13u2 c) 12u2 12 12. En la figura se muestran 3 semicírculos, calcular "x" O xp a) 36p d) 24p 18p b) 18p e) 28p B 4u2 b) 6 e) 10 9u2 A a) 20u2 d) 30u2 a a) ≠a 2 3 b) ≠a 2 4 d) ≠a 2 2 e) pa2 C c) 8 13. En la figura, calcular el área de la región sombreada. a c) 32p 17. Calcule el área de la región sombreada. Si: BC//AD. 2p a) 9 d) 12 B 12 D c) ≠a 2 8 b M b) 21u2 e) 36u2 b D c) 24u2 18. Se da un cuadrado ABCD de lado igual a 2m. Se traza la diagonal AC y luego se une el vértice D con el punto medio E de AB. La diagonal AC y la recta DE se cortan en el punto O. Calcular el área del triángulo COD. a) 1,2 d) 198 198 4 3 b) 1,3 e) c) 1,4 5 3 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 31 Repaso Problemas resueltos 01. Del gráfico "O" es centro, ED=2 y DC=7. Hallar el área del triángulo EOC. E D A C B O Resolución E 1 H R h A 1 D 7 D EOC: R2 = EC×EH = 9×1 = 9 • D EOH: h2 + 12 = R2 ⇒ h = 2 2 • Área del D EOC: A = 9 # 2 2 2 A=9 2 C B O • 02. ABCD es un cuadrado de área 48. Hallar el área de OPMNQ. M B N P C Q O A D Resolución B A a M a N a C k k b n S P Q b 3k 3k 3n 3k O 3k 6k 2b 3a Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria • D BPM D APD: PM=n y AP=3n • 6k = 48 = 12 " k = 2 4 S = 48 – 20k = 48 – 40 • S=8 D 199 199 San Marcos Capítulo 31 Práctica 01. En la figura, el área de la región triangular ABC es 60m2, 2(AB)=5(RB) y BP=PC. Hallar el área de la región triangular APQ. B 06. En la figura, calcular el área de la región sombreada. R P 1 C A a) 84m2 d) 80m2 Q b) 86m2 e) 90m2 a) 6≠ - 5 3 c) 81m2 b) 9≠ - 4 3 c) 8≠ - 3 3 11≠ - 3 12 2 07. Calcular el área del círculo. 3 d) 12≠ - 5 3 02. En la figura, calcular el área de la región sombreada. 3 e) 6 R 40º a) p d) 4p b) 2p e) 5p c) 3p 6 03. En un triángulo ABC, AB=27cm, AC=29cm y la mediana relativa a BC mide 26cm. Hallar el área de la región triangular ABC. b) 270cm2 c) 235cm2 a) 240cm2 2 2 d) 280cm e) 290cm 04. En la figura, el perímetro del rombo ABCD es t = 45c . Hallar el área de la región 24 10 cm y mBEM triangular BEM. (M : punto medio de BC) B a) 20cm2 b) 16cm2 S D A b) A c) A 8 16 32 A A d) e) 24 48 09. En la figura, B es punto de tangencia FE = 3cm y ED=9cm. Hallar el área de la corona circular. B C A C D D F 05. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si: AC=4PC, BC=12cm y PD=5cm, hallar el área de la región ABCD. B b) 60cm2 N M P A d) 12cm2 a) 40cm2 c) 4p a) A e) 15cm2 b) 3p e) 6p 08. Calcular el área del triángulo MQN siendo "P", "Q" y "S" puntos medios de los lados, del romboide de área "A". Q B C M E c) 18cm2 a) 9p d) 25p C a) 18pcm2 d) 32pcm2 P E b) 36pcm2 e) 40pcm2 c) 27pcm2 c) 80cm2 d) 70cm2 e) 84cm2 A D 200 200 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 10. En la figura, B y P son puntos de tangencia. Si: AB=2AC=4cm, hallar el área de la corona circular. (O es centro). D 14. En la figura, calcular el área de la región sombreada. B P C O A a) 16pcm2 d) 12pcm2 a) 40 d) 48 A B b) 9pcm2 e) 10pcm2 c) 8pcm2 t . Si t = mACB 11. En la figura, MN=6m, BC=8 y mANM el área de la región cuadrangular NBCM es 49m2. Hallar el área de la región triangular ANM. B N C 8 b) 24 e) 64 c) 32 ! t = 53c , PC=12cm, mPAQ = 270c 15. En la figura, mPCA y AC=4BC=20cm. Hallar el área de la región sombreada. P C B O A A M a) 56m2 d) 68m2 b) 60m2 e) 70m2 C 75 ≠cm2 b) 72 ≠cm2 c) 25 ≠cm2 4 5 2 70 85 2 2 d) e) ≠cm ≠cm 4 4 16. En el semicírculo mostrado, calcular el área de la región sombreada. a) c) 63m2 12. En la figura B y C son puntos de tangencia. Si ! ! mAB = mBC , hallar la razón de las áreas del círculo sombreado y del círculo de centro O. C B A Q 8 O 10 a) 12 d) 24 b) 8 e) 32 c) 16 1 b) 2 c) 1 2 5 4 1 3 d) e) 3 7 13. En la figura, O es centro de la circunferencia y ! ! mAC = mBD = 37c . Si el radio de la circunferencia mide 10cm, hallar el área de la región sombreada. B D C a) A O a) d) 70 ≠cm2 9 85 ≠cm2 9 b) e) 76 ≠cm2 9 82 ≠cm2 9 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 80 ≠cm2 9 201 201 San Marcos Capítulo 31 Tarea domiciliaria 01. En el triángulo ABC, de cevianas BM∧CN, que se cortan en "H", hallar el área del triángulo ABC, si las áreas BHN, BHC y HMC son de 6u2, 12u2 y 8u2 respectivamente. b) 45u2 c) 54u2 a) 36u2 2 2 d) 64u e) 60u 02. Hallar el área del triángulo ABC, siendo: BC=4BD, AD=4ED y el área AEC es 9u2. B D E A C a) 12u2 d) 24u2 b) 16u2 e) 26u2 c) 18u2 03. Calcular el área del triángulo POC. Si AM es mediana, las áreas de AOB y AOP son de 17 y 7u2. B M O A C P a) 8u2 d) 15u2 b) 10u2 c) 12u2 e) 10 2 u2 04. Exteriormente a un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABMN, BFHC y APQC, de modo que: PN=26u, FM=28u, QH=30u. Calcular el área del triángulo ABC. b) 118u2 c) 124u2 a) 112u2 2 2 d) 132u e) 142u 05. En la figura, ABCD es un romboide. Si las áreas de las regiones triangulares BPE y APD son 16cm2 y 25cm2 respectivamente. Hallar el área de la región limitada por ABCD. E B C P A a) 76cm2 d) 92cm2 D b) 82cm2 e) 96cm2 c) 90cm2 06. Calcular el área del cuadrado EFCD inscrito en un cuadrante AOB de radio "R" si "C" y "D" pertenecen al arco AB. a) d) R2 5 4 R2 5 b) e) 2 R2 5 c) 3 R2 5 2 R2 5 07. La suma de las áreas de 2 cuadrados es 8621m2, el producto de 2 de sus diagonales es 8540. Hallar el lado del cuadrado mayor. a) 70m b) 61m c) 60m d) 51m e) 65m 08. El perímetro y las diagonales de un rombo suman 34m. Además el lado es a la diagonal, como 5 es a 6. Hallar el área del rombo. b) 26u2 c) 29u2 a) 18u2 2 2 d) 8u e) 25u 09. Calcular el área del rombo, en el cual la suma de sus diagonales es 168m, el inradio mide 28,8m. b) 3456m2 c) 3656m2 a) 3256m2 d) 3856m2 e) 4000m2 10. En el triángulo acutángulo ABC de altura BH, se traza HN∧HM perpendiculares a AB∧BC. Calcular MN si el área del triángulo ABC es 80m2, su circunradio mide 4m. a) 10m b) 15m c) 20m d) 25m e) 30m 11. En el triángulo acutángulo de 18m2 de área, el área de su triángulo pedal MNQ es 6m2. Calcular el área del D pedal STU, formado al unir los puntos de tangencia, del incírculo del D MNQ con los lados de éste. b) 4m2 c) 6m2 a) 2m2 d) 8m2 e) 6 m2 12. Calcular el área del rectángulo ABCD, en el cual la distancia de "D" a la diagonal AC es 4m. La distancia de "B" a la prolongación de la perpendicular trazada desde "D" a AC es de 6dm. a) 15 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 13. Se tiene el triángulo rectángulo ABC de inradio "r" y m∠C=37º, siendo P, Q y T los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en los lados AB, BC y AC, respectivamente. Además EC es el exradio relativo a AB. Hallar el área de la región del cuadrilátero no convexo TECQP. 