07 - Vectors i rectes en el pla (solucions)

CURS DE FORMACIÓ PER A LA PROVA D’ACCÉS A CICLES
FORMATIUS DE GRAU SUPERIOR
MATEMÀTIQUES – VECTORS I RECTES EN EL PLA (RECULL)

1. (2007, sèrie 1) Donats els vectors u =
a)
b)
c)
d)
( −3,4 )

i v = ( 5,2 ) , calculeu:


3u − 2v .

El mòdul del vector u .
 
El producte escalar u ⋅ v .
 
L’angle que formen els vectors u i v .
1/16
2. (2007, sèrie 2) Donats els punts del pla A = ( −2, −1) , B = ( 4,2 ) i C = ( 3,1) ,
trobeu:
a)
b)
c)
d)

Les components del vector AB .
L’equació de la recta r, que passa per A i B.
L’equació de la recta paral·lela a r i que passa per C.
L’equació de la recta perpendicular a r i que passa per C.
2/16
3. (2007, sèrie 3) Donades les rectes del pla r : 2x + y + 5 =
0 , s : 4x + 3y − 22 =
0 i
t : 4x + 3y + 3 =
0 , trobeu raonadament:
a)
b)
c)
d)
La posició relativa de les rectes r i s.
La posició relativa de les rectes s i t.
El punt de tall de les rectes r i t.
La distància entre les rectes s i t.
3/16
4. (2008, sèrie 1) Donats els punts del pla A = ( −1, −4 ) , B =
( −3,0 )
i C = ( 3,2 ) ,
trobeu:
a)
b)
c)
d)
 
Les components del vector AB i AC .
L’equació de la recta r, que passa per
A i C.

L’angle que formen els vectors AB i AC .
La distància del punt B a la recta r.
4/16
5. (2008, sèrie 2) Donats el punt A =
s=
:y
a)
b)
c)
d)
( −2,3)
i les rectes r : 3x + y − 5 =
0 i
2
x + 3 , es demana:
5
La posició relativa de les rectes r i s.
L’equació de la recta paral·lela a r, que passa per A.
L’equació de la recta perpendicular a s, que passa per A.
La distància de A a r.
5/16
=
6. (2009, sèrie 3) Donats el punt del pla P
( 3, −2 )
i la recta r =
:y
3
x+2,
4
calculeu:
a) Un punt qualsevol i el pendent de la recta r.
b) Un vector director de la recta i un vector que sigui perpendicular al vector
director.
c) L’equació de la recta paral·lela a r que passa per P.
d) L’equació de la recta perpendicular a r que passa per P.
6/16
7. (2009, sèrie 4) Donades les rectes r : 2x + y − 2 =
0 i s : 3x − 4y − 25 =
0,
determineu:
a)
b)
c)
d)
El punt de tall de les rectes r i s.
L’equació de la recta paral·lela a r que passa per l’origen de coordenades.
La distància de la recta s a l’origen de coordenades.
L’angle que formen les rectes r i s.
7/16
8. (2010, sèrie 2) Donats els punts del pla A =
( −5,1)
i B=
( −2,2 )
i la recta
r:y=
−3x + 6 , calculeu:
a)
b)
c)
d)

Les components del vector AB .
La distància de A a B.
La distància de A a r.
L’equació de la recta s que passa per A i B.
8/16
9. (2011, sèrie 1) Donats els punts del pla A =


v = ( −10,4 ) i =
u ( 5, −2 ) , calculeu:
( −1,3 )
B
i =
( 2, −4 )
i els vectors

a) El mòdul del vector v .