202 202 a) 18r2 7 2 b) 19r 10 d) 7r 2 3 e) c) 9r 2 5 21r2 10 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 14. En la figura, D y F son puntos de tangencia. Si: AB=BC, AO = 17 m y O es centro de las circunferencias, hallar el área de la corona circular. D C 18. En el gráfico P y T son puntos de tangencia. Si: AP=8dm y PB=12dm. Hallar: x y P E O B F b) 7pm2 e) 12pm2 c) 10pm2 1 c) 4 3 5 3 d) e) 4 19. En la figura, AR=RP=PB, AM=MN=NC, BQ=QS=SC y el área de la región triangular NSC es 9m2. Hallar el área de la región sombreada. B a) 15. Hallar el área de la región encerrada por un trapecio isósceles ABCD (AD//BC) circunscrito a una circunferencia de centro O si el área de la región triangular AOB es 4u2. b) 16u2 c) 20u2 a) 12u2 2 d) 24u e) N.A. 2 3 2 7 b) 16. Dado el trapecio ABCD (BC//AD) sobre CD se toma el punto Q tal que 5(CQ)=4(QD) y 5(AD)=9(BC). Si además BD∩AQ={P}. Hallar la relación entre las áreas de las regiones BPQC y APD. 1 2 d) 1 a) b) 2 3 e) c) R 2 E Q P 3 4 17. En la figura P, Q y T son puntos de tangencia y AO=OB=R( 2 +1). Hallar el área de la región sombreada. A P T S A a) 23m2 d) 24m2 F a) R2 d) 3 R2 2 Q b) R2 ( 2 + 1) b) 22m2 e) 25m2 B A a) 9pm2 d) 10pm2 e) N.A. Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 203 203 c) 26m2 20. En la figura, AB=4m, 3DE=EC, T es punto de tangencia y O es centro de las circunferencias. Hallar el área de la corona circular. B O c) R2 2 C N M M O B y x A a) 6pm2 d) 8pm2 T A D T E b) 16pm2 e) 18pm2 C c) 25pm2 San Marcos Capítulo 32 32 Plano cartesiano – recta Problemas resueltos 01. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; –3) y que es paralela a la recta que une los puntos (4;1) y (–2;2). Resolución • (–2;2) • (4;1) L2 (2;–3) • m2 = 2 - 1 = - 1 -2 - 4 6 m1 = m2 = - 1 6 Ecuación: y – y1 = m(x – x1) y - ( - 3) = - 1 ( x - 2) 6 x + 6y + 16 = 0 L1 02. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2 ; 3) y que es perpendicular a la recta: 2x – 3y + 6 = 0 Resolución L1 • (–2;3) L2:2x – 3y+6=0 • • m2 = - A = - 2 = 2 -3 3 B m1 = - 3 ... (propiedad) 2 Ecuación de L1: y – y1 = m(x – x1) y - (- 3) = - 3 (x - (- 2)) 2 3x + 2y = 0 03. Hallar la distancia de la recta: 3x + 4y + 4 = 0, al punto (1;2) Resolución (1;2) d L:3x+4y+4=0 • Fórmula: d= 204 204 3 ( 1) + 4 ( 2) + 4 32 + 42 d=3 = 15 5 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. La recta L : 3nx + 5y + n = 2 pasa por el punto (–1;4). Calcule "n". a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 02. En el plano cartesiano se tiene una recta de ecuación: L: 4x+3y+c=0. Calcule la ecuación de la recta perpendicular a L y que pasa por el origen de coordenadas. a) 3x – 4y = 0 b) 4x – 3y = 0 c) 4x + 3y = 0 d) 3x – 4y = 0 y e) x + = 1 3 4 08. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2;3) y forma con la recta L:2x+y–1=0 un ángulo que mide 45º. a) x + 3y – 11 = 0 b) 2x + 3y + 11 = 0 c) x + 3y + 11 = 0 d) x + 3y – 9 = 0 e) x + 3y + 9 = 0 09. En el gráfico, el área de la región sombreada es 4u2. Determine la ecuación de L . y (8;2) O 03. Calcule la distancia del punto P(–2;–3) a la recta: L : 4x - 3y + 4 = 0 . a) 5u b) 4u c) 2u d) 3u e) 1u 04. Calcule la pendiente de la recta mediatriz del segmento AB. Si A(2;3) y B(4;11). a) 4 b) – 4 d) - 1 4 e) 2 c) 1 4 L x a) x + y – 12 = 0 c) x + 2y – 8 = 0 e) 2x + y – 12 = 0 b) 2x – y + 4 = 0 d) 2y – x + 4 = 0 10. En el gráfico, determine la ecuación de L . y 05. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(2;3) y su pendiente vale 5. a) 5x + y – 4 = 0 b) 5x + y +11 = 0 c) 5x + y + 10 = 0 d) 5x – y + 7 = 0 e) 5x – y – 7 = 0 06. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2;3) y R(5;9). a) 2x + y – 1 = 0 b) 2x – y – 1 = 0 c) 2x + 3y – 2 = 0 d) 2x – y – 4 = 0 e) 2x + y – 5 = 0 07. Calcule la pendiente de la recta que pasa por T y B. Si: OB=15u y BC=20u. (T es punto de tangencia). L 2 x a) 3x + 4y + 16 = 0 c) 3x – 4y – 16 = 0 e) x – y + 4 = 0 b) 3x + 4y – 16 = 0 d) 3x – 4y + 16 = 0 11. Según el gráfico M y N son puntos medios del cuadrante y la semicircunferencia respectivamente; calcule la pendiente de MN. y B y M O T x C N 2 x O a) 3 b) – 3 d) - 1 2 e) 13 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 1 3 205 205 a) – 3 b) – 4 d) 2 2 - 3 e) - (3 + 2 2 ) c) - ( 2 + 2) San Marcos Capítulo 32 12. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente en – 4 y pasa por la intersección de las rectas: 17. Calcule la distancia de punto A(–4;3) a la recta L:y=2x+5. L1: 2x + y + 8 = 0 a) L2: 3x – 2y + 9 = 0 a) 4x – y + 10 = 0 c) 4x – y – 10 = 0 e) 28x + 7y + 106 = 0 d) b) 4x + y + 10 = 0 d) 2x – y – 10 = 0 5u 5 6 5u 5 b) e) 2 5u 5 8 5u 5 c) 4 5u 5 18. Calcule el área de la región del triángulo ABC. A(3;4), B(9;2), C(–3;–3) 13. Calcule la ecuación de una recta L que pasa por el punto R(4;–3) y es paralela a una recta L1: y = 3x+5. a) y – 3x – 15 = 0 c) y + 3x – 15 = 0 e) 3y – x – 15 = 0 b) y – 3x + 15 = 0 d) y + 3x – 19 = 0 a) 9u2 d) 24u2 b) –1 e) –3 c) –2 a) 5x + 9y – 38 = 0 c) 5x + 9y + 2 = 0 e) 5x – 9y + 38 = 0 b) y = – x e) y = x – 1 b) 5x + 9y + 38 = 0 d) 5x + 9y – 2 = 0 20. Calcule el área de la región del triángulo rectángulo por los ejes coordenados y la recta de la ecuación: L:3x+2y–12=0 15. Determinar la ecuación de la recta que contiene al baricentro de una región triangular de vértices (6;0), (a;b), (–a;6–b) y además al punto (0;0). a) y = x d) y = x + 2 c) 15u2 19. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos. A(4;2) y B(–5;7). 14. Calcule "k", de modo que la recta: L:12kx–9y+129=0 intersecta al segmento de extremos A(2;3) y B(11;6) en la razón 2 es a 7. a) 0 d) 3 b) 12u2 e) 27u2 a) 8u2 d) 12u2 b) 10u2 e) 24u2 c) 16u2 c) y = x + 1 16. Los vértices de un paralelogramo ABCD son: A(–1;4), B(1;–1) y C(6;1). Si la ordenada del vértice D es 6. ¿Cuál es la abscisa? a) 3 d) 6 b) 4 e) 2 c) 5 206 206 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1;2) y tiene pendiente - 2 . 3 a) 2x + 3y – 8 = 0 b) x + 2y + 18 = 0 c) 3x + 2y – 8 = 0 d) 2x + y – 9 = 0 e) x + y + 9 = 0 11. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135º y pasa por el punto (1;1), si el punto B(3;k) pertenece a dicha recta, el valor de k es: a) – 3 b) 1 c) 3 d) – 1 e) 2 02. Señale la ecuación de la recta que pasa por P(3;2) y cuyo ángulo de inclinación sea 37º. a) 4x – 4y – 1 = 0 b) 3x + 4y – 1 = 0 c) 4x – 3y – 6 = 0 d) 4x + 3y – 18 = 0 e) 4y – 3x + 1 = 0 12. Los vértices de un triángulo son los puntos A(–7;–2), B(1;4) y C(5;–1). Hallar la ecuación de la recta que contiene a la mediana relativa al lado AB. a) 4y + 5x – 2 = 0 b) 4y – 3x + 1 = 0 c) 4x + y – 1 = 0 d) 4x – y + 1 = 0 e) 4y + x – 1 = 0 03. Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P(1;5) y Q(–3;2). a) 3x – 2y + 7 = 0 b) 2x + 3y – 17 = 0 c) 2x – 3y + 13 = 0 d) 3x – 4y + 17 = 0 e) 3x + 4y – 23 = 0 04. El área de la región triangular determinada por la recta L : y–2x+10=0 y los ejes coordenados es: b) 28u2 c) 30u2 a) 25u2 d) 31u2 e) 20u2 05. Calcular "a" y "b" si las rectas L1 y L2 pasan por el punto (2;–3): L1: ax + (2 – b)y – 23 = 0 L2: (a – 1)x + by + 15 = 0 a) 7 y 2 b) 3 y 5 c) 5 y 4 d) 4 y 7 e) 2 y 6 06. La ecuación de la recta L es x+2y+3=0 y las coordenadas de un punto es (5;6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por "P" y es paralela a L. a) 2y – x + 17 = 0 b) 2y + x – 17 = 0 c) 2y + x + 17 = 0 d) 2y – x – 17 = 0 e) y + x – 17 = 0 07. Dada la recta L:x+2y–6=0, ¿cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta entre los ejes cartesianos? c) 8 a) 6 b) 3 5 d) 10 e) 5 08. Calcular la ecuación de la recta que pasa por (2;5) y es perpendicular a la recta 2x – 5y + 1 = 0 a) 4x – 6y – 7 = 0 b) 5x – 8y – 15 = 0 c) 3x – 6y – 9 = 0 d) 5x + 2y – 15 = 0 e) 5x + 2y – 20 = 0 09. Se da la recta: 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2;1) y es perpendicular a la recta dada. a) 4x + y – 9 = 0 b) 3x – 2y – 4 = 0 c) 3x – 2y + 5 = 0 d) 2x – 3y + 6 = 0 e) x + y – 3 = 0 10. Calcular el área del triángulo que se determina con los ejes cartesianos y la recta L:3x–y+6=0. b) 18u2 c) 6u2 a) 12u2 2 2 d) 24u e) 9u Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 207 207 13. Calcular la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB, que divide a dicho segmento en la relación de 1;3 siendo A=(-2;3), B(7;6). a) 6y + 2x – 9 = 0 b) 9y – 6x + 2 = 0 c) 6y + 3x – 2 = 0 d) 6y + 9x – 2 = 0 e) 2y + 6x – 9 = 0 14. Determinar cuáles de los puntos M1(2;1), M2(2;3), M3(8;3), M4(–3;3), M5(3;–1) están situados en la recta: 2x + 3y – 3 = 0. b) M4 c) M2 a) M1 d) M5 e) M3 15. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (4;–3) y es paralela a una recta cuya ecuación es: y=3x+5 a) y = 3x+5 b) y = 2x+34 c) y = 3x–15 d) y = 2x+4 e) y = 4x–2 16. La pendiente de la recta L1 que pasa por los puntos A(a;a+1) y B(1;–2) es 3. Calcular la ecuación de la recta L2 que es perpendicular a L1 y pasa por el punto A. a) x + 3y + 15 = 0 b) x + 3y + 16 = 0 c) x + 3y – 1 = 0 d) x + 3y – 16 = 0 e) x + 3y – 15 = 0 17. Calcular el área del triángulo formado por L1:x=4; L2:x+y=10 y el eje x. b) 48u2 c) 36u2 a) 18u2 2 2 d) 32u e) 24u 18. Calcular el valor de "a" de modo que la recta L:ax+(a–1)y+18=0 sea paralela a la recta: L1:4x+3y+7=0 a) 6 b) 2 c) 4 d) 5 e) 8 19. Señale la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB, si A(–3;1) y B(5;5). a) x – 2y + 5 = 0 b) 3x + y – 6 = 0 c) 3x + y + 5 = 0 d) y + 2x – 5 = 0 e) 3x + y – 7 = 0 San Marcos Capítulo 33 33 Secciones cónicas circunferencia – parábola – elipse Problemas resueltos 01. Hallar la distancia del centro de una circunferencia al origen de coordenadas, sabiendo que su ecuación es: x2 + y2 – 8x – 6y = 0 Resolución y • (h,k)=(4,3) d Completando cuadrados: 2 - 8x 16 - 16 y2 - 6y 9 - 9 0 = + + 1x44 2+44 3 1 44 2 44 3 (x–4)2 + (y–3)2 = 25 = 52 h=4 k=3 r=5 d=5 3 x 4 02. En la figura la ecuación de la circunferencia es: x2 + y2 – 25 = 0, "F" es el foco de la parábola. Hallar la ecuación de dicha parábola. y x F Resolución y • x2 + y2 = 25 = 52 r=5 • Ecuación de la parábola: x2 = – 4py x2 = – 4(5)y x2 = – 20y 5 x p=5 F 208 208 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. Hallar la ecuación de la circunferencia: 05. Hallar la ecuación de la circunferencia si: OB=15, BC=20 y OC=25. y A y (0,3) B 143º C O a) b) c) d) e) O x (x–2)2 + (y–4)2 = 25 (x–4)2 + (y–3)2 = 25 (x–1)2 + (y–1)2 = 1 (x+1)2 + (y+1)2 = 1 (x+4)2 + (y+3)2 = 16 02. La ecuación de la circunferencia es concéntrica a la circunferencia: C1: x2 + y2 – 8x + 4y + 5 = 0 y que pasa por el punto P=(2;–1) es: a) x2 + y2 + 8x + 4y + 15 = 0 b) x2 + y2 – 8x + 4y + 15 = 0 c) x2 + y2 – 2x + 4y – 47 = 0 d) x2 + y2 + 8x + 4y – 5 = 0 e) x2 + y2 + 8x + 4y + 5 = 0 03. Calcular la ecuación de la circunferencia si: OB=13, BC=15 y OC=14. a) b) c) d) e) C H x (x – 7)2 + (y – 16)2 = 36 (x + 4)2 + (y + 4)2 = 25 (x – 4) + (y – 5) = 49 (x – 13)2 + (y – 4)2 = 16 (x + 13)2 + (y + 4)2 = 16 06. Calcular el radio de la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema y es tangente a la recta L:4y+3x=24 a) 1,2 b) 2,4 c) 3,6 d) 4,8 e) 6 07. En la figura T es punto de tangencia OL=LC y el área de la región triangular OTC es 12, 5 3 . Hallar la ecuación de la circunferencia. y y T B O O a) b) c) d) e) C C L 37º x x a) b) c) d) e) (x – 6)2 + (y – 4)2 = 36 (x – 4)2 + (y – 6)2 = 9 (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25 (x – 6)2 + (y – 4)2 = 16 (x + 6) + (y + 4) = 16 04. Hallar la suma de las coordenadas del vértice de la parábola cuyo foco es el punto (–1;3) y su directriz la recta de ecuación, L: y – 1 = 0 a) 4 b) 1 c) 2 d) 0 e) 3 (x – 8)2 + (y – 6)2 = 36 (x – 6)2 + (y – 8)2 = 25 (x – 8)2 + (y – 6)2 = 25 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 (x – 6) + (y – 8)2 = 36 08. Por el foco de la parábola y2 = – 4x se ha trazado una recta que forma un ángulo de 135º con el sentido positivo del eje x. Escribir la ecuación de la recta y hallar la longitud de la cuerda formado. a) x + y – 1 = 0; 7 b) x + y + 1 = 0 ; 8 c) x – y – 1 = 0 ; 6 d) x + y = 1 ; 7 2 e) x + y = 2 ; 6 09. Calcular el radio de la circunferencia que tiene por centro el punto (5,2) y es tangente a la recta. L: 3y + 4x – 11 = 0 a) 1 b) 2,4 c) 3 d) 4 e) 5 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 209 209 San Marcos Capítulo 33 10. Si la recta L:3x+4ky+4=0 pasa por el vértice de la parábola, P:y2 – 3x + 4y – 8 = 0. Calcular: k a) – 1 b) 2 c) 1 d) – 2 e) 3 11. Si la distancia entre los puntos R(0,k) y Q(8,5) es 10u. Hallar la menor distancia del punto R al vértice de la parábola de ecuación: P: y2 – 12x + 24 = 0 a) 3 d) 15 b) 5 e) 2 c) 13 12. Si: y2 + kx – n = 0 es la ecuación de una parábola con vértice V(6;0). Calcular: ` n j k a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 3 13. Si el punto (2;1) pertenece a la parábola P: x2 = 4py. Hallar la ecuación de su directriz. a) y – 1 = 0 b) y – 2 = 0 c) y + 1 = 0 d) y + 4 = 0 e) y – 4 = 0 16. Hallar la longitud del lado recto en la elipse. 16x2 + 25y2 = 400 a) d) L O b) y2 = 12(x + 3) c) y2 = – 12(x + 3) d) x2 = 12(y + 3) e) y2 = 12 (x – 3) e) 8 5 32 10 c) 16 5 a) x2 + y2 = 1 16 7 b) x2 + y2 = 1 7 16 c) x2 + y2 = 1 3 4 d) x2 + y2 = 1 9 4 e) x2 + y2 = 1 16 25 18. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (±2;0) y su excentricidad es igual a 2 . 3 2 y2 2 y2 x x a) b) =1 =1 + + 5 9 9 5 c) x2 y2 = 1 + 25 9 e) x2 + y2 = 1 25 36 d) x2 y2 = 1 + 16 9 19. Los focos de una elipse son los puntos (±3;0) y la longitud de una cualquiera de sus lados rectos es igual a 9. Hallar la ecuación de la elipse. x a) x2 = – 12(y – 3) b) 17. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4;0) y (–4;0) y cuyos focos son los puntos (3;0) y (–3;0). 14. Hallar la ecuación de la parábola P, si "O" es su foco, la recta L su directriz y el área de la región rectangular es 72u2. y 4 5 32 5 a) x2 + y2 = 1 9 16 b) x2 y2 = 1 + 16 25 c) x2 y2 = 1 + 36 49 d) x2 y2 = 1 + 36 27 e) y2 x2 =1 + 36 27 20. Hallar la longitud del lado recto de la elipse, cuyos vértices son V1=(3;5) y V2=(3;–1) y donde c = 1 . a 3 14 3 17 d) 3 15. Hallar las coordenadas de los vértices y focos de la elipse, 9x2 + 4y2 = 36 a) a) V1(0;3), V2(0;–3), F1(0;5), F2(0;–5) b) 15 3 8 e) 3 c) 16 3 b) V1(3;0), V2(–3;0), F1(5;0), F2(–5;0) c) V1(0;3), V2(0;–3), F1(0; 5 ), F2(0;– 5 ) d) V1(0;0), V2(1;1), F1(5;5), F2(–5;–5) e) V1(1;1), V2(2;2), F1(3;4), F2(4;3) 210 210 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. Calcular "k" para que la circunferencia: C:2x2 + 2y2 + 8x – 16y = k sea tangente al eje x. a) – 2 b) – 6 c) 6 d) – 8 e) 8 02. La ecuación de la circunferencia que tiene el segmento AB como diámetro con A=(1;2) y B(5;12) es: a) (x – 3)2 + (y – 6) = 36 b) (x + 3)2 + (y – 7)2 = 18 c) (x – 3)2 + (y – 7) 2 = 29 d) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 20 e) (x + 1)2 + (y + 43)2 = 49 03. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (3;–1) y que intersecta en la recta: L: 2x – 5y + 18 = 0, una cuerda de longitud 6. a) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 38 b) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 41 c) (x – 7)2 + (y – 4)2 = 16 d) (x + 3)2 + (y – 1) = 36 e) (x – 1)2 + (y – 9)2 = 49 04. Calcular la longitud del radio de la circunferencia. y (20;21) r O a) 40 d) 30 b) 42 e) 37 c) 29 05. Hallar la longitud de la circunferencia: x2 + y2 – 8x + 4y = 0, así como el área del círculo que ella determina. b) 4 5 ≠ y 20p 4 5 ≠ y 60p d) 2 5 ≠ y 60p c) e) 8 5 ≠ y 20p 06. Hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro coincide con el foco de la parábola y2 = 20x, y su radio es igual a la longitud del lado recto de la parábola. a) (x – 5)2 + (y – 3)2 = 100 b) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 200 c) (x – 6)2 + (y – 7)2 = 300 d) (x – 5)2 + y2 = 400 e) (x – 5)2 + y2 = 500 07. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro (3;1) y tangente a la recta L : x+y+3=0. a) 2x2 + 3y2 + 12x + 4y – 29 = 0 b) 2x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0 c) x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0 d) x2 + 2y2 –6x – 2y – 36 = 0 e) 2x2 + y2 – 14x – y – 49 = 0 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 09. Hallar el punto de intersección de las parábolas y2=8x y x2=8y. a) (1;1) b) (4;4) c) (8;8) d) (6;6) e) (8;–8) 10. Dos circunferencias pasan por el punto M=(2;–1) y son tangentes a los dos ejes coordenadas. Hallar los centros de estas circunferencias. a) (1;1) y (5;5) b) (1;–1) y (–5;5) c) (–1;1) y (–5;5) d) (–1;1) y (–5;–5) e) (1;–1) y (5;–5) 11. La excentricidad de una elipse es e = 1 , su centro 3 coincide con el origen de coordenadas y uno de los focos es F = (–2 ; 0). Calcular la distancia del punto Q de la elipse, cuya abscisa es igual a 2, a la directriz unilateral al foco dado. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 12. Determinar los puntos de intersección de las dos parábolas: y = x2 – 2x + 1; x = y2 – 6y + 7 a) (2;1) , (–1;4) b) (2;–1) y (1;4) c) (3;4) , (–1;6) d) (3;4) , (–3;4) e) (1;1) , (–1;3) x a) 2 5 ≠ y 20p 08. La excentricidad de una elipse es e = 2 , el radio focal 3 de un punto M de la elipse es igual a 10. Calcular la distancia del punto M a la directriz unilateral a este foco. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 211 211 13. La suma de los coeficientes de la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0;0), (2;1) y (4;0) es: a) – 4 b) 4 c) 0 d) 1 e) – 1 14. Para qué valores de k, la parábola, x2 – 4x – y + k2 = 0, tiene su vértice en el eje x. a) 0 ó 2 b) 2 ó 4 c) –2 ó 0 d) 4 ó – 2 e) 2 ó – 2 2 y2 15. Se da el punto M = `2; - 5 j en la elipse x + = 1. 9 5 3 Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los radios focales del punto M. a) 5x + 12y + 10 = 0; x – 2 = 0 b) 3x + 6y + 7 = 0; x – 3 = 0 c) 4x – 7y + 3 = 0; x – 1 = 0 d) 8x – 21y + 9 = 0; 2x – 1 = 0 e) 21x – 14y – 10 = 0; 3x – 2 = 0 16. El vértice y el foco de la parábola cuyo eje es paralelo al eje x, y pasa por los puntos ` 3 ; - 1j , (0;5), (–6;–7) 2 son respectivamente. a) (2;–1) y (1;0) b) (–2;1) y (1;0) c) (3;–1) y (–1;0) d) (–3;–1) y (1;1) e) (2;1) y (0;1) San Marcos Capítulo 34 34 Geometría del espacio Problemas resueltos 01. Dados los rectángulos ABCD y ACEF ubicados en planos perpendiculares con BC=3, BE=4 y EF = 5 3 . ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo formado por los puntos D, E y F. Resolución E 5 3 F 4 r 5 4 3 B A 3 C D D FAD: FD = 5, D EFD: ED = 10 D EFD: Poncelet 5 + 5 3 = 10 + 2r r = 5 ( 3 - 1) 2 02. Un tronco de cono de altura 6, tiene como base mayor una región circular de radio 5, si el volumen del tronco de cono es 78p, entonces el volumen del cono deficiente es: Resolución h=4 V r 6 O 5 D FAD: FD = 5, D EFD: ED = 10 D EFD: Poncelet 5 + 5 3 = 10 + 2r r = 5 ( 3 - 1) 2 212 212 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Práctica 01. Un tetraedro regular V – ABC, se traza la altura VH; tal que el área de la región AHV, es 6 2 calcule el área de la superficie del tetraedro. a) 18 2 b) 36 2 d) 18 3 e) 54 3 c) 36 3 02. En un tetraedro regular A–BCD, cuya arista mide 3, calcule la distancia del baricentro de la cara ACD hacia la cara BCD. a) 6 2 b) 6 3 d) 6 4 e) 5 6 c) 08. En el plano Q se traza el triángulo rectángulo ABC recto en B. Luego por A se traza AP perpendicular al plano Q de modo que: AP=AB=BC. Calcule la medida del ángulo entre BP y AC . a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 10º 09. En el gráfico AM=MD; BN=NC y AB=CD=2(MN). Calcule la medida del ángulo entre AB y CD. D 5 3 M 03. Los rectángulos ABCD y ABEF están ubicados en planos perpendiculares, AD=24 y BE=10. Calcule la distancia entre los centros de dichos rectángulos. a) 9 b) 13 c) 15 d) 16 e) 12 04. Desde el vértice de un rectángulo de lados 3 y 4. Se levanta una perpendicular que mide 12. Calcule la distancia del vértice opuesto a la perpendicular a la parte superior de dicha perpendicular. a) 15 b) 16 c) 17,5 d) 13 e) 18 05. La proyección de un segmento AB, sobre un plano Q es el segmento AF. Si: AF=12 y AB forma con Q un ángulo de 37º, calcule: AB a) 11 b) 15 c) 13 d) 16 e) 20 N B C A a) 50º d) 30º b) 40º e) 37º c) 60º 10. Hallar el área de la sección que se determina al intersecarse una esfera y un cono, ambos inscritos en un cilindro recto cuyo radio de la base es 5 m . a) 2pm2 b) 4pm2 d) 12pm2 e) c) 8pm2 16≠ m2 5 11. Si el volumen del cilindro es 27u3, entonces el volumen del cono inscrito es: 06. Según el gráfico, ABCD–EFGH es un hexaedro regular. Si: NH = 2 3 ; calcule el volumen del hexaedro. B C D A F a) 9 d) 8 G a) 290 d) 128 2 H b) 216 e) 256 c) 254 19≠ m3 3 6 ≠ m3 d) 3 a) 07. En el plano Q se traza un cuadrante AOB, luego por O se traza OP perpendicular a dicho plano de modo que la m∠APB=53º. Calcule la medida del diedro determinado por la región APB y el plano Q. a) 30º b) 60º c) 45º d) 75º e) 15º Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria c) 18 12. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro y un cono equilátero circunscrito a esta esfera, hallar la suma de los volúmenes de los tres sólidos. N E b) 12 e) 6 213 213 b) e) 26≠ m3 3 14≠ m3 3 c) 13≠ m3 3 13. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un octaedro regular de 1 m3 de volumen. ≠ a) 1m3 d) pm3 b) 0,5m3 e) 2pm3 c) 1,5m3 San Marcos Capítulo 34 14. En una esfera de radio R se halla inscrito un cono circular recto de altura "h", hallar la superficie lateral del cono. a) ≠h (2R - h) R b) ≠h (2R - h) R 2 c) ≠h 2R (2R - h) d) ≠h Rh 19. En el gráfico se muestra un cono circular recto y un cilindro de revolución, tal que AC=2(CO) y el área de la superficie lateral del cono es cuatro veces el área de la superficie lateral del cilindro. Calcula la razón de sus volúmenes. e) ≠h (3R - h) R 15. Hallar el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a "m", la distancia del centro de la base a una de sus generatrices es "n". A a) d) a) 2m $ n 3 b) d) 2m + n e) n $ m 3 m$n c) 2n + n 5 13 3 2 13 3 b) e) C D O B 7 13 3 4 13 3 c) 13 3 20. En la figura, calcular la distancia "P" a la base superior, si el cilindro recto mostrado es equivalente a 18 conos de revolución como el que se indica en su interior, la altura de dicho cono mide 8cm. 16. Un poliedro cuyas caras son regiones triangulares tiene 9 aristas; calcule el número de vértices. a) 5 b) 6 c) 4 d) 12 e) 8 P 17. Calcular el volumen de un cono circular recto si la longitud de su altura es 8 y la medida del ángulo de desarrollo es 120º. 32≠ 3 17≠ d) 3 a) b) e) 64≠ 3 20≠ 3 c) 19≠ 3 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 18. Según el gráfico el volumen de la pirámide regular es "V". Calcule el volumen del tronco de cilindro circular recto (O: centro) O a) d) 2 V 3≠ 3 ≠ V 3≠ 3 b) e) 4 V 3≠ 3 3 V 4≠ 3 c) 8 V 3≠ 3 214 214 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría Tarea domiciliaria 01. En un poliedro la suma del número de caras, vértices y aristas es 32. Calcule el número de aristas de dicho poliedro. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 08. Calcule el área de la región sombreada, si el sólido es un cubo de arista "a". 02. En un tetraedro regular A–BCD, M es puntos medio de su respectiva altura AH, H es el pie de dicha altura. Calcule la m∠DMB. a) 45º b) 30º c) 90º d) 60º e) 53º 03. En un tetraedro regular A–BCD cuya arista mide 2m, calcule el área de la región cuadrangular cuyas vértices son puntos medios de AB, AD, DC y CB respectivamente. b) 2m2 a) 1m2 c) 2 m2 2 2 d) 3m e) 1,5m 04. En un hexaedro regular ABCD–EFGH cuya arista mide 4, en HG. Se ubica el punto P tal que HP=1, en FP se ubica el punto M tal que MP=2. Calcular BM. a) 4 b) 5 c) 8 d) 9 e) 10 05. En un hexaedro regular ABCD–EFGH cuya arista mide 2 m , calcule el volumen del poliedro ACFH. a) 5 2 m3 b) 10 2 m3 c) 2 2 m3 3 4 2 m3 e) 12m3 3 06. Se tiene un cono recto de la altura 9 y de radio 4. Al interior del mencionado cono se inscribe un cilindro. Hallar el radio del cilindro si sabemos que su radio es mayor que uno y que el volumen del cono es 8 del 3 volumen del cilindro. a) 2 b) 3 c) 4 d) e) 2 2 d) 2 3 07. En el gráfico, ABCD–PQRS es un cubo, O es centro de la cara ABCD, OF//CR y OF=FR=3. Calcule la diagonal del cubo. B C O A D P R S a) 4 3 b) 2 5 d) 2 6 e) 7 2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria a2 2 2 b) a2 5 4 c) a2 3 8 2 a2 2 e) a 4 2 09. Hallar el área total de un cono de revolución de 13cm de generatriz y 12m de altura. b) 70pcm2 c) 60pcm2 a) 80pcm2 2 2 d) 90pcm e) 100pcm d) 10. Hallar el área lateral de un cono recto de revolución cuya altura es igual a 10u y la mediatriz de su generatriz limitada por la altura mide 4u. b) 100pu2 c) 60pu2 a) 80pu2 2 2 d) 40pu e) 120pu 11. Calcular el volumen del cono recto de 5m de generatriz, si el desarrollo de la superficie lateral es un sector circular de 216º. b) 9pm3 c) 12pm3 a) 8pm3 3 3 d) 15pm e) 18pm 12. En un tetraedro regular A–BCD, M es punto medio de la arista AB. Si AM=2 calcule el área de la región triangular DMC. a) 2 2 b) 3 2 d) 5 2 e) 6 2 c) 4 2 13. Calcula la altura de un tronco de pirámide cuadrangular regular, si la arista lateral y la cara lateral forman con la base ángulos complementarios además la proyección de la arista lateral sobre la base es 4 2 u . a) 4 4 2 u b) 2 4 2 u d) 5 4 2 u e) 4 2 u c) 34 2u 14. Se tiene un paralelepípedo rectangular ABCD–EFGH que es equivalente a la pirámide R–ADHE, si RA, RD, RH y RE interceptan a la cara BCGF en los puntos M, N, P y Q respectivamente. Si AB=a, BC=b, AE=c. Calcule el volumen en la pirámide R–MNPQ. F Q a) c) a) 3 3 d) 215 215 4 abc 27 10 abc 27 b) e) 2 abc 27 16 abc 27 c) 8 abc 27 San Marcos Capítulo 34 15. Calcular el volumen de la pirámide regular inscrita en la semiesfera si el volumen de este es 18pu3. 18. En el gráfico, calcular el volumen del cilindro circular ! recto. Si AP=5cm, AB=4cm y mBP = 60c . A a) 9 pu3 d) 1 pu3 b) 18 pu3 e) 2 pu3 c) 27 pu3 P 16. En el gráfico la razón de áreas de las regiones sombreadas, si ABCD es tetraedro regular. (M y N son puntos medios). B M A B a) 18pcm3 d) 40pcm3 b) 24pcm3 e) 48pcm3 c) 36pcm3 19. Hallar el área lateral de un cilindro de revolución conociendo que la sustracción de los cuadrados de la generatriz y el diámetro de la base es 64, además MN=4. C N M N D a) 21 2 d) 21 3 b) 28 4 e) 17 2 c) 33 6 17. Hallar el volumen de un tronco de pirámide triangular regular si una cara lateral y su base mayor forman un ángulo diedro de 60º, la apotema de la pirámide mide 2m y el área en la base mayor es 12 3 m3 . b) 18m3 c) 20m3 a) 27m3 d) 21m3 e) 24m3 a) 32≠ 15 b) 8 15 ≠ d) 34≠ 15 e) 64≠ 15 c) 43≠ 15 20. Hallar el volumen de un prisma recto de base triangular, sabiendo que una arista básica mide 4 y el área de la proyección del sólido sobre un plano perpendicular a dicha arista es 10. a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 216 216 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 35 Repaso Problemas resueltos 01. Hallar la longitud del lado recto de una parábola con vértice (2;1) y foco (2;4) Resolución • Como el eje y de la parábola es vertical, consideramos la ecuación (x–h)2 = 4p (y–k) • Donde: h=2, k=1 y p=3 • Luego la ecuación: (x–1)2 = 12(y–1) • Lado recto: |4p|=12 02. En la figura L : 5x – 3y + 15 = 0 y "F" es el foco de la parábola. Calcular la ecuación de la parábola. y O F x L Resolución y L:5x – 3y + 15 = 0 F 14243 • 123 3 • La ecuación de la recta en su forma simétrica. x y =1 + -3 5 Parábola: y2 = – 4px • Pero: p = 3 5 O x ⇒ y2 = – 12x Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 217 217 San Marcos Capítulo 35 03. El área total de un paralelepípedo rectangular es 142. La diagonal de la base mide pípedo. 58 y volumen del paralele- Resolución c b a • Dato: 2ab + 2ac + 2bc = 142 ab +ac + bc = 71 .................(1) • Dato: a + b + c = 15 ⇒ a + b = 15 – c .................(2) • Reemplazando (2) en (1) ab + c(15 – c) = 71 .................(3) • También: (a+b)2 = (15 – c)2 a2 + b2 + 2ab = (15 - c) 2 S 58 + 2[71 – c(15 – c)] = (15 – c)2 c=5 • Luego: a2 + (10 – a)2 = 58 ⇒ a = 3; b = 7 • Volumen V = (3) (7) (5) V = 105 Práctica 01. En el siguiente gráfico hallar la ecuación de la recta "L". a) - 21 3 d) - 11 4 y L b) - 17 3 e) 12 5 c) - 16 3 03. En el gráfico hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AB. B(7;7) (0;3) (–4;0) x A(1;1) a) 14x – 3y – 10 = 0 c) x – 8y + 2 = 0 e) 2x – 7y + 8 = 0 b) 7x – y + 28 = 0 d) 3x – 2y + 12 = 0 C(9;–1) 02. Si: L1: 4x – 3y + 10 = 0 L2: ax + 4y – 5 = 0 Son paralelas, hallar "a" a) x – y = 10 c) 2x + y = 11 e) 2x – y = 19 218 218 b) x + y = 8 d) 2x – y = 20 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 10. La distancia entre las directrices perpendiculares al eje x de una elipse es 9 y la longitud del eje focal es 6. Hallar la ecuación de la elipse. a) x2 + 6y2 = 42 b) x2 + y2 = 30 2 2 d) x2 + y2 = 1 c) 6x + 7y = 10 e) 2x2 + 6y2 = 27 04. Hallar la ecuación de la parábola. y (4;2) O 11. Si: C: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, tiene como centro (–2 ; 3) y radio igual a 4. Hallar: F x a) x2 = – 8y b) y2 = 8x 2 d) (x – 4) = (4y – 2) c) x2 = 8y e) y2 = – 8x 05. Del gráfico, hallar la ecuación de la recta L2 . y L2 P(6;5) a) 1 d) 2 b) – 2 e) – 1 c) – 3 12. Hallar la ecuación de la parábola. y (8;4) L1 O a a 0 3 x x –2 a) 2x + 3y + 3 = 0 c) x – 3y + 3 = 0 e) 2x + y + 3 = 0 a) x2 = 2y c) (y – 4)2 = 4(x – 8) e) y2 = x b) x + 3y + 3 = 0 d) 2x – 3y + 3 = 0 06. Hallar el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 – 4x + 12y – 20 = 0 a) r = 2 ; (3 ;–2) c) r= 15 ; (3 ;–2) b) r = 13. Hallar la ecuación de la parábola mostrada, si el área de la región del cuadrado OBCD es 4. y 15 ; (4 ;–3) B d) r = 2 15 ; (2 ;–6) e) r = 3 15 ; (4 ; –3) O 07. Hallar la ecuación de la circunferencia de menor radio que pasa por el punto (8 ; 9) y es tangente a los ejes coordenados. a) x2 + y2 – 10x – 10y – 5 = 0 b) x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0 c) x2 + y2 – 5x + 5y + 25 = 0 d) x2 + y2 + 5x + 5y + 5 = 0 e) x2 + y2 – 10x – 10y + 50 = 0 08. Halle la ecuación de la circunferencia tanto al eje x y cuyo centro es el punto de intersección de la recta: x – 2y + 8 = 0 con el eje y. b) x2 + y2 – 4y = 0 a) x2 + y2 – 8y = 0 2 2 d) x2 + y2 – 8x = 0 c) x + y – 14y = 0 e) x2 + y2 – 16y = 0 09. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos en el eje x, la longitud del eje mayor igual a tres veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto P=(3;3). b) x2 + y2 = 1 a) x2 + 8y2 = 80 d) x2 + y2 = 10 c) 9x2 + 7y2 = 36 2 2 e) x + 9y = 90 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 219 219 b) y2 = – 2x d) y2 = 2x a) x2 = 2y d) y2 = 4x C D b) y2 = 2x e) x2 = 4y x c) x2 = 8x 14. Hallar las coordenadas del foco de la parábola. P : x2 + 2x + 4y – 7 = 0 a) (–1 ; 0) b) (–1 ; –2) c) (–1 ; –1) d) (–1 ; 2) e) (–1 ; 1) 15. Hallar la ecuación de la elipse de la forma: b2x2 + a2y2 = a2b2, sabiendo que la distancia entre sus directrices es 50 y su excentricidad es 21 . 5 21 a) 4x2 + 25y2 = 100 c) 6x2 + 7y2 = 30 e) x2 + y2 = 25 b) x2 + 6y2 = 50 d) 4x2 + 5y2 = 91 16. Hallar la ecuación de la elipse de excentricidad e = 2 , 3 centro el origen y cuyas directrices son y = ±9. a) x2 + 3y2 = 60 c) 9x2 + 5y2 = 45 e) 7x2 + y2 = 25 b) 3x2 + y2 = 80 d) 10x2 + 15y2 = 97 San Marcos Capítulo 35 17. La base de un prisma recto de 6cm de altura es un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el lado de este triángulo si el área lateral del prisma es 54m2? a) 1m d) 4m b) 2m e) 5m c) 3m 18. Un cilindro de revolución se encuentra parado en el interior de un cuarto. Si su proyección sobre el techo tiene un área de 4pm2 y sobre una de las paredes laterales 36m2. ¿Cuál es su volumen? a) 15pm3 d) 32pm3 19. En una pirámide cuadrangular regular V–ABCD, VA=AB y el área región triangular VAC es 1u2. Calcule el volumen de la pirámide. b) 18pm3 e) 36pm3 c) 24pm3 a) d) 2 u3 3 1 u3 4 b) e) 1 u3 2 5 u3 4 c) 3 u3 4 20. La altura de una pirámide es 3 16 . ¿A qué distancia del vértice pasará un plano paralelo a la base de la pirámide de tal manera que los volúmenes obtenidos por este corte sean iguales? a) 3 16 2 d) 2 b) 1 2 e) 3 c) 3 3 Tarea domiciliaria 01. Calcule "k", de modo que la recta: L: 12kx – 9y + 129 = 0 intersecta al segmento de extremos A(2;3) y B(11;6) en la razón 2 es a 7. a) 0 b) – 1 c) – 2 d) 3 e) – 4 02. Determine la ecuación de la recta "L" que pasa por el punto de intersección de: L1: 2x – 5y + 3 = 0 L2: x – 3y – 7 = 0 La recta L es perpendicular a: L3: 4x + y – 1 = 0 a) x – 4y – 24 = 0 b) x – 4y + 24 = 0 c) 4x – y – 24 = 0 d) 4x – 4y – 15 = 0 e) x – 4y + 18 = 0 03. En el plano cartesiano se tiene una recta de ecuación: L: 4x + 3y + c = 0. Calcular la ecuación de la L y que pasa por el origen de coordenadas. a) 3x – 4y = 0 b) 4x – 3y = 0 c) 4x + 3y = 0 d) 3x – 4y = 0 y e) x + = 1 3 4 04. En la siguiente parábola, calcule las coordenadas del foco y la ecuación de la recta directriz. y (–4;8) O a) F(–2 ; 0), Ld: x = 8 c) F(4 ; 0), Ld: y = 4 e) F(0; –4), Ld: x = –4 x 05. Calcule la pendiente de la recta que pasa por T y B. Si: OB=15 y BC=20. (T es punto de tangencia). y B O a) 3 T b) – 3 C x c) 1 3 e) 13 d) - 1 3 06. Calcule el valor de "m" para que la ecuación: C = x2 + y2 – 8x + 10y + m = 0 De la circunferencia tenga como radio 4. a) 5 b) 15 c) 25 d) 41 e) 9 07. Calcule el área de la región formada por el semieje positivo de abscisas, la circunferencia: x2+y2=144 y la recta: y - 3 x = 0 . b) 18pu2 c) 24pu2 a) 12pu2 d) 30pu2 e) 36pu2 08. La ecuación de una circunferencia es: x2 + y2 + 4x – 6y + 8 = 0 Calcule la abscisa del punto A, sabiendo que pertenece a la circunferencia y que su ordenada es 1. a) (–3 ; 1) b) (–2 ; 1) c) (–1 ; 1) d) (–5 ; 1) e) a y c b) F(–4 ; 0), Ld: x = 4 d) F(0; 4), Ld: x = 4 220 220 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 09. Determine la ecuación de una recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es: C = x2 + y2 – 8x – 9 = 0. Siendo dicha recta paralela a la recta x = y. a) x - y + 5 2 - 4 = 0 b) y - x - 3 + 4 = 0 c) d) y - 5 2 - 2 = 0 y-x- 2 +4 = 0 10. En una piscina de 40m de largo, 12m de ancho y 3,5m de alto, se introducen 720 000 litros de H2O. ¿A qué distancia del borde llega el H2O? a) 1m b) 1,5m c) 2m d) 2,5m e) 3m 11. En la siguiente parábola, determine las coordenadas del foco y la ecuación de la recta directriz. y b) y = ±(x – 3) c) d) y = ! 6 (x + 1) y = ! 3 ( 3x - 1) 17. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de área "S". Calcule el volumen del cilindro. a) S S 2≠ b) S S 5≠ d) S S 4≠ e) S S 3≠ c) S S 6≠ 18. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro recto. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos sólidos? x (2;–1) a) F(0;–1), Ld: x = 1 c) F(0; –1), Ld: y = 1 e) F(–1; 0), Ld: y = –2 a) y = ±(x – 1) e) y = ! 3 (x - 2) 2 e) y - x - 5 2 + 8 = 0 O 16. Determine la ecuación de la cuerda focal de la elipse 3x2 + 4y2 = 48 cuya longitud es de 7 unidades. b) F(1; 0), Ld: x = – 1 d) F(1; 0), Ld: y = –1 12. La directriz de una parábola es la recta L: y – 1 = 0 y su foco (4 ; –3). Determine su ecuación. a) x2 + 8x – 4y + 8 = 0 b) x2 + x – 4y – 4 = 0 c) x2 + 8x + 8y – 4 = 0 d) x2 – 8x + 8y + 24 = 0 e) x2 – 8x – 8y + 8 = 0 13. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los focos de las parábolas: a) 3 ≠ b) 2 3 ≠ d) 4 3 ≠ e) 3 3 2≠ c) 3 3 ≠ 19. Se tiene un recipiente cilíndrico conteniendo agua hasta sus 2 patos. ¿Qué ángulo debe inclinarse el 3 recipiente para que el agua empiece a caer; sabiendo que la altura del recipiente es el triple del diámetro de la base? a) 30º b) 45º 37c 2 e) 60º d) c) 53c 2 20. En un cesto se han colocado dos pelotas de igual radio y el volumen de una de ellas es 32 ≠. Calcule el 3 volumen del cesto. P1: x2 + 4y – 12 = 0 P2: y2 – 4x + 4 = 0 a) 1 d) b) – 1 1 2 c) -1 2 e) 2 14. Calcule el valor de la constante "k", de modo que la distancia entre las directrices de la elipse: y2 x2 = 1, sea de 8 unidades. + 14 - k 5 - k a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 a) 8pu3 d) 24pu3 b) 32pu3 e) N.A. c) 18pu3 15. Un elipse cuyos focos son puntos de trisección del eje mayor, tiene su centro en el origen y como directriz la recta x – 9 = 0. Calcule la longitud del eje menor. a) 2 d) 4 2 b) 2 2 c) 3 2 e) 5 2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria 221 221 San Marcos Capítulo 36 36 Repaso bimestral 01. Calcular "x": Si: AB=6, AH=2 04. Según la figura: BQ//MN. Si: BQ=AN, MN=a y QN=b. Calcule "AC" B B a° D q° q° M a) 2 d) 8 a° C H b) 4 e) 3 c) 6 02. En el gráfico L 1 / L 2 son mediatrices de BD y AC, respectivamente. Si: m∠BOA=m∠COD, calcular: AB CD Q A a) a+b b) 2a+b d) 2b–a e) 2a–b C N c) 2b+a 05. En la figura AC=CD=DE y BM=MC. Además si: BE=20 y MQ=6. Calcule "x" B C B L1 Q L2 M x° A A O a) 37° D a) 1/3 d) 1 b) 1/2 e) 2 d) c) 3 03. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB=a, calcule HP. B M H N a 10 2 b) a 30 10 d) a 13 e) a 10 5 a) 37°/2 c) C b) D 45° 2 E c) 53° 2 e) 15° 06. En la región exterior y relativa a BC , de un triángulo ABC, se construye un triángulo equilátero BCP. Si: m∠BAC=60º, AB=30 y AC=10. Calcule la suma de las distancias de "P" a AB u AC. P A 37° 2 C a) 40 3 b) 20 3 d) 18 3 e) 10 3 c) 15 3 07. Calcula el área de la región sombreada. a 10 3 4 2 6 a) 4/3 d) 6 222 222 b) 2 e) 12 c) 4 Quinto Añowww.trilce.edu.pe de Secundaria Geometría 08. Calcule el área del triángulo formado por la diagonal y la altura de un trapecio isósceles cuya área es 64u2. a) 64u2 d) 28u2 b) 56u2 e) 32u2 c) 36u2 09. El producto de las longitudes de los lados de un triángulo es cuatro veces la longitud del radio de la circunferencia circunscrita. Calcule el área de dicho triángulo. a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 15. ABCD–EFGH es un cubo donde M y N son centros de las caras EFGH y ABCD entonces la medida del ángulo diedro MABN es: a) 53° b) 60° c) 62° d) 63,5° e) 65° 16. Del gráfico la semicircunferencia y el rombo ABCD se encuentran en planos perpendiculares: BM=CM, AN=3.(CN), AD=10cm y m<BAD=74°. Calcule el área de la región triangular PMN. Además "P" es el punto medio del arco AB. P 10. Calcule el área del triángulo ABC, si: AB=BC=4 A a) 4 d) 2 O R R 3 R B 11. Calcular el inradio de un triángulo cuyos lados miden 5, 7 y 8 a) 2 b) 3 d) 4 3 3 e) 3 2 c) 2 3 3 12. En el problema anterior indique el valor del área. a) 10 3 b) 5 3 d) 6 3 e) 12 3 c) 2 pa3 6 pa3 b) d) 10 pa3 e) 2 3 pa3 c) 5 pa3 14. En el gráfico, calcule el área de la región triangular PHM, si: PQ es perpendicular al plano del cuadrado ABCD cuya longitud es 3 cm. Además: MH=2cm, NH=3cm y QH=4cm; PQ = 3cm y AH=1cm. P B Q C M H A a) 3cm2 d) 6cm2 b) 4cm2 e) 8cm2 Central 6198 - 100 Quinto Año de Secundaria b) 3 89 2 3 89 4 e) 4 89 3 c) 2 89 17. En un tetraedro regular O-ABC se inscribe un cono de revolución de vértice O y base inscrita en la cara opuesta a dicho vértice, si el área de la superficie lateral del cono es pm2. Calcule el área de la superficie esférica circunscrita al tetraedro. a) 10pm2 b) 9pm2 d) 7pm2 e) 6pm2 c) 8pm2 18. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se ubica N punto medio de CG. Si: AB= 3 . Calcule la distancia entre los segmentos NB y FH 8 3 13. Un hexaedro regular de arista "a" se encuentra inscrito en una semiesfera. Calcule el volumen de la semiesfera. a) D a) 3 89 cm2 d) c) 16 C N A C b) 8 e) N.A. M B a) 3 2 b) d) 2 2 e) 1 2 c) 3 3 19. Una región triangular de área 60u2 gira alrededor de un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al eje de giro 10u, 11u y 42u. Calcule el volumen generado (en u3). a) 1250p b) 2520p c) 2780≠ d) 3250p e) 4270p 20. Calcule la relación de volúmenes del tronco de cono de revolución mayor, menor y la esfera inscrita. Si el primer tronco de cono tiene bases de áreas 16A y 4A, el segundo tronco de cono 4A y A. 4 r N D c) 5cm2 a) 27: 8: 4 d) 30: 7: 3 223 223 b) 26: 7: 4 e) 28: 8: 3 c) 28: 7: 4 San Marcos