b) L’equació de la recta r que passa pel punt A i té la direcció del vector v .
c) L’equació de la recta s que passa pel punt B i té la direcció d’un vector
perpendicular a u .
d) La posició relativa de les rectes r i s calculades en els apartats b i c.
Expliqueu raonadament la resposta.
9/16
10. (2012, sèrie 2) Donades les rectes r : 3x − 4y − 6 =
0 , s : 6x − 8y + 12 =
0,
t : 3x + 4y + 6 =
0 i v : 4x − 3y − 12 =
0 , responeu les qüestions següents:
a)
b)
c)
d)
Representeu gràficament la recta r.
Quines de les quatre rectes són paral·leles? Justifiqueu la resposta.
Quines de les quatre rectes són perpendiculars? Justifiqueu la resposta.
Quina és la distància entre la recta r i el punt P = ( −1,4 ) ?
10/16
11. (2013, sèrie 1) Donats els punts del pla A =
( −3,2 )
i B = ( 5,8 ) i la recta
r : 3x − 2y + 1 =
0 , responeu a les qüestions següents:
a)
b)
c)
d)
Justifiqueu si la recta r conté algun dels punts A o B.
Trobeu un vector de la recta r i un altre vector que sigui perpendicular a r.
Trobeu l’equació de la recta que passa per A i per B.
Trobeu l’equació de la recta perpendicular a r que passa per A.
11/16
12. (2014, sèrie 1)
a) Comproveu si els punts
( 2, −1) , ( 7,3 )
i
( −1, −7 )
formen part de la recta
r :=
y 3x − 4 .
b) Calculeu l’equació de la recta paral·lela a r que passa pel punt ( 5,12 ) .
c) Calculeu la distància del punt A = (1,5 ) a la recta r.
12/16
13. (2015, sèrie 1)
=
a) Trobeu l’equació explícita de la recta que passa pels punts A
( 3, −2 )
i
B = (1,6 ) .
b) Quina és l’equació de la recta paral·lela a la recta de l’apartat a que passa
pel punt ( 2,7 ) ?
13/16
14. (2015, sèrie 3) Donats els punts del pla A=
a)
b)
c)
d)
(1, −5 )
i B=
( −4,2 ) , trobeu:

El vector AB .
La distància de A a B.
Un vector paral·lel a AB . 
Un vector perpendicular a AB .

a) El
vector
AB .

AB = B − A = ( −4,2 ) − ( 1, −5 ) = ( −4 − 1,2 − ( −5 ) ) = ( −5,7 )
b) La distància de A a B.
d
2
d ( A,B ) = AB = ( −5 ) + 72 = 25 + 49 = 74 u

c) Un vector paral·lel a AB .
Per exemple, 2 ⋅ ( −5,7 ) = ( −10,14 ) .

d) Un vector perpendicular a AB .
Per exemple, ( 7,5 ) .
15. (2016, sèrie 2)
y mx + n , l’equació de la recta que passa pels
a) Determineu, en la forma =
punts (1,3 ) i ( 2,5 ) .
b) Determineu l’equació de la recta perpendicular a l’anterior que passa pel
punt ( 0,0 ) .
c) Determineu el punt de tall entre les dues rectes.
14/16
=
16. (2017, sèrie 1) Considereu els punts A
( 2, −1) , B = ( −3,4 )
i C = ( 5,2 ) .



=
v 2AB − 5AC .
a) Determineu el vector
 
b) Calculeu l’angle que formen els vectors AB i AC .
17. (2018, sèrie 1)
y mx + n ).
a) Determineu l’equació de les rectes següents en forma explícita (=
x − 2 y +1
a1)
=
3
6
a2) y − 7= 3 ( x + 1)

P ( 2, −1) i té com a vector director v = ( 2,6 ) .
a3) Passa pel punt =
b) Dues d’aquestes rectes són paral·leles. Digues quines són i per què.
15/16
18. (2020, sèrie 2) Considereu les rectes r : y =
−2x + 5 i s :
x +1 y − 4
.
=
3
2
a) Trobeu dos punts que pertanyin a cadascuna de les rectes.
b) Trobeu un vector director de cadascuna de les rectes.
c) Calculeu l’angle que formen les dues rectes.
16/